Polje (matematika)

U apstraktnoj algebri, **polje** je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se historijski prsteni s dijeljenjem nazivali *polja*, a polja su bila *komutativna polja*.

Osnovni primjer polja je \mathbb{Q}, polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva \mathbb{R}, polje kompleksnih brojeva \mathbb{C} i, za bilo koji prost broj *p*, konačno polje cijelih brojeva modulo *p*, oznaka \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. Za bilo koje polje *K*, skup *K*(*X*), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz *K* je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

## Ekvivalentne definicije 
### Definicija 1
*Polje* je komutativan prsten s dijeljenjem.

### Definicija 2
*Polje* je komutativni prsten (\mathbb{F}, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od \mathbb{F} osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

### Definicija 3
Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

:; Zatvorenost od \mathbb{F} za + i * : \forall a, b \in \mathbb{F}, a + b \in \mathbb{F} i a * b \in \mathbb{F} (ili formalnije, + i * su binarne operacije na *F*).
:; + i * su asocijativne operacije : \forall a, b, c \in \mathbb{F}, a + (b + c) = (a + b) + c i a * (b * c) = (a * b) * c.
:; + i * su komutativne operacije : \forall a, b \in \mathbb{F}, a + b = b + a i a * b = b * a.
:; Vrijedi distributivnost operacije * prema + : \forall a, b, c \in \mathbb{F}, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).
:; Postojanje neutralnog elementa za sabiranje : \exists 0 \in \mathbb{F} takav da je \forall a \in \mathbb{F}, a + 0 = 0 + a = a.
:; Postojanje neutralnog elementa za množenje : \exists 1 \in \mathbb{F} takav da je \forall a \in \mathbb{F}, a * 1 = 1 * a = a.
:; Postojanje inverza za sabiranje : \forall a \in \mathbb{F}\exists -a \in \mathbb{F}, takav da je a + (-a) = -a + a = 0.
:; Postojanje inverza za množenje : \forall a \in \mathbb{F}, a \neq 0, \exists a^{-1} \in \mathbb{F}, takav da je a * a^{-1} = a^{-1} * a = 1.

Uslov da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su (\mathbb{F}, +) i(\mathbb{F}\setminus \{0\}, *) komutativne grupe (abelove grupe, i tada su aditivni inverz &minus;*a* i multiplikativni inverz *a*&minus;1 jedinstveno određeni s *a*. Ostala korisna pravila uključuju:
:&minus;*a* = (&minus;1) * *a*
i općenitije
:&minus;(*a* * *b*) = (&minus;*a*) * *b* = *a* * (&minus;*b*),
kao i
:*a* * 0 = 0.

## Primjeri 
*Kompleksni brojevi \mathbb{C}, s uobičajenim operacijama sabiranja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća *podpolja*:
*Racionalni brojevi \mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} | a, b \in  \mathbb{Z}, b \neq 0 \}, gdje je \mathbb{Z} skup cijelih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih podpolja.

## Također pogledajte 
* Prsten (matematika)
* Vektorski prostor


Kategorija:Algebarske strukture
Kategorija:Apstraktna algebra