Tetraedar

okvir|Tetraedar
**Tetraedar** je poliedarsko geometrijsko tijelo omeđeno sa  četiri trougla. Ima šest uzastopnih rubova i četiri tjemena ugla. Tetraedar je najjednostavniji od svih običnih konveksnih poliedara i jedini koji ima manje od 5 graničnih površina (lica).

Tetraedar je trodimenzijski slučaj općeg koncepta euklidskog simpleksa.
To je jedan od oblika piramida, koji je poliedar s ravnom poligonskom bazom i trokutastim licem koje povezuje bazu za zajedničkom tjemenom tačkom. U slučaju kada je tetraedarska baza trougao (bilo koje od četiri lica može se smatrati bazom), takav tetraedar je također poznat kao "trouglasta piramida*

Kao i svi konveksni poliedri, tetraedar može biti sastavljen iz jednog lista papira. On ima takvu mrežu.

Bilo koji tetraedar ima sferu (zvanu cirkumsfera) na kojoj leže sva četiri trokugla i drugu sferu (insfera), koja je tangenta površina tetraedra.

## Pravilni tetraedar 
**Pravilni tetraedar** je onaj u kojem su sva četiri lica istostrani trouglovi. To je jedan od pet pravilnih platonskih čvrstih tvari, koje su poznate od davnina.

Kod pravilnog tetraedra, ne samo da su sve njegove strane iste veličine i oblika (podudarne), nego su takvi i svi njegovi vrhovi i rubovi.

thumb|300px|Ploha sa pet tetraedra, sa najvišim 3-dimenzijskim tačkama označenim kao 1, 2, 3, 4, i 5. Ove tačke se zatim međusobno vezane, a tanak volumen praznog prostora je lijevo gdje se pet rubnih uglova ne susreću u potpunosti.

Pravilni tetraedra nije samo popunjen prostor, nego, ako je naizmeničan sa pravilnim oktaedrom, oni čine naizmenično kubno saće, koje je prazno.

Tetraedar je samo-dualan, što znači da je njegov dvojnik drugi tetraedar. Spojna slika sastoji se od dva takva dualna tetraedra koji formiraju zvjezdasti oktaedar ili zvjezdasti oktaugao.

## Tetraedarske formule
Slijedeće Dekartove koordinate definiraju četiri tjemena tetraedra dužine ruba 2, centrirana prema porijeklu:

:\left(\pm 1, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \quad \mbox{and} \quad \left(0, \pm 1, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)

Drugi set koordinata zasniva se na naizmeničnom kockom ili **demikubom** dužine ruba 2. Ovaj oblik ima Coxeterov dijagram 4x3 i Schläfli simbol h {4,3}. Tetraedar u ovom slučaju ima dužinu ruba 2. Invertiranje ove koordinate generira dualni tetraedar i taj par zajedno formira zvjezdasti oktaedar, čija tjemena su originalne kocke.
:Tetraedar: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)
:Dualni tetraedar: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)

thumb|right|300px|Pravilni tetraedar ABCD i njegova kružna sfera
Za tetraedra dužine ruba *a*:

U odnosu na baznu ravni nagib lica (2√2) je dva puta veći od ivice (√2), što odgovara činjenici da je *horizontalna* udaljenost od baze do apeksa duž ivice dva puta veća od medijane lica. Drugim riječima, ako je *C* težište baze, udaljenost od *C* do tjemena baze je dvostruko veća od centralne tačke *C* do ruba baze. To proizlazi iz činjenice da se medijane trougla sjeku svojim težištem i tada dijele svaku od njih u dva segmenta, od kojih je jedan duplo veći, dok drugi dijeli svaku medijanu u omjeru 2 : 1.

Za pravilni tetraedar sa stranom dužine *a*, radijusom *R* njegove cirkumsfere i udaljenosti *di'' iz proizvoljne tačke u 3-dimenzijskom prostoru za njegova četiri tjemena, imamo:

:\begin{align}\frac{d_1^4 + d_2^4 + d_3^4 + d_4^4}{4} + \frac{16R^4}{9}&= \left(\frac{d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2}{4} + \frac{2R^2}{3}\right)^2;\\
4\left(a^4 + d_1^4 + d_2^4 + d_3^4 + d_4^4\right) &= \left(a^2 + d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2\right)^2.\end{align}

## Također pogledajte
*Poliedar
*Kocka

## Reference
Kategorija:Deltaedri
Kategorija:Platonova tijela
Kategorija:Individualni grafovi
Kategorija:Autodualni poliedri
Kategorija:Prizmatoidni poliedri
Kategorija:Piramide i bipiramide