Eil-ffwythiannau ac od-ffwythiannau

[bawd| Mae'r ffwythiant sin a'i holl [Cyfres Taylor|polynomialau Taylor yn od-ffwythiannau. Mae'r ddelwedd hon yn dangos \sin(x) a'i frasamcaniadau Taylor, polynomialau gradd 1, 3, 5, 7, 9, 11 ac 13.]]
[bawd| Mae'r [Ffwythiannau trigonometrig|ffwythiany cosin a'i holl polynomialau Taylor yn eil-ffwythiannau. Mae'r ddelwedd hon yn dangos \cos(x) a'i frasamcaniad Taylor o radd 4.]]
Mewn mathemateg, mae **eil-ffwythiannau** ac **od-ffwythiannau** yn ffwythiannau sy'n bodloni perthnasoedd cymesuredd penodol. Maent yn bwysig mewn nifer o feysydd o ddadansoddiad mathemategol, yn enwedig theori cyfresi pŵer a chyfresi Fourier. Fe'u henwir am baredd pwerau'r ffwythiannau pŵer sy'n bodloni pob amod: mae'r ffwythiant f(x) = x^n yn *eil-ffwythiant* os yw n yn eilrif, ac mae'n od-ffwythiant os yw n yn odrif.

## Diffiniad ac enghreifftiau 
Yn gyffredinol, mae ystyriwn ffwythiannau real yn unig wrth ystyried eil-ffwythiannau ac od-ffwythiannau, hynny yw ffwythiannau gwerth real a newidyn real. Fodd bynnag, gall y cysyniadau hyn gael eu diffinio'n fwy cyffredinol ar gyfer ffwythiannau lle mae gan eu parth a'u hamrediad rhyw syniad o wrthdro adiol. Mae hyn yn cynnwys grwpiau Abel, pob modrwy, pob maes, a phob gofod fector. Felly, er enghraifft, gallai ffwythiant real fod yn od-ffwythiant neu'n eil-ffwythiant (neu'r naill na'r llall), a hefyd gallai ffwythiant gwerth cymhlyg gyda newidyn fector, ac ati.

Mae'r enghreifftiau a roddir yn ffwythiannau real, er mwyn dangos cymesuredd eu graffiau.

### Eil-ffwythiannau 
de|bawd| Mae f(x)=x^2 yn enghraifft o eil-ffwythiant.
Gadewch i *f* fod yn ffwythiant gwerth real newidyn real. Yna mae *f* yn **eil-ffwythiant** os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni ar gyfer pob *x* fel bod *x* ac -*x* ym mharth *f*:

f(x) = f(-x)

neu'n gywerth, os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni pob *x* o'r fath:

: f(x) - f(-x) = 0.

Yn geometryddol, mae graff eil-ffwythiant yn gymesur o gwmpas yr echelin-*y*, sy'n golygu bod ei graff parhau heb ei newid ar ôl adlewyrchiad yn yr echelin-*y*.

Enghreifftiau o eil-ffwythiannau yw:

* Y gwerth absoliwt x \mapsto |x|,
* x \mapsto x^2,
* x \mapsto x^4,
* cosine, \cos,
* cosin hyperbolig, \cosh.

### Od-ffwythiannau 
de|bawd| Mae f(x)=x^3 yn enghraifft o od-ffwythiant.
Unwaith eto, gadewch i *f* fod yn ffwythiant gwerth real newidyn real. Yna mae *f* yn **rhyfedd** os yw'r hafaliad canlynol yn dal pob *x* fel bod *x* a - *x* ym mharth *f*:

-f(x)=f(-x)

neu'n gywerth, os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni pob *x* o'r fath:

: f(x) + f(-x) = 0.

Yn geometryddol, mae gan graff od-ffwythiant gymesuredd cylchdro mewn perthynas â'r tarddbwynt, sy'n golygu bod ei graff yn aros yr un fath ar ôl cylchdroi 180 gradd o gwmpas y tarddbwynt.

Enghreifftiau o od-ffwythiannau yw:

* Y ffwythiant unfathiant x \mapsto x,
* x \mapsto x^3,
* \sin,
* sin hyperbolig, \sinh,
* Y ffwythiant gwall \operatorname{erf}.

de|bawd| Nid yw f(x)=x^3+1 yn eil-ffwythiant nac yn od-ffwythiant.

## Priodweddau sylfaenol 
### Unigrwydd 
* Os yw ffwythiant yn eil-ffwythiant ac yn od-ffwythiant, yna mae'n hafal i 0 ym mhobman.
* Os yw ffwythiant yn od-ffwythiant, mae gwerth absoliwt y ffwythiant hwnnw yn eil-ffwythiant.

### Adio a thynnu 
* Mae swm dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae swm dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
* Mae'r gwahaniaeth rhwng dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
* Mae'r gwahaniaeth rhwng dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae swm eil-ffwythiant ac od-ffwythiant ddim yn eil-ffwythiant nac yn od-ffwythiant, oni bai bod un o'r ffwythiannau yn hafal i sero dros y parth penodol.

### Lluosi a rhannu 
* Mae lluoswm dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
** Mae hynny'n awgrymu bod lluoswm unrhyw nifer o eil-ffwythiannau hefyd yn eil-ffwythiant.
* Mae lluoswm dau od-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae lluoswm eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
* Mae rhannu dau eil-ffwythiant yn rhoi eil-ffwythiant.
* Mae rhannu dau od-ffwythiant yn rhoi eil-ffwythiant.
* Mae rhannu eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn rhoi od-ffwythiant.

### Cyfansoddiad 
* Mae cyfansoddiad dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae cyfansoddiad dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
* Mae cyfansoddiad eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae cyfansoddiad unrhyw ffwythiant gydag eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant (ond nid i'r gwrthwyneb). 

## Cyfeiriadau
Categori:Calcwlws
Categori:Dadansoddi
Categori:Paredd (mathemateg)