Leibnizovo integracijsko pravilo

U matematici, **Leibnizovo pravilo** za** diferencijaciju pod znakom integrala**, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika

:  \int_{y_0}^{y_1} f(x, y) \,dy 

tada se, za x \in (x_0, x_1), derivacija ovog integrala može iskazati kao

:  {d\over dx}\, \int_{y_0}^{y_1} f(x, y) \,dy = \int_{y_0}^{y_1} {\partial \over \partial x} f(x,y)\,dy

uz uslov da su f i \partial f / \partial x neprekidne na oblastima oblika 

:[x_0,x_1]\times[y_0,y_1].\,

### Granice koje su varijable 
Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije *a* i *b*, kao i podintegralna funkcija *&fnof;*( *x*,&nbsp;α ) funkcije parametra α, je:

: \ \frac{d}{d\alpha}\int_a^b f(x,\alpha)\,dx = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,dx+f(b,\alpha)\frac{d b}{d \alpha}-f(a,\alpha)\frac{d a}{d \alpha}\, &emsp;   

gdje parcijalna derivacija od *f* govori da se unutar integrala samo varijacija od *&fnof;* ( *x*,&nbsp;α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.

### Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj 
desno|mini|250px|Slika 1: Vektorsko polje **F** ( **r**, *t* ) definisano kroz prostor, i površ Σ ograničena krivom ∂Σkoja se kreće brzinom **v** po kojoj se polje integriše.
Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:

&emsp;\frac {d}{dt} \iint_{ \Sigma (t)} \mathbf{F} (\mathbf{r},\ t) \cdot d \mathbf{A}  

&ensp;&ensp;=  \iint_{\Sigma (t)}\left[ \frac {\partial}{\partial t}\mathbf{F} (\mathbf{r},\ t) + \left(\mathrm{\nabla} \cdot \mathbf{F} (\mathbf{r},\ t) \right) \mathbf{v} \right] \cdot \ d \mathbf{A}\ 
::::::\  -  \oint_{\partial \Sigma (t)} \left(   \mathbf{v \times }\mathbf{F} ( \mathbf{r},\ t) \right) \cdot  d \mathbf{s}\ , 

gdje je:
::**F** ( **r**, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji **r** u vremenu *t*
::Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ
::*d* **A** je vektorski element površi Σ
::*d* **s** je vektorski element krive ∂Σ
::**v** je brzina kretanja oblasti Σ
::**∇**• je vetor divergencije
::**×** je vektorski proizvod
:Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.

## Dokazi 
### Osnovni oblik 
Prvo, pretspostavimo da vrijedi

:  u(x) = \int_{y_0}^{y_1} f(x, y) \,dy. 

Tada je

:  {d\over dx} u(x) = \lim_{h\rightarrow 0} {u(x+h)-u(x) \over h}.

Zamjenom u prethodno imamo

:  = \lim_{h\rightarrow 0} {\int_{y_0}^{y_1}f(x+h,y)\,dy-\int_{y_0}^{y_1}f(x,y)\,dy \over h}.

Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:

:  = \lim_{h\rightarrow 0} {\int_{y_0}^{y_1}(f(x+h,y)-f(x,y))\,dy\over h}.

Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom

:  = \lim_{h\rightarrow 0} \int_{y_0}^{y_1} {f(x+h,y)-f(x,y)\over h}\,dy.

Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:

:  =  \int_{y_0}^{y_1} {\partial \over \partial x} f(x,y)\,dy 

koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga 

:  {d\over dx} u(x) = \int_{y_0}^{y_1} {\partial \over \partial x} f(x, y) \,dy.

## Reference 
## Također pogledajte 
* Pravilo derivacije proizvoda
* Leibnizovo pravilo (uopćeno pravilo derivacije proizvoda)
* Diferencijacija pod znakon integrala

Kategorija:Infinitezimalni račun
Kategorija:Integralni račun
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz
Kategorija:Gottfried Leibniz
Kategorija:Analiza više promjenjivih
Kategorija:Diferencijalni račun