Gama funkcija

::*Za članak o gama funkciji ordinala, pogledajte Veblenova funkcija.
mini|desno|325px|Gama funkcija duž dijela realne ose

U matematici, **gama funkcija** (označena velikim grčkim slovom **Γ**) je proširenje faktorijelske funkcije u realne i kompleksne brojeve. Za kompleksan broj *z* sa pozitivnim realnim dijelom, gama funkcija je definisana sa

: \Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt\;.

Ova definicija može se proširiti na ostatak kompleksne ravni, osim u negativne cijele brojeve.

Ako je *n* pozitivni cijeli broj, tada je
: \Gamma(n) = (n-1)!\, 
što pokazuje vezu sa faktorijelskom funkcijom. Gama funkcija uopćuje faktorijelsku funkciju za ne-cijele i kompleksne vrijednosti od *n*.

Gama funkcija je komponeneta u raznim funkcijama raspodjele vjerovatnoća, i tako takva je primjeljiva u oblastima vjerovatnoće i statistike, kao i kombinatorike.

## Definicija 
### Glavna definicija 
mini|desno|Proširena verzija gama funkcije u kompleksnoj ravni

Oznaku Γ(*z*) uveo je Adrien-Marie Legendre. Ako je realni dio kompleksnog broja *z* pozitivan (Re[*z*] > 0), tada cijeli broj
:
\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt 

konvergira apsolutno. Koristeći integraciju po članovima, može se pokazati da je
:\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z).\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \,\!

Ova funkcionalna jednačina uopćuje relaciju *n*! = *n*×(*n*-1)! faktorijelske funkcije. Γ(1) izračunavamo analitički:
: \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1. 

Kombinujući ove dvije relacije pokazuje nam kako je faktorijelska funkcija spacijalni slučaj gama funkcije:

:\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

za sve prirodne brojeve *n''.

## Partikularne vrijednosti 
:
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

## Također pogledajte 

* Beta funkcija
* Bohr-Mollerupov teorem
* Digama funkcija
* Eliptična gama funkcija
* Faktorijel
* Gama distribucija
* Gaussova konstanta
* Gaussova suma
* Nepotpuna gama funkcija
* Lanczosova aproksimacija
* Multivarijantna gama funkcija
* Pochhammerov k-simbol
* Poligama funkcija
* Recipročna gama funkcija
* Stirlingova aproksimacija
* Trigama funkcija

## Zabilješke 
## Reference 
* Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," *Am. Math. Monthly* **66**, 849-869 (1959)
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. *Introduction to the Gamma Function*. In PostScript and HTML formats.
* Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. *Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers*. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997
* Julian Havil, ''Gamma, Exploring Euler's Constant",  (c) 2003*
* Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) *Exposition by Emil Artin: a selection*; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).

## Vanjski linkovi 
### Internet stranice 
* Cephes - C and C++ language special functions math library
* Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
* Gamma function calculator
* Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision) 
* Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
* Computing the Gamma function - various algorithms
* Online tool to graph functions which contain the Gamma function

### Dalje čitanje 
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *(See Chapter 6)*
* G. Arfken and H. Weber. *Mathematical Methods for Physicists*. Harcourt/Academic Press, 2000. *(See Chapter 10.)*
* Harry Hochstadt. *The Functions of Mathematical Physics*. New York: Dover, 1986 *(See Chapter 3.)*
* W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. *Numerical Recipes in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. *(See Section 6.1.)''

*
Kategorija:Posebne hipergeometrijske funkcije