Kosinus

**Kosinus** je parna trigonometrijska funkcija oblika:

y=a\cos(\omega x + \phi);\,. Ova jednačina ima i oblik:

y=a\sin(\omega x+\phi +\frac{\pi}{2}). .

Grafik ove funkcije naziva se kosinusoida, koji presjeca x-osu u

\left[ \left( k+\frac{1}{2} \right) \pi,\; 0 \right] ekstremi su tačke : [k\pi,\;(-1)^n].
## Osnovne osobine
:Kosinus  je parna funkcija
:\cos(-\alpha)=- cos\alpha 
:Kosinus je periodična funkcija
:\sin(2 k\pi \pm\alpha)=sin\alpha 
:Nula funkcije
:cos\alpha =0 = >\alpha =   \frac{\pi}{2}  +k \pi 
:Maksimum funkcije
:cos\alpha =1 = >\alpha =2k\pi 
:Minimum funkcije
:cos\alpha = -1 = >\alpha = (2k+1)\pi 

## Neki identiteti
: cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin \alpha 
: \cos(\alpha + \pi) = -\cos \alpha 
:  cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha  
:\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,
:\begin{align}
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha} {1 + \tan^2 \alpha}
\end{align}
:\begin{align}\cos 3\alpha  = \cos^3\alpha - 3 \sin^2 \alpha\cos \alpha  = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos\alpha\end{align}
:\cos \frac{\alpha}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}
:\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}\!
:\cos \alpha \cos \beta = {\cos(\alpha - \beta + \cos(\alpha + \beta) \over 2}
:\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left( \frac{\alpha + \beta} {2} \right) \cos\left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
:\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\left( \frac{\alpha + \beta} {2} \right) \sin\left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)
: \cos(\alpha) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;  za i^2=-1
:\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)
Zlatni rez
;\cos \left( \frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \frac{\varphi }{2}

## Derivacije
:\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0,

:(cos x)' =- \sin x  
## Inverzna funkcija
Inverzna funkcija funkcije 
:\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \,  je funcija
: \mathrm e^{\mathrm{i}\theta} + \mathrm e^{-\mathrm{i}\theta} = (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta) + (\cos \theta - \mathrm{i} \sin \theta) = 2 \cdot \cos \theta \Rightarrow \cos \theta= {\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} \over 2}

:\arccos x = -i \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \,
Koristi se za određivanje veličine ugla , kada je poznata vrijednost njegovog kosinusa.
:\ arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x) 
:\arccos(-x) = \pi -\arccos(x) 
:
\arccos\left(\frac{1}{x}\right) = \arcsec(x) 
:
\arccos(x) = \arcsin\left(\sqrt{1 - x^2}\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 
:\arccos(x) = \frac{1}{2}\arccos\left(2x^2-1\right) \, , \text{ if } 0 \leq x \leq 1 

:\arccos(x) = 2 \arctan\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1 + x}\right) \, , \text{ if } -1 
: \frac{d}{dx} \arcsin(z)  = \frac{1}{\sqrt{1-z^2}} 
: \arccos(x) = \int_x^1 \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}} \,   |x| {} \leq 1 

:\arccos(z)
= \frac{\pi}{2} - \arcsin(z)
= \frac{\pi}{2} - \left( z + \left( \frac{1}{2} \right) \frac{z^3}{3} + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right) \frac{z^5}{5} + \cdots \right) 
= \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{2n} n z^{2n+1}}{4^n (2n+1)} \, ; \qquad |z| \le 1

## Također pogledajte 
* Kosinusoida
* Sinus
* Tangens
* Kotangens

Kategorija:Trigonometrija
Kategorija:Trigonometrijske funkcije