Hiperbolička funkcija

**Hiperboličke funkcije** su hiperbolički sinus (sh x), hiperbolički kosinus (ch x), hiperbolički tangens (th x), hiperbolički kotangens (cth x), hiperbolički sekans (sech x) i hiperbolički kosekans (cosech x). Grana matematike koja koristi ove funkcije naziva se hiperbolička trigonometrija. Njima inverzne funkcije imaju prefiks *area*, što treba razlikovati od prefiksa *arkus* koji stoji ispred inverznih funkcija obične trigonometrije. Anglosaksonske oznake za hiperboličke funkcije su redom \sinh x,\; \cosh x,\; \tanh x,\; \coth x,\; \operatorname{sech}x,\; \operatorname{cosech}x, odnosno \operatorname{csc}x, i ovde ih češće koristimo zbog praktičnih, softverskih razloga.

## Definicije 
256px|mini|sinh, cosh i tanh
256px|mini|csch, sech i coth
Za razliku od običnih trigonometrijskih istoimenih funkcija, hiperbolički sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans su određeni slijedećim analitičkim definicijama, formulama:

: \sinh x=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right), \quad \cosh \frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right),
: \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}, \quad \coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x},
: \operatorname{sech} x=\frac{1}{\cosh x}, \quad \operatorname{csch} x=\frac{1}{\sinh x}.

## Porijeklo imena 
Funkcije su dobile naziv zbog mogućnosti korištenja parametarskih jednačina (jedne grane) hiperbole:

: x=a\cosh t,\; y=b\sinh t; \; (t\in\mathbb{R}).

## Trigonometrijska hiperbola 
Poput funkcija trigonometrijske kružnice x^2+y^2=1, definišu se i funkcije jedinične jednakostranične hiperbole x^2-y^2=1.

## Predstavljanje redovima 
Razvojem hiperboličke funkcije u Taylorov red dobijamo:
: \sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...,
: \cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+....

## Trigonometrijska veza 
Hiperboličke funkcije se mogu definisati i pomoću običnih trigonometrijskih:
: \sinh ix = i\sin x\,\; i^2=-1,
: \cosh ix = \cos x,\,
: \tanh ix = i\tan x.\,

## Osobine 
Mnoge formule hiperboličkih funkcija su slične odgovarajućim formulama obične trigonometrije:
: \cosh^2x=1+\sinh^2x,\,
: \operatorname{sech}^2x=1-\tan^2x,\,
: \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,\,
: \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y,\,
: \sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\,
: \cosh 2x=\cosh^2x+\sinh^2x.\,

Kako je \cosh(-x)=\cosh x,\; \sinh(-x)=-\sinh x, to je prva funkcija parna, a druga neparna. Grafik prve je osno simetričan (ordinata, u-osa je osa simetrije), grafik druge je centralno simetričan (ishodište, tačka O je centar simetrije), kao što se vidi na slikama dole.

Lahko je izračunati slijedeće izvode: 
: \frac{d}{dx}(\cosh x)=\sinh x,\; \frac{d}{dx}(\sinh x)=\cosh x,\; \frac{d}{\tanh x}=\operatorname{sech}^2x.

## Porijeklo 
*Hiperboličke funkcije* su nastale zbog potreba neeuklidske geometrije. Tražeći Euklidovu ravan u svojoj neeuklidovoj geometriji, Lobačevski je pronašao orisferu. Obratno, Euklidovi prostor ima pseudosferu, površ na kojoj važi geometrija Lobačevskog. Ovakva otkrića jednih geometrija u drugima poslužila su za dokaze neprtivrečnosti novih neeuklidovih geometrija, tačnije za dokaze njihove međusobne jednake neprotivriječnosti. Sa druge strane, omogućile su prijenos trigonometrija. Obična trigonometrija orisfere u prostoru Lobačevskog postaje hiperbolička trigonometrija, i obratno.

## Također pogledajte 
* Matematika
* Geometrija
* Trigonometrija
* Hiperbolička trigonometrija
* Sinus hiperbolički
* Kosinus hiperbolički
* Tangens hiperbolički
* Kotangens hiperbolički
* Sekans hiperbolički
* Kosekans hiperbolički
* Inverzne hiperboličke funkcije

Kategorija:Hiperbolička geometrija
Kategorija:Elementarne posebne funkcije
Kategorija:Eksponencijali