Potencijalni red

U matematici, **potencijalni red** (ili **stepeni red**) (jedne promjenljive) je red oblika

:f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots
gdje *an* predstavlja koeficijent *n*-tog sabirka, *C* je konstanta, a *x* je a blizu *c*. Ovi redovi se često javljaju u vidu Taylorovih redova neke date funkcije; u članku o Taylorovim redovima se mogu naći primjeri.
[desno|mini|[Eksponencijalna funkcija (plavo) i suma prvih *n*+1 članova njenog Maclaurinovog potencijalnog reda (crveno).]]
Jako često se uzima da je *c* jednako nuli, naprimjer, kada se razmatraju Maclaurinovi redovi.  
U ovim slučajevima, potencijalni red ima jednostavniji oblik
::
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

Ovakvi potencijalni redovi se javljaju uglavnom u analizi, ali također i u kombinatorici (kao generatorne funkcije) i u obradi signala.

## Primjeri 
Svaki polinom se lahko može izraziti kao potencijalni red kod tačke *c*, mada mu je većina koeficijenata jednaka nuli. Na primjer, polinom f(x) = x^2 + 2x + 3 se može zapisati kao potencijalni red oko c=0 oblika
::f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,
ili oko centra c=1 kao
::f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,
ili oko bilo kog drugog centra *c*. Stepeni redovi se mogu posmatrati kao *polinomi beskonačnog reda*, mada oni nisu polinomi.

Formula geometrijskog reda
:: \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,
koja važi za |x|, je jedna od najvažnijih primjera potencijalnog reda, kao i formula eksponencijalne funkcije
:: e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,
i sinusna formula
:: \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,
koja važi za svako realno x.
Ovi potencijalni redovi su također i primjeri Taylorovih redova. Međutim, postoje potencijalni redovi koji nisu Taylorovi redovi ni jedne funkcije, naprimjer
::\sum_{n=0}^\infty n! x^n = 1 + x + 2! x^2 + 3! x^3 + \cdots.

Negativni potencijalni nisu dozvoljeni u potencijalnim redovima, naprimjer 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots
se ne smatra potencijalnim redom (mada jeste Laurentov red). Slično, razlomljeni potencijalnovi, kao što je x^{1/2} nisu dozvoljeni (vidi Piseov red). Koeficijenti a_n ne smiju da zavise od x, stoga naprimjer:
:\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \, nije potencijalni red.

## Radijus konvergencije 
Stepeni red sigurno konvergira za neke vrijednosti promjenljive *x* (barem za *x* = *c*) a za ostale može da divergira. Uvek postoji broj *r*, 0 &le; *r* &le; &infin; takav da red konvergira kad god je |*x* &minus; *c*|  *r*.  Broj *r* se naziva **radijus konvergencije** (ili stpen konvergencije) potencijalnog reda; u općem slučaju, radijus konvergencije je određen izrazom

:r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}
ili, ekvivalentno,

r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}
 
(pogledajte limes superior i limes inferior). Brz način da se izračuna je

:r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|

ako ovaj limes postoji.

Red konvergira apsolutno za  |*x* - *c*| f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
:g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n
onda
:f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n

### Množenje i dijeljenje 
Uz iste definicije kao i gore, potencijalni red proizvoda ili količnika funkcija se može dobiti na slijedeći način:

: f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)

: = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}

: = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

Niz m_n := \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} je poznat kao konvolucija nizova a_n
i b_n.

Primijetimo, za dijeljenje:

: {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n

: f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

a zatim se koriste gornji izrazi, upoređujući koeficijente.

### Diferenciranje i integracija 
Ako je funkcija data kao stepeeni red, ona je neprekidna gdje god konvergira, i diferencijabilna je na unutrašnjosti ovog skupa. Može se diferencirati ili integraliti vrlo jednostavno, član po član:

::
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}

::
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + C

Oba ova reda imaju isti radijus konvergencije kao i početni.

## Analitičke funkcije 
Funkcija *f* definisana na nekom otvorenom podskupu *U* od **R** ili **C** se naziva **analitičkom** ako je lokalno zadata potencijalnim redom. Ovo znači da svako *a* &isin; *U* ima otvorenu okolinu *V* &sube; *U*, takvu da postoji potencijalni red sa centrom *a* koji konvergira funkciji *f*(*x*) za svako *x* &isin; *V*.

Svaki potencijalni red sa pozitivnim radijusom konvergencije je analitički na unutrašnjosti svoje oblasti konvergencije. Sve holomorfne funkcije su kompleksno-analitičke. Sume i proizvodi analitičkih funkcija su analitičke, kao i količnici, sve dok nazivnik nije nula.

## Formalni potencijalni redovi 
U apstraktnoj algebri, pokušava se da se izvuče suština potencijalnih redova, bez ograničavanja na polja realnih i kompleksnih brojeva i bez potrebe da se govori o konvergenciji. Ovo dovodi do koncepta formalnog potencijalnog reda. Ovaj koncept je od velikog značaja u kombinatorici.

## Potencijalni redovi više Promjenljivih 
Stepeni redovi više Promjenljivih su definisani na slijedeći način

::
f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},

gdje je promjenljiva *j* = (*j*1, ..., *j**n*) vektor prirodnih brojeva, koeficijenti  *a*(*j1,...,jn*) su obično realni ili kompleksni brojevi, a centar  *c* = (*c*1, ..., *c**n*) i argument  *x* = (*x*1, ..., *x**n*) su obično realni ili kompleksni vektori. Jednostavnija oznaka je

::
f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* Formalni potencijalni redovi na stranici *MathWorld*
* Stepeni redovi na stranici *MathWorld*

Kategorija:Matematička analiza
Kategorija:Matematički redovi