Talasna jednačina

**Talasna jednačina** je važna linearna parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda koja opisuje prostiranje većine talasa, kao što su zvučni talasi, svjetlosni talasi i vodeni talasi. Koristi se u oblastima kao što su akustika, elektromagnetizam i dinamika fluida. Historijski, problem vibrirajuće žice, kao što je ona na muzičkim instrumentima, proučavao su Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli i Joseph Louis Lagrange.
desno|mini|250px|Puls putuje kroz žicu sa fiksiranim krajevima, što je prikazano talasnom jednačinom.
frame|desno|Sferični talas koji nastaje u tačkastom izvoru.

## Uvod 
Talasna jednačina je prototipni primjer hiperboličke parcijalne diferencijalne jednačine. U svom najjednostvnijem obliku, talasna jednačina odnosi se na skalarnu funkciju *u* koja zadovoljava:

:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2 u, 

gdje je \scriptstyle\nabla^2 Laplacijan i gdje je *c* fiksna konstanta jednaka brzini prodiranja talasa. Za zvučni talas u zraku na 20&nbsp;°C, ova konstanta iznosi oko 343&nbsp;m/s (pogledajte članak brzina zvuka). Za vibracije žice, brzina može varirati široko, u zavisnosti od linearne gustoće žive i zategnutosti iste. Za spiralnu oprugu (slinki) može biti spora i do jednog metra u sekundi. Realističnije diferencijalne jednačine za talas dopuštaju da brzina talasa varira sa frekvencijom talasa, što je fenom poznat pod nazivom disperzija. U takvom slučaju, *c* mora biti zamijenjeno sa faznom brzinom:

:v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.

još jedna oubičajana korekcija u realističnim sistemima je da brzina, također, može zavisiti od amplitude talasa, što dovodi do nelinearne talasne jednačine:

:{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \nabla^2 u 

## Također pogledajte 
* Akustična talasna jednačina
* Elektromagnetna talasna jednačina
* Helmholtzova jednačina
* Nehomogena elektromagnetna talasna jednačina
* Laplaceov operator
* Schrödingeova jednačina
* Stojeći talas
* Vibracije kružnog bubnja

## Reference 
* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", *Acta Math.*, **124** (1970), 109–189. 
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", *Acta Math.*, **131** (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, *Methods of Mathematical Physics, vol II*. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* "Linear Wave Equations", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* "Nonlinear Wave Equations", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", *Project PHYSNET*.
* *Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators*, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp.&nbsp;163–197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online  or as the arXiv preprint)

## Vanjski linkovi 
* Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram and Rob Knapp and  Nonlinear Wave Equation Explorer by Stephen Wolfram, and  Wolfram Demonstrations Project.
* Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki.

Kategorija:Koncepti u fizici
Kategorija:Hiperboličke parcijalne diferencijalne jednačine
Kategorija:Mehanika talasa
Kategorija:Fizičke jednačine