Integryn

Un o brif gysyniadau'r calcwlws yw **integryn** (lluosog: **integrynnau**). Pwrpas integreiddio rhifiadol yw i ddod o hyd i ardal o dan y gromlin rhwng dau bwynt diwedd. Hynny yw y gallu i werthuso

: \int_{a}^{b} f(x)\, dx 

lle mae *a* a *b* cael eu rhoi ac mae *f* yn ffwythiant a roddwyd yn ddadansoddol neu fel
tabl o werthoedd.

## Integryn pendant
bawd|dde|250px|Yr arwynebedd, *S*, dan y graff yw'r integryn pendant,  \int_{a}^{b} f(x)\, dx 
Ystyriwch wrthrych sy'n teithio ar fuanedd cyson. Gellir darganfod y pellter a deithiwyd ar ôl rhyw amser *x* drwy luosi'r buanedd gyda'r amser. Ystyriwch yn awr wrthrych sy'n teithio ar fuanedd anghyson, *f*. Ar y graff ar y dde, *y* = *f*, *x* yw amser, ac ardal *S* yw'r pellter a deithiwyd yn ystod y cyfnod *b* - *a*. Nid yw lluosi syml yn ddigonol i ddarganfod y pellter a deithiwyd gan fod y buanedd yn newid o un eiliad i'r llall. Fodd bynnag gallem rannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau bach hafal, *δx*. Yna gallem luosi pob ysbaid *δx* gydag un o'r buaneddau *f* yn ei ystod. Yn olaf er mwyn cael bras amcan o'r pellter *S* a deithiwyd gallem adio i fyny'r cynyddrannau pellter *f* * *δx*:

: S \approx \sum_i f_i\ \delta x. 

Er mwyn gwella'r bras amcan gellir rhannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau *δx* llai ac ail adrodd y broses. Wrth i *δx* agosáu at 0, mae nifer yr ysbeidiau, *N*, yn agosáu at anfeidredd ac mae'r swm uchod yn agosáu at derfyn sy'n hafal i'r pellter a deithiwyd. Yr integryn yw'r terfyn hwn ble mae *f* yn ffwythiant o *x*:

:S = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{\delta x \to0} \sum^N_{i=1} f(x_i)\ \delta x,

:ble \delta x = \dfrac{b-a}{N}.

Mae'r terfyn uchod yn ddiffiniad o'r gweithrediad rhifadol sy'n rhoi integryn y ffwythiant *f*(*x*). Fodd bynnag o ganlyniad i ddamcaniaeth sylfaenol calcwlws a ddarganfuwyd gan Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz yn y 1670au gellir cyfrifo'r integryn pendant drwy werthuso gwrthddifferiadau:

: \int_{a}^{b} f(x)\ dx = F(b) - F(a), 

:ble  F'(x) = f(x). 

## Integryn amhendant
Y gwrthddifferiad yw'r integryn amhendant. Hynny yw ffwythiant gyda'r gwerth canlynol ar bob pwynt *x*:

: \int_{a}^{x} f(x)\, dx 

lle mae *a* yn gysonyn, annibynnol o *x*.

Fe ysgrifennir yr integryn amhendant yn gyffredin fel:

: \int f(x)\, dx 

O ganlyniad i'r berthynas wrthdro rhwng differu ac integru, os cyfrifir deilliad integryn, y ffwythiant gwreiddiol yw'r canlyniad:

: \int f'(x)\ dx = f(x) 

Os mae *g(x)* yn integryn amhendant *f(x)*, mae *g(x)+C* hefyd yn integryn amhendant *f(x)* ar gyfer pob cysonyn *C* annibynnol o *x*. Nid un ffwythiant yw integryn amhendant, felly, eithr cyfres o ffwythiannau, a wahanir drwy adio cysonyn.

### Integrynnau cyffredin
*Polynymiad:
:\int x^n\ dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C,\ n \ne -1 
*Ffwythiant exp(*x*):
:\int e^x\ dx = e^x + C 
*Ffwythiant *x-1*:
:\int \frac{1}{x}\ dx = \ln x + C 
*Y logarithm naturiol:
:\int \ln x\ dx = x\ln x - x + C 
*Deilliad gwrthdro ffwythiant tan:
:\int \frac{1}{x^2 + 1}\ dx = \arctan x + C 

## Ysgrifennu'r symbol ar gyfrifaduron 
Côd ar gyfer y symbol ∫ yw 222B hecsadegol yn Unicode; gellir ei ysgrifennu fel &amp;int; yn HTML.

Categori:Mathemateg
Categori:Calcwlws
Categori:Integryn