Aritmetika

**Aritmetika** je grana matematike koja proučava računske operacije s brojevima. Dolazi od grčke riječi *arithmetike*, koja se sastoji od riječi: *arithmos* (broj) i *techne* (umijeće).

Četiri su osnovne računske operacije: 
* sabiranje
* oduzimanje
* množenje i 
* dijeljenje
koje djeca uče u osnovnoj školi. Naprednije aritmetičke operacije su *kvadriranje* i potenciranje (svode se na množenje broja sa samim sobom) i korjenovanje (nešto složeniji postupak). U aritmetici poštujemo redoslijed izvođenja računskih operacija, tj. ukoliko zagradama nije određen redoslijed operacija, množenje i dijeljenje ima prioritet u odnosu na oduzimanje i sabiranje.

Aritmetika prirodnih, cijelih, racionalnih (u obliku razlomaka) i realnih brojeva (koji imaju decimale) obično se uči u osnovnoj školi. Ipak, većina odraslih oslanja se na kalkulatore, računare ili abakuse kako bi izračunala rezultat aritmetičke operacije.

Pojam "aritmetika" koristi se i za osnovnu teoriju brojeva; u tom kontekstu se pojavljuju i osnovni teorem aritmetike i aritmetičke funkcije.

## Tablica množenja 
## Sabiranje
Sabiranje je osnovna računska operacija  aritmetike. U svom  najjednostavnijem obliku, sabrati  dva broja znaći  
naći broj a+b

;Primjeri

2+2=4

3+5=8

Može se sabrati više od 2 broja. To uključuje sabiranje beskonačno mnogo brojeva. Sabiranje broja 1 s nekim brojem je  najosnovniji oblik brojanja.

Sabiranjem broja  0 i nekog broja dobijamo taj broj.

5+0=5

0 je neutralni element za sabiranje

Sabiranjem 2 suprotna broja dobijamo broj 0.

8+(-8)=0

To je inverzan element za sabiranje.

Važi zakon komutacije

\begin{cases}
    3+4=7 \\
   4+3=7  tj\\
  3+4=4+3=7
\end{cases}

Važi zakon asocijacije

\begin{cases}
    (2+3)+5=5+5=10 \\
   2+(3+5)=2+8=10  tj\\
 (2+3)+5=2+(3+5)= 10
\end{cases}

Sabrati  možemo i geometrijski, kao u sljedećem primjeru:

Ako imamo dva štapića dužine 2 i 5 i ako ih stavimo jedan za drugim, tako da se kraj prvog poklapa sa početkom drugog štapića. Dobićemo štap  čija je dužina

2 + 5 = 7.
## Oduzimanje
Oduzimanje je inverzna operacija od sabiranja. Rezultat ove operacije je razlika. Oduzeti broj b od broja a znaći naći broj  
a-b odnosno znaći naći zbir brojeva a i (-b). To zapisujemo

a-b=a +(-b)

Imamo sljedeće slučajeve
* Ako je a onda je a-b
* Ako je a>b  onda je a-b>0
* Ako je a=b  onda je a-b=0

Za oduzimanje ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

## Množenje
Množenje je druga osnovna računska operacija aritmetike. Pomnožiti 2 broja znaći naći broj 
a*b, a to je

a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_a
;Primjer

3*4=4+4+4=12

Za množenje važi zakon komutacije

\begin{cases}
    2*6=6+6=12 \\
  6*2=2+2+2+2+2+2=12 tj \\
 2*6=6*2=12
\end{cases}

i asocijacije

\begin{cases}
    (2*3)*4=6*4=24 \\
*(3*4)=2*12=24 tj\\
(2*3)*4=2*12=24 
\end{cases}

Ako broj a pomnožimo sa 1 (neutalni element) dobićemo bro a

6*1=6

Ako broj a pomnožimo sa recipročnom vrijednosti broja a dobićemo broj 1.

6*6^{-1}=1

Ovo je inverzan broj.

Bilo koji broj može imati recipročnu vrijednost osim 0.
## Dijeljenje
Dijeljenje je inverzna  računska operacija množenju. Nije definisano dijeljenje brojem 0.

Podijeliti 2 broja znaći naći broj a:b odnosno naći proizvod broja a i recipročne vrijednosti beoja b.

To znaći

a:b=a* b^{-1}
Imamo slučajeve
* Za a>b => a:b > 1
* Za a a:b 
* Za a=b =>  a:b=1
* 
Ne važi zakon komutacije a ni asocijacije.

Za dijeljenje napisano kao proizvod važe sve osobine koje važe za množenje.
## Decimalni prikaz brojeva
Sve vrste zapisa brojeva možemo zapisati decimalnim zapisom.

;Primjer

zapis broja 507,36

(507,36)_{10}=5*10^3+0*10^2+7*10+3*10^{-1}+6*10^{-2}

Ovaj zapis brojeva obuhvata  sva pravila  aritmetičkih operacija

2.34\times10^{-5} + 5.67\times10^{-6} = 2.34\times10^{-5} + 0.567\times10^{-5} = 2.907\times10^{-5}


Kategorija:Matematičko obrazovanje