L'Hôpitalovo pravilo

mini|desno|Guillaume de l'Hôpital, (1661 – 2. februar 1704.) Poznati francuski matematičar i imućni plemić
U kalkulusu, '''L'Hôpitalovo pravilo''' omogućava nalaženje izvijesnih graničnih vrijednosti sa "neodređenim oblicima" pomoću izvoda. Primjena (ili uzastopna primjena) l'Hôpitalovog pravila može pretvoriti neodređene oblike u određene oblike, omogućavajući lahko računanje graničnih vrijednosti (limesa). Pravilo je dobilo ime po francuskom matematičaru iz 17. vijeka po imenu Guillaumeu de l'Hôpital, koji je objavio pravilo u svojoj knjizi ''Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes'' (doslovno: Analiza beskonačno malog kako bi se razumjele krive) (1696. godina), što je prva knjiga o diferencijalnoj analizi.

Vjeruje se da je pravilo djelo Johanna Bernoullija, pošto je l'Hôpital, koji je bio plemić, plaćao Bernoulliju 300 franaka godišnje, da ga obavještava o otkrićima na polju analize, i da mu pomogne u rješavanju problema. Među ovim problemima je bio limes neodređenih oblika. Kada je l'Hôpital objavio knjigu, dao je zasluge Bernoulliju, i ne želeći da preuzme zasluge za bilo šta u knjizi, rad je objavio anonimno. Bernoulli, koji je bio vrlo ljubomoran, je tvrdio da je on stvaralac cjelokupnog djela, i do skora se vjerovalo da je tako. Pa ipak, pravilo je nazvano po l'Hôpitalu, koji nikad nije ni tvrdio da ga je izmislio..

## Pregled 
### Uvod 
U prostim slučajevima, l'Hôpitalovo pravilo glasi da za funkcije *f*(*x*) i  *g*(*x*), ako \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0 ili \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=\infty, tada:

:\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
gdje *prim* (') označava derivacija funkcije.

Među ostalim uslovima, da bi ovo pravilo važilo, mora da postoji limes \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}. Ostali uslovi su detaljnije izloženi u formalnom iskazu.

### Formalni iskaz 
l'Hôpitalov pravilo se, u osnovnom obliku, odnosi na granične vrijednosti razlomka f(x)/g(x) \  kada se i *f* i *g* bliže 0, ili se i *f* i *g* bliže beskonačnosti. l'Hôpitalovo pravilo tvrdi da tu graničnu vrijednost možemo naći računajući limes razlomka f'/g' \ , ali naravno samo ako ovaj postoji, i uz uslov da je *g*&prime; različito od nule u nekom intervalu koji sadrži tačku koja se posmatra. Ova diferencijacija može pojednostaviti razlomak ili ga pretvoriti u određeni oblik, što olakšava nalaženje limesa.

'''l'Hôpitalovo pravilo.'*
:*Neka je \mathbb{R}^*=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}. Neka je c \in \mathbb{R}^* i neka su f i g dvije funkcije diferencijabilne na nekom otvorenom intervalu* (*a*, *b*) *koji sadrži c (dakle sa b=\infty ako c=\infty ili sa a=-\infty ako c=-\infty), izuzev, mogućno, u samoj tački *c*, i takve da je
::\lim_{x\to c}{f(x)} = \lim_{x\to c}g(x) = 0&nbsp;&nbsp;ili&nbsp;&nbsp;\lim_{x\to c} = \lim_{x\to c} = +\infty
:i da je g'(x) \neq 0 za svako x\in(a,b), x\ne c.*

:*Tada, ako postoji granična vrijednost''
::\lim_{x\to c}{f'(x) \over g'(x)} = A,&nbsp;&nbsp;A \in \mathbb{R}^*
:*onda je i*
::\lim_{x\to c}{f(x)\over g(x)}=A.

l'Hôpitalovo pravilo važi i za jednostrane limese.

Osnovni neodređeni oblici na koje se Lopitalovo pravilo odnosi su:
:{0\over 0}\qquad {\infty\over\infty}
Ostali neodređeni oblici, koji se svi mogu svesti na osnovne (pogledajte primjere) su
:{\infty\qquad 0\cdot\infty\qquad 0^0\qquad\infty - \infty\qquad}

#### Važnost uslova teoreme 
Važno je imati u vidu uslov da je neophodno da limes \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} postoji. Diferencijacija brojnika i nazivnika može ove oblike da dovede do limesa koji ne postoje. U tim slučajevima, Lopitalovo pravilo se ne može primenjivati i ostavlja pitanje postojanja i vrijednosti eventualne granične vrijednosti potpuno otvorenim. Naprimjer, ako f(x)=x+\sin(x) i g(x)=x, onda

:\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}(1+\cos(x))

ne postoji, dok je

:\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1.

U praksi se pravilo često koristi, i ako limes postoji, donosi se zaključak da je primjena l'Hôpitalovog pravila bila legitimna.

Također postoji uslov da izvod od *g* ne nestane kroz cijeli interval koji sadrži tačku *c*. Bez takve hipoteze, zaključak je pogrešan. Stoga se l'Hôpitalovo pravilo ne može koristiti, recimo, ni u slučajevima gdje prvi izvod nazivnika izrazito osciluje (mijenjajući pri tome znak) blizu tačke gdje se traži limes. Naprimjer ako f(x)=x+\cos(x)\sin(x) i g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x)), tada

:

dok

:\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^{\sin(x)}}

ne postoji, jer \frac{1}{e^{\sin(x)}} fluktuira između *e*−1 i *e*.

Jasno, l'Hôpitalovo pravilo se ne može primjenjivati za nalaženje neodređenih graničnih vrijednosti kod kojih nisu ni brojnik ni nazivnik diferencijabilne funkcije.

## Primjeri 
* Slijedi primjer koji se tiče *sinc* funkcije, koja ima oblik 0/0 :

:

:Ovaj limes se zapravo može vidjeti kao definicija izvoda od sin(*x*) u *x* = 0. Zapravo, on je neophodan u najčešćem dokazu da je izvod od sin(*x*) jednak cos(*x*), ali se u tom dokazu ne može koristiti l'Hôpitalovo pravilo, jer bi tako došlo do kružnog argumenta. Pogledajte dio Logička cirkularnost.

* Slijedi detaljniji primjer koji uključuje neodređeni oblik 0/0. Jednokratna primjena pravila za rezultat opet ima neodređeni oblik. U ovom slučaju, limes se može dobiti trostrukom primjenom l'Hôpitalovog pravila:

:

* Slijedi još jedan slučaj za oblik 0/0**:**

::\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2}
=\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x}
=\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}

* Ovdje je slučaj &infin;/&infin;**:**

::
  \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\ 1/(2 \sqrt{x}\,)\ }{1/x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty

* Ovaj slučaj se tiče oblika &infin;/&infin;. Neka je *n* prirodan broj.

::\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{x^n \over e^x}
=\lim_{x\to\infty}{nx^{n-1} \over e^x}
=n\lim_{x\to\infty}{x^{n-1} \over e^x}

:Ponavljati gornje sve dok eksponent ne postane 0. Tada se dobije da je limes 0. Ova granična vrijednost nam govori da sve stepene funkcije rastu (divergiraju beskonačnosti) sporije od eksponencijalne.

* Ovaj primjer se, također, tiče oblika &infin;/&infin;**:**

::\lim_{x\to 0+} x\ln x=\lim_{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}
=\lim_{x\to 0+}{1/x \over -1/x^2}
=\lim_{x\to 0+} -x = 0

* Prethodni rezultat se može koristiti kod neodređenog oblika 0^0: Kako bi izračunali \lim_{x\to 0+} x^x, zapisujemo x^x  kao  e^{x \ln x} i dobijamo 
:: \lim_{x\to 0+} x^x  = e^{\lim_{x\to 0+} (x  \ln x )} = e^0 = 1.
* Ovo je impulsni odgovor izdignuto-kosinusnog filtera u elektronici**:**

:

:

## Dokazi l'Hôpitalovog pravila 
Najčešći dokaz l'Hôpitalovog pravila koristi Cauchyjev teorem o srednjoj vrijednosti. Potrebno je zasebno razmotriti četiri slučaja, već prema tome da li je c\in{\mathbb R} ili c\in\{\pm\infty\}, te da li je A\in{\mathbb R} ili A\in\{\pm\infty\}. Ova razmatranja se razlikuju u detaljima, ali prate slične osnovne ideje; ovde su obrađeni slučajevi kada je *c* konačno.

### Kod neodređenog oblika 0 kroz 0 
Neka f(x) \to 0, g(x) \to 0. Ako predefinišemo funkcije *f* i *g* u tački *c* tako da je f(c)=g(c)=0, one će biti neprekidne na zatvorenom intervalu [c, b] i diferencijabilne na (c, b). Ovo ne mijenja limes, jer limes (po definiciji) ne zavisi od vrijednosti u datoj tački.

Ovako predefinisane funkcije *f* i *g* zadovoljavaju uslove Cauchyjevog teorema o srednjoj vrijednosti, prema kojoj postoji tačka \xi u  c  takva da:

:
  \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} 
= \frac{f(c + h) - f(c)}{g(c + h) - g(c)}

Kako f(c) = g(c) = 0,

: \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(c + h)}{g(c + h)}

Kada h \to 0, imamo \xi \to c i stoga

:
\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
= \lim_{\xi\to c}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
= \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)}{g(c+h)} 
= \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}

### Kod neodređenog oblika beskonačno kroz beskonačno 
Slučaj kada je |g(x)| \to +\infty se razmatra slično. Neka je  c . Tada, prema Cauchyjevom teoremu o srednjoj vrijednosti, postoji x takvo da je

:
\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}

Zapisujemo ovo u obliku

:
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(y)}{g(x)} + \left [ 1 - \frac{g(y)}{g(x)} \right ] \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
,

a zatim pokazujemo da vrijednosti *f*(*x*)/*g*(*x*) teže ka *A* puštajući limes kada x \to c i h \to 0. Naime, ako je *h*&nbsp;>&nbsp;0 fiksirano, ali pritom podesno malo, kada x\to c, biće f(y)/g(x)\to 0 i g(y)/g(x)\to 0, kao i c i stoga f'(\xi)/g'(\xi) po želji blisko *A*. Puštajući, potom, limes kada h \to 0 slijedi f(x)/g(x)\to A. Ovo rezonovanje se najlakše može formalizovati korištenjem gornjeg i donjeg limesa.

## Ostale primjene 
Mnogi drugi neodređeni oblici, poput 1^\infty, \infty^0, i \infty-\infty mogu biti izračunati pomoću Lopitalovog pravila.

Na primjer, u slučaju \infty-\infty, razlika dve funkcije se pretvara u razlomak:

:
  \lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x^2 - x}
= \lim_{x \to \infty} \frac{ \left(x + \sqrt{x^2 - x}\right)
                             \left(x - \sqrt{x^2 - x}\right) }
                           { x + \sqrt{x^2 - x} } 
\quad

::::
= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - (x^2 - x)}{x + \sqrt{x^2 - x}}
\quad

::::
= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + \sqrt{x^2 - x}}
\quad

::::
= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2x - 1}{2 \sqrt{x^2 - x}}}
= \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}
\quad
Pravilo se može korititi i na neodređenim oblicima koji uključuju eksponente, korištenjem logaritama da se "spusti eksponent" (jedno od logaritamskih pravila).

## Druge metode računanja limesa 
Mada je l'Hôpitalovo pravilo moćno oruđe za računanje inače teško izračunljivih limesa, ono nije uvijek najlakši način. Neke limese je lakše računati korištenjem razvoja u Taylorov red.

Na primjer,
:
  \lim_{|x| \to \infty} x \sin {1 \over x}
= \lim_{|x| \to \infty} x
    \left( {1 \over x} - {1 \over x^3 \cdot 3!}
         + {1 \over x^5 \cdot 5!} - \cdots \right) 
\;

::::
= \lim_{|x| \to \infty} 1 - {1 \over x^2 \cdot 3!}
                        + {1 \over x^4 \cdot 5!} - \cdots\; =\; 1
\quad
Da upotrebimo l'Hôpitalovo pravilo, graničnu vrijednost ovog razlomka možemo zapisati kao:
:
 \lim_{|x| \to \infty}\ {\sin {1 \over x} \over {1 \over x}}
,
te primjenom l'Hôpitalovog pravila, dobijamo:
:
 L = \lim_{|x| \to \infty}\ {{\cos {1 \over x} \cdot  {-1 \over x^2}}\over {-1 \over x^2}}
::
= \lim_{|x| \to \infty} {\cos{1 \over x}} \cdot {-1 \over x^2} \cdot {x^2 \over -1}

::
= \cos{1 \over \infty} = \cos{\ 0} = 1

## Logička cirkularnost 
U nekim slučajevima, korištenje l'Hôpitalovog pravila može da dovede do kružnog zaključivanja, pri računanju limesa kao što su

:\lim_{h\to 0}{(x+h)^n-x^n \over h}.

Ako se izračunata vrijednost gornjeg limesa koristi u svrhu *dokazivanja* da

:{d \over dx} x^n=nx^{n-1}\,,

a l'Hôpitalovo pravilo i činjenica da

:{d \over dx} x^n=nx^{n-1}\,

u izračunavanju limesa, argument koristi očekivani rezultat da dokaže samog sebe, i stoga je pogrešan (čak iako se ispostavi da je zaključak dokaza ipak tačan).

## Vanjski linkovi
* l'Hôpitalovo pravilo na *Mathworld*
* l'Hôpitalovo pravilo na *planetmath* 

## Reference 
* *C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62*, raspravlja neobičan dogovor između Bernulija i Lopitala na stranicama 59-62.

Kategorija:Članci koji sadrže dokaz
Kategorija:Diferencijalni račun
Kategorija:Matematičke teoreme
Kategorija:Granične vrijednosti