Eulerova formula

:*Ovaj članak govori o Eulerovoj formuli u *kompleksnoj analizi*. Za članak o Eulerovoj formuli u altebarskoj topologiji i poliedričnoj kombinatorici, pogledajte Eulerova karakteristika. Također pogledajte teme nazvane po Euleru.*

**Eulerova formula**, koja je dobila naziv po Leonhardu Euleru, je matematička formula u kompleksnoj analizi koja pokazuju duboku povezanost između trigonometrijskih funkcija i kompleksne eksponencijalne funkcije. Eulerova formula iskazuje da je, za svaki realan broj *x*,

: e^{ix} = \cos x + i\sin x \!

gdje je *e* baza prirodnog logaritma, *i* je imaginarna jedinica, a cos i sin su trigonometrijske funkcije kosinus i sinus, sa argumentom *x* dat u radijanima (rijetko u stepenima. Formula vrijedi i kada je *x* kompleksan broj.

Richard Feynman nazvao je Eulerovu formulu "našim draguljem" i "najizvanrednojom formulom u matematici".

## Istorija
Bernoulli je oko 1702. godine zapisao

    \frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2} \left(\frac{dx}{1-ix}+\frac{dx}{1+ix} \right).
i

\int \frac{dx}{1+x}=\ln(1+x),

Navedene jednakosti daju nam uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je Roger Cotes 1714. godine otkrio da je

: \ln(\cos x + i\sin x)=ix \ 

On nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Oko 1740. Euler je obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obje strane izvoda.U to doba niko nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predstavljene u kompleksnoj ravni. Tu vezu je ustanovio Caspar Wessel pedesetak godina kasnije.
## Primjene u teoriji kompleksnih brojeva
Eulerova formula može se predstaviti na način da funkcija e^{ix} rotira oko koordinantnog početka kompleksne ravni pri čemu x prima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu x je ugao što između duži, koja spaja koordinantni početak kompleksne ravnii s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, i pozitivne realne ose. Pri tome duž( vektor u kompleksnoj ravnini), rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina ugla ourađava se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju e^z i periodičnih funkcija sin x i cos x, gdje je z kompleksni broj, a x realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i za x bilo koji kompleksan broj.

Eulerova formula omogućava prelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijevim koordinatama u prikaz u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, množenje i stepenovanje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj z = x + iy može zapisati kao
: z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,
: \bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,

gdje je
: x = \mathrm{Re}\{z\} \, realni dio
: y = \mathrm{Im}\{z\} \, imaginarni dio
:|z| = \sqrt{x^2+y^2} apsolutna vrijednost ili veličina od z
:\phi = \, arctan(y, x) zadan u radijanima.

:a = e^{\ln (a)} \ 
:e^a  e^b = e^{a + b} \ 
: z = |z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi} \ 
: \ln z= \ln |z| + i \phi \ .
: (e^a)^k = e^{a k} \ ,
## Veza sa trigonometrijom
Eulerova formula je veza između analize i trigonometrija, i daje tumačenje sinus i kosinus funkcija preko eksponencijalne funkcije
:
\begin{align}
\cos x & = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2} \\
\sin x & = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}
\end{align}

Izvode se sabiranjem ili Eulerove formule
: 
\begin{align}
e^{ix} & = \cos x + i \sin x \; \\
e^{-ix} & = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;
\end{align}

rješavanjem po sin ili cos funkciji.

Ove formule mogu poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x.

Za x = iy imamo
:
\begin{align}
\cos(iy) & = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) \\
\sin(iy) & = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = - {e^{y} - e^{-y} \over 2i} = i\sinh(y) \ .
\end{align}

Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodične funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalne funkcije.
;Primjer
: 
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \bigg[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \bigg] \ 
\end{align}

: 
\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \}
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (\underbrace{e^{ix} + e^{-ix}}_{2\cos(x)} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos(x) - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x] \ 
\end{align}
## Eksponencijalni oblik kompleksnog broja
## Preko redova
:e^z = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}.
## Preko limesa
:e^z = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n ~.
## Dokazi
: \begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}= -1, \quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i,
\end{align}

: \begin{align}
 e^{ix} &{}= 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \frac{(ix)^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
        &{}= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - \frac{ix^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{ix^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - \frac{ix^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + \cdots \\[8pt]
        &{}= \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right) \\[8pt]
        &{}= \cos x + i\sin x \ .
\end{align}

## Također pogledajte 
* Animacija o Eulerovoj formuli
* Eulerov identitet
* Kompleksan broj
* de Moivreova formula
* Eksponencijacija
* Eksponencijalna funkcija

## Reference 
## Vanjski linkovi 
* Proof of Euler's Formula by Julius O. Smith III
* Euler's Formula and Fermat's Last Theorem
* Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
* Elements of Algebra
* Visual Representation of Euler's Formula

Kategorija:Kompleksna analiza
Kategorija:Matematičke teoreme
Kategorija:Trigonometrija
Kategorija:Matematička analiza