Konvergentan red

::*Za članak o istoimenoj zbirci kratkih priča, pogledajte članak Konvergentan red (zbirka kratkih priča)*.
U matematici, **red** je suma članova niza brojeva.

Za dati niz \left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \}, *n*-ta parcijalna suma S_n je suma prvih *n* članova niza, to jest,

:S_n = \sum_{k=1}^n a_k.

Red je konvergentan ako je niz njegovih parcijalnih suma \left \{ S_1,\ S_2,\ S_3,\dots \right \} konvergentan. U formalnijem jeziku, red konvergira ako postoji granična vrijednost \ell takva da za svaki proizvoljan pozitivan broj \varepsilon > 0, postoji veliki cijeli broj N, takav da za sve n \ge \ N vrijedi

:\left | S_n - \ell \right \vert \le \ \varepsilon.

Za niz, koji nije konvergentan, kaže se da je divergentan.

## Primjeri konvergentnih i divergentnih redova 
* Recipročni brojevi stepena broja 2 (2^n) tvore konvergentan red (takav da je skup stepeni broja 2 "mali"):
* :{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.
* Recipročni brojvi pozitivnih cijelih brojeva tvore divergentan red:
* :{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots. 
* Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih brojeva pozitivnih cijelih brojeva tvore konvergentan red:
* :{1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots = \ln 2. 
* Recipročni prosti brojevi tvore divergentan red (takav da je skup prostih brojeva "veliki"):
* :{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots .
* Recipročni kvadratni brojevi tvore konvergentan broj (Baselov problem):
* :{1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.
* Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih neparnih brojeva tvori konvergentan red:
* :{1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots = {\pi \over 4}.

## Testovi konvergencije 
Postoji nekoliko metoda, pomoću kojih možemo odrediti da li je red konvergentan ili divergentan.

**Test poređenja**. Članovi niza \left \{ a_n \right \} se upoređuju sa onim od drugog niza \left \{ b_n \right \}. Ako je,

za sve *n*, 0 \le \ a_n \le \ b_n, i ako red \sum_{n=1}^\infty b_n konvergira, tada konvergira i red \sum_{n=1}^\infty a_n.

Međutim, ako,

za sve *n*, 0 \le \ b_n \le \ a_n, i ako red \sum_{n=1}^\infty b_n divergira, tada divergira i red \sum_{n=1}^\infty a_n.

'''D'Alambertov test'*. Pretpostavimo da je za sve *n*, a_n > 0. Pretpostavimo da postoji r takav da vrijedi

:\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r.

Ako je *r*  1, tada red divergira. Ako je *r'' = 1, D'Alambertov test je neodlučan, te red i konvergirati  divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

**Cauchyjev korjeni test** ili '* *Test n*-tog korjena*'.  Pretpostavimo da su članovi niza nenegativni, te da postoji *r* takav da vrijedi

:	\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = r

Ako je *r*  1, tada red divergira. Ako je *r* = 1, Cauchyjev korjeni test test je neodlučan, te red može i konvergirati i divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

**Integralni test**. Red se može uporediti sa integrallom kako bi odredili konvergenciju ili divergenciju. Neka f(n) = a_n bude pozitivna i monotono opadajuća funkcija. Ako vrijedi

:\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx 

tada dati red konvergira. Ali, ako integral divergira, tada i dati red divergira.

**Test upoređivanje limesa**. Ako je \left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0, a granična vrijednost \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} postoji i nije nula, tada \sum_{n=1}^\infty a_n konvergira ako i samo ako \sum_{n=1}^\infty b_n konvergira.

**Leibnizov test**. Za alternativni red oblika \sum_{n=1}^\infty a_n (-1)^n, ako je \left \{ a_n \right \} monotono opadajuća funkcija, čija je granična vrijednost 0, tada red konvergira.

**Cauchyjev test konvergencije**. Ako je \left \{ a_n \right \} monotono opadajući niz, tada
 \sum_{n=1}^\infty a_n  konvergira ako i samo ako  \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k}  konvergira.

**Dirichletov test**

**Abelov test**

**Raabeov test**

## Uslovna i apsolutna konvergencija 
Za svaki niz \left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \}, a_n \le \ \left | a_n \right \vert za sve n. Odatle je

:\sum_{n=1}^\infty a_n \le \ \sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert.

Ovo znači da ako \sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert konvergira, tada \sum_{n=1}^\infty a_n, također, konvergira (međutim, obrnuto **ne vrijedi!**).

Ako red \sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert konvergira, tada je red \sum_{n=1}^\infty a_n apsolutno konvergentan. Apsolutno konvergentan niz je onaj kod kojeg dužina linije, koja je nastala spajanjem svih prirasta na parcijalnu sumu, je konačno duga. Potencijlani red eksponencijalne funkcije je svuda apsolutno konvergentan.

Ako red \sum_{n=1}^\infty a_n konvergira, ali red \sum_{n=1}^\infty \left | a_n \right \vert divergira, tada je red \sum_{n=1}^\infty a_n uslovno konvergentan. Potencijalni red logaritma je uslovno konvergentan.

Riemannov teorem o redu kaže da ako je red uslovno konvergentan, moguće je njegove članove ispremiještati, tako da on bude konvergentan za svaku vrijednost, čak i da bude divergentan.

## Uniformna konvergencija 
Neka \left \{ f_1,\ f_2,\ f_3,\dots \right \} bude niz funkcija. Za red \sum_{n=1}^\infty f_n se kaže da konvergira uniformno u *f*
ako je niz \{s_n\} parcijalnih suma definisan sa

:  s_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k (x)

konvergira uniformno u *f*.

Postoji analog testu poređenja za beskonačne redove funkcija koji se zove Weierstrassov M-test.

## Cauchyjev test konvergencije 
**Cauchyjev kriterij konvergencije** kaže da red
:\sum_{n=1}^\infty a_n
konvergira ako i samo ako je niz parcijalnih suma Cauchyjev niz.
To znači da za svako  \varepsilon > 0,  postoji pozitivan cijeli broj N takav da za svako n \geq m \geq N imamo
: \left| \sum_{k=m}^n a_k \right| 
što je ekvivalentno 
:\lim_{n \to \infty \atop m\to \infty} \sum_{k=n}^{n+m} a_k = 0.

## Reference 
* Rudin, Walter (1976).  *Principles of Mathematical Analysis*.  McGrawHill.
* Spivak, Michael (1994). *Calculus* (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc.  .

## Vanjski linkovi 
***Interactive graphical simulation of series convergence**
*Chase, Robert (2007). More plots on convergence
*Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.

Kategorija:Matematički redovi