পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম

গণিতে, একটি **পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম** হল একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে উপাদান দ্বারা উপাদান গুণনের ফলাফল। একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের *n* তম উপাদানটি একটি পাটিগণিত ক্রমটির *n* তম উপাদান এবং একটি জ্যামিতিক অনুক্রমের *n* তম উপাদানের গুণফল।  একটি **পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজ** হল এমন একটি পদের সমষ্টি যা একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান। অ্যারিথমেটিকো-জ্যামিতিক ক্রম এবং সিরিজগুলি বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে উদ্ভূত হয়, যেমন সম্ভাব্যতা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মানের গণনা, বিশেষ করে বার্নোলি প্রক্রিয়াগুলিতে ।

উদাহরণস্বরূপ, ক্রম

: \dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots 

একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক উপাদানটি লবটিতে (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিকটি হর (সবুজ রঙে) প্রদর্শিত হয়। এই ক্রমটির অসীম উপাদানগুলির সিরিজ যোগফলকে **গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি** বলা হয় এবং এটির মান 2।  সাধারণভাবে,

: \sum_{k=1}^{\infty} {\color{blue} k} {\color{green} r^k} = \frac{r}{(1 - r)^2} \quad \mathrm{for\ }0

 পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয় বৈশিষ্ট্যের সমন্বয়ে বিভিন্ন বস্তুকে পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের লেবেলও দেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক-জ্যামিতিক অনুক্রমের ফরাসি ধারণাটি সেই ক্রমগুলিকে বোঝায় যা ফর্মের পুনরাবৃত্তি সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। u_{n+1}=r u_n+ d, যা সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক একত্রিত করে u_{n+1}=u_n+d পাটিগণিত ক্রম এবং জন্য u_{n+1}= r u_n জ্যামিতিক ক্রমগুলির জন্য। এই ক্রমগুলি তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণের একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অবিচ্ছিন্ন প্রথম ক্রম রৈখিক পুনরাবৃত্তি সহ ধ্রুবক সহগ ।

## উপাদান
একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান (A_n G_n)_{n \geq 1} একটি গাণিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির পণ্য (A_n)_{n \geq 1} (নীল রঙে) প্রাথমিক মান সহ a এবং সাধারণ পার্থক্য d, A_n = a + (n - 1)d, জ্যামিতিক অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে (G_n)_{n \geq 1} (সবুজ রঙে) প্রাথমিক মান সহ b এবং সাধারণ অনুপাত r, G_n = b r^{n-1}, যাতে 

: 
\begin{align}
A_1 G_1 & =\color{blue}a \color{green}b \\
A_2 G_2 & =\color{blue}(a+d) \color{green}br \\
A_3 G_3 & =\color{blue}(a+2d)\color{green} br^2 \\
& \ \,\vdots \\
A_n G_n & =\color{blue}(a+(n-1)d )\color{green} br^{n-1}\color{black}.
\end{align}


এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং তিনটিতে হ্রাস করা যেতে পারে: 
ab, 

bd, 
 এবং 
r. 


### উদাহরণ
ক্রম

: \dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots 

পরামিতি সহ পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম d=b=1, a=0, এবং r=1/2 .

## সিরিজ

### আংশিক যোগফল
একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের প্রথম  পদের যোগফলের ফর্ম আছে

: 
\begin{align}
S_n & = \sum_{k = 1}^n A_k G_k = \sum_{k = 1}^n \left(a + (k - 1) d\right) br^{k - 1} = b \sum_{k = 0}^{n-1} \left(a + k d\right) r^{k} \\
& = ab + (a + d) br + (a + 2 d) br^2 + \cdots + (a + (n - 1) d) br^{n - 1}
\end{align}


যেখানে A_i এবং G_i এগুলি যথাক্রমে পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অনুক্রমের  তম উপাদান।

এই আংশিক যোগফলের বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি আছে

: 
\begin{align}
S_n & = \frac{ab - (a+nd)\,br^n}{1 - r}+\frac{dbr\,(1 - r^n)}{(1-r)^2}\\
  & = \frac{A_1G_1 - A_{n+1}G_{n+1}}{1 - r}+\frac{dr}{(1-r)^2}\,(G_1 - G_{n+1}).
\end{align}


#### ডেরিভেশন
গুণ করা 

: S_n = ab + (a + d) br + (a + 2 d) br^2 + \cdots + (a + (n - 1) d) br^{n - 1}

 দিয়ে দেয়

: r S_n = a br + (a + d) br^2 + (a + 2 d) br^3 + \cdots + (a + (n - 1) d) br^n.

 থেকে  বিয়োগ করা, উভয় দিক দিয়ে ভাগ করা b, এবং টেলিস্কোপিং সিরিজের কৌশল (দ্বিতীয় সমতা) এবং একটি সসীম জ্যামিতিক সিরিজের যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে (পঞ্চম সমতা) দেয়

: \begin{align} 
(1 - r) S_n / b = {} & \left(a + (a + d) r + (a + 2 d) r^2 + \cdots + (a + (n - 1) d) r^{n - 1}\right) \\[5pt]
& {} - \left(a r + (a + d) r^2 + (a + 2 d) r^3 + \cdots + (a + (n - 1) d) r^n\right) \\[5pt]
= {} & a + d \left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left(a + (n - 1) d\right) r^n \\[5pt]
= {} & a + d \left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}+r^n\right) - \left(a + n d\right) r^n \\[5pt]
= {} & a + d r \left(1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left(a + nd\right) r^n \\[5pt]
= {} & a + \frac{d r (1 - r^n)}{1 - r} - (a + nd) r^n, \\
S_n = &\frac{b}{1-r} \left( a - (a + nd) r^n + \frac{d r (1 - r^n)}{1 - r} \right) \\
= &\frac{ab - (a + nd) b r^n}{1-r} + \frac{d r (b - br^n)}{(1 - r)^2} \\
= &\frac{A_1 G_1 - A_{n+1} G_{n+1}}{1-r} + \frac{d r (G_1 - G_{n+1})}{(1 - r)^2}
\end{align}


যেমন দাবি করা হয়েছে।

### অসীম সিরিজ
যদি −1 
\begin{align}
S &= \sum_{k = 1}^\infty t_k = \lim_{n \to \infty}S_{n} \\
 &= \frac{ab}{1-r}+\frac{dbr}{(1-r)^2}\\
 &= \frac{A_1G_1}{1 - r}+\frac{d r G_1}{(1-r)^2}.
\end{align}


যদি *r* উপরের সীমার বাইরে হয়, *b* শূন্য নয়, এবং *a* এবং *d* উভয়ই শূন্য নয়, সীমাটি বিদ্যমান নেই এবং সিরিজটি ভিন্ন ।

### উদাহরণ
যোগফল

: S=\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}+\dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}+\dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}+\dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}+\dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}+\dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}+\cdots  ,

দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি d=b=1, a=0, এবং r=\frac 12, এবং এটি একত্রিত হয় S=2 . এই ক্রমটি "টেইল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা টসের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়। সম্ভাবনা T_k *টসে* প্রথমবার টেল পাওয়া নিম্নরূপ:

: T_1=\frac 1{2}, \ T_2=\frac 1{4},\dots, T_k = \frac 1{2^k} .

অতএব, প্রথম "টেলস" পৌঁছানোর জন্য টসের প্রত্যাশিত সংখ্যা দেওয়া হয়

: \sum_{k=1}^{\infty} k T_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\color{blue}k}{\color{green}2^k} = 2.

একইভাবে, যোগফল

: S=\dfrac{\color{blue}{0} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{5/6}}+\dfrac{\color{blue}{1} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{1}}+\dfrac{\color{blue}{2} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{6/5}}+\dfrac{\color{blue}{3} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{(6/5)^2}}+\dfrac{\color{blue}{4} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{(6/5)^3}}+\dfrac{\color{blue}{5} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{(6/5)^4}}+\cdots

দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি d = 1 , a = 0 , b = (1/6) / (5/6) , এবং r = 5/6 , এবং এটি 6-এ রূপান্তরিত হয়। এই ক্রমটি একটি ডাই রোলে একটি নির্দিষ্ট মান পেতে প্রয়োজনীয় ছয়-পার্শ্বযুক্ত ডাইস রোলের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়, উদাহরণস্বরূপ "5"। সাধারণভাবে, সঙ্গে এই সিরিজ d = 1 , a = 0 , b = p/(1 - p) , এবং r = (1-p)  "সাফল্যের সম্ভাবনা" সহ বার্নৌলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সাফল্য না হওয়া পর্যন্ত পরীক্ষার সংখ্যা" এর প্রত্যাশা দিন p  . প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাব্যতা একটি জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং সিরিজের শর্তাবলীতে জ্যামিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে, যখন প্রতি ফলাফলের পরীক্ষার সংখ্যা শর্তাবলীতে গাণিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে।

## তথ্যসূত্র

## নোট

* 
* 

বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা
বিষয়শ্রেণী:পূর্ণ সংখ্যার ধারা
বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা