Kvadrat (algebra)

**Kvadrat** je drugi stepen nekog broja ili izraza. Dobija se tako što pomnožimo broj samim sobom.

a^2 = a \cdot a

Kvadrat izraza

* kvadrat binoma, kvadrat zbir ili kvadrat razlike

 (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \,

* zbir i razlika kvadrata

 a^2 \pm b^2 \,

**Potpuni kvadrat** predstavlja niz brojeva ,koji predstavljaju kvadrate nekih prirodnih brojeva

1, 4, 9, 16, 25, \cdots

Pitagorejske trojke su brojevi koji zadovoljavaju uslov.
\Gamma ^ 2 = \Lambda ^ 2 + \Delta ^ 2 \,
Ima ih beskonačno mnogo.
(3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), \cdots  
## Određivanje kvadratnog broja
:Kvadratni broj je jedan od  prirodnih brojeva 1, 4, 16, 25...
:Lako se može ustanoviti relacija između uzastopnih članova niza. Ako kvadratu nekog broja dodamo dvostruki taj broj uvećan za 1 dobijamo sljedeći član niza.
:x^2+(2x+1) = (x+1)^2

:Primjer
: 6^2+(2*6+1)=36+13=49=7^2

:Kvadrat broja čija je cifra jedinica 5 određujemo tako sto broj ispred 5 pomnožimo sa njemu sljedećim brojem i tom proizvodu dopišemo 25.
:
45^2 =(4*5=20)25=2025
:65^2= (6*7=42)25=4225
:Ako su poznate algebarske relacije
:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
:(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
:uvrstimo b=1
:
(a+1)^2=a^2+2a+1
:
:(a-1)^2=a^2-2a+1
:Može se koristiti kao kvadrat broja ako se zna a^2
:30^2 =900
:
31^2 =(30+1)^2=30^2+2*30+1=900+6+1=961

:Malo teže je za
:(a+2)^2=a^2+4a+4
:(a-2)^2=a^2-4a+4
:38^2=40^2-4*40+4=1600-164=1444
:
37^2=35^2+4*35+9=1225+140+4=1369

:Lako se pamte kvadrati čija je cifra jedinica 0.

:Kako je
:(a+b)(a-b)=a^2-b^2
:imamo
:a^2=(a+b)(a-b)-b^2
:57^2 =(57+3)(57-3)+99=54*60+9=3249
:113^2= (113+13)(113-13)+13^2=126*100+169 =12769

:Brojeve izmedju 40 i 60 upoređujemo sa brojem 50
:(50+x)^2=50^2+2*50x+x^2=(25+x)*100+x^2
:(50-x)^2=50^2-2*50x+x^2=(25-x)*100+x^2
:
63^2 =  (50+13=60)= (25+13)*100+13^2=3800+169=3969
:Ovo pravilo se moze primjeniti za brojeve izmedju 2 i 29. Kako znamo da je kvadrat nekog broja jednak četvrtini kvadrata dvostrukog tog broja imamo
:27^2= \frac{54^2}{4}=\frac{2916}{4}=729

:Slično je sa brojevima 82 do 98 koji se dijele sa 2 pa je njihov kvadrat 4 puta veci.
:82^2=4*41^2=4*1681=6724
:Za brojeve od 90 do 110 primjenjujemo pravilo
:(100+x)^2=100^2+2*100x+x^2=(100+2x)*100+x^2
:(100-x)^2=100^2-2*100x+x^2=(100-2x)*100+x^2
:105^2=(100+2*5)*100+5^2=11000+25=11025
:98^2=(100-4)*100+2^2=96*100+4=9600+4=9604

:Kvadrati cijelih brojeva uvijek završavaju sa ciframa 0,1,4,5,6,9 a nikada sa 2,3,7. Ovo je dovoljan ali ne i potreban uslov da bi broj bio kvadratni, jer  broj može završavati nekom cifrom prvog niza a da nije kvadrat, a cio broj ako se ne završava nekom od tih cifri ne može biti kvadrat.

:Interesantno je da dvocifrenih završetaka kvadrata ima 22. To su: 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36,  41, 44, 49, 56, 1,64, 69, 76, 81, 84, 89, 96. Ovo je značajno kod istraživanja odnosa brojeva.

:Primjer

:Ako nas interesuje da li kvadrat oduzet ili dodat od nekog broja daje kvadrat?
:Ako želimo naći broj x^2 takav da je 5581-x^2 također kvadrat.
:Iz navedenih brojeva vidimo da se x^2 mora zavrsavati sa 00, 25, 56, ili 81.
:x^2=4356=66^2
:
5581-4356=1225=35^2
:Kvadrat se može završavati sa parnim brojem nula. ali ne i sa više od 3 četvorke
:38^2=1444 je najmanji takav broj, a sljedeći takav broj je 462^2=213444 zatim 538 pa 962.
:538^2=289444
:962^2=925444
:Uopšte broj 500x+38 ili 500x-38 ima kvadrat koji se završava sa ciframa 444.
:Kod automorfnih brojeva postoji klasa brojeva kod cijih su kvadrata  n posljednjih cifara isti kao kod samog broja.
:Za n=1 svaki broj koji završava sa 5 ili 6 kvadrat također završava sa 5 ili 6.
:Za n=3 ako se brojevi zavrsavaju sa 376 ili 625 kvadrat također završava sa 376 ili 625.
:Postoje također brojevi koji završavaju sa 000 ili 0001. Njihovi kvadrati se završavaju tim ciframa.
:Postoje relacije koje sadrže kvadrate.
:Broj 2025 je kvadrat kao i broj koji nastaje ako uvećamo njegove cifre za 1 tj broj 3136
:2025=45^2
:
3136=56^2
:Istu osobinu ima i broj 25
:25=5^2
:
36=6^2

:Premještajuci cifre brojeva 65 imamo
:65^2-56^2=4225-3136=1089=33^2
:Ovo je jedini dvocifreni broj koji zadovoljava  rekaciju ovog tipa.
:Postoji 83 broja čiji kvadrati sadrže svih 9 cifari sem nule bez ponavljanja.

:Primjer
:11826^2=139854276
:a 87 koji sadrze i nulu. Tj.
:32043^2=1026753849

:Postoji nekoliko relacija koje pokazuju da razlika dva kvadrata može biti jednaka broju koji sadrži svih devet cifara uzetih samo jednom.
:11113^2-200^2=123458769
:Svaki neparni broj veći od 1 i svi parni djeljivi sa brojem 4 sem broja 4 mogu se izraziti kao razlika kvadrata.
:Brojevi koji sadrže svih 9 cifri u rastučem ili opadajučem nizu mogu se izraziti kao razlika 2 kvadrata.
:9 cifara možemo permutovati na 362880 načina, od kojih je 90720 brojeva oblika 4x+2. To su brojevi koji se završavaju sa 02, 06, 14...98. Ne mogu se izraziti kao razlika kvadrata.
:Sa brojevima 1 i 4 ima 90722 broja koji se ne mogu izraziti kao razlika kvadrata. Preostalih 272158 brojeva mogu se izraziti kao razlika kvadrata.
:Proizvod zbira dva kvadrata sa drugin zbirom dva kvadrata uvijek je jednak zbiru dva kvadrata.
:
(a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+ (ad+bc)^2=(ac+bd)^2+ (ad-bc)^2
:5^2=1^2+2^2
:13=2^2+3^2
:5*13= 65=8^2+1^2=7^2+4^2
:Svaki prirodni broj može se izraziti kao zbir ne vise od 4 kvdrata.
:Dokaz ove teoreme dao je Lagrange. Teorema se po njemu zove Lagrangeova teorema.
:Moguce je imati 3 cjelobrojna kvadrata, takva da su njihovi zbirovi po parovima kvadrati.
:x^2+y^2=a^2
:x^2+z^2=b^2
:y^2+z^2=c^2

:Primjer

:44^2+240^2=244^2
:44^2+117^2=125^2
:240^2+117^2=267^2

:Ovo znači da kvadar 44*117*240 ima strane cije su dijagonale cijeli brojevi

:Da bi zbir 2 cjelobrojna kvadrata bio kvadrat cijelog broja x^2+y^2=a^2 potrebno je da x, y, z imaju oblik.

:x=k(m^2-n^2)

:y=2kmn

:z=k(m^2+n^2)

:To su Pitagorine trojke brojeva za m, n, k za proizvoljne prirodne brojeve.

:Zbir kvadrata uzastopnih brojeva moze biti kvadrat broja.

:1^2+2^2+3^2+....+24^=4900=70^2

:18^2+19^2+20^2+....+28^=5929=77^2

:
12345678987654321=111111111^2

## Također pogledajte 
* Kvadratna jednačina

Kategorija:Algebra
Kategorija:Elementarna aritmetika
Kategorija:Eksponencijali
Kategorija:Kvadrati u teoriji brojeva
Kategorija:Unarne operacije