Pentagon

bawd|Pentagon rheolaidd
[bawd|thumbtime=9|[Castell Holt, ar lan Afon Dyfrdwy ym Mwrdeistref Sirol Wrecsam. Codwyd y castell ar ffurf pentagon.]]
bawd|Pentagon (allanol) a phentagon serennog.

Mewn geometreg, **pentagon** yw unrhyw siâp pum-ochr neu 5-gon. Mae swm onglau mewnol pob pentagon syml yn 540°. Gall pentagon fod yn syml neu'n hunan-groestori; gelwir pentagram sy'n hunan-groestori yn rheolaidd neu'n 'bentagon serennog' (gweler Pentagram).

Daw'r gair 'pentagon' o'r Groeg πέντε ***pente*** a γωνία ***gonia***, sef "pump ac ongl".

## Pentagonau rheolaidd
Symbol Schläfli y pentagon rheolaidd yw {5} ac mae pob ongl fewnol yn 108°; mae'n dilyn felly bod

5 x 108 = 540°.

Mae ganddo hefyd 5 llinell cymesuredd tro (neu 'cymesuredd cylchdro'.) a 5 llinell adlewyrchol. Mae croesliniau'r pentagon rheolaidd amgrwm o fewn y 'gymhareb aur', i'w ochrau. Mae ei uchter (y pellter o un ochr i'r fertig cyferbyn) a'i led, yn cael ei dangos fel:

:\text{Uchder} = \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2} \cdot \text{Ochr}\approx 1.539 \cdot \text{Ochr},
:\text{Lled} = \text{Diagonal}= \frac{1+\sqrt5}{2} \cdot \text{Ochr}\approx 1.618 \cdot \text{Ochr},
:\text{Croeslin} = R\ {\sqrt { \frac {5+\sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902 R,

lle dynodir *R* yn radiws yr amgylch.

Gellir dynodi arwynebedd pentagon rheolaidd amgrwm, gydag ochrau o hyd *t* fel:
:A = \frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} = \frac{5t^2 \tan(54^\circ)}{4} \approx 1.720 t^2.

Defnyddir y gair **pentagram** (neu 'bentongl') weithiau am yn bentagon serennog. Ei symbol Schläfli yw {5/2}. Mae ei ochrau'n ffurfio croeslinau pentagon rheolaidd amgrwm, ac yn y ffurf hwn mae ochrau'r ddau bentagon o fen y gymhareb aur.

Pan fo'r pentagon rheolaidd o fewn mewngylch, gyda radiws *r*, yna dynodir hyd ei ochrau *t* fel:
:t = R\ {\sqrt { \frac {5-\sqrt{5}}{2}} } = 2R\sin 36^\circ = 2R\sin\frac{\pi}{5} \approx 1.176 R,

a'i arwynebedd yw:

:A=\frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}};

gan fod arwynebedd y mewngylch yn \pi R^2, mae'r pentagon rheolaidd yn llenwi tua 0.7568 o'i fewngylch.

### Deilliant o fformiwla ei arwynebedd
Arwynebedd pob polygon rheolaidd yw :
:A = \frac{1}{2}Pr

lle dynodir *P* fel perimedr y polygon ac *r* yw'r mewn- radiws (sy'n hafal i'r apothem). Pe amnewidir gwerthoedd y pentagon rheolaidd *p* ac *r*, yna:
 
:A = \frac{1}{2} \cdot 5t \cdot \frac{t\tan(54^\circ)}{2}= \frac{5t^2\tan(54^\circ)}{4}
gyda hyd yr ochrau yn *t*.

### Mewn-radws
Mae gan bod polygon rheolaidd amgrwm fewngylch. Mae'r apotherm (radiws *r* y mewngylch) y pentagon rheolaidd yn perthyn i hyd yr ochrau *t* drwy:

:r=\frac{t}{2\tan ( \pi /5)}=\frac{t}{2\sqrt{5-\sqrt{20}}}\approx 0.6882 \cdot t.

## Enghreifftiau o bentagram a phentagonau ym myd natur
### Planhigion

Image:BhindiCutUp.jpg|Croestoriad o'r ocra.
Image:Morning Glory Flower.jpg|Tegwch y bores.
Image:Sterappel dwarsdrsn.jpg|Gynoeciwm afal, sy'n cynnwys 5 carpel ar ffurf pentagon serennog.
Image:Carambola Starfruit.jpg|Y ffrwyth Carambola.

### Anifeiliaid

File:Oreaster reticulatus201905mx.jpg|Seren fôr. Mae gan lawer o'r echinodermau gymesuredd.
File:Sea Urchin Endoskeleton.jpg|Draenog môr.
File:Ophiura ophiura.jpg|Yr ophiuroids

### Mineralau

File:Ho-Mg-ZnQuasicrystal.jpg|Grisial Ho-Mg-Zn 
File:Pyrite elbe.jpg|Grisial pyritohedron  crystal of pyrit. Mae ganddo 12 arwyneb polygon.
Pentagons (mainly) at the Giant's Causeway - geograph.org.uk - 1478544.jpg|Sarn y Cawr, Iwerddon

### Artiffisial

Castle holt 2.webm|Castell Holt
Image:The Pentagon January 2008.jpg|Y Pentagon, pencadlys adran "amddiffyn" Unol Daleithiau America.
Image:Home base of baseball field in Třebíč, Třebíč District.jpg|Llain cartref pêl-fas

## Cyfeiriadau
Categori:Siapau elfennol