Cusinu

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u **cusinu** di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu aghjacenti à l'angulu è di l'iputenusa. 

Di manera generali, u cusinu d'un angulu \alpha, aspressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da \alpha, custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è \cos(x) u valori di u cusinu in l'angulu x, s'otteni a **funzioni cusinu**, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

## Difinizioni

In u triangulu rossu nantu à a figura, u **cusinu** di *x* hè datu da:
\cos{x} = \overline{OC} 
Più in generali, si difinisci u cusinu pigliendu una circumfarenza di raghju unitariu è una mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu x incù l'assu di l'ascissi com'è nantu à a figura. U cusinu di l'angulu x hè difinitu cusì com'è u valori di a 
cuurdinata x di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu OC). 

A tavuledda siguenti esponni i principali valori nutevuli assunti da a funzioni cusinu:

Esisti un'antra difinizioni di cusinu in rilazioni à i rutazioni: u cusinu d'un angulu x hè u cumpunenti longu l'assu di l'ascissi di u virsori i, virsori di l'assu x, ghjiratu di x.

## Funzioni cusinu
A **funzioni cusinu** hè difinita assucendu à x u cusinu di l'angulu x (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù f(x) = \cos{x} . Apposta ch'è x è x + 2k\pi difiniscini u stessu angulu par qualsiasi k intreiu, a funzioni cusinu hè una funzioni piriodica di periodu 2\pi (induva 2\pi hè l'angulu ghjiru). A curva di u graficu di sta funzioni hè dinuminata **[[Onda sinusuidali|cusinusoidi]]**. L'insemu di variabilità di a funzioni cusinu hè [-1,1], veni à dì applichendu 'ssa funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà -1 è 1, estremi inclusi.



## Cusinu è sinu

Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali, ditta *equazioni fundamintali di a trigunumitria*, o *unità guniumetrica*:
:\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} = 1,
chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora.

## Prubità analitichi di u cusinu
A dirivata di a funzioni cusinu hè l'oppostu di a funzioni sinu. T'avemu dunqua:
(\cos x)^{\prime}=-\sin x.

Quissa pò essa dimustrata applichendu una formula di prustaferesi par calculà a limita di u rapportu incrimintali di u cusinu:
:\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{-2 \sin \frac{2x+h}{2}\sin \frac{h}{2}}{h} = -\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\sin\left(x+\frac{h}{2}\right) \underset{h \rightarrow 0}{\longrightarrow} -\sin x.

A dirivata siconda di u cusinu hè a funzioni stessa cambiata di segnu:

:(\cos x)^{\prime \prime} = -\cos x,

par via di cunsiquenza, a funzioni cusinu com'è a funzioni sinu) risolvi l'equazioni diffarinziali

:y^{\prime\prime}+y=0,

chì discrivi u motu d'un uscillatori armonicu ideali libaru.

A funzioni cusinu hè una funzioni à dirivati equilimitati (s'hà infatti |y^{(k)}| \le 1 per ogni k), ed hè par via di cunsiquenza analitica; a so espansioni in seria di Taylor hè:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots   = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

par ogni x riali.

In analisa matematica 'ss'ugualità hè à spessu usata par difiniscia u cusinu. Listessa seria difinisci u cusinu com'è funzioni olumorfa annantu à tuttu u pianu cumplessu.

## Equazioni fundamintali rilativi à u cusinu

Vali a siguenti formula d*'addizioni* (è *suttrazzioni*) *d'archi*:

:\cos(x\pm y) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y,

è in particulari a *formula di duplicazioni*

:\cos{(2x)} = \cos^2x - \sin^2x = 1 - 2\sin^2x = 2\cos^2x - 1.

I siguenti sò i furmuli di prustaferesi rilativi à u cusinu:

:\cos{x} + \cos{y} = 2\cos{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}},

:\cos{x} - \cos{y} = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}}.

Vali ancu a catena di disugualità:

:0 

Si cunsidareghja a circumfarenza unitaria, è sii 0 , com'è nantu à a figura.

Si tracci a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu x (antiurariu) rispettu à u mezassu pusitivu di l'ascissi. Tandu i cuurdinati di u puntu d'intarsizioni P di a mezaretta incù a circumfarenza sò (\cos x, \sin x). Si traccia u sigmentu chì unisci P à u puntu A=(1,0). Sii inoltri T u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a retta d'ascissa 1 (assu di i tangenti). T hà cuurdinati (1, \tan x).

Si nota ch'è u triangulu POA hè strittamenti rinchjusu in u sittori circulari POA, u quali hè rinchjusu strittamenti in u triangulu TOA. Vali tandu a disugualità di i rispittivi arii (si ricorda ch'è x hè l'angulu, aspressu in radianti):

:0 

veni à dì

:0 

Da a prima parti di a disugualità si ricava ch'è  0 , mentri cunsidarendu a siconda, dividendu veni à dì par \sin x (ciò chì hè pussibuli parchì  \sin x > 0 ), s'utteni:

: 1 

veni à dì

: \sin x \cos x 

induva à a fini s'hè multiplicatu par \sin x è par \cos x, ciò chì priserva u versu di a disugualità parchì sò tremindù pusitivi. Ricapitulendu i risultati, 

 0 

Q.E.D..

}}

Esisti ancu una'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni cusinu à a funzioni tangenti:

:\cos{x} = \frac{1-\tau^2}{1+\tau^2} \quad \text{ incù }\quad \tau = \tan\frac{x}{2}
.

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'equazioni guniumetrichi in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un cusinu (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u sinu, ciò chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni incù a scunnisciuta \tau. Di listessa manera, si pò sfruttà sta rilazioni par u calculu di i primitivi di funzioni guniumetrichi.

## Difinizioni currilati
* U reciprocu di u cusinu (difinitu induva u cusinu hè diffarenti da zeru) hè a secanti:
::\sec x =\frac 1{\cos x}.
* A funzioni cusinu hè iniettiva nantu à l'intarvallu [0,\pi] è hà dunqua una inversa, chjamata arcucusinu (indicatu incù \arccos o incù \cos^{-1} chì ripiglia a nutazioni di a funzioni inversa).

## Urighjina di u nomu
U terminu *cusinu* stà par "*cumplimintariu di u sinu*". Infatti, par anguli trà 0 è \pi/2, u cusinu d'un angulu hè u sinu di l'angulu cumplimintariu, veni à dì :\cos{x} = \sin\left(\frac{\pi}{2} \pm x\right).
sta rilazioni, chì si ricava da i furmuli di somma d'archi, hè valida par ogni  x ; eppuri a nuzioni giumetrica d'angulu cumplimintariu s'applicheghja solu l'anguli pusitivi, è dunqua cumpresi trà 0 è  \pi/2 .

## Noti


## Da veda dinò
* Sinu
* Leghji di u cusinu
* Cusinusoidi
* Funzioni trigunumetrica
* Tangenti (matematica)
* Arcucusinu
* Circumfarenza guniumetrica
* Formula di Eulero
* Formuli di duplicazioni
* Formuli di bisizzioni
* Formuli di prustaferesi
* Formuli di Werner
* Funzioni piriodica
* Funzioni altirnata
* Cusinu iperbolicu

## Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.