Matrics

bawd|Matrics *m* × *n*: mae'r *m* rhes yn llorweddol ac mae'r *n* colofn yn fertigol. Yn aml, dynodir pob elfen o fatrics gan newidyn gyda dau danysgrifiad. Er enghraifft, mae *a*2,1 yn cynrychioli'r elfen yn yr ail res a cholofn gyntaf y matrics.
Mewn mathemateg, mae **matrics** yn arae hirsgwar neu *dabl* o rifau, symbolau, neu fynegiannau, wedi'u trefnu mewn *rhesi* a *cholofnau*. Er enghraifft, dimensiwn y matrics isod yw 2 × 3, oherwydd mae dwy res a thair colofn:

: \begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}.

Fe elwir yr eitemau unigol mewn matrics *m* × *n* matrics yn *elfennau* neu *gofnodion*. Ar gyfer matrics **A**, yn aml ddynodir yr elfen mewn rhes *i* a cholofn *j* gan *ai,j.*

Os oes ganddynt yr un maint (mae gan y matricsau yr un nifer o resi a'r un nifer o golofnau â'r llall), gellir adio neu dynnu dau fatrics fesul elfen. Y rheol ar gyfer lluosi matrics, fodd bynnag, yw y ''gellir lluosi dau fatrics ond pan mae nifer y colofnau yn y cyntaf yn hafal i nifer y rhesi'r ail.* Hynny yw, mae eu dimensiynau mewnol yr un peth, ***n*** ar gyfer lluosi matrics (*m* × ***n***) gan fatrics (***n*** × *p''), sy'n cynhyrchu matrics (*m* × *p*). Ni ellir lluosi'r matricsau y ffordd arall o gwmpas, felly nid yw lluosi matricsau yn gymudol. Gellir lluosi unrhyw fatrics â sgalar fesul elfen. Fel arfer dynodir matricsau gan ddefnyddio priflythrennau Lladin fel A, B a C.

## Sylfeini 
### Diffiniad 
Mae *matrics* yn arae hirsgwar o rifau (neu wrthrychau mathemategol eraill) y diffinnir gweithrediadau fel adio a lluosi ar eu cyfer. Yn fwyaf cyffredin, mae matrics dros faes *F* yn arae hirsgwar o sgalarau, y mae pob un ohonynt yn aelod o *F.* Er enghraifft, mae hwn yn fatrics real:

:\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
-1.3 & 0.6 \\
20.4 & 5.5 \\
 9.7 & -6.2
\end{bmatrix}.

Gelwir y rhifau, symbolau, neu ymadroddion yn y matrics yn *gofnodion* neu'n *elfennau*. Gelwir llinellau llorweddol a fertigol y cofnodion mewn matrics yn *rhesi* a *cholofnau*, yn y drefn honno.

### Maint 
Diffinnir maint matrics yn ôl nifer y rhesi a'r colofnau sydd ganddo. Gelwir matrics sydd ag *m* rhes *ac* *n* colofn yn fatrics *m*×*n*. Gelwir *m* ac *n* yn *ddimensiynau*'r matrics. Er enghraifft, mae'r matrics **A** uchod yn fatrics 3×2. Gelwir matricsau â rhes sengl yn *fectorau rhes*, a gelwir y rhai ag un golofn yn *fectorau colofn*. Gelwir matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau yn *fatrics sgwâr*. Gelwir matrics â nifer anfeidrol o resi neu golofnau (neu'r ddau) yn *fatrics anfeidrol*. Mewn rhai cyd-destunau mae'n ddefnyddiol ystyried matrics heb resi na cholofnau, hwn yw'r *matrics gwag*.

### Nodiant 
Yn aml ysgrifennir matricsau mewn cromfachau sgwâr neu gromfachau crwn:

:\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}=\left(a_{ij}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}.

Mae nodiant matrics yn amrywio'n fawr, ond mae rhai confensiynau cyffredinol. Fel arfer, defnyddir priflythrennau (fel **A** yn yr enghreifftiau uchod) i ddynodi matrics

### Ychwanegiad, lluosi sgalar, a thrawsosod 
Mae priodweddau cyfarwydd rhifau yn ymestyn i'r gweithrediadau matricsau hyn: er enghraifft, mae adio yn gymudol, hynny yw, nid yw'r swm matrics yn dibynnu ar drefn y symiau: **A**+**B**=**B**+**A**.
:[\mathbf{AB}]_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \cdots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j},

lle 1 ≤ *i* ≤ *m* ac 1 ≤ *j* ≤ *p*. Er enghraifft, caiff y cofnod wedi'i danlinellu 2340 ei gyfrifo o (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

:
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\underline{2} & \underline 3 & \underline 4 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & \underline{1000} \\
1 & \underline{100} \\
0 & \underline{10} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
3 & \underline{2340} \\
0 & 1000 \\
\end{bmatrix}.
\end{align}

Pryd bynnag mae'r lluosi hyn wedi'u diffinio, mae lluosi matrics yn bodloni'r rheolau (**AB**)**C** = **A**(**BC**), hynny yw cysylltiadedd; (**A** + **B**)**C** = **AC** + **BC** ac **C**(**A** + **B**) = **CA** + **CB**, hynny yw mae'n ddosbarthol o'r chwith ac o'r dde). Enghraifft o ddau fatrics nad ydynt yn cymudo â'i gilydd yw:

:\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}.

tra bod

:\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 3\\
\end{bmatrix},

## Matricsau sgwâr 
Matrics sgwâr yw matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau.) yw rhif sy'n disgrifio rhai priodweddau penodol y matrics. Mae matrics yn wrthdroadwy os ac yn unig os yw ei determinant yn di-sero. Rhoddir determinant matricsau 2 x 2 gan

\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.

Mae fformiwla Leibniz yn cyffredinoli'r fformiwla hon i bob dimensiwn.

#### Gwerthoedd eigen a fectorau eigen 
Gelwir rhif λ a fector di-sero **v** sy'n bodloni

: **Av** = λ**v**

yn *werth eigen* a *fector* *eigen* o **A**, yn y drefn honno.  Mae'r rhif λ yn werth eigen matrics *n* × *n* **A** os ac yn unig os nad yw **A** −λ**I** yn wrthdroadwy, sy'n cyfateb i

: \det(\mathsf{A}-\lambda \mathsf{I}) = 0.

## Cyfeiriadau