Kompleksan broj

malo|desno
**Kompleksni brojevi** su oni brojevi koji proširuju skup realnih brojeva na način da jednačina x^2 + 1 = 0 ima rješenje. Ono je moguće uvođenjem novog imaginarnog broja \mathrm i koji ima osobinu \mathrm i^2 = -1. Ovaj broj \mathrm i označava se kao *imaginarna jedinica*. U elektrotehnici za njegovo označavanje koristi se slovo \mathrm j, kako bi se izbjegla zabuna sa oznakom za jačinu struje zavisne od vremena (koja se označava sa i ili i(t)).

Pojam "kompleksnih brojeva" uveo je Carl Friedrich Gauß 1831. u djelu *Theoria residuorum biquadraticorum*. Međutim, temelje teorije kompleksnih brojeva postavio je italijanski matematičar Gerolamo Cardano u djelu *Ars magna* objavljenom u Nürnbergu 1545. te Rafael Bombelli u djelu ''L'Algebra'' objavljenom u Bologni 1572. a napisanom između 1557. i 1560. Uvođenje imaginarne jedinice \mathrm i kao novog broja pripisuje se Leonhardu Euleru.

## Definicije 
U skupu realnih brojeva \mathbb{R} jednačina x^2-1=0 ima dva rješenja

x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1

Slična jednačina x^2+1=0 u skupu \mathbb{R} nema ni jedno rješenje. Zato se uvodi imaginarna jedinica i definisana na sljedeći način i^2=-1 tj

x^2+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pm i.
Iz ove definicije slijedi

 \displaystyle  i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=-i\cdot i=-(-1)=1,\quad i^5=i, \quad i^6=-1, \ldots.

i oduzimanje

\displaystyle z_1-z_2  \displaystyle = x_1-x_2+i(y_1-y_2)

### Osobine sabiranja kompleksnih brojeva
z_1+z_2=z_2+z_1  za \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C} komutativnost sabiranja

z_1 + (z_2 + z_3)=(z_1 + z_2) + z_3, za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} asocijativnost sabiranja

\exists 0\in \mathbb{C} z+0=z za \forall z \in \mathbb{C} neutralni element 0(nula) za sabiranje

Kompleksni broj 0=(0,0)=0+0i

(\forall z \in \mathbb{C}) (\exists (-z)\in \mathbb{C} z+(-z)=0  postojanje inverznog elementa.

Kompleksni broj -z=(-x,-y)=-x-yi 

### Množenje kompleksnih brojeva
Neka su z_1=x_1+iy_1 i z_2=x_2+iy_2 dva kompleksna broja.

U skupu kompleksnih brojeva definisano je množenje
\displaystyle z_1\cdot z_2 \displaystyle = (x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2+iy_1x_2+ix_1y_2+i^2y_1y_2 \displaystyle = x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)

#### Osobine množenja kompleksnih brojeva
z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1  za \forall z_1,z_2 \in \mathbb{C} komutativnost množenja

z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)=(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} asocijativnost množenja

\exists 1\in \mathbb{C} z\cdot1=z za \forall z \in \mathbb{C} neutralni element  1 za množenje

(\forall z \in \mathbb{C})(z \ne 0 )(\exists z'\in \mathbb{C})  z\cdot(-z)=1  postojanje reciproćnog elemanta

z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 za \forall z_1,z_2, z_3 \in \mathbb{C} distributivnost množenja u odnosu na sabiranje 

Brojevi z i \overline{z} čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo

\operatorname{Re} z = \frac{1}{2}(z+\overline{z})

\operatorname{Im} z = \frac{1}{2i}(z-\overline{z})

Lako se provjerava da vrijedi

#
\overline{z_1+z_2} =\overline{z_1} +\overline{z_2}
#
\overline{z_1-z_2} =\overline{z_1} -\overline{z_2}
#
\overline{z_1\cdot z_2} =\overline{z_1} \cdot\overline{z_2}
#
\overline{(\frac{z_1}{z_2})} =\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_1}} 

## Korjenovanje kompleksnog broja
\sqrt[n]{z}=\begin{Bmatrix}
  u_0,u_1...u_n
\end{Bmatrix}
 za n \in  N

gdje je

u_k=\sqrt[n]{r}(\cos\frac{\sqrt[n]{r}}{n}+i \sin \frac{\theta+2k\pi }{n}) za k=0, 1, \dots, (n-1)

u_k= \sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi )/2}  za k=0,1,\dots, (n-1)

## Kvadratni korjen imaginarnog broja
\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način

i = (a+bi)^2\!

i = a^2 + 2abi - b^2.\!

Dobijamo dvije jednačine

\begin{cases}
2ab = 1\! \\
a^2 - b^2 = 0\!
\end{cases}

čija su rješenja

a = b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

Izbor glavnog korjena daje

a = b = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule

i = \cos\left (\frac{\pi}{2}\right ) + i\sin\left (\frac{\pi}{2}\right )

\begin{align}
 \sqrt{i} & = \left ( \cos\left ( \frac{\pi}{2} \right ) + i\sin \left (\frac{\pi}{2} \right ) \right )^{\frac{1}{2}}  \\
              & = \cos\left (\frac{\pi}{4} \right ) + i\sin\left ( \frac{\pi}{4} \right ) \\
              & = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) . \\
\end{align}

## Apsolutna vrijednost argumenta
Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja z = x + yi je

:\textstyle r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.\,

Kvadrat apsolutne vrijednosti je
:\textstyle |z|^2=z\bar{z}=x^2+y^2.\,  

u općem slučaju važi
\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{\cos\varphi_1\cos\varphi_2-i\cos\varphi_1\sin\varphi_2+i\cos\varphi_2\sin\varphi_1-i^2\sin\varphi_1\sin\varphi_2}{\cos^2\varphi_2+\sin^2\varphi_2}

\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin (\varphi_1-\varphi_2)) = \frac{r_1}{r_2}(\operatorname{cis}(\varphi_1-\varphi_2))

## De Moavrova formula 
Neka je
z=r(\cos \theta+ i\sin \theta)= r\operatorname{cis} \theta trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je

z^2=z\cdot z

z^2=r\operatorname{cis} \theta \cdot r\operatorname{cis} \theta =r^2 \operatorname{cis} (\theta + \theta)=  r^2 \operatorname{cis} 2\theta

z^3=r^2\operatorname{cis} 2\theta \cdot r\operatorname{cis} \theta =r^3 \operatorname{cis} (2\theta + \theta)=  r^3 \operatorname{cis} 3\theta

z^4=r^3\operatorname{cis} 3\theta \cdot r\operatorname{cis} \theta =r^4 \operatorname{cis} (3\theta + \theta)=  r^4 \operatorname{cis} 4\theta

Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici

( \cos \phi +i \sin \phi )^n= \cos n \phi +i \sin n \phi\,  

## Također pogledajte 
* Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

## Reference 
## Literatura 
# Kompleksni brojevi 
# Kompleksni brojevi
# KOMPLEKSNI - BROJEVI
# Skup kompleksnih brojeva 
#Moavrova formula i n-ti koren kompleksnog broja, 21. februar 2014
#Množenje i deljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, 19. februar 2014.
#Trigonometrijski oblik kompleksnog broja, 17. februar 2014.

## Vanjski linkovi 
# A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers


Kategorija:Kompozicijske algebre