Hagen–Poiseuilleova jednačina

**Hagen–Poiseuilleova jednačina** je fizikalni zakon koji opisuje sporo viskozno nestišljivo strujanje kroz konstantni kružni poprečni presjek. Poznat je i kao **Hagen–Poiseuilleov zakon**, **Poiseuilleov zakon** i **Poiseuilleov jednačina.** Nazvana je po njemačkom inženjeru i fizičaru Gotthilfu Hagenu i francuskom fizičaru i fiziologu Jean-Léonard-Marieju Poiseuilleu.

## Jednačina 
### Standardno označavanje u dinamici fluida 
U standrardnom označavanju u dinamici fluida:

: \Delta P = \frac{8 \mu L Q}{ \pi r^4} 

ili

: \Delta P = \frac{128 \mu L Q}{ \pi d^4}

gdje je

:\Delta P  pad pritiska
:L dužina cijevi
: \mu  dinamička viskoznost
:Q is the zapreminski protok
:r is the radijus
:d is the dijametar
: \pi  matematička konstanta pi (približno 3,141592654).

### Fizikalno označavanje 
: \Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \left( \frac{- \Delta P}{\Delta x}\right) = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{ |\Delta P|}{L} 

gdje je:

:*V* zapremina tečnosti koja protiče (kumbi metar)
:*t* vrijeme (sekunda)
:*v* srednja brzina fluida uzduž cijevi (metar/sekunda)
:*x* udaljenost u pravcu strujanja (metar)
:*R* unutrašnji radijus cijevi (metar)
:*ΔP* razlika u pritisku između dva kraja (paskal)
:*η* je dinamička viskoznost fluida (paskal-sekunda (Pa·s)), 
:*L* ukupna dužina cijevi u *x* pravcu (metar).

## Veza sa Darcy–Weisbachom 
Ovaj rezultat je, također, rješene fenomenološke Darcy–Weisbachove jednačine u oblasti hidraulike, dajući odnos koeficijenta trenja preko Reynoldsovog broja:

: \Lambda = {64\over {\it Re}} \; , \quad\quad Re = {2\rho v r\over \eta} \; , 

gdje je *Re* Reynoldsov broj, a *ρ* je gustoća fluida. U ovom obliku, zakon aproksimira *Darcyjev koeficijent trenja*, *koeficijent gubitka energije*, *koeficijent gubitka trenja* ili *Darcyjev koeficijent* Λ u laminarnom strujanju pri niskim brzinama u cilindričnoj cijevi. Teoretsku derivaciju blago izmijenjenog oblika ovog zakon nezavisno su napravili Wiedman 1856. i Neumann i E. Hagenbach 1858. godine (1859. i 1860. godine). Hagenbach je bio prvi koji je nazvao ovaj zakon Poiseuilleovim zakonom.

Ovaj zakon posebno je važan u hemodinamici, jednoj od podoblasti fiziologije.

Poiseuilleov zakon je kasnije, 1891. godine, proširen i na turbulentno strujanje od strane L. R. Wilberforcea, čiji je rad osnovan na Hagenbachovom radu.

## Derivacija 
Hagen–Poiseuilleova jednačina može se dobiti iz Navier–Stokesovih jednačina.

## Analogija sa električnim krugovima 
Elektricitet je najprije shvaćen kao neka vrsta fluida. Ova hidraulička analogija je još uvijek konceptualno korisna.

Poiseuilleov zakon odgovara Ohmovom zakonu za električne krugove (*U* = *IR*), gdje je pad pritiska Δ*P * analogan sa naponom *U*, a zapreminski protok Φ je analogan struji *I*. Tada je otpor
 
:R = \frac{ 8 \eta \Delta x}{\pi r^4}

Ovaj koncept je koristan jer je efektivni otpor u cijevi obrnuto proporcionalan četvrtom stepenu radijusa. Ovo znači da ako prepolovimo veličinu cijevi, otpor kretanju fluida povećat će se 16 puta.

I Ohmov i Poiseuilleov zakon ilustruju transportni fenomen.

## Reference 
* S. P. Sutera, R. Skalak, "The history of Poiseuille's law," *Annual Review of Fluid Mechanics*, Vol. 25, 1993, pp.&nbsp;1–19
* 

## Također pogledajte 
* Darcyjev zakon
* Puls
* Talas

## Vanjski linkovi 
* Poiseuille's law for power-law non-Newtonian fluid
* Poiseuille's law in a slightly tapered tube
* Web-based calculator of the Hagen-Poiseuille equation

Kategorija:Dinamika fluida