Versinus i haversinus

**Versinus** ili **obrnuti sinus** je trigonometrijska funkcija koja se pojavljivala tokom ranog razvoja trigonometrije. Postoji još nekoliko srodnih funkcija i to **coversinus** i **haversinus**. Haversinus, koji predstavlja polovinu versinusa, ima izrazitu važnost kod haversinusne formule koja se koristi za navigaciju.
[mini|270x270piksel|[Kružnica|Jedinična kružnica sa odgovarajućim trigonometrijskim funkcijama.]]

## Pregled 
**Versinus** je trigonometrijska funkcija koja se pojavljivala u najranijim trigonometrijskim tablicama. Piše se kao '*versin(*&#x3B8;*)**, ili **siv(*&#x3B8;*)*'. Na latinskom, ova funkcija je poznata kao *sinus versus* ili '*vcs(*&#x3B8;*)** **cosiv(*&#x3B8;*)**
* **Koverzirani kosinus** or **cvc(*&#x3B8;*)** koji se zapisuje kao **haversin(*&#x3B8;*)**, **semiversin(*&#x3B8;*)**, **semiversinus(*&#x3B8;*)**, **havers(*&#x3B8;*)**, **hvs(*&#x3B8;*)**, **sem(*&#x3B8;*)**. Ova funkcija se najčešće koristi u haversinusnoj formuli.
* **Haverzirani kosinus** **hac(*&#x3B8;*)** ili **hvc(*&#x3B8;*)** **semicoversin(*&#x3B8;*)**, **hacovers(*&#x3B8;*)**, **hacov(*&#x3B8;*)** or **hcv(*&#x3B8;*)** or **hcc(*&#x3B8;*)*' Značenje ovih termina je očigledno kada se te funkcije posmatraju u okviru jedinične kružnice, pomoću koje su i definirane:

Za vertikalnu tetivu *AB* neke jedinične kružnice sinus ugla *&#x3B8;* (koji je polovina naspramnog ugla *&#x394;*) je udaljenost *AC* (polovina tetive). Što se tiče obrnutog sinusa tog ugla *&#x3B8;*, on predstavlja udaljenost *CD* od centra tetive do centra luka. Zbog ovoga, suma kosinusa tog ugla (koji je jednak dužini odsječka *OC*) i versinusa tog ugla *&#x3B8;* je u stvari poliprečnik *OD,* dužine 1 jer se radi o jediničnoj kružnici. Ovako prikazano, sinus je vertikalan (odatle dolazi latinska riječ *rectus*, što doslovno znači "pravo") dok je versinus horizontalan (odatle dolazi latinska riječ *versus*, što doslovno znači "okrenuto, obrnuto").

Na slici je također ilustriran i razlog zbog kojeg se versinus nekada zove *sagitta*, (*lat.* *strijela*), ili na arapskom *sahem*

### Haversinus 
Haversinus, je bio veoma bitan kod navigacije, jer se koristio u haversinusnoj formuli, koja se koristila kako bi se precizno izračunale udaljenosti u astronomiji kada bi bile poznate ugaone pozicije (npr., longituda i latituda).

1835 godine, termin haversinus (*eng. haversine*)  (označavano kao *log. haversine*, *log. havers.* i *hav.*) je prvi put koristio u trećem izdanju njegovog rada *"Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen"* kako bi se pojednostavili proračuni udaljenosti između dvije tačke na površini Zemlje, korištenjem sferne trigonometrije u navigaciji. Inman je također koristio termine *nat. versinus* i *nat. vers.* za versinuse. i Johna Caulfielda Hannyngtona 1876 godine.

### Moderne primjene  
Iako se primjena haversinusa i zadržala u navigaciji, ova trigonometrijska funkcija je pronašla i nove primjene u prethodnim decenijama, kao npr. kod Bruce D. Starkovog metoda koji se koristi kod preciziranja lunarnih udaljenosti korištenjem Gausovih logaritama ili u kompaktnijoj metodi za redukciju vidljivosti (također u navigaciji).

Varijante haversinusa i haverkosinusa sa dvostrukim uglovima *&#x394;* (*lat. sagitta i cosagitta*) su također pronašle nove primjene u opisu korelacije i antikorelacije koreliranih fotona u kvantnoj mehanici.

## Matematički identiteti 
### Definicije funkcija 
### Izvodi i integrali 
### Inverzne funkcije 
Za prethodno navedene trigonometrijske funkcije postoje i odgovarajuće inverzne funkcije:

: \operatorname{arcversin}(y) = \arccos\left(1-y\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{2y-y^2}}{1-y}\right) \, (za 0&nbsp;≤&nbsp;*y*&nbsp;≤&nbsp;2) (za 0&nbsp;≤&nbsp;*y*&nbsp;≤&nbsp;1)

Alternativno, ako je versinus mali i ako su vrijednosti versinusa, poluprečnika, i dužine polovične tetive poznate, one se mogu koristiti za estimaciju lučne dužine *s* (*AD* u slici iznad) korištenjem:
: s\approx L+\frac{v^2}{r}
Ova formula je bila poznata kineskom matematičaru Shen Kuou, dok je nakon dva vijeka bila izvedena tačnija formula koja uključuje sagittu od strane drugog kineskog matematičara Guo Shoujinga.

Još tačnija formula za aproksimaciju koja se koristi u inženjerstvu je data kao:
: v\approx \frac{s^\frac{3}{2} L^\frac{1}{2}}{8r}

## Proizvoljne krive i tetive 
Termin *versinus* je također nekada korišten za opis devijacija od nekog pravca kod proizvoljne krive na nekoj ravni, od čega iznad navedeni krug predstavlja specijalan slučaj. Ako je dana tetiva, koja spaja neke dvije tačke na krivoj, okomita udaljenost *v* od tetive do krive (u tački koja je u većini slučaja tačka na središtu tetive) se naziva *versinusna* mjera. Za pravu liniju, versinus bilo koje tetive je nula, zbog čega ova mjera i jeste karakteristika "pravosti" krive. Kod limesa kako se dužina tetive *L* približava nuli, omjer \frac{8v}{L^2} se sve više približava trenutačnoj zakrivljenosti. Ova primjena je veoma bitna u željezničkom prometu, gdje opisuje mjeru "pravosti" željezničkih pruga i prestavlja osnovu za Halladeov method za mjerenje pruga.

Term *sagitta* je na sličan način korišten u optici prilikom opisivanja površina leća i ogledala.

## Također pogledajte 
* Trigonometrijske funkcije
* Exsekans i exkosekans
* Versiera
* Eksponencijalne funkcije
* Logaritamske funkcije

## Reference 
## Spoljnji linkovi 
* 

Kategorija:Trigonometrijske funkcije