Hipocikloida

:Hipocikloidu opisuje tačka na kružnici  koja se, bez trenja kotrlja sa unutrašnje strane druge kružnice.

Hypocycloid1.gif|

:Pretpostavimo da se po unutrašnjosti kružnice K_0 poluprečnika a kotrlja bez trenja kružnica K poluprecnika b, b .
:Neka je koordinatni početak u centru kružnice K_0.
:Kružnicu K ćemo postaviti tako da dodiruje kružnicu K_0 sa unutrašnje strane u tački Q presjeka sa x osom.
:Posmatrajmo putanju koju opisuje tačka Q kada se kružnica K ravnomjerno kotrlja u smjeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. Pretpostavimo da je Q poslije  vremena t ta tačka prešla u tačku M(x,y). 
:Uslov da je kotrljanje bez trenja, znaći da je dužina a\theta luka kružnice K jednaka dužini luka kružnice K_0.
:Odnosno
::
a\theta = a(\theta +\varphi)
:Ako se kružnica K ravnomjerno kotrlja onda je pređeni put proporcionalan vremenu t. Tj.
::  a \theta= kt
:pri ćemu je k brzina kotrljanja.
:Dakle, ako uzmemo da se kružnica K kotrlja za a dužnih jedinica u jedinici vremena dobijamo
:\theta= t
:pa se ugao \theta može tretirati kao vrijeme.
:Odredimo sada koordinate tačke M u koordinantnom sistemu xy. Koordinate centra kružnice na kojoj se nalazi tačka M su: 
::((a-b)cos \theta, (a-b)sin \theta )
:Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni početak bude u centru te kružnice K, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :
:: u=bcos(2 \pi - \varphi ) =bcos \varphi
::v=bsin(2 \pi - \varphi ) = -bsin \varphi
:Iz
:: a\theta = a(\theta +\varphi)
:dobijamo
::x=(a-b)cos \theta+ bcos( 	\frac{a-b}{b}\theta)	
::y=(a-b)sin \theta - bsin( \frac{a-b}{b}\theta) 
:Neka je a:b cio broj, odnosno a:b=s, možemo pričati o dužini luka i površini hipocikloide.
:Duzina luka hipocikloide je duzina svodova , tj dužina krive koju opise posmatrana tačka dok ne stigne do početnog polozaja.
:Površina hipocikloide je površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima hipocikloide .
## Teorema 1 
:Duzina luka hipocikloide je 8b(s-1), gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i 
:s=a:b 
:je broj svodova hipocikloide.
:Dokaz
:Dužina luka krive je
:L= \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{{x^,}^2 (\theta)+{y^,}^2 (\theta)} d (\theta)
:x^,=-(a-b)sin\theta -(a-b)sin(\frac{a-b}{b}\theta)= -(a-b)( sin\theta + sin(\frac{a-b}{b}\theta)) 
:y^,=(a-b)cos\theta -(a-b)cos(\frac{a-b}{b}\theta)= (a-b)( cos\theta - cos(\frac{a-b}{b}\theta)) 
:{x^,}^2=(a-b)^2( sin^2\theta + 2sin\theta sin(\frac{a-b}{b}\theta)+ sin^2(\frac{a-b}{b}\theta))  
:{y^,}^2=(a-b)^2( cos^2\theta - 2cos\theta cos(\frac{a-b}{b}\theta)+ cos^2(\frac{a-b}{b}\theta))  
:
{x^,}^2+{y^,}^2=(a-b)^2[2+2[sin\theta sin(\frac{a-b}{b}\theta)-cos\theta cos(\frac{a-b}{b}\theta)]=
:2(a-b)^2(1-cos(\theta+ \frac{a-b}{b}\theta))=4(a-b)^2\frac{1}{2}(1- cos(\frac{a}{b}\theta)=
:4(a-b)^2 sin^2(\frac{a\theta}{2b})
:Na osnovu ovoga dobijamo da je dužina luka jednog svoda hipocikloide:
:L^,= \int_{0}^{\frac{2 \pi b}{a}} \sqrt{{x^,}^2 (\theta)+{y^,}^2 (\theta)} d (\theta)=
:2(a-b)\int_{0}^{\frac{2 \pi b}{a}} {sin(\frac{a\theta}{2b})}\ d (\theta)
:\frac{4b (a-b)}{a}(1-(-1))= \frac{8b (a-b)}{a}
:L_h=s{L^,}_h=  \frac{a}{b}* \frac{8b (a-b)}{a}=8(a-b)=8b(s-1) 
## Teorema 2 
:Površina hipocikloide je
::\pi b^2 (s-1)(s-2)
:gdje je b poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti stalnog kruga poluprečnika a i  s= \frac{a}{b} je broj svodova hipocikloide.
:Dokaz
:Koristićemo Grinovu teoremu
:
xy^, - y x^,=[(a-b)cos\theta +(a-b)cos(\frac{a-b}{b}\theta)][(a-b)cos\theta -(a-b)cos(\frac{a-b}{b}\theta)]-
:[(a-b)sin\theta -(a-b)sin(\frac{a-b}{b}\theta)][(a-b)sin\theta +(a-b)sin(\frac{a-b}{b}\theta)]=
:
((a-b)^2-b(a-b))[1 + sin\theta sin(\frac{a-b}{b}\theta) -   cos\theta cos(\frac{a-b}{b}\theta)] =       
:((a-b)^2-b(a-b))[1 - sin(  \theta+ \frac{a-b}{b}\theta)]
: P =	\int_{0}^{\frac{2 \pi b}{a}} {xy^, - y x^,)}\,d (\theta) = (a^2-3ab +2b^2)\int_{0}^{\frac{2 \pi b}{a}} {sin^2 (\frac{a\theta}{2b})} \,d (\theta)=
:(a^2-3ab +2b^2)\frac{2b}{a} [\frac{1}{2}\frac{d \theta}{2b}- - \frac{1}{4}sin (\frac{a\theta}{2b}] = 
:\pi b \frac{(a^2-3ab +2b^2)}{a}= \pi  \frac{(a^2-3ab +2b^2)}{s}
:Iz  s= \frac{a}{b} proizlazi
:
P=s P_h = s \pi  \frac{(a^2-3ab +2b^2)}{s}= \pi (a^2-3ab +2b^2) = \pi b ^2 (s-1)(s-2) 
## Specijalni slučajevi hipocikloide 
### Dijametar
:U slučaju kada je a=2; b;=1 s=2
:jednačine hipocikloide (dijametra) su  x=2bcos\theta
:y=0
:Tačka na kotrljajućem krugu osciluje po prečniku kružnice. Ovo je jedan od najlepših modela koje pokazuje kako pretvoriti kružno kretanje u pravolinijsko i obrnuto.
:Dužina luka te hipocikloide je 8b
### Deltoida
:Za a=3;b=1; s=3 dobijamo trouglastu hipocikloidu (deltoidu, Štajnerovu krivu).

Hypocycloid-3.svg|deltoida

:Njene jednačine su
::x=2bcos\theta + bcos2\theta
::y=2b sin\theta - b sin2\theta
:Deltoida ima zanimljivu osobinu da odsječci njenih tangenti unutar krive imaju konstantnu dužinu tj. jedan stap  te dužine bi se mogao rotirati unutar nje stalno je dodirujući.
:Deltoida ima površinu P=2 \pi b^2
:Dužina luka je L=16b
### Astroida
:Za a=4;b=1; s=4 dobijamo astroidu, sa parametarskim jednačinama:
:x=3bcos\theta + bcos3\theta= a cos^3 \theta 
:y=3b sin\theta - b sin3\theta= asin^3\theta

Hypocycloid-4.svg|

:Porijeklo imena astroida može se naći u grčkoj riječi (asteri) čije je značenje zvijezda. Ova kriva je ranije nazivana i kubocikloidom i paraciklom.
:Površina astroide je
::P= 6 \pi b^2
:Dužina luka je
::L=24b.
:Za a=21, b=0, s=2,1 dobijamo hipocikloidu

Hypocycloid-2-1.svg|

:Mali krug poluprečnika b 10 puta treba da obiđe veliki krug poluprečnika a da bi fiksna tačka došla u početni položaj, tj da bi hipocikloida bila zatvorena.
:Za a =\pi; b=1 ; s=\pi 
:Kako je odnos prečnika iracionalan, hipocikloida se nikada neće zatvoriti. Ako bi nastavili kotrljati krug
do beskonačnosti, dobili bi jedan prsten.
## Teorema dvostruke generacije 
:1725. god. Daniel Bernuli je otkrio osobinu hipocikloide poznatu kao teorema dvostruke generacije.
:Krug poluprečnika b, koji se kreće po unutrašnjosti kruga poluprečnika a, generiše istu hipocikloidu kao i krug a-b poluprečnika krečući se unutar istog kruga.
:Ako označimo prvu hipocikloidu sa \mathit{H}(a,b) a drugu sa \mathit{H} \left ( a, a-b \right )
:na osnovu teoreme dobijamo da je
:\mathit{H}(a,b) = \mathit{H} \left ( a, a-b \right )
:Ova dva unutrašnja kruga su komplementarna u odnosu na nepokretan krug, tj. zbir njihovih poluprečnika jednak je poluprečniku nepokretnog kruga.
:x=(a-b)cos \theta+ bcos( 	\frac{a-b}{b}\theta)	
:y=(a-b)sin \theta - bsin( \frac{a-b}{b}\theta)
:Zamjenom
:b^, = a-b
:\varphi = \frac{a - b}{b}\theta odnosno
: \theta =\frac{a \varphi}{a -b}= \frac{a - b^,}{b^,}\varphi
:imamo
:
x=b^,cos (\frac{a - b^,}{b^,}\varphi) + (a-b^,)cos \varphi   
:
y=b^,sin(\frac{a - b^,}{b^,}\varphi) - (a-b^,)sin \varphi   
:zamjenom redoslijeda sabiraka dobijamo
:
x= (a-b^,)cos \varphi + b^,cos (\frac{a - b^,}{b^,}\varphi)   
: y= - (a-b^,)sin \varphi + b^,sin(\frac{a - b^,}{b^,}\varphi)  
:Ako u drugoj jednačini koristimo poznate trigonometrijske identitete
:cos(- \varphi)=cos \varphi
:sin(- \varphi)= -sin \varphi
:i parametra \varphi sa \omega dobićemo parametarske jednačine hipocikloide 
:\mathit{H} \left ( a, a-b \right ), koje su potpuno identicne sa pocetnim jednacinama:
:
x= (a-b^,)cos \omega + b^,cos (\frac{a - b^,}{b^,}\omega)   
: y= - (a-b^,)sin \omega + b^,sin(\frac{a - b^,}{b^,}\omega)  

;Posljedica ove teoreme je
:Istu astroidu možemo dobiti i rotacijom kruga poluprečnika \frac{3 a}{4}
i rotiracijom kruga poluprečnika \frac{ a}{4} unutar fiksiranog kruga poluprečnika a.
## Površina hipocikloide 
:Površina hipocikloide je 
:\pi b^2 (s-1)(s-2) (b je poluprečnik kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i s=a:b je broj svodova hipocikloide, odnosno
:P_h=K(s-1)(s-2)
:K je površina kotrljajuće kružnice. Pomoću hipociklogona možemo dobiti formule, čije su granične vrijednosti ekvivalentni sa ovim rezultatima.
:Neka je hipociklogon generisan sa pravilnim petnaestouglim i kotrljajućim petouglom. Površinu hipociklogona možemo dobiti tako da iz površine m-ugla izvućemo m/n puta površinu koja je ograničena sa m-uglom i jednim svodom hipociklogona. Površina se sastoji od :n-2  trouglova, koji zajedno daju površinu kotrljajućeg n-ugla (označena sa M ), i n-1 kružnih isječaka.
: {A_h}^q = M +      	\frac{1}{2}    	\textstyle \sum_{k=1}^{n-1} \varphi{r_k}^2
:\frac{1}{2} \varphi {r_k}^2 je površina k-tog kružnog isječka, a
:r_k za k=1, 2, ..., n dužine koje spajaju jedno tjeme n-ugla sa ostalim n-1 tjemenima
:Kako je ugao kružnog isječka jednak \frac{2 \pi}{n}, moramo ga smanjiti za spoljašnji ugao m-ugla, tj.
:\varphi =\frac{2 \pi}{n} - \frac{2 \pi}{m}
: {A_h}^q = M +   \frac{1}{2}   	\textstyle \sum_{k=1}^{n-1}   ( \frac{2 \pi}{n} -   \frac{2 \pi}{m} ){r_k}^2  = 
 M +     \frac{1}{2} ( \frac{2 \pi}{n} -   \frac{2 \pi}{m} ) \textstyle \sum_{k=1}^{n-1}   {r_k}^2 
=  
:M +     \frac{1}{2} ( \frac{2 \pi}{n} -   \frac{2 \pi}{m} )2nR^2 = M + 2R^2\pi (1- \frac{n}{m})
:gde je R poluprečnik opisane kružnice kotrljajučeg pravilnog n-ugla.
:Posmatrajmo niz hipociklogona generisanih sa n-uglom koji se kotrlja unutar m-ugla upisan u krug poluprečnika a, tako da se odnos broja stranica v=m : n pravilnih mnogouglova ne mijenja. Označimo ga sa H^q(n,m). 
:Prvi član niza je ciklogon generisan sa trouglom koji se kotrlja oko 3v-ugla drugi član niza je generisan sa kvadratom koji se kotrlja oko 4v-ugla .
:n-ti član generiše pravilan (n+2) -ugao koji se kotrlja oko ((n+2)v-ugla .
:Niz ciklogona je
:H^q(3,3v), H^q(4,4v), H^q(5,5v), ...., H^q(n, m)
:Stranice n-ugla i m-ugla su jednake dužine pa za svaki član niza vazži da je obim nepokretnog mnogougla v puta veća od kotrljajučeg.
:U graničnom slučaju n \to \infty  \Rightarrow m   \to \infty zbog m=vn. To znači da smo dobili dvije kruznice, takve da je obim prve kružnice v puta manji od obima druge kružnice, tj i poluprečnici imaju odnos v= m :n. Sto možemo napisati ovako:
:\frac{m}{n}=\frac{a}{b}
:gdje je a poluprečnik kružnice K_0 opisane oko m-ugla, a b poluprečnik kotrljajuće kružnice :K oko pravilnog n-ugla
: A_h =\textstyle \lim_{n \to \infty} [M + 2 K (1- \frac{n}{m})])= K(3 - 2\frac{m}{n}) 
:s= m :n
:P_h = a^2 \pi - aA_h = s^2 K -sK(3 -\frac{2}{s}) =K ( s^2 - 3s +2) = K( s-1)(s-2)   

## Reference
* Novi pristupi metričkim aspektima cikloide i njoj srodnih krivih

Kategorija:Krive