Inverzna funkcija

mini|desno|Funkcija ƒ i njena inverzija ƒ–1. Pošto ƒ preslikava *a* u 3, inverzna ƒ–1 preslikava 3 nazad u *a*.
U matematici, ako je ƒ funkcija od *A* do *B*, tada je **inverzna funkcija** od ƒ funkcija u suprotnom smijeru, od *B* do *A*, sa osobinom da je kompozicija od *A* do *B* do *A* (ili od *B* do *A* do *B*) vraća svaki element početnog skupa u njega samoga. Zbog toga, ako za argument *x* u funkciji ƒ dobijemo vrijednost funkcije *y*, tada za vrijednost argumenta *y* u inverznoj funkciji ƒ−1 (čitajte: *f inverzno*; ne miješati sa stepenovanje) dobijamo vijednost inverzne funkcije *x*, dakle, dobijamo početni argument funkcije ƒ. Nema svaka funkcija svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se **inverzne funkcije**.

Na primjer, neka ƒ bude funkcija koja konvertuje temperaturu u stepenima Celzijusa u temperaturu u stepenima Fahrenheita:
: f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!
tada njena inverzna funkcija konvertuje stepen Fahrenheita u stepena Celzijusa:
: f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) . \,\!

## Definicije 
mini|desno|240px|Ako ƒ preslikava *X* u *Y*, tada ƒ–1 preslikava *Y* nazad u *X*.
Neka ƒ bude funkcija čiji je domen u skupu *X*, te čija je oblast skup *Y*. Tada, ako postoji, '*inverzna funkcija* od ƒ je funkcija ƒ–1 sa domenom *Y* i oblasti *X*, definisana slijedećim pravilom:
:\text{If }f(x) = y\text{, then }f^{-1}(y) = x\text{.}\,\!

## Osobine 
### Jedinstvenost 
Ako inverzna funkcija postoji za datu funkciju ƒ, ona je jedinstvena za tu datu funkciju, tj. postoji samo jedna inverzna funkcija zadate funkcije ƒ: mora postojati inverzna relacija.

### Simetrija 
Postoji simetričnost između funkcije i njene inverzije. Specifično, ako je ƒ–1 inverzna funkcija od funkcije ƒ, tada je inverzna funkcija od ƒ–1 originalna funkcija ƒ. U simbolima:

:\begin{align}
 &\text{If }   &f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,} \\
 &\text{then } &f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y\text{.}
\end{align}

Ovo slijedi jer je inverzija relacija involucija: ako se ponavlja, vraćate se gdje ste počeli.

Ovaj iskaz je očita posljedica gore objašnjene dedukcije da funkcija, za slučaj da ƒ bude inverzabilna, mora biti injetivna (prva definicija inverzne funkcije) ili bijektivna (druga definicija). Osobina simetrije može se sažeto izraziti slijedećom formulom:

:\left(f^{-1}\right)^{-1} = f . \,\!

### Inverzija kompozicije funkcija 
mini|desno|240px|Inverzna funkcija od *g* o ƒ je funkcija ƒ–1 o *g*–1.
Inverzna funkcija kompozicije funkcija je data formulom
:(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}
Primijetimo da je redoslijed ƒ i *g* zamijenjen; da bi riješili *g*, koju prati ƒ, prvo moramo riješiti ƒ, pa onda *g*.

Na primjer, neka je ƒ(*x*) = *x* + 5, i neka je *g*(*x*) = 3*x*. Tada je kompozicija ƒ o *g* funkcija koja argument prvo množi sa tri, a zatim dodaje pet:
:(f \circ g)(x) = 3x + 5
Kako bi obrnuli proces, najprije moramo prebaciti pet na lijevu stranu, a zatim sve podijeliti sa tri:
:(f \circ g)^{-1}(y) = \tfrac13(y - 5)
Ovo je kompozicija *g*–1 o ƒ–1) (*y*).

### Samoinverzija 
Ako je *X* skup, tada je funkcija identiteta na skupu *X* svoja vlastita inverzna funkcija:

:\mathrm{id}_X^{-1} = \mathrm{id}_X

Općenitije, funkcija ƒ: *X* → *X* je jednaka vlastitoj inverznoj funkciji ako i samo ako je kompozicija ƒ o ƒ jednaka id*x*. Takva funkcija se naziva involucija.

## Inverzi u kalkulusu 
Kalkulus jedne varijable primarno se koncentriše na funkcije koje preslikavaju realne brojeve u realne brojeve. Takve funkcije su često definisane preko formula, kao što su:
:f(x) = (2x + 8)^3 . \,\!

Funkcija ƒ iz realnih brojeva u realne brojeve posjeduje inverznu funkciju sve dok grafik funkcije prolazi test horizontalne linije.

Ova tabela prikazuje nekoliko standardnih funkcija i njihovi inverza:
:

### Formula za inverznu funkciju 
Jedan od pristupa za pronalaženje formule za ƒ–1, ako ona postoji, je da se riješi jednačina *y* = ƒ(*x*) za *x*. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

:f(x) = (2x + 8)^3 \,\!

tada moramo riješiti jednačinu *y* = (2*x* + 8)3}} za *x*:

:\begin{align}
      y         & = (2x+8)^3 \\
  \sqrt[3]{y}   & = 2x + 8   \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x       \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .
\end{align}

Tako je inverzna funkcija ƒ–1 data formulom

:f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!

Ponekad se inverzna funkcija ne može izraziti preko formule. Naprimjer, ako je ƒ funkcija

:f(x) = x + \sin x , \,\!

tada je ƒ injetivna, i zbog toga posjeduje inverznu funkciju ƒ–1. Ne postoji jednostavna formula za ovu inverznu funkcju, pošto se jednačina *y* = *x* + sin *x* ne može riješiti algebarski za *x*.

## Također pogledajte 
* Inverzna trigonometrijska funkcija
* Logaritam
* Teorem inverzne funkcije
* Inverzne funkcije i diferencijacije
* Inverzna relacija
* Inverzni element

## Reference 
* 
* 

Kategorija:Osnovni koncepti u teoriji skupova
Kategorija:Inverzne funkcije
Kategorija:Funkcije i preslikavanja