Corn Gabriel

bawd|Darlun 3D o gorn Gabriel.
Ffigwr geometreg yw **Corn Gabriel** (a elwir hefyd yn **trymped Torricelli**) sydd ag arwynebedd anfeidraidd ond cyfaint meidraidd. Mae'r enw'n cyfeirio at y traddodiad Abrahamaidd lle mae'r archangel Gabriel yn chwythu'r corn i gyhoeddi Dydd y Farn, sy'n gysylltu'r dwyfol, neu'r anfeidrol, â'r meidraidd. Astudiwyd priodweddau'r ffigur hwn gyntaf gan y ffisegydd a mathemategydd Eidalaidd Evangelista Torricelli yn yr 17g.

## Diffiniad mathemategol 
bawd|Graff x\mapsto\tfrac{1}{x}.
Ffurfir corn Gabriel trwy gymryd y graff

: x \mapsto \frac{1} {x},

gyda'r parth x \ge 1, a'i gylchdroi mewn tri dimensiwn o amgylch yr echelyn-. Darganfuwyd yn wreiddiol gan ddefnyddio egwyddor Cavalieri cyn cafodd calcwlws ei ddyfeisio. Heddiw gallwn defnyddio calcwlws i gyfrifo cyfaint ac arwynebedd y corn rhwng  ac , lle . Trwy ddefnyddio integreiddio mae'n bosib dod o hyd i'r cyfaint  ac arwynebedd yr arwyneb :

: V=\pi\int\limits_1^a\left(\frac{1}{x}\right)^2\mathrm{d}x=\pi\left(1-\frac{1}{a}\right)

: A=2\pi\int\limits_1^a {\frac{1}{x}}\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\mathrm{d}x > 2\pi\int\limits_1^a \frac{\mathrm{d}x}{x}=2\pi\ln(a).

Gall gwerth  fod mor fawr a sydd angen: gallwn gweld o'r hafaliad na fydd cyfaint y corn rhwng  ac  byth fwy na ; fodd bynnag wrth i  cynyddu mae'r cyfaint yn raddol yn agosáu at . Yn fathemategol, yn defnyddio nodiant terfan calcwlws:

: \lim_{a\to\infty}V=\lim_{a\to\infty}\pi\left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi\cdot\lim_{a\to\infty}\left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi.

Mae'r fformiwla arwynebedd uchod yn rhoi arffin is ar gyfer yr arwynebedd i fod fel 2 lluosi'r logarithm naturiol o . Nid yw'r logarithm naturiol yn ffinedig uwchben. Mae hynny'n golygu, yn yr achos hwn, bod gan y corn arwynebedd anfeidraidd. Hynny yw,

: \lim_{a\to\infty}A\ge\lim_{a\to\infty}2\pi\ln(a)=\infty.

## Paradocs ymddangosiadol 
Pan ddarganfuwyd priodweddau corn Gabriel yn gyntaf, ystyriwyd bod y ffaith bod cylchdroi rhanbarth anfeidrol o'r plân- o amgylch yr echelyn- yn gallu cynhyrchu gwrthrych gyda cyfaint meidraidd, i fod yn baradocs. Ond, wrth feddwl, gallwn deall y ffenomenon:

Gellir trin y corn fel pentwr o ddisgiau gyda radiws sy'n lleihau. Mae swm y radiws yn cynhyrchu cyfres harmonig anfeidredd. Fodd bynnag, y cyfrifiad cywir yw swm eu sgwariau. Mae gan bob disg radiws  ac arwynebedd  neu . Mae'r gyfres  yn dargyfeirio ond mae  yn cydgyfeirio. Yn gyffredinol, ar gyfer unrhyw go iawn , mae  yn cydgyfeirio.

Roedd y paradocs ymddangosiadol hyn yn rhan o ddadl ynglŷn â natur anfeidredd, a oedd yn cynnwys nifer o feddylwyr allweddol yr oes gan gynnwys Thomas Hobbes, John Wallis a Galileo Galilei.

### Paradocs y paentiwr 
Oherwydd fod gan y corn gyfaint meidraidd ond arwynebedd anfeidraidd, mae yna'r paradocs canlynol: gallai'r corn gael ei lenwi â swm meidraidd o baent ac eto ni fyddai'r paent hwnnw'n ddigonol i orchuddio ei arwyneb mewnol. Datrysir y paradocs trwy sylweddoli y gall swm meidraidd o baent orchuddio arwynebedd anfeidrol - yn syml mae angen iddo deneuo ar gyfradd ddigon cyflym. Yn yr achos lle mae'r corn wedi'i lenwi â phaent, cyflawnir y teneuo hwn gan y gostyngiad cynyddol mewn diamedr gwddf y corn.

### Gwrthdro 
Mae gwrthwyneb i gorn Gabriel yn amhosib - ni ellir creu arwyneb chwyldro sydd ag arwynebedd *meidraidd* ond cyfaint *anfeidraidd*.

## Cyfeiriadau 
Categori:Arwynebau
Categori:Calcwlws