Aritmetica

L'**aritmetica** (da u grecu ἀριθμός *arithmos*, "numaru" è τική τέχνη, *tiké téchne*, "arti" o "mistieri") hè un ramu di i matematichi chì cunsisti in u studiu di i numari, in particulari riguardu à i prubità di l'uparazioni tradiziunali annantu à quissi - addizioni, suttrazzioni, multiplicazioni, divisioni, spuninziazioni è estrazioni di radichi. L'aritmetica hè una parti elementaria di a tiuria di i numari, è quist'ultima hè cunsidarata com'è una di i divisioni supiriori di i matematichi muderni, incù l'algebra, a giumitria è l'analisa. I termini aritmetica è aritmetica supiriori sò stati apradati sinu à u principiu di u 20u seculu com'è sinonimi di tiuria di i numari, è sò calchì volta dinò apradati pà disignà una parti più larga di a tiuria di i numari. 

## Storia
*Articulu principali : Storia di l'aritmetica

A preistoria di l'aritmetica si limiteghja à un picculu numaru d'artefatti, chì poni indicà a cuncizzioni di l'addizioni è di a suttrazzioni, u più cunnisciutu essendu l'ossu d'Ishango d'Africa cintrali, datendu di trà 20.000 è 18.000 avanti G.-C., bench'è a so intarpritazioni fussi cuntistata. 

I più tracci anziani scritti indicheghjani ch'è l'Egizziani è i Babiluniani apradavani tutti l'uparazioni aritmetichi elementarii da 2.000 anni innanzi à Cristu. 'Ssi artefatti ùn svelani micca sempri u prucidimentu spicificu usatu pà risolva i prublemi, ma i carattaristichi di u sistemu numarali particulari influenzani mori a cumplissità di i metudi. U sistemu ieruglificu di i ciffri egizziani, com'è i ciffri rumani ultiriori, scendini da i marchi di punteghju apradati pà cuntà. In tremindù casi, 'ss'urighjina hà datu locu à valori chì apradavani una basa decimali, ma ùn cumprindiani micca nutazioni pusiziunali. I calculi cumplessi effittuati incù i ciffri rumani nicissitavani l'aiutu di una tavula da cuntà (o abacu rumanu) pà ottena i risultati. 

I primi sistemi numerichi chì inchjudiani una nutazioni pusiziunali ùn erani micca decimali, in particulari u sistemu sessagesimali (basa 60) par i ciffri babiluniani, è u sistemu vigesimali (basa 20) chì difinia i ciffri maya. Grazia à 'ssu cuncettu di valori di pusizioni, a pussibilità di riimprudà listessi ciffri pà diffarenti valori hà cuntribuitu à l'elaburazioni di metudi di calculu più simplici è più efficaci. 

U sviluppu storicu cuntinuu di l'aritmetica muderna principia incù a civilisazioni ellinistica di a Grecia antica, bench'edda fussi nata beddu dopu ch'è l'asempii babilunianu è egizzianu. Innanzi à i travagli d'Euclidi, versu 300 avanti G.-C., i studii grechi in matematichi si sò soprapposti à i cridenzi filusofichi è mistichi. Par indittu, Nicomacu hà riassuntu u puntu di vista di l'approcciu pitagoricu di i numari è di i so rilazioni mutui in a so *Intruduzioni à l'aritmetica*.

I ciffri grechi erani usati da Archimedi, Diofantu è d'altri in una nutazioni pusiziunali micca assà diffarenti di a nutazioni muderna. I grechi antichi ùn aviani micca simbulu pà u zeru sinu à u periudu ellinisticu, è apradavani trè insemi distinti di simbuli pà i ciffri : unu insemu par a pusizioni di l'unità, unu par a pusizioni di i dicini è unu pà i cintunari. Par a pusizioni di i migliaii, riimprudavani i simbuli di a pusizioni di l'unità, è tira è tocca. U so alguritmu d'addizioni era listessu à u metudu mudernu, è u so alguritmu di multiplicazioni ùn era ch'è appena diffarenti. U so alguritmu di divisioni longa era listessu, è l'alguritmu di a radica quatrata ciffru par ciffru, pupularamenti usatu insin'à u XXu seculu, era cunnisciutu da Archimedi (chì l'avarà forsi invintatu). U prifiria à u metudu d'apprussimazioni successiva di Hero chì, à quandu calculatu, un ciffru ùn cambia micca, è i radichi quatrati di i quatrati parfetti, com'è 7485696, si tarmineghjani subitu subitu da 2736. Pà i numari cumpurtendu una parti frazziunaria, com'è 546,934, apradavani i putenzi negativi di 60 - inveci di putenzi negativi di 10 par a parti frazziunaria 0,934. 

L'anziani Chinesi aviani i studii aritmetichi avanzati datendu di a dinastia Shang è parsuvitendu si sinu à a dinastia Tang, da i numari di basa à l'algebra avanzata. L'anziani Chinesi apradavani una nutazioni pusiziunali simili à quidda di i Grechi. Comu ùn aviani micca nemmenu un simbulu par u zeru, aviani unu insemu di simbuli par a pusizioni di l'unità, è un sicondu insemu pà a pusizioni di i dicini. Par a piazza di i cintunari, riimprudavani dopu i simbuli di a piazza di l'unità, è tira è tocca. I so simbuli erani basati annantu à l'anziani piccioli di cuntera. U mumentu asattu induva i Chinesi ani cuminciatu à calculà incù a ripprisintazioni pusiziunali hè scunnisciutu, ma si sà ch'è l'aduzzioni hà cuminciatu innanzi à 400 av. G.-C. I Chinesi di l'Antichità sò stati i primi à scopra, à capiscia è à appiicà di manera significativa i numari negativi. Quissa hè spiigatu in i *Novi capituli annantu à l'arti matematicu* (Jiuzhang Suanshu), chì hè statu scrittu da Liu Hui è datatu di u 2u seculu innanzi à G-C.

U sviluppu prugrissivu di u sistemu numericu indùarabu hà parmissu di cuncipiscia di manera indipindenti u cuncettu di valori di piazza è a nutazioni pusiziunali, chì cumbineghjani i metudi di calculu più simplici incù una basa decimali è l'utilisazioni di un ciffru ripprisintendu u 0. Quissa hà parmissu à u sistemu di ripprisintà di manera cuerenti i grandi è i picculi numari intrei, un'approcciu chì hà finitu par rimpiazzà tutti l'altri sistemi. À u principiu di u 6u seculu di a noscia ebbica, u matematicu indianu Aryabhata hà intigratu una virsioni esistenti di 'ssu sistemu in i so travagli ed hà spirimintatu diffarenti nutazioni. À u 7u seculu, Brahmagupta hà stabulitu l'usu di 0 com'è un numaru distintu ed hà ditarminatu i risultati di a multiplicazioni, di a divisioni, di l'addizioni è di a suttrazzioni di zeru è di tutti l'altri numari, cacciatu ni u risultatu di a divisioni via zeru. U so cuntimpuraneu, u vescu siriacu Severus Sebokht (650 dopu à G.-C.) hà dichjaratu : "L'Indiani pussedini un metudu di calculu ch'è nisciuna parola ùn saparia abbastanza ludà. U so sistemu raziunali di matematichi, o di u so metudu di calculu. Vogliu parlà di u sistemu usendu novi simbuli". L'Arabi ani dinò amparatu 'ssu metudu novu è l'ani chjamata *hesab*. 

Bench'è u *Codex Vigilanus* discrivi una prima forma di ciffri arabi (umittendu u 0) da 976 dopu à G.-C., hè par u più Liunardu di Pisa (Leonardu Fibonacci) chì hà spartu a so utilisazioni in l'Auropa sana dopu à a publicazioni di u so libru *Liber Abaci* in u 1202. Hà scrittu : "U metudu di l'Indiani (in latinu *Modus Indorum*) surpassa ogni metudu di calculu cunnisciutu. Hè un metudu maravigliosu. Facini i so calculi usendu novi ciffri è u simbulu zeru". 

À u Medievu, l'aritmetica era unu di i setti arti liberali insignati à l'università. 

U sviluppu di l'algebra in u mondu islamicu medievali, ma ancu in l'Auropa di a Rinascita, hè una cunsiquenza di a simplificazioni trimenda di u calculu di a nutazioni decimali.

Diversi tipi d'arnesi sò stati invintati è largamenti usati pà aghjivuliscia i calculi numerichi. Innanzi à a Rinascita, si trattava di diversi tipi d'abbachi. Frà l'asempii più ricenti, a parsona trova i righi da calculu, i nomugrammi è i calculatrici miccanichi, com'è a calculatrici di Pascal. Oghji, sò stati suppiantati da i calculatrici elettronichi è l'urdinatori.

## Uparazioni aritmetichi
*Da veda dinò: Uparazioni algebrica 
L'uparazioni aritmetichi di basa sò l'addizioni, a suttrazzioni, a multiplicazioni è a divisioni, bench'è l'aritmetica cumprendi dinò l'uparazioni più avanzati, tali i manipulazioni di parcenti, i radichi quatrati, a spuninziazioni, i funzioni lugaritmichi, è ancu i funzioni trigunumetrichi, in listessa vena ch'è i lugaritmi (prosthaphaeresis). I sprissioni aritmetichi devini essa valutati siont'è a siquenza d'uparazioni privista. Esistini parechji metudi pà spicificà la, sii - a più currenti, incù a nutazioni infissa - apradendu in modu esplicitu i parintesi è appughjendu si annantu à reguli di pricedenza, sii usendu una nutazioni prefissa o postfissa, chì fissani di manera singula l'ordini d'esecuzioni da par eddi. Ogni insemu d'ughjetti annantu à u quali i quattru uparazioni aritmetichi (cacciatu ni a divisioni par zeru) poni essa effittuati, è induva 'ssi quattru uparazioni ubbidiscini à i leghji soliti (cumpresu a distributività), hè chjamatu un campu.

### Addizioni
*Articulu principali : Addizioni
L'addizioni, disignata da u simbulu **+**, hè a più uparazioni fundamintali di l'aritmetica. In a so forma a più simplicia, l'addizioni cumbineghja dui numari, l'addizioni o termini, in un solu numaru, a somma di i numari (com'è 2 + 2 = 4 o 3 + 5 = 8). 

L'addizioni di un numaru finitu di numari pò essa cunsidarata com'è un'addizioni simplicia ripituta ; 'ssa prucidura hè cunnisciuta sottu u nomu di intimazioni, un termini dinò apradatu par disignà a difinizioni di "l'addizioni di un numaru infinitu di numari" in una seria infinita. L'addizioni ripituta di u numaru 1 hè a più forma elementaria di cuntera. U risultatu di l'addizioni di 1 hè generalamenti chjamatu u succissori di u numaru iniziali. 

L'addizioni essendu cummutativa è assuciativa, l'ordini in u quali i termini di una seria infinita sò aghjunti ùn hà micca impurtanza. 

U numaru 0 hà a prubità ch'è, quandu eddu hè aghjuntu à qualsiasi numaru, dà listessu numaru ; hè dunqua l'elementu d'idantità di l'addizioni, o l'idantità additiva. 

Pà ogni numaru *x*, esisti un numaru nutatu *-x*, chjamatu l'uppostu di x, tali *x + (-x) = 0* è *(-x) + x = 0*. L'uppostu di x hè dunqua l'inversu di x riguardu à l'addizioni, o l'inversu additivu di x. Par isempiu, l'uppostu di 7 hè -7, apposta chì 7 + (-7) = 0. 

L'addizioni pò dinò essa intarpritata di manera giumetrica, com'è in l'asempiu siguenti. S'è no avemu dui bastona di lunghezzi 2 è 5, tandu, s'è i bastona sò alliniati unu appressu à l'altru, a lunghezza di u bastonu cumbinatu diventa 7, apposta chì 2 + 5 = 7.

### Suttrazzioni
*Articulu principali : Suttrazzioni 
*Da veda dinò: Metudu di i cumplementi 
A suttrazzioni, disignata da u simbulu **-**, hè l'uparazioni inversa di l'addizioni. A suttrazzioni parmetti di truvà a diffarenza trà dui numari, u sminuendu è u suttraendu: D = M - S. Appiddendu ni à l'addizioni pricidentamenti discritta, quissa riveni à dì ch'è a diffarenza hè u numaru chì, aghjuntu à u suttraendu, dà u sminuendu : D + S = M. 

Par l'argumenti pusitivi, M è S si virificheghjani: 

S'è u sminuendu hè più maiò ch'è u suttraendu, a diffarenza D hè pusitiva. 
S'è u sminuendu hè più chjucu ch'è u suttraendu, a diffarenza D hè negativa. 
In tutti i casi, s'è u sminuendu è u suttraendu sò uguali, a diffarenza D = 0.

A suttrazzioni ùn hè nè cummutativa nè assuciativa. Pà 'ssa raghjoni, a custruzzioni di 'ssa uparazioni inversa in l'algebra muderna hè à spessu abbandunata à favori di l'intruduzioni di u cuncettu d'elementi inversi (com'eddu hè statu mintuvatu pà l'addizioni), induva a suttrazzioni hè cunsidarata com'è l'addizioni di l'inversu additivu di u suttraendu à a sminuendu, vali à dì a - b = a + (-b). U prezzu subitu di l'abbandonu di l'uparazioni binaria di suttrazzioni hè l'intruduzioni di l'uparazioni unaria (triviali), furniscendu l'inversu additivu par ogni numaru datu, è a perdita di l'accessu immediatu à a nuzioni di diffarenza, chì hè putinzialamenti ingannosa quandu l'argumenti negativi sò implicati.

Pà ogni ripprisintazioni di i numari, esistini i metudi di calculu di i risultati, chì certi sò particularamenti avantaghjosi par sfruttà i pruciduri, chì esistini pà un'uparazioni, incù picculi mudifichi ancu pà l'altri. Par indittu, l'urdinatori numerichi poni riimprudà i circuiti d'addizioni esistenti è risparmià i circuiti supplemintarii pà metta in opara una suttrazzioni, apradendu u metudu di u cumplementu in dui pà ripprisintà l'inversi additivi, chì hè estremamenti faciuli à metta in sesta in u matiriali (nigazioni). A contraparti hè a riduzioni di mità di a rangata di numari pà una lunghezza di parola fissa. 

Un metudu in tempi di una volta assà spartu pà ottena un muntanti di muneta currettu, cunniscendu i muntanti duvuti è dati, hè u metudu di a cuntera, chì ùn inghjinareghja micca in modu esplicitu u valori di a diffarenza. Suppunimu ch'è un muntanti P sii datu pà pagà u muntanti richjestu Q, P essendu supiriori à Q. Piuttostu ch'è di effittuà esplicitamenti a suttrazzioni P - Q C è di cuntà 'ssu muntanti C in muneta, u dinaru hè cuntatu principiendu da u succissori di Q, è cuntinuendu in i tappi di a muneta, sinu à ciò ch'è P sii aghjuntu. Bench'è u muntanti cuntatu devi essa uguali à u risultatu di a suttrazzioni P - Q, a suttrazzioni ùn hè mai statu rialmenti effittuata è u valori di P - Q ùn hè micca furnitu da 'ssu metudu.

### Multiplicazioni
*Articulu principali : Multiplicazioni
A multiplicazioni, disignata da i simbuli \times o \cdot , hè a siconda uparazioni di basa di l'aritmetica. A multiplicazioni parmetti dinò di cumbinà dui numari in un solu numaru, u pruduttu. I dui numari d'urighjina sò chjamati u multiplicatori è u multiplicandu, par u più, o sò simpliciamenti chjamati fattori.

A multiplicazioni pò essa cunsidarata com'è un'uparazioni di missa à a scala. S'omu imagineghja ch'è i numari si trovani annantu à una linia, a multiplicazioni via un numaru supiriori à 1, par asempiu x, riveni à stinzà unifurmamenti tuttu ciò chì s'alluntana da 0, di tali manera chì u numaru 1 stessu sii stinzatu insin'à ind'eddu si truvava x. Listessa, a multiplicazioni da un numaru infiriori à 1 riveni à stinzà tuttu ciò chì s'alluntana da 0. À listessu modu, a multiplicazioni via un numaru infiriori à 1 pò essa imaginata com'è una stinzata versu 0, di tali manera chì u numaru 1 và versu u multiplicandu. 

Un'antra visioni di a multiplicazioni di i numari intrei (stinzevuli à i raziunali ma pocu accissibuli par i riali) cunsisti à cunsidarà la com'è un'addizioni ripituta. Par isempiu. 3 x 4 currispondi sii à l'addizioni di 3 volti un 4, sii di 4 volti un 3, ciò chì dà listessu risultatu. L'avvisi diverghjini annantu à l'intaressu di 'ssi paradigmi in l'insignamentu di i matematichi. 

A multiplicazioni hè cummutativa è assuciativa ; di più, hè distributiva rispettu à l'addizioni è à a suttrazzioni. L'idantità multiplicativa hè 1, apposta chì a multiplicazioni di ogni numaru via 1 dà listessu numaru. L'inversu multiplicativu di ogni numaru, cacciatu ni 0, hè a reciproca di 'ssu numaru, chì a multiplicazioni di a reciproca di ogni numaru via u numaru stessu dà l'idantità multiplicativa 1. 0 hè u solu numaru senza inversu multiplicativu, è u risultatu di a multiplicazioni di ogni numaru è di 0 hè di novu 0. Si dici ch'è 0 ùn hè micca cuntinutu in u gruppu multiplicativu di i numari. 

U pruduttu di a è b si scrivi a \times b o a\cdotb. Quandu a o b sò i sprissioni chì ùn si scrivini micca simpliciamenti incù cifri, si scrivi ancu incù a simplicia ghjustappusizioni : ab. In i linguaghji di prugrammazioni infurmatica è i prugiziali (in i quali omu ùn pò usà ch'è i carattari ch'è a parsona trova nurmalamenti annantu à una tastiera), si scrivi à spessu incù un asteriscu: a*b. 

L'alguritmi mittendu in campu l'uparazioni di multiplicazioni par diversi ripprisintazioni di numari sò beddi più custosi è laburiosi ch'è quiddi di l'addizioni. Quiddi accissibuli pà u calculu manuali riposani sii annantu à u scumpunimentu di i fattori in valori di una sola piazza è l'appiicazioni di un'addizioni ripituta, sii annantu à l'utilisazioni di toli o di righi da calculu, fendu cusì currisponda a multiplicazioni à l'addizioni è viciversu. 'Ssi metudi sò anziani è sò prugrissivamenti rimpiazzati da apparechji mobili. L'urdinatori usani diversi alguritmi suffisticati è altamenti uttimizati par metta in opara a multiplicazioni è a divisioni par i diffarenti furmati di numari pigliati in carica da u so sistemu.

### Divisioni
*Articulu principali : Divisioni (matematichi)

A divisioni, disignata da i simbuli **<math>\div</math>** o /, hè par u più l'uparazioni inversa di a multiplicazioni. A divisioni parmetti di truvà u quuzienti di dui numari, u dividendu divisu via u divisori. Ogni dividendu divisu via zeru hè indefinitu. Pà i numari pusitivi distinti, s'è u dividendu hè più maiò ch'è u divisori, u quuzienti hè supiriori à 1, osinnò hè infiriori o uguali à 1 (una regula simili s'appieca à i numari negativi). U quuzienti multiplicatu via u divisori dà sempri u dividendu. 

A divisioni ùn hè nè cummutativa nè assuciativa. Cusì, com'è mintuvatu incù a suttrazzioni, a custruzzioni di a divisioni in l'algebra muderna hè scartata à prò di a custruzzioni di l'elementi inversi rispettu à a multiplicazioni. Cusì, a divisioni hè a multiplicazioni di u dividendu incù a reciproca di u divisori com'è fattori, vali à dì: a ÷ b = a × 1/b.

In senu à i numari naturali, esisti dinò una nuzioni diffarenti ma cunnessa chjamata divisioni euclidea, chì pruduci dui numari dopu à avè "divisu" un numaru naturali N (numaratori) via un numaru naturali D (dinuminatori) : primamenti, un numaru naturali Q (quuzienti), po un numaru naturali R (restu), veni à dì: N = D×Q + R è 0 ≤ R % o a parola mod. I diffarenti implemintazioni di a divisioni (gallighjanti, mozza, euclidea, è cetara.) currispondini à diffarenti implemintazioni di u modulu.

## Tiurema fundamintali di l'aritmetica
*Articulu principali : Tiurema fundamintali di l'aritmetica 
U tiurema fundamintali di l'aritmetica afferma ch'è ogni numaru intreiu supiriori à 1 hà una fatturisazioni prima singula (una ripprisintazioni di un numaru com'è pruduttu di fattori primi), senza tena conta di l'ordini di i fattori. Par isempiu, 252 ùn hà ch'è una sola fattorisazioni prima : 252 = 22 x 32 x 71.

L'Elementi d'Euclidi sò stati i primi à prisintà 'ssu tiurema è à dà ni una prova parziali (chjamata lemma d'Euclidi). U tiurema fundamintali di l'aritmetica hè stata pruvatu pà a prima volta da Carl Friedrich Gauss. 

U tiurema fundamintali di l'aritmetica hè una di i raghjoni par i quali 1 ùn hè micca cunsidaratu com'è un numaru prima. Frà l'altri raghjoni, citemu u ciarrigliulu d'Eratosteni è a difinizioni stessa di un numaru prima (un numaru naturali supiriori à 1 chì ùn pò essa furmatu multiplichendu dui numari naturali più chjuchi).

## Aritmetica decimali
A ripprisintazioni decimali si riferisci in modu esclusivu, in l'usu currenti, à u sistemu numarali scrittu impiighendu i ciffri arabi com'è ciffri pà una nutazioni pusiziunali di basa 10 ("decimali"). Eppuri, ogni sistemu numarali basatu annantu à i putenzi di 10, par asempiu i ciffri grechi, cirillichi, rumani o chinesi, pò essa discrittu cuncittualamenti com'è una "nutazioni decimali" o una "ripprisintazioni decimali". 

I metudi muderni pà i quattru uparazioni fundamintali (addizioni, suttrazzioni, multiplicazioni è divisioni) sò stati cuncipiti pà a prima volta da Brahmagupta in India. 'Ssu metudu era cunnisciutu in l'Auropa medievali sottu u nomu di "Modus Indoram" o metudu di l'Indiani. A nutazioni pusiziunali (dinò cunnisciuta sottu u nomu di "nutazioni di i valori di piazza") disigna a ripprisintazioni o a cudifichera di i numari apradendu listessu simbulu par i diffarenti ordini di grandezza (par isempiu, a "piazza di l'unità", a "piazza di i dicini", a "piazza di i cintunari") è, incù un puntu di basa, apradendu listessi simbuli pà ripprisintà i frazzioni (par isempiu, a "piazza di i dicesimi", a "piazza di i cintesimi"). Par indittu, 507,36 ripprisenta 5 cintunari (102), più 0 dicina (101), più 7 unità (100), più 3 dicesimi (10-1), più 6 cintesimi (10-2). 

U cuncettu di 0 in tantu ch'è numaru paragunevuli à l'altri ciffri di basamentu hè escinziali à 'ssa nutazioni, com'è u cuncettu di l'usu di 0 com'è carattaru di rimpiazzamentu, è com'è a difinizioni di a multiplicazioni è di l'addizioni incù 0. L'utilisazioni di u 0 com'è carattaru di rimpiazzamentu è, par via di cunsiquenza, l'usu di una nutazioni pusiziunali sò attistati par a prima volta in u testu giainu di l'India intitulatu Lokavibhâga, datatu di 458 dopu à G.-C. è ùn hè ch'è à u principiu di u 13u seculu ch'è 'ssi cuncetti, trasmissi par mezu di l'erudizioni di u mondu arabu, sò stati intradutti in Auropa da Fibonacci apradendu u sistemu numarali indùarabu. 

L'alguritmu cumprendi l'insemu di i reguli parmittendu di effittuà i calculi aritmetichi usendu 'ssu tipu di numarazioni scritta. Par indittu, l'addizioni pruduci a somma di dui numari arbitrarii. U risultatu hè calculatu da l'addizioni ripituta di ciffri unichi di ogni numaru chì accupa listessa pusizioni, prucedendu da mani dritta à mani manca. Una taula d'addizioni cumpurtendu deci linii è deci culonni affissa tutti i valori pussibuli par ogni incima. S'è una somma individuali varca u valori 9, u risultatu hè ripprisintatu da dui ciffri. U ciffru u più à dritta hè u valori di a pusizioni attuali, è u risultatu di l'addizioni siguenti di i ciffri à manca aumenta u valori di u sicondu ciffru (u più à manca), chì hè sempri uguali à unu (s'eddu ùn hè micca uguali à zeru). Stu aghjustamentu hè chjamatu una ritinuta di u valori 1. 

U prucessu di multiplicazioni di dui numari arbitrarii hè simili à quiddu di l'addizioni. Una taula di multiplicazioni cumpurtendu deci linii è deci culonni indicheghja i risultati par ogni paghju di ciffri. S'è u pruduttu individuali di un paghju di ciffri hè supiriori à 9, l'aghjustamentu di ritinuta aumenta u risultatu di ogni multiplicazioni ultiriori à parta da i ciffri situati à manca di un valori uguali à u sicondu ciffru (u più à manca), chì hè un valori cumpresu trà 1 è 8 (9 x 9 = 81). I tappi supplemintarii parmettini di difiniscia u risultatu finali. 

I tecnichi simili esistini pà a suttrazzioni è a divisioni. 

A criazioni di un prucidimentu currettu par a multiplicazioni riposa annantu à a rilazioni trà i valori di i ciffri aghjacenti. U valori di ogni ciffru di un numarali dipendi di a so pusizioni. Di più, ogni pusizioni à sinistra ripprisenta un valori deci volta supiriori à quiddu di a pusizioni à dritta. In termini matematichi, l'espunenti pà u radix (basa) di 10 aumenta di 1 (versu a manca) o diminuisci di 1 (versu a dritta). Par via di cunsiquenza, u valori di ogni ciffru arbitrariu hè multiplicatu via un valori di a forma 10n incù un numaru intreiu n. A lista di i valori currispundenti à tutti i pusizioni pussibuli par un solu ciffru si scrivi {..., 102, 10, 1, 10-1, 10-2, ...}. 

A multiplicazioni ripituta di ogni valori di 'ssa lista da 10 pruduci un'antru valori di a lista. In a tarminulugia matematica, 'ssa carattaristica hè difinita com'è una chjusura, è a lista pricidenti hè discritta com'è chjusa sottu à a multiplicazioni. Hè u basamentu par truvà in modu currettu i risultati di a multiplicazioni apradendu a tecnica pricidenti. 'Ssu risultatu hè un asempiu di l'usi di a tiuria di i numari.

## Aritmetica di l'unità cumposti
L'aritmetica di l'unità cumposti hè l'appiicazioni d'uparazioni aritmetichi à quantità à basi misti tali i peda è i pollici, i galloni è i pinti, i libri è i chilò, è cetara. Innanzi à l'apparsa di i sistemi munitarii è di l'unità di misura decimali, l'aritmetica di l'unità cumposti era largamenti apradata in u cummerciu è l'industria. 

### Uparazioni aritmetichi di basa
I tecnichi apradati in l'aritmetica di l'unità cumposti sò stati sviluppati in cori di numarosi seculi è sò beddi ducumintati in numarosi manuali in bon parechji lingui diffarenti In più di i funzioni aritmetichi di basa scuntrati in l'aritmetica decimali, l'aritmetica di l'unità cumposti aprada trè funzioni supplemintarii :
* a riduzioni, in a quali una quantità cumposta hè ridutta à una sola quantità. 
* l'espansioni, funzioni inversa di a riduzioni, hè a cunvirsioni di una quantità sprimata in una sola unità di misura in un'unità cumposta. 
* a nurmalisazioni hè a cunvirsioni di unu insemu d'unità cumposti in una forma standard. 
A cunniscenza di a rilazioni trà i diffarenti unità di misura, i so multiplici è i so sottumultiplici custituisci una parti escinziali di l'aritmetica di l'unità cumposti.

## Tiuria di i numari
*Articulu principali : Tiuria di i numari 
Sinu à u 19u seculu, a tiuria di i numari era sinonimu di "aritmetica". I prublemi abburdati erani dirittamenti liati à l'uparazioni di basa è cuncirnavani a primalità, a divisibilità, è a risuluzioni d'equazioni in numari intrei, com'è l'ultimu tiurema di Fermat. Hè apparsu ch'è a maiò parti di 'ssi prublemi, bench'è assà elementarii à enuncià, sò assà difficiuli è ùn poni essa risolti senza matematichi assà fondi fendu intarvena i cuncetti è i metudi isciuti da numarosi altri rami di i matematichi. Quissa hà datu nascita à nuveddi rami di a tiuria di i numari, com'è a tiuria analitica di i numari, a tiuria algebrica di i numari, a giumitria diufantea è a giumitria aritmetica algebrica. A prova di Wiles di l'ultimu tiurema di Fermat hè un asempiu tipicu di a nicissitatu di ricorra à metudi suffisticati, chì vani beddu aldilà di i metudi classichi di l'aritmetica, par risolva i prublemi chì poni essa enunciati in aritmetica elementaria.

## L'aritmetica in insignamentu
L'insignamentu primariu di i matematichi metti à spessu l'accentu annantu à l'alguritmi par l'aritmetica di i numari naturali, di i numari intrei, di i frazzioni è di i decimali. 'Ssu studiu hè calchì volta cunnisciutu sottu u nomu di algurisimu. 

A difficultà è l'aspettu pocu mutivanti di 'ssi alguritmi ani à longu cunduttu l'aducatori à rimetta in quistioni 'ssu prugramma, pricunizendu l'insignamentu prumaticciu d'idei matematichi più cintrali è intuitivi. Un muvimentu nutevuli in 'ssa dirizzioni hè statu fattu incù i Matematichi muderni di l'anni 1960 è 1970, chì ani pruvatu à insignà l'aritmetica in l'animu di un sviluppu assiumaticu à parta da a tiuria di l'insemi, un ecu di a pindenza duminanti in i matematichi supiriori. 

Listessa, l'aritmetica hè stata usata da l'eruditi islamichi cù u fini di insignà l'appiicazioni di i reguli rilativi à a Zakat è à l'Irth. Quissa hè stata fatta in un libru intitulatu *The Best of Arithmetic* da Abd-al-Fattah-al-Dumyati. 

U libru principia incù i fundamenti di i matematichi è passa à a so appiicazioni in i capituli siguenti.

## Notes


## Da veda dinò
* Riga da calculu
* Addizioni di i numari naturali
* Media aritmetica
* Prugrissioni aritmetica 
* Prubità aritmetichi 
* Assuciatività 
* Cummutatività 
* Distributività 
* Aritmetica elementaria 
* Prugrissioni giumetrica