Elipsa

desno|mini|300px|Elipsa:**a** = velika poluosa**b** = mala poluosa
**Elipsa** je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose: velikom (oznaka: *a*) i malom (oznaka: *b*). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: *e*). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka. Tačke F1 i *F2* nazivaju se fokus. Osobine tački *F1* i *F2* i  promjenljive tačke *X * je da je suma dužina duži  *F1X* i *F2X* uvijek jednaka.

Površina elipse se računa formulom:

:P = a * b *\pi
## Dijelovi elipse
# Tačke F_1 i F_2 zovu se žarišta ili fokusi elipse.
# Glavna osa elipse je prava kroz žarišta (prava određena tačkama  F_1 i F_2)
# Sredina duži F_1F_2 je središte elipse.
# Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse.
# Tačke u kojima ose sijeku elipsu zovu se tjemena.
# Velika osa je duž  AB.
# Mala osa je duž CD.
# Velike poluose su duži AS i SB.
# Male poluose su duži CS i SD.
# Linearni ekscentricitet udaljenost žarišta od središta elipse.
# Radijus vektori tačke na elipsi su dužine F_1T i F_2T.
## Formule
## Osobine
* algebarska  zatvorena kriva jedna je od konika
* skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dvije čvrste tačke, žarišta, konstantan. 
* Elipsa je simetrična s obzirom na dvije ose (glavne osi) i njihovo sjecište, središte simetrije. 
* Žarišta elipse smještena su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je e  
* Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik. 
* Tangenta na elipsu u tački T elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama r_1, r_2 tačke T sa žarištima elipse
* Planete se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi Sunce.

## Ekscentricitet
Ekscentricitet je konstanta karakteristična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Označava se sa e. i izračunava se kao:

:e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}

a i b su dužine poluprečnika elipse. Ako  sa c označimo rastojanje između fokusnih tačaka elipse dobićemo

e = \frac{c}{a}
## Jednačina 
Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. Jednačina elipse je.

\displaystyle{\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2} = 1

;Dokaz
Neka nezavisni parametar \theta raste od 0 do \pi

x^2 = a^2\cos^2\theta.

y^2 = b^2\sin^2\theta.

\frac{x^2}{a^2} = \cos^2\theta.

\frac{y^2}{b^2} = \sin^2\theta.

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \cos^2\theta + \sin^2\theta.

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.

## Površina i obim 
Površina zatvorena elipsom je :P = ab\pi,  gdje su a i b polovine velike i male ose, a \pi = 3,14159... matematička konstanta. Do formule za površinu se dolazi izračunavanjem pomoću integrala.

;Dokaz. 
Površina  elipse je

P = 4\int_0^a ydx = 4\int_0^a b\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx = [ x = a\sin t, \ dx = a\cos t dt] 
: = 4\int_0^{\frac{\pi}2} b\cdot\sqrt{\cos^2t}\cdot\cos t dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^2 t dt
: = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{1+\cos 2t}2dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{dt}2 + ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos 2td2t 
: = 4ab\cdot \frac{\pi}2 \Bigg|^{\frac{\pi}2} + ab\sin 2t \Bigg|_0^{\frac{\pi}2} = ab\pi.

Obim O elipse je 4 a E(\varepsilon),
gdje je funkcija E totalni eliptični integral druge vrste.

Tačan beskonačan red glasi:

:C = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2\varepsilon^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{\varepsilon^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{\varepsilon^6\over5} - \dots}\right];\!\,

ili

:C = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {\varepsilon^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace};\,\!

Dobra aproksimacija Ramanujanova, a koja glasi:

:C \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,

ili bolja aproksimacija:

:C\approx\pi\left(a+b\right)\left(1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}{10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}}\right);\!\,

Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:

:C \approx \frac{\pi a (9 - \sqrt{35})}{2};\!\,

ili

C \approx \frac{a}{2} \sqrt{93 + \frac{1}{2} \sqrt{3}};\!\, (better approximation).

Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom. Inverzna funkcija, obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija.
## Zbir rastojanja tačke elipse od žiža
Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa F_1 i F_2 je konstantan i iznosi 2a
desno|mini

;Dokaz

Ako je M(x,y) proizvoljna tačka elipse, N podnožje normale iz te tačke na direktrisu d, a N^\prime podnožje normale na direktrisu d^\prime   , onda je

\overline{FM} = e\cdot\overline{MN}, \ \overline{F^\prime M} = e\cdot\overline{MN^\prime},

 e\in (0,1) je ekscentricitet elipse

: \overline{FM}+\overline{F^\prime M} = e\cdot(\overline{MN}+\overline{MN^\prime}).

Zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi e*2*(a/e), pa je
: \overline{FM}+\overline{F^\prime M} = e\cdot\frac{a}{e} = 2a,

## Također pogledajte 
* Ekscentricitet

## Izvori
Ellipses

Ellipse

Ellipse, 7 February 2011 by 127.0.0.1

Analitička geometrija ravnine – osnovne formule

## Reference
Kategorija:Konusni presjeci
Kategorija:Ravanske krive
Kategorija:Elementarni oblici
Kategorija:Algebarske krive