Dosraniad normal

Mae'r **dosraniad normal**, neu **dosraniad Gauss**, fel y'i gelwir, yn ddosraniad tebygolrwydd sy'n bwysig mewn sawl maes. Mewn gwirionedd, teulu o ddosraniadau o'r un ffurf ydyw, pob un â gwahanol paramedrau *lleoliad* a *graddfa*: y cymedr a'r gwyriad safonol yn ôl eu trefn. Y **dosraniad normal safonol** yw'r dosraniad normal â chymedr yn hafal i ddim, a gwyriad safonol yn hafal i un. Fe debygir siâp ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd i gloch.

Mae'r dosraniad normal yn fodel cyfleus o ffenomena rhifadwy yn y gwyddoniaethau naturiol ac yn y gwyddoniaethau cymdeithasol. Er enghraifft, darganfyddir fod y dosraniad normal yn amcangyfrifiad agos i ystod eang o ganlyniadau profion seicolegol, a ffenomena ffisegol megis cyfrifon ffotonau. Yn aml, ni ddeallir achosion y ffenomena dan sylw; ond fe ellir rhoi gyfiawnhâd damcaniaethol mewn sefyllfäoedd lle caiff llawer iawn o effeithiau bach eu hadio at ei gilydd i greu'r sgôr neu newidyn sy'n cael ei arsylwi. Cyfyd y dosraniad normal yn aml mewn sawl ardal o ystadegath hefyd: er enghraifft, mae dosraniad samplu y cymedr yn led-normal, hyd yn oed os nad yw dosraniad y boblogaeth y gymerir y sampl ohono yn normal. Yn ogystal, mae'r dosraniad normal yn uchafu'r entropi gwybodaeth yn y dosraniadau â'r un cymedr ac amrywiant, sy'n ei wneud yn ddewis priodol o ddosraniad ar fyfer data, lle rydym ni'n gwybod dim ond y cymedr a'r amrywiant. Y dosraniad normal yw'r teulu o ddosraniadau a defnyddir amlach mewn ystadegaeth, ac fe seilir sawl prawf ystadegol ar ddamcaniaeth o normaledd. Mewn tebygolrwydd haniaethol, cyfyd dosraniadau normal fel dosraniadau terfanol sawl teulu o ddosraniadau di-dor ac arwahanol.

### Ffwythiant dwysedd tebygolrwydd 
Mae Ffwythiant dwysedd tebygolrwydd **dosraniad normal** â chymedr \mu ac amrywiant \sigma^2 (yn gyfystyr, gwyriad safonol \sigma) yn enghraifft o **Fwythiant Gaussaidd**

:
f(x;\mu,\sigma)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right).

(*gw. hefyd ffwythiant esbonyddol a pi.*)

Os oes gan hap-newidyn X y dosraniad hwn, ysgrifenwn X ~ N(\mu, \sigma^2).
Os mae \mu = 0 a \sigma = 1, yna fe gelwir y dosraniad yn *ddosraniad normal safonol*, ac mae'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd yn symleiddio i:

:f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right).

Rhai o rinweddau nodweddol y dosraniad normal:
* Mae'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd yn gymesyr o gylch ei werth cymedrol.
* Mae'r cymedr yn hafal i'w modd a'i ganolrif.
* Mae 68.268949% o'r arwynebedd is y graff o fewn un gwyriad safonol i'r cymedr.
* Mae 95.449974% o'r arwynebedd o fewn dau wiriad safonol.
* Mae 99.730020% o'r arwynebedd o fewn tri gwyriad safonol.
* Mae 99.993666% o'r arwynebedd o fewn pedwar gwyriad safonol.
* Mae pwyntiau ymdreiglad y cromlin un gwyriad safonol yn union o'r cymedr.

### Ffwythiant dosraniad cronnus
Diffinnir ffwythiant dosrnaiad cronnus fel y tebygolrwydd fod gan hap-newidyn X gwerth sy'n llai na neu'n hafal i x, ac fe'i mynegir yn nhermau'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd fel a ganlyn:

:
F(x;\mu,\sigma)
=
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
 \exp
  \left( -\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2}
\ \right)\,  du.

Ar gyfer ffwythiant dosraniad cronnus normal safonol, a dynodir gan \Phi, gwerthyswn y fformwla cyffredinol lle mae \mu=0 a \sigma=1,

:
\Phi(x)
=F(x;0,1)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
\exp\left(-\frac{u^2}{2}\right)
\, du.

Gellir mynegi'r ffwythiant uchod yn nhermau ffwythiant arbennig, y ffwythiant cyfeiliornad *erf* , fel a ganlyn

:
\Phi(z)
=
\frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right]
.

Categori:Damcaniaeth tebygolrwydd