Relacija ekvivalentnosti

desno|mini| 52 relacije ekvivalentnosti u skupu s 5 elemenata, prikazano kao 5×5 logičkih matrica (obojena polja, uključujući ona u svijetlosivoj boji, predstavljaju jedinice; bijela polja predstavljaju nule.) Indeksi redova i kolona bijelih ćelija su povezani elementi, dok različite boje, osim svijetlo sive, označavaju klase ekvivalencije (svaka svijetlosiva ćelija je svoja klasa ekvivalencije).
U matematici, **relacija ekvivalentnosti** je binarna relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna. Relacija "jednak je" je kanonski primjer relacije ekvivalencije, gdje za bilo koje objekte ,  i  važi:

*  (refleksivno svojstvo), 
* ako je  onda je  (simetrično svojstvo), i 
* ako su  i  onda je  (tranzitivno svojstvo).

Kao posljedica refleksivnih, simetričnih i tranzitivnih svojstava, bilo koja relacija ekvivalencije pruža particiju temeljnog skupa u odvojene klase ekvivalencije. Dva elementa datog skupa jednaki su međusobno ako i samo ako pripadaju istoj klasi ekvivalencije.

## Notacija 
U literaturi se koriste različite oznake za označavanje da su dva elementa skupa  i  jednaka u odnosu na relaciju ekvivalencije ; najčešće oznake su "" i "", koje se koriste kada je  implicitan, a varijacije "", "" ili "" da se eksplicitno odredi . Neekvivalencija se može označiti kao "" ili "a \not\equiv b".

## Definicija 
Za određenu binarnu relaciju ~ u skupu *X* kaže se da je to relacija ekvivalencije ako i samo ako je ona refleksivna, simetrična i tranzitivna. To jest za sve *a*, *b* i *c* u skupu *X*:

* *a* ~ *a* (Refleksivnost) 
* *a* ~ *b* ako i samo ako je *b* ~ *a*. (Simetrija) 
* ako su *a* ~ *b* i *b* ~ *c,* onda *a* ~ *c*. (Tranzitivnost)

*X* zajedno s relacijom ~ naziva se setoid. Klasa ekvivalencije od a sa ~, označeno kao [a], je definirana kao [a] = \{b\in X \mid a\sim b\}.

## Primjeri 
### Jednostavan primjer 
Neka set \{a, b, c\} ima relaciju ekvivalencije \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}. Onda su sljedeći skupovi klase ekvivalencije ovog odnosa:

: [a] = \{a\}, ~~~~ [b] = [c] = \{b, c\}.

Skup svih klasa ekvivalencije za ovaj odnos je \{\{a\}, \{b, c\}\} . Ovaj skup je particija skupa \{a, b, c\} .

## Reference 
*  Brown, Ronald, 2006. *Topology and Groupoids.* Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
*  Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., *Symmetries in Physics: Philosophical Reflections*. Cambridge Univ. Press: 422-433.
*  Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. *Algebraic Theory of Lattices*. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
*  Higgins, P.J., 1971. *Categories and groupoids.* Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
*  John Randolph Lucas, 1973. *A Treatise on Time and Space*. London: Methuen. Section 31.
*  Rosen, Joseph (2008) *Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry*. Springer-Verlag. Mostly chapters. 9,10.
*  Raymond Wilder (1965) *Introduction to the Foundations of Mathematics* 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48&#x2013;50, John Wiley & Sons.

Kategorija:Refleksivne relacije
Kategorija:Tranzitivne relacije
Kategorija:Simetrične relacije
Kategorija:Ekvivalencija (matematika)