Idealni plin

mini|desno|300px|Temperatura idealnog plina – mjera prosječne kinetičke energije molekula
**Idealni plin** je svaki  plin čije čestice (atomi ili molekule) imaju ukupno zanemarljivo malu sopstvenu zapreminu.  Između njih ne postoje međumolekulske Van der Waalsove sile, pa se idealni plin ne može prevesti u tekuće ili čvrsto stanje. Idealni plin je teorijski koncept, a realni plinovi mu se približavaju tek pri niskim pritiscima i visokim temperaturama. Idealni plin se ponaša prema jednadžbi stanja idealnog plina i statističkoj mehanici. Općenito, plin se ponaša više poput idealnog plina na višim temperaturama i nižim pritiscima,  jer potencijalna energija uslijed intermolekulskih sila postaje manje značajna u odnosu na kinetičku energiju čestica, a veličina molekula postaje manje značajna u odnosu na prazan prostor između njih. Jedan mol idealnog plina ima kapacitet od 22,710947 (13)&nbsp;litara.PV = nRT\,

i unutrašnjom energijom idealnog plina, koja iznosi:

:U = \hat{c}_V nRT 

gdje:
:* *P* = pritisak
:* *V* = zapremina
:* *n* = količina tvari plina (u molovima)
:* *R* =  plinska konstanta  (8,314 J·K−1mol-1)
:* *T* = apsolutna temperatura (K)
:* *U* = unutrašnja energija
:* \hat{c}_V = bezdimenzijskii specifični toplinski kapacitet, pri konstantnoj zapremini od ≈ 3/2, za jednoatomne plinove, 5/2 za  dvoatomne plinove i 3 za složenije molekule.

Količina tvari plina u J·K−1 je nR=N k_B  gdje:

:* *N* = količina plinskih čestica
:* *k_B* = Boltzmannova konstanta (1,381×10−23J·K−1).

Vjerovatnoća rasporeda čestica po brzinama ili energijama predstavlja se **Boltzmannovom distribucijom**.

## Toplotni kapacitet
Toplotni kapacitet, pri konstantnoj zapremini za *nR* = 1 J&middot;K&minus;1 bilo kojeg plina, uključujući i idealni plin je:

:\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V =\hat{c}_V.

što je bezdimenzijski specifični toplotni kapacitet pri konstantnj zapremini, koja je uglavnom funkcija temperature. Za srednje temperature, za jednoatomske plinove ta konstanta je: \hat{c}_V=3/2, dok je za dvoatomne plinove \hat{c}_V=5/2.
Toplotni kapacitet, uz konstantni npritisak, za 1 J/K idealnog plina je:
:\hat{c}_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p = \hat{c}_V+1
gdje je: H=U+pV–entalpija plina.

### Zakon idealnog plina 
mini|Odnosi između Boyleovih, Charlesovih, Gay-Lussacovih, Avogadrovih, kombiniranih i idealnih zakona o plinu, s Boltzmannovom konstantom *kB*=*R/NA* = *Nr/N*
(u svakom zakonu svojstva koja su zaokružena su konstantna, a svojstva koja nisu zaokružena su promjenjiva)

Zakon idealnog plina je jednadžba stanja idealnog plina, data obrascem:
:PV = nRT\,
:gdje
*  = pritisak
*  = zapremina
*  = količina supstance plina (u molovima)
*  = plinska konstanta (0,08206&nbsp;L · atm · K−1 · molova−1)
*  = apsolutna temperatura.

Zakon o idealnom plinu je proširenje eksperimentalno otkrivenog zakona plina. Također se može izvesti iz mikroskopskom smislu.

Stvarne tečnosti, pri niskoj gustoći i visokoj temperaturi približne su ponašanju u okvirima klasičnog idealnog plina. Međutim, pri nižim temperaturama ili većoj gustoći, stvarna tečnost jakoo odstupa od ponašanja idealnog plina, posebno jer se kondenzira iz plina u tečnost ili kao talog iz plina u čvrstu supstancu. Ovo odstupanje izražava se kao faktor kompresibilnosti.

Ova jednadžba izvedena je  iz
* Boyleovog zakona
:V\propto\frac{1}{P};
* Charlesov zakon: V\propto T;
*Avogadrov zakon:  V \propto n.
Nakon kombiniranja ovih zakona, slijedi:
:V \propto \frac{nT}{P}
gdje:
:V = R\left(\frac{nT}{P}\right)
:PV = nRT.

### Model na mikroskopskoj razini
Da bi se prebacili s makroskopskih veličina (lijeva strana sljedeće jednadžbe) na mikroskopske (desna strana), koristi se obrazac:
:nR=N k_\mathrm{B}
gdje
* N = broj plinskih čestica; 
* k_\mathrm{B} = Boltzmannova konstanta 
* k_\mathrm{B} ().

Distribucija vjerovatnoće čestica prema brzini ili energiji data je pomoću Maxwellove distribucije brzine.

Model idealnog plina ovisi o sljedećim pretpostavkama:
* Molekule plina se ne mogu razlikovati, kao male tvrde kugle;
* Svi sudari su elastični i svako kretanje je bez trenja (nema gubitka energije u kretanju ili sudaranju);
* Primjenjuju se Newtonovi zakoni;
* Prosječna udaljenost između molekula mnogo je  veća od veličine molekula;
* Molekule se neprestano kreću u slučajnim smjerovima s raspodjelom brzina;
* Ne postoje privlačne ili odbojne sile između molekula, osim onih koje određuju njihova tačkasta kolizija; 
* Jedine sile između molekula plina i okoline su one koje određuju točkaste sudare molekula sa zidovima;
* U najjednostavnijem slučaju, ne postoje sile velikog dometa između molekula plina i okoline.

Kako ne bi bili dozvoljeni načini rotacije,  neophodna je  pretpostavka o sfernim česticama, za razliku od dvoatomskog plina. Sljedeće tri pretpostavke su vrlo povezane: molekule su tvrde, sudari su elastični i ne postoje međumolekulekulske sile. Pretpostavka da je prostor između čestica mnogo veći od samih čestica je od najveće važnosti i objašnjava zašto aproksimacija idealnog plina ne uspijeva pri visokim pritiscima.

## Entropija
Koristeći samo rezultate termodinamike, može se ići daleko u određivanju izraza za entropiju idealnog plina. Ovo je važan korak jer, prema teoriji termodinamičkih potencijala, ako možemo izraziti entropiju u funkciji  ( je termodinamički potencijal) , zapremine  i broja čestica , tada ćemo imati potpunu predstavu o termodinamičkom ponašanju idealnog plina. Iz njega ćemo moći izvesti i zakon idealnog plina i izraz za unutrašnju energiju.

Budući da je entropija tačna razlika, koristeći pravilo lanca, promjena entropije prilikom prelaska, iz referentnog stanja 0, u neko drugo stanje s entropijom  može se opisati kao  gdje:

:\Delta S = \int_{S_0}^{S}dS
=\int_{T_0}^{T} \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V\!dT
+\int_{V_0}^{V} \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T\!dV

pri čemu referentne varijable mogu biti funkcije broja čestica . Koristeći definiciju toplotnog kapaciteta pri konstantnoj zapremini za prvi diferencijal i odgovarajućeg Maxwellovog odnosa za drugi, imamo: 
:\Delta S
=\int_{T_0}^{T} \frac{C_V}{T}\,dT+\int_{V_0}^{V}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_VdV.

Izražavajući  u terminima  kako je razvijeno u gornjem odjeljku, diferenciranje jednadžbe stanja idealnog plina i integrirajućih prinosa su:

:\Delta S
= \hat{c}_VNk\ln\left(\frac{T}{T_0}\right)+Nk\ln\left(\frac{V}{V_0}\right)

što implicira da se entropija može izraziti kao:

:S= Nk\ln\left(\frac{VT^{\hat{c}_V}}{f(N)}\right)

gdje su sve konstante ugrađene u logaritam kao  što je neka funkcija broja čestica  koja ima iste dimenzije kao  kako bi argument logaritma bio bezdimenzijski. Tada se nameće ograničenje da entropija treba da bude opsežna. To će značiti da kada se opsežni parametri ( i ) pomnože sa konstantom, entropija će se pomnožiti sa istom to konstantom. Matematički:

:S(T,aV,aN)=a S(T,V,N).\,

Iz toga, izvodi se jednadžbA funkcije 

:af(N)=f(aN).\,

Razlikovanjem ovoga u odnosu na , postavljanjem  jednakim 1, a zatim rješavanjem diferencijalne jednadžbe, dobija se :

:f(N)=\Phi N\,

Gdje   može varirati za različite plinove, ali će biti neovisni o njihovom termodinamičkom stanju. Imaće dimenzije . Uvrštavanjem u jednadžbu za entropiju, slijedi:

:\frac{S}{Nk} = \ln\left(\frac{VT^{\hat{c}_V}}{N\Phi}\right).\,

i koristeći izraz za unutrašnju energiju idealnog plina, entropija se može napisati kao:
 
:\frac{S}{Nk} = \ln\left[\frac{V}{N}\,\left(\frac{U}{\hat{c}_V k N}\right)^{\hat{c}_V}\,\frac{1}{\Phi}\right]

Budući da je ovo izraz za entropiju u terminima ,  i , to je temeljna jednadžba iz koje mogu biti izvedena sva ostala svojstva idealnog plina.

Ovo je otprilike onoliko koliko se može ići koristeći samo termodinamiku. Gornja jednadžba je neispravna;  kako se temperatura približava nuli, entropija se približava negativnoj beskonačnosti, u suprotnosti sa trećim zakonom termodinamike. U gore navedenom "idealnom" razvoju postoji kritična tačka, a ne apsolutna nula, u kojoj argument logaritma postaje jedinstven, a entropija nula. Ovo je nefizički. Gornja jednadžba dobra je aproksimacija samo kada je argument logaritma mnogo veći od unit&nbsp; koncept idealnog plina raspada se pri malim vrijednostima . Ipak, postojat će "najbolja" vrijednost konstante u smislu da je predviđena entropija što bliža stvarnoj entropiji, s obzirom na (nužno) pogrešnu pretpostavku idealnosti. Kvantno-mehanička derivacija ove konstante razvijena je u izvođenju Sackur-Tetrodeove jednadžbe. koja izražava entropiju monatomskog (&nbsp; = &nbsp; ) idealnog plina. U Sackur-Tetrodeovoj teoriji, konstanta ovisi samo o masi čestice plina. Njihova jednadžba također ima slabu primjenu kod divergentne entropije na apsolutnoj nuli, ali je dobra aproksimacija za entropiju monatomskog idealnog plina za dovoljno visoke temperature.

Alternativni način izražavanja promjene u entropiji je:
 
\frac {\Delta S}{Nk\hat{c}_V}
= \ln\left(\frac{P}{P_0}\right)+\gamma \ln\left(\frac{V}{V_0}\right)=\ln\left(\frac{PV^\gamma}{P_0V_0^\gamma}\right) \implies PV^\gamma=const. \; \text{za izentropski proces}

## Termodinamični potencijali
Izraz entropije u funkciji ,  i  je:

:\frac{S}{kN}=\ln\left( \frac{VT^{\hat{c}_V}}{N\Phi}\right)

Hemijski potencijal idealnog plina izračunava se iz odgovarajuće jednadžbe stanja (vidi termodinamički potencijal):

:\mu=\left(\frac{\partial G}{\partial N}\right)_{T,P}

gdje   = Gibbsova slobodna energija a jednaka je  , tako da je:

:\mu(T,P)=kT\left(\hat{c}_P-\ln\left(\frac{kT^{\hat{c}_P}}{P\Phi}\right)\right)

Hemijski potencijal se obično referira na potencijal pri nekom standardnom pritisku *Po* tako da je, uz \mu^o(T)=\mu(T,P^o):

:\mu(T,P)=\mu^o(T)+ kT\ln\left(\frac{P}{Po}\right)

Za smjese  (*j*=1,2,...) idealnih plinova, pri parcijalnom pritisku *Pj*, može se pokazati da će gornji izraz dati pritisak hemijskog potencijala *&mu;j* sa pritiskom *P* zamijenjeno sa *Pj*.

Termodinamički potencijali idealnog plina sada se mogu napisati kao funkcije ,  i  kao:
:

gdje, kao i gore,
:\hat{c}_P=\hat{c}_V+1.

To je najinformativniji način pisanja potencijala u smislu njihovih prirodnih varijabli, jer se svaka od ovih jednadžbi može koristiti za izvođenje svih ostalih termodinamičkih varijabli sistema. U pogledu njihovih prirodnih varijabli, termodinamički potencijali idealnog plina jedne vrste su:

:U(S,V,N)=\hat{c}_V N k \left(\frac{N\Phi}{V}\,e^{S/Nk}\right)^{1/\hat{c}_V}
:A(T,V,N)=NkT\left(\hat{c}_V-\ln\left(\frac{VT^{\hat{c}_V}}{N\Phi}\right)\right)
:H(S,P,N)=\hat{c}_P Nk\left(\frac{P\Phi}{k}\,e^{S/Nk}\right)^{1/\hat{c}_P}
:G(T,P,N)=NkT\left(\hat{c}_P-\ln\left(\frac{kT^{\hat{c}_P}}{P\Phi}\right)\right)

U statičkoj mehanici, odnos između Helmholtzove slobodne energije i particijske funkcije je osnovni i koristi se za izračunavanje termodinamičkih svojstava stvari; za više detalja, pogledajte configuration integral.

## Brzina zvuka
Brzina zvuka idealnog plina iznosi:
:c_{sound} = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}} 
gdje:
:\gamma \, = adijabatski odnos toplinskih kapaciteta Cp/Cv = cp/cv;
:R \, = univerzalna plinska konstanta; 
:T \, = temperatura;
:M \, = molarna masa plina 

## Idealni kvantni plinovi 
U gore spomenutoj Sackur-Tetrodeovoj jednadžbi, utvrđeno je da je najbolji izbor konstante entropije proporcionalan kvantu toplotne talasne dužine čestice i tački u kojoj argument logaritma postaje nula je približno jednaka tački u kojoj prosečna udaljenost između čestica postaje jednaka toplotnoj talasnoj dužini. Zapravo, kvantna teorija sama predviđa isto. Bilo koji plin se ponaša kao idealni plin, pri dovoljno visokoj temperaturi i dovoljno niskoj gustoći, ali u slučajevima kada se Sackur-Tetrodeova jednadžba počne raspadati, plin će se početi ponašati kao kvantni plin, sastavljen od bozona ili fermiona.

Plinovi se ponašaju kao idealni u širem rasponu pritisaka, kada temperatura dosegne Boyleovu temperaturu.

### Idealni Boltzmannov plin 
Idealni Boltzmannov plin daje iste rezultate kao i klasični termodinamički plin, ali ima sljedeću identifikaciju za neodređenu konstantu :

:\Phi = \frac{T^\frac32 \Lambda^3}{g}

gdje  = toplotna de Broglieova talasna dužina plina, a   = degeneracija stanja.

### Idealni Boseovi i Fermijevi plinovi 
Idealni Boseov plin (npr. fotonski plin) ponaša se po Bose-Einsteinovovoj statistici, a raspodjela energije je u obliku Bose-Einsteinove distribucije. Idealni Fermijev plin slijedi Fermi-Diracovu statistiku, a raspodjela energije je u obliku Fermi-Diracove distribucije.

## Također pogledajte
*Faktor kompresibilnosti
*Dinamični bilijar 
*Idealni rastvor

## Reference
Idealni plin
Kategorija:Termodinamika
Kategorija:Plinski zakoni
Kategorija:Plinovi