Plân geometraidd

bawd|Dau blân geometraidd yn croestori
bawd|Tri plân cyfochrog
Mewn mathemateg, mae **plân** yn arwyneb fflat, dau ddimensiwn sy'n ymestyn yr anfeidraidd ymhell. Plân yw'r analog dau ddimensiwn o bwynt (heb ddimensiwn), llinell (un dimensiwn) a lle (neu 'ofod') tri dimensiwn. Gall planau fodoli fel is-blanau (*subspaces*) hefyd, is-blanau o ryw ddimensiwn uwch, fel ystafell o fewn tŷ gada'i waliau'n cael eu hymestyn am byth, y tu allan i'r dyluniad. Dyma a wneir mewn geometreg Ewclidaidd.

Wrth weithio'n gyfan gwbl mewn gofod Ewclidaidd dau ddimensiwn, defnyddir y fannod (***y*** plân), felly mae'r plân yn cyfeirio at y gofod cyfan. Mae llawer o dasgau sylfaenol mewn mathemateg, geometreg, trigonometreg, theori graff, a graffio yn cael eu gwneud mewn lle dau ddimensiwn, neu, mewn geiriau eraill, yn y plân.

## Geometreg Ewclidaidd
Fel llawer o gysyniadau mathemategol, Euclid oedd y cyntaf i grynhoi ei feddwl yn daclus yn y maes hwn (a'i gofnodi yn *yr Elfennau*), a hynny mewn dull gwirebol (*axiomatic*). Dewisodd lond dwrn o dermau craidd, heb eu diffinio (a elwir yn 'ofynion cyffredinol'; *common notions*) a 'chynosodau' (neu 'wirebau'); defnyddiodd y rhain i brofi nifer o ddatganiadau geometrig. Er nad yw'r plân, yn ei ystyr fodern, yn cael ei ddiffinio'n o fewn *yr Elfennau*, gellir ei ystyried fel rhan o'r gofynion cyffredinol. Ni ddefnyddiodd Euclid rifau erioed i fesur hyd, ongl, neu ardal. Oherwydd hyn, nid yw plân Ewclid yn union yr un fath â'r plân Cartesaidd.

Arwyneb a rannwys ar ffurf grid, felly, yw'r plân Ewclidaidd.

## Planau tri dimensiwn mewn gofod Ewclidaidd
Mewn gofod Ewclidaidd o unrhyw nifer o ddimensiynau, mae plân wedi'i bennu'n unigryw gan unrhyw un o'r canlynol:

* Tri phwynt nad yw'n unllin (*non-collinear*) (pwyntiau ddim ar linell sengl).
* Llinell a phwynt heb fod ar y linell honno.
* Dwy linell wahanol sy'n croestorri.
* Dwy linell gyfochrog.

### Nodweddion
Mae'r datganiadau canlynol yn dal mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn ond nid mewn dimensiynau uwch, er bod ganddynt analog uwch-ddimensiwn:

* Mae dwy blân wahanol naill ai'n gyfochrog neu maent yn croestorri mewn llinell.
* Mae llinell naill ai'n gyfochrog i'r plân, yn ei groestorri ar un pwynt, neu wedi'i gynnwys yn y plân.
* Rhaid i ddwy linell wahanol, berpendicwlar i'r un plân fod yn gyfochrog â'i gilydd.
* Rhaid i ddwy plân wahanol sy'n perpendicwlar i'r un linell fod yn gyfochrog â'i gilydd.

### Hafaliadau'r plân
Mae gan blanau mewn gofod tri dimensiwn ddisgrifiad naturiol gan ddefnyddio pwynt yn y plân a fector orthogonal iddo (y fector arferol) i nodi ei "oledd" (*inclination*).

Pe ddywedir fod  yn fector safle o ryw bwynt , a bod  yn fector di-sero. Mae'r plân a bennir gan y pwynt  a'r fector  yn cynnwys y pwyntiau , gyda fectorau safle , fel bod y fector a dynnir o  i  yn berpendicwlar i . O dwyn i gof bod y ddau factor hyn yn berpendicwlar os yw eu lluoswm-dot yn sero, yna, mae'n dilyn y gellir disgrifio'r plân fel set o bob pwynt  fel bod:

:\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)=0.
(Mae'r dot yma'n gyfystyr â'r lluoswm-dot (neu 'luoswm sgalar'). 
O'i ehangu, fe geir:
: a (x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0,
sef y ffurf 'pwynt normal' o hafaliad y plân. hafaliad llinol yw hwn 
: ax + by + cz + d = 0,
ble mae
: d = -(ax_0 + by_0 + cz_0).
Y gwrthwyneb: os yw  a  yn gysonion ac nad yw , na  i gyd yn sero, yna mae graff yr hafaliad 
:: ax + by + cz + d = 0,
yn blân sydd a'i fector  yn normal. Dyma'r dull arferol o gyflwyno hafaliad y plân.

## Gweler hefyd
* Plân arosgo (planau arosgo) - (*oblique plane*)
* Plân ar oledd - *inclined plane*
* plân cyfeirnod - *plane of reference*
* plân cymesuredd *plane of symmetry*

## Cyfeiriadau
Categori:Geometreg Euclidaidd
Categori:Cysyniadau mathemategol
Categori:Arwynebau