Nejednakost

::*Ovaj članak govori o nejednakostima u matematici. Za druga značenja, pogledajte članak nejednakost (čvor).*
::*Za članak o nejednakim iskazima, pogledajte članak Nejednačina.*

desno|mini|250px|Grafika rješenja sistema lineranih nejednakosti.

U matematici, **nejednakost** je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, *ili* o tome da li oni isti lil nisu (Također pogledajte: jednakost)

* Oznaka *a*  *b* znači da je *a* **veće od** *b*. 
* Oznaka *a* ≠ *b* znači da je *a* **nije jednako sa** *b,* ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.
U svim ovim slučajevima, *a* nije jednakosa *b,* pa imamo, "nejednakost".

Ove relacije se poznate kao **stroge nejednakosti**

* Oznaka *a* ≤ *b* znači da je *a* **manje ili jednako sa** *b* (ili, ekvivalentno, **ne veće od** *b*);
* Oznaka *a* ≥ *b* znači da je *a* **veće ili jednako sa** *b* (ili, ekvivalentno, **ne manje od** *b*);

Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.

* Oznaka *a*  *b* znači da je *a* **mnogo manje od** *b*.
* Oznaka *a*  *b* znači da je *a* **mnogo veće od** *b*.

Ako je smisao nejednosti isti za sve vrijednosti varijabli za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva "apsolutnom" ili "bezuslovnom" nejednakosšću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrijednosti varijabli, ali je suprotna ili se poništava za druge vrijednosti tih varijabli, tada se to naziva "uslovna nejednakost".

## Osobine 
Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti () zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

### Trihotomija 
Osobina trihotomije kaže da je:
 
* Za sve realne brojeve, *a* i *b*, tačno jedno, od slijedećeg, je tačno:
** *a*  *b*

### Tranzitivnost 
Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

* Za sve realne brojeve, *a*, *b*, *c*:
** Ako je *a* > *b* i *b* > *c*; tada je *a* > *c*
** Ako je *a*  *b* i *b* = *c*; tada je *a* > *c*
** Ako je *a*  *b*, tada je  *a* + *c* > *b* + *c* i *a* − *c* > *b* − *c*

### Množenje i dijeljenje 
Osobine vezane za množenje i dijeljenje kažu da je:

* Za sve realne brojeve, *a*, *b*, *c*:
** Ako je *c* pozitivan i *a*  *bc*

### Inverz sabiranja 
Osobine za inverz sabiranja kažu da je:

* Za sve realne brojeve *a* i *b*
** Ako je *a*  &minus;*b*
** Ako je *a* > *b*, tada je &minus;*a*  1/*b*
** Ako je *a* > *b*, tada je 1/*a* 1, *a*2, …, *a**n*, imamo da je *H* &le; *G* &le; *A* &le; *Q*, gdje je

:

## Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine
Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine

An(a,w)  =   	\frac{w_1a_1 +...+ w_na_n}{w_1 +...+ w_n}

i geometrijske sredine

Gn(a,w)  =  ( a_1w_1 a_2w_2 ...a_nw_n)^{ 1/W_n}

za a = (a_1,...,a_n) i w = (w_1,...,w_n) uređene n-torke pozitivnih brojeva i W_n = w_1+...+w_n.

;Teorem (AG nejednakost)
Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi A_n(a,w) \ge G_n(a,w). Jednakost se postiže ako i samo ako je a_1 = a_2 = ... = a_n.

;Teorem  (AG nejednakost za tri pozitivna broja). 
Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

	\frac{a+b+c}{3}\ge  \sqrt[3]{abc}

## Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine
Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

G_n(a) \ge  H_n(a)
Dokaz

\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}

Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve \frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}...\frac{1}{a_n} dobijamo

\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\frac{1}{a_2}...\frac{1}{a_n}} \le\frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}{n}

\sqrt[n]{(a_1a_2...a_n)^{-1}} \le\frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}{n}

\sqrt[n]{(a_1a_2...a_n)^{-1}} \le (\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}})^{-1}

(a_1a_2...a_n)^{1/n}\ge \frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}

Jednakost vrijedi ako i samo ako je \frac{1}{a_1}=...=\frac{1}{a_n}

## Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredine
Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva.  Tada je

A_n(a)\le K_n(a)

Dokaz

(a_1+a_2+...+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+..+a_n^2+2a-1a-2+2a_2a_3+...+a_{n-1}a_n

znamo

a_1^2+a_2^2\ge 2a_1a_2  za \forall a_1,a_2 \in R

(a_1+a_2+...+a_n)^2 \le (a_1^2+a_2^2+..+a_n^2)+ (a_1^2+a_2^2)+..+(a_{n-1}^2+a_n^2)\le n(a_1^2+a_2^2+..+a_n^2)

Izrazi na obe strane  su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do

a_1+a_2+...+a_n   \le        \sqrt{n(a_1^2+a_2^2+..+a_n^2)}

\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \le  \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+..+a_n^2)}{n}}

Jednakost  vrijedi ako i samo ako je a_1=a_2=...=a_n

## Nejednakosti stepena 
Ponekad sa oznakom "**stepena nejednakost**" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa *a**b*, gdje su *a* i *b* realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.

### Primjeri 
* Ako je *x* > 0, tada je
:: x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}.\,
* Ako je *x* > 0, tada je
:: x^{x^x} \ge x.\,
* Ako je *x*, *y*, *z* > 0, tada je
:: (x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2.\,
* Za bilo koja dva različita broj *a* i *b*,
:: \frac{e^b-e^a}{b-a} > e^{(a+b)/2}.
* Ako je *x*, *y* > 0 i 0 (x+y)^p 
* Ako je *x*, *y*, *z* > 0, tada je
:: x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}.\,
* Ako je *a*, *b* > 0, tada je
:: a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.\,
* Ako je *a*, *b* > 0, tada je
:: a^b + b^a > 1.\,
: Ovaj rezultat uopćio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je *a*1,&nbsp;...,&nbsp;*a**n*, tada je
:: a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1
: (rezultat je objevljen u latvijskom naučnom časopisu *Zvjezdano nebo*; pogledajte reference).

## Dobro poznate nejednakosti 
Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

* Azumaova nejednakost
* Bernoulliova nejednakost
* Booleova nejednakost
* Cauchy–Schwarzova nejednakost
* Chebysheva nejednakost
* Chernoffova nejednakost
* Cramér-Raova nejednakost
* Hoeffdingova nejednakost
* Hölderova nejednakost
* Nejednakost aritmetičkih i geometrijskih sredina
* Jensenova nejednakost
* Kolgomorova nejednakost
* Markova nejednakost
* Minkowskijeva nejednakost
* Nesbittova nejednakost
* Pedoeova nejednakost
* Nejednakost trougla

## Također pogledajte 
*Binarna relacija
*Zagrada za upotrebu znakova  kao zagrada
*Fourier-Motzkinova eliminacija
*Nejednačina
*Interval (matematika)
*Djelimično uređen skup
*Operator relacije, koristi se u programskim jezicima kako bi se označila nejednakost

## Reference 
*
*
*
*
*
*
*
*

## Vanjski linkovi 
* interaktivne linearne nejednakosti i grfikoni na www.mathwarehouse.com
* Solving Nejednakosti
* WebGraphing.com &ndash; kalkulator za crtanje grafika nejednakosti.
* Grafik nejednakosti od Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project.
*http://e.math.hr/agnejednakost/index.html
*NEJEDNAKOSTI IZMEĐU OSNOVNIH SREDINA


Kategorija:Elementarna algebra