Spisak integrala inverznih trigonometrijskih funkcija

Slijedi spisak integrala (antiderivacija funkcija) racionalnih funkcija za integrande koji sadrže inverzne trigonometrijske funkcije (poznate i kao “arc funkcije”). Za potpuni spisak integrala funkcija, pogledajte tabela integrala i spisak integrala.

Za rješavanje ovih integrala koriste se metoda supstitucije ili drugi oblici algebarskih manipulacija kako bi se dosegli integrali izlistani u tablici.

*Napomena: Postoje tri uobičajene notacije za inverzne trigonometrijske funkcije. Arkus sinus funkcija bi se, na primijer, mogla zapisati kao *sin−1*, *asin*, ili kao što je korišteno u ovom članku, kao *arcsin*.*

## Arkus sinus 
:\int \arcsin \frac{x}{c} \  dx = x \arcsin \frac{x}{c} + \sqrt{c^2 - x^2}

:\int x \arcsin \frac{x}{c} \  dx = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{c^2}{4} \right) \arcsin \frac{x}{c} + \frac{x}{4} \sqrt{c^2 - x^2}

:\int x^2 \arcsin \frac{x}{c} \  dx = \frac{x^3}{3} \arcsin \frac{x}{c} + \frac{x^2 + 2c^2}{9} \sqrt{c^2 - x^2}

:\int x^n \arcsin x \  dx = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsin x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^2} - n x^{n - 1} \arcsin x}{n - 1} + n \int x^{n - 2} \arcsin x \  dx \right)

## Arkus kosinus 
:\int \arccos \frac{x}{c} \  dx = x \arccos \frac{x}{c} - \sqrt{c^2 - x^2}

:\int x \arccos \frac{x}{c} \  dx = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{c^2}{4} \right) \arccos \frac{x}{c} - \frac{x}{4} \sqrt{c^2 - x^2}

:\int x^2 \arccos \frac{x}{c} \  dx = \frac{x^3}{3} \arccos \frac{x}{c} - \frac{x^2 + 2c^2}{9} \sqrt{c^2 - x^2}

## Arkus tangens 
:\int \arctan\left( \frac{x}{c}\right) dx = x \arctan \left( \frac{x}{c} \right) - \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2) 

:\int x \arctan\left( \frac{x}{c}\right) dx = \frac{ (c^2 + x^2) \arctan \big( \frac{x}{c} \big) - c x}{2} 

:\int x^2 \arctan\left( \frac{x}{c}\right) dx = \frac{x^3}{3} \arctan \left(\frac{x}{c}\right) - \frac{c x^2}{6} + \frac{c^3}{6} \ln{c^2 + x^2}

:\int x^n \arctan \left( \frac{x}{c}\right)  dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \arctan \left( \frac{x}{c} \right) - \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \  dx, \quad n \neq 1

## Arkus sekans 
:\int \arcsec \frac{x}{c} \  dx = x \arcsec \frac{x}{c} + \frac{x}{c |x|} \ln \left| x \pm \sqrt{x^2 - 1} \right|

:\int x \arcsec x \  dx = \frac{1}{2} \left( x^2 \arcsec x - \sqrt{x^2 - 1} \right)

:\int x^n \arcsec x \  dx = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsec x - \frac{1}{n} \left[ x^{n - 1} \sqrt{x^2 - 1} + (1 - n) \left( x^{n - 1} \arcsec x + (1 - n) \int x^{n - 2} \arcsec x \  dx \right) \right] \right)

## Arkus kotangens 
:\int \arccot \frac{x}{c} \  dx = x \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2)

:\int x \arccot \frac{x}{c} \  dx = \frac{c^2 + x^2}{2} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x}{2}

:\int x^2 \arccot \frac{x}{c} \  dx = \frac{x^3}{3} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x^2}{6} - \frac{c^3}{6} \ln(c^2 + x^2)

:\int x^n \arccot \frac{x}{c} \  dx = \frac{x^{n + 1}}{n+1} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \  dx, \quad n \neq 1

## Arkus kosekans 
:\int \arccsc \frac{x}{c} \  dx = x \arccsc \frac{x}{c} + {c} \ln\left(\frac{x}{c}\left(\sqrt{1-\frac{c^2}{x^2}} + 1\right)\right)

:\int x \arccsc \frac{x}{c} \  dx = \frac{x^2}{2} \arccsc \frac{x}{c} + \frac{cx}{2} \sqrt{1-\frac{c^2}{x^2}}

Inverzne trigonometrijske funkcije