Trougao

mini|Trokut
**Trougao** ili **trokut** je poligon koji ima tri stranice i tri ugla. Jedan je od osnovnih oblika u geometriji. Trougao sa uglovima u tačkama *A*, *B* i *C* se označava kao \triangle ABC. Zbir svih unutrašnjih uglova u trouglu iznosi 180°.

## Vrste trouglova 
Trouglovi se mogu razlikovati na osnovu dužina stranica, odnosno njihovom međusobnom odnosu kao i veličini unutrašnjih uglova.
: \alpha \ne  \beta \ne \gamma   
: a \ne  b \ne c   
:Poluprečnik opisamog kruga    2R=  	\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}  

Datoteka:Triangolo-Equilatero.png|Jednakostranični trougao
Datoteka:Triangle.Isosceles.svg|Jednakokraki trougao
Datoteka:Triangle.Scalene.svg|Raznostranični trougao

## Obim trougla 
Obim trougla jednak je zbiru dužina stranica trougla.
: O= a +  b + c   
Obim jednakokrakog trougla je 
: O= a + 2 b   
Obim istostraničnog trougla je
: O= 3a  

## Površina 
* Površina trougla *P* se računa tako što se osnovica (baza) *b* pomnoži sa visinom (visina trougla je okomita udaljenost između osnovice i suprotnog vrha) *h* i rezultat se podijeli sa dva.

:***P = (b·h)/2***,

mini|centar|300p|Grafički prikaz površine trougla

Površinu *P* možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac): P=\scriptstyle\sqrt{(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))} gdje je s poluobim trougla; s=(a+b+c)/2
: P=  	\frac{abc}{4R} = rs  
: P=  	\frac{ab \sin \gamma}{2} =    \frac{bc \sin \alpha}{2} = \frac{ac \sin \beta}{2}          
:Neka su date koordinate vrhova trougla  A(x_1,y_1),  B(x_2,y_2), C(x_3,y_3) površina trougla je
:  P=  	\frac{(x_2-x_1)(y_2+y_1)+ (x_3-x_2)(y_3+y_2)+(x_1-x_3)(y_1+y_3)               }{2}           

## Osobine trouglova (teoreme) 
* Zbir uglova u trouglu je 180 stepeni (ili π radiana).
: \alpha +  \beta + \gamma = 180^o  .
Treba istaći da ova jednakost važi samo u Euklidskoj  geometriji, a ne u drugim tipovima geometrije, kao što je sferna geometrija i hiperbolična geometrija, gdje je ova suma  veća ili manja od 180 °;
:Zbir spoljašnjih uglova iznosi 360^o\,.
: \alpha_ {1} +  \beta_ {1} + \gamma_ {1} = 360^o  .
:Zbir unutrašnjeg i odgovarajućeg spoljašnjeg ugla trougla je ispružen ugao
: \alpha_ {1} +  \alpha  = 180^o  
: \beta_ {1} +  \beta  = 180^o  
: \gamma_ {1} +  \gamma  = 180^o  
:Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla.
: \alpha_ {1} = \beta  +   \gamma     
: \beta_ {1} = \alpha  +   \gamma     
: \gamma_ {1} = \alpha  +   \beta     
*Zbir dužina dvije stranice trougla veći je od dužine  treće  stranice, a razlika manja.
* Pitagorina teorema važi za bilo koji pravougli trougao sa hipotenuzom *c* i katetama *a* i *b* i glasi: 
a^2 + b^2 = c^2
* U svim trouglima važi sinusna teorema koja kaže da su stranice jednog trougla proporcionalne sinusima suprotnih uglova:
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}

## Značajne tačke trougla
:Centar opisane kružnice trougla O_o  nalazi se u presjeku simetrala stranica trougla a poluprečnik je 
:R= O_oA  =O_OB =O_oC
:Centar opisane kružnice pravouglog trougla nalazi se na polovini hipotenuze.

:Centar upisane kružnice trougla O_u  nalazi se u presjeku simetrala uglova trougla a poluprečnik je 
:r= O_uP

:Težište trougla T nalazi se u presjeku težišnih duži trougla
: t_a \cap  t_b \cap t_c =T 
: TA= 2 TA_1 
: TB= 2 TB_1 
: TC= 2 TC_1 

:Ortocentar trougla H nalazi se u presjeku pravih kojima pripadaju visine trougla 
: h_a \cap  h_b \cap h_c =H 

## Sličnost trougla
:Dva trougla su slična ako imaju dva ugla jednaka.
:Dva trougla su slična  ako  su dvije stranice trougla proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla i uglovi koje zaklapaju parovi odgovarajućih proporcionalnih stranica su jednaki.
: \frac{AB}{A_1B_1} =  \frac{AC}{A_1C_1}=k ;  \measuredangle \alpha = > \measuredangle \alpha_1 = >  :\vartriangle {ABC}\sim \vartriangle {A_1B_1C_1}  
:Dva trougla su slična ako su sve odgovarajuće stranice dva trougla proporcionalne tada su ta dva trougla slična 
: \frac{AB}{A_1B_1} =  \frac{AC}{A_1C_1}=  \frac{BC}{B_1C_1}= k = >; \vartriangle {ABC}\sim \vartriangle {A_1B_1C_1}  
:Ako se stranice dva slična trougla odnose kao : m:n  tada se i njihovi obimi nalaze u istom odnosu :O:O_1=m:n, a površine se odnose kao :  P:P_1=m^2:n^2 .
:Ako je dužina hipotenuze   c = p+q  onda primjena sličnosti na pravougli trougao  imamo
: a^2=qc 
: b^2=pq 
: {h_c}^2 =pq 
## Trougao u kompleksnoj ravni
Posmatrajmo ravan kao kompleksnu kompleksnu ravan u kojoj je svakoj tački dodjeljen neki kompleksan broj. Tako tačke  umjesto velikim slovima,označavamo malim: a, b, c, d, . . . , kao kompleksne brojeve.

Trouglovi A_1A_2A_3 i B_1B_2B_3 su slični i jednako orijentisani ako i samo ako je
\frac{a_2 -a_1}{a_3 - a_1}=\frac{b_2-b_1}{b_2-b_1}

Dokaz

\triangle A_1A_2A_3 \sim \triangle B_1B_2B_3 onda i samo onda ako je A_1A_2/A_1A_3=B_1B_2/B_1B_3 

\begin{vmatrix}
 \frac{a_2 -a_1}{a_3 - a_1}
\end{vmatrix}=   \begin{vmatrix}
 \frac{b_2 -b_1}{b_3 - b_1}
\end{vmatrix}      i  arg \frac{a_2 -a_1}{a_3 - a_1}= arg \frac{b_2-b_1}{b_2-b_1}

Ove dvije jednakosti ekvivalentne su sa

\frac{a_2 -a_1}{a_3 - a_1}=\frac{b_2-b_1}{b_2-b_1}

Ovaj uslov je ekvivalentan sa  uslovom

\begin{vmatrix}
  1 & 1 & 1 \\
  a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 
\end{vmatrix}=0

Lako je provjeriti da za trouglove A_1(0), A_2(1), A_3(2i) i B_1(0), B_2(-i),
B_3(-2) ovaj uslov nije zadovoljen mada su oni oćigledno slični. Ovi trouglovi, međutim, nisu istih orijentacija. Za trouglove suprotnih orijentacija važi slijedeći stav.

Ako su tjemena A_1, A_2, A_3 trougla A_1A_2A_3 određena su kompleksnim brojevima z_1, z_2, z_3 respektivno, tada su slijedeća tvrđenja ekvivalentna:
#A_1A_2A_3 je jednakostraničan trougao
#\mid z_1 - z_2\mid  = \mid z_2 - z_3 \mid =\mid z_3 - z_1 \mid
#z_1^2+z_2^2+z_3^2 =z_1z_2+z_2z_1+z_3z_1
#\frac{z_2-z_1}{z_3-z-1}=\frac{z_3-z_2}{z_1-z-2}
#\frac{1}{z-z_1}+\frac{1}{z-z_2}+\frac{1}{z-z_3}=0 gdje je z=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}
#(z_1+ \epsilon z_2+ \epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+ \epsilon z_3)=0 za  \epsilon =\cos \frac{2\pi }{3}+ i\sin \frac{2\pi }{3}
#\begin{vmatrix}
 1 & 1 & 1\\
  z_1 & z_2& z_3\\
z_2 & z_3& z_1
\end{vmatrix}=0

Ako su tjemena A_1, A_2, A_3 pozitivno orjentisanog trougla A_1A_2A_3 sljedeća tvrđenja su ekvivalentna
## Također pogledajte 
* Kosinusni teorem
* Sinusni teorem
* Tangensni teorem
* Pedoeova nejednakost
* Pitagorina teorema
* Pravougli trougao

## Reference