Uttaedru

In giumitria solida, l' **uttaedru** hè un puliedru incù ottu facci triangulari. L**'uttaedru rigulari** hè un di i cinqui solidi platonichi, chì i so facci sò trianguli equilateri. Hà sei vertici è dodici spiculi.

## Aria è vulumu
L'aria  A  di superficia è u vulumu V di l'uttaedru rigulari di u quali spiculu hà una lunghezza a sò dati da:
:A=2\sqrt{3}a^2 \approx 3.46410162a^2
:V=\frac{1}{3} \sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3
U vulumu hè 4 volti quiddu d'un tetraedru rigulari incù spiculi di lunghezza a, mentri 
l'aria di superficia hè u doppiu (apposta ch'edda hè furmata da 8 trianguli equilateri, quandu u tetraedru inveci n'hà 4)

L'angulu diedrali di l'uttaedru rigulari hè arc cos(-1/3), apprussimativamenti uguali à 109.47122°.

## Cuurdinati cartisiani

Un uttaedru rigulari in u spaziu euclidea \R^3 pò essa traslatu di manera à avè u centru in l'urighjina, è dopu à oppurtuni rutazioni è similitudina hà i 6 vertici in
:(\pm 1,0,0), 
:(0,\pm 1, 0), 
:(0, 0, \pm 1).  

## A custruzzioni di Euclide

In u libru XIII di i so Elementi, Euclide discrivi u metudu par iscriva un uttaedru rigulari in una sfera di diamitru datu. A custruzzioni discritta da Euclide hè a siguenti: 

Sii AB (vedi Fig. 1) u diamitru di a sfera data; si trovi u so puntu mediu D è si tracci un mezuchjerchju di centru D è raghju DA. Si alza a parpindiculari da D, ditarminendu u puntu C nantu à a circumfarenza è infini si cunghjunghjini i punti AC è CB.

Si riplicheghji listessa custruzzioni annantu à i trè piani passendu par AB incù un angulu diedru di 90°, 180° è 270° rispettu à u pianu iniziali (Fig. 2). Si tracciani infini i cunghjunghjenti frà i punti CE, EF, FG è GC.

Hè chjaru ch'è i vertici A, C, E, F è G si trovani annantu à i mezicircumfarenzi custruiti nantu à u diamitru AB, è dunqua si trovani tutti nantu à a superficia di a sfera di listessu diamitru. Par custruzzioni i spiculi chì partini da i vertici A è B sò uguali trà eddi; ma ancu i spiculi CE, EF, FG è GC ani listessa lunghezza: infatti tutti i spiculi di l'uttaedru sò dinò l'iputenusa d'un triangulu rittangulu di u quali i cateti sò raghji di a sfera.

Par ciò chì riguarda u rapportu frà diamitru di a sfera spiculu di l'uttaedru iscrittu, par via di u tiurema di 
Pitagora u quatratu custruitu nantu à u spiculu hè doppiu di u quatratu custruitu nantu à u raghju di a sfera; par via di cunsiquenza u quatratu custruitu nantu à u diamitru hè doppiu di u quatratu custruitu nantu à u spiculu.

## Puliedru duali
U puliedru duali di l'uttaedru rigulari hè u cubu.

## Simmitrii
L'uttaedru hà 24 simmitrii rutaziunali, veni à dì chì priservani l'uriintazioni di u spaziu, più altri 24 simmitrii chìùn a priservani micca. U gruppu di simmitria di l'uttaedru conta dunqua un tutali di 48 elementi. 

U sottugruppu datu da i 24 rutazioni hè isumorfu à u gruppu S_4 di i parmutazioni di 4 elementi. Ci hè infatti asattamenti una rutazioni chì rializeghja ogni pussibuli parmutazioni di i 4 coppii di facci opposti.

U gruppu tutali di simmitria hè isumorfu à u pruduttu S_4\times\mathbb Z/_{2\mathbb Z} di S_4 incù un gruppu ciclicu incù 2 elementi.

## Impavimenti

L'uttaedru rigulari ùn inghjinireghja micca da solu un impavimentu di u spaziu, parchì i so anguli diedrali ùn sò micca divisori di 360°. Ni inghjinireghja una parò in cumbinazioni incù u tetraedru, com'è mustratu annantu à a figura.

## Da veda dinò
* Solidu platonicu
* Uttaedru truncatu
* Uttaedru iperbolicu
*Toru (giumitria)
*Giumitria piana
*Angulu rettu
*Catetu
*Mezaretta
*Perimetru
*Sigmentu
*Triangulu isusceli
*Triangulu equilateru
*Tiurema di Pitagora
*Iputenusa
*Tangenti
*Trigunumitria
*Triangulu

## Noti


## Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.