Annibyniaeth (tebygolrwydd)

Mae **annibyniaeth** yn syniad sylfaenol mewn tebygolrwydd. Mae dau ddigwyddiad yn **annibynnol** os nad yw digwyddiad un yn effeithio ar y tebygolrwydd y bydd y llall yn digwydd. Yn yr un modd, mae dau hapnewidyn yn annibynnol os nad yw canlyniad un yn effeithio ar ddosraniad tebygolrwydd y llall.

Wrth ddelio â chasgliadau o fwy na dau ddigwyddiad, mae angen gwahaniaethu rhwng syniad gwan a chryf o annibyniaeth. Gelwir y digwyddiadau yn *annibynnol fesul pâr* os yw unrhyw ddau ddigwyddiad yn y casgliad yn annibynnol o'i gilydd. Mae dweud bod y digwyddiadau yn **gydannibynnol** yn golygu bod pob digwyddiad yn annibynnol o unrhyw gyfuniad o'r digwyddiadau eraill yn y casgliad. Mae syniad tebyg yn bodoli ar gyfer casgliadau o hapnewidynnau.

Mae'r enw "cydannibyniaeth" ond yn ymddangos er mwyn gwahaniaethu'r syniad cryfach oddi wrth "annibyniaeth fesul pâr", sy'n syniad gwannach. Yn llenyddiaeth theori tebygolrwydd, ystadegau a phrosesau stocastig, enwir y syniad cryfach yn syml yn **annibyniaeth**. Mae'n gryfach gan fod annibyniaeth yn awgrymu annibyniaeth fesul pâr, ond nid y gwrthwyneb.

## Diffiniad 
#### Dau ddigwyddiad 
Mae dau ddigwyddiad A a B yn **annibynnol** (weithiau ysgrifennir fel A \perp B neu A \perp\!\!\!\perp B) os ac yn unig os yw eu cyd-debygolrwydd yn hafal i luoswm eu tebygolrwyddau:P(A \cap B) = P(A)P(B)Mae'r rheswm pam mae hyn yn diffinio annibyniaeth yn fwy eglur wrth ailysgrifennu gyda thebygolrwydd amodol:

: \mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B) \iff \mathrm{P}(A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)} = \mathrm{P}(A\mid B)
ac
: \mathrm{P}(A \cap B) = \mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B) \iff \mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(B\mid A).

Felly, nid yw B yn digwydd yn effeithio ar debygolrwydd A, ac i'r gwrthwyneb. Er y gall y mynegiadau sy'n defnyddio tebygolrwyddau amodol ymddangos yn fwy greddfol, nid y rhain yw'r diffiniad gorau, oherwydd gellir diffinio'r tebygolrwyddau amodol os yw \mathrm{P}(A) neu \mathrm{P}(B) yn 0. Ar ben hynny, mae'r diffiniad gwreiddiol yn nodi'n glir trwy gymesuredd os yw A yn annibynnol o B, yna mae B hefyd yn annibynnol o A.

#### Mwy na dau ddigwyddiad 
Mae set feidraidd o ddigwyddiadau  \{ A_i \} _{i=1}^{n} yn **annibynnol fesul pâr** os yw pob pâr o ddigwyddiadau yn annibynnol &#x2014; hynny yw, os ac yn unig os ar gyfer pob pâr penodol o fynegeionm,k, mae:P(A_m \cap A_k) = P(A_m) P(A_k)Mae set feidraidd o ddigwyddiadau yn **gydannibynnol** os yw pob digwyddiad yn annibynnol o unrhyw groestoriad o'r digwyddiadau eraill &#x2014; hynny yw, os ac yn unig os ar gyfer pob k \leq n ac am bob is-set  \{ B_i \} _{i=1}^{k} o  \{ A_i \} _{i=1}^{n}gyda k elfen, maeP\left(\bigcap_{i=1}^k B_i\right) = \prod_{i=i}^k P(B_i).

## Priodweddau 
### Hunan-annibyniaeth 
Sylwch fod digwyddiad yn annibynnol arno'i hun os ac yn unig os yw

: \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(A \cap A) = \mathrm{P}(A) \cdot \mathrm{P}(A) \Leftrightarrow \mathrm{P}(A) = 0 \text{ or } \mathrm{P}(A) = 1.

Felly mae digwyddiad yn annibynnol arno'i hun os ac yn unig os yw'n digwydd sicr neu os yw ei gyflenwad yn sicr.

### Gwerth disgwyliedig a chydamrywiad 
Os yw X ac Y yn hapnewidynnau annibynnol, yna mae gan ei gwerthoedd disgwyliedig y briodwedd bod

: \operatorname{E}[X Y] = \operatorname{E}[X] \operatorname{E}[Y],

a'r cydamrywiad \operatorname{cov}[X,Y] yw sero, oherwydd taw

: \operatorname{cov}[X,Y] = \operatorname{E}[X Y] - \operatorname{E}[X] \operatorname{E}[Y].

Nid yw'r gwrthwyneb yn wir: os oes gan ddau hapnewidyn cydamrywiad o 0 mae'n bosib na fyddant yn annibynnol.

## Cyfeiriadau 
Categori:Damcaniaeth tebygolrwydd