Uniformna norma

Norme na R^2 su realne funkcije na R^2 koje posjeduju određene osobine.

Svaka norma definiše udaljenost (metriku), uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

;Primjer

Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od neke fiksne tačke, pa će njen oblik zavisiti o normi u kojoj računamo, pa će, kružnice s obzirom na 1-normu i max-normu imati oblik kvadrata.

Kao i u euklidskoj geometriji, omjer obima i prečnika kružnice biće konstantan u svim p-normama. Taj omjer, koji označavamo s \pi _r, generalizira broj \pi.

Na R^2  često se koristi max-norma. To je poseban slučaj p-norme za p=\infty

\lVert (x,y) \rVert _\infty   = max \{ |x|,|y|\}         za \{x,y\} \in   R^2

Teorema 
za max- normu definisanu sa

\lVert (x,y) \rVert _\infty   = max \{ |x|,|y|\}         za \{x,y\} \in   R^2 vazi

\lim  _{p\rightarrow \infty}(\lVert (x,y) \rVert _p) = \lVert (x,y) \rVert _\infty
za \forall (x,y)\in   R^2

;Dokaz

\lim  _{p\rightarrow \infty}(\lVert (x,y) \rVert _p)=\lim  _{p\rightarrow \infty}(\sqrt[p]{|x|^p+|y|^p})= 

\begin{cases}
   \lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}| }  \  za  \ |x|>|y|\\
   \lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{2| }         \   za \|x| = |y|      \\
    \lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{x}{y}| }  \  za \|x|

Za |x|>|y| je

\lVert (x,y) \rVert _\infty =|x|

\frac{y}{x} 

\lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}| }=|x|=\lVert (x,y) \rVert _\infty

Za |x|=|y| je

\lVert (x,y) \rVert _\infty =|x|=|y|

\lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}| } =|x|\lim  _{p\rightarrow \infty}(\sqrt[p]{1+|\frac{y}{x}| } =|x|\lim  _{p\rightarrow \infty}(\sqrt[p]{2 }=|x|=\lVert (x,y) \rVert _\infty

Za |x| je

\frac{x}{y} 

\lim  _{p\rightarrow \infty}(|x|\sqrt[p]{1+|\frac{x}{y}| }=|y|=\lVert (x,y) \rVert _\infty

Neka su T_1  = (x_1,y_1) i T_2  = (x_2,y_2) neke dvije tačke ravni. Udaljenost između T_1 i T_2 s obzirom na normu \lVert . \rVert računa se kao

d(T_1  ,T_2 )=\lVert (x_1-x_2) ,  ( y_1-y_2 ) \rVert

d(T_1  ,T_2 )_p=(|x_1 |-|x_2 |)^p+(|y_1 |-|y_2 |)^p

Za tačke 
T_1=(2,-3) i T_2=(5,1) imamo

d(T_1  ,T_2 )=\lVert (2-5) +  ( -3-1 ) \rVert=\lVert (-3-4 ) \rVert=7

d_2(T_1  ,T_2 )= \sqrt{(|2-5 |)^2+(|-3-1 |)^2=\sqrt{9+16}}  =5          

d_\infty(T_1  ,T_2 )=max(|(2-5)|,|(-3-1)|)=4 

Ako nacrtamo tačke T_1 i T_2 u koordinatnom sistemu, tada je euklidska udaljenost

d_2(T_1  ,T_2 )= \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1- 
jednaka duzini duzi \overline{T_1  T_2} dok je
d_1(T_1,T_2 )=|x_1-x_2 |+|y_1-y_2 | dužina iscrtkanih putova od T_1 do T_2.

Uočimo da samo jedan put od T_1 do T_2 ima dužinu d_2(T_1, T_2) i to je najkraći put između ove 2 tačke, dok d_1(T_1,T_2 ) puteva ima više.

Iako smo naviknuti da udaljenost između dvije tačke računati kao dužinu najkraćeg puta, ponekad nam je korisniji neki drugi način računanja udaljenosti.

Primjer

Pretpostavimo da ulice u nekom gradu čine jednupravouglu mrežu. Želimo li doći od jednog do drugog mjesta u gradu, tj. od tačke T_1 = (x_1, y_1) do T_2 = (x_2, y_2), onda će udaljenost koju ćemo preći biti dužina najkraćeg puta koji prolazi zadanim ulicama (što je upravo d_1(T_1, T_2), a ne zraćna udaljenost d_2(T_1, T_2) između ovih tačaka.

Sada je jasno zašto se \lVert (x,y) \rVert_1 često naziva *taksi-norma*, a ponekad i Manhattan-norma.

## Reference 
p-norme na R^2, kružnice S_p i brojevi \pi_p // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)

Kategorija:Banachovi prostori
Kategorija:Funkcionalna analiza
Kategorija:Normirani prostori
Kategorija:Norme (matematika)