Stokesovo strujanje

[mini|desno|200px|Predmet, koji se kreće kroz tečnost, suočava se sa [sila|silom suprotnom smijeru njegovog kretanja. Terminalna brzina se dostiže kada je sila otpora jednaka po intenzitetu, ali suprotna po pravcu sili koja pogoni predmeta. Na slici je prikazana sfera u Stokesovom strujanju, sa veoma malim Reynoldsovim brojem.]]
**Stokesovo strujanje** (nazvano po Georgeu Gabrielu Stokesu) je vrsta strujanja fluida gdje su advektivne inercijalne sile male naspram viskoznih sila. Reynoldsov broj je nizak, odnosno \textit{Re} \ll 1. Ovo je tipična situacija kod strujanja gdje su brzine fluida niske, viskoznosti su veoma velike.

## Stokesove jednačine 
Za ovu vrstu strujanja, za inercijalne sile se pretpostavlja da su zanemarive, te pojednostavljenjem Navier–Stokesovih jednačina, dobijamo Stokesove jednačine:

:\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbb{P} + \boldsymbol{f} = 0

gdje je \mathbb{P} uzdužni tenzor napona, a \boldsymbol{f} su primijenjene masene sile. Postoji, također, jednačina za održanje mase. U slučaju nestišljivog newtonovog fluida, Stokesove jednačine glase:

:\boldsymbol{\nabla}p = \mu \nabla^2 \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f}
:\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0

### Metode rješavanja 
#### Pomoću strujnih funkcija 
Može se pokazati da u ravni (2D), strujna funkcija nestišljivog Newton-Stokesovog strujanja zadovoljava biharmonijsku jednačinu \nabla^4 \psi = 0.

U osno-simetričnom, 3D slučaju, Stokesova strujna funkcija \Psi rješava jednačinu E^2 \Psi = 0, gdje je E = {\partial^2 \over \partial r^2} + {\sin{\theta} \over r^2} {\partial \over \partial \theta} { 1 \over \sin{\theta}}  {\partial \over \partial \theta}.

#### Pomoću Papković-Neuberovog rješenja 
Papković-Neuberovo rješenje predstavlja polja brzine i pritiska nestišljivog Newton-Stokesovog strujanja u smislu dva harmonijska potencijala.

#### Pomoću metoda graničnih elemenata
Određeni problemi, kao što je izračunavanje oblika mjehurića u Stokesovom strujanju, su pogodni za numerička rješenja preko metoda graničnih elemenata. Ova tehnika može se primijeniti i na dvodimejnzionalna i na trodimenzionalna strujanja.

#### Greenova funkcija
Linearnost Stokesovih jednačina u slučaju nestišljivog newtonovog strujanja fluida znači da se može naći Greenova formula za date jednačine. Rješenja za pritisak p i brzinu \boldsymbol{u} zbog sile u tački (\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol{x})) koja djeluje u ishodištu sa |\boldsymbol{u}|,p\to 0 kada |\boldsymbol{x}|\to\infty je data sa
:\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{F} \cdot \mathbb{J}(\boldsymbol{x})
:p(\boldsymbol{x}) = \frac{\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{x}}{4 \pi |\boldsymbol{x}|^3}

gdje je

:\mathbb{J}(\boldsymbol{x}) = {1 \over 8 \pi \mu} \left( \frac{\mathbb{I}} + \frac{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^3} \right).
drugostepeni tenzor poznat kao Oseenov tenzor (nazvan po Carlu Wilhelmu Oseenu).

Rješenje raspodjele gustine sile \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) (koja je jednaka buli kada se teži u beskonačnost) se može naporaviti pomoću superpozicije:
:\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}) = \int \boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}) \cdot \mathbb{J}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}) \, \mathrm{d}^3\!y
:p(\boldsymbol{x}) = \int \frac{\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{4 \pi |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^3} \, \mathrm{d}^3\!y

## Također pogledajte 
* Darcyjev zakon
* Teorija lubrikacije
* Oseenove jednačine
* Teorija tankog tijela

## Reference  
* Happel, J. &amp; Brenner, H. (1981) *Low Reynolds Number Hydrodynamics*, Springer. .
* Kim, S. &amp; Karrila, S. J. (2005) *Microhydrodynamics: Principles and Selected Applications*, Dover. .
* Ockendon, H. &amp; Ockendon J. R. (1995) *Viscous Flow*, Cambridge University Press. .

Kategorija:Dinamika fluida
Kategorija:Jednačine dinamike fluida