Abelov test

U matematici, **Abelov test** (poznat i pod nazivom **Abelov kriterij**) je metoda testiranja konvergencije beskonačnih redova. Test je dobio naziv po matematičaru Nielsu Abelu. Postoje dvije verzije ovog testa, koje se mnogo ne razlikuju &ndash; jedna se koristi nad redovima realnih brojeva, a druga se koristi kod potencijalnih redova u kompleksnoj analizi.

## Abelov test u analizi u skupu realnih brojeva 
Za dva data niza realnih brojeva, \{a_n\} i \{b_n\}, te ako niz zadovoljava uslove

*  \sum^{\infty}_{n=1}a_n  konvergira

* \lbrace b_n \rbrace\, je monotona i \lim_{n \rightarrow \infty} b_n \ne \pm\infty

tada red

:\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n

konvergira.

## Abelov test u kompleksnoj analizi 
Abelov test se često koristi za određivanje konvergencije potencijalnih redova na granicama njegovog kruga konvergencije. Specifično, Abelov test kaže da ako

:
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,

a red

:
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,

konvergira kada je |*z*|  1, i koeficijenti {*a**n*} su *pozitivni realni brojevi* koji opadaju monotono prema nultoj granici za *n* > *m* (za dovoljno velike n*, drugim riječima), tada potencijalni red za *f*(*z*) konvergira svuda na jediničnom krugu, osim kada je *z* = 1. Abelov test ne može se primijeniti kada je *z* = 1, tako da se konvergencija u toj tački mora ispitati odvojeno. Primijetite da se Abelov test može primijeniti na potencijalne redove s radijusom konvergencije *R* ≠ 1 jednostavnim promjenama varijabli *ζ* = *z*/*R*.

## Dokaz 
Pretpostavimo da je *z* tačka na jediničnom krugu, *z* ≠ 1. Tada je

:
z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} = 
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0

tako da, za svaka dva pozitivna cijela broja *p* > *q* > *m*, možemo pisati

:
\begin{align}
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & = 
\sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] -
a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\,
\end{align}

gdje su *S**p* i *S**q* parcijalne sume:

:
S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,

Ali sada, pošto su |*z*| = 1 i *a**n* monotono opadajući pozitivni realni brojevi kada *n* > *m*, možemo pisati

:
\begin{align}
\left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & = 
\left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\
& \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] +
\left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\
& = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}.\,
\end{align}

Sada možemo primijeniti Cauchyjev test te zaključiti da potencijalni red za *f*(*z*) konvergira u odabranoj tački *z* ≠ 1, zato što je sin(½*θ*) ≠ 0 fiksna veličina, a *a**q*+1 može biti manje od bilo koje date *ε* > 0 tako što se izabere dovoljno veliko *q*.

## Reference 
*Gino Moretti, *Functions of a Complex Variable'', Prentice-Hall, Inc., 1964

## Vanjski linkovi 
* Dokaz (za realne redove) na PlanetMath.org 

Kategorija:Matematički redovi
Kategorija:Testovi konvergencije
Kategorija:Članci koji sadrže dokaz