Ffwythiant

Mynegiad, broses neu reol fathemategol sydd yn diffinio perthynas rhwng dau newidyn – y newidyn annibynnol a'r newidyn dibynnol – yw **ffwythiant** (ll. ffwythiannau). Mae ffwythiant yn broses ac yn creu pertynas rhwng pob elfen  o set ,  sef 'parth' y ffwythiant,  gydag un elfen  o ail set , sef *cytbarth* y ffwythiant. Fel arfer os gelwir y ffwythiant yn , yna ysgrifennir ffwythiant fel '''''', yma:
: yw'r newidyn annibynnol, yr ymresymiad neu 'fewnbwn' y ffwythiant.
: yw gwerth y ffwythiant, neu 'allbwn' y ffwythiant; weithiau dywedir mai  yw "delwedd"  wrth .
: yw'r ffwythiant
Y symbol a ddefnyddir i gynrychioli'r mewnbwn yw newidyn y ffwythiant; yn aml, dywedir fod  yn ffwythiant o'r newidyn ).

Mae **ffwythiant** o set X i set Y yn aseiniad o elfen o Y i bob elfen o X. Gelwir y set X yn barth y swyddogaeth a gelwir y set Y yn 'gyd-barth y ffwythiant'.

Mae ystyr y gair wedi newid cryn dipyn ers ei ddefnydd gwreiddiol, pan gynrychiolai'r gair sut mae maint neu feintiau newidiol yn dibynnu ar faint arall. Er enghraifft, mae lleoliad planed yn ffwythiant o amser. Ymhelaethwyd ar y cysyniad hwn ymhellach dros y blynyddoedd gyda dyfodiad 'calcwswl infinitesimal' ar ddiwedd y 17g a hyd at y 19g, pan oedd y ffwythiannau a ystyriwyd yn ddifferadwy (*differentiable*; hynny yw, roedd ganddynt raddau helaeth o reoleidd-dra). Cafodd y cysyniad o ffwythiant ei ffurfioli ar ddiwedd y 19g o ran theori set, ac mae hyn wedi ehangu'r cysyniad a'i gymhwysiad.
bawd|Mae'r gromlin goch yn nodi'r ffwythiant; mae gan pob llinell fertig **un** pwynt-croesi ar y gromlin.

Cynrychiolir ffwythiant mewn modd unigryw iawn, a hynny gan ei graff - mewn set sy'n cynnwys pob pâr . Pan fo'r parth a'r cytbarth yn set o rifau, efallai y bydd pob pâr o'r fath yn cael ei ystyried fel cyfesurynnau Cartesaidd pwynt yn y plan. Yn gyffredinol, mae'r pwyntiau hyn yn ffurfio cromlin, a elwir hefyd yn graff y ffwythiant. Mae hwn yn gynrychiolaeth ddefnyddiol o'r ffwythiant, a ddefnyddir yn gyffredin ymhobman, er enghraifft mewn papurau newydd.

## Cyfystyron
Gellir edrych ar u termau canlynol, ar adegau, fel cyfystyron: 'map', 'mapio', 'trawsnewidiad', a 'gweithredydd'

Y nodiant ar gyfer ffwythiant, ei barth a'i gyd-barth yw

, a gelwir gwerth ffwythiant  ar elfen  o , a ddynodir gan , yn *ddelwedd * o dan , neu gwerth  wedi'i gymhwyso ar gyfer ymresymiad .

Os diffinnir ffwythiant yn y nodiant hwn, cymerir bod ei barth a'i gyd-barth ymhlyg yn y ddau \R, y set o rifau real. Os na ellir gwerthuso'r fformiwla ar bob rhif real, yna cymerir yn mai'r parth yw'r is-set uchaf \R y gellir gwerthuso'r fformiwla arno; gweler Parth swyddogaeth.
bawd| Ffwythiant sy'n cysylltu unrhyw un o'r pedwar siâp lliw â'i liw.

## Diffiniad 
Gelwir ffwythiannau hefyd yn *fapiau* neu'n *faps*, er bod rhai awduron yn gwahaniaethu rhywfaint rhwng "mapiau" a "ffwythiannu".

Mae dau ffwythiant  ac  yn gyfartal os yw eu setiau parth a chyd-barth yr un fath a bod eu gwerthoedd allbwn yn cytuno ar y parth cyfan. Yn fwy ffurfiol, o ystyried  a , mae gennym  os ac yn unig os yw  ar gyfer  .

Nid yw'r parth a'r cyd-barth bob amser yn cael eu rhoi'n benodol pan fydd ffwythiant yn cael ei ddiffinio, ac, heb ryw gyfrifiant, efallai na fyddai rhywun ond yn gwybod bod y parth wedi'i gynnwys mewn set fwy. Yn nodweddiadol, mae hyn yn digwydd mewn dadansoddiad mathemategol, lle mae "ffwythiant  yn aml yn cyfeirio at ffwythiant a allai fod ag is-set gywir o X fel parth. Er enghraifft, fe all "ffwythiant o real at y realau" gyfeirio at ffwythiant o werth-real o newidyn real. Fodd bynnag, nid yw "ffwythiant o real at y realau" yn golygu mai parth y ffwythiant yw'r set gyfan o rifau real, ond dim ond os yw'r parth yn set o rifau real sy'n cynnwys cyfwng agored nad yw'n wag. Yna gelwir ffwythiant o'r fath yn swyddogaeth rannol. Er enghraifft, os yw  yn ffwythiant sydd â'r rhifau real yn barth a chyd-barth, yna mae'r ffwythiant sy'n mapio'r gwerth  i'r gwerth  yn ffwythiant  o'r real i'r realau, lle mae eu parth yn set o realau , fel bod . .

Ystod neu ddelwedd swyddogaeth yw set delweddau pob elfen yn y parth.    

### Dull perthynol 
Yn y dull perthynol (*relational approach*), mae ffwythiant  yn berthynas ddeuaidd rhwng  ac  sy'n cysylltu â phob elfen o  yn unioni bob elfen o . Hynny yw, caiff  ei ddiffinio gan set  o barau trefnus  gyda , fel bod pob elfen o  yn gydran gyntaf o un pâr trefnus yn . Mewn geiriau eraill, ar gyfer pob  yn , mae yna un elfen  yn union fel bod y pâr trefnus (x, y ) yn perthyn i'r set o barau sy'n diffinio'r ffwythiant . Gelwir y set G yn graff . Mae rhai awduron yn ei uniaethu â'r ffwythiant; fodd bynnag, mewn defnydd cyffredin, mae'r ffwythiant yn gyffredinol yn cael ei gwahaniaethu oddi wrth ei graff. Yn y dull hwn, diffinnir ffwythiant fel triphlyg trefnus . Yn y nodiant hwn, mae p'un a yw ffwythiant yn *surjective* (gweler isod) yn dibynnu ar y dewis o .

Mae unrhyw is-set o luoswm Cartesaidd dy dwy set  ac  yn diffinio perthynas ddeuaidd  rhwng y ddwy set hyn. Gall y berthynas fympwyol gynnwys parau sy'n torri'r amodau angenrheidiol ar gyfer ffwythiant a roddir uchod.

Mae perthynas ddeuaidd yn ffwythiant os

: \forall x\in X, \forall y\in Y, \forall z\in Y, \quad ((x,y)\in R \land (x,z)\in R)\implies y=z.

Mae perthynas ddeuaidd yn gyfresol os

: \forall x\in X, \exists y\in Y, \quad(x,y)\in R.

Mae ffwythiant rannol yn berthynas ddeuaidd sy'n ffwythiannol.

Mae ffwythiant yn berthynas ddeuaidd sy'n ffwythiannol ac yn gyfresol. Gellir ailfformiwleiddio priodweddau amrywiol o ffwythiannau a chyfansoddiad swyddogaeth yn iaith perthynas. Er enghraifft, mae ffwythiant yn *injective* os yw'r berthynas wrthwyneb (*converse relation)* ( yn ffwythiannol, lle diffinnir y berthynas wrthwyneb fel 

### Fel elfen o gyfanswm Cartesaidd dros y parth 
Gellir nodi'r set o holl ffwythiannau o ryw barth penodol i gyd-barth gyda'r cyfanswm Cartesaidd o gopïau o'r cyd-barth, wedi'u mynegeio gan y parth. Sef, o ystyried setiau  a , mae unrhyw swyddogaeth  yn elfen o gyfanswm Cartesaidd o gopïau o fwy nag un   dros y mynegai X a osodwyd:

: f\in Y^X:=\prod_{x\in X}Y.

Gan edrych ar  fel  gyda chyfesurynnau, yna ar gyfer pob  mae'r cyfesuryn  o'r *tuple* hwn  yw gwerth . Mae hyn yn adlewyrchu'r greddf bod y ffwythiantar x ∈ X *, yn dewis* rhyw elfen , sef, ).

Yn aml, mae cyfansymiau Cartesaidd anfeidrol yn cael eu "diffinio" yn syml fel setiau o ffwythiannauau. 

## Nodiant 
Ceir nifer o ffyrdd safonol ar gyfer dynodi ffwythiannau. Y nodiant a ddefnyddir amlaf yw nodiant ffwythiannau, sef y nodiant cyntaf a ddisgrifir isod.

### Nodiant ffwythiannau 
Mewn nodiant ffwythiannau, rhoddir enw, fel , ar unwaith i'r ffwythiant, a rhoddir ei ddiffiniad gan yr hyn y mae  wneud i'r ddadl benodol , gan ddefnyddio fformiwla yn nhermau  . Er enghraifft, dynodir y ffwythiant sy'n cymryd rhif real fel mewnbwn ac allbynnau y rhif hwnnw plws 1 hwn fel a ganlyn:

: f(x)=x+1 .

Mae nodiant saeth yn diffinio rheol ffwythiant yn fewnol, heb ei gwneud yn ofynnol rhoi enw i'r ffwythiant. Er enghraifft, x\mapsto x+1 yw'r ffwythiant sy'n cymryd rhif real fel mewnbwn ac allbynnau'r rhif hwnnw ynghyd ag 1. Unwaith eto, mae parth a chyd-barth o \R ymhlyg.

Enghraifft fwy cymhleth yw'r ffwythiant

: f(x)=\sin(x^2+1).

Yn yr enghraifft hon, mae'r ffwythiant  yn cymryd rhif real fel mewnbwn, yn ei sgwario, yna'n ychwanegu 1 at y canlyniad, yna'n cymryd sin y canlyniad, ac yn dychwelyd y canlyniad terfynol fel yr allbwn.

Pan fydd y symbol sy'n dynodi'r ffwythiant yn cynnwys sawl nod ac na all unrhyw amwysedd godi, gellir hepgor cromfachau nodiant ffwythiannol. Er enghraifft, mae'n gyffredin ysgrifennu  yn lle .

Defnyddiwyd nodiant ffwythiannol yn gyntaf gan Leonhard Euler ym 1734. Cynrychiolir rhai ffwythiannau a ddefnyddir yn aml gan symbol sy'n cynnwys sawl llythyren (dau neu dri fel arfer, talfyriad o'u henw yn gyffredinol). Yn yr achos hwn, defnyddir teip Rhufeinig yn lle fel arfer, fel "sin" ar gyfer y ffwythiant sin, mewn cyferbyniad â ffont italig ar gyfer symbolau un llythyren.

Wrth ddefnyddio'r nodiant hwn, deuir yn aml ar draws cam-drin nodiant lle gall y nodiant  gyfeirio at werth  yn , neu at y ffwythiant ei hun. Os datganwyd y newidyn  yn flaenorol, yna mae'r nodiant f ( x ) yn ddiamwys yn golygu gwerth  at . 

Fodd bynnag, mae gwahaniaethu rhwng   and  yn bwysig mewn achosion lle mae ffwythiannau eu hunain yn gweithredu fel mewnbynnau ar gyfer ffwythiannau eraill. (Gelwir ffwythiannau sy'n cymryd ffwythiannau arall fel mewnbwn yn ffwythiant.) Mae dulliau eraill o nodi ffwythiannau, y manylir arnynt isod, yn osgoi'r broblem hon ond fe'u defnyddir yn llai cyffredin.

### Nodiant saeth 
Gellir hefyd nodi'r parth a'r cyd-barth yn benodol, er enghraifft:

: \begin{align}
\operatorname{sqr}\colon \Z &\to \Z\\
x &\mapsto x^2.\end{align}

Mae hyn yn diffinio ffwythiant  o'r cyfanrifau i'r cyfanrifau sy'n dychwelyd sgwâr ei fewnbwn.

Fel cymhwysiad cyffredin o'r nodiant saeth, os ywf\colon X\times X\to Y;\;(x,t) \mapsto f(x,t) yn ffwythiant mewn dau newidyn, ac rydym am gyfeirio at ffwythiant a gymhwysir yn rhannol X\to Y a gynhyrchir trwy osod yr ail ddadl i'r gwerth  heb gyflwyno enw ffwythiant newydd. Gellid dynodi'r map dan sylw x\mapsto f(x,t_0) drwy ddefnyddio'r nodiant saeth. Yr ymadrodd  yn cynrychioli'r ffwythiant newydd hon gydag un ddadl yn unig, ond mae'r ymadrodd  yn cyfeirio at werth y ffwythiant  ar y pwynt 

### Nodiant mynegai 
Defnyddir nodiant mynegai yn aml yn lle nodiant ffwythiannol. Hynny yw, yn lle ysgrifennu , ysgrifennir f_x.

Mae hyn yn wir am ffwythiannau y mae eu parth yn set o'r rhifau naturiol. Gelwir ffwythiant o'r fath yn ddilyniant, ac, yn yr achos hwn yr elfen f_n yn cael ei alw'r *n-*fed elfen o ddilyniant.

### Nodiant dot 
Yn y nodiant x\mapsto f(x), nid yw'r symbol  yn cynrychioli unrhyw werth, dim ond deiliad lle (*placeholder*) ydyw, sy'n golygu, os yw yn cael ei ddisodli gan unrhyw werth ar ochr chwith y saeth, dylid ei ddisodli gan yr un gwerth ar ochr dde'r saeth. Felly,  gellir cynrychioli  gan unrhyw symbol, yn aml rhyngosod (yr *interpunct*) "  ⋅  ". Gall hyn fod yn ddefnyddiol ar gyfer gwahaniaethu'r ffwythiant  o'i werth  yn .

Er enghraifft, gall  a(\cdot)^2 gynrychioli'r ffwythiant  x\mapsto ax^2, a gall  \int_a^{\, (\cdot)} f(u)\,du gynrychioli'r ffwythiant a ddiffinnir gan integral â rhwymyn uchaf amrywiol:  x\mapsto \int_a^x f(u)\,du .

## Cyfeiriadau 
Categori:Damcaniaeth setiau
Categori:Mathemateg elfennol