Matematički model

**Matematički model** je apstraktni i konkretni opis konkretnog sistema koji koristi matematičke koncepte i jezik matematike. Proces razvoja matematičkog modela naziva se ***matematičko modeliranje***. Matematički modeli se koriste u mnogim oblastima, uključujući primijenjenu matematiku, prirodne i društvene nauke. i inženjering. Posebno, područje operacijskih istraživanja proučava upotrebu matematičkog modeliranja i srodnih alata za rješavanje problema u poslovnim ili vojnim operacijama. Model može pomoći u karakterizaciji sistema proučavanjem efekata različitih komponenti, koje se mogu koristiti za predviđanje ponašanja ili rješavanje specifičnih problema.

## Elementi matematičkog modela
Matematički modeli mogu imati mnogo oblika, uključujući dinamičke sisteme, statističke modele, diferencijalne jednačine ili modele teorije igara. Ovi i drugi tipovi modela mogu se preklapati, pri čemu dati model uključuje različite apstraktne strukture. U mnogim slučajevima, kvalitet naučnog područja zavisi od toga koliko se dobro matematički modeli razvijeni na teorijskoj strani slažu s rezultatima ponovljivih eksperimenata. Nedostatak slaganja između teorijskih matematičkih modela i eksperimentalnih mjerenja često dovodi do važnog napretka kako se razvijaju bolje teorije. U fizičkim naukama, tradicijski matematički model sadrži većinu sljedećih elemenata:
# Vodeća jednačina
# Dopunski podmodeli
## Definirajuće jednačine
## Konstitutivna jednačine
# Pretpostavke i ograničenja
## Inicijalni i granični uslov
## Klasična ograničenja i kinematičke jednačine

## Klasifikacije
Matematički modeli su različitih tipova:
### Linearno vs. nelinearno 
Ako svi operatori u matematičkom modelu pokazuju linearnost, rezultirajući matematički model se definiše kao linearan. Svi ostali modeli se smatraju nelinearnim. Definicija linearnosti i nelinearnosti zavisi od konteksta, a linearni modeli mogu imati nelinearne izraze u sebi. Na primjer, u statističkom linearnom modelu, pretpostavlja se da je odnos linearan u parametrima, ali može biti nelinearan u prediktorskim varijablama. Slično tome, diferencijalna jednačina se naziva linearnom ako se može napisati linearnim diferencijalnim operatorima, ali i dalje može imati nelinearne izraze u sebi. U matematičkom programiranju modelu, ako su objektivne funkcije i ograničenja u potpunosti predstavljeni linearnim jednačinama, tada se model smatra linearnim modelom. Ako je jedna ili više objektivnih funkcija ili ograničenja predstavljena nelinearnom jednačinom, tada se model naziva nelinearnim modelom.

Linearna struktura podrazumijeva da se problem može rastaviti na jednostavnije dijelove koji se mogu tretirati nezavisno ili analizirati na različitoj skali, te da će stoga rezultati ostati validni ako se početni dio prekomponuje ili preskalira.

Nelinearnost, čak i u prilično jednostavnim sistemima, često se povezuje s fenomenima kao što su haos i ireverzibilnost. Iako postoje izuzeci, nelinearni sistemi i modeli imaju tendenciju da budu teži za proučavanje od linearnih. Uobičajeni pristup nelinearnim problemima je linearizacija, ali to može biti problematično ako se pokušavaju proučavati aspekti poput ireverzibilnosti, koji su snažno povezani s nelinearnošću.

### Statički vs. dinamički 
„Dinamički“ model uzima u obzir vremenski zavisne promjene u stanju sistema, dok „statički“ (ili stacionarni) model izračunava sistem u ravnoteži i stoga je vremenski nepromjenjiv. Dinamički modeli su obično predstavljeni diferencijalnim jednačinama ili diferencijalnim jednačinama.

### Eksplicitno vs. implicitno 
Ako su svi ulazni parametri cjelokupnog modela poznati, a izlazni parametri se mogu izračunati konačnim nizom proračuna, model se naziva *eksplicitnim*. Ali ponekad su poznati *izlazni* parametri, a odgovarajući ulazi se moraju riješiti iterativnim postupkom, kao što je Newtonov metod ili Broydenov metod. U takvom slučaju, model se naziva *implicitnim*. Naprimjer, fizička svojstva mlaznog motora, kao što su površine grla turbine i mlaznice, mogu se eksplicitno izračunati na osnovu projektnog termodinamičkog ciklusa (protok zraka i goriva, pritisci i temperature) pri određenim uvjetima leta i postavkama snage, ali radni ciklusi motora pri drugim uvjetima leta i postavkama snage ne mogu se eksplicitno izračunati iz konstantnih fizičkih svojstava.

### Diskretno vs. kontinuirano 
### Deterministički vs. probabilistički (stohastički) 
Model deterministički je onaj u kojem je svaki skup varijabilnih stanja jedinstveno određen parametrima u modelu i skupovima prethodnih stanja tih varijabli; stoga, deterministički model uvijek funkcionira na isti način za dati skup početnih uvjeta. Obrnuto, u stohastičkom modelu - obično nazvanom "statistički model" - prisutna je slučajnost, a varijabilna stanja nisu opisana jedinstvenim vrijednostima, već distribucijama vjerovatnoća.

### Deduktivni, induktivni ili plutajući 
Deduktivni model je logička struktura zasnovana na teoriji. Induktivni model proizlazi iz empirijskih nalaza i generalizacije iz njih. Ako model ne počiva ni na teoriji ni na posmatranju, može se opisati kao 'plutajući' model. Primjena matematike u društvenim naukama izvan ekonomije kritikovana je zbog neutemeljenih modela. Primjena teorije katastrofa u nauci okarakterisana je kao plutajući model.

### Strategijski vs. nestrategijski 
Modeli korišteni u teoriji igara razlikuju se po tome što modeliraju agente s nekompatibilnim podsticajima, kao što su konkurentske vrste ili ponuđači na aukciji. Strateški modeli pretpostavljaju da su igrači autonomni donosioci odluka koji racionalno biraju akcije koje maksimiziraju njihovu objektivnu funkciju. Ključni izazov korištenja strateških modela je definiranje i izračunavanje koncepta rješenja kao što je Nashova ravnoteža. Zanimljivo svojstvo strateških modela je da oni odvajaju rasuđivanje o pravilima igre od rasuđivanja o ponašanju igrača.

## Konstrukcija
U poslovanju i inženjerstvu, matematički modeli se mogu koristiti za maksimiziranje određenog izlaza. Razmatrani sistem će zahtijevati određene ulaze. Sistem koji povezuje ulaze s izlazima zavisi i od drugih varijabli: varijable odlučivanja, varijable stanja, egzogene varijable i slučajne varijable. Varijable odlučivanja se ponekad nazivaju nezavisnim varijablama. Egzogene varijable se ponekad nazivaju parametri ili konstante. Varijable nisu nezavisne jedna od druge jer varijable stanja zavise od varijable odluke, ulaza, slučajnih i egzogenih varijabli. Nadalje, izlazne varijable zavise od stanja sistema (predstavljenog varijablama stanja).

Ciljevi i ograničenja sistema i njegovih korisnika mogu se predstaviti kao funkcije izlaznih varijabli ili varijabli stanja. Ciljne funkcije će zavisiti od perspektive korisnika modela. U zavisnosti od konteksta, ciljna funkcija je poznata i kao *indeks performansi*, jer je neka mjera od interesa za korisnika. Iako ne postoji ograničenje broja ciljnih funkcija i ograničenja koje model može imati, korištenje ili optimizacija modela postaje složenije (računarski) kako se broj povećava. Naprimjer, ekonomisti često primjenjuju linearnu algebru kada koriste modele ulaz-izlaz. Složeni matematički modeli koji imaju mnogo varijabli mogu se konsolidovati korištenjem vektorskog prostora gdje jedan simbol predstavlja nekoliko varijabli.

### *A priori* informacije
[thumb|480px| Da bi se nešto analiziralo tipičnim "pristupom crne kutije", uzeće se u obzir samo ponašanje stimulusa/odgovora, kako bi se zaključilo o (nepoznatoj) "kutiji". Uobičajeni prikaz ovog "sistema crne kutije" je [dijagram toka podataka centriran u kutiji.]]

Problemi matematičkog modeliranja često se klasifikuju u modele crne kutije ili bijele kutije, prema tome koliko je apriori informacija o sistemu dostupno. Model crne kutije je sistem o kojem nema dostupnih apriori informacija. Model bijele kutije (također se naziva staklena kutija ili prozirna kutija) je sistem u kojem su dostupne sve potrebne informacije. Praktično svi sistemi se nalaze negdje između modela crne i bijele kutije, tako da je ovaj koncept koristan samo kao intuitivni vodič za odlučivanje koji pristup primijeniti.

Obično je poželjno koristiti što više apriori informacija kako bi model bio precizniji. Stoga se modeli bijele kutije obično smatraju jednostavnijima, jer ako ste ispravno koristili informacije, onda će se model ispravno ponašati. Često a priori informacije dolaze u obliku poznavanja vrste funkcija koje povezuju različite varijable. Na primjer, ako napravimo model kako lijek djeluje u ljudskom sistemu, znamo da je obično količina lijeka u krvi eksponencijalno opadajuća funkcija, ali i dalje nam ostaje nekoliko nepoznatih parametara; koliko brzo se količina lijeka smanjuje i koja je početna količina lijeka u krvi? Ovaj primjer stoga nije potpuno model bijele kutije. Ove parametre treba procijeniti na neki način prije nego što se model može koristiti.

U modelima crne kutije pokušava se procijeniti i funkcionalni oblik odnosa između varijabli i numerički parametri u tim funkcijama. Koristeći a priori informacije mogli bismo završiti, na primjer, sa skupom funkcija koje bi vjerovatno mogle adekvatno opisati sistem. Ako nema a priori informacija, pokušali bismo koristiti funkcije što je moguće općenitije kako bismo pokrili sve različite modele. Često korišten pristup za modele crne kutije su neuronske mreže koje obično ne prave pretpostavke o ulaznim podacima. Alternativno, NARMAX (nelinearni autoregresivni model pokretnog prosjeka sa eXogenim ulazima) algoritmi koji su razvijeni kao dio nelinearne identifikacije sistema može se koristiti za odabir članova modela, određivanje strukture modela i procjenu nepoznatih parametara u prisustvu koreliranog i nelinearnog šuma. Prednost NARMAX modela u poređenju sa neuronskim mrežama je u tome što NARMAX proizvodi modele koji se mogu zapisati i povezati sa osnovnim procesom, dok neuronske mreže proizvode aproksimaciju koja je neprozirna.

#### Subjektivne informacije
Ponekad je korisno uključiti subjektivne informacije u matematički model. To se može učiniti na osnovu intuicije, iskustva ili stručnog mišljenja, ili na osnovu pogodnosti matematičkog oblika. Bayesova statistika pruža teorijski okvir za uključivanje takve subjektivnosti u rigoroznu analizu: specificiramo apriornu raspodjelu vjerovatnoće (koja može biti subjektivna), a zatim ažuriramo ovu raspodjelu na osnovu empirijskih podataka.

Primjer kada bi takav pristup bio potreban je situacija u kojoj eksperimentator lagano savije novčić i baci ga jednom, bilježeći da li padne glava, a zatim mu se da zadatak da predvidi vjerovatnoću da će sljedeće bacanje pasti glava. Nakon savijanja novčića, stvarna vjerovatnoća da će novčić pasti glava je nepoznata; tako da bi eksperimentator morao donijeti odluku (možda gledajući oblik novčića) o tome koju prethodnu distribuciju će koristiti. Uključivanje takvih subjektivnih informacija može biti važno za dobijanje tačne procjene vjerovatnoće.

### Složenost
Općenito, složenost modela uključuje kompromis između jednostavnosti i tačnosti modela. Occamova britva je princip posebno relevantan za modeliranje, a njegova osnovna ideja je da je među modelima sa približno jednakom prediktivnom moći, najjednostavniji najpoželjniji. Dok dodata složenost obično poboljšava realizam modela, ona može učiniti model teškim za razumijevanje i analizu, a može predstavljati i računske probleme, uključujući numeričku nestabilnost. Thomas Kuhn tvrdi da kako nauka napreduje, objašnjenja imaju tendenciju da postanu složenija prije nego što promjena paradigme ponudi radikalno pojednostavljenje.

Na primjer, prilikom modeliranja leta aviona, mogli bismo ugraditi svaki mehanički dio aviona u naš model i tako bismo dobili gotovo model bijele kutije sistema. Međutim, računski troškovi dodavanja tako velike količine detalja efektivno bi spriječili korištenje takvog modela. Osim toga, nesigurnost bi se povećala zbog previše složenog sistema, jer svaki zasebni dio unosi određenu količinu varijanse u model. Stoga je obično prikladno napraviti neke aproksimacije kako bi se model sveo na razumnu veličinu. Inženjeri često mogu prihvatiti neke aproksimacije kako bi dobili robusniji i jednostavniji model. Na primjer, Newtonova klasična mehanika je aproksimirani model stvarnog svijeta. Ipak, Newtonov model je sasvim dovoljan za većinu običnih životnih situacija, odnosno sve dok su brzine čestica znatno ispod brzine svjetlosti, a proučavamo samo makročestice. Imajte na umu da bolja tačnost ne znači nužno i bolji model. Statistički modeli su skloni pretjeranom prilagođavanju, što znači da se model previše prilagođava podacima i izgubio je sposobnost generalizacije na nove događaje koji ranije nisu uočeni.

### Trening, podešavanje i prilagođavanje
Svaki model koji nije čisto bijela kutija sadrži neke parametre koji se mogu koristiti za prilagođavanje modela sistemu koji treba opisati. Ako se modeliranje vrši pomoću umjetne neuronske mreže ili drugog mašinskog učenja, optimizacija parametara se naziva *trening*, dok se optimizacija hiperparametara modela naziva *podešavanje* i često koristi unakrsnu validaciju. U konvencionalnijem modeliranju putem eksplicitno datih matematičkih funkcija, parametri se često određuju *prilagođavanjem krivulje.

### Evaluacija i procjena
Ključni dio procesa modeliranja je procjena da li dati matematički model tačno opisuje sistem. Na ovo pitanje može biti teško odgovoriti jer uključuje nekoliko različitih vrsta evaluacije.

#### Predviđanje empirijskih podataka
Obično je najlakši dio evaluacije modela provjera da li model predviđa eksperimentalna mjerenja ili druge empirijske podatke koji nisu korišteni u razvoju modela. U modelima s parametrima, uobičajeni pristup je podjela podataka u dva disjunktna podskupa: podatke za obuku i podatke za verifikaciju. Podaci za obuku se koriste za procjenu parametara modela. Tačan model će se blisko podudarati s podacima za verifikaciju čak i ako ovi podaci nisu korišteni za postavljanje parametara modela. Ova praksa se u statistici naziva unakrsna validacija.

Definiranje metrike za mjerenje udaljenosti između opaženih i predviđenih podataka koristan je alat za procjenu prikladnosti modela. U statistici, teoriji odlučivanja i nekim ekonomskim modelima, funkcija gubitka igra sličnu ulogu. Iako je prilično jednostavno testirati prikladnost parametara, može biti teže testirati validnost općeg matematičkog oblika modela. Općenito, razvijeno je više matematičkih alata za testiranje prikladnosti statističkih modela nego modela koji uključuju diferencijalne jednačine. Alati iz neparametrijske statistike ponekad se mogu koristiti za procjenu koliko dobro podaci odgovaraju poznatoj distribuciji ili za dobijanje općeg modela koji pravi samo minimalne pretpostavke o matematičkom obliku modela.

#### Opseg modela
Procjena opsega modela, odnosno određivanje na koje situacije je model primjenjiv, može biti manje jednostavna. Ako je model konstruisan na osnovu skupa podataka, mora se utvrditi za koje sisteme ili situacije poznati podaci predstavljaju "tipičan" skup podataka. Pitanje da li model dobro opisuje svojstva sistema između tačaka podataka naziva se interpolacija, a isto pitanje za događaje ili tačke podataka izvan posmatranih podataka naziva se ekstrapolacija.
Kao primjer tipskih ograničenja opsega modela, prilikom procjene Newtonove klasične mehanike, možemo primijetiti da je Newton vršio svoja mjerenja bez napredne opreme, tako da nije mogao mjeriti svojstva čestica koje putuju brzinama bliskim brzini svjetlosti. Isto tako, nije mjerio kretanje molekula i drugih malih čestica, već samo makročestica. Stoga ne čudi da njegov model ne ekstrapolira dobro u ove domene, iako je njegov model sasvim dovoljan za običnu fiziku života.

#### Filozofska razmatranja
Mnoge vrste modeliranja implicitno uključuju tvrdnje o uzročnosti. Ovo je obično (ali ne uvijek) tačno za modele koji uključuju diferencijalne jednačine. Budući da je svrha modeliranja proširiti naše razumijevanje svijeta, validnost modela ne počiva samo na njegovoj usklađenosti s empirijskim zapažanjima, već i na njegovoj sposobnosti ekstrapolacije na situacije ili podatke izvan onih koji su prvobitno opisani u modelu. Ovo se može smatrati razlikovanjem između kvalitativnih i kvantitativnih predviđanja. Također se može tvrditi da je model bezvrijedan osim ako ne pruža uvid koji nadilazi ono što je već poznato iz direktnog istraživanja fenomena koji se proučava.

Primjer takve kritike je argument da matematički modeli teorije optimalnog traženja hrane ne nude uvid koji nadilazi zaključke zdravog razuma evolucije i drugih osnovnih principa ekologije. Također treba napomenuti da, iako matematičko modeliranje koristi matematičke koncepte i jezik, ono samo po sebi nije grana matematike i ne mora nužno biti u skladu s bilo kojom matematičkom logikom, već je obično grana neke nauke ili druge tehničke oblasti, s odgovarajućim konceptima i standardima argumentacije.

## Značaj u prirodnim naukama
Matematički modeli su od velikog značaja u prirodnim naukama, posebno u fizici. Fizička teorija se gotovo uvijek izražava pomoću matematičkih modela. Kroz historiju, razvijani su sve precizniji matematički modeli. Newtonovi zakoni kretanja precizno opisuju mnoge svakodnevne pojave, ali u određenim granicama moraju se koristiti teorija relativnosti i kvantna mehanika.

Uobičajeno je koristiti idealizirane modele u fizici radi pojednostavljenja stvari. Užad bez mase, tačkaste čestice, idealni gasovi i čestica u kutiji su među mnogim pojednostavljenim modelima koji se koriste u fizici. Zakoni fizike predstavljeni su jednostavnim jednačinama kao što su Newtonovi zakoni, Maxwellove jednačine i Schrödingerova jednačina. Ovi zakoni su osnova za izradu matematičkih modela stvarnih situacija. Mnoge stvarne situacije su vrlo složene i stoga se modeliraju približno na računaru. Model koji je računski izvodljiv za izračunavanje napravljen je od osnovnih zakona ili od približnih modela napravljenih od osnovnih zakona. Na primjer, molekule se mogu modelirati pomoću molekularnih orbitalnih modela koji su približna rješenja Schrödingerove jednačine. U inženjerstvu, fizički modeli se često izrađuju matematičkim metodama kao što je analiza konačnih elemenata.

Različiti matematički modeli koriste različite geometrije koje nisu nužno tačni opisi geometrije svemira. Euklidska geometrija se mnogo koristi u klasičnoj fizici, dok su specijalna i opća teorija relativnosti primjeri teorija koje koriste geometrije koje nisu euklidske.

## Neke primjene
Često kada inženjeri analiziraju sistem koji treba kontrolisati ili optimizirati, koriste matematički model. U analizi, inženjeri mogu izgraditi deskriptivni model sistema kao hipotezu o tome kako bi sistem mogao funkcionirati ili pokušati procijeniti kako bi nepredvidivi događaj mogao utjecati na sistem. Slično tome, u kontroli sistema, inženjeri mogu isprobati različite pristupe kontroli u simulacijama.

Matematički model obično opisuje sistem pomoću skupa varijabli i skupa jednačina koje uspostavljaju odnose između varijabli. Varijable mogu biti mnogo vrsta; na primjer, realni brojevi ili cijeli brojevi, vrijednosti Booleovog tipa podataka ili stringovi. Varijable predstavljaju neka svojstva sistema, na primjer, izmjereni sistemski izlazi često su u obliku signala, hronometrije, podataka o vremenu, brojača i pojave događaja. Stvarni model je skup funkcija koje opisuju odnose između različitih varijabli.
## Primjeri
* Jedan od popularnih primjera u računarstvu su matematički modeli različitih mašina, primjer je deterministički konačni automat (DKA) koji je definiran kao apstraktni matematički koncept, ali zbog determinističke prirode DKA, implementiran je u hardveru i softveru za rješavanje različitih specifičnih problema. Na primjer, sljedeći je DKA M s binarnom abecedom, koji zahtijeva da ulaz sadrži paran broj nula:
[right|thumb|250px| [Dijagram stanja za M]]
:: M = (Q, \Sigma, \delta, q_0, F) gdje
::*Q = \{S_1, S_2\},
::*\Sigma = \{0, 1\},
::*q_0 = S_1,
::*F = \{S_1\}, i
::*\delta je definirano sljedećom tabelom prijelaza stanja:
:::: 

:Stanje S_1 r predstavlja da je do sada u ulazu bio paran broj nula, dok S_2 označava neparan broj. 1 na ulazu ne mijenja stanje automata. Kada se ulaz završi, stanje će pokazati da li je ulaz sadržavao paran broj nula ili ne. Ako je ulaz sadržavao paran broj nula, M će završiti u stanju S_1, prihvatajuće stanje, tako da će ulazni niz biti prihvaćen.

:Jezik koji prepoznaje M je regularni jezik dat regularnim izrazom 1*( 0 (1*) 0 (1*) )*, gdje "*" je Kleeneova zvijezda, npr. 1* označava bilo koji nenegativan broj (moguće nula) simbola "1".
* Mnoge svakodnevne aktivnosti koje se obavljaju bez razmišljanja koriste matematičke modele. Geografska kartografska projekcija regije Zemlje na malu, ravnu površinu je model koji se može koristiti u mnoge svrhe, kao što je planiranje putovanja.
* Još jedna jednostavna aktivnost je predviđanje položaja vozila na osnovu njegovog početnog položaja, smjera i brzine kretanja, koristeći jednačinu da je pređena udaljenost proizvod vremena i brzine. Ovo je poznato kao računanje po udaljenosti kada se koristi formalnije. Matematičko modeliranje na ovaj način ne zahtijeva nužno formalnu matematiku; pokazalo se da  životinje koriste računanje po udaljenosti.
* *Rast populacija*. Jednostavan (iako približan) model rasta stanovništva je Maltuzijanski model rasta. Nešto realističniji i široko korišteni model rasta populacije je logistička funkcija i njena proširenja.
* *Model čestice u potencijalnom polju*. U ovom modelu česticu smatramo tačkom mase koja opisuje putanju u prostoru koja je modelirana funkcijom koja daje njene koordinate u prostoru kao funkciju vremena. Potencijalno polje je dato funkcijom V\! : \Reals^3\! \to \Reals i putanja, koja je funkcija \mathbf{r}\! : \Reals \to \Reals^3, je rješenje diferencijalne jednačine: -\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t^2}m = \frac{\partial V[\mathbf{r}(t)]}{\partial x}\mathbf{\hat{x}} + \frac{\partial V[\mathbf{r}(t)]}{\partial y}\mathbf{\hat{y}} + \frac{\partial V[\mathbf{r}(t)]}{\partial z}\mathbf{\hat{z}}, što se može napisati i kao m\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}(t)}{\mathrm{d}t^2} = -\nabla V[\mathbf{r}(t)].
: Treba napomenuti da ovaj model pretpostavlja da je čestica tačkasta masa, što je sigurno netačno u mnogim slučajevima u kojima koristimo ovaj model; naprimjer, kao model planetarnog kretanja.
* *Model racionalnog ponašanja za potrošača*. U ovom modelu pretpostavljamo da se potrošač suočava s izborom od n roba označenih 1, 2, \dots, n svaki sa tržišnom cijenom p_1, p_2, \dots, p_n. Pretpostavlja se da potrošač ima funkciju ordinalne korisnosti U (ordinalnu u smislu da je značajan samo znak razlike između dvije korisnosti, a ne nivo svake korisnosti), ovisno o količinama konzumiranih roba x_1, x_2, \dots, x_n. Model dalje pretpostavlja da potrošač ima budžet M koji se koristi za kupovinu vektora x_1, x_2, \dots, x_n na način koji maksimizira U(x_1, x_2, \dots, x_n).  Problem racionalnog ponašanja u ovom modelu tada postaje problem matematičke optimizacije, tj.: \max \, U(x_1, x_2,\ldots, x_n) podložno: \sum_{i=1}^n p_i x_i \leq M,x_i \geq 0  \; \; \; \text{ for all } i = 1, 2, \dots, n. Ovaj model je korišten u širokom spektru ekonomskih konteksta, kao što je u teoriji opće ravnoteže kako bi se pokazalo postojanje i Pareto efikasnost ekonomskih ravnoteža.
* *Model detekcije susjeda* je model koji objašnjava formiranje gljiva iz početno haotične gljivične mreže.
* U računarstvu, matematički modeli se mogu koristiti za simulaciju računarskih mreža.
* U mehanici, matematički modeli se mogu koristiti za analizu kretanja modela rakete.

## Također pogledajte
* Model zasnovan na agentima
* Svi modeli su pogrešni
* Kliodinamika
* Kompjuterska simulacija
* Konceptualni model
* Inženjering odlučivanja
* Model sive kutije
* Međunarodni izazov matematičkog modeliranja
* Matematička biologija
* Matematički dijagram
* Matematička ekonomija
* Matematičko modeliranje zaraznih bolesti
* Matematičke finansije
* Matematička psihologija
* Matematička sociologija
* Mikroskal i makroskal modeli
* Inverzija modela
* Otpornost (matematika)
* Naučni model
* Analiza osjetljivosti
* Sferna krava
* Statistički model
* Surogat model
* Identifikacija sistema

## Reference
## Dodatna literatura 
### Knjige
* Aris, Rutherford [ 1978 ] ( 1994 ). *Mathematical Modelling Techniques*, New York: Dover. 
* Bender, E.A. [ 1978 ] ( 2000 ). *An Introduction to Mathematical Modeling*, New York: Dover. 
* Gary Chartrand (1977) *Graphs as Mathematical Models*, Prindle, Webber & Schmidt 
* Dubois, G. (2018) "Modeling and Simulation", Taylor & Francis, CRC Press.
* Gershenfeld, N. (1998) *The Nature of Mathematical Modeling*, Cambridge University Press  .
* Lin, C.C. & Segel, L.A. ( 1988 ). *Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences*, Philadelphia: SIAM. 
* *Models as Mediators: Perspectives on Natural and Social Science* edited by Mary S. Morgan and Margaret Morrison, 1999.
* Mary S. Morgan* The World in the Model: How Economists Work and Think*, 2012.

### Specifične aplikacije
* Papadimitriou, Fivos. (2010). Mathematical Modelling of Spatial-Ecological Complex Systems: an Evaluation. Geography, Environment, Sustainability 1(3), 67–80. 
* 
* *An Introduction to Infectious Disease Modelling * by Emilia Vynnycky and Richard G White.

## Vanjski linkovi 
;Opće reference
* Patrone, F. Introduction to modeling via differential equations, with critical remarks.
* Plus teacher and student package: Mathematical Modelling. Brings together all articles on mathematical modeling from *Plus Magazine'', the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge.

;Filozofske
* Frigg, R. and S. Hartmann, Models in Science, in: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, (Spring 2006 Edition)
* Griffiths, E. C. (2010) What is a model?

Kategorija:Primijenjena matematika
Kategorija:Matematika

Kategorija:Matematička terminologija
Kategorija:Konceptni modeli