একক বৃত্ত

[alt=Unit circle|থাম্ব| একক বৃত্তের উদাহরণ। চলক ''t'' [কোণ|কোণের পরিমাপ।]]
থাম্ব|একটি '''একক''' '''বৃত্তের'''(১ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত) পরিধি বরাবর ঘূর্ণন ক্রিয়ার অ্যানিমেশন। যেহেতু '''c= 2πr''', একটি '''একক''' '''বৃত্তের''' পরিধি='''2π'''।
গণিতে, **একক বৃত্ত** হলো একটি একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্ত—অর্থাৎ, যার ব্যাসার্ধ ১ একক। প্রায়শই, বিশেষত ত্রিকোণমিতির ক্ষেত্রে, একক বৃত্তটি ইউক্লিডীয় সমতলে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় (0, 0) কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার ব্যাসার্ধ ১ একক। টপোলজিতে, এটিকে প্রায়শই  হিসাবে উল্লেখ করা হয়, কারণ এটি একটি একমাত্রিক একক n-গোলক।

যদি, (x, y) একক বৃত্তের পরিধির উপরস্থ একটি বিন্দু হয় , তবে |x| এবং |y| সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু হয়, যার অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১ একক।এইভাবে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, x এবং y নিম্নোক্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে:
:x^2 + y^2 = 1.

যেহেতু, সকল  এর জন্য  , এবং যেহেতু একক বৃত্তের উপর অবস্থিত - অথবা  অক্ষের সাপেক্ষে যেকোনো বিন্দুর প্রতিবিম্ব একক বৃত্তের উপর অবস্থিত (শুধুমাত্র প্রথম চতুর্ভাগের জন্য নয়), বৃত্তের উপর অবস্থিত সকল  বিন্দুর জন্য উপর্যুক্ত সমীকরণটি কাজ করে।

একক বৃত্তের অভ্যন্তরীণকে বলা হয় মুক্ত একক চাকতি, যেখানে একক বৃত্তের অভ্যন্তরীণ অংশ এবং একক বৃত্তসহ একত্রে একে **বদ্ধ একক চাকতি** বলা হয়।

একজন অন্যান্য **একক বৃত্তসমূহকে** সংজ্ঞায়িত করতে দূরত্বের অন্যান্য ধারণাও ব্যবহার করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ: র‍্যামেনিয়ান বৃত্ত; অতিরিক্ত উদাহরণের জন্য গাণিতিক নর্ম্ নিবন্ধনটি দেখতে পারেন।

## জটিল সমতলীয় ব্যবস্থায়
একক বৃত্তকে একক জটিল সংখ্যা হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে , i.e., জটিল সংখ্যাসমূহের সেট  যার রূপ হয়ে থাকে।
: z = e^{it} = \cos t + i \sin t = \operatorname{cis}(t)
সকল  এর জন্য(আরও দেখুন : সিস)। এই সম্পর্কটি অয়লারের সূত্রকে প্রকাশ করে। কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, এটি দশা উৎপাদককে নির্দেশ কর।

থাম্ব|কোণসহ একক বৃত্তের অ্যানিমেশন

## একক বৃত্তে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন
ডান|থাম্ব|300x300পিক্সেল|যেকোন কোণ θ(থিটা) এর জন্য সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনসমূহ O-তে কেন্দ্রীভূত একটি একক বৃত্তের মাধ্যমে জ্যামিতিকভাবে চিত্রিত হতে পারে।
থাম্ব|একক বৃত্তের উপর সাইন ফাংশন (উপরে) এবং এর গ্রাফ (নীচে)
একক বৃত্তের উপর  কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন cosine and sine কে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় : যদি  একক বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু হয় , এবং যদি মূলবিন্দু (0, 0) এবং  বিন্দু সংযোগকারী রেখা  অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে  কোণ উৎপন্ন করে, (যেখানে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণন ধনাত্মক),তবে

:\cos \theta = x \quad\text{এবং}\quad \sin \theta = y.

 সমীকরণ থেকে নিম্নোক্ত সম্পর্কটি পাওয়া যায়

: \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.

একক বৃত্ত থেকে আরও দেখা যায় যে sine এবং cosine মূলত পর্যায়বৃত্ত ফাংশন , যা নিম্নোক্ত অভেদকসমূহ সিদ্ধ করে:

:\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta)
:\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta)
যেকোনো পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য।

একক বৃত্ত ব্যবহার করে, নিম্নে লেবেলযুক্ত কোণসমূহ ছাড়াও অন্য যেকোন কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মানগুলি কোণ যোগফল এবং পার্থক্য সূত্রগুলি ব্যবহার করে ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করেও গণনা করা যেতে পারে।
থাম্ব|300x300পিক্সেল| একক বৃত্তে, নির্দিষ্ট বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক দেখানো হচ্ছে।

## জটিল গতিবিদ্যা
ডান|থাম্ব| জটিল গতিবিদ্যায় একক বৃত্ত
বিবর্তন ফাংশনের সঙ্গে বিচ্ছিন্ন অরৈখিক গতিশীল সিস্টেমের জুলিয়া সেট:
: f_0(x) = x^2
একটি একক বৃত্ত। এটি সবচেয়ে সহজতম একটি কেস, তাই এটি গতিশীল সিস্টেমের গবেষণায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

## মন্তব্য

 

## তথ্যসূত্র
 

## আরও দেখুন
* কোণ পরিমাপ
* পাইথাগোরিয়ান ত্রিকোণমিতিক অভেদক
* রিম্যানিয়ান বৃত্ত
* ঘূর্ণন একক
* একক ডিস্ক
* একক গোলক
* একক অধিবৃত্ত
* একক বর্গ
* ঘূর্ণন কোণ
* z- রূপান্তর

বিষয়শ্রেণী:ফুরিয়ে বিশ্লেষণ
বিষয়শ্রেণী:ত্রিকোণমিতি
বিষয়শ্রেণী:এক
বিষয়শ্রেণী:বৃত্ত