Funkcija (matematika)

::*Za članak, koji govori o funkcijama i procedurama (podrutine) u programiranju, pogledajte članak funkcija (programiranje)
[[Datoteka:Graph of example function.svg|mini|250px|Grafik primjera funkcije, \begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}]]

Matematički koncept **funkcije** izražava zavisnost između dvije veličine, jedne, koja je zadata (nezavisna varijabla ili argument funkcije), i druge, koja se dobija (zavisna varijabla ili vrijednost funkcije). Funkcija prodružuje samo jedno rješenje za svaki argument funkcije koji se uzima iz fiksnog skupa, kao što su realni brojevi.

## Historija 
Funkcija kao matematički termin je prvi put objavio Gottfried Wilhelm Leibniz 1694. godine kako bi opisao količinu u relaciji prema krivoj. Te funkcije danas zovemo diferencijali.

Uobičajena notacija za funkciju je *f(x)*, koju je prvi upotrebio švicarski matematičar Leonhard Euler.

## Inverzna funkcija 
Ako je ƒ funkcija od *X* do *Y*, tada je **inverzna funkcija** za ƒ, označenasa ƒ−1, funkcija u suprotnom smijeru, od *Y* do *X'', sa osobinom da kompozicija) vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne posjeduje svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se **inverzabilne**.

Kao primjer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Fahrenheite, funkcija koja konvertuje stepene Fahrenheita u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ−1.
:\begin{align}
 f(C) &= \tfrac95 C + 32 \\
 f^{-1}(F) &= \tfrac59 (F - 32)
\end{align}
## Ispitivanje toka  funkcije
Ispitati  tok funkcije f(x) znači oidrediti sljedeće
### Područje definicije 
Za određivanje područja definicije funkcije f(x) potrebno je poznavati elementarne funkcije
### Parnost 
Parnost funkcije f(x) provjerava se pomoću definicije:

;Funkcija f(x) je parna ako je f(-x)=f(x) za svaki x\in \mathcal{D}, a neparna ako je f(-x)=-f(x) za svaki x\in \mathcal{D}.

Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak O(0,0).
;Primjer

\displaystyle x^n, \qquad n\in\mathbb{N}

je parna za n=2k paran, a neparna za n=2k+1 neparan pa je:

\displaystyle f(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n=(-1)^n f(x).

Funkcija \vert x\vert je parna: ako je x>0, tada je -x pa vrijedi

\displaystyle \vert-x\vert=-(-x)=x=\vert x\vert

Za x je -x>0 pa vrijedi

\displaystyle \vert-x\vert=-x=\vert x\vert
### Periodičnost
Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije

;Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj P\neq 0 takav da za svaki x\in \mathcal{D} vrijedi
;\displaystyle f(x+P)=f(x)

Tada mora vrijediti x+P\in\mathcal{D}. Najmanji takav pozitivni broj P osnovni period ili period funkcije f(x).

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.
### Nula funkcije 
Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine f(x)=0
### Asimptote funkcije
Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i L'Hospitalovim pravilo, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli (0) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava x=x_0 je vertikalna asimptota funkcije f(x)u tački 
x_0 s lijeve strane ako je \lim_{x\to x_0-0}f(x)=+\infty ili
\lim_{x\to x_0-0}f(x)=-\infty.

Prava x=x_0 je vertikalna asimptota funkcije f(x) u tacki x_0 s desne strane ako je

\lim_{x\to x_0+0}f(x)=+\infty ili

\lim_{x\to x_0+0}f(x)=-\infty.

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

;Primjer

Bekesib.JPG|

Prava x=0 je vertikalna asimptota funkcije \frac{1}{x} s obje strane.

Prava x=0 je vertikalna asimptota funkcija \ln x, \log x i \log_2 x s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava y=y_0 je horizontalna asimptota funkcije f(x) na lijevoj strani ako je \lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0. 
Prava y=y_0 je horizontalna asimptota funkcije f(x) na desnoj strani ako je \lim_{x\to +\infty}f(x)=y_0.

;Primjer
Prava y=0 je horizontalna asimptota funkcije \frac{1}{x} na obje strane, kao i y=0 horizontalna asimptota funkcija 2^x i e^x na lijevoj strani.

Ako je

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to -\infty} (f(x)-kx)=l,

pri čemu je

\displaystyle k\neq 0,-\infty,+\infty, \qquad l\neq -\infty,+\infty tada je prava y=kx+l kosa asimptota funkcije f(x) sa lijeve strane.

Kosu asimptotu funkcije f(x) sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je d(M,L). Prema definiciji asimptote d(M,L)\to 0 kada x\to +\infty. Kako je \cos \alpha\neq 0 konstanta, zaključujemo da
\displaystyle d(M,L)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to +\infty} \vert f(x)-(kx+l)\vert=0.

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx-l)=0 je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

\lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx)=l.

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)-kx-l}{x}=0
pa je

 \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=k.

Pri tome treba voditi računa o sljedećem:
#kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada x\to -\infty i kada
#asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu, x\to +\infty uvijek treba računati posebno
#treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada x\to -\infty,
;Primjer

\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}= -\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1.

### Ekstremi funkcije
Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.

Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi

;Neka je funkcija f(x) neprekidna u tački c. Ako funkcija f(x) ima lokalni ekstrem u tački c, tada je c kritična tačka funkcije f(x).

Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

;Neka je funkcija f(x) neprekidna u tački c. Tačka c je stacionarna tačka funkcije f(x) ako je f'(c)=0. Tačka  c je kritična tačka funkcije f(x) ako je c stacionarna tačka ili ako f(x) nije diferencijabilna u tački c.

Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda f'(x) i riješiti jednačinu  f'(x)=0. 
Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:

pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme
;Ako prvi izvod f'(x) mijenja predznak u kritičnoj tački c, tada funkcija f(x) ima lokalni ekstrem u tački c. Pri tome vrijedi sljedeće
;ako f'(x) mijenja predznak sa - na +, tada je f(c) lokalni minimum, a ako f'(x) mijenja predznak sa + na -, tada je f(c) lokalni maksimum.

pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme

;Neka je u stacionarnoj tački c funkcija f(x) dva puta diferencijabilna. Ako je f*(c)\neq 0, tada funkcija fx) ima lokalni ekstrem u tacki c. Pri tome vrijedi sljedeće
;ako je f*(c)>0, tada je f(c) lokalni minimum, a ako je f*(c), tada je f(c) lokalni maksimum.

pomoću viših izvoda na osnovu teoreme
;Neka funkcija f(x) ima u nekoj \varepsilon -okolini tačke  neprekidnog izvoda do uključivo reda n, pri čemu je n\geq 3.
;Neka je \displaystyle f*(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.
;Ako je n neparan, tada funkcija f(x) ima infleksiju u tački c. Ako je n paran i ako je uz to još i f'(c)=0, tada funkcija f(x) ima lokalni ekstrem u tački c i to minimum za f^{(n)}(c)>0 i maksimum za f^{(n)}(c).
### Intervali monotonosti
Posto smo načli prvi izvod f'(x) funkcije f(x) intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od f'(x) na osnovu teoreme

;Neka je funkcija f(x) diferencijabilna na intervalu (a,b). Tada vrijedi
;#funkcija f(x) je rastuća na intervalu (a,b) ako i samo ako je f'(x)\geq 0 za svaki x\in(a,b)
;#Funkcija f(x) je opadajuća na intervalu (a,b) ako i samo ako je f'(x)\leq 0 za svaki x\in(a,b)
;#Ako je f'(x)>0 za svaki x\in(a,b), tada je funkcija f(x) strogo rastuća na intervalu (a,b
;#Ako je f'(x) za svaki x\in(a,b), tada je funkcija f(x) strogo opadajuća na intervalu (a,b).
### Konkavnost i konveksnost funkcije
Potrebno je odrediti drugi izvod f*(x),a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme
;Neka je funkcija f(x) dva puta deiferencijabilna na intervalu (a,b). Ako je f*(x)>0 za svaki x\in(a,b), tada je funkcija f(x) strogo konveksna na intervalu (a,b). Ako je f*(x) za svaki x\in(a,b), tada je funkcija f(x) strogo konkavna na intervalu (a,b).
### Tačke infleksije
Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod f*(x)\$ mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi
;Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj \varepsilon -okolini tačke c, osim možda u tački c. Ako f*(x) mijenja predznak u tački c, tada funkcija f(x) ima infleksiju u tački c.

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme
;Neka funkcija f(x) ima u nekoj \varepsilon - okolini tačke c neprekidne izvode do uključivo reda n, pri čemu je n\geq 3. Neka je
;\displaystyle f*(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.
;Ako je n neparan, tada funkcija f(x) ima infleksiju u tački c.
;Ako je n paran i ako je uz to još i f'(c)=0, tada funkcija f(x) ima lokalni ekstrem u tacki c i to minimum za f^{(n)}(c)>0 i maksimum za f^{(n)}(c).

U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod f*(x) jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi
;Ako funkcija f(x) ima infleksiju u tački c i ako f*(c) postoji, tada je f''(c)=0.
### Graf funkcije
Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

## Ostale osobine 
Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primjene.
 
Ovo je djelimičan spisak takvih funkcija:

* bijekcija, injekcija i surjekcija, ili pojedinačno:
** injektivna, surjektivna i bijektivna funkcija
* neprekidna
* diferencijabilna funkcija, integrabilna
* linearna, polinomi, racionalna
* algebarska, transcendentalna
* trigonometrijska
* fraktal
* parna ili neparna
* konveksna, monotona, jednomodalna
* holomorfska, meromorfska, cijela
* vektorska
* izračunljive
* funkcija cijelog dijela
* funkcija realne varijable

## Također pogledajte 
* Spisak matematičkih funkcija
* Funkcionalni predikat
* Kompozicija funkcija
* Funkcional
* Funkcionalna dekompozicija
* Implicitna funkcija
* Parametarska jednačina
* Plateau
* Proporcionalnost
* Steinerov problem

## Reference 
### Zabilješke 
### Reference 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* .
* .
* .
* .
* .
* .
*Ispitivanje toka funkcije

## Vanjski linkovi 
* The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
* Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
* xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
* Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
* Functions from cut-the-knot.
* Function at ProvenMath.
* Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool

Funkcija
Funkcija
Funkcija
Kategorija:Matematičke relacije