বহুভুজ সংখ্যা

গণিতে **বহুভুজ সংখ্যা** বলতে সুষম বহুভুজের আকৃতিতে সজ্জিত বিন্দুসমূহের সংখ্যাগত প্রতিরূপকে বোঝায়। এগুলি দ্বি-মাত্রিক চিত্রিত সংখ্যার একটি বিশেষ শ্রেণিভুক্ত।

প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদগণ খ্রিস্টপূর্ব ষষ্ঠ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম আয়তক্ষেত্রাকার সংখ্যা, ত্রিভুজাকার সংখ্যা ও বর্গ সংখ্যার গুণাবলী নিয়ে গবেষণা ও বিশ্লেষণের মাধ্যমে বহুভুজ সংখ্যার ধারণা উদ্ভাবন করেন।

## সংজ্ঞা ও উদাহরণ
উদাহরণস্বরূপ, ১০ সংখ্যাটি একটি ত্রিভুজাকার রূপে সজ্জিত হতে পারে:  
:

কিন্তু ১০ সংখ্যাটি বর্গাকারে সজ্জিত করা যায় না। অন্যদিকে, ৯ সংখ্যাটি বর্গাকারে সজ্জিত করা সম্ভব (দেখুন):  
:

কিছু সংখ্যা, যেমন ৩৬, একইসাথে বর্গাকার ও ত্রিভুজাকার উভয় রূপে সজ্জিত হতে পারে (দেখুন):  
:

প্রচলিত রীতি অনুযায়ী, যেকোনো বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের জন্য ১ হল প্রথম বহুভুজ সংখ্যা। বহুভুজের আকার বৃদ্ধির নিয়ম হলো: দুটি সন্নিহিত বাহুকে একটি বিন্দু দ্বারা প্রসারিত করা এবং তারপর ঐ বিন্দুগুলির মধ্যে প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত বাহু যোগ করা। নিচের চিত্রগুলিতে প্রতিটি নতুন স্তর লাল রঙে চিহ্নিত হয়েছে।
### ত্রিভুজাকার সংখ্যা
:সমবাহু ত্রিভুজের ক্রমে সজ্জিত সংখ্যাক্রমকে ত্রিভুজাকার সংখ্যা বলা হয়। এই সংখ্যাক্রমটি হলো: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১, ২৮, ৩৬, ৪৫, ইত্যাদি।

### বর্গ সংখ্যা
:  
### পঞ্চভুজাকার সংখ্যা
:পঞ্চভুজ বা উচ্চতর বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রেও এই নিয়ম প্রযোজ্য, যদিও এগুলির বিন্দুগুলি উপরের মতো নিখুঁত জালি গঠন করে না।

### ষড়ভুজাকার সংখ্যা
:

## সূত্র
  
যদি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা s হয়, তাহলে n-তম s-ভুজাকার সংখ্যা P(s,n)-এর সূত্র হলো:


P(s,n) = \frac{(s-2)n^2 - (s-4)n}{2}


s-ভুজাকার সংখ্যার সাথে ত্রিভুজাকার সংখ্যা T_n-এর সম্পর্ক নিম্নরূপ:


P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n = (s-3)T_{n-1} + T_n


এখান থেকে প্রাপ্ত গুরুত্বপূর্ণ সমতাগুলি:  

\begin{align}
P(s,n+1) - P(s,n) &= (s-2)n + 1, \\
P(s+1,n) - P(s,n) &= T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}, \\
P(s+k,n) - P(s,n) &= k \cdot T_{n-1} = k \cdot \frac{n(n-1)}{2}.
\end{align}


কোনো s-ভুজাকার সংখ্যা P(s,n) = x প্রদত্ত হলে, n নির্ণয়ের সূত্র:  

n = \frac{\sqrt{8(s-2)x + (s-4)^2} + (s-4)}{2(s-2)}


এবং s নির্ণয়ের সূত্র:  

s = 2 + \frac{2}{n} \cdot \frac{x - n}{n-1}

### প্রতিটি ষড়ভুজাকার সংখ্যা একটি ত্রিভুজাকার সংখ্যা
  
উপরের সূত্র প্রয়োগ করে:  

P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n


s = 6 (ষড়ভুজ) বসালে:  

P(6,n) = 4T_{n-1} + n


যেহেতু T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2},  

P(6,n) = \frac{4n(n-1)}{2} + n = \frac{2n(2n-1)}{2} = T_{2n-1}


এটি প্রমাণ করে যে n-তম ষড়ভুজাকার সংখ্যা P(6,n) হলো (2n-1)-তম ত্রিভুজাকার সংখ্যা T_{2n-1}। অর্থাৎ, **কেবল বিজোড় ক্রমিক ত্রিভুজাকার সংখ্যাগুলিই ষড়ভুজাকার সংখ্যা**:

: **১**, ৩, **৬**, ১০, **১৫**, ২১, **২৮**, ৩৬, **৪৫**, ৫৫, **৬৬**, ...

## মানের সারণী
প্রথম ৬টি বহুভুজ সংখ্যার (ত্রিভুজাকার থেকে অষ্টভুজাকার) "বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি" স্তম্ভের মানগুলি একটি প্রকাশিত গবেষণাপত্র থেকে গৃহীত, যা ডাইগামা ফাংশন ব্যবহার করে যেকোনো বাহুর সংখ্যার জন্য সাধারণ সূত্র প্রদান করে।

অনলাইন এনসাইক্লোপিডিয়া অব ইন্টিজার সিকোয়েন্সেসে গ্রিক উপসর্গযুক্ত শব্দ (যেমন "অষ্টভুজাকার") ব্যবহার না করে সংখ্যাভিত্তিক শব্দ (যেমন "৮-ভুজাকার") ব্যবহার করা হয়।

এই সারণির একটি বৈশিষ্ট্য নিম্নোক্ত অভেদ দ্বারা প্রকাশ করা হয় :
:
2\,P(s,n) = P(s+k,n) + P(s-k,n),
  
যেখানে  

k = 0, 1, 2, 3, ..., s-3
।

## কম্বিনেশন
কিছু সংখ্যা একাধিক বহুভুজ সেটে অন্তর্ভুক্ত হতে পারে; যেমন ৩৬, যা একইসাথে বর্গাকার ও ত্রিভুজাকার। দুটি বহুভুজ সেটের জন্য উভয় সেটে থাকা সংখ্যাগুলি নির্ণয়ের সমস্যাটি পেল সমীকরণে পর্যবসিত হয়। এর সবচেয়ে সরল উদাহরণ হলো বর্গ-ত্রিভুজ সংখ্যাক্রম।

নিচের সারণিতে ক্ষুদ্রতম s ও t মানের জন্য s-ভুজাকার t-ভুজাকার সংখ্যাক্রম দেওয়া হলো:  

কিছু ক্ষেত্রে, যেমন s=10 ও t=4, ১ ছাড়া উভয় সেটে কোনো সাধারণ সংখ্যা নেই।

তিনটি বহুভুজ সেটে থাকা সংখ্যা নির্ণয় আরও জটিল। পঞ্চভুজাকার-বর্গাকার-ত্রিভুজাকার সংখ্যার কম্পিউটার অনুসন্ধানে কেবল ১ পাওয়া গেছে, এবং এ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা নেই বলে প্রমাণ এখনো অজানা।

১২২৫ সংখ্যাটি **হেকাটোনিকোসিটেট্রাগনাল** (s=124), **হেক্সাকোন্টাগনাল** (s=60), **আইকোসিএনিগনাল** (s=29), **ষড়ভুজাকার**, **বর্গাকার** ও **ত্রিভুজাকার**— মোট ছয় প্রকার বহুভুজ সংখ্যা হিসেবে গণ্য হয়।
## টীকা

## তথ্যসূত্র
**The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers*, David Wells (পেঙ্গুইন বুক্‌স, ১৯৯৭) ।
*Polygonal numbers at PlanetMath 
*
*

## বহিঃসংযোগ
* 
*Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337 
*
* Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853