Spisak matematičkih redova

Ovaj **spisak matematičkih redova** sadrži formule za konačne i beskonačne sume. Može se koristiti zajedno sa drugim alatima za izračunavanje suma.

## Sume stepeni 
*\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\,\!
*\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}  \,\!
*\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2\,\!
*\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}\,\!
*\sum_{i=0}^n i^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!
:gdje je B_k *k*-ti Bernoullijev broj.
*\sum_{i=1}^\infty i^{-s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)\,\!
:gdje je \zeta(s) Riemannova zeta funkcija.

## Potencijalni redovi 
### Jednostavni nazivnici 
*\sum^{\infty}_{i=1} \frac{x^i}i = \log_e\left(\frac{1}{1-x}\right) \quad\mbox{ za } |x|\le 1, \, x\not= 1\,\!

*\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{2i+1} x^{2i+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)\,\!

*\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{2i+1} = \mathrm{arctanh} (x) \quad\mbox{ za } |x| 

*\sum^{\infty}_{i=1} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}\,\!

### Nazivnici sa faktorijelima 
Mnogi potencijalni redovi, koji se dobijaju iz Taylorovog teorema imaju koeficijent koji sadrži faktorijel.

*\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^i}{i!} = e^x

*\sum^{\infty}_{i=0} i   \frac{x^i}{i!} = x e^x (sredina Poissonove distribucije)
*\sum^{\infty}_{i=0} i^2 \frac{x^i}{i!} = (x + x^2) e^x (Drugi moment Poissonove distribucije)
*\sum^{\infty}_{i=0} i^3 \frac{x^i}{i!} = (x + 3x^2 + x^3) e^x
*\sum^{\infty}_{i=0} i^4 \frac{x^i}{i!} = (x + 7x^2 + 6x^3 + x^4) e^x

*\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i+1)!} x^{2i+1}=  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x 

*\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i)!} x^{2i} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x 

*\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} = \sinh x 

*\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!} = \cosh x 

### Modifikovani nazivnici sa faktorijelima 
*\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = \arcsin x\quad\mbox{ za } |x| 

*\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i (2i)!}{4^i (i!)^2 (2i+1)} x^{2i+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ za } |x| 

### Binomni red 
Binomni red (uključujući kvadratni korjen za \alpha = 1/2 i beskonačni geometrijski red za \alpha = -1):

Kvadratni korjen:
*\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \quad\mbox{ za } |x|

Geometrijski red:
*(1+x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \quad\mbox{ za } |x|

Opći oblik:

*(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ za sve } |x| 
:sa uopćenim binomnim koeficijentima
:: {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!

*  \sum_{i=0}^\infty {i+n \choose i} x^i = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}
* \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i+1}{2i \choose i} x^i = \frac{1}{2x}(\sqrt{1-4x})
* \sum_{i=0}^\infty {2i \choose i} x^i = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}
* \sum_{i=0}^\infty {2i + n \choose i} x^i = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^n

## Binomni koeficijenti 
*\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n
*\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i = (a + b)^n
*\sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i} = 0
*\sum_{i=0}^n {i \choose k} = { n+1 \choose k+1 }
*\sum_{i=0}^n {k+i \choose i} = { k + n + 1 \choose n }
*\sum_{i=0}^r {r \choose i}{s \choose n-i} = {r + s \choose n}

## Trigonometrijske funkcije 
Sume sinusa i kosinusa dobijaju se iz Fourierovih redova.

*\sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0
*\sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0

## Neklasifikovani 
*\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n}

## Također pogledajte 
* Red (matematika)
* Spisak integrala
* Sumiranje
* Taylorov red
* Binomni teorem

## Reference 
## Vanjski linkovi 
Kategorija:Matematički redovi
Redovi
Redovi