Hafaliadau Cauchy–Riemann

[bawd|Darlun gweledol o fector X mewn [Parth y ffwythiant|parth:

* yn cael ei luosi â rhif cymhlyg z, yna ei fapio ag f,
* yn cael ei fapio â f yna ei luosi â z wedi hynny.

Os yw'r ddau o'r rhain yn cymryd y pwynt i'r un lle ar gyfer pob X a z, yna mae f yn bodloni'r amod Cauchy-Riemann.]]
Ym maes dadansoddi cymhlyg o fewn mathemateg, mae'r **hafaliadau Cauchy-Riemann**, a enwir ar ôl Augustin Cauchy a Bernhard Riemann, yn cynnwys system o ddau hafaliad differol rhannol sydd, ynghyd â meini prawf penodol ar gyfer di-doredd a differadwyedd, yn ffurfio amod angenrheidiol a digonol ar gyfer a ffwythiant cymhlyg i fod yn gymhlyg differadwy, hynny yw, yn holomorffig. Ymddangosodd y system hafaliadau yma'n gyntaf yng ngwaith Jean le Rond d'Alembert. Yn ddiweddarach, cysylltodd Leonhard Euler y system hon â'r ffwythiannau dadansoddol. Yna defnyddiodd Cauchy yr hafaliadau hyn i lunio ei theori ffwythiannau. Ymddangosodd traethawd hir Riemann ar theori ffwythiannau ym 1851.

Yr hafaliadau Cauchy-Riemann ar bâr o ffwythiannau gwerth-real dau newidyn real *u*(*x*, *y*) a *v*(*x*, *y*) yw'r ddau hafaliad:

: 
\begin{align}
(1a)\qquad & \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\[6pt]
(1b)\qquad & \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\end{align}

Fel arfer cymerir *u* a *v* i fod y rhannau real a dychmygol yn y drefn honno o ffwythiant cymhlyg â gwerth newidyn cymhlyg sengl , . Tybiwch fod *u* ac *v* yn nifferadwy-real ar bwynt mewn is-set agored o ℂ, y gellir ei ystyried yn ffwythiannau o ℝ2 i ℝ. Mae hyn yn awgrymu bod deilliadau rhannol *u* ac *v yn* bodoli (er nad oes angen iddynt fod yn ddi-dor) a gallwn amcangyfrif amrywiadau bach o *f* yn llinol. Yna mae  yn nifferadwy-cymhlyg ar y pwynt hwnnw os ac yn unig os yw deilliadau rhannol *u* a *v yn* bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann (1a) ac (1b) ar y pwynt hwnnw. Nid yw fodolaeth deilliadau rhannol sy'n bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann yn unig yn ddigon i sicrhau differadwyedd-cymhlyg ar y pwynt hwnnw. Mae'n angenrheidiol bod *u* ac *v* yn nifferadwy-real, sy'n gyflwr cryfach na bodolaeth y deilliadau rhannol, ond yn gyffredinol, yn wannach na differadwyedd di-dor.

Mae holomorffedd yn briodwedd ffwythiant cymhlyg gan ei fod yn ddifferadwy ym mhob pwynt o is-set agored gysylltiedig o ℂ (gelwir hyn yn barth yn ℂ). O ganlyniad, gallwn ddweud bod ffwythiant cymhlyg *f*, y mae ei rhannau real a dychmygol *u* ac *v* yn ffwythiannau differadwy real, yn holomorffig os a dim ond os yw hafaliadau (1a) ac (1b) wedi'u bodloni trwy gydol y parth. Mae ffwythiannau holomorffig yn ddadansoddol ac mae ffwythiannau dadansoddol yn holomorffig. Mae hyn yn golygu, mewn dadansoddiad cymhlyg, bod ffwythiant sy'n differadwy-cymhlyg dros barth cyfan (holomorffig) yr un peth â ffwythiant dadansoddol. Nid yw hyn yn wir am ffwythiannau real.

## Enghraifft syml 
Tybiwch fod z=x+iy. Mae'r ffwythiant gwerth cymhlygf(z)=z^2 yn nifferadwy ar unrhyw bwynt z yn y plân cymhlyg.

: f(z)=(x + i y)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy

Y rhannau real u(x,y) a ddychmygol v(x,y) yw

: u(x, y) = x^{2} - y^{2}
: v(x, y)=2xy

ac mae eu deilliadau rhannol yn

: 
u_x = 2x;\quad u_y = -2y;\quad v_x = 2y;\quad v_y = 2x

Gwelwn fod yr hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni, yn wir,u_x = v_y a u_y = -v_x

## Dehongliad 
Mae'r hafaliadau yn un ffordd o edrych ar yr amod ar ffwythiant i fod yn nifferadwy yn yr ystyr ddadansoddiad cymhlyg: mewn geiriau eraill maent yn crynhoi'r syniad o ffwythiant gwerth cymhlyg trwy gyfrwng calcwlws differol confensiynol.

Tybiwch fod

:  f(z) = u(z) + i \cdot v(z) 

yn ffwythiant o rif cymhlyg *z*. Yna diffinnir deilliad cymhlyg *f* ar bwynt *z*0 gan

: \lim_{\underset{h\in\mathbb{C}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0)

yn amodol bod y terfan hwn yn bodoli.

Os yw'r terfyn hwn yn bodoli, yna gellir ei gyfrifo trwy gymryd y terfan wrth i *h*&nbsp;→ 0 ar hyd yr echelin real neu'r echelin ddychmygol; yn y naill achos neu'r llall, dylai roi'r un canlyniad. Wrth agosáu ar hyd yr echelin real, darganfyddwn fod

: \lim_{\underset{h\in\mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0).

Ar y llaw arall, wrth agosáu ar hyd yr echelin ddychmygol,

: \lim_{\underset{h\in \mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih} =\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).

Hafaliad deilliad *f* a gymerir ar hyd y ddwy echelin yw

: i\frac{\partial f}{\partial x}(z_0)=\frac{\partial f}{\partial y}(z_0),

sef hafaliadau Cauchy-Riemann (2) ar y pwynt&nbsp;*z*0.

I'r gwrthwyneb, os yw *f*&nbsp;: ℂ&nbsp;→ ℂ yn ffwythiant y gellir ei differu wrth gael ei hystyried fel ffwythiant ar ℝ2, yna mae *f* yn nifferadwy-cymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni. Mewn geiriau eraill, os yw u ac v yn ffwythiannau differol real o ddau newidyn real, yn amlwg mae *u* + *iv* yn ffwythiant (gwerth cymhlyg) differadwy-real, ond mae *u* + *iv* yn nifferadwy-gymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi'u bodloni.

## Cyfeiriadau 
## Dolenni allanol 
* 
* Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews