অ্যাপেল ধারা

গণিতে **অ্যাপেল [[ধারা (গণিত)|ধারা]]** হল চারটি হাইপারজ্যামিতিক সিরিজ *F* 1, *F* 2, *F* 3, *F* 4 দুটি চলকের একটি সেট যা  দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং এটি একটি চলকের গাউসের হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ 2 *F* 1 কে সাধারণীকরণ করে। অ্যাপেল আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের সেট প্রতিষ্ঠা করেছে যার এই অপেক্ষকগুলি সমাধান, এবং একটি পরিবর্তনশীলের হাইপারজ্যামিতিক ধারার পরিপ্রেক্ষিতে এই ধারাগুলির বিভিন্ন হ্রাস সূত্র এবং অভিব্যক্তি খুঁজে পেয়েছে।

## সংজ্ঞা
অ্যাপেল সিরিজ *F* 1 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে | *x* | 
F_1(a,b_1,b_2;c;x,y) = \sum_{m,n=0}^\infty \frac{(a)_{m+n} (b_1)_m (b_2)_n} {(c)_{m+n} \,m! \,n!} \,x^m y^n ~,


যেখানে (q)_n পোচহ্যামার প্রতীক। *x* এবং *y* এর অন্যান্য মানের জন্য *F* 1 ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। দেখানো যেতে পারে যে

: F_1(a,b_1,b_2;c;x,y) = \sum_{r=0}^\infty \frac{(a)_r (b_1)_r (b_2)_r (c-a)_r} {(c+r-1)_r (c)_{2r} r!} \,x^r y^r {}_2F_{1}\left(a+r,b_1+r;c+2r;x\right){}_2F_{1}\left(a+r,b_2+r;c+2r;y\right)~.

একইভাবে, ফাংশন *F* 2 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে | *x* | + | *y* | 
F_2(a,b_1,b_2;c_1,c_2;x,y) = \sum_{m,n=0}^\infty \frac{(a)_{m+n} (b_1)_m (b_2)_n} {(c_1)_m (c_2)_n \,m! \,n!} \,x^m y^n


এবং এটি দেখানো যেতে পারে

: 
F_2(a,b_1,b_2;c_1,c_2;x,y) = \sum_{r=0}^\infty \frac{(a)_r (b_1)_r (b_2)_r} {(c_1)_r (c_2)_r r!} \,x^r y^r {}_2F_{1}\left(a+r,b_1+r;c_1+r;x\right){}_2F_{1}\left(a+r,b_2+r;c_2+r;y\right)~.

এছাড়াও | এর জন্য *F* 3 ফাংশন *x* | 
F_3(a_1,a_2,b_1,b_2;c;x,y) = \sum_{m,n=0}^\infty \frac{(a_1)_m (a_2)_n (b_1)_m (b_2)_n} {(c)_{m+n} \,m! \,n!} \,x^m y^n ~,


এবং ফাংশন *F* 4 এর জন্য | *x* | + | *y* |সিরিজ দ্বারা 
F_4(a,b;c_1,c_2;x,y) = \sum_{m,n=0}^\infty \frac{(a)_{m+n} (b)_{m+n}} {(c_1)_m (c_2)_n \,m! \,n!} \,x^m y^n ~.


## পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক
গাউস হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ 2 *F* 1 এর মতো, অ্যাপেল ডাবল সিরিজটি সংলগ্ন ফাংশনগুলির মধ্যে পুনরাবৃত্তি সম্পর্ককে অন্তর্ভুক্ত করে। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাপেলের *F* 1- এর জন্য এই ধরনের সম্পর্কের একটি মৌলিক সেট দেওয়া হয়েছে:

: 
(a-b_1-b_2) F_1(a,b_1,b_2,c; x,y) - a \,F_1(a+1,b_1,b_2,c; x,y) + b_1 F_1(a,b_1+1,b_2,c; x,y) + b_2 F_1(a,b_1,b_2+1,c; x,y) = 0 ~,


: 
c \,F_1(a,b_1,b_2,c; x,y) - (c-a) F_1(a,b_1,b_2,c+1; x,y) - a \,F_1(a+1,b_1,b_2,c+1; x,y) = 0 ~,


: 
c \,F_1(a,b_1,b_2,c; x,y) + c(x-1) F_1(a,b_1+1,b_2,c; x,y) - (c-a)x \,F_1(a,b_1+1,b_2,c+1; x,y) = 0 ~,


: 
c \,F_1(a,b_1,b_2,c; x,y) + c(y-1) F_1(a,b_1,b_2+1,c; x,y) - (c-a)y \,F_1(a,b_1,b_2+1,c+1; x,y) = 0 ~.


*F* 1 এর জন্য বৈধ অন্য কোন সম্পর্ক এই চারটি থেকে উদ্ভূত হতে পারে।

একইভাবে, অ্যাপেলের *F* 3 এর জন্য সমস্ত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক এই পাঁচটি সেট থেকে অনুসরণ করে:

: 
c \,F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c; x,y) + (a_1+a_2-c) F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c+1; x,y) - a_1 F_3(a_1+1,a_2,b_1,b_2,c+1; x,y) - a_2 F_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2,c+1; x,y) = 0 ~,


: 
c \,F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c; x,y) - c \,F_3(a_1+1,a_2,b_1,b_2,c; x,y) + b_1 x \,F_3(a_1+1,a_2,b_1+1,b_2,c+1; x,y) = 0 ~,


: 
c \,F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c; x,y) - c \,F_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2,c; x,y) + b_2 y \,F_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2+1,c+1; x,y) = 0 ~,


: 
c \,F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c; x,y) - c \,F_3(a_1,a_2,b_1+1,b_2,c; x,y) + a_1 x \,F_3(a_1+1,a_2,b_1+1,b_2,c+1; x,y) = 0 ~,


: 
c \,F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c; x,y) - c \,F_3(a_1,a_2,b_1,b_2+1,c; x,y) + a_2 y \,F_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2+1,c+1; x,y) = 0 ~.


## অন্তরজ এবং ব্যবকলনীয় সমীকরণ
অ্যাপেলের *F* 1 এর জন্য, নিম্নলিখিত অন্তরজগুলি একটি দ্বিগুণ ধারা দ্বারা সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায়:

: 
\frac {\partial^n} {\partial x^n} F_1(a,b_1,b_2,c; x,y) = \frac {\left(a\right)_n \left(b_1\right)_n} {\left(c\right)_n} F_1(a+n,b_1+n,b_2,c+n; x,y) 


: 
\frac {\partial^n} {\partial y^n} F_1(a,b_1,b_2,c; x,y) = \frac {\left(a\right)_n \left(b_2\right)_n} {\left(c\right)_n} F_1(a+n,b_1,b_2+n,c+n; x,y) 


এর সংজ্ঞা থেকে, অ্যাপেলের *F* 1 দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করতে আরও পাওয়া যায়:

: 
x(1-x) \frac {\partial^2F_1(x,y)} {\partial x^2} + y(1-x) \frac {\partial^2F_1(x,y)} 
{\partial x \partial y} + [c - (a+b_1+1) x] \frac {\partial F_1(x,y)} {\partial x} - b_1 y 
\frac {\partial F_1(x,y)} {\partial y} - a b_1 F_1(x,y) = 0 


: 
y(1-y) \frac {\partial^2F_1(x,y)} {\partial y^2} + x(1-y) \frac {\partial^2F_1(x,y)} 
{\partial x \partial y} + [c - (a+b_2+1) y] \frac {\partial F_1(x,y)} {\partial y} - b_2 x 
\frac {\partial F_1(x,y)} {\partial x} - a b_2 F_1(x,y)= 0 


*F* 2 এর জন্য একটি সিস্টেম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

: 
x(1-x) \frac {\partial^2F_2(x,y)} {\partial x^2} - xy \frac {\partial^2F_2(x,y)} 
{\partial x \partial y} + [c_1 - (a+b_1+1) x] \frac {\partial F_2(x,y)} {\partial x} -b_1 y \frac {\partial F_2(x,y)} {\partial y}- 
a b_1 F_2(x,y) = 0 

: 
y(1-y) \frac {\partial^2F_2(x,y)} {\partial y^2} - xy \frac {\partial^2F_2(x,y)} 
{\partial x \partial y} + [c_2 - (a+b_2+1) y] \frac {\partial F_2(x,y)} {\partial y} -b_2 x \frac {\partial F_2(x,y)} {\partial x}- 
a b_2 F_2(x,y) = 0 

সিস্টেমের সমাধান আছে

: F_2(x,y)=C_1F_2(a,b_1,b_2,c_1,c_2;x,y)+C_2x^{1-c_1}F_2(a-c_1+1,b_1-c_1+1,b_2,2-c_1,c_2;x,y)+C_3y^{1-c_2}F_2(a-c_2+1,b_1,b_2-c_2+1,c_1,2-c_2;x,y)+C_4x^{1-c_1}y^{1-c_2}F_2(a-c_1-c_2+2,b_1-c_1+1,b_2-c_2+1,2-c_1,2-c_2;x,y)

একইভাবে, *F* 3 এর জন্য নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভগুলি সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায়:

: 
\frac {\partial} {\partial x} F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c; x,y) = \frac {a_1 b_1} {c} F_3(a_1+1,a_2,b_1+1,b_2,c+1; x,y) 


: 
\frac {\partial} {\partial y} F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c; x,y) = \frac {a_2 b_2} {c} F_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2+1,c+1; x,y) 


এবং *F* 3 এর জন্য নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেম পাওয়া যায়:

: 
x(1-x) \frac {\partial^2F_3(x,y)} {\partial x^2} + y \frac {\partial^2F_3(x,y)} 
{\partial x \partial y} + [c - (a_1+b_1+1) x] \frac {\partial F_3(x,y)} {\partial x} - 
a_1 b_1 F_3(x,y) = 0 

: 
y(1-y) \frac {\partial^2F_3(x,y)} {\partial y^2} + x \frac {\partial^2F_3(x,y)} 
{\partial x \partial y} + [c - (a_2+b_2+1) y] \frac {\partial F_3(x,y)} {\partial y} - 
a_2 b_2 F_3(x,y) = 0 

*F* 4 এর জন্য একটি সিস্টেম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

: 
x(1-x) \frac {\partial^2F_4(x,y)} {\partial x^2} - y^2 \frac {\partial^2F_4(x,y)} 
{\partial y^2} -2xy\frac {\partial^2F_4(x,y)} {\partial x \partial y}+[c_1 - (a+b+1) x] \frac {\partial F_4(x,y)} {\partial x} - (a+b+1) y \frac {\partial F_4(x,y)} {\partial y}-a b F_4(x,y)= 0 

: 
y(1-y) \frac {\partial^2F_4(x,y)} {\partial y^2} - x^2 \frac {\partial^2F_4(x,y)} 
{\partial x^2} -2xy\frac {\partial^2F_4(x,y)} {\partial x \partial y}+[c_2 - (a+b+1) y] \frac {\partial F_4(x,y)} {\partial y} - (a+b+1) x \frac {\partial F_4(x,y)} {\partial x}-a b F_4(x,y)= 0 

সিস্টেমের সমাধান আছে

: F_4(x,y)=C_1F_4(a,b,c_1,c_2;x,y)+C_2x^{1-c_1}F_4(a-c_1+1,b-c_1+1,2-c_1,c_2;x,y)+C_3y^{1-c_2}F_4(a-c_2+1,b-c_2+1,c_1,2-c_2;x,y)+C_4x^{1-c_1}y^{1-c_2}F_4(2+a-c_1-c_2,2+b-c_1-c_2,2-c_1,2-c_2;x,y)

## অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা
অ্যাপেলের ডাবল সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত চারটি ফাংশন শুধুমাত্র প্রাথমিক ফাংশন জড়িত ডবল ইন্টিগ্রেলের পরিপ্রেক্ষিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে । যাইহোক,  আবিষ্কার করেছেন যে অ্যাপেলের *F* 1 একটি এক-মাত্রিক অয়লার -টাইপ ইন্টিগ্রাল হিসাবেও লেখা যেতে পারে:

: 
F_1(a,b_1,b_2,c; x,y) = \frac{\Gamma(c)} {\Gamma(a)\Gamma(c-a)} 
\int_0^1 t^{a-1} (1-t)^{c-a-1} (1-xt)^{-b_1} (1-yt)^{-b_2} \,\mathrm{d}t, 
\quad \real \,c > \real \,a > 0 ~.


এই উপস্থাপনাটি ইন্টিগ্র্যান্ডের টেলর সম্প্রসারণের মাধ্যমে যাচাই করা যেতে পারে, তারপরে টার্মওয়াইজ ইন্টিগ্রেশন।

## বিশেষ ক্ষেত্রে
পিকার্ডের অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা বোঝায় যে অসম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড *F* এবং *E* পাশাপাশি সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড Π অ্যাপেলের *F* 1 এর বিশেষ ক্ষেত্রে :

: 
F(\phi,k) = \int_0^\phi \frac{\mathrm{d} \theta} 
{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}} = \sin (\phi) \,F_1(\tfrac 1 2, \tfrac 1 2, \tfrac 1 2, \tfrac 3 2; \sin^2 \phi, k^2 \sin^2 \phi), \quad |\real \,\phi| 

: 
E(\phi, k) = \int_0^\phi \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta} \,\mathrm{d} \theta = \sin (\phi) \,F_1(\tfrac 1 2, \tfrac 1 2, -\tfrac 1 2, \tfrac 3 2; \sin^2 \phi, k^2 \sin^2 \phi), \quad |\real \,\phi| 

: 
\Pi(n,k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d} \theta} {(1 - n \sin^2 \theta) 
\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}} = \frac {\pi} {2} \,F_1(\tfrac 1 2, 1, \tfrac 1 2, 1; 
n,k^2) ~.


## সম্পর্কিত ধারা

* দুটি চলকের সাতটি সম্পর্কিত সিরিজ রয়েছে, Φ 1, Φ 2, Φ 3, Ψ 1, Ψ 2, Ξ 1, এবং Ξ 2, যা কুমারের সঙ্গম হাইপারজ্যাম্যাট্রিক ফাংশন 1 *F* 1 একটি চলকের এবং সঙ্গম হাইপারজ্যামেট্রিক সীমা 0 কে সাধারণীকরণ করে একই পদ্ধতিতে একটি চলকের *F* 1 । এর মধ্যে প্রথমটি ১৯২০ সালে পিয়েরে হামবার্ট প্রবর্তন করেছিলেন।
*  অ্যাপেল সিরিজের অনুরূপ চারটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করেছে, তবে শুধুমাত্র দুটি চলক *x* এবং *y এর* পরিবর্তে অনেকগুলি চলকের উপর নির্ভর করে। এই সিরিজগুলিও অ্যাপেল দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। তারা নির্দিষ্ট আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং অয়লার-টাইপ ইন্টিগ্রেল এবং কনট্যুর ইন্টিগ্রেলের ক্ষেত্রেও দেওয়া যেতে পারে।

## তথ্যসূত্র

*  (see also "Sur la série F3(α,α',β,β',γ; x,y)" in *C. R. Acad. Sci.* **90**, pp.&nbsp;977–980)
* 
*  (see p.&nbsp;14)
* 
* 
*  (see p.&nbsp;224)
* 
* 
* 
*  (see also *C. R. Acad. Sci.* **90** (1880), pp.&nbsp;1119–1121 and 1267–1269)
*  (there is a 2008 paperback with )
## বহিঃসংযোগ
* 
* 

বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা
বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা