Trigonometriezh sferek

An **drigonometriezh sferek** zo un teskad liammadennoù damheñvel ouzh re an drigonometriezh euklidian met gant kornioù ha pellderioù daveet war ur sferenn.

Ne c'heller ket implijout reolennoù boas an drigonometriezh euklidian ken ; da skouer ez eo brasoc'h somm kornioù un tric'horn lec'hiet war ur sferenn eget 180 derez hag dont a ra ar segmantoù eeunenn da vezañ gwaregoù kelc'hioù bras.

## An tric'horn sferek

.
### Formulennoù kentañ
#### Kenemglevioù
Bezet tri foent *A*, *B* ha *C* war ur sferenn evel taolennet gant ar figurenn amañ e-kichen, notet e vo *a* hirder kostez enep ar beg *A* hag *α*, a-wezhioù *Â*, korn (war gorreenn ar sferenn atav) an tric'horn er beg-se, hag evel se gant ar begoù all. Evit gwir e vo sellet ouzh an hirderioù *a*, *b* ha *c* evel kornioù el lodenn war-lerc'h, eleze ar c'hornioù is-stegnet war greizenn ar sferenn gant kostezioù an tric'horn (sellet ouzh an eil figurenn ; trohed ar sferenn eo ar c'horn 2π da skouer).
#### Formulenn ar c'hosinusoù ha liammadenn daouel
**Formulenn ar c'hosinusoù**, roet gant François Viète e 1593 en e *De Varorium* zo unan eus liammadennoù pouezusañ an drigonometriezh sferek. Liammañ a ra hirder ur c'hostez ouzh re an daou gostez all hag ar c'horn etrezo :
:\cos c = \cos a\, \cos b + \sin a\, \sin b\, \cos\gamma~,
a zo arabat droukveskañ gant al **liammadenn daouel**, a gaver pa lakaer o foentoù polel e-lec'h an holl gelc'hioù bras el liammadenn-se :
:\cos\gamma = -\cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c~.
Meur a zoare a zo da brouiñ formulenn ar c'hosiniusoù. Unan anezho a zo ezteuler e meur a zoare liesad skalarel ar vektorioù a ere O, kreizenn ar sferenn, ouzh ar poentoù A ha B e-barzh ar spas euklidian endro. Unan all a vo displeget dre ar munud amañ dindan.

En degouezh dibar pa vez skouer an tric'horn e *C* e kaver :
:\cos\, c = \cos\, a \cos\, b ;
klotañ a ra ar formulenn-se gant teorem Pythagoras evit an drigonometriezh sferek. Merzout a reer e kaver end-eeun en-dro teorem Pythagoras pa vez bihan a-walc'h an tric'horn evit lakaat o diorren bevennet a eil urzh e-lec'h ar c'hosinusoù.

Reiñ a ra tro formulenn ar c'hosinusoù da jediñ an hed etre daou boent *A* ha *B* war an Douar hervez o led hag o hed pergen. Evit se e lakaer ar poent *C* er pol norzh e doare ma vo *a* klokamant \scriptstyle{\phi_A}, led *A*, *b* klokamant \scriptstyle{\phi_B}, hini *B*, ha *c* an diferañs etre an hedoù \scriptstyle{\Delta \lambda = \lambda_B - \lambda_A}. Kavout a reer war-eeun :
:d_{AB}=R c= R \arccos{ \left( \sin \phi_A \sin \phi_B + \cos \phi_A \cos \phi_B \cos \Delta \lambda \right)}.
Gallout a reer ivez skrivañ al liammadenn er stumm :
:\cos\gamma = \frac{\cos c - \cos a\,\cos b}{\sin a\,\sin b}~.
Eus eztaolioù damheñvel evit cos*α* ha cos*β* e teduer trede formulenn diaezez an drigonometriezh sferek (an div gentañ eo re ar c'hosinusoù hag ar sinusoù) :
:\sin b\cos\alpha+\cos c\sin a\cos\beta=\sin c\cos a~.
Evit a sell ouzh al liammadenn daouel e c'heller he skrivañ
:\cos c = \frac{\cos\gamma + \cos\alpha\,\cos\beta}{\sin\alpha\,\sin\beta}~.
#### Formulenn ar sinusoù
Merzout a reer diwar al liammadenn daouel meneget a-raok e vez dedermenet an tric'hornioù sferek gant o zri c'horn, ar pezh a zo disheñvel-bras diouzh degouezh an tric'hornioù euklidian (plaen). En tric'horn sferek ez eus un heñvelder peurglok (a zaouelder) etre hirder ar c'hostezioù hag ar c'hornioù er begoù. Skeudennet eo an heñvelder-se gant **[[Lezenn ar sinusoù|formulenn ar sinusoù]]** :
:\frac{\sin a}{\sin \alpha} = \frac{\sin b}{\sin \beta} = \frac{\sin c}{\sin \gamma}~,
pe c'hoazh :
:\sin a : \sin b : \sin c = \sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma~,
ar pezh a ranker kompren evel-henn : « emañ an tri c'hementad a gleiz er memes kenfeur gant an tri c'hementad a zehou (ar memes keñver etre daou gementad bennak a gleiz hag etre an daou gementad kenglot a zehou) ».

: 2) Ar cheñchamant daveer (eus **R**  etrezek **R**) zo un troiadur er spas en-dro da ahel boutin an daou zaveer. Dre ma'z eo *c* ar c'horn etre \overrightarrow{OA}  hag  \overrightarrow{OB}  e teduer ez eo ar matris tremen :P=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0& \cos c&-\sin c\\ 0&\sin c &\cos c \end{pmatrix}~.
: 3) Roet e vo bremañ kenurzhiennoù *C* en daveer **R**.
: Merzout a reer ez eo *b* ar genledenn en daveer sferek, *A* e bol norzh, stag ouzh an daveer kartezian, tra m'eo *α* ar c'horn (er pol) etre ar vektor -\overrightarrow j hag an hanter-blaen a-blom (*A*,*O*,*C*), setu e talv an hedenn *α-(π/2)*.
: Deduiñ a reer alese ez eo kenurzhiennoù kartezian *C* en daveer kentañ (^{[1,\alpha-{\pi\over 2},b ]} eo e genurzhiennoù sferek) :
:X=\begin{pmatrix}\sin b\sin \alpha \\ -\sin b\cos \alpha\\ \cos b \end{pmatrix}~.
: 4) Er memes mod e vo roet kenurzhiennoù *C* en eil daveer **R**.
: Ar wezh-mañ ez zo ar poent *B* ar pol norzh, *a* ar genledenn, ha *β* ar c'horn etre an hanter-blaen a-blom (*B*,*O*,*C*) hag ar vektor \overrightarrow{j'}, setu e talv an hedenn *(π/2)-β*.
: Deduiñ a reer alese ez eo kenurzhiennoù kartezian *C* en eil daveer (^{[1,{\pi\over 2}-\beta,a ]} eo e genurzhiennoù sferek) :
:X'= \begin{pmatrix} \sin a\sin\beta \\ \sin a\cos\beta\\ \cos a  \end{pmatrix}~.
: 5) Formulenn ar cheñchamant diaz a skriver neuze :
:\begin{pmatrix} \sin b\sin \alpha \\ -\sin b\cos \alpha\\ \cos b \end{pmatrix}=X=PX'=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0& \cos c&-\sin c\\ 0&\sin c &\cos c \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sin a\sin \beta \\ \sin a\cos \beta\\ \cos a \end{pmatrix}~.
: En un taol e teduer alese formulenn ar sinusoù, trede formulenn ziazez an drigonometriezh sferek, ha formulenn ar c'hosinusoù :
::::\begin{cases} \sin b \sin \alpha= \sin a \sin \beta \\
\sin b \cos \alpha=\sin c\cos a-\cos c\sin a\cos\beta\\
\cos b= \sin c \sin a \cos \beta +\cos c\cos a~.\end{cases}
}}

### Formmulennoù all
#### Formulennoù an hanter-gornioù hag an hanter-gostezioù
Bezet \scriptstyle{ s=\frac1 2 (a+b+c)}, hanter-drohed an tric'horn. Neuze ez eo :
:\tan^2\frac{\gamma}{2} = \frac{\sin(s-a)\,\sin(s-b)}{\sin s\,\sin(s-c)}
hag evit ar formulennoù daouel, gant \scriptstyle{ \sigma =\frac1 2(\alpha+\beta+\gamma)} :
:tan^2\frac{c}{2} = - \frac{\cos\sigma\,\cos(\sigma-\gamma)}{\cos(\sigma-\alpha)\, \cos(\sigma-\beta)}.
N'eus somm ebet er formulennoù-se a liamm ur c'horn war greizenn ouzh tri *c'hostez* an tric'horn. Implijet e vezent stank evit ar jedadennoù pleustrek gant taolennadoù logaritmoù.
#### Formulennoù [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]
Bez' eo \frac{\cos\frac{a+b}{2}}{\cos\frac{c}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} ha \frac{\sin\frac{a+b}{2}}{\sin\frac{c}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} hag ivez \frac{\cos\frac{a-b}{2}}{\cos\frac{c}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}} ah \frac{\sin\frac{a-b}{2}}{\sin\frac{c}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}~.

Deduiañ a reer alese lezenn an tañjantoù e trigonometriezh sferek :
:\frac{\tan\frac{a-b}2 }{\tan\frac{a+b}2 } = \frac{\tan\frac{\alpha-\beta}2 }{\tan\frac{\alpha+\beta}2}~.
#### Damheñvelderioù [[John Napier|Napier]]
Kavet e vezont dre genstrollañ formulennoù Gauss div-ha-div :
* \tan\frac{c}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} = \tan\frac{a+b}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}
* \tan\frac{c}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} = \tan\frac{a-b}{2} \sin\frac{\alpha+\beta}{2}
* \cot\frac{\gamma}{2} \cos\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{a+b}{2}
* \cot\frac{\gamma}{2} \sin\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha-\beta}{2} \sin\frac{a+b}{2}
#### Gorread an tric'horn sferek

Anavezet eo e saozneg dindan an anv formulenn Girard.

En un doare heverk e jeder aes-kenañ gorread an tric'horn sferek diwar e tri c'horn : kevatak-rik eo gant e « ziouer euklidianded » (diferañs etre somm kornioù an tric'horn ha π liesaet dre garrez *R*, skin ar sferenn. Setu :
::::S=(\hat A+\hat B+\hat C-\pi)R^2=R^2\varepsilon
Evezhiadenn :*ε* zo ur c'horn solut a vez eztaolet e steradian (pa vez eztaolet *<math>^{\hat A, \hat B}</math> ha <math>^{\hat C}</math> e radian).
Ur brouadenn diazez a c'heller ober e teir fazenn.

a) Didroc'hañ e reer ar sferenn e peder "gwerzhid" gant daou blaen diametrel evel er figurenn amañ e-kichen. Galloud a reer jediñ gorread pep gwerzhid. Kenfeurel eo ar gorread gant Â, ar c'horn er poent A etre an daou blaen. Gorread ar sferenn a-bezh a gaver gant ar c'horn 2π ; kevatal eo gant 4*πR*². 

Setu ez eo kevatal gorread ar werzhid gant :
::::<math>\frac{\hat A}{2\pi}4\pi R^2=2\hat A R^2</math>.

b) Termenet eo an tric'horn sferek gant tri flaen a droc'h ar sferenn e daouzek gwerzhid. Teir anezho a endalc'h an tric'horn *ABC*, ha teir all, simetrek d'ar re gentañ, a endalc'h an tric'horn *A'B'C' * a zo enep dezhañ ez diametrel ha kevatal e c'horread eta. Gant ar c'hwec'h gwerzhid-se e c'holoer ar sferenn a-bezh, met teir gwezh eo bet goloet pep hini eus an tric'hornioù *ABC* hag *A'B'C'. *Pa sommer gorreadoù ar c'hwec'h gwerzhid-se e kaver gorread ar sferenn kresket eus peder gwezh T, gorread an tric'horn.

c) Da lavaret eo : <math>^{2(2\hat AR^2+2\hat BR^2+2\hat CR^2)=4\pi R^2+4T}</math>.

Deduiñ a reer alese neuze :
::::<math> ^{T=(\hat A+\hat B+\hat C-\pi)R^2}</math>
Dizoloet e voe ar formulenn-se gant [[Thomas Harriot]] hep bezañ embanet ha roet e voe evit ar wezh kentañ gant [[Albert Girard]] war-dro 1625.
==== Formulenn [[Teorem l'Huilier|l'Huilier]]====
Damheñvel ar formulenn-se ouzh [[formulenn Heron]] a jed gorread an tric'hornioù euklidian hervez e gostezioù. Ober a ra ar memes tra gant an tric'hornioù sferek :
:<math>\tan\frac{s}{2} \tan\frac{s-a}{2} \tan\frac{s-b}{2} \tan\frac{s-c}{2} = \tan^2\frac{\varepsilon}{4}</math>
(degas a reer soñj ez eus bet graet *s*=(*a*+*b*+*c*)/2 eus an hanter-drohed).

== Un damsell war an istor ==
Degaset ez eus bet kalz d'an [[trigonometriezh|drigonometriezh]], ha d'an drigonometriezh sferek pergen, gant an [[Astronomiezh|astronomourien]] ha matematikourien c'hresian [[Hipparc'hos (astronomour)|Hipparc'hos Nikaia]] ha [[Menelaos Aleksandria]], met ivez gant matematikourien [[matematik Persia|Persia]] hag India. En o zouez emañ [[Al Biruni]], [[Abu Nasr Mansur]] ha [[Bhāskara II]]. War a seblant e voe skrivet ar studiadenn gentañ war an drigonometriezh sferek war-dro 1060 gant [[Al-Jayyani]] *'*', ur matematikour eus [[Al-Andalus|Andalouzia]] a oa dindan beli ar vuzulmaned da neuze.

== Implijoù ==
Jediñ [[kenurzhienn]]où : 
* en [[astronomiezh]], evit ar cheñchamantoù stag ouzh ar reizhiadoù diseurt a genurzhiennoù-korn : [[deklinadur (astronomiezh)|deklinadur]], [[troad (astronomiezh)|troad]], [[korn-eur]], [[azimut]] hag [[hed-zenit]] (pe [[uhelder#Astronomiezh|uhelder]]) ; 
* e [[douaroniezh]] ([[ledred]] hag [[hedred]]) ;
* en [[optik]] evit implijout sferenn Poincaré ;
* e [[stadegouriezh]] war sferenn [[ikonografiezh ar c'horreladennoù]].

== Notennoù ha daveoù ==
<references/>
==Gwelet ivez==
=== Pennadoù kar ===
* [[Menelaus Aleksandria]] - [[Al Biruni]] ~ [[Abu Nasr Mansur]] ~ [[François Viète]] ~ [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ~ [[John Napier|Napier]]
* [[Korn]] ~ [[Trigonometriezh]] ~ [[Tric'horn]]
* [[Geometriezh nann euklidian]]
* [[Sferenn]] ~ [[Kelc'h bras]]
* [[Matematik Persia]]

== Liammoù diavaez ==
*  [http://astroti.free.fr/astroti/calc/astrosph.html Ar jedadennoù e trigonometriezh sferek] en astroti.free.fr
*  [http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/math/carto.pdf Ur "gentel" kartografiezh ha trigonometriezh sferek] e lec'hienn bersonel David Madore
*  John J. O'Connor hag Edmund F. Robertson, [https://web.archive.org/web/20070928002143/http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Al-Biruni.html Al Biruni] hag [https://web.archive.org/web/20070927193359/http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Mansur.html Abu Nasr Mansur], *MacTutor History of Mathematics archive''