Granična vrijednost funkcije

Iako funkcija (sin x)/x nije definirana u nuli, kako x postaje sve bliži i bliži nuli, tako (sin x)/x postaje proizvoljno blizu 1. Drugim riječima,granična vrijednost (sin x)/x kako se x približava nuli jednaka je 1.

U matematici, **granična vrijednost funkcije** je osnovni način određivanja vrijednosti u kalkulusu i matematičkoj analizi, a koje se odnose na ponašanje te funkcije u određenoj ulaznoj tački. Funckija *f(x)* ima graničnu vrijednost *l* u tački *p* ako je vrijednost *f(x)* približno jednaka *l* (kada je *x* približno *p*). 
Pojam granične vrijednosti ima višestruku upotrebu u modernim kalkulusu. Konkretno, pri definisanju mnogih neprekidnih funkcija koristi se granična vrijednost: otprilike, funkcija je neprekidna ako se sve njene granične vrijednosti slažu s vrijednostima funkcije. Ona se pojavljuje u definiciji derivacija: u kalkulusu sa jednom promjenljivom, to je granična vrijednost nagiba presjeka linija na grafu funkcije.
Prve definicije, koje su se pojavite u ranom 19. vijeku, su napisane u tekstu ispod.

## Definicije 
### Funkcije na skupu realnih brojeva 
Pretpostavimo da je *f* : **R** &rarr; **R** funkcija definisana u  skupu realnih brojeva i da *p,l* &isin; **R**; tada kažemo: '*limes funkcije *f* ako *x* teži *p* je *l'''*, a to se piše:

: \lim_{x \to p}f(x) = l 

ako i samo ako za svako realno &epsilon; > 0 postoji realno &delta; > 0 takvo da je *| f(x) - l |  \lim_{x \to p^+}f(x) = l 

ili

: \lim_{x \to p^-}f(x) = l 
respektivno. Ako su ova dva limesa jednaka sa *l*, tada pišemo **limes od f(x) za p**. Ako limesi nisu jednaki sa *l*, tada limesi, kao takvi, ne postoje.

### Funkcije u metričkom prostoru 
Pretpostavimo je *f* : (*M*,d*M*) &rarr; (*N*,d*N*) definisana između dva metrička prostora, sa *x &isin; M,* a *p* tačka gomilanja od *M* i *l* &isin; *N*. Tada kažemo da je *'granična vrijednost *f*, kada *x* teži *p*, *l*'* i pišemo

: \lim_{x \to p}f(x) = l 

ako i samo ako za svako &epsilon; > 0 postoji &delta; > 0 takvo da je d*N*(*f*(*x*), *l*) *M*(*x*, *p*)  \lim_{x \to p}f(x) = l 

ako i samo ako sa svaki susjedni član *V* od *l* u *N* postoji susjedni član *U* od *p* u *M*, takav da je *f(U - {p}) ⊆ V*.

### Funkcije u topološkom prostoru 
Pretpostavimo da su *X i Y* topološki prostori, gdje je *Y*  Hausdorffov prostor. Neka *p* bude tačka gomilanja od *X*, i *l* &isin;*Y* i *f* : *X* - {*p*} &rarr; *Y* funkcija. Tada kažemo da je *'granična vrijednost *f*, ako *x* teži *p*, 'l'''* i pišemo

: \lim_{x \to p}f(x) = l 

ako i samo ako za svaki susjedni član *V* od *l*, postoji susjedni član *U* od *p* takav da je *f*(*U* - {*p*}) &sub; *V*.

### Limes funkcija u beskonačnosti 
mini|250p|Granična vrijednost funkcije postoji za svako ε > 0 postoji S > 0, takvo da je   S.

Ako se posmatra linija proširenog sistema realnih brojeva **R** koja je označena sa **R** &cup; {-∞, +∞}, onda je moguće odrediti granice funkcije u beskonačnosti.

Uzmimo da je *f(x)* stvarna vrijednost funkcije takva da se *x* može povećavati ili smanjivati neograničeno, onda kažemo da granična vrijednost *f* dok *x* prilazi beskonačnosti jednaka L*' i pišemo

: \lim_{x \to \infty}f(x) = L

ako i samo ako za svaki &epsilon; > 0 postoji *S* > 0 tako da je | *f(x) - L* |  S*.

Slično tome, kažemo za '*graničnu vrijednost od *f* dok *x* prilazi beskonačnosti da je beskonačna*' i pišemo

: \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty

ako i samo ako za svaki *R* > 0 postoji *S* > 0 tako da za sve realne brojeve *f(x) > R* kad je *x > S*.

Tako se na uporedan način mogu odrediti sljedeći izrazi:

: \lim_{x \to -\infty}f(x) = L, \lim_{x \to \infty}f(x) = -\infty, \lim_{x \to -\infty}f(x) = \infty, \lim_{x \to -\infty}f(x) = -\infty.

#### Računanje granične vrijednosti u beskonačnosti 
Postoje tri osnovna pravila kod određivanja graničnih vrijednosti racionalnih funkcija u beskonačnosti *f(x) = p(x)/q(x):*
* Ako je stepen *p* veći od stepena *q*, onda je granica pozitivna ili negativna beskonačnost zavisno od predznaka vodećih koeficijenata.
* Ako su stepeni *p* i *q* jednaki, granica se onda dobija dijeljenjem vodećeg koeficijenta *p* sa vodećim koeficijento *q*.
* Ako je stepen *p* manji od stepena *q*, onda je granica jednaka 0.

Ako postoji granična vrijednost u beskonačnosti, ona je onda predstavljena horizontalnom asimptotom *x = L*. Polinomi nemaju horizontalne asimptote, ali se one mogu pojaviti kod racionalnih funkcija.

### Kompleksne funkcije 
Kompleksna ravan sa metričkim vrijednostima d(x, y) := |x-y| je također metrički prostor. 
Postoje dvije različite vrste graničnih vrijednosti kada uzmemo u obzir funkcije sa kompleksnim vrijednostima.

#### Granična vrijednost funkcije u tački 
Uzmimo da je *f* funkcija sa kompleksnom vrijednošću, onda pišemo da
: \lim_{x \to p}f(x) = L 
ako i samo ako
za svaki &epsilon; > 0 postoji &delta; >0 za sve realne brojeve *x* sa 02 &rarr; **R**,

: \lim_{(x,y) \to (p, q)} f(x, y) = L  
ako i samo ako
:za svaki &epsilon; > 0 onda postoji &delta; > 0 takav gdje *(x,y)* sa 0 *n*) u *M* sa graničnom vrijednošću niza jednak *p*, onda je niz (*f*(*x**n*)) konvergentan sa graničnom vrijednošću *L*.

Ako skupovi A, B, ... stvaraju konačnu podjelu domena funkcije, x\in\overline{A} \land x\in\overline{B}, ... i relativna granična vrijednost za svaki od tih skupova jednaka je L, onda je i granična vrijednost u tački x jednaka L.
Funkcija *f* je neprekidna u *p* ako i samo ako *f*(*x*) dok *x* teži (konvergira) *p* postoji i konačna je. Isto tako, *f* mijenja svaki niz u *M* koji teži *p* u niz *N* koji teži *f*(*p*).

Opet, ako je N normirani vektorski prostor, onda je operacija granične vrijednosti linearna u sljedećim smislu: ako je granična vrijednost *f* (*x*) kada *x* teži *p* je L i granična vrijednost *g* (*x*) kada *x* teži *p* je P, onda je granična vrijednost *F* (*x*) + *g* (*x*) kada *x* teži *p* je L + P. Ako je *a* skalar iz osnove polja, onda je granična vrijednost *af* (x) kada x teži *p* jednaka *aL*.

Uzimajući da su granične vrijednosti funkcija u skladu sa algebarskim operacijama, pod uslovom da su granične vrijednosti na desnoj strani izraza ispod stoji da su:

:\begin{matrix}
\lim_{x \to p} & (f(x) + g(x)) & = & \lim_{x \to p} f(x) + \lim_{x \to p} g(x) \\
\lim_{x \to p} & (f(x) - g(x)) & = & \lim_{x \to p} f(x) - \lim_{x \to p} g(x) \\
\lim_{x \to p} & (f(x) g(x)) & = & \lim_{x \to p} f(x) \cdot \lim_{x \to p} g(x) \\
\lim_{x \to p} & (f(x)/g(x)) & = & {\lim_{x \to p} f(x) / \lim_{x \to p} g(x)}
\end{matrix}

Gornji izraz vrijedi ako je denominator različit od nule. 
Na osnovu gore navedenog, u slučaju kada ne postoje ograničenja na desnoj strani, ili kao u posljednjem slučaju, kada su granične vrijednosti u brojniku i nazivniku nula. Ipak, ograničenje na lijevoj strani i dalje može postojati, a to zavisi o funkcijama * F * i * G *.

Ova pravila također vrijede za jednostrane granične vrijednosti, kao u slučaju *p* = &plusmn;&infin;, kao i za beskonačne granične vrijednosti koristeći pravila: 
* *q* + &infin; = &infin; for *q* &ne; -&infin;
* *q* &times; &infin; = &infin; if *q* > 0
* *q* &times; &infin; = &minus;&infin; if *q* < 0
* *q* / &infin; = 0 if *q* &ne; &plusmn; &infin;

(pogledati Prošireni niz realnih brojeva).

Obratiti pažnju da *nema* opšteg pravila za *q* / 0; to sve zavisi od načina prilaska 0. Neodređeni oblici — kao na primjer, 0/0, 0&times;&infin;, &infin;&minus;&infin;, and &infin;/&infin; — također ne potpadaju pod ova pravila, 
ali odgovarajuće granične vrijednosti često mogu biti određene sa L'Hôpitalovim pravilom ili Teoremom stiska.

## Također pogledajte 
* Granična vrijednost realnih funkcija
* Granična vrijednost niza
* Limes superior i limes inferior

## Reference 
* MacTutor History of Weierstrass.
* MacTutor History of Bolzano
* Visual Calculus  by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001)
* Apostol, Tom M., *Mathematical Analysis,* 2nd ed. Addison–Wesley, 1974. .
* 
* 
* .
* 
* . Also aviable here: http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
* 
* .
* .
* Sutherland, W. A., *Introduction to Metric and Topological Spaces.* Oxford University Press, Oxford, 1975. .
* 
* 

Kategorija:Granične vrijednosti
Kategorija:Funkcije i preslikavanja
Kategorija:Matematička analiza