Inverzna hiperbolička funkcija

mini|200px|desno|funkcija *artanh*.

Inverzi hiperboličkih funkcija su **površinske hiperboličke funkcije**. Naziv dolatzi iz činjenice da one izračunavaju površinu sektor jedinične hiperbole x^{2} - y^{2} = 1 na isti način na koji neke inverzne trigonometrijske funkcije izračunavaju dužinu luka sektora jediničnog kruga x^{2} + y^{2} = 1.
Najčešća skraćenica za njih u matematici je *arsinh, arcsinh* (u USA-a) ili *asinh* (u računarstvu). Oznake *sinh-1 (x), cosh-1(x)* itd. se, također, koriste, uprkos činjenici da se mora voditi računa kako bi se izbjeglo pogrešno shvatanje eksponenta *-1* kao stepena, a ne kao skrećene oznake za inverznu funkciju. Skraćenice *arcsinh*, *arccosh* itd. se najčešće koriste, iako to nije pravilno, pošto je prefiks *arc* skraćenica za *arcus*, dok prefiks *ar* označava *površinu*.

Vrijednosi inverznih hiperboličkih funkcija su hiperbolički uglovi.

## Logaritamsko predstavljanje 
Operatori su definisani u kompleksnoj ravni kao:

:
  \begin{align}
    \operatorname{arsinh}\, x &= \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}),
    \\[2.5ex]
    \operatorname{arcosh}\, x &= \ln(x + \sqrt{x-1}\sqrt{x+1}),
    \\[1.5ex]
    \operatorname{artanh}\, x &= \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right)
                               = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right),
    \\
    \operatorname{arcsch}\, x &= \ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right),
    \\
    \operatorname{arsech}\, x &= \ln\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x}\right),
    \\
    \operatorname{arcoth}\, x &= \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}.
  \end{align}

gornji kvadratni korijeni su osnovni kvadratni korijeni. Za realne argumente koji daje realnu vrijednost, mogu se naći određena pojednostavljenja, npr. \sqrt{x - 1}\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-1}, koji, u općenom slučaju, nije tačno, kada se koriste osnovni kvadratni korijeni.

## Proširenja u redove 
Za gornje funkcije mogu se dobiti njihova proširenja u redove:

:\operatorname{arsinh}\, x
::= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots
::= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| 

:\operatorname{arcosh}\, x
::= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)
::= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1

:\operatorname{artanh}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| 

:\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh}\, x^{-1}
::= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
::= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| 

:\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}
::= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)
::= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 

:\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}
::= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
::= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 

Asimptotsko proširenje za arsinh *x* je dato sa

:\operatorname{arsinh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}

## Derivacije 
:
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
\end{align}

For real *x*:

:
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
\end{align}

Primjer derivacije: Neka je *θ* = arsinh *x*, tako da je:

:\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

## Također pogledajte 
* Spisak integrala inverznih hiperboličkih funkcija

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* 

Kategorija:Elementarne posebne funkcije