লাইবনিজের সাধারণ নিয়ম

ক্যালকুলাসে, **লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়ম**, গটফ্রিড উইলহেম লিবনিজের নামানুসারে, গুণের নিয়মকে সাধারণীকরণ করে (যা "লিবনিজের নিয়ম" নামেও পরিচিত)। এটা বলে যে যদি f এবং g হয় n -বার পার্থক্যযোগ্য ফাংশন, তারপর পণ্য fg এছাড়াও হয় n -সময় পার্থক্যযোগ্য এবং তার n তম ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয়

: (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)} g^{(k)},

যেখানে {n \choose k}={n!\over k! (n-k)!} হয় দ্বিপদী সহগ এবং f^{(j)} নির্দেশ করে *j*এর ডেরিভেটিভ *f* (এবং বিশেষ করে f^{(0)}= f).

গুণের নিয়ম এবং গাণিতিক আবেশ ব্যবহার করে নিয়মটি প্রমাণ করা যেতে পারে।

## দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ
উদাহরণস্বরূপ, যদি, , নিয়ম দুটি ফাংশনের একটি পণ্যের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য একটি রাশি দেয়:

: (fg)*(x)=\sum\limits_{k=0}^{2}{\binom{2}{k} f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f*(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g*(x).</math>

== দুটির বেশি গুণীতক ==
সূত্রটি এর পণ্যটিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে *m* ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন *f*<sub>1</sub>,...,*f*<sub>*m*</sub>.

: <math>(fg)*(x)=\sum\limits_{k=0}^{2}{\binom{2}{k} f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f*(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g*(x).

যেখানে যোগফল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমস্ত *m* -টুপল (*k* 1 ,..., *k* *m*) জুড়ে প্রসারিত হয় \sum_{t=1}^m k_t=n, এবং

: \left(f_1 f_2 \cdots f_m\right)^{(n)}=\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 \prod_{1\le t\le m}f_{t}^{(k_{t})}\,,

বহুপদ সহগ। এটি বীজগণিত থেকে বহুপদ সূত্রের অনুরূপ।

লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়মের প্রমাণ আবেশ দ্বারা দেখানো যায়। ধরা যাক, f এবং g হতে n- বার ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন। বেস কেস যখন n=1 দাবি করে যে:

:  (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} f^{(n-k)}g^{(k)}. 

যা স্বাভাবিক গুণের নিয়ম এবং সত্য বলে পরিচিত। পরবর্তী, ধরুন যে বিবৃতি একটি নির্দিষ্ট জন্য ধারণ করে n \geq 1, যে,

:  (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} f^{(n-k)}g^{(k)}. 

Then,

: \begin{align}
  (fg)^{(n+1)} &= \left[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)} \right]' \\
  &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k+1)} \\
  &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} f^{(n+1-k)} g^{(k)} \\
  &= \binom{n}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \binom{n}{n} f^{(0)} g^{(n+1)} \\
  &= \binom{n+1}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \left(\sum_{k=1}^n \left[\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} \right]f^{(n+1-k)} g^{(k)} \right) + \binom{n+1}{n+1} f^{(0)} g^{(n+1)} \\
  &= \binom{n+1}{0} f^{(n+1)} g^{(0)} + \sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k}  f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \binom{n+1}{n+1}f^{(0)} g^{(n+1)} \\
  &= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} .
 \end{align}

এবং তাই প্রকাশটি n+1, এর জন্য সঠিক এবং প্রমাণ সম্পূর্ণ।

## মাল্টিভেরিয়েবল ক্যালকুলাস
বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের জন্য মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশনসহ, লাইবনিজ নিয়ম আরও সাধারণভাবে বলে:

: \partial^\alpha (fg) = \sum_{ \beta\,:\,\beta \le \alpha } {\alpha \choose \beta} (\partial^{\beta} f) (\partial^{\alpha - \beta} g).

এই সূত্রটি এমন একটি সূত্র বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলোর গঠনের প্রতীক গণনা করে। প্রকৃতপক্ষে, *P* এবং *Q-কে* ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হতে দিন (সহগ সহ যা পর্যাপ্তভাবে বহুবার পার্থক্যযোগ্য) এবং R = P \circ Q. যেহেতু *R* একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, তাই *R-* এর চিহ্নটি দেওয়া হয়েছে:

: R(x, \xi) = e^{-{\langle x, \xi \rangle}} R (e^{\langle x, \xi \rangle}).

একটি সরাসরি গণনা এখন দেয়:

: R(x, \xi) = \sum_\alpha {1 \over \alpha!} \left({\partial \over \partial \xi}\right)^\alpha P(x, \xi) \left({\partial \over \partial x}\right)^\alpha Q(x, \xi).

এই সূত্রটি সাধারণত লাইবনিজ সূত্র নামে পরিচিত। এটি চিহ্নগুলোর স্থানের মধ্যে গঠনটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যার ফলে রিং কাঠামো প্ররোচিত হয়।

## আরো দেখুন

* 
* 

## তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:ক্যালকুলাসের উপপাদ্য
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক অভেদ
বিষয়শ্রেণী:প্রমাণ সংবলিত নিবন্ধ
বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা