Trigunumitria

A **trigunumitria** (o *trigonomitria*) (da u grecu *trígonon* (τρίγωνον, triangulu) è *métron* (μέτρον, misura): risuluzioni di u triangulu) hè a parti di a matematica chì studieghja i trianguli à parta da i so anguli. U scopu principali di a trigunumitria, com'edda a svela l'etimulugia di u nomu, cunsisti in u calculamentu di i misuri chì carattarizeghjani l'elementi d'un triangulu (lati, anguli, mediane, etc.) partendu da altri misuri ghjà cunnisciuti (almenu trè, frà i quali almenu una lunghezza), par mezu di funzioni spiciali. Si riferisci à tali scopu com'è *risuluzioni di u triangulu*. Hè ancu pussibuli di serva si di calculi trigunumetrichi in a risuluzioni di prublemi currilati à figuri giumetrichi più cumplessi, com'è puliguni o figuri giumetrichi solidi, è in molti altri rami di a matematica.

I funzioni trigunumetrichi (i più impurtanti di i quali sò u sinu è u cusinu), intrudutti in stu duminiu, sò ancu imprudati in modu indipindenti da a giumitria, è dinò in altri campi di a matematica è di i so applicazioni, par asempiu in cunnissioni incù a funzioni espuninziali o incù i uparazioni vitturiali.

## L'urighjini
Duranti molti seculi, a trigunumitria duviti i so prugressi guasi esclusivamenti à l'opara di grandi astrunomi è giugrafi. Infatti, a fundazioni di sta scenza si devi à Ipparco di Nicea è à Claudiu Tolomeo, tremindù più astrunomi è giugrafi ch'è matematichi. Cuntributi nutevuli funi arricati à sta scenza da l'arabi, da u francesu Levi ben Gershon è, più dopu, da Niccolò Copernicu è Tycho Brahe, intenti à discriva è à priveda incù sempri una più grandi pricisioni i finomini cilesti, ancu par un più asattu è faciuli calculu di longitudini è latitudini.

## Funzioni trigunumetrichi
Strumentu indispinsevuli di a trigunumitria sò i funzioni trigunumetrichi. Sò sti funzioni chì associani i lunghezzi à l'anguli, è viciversa. I tavuleddi in sta sizzioni mostrani i funzioni trigunumetrichi à tempu à i so principali prubità.

### Funzioni trigunumetrichi diretti
Sò ditti funzioni trigunumetrichi *diretti* quiddi chì à un angulu, di solitu aspressu in radianti, associani una lunghezza o un rapportu frà lunghezzi. A causa di l'equivalenza circulari di l'anguli, tutti i funzioni trigunumetrichi diretti sò ancu funzioni periodichi incù periodu \pi o 2\pi.

### Funzioni trigunumetrichi inversi
À ogni funzioni trigunumetrica diretta hè assuciata una funzioni inversa. U duminiu di ognuna funzioni trigunumetrica inversa currispondi, com'hè prividibuli, à u cuduminiu di a funzioni diretta rispittiva. Apposta ch'è i funzioni diretti sò, puri, *periodichi*, è parciò micca iniittivi, par pudè li invirsà hè nicissariu à ristringhja ni u duminiu rindendu li biiettivi. A scelta di a ristrizzioni hè tiuricamenti irrilevanti è i pussibilità sò infiniti. A cunvinzioni (rigida, in stu campu) voli parò ch'è i duminii fussini ristretti à l'intarvalli \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] oppuri \left[0, \pi\right], in i quali i funzioni — è dunqua ancu i so inversi — sò munotuni. Ancu i funzioni arcusecanti è arcucusecanti sò difiniti da l'invirsioni di i funzioni diretti ristretti à un di ss'intarvalli.

## Rilazioni fundamintali di a guniumitria
### Prima rilazioni fundamintali
\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1

da quissa s'utteni

\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}

\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di \alpha par a scelta oppurtuna di i cenni

### Siconda rilazioni fundamintali
\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

chì vali solu par \alpha \neq \frac{\pi}2+k\pi incù k \in \Z

### Terza rilazioni fundamintali
\cos^2\alpha=\frac{1}{1+\tan^2\alpha}

chì vali solu par \alpha \neq \frac{\pi}2+k\pi incù k \in \Z

da quissa s'utteni

\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}

induva ci voli à ricurdà si di valutà a pusizioni di \alpha par a scelta oppurtuna di i cenni.

## Formuli di l'anguli assuciati
In a circumfarenza guniumetrica si chjamani anguli assuciati l'anguli \alpha, \pi-\alpha, \pi+\alpha è 2\pi-\alpha. 'Ss'anguli ani in valori assulutu listessu sinu è listessu cusinu.

### Formuli di l'anguli assuciati di u sicondu quadranti
\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha

\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha

\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha

### Formuli di l'anguli assuciati di u terzu quadranti
\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha

\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha

\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha

### Formuli di l'anguli assuciati à u quartu quadranti
\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha

\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha

\tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alpha

### Formuli di l'anguli opposti
\cos(-\alpha)=\cos\alpha

\sin(-\alpha)=-\sin\alpha

\tan(-\alpha)=-\tan\alpha

Si dici ch'è \cos\alpha hè una funzioni para, mentri \sin\alpha è \tan\alpha sò dispari.

### Formuli di l'anguli cumplimintarii (a so somma hè un angulu rettu)
\cos\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\sin\alpha

\sin\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\cos\alpha

\tan\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\cot\alpha

### Formuli di l'anguli chì sò diffarenti d'un angulu rettu
\cos\left(\frac{\pi}2+\alpha\right)=-\sin\alpha

\sin\left(\frac{\pi}2+\alpha\right)=\cos\alpha

\tan\left(\frac{\pi}2+\alpha\right)=-\cot\alpha

## Formuli guniumetrichi
In trigunumitria, i **formuli d'addizioni è suttrazzioni** parmettini di trasfurmà i funzioni trigunumetrichi di l'addizioni o diffarenza di dui anguli in un'esprissioni cumposta da funzioni trigunumetrichi di i dui anguli.

### Formuli d'addizioni
* \sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta 
* \cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta 
* \tan(\alpha + \beta)=\frac {\tan\alpha + \tan\beta} {1 - \tan\alpha \tan\beta}
* \cot(\alpha + \beta)=\frac {\cot\alpha \cot\beta - 1} {\cot\alpha + \cot\beta}

A formula di a tangenti vali par \alpha, \beta, \alpha+\beta \neq \frac\pi 2 +k\pi  incù k \in \Z 

A formula di a cutangenti vali par \alpha, \beta, \alpha+\beta \neq k\pi  incù k \in \Z 

### Formuli di suttrazzioni
* \sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \, \sin\beta 
* \cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta 
* \tan(\alpha - \beta)=\frac {\tan\alpha - \tan\beta} {1 + \tan\alpha \tan\beta}
* \cot(\alpha - \beta)=\frac {\cot\alpha \cot\beta + 1} {\cot\beta - \cot\alpha}

A formula di a tangenti vali par \alpha, \beta, \alpha-\beta \neq \frac\pi 2 +k\pi  incù k \in \Z 

A formula di a cutangenti vali par \alpha, \beta, \alpha-\beta \neq k\pi  incù k \in \Z 

### Formuli di duplicazioni
* \sin(2\alpha)=2\sin\alpha \cos\alpha 

* \cos(2\alpha)=\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1

* \tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

L'ultima formula vali par \alpha\neq \frac\pi 2 +k\pi è \alpha\neq \pm\frac\pi 4+ k \pi  incù k \in \Z

### Formuli di liniarità
* \cos^2\alpha=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2} 

* \sin^2\alpha=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2} 

* \tan^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}


L'ultima formula vali par \alpha\neq \frac\pi 2 +k\pi  incù k \in \Z

### Formuli di bisizzioni
Attinzioni: hè nicissariu à valutà in qualessu quadranti cadi \frac{\alpha}{2} par pudè sceglia i cenni oppurtuni di i siguenti formuli

* \cos\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2} }

* \sin\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2} } 

* \tan\left(\frac{\alpha} 2\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}

L'ultima formula vali par \alpha\neq \pi+2k\pi.

### Formuli parametrichi

* \cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}

* \sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}

* \tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}

induva t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) incù \alpha\neq \pi+2k\pi.

### Formuli di prustaferesi

* \sin p+\sin q=2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)

* \sin p-\sin q=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

* \cos p+\cos q=2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)

* \cos p-\cos q=-2\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

I furmuli di prustaferesi trasformani i sommi di funzioni guniumetrichi in prudutti.

### Formuli di Werner (inversi di i formuli di prustaferesi)

* \sin\alpha\cos\beta=\frac {1}{2} \left[ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\right]

* \cos\alpha\cos\beta=\frac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)\right]

* \sin\alpha\sin\beta=-\frac {1}{2} \left[ \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta)\right]

* \cos\alpha\sin\beta=\frac {1}{2} \left[ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\right]

I furmuli di Werner trasformani i prudutti di funzioni guniumetrichi in sommi.

### Formuli di l'angulu aghjuntu

*  a \sin x +b \cos x = A \sin(x+\phi)

A siguenti ugualità hè virificata sottu i siguenti cundizioni

A=\sqrt{a^2+b^2}

:
\begin{cases} \cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{cases} 


: \tan \phi = \frac b a 

Ci voli à tena menti ch'è a tangenti guniumetrica hè piriodica di 180° è dunqua bisogna à valutà priventivamenti a pusizioni di \phi è dunqua

:
\phi = \begin{cases} \arctan(\frac b a) &\mbox{s'è } a>0 \\ \arctan(\frac b a)+\pi &\mbox{s'è } a

## Risuluzioni di i trianguli rittanguli

In u ghjergu matematicu "risolva un triangulu rittangulu" significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par cunvinzioni esisti una numinclatura in i trianguli rittanguli chì si pò veda nantu à a figura. Ci voli à ricurdà si ch'è
*  \alpha=90^o  è  \beta + \gamma =90^o 
* un angulu hè aghjacenti à un catetu s'è u catetu hè un di i lati di l'angulu in quistioni.
* un angulu hè oppostu à un catetu s'è u catetu ùn hè micca un di i lati di l'angulu in quistioni.

Par asempiu \beta hè oppostu à u catetu b è aghjacenti à u catetu 
c.

Sottu sti cunvinzioni in un triangulu rittangulu privalini i siguenti tiuremi

**Tiurema.** In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u sinu di l'angulu oppostu à u catetu

**Tiurema.** In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'iputenusa incù u cusinu di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu.

**Tiurema.** In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a tangenti di l'angulu oppostu à u catetu da calculà.

**Tiurema.** In un triangulu rittangulu un catetu hè uguali à u pruduttu di l'antru catetu incù a cutangenti di l'angulu acutu aghjacenti à u catetu da calculà.

'Ssi tiuremi si traducini in i siguenti formuli par a risuluzioni di i trianguli rittanguli

:  a = \frac c {\sin \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \sin \gamma 
  a = \frac b {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \cos \gamma 
:  \frac c b =\frac {\sin \gamma} {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \tan \gamma 
  \frac b c =\frac {\cos \gamma} {\sin \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cot \gamma 

:  a = \frac b {\sin \beta} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \sin \beta 
  a = \frac c {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \cos \beta 
:  \frac b c =\frac {\sin \beta} {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \tan \beta 
  \frac c b =\frac {\cos \beta} {\sin \beta} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \cot \beta 


### Dimustrazioni
Si cunsidareghja un triangulu rittangulu ABC incù angulu rettu di vertici A. Dittu CA l'assu x, nantu à u vertici C si custruisci una circumfarenza di raghju CP=1. I cuurdinati di u puntu P rapprisentani u \cos \gamma è u \sen \gamma, è apposta ch'è \gamma hè acutu indicheghjani ancu rispittivamenti i lunghezzi di i cateti CH è PH.
. 
Da a figura si pò ussirvà ch'è i dui trianguli rittanguli ABC è HPC sò simili in quantu ani dui anguli cungruenti: \gamma in cumunu è l'anguli retti di vertici A è H. Hè pussibuli cusì à custruiscia a prupurzioni frà i lati omologhi di i dui trianguli simili (lati opposti à l'anguli cungruenti):

: \frac{\overline{BC}}{\overline{PC}} = \frac{\overline{BA}}{\overline{PH}} = \frac{\overline{CA}}{\overline{CH}}

Sustituiscendu i misuri di i lati s'otteni

: \frac a 1 = \frac c {\sin \gamma} = \frac b {\cos \gamma} 

è cusì

: a = \frac c {\sin \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \sin \gamma 
  a = \frac b {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \cos \gamma 

da quissa dui s'utteni ancu

: \frac c b =\frac {\sin \gamma} {\cos \gamma} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \tan \gamma 
  \frac b c =\frac {\cos \gamma} {\sin \gamma} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cot \gamma 

Stu raghjunamentu pò essa chjaramenti stesu ancu à u terzu angulu \beta in modu da ottena formuli analoghi

: a = \frac b {\sin \beta} \quad \Rightarrow \quad b = a \cdot \sin \beta 
  a = \frac c {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \cos \beta 
: \frac b c =\frac {\sin \beta} {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \tan \beta 
  \frac c b =\frac {\cos \beta} {\sin \beta} \quad \Rightarrow \quad c = b \cdot \cot \beta 

## Applicazioni nutevuli di i trianguli rittanguli
### Calculu di l'altezza d'una torra
Si cunsidareghja u siguenti prublemu: calculà l'altezza d'una torra AB, cunniscendu solu a so basa (pianu orizuntali). Si distinguini dui casi 

#### U pedi A di a torra hè raghjunghjibuli

In stu casu basta à misurà u catetu AC (b), è da u puntu C misurà l'angulu acutu ACB (\gamma) sottu à qualessu si vedi a summità di a torra AB (c). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

: h_{torra} = c = b \cdot \tan \gamma 

#### U pedi A di a torra ùn hè micca raghjunghjibuli

In stu casu AC (b_1=x) hè scunnisciuta (in quantu u pedi 
A ùn hè micca raghjunghjibuli). Si faci dunqua una misura orizuntali CD 
(di) (cusì u catetu AD hè b_2=x+di). Da u puntu C si misura l'angulu acutu ACB ( \gamma_1 ) è da D si misura l'angulu acutu ADB (\gamma_2) sottu à u quali si vedi a summità di a torra AB (c). Applichendu uppurtunamenti i furmuli s'otteni

: h_{torra} = c = b_1 \cdot \tan \gamma_1 = x \cdot \tan \gamma_1 
  h_{torra} = c = b_2 \cdot \tan \gamma_2 = (x+di) \cdot \tan \gamma_2 

Confruntendu i dui altezzi s'otteni un'equazioni in a scunnisciuta x

: x \cdot \tan \gamma_1 = (x+di) \cdot \tan \gamma_2 

st'equazioni hè faciulamenti solubili cunnisciuti i  \gamma_1  è  \gamma_2 

Truvatu x s'hà b_1 è cusì si pò calculà 

: h_{torra} = c = b_1 \cdot \tan \gamma_1 

### Calculu di l'aria d'un triangulu qualsiasi
Par calculà l'aria di u triangulu ABC, di basa CB=a, servi l'altezza AH. In u triangulu rittangulu CHA, d'iputenusa AC=b, l'altezza AH=h pò essa vista com'è u catetu chì s'opponi à l'angulu \gamma. Imprudendu in modu oppurtunu i formuli di i trianguli rittanguli s'otteni

: AH=h= b \cdot \sin \gamma 
 
è cusì

: Aria= \frac 1 2 \cdot a \cdot h =\frac 1 2 a b \sin \gamma 

Sta formula vali ancu s'è \gamma hè ottusu.

### Formuli di cunvirsioni da cuurdinati pularii a cuurdinati cartisiani è viciversa

Fissatu annantu à un pianu un puntu urighjina O(0;0) è una mezaretta Or, datu un puntu P di u pianu chì hè univucamenti individuatu da un paghju di numari riali  ( \rho, \theta)  incù a cundizioni  \rho>0  è  0\leq \theta . A coppia di numari riali rapprisentani i cuurdinati pularii di P.
Giumitricamenti  \rho  ripprisenta a distanza OP, mentri  \theta  ripprisenta l'angulu rOP misuratu in sensu antiurariu incù prima latu 
Or.

Hè pussibuli à truvà i rilazioni esistenti trà i cuurdinati cartisiani (x;y) è i cuurdinati pularii (\rho;\theta) di u puntu P. I siguenti cunsidarazioni fatti par un puntu P nantu à u prima quadranti valini ancu par l'altri quadranti.

Imprudendu i formuli di i trianguli rittanguli si trovani i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati cartisiani

:
\begin{cases} x=\rho \cdot \cos \theta \\ y= \rho \cdot \sin \theta \end{cases} 


Elevendu à u quatratu è summendu s'otteni  x^2+y^2=\rho^2  è cusì si poni ritruvà i formuli par a trasfurmazioni in cuurdinati pularii

:
\begin{cases} \cos \theta = \frac x {\rho} \\ 
\sin \theta = \frac y {\rho} \end{cases} 
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases} \cos \theta = \frac x {\sqrt{x^2+y^2}}\\ 
\sin \theta = \frac y {\sqrt{x^2+y^2}} \end{cases} 


:
\begin{cases} \rho = \sqrt {x^2+y^2} \\ 
\tan \theta = y/x \end{cases} 


Ci voli à fà attinzioni ch'è a tangenti guniumetrica ùn esisti micca par x=0 ed hè piriodica di 180° è dunqua ci voli à valutà priventivamenti a pusizioni di P par calculà di manera curretta  \theta 

:
\theta = \begin{cases} \arctan(y/x) & \text{s'è } x>0 \\ 
\arctan(y/x)+\pi & \text{s'è } x

## Tiuremi trigunumetrichi
I tiuremi trigunumetrichi parmettini a risuluzioni di prublemi di natura diffarenti liata à a figura d'un triangulu qualsiasi, sprimendu i rapporti trà i lati è l'anguli di quist'ultimu.

### Tiurema di a corda

Data una circumfarenza è una corda AB, u rapportu trà 'ssa corda è u sinu d'un qualsiasi angulu à a circumfarenza ch'è/chì insiste annantu à d'edda hè uguali à u diamitru di a circumfarenza:

:\frac{\overline{AB}}{\sin\widehat{C}}=2r.

### Tiurema di i sini
Cunsidaratu un triangulu qualsiasi di lati a, b è c, u rapportu trà i lati è i sini di l'anguli opposti rispittivi hè custanti è hè uguali à u diamitru di a circumfarenza circuscritta:

:\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2r.

### Tiurema di u cusinu o di Carnot

U tiurema di u cusinu (chjamatu ancu tiurema di Carnot) afferma ch'è in un qualsiasi triangulu, u quatratu d'un latu hè uguali à a diffarenza trà a somma di i quatrati di l'altri dui lati è u doppiu pruduttu di 'ssi lati par u cusinu di l'angulu cumpresu trà eddi.
:\overline{BA}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos
\gamma.

Vali à dì, indichendu incù a, b, c  a lunghezza di i lati è \alpha, \beta, \gamma l'anguli à eddi opposti, s'otteni

: a^2= b^2+c^2-2bc \cdot \cos \alpha 
: b^2= a^2+c^2-2ac \cdot \cos \beta 
: c^2= a^2+b^2-2ab \cdot \cos \gamma 

Pò essa cunsidaratu una generalisazioni di u Tiurema di Pitagora.

## Risuluzioni di i trianguli qualsiasi

 In u ghjergu matematicu risolva un triangulu significheghja calculà i misuri di i lati è di l'anguli di u triangulu. Par risolva un triangulu qualsiasi devini essa cunnisciuti trè elementi frà i quali almenu unu devi essa un latu. Si poni prisintà quattru casi:

# sò cunnisciuti un latu è dui anguli
# sò cunnisciuti trè lati
# sò cunnisciuti dui lati è l'angulu cumpresu
# sò cunnisciuti dui lati è un di i dui anguli opposti à i lati dati

A numinclatura di i lati è di l'anguli segue a cunvinzioni nantu à a figura.

### Risolva un triangulu cunnisciuti un latu (a) è dui anguli <math>( \alpha, \beta )</math>

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i siguenti cundizioni
:  \alpha+\beta 
in casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

#### A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

# Calculà l'angulu mancanti  \gamma = 180^o -(\alpha + \beta)
# Calculà u latu scunnisciutu b imprudendu u tiurema di i sini:  \frac a {\sin \alpha} = \frac b {\sin \beta} 
# Calculà u latu scunnisciutu c imprudendu u tiurema di i sini:  \frac a {\sin \alpha} = \frac c {\sin \gamma} 

### Risolva un triangulu cunnisciuti i trè lati (a, b, c)

U prublemu hà sempri una sola suluzioni s'eddi sò rispittati i disugualità triangulari. In casu cuntrariu u prublemu ùn hà micca suluzioni.

#### A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

# calculà l'angulu \alpha par via di u tiurema di u cusinu:  \cos \alpha = \frac {b^2+c^2 -a^2}{2bc} 
# calculà l'angulu  \beta  par via di u tiurema di u cusinu:  \cos \beta = \frac {a^2+c^2 -b^2}{2ac} 
# calculà l'angulu mancanti  \gamma = 180^o -(\alpha + \beta) 

### Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu cumpresu <math>( \gamma )</math>

U prublemu hà sempri una sola suluzioni

#### A prucidura par a risuluzioni di u triangulu hè a siguenti

# calculà u latu c (oppostu à l'angulu \gamma ) par via di u tiurema di u cusinu:  c = \sqrt {a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma} 
# calculà l'angulu \alpha (oppostu à u latu a) par via di u tiurema di u cusinu:  \cos \alpha = \frac {b^2+c^2 -a^2}{2bc} 
# calculà l'angulu mancanti  \beta = 180^o -(\gamma + \alpha)

### Risolva un triangulu cunnisciuti dui lati (a è b) è l'angulu <math>\alpha</math> oppostu à u latu a

U prublemu pò avè nisciuna suluzioni, una suluzioni o dui suluzioni.

# Si calculeghja l'angulu scunnisciutu \beta incù u tiurema di i sini \frac b {\sin \beta}=\frac a {\sin \alpha}
# S'è \alpha hè ottusu si uttinarà un solu angulu \beta_1 acutu, altrimenti si trova ancu \beta_2=180^o-\beta_1.
# Si calculeghja \gamma_1=180^o-(\beta_1+\alpha) è eventualmenti \gamma_2=180^o-(\beta_2+\alpha)
# Si calculeghja c_1 è eventualmente c_2 imprudendu u tiurema di i sini \frac a {\sin \alpha}=\frac c {\sin \gamma}

## Etimulugia di i noma
Com'è par u restu di i lingui rumanichi, a lingua corsa teni i noma di i funzioni trigunumetrichi da i paroli currispundenti latini.
A parola *tangenti* hè da latinu *tangens*, littiralamenti "chì tocca", in rifirimentu à i prubità giumetrichi di u sigmentu imprudatu par a difinizioni grafica di sta funzioni. Analugamenti si spiega l'etimulugia di a *secanti*, in latinu *secans*, "chì taglia". I paroli *cusinu*, *cutangenti* è *cusecanti* diriveghjani da a cuntrazzioni di i rispittivi paroli latini *cumplimenti sinus*, *cumplimenti tangens*, *cumplimenti secans*, vali a dì "sinu di l'angulu cumplimintariu", "tangenti di l'angulu cumplimintaria", "secanti di l'angulu cumplimintariu".

## Noti


## Da veda dinò
* Formuli di prustaferesi
* Formuli di Werner
* Funzioni trigunumetrica
* Angulu
* Sinu
* Cusinu
* Tangenti (matematica)
* Secanti (trigunumitria)
* Cusecanti
* Cutangenti
* Equazioni trigunumetrica
* Idantità trigunumetrica
* Tiurema di a corda
* Tiurema di i sini
* Tiurema di u cusinu
*Toru (giumitria)
*Giumitria piana
*Angulu rettu
*Catetu
*Mezaretta
*Perimetru
*Sigmentu
*Triangulu isusceli
*Triangulu equilateru
*Tiurema di Pitagora
*Iputenusa
*Tangenti
*Triangulu
*Uttaedru

## Fonti
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.