Gwyriad safonol

Mewn ystadegeth, mae'r **gwyriad safonol** yn fesur o faint o amrywiad neu wasgariad set o werthoedd. Mae gwyriad safonol isel yn nodi bod y gwerthoedd yn tueddu i fod yn agos at y cymedr y set (a elwir hefyd yn werth disgwyliedig), tra bod gwyriad safonol *uchel* yn nodi bod y gwerthoedd wedi'u lledaenu dros ystod ehangach.

Gellir crynhoi gwyriad safonol yn **SD**, ac fe'i cynrychiolir gan amlaf mewn testunau a hafaliadau mathemategol gan y llythyren Roegaidd, bach sigma **σ**, ar gyfer gwyriad safonol poblogaeth, neu'r llythyren Ladin s, ar gyfer y gwyriad safonol y sampl.

Gwyriad safonol hapnewidyn, sampl, poblogaeth ystadegol, set ddata, neu ddosbarthiad tebygolrwydd yw ail isradd ei amrywiant. Yng nghyd-destun algebra, mae'n llawer symlach, ond yn ymarferol yn llai cadarn, na'r gwyriad absoliwt cyfartalog. Nodwedd defnyddiol o'r gwyriad safonol yw ei fod, yn wahanol i'r amrywiant, yn cael ei fynegi yn yr un uned â'r data.

Mae gwyriad safonol poblogaeth neu sampl a chamgymeriad safonol ystadegyn (ee cymedr y sampl) yn dra gwahanol, ond yn gysylltiedig. Gwall safonol cymedr y sampl yw gwyriad safonol y set cymedrig  a a ellir eu cael trwy dynnu nifer anfeidrol o samplau ailadroddus o'r boblogaeth a chyfrifo cymedr ar gyfer pob sampl. Mae gwall safonol y cymedr ar ddiwedd y dydd yn hafal i'r gwyriad safonol poblogaeth wedi'i rannu ag ail isradd maint y sampl, ac amcangyfrifir trwy ddefnyddio'r gwyriad safonol sampl wedi'i rannu ag ail isradd  maint y sampl. Er enghraifft, gwall safonol arolwg barn (hy yr hyn a adroddir fel maint gwall y bleidlais neu *margin of error*), yw gwyriad safonol disgwyliedig y cymedr amcangyfrifedig pe bai'r un arolwg yn cael ei gynnal sawl gwaith. Felly, mae'r gwall safonol yn amcangyfrif gwyriad safonol yr amcangyfrif, sydd ynddo'i hun yn mesur faint mae'r amcangyfrif yn dibynnu ar y sampl benodol a gymerwyd o'r boblogaeth.

## Enghraifft sylfaenol 
bawd|Tebygolrwydd cronnol o ddosbarthiad normal, gyda'r gwerth disgwyliedig yn 0 a'r gwyriad safonol yn 1

Tybiwch mai'r boblogaeth gyfan o ddiddordeb yw wyth myfyriwr mewn dosbarth penodol. Ar gyfer set gyfyngedig o rifau, darganfyddir y gwyriad safonol y boblogaeth trwy gymryd ail isradd cyfartaledd gwyriadau sgwâr y gwerthoedd a dynnwyd o'u gwerth cyfartalog. Marciau dosbarth o wyth myfyriwr (hynny yw, poblogaeth ystadegol) yw'r wyth gwerth canlynol:

: 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.

Mae gan yr wyth pwynt data hyn y cymedr (cyfartalog) o 5:

:  \mu = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5. 

Yn gyntaf, cyfrifwch wyriadau pob pwynt data o'r cymedr, a sgwariwch ganlyniad pob un:

: \begin{array}{lll}
  (2 - 5)^2 = (-3)^2 = 9 && (5 - 5)^2 = 0^2 = 0 \\
  (4 - 5)^2 = (-1)^2 = 1 && (5 - 5)^2 = 0^2 = 0 \\
  (4 - 5)^2 = (-1)^2 = 1 && (7 - 5)^2 = 2^2 = 4 \\
  (4 - 5)^2 = (-1)^2 = 1 && (9 - 5)^2 = 4^2 = 16. \\
\end{array}

Yr amrywiant yw cymedr y gwerthoedd hyn:

: \sigma^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16}{8} = \frac{32}{8} = 4.

ac mae'r *gwyriad safonol y boblogaeth* yn hafal i ail isradd yr amrywiant:

: \sigma = \sqrt{ 4 } = 2.

Mae'r fformiwla hon yn ddilys dim ond os yw'r wyth gwerth y gwnaethom ddechrau â hwy yn ffurfio'r boblogaeth gyfan. Pe bai'r gwerthoedd yn lle hynny yn sampl ar hap wedi'i dynnu o ryw boblogaeth fawr (er enghraifft, roeddent yn 8 myfyriwr ar hap ac yn annibynnol wedi'u dewis o ddosbarth o 2&nbsp;miliwn), yna mae un yn rhannu â  yn hytrach nag  yn enwadur y fformiwla ddiwethaf, a'r canlyniad yw s = \sqrt{32/7} \approx 2.1. Yn yr achos hwnnw, byddai canlyniad y fformiwla wreiddiol yn cael ei alw'n *wyriad safonol y sampl* a'i ddynodi gan *s* yn hytrach na \sigma. O rannu gydag *n*&nbsp;−&nbsp;1 yn hytrach na gydag *n ceir* amcangyfrif diduedd o amrywiant y boblogaeth ehangach. Gelwir hyn yn *gywiriad Bessel*. Yn fras, y rheswm dros hyn yw bod y fformiwla ar gyfer amrywiant y sampl yn dibynnu ar wahaniaethau cyfrifiadurol arsylwadau o gymedr y sampl, ac adeiladwyd cymedr y sampl ei hun i fod mor agos â phosibl i'r arsylwadau, felly byddai rhannu *ag n* yn tanamcangyfrif yr amrywioldeb.

## Diffiniad o werthoedd poblogaeth 
Gadewch i *μ* fod yn werth disgwyliedig (y cyfartaledd) hapnewidyn *X* gyda dwysedd *f* (*x*): \mu \equiv \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx Diffinnir gwyriad safonol *σ* o *X* fel \sigma \equiv \sqrt{\operatorname E\left[(X - \mu)^2\right]} = \sqrt{ \int_{-\infty}^{+\infty} (x-\mu)^2 f(x) \, dx }, y gellir ei ddangos yn gyfartal  \sqrt{\operatorname E\left[X^2\right] - (\operatorname E[X])^2}.

Gan ddefnyddio geiriau, y gwyriad safonol yw ail isradd amrywiant *X.*

Mae gwyriad safonol dosbarthiad tebygolrwydd yr un fath â gwyriad hapnewidyn sydd â'r dosbarthiad hwnnw.

Categori:Ystadegaeth