Toru (giumitria)

In giumitria u **toru** o **turoidi** hè una superficia à forma di ciambedda. Pò essa ottinuta com'è superficia di rivuluzioni, fendu voglia una circumfarenza, a *generatrici*, intornu à un assi di rutazioni appartinenti à listessu pianu ch'è a generatrici, ma disghjuntu da edda.

U terminu diriveghja da u latinu *torus* chì si rifiria, frà l'altri cosi, à un tipu di cuscinu à forma di ciambedda.

## U toru in a [[giumitria euclidea]]
### Ripprisintazioni par via di l'equazioni parametrichi

Una ripprisintazioni parametrica di u toru, in l'usuali spaziu euclideu tridiminsiunali, hè data da:
: x(p,t) = (R+r\,\cos p)\cos t 
: y(p,t) = (R+r\,\cos p)\sin t 
: z(p,t) = r\,\sin p 
induva  t, p  varieghjani trà 0 è  2\pi ,  R>0  hè a distanza da u centru di u *tubu* à u centru di u toru è  r>0  hè u raghju di u *tubu*.

L'equazioni in cuurdinati cartesiani, chì individueghja un *toru* induva l'assi di simitria cuincidi incù l'assi z, hè data da:

:\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2

### Prubità metrichi
L'aria esterna è u vulumu di u toru sò dati rispittivamenti da:
:A = 2\pi r\ 2\pi R=4\pi^2 Rr,
:V = \pi r^2 \ 2\pi R=2\pi^2R r^2.

## Tupulugia di u toru
### Custruzzioni

Un **toru tupulogicu** hè un spaziu tupulogicu omeumorfu à un toru in u spaziu euclideu. Quiddu pò essa difinitu com'è u pruduttu di dui circumfarenzi S1 × S1. L'equazioni parametrichi ch'è avemu datu par u toru in **R**3 individueghjani un omeumurfisimu incù l'insemu S1 × S1.

Un modu equivalenti par custruiscia un *toru tupulogicu* hè quiddu di cunsidarà un quatratu è "incuddà" i lati opposti. Quissa currispondi à difiniscia nantu à u quatratu
: *Q* = [0,1] × [0,1] ⊆ **R**2
a rilazioni d'equivalenza \sim_T tali chì/ch'è x \sim_T y s'è è solu s'è x=y hè un unicu puntu internu oppuri x è y sò annantu à dui lati opposti è ani una cuurdinata uguali. Incù sta rilazioni d'equivalenza si pò difiniscia u spaziu quuzienti Q/\sim_T chì hè par appuntu un toru tupulogicu.

Un antru modu par difiniscia u toru tupulogicu hè quiddu di custruiscia u spaziu quuzienti di u **R**2 rispettu à u sottugruppu **Z**2.

### Prubità tupulogichi
* U toru hè una superficia, dunqua una varietà diffarinzevuli di diminsioni 2. 
* U toru hè cumpattu, cunnessu, ma ùn simpliciamenti cunnessu. Infatti u so gruppu fundamintali hè  \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} .
* A carattaristica d'Euleru di u toru hè zeru.
* U genaru di u toru hè 1.

* Nantu à u toru ùn s'appiegani micca molti tiuremi di a giumitria piana. Par asempiu, ùn privali micca u tiurema di i quattru culori. In u dissegnu à fiancu u toru hè statu divisu in setti rigioni, à dui à dui tutti cunfinanti: sò dunqua nicissarii setti culori diffarenti affinch'è dui rigioni cunfinanti ùn aghjini micca listessu culori. Hè stata dimustrata una generalisazioni di u Tiurema di i quattru culori da aquali cunsegui chì setti culori sò sufficienti par culurà qualsiasi suddivisioni di u toru.

## U toru solidu
U **toru solidu** hè l'ughjettu tridiminsiunali dilimitatu da u toru (toru inclusu). Si tratta veni à dì di a purzioni di spaziu cuntinuta à l'internu di u toru inclusa a parti di spaziu chì a dilimiteghja. Tupulugicamenti, si tratta d'un spaziu omeumorfu à u pruduttu D\times S^1 di u discu bidiminsiunali
:D = \{(x,y)\in\R^2\ |\ x^2+y^2\leq 1\}
incù a circumfarenza S^1. Si tratta d'una 3-varietà incù bordu; u bordu cunsisti par appuntu in u toru. U so gruppu fundamintali hè  \mathbb{Z} . 

U toru solidu hè un ughjettu impurtanti in u studiu di i 3-varietà è più in generali in a tupulugia di a diminsioni bassa.

## Da veda dinò
* Superficia (matematicu)
* Cilindru (giumitria)
* Sfera
* Superficia torica

## Liami esterni
* I sizioni circulari d'un toru 
* Torus Games: ghjochi (scarichevuli gratuitamenti) chì illustrani a tupulugia di u toru è di a butteglia di Klein

## Noti


## Da vede dinò
*Giumitria piana
*Angulu rettu
*Catetu
*Mezaretta
*Perimetru
*Sigmentu
*Triangulu isusceli
*Triangulu equilateru
*Tiurema di Pitagora
*Iputenusa
*Tangenti
*Trigunumitria
*Triangulu
*Uttaedru

## Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.