Differu

dde|210px|bawd|Mae'r cord (glas) yn fras amcan o'r tangiad ar y pwynt (*x*, f(*x*)).
Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw **differu**. Mae'n rhan o gangen calcwlws o fathemateg.

## Diffiniad 
Cyn i Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz ddarganfod calcwlws yn y 1670au, fe wyddid eisoes fod graddiant y llinell syth, *y* = *mx* + *c*, yn hafal i newid mewn *y* wedi ei rannu gan newid mewn *x*; Δ*y*/Δ*x* = *m*. Fe wyddid hefyd fod graddiant cromlin ar ryw bwynt yn hafal i raddiant y tangiad ar y pwynt hwnnw. Ond nid oedd ffordd gydlynol o ganfod graddiant cromliniau ac felly ni allai gwyddonwyr astudio cyfraddau anghyson yn hawdd. Ysgogodd y broblem hon ddatblygiad calcwlws.

Nid dim ond *y* sy'n ffwythiant o *x*, mae graddiant y gromlin *y* = f(*x*) yn ffwythiant o *x* hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (*x*,*y*) ac (*x* + Δ*x*, *y* + Δ*y*). Po leiaf yw Δ*x* (ac felly Δy), yr agosaf y mae Δ*y*/Δ*x* at y graddiant ar y pwynt (*x*,*y*), a phan fo Δ*x* yn agosáu at 0, mae Δy/Δ*x* yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (*x*,*y*). Y differiad yw'r terfyn (*lim*) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant d*y*/d*x* i'w symboleiddio:

:\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(y + \Delta y)-y}{(x + \Delta x)-x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} 

Gan fod *y* = f(*x*), gellir canfod ffwythiant y graddiant f '(*x*), y differiad, drwy ddefnyddio algebra:

:f'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

### Enghraifft
Wrth ddiferu'r ffwythiant, f(x)\! = x^2, ceir:

:\begin{align}
f'(x) &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\
      &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x + (\Delta x)^2-x^2 }{\Delta x} \\
      &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2x + \Delta x) \\
      &{}=2x
\end{align}

Hynny yw, wrth i Δ*x* agosáu at 0, mae (2*x* + Δ*x*) yn agosáu at derfyn o 2*x*. Felly fe gasglwn fod y graddiant ar unrhyw bwynt ar y gromlin f(*x*) = *x*2 yn hafal i 2 wedi'i luosi â chyfeirnod *x* y pwynt hwnnw. Er enghraifft y graddiant ar y pwynt (4,16) yw f '(4) = 2 × 4 = 8.

## Differiadau cyffredin 
### Ffwythiannau cyffredin
Isod gweler rhestr o ddifferiadau'r ffwythiannau a ddefnyddir fynychaf mewn calcwlws:
:\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} 
:\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}
:\frac{d}{dx}e^x = e^x
:\frac{d}{dx}\sin x = \cos x 
:\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x 
:\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x 
:\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ \ln a} 
:\frac{d}{dx}a^x = a^x\ \ln a 

### Rheolau cyffredinol
Mae hefyd ar gael reolau cyffredinol er mwyn hwyluso'r broses o gyfrifo differiadau cymhleth:
*Rheol adio:
:\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)

*Rheol lluosi:
:\frac{d}{dx}(f(x)\ g(x)) = f'(x)\ g(x) + g'(x)\ f(x)

*Rheol cadwyn:
:\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\ g'(x) 

## Nodiant 
## Dolenni allanol 
* Cyfrifiannell Ffwythiant WIMS sy'n cyfrifo'r difer ar-lein; mae'r meddalwedd yn galluogi ymarferion rhyngweithiol.
* Cyfrifiannell gwahaniaethu.
* Cyfrifiannell Differu ar-lein.
* "Mathematical Assistant on Web" Cyfrifiannell Differu ar-lein, gan gynnwys eglurhad o'r ateb.
* *Proving Derivatives from First Principles*.
* *Practice finding derivatives of randomly generated functions*

Categori:Calcwlws