Algebra llinol

**Algebra llinol** yw'r gangen o fathemateg sy'n ymwneud â hafaliadau llinol fel:

: a_1x_1+\cdots +a_nx_n=b,

mapiau llinol fel:

: (x_1, \ldots, x_n) \mapsto a_1x_1+\cdots +a_nx_n,

a'u cynrychioliadau mewn gofodau fector a thrwy fatricsau.

Mae algebra llinol yn ganolog i bron pob maes o fathemateg. Er enghraifft, mae algebra llinol yn sylfaenol mewn cyflwyniadau modern o geometreg, gan gynnwys ar gyfer diffinio gwrthrychau sylfaenol fel llinellau, Planau geometraidd a chylchdroadau. Hefyd, gellir ystyried dadansoddiad ffwythiannol (*ffunctional analysis*) sy'n gangen o ddadansoddi mathemategol, fel cymhwysiad o algebra llinol i o fewn mannau ffwythiannol.

Defnyddir algebra llinol hefyd yn y mwyafrif o wyddorau a meysydd peirianneg, oherwydd mae'n caniatáu modelu llawer o ffenomenau naturiol, a chyfrifiadura'n effeithiol, gyda modelau o'r fath. Ar gyfer systemau aflinol, na ellir eu modelu ag algebra llinol, fe'i defnyddir yn aml ar gyfer delio â brasamcanion gorchymyn cyntaf.

## Hanes 
Mae'r weithdrefn ar gyfer datrys hafaliadau llinol cydamserol (*simultaneous*) a elwir bellach yn ddileu Gaussaidd yn ymddangos mewn testun mathemategol hynafol Tsieineaidd *Pennod Wyth: Araeau hirsgwar* mewn llyfr o'r enw *Y Naw Pennod ar Gelfyddyd Mathemateg*. Disgrifir y defnydd o hafaliadau llinol mewn deunaw problem, gyda dwy i bum hafaliad. Mae'r gwaith Tsieineaidd hwn wedi'i ddyddio i 10 CC –2 CC.

Cododd systemau hafaliadau llinol yn Ewrop ganrifoedd yn ddiweddarach, gyda chyflwyniad yn 1637 gan René Descartes o gyfesurynnau mewn geometreg. Mewn gwirionedd, yn y geometreg newydd hon, a elwir bellach yn geometreg Cartesaidd (neu'n Geometreg ddadansoddol), mae llinellau ac phlanau'n cael eu cynrychioli gan hafaliadau llinol, ac mae cyfrifiaduro eu croestoriadau'n gyfystyr â datrys systemau hafaliadau llinol.

Roedd y dulliau systematig cyntaf ar gyfer datrys systemau llinellol yn defnyddio penderfynyddion, (*determinants*) a ystyriwyd gyntaf gan Gottfried Wilhelm von Leibniz ym 1693. Yn 1750, defnyddiodd Gabriel Cramer nhw ar gyfer rhoi datrysiadau penodol o systemau llinellol, a elwir bellach yn 'rheol Cramer'. Yn ddiweddarach, disgrifiodd Gauss ymhellach y dull o ddileu, a restrwyd i ddechrau fel cynnydd mewn geodedd.

Ym 1844 cyhoeddodd Hermann Grassmann ei "Theor'r Estyniad" a oedd yn cynnwys pynciau newydd sylfaenol o'r hyn a elwir heddiw yn algebra llinol. Yn 1848, cyflwynodd James Joseph Sylvester y term *matrics*, sef Lladin ar gyfer *croth*.

Tyfodd algebra llinol gyda syniadau wedi'u nodi yn y plân cymhlyg. Er enghraifft, dau rif *w* a *z* yn \mathbb{C}mae gwahaniaeth *w* - *z*, ac mae'r segmentau llinol \overline{w z} a \overline{0(w-z)} o'r un hyd a chyfeiriad. Mae'r segmentau yn gydnerthol (*equipollent*). Dechreuwyd y system pedwar dimensiwn \mathbb{H} o *quaternions* ym 1843. Cyflwynwyd y term *fector* fel *v* = *x* i + *y* j + *z* k yn cynrychioli pwynt yn y gofod. Mae'r gwahaniaeth cwaternaidd *p* - *q* hefyd yn cynhyrchu segment sy'n gydnerthol â \overline{p q} . Roedd systemau rhif gorgymhlyg (*hypercomplex*) eraill hefyd yn defnyddio'r syniad o ofod llinol gyda seiliau.
Cyflwynodd Arthur Cayley luosi matrics a'r matrics gwrthdro ym 1856, gan wneud y grŵp llinol cyffredinol yn bosib. Daeth mecanwaith cynrychiolaeth grŵp ar gyfer disgrifio niferoedd cymhlyg a gorgymhlyg. Yn hanfodol, defnyddiodd Cayley un llythyren i ddynodi matrics, a thrwy hynny drin matrics fel gwrthrych cyfanredol (*aggregate object*). Sylweddolodd hefyd y cysylltiad rhwng matricsau a phenderfynyddion, ac ysgrifennodd "Byddai llawer o bethau i'w dweud am y theori hon o fatricsau a ddylai, mae'n ymddangos i mi, ragflaenu theori penderfynyddion".

Cyflwynwyd y diffiniad modern a mwy manwl gywir o ofod fector gan Peano ym 1888;

Yn 2021 roedd y mwyafrif o werslyfrau, yn cyflwyno gofodau geometrig o algebra llinol, ac yn aml cyflwynir geometreg, ar lefel elfennol, fel is-faes algebra llinol.

## Defnydd a chymwysiadau 
Defnyddir algebra llinol ym mron pob maes o fathemateg, gan ei wneud yn berthnasol ym mron pob parth gwyddonol sy'n defnyddio mathemateg. Gellir rhannu'r ceisiadau hyn yn sawl categori eang.

### Geometreg y gofod amgylchynol 
Mae modelu gofod amgylchynol yn seiliedig ar geometreg. Mae gwyddorau sy'n ymwneud â'r gofod hwn yn defnyddio geometreg yn eang. Mae hyn yn wir gyda mecaneg a roboteg, ar gyfer disgrifio dynameg corff anhyblyg; geodedd ar gyfer disgrifio siâp y Ddaear; persbectif, gweledigaeth gyfrifiadurol, a graffeg gyfrifiadurol, ar gyfer disgrifio'r berthynas rhwng golygfa a'i chynrychiolaeth plan; a llawer o barthau gwyddonol eraill.

Yn yr holl gymwysiadau hyn, defnyddir geometreg synthetig yn aml ar gyfer disgrifiadau cyffredinol a dull ansoddol, ond ar gyfer astudio sefyllfaoedd penodol, rhaid cyfrifo â chyfesurynnau. Mae hyn yn gofyn am ddefnyddio cryn dipyn o algebra llinol.

### Dadansoddiad ffwythiannol 
Mae dadansoddiad ffwythiannol (f*unctional analysis*) yn astudiaeth o ofod ofod ffwythiannol, gyda strwythurau ychwanegol megis gofod Hilbert. Felly mae algebra llinol yn rhan sylfaenol o ddadansoddiad ffwythiannol a'i gymwysiadau, sy'n cynnwys, yn benodol, mecaneg cwantwm (swyddogaethau tonnau).

### Yr astudiaeth o systemau cymhlyg 
Mae'r rhan fwyaf o ffenomenau ffisegol yn cael eu modelu gan hafaliadau differol rhannol (*partial differential equations*). Er mwyn eu datrys, mae un fel arfer yn dadelfennu'r gofod lle mae'r datrysiadau'n cael eu gwneud i mewn i gelloedd bach sy'n rhyngweithio â'i gilydd. Ar gyfer systemau llinol mae'r rhyngweithio hwn yn cynnwys ffwythiannau llinellol (*linear functions*). Ar gyfer systemau aflinol, mae'r rhyngweithio hwn yn aml yn cael ei frasamcanu gan ffwythiant llinol. Fel arfer, yn y ddau achos, ceir matricsau mawr iawn. Mae rhagweld y tywydd yn enghraifft nodweddiadol, lle mae atmosffer y Ddaear gyfan wedi'i rannu'n gelloedd o 100, dyweder&nbsp;km o led a 100 m o uchder.

### Cyfrifiant gwyddonol 
Mae bron pob cyfrifiant gwyddonol yn cynnwys algebra llinol. O ganlyniad, mae algorithmau algebra llinol wedi'u optimeiddio'n fawr. BLAS a LAPACK yw'r gweithrediadau mwyaf adnabyddus. Er mwyn gwella effeithlonrwydd, mae rhai ohonynt yn ffurfweddu'r algorithmau yn awtomatig, yn fyw yn y fan a'r lle, ar gyfer eu haddasu i nodweddion penodol y cyfrifiadur (maint y storfa, nifer creiddiau'r prosesydd ayb).

Mae rhai proseswyr, yn nodweddiadol unedau prosesu graffeg (GPU), wedi'u cynllunio gyda strwythur matrics, ar gyfer optimeiddio gweithrediadau algebra llinol.

## Cyfeiriadau 
Categori:Pages that use a deprecated format of the math tags

Llinol