Lagrangeova tačka

[mini|330px|Slika koja pokazuje efektivne potencijale sistema dva tijela (konkretno [Sunce|Sunca i Zemlje) usljed dejstva gravitacione i centrifugalne sile u referentnom sistemu koji rotira tako da položaji tijela ostaju konstantni. Tijela koja rotiraju oko Sunca sa istim orbitalnim periodom kao Zemlja će početi da se kreću po linijama koje spajaju ekvipotencijalne(?) površi. Strelice pokazuju gradijent porasta potencijala oko 5 Lagrangeovih tačaka —  i  ali su u samim tačkama ove sile u ravnoteži. Vidi NASA Wilkinson Microwave Anisotropy Probe za više detalja.]]

**Lagrangeove tačke** (**L-tačke**) je naziv za pet tačaka u orbitalnoj konfiguraciji gdje malo tijelo na koje djeluje samo gravitacija može biti nepokretno u odnosu na dva veća tijela (npr. vještački satelit u odnosu na Zemlju i Mjesec). U Lagrangeovim tačkama gravitaciona dejstva dva veća tijela poništavaju centrifugalnu silu koja bi izbacila tijelo iz orbite. Ove tačke su analogne geostacionarnim orbitama u smislu da se uzajamni položaji tijela u sistemu ne mijenjaju vremenom.

Preciznija definicija kaže da su Lagrangeove tačke stacionarna rješenja redukovanog problema tri tijela.

## Historija i koncept 
Tri kolinearne Lagrangeove tačke je prvi otkrio Euler oko 1750. godine.

Italijansko-francuski matematičar Joseph Louis Lagrange je 1772. radio na poznatom problemu tri tijela, kada je otkrio zanimljivu posljedicu svojih rezultata. Lagrange je pokušao da pronađe jednostavan način za računanje gravitacionih interakcija proizvoljnog broja tijela, jer prema Njutnovoj mehanici tijela se u takvom sistemu kreću haotično dok ne dođe do sudara ili neka tijela budu izbačena iz sistema tako da se ostatak sistema nađe u ravnoteži. Problem jednog tijela je trivijalan, jer je ono statično u odnosu na samo sebe, problem dva tijela je jednostavan jer se oba tijela kreću oko zajedničkog centra mase; međutim, uvođenjem dodatnih tijela se matematičke jednačine drastično komplikuju. Potrebno je izračunati uticaj svih tijela na sva druga tijela na svakoj tački njihove putanje.

Lagrange je želio da pojednostavi problem. Uveo je jednostavnu hipotezu: *Putanja objekta je određena putem koji minimizira akciju tokom vremena*. Takvu putanju je moguće naći oduzimanjem potencijalne od kinetičke energije. Ovakvim razmišljanjem, Lagrange je reformulisao klasičnu Njutnovu mehaniku i došao do tzv. Lagrangeove mehanike. Dalji rad je doveo Lagrangea do hipoteze kako će se tijelo zanemarljive mase kretati oko dva tijela koja se već nalaze na približno kružnim orbitama. U referentnom sistemu koji rotira zajedno sa većim tijelima, Lagrange je našao 5 specifičnih tačaka u kojima se poništavaju sile koje djeluju na malo tijelo. U njegovu čast su ove tačke nazvane „Lagrangeove tačke“. Tek poslije stotinu godina (1990-ih) su otkriveni Trojanski asteroidi, čije orbite se nalaze u Lagrangeovim tačkama sistema Sunce-Jupiter.

U opštijem slučaju eliptičnih orbita, ne postoje više stacionarne „tačke“, već se javljaju *Lagrangeove „oblasti“*. Lagrangeove tačke konstruisane za svaku konfiguraciju sistema grade elipse matematički slične elipsama koje opisuju veća tijela, što je posljedica drugog Njutnovog zakona. tijelo u Lagrangeovoj tački ima isti orbitalni period kao i dva veća tijela, i ovaj orbitalni period ne zavisi od oblika putanje, što znači da su eliptične putanje koje opisuju Lagrangeove tačke zapravo rešenja jednačine kretanja za treće tijelo.

## Lagrangeove tačke 
mini|300px|Slika koja prikazuje Lagrangeove tačke u sistemu u kome je jedno tijelo daleko masivnije od drugog (npr. Sunce i Zemlja). U takvom sistemu se čini se da tačke L3–L5 nalaze na istoj orbiti kao manje tijelo, mada se zapravo nalaze malo izvan njegove orbite.
Pet lagrangeovih tačaka nosi sljedeće oznake:

### L1 
**L1** tačka leži na liniji koja spaja veće mase M1 and M2, i to između ovih tijela. Ovu je tačku intuitivno najlakše razumjeti, u njoj gravitacija manjeg se direktno suprotstavlja gravitaciji većeg tijela.

:**Primjer:** tijelo koje kruži oko Sunca bliže od Zemlje bi trebalo imati kraći orbitalni period, ali time zanemarujemo efekt Zemljine gravitacije. Ako se objekt nalazi na liniji koja spaja Zemlju i Sunce, Zemljina gravitacija djeluje nasuprot Sunčeve, povećavajući pri tom orbitalni period objekta. Što je objekt bliže Zemlji, i efekt je veći. U L1 tački, orbitalni period objekta i Zemlje postaju jednaki.

L1 tačka u sistemu Sunce-Zemlja je idealna za posmatranje Sunca. Solarna i heliosferna opservatorija (SOHO) je smještena u Halo orbiti oko L1, a satelit Napredni istraživač sastava (ACE) u Lisažu orbiti, također oko L1. Zemlja-Mjesec L1 omogućava lak pristup orbitama i oko Zemlje i oko Mjeseca uz minimalnu promjenu brzine zbog čega je idealna za svemirsku stanicu koja bi prenosila ljude i teret do Mjeseca i nazad.

### L2 
mini|300px|Slika koja prikazuje Sunce-Zemlja L2 tačku, koja leži dobrano iza Mjesečeve orbite.

**L2** tačka leži na pravoj definisanoj većim masama, iza manjeg tijela. U ovom slučaju se gravitaciona dejstva oba tijela suprotstavljaju centrifugalnoj sili trećeg tijela.

:**Primjer:** Sa one strane Zemlje suprotne Suncu, orbitalni period bi normalno bio kraći od orbitalnog perioda Zemlje. Dodatno gravitaciono privlačenje Zemlje skraćuje taj orbitalni period koji u L2 postaje jednak periodu revolucije Zemlje.

L2 tačka u sistemu Sunce-Zemlja je dobra pozicija za svemirska posmatranja. Kako objekti u L2 zadržavaju istu orijentaciju u odnosu na Zemlju i Sunce, kalibracija i zaštita su značajno jednostavniji. Vilkinsonova stanica za mikrotalasnu anizotropiju (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) se već nalazi u orbiti oko L2, a u planu su i Plankov satelit, Heršel svemirska opservatorija, Gaja stanica i Džejms Veb svemirski teleskop. L2 tačka u sistemu Zemlja-Mjesec predstavlja pogodnu tačku za postavljanje komunikacijskih satelita za dalju stranu Mjeseca.

Ako je masa manjeg tijela (M2) mnogo manja od mase većeg objekta (M1), onda se L1 i L2 nalaze na približno istoj udaljenosti *r* od manjeg tijela, jednakoj poluprečniku Hilove sfere:

:r \approx R \sqrt[3]{\frac{M_2}{3 M_1}}

gdje je *R* udaljenost između M1 i M2.

Primjeri:
* Sunce i Zemlja: 1 500 000&nbsp;km od Zemlje
* Zemlja i Mjesec: 61 500&nbsp;km od Mjeseca

### L3 
**L3** tačka leži kolinearno sa većim tijelima, iza većeg od njih

:**Primjer:** L3 u sistemu Sunce-Zemlja se nalazi na suprotnoj strani Sunca u odnosu na Zemlju, malo bližu Suncu nego Zemlja, jer se centar mase u sistemu Sunce-Zemlja ne nalazi u sentru Sunca već nešto bliže Zemlji. Kao i u L2, i u L3 tački zajedničko gravitaciono privlačenje Sunca i Zemlje dovodi do toga da tijela imaju isti period revolucije kao Zemlja.

U petparačkoj naučnoj fantastici i stripovima L3 je bila populatno mjesto za smještanje „anti-Zemlje“, ali kada se jednom započelo sa lansiranjem svemirskih sondi, pokazano je da takvo tijelo ne postoji, štaviše, Sunce-Zemlja L3 tačka je izuzetno nestabilna zbog gravitacionog dejstva drugih planeta. Venera, na primjer, svakih 20 mjeseci prolazi na manje od 0,3 AJ od L3.

### L4 i L5 
mini|desno|200px|Gravitaciona sila u L4.
**L4** i **L5** tačke leže na tjemenima jednakostraničnog trougla čija je osnova definisana većim tijelima. Tačka L4 se nalazi ispred, a L5 iza manjeg tijela gledano u odnosu na njegovu revoluciju oko većeg. Obe ove Lagrangeove tačke leže u ravni orbite manjeg tijela.

Ove dve tačke su stabilne jer su jednako udaljene od obje mase, pa je sila kojom veća tijela na njih djeluju proporcionalna masama M1 i M2, tako da rezultanta sile prolazi kroz centar mase. U L4 i L5 ne mora da se nalazi tijelo zanemarljive mase u odnosu na M1 i M2; opštu trougaonu konfiguraciju je otkrio Lagrange proučavajući problem 3 tijela.

L4 i L5 se ponekad nazivaju *trougaone Lagrangeove tačke* ili *Trojanske tačke*. Naziv *Trojanske tačke* potiče od trojanskih asteroida, koji se nalaze u L4 i L5 tačkama sistema Sunce-Jupiter. Asteroidi u L4 su nazvani „grčki tabor“ a u L5 „trojanski tabor“, i nose imena odgovarajućih junaka Ilijade.

:**Primjeri:**
* Sunce-Zemlja L4 i L5 tačke sadrže međuplanetarnu prašinu
* u Sunce-Jupiter L4 i L5 tačkama se nalaze trojanski asteroidi
* u L4 i L5 tačkama sistema Sunce-Neptun se nalaze tijela iz Cuiperovog pojasa.
* Saturnov satelit Tetija ima dva manja satelita u svojim L4 i L5 tačkama – Telesto i Kalipso (respektivno)
* Saturnov satelit Dionu prate sateliti Helena i Polideuk u L4 i L5 tačkama (respektivno)
* prema hipotezi gigantskog sudara planeta veličine Mars po imenu Teja je postojala u Zemljinoj L4 ili L5 tački, ali je zbog svoje veličine postala nestabilna, sudarila se sa Zemljom, a kao posljedica sudara je nastao Mjesec.

## Stabilnost 
Prve tri Lagrangeove tačke su stabilne samo u ravni normalnoj na pravu definisanu sa dva tijelima. Ovo je najočiglednije kod L1. Na probnu masu pomjerenu normalno u odnosu na duž koja spaja M1 i M2 djelovat će privlačna sila oba tijela koja teži da tijelo vrati u ravnotežnu tačku. Ovo se dešava jer se komponente sile normalne na M1-M2 duž superponiraju, dok su komponentne paralelne sa ovom duži uravnotežene. Međutim, ako se probno tijelo pomjeri bliže nekoj od masa, to tijelo će djelovati jačom silom nego tijelo od koga je probna masa odmaknuta. (Ovakvo ponašanje je slično ponašanju pod dejtstvom plimskih sila).

Mada se može reći da su L1, L2 i L3 generalno nestabilne tačke, moguće je pronaći stabilne periodične orbite oko ovih tačaka, makar u restihovanom problemu tri tijela. Ove potpuno periodične orbite, koje se zovu „halo“ orbite, ne postoje u punom dinamičkom sistemu n-tijela tako što je Sunčev sistem. U ovom slučaju postoje kvaziperiodične orbite koje prate Lisažuove krive, i ovakve Lisažuove orbite su koristile sve dosadašnje misije u Lagrangeovim tačkama. Mada Lisažuove orbite nisu savršeno stabilne, potrebne su relativno skromne korekcije za održavanje letjelica na željenim orbitama. U slučaju Sunce-Zemlja L1 tačke, pokazalo se korisnim da se svemirske misije smjeste u Lasažuove orbite sa velikom amplitudom (100 000 – 200 000&nbsp;km), čime se smanjuje uticaj Sunčevog zračenja na komunikaciju Zemlje sa misijom.

Nasuprot kolinearnim Lagrangeovim tačkama, trougaone tačke (L4 i L5) su tačke stabilne ravnoteže, pod uslovom da je odnos između -M1 i M2 veći od 24,96. Ovo je slučaj sa Suncem i Zemljom, dok je odnos Zemlje i Mjeseca za nijansu manji. Kada se tijelo pomjeri iz trougaone Lagrangeove tačke, Koriolisova sila ga zadržava na stabilnoj, bubrežastoj orbiti oko Lagrangeove tačke (posmatrano iz rotirajućeg referentnog sistema). U sistemu Zemlja-Mjesec, međutim, problem stabilnost je komplikovaniji zbog značajnog uticaja Sunčeve gravitacije 

## Misije u Lagrangeovim tačkama 
Zbog svoje specifičnosti, Lagrangeove tačke su česta meta za neke vrste misija. Najčešće se misije nalaze u orbiti oko Lagrangeovih tačaka, a ne u samim tačkama.

## Također pogledajte 
* Eulerov problem tri tijela
* Spisak tijela u Lagrangeovim tačkama
* Mjesečev svemirski lift
* Potkovičasta orbita
* Hillova sfera

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* Objašnjenje Lagrangeovih tačaka – Neil Cornish 
* nasino objašnjenje – pripisano Neilu Cornishu 
* Objašnjenje Lagrangeovih tačaka – John Baez 
* Geometrija i proračuni Lagrangeovih tačaka  – J. R. Stockton 
* Mjesta Lagrangeovih tačaka, sa aproksimacijama – David Peter Stern 
* Mrežni kalkulator za računanje tačkog položaja svih pet Lagrangeovih tačaka u sistemu bilo koja 2 tijela – Tony Dunn 

Kategorija:Lagrangeova mehanika
Kategorija:Trojanci (astronomija)