Sinu

In matematica, in particulari in trigunumitria, datu un triangulu rittangulu, u *sinu* di unu di i dui anguli interni aghjacenti à l'iputenusa hè difinitu com'è u rapportu trà i lunghezzi di u catetu oppostu à l'angulu è di l'iputenusa. 

Più in generali, u sinu d'un angulu \alpha, espressu in gradi o radianti, hè una quantità chì dipendi solu da \alpha, custruita usendu a circumfarenza unitaria.

Difiniscendu com'è \sin(x) u sinu in l'angulu x, s'otteni a **funzioni sinu**, una funzioni trigunumetrica di fundamintali impurtanza in l'analisa matematica.

## Difinizioni

In u triangulu rossu annantu à a figura, u **sinu** di x hè datu da
:\sin(x) = \overline{DC} 
Più in generali, si difinisci u sinu d'un angulu x (aspressu in gradi o radianti) à parta da a circumfarenza guniumetrica, vali à dì da a circumfarenza di raghju unitariu in u pianu cartisianu. Presa a mezaretta chì esci da l'urighjina chì forma un angulu x incù l'assu di l'ascissi com'è annantu à a figura, u sinu di l'angulu hè dunqua difinitu com'è u valori di a cuurdinata y di u puntu d'intarsizioni trà a mezaretta è a circumfarenza (nantu à a figura, hè a lunghezza di u sigmentu CD). 

U duminiu di a funzioni sinu hè l'insemu di i numari riali, mentri u cuduminiu hè l'intarvallu riali [-1; +1], veni à dì applichendu tali funzioni à qualunqua numaru riali s'otteni sempri un numaru riali cumpresu trà -1 è +1, estremi inclusi.

A tavuledda siguenti esponi i principali valori nutevuli assunti da a funzioni sinu:

In i testi di matematica u sinu di x hè di solitu indicatu incù a nutazioni \sin(x), induva \sin hè un'abbriviazioni di u latinu sinus usata ancu in i paesi di lingua inglesa.

Esisti un'altra difinizioni di sinu chì si cullega à i rutazioni: u sinu d'un angulu x hè u cumpunenti longu l'assu di l'urdinati di u virsori i, virsori di l'assu di l'ascissi, ghjiratu di x.

## Funzioni sinu

A **funzioni sinu** hè difinita assucendu à x u sinu di l'angulu x (rapprisintatu in radianti), è hè indicata incù \sin(x). postu ch'è x è x+2\pi definiscini u stessu angulu, a funzioni sinu hè una funzioni piriodica di periodu 2\pi (induva 2\pi hè l'angulu ghjiru).

## Sinu è cusinu
Trà sinu è cusinu esisti a rilazioni fundamintali: 
:\sin^2x + \cos^2x = 1,
chì hè cunsiquenza di u tiurema di Pitagora. Infatti in u triangulu OCD in a figura in altu u cusinu di x hè difinitu com'è 
:\cos(x) = \frac{\overline{OC}}{\overline{OD}}. 
D'altra parti u tiurema di Pitagora applicatu à u triangulu OCD furnisci a rilazioni:{\overline{DC}}^2 + {\overline{OC}}^2 = {\overline{OD}}^2,è dunqua:\sin^2x + \cos^2x = \left(\frac{\overline{DC}}{\overline{OD}}\right)^2 + \left(\frac {\overline{OC}}{\overline{OD}}\right)^2 = \frac^2 + {\overline{OC}}^2}{\overline{OD}^2} = \frac{\overline{OD}^2}{\overline{OD}^2} = 1.
Vali ancu a rilazioni:
:\sin(x) = \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right).

Com'è par u cusinu, a cusecanti d'un angulu hè 1 divisu u sinu di l'angulu.

## Prubità analitichi di a funzioni sinu

A dirivata di a funzioni sinu hè a funzioni cusinu. Avemu veni à dì:\sin'x=\cos x.
A dirivata siconda hè inveci:\sin* x = -\sin x.</math>
A funzioni sinu hè una [[funzioni analitica]], è a so espansioni in [[seria di Taylor]] hè:<math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}.</math>
In [[analisa matematica]] st'ugualità hè spessu usata par difiniscia u sinu. A stessa seria difinisci u sinu com'è [[funzioni olumorfa]] annantu à tuttu u [[pianu cumplessu]].

== Equazioni fundamintali rilativi à u sinu ==
Si rapportani quì di seguitu parechji equazioni fundamintali riguardu à a funzioni sinu;

:<math>\sin^2x + \cos^2(x) = 1,</math>

:<math>\sin(x\pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y,</math>

:<math>\cos(x\pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y,</math>

incù l`aghjunta di a cundizioni ch'è:

:<math>0 < x\cos x < \sin x < x \text{ par } 0 < x < 1.</math>

Esisti ancu un'idantità trigunumetrica chì metti in rilazioni a funzioni sinu è a funzioni [[Tangenti (matematica)|tangenti]]:

:<math>\sin(x) = \frac{2\tau}{1+\tau^2} \quad \text{ incù }\quad \tau = \tan\frac{x}{2}.</math>

st'idantità si svela di fundamintali impurtanza in a risuluzioni d'[[Equazioni trigunumetrica|equazioni guniumetrichi]] in a quali a scunnisciuta figura com'è argumentu sii d'un sinu sii d'un [[cusinu]] (o di funzioni dirivati da quiddi). Esisti, infatti, un'idantità analoga par ciò chì riguarda u cusinu, u chì parmetti a risuluzioni di l'equazioni in a scunnisciuta <math>\tau</math>.

== Difinizioni currilati ==
* U [[reciprocu]] di u sinu (difinitu induva u sinu hè diffarenti da zeru) hè a [[cusecanti]]
:<math>\csc x =\frac {1}{\sin x}</math>
* A funzioni sinu, ristretta à l'[[Intarvallu (matematicu)|intarvallu]] <math>\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]</math> hè [[Funzioni iniettiva|iniettiva]] è dunqua hà una [[Funzioni inversa|inversa]], chjamata [[arcusinu]] (indicatu incù <math>\arcsin</math> o incù <math>\sin^{-1}</math> chì ripiglia a nutazioni di a [[funzioni inversa]]). Par difinizioni s'hà dunqua: 
:<math>x = \arcsin y \Longleftrightarrow y = \sin x, \quad -\frac{\pi}{2}\leq x \leq \frac{\pi}{2}, \quad -1\leq y \leq 1.</math>

==Storia è urighjina di u nomu==	 
U cuncettu di sinu fù introduttu da u [[matematicu]] è [[astrunomu]] [[India|indiana]] [[Aryabhata I]] (in [[devanagari|devanāgarī]]: आर्यभट) ([[476]] - [[550]]) in a so opara [[Aryabhatiya]] ([[499]]).

U sinu hè par difinizioni a mità d'una *corda*, veni à dì un [[sigmentu]] chì unisci dui [[Puntu (giumitria)|punti]] (ditti *estremi*) d'una [[circumfarenza]]. A parola [[lingua sanscrita|sanscrita]] par *mità corda* hè *jya-ardha*, calchì volta sustituitu incù *ardha-jya* è abbriviatu in *jya* (*corda*). Stu terminu fù impurtatu in a [[lingua araba]] com'è *jiba*, un terminu senza significatu prima di tandu ma chì riflittia a prununcia funetica di u nomu jya. Sicondu i reguli di a lingua araba, 'ssu nomu fù scrittu incù i dui cunsunanti *jb*, senza vucali. Più dopu, quandu i traduttori 
uccidintali ebbini cunniscenza di i fonti arabi, intarpritàni a parola *jb* com'è *jaib*, chì u so significatu era *baia*. Infini, u talianu [[Gerardo da Cremona|Gherardo da Cremona]] ([[1114]] - [[1187]]) tradussi a parola in [[Lingua latina|latinu]] com'è *sinus*, di a quali u significatu era par appuntu *baia''.

U sinu d'un angulu hè indicatu incù \mathrm{sin}(x).

## Da veda dinò
* Funzioni trigunumetrica
* Sinusoidi
* Cusinu
* Tangenti (matematica)
* Arcusinu
* Circumfarenza guniumetrica
* formula di Eulero
* Formuli di duplicazioni
* Formuli di bisizzioni
* Formuli di Werner
* Tiurema di i sini
* Funzioni piriodica
* Funzioni altirnata
* sinu iperbolicu

## Noti


## Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.