Theorem gwaddod

Mewn dadansoddi cymhleth, disgyblaeth o fewn mathemateg, mae'r **theorem gwaddod**, a elwir weithiau'n **theorem gwaddod Cauchy**, yn offeryn pwerus i werthuso integrynnau amlin o ffwythiannau analytig dros gromliniau caeedig; yn aml gellir ei ddefnyddio i gyfrifo integrynnau real, a hefyd i gyfrifo cyfresi anfeidraidd. Mae'n cyffredinoli theorem integryn Cauchy a fformiwla integryn Cauchy. O safbwynt geometregol, gellir ei ystyried yn achos arbennig o theorem gyffredinol Stokes.

## Datganiad 
Mae'r datganiad fel a ganlyn:
chwith|bawd|250x250px| Darlun o'r lleoliad.
Gadewch i  fod yn is-set agored gysylltiedig syml o'r plân cymhlyg sy'n gynnwys set meidraidd o bwyntiau , {{math|*U*0  *U* \ {*a*1, ..., *a**n*}|}}, a ffwythiant  sydd wedi'i diffinio ac yn holomorffig ar . Gadewch  fod yn gromlin gaeedig yn , ac yn dynodi rhif dirwyniad (*winding number*)  o gwmpas  gan . Mae'r integryn amlin o  o amgylch  yn hafal i  lluosi swm gwaddodion  yn y pwyntiau, pob un yn cael ei gyfrif cymaint o weithiau y mae  yn troelli o amgylch y pwynt:

: \oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) \operatorname{Res}( f, a_k ). 

Os yw  yn gromlin gaeedig syml sydd wedi'i gogwyddo'n bositif, mae  os yw  tu mewn i , a 0 os na, felly

: \oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum \operatorname{Res}( f, a_k ) 

gyda'r swm dros yr  sydd tu mewn .

Er mwyn gyfrifo integrynnau real, defnyddir y theorem gwaddod yn y ffordd ganlynol: rydym yn ymestyn yr integrand i'r plân cymhlyg a chyfrifo'i gwaddodion (sydd fel arfer yn hawdd), ac rydym yn ymestyn rhan o'r echel real i gromlin gaeedig trwy atodi hanner cylch yn yr hanner plân uchaf neu isaf, gan ffurfio hanner cylch. Yna gallwn gyfrifo'r integryn dros y gromlin hon gan ddefnyddio'r theorem gwaddod. Yn aml, bydd rhan hanner cylch yr integryn yn tueddu tuag at sero wrth i radiws yr hanner cylch dyfu, gan adael dim ond rhan echel real yr integryn, yr un yr oedd gennym ddiddordeb ynddo yn wreiddiol.

## Enghreifft 
### Integryn ar hyd yr echel go iawn 
Mae'r integryn

: \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx}}{x^2+1}\,dx

de|bawd|300x300px| Yr amlin .
yn codi mewn theori tebygolrwydd wrth gyfrifo ffwythiant nodweddiadol y dosraniad Cauchy. Nid yw'n hawdd ei gyfrifo gan ddefnyddio technegau calcwlws elfennol, ond gellir ei gyfrifo trwy ei fynegi fel terfan integrynnau amlin.

Tybiwch fod , a diffiniwch yr amlin  sy'n mynd ar hyd y llinell real o  i , ac yna'n wrthglocwedd ar hyd hanner cylch wedi'i ganoli ar 0 o  i  . Cymerwch  i fod yn fwy nag 1, fel bod yr uned ddychmygol wedi'i hamgáu o fewn y gromlin. Nawr, ystyriwch yr integryn amlin

: \int_C {f(z)}\,dz =\int_C \frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz.

Gan fod  yn ffwythiant cyfan (heb unrhyw hynodion ar unrhyw bwynt yn y plân cymhlyg), mae gan y ffwythiant hwn hynodion ond lle mae'r enwadur  yn sero. Gan fod , mae hwn yn sero yn  ac . Dim ond un o'r pwyntiau hynny sydd yn y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan yr amlin hon. Gan fod  yn

: \begin{align}
\frac{e^{itz}}{z^2+1} & =\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right) \\
& =\frac{e^{itz}}{2i(z-i)} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} ,
\end{align}

gwaddod  yn  yw

: \operatorname{Res}_{z=i}f(z)=\frac{e^{-t}}{2i}.

Yn ôl y theorem gwaddod felly, mae gennym

: \int_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}\limits_{z=i}f(z)=2\pi i \frac{e^{-t}}{2i} = \pi e^{-t}.

Gellir ymrannu'r amlin  i mewn i'r rhan syth a'r arc grom, fel bod

: \int_{\mathrm{syth}} f(z)\,dz+\int_{\mathrm{arc}} f(z)\,dz=\pi e^{-t}\,

ac felly

: \int_{-a}^a f(z)\,dz =\pi e^{-t}-\int_{\mathrm{arc}} f(z)\,dz.

Gan ddefnyddio'r Lema Amcangyfrif, mae gennym

: \left|\int_{\mathrm{arc}}\frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz\right| \leq \pi a \cdot \sup_{\text{arc}} \left| \frac{e^{itz}}{z^2+1} \right| \leq \pi a \cdot \sup_{\text{arc}} \frac{1} \leq \frac{\pi a}{a^2 - 1},

ac

: \lim_{a \to \infty} \frac{\pi a}{a^2-1} = 0.

Felly, mae

: \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.

Os yw  yna mae dadl debyg gydag arc  sy’n troelli o gwmpas  yn hytrach nag  yn dangos fod
de|bawd|300x300px| Yr amlin .

: \int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz=\pi e^t,

ac felly, yn olaf mae gennym

: \int_{-\infty}^\infty\frac{e^{itz}}{z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.

(Os yw  yna mae'r integryn yn lleihau i rywbeth gallwn ddefnyddio ddulliau calcwlws elfennol arno, a'i werth yw . )

## Cyfeiriadau 
* 
* 
* 
*