Paridad (matematica)

Na el matematica, el **paridad** es el propiedad de un entero de queda **par** o **impar**. Par un entero si divisible por 2, e impar si hinde ansina divisible. Por ejemplo, −4, 0 y 82 son maga par numero, mientras que −3, 5, 7 y 21 son impar maga numero.

Aplicable lang el anterior definicion al maga entero numero, ansina que inaplicable a tal maga numero como 1/2 o 4.201. Mira con el seccion "Superior matematica" mas abajo para algun maga extension del nocion de paridad a un mas amplio clase de "maga numero" o na otro maga mas general contexto.

Ta tene el maga par e impar numero con maga opuesto paridad, p.ej. ta tene 22 (par numero) y 13 (impar numero) con maga opuesto paridad. Na particular, par el paridad del cero. Ta tene cualquier dos maga consecutivo entero con opuesto paridad. Un numero (i.e. un entero) expresao na el decimal sistema de numeracion es par o impar segun el paridad del de suyo ultimo cifra. Esto es, si el ultimo cifra 1, 3, 5, 7, o 9, entonces impar el numero; de otra manera par el numero, debio a que el ultimo cifra de cualquier par numero 0, 2, 4, 6, o 8. Ay funciona el mismo idea para cualquier par base. Na particular, impar cualquier numero expresao na el binario sistema, si 1 el de suyo ultimo cifra, y par si 0 el de suyo ultimo cifra. Na un imper base, par el numero segun el suma del de suyo maga cifra: par si y solo si par el suma del de suyo maga cifra.

## Definicion
Un par numero es un entero del forma
x = 2k
donde *k* es un entero; un impar numero es un entero del forma
x = 2k +1.

Un equivalente definicion es que un par numero divisible por 2:
2 \ | \ x
y un impar numero hinde:
2\not| \ x

Definible ansina el maga conjunto del maga par e impar numero:
\{ 2k: k \in \mathbb{Z} \}
\{ 2k+1: k \in \mathbb{Z} \}

El conjunto del maga *par* numero es un normal subgrupo de \mathbb{Z} y ta crea con el grupo de maga factor \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Entonces definible el paridad como un homomorfismo desde \mathbb{Z} hasta \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} donde 1 el maga impar numero y 0 el maga par numero. Mas abajo ta discuti kita con el maga consecuencia de este homomorfismo.

## Maga propiedad
Verificable el maga siguiente ley por medio el maga propiedad del divisibilidad. Ellos un especial caso de maga regla na el modular aritmetica, y comunmente usao para comproba si probable correcto un igualdad, probando con el paridad de cada lado. Como na el ordinario aritmetica, el multiplicacion y el adicion conmutativo y asociativo na el aritmetica de modulo 2, y el multiplicacion distributivo sobre el adicion. Sin embargo, el sustraccion de modulo 2 identico al adicion, ansina que tambien ta posee el sustraccion con este maga propiedad, cosa hinde verdadero para el normal aritmetica de maga entero.

### Adicion y sustraccion
* par ± par = par;
* par ± impar = impar;
* impar ± impar = par;

### Multiplicacion
* par × par = par;
* par × impar = par;
* impar × impar = impar;

El estructura ({par, impar}, +, ×) gayot un cuerpo con dos maga elemento.

### Division
Hinde necesariamente ta conduci el division de dos maga entero a otro entero. Por ejemplo, 1 dividio por 4 es 1/4, ni par ni impar, ya que el maga concepto de par e impar lang aplicable al maga entero. Pero cuando el cociente es un entero, ay par si y solo si ta tene el dividendo con mas maga factor de dos que el divisor.

## Historia
Ya considera el maga antiguo griego con 1, el monada, ni completamente par ni completamente impar. Ya sobrevivi parte de este sentimiento hasta el aca-19 siglo: al maestro ta instrui el obra de 1826 "El educacion del hombre" (, de si Friedrich Fröbel) con el afirmacion de 1 ni par ni impar, al que ta adjunta si Fröbel con este filosofico aparte:

## Superior matematica

### Maga mayor dimension y maga mas general clase de maga numero
Tambien ta tene un paridad el maga entero coordenada de maga punto na maga euclideo espacio de dos o mas maga dimension. Na manada situacion definio este paridad como el paridad del suma del maga coordenada. Por ejemplo, na cuanto al cubico celosia centrao na el maga cara y el de suyo maga generalizacion de maga superior dimension —el maga red *D<sub>n</sub>*—, ta consisti ellos de todo el maga entero punto cuyo suma de maga coordenada es par. Ta manifesta este caracteristica na el ajedrez, donde ta indica el color de un casilla con el de suyo paridad: constreñio el maga alfil a moverse entre casillas de la misma paridad, mientras que ta alterna el maga caballo con el de ellos paridad entre maga movimiento. Famosamente usao este forma de paridad para soluciona con el problema del mutilao tablero de ajedrez: si removio dos maga casilla de maga opuesto esquina, entonces imposible cubri con el resto del tablero por maga domino, porque ta cubri cada domino con un casilla de cada paridad, y tiene dos maga casilla de un paridad que del otro.

Puede defini como par con el paridad de un ordinal si el numero es un ordinal de limite, o un ordinal de limite mas un finito par numero, e impar si hinde.

Supone que *R* es un conmutativo anillo y que *I* es un ideal de *R* cuyo indice es 2. Maga elemento del lateral clase 0+I denominable como **par**, mientras que maga elemento del lateral clase 1+I denominable como **impar**. Como un ejemplo, supone que  es el localizacion de **Z** al primo ideal (2). Entonces un elemento de *R* par o impar si y solo si el de suyo numerador ansina na **Z**.

### Teoria de maga numero
Ta forma el maga par numero con un ideal na el anillo del maga entero, pero el maga impar numero hinde. Esto es claro gracias al hecho de que el elemento de identidad, cero, es un elemento del maga par numero lang. Un entero es par si congruente a 0 modulo este ideal —na otro maga palabra, si congruente a 0 modulo 2—, e impar si congruente a 1 modulo 2.

Impar cada primo numero, con un excepcion: el primo numero 2. Par todo el maga conocio perfecto numero; desconocio si ta existi cualquier impar perfecto numero.

Ta declara el conjetura de si Goldbach que cada par entero mayor que 2 representable como un suma de dos maga primo numero. Ya demostra maga moderna calculo por computadora que verdadero este conjetura para el maga entero hasta por lo menos 4 &times; 1018, masquen hinde incuntrao pa ningun general prueba.

### Teoria de maga grupo

El paridad de un permutacion (como definio na el abstracto algebra) es el paridad del numero de maga transposicion na el que descomponible el permutacion. Por ejemplo (ABC) a (BCA) es par porque realizable intercambiando con A y B, entonces C y A (dos maga transposicion). Demostrable que hinde descomponible ningun permutacion y na un par y na un impar numero de maga transposicion. Ansina lo de arriba es un adecuao definicion. Na tal maga rompecabezas de torsion como Rubik's Cube y Megaminx, ta permiti el maga movimiento del rompecabezas con maga par permutacion lang del maga pieza del rompecabezas, ansina que importante el paridad para entende con el espacio de configuracion de este maga rompecabezas.

Ta declara el teorema de si Feit–Thompson que un finito grupo firmi solucionable si el de suyo orden es un impar numero. Esto es un ejemplo de maga impar numero jugando con un papel na un teorema del avanzao matematica donde el metodo de aplicacion del simple hipotesis de "impar orden" hinde obvio para nada.

### Analisis
Ta describi el paridad de un funcion paquemodo ta cambia el de suyo maga valor cuando intercambiao el de suyo maga argumento con el de ellos maga negacion. Ta dale un par funcion, como un par potencia de un variable, con el mismo resultao para cualquier argumento como para el de suyo negacion. Ta dale un impar funcion, como un impar potencia de un variable, con el negacion del de suyo resultao para cualquier argumento cuando provisto del negacion de aquel argumento. Posible que un funcion ni par ni impar, y para el caso *f*(*x*)&nbsp;=&nbsp;0, y par e impar. Ta contene el serie de si Taylor de un par funcion con lang maga termino cuyo exponente es un par numero, y ansina mismo, ta contene el serie de si Taylor de un impar funcion con lang maga termino cuyo exponente es un impar numero

### Teoria de maga combinatorio juego
Na el teoria de maga combinatorio juego, un *[[malvao numero]]* es un numero que ta conta con un par numero de maga 1 na el de suyo binario representacion, y un *[[odioso numero]]* es un numero que ta conta con un impar numero de maga 1 na el de suyo binario representacion; ta juga este maga numero con un importante papel na el juego de estrategia Kayles. Ta mapea el funcion paridad con un numero al numero de maga 1 na el de suyo binario representacion, modulo 2, ansina que el de suyo valor es cero para el maga malvao numero y uno para el maga odioso numero. Ta tene el sucesion de si Thue-Morse, un infinito sucesion de maga 0 y maga 1, con un 0 na posicion *i* cuando *i* malvao, y un 1 na aquel posicion cuando *i* odioso.

## Adicional maga aplicacion
Na el teoria del informacion, ta provee un bit de paridad, adjuntao a un binario numero, con el mas simple forma de deteccion de maga error. Si ta cambia un solo bit na el resultante valor, hinde ay tene mas ele con el correcto paridad: ta dale el cambio de un bit na el original numero con un diferente paridad que el notao, y ta dale el cambio del bit de paridad, sin cambia con el original numero, con un incorrecto resultao de nuevo. De este modo, confiablemente detectable todo el maga error de transmision de un solo bit. Ademas, ta usa algun maga mas sofisticao codigo para el deteccion de maga error con multiple bit de paridad para maga subconjunto del maga bit del original codificao valor.

Na algun maga pais, ta funciona el urbano nomenclatura para que ta tene el maga casa na un lado de un calle con maga par numero, mientras que ta tene el maga casa na el otro lado con maga impar numero. Similarmente, entre el maga numerao carretera de Estados Unidos, primariamenta ta indica el maga par numero con el maga carretera este–oeste, y maga impar numero, con el maga carretera norte–sur. Ansina mismo, entre el maga numero de vuelo de maga aerolinea, primariamenta ta indica el maga par numero con el maga vuelo al este o al norte, y maga impar numero, con el maga vuelo al oeste o al sur.

## Mira tambien
* Divisor
* Semientero numero

## Maga referencia