Green–Taova teorema

U teoriji brojeva, **Green–Tao teorem**, koji su dokazali Ben Green i Terence Tao 2004. godine, kaže da niz prostih brojeva sadrži proizvoljno duge aritmetičke progresije. Drugim riječima, za svaki prirodni broj k postoji aritmetička progresija prostih brojeva sa k članova. Dokaz je proširenje Szemerédijevog teorema. Problem se može pratiti do istraživanja Lagrangea i Waringa iz oko 1770. Ovdje, \mathfrak{S}_k je konstanta

: \mathfrak{S}_k := \frac{1}{2(k-1)}\left(\prod_{p \leq k}\frac{1}p\left(\frac{p}{p - 1}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod_{p > k}\left(1 - \frac{k-1}p\right)\!\left(\frac{p}{p - 1}\right)^{\!k-1}\right)\!.

Rezultat su bezuslovnim učinili Green–Tao i Green–Tao–Ziegler.

## Skica dokaza 
Green i Taoov dokaz ima tri glavne komponente:

# Szemerédijev teorem, koji tvrdi da podskupovi cijelih brojeva sa pozitivnom gornjom gustinom imaju proizvoljno duge aritmetičke progresije. To se  ne odnosi na proste brojeve jer prosti brojevi imaju gustinu nula u cijelim brojevima.
# Princip transfera koji proširuje Szemerédijev teorem na podskupove cijelih brojeva koji su pseudoslučajni u odgovarajućem smislu. Takav rezultat se sada zove relativni Szemerédijeva teorem.
# Pseudoslučajni podskup cijelih brojeva koji sadrži proste brojeve kao gust podskup. Da bi konstruirali ovaj skup, Green i Tao su koristili ideje iz Goldstona, Pintza i Yıldırımovog rada o razmaku između prostih brojeva. Jednom kada se uspostavi pseudoslučajnost skupa, može se primijeniti princip prijenosa, čime se dovršava dokaz.

Pronađena su brojna pojednostavljenja argumenta u originalnom radu.  pružaju moderno izlaganje dokaza.

## Numerički rad 
Dokaz Green–Tao teorema ne pokazuje kako pronaći aritmetičke progresije prostih brojeva; samo dokazuje da postoje. Postojao je poseban računski rad za pronalaženje velikih aritmetičkih progresija u prostim brojevima.

Green–Tao dokument navodi "U vrijeme pisanja najduža poznata aritmetička progresija prostih brojeva je dužine 23, a pronašli su je 2004. Markus Frind, Paul Underwood i Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860&#x2009;·&#x2009;*k* ; *k* = 0, 1, . . ., 22.".

18. januara 2007. Jarosław Wróblewski je pronašao prvi poznati slučaj od 24 prostih broja u aritmetičkoj progresiji :

: 468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · *n*, za *n* = 0 do 23.

Konstanta 223,092,870 ovdje je proizvod prostih brojeva do 23, kompaktnije napisano kao 23#.

17. maja 2008. Wróblewski i Raanan Chermoni pronašli su prvi poznati slučaj od 25 prostih brojeva:

: 6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23# · *n*, za *n* = 0 do 24.

12. aprila 2010, Benoît Perichon sa softverom Wróblewskog i Geoffa Reynoldsa u distribuiranom PrimeGrid projektu pronašao je prvi poznati slučaj od 26 prostih brojeva :

: 43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23# · *n*, za *n* = 0 do 25

U septembru 2019. Rob Gahan i PrimeGrid su pronašli prvi poznati slučaj od 27 prostih brojeva 224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23# · *n*, za *n* = 0 do 26.

## Proširenja i generalizacije 
Mnoga proširenja Szemerédijevog teorema vrijede i za proste brojeve.

Nezavisno, Tao i Ziegler i Cook, Magyar i Titichetrakun su izveli multidimenzionalnu generalizaciju Green-Tao teoreme. Tao–Zieglerov dokaz su također pojednostavili Fox i Zhao.

Godine 2006. Tao i Ziegler su proširili Green-Tao teorem kako bi pokrili polinomske progresije. Preciznije, za bilo koji polinom s cijelobrojnim koeficijentima P_1, ..., P_k s jednom nepoznatom m i slobodnim članom 0, postoji beskonačno mnogo cijelih brojeva x takvih da sux+P_1(m), ..., x+P_k(m) istovremeno prosti. Poseban slučaj kada su polinomi m, 2m, ..., km implicira prethodni rezultat da postoji  aritmetička progresija prostih brojeva dužine k.

Tao je dokazao analogon Green–Tao teorema za Gausove proste brojeve .

## Također pogledajte 
* Erdősova pretpostavka o aritmetičkim progresijama
* Dirichletov teorem o aritmetičkim progresijama
* Aritmetička kombinatorika

## Reference 
## Dodatna literatura 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Kategorija:Teoreme prostih brojeva