Tangenti

Datu un triangulu rittangulu, a **tangenti** (o *tangente*) (abbriviatu **tan**) hè una funzioni trigunumetrica difinita com'è u rapportu trà u sinu è u cusinu di u stessu angulu. I simbuli par indicà a tangenti sò i più numarosi di tutti i funzioni trigunumetrichi, apposta ch'è edda s'indicheghja incù *tg*, *tn*, *tang*, *tng* (raru). U nomu di a funzioni deriveghja da u fattu ch'edda pò essa difinita com'è a lunghezza d'un sigmentu di a tangenti (in sensu giumetricu) à a circumfarenza guniumetrica. Infatti, datu un chjerchju di raghju unitariu, a tangenti d'un angulu α hè l'urdinata di u puntu d'intarsizioni trà a retta chì cunteni u latu libaru di l'angulu è a retta tangenti à a circumfarenza in u puntu di cuurdinati (1;0).

## Prubità

S'è ussirvemu a figura vidimu ch'è i trianguli OAB è OCD sò simili, è dunqua:
:\quad\!\frac {AB}{OA}=\frac {DC}{OC};\quad\quad\frac{\tan x}{1}=\frac {DC}{OC}

esprissioni chì ghjustificheghja graficamenti a difinizioni trigunumetrica di a tangenti: 
:\tan x =\frac{\mathrm{sin}\, x}{\cos x} 

A tangenti hè una funzioni periodica incù periodu \pi vali à dì: 
:\tan x=\tan(x+k\pi),\quad k\in\mathbb{Z}.

A dirivata prima di a tangenti hè:
: \frac {\mathrm{di}}{\mathrm{di}x}\tan x=\frac {1}{\cos^2x}=1+\tan^2x=sec^2x

A funzioni primitiva di a tangenti hè:
:\int_0^x\tan{t} \,\mathrm{di}t=-\ln{\left|\cos{x}\right|}

U sviluppu di Taylor di a funzioni tangenti à u settimu ordini hè
:\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + o(x^8) 

A tangenti hè una funzioni dispari, vali à dì: 
:\tan (-x)=-\tan x \;.

U reciprocu di a tangenti hè dittu cutangenti:
: \cot x = \frac 1{\tan x}

A funzioni inversa di a tangenti hè l'arcutangenti.

A tavuledda siguenti esponi i principali valori nutevuli assunti da a funzioni tangenti:

A funzioni tan *x* ùn hè micca difinita par valori di  x = \frac{\pi}{2} + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}

## Giumitria analitica
:\tan x = m = \frac {\mathrm{sin}\, x}{\cos x} = \frac {y}{x}

Pudemu ancu difiniscia a tangenti com'è u cuefficienti angulari d'una retta. In stu casu ripprisenta a tangenti trigunumetrica di l'angulu ch'è a retta stessa forma incù l'assu di i x. Par renda ci contu di a viridicità di st'affirmazioni, ricurdemu ch'è u cuefficienti angulari d'una retta chì passa par dui 
punti, siini P = (x_0 , y_0) è Q = (x_1 , y_1), hè asattamenti \frac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0}, chì equivali à u rapportu trà u sinu è u cusinu di l'angulu cumpresu trà a retta è l'assu di i x.

## Sinu è cusinu
Par ottena i valori di u sinu è di u cusinu di x cunniscendu ni a tangenti pudemu fà un simpliciu raghjunamentu. Innanzi tuttu pinsemu \tan x com'è u rapportu trà l'urdinata è l'ascissa d'un puntu P nantu à a circumfarenza cintrata in l'urighjina O di l'assi (u raghju hè ininfluenti apposta ch'è u valori di a tangenti hè univucamenti ditarminatu). Pudemu cunsidarà quisti ascissa è urdinata com'è i cateti di u triangulu rittangulu chì hà u raghju OP com'è iputenusa. Da stu puntu di vista u sinu di x hè u rapportu trà l'urdinata di P è l'iputenusa OP, mentri u cusinu di x hè u rapportu trà l'ascissa di P è l'iputenusa OP.

Applichendu u tiurema di Pitagora pudemu dì, datu:\tan x = \frac {a}{b}
ch'è:

:\mathrm{sin}\, x = \frac {a}{\sqrt {a^2 + b^2}} 
:\cos x = \frac {b}{\sqrt {a^2 + b^2}}

## Da veda dinò
* Arcutangenti
* Funzioni trigunumetrichi
* Cutangenti
* Tangenti (giumitria)
* Tangenti iperbolica
* Tiurema di Nepero
*Toru (giumitria)
*Giumitria piana
*Angulu rettu
*Catetu
*Mezaretta
*Perimetru
*Sigmentu
*Triangulu isusceli
*Triangulu equilateru
*Tiurema di Pitagora
*Iputenusa

*Trigunumitria
*Triangulu
*Uttaedru

## Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.