Skalarni proizvod

mini|300px|desno
**Skalarni proizvod** dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.
:\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\phi 

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus *0°* jednak *1*. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (*90°*) jednak je *0*, jer je kosinus pravog ugla *0*.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

## Definicija i primjer 
Definicija skalarnog proizvoda vektora **a** = [*a*1, *a*2, … , *a**n*] i vektora **b** = [*b*1, *b*2, … , *b**n*] :

:\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n 
* gdje *Σ* označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru *[1, 3, −5]* i *[4, −2, −1]*:

:\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao
:\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum{\overline{b_i} a_i}  
gdje je
:\overline{b_i}  
konjugovano kompleksan broj od **b_i**; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je
: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \overline{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}} 

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

## Geometrijska interpretacija 
S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \, \Longrightarrow \theta =  \arccos \left( \frac {\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}} \right).

## Dokaz geometrijske intepretacije 
Razmotrimo vektor
: \mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}. \, 
Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu *v*
: v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2. \,
Dobijeno je isto kao i
: \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2, \,
tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor **v** sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

; **Lema 1**: \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v^2. \, 

Sada razmatrajmo dva vektora **a** i **b** koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor **c** može se definisati kao
: \mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{a} - \mathbf{b}. \,
tvoreći trougao sa stranicama *a*, *b* i *c*. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je
: c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos \theta. \,
Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo
:
  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
- 2 ab \cos\theta. \,
 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; *(1)*
Ali pošto je **c** ≡ **a** &minus; **b**, također imamo da je 
:
  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \,,
što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na
:
  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \, 
 &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; *(2)*
Izjednačavanjem dvije **c** • **c** jednačine, *(1)* i *(2)*, dobijamo
:
  \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
- 2 ab \cos\theta. \, 

Oduzimanjem **a** • **a** + **b** • **b** sa obje strane i dijeljenjem sa &minus;2 ostavlja nam
: \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab \cos\theta. \, 
Q.E.D.
## Dokaz kosinusne teoreme
100px|desno
Kako je c= a - b imamo:

\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}=( \mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot ( \mathbf{a} - \mathbf{b} ) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}= \mathbf{a}^2+ \mathbf{b}^2 -2ab=          

 c^2  = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \theta 
## Trostruki proizvod
 \mathbf{a} \times ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} ) = \mathbf{b} ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} ) - \mathbf{c} ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) , 
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici
## Projekcija vektora na vektor
Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora  na vektor tj.

*\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}= \mid \overrightarrow{a}\mid \ cos \omega  = \overrightarrow{a_b}    skalarna projekcija vektora \overrightarrow{a} na vektor \overrightarrow{b}
* \overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0}= \mid \overrightarrow{a}\mid \ cos \omega  = \overrightarrow{b_a}    skalarna projekcija vektora \overrightarrow{b} na vektor \overrightarrow{a}
*(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b_0})*\overrightarrow{b_0}=a_b\overrightarrow{b_0} vektorska projekcija vektora \overrightarrow{a} na vektor \overrightarrow{b}
*(\overrightarrow{a_0}\overrightarrow{b})*\overrightarrow{a_0}=b_a\overrightarrow{a_0} vektorska projekcija vektora \overrightarrow{b} na vektor \overrightarrow{a}
## Posljedice skalarnog množenja
*\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b} 
*\overrightarrow{a} \overrightarrow{a} = \mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{a}\mid \cos \ 0 =\mid \overrightarrow{a} \mid ^2 =>\mid \overrightarrow{a} \mid \sqrt{\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}}
* \overrightarrow{a} \perp  \overrightarrow{b} =>  \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0
* \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=0 =>\overrightarrow{a} \perp  \overrightarrow{b}  ili je bar jedan od vektora \overrightarrow{0} 
*cos \omega =\frac{\overrightarrow{a} \overrightarrow{b}}{\mid \overrightarrow{a} \mid \mid \overrightarrow{a} \mid} (0)
## Osobine skalarnog proizvoda
*\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}\ge 0 \ \overrightarrow{a}\overrightarrow{a}= 0  \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} 
*\lambda( \overrightarrow{a}\overrightarrow{b})= (\lambda \overrightarrow{a})\overrightarrow{b})=  \overrightarrow{a}(\lambda \overrightarrow{b})
*\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})= \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}
## Izvori
* Dot Product
* Dot Product 
* Einführung in das Skalarprodukt
## Reference
## Također pogledajte 
* Vektorski proizvod
* Vektorski zbir

## Reference
Kategorija:Linearna algebra
Kategorija:Binarne operacije
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz
Kategorija:Vektori