Spiskovi integrala

Pogledajte sljedeće stranice za **spisak integrala**:

* Spisak integrala racionalnih funkcija
* Spisak integrala iracionalnih funkcija
* Spisak integrala trigonometrijskih funkcija
* Spisak integrala inverznih trigonometrijskih funkcija
* Spisak integrala hiperboličkih funkcija
* Spisak integrala arkusnih hiperboličkih funkcija
* Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
* Spisak integrala logaritamskih funkcija
* Spisak integrala arkusnih funkcija

## Osnovna pravila integriranja 
:\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!
:\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
:\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx
:\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\! 
:\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C 
:\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C 

## Integrali prostih funkcija 
### Racionalne  funkcije 
:*Više na: Spisak integrala racionalnih funkcija*
:\int \,{\rm d}x = x + C
:\int x^n\,{\rm d}x =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1
:\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C
:\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C

### Iracionalne funkcije 
:*Više na: Spisak integrala iracionalnih funkcija*
:\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C
:\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C
:\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1}  + C
:\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
:\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
:\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
:\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
:\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
:\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
:\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
:\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
:\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
:\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
:\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
:\int \tan^{-1}{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C

### Hiperboličke funkcije 
:*Više na: Spisak integrala hiperboličkih funkcija*
:\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
:\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
:\int \tanh x \, dx = \ln |\cosh x| + C
:\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
:\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
:\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C

### Inverzne hiperboličke funkcije 
: \int \sinh^{-1} x \, dx  = x \sinh^{-1} x - \sqrt{x^2+1} + C
: \int \cosh^{-1} x \, dx  = x \cosh^{-1} x+ \sqrt{x^2-1} + C
: \int \tanh^{-1} x \, dx  = x \tanh^{-1} x+ \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
:\int \mbox{csch}^{-1}\,x \, dx = x \mbox{csch}^{-1}\ x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
:\int \mbox{sech}^{-1}\,x \, dx = x \mbox{sech}^{-1}\ x- \tan^{-1}{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
: \int \coth^{-1} x \, dx  = x \coth^{-1} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C

## Određeni nepravi integrali 
Postoje funkcije čiji se integrali ne mogu predstaviti u zatvorenom intervalu ().

:\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi  (također pogledajte Gama funkcija)

:\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi  (Gausov integral)

:\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}  (također pogledajte Bernulijev broj)

:\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}

:\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}

:\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2} (if *n* is an even integer and   \scriptstyle{n \ge 2})

:\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n} (if  \scriptstyle{n}  is an odd integer and   \scriptstyle{n \ge 3} )

:\int_0^\infty  x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)  (gdje je \Gamma(z) gama funkcija)

:\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]  (gdje je \exp[u] eksponencijalna funkcija e^u.)

:\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)  (gdje je I_{0}(x) modificirana Beselova funkcija prve vrste)

:\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \sqrt{x^2 + y^2} 

### "Sofomorov san"
:\sum_{n=1}^\infty n^{-n} = \int_0^1 x^{-x}\, dx\quad\quad(=1.291285997\dots)

:\sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} = \int_0^1 x^{x}\, dx\quad\quad(= 0.783430510712\dots)

(Pogledajte Johann Bernoulli i sofomorov san).

## Također pogledajte 
* Spisak graničnih vrijednosti
* Spisak matematičkih redova

## Vanjski linkovi 
### Integrali na zahtjev 
* The Integrator *(Wolfram Research)*
* TILU Pogledajte tabelu integrala *(održava Richard Fateman)*

### Tabele integrala 
* S.O.S. Matematika: Tabele i formule
* Neodređeni i određeni integrali *(na EqWorld)*


*