Anfeidredd

Mewn mathemateg, mae **anfeidredd** yn gysyniad sy'n cyfleu rhif sy'n rhy fawr i fedru ei gyfri. Ysgrifennir yr anfeidredd gyda'r symbol \infty. Fe'i defnyddir yn aml o fewn calcwlws a theori setiau, ac fe'i defnyddir hefyd mewn ffiseg a gwyddoniaethau eraill. Mae 'setiau anfeidraidd' yn rhan o'r maes hwn. Yr hyn sy'n groes i anfeidredd o fewn mathemateg yw 'meidraidd' e.e. rhifau naturiol a rhifau real.

Ffurfiodd Georg Cantor lawer o gysyniadau yn ymwneud ag anfeidredd a setiau anfeidraidd yn ystod diwedd y 19g a dechrau'r 20g. Yn y theori a ddatblygodd, mae setiau anfedraidd o wahanol feintiau (o'r enw prifoledd neu *cardinalities*).

Mae'r cysyniad mathemategol o anfeidredd yn mireinio ac yn ymestyn yr hen gysyniad athronyddol, yn benodol trwy gyflwyno anfeidredd lawer o wahanol feintiau o setiau anfeidrol. Ymhlith gwirebau theori set Zermelo-Fraenkel, y gellir datblygu'r rhan fwyaf o fathemateg fodern arni, mae gwireb anfeidredd, sy'n gwarantu bodolaeth setiau anfeidrol. Defnyddir y cysyniad mathemategol o anfeidredd a thrin setiau anfeidrol ym mhob rhan o fathemateg, hyd yn oed mewn meysydd fel cyfuniadeg, a gall ymddangos ar yr olwg cyntaf nad oes ganddynt unrhyw beth i'w wneud â nhw. Er enghraifft, mae prawf Wiles o Theorem Olaf Fermat yn dibynnu'n llwyr ar fodolaeth setiau anfeidrol mawr iawn  i'w datrys problem. Mewn ffiseg a chosmoleg, mae'r cwestiwn p'un a yw'r Bydysawd yn anfeidrol yn gwestiwn agored.

Roedd gan rai o'r diwylliannau hynafol eraill syniadau amrywiol am natur anfeidredd. Nid oedd yr Indiaid a'r Groegiaid hynafol yn diffinio anfeidredd yn ffurfiol, fel y mae mathemateg fodern yn ei wneud, ac ond hytrach roeddent yn cyfeirio at anfeidredd fel cysyniad athronyddol.

Efallai mai'r syniad cynharaf a gofnodwyd o anfeidredd yw syniad Anacsimandros (tua 610 - tua 546 CC) athronydd Groegaidd cyn-Socratig. Defnyddiodd y gair *apeiron*, sy'n golygu "heb ei rwymo", "amhenodol", ac efallai y gellir ei gyfieithu fel 'anfeidrol'.

Roedd Aristotle (350 CC) yn gwahaniaethu rhwng  *anfeidredd posibl* ac *anfeidredd gwirioneddol - a* oedd yn ei ystyried yn amhosibl oherwydd yr amrywiol baradocsau yr oedd yn ymddangos eu bod yn eu cynhyrchu. Dadleuwyd, yn unol â'r farn hon, fod gan y Groegiaid Hellenistig "arswyd o'r anfeidrol" a fyddai, er enghraifft, yn egluro pam na ddywedodd Euclid (tua 300 CC) fod yna anfeidredd o rifau cysefin ond yn hytrach "Mae rhifau cysefin yn fwy nag unrhyw luoswm o grwpiau o rifau cysefin." Dywedwyd hefyd, wrth brofi anfeidredd y rhifau cysefin, mai Euclid "oedd y cyntaf i oresgyn arswyd yr anfeidrol".

## Geirdarddiad
Daw'r term **anfeidraidd** o'r hen air Cymraeg 'meidrol', sef (gweler Geiriadur Prifysgol Cymru): *Ac iddo derfyn(au) neu gyfyngiad(au), terfynedig (yn enw. am ddyn a’i gyneddfau); mesuradwy.* Hynny yw, yr hyn a ellir ei fesur. Felly, anfidrol, neu'r hyn na ellir ei fesur yw anfeidraidd.

Mae'r ystyr yma i'r gair i'w gael fel cofnod o fewn Geiriadur John Davies, 1632: meidrol, *non immensus, finitus*. Ystyr arall i'r gair 'meidrol' yw: cryf, cadarn, nerthol, galluog a cheir cofnod o'r ystyr hwn yn y 13g. Bôn y gair yw'r ferf "medraf", "medru".

## Setiau meidraidd
Mewn mathemateg, set gyda nifer meidraidd o elfennau yw **set feidraidd**. Yn anffurfiol, mae hefyd yn set y gellir,  mewn, egwyddor gyfri pob elfen ohoni. Er enghraifft, mae

:\{2,4,6,8,10\}

yn set feidraidd gyda phump elfen. Mae'r nifer o elfennau mewn set yn rhif naturiol (cyfanrif di-negatif) ac fe'i gelwir yn "prifoledd y set" (*cardinality of the set*). Gelwir set nad yw'n feidraidd yn "anfeidraidd". Er enghraifft, mae'r set o bob cyfanrif positif yn anfeidraidd:

:\{1,2,3,\ldots\}.

Mae setiau meidraidd yn hynod o bwysig mewn cyfuniadeg, sef yr astudiaeth o gyfrif.

## Hanes
Fe'i ceir mewn symbolau Celtaidd, fel y sbiral a sawl gwareiddiad arall, ond cyfeiriad yma sydd at yr enaid a duwiau yn byw am byth, yn hytrach na rhifau. Mae bywyd heb henaint fel a geir yn Afallon yn enghraifft arall.

Rhywbeth tebyg i hyn oedd gan y wr Anacsimandros(c. 610 – c. 546 CC) a defnyddiai'r gair 'Apeiron' (πεῖραρ peirar, "heb ffiniau") i gyfleu anfeidredd; credodd fod realaeth yn ddi-ffinau, yn afeidrol. Mae'n bosib fod ei syniadau wedi dylanwadu'n ddiweddarach ar Pythagoras.

Awgrymodd Zenon o Elea (490 – c. 430 CC) sawl damcaniaeth am anfeidredd rhifau a datblygodd Eudoxus o Cnidus (390 – c. 337 BC) y cysyniad o anfeidredd rhifau bach.

### Zenon: Achilles a'r crwban 
Fel y nodwyd, ni chyflwynodd Zenon o Elea ( c. 495 - c. 430 CC) unrhyw farn ynghylch anfeidredd. Serch hynny, roedd ei baradocsau, yn enwedig y chwedl "Achilles a'r Crwban", yn gyfraniadau pwysig gan eu bod yn egluro mor annigonol oedd cysyniadau'r Oes. Disgrifiwyd y paradocsau gan Bertrand Russell fel rhai "hynod gynnil a dwys".

Mewn un stori gan Zenon, mae Achilles yn rasio crwban, gan roi cychwyn da i'r olaf.

: Cam # 1: Mae Achilles yn rhedeg i fan cychwyn y crwban tra bod y crwban yn cerdded ymlaen.
: Cam # 2: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 1 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.
: Cam # 3: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 2 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.
: Cam # 4: Mae Achilles yn symud ymlaen i ble roedd y crwban ar ddiwedd Cam # 3 tra bod y crwban yn mynd ymhellach fyth.

ayb.

Yn ôl pob tebyg, nid yw Achilles byth yn goddiweddyd y crwban, oherwydd faint bynnag o gamau y mae'n eu cwblhau, mae'r crwban yn parhau o'i flaen. Rhywbeth fel hyn sydd yn y stori Pwyll a Rhiannon yn y Mabinogi.

Nid oedd Zenon yn ceisio gwneud pwynt am anfeidredd. Fel aelod o'r ysgol Eleatics a oedd yn ystyried symudiad fel rhith, roedd yn ei ystyried yn gamgymeriad i dybio y gallai Achilles redeg o gwbl. Dadleuodd meddylwyr dilynol, gyda'i gilydd am ddau fileniwm, gan geisio gweld tyllau yn chwedl Zenon.

O'r diwedd, ym 1821, darparodd Augustin-Louis Cauchy ddiffiniad boddhaol o derfyn a phrawf, ar gyfer 0 a+ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5+\cdots=\frac{a}{1-x}.}}

Tybiwch fod Achilles yn rhedeg ar 10 metr yr eiliad, mae'r crwban yn cerdded ar 0.1 metr yr eiliad, ac mae'r crwban 100-metr ar y blaen ar ddechrau'r ras. Mae hyd y hela yn ffitio patrwm Cauchy gyda a = 10 eiliad ac x = 0.01. Nid yw Achilles yn goddiweddyd y crwban; mae'n cymryd

: 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.

### India Cynnar 
Mae testun mathemategol Jain, y Surya Prajnapti (tua 4ydd-3edd ganrif OC) yn dosbarthu'r holl rifau yn dair set: rhifadwy (*enumerable*), aneirif (*innumerable*) ac anfeidrol. Rhannwyd pob un o'r rhain ymhellach yn dri gorchymyn:

* rhifadwy: isaf, canolradd, ac uchaf
* aneirif: bron yn aneirif, gwirioneddol aneirif, ac aneirif dinifer (*innumerably innumerable*)
* Anfeidrol: bron yn anfeidrol, yn wirioneddol anfeidrol, yn anfeidrol o anfeidrol

### 17fed ganrif 
Yn yr 17g, dechreuodd mathemategwyr Ewropeaidd ddefnyddio rhifau anfeidrol ac ymadroddion anfeidrol mewn modd systematig. Yn 1655, defnyddiodd John Wallis y nodiant gyntaf \infty am y fath nifer yn ei *De sectionibus conicis,* a'i ddefnyddio wrth gyfrifo arwynebedd trwy rannu'r rhanbarth yn stribedi anfeidrol o led yn y drefn \tfrac{1}{\infty}. Ond yn *Arithmetica infinitorum* (hefyd yn 1655), mae'n nodi cyfresi anfeidrol, cynhyrchion anfeidrol a ffracsiynau parhaus anfeidrol trwy ysgrifennu ychydig o dermau neu ffactorau ac yna atodi "& c.", Fel yn "1, 6, 12, 18, 24, & c. " 

Cyfoeswr i Wallis oedd Isaac Newton a sgwennodd am hafaliadau â nifer anfeidrol o dermau yn ei waith *De analysi per aequationes numero terminorum infinitas* yn 1699.

## Mathemateg 
Agorodd Hermann Weyl ei anerchiad mathemategol-athronyddol a roddwyd ym 1930 gyda'r geiriau:'Mathemateg yw Gyddoniaeth o'r Anfeidredd

### Symbol 
Fe’i defnyddir y tu allan i fathemateg mewn cyfriniaeth fodern a symboliaeth lenyddol.

### Calcwlws 
Bu Gottfried Leibniz, un o gyd-ddyfeiswyr calcwlws anfeidrol, yn dyfalu'n helaeth am rifau anfeidrol a'u defnydd mewn mathemateg. I Leibniz, roedd anfeidrolion a meintiau anfeidrol yn endidau delfrydol, nid o'r un natur â meintiau gwerthfawr, ond yn mwynhau'r un priodweddau yn unol â Deddf Parhad (*Law of Continuity*).

#### Dadansoddiad real 
Mewn dadansoddiad real, defnyddir y symbol \infty, o'r enw "anfeidredd", i ddynodi terfyn diderfyn. Golyga'r nodiant x \rightarrow \infty fod&nbsp;*x* yn cynyddu heb gyfyngiad, a golyga x \to -\infty fod &nbsp;*x* yn lleihau heb gyfyngiad. Er enghraifft, os f(t)\ge 0 am bob&nbsp;*t*, yna mae

* \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \infty yn golygu nad yw f(t) ddim yn cyfyngu arwynebedd meidraidd o a i b.
* \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = \infty yn golygu bod yr ardal o dan f(t) yn anfeidrol.
* \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = a yn golygu bod cyfanswm yr arwynebedd o dan f(t) yn feidrol, ac yn hafal i a.

Gellir defnyddio anfeidredd hefyd i ddisgrifio cyfresi anfeidrol, fel a ganlyn:

* \sum_{i=0}^{\infty} f(i) = a sy'n golygu bod swm y gyfres anfeidrol yn cydgyfeirio i ryw werth real a.

* \sum_{i=0}^{\infty} f(i) = \infty sy'n golygu bod swm y gyfres anfeidrol yn gwyro'n briodol i anfeidredd, yn yr ystyr bod y symiau rhannol yn cynyddu heb gyfyngiad.

[de|bawd|250x250px| Trwy dafluniad stereograffig, gellir "lapio'r" [Plân cymhlyg|plân cymhlyg ar sffêr, gyda phwynt uchaf y sffêr yn cyfateb i anfeidredd. Gelwir hyn yn sffêr Riemann.]]
Mewn dadansoddiad cymhlyg mae'r symbol \infty, yn dynodi terfyn anfeidrol heb ei arwyddo.  Golyga x \rightarrow \infty bod y maint&nbsp;|x| o&nbsp;*x* yn tyfu y tu hwnt i unrhyw werth penodedig. Gellir ychwanegu pwynt wedi'i labelu \infty at y plân cymhlyg fel gofod topolegol sy'n rhoi crynhoad un pwynt y plân cymhlyg. Pan wneir hyn, mae'r gofod sy'n deillio o hyn yn faniffold cymhlyg un dimensiwn, neu arwyneb Riemann, a elwir yn blân cymhlyg estynedig neu'n sffêr Riemann. Gellir diffinio gweithrediadau rhifyddeg tebyg i'r rhai a roddir uchod ar gyfer y rhifau real estynedig hefyd, er nad oes unrhyw wahaniaeth yn yr arwyddion (sy'n arwain at yr un eithriad na ellir ychwanegu anfeidredd ato'i hun). Ar y llaw arall, mae'r math hwn o anfeidredd yn galluogi rhannu â sero, sef z/0 = \infty ar gyfer unrhyw rif cymhlyg di-sero&nbsp;*z*. Yn y cyd-destun hwn, mae'n aml yn ddefnyddiol ystyried ffwuthiannau meromorffig fel mapiau y tu mewn i sffêr Riemann gan gymryd gwerth \infty wrth y pegynnau. Gellir ymestyn parth ffwythiant â gwerth cymhlyg i gynnwys y pwynt anfeidredd hefyd. Un enghraifft bwysig o ffwythiannau o'r fath yw'r grŵp o drawsnewidiadau Möbius.

### Dadansoddiad ansafonol 
bawd|450x450px| Anfeidrolion (ε) ac anfeidredd (ω) ar y llinell rif uwchreal (1 / ε = ω / 1)
Defnyddiwyd ffurfiant gwreiddiol calcwlws anfeidaidd (gan Isaac Newton a Gottfried Leibniz) feintiau gorfychan (*infitesimal*). Yn yr 20g, dangoswyd y gellid rhoi'r driniaeth hon ar sylfaen drylwyr trwy amrywiol systemau rhesymegol, gan gynnwys dadansoddiad o'r gorfychanion llyfn a dadansoddiad ansafonol. Yn yr olaf, mae'r gorfychanion yn anadferadwy, ac mae eu gwrthdroadau yn rhifau anfeidrol. Mae'r anfeidredd yn yr ystyr hwn yn rhan o faes uwchreal; nid oes cywerthedd rhyngddynt ag yn yr un modd â thrawsfinau Cantorian. Er enghraifft, os&nbsp;yw H yn rhif anfeidrol yn yr ystyr hwn, yna mae H.&nbsp;+&nbsp;H.&nbsp;=&nbsp;2H a H.&nbsp;+&nbsp; 1 yn rhifau anfeidrol amlwg. Mae'r dull hwn o ymdrin â chalcwlws ansafonol wedi'i ddatblygu'n llawn yn Keisler (1986).

### Theori set 
bawd|Gohebiaeth un i un rhwng set anfeidrol a'i is-set briodol
Math gwahanol o "anfeidredd" yw anfeidredd trefnol a chardinal theori set - system o rifau trawsfeidraidd (*transfinite*) a ddatblygwyd gyntaf gan Georg Cantor. Yn y system hon, y prifoledd trawsfeidraidd cyntaf yw aleph-nwl (ℵ 0), prifoledd y set o rifau naturiol. Datblygodd y cysyniad mathemategol modern hwn o'r anfeidrol feintiol ddiwedd y 19g allan o weithiau gan Cantor, Gottlob Frege, Richard Dedekind ac eraill - gan ddefnyddio'r syniad o gasgliadau neu setiau. . 

### Geometreg 
Hyd at ddiwedd y 19g, anaml y trafodwyd anfeidredd mewn geometreg, ac eithrio yng nghyd-destun prosesau y gellid eu parhau heb unrhyw derfyn. Er enghraifft, llinell oedd yr hyn a elwir bellach yn segment o linell, gyda'r amod y gellir ei hymestyn heb derfyn; ond yr oedd ei hymestyn yn *anfeidrol* allan o'r cwestiwn. Yn yr un modd, nid oedd llinell fel arfer yn cael ei hystyried yn cynnwys nifer anfeidrol o bwyntiau, ond yn hytrach, yn lleoliad lle gellir gosod pwynt. Hyd yn oed os oes nifer anfeidrol o safleoedd posibl, dim ond nifer gyfyngedig o bwyntiau y gellid eu gosod ar linell. Caiff hyn ei atgyfnerthu yn yr ymadrodd " locws y *pwynt* (unigol) sy'n bodloni rhyw briodwedd", lle byddai mathemategwyr modern fel arfer yn dweud "set *y pwyntiau* sydd â'r priodwedd" (lluosog).

Un o'r eithriadau prin o gysyniad mathemategol sy'n cynnwys anfeidredd gwirioneddol oedd geometreg dafluniol, lle mae pwyntiau anfeidredd yn cael eu hychwanegu at y gofod Euclidaidd ar gyfer modelu'r effaith persbectif sy'n dangos llinellau cyfochrog yn croestorri "ar yr anfeidredd". Yn fathemategol, mae gan bwyntiau anfeidredd y fantais o ganiatáu i un beidio ag ystyried rhai achosion arbennig. Er enghraifft, mewn plân dafluniol, mae dwy linell wahanol yn croestorri mewn un pwynt yn union, ond heb bwyntiau yn yr anfeidredd, nid oes pwyntiau croestoriad ar gyfer llinellau cyfochrog. Felly, rhaid astudio llinellau cyfochrog ac nad ydynt yn gyfochrog ar wahân mewn geometreg glasurol, tra nad oes angen eu gwahaniaethu mewn geometreg dafluniol.

Cyn defnyddio theori set ar gyfer sylfaen mathemateg, roedd pwyntiau a llinellau yn cael eu hystyried yn endidau gwahanol, a gellid *lleoli pwynt ar linell*. Gyda'r defnydd cyffredinol o theori set mewn mathemateg, mae'r safbwynt wedi newid yn ddramatig: mae llinell bellach yn cael ei hystyried fel ''set o'i phwyntiau*, a dywedir fel arfer bod pwynt yn *perthyn i linell yn* lle ei bod *wedi'i lleoli ar linell* (fodd bynnag, defnyddir yr ymadrodd olaf o hyd).

Yn benodol, mewn mathemateg fodern, *setiau anfeidrol'' yw llinellau.

### Dimensiwn anfeidrol 
Mae gan y gofodau fector sy'n digwydd mewn geometreg glasurol ddimensiwn meidrol bob amser, dau neu dri fel arfer. Fodd bynnag, nid yw hyn yn cael ei awgrymu gan y diffiniad haniaethol o ofod fector, a gellir ystyried gofodau fector dimensiwn anfeidrol. Mae hyn yn wir fel arfer mewn dadansoddiad ffwythiannol lle mae gofod-ffwythiant yn gyffredinol yn ofod fector o ddimensiwn anfeidrol.

Mewn topoleg, gall rhai cystrawennau gynhyrchu gofodau topolegol o ddimensiwn anfeidrol.

### Ffractalau 
Ailadroddir strwythur gwrthrych ffractalaidd pan gaiff ei chwyddo, a gellir gwneud hynny am gyfnod amhenodol heb golli'r strwythur, a dod yn "llyfn"; mae ganddynt berimedrau anfeidrol, a gallant fod ag arwynebedd anfeidrol neu feidrol. Un gromlin ffractal o'r fath gyda pherimedr anfeidrol ac ardal meidrol yw pluen eira Koch. 

### Mathemateg heb anfeidredd 
Roedd Leopold Kronecker yn amheus o'r syniad o anfeidredd a sut roedd ei gyd-fathemategwyr yn ei ddefnyddio yn yr 1870au a'r 1880au. Datblygwyd yr amheuaeth hon yn athroniaeth mathemategol a elwir yn feidroldeb, ffurf eithafol o athroniaeth fathemategol o fewn athroniaeth a mathemateg adeiladaeth a greddf.

## Llyfryddiaeth
* W. D. Evans. "Tu Hwnt i Anfeidredd", *Y Gwyddonydd* (Gaeaf 1985–6).
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

 
### Cyfeiriadau 
;Cyfeiriadau eraill

*
*D.P. Agrawal (2000). *Ancient Jaina Mathematics: an Introduction*, Infinity Foundation.
* Bell, J.L.: Continuity and infinitesimals. Stanford Encyclopedia of philosophy. Revised 2009.
*.
*
* Jain, L.C. (1973). "Set theory in the Jaina school of mathematics", *Indian Journal of History of Science*.
*
* H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. First edition 1976; 2nd edition 1986. This book is now out of print. The publisher has reverted the copyright to the author, who has made available the 2nd edition in .pdf format available for downloading at http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
*
* O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' , *MacTutor History of Mathematics archive*.
* O'Connor, John J. and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' , *MacTutor History of Mathematics archive*.
* Pearce, Ian. (2002). 'Jainism', *MacTutor History of Mathematics archive*.
*
*

## Dolenni allanol 
* *Cwrs Cwymp ym Mathemateg Setiau Anfeidrol *, gan Peter Suber. O Adolygiad Sant Ioan, XLIV, 2 (1998) 1-59. Yr atodiad ar ei ben ei hun i *Infinite Reflections*, isod. Cyflwyniad cryno i fathemateg Cantor o setiau anfeidrol.
* *Myfyrdodau Anfeidrol *, gan Peter Suber. Sut mae mathemateg Cantor yr anfeidrol yn datrys llond llaw o broblemau athronyddol hynafol yr anfeidrol. O Adolygiad Sant Ioan, XLIV, 2 (1998) 1-59.
* 
* Anfeidredd Gwesty
* John J. O'Connor ac Edmund F. Robertson (1998). 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor' , *archif Hanes Mathemateg MacTutor* .
* John J. O'Connor ac Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathemateg' , *archif Hanes Mathemateg MacTutor* .
* Ian Pearce (2002). 'Jainism', *archif Hanes Mathemateg MacTutor* .
* Tudalen ffynhonnell ar ysgrifennu canoloesol a modern ar Infinity
* Dirgelwch yr Aleph: Mathemateg, y Kabbalah, a'r Chwilio am Anfeidredd
* Geiriadur yr Anfeidrol (crynhoad o erthyglau am anfeidredd mewn ffiseg, mathemateg, ac athroniaeth)

## Cyfeiriadau
Categori:Gwrthrychau mathemategol
Categori:Athroniaeth mathemateg
Categori:Anfeidredd