Epicikloida

**Epicikloida** (od grč. ὲπί -na, nad i grč. κυκλος-krug ) je kriva, koja se dobija kada se jedna kružnica kotrlja po drugoj kružnici sa centrom u ishodištu. Tada proizvoljna tačka pokretne kružnice opisuje epicikloidu.

## Jednačina
Izvedimo jednačine epicikloide. U centar stalnog kruga K_0 poluprečnika OA = a postavimo pravougli Dekartov koordinatni sistem.
Tačka P(x,y) pokretnog kruga K poluprečnika CB = b u početku obrtanja imala je početni položaj A na osi Ox. 
Pošto kod ovog kretanja nema klizanja, lukovi AB i BP su jednaki i zato je

b\varphi =a\theta pri ćemu je ugao \varphi između duži OC koja spaja centre krugova i poluprečnika CP kružnice K. (dva poluprečnika pokretnog kruga: poluprečnika dodirne tačke B i poluprečnika tačke P, koja opisuje epicikloidu.)
Datoteka:EpitrochoidOn3-generation.gif

 x=OE+FP= (a+b)cos\theta + bsin(\angle {FCP})

Iz

 \angle {FCP}=\angle {BCP} - \angle {OCE} i

\angle {OCE}=  \frac{\pi}{2} -\theta dobijamo

\angle {FCP}= -cos(\varphi  +\theta )

odnosno

x=(a+b)cos\theta - b cos(\varphi  +\theta )

Slično se dobija za

y=(a+b)sun\theta - b sin(\varphi  +\theta )

Među uglovima \varphi i \theta važi

a\theta =b\varphi

Ugao \varphi izrazimo preko \theta i dobićemo parametarske jednačine epicikloide:

 x=(a+b)cos\theta - b cos ( \frac{a+b}{b} )\theta

 y=(a+b)sin\theta - b sin( \frac{a+b}{b} )\theta

Jednim svodom epicikloide podrazumjevamo dio krive koju posmatrana tačka P opisuje sa jednim obrtajem kruga K oko kruga K_0.

Ako je odnos poluprečnika kružnice racionalan broj, tada je kriva zatvorena i ima k šiljaka.

U slučaju da je k racionalan broj jednak p/q tada epicikloida ima p šiljaka.

U slučaju da je k iracionalan broj kriva se nikada ne zatvara, pa se dobija beskonačan broj šiljaka. Epiciklioida sa jednim šiljkom naziva se kardioida.

Ako je odnos a/b cio broj , možemo pričati o dužini luka i površini epicikloide. Pod dužinom luka epicikloide podrazumjevamo dužinu svodova . Površina epicikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima epicikloide.

## Teorema 1 
Dužina luka epicikloide je 8b(s+1) , gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po spoljasšnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i s=a/b je broj svodova epicikloide.

;Dokaz

Dužinu luka krive računamo po formuli

L= \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{{x^,}^2 (\theta)+{y^,}^2 (\theta)} d (\theta)

 x^,= -(a+b)sin\theta + (a+b) sin ( \frac{a+b}{b} )\theta = -(a+b)((sin\theta -sin ( \frac{a+b}{b} )\theta =

 y^, =(a+b)cos\theta - (a+b)  cos( \frac{a+b}{b} )\theta )= (a+b)(cos\theta -  cos( \frac{a+b}{b} )\theta )

 {x^,}^2 = (a+b)^2((sin\theta - sin ( \frac{a+b}{b} )\theta)^2 =

(a+b)^2 (sin^2\theta - 2 sin\theta sin ( \frac{a+b}{b} )\theta + sin^2( \frac{a+b}{b} )\theta)

{ y^,} ^2 = (a+b)^2(cos^2\theta - 2 cos\theta cos( \frac{a+b}{b} + cos^2( \frac{a+b}{b} )\theta) 

{x^,}^2 + { y^,} ^2= (a+b)^2(2-(sin\theta sin ( \frac{a+b}{b} )\theta + cos\theta cos( \frac{a+b}{b}))\theta

2(a+b)^2(1-cos( \theta + \frac{a+b}{b}\theta)= 

4(a+b)^2 	\frac{1}{2}      (1-cos( - \frac{a}{b}\theta)= 

4(a+b)^2   sin^2 (  \frac{a \theta)}{2b} 

Dužina luka jednog svoda epicikloide

L^,= \int_{0}^{\frac{2 \pi b}{a}} \sqrt{{x^,}^2 (\theta)+{y^,}^2 (\theta)} d (\theta)=
2(a+b) \int_{0}^{\frac{2 \pi b}{a}} sin (  \frac{a \theta)}{2b} d (\theta)=

2(a+b)\frac{2b}{a} )(-cos \frac{a \theta)}{2b} ) /_{0}^ {\frac{2 \pi b}{a}} =   

\frac{4b(a+b)}{a}(1 + (-1))= \frac{8b(a+b)}{a}

L_e = s L_e^, =\frac{a}{b} \frac{8b(a+b)}{a}= 8(a+b)=8b(s+1) 

## Teorema 2 
Površina epicikloide je
\pi b^2 (s+1)(s+2), gdje je b poluprecnik kruga koji se kreće po spoljašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i s=a:b je broj svodova epicikloide.

xy^, - y x^,= [(a+b)cos \theta -b cos( \frac{a+b}{b} )\theta ) ] (a+b) [ cos \theta -bcos( \frac{a+b}{b} )\theta ) ] +

 [(a+b)sin \theta -b sin( \frac{a+b}{b} )\theta ) ] (a+b) [ sin \theta -bsin( \frac{a+b}{b} )\theta ) ] =

(a+b)(a+b)+b[ 1-   sin \theta sin( \frac{a+b}{b} )\theta  -cos \theta cos( \frac{a+b}{b}) ]

((a+b)^2+b(a+b))[ 1-  cos( \theta - \frac{a+b}{b}) ]= 

2(a^2 +3ab +2b^2)sin^2\frac{a\theta}{2b}) ]

 P_e^, =	\int_{0}^{\frac{2 \pi b}{a}} {xy^, - y x^,)}\,d (\theta) = (a^2+3ab +2b^2)\int_{0}^{\frac{2 \pi b}{a}} {sin^2 (\frac{a\theta}{2b})} \,d (\theta)=

2(a^2 +3ab +2b^2)\frac{2b}{s}[ \frac{1}{2}\frac{a\theta }{2b}-  \frac{1}{4}sin\frac{a\theta}{b}]/_0^  \frac{2 \pi b}{a}  =    \pi b   \frac{(a^2+3ab +2b^2)}{b} = \pi b   \frac{(a^2+3ab +2b^2)}{b}

P_e = s P_e^, = s  \pi b   \frac{(a^2+3ab +2b^2)}{b}= \pi (a^2+3ab +2b^2)= 

\pi b^2(s+1)(s+2).

## Najpoznatije epicikloide 
Najpoznatija od svih epicikloida je kardioida koja se dobija u slučaju a=b,  s=1.

Epicycloid-1.svg

Njene  parametarske jednačine su:

x=acos\theta(1-cos\theta)

y=asin\theta(1-cos\theta)

Površina kardioide je P= 6 \pi b^2

Dužina luka je L=16b

Za a=2b, s=2 , dobijamo nefroidu, sa parametarskim jednačinama:

x=b(3cos\theta -cos 3\theta)

y=b(3sin\theta -sin 3\theta )= 4sin^3\theta

Epicycloid-2.svg

Površina nefroide je 12 \pi b^2

Dužina luka je 24b

Jos su stari Grci primijetili da ako se paralelni snop svjetlosti odbija od ogledala intenzitet odbijene
svjetlosti se pojacava duž neke krive, takozvane kaustike. Kod parabolickog ogledala to je kao sto znamo jedna tačka - fokus. Kod sfernog ogledala kaustika je upravo nefroida.
Iako je termin nefroida korišten za opisivanje drugih krivi, u ovom našem slucaju Proktor je ove krive nazvao nefroidama 1878. godine
Za a=5b, s=5 dobijamo ranunkuloidu

Evoluta Epicicloide.jpg

Parametarske jednačine su

 x=b(6cos\theta -cos 6\theta)

y=b(6sin\theta -sin 6\theta 

Površina 42 \pi b^2

Duzžna luka 48b

Još neke epicikloide

Epicycloid-3.svg
Epicycloid-4.svg
Epicycloid-2-1.svg

Epicycloid-3-8.svg
Epicycloid-5-5.svg
Epicycloid-7-2.svg

## Izvor
Novi pristupi metričkim aspektimacikloide i njoj srodnih krivih

Kategorija:Algebarske krive