Injektivna funkcija

mini|200px|Injektivna funkcija (injekcija)
[mini|200px|Druga injektivna funkcija (ova je [bijekcija)]]
[mini|200px|**Ne**injektivna funkcija (ova je slučajem [surjektivna funkcija|surjekcija)]]
Za funkciju f(x)\colon X \rightarrow Y kažemo da je **injektivna funkcija**, ili samo **injekcija**, ako ne postoje dva različita elementa domena, a koji se preslikavaju u neki isti element iz kodomena.

To znači da se svi elementi iz domena preslikavaju u međusobno različite elemente iz kodomena (funkcija ne preslikava različite elemente u isti).

Zapisano simboličkom logikom, f(x)\colon X \rightarrow Y je injektivna ako vrijedi:

(\forall x_1, x_2 \in X)\  ((x_1 \neq x_2) \Rightarrow (f(x_1) \neq f(x_2))

što je ekvivalentno tvrdnji:

(\forall x_1, x_2 \in X)\ ((f(x_1) = f(x_2)) \Rightarrow (x_1 = x_2))

## Primjeri 
* Za bilo koji skup *X*, funkcija identiteta na *X* je injektivna.
* Funkcija *f*&nbsp;:&nbsp;**R**&nbsp;→&nbsp;**R** definisana sa *f*(*x*)&nbsp;= 2*x*&nbsp;+&nbsp;1 je injektivna.
* Funkcija *g*&nbsp;:&nbsp;**R**&nbsp;→&nbsp;**R** definisana sa *g*(*x*)&nbsp;= *x*2 *nije* injektivna, zato što (naprimjer) *g*(1)&nbsp;= 1&nbsp;= *g*(−1). Međutim, ako je *g* ponovo definisana tako da su njen domen nenegativni realni brojevi , tada je *g* injektivna.
* Eksponencijalna funkcija exp : **R** &rarr; **R** definisana sa exp(*x*) = *e**x* je injektivna (ali ne i surjektivna pošto nema preslikavanja u negativne brojeve). 
* funkcija prirodnog logaritma ln : (0, &infin;) &rarr; **R** definisana sa *x* &#x21A6; ln *x* je injektivna.
* Funkcija *g*&nbsp;:&nbsp;**R**&nbsp;→&nbsp;**R** definisana sa *g*(*x*) = *x**n* &minus; *x* nije injektivna, pošto je, naprimjer, *g*(0) = *g*(1).

## Ostale osobine 
* ako su *f* i *g* injektivne, tada je *f*&nbsp;∘&nbsp;*g* injektivna.
mini|300px|Kompozicija dvije injektivne funkcije je injektivna funkcja.
* Ako je *g*&nbsp;∘&nbsp;*f* inejektivna, tada je *f* injektivna (ali *g* ne mora biti).
* *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* je injektivna ako i samo ako, za bilo koje zadate funkcije *g*, *h*&nbsp;:&nbsp;*W*&nbsp;→&nbsp;*X*, kad god je *f*&nbsp;∘&nbsp;*g*&nbsp;= *f*&nbsp;∘&nbsp;*h*, tada je *g*&nbsp;=&nbsp;*h*. Drugim riječima, injektivne funkcije su tačno monomorfizmi u kategoriji **skupa** skupova.
* Ako je *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* injektivna, a *A* je podskup od *X*, tada je *f*&nbsp;&minus;1(*f*(*A*))&nbsp;=&nbsp;*A*. Zbog toga, *A* može biti dobijen iz svoje slike *f*(*A*).
* Ako je *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* injektivna, a *A* i *B* su podskupovi od *X*, tada je *f*(*A*&nbsp;∩&nbsp;*B*)&nbsp;= *f*(*A*)&nbsp;∩&nbsp;*f*(*B*).
* Svaka funkcija *h*&nbsp;:&nbsp;*W*&nbsp;→&nbsp;*Y* može se dekomponovati kao *h*&nbsp;= *f*&nbsp;∘&nbsp;*g* za pogodnu injekciju *f* i surjekciju *g*.
* Ako je *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* injektivna funkcija, tada *Y* ima najmanje onoliko elemenata koliko ima skupa *X*, u smislu kardinalnih brojeva. Pojedinačno, ako, dodatno, postoji injekcija iz Y u X, tada X i Y imaju isti kardinalni broj. (Ovaj iskaz poznat je i kao Cantor–Bernstein–Schroederov teorem.)
* Ako su i *X* i *Y* konačni sa istim brojem elemenata, tada je *f*&nbsp;:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* injektivna ako i samo ako je *f* surjektivna.

## Također pogledajte 
* Surjektivna funkcija
* Injektivni modul
* Test horizontalnom linijom
* Injektivni metrički prostor

## Zabilješke 
## Reference 
* , p.&nbsp;17 *ff*.
* , p.&nbsp;38 *ff*.

Kategorija:Funkcije i preslikavanja
Kategorija:Osnovni koncepti u teoriji skupova
Kategorija:Vrste funkcija