বহুপদী সমীকরণ

a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb +a_2 x^2 + a_1 x + a_0=0,
আকারের সমীকরণকে *বহুপদী সমীকরণ* বলা হয়। উল্লেখ্য এখানেও n একটি ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা এবং a_0,a_1,a_2.........a_n  সহগ গুলো *x* বর্জিত সংখ্যা এবং a_n অবশ্যই শূন্য নয় কারণ তা সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ।

## সাধারণ ধারণা
*x* এর যে মান গুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয় ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল বলা হয়। বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত *n* হলে এবং *n=1,2,3.....n* এর জন্য বহুপদী সমীকরণকে যথাক্রমে সরল বা একঘাত সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ, ত্রিঘাত সমীকরণ এবং বহুঘাত সমীকরণ বলা হয়।

## বহুপদী মানে কী?
#প্রতিটি বহুপদী সমীকরণে কমপক্ষে একটি বাস্তব বা জটিল মূল থাকে।
#*n* ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে নির্দিষ্টভাবে *n* সংখ্যক মূল থাকবে। দুই বা ততোধিক বা সবকয়টি মূল এর মান একই হতে পারে।
#যদি কোন বহুপদী *f(x)* কে *x-a* দ্বারা ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ হবে f(a) এটি ভাগশেষ উপপাদ্য নামে পরিচিত।
#যদি কোন বহুপদী রাশি *f(x)* এর একটি মূল *a* হয় তবে *x-a*, *f(x)* এর একটি উৎপাদক হবে। এটি উৎপাদক উপপাদ্য নামে পরিচিত।
#*a+ib* যদি কোন বহুপদী সমীকরণের একটি মূল হয় তবে সমীকরণে নিশ্চিত ভাবে অপর একটি মূল থাকবে যার মান *a-ib* । *a+ib* এবং *a-ib* কে পরস্পরের অনূবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়। অবার a+\sqrt b যেখানে \sqrt b অমূলদ সংখ্যা, বহুপদী সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি হবে a-\sqrt b এরা পরস্পরের অনূবন্ধী অমূলদ সংখ্যা।

## বহুপদী সমীকরণের মূল সহগ সম্পর্ক

### দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ
কোন বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত যদি দুই হয় তবে তাকে দ্বিঘাত বহুপদী বলা হয়ে থাকে। ax^2+bx+c=0 একটি দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ। বহুপদী সমীকরণের স্বীকার্য মতে এতে দুইটি মূল থাকবে। একটি মূলকে *<math>\alpha</math>* এবং অপর মূলকে *<math>\beta</math>* ধরা হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক হবে-

\alpha+\beta=-b/a

\alpha \beta=c/a

আবার সমীকরণকে লিখা যায়-

(x-\alpha)(x-\beta)=0 অথবা x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta=0

#### দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি

ax^2+bx+c=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ*(a≠0)* হলে *<math>b^2-4ac</math>* এর মানকে সমীকরণের নিশ্চায়ক বলা হয়। নিশ্চায়কের মানের উপর মূলের প্রকৃতি নির্ভর করে।

b^2-4ac>0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান
:::b^2-4ac>0 এর মান পূর্ণ বর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ এবং b^2-4ac>0 এর মান পূর্ণ বর্গ না হলে মূলদ্বয় অমূলদ এবং অমূলদ মূলদ্বয় পরস্পরের অনুবন্ধী।

b^2-4ac হলে মূলদ্বয় জটিল এবং পরস্পরের অনুবন্ধী।

b^2-4ac=0  মূলদ্বয় বাস্তব  ও সমান। এবং দ্বিপদী রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ।

#### অন্যান্য
ax^2+bx+c=0  সমীকরণে

দুটি মূল পরস্পরের সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে যদি *b=0* হয়।

কমপক্ষে একটি মূল শূণ্য হওয়ার শর্ত *c=0*

মূলদ্বয় পরস্পরের বিপরীত হওয়ার শর্ত *a=c*

মূলদ্বয় পরস্পরের বিপরীত ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার শর্ত *a=-c* অর্থাৎ *a+c=0*।

### ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ
ax^3+bx^2+cx+d=0 আকারের সমীকরণকে ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ বলা হয়। বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য অনুযায়ী এতে তিনটি মূল রয়েছে। মূলগুলোকে \alpha, \beta ও \gamma দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ত্রিঘাত সমীকরণে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ-

\alpha+\beta+\gamma = - b/a 

\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=c/a

\alpha\beta\gamma=-d/a

### সাধারণ সম্পর্ক
a_0 x^n + a_1x^{n-1} + \dotsb +a_2 x^{n-2} + a_3 x^{n-3}+.......+a_{n-1}x + a_n=0, একটি বহুপদী সমীকরণ এবং এর মূল গূলো \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3,.....\alpha_n হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক-

মূলের যোগফল

\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+......+\alpha_n=-a_1/a_0

দুটি করে মূলের গুনফলের যোগফল

\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+......+\alpha_n\alpha_1=a_1/a_0

তিনটি করে মূলের গুনফলের যোগফল

\alpha_1\alpha_2\alpha_3+\alpha_2\alpha_3\alpha_4+.......=-a_2/a_0

সবগুলো মূলের গুনফল

\alpha_1\alpha_2\alpha_3.....\alpha_n=(-1)^n a_n/a_0

## তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:গণিত
বিষয়শ্রেণী:বীজগণিত
বিষয়শ্রেণী:সমীকরণ