Sinus

**Sinus ugla** je trigonometrijska funkcija oblika:
desno|150px|grafik sinusoide

y=a\sin(\omega x+\phi).\,.

Grafik ove funkcije zove se sinusoida. Periodična je sa periodom P=\frac{2\pi}{\omega};, a njen presjek sa ***х*** оsom je u tačkama x=\frac{k\pi-\phi}{\omega};
Ekstremne tačke \left( \frac{(k+\frac{1}{2})\pi-\phi}{\omega},(-1)^ka \right).

## Osnovne osobine
desno|210px|sinus u pravouglom trouglu
:Sinus je neparna funkcija
:\sin(-\alpha)=-sin\alpha 
:Sinus je periodična funkcija
:\sin(2 k\pi \pm\alpha)=sin\alpha 
:Nula funkcije
:sin\alpha =0 = >\alpha =k \pi 
:Maksimum funkcije
:sin\alpha =1 = >\alpha =2k\pi +  \frac{\pi}{2}
:Minimum funkcije
:sin\alpha = -1 = >\alpha =2k\pi -  \frac{\pi}{2}

## Neki identiteti
: sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha 
: sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha 
: 
:sin(\alpha + 2\pi) = \sin \alpha  
:\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!
:sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2 \tan \alpha} {1 + \tan^2 \alpha}
:sin 3\alpha  =  3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha
:sin \frac{\alpha}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}
:\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha\mp \beta}{2} \right)

: \text{Ako su }w + x + y + z = \pi = \text{polukrug,} \, 
::\begin{align} \text{tada vrijedi }
&     \sin(w + x)\sin(x + y) \\
&{} = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}
: \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}    ( i^2=-1 )

:\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)
: |\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\tan\left(2^n x\right)\right|}

:Zlatni rez
:\sin \left( \frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4}  = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}

## Derivacija
:\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,
:Izvod
:(sinx)' =\cos x  
Integral
:\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C

## Inverzna funkcija
desno|150px|arkussinus
Inverzna funkcija funkcije  \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \, je
: \mathrm e^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm e^{-\mathrm{i}\theta} = (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)-(\cos \theta - \mathrm{i} \sin \theta) = 2 \mathrm{i} \cdot \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = {\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} \over 2\mathrm{i}}

:\arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,

:\arcsin \alpha  (Arkus sinus) je funkcija inverzna funkciji \sin \alpha   na njenom  intervalu [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
Koristi se za određivanje veličine ugla , kada je poznata vrijednost njegovog sinusa.

### Formule
:\arcsin{-x} = \frac{\pi}{2} - \arccos{x} (pravilo komplementarnih uglova)
:\arcsin{-x} = -\arcsin{x} (neparnost funkcije)
:\arcsin{\frac{1}{x}} = arccosec{x}
:\arcsin x = 2 arctg \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}

:(arcsin)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}; \qquad |x| 

:\arcsin x {}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1
:
\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1
\end{align}

## Također pogledajte 
* Sinusoida
* Kosinus
* Tangens
* Kotangens

## Vanjski linkovi 
# Sinus, mathworld.wolfram.com
# Trigonometrijske funkcije realnog broja 

Kategorija:Trigonometrija
Kategorija:Trigonometrijske funkcije