বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য

থাম্ব|হাই রেস সংস্করণ. পৃষ্ঠাটি নমুনা পদ্ধতির একটি বিবরণ পেয়েছে এবং কীভাবে চিত্রগুলির জন্য ব্যবহৃত রঙের প্যালেট তৈরি করা হয়েছিল।
**বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য**, যা **[[জঁ ল্য রঁ দালঁব্যার|দালঁব্যারের]] উপপাদ্য** বা **দালঁব্যার–[[কার্ল ফ্রিড‌রিশ গাউস|গাউস]] উপপাদ্য** বলে: প্রতিটি অ-শূন্য, জটিল সহগ-যুক্ত, এক চলরাশি-বিশিষ্ট, *n*-ডিগ্রির বহুপদ সমীকরণের, অন্তত একটি জটিল বীজ থাকবে। এই উপপাদ্যের মধ্যে বাস্তব সহগ-যুক্ত বহুপদও পড়ে, কারণ বাস্তব সংখ্যা মাত্রেই জটিল সংখ্যা (যার কাল্পনিক অংশ শূন্য)।

এই উপপাদ্যকে এইভাবেও বর্ণনা করা চলে, যে-- প্রতিটি অ-শূন্য, জটিল সহগ-যুক্ত, এক চলরাশি-বিশিষ্ট, *n*-ডিগ্রির বহুপদ সমীকরণের, ঠিক *n* সংখ্যক জটিল বীজ থাকবে, যখন বীজগুলিকে মাল্টিপ্লিসিটি (multiplicity) সমেত ধরা হবে। ধারাবাহিক বহুবর্ষীয় বিভাগ বা দীর্ঘ ভাগ পদ্ধতি ব্যবহার করে দুটি বক্তব্যের সমতুল্যতা প্রমাণ করা যায়।

নামটি সত্ত্বেও, উৎপাদকের কোনও সম্পূর্ণ বীজগণিত প্রমাণ নেই, যেহেতু এই উপপাদ্যের যে কোনও প্রমাণের জন্যই বাস্তব সংখ্যার বিশ্লেষণাত্মক সম্পূর্ণতার কিছু রূপ ব্যবহার করতে হবে, যা কোনও বীজগাণিতিক ধারণা নয়। তাছাড়াও, এটি আধুনিক বীজগণিতের জন্য মৌলিক নয়; এর নামটি এমন সময়ে দেওয়া হয়েছিল যখন বীজগণিত সমীকরণের তত্ত্বের সমার্থক ছিল।

## ইতিহাস
পিটার রথ তার বই *অ্যারিথমেটিকা ফিলোসফিকা* বইতে (1608 সালে, জোহান ল্যান্টজেনবার্গার দ্বারা নর্নবার্গে প্রকাশিত) লিখেছিলেন, [২] লিখেছেন যে বাস্তব সহগবিশিষ্ট ডিগ্রি *n* এর একটি বহুপদ সমীকরণের *n* সংখ্যক সমাধান থাকা *সম্ভব*। অ্যালবার্ট জিরার্ড তার *L'invention nouvelle en l'Algèbre*  (১৬২৯ সালে প্রকাশিত) গ্রন্থে বক্তব্য রাখেন যে ডিগ্রি *n* এর একটি বহুপদ সমীকরণের *n* সংখ্যক সমাধান রয়েছে, তবে তিনি উল্লেখ করেননি যে বীজগুলিকে বাস্তব সংখ্যাই হতে হবে। তাছাড়াও, তিনি যোগ করেছিলেন যে তার বক্তব্যটি নিশ্চিতভাবে সত্যি হবে যদি "সমীকরণটি অসম্পূর্ণ না হয়", অর্থাৎ কোনও সহগ শূন্য না হয়। কিন্তু, তিনি যখন তাঁর বক্তব্যের অর্থ বিশদভাবে ব্যাখ্যা করেছেন, তখন স্পষ্টই বোঝা যায় যে তিনি সত্যই বিশ্বাস করেন যে তার দাবি সবসময় সত্য; উদাহরণস্বরূপ, তিনি দেখান যে x^4 = 4x - 3 সমীকরণটি অসম্পূর্ণ হলেও এটির চারটি বীজ রয়েছে (মাল্টিপ্লিসিটি ধরে):-1 (দুইবার),-1+i\sqrt{2} এবং -1-i\sqrt{2}.

যেমনটি নিচে আবার উল্লেখ করা হবে, এটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য থেকে এসেছে যে আসল সহগের সাথে প্রতিটি অ-ধ্রুবক বহুবচনকে বাস্তব সহগের সাথে বহুবর্ষের পণ্য হিসাবে রচনা করা যেতে পারে যার ডিগ্রি 1 বা 2 হয়। তবে, 1702 সালে লিবনিজ ভ্রান্তভাবে বলেছিলেন যে ধরনের কোন বহুপদী x4 +a4 (0 থেকে একটি বাস্তব এবং স্বতন্ত্র) এইভাবে লেখা যেতে পারে। পরবর্তীতে নিকোলাস বারনুলি বহুবর্ষ সম্পর্কে একই বক্তব্য রেখেছিলেন  *x*4 − 4*x*3 + 2*x*2 + 4*x* + 4, তবে তিনি ১৭৪২ সালে অয়লারের কাছ থেকে একটি চিঠি পেয়েছিলেন যেখানে এটি দেখানো হয়েছিল যে এই বহুপদীকে লেখা যায়

(x-(2+\alpha)x+1+\surd7+\alpha) (x-(2-\alpha)x+1+\surd7-\alpha)

α = \surd4+2\surd7এর সাথেও, অয়লার তা উল্লেখ করেছেন

X4+a4= (x2 +a+a2) (x2 -a+a2 )

উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য প্রথম প্রচেষ্টা ডালেমবার 1746 সালে করেছিলেন, তবে তার প্রমাণ অসম্পূর্ণ ছিল। অন্যান্য সমস্যার মধ্যে এটি নিখুঁতভাবে একটি উপপাদ্য (বর্তমানে পুইজো-র উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত) ধরে নিয়েছিল যা এক শতাব্দীরও বেশি সময় পরে প্রমাণিত হবে না এবং ততোধিক প্রমাণটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যকে ধরে নিয়েছিল। অন্যান্য প্রচেষ্টা অয়লার (1749), ডি ফঁসনে (1759), ল্যাগ্রাঞ্জ (1772) এবং ল্যাপ্লাস (1795) দ্বারা করেছিলেন। এই শেষ চারটি প্রচেষ্টা গিরার্ডের বক্তব্যকে অনুমান করে চলেছিল; আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, সমাধানগুলির অস্তিত্ব ধরে নেওয়া হয়েছিল এবং যা প্রমাণ করা বাকি ছিল তা হ'ল তাদের ফর্মটি কিছু বাস্তব সংখ্যা a, b-এর জন্য a + bi ছিল। আধুনিক পরিভাষায়, অয়লার, ডি ফঁসনে, ল্যাগ্রাঞ্জ এবং ল্যাপ্লাস বহুভুজ পি (জেড) এর বিভাজন ক্ষেত্রের অস্তিত্ব ধরে নিয়েছিলেন।

আঠারো শতকের শেষের দিকে, দুটি নতুন প্রমাণ প্রকাশিত হয়েছিল যা শিকড়গুলির অস্তিত্ব ধরে নেয় না, তবে এর দুটিও সম্পূর্ণ ছিল না। এর মধ্যে একটি, জেমস উড এবং প্রধানত বীজগণিতের কারণে, 1798 সালে প্রকাশিত হয়েছিল এবং এটি সম্পূর্ণ উপেক্ষা করা হয়েছিল। কাঠের প্রমাণের একটি বীজগণিত ফাঁক ছিল। অন্য একটিটি গৌস দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল 1799 সালে এবং এটি মূলত জ্যামিতিক ছিল, তবে এটির একটি টপোলজিকাল ফাঁক ছিল, ১৯০১ সালে আলেকজান্ডার অস্ট্রোস্কির দ্বারা পূর্ণ, ১৯৮১ সালে আলোচিত (স্যামেল লিখেছেন, "... আমি উল্লেখ করতে চাই যে কি বিশাল ফাঁক গাউসের প্রমাণ রয়েছে। এটি আজও একটি সূক্ষ্ম বিষয় যা সত্য বীজগণিত বিমানের বক্ররেখা ছাড়াই কোনও ডিস্কে প্রবেশ করতে পারে না। বাস্তবে গৌস এই প্রমাণটিকে ৫০ বছর পরে পুনরায় সরিয়ে দিলেও ফাঁকটি রয়ে গিয়েছিল। ১৯০০ অবধি গৌস 'এই কথাটি করেননি প্রমাণ সম্পন্ন হয়েছিল। রেফারেন্সে গাউস, এ। অস্ট্রোস্কির একটি কাগজ রয়েছে যা এটি করে এবং সমস্যাটির একটি চমৎকার আলোচনাও দেয় ... ")। একটি কঠোর প্রমাণ প্রথম আর্গান্দ দ্বারা 1806 সালে প্রকাশিত হয়েছিল (এবং 1813 সালে পুনরায় দেখা হয়েছিল); এখানেই প্রথমবারের জন্য বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যকে কেবলমাত্র সহগের পরিবর্তে জটিল সহগের সাথে বহুবর্ষের জন্য বলা হয়েছিল। গৌস 1816 সালে আরও দুটি প্রমাণ এবং 1849 সালে তার আসল প্রমাণের আর একটি সংস্করণ তৈরি করেছিলেন।

উপপাদ্যের প্রমাণ সংবলিত প্রথম পাঠ্যপুস্তকটি ছিল কচির কোর্স ডি'ানালিজ দে ল'কোল রয়্যাল পলিটেকনিক (1821)। এটিতে আরগান্ডের প্রমাণ রয়েছে, যদিও এর জন্য আরগান্ড জমা হয় না।

এখনও পর্যন্ত উল্লিখিত প্রমাণগুলির মধ্যে কোনওটি গঠনমূলক নয়। উনিশ শতকের মাঝামাঝি সময়েই প্রথমবারের মতো উত্থাপিত ওয়েয়ারস্ট্রেস, বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের গঠনমূলক প্রমাণ খুঁজে পাওয়ার সমস্যা ছিল। তিনি তার সমাধানটি পেশ করেছিলেন, যা আধুনিক পরিভাষায় ডিওরান্দ-কার্নার পদ্ধতির সংযোগের সাথে মোটর গাড়ি চালিয়ে যাওয়ার নীতিটি 1891 সালে তৈরি করা হয়েছিল। এই জাতীয়তার আরও একটি প্রমাণ ১৯৪০ সালে হেলমথ কেনার দ্বারা পেয়েছিলেন এবং ১৯৮১ সালে তার পুত্র মার্টিন কেনার সহজতর করেছিলেন।

গণনামূলক পছন্দ ব্যবহার না করে, ডেডিকাইন্ড আসল সংখ্যার উপর ভিত্তি করে জটিল সংখ্যার জন্য বীজগণিতের মৌলিক উপপাদকে গঠনমূলকভাবে প্রমাণ করা সম্ভব নয় (যা গণনাযোগ্য পছন্দ ব্যতীত কাচির আসল সংখ্যার সাথে গঠনমূলকভাবে সমান নয় [6])। তবে ফ্রেড রিচম্যান কাজ করে এমন উপপাদ্যের একটি সংস্কারকৃত সংস্করণ প্রমাণ করেছিলেন|

## প্রমাণ
নিচে সমস্ত প্রমাণ কিছু বিশ্লেষণ জড়িত, বা কমপক্ষে বাস্তব বা জটিল ফাংশন ধারাবাহিকতার টপোলজিকাল ধারণা। কিছু কিছু পৃথক বা এমনকি বিশ্লেষণমূলক ফাংশন ব্যবহার করে। এই সত্যটি এই মন্তব্যটির দিকে নিয়ে গেছে যে বীজগণিতের মূল তত্ত্বটি মৌলিক নয়, বীজগণিতের উপপাদ্যও নয়।

তাত্ত্বিকের কিছু প্রমাণ কেবল প্রমাণ করে যে বাস্তব সহগের সাথে যে কোনও অ-ধ্রুবক বহুপদী কিছু জটিল মূল থাকে। সাধারণ ক্ষেত্রে এটি উপপাদ্য প্রতিষ্ঠার জন্য যথেষ্ট কারণ, জটিল সহগের সাথে একটি অ-ধ্রুবক বহুপদী পি (জেড) দেওয়া হয়েছে, বহুপক্ষীয়

q(z)=p(z)\overline{p(\overline{z})}

কেবলমাত্র প্রকৃত সহগ রয়েছে এবং, z যদি Q(z) এর শূন্য হয়, তবে z বা এর সংযোগটি p(z) এর মূল হয়।

উপপাদকের অ-বীজগণিত প্রমাণগুলির একটি বৃহত সংখ্যক সত্যটি (কখনও কখনও ‘বৃদ্ধি লেমমা’ নামে পরিচিত) ব্যবহার করে যে একটি এন-ত্র ডিগ্রি বহুপদী ফাংশন পি (জেড) যার প্রভাবশালী সহগ 1 হয় যখন zn এর মতো আচরণ করে যথেষ্ট বড়। আরও সুনির্দিষ্ট বিবৃতিটি হল: এখানে কিছু ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা রয়েছে যা
:\frac{1}{2}|z^n|
যখন |z|>R

## জটিল-বিশ্লেষণমূলক প্রমাণ
|p(z)|>|p(0)| এর উৎসকে কেন্দ্র করে ব্যাসার্ধের একটি বদ্ধ ডিস্ক ডি সন্ধান করুন যখনই |z|\leqr সর্বনিম্ন | p (z) | D তে, যা D কমপ্যাক্ট হওয়ার কারণে বিদ্যমান থাকতে পারে, তাই D এর অভ্যন্তরের কোনও কোনও সময়ে z0 এ অর্জন করা হয়, তবে এর সীমানার কোনও বিন্দুতে নয়। সর্বাধিক মডিউলাস নীতি (1/p(z)) এ প্রয়োগ করা) এর পরে বোঝা যায় যে pz0) = 0. অন্য কথায়, z0, p (z) এর 0|

এই প্রমাণের একটি পরিবর্তনের জন্য সর্বাধিক মডুলাস নীতি ব্যবহারের প্রয়োজন হয় না (আসলে, ছোটখাটো পরিবর্তনগুলির সাথে একই যুক্তি হোলোমর্ফিক ফাংশনগুলির জন্য সর্বাধিক মডুলাস নীতিটির প্রমাণ দেয়)। যদি আমরা দ্বিধায়নের দ্বারা ধরে নিই যে a: = p (z0) ≠ 0, তবে, z - z0 এর ক্ষমতায় p (z) প্রসারিত করে আমরা লিখতে পারি

p(z)=a+ck(z-z0)k ck+1(z-z0)k+1+......+cn(z-z0)n

এখানে, cj হ'ল বহুপদী z→p (z + z0) এর সহগ, এবং আমরা k কে ধ্রুবক পদের পরে প্রথম সহগের সূচক হিসাবে নির্ধারণ করি যা 0 নয়। তবে এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে z এর জন্য z0 এর যথেষ্ট কাছাকাছি আচরণ রয়েছে সাধারণ বহুপদী q (z) =a+ck(z-z0)n

এই অর্থে যে ফাংশনটি (যাচাই করা সহজ)

|p(z)-q(z)/(z- z_0)^k+1|

z0 এর কিছু পাড়ায় কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক M দ্বারা আবদ্ধ। সুতরাং আমরা যদি θ 0=(arg g(a)+\pi-arg(ck))/k{\displaystyle\theta_{0}=(\ arg(k)+\pi-g rg(c_{k }))/k}\theta_{0}=(g arg(k)+i\pi-g arg(c_{k}))/k এবং z z z 0+rei\theta 0{\displaystyle z=z_{0}+again^{i\theta_{0}}}z=z_{0}+again^{i\theta_{0}}, তারপরে যেকোন পর্যাপ্ত সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার জন্য (যাতে আবদ্ধ এম উল্লেখ করা হয়েছে) উপরের অংশটি ধারণ করে), ত্রিভুজ বৈষম্য ব্যবহার করে আমরা তা দেখতে পাই

p যখন |p (z) | এর জন্য এই উপরের আবদ্ধ পর্যাপ্ত পরিমাণে 0 এর কাছাকাছি থাকে z0 এর সংজ্ঞার বিরোধী হিসাবে | a | এর চেয়ে কঠোরভাবে ছোট। (জ্যামিতিকভাবে, আমরা একটি সুস্পষ্ট দিকনির্দেশ পেয়েছি such0 এরকম যে কেউ যদি সেই দিক থেকে z0 এ যায় তবে কেউ | p(z0) | এর চেয়ে পরম মানে ছোট p(z) কম পেতে পারে))

|p(z) | যেহেতু পর্যবেক্ষণ করে এই চিন্তার ধারায় আরও একটি বিশ্লেষণাত্মক প্রমাণ পাওয়া যায় > | p(0) | ডি এর বাইরে, সর্বনিম্ন |p(z) | সম্পূর্ণ জটিল প্লেন z0 এ অর্জন করা হয়। যদি | p(z0) | > 0, তারপরে 1/p হ'ল প্রতিটি জটিল সংখ্যার z, | 1/p (z) জন্য সম্পূর্ণ জটিল প্লেনের একটি সীমাবদ্ধ হোমোমর্ফিক ফাংশন | ≤ | 1/p(z0) | লিউভিলির উপপাদ্য প্রয়োগ করা, যা উল্লেখ করে যে একটি সীমাবদ্ধ সম্পূর্ণ ফাংশন অবশ্যই ধ্রুবক হতে হবে, এটি বোঝায় যে 1/p ধ্রুবক এবং সেইজন্য p স্থির থাকে। এটি একটি বৈপরীত্য দেয় এবং তাই p(z0) = 0

তবুও আরেকটি বিশ্লেষণযোগ্য প্রমাণ যুক্তির নীতিটি ব্যবহার করে। R কে যথেষ্ট ধনাত্মক আসল সংখ্যা হিসাবে বড় করা যাক যাতে পি (z) এর প্রতিটি মূলের তুলনায় আর এর চেয়ে কম মূল্য থাকে; এই জাতীয় সংখ্যার অস্তিত্ব অবশ্যই থাকবে কারণ ডিগ্রি এন এর প্রতিটি অ ধ্রুবক বহুপদী ফাংশনটির সর্বাধিক n  0 থাকে। প্রতিটি r এর জন্য, সংখ্যাটি বিবেচনা করুন
     1 2 π i ∫ c (r) p ′ (z) p (z) dz, {\ displaystyle {rac frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {c (r)  d, ডিজেড,} {\ ফ্র্যাক {1} {2 \ পাই আই}} \ ইন্ট _ {সি (আর)} {rac ফ্র্যাক {পি' (জেড)} { পি (য)}} \, Dz,
যেখানে c (r )টি ব্যাসার্ধের উল্টোদিকে ব্যাসার্ধের সাথে 0 এ কেন্দ্রিক বৃত্ত; তারপরে আর্গুমেন্ট নীতিটি বলে যে এই সংখ্যাটি ব্যাসার্ধ r এর সাথে 0 কেন্দ্রে খোলা বলের p(z) এর জিরো সংখ্যা N, যা r> আর যেহেতু p(z) এর মোট শূন্যের সংখ্যা। অন্যদিকে, 2/i দ্বারা বিভক্ত c(r) বরাবর n/z এর অবিচ্ছেদ্য n এর সমান। তবে দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য

সংহত হওয়ার যুক্তিযুক্ত সংখ্যার সংখ্যার সর্বাধিক n - 1 ডিগ্রি এবং ডিনোমিনেটরের ডিগ্রি 1 + 1 হয় Therefore সুতরাং, উপরের সংখ্যাটি 0 r হিসাবে r → + ∞ হিসাবে প্রবণ হয় ∞ তবে সংখ্যাটি N - n এবং সুতরাং N = n এর সমান

কচির উপপাদ্যের সাথে রৈখিক বীজগণিতকে একত্রিত করে আরও একটি জটিল-বিশ্লেষণযোগ্য প্রমাণ দেওয়া যেতে পারে। N> 0 ডিগ্রিটির প্রতিটি জটিল বহুবর্ষের শূন্য রয়েছে তা প্রতিষ্ঠিত করার জন্য, এন আকার 0 এর প্রতিটি জটিল বর্গক্ষেত্রের মেট্রিক্সের একটি (জটিল) ইজেনভ্যালু রয়েছে পরের বক্তব্যের প্রমাণ দ্বন্দ্ব দ্বারা হয়।

এটিকে একটি ছোট বর্গ ম্যাট্রিক্স আকারের এন> 0 হতে দিন এবং একই আকারের ইউনিট ম্যাট্রিক্স হতে দিন। ধরুন এ এর কোনও ইগেনালু নেই। রেজলভেন্ট ফাংশনটি বিবেচনা করুন
     আর (জেড) = (জেড আই এন - এ) - 1, {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর (জেড) = (জেডআই_ {এন} -এ) ^ {- 1},} আর (জেড) = (zI_ {n} -A ) ^ {- 1},
যা ম্যাট্রিকেসের ভেক্টর স্পেসের মান সহ জটিল প্লেনে একটি মারমোর্ফিক ফাংশন। এ এর ইগেনালুগুলি হ'ল আর (জেড) এর খুঁটি les যেহেতু, অনুমান দ্বারা, এ এর কোনও আয়তন নেই, ফাংশন আর (জেড) একটি সম্পূর্ণ ফাংশন এবং কচী উপপাদ্যটি বোঝায় যে

    ∫ সি (আর) আর (জেড) ডিজে = 0. {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ইন্ট _ {সি (আর)} আর (জেড) \, ডিজে = 0} {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ইন্ট _ {সি (আর)} আর ( য) \, Dz = 0।}

অন্যদিকে, জ (জেড) জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে প্রসারিত:

এই সূত্রটি ius এ ‖ {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ | এ \ |} \ | এ \ | ব্যাসার্ধের ডিস্কের বাইরে বৈধ is (এ এর অপারেটর আদর্শ)। R> ‖ এ ‖ দিন ‖ {\ ডিসপ্লেস্টাইল r> \ | এ \ |।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল r> \ | এ \ | |} তারপরে

(যার মধ্যে কেবল সমষ্টি কে = 0 এর ননজারো ইন্টিগ্রাল থাকে)। এটি একটি বৈপরীত্য, এবং তাই এ এর একটি পূর্বসূত্র রয়েছে।

পরিশেষে, রাউচের উপপাদ্যটি সম্ভবত উপপাদকের সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দেয়।

## টপোলজিকাল প্রমাণ
ধরুন | সর্বনিম্ন | পি (জেড) | পুরো জটিল প্লেন z0 এ অর্জন করা হয়; লিউভিলির উপপাদ্যটি ব্যবহার করে এমন প্রমাণে এটি দেখা গিয়েছিল যে এই জাতীয় সংখ্যার উপস্থিতি অবশ্যই রয়েছে। আমরা z (z) কে z - z0 তে বহুবর্ষ হিসাবে লিখতে পারি: কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যা কে আছে এবং কিছু জটিল সংখ্যার সিসি, সি কে + 1, ..., সিএন যেমন সি কে ≠ 0 এবং:

যদি পি (জেড0) ননজারো হয় তবে এটি অনুসরণ করে যে a যদি −p (z0)/ck এর একটি Kth মূল হয় এবং যদি টি ইতিবাচক এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট হয় তবে | পি (z0 + টা) |  | a n - 1 z n - 1 + ⋯ + a 0 | । {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ বাম | z ^ {n} \ ডান |> \ বাম | a_ {n-1} z ^ {n-1} + d সিডটস + এ_ {0} \ ডান | |} {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ বাম | z ^ {n} \ ডান |> \ বাম | a_ {n-1} z ^ {n-1} + d সিডটস + এ_ {0} \ ডান |।}

## বীজগণিত প্রমাণ
5000/5000

Character limit: 5000

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটির এই প্রমাণগুলির জন্য অবশ্যই বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে নিম্নলিখিত দুটি তথ্য ব্যবহার করতে হবে যা বীজগণিত নয় তবে কেবলমাত্র একটি অল্প পরিমাণ বিশ্লেষণের প্রয়োজন (আরও স্পষ্টতই, উভয় ক্ষেত্রে মধ্যবর্তী মানের উপপাদ্য):
    বিজোড় ডিগ্রি এবং বাস্তব সহগ সহ প্রতিটি বহুপদী কিছু আসল মূল থাকে;

    প্রতিটি অ-নেতিবাচক আসল সংখ্যার একটি বর্গমূল থাকে।
চতুর্থ সূত্রের সাথে দ্বিতীয় সত্যটি বাস্তব চতুষ্কোণ বহুবচনগুলির উপপাদ্যকে বোঝায়। অন্য কথায়, মৌলিক উপপাদ্যের বীজগণিত প্রমাণগুলি প্রমাণ করে যে আর যদি কোনও বাস্তব-বদ্ধ ক্ষেত্র হয় তবে এর প্রসার সি = আর (− − 1) বীজগণিতভাবে বন্ধ রয়েছে।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, "সত্যিকারের সহগ সহ প্রতিটি অ-ধ্রুব বহিরাগত পি (জেড) এর একটি জটিল মূল রয়েছে" এই বিবৃতিটি পরীক্ষা করার পক্ষে এটি যথেষ্ট। এই বিবৃতিটি সবচেয়ে বড় অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার কে যেমন 2 কে পি (জেড) এর ডিগ্রি এনকে ভাগ করে তোলে তা অন্তর্ভুক্ত করে প্রমাণিত হতে পারে। একটি পি (জেড) এর zn এর সহগ হবে এবং এফ সি এর উপর p (z) এর বিভাজন ক্ষেত্র হোক; অন্য কথায়, ক্ষেত্রের এফ এ সি থাকে এবং এফ এ z1, z2, ..., zn উপাদান থাকে
    p (z) = a (z - z 1) (z - z 2) ⋯ (z - z n)। {\ ডিসপ্লেস্টাইল p (z) = a (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) \ সিডটস (z-z_ {n})} পি (জেড) = এ (জেড-জেড_ {1}) ) (z-z_ {2}) d সিডটস (z-z_ {n})।
যদি কে = 0 হয়, তবে n বিজোড় হয়, এবং p (z) এর প্রকৃত মূল থাকে। এখন, ধরুন যে এন = 2 কিলোমিটার (এম বিজোড় এবং কে> 0 সহ) এবং উপপাদ্যটি ইতোমধ্যে প্রমাণিত হয়েছে যখন বহুবর্ষের ডিগ্রিতে 2k - 1 মিটার ′ এম ′ বিজোড় ফর্ম থাকে। একটি আসল সংখ্যার জন্য, সংজ্ঞা দিন:
    q t (z) = ∏ 1 ≤ i  1 এর দ্বন্দ্বের মাধ্যমে ধরে নেওয়া, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে 2-গ্রুপ গাল (কে/সি) সূচক 2 এর একটি উপগোষ্ঠী রয়েছে, সুতরাং সেখানে ডিগ্রি 2 এর একটি সুবেশন এম উপস্থিত থাকে তবে যাইহোক, সি এর ডিগ্রি 2 এর কোনও এক্সটেনশন নেই, কারণ উপরে উল্লিখিত হিসাবে প্রতিটি চতুর্ভুজ জটিল বহুবর্ষের একটি জটিল মূল রয়েছে। এইটা দেখানো

## জ্যামিতিক প্রমাণ
জে.এম.আলমীরা এবং এ। রোমেরোর কারণে বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের কাছে যাওয়ার আরও একটি উপায় রয়েছে: রিমানিয়ান জ্যামিতিক যুক্তি দ্বারা। এখানে মূল ধারণাটি প্রমাণ করে যে জিরোস ব্যতীত একটি অ-ধ্রুবক বহুপদী p (z) এর অস্তিত্বটি গোলক এস 2 এর উপরে একটি সমতল রিমনিয়ান মেট্রিকের অস্তিত্বকে বোঝায়। গোলকটি সমতল না হওয়ায় এটি একটি বৈপরীত্যের দিকে পরিচালিত করে।

একটি রিমানিয়ান উপরিভাগ (এম, জি) সমতল হতে পারে যদি এর গাউসিয়ান বক্রতা, যা আমরা কেজি দ্বারা চিহ্নিত করি, এটি একইভাবে শূন্য হয়। এখন, গস – বনেট উপপাদ্য, যখন গোলক এস 2-তে প্রয়োগ করা হয়েছে, তখন সে দাবি করেছে
 
যা প্রমাণ করে যে গোলকটি সমতল নয়।

আসুন আমরা এখন ধরে নিই যে এন> 0 এবং
    p (z) = a 0 + a 1 z + an + anzn ≠ 0 {\ displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ {1} z + d cdots + a_ {n} z ^} n} \ neq 0 } {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (z) = a_ {0} + এ_ {1} জেড + d সিডটস + এ_ {n} z ^ {n} \ নেক 0}
প্রতিটি জটিল সংখ্যা z এর জন্য। আমাদের সংজ্ঞা দিন
    p ∗ (z) = z n p (1 z) = a 0 z n + a 1 z n - 1 + ⋯ + a n। {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি ^ {*} (z) = z ^ {n} পি \ বাম ({\ tfrac {1} {z}} \ ডান) = a_ {0} z ^} n} + a_ {1} z  \ ডান) = a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + d সিডটস + এ_ {n}।}
স্পষ্টতই, সি এর জন্য সমস্ত জেডের জন্য পি * (জেড) ≠ 0 বিবেচনা করুন বহুপদী f (z) = p (z) পি * (জেড)। তারপরে প্রতিটি সি এর জন্য z (z) ≠ 0 করুন
 
আমরা এই কার্যকরী সমীকরণটি জি দ্বারা প্রমাণিত করতে ব্যবহার করতে পারি by
 
সি এর জন্য ডব্লিউ, এবং
 
ডাব্লিউ। এস 2 \ {0} এর জন্য, গোলক এস 2 এর উপরে একটি সুস্পষ্ট সংজ্ঞায়িত রিমানিয়ান মেট্রিক (যা আমরা প্রসারিত জটিল প্লেন সি ∪ {∞} দিয়ে শনাক্ত করি)।

এখন, একটি সাধারণ গণনা এটি দেখায়
 
যেহেতু বিশ্লেষণমূলক ফাংশনের আসল অংশটি সুরেলা। এটি প্রমাণ করে যে কেজি = 0।

## অনুসিদ্ধান্ত
যেহেতু বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটি বিবৃতি হিসাবে দেখা যায় যে জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রটি বীজগণিতভাবে বন্ধ রয়েছে, সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে বীজগণিতভাবে বন্ধ ক্ষেত্র সম্পর্কিত যে কোনও উপপাদ্য জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয়। এখানে উপপাদ্যের আরও কয়েকটি পরিণতি রয়েছে যা প্রকৃত সংখ্যার ক্ষেত্র বা বাস্তব সংখ্যাগুলির ক্ষেত্র এবং জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে:

* জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র হ'ল আসল সংখ্যার ক্ষেত্রের বীজগণিত বন্ধ।
* জটিল সহগের সাথে একটি ভেরিয়েবল z এর প্রতিটি বহুপদী একটি জটিল সহ ধরনের z + a ফর্মের একটি জটিল ধ্রুবক এবং বহুবর্ষের পণ্য।
* বাস্তব সহগের সাথে একটি ভেরিয়েবল এক্স-এর প্রতিটি বহুত্ববধি অনন্যভাবে ফর্ম x + a এর একটি ধ্রুবক, বহু, এবং এক এবং বি রিয়েল এবং এ 2 - 4 বি সহ ফর্ম x2 + অক্ষ + বি এর বহুবর্ষের পণ্য হিসাবে রচনা করা যেতে পারে  1. সমীকরণ হিসাবে লিখছি
    - ζ n = an - 1 ζ n - 1 + ⋯ + এ 1 ζ + a 0, {\ ডিসপ্লেস্টাইল - \ জেটা ^ {n} = এ_ {n-1} eta জেটা ^ {n-1} + d সিডটস + a_ {1} \ জেটা + এ_ {0},} - eta জেটা ^ n = a_ {n-1} \ জেটা ^-n-1} + d সিডটস + এ_1 \ জেটা + a_0,
এবং হোল্ডারের অসাম্য ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই
    | ζ | n ≤ ‖ a ‖ p ‖ (ζ n - 1,…, ζ, 1) ‖ কিউ। {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n} q লেক \ | একটি \ | _ {পি} \ বাম \ | \ বাম (\ জেটা ^ {n-1}, \ ldots, \ জেটা, 1 \ ডান) \ ডান \ | _ {কিউ}।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n} q লেক \ | একটি \ | _ {পি} \ বাম \ | \ বাম (\ জেটা ^ {n-1}, d ldots, \ জেটা, 1 \ ডান) \ ডান \ | _ {কিউ}।
এখন, পি = 1, এটি হয়
 
এইভাবে
 
ক্ষেত্রে 1 <পি ≤ ∞, জ্যামিতিক অগ্রগতির জন্য সারসংক্ষেপ সূত্রটি বিবেচনায় নিয়ে আমাদের আছে
    |
ζ | n ≤ ‖ a ‖ পি (| ζ | কিউ (এন - 1) + ⋯ + | ζ | কিউ + 1) 1 কিউ = ‖ এ ‖ পি (| ζ | কিউএন - 1 | ζ | কিউ - 1) 1 কিউ ‖ A ‖ p (| ζ | qn | ζ | q - 1) 1 কিউ, {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n {q লেক \ | আ a | _ {পি} \ বাম (| eta জেটা | ^ {) q (n-1)} + \ cdots + | \ জেটা | ^ ^ কিউ} +1 \ ডান) ^ {\ frac {1}} q}} = \ | a \ | _ {পি} \ বাম ({\ frac {| \ zeta | ^ {qn} -1} {| \ জেটা | ^ {q} -1}} \ \ ডান) ^  q লেক \ | a \ | _ {পি \ \ বাম ({\ frac {| \ জেটা | ^ {qn}}} | eta জেটা | ^ {কিউ} -1} \ \ ডান) ^ {\ frac {1} {q}},} | \ জেটা | ^ n \ লেক \ | a \ | _p \ বাম (| \ জেটা | ^ {কিউ (এন -1)} + \ সিডটস + | \ জেটা | ^ কিউ +1 \ ডান) ^ {\ ফ্র্যাক {1} {কিউ} } = \ | a \ | _p \ বাম (\ frac {| \ জেটা | ^ {qn} -1} {| \ জেটা | ^ কিউ -1} \ ডান) ^ ^ \ frac {1} {q}} \ leq \ | a \ | _p \ বাম (\ frac {| \ জেটা | ^ {qn}} {| \ জেটা | ^ কিউ -1 \ \ ডান) ^ {\ frac {1} {q}},

এইভাবে
 
এবং সরলকরণ,
    | ζ | q ≤ 1 + ‖ a ‖ p q। {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {কিউ} \ লেক 1+ \ | আ \ | _ {পি} ^ {কিউ}।} | eta জেটা | ^ কিউ \ লেক 1+ \ | একটি \ | _পি ^ কিউ।
অতএব
 
সমস্ত 1 ≤ পি ≤ ∞ এর জন্য ধারণ করে ∞

## তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:জটিল বিশ্লেষণের উপপাদ্য