Ugao

mini|Primjer ugla, oštar ugao
**Ugao** je dio ravni ograničen sa dvije poluprave koje imaju zajednički početak.

**Ugao zatvaraju** dvije poluprave *a* i *b* (zrake) koje ishode iz jedne tačke *T*. Poluprave koje zatvaraju ugao nazivaju se **kracima** ugla, a tačka iz koje ishode je njegovo **tjeme**. Kada kraci ugla čine jednu pravu ugao se naziva ispruženim ili ravnim.

## Vrste uglova 
mini|Suplementni uglovi
* **Ispružen ugao** ima 180° (stepeni), tj. \pi\, (radijana).
* **Prav ugao** je jednak (kongruentan) svom suplementnom (susjednom). Prav ugao iznosi 90° (stepeni), tj. \frac{\pi}{2} (radijana).
* **Komplementni** uglovi su oni koji se dopunjavaju do pravog ugla.
* **Suplementna** su dva susjedna ugla koja se dopunjavaju do ispruženog. U Euklidskoj geometriji, komplementni su oštri uglovi pravouglog trougla.

Uglovi koji nastaju presjekom dvije prave u istoj ravni trećom nazivaju se:

* **Saglasni**: a i e, d i h, c i g, b i f; 
* **Suprotni**: a i f, d i g, c i h, b i e; 
* **Unakrsni**: a i g, d i f, c i e, b i h. 
* **Susjedni**: a i d, d i c, c i b, b i a.
Datoteka:Corresponding angles 3.svg

## Osobine uglova 
Uglovi sa paralelnim kracima jednaki su ili su suplementni, α + β = 180o.

Datoteka:Corresponding angles.svg

*Posljedica 1:* zbir uglova u trouglu je 180°.

## Mjerenje ugla 
Mjera ugla je veličina razmaka između krakova ugla. Radi mjerenja ugla se koristi krug čiji je centar u tjemenu ugla. Obzirom da je obim kruga srazmjeran poluprečniku to je i mjera ugla nezavisna od veličine poluprečnika. Posljedica činjenice da je veličina ugla odnos dvije dužine je da je jedinica veličine ugla bezdimenzionalna.

* Broj koji se dobije kao količnik dužine luka kružnice i poluprečnika se naziva **radijan**. U međunarodnom sistemu mjera radijan je izvedena jedinica. Iako je bezdimenzionalna, oznaka postoji i piše se **rad**.
* **Stepen** je mjera ugla kod koga je pun krug 360 stepeni, a sljedstveno tome opruženi ugao je 180 stepeni, a prav ugao je 90 stepeni. Oznaka za stepen je mali kružić napisan kod veličine, recimo za pun krug 360°. Za preciznija mjerenja se koristi dio stepena, naziva se minuta i iznosi 1/60 od stepena. Oznaka za minutu je apostrof znak, recimo za 1 stepen je 60'. Postoji još manja mjera, sekunda. Sekunda je 1/60 od minute, odnosno 1/3600 od stepena. Oznaka za sekundu je dvostruki apostrof, odnosno 1 minuta je 60".

Neka je dat ugao u kompleksnoj ravni.

Mjera pozitivno orijentisanog ugla  \widehat{M_1OM_2} jednaka je arg \frac{z_2}{z_1}.

Ako su M_1(z_1), M_2(z_2) i M_3(z3_) tri različite tačke, onda je mjera
pozitivno orijentisanog ugla  \widehat{M_2M_1M_3} jednaka arg \frac{z_3-z_1}{z_3-z_1}.

#### Odnos između osnovnih jedinica mjere ugla 
:2 \pi\, \mbox{rad} = 360^o, pun krug je dva pi radijana ili 360 stepeni 
:\pi\, \mbox{rad} = 180^o, pi radijana je 180 stepeni (često se rad izostavlja kada je pi u izrazu)
:\frac{\pi}{2} \mbox{rad} = 90^o, pi pola radijana je 90 stepeni
:1\, \mbox{rad} = \frac {180^o} {\pi} \approx 57^o 17' 45* \,, jedan radijan je 180 kroz pi stepeni, ili približno 57 stepeni, 17 minuta i 45 sekundi

## Veza uglova sa trigonometrijom 
U trigonometriji uglovi imaju poseban značaj. Tako se pomoću trigonometrijskih funkcija nekog ugla, mogu dobiti odnosi stranica trougla.

Ako se naspramna kateta označi kao a, kao nalegla b, a kao hipotenuza c, onda se može dobiti primjer dobijanja odnosa stranica u trouglu na osnovu trigonometrijske funkcije datog ugla.

Sinus ugla:
:sin\alpha = \frac{a}{c}

Kosinus ugla:
:cos\alpha = \frac{b}{c}

Tangens ugla (nekad se obilježava i sa tg):
:tan\alpha = \frac{a}{b}

Kotangens ugla (nekad se obilježava i sa ctg):
:cot\alpha = \frac{b}{a}

Sekans ugla:
:sec\alpha = \frac{c}{a}

Kosekans ugla:
:csc\alpha = \frac{c}{b}

Kao što se vidi uglovi su jedna od osnovnih tema proučavanja u trigonometriji i kao takvi imaju veliki značaj u toj oblasti.

## Euklidove definicije 
U Euklidovim Elementima knjiga I je dato nekoliko definicija:

**Definicija 8** 
:*Ugao u ravni je otklon jedne linije ka drugoj u ravni koje se sijeku i ne leže u liniji.*

**Definicija 9** 
:*Kada su linije koje čine ugao prave i ugao je pravolinijski.*

**Definicija 10** 
:*Kada prava linija siječe pravu liniju čineći jednake susjedne uglove, svaki od uglova je prav ugao, a linija koja siječe drugu se zove normalna na onu koju siječe.*

**Definicija 11** 
:*Tupi ugao je ugao veći od pravog ugla.*

**Definicija 12** 
:*Oštar ugao je ugao manji od pravog ugla.''

## Također pogledajte 
* Osnovne trigonometrijske formule
## Reference