کلووبەفری کۆخ

وێنۆک|چەپ|کلووبەفری کۆخ پاش حەوت دووبارەبوونەوە
**کلووبەفری کۆخ** یان **کلووی کۆخ** () ھەروەھا بە **چەماوەی کۆخ**، **ئەستێرەی کۆخ** و **دوورگەی کۆخ**یش ناسراوە،  چەماوەیەکی بیرکارییە کە لەلایەن ماتماتیکزانی سوێدی ھێلگ ڤان کۆخ ساڵی ١٩٠٤ پێشکەش کرا. ئەم چەماوەیە لە یەکەم فراکتاڵەکانە کە باسی لێوە کراوە. کلووبەفری کۆخ لە ھەموو خاڵەکانیدا بەردەوامە، و لە ھیچ خاڵێکدا توانای گرتەی نییە.
## پێکھاتە
بۆ دروستکردنی کلووبەفری کۆخ لە سێگۆشەیەکی لایەکسانەوە دەست پێ بکە و ئەم ھەنگاوانەی خوارەوە پەیڕەو بکە:
#ھەر یەک لە لایەکانی سێگۆشە لایەکسانەکە بە سێ بەشی یەکسان دابەش بکە.
# سێگۆشەیەکی لایەکسان لەسەر بەشی ناوەڕاست بەرەو دەرەوە دروست بکە بەشێوەیەک کە ئەم بەشە ببێتە بنکەی سێگۆشە نوێکە.
# بنکەی سێگۆشەکە لە ھەنگاوی دووھەمدا لاببە.
ئەم کارە دووبارە بکەرەوە لەسەر ھەموو ئەو لایانەی وا دەستت دەکەون.
## تایبەتمەندییەکان
### چێوەی کلووبەفری کۆخ
پاش ھەر دووبارەبوونەوە، ژمارەی لایەکانی کلووبەفری کۆخ ڕوولەزیادبوونە، بە کۆلکەی ٤، کەوایە ژمارەی لایەکان پاش  n  دووبارەبوونەوە بەم شێوە دەدۆزرێتەوە:

:N_{n} = N_{n-1} \cdot 4 = 3 \cdot 4^{n}\, .

لە کاتێکدا درێژایی لایەکانی سێگۆشە لایەکسانە سەرەکییەکە   S  بێت، درێژایی ھەر یەک لە لایەکانی کلوو بەفری کۆخ پاش  n   دووبارەبوونەوە دەکاتە:

:S_{n} = \frac{S_{n-1}}{3} = \frac{s}{3^{n}}\, .

کەوایە، چێوەی کلوو بەفری کۆخ دوای  n  دووبارەبوونەوە بریتییە لە:

: P_{n} = N_{n} \cdot S_{n} = 3 \cdot s \cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^n\, .

#### ڕادەی چێوە
لە کاتێکدا ژمارەی دووبارەبوونەوەکان بەرەو بێکۆتا بڕوات، ڕادەی چێوە دەکاتە:

:\lim_{n \rightarrow \infty} P_n = \lim_{n \rightarrow \infty} 3 \cdot s \cdot \left(\frac{4}{3} \right)^n = \infty\, ,

لەبەر ئەوەی ||&nbsp;>&nbsp;1. 
### ڕووبەری کلووبەفری کۆخ
لە ھەر دووبارەبوونەوەیەکدا سێگۆشەیەکی نوێ لەسەر ھەر یەک لە لایەکانی دووبارەبوونەوەی پێشوو زیاد دەکرێت، کەوایە ژمارەی ئەو سێگۆشە نوێیانەی لە دووبارەبوونەوەی  n  ـەمدا زیاد دەبن بریتییە لە: 

:T_{n} = N_{n-1} = 3 \cdot 4^{n-1} = \frac{3}{4} \cdot 4^n\, .

ڕووبەری ھەر سێگۆشەیەکی زیاد دەبێت لە دووبارەبوونەوەی  n ـەمدا بریتییە لە:

:a_{n} = \frac{a_{n-1}}{9} = \frac{a_{0}}{9^n}\, .

لێرەدا  ڕووبەری سێگۆشە سەرەکییەکەیە. 
کۆی ئەو ڕووبەرەی لە دووبارەبوونەوەی  n ـەمدا زیاد دەکات، دەبێتە:

:b_{n} = T_{n} \cdot a_{n} = \frac{3}{4} \cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^{n} \cdot a_{0}

لەمەوە دەردەچێت، ڕووبەری کلووبەفری کۆخ دوای  n  دووبارەبوونەوە بریتییە لە

:A_{n} = a_0 + \sum_{k=1}^{n} b_k = a_0\left(1 + \frac{3}{4} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{4}{9}\right)^{k} \right)= a_0\left(1 + \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{4}{9}\right)^{k} \right)\, .

:A_{n} = a_0 \left( 1 + \frac{3}{5} \left( 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^{n} \right) \right) = \frac{a_0}{5} \left( 8 - 3 \left(\frac{4}{9}\right)^{n} \right)\, .

#### ڕادەی ڕووبەر
ڕادەی ڕووبەری کلووبەفری کۆخ بریتییە لە:

:\lim_{n \rightarrow \infty} A_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{0}}{5} \cdot \left(8 - 3 \left(\frac{4}{9} \right)^n \right) = \frac{8}{5} \cdot a_{0}\, ,

لەبەر ئەوەی ||&nbsp;
File:KochFlake.svg
File:Koch similarity tiling.svg
File:ZoomingpentaKoch.gif
File:Kochkurve.png


## پەراوێزەکان

## سەرچاوەکان

* 
## بەستەرە دەرەکییەکان
*The Koch snowflake in Mathworld
*The Koch Curve poem by Bernt Wahl
*Computing iterations of the Koch curve in WolframAlpha
*Application of the Koch curve to an antenna
*A WebGL animation showing the construction of the Koch surface 

پۆل:چەماوە فراکتاڵییەکان