E (niver)

E matematik ez eo **e** un digemmenn a grog e skrivad degel gant 2,718 281 828 459 045 235 360 287 4…. Diaz al logaritm naturel eo.

Anvadur :
* e a vez anvet a-wechoù **digemmenn Neper**, eus anv ar matematikour skosad John Napier (pe Neper) en deus degaset al logaritm.
* e a voe anvet **niver eksponantel** gant Euler e 1761.

## Istor

An niver e a zo sur-walc'h an digemmenn real bouezusañ e matematik goude pi : kavet e vez e normalizadur ar fonksionoù eksponantel. Diaes eo deiziañ ar wech kentañ m'eo deuet a-wel el lennegezh. E gwirionez, goude ma vefe bet degaset al (logaritm]] gant Neper evel rekipe jediñ evit aesaat jedadenn ar sinus, ar c'hosinus, ar produ hag ar rannad, met ne roas diaz resis ebet evit al logaritmoù-se hag al logaritmoù dezho an diaz 10 eo ar re a veze kavet peurliesañ d'ar mare-se.

Al logaritmoù naturel a zeuas war-wel evit ar wech kentañ e 1618 evel stagadenn da dretad Napier, skrivet gant William Oughtred sur a-walc'h.

E 1624 e roas Briggs un talvoud nesaet eus logaritm degel un niver ne zeue ket a-benn d'anavezout en un doare resis, met a ziskouezas bezañ e.

E 1647 e jedas Grégoire de Saint-Vincent ar gorread dindan an hiperbolenn, met ne anata ket an niver e.

E 1661 e voe gouest Huygens d'ober al liamm etre ar gorread dindan an hiperbolenn hag ar fonksionoù logaritm. Dre m'eo e an niver real e doare ma vefe ar gorread dindan an hiperbolenn etre 1 hag e kevatal da 1 ez eo posupl e vefe bet merzet an niver-se d'ar c'houlz-se, hep ma vije komzet eus outañ evel *diaz* al logaritm naturel avat.

Ar wech kentañ ma teuas e a-wel evel niver heverk a zo e 1683, d'ar mare ma veze dedennet Bernoulli gant ar jedadoù interest. Ar pezh a gasas anezhañ da studiañ bevenn an heulienn (1 + \tfrac 1n)^n. Met den ebet d'ar c'houlz-se ne ra al liamm etre an niver-se hag al logaritm naturel. Padal ez eo e-pad ar c'houlz-se ma voe kroget da verzout ez eo ar fonksion logaritm dezhi an diaz a resiprokenn ar fonksion eksponantel dezhi an diaz a. Prest e oa neuze kumuniezh ar skiantourien da zizoleiñ e. A-benn ar fin ez eo en ul lizher eus Leibniz da Huygens e voe anavezet an niver-mañ evel diaz al logaritm naturel, met anvet e voe b gant Liebniz.

Gant Euler e voe degaset en an notadur e evit an digemmenn-se en ul lizher a gasas da Goldbach e 1731. Meur a vartezeadenn a zo bet savet da zisplegañ choaz al lizherenn e : e evit Euler ? e evit eksponantel ? pe marteze e oa e ar c'hentañ vogalenn vak e labour Euler.

Euler eo ivez a ro diorren e e serienn 
:  e = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{k!}+ \cdots
hag e kevrenn gendalc'hus :
: e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}

Dre m'en deus e un diorren e kevrenn gendalc'hus anfin ez eo un niver anrasional. Gant aproksimantoù Padé e c'heller kinnig eztaolioù niverus eus *e* dindan stumm ur gevrenn gendalc'hus hollekaet. Gallout a ra neuze da Charles Hermite prouiñ trehonted an niver-se e 1873.

### Sifroù goude ar virgulenn anavezet

Kresket eo an niver a zegelennoù anavezet eus e (an niver a sifroù goude ar virgulenn) en un doare bamus e-kerzh an dekvedoù diwezhañ. Daou abeg da se war un dro : galloud an urzhiaterezioù o vont war gresk hag an algoritmoù o vont war wellaat.

## Termenadur ha perzh
### Termenadurioù ''e''
An displegadennoù a-us a ziskouez e c'hell e bezañ skrivet e meur a zoare disheñvel.

* e eo an niver real gant \ln(e) = 1 pa dermener ar fonksion \ln evel primitivenn ar fonksion x \mapsto \tfrac{1}{x} a zo nullet en 1. Setu perak ez eo anvet ar fonksion-se **diaz al logaritmoù naturel**.
* e eo an niver real gant \exp(1) = e pa dermener ar fonksion \exp evel fonksion nemeti a wir u'= u hag u(0)=1.
* e eo bevenn an heulienn (1 + \tfrac 1n)^n.
* e a zo par da sammad ar serienn anfin \displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{k!} (gant ar c'henemglev 0!=1).
Ekwivalañs ar pevar zermenadur-se a zeu eus al liammadennoù etre ar fonksion eksponantel, ar fonksion logaritm ha bevenn an heuliennoù.

### Teorienn an niveroù

Digemmenn Neper a gaver stank e teorienn an niveroù. Ar vatematikourien a zo bet dedennet abred-tre gant natur an niver e. Anrasionalder e a zo bet diskouezhet gant Euler e 1737 hag anrasionalder e c'halloudoù anterin gant Lambert e 1761.
Ar brouadenn a c'heller ober gant an diorren e serienn (gwelet prouadur anrasionalder ''e'' amañ dindan), pe gant an diorren e kevrenn gendalc'hus.

Prouadur trehonted e a voe diazezet gant Hermite e 1873. Deduiñ a reer alese ez eo e^r trehontel ivez evit forzh peseurt niver rasional r nann null (an niveroù anterin hag all), met ne ouier ket c'hoazh (2007) hag-eñ ez eo e^e trehontel pe get.

War berzhioù an niver-se eo diazezet teorem Lindemann-Weierstrass.

Konjekturet ez eus bet ez eo e un niver normal

### Fonksion eksponantel ha kevatalenn diferañsial
Evit forzh peseurt niver real x, \exp(x) = e^x 'lec'h m'eo \exp ar fonksion y nemeti a wir ar gevatalenn diferañsial y' = y ha y(0) = 1. Ober a reer fonksion eksponantel dezhi an diaz e eus ar fonksion-se.

Ganti e c'heller reiñ holl diskoulmoù ar gevatalenn diferañsial y' = ay hag a zo ar fonksionoù termenet gant f(x) = Ce^{ax}.

An diorren e serienn a-heul a zo d'ar fonksion eksponantel :
:\forall x \in \R,\ \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x

### Fonksion drigonometrek
Gant klask an diskoulm kompleksel nemetañ d'ar gevatalenn diferañsial
u' = iu ha u(0) = 1 e vezer kaset d'ar fonksion
u(x) = e^{ix}= \cos(x) + i\sin(x) ha da identelezh Euler :
: e^{i\pi} + 1 = 0
a zo hervez Richard Feynman ar "formulenn heverkañ er bed" (*e* o tiskouez an analizerezh, *i* an aljebr, \pi ar c'heometriezh, 1 an aritmetik hag an niver 0 ar matematik). Euler e-unan a vefe chomet bamet ivez gant al liammadenn-se, pemp niver diazez enni : 0, 1, {e}, {i}, {\pi}.

## Prouadur anrasionalder ''e''

An niver e a zo kevatal da sammad serienn eksponantel 1 :
: e = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}

An diorren-se a c'heller implijout evit diskouez ez eo anrasional.

**Proueadur dre zislavar (ab absurdo)**. Goulakomp ez eus daou niver anterin a ha b e doare ma vefe e=\tfrac{a}{b}, gant a pozitivel strizh ha b brasoc'h strizh eget 1.

Pledomp gant an niver
:x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \dfrac{1}{n!}\right)
Prouet e vo ez eo x un niver anterin pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1, ha gant an dislavar-se e vo diazezet anrasionalder e.
:* Evit gwelet ez eo x un niver anterin, merzomp ez eo
::x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \dfrac{1}{n!}\right) = b\,!\left(\dfrac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \dfrac{1}{n!}\right)= a \dfrac{b!}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \dfrac{b!}{n!} 
::Hogen,  b a rann b! hag, evit forzh peseurt niver anterin n etre 0 ha b ez eo b! rannapl dre n!, ar c'hementadoù \tfrac{b!}{b} ha \tfrac{b!}{n!} a zo neuze anterin, x a zo neuze anterin evel sammad ha diforc'h niveroù anterin.
:* Evit gwelet ez eo x un niver pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1, merzomp ez eo
::x = b\,!\sum_{n = b+1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} ha dre se
::0 
::
::Amañ ez eo ar sammad diwezhañ-mañ ur serienn c'heometrek \dfrac{1}{b+1} he faz.
Dre ma n'eus niver anterin ebet pozitivel strizh ha bihanoc'h strizh eget 1 ez eus un dislavar, ha dre se ez eo e anrasional.

## Daveoù


## Gwelet ivez
### Liammoù diabarzh
* Eksponantel
* Logaritm