Jednakostranični trougao

Jednakostraničan trougao je trougao u kojem su sve tri stranice jednake

malo|desno

AB=BC=AC => a=b=c

i sva tri ugla jednaka

\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{3}=60^\circ.

Presjek težišnih duži (T), presjek visina (H), simetrala stranica (centar opisane kružnice O), simetrala uglova (centar upisane kružnice O) sijeku se u jednoj tački.

Težišne duži su međusobno jednake.

t_a=t_b=t_c

Visine su međusobno jednake.

h_a=h_b=h_c

Težišne duži su podudarne visinama. Također, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

h\cong t\,

## Formule
desno|150px

Veličine izražene preko stranice tougla

#površina P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}
#obim O=3a\,\!
#poluprečnik opisane kružnice R = \frac{a}{\sqrt{3}}
#poluprečnik upisane kružnice r=\frac{\sqrt{3}}{6} a ili  r=\frac{R}{2}
#visina h=\frac{\sqrt{3}}{2} a.

Ove veličine možemo izraziti i preko visine

#P=\frac{h^2}{\sqrt{3}}
#R=\frac{2h}{3} 
#r=\frac{h}{3}

## Visina 
Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dvije formule:

h=\frac {a \cdot\sqrt[]{3}} {2},

P=\frac {h^2 \cdot \sqrt[] 3} {3} ⇒ h=\sqrt[] \frac {3P} {\sqrt[] 3}

kada se racionališe i skrati dobija se

h=\sqrt[]\frac{3P \, \sqrt[]3}{3}= \sqrt[]{{P} \, {\sqrt[] 3}} .

## Glavne osobine
Neka je dat trougao ABC čije su stranice a,b,c poluobim s, poluprečnik opisane kružnice R i 
poluprečnik upisane kružnice r 

Trougao je jednakostraničan ako i samo ako je bilo koja od sljedečih izjava tačna.

**Stranice**
*\displaystyle a=b=c
*\displaystyle a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
*\displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)
*\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}

**Poluobim**
*\displaystyle s=2R+(3\sqrt{3}-4)r
*\displaystyle s^2=3r^2+12Rr
*\displaystyle s=3\sqrt{3}r
*\displaystyle s=\frac{3\sqrt{3}}{2}R
**Uglovi**
*\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{3}=60^\circ.
*\displaystyle \cos{\alpha}+\cos{\beta }+\cos{\gamma}=\frac{3}{2}
*\displaystyle \sin{\frac{\alpha}{2}}\sin{\frac{\beta}{2}}\sin{\frac{\gamma}{2}}=\frac{1}{8}
**Površina**
*\displaystyle P=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}
*\displaystyle P=\frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{^{\frac{2}{3}}}
**Poluprečnik opisane i upisane kružnice**
*\displaystyle R=2r
*\displaystyle 9R^2=a^2+b^2+c^2
*\displaystyle r=\frac{r_a+r_b+r_c}{9}
*\displaystyle r_a=r_b=r_c
**Jednake dužine**
Jednake dužine imaju težišnice, visine bisektrise.

t_a=t_b=t_c=t

h_a=h_b=h_c=t

**Značajne tačke trougla**
Težište, ortocentar, centar opisanog i upisanog trougla se poklapaju.

Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

## Ostale osobine
\frac{R}{r}=\frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{6} a}=\frac{6}{3}=2

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

\frac{\frac{3a^2 \pi}{36}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}=\frac{12a^2\pi}{36a^2\sqrt{3}} =   \frac{\pi}{3\sqrt{3}}        

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

\frac{a^2\sqrt{3}}{36a^2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{36a^2}=\frac{1}{12\sqrt{3}}

Ako su vrhovi  A_1 A_2 A_3 trougla A_1A_2A_3 određeni su kompleksnim brojevima z_1, z_2, z_3 respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:
#A_1A_2A_3 je jednakostraničan trougao
#\mid z_1 -z_2\mid =\mid z_2 -z_3\mid =\mid z_3 -z_1\mid 
#z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2Z_3+z_3z_1
#\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2}
#\frac{1}{z-z_1}=\frac{1}{z-z_2}=\frac{1}{z-z_3}  za z= \frac{z-1+z_2+z_3}{3}
#(z_1+ \epsilon z_2+\epsilon^2 z_3)(z_1+ \epsilon^2 z_2+\epsilon z_3)=0 za \epsilon=cos \frac{2\pi}{3}+ i sin\frac{2\pi}{3}
#
\begin{vmatrix}
  1 & 1  & 1\\
  z_1 & z_2  & z_3 \\
  z_2 & z_3  & z_1
\end{vmatrix}=0

Ako su A1(a_1), A_2(a_2) i A_3(a_3) vrhovi pozitivno orijentisanog trougla A_1A_ 2A_3, onda su sledeće  tvrdnje ekvivalentne:

#A_1A_2A_3 je jednakostraničan trougao;
#z_3- z_1 = \epsilon(z_2 - z_1), gde je \epsilon=cos \frac{\pi}{3}+ i sin\frac{\pi}{3}
#z_2- z_1 = \epsilon(z_3 - z_1), gde je \epsilon=cos \frac{5\pi}{3}+ i sin\frac{5\pi}{3}
#z_1+ \epsilon z_2+\epsilon^2 z_3=0

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti  p, q i t  od vrhova A, B, i C, važi

3(p^4+q^4+t^4+a^4)=(p^2+q^2+t^2+a^2)^2

Za bilo koju tačku P  upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima  p, q i t od vrhova važi

4(p^2+q^2+t^2)=5a^2

Konstrukcija
malo|desno

Povučemo pravu
Na njoj  konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. 
Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice  prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

malo|250px

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj.
presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice  su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

## Izvođenje formule za površinu
malo|desno
Formulu za površinu

P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

### Pomoću Pitagorine teoreme
A = \frac{1}{2} ah.

\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2

h = \frac{\sqrt{3}}{2}a.

P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.

### Pomoću trigonometrije
P = \frac{1}{2} ab \sin C.

P = \frac{1}{2} ab \sin 60^\circ.

P = \frac{1}{2} ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2

## U kulturi i društvu
*Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
*Davidova zvijezda, simbol jevrejskog naroda,  sastoji se od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvjesna religiozna značenja.
*Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis,  bio je oblika jednakostraničnog trougla.
*Na zastavi Filipina
*Oblik saobraćajnog znaka.
## Izvor
# Equilateral Triangle
# NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
# Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem 
# Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers 
# Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities 
# AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
# Primene kompleksnih brojeva u geometriji 07.12.2011

## Reference
Kategorija:Vrste trouglova