Euklidski vektor

mini|desno|300px|Vektor AB
**Vektor** je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

**Vektorske veličine** su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u *n*-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa *n* parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...
## Definicija
Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih  duži.

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka A i B iz R^n. Tada je:

\overrightarrow{AB} = \left (B_1 - A_1, B_2 - A_2, \dots, B_n - A_n \right ), a
    \overrightarrow{BA} = \left (A_1 - B_1, A_2 - B_2, \dots, A_n - B_n \right )

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

\overrightarrow{AB} = A + ||AB|| \cdot \frac{\overrightarrow{AB}}

Ako ||AB|| zamjenimo sa \lambda koje može biti bilo koji broj iz \R definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku A a za vektor pravca ima vektor AB. Ako je \lambda samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački A.

Ako je ||AB||\ne  \lambda rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor AB' ovo znači da važi:

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{0}

## Označavanje
Vektori se  označavaju malim  podebljanim slovima kao  **a** i malim kosim i  podebljanim ***a***, Druge konvencije uključuju \vec {a}. Alternativno, neki koriste  (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr \underset{^\sim}a. Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao \overrightarrow {AB} ili *AB*.
Vektori se predstavljaju i grafički.

;Primjer
mini|desno|300px

vektor od koordinantnog početka O = (0,0) do tačke A = (2,3) je
a(2,3)

U trodimenzionalnom prostoru R^3 vektor se označava sa

\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)
ili
\mathbf{a} = (a_\text{x}, a_\text{y}, a_\text{z}).

U n-dimensionalnom  R^n prostoru

\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_{n-1}, a_n) 
Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

    \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix} = [ a_1\ a_2\ a_3 ]. 
Drugi način  predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih  baznih vektora
mini|desno|300px
{\mathbf e}_1 = (1,0,0),\ {\mathbf e}_2 = (0,1,0),\ {\mathbf e}_3 = (0,0,1).

odnosno

\mathbf{a} = (a_1,a_2,a_3) = a_1(1,0,0) + a_2(0,1,0) + a_3(0,0,1), \ 

ili

\mathbf{a} = \mathbf{a}_1 + \mathbf{a}_2 + \mathbf{a}_3 = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3.
## Dekartove koordinate
U Dekartovom  koordinatnom sistemu, vektor le određen  koordinatama početne i završne tačke.
;Primjer
Tačke A = (1,0,0) i B = (0,1,0) u prostoru određuju vektor \ overrightarrow {AB}(1,1,0)

## Nula-vektor 
**Nula-vektor** a_0 je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.

\overrightarrow{a_0} = \overrightarrow{0}, \;|\overrightarrow{a_0}| = 0

\overrightarrow{AA}= \overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}
 
## Jedinični vektor
**Jedinični vektor ili ort** je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor a može se odrediti odgovarajući jedinični vektor v istog pravca i smjera.

\overrightarrow{v} = \frac{\overrightarrow{a}}, \; \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor (1,0,0) je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku O(0,0,0).

## Intenzitet vektora
Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.

    \overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n
    |a| = \sqrt{{\sum_{k=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}
## Jednakost vektora
Dva vektora

{\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3

i

    {\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3

su jednaka ako važi

    a_1 = b_1,\quad a_2=b_2,\quad a_3=b_3

## Kolinearni i komplanarni vektori
Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su **kolinearni** , a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.,

## Projekcija vektora
Projekcija  vektora 
*Ortogonalna projekcija u ravni na pravu p je funkcija koja svakoj tački
A ravni pridružuje tačku u kojoj normala na p, koja prolazi
tačkom A, siječe  prava p. 
*Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu p je funkcija koja svakoj tački
A prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom A,a okomita je na p, siječe pravu p.http://www2.geof.unizg.hr/~jbeban/M1/04.pdf

## Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori 
Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

    {\mathbf a} = a_1{\mathbf e}_1 + a_2{\mathbf e}_2 + a_3{\mathbf e}_3

i

{\mathbf b} = b_1{\mathbf e}_1 + b_2{\mathbf e}_2 + b_3{\mathbf e}_3

su suprotna ako važi

a_1 = -b_1,\quad a_2=-b_2,\quad a_3=-b_3

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov

## Operacije nad vektorima 
Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

a = (a_1,a_2,a_3,...,a_n), a_i \in K, i = 1, ... ,n

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva K^n, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer a_1 je prva koordinata vektora, a_2 je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

### Intenzitet vektora 
Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.

\overrightarrow{a} = (a_1,a_2,...,a_n) \in K^n
|a| = \sqrt{{\sum_{i=1}^n {a_i}^2}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}

### Množenje vektora skalarom 
Množenje vektora \overrightarrow{a} \in K^n nekim skalarom \alpha \in K je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

\alpha \cdot \overrightarrow{a} = \alpha \cdot (a_1,a_2,a_3,...,a_n) = (\alpha \cdot a_1,\alpha \cdot a_2,...,\alpha \cdot a_n).

### Sabiranje vektora 
mini|200p|desno|Sabiranje vektora
mini|200p|desno|Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora a, b \in K^n\,:

\overrightarrow{a} = (a_1,...,a_n)
\overrightarrow{b} = (b_1, ... ,b_n)

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

+: (K^n,K^n) \rightarrow K^n\,
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}, 
c_i = a_i + b_i\,, gde je i=1,...,n\,

Pri čemu će vektor *c* biti iz prostora K^n\,. **Oduzimanje** vektora bi se vršilo po sličnom principu:

\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})

Pri čemu -\overrightarrow{b} = (-b_1,-b_2,...,-b_n).

### Skalarno množenje vektora 
Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz K^n u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora *a* i *b* iz K^n bi proizvod *k* izgledao ovako:

\cdot : (K^n,K^n) \rightarrow K
k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}, k \in K
k = \sum_{k=1}^n {a_i \cdot b_i}, gde je i=1,...,n

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

k = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |a|\cdot|b| \cdot \cos \omega,

pri čemu je \omega ugao između *a* i *b*.

Ovo zapravo znači i:

\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

### Vektorski proizvod 
Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore (E^3\,) je **vektorski proizvod**. Definiše se na sljedeći način:

\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} \in E^3
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \overrightarrow{i} (a_2 b_3-a_3 b_2) - \overrightarrow{j} (a_1 b_3-a_3 b_1) + \overrightarrow{k} (a_1 b_2 - a_2 b_1)= \begin{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Jer su \overrightarrow{i}=(1,0,0), \overrightarrow{j}=(0,1,0) i \overrightarrow{k}=(0,0,1) vektori kanonske baze E^3\,.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \bot \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |a||b|\sin \omega, gde je \omega ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =  - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}), tj. vektorski proizvod nije komutativan.
(\alpha \cdot \overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b} = \alpha (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}), gde je \alpha \in E. Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

### Mješoviti proizvod 
Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz E^3 preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa [\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]. A po definiciji je:

[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}] = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix},  \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} \in E^3

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:

* [x,y,z] = -[y,x,z]
* [x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]
* [\alpha x,y,z] = \alpha [x,y,z]
* [x+t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]

## Također pogledajte 
* Kompleksan broj
* Koordinatni sistem
* Površinska normala
* Vektorska analiza

## Reference
## Vanjski linkovi 
* Vector
* Introducing vectors
* Vektorrechnung fürs Abitur
* Vektoren 1
* POJAM VEKTORA

Kategorija:Kinematika
Kategorija:Apstraktna algebra
Kategorija:Vektorska analiza
Kategorija:Linearna algebra
Kategorija:Koncepti u fizici
Kategorija:Vektori
Kategorija:Analitička geometrija
Kategorija:Euklidska geometrija