Pascalov trougao

ov (Pascalov) trougao kao što je prikazano na drevnim kineskim računalima  pomoću štapova za brojanje.]]

**Pascalov trougao**  je termin prema autoru djela  *Traité du triangle arithmétique* (*Rasprava o aritmetičkom trouglu*) koje je objavljena posthumno u 1665. U njemu je Pascal prikupio nekoliko ondašnjih  znalaca  o trokutu i zaposlio ih na rješavanju problema u teoriji vjerovatnoće. Trougao je po Pascalu kasnije nazvao  Pierre Raymond de Montmort (1708.), koji je pod nazivom "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (francuski: Tabela gospodina Pascal za kombinacije) i Abraham de Moivre (1730.), koji je pod nazivom "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM", koji je postao moderni oblik  zapadnjačkog  imena.

U matematici,  Pascalov trougao je tako uobličeni niz binomnih koeficijenta, tj. trougao od niza ekspanzije binoma (1 + 1)n. U zapadnom svijetu ga je imenovao francuski matematičar Blaise Pascal, iako su ga drugi matematičari studirli stoljećima prije njega u Indiji. Iranu, Kini, Njemačkoj i Italiji.

Redovi Pascalovog  trougla su konvencionalno poredani počevši od reda *n*&nbsp;=&nbsp;0 na vrhu. Svi unosi u svakom redu su numerirani na lijevoj strani, uz  početak sa  *k*&nbsp;=&nbsp;0 i obično približeni brojevima u odgovarajućem redu. Jednostavna konstrukcija trougla ide slijedećim tokom. Na redu 0, upiše se samo broj &nbsp;1. Za konstrukciji elemenata slijedećih redova slijedi model: svaki red počinje brojem 1, koji se upisuje jedno mjesto ispred 1 prethodnog reda, a naredni broj se dobija zbrajanjem dva susjedna iz prethodnog. Na primjer, prvi broj u prvom redu je 1 (zbir 0 i 1), dok su brojevi 1 i 3 u trećem redu dodaju da proizvedu broj 4 u četvrtom redu.
:(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k},
onda
: {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}
za bilo koju ne-negativni cijeli broj * n * i bilo cijeli * K * između 0  i * n *. Pascalov  trougao ima višedimenziske  generalizacije. Trodimenzijska verzija se zove *Pascalova piramida* ili *Pascalov tetraedar*,  dok je opšta verzije nazivaju *Pascalove jednadžbe*.

## Potencije broja 2
Zbir brojeva u pojedinom redu Pascalovog trougla daje potenciju broja 2.  Tako je
# red jednak 1= 2^0
# red jednak 1+1=2^1
# red jednak 1+2+1=2^2
# red jednak 1+3+3+1=2^3
# red jednak 1+4+6+4+1=2^4
# red jednak 1+5+10+10+5+1=2^5
: {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n. 

## Potencije broja 11
Posmatramo li brojeve jednog reda kao cifre jednog broja, dolazi se do zanimljivog otkrić da se radi o potencijama broja
11.  Tako je

* 1= 11^0
*11=11^1
*121= 11^2
* 1331= 11^3
* 14641= 11^4

Od šestog reda pa nadalje  dvocifrene brojeve čitamo  na drugi način. Kako imamo brojeve  1, 5,10, 10,5, 1 čita,o ih na sčkedeći način
1(5+1)(0+1)(0+5)051 tj. 161051=11^5
## Figurativni brojevi
Stari su Grci posebnu pažnju posvečivali su figurativnim brojevima.  To su brojevi koji se mogu pravilno rasporediti po stranicama i unutrašnjosti pravilnih poligona.  Tako imamo trouglaste, četverouglaste, petougaone i šestougaone brojeve

Niz trougaonih brojeva nalazimo u Pascalovom trouglu  do niza prirodnih brojeva. Formula opšteg člana niza je
T(n)= 	\frac{1}{2}n(n+1)

Tetraedarni brojevi 1, 4, 10, 20, 35, 56,84, predstavljaju  niz  parcijalnih zbirova  trouglastih  brojeva.   U trouglu  ih nalazimo  na  mjestu  četvrte  dijagonale Formula opšteg člana niza je
T(n)= 	\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)

Geometrijski  se  ti  brojevi  mogu  prikazati kao  pravilno  raspoređene  tačke  po  bridovima, stranama i u unutrašnjosti tetraedra

Formula za rješenje problema \frac{ \tbinom{2n}{n}}{n+1}

## Binomni koeficijenti
thumb|right

Pascalov  trougao se veže uz binomni teorem. 
Koeficienti pojedinih redova Pascalovog trougla predstavljau binomne koeficiente. označavaju se sa \tbinom{n}{k}, gdje je n broj reda , k broj koeficienta u redu.

Za  binomne koeficijente vrijedi  simetričnost tj\tbinom{n}{k} = \tbinom{n}{n-k}, pa su i redovi u  Pascalovom trouglu simetrični.

(x+1)^n=\sum_{i=0}^n a_i x^i.

: (x+1)^{n+1} = (x+1)(x+1)^n = x(x+1)^n + (x+1)^n = \sum_{i=0}^n a_i x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i.

:
\begin{align}
& \sum_{i=0}^{n  } a_{i  } x^{i+1} + \sum_{i=0}^n a_i x^i \\
& {} = \sum_{i=1}^{n+1} a_{i-1} x^{i  } + \sum_{i=0}^n a_i x^i \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } a_{i-1} x^{i  } + \sum_{i=1}^n a_i x^i + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } (a_{i-1} + a_i)x^{i  } + a_0x^0 + a_{n}x^{n+1} \\
& {} = \sum_{i=1}^{n  } (a_{i-1} + a_i)x^{i  } + x^0 + x^{n+1}
\end{align}

## Reference 
## Izvor
Pascalov ili kineski trougao 

## Također pogledajte 
* Aritmetika
* Binom

Kategorija:Blaise Pascal
Kategorija:Teme o faktorijelima i binomima
Kategorija:Numerički trouglovi