1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·

[desno|mini|[Arhimedova slika sa *a* = 3/4]]
U matematici, beskonačni red **1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·** je primjer jednog od prvih beskonačnih redova koji je ikada sumiran u historiji matematike; koristio ga je Arhimed oko 250.–200. p. n. e. Njegova suma iznosi 1/3. Općenitije, za bilo koje *a*, beskonačan geometrijski red, čiji je prvi član *a* i čiji je omjer 1/4, je konvergentan sa sumom
:a+\frac{a}{4}+\frac{a}{4^2}+\frac{a}{4^3}+\cdots = \frac43 a.

## Vizuelno prikazivanje 
lijevo|mini|3*s* = 1.
Red 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · ima prilično jednostavan vizuelni prikaz zato i kvadrat i trougao dijele površinu na četiri slična dijela, od kojih svaki predstavlja 1/4 površine originala.

Na slici desno, ako se pretpostavi da veliki kvadrat ima površinu 1, tada najveći crni kvadrat ima površinu (1/2)*(1/2) = 1/4. Slično tome, drugi najveći crni kvadrat ima površinu 1/16, a treći 1/64. Površina koju zauzimaju svi crni kvadrati tada iznosi 1/4 + 1/16 + 1/64 + · · ·, a isto toliko iznosi i površina koju zauzimaju sivi i bijeli kvarati. Pošto ove tri površine prekrivaju jediničnu površinu, slika nam pokazuje da
:3\left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = 1.

Arhimedova vlastita ilustracija, prikazana na vrhu, bila je malo različita i bila je bliža jednačini

desno|mini|3*s* = 1 again
:\frac34+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{3}{4^4}+\cdots = 1.
Pogledajte dole za Arhimedovu interpretaciju.

Ista geometrijska strategija funkcioniše na trouglovima, kao što je prikazano na slici desno: ako veliki trugao ima površinu 1, tada najveći crni trougao ima površinu 1/4, i tako dalje. Figura u cjelini posjeduje samosličnost između velikog trougla i njegovih pod-trouglova (manji trouglovi).

## Arhimed 
Arhimed se sreo sa redovima u svoj radu *Kvadratura parabole*. On je računao površinu unutar parabole metodom iscrpljenja, te je, kao rezultat, dobio niz trouglova;u svakom narednom koraku u konstrukciji dodaje površinu od 1/4 od površine prethodnog koraka. Tražio je rezultat u kojem je ukupna površina 4/3 površine prvog koraka. Kako bi to dobio, Arhimed je uveo slijedeću tvrdnju (teoremu):

**Tvrdnja 23.** Za dati red površina *A*, *B*, *C*, *D*, … , *Z*, od kojih je *A* najveća, a svaka naredna je veća četiri puta od slijedeće u redu, tada je 
:A + B + C + D + \cdots + Z + \frac13 Z = \frac43 A.

Arhimed je dokazuje ovu tvrdnju najprije sa proračunim
:\begin{array}{rcl}
\displaystyle B+C+\cdots+Z+\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Z}{3} & = &\displaystyle \frac{4B}{3}+\frac{4C}{3}+\cdots+\frac{4Z}{3} \\[1em]
  & = &\displaystyle \frac13(A+B+\cdots+Y).
\end{array}
Sa druge strane,
:\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Y}{3} = \frac13(B+C+\cdots+Y).

Oduzimanjem ove jednačine od prethodne dobijamo
:B+C+\cdots+Z+\frac{Z}{3} = \frac13 A,
te dodajući *A* na obje strane, dobijamo željeni rezultat.

Danas, standardniji iskaz Arhimedove tvrdnje je da su parcijalne sume reda 1 + 1/4 + 1/16 + · · ·:
:1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^n}=\frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14}.

Ovaj oblik može se dokazati množenjem obje strane sa 1 &minus; 1/4, gdje bi se većina članova na lijevoj strani pokratilo u parovima. Ovaj način funkcioniše kod većine konačnih geometrijskih redova.

## Limes 
Archimedesova tvrdnja 24 primjenljuje konačnu (ali neodređenu) sumu u tvrdnji 23 na površinu unutar parabole preko dvostrukog *reductio ad absurdum*. On u stvari ne uzima limes gore navedenih parcijalnih suma, ali u modernom kalulusu ovaj korak je prilično lagan:
:\lim_{n\to\infty} \frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14} = \frac{1}{1-\frac14} = \frac43.

Pošto je suma beskonačnog reda definisana sa limesom njegovih parcijalnih suma,
:1+\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots = \frac43.

## Zabilješke 
## Reference 

*
* Page images at  HTML with figures and commentary at 
*
*
*
* 
*

Kategorija:Matematički redovi