Red (matematika)

U matematici, **red** je često predstavljen kao suma članova niza. To jest, red je predstavlja niz brojeva sa znakom operacije za sabiranje između svakog od njih, npr. ova aritmetički niz:

:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
U većini slučajeva od interesa, članovi niza pojavljuju se po po određenom pravilu, kao što je formula, algoritam, i sl.

Redovi mogu biti konačni ili *beskonačni*. Konačni redovi mogu se rješavati elementarnom algebrom, ali beskonačni redovi zahtijevaju poznavanje matematičke analize.

Primjeri prostih redova su aritmetički redovi kod kojih se suma aritmetičke progresije piše kao:

:\sum_{n=0}^k (an+b);,

te beskonačni geometrijski redovi, suma geometrijske progresije, koja se može napisati kao:

:\sum_{n=0}^k a^{n}.

## Historija teorije beskonačnih redova 
### Fourierov red 
Za 2\pi -periodičnu funkciju f(x) koja nije integrabilna na intervalu [-\pi,\pi], brojevi

:a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx)\, dx
i
:b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)\, dx

se nazivaju Fourierovim koeficijentima od f 

Beskonačna suma 
:\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)]

je **Fourierov red**  funkcije f na intervalu [-\pi,\pi].

## Apsolutna konvergencija 
Za red
:\sum_{n=0}^\infty a_n
se kaže da **konvergira apsolutno** ako red apsolutne vrijednosti
:\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right|
konvergira. U ovom slučaju, originalni red, kao i sve njegove varijante (koje se dobiju regrupisanjem članova), konvergiraju i to prema istoj sumi.

Riemannov teorem o redu kaže da, ako je red uslovno konvergentan, tada se može pronaći takav raspored članova, takav da novi rred divergira. Štaviše, ako su *a**n* realni i ako je *S* bilo koji realan broj, može se pronaći takav raspored da novi red konvergira sa limesom *S*.

## Neke vrste beskonačnih redova 
* *Geometrijski red* je red kod kojeg se naredni član dobije množenjem prethodnog člana s konstantnim brojem. Primjer:
::1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.
:Općenito, geomtrijski red
::\sum_{n=0}^\infty z^n
:konvergira ako i samo ako |*z*| 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.
:Harmonijski red je divergentan.

* *Alternativni red* je red u kojem članovi periodično mijenjaju znak (+ ili -). Primjer:
::1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.

* Red
::\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}
:konvergira ako je *r* > 1, a divergira ako za *r* ≤ 1, što se može dokazati integralnim testom, opisanim ispod u dijelu o testovima konvergencije. Kao funkcija od *r*, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.

* Teleskopski red
::\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})
:konvergira ako niz *b**n* konvergira u limes *L* kada *n* teži u beskonačnost. Vrijednost reda je tada *b*1 − *L*.

## Testovi konvergencije 
* Test poređenja 1: Ako je ∑*bn*&nbsp; apsolutno konvergentan red takav da je |*an*&nbsp;| ≤ *C*&nbsp;|*bn*&nbsp;| za neki broj *C*&nbsp; i za dovoljno veliki broj *n*&nbsp;, tada i red ∑*an*&nbsp; konvergira apsolutno. Ako red ∑|*bn*&nbsp;| divergira, a |*an*&nbsp;| ≥ |*bn*&nbsp;| za svaki dovoljno velik *n*&nbsp;, tada red ∑*an*&nbsp; ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu *an*&nbsp; promijeni znak).
* Test poređenja 2: Ako je ∑*bn*&nbsp; apsolutno konvergentan red takav da |*an+1*&nbsp;/*an*&nbsp;| ≤ |*bn+1*&nbsp;/*bn*&nbsp;| za dovoljno veliki *n*&nbsp;, tada i red ∑*an*&nbsp; konvergira apsolutno. ako red ∑|*bn*&nbsp;| divergira, a |*an+1*&nbsp;/*an*&nbsp;| ≥ |*bn+1*&nbsp;/*bn*&nbsp;| za sve dovoljno velike *n*&nbsp;, tada red ∑*an*&nbsp; ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu *an*&nbsp; promijeni znak).
* D'Alambertov test: Ako se odnos |*a**n*+1/*a**n*| približava broju manjem od jedan dok n teži u beskonačnost, tada red ∑ *a**n* konvergira apsolutno. Kada je taj odnos 1, konvergencija se, najčešće, određuje preko drugog testa.
* Cauchyjev korjeni test: ako postoji konstanta *C* *n*|1/*n* ≤ *C* za svedovoljno velike *n*, tada red ∑ *a**n* konvergira apsolutno.
* Cauchyjev integralni test: Ako je *f*(*x*) pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funckija definisana na intervalu 1, ∞ sa *f*(*n*) = *a**n* za sve *n*, tada red ∑ *a**n* konvergira ako i samo ako postoji integral ∫1∞ *f*(*x*) d*x*.
* Leibnizov test: Red oblika ∑ (−1)*n* *a**n* (sa *a**n* ≥ 0) naziva se *alternativni red*. Takvi redovi konvergiraju ako je niz *a**n* monotono opadajući, te ako konvergira prema nuli.
* *Potreban uslov konvergencije reda*: Ako je lim*n*→∞ *a* *n* ≠ 0, tada red divergira.
* Za neke posebne vrste redova postoje specijalizovani testovi konvergencije, npr. za Fourierov red postoji Dinijev test.

## Potencijalni red 
Nekoliko bitnih funkcija može se razviti u Taylorov red; ovo je beskonačan red koji sadrži potenciju nezavisne promjenljive, te se zbog toga nazivaju potencijalni redovi.Na primjer, red
:\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
konvergira u e^x za sve *x*.  Također pogledajte članak radijus konvergencije.

Kroz historiju, matematičari, kao što su Leonhard Euler, su slobodno manipulisali beskonačnim redovima, čak i ako nisu bili konvergentni. 
Kada se pročulo o kalkulusu sa ispravnim i osnovanim temeljima u 19. vijeku, zahtijevani su rigorozni testovi konvergencije.

## Dirichletov red 
Dirichletov red je onaj red koji ima oblik

:\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s},

gdje je *s* kompleksan broj. Općenito, ovaj red konvergira ako je realni dio od *s* veći od broja koji se naziva *apscisa konvergencije*.

## Također pogledajte 
* Konvergentni redovi
* Divergentni redovi
* Transformacije niza
* Beskonačni proizvod
* Neprekidni razlomak
* Spisak matematičkih redova

## Reference 
* Bromwich, T.J. *An Introduction to the Theory of Infinite Series* MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

## Vanjski linkovi 
* Graphical simulation of series convergence
* Many example problems on series, with solutions 

Kategorija:Matematička analiza

Kategorija:Nizovi i redovi