অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য

**অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য** হলো মার্কিন গণিতবিদ রাল্ফ পামার অ্যাগনিউ প্রস্তাবিত একটি উপপাদ্য। এটি অসীম ধারার পদগুলির পুনর্বিন্যাসকে বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে যা সমস্ত ধারার জন্য সন্নিবেশ সংরক্ষণ করে।

## বিবৃতি

চলুন দেখি একটি বিন্যাস p: \mathbb{N} \to \mathbb{N} একটি *অ্যাগনিউ বিন্যাস* যদি K \in \mathbb{N} হয় যেমন 1 দিয়ে শুরু এমন যেকোনো ব্যবধি  দ্বারা সর্বাধিক  ব্যবধির একটি সংযোগ চিহ্নিত করা হয়, অর্থাৎ, \exists K \in \mathbb{N} \, : \; \forall n \in \mathbb{N} \;\; \#_{[\,]}(p([1,\,n])) \le K\,, যেখানে \#_{[\,]} ব্যবধানের সংখ্যা গণনা করে।

**অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য.** &nbsp;p একটি অ্যাগনিউ বিন্যাস \iff বাস্তব বা জটিল পদের সমস্ত সন্নিবেশ ধারার জন্য \sum_{i=1}^\infty a_i\,, ধারাটি \sum_{i=1}^\infty a_{p(i)} একই সমষ্টিতে সন্নিবেশিত হয়।

**অনুসিদ্ধান্ত ১.** &nbsp;p^{-1} (p এর বিপরীত রাশি) একটি অ্যাগনিউ বিন্যাস \implies বাস্তব বা জটিল পদের সমস্ত সন্নিবেশ নয় এমন ধারার জন্য \sum_{i=1}^\infty a_i\,, ধারাটি \sum_{i=1}^\infty a_{p(i)} সন্নিবেশিত হবে না।

**অনুসিদ্ধান্ত ২.** &nbsp;p ও p^{-1} হলো অ্যাগনিউ বিন্যাস \implies বাস্তব বা জটিল পদের সকল ধারার জন্য \sum_{i=1}^\infty a_i\,, ধারাটির সন্নিবেশিত হওয়ার ধরন \sum_{i=1}^\infty a_{p(i)} একই।

## ব্যবহার
অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য দরকার তখন হয় যখন এর সন্নিবেশ \sum_{i=1}^\infty a_i ইতিমধ্যেই প্রতিষ্ঠিত হয়েছে: যেকোন অ্যাগনিউ বিন্যাস একই যোগফলের সাথে অভিন্নতা রক্ষা করার সময় এর পদগুলিকে পুনর্বিন্যাস করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

অনুসিদ্ধান্ত ২ উপযোগী হয় যখন সন্নিবেশ ধরন \sum_{i=1}^\infty a_i অজানা: সন্নিবেশ ধরন\sum_{i=1}^\infty a_{p(i)} মূল ধারার মতোই।
## উদাহরণ
বিন্যাসের একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী হল অসীমতক অনুচ্ছেদ বিন্যাসp=\cdots \circ p_k \circ \cdots \circ p_1 যার মধ্যে প্রতিটি উপাদানের বিন্যাস p_k শুধুমাত্র তার সংশ্লিষ্ট ব্যবধি [g_k+1,\,g_{k+1}] ( g_1=0 সহ ) তে কাজ করে। p([1,\,n]) = [1,\,g_k] \cup p_k([g_k+1,\,n]) জন্য g_k+1 \le n , যেখানে শুধুমাত্র p_k এর প্রকৃতি বিবেচিত হবে, যদি n বৃদ্ধি পায়।

### পরপর পদের সীমাবদ্ধ শ্রেণী

যখন ক্রমাগত পদের সমস্ত শ্রেণীর আকার একটি ধ্রুবকে উপনীত হয়, অর্থাৎ g_{k+1}-g_k \le L\,, p এবং এর বিপরীত রাশি অ্যাগনিউ বিন্যাস ( K = \left\lfloor\frac{L}{2}\right\rfloor সহ ), অর্থাৎ সংরক্ষিত সন্নিবেশ ধরন সহ গ্রুপগুলির মধ্যে নির্বিচারে পুনর্বিন্যাস প্রয়োগ করা যেতে পারে।

### পরপর পদের সীমাহীন শ্রেণী

যখন পরপর পদের শ্রেণীর আকার সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়, তখন p_k এর প্রকৃতির দিকে নজর দিতে হবে।

প্রতিচ্ছবি বিন্যাস এবং চক্রাকার পরিবর্তন বিন্যাস, সেইসাথে তাদের বিপরীত, প্রধান ব্যবধানে সর্বাধিক 1 ব্যবধান যোগ করে [1,\,g_k], তাই p এবং এর বিপরীত হল অ্যাগনিউ বিন্যাস (K = 2 সহ ), অর্থাৎ, প্রতিচ্ছবি এবং চক্রাকার পরিবর্তন সংরক্ষিত সন্নিবেশ ধরন সহ শ্রেণী গুলোর মধ্যে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

 এর সাথে একটি ব্লক পুনর্ক্রমানুবর্তন&nbsp;>&nbsp;1টি ব্লক  এবং এর বিপরীত সর্বাধিক যোগ করুন \left\lceil\frac{B}{2}\right\rceil ব্যবধি (যখন g_{k+1}-g_k বড়) প্রধান ব্যবধানে [1,\,g_k], তাই p এবং এর বিপরীত হল অ্যাগনিউ বিন্যাস, অর্থাৎ, সংরক্ষিত সন্নিবেশ ধরনসহ শ্রেণীগুলোর মধ্যে ব্লক পুনঃক্রম প্রয়োগ করা যেতে পারে।


A permutation mirroring the elements of an interval.svg|একটি p_k বিন্যাস যা [g_k+1,\,g_{k+1}]  ব্যবধির উপাদানের প্রতিচ্ছবি
A permutation circularly shifting the elements of an interval.svg| একটি p_k বিন্যাসের চক্রাকারে ডানে [g_k+1,\,g_{k+1}] ব্যবধির ২টা অবস্থানের দ্বারা পরিবর্তন
A permutation reordering the elements of an interval as 3 blocks.svg|একটি p_k বিন্যাসের তিন ব্লক হিসেবে [g_k+1,\,g_{k+1}] ব্যবধির উপাদানের পুনর্বিন্যাস


## টীকা


## তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক উপপাদ্য