Prava (geometrija)

**Prava** je jedan od osnovnih geometrijskih pojmova. Njena definicija daje se aksiomatski.

Njemački naučnik Leibniz definirao je pravu kao liniju koja dijeli ravan na dva kongruentna dijela, međutim, pod ovu definiciju potpadaju i druge linije – naprimjer, sinusoida i svaka pravilna izlomljena linija čija su svaka dva segmenta na preskok – paralelna.

Matematičkim jezikom liniju (ili pravu liniju) možemo definirati kao skup tačaka u ravni. Liniju možemo sebi najlakše predstaviti kao niz tačaka gusto poredanih jednu uz drugu. Ili, ako na monitoru računara zatamnjujemo piksele jedan za drugim, red piksela stvorit će liniju. Linija mora sadržavati više od jedne tačke, a može ih imati beskonačno mnogo. U euklidskoj geometriji tačno jedna linija može prolaziti kroz bilo koje dvije tačke. Prava linija predstavlja najkraći put između dvije tačke.

U dvodimenzionalnom prostoru, kao što je ravan, dvije različite linije moraju biti paralelne ili se moraju sjeći u nekoj tački.

## Osobine prave 
#kroz bilo koju tačku ravni može se povući beskonačno mnogo pravih
# Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj. 
#Svaka prava sadrzi najmanje dvije zajednicke tačke
#Dvije različite tačke su uvijek kolinearne
#Dvije različite prave ravni mogu se sjeći ili da budu paralelne
#Dvije različite prave prostora mogu se sjeći. biti paralelne ili mimoilazne.
#Prava je algebarska kriva I stepena

## Definicija 
Grčki matematičar Euklid u knjizi *Elementi* dao je definiciju linije:
# Linija je dužina bez širine.
# Krajevi linije su tačke.
# Prava linija je ona koja za sve tačke podjednako leži.

Arhimedova aksioma

Od svih linija s istim krajevima prava je linija najkraća.

Prava kao jedan od osnovnih elemenata geometrije ne definira se. Njene osobine daju se aksiomima.
# Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj;
# Svaka prava sadrži najmanje dvije zajedničke tačke;
# Dvije tačke uvijek su kolinearne.

## Analitičke definicije
Posmatrajmo pravu u Descartesovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definirati kao geometrijsko mjesto tačaka, gdje Descartesove koordinate zadovoljavaju jednačinu

ax+by+c=0, gdje parametri a, b, c ne mogu biti istovremeno jednaki nuli.

Prava se u pravougaonom koordinatnom sistemu može zadati na jedan od tri načina:

Pomoću odsječka b na ordinati i ugla  \alpha koji gradi prava sa pozitivnim pravcem apscise.

Jednačina prave je y = m x + b  gdje je m=\tan \alpha  i često se zove opća jednačina prave. Obično se kod ovakve jednačine **m** zove koeficijent pravca, a **b** je odsječak ordinate.

Pomoću odsječaka **b** i **c** koje prava odsijeca na koordinatnim osama.

Jednačina prave gdje je  \frac{y}{b}+\frac{x}{c} = 1 zove se segmentna.

Pomoću njenog rastojanja do koordinatnog početka **p** i ugla  \omega koji gradi to rastojanje s pozitivnom stranom apscise.

Normalna jednačina prave se zove jednačina oblika  y \sin \omega + x \cos \omega - p = 0\,

## Prava u 3D- i višedimenzionalnom prostoru 
Ako je dat skup tačaka a = (a_1,a_2,\dots,a_n) 
;

a=M + \lambda \overrightarrow{v},

* M = (m_1,m_2\dots,m_n) \in R^n - proizvoljna tačka prave.
* \overrightarrow{v} = (v_1,v_2,\dots,v_n) \in R^n - vektor koji označava pravac prave. Ako se ove tačke poklapaju, imamo nula vektor,

* \lambda \in R - parametar.

;Parametarska jednačina:
Parametarska jednačina prave glasi:

a_1 = p_1 + \lambda v_1 \; ; \; a_2 = p_2 + \lambda v_2 \; ; \; \dots \; ; \; a_n = p_n + \lambda v_n

Ako u ovoj jednačini eliminišemo parametar λ dobijamo kanonsku jednačinu prave

\frac{a_1 - p_1}{v_1} = \frac{a_2 - p_2}{v_2} = \dots = \frac{a_n - p_n}{v_n}

;Tačka i prava u prostoru:
Neka su dati tačka M i prava a = A + αv takve da je

M,A,\overrightarrow{v} \in R^n \; , \; \alpha \in R.

Za njihov međusobni položaj vrijedi
# Tačka ne pripada pravoj, ako nе postoji α za које је {P = A + αv}
# Tačka pripada pravoj, ako postoji α za које је {P = A + αv}

## Udaljenost tačke od prave 
Udaljenost tačke od prave jednaka je dužini udaljenosti između zadane tačke M и njene normalne projekcije M' na pravu a, tj ovdje je vektor MM' normalan na vektor prave v.

M' = A + \alpha v
tj. d(M,a) = |MM'|.

Ako je vrijednost ovog izraza nula dobijamo:

\overrightarrow{MM'} \cdot v = 0 ( skalarni proizvod)

U prostoru R^3 važi:

d(P,a) = \frac
vektorski proizvod i intenzitet vektora).

## Prava i kružnica 
Posmatrajmo kružnicu k(O, r), proizvoljnu tačku N na toj kružnici, centralnu pravu koja prolazi kroz N označimo sa n i konstruišimo  normalu p na prvu n u tački N.

ON je rastojanje prave p od centra O jednako je radiusu r. Rastojanje bilo koje druge tačke X od  prave p veće je od radiusa r , a to znači da je X izvan kružnice i osim tačke n nemaju zajedničkih tačaka.
Svaka druga prava koja prolazi tačkom N sa kružnicom ima još jednu zajedničku tačku.
;Definicija: 
Pravu koja sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajedničku tačku nazivamo **tangentom kružnice** u toj tački.
Pravu koja sa kružnicom  ima dvije zajedničke tačke nazivamo **sječicom** (sekantom) kružnice.
;Teorema: 
Normala u datoj tački kružnice na centralnu pravu koja prolazi kroz tu tačku je tangenta kružnice. Svaka druga prava koja prolazi kroz tu tačku je  kružnice je sekanta kružnice. U svakoj tački kružnice postoji jedna i samo jedna  tangenta.
;Teorema: 
Neka je ON rastojanje prave p od centra O kružnice k(O, r) tada:
#ON = r  p ∩ k ={N}  p je tangenta kružnice k
#ON > r    p ∩ k                   p je u vanjskoj oblasti kružnice k
#ON  p ∩ k ={A, B}       p je sekanta kružnice
;Teorema: 
Geometrijsko mjesto centara kružnica koje dodiruju datu  pravu a u datoj tački A te prave je normala n na tu pravu u toj tački.

## Dvije prave u prostoru dimenzije 3 ili veće
Dvije prave a = A + αv i b = B + βu u  R^n mogu da zauzimaju sljedeće položaje, jedna u odnosu na drugu:

*mogu biti identične, ako A \in b \lor B \in a) \land v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}.
*mogu biti paralelne, ako ((A \notin b) \land v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \}
*mogu da se sijeku, ako važi  v \ne ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} i jednačina A + αv = B + βu ima jednoznačno rješenje po α i β. Tačka presjeka I će u ovom slučaju biti -{I = A + αv = B + βu}
*mogu biti mimoilazne ako važi   v \ne ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} ali jednačina -{A + αv = B + βu} nema rješenja.

Specijalno u R^3  v = ku, k \in R \setminus \left \{ 0 \right \} može zameniti sa  v \times u = 0
### Udaljenost dvije pralelelne prave 
Udaljenost dvije paralelne prave se određuje kao udaljenost proizvoljne tačke **P** jedne od dvije prave od njene projekcije **P**' na drugu pravu.

A' = B + k\overrightarrow{v}, k \in R\;\land\; AA' \bot v.

Udaljenost između tačaka A i A' će biti jednako udaljenosti između paralelnih pravi a i b.

### Rastojanje dve paralelne prave u R³
U trodimenzionalnom prostoru ovaj postupak je nešto lakši. Ako su dvije prave a i b paralelne, njihovo rastojanje je jednako visini paralelograma koga grade vektori

\overrightarrow{AB} и \overrightarrow{v}

Ona se jednaka  količnku površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenziteta vektora v.

d(a,b) = \frac
### Udaljenost dvije mimoilazne prave
Udaljenost dvije mimoilazne prave je i minimalna udaljenost između tačaka koje ih čine. Jedan od načina da se ono nađe je da se predstavi vektor između njih, i zatim nađe za koje parametre pravih će njegova veličina biti minimalna. Neka je ovaj vektor w, i opšte tačke pravih P i Q. Biće

P = A + \alpha v = (A_1+\alpha  v_1, A_2+\alpha v_2,...,A_n+ \alpha v_n), \alpha \in R
Q = B + \beta u, \beta \in R

Intenzitet vektora \overrightarrow{AB} će biti

|\overrightarrow{AB}| = f(\alpha,\beta) = \sqrt{(A_1+\alpha v_1- B_1-\beta u_1)^2 + \dots + (A_n+\alpha v_n- B_n-\beta u_n)^2 }

Kako korijen ne utiče na vrijednost koju parametri α i β imaju pri maksimalnoj vrijednosti izraza, korijen se ovdje može izbaciti. Sljedeći korak biće traženje prvih izvoda izraza

f(\alpha,\beta) po α i po β. Tako ćemo dobiti sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, α i β, koji se da riješiti.

\begin{cases} f(\alpha,\beta)'_\alpha \\
f(\alpha,\beta)'_\beta \end{cases}

Kada se odavde dobijene vrijednosti α i β vratimo u jednačine pravih a i b, respektivno, rezultujuće koordinate će predstavljati tačke, P_0 i  Q_0, čija je udaljenost minimalna  udaljenost između ove dvije prave.

d ( a , b ) = d ( P 0 , Q 0 ) 

### Udaljenost dvije mimoilazne prave u R³
Specijalno u slučaju R^3 je situacija jednostavnija i može se  se riješiti preko mješovitog proizvoda.

d(a,b) = \frac

## Prava u kompleksnoj ravni
#ab \| cd ako i samo ako \frac{a-b}{ \bar{a}-\bar{b}}=\frac{c-d}{ \bar{a}-\bar{d}}

#a, b, c kolinearne ako i samo ako \frac{a-b}{ \bar{a}-\bar{b}}=\frac{a-c}{ \bar{a}-\bar{c}}
#ab \perp cd ako i samo ako \frac{a-b}{ \bar{a}-\bar{b}}= - \frac{c-d}{ \bar{a}-\bar{d}}
#\phi =\angle acb (od a do b u pozitivnom smeru) ako i samo ako \frac{c-b}{ |c-b |}= e^{i\phi} \frac{c-ab}{ |c-a |}

## Također pogledajte 
* Duž
* Poluprava
* Ravan

## Reference 
Kategorija:Elementarna geometrija
Kategorija:Analitička geometrija
Kategorija:Matematički koncepti
Kategorija:Beskonačnost