Kompozicija funkcija

U matematici, **kompozicija funkcija** formirana **kompozicijom** jedne funkcije drugom, predstavlja primjenu prve funkcije na rezultat primjene druge na argument. Funkcije *f*:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*Y* i *g*:&nbsp;*Y*&nbsp;→&nbsp;*Z* se mogu *komponovati* tako što se prvo primjeni funkcija *f* na argument *x* i potom primjeni funkcija *g* na rezultat prethodne primjene.
Na taj se način dobija funkcija *g*&nbsp;o&nbsp;*f*: *X*&nbsp;→&nbsp;*Z* definisana sa (*g*&nbsp;o&nbsp;*f*)(*x*)&nbsp;= *g*(*f*(*x*)) za svaki *x* u *X*. Notacija *g*&nbsp;o&nbsp;*f* se čita kao "*g* kružić *f*" ili "*g* komponovano sa *f*".

250px|desno|mini|*g*&nbsp;o&nbsp;*f*, **kompozicija** *f* i *g*

Kompozicija funkcija je uvijek asocijativna. To jest, ako su *f*, *g* i *h* tri funkcije sa odgovarajuće odabranim domenama i kodomenama, tada je *f*&nbsp;o&nbsp;(*g*&nbsp;o&nbsp;*h*)&nbsp;=&nbsp;(*f*&nbsp;o&nbsp;*g*)&nbsp;o&nbsp;*h*. Budući da je svejedno gdje se stavljaju zagrade, mogu se slobodno izostaviti, bez uticaja na konačni izračun.

Kao posljedica toga skup bijektivnih funkcija 
*f*:&nbsp;*X*&nbsp;→&nbsp;*X* formmira grupu u odnosu na operator kompozicije.

Funkcije *g* i *f* komutiraju jedna sa drugom ako *g*&nbsp;o&nbsp;*f* = *f*&nbsp;o&nbsp;*g*. Općenito kompozicija funkcija nije komutativna. Komutativnost je specifična osobina koje imaju samo pojedine funkcije u posebnim okolnostima. Naprimjer, (\sqrt x)^2 = \sqrt{x^2} samo kad x \ge 0; za svaki negativni x je prvi izraz nedefiniran. (Ali inverzne funkcije uvijek komutiraju i pritom stvaraju identitetu.

## Primjer 
Neka je visina aviona u vremenu *t* dana funkcijom *h*(*t*) i neka je koncentracija kisika na visini *x* dana funkcijom *c*(*x*).
Tada izraz (*c*&nbsp;o&nbsp;*h*)(*t*) opisuje koncentraciju kisika uokolo zrakoplova u vremenu *t*.

## Funkcijske potencije 
Ako *Y*⊆*X* tada se funkcija *f*: *X* → *Y* može komponovati sama sa sobom. Ovo se ponekad označava sa *f*&nbsp;2. Shodno tome:

:(*f*&nbsp;o&nbsp;*f*)(*x*) = *f*(*f*(*x*)) = *f*&nbsp;2(*x*)
:(*f*&nbsp;o&nbsp;*f*&nbsp;o&nbsp;*f*)(*x*) = *f*(*f*(*f*(*x*))) = *f*&nbsp;3(*x*)

Ponavljana kompozicija funkcije samom sobom se zove **iteracija funkcije**.

Korištenjem definirane notacije lako dobijamo **funkcijske potencije** 
*f*&nbsp;o&nbsp;*f*&nbsp;*n*
=&nbsp;*f*&nbsp;*n*&nbsp;o&nbsp;*f*
=&nbsp;*f*&nbsp;*n*+1
za prirodne *n*
* Dogovorno je *f*&nbsp;0 = id*D*(*f*) (identiteta nad domenom funkcije *f*).
* Ako funkcija *f*:*X*→*X* ima inverznu funkciju, negativne funkcijske potencije *f*&nbsp;*-k* (*k*&nbsp;>&nbsp;0) su definisane kao suprotne potencije inverzne funkcije, (*f*&nbsp;−1)*k*.

Iterirane funkcije se prirodno pojavljuju prilikom proučavanja fraktala i dinamičkih sistema.

## Operator kompozicije 
Za danu funkciju *g*, **operator kompozicije** C_g je definisan kao operator koji preslikava funkcije na funkcije

:C_g f = f \circ g

Operatori kompozicije su predmet proučavanja matematičke discipline zvane teorija operatora.

## Također pogledajte 
* Kombinatorička logika
* Kompozicija relacija, generalizacija relacija
* Kompozicija funkcija (računarstvo)
* Funkcionalna dekompozicija
* Funkcije višeg reda
* Lambda račun
* Kompozicija relacija

## Vanjski linkovi 
* "Composition of Functions" od Brucea Atwooda, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.

Kategorija:Funkcije i preslikavanja
Kategorija:Osnovni koncepti u teoriji skupova
Kategorija:Binarne operacije
Kategorija:Vrste funkcija