Schrödingerova jednačina

**Schrödingerova jednadžba** predstavlja jedan od temelja kvantne mehanike. Ova jednačina prikazuje prostorno i vremensko ponašanje čestice u okviru kvantne mehanike. U svojoj prvobitnoj formulaciji, bez bra-ket notacije koju je uveo P. A. M. Dirac, jednačina glasi:

: - \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} \psi (r,t) = 
-\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi (r,t)  + V(r,t) \psi (r) 

gdje je:
: \hbar  reducirana Planckova konstanta
: \ i\  imaginarna jedinica, i = \sqrt-1
: \frac{\partial}{\partial t}  parcijalna derivacija po vremenu
: \psi \ (r,t)\  valna funkcija
: \nabla^2  nabla operator
: \ V(r,t)\  potencijalna energija

Ova jednačina na određeni je način postulirana (1925. godine), slično kao i Newtonovi zakoni kretanja. Schrödingerova jednačina u okviru kvantne mehanike ima ulogu koju u klasičnoj mehanici ima drugi Newtonov zakon kretanja. Iako se do ove jednačine ne može doći egzaktnim matematičkim izvodom, ona je plauzibilna sa drugim poznatim fizikalnim činjenicama i očekivanim rezultatima:

- U slučaju slobodne čestice (potencijalna energija je nula), dobija se talasno rješenje, što je u skladu sa pretpostavkom o talasnim svojstvima čestica, koju je postavio Louis de Broglie.

- Za  makroskopske objekte mogu se zanemariti kvantni efekti, pa uz \hbar = 0 jednačina prelazi u Hamilton-Jacobijevu jednačinu klasične mehanike.

## Vremenski neovisna Schrödingerova jednačina 
U mnogim slučajevima razmatra se stanje koje je stacionarno u vremenu, pa jednačina izgleda kao:

: \left[-\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 + V(r) \right] \psi (r) = E \psi (r), 

ili:

: -\frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi + (V(r) - E) \psi = 0, 

Posmatrano sa matematičkog stajališta, talasna funkcija, koja je rješenje diferencijalne jednačine drugog reda Sturm-Liouville tipa, mora biti kontinuirana i mora imati kontinuiranu derivaciju drugog reda. S obzirom da su električni naboj i struja definirani pomoću talasne funkcije, naboj i struja također su kontinuirani.
Osim matematičkih uslova, talasna funkcija, kao rješenje Schrodingerove jednačine, mora zadovoljavati i neke fizikalne uslove. Očito je da talasna funkcija mora biti jednoznačna i konačna u cijelom prostoru. 
Rubni uvjeti na gore navedenu jednačinu, također su fizikalni uslovi. Tako za slučaj vezanog stanja, u kojemu je \ V > E , talasna funkcija na velikim udaljenostima (\ r \rightarrow \infty ) mora težiti prema nuli.

U tom slučaju za svaku vremenski neovisnu Hamiltonovu funkciju \ H\  postoji skup vlastitih funkcija (*eigenfunctions*) \psi_n \  i odgovarajućih realnih vrijednosti \ E_n\  (vlastite vrijednosti, *eigenvalues*), za koje vrijedi:

:\ H\psi_n = E_n\psi_n 

Ovo je svojstvo rješenja samo za najjednostavnije slučajeve, npr. jednodimenzionalni problemi. Često se pojavljuje slučaj da jedna vlastita vrijednost tj. jednom stanju energije odgovara nekoliko različitih talasnih funkcija. Takav sistem naziva se degeneriranim. Stoga u gornjim izrazima ineks n može zapravo predstavljati nekoliko indeksa (kvantnih brojeva).

## Općenito rješenje Schrodingerove jednačine 
Kada postoje određeni \ E_n\ , \psi_n \ , rješenje vremenski zavisne Schrodingerove jednčine je:

: \psi_n (r,t) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_n t / \hbar} \psi_n (r)

S obzirom da je Schrodingerova jednačina linearna, vrijedi princip superpozicije rješenja, ta se generalno rješenje može prikazati kao linearna kombinacija:

: \psi (r,t) = \sum_n C_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i} E_n t / \hbar} \psi_n (r)

Da bi ovo rješenje zadovoljavalo Schrodingerovu jednačinu u nedegeneriranom slučaju, talasne funkcije moraju biti ortogonalne, a odabrano je i da budu normirane na **1**, tj. vrijedi:

:\int \psi_n^* (r) \psi_m \mathrm{d}^3 \mathbf{r} = \delta_{ij}

gdje je:

:\delta_{ij}\  - Kronecker delta simbol, \delta_{ij}=1\  za i=j\ , inače \delta_{ij}=0\ 

: \psi_n^* (r)\  - kompleksno konjugirana funkcija od  \psi_n (r)\ 

## Fizikalno značenje talasne funkcije 
Sama Schrodingerova jednačina ne daje tačno fizikalno značenje talasne funkcije: \psi (r)\ . Do interpretacije značenja talasne funkcije može se doći razmotranjem jednačine kontinuiteta iz klasične fizike:

:{ \partial { \rho (r,t)} \over \partial t} + \nabla \cdot j = 0 

gdje je:
: \rho (r,t) \  - gustoća naboja ovisna o položaju i vremenu
: \ j\  - gustoća struje
: \nabla  - operator divergencije

Ako se Schrodingerova jednačina pomnoži sa  \psi_n^* (r) , a kompleksno konjugirana Schrodingerova jednačina pomnoži sa  \psi_n (r) \ , te dobivene izrazi oduzmu jedan od drugog, dobija se izraz:

: { \partial {\psi^{*} \psi} \over \partial t} + {i \hbar \over {2 m}} \nabla \cdot (\psi \nabla \psi^{*} - \psi^{*} \nabla \psi ) = 0

Ako se ova jednačina uporedi sa jednačinom kontinuiteta, slijede izrazi za gustoću naboja i gustoću struje kao:

: \rho (r,t)\ = e \psi^{*} \psi

: j = {i \hbar e \over {2 m}} (\psi \nabla \psi^{*} - \psi^{*} \nabla \psi )

Iako jednačina kontinuiteta vrijedi u klasičnoj i kvantnoj mehanici, postoji fundamentalna razlika u interpretaciji. U klasičnoj fizici gustoća  \rho (r,t) \  se tretira kao broj čestica (diskretni broj), a struja  \ j \  je tok čestica (opet diskretni broj). U kvantnoj mehanici jednačina kontinuiteta može se odnositi na ponašanje samo jedne čestice. U kvantnoj mehanici impuls i položaj čestice ne mogu se istovremeno proizvoljno tačno odrediti, već je njihovo određivanje ograničeno Heisenbergovim principom neodređenosti. Stoga se i interpretacija  \rho (r,t) \  i  \ j \  u jednačini kontinuiteta mora redefinisati.

Danas je pretežito prihvaćena statistička (probabilistička, vjerovatnoćna) interpretacija Maxa Borna. Prema takvoj interpretaciji, produkt  \ f (r)\ = \psi^{*} \psi treba shvatiti kao gustoću vjerovatnoće da se čestica nalazi u tački prostora definiranoj sa  \ r \ . 
To znači da kvantna mehanika čak i pri opisu samo jedne čestice daje statističko ponašanje.

Pri tome, sama talasna funkcija  \psi_n (r) \ , koja može biti i kompleksna veličina, nije mjerljiva fizikalna veličina.

Prema statističkoj interpretaciji, vjerovatnoća da se čestica nalazi u infinitezimalnom volumnom elementu  \ d ^{3} x \  jednaka je  \psi^{*} \psi d ^{3} x \ . Ovaj izraz može se integrirati preko cijelog prostora, a tada zbog uslova ortogonalnosti i normiranosti takva integral daje vrijednost **1**. Dakle, čestica se sigurno nalazi negdje u tom prostoru.

Schrodingerova jednačina ima mnoga bitna ograničenja, ova jednačina ne može se primjenit na opis fotona. Također, nije uzet u obzir spin čestica, koji je važna fizikalna osobina nužno za opis mnogih fizikalnih pojava.

Kategorija:Kvantna mehanika
Kategorija:Parcijalne diferencijalne jednačine