Cymedr

[bawd|Diagramau geometrig o fodd, canolrif a chymedr, o [ffwythiant dwysedd dychmygol.]]
Mesur o gyfartaledd neu ganolduedd yw **cymedr**, sef cyfanswm mewn set o ddata, neu grwp wedi'r rannu gyda'r nifer yn y grŵp. Weithiau, caiff ei alw'n "ddisgwyliad mathemategol".

Dynodir cymedr rhifyddol ar gyfer set o ddata x1, x2, ..., xn gan \bar{x}, a yngenir fel "x bar". Os yw'r set data'n cyfeirio at boblogaeth ystadegol, yna, y cymedr rhifyddol yw cymedr y sampl (a ddynodir gan \bar{x}) er mwyn ei wahaniaethu o ddi wrth y dosbarthiad gwaelodol, sef cymedr y boblogaeth (a ddynodir **\mu** neu **\mu_x**).

Mewn tebygolrwydd ac ystadegau, mae 'cymedr y boblogaeth' yn golygu gwerth a ddisgwylir, ac yn fesur o'r duedd ganolog naill ai o ddosbarthiad tebygolrwydd (*probability distribution*) neu o'r newidyn hap a nodweddir gan y dosbarthiad hwnnw. Yn achos dosbarthiad tebygolrwydd arwahanol o newidyn hap (*random variable*) X, mae'r cymedr yn hafal i'r swm dros bob gwerth posibl wedi'i bwysoli gan debygolrwydd y gwerth hwnnw; hynny yw, caiff ei gyfrifo trwy gymryd lluoswm pob gwerth posibl x o X a'i thebygolrwydd p (x), ac yna ychwanegu'r holl luosymiau hyn gyda'i gilydd, gan roi \mu = \sum x p(x). Mae fformiwla gyfatebol yn berthnasol i achos dosbarthiad tebygolrwydd parhaus. Nid yw gan pob dosbarthiad tebygolrwydd gymedr diffiniedig; gweler y dosbarthiad Cauchy er enghraifft. Ar ben hynny, ar gyfer rhai dosbarthiadau mae'r cymedr yn ddiderfyn.

Y tu allan i faes tebygolrwydd ac ystadegaeth, ceir ystyron a diffiniadau gwahanol o "gymedr": e.e. mewn geometreg a dadansoddi.

## Cymedrau Pythagoras
### Cymedr rhifyddol
Dyma'r ystyr arferol i 'gymedr'. Dynodir y cymedr rhifyddol o sampl, fel arfer gan x_1,x_2,\ldots,x_n, a ddynodir gan \bar{x}, sef cyfanswm gwerthoedd y sampl wedi'i rannu gan y nifer o eitemau yn y sampl

: \bar{x} = \frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{x_i}\right ) = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} 

Er enghraifft, cymedr rhifyddol y pump gwerth: 4, 36, 45, 50, 75 yw:
:\frac{4+36+45+50+75}{5} = \frac{210}{5} = 42.

#### Cymedr geometrig (*GM*) 
Math o gyfartaledd yw'r cymedr geometrig, sy'n ddefnyddiol ar gyfer setiau o rifau positif, yn unol a'u lluoswm ac nid eu cyfanswm (y cyfanswm a ddefnyddir gan gymedr rhifyddol, uchod). Er enghraifft, ystyrir graddfa cynnydd:
:\bar{x} = \left( \prod_{i=1}^n{x_i} \right )^\frac{1}{n} = \left(x_1 x_2 \cdots x_n \right)^\frac{1}{n}

neu gymedr geometrig 5 gwerth: 4, 36, 45, 50, 75 yw:
:(4 \times 36 \times 45 \times 50 \times 75)^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{24\;300\;000} = 30.

#### Cymedr harmonig
Cyfartaledd arall, sy'n ddefnyddiol ar gyfer set o rifau a ddiffinir mewn perthynas â unedau mesur, er enghraifft cyflymder dros amser.

: \bar{x} = n \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}

Er enghraifft, cymedr harmonig y 5 gwerth: 4, 36, 45, 50, 75 yw

:\frac{5}{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{45} + \tfrac{1}{50} + \tfrac{1}{75}} = \frac{5}{\;\tfrac{1}{3}\;} = 15.

## Termau
*cymedr rhifyddol - *arithmetic mean*
*Cymedr cyfrannol - *mean proportional*
*Cymedr Distyll Gorllanw - *Mean Low Water Spring Tide*
*Cymedr Penllanw Gorllanw - *Mean High Water Spring Tide*
*Cymedrau pwysol - *weighted mean*

## Cyfeiriadau
Categori:Cymedrau
Categori:Dadansoddi
Categori:Tebygolrwydd