ڕادەداریی لاگرانج

وێنۆک| ئەم وێنەیە چوار خال نیشان دەدات ( <span style="color:#5e81B5;">( &#x2212; 9,&nbsp;5)</span>, <span style="color:#e19c24;">( &#x2212; 4,&nbsp;2)</span>, <span style="color:#8FB131;">( &#x2212; 1,&nbsp;&#x2212; 2)</span> ، <span style="color:#EC6235;">(7،&nbsp;9)</span> )، چەماوەی رادەداری        (سێجا) <span style="color:black;">''L'' ( ''x'' )</span> (خاڵ جاڵ، ڕەش)، کە کۆی ڕادەدارە بنەڕەتییە ''پێوانەکراوەکانە'' <span style="color:#5e81B5;">y <sub>0</sub> ''l'' <sub>0</sub> ( ''x'' )</span>, <span style="color:#e19c24;">y <sub>1</sub> ''l'' <sub>1</sub> ( ''x'' )</span>, <span style="color:#8FB131;">y <sub>2</sub> ''l'' <sub>2</sub> ( ''x'' )</span> و <span style="color:#EC6235;">y <sub>3</sub> ''l'' <sub>3</sub> ( ''x'' )</span> .  نەخشەی چەماوەی ڕادەداری بە هەر چوار خاڵەکەی کۆنترۆڵدا تێدەپەڕێت، و هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی ''پێوانەکراو'' بە خاڵی کۆنترۆڵکردنی خۆیدا تێدەپەڕێت  0ە کە ''x'' هاوتایە لەگەڵ سێ خاڵە کۆنترۆڵەکەی تر.
لە شیکاری ژمارەییدا ، **چەماوەی ڕادەداریی لاگرانج** رادەدارێکی ناوازەیە بە نزمترین پلەی کە کۆمەڵە داتایەکی دیاریکراو چەماوە دروست دەکات .

کۆمەڵە داتایەکی جووتە پۆوتانەکان دەدرێت (x_j, y_j) لەگەڵ 0 \leq j \leq k, ەکە x_j پێیان دەوترێت *گرێ* و... y_j پێیان دەوترێت *بەهاکان* . ڕادەداریی لاگرانج L(x) پلەی هەیە.( \leq k'پلەکە' )و هەر بەهایەک لە گرێی هاوبەشدا گریمانە دەکات، L(x_j) = y_j.

هەرچەندە ناوی لێنراوە بەناوی جۆزێف-لویس لاگرانج کە لە ساڵی ١٧٩٥ بڵاویکردەوە،  بۆ یەکەمجار ئەم شێوازە لە ساڵی ١٧٧٩ لەلایەن ئێدوارد وارینگەوە دۆزرایەوە.  هەروەها دەرئەنجامێکی ئاسانی یاسایێکە کە لە ساڵی 1783 لەلایەن لیۆنهارد ئۆیلەرەوە بڵاوکرایەوە . 

بەکارهێنانی ڕادەداریی لاگرانج بریتین لە شێوازی نیوتن-کۆتس بۆ یەکخستنی ژمارەیی ، پلانی هاوبەشکردنی نهێنی شامیر لە کریپتۆگرافیدا ، و ڕاستکردنەوەی هەڵەی ڕید-سۆلۆمۆن لە تیۆری کۆدکردندا .

بۆ گرێ یەکسانەکان، چەماوە دروستکردنی لاگرانج ئامادەیە بۆ دیاردەی ڕونجی بۆ لەرینەوە گەورەکان.

## پێناسە
کۆمەڵێک لە... k + 1 گرێکان \{x_0, x_1, \ldots, x_k\} ، کە دەبێت هەموویان جیاواز بن، x_j \neq x_m بۆ پێوەرەکان j \neq m ، **بنەمای لاگرانج** بۆ ڕادەدارەکانی

\leq kپلەکەیان، بۆ ئەو گرێیانە کۆمەڵەی رادەدارانە \{\ell_0(x), \ell_1(x), \ldots, \ell_k(x)\} هەریەکەیان لە پلە k کە بەهاکان وەردەگرن \ell_j(x_m) = 0 ئەگەر m \neq j و \ell_j(x_j) = 1 . بە بەکارهێنانی دێڵتای کرۆنکەر ئەمە دەتوانرێت بنووسرێت \ell_j(x_m) = \delta_{jm}. هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی دەتوانرێت بە ڕوونی لەلایەن ئەو لیکدانە وەسف بکرێت:\begin{aligned}
\ell_j(x) &= \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j - 1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} \\[8mu]
&= \prod_{\begin{smallmatrix}0\le m\le k\\ m\neq j\end{smallmatrix}} \frac{x-x_m}{x_j-x_m} \vphantom\Bigg|.
\end{aligned}سەرنج بدەن کە سەرەکە \prod_{m \neq j}(x - x_m)  ،  k ڕەگی هەیە لە گرێکان \{x_m\}_{m \neq j} لە کاتێکدا ژێرەی \prod_{m \neq j}(x_j - x_m) ڕادەدارەکان گەورە دەکات وە دەرەنجامی پێوانە دەکات بەجۆرێک تاکوو \ell_j(x_j) = 1.

چەماوەی ڕادەداری  لاگرانج بۆ ئەو گرێیانە وە لە *بەها* هاوبەشەکانیانەوە \{y_0, y_1, \ldots, y_k\} پێکهاتەیەکی هێڵییە:L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x).هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی پلەیەکی هەیە k ، کەواتە کۆی گشتی L(x) پلەی هەیە بە جۆرێک \leq k پلەکە، و داتاکان چەماوەکە نەخشە  دەکات چونکە L(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{mj} = y_m.

چەماوە دانانی نەخشە ڕادەدارەکان تایبەتە. بەڵگە: ڕادەدارێک گریمانە بکە M(x)،  \leq kپلەی ڕادەدارەکە،  داتاکان نەخشە دەکات. پاشان جیاوازی M(x) - L(x) سفرە، لە k + 1 گرێ جیاوازەکان \{x_0, x_1, \ldots, x_k\}. بەڵام تاکە ڕادەداری کە \leq kپلەکەی، بە ڕەگی زیاتر لە... k  نەخشەی سفری نەگۆڕە، بۆیە M(x) - L(x) = 0, یان M(x) = L(x).

## فۆڕمی باریسەنتریک
هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج \ell_j(x) دەتوانرێت وەک بەرهەمی(لێکدانی) سێ بەش، نەخشەیێک بنووسرێتەوە \ell(x) = \prod_m (x - x_m) هاوبەشە بۆ هەموو ڕادەدارێکی بنەڕەتی، نەگۆڕێکی تایبەت بە گرێی w_j = \prod_{m\neq j}(x_j - x_m)^{-1} (کە پێی دەوترێت *کێشی باریسەنتریک* )، و بەشێک کە پیشاندەری لادانن لە... x_j بۆ x : \ell_j(x) = \ell(x) \dfrac{w_j}{x - x_j}بە هاوبەش وەرگرتنی \ell(x) لە کۆی سەرجەمەکە، دەتوانین ڕادەداری لاگرانج بە *فۆڕمی یەکەم بنووسین کە پێی دەوترێت یەکەم باریسەنتری* :

: L(x) = \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j.

ئەگەر کێشەکان w_j پێشوەختە حیساب کراون، ئەمە تەنها پێویستی بە... \mathcal O(k) ئۆپەراسیۆنەکان بە بەراورد بە... \mathcal O(k^2) بۆ هەڵسەنگاندنی هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج \ell_j(x) بە تاک بە تاک.

هەروەها دەتوانرێت فۆرمولەی نەخشە دانانی چەماوەی باریسەنتریکی بە ئاسانی نوێ بکرێتەوە بۆ ئەوەی گرێیەکی نوێ لەخۆبگرێت x_{k+1} بە دابەشکردنی هەریەک لە... w_j ، . j=0 \dots k تا (x_j - x_{k+1}) و بنیاتنانی نوێ w_{k+1} وەکۆ سەرەوە.

بۆ هەر x ،\sum_{j=0}^k \ell_j(x) = 1 چونکە نەخشەی نەگۆڕی g(x) = 1 ڕادەداری ناوازەی پلە k \leq  نەخشەی چاماوەی  \{(x_0, 1), (x_1, 1), \ldots, (x_k, 1) \}. دادەنێت بەم شێوەیە دەتوانین فۆرمولەی باریسەنتریکی زیاتر سادە بکەینەوە بە دابەشکردن L(x) = L(x) / g(x)\colon

: \begin{aligned}
L(x) &= \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j \Bigg/ \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j} \\[10mu]
&= \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j \Bigg/ \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}.
\end{aligned}

ئەمەش پێی دەوترێت *فۆڕمی دووەم* یان *فۆڕمی ڕاستەقینەی* فۆرمولەی ئینتەرپۆلاسیۆنی باریسەنتری.

ئەم فۆڕمە دووەمە لە تێچووی حیسابکردن و وردیدا سوودی هەیە: خۆی لە هەڵسەنگاندنی... \ell(x) ; بەدوور دەگرێت.  کارەکە بۆ حیسابکردنی هەر بەشێک لە ژێرەی  w_j/(x-x_j) پێشتر لە بواری کۆمپیوتەردا ئەنجامدراوە \bigl(w_j/(x-x_j)\bigr)y_j و بەم شێوەیە حیسابکردنی کۆی گشتی لە ژێرەدا تەنها تێچووی شیکاری k زیاددەکات ؛ بۆ خاڵەکانی هەڵسەنگاندنی x کە نزیکە لە یەکێک لە گرێکان x_j ، هەڵوەشاندنەوەی کارەساتبار بە شێوەیەکی ئاسایی کێشەیەک دەبێت بۆ بەهاکە (x-x_j) ، بەڵام ئەم بڕە لە هەردوو ژمارە و بڕدا دەردەکەوێت و ئەو دووانە هەڵدەوەشێنەوە(لەگەڵ یەکتر دەڕۆن) و وردییەکی ڕێژەیی باش لە ئەنجامی کۆتاییدا بەجێدەهێڵێت.

بەکارهێنانی ئەم فۆرمولەیە بۆ هەڵسەنگاندن L(x) لە یەکێک لە گرێکان x_j لە ئەنجامدا باری نادییار دەبێت \infty y_j/\infty ; جێبەجێکردنی کۆمپیوتەر دەبێت جێگەی ئەو جۆرە ئەنجامانە بگرێتەوە بە... L(x_j) = y_j.

هەروەها دەتوانرێت هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج بە شێوەی باریسەنتری بنووسرێت:

: 
\ell_j(x) = \frac{w_j}{x-x_j} \Bigg/ \sum_{m=0}^k \frac{w_m}{x-x_m}.


## ڕوانگەیەک لە جەبری هێڵییەوە
چارەسەرکردنی کێشەی ئینتەرپۆلاسیۆن(نەخشەکردنی چەماوەکە) دەبێتە هۆی کێشەیەک لە جەبری هێڵیدا کە دەکاتە هەڵگەڕاوەی ڕیزکراوێک. بەکارهێنانی بنەمایەکی مۆنۆمیاڵی ستاندارد بۆ نەخشاندی چەماوەی ڕادەدارەکە L(x) = \sum_{j=0}^k x^j m_j ، دەبێت ماتریکسی ڤاندەرمۆند(ڕیزکراوی ڤاندەرمۆند) هەڵگەڕێنینەوە  (x_i)^j  بۆ شیکارکردنی L(x_i) = y_i بۆ چەندجارەکان m_j بۆ L(x) . بە هەڵبژاردنی بنەمایەکی باشتر، بنەمای لاگرانج، L(x) = \sum_{j=0}^k l_j(x) y_j ، ئێمە تەنها ڕیزکراوی یەکەیی مان دەست دەکەوێت, <math>\delta_{ij}</math> ، کە هەڵگەراوەکەی خۆیەتی: بنەمای لاگرانج بە شێوەیەکی ئۆتۆماتیکی ئەنالۆگی ڕیزکراوی ڤاندەرمۆند *هەڵگەڕاوە دەکاتەوە* .

ئەم بنیاتنانە هاوشێوەی تیۆرمی پاشماوەی چینییە . لەبری ئەوەی پاشماوەی ژمارە تەواوەکان بپشکنین کە ژمارە سەرەتاییەکانی مۆدیۆلۆ، ئێمە پشکنین بۆ پاشماوەی فرەژمارەکان دەکەین کاتێک دابەش دەکرێن بەسەر هێڵییەکان.

جگە لەوەش، کاتێک کە ڕێزبەندییەکە گەورە بێت، دەتوانرێت گۆڕینی خێرا فۆریێر بەکاربهێنرێت بۆ چارەسەرکردنی چەنجارەکانی نەخشەی چەماوەی ڕادەدارەکە.

## نموونە
نەخشەی چەماوەی f(x) = x^2  بەسەر بواری 1 \leq x \leq 3 لە سێ گرێیەکەدا 

: 
\begin{align}
x_0 & = 1, & & & y_0 = f(x_0) & = 1, \\[3mu]
x_1 & = 2, & & & y_1 = f(x_1) & = 4, \\[3mu]
x_2 & = 3, & & & y_2 = f(x_2) & =9.
\end{align}


گرێی ڕادەدارەکە \ell بریتیە لە

: \ell(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6.

کێشەکانی باریسەنتریک بریتین لە

: \begin{align}
w_0 &= (1-2)^{-1}(1-3)^{-1} = \tfrac12, \\[3mu]
w_1 &= (2-1)^{-1}(2-3)^{-1} = -1, \\[3mu]
w_2 &= (3-1)^{-1}(3-2)^{-1} = \tfrac12.
\end{align}

ڕادەدارە بنەڕەتییەکانی لاگرانج بریتین لە

: \begin{align}
\ell_0(x) &= \frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3} = \tfrac12x^2 - \tfrac52x + 3, \\[5mu]
\ell_1(x) &= \frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3} = -x^2 + 4x - 3, \\[5mu]
\ell_2(x) &= \frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2} = \tfrac12x^2 - \tfrac32x + 1.
\end{align}

دانانی نەخشەی چەماوەی ڕادەداری لاگرانج بریتییە لە:

:  \begin{align}
L(x) &= 1\cdot\frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3}
+ 4\cdot\frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3}
+ 9\cdot\frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2}
\\[6mu]
&= x^2.
\end{align} 

لە فۆڕمی (دووەم) باریسەنتریکدا،

: 
L(x) = \frac
 {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}y_j}
 {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}}
 = \frac
 {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-4}{x - 2} + \frac{\tfrac92}{x - 3}}
 {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-1}{x - 2} + \frac{\tfrac12}{x - 3}}.


## تێبینی
وێنۆک| نموونەی جیاوازی ئینتەرپۆلاسیۆن(دانانی نەخشەی چەماوەکە) بۆ کۆمەڵێک ڕادەداری لاگرانج.
فۆڕمی لاگرانجی ڕادەداری ئینتەرپۆلاسیۆن تایبەتمەندی هێڵی ئینتەرپۆلاسیۆنی ڕادەدار و تایبەتمەندی ڕادەداری ئینتەرپۆلاسیۆن نیشان دەدات. بۆیە لە بەڵگە و ئارگیومێنتەکانی بیردۆزی و تیۆری باشترە. هەروەها دەتوانرێت تایبەتمەندی لە هەڵگەراوەیی ڕیزکراوی ڤاندەرمۆندەوە ببینرێت، بەهۆی نەمانی دیاریکەری ڤاندەرمۆندەوە .

بەڵام، وەک لە بنیاتنانەوە دەردەکەوێت، هەر جارێک گرێیەک *x* *k* دەگۆڕێت، هەموو ڕادەدارە بنەڕەتییەکانی لاگرانج دەبێت دووبارە حیساب بکرێنەوە. فۆرمێکی باشتری فرەژمارەی ئینتەرپۆلاسیۆن بۆ مەبەستی پراکتیکی (یان حیساباتی) فۆرمی باریسەنتریکی ئینتەرپۆلاسیۆنی لاگرانج (بڕوانە خوارەوە) یان فرەژمارەی نیوتنە .

لاگرانج و ئینتەرپۆلاسیۆنەکانی تر لە خاڵە یەکسانەکاندا، وەک لە نموونەی سەرەوەدا، فرەژمارەیەک بەدەست دەهێنێت کە لە سەرەوە و خوارەوەی نەخشە ڕاستەقینەکە دەلەرێتەوە. ئەم ڕەفتارە لەگەڵ ژمارەی خاڵەکاندا گەشە دەکات، ئەمەش دەبێتە هۆی جیاوازییەک کە بە دیاردەی ڕونگ ناسراوە؛ ڕەنگە کێشەکە بە هەڵبژاردنی خاڵەکانی ئینتەرپۆلاسیۆن(نەخشەی چەماوەکە) لە گرێکانی چێبیشێڤ نەهێڵرێت. 

دەتوانرێت ڕادەدارە بنەڕەتییەکانی لاگرانج لە تەواوکاریی ژمارەییدا بەکاربهێنرێت بۆ وەرگرتنی فۆرمولەکانی نیوتن-کۆتس .

## بیرهێنانەوە لە دانانی نەخشەی ڕادەدارەکانی لاگرانج
لە کاتی ئینتەرپۆلکردنی فەنکشنێکی دیاریکراوی *f* بە فرەژمارەیەکی پلەی  لە گرێکانیدا x_0,...,x_k ئەوەمان دەست دەکەوێت کە R(x) = f(x) - L(x) کە دەتوانرێت بەم شێوەیە دەرببڕدرێت 

:  R(x) = f[x_0,\ldots,x_k,x] \ell(x) = \ell(x) \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}, \quad \quad x_0 

کاتێک f[x_0,\ldots,x_k,x] ئاماژەیە بۆ جیاوازییە دابەشکراوەکان . یانیش دەتوانرێت پاشماوەکە وەکو تەواوکارییەێکی کۆنتور لە لە بواری ژمارە ئاوێتەییەکاندا دەرببڕێت وەک

: R(x) = \frac{\ell(x)}{2\pi i} \int_C \frac{f(t)}{(t-x)(t-x_0) \cdots (t-x_k)} dt = \frac{\ell(x)}{2\pi i} \int_C \frac{f(t)}{(t-x)\ell(t)} dt.

ئەوەی کە دەمێنێتەوە دەتوانرێت بەم شێوەیە ببەسترێتەوە

: |R(x)| \leq \frac{(x_k-x_0)^{k+1}}{(k+1)!}\max_{x_0 \leq \xi \leq x_k} |f^{(k+1)}(\xi)|. 

### کە وەرگیراوە لە
(ناتەواوە) LaTeX پێویستە!

: F^{(k+1)}(\xi)=f^{(k+1)}(\xi)-L^{(k+1)}(\xi)-\tilde{R}^{(k+1)}(\xi)

: L^{(k+1)}=0,\tilde{R}^{(k+1)}=C\cdot(k+1)! (چونکە بەرزترین توانی… x لە \tilde{R}(x) بریتیە لە k+1 )

: 0=f^{(k+1)}(\xi)-C\cdot(k+1)!

دەتوانرێت هاوکێشەکە بەم شێوەیە ڕێکبخرێتەوە

: C=\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}

چونکە F(x_p) = 0 ئێمە هەمانە R(x_p)=\tilde{R}(x_p) = \frac{f^{k+1}(\xi)}{(k+1)!}\prod_{i=0}^k(x_p-x_i)

## جیاکاری(داتاشراو)
دەتوانرێت داتاشراوی یەمی ڕادەدارێکی ئینتەرپۆلکردنی لاگرانج لە ڕووی داتاشراوەکانی ڕادەدارە بنەڕەتییەکان بنووسرێت،

: L^{(d)}(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j^{(d)}(x).

وەبیرهێنانەوە (بڕوانە  سەرەوە) کە هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج\begin{aligned}
\ell_j(x) &= \prod_{\begin{smallmatrix}m = 0\\ m\neq j\end{smallmatrix}}^k \frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
\end{aligned}یەکەم وەرگیراو دەتوانرێت بە بەکارهێنانی یاسای جارانی داتاشراو بدۆزرێتەوە :

: \begin{align}
\ell_j'(x) &= \sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\ i\not=j\end{smallmatrix}}^k \Biggl[ \frac{1}{x_j-x_i}\prod_{\begin{smallmatrix}m=0 \\ m\not = (i, j)\end{smallmatrix}}^k \frac{x-x_m}{x_j-x_m} \Biggr]
\\[5mu]
&= \ell_j(x)\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{x-x_i}.
\end{align}

داتاشراوی دووەم بریتییە لە

: \begin{align}
\ell_j*(x)
&= \sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\ i\ne j\end{smallmatrix}}^{k} \frac{1}{x_j-x_i} \Biggl[ \sum_{\begin{smallmatrix}m=0 \\ m\ne(i,j)\end{smallmatrix}}^{k} \Biggl( \frac{1}{x_j-x_m}\prod_{\begin{smallmatrix}n=0 \\ n\ne(i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k} \frac{x-x_n}{x_j-x_n} \Biggr) \Biggr]
\\[10mu]
&= \ell_j(x)
\sum_{0 \leq i < m \leq k}
\frac{2}{(x-x_i)(x - x_m)}
\\[10mu]
&= \ell_j(x)\Biggl[\Biggl(\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{x-x_i}\Biggr)^2-\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{(x-x_i)^2}\Biggr].
\end{align}</math>

داتاشراوی سێیەم بریتییە لە

: <math>\begin{align}
\ell_j*'(x)
&= \ell_j(x)
\sum_{0 \leq i 

و بە هەمان شێوە بۆ داتاشراوی بەرزتر.

سەرنج بدە کە هەموو ئەم فۆرمولانە بۆ داتاشراوەاکان لە گرێیەک یان لە نزیک گرێیەکدا نادروستن. شێوازێک بۆ هەڵسەنگاندنی هەموو ڕێزبەندییەکانی داتاشراوەکانی ڕادەدارەکانی لاگرانج بە شێوەیەکی کارا لە هەموو خاڵەکانی بوارەکادا، بە گرێیەکانیشەوە، گۆڕینی ڕادەدارەکانی لاگرانج بۆ فۆڕمی بنەمای هێز(توان) و پاشان تاقیکردنەوەی داتاشراوەکان.

## بوارە سنووردارەکان
هەروەها دەتوانرێت فرەژمارەی(ڕادەدارەکانی) لاگرانج لە بواری سنوورداردا حیسابی بۆ بکرێت. ئەمە بەکارهێنانی هەیە لە کریپتۆگرافیدا, وەک لە پلانی هاوبەشکردنی نهێنی شامیر .

## هەروەها ئەمانە ببینە

* ئەلگۆریتمەکەی نێڤڵ
* فۆڕمی نیوتنی فرەژمارەی ئینتەرپۆلاسیۆن
* ڕادەدارەکانی بێرنشتاین
* تیۆرمی کارلسۆن
* نەگۆڕی لێبێسگێ
* سیستەمی چێبفون
* خشتەی زنجیرە نیوتنییەکان
* هاوگۆڕاوی فرۆبێنیۆس
* فۆرمولەی سیلڤێستەر
* ڕێژەی جیاوازی کۆتایی
* ئینتەرپۆلاسیۆنی هێرمیت

## بەستەری دەرەکی