Dirichletov red

U matematici, **Dirichletov red** je svaki red oblika

:\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},

gdje su *s* i *a**n*, (*n* = 1, 2, 3, ...) kompleksni brojevi.

Dirichletov red igra mnogo važnih uloga u analitIčkoj teoriji brojeva. Najčešća definicija Riemannove zeta-funkcije je Dirichletov red, kao što su Dirichletove L funkcije. Pretpostavlja se da se Selbergova klasa redovao pokorava generalizovanoj Riemannovoj hipotezi. Red je dobio ime u čast Johann Peter Gustav Lejeune Dirichleta.

## Primjeri 
Najpoznatiji Dirichletov red je

:\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},

što predstavlja Riemannovu zeta-funkciju. Drugi je:

:\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

gdje je μ(*n*) Möbiusova funkcija. Ovaj i mnogi drugi redovi mogu se dobiti primjenom Möbiusove formule inverzije i Dirichletove konvolucije na poznate redove. Na primjer, za dati Dirichletov karakter \scriptstyle\chi(n) dobija se

:\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}

gdje je L(\chi,s) Dirichletova L funkcija.

Drugi identiteti su

:\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{\varphi(n)}{n^s}

gdje je φ(*n*) Eulerova fi funkcija, i

:\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}

:\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}

gdje je σ*a*(*n*) sigma funkcija. Drugi identiteti sa funkcijom *d*=σ0 su

: \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s}

: \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}.

Logaritam zeta-funkcije dat je sa

:\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

za Re(*s*)&nbsp;>&nbsp;1. Ovdje je \scriptstyle \Lambda(n) von Mangoldtova funkcija. Logaritamska derivacija je tada

:\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.

Zadnje dvije formule su specijalni slučajevi općenitijeg odnosa derivacija Dirichletovog reda, datog ispod.

Za datu Liouvilleovu funkciju \scriptstyle\lambda(n), imamo

:\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.

Još jedan primjer uključuje Ramanujanovu sumu:

:\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.

## Analitičke osobine Dirichletovog reda: apscisa konvergencije 
Za dati niz {*a**n*}*n* ∈ **N** kompleksnih brojeva pokušavamo odrediti vrijednost

: f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s} 

kao funkcije kompleksne promjenljive *s*. Kako bi ovo imalo smisla, moramo odrediti osobine konvergencije za gornji bekonačani red:

Ako je {*a**n*}*n* ∈ **N** ograničen niz kompleksnih brojeva, tada odgovarajući Dirichletov red *f* konvergira apsolutno na otvorenoj poluravni *s* tako da je Re(*s*) > 1. Općenitije, ako je *a**n* = O(*n**k*), red konvergira apsolutno na poluravni Re(*s*)&nbsp;>&nbsp;*k*&nbsp;+&nbsp;1.

Ako je skup suma *a**n* + *a**n* + 1 + ... + *a**n* + *k* ograničen sa *n* i *k* ≥ 0, tada gornji beskonačni red konvergira na otvorenoj poluravni *s* tako da vrijedi Re(*s*) > 0.

U oba slučaja *f* je analitička funkcja odgovarajuće otvorene poluravni.

Općenito, **apscisa konvergencije** Dirichletovg reda je prekid realne ose vertikalne linije u kompleksnoj ravni, takav da postoji konvergencija sa lijeve, a divergencija sa desne strane. Ovo je analogno za Dirichletov red radijusa konvergencije za potencijalne redove. Slučaj kod Dirichletovog reda je komplikovan, jer se apsolutna konvergencija i uniformna konvergencija mogu javiti u različitim poluravnima.

## Derivacije 
Za dato

:F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

za potpuno multiplikativnu funkciju ƒ(*n*), te pretpostavljajući da red konvergira za Re(*s*)&nbsp;>&nbsp;σ0, dobijamo da

:\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}

konvergira za Re(*s*)&nbsp;>&nbsp;σ0. Ovdje, \scriptstyle\Lambda(n) je von Mangoldtova funkcija.

## Proizvodi 
Pretpostavimo

:  F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s} 

i

:  G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s}. 

Ako su oba *F*(*s*) i *G*(*s*) apsolutno konvergentni za *s* > *a* i *s* > *b* tada imamo

:  \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ kako }T \sim \infty. 

Ako je *a* = *b* i ƒ(*n*) = *g*(*n*) imamo

:  \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} \text{ kako } T \sim \infty. 

## Transformacije integrala 
Mellinova transformacija Dirichletovog reda data je Perronovom formulom.

## Također pogledajte 
* Regularizacija zeta-funkcije

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* https://www.wolframalpha.com/input?i=dirichlet+series
* G. H. Hardy, and Marcel Riesz, ''The general theory of Dirichlet's series'', Cambridge Tracts in Mathematics, No. **18** (Cambridge University Press, 1915).
* The general theory of Dirichlet's series  by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections

Kategorija:Zeta i L-funkcije
Kategorija:Matematički redovi