Theorem Bayes-Price

bawd|Arosodiad o ddau ddigwyddiad, er mwyn egluro theorem Bayes.
O fewn damcaniaeth tebygolrwydd ac o fewn ystadegau, mae **theorem Bayes-Price** (a elwir hefyd yn **gyfraith Bayes-Price**; ond tan yn ddiweddar, fel **Theorem Bayes**) yn disgrifio tebygolrwydd rhyw ddigwyddiad, yn seiliedig ar wybodaeth flaenorol o amodau a allai fod yn gysylltiedig â'r digwyddiad. Er enghraifft, os yw canser yn gysylltiedig ag oedran, yna, gan ddefnyddio theorem Bayes, gellir defnyddio oed unigolyn i asesu'n fwy cywir y tebygolrwydd bod ganddynt ganser, o'i gymharu ag asesu tebygolrwydd canser heb wybodaeth am oedran yr unigolyn.

Un o nifer o gymwysiadau theorem Bayes yw anwythiad Bayesaidd, sy'n fath o anwythiad ystadegol. Pan gaiff ei gymhwyso, gall y tebygolrwydd sy'n gysylltiedig â theori Bayes gael dehongliadau tebygolrwydd gwahanol. Gyda'r gwahanol ddehongliad hyn, mae'r theorem yn mynegi sut y dylai meddylfryd goddrychol newid i adlewyrchu'r dystiolaeth gysylltiedig. Mae anwythiad Bayesaidd yn hanfodol i'r ystadegydd Bayesaidd.

Galwyd y theorem ar ôl y Parchedig Thomas Bayes (1701-1761), y gŵr cyntaf i ddarparu hafaliad sy'n caniatáu tystiolaeth newydd i ddiweddaru credoau. Ar ei farwolaeth gadawyd ei bapurau heb eu cyhoeddi. Ei gyfaill Price a wahoddwyd i roi trefn arnynt a chymerodd ddwy flynedd i wneud hynny. Gwnaeth hynny mewn traethawd o'r enw *An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances* ychydig wedi iddo draddodi darlith ar yr hyn roedd wedi'i ddarganfod o flaen y Gymdeithas Frenhinol ar 23 Rhagfyr 1763. Richard Price o Langeinwyr felly a gyflwynodd Bayes i'r Byd, wrth iddo fynd drwy bapurau Bayes, wedi'i angladd. 

Datblygwyd y cysyniadau hyn ymhellach gan Pierre-Simon Laplace, a gyhoeddodd y fformiwlâu am y tro cyntaf yn ei waith "Théorie analytique des probabilités" (1812). Rhoddodd Syr Harold Jeffreys algorithm Bayes a gwaith Laplace ar ffurf wirebol (acsiomatig). Ysgrifennodd Jeffreys "fod theorem Bayes i theori tebygolrwydd yr hyn yw theorem Pythagoras i geometreg".

## Datganiad o'r theorem
Gellir datgan y theorem Bayesaidd, mewn hafaliad, fel:

:P(A\mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)},

ble mae A a B yn ddigwyddiadau (mathemategol) a P(B) \neq 0.

* P(A\mid B) yw'r tebygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad A ddigwydd, gan fod B yn gywir.
* mae P(B\mid A) hefyd yn debygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad B ddigwydd, gan fod A yn gywir.
* P(A) a P(B) yw'r tebygolrwydd o arsylwi A a B yn annibynnol o'i gilydd; gelwir hyn yn "debygolrwydd amodol".

## Enghraifft
Tybiwch fod prawf ar gyfer defnyddio cyffur penodol yn 99% sensitif a 99% yn benodol. Hynny yw, bydd y prawf yn cynhyrchu 99% o ganlyniadau cadarnhaol gwirioneddol i ddefnyddwyr cyffuriau a 99% gwirioneddol negyddol ar gyfer defnyddwyr nad ydynt ar gyffuriau. Tybiwch eto fod 0.5% o bobl yn defnyddio'r cyffuriau dan sylw. Beth yw'r tebygolrwydd bod unigolyn a ddewiswyd ar hap gyda phrawf positif yn ddefnyddiwr cyffuriau?

:
\begin{align}
P(\text{Defnyddiwr}\mid\text{+}) &= \frac{P(\text{+}\mid\text{Defnyddiwr}) P(\text{Defnyddiwr})}{P(+)} \\
 &= \frac{P(\text{+}\mid\text{Defnyddiwr}) P(\text{Defnyddiwr})}{P(\text{+}\mid\text{Defnyddiwr}) P(\text{Defnyddiwr}) + P(\text{+}\mid\text{Heb fod yn ddefnyddiwr}) P(\text{Heb fod yn ddefnyddiwr})} \\[8pt]
&= \frac{0.99 \times 0.005}{0.99 \times 0.005 + 0.01 \times 0.995} \\[8pt]
&\approx 33.2\%
\end{align}

Hyd yn oed os yw unigolyn yn profi'n bositif, mae'n fwy tebygol nad ydynt yn defnyddio'r cyffur. Mae hyn oherwydd bod nifer y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr yn fawr o'i gymharu â nifer y defnyddwyr. Mae nifer y cadarnhaol anghywir (*false positives*) yn gorbwyso'r nifer positif gwirioneddol. Er enghraifft, pe profir 1,000 o unigolion yna disgwylir 995 o bobl nad ydynt ar y cyffuriau a 5 defnyddiwr. O'r 995 nad ydynt yn ddefnyddwyr, disgwylir 0.01&nbsp;×&nbsp;995&nbsp;≃&nbsp;10 cadarnhaol anghywir. O'r 5 defnyddiwr, disgwylir 0.99&nbsp;×&nbsp;5&nbsp;≈&nbsp;5 cadarnhaol anghywir. O blith 15 o ganlyniadau positif, dim ond 5 sy'n ddilys.
bawd|Diagram canghennog i egluro'n weledol yr enghraifft a roddir parthed defnyddwyr cyffuriau. Mae U, Ū, "+" and "−" ddigwyddiadau sy'n cynrychioli'r defnyddwyr, y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr, canlyniadau positif a negatif.  events representing user, non-user, positive result and negative result. Cyfrifwyd y canrannau (mewn cromfachau).

## Cyfeiriadau
## Dolennau allanol
* 
* Tiwtorial i fyfyrwyr ar ystadegaeth a theorem Bayesaidd.

Categori:Ystadegaeth Bayes
Categori:Tebygolrwydd
Categori:Theoremau