Holomorfo funcion

Na el matematica, un holomorfo funcion es un funcion de complejo variable de uno o mas complejo variable que es complejo diferenciable na un entorno de cada punto na un dominio na el complejo espacio de maga coordenada . El existencia de un complejo deritativo na un entorno es un muy fuerte condicion: ta implica ele que un holomorfo funcion *[[infinitamente diferenciable funcion|infinitamente diferenciable]]* (o *suave*) y localmente igual al de suyo propio serie de si Taylor (*analitico*). El maga holomorfo funcion el maga central objeto de estudio na el complejo analisis.

Masquen na manada situacion intercambiable el maga termino *[[analitico funcion]]* y "holomorfo funcion", definio el palabra "analitico" na un mas amplio sentio para denota con cualquier funcion (real, complejo o de un mas general tipo) expresable como un convergente serie de maga potencia na un entorno de cada punto na el de suyo dominio. Que todo el maga holomorfo funcion maga complejo analitico funcion, y viceversa, es un importante teorema na el complejo analisis.

El maga holomorfo funcion tiene vez denominao como maga *regular funcion*. Un completo funcion es un holomorfo funcion cuyo dominio es el entero complejo plano. Ta significa el frase "holomorfo a un punto " hinde lang diferenciable a , sino diferenciable por todo maga parte dentro de algun entorno de  na el complejo plano.

## Definicion

Para un funcion  de un complejo variable lang, el **derivada** de  a un punto  na el de suyo dominio definible como el limite
:f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }. 

Esto es el mismo definicion como para el derivada de un real funcion, excepto que complejo todo el maga cantidad. Na particular, ta toma kita con el limite como el complejo numero  tendiendo a , y ta significa esto que ta obtene kita con el mismo valor para cualquier sucesion de maga complejo valor para  que ta tenda a . Si ta existi el limite,  es **complejo diferenciable** a . Ta comparti este concepto de complex diferenciabilidad con manada propiedad con real diferenciabilidad: es lineal y ta obedece con el regla del producto, regla del cociente y el regla del cadena.

**Holomorfo** un funcion na un abierto conjunto  si *complejo diferenciable* a *cada* punto de . *Holomorfo* un funcion  a un punto  si holomorfo na algun entorno de . *Holomorfo* un funcion na algun hinde abierto conjunto  si holomorfo  a cada punto de .

Puede un funcion complejo diferenciable a un punto pero hinde holomorfo a este punto. Por ejemplo, complejo diferenciable el funcion f(z)=|z|^2=z\overline z a , pero hinde complejo diferenciable na otro maga parte (mira con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, mas abajo). Ansina, *hinde* holomorfo a .

El relacion entre el real diferenciabilidad y el complejo diferenciabilidad es lo siguiente: Si holomorfo un complejo funcion , entonces ta tene  y  con maga primer parcial derivada con respeto a  y , y ta satisface ellos con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann:
:\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \mbox{y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,
o, equivalentemente, el derivada de si Wirtinger de  con respeto a \bar z, al complejo conjugao de z, es cero:
:\frac{\partial f}{\partial\overline{z}} = 0,
es deci, a maga grande rasgo, funcionalmente independiente  de \bar z,, el complejo conjugao de .

Si hinde cierto el continuidad, hinde necesariamente verdadero el converso. Un simple converso es que si ta tene  and  con maga *continuo* primer parcial derivada y ta satisface con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, entonces holomorfo . Un mas satisfaciente converso, mucho mas dificil de proba, es el teorema de si Looman–Menchoff: si continuo , ta tene  y  con maga primer parcial derivada (pero hinde necesariamente continuo), y ta satisface ellos con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, entonces holomorfo .

## Terminologia
Introducio el termino *holomorfo* (, ) na 1875 por si Charles Briot y si Jean-Claude Bouquet, dos maga estudiante de si Augustin-Louis Cauchy. Derivao este termino del griego ὅλος (*hólos*) "entero, completo" y μορφή (*morphḗ*)""forma, apariencia, tipo", a diferencia del termino *[[meromorfo]]*, derivao de μέρος (*méros*) "parte". Ta parece un holomorfo funcion a un completo funcion ("entero") na un dominio del complejo plano mientras que ta parece un meromorfo funcion (definio para significa holomorfo salvo a cierto maga aislao polo) a un racional funcion (un "parte") de maga completo funcion na un dominio del complejo plano. Na cambio, ya usa si Cauchy mismo con el termino *sinectico* (, ).

Hoy dia, tiene vez preferio el termino "holomorfo funcion" a "analitico funcion". Un importante resultao na el complejo analisis es que cada holomorfo funcion es complejo analitico, un hecho hinde implicao (na un obvio manera) del maga definicion. Sin embargo, tambien ampliamente usao pa el termino "analitico".

## Maga propiedad
Lineal el complejo diferenciacion, y ta obedece ele con el maga regla del producto, del cociente y del cadena, ansina que holomorfo el maga suma, maga producto y maga composicion de maga holomorfo funcion, y holomorfo el cociente de dos maga holomorfo funcion cuandoquiera hinde cero el denominador. Es deci, si holomorfo el maga funccion  y  na un dominio , ansina tambien , ,  y . Ademas, holomorfo  si hinde ta tene  con cualquier cero na , o de lo contrario, meromorfo.

Si identificao  con el real plano , entonces ta coincidi el maga holomorfo funcion con aquel maga funcion de dos maga real variable con maga continuo primer derivada que ta soluciona con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, un conjunto de dos maga parcial diferencial equacion.

Separable cada holomorfo funcion na el de suyo maga real e imaginario parte , y cada de este maga es un armonico funcion na  (ta satisface cada con el ecuacion de si Laplace ), con  el armonico conjugao of . Conversamente, cada armonico funcion  na un simplemente conexo dominio  es el real parte de un holomorfo funcion: Si  el armonico conjugao de , distinto hasta un constante, entonces holomorfo .

Ta implica el integral teorema de si Cauchy que ta desvanece el integral de contorno de cada holomorfo funcion a traves de un lazo:

:\oint_\gamma f(z)\,dz = 0. 

Aqui  es un rectificable paseo na un simplemente conexto complejo dominio  cuyo punto de inicio es igual al de suyo punto de fin, y  un holomorfo funcion.

Ta declara el integral formula de si Cauchy que cada funcion, holomorfo dentro de un disco, determinao por completo por el de suyo maga valor al borde del disco. Ademas, supone que  es un complejo dominio,  es un holomorfo funccion y el cerrao disco  es completamente contenio na .  es el circulo formando con el frontera de . Entonces para cada  na el interior de :

:f(a) = \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz 

donde tomao el integral de contorno antihorario.

Escribible el derivada  como un integral de contorno usando con el formula de diferenciacion de si Cauchy:

:f'(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_\gamma {f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,

para cualquier simple lazo positivamente enrollando una vez alrededor de , y

:f'(a) = \lim\limits_{\gamma\to a}\frac i{2\mathcal{A}(\gamma)}\oint_{\gamma}f(z)\,d\bar z,

para maga infinitesimal positivo lazo  alrededor de .

Na maga region donde hinde cero el primer derivada, conforme maga holomorfo funcion: ta preserva ellos con el maga angulo y el maga forma (pero hinde el maga tamaño) de maga chico figura.

Analitico cada holomorfo funcion. Es deci, ta tene un holomorfo funcion  con maga derivada de cada orden a cada punto  na el de suyo dominio, y ta coincidi con el de suyo propio serie de si Taylor a  na un entorno de . De hecho, ta coincidi  con el de suyo serie de si Taylor na cada disco centrao na aquel punto y dentro del dominio del funcion.

Desde un algebraico punto de vista, el conjunto de maga holomorfo funcion na un abierto conjunto es un conmutativo anillo y un complejo vectorial espacio. Ademas, el conjunto de maga holomorfo funcion na un abierto conjunto  es un dominio de integridad si y solo si conectao el abierto conjunto . De hecho, es un localmente convexo espacio, el maga seminorma siendo el supremo na maga compacto subconjunto.

Desde un geometrico punto de vista, holomorfo un funcion  a  si y solo si el de suyo exterior derivada  na un entorno  de  es igual a  para algun continuo funcion . Ta implica

:\textstyle 0 = d^2 f = d(f^\prime dz) = df^\prime \wedge dz

que  tambien proporcional a , implicando que el derivada  tambien holomorfo y ansina que  infinitamente diferenciable. Similarmente, ta implica  que cada funcion  que es holomorfo na el simplemente conexo region  es tambien integrable na .

(Para un paseo  de  a  enteramente na , defini con  F_\gamma(z) = F_0 + \int_\gamma f\,dz; al luz del teorema del curva de si Jordan y del generalizao v,  independiente del particular eleccion de paseo , y ansina  un bien definio funcion na  teniendo con  y .)

## Maga ejemplo
Todo maga polynomio funcion na  con maga complejo coeficientes son maga completo funcion (holomorfo na el entero complejo plano ), y tambien el exponectial funcion  y el maga trigonometrico funcion \cos{z} = \tfrac12\bigl(\exp(iz) + \exp(-iz)\bigr) y \sin{z} = -\tfrac12i\bigl(\exp(iz) - \exp(-iz)\bigr) (cf. formula de si Euler). El principal rama del compljo logaritmo funcion  es holomorfo na el dominio . El cuadrao raiz funcion definible como \sqrt{z} = \exp\bigl(\tfrac12 \log z\bigr) y poreso es holomorfo cuandoquiera el logaritmo  ansina tambien. El reciproco funcion  holomorfo na . (El reciproco funcion, y cualquier otro racional funcion, is meromorfo funcion na .)

Como consecuencia del maga ecuacion de si Cauchy–Riemann, debe constante cualquier holomorfo funcion de maga real valor. Poreso, hinde holomorfo el  , el argumento , el real parte  y el imaginario parte . Otro tipico ejemplo de un continuo funcion, hinde holomorfo, es el complejo conjugao \bar z. (El complejo conjugao es antiholomorfo funcion.)

## Manada variable
Ta generaliza el definicion de un holomorfo funccion a manada complejo variable de un sencillo manera. Un funcion f:(z_1,z_2, \ldots, z_n) \mapsto f(z_1,z_2, \ldots, z_n) na  maga complejo variable es **analitico** a un punto  si ta existi un entorno de  na el que  es igual a un convergent serie de potencia na  maga complejo variable; el funcion  es **holomorfo** na un abierto subconjunto  de  si analitico a cada punto na .  Ta demostra el lema de si Osgood (usando con el formula de multivariao integracion de si Cauchy) que, para un continuo funcion , equivalente esto a  siendo holomorfo nada cada variable separadamente (que ta significa que si fijao cualquiera maga  maga coordenada, entonces el restriccion de  es un holomorfo funcion del otro coordenada).  Ta demostra el mucho mas profundo teorema de si Hartogs que el asuncion de continuidad:  holomorfo si y solo si holomorfo na cada variable separadamente.

Mas generalmente, un funcion de manada complejo variable que es cuadrao integrable sobre cada compacto subconjunto del de suyo dominio es analitico si y solo si ta satisface ele con el maga ecuacion de si Cauchy–Riemann na el senio de maga distribucion.

El maga funcion de manada complejo variable son na cuanto basico manera mas complicao que maga funcion de un solo complejo variable. Por ejemplo, el region de convergencia de un serie de potencia hinde necesariamente un abierto bola; este maga region son maga logaritmicamente complejo dominio de si Reinhardt, el mas simple ejemplo del cual un polidisco. Sin embargo, tambien ta tene ellos con algun maga fundamental restriccion. Hinde como maga funcion de un solo complejo variable, muy limitao el maga dominio na el que hay maga holomorfo funcion hinde extensible a maga mas grande dominio. Tal conjunto llamao un dominio de holomorfia.

Holomorfo un complejo diferential -forma  si y solo si el de suyo antiholomorfo derivada de si Dolbeault es zero: .

## Extension al funcional analisis

Extensible el concepto de un holomorfo funcion al maga espacio de infinito maga dimension del funcional analisis. Por ejemplo, usable el derivada de si Fréchet o de Gateaux para defini con un nocion de un holomorfo funcion na un espacio de si Banach sobre el cuerpo del maga complejo numero.

## Mira tambien
* Antiderivada (complejo analisis)
* Antiholomorfo funcion
* Armonico aplicacion
* Armonico morfismo
* Biholomorfismo
* Dominio de cuadratura
* Holomorfo separabilidad
* Maga derivada de si Wirtinger
* Meromorfo funcion