Topologija

[mini|240x240px|[Möbiusova traka, koja ima jednu površinu i jednu ivicu, vrsta je objekta koji se proučava u topologiji.]]
**Topologija** (od grč. τόπος = "mjesto" i λόγος = "nauka"), tj. nauka o topološkim mjestima, područje je matematike koje se bavi svojstvima prostora koja su sačuvana pod neprekidnim deformacijama, kao što su zatezanje i savijanje, ali ne cijepanje ili lijepljenje. Važna topološka svojstva uključuju povezanost i kompaktnost.

Topologija se razvila kao polje nauke iz geometrije i teorije skupova, kroz analizu koncepata kao što su prostor, dimenzija i transformacija. Takve ideje idu unazad do Gottfrieda Leibniza, koji je u 17. vijeku zamislio *geometria situs* (grčko-latinski za "geometrija mjesta") i *analysis situs* (grčko-latinski za "uzimanje bez mjesta").  Termin *topologija* uveo je Johann Benedict Listing u 19. vijeku iako ideja o topološkom mjestu nije razvijena sve do prvih decenija 20. vijeka. Do sredine 20. vijeka topologija je postala veća grana matematike.

Topologija ima nekoliko polja:
***Opća topologija** uspostavlja temeljne aspekte topologije, istražuje svojstva topoloških prostora i proučava koncepte svojstvene za njih. Ona sadrži topologiju tačka-skup, što je temeljna topologija korištena u svim ostalim granama (uključujući teme poput kompaktnosti i spojivosti).
***Algebarska topologija** pokušava izmjeriti stepene spojivosti korištenjem algebarskih konstruktora, kao što su homologija i homotopska grupa.
***Diferencijalna topologija** bavi se diferencijalnim funkcijama na diferencijalnim višestrukostima. Blisko je povezana sa diferencijalnom geometrijom i zajedno čine geometrijsku teoriju diferencijabilnih višestrukosti.
***Geometrijska topologija** primarno proučava mnogostrukosti i njihova proširenja (plasmane) u ostalim mnogostrukostima. Naročito aktivno područje je **topologija niže dimenzije**, koja proučava višestrukosti od četiri ili manje dimenzija. Ovo uključuje **teoriju čvora**, nauku o matematičkim čvorovima.

[mini|Trodimenzionalni prikaz očvrsnutog [trolisni čvor|trolisnog čvora, najjednostavnijeg netrivijalnog čvora.]]

Također pogledajte: rječnik topologije za definicije nekih od termina korištenih u topologiji i topološki prostor za više tehnički tretman teme.

## Historija 
[mini|lijevo|240px|[Sedam mostova Königsberga bio je problem koji je riješio Euler.]]

Topologija je počela s istraživanjem određenih pitanja u geometriji. Eulerov rad iz 1736. vezan za Sedam mostova Königsberga smatra se jednom od prvih akademskih rasprava u modernoj topologiji.

Termin "Topologie" u njemački jezik uveo je Johann Benedict Listing 1847. u djelu *Vorstudien zur Topologie*. On je koristio ovu riječ 10 godina u prepisci prije no što se prvi put pojavila u štampi. Engleska forma *topology* korištena je 1883. u Listingovoj čitulji u časopisu *Nature* za razlikovanje "kvalitativne geometrije od uobičajene geometrije u kojoj su tretirane kvantitativne veze". Termin **topolog** u smislu specijalista u topologiji korišten je 1905. u magazinu *Spectator*. Ipak, nijedna od ovih upotreba ne odgovara modernoj definiciji topologije.

Moderna topologija jako zavisi od ideja teorija skupova, koje je razvio Georg Cantor u kasnijem dijelu 19. vijeka. Osim uspostavljanja osnovnih ideja teorije skupova, Cantor je smatrao skup tačaka u Euklidskom prostoru dijelom njegovih studija Fourierovih redova.

Henri Poincaré objavio je *Analysis Situs* 1895, uvodeći koncepte homotopije i homologije, koje se sada smatraju dijelom algebarske topologije.

Objedinjujući rad Georga Cantora, Vita Volterre, Cesarea Arzele, Jacquesa Hadamarda, Giulija Ascolija i ostalih na funkciji prostora, Maurice Fréchet predstavio je metrički prostor 1906. Metrički prostor danas se smatra specijalnim slučajem generalnog topološkog prostora. Godine 1914. Felix Hausdorff osmislio je termin "topološki prostor" i dao definiciju za ono što se sada naziva Hausdorffov prostor. Trenutno, topološki prostor je blaga generalizacija Hausdorffovih prostora, koju je 1922. dao Kazimierz Kuratowski.

Za daljnji razvoj pogledati: topologija skupa tačaka i algebarska topologija.

## Reference 
## Literatura 
* Ryszard Engelking, *General Topology*, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, decembar 1989; .
* Bourbaki; *Elements of Mathematics: General Topology*, Addison–Wesley (1966).
* 
* 
*  (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
* Wacław Sierpiński, *General Topology*, Dover Publications, 2000; 
*  (pruža popularni uvod u topologiju i geometriju)
* 

## Vanjski linkovi 
* 
* Elementary Topology: A First Course – Viro, Ivanov, Njecvjetajev, Harlamov.
* , DMOZ
* The Topological Zoo  na *The Geometry Centeru*
* Atlas topologije 
* Topology Course Lecture Notes , Aisling McCluskey i Brian McMaster, Topology Atlas.
* Rječnik topologije 
* Moscow 1935: Topology moving towards America , historijski esej Hasslera Whitneya

Kategorija:Matematičke strukture