Geometreg ddadansoddol

Mewn mathemateg clasurol, mae **geometreg ddadansoddol**, a elwir hefyd yn **geometreg cyfesurynnau** neu'n **geometreg Cartesaidd**, yn astudiaeth o geometreg gan ddefnyddio system o gyfesurynnau. Mae hyn yn gwrthgyferbynnu â geometreg synthetig (neu acsiomatig).

Defnyddir geometreg ddadansoddol yn helaeth mewn ffiseg a pheirianneg, a hefyd ym maes awyrennau ac awyrennu, creigiau, gwyddoniaeth y gofod a meysydd yn ymwneud â golau. Dyma sylfaen y rhan fwyaf o feysydd geometreg modern, gan gynnwys geometreg algebraidd, gwahaniaethol, arwahanol a chyfrifiannol.

Fel arfer mae'r system cyfesurynnau Cartesaidd yn cael ei ddefnyddio i drin hafaliadau ar gyfer planau, llinellau syth a sgwariau, yn aml mewn dau ac weithiau mewn tri dimensiwn. Felly, mewn geometreg, astudir y planau Ewclidaidd (dau ddimensiwn) a gofod Ewclidaidd (tri dimensiwn). Fel y'i dysgir mewn gwerslyfrau, gellir esbonio geometreg ddadansoddol fel maes sy'n diffinio a chynrychioli gwybodaeth sy'n ymwneud â rhifau. Mae'r weithred o ddefnyddio algebra rhifau real i ganfod canlyniadau am gontinwwm llinol geometreg yn dibynnu ar y wireb (acsiom) Cantor-Dedekind.

## Cyfesurynnau Cartesaidd
Y system gyfesurynnau fwyaf cyffredin a ddefnyddir yw'r system cyfesurynnau Cartesaidd, lle mae gan bob pwynt gyfesuryn-*x* sy'n cynrychioli ei leoliad llorweddol, a chyfesuryn-*y* sy'n cynrychioli ei leoliad fertigol. Fel arfer, ysgrifennir y rhain fel pâr trefnedig (*x*,&nbsp;*y*). Gellir defnyddio'r system hon hefyd ar gyfer geometreg tri dimensiwn, lle mae pob pwynt yn y gofod Ewclidaidd yn cael ei gynrychioli gan gyfesurynnau triphlyg (*x*,&nbsp;*y*,&nbsp;*z*).

### Cyfesurynnau pegynlinol (yn y plân)
Yma, mae pob pwynt y plân yn cael ei gynrychioli gan ei bellter *r* o'r tarddiad a'i ongl *θ* o'r echelin polar.

Yn y cyfesurynnau pegynlinol (*polar coordinates*) ar y plân Ewclidaidd gellir mynegi hafaliad y linell fel:
::r=\frac{mr\cos\theta+b}{\sin\theta},
ble mae *m* yn oledd y linell, a *b* yw'r *y*-intercept.  Pan fo *θ* = 0 yna bydd y graff yn anniffiniedig. Gellir ailysgrifennu'r hafaliad i ddileu'r diffygion yn y modd hwn:
::r\sin\theta=mr\cos\theta+b.

### Cyfesurynnau silindrog (mewn gofod)
Yn y sytem cyfesurynnau silindrog, mae pob pwynt o fewn y gofod yn cael ei gynrychioli gan ei uchder *z*, ei radiws *r* o'r echelin-z a'r ongl θ mae ei dafluniad ar y plân *xy* yn ei wneud, o ran yr echelin lorweddol.

### Cyfesurynnau sfferig (mewn gofod)
Yn y system cyfesurynnau sfferig, mae pob pwynt o fewn y gofod yn cael ei gynrychioli gan ei bellter *ρ* o'r tarddiad, yr ongl *θ* mae ei dafluniad ar y plân *xy* yn ei wneud, o ran yr echelin lorweddol, a'r ongl *φ* y mae'n ei wneud o ran echelin *z*. Mae enwau'r onglau yn aml yn cael eu gwrthdroi mewn ffiseg.

## Hafaliadau a chromliniau
Mewn geometreg ddadansoddol, mae unrhyw hafaliad sy'n ymwneud â'r cyfesurynnau yn pennu is-set o'r plân, sef yr ateb a osodwyd ar gyfer yr hafaliad, neu'r 'locws'. Er enghraifft, mae'r hafaliad *y*&nbsp;=&nbsp;*x* yn cyfateb i'r set o'r holl bwyntiau ar y plân lle mae ei cyfesurynnau-*x* a chyfesurynnau-*y* yn hafal. Mae'r pwyntiau hyn yn ffurfio llinell, a dywedir mai *y*&nbsp;=&nbsp;*x* yw'r hafaliad ar gyfer y linell hon.

Fel arfer mae hafaliad unigol yn cyfateb i gromlin ar y plân, ond nid o hyd! Mae'r hafaliad distadl (*trivial equation*) *x*&nbsp;=&nbsp;*x* yn nodi'r plân cyfan, ac mae'r hafaliad *x*2&nbsp;+&nbsp;*y*2&nbsp;=&nbsp;0 yn pennu'r pwynt (0,&nbsp;0) yn unig. Mewn tri dimensiwn, mae un hafaliad (yn unig), fel arfer, yn rhoi arwyneb, a dylid pennu'r cromlin fel croestoriad rhwng dau arwyneb,  neu fel system o hafaliadau parametrig. Yr hafaliad *x*2&nbsp;+&nbsp;*y*2&nbsp;=&nbsp;*r*2 yw'r hafaliad ar gyfer unrhyw gylch a ganolir ar y tarddiad (0, 0) gyda radiws *r*.

## Cyfeiriadau
Categori:Geometreg ddadansoddol