Alef broj

U matematičkoj teoriji skupova, **alef brojevi** predstavljaju brojeve koji se koriste za označavanje kardinalnosti (broja članova) beskonačnih skupova. Njihova oznaka je hebrejsko slovo alef (\aleph).

Kardinalnost skupa prirodnih brojeva je \aleph_0 (alef-nula); sljedeća veća kardinalnost je alef-jedan \aleph_1, pa \aleph_2 i tako dalje. Na ovaj je način moguće definirati kardinalni broj \aleph_\alpha za svaki ordinalni broj α.

Ovaj je koncept uveo Georg Cantor, koji je i uveo pojam kardinalnosti, te došao do zaključka da beskonačni skupovi mogu imati različite kardinalnosti.

Alef brojevi se razlikuju od beskonačnosti (∞) koja se često susreće u algebri ili matematičkoj analizi. Alef brojevi označuju veličinu skupova; beskonačnost, s druge strane, se obično definira kao krajnja granica pravca realnih brojeva. Iako neki alef brojevi mogu biti veći od drugih, ∞ je jednostavno ∞.

## Alef-nula 
Alef-nula (\aleph_0) je po definiciji kardinalnost skupa svih prirodnih brojeva (pretpostavljajući, kao i obično, aksiom izbora). Alef-nula je najmanji od svih beskonačnih kardinalnosti. Skup ima kardinalnost \aleph_0 ako i samo ako je prebrojivo beskonačan, što je slučaj ako i samo ako se može napraviti izravna bijekcija, ili jedan-jedan preslikavanje sa skupom prirodnih brojeva. Među takvim skupovima su skupovi svih prostih brojeva, svih cijelih brojeva ili skup svih racionalnih brojeva.

## Alef-jedan 
\aleph_1 je kardinalnost skupa svih prebrojivih ordinalnih brojeva, zvanog **ω1** ili **Ω**. Treba imati na umu da je **ω1** neprebrojiv skup. Ova teorija implicira (i u samoj Zermelo-Fraenkel teoriji skupova (ZF), *bez* aksioma izbora) da ne postoji kardinalan broj između \aleph_0 i \aleph_1. Ako se koristi aksiom izbora, može se dalje dokazati da je klasa kardinalnih brojeva potpuno (totalno) uređena, te da je stoga \aleph_1 drugi najmanji beskonačan kardinalan broj. Korištenjem aksioma izbora se može pokazati jedno od najkorisnijih svojstava skupa **Ω** (standardan primjer skupa veličine \aleph_1): svaki prebrojivi podskup skupa **Ω** ima gornju granicu (u odnosu na standardnu dobru uređenost ordinala) u **Ω** (dokaz je lak: prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiva - ovo je jedna od najčešćih primjena aksioma izbora). Ova činjenica je analogna situaciji u \aleph_0: svaki konačan skup prirodnih brojeva (podskup od **ω**) ima maksimum, koji je također prirodan broj (ima gornju granicu u **ω**) — konačne unije konačnih skupova su konačne.

**Ω** je u stvari koristan koncept, iako zvuči pomalo egzotičan. Primjer primjene je *zatvaranje* u odnosu na prebrojive operacije; naprimjer, pokušaj eksplicitnog opisivanja &sigma;-algebra generirane proizvoljnom kolekcijom podskupova. Ovo je teže od većine eksplicitnih opisa "generiranja" u algebri (naprimjer vektorskih prostora, grupa, itd.) jer u tim slučajevima moramo zatvoriti samo u odnosu na konačne operacije - sabiranje, množenje i slično. Proces uključuje definisanje, za svaki prebrojivi ordinal, putem transfinitne indukcije, skupa *ubacivanjem* svih mogućih prebrojivih unija i komplemenata, i uzimanjem unije svega toga nad cijelim **Ω**.

## Hipoteza kontinuuma 
Kardinalnost skupa realnih brojeva je 2^{\aleph_0}. Nije jasno gdje ovaj broj potpada u hijerarhiji alef-brojeva. Iz Zermelo-Fraenkel teorije skupova, s aksiomom izbora, slijedi čuvena hipoteza kontinuuma, ekvivalentna identitetu

:2^{\aleph_0}=\aleph_1.

Hipoteza kontinuuma je neovisna od Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora: ne može se ni dokazati niti opovrgnuti unutar konteksta tog aksiomatskog sistema. Kurt Gödel je 1940. dokazao njenu konzistentnost sa ZF teorijom skupova s aksiomom izbora; Paul Cohen je 1963. godine demonstrirao neovisnost od ZF teorije skupova s aksiomom izbora.

## Alef-ω 
Konvencionalno se najmanji beskonačan ordinal označuje sa ω, i kardinalan broj \aleph_\omega je najmanja gornja granica

:\left\{\,\aleph_n : n\in\left\{\,0,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}.

Alef-ω je prvi neprebrojivi kardinalan broj za koji se unutar ZF teorije skupova može pokazati da *nije* jednak kardinalnosti skupa realnih brojeva; za bilo koji pozitivan cijeli broj *n* se može konzistentno pretpostaviti da je 2^{\aleph_0} = \aleph_n, i štoviše, moguće je pretpostaviti da je 2^{\aleph_0} proizvoljno velik.

## Alef-α za opći α 
Kako bi se definisao alef-α za proizvoljan ordinalan broj α, mora se definisati operacija kardinala sljedbenika, koja proizvoljnom kardinalnom broju ρ dodjeljuje sljedeći veći dobro uređen kardinal \rho^+. (Ako vrijedi aksiom izbora, tada je ovo sljedeći veći kardinal.)

Tada se mogu definirati alef brojevi na sljedeći način

:\aleph_{0} = \omega
:\aleph_{\alpha+1} = \aleph_{\alpha}^+

i za λ, beskonačan granični ordinal,

:\aleph_{\lambda} = \bigcup_{\beta 

&alpha;-ti beskonačni početni ordinal se označuje sa \omega_\alpha. Njegova kardinalnost je \aleph_\alpha.

## Fiksne tačke za alef 
Za bilo koji ordinal α slijedi:
:\alpha\leq\aleph_\alpha.
U mnogim slučajevima \aleph_{\alpha} je strogo veći od α. Naprimjer, za bilo koji ordinal sljedbenik α, ovo vrijedi. Međutim, postoje neki granični ordinali, koji su fiksne tačke alef funkcije. Prvi takav je granica niza
:\aleph_0, \aleph_{\aleph_0}, \aleph_{\aleph_{\aleph_0}},\ldots
Svaki nedostupni kardinal je, također, fiksna tačka alef funkcije.

## Također pogledajte 
* Georg Cantor
* Kardinalan broj
* Neprebrojiv skup
* Hipoteza kontinuuma
* Bet broj

Kategorija:Teorija skupova