Bernoullijeva jednačina

**Bernoullijeva jednačina** prikazuje odnos između brzine, pritiska i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih presjeka; porastom brzine tekućine pada njen statički pritisak i obratno. Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u horizontalnom strujanju daje ukupan pritisak, koji je konstantan u svim presjecima. Drugim riječima, Bernoullijeva jednačina predstavlja zakon očuvanja energije, koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da *za vrijeme **stacionarnog strujanja** jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima **konstantnu energiju** duž cijele strujne cijevi.*

:: Odnosno Bernouiiljeva jednačina govori o konstantnosti:
* potencijalne energije ... \ z+ {p \over \rho g} i 
* kinetičke energije ... \ {v^2 \over 2g}.

## Objašnjenje Bernoullijeve jednačine 
600px|centar

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su piezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog pritiska mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj pritiska usljed kretanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Piezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću piezometarske i Pitotove cijevi. Zbir tih visina je konstantna i jednaka **H**, bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički pritisak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća, iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički pritisak veći, a na mjestima veće brzine manji.

### Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koriste u Bernoullijevoj jednačini 
:**ρ** – Gustoća - (kg/m^3)
:**S** - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka - (m^2).
:**p** - statički pritisak - *(Pa)*
:**v** - brzina - *(m/s)*
:**m** – masa tekućine - *(kg)*
:**R** - mehanički rad - *(W)*
:**V** - volumen mase tekućine - (m^3)

* Bernoullijeva jednačina koristi SI sistem jedinica.
** \ z geodetska visina, odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravan u \ (m)
** \ p \over \rho g piezometarska ili visina pritiska, odnosno visina piezometarskog pritiska koju pokazuje visina stupca tekućine u piezometarskoj cijevi u \ (m)
** \ {v^2 \over 2g} je brzinska visina u \ (m), a brzina \ v predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
** *Ukupan zbir energija daje **Bernoullijevu jednačinu***

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka S_2 i statičkog pritiska p_2, tekućina dobije veću brzinu v_2.
Masa tekućine *m* ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju: 
 
:   \frac{ m \cdot v_1^2}{2}  
 
: a kad uđe u uži dio:
 
:   \frac{ m \cdot v_2^2}{2} 

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada *R* koji je nastao zbog razlike pritisaka (p_1-p_2) s_1 pri kretanju mase *m* tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

:R = (p_1-p_2) s_1 ΔS

:R= (p_1-p_2) V , gdje je *V* volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

:(p_1-p_2) V =   \frac{ m \cdot v_2^2}{2}  -   \frac{ m \cdot v_1^2}{2} 

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća *ρ* = \frac {m}{V}, dobijamo **Bernoullijevu jednačinu:**

:p_1 +   \frac{\rho \cdot v_1^2}{2}  = p_2 +   \frac{\rho \cdot v_2^2}{2}  = p_3 +   \frac{\rho \cdot v_3^2}{2}  = konst.

Izrazi   \frac{\rho \cdot v_1^2}{2}  , p_2 +   \frac{\rho \cdot v_2^2}{2}  i p_3 +   \frac{\rho \cdot v_3^2}{2}  prikazuju pritisak koji je nastao usljed strujanja tekućine i zove se dinamički pritisak.

## Oblik Bernoullijeve jednačine za idealnu tekućinu 
: Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ova jednačina jesu:

# tekućina je idealna - nestišljiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
# Stacionarno strujanje

\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{v^2_2 \over 2g}=H

** \ H predstavlja hidrodinamički pritisak ili ukupnu specifičnu energiju u \ (m).

### Izvod Bernoullijeve jednačine preko zakona održanja količine kretanja 
:: Bernoullijeva jednačina je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine kretanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod jesu:
# fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
# Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

### Izvod Bernoullijeve jednačine preko Eulerovog integrala 
: Eulerove diferencijalne jednačine kretanja tekućine - implicitni oblik

\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta x} = X -  \frac{d u }{d t } ... ... ...*(1E)* 
\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta y} = Y -  \frac{d v }{d t } ... ... ...*(2E)* 
\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta z} = Z -  \frac{d W }{d t } ... ... ...*(3E)*

\ \rho =konst - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

: Osnovna pretpostavka:
* imamo stacionarno strujanje

:: matematičke transformacije - *(1E)* množimo s *dx*, *(2E)* množimo s *dy*, *(3E)* množimo s *dz* i saberemo dobivene jednačine.

\ \frac{1}{\rho} \left(\frac{\delta p}{\delta x}dx + \frac{\delta p}{\delta y}dy + \frac{\delta p}{\delta z}dz\right) = Xdx+Ydy+Zdz - \Bigg( du \overbrace{ \frac{d x }{d t }}^{u} + dv \overbrace{ \frac{d y }{d t }}^{v} + dw \overbrace{ \frac{d z }{d t }}^{w}\Bigg) , 

pa dobijemo jednačinu:

\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{1}{\rho} \delta p - (udu+vdv+wdw)  

možemo derivirati

\ udu= \frac{1}{2} d u^2  
\ vdv= \frac{1}{2} d v^2  
\ wdw= \frac{1}{2} d w^2  

Dakle, sada imamo ovaj oblik jednačine

\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (u^2+v^2+w^2)    
\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (W^2)    

* ako imamo strujnu cijev u kojoj djeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sistemu. Možemo pojednostavniti ovako:

\ X=0, Y=0, Z=-g  
\ -gdz - \frac{\delta p}{\rho}- \frac{1}{2} d(W^2)=0  ... operacije/ \int / : -g 
I konačno **Eulerov integral** koji predstavlja izvod Bernoullijeve jednačine: 
\ z+ \frac {p}{\rho g} + \frac {W^2}{2g}= konstanta 

## Oblik Bernoullijeve jednačine za realnu tekućinu 

\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{\alpha_1 v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{\alpha_2 v^2_2 \over 2g}+ \Delta H

** \ \Delta H je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u \ (m).

### Coriolisov koeficijent 
Naziva se i koeficijent kinetičke energije \ \alpha_{1,2}. On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim tačkama presjeka jednake *(srednja brzina)*. Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

: Koeficijent kinetičke energije najčešće ima sljedeće vrijednosti:

** kod strujanja u cijevima \alpha=1,0
** kod strujanja u otvorenim vodotocima \alpha=1,1
** vrijednost \alpha možemo računati ovom formulom:
 
\ \alpha= \frac{ \int_A v^3 dA}{v_{sr}^3A} - postavlja se uslov da je \alpha \geq 1

## Praktična primjena Bernoullieve jednačine 
### Primjer cijevi pod pritiskom 
mini|350px|desno|Cijev pod pritiskom

Znamo: \ d=konstantno, Q=konstantno \quad \rightarrow \quad v=konstantno.
: gubitak pritiska predstavlja razliku piezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: z_1=z_2

\ z_1+ \frac{p_1}{ \rho g}=z_2+ \frac{p_2}{ \rho g} + \Delta H 
\  \Delta H =\left(z_1+ \frac{p_1}{ \rho g}\right)-\left(z_2+ \frac{p_2}{ \rho g}\right) 

## Zaključak 
:\ p_s + \ p_d = p_u  =  konst.

gdje je \ p_s statički pritisak, \ p_d  =  \frac{\rho \cdot v^2}{2}  dinamički pritisak, a \ p_u ukupni pritisak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

* Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednačina služi za proračun brzine, pritiska ili gubitaka kod protoka tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama, tj. fluidima, ova jednačina služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.

## Također pogledajte 
* Navier–Stokesove jednačine
* Hidraulika

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* https://books.google.ba/books?id=TQfYCwAAQBAJ&pg=PA2-1&q=Anderson&redir_esc=y
* https://web.archive.org/web/20180318183632/http://d1vdx9ifs4n5d7.cloudfront.net/s3fs-public/davidson_images/eastwell-bernoulli.pdf
* https://books.google.com/books?id=G6RRAAAAMAAJ
* http://www.df.uba.ar/users/sgil/physics_paper_doc/papers_phys/fluids/Bernoulli_Newton_lift.pdf

Kategorija:Dinamika fluida
Kategorija:Aerodinamika