Eksponencijalna funkcija

**Eksponencijalna funkcija** je funkcija u matematici. Primjena ove funkcije na vrijednost ***x*** se zapisuje kao ***ex***, gdje je ***e*** matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, koja približno iznosi 2,718281828,te je poznata pod nazivom Eulerov broj. Često, ovo se može napisati u obliku '*exp(*x*)*'.
[mini|200px|desno|The exponential function is nearly flat (climbing slowly) for negative values of *x*, climbs quickly for positive values of *x*, and equals 1 when *x* is equal to 0. Its *y* value always equals the [slope at that point.]]

Ako funkcija od *realne* varijable *x*, grafik od *y* = *e**x* je uvijek pozitivan (iznad *x* ose) i rastući (gledato s lijeva na desno). Funkcija nikada ne dodiruje *x* osu, iako se proizvoljno blizu približi istoj (tako da je *x* osa horizontalna asimptota grafika). Njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, ln(*x*), je definisan za sve pozitivne *x*. Za eksponencijalnu funkciju se nekad kaže da je **antilogaritam**. Međutim, ova terminologija se, u zadnje vrijeme, manje koristi.

Ponekad, posebno u naukama, termin **eksponencijalna funkcija** se općenito koristi za funkcije oblika *cb**x*, gdje je *b*, predstavljajući *bazu*, bilo koji pozitivan realan broj, a ne mora nužno biti *e*. Pogledajte članak eksponencijalni rast za više informacija o ovoj upotrebi.

Općenito, varijabla *x* može biti bilo koji realan ili kompleksan broj, ili čak potpuno druga vrsta matematičkog objekta; pogledajte formalnu definiciju ispod.

## Formalna definicija 
desno|mini|Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvihh *n*+1 članova potencijalnog reda lijevo (crveno). 

Eksponencijalna funkcija e*x* može se definisati, na razne ekvivalnetne načine, kao beskonačan red. Tačnije, može se definisati pomoću potencijalnog reda:

: e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

Uočite da ova definicija ima oblik Taylorovog reda. Koristeći druge definicije za eksponencijalnu funkciju trebale bi dovesti do istog rezultata kada se proširi u Taylorov red.

Rjeđe, *e**x* je definisano kao rješenje *y* jednačine

: x = \int_{1}^y {dt \over t}.

Također, to je slijedeća granična vrijednost:

: e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.

## Neprekidni razlomci za *e**x* 
Preko Eulerovog identiteta:

:\,
\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots=
1+\cfrac{x}{1-\cfrac{x}{x+2-\cfrac{2x}{x+3-\cfrac{3x}{x+4-\cfrac{4x}{x+5-\cfrac{5x}{\ddots}}}}}}

Naprednije tehnike su neophodne da se napiše sljedeće:

:\,
\ e^{2m/n}=1+\cfrac{2m}{(n-m)+\cfrac{m^2}{3n+\cfrac{m^2}{5n+\cfrac{m^2}{7n+\cfrac{m^2}{9n+\cfrac{m^2}{\ddots}}}}}}\,

Ako stavimo da je *m* = *x* i *n* = 2, dobijamo

:\,
\ e^x=1+\cfrac{2x}{(2-x)+\cfrac{x^2}{6+\cfrac{x^2}{10+\cfrac{x^2}{14+\cfrac{x^2}{18+\cfrac{x^2}{\ddots}}}}}}\,

## Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravni
Eksponencijalna funkcija može se definisati i u kompleksnoj ravni na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku potencijalnog reda, gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

: \,\!\, e^z = \sum_{n = 0}^\infty\frac{z^n}{n!} 

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

:{d \over dz} e^z = e^z 

vrijedi i u kompleksnoj ravni.

Razmatrana kao funkcija definisana u kompleksnoj ravni, eksponencijalna funkcija zadržava svoje osnovne osobine:

: \,\!\, e^{z + w} = e^z e^w
: \,\!\, e^0 = 1
: \,\!\, e^z \ne 0
: \,\!\, {d \over dz} e^z = e^z

za sve kompleksne brojeve *z* i *w*. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda 2 \pi i, jer vrijedi

: \,\!\, e^{a + bi} = e^a (\cos b + i \sin b)

i

: \,e^z = e^xe^{yi} = e^x(\cos y + i \sin y) = e^x\cos y + ie^x\sin y.

gdje su *a* i *b* realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štaviše, može se definisati i funkcija oblika *a**b*, gdje su i *a* i *b* kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(*z*), gdje možemo definisati općenitije da je

: \,\!\, z^w = e^{w \ln z}

za sve kompleksne brojeve *z* i *w*. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

: \,\!\, (e^z)^w \ne e^\left(z w\right)

## Izračunavanje ez za kompleksan *z* 
Ovo slijedi direktno iz formule

: \,e^{x + yi} = e^xe^{yi} = e^x(\cos(y) + i \sin(y)) = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y).

Uočite da je argument y kod trigonometrijskih funkcija realan.

## Također pogledajte 
*e (broj)
*Karakterizacije eksponencijalne funkcije
*Tetracija
*Eksponencijalni rast
*Eksponencijacija
*Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
*Spisak tema o eksponencijalima

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* 
* Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
* Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com 
* Complex exponential interactive graphic 

Kategorija:Elementarne posebne funkcije
Kategorija:Kompleksna analiza
Kategorija:Eksponencijali
Kategorija:Posebne hipergeometrijske funkcije