Cuncoide di Nicomede

A **cuncoide di Nicomede** hè una curva piana cuncipita da u matematicu grecu Nicomede, chì hà campatu à pocu pressu à tempu à Archimede in u seculu II a.C. U nome di cuncoide, chì pruvene da a parolla greca “κογχοειδής”, face riferimentu à u fattu chì a forma di a curva ramenta u prufilu d'una cunchiglia. Hè un tippu di cuncoide induve i raghji vettori tracciati da un puntu fissu taglianu una retta (chjamata “basa”) à una distanza custante.

Data una retta basa parallela à l'assu pulare situata à una distanza d da l'origine, è una distanza fissa k chì si trova annantu à ogni raghju vettore partendu da u puntu induve ellu incrocia a retta basa (sia da daretu sia da davanti), l'equazione in cuurdinate pulare di a cuncoide di Nicomede hè:

:\rho=\frac{d}{cos\ \omega} + k

chì, in cuurdinate cartesiane, piglia a forma:

:(x-d)^2(x^2+y^2)=k^2 x^2  \,

U raportu trà i parametri d è k ditermineghja l'aspettu di e duie branche di a curva.

## Custruzzione

Si fissa un puntu O (chjamatu polu) è una linea retta m distante d da O. Si cunsidereghja avà una siconda linea retta generica chì passa per O, chì incrocia a linea m in A. Nantu à sta retta, da i dui lati rispettu à A, s'aghjunghjenu dui sigmenti AP=AP' ognunu di lunghezza k.  U locu geumetricu di i punti P è P' uttenuti fendu girà a linea retta m chì passa per O si chjama cuncoide di Nicomede. A parte di a curva più luntana da O (vale à dì P) si chjama *branca esterna*; è l'altra parte riceve u nome di *branca interna*.

Hè subitu da verificà chì per un sistema di cuurdinate pulare, l'equazione di a cuncoide piglia a forma:

: \rho =  \frac{d}{\cos \theta} + k.

Fendu cuincide u puntu O cù l'origine d'un sistema d'assi cartesiani xOy; è pigliendu una retta basa parallela à l'assu y à una distanza d da l'origine, è una distanza k da applicà nantu à i raghji vettori, l'equazione cartesiana di a curva hè:

: (x^2 + y^2)(x - d)^2 = k^2 x^2.

D'altronde, l'equazioni parametriche piglianu a forma:

: \begin{cases} x = d + k \cos \theta \\ y = d \tan \theta + k \sin \theta. \end{cases}

### Custruzzione di tangenti è nurmale

René Descartes hà inclusu in a so opera "La Géométrie" (A Geometria) a spiegazione d'un metudu chì permette di disegnà a nurmale è, dunque, a tangente di a cuncoide di Nicomede.

Quì si espone in breve:
# Si vole traccià a nurmale d'una cuncoide di Nicomede cù polu A è modulu b in un puntu C.
# A retta direttrice di sta cuncoide si chjamerà (BH), induve B hè tale chì (AB) è (CH) sò perpendiculare à (BH).
# Disegnà u sigmentu [CE] di manera chì E sia l'interrezzione trà e linee (BH) è (CA).
# Piazzà u puntu F di manera chì F appartenga à [CE] è CF=CH.
# Piazzà u puntu G nantu à a linea perpendiculare à (BH) è chì passa per F di manera chì FG=EA.
# A linea (CG) hè tandu a nurmale à a curva in C.

## Trisezzione d'un angulu

A curva si pò aduprà per risolve u prublema di a trisezzione di l'angulu. Sia A\widehat{O}B un angulu arbitrariu. Da un puntu qualsiasi L di u latu OB si traccia a perpendiculare LD à u latu OA, è si cunsidereghja a cuncoide custruita annantu à a retta LD rispettu à u polu O di custante k=2OL.  A retta parallela à OA tracciata da L scontra a branca esterna di a cuncoide in C. Unendu C incù O, si hà tandu chì:

: A\widehat{O}C = \frac{1}{3} A\widehat{O}B

L'inconveniente di sta prucedura hè ch'ella ubligheria à traccià una cuncoide à misura per ogni angulu ch'ellu si vole trisecà, ancu s'ellu basta à aduprà u metudu neusis per aghjustà una regula cù duie marche (situate à u doppiu di a distanza OL), trà e rette m è l; a quale deve ancu passà per l'origine. Quessa ùn accade micca cù altre trisettrici (cum'è per esempiu, a trisettrice di Maclaurin), chì permettenu di trisecà qualsiasi angulu cù a listessa curva.

; Dimustrazione

Sianu N u puntu d'interrezzione di OC cù LD è M u puntu mediu di CN. Per via di a definizione di cuncoide, si hà chì:

: CN=k=2OL

è dunque:

: CM=MN=OL={k \over 2}.

D'altronde, NLC hè un angulu rettu, dunque LM, in quant'è mediana relativa à l'iputenusa CN di u triangulu rettangulu CLN, hè a metà di l'iputenusa stessa, vale à dì:

: LM = NM = OL

Da quessa si deduce chì i trianguli LOM, LMC è LMN sò isusceli è dunque:

: L\widehat{O}M = N\widehat{M}L = 2 L\widehat{C}M

Ma L\widehat{C}M = C\widehat{O}A perchè sò anguli alterni interni è dunque L\widehat{O}M = 2 C\widehat{O}A, o ancu:

: B\widehat{O}A = L\widehat{O}A = 3 C\widehat{O}A

cum'ellu ferma dimustratu.

## Duplicazione di u cubu

A custruzzione grafica chì permette di diterminà u valore di a\sqrt[3]{2} necessariu per risolve u prublema di a duplicazione di u cubu, si pò generà cù a prucedura seguente:
# Si parte da a misura data di u spigulu di u cubu da duplicà, chjamata a.
# Si custruisce u rettangulu OABC, chì a basa OA misura a è l'altezza AB misura b=2a.
# Si ditermineghja E, u puntu mediu di OA, chì per ellu si traccia una retta verticale.
# Si traccia a circunferenza (V) cù centru in O è raghju a, chì interseca OA in u puntu H, è chì taglia a retta verticale chì passa per E sottu à OA in u puntu G.
# Si traccia a retta (L), parallela à GH è chì passa per A.
# Avà, si custruisce a branca esteriore di una cuncoide di Nicomede cù u puntu G cum'è polu, a retta (L) cum'è retta basa è a distanza a.
# Si stabilisce u puntu P cum'è l'interrezzione di a cuncoide cù a retta OA. A retta PB taglia a retta OC in u puntu M.
# Finalmente, si verifica chì a distanza CM hè a\sqrt[3]{2}.

{b}
Partendu da quì, s'uttene u quatratu:
: \frac{16a^2+8ax+x^2}{x^2}=\frac{b^2+2ax+x^2}{b^2}
è eliminendu i denominatori
: 16a^2b^2+8ab^2x+b^2x^2=b^2x^2+x^4+2ax^3
Oparendu è riducendu u risultatu s'arriva à
: x^4+2ax^3-8ab^2x-16a^2b^2=0
vale à dì,
: x^3(x+2a)-8ab^2(x+2a)=0
da induve
: (x^3-8ab^2)(x+2a)=0
è sendu x+2a sfarente da zeru (postu chì x è 2a sò misure di sigmentu) risulta necessariamente chì
: x^3-8ab^2=0
vale à dì
: x^3=2a(2b)^2
Da a sumiglia di i trianguli LDC, BCK si hà chì 2a:y=x:2b è, dunque,
: xy=4ab
chì permette di scrive
: y=\frac{4ab}{x}
Elevendu à u cubu
: y^3=\frac{4^3a^3b^3}{x^3}
ma x^3=2a(2b)^2, è dunque:
: y^3=\frac{4^3a^3b^3}{2^3ab^2}
simplifichendu s'uttene
: y^3=2b(2a)^2
Tandu:
: \begin{cases} xy=4ab \\ x^3=2a(2b)^2 \\ y^3=2b(2a)^2 \end{cases}
A terza è a prima ugualità, divise membru à membru, danu
: (1) \quad \frac{y^2}{x}=2a \implies y^2=2ax
À a so volta, u sicondu è u primu membru divisi danu:
: (2) \quad \frac{x^2}{y}=2b \implies x^2=2by
Finalmente, risulta:
: \frac{2a}{y}=\frac{y}{x}=\frac{x}{2b}
In particulare, se 2a=L, è b=L, y hè uguale à u latu di u cubu chì hè u doppiu di quellu chì hà 1 per latu. In fatti, da (1) è (2) ne seguita:
: \frac{y^4}{4a^2}=2by
è dunque
: y^3=8a^2b
sustituendu i valori di a è b
: y^3=2L^3
estraendu a radica cubica
: y=L\sqrt[3]{2}
è, se L=1, hè
: y=\sqrt[3]{2}.
}}

## Vede ancu
* Chjoppula di Pascal

## Note


## Ligame