Dijeljenje (matematika)

desno|mini|200px|20 \div 4=5

U matematici, posebno u elementarnoj aritmetici, **dijeljenje** je artimetička operacija koja je obrnuta množenju.

Posebno, ako je *c* puta *b* jednako *a*, a piše se:
:c \times b = a\,
gdje *b* nije nula, tada je *a* podijeljeno sa *b* jednako *c*, a piše se:
:\frac ab = c
Na primjer, 
:\frac 63 = 2
jer je
:2 \times 3 = 6\,.

Dijeljenje se često prikazuje pomoću razlomka. Djeljenik i djelitelj se tada nazivaju brojnikom i nazivnikom. Npr. *a* podjeljeno s *b* se piše:
:\frac ab
Dijeljenje se može prikazati i sa kosom crtom između djeljenika i djelitelja:
:a/b\,
Najčešći način prikazivanja dijeljenja jedvotačkom između djeljenika i djelitelja:
:a : b
## Osobine
a:1=a

Djeljenje sa -1 daje  suprotni broj

a: (-1)=-a

Nula podijeljena s prirodnim brojem je 0.

0:a=0

Broj podijeljen samim sobom daje broj 1.

a:a=1

Proširivanje količnika

 a:b=c =>(a*d) : (b*d)=c

Skračivanje količnika

a:d=c => (a:b) : (d:b)=c za d \ne 0

Količnik negativnog i pozitivnog cijelog broja je negativni broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti zadanih brojeva.

(-a):b=-(a:b)

Količnik dva negativna cijela broja je pozitivan broj čija je apsolutna vrijednost jednaka količniku apsolutnih vrijednosti djeljenika i djelitelja.

(-a) : (-b)= |-a| : |-b|=a:b

Dijeljenje možemo prikazati preko sabiranja i oduzimanja brojeva

\frac{a + b}{c} = (a + b) \div c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

Kao i kod množenja važi zakon distribucije dijeljenja u odnosu na sabiranje

\frac{a + b}{c} = (a + b) \div c = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} 
Ali zakon distributivnosti ne važi u slučaju

\frac{a}{b + c} = a \div (b + c) \ne \frac{a}{b} + \frac{a}{c}
## Dvojni razlomak
Dvojni razlomak je razlomak oblika

{p/q \over r/s}

On se rješava na sljedeći način
{p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr}.

## Dijeljenje s nulom 
Dijeljenje bilo kojeg broja sa nulom (gdje je nula djelioc) **nije definisano**.
## Dijeljenje cijelih brojeva 
Dijeljenje cijelih brojeva nije zatvorena računska operacija. Količnik brojeva neće biti cijeli broj ako djeljenik nije višekratnik djelitelja.
;Primjer

26 se ne može podijeliti sa 10 i dati cijeli broj kao količnik. U tom slučaju postoji četiri pristupa:
# Recimo da se 26 ne može podijeliti sa 10; dijeljenje postaje djelomična funkcija.
# Zapisivanje količnika kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, dakle \tfrac{26}{10} = 2,6 ili \tfrac{26}{10} = 2 \tfrac 35. Ovo je najčešći pristup u matematici.
# Zapisati rješenje kao razliku i ostatak, dakle \tfrac{26}{10} = 2 \mbox{ i ostatak } 6.
# Zapisati razliku kao cijeli broj (približni broj), dakle \tfrac{26}{10} = 2

## Dijeljenje kompleksnih brojeva
Količnik dva kompleksna broja  od kojih drugi nije jednak nuli definisano je na sljedeći način.

{p+iq \over r+is} = {(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)} = {pr+qs + i(qr-ps) \over r^2+s^2} = {pr+qs \over r^2+s^2} + i{qr-ps \over r^2+s^2}.

za *p*, *q*, *r*, *s* realne brojeve  *r* , *s* razičiti od 0

Jednostavnije j dijeljenje kompleksnih brojeva izraženo na sljedeći način

{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p e^{iq} e^{-is} \over r e^{is} e^{-is}} = {p \over r}e^{i(q - s)} 

za *p*, *q*, *r*, *s* realne brojeve  *r* različito od 0.

## Dijeljenje decimalnih brojeva
Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u količniku naznačava decimalni zarez kad se završi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.

15,5:5=3,1

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnožimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.

7,842:2,4=78,42:24=3,2675

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomićemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.

423,10:10=42,310

51,24:100=0.5124

## Tablica dijeljenja
## Pravila dijeljenja
Pravila dijeljenja mogu pomoći pri brzom određivanju da li se jedan cijeli broj može podijeliti u drugi cijeli broj.

;Djeljivost sa brojem 2

Broj je djeljiv brojem 2 ako je paran odnosno ako je njegova posljednja cifra paran broj: 0, 2, 4, 6, 8

24/2 =12
;Djeljivost sa brojem 3
Broj je djeljiv brojem 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.

27/3 =9 .......... 2+7=9 (9/3=3)
;Djeljivost sa brojem 4
 
Broj je  djeljiv sa 4 ako je dvocifreni broj koji čine 2 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 4

324/4=81  jer je 24/4=6

;Djeljivost sa brojem 5

Broj je djeljiv sa 5 ako je njegova posljednja cifra 0 ili 5

25/5=5

40/5=8

;Djeljivost sa brojem 6

Broj je djeljiv sa 6 ako je sa 2 i sa 3

36/6=6 jer je 36/2=18 i 36/3=12
;Djeljivost sa brojem 8

Broj je djeljiv sa 8 ako je trocifreni broj koji cine 3 posljednje cifre tog broja djeljiv sa 8

3120/8=390  jer je 120/8=15
;Djeljivost sa brojem 9  	
    	
Broj je djeljiv sa 9 ako je zbir cifara djeljiv sa 9. 
    	
2817/9=313 jer je 2+8+1+7=18  => 18/9=2
;Djeljivost sa brojem 10
Broj je djeljiv sa 10 ako je djeljiv brojevima 2 i 5  odnosno završava cifrom 0

30/10=3 jer je  30/2=10 30/5=6

## Dijeljenje i kalkulus 
Derivacija količnika dvije funkcije data je pravilom derivacije količnika:

:{\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}.

Ne postoji općenita metoda integracije količnika dvije funkcije.

## Također pogledajte 
## Reference 
* Djeljivost prirodnih brojeva
* Tablica deljenja

Kategorija:Elementarna aritmetika
Kategorija:Binarne operacije
Kategorija:Dijeljenje