Množenje

**Množenje** je jedna od četiri osnovne računske operacije u aritmetici. Množenje prirodnih brojeva predstavlja njihovo ponovljeno sabiranje.

:
\begin{matrix}
  \underbrace{b+b+\cdots+b}\\{a}\\[-4ex]
\end{matrix} = \sum_{i=1}^{a}b = a \cdot b

a i b se nazivaju **faktori**. Rezultat, „a puta b“, se naziva **proizvod**.
## Množenje viže uzastopnih brojeva
Pri množenju više brojeva se koristi slovo Π iz grčkog alfabeta :

: 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 = \prod_{i=1}^5 (2i+1) = 10\ 395
ili
: \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \; \dots \; \cdot \frac{n+2}{n} = \prod_{i=1}^n \frac{i+2}{i} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

Postoji i specijalni slučaj množenja prirodnih brojeva - faktorijel

: 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n = \prod_{i=1}^n i = n!

;Primjeri

\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4 =24

     \prod_{i=1}^6 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6 = 720

Odnosno imamo da je

\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n

Ponovljeno množenje istih faktora zamjenjujemo potenciranjem
: 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64

## Notacija
malo|lijevo

Npr. pišemo 3 · 4 za 4 + 4 + 4. To se čita „tri puta četiri“.

Umjesto 3 · 4 nekad se piše 3 × 4. U računarskim programima se često koristi znak *. Pri množenju varijabli možemo pisati npr. (5*x*, *xy*).

Suprotna operacija je dijeljenje.

## Osobine množenja
* Zakon asocijativnosti: a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot b \cdot c  
* Zakon komutativnosti:  a \cdot b = b \cdot a
* Zakon distributivnosti:  a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
* Neutralni element:  a \cdot 1 = a
* Inverzni element:  a \cdot a^{-1} = 1
* Nulti element: a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0

U skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj.

\forall a \  \exists_1 b: a \cdot b = 1

Inverzan broj broja  a je \tfrac{1}{a}. Inverzan broj inverznog broja a je broj a

\frac{1}{\frac{1}{a}} = a

## Množenje  kroz skupove
### Cijeli brojevi
Ako su u skupu cijelih brojeva faktori istog znaka proizvod je pozitivan, a ako su različitih predznaka onda je negativan.

(-1)*a=a*(-1)=-a

 (-1)(-1)=1
### Racionalni brojevi
Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca faktora, a imenilac proizvod imenilaca faktora

a = \frac{p_1}{q_1} \land b = \frac{p_2}{q_2} \Rightarrow a \cdot b = \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2}
### Iracionalni brojevi
Neka je  b \in R \smallsetminus Q iracionalan broj, tada je proizvod ab granična vrednost

a \cdot b = \lim_{\frac{p}{q} \rightarrow b} a \cdot \frac{p}{q}

gdje je \tfrac{p}{q} racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja b.
kompleksan broj 
### Kompleksni brojevi
Kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom obliku:

Zbog i^2=-1 je

(a_1, b_1) \cdot (a_2, b_2) = (a_1 a_2 - b_1 b_2, a_1 b_2 + a_2 b_1).

\rho_1 (\cos \phi_1 + i \sin \phi_1) \cdot \rho_2 (\cos \phi_2 + i \sin \phi_2) = \rho_1 \rho_2 (\cos \left(\phi_1 + \phi_2\right) + i \sin \left(\phi_1 + \phi_2\right))

### Množenje vektora
*k \in \mathbb{R}, \mathbf{a} \in \mathbb{R}^3 \Rightarrow k \mathbf{a} = (k a_x, k a_y, k a_z)
(Vektor množimo skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna)
*:\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
:\cdot: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
:\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z
(Skalarni proizvod vektora je skalar jednak zbiru proizvoda odgovarajućih koordinata)
*:\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3
:\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^3
:\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z 
\end{vmatrix}
  gdje su \mathbf{i}, \mathbf{j} i \mathbf{k}jedinični vektori  duž x, y i z ose
(Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralograma koji vektori-faktori zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-faktori definišu, a smjer se definiše pravilom lijeve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za \mathbb{R}^3, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice.)
*[]: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}

\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^3

[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 
\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix}
 (Mješoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] )
### Množenje matrica
Neka su date matrice A i B veličine mA×nA i mB×nB. Proizvod AB je definisan ako je nA = mB, a dobijena matrica ima dimenzije mA×nB. Elementi matrice-proizvoda su

(AB)_{i, j} = \sum_{k=1}^{n_A} A_{i, k} B_{k, j} 

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1 × 3 i 3 × 2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5 × 4 i 4 × 5 s obje strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5 × 5 na jedan i 4 × 4 na drugi način). Ako se pomnože dvije kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su također iste veličine i može se definisati komutator.

[A, B] = A \times B - B \times A

## Također pogledajte 
* Faktorijel

## Reference
## Vanjski linkovi 
* Multiplication


Kategorija:Elementarna aritmetika
Kategorija:Matematička notacija