মডুলার পাটীগণিত

ডান|থাম্ব|250x250পিক্সেল|এ ঘড়িতে সময় দেখানোর জন্য মডলার পাটীগণিত ব্যবহৃত হয়েছে, যার মডুলো ১২
**মডুলার পাটিগণিত** গণিতের একটি শাখা যেখানে পূর্ণসংখ্যা এবং নির্দিষ্ট একটি সংখ্যার পর সংখ্যাগুলো পুনরায় ফিরে আসা নিয়ে আলোচনা করা হয়। এই নির্দিষ্ট সংখ্যাকে বলা হয় **মডুলাস** (**modulus** , বহুবচন : **moduli**)। আধুনিক মডুলার পাটীগণিতের জনক হলেন জার্মান গণিতবিদ কার্ল ফ্রেডরিক গাউস। ১৮০১ সালে এ সম্বন্ধে তার **' বইটি প্রকাশিত হয়।

১২-ঘণ্টা ঘড়িতে মডুলার পাটিগণিত ব্যবহৃত হয়। একদিনকে দুইভাগে ভাগ করে সময় দেখায় এই ঘড়ি। যদি ঘড়িতে এখন ৭:০০ বেজে থাকে তাহলে ৮ ঘণ্টা পর ৩:০০ টা বাজবে। চিরায়িত যোগের নিয়মানুযায়ী এটা ৭ + ৮ = ১৫ হওয়া উচিত ছিল। কিন্তু ১২-ঘণ্টা ঘড়ির সময় অনুযায়ী ১৫ টা বলে কিছু নেই। অর্থাৎ ১২ টার পর পুনরায় ১ তারপর ২, তারপর ৩ ... এভাবে চলবে। তাই ৮ ঘণ্টা পর ৩ টা বাজবে।

== কংগ্রুয়েন্স সম্পর্কের সংজ্ঞা ==
মডুলার পাটীগণিত গাণিতিকভাবে প্রকাশের জন্য পূর্ণসংখ্যার কংগ্রুয়েন্স সম্পর্ক নামে নতুন এক সম্পর্ক এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেন সেটি পূর্ণসংখ্যার চিরায়িত অপারেশন [[যোগ]],[[বিয়োগ]] এবং [[গুণ (গণিত)|গুণের]] সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য, দুটি পূর্ণসংখ্যা  এবং ''b'' কে কংগ্রুয়েন্স মডুলো **' বলা হয়, যদি তাদের পার্থক্য  ,  এর গুণিতক হয় (অর্থাৎ এমন একটি পূর্ণসংখ্যা *k* থাকবে যেন  হয়). গাণিতিকভাবে,
: a \equiv b \pmod n.

এখানে  কে কংগ্রুয়েন্সের **মডুলাস** বলা হয়। 

কংগ্রুয়েন্স সম্পর্ক নিম্নোক্ত উপায়েও লেখা যায়,
: a = kn + b,
যা কিনা ইউক্লিডীয় বিভাজনের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত। যদিও, a কে n দ্বারা ভাগ করলে b ভাগশেষ নাও হতে পারে। আরও ভালোভাবে বললে,  এর অর্থ হল   এবং  কে  দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকবে।
: a = pn + r,
: b = qn + r,
যেখানে,  হল সাধারণ ভাগশেষ। এই সমীকরণ দুটি বিয়োগ করে আমরা পূর্বের সম্পর্কটি পাই :
: a - b = kn,
যেখানে *k* = *p* − *q*.

### উদাহরণ
উদাহরণস্বরূপ,
: 38 \equiv 14 \pmod {12}\,
কারণ , যা কিনা 12 এর গুণিতক।

ঋণাত্মক সংখ্যার জন্যই একই নিয়ম প্রযোজ্য :
:  \begin{align}
-8 &\equiv 7 \pmod 5\\
2 &\equiv -3 \pmod 5\\
 -3 &\equiv -8 \pmod 5.
\end{align}
একইভাবে,  এর অর্থ হল  এবং  কে  দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে। উদাহরণস্বরূপ,
: 38 \equiv 14 \pmod {12}\,
কারণ 38 এবং 14 উভয়কে 12 দ্বারা ভাগ করলে 2 ভাগশেষ থাকে।আবার  যা কিনা 12 এর গুণিতক। তাই এটি কংগ্রুয়েন্সের মূল সংজ্ঞার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। 

## বৈশিষ্ট্য
কংগ্রুয়েন্স সম্পর্ক সমতুল্য সম্পর্কের সকল শর্ত সিদ্ধ করে :
* Reflexivity: *a* ≡ *a* (mod *n*) 
* প্রতিসাম্যতা : *a* ≡ *b* (mod *n*) যদি ও কেবল যদি *b* ≡ *a* (mod *n*)
* Transitivity: যদি *a* ≡ *b* (mod *n*) এবং *b* ≡ *c* (mod *n*) হয়, তাহলে *a* ≡ *c* (mod *n*)
যদি *a*1 ≡ *b*1 (mod *n*) এবং *a*2 ≡ *b*2 (mod *n*), অথবা যদি *a* ≡ *b* (mod *n*), হয় তাহলে :
* *a* + *k* ≡ *b* + *k* (mod *n*) , যেকোন পূর্ণসংখ্যা *k* এর জন্য
* *k a* ≡ *k b* (mod *n*) , যেকোন পূর্ণসংখ্যা k এর জন্য
* *a*1 + *a*2 ≡ *b*1 + *b*2 (mod *n*) (যোগের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)
* *a*1 – *a*2 ≡ *b*1 – *b*2 (mod *n*)  (বিয়োগের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)
* *a*1 *a*2 ≡ *b*1 *b*2 (mod *n*)  (গুণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)
* *a**k* ≡ *b**k* (mod *n*) , যেকোন পূর্ণসংখ্যা k এর জন্য (সূচকের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)
* *p*(*a*) ≡ *p*(*b*) (mod *n*), যেকোন পূর্ণসাংখ্যিক সহগবিশিষ্ট বহুপদী *p*(*x*) এর জন্য (বহুপদীর মান নির্ণয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)
যদি *a* ≡ *b* (mod *n*) হয়, সাধারণভাবে *k<sup>a</sup>* ≡ *k<sup>b</sup>* (mod *n*) সত্য নয়। যদিও,
* যদি *c* ≡ *d* (mod *φ*(*n*)), হয় যেখানে *φ* হল অয়লারের টোশেন্ট ফাংশন।, তাহলে *a**c* ≡ *a**d* (mod *n*) হবে, যেখানে  এবং  সহমৌলিক।
উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ পদ বাদ দিতে হলে নিম্নোক্ত নিয়ম রয়েছে :
* যদি *a* + *k* ≡ *b* + *k* (mod *n*) হয়, যেকোন পূর্ণসংখ্যা *k* জন্য, তাহলে *a* ≡ *b* (mod *n*)
* যদি *k a* ≡ *k b* (mod *n*) এবং *k* ও *n* সহমৌলিক হয়, তাহলে *a* ≡ *b* (mod *n*)
সবশেষে, *a* এর গুণাত্মক বিপরীত (**multiplicative inverse**) কে  দ্বারা সূচিত করে, আমরা নিম্নোক্ত নিয়মগুলো পাই :
* গুণাত্মক বিপরীতের অস্তিত্ব: একটি পূর্ণসংখ্যার অস্তিত্ব থাকবে, যা  দ্বারা সূচিত করা হয়, যেন *aa*−1 ≡ 1 (mod *n*) হবে যদি ও কেবল যদি  ও *n* সহমৌলিক হয়.
* যদি *a* ≡ *b* (mod *n*) এবং  এর অস্তিত্ব থাকে, তাহলে *a*−1 ≡ *b*−1 (mod *n*) (গুণাত্মক বিপরীতের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ)
* যদি *a x* ≡ *b* (mod *n*) এবং  ও *n* সহমৌলিক হয়, তাহলে এই সরলরৈখিক কংগ্রুয়েন্স সম্পর্কের সমাধান হল, *x* ≡ *a*−1*b* (mod *n*) 
যদি  মৌলিক সংখ্যা হয় তাহলে  এর সকল মানের জন্য  এবং ** সহমৌলিক হবে যেখানে . সুতরাং  যদি মডুলো  তে শূন্যের সমতুল্য না হয় তাহলে *a* এর সকল মানের জন্য একটি গুণাত্মক বিপরীতের অস্তিত্ব থাকবে।

কংগ্রুয়েন্স সম্পর্কের আরও কিছু বিশেষ বৈশিষ্ট্য নিম্নরূপ : 

*অয়লারের উপপাদ্য (Euler's theorem): যদি  এবং  সহমৌলিক হয়, তাহলে *a* *φ*(*n*) ≡ 1 (mod *n*), যেখানে *φ* হল অয়লারের টোশেন্ট ফাংশন।
* ফার্মার লিটল থিওরেম থেকে পাই, যদি  মৌলিক হয় তাহলে *a*−1 ≡ *a* *p* − 2 (mod *p*) হল a এর গুণাত্মক বিপরীত যেখানে . আরও সাধারণভাবে, অয়লারের উপপাদ্য অনুযায়ী, যদি  এবং  সহমৌলিক হয়, তাহলে *a*−1 ≡ *a* *φ*(*n*) − 1 (mod *n*). 
* আরেকটি অনুসিদ্ধান্ত হল, যদি *a* ≡ *b* (mod *φ*(*n*)), এবং k ও n সহমৌলিক হয়, যেখানে *φ* হল অয়লার টোশেন্ট ফাংশন]], তাহলে *k**a* ≡ *k**b* (mod *n*) হবে।
*উইলসনের উপপাদ্য (Wilson's theorem): *p* মৌলিক সংখ্যা হবে যদি ও কেবল যদি (*p* − 1)! ≡ −1 (mod *p*) হয়।
*চাইনিজ ভাগশেষ উপপাদ্য (Chinese remainder theorem): যদি *x* ≡ *a* (mod *m*) এবং *x* ≡ *b* (mod *n*) হয় যেন  ও  সহমৌলিক, তাহলে *x* ≡ *b m**n*−1 *m* + *a n**m*−1 *n* (mod *mn*) হবে, যেখানে  হল  এর গুণাত্মক বিপরীত মডুলো  এ এবং  হল  এর গুণাত্মক বিপরীত মডুলো  এ।
*ল্যাগ্রেঞ্জের উপপাদ্য (Lagrange's theorem): *f* (*x*) ≡ 0 (mod *p*), যেখানে  মৌলিক সংখ্যা এবং  একটি বহুপদী যেন *a*0 &#x2260; 0 (mod *p*), এই কংগ্রুয়েন্স সম্পর্কের সর্বোচ্চ  সংখ্যক মূল থাকতে পারে।

## তথ্যসূত্র

* John L. Berggren. "modular arithmetic". Encyclopædia Britannica.
* . অধ্যায় ৫ ও ৬ দ্রষ্টব্য।
* Maarten Bullynck "Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany"
* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. *Introduction to Algorithms*, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. . Section 31.3: Modular arithmetic, pp.&nbsp;862–868.
* Anthony Gioia, *Number Theory, an Introduction* Reprint (2001) Dover. .
* 
* 
* 

## বহিঃসংযোগ সমূহ
* An article on modular arithmetic on the GIMPS wiki
* Modular Arithmetic and patterns in addition and multiplication tables
* Whitney Music Box—an audio/video demonstration of integer modular math

বিষয়শ্রেণী:গণিতের ক্ষেত্র
বিষয়শ্রেণী:গ্রুপতত্ত্ব