Limes (matematika)

U matematici, **granična vrijednost** ili **limes** se koristi za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.

## Granična vrijednost funkcije 
Pretpostavimo da je ƒ(*x*) funkcija realne vrijednosti i da je *c* realan broj. Izraz:

: \lim_{x \to c}f(x) = L 

znači da se ƒ(*x*) proizvoljno može približiti broju *L* ako je *x* dovoljno blizu broja *c*.  U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od *x*, kada *x* teži u *c*, broj *L*".

### Formalna definicija 
mini|desno|Kad god je *x* unutar &delta; jedinica od *p*, *f*(*x*) je unutar &epsilon; jedinica od *L*
Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:

Neka *f* bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući *c* (osim u *c*) i neka *L* bude realan broj.

: \lim_{x \to c}f(x) = L 

znači da

:za svaki realan broj &epsilon; > 0 postoji realan broj &delta; > 0 takav da za svako *x* sa 0&nbsp; \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 \ \ \forall x (|x - c| 

## Granična vrijednost niza 
Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.

formalno, pretpostavimo da je *x*1, *x*2, ... niz realnih brojeva.
Kažemo da je realan broj *L* *granična vrijednost* ovog niza i to pišemo kao

: \lim_{n \to \infty} x_n = L 

što riječima znači

:Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj *n*0 takav da za svako *n* > *n*0, vrijedi |*x**n*&nbsp;&minus;&nbsp;*L*| \lim_{n \to c} S \sdot f(n) = S \sdot \lim_{n \to c} f(n), gdje je S skalarni množilac.
*\lim_{n \to c} b^{f(n)} =\displaystyle b^{\lim_{n \to c} f(n)}, gdje je *b* konstanta.

Sljedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.

*\lim_{n \to c} ( f(n) + g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) + \lim_{n \to c} g(n)
*\lim_{n \to c} ( f(n) - g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) - \lim_{n \to c} g(n)
*\lim_{n \to c} ( f(n) \sdot g(n) ) = \lim_{n \to c} f(n) \sdot \lim_{n \to c} g(n)
*\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{\lim_{n \to c} f(n)}{\lim_{n \to c} g(n)}, ako limes u nazivniku nije jednak nuli

Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.

Na primjer, \lim_{n \to \infty} (3n+2) + (2-3n) = 4 , ali \lim_{n \to \infty} (3n+2) + \lim_{n \to \infty}(2-3n)  je nedefinisan.

### Veoma važne granične vrijednosti
* \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
* \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0
* \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e.

### L'Hôpitalovo pravilo 
Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)

*\lim_{n \to c} \frac{f(n)}{g(n)} = \lim_{n \to c} \frac{f'(n)}{g'(n)}

Na primjer:

\lim_{n \to 0} \frac{\sin (2n)}{\sin (3n)} =
\lim_{n \to 0} \frac{2 \cos (2n)}{3 \cos (3n)} =
\frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} =
\frac{2}{3}.

### Sume i integrali 
Kraći način zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to \infty} \sum_{i=s}^{n} f(i) 
je \sum_{i=s}^{\infty} f(i).

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{n} f(x) \; dx 
je \int_{a}^{\infty} f(x) \; dx.

Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti \lim_{n \to -\infty} \int_{n}^{b} f(x) \; dx 
je \int_{-\infty}^{b} f(x) \; dx.

## Također pogledajte 
* Jednostrana granična vrijednost
* Teorem stiska

Kategorija:Topologija
Kategorija:Realna analiza
Kategorija:Granične vrijednosti