Trigonometrijska funkcija

**Trigonometrija** (grč. *trigonon* [trougao] + *metron* [mjera] - "mjerenje trougla") jest dio matematike koji proučava odnose među segmentima pravi (dužinama) i uglovima trougla u ravni ili na površini sfere. Pomoću trigonometrijskih funklcija moguće je odrediti nepoznatu dimenziju, ugao nagiba u matematičkim i tehničkim proračunima.

## Definicija
**Trigonometrijske funkcije** su: sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), sekans (sec) i kosekans (csc).  

Odnosno:
: \sin \alpha = {\mbox{a} \over \mbox{c}}

Sinus ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne katete i hipotenuze pravouglog trougla.

 \csc \alpha= {\mbox{c} \over \mbox{a}}

Kosekans ugla je recipročna vrijednost od sinus ugla.

 \cos \alpha= {\mbox{b} \over \mbox{c}}

Kosinus ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže katete i hipotenuze pravouglog trougla.

 \sec \alpha = {\mbox{c} \over \mbox{b}}

Sekans ugla je recipročna vrijednost od kosinus ugla.

 \tan \alpha = {\mbox{tg}  A} = {\mbox{a} \over \mbox{b}}

Tangens ugla uz vrh A jednak je odnosu suprotne i bliže katete pravouglog trougla.

 \cot \alpha = {\mbox{ctg}  A} = {\mbox{b} \over \mbox{a}}

Kotangens ugla uz vrh A jednak je odnosu bliže i suprotne katete pravouglog trougla. Kotangens ugla je recipročna vrijednost od tangens ugla.

Inverzne trigonometrijske funkcije su: arkussinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens (arctg), arcuskotangens (arcctg), arcussekans (arcsec) i arkuskosekans (arccsc).

## Trigonometrijska kružnica
Trigonometrijska kružnica je kružnica sa centrom u centrom u koordinantnom početku  O(0,0) , tj.  x^2+y^2=1

;Definicija 1
Trigonometrijske realne funkcije ugla  \varphi  definišu se jednakostima
# \cos^2\phi+\sin^2\phi=1,\,  sinus  i kosinus su realni brojevi.
#\operatorname{tg}\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi},\; \operatorname{ctg}\phi=\frac{\cos\phi}{\sin\phi}, tangens i kotangens
# \sec\phi=\frac{1}{\cos\phi},\; \csc\phi=\frac{1}{\sin\phi}, sekans i kosenkans
# \operatorname{vercos}\phi=1-\sin\phi,\; \operatorname{versin}=1-\cos\phi, kosinus versus i sinus versus

Funkcije sekans, kosenkans, kosinus versus i sinus versus rijetko se susreću

Neka je trigonimetrijska kružnica predstavljena u Dekartovom pravouglom koordinantnom sistenu i tačka D na trigonometrijskoj kružnici. Krečući se po kružnici tačka D  prolazi redom kroz prvi, drugi, treći i četvrti kvadrant, a zatim ponovo po istom krugu. Dakle, ugao  \varphi
može rasti do  360^o i dalje. Pri tome se projekcije tačke D na apscisu i ordinatu uvijek računaju kao kosinus i sinus ugla  \varphi . To znači da je kosinus pozitivan kada je tačka D u prvom i četvrtom kvadrantu, a da je sinus pozitivan kada je tačka D u prvom i drugom kvadrantu. 
To se vidi iz tabele  

## Svođenje na prvi kvadrant
Lahko je preko trigonometrijske kružnice ili adicionih formula provjeriti tačnost formula za svođenje vrijednosti trigonometrijskih funkcija na funkcije uglova iz prvog kvadranta:  
: \cos(\pi-\phi)=-\cos\phi, \; \sin(\pi-\phi)=\sin\phi,
: \cos(\pi+\phi)=-\cos\phi, \; \sin(\pi+\phi)=-\sin\phi,
: \cos(-\phi)=\cos\phi, \; \sin(-\phi)=-\sin\phi.
Funkcije kosinus i sinus imaju period  2\pi , a  tangens  \pi :

:\cos(2\pi+\phi)=\cos\phi,\; \sin(2\pi+\phi)=\sin\phi,\; \operatorname{tg}(\pi+\phi)=\operatorname{tg}\phi.

Period sinusne i kosinusne funkcije nalazimo iz formule   
:T = \frac{2\pi}{\omega}
Period funkcije  \sin{2\alpha} je  
:T= \frac{2\pi}{2}, odnosno \pi.
Funkcije uglova većih od 360 stepeni prethodnim formulama se svode na funkcije manjih uglova, a zatim dalje, ako je potrebno, na prvi kvadrant,
na način vidljiv u sljedećoj tabeli

U opšte slučaju  to se može zapisati na sljedeći način 
:  f (n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha)
:  f (n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha)
:  f \left(\frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha)
:  f \left(\frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha)

:f — proizvoljna trigonometrijska funkcija,
:g — odgovarajuća joj funkcija (kosinus za sinusa, sinus za kosinus i analogno za ostale funkcije), a n — cio broj.

## Vrijednosti trigonometrijskih funkcija
Za neke od uglova iz prvog kvadranta funkcije selakše izračunavaju:  

Vrijednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova koje se nešto dužim putem izračunavaju dati su u sljedećoj tabeli:

## Redovi
Trigonometrijske funkcije se mogu predstavljati (beskonačnim) redovima.
: \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
: \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... = = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

Ovi redovi se mogu upotrebiti i za definisanje trigonometrijskih funkcija kompleksnog broja z, i hiperboličkih funkcija.
majući u vidu jednakosti

:\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}, 
:\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},

:\sec x=\frac{1}{\cos x} 
:\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x}, 
u Tejlorov red se mogu razložiti sledeće funkcije:
: {\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}
: {\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi 
: {\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = 1 + \sum_{n=1}^\infty\frac{E_{n}}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} 
: {\csc x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\pi 

## Parnost
Kosinus i sekans su parne funkcije, dok su preostale četiri neparne funkcije:
:  \sin \left(- \alpha \right)  = - \sin \alpha \,,
:  \cos \left(- \alpha \right)  =  \cos \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{tg}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,
:  \sec \left(- \alpha \right)  =  \sec \alpha \,,
:  \mathop{\mathrm{cosec}}\, \left(- \alpha \right)  = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.

## Granična vrijednost
:\lim_{\phi\to 0}\sin\phi=0,\;\lim_{\phi\to 0}\cos\phi=1.
:\lim_{x\to +0}\operatorname{ctg}x=+\infty,\; \lim_{x\to -0}\operatorname{ctg}x=-\infty. З
:\lim_{x\to\ 0}\frac{\sin x}{x}=1.

## Izvod
Izvod funkcije f(x) po definiciji je granična vrijednost

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.
: (\sin x)'=\cos x,\,
: (\cos x)'=-\sin x,\,
: (\operatorname{tg}x)'=\sec^2x.\,
: (\operatorname{ctg}x)'=-\csc^2x.\,

;Dokaz
:\Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}, pa je
: \frac{\Delta \sin x}{\Delta x}=\frac{\cos(x+\frac{\Delta x}{2})}{\frac{\Delta x}{2}}\rightarrow\cos x, kada \Delta x\rightarrow 0 
: Zbog  \cos x = \sin(\frac{\pi}{2}-x), биће (\cos x)'=\cos(\frac{\pi}{2}-x)\cdot (\frac{\pi}{2}-x)'=-\cos(\frac{\pi}{2}-x)=-\sin x. 
: Izvod količnika (\operatorname{tg}x)'=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)'=
:: =\frac{\sin'x\cos x-\cos'x\sin x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2x. 
: Izvod količnika  (\operatorname{ctg}x)'=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)'=
:: =\frac{\cos'x\sin x-\sin'x\cos x}{\sin^2x}=\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin^2x}=-\csc^2x. 

## Integrali trigonometrijskih funkcija
Integrali nekih trigonometrijskih funkcija prikazani su ovdje:
:

## Trigonometrijske funkcije kao rješenja diferencijalnih jednačina
Trigonometrijske funkcije kosinus i sinus mogu se predstaviti kao rešenja diferencijalne jednačine: 
:\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),
:uslov \cos(0) = \sin '(0) = 1.
: \ \cos * x = - \cos x,
: \ \sin * x = - \sin x.

## Inverzne trigonometrijske funkcije
Inverzne trigonometrijske funkcije su 
: arcsin x  arkus sinus 

: arccos x  arkus kosinus

:  arctg x   arkus tangens

: arcctg x  arkus kotangens

One su inverzne trigonometrijskim funkcijama  sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. Prefiks arkus potiče od latinske riječi arcus - luk, ugao. Nazivaju se još i ciklometrijskim funkcijama.
   
:  \begin{matrix}

 \mbox{za} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsin x & \mbox{ako} & x = \sin y \,;\\ \\
 \mbox{za} & 0 \le y \le \pi,
 & y = \arccos x & \mbox{ako} & x = \cos y \,;\\ \\
 \mbox{za} & -\frac{\pi}{2} 

inus versus je trigonometrijska funkcija

y=\operatorname{versin}x=1-\cos x

Funkcija se naziva i versinus. Ovi nazivi se rijetko upotrebljavaju. Graf versinusa je kosinusoida translirana za jedan gore.

Svugdje je definisana.

Nule su u tackama \left(2k\pi,0\right), a  na ostalim mjestima je pozitivna, osnovni period je 2 \pi, minimumi su u nulama, a maksimumi ((2k+1)\pi,2)
## Versine funkcije
Funkcija sinus versus ugla alfa je
: \textrm{versin} (\alpha)=1- cos\alpha.

Pojam sinusa versusa uveden je u XVII vijeku i danas se skoro uopšte ne upotrebljava. Ruski matematičar P. L. Cebisev je smatrao da će sinus versus igrati važnu ulogu u matematici.

(Latinski: sinus - ispupčenost, nadutost, versus - (prije) okrenut, sinvers - (prije) okrenuti sinus.)

## Primjena u fizici
Primjena trigonometrije i trigonometrijskih funkcija u fizici je  velika. Koristi se u analizi prostiranja talasa, opisivanju harmonijskih oscilacija kao periodičnog kretanja, predstavljanja naizmjenične struje itd.

## Također pogledajte 
* Eulerova formula
* Hiperbolička funkcija
*Spisak integrala trigonometrijskih funkcija

## Reference 
## Vanjski linkovi 
# Trigonometrija - osnovne formule
# Petar Stipanovid: Brojevna kružnica i trigonometrijske funkcije
# trigonometrijske funkcije
# Trigonometric functions 
# Tablica izvoda 
# Versine
# Coversine

Kategorija:Trigonometrija
Kategorija:Elementarne posebne funkcije
Kategorija:Transcendentalni brojevi