Michaelis–Mentenova kinetika

mini|400px|Michaelis–Mentenova saturacijska kriva jedne enzimske reakcije koja prikazuje odnose između koncentracije supstrata i reakcijske stope

**Michaelis–Mentenova kinetika** – u biohemiji – jedan je od najpoznatijih modela enzimske kinetike. Imenovana je po njemačkom biohemičaru Leonoru Michaelisu i kanadskoj ljekarnici Mudu Mentenu. Ovaj model ima oblik jednadžbe koja opisuje stopu enzimskih reakcija, povezujući reakcijsku stopu v sa [S], koncentracijom enzimskog supstrata *S*. Njegovu formulu sadrži izraz:

: v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{ V_\max {[S]}}{K_\mathrm{M} + [S]}.,

gdje U_\max = maksimalna postignuta brzina sistema, pri maksimalnoj (zasićenju) koncentraciji supstrata. Michaelisova konstanta K_\ mathrm{M} je koncentracija podloge na kojoj je stopa reakcija polovina U_\ max Za biohemijsku reakcija koja uključuje jedan supstrat obično se pretpostavlja da prati Michaelis-Mentenovu kinetiku, bez obzira na pretpostavke modela.

## Model 
mini|Promjene koncentracije u toku djelovanje enzima E.S – supstratES – Kompleks enzim-supstratP – Produkt
Godine 1903, francuski fizički hemičar Victor Henri našao je da su enzimske reakcije su pokrenute vezama (općenitije, interakcijom vezivanja) između enzima i supstrata. Njegov rad su preuzeli njemačka biohemičar Leonor Michaelis i kanadski ljekar Maud Menten, koji su istraživali kinetiku mehanizam enzimskih reakcija invertaze, koja katalizira hidrolizu saharoze u glukozu i fruktozu. U 1913, predložili su matematički model reakcije. Ona uključuje enzim E vezivanje za supstratenzim supstrat S formirajući kompleks ES, što se pretvara u proizvod P i enzim. To može biti predstavljeno kao:

:
E + S \, \overset{k_f}{\underset{k_r} \rightleftharpoons} \, ES \, \overset{k_\mathrm{cat}} {\longrightarrow} \, E + P

gdje k_f, k_r i k_\mathrm{cat} označavaju konstantu stopa, a dvostruke strelice između S i ES predstavljaju pojavu da je veza enzim-supstrat reverzibilni proces.

Pod određenim pretpostavkama, kao što su da je koncentracija enzima mnogo manja nego što je koncentracija supstrata – stopa formiranja proizvoda je:

v =\frac{d [P]}{dt} = V_\max\frac{[S]}{K_\mathrm{M} + [S]} = k_\mathrm{cat} [E]_0\frac{[S]}{K_\mathrm{M} + [S]}.

Reakcijska stopa raste sa povećanjem koncentracije supstrata [S], asimptotski se približava svojom maksimalnom brzinom U_\max, postignuta je kada je sav enzim vezan za podlogu. Također slijedi da V_\max = k_\mathrm{cat} [E]_0, where [E]_0 i je početne koncentracije enzima. k_\mathrm{cat}, broj prometa, je maksimalan broj molekula supstrata pretvorenih u proizvod po molekuli enzima u sekundi.

Michaelisova konstanta K_\mathrm {M} je koncentracija podloga na kojoj je stopa reakcija je na pola maksimuma i je inverzna mjera afiniteta podloge za enzim; mala  K_\mathrm{M} ukazuje na visok afinitet, što znači da će stopa U_\max biti brža. Vrijednost K_\mathrm{M} ovisi i o enzimu i supstratu, kao i uvjetima reakcije, kao što su temperatura i pH.

## Definiranje konstanti 
mini|Dijagram brzine reakcije − Mihaelis-Mentenov dijagram
Za određivanje maksimalne brzine enzimski kataliziranih reakcija, koncentracija supstrata se povećava sve dok se ne ostvari konstantna brzina stvaranje  proizvoda. Ta brzina predstavlja *maksimalnu brzinu* (*V*max) enzima. U ovom stanju, [aktivna mjesta enzima su zasićena supstratom. Faktori koji utiču na brzinu enzimskih reakcija (kao što su [pH vrednost|pH, temperature i dr.) su također podešeni na optimalne vrijednosti.

## Reakcijska brzina /'V' 
Brzina reakcije predstavlja broj njenih ponavljanja, koja su enzimski katalizirana, u jednoj sekundi. Sa povećanjem koncentracije supstrata [S], brzina reakcije (koja odgovara konstantnoj koncentraciji enzima) se asimptotski približava maksimalnoj brzini *V*max, ali je zapravo nikada ne dostigne. Zbog toga, ne postoji [S] koji odgovara *V*max. Umjesto toga, karakteristična vrijednost za dati enzim je definirana koncentracijom supstrata koja odgovara polovini maksimalne brzine (*V*max*/2*). Ova KM vrijednost se označava kao *Mihaelis-Menten konstanta*.

## Mihaelisova konstanta '*K*M 
Budući da se koncentracija supstrata koja odgovara max ne može sasvim tačno eksperimentalno odrediti, enzimi se karakteriziraju koncentracijom supstrata koja odgovara polovini maksimalne brzine. Ta koncentracija se naziva *Mihaelis-Mentenova konstanta* (*K*M) ili Mihaelis konstanta. Za sve enzime koji se ponašaju po jednostavnoj Mihaelis-Mentenovoj  kinetici, ona predstavlja konstantu disocijacije (afinitet supstrata) u kompleksu enzim-supstrat (ES). Niska vrijednost Km pokazuje da je (ES) kompleks dosta stabilan i da rijetko disocira bez formiranja produkta.

*K*M se može upotrebljavati za opisivanje afiniteta enzima prema supstratu, onda  kada je *k*2 brzinski ograničavajuća, tj. *k*2 1 i *K*M postaje *k*-1/*k*1. Često, *k*2 >> *k*1, ili *k*2 i *k*1 su istog reda veličine.

## Aplikacije
Vrijednosti parametra široko variraju između različitih  enzima: 

Konstanta  k_\text{cat}/K_\mathrm{M}  (katalitska efikasnost) je mjera koliko enzim efikasno pretvara supstrat u proizvod. Difuzijom ograničeni enzimi, kao što je fumaraza, rade na teorijski gornjoj granici: 10 8 **–** 10 10/M*e, ograničene difuzije supstrata u aktivnom mjestu.

Michaelis–Mentenova  kinetika se može primijeniti na različite sfere izvan biohemijskih reakcija, uključujući  čišćenje prašine u plućinm alveolama u mnoštvu vrsta, sa niskim alkoholom u krvi,  u Pi odnosima  fotosintetskog zračenja i infekcijama bakterijskim fagima.

## Izvođenje
Primjena zakona masovne akcije, prema kojem j je stopa reakcija  proporcionalna proizvodu koncentracija reaktanata (tj [E] [S]), daje sistem od četiri nelinearne obične diferencijalne jednadžbe, koje definiraju stopu promjene reaktanata s vremenom

t:
:\begin{align}
\frac{d[E]}{dt} &= - k_f [E][S] + k_r [ES] + k_{cat} [ES] \\
\frac{d[S]}{dt} &= - k_f [E][S] + k_r [ES] \\
\frac{d[ES]}{dt} &=  k_f [E][S] - k_r [ES] - k_{cat} [ES] \\
\frac{d[P]}{dt} &=  k_{cat} [ES].
\end{align}

U ovom mehanizmu, enzim E je katalizator, što samo olakšava reakcije, tako da je njegova ukupna koncentracija, slobodna plus kombinirana [E] + [ES] = [E]_0 konstanta. Ovaj zakon očuvanja može se uočiti dodavanjem prve i treće gornje jedndžbe.

### Aproksimacija ravnoteže
U izvornoj analizi, Michaelis i Menten pretpostavljaju da je podloga u trenutnoj hemijskoj ravnoteži sa kompleksom, što podrazumijeva:

:k_f [E] [S] = k_r [ES].

Iz  zakona o enzimskoj konzervaciji, dobija se:
 
:[E] = [E]_0 - [ES].

Kombiniranjem dva gornja izraza, dobije se:

:k_f([E]_0 - [ES])[S] = k_r[ES].

Pojednostavljeno, dobijamo:

:[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_d + [S]}

gdje  je  K_d = k_r / k_f disocijacijska konstanta za kompleks enzim-supstrat. Zato je brzina reakcije v of the reaction&nbsp;–stopa po kojoj se formira&nbsp;P:

:v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{V_\max {[S]}}{K_d + [S]}

gdje je  V_\max = k_\mathrm{cat} [E]_0 maksimalna brzina reakcije.

### Aproksimacije lažno-stabilnog stanja 
Alternativnu analizu sistema su  preduzeli britanski botaničar G. E. Briggs i britanski genetičar J. B. S. Haldane u 1925.  Oni su pretpostavili da se koncentracija prijelaznog kompleksa na vremenskoj skali ne mijenja od formiranja proizvoda, što je poznato kao pretpostavka o kvazi-stabilnom stanju  ili pseudo-ustaljenom stanjau. Matematički, ova pretpostavka znači k_f [E] [S] = k_r [ES] + k_\mathrm{cat} [ES] . 
 
Kombinirajući taj odnos sa zakonom očuvanja enzima, koncentracija kompleksa je:

:[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_\mathrm{M} + [S]}

gdje je

:K_\mathrm{M} = \frac{k_r + k_\mathrm{cat}}{k_f}

Poznatp kao Michaelisova konstanta, u kojoj su  k_r, k_\mathrm{cat} i  {k_f} konstante nevezanog supstrata, konverzije u  produkt i  vezanje za enzim. Zato je brzina reakcije v:

:v = \frac{d [P]}{d t} = \frac{V_\max {[S]}}{K_\mathrm{M} + [S]}.

== Pretpostavke i ograničenja ===
Prvi korak u izvođenju primjenjuje zakon masovne akcije, koja se oslanja na slobodnu difuziju. Međutim, u okruženju žive ćelije, u kojoj postoji visoka koncentracija proteina, citoplazma se često ponaša više kao gel nego sol (tečnost), ograničavajući kretanje molekula i mijenjanjajući stope reakcija. Iako zakon masovne akcije može biti važeći u heterogenim okruženjima,  prikladniji je za modeliranje citoplazme kao fraktala, kako bi snimili kinetiku ograničene-mobilnosti. Rezultirajuće stope reakcija predviđaju dva  pomenuta pristupa su slična, s jedinom razlikom što se aproksimacija ravnoteže definira kao konstantaK_d, dok je kvazi-stabilnom  stanju aproksimacije upotrebljava K_\mathrm{M}. Međutim, svaki pristup se temelji na drugačijoj pretpostavci. Analiza Michaelis-Mentenove ravnoteže je važeća ako supstrat postigne ravnotežu srazmjerno mnogo brže  nego što je formiran proizvod ili, preciznije, da:

:\epsilon_d = \frac{k_\mathrm{cat}}{k_r}\ll1.

Nasuprot tome, Briggs–Haldanova analiza kvazi stabilnog stanja vrijedi ako:

:\epsilon_m = \frac{[E]_0}{[S]_0 + K_\mathrm{M}}\ll1.

Stoga  je održiva onda kada ako je koncentracija enzima mnogo manja nego koncentracija supstrata. Čak i ako i ovo ne zadovoljava, aproksimacija je važeća ako je K_\ mathrm{M} velika.

U obje, Michaelis-Menten i Briggs-Haldane analize, kvalitet aproksimacije dokazuje smanjenje as \epsilon\,\!. Međutim, Michaelis-Mentenov  model kinetike se često podržava, bez obzira na pretpostavke.

Također je važno imati na umu da, iako  je ireverzibilna, neophodno je pojednostavljenje,  kako bi se našlo prihvatljivo analitičko rješenje. Reakcija enzima je ispravnije opisana kao

:
E + S \, \overset{k_{f_1}} {\underset{k_{r_1}} {\rightleftharpoons}} \, ES \, \overset{k_{f_2}} {\underset{k_{r_2}} {\rightleftharpoons}} \, E + P.

Uopćeno, pretpostavka o nepovratnosti je dobra u situacijama u kojima je istinit  jedan od uvjeta  ispod:
: 1. Koncentracija supstrata (e) je mnogo veća nego što je koncentracija proizvoda;
:: [S] \gg [P] .
Ovo je istinito u uvjetima standardnih istraživanja *in vitro*  i za većinu  *in vivo* bioloških reakcije, osobito gdje se produkt neprekidno otklanja putem postepenih reakcija.
:2.  Oslobođena energija reakcije je vrlo velika, kada je:

::\Delta{G} \ll 0.

U situacijama kada  nema niti jednog od ova dva  prethodna uvjeta  (reakcijska energij je niska i postoje značajne količine gotovih proizvoda), Michaelis-Mentenova jednadžba ne odgovara, ia pristup složenijem modeliranju izričito uzima   u obzir prethodne i naredne  reakcije, da bi se shvatila biologija datog  enzima.

## Historija 
Međusobni odnos između koncentracija supstrata i enzima prvi su ustanovili 1913. godine Leonor Mihaelis i Maud Menten, prateći ranije radove Archibalda Viviana Hila.

Matematičku formulaciju su izveli G. E. Briggs i J. B. S. Haldane.
## Također pogledajte
*Enzim
*Supstrat
*Kataliza

## Reference 
## Vanjski linkovi
* Kinetika enzima i Mihaelis-Mentenova kinetika

Kategorija:Kinetika enzima
Kategorija:Hemijska kinetika
Kategorija:Kataliza
Kategorija:Diferencijalne jednačine