Kvadratna funkcija

mini|desno|f(x) = x^2 - x - 2\,\!
U matematici, **kvadratna funkcija**  je polinomalna funkcija oblika f(x)=ax^2+bx+c \,\!, gdje je a \ne 0 \,\!. Grafik kvadratne funkcije je parabola čija je glavna osa paralelna sa *y*-osom.

Izraz ax^2+bx+c u definiciji kvadratne funkcije je **polinom stepena 2** ili **polinom drugog stepena**, zato što je najveći stepen od x broj 2.

Ako se za kvadratnu funkciju kaže da je jednaka nuli, tada je rezultat kvadratna jednačina. Rješenja ove jednačine nazivaju se korijeni jednačine ili nule funkcije.

## Korijeni 
Dva korijena kvadratne jednačine 0=ax^2+bx+c\,\!, gdje je a \ne 0 \,\!, su:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}. 

Ova formula naziva se kvadratna formula. 

* Neka je **\Delta = b^2-4ac \,**
* Ako je **\Delta > 0\,\!**, tada postoje dva različita korijena, pošto je \sqrt{\Delta} pozitivan realna broj.
* Ako je **\Delta = 0\,\!, **tada su dva korijena jednaka, pošto je \sqrt{\Delta} nula.
* Ako je **\Delta ,** tada su dva korijena konjugovano kompleksni brojevi, pošto je \sqrt{\Delta} imaginarno.

Ako imamo da je  r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}  i  r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}  (ili obrnuto),  a x^2 + b x + c \,\! se može napisati kao  a(x - r_1)(x - r_2)\,\!.

## Grafik 
mini|f(x) = ax^2 ,\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!
mini|f(x) = x^2 + bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
mini|f(x) = x^2 + bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!
Bez obzira na oblik, grafik kvadratne funkcije je parabola (kao što je prethodno pokazano).

* Ako je a > 0 \,\!, parabola je otvorena prema gore. 
* Ako je a , parabola je otvorena prema dole.

Koeficijent *a* kontroliše brzinu rasta (ili opadanja) kvadratne funkcije iz tjemena, veći pozitivan broj *a* čini da funkcija raste brže, te se grafik čini više zatzvorenim.

Koeficijenti *b* i *a* zajedno kontrolišu osu simetrije parabole (također i *x*-koordinatu tjemena parabole).

Koeficijent *b* je strmost parabole kada ona presjeca y-osu.

Koeficijent *c* kontroliše visinu parabole, specifičnije, to je tačka gdje parabola presjeca *y*-osu.

### Presjek sa *x*–osom 
Presjeci grafika sa *x*-osom su isti kao i korijeni kvadratne funkcije (pogledajte iznad).

### Tjeme 
**Tjeme** (ili **vrh**) parabole je mjesto gdje se ona previja, pa se zbog toga naziva i **tačka prevoja**. Ako je kvadratna funkcija u svom standardnom obliku, tjeme je (h, k)\,\!. Metodom potpunog kvadrata, može se opći oblik: f(x) = a x^2 + b x + c \,\! pretvoirti u

:  f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} ,

tako da će tjeme parabole u općem obliku biti

:  \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right).  

Ako je kvadratna funkcija u faktorskom obliku f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!

srednja vrijednost dva korijena

: \frac{r_1 + r_2}{2} \,\!

je *x*-koordinata tjemena, te je tjeme 

:  \left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).\!

Tjeme je, također, tačka kasimuma, ako je a  ili tačka minumuma, ako je a > 0 \,\!.

Vertikalna linija

:  x=h=-\frac{b}{2a} 

koja prolazi kroz tjeme se naziva **osa simetrije** parabole.

***Tačke maksimuma i minimuma**

:Maksimu ili minimum funkcije se uvijek dobijaju u tjemenu. Izjednačavanjem prve derivacije funkcije sa nulom, dobit ćemo koordinate tjemena. Prednost ovog metoda je ta da se može koristiti i za ostale funkcije.  

:Ako imamo funkciju f(x) = ax^2 + bx + c \,\! koja je jednostavna kvadratna jednačina. Da bi našli njene tačke maksimuma ili minimuma (koje zavise od a \,\!, ako je a > 0 \,\!, onda ima tačke minimuma, a ako je , ima tačke maksimuma) moramo prvo naći njenu derivaciju:

::f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b \,\!

:Tada, tražimo korijene od f'(x)\,\!:

::2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}

:Dakle, -\frac{b} {2a} je x\,\! vrijednost od f(x)\,\!. Sada, da bi našli y\,\! vrijednost, zamijenimo x = -\frac{b} {2a} u f(x)\,\!:

::y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a}  - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow
::y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a} 

:Odavde, tačke maksimuma ili minimuma su:

:: \left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right). 

## Također pogledajte 
* Kvadratni oblik
* Kvadratni polinom
* Matrično predstavljanje presjeka konusa
* Kvadratik
* Periodične tačke kompleksnog kvadratnog preslikavanja
* Spisak matematičkih funkcija

## Vanjski linkovi 
* 

Kategorija:Polinomi