Gofod Baire

Mewn mathemateg, gofod topolegol yw **gofod Baire**, sydd (yn anffurfiol) yn fawr iawn, a chanddo digon o bwyntiau ar gyfer rhai prosesau terfannol. Fe'i henwyd ar ôl René-Louis Baire. Mae **theorem categorïau Baire** yn arf pwysig mewn topoleg a dadansoddi ffwythiannol. Mae dwy ffurf iddi, pob un yn rhoi amodau digonol er mwyn i ofod topolegol fod yn ofod Baire.

## Diffiniad 
Fe gelwir gofod topolegol yn **ofod Baire** os oes mewnedd gwag gan uniad unrhyw gasgliad rhifadwy o setiau caëdig gyda mewnedd gwag.

Mae'r canlynol yn gyfwerth â'r diffiniad uchod:

* Mae trawstoriad casgliad rhifadwy o setiau agored dwys yn ddwys.
* Prydbynnag mae pwynt mewnol gan uniad casgliad rhifadwy o setiau caëdig, yna rhaid fod pwynt mewnol gan un o'r setiau caëdig.

O.n. diffiniad cyfoes, ac nid diffiniad gwreiddiol Baire, yw'r uchod.

### Diffiniad Baire 
Diffiniodd Baire **categorïau** fel a ganlyn (O.n. does â wnelo hyn dim â damcaniaeth categorïau):

Fe gelwir is-set *S* o ofod topolegol *X* yn

* **ddwys-yn-nunlle** yn *X* os yw mewnedd ei gaefa \bar{S} yn wag
* set **tenau** (categori cyntaf) yn *X* os yw'n uniad casgliad rhifadwy o setiau dwys-yn-nunlle
* set **tew** (ail gategori) yn *X* os nad yw'n set tenau yn *X*.

Yna gellid diffinio gofod Baire fel a ganlyn: mae *X* yn ofod Baire os yw pob set an-wag agored yn dew. Mae hyn yn gyfwerth â'r diffiniad cyfoes.

## Enghreifftiau 
* Mae'r set **R** o rifau real gyda'r topoleg arferol yn ofod Baire, ac felly'n dew yn ei hun. Mae'r rhifau cymarebol yn denau, a'r rhifau anghymarebol yn dew, yn **R**.
* Mae set Cantor yn ofod Baire, ac felly'n dew yn ei hun, ond mae'n denau yn y cyfwng [0, 1].
* D.s. nid yw'r gofod o rifau cymarebol (gyda'r topoleg a etifeddwyd o'r rhifau real) yn ofod Baire, gan ei fod yn uniad o gasgliad rhifadwy o setiau caëdig gyda mewnedd gwag: yr unigolion.

## Priodweddau 
*Mae pob gofod Baire an-wag yn dew yn ei hun (ond nid yw pob ofod sy'n dew yn ei hun yn ofod Baire).
*Mae trawstoriad casgliad rhifadwy o is-setiau o ofod Baire yn an-wag (ond nid yw'r gosodiad cyfdro yn wir).
*Mae pob is-set agored mewn gofod Baire yn ofod Baire ynddo'i hun.
*Ystyriwch gasgliad o ffwythiannau di-dor *f**n*:*X*→*Y* sy'n cydgyfeirio i'r ffwythiant *f*:*X*→*Y*. Os yw *X* yn ofod Baire, yna mae'r set o bwyntiau lle nad yw *f* yn ddi-dor yn denau yn *X*, ac mae'r set o bwyntiau lle mae *f* yn ddi-dor yn dew yn *X*.

## Theorem categorïau Baire
Dyma dwy ffurf y theorem:
*(**BCT1**) Mae pob gofod metrig cyflawn an-wag yn ofod Baire.
*(**BCT2**) Mae pob gofod Hausdorff sy'n gryno'n lleol yn ofod Baire.

D.s. nad yw y naill o'r uchod yn ymhlygu'r llall, gan fod yna ofod cyflawn nad yw'n gryno'n lleol, a gofod Hausdorff nad yw'n mydradwy.

### Perthynas â Gwireb Dewis 
I brofi naill ai **BCT1** neu **BCT2,** mae'n rhaid defnyddio rhyw ffurf o'r Wireb Dewis. Yn system ZF, mae BCT1 yn gyfwerth â "gwireb dewis dibynnol," ffurf wanach o'r wireb.

### Defnyddio'r theorem 
Dengys **BCT1** fod pob gofod metrig cyflawn nad oes ganddo pwyntiau arwahanol yn anrifadwy. (os yw *X* yn ofod metrig cyflawn cyfradwy heb bwyntiau arwahanol, yna mae pob unigolyn {*x*} mewn *X* yn wag-yn-nunlle, ac mae *X* felly'n denau yn ei hun.) Yn benodol, dengys hyn fod y set o rifau real yn anrifadwy.

Categori:Topoleg