Oduzimanje

**Oduzimanje** je jedna od četiri osnovne aritmetičke operacije. Suprotna je operacija sabiranja što znači ako broju  x  dodamo  y  i od dobijenog broja oduzmemo  y  ponovno ćemo dobiti  x . Oduzimanje se označava znakom "-" minus.
Za oduzimanje ne vrijedi komutativnost pa dajemo imena članovima. To su umanjenik, umanjilac i razlika. 
U jednačini   a - b = c , a je umanjenik, b umanjilac, a c razlika.

File:Subtraction01.svg|5-3=2
File:Vertical subtraction example.svg|

## Oduzimanje: cijeli brojevi
desno
Zamislimo duž dužine *b* gdje je lijevi kraj označen sa slovom *a*, a desni kraj slovom *c*. Počevši od *a*, potrebno je *b* koraka udesno da dođemo do *c*. Ovakvo kretanje  matematički se opisuje kao sabiranje.
:  a + b = c 
Od *c* je potrebno *b* koraka ulijevo da se vratimo do *a*. Ovakvo kretanje  matematički se opisuje kao oduzimanje.
: c-a=b 

desno
Zamislimo dužinu označenu sa brojevima 1,2 i 3. Od položaja 3, nisu potrebni koraci ulijevo da se ostane na 3, dakle : 3-0=3 

Potrebna su dva koraka ulijevo da se dođe do položaja 1, dakle : 3 - 2 = 1. Slika je neodgovarajuća da se prikaže što bi se dogodilo nakon 3 koraka ulijevo. Da bi se to prikazalo potrebno je produžiti duž.

:Za oduzimanje prirodnih brojeva potrebno je početi sa polupravom koja sadrži sve prirodne brojeve:
(0,1,2,3,4,5, ...) 
Od 3, potrebno je napraviti 3 koraka ulijevo da se dođe na 0, dakle 
: 3-0=3 . 
: 3-4  nije moguće prikazati jer prelazi početak  poluprave.

Rješenje je prava sa cijelim brojevima: (..., -3, -2, -1,0,1, 2, 3, ...) .
Od 3, potrebno je 4 koraka ulijevo da se dođe do -1
: 3 - 4 = -1

## Oduzimanje kao sabiranje
Postoje slučajevi gdje oduzimanje kao posebna računska operacija postaje problematična. 
Primjer
: 5-(-3) oduzimanje -3 od 5) nije odmah očito na brojnoj pravoj jer nam nije odmah jasno šta znači pomaknuti se   -2-koraka ulijevo. Jedno rješenje je prikazati oduzimanje kao sabiranje. Dodatni znak minusa označava inverziju sabiranja. 
Tada imamo 
: 5-(-3)=5+3=8
## Komutativnost  i asocijativnost
Ne važi komutativnost

a-b=a+(-b)=(-b)+a=-(b-a)

Ne važi asocijativnost

(a - b)- c \ne a- (b - c)
## Načini oduzimanja sa potpisivanjem
### Austrijska metoda

File:Vertical Subtraction Method B Step 1.JPG|1+...=3
File:Vertical Subtraction Method B Step 2.JPG|3-1=2
File:Vertical Subtraction Method B Step 3.JPG|9+...=5
File:Vertical Subtraction Method B Step 4.JPG

File:Vertical Subtraction Method B Step 5.JPG|9+...=15
File:Vertical Subtraction Method B Step 6.JPG|(4+1)+...=7
File:Vertical Subtraction Method B Step 7.JPG
File:Vertical Subtraction Method B Step 8.JPG

### Oduzimanje s lijeva na desno

File:LeftToRight Subtraction Step 1.JPG|7-4=3
File:LeftToRight Subtraction Step 2.JPG|
File:LeftToRight Subtraction Step 3.JPG|15-9=6
File:Vertical Subtraction Method B Step 8.JPG
File:LeftToRight Subtraction Step 5.JPG|(3-1=2

### Američka metoda

File:Vertical Subtraction Method A Step 1.JPG|3-1=...
File:Vertical Subtraction Method A Step 2.JPG
File:Vertical Subtraction Method A Step 3.JPG|5-9=...
File:Vertical Subtraction Method A Step 4.JPG
File:Vertical Subtraction Method A Step 5.JPG|15-9=...

File:Vertical Subtraction Method A Step 6.JPG|6-4
File:Vertical Subtraction Method A Step 7.JPG
File:Vertical Subtraction Method A Step 8.JPG

Još jedan način ovog oduzimanja

File:Trade First Subtraction Step 1.JPG|1-3
File:Trade First Subtraction Step 2.JPG|4-9
File:Trade First Subtraction Step 3.JPG|11-3=8
File:Trade First Subtraction Step 4.JPG|14-9=5
Trade First Subtraction Step 5.JPG|6-7=2

### Djelimična razlika

File:Partial-Differences Subtraction Step 1.JPG|700-400=300
File:Partial-Differences Subtraction Step 2.JPG|90-50=40
File:Partial-Differences Subtraction Step 3.JPG|3-1=2
File:Partial-Differences Subtraction Step 4.JPG|300-40+2

## Oduzimanje bez potpisivanja
### Brojanje do
 1234 - 567=

567 + 3 = 570

570 + 30 = 600

600 + 400 = 1000

1000 + 234 = 1234 

3 + 30 + 400 + 234 = 667
### Razbijanjem umanjioca
1234 - 500 = 734

734 -60 = 674

674 -7 = 667 

### Jednaka promjena
Dodavanjem ili oduzimanjem istog broja umanjeniku i umanjiocu rezultat se ne mijenje.

1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667

## Izvori
*Browell, W. A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press. 
*Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, *The Mathematics Educator*, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) https://web.archive.org/web/20170811133911/http://math.coe.uga.edu/tme/issues/v10n2/5ross.pdf


Kategorija:Elementarna aritmetika