Matematica

El **matematica** es un area de conocimiento que ta inclui con el maga tema del maga numero, el maga formula y maga relacionao estructura, el maga forma y maga espacio que ta contene con sila, y el maga cantidad y el de suyo maga cambio. Puede incuntra con este maga tema representao na moderno matematica por el maga principal subdisciplina del teoria de maga numero, el algebra, el geometria y el matematico analisis, respectivamente. Nuay ningun general consenso entre el maga matematico na cuanto a un comun definicion para el de suyo academico disciplina.

Ta involucra el mayoria del matematico actividad con el descubrimiento del maga propiedad del maga abstracto objeto y el uso del puro razon para proba con sila. Ta consisti este maga objeto con maga abstraccion del naturaleza o — na el moderno matematica — el maga entidad definio por maga cierto propiedad llamao maga axioma. Ta consisti un *prueba* con un sucesion de maga aplicacion de maga regla de inferencia para maga resultao ya establecio. Ta inclui este maga resultao con previamente probao maga teorema, maga axioma y — na cuanto al maga abstraccion del naturaleza — algun maga basico propiedad considerao maga verdadero inicial punto del teoria considerao.

Esencial el matematica na el maga natural ciencia, el ingenieria, el medicina, el maga finanza, el maga ciencia del computacion y el maga social ciencia. Maskin instrumental el matematica para el modelao del fenomeno, el maga fundamental verdad del matematica son independiente de cualquier cientifico experimentacion. Algun maga rama del matematica, como el estadistica y el teoria de maga juego, son desarrollao na cercano correlacion con el de suyo maga aplicacion y na manada situacion son agrupao bajo aplicao matematica. Otro maga area del matematica son desarrollao independientemente de cualquier aplicacion (y poreso llamao puro matematica) pero mas tarde ta incuntra gayot con maga practico aplicacion. Por ejemplo hinde ya tiene ningun practico uso para el problema del factorizacion del maga entero, que data de Euclides na 300 AEC, antes del de suyo uso na RSA, usao ya para el seguridad del maga red de maga computadora.

Historicamente, ya aparece por primera vez el concepto de un prueba y su asociao matematico rigor na el griego matematica, mas notablemente na el ''Maga Elemento'' de Euclides. Desde el de suyo comienzo, esencialmente dividio el matematica na el geometria y el aritmetica (el manipulacion del maga natural numero y el maga fraccion) hasta el aca-16 y aca-17 siglo, cuando ya emerge el nuevo maga area del algebra y el infinitesimal calculo. Desde entonces, ya tiene un rapido concomitante omentao na desarrollo del maga matematico inovacion y el maga cientifico descubrimiento, debido al fuerte y alegre interaccion entre este maga. Al fin del aca-19 siglo, ya resulta el crisis del maga fundamento del matematica con el sistematizacion del axiomatico metodo, que ya anuncia con un dramatico omentao na numero del maga matematico area y el de suyo maga campo de aplicacion. Ta alista el contemporaneo Matematico Clasificacion por el maga Tema con mas de 60 maga primario rama del matematica.

## Etimologia
Ta proveni el palabra *matematica* del antiguo griego *μάθημα* (*máthema*), que ya significa con 'aprendio', 'leccion', poreso 'estudio', 'ciencia'. Hasta na el clasico antigüedad ya llega el termino a tene el mas estrecho y mas tecnico acepcion de 'matematico estudio'. El de suyo adjetivo es *μαθηματικός* (*mathēmatikós*), que ya significa con 'relacionao con el aprendizaje', 'estudio', que ya llega ansina mismo a significa con 'matematico' (na el sentio de 'perteneciente o relativo al matematica'). Particularmente, ya significa con *μαθηματικὴ τέχνη* (*mathēmatikḗ tékhnē*, ) 'el matematico arte'.

Similarmente, uno del dos maga principal escuela de pensamiento na pitagorismo fue conocio como el maga *μαθηματικοί* (*mathēmatikoi*), que na aquel maga tiempo ya significa con 'maga aprendidor' imbes de 'maga matematico' na moderno acepcion. Siguro el maga pitagorico el maga primario na restringi con el uso del palabra al estudio del aritmetica y geometria. Por el maga tiempo de Aristoteles (384–322 AEC) establecio ya este acepcion.

Na latin, y na ingles hasta circa 1700, ya significa *matematica* (, ) con 'astrologia' (o tiene vez 'astronomia') imbes de 'matematica'. Ya cambia gradualmente el significao al de suyo presente durante el periodo 1500–1800. Ya llega este cambio con vario mal traduccion. Por ejemplo, el aviso de San Agustin que debe teme el maga cristiano al maga *mathematici*, o maga astrologo, tiene vez ta traduci mal como un condenacion del maga matematico.

Na ingles, pero hinde na español ni na chavacano, ta parece plural el palabra *mathematics*, que ta proveni del latin *mathēmatica* (neut. pl.) de si Ciceron, basao na griego plural *τὰ μαθηματικά* (*ta mathēmatiká*), mas o menos 'el maga matematico [cosa]', maskin ta tene tamen el posibilidad de que ya presta el ingles con solamente el adjetivo *mathematic(al)* y ya reacuña con el sustantivo *mathematics* de nuevo, despues del padron de *physics* (fisica) y *metaphysyics* (metafisica), maga prestamo del griego. Na ingles, el sustantivo *mathematics* es singulare tantum. Na manada situacion acortao a *maths* (Mancomunidad de maga Nacion) o *math* (Estados Unidos).

## Maga area del matematica

Antes del Renacimiento, fue dividio el matematica na dos maga parte: el aritmetica, el estudio del maga numero, y el geometria, el estudio del maga forma. Na aquel entonces, algun maga tipo del seudociencia, como el numerologia y el astrologia, no fue distinguio con claridad del matematica.

Durante el Renacimiento, ya aparece dos maga area mas. Ya lleva el matematico notacion al algebra que, a maga grande rasgo, ta consta del estudio y el manipulacion del maga formula. El calculo, que ta consta del dos maga subcampo del diferencial calculo y el integral calculo, es el estudio del maga continuo fraccion, que ta modela con el maga tipicamente hindi lineal relacion entre maga variable cantidad, representao por el maga simbolo tambien llamao variable. Hasta el fin del aca-19 siglo ya perdura este division na cuatro maga principal area: el aritmetica, el geometria, el algebra y el calculo. Na aquel entonces tambien ya estudia el maga matematico con el maga area como el celestial mecanica y el solido mecanica, pero hoy dia son parte del fisica. Fue estudiao el sujeto del combinatoria durante gran parte del recordao historia, aunque hinde fue distinto rama del matematica hasta el aca-17 siglo.

Al fin del aca-19 siglo, el crisis del maga fundamento del matematica y el resultante sistematizacion del axiomatico metodo ya lleva a un explosion del maga nuevo area del matematica. Ta contene el Mathematics Subject Classificacion de 2020 con *sesenta y tres* maga area de primer nivel. Ta corresponde algun maga area con el mas antiguo divison, por ejemplo el teoria de maga numero (el moderno nombre para el superior aritmetica) y el geometria. Ta tene el vario maga otro area del primer nivel con "geometria" na el de suyo maga nombre o de otro manera ta forma parte del geometria propiamente dicho. Hinde ta aparece el algebra y el calculo como maga area del primer nivel sino que son dividio na vario maga area del primer nivel. (Por ejemplo, na el clasificacion ta mira kita con el asociativo y hinde asociativo maga anillo y maga algebra (#16 y #17), mientras que ta incuntra kita con el algebra comunmente enseñao na el maga escuela bajo el codigo 97H20.) Ya emerge otro maga area de primer nivel durante el aca-20 siglo, o anteriormente hinde ya forma parte del matemetica, como el matematico logico y el maga fundamento del matematica.

### Teoria de maga numero

Como ta sugeri el nombre, ya comenza el teoria de maga numero por el manipulacion del maga numero (na aquel entonces, el maga natural numero, \mathbb{N}) y mas tarde ya expandi para inclui con el maga entero numero (\mathbb{Z}) y el maga racional numero (\mathbb{Q}). Na el pasado el teoria de maga numero fue conocio como el aritmetica, pero hoy dia ta referi el termino *aritmetica* al numerico analisis. Ta remonta el teoria de maga numero al antiguo Babilonia y probablemente el antiguo China. Dos maga prominente temprano teorista del maga numero fue si Euclides del antigua Grecia y si Diofanto de Alejandria. Mayoritariamente atribuio a si Pierre de Fermat y si Leonhard Euler es el moderno estudio del teoria de maga numero na el de suyo abstracto forma. Ya llega a buen termino el campo por el maga contribucion de si Adrien-Marie Legendre y si Carl Friedrich Gauss.

Ta tene vario maga numerico problema, facilmente declarao, con maga solucion que ta requeri el maga sofisticao metodo, a menudo usando con muy distinto maga rama del matematica, y a menudo usando con maga rama del matematica que hinde ya existi na aquel entonces. Un maga prominente ejemplo:

* El ultimo teorema de si Fermat, declarao na 1637 por si Pierre de Fermat (con un tentador nota que "ya descubri yo con un verdaderamente notable prueba, que este margen esta demasiado chico para contene", o na frances idioma, «J'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que la marge est trop petite pour la contenir»), pero solo probao na 1994 por si Andrew Wiles, que ya utiliza con el maga herramienta como el maga esquema del algebraico geometria, el teoria de maga categoria y el homologico algebra
* El problema del siete maga puente de Königsberg (que ya utiliza el teoria de maga grafo, cuyo semilla fue plantao por si Euler mismo).
* El conjetura de si Goldbach, que ta afirma que cada par entero mas grande que 2 es el suma de dos maga primo numero. Declarao na 1742 por si Christian Goldbach, ta segui sin prueba a pesar de considerable esfuerzo.

Ta inclui el teoria de maga numero con vario rama, como el analitico teoria de maga numero, el teoria de maga algebraico numero, el geometria del maga numero (orientao al metodo), el maga diofantico ecuacion y el teoria de maga trascendente numero (orientao al problema).

### Geometria

El geometria es uno del maga mas antiguo rama del matematica. Ya comenza con el maga empirico receta acerca del maga forma, como el maga linea, el maga angulo y el maga circulo —desarrollao principalmente para el maga necesidad del agrimensura y el arquitectura—, pero desde entonces ya florece na mucho otro maga subrama.

Un fundamental inovacion fue el introduccion, por el maga antiguo griego, del concepto del maga matematico proeba.Hay que *proba* con casi cada asercion. Por ejemplo, hinde suficiente verifica por el medicion que igual son dos maga largura, sino que hay que proba con el de suyo igualdad por medio de anteriormente aceptao maga resultao (maga teorema) y cierto basico maga declaracion. Hinde ta kita proba con este maga basico declaracion, o porque son evidente ya (maga postulao) o porque son parte del definicion del sistema na cuestion (maga axioma). Este principio, fundamental para todo el matematica, fue elaborao por primer vez na geometria, y sistematizao por Euclides alrededor de 300 AEC na el de suyo libro *[[Maga elemento de Euclides|Maga elemento]]*.

El resultante euclidiano geometria es el estudio del maga forma y el de suyo maga arreglo construio por el maga linea, el maga plano y el maga circulo na el euclidiano plano (plana geometria) y el tridimensional euclidiano espacio.

Ya progresa el euclidiano geometria sin cambio del suyo maga metodo o alcance hasta el aca-17 siglo, cuando ya introduci si René Descartes con el maga cartesiano coordenao. Fue esto un gran importante cambio de paradigma. Na lugar de defini con el maga real numero como maga largura del lineal segmento (v.t. real recta), ya permiti esto con el representacion del maga punto por medio del suyo maga coordenao, que son maga numero (i.e. un abstraccion). Ansina posible utiliza con el algebra (y mas tarde con el calculo) para soluciona maga problema na el geometria. Entonces ya veni un division del geometria na dos maga rama: el sintetico geometria, que ta utiliza con el maga puramente geometrico metodo, y el analitico geometria, que ta utiliza sistemicamente con el maga coordenao.

Ya permiti el analitico geometria con el estudio del maga curva no relacionao con el maga circulo o el maga linea. Posible defini con tal curva como el maga grafica de un funcion, y ya lleva al diferencial geometria el estudio de este maga grafica]]. Tambien posible un definicion como maga implicito ecuacion, a menudo maga polinomico ecuacion (que ya desova con el algebraico geometria). Tambien ta hace posible el analitico geometria con el considereacion del maga euclidiano espacio de mas de tres maga dimension.

Na el aca-19 siglo, ya descubri el maga matematico con el maga no euclidiano geometria, que hinde ta segui con el quinto postulao de si Euclides (el postulao del maga paralela). Junto con el paradoja de si Russell, ya ayuda este descubrimiento a revela con el crisis del maga fundamento del matematica, por cuestiona con el verdad de este postulao. El solucion de este parte del crisis fue el sistematizacion del axiomatico metodo, y el admision de que el verdad del maga elegio axioma hindi es un matematico problema. Ansina mismo, ta permiti el axiomatico metodo con el estudio de vario maga geometria obtenio, o por cambia con el maga axioma, o por considera con el maga propiedad que son invariante bajo especifico maga transformacion del espacio.

Hoy dia ta inclui el maga rama del geometria con:
* El proyectivo geometria, introducio na el aca-16 siglo por si Girard Desargues, que ta extende con el euclidiano geometria por añadi con maga punto del infinito donde ta cruza el maga paralelo linea. Ta simplifica este con mucho maga aspecto del clasico geometria por unifica con el maga tratamiento para el maga linea, si ta cruza o no.
* El afin geometria, el estudio del maga propiedad relativo al paralelismo e independiente del concepto del largura.
* El diferencial geometria, el estudio del maga curva, el maga superficie, y el de suyo maga generalizacion, definio por el maga diferenciable funcion.
* El teoria de maga variedad, el estudio de maga forma hinde necesariamente incrustao na un mas grande espacio.
* El geometria de si Riemann, el estudio del maga propiedad del distancia na el maga curvo espacio.
* El algebraico geometria, el estudio del maga curva, el maga superficie, y el de suyo maga generalizacion, definio por el maga polinomio.
* El topologia, el estudio del maga propiedad mantenio bajo vario maga continuo deformacion.
** El algebraico topologia, el uso na topologia del maga algebraico metodo, particularmente el homologico algebra.
* El discreto geometria, el estudio del maga finito configuracion na el geometria.
* El convexo geometria, el estudio del maga convexo conjunto.
* El complejo geometria, el geometria obtenio por el sustitucion del maga real numero por el complejo numero.

### Algebra

El algebra es el arte de manipula con el maga ecuacion y el maga formula. Si Diofanto (aca-3 siglo) y si al-Khwarizmi (aca-9 siglo) fue el dos maga principal precursor del algebra. Ya estudia si Diofanto con un maga ecuacion que ya involucra con el maga desconocio natural numero por deduci con nuevo maga relacion hasta llega al solucion. Ya introduci si al-Khwarizmi con el maga sistematico metodo para transforma con el maga ecuacion, como el movimiento desde un lado del ecuacion hasta el otro. Ta proveni el termino *algebra* del arabe *al-jabr*, que ta significa con "el reunion del maga roto parte", que ya utiliza si al-Khwarizmi para nombra con un del maga metodo na el titulo del de suyo principal tratao.

Pero solo ya queda el algebra un area por propio derecho por el maga esfuerzo de si François Viète (1540–1603) que ya introduci con el uso del maga variable para representa con el desconocio maga numero. Para el maga matematico ta permiti el maga variable con el descripcion del maga operacion necesario na el maga numero representao por el maga metamatico formula.

Hasta el aca-19 siglo, solo ya consisti el algebra na el estudio del maga lineal ecuacion o maga *ecuacion de primer grado* (hoy dia el *[[lineal algebra]]*), y el maga polinomico ecuacion con un solo desconocio, entonces llamao el maga *algebraico ecuacion* (un termino aun usao, aunque puede queda ambiguo). Durante el aca-19 siglo, ya empeza el maga matematico a usa con el variable para representa con otro maga cosa, no necesariamente el maga numero (como el maga matriz, el maga entero modular y el maga geometrico transformacion), que a menudo resulta con el preservacion y generalizacion del validez del maga aritmetico operacion. Ta trata con esto el concepto del algebraico estructura, que ta consisti na tres maga cosa: 1) un conjunto con maga elemento hinde especificao, 2) maga operacion realizable na este maga elemento y 3) maga regla que ta debe segui este maga operacion. Ansina ya engrandece el alcence del algebra para inclui con el estudio del maga algebraico estructura, mas tarde llamao el *moderno algebra* o abstracto algebra, como establecio por el influencia y el maga obra de si Emmy Noether. (Mayoritariamente ta aparece el segundo termino na un educacional contexto, opuesto al elemental algebra, que trata con el clasico metodo de manipula con el maga formula.)

Ta tene algun maga tipo del maga algebraico estructura con util y a menudo fundamental maga propiedad, na mucho maga area del matematica. Ya queda el de suyo estudio con autonomo maga rama del algebra, y ta inclui con:

* el teoria de maga grupo;
* el teoria de maga cuerpo;
* el maga vectorial especio, cuyo estudio es basicamente el lineal algebra;
* el teoria de maga anillo;
* el comutativo algebra, que es el estudio del maga comutativo anillo, ta inclui con el estudio del maga polinomio y es un fundacional parte del algebraico geometria;
* el homologico algebra;
* el algebra de si Lie y el teoria de maga grupo de si Lie;
* el algebra de si Boole, ampliamente usao por el estudio del logico operacion del maga computadora.

El estudio de maga tipo de maga algebraico estructura como maga matematico objeto es el proposito del universal algebra y del teoria de maga categoria. Ta aplica el segundo a cada matematico estructura (no solo el maga algebraico). Al de suyo origen, ya aparece este estudio junto con el homologico algebra para permiti con el algebraico estudio de hinde algebraico maga objeto como el maga topologico espacio. Mas tarde fue llamao algebraico topologia.

### Calculo y analisis

Ya introduci el calculo, anteriormente llamao el infinitesimal calculo, independientemente y simultaneamente el maga matematico si Isaac Newton y si Gottfried Wilhelm Leibniz na el aca-17 siglo. El calculo es fundamentalmente el estudio del relacion del maga variable que ta depende el uno del otro. Ya expandi el calculo si Leonhard Euler na el aca-18 siglo por el introduccion del concepto de un funcion y mucho otro maga resultao. Na el tiempo de aton, principalmente ta referi el termino "calculo" al elemental parte de este teoria, y "analisis" al avanzao maga parte.

Ta tene el analisis con dos maga parte: el real analisis, donde ta representa el maga variable con el maga real numero, y el complejo analisis, donde ta representa el maga variable con el maga complejo numero. Ta inclui el analisis con mucho maga rama compartio por otro maga area del matematica, que ta inclui con:

* El multivariable calculo;
* El funcional analisis, donde ta representa el maga variable con el maga funcion (que ta puede varia);
* El integracion, el teoria del medida y el teoria del potencial, todo maga fuertemente relacionao con el teoria del probabilidad na un continuo;
* El maga ordinario diferencial ecuacion;
* El maga parcial diferencial ecuacion;
* El numerico analisis, mayoritariemente dedicao al computacion, na el maga computadora, del maga solucion del maga ordinario y parcial diferencial ecuacion que ta surgi na mucho maga aplicacion.

### Discreto matematica

El discreto matematico, a maga grande rasgo, es el estudio de individual, numerable matematico maga objeto. Un ejemplo es el conjunto de todo maga entero numero. Ya que son discreto el maga objeto de estudio aqui, hinde directamente aplicable el maga regla del calculo ni del matematico analisis. Ta tene el maga algoritmo —na especial el de suyo implementacion y computacional complejidad— con un importante papel na el discreto matematica.

El teorema del cuatro maga color y el conjetura de si Kepler fue dos maga importante problema del discreto matematica solucionao na el segundo mitad del aca-20 siglo. El problema P versus NP, todavia no solucionao, tambien importante para el discreto matematica, ya que ta tene el de suyo solucion con el potencial de impacta con un gran numero de computacionalmente caro maga problema.

Ta inclui el discreto matematica con:

* El combinatoria, el arte de enumera con maga matematico objeto que ta satisface con cierto maga restriccion. Originalmente fueron este maga objeto maga elemento o maga subconjunto de cierto conjunto, pero ta inclui ya con vario maga objeto. Ta establece este extension del campo con un fuerte relacion entre este y otro maga parte del discreto matematica. Por ejemplo, ta inclui el discreto geometria con el enumeracion del maga configuracion del maga geometrica forma.
* El teoria de maga grafo y el maga hipergrafo.
* El teoria de maga codigo, que ta toca con codigo de correccion de maga error y el criptografia.
* El teoria de maga matroide.
* El discreto geometria.
* El maga discreto distribucion de probabilidad.
* El teoria de maga juego, que ta inclui con maga continuo juego, aunque son discreto el mayoria del maga comun juego, como el ajedrez y el poquer.
* El discreto optimizacion, que ta inclui con el combinatorio optimizacion, el programacion del maga entero y el programacion con el maga restriccion.

### Matematico logica y teoria de maga conjunto

Desde el fin del aca-19 siglo ya pertenece al matematica el dos maga campo del matematico logica y el teoria de maga conjunto. Antes de este periodo hinde fue considerao este maga como maga matematico objeto, y el logica, aunque usao para el maga prueba, fue parte del filosofia y ansina hinde especificamente objeto de estudio por el maga matematico.

Antes del estudio de si Georg Cantor del maga infinito conjunto, fueron reacio el maga matematico a estudia con el maga actualmente infinito coleccion, y ya considera con el infinidad como el resultao de enumeracion sin fin. Ya ofende el obra de Cantor con mucho maga matematico, no solo por considera con el maga actualmente infinito conjunto, sino por demostra que ta implica este con diferente maga tamaño del infinidad, por el argumento del diagonal de si Cantor, que al suyo vez ya lleva al controversia na cuanto al teoria de si Cantor.

Durante el mismo periodo, ya conclui vario maga rama del matematica que el de suyo anterior intuitivo maga definicion hinde suficiente para establece con el matematico rigor. Maga ejemplo de tal intuitivo maga definicion son: "un conjunto es un coleccion de maga objeto", "un natural numero es lo usao para conta", "un punto es un forma con un largura de cero na cada direccion", "un curva es un rastro dejao por un punto na mocion", etc.

Ya queda esto el crisis del maga fundamento del matematica. Na convencional matematica eventualmente ya soluciona el crisis el sistematizacion del axiomatico metodo dentro de un formalizao teoria de maga conjunto. A maga grande rasgo, ta defini cada matematico objeto el conjunto de todo el maga similar objeto y el requisitio maga propiedad que debe tene este maga objeto. Por ejemplo, na el aritmetica de si Peano, ta defini el maga natural numero tal maga declaracion como "cero es un numero", "ta tene cada numero con un distinto sucesor", "ta tene cada numero, salvo cero, con un distinto predecesor" y algun maga regla de razonamiento. Ta encarna el moderno filosofia del formalismo, como establecio por si David Hilbert alrededor de 1910, con este matematico abstraccion del realidad.

El "naturaleza" del maga objeto definio ansina es un filosofico problema que ta deja el maga matematico al maga filosofo, hasta si ta tene mucho maga matematico con maga opinion acerca de este naturaleza, y ta utiliza dicho maga opinion —a veces llamao "intuicion"— para guia con el de ellos estudio y maga prueba. Ta permiti este enfoque con el consideracion del maga "logica" (es deci, el maga conjunto de maga permitio regla para deduccion), maga teorema, maga prueba, etc. como maga matematico objeto, y ansina ta permiti con maga prueba acerca de ellos. Por ejemplo, ta declara el maga teorema de incompletitud de si Gödel que, a maga grande rasgo, na cada consistente formal sistema que ta contene con el maga natural numero, ta tene maga teorema verdadero (es deci, probable na un mas fuerte sistema) pero hinde probable dentro del sistema mismo. Ya enfrenta este enfoque al maga fundamento del matematica con un reto, durante el primer mitad del aca-20 siglo, por el maga matematico liderao por si Luitzen Egbertus Jan Brouwer, que ya promociona con el intuicionistico logica, que explicitamente ta cerece con el principio del excluio terceo.

Ya lleva este maga problema y maga debate a un amplio expansion del matematico logico, con el establecimiento de tal maga rama como el teoria de maga modelo (el modeleo de algun maga logico teoria dentro de otro maga teoria), el teoria del demostracion, el teoria de maga tipo, el teoria del computabilidad y el teoria del computacional complejidad. Aunque ya aparece na literatura este maga aspecto del matematico logico antes del ascenso del maga computadora, ya contribui el de suyo uso —na el diseño del maga compilador, el certificacion del maga programa, el interactivo demostracion del maga teorema y otro maga aspecto del maga ciencia del computacion— al expansion de este maga logico teoria.

### Estadistica y otro maga teoria del decision

El rama del estadistica es un matematico aplicacion empleao para el coleccion y tratamiento del maga muestra de maga dato, por medio de maga procedimiento basao na el maga matematico metodo, na especial el [teoria del probabilidad. Ta genera el maga [estadistico con el maga dato por medio del aleatorio muestreo o el maga aleatorizao experimento. Ta determina el diseño de un estadistico muestreo o experimento con el maga analitico metodo utilizao na ello. Ta hace factible el uso del probabilistico modelo y el teoria del inferencia —por medio del seleccion de maga modelo y estimacion— con el analisis del maga dato del maga observacional estudio. Entonces hay que proba con el maga modelo y el maga consecuencial prediccion contra nuevo maga dato.

Ta estudia el estadistico teoria con el maga problema del decision, por ejemplo el minimizacion del riesgo (esperado perdida) de algun estadistico accion, como el uso de un procedimiento na, entre otro maga cosa, el estimacion de un parametro, el contraste de hipotesis y el algoritmo de seleccion. Na este maga tradicional area del matematico estadistica, ta formula kita con un problema de un estadistico decision por el minimizacion de algun funcion de perdida, como el esperao perdida o el coste, bajo especifico maga restriccion. Por ejemplo, a menudo ta involucra el diseño de un encuesta con el minimizacion del coste de estima con el media de un poblacion con un cierto nivel de confianza. Debio al de suyo uso de optimizacion, ta solapa el matematico teoria del estadistica con otro maga ciencia de decision, como el investigacion de maga operacion, el teoria del control y el matematico economia.

### Computacional matematica

El computacional matematica es el estudio del maga matematico problema tipicamente demasiado grande para el numerico capacidad del tipico humano (es deci, hinde un savant). Ta estudia el numerico analisis con el maga metodo para el maga problema na el matematico analisis, por medio del funcional analisis y el teoria del aproximacion. Ta inclui el numerico analisis con el estudio del aproximacion y del discretizacion, con un especial enfoque na el maga error de redondeo. Ta estudia el numerico analisis —y, mas ampliamente, el cientifico computacion tambien— con el maga hinde analitico tema del maga matematico ciencia, na especial el maga algoritmo, el maga matriz y el teoria de maga grafo. Na cuanto al computacional matematica, ta inclui otro maga rama con el computacional algebra y el simbolico calculo.

## Historia

### Antiguo
El historia del matematica es un serie de maga cada vez mas complejo abstraccion. Na cuanto al evolucion, el primero abstraccion jamas descubrio, con manada animal compartio, siguro el del maga numero: el comprension de que, por ejemplo, ta tene con algo na comun un par de dos maga manzanas y un par de dos maga naranja, a sabe, el hecho de que ta forma con un *[[dos|par]]*. Segun el evidencia na maga tallao palo incuntrao na hueso, ademas de sabe con el cuenta del maga fisico objeto, siguro ya sabe el maga prehistorico gente con el cuenta del maga abstracto cantidad, como el tiempo — el maga dia, mes, estacion, o año.

Hinde ta aparece el evidencia para mas complejo matematica hasta alrededor de 3000 AEC, cuando ya comenza el maga babilonico y egipcio a utiliza con el aritmetica, el algebra y el geometria para el tributacion y otro maga financiero calculo, para el construccion, y para el astronomia. Ta remonta a 2000–1800 AEC el maga mas antiguo matematico texto de Mesopotamia y Egipto. Ta menciona manada temprano texto con el maga pitagorico terna ansina que, por inferencia, el teorema de Pitagoras es siguro el mas antiguo y extenso matematico concepto despues del elemental aritmetica y el geometria. Na babilonico matematico ta aparece por primera vez na el arqueologico recuerdo el elemental aritmetica (adicion, sustraccion, multiplicacion y division). Ya posee tamen el maga babilonico con un sistema de posicional valor y ya utiliza con un sexagesimal sistema de numeracion usao pa hoy para medi con el maga angulo y el tiempo.

Na el aca-6 siglo AEC, ya comenza el griego matematica a emergi como distinto disciplina, y ya considera algun maga antiguo griego, como el maga pitagorico, con el matematica como un academico tema por propio derecho. Alrededor de 300 AEC, ya organiza si Euclides con el matematico conocimiento por medio del maga postulao o axioma y el maga primero principio, que ya evoluciona na el axiomatico metodo usao na el matematica hoy mismo, que ta consisti con el maga definicion, axioma, teorema y prueba. Ta considera gayot con el de suyo libro, el ''Maga Elemento'' de Euclides, como el mas exitoso e influencial libro de texto de todo el maga tiempo. Ansina mismo ta considera gayot como el maximo matematico del clasico antigüedad con si Arquimedes ( 287 – c. 212 AEC) de Siracusa. Ya desarrolla ele con el maga formula para calcula con el superficial area y volumen del maga solido de revolucion, y ya utiliza con el metodo por agotamiento para calcula con el area bajo el arco de un parabola con el sumacion de un infinito serie, de manera no disimil al del moderno calculo. Otro maga notable logro del griego matematico son el maga conico seccion (si Apolonio de Perge, aca-3 siglo AEC), el trigoometria (si Hiparco de Nicea, aca-2 siglo AEC) y el maga comienzo del algebra (si Diofanto de Alejandria, aca-3 siglo EC).

Ya evoluciona el indo-arabigo numeracion y el maga regla para el uso del de ila maga operacion, usao por todo el mundo hoy mismo, durante el primer milenio EC na India, y ya llega este al occidental mundo via el islamico matematica. Ta inclui otro maga notable desarrollamiento del indio matematica con el moderno definicion y aproximacion del seno y coseno, y un temprano forma del maga infinito serie.

### Medieval y mas tarde

Durante el Edad de Oro del islam, na especial durante el maga aca-9 y aca-10 siglo, ya mira el matematica con manada importante inovacion como extension del griego matematico. El mas notable logro del islamico matematica fue el desarrollo del algebra. Ta inclui otro maga notable logro del islamico periodo con el maga avanzamiento na el esferico trigonometria y el adicion del decimal separador al arabe sistema de numeracion. Persa manada notable matematico de este periodo, incluido si Al-Juarismi, si Omar Jayam, y si Sharaf al-Din al-Tusi. Ya traduci a su vez con el maga griego y arabe matematico texto al latin durante el Media Edad y ansina ya queda disponible na Europa.

Durante el Moderno Edad, ya desarrolla el matematica a un exponencial ritmo na Occidental Europa, con maga inovacion que ya revoluciona con el matematica, como:
* el introduccion del maga variable y el matematico notacion por si François Viète (1540–1603),
* el introduccion del maga logaritmo por si John Napier na 1614, que ya simplifica gayot con el numerico calculo,
* el introduccion del sistema de coordenao por si René Descartes (1596–1650), para efectua con el reduccion del geometria al algebra, y
* el desarrollo del diferencial e infinitesimal calculo por si Isaac Newton (1642–1726/27) y si Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Ya unifica si Leonhard Euler (1707–1783), el mas notable matematico del aca-18 siglo, con este maga inovacion na un solo corpus con un estandarizao terminologia, y ya completa con este maga por el descubrimiento y el prueba de manada teorema.

Siguro el maximo matematico del aca-19 siglo fue el aleman matematico si Carl Friedrich Gauss, que ya realiza con maga numeroso contribucion a vario maga area del matematica como el algebra, numerico analisis, diferencial geometria, teoria de maga matriz, teoria de maga numero, y estadistica. A maga principio del aca-20 siglo, ya transforma si Kurt Gödel con el matematica por el publicacion del de suyo maga teorema de incompletitud de Gödel, que ta mostra que na cualquier consistente axiomatico sistema — si bastante poderoso para describi con el aritmetica — ay tene maga preposicion que son verdadero pero hinde probable.

Desde el maga tiempo de si Kurt Gödel, ya expandi gayot el matematica, y hay un fructifero interaccion entre el matematica y el ciencia, que ta beneficia con ambo. Hasta na maga tiempo diaton, hay pa maga nuevo matematico descubrimiento. Segun si Mikhail B. Sevryuk, na el *[[Bulletin of the American Mathematical Society]]* (enero de 2006), 'El numero del maga papel y libro incluio na el base de datos *[[Mathematical Reviews]]* desde el 1940 (el primer año de operacion de MR) es hoy mas de 1.9 millon, y ta entra na el base de datos mas de 75 millar de item cada año. Ta contene el abrumador mayoria del maga obra na este oceano con maga nuevo matematico teorema y el de ila maga prueba.'

## Simbolico notacion y terminologia

Ta utiliza ampliamente el ciencia y el ingenieria con el matematico notacion para representa con el maga complejo concepto y maga propiedad na un conciso, hinde ambiguo y acurao manera. Ta consisti este notacion na maga simbolo —utilizao para el representacion del maga operacion, el maga hinde especificao numero, el maga relacion y cualquier otro matematico objeto— y luego el de ellos ensamblaje na maga expresion y maga formula. Mas precisamente, ta representa el maga numero y otro maga matematico objeto el maga simbolo llamao maga variable, generalmente maga latin o griego letra, tipicamente acompañao por el maga subindice. Generalmente ta representa el maga operacion y maga relacion el maga especifico simbolo o maga glifo, como  (mas),  (multiplicacion), \int (integracion),  (igual) y  (menor que). Tipicamente ta agrupa kita con todo este maga simbolo segun especifico maga regla para forma con maga expresion y maga formula. Normalmente hinde ta aparece este maga simbolo aislao sino incrustao na maga frase del actual lenguaje, donde ta desempeña el maga expresion con el papel del maga nominal frase y ta desempeña el maga formula con el papel del maga proposicion.

Ya desarrolla el matematica con un rico terminologia que ta cubri con un amplio rango de maga rama que ta estudia con el maga propiedad de mago vario abstracto, idealizao objeto y con el de ellos maga interaccion. Basao este terminologia na rigoroso maga definicion que ta provee con un estandar fundacion para el comunicacion. Un axioma o postulao es un matematico declaracion aceptao como verdadero sin el necesidad para un prueba. Si un matematico declaracion hinde probao (o desprobao) esto denominao un conjetura. Por medio de un serie —na el usual sentio, hinde el matematico— de rigoroso maga asercion que ta utiliza con el deductivo razonamiento, ta queda un declaracion probao un teorema. Denominao un lema un especializao teorema mayoritariamente usao para proba con otro teorema. Denominao un corolario un instancia probao que ta forma parte de un mas general descubrimiento.

Numeroso maga tecnico termino usao na el matematica son maga neologismo, como *[[polinomio]]* y *[[homeomorfismo]]*. Otro maga tecnico termino son maga palabra del comun lenguaje usao na un acurao acepcion que siguro ta diferi del comun acepcion. Por ejemplo, na el matematica, ta significa "o" con "el uno, el otro o ambo maga" mientras que, na el comun lenguaje, o es ambiguo o ta significa "el uno o el otro, pero hinde ambo maga" (na el matematica, el segundo denominao "exclusivo o"). Al final, mucho maga matematico termino son comun maga palabra usao con completamente diferente maga acepcion. Siguro ta lleva este a maga frase que son correcto y verdadero matematico maga asercion, pero que ta parece maga tonteria a quien hinde ta tene con el requisito formacion. Por ejemplo, "plano cada libre modulo" y "un cuerpo es siempre un anillo".

## Relacion con el maga ciencia
Usao el matematica na maga ciencia para modela con el maga fenomeno, que entonces ta permiti con el maga prediccion del maga ley del fisica. Ta implica el independencia del matematico verdad de cualquier experimentacion que ta depende el exactitud de tal maga prediccion solo na exactitud del modelo. Hinde ta implica el maga inexacto prediccion que invalido el maga matematico concepto, sino que hay necesidad de ajusta con el matematico modelo usao. Por ejemplo, el precesion del perihelio de Mercurio solo explicable detras del emergencia del general relatividad de si Einstein, que ya reemplaza con el ley de universal gravitacion de si Isaac Newton como mejor matematico modelo.

Hay pa un filosofico debate si el matematica es un ciencia o hinde. Sin embargo, na practica, tipicamente agrupao el maga matematico con el maga cientifico, y ta comporta mucho na comun el matematica con el maga fisico ciencia. Como ellos, falsificable el matematica, que ta significa que, si incorrecto un resultao o un teoria, para proba esto hay que provee con un contraejemplo. Ansina mismo, como na el ciencia, el maga teoria y el de suyo maga resultao (maga teorema), na manada situacion obtenio por el experimentacion. Na matematica, puede consisti el experimentacion na el computacion na elegio maga ejemplo, na el estudio de maga geometrico figura o de otro maga representacion de maga matematico objeto (tipicamente maga mental representacion sin fisico soporte). Por ejemplo, cuando preguntao como ya desarrolla ele con el de suyo teorema, ya replica si Gauss "durch planmässiges Tattonieren" (por sistematico experimentacion). Sin embargo, ta enfatiza algun maga autor que ta diferi el matematica del moderno nocion del ciencia por hinde *confia* na empirico evidencia.

### Puro y aplicao matematica

Hasta el aca-19 siglo, mayoritariamente ya motiva el maga necesidad de tecnologia y ciencia con el desarrollo del matematica na el Occidente, y nuay ningun claro distincion entre el maga puro y aplicao matematica. Por ejemplo, introducio el maga natural numero y el aritmatica para el necesidad de conteo, y motivao el geometria por el agrimensura, el arquitectura y el astronomia. Mas tarde, ya introduci si Isaac Newton con el infinitesimal calculo para explica con el movimiento del maga planeta por el de suyo ley de universal gravitacion. Ademas, el mayoria del maga matematico tambien maga cientifico, y ansina mismo mucho maga cientifico tambien maga matematico. Sin embargo, ya ocurri un notable excepcion con el tradicion del puro matematica na Antigua Grecia.

Na el aca-19 siglo, cada vez mas ta enfoca tal maga matematico como si Karl Weierstraß y si Richard Dedekind con el de sila investigacion na maga internal problema, esto es, *puro matematica*. Ya lleva esto a un division del matematica na *puro matematica* y *aplicao matematica*, na manada situacion el segundo considerao como mas trivial entre el maga matematico purista. Sin embargo, frecuentemente borroso el maga linea entre el maga dos.

Ya lleva el efecto domino del Segunda Mundial Guerra a un aumento na desarrollo del aplicao movimiento na maga Estados Unidos y otro maga pais. Ya resulta interesante, del punto de vista del matematica, mucho maga teoria desarrollao para maga especifico aplicacion, y ansina mismo, ya resulta mucho maga resultao del puro matematica tene con maga aplicacion fuera del matematica. Puede dale el estudio de este maga aplicacion con nuevo maga perspicacia sobre el "puro teoria".

Un ejemplo del primer caso es el teoria de maga distribucion, introducio por si Laurent Schwartz para valida con maga computacion realizao na cuantico mecanica, que prontamente ya queda un importante herramienta del (puro) matematico analisis. En ejemplo del segundo caso es el decidibilidad de maga teoria de primer grado de maga real numero, un problema del puro matematica probao verdadero por si Alfred Tarski, con un algoritmo imposible de implementa por el de suyo enorme computacional complejidad. Para obtene con un algoritmo implementable, que puede soluciona con maga sistema de maga ecuacion (polinomico) e maga desigualdad, ya introduci si George E. Collins con el cilindrico algebraico descomposicion que ya queda un fundamental herramienta na el real algebraico geometria.

Na el de kanaton tiempo, el distincion entre el maga puro y aplicao matematica es mas un cuestion del personal objetivo (de investigacion) de maga matematico, que un verdadero division del matematica na maga amplio area. Ta tene el Mathematics Subject Classification con un seccion para el "general aplicao matematica" pero hinde menciona con el "puro matematica". Sin embargo, usao pa este maga termino na el maga nombre del maga departamiento de algun maga universidad, como el Facultad de Matematica na el Universidad de Cambridge ().

### Irrazonable eficacia
El irrazonable eficacia del matematica es un fenomeno nombrao y hecho explicito por primera vez por el fisico si Eugene Paul Wigner. Es el hecho de que ta tene mucho maga matematico teoria (hasta el maga mas "puro") con maga aplicacion fuera del de sila inicial maga objetivo. Puede este maga aplicacion completamente fuera del de sila inicial maga area de matematica, y puede trata con fisico fenomeno completamente desconocio cuando introducio el matematico teoria na cuestion. Incuntrable maga ejemplo de maga inesperao aplicacion de maga matematico teoria na mucho maga area del matematica.

Un notable ejemplo es el factorizacion de maga primo de maga natural numero, descubierto mas de 2,000 maga año antes del de suyo comun uso para siguro maga comunicacion na el Internet via RSA. Un segundo historico ejemplo es el teoria de maga elipse. Estudiao este maga por el maga antiguo griego matematico como maga conico seccion (es deci, maga interseccion de maga cono con maga plano). Y casi mas de 2,000 maga año mas tarde ya descubri si Johannes Kepler que son maga elipse el maga trayectoria del maga planeta.

Na el aca-19 siglo, ya lleva el internal desarrollo del geometria (puro matematica) al definicion y estudio del hinde euclidiano geometria, del maga espacio de dimension mayor que tres, y del maga variedad. Na aquel entonces, ya parece este maga concepto totalmente desconectao del de kanaton fisico realidad, pero a maga principio del aca-20 siglo, ya desarrolla si Albert Einstein el teoria del relatividad que fundamentalmente ta utiliza con este maga concepto. Na particular, el espacio-tiempo del especial relatividad es un hinde euclidiano espacio de dimension cuatro, y el espaciio-tiempo del general relatividad es un (curvao) manifolde de dimension cuatro.

Un llamativo aspecto del interaccion entre el matematica y el fisica es cuando ta conduce el matematica con el investigacion na fisica. Ilustrao esto por el maga descubrimiento del positron y el barion omega \Omega^{-}. Na ambo maga caso, ya tene el maga ecuacion del maga teoria con inexplicao maga solucion, que ya lleva al conjetura del existencia de un desconocio particula, y el busqueda para este maga particula. Na ambo maga caso, descubierto este maga particula un maga año mas tarde por maga cientifico experimento.

### Maga especifico ciencia

#### Fisica

Mutuamente ya influencia el matematica y fisica durante el de ellos moderno historia. Abundantemente ta utiliza el fisica con el matematica, y tambien ta motiva con destacao maga matematico desarrollo.

#### Informatica

Ya abri el ascenso del tecnologia na el aca-20 siglo con el camino a un nuevo ciencia: el informatica. Cercanamente relacionao este campo de estudio al matematica de vario maga manera. El teorico computacional ciencia es esencialmente matematico na el de suyo naturaleza. Ta aplica el maga tecnologia del comunicaion con el maga rama del matematica que puede muy viejo (e.g. el aritmetica), na especial con respecto al seguridad del transmision, na el criptografia y el teoria de maga codigo. Util el discreto matematico na mucho tal maga area del informatica como el teoria del computacional complejidad, el teoria del informacion, el teoria de maga grafo, etcetera.

A cambio, ya queda esencial el informatica para obtene con nuevo maga resultao. Esto es un grupo de maga tecnica conocio como el experimental matematica, que es el uso del *experimentacion* para descubri con maga matematico perspicacia. El mas conocio ejemplo es el teorema del cuatro maga color, probao verdadero na 1976 con el ayuda de un computadora. Ya revoluciona esto con el tradicional matematica, donde el regla fue que ya debe el matematico verifica con cada parte del demostracion. Na 1998, tambien ya parece parcialmente probao (por computadora) el conjetura de si Kepler del empaquetamiento de maga esfera. Desde entonces ya trabaja un internacional equipo con el escritura de un formal prueba. Cumplio (y verificao) este prueba na 2015.

Si formalmente escrio, posible el verificacion de un prueba usando con un programa llamao un asistente de maga prueba. Util este maga programa cuando incierto el matematico sobre el validez del prueba.

Un destacao abierto problema na el teorico computacional ciencia es P versus NP. Es uno del siete maga problema del milenio.

#### Biologia y quimica

Ta utiliza el biologia con el probabilidad extensivamente, por ejemplo na el ecologia o el neurobiologia. El mayoria del discusion del probabilidad na el biologia, sin embargo, centrao na el concepto del biologico eficacia.

Ta utiliza extensivamente el ecologia con el modelo para simula con el dinamica de maga poblacion, estudia con maga ecosistema como el ecuacion predador-presa, medi con el difusion de polucion, o evalua con el climatico cambio. Modelable el dinamica de un poblacion por acoplao maga diferencial ecuacion, como el maga ecuacion de si Lotka-Volterra. Sin embargo, hay el problema del validacion de maga estadistico modelo. Particularmente agudo esto cuando ta influencia el maga resultao del modelo con el maga politico decision, pues puede permiti el existencia de maga contradictorio modelo que ta eligi el maga nacion con el mas favorable modelo.

Modelable el evolucion de maga genotipo por el ley de si Hardy-Weinberg.

Ta utiliza el filogeografia con el maga probabilistico modelo.

Ta utiliza el medicina con el contraste de hipotesis, ejecutao con maga dato de maga clinico ensayo, para determina el eficacia (o acaso ninguno) de un nuevo tratamiento.((cita requerida}}

Desde el principio del aca-20 siglo, ya utiliza el quimica con el informatica para modela con el maga molecula na tres maga dimension. Resulta variable el forma de maga macromolecula na el biologia, y ta determina este con el accion de ellos. Ta utiliza tal modelo con el euclidiano geometria: ta forma maga atomo vecino con un poliedro cuyo maga distancia y angulo son fijao segun el maga ley de interaccion.

#### Maga ciencia del Tierra

Ta utiliza el estructural geologia y el climatologia con el maga probabilistico modelo para predeci con el riesgo del maga natural catastrofe. Ansina mismo, ta utiliza el meteorologia, el oceanografia y el planetologia con el matematica por el de ellos extensivo uso de maga modelo.

#### Maga social ciencia

Ta inclui el maga area del matematico usao na maga social ciencia con el probabilidad/estadistica y maga diferencial ecuacion (o estocastico o deterministico). Utilizao este maga area de matematica na tal maga campo de ciencia como el sociologia, el sicologia, el economia, el maga finanza y el lingüistica.

El fundamental postulao del matematico economia es el del racional individuo actor – *[[Homo economicus]]* (). Na este modelo, ta busca cada individuo a maximizar con el de suyo propio interes, y siempre ta toma con maga optimo decision usando con perfecto informacion. Ta permiti este atomistico vista del economia con un relativamente facil "matematizacion" del de suyo estilo de pensamiento, porque transpuesto el maga individuo cuenta na maga matematico cuenta. Ta permiti tal matematico modelacion con el sondeo de maga economico mecanismo cuyo descubrimiento son muy dificil por un "literario" analisis. Por ejemplo, hinde trivial el maga explicacion del maga economico ciclo. Sin ningun matematico modelo, dificil sobrepasa con un maga simple estadistico observacion o maga especulacion hinde probao.

Sin embargo, ya rechaza o critica mucho gente con el concepto de *Homo economicus*. Ta nota el maga economista que tipicamente ta tene el maga real persona con limitao informacion y ta toma con malo decision. Ademas, como demostrao na maga experimento na el laboratorio, al gente ta importa el equidad y, a veces, el altruismo, hinde solo el personal beneficio. Segun el maga critico, el matematizacion es un chapa que ta permiti con el cientifico valorizacion del economia.

A maga principio del aca-20 siglo, hubo un historico movimiento para expresa con otro maga historico movimiento na maga formula. Na 1922, ya discerni si Nikolai Kondratiev el onda de Kondratiev, de ~50 maga año, que ta explica con el maga fase de economico crecimiento o crisis. A maga final del aca-19 siglo, ya extender si  y  con el de suyo analisis hasta el geopolitica. Ya quiere establece ellos con el historico existencia de maga vasto movimiento que ya lleva con el maga gente al de ellos apogeo, entonces al de ellos declive. Mas recientemente, desde el maga 1990 ta trabaja si Peter Turchin na el desarrollo del cliodinamica. (Na particular, ya descubri ele con el ciclo de si Turchin, que ta predeci con maga repunte de violencia cada ~50 año, superpuesto na un mas largo ciclo de ~200–300 año.)

Masquen ansina, hinde sin peligro el matematizacion del maga social ciencia. Na el controversial libro *[[Maga intelectual impostura]]* (, ) (1997), ya denuncia si Alan Sokal y si Jean Bricmont con el infundao o abusivo uso del cientifico terminologia, particularmente del matematica o del fisica, na el maga social ciencia. Ta utiliza el estudio del maga complejo sistema (el evolucion del desempleo, el empresarial capital, el demografica evolucion de un poblacion, etc.) con el elemental matematico conocimiento. Sin embargo ,puede sujeto a controversia el eleccion de maga criterio para el cuenta, particularmente na cuanto al desempleo o el maga matematico modelo.

## Relacion con el astrologia y el esotericismo
Na el pasado algun maga renombrao matematico fue tambien renombrao astrologo, por ejemplo si Claudio Ptolomeo, el maga arabe astronomo, si Johann Müller Regiomontano, si Gerolamo Cardano, si Johannes Kepler o si John Dee. Na el Medio Edad, considerao el astrologia como un ciencia que ya inclui con el matematica. Na el de suyo enciclopedia (*Theatrum vitæ humanæ*, "Teatro del humano vida") ya escribi si Theodor Zwinger que el astrologia fue un matematico ciencia que ya estudia con "el activo movimiento de maga cuerpo mientras ta actua ellos sobre otro maga cuerpo". Ya reserva si Zwinger para el matematica con el necesidad de "calcula con probabilidad el maga influencia [del maga estrella]" para premira con el de ellos "maga conjuncion (astronomia)} y maga oposicion".

Hinde ta considerao ya el astronomia como un ciencia.

## Filosofia

### Realidad
Ya lleva el conexion entre el matematica y el material realidad a maga filosofico debate desde por lo menos el maga tiempo de si Pitagoras. Ya argumenta el antiguo filosofo si Platon que ta tene el maga abstraccion —que ta reflexiona con el material realidad— con un propio realidad que ta existi fuera del espacio y tiempo. Independientemente del de ellos posible filosofico maga opinion, generalmente puede trata kita con el maga moderno matematico como maga platonista, puesto que ta considera y discuti con el de ellos maga objeto de estudio como maga real objeto.

Ya resumi si Armand Borel con este vista de matematica ansina, y ya provee con maga cita de si Godfrey Harold Hardy, si Charles Hermite, si Henri Poincaré y si Albert Einstein, que ta apoya con el de suyo punto de vista:

No obstante, hinde explica el platonismo, ni el maga concurrente opinion sobre el abstraccion, con el irrazonable eficacia del matematica.

### Maga propuesto definicion

Nuay ningun general consenso sobre un definicion del matematica ni el de suyo epistemologico estado, esto es, el de suyo lugar entre el maga humano actividad. Na cuanto a mucho maga profesional matematico, o hinde interesante un debate sobre el definicion del matematica, o ya considera ellos como indefinible con el sujeto. Ni hay consenso sobre si el matematico es un arte o un ciencia. Simplemente ta deci algun gente, "el matematica es el actividad del maga matematico". Ta tene sentio esto, ya que hay un fuerte consenso entre ellos sobre cosa si es matematica y cosa hinde. Ta trata el mayoria del maga propuesto definicion con el matematica por el de suyo objeto de estudio.

Ya defini si Aristoteles con el matematica como "el ciencia del cantidad" y ya prevalece este definicion hasta el aca-18 siglo. Sin embargo, tambien ya nota si Aristoteles que hinde puede distingui un enfoque solo en cantidad con el matematica de tal maga ciencia como el fisica. Na el de suyo opinion, cosa ta aparta con el matematica son el abstraccion y el estudio del cantidad como un propiedad "separable na pensamiento" del maga real instancia. Na aca-19 siglo, cuando ya empeza el maga matematico a trata con maga tema —como el maga infinito conjunto— que ta carece de cualquier claro relacion con el fisico realidad, ta dale ellos con un variedad de nuevo maga definicion. Gracias al gran numero de nuevo maga area del matematica que ya aparece desde el maga principio del aca-20 siglo, y que ta florece pa, ya queda un imposible tarea el definicion del matematica, si acaso, por el de suyo objeto de estudio.

Otro enfoque para defini con el matematica es usa con el de suyo maga metodo. Ansina, calificable como matematica un area de estudio tan pronto como posible usa conele para proba con maga teorema —maga asercion que ta confia na un demostracion para el de ellos validez— es deci, un puramente logico fenomeno. Ta toma otro gente con el perspectiva de que el matematica es un investigacion del axiomatico teoria de maga conjunto, pues este estudio ahora es un fundamental disciplina para un gran parte del moderno matematica.

### Rigor

Ta requeri el matematico razonamiento con el rigor. Ta significa esto que debe ser absolutamente inambiguo el maga definicion y reducible el maga demostracion a un sucesion de maga aplicacion de maga regla de inferencia, sin ningun uso de empirico evidencia o intuicion. Hinde especifico al matematica el rigoroso razonamiento, pero na matematica, mucho mas alto, que na otro disciplina, el estandar de rigor. A pesar del concision del matematica, puede requeri el maga prueba con maga ciento de maga pagina. Ta permiti ya el ascenso de maga prueba asistio por ordenador con el adicional expansion del maga largura del maga prueba, como el prueba (de 255 maga pagina) del teorema de si Feit–Thompson. El resultao de este tendencia es un filosofia del cuasi-empirico prueba hinde tratable como infalible, sino que ta tene adjunto con un probabilidad.

Ta remonta al Antigua Grecia el concepto del rigor na el matematica, donde ya anima el de sila sociedad con el logico, deductivo razonamiento. Sin embargo, ya tende este rigoroso enfoque a desanima con el exploracion de maga nuevo enfoque, como el maga irracional numero y maga concepto de infinidad. Mejorao el metodo de demostra con un rigoroso prueba na el aca-16 siglo por medio del simbolico notacion. Na el aca-18 siglo, ya lleva el social transicion al maga matematico ganando con el de suyo vida enseñando, que ya lleva a mas cuidadoso pensamiento acerca del maga subyacente concepto de matematica. Ya produci esto con mas rigoroso maga enfoque, ademas de un transicion de maga geometrico metodo a maga algebraico y entonces maga aritmetico prueba.

A maga final del aca-19 siglo, ya parece que el maga definicion del maga basico concepto del matematica hinde bastante preciso para evita con el maga paradoja (el maga geometria hinde euclidiano y el funcion de si Weierstrass) y el maga contradiccion (el paradoja de si Russell). Solucionao esto por el inclusion de maga axioma con el maga apodictico regla de inferencia de maga matematico teoria — el reintroduccion del axiomatico metodo iniciao por el maga antiguo griego. Ta resulta que ya hinde el "rigor" un relevante concepto na matematico, ya que o correcto o erroneo un prueba, y un "rigoroso prueba" es simplemente un pleonasmo. Donde ta tene un papel un especial concepto de rigor es na el maga socializao aspecto de un prueba, donde puede demostrablemente refutao por otro maga matematico. Despues de que aceptao un prueba durante mucho año, o hasta mucho decada, entonces puede considerao como fidedigno.

Sin embargo, puede queda util el concepto de "rigor" para enseña al maga principiante cosa un matematico prueba.

## Adiestramiento y practica

### Educacion

Ta tene el matematica un notable habilidad de cruza con el maga cultural y temporal limite. Como un humano actividad, ta tene el matematica con un social lado, que ta inclui con el educacion, el maga carrera, el reconocimiento, el popularizacion, etcetera. Na el educacion, el matematica es un central parte del curriculo y ta forma con un importante elemente del maga academica disciplina CTIM. Ta inclui maga prominente carrera para maga profesional matematico con: maestro o profesor de matematica, estadistico, actuaria, financiero analista, economista, publico contador, trader de maga primo materia, o tecnologico consultor.

Ta mostra el arqueologico evidencia que ya ocurri el instruccion na matematica tan temprano como el segundo millenio AEC na antigua Babilonia. Desenterrao comparable evidencia para el entrenamiento de matematica para maga escriba na Antiguo Proximo Oriente y entonces para el grecorromano mundo empezando elrededor de 500 AEC. El mas antiguo conocio libro de texto sobre el matematica es el papiro de si Ahmes, fechao desde c.1650 na Antiguo Egipto. Gracias a un escasez de maga libro, comunicao el maga matematico enseñanza na antigua India por medio de memorizao oral tradicion desde el vedico periodo (c. 1500 – c. 500 AEC). Na Imperial China durante el dinastia Tang (618–907 CE), adoptao un matematico curriculo para el [imperial examen[[ para uni con el estatal [burocracia.

Detrea del maga oscuro año, ta provee el maga religioso escuela con matematico educacion como parte del Quadrivium. Ya empeza el formal instruccion na pedagogia por el maga jesuita escuela na el aca-16 y aca-17 maga siglo. Ya queda el mayoria del matematico curriculo a un basico y practico nivel hasta el aca-19 siglo, cuando ya empeza a florece na Francia y Alemania. El mas viejo ]]academico revista]] que ya trata con el instruccion na matematica fue L'Enseignement mathématique ("El matematico enseñanza") que ya empeza a publica na 1899. Ya lleva el maga occidental adelantamiento na ciencia y tecnologia al establecimiento de maga centralizao educativo sistema na mucho maga estado nacion, con el matematico como central parte — inicialmente para el de suyo maga militar aplicacion. Masquen ta varia el contenido del maga curso, na el de kanaton maga tiempo ta enseña casi todo el maga pais con el matematica al maga estudiente durante maga significante periodo de tiempo.

Durante el escuela, ta tene el maga matematico capabilidad y maga positivo expectativa con un fuerte asociacion con el interes na campo como un carrera. Puede influencia el maga extrinsico factor —como el motivacion de realimentacion por el maga maestro, el maga padre y el maga compañero— con el nivel de interes por el estudiante na el matematica. Sin embargo, puede desarrolla algun maga estudiante estudiando con el matematica  con un aprension o miedo na cuanto al de sila performancia na el sujeto. Conocio esto como matofobia, y considerao como el mas prominente del maga desorden que ta impacta con el academico performancia. Puede desarrolla el matofobia debio a vario maga factor como el actitud del maga padre y maga maestro, el maga social estereotipo, y el maga personal caracteristica. Para contrarresta con el ansiedad, puede ayuda maga cambio na maga instruccional enfoque, el maga interaccion con dicho maga padre y maga maestro, y maga enfoque a medida para el individuo.

### Sicologia (estetica, creatividad e intuicion)
Ta confia el validez de algun matematico teorema solo na el rigor del de suyo prueba, teoricamente revisable automaticamente por un informatico programa. Hinde ta significa esto que nuay ningun lugar para el creatividad na un matematico obra. Al contrario, mucho maga importante matematico resultao (maga teorema) son maga solucion de maga problema que ya obstaculiza con otro maga matematico, y ta queda el invencion de un metodo (para soluciona con ellos) un fundamental parte del proceso de este proceso de soluciona. Un extremo ejemplo es el teorema de si Apéry: ya provee si con solo el maga idea para un prueba, y ya llega el prueba solo maga mes mas tarde, gracias a tres maga otro matematico.

El creatividad y el rigor hinde el unico maga sicologico aspecto del actividad del matematica. Puede mira algun maga matematico con el de suyo actividad como un juego, mas especificamente como un rompecabezas. Enfatizao este aspecto del matematico estudio na el recreativo matematica.

Puede incuntra el maga matematico con un estetico valor na el matematica. Como el belleza —tambien dificil defini— comunmente relacionao el matematica con el *elegancia*, que ta involucra con maga cualidad como el simplicidad, el simetria, el integridad y el generalidad. Na el de suyo libro *[[Apologia de un matematico]]*, ya expresa si Godfrey Harold Hardy con el creencia de que suficiente el maga estetico consideracion *in se* para justifica con el estudio del puro matematica. Tambien ya identifica ele con otro maga criterio, como el significancia, el sorpresa y el inevitabilidad, que ta contribui al maga matematico estetica. Ya expresa si Paul Erdős mas ironicamente hablando de "El Libro", un supuesto divino coleccion del maga mas hermoso prueba. El libro de 1998 *[[Proofs from THE BOOK]]* (*Maga prueba desde EL LIBRO*), inspirao por si Erdős, es un coleccion de maga particularmente sucinto y revelador matematico argumento. Algun maga ejemplo de maga particularmente elegante resultao son el prueba de si Euclides de que infinito el maga primo numero, y el rapido transformada de si Fourier para el armonico analisis.

Ta opina algun gente que considera con el matematica como un ciencia es minimiza con el de suyo arte e historia na siete maga tradicional liberal arte. Un resultao de este diferente punto de vista es el filosofico debate sobre el naturaleza del maga matematico declaracion: si *creao* (como na el arte) o *descubierto* (como na el ciencia). El popularidad del recreativo matematica es otro señal del placer que ta incuntra mucho gente na solucion de maga matematico pregunta.

Na el aca-20 siglo, ya inicia gayot el matematico si L. E. J. Brouwer con un filosofico perspectiva conocio como el intuicionismo, que primariamente ta identifica con el matematica con cierto maga creativo proceso na mente. El intuicionismo es al de suyo vez un sabor de un filosofico postura conocio como el constructivismo, que solo ta considera con un matematico objeto como valido si directamente construible, hinde meramente garantizao por el logica indirectamente. Poreso ta rechaza el maga comprometio constructivista con cierto maga resultao, particularmente tal maga argumento como maga prueba de existencia basao na el principio del excluio tercero.

Al final, hinde ya desplaza ni el constructivismo ni el intuicionismo con el clasico matematico, pero tampoco ya logra con generalizao aceptacion. Sin embargo, ya motiva este maga filosofico postura con maga especifico desarrollo, como el intuicionista logico, apreciao por propio derecho.

## Cultural impacto

### Artistico expresion

El maga consonante musical nota son el maga sonido cuyo maga fundamental frecuencia de vibracion son na maga simple razon. Por ejemplo, ta duplica un octavo con el frecuencia, y ta multiplica un perfecto quinto conele por \frac{3}{2}.

Ta incuntra el maga humano, ademas de algun otro maga animal, con el maga simetrico padron mas hermoso. Matematicamente, ta forma el maga simetria de un objeto con un grupo conocio como un grupo de simetria.

Por ejemplo, el grupo que ta subyace con el especular simetria es el ciclico grupo de dos maga elemento, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Un prueba de si Rorschach es un figura invariante por este simetria, tal y como el maga cuerpo del maga mariposa y del maga animal mas generalmente (por lo menos na el superficie). Ta posee el maga ola con el traslacional simetria: move con el de tuyo punto de vista por el distancia entre el maga cresta del maga ola hinde ta cambia con el de tuyo vista del mar. Ademas, ta posee el maga fractal con (usualmente aproximao) el autosimilitud.

### Popularizacion

El popular matematica es el acto de presenta con el matematica sin maga tecnico termino o jerga. Puede dificil presenta con el matematica, puesto que ta padece el general publico de matofobia y muy abstracto el maga matematico objeto. Sin embargo, puede supera el popular matematica con este miedo por maga aplicacion o maga cultural vinculo. A pesar de esto, rara vez es el matematica el tema de popularizacion na el impreso o televisao maga medio.

## Maga premio de matematica

El mas prestigioso premio na matematica es el Medalla Fields, establecio na 1936 y premiao cada cuatro maga año (salvo alrededor del Segunda Mundial Guerra) a un maximo de cuatro maga individuo. Considerao el matematico equivalente del Premio Nobel.

Ta inclui otro maga prestigioso premio de matematica con:
* El Premio Abel, instituio na 2002, y premiao por primera vez na 2003
* El Medalla Chern, un premio al trayectoria, introducio na 2009, y premiao por primera vez na 2010
* El Premio Leroy Steele del AMS, premiao desde 1970
* El Premio Wolf na Matematica, tambien al trayectoria, instituio na 1978

Ya compila un famoso lista de 23 maga abierto problema, llamao el "maga problema de si Hilbert" el aleman matematico si David Hilbert. Muy celebre este lista entre el maga matematico y, a partir de 2022, solucionao por lo menos trece maga problema (dependiendo del interpretacion de algun maga).

Na 2000 publicao un nuevo lista de siete maga importante problema, titulao el "maga problema del milenio", Ta duplica solo uno —el hipotesis de si Riemann— con uno del maga problema de si Hilbert. Ya lleva un solucion a cualquier problema con un premio de un million de maga dolar. Hasta el fecha, solo solucionao uno de este maga problema, el hipotesis de si Poincaré.

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