open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Tuamotu

mini|desno|250px|Tuamotu ostrva
**Tuamotu** je grupa ostrva u južnom dijelu Tihog okeana (Francuska Polinezija). Arhipelag se sastoji od dva paralelna niza niskih atola i koralnih ostrva.

Najveći atoli su: Rangiora, Fakarava, Hao i Anaa. Osim ostrva Makate (visina 112 m.) ostali nisu viši od 9 metara.

Ostrva je 1606. otkrio portugalski pomorac Pedro Queiros, a Francuskoj su priključeni 1881. godine.

Arhipelag je značajan i po tome što je na njega pristao Thor Heyerdahl na splavu Kon Tiki tokomm poznatog naučnog eksperimenta 1947. godine.

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* Stevenson, Robert L. (1896), *In the South Seas*
* Official site (Tahiti Tourism board)
* Official site (Geography)
* Official site (Administration)
* Archipel des Tuamotu

Kategorija:Francuska Polinezija
Kategorija:Ostrva
Sveti Petar i Mikelon

mini|desno|200px|Sveti Petar i Mikelon

**Sveti Petar i Mikelon** () je prekomorska teritorija Francuske koji se sastoji od nekoliko manjih ostrva, a nalazi se 25&nbsp;km južno od istočne pokrajine i ostrva Terre-Neuve, na istočnoj obali Kanade. Glavni grad je Saint-Pierre.

Zajedno sa Gvadalupom, Gvajanom i Martinikom, to je jedan od četiri francuska posjeda u Americi i jedini u Sjevernoj Americi, zadnji teritorijalni ostatak Nove Francuske (Nouvelle-France). Ostrvo Sveti Petar je imenovao Jacques Cartier za vrijeme svog putovanja ka tom ostrvu u junu 1536.
 
Portugalski istraživač Joăo Álvares Fagundes je ostrva nazvao ostrvima Jedanaest hiljada djevica. Ime ostrva Miquelon je baskijskog porijekla, jer su ostrvo za ribarenje koristili ribari iz Saint-Jean-de-Luza iz francuskog dijela Baskije. Na ostrvu su pronađeni tragovi dorsetonske kulture koji datiraju iz 3000. p. n. e. Smatra se da je ostrva otkrio Portugalac Fagundes 1520. godine.

Ostrva su služili kao baza bretonskim i baskijskim ribarima od 16. vijeka. Najstarije još postojeće stalne građevine na ostrvu su iz 1604. Na zastavi ostrva su vidljivi znakovi koji označavaju njegovo bretonsko, baskijsko i normandijsko porijeklo.
## Reference 
## Vanjski linkovi 
* Local autonomous government of Saint-Pierre-et-Miquelon
* Government of Saint-Pierre-et-Miquelon  (fr)
* Comité Régional du Tourisme (lokalna vladina inicijativa) 
* Historija Svetog Petra i Mikelona 

*
Kategorija:Ostrva
Kategorija:Francuske prekomorske teritorije
Kategorija:Države i teritorije osnovane 1946.
Bermudi

**Bermudska ostrva** ili **Bermudi** su arhipelag u Atlantiku i jedna su od prekomorskih teritorija Ujedinjenog Kraljevstva. Nalaze se istočno su od Sjeverne Karoline, jedne od Saveznih država SAD-a.
Postali su poznati po Bermudskom trouglu i bermudskim hlačama.
Službeni jezik je engleski jezik.

## Historija 
Bermudska ostrva je "otkrio" jedan španski istraživač, ali se zbog opasnih grebena koji okružuju ostrva nije usudio iskrcati na obalu.
Prvi naseljenici su bili engleski kolonisti koji su bili na putu za Sjevernu Ameriku i nakon brodoloma 1609. se iskrcali na ostrvo. Brodolomci su proveli na ostrvu 10 mjeseci a njihovi izvještaji o ostrvu su u Engleskoj izazvali veliku pažnju tako da je kralj Jakov I. 1615. dao pravo upravljanja ostrvima Bermuda Company. Oko 60 kolonista je 1612. osnovalo St. George. Te godine je postavljeno i prvo predstavništvo vlade i time su Bermudi postali samostalna kolonija.

Zbog velike udaljenosti od matice zemlje, ekonomija se usmjerila na trgovinu sa soli i za brodogradnju vrlo pogodnim cedrovim drvom. Glavni grad postao je 1815. Hamilton, grad koji je osnovan 1620. Od 1600. do 1734. Bermudska ostrva su bili baza u trgovini. U više slučajeva robovi su dizali pobune koje su bile gušene. Od 1701. Britanska kruna je shvatila vojnu važnost Bermudskih ostrva za britanske interese u *Novom svijetu* i ondje je poslana vojska i uspostavljena baza britanske ratne mornarice.

Tokom američkog građanskog rata Bermuda je bilo mjesto odakle je krijumčaren ratni materijal neophodan pobunjenom Jugu.
Za vrijeme drugog svjetskog rata su Bermudi važna baza američke vojske. 1941. je američka vojska sagradila dvije baze, a u zamjenu su britanske snage dobile američke razarače. Američke, kanadske i britanske baze na ostrva zatvorene su 1995.

Nakon Drugog svjetskog rata Bermudi su se uspješno razvijali i postali značajni financijski centar na otvorenom moru. 1968. je usvojen Ustav koji od tada pojačava težnje za nezavisnošću iako je stanovništvo 1995. referendumom odbilo nezavisnost.

## Također pogledajte 
* Bermudski trougao

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* Službeni sajt Vlade Bermuda
* 

*
Kategorija:Britanske prekomorske teritorije
Kategorija:Ostrva
Kategorija:Ostrvske države
Kategorija:Ujedinjeno Kraljevstvo
Kategorija:Države i teritorije osnovane 1612.
Thor Heyerdahl

mini|desno|266x266px|Thor Heyerdahl
**Thor Heyerdahl** (Larvik, 6. oktobar 1914. - Colla Michieri, 18. april 2002.), norveški pomorski biolog i antropolog. Bio je pacifist i vatreni pristalica ekologije ("zeleni"). Imao je ženu i sina.

Najpoznatiji je po ekspediciji "Kon-Tiki" iz 1947. godine kada sa 33 godine starosti, odlazi sa grupom saradnika u Južnu Ameriku, gdje gradi splav od balzamovog drveta i drugih domorodačkih materijala. Želio je dokazati komunikaciju civilizacija iz Polinezije i Južne Amerike. Jedini moderni uređaj koji su ponijeli bio je radio. Na splav su ponijeli samo suhu hranu, pitku vodu u 56 limenki, a kao nadopunu jelovniku, lovili su ribu. Putovali su 101 dan preko Pacifika, a na kraju putovanja splav nazvan Kon Tiki razbio se na koralnom grebenu Raroia iz arhipelaga Tuamotu. Heyerdahl je postigao svoj cilj, te je knjiga o ekspediciji postala bestseler, a dokumentarac je osvojio Oscara 1951. godine.

Napisao je i niz drugih knjiga. Teoriju o komunikaciji J. Amerike i Polinezije je temeljio na legendi Inka. Govorio je da su preci stanovnika Uskršnjeg ostrva živili u doba Kon Tikija. Brodovima Ra i Ra 2 želio je dokazati komunikaciju Egipćana sa američkim kontinentom. Ra je upio previše vode i potonuo, ali Ra 2 je ispunio svoju misiju. Danas se Ra 2 čuva u muzeju Kon Tikija u Oslu.

Brodom Tigris je želio dokazati komunikaciju civilizacija iz Mezopotamije i onih iz doline Inda. Ne uspjevši proći kroz Sueski kanal, ogorčen javno spaljuje brod 3. aprila 1978, istodobno uputivši otvoreno pismo Kurtu Waldheimu, tadašnjem glavnom tajniku UN-a. Istraživao je Maldive i Indijski okean. Dobio je 11 počasnih doktorata, a posljednju knjigu naslovio je: "U potrazi za Odinom" u kojoj razrađuje Snorrijevu tezu da su svi bogovi nordijske mitologije bili ljudi, a kasnije slavljeni kao bogovi. Jednu od saga iz Prozne Edde uzeo je kao historijsku istinu, te ju je objasnio na naučni način. No,zbog te knjige napali su ga filolozi, historičari, i gotovo cijela naučna zajednica.Optužen je za pseudoznanost, za temeljni nedostatak naučne metodologije u svojem radu i za druge stvari.

Međutim, Heyerdahl nikad nije bio obični, još manje ortodoksni naučnik. On nije pisao za naučnu zajednicu, nego za široke mase. Njegov stil pisanja bio je zanimljiv i slikovit. Umro je od tumora na mozgu u 87. godini života u mjestu Colla Michieri u Italiji.

## Reference 
## Vanjski linkovi 
Kategorija:Rođeni 1914.
Kategorija:Umrli 2002.
Kategorija:Norveški naučnici
Kategorija:Norveški istraživači
Kategorija:Norveški biolozi
Kategorija:Norveški antropolozi
Smallville (sezona 7)

**Sedma sezona** američke TV serije *Smallville* počela se emitovati 27. septembra 2007. Ovo je druga sezona koja se emituje na televizijskoj mreži CW. Redovna glumačka ekipa sedme sezone uključuje sljedeće glumce: Tom Welling, Michael Rosenbaum, Kristin Kreuk, Allison Mack, Erica Durance, Aaron Ashmore, Laura Vandervoort i John Glover. Ova sezona je fokusirana na Clarkovo upoznavanje njegove biološke rodice po imenu Kara, koju on podučava kako da kontroliše sposobnosti u javnosti; Lanino ponašanje prema njenim prijateljima i prema Luxu, nakon što je otkriveno da je odglumila vlastitu smrt; Chloe otriva da ima kriptonsku sposobnost; oktriva se tajna novog novinara *Daily Planeta* po imenu Grant Gabriel.

__TOC__

## Epizode 
## Reference 
## Također pogledati 
* Smallville
* Smallville (sezona 1)
* Smallville (sezona 2)
* Smallville (sezona 3)
* Smallville (sezona 4)
* Smallville (sezona 5)
* Smallville (sezona 6)
* Smallville (sezona 8)

## Reference 
## Vanjski linkovi 
*Službena web-stranica  
*Kryptonsite
*
*Sezona 7 na Smallville Wiki

Kategorija:Smallville
Samir Šestan

**Samir Šestan** je bosanskohercegovački umjetnik i kompozitor.

Završio je gimnaziju i srednju muzičku školu za klavir, a u Minhenu *neue jazz school* studij za jazz klavir.

Od 1980. do 1992. je sarađivao sa sljedećim bendovima: Tok života, Rezervni točak, Divlje jagode, Kalkuta, Valentino, Tifa band i Merlin, te je radio na mnogim studijskim projektima.

Od 1992 je radio na mnogim studijskim projektima kao što su Hari Mata Hari - "Baš ti lijepo stoje suze", Zakon jačega; Merlin - "Peta strana svijeta"; Toše Proeski - "Dan za nas", Amir Kazić Leo - "Prokleta ljubav"; Halid Bešlić - "Ljiljani", "Okuj me care"...

Također je komponirao muziku za nekoliko kratkometražnih filmova od kojih je najznačajniji "Querkus" renomiranog režisera kratkometražnog filma Vuka Jevremovića.

Od 2010. se također bavi i edukativnim radom podučavajući klavir na nekoliko privatnih muzičkih škola u Minhenu.

## Vanjski linkovi
*Sestanmedia Music

Kategorija:Bosanskohercegovački muzičari
Kategorija:Rođeni 1965.
Kategorija:Biografije, Doboj
Kategorija:Živi ljudi
Kategorija:Bosanskohercegovački kompozitori
Kategorija:Jugoslavenski muzičari
Kategorija:Jugoslavenski kompozitori
Viva World Cup

VIVA Svjetsko prvenstvo (VIVA World Cup) je međunarodni nogometni turnir kojeg vodi NF board, koji nije povezan sa FIFom. Turnir bi se trebao odražavati svake druge godine. 

## VIVA Svjetsko prvenstvo 2006 
Iako se turnir trebao održati u Turskoj Republici Sjeverni Kipar, održan je u novembru 2006. u Occitaniji, čiji se najveći dio nalazi u južnoj Francuskoj. 

Na turniru su učestvovale četiri reprezentacije: Laponija-reprezentacija naroda Sámi koji žive na sjeveru Švedske, Norveške, Finske, i Rusije, reprezenatacija Monaka, reprezentacija Južnog Kameruna, i domaćini Occitania.

### Rezultati 
Četiri ekipe su igrale međusobno u grupi, a prve dvije su se kvalificirale u finale. 

Ekipe u zelenom su se kvalifikovale u finale, a ekipe u crvenom nisu.

Zbog problema sa vizama reprezentacija Južnog Kameruna nije mogla nastupiti, pa je njihovim protivnicima zabilježena pobjeda od 3-0. Prvi naslov VIVA World Cup-a uvjerljivo je osvojila reprezentacija Laponije, koja je postigla čak 42 gola u tri utakmice, pobijedivši u finalu Monako. 

## Finale 
**Laponija - Monako 21-0** 

## VIVA World Cup Trofej 
VIVA World Cup Trofej je dizajnirao francuski kipar Gérard Pigault, i biti će nazvan Nelson Mandela Trofej, u čast prema bivšem Južnoafričkom predsjedniku.

## Vanjski linkovi 
* Zvanična stranica   

Kategorija:Nogomet
Godine Drveća

**Godine Drveća** je imaginarno doba iz knjige Silmarilion. Godine Drveća su počele kada je Javana, jedna od Valara, stvorila dava drveta, Telperio i Laurelin koja su isijavala zlatnu i srebrnu svjetlost. Ta je svjetlost bila prelijepa, i razlijevala se po čitavom Valinoru. Međutim, svjetlost su imale samo Neumiruće zemlje, dok je Srednja zemlja bila u mraku. Na Srednjoj zemlji je Melkor sagradio utvrđenja Utumno i Angband i tamo je bilo puno zla i demona. U ovo vrijeme je Aule oblikovao tijela Patuljaka, ali ih je ostavio da spavaju i da se probude tek kada Vilenjaci budu hodili Srednjom zemljom. 10.500 godina drveća je prošlo kada je Varda uzela malo rose Telperiona i otišla na nebo. Tamo je stvorila zvijezde, svjetlucave i lijepe. Kada bi Melkorove sluge pogledale u zvijezde osjećali su bol. Tada se Vilenjaci probudiše u zalivu Kuivienen. Prvo što su ugledali bile su zvijezde i zbog toga najviše vole Vardu, koja ih stvori. Kada su saznali za Vilenjake, Valari su zaratili sa Melkorom i uništili Utumno. Zatočili su Melkora tri doba (jedno doba je trajalo 2,900 godina). Pozvali su Vilenjake da dođu u Valimar i mnogi su došli. Uslijedila su tri duga doba u kojima su Vilenjaci i Valari živjeli u sreći. U to doba stvorena su mnoga najveća dijela Noldora kao Palantiri i Silmarili. Melkor je poslije tri doba izjavio da se pokajao i pustili su ga na slobodu. Međutim Melkor je spalio Dva drveta, ubio Finvea, kralja Noldora i ukrao Silmarile. Feanor je poveo Vilenjake u potjeru za Melkorom. Valari su od ostataka drveća stvorili sunce i mjesec. Tako je počelo Prvo doba sunca.

## Reference 
## Vanjski linkovi 
Kategorija:Srednja zemlja
Aleksinac

**Aleksinac** (srp. *Алексинац*) je općina i grad u Srbiji, 30 kilometara sjeverno od Niša, a 200 kilometara južno od Beograda.

Pored Aleksinca prolazi autoput, kao i pruga Beograd-Niš. Ova saobraćajnica je dio autoputa E75, važne evropske trase koja povezuje Srednju Evropu sa Bliskom Istokom.

## Stanovništvo 
Broj stanovnika u općini je 57.749, a samo naselje Aleksinac broji oko 17.000 stanovnika (popis 2002.). Veliki broj stanovnika je u ostalim naseljenim mjestima u ovoj općini: Žitkovac, Moravac, Mozgovo, Tešica - ukupno 72 naselja. Područje općine pokriva 707&nbsp;km2.

## Poljoprivreda 
Veliki dio ove općine je ravničarski, tako da je dominantna poljoprivredna proizvodnja. Uglavnom je zastupljena individualna i primarna proizvodnja. Ovo je posljedica propadanja velikog poljoprivrednog giganta PIK Aleksinac.

Od ostalih djelatnosti izražen je privatni sektor u području trgovine i usluga. Što se proizvodnje tiče, zastupljena je metaloprerađivačka djelatnost u maloj privredi (Komak M, Vabis, Start92, Tehnoelektro), a od većih preduzeća Slovenački Alpos, Frad u sastavu MPS grupe, EMPA (električni proizvodi).

Do 1989. godine, u Aleksincu se eksploatisao ugalj, ali je rudnik zatvoren nakon eksplozije u rudniku. U nesreći koja se dogodila 17. novembra 1989. godine poginula su 92 rudara.

## Vanjski linkovi 
* Zvanična stranica

## Reference 
Kategorija:Općine u Srbiji
*
Kategorija:Općine u Nišavskom okrugu
Laponija

|- 
| align=center colspan=2 | Location Lapland|200px
|-
| Nacionalna himna
| Sámi soga lávlla
|-
| Jezici
| Saami, norveški, švedski, finski, ruski
|-
| Površina
| ~ ²388.350 km2
|-
| Stanovništvo&nbsp;- Saami&nbsp;- Ukupno
| oko 70.000 2.317.159
|-
| Nezavisnost
| Nema¹
|-
| Vremenska zona
| UTC +1 do +3
|- 
| colspan=2 | ¹ Sastavni dio Norveške, Švedske, Finske i Rusije, ali sa određenim stepenom autonomije za Saami stanovništvo..
|-
|}

**Laponija** (*Lappland, Lappi, Sápmi, Sameland, i Saamiland*), je naziv za kulturnu regiju koju tradicionalno naseljava narod Saami. Danas, sjeverna provincija Finske nosi naziv Laponija, kao i švedska regija na sjeveru, iako je administrativno podjeljena između dvije zemlje nosi naziv Laponija.

Laponija se nalazi u sjevernoj Evropi i uključuje sjeverne krajeve Skandinavije i poluostrvo Kola, u Rusiji. Padom SSSR-a dolazi do poboljšanja međunarodnih odnosa ovih zemalja. Ovo je bitno za pripadnike Saami naroda, kao i lokalnog stanovništva koje ima Saami pretke iz prošlosti. Većina lokalnog stanovništva regije vuče porijeklo od Saami naroda.

## Teritorija 
Površina Laponije se nalazi iznad artičkog kruga. Zapadni dijelovi oduhvaćaju fjordove, ledenjake i planine, najveći vrh je planina Kebnekaise (2.111 m) u Švedskoj. Prema istoku se pružaju ravnice, pašnjaci i jezera, na krajnjem istoku počinje teritorij tundre.

## Stanovništvo 
Prema statistikama u Laponiji živi oko 70.000 pripadnika Saami naroda. Oko 40.000 živi u Norveškoj, 20.000 u Švedskoj, 6.000 u Finskoj i oko 2.000 u Rusiji.

## Svjetska baština 
Laponija je 1996. godine uvrštena na listu UNESCO-ove svjetske baštine.

Arheološki ostaci svjedoče o dolasku ranih stanovnika u područje Laponija prije 6.000-7.000 godina. Doseljenici su bili nomadski lovci-sakupljači, prehranjivali su se uglavnom od divljih sobova, a tragovi njihovog zanimanja nalaze se u obliku ognjišta i temelja kuća..

## Također pogledajte 
* Lappland
* Murmanska oblast

## Vanjski linkovi 
*Prezentacija švedskog Saami parlamenta 
## Reference 
Kategorija:Geografija Norveške
Kategorija:Geografija Švedske
Kategorija:Geografija Finske
Kategorija:Geografija Rusije
Kategorija:Svjetska baština u Švedskoj
Kategorija:Regije Arktika
Državna cesta D43

**D43** je državna cesta u smjeru sjever-jug koja povezuje Đurđevac s čvorom Ivanić Grad na autocesti A3. Duga je 77,8&nbsp;km.

Na ovoj cesti se nalaze sljedeća naselja poredana od sjevera prema jugu (važnija mjesta su podebljana): **Đurđevac**, Šemovci, Hampovica, Rakitnica, Trojstveni Markovac, **Bjelovar**, Narta, Vagovina, Gornji Draganec, Štefanje, **Čazma**, Bosiljevo, Općevac, Palančani, Dapci, Šumećani, Graberje Ivanićko, Caginec, Pikos Ivanićki, **Ivanić Grad**, izlaz Ivanić Grad.

Državna cesta D43 se križa s autocestom A3, državnim cestama D2, D4, D26, D28 i D524.

## Reference 
* Hrvatske Ceste

43
Državna cesta D28

**D28** je državna cesta u smjeru istok-zapad od čvora Sv. Helena do Velikih Zdenaca. Cesta je duga 84 km i sastoji se od četiri dionice.

## Naselja 
Na D28 se nalaze sljedeća naselja naznačena prometnim znakom poredana od zapada prema istoku (naselja između dionica su podebljana): **Vrbovec**, Gradec, Cugovec, Stari Glog, Haganj, Škrinjari, **Sveti Ivan Žabno**, Kuštani, Rovišće, Predavac, **Bjelovar**, Ždralovi, Patkovac, Bulinac, Drljanovac, Veliki Grđevac, Pavlovac i **Veliki Zdenci**.

## Brza cesta B28 (Sv. Helena - Bjelovar - Virovitica) 
3. augusta 2007. godine otvorena je dionica brze ceste, Vrbovec - Gradec koja u luku zaobilazi Vrbovec. Zbog zastarjele karte na stranici Hrvatskih cesta trenutno nije jasno da li je cesta D28 preusmjerena na novu dionicu.

## Križanja 
Državna cesta D28 križa se od zapada prema istoku s državnim cestama D41, D26, D22, D524, D43, D5 i D45.

## Reference 
* *Odluka o razvrstavanju javnih cesta u državne ceste, županijske ceste i lokalne ceste*, Ministarstvo pomorstva, prometa i veza, Zagreb, 6. jula 1999.
* Hrvatske Ceste 

28
Rakitnica

**Bosna i Hercegovina**:
* Rakitnica (Neretva), pritoka Neretve
* Rakitnica (Prača), pritoka Prače
* Rakitnica (Rogatica), naselje u općini Rogatica
* Rakitnica (Trnovo, Federacija Bosne i Hercegovine), naselje u općini Trnovo

**Hrvatska**:
* Rakitnica (Virje), naselje u općini Virje, Koprivničko-križevačka županija

**Slovenija**:
* Rakitnica (Ribnica), naselje u općini Ribnica, regija Jugoistočna Slovenija
Kvant (časopis)

mini|desno|200px|Quantum
**Kvant** je poznati ruski fizičko-matematički časopis za učenike i studente. Izlazi od januara 1970. godine. Osnivači časopisa bili su akademici matematičar Andrej Nikolajevič Kolmogorov (1903-1987.) i fizičar Isaak Konstantinovič Kikoin (1908-1984. godine).

Prijevodi pojedinih tekstova iz Kvanta su objavljivani u časopisu Quantum, od 1990–2001, koji je izdavan u Grčkoj od 1993–2001.

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* http://kvant.mccme.ru/
* http://kvant.info/
* http://www.nsta.org/quantum/ 

Kategorija: Stručni i naučni časopisi
Kategorija: Ruski mediji
WTO

* Engleska skraćenica:
** Svjetska trgovačka organizacija (WTO)
** Svjetska turistička organizacija (WTO)
Back in Black

***Back in Black*** sedmi je studijski album australske rok-grupe AC/DC. Album *Back i Black* u svijetu se prodao u više od 42 miliona primjeraka što znači da je poslije albuma *Highway to Hell* najprodavaniji album grupe AC/DC.

## Spisak pjesama
# "Hells Bells" – 5:12
# "Shoot to Thrill" – 5:17
# "What Do You Do for Money Honey" – 3:35
# "Givin the Dog a Bone" – 3:31
# "Let Me Put My Love into You" – 4:15
# "Back in Black" – 4:15
# "You Shook Me All Night Long" – 3:30
# "Have a Drink on Me" – 3:58
# "Shake a Leg" – 4:05
# "Rock And Roll Ain't Noise Pollution" – 4:16

## AC/DC 
* Angus Young – solo gitara
* Malcom Young – ritam gitara
* Brian Johnson – vokal
* Cliff Williams – bas-gitara
* Phil Rudd – bubnjevi

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* https://ig.ft.com/life-of-a-song/back-in-black.html

Kategorija:Albumi AC/DC-ja
Kategorija:Albumi iz 1980.
Prsten (matematika)

U matematici, **prsten** je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:

# (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:
* asocijativnost sabiranja:
: (a + b) + c = a + (b + c)
* neutralni element za sabiranje 
: (∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
* ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je 
: a + (-a) = (-a) + a = 0
* komutativnost sabiranja
: a + b = b + a

# (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno 
: (ab)c = a(bc)

# operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:
: ∀ a, b, c ∈ R vrijedi :
: a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc

## Primjeri 
* Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za sabiranje i za množenje
* Prsten cijelih brojeva s operacijama sabiranja i množenja. To je komutativan prsten
** Racionalni, realni i kompleksni brojevi tvore prstene (štoviše, oni su i polja).
* Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
* Prsten polinoma *R*[X] s koeficijentima iz prstena *R* je također prsten.
* *Primjer nekomutativnog prstena*: Za bilo koji prsten *R* i proizvoljan prirodan broj *n*, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz *R*, tvori prsten s operacijama sabiranja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) *R*. Za n≥2, ovaj prsten matrica je primjer *nekomutativnog prstena* (osim ako je *R* trivijalan prsten).
* *Primjer konačnog prstena*: Ako je *n* pozitivan cijeli broj, onda skup \mathbb{Z}_{n} = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} cijelih brojeva modulo *n* (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda *n*) tvori prsten s *n* elemenata.

## Osnovni teoremi 
Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je R prsten, \forall a, b \in R imamo:
* 0 \cdot a = a \cdot 0 = 0
* (-1)\cdot a = -a
* (-a)\cdot b = a\cdot (-b)
* (a\cdot b)^{-1} = b^{-1}\cdot a^{-1}, pod uvjetom da su i *a* i *b* invertibilni.

Ostali osnovni teoremi:

* Neutralni element 1 je jedinstven
* Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
* Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1

## Također pogledajte 
* Polje (matematika)

Kategorija:Algebarske strukture
Kategorija:Teorija prstena
Planckova konstanta

mini|desno|200px|Ploča na Humboldt Univerzitetu, Berlin
**Planckova konstanta** je jedna od osnovnih fizikalnih konstanti, koja se ne pojavljuje u okviru klasične fizike, ali se kao veličina često pojavljuje u kvantnoj mehanici. Planckova konstanta iznosi:

:h =\,\,\, 6.626\ 0693 \times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} \,\,\, = \,\,\,  4.135\ 667\ 43 \times10^{-15}\ \mbox{eV}\cdot\mbox{s}

U mnogim slučajevima pogodno je uvesti veličnu redukovane Planckove konstante (ponekad se naziva Diracova konstanta), koja je definiše kao:

:\hbar\equiv\frac{h}{2\pi} = \,\,\, 1.054\ 571\ 68\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s} \,\,\, = \,\,\, 6.582\ 119\ 15 \times10^{-16}\ \mbox{eV}\cdot\mbox{s}

Dimenzija Planckove konstante je (N·m·s), što je također dimenzija fizikalne veličine poznate kao akcija.

Planckova konstanta prvi je puta uvedena u okviru tumačenja zračenja crnog tijela od strane Maxa Plancka, što je predstavljalo početak stvaranja kvantne mehanike.

Simbol \hbar u Bosanskom jeziku se jeziku najčešće čita kao "će", mada se koristi i engleska formulacija "h bar", jer je u pitanju simbol koji je uglavnom identičan ćirilićnom slovu ћ.

## Također pogledajte 
* Prirodne jedinice

## Vanjski linkovi 
* http://www.numericana.com/answer/constants.htm#h
* http://books.google.com/  celestial+mechanics+planck+constant
* http://physics.nist.gov/cuu/Reference/versioncon.shtml
* http://physicsworld.com/cws/article/print/373 
* http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1918/planck-lecture.html

Kategorija:1900. u nauci
Kategorija:Osnovne konstante
Kategorija:Max Planck
Bijekcija

mini|200px|Bijektivna funkcija.
U matematici, za funkciju iz skupa *X* u skup *Y* kažemo da je **bijektivna** ako za svako *y* u *Y* postoji tačno jedan *x* u *X* takav da *f*(*x*) = *y*.

Drugim riječima, *f* je bijektivna je **1-1 korespondencija** između tih skupova, tj. i **1-1** (injekcija) i **na** (surjekcija)

Na primjer, funkcija sljedbenika *sljed*, definirana na skupu cijelih brojeva \Z u \Z, tako da svakom cijelom broju *x* pridjeljuje cijeli broj sljed(*x*) = x + 1. Za drugi primjer, neka se promotri funkcija sumraz koja svakom paru (*x*,*y*) realnih brojeva pridjeljuje par sumraz(*x*,*y*) = (*x*&nbsp;+&nbsp;*y*, *x*&nbsp;&minus;&nbsp;*y*).

Bijektivna se funkcija još zove **bijekcija** ili **obostrano jednoznačno preslikavanje** ili **permutacija**. Potonji se termin češće koristi kad je *X* = *Y*. Valja uočiti da *1-1 funkcija* nekim autorima znači *1-1 korespondencija* (tj. *bijekcija*), a drugim autorima *injekcija*. Skup svih bijekcija iz *Y* u *Y* se označava kao *X*{}\leftrightarrow{}*Y*.

Bijektivne funkcije imaju fundamentalnu ulogu u mnogim područjima matematike, poput definicije izomorfizma (i srodnih koncepata poput homeomorfizma i difeomorfizma), permutacijske grupe, projektivne ravni, i mnogim drugim.

## Kompozicija i inverzi 
Funkcija *f* je bijektivna ako i samo ako je njena inverzna relacija *f* &minus;1 funkcija. U tom je slučaju *f* &minus;1 također i bijekcija.

Kompozicija *g*&nbsp;o&nbsp;*f* dvaju bijekcija *f*\;:\; *X*{}\leftrightarrow{}*Y* i *g*\;:\; *Y*{}\leftrightarrow{}*Z* je bijekcija. Inverz od *g*&nbsp;o&nbsp;*f* je (*g*&nbsp;o&nbsp;*f*)&minus;1 = (*f* &minus;1)&nbsp;o&nbsp;(*g*&minus;1).

mini|300px|Bijekcija komponirana od injekcije i surjekcije.
S druge strane, ako je kompozicija *g*&nbsp;o&nbsp;*f* dvaju funkcija bijektivna, možemo samo reći da je *f* injektivna i *g* surjektivna.

Relacija *f* iz *X* u *Y* je bijektivna funkcija ako i samo ako postoji druga relacija *g* iz *Y* u *X* takva da je *g*&nbsp;o&nbsp;*f* identiteta na *X*, i *f*&nbsp;o&nbsp;*g* je identiteta na *Y*. Slijedi da skupovi imaju isti kardinalni broj.

## Primjeri 
## Također pogledajte 
* Injektivna funkcija
* Surjektivna funkcija
* Izomorfizam
* Permutacija
* Simetrična grupa

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* 
* 

Kategorija:Funkcije i preslikavanja
Kategorija:Osnovni koncepti u teoriji skupova
Kategorija:Matematičke relacije
Kategorija:Vrste funkcija
Prazna funkcija

U matematici, **prazna** ili **nularna funkcija** je funkcija čiji je domen jednak praznom skupu. Za svaki skup *A*, postoji tačno jedna takva prazna funkcija:

:*f**A*: ø →  *A*. 

Ovo uključuje svaku konstantnu formulu *c*, ali slika prazne funkcije nije {*c*}, već prazan skup.

Većina autora ne pravi razliku prilikom preciznog definiranja termina "konstantna funkcija", o tome uključuje li definicija i praznu funkciju, te pritom koriste najprigodniju moguću definiciju. Međutim, ponekad je najbolje ne smatrati praznu funkcijom konstantnom, te definicija koja se odnosi na sliku funkcije je tad prigodnija. Ovakvo zaključivanje slijedi sličan tok misli po kojem se prazni topološki prostor smatra povezanim, ili onaj koji trivijalnu grupu ne smatra jednostavnom.

## Reference 
## Vanjski linkovi 
Kategorija:Osnovni koncepti u teoriji skupova
Kategorija:Funkcije i preslikavanja
Kategorija:Vrste funkcija
Ekvipotencija

U matematici, dva skupa *A* i *B* su **ekvipotentna** ili **jednakobrojna** ako imaju isti kardinalitet, tj. ako postoji bijekcija *f* : *A* → *B*. Ovo se obično označuje kao:

:A \approx B.\,

Nazivi **ekvipotentnost**, **ekvipolentnost** i **jednakobrojnost** se koriste sinonimno.

U **Skupu**, kategoriji svih skupova s funkcijama kao morfizmima, izomorfizam među skupovima je tačno bijekcija, i dva su skupa jednakobroja tačno ako su izomorfna u ovoj kategoriji.

## Također pogledajte 
*Kategorija skupova
*Kardinalan broj
*Kardinalnost
*Bijekcija

## Reference 
## Vanjski linkovi 
Kategorija:Teorija skupova
Baza (linearna algebra)

**Baza** nekog vektorskog prostora *V* nad poljem *K* je uređeni skup međusobno linearno nezavisnih i ne-nul vektora *e = {e1, e2, ... , en}*, kojima se, uz množenje skalarima, jednoznačno može predstaviti svaki drugi vektor *a* iz *V*:

:a = \alpha _1 e_1 + \alpha _2 e_2 + \cdots + \alpha _n e_n, \; \alpha _i \in K

Odavde slijedi da je ovakav skup također i minimalan, jer ako bi se, na primjer, *ei* moglo izraziti kao *aej + vek*, to bi značilo da se vektor *ei* može izraziti na još jedan način, što više nije jednoznačno.

Kako se u vektorskom prostoru dimenzije *n* može predstaviti *n* linearno nezavisnih vektora, njegovu bazu mora činiti najmanje *n* vektora, što zajedno s gornjim zaključkom daje da baza *n*-dimenzionog vektorskog prostora *V* ima tačno *n* vektora.

## Kanonska baza 
Jedna od baza *n*-dimenzionog vektorskog prostora *V* se može definirati na sljedeći način:

e: \{e_i = (\underbrace{0,\dots ,0 }_{i-1},1,\underbrace{0,\dots ,0 }_{n-i}),  \;\; i=1,\dots ,n  \}

Ova se baza naziva kanonskom bazom tog prostora, a po definiciji je i ortonormirana.

## Također pogledajte 
* Ortonormirana baza

Kategorija:Linearna algebra
Cayley-Hamiltonova teorema

**Cayley-Hamiltonov teorem** je jedan od najznačajnijih tvrdnji u linearnoj algebri. Teorem glasi:

:*Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom.*

Promotrimo na primjer matricu:

:A = \begin{bmatrix}1&2\\
3&4\end{bmatrix}.

Njen karakteristični polinom je:

:p(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\
-3&\lambda-4\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)-2\cdot3=\lambda^2-5\lambda-2.

A u saglasnosti s Cayley-Hamiltonovim teoremom:

:A^2-5A-2I_2=0

## Reference 
## Vanjski linkovi 
Kategorija:Linearna algebra
Skalar (matematika)

[180px|right|thumb|Skalari su [realni brojevi korišteni u linearnoj algebri, za razliku od vektora. Ova slika pokazuje Euklidski vektor. Njegove koordinate *x* i *y* su skalari, kao i njegova dužina, ali **v** nije skalar.]]

U linearnoj algebri, realni brojevi se zovu **skalari** a odnose se prema vektorima u vektroskom prostoru kroz operaciju množenja skalara, u kojoj vektor može biti umnožen brojem da proizvede naredni vektor. Generalnije, vektorski prostor može biti definiran korištenjem bilo kojeg polja umjesto realnih brojeva, kao što su kompleksni brojevi. Tada skalari tog vektorskog prostora bit će elementi povezanog polja.

Operacija skalarnog proizvoda –&nbsp;razlikovati od: skalarno množenje&nbsp;– može biti definirano na vektorskom prostoru, omogućavajući dvama vektorima da budu pomnoženi da proizvedu skalar. Vektorski prostor opremljen skalarnim proizvodom zove se prostor unutrašnjeg proizvoda.

Realna komponenta kvaterniona također se svojim **skalarnim dijelom**.

Primer skalara je volumen, masa, temperatura i energija.

## Također pogledajte 
* Skalarni proizvod
* Vektor
* Tenzor

## Reference 
Kategorija:Linearna algebra
Gram–Schmidtov postupak

**Gram–Schmidtov postupak** metoda je u linearnoj algebri koja služi za ortogonalizaciju skupa vektora u zadanom euklidskom prostoru.

Postupak je sljedeći: uzmimo vektorski prostor proizvoljne dimenzije **R***n* baze {**v**1, **v**2, ... ,**v**n}, Gram–Schmidtovim postupkom ortogonalizacije možemo transformirati bazu {**v**i} u ortonormiranu bazu, {**u**i}. Prvo normaliziramo **v**1: **u**1=**v**1/||**v**1||.

Nakon toga izračunavamo:**w**2=**v**2-2,**u**1>**u**1, pa normaliziramo **w**2: **u**2=**w**2/||**w**2||

Ovaj postupak primijenimo za sve vektore iz baze {**v**i}: **w**i+1=**v**i+1-i+1,**u**iui>- ... - i+1,**u**1>**u**1 i **u**i+1=**w**i+1/||**w**i+1||. Vektori {**u**1, ... ,**v**n} linearno su nezavisni i stoga čine bazu vektorskog prostora **R***n*.

## Primjer 
Uzmimo sljedeći skup vektora u **R***n* (s uobičajenim skalarnim proizvodom)
:S = \left\lbrace\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}2 \\2\end{pmatrix}\right\rbrace.

Sada primijenimo Gram–Schmidtov postupak kako bismo dobili ortogonalni skup vektora:
:\mathbf{u}_1=\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
: \mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \mathrm{proj}_{\mathbf{u}_1} \, \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix} - \mathrm{proj}_{({3 \atop 1})} \, {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} -2/5 \\6/5 \end{pmatrix}. 

Provjerimo vektore **u**1 i **u**2 kako bismo utvrdili da su zaista ortogonalni:
:\langle\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix} \right\rangle = -\frac65 + \frac65 = 0.

Sada ih možemo normalizirati tako što ćemo ih podijeliti njihovim dužinama:

desno|mini|Prvi koraci Gram–Schmidtovog postupka

:\mathbf{e}_1 = {1 \over \sqrt {10}}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}
:\mathbf{e}_2 = {1 \over \sqrt{40 \over 25}} \begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}
 = {1\over\sqrt{10}} \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}. 

## Reference 
## Vanjski linkovi 
Kategorija:Linearna algebra
Vektorski prostor

**Vektorski** ili **linearni prostor** je algebarski pojam u matematici koji nalazi primjenu u svim glavnim granama matematike, među kojima su linearna algebra, analiza i analitička geometrija. Definiše se na sljedeći način:

Neka skup *V* ima strukturu Abelove grupe u odnosu na sabiranje. Elemente skupa *V* zovemo vektori. Neutralni element označujemo sa *0* i zovemo *nulti vektor*.

Neka skup *F* ima strukturu polja. Elemente skupa *F* zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dvije binarne operacije označujemo sa *0* i *1*.

Na skupu *F × V* definirano je množenje vektora skalarom, tj. preslikavanje *F × V → V*, koje svakom skalaru \alpha \in F i svakom vektoru x \in V pridružuje vektor \alpha x\in V, tako da vrijede sljedeći aksiomi:

:***(I)*** \alpha (\beta x)=(\alpha \beta) x, \forall \alpha , \beta \in F, \forall x\in V

:***(II)***  \alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y,  \forall \alpha \in F, \forall x, y \in V

:***(III)***  (\alpha + \beta )x=\alpha x+\beta x, \forall \alpha ,\beta \in F, \forall x \in V

:***(IV)*** 1x=x, \forall x \in V

Ovako se definisano preslikavanje zove **množenje vektora skalarom**, dok se *V* naziva **vektorski prostor** nad poljem *F* i piše *V(F)*.

Uobičajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Također, vektorski se prostor u kojem je definisan skalarni produkt naziva Euklidski vektorski prostor.
## Također pogledajte 
* Spisak vektorskih identiteta

Kategorija:Linearna algebra
Kategorija:Koncepti u fizici
Jedinična matrica

**Jedinična matrica** je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva **matricom identiteta**, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom *E*, a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je *Id* ili samo *I*.

:
E_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\  
E_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
E_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
E_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

Što se, također, može definisati i Kroeneckerovom deltom:

:E_n = (\delta_{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}},

gdje je:

:\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
 1 & , i=j\\
 0 & , i \neq j
\end{matrix}\right.\quad\mbox{sa }i,j\in\{1,\ldots,n\}

Alternativni zapisi su:
:E_{ij} = \delta_{ij}
:E = (\delta_{ij})

## Osobine 
### Množenje 
Jedna od bitnih osobina jedinične matrice *En* nekog prostora *Kn × n* jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:

:EA = AE = A, \; A \in K^{n \times n}

Štaviše, vidi se da je matrica nad prostorom *Kn × n* komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore *Kn × m, m ≠ n*, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine također slijedi i:

:AA^{-1} = A^{-1}A = E

Primjer:

:\begin{bmatrix}
  2 & 3 & -2 \\
  1 & 1 & 3 
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0 \\
  0 & 1 & 0 \\
  0 & 0 & 1 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
  2 & 3 & -2 \\
  1 & 1 & 3 
\end{bmatrix}

### Determinanta i inverzna matrica 
Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.

:|E| = 1
:E = E^{-1}

Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:

:EE^{-1} = E, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice
:E^{-1}EE^{-1} = E^{-1}E, množenje slijeva sa *E-1*
:\underbrace{E^{-1}E}_{E}E^{-1} = \underbrace{E^{-1}E}_{E}, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje *E*
:\underbrace{EE^{-1}}_{E^{-1}} = E, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe
:E^{-1} = E, kraj dokaza

## Reference 
## Vanjski linkovi 
Kategorija:Linearna algebra
Teorija skupova

mini|Venov dijagram pokazuje presjek dva skupa

**Teorija skupova** je matematička teorija skupova, koji predstavljaju kolekcije apstraktnih objekata. Obuhvataju svakodnevnu notaciju skupa, kao što je ona uvedena u osnovnoj školi, kao kolekciju objekata, te pripadne koncepte elemenata i članstva takvih kolekcija.

Moderno proučavanje teorije skupova započeli su njemački matematičari Richard Dedekind i Georg Cantor 1870-ih godina. Georg Cantor se posebno smatra osnivačem teorije skupova. Neformalizirani sistemi istraživani tokom ove rane faze nazivaju se *naivna teorija skupova*. Nakon otkrića paradoksa unutar naivne teorije skupova (kao što su Russellov paradoks, Cantorov paradoks i Burali-Fortijev paradoks), početkom dvadesetog stoljeća predloženi su različiti aksiomski sistemi, od kojih je Zermelo-Fraenkelova teorija skupova (sa ili bez aksioma izbora) i dalje najpoznatija i najproučavanija.

Teorija skupova se obično koristi kao temeljni sistem za cijelu matematiku, posebno u obliku Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora. Pored svoje temeljne uloge, teorija skupova također pruža okvir za razvoj matematičke teorije beskonačnosti i ima različite primjene u računarstvu (kao što je teorija relacione algebre), filozofiji, formalnoj semantici i evolucijskoj dinamici. Njena temeljna privlačnost, zajedno s njenim paradoksima i implikacijama na koncept beskonačnosti i njenim višestrukim primjenama, učinila je teoriju skupova područjem od velikog interesa za logičare i filozofe matematike . Savremena istraživanja teorije skupova pokrivaju širok spektar tema, od strukture realne brojevne linije do proučavanja konzistentnosti velikih kardinala.

U većini modernih matematičkih formalizama teorija skupova predstavlja jezik opisa matematičkih objekata. Zajedno sa logikom i predikatnim računom predstavlja jedan od aksiomatskih temelja matematike, dozvoljavajući formalnu konstrukciju matematičkih objekata iz nedefiniranih termina "skupa" i "članstva skupa". Predstavlja punopravnu granu matematike, i aktivno je područje istraživačkog rada.

U naivnoj teoriji skupova, skupovi su uvedeni koristeći tzv. samoevidentni koncept skupova kao kolekcija objekata smatranih cjelinom.

U aksiomatskoj teoriji skupova, koncepti skupa i članstva skupa su definirani indirektno postuliranjem određenih aksioma koji specificiraju njihova svojstva. Shodno ovakvoj koncepciji, skupovi i članstva skupa su fundamentalni koncepti poput tačke i crte u euklidskoj geometriji, i nisu sami po sebi definisani.
## Reference 
## Vanjski linkovi 
* http://handbook.assafrinot.com/ (en)
* http://www.settheory.net/ (en)


Kategorija:Matematička logika
Kategorija:Formalni metodi
Spirala

U matematici **spirala** je kriva koja se kružno udaljava (može se reći i približava) od svog centra.

## Dvodimenzionalne spirale 
Dvodimenzionalna spirala najlakše se opisuje preko polarnih koordinata, gdje je poluprečnik *r* kontinuirana monotona funkcija ugla θ. Kružnica se može smatrati posebnim slučajem spirale (funkcija nije striktno monotona, nego konstantna).

Neke od važnijih vrsta dvodimenzionalnih spirala su:

* Arhimedova spirala: *r* = *a* + *b*θ
* Fermatova spirala: *r* = θ1/2
* hiperbolična spirala: *r* = *a*/θ
* logaritamska spirala: *r* = *ab*θ; (pojavljuje se u prirodi)
* Fibonaccijeva spirala i spirala zlatnog reza: posebni slučajevi logaritamske spirale.

Datoteka:Archimedean spiral.svg|Arhimedova spirala
Datoteka:Logarithmic spiral.png|Logaritamska spirala
Datoteka:Fermat's spiral.png|Fermatova spirala
Datoteka:Hyperspiral.png|Hiperbolična spirala

## Također pogledajte 
* Fibonaccijev broj
Sfera (čvor)

* Sfera, skup tačaka u prostoru jednako udaljenih od neke tačke
* SFera, Društvo za naučnu fantastiku iz Zagreba
* Nagrada SFERA, nagrada koju od 1981. godine dodjeljuje društvo **SFera**
* *Sfera* (novela), knjiga Michaela Crichtona iz 1987. godine 
* *Sfera* (film), film iz 1998. godine, zasnovan na istoimenoj noveli, u kojem glume Dustin Hoffman, Sharon Stone i Samuel L. Jackson
Mjerna veličina

mini

**Mjerna veličina** (stariji naziv je **fizikalna veličina**) je osobina objekta (pojave, tvari ili tijela) koje se može kvalitativno razlikovati i kvantitativno odrediti.

Na primjer, fizička veličina masa , simbol *m* , može se kvantificirati kao *m* = *n* kg, gdje je *n* numerička vrijednost, a kg simbol jedinice (za kilogram).  
Izražava se kao proizvod brojevne vrijednosti {*M*} i mjerne jedinice [*M*]:
:M=\{M\}\;[M]

Primjer:

:Napon U=\{U\}\;[U]=20\;\mathrm{V}
:{*U*} = 20 (brojevna vrijednost napona je 20)
:[*U*] = V (jedinica napona je volt)

## Literatura 
* Cook, Alan H. *The observational foundations of physics*, Cambridge, 1994. 
* Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgson, 2nd Edition, 1978, John Murray, 
* Encyclopedia of Physics, R.G. Lerner, G.L. Trigg, 2nd Edition, VHC Publishers, Hans Warlimont, Springer, 2005, pp 12–13
* Physics for Scientists and Engineers: With Modern Physics (6th Edition), P.A. Tipler, G. Mosca, W.H. Freeman and Co, 2008, 9-781429-202657

## Reference
Rotacijska tijela

**Rotaciona tijela** su tijela nastala rotacijom nekog lika oko osi (pravca).

Primjeri rotacionih tijela su kugla (nastala rotacijom polukruga oko promjera), polukugla (rotacijom četvrtine kruga oko polumjera), kupa (rotacijom pravouglog trougla oko katete), valjak (rotacijom pravougaonika oko jedne stranice) ili prsten iz svakodnevnog života (nastao rotacijom polukruga oko pravca paralelnog sa njegovim promjerom).

Važna formula za određivanje volumena rotacionih tijela je tzv. Guldinov (ili Pappusov) teorem, koji kaže da je volumen rotacionog tijela nastalog rotacijom lika oko osi koja to tijelo ne sijeće jednak proizvodu površine lika sa dužinom krivulje koju opisuje težište tog lika.

## Također pogledajte 
* Rotacione površine
* Gabrielova truba
* Guldinov teorem

Kategorija:Integralni račun
Kategorija:Čvrsta tijela
Prsten (čvor)

* Prsten, dekorativni ornament koji se nosi na prstima
* Prsten (dijakritik), kao u *Åmål*
* *Prsten* (film), film (Hideo Nakata)
* *Prstenovi* (kratki film), kratki film (Jonathan Liebesman)
* *Prsten* (Koji Suzuki), roman Kojija Suzukija
* *Prsten* (Stephen Baxter), roman Stephen Baxtera

## Nauka 
* Prsten (hemija), ciklična molekula
* Prsten (matematika), vrsta skupa (algebarska struktura)
* Prsten (geometrija), kružni prsten, kružni oblik
* Planetarni prsten
Ekscentricitet

mini|300px|desno|Ekscentricitet elipse
Krajnje pojednostavljeno, **ekscentricitet** bi bilo odstupanje od centra.

Ekscentricitet se koristi za opisivanje putanji nebeskih tijela. Njihove putanje, iako različite, ipak bi se mogle svrstati na tri osnovne: eliptične, parabolične i hiperbolične. Veličina koja daje osnovnu karakteristiku za ove tri geometrijske figure je ekscentricitet. Elipsu kao geometrijski lik, karakteriziraju dva fokusa. Ekscentricitet se izražava u bezdimenzionalnim jedinicama (numerički ekscentricitet Mjesečeve orbite oko Zemlje je 0,055).

* Za elipsu ekscentricitet dobijemo ako podijelimo udaljenost jednog fokusa (žiže), od centra, s velikom poluosom.

:e = \frac{ea}{a}.

* Kružnica je slučaj kada je ekscentricitet jednak nuli tj. fokus je poklopljen sa središtem (ea=0).
* Ekscentricitet elipse je u granicama od 0 do 1, kod parabole je 1, a kod hiperbole 1 na više.

Kategorija:Analitička geometrija
Kategorija:Konusni presjeci
Triangulacija

**Triangulacija** (latinski *triangulum* = trougao) je određivanje položaja glavnih tačaka pri geodetskoj izmjeri s pomoću trougla kojima je poznata dužina jedne stranice i sva tri ugla.

Identiteti koji se često koriste pri triangulaciji:

* Zbir uglova u trouglu jednak je &pi; rad (180 stepeni).
* Sinusna teorema
* Kosinusna teorema
* Pitagorina teorema

Dužina stranice dobija se preciznim mjerenjem baze, a svi kutovi mjere se teodolitom. Iz relativno kratke *izmjerene baze* dobija se mjerenjem kutova i računom tzv. *izračunata baza*, a ona se dalje upotrebljava kao poznata stranica u trokutnoj mreži. Računanje se postepeno prenosi na susjedne trokute dok se ne odrede položaji svih tačaka (*trigonometara*) u trokutnoj mreži.

Osnovu triangulacije I reda čine tačke koje se postavljaju na velikim razmacima (60&nbsp;km). Mreža I reda zatim se popunjava mrežom II reda, a ona opet mrežom III reda itd., sve dok triangulacijske tačke ne budu međusobno toliko blizu da se može pristupiti detaljnoj topografskoj izmjeri tla.

## Također pogledajte 
* Paralaksa

Kategorija:Ugao
Kategorija:Elementarna geometrija
Kategorija:Euklidska geometrija
Kategorija:Geolokacija
Elipsa (figura)

**Elipsa** (grč. έλλειψις, *élleipsis* = izostavljanje) figura je koja nastaje kad se iz rečenične cjeline izostavljaju pojedine riječi.

## Primjeri elipse 

Elipsa je česta i u svakodnevnome govoru:

* *Ana je zagrlila Marka, a Marko Anu.* (Ana je zagrlila Marka, a Marko **je zagrlio** Anu.)
* *Došli su.* (**Oni** su došli. Bosanski jezik je jedan od jezika u kojemu se lične zamjenice mogu i ne moraju navoditi u ovakvim slučajevima. Ako se navode, to je najčešće zbog isticanja.)

Elipse se mogu javljati i u mediju poput filma, posebice u najavama:

* *Četiri godine kasnije...*

### Elipsa u poeziji 

Elipsa je, naravno, česta u poeziji kao izražajno sredstvo:

* Miroslav Krleža, „Plameni vjetar”

Sverazorni će ritam po ulici da ori:
"Gori! Gori!"

* Dragutin Tadijanović, „Prsten”
*Na ruci mojoj žalosnoj crveni prsten Javorov.*

* Antun Gustav Matoš, „Prosjak”

Torba gola, podne pali,
Sokak prazan, gori tjeme.

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* https://gu-clasp.github.io/people/shalom-lappin/publications/ 

**Bibliografija**

* Ágel, Vilmos, Ludwig Eichinger, Hans-Werner Eroms, Peter Hellwig, Hans Jürgen Heringer, and Henning Lobin (eds.) 2003/6. Dependency and Valency: An international handbook of contemporary research. Berlin: Walter de Gruyter.
* Johnson, Kyle 2001. What VP ellipsis can do, and what it can't, but not why . In The handbook of contemporary syntactic theory, ed. Mark Baltin and Chris Collins, 439–479. Oxford: Blackwell Publishers.
* Lappin, Shalom 1996. The interpretation of ellipsis. In The handbook of contemporary semantic theory, ed. Shalom Lappin. Oxford: Blackwell.
* Lobeck, Anne. 1995. Ellipsis: Functional heads, licensing, and identification. New York: Oxford University Press.
* Lobeck, Anne. 2006. Ellipsis in DP. In The Blackwell Companion to Syntax, ed. by Martin Everaert et al., vol. 2, pp.&nbsp;145–173. Oxford: Blackwell.
* Merchant, Jason. 2001. The syntax of silence: Sluicing, islands, and the theory of ellipsis. Oxford: Oxford University Press.
* Osborne, Timothy and Thomas Groß 2012. Constructions are catenae: Construction Grammar meets Dependency Grammar. Cognitive Linguistics 23, 1: 163–214.
* Sag, Ivan 1976. Deletion and logical form. Doctoral Dissertation, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massachusetts.

Kategorija:Stilske figure
Mol (čvor)

* Mol (jedinica)
* Mol (muzika)
## Geografija 
* Mol, Belgija, općina u Belgiji
* Mol, Srbija, grad u Srbiji
* Mol (selo), selo u Khatavu
Ride činela

mini|desno|171x171px|Ride činela
**Ride činela** (od eng. *ride* = jahati, voziti) je jedna od činela u setu bubnjeva, a koristi se za držanje ritma u desnoj ruci. Ugodnog je i kratkog zvuka, te se odlikuje finoćom i profinjenošću zvuka.
## Literatura 
* Peckman, Jonathan (2007). Picture Yourself Drumming, p.&nbsp;195. .
* Schroedl, Scott (2001). Play Drums Today!, p.&nbsp;9. Hal Leonard. .
## Reference 
## Vanjski linkovi 
* http://www.pas.org/about/hall-of-fame/warren-baby-dodds 
* https://web.archive.org/web/20110927104938/http://www.pas.org/experience/halloffame/DoddsWarren.aspx

Kategorija:Udarački instrumenti