Relacija (matematika)

Neka je zadan skup A={1,2,3}, onda je

A\times A={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Posmatrajmo parove gdje je prva koordinata manja od druge.

Skup {(1,2), (1,3),(2,3) } je **relacija** između elementa skupa A (relacija predstavlja vezu među veličinama).

Neka je zadana relacija na sljedeći način element x iz A manji je od (veći je od) elementa y iz B. 
Ovo je relacija biti manji od (biti veći od). Relaciju biti veći od predstavlja skup { (2,1), (3,1),(3,2) }. Neka su dati skupovi A i B , a neka je relacija R podskup skupa AxB. Skup R zovemo relacija između elemenata skupa A i skupa B ili relacija sa A u B i pišemo: xRy.
## Definicija
Binarna relacija R između dva skupa A i B je podskup kartezijevog proizvoda

 A \times B = \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}\colon

    R \sube A \times B.

## Važnije binarne relacije 
### Refleksivna relacija 
Za relaciju R\subset A\times A kažemo da je refleksivna (povratna) onda i samo onda ako je a\ R\ a za a \in A tj ako R sadrži dijagonalu D(A^2)

(\forall a)(a \in A)  a \ R\ a
### Antirefleksivnost
(\forall a \in A) (a,\ a) \notin A

### Simetrična relacija 
Za relaciju R\subset A \times A kažemo da je simetrična ako ima osobinu
Ako je a\ R\ b onda je i b\ R\ a tj ako se skup R sastoji od parova simetričnih prema dijagonali D(A^2)

(\forall a,b) (a,b \in A) \; a\ R\ b \Rightarrow b\ R\ a
### Tranzitivne relacije 
Za relaciju R\subset A\times A kažemo da je tranzitivna onda i samo onda ako ona ima osobinu
Ako je a\ R\ b \land b\ R \ c onda je a\ R \ c tj

(\forall a,\ b,\ c)(a,\ b,\ c \in \ A)\; a\ R \ b \land b\ R \ c \Rightarrow a \ R \ c

### Antisimetrična relacija 
Za relaciju R\subset A\times A kažemo da je antisimetrična ako i samo ako ima osobinu 
ako je a\ R \ b \land b\ R \ a onda je a=b tj

(\forall a,\ b) (a,\ b \in A)\; a\ R\ b \land b\ R\ a \Rightarrow a=b\,

### Zakon trihitomije 
Za binarnu relaciju R zadanu na skupu S kažemo da zadovoljava zakon trihotomije ako i samo ako vrijedi

a

## Relacija ekvivalencije 
Relacija ekvivalencije je relacija koja je:
# Refleksivna
# Simetrična 
# Tranzitivna
Primjer biti paralelan

a\parallel a po definiciji za dvije prave u ravni kažemo da su paralelne onda i samo onda ako nemaju zajedničkih tačaka ili su sve tačke zajedničke tj identične su.

a \parallel\ b =>\ b\parallel\ a

a\parallel \ b \land \ b\parallel\ c => \ a\parallel \ c

Ako je R relacija ekvivalencije na skupu A i a iz A onda skup svih elemenata x iz A za koje vrijedi x\ R\ a zovemo klasom elemenata ekvivalentnih sa a u odnosu na relaciju R i označavamo sa C_a tj 
;Teorema

Svaka relacija ekvivalencije definisana u skupu R određuje rastavljanje skupa A na disjunktne podskupove koji su klase ekvivalencije elemenata s obzirom na datu relaciju ekvivalencije.
Svako disjunkno rastavljanje skupa A određuje u A relaciju ekvivalencije.

Ako je R relacija ekvivalencije u skupu A onda skup svih klasa ekvivalencije ekvivalentnih elemenata sobzirom na relaciju R označavamo sa A/R i nazivamo kvocijentni skup skupa A modulo R.
 
Neka je data ravan \alpha, prava a i tačke A,\ B,\ C u toj ravni. Tačke A,\ B,\ C ne leže na pravoj a. Prava a siječe duž AB ako imaju jednu zajedničku tačku koja je unutrašnja tačka duži AB.

## Uređajna relacija 
Relacija R\subset A\times A zove se relacija parcijalnog uređenja skupa S, a skup S parcijalno uređenim skupom s obzirom na relaciju R ako je ona 
* refleksivna
* tranzitivna 
* antisimetrična

Relacija je relacija strogog poretka (striktnog uređenja) ako je:
* antirefleksivna 
* antisimetrična 
* tranzitivna

Parcijalno uređen skup u kome su svaka dva elementa uporediva zove se linearno (potpuno) uređen skup.

Relacija  \leq  je linearno uređena relacija

 a\leq a

 a\leq  b & b \leq a onda je a=b

ako je  a\leq b &  b\leq c onda je i  a\leq c

U elementarnoj matematici postoje tri osnovne relacije uređenje(poretka):

# x  (Primjer: 2  *"2 je manje od 3"*)
# x = y (Primjer: 3 = 3 *"3 ije jednako 3"*)
# x > y (Primjer: 3 > 2 *"3 ije veće od 2"*)
za x, y \in \R.

Dva realna broja su određena tačno jednom relacijom uređenja

* x \leq y, ako je x  ili x = y (*Primjer:  4 \leq 5*)
* x \geq y, ako je x > y ili x = y (*Primjer:  5 \geq 5*)
* x \neq y, ako je x  ili x > y (*Primjer:  4 \neq 5*)
za  x, y \in \R.

Za binarnu relaciju R definisanu na skupu S podskup od AxA kažemo da je strogo linearno urđena ako za nju vrijedi zakon tranzitivnosti.

Neka je \leq  uređajna relacija u skupu S (ne nužno) uređajna je ako su a, b, c elementi iz S ili ako je  a\leq  b &  b\leq  a

Neka je  \leq  uređajna relacija u skupu S ako su a,\ b elementi iz S i vrijedi  a\leq  b kažemo da je a predhodnik elementa b, a ako vrijedi  b\leq a onda je b sljedbenik elementa a s obzirom na relaciju  \leq .

Neka je  \leq  uređajna relacija u S i neka je A podskup od S onda ako u S postoji takav element m da za svako a iz A vrijedi  m\leq a onda m nazivamo **minoranta** donja granica skupa A.

Analogno ako postoji M iz A da za svako a iz A vrijedi a  a\leq M. onda M nazivamo **majoranta** gornja granica skupa A.

Nekaj je  \leq  uređajna relacija skupa S i ako je A podskup od S skup svih mjoranata skupa A označimo ga sa P, a skup svih majoranata skupa A označimo sa Q. Ako postoji max \ P zovemo ga infinum od A (oznaka inf\ A), a ako postoji min\ Q zovemo supremum oznaka sup\ Q.
## Inverzna relacija
Inverzna relacija definisana na relaciji  R \subseteq A \times B je
:R^{-1} = \{(b,a) \in B \times A \mid (a,b) \in R\}.
;Primjer 1
Inverzni odnos odnos "suprug od" o odnosu "njegova supruga."
;Primjer 
Inverzni odnos odnosa "manje od" je "veće od".

## Primjeri relacija

Relationen.svg|Svi parovi  (u,v) su u\in A := \{a,b,c\} i v\in B := \{x,y,z\} definisani relacijom R između A i B
Relation "x studiert y".svg|Primjer relacije "Osoba X  proučavao predmet y".
Relation "x liebt y".svg|Primjer relacije "osoba X voli y osobu". 
Relation weiblich - männlich.svg|Relacija "osoba x je žena" podskup je osnovnog skupa
Relation "x lernt y beim Lehrer z".svg|trostruka relacija. "Osoba x podučava osobu z predmet y"

## Izvor
Skupovi, relacije, funkcije

## Linkovi
# Relation – Mathe für Nicht-Freaks
# Binäre Relation – Mathe für Nicht-Freaks