Laplaceova transformacija

U matematici, **Laplaceova transformacija** jedna je od najpoznatijih i najšire korištenih integralnih transformacija. Koristi se za dobijanje jednostavno rješive algebarske jednačine iz obične diferencijalne jednačine. Ima mnogo primjena u matematici, fizici, optici, elektrotehnici, kontrolnom inženjerstvu, obradi signala te teoriji vjerovatnoće.

U matematici se koristi za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednačina, u fizici za analizu linearnih vremensko-invarijantnih sistema kao što su električne mreže, harmonijski oscilatori, optički instrumenti, te mehanički sistemi. U ovoj analizi Laplaceova transformacija često se interpretira kao transformacija iz *vremenskog domena*, gdje su unosi i rezultati funkcije koje zavise od vremena, u *frekventni domen*, gdje su isti unosi i rezultati funkcije koje zavise od kompleksne ugaone frekvencije, ili radijana po jedinici vremena. Za dati matematički ili funkcionalni opis unosa i rezultata u sistemu Laplaceova transformacija daje alternativni funkcionalni opis, koji često pojednostavljuje proces analiziranja ponašanja sistema ili pomaže da napišemo novi sistem baziran na određenim specifikacijama.

Oznake \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}, Laplaceova tranformacija je linearni operator funkcije *f*(*t*) (*original*) s realnim argumentom *t* (*t* ≥ 0) koju transformiše u funkciju *F*(*s*) (*slika*) s kompleksnim argumentom *s*. Ova transformacija, u suštini, bijektivna je za većinu od praktičnih upotreba. Laplaceova transformacija ima korisnu osobinu da mnoge relacije i operacije nad originalnima *f*(*t*) odgovaraju jednostavinjim relacijama i operacijama nad slikama *F*(*s*).

## Historija 
[mini|desno|Potret [Pierre-Simon Laplace|Pierre-Simona Laplacea iz 1842.]]
Laplaceova transformacije dobila je naziv u čast matematičara i astronoma Pierre-Simona Laplacea, koji ju je koristio u svojim radovima iz teorije vjerovatnoće.

Od 1744. Leonhard Euler istraživao je integrale oblika:
: z = \int X(x) e^{ax}\, dx \text{ and } z = \int X(x) x^A \, dx,

kao rješenja diferencijalnih jednačina, ali materiju nije dovoljno istražio. Joseph Louis Lagrange bio je poštovalac Eulera i u svom radu o integrisanju funkcija gustine vjerovatnoće istraživao je izraze oblika:
: \int X(x) e^{- a x } a^x\, dx,

koje neki moderni historičari interpretiraju kao modernu teoriju Laplaceove transformacije.

## Formalna definicija 
Laplaceova transformacija funkcije *f*(*t*), definisana za sve realne brojeve *t* ≥ 0, jest funkcija *F*(*s*), definisana sa:
:F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{0^-}^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt. 

Donja granica 0− je kraća oznaka, koja znači
:\lim_{\varepsilon\to 0+}\int_{-\varepsilon}^\infty ,

a koja osigurava uključenost cjelokupne Diracove delta funkcije δ(*t*) u 0, ako postoji takav impuls u *f*(*t*) u 0.

Parametar *s* je opći kompleksan broj:

:s = \sigma + i \omega. \, 

Ova integralna transformacija ima mnogo osobina koje je čine korisnom za analiziranje linearnih dinamičkih sistema. Najvažnija prednost jest ta što diferenciranje i integrisanje postaju množenje i dijeljenje, respektivno, sa *s*. (Ovo je slično načinu na koji logaritmi mijenjaju operaciju množenja brojeva u sabiranje njihovih logaritama.) Laplaceova transformacija mijenja integralne i diferencijalne jednačine u polinomske jednačine, koje je mnogo lakše riješiti. Kada se riješe, koristi se inverzna Laplaceova transformacija za povratak na vremenski domen.

## Također pogledajte 
* Fourierova transformacija
* Laplaceova transformacija primijenjena na diferencijalne jednačine
* Obrada analognog signala
* Primijenjena vjerovatnoća

## Reference 
## Bibliografija 
### Moderna 
* G.A. Korn and T.M. Korn, *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers*, McGraw-Hill Companies; 2nd edition (June 1967).  
* A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, *Handbook of Integral Equations*, CRC Press, Boca Raton, 1998. 
* William McC. Siebert, *Circuits, Signals, and Systems*, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1986. 
* Davies, Brian, *Integral transforms and their applications*, Third edition, Springer, New York, 2002. 
* Wolfgang Arendt, Charles J.K. Batty, Matthias Hieber, and Frank Neubrander. *Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems*, Birkhäuser Basel, 2002. 

### Historijska 
* 
* 
* Euler, L. (1744) "De constructione aequationum", *Opera omnia* 1st series, **22**:150-161
* — (1753) "Methodus aequationes differentiales", *Opera omnia* 1st series, **22**:181-213
* — (1769) *Institutiones calculi integralis* **2**, Chs.3-5, in *Opera omnia* 1st series, **12**
* Grattan-Guinness, I (1997) "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. *Pierre Simon Laplace 1749-1827: A Life in Exact Science*, Princeton: Princeton University Press, 
* Lagrange, J. L. (1773) "Mémoire sur l'utilité de la méthode", *Œuvres de Lagrange*, **2**:171-234

## Vanjski linkovi 
* Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
* Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Laplace Transform Module by John H. Mathews
* Good explanations of the initial and final value theorems 
* Laplace Transforms at MathPages
* Laplace and Heaviside at Interactive maths.
* Laplace Transform Table and Examples at Vibrationdata.
* Laplace Transform Cookbook at Syscomp Electronic Design.
* Examples  of solving boundary value problems (PDEs) with Laplace Transforms
* ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems  — Gives brief overview of how the Laplace transform is used with ODE's in engineering.

Kategorija:Laplaceove transformacije
Kategorija:Diferencijalne jednačine
Kategorija:Fourierova analiza
Kategorija:Integralne transformacije
Kategorija:Matematička fizika