Cauchyjev integralni test konvergencije

U matematici, **Cauchyjev integralni test konvergencije** je metoda koja se koristi za testiranje konvergencije kod beskonačnih redova koji imaju nenegativne članove. Ranu verziju testa konvergencije razvio je indijski matematičar Madhava u 14. vijeku, u pomoć svojih kolega iz škole Kerala. U Evropi je kasnije razrađen od strane Maclaurina i Cauchyja, te je poznat pod nazivom *Maclaurin–Cauchyjev test* (ili samo *Cauchyjev integralni test*).

## Iskaz testa 
Uzmimo cijeli broj *N* i nenegativnu monotono opadajuću funkciju *f* definisanu na neograničenom intervalu *N*, ∞). Tada red

:\sum_{n=N}^\infty f(n)

konvergira ako i samo ako integral

:\int_N^\infty f(x)\,dx

ima određeno rješenje. To znači, ako integal divergira, divergira i dati red.

## Dokaz 
U dokazu se koristi test poređenja, gdje se poredi član *f*(*n*) sa integralom od *f* preko intervala *n* − 1, *n* i *n*, *n* + 1, respektivno.

Pošto je *f* monotono opadajuća funkcija, znamo da je
:
f(x)\le f(n)\quad\text{for }x\in[n,\infty)

i
:
f(n)\le f(x)\quad\text{for }x\in[N,n],

odakle vrijedi, za svaki *n* veći od *N*
:
\int_n^{n+1} f(x)\,dx
\le\int_{n}^{n+1} f(n)\,dx
=f(n)
=\int_{n-1}^{n} f(n)\,dx
\le\int_{n-1}^n f(x)\,dx.

Pošto prethodna procjena važi i za *f*(*N*), dobijamo sumiranjem preko cijelog *n*, od *N* do nekog većeg cijelog broja *M*
:
\int_N^{M+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=N}^MF(n)\le f(N)+\int_N^M f(x)\,dx.
 
Kada pustimo da *M* teži u beskonačnost, dobijamo razultat.

## Primjene 
Hermonijski red
:
\sum_{n=1}^\infty \frac1n

divergira zato što, koristeći prirodni logaritam, njegovu derivaciju, te fundamentalni teorem kalkulusa, dobijamo
:
\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty
\quad\text{for }M\to\infty.

Suprotno, red
:
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}

(uporedite sa Riemannovom zeta funkcijom)
konvergira za svaki *ε* > 0, pošto je
:
\int_1^M\frac1{x^{1+\varepsilon}}\,dx
=-\frac1{\varepsilon x^\varepsilon}\biggr|_1^M=
\frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1{M^\varepsilon}\Bigr)
\le\frac1\varepsilon
\quad\text{for all }M\ge1.

## Granica između konvergencije i divergencije 
Prethodni primjeri koji uključuju harmonijske redove, postavljuju pitanje da li potoje monotoni nizovi takvi da *f*(*n*) opada do 0 brže od 1/*n*, ali sporije od 1/*n*1+*ε*, u smislu da
:
\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1/n}=0
\quad\text{and}\quad
\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1/n^{1+\varepsilon}}=\infty

za svaki *ε* > 0, te da li odgovarajući redovi funkcije *f*(*n*) još uvijek, u tom slulčaju, divergiraju. Kada se takav niz pronađe, slično pitanje može se postaviti u slačaju da *f*(*n*) uzme ulogu 1/*n*, i tako dalje. Na ovaj način moguće je istražiti granicu između divergencije i konvergencije.

Koristeći integralni test konvergencije, može se pokazati (pogledajte ispod) d, za svaki prirodan broj *k*, red
:
\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots \ln_{k-1}(n)\ln_k(n)}

još uvijek divergira (uporedite sa dokazom da suma recipročnih prostih brojeva divergira za *k* = 1), ali
:
\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots\ln_{k-1}(n)(\ln_k(n))^{1+\varepsilon}}

konvergira za svaki *ε* > 0. Ovdje ln*k* označava *k*-tu kompoziciju funkcija prirodnog logaritma definisanog rekurzivno sa
:
\ln_k(x)=
\begin{cases}
\ln(x)&\text{for }k=1,\\
\ln(\ln_{k-1}(x))&\text{for }k\ge2.
\end{cases}

Nadalje, *N**k* označava najmanji prirodni broj takav da je *k*-ta kompozocija dobro definisana i ln*k* *N**k* ≥ 1, npr.
:
N_k\ge \underbrace{e^{e^{\cdot^{\cdot^{e}}}}}_{k\ e'\text{s}}=e \uparrow\uparrow k 

koristeći tetraciju ili Knuthovu notaciju.

Kako bi smo vidjeli divergenciju prvog reda koristeći integralni test, zapazite da ponavljanom primjenom pravila derivacije složene funkcije
:
\frac{d}{dx}\ln_{k+1}(x)
=\frac{d}{dx}\ln(\ln_k(x))
=\frac1{\ln_k(x)}\frac{d}{dx}\ln_k(x)
=\cdots
=\frac1{x\ln(x)\cdots\ln_k(x)},

odakle vrijedi
:
\int_{N_k}^\infty\frac{dx}{x\ln(x)\cdots\ln_k(x)}
=\ln_{k+1}(x)\bigr|_{N_k}^\infty=\infty.

Da bi smo vidjeli konvergenciju drugog reda, zapazite da sa primjenom pravila o derivaciji stepena, pravila o derivaciji složene funkcije i rezultata iznad dobijamo
:
-\frac{d}{dx}\frac1{\varepsilon(\ln_k(x))^\varepsilon}
=\frac1{(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}}\frac{d}{dx}\ln_k(x)
=\cdots
=\frac{1}{x\ln(x)\cdots\ln_{k-1}(x)(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}},

odakle vrijedi
:
\int_{N_k}^\infty\frac{dx}{x\ln(x)\cdots\ln_{k-1}(x)(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}}
=-\frac1{\varepsilon(\ln_k(x))^\varepsilon}\biggr|_{N_k}^\infty

## Reference 
* Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc.,  New York, 1956. (§ 3.3) 
* Whittaker, E. T., and Watson, G. N., *A Course in Modern Analysis*, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) 

Kategorija:Integralni račun
Kategorija:Matematički redovi
Kategorija:Testovi konvergencije
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz