Tiurema di Pitagora

U **tiurema di Pitagora** (o *Teurema di Pitagora*) hè un tiurema di a giumitria euclidea chì stabilisci una rilazioni fundamintali trà i lati d'un triangulu rittangulu è com'è pò essa cunsidaratu dinò una virsioni limitata ad eddi di u Tiurema di Carnot.

## Urighjina

Ciò ch'è à l'ebbica muderna hè cunnisciutu com'è *tiurema di Pitagora* hè di solitu attribuitu di a filosofu è matematicu Pitagora. In rialità u so enunciatu (ma micca a so dimustrazioni) era ghjà cunnisciutu da i babilunesi, è era cunnisciutu ancu in China è sicuramenti in India com'eddi a dimostrani molti scritti frà i quali u Yuktibhasa. A dimustrazioni di u tiurema hè inveci incù ogni prubabilità ultiriori à Pitagora.

## Enunciatu
:*In ogni triangulu rittangulu u *'quatratu custruitu** nantu à l'iputenusa hè sempri **equivalenti** à a somma di i **quatrati custruiti** annantu à i cateti.'' 
oppuri:
''In ogni triangulu rittangulu l' **aria di u quatratu** custruitu nantu à l'iputenusa hè sempri **uguali** à a somma di l' **arii di i quatrati** custruiti annantu à i cateti.''


Datu un triangulu rittangulu di lati ''a'', ''b'' è ''c'', è imprudendu ''c'' par disignà a so iputenusa è ''a'' è ''b'' par i so cateti, u tiurema hè espressu da l'equazioni:
 
: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>

o, di manera altirnativa, risulvendu lu par ''c'':

: <math>\sqrt{a^2 + b^2} = c. </math>

Da induva si ricavani i cateti rispettivi :

: <math>\sqrt{c^2 - b^2} = a. </math>

è

: <math>\sqrt{c^2 - a^2} = b. </math>

S'è a terna <math>{a,b,c}</math> hè custituita da numari intieri tandu si chjama [[terna pitagorica]]. 

Invirsamenti, ogni triangulu in u quali i trè lati virificheghjani sta prubità hè rittangulu: stu tiurema, incù a so dimustrazioni, apparisci in l'ultimu enunciatu di l**Elementi*.

== Dimustrazioni ==

A dimustrazioni classica di u tiurema di Pitagora cumpletta u prima libru di l*' Elementi* di [[Euclide]], è ni custituisci u filu cunduttori. Essendu datu ch'eddu richiedi u [[postulatu di i paralleli]], ùn vali micca in i [[giumitrii non-euclidei]] è in a [[giumitria neutrali]]. In u testu d'Euclide a dimustrazioni di u tiurema hè immediatamenti priciduta da a dimustrazioni di a custruibilità di i quatrati. L'esistenza stessa di i quatrati dipendi infatti da u postulatu di i paralleli è sparisci in i giumitrii non euclidei. St'aspettu di u prublemu hè in generali trascuratu in a didattica cuntimpuranea, chì tendi spessu à assuma com'è evidenti l'esistenza di i quatrati.

A dimustrazioni di u tiurema di Pitagora cunsisti in u fattu di riempia un stessu quatratu di latu uguali à a somma di i cateti prima incù quattru copii di u triangulu rittangulu più u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa è dopu incù quattru copii di u triangulu rittangulu più i quatrati custruiti annantu à i cateti, com'è annantu à a figura.

Essendu u tiurema un di i più noti di a [[storia di a matematica]], ni esistini multissimi dimustrazioni, in tutali parechji cintunara, opara di matematichi, astronumi, agenti di cambiu, par asempiu un prisidenti americanu [[James A. Garfield]] è [[Liunardu da Vinci]]. Par stu tiurema sò stati classificati da u scentificu americanu [[Elisha Scott Loomis]] 371 diffarenti dimustrazioni, chì sò stati publicati in u 1927 in u so libru [[The Pythagorean Proposition]].

=== Dimustrazioni di Abu'l-Wafa ===

A dimustrazioni attribuita à u matematicu è astronumu persianu [[Abu l-Wafa Muhammad à u-Buzjani|Abu'l-Wafa]] versu a fini di u [[X seculu d.C.]] è riscuparta da l'[[agenti di cambiu]] [[Henry Perigal]] (truvata in u 1835-1840, publicata in 1872 è dopu in 1891) si basa nantu à a scumpusizioni di u quatratu custruitu nantu à u [[catetu]] maiò, in giaddu annantu à l'imaghjini: tagliendu lu infatti incù dui retti passanti par u so centru, una parpindiculari è una parallela à l'iputenusa, si pò ricumpona di manera à incurpurà l'altru quatratu, è furmendu u quatratu nantu à l'iputenusa, com'è in a figura. Stu prucidimentu hè liatu à u prublemu di a [[trisezioni di u quatratu]].

=== Dimustrazioni di Airy ===
Esisti ancu una dimustrazioni in forma [[puisia|puetica]], di l'astronumu Sir [[George Airy]], in [[lingua inglesa|inglesu]]:
:"*I am, as you can see, a2 + b2 − abWhen two triangles on me stand,Square of hypothenuse is plann'diBut if I stand on them insteadThe squares of both sides are read.*"

di a quali una traduzioni littarali hè

:"*Com'è pudeti veda, sò a2 + b2 − abQuandu ci sò dui trianguli sopra à mèhè rapprisintatu u quatratu di l'iputenusaMa s'è inveci stocu eiu sopra ad eddiSi leghjini i quatrati di i dui lati*"

I versi si rifiriscini à a parti bianca: i primi dui trianguli sò quiddi rossi, i sicondi quiddi turchinu.

Tantu a dimustrazioni di Perigal ch'è quist'ultima sò intarissanti, chì sò sputicamenti giumetrichi, veni à dì ùn richiedini alcuna difinizioni d'uparazioni aritmetichi, ma solu cungruenzi d'arii è di sigmenti.

=== Quatrati cuncentrichi di Pomi ===

Dimustrazioni giumetrica basata annantu à dui quatrati cuncentrichi, di lati rispittivamenti pari à l'iputenusa (c) è à a somma di i dui cateti (a+b).

Com'eddu si vedi annantu à a figura, tolti i 4 trianguli rittanguli (in giaddu d'aria <math>(a*b)/2</math>) à u quatratu più grandi, chì currispondi à l'aria <math>(a+b)^2</math>, s'otteni u quatratu più chjucu, rapprisintatu in biancu, chì equivali inveci à l'aria <math>c^2</math>.

Dunqua <math>(a+b)^2 - 4*(a*b)/2 = c^2</math><br />
d'induva risulvendu s'otteni : <math>a^2+b^2=c^2</math>

Sta dimustrazioni hà l'avantaghju d'avè una ripprisintazioni visuali simplicia è diretta, chì ùn richiedi micca u spustamentu è soprappusizioni di formi com'è l'altri dimustrazioni giumetrichi chì sò stati furmulati.

=== Dimustrazioni di Garfield ===

Un'antra dimustrazioni giumetrica particularamenti significativa, chì in a so custruzzioni ùn cumparisci alcun' quatratu, fù truvata in u [[1876]] da [[James Abraham Garfield|Garfield]], chì in seguitu divintò u vintesimu [[Prisidenti di i Stati Uniti d'America]]. Tandu in l'armata, Garfield cummintò u so risultatu: *"Quissa hè calcosa annantu à a quali i dui rami di u parlamentu pudarani essa d'accordu"*. 

A dimustrazioni hè a siguenti:
:si cunsidareghja una copia di u triangulu rittangulu in quistioni, ghjirata di 90 gradi di manera à allinià i dui cateti diffarenti (in a figura accantu u [[rossu]] è u [[turchinu]]). Si uniscini dopu l'estremità di l'iputenusi, è s'otteni un [[trapeziu (giumitria)|trapeziu]]. Uguagliendu l'aria di u trapeziu à a somma di quiddi di i trè trianguli retti, si dimostra u tiurema.

In formuli, dittu *a* u catetu rossu, *b* u turchinu è *c* l'iputenusa, è ricurdendu a [[binomiu di Newton|putenza di u binomiu]]
:<math> \frac {(a+b)^2} 2 = \frac  2 + \frac  2 + \frac {c^2} 2 \,\, \Rarr \,\, a^2 + b^2 = c^2 </math>

=== Una apparenti dimustrazioni incù i numari cumplessi ===
Una (apparenti) dimustrazioni sputicamenti [[algebra|algebrica]] faci usu di i [[numari cumplessi]] è di a [[formula d'Euleru]]: siini *a*, *b* i cateti è *c* l'iputenusa. S'è i cateti sò alliniati annantu à l'assi, t'avemu
:<math>a+ib=ce^{i\theta}</math>
Cunsidarendu tandu u [[cumplessu cunghjucatu]] di <math>a+ib</math>:
:<math>a-ib=ce^{-i\theta}</math>
Multiplichendu trà eddi si otteni
:<math>a^2+b^2=c^2</math>

In rialità si tratta sola d'una dimustrazioni apparenti, appostu ch'è u risultatu hè suppostu implicitamenti in l'usu di l'idantità <math>e^{i\theta}e^{-i\theta} = 1</math> .

S'è infatti si sustituisci à l'espuninziali imaginariu a so difinizioni, l'idantità si rivela essa: <math>(\cos\theta + i \sen\theta) (\cos\theta - i \sen\theta)= 1</math>, veni à dì <math>\cos^2\theta + \sen^2\theta = 1</math>

è l'ultima idantità bedda cunnisciuta ùn hè altru ch'è una pussibuli furmulazioni di l'enunciatu di u tiurema di Pitagora. 

(S'è inveci l'espuninziali imaginariu hè difinitu à traversu a somma di a so seria di Taylor, tandu u prublemu diventa quiddu di dimustrà a rilazioni <math>a+ib=ce^{i\theta}</math>, induva a, b è c sò i misuri di i cateti è l'iputenusa d'un triangulu rittangulu: prublemu chì a so suluzioni ùn hè micca più simplicia ch'è i dimustrazioni pricidenti di u tiurema di Pitagora).

=== Incù i tiuremi di Euclide ===

Un'antra dimustrazioni improda u [[prima tiurema di Euclide]]. Si traccia l'altezza nantu à l'iputenusa, di lunghezza <math> h </math>. Quidda spezza l'iputenusa in dui sigmenti, di lunghezza <math> p </math> è <math> q </math>. U tiurema di Euclide furnisci i rilazioni
:<math>\frac ap = \frac ca, \ \frac bq = \frac cb, </math>
da induva
:<math> a^2 = cp, \ b^2 = cq </math>
è dunqua 
:<math> a^2 + b^2 = c(p+q) = c^2.\,\! </math>

=== Incù i tiuremi di l'[[inchjerchju]] ===
Un'antra dimustrazioni pò essa ottinuta à traversu parechji tiuremi liati à a circumfarenza iscritta à un triangulu è par via di calchì simplicia passata algebrica.



*'Lemma 1**: Tinendu contu di u [[tiurema di i tangenti]] si pò diducia da a figura pricidenti ch'è a distanza trà un vertici è u puntu di tangenza di un di i dui lati di u quali hè estremu incù l'inchjerchju hè uguali à a diffarenza trà u [[mezu perimetru]] è u latu oppostu a quiddu vertici. Infatti ogni latu hè cumpostu da dui di sti trè sigmenti, inoltri sti sigmenti sò uguali à dui à dui (quiddi aghjacenti, sempri par via di u tiurema di i tangenti) è a somma di tutti è sei hè uguali à u perimetru; par quissa a somma di tutti è trè sigmenti di lunghezza distinta hè uguali à u mezu perimetru è ognunu di quissi hè dunqua u mezu perimetru menu a somma di l'altri dui, è dunqua u latu oppostu à u vertici à u quali apparteni.

**Lemma 2**: In u casu particulari d'un triangulu rittangulu u raghju di a circumfarenza iscritta hè uguali à u sigmentu chì và da u vertici di l'angulu rettu à u puntu di tangenza incù l'inchjerchju. Quissa parchì, cunsidarendu u quadrilateru avendu com'è vertici u vertici di l'angulu rettu, i punti di tangenza annantu à i cateti è u [[incentru]], si vidaria ch'eddu t'hà trè anguli retti(dunqua ancu u quartu) è veni à dì ch'eddu hè un rittangulu; ma ancu ch'eddu t'hà dui lati consecutivi cungruenti (un' antra volta par via di u tiurema di i tangenti), par quissa hè un rittangulu incù i diminsioni cungruenti, vali à dì un [[quatratu]] è dunqua par difinizioni ogni latu di soiu hè cungruenti à tutti l'altri. Quissa implicheghja u lemma chì ci vulia à dimustrà.

**Lemma 3**: Sii <math>p</math> u mezu perimetru, <math>Ri</math> u raghju di a circumfarenza inscritta è <math>A</math> l'aria di u triangulu in quistioni (micca nicissariamenti rittangulu, ma tali in a parti siguenti di a noscia dimustrazioni); s'hà a formula: <math>A=Rip</math>. Quissa si pò virificà cunsidarendu i trè trianguli avendu com'è altezza ''Ri'' è com'è basa è eddu rilativa un di i trè lati è custatendu ch'è A hè uguali à a somma di l'arii di quiddi trè trianguli; dunqua, chjamendu <math>a</math>, <math>b</math> è <math>c</math> i trè lati: <math>A=Ria/2+Rib/2+Ric/2=Ri(a+b+c)/2=Rip</math>.

**Dimustrazioni algebrica**: Siini <math>a</math> è <math>b</math> i cateti è <math>c</math> l'iputenusa di u nosciu triangulu rittangulu. Avemu dunqua:
<math>ab/2=(p-c)p</math>

<math>ab/2=((a+b+c)/2)((a+b-c)/2)</math> à stu puntu, usendu u [[pruduttu nutevuli]] "somma par diffarenza" si otteni:

<math>ab/2=((a+b)^2-c^2)/4</math> avà, par via di "quatratu d'un binomiu" si otteni:

<math>ab/2=(a^2+b^2+2ab-c^2)/4</math> simplifichendu i dinuminatori:

<math>ab=(a^2+b^2+2ab-c^2)/2</math> prusegui:

<math>ab=a^2/2+b^2/2+ab-c^2/2</math>

<math>0=a^2/2+b^2/2-c^2/2</math>

<math>c^2/2=a^2/2+b^2/2</math> è da quì, finalmenti:

<math>c^2=a^2+b^2</math> chì currispondi par appuntu à l'enunciatu di u tiurema di pitagora.

== Inversu ==
Vali ancu l'inversu di u Tiurema di Pitagora (prupusizioni 48 di u prima libru di l** Elementi* di [[Euclide]]):
"S'è in un triangulu di lati a, b è c vali a rilazioni <math>a^2+b^2=c^2</math>, tandu u triangulu hè rittangulu".

*Dimustrazioni*. Sii T un triangulu di lati *a*, *b* è *c* tali ch'è <math>a^2+b^2=c^2</math>. Si cunsidareghja un sicondu triangulu rittangulu T' chì t'hà i cateti pari à *a* è *b* (hè sempri pussibuli di custruiscia un triangulu rittangulu dati i dui cateti). Par via di u Tiurema di Pitagora (direttu) l'iputenusa di u triangulu T' sarà para a <math>\sqrt{a^2 + b^2}</math>, veni à dì sarà uguali à u latu *c* di u triangulu T. I dui trianguli T è T' sarani dunqua cungruenti par via di u terzu [[Criterii di cungruenza di i trianguli|criteriu di cungruenza]], avendu tutti è trè i lati uguali. Ma tandu ancu u triangulu T sarà rittangulu *(CVD)*.

Un curullariu di u tiurema di Pitagora parmetti di ditarminà s'è un triangulu hè rittangulu, [[acutangulu]] o [[ottusangulu]]. Induva c currispondi à l'iputenusa, u latu più longu di i trè, è a + b > c (altrimenti ùn avemu micca un triangulu), privalini i siguenti rilazioni:

* s'è <math>a^2+b^2=c^2</math>, tandu u triangulu hè rittangulu
* s'è <math>a^2+b^2>c^2</math>, tandu u triangulu hè acutangulu
* s'è <math>a^2+b^2<c^2</math>, tandu u triangulu hè ottusangulu

=== Applicazioni pratichi di l'enunciatu inversu ===
L'enunciatu inversu furnisci ancu un sistemu moltu simpliciu par custruiscia un angulu rettu (o par cuntrullà a quadratura d'un angulu ghjà esistenti) in situazioni pratichi, com'è a [[tupugrafia]] o u [[agrimensura]].

À titulu d'asempiu, incù una funi di lunghezza para à a somma d'una [[terna pitagorica]] dimu 12, somma di 5, 4 è 3, in una calchì [[unità di misura]]) saria sufficenti di dispona i dui purzioni minori di a corda (quiddi di misura 4 è 3) à un certu angulu frà eddi; s'è l'estremità di a funi, disposta infini in forma triangulari, si chjudini, si saparà ch'è l'angulu cumpresu frà i dui purzioni minori di a corda (à stu puntu i dui cateti) hè cirtamenti rettu.

== Generalisazioni ==
U tiurema di Pitagora pò essa generalizatu in parechji modi. Di solitu, una generalisazioni hè una rilazioni chì s'appiega à tutti i trianguli, è chì appiigata à i trianguli rittanguli, hè equivalenti à u tiurema di Pitagora.
=== Tiurema di u cusinu ===

A più generalisazioni impurtanti di u tiurema di Pitagora hè forsi u [[tiurema di u cusinu]], chì s'appiega à qualsiasi triangulu  (micca nicissariamenti rettu). In un triangulu incù vertici è anguli indicati com'è in a figura, privali l'ugualità:
:<math>\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.</math>
In u casu in u quali <math>\gamma</math> sii rettu, vali <math>\cos\gamma = 0 </math> è dunqua l'enunciatu hè equivalenti à u tiurema di Pitagora. U terminu aghjuntivu pò essa intarpritatu com'è u [[pruduttu scalariu]] di i [[vettori (matematicu)|vettori]] <math>CA</math> è <math>CB</math>.

=== Tiurema di i sini ===

U [[tiurema di i seni]] metti in rilazioni i lunghezzi di i lati d'un triangulu è i [[sinu (matematicu)|sini]] di l'anguli opposti. Sta rilazioni s'appiega ancu à qualsiasi triangulu è, in u casu in u quali quiddu saria rittangulu, pò essa cunsidarata equivalenti à u tiurema di Pitagora (bench'è di manera menu diretta ch'è rispettu à u tiurema di u cusinu).

U tiurema di i sini accerta ch'è in un triangulu qualunqua, incù i nutazioni com'è nantu à a figura, privalini i siguenti rilazioni:
:<math>\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=2R.</math>
Elevendu à u quatratu:
:<math> c^2= a^2\frac {\sin^2\gamma}{\sin^2\alpha}, \quad b^2= a^2 \frac{\sin^2\beta}{\sin^2\alpha}. </math>
Summendu i tarmini s'otteni:
:<math> c^2 + b^2 =a^2\frac {\sin^2\gamma + \sin^2\beta}{\sin^2\alpha}. </math>
Quandu <math>\alpha</math> hè un angulu rettu, s'otteni <math>\beta = \pi/2-\gamma </math> è dunqua 
:<math> \frac {\sin^2\gamma + \sin^2\beta}{\sin^2\alpha} = \sin^2(\pi/2-\beta) + \sin^2\beta = \cos^2\beta + \sin^2\beta = 1. </math>
Si otteni dunqua in stu casu u tiurema di Pitagora
:<math> c^2 + b^2 = a^2.</math>

=== Generalisazioni chì ùn faci micca usu di a trigunumitria ===

Hè pussibuli di stenda u tiurema di Pitagora à qualsiasi triangulu senza fà usu di funzioni trigunumetrichi com'è u sinu è u cusinu.
Datu un triangulu <math> ABC </math> com'è nantu à a figura, si tracciani dui sigmenti chì cullegani u vertici <math>A</math> incù dui punti <math> g</math> è <math>h</math> cuntinuti in u sigmentu oppostu <math>BC</math> (oppuri in un so prulungamentu), di tali manera ch'è l'anguli <math>AgB</math> è <math>AhC</math> siini tremindù uguali à l'angulu <math>\alpha</math> di u vertici <math>A</math>. A figura mostra un casu in u quali l'angulu <math>\alpha</math> hè [[angulu ottusu|ottusu]]: s'eddu hè acutu, i dui punti <math>g</math> è <math>h</math> sò in ordini inversu (u prima a dritta è u sicondu a manca) è poni escia da u sigmentu <math>BC</math>.

Privali a siguenti rilazioni:
:<math>\overline {AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline {BC}\cdot (\overline{Bg} + \overline{hC}). </math>
Quandu <math>\alpha</math> hè un angulu rettu, i punti <math>g</math> è <math>h</math> cuincidini è s'otteni u tiurema di Pitagora
:<math>\overline {AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline {BC}\cdot (\overline{Bg} + \overline{hC}) = \overline{BC}^2. </math>
A rilazioni generali pò essa dimustrata sfruttendu a [[similitudina (giumitria)|similitudina]] frà i trianguli <math>ABC</math>, <math>gBA</math> è <math>hAC</math>, chì/ch'è porta à i rilazioni
:<math> \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{Bg}}{\overline{AB}},\quad \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{hC}}{\overline{AC}}.</math>
Si otteni cusì
:<math> \overline{AB}^2 = \overline{BC}\cdot \overline{Bg}, \quad \overline{AC}^2 = \overline{BC}\cdot \overline{hC}. </math>
Summendu i dui uguaglianzi s'otteni a rilazioni iniziali.

== Lighjenda di Pitagora è di i chjappeddi ==

Una lighjenda conta ch'è [[Pitagora]] avaria furmulatu u so tiurema mentri stava aspittendu un'udienza da [[Policrate]]. Pusendu in un grandi salonu di u palazzu di [[Samo (isula)|Samo]], Pitagora si missi à ussirvà i chjappeddi quatrati di u pavimentu, si pensa ch'è n'avaria vistu una rangata tuttu à fattu sopra à una diagunali, furmendu dui trianguli rittanguli uguali, ma in più d'essa dui trianguli rittanguli erani dinò isusceli, avendu i dui lati uguali. Pitagora imaginò un quatratu custruitu nantu à a diagunali di ruttura di a chjappedda, un quatratu avendu com'è lati i diagunali di i chjappeddi circustanti. 

A dimustrazioni hè a siguenti: 
* l'aria d'ognuna di i chjappeddi aghjacenti à i cateti era di: *2* mezi chjappeddi (=*1* chjappedda);
* a somma di i dui arii era dunqua di: *4* mezi chjappeddi (=*2* chjappeddi);
* l'aria di u quatratu custruitu nantu à l'iputenusa (diagunali di a chjappedda) era di: *4* mezi chjappeddi.

== Altri figuri ==
U Tiurema di Pitagora cuntinueghja à valè quandu annantu à ogni latu d'un triangulu rittangulu si custruiscini figuri rigulari diffarenti da u quatratu, com'è u triangulu equilateru, u pentagunu rigulari è l'esagunu rigulari aldilà di u mezu chjerchju.

== Noti ==
<references/>

== Bibliugrafia ==
* [[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]], *Storia di a matematica*, Mondadori, Milanu, 1990. ISBN 978-88-04-33431-6
* [[Gino Loria]], *I scenzi asatti in l'antica Grecia'', 2^ è, Milanu 1914

## Da veda dinò
* Giumitria
* Aritmugiumitria
* Numaru
* Radica quatrata
* Trigunumitria
* Iputenusa
* Tiurema di u cusinu
* Idantità di Parseval
*Toru (giumitria)
*Giumitria piana
*Angulu rettu
*Catetu
*Mezaretta
*Perimetru
*Sigmentu
*Triangulu isusceli
*Triangulu equilateru
*Tangenti
*Triangulu
*Uttaedru

## Liami esterni
* 54 dimustrazioni di u tiurema di Pitagora 
* parechji animazioni grafichi di diffarenti dimustrazioni di u tiurema di Pitagora
* Animazioni di a dimustrazioni di Euclide 

## Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.