Eksponent

**Eksponencijacija** je matematička operacija, napisana kao , koji uključuje dva broja, *baza*  i *eksponent* ili *power* , i izgovara se kao " (podignuto) na (potenciju) ". Kada je  pozitivan integer, eksponencijacija odgovara ponovljenom umnošku baze: to jest,  je proizvod množenja  baza: ili najkraće kao "*b* do *n*-og.
 
Polazeći od osnovne činjenice gore navedene da je za svaki pozitivan cijeli broj n, b^n n pojavljivanja b sve pomnoženo jedno s drugim, direktno slijedi nekoliko drugih svojstava eksponencijalnosti. Posebno:
 

\begin{align}
b^{n+m} & = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n+m \text{ times}} \\[1ex]
& = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n \text{ times}} \times \underbrace{b \times \dots \times b}_{m \text{ times}} \\[1ex]
& = b^n \times b^m
\end{align}

 
Drugim riječima, kada se množi baza podignuta na jedan eksponent sa istom bazom podignutom na drugi eksponent, eksponenti se sabiraju. Iz ovog osnovnog pravila koje dodaju eksponenti možemo izvesti da b^0 mora biti jednako 1, kako slijedi. Za bilo koji n, b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n. Podjela obje strane sa b^n daje b^0 = b^n / b^n = 1.
 
Činjenica da se b^1 = b može na sličan način izvesti iz istog pravila. Na primjer,  (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 . Uzimanje kubnog korijena obje strane daje b^1 = b.
 
Pravilo da množenje čini da se eksponenti sabiraju može se koristiti i za izvođenje svojstava negativnih cjelobrojnih eksponenata. Razmotrite pitanje šta bi trebalo značiti b^{-1}. Da bi se poštivalo pravilo "eksponenti dodatak", mora biti slučaj da b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 . Dijeljenje obje strane sa b^{1} daje b^{-1} = 1 / b^1, što se jednostavnije može napisati kao b^{ -1} = 1 / b, koristeći rezultat odozgo da je b^1 = b. Po sličnom argumentu, b^{-n} = 1 / b^n.
 
Svojstva razlomanih eksponenata također proizlaze iz istog pravila. Naprimjer, pretpostavimo da razmatramo \sqrt{b} i pitamo postoji li neki odgovarajući eksponent, koji možemo nazvati r, tako da je  b^r = \ sqrt{b}. Iz definicije kvadratnog korijena, imamo da je  \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b . Prema tome, eksponent r mora biti takav da  b^r \cdot b^r = b . Korišćenje činjenice da množenje čini eksponente sabiranjem daje  b^{r+r} = b . b na desnoj strani se također može napisati kao  b^1, dajući  b^{r+r} = b^1  . Izjednačavajući eksponente na obje strane, imamo  r+r = 1 . Prema tome,  r = \frac{1}{2} , tako da \sqrt{b} = b^{1/2} .
 
Definicija eksponencijalnosti može se proširiti tako da omogući bilo koji realan ili kompleksni eksponent. Eksponencijaliranje cjelobrojnim eksponentima se također može definisati za širok spektar algebarskih struktura, uključujući matrice.
 
Eksponencijacija se intenzivno koristi u mnogim poljima, uključujući ekonomiju, biologiju, hemiju, fiziku i računarske nauke, sa aplikacijama kao što su složeni interes, rast populacije, kinetika hemijske reakcije, ponašanje talasa i kriptografija s javnim ključem.
 
## Terminologija
Izraz  naziva se "kvadrat od *b* ili *b* na kvadrat, jer je površina kvadrata sa dužinom stranice  .
 
Slično tome, izraz  naziva se "kub od *b* ili *b* kocka, jer je zapremina kocke sa bočnom dužinom  .
 
Kada je pozitivan cijeli broj, eksponent pokazuje koliko je kopija baze pomnoženo zajedno. Naprimjer, . Baza  se pojavljuje  puta u množenju, jer je eksponent . Ovde,  je *5. stepen od 3*, ili *3 podignuto na 5. stepen*.
 
Riječ "podignut" se obično izostavlja, a ponekad i "potencija", tako da se  može jednostavno pročitati "3 na 5.", ili "35." Stoga se eksponencijacija  može izraziti kao "*b* na stepen *n*", "' 'b' na *n*-tu potenciju, ''*b* na *n*-tu, ili najkraće kao *b* na *n*.
 
Formula sa ugniježđenom eksponencijacijom, kao što je  (što znači  a ne ), naziva se potencija moći, ili jednostavno potdencija. Naprimjer, pisanje b^{c^d} je ekvivalentno pisanju b^{\left(c^d\right)}. Ovo se može generalizirati na to gdje pisanje b^{c^{d^f}} znači b^{\left(c^{\left(d^f\right)}\right )}. Naprimjer, \sqrt{100} se može izračunati kao 100^{\frac{1}{2}}, što se može izračunati kao 100^{ 2^{-1}}, što je jednako 100^{\left(2^{-1}\right)}, što je jednako 10..

## Cjelobrojni eksponenti
Operacija eksponencijaliranja sa celobrojnim eksponentima može se definisati direktno iz elementarnih aritmetičkih operacija.
 
### Pozitivni eksponenti
Definicija eksponencijacije kao ponavljanog množenja može se formalizirati korištenjem indukcije, a ova definicija se može koristiti čim se dobije asocijativnost množenja:
 
Osnovni slučaj je
:b^1 = b
a ponavljanje je
:b^{n+1} = b^n \cdot b.
 
Asocijativnost množenja implicira da za bilo koje pozitivne cijele brojeve  i ,
:b^{m+n} = b^m\cdot b^n,
i
:(b^m)^n=b^{mn}.
 
### Nulti eksponent
Po definiciji, svaki broj različit od nule podignut na stepen  je :
:b^0=1.
 
Ova definicija je jedina moguća koja dozvoljava proširenje formule:
:b^{m+n}=b^m\cdot b^n
na nulte eksponente. Može se koristiti u svakoj algebarskoj strukturi sa množenjem koje ima identitet.
 
Intuitivno, b^0 se može protumačiti kao prazan proizvod kopija . Dakle, jednakost b^0=1 je poseban slučaj opće konvencije za prazan proizvod.
 
Slučaj  je komplikovaniji. U kontekstima u kojima se razmatraju samo cjelobrojne potencije, vrijednosti  se općenito dodjeljuje 0^0,, ali u suprotnom, izbor da li će joj se dodijeliti vrijednost i koju vrijednost dodjela može ovisiti o kontekstu. 
 
### Negativni eksponenti
Eksponencijacija sa negativnim eksponentima je definirana sljedećim identitetom, koji vrijedi za bilo koji cijeli broj  i različit od nule :
:b^{-n} = \frac{1}{b^n}.

 
:To je,
:b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},
što je, općenito, drfukčije od: 
:\left(b^p\right)^q = b^{p q} .

### Potencije zbira
Potencije sume se normalno mogu izračunati iz potencija sabiraka pomoću binomne formule
:(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n !}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.
 
Međutim, ova formula je istinita samo ako se sabirci mijenjaju (tj. da ), što se podrazumijeva ako pripadaju strukturi  to je komutativno. U suprotnom, ako su  i , recimo, kvadratne matrice od same veličine, ova formula se ne može koristiti. Iz toga slijedi da se u kompjuterskoj algebri mnogi algoritami koji uključuju cjelobrojne eksponente moraju promijeniti kada se baze eksponencijacije ne mijenjaju. Neki sistemi kompjuterske algebre opće namjene koriste drugačiju notaciju (ponekad  umjesto ) za eksponencijaciju sa nekomutirajućim bazama, što se tada naziva '* nekomutativno eksponencijaliranje*.
 
### Kombinatorna interpretacija
Za nenegativne cijele brojeve  i , vrijednost  je broj [ [funkcija (matematika)|funkcije]] iz skup od  elemenata u skupu  elemenata (pogledajte kardinalno eksponencijaliranje). Takve funkcije mogu biti predstavljene kao -torke]] iz -skupa elemenata (ili kao -slovne riječi iz -slovna abeceda). Neki primjeri za određene vrijednosti  i  dati su u sljedećoj tabeli:
:
 
### Posebne baze
#### Potencije desetica
U sistemu brojeva sa bazom deset (decimalni), cjelobrojne potencije  se zapisuju kao cifra  iza koje slijedi ili prethodi broj nula određenih predznakom i veličinom eksponenta. Naprimjer, .
 
Eksponencijacija sa bazom  se koristi u naučnoj notaciji za označavanje velikih ili malih brojeva. Naprimjer,  (brzina svjetlosti u vakuumu, u metrima u sekundi) se može napisati kao , a zatim približno kao .
SI prefiksi zasnovane na moćima  se također koriste za opisivanje malih ili velikih količina. Na primjer, prefiks kilo znači , tako da je kilometar .

#### Potencije dvojke
Prve negativne potencije  se obično koriste i imaju posebne nazive, npr.: *pola* i *četvrtina* .
 
Moći  se pojavljuju u teoriji skupova, pošto skup sa  članovima ima power set, skup svih njegovih podskups, koji ima  članova.
 
Cjelobrojne moći  su važne u računarstvu. Pozitivni cijeli brojevi  daju broj mogućih vrijednosti za -bit cijeli broj binarni broj; na primjer, byte može uzeti  različite vrijednosti. binarni brojevni sistem izražava bilo koji broj kao zbir stepena , i označava ga kao niz  i , razdvojenih sa a binarna tačka, gde  označava stepen  koji se pojavljuje u zbiru; eksponent je određen mjestom ove : nenegativni eksponenti su rang  na lijevoj strani tačke (počevši od ), a negativni eksponenti su određeni rangom s desne strane tačke.

#### Potenciranje jedan
Potencije 1 su jednake 1: . To je zato što 1^n = \underbrace{1 \times 1 \times \dots \times 1 \times 1}_{n \text{ times}} i  1 \times 1 = 1
 
Prvi stepen broja je sam broj: n^1=n. Eksponent može biti vrlo velik, a izlaz je i dalje 1, naprimjer 1^{9^{9^ {9^{9}}}}=1. Ovo izračunavanje uzrokuje grešku prelivanja u računarima jer je broj 9^{9^{9^{9}}} izuzetno velik, a rezultat podizanja 1 na taj stepen je samo 1.
 
#### Potenciranje nule
Ako je eksponent  pozitivan (),  -ta potencija nule je nula: .
 
Ako je eksponent  negativan (), -ti stepen nule  je nedefiniran, jer mora biti jednak 1/0^{-n} sa , a to bi bilo 1/0 prema gore navedenom.
 
Izraz [[Nula na stepen nule|]] je ili definiran kao 1, ili je ostavljen nedefiniran.
 
#### Potencije negativne jedinice
Ako je  paran cijeli broj, tada je . To je zato što se negativan broj pomnožen sa drugim negativnim brojem poništava i daje pozitivan broj.
 
Ako je  neparan cijeli broj, tada je . To je zato što će postojati preostali  nakon uklanjanja svih parova .
 
Zbog toga su potencije  korisne za izražavanje naizmjeničnih sekvencija.
 
#### Potencije 3 
Ternarna logika koristi bazu 3 kao alternativu bazi −2 za binarnu logiku, koju koriste svi savremeni računari. Postoje mnoge prednosti dizajniranja računara sa bazom 3 uključujući veću sigurnost.

### Veliki eksponenti
Ograničenje niza stepena broja većeg od jedan se razilazi; drugim riječima, niz raste neograničeno:
: kao  kada je 
 
Ovo se može pročitati kao "*b* na stepen *n* teži ka +∞ kao *n* teži beskonačnosti kada je *b* veće od 1".
Potencije broja sa apsolutna vrijednost manjim od jedan teže nuli:
: kao  kada je 
 
Svaka potencija 1 je uvijek 1:
: za sve  ako je 
 
Potencije  se naizmjenično smjenjuju između  i  kao što se  mijenja između parnih i neparnih, i stoga ne teže bilo kojoj granici kako  raste.
 
Ako se ,  mijenja između većih i većih pozitivnih i negativnih brojeva jer se  izmjenjuje između parnih i neparnih, i stoga ne teži bilo kakvom ograničenju kako  raste.
 
Ako eksponencirani broj varira dok teži ka  dok eksponent teži beskonačnosti, onda granica nije nužno jedna od onih iznad. Posebno važan slučaj je
: kao 
 
### Funkcije potencija
Realne funkcije oblika f(x) = cx^n, gdje je c \ne 0, ponekad se nazivaju funkcije potencije. Kada je n integer i n\ge 1, postoje dvije primarne porodice: za n čak i za  n neparan. Općenito za c > 0, kada je n paran f(x) = cx^n težit će ka pozitivnoj beskonačnosti sa povećanjem x, kao i prema pozitivnoj beskonačnosti sa smanjenjem x. Svi grafikoni iz porodice parnih funkcija stepena imaju opći oblik y=cx^2, spljoštavajući se više u sredini kako se n povećava.  Funkcije sa ovom vrstom simetrija  nazivaju se parne funkcije.
 
Kada je n neparan, asimptotično ponašanje f(x) se obrće s pozitivnog x na negativno x matematika>. Za c > 0, f(x) = cx^n će također težiti pozitivnom beskonačnost sa povećanjem x math>, ali prema negativnoj beskonačnosti sa smanjenjem x. Svi grafikoni iz porodice funkcija neparnog stepena imaju opći oblik y=cx^3, spljoštavajući se više u sredini kako se n povećava i gube svu ravnost u ravnini linija za n=1. Funkcije sa ovom vrstom simetrije  se nazivaju neparne funkcije.
 
Za c , suprotno asimptotsko ponašanje je istinito u svakom slučaju.
 
### Potencije decimalnih brojeva
## Također pogledajte
* Dvostruka eksponencijalna funkcija
* Eksponencijalno raspadanje
* Eksponencijalno polje
* Eksponencijalni rast
* Lista eksponencijalnih tema
* Modularna eksponencijacija
* Naučna notacija
* Unikodni subskripti i superskripti
* *x**y* = *y**x*
* Nula na stepen nule

 
 
## Napomene
## Reference
## Vanjski linkovi
Kategorija:Eksponencijali
Kategorija:Unarne operacije