Leibnizova formula za determinante

U algebri, **Leibnizova formula** izražava determinantu kvadratne matrice A = (a_{ij})_{i,j = 1, \dots, n} preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:

:\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{i,\sigma(i)}

za matricu dimenzije *n*×*n*, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi *S**n*, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.

Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:

:\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{A}_{1i_1}\cdots {A}_{ni_n},

što je poznatije fizičarima.

## Formalni iskaz i dokaz 
**Teorem**

Postoji tačno jedna funkcija

: F : \mathfrak M_n (\mathbb K) \longrightarrow \mathbb K 

koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je F(I) = 1.

**Dokaz**

**Jedinstvenost:** Neka F bude funkcija, i neka A = (a_i^j)_{i = 1, \dots, n}^{j = 1, \dots , n} bude matrica dimenzije n \times n. Reći ćemo da je A^j j-ta kolona matrice A, to jest A^j = (a_i^j)_{i = 1, \dots , n}, takvo da je A = \left(A^1, \dots, A^n\right).

Također, neka E^k označava k-tu vektor kolonu matrice identiteta.

Tada se piše svaki A^j član kao E^k, to jest

:A^j = \sum_{k = 1}^n a_k^j E^k.

Pošto je F multilinearno, imamo da je

:
\begin{align}
F(A)& = F\left(\sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 E^{k_1}, A^2, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 F\left(E^{k_1}, A^2, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1 = 1}^n a_{k_1}^1 \sum_{k_2 = 1}^n a_{k_2}^2 F\left(E^{k_1}, E^{k_2}, A^3, \dots, A^n\right)\\
& = \sum_{k_1, k_2 = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^2 a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, E^{k_2}, A^3, \dots, A^n\right)\\
& = \cdots\\
& = \sum_{k_1, \dots, k_n = 1}^n \left(\prod_{i = 1}^n a_{k_i}^i\right) F\left(E^{k_1}, \dots, E^{k_n}\right).
\end{align}

Iz alternacije, slijedi da ako je k_1 = k_2, tada imamo

:
\begin{align}\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= -F\left(\dots,E^{k_2},\dots,E^{k_1},\dots\right)\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= -F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)\\
 F\left(\dots,E^{k_1},\dots,E^{k_2},\dots\right)  &= 0
\end{align}

Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih n-tostrukosti \left(k_1, \dots , k_n\right), i pošto k_{i_1} = k_{i_2} implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao

:\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(E^{\sigma(1)}, \dots , E^{\sigma(n)}).

Pošto je F alternativno, kolone E se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija \sgn(\sigma) definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:

:
\begin{align}
F(A)& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right) F(I)\\
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i
\end{align}

gdje F(I) treba da bude jednako 1.

Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa F\left(I\right)=1.

**Postojanje:** Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.

Multilinearnost:

:
\begin{align}
F(A^0, \dots, c*A^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) * c * a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
& = c*\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) * a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
&=c*F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\
\\
F(A^0, \dots, b+A^j, \dots) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) * \left(b_j + a_{\sigma(j)}^j\right)\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\\
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) *
 \left(\left(b_j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) + \left(a_{\sigma(j)}^j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\right)\\
& = \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) * b_j\prod_{i = 1, i \neq j}^n a_{\sigma(i)}^i\right) 
  + \left(\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) * \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i)}^i\right)\\
&= F(A^0, \dots, b, \dots) + F(A^0, \dots, A^j, \dots)\\
\\
\end{align}

Alternativnost:

:
\begin{align}
F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots)
& = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\sigma(i)}^i\right)*a_{\sigma(j_1)}^{j_1}*a_{\sigma(j_2)}^{j_2}\\
\end{align}

Sad neka \omega bude mnogostrukost jednaka \sigma sa zamijenjenim indeksima j_1 i j_2. Slijedi iz definicije \sgn funkcije da je \sgn(\sigma) = -sgn(\omega).
:
\begin{align}\\
F(\dots, A^{j_1}, \dots, A^{j_2}, \dots)
& = \sum_{\omega \in \mathfrak S_n} -\sgn(\omega) \left(\prod_{i = 1, i \neq j_1, i\neq j_2}^n a_{\omega(i)}^i\right)*a_{\omega(j_1)}^{j_1}*a_{\omega(j_2)}^{j_2}\\
& = -F(\dots, A^{j_2}, \dots, A^{j_1}, \dots)\\
\\
\end{align}

Konačno, F(I)=1:

:
\begin{align}\\
F(I) & = \sum_{\sigma \in \mathfrak S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n I_{\sigma(i)}^i\\
& = \sum_{\sigma = (1,2,\dots,n)} \prod_{i = 1}^n I_{i}^i\\
& = 1
\end{align}

Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s F(I)=1, su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija

: \det : \mathfrak M_n (\mathbb K) \longrightarrow \mathbb K 

sa ove tri osobine.

## Također pogledajte 
* Matrica (matematika)
* Kramerovo pravilo

## Reference 
* Lloyd N. Trefethen and David Bau, *Numerical Linear Algebra* (SIAM, 1997).

Kategorija:Determinante
Kategorija:Linearna algebra
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz