Taylorov red

mini|Kako stepen Taylorovog polinoma raste, približava se tačnoj funkciji. Ova slika prikazuje  i Taylorovu aproksimaciju, polinome stepena , , , , ,  i .

[desno|mini|[Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvih *n*+1 članova njenog Taylorovog reda u 0 (crveno).]]
U matematici, **Taylorov red** predstavlja prikazivanje funkcije kao beskonačnog reda članova izračunatih iz vrijednosti derivacija funkcije u jednoj tački. Može se smatrati i kao limes Taylorovog polinoma. Taylorov red je dobio naziv u čast engleskog matematičara Brooka Taylora. Ako se za dobijanje reda koristi izvod u nuli, takav red se naziva **Maclaurinov red**, koji je dobio naziv po škotskom matematičaru Colinu Maclaurinu. 

## Definicija 
Taylorov red za neku neprekidnu funkciju f(x) sa beskonačno puno izvoda za izabranu tačku a jeste definiran ovako:
:
f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f*(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots

:
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n 

Kada funkcija ima više argumenata, primjenjuje se:
:
T(x_1,\cdots,x_d) = \sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}

U slučaju da se dobije višedimenzionalna funkcija, koristi se sljedeća metoda:
:
T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots

gdje je \nabla f(\mathbf{a}) gradijent, a \nabla^2 f(\mathbf{a}) Hesseova matrica.

## Primjeri 
Maclaurinov red za bilo koji polinom je ponovo polinom.

Maclaurinov red za (1&nbsp;−&nbsp;*x*)−1 je geometrijski red

:1+x+x^2+x^3+\cdots\!

tako da Taylorov red za *x*−1 u *a*&nbsp;=&nbsp;1 

:1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+\cdots.\!

Integracijom gornjeg Maclaurinovogreda pronalazi se Maclaurinov red za −log(1 &nbsp;−&nbsp;*x*), gdje *log* označava prirodni logaritam:

:x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots\!

a odgovarajući Taylorov red za log(*x*) u *a*&nbsp;=&nbsp;1 je

:(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.\!

Taylorov red za eksponencijalnu funkciju e^x u  a=0 je

:1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots \qquad = \qquad 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots.\!

Gornji izraz važi zato što je derivacija od *e**x* također *e**x*, a *e*0 jednako je 1. Ovo ostavlja članove (*x*&nbsp;−&nbsp;0)*n* u brojniku, a *n* ostaju u nazivniku za svaki član u beskonačnoj sumi.

## Konvergentnost 
Taylorov red ne mora po pravilu da konvergira za sve x. U stvari, on konvergira samo onda kada ostatak, R_n(x) = f(x) - T_n(x), konvergira prema 0. 

Kada je f(x) sama potencijalni red oko tačke a, onda je Taylorov red identičan sa njim. 

## Spisak Taylorovih redova nekih uobičajnih funkcija 
:*Također pogledajte: Spisak matematičkih redova*
[150px|mini|desno|Kosinusna funkcija u [kompleksan broj|kompleksnoj ravni.]]
[150px|mini|desno|Osmi stepen aproksimacije kosinusne funkcije u [komleksan broj|kompleksnoj ravni.]]
150px|mini|desno|Dvije gornje krive postavljene zajedno.

Slijedi nekoliko važnih proširenja Maclaurinovih redova. Sva ova proširenja važe za kompleksne argumente x\!.

Eksponencijalna funkcija:

:\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\text{ za sve } x\!

Prirodni logaritam:

:\log(1-x) = -\sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}n\text{ za } |x|\le 1, \, x\not= 1

:\log(1+x) =  \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\text{ za } |x|\le 1, \, x\not= -1

Konačan geometrijski red:

:\frac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum^{m}_{n=0} x^n\quad\mbox{ za }  x \not= 1\text{ i } m\in\mathbb{N}_0\!

Beskonačan geometrijski red:

:\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\text{ za } |x| 

Varijante beskonačnih geometrijskih redova:

:\frac{x^m}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=m} x^n\quad\mbox{ za } |x| 

:\frac{x}{(1-x)^2} = \sum^{\infin}_{n=1}n x^n\quad\text{ za } |x| 

Kvadratni korijen:

:\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \text{ za } |x|

Binomni red (uključujući kvadratni korijen za *α* = 1/2 i beskonačan geometrijski red za *α* = −1):

:(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ za sve } |x| 

sa općenitim binomnim koeficijentima

: {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.\!

Trigonometrijske funkcije:

:\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\text{ za sve } x\!

:\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\text{ za sve } x\!

:\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\text{ za } |x| 

::gdje je *B* Bernoullijev broj.

:\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\text{ za } |x| 

:\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ za } |x| 

:\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\text{ za } |x| \le 1\!

Hiperbolička funkcija:

:\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =  x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\text{ za sve } x\!

:\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\text{ za sve } x\!

:\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{z^3}{3}+\frac{2}{15}z^5-\frac{17}{315}z^7+\cdots \text{ za } |x| 

:\mathrm{arsinh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\text{ za } |x| 

:\mathrm{artanh} (x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \text{ za } |x| 

Lambertova W funkcija:

:W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\text{ za } |x| 

Brojevi *B**k*, koji se pojavljuju u *sumiranju* pri razvijanju tan(*x*) i tanh(*x*) predstavljaju Bernoullijev broj. *E**k* u razvijanju sec(*x'') je Eulerov broj.

## Također pogledajte 
* Taylorov teorem
* Laurentov red
* Dokaz da su holomorfske funkcije analitičke
* Newtonov polinom
* Diferencijalna mašina
* Teorem srednje vrijednosti

## Vanjski linkovi 
* 

Kategorija:Glatke funkcije
Kategorija:Matematička analiza