Racionalni broj

**Racionalni brojevi** su svi mogući brojevi koje možemo napisati u obliku razlomaka, tj. a/b, gdje je a cijeli broj, koji zovemo brojnikom, a b je prirodan broj, koji nazivamo nazivnikom.

Skup racionalnih brojeva \mathbb{Q} uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek bila moguća na skupu cijelih brojeva \mathbb{Z}.
Ako su a,b,c\in\mathbb{Z} kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji cijeli broj c takav da je a=b×c

Definicija skupa racionalnih brojeva:
Skup racionalnih brojeva\mathbb{Q} je skup svih klasa ekvivalencije  na skupu \mathbb{Z} x \mathbb{N}, odnosno \mathbb{Q}={m/n: m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}}
Dok su skupovi \mathbb{N} i \mathbb{Z} **diskretni**, skup \mathbb{Q} je **gust** (između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

Za brojanje raznih predmeta i životinja dovoljni su cijeli brojevi, djeca broje jabuke i kruške, također, cijelim brojevima, ali ako jednu jabuku treba da podijeli dvoje djece  onda je svako od njih dobio pola jabuke . To pišemo sa 1/2.

Da je trebalo jabuku dijeliti na tri dijela, pisali bi da je svatko dobio 1/3 jabuke.Dakle, skup racionalnih brojeva \mathbb{Q} uveden je zbog toga što operacija dijeljenja nije uvijek moguća na skupu cijelih brojeva \mathbb{Z}.

Ako su a,b,c\in\mathbb{Z} kažemo da je a djeljivo sa b (a:b) ako postoji cijeli broj c takav da je a=b&times;c

Definicija skupa racionalnih brojeva:

**Skup racionalnih brojeva**\mathbb{Q} je skup svih klasa ekvivalencije  na skupu \mathbb{Z} x \mathbb{N}, odnosno \mathbb{Q}={m/n: m\in\mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}}
Dok su skupovi \mathbb{N} i \mathbb{Z} **diskretni**, skup \mathbb{Q} je **gust** ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

## Definicija
Skup racionalnih brojeva \mathbb{Q} je skup svih klasa ekvivalencije na skupu \mathbb{Z} x \mathbb{N}, odnosno

\mathbb{Q} =  {\frac{m}{n}  m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}}

Dok su skupovi \mathbb{N} i \mathbb{Z} diskretni, skup \mathbb{Q} je gust ( između svaka dva različita racionalna broja nalazi se još beskonačno mnogo racionalnih brojeva).

## Sabiranje
U skupu \mathbb{Q} definisano je sabiranje
:\frac{a}{b} +\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} za b\ne 0 d\ne 0

### Osobine sabiranja
Radi lakšeg pisanja uvedimo oznaku
:\frac{a}{b} =r
: r_1+r_2=r_2+r_1  komutativnost
: (r_1+r_2)+r_3=r_1+(r_2+r_3)  asocijativost
: r +(-r)=0 inverzan broj

Brojevi \frac{a}{b} i  -\frac{a}{b} su suprotni
:r+0=r neutralan elemenat

## Oduzimanje 
Kao i u skupu cijelih  brojeva \mathbb{Z} oduzimanje se svodi na sabiranje
:r_1-r_2=r_1+(-r_2)

## Množenje 
U skupu \mathbb{Q} definisano je množenje
:\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} za b\ne 0 d\ne 0

### Osobine množenja
: r_1*r_2=r_2*r_1  komutativnost
: (r_1*r_2)*r_3=r_1*(r_2*r_3)  asocijativnost
: r *\frac{1}{r}=1 inverzan broj
: r*1=r neutralan elemenat
: r*(-1)= -r
: r*0=0
: \frac{0}{a}=0

: r_1(r_2+r_3)=r_1*r_2+r_1*r_3 distribucija množenja u odnosu na dijeljenje

## Dijeljenje 
:  \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}* \frac{d}{c}= \frac{ad}{bc} 

### Upoređivanje
:  \frac{a}{b}  ad 

:  \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = > ad = bc

:  \frac{a}{b} > \frac{c}{d} = > ad > bc

Dvojni razlomak
:\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{ad}{bc}

## Proširivanje i skraćivanje razlomaka
: \frac{a}{b}=\frac{am}{bm} proširivanje razlomaka

: \frac{an}{bn}=\frac{a}{b} skraćivanje razlomaka

## Vanjski linkovi 
Kategorija:Elementarna matematika
Kategorija:Razlomci
Kategorija:Realni brojevi
Kategorija:Teorija polja