Kružnica

mini|desno|Kružnica polumjera *r*&nbsp; i promjera *d* te središtem u tački *M*

## Opći pojmovi 
Neka je u ravni data tačka O i duž r. Tada , prema aksiomi prenošenja duži, na svakoj polupravoj čiji je početak tačka O i leži u ravni postoji jedinstvena tačka X takva da je OX=r.

;Definicija 1:

Skup svih tačaka ravni čija je udaljenost od date tačke O te ravni jednaka datoj duži nazivamo **kružnica** s centrom u O i poluprečnikom (radijusom) r.

**Poluprečnik kružnice** je duž koja spaja centar kružnice sa bilo kojom tačkom kružnice.

Prava koja prolazi kroz centar kružnice naziva se **centralna prava kružnice**. Centar O dijeli centralnu pravu na dvije poluprave koje imaju tačno jednu tačku sa kružnicom, odnosno centralna prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke.

Duž PQ koja spaja centralno simetrične tačke kružnice nazivamo '''**prečnik (dijametar ili promjer)**** kružnice. Ako je PQ prečnik kružnice onda je PO=OQ odnosno O je sredina prečnika.

Duž koja spaja dvije tačke kružnice nazivamo **tetiva.** Prečnik je tetiva na kojoj leži centar kružnice.

Centralna prava dijeli ravan kružnice na dvije poluravni odnosno tačke kružnice dijeli na dva skupa.-
* skup koji leži u jednoj poluravni 
* skup koji leži u drugoj poluravni. Ovi skupovi su polukružnice. 
Kružnice koje imaju isti centar kažemo da su koncentrične.

Ugao čiji je vrh u centru kružnice nazivamo **centralni ugao.**

Dio kružnice koji pripada centralnom uglu nazivamo **luk.** Centralnom uglu odgovara određen luk. Luk koji odgovara ravnom uglu je polukružnica. 
Luk koji odgovara nultom uglu svodi se na tačku. 
Punom uglu odgovara kao luk cijela kružnica.
## Jednačina kružnice
U pravouglim koordinatama jednačina kružnice glasi
::(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2\,.
Ova je jednačina drugog reda.
Jednačina kružnice može se napisati  i na sljedeći način
:: \frac{x^2}{r^2}+ \frac{y^2}{r^2}= 1 . Ovo je  segmentna jednačina.
Kružnica sa središtem u tački  S(p,q)   i poluprečnikom  r   određena je jednačinom:
:: (x-p)^2+(y-q)^2 = {r^2}\, 
ili 
:: \frac{(x-p)^2}{r^2}+ \frac{(y-q)^2}{r^2}= 1  segmentna jednačina
## Opšti pojmovi
Obim kružnice је O = 2r \pi \,, a kružnica predstavlja periferiju kruga**.

Površina omeđena kružnicom је P = r^2 \pi\,.

**Koncentričnne kružnice** su kružnice koje imaju zajednički centar i leže u jednoj ravni.
Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog ugla nad istom tetivom.

Periferni ugao nad prečnikom je prav

Ugao između tetive i tangente povučene iz jedne tačke kružnice jednak je perifernom uglu nad tom tetivom

Periferni uglovi nad istom tetivom su isti ili suplementni .

## Rastojanje tačke od kružnice 
Spojimo tačku C sa tačkama kružnice K(O,r). Ovako dobijamo beskonačan skup duži za C ≠ O. U slučaju C = O to je nulta duž.

Postavlja se pitanje , postoji li u ovom skupu duž od koje ni jedna duž skupa nije manja i takva duž koja nije manja ni od jedne duži skupa?

To su duži CA i CB ,gdje su A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj koja prolazi kroz C. Tačka A je s one strane tačke O s koje je C, a B sa suprotne strane.

;Definicija 2:

Element m skupa E ( u kome između elemenata postoji relacija  ) koji nije veći ni od jednog elementa skupa naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maximum (najveći) element skupa E.

U navedenom slučaju duži AB i AC su minimum i maximumu u skupu duži.

;Definicija 3:

Minimum skupa rastojanja date tačke od skupa naziva se rastojanje te tačke od skupa.

**Teorema 1**

Neka je data tačka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su tačke A ,B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj, koja prolazi tačkom C. Tačka A neka je s one strane s koje je tačka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od svih tačaka križnice tačka A ima najmanje ,a tačka B najveće rastojanje od C i pri tome je

CA = │CO - r│ i CB = CO + r

Beskonačni skupovi ne moraju imati minimumu i maximumu.

Primjer

Skup brojeva 1,1/2, ¼, 1/8,...ima maximumu a nema minimum

## Zajedničke tačke kružnica 
Neka su zadane dvije kružnice K(C, R) i k(O,r). Odredimo međusobni položaj ovih kružnica. Povučemo li centralnu pravu CO ovih kružnica, sa A, B označimo tačke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od tačke O sa koje je tačka C, a sa B tačku drugr kružnice.

Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r
Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa
#CO > R + r
#CO = R + r  
# R - r 
#CO r)
#CO = R - r (R >r)
### Presjek kružnica prazan skup 
* Za  CO > R + r  CO -r > R  CA > R

Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice. 
* O  CO -r  CB 

Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.
## Tangenta kružnice 
;Tangenta kružnice sa središtem  S(0,0

Tangenta kružnice koja ima središte u koorinantnom početku koordinatnog sistema i koja prolazi točkom  
 T (x_0, y_0)

na kružnici, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

: {2xdx+2ydy} = {0}\, 

odakle slijedi da je

: y'= \frac{dy}{dx} = \tan \alpha\, =  - \frac{x_0}{y_0} 

jednačina tangente na kružnicu

: y-y_0 = -{\frac{ x_0}{y_0} (x-x_0)} 

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

: x_0x + y_0y = r^2\, .					

;Tangenta kružnice sa središtem u  S(p, q) 

Tangenta kružnice koja ima središte u tački  S(p, q)  i koja prolazi tačkom   T(x_0, y_0)  na kružnici određena je koordinatama tačke T i koeficijentom smjera tangente. Diferenciranjem jednačine kružnice nalazi se da je:

: {2(x-p)dx+2(y-q)dy} = {0} \, 

odakle slijedi da je

: y'= \frac{dy}{dx} = \tan \alpha\, =  - \frac{x_0-p}{y_0-q}    
 
te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente kružnice

: y-y_0 = -{\frac{x_0-p}{y_0-q} (x-x_0)} 

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednačine tangente kružnice

: (x_0-p)(x-p) + (y_0-q)(y-q)= r^2 \, .

### Tangiranje kružnica 
* CO = R + r  CO - r  CA = R

Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju izvana u tački A.
*  CO = R - r (R > r)  CO -r = R  CB = r

Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju dijametralno raspoređene dvije zajedmočke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dvije tačke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju.

### Presjek kružnica 
R – r  CB > R
B je van K (C,R)
CO  CA  R + r ( svaka od križnica je izvan druge kružnice)
** CO 1 su konjugovane u odnosu na kružni cu ako zadovoljavaju formulu

\overrightarrow{OM} \overrightarrow{ON} = R^2

Ovo je jednačina **polare kružnice** . Skup konjugovanih tačaka kružnice je prava. 
# Polara siječe kružnicu ako je tačka M van križnice.
# tangenta je kružnice ako je M na kružnici
# Nema ztajedničkoh tačaka ako je M u kružnici
# Prolazi kroz centar kružnice ako je M u beskonačnosti
« Ako je O\equiv M onda je polara u beskonačnosti.

\overrightarrow{OM} \overrightarrow{OP} = R^2

OA= -OB

OA^2=OB^2

(OA^2-OB^2)=0

(AO+ OM)(BO+ OM)=0

AM BM=0

### Apolonijeva kružnica 
Geometrijsko mjesto tačaka ravni koje imaju osobinu da je odnos udaljenosti tih tačaka stalan broj je kružnica – Apolonijeva kružnica

\frac{MA}{MB}==k \Rightarrow MA =k MB\Rightarrow MA^2 =k^2 MB^2

(MA +kMB)(MA -kMB)=0

  \dfrac{MA -kMB}{1-k} \dfrac{MA +kMB}{1+k}
=0

Za mjenom

  \dfrac{MA -kMB}{1-k} sa MC i

\dfrac{MA +kMB}{1+k} sa MD

Imamo MC MD=0 kružnica sa prečnikom CD.

## Kružnice u p-normama i brojevi \pi_p
Dosad smo udaljenost računali pomoću metrike d_2. Za definisanje pojma kružnice možemo, umjesto metrike d_2, uzeti neku drugu metriku d.

Skup

S={(x,y)\in R^2:d((x,y),(x_0,y_0 ))=r}

predstavlja kružnicu radijusa r sa sredisstem u (x_0, y_0) s obzirom na metriku d.

Kružnica radijusa r sa sredistem u koordinantnom početku s obzirom na d_p je skup

S_p ={(x,y)\in R^2:x^p +y^p=r^p} za p\ge 1

Na ovoj slici prikazane su kružnice S_1, S_2 i S_\infty

Kada bismo nacrtali i ostale kružnice S_p, sve bi one bile smještene između S_1 i
S_\infty, i što bi p bio veći, to bi kružnica S_p bila bliže kružnici S_\infty.
To nam je jasno iz teorema za max- normu.

Uzmimo r = 1. Neka je

(x,y)\in R^2 (x,y) \neq (0,0)

Tada tačka

\frac{1}{\begin{Vmatrix} (x,y) \end{Vmatrix}}(x,y) leži na kružnici S_1 ,jer je

\begin{Vmatrix}\frac{1}{\begin{Vmatrix} (x,y) \end{Vmatrix}_1}(x,y)\end{Vmatrix}=1

Sa slike se vidi da kružnica S_1 leži unutar kružnice S_2 pa je tačka

\frac{1}{\begin{Vmatrix} (x,y) \end{Vmatrix}}(x,y) unutar kružnice S_2 tj

\begin{Vmatrix}\frac{1}{\begin{Vmatrix} (x,y) \end{Vmatrix}_1}(x,y)\end{Vmatrix}\le1

vrijedi

\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_2 \le \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_1

Kada bismo nacrtali kružnicu radiusa \sqrt{2} u odnosu na metriku d_1 odnosno \sqrt{2} S_1 kružnica S_2 bila smještena unutar nje.

\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_1 \le \sqrt{2}\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_2
\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_2 \le  \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_1        \le         \sqrt{2}\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_2

Propozicija

Za sve p,q \ge 1

 \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_\infty \le  \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_p        \le   \sqrt[p]{\sqrt{2}}      \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_\infty 

\sqrt[p]{^{-1}}\begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_q \le  \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_p        \le   \sqrt[p]{2}      \begin{Vmatrix} (x,y)\end{Vmatrix}_q

Geometrijski oblik kružnice zavisi o odabranoj metrici.

Izračunajmo obim O_p kružnica S_p.

Obim kružnice S_2 je O_2=2r\pi 

O_1=4d_2 ((r,0)(0,r))=4(|r-0|+|0-r|)=8r

O_\infty=4d_\infty ((r,-r),(r,r))=max(|r-r|,|-r-r|)=8r

U obima O_1 i O_\infty ne pojavljuje se \pi.

Neka je c_p četvrtina kružnice S_p koja pripada prvom kvadrantu. Tada je

\int_{c_p} ds_p\, dx

ds_p je element dužine

ds_p =\sqrt[p]{|dx|^p+|dy|^p} =   \sqrt[p]{|x'(t)|^p+|y'(t)|^p}dt                 

Za p=2 imamo

ds_2 =\sqrt{(dx)^2+)(dy)^2}

Za parametrizaciju krive c_p uzmimo

x(t)=r\sqrt[p]{t}

y(t)=r\sqrt[p]{1-t} za t\in [0,1]

ds_p= \frac{r}{p}\sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}dt

Za p\ne\infty

O_p=\frac{4r}{p}\int_{0}^{1} \sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}\, dt               

Pošto su nam iznosi za O_1 i O_2 poznati, gornju formulu možemo provjeriti uvrštavanjem p = 1 i p = 2.

Za p=1

O_1=4r\int_{0}^{1} ({t^{1-1}+(1-t)^{1-1})}\, dt  = 4r\int_{0}^{1} 2\, dt  =8r          

Za p=2

O_2=\frac{4r}{2}\int_{0}^{1} \sqrt[2]{t^{1-2}+(1-t)^{1-2}}\, dt               

O_2=2r\int_{0}^{1} \sqrt[2]{\frac{1}{t}-\frac{1}{1-t}}\, dt               

O_2=2r\int_{0}^{1} \sqrt[2]{\frac{1}{(\frac{1}{2})^2- (t-\frac{1}{2})^2             }}\, dt= 2r\arcsin (2t-1)|_{0}^{1} 

O_2=2r\arcsin (1)-2r\arcsin (1)=2r\pi

Za svaki p razmjera \frac{O_p}{2r} obima O_p i prečnika 2r kružnice je konstantan. 
Tu razmjeru označavamo sa \pi_p i iznosi

\pi_p=\frac{2}{p}\int_{0}^{1} \sqrt[p]{t^{1-p}+(1-t)^{1-p}}\, dt               

Očito je

\pi_1=4, \pi_2=\pi, \pi_\infty  =4

## Također pogledajte 
* Sfera
## Izvor
p-norme na R^2 , kružnice S_p  i brojevi \pi_p // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)


Kategorija:Elementarni oblici
Kategorija:Konusni presjeci