Arnoldovi jezici

thumb| Broj rotacije za različite vrijednosti dva parametra kružne mape: Ω na *x*-osi i *K* na *y*-osi. Vidljivi su neki oblici jezika.
U matematici, posebno u dinamičkim sistemima, **Arnoldovi jezici** (nazvani po Vladimiru Arnoldu) su slikovni fenomen koji se javlja pri vizualizaciji kako se broj rotacije dinamičkog sistema, ili neko drugo srodno invarijantno svojstvo istog, mijenja u skladu s dva ili više njegovih parametara. Uočeno je da regije konstantnog broja rotacije, kod nekih dinamičkih sistema, formiraju geometrijske oblike koji podsjećaju na jezičke, u kom slučaju se nazivaju Arnoldovi jezici.

Arnoldovi jezici se opažaju u velikom broju prirodnih fenomena koji uključuju oscilirajuće veličine, kao što je koncentracija enzima i supstrata u biološkim procesima i srčani električni talasi. Ponekad frekvencija oscilacija zavisi od, ili je ograničena (tj. *fazno zaključana* ili *modno zaključana*, u nekim kontekstima) na osnovu neke veličine, i često je od interesa proučavati ovaj odnos. Naprimjer, početak tumora pokreće u tom području niz oscilacija supstance (uglavnom proteina) koje međusobno interaguju; Simulacije pokazuju da ove interakcije uzrokuju pojavu Arnoldovih jezika, odnosno da frekvencija nekih oscilacija ograničava druge, a to se može koristiti za kontrolu rasta tumora.

Jedan od najjednostavnijih fizičkih modela koji pokazuje zaključavanje moda sastoji se od dva rotirajuća diska povezana slabom oprugom. Jedan disk se slobodno okreće, a drugi pokreće motor. Zaključavanje moda se događa kada se slobodno rotirajući disk okreće frekvencijom koja je racionalni višekratnik frekvencije pogonskog rotatora.
Najjednostavniji matematički model koji pokazuje zaključavanje moda je kružna mapa, koja pokušava uhvatiti kretanje rotirajućih diskova u diskretnim vremenskim intervalima.
## Standardna kružna mapa 
**Arnoldovi jezici** se najčešće pojavljuju prilikom proučavanja interakcije između oscilatora, posebno u slučaju kada jedan oscilator *pokreće* drugi. To jest, jedan oscilator zavisi od drugog, ali ne i obrnuto, tako da oni međusobno ne utiču jedan na drugi kao što se dešava u Kuramoto modelima, naprimjer. Ovo je poseban slučaj pokrenuti oscilatori, sa pogonskom silom koja ima periodično ponašanje. Kao praktičan primjer, ćelije srca (vanjski oscilator) proizvode periodične električne signale za stimulaciju srčanih kontrakcija (pokrenuti oscilator); ovdje bi moglo biti korisno odrediti odnos između frekvencije oscilatora, moguće za dizajniranje boljih umjetnih pejsmejkera. Porodica kružnih mapa služi kao koristan matematički model za ovaj biološki fenomen, kao i mnoge druge.

Porodica kružnih mapa su funkcije (ili endomorfizmi) kružnice u odnosu na sebe. Matematički je jednostavnije smatrati tačku u kružnici kao tačku x u realnoj liniji koja treba biti interpretirana modularno 2\pi, koja predstavlja ugao pod kojim se tačka nalazi u kružnici. Kada se modul uzme s vrijednošću različitom od 2\pi, rezultat i dalje predstavlja ugao, ali mora biti normalizovan tako da se može predstaviti cijeli raspon [0, 2 \pi]. Imajući ovo na umu, porodica **kružnih mapa** je data sa:

:\theta_{i+1} = g(\theta_i) + \Omega

gdje \Omega je "prirodna" frekvencija oscilatora, a g je periodična funkcija koja daje uticaj uzrokovan vanjskim oscilatorom. Treba napomenuti da ako g(\theta) = \theta za sve \theta Čestica se jednostavno kreće po krugu brzinom od Ω jedinica odjednom; posebno, ako
:\theta_{i+1} = \theta_i + \Omega + \frac{K}{2 \pi} \sin(2 \pi \theta_i)

gdje K > se naziva **snaga sprege**, a \theta_i treba interpretirati modulo 1. Ova mapa prikazuje vrlo raznoliko ponašanje ovisno o parametrima K i \Omega; ako fiksiramo \Omega = 1/3 i mijenjamo K, dobija se dijagram bifurkacije oko ovog paragrafa, gdje možemo posmatrati periodične orbite, bifurkacije s udvostručenjem perioda, kao i moguće haotično ponašanje.

## Izvođenje kružne mape 
thumb|Prikaz jednostavnog modela gdje kružna mapa nastaje 'prirodno'. Crvena linija je y(t) i resetuje se na sinusoidnu crnu liniju svaki put kada dostigne nulu.

Drugi način prikaza kružne mape je sljedeći. Razmotrimo funkciju y(t) koja linearno opada s nagibom a. Kada dostigne nulu, njena vrijednost se resetuje na određenu oscilirajuću vrijednost, opisanu funkcijom z(t) = c + b ∫sin(2π t). Sada nas zanima niz vremena \{t_n∫ u kojima y(t) dostiže nulu.

Ovaj model nam govori da u trenutku t_{n-1} važi da je y(t_{n-1}) = c + b ∈ sin(2 π t_{n-1}). Od ove tačke, y će se linearno smanjivati sve do t_n, gdje je funkcija y jednaka nuli, što daje:
\begin{align}
  0 &= y(t_{n-1}) - a \cdot (t_{n} - t_{n-1}) \\[0.5em]
  0 &= \left[ c + b \sin(2 \pi t_{n-1}) \right] - a t_n + a t_{n-1} \\[0.5em]
  t_n &= \frac{1}{a} \left[ c + b \sin(2 \pi t_{n-1}) \right] + t_{n-1} \\[0.5em]
  t_n &= t_{n-1} + \frac{c}{a} + \frac{b}{a} \sin(2 \pi t_{n-1})
\end{align}

i odabirom \Omega = c/a and K = 2 \pi b/a dobijamo kružnu mapu o kojoj smo ranije raspravljali:
:
  t_n = t_{n-1} + \Omega + \frac{K}{2\pi} \sin(2 \pi t_{n-1}).

 tvrdi da je ovaj jednostavan model primenljiv na neke biološke sisteme, kao što je regulacija koncentracije supstance u ćelijama ili krvi, pri čemu y(t) iznad predstavlja koncentraciju određene supstance.
tvrdi da je ovaj jednostavni model primjenjiv na neke biološke sisteme, kao što je regulacija koncentracije tvari u ćelijama ili krvi, gdje y(t) predstavlja koncentraciju određene supstance.

U ovom modelu, fazno zaključavanje N:M bi značilo da se y(t) resetuje *tačno* N puta svakih M perioda sinusoidnog z(t). Broj rotacije bi, pak, bio količnik N/M. Pretpostavumo da za da za dato \Omega postoji n : M Za iracionalni Ω (što dovodi do iracionalne rotacije), bilo bi potrebno imati n Ω = k za cijele brojeve n i k, ali tada je Ω = k / n i Ω je racionalno, što je u suprotnosti s početnom hipotezom.

TKada ovo vidimo, treaba imati na umu da bi rekurentna relacija u svojstvu 2 postala:
:
\begin{align}
\theta_n' &= \theta_0 + n \Omega' + \frac{K}{2 \pi} \sum_{i = 0}^n \sin(2 \pi \theta_i) \\
          &= \theta_0 + n (\Omega + p) + \frac{K}{2 \pi} \sum_{i = 0}^n \sin(2 \pi \theta_i) \\
          &= \theta_n + np,
\end{align}

pa budući da je \theta_n - \theta_0 = M zbog originalnog faznog zaključavanja, sada bismo imali \theta_n' - \theta_0 = \theta_n + np - \theta_0 = M + np.
}}

**P6.** Za K = 0 doći će do faznog zaključavanja kad god je Ω racionalan broj. Štaviše, neka je Ω = p/q ∈ Q, tada je fazno zaključavanje q : p.

Uzimajući u obzir rekurentnu relaciju u svojstvu 2, racionalna `\Omega = p/q` implicira:
:
  \theta_n = \theta_0 + n \frac{p}{q}

i modul jednakosti 1 će važiti samo kada je n (p/q) cijeli broj, a prvi n koji zadovoljava ovo je n = q. Shodno tome:
:
  \theta_q = \theta_0 + p

:
  (\theta_q - \theta_0) = p

što znači fazno zaključavanje q : p.

Za iracionalni Ω (što dovodi do iracionalne rotacije), bilo bi potrebno imati n Ω = k za cijele brojeve n i k, ali tada je Ω = k / n i Ω je racionalno, što proturječi početnoj hipotezi.
}}

## Zaključavanje načina rada
thumb|right|400px|Neki od Arnoldovih jezika za standardnu ​​kružnu mapu, *ε*&nbsp;=
[thumb|right|[Broj rotacije kao funkcija Ω sa *K* konstantnim na *K*&nbsp;=&nbsp;1]]

Za male do srednje vrijednosti *K* (to jest, u rasponu od *K*&nbsp;=&nbsp;0 do oko *K*&nbsp;=&nbsp;1) i određene vrijednosti Ω, mapa pokazuje fenomen koji se naziva **zaključavanje moda** ili **fazno zaključavanje**. U fazno zaključanoj regiji, vrijednosti *θn* napreduju u suštini kao racionalni višekratnik od *n*, iako to mogu činiti haotično na maloj skali.

Granično ponašanje u područjima zaključanog moda dato je sa broj rotacije.

:\omega=\lim_{n\to\infty}\frac{\theta_n}{n}.

## Čirikovljeva standardna mapa
Čirikovljeva standardna mapa je povezana sa kružnom mapom, imajući slične rekurentne relacije, koje se mogu napisati kao
:\begin{align}
\theta_{n+1} &= \theta_n + p_n + {\frac K {2\pi}} \sin(2\pi\theta_n)\\
p_{n+1} &= \theta_{n+1} - \theta_n
\end{align}
gdje su obje iteracije uzete po modulu 1. U suštini, standardno preslikavanje uvodi moment *pn* kojem je dozvoljeno da se dinamički mijenja, umjesto da bude prisilno fiksiran, kao što je to u kružnom preslikavanju. Standardno preslikavanje se proučava u fizici pomoću udarnog rotora Hamiltonovljeve mehanike.

Fazno zaključane regije, ili Arnoldovi jezici, prikazane su žutom bojom na slici desno. Svaka takva regija u obliku slova V doseže racionalnu vrijednost Ω&nbsp;=&nbsp; u granici od *K*&nbsp;→&nbsp;0. Vrijesnosti  (*K*,Ω) u jednoj od ovih regija će rezultirati kretanjem takvim da je broj rotacije *ω*&nbsp;=&nbsp;. Naprimjer, sve vrijednosti (*K*,Ω) u velikom području u obliku slova V u donjem središnjem dijelu slike odgovaraju rotacijskom broju *ω*&nbsp;=&nbsp;. Jedan od razloga zašto se koristi termin "zaključavanje" je taj što pojedinačne vrijednosti *θn* mogu biti poremećene prilično velikim slučajnim poremećajima (do širine jezička, za datu vrijednost *K*), bez narušavanja graničnog broja rotacije. To jest, niz ostaje "zaključan" na signal, uprkos dodavanju značajnog šuma nizu *θn*. Ova sposobnost "zaključavanja" u prisustvu šuma je ključna za korisnost elektronskog kola sa fazno zaključanom petljom.

Postoji područje zaključanog moda za svaki racionalni broj . Ponekad se kaže da mapa kruga mapira racionalne brojeve, skup mjera nula u *K*&nbsp;=&nbsp;0, na skup mjera koje nisu nula za *K* ≠ 0. Najveći jezici, poredani po veličini, pojavljuju se na Fareyev razlomak. Fiksiranjem *K* i presjekom kroz ovu sliku, tako da se *ω* prikazuje kao funkcija Ω, dobija se "Vražje stepenice", oblik koji je generički sličan Cantorovoj funkciji.

Može se pokazati da je za *K1* ovo više ne važi i mogu se pronaći regije dva preklapajuća područja zaključavanja. Za kružnu mapu može se pokazati da se u ovoj regiji ne mogu preklapati više od dvije stabilne regije zaključavanja moda, ali nije poznato da li postoji ograničenje broja preklapajućih Arnoldovih jezika za opće sinhronizirane sisteme.

Kružna mapa također pokazuje subharmonijske rute do haosa, odnosno udvostručenje perioda oblika 3, 6, 12, 24,....

## Aplikacije
Arnoldovi jezici su primijenjeni na proučavanje
* Srčani ritam - vidi  i 
* Sinhronizacija rezonantnog oscijacilatori s tunelirajućom                   diodom

## Dodatne slike
## Također pogledajte 
* Fazno zaključana petlja
* Kuramoto model
* Sturmianova riječ

## Napomene
## Reference
* 
*  - *Provides a brief review of basic facts in section 2.12*.
*  - *Performs a detailed analysis of heart cardiac rhythms in the context of the circle map.*
* 

## Vanjski linkovi
*Circle map with interactive Java applet

Kategorija:Haotične mape
Kategorija:Matematika