Binomna teorema

U elementarnoj algebri, **binomni teorem** opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je

:(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)

za bilo koje realne ili kompleksne brojeve *x* i *y*, te bilo koji nenegativan cijeli broj *n*. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela *n*!:

:{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ *n* ≤ 5:
:(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
:(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,
:(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,
:(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5.\,

## "Binomni tip" 
Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz

:\left\{\,x^k:k=0,1,2,\dots\,\right\}\,

iz binomnog tipa.

## Dokaz 
Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je *n* = 0, imamo da je

: (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.

Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent *m*. Tada, za *n*&nbsp;=&nbsp;*m*&nbsp;+&nbsp;1

: (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \, 	

:: = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j

po hipotezi indukcije

:: = \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}

množeći sa *a* i *b* dobijamo

:: = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}

izvlačimo član *k* = 0

:: = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}

i kažemo da je *j* = *k*&nbsp;−&nbsp;1

:: = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}

izvlačimo član *k* = *m*&nbsp;+&nbsp;1 sa desne strane

:: = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k

te kombinujemo dobijene sume

:: = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

iz Pascalovog pravila imamo da je

:: = \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

dodajemo u *m*&nbsp;+&nbsp;1 članova.

## Binomni broj 
Binomni broj je broj u obliku \scriptstyle x^n \,\pm\, y^n (kada je *n* najmanje 2). Kada je znak ili ako je *n* neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:

:x^n\pm y^n=(x\pm y)(x^{n-1} \mp x^{n-2}y + \cdots \mp xy^{n-2} + y^{n-1}).\,

Primjeri:

:x^2-y^2=(x-y)(x+y)\,
:x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\,
:x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\,
:x^8-y^8=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\,

Da bi razložili \scriptstyle x^n\,-\,y^n na faktore, koristite izraz

: x^n-y^n=(x-y) \left( \sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k} \right).

## Također pogledajte 
* Binomna distribucija
* Binommna vjerovatnoća
* Inverzni binomni teorem
* Binomni red
* Kombinacija
* Stirlingova aproksimacija
* Multinomni teorem
* Negativna binomnna distribucija
* Pascalov trougao

## Zabilješke 
## Reference 
* Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.

## Vanjski linkovi 
* Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Kategorija:Teme o faktorijelima i binomima
Kategorija:Algebra
Kategorija:Matematičke teoreme
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz