Zlatni rez

desno|mini|225px|Zlatni isječak je linijski segment prepolovljen na dva dijela prema pravilčima zlatnog reza. Ukupna dužina  je većem segmentu  isto što je  kraćem segmentu .

U matematici i umjetnosti, dvije veličine su u **zlatnom rezu** ako je omjer između sume te dvije veličine i veće od njih jednak sa odnosom veće veličine sa manjom veličinom. Zlatni rez je matematička konstanta, koja približno iznosi 1,6180339887.

Ostali nazivi, koji se koriste za ili za zlatnom rezu srodne pojmove, su **zlatni isječak** (latinski: *sectio aurea*), **zlatna sredina**, **zlatni broj** i grčko slovo **fi** (***ϕ***). Ostali termini, koji se susreću, jesu **ekstremni i srednji omjer**, **medijalni isječak**, **božanska proporcija**, **požanski isječak** (latinski: *sectio divina*), **zlatna proporcija**, **zlatni omjer**,, te **Fidiasova sredina**.

[desno|mini|Konstrukcija [tlatni pravougaonik|zlatnog pravougaonika: 
1. Konstruišite jedinični kvadrat (crveno). 
2. Povucite liniju sa sredine jedne stranice u suprotan ugao. 
3. Iskoristite tu liniju kao radijus kako bi nacrtali luk koji definiše dužu dimenziju pravougaonika.]]

## Historija
Teorija zlatnog reza započeta je u antici, a svoj procvat imala je u renesansi kada su umjetnici, matematičari, fizičari i astrolozi tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura.

Herodot (484. - 424. pne) 
„Jedan egipatski svećenik  govoreći o obliku Keopsove piramide spomenuo mi je da je kvadrat nad njezinom visinom jednak površini bočnog trougla“
desno|mini|225px

v= 	\frac{a}{2}\sqrt{\varphi}

b= 	\frac{a}{2}\sqrt{\varphi +2}

\alpha =\operatorname{arctg}\sqrt{\varphi}

\beta =\operatorname{arctg}\sqrt{\frac{\varphi}{2}}

Grčki kipar Fidije u V vijeku pne.. primijenio je zlatni rez u dizajnu svojih skulptura i gradnji Partenona.

Platon (grčki filozof, V. i IV. vijek pne.) u „Timoteju“ opisuje pet pravilnih geometrijskih tijela kao osnovu harmonične strukture svijeta. Zlatni rez igra ključnu ulogu u dimenzijama i oblikovanju nekih od ovih tijela.

Pitagorejci (oko 500. god.pne.)  dolaze do jednog od najvažnijih otkrića u matematici: 
- dijagonala i stranica kvadrata ( pravilnog peteugla) su nesamjerljive 
desno|mini|225px
\frac{d}{a_5}= \varphi

Grčki matematičar Euklid prvi je ovaj broj uočio i matematički izrazio. Oko 300 godina prije Krista napisao je knjigu „Elementi“ u kojoj navodi prvu zabilježenu definiciju zlatnog reza.

Datu dužinu podijeliti tako da pravougaonik obuhvaćen cijelom dužinom i jednim odsječkom,bude jednak kvadratu na drugom 
odsječku.

a(a-x)=x^2

x^2+ax-a^2=0

x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}a

Sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Marko Vitruvije u djelu *De architectura libri decem* ili *Deset knjiga o arhitekturi*, posvećenom imperatoru Augustu. Pisao je o simetriji hramova, a njihove proporcije upoređuje s razmjerima čovječijeg tijela. Vitruvije je ucrtao ljudsko tijelo u kružnicu, što je  kasnije ponovo interpretirao Leonardo Da Vinci

Fra Luca Pacioli (1446–1510) štampao je u Veneciji 1509. djelo *De divina proportione*, koje je imalo veliki uticaj i nakon kojeg zlatni rez doživljava pravu renesansu. U njemu opisuje harmonijske osobine “božanske razmjere". Knjigu je 
ilustrirao Leonardo da Vinci.

Martin Ohm 1835. g. u drugom izdanju udžbenika Die reine Elementar -Mathematik ( Čista elementarna matematika)
prvi put koristi termin zlatni rez.

Oznaku \varphi je 1909. predložio američki matematičar Mark Barr u čast slavnom starogrčkom kiparu Fidiji (Phidias 480–430. p. n. e.)

## Izračunavanje 
Za dvije veličine (pozitivni brojevi) *a* i *b* se kaže da su u *zlatnom rezu* *ϕ* ako vrijedi

: \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.

Ova jednačina jednoznačno definiše *ϕ*.

Desna jednačina pokazuje da je *a = bϕ*, što se može zamijeniti u lijevi dio, dajući

:\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,.

Poništavanjem *b* na obe strane, dobijamo

:\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi.

Množenjem obe strane sa *ϕ* i premještanjem članova vodi do:

:{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.

Jedino pozitivno rješenje ove kvadratne jednačine je

:\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,
## Prikazi broja \varphi
\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}= 1{,}618033988...

\frac{1+\sqrt{1}}{\varphi}=\varphi - 1=0.618033988...

\varphi^2= \varphi+1

\varphi= \sqrt{1+\varphi}=\sqrt{1+\sqrt{1+\varphi}}

\varphi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}...}}

\varphi= 1+\frac{1}{\varphi}=1 + \frac{1}{1+\frac{1}{\varphi}}=...  

\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}

\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}

## Također pogledajte 

* Estetika
* Zlatni ugao
* Zlatna funkcija
* Zlatni pravougaonik
* Zlatni teougao (matematika)
* Traženje zlatnog isječka
* Fi
* Keplerov trougao
* Logaritamska spirala
* Fibonaccijev broj
* Modulor
* Sveta geometrija
* Ruže Heliogabalusa
* Plastični broj
* Penroseovo popločanje
* Dinamička simetrija
* Baza zlatnog reza
* *Vitruvijev čovjek*
* Kvadratni korijen od 5
* Srebrni rez
* Spisak radova dizajniranih sa zlatnim rezom

## Reference i fusnote 
## Dalje čitanje 
* 
* 
* Arakelyan, Hrant. *Mathematics and Hstory of the Golden Section*. – Logos 2014, 404 p. — , (rus.).
* 
* 
* 
* 

## Vanjski linkovi 
*  Geometry instruction with problems to solve.
* 
*  Information and activities by a mathematics professor.
* 
* 
* "Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
*http://normala.hr/prezentacije/mkabic/zlatnirez/ZlatniRez.pdf
* Zlatni rez u radovima slikara Alfreda F. Krupe


Kategorija:Iracionalni brojevi
Kategorija:Matematičke konstante
Kategorija:Geometrija euklidske ravni