Navier–Stokesove jednačine

**Navier–Stokesove jednačine**, koje su dobile naziv po Claude-Louisu Navieru i Georgeu Gabrielu Stokesu, opisuju kretanje viskoznih nestišljivih fluidnih substanci. Ove jednačine dobijaju se primjenom drugog newtonovog zakona na kretanje fluida, zajedno sa pretpostavkom da je naprezanje fluida suma članova koji opisuju viskoznost (proporcionalni gradijentu brzine), plus član koji označava pritisak.

Navier–Stokesove jednačine predmet su velikog interesovanja matematike. Iako djeluje iznenađujuće, zbog njihove široke praktične upotrebe, matematičari još nisu dokazali da rješenja u tri dimenzije uvijek postoje (postojanje), ili da, ako postoje, da one ne sadrže beskonačnosti, singularnosti ili diskontinuitete (prekide). Ovi problemi nazivaju se problemi postojanja i glatkoće Navier–Stokesovih jednačina. Matematički institut Clay ovaj problem nazvao je jednim od sedam najznačajnijih otvorenih problema u matematici, te je ponudio nagradu od 1.000.000 dolara za rješenje ili kontra-primjer.

## Osobine 
### Nelinearnost 
Navier–Stokesove jednačine su nelinarna parcijalna diferencijalna jednačina u skoro svim realnim situacijama.

### Turbulencija 
Turbulencija je haotično ponašanje zavisno od vrmeena, koje se sreće u mnogim primjerima strujanja fluida.

## Derivacija i opis 
## Nestišljivo strujanje newtonovih fluida 
Većina radova na Navier–Stokesovim jednačinama rađena je po pretpsotavkom nestišljivog strujanja za newtonove fluide. Pretpostavke nestišljivog strujanja često važe čak i kada se radi sa stišljivim fluidom, kao što je zrak na sobnoj temperaturi (čak i kada struji brzinom do oko Mach 0,3). Uzimajući pretpostavku nestišljivog strujanja u obzir, te pretpostaviti da je viskoznost konstantna, Navier–Stokesove jednačine će glasiti (u vektorskom obliku):

:\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}

**f** predstavlja "ostale" masene sile (sile po jedinici volumena), kao što su gravitacija ili centrifugalna sila. Značajno je i posmatrati značenje svakog člana (upotedite sa Cauchyjevom momentnom jednačinom):

:
\overbrace{\rho \Big(
\underbrace{\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Promjenljivo}\\
  \text{ubrzanje}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Konvektivno} \\
  \text{ubrzanje}
\end{smallmatrix}}\Big)}^{\text{Inercija (po volumenu)}} =
\overbrace{\underbrace{-\nabla p}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Gradijent} \\
  \text{pritiska}
\end{smallmatrix}} + 
\underbrace{\mu \nabla^2 \mathbf{v}}_{\text{Viskoznost}}}^{\text{Divergencija napona}} + 
\underbrace{\mathbf{f}}_{
\begin{smallmatrix}
  \text{Ostale} \\
  \text{masene} \\
  \text{sile}
\end{smallmatrix}}

### Pravougle koordinate 
Eksplicitno zapisujemo vektorsku jednačinu,

: \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}+ w \frac{\partial u}{\partial z}\right) =  -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + \rho g_x

: \rho \left(\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}+ w \frac{\partial v}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right) + \rho g_y

: \rho \left(\frac{\partial w}{\partial t} + u \frac{\partial w}{\partial x} + v \frac{\partial w}{\partial y}+ w \frac{\partial w}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu \left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right) + \rho g_z

Uočite da je gravitacija uvrštena kao masena sila, te da će vrijednosti g_x, g_y, g_z zavisiti od orijentacije gravitacija u odnosu na odabrane koordinate.

Jednačina kontinuiteta glasi:

:{\partial u \over \partial x} + {\partial v \over \partial y} + {\partial w \over \partial z} = 0

Uočite da su komponente brzine (zavisne varijable za koje će problem biti riješen) u, v i w. Ovaj sistem od četiri jednačine predstavlja najčešće korišteni i proučavani oblik. On predstavlja nelinearni sistem parcijalnih diferencijalnih jednačina, čija rješenja je prilično teško pronaći.

### Cilindrične koordinate 
Promjena varijabli u jednačinama u pravouglom koordinatnom sistemu dobit ćemo):

:
\rho \left(\frac{\partial u_r}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_r}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} - \frac{u_{\phi}^2 + u_{\theta}^2}{r}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \rho g_r
::
\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_r}{\partial r}\right) + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_r}{\partial \phi^2} + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_r}{\partial \theta}\right) - 
2 \frac{u_r + \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + u_{\theta} \cot(\theta)}{r^2} + 
\frac{2}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi}
\right]

:
\rho \left(\frac{\partial u_{\theta}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{u_r u_{\theta} - u_{\phi}^2 \cot(\theta)}{r}\right) = -\frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial \theta} + \rho g_{\theta}
::
\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}\right) + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_{\theta}}{\partial \phi^2} + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}\right) + 
\frac{2}{r^2} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} - 
\frac{u_{\theta} + 2 \cos(\theta) \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi}}{r^2 \sin(\theta)^2}
\right]

:
\rho \left(\frac{\partial u_{\phi}}{\partial t} + u_r \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r} + \frac{u_{\phi}}{r \sin(\theta)} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \phi} + \frac{u_{\theta}}{r} \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta} + \frac{u_r u_{\phi} + u_{\phi} u_{\theta} \cot(\theta)}{r}\right) = -\frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial p}{\partial \phi} + \rho g_{\phi}
::
\mu \left[
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u_{\phi}}{\partial r}\right) + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)^2} \frac{\partial^2 u_{\phi}}{\partial \phi^2} + 
\frac{1}{r^2 \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) \frac{\partial u_{\phi}}{\partial \theta}\right) + 
\frac{2 \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + 2 \cos(\theta) \frac{\partial u_{\theta}}{\partial \phi} - u_{\phi}}{r^2 \sin(\theta)^2}
\right]

Jednačina kontinuiteta mase će glasiti:

:
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 u_r\right) + 
\frac{1}{r \sin(\theta)}\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi} + 
\frac{1}{r \sin(\theta)}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin(\theta) u_\theta\right) = 0

Ove jednačine mogle bi biti pojednotavljene sa, na primjer, faktorizovanjem \frac{1}{r^2} iz članova koji opisuju viskoznost. Međutim, ovo se ne radi kako bi se očuvala struktura Laplacijana i ostalih veličina.

### Formulacija funkcije strujanja 
Računajući rotor Navier–Stokesove jednačine rezultira eliminacijom pritiska. Ovo je posebno lagano za uočiti ako se pretpostavi dvodimenzionalno strujanje u pravouglim koordinatama (w = 0, te da da postoji veličina koja zavisi od z). Tada se jednačina svodi na:

: \rho \left(\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y}\right) =  -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) + \rho g_x

: \rho \left(\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y}\right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \mu \left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right) + \rho g_y

Diferenciranjem prve po y, a druge po x, te oduzimanjem, dobijamo jednačine u kojima je eliminisan pritisak i svaka potencijalna sila. Definisanjem funkcije strujanja \psi preko

:u = \frac{\partial \psi}{\partial y} \quad ; \quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}

rezultira time da je uslov kontinuiteta mase bezuslovno zadovoljen (ako je data funkcija strujanja neprekidna), te se tada početna jednačina svodi na jednu, koja glasi:

:\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla^2 \psi\right) + \frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x}\left(\nabla^2 \psi\right) - \frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y}\left(\nabla^2 \psi\right) = \nu \nabla^4 \psi

gdje je \nabla^4 biharmonijski operator i \nu je kinematska viskoznost, \nu=\frac{\mu}{\rho}. Ova jednačina, zajedno sa određenim graničnim uslovima, opisuje dvodimenzionalno strujanje fluida, uzimajući samo kinematsku viskoznost kao parametar. Uočite da se jednačina za Stokesovo strujanje dobija kada se pretpostavit da je desna strana jednačine jednaka nuli.

## Stišljivo strujanje newtonovih fluida 
Postoji neki izuzetni fenomeni koji su usko povezani sa stišljivošću fluida. Jedan od očitih primjera je zvuk. Opisivanje takvom fenomena zahtijeva općenitije predstavljanje Navier–Stokesovih jednačina, koje uzima u obzir stišljivost fluida. Ako se pretpostavi da je viskoznost konstantna, pojavljuje se jedan dodatni član, kao što je ovdje prikazano:

:\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f} +(\mu /3 + \mu^v) \nabla (\nabla \cdot \mathbf{v}) 

gdje je \mu^v drugi koeficijent viskoznosti. Ovaj koeficijent povezan je sa volumskom viskoznosti. Ovaj dodatni član nestaje kada imamo nestišljiv fluid, kada je divergencija strujanja jednaka nuli.

## Također pogledajte 
* Računarska dinamika fluida
* Reynoldsov transportni teorem
* Reynoldsov broj
* Machov broj
* Višefazno strujanje
* Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
* Detalji milenijumskog problema
* Churchill-Bernsteinova jednačina
* Reynoldsove uproštene Navier–Stokesove jednačine
* Coandăov efekt
* Fokker-Planckova jednačina
* Boltzmannova jednačina
* Vlasovova jednačina

## Reference 
* 
* 
* 
* 

## Zabilješke 
## Vanjski linkovi 
* Simplified derivation of the Navier–Stokes equations 
* QEDen Millennium Prize Problems Wiki
* CFD online software list A compilation of codes, including Navier–Stokes solvers.

Kategorija:Koncepti u fizici
Kategorija:Jednačine dinamike fluida
Kategorija:Aerodinamika
Kategorija:Parcijalne diferencijalne jednačine
Kategorija:Jednačine održanja