Niz

Funkciju f:\mathbf{N}\longrightarrow R kojoj je domen skup prirodnih brojeva \mathbf{N}, a kodomena  ma koji dati skup R nazivamo brojni **niz** (slog) i označavamo
sa a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots, odnosno sa a(1),a(2),\ldots,a(n),\ldots.

U matematičkoj literaturi se za označavanje navedenog niza često koriste i oznake \{a_n\}_{n\in\mathbf{N}} odnosno \{a_n\}_{n=1}^{\infty}.

Element a(n) (tj. a_n) nazivamo *n-ti* ili *opći član* niza, a element a_1 *prvi član* niza.

Ako je domen funkcije f konačan podskup skupa \mathbf{N}, onda za niz \{a_n\}=a_1,a_2,\ldots,a_n kažemo da je konačan, i označavamo ga sa \{a_k\}_{k=1}^{n}.

Broj elemenata datog niza ne mora se podudarati sa brojem elemenata kodomena pripadajuće funkcije.

;Primjer:

* Funkcija a:\mathbf{N}\longrightarrow R data sa a_n=a(n)=3^n za \forall(n\in\mathbf{N}) određuje niz

3, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, \ldots

* Niz \{a_n\} zadan formulom a_n=\frac{1}{2}[5+(-1)^n] za \forall(n\in\mathbf{N}), tj. a_n = \left\{\begin{array}{cc} 3 &\mbox{ako je n paran} \\ 2&\mbox{ako je n neparan} \end{array}\right. glasi 2,3,2,3,2,3,\ldots

Očigledno je ovaj niz beskonačan, ali je njegov rang R konačan skup \{2,3\}.
## Važniji nizovi brojeva 
### Fibonaccijev niz 
Fibonaccijev (Fibonacijev) niz je niz brojeva sa osobinom da je svaki
član niza osim prava dva jednak zbiru predhodna dva člana, tj.

a(n + 2) =an + a(n +1)

Primjer

2, 3,5, 8,...
1, 1, 2, 3, ....

### Aritmetički niz 
Aritmetički niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

a(n +1)  - an  = a(n +2) -a(n +1)

Primjer

7, 9, 11, 13 ,.....

1,2 ,3, 4, 5, ...

### Geometrijski niz 
Geometrijski niz je niz brojeva čiji članovi zadovoljavaju uslov

[a(n +1)]2 =ana(n +2)

## Tačka gomilanja niza 
Neka je \epsilon neki pozitivan broj i x_0\in R. Pod \epsilon - *okolinom* tačke x_0, u oznaci O_{\epsilon}(x_0) ili O(x_0) podrazumijevamo skup

O_{\epsilon}(x_0)=\{x\in R:|x-x_0|

\epsilon- okolina tačke x_0 je otvoreni interval (x_0-\epsilon,x_0+\epsilon) dužine 2\epsilon.

Broj \alpha\in R nazivamo tačkom gomilanja niza \{a_n\} ako svakoj \epsilon- okolini tačke \alpha pripada beskonačno mnogo članova niza \{a_n\}.

Dati niz \{a_n\} može imati više tačaka gomilanja

## Ograničeni nizovi 
Pojam ograničenosti niza je veoma važan u teoriji nizova.

Za niz \{a_n\} kažemo da je **ograničen odozgo** ako postoji konstanta *r* takva da je a_n\leq r za sve n. On je **ograničen odozdo** ako postoji konstanta *s* takva da je a_n\geq s za sve n. Niz koji je ograničen odozgo i odozdo, tj. za koji postoje konstante *r* i *s* takve da je s\leq a_n\leq r za sve n, naziva se **ograničenim** nizom. Tzv. Bolzano-Weierstrassova teorema nam govori da svaki ograničen niz posjeduje barem jednu tačku gomilanja.

;Primjer
Niz \{(-1)^{n-1}(2+\frac{3}{n})\} je ograničen. Za svako n je -\frac{7}{2}\leq a_n\leq 5

## Monotoni nizovi 
Niz brojeva kod kojeg nijedan član nije manji od člana koji mu direktno predhodi, odnosno niz za čija svaka dva susjedna člana vrijedi:

a_{n} \leq a_{n+1}

nazivamo **monotono uzlazni (rastući)**. Naprimjer, niz *1, 2, 3, ...* je monotono uzlazni, ali, također, i niz *2, 2, 2, ...*

Za niz sa osobinom:

a_{n} \geq a_{n+1}

kažemo da je **monotono silazni (opadajući)** (npr. niz *5, 4, 4, 3, ...*).

Specijalno, za nizove sa karakteristikama:

a_{n} 
a_{n} > a_{n+1}

kažemo da su **strogo monotoni**, odnosno strogo uzlazni (rastući) ili strogo silazni (opadajući).

## Nizovi funkcija 
Za razliku od brojnog niza, čiji su članovi brojevi, funkcionalni nizovi se sastoje od funkcija.

Niz funkcija f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots označavamo kraće sa \{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty} odnosno \{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}}

## Konvergencija nizova 
Pojam konvergencije niza je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize.

Ako je \{a_n\} dati niz i \alpha realan broj, onda za broj \alpha kažemo da je granična vrijednost niza \{a_n\} ako za svaki \epsilon > 0 postoji prirodan broj n_0=n_0(\epsilon) (koji može da ovisi od \epsilon) takav da za sve prirodne brojeve n>n_0 vrijedi nejednakost:

|a_n-\alpha|

U tom slučaju pišemo \lim_{n\longrightarrow\infty}a_n=\alpha odnosno a_n\longrightarrow\alpha kada n\longrightarrow\infty i čitamo: \alpha je granična vrijednost niza \{a_n\} kada n teži u beskonačnost odnosno a_n konvergira broju \alpha.

Ako je \alpha = 0, onda niz \{a_n\} nazivamo *nula* niz.

Za niz koji posjeduje graničnu vrijednost kažemo da je **konvergentan niz**. Niz koji nije konvergentan nazivamo **divergentan niz**.

Predhodnu definiciju granične vrijednosti niza možemo formulisati i na sljedeći način: Broj \alpha naziva se granična vrijednost niza \{a_n\} ako se u svakoj njegovoj \epsilon- okolini nalaze gotovo svi članovi niza \{a_n\}, sa eventualnim izuzetkom njih konačno mnogo.

;Primjer
Niz \{\frac{2n+1}{n}\} konvergira broju 2

Konvergentni nizovi su od posebne važnosti jer imaju sljedeće osobine:

* Ako je niz konvergentan, njegova granična vrijednost je ujedno i njegova jedina tačka gomilanja
* Konvergentan niz je ograničen

Za niz \{a_n\} kažemo da divergira u +\infty ako za svaki realan broj A > 0 postoji prirodan broj n_0(A) takav da za sve n>n_0(A) vrijedi: a_n > A, i u tom slučaju pišemo \lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = +\infty odnosno da a_n\longrightarrow +\infty.

Za niz \{a_n\} kažemo da divergira u -\infty ako za svaki realan broj B  postoji prirodan broj n_0(B) takav da za sve n>n_0(B) vrijedi: a_n , i u tom slučaju pišemo \lim_{n\longrightarrow\infty}a_n = -\infty odnosno da a_n\longrightarrow -\infty.

## Konvergencija funkcionalnih nizova 
U slučaju funkcionalnih nizova, postoji čitav niz različitih oblika konvergencije.

### Konvergencija po tačkama 
Neka je \{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}} neki niz funkcija definisanih na nekom skupu D. Ako odaberemo neko proizvoljno x_0\in D, onda stavljajući x=x_0 dobijamo brojni niz \{f_n(x_0)\}.

Ako ovaj niz (kao brojni niz) **konvergira**, onda kažemo da niz \{f_n(x)\} **konvergira u tački** x_0.

Ako niz \{f_n(x)\} konvergira u svakoj tački x\in D, onda kažemo da niz konvergira na D.

Ovaj vid konvergencije niza \{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}} često nazivamo **konvergencija po tačkama**, **konvergencija tačka-po-tačka** ili **obična konvergencija**.

### Ravnomjerna (uniformna) konvergencija 
Neka su na nekom skupu D definisane funkcije f_n(x)  (n=1,2,3,...).

Kažemo da niz \{f_n(x)\} **ravnomjerno (uniformno)** na D konvergira ka funkciji f(x) ako za svako \epsilon > 0 postoji prirodan broj n_0=n_0(\epsilon) koji zavisi samo od \epsilon i takav je da za svako x\in D vrijedi

|f_n(x)-f(x)| čim je n\geq n_0

### Konvergencija gotovo svuda 
Ako niz \{f_n(x)\} konvergira za gotovo svako x\in D, osim za njih eventualno konačno mnogo, onda kažemo da niz konvergira **gotovo svuda** na D.

### Konvergencija u mjeri 
Za niz \{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}} \mu- izmjerivih funkcija na prostoru mjere (X,M,\mu) kažemo da konvergira u **mjeri** \mu ka funkciji f(x), ako za svako \epsilon > 0 vrijedi

\mu\{x\in X : |f_n(x)-f(x)|\geq\epsilon\}\longrightarrow 0 kada n \longrightarrow \infty

### Konvergencija u normi 
Za niz \{f_n(x)\}_{n\in\mathbf{N}} \mu- izmjerivih funkcija na prostoru mjere (X,M,\mu) kažemo da konvergira u **normi** L^p (p\geq 1) ako vrijedi:

(L)\int_{X}|f_n(x)-f(x)|^p d\mu \longrightarrow 0 kada n\longrightarrow\infty

## Također pogledajte 
* Skup (matematika)


Kategorija:Elementarna matematika