Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Mewn mathemateg, anhafaledd sy'n ddefnyddiol mewn sawl sefyllfa wahanol yw **anhafaledd Cauchy–Schwarz**, (hefyd **anhafaledd Schwarz**, **Anhafaledd Cauchy**, neu **Anhafaledd Cauchy–Bunyakovski–Schwarz**).

Cynrychiolir yr anhafaledd yn gryno fel a ganlyn: 
:(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + \cdots + b_n^2).
Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os, y mae
:\frac {a_1}{b_1} = \frac {a_2}{b_2} = \cdots = \frac {a_n}{b_n}.

Ffordd arall o fynegi hyn yw dweud bod

:|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.

ar gyfer unrhyw elfennau *x* ac *y* o ofod lluoswm mewnol real neu gymhlyg. Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os mae *x* ac *y* yn llinol-dibynnol (neu, o feddwl yn geometraidd, yn gyfochrog).

Mae'r anhafaledd felly'n darparu cysyniad o'r "ongl rhwng dau fector" i ofod lluoswm mewnol, lle nad yw geometreg Ewclidaidd yn gwneud synnwyr o reidrwydd. Mae felly'n cyfiawnhau meddwl am ofodau lluoswm mewnol fel cyffredinoliad o ofod Ewclidaidd.

Canlyniad pwysig anhafaledd Cauchy–Schwarz yw'r ffaith fod lluoswm mewnol yn ffwythiant di-dor.

Rhoddir ffurf arall o'r anhafaledd gan ddefnyddio nodiant norm: 
:  |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\, 

Profwyd fersiwn meidraidd-ddimensiynol yr anhafaledd hwn ar gyfer fectorau real gan Cauchy yn 1821, ac yn 1859 profodd V.Ya.Bunyakovsky ei fod yn bosib canfod ffurf integraidd o anhafaledd Cauchy. Profwyd y canlyniad cyffredinol ar gyfer gofod lluoswm mewnol gan K.H.A.Schwarz ym 1885.

## Prawf
Gan fod yn amlwg fod yr anhafaledd yn wir pan mae *y* = 0, fe gawn gymryd fod  yn an-sero. Gadewch i  \lambda fod yn rhif cymhlyg. Yna mae

: 0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2
= \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \bar{\lambda} \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle. 

Gan ddewis
: \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1} 
gwelwn fod

: 0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}

sy'n wir os, a dim ond os y mae

: |\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle 

hynny yw:

: \big| \langle x,y \rangle \big|
\leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|, 

Sef anhafaledd Cauchy-Schwarz.

## Achosion arbennig nodedig
### R*n* 
Mewn gofod Ewclidaidd **R***n*, gyda'r lluoswm mewnol arferol, dyma anhafaledd Cauchy-Schwarz:

:\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right).

### **L**2 
Yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau sqwâr-integraidd â gwerthoedd cymhlyg, mae gennym fod:

:\left|\int f(x) \overline{g}(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.

Mae anhafaledd Hölder yn gyffredinoliad o hyn.

## Defnydd 
Fe'i defnyddir yn aml i brofi'r anhafeledd triongl ar gyfer y lluoswm mewnol: cymerwch fectorau *x* ac *y*,
:

Mae cymryd ail-israddau'n rhoi'r anhafaledd triongl.

Gellir defnyddion anhafaledd Cauchy–Schwarz wrth brofi anhafaledd Bessel.

Deillir ffurf cyffredinol egwyddor ansicrwydd Heisenberg trwy ddefnyddioanhafaledd Cauchy-Schwarz inequality yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau ton ffisegol.

## Cyffredinoliadau 
Mae yna sawl cyffredinoliad posib o anhafaledd Cauchy-Schwarz yng nghyd-destyn haniaeth gweithredyddion.

Categori:Algebra llinol
Cauchy-Schwarz