Kosinusna teorema

**Kosinusna teorema ** se koristi za rješavanje trougla  u  trigonometrijskoj ravni:

\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,  
gdje je  **&alpha;** ugao nasuprot  stranice   *a*.

U sfernoj trigonometriji to je formula za rješavanje sfernog trougla:

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

gdje je **a** strana nasuprot ugla **A**, strana **b** nasuprot ugla **B**, a strana C je nasuprot ugla C.
## U ravni
mini
U svakom trouglu  je
\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha, gdje je  ugao  \alpha nasuprot  stranice *a*

b^2=c^2+a^2-2ca\cos\beta gdje je  ugao  \beta nasuprot  stranice *b*

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma gdje je  ugao  \gamma nasuprot  stranice *c*

**Dokaz**

Neka je dat je oštrougli trougao ABC sa visinom CD.

Iz pravouglih trouglova BCD i ACD prema Pitagorinoj teoremi je

a^2=h^2+(c-p)^2,\; h^2=b^2-p^2, zamjenom

\ a^2=b^2+(c^2-2pc+p^2)-p^2,  i

\ a^2=b^2+c^2-2pc. pravouglog trougla ACD dobijamo

p=b\cos\alpha,\, i zamenom u prethodnu jednakost

\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,

Za tupougli trougao ABC, sa uglom \alpha u tjemenu A, većim od pravog ugla (90°). Visina CD = h pada na produžetak stranice AB u tačku D tako da je D-A-B, te je spoljašnji ugao CAD = 180°-α. U trouglu CAD je

DA = \ p = b \cos(180^o-\alpha)=-b\cos\alpha.

trouglovi BCD i ACD su pravougli i, prema Pitagorinoj teoremi imamo

a^2=h^2+(c+p)^2,\; h^2=b^2-p^2,

\ a^2=b^2-p^2+(c^2+2pc+p^2)=b^2+c^2+2pc,

\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha,

Kosinusna teorema se može dokazati jednostavno i bez razmatranja različitih rasporeda koristeći vektorski račun.

{\displaystyle a^{2}={\overrightarrow {BC}}^{2}=({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}})^{2}={\overrightarrow {AC}}^{2}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AB}}^{2}=b^{2}-2bc\cos \alpha +c^{2}.} (  {\displaystyle \cdot }  skalarni proizvod.)

Na sličan način dobijamo oatale formule

Za  ugao  \gamma=90^o => cos90^o=0, imamo c^2=a^2+b^2, poseban slučaj 
kosinusne teoreme  Pitagorina teorema.

### Posljedice 
Kvadrat bilo koje stranice trougla manji je, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice, zavisno da li je suprotni ugao oštar, prav ili tup.

Dokaz:

Ako je  \alpha onda je  \cos\alpha > 0\, i a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha 

Ako  je \alpha=90^o,\, onda  је \cos\alpha=0\, i c^2=a^2+b^2.\,

Аkо је \alpha>90^o,\, ondа је \cos\alpha  i a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha > b^2+c^2.\,

Važi i obrnuta teorema

Теоrеmа:

Ugao  trougla је оštar, рrаv, ili tup  zavisno od toga  da li je  kvadrat suprotne stranice trougla redom je manji, jednak ili veći od zbira kvadrata  ostale dvije stranice.

Dokaz:

Ako  је a^2  onda je  \cos\alpha>0,\,  prema tome je \alpha 

Аko  је a^2=b^2+c^2,\, onda je  \cos\alpha=0,\, tј. \alpha=90^o.\,

Ako  је a^2>b^2+c^2,\, onda  је \cos\alpha tј. \alpha>90^o.\,

U bilo kojem paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri njegove strane.

\overline{AC}^2+\overline{BD}^2=2\overline{AB}^2+2\overline{BC}^2.

\overline{BD}^2=\overline{AD}^2+\overline{AB}^2-2\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cdot\cos\alpha,

\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(180^o-\alpha)

=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+2\overline{AB}\cdot\overline{AD}\cos\alpha, јер је \overline{BC}=\overline{AD}.

Sabiranjem dobijamo

\overline{AC}^2+\overline{BD}^2=2\overline{AB}^2+2\overline{BC}^2,

## Korištenje  teoreme
Teoremu koristimo za rješavanje trougla
* ako znamo dvije stranice i ugao naspram tražene stranice

\,c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}\,;
*Uglove trougla ako znamo sve tri stranice

\,\gamma = \arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\,;

*Treča stranica ako znamo dvije stranice i ugao naspram jedne od njih
\, a=b\cos\gamma \pm \sqrt{c^2 -b^2\sin^2\gamma}\,.
Ako se radi pravouglom trouglu koristi se Pitagorina teorema
## Koristeći Pitagorin teorem
### Tupi ugao
Teoremu dokazuje Euklid pomoću Pitagorinu teoremu

c^2 = (b+d)^2 + h^2,\,

d^2 + h^2 = a^2.\,

c^2 = b^2 + 2bd + d^2 +h^2.\,

c^2 = a^2 + b^2 + 2bd.\,

:d = a\cos(\pi-\gamma)= -a\cos\gamma.\,
### Oštri ugao
\begin{align}
c^2 & {} = (b-a\cos\gamma)^2 + (a\sin\gamma)^2 \\
& {} = b^2 - 2ab\cos\gamma + a^2\cos^2\gamma+a^2\sin^2\gamma \\
& {} = b^2 + a^2 - 2ab\cos\gamma,
\end{align}

\cos^2\gamma + \sin^2\gamma = 1.\,

## Koristeći Ptolomejevu  teoremu
\begin{align}
& BF=AE=BC\cos\hat{B}=a\cos\hat{B} \\
\Rightarrow \ & DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos\hat{B}.
\end{align}

\begin{align}
& AD \times BC + AB \times DC = AC \times BD \\
\Rightarrow \ & a^2 + c(c-2a\cos\hat{B})=b^2 \\
\Rightarrow \ & a^2+c^2-2ac \cos\hat{B}=b^2.
\end{align}

a^2+c^2=b^2.\quad

## Također pogledajte 
* Sinusni teorem
* Tangensni teorem
* Triangulacija
## Izvori
*Cosine theorem /19 March 2014. 
*The Law of Cosines (Cosine Rule))
*The Law of Cosines- Formula and examples of law of cosines

## Reference
Kategorija:Trigonometrija