Sffêr

o sffêr.]]
Mae **sffêr** (enw gwrywaidd; o'r Groeg σφαῖρα - sphaira, "pelen") yn wrthrych geometrig perffaith mewn gofod tri dimensiwn; dyma wyneb pêl cwbwl gron sy'n cyfateb yn nhermau dau ddimensiwn i gylch.

Fel cylch mewn gofod dau ddimensiwn, diffinnir sffêr yn fathemategol fel y set o bwyntiau sydd i gyd ar yr un pellter  o bwynt penodol, ond mewn man tri dimensiwn. Y pellter  yw radiws y bêl, sydd wedi'i ffurfio o bob pwynt gyda pellter llai na  o'r pwynt a roddir, sef canolbwynt / canol y bêl fathemategol. Cyfeirir at y rhain hefyd fel "y radiws" a "chanol y cylch". Mae'r linell syth hiraf drwy'r bêl, sy'n cysylltu dwy bwynt y sffêr, yn mynd trwy'r canol gyda'i hyd, felly, ddwywaith y radiws; dyma "ddiamedr" y sffêr a'i bêl.

Ar y cae pêl-droed a mannau eraill y tu allan i fyd mathemateg, caiff y ddau air 'sffêr' a 'phêl eu cyfnewid a'u camddefnyddio'n aml. O fewn mathemateg, perchir y gwahaniaeth, lle mae sffêr yn arwyneb caeedig dau ddimensiwn, wedi'i fewnosod mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn, ac ar y llaw arall, mae'r bêl yn siâp tri dimensiwn sy'n cynnwys y sffêr a phopeth y tu mewn i'r sffêr (pêl caeedig), neu, yn amlach, dim ond y pwyntiau y tu mewn, ond nid ar y sffêr (pêl agored). Nid yw'r gwahaniaeth hwn bob amser wedi'i gynnal, yn enwedig mae hen gyfeiriadau mathemategol lle ddisgrifir sffêr yn wrthrych solat. Mae hyn yn debyg i'r sefyllfa yn y plân, lle mae'r termau "cylch" a "disg" hefyd cael eu camddefnyddio.

## Hafaliadau yn y gofod tri dimensiwn 
Mewn geometreg dadansoddol, mae sffêr sydd a'i ganol  a'i radiws   yn locws i holl bwyntiau  ,  fel bod
: (x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2.

Gadewch i  fod yn rhifau real, gyda , a rhowch
:x_0 = \frac{-b}{a}, \quad y_0 = \frac{-c}{a}, \quad z_0 = \frac{-d}{a}, \quad \rho = \frac{b^2 +c^2+d^2 - ae}{a^2}. 

yna, nid oes gan yr hafaliad
:f(x,y,z) = a(x^2 + y^2 +z^2) + 2(bx + cy + dz) + e = 0
unrhyw bwyntiau real fel datrysiadau os \rho , ac fe'i gelwir yn "sffêr dychmygol".

Os \rho = 0 yna'r unig ddatrysiad o f(x,y,z) = 0 yw'r pwynt P_0 = (x_0,y_0,z_0) a dywedir bod yr hafaliad yn "hafaliad y sffêr pwynt". Yn olaf, yn achos \rho > 0, yna f(x,y,z) = 0 yw hafaliad y sffêr sydd a'i ganol yn P_0 a'i radiws yn \sqrt \rho.

Gellir rhoi pwyntiau sffêr gyda radiws r > 0 a'i ganol (x_0,y_0,z_0) ar baramedr, drwy:
:\begin{align} x &= x_0 + r \sin \varphi \; \cos \theta \\
y &= y_0 + r \sin \varphi \; \sin \theta \qquad (- {\pi}/2 \leq \varphi \leq {\pi}/2,\;  0 \leq \theta 

Mae sffêr gyda'i radiws wedi'i ganoli ar sero yn arwyneb integrol o'r ffurf wahaniaethol ganlynol:

: x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.

Mae'r hafaliad hwn yn adlewyrchu safle a fectorau cyflymder pwynt,  a , sy'n teithio ar y sffêr, ac sydd bob amser yn orthogonol i'w gilydd.

## Cyfaint mewnol
bawd|Sffêr (mewn coch), gyda'i silindr amgylchol (mewn glas golau).

Mewn gofod tri dimensiwn, mae cyfaint oddi mewn i sffêr (sef cyfaint pêl) yn:
: V = \frac{4}{3}\pi r^3
lle mae  yn radiws y sffêr. Archimedes a luniodd y fformiwla hon yn gyntaf, gan fynegi fod y cyfaint y tu mewn i sffêr ddwywaith y gwahaniaeth cyfaint y sffêr a chyfaint y silindr sy'n ei amgylchynu.

Yn fyr, gellir canfod fformiwla ei gyfaint drwy ddefnyddio cyfesurynnau sfferig, gydag elfennau'r cyfaint yn
:  dV=r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\varphi
fel bod
: V=\int_0^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta\, d\varphi  
= 2\pi \int_{0}^{\pi} \int_0^r r'^2\sin\theta\, dr'\, d\theta 
= 4\pi \int_0^r r'^2\, dr'\ 
=\frac43\pi r^3.

Yn ymarferol, ac fel brasamcan, mae cyfaint mewnol sffêr yn 52.4% o gyfaint y ciwb, gan fod  , ble  yw diamedr y sffêr a hyd ochr y ciwb a &nbsp;≈&nbsp;0.5236. Er enghraifft, mae gan sffêr gyda diamedr o 1 fetr 52.4% o gyfaint y ciwb sydd a hyd ei ymylon yn 1 fetr, neu tua 0.524&nbsp;m3.

## Arwynebedd
Arwynebedd sffêr gyda'i radiws yn  yw:
:A = 4\pi r^2.

## Cyfeiriadau
Categori:Arwynebau
Categori:Geometreg Euclidaidd
Categori:Siapau elfennol
Categori:Strwythur
Categori:Topoleg