Amrywiant

de|bawd|400x400px|Enghraifft o ddwy boblogaeth gyda'r un cymedr ond amrywiannau gwahanol. Mae gan y boblogaeth goch gymedr 100 ac amrywiant 100 (gwiriad safonol 10) tra bod gan y boblogaeth las gymedr 100 ac amrywiant 2500 (gwiriad safonol 50).
Mewn damcaniaeth tebygolrwydd ac ystadegaeth, **amrywiant** yw disgwyliad gwyriad sgwâr hapnewidyn o'i gymedr. Yn anffurfiol, mae'n mesur i ba raddau y mae set o rifau wedi'u gwasgaru o'u gwerth cymedrig. Mae gan amrywiant rôl bwysig mewn ystadegaeth, lle'i ddefnyddir ar gyfer ystadegaeth ddisgrifiadol, profi rhagdybiaeth, modelu, a samplu Monte Carlo. Mae amrywiant yn bwysig yn y gwyddorau, lle mae dadansoddiad ystadegol o ddata yn gyffredin. Yr amrywiant yw sgwâr y *gwyriad safonol*. Amrywiant hefyd yw ail foment ganolog dosraniad, a chydamrywiad yr hapnewidyn ag ef ei hun. Cynrychiolir amrywiant yn aml gan \sigma^2, s^2, ac \operatorname{Var}(X).

## Diffiniad damcaniaeth tebygolrwydd 
Amrywiant hapnewidyn X yw gwerth disgwyliedig (cymedr) y gwyriad sgwâr (pellter sgwâr) o gymedr X, \mu = \operatorname{E}[X]:

:  \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2 \right]. 

Gellir meddwl am yr amrywiant hefyd fel cydamrywiant hapnewidyn ag ef ei hun:

: \operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X, X).

Gellir ehangu'r mynegiad ar gyfer yr amrywiant fel a ganlyn:

: \begin{align}
\operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}[X])^2\right] \\[4pt]
&= \operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}[X] + \operatorname{E}[X]^2\right] \\[4pt]
&= \operatorname{E}\left[X^2\right] - 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + \operatorname{E}[X]^2 \\[4pt]
&= \operatorname{E}\left[X^2 \right] - \operatorname{E}[X]^2
\end{align}

Mewn geiriau eraill, mae amrywiant  yn hafal i gymedr sgwâr  minws sgwâr cymedr .

### Hapnewidyn arwahanol 
Os yw generadur hapnewidyn X yn arwahanol gyda ffwythiant màs tebygolrwydd x_1 \mapsto p_1, x_2 \mapsto p_2, \ldots, x_n \mapsto p_n, yna

: \operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2,

lle \mu yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr). Hynny yw,

: \mu = \sum_{i=1}^n p_i x_i .

### Hapnewidyn parhaus 
Os oes gan hapnewidyn X ffwythiant dwysedd tebygolrwydd f(x), gofod cyflwr (parth) Ω, a ffwythiant dosraniad cronnus cyfatebol F(x), yna

:\begin{align}
  \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 &= \int_{\Omega} (x-\mu)^2 f(x) \, dx \\[4pt]
   &= \int_{\Omega} x^2f(x)\,dx -2\mu\int_{\R} xf(x)\,dx + \mu^2\int_{\R} f(x)\,dx \\[4pt]
   &= \int_{\Omega} x^2 \,f(x)\,dx - 2 \mu \cdot \mu + \mu^2 \cdot 1 \\[4pt]
   &= \int_{\Omega} x^2 \,f(x)\,dx - \mu^2,
 \end{align}

lle\mu yw gwerth disgwyliedig (cymedr) X a roddir gan

:\mu = \int_{\Omega} x f(x) \, dx 

## Enghreifftiau 
### Dis teg 
Gellir modelu dis teg chwe ochr fel hapnewidyn arwahanol, , gyda chanlyniadau 1 i 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal 1/6. Gwerth disgwyliedig  yw (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 7/2. Felly, amrywiant  yw

:\begin{align}
 \operatorname{Var}(X) &= \sum_{i=1}^6 \frac{1}{6}\left(i - \frac{7}{2}\right)^2 \\[5pt]
  &= \frac{1}{6}\left((-5/2)^2 + (-3/2)^2 + (-1/2)^2 + (1/2)^2 + (3/2)^2 + (5/2)^2\right) \\[5pt]
  &= \frac{35}{12} \approx 2.92.
\end{align}

### Dosraniad esbonyddol 
Mae dosraniad esbonyddol gyda pharamedr λ yn ddosraniad parhaus, a rhoddir ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd gan

: f(x) = \lambda e^{-\lambda x}

ar y cyfwng . Gellir dangos ei gymedr yw

: \operatorname{E}[X] = \int_0^\infty \lambda xe^{-\lambda x} \, dx = \frac{1}{\lambda}.

Gan ddefnyddio integreiddio fesul rhan, a defnyddio'r gwerth disgwyliedig a gyfrifwyd eisoes, mae gennym:

:\begin{align}
 \operatorname{Var}(X) &= \int_0^\infty \left(x - \frac{1}{\lambda}\right)^2 \lambda e^{-\lambda x} \, dx \\
  &= \lambda \int_0^\infty x^2 e^{-\lambda x} dx - 2\int_0^\infty xe^{-\lambda x} dx + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx\\
  &= \lambda \frac{2}{\lambda^3} - 2 \frac{1}{\lambda^2} + \frac{1}{\lambda} \frac{1}{\lambda} \\
  &= \frac{1}{\lambda^2}
\end{align}

## Diffiniad Ystadegaeth 
Yn nodweddiadol ni all arsylwadau yn y byd go iawn fod setiau cyflawn o'r holl arsylwadau posibl y gellid eu gwneud, na fydd amleddau'r arsylwadau yn cynrychioli'r tebygolrwyddau yn fanwl cywir. Felly, yn gyffredinol ni fydd yr amrywiant a gyfrifir o'r set gyfyngedig yn cyfateb i'r amrywiant a fyddai wedi'i gyfrifo o'r boblogaeth lawn o arsylwadau posibl. Mae hyn yn golygu bod rhaid yn *amcangyfrif* y cymedr a'r amrywiant a fyddai wedi cael ei gyfrif o set gyflawn o arsylwadau trwy ddefnyddio hafaliad amcangyfrif. Gelwir hwn yr *amrywiant sampl*.

Rydym yn cymryd sampl o *n* gwerth *Y*1,&nbsp;...,&nbsp;*Y**n* o'r boblogaeth, ac amcangyfrif yr amrywiant ar sail y sampl hon. Mae cymryd amrywiant y data sampl yn uniongyrchol yn rhoi:

:\sigma_Y^2 =
 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y}\right)^2.

Fan hyn mae \overline{Y} yn dynodi cymedr y sampl:

: \overline{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i .

Oherwydd dewiswyd *Y**i*  ar hap, mae \overline{Y} ac \sigma_Y^2 yn hapnewidynnau. Gallwn gyfrifo'u gwerthoedd disgwyliedig gan:

: \begin{align}
 \operatorname{E}[\sigma_Y^2]
  &= \operatorname{E}\left[ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n Y_j \right)^2 \right] \\[5pt]
  &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \operatorname{E}\left[ Y_i^2 - \frac{2}{n} Y_i \sum_{j=1}^n Y_j + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n Y_j \sum_{k=1}^n Y_k \right] \\[5pt]
  &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \left[ \frac{n - 2}{n} \operatorname{E}\left[Y_i^2\right] - \frac{2}{n} \sum_{j \neq i} \operatorname{E}\left[Y_i Y_j\right] + \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k \neq j}^n \operatorname{E}\left[Y_j Y_k\right] +\frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \operatorname{E}\left[Y_j^2\right] \right] \\[5pt]
  &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \left[ \frac{n - 2}{n} \left(\sigma^2 + \mu^2\right) - \frac{2}{n} (n - 1)\mu^2 + \frac{1}{n^2} n(n - 1)\mu^2 + \frac{1}{n} \left(\sigma^2 + \mu^2\right) \right] \\[5pt]
  &= \frac{n - 1}{n} \sigma^2.
\end{align}

Felly mae \sigma_Y^2 yn rhoi amcangyfrif o'r amrywiant poblogaeth sydd â bias ffactor o \frac{n - 1}{n}. Felly fe elwir \sigma_Y^2 yr *amrywiant sampl bias*. Mae cywiro ar gyfer y bias hwn yn rhoi'r *amrywiant sampl diduedd*, a ddynodir gan s^2:

:s^2 = \frac{n}{n - 1} \sigma_Y^2 = \frac{n}{n - 1} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y}\right)^2 \right) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - \overline{Y} \right)^2.

## Cyfeiriadau