Izračunavanje suma

U matematici, **red** je suma elemenata niza. Ovaj članak spominje nekoliko uobičajnih redova, te način izračunavanja njihove vrjednosti (ili dokazuje da oni ne konvergiraju).

## Aritmetički red 
Prototip aritmetičkog reda je

:\sum_{i = 1}^n i,,

suma prvih *n* prirodnih brojeva, za svaki prirodan broj *n*. Pošto je konačan, red konvergira, a njegova vrijednost se određuje korištenjem sljedeće tehnike. Možemo napisati sumu tako da članove "odbrojavamo unazad" umjesto da ih brojimo od prvog člana pa dalje; to jest, ako je gornji red *S*, tada je

:S = \sum_{i = 1}^n (n - i + 1)

Ako sada saberemo oba izraza imamo

:2S = S + S = \sum_{i = 1}^n [i + (n - i + 1)] = \sum_{i = 1}^n (n + 1) = n(n + 1).

Tako smo dobili osnovni identitet

:\sum_{i = 1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}.

(Kako bi bili apsolutno tačni, ako uzmemo da je 2 = 0, ova formul nema smisla; međutim, u tom slučaju suma se lahko može izračunati "inspekcijom" pošto se članovi nalaze između  0 i 1).

Ostali aritmetički redovi mogu se izračunati korištenjem ovog proračuna kao osnove. Za bilo koja dva data broja *a*, *d* (koji mogu biti integralni, realni, kompleksni, ili, u stvari, članovi bilo koje Aabelove grupe, možemo definisati aritmetičku progresiju sa početnim članom *a* i razlikom između članova *d*, čiji je opći član

:a_n\,=\,a + (n - 1)d.

Za fiksan cijeli broj *n*, može napraviti aritmetički red

:\sum_{i = 1}^n a_i,,

sumu prvih *n* članova ove progresije. Ako zamijenimo definiciju *ai* i iskoristimo linearnost sume, račun se svodi na onaj koji smo prethodno odradili:

:\sum_{i = 1}^n [a + (i - 1)d] = n a - n d + d\sum_{i = 1}^n i = na - nd + d \frac{n(n + 1)}{2}.

Ovo se pojednostavljuje (koristeći definiciju od *an*) u

:\sum_{i = 1}^n a_i = n\frac{a_1 + a_n}{2},,

srednju vrijednost prvog i zadnjeg člana pomnoženu sa brojem članova.

## Geometrijski red 
Geometrijski red, kao i aritmetički red, može se definisati za svake brojeve (cijele, realne, kompleksne ili druge) *a* i *r*.  Zbog pravila o stepenovanju ovi redovi teže da budu indeksovani od nule; *a* je početni član, a *r* je odnos (količnik) između susjednih članova. Tada red glasi

:\sum_{i = 0}^n a r^i.

Kako bi izračunali ovaj red (ponovo označeno sa *S*), koristimo trik štimanja članova koji će se međusobno poništiti: ako pomnožimo red sa *r* i oduzmemo ga od početnog, dobijamo

:S - rS = (1 - r)S = \sum_{i = 0}^n ar^i - \sum_{i = 0}^n ar^{i + 1} = a (\sum_{i = 0}^n r^i - \sum_{i = 1}^{n + 1} r^i) = a(1 - r^{n + 1}).

Tako dobijamo opći izraz

:S = a \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r}.

(Ponovo, kako bi bili specifično precizni, moramo imati *r* različito od *1*; u ovom slučaju, suma se jednostavno izračuna inspekcijom pošto je svaki stepen od *i*, također, jednak 1).

Ako (što je uobičajno) radimo sa realnim ili kompleksnim brojevima, te ako je |r| , tada možemo tražiti limes kada *n* teži u beskonačnost. Ovim dobijamo izraz

:\sum_{i = 0}^\infty a r^i = \frac{a}{1 - r}.

Naravno, desna strana je definisana za svaki broj *r* različit od 1, ali samo kada je za |r|  jednako lijevoj strani. U ostalim slučajevima, red divergira (pošto mu opći član ne teži nuli).

## Veći stepeni 
Ostale česte familije redova su one sa sumama članova sa stepenima:

:\sum_{i = 1}^n i^k

za pozitivne cijele brojeve *k*; aritmetički red imamo u slučaju da je *k* jednako 1. Ovo slikedi iz identiteta Bernoullijevih polinoma da se ove sume mogu izračunati pomoću izraza:

:\sum_{i = 1}^n i^k = \frac{B_{k + 1}(n + 1) - B_{k + 1}(1)}{k + 1}.

Iako se ova oblast čini praznom, to nije slučaj, pošto su Bernoullijevi polinomi jako drobro istraženi i njihovi koeficijenti, koji imaju veze sa Bernoullijevim brojevima, se veoma lahko izračunavaju.

## Primjene Taylorovog reda 
Taylorov red može se koristit da se pronađe suma određenih redova, koji nisu očiti na prvi pogled; po njihovoj prirodi, ovo su općenito beskonačni redovi. Postoji nekoliko dobro poznatih primjera:

*\sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{i!} = \sum_{i = 0}^\infty \frac{(1)^i}{i!} = e;
*\sum_{i = 1}^\infty \frac{(-1)^i}{i} = \sum_{i = 1}^\infty \frac{(-1)^i}{i}(1)^i = \ln{2}
Ovo odmah ne važi; radijus konvergencije potencijalnog reda za \ln(1 + x) je samo 1, i zbog toga ova suma leži na granici. Kako bi pokazali da je vrijednost potencijalnog reda jednaka vrijednosti funkcije potrebna je dalja analiza.
*\sum_{i = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{2i + 1} = \sum_{i = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{2i + 1}(1)^{2i + 1} = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.

Koristeći binomni teorem, koji je veoma poseban slučaj Taylor ovog reda (ako jedinice) za funkciju f(x) = (1 + x)^r za proizvoljne pozitivne realne brojeve *r*, možemo, također, dobiti

:\sum_{i = 0}^n (-1)^i {n \choose i} = \sum_{i = 0}^n {n \choose i} (-1)^i (1)^{n - i} = (1 - 1)^n = 0. 

## Također pogledajte 
* Aritmetički red
* Geometrijski red
* Taylorov red
* Bernoullijev broj

Kategorija:Infinitezimalni račun
Kategorija:Matematički redovi