Larmorova formula

[thumb|right|260px| [Yagi-Uda antena. Radio talasi se mogu zračiti iz antene ubrzavanjem elektrona u anteni. Ovo je koherentni proces, tako da je ukupna izračena snaga proporcionalna kvadratu broja elektrona koji se ubrzavaju.]]
U elektrodinamici, **Larmorova formula** se koristi za izračunavanje ukupne snage koju zrači nerelativistički tačkasti naboj dok ubrzava. Prvi put ju je izveo J. J. Larmor 1897., u kontekstu talasne teorije svjetlosti.

Kada bilo koja naelektrisana čestica (kao što je elektron, proton ili ion) ubrzava, energija se zrači u obliku elektromagnetnih talasa. Za česticu čija je brzina mala u odnosu na brzinu svjetlosti (tj. nerelativistička), ukupna snaga koju čestica zrači (kada se posmatra kao tačkasti naboj) može se izračunati Larmorovom formulom:\begin{align}
P &= \frac{2}{3} \frac{q^2}{ 4 \pi \varepsilon_0 c} \left(\frac{\dot v}{c}\right)^2 = \frac{2}{3} \frac{q^2 a^2}{ 4 \pi \varepsilon_0 c^3} \\[0.6ex]
&= \frac{q^2 a^2}{6 \pi \varepsilon_0 c^3} = \mu_0 \frac{q^2 a^2}{6 \pi c} & \text{ (SI jedinice)} \\[1.5ex]
P &= \frac{2}{3} \frac{q^2 a^2}{c^3} & \text{ (cgs jedinice)}
\end{align}
gdje  \dot v  ili  a  je pravilno ubrzanje,  q  je naboj, a  c  je brzina svjetlosti. Relativistička generalizacija data je Liénard-Wiechertovim potencijalima.

U oba sistema jedinica, snaga koju zrači jedan elektron može se izraziti u terminima klasičnog radijusa elektrona i mase elektrona kao: P = \frac{2}{3} \frac{m_e r_e a^2}{c} 

Jedna implikacija je da elektron koji kruži oko jezgra, kao u Bohrovom modelu, treba da gubi energiju, padne na jezgro i atom treba da se uruši. Ova zagonetka nije riješena sve dok nije uvedena kvantna teorija.

## Izvođenje
Da bismo izračunali snagu koju zrači tačkasto naelektrisanje q na poziciji \mathbf{r}(t), sa brzinom, \mathbf{v}(t),, integriramo Poyntingov vektor preko površine sfere radijusa R, da bismo dobili:

P = \frac{c R^2}{4\pi}\oint \mathbf{\hat{r}}\cdot[\mathbf E(\mathbf r,t)\times\mathbf B(\mathbf r,t)]d\Omega.
The electric and magnetic fields are given  by the Liénard–Wiechert field equations,
\begin{align}
\mathbf{E}(\mathbf{r},t)
&= \frac{q \left(\mathbf{\hat r}_r - \boldsymbol{\beta}_r\right)}{r_r^2\gamma_r^2 {\left(1 - \mathbf{\hat r_r} \cdot \boldsymbol{\beta}_r\right)} ^3}
 + \frac{q}{c} \left\{\frac{\mathbf\hat{r}_r \times \left[(\mathbf{\hat{r}}_r - \boldsymbol{\beta}_r) \times \dot\boldsymbol{\beta}_r\right]} {r_r {\left(1 - \mathbf{\hat{r}}_r \cdot \boldsymbol{\beta}_r\right)}^3}\right\}
\\[1ex]
\mathbf{B}(\mathbf{r},t) &= \mathbf\times\mathbf{E(\mathbf{r},t)}.
\end{align}
Radijus vektor, {\mathbf r}_r, je udaljenost od položaja naelektrisane čestice u vremenu kašnjenja do tačke posmatranja elektromagnetnih polja u sadašnjem trenutku, \boldsymbol{\beta} je brzina naboja podijeljena sa c\dot{\boldsymbol{\beta}} je ubrzanje naboja podijeljeno sa c, i  \gamma = (1 - \beta^2 )^{-1/2} . Varijable, {\mathbf r}_r, \boldsymbol{\beta}_r, \gamma_r i {\mathbf a}_r se sve evaluiraju u vremenu kašnjenja, t_r = t - r_r/c.

Vršimo Lorentzovu transformaciju u mirovanju sistema tačkastog naboja gdje \mathbf v'=0 i
\begin{align}
\mathbf{a'}_\parallel &= \mathbf{a}_\parallel\gamma^3, &
\mathbf a'_\perp &= \mathbf{a}_\perp\gamma^2.
\end{align}
Ovdje {\mathbf a'}_\parallel je ubrzanje sistema mirovanja paralelno sa \mathbf v i \mathbf a'_\perp je ubrzanje sistema mirovanja okomito na \mathbf v.

Integriramo Poyntingov vektor mirovanja rebra preko površine sfere radijusa *R*', da bismo dobili

P' = \frac{c R'^2}{4\pi} \oint \mathbf{\hat r}' \cdot \left[\mathbf{E}'(\mathbf{r}', t') \times \mathbf{B}'(\mathbf{r}',t')\right] d\Omega',
Prevazilazimo granicu R' \to 0. U ovom ograničenju, t'_r = t', and {\mathbf a'}_r={\mathbf a'},  pa je električno polje dato sa\mathbf{E}'(\mathbf{r}',t') = \frac{q \mathbf{\hat{r}}'}{r'^2} + \frac{q \left[\mathbf{\hat{r}}' \left(\mathbf{\hat{r}}' \cdot \mathbf{a}'\right) - \mathbf{a}'\right]}{c^2 r'},

sa svim varijablama procijenjenim u sadašnjem trenutku.
Tada se površinski integral za izračenu snagu svodi naP' = \frac{q^2}{4\pi c^3} \oint{\mathbf\hat r'} \cdot \left[ \mathbf{a}' \times \left(\hat{\mathbf{r}}' \times \mathbf{a}'\right) \right] d\Omega'
= \frac{2 q^2 a'^2}{3c^3}.
Izražena snaga se može pretvoriti u prvobitno ubrzanje u pokretnom okviru, dajući
P' = \frac{2q^2}{3c^3} \left(a^2_\parallel \gamma^6 + a^2_\perp \gamma^4\right) = \frac{2q^2 \gamma^6}{3c^3} \left[a^2 - {\left(\mathbf{v} \times \mathbf{a}/c\right)}^2\right].
Varijable u ovoj jednačini su u originalnom pokretnom sistemu, ali brzina emisije energije na lijevoj strani jednačine je i dalje data u terminima varijabli mirnog sistema. Međutim, desna strana će biti prikazana u nastavku kao Lorentzova invarijanta, tako da se izračena snaga može Lorentzovo transformirati u pokretni sistem, što konačno daje
P = \frac{2 q^2 \gamma^4}{3c^3} \left(a^2_\parallel\gamma^2 + a_{\perp}^2\right)
= \frac{2q^2 \gamma^6}{3c^3} \left[a^2 - {\left(\mathbf{v} \times \mathbf{a}/c\right)}^2\right].
Ovaj rezultat (u dva oblika) je isti kao i Liénardovo relativističko proširenje  Larmorove formule, i ovdje je data sa svim varijablama u sadašnjem trenutku.
Njena nerelativistička redukcija svodi se na Larmorovu originalnu formulu.

Za visoke energije, čini se da je snaga zračenja za ubrzanje paralelno brzini faktor \gamma^2 veće od onog za okomito ubrzanje. Međutim, pisanje Liénardove formule u terminima brzine daje obmanjujuće implikacije. U terminima impulsa umjesto brzine, Liénardova formula postajeP = \frac{2q^2}{3c^3m^2}\left[\left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2_\parallel+\gamma^2\left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2_\perp\right].

Ovo pokazuje da je snaga emitovana za d\mathbf{p}/dt okomito na brzinu je veće za faktor \gamma^2 od potencije za d\mathbf{p}/dt paralelno s brzinom. To rezultira time da je prigušenje zračenja zanemarljivo za linearne akceleratore, ali ograničavajući faktor za kružne akceleratore.

### Kovarijantni oblik
Zračena snaga je zapravo Lorentzov skalar, dat u kovarijantnom obliku kao
:P = -\frac{2}{3} \frac{q^2}{m^2c^3} \frac{dp_{\mu}}{d\tau} \frac{dp^{\mu}}{d\tau}.

Da bismo ovo pokazali, svodimo skalarni proizvod četiri vektora na vektorsku notaciju. Počinjemo sa
\frac{dp_{\mu}}{d\tau} \frac{dp^{\mu}}{d\tau}
= \gamma^2 \left[\left(\frac{dp_0}{dt}\right)^2
- \left(\frac{d\mathbf p}{dt}\right)^2\right].

Vremenski derivati su:

\frac{dp_0}{dt} = \frac{d}{dt}(m\gamma)
= m\gamma^3 v a_\parallel

\frac{d\mathbf p}{dt} = \frac{d}{dt} \left(m \mathbf{v} \gamma\right)
= m\gamma^3 \left(\mathbf{a}_\parallel + \mathbf{a}_\perp/\gamma^2\right).

Kada se ovi derivati koriste, dobijamo 
\frac{dp_{\mu}}{d\tau} \frac{dp^{\mu}}{d\tau}
= - m^2\gamma^4\left(\gamma^2 \mathbf{a}_\parallel^2 + {\mathbf{a}}_\perp^2\right).

S ovim izrazom za skalarni proizvod, očigledno nepromjenjivi oblik za snagu slaže se s gornjim vektorskim oblikom, pokazujući da je izračena snaga Lorentzov skalar.

### Ugaona distribucija
Ugaona distribucija izračene snage data je općom formulom, koja se primjenjuje bez obzira na to je li čestica relativistička ili ne. U CGS jedinicama, ova formula je
 P = \frac{2}{3} \frac{q^2}{m^2 c^3} {\left|\dot{\mathbf{p}}\right|}^2.
\frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^2}{4\pi c} \frac{\left|\mathbf{\hat{n}} \times \left[ (\mathbf{\hat{n}} - \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \right] \right|^2}{{\left(1 - \mathbf{\hat{n}} \cdot \boldsymbol{\beta}\right)}^5},
gdje \mathbf{\hat{n}} je jedinični vektor usmjeren od čestice prema posmatraču. U slučaju linearnog kretanja (brzina paralelna ubrzanju), ovo se pojednostavljuje na 
\frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^2a^2}{4\pi c^3} \frac{\sin^2 \theta}{{\left(1 - \beta \cos\theta\right)}^5},
gdje \theta je ugao između posmatrača i kretanja čestice.

### Reakcija zračenja
Zračenje iz naelektrisane čestice nosi energiju i impuls. Da bi se zadovoljio zakon održanja energije i impulsa, naelektrisana čestica mora iskusiti trzaj u trenutku emisije. Zračenje mora djelovati dodatnom silom na naelektrisanu česticu. Ova sila je poznata kao Abraham-Lorentzova sila, dok je njena nerelativistička granica poznata kao Lorentzova vlastita sila, a relativistički oblici su poznati kao Lorentz-Dirakova sila ili Abraham-Lorentz-Dirakova sila. Fenomen reakcije zračenja jedan je od ključnih problema i posljedica Larmorove formule. Prema klasičnoj elektrodinamici, naelektrisana čestica proizvodi elektromagnetno zračenje dok ubrzava. Čestica gubi impuls i energiju kao rezultat zračenja, koje je odnosi od nje. S druge strane, sila odziva zračenja također djeluje na naelektrisanu česticu kao rezultat zračenja.

Dinamika naelektrisanih čestica je značajno pogođena postojanjem ove sile. Posebno, to uzrokuje promjenu u njihovom kretanju koja se može objasniti Larmorovom formulom, faktorom u Lorentz-Diracovoj jednačini.
Prema Lorentz-Diracovoj jednačini, na brzinu naelektrisane čestice utjecat će "vlastita sila" koja proizlazi iz njenog vlastitog zračenja. Takvo nefizičko ponašanje kao što su rješenja koja se odvijaju bez cilja, kada brzina ili energija čestice postanu beskonačne u konačnom vremenskom periodu, moglo bi biti rezultat ove vlastite sile. 
Rješenje paradoksa koji proizlaze iz uvođenja vlastite sile zbog emisije elektromagnetnog zračenja je da se ne proizvodi vlastita sila. Ubrzanje nabijene čestice proizvodi elektromagnetno zračenje, čija izlazna energija smanjuje energiju nabijene čestice. To rezultira 'reakcijom zračenja' koja smanjuje ubrzanje nabijene čestice, ne kao vlastitu silu, već samo kao manje ubrzanje čestice.

### Atomska fizika
Izum kvantne fizike, posebno Bohrovog modela atoma, uspio je objasniti ovaj jaz između klasičnog predviđanja i stvarne stvarnosti. Bohrov model je predložio da prijelazi između različitih energetskih nivoa, koje mogu nastanjivati samo elektroni, mogu objasniti uočene spektralne linije atoma. Valna svojstva elektrona i ideja kvantizacije energije korištene su za objašnjenje stabilnosti ovih elektronskih orbita.

Larmorova formula se može koristiti samo za nerelativističke čestice, što ograničava njenu korisnost. Liénard-Wiechertov potencijal je sveobuhvatnija formula koja se mora koristiti za čestice koje putuju relativističkim brzinama. U određenim situacijama, složeniji proračuni, uključujući numeričke tehnike ili teoriju perturbacija, mogli bi biti potrebni za precizno izračunavanje zračenja koje nabijena čestica emituje.

## Također pogledajte
*Historija atomske teorije
*Zakočno zračenje
*Ciklotronsko zračenje
*Jednačina elektromagnetnih talasa
*Maxwellove jednačine u zakrivljenom prostor-vremenu
*Abraham-Lorentzova sila
*Jednačina talasa
*Wheeler-Feynmanova teorija apsorbera

## Reference
Kategorija:Atomska fizika
Kategorija:Elektrodinamika
Kategorija:Elektromagnetno zračenje
Kategorija:Elektromagnetizam
Kategorija:Fizičke jednačine