Linearni sistem

U teoriji sistema, **linearni sistem** je matematički model sistema zasnovan na upotrebi linearnog operatora.
Linearni sistemi obično pokazuju karakteristike i svojstva koja su mnogo jednostavnija od nelinearnog slučaja.
Kao matematička apstrakcija ili idealizacija, linearni sistemi nalaze važne primjene u teoriji automatskog upravljanja, gobradi signala i telekomunikacijama. Naprimjer, propagacijski medij za bežične komunikacijske sisteme često se može modelirati linearnim sistemima.

## Definicija
thumb| Blok dijagram koji ilustruje svojstvo aditivnosti za deterministički SISO sistem u kontinuiranom vremenu. Sistem zadovoljava svojstvo aditivnosti ili je aditivan ako i samo ako je y_3(t) = y_1(t) + y_2(t) za sve vremenske intervale t i za sve ulaze t i za sve ulaze x_1(t) and x_2(t). Kliknite na sliku da je proširite.
thumb| Blok dijagram koji ilustruje svojstvo homogenosti za deterministički SISO sistem u kontinuiranom vremenu. Sistem zadovoljava svojstvo homogenosti ili je homogen ako i samo ako je y_2(t) = a \, y_1(t) za sve vremenske vrijednosti t, za sve realne konstante a i za sve ulazne vrijednosti x_1(t). Kliknite na sliku da je proširite
thumb| Blok dijagram koji ilustruje princip superpozicije za deterministički SISO sistem u kontinuiranom vremenu. Sistem zadovoljava princip superpozicije i stoga je linearan ako i samo ako je y_3(t) = a_1 \, y_1(t) + a_2 \, y_2(t) za svo vrijeme t, za sve realne konstante a_1 i a_2 i za sve ulaze x_1(t) i x_2(t). Kliknite na sliku da je proširite.
Opći deterministički sistem može se opisati operatorom, , koji preslikava ulaz, , kao funkciju od  na izlaz, , tip opisa crnq kutije.

Sistem je linearan ako i samo ako zadovoljava princip superpozicije, ili ekvivalentno i svojstva aditivnosti i homogenosti, bez ograničenja (to jest, za sve ulaze, sve konstante skaliranja i svo vrijeme).

Princip superpozicije znači da linearna kombinacija ulaza u sistem proizvodi linearnu kombinaciju pojedinačnih izlaza u nultom stanju (to jest, izlaza koji postavljaju početne uslove na nulu) koji odgovaraju pojedinačnim ulazima.

U sistemu koji zadovoljava svojstvo homogenosti, skaliranje ulaza uvijek rezultira skaliranjem odziva nultog stanja za isti faktor.

Grafikon izlaza u odnosu na ulaz linearnog sistema ne mora biti prava linija kroz ishodište. Naprimjer, razmotrimo sistem opisan sa 
:y(t) = k \, \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt (kao što je konstantna kapacitivnost kondenzator ili konstantna induktivnost induktor). Linearan je jer zadovoljava princip superpozicije. Međutim, kada je ulaz sinusoidan, izlaz je također sinusoidan, pa je njegov grafikon izlaz-ulaz elipsa centrirana u ishodištu, a ne prava linija koja prolazi kroz ishodište.

Također, izlaz linearnog sistema može sadržavati harmonike (i imati manju osnovnu frekvenciju od ulaza) čak i kada je ulaz sinusoid. Naprimjer, razmotrimo sistem opisan sa y(t) = (1.5 + \cos{(t)}) \, x(t). Linearan je jer zadovoljava princip superpozicije. Međutim, kada je ulaz sinusoid oblika x(t) = \cos{(3t)}, korištenjem identiteti za pretvaranje proizvoda u zbir i sume u proizvod|trigonometrijski identitet za pretvaranje proizvoda u zbir se lako može pokazati da je izlaz y(t) = 1,5 \cos{(3t)} + 0,5 \cos{(2t)} + 0,5 \cos{(4t)}, to jest, izlaz se ne sastoji samo od sinusoida iste frekvencije kao ulaz (), već i od sinusoida frekvencija  i ; nadalje, uzimajući najmanji zajednički višekratnik osnovnog perioda sinusoida izlaza, može se pokazati da je osnovna ugaona frekvencija izlaza , što je drugačije od frekvencije ulaza.

## Vremenski promjenjivi impulsni odziv
**Vremenski promjenjivi impulsni odziv**  linearnog sistema se definiše kao odziv sistema u trenutku *t* = *t*2 na jedan impuls primijenjen u trenutku  Drugim riječima, ako je ulaz  u linearni sistem
x(t) = \delta(t - t_1)
gdje  predstavlja Diracovu delta funkciju, a odgovarajući odziv  sistema je
y(t=t_2) = h(t_2, t_1)
tada je funkcija  je vremenski promjenjivi impulsni odziv sistema. Budući da sistem ne može odgovoriti prije nego što se primijeni ulaz, mora biti zadovoljen sljedeći **uslov uzročnosti**:
 h(t_2, t_1) = 0, t_2 

## Konvolucioni integral
Izlaz bilo kojeg opšteg linearnog sistema u kontinuiranom vremenu povezan je sa ulazom integralom koji se može zapisati u dvostruko beskonačnom opsegu zbog uslova uzročnosti:
 y(t) = \int_{-\infty}^{t} h(t,t') x(t')dt' = \int_{-\infty}^{\infty} h(t,t') x(t') dt' 

Ako svojstva sistema ne zavise od vremena u kojem se on pokreće, onda se kaže da je **vremenski nepromjenjiv** i  je funkcija samo vremenske razlike.  što je nula za  (naime ). Redefinicijom  tada je moguće ekvivalentno napisati relaciju ulaz-izlaz na bilo koji od sljedećih načina,
: y(t) = \int_{-\infty}^{t}  h(t-t') x(t') dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t-t') x(t') dt' = \int_{-\infty}^{\infty}  h(\tau) x(t-\tau) d \tau  = \int_{0}^{\infty}  h(\tau) x(t-\tau) d \tau 

Linearni vremenski nepromjenjivi sistemi najčešće se karakteriziraju Laplaceovom transformacijom funkcije impulsnog odziva koja se naziva "prenosna funkcija", a koja je:
:H(s) =\int_0^\infty  h(t) e^{-st}\, dt.

U primjenama ovo je obično racionalna algebarska funkcija od . Budući da je  nula za negativni , integral se može jednako zapisati u dvostruko beskonačnom opsegu, a stavljanje  slijedi formulu za *funkciju frekvencijskog odziva*:
: H(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}  h(t) e^{-i\omega t} dt 

## Diskretni sistemi
Izlaz bilo kojeg diskretnog linearnog sistema povezan je s ulazom vremenski promjenjivom konvolucijskom sumom:
: y[n] = \sum_{m =-\infty}^{n} { h[n,m] x[m] }  = \sum_{m =-\infty}^{\infty} { h[n,m] x[m] }
ili ekvivalentno za vremenski nepromjenjivi sistem pri redefiniranju ,
: y[n] = \sum_{k =0}^{\infty} { h[k] x[n-k] } = \sum_{k =-\infty}^{\infty} { h[k] x[n-k] }
gdje k = n-m  predstavlja vrijeme kašnjenja između stimulusa u trenutku *m* i odgovora u trenutku *n*.

## Također pogledajte
*Pomjeranje nepromjenjivog sistema
*Linearno upravljanje
*Linearni vremenski nepromjenjivi sistem
*Nelinearni sistem
*Analiza sistema
*Sistem linearnih jednačina

## Reference
Kategorija:Teorija sistema
Kategorija:Dinamički sistemi
Kategorija:Matematičko modeliranje
Kategorija:Koncepti u fizici