Implicitna jednačina

U matematici, **implicitna jednačina** je relacija oblika R(x_1, \dots, x_n) = 0,, gdje je  funkcija od nekoliko varijabli (često polinom). Naprimjer, implicitna jednadžba jedinični krug je x^2 + y^2 - 1 = 0.
 
**Implicitna funkcija** je funkcija koja je definirana implicitnom jednačinom, koja povezuje jednu od varijabli, smatra se vrijednošću funkcija, dok se ostale smatraju argumentima. Naprimjer, jednadžba x^2 + y^2 - 1 = 0 jediničnog kruga definira  kao implicitnu funkciju  ako je , a  je ograničen na nenegativne vrijednosti.
 
Teorema o implicitnoj funkciji pruža uslove pod kojima neki tipovi implicitnih jednačina definiraju implicitne funkcije, naime one koje se dobijaju izjednačavanjem sa nula multivarijabilnih funkcija koje su kontinuirano diferencibilne.
 
## Primjeri
### Inverzne funkcije
Uobičajeni tip implicitne funkcije je inverzna funkcija. Nemaju sve funkcije jedinstvenu inverznu funkciju. Ako je  funkcija  koja ima jedinstvenu inverziju, tada je inverzna funkcija , zvana , je jedinstvena funkcija koja daje rješenje jednačine
 
: y=g(x) 
 
za  u smislu . Ovo rješenje se tada može zapisati kao
 
: x = g^{-1}(y) \,. Definisanje  kao inverznog od  je implicitna definicija. Za neke funkcije ,  se može eksplicitno ispisati kao izraz zatvorene forme — naprimjer, ako je , onda . Međutim, to često nije moguće ili samo uvođenjem nove oznake (kao u primjeru log proizvoda ispod).
 
Intuitivno, inverzna funkcija se dobija iz , zamjenom uloga zavisnih i nezavisnih varijabli.
 
**Primjer**:  log proizvoda je implicitna funkcija koja daje rješenje za  jednačine .
 
### Algebarske funkcije
**Algebarska funkcija** je funkcija koja zadovoljava polinomsku jednadžbu čiji su koeficijenti sami polinomi. Naprimjer, algebarska funkcija u jednoj varijabli  daje rješenje za  jednačine
:a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \,,
 
gdje su koeficijenti  polinomske funkcije od . Ova algebarska funkcija se može napisati kao desna strana jednačine rješenja . Ovako napisana,  je višeznačna implicitna funkcija.
 
Algebarske funkcije imaju važnu ulogu u matematičkoj analizi i algebarskoj geometriji. Jednostavan primjer algebarske funkcije dat je lijevom stranom jednadžbe jediničnog kruga:
 
:x^2+y^2-1=0 \,. 
 
Rješavanje za  daje eksplicitno rješenje:
 
:y=\pm\sqrt{1-x^2} \,.
 
Ali čak i bez specificiranja ovog eksplicitnog rješenja, moguće je implicitno rješenje jednadžbe jediničnog kruga pozvati kao , gdje je  viševrijedna implicitna funkcija.
 
Dok se eksplicitna rješenja mogu naći za jednačine koje su kvadratne, kubne i kvartne u , isto nije općenito vrijedi za kvintne i jednačine višeg stepena, kao što je
 
: y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0 \,. 
 
Ipak, i dalje se može pozvati na implicitno rješenje  koje uključuje viševrijednu implicitnu funkciju  .
 
## Upozorenja
Ne podrazumijeva svaka jednačina  grafikon jednoznačne funkcije, a jednačina kružnica je jedan istaknuti primjer. Drugi primjer je implicitna funkcija data sa , gdje je  kubni polinom ima "grbu" u svom grafikonu. Dakle, da bi implicitna funkcija bila "istinita" (jednoznačna) funkcija, možda će biti potrebno koristiti samo dio grafikona. Implicitna funkcija se ponekad može uspješno definirati kao istinita samo nakon "zumiranja" na nekom dijelu -ose i "odsjecanja" nekih neželjenih grana funkcije. Tada se može napisati jednačina koja izražava  kao implicitnu funkciju ostalih varijabli. Jednačina koja definiše  također može imati druge patologije. Naprimjer, jednadžba  ne implicira funkciju  koja daje rješenja za  uoće; to je vertikalna linija. Da bi se izbjegao ovakav problem, često se nameću različita ograničenja na dozvoljene tipove jednačina ili na domen. Teorema o implicitnoj funkciji pruža jedinstven način rukovanja ovim tipovima patologija.
 
## Implicitna diferencijacija
U računu, metod zvani **implicitna diferencijacija** koristi pravilo lanca za razlikovanje implicitno definiranih funkcija.
 
Za razlikovanje implicitne funkcije , definisane jednadžbom , općenito nije moguće to riješiti eksplicitno za  i potom diferencirati. Umjesto toga, može se potpuno diferencirati  u odnosu na  i , a zatim riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu za  da bi se eksplicitno dobio izvod u terminima  i . Čak i kada je moguće eksplicitno riješiti originalnu jednadžbu, formula koja proizlazi iz totalne diferencijacije je općenito mnogo jednostavnija i lakša za korištenje.

### Primjeri
#### Primjer 1 
Zamislimo
:y + x + 5 = 0\,.
 
Ovu jednačinu je lahko riješiti za , dajući
 
:y = -x - 5 \,,
 
gdje je desna strana eksplicitni oblik funkcije . Diferencijacija tada daje .
 
Alternativno, može se potpuno razlikovati originalna jednačina:
 
:\begin{align}
\frac{dy}{dx} + \frac{dx}{dx} + \frac{d}{dx}(5) &= 0 \, ; \\[6px]
\frac{dy}{dx} + 1 + 0 &= 0 \,.
\end{align}
 
Rješavanje za  daje
 
:\frac{dy}{dx} = -1 \,,;
 
isti odgovor kao i prethodno dobijen.
 
#### Primjer 2 
Primjer implicitne funkcije za koju je implicitna diferencijacija lakša od korištenja eksplicitne diferencijacije je funkcija  definirana jednadžbom:
: x^4 + 2y^2 = 8 \,.
 
Da bi se ovo eksplicitno razlikovalo u odnosu na , prvo treba dobiti
 
:y(x) = \pm\sqrt{\frac{8 - x^4}{2}} \,,
 
a zatim diferencirati ovu funkciju. Ovo stvara dva izvoda: jedan za  i drugi za .
 
Znatno je lakše implicitno diferencirati originalnu jednačinu:
 
:4x^3 + 4y\frac{dy}{dx} = 0 \,,
 
davanjem
 
:\frac{dy}{dx} = \frac{-4x^3}{4y} = -\frac{x^3}{y} \,.
 
#### Primjer 3 
Često je teško ili nemoguće eksplicitno riješiti  , a implicitna diferencijacija je jedini izvodljivi metod diferencijacije. Primjer je jednadžba
:y^5-y=x \,.
 
Nemoguće je algebarski izraziti  eksplicitno kao funkciju , pa se stoga ne može pronaći  eksplicitnom diferencijacijom. Koristeći implicitni metod,  se može dobiti diferenciranjem jednačine da se dobije
 
:5y^4\frac{dy}{dx} -\frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx}\,,
 
gdje je . Faktoriranje  pokazuje da
 
:\left(5y^4 - 1\right)\frac{dy}{dx} = 1\,,
 
što daje rezultat
 
:\frac{dy}{dx}=\frac{1}{5y^4-1} \,,
 
koji je definisan za
 
:y \ne \pm\frac{1}{\sqrt[4]{5}} \quad \text{and} \quad y \ne \pm \frac{i}{\sqrt[4]{ 5}} \,.

### Opća formula za izvođenje implicitne funkcije
Ako je , derivat implicitne funkcije  je dat pomoću
 
:\frac{dy}{dx} = -\frac{\,\frac{\partial R}{\partial x}\,}{\frac{\partial R}{\partial y}} = -\frac {R_x}{R_y} \,,
 
gdje  i  označavaju djelimični derivati   u odnosu na  i .
 
Gornja formula dolazi od upotrebe generalizovanog lančanog pravila da se dobije ukupni derivat — u odnosu na  — obje strane :
 
:\frac{\partial R}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 \,, 
 
dakle
 
:\frac{\partial R}{\partial x} + \frac{\partial R}{\partial y} \frac{dy}{dx} =0 \,,
 
koji, kada je riješen za , daje izraz iznad.

## Teorema implicitne funkcije
 okomit.]]

 
Neka  bude diferencijabilna funkcija dvije varijable, a  biti par stvarni broj takvih da je . Ako je , onda  definiše implicitnu funkciju koja se može diferencirati u nekom dovoljno malom susjedstvu od ; drugim riječima, postoji diferencijabilna funkcija  koja je definirana i diferencibilna u nekom susjedstvu , tako da je  za  u ovom susjedstvu.
 
Uslov  znači da  je regularna tačka implicitne krive implicitne jednačine  gdje tangenta nije okomita. U manje tehničkom jeziku, implicitne funkcije postoje i mogu se razlikovati, ako kriva ima nevertikalnu tangentu.
 
## Primjene u ekonomiji
### Marginalna stopa supstitucije
U ekonomiji, kada je postavljen nivo  kriva indiferentnosti za količine  i  konzumiraju dva dobra, apsolutna vrijednost implicitnog derivata  tumači se kao granična stopa supstitucije dva dobra: koliko više  treba primiti da bi bio ravnodušan prema gubitku jedne jedinice&nbsp;.
 
### Marginalna stopa tehničke zamjene
Slično, ponekad je skup nivoa  izokvanta koji prikazuje različite kombinacije iskorišćenih količina  rada i  fizičkog kapitala od kojih bi svaki rezultirao proizvodnjom iste date količine proizvoda nekog dobra. U ovom slučaju apsolutna vrijednost implicitne derivacije  tumači se kao granična stopa tehničke zamjene između dva faktora proizvodnje: koliko više kapitala firma mora upotrijebiti da proizvede istu količinu autputa sa jednom jedinicom rada manje.
 
### Optimizacija
Često u ekonomskoj teoriji, neka funkcija kao što je funkcija korisnosti ili funkcija profita treba biti maksimizirana u odnosu na vektor izbora  iako ciljna funkcija nije ograničena ni na jednu specifičnu funkcionalnu formu. Teorema implicitne funkcije garantuje da uvjet prvog reda optimizacije definiraju implicitnu funkciju za svaki element optimalnog vektora  vektora izbora . Kada se profit maksimizira, obično rezultirajuće implicitne funkcije su funkcija tražnja rada i funkcija ponude različitih dobara. Kada se korisnost maksimizira, obično rezultirajuće implicitne funkcije su funkcija ponuda rada i funkcija potražnje za različita dobra. Štaviše, uticaj parameteri problema na  — parcijalne derivate implicitne funkcije — može se izraziti kao ukupni derivati sistema uslova prvog reda pronađenog pomoću totalne diferencijacije.

 
## Također pogledajte
*Implicitna kriva
*Funkcionalna jednačina
*Nivo postavljeno
**Linija konture
**Izopovršina
*Granična stopa zamjene
*Teorema o implicitnoj funkciji
*Logaritmska diferencijacija
*Poligonizator
*Povezane stope

## Reference
## Dopunska literatura
*
*
*

## Vanjski linkovi
*Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: 

Kategorija:Diferencijalni račun
Kategorija:Teoreme u analizi
Kategorija:Multivarijabilni račun
Kategorija:Diferencijalna topologija
Kategorija:Algebarska geometrija