Rhif Bell

Mewn cyfuniadeg, mae'r **rhifau Bell** yn cyfri holl ymraniadau posibl set. Mae'r rhifau hyn wedi cael eu hastudio gan fathemategwyr ers y 19eg ganrif, ac mae eu gwreiddiau'n mynd yn ôl i Japan ganoloesol. Fe'u henwir ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt yn y 1930au.

Dynodir y rhifau Bell gan *B**n*, lle *n* yw cyfanrif mwy na neu'n hafal i sero. Gan ddechrau gyda *B*0 = *B*1 = 1, y rhifau Bell cyntaf yw

: 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, ... .

Mae'r rhif Bell *B**n* yn cyfri'r nifer o wahanol ffyrdd o ymrannu set sydd ag union *n* elfen, neu'n gywerth, y nifer o berthnasau cywerthedd arno. *Mae Bn* hefyd yn cyfrif nifer y gwahanol gynlluniau odl ar gyfer cerddi sydd ag *n* llinell.

Yn ogystal ag ymddangos mewn problemau cyfrif, mae gan y niferoedd hyn ddehongliad gwahanol yn nhermau momentau dosraniadau tebygolrwydd. Yn benodol, *Bn* yw *n*-fed moment dosraniad Poisson gyda chymedr 1.

## Cyfrif 
bawd|Y 52 ymraniad o set gyda 5 elfen.
Yn gyffredinol, *B* *n* yw nifer ymraniadau set o faint *n*. Diffinnir ymraniad set *S* fel set o is-setiau anwag, digyswllt yn ôl y parau, *S, y* mae eu hundeb yw *S.* Er enghraifft, *B*3&nbsp;=&nbsp;5 oherwydd gellir ymrannu set 3-elfen {*a*,&nbsp;*b*,&nbsp;*c*} mewn 5 ffordd wahanol:

: { {*a*}, {*b*}, {*c*} }
: { {*a*}, {*b*, *c*} }
: { {*b*}, {*a*, *c*} }
: { {*c*}, {*a*, *b*} }
: { {*a*, *b*, *c*} }.

*B*0 yw 1 oherwydd un ymraniad yn union sydd o'r set wag. Mae pob aelod o'r set wag yn set ddiamwys a'u hundeb yw'r set wag. Felly, y set wag yw'r unig raniad ohono'i hun. Fel yr awgrymwyd gan y nodiant a osodwyd uchod, nid ydym yn ystyried trefn y rhaniadau na threfn yr elfennau ym mhob rhaniad, oherwydd nid oes gan setiau trefn.

### Ffactorau 
Os yw rhif *N* yn gyfanrif positif heb ffactorau sgwâr (hynny yw ei fod yn lluoswm rhyw rif *n* o rifau cysefin unigryw), yna mae *Bn yn* rhoi nifer y gwahanol ymraniadau lluosol *N.* Mae'r rhain yn ffactoriadau o *N* i mewn i rifau mwy nag un. Er enghraifft, 30 yw luoswm y tri rhif cysefin 2, 3 a&nbsp;5, ac mae ganddo *B*3 = 5 o ffactoriadau:

: 30 = 2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5

### Cynlluniau odli 
Mae'r rhifau Bell hefyd yn cyfri'r cynlluniau odl cerdd neu bennill *n*-llinell. Mae cynllun odli yn disgrifio pa linellau sy'n odli gyda'i gilydd, ac felly gellir eu dehongli fel ymraniad o'r set o linellau yn is-setiau odledig. Mae cynlluniau odli fel arfer yn cael eu hysgrifennu fel dilyniant o lythrennau Rhufeinig, un fesul llinell, gyda llinellau sy'n odli yn cael yr un llythyren â'i gilydd. Felly ar gyfer pennill pedwar llinell, mae *B*4 = 15 cynllun odli posib: AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, ac ABCD.

: B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.

Gallwn esbonio'r perthynas hwn trwy arsylwi, o ymraniad mympwyol o *n*&nbsp;+&nbsp;1 eitem, mae cael gwared ar y set sy'n cynnwys yr eitem gyntaf yn gadael ymraniad o set lai o eitemau. Gall y nifer o eitemau hyn fod *k ar* gyfer rhyw rif *k* a all amrywio o 0 i *n*. Mae yna \tbinom{n}{k} dewis ar gyfer y *k* eitem sydd ar ôl ar ôl i un set gael ei dileu, ac mae *Bk* dewis o sut i'w ymrannu.

Mae fformiwla symio gwahanol yn cynrychioli pob rhif Bell fel swm o ''rifau Stirling o'r ail fath*

: B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}.

Rhif Stirling \left\{{n\atop k}\right\} yw nifer o ffyrdd i ymrannu set maint *n* i mewn yn union *k'' is-set anwag. Felly, yn yr hafaliad uchod sy'n cysylltu'r rhifau Bell â'r rhifau Stirling, mae pob ymraniad a gyfrifir ar ochr chwith yr hafaliad yn cael ei gyfri mewn union un o dermau'r swm ar yr ochr dde, yr un lle mae *k* nifer o setiau yn yr ymraniad.

Mae Spivey (2008) wedi rhoi fformiwla sy'n cyfuno'r ddau swm hyn:

: B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.

### Rhifyddeg fodiwlaidd 
Mae'r rhifau Bell yn ufuddhau cyfathiant Touchard: Os *p* yw unrhyw rif cysefin yna

: B_{p+n} \equiv B_n+B_{n+1} \pmod p

neu, yn cyffredinoli

: B_{p^m+n} \equiv mB_n+B_{n+1} \pmod p.

### Fel integryn 
Mae cymhwyso fformiwla integryn Cauchy i'r ffwythiant generadu esbonyddol yn rhoi'r gynrychiolaeth integryn cymhlyg

:  B_n = \frac{n!}{2 \pi i e} \int_{\gamma} \frac{e^{e^z}}{z^{n+1}} \, dz. 

## Hanes 
Enwir rhifau Bell ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt ym 1938, yn dilyn papur yn 1934 lle bu'n astudio polynomialau Bell. Nid oedd Bell yn honni ei fod wedi darganfod y niferoedd hyn; yn ei bapur yn 1938, ysgrifennodd fod y rhifau Bell wedi cael eu hymchwilio'n aml, a'u bod wedi cael eu hailddarganfod nifer o weithiau. Mae Bell yn dyfynnu sawl cyhoeddiad cynharach ar y rhifau hyn, gan ddechrau gyda Dobiński (o 1877) sy'n rhoi fformiwla Dobiński ar gyfer y rhifau Bell. Galwodd Bell y rhifau hyn yn "rhifau esbonyddol"; rhoddwyd yr enw "rhifau Bell" a'r nodiant *Bn* ac iddynt gan Becker & Riordan (o 1948).

Ymddangosodd cyfrifiad cynhwysfawr cyntaf o ymraniadau set yn oesoedd canol Japan, lle (wedi ei ysbrydoli gan boblogrwydd y llyfr *Chwedl Genji*) ymddangosodd gêm barlwr o'r enw *genji-ko*, lle rhoddir pum pecyn o arogldarth i'r chwaraewyr i'w arogli, a gofynnir iddynt ddyfalu pa rai oedd yr un fath â'i gilydd a pha rai oedd yn wahanol. Cofnodwyd y 52 datrysiad posibl, a gyfrifwyd gan y rhif Bell *B*5, gan 52 o wahanol ddiagram, a chafodd eu hargraffu uwchben penawdau'r penodau mewn rhai rhifynnau o Chwedl Genji.

Yn ail lyfr nodiadau Srinivasa Ramanujan, ymchwiliodd i mewn i bolynomialau Bell a rhifau Bell.

## Cyfeiriadau