Zatvorenost (matematika)

Za skup *S* kažemo da je **zatvoren pod nekom operacijom** ako ta operacija na članovima skupa daje član tog skupa. Naprimjer, realni brojevi su zatvoreni pod operacijom oduzimanja, ali prirodni brojevi nisu: 3 i 7 su prirodni brojevi, ali rezultat operacije 3 - 7 nije.
Slično, za skup se kaže da je zatvoren u odnosu na kolekciju operacija ako je zatvoren za svaku od operacija pojedinačno.

Za skup koji je zatvoren u odnosu na operaciju ili kolekciju operacija se kaže da zadovoljava svojstvo zatvorenja. Često se svojstvo zatvarenja uvodi kao aksiom, koja se tada naziva aksiomom zatvarenja. Treba imati u vidu da definicije moderne teorije skupova obično operacije definišu kao preslikavanja između skupova, tako da je dodavanje zatvorenosti u strukturu u vidu aksioma bespotrebno, ali i dalje ima smisla da se pita da li su podskupovi zatvoreni. Naprimjer, realni brojevi su zatvoreni u odnosu na oduzimanje, dok njihov podskup (kao što je već napomenuto) prirodnih brojeva nije.

Kada skup S nije zatvoren u odnosu na neku operaciju, obično je moguće naći najmanji skup koji sadrži S, a koji je zatvoren. Ovaj najmanji zatvoren skup se naziva zatvarenjem od S (u odnosu na posmatrane operacije). Naprimjer, zatvarenje u odnosu na oduzimanje, skupa prirodnih brojeva, posmatranog u vidu podskupa realnih brojeva, je skup cijelih brojeva. Važan je primjer topološkog zatvaranja.

Treba imati u vidu da skup S mora da bude podskup zatvorenog skupa kako bi operator zatvarenja mogao da bude definisan. U prethodnom primjeru je važna činjenica da su realni brojevi zatvoreni za oduzimanje; u domenu prirodnih brojeva, oduzimanje nije uvijiek definisano.

Ne treba miješati dvije upotrebe izraza zatvarenje. Prva upotreba se odnosi na svojstvo skupa da je zatvoren, a druga se odnosi na najmanji zatvoren skup koji sadrži onaj koji nije zatvoren. Ukratko, zatvarenje skupa zadovoljava svojstvo zatvorenja.

Zatvoreni skupovi

Skup je zatvoren za neku operaciju, ako ta operacija daje kao rezultat element skupa svaki put kada joj se kao argumenti proslijede elementi tog skupa. Ponekada se ovaj zahtijev eksplicitno navodi, i u tom slučaju se radi o aksiomu zatvarenja. Naprimjer, moguće je definisati grupu kao skup sa binarnim proizvodom koji zadovoljava nekoliko aksioma, uključujući i aksiom da je proizvod bilo koja dva elementa grupe ponovno element grupe. Međutim, moderna definicija operacije čini ovaj aksiom nepotrebnom; n-arni operator na S je samo podskup od Sn+1. Po samoj svojoj definiciji, operator na skupu ne može da ima vrijednosti izvan skupa.

Uprkos tome, svojstvo zatvarenja operatora na skupu i dalje ima smisla. Zatvarenje na skupu ne implicira obavezno zatvarenje na svim podskupovima. Stoga, podgrupa grupe je podskup na kome binarni proizvod i unarna operacija invertovanja zadovoljavaju aksiom zatvarenja.
[uredi] Operator zatvorenja

Za više informacija pogledajte članak: operator zatvarenja

Ako je data operacija na skupu X, može da se definiše zatvarenje C(S) podskupa S u X, kao najmanji podskup zatvoren u odnosu na tu operaciju, koji sadrži S kao podskup. Naprimjer, zatvorenje podskupa grupe je podgrupa generisana tim skupom.

Zatvarenje skupova u odnosu na neku operaciju definiše operator zatvarenja na podskupovima od X. Zatvoreni skupovi mogu da se odrede iz operatora zatvaranja; skup je zatvoren ako je jednak sopstvenom zatvaranju. Tipična strukturna svojstva svih operacija zatvarenja su:

* Zatvaranje je povećavajuće ili ekstenzivno: zatvarenje objekta sadrži sam objekat.
* Zatvaranje je idempotentno: zatvorenje zatvorenja je jednako zatvorenju.
* Zatvaranje je monotono, to jest, ako se X sadrži u Y, onda se i C(X) sadrži u C(Y).
Objekat koji je sam svoje zatvaranje se naziva zatvorenim. Po idempotenciji, objekat je zatvoren ako je zatvarenje nekog objekta.
Primjeri

* U teoriji matroida, zatvaranje od X je najveći nadskup od X koji ima isti rang kao i X.
* U teoriji skupova, tranzitivno zatvaranje binarne relacije.
* U apstraktnoj algebri, algebarsko zatvaranje polja.
* U geometriji, konveksni omotač skupa tačaka S je najmanji konveksan skup čiji je S podskup.
* U teoriji formalnih jezika, Klinijevo zatvaranje jezika se može opisati kao skup niski koje se mogu napraviti dopisivanjem nula ili više niski tog jezika.
* U teoriji grupa, normalno zatvaranje skupa elemenata grupe je najmanja normalna podgrupa koja sadrži skup.

Kategorija:Teorija skupova
Kategorija:Operatori zatvaranja
Kategorija:Apstraktna algebra