Apsolutna vrijednost

mini|360px|Grafik apsolutne vrijednosti funkcije za realne brojeve. 

U matematici, **apsolutna vrijednost** je njegova brojna vrijednost i pri tom se ne uzima predznak broja .

Apsolutna vrijednost |x| realnog broja x je maksimalni element para {x,-x}, koga sačinjavaju broj x i njemu suprotan broj -x. Dakle |-3|=3 jer je 3>-3; |x|=-x ako je -x>x, ili ekvivalentno ako je x-x, ili ekvivalentno ako je x>0; |x|=0 tada i samo tada kada je x=0.

**Primjer**

Brojevi 3 i -3 imaju istu apsolutnu vrijednost 3 .

## Definicija 
za bilo koji realan broj a apsolutna vrijednost |*a*| je jednaka broju a a ako je *a*&nbsp;≥&nbsp;0, i −*a* ako je *a*&nbsp;|a|=\left\{\begin{matrix}
a, & a \ge 0 \\
-a, & a 
apsolutna vrijednost uvijek je pozitivna tako |a| ne može biti manja od nule ili 0

Apsolutna vrijednost se može uzeti kao udaljenost datog broja od 0 na brojnoj osi.

## Osobine 
Apsolutna vrijednost broja a ima osobine :

# |*a*| ≥ 0
# |*a*| = 0 akko *a* = 0.
# |*ab*| = |*a*||*b*|
# |*a/b*| = |*a*| / |*b*| (ако је *b* ≠ 0)
# |*a*+*b*| ≤ |*a*| + |*b*| ( nejednakost trougla )
# |*a*−*b*| ≥ ||*a*| − |*b*||
# \left| a \right| = \sqrt{a^2}
# |*a*| ≤ *b* akko −*b* ≤ *a* ≤ *b*
# |*a*| ≥ *b* akko *a* ≤ −*b* **ili** *b* ≤ *a*

iz navedenog imamo :

:|*x* − 3| ≤ 9
:−9 ≤ *x*−3 ≤ 9
:−6 ≤ *x* ≤ 12

## Kompleksni brojevi
Apsolutna vrijednost kompleksnog broja takođe se naziva i modul kompleksnog broja.

Za z\in\mathbb C data je kao
|z| = \sqrt{z\,\overline z},
( \overline z konjugovana vrijednost broja z.

Kako je z = x + y\,i za a, b\in\mathbb R, imamo

|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.

Kada je kompleksni broj izražen u polarnom obliku.

z = r e^{i \theta}

Za r \ge 0 i \theta realno je

|z| = r.

|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}

|z| \neq \sqrt{z^2}.

## Odnos prema funkciji znaka
|x| = x \sgn(x)

ili

 |x| \sgn(x) = x,

za x \ne 0

\sgn(x) = \frac{x}.

## Diferencijal
Apsolutna funkcija realne vrijednosti ima izvod za svaki x \ne 0, ali nije diferencijabilna na x = 0.

:\frac{d|x|}{dx} = \frac{x} = \begin{cases} -1 & x0. \end{cases}

## Integral
:\int|x|dx=\frac{x|x|}{2}+C,

## Udaljenost
Euklidska udaljenost između dvije tačke
a = (a_1, a_2, \dots , a_n)  i b = (b_1, b_2, \dots , b_n)  je

\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}. 

|a - b| = \sqrt{(a - b)^2}.

Ako su zadane tačke  a = a_1 + i a_2  i b = b_1 + i b_2  imamo

Prava vrijednost funkcije d na skupu X × X naziva se vrijednost (ili funkcija udaljenosti) na X, ako zadovoljava sljedeće četiri aksiome:

:

## Apsolutna vrijednost vektora  
Apsolutna vrijednost vektora 
v=(x_1,x_2,..., x_n) u Euklidskom prostoru R^n data je kao
:\left | \mathbf{v} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}.
|v| se može smatrati dužinom vektora v.
## Izvori
#Absolute value 
# absolute value
#Absolute Value

## Također pogledajte 
* Apsolutna vrijednost (algebra)
* Valuacija (algebra)

## Zabilješke 
## Reference 
* Nahin, Paul J.; *An Imaginary Tale*; Princeton University Press; (hardcover, 1998). 
* O'Connor, J.J. and Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand"
* Schechter, Eric; *Handbook of Analysis and Its Foundations*, pp 259–263, "Absolute Values",  Academic Press (1997) 

## Vanjski linkovi 
* 
* 

Kategorija:Elementarne posebne funkcije