Duž

**Duž** (osječak) prave je skup koji sačinjavaju tačke A,B prave a i sve tačke koje se nalaze između tih tačaka. Tačke A, B su krajevi duži, a ostale tačke unutrašnje tačke duži. Skup tih tačaka je otvorena duž.
Duž ćiji su krajevi A i B nazivamo rastojanje (odstojanje) tačaka Ai B. Za duž ćiji su krajevi A i B kažemo da je duž AB i 
označavamo sa AB ili BA
Duž čiji se krajevi A i B poklapaju naziva se nulta duž.

## Orjentisana duž 
Orjentisana duž je duž čiji su krajevi tačke, a nazivamo je i vektorom. Prvi kraj orjentisane duži AB je početak te duži.
Uzmimo uređenost prave u smjeru u kome je A\vec AB i \vec CD imaju isti smjer; a ako je D\vec AB i \vec CD imaju suprotne smjerove.

Nula duž određuje nula vektor \vec 0

## Sadržavanje duži 
Teoreme

# Ako je M unutrašnja tačka duži AB onda
duž AM i MB sadrže se strogo u duži AB tj AM je podskup od AB i BM podskup AB
* duž AB= AM U MB i pri tom je AM ∩ MB = (M)
* ako su M i N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u AB 
2.
Ako su M,N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u duži AB
Posljedica
# duž (prava) sadrže beskonačno mnogo tačaka
# ravan sadrži beskonačno mnogo tačaka
Skup svih pravi koje prolaze kroz tačku ravni i leže u toj ravni ćine pramen pravih s vrhom u tački A.
;Aksioma prenošenja duži:
Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tačka B takva da je duž jednaka datoj duži.

Posljedica

Ako su B, B1 dvije tačke poluprave sa početkom A takve da je AB=AB1 onda je B=B1. Odnosno dvije različite tačke poluprave ne mogu imati jednako rastojanje od početka poluprave.

## Sredina duži 
Tačka M duži AB koja ima jednako rastojanje od krajeva A i B duži ( AM=MB) naziva se sredina duži
**Teorema** 
Duž može da ima samo jednu sredinu.
Dokaz
Neka duž AB ima dvije sredineM i N.
AM=MB
AN=NB

Za A1 & b=b1) => a+b=a1 + b1
Na osnovu ove teoreme proizlazi
a=b=>a+c=b+c
Komutativnost zbira duži
a+b=b+a
Asocijativnost
(a+b)+c=a+(b+c)

Zbir od n jednakih duži a označavamo sa na.
Za proizvod na važ:
m(na)=(mn)a
(m+n)a=ma + na
m(a+b)= ma+mb

Za b=na važi a=b/n

## Razlika duži 
Za a>b na duži AB postoji tačka C takva da je AC=b, duž a jednaka je zbiru duži b i c. Duž c nazivamo **razlika** duži a i b.

Odnosno razlika duži a i b (a>b) koja se označava sa a-b je svaka duž c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duži jednaka je nuli.

## Upoređivanje duži 
Neka su a i b proizvoljne duži na poluprave sa početkom u A.

Nađimo tačke B i C takve da je AB=a i AC=b . 
Za Aa)

Ako su tačke B i C na jednoj polupravoj sa početkom u A, a B1, C1 na drugoj sa početkom u A1 takve da je
AB=A1B1 & AC=A1C1, ako je A1,B11

**Teorema**

Ako je a=a1; b=b1 i a1 onda je i a1
Teorema
Za proizvoljne duži a,b isključivo je ab

Dokaz

Ako prenesemo duži a,b na polupravu sa početkom u O tako da je OA=a i OB=b. 
Tada je moguć samo jedan od ova tri slučaja

* A=B onda je a=b
* O a AB = \mid a - b \mid

Ovako određeno rastojanje između dviju tačaka ima sve osobine funkcije udaljenosti..

Za tačku M(z) kompleksne ravni kažemo da je između tačaka A i B ako je
z \ne a, z \ne b i

\mid a - z \mid  + \mid z - b \mid =\mid a - b \mid

pri čemu koristimo oznaku A - M - C.

Skup (AB) := \begin{Bmatrix} M : A - M - B
\end{Bmatrix}
nazivamo otvoreni segment ili interval određen tačkama A i B. Skup \begin{bmatrix}  AB
\end{bmatrix}: = (A,B) \cup  \begin{Bmatrix}
 A,B
\end{Bmatrix} je zatvoreni interval ili segment određen tačkama A i B.

**Teorema**

Neka su A(a) i B(b) dvije različite tačke kompleksne ravni. Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:

#M(z) \in(AB)
#postoji pozitivan realan broj k tako da je z - a = k(b - z)
#postoji realan broj t \in (0;,1) tako da je z = (1 - t)a + tb.

### Dijeljenje duži u zadanom odnosu
Neka su A(a) i B(b) dvije različite tačke. Tačka M(z) na pravoj AB deli duž
AB u odnosu k \in R \smallsetminus \begin{Bmatrix}
1
\end{Bmatrix} ako važi sledeća vektorska jednakost:

\overrightarrow{MA}= k \overrightarrow{MB}.

U terminima kompleksnih brojeva ovu jednakost možemo napisati u sledećem obliku

a - z = k(b - z) ili z(1 - k) = a - kb.

Pa je

z=\frac{a-kb}{1-k}

kompleksan broj koji određuje tačku **M**. 
Za k  tačka **M** pripada segmentu koji spaja tačke **A** i **B**.

Ako je k \in (0, 1), onda je M \in (AB) \smallsetminus \begin{bmatrix}
 A,B
\end{bmatrix}

ko je k > 1, onda je M \in (AB) \smallsetminus \begin{bmatrix}
 A,B
\end{bmatrix}

Za k = -1 ta·cka M je sredina džzi AB, a određena je kompleksnim brojem 
z_m=\frac{a+b}{12}.

## Također pogledajte 
* Interval (matematika)
* Prava (geometrija)

## Izvori
Primene kompleksnih brojevau geometriji /Radoslav Dimitrijević /07.12.2011.

Kategorija:Elementarna geometrija
Kategorija:Linearna algebra