Adjungovana matrica

U linearnoj algebri, **adjungovana** ili **klasični pridodatak** kvadratne matrice je matrica koji igra ulogu sličnu inverzu matrice; može se, međutim, definisati za svaku kvadratnu matricu bez potrebe da se obavlja bilo kakvo dijeljenje.

## Definicija 
Pretpostavimo da je *R* komutativni prsten i **A** je matrica dimenzije *n*×*n* sa vrijednostima iz *R*. Definicija adjungovane matrice od **A** je proces iz više koraka:

* Definišimo (*i*,*j*) *minor* od **A**, u oznaci **M***ij*, kao determinantu matrice dimnezije (*n*&nbsp;−&nbsp;1)×(*n*&nbsp;−&nbsp;1), koja rezultuje brisanjem reda *i* i kolone *j* od **A**.
* Definišimo (*i*,*j*) *kofaktor* matrice **A** kao
::\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,
* Definišimo matricu kofaktora matrice**A**, kao matricu **C**, dimenzije *n*×*n*, čija je vrijednost (*i*,*j*) je (*i*,*j*) kofaktor matrice **A**.

adjungovana matrica matrice A je transponovana matrica matrice kofaktora matrice **A**:

:\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^T \,.

To jeste, adjungovana matrica matrice **A** je matrica dimenzije *n*×*n* čije su (*i*,*j*) vrijednosti (*j*,*i*) kofaktori matrice **A**:

:\mathrm{adj}(\mathbf{A})_{ij} = \mathbf{C}_{ji} \,.

## Primjeri 
### Svojstvena matrica dimenzije 2x2 
Adjungovana matrica matrice dimenzije 2\times 2
:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}  & \\   &  \end{pmatrix}
je
:\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} \,\,\, & \!\!\\  &  \end{pmatrix}.

### Svojstvena matrica dimenzije 3x3 
Razmotrimo matricu dimenzije 3\times 3
:
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}.
Njena adjungovana matrica je
:
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix}
+\left| \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9  \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
-\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} \right| \\
 & & \\
+\left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} \right| &
-\left| \begin{matrix}  1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} \right| &
+\left| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right|
\end{pmatrix}
gdje je
:\left| \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right|=
\det\left(    \begin{matrix} A_{im} & A_{in} \\ \,\,A_{jm} & A_{jn} \end{matrix} \right).

Uočite da je adjungovana matrica *transponovana matrica* matrice kofaktora. Zbog toga, naprimjer, vrijednost (*3*,*2*) adjungovana matrice je kofaktor (*2*,*3*) matrice **A**.

### Numerička matrica dimenzije 3x3 
Kao specifični primjer imamo

:\operatorname{adj}\begin{pmatrix}
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\
\, 3 & \!-4 & \, 1
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\!-8 &  18  & \!-4 \\
\!-5 &  12  & \!-1 \\
\, 4 & \!-6 & \, 2
\end{pmatrix}
.

−6 u trećem redu, drugoj koloni adjungovane matrice, izračunato je na sljedeći način:

:(-1)^{3+2}\;\operatorname{det}\begin{pmatrix}\!-3&\,-5\\ \,-1&\!-2\end{pmatrix}=-((-3)(-2)-(-5)(-1))=1.

Ponovo, vrijednost (*3*,*2*) adjungovane matrice je kofaktor (*2*,*3*) matrice **A**. Zbog toga, podmatrica
:\begin{pmatrix}\!-3&\,2\\ \,3&\!-4\end{pmatrix}
dobivena je brisanjem drugog reda i treće kolone originalne matrice **A**.

## Primjene 
Kao posljedica Laplaceove formule za determinantu matrice **A** dimenzije *n*×*n*, imamo

:\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad (*)

gdje je **I** jedinična matrica dimenzije *n*×*n*. Uistinu, vrijednost (*i*,*i*) proizvoda **A**&nbsp;adj(**A**) je skalarni proizvod reda *i* matrice **A** sa redom *i* matrice kofaktora **C**, koji je jednostavno Laplaceova formula za det(**A**) proširen sa redom *i*. Više, za *i* ≠ *j*, vrijednost  (*i*,*j*) prooizvoda je skalarni proizvod reda *i* matrice **A** sa redom *j* matrice **C**, koji je Laplaceova formula fza determinantu matrice čiji su *i* i *j* redovi jednaki, i koja je zbog toga, jednaka nuli.

Iz ove formule slijedi jeda od najvažnijih rezultata u matričnoj algebri: Matrica **A** nad komutativnim prostenom *R* je inverzna ako i samo ako je det(**A**) inverzna u *R*.

Ako je **A** inverzna matrica, tada je

:1 = \det(\mathbf I) = \det(\mathbf{A} \mathbf{A}^{-1}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{A}^{-1}),

a ako je det(**A**) jedinica, tada (*) iznad pokazuje da je

:\mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}).

## Osobine 
Adjungovana matrica ima osobine

:\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}\,
:\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})\,
za sve matrice **A** and **B** dimenzija *n*×*n*.

Adjungovana matrica zadržava transpoziciju:

:\mathrm{adj}(\mathbf{A}^T) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^T\,.

Dalje, ako je \mathbf{A} nesingularna, tada je

:\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}\,.

Ako je *p*(*t*) = det(**A**&nbsp;−&nbsp;*t***I**) karakteristični polinom matrice **A**, te ako definišemo polinom *q*(*t*) = (*p*(0)&nbsp;−&nbsp;*p*(*t*))/*t*, tada je

: \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = q(\mathbf{A}) = -(p_1 \mathbf{I} + p_2 \mathbf{A} + p_3 \mathbf{A}^2 + \cdots + p_{n} \mathbf{A}^{n-1}) ,

gdje su  p_j  koeficijenti od *p*(*t*),

: p(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2 + \cdots p_{n} t^{n}. 

Adjungovana matrica također se pojavljuje u formuli derivacije determinante.

## Reference 
* 

## Vanjski linkovi 
* Matrix Reference Manual

Kategorija:Teorija matrica
Kategorija:Linearna algebra