Numero

Un **numero** es un matematico objeto usao para conta, medi y etiqueta. El maga original ejemplo ay el maga natural numero 1, 2, 3, 4 y ansina sucesivamente. Puede representa na lenguaje el maga numeral con el maga numero. Mas universalmente, puede utiliza el maga simbolo, llamao maga *[[cifra (matematica)|cifra]]*, para representa con el maga numero, ansina que por ejemplo '5' es un cifra que ta representa con el numero cinco. Debido a que solamente puede memoriza un chico numero de maga simbolo, ta agrupa comunmente con el maga numero na un sistema de numeracion, un metodo organizao para representa con cualquier numero. El mas comun sistema de numeracion es el indo-arabigo, que ta permiti con el representacion de cualquier numero por medio de un combinacion de diez maga fundamental numerico simbolo, llamao maga cifra. Ademas del de ila uso para conta y medi, na manada situacion usao el maga numero para etiqueta (por ejemplo el maga numero de telefono), para pedi (por ejemplo el maga numero de serie) y para codifica (por ejemplo el maga ISBN). Na comun uso, hinde distingui con un *cifra* del *numero* que ta representa.

Na matematica, ya extende el nocion del numero a traves del maga siglo para inclui con:
* el cero (0),
* el maga negativo numero,
* el maga racional numero como un medio \left(\tfrac{1}{2}\right),
* el maga real numero como el cuadrao raiz de dos \left(\sqrt{2}\right) y ''π'' y
* el maga complejo numero que ta extende con el maga real numero con un cuadrao raiz de (y el de suyo maga combinacion con el maga real numero por el adicion o sustraccion del maga multiple de este).
Ta hace con el maga cuenta por medio del maga aritmetico operacion: el maga mas familiar son el adicion, sustraccion, multiplicacion, division y potenciacion. Llamao aritmetica el de ila estudio o uso, un termino que puede referi tamen al teoria de maga numero, el estudio del maga propiedad del maga numero.

Ta tene el maga numero con, ademas del maga practico uso, cultural significancia por todo el mundo. Por ejemplo na manada situacion ta considera el occidental mundo con 13 como infeliz y puede significa 'un millon' con 'mucho' imbes de un exacto cantidad. Maskin hoy considerao como pseudociencia, ya permea con el antiguo y medieval pensmiento el creencia na un mistico significancia del maga numero, conocio como el numerologia. Ya influencia fuertemente el numerologia con el desarrollo del griego matematica, y ansina ya estimula el investigacion de manada problema na teoria de maga numero que ta interesa pa hoy kanaton.

Durante el aca-19 siglo, ya empeza el maga matematico con el desarrollo de manada diferente abstraccion que ta comparti con maga cierto propiedad del maga numero, y que ya extende con el concepto. Entre el maga primero fue el maga hipercomplejo numero, que ta consisti con maga vario extension o modificacion del sistema del maga complejo numero. Na moderno matematica, ta considera el maga matematico con el maga sistema de numero como importante especial ejemplo del maga mas general algebraico estructura, como el maga anillo y el maga cuerpo, y el aplicacion del termino 'numero' es puro convencion, sin fundamental significancia.

## Historia

### Primer uso de maga numero

Descubierto maga hueso y otro artefacto (arqueologia) inciso con maga marca que, segun ta cree mucho gente, ta representa maga marca de conteo. Siguro usao este maga marca de conteo para contar el transcurrio tiempo, como el maga numero del maga dia o el lunar ciclo, o maga registro de maga cantidad, como de maga animal.

Ta carece un sistema de maga marca de conteo con un concepto de posicional valor (como na el moderno decimal notacion) que ta limita con el de suyo representacion del maga gran numero. Maskin pa ansina, considerao el maga marca de conteo como el primer tipo de abstracto sistema de numeracion.

El primer conocio sistema con posicional valor fue el de Mesopotamia, de base 60, circa 3400 AEC y el mas antiguo conocio sistema de base 10 ta remonta a 3100 BCE na Egipto.

### Maga numeral

Hay que distingui con el maga **numero** del maga **[[cifra (matematica)|cifra]]**, el maga simbolo usao para representa con el maga numero. Ya inventa el maga egipcio con el primer cifrao sistema de numeracion, y ya segui el maga griego al mapear con el de suyo numero de conteo al maga jonico y dorico alfabeto. El romano numeracion, un sistema que ya usa con maga combinacion de letra del romano alfabeto, ya queda dominante na Europa hasta el propagacion del superior indo-arabigo numeracion alrededor del maga final del aca-14 siglo, y ta queda el indo-arabigo sistema de numeracion el mas comun sistema para representa con el maga numero na el mundo hoy dia. El clave para el efectividad del sistema fue el simbolo para cero, desarrollao por el maga antiguo indio matematico alrededor de 500 EC.

### Cero

Ta remonta a 628 AD el primer conocio documentao uso de cero , y ya aparece na *[[Brahma-sphuta-siddhanta]]*, el principal obra del indio matematico si Brahmagupta, que ya trata con 0 como un numero y ya discuti con maga operacion involucrando con el, incluyendo con el division por cero. A este maga altura (el aca-7 siglo) claramente ya llega este concepto a Camboya como el maga camboyano numero,, y ta mostra documentacion con el idea llegando mas tarde a China y el islamico mundo.

El *Brahma-sphuta-siddhanta* de si Brahmagupta es el primer libro que ta menciona con cero como numero, ansina que usualmente considerao si Brahmagupta como el primero que ya formula con el concepto de cero. Ya dale el con maga regla sobre el uso de cero con el maga negativo y positivo numero, como "cero mas un positivo numero es un positivo numero, y un negativo numero mas cero es un negativo numero". El *Brahma-sphuta-siddhanta* es el mas antiguo conocio texto que ta trata con cero como un numero por propio derecho, en vez de un marcador de posicion para representa con otro numero (como hecho por el maga babilonio), y en vez de un simbolo de falta de cantidad (como hecho por si Ptolomeo y el maga romano).

Hay que distingui el uso de 0 como numero, de el de suyo uso como marcador de posicion na el maga posicional notacion. Ya usa mucho antiguo texto con 0, incluyendo el maga antiguo babilonio y egipcio texto. Ya usa el maga egipcio con el palabra *nfr* para denota con un balance de cero na doble partida. Ya usa el maga indio texto *shunye* o *shunya* para referi al concepto de un *vacio* (cf. Shuniata). Na maga texto de matematica, na manada situacion, ta referi este palabra al numero cero. Ansina mismo ta usa si Panini con el nulo (cero) na el Astadhiai, un antiguo ejemplo de un algebraico gramatica para el sanscrito idioma (mira tambien con si Pingala).

Hay otro maga uso de cero antes de si Brahamagupta, aunque hinde tan completo el documentacion como na el *Brahma-sphuta-siddhanta*.

Ta mostra el maga recuerdo que ya queda inseguro el maga antiguo griego acerca del estado de 0 como numero: ya pregunta sila "¿Paquemodo puede 'nada' queda 'algo'?" llevando a interesante maga filosofico y, por el medieval epoca, religioso maga discusion acerca del naturaleza y el existencia de 0 y el vacio. Parcialmente depende el maga paradoja de si Zenon de Elea del incierto interpretacion de 0. (Ya cuestiona gayot el maga antiguo griego si 1 es un numero o hinde. Mira por ejemplo con el Metafisica (IX.2) de si Aristoteles.)

Ya empeza el maga olmeca (del centro sur de Mexico) a usa con un simbolo para cero, un glifo de concha, na el Nuevo Mundo, siguro por el aca-4 siglo AEC pero gayot por 40 AEC, y ya queda esto un integral parte del maya numeracion y el maya calendario. Ta usa el maya matematica con base 4 y base 5 escrio como base 20. Ya informa si George I. Sánchez de un abaco de base 4–5 para el maga dedo.

Por 130 EC, ya usa si Ptolomeo, influenciao por Hiparco de Nicea y el maga babilonio, con un simbolo para 0 (un chico circulo con un largo sobrelinea) dentro de un sexigesimal sistema de numeracion que ya usa con el maga alfabetico griego numeracion. Ya que ya usa con el *solo*, no solamente como un marcador de posicion, este helenistico cero fue el primer *documentao* uso de cero na el Viejo Mundo. Na el posterior bizantino maga manuscrito del de suyo (de Ptolomeo) *Syntaxis Mathematica* (*Almagest*), ya transforma el helenistico cero na el griego letra omicron (que, cuando usao como numero, tipicamente ya significa 70).

Ya usa el maga romano un verdadero cero na el de ellos maga tabla junto al romano numeracion por 525 (el primer conocio uso fue por si Dionisio el Exiguo) pero hinde como simbolo sino como palabra (*nulla* "nada", lit. "nulo, ninguno"). Cuando ya produci el division con 0 como resto, ya escribi sila con *nihil*, tambian "nada" (en latin, literalmente "ni lo minimo"). Ya usa este cero todo el maga futuro medieval computista (maga calculador del fecha de Pascua). Ya usa alrededor de 725 si Bede o un colega con el inicial, N,  un verdadero simbolo para cero, na un tabla de maga romano numeral.

### Maga negativo numero

Reconocio el abstracto concepto del maga negativo numero tan temprano como 100–50 AEC na China. Ta contene el *[[Jiuzhang Suanshu]]* maga metodo para calcula con el maga area del maga forma: ya usa el de suyo autor con rojo maga barra para denota con maga positivo coeficiente, negro para el maga negativo. Ta remonta el primer referencia na un occidental obra al aca-3 siglo CE na Antigua Grecia. Ya referi si Diofanto de Alejandria al ecuacion equivalente a  (negativo el solucion, -5) y ya deci que ta dale el ecuacion con un absurdo resultao.

Durante el maga 600, usao el maga negativo numero na India para representa con el maga deuda. Ya discuti mas explicitamente el indio matematico si Brahmagupta con el referencia de Diofanto na el de suyo *[[Brahma-sphuta-siddhanta]]* na 628, na el que ya usa el con maga negativo numero para produci el cuadratico formula de general forma usao pa hoy dia. Sin embargo, na aca-12 siglo CE, ya dale si Bhaskara con maga negativo raiz para maga cuadratico ecuacion pero ya deci que el negativo valor "desacertao na este caso. pues inadecuao, porque hinde ta aproba el gente con el maga negativo raiz".

Mayoritariamente ya resisti el maga europeo matematico con el concepto de maga negativo numero hasta el aca-17 siglo, masquen ya permiti si Fibonacci con maga solucion na maga financiero problema donde interpretable tal maga solucion como maga deuda (capitulo XIII de *[[Liber abaci]]*, 1202) y mas tarde como maga perdida (na *Flos*). Ya denomina si René Descartes con ellos maga falso raiz, porque ya florece na maga algebraico polinomio, masquen ya incuntra si Descartes con un manera para intercambia con el maga verdadero y falso raiz. Al mismo tiempo, ya indica el maga chino con el maga negativo numero trazando con un diagonal linea na el cifra mas al derecha del numeral del correspondiente positivo numero. El primer uso del maga europeo numero na un europeo obra fue por si Nicolas Chuquet durante el aca-15 siglo. Ya usa ele con ellos como exponente, masquen ya nombra con ellos "maga absurdo numero" ().

Tan recientemente como el aca-18 siglo, fue comun practica ignora con cualquier negativo resultao devuelto por el maga ecuacion na el supuesto de que ya queda tal maga resultao sin sentido.

### Maga racional numero

Firmi se remonta al maga tiempo prehistorico el concepto del fraccional numero. Ya utiliza el maga antiguo egipcio con el de ellos notacion de egipcio fraccion para maga racional numero na tal maga matematico texto como el papiro de si Ahmes y el maga papiro de Lahun. Ya realiza el maga clasico griego e indio matematico con maga estudio del teoria de maga racional numero, como parte del general estudio del teoria de maga numero. El mejor conocio de este maga es el maga Elemento de si Euclides, que ta remonta a alrededor de 300 BCE. Na cuanto al maga indio texto, el mas relevante el Sthananga sutra, que tambien ta trata con el teoria de maga numero como parte de un general estudio del matematica.

Juntamente vinculao el concepto de maga decimal fraccion con el del decimal notacion de posicional valor, y firmi ya desarolla na tandem como un par de maga concepto. Por ejemplo, na el sutra  de matematica na el jainismo, comun el inclusion de maga calculacion de maga aproximacion (usando con maga decimal fraccion) para pi o el cuadrao raiz de dos. Ansina mismo ya utiliza el maga babilonico con maga sexagesimal (base 60) fraccion na manada situacion.

### Maga irracional numero

El mas temprano conocio uso del maga irracional numero fue na indio maga Śulbasūtra compuesto entre 800 y 500 AEC. Usualmente atribuio a si Pitagoras —mas especificamente al pitagorico si Hipaso de Metaponto, que ya produci con un (siguro geometrico) prueba del irracionalidad del cuadrao raiz de dos— el primer prueba del existencia del maga irracional numero. Segun el cuento, ya descubri si Hipaso con el irracional numero al trata de representa con el cuadrao raiz de dos como un fraccion. Sin embargo, ya cree Pitagoras na el absolutismo del maga numero —na otro maga palabra, que racional todo el maga numero— y hinde ya puede acepta el existencia del maga irracional numero. A pesar del de suyo genio, hinde ya puede desproba con el de ellos existencia por logica, pero tampoco ya puede acepta con el maga irracional numero, ansina que (supuestamente, y frecuentemente citao) ya condena con si Hipaso a muerte por ahogamiento para bloquea con el propagacion de este desconcertante noticia.

Ya trae el aca-15 siglo con el final europeo aceptacion del negative entero y fraccional maga numero. Por el aca-17 siglo, generalmente ya usa el matematico con el maga decimal fraccion con el moderno notacion. Sin embargo, no hasta el aca-19 siglo ya separa el maga matematico con el irracional na maga algebraico y trascendente parte, y de nuevo ya emprende con el cientifico estudio del maga irracional. Ya queda dicho estudio casi dormante desde el maga tiempo de si Euclides (circa 300 AEC). Na 1872 realizao el publicacion del maga teoria de si Karl Weierstraß (por el de suyo alumno si Ernst Kossak), si Eduard Heine, si Georg Cantor y si Richard Dedekind. Na 1869, ya toma si Charles Méray con el mismo punto de partida como si Heine, aunque tipicamente fechao el teoria a 1872. Expuesto completamente el metodo de si Weierstraß por si Salvatore Pincherle (1880). Ya recibi el metodo de si Dedekind con adicional prominencia por el posterior obra (1888) del autor, ademas del endoso de esto por si Paul Tannery (1894). Ya basa si Weierstrass, si Cantor y si Heine con el de sila teoria na maga infinito sucesion, mientras que ya establece si Dedekind con el de suyo na idea de un "corte" (ahora llamao un corte de si Dedekind) na el sistema del maga real numero, separando con todo el maga racional numero na dos maga grupo teniendo con cierto caracteristica maga propiedad. Ya recibi el sujeto con posterior maga contribucion gracias a si Weierstraß, si Kronecker y si Méray.

El busqueda para el maga raiz de maga quintico ecuacion, y de maga ecuacion de mayor grado, fue un importante desarrollo. Ya demostra el teorema de si Abel–Ruffini (Ruffini 1799, Abel 1824) con el imposibilidad de soluciona con tal maga ecuacion por radicacion (esto es, maga formula solo involucrando con maga aritmetico operacion y maga raiz). Poreso fue necesario considera con todo el maga algebraico numero (esto es, todo el maga solucion a maga polinomico ecuacion). Ya vincula si Évariste Galois (1832) con el maga polinomico ecuacion al teoria de maga grupo, sembrando con un rama de matematica ahora llamao el teoria de si Galois.

Ya recibi el maga continuo fraccion, intimamente vinculao con el maga irracional numero (mira con el *Trattato del modo brevissimo* (1613, *Tratado de brevisimo modo*) de si Pietro Antonio Cataldi) gracias a si Leonhard Euler, y a maga principio del aca-19 siglo ya queda prominente ellos por el maga escrio de si Joseph-Louis Lagrange. Ya realiza otro maga notable contribucion si Druckenmüller (1837), si Kunze (1857), si Lemke (1870) y si Günther (1872). Fue si Christian Ramus (un danes matematico, 1806–1856) el primer en vincula con el sujeto y el maga determinante, resultando —con el maga subsecuente contribucion de si Heine (1859), si Möbius y si Günther (1873, 1875)— na el teoria de *Kettenbruchdeterminanten* ("maga determinante de maga continuo fraccion").

### Maga trascendente numero y maga real

Si Joseph Liouville (1844, 1851) el primer en establece con el existencia del maga trascendente numero. Ya proba si Charles Hermite na 1873 que *[[numero e|e]]* es trascendente, y ya proba si Lindemann na 1882 que π es trascendente. Finalmente, ya demostra si Georg Cantor (1874) que (1) el conjunto de todo el maga real numero es innumerablemente infinito, pero (2) el conjunto de todo el maga algebraico numero de numerablemente infinito, asi que hay un innumerablemente infinito cantidad de maga trascendente numero.

### Infinidad y maga infinitesimal

Ya aparece el mas antiguo conocio concepcion de matematico infinidad na el Yajurveda, un antiguo indio texto, que na un punto Ya dice: "Si ta remove tu con un parte del infinidad o ta añadi con un parte al infinidad, el resultao pa infinidad." Fue el infinidad un popular tema de discusion entre el maga jainista matematico c. 400 AEC. Ya distingui sila entre cinco maga tipo de infinidad: (1 y 2) infinito na uno y dos maga dimension, (3) de infinito area, (4) infinito na todo maga parte y (5) infinito perpetuamente. Na maga tiempo de aton, na manada situacion usao el simbolo \text{∞} para representa con un infinito cantidad.

Ya defini si Aristoteles con el tradicional europeo nocion del matematico infinidad. Ya hace ele con un distincion entre el actual infinito y el potencial infinito, el general consenso siendo que ya tene solo el segundo con verdadero valor. Ya discuti el Dos maga nuevo ciencia de si Galileo Galilei con el idea de maga correspondencia uno a uno entre maga infinito conjunto. Pero ya hace el proximo importante avance na teoria si Georg Cantor: na 1895 ya publica ele con un libro sobre el de suyo nuevo teoria de maga conjunto, introduciendo, entre otro maga cosa, con el maga transfinito numero y formulando con el hipotesis del continuo.

Na el maga 1960, ya demostra si Abraham Robinson que posible un rigoroso definicion del infinitamente grande e infinitestimal maga numero, y ya usa con este definicion para desarrolla con el rama de hinde estandar analisis. Ta representa el sistema de maga hiperreal numero con un rigoroso metodo para trata con el maga idea sobre el infinito e infinitesimal maga numero usao casualmente por el maga matematico, cientifico e ingeniero desde el invencion del infinitesimal calculo por si Newton y si Leibniz.

Ta dale un modern geometrico version de infinidad el proyectivo geometria, que ta introduci con el maga "ideal punto al infinidad", uno para cada espacial direccion. Postulao que ta converge cada famila de maga paralelo linea na el correspondiente ideal punto. Estrechamente relacionao esto al idea del maga punto de fuga na el dibujo en perspectiva.

## Maga complejo numero

Ta ocurri el mas antiguo fugaz referencia al maga cuadrao raiz de maga negativo numero na obra del griego matematico  e inventor Heron de Alejandria na el aca-1 siglo EC, cuando ya considera ele con el volumen de un imposible tronco de un piramide. Ya queda sila mas prominente con el descubrimiento, na el aca-16 siglo, de maga cerrao formula para el maga raiz de maga cubico y cuartico polinomial por tal maga italiano matematico como si Niccolò Fontana Tartaglia y si Gerolamo Cardano. Pronto notao que tiene vez ya requeri este maga formula, masquen solo interesao el matematico na maga real solucion, con el manipulacio de maga cuadrao raiz de maga negativo numero.

Doblemente inquietante esto porque na aquel entonces incierto el maga matematico sobre el estado y definicion del maga negativo numero. Cuando ya acuña si René Descartes con el termino "imaginario" para tal cantidad, derogatorio el de suyo conotacion. (Mira con imaginario numero para un discusion del "realidad" del maga complejo numero.) Otro fuente de confusion fue que ya parece el ecuacion
:\left ( \sqrt{-1}\right )^2 =\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1
caprichosamente inconsietente con el algebraico identidad
:\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},
valido pare el maga real numero *a* y **b'', y tambien usao na el maga calculacion para maga complejo numero con un parte positivo y el otro negativo. El incorrecto uso de este identidad, y el relacionao identidad
:<math>\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}</math>
na el caso donde negativo y ''a'' y ''b'' fue un fuente de perplejidad hasta para si [[Leonhard Euler|Euler]]. Por este dificultad eventualmente ya empeza ele a usa con el especial simbolo ''i'' na lugar de <math>\sqrt{-1}</math> para guarda contra este error.

Ya mostra el aca-18 siglo con el obra de si [[Abraham de Moivre]] y si [[Leonhard Euler]]. Ta declara el [[formula de De Moivre]] (1730) que:
:<math>(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta </math>
mientras ya dale kanaton el [[formula de si Euler]] para el [[complejo analisis]] (1748):
:<math>\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. </math>

Hinde completamente aceptao el existencia del maga complejo numero hasta 1799, cuando ya describi si [[Caspar Wessel]] con el [[geometrico]] interpretacion. Cuanto año mas tarde, ya redescubri y popiulariza si [[Carl Friedrich Gauss]], ansina que ya recibi el teoria de maga complejo numero con un notable expansion. Sin embargo, ya aparece ya el idea de un grafico representacion de maga complejo numero tan temprano como 1685, na ''De algebra tractatus'' (Tratado sobre [[algebra]]) de si [[John Wallis]].

Na mismo año, ya provee si Gauss con el primer generalmente aceptao prueba del [[fundamental teorema del algebra]], mostrando que ta tene cada [[polinomio]] sobre el maga complejo numero con un lleno [[conjunto]] de maga solucion na aquel reino. Ya estudia si Gauss con el maga complejo numero de forma , donde ''a'' y ''b'' son maga [[entero]] (llamao ya maga [[entero gaussiano]]) o maga [[racional numero]]. Ya estudia el de suyo estudiante, si [[Ferdinand Gotthold Max Eisenstein]], con el tipo , donde ''ω'' es un complejo raiz de  (llamao ya maga [[entero de si Eisenstein]]). Ta deriva otro maga clase de maga complejo numero (llamao maga [[ciclotomico cuerpo]]) de maga [[raiz del unidad]]  para maga mayor valor de ''k''. Este generalizacion es mayoritariamente gracias a si [[Ernst Kummer]], que ya inventa tambien con el maga [[ideal numero]], expresao como maga geometrico entidad por si [[Felix Klein]] na 1893.

Na 1850 ya dale [[Victor Puiseux]] con el clave paso de distingui entre maga [[polo (complejo analisis)|polo]] y maga [[punto de ramificacion]], y ya introduci ele con el concepto de maga [[matematico singularidad|esencial singular punto]]. Eventualmente ya lleva esto al concepto del [[esfera de si Riemann|plano complejo extendido]].

=== Maga primo numero  ===
Estudiao el maga [[primo numero]] a lo largo del recordao historia. Son maga [[positivo entero]] divisible solo por 1 y sila mismo. Devoto un libro del [[Elemento de si Euclides]] al teoria de maga primo. Na este libro ya proba si [[Euclides]] con el infinitud del maga primo y el [[fundamental teorema del aritmetica]], ademas de presenta con el [[algoritmo de si Euclides]] para incuntra con el [[maximo comun divisor]] de dos maga numero.

Na 240 AEC, ya utiliza si [[Eratostenes]] con el [[Criba de si Eratostenes]] para isola rapidamente con el maga primo numero. Pero ta remonta al [[Renacimiento]], y maga posterior epoca, el mayoria del maga avance na el teoria de maga primo na [[Europa]].

Na 1796, ya conjetura si [[Adrien-Marie Legendre]] con el [[teorema del maga primo numero]], describiendo con el asintotico distribucion del maga primo. Na cuanto al distribucion del maga primo, ta inclui otro resultao con el prueba de si Euler que ta divergi el suma del maga [[reciproco]], y el [[conjetura de si Goldbach]], que ta declara que cualquier par numero de suficiente tamaño es el suma de dos maga primo. Otro [[conjetura]] relacionao con el distribucion del maga primo numero es el [[hipotesis de si Riemann]], formulao por si [[Bernhard Riemann]] na 1859. Por fin probao el [[teorema del maga primo numero]] por si [[Jacques Hadamard]] y si [[Charles-Jean de la Vallée Poussin]] na 1896. Ta queda sin prueba, y sin refutacion, el maga [[conjetura]] de si Goldbach y de si [[Riemann]].

== Principal clasificacion  ==



Puede pertenece el maga numero a maga vario [[conjunto]], llamao **maga numerico conjunto** o **maga numerico sistema**, como el maga [[natural numero]] y el [[real numero]]. El maga principal numerico sistema son:



Cada uno de este maga numerico sistema es un [[subconjunto]] del proximo. Ansina, por ejemplo, un racional numero es tamen un real numero, y cada real numero es tamen un complejo numero (donde ''b'' = 0). Expresable este relacion [[notacion de maga conjunto|simbolicamente]] como
:<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math>.

Ta aparece un mas completo lista del maga numerico conjunto na el siguiente diagrama:



=== Maga natural numero ===



Son el maga mas familiar el maga [[natural numero]]: 1, 2, 3 y ansina sucesivamente. Tradicionalmente ya comenza el secuencia del maga natural numero con 1, ya que para el maga [[antiguo griego]] el 0 hinde fue considerao como un numero. Sin embargo, na el aca-19 siglo, ya empeza el maga [[teorista de maga conjunto]] y otro [[matematico]] a inclui con 0 (el [[cardinalidad]] del vacio conjunto, i.e. 0 maga elemento, donde 0 es el mas chico [[cardinal numero]]) na el conjunto del maga natural numero. Hoy dia, ta utiliza maga diferente matematico con el termino para describi con ambo maga conjunto, si ta inclui con 0 o hinde. El [[matematico simbolo]] para el conjunto del maga natural numero es **N**, tambien escrio como <math>\mathbb{N}</math>, y a veces <math>\mathbb{N}_0</math> o <math>\mathbb{N}_1</math> cuando es necesario indica si el conjunto debe empeza por 0 o 1, respectivamente.

Na el [[sistema de numeracion]] de [[base 10]], hoy casi universalmente utilizao para el maga matematico operacion, el maga [[simbolo]] para el maga [[natural numero]] son diez maga [[cifra (matematica)|cifra]]: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. El [[base (aritmetica)|base]] es el numero de distinto maga numerico cifra, incluyendo con el cero, que ta utiliza un sistema de numeracion para representa con el maga numero (para un decimal sistema, este base es 10). Na este sistema de base 10, ta tene el cifra mas al derecha con un [[posicional valor]] de 1, y ta tene cada otro cifra con un valor posicional de diez maga vez el del cifra al de suyo derecha.

Na el [[teoria de maga conjunto]], capaz de actua como un axiomatico fundacion para el moderno matematica, puede representa el maga natural numero el maga clase de maga equivalente conjunto. Por ejemplo, puede representa el numero 3 con el clase de todo el mega conjunto que ta conta con exactamente tres maga elemento. Alternativamente, na el [[aritmetica de si Peano]], ta representa el numero 3 sss0, donde s es el funcion "sucesor" (i.e., 3 es el tercer sucesor de 0). Posible mucho diferente maga representacion, y para formalmente representa con 3, solo hay que inscribi con cierto simbolo o padron de maga simbolo tres maga vez.

=== Maga entero numero ===


El [[negativo numero|negativo]] de un positivo numero es el numero que ta produci con 0 al queda añadio al correspondiente positivo entero. Usualmente ta acompaña un negativo signo (un [[signo menos]]). Por ejemplo, ta escribi kita con el negativo de&nbsp;7 como&nbsp;−7, y . Al combina con el [[conjunto]] del maga negativo numero y el conjunto del maga natural numero (incluyendo con el 0) denominao el resultao como el conjunto del maga [[entero numero]], **Z**, tambien escrio como <math>\mathbb{Z}</math>. Na este caso ta proveni el letra ''Z'' del aleman ''Zahl'' "numero". Ta forma el conjunto del maga numero con un [[anillo (matematica)|anillo]] con el maga operacion de [[adicion (matematica)|adicion]] y [[multiplicacion]].

Ta forma el maga natural numero con un [[subconjunto]] del maga entero numero. Ya que ta carece de un comun estandar na cuanto al inclusion o exclusion de cero na el maga natural numero, para claridad el maga natural numero sin cero son el **maga positivo entero**, y el maga con cero son el **maga hinde-negativo entero**.

=== Maga racional numero ===


UN racional numero es un numero expresable como un [[fraccion]] con un entero numerador y un positivo entero denominador. Permisible el maga negativo denominador, pero comunmente evitao, porque cada racional numero es igual a un fraccion con un positivo denominador. Ta consisti un fraccion en dos maga entero, el numerador y el denominador, con un divisorio linea entre sila. Ta representa el fraccion  con ''m'' maga parte de un todo dividio na ''n'' igual maga parte. Puede dos maga diferente fraccion corresponde con el mismo racional numero. Por ejemplo igual  y , es deci,

:<math>{1 \over 2} = {2 \over 4}.</math>

Por lo general,
:<math>{a \over b} = {c \over d}</math> [[si y solo si]] <math>{a \times d} = {c \times b}.</math>

Si el [[absoluto valor]] de ''m'' es mayor que ''n'' (asumiendo que positivo ''n'') entonces el absoluto valor del fraccion es mayor que 1. Puede el maga fraccion mayor que, menor que, o igual a 1, y tambien puede positivo, negativo, o 0. Ta inclui el conjunto de todo el maga racional numero con el maga entero porque puede cada entero escrio como un fraccion de denominador 1. Por ejemplo puede escribi&nbsp;−7 como&nbsp;. El simbolo para el maga racional numero es **Q** (para [[cociente]], ) tambien escrio como <math>\mathbb{Q}</math>.

=== Maga real numero ===


El simbolo para el maga real numero es **R**, tambien escrio como <math>\mathbb{R}.</math>. Ta inclui sila con todo el maga numero de [[medicion]]. Ta corresponde cada real numero con un [[punto (geometria)|punto]] na el [[real recta]]. Ay enfoca primariamente el siguiente parrafo na el maga positivo real numero. Ta sigue el tratamiento del maga negativo real numero con el general maga regla del aritmetica y el de ellos denotacion es simplemente el anteposicion de un [[signo menos]] al correspondiente positivo numero, e.g.−123.456.

Solo puede ''aproxima'' el mayoria del maga real numero el maga [[decimal]] numero, donde ta queda un [[decimal punto]] al derecha del cifra que ta tene el posicional valor de 1. Ta tene cada cifra al derecha del decimal punto con un posicional valor de un decimo del posicional valor del cifra al de suyo izquierda. Por ejemplo, ta representa 123.456 con , o na maga palabra, un ciento, dos maga diez, tres maga uno, cuatro maga decimo, cinco maga centesimo y seis maga milesimo. Puede representa un real numero un finito numero de maga decimal cifra solo si es [[racional numero|racional]] y el de suyo [[fraccionario parte]] cuyo maga [[primo factor]] son 2 o 5 o ambo maga, porque son este maga el maga primo factor de 10, el base del decimal sistema. Ansina, por ejemplo, un mitad es 0.5, un quinto es 0.2, un decimo es 0.1, y un quincuagesimo es 0.02 (<math>50 = 2 \cdot 5 \cdot 5</math>). Para representa con otro maga real numero como maga decimal, hay que usa con un infinito sucesion de maga cifra al derecha del decimal punto. Si ta sigue este infinito sucesion de maga cifra con un padron, posible escribi esto con un elipsis (...) u otro notacion que ta indica con el repetitivo padron. Denominao tal decimal un [[periodico decimal]]. Ansina puede escrio  como 0.333..., con un elipsis para indica que ta continua el padron. Tambien puede escribi con maga 3 que firmi ta repeti como 0..

Ta resulta que ta denota este mega periodico decimal (incluyendo con el [[cero final|repeticion del maga cero]]) exactamente con el maga racional numero. Es deci, todo el maga racional numero tambien maga real numero, pero no necesariamente racional cada real numero. Denominao [[irracional numero|irracional]] un real numero que hinde racional. Un famoso irracional real numero es [[pi|&pi;]], el [[razon (matematica)|razon]] de cada [[circulo]] al de suyo [[diametro]]. Al escribi con pi como

:<math>\pi = 3.14159265358979\dots,</math>

hinde ta significa el elipsis que ta repeti el maga decimal (hinde ta repeti sila) sino que hinde existi ningun final numero. [[Prueba que pi es irracional|Probao ya que &pi; es irracional]]. Otro bien conocio numero, tambien probao como irracional, es

:<math>\sqrt{2} = 1.41421356237\dots,</math>

el [[cuadrao raiz de dos]], es deci, el distinto positivo real numero cuyo cuadrao es 2. Puede aproximao (por computadora) ambo maga numero hasta maga billon  de maga cifra.

Irracional hinde solo este maga prominente ejemplo sino [[casi todo (matematica)|casi todo]] el maga real numero. Ta significa esto que para tal maga numero nuay ningun repetitivo padron y ansina ningun correspondiente decimal numero. Solo posible un aproximacion por el maga decimal numero, que ta denota con el maga [[redondeo|redondeao]] o [[truncamiento|truncao]] real numero. Cualquier redondeao o truncao numero es necesariamente un racional numero (y ta forma el maga racional numero un [[numerable conjunto]]). Todo el maga medida son, por el de ellos naturaleza, maga aproximacion, y firmi hay un [[margen de error]]. Ansina 123.456 es un aproximacion de cada real numero mayor que o igual a  y estrictamente menos que  (redondeando a 3 maga decimal), o de cualquier real numero mayor que o igual a  y estrictamente menos que  (truncamiento tras el 3. decimal). Hay que remove con cualquier cifra que ta sugeri con un mayor precision que el medida mismo. Entonces denominao el maga restante cifra [[maga significativo cifra]]. Por ejemplo, rara vez posible un medida por un [[graduado regla|regla]] sin un margen de error de por lo menos 0.001 [[metro|m]]. Si ta medi kita con el maga lado de un [[rectangulo]] 1.23&nbsp;m y 4.56&nbsp;m, entonces ta dale el [[multiplicacion]] con un [[area]] entre  y . Puesto que hinde preservao el segundo cifra despues del decimal posicion, hinde ''significante'' el maga siguiente cifra. Por eso, ta redondea kita con el resultao a 5.61.

Justo como puede tene el mismo fraccion con mas de uno representacion, puede tene el mismo real numero mas de uno decimal representacion. Por ejemplo, ta representa [[0.999...]], 1.0, 1.00, 1.000, ..., con el natural numero&nbsp;1. Ta tene un cierto real numero con solo el siguiente decimal maga representacion: (1) un aproximacion hasta algun finito numero de decimal maga lugar, (2) un aproximacion donde establecio un padron que firmi ta continua hasta el infinidad, o (3) un valor exacto ''na si mismo'', pero todavia un aproximacion del verdadero numero. Na este ultimo caso, (1) ta queda el ultimo hinde-cero cifra reemplazao por el siguiente cifra mas grande, seguio por un infinito numero de maga 9, o (2) ta segui el ultimo hinde-cero cifra un ilimitao numero de maga cero. Ansina puede escrio el exacto real numero 3.74 como 3.7399999999... y 3.74000000000.... Similarmente, posible lo contrario. Por ejemplo, 6.849999999999... = 6.85 y 6.850000000000... = 6.85. Al final, si todo el maga cero na un numeral son 0, el numero es 0, y si son 9, puede redondea kita con el numero. Por ejemplo, 99.999... = 100.

Tambien ta tene el maga real numero con un importante pero altamente tecnico propiedad llamao el propiedad del [[minimo superior cota]].

Puede ser probao que cualquier [[ordenao cuerpo]], tambien [[axioma de completitud|completo]], isomorfico al maga real numero. El maga real numero hinde, sin ambergo, un [[algebraicamente cerrao cuerpo]], por hinde inclui con un solucion (a menudo llamao un [[cuadrao raiz de menos uno]]) al [[algebraico ecuacion]] <math>x^2+1=0</math>.

=== Maga complejo numero ===


Moviendo a un mayor nivel de [[abstraccion (filosofia)|abstraccion]], puede extendio el maga real numero hasta el maga [[complejo numero]]. Historicamente ya surgi este conjunto de maga numero durante el busqueda para el cerrao [[formula]] para el maga [[cubico polinomio|cubico]] y [[cuadratico polinomio]] (na otro maga palabra, el maga [[cubico formula|cubico]] y [[cuadratico formula]]). Ya lleva este a maga expresion involucrando el maga cuadrao raiz del maga negativo numero, y eventualmente al definicion de un nuevo numero: un [[cuadrao raiz de menos uno]], denotao por ''[[imaginario unidad|i]]'', un [[simbolo]] asignao por si [[Leonhard Euler]], y llamao el [[imaginario unidad]]. Ta consisti el maga complejo numero na todo el maga numero de forma

:<math>\,a + b i</math>

donde ''a'' y ''b'' son maga real numero. Poreso ta corresponde el maga complejo numero con maga [[punto (geometria)|punto]] na el [[complejo plano]], un [[vectorial espacio]] de dos maga real [[dimension]]. Na expresion , denominao el real numero ''a'' como el [[real parte]] y ''b'' como el [[imagionario parte]]. Si el real parte de un complejo numero es 0, entonces denominao el numero como un [[imaginario numero]] o ''puramente imaginario''. Si el imaginario parte es 0, entonces el numero es un [[real numero]]. Poreso son el maga real numero un [[subconjunto]] del maga complejo numero. Si el real e imaginario maga parte de un complejo numero son ambo maga [[entero]], entonces denominao el numero como un [[entero gaussiano]]. El simbolo para el maga complejo numero es **C** o <math>\mathbb{C}</math>.

Ta afirma el [[fundamental teorema del algebra]] que ta forma el maga complejo numero con un [[algebraicamente cerrao cuerpo]], que ta significa que ta tene cada [[polinomio]] con maga complejo [[coeficiente]] con un [[raiz de un funcion|raiz]] (o [[cero de un funcion|cero]]) na el maga complejo numero. Como el maga real, ta forma el maga complejo numero con un [[cuerpo (matematica)|cuerpo]], que completo, pero hinde como el maga real numero, hinde [[total orden|ordenao]]. Es deci, nuay consistente significao na asercion de que ''i'' mayor que&nbsp;1, ni que ''i'' menor que&nbsp;1. Na tecnico maga termino, ta carece el maga complejo numero con un [[total orden]] [[ordenao cuerpo|compatible con el maga operacion sobre un cuerpo]].

== Maga subclase del maga entero ==

=== Maga par e impar numero ===


Un **par numero** es un entero "uniformemente divisible" por dos [[euclideo divison|sin resto]], y un **impar numero**, como ta sugeri el nombre, es simplemente un numero hinde par. (Na el maga tiempo de aton, en vez de "uniformemente divisible", a menudo simplemente ta deci kita "[[divisibilidad|divisible]]".) Construible cualquier impar numero ''n'' por el formula , para algun adecuao entero ''k''. Empezando por  son el primer maga hinde negativo entero {1, 3, 5, 7, ...}. Ta tene cualquier par numero con el forma  donde, ansina mismo, ''k'' es un [[entero]], y son el primer maga hinde negativo entero {0, 2, 4, 6, ...}.

=== Maga primo numero ===


Un **primo numero**, a menudo simplemente **primo**, es un entero mayor que 1 que hinde es el producto de dos maga menor positivo entero. El primer maga primo numero son 2, 3, 5, 7, y 11. Nuay ningun simple formula (como el maga para el maga par e impar numero) para genera con el maga primo numero. Ampliamente estudiao el maga primo durante mas de dos mil maga año y ya lleva a mucho maga pregunta, aunque ya cede maga respuesta solo un subconjunto de este maga pregunta. Ta pertenece al [[teoria de maga numero]] el estudio de este maga pregunta. El [[conjetura de si Goldbach]] es un ejemplo de un pregunta sin respuesta pa: "¿Cada par numero el suma de dos maga primo?"

Ta tene otro pregunta —¿Verdad que cada entero mayor que uno es el producto de maga primo na un solo manera (salvo un reestructuracion del maga primo)?— con respueste gayot: si. (Por ejemplo <math>15 = 3 \cdot 5</math> y <math>5 \cdot 3</math>, gracias a [[comutatividad]].) Denominao este asercion probao como el [[fundamental teorema del aritmetica]], y ta aparece un prueba de este na el [[maga Elemento de si Euclides]].

=== Otro maga clase del entero ===
Mucho maga subconjunto del maga natural numero son el sujeto de especifico maga estudio y poreso nombrao, na manada situacion por el primer [[matematico]] que ya estudia con sila. Maga ejemplo de tal maga conjunto del maga entero son el maga [[numero de si Fibonacci]] y el maga [[perfecto numero]]. Para un lista de maga ejemplo, mira con [[Entero sucesion]].

== Maga subclase del maga complejo numero ==

=== Maga algebraico, irracional y trascendente numero ===
El maga [[algebraico numero]] son maga solucion a un [[polinomico ecuacion]] con maga entero [[coeficiente]]. El maga real numero que hinde maga racional numero denominao maga [[irracional numero]]. El maga complejo numero que hinde algebraico denominao maga [[trascendente numero]]. El maga algebraico numero que son maga solucion de un ecuacion de un [[monico polinomio]] con maga entero coeficiente son maga [[algebraico entero numero]].

=== Maga construible numero ===
Motivao por el maga clasico problema de [[construccion con regla y compas]], el maga [[construible numerp]] son el maga complejo numero cuyo maga real e imaginario parte son realizable por regla y compas, empezando desde un segmento de largura 1, na un finito numero de maga paso.

=== Maga computable numero ===


Un **computable numero**, tambien conocio como un ''recursivo numero'', es un [[real numero]] para el que ta queda un [[algoritmo]] que ta produce, para un positivo entero ''n'' como entrada, con el ''n'' maga cifra del decimal representacion del computable numero. Realizable maga equivalente definicion por medio de maga [[μ-recursivo funcion]], maga [[maquina de si Turing]] o maga [[λ-calculo]]. Estable el maga computable numero para todo el maga usual [[aritmetico operacion]], incluyendo con el computacion del maga raiz de un [[polinomio]], ansina que ta forma con un [[real cerrao cuerpo]] que ta contene con el maga real [[algebraico numero]]

Puede kita mira con el maga computable numero como el maga real numero representable na un [[computadora]]: exactamente representao un computable numero por (1) el de suyo maga primer maga cifra y (2) un [[informatico programa]] para computa con otro maga cifra. Un razon es que nuay ningun algoritmo para proba con el igualdad de dos maga computable numero. Mas precisamente, imposible un algoritmo que ta toma con cualquier computable numero como entrada, y entonces ta decidi na cada caso si este numero igual a cero o hinde.

Ta tene el conjunto del maga computable numero con el mismo [[cardinalidad]] como el maga natural numero. Poreso hinde computable [[casi todo (matematica)|casi todo]] el maga real numero. Sin embargo, muy dificil produci con un real numero hinde computable.

== Maga extension del concepto ==

=== Maga ''p''-adico numero ===


Puede tene el maga ''p''-adico numero con maga infinitamente largo expansion al izquierda del decimal punto, justo como puede tene el maga real numero con maga infinitamente largo expansion al derecha. Ta depende el resultante [[numerico sistema]] del [[base (aritmetica)|base]] usao para el maga cifra: posible cualquier base, pero ta provee un base de un [[primo numero]] con el maga mejor matematico propiedad. Ta contene el conjunto del maga ''p''-adico numero con el maga racional numero, pero hinde con todo el maga complejo numero.

Ta poseen el maga elemento de un [[cuerpo de funciones]] sobre un [[finito cuerpo]], y el maga [[algebraico numero]], con mucho similar maga propiedad (mira con [[Analogia del cuerpo de funciones]]). Poreso considerao este maga elemento como maga numero por maga [[teorista de maga numero]]. Ta tene el maga ''p''-adico numero con un importante papel na este [[analogia]].

=== Maga hipercomplejo numero ===


Algun maga numero hinde incluio na maga complejo numero, pero construible pa del maga real numero na un manera que ta generaliza con el construccion del maga complejo numero. Tiene vez denominao tal maga numero como maga [[hipercomplejo numero]]. Ta inclui sila con el maga [[cuaternion]] **H**, introducio por si [[William Rowan Hamilton]], na el que hinde [[comutatividad|comutativo]] el multiplicacion, el maga [[octonion]], na el que ni [[asociatividad (algebra)|asociativo]] ni comutativo el multiplicacion, y el maga [[sedenion]], na el que el multiplicacion hinde [[alternativo algebra|alternativo]], ni asociativo ni comutativo.

=== Maga transfinito numero ===


Para trata con el maga infinito [[conjunto]], generalizao el maga natural numero al maga [[ordinal numero (teoria de maga conjunto)|ordinal numero]] y el maga [[cardinal numero]]. Ta dale el uno con el ordenamiento de un conjunto, y el otro con el de suyo tamaño. Para el maga finito conjunto, y el maga ordinal y el maga cardinal numero identificao con el maga natural numero. Na el infinito caso, ta corresponde mucho ordinal numero con el mismo cardinal numero.

=== Maga hinde estandar numero ===
Utilizao el maga [[hiperreal numero]] na el [[hinde estander analisis]]. Ta denota el maga hiperreal, o maga hinde estandar real (usualmente denotao como ***R**) con un [[ordenao cuerpo]] que es un apropiao [[extension de cuerpo]] del ordenao cuerpo del maga [[real numero]] **R** y que ta satisface con el [[principio de transferencia]]. Ta permiti este principio con un reinterpretacion de maga verdadero [[logica de primer orden|declaracion de primer orden]] sobre **R** como maga verdadero declaracion de primer orden sobre ***R'''.

Ta extende el maga superreal y maga surreal numero con el maga real numero por al adicion de infinitesimalmente diutay maga numero e infinitamente gran maga numero, pero ta forma pa con maga cuerpo.

## Mira tambien

* Complejo numero
* Concreto numero
* Escalar – Maga elemento de un cuerpo, e.g. maga real numero, na el contexto del lineal algebra
* Fisico constante – Universal e inmutable fisico magnitud
* Fisico magnitud
* Lista de maga numero
* Lista de maga tipo de maga numero
* Matematico constante – Fijao numero que ta tene con un nombre
* Numerico cognicion
* Orden de magnitud
* Pi – Numero, aproximadamente 3.14
* Posicional notacion — Metodo para representa o codifica con el maga numero
* Primo numero – Numero divisible solo por 1 o si mismo
* Subitizacion

## Nota

## Maga referencia