প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস

**প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস** (**পিসিএ**) হলো একটি রৈখিক মাত্রিকতা হ্রাস করার কৌশল, যা অনুসন্ধানমূলক ডেটা বিশ্লেষণ, ভিজ্যুয়ালাইজেশন এবং ডেটা প্রিপ্রসেসিং-এ ব্যবহৃত হয়।

ডেটাকে রৈখিকভাবে রূপান্তরিত করে একটি নতুন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় নেওয়া হয়, যাতে ডেটার সর্বাধিক বৈচিত্র্য ধারণকারী দিকগুলো (প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট বা প্রধান উপাদান) সহজেই শনাক্ত করা যায়।

একটি বাস্তব স্থানাঙ্ক জগতে বিন্দুর সমষ্টির জন্য **প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো** হলো p সংখ্যক একক ভেক্টরের একটি অনুক্রম, যেখানে i-তম ভেক্টর হলো এমন একটি রেখার দিক যা প্রথম i-1 ভেক্টরগুলোর ওপর লম্ব হয়ে ডেটার সাথে সবচেয়ে ভালোভাবে মিলে যায়। এখানে, সর্বোত্তম-মানানসই রেখা হলো এমন একটি রেখা যা বিন্দুগুলো থেকে রেখা পর্যন্ত গড় বর্গাকার লম্ব দূরত্বকে ন্যূনতম করে। এই দিকগুলো (অর্থাৎ প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো) এমন একটি অর্থোনরমাল ভিত্তি গঠন করে, যেখানে ডেটার বিভিন্ন মাত্রাগুলো রৈখিকভাবে সম্পর্কহীন থাকে। অনেক গবেষণায় প্রথম দুটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট ব্যবহার করে ডেটাকে দ্বিমাত্রিক তলে প্লট করা হয় এবং দৃশ্যমানভাবে কাছাকাছি সম্পর্কিত ডেটা বিন্দুগুলোর গুচ্ছ (ক্লাস্টার) শনাক্ত করা হয়।

প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়, যেমন পপুলেশন জেনেটিক্স, মাইক্রোবায়োম গবেষণা এবং বায়ুমণ্ডলীয় বিজ্ঞান।

## সংক্ষিপ্ত বিবরণ
পিসিএ সম্পাদনের সময়, p সংখ্যক চলকের সেটের প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট হলো মূল চলকগুলোর একটি রৈখিক সমাহার হিসেবে গঠিত উদ্ভূত চলক, যা সর্বাধিক ভেদাঙ্ক (ভ্যারিয়েন্স) ব্যাখ্যা করে। দ্বিতীয় প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টটি প্রথম কম্পোনেন্টের প্রভাব অপসারণের পর অবশিষ্ট অংশের মধ্যে সর্বাধিক ভেদাঙ্ক ব্যাখ্যা করে, এবং সম্পূর্ণ ভেদাঙ্ক ব্যাখ্যা না হওয়া পর্যন্ত এভাবে p সংখ্যক পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে আমরা এগিয়ে যেতে পারি। পিসিএ সাধারণত তখনই বেশি ব্যবহৃত হয়, যখন চলকগুলো একে অপরের সাথে উচ্চমাত্রায় সম্পর্কযুক্ত থাকে এবং এদের সংখ্যা কমিয়ে একটি স্বাধীন সেটে পরিণত করা বাঞ্ছনীয় হয়।
প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টটিকে এমন একটি দিক হিসেবেও সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা প্রজেক্ট করা ডেটার ভেদাঙ্ককে সর্বাধিক করে। i-তম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট হলো প্রথম i-1 সংখ্যক প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টের ওপর লম্ব এমন একটি দিক, যা প্রজেক্ট করা ডেটার ভেদাঙ্ককে সর্বাধিক করে।

উভয় উদ্দেশ্যের ক্ষেত্রেই, এটি দেখানো যেতে পারে যে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো হলো ডেটার কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর। তাই, প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো প্রায়শই ডেটা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের আইগেনডিকম্পোজিশন অথবা ডেটা ম্যাট্রিক্সের সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন-এর মাধ্যমে গণনা করা হয়। পিসিএ হলো প্রকৃত আইগেনভেক্টর-ভিত্তিক মাল্টিভ্যারিয়েট বিশ্লেষণগুলোর মধ্যে সবচেয়ে সহজ এবং এটি ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস সাধারণত অন্তর্নিহিত কাঠামোর বিষয়ে আরও বেশি ডোমেন-নির্দিষ্ট অনুমান অন্তর্ভুক্ত করে এবং কিছুটা ভিন্ন ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর সমাধান করে। পিসিএ ক্যানোনিকাল কোরিলেশন অ্যানালাইসিস (সিসিএ)-এর সাথেও সম্পর্কিত। সিসিএ এমন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সংজ্ঞায়িত করে যা দুটি ডেটাসেটের মধ্যে ক্রস-কোভ্যারিয়েন্সকে সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করে, যেখানে পিসিএ এমন একটি নতুন লম্ব স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সংজ্ঞায়িত করে যা একটি একক ডেটাসেটের ভেদাঙ্ককে সর্বোত্তমভাবে বর্ণনা করে। প্রমিত পিসিএ-এর মজবুত এবং এল১-নর্ম-ভিত্তিক রূপগুলোও প্রস্তাব করা হয়েছে।
## ইতিহাস

পিসিএ ১৯০১ সালে কার্ল পিয়ারসন দ্বারা উদ্ভাবিত হয়েছিল, যা বলবিদ্যায় প্রধান অক্ষ উপপাদ্য-এর অনুরূপ হিসেবে তৈরি হয়েছিল; পরবর্তীতে ১৯৩০-এর দশকে হ্যারল্ড হোটেলিং স্বাধীনভাবে এটি বিকাশ করেন এবং এর নামকরণ করেন। প্রয়োগের ক্ষেত্রের ওপর ভিত্তি করে এটিকে অন্যান্য নামেও ডাকা হয়, যেমন সংকেত প্রক্রিয়াজাতকরণ-এ বিচ্ছিন্ন কারহুনেন-লোভ রূপান্তর (কেএলটি), মাল্টিভ্যারিয়েট মান নিয়ন্ত্রণে হোটেলিং রূপান্তর, যন্ত্রকৌশলে প্রপার অর্থোগোনাল ডিকম্পোজিশন (পিওডি), **X**-এর সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন (এসভিডি) (যা ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষ প্রান্তিকে উদ্ভাবিত), রৈখিক বীজগণিতে **X**T**X**-এর আইগেনভ্যালু ডিকম্পোজিশন (ইভিডি), ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস (পিসিএ এবং ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসের মধ্যে পার্থক্যের আলোচনার জন্য জোলিফের *প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস*-এর ৭ম অধ্যায় দেখুন), একার্ট-ইয়াং উপপাদ্য (হারম্যান, ১৯৬০), অথবা আবহাওয়া বিজ্ঞানে এম্পিরিক্যাল অর্থোগোনাল ফাংশনস (ইওএফ) (লরেঞ্জ, ১৯৫৬), এম্পিরিক্যাল আইগেনফাংশন ডিকম্পোজিশন (সিরোভিচ, ১৯৮৭), কোয়াসিহারমোনিক মোড (ব্রুকস এবং অন্যান্য, ১৯৮৮), শব্দ ও কম্পনে স্পেকট্রাল ডিকম্পোজিশন, এবং স্ট্রাকচারাল ডায়নামিকসে এম্পিরিক্যাল মোডাল অ্যানালাইসিস।

## অন্তর্দৃষ্টি

পিসিএ-কে ডেটার সাথে একটি *p*-মাত্রিক উপবৃত্তক যুক্ত করার প্রক্রিয়া হিসেবে চিন্তা করা যেতে পারে, যেখানে উপবৃত্তকের প্রতিটি অক্ষ একটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টকে উপস্থাপন করে। যদি উপবৃত্তকের কোনো অক্ষ ছোট হয়, তবে সেই অক্ষ বরাবর ভেদাঙ্কও ছোট হয়।

উপবৃত্তকের অক্ষগুলো বের করার জন্য, প্রথমেই আমাদের ডেটাসেটের প্রতিটি চলকের মানগুলোকে ০-তে কেন্দ্রীভূত করতে হবে, যা প্রতিটি মান থেকে চলকটির পরিলক্ষিত মানগুলোর গড় বিয়োগ করে করা হয়। প্রতিটি চলকের জন্য মূল পরিলক্ষিত মানের পরিবর্তে এই রূপান্তরিত মানগুলো ব্যবহার করা হয়। এরপর, আমরা ডেটার কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করি এবং এই কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু ও সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টরগুলো বের করি। তারপর প্রতিটি লম্ব আইগেনভেক্টরকে একক ভেক্টরে পরিণত করার জন্য সেগুলোকে সাধারণীকৃত করতে হবে। এটি সম্পন্ন হলে, প্রতিটি পরস্পর-লম্ব একক আইগেনভেক্টরকে ডেটার সাথে যুক্ত উপবৃত্তকের একটি অক্ষ হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। ভিত্তির এই নির্বাচন কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে একটি কর্ণ (ডায়াগোনাল) আকারে রূপান্তরিত করবে, যেখানে কর্ণের উপাদানগুলো প্রতিটি অক্ষের ভেদাঙ্ক উপস্থাপন করে। প্রতিটি আইগেনভেক্টর যে পরিমাণ ভেদাঙ্ক উপস্থাপন করে তার অনুপাত বের করতে, সেই আইগেনভেক্টরের সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালুকে সমস্ত আইগেনভ্যালুর যোগফল দ্বারা ভাগ করতে হয়।

পিসিএ-এর ফলাফল ব্যাখ্যা করার জন্য বিপ্লট এবং স্ক্রি প্লট (ব্যাখ্যাকৃত ভেদাঙ্কের মাত্রা) ব্যবহার করা হয়।

## বিস্তারিত
পিসিএ-কে একটি বাস্তব ইনার প্রোডাক্ট স্পেস-এ একটি লম্ব রৈখিক রূপান্তর হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা ডেটাকে এমন একটি নতুন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় রূপান্তরিত করে যাতে ডেটার কোনো স্কেলার প্রজেকশনের দ্বারা সৃষ্ট সর্বাধিক ভেদাঙ্ক প্রথম স্থানাঙ্কে (যাকে প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট বলা হয়) অবস্থান করে, দ্বিতীয় সর্বাধিক ভেদাঙ্ক দ্বিতীয় স্থানাঙ্কে অবস্থান করে এবং এভাবেই চলতে থাকে।

ধরা যাক, একটি n \times p ডেটা ম্যাট্রিক্স, **X**, যার কলাম-ভিত্তিক এম্পিরিক্যাল গড় শূন্য (প্রতিটি কলামের নমুনার গড় শূন্যে স্থানান্তরিত করা হয়েছে), যেখানে *n* সংখ্যক সারির প্রতিটি পরীক্ষার একটি ভিন্ন পুনরাবৃত্তিকে উপস্থাপন করে এবং *p* সংখ্যক কলামের প্রতিটি নির্দিষ্ট ধরনের বৈশিষ্ট্য প্রদান করে (ধরা যাক, একটি নির্দিষ্ট সেন্সর থেকে প্রাপ্ত ফলাফল)।

গাণিতিকভাবে, রূপান্তরটিকে l আকারের (যেখানে মাত্রিকতা কমানোর জন্য l-কে সাধারণত p-এর চেয়ে কম হিসেবে নির্বাচন করা হয়) একটি সেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় যা ওজন বা সহগগুলোর p-মাত্রিক ভেক্টর \mathbf{w}_{(k)} = (w_1, \dots, w_p)_{(k)}  দ্বারা গঠিত, যা **X**-এর প্রতিটি সারি ভেক্টর \mathbf{x}_{(i)} = (x_1, \dots, x_p)_{(i)}-কে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট *স্কোর*-এর একটি নতুন ভেক্টর \mathbf{t}_{(i)} = (t_1, \dots, t_l)_{(i)}-এ ম্যাপ করে, যা নিম্নোক্তভাবে দেওয়া হয়:

:{t_{k}}_{(i)} = \mathbf{x}_{(i)} \cdot \mathbf{w}_{(k)} \qquad \mathrm{for} \qquad i = 1,\dots,n \qquad k = 1,\dots,l 
এমনভাবে যেন ডেটা সেটের ওপর বিবেচিত **t**-এর পৃথক চলকগুলো t_1, \dots, t_l পর্যায়ক্রমে **X** থেকে সর্বাধিক সম্ভাব্য ভেদাঙ্ক ধারণ করে, যেখানে প্রতিটি সহগ ভেক্টর **w**-কে একটি একক ভেক্টর হওয়ার শর্ত দেওয়া হয়।

উপরের বিষয়টিকে সমতুল্যভাবে ম্যাট্রিক্স আকারে লেখা যেতে পারে:
:\mathbf{T} = \mathbf{X} \mathbf{W}
যেখানে
{\mathbf{T}}_{ik} = {t_{k}}_{(i)},
{\mathbf{X}}_{ij} = {x_{j}}_{(i)}, এবং
{\mathbf{W}}_{jk} = {w_{j}}_{(k)}।

### প্রথম কম্পোনেন্ট
ভেদাঙ্ককে সর্বাধিক করার জন্য, প্রথম ওজন ভেক্টর **w**(1)-কে অবশ্যই নিম্নলিখিত শর্তটি পূরণ করতে হবে:
:\mathbf{w}_{(1)}
 = \arg\max_{\Vert \mathbf{w} \Vert = 1} \,\left\{ \sum_i (t_1)^2_{(i)} \right\}
 = \arg\max_{\Vert \mathbf{w} \Vert = 1} \,\left\{ \sum_i \left(\mathbf{x}_{(i)} \cdot \mathbf{w} \right)^2 \right\}

সমতুল্যভাবে, এটিকে ম্যাট্রিক্স আকারে লিখলে পাওয়া যায়:
:\mathbf{w}_{(1)}
 = \arg\max_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1} \left\{ \left\| \mathbf{Xw} \right\|^2 \right\}
 = \arg\max_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1} \left\{ \mathbf{w}^\mathsf{T} \mathbf{X}^\mathsf{T} \mathbf{X w} \right\}

যেহেতু **w**(1)-কে একটি একক ভেক্টর হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, এটি সমতুল্যভাবে নিম্নলিখিত শর্তটিও পূরণ করে:
:\mathbf{w}_{(1)} = \arg\max \left\{ \frac{\mathbf{w}^\mathsf{T} \mathbf{X}^\mathsf{T} \mathbf{X w}}{\mathbf{w}^\mathsf{T} \mathbf{w}} \right\}

সর্বাধিক করা হবে এমন পরিমাণটিকে একটি র‌্যালে কোশেন্ট হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। **X**T**X**-এর মতো একটি পজিটিভ সেমিডেফিনিট ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি আদর্শ ফলাফল হলো, এই কোশেন্টের সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান হলো ম্যাট্রিক্সের বৃহত্তম আইগেনভ্যালু, যা তখন ঘটে যখন ***w*** হয় এর সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর।

**w**(1) পাওয়ার পর, একটি ডেটা ভেক্টর **x**(*i*)-এর প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টকে রূপান্তরিত স্থানাঙ্কে একটি স্কোর *t*1(*i*) = **x**(*i*) ⋅ **w**(1) হিসেবে, অথবা মূল চলকগুলোতে সংশ্লিষ্ট ভেক্টর {**x**(*i*) ⋅ **w**(1)} **w**(1) হিসেবে প্রদান করা যেতে পারে।

### পরবর্তী কম্পোনেন্টসমূহ
**X** থেকে প্রথম *k* − 1 সংখ্যক প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট বিয়োগ করে *k*-তম কম্পোনেন্টটি পাওয়া যেতে পারে:

:\mathbf{\hat{X}}_k = \mathbf{X} - \sum_{s = 1}^{k - 1} \mathbf{X} \mathbf{w}_{(s)} \mathbf{w}_{(s)}^{\mathsf{T}} 

এবং তারপর এমন একটি ওজন ভেক্টর বের করতে হয় যা এই নতুন ডেটা ম্যাট্রিক্স থেকে সর্বাধিক ভেদাঙ্ক নিষ্কাশন করে:
:\mathbf{w}_{(k)}
= \mathop{\operatorname{arg\,max}}_{\left\| \mathbf{w} \right\| = 1} \left\{ \left\| \mathbf{\hat{X}}_{k} \mathbf{w} \right\|^2 \right\}
= \arg\max \left\{ \tfrac{\mathbf{w}^\mathsf{T} \mathbf{\hat{X}}_{k}^\mathsf{T} \mathbf{\hat{X}}_{k} \mathbf{w}}{\mathbf{w}^T \mathbf{w}} \right\}

দেখা যায় যে, এটি **X**T**X**-এর অবশিষ্ট আইগেনভেক্টরগুলো প্রদান করে, যেখানে বন্ধনীতে থাকা পরিমাণের সর্বোচ্চ মানগুলো তাদের সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালু দ্বারা প্রদত্ত হয়। সুতরাং ওজন ভেক্টরগুলো হলো **X**T**X**-এর আইগেনভেক্টর।

অতএব, একটি ডেটা ভেক্টর **x**(*i*)-এর *k*-তম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টকে রূপান্তরিত স্থানাঙ্কে একটি স্কোর *t**k*(*i*) = **x**(*i*) ⋅ **w**(*k*) হিসেবে, অথবা মূল চলকের স্পেসে সংশ্লিষ্ট ভেক্টর {**x**(*i*) ⋅ **w**(*k*)} **w**(*k*) হিসেবে প্রদান করা যেতে পারে, যেখানে **w**(*k*) হলো **X**T**X**-এর *k*-তম আইগেনভেক্টর।

অতএব, **X**-এর সম্পূর্ণ প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস ডিকম্পোজিশনকে নিম্নোক্তভাবে দেওয়া যেতে পারে:
:\mathbf{T} = \mathbf{X} \mathbf{W}
যেখানে **W** হলো ওজনগুলোর একটি *p*-বাই-*p* ম্যাট্রিক্স যার কলামগুলো হলো **X**T**X**-এর আইগেনভেক্টর। **W**-এর ট্রান্সপোজকে কখনো কখনো হোয়াইটনিং বা স্ফেয়ারিং রূপান্তর বলা হয়। সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালুর বর্গমূল দ্বারা গুণিত **W**-এর কলামগুলোকে, অর্থাৎ ভেদাঙ্ক দ্বারা স্কেল করা আইগেনভেক্টরগুলোকে, পিসিএ বা ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসে *লোডিংস* বলা হয়।

### কোভ্যারিয়েন্সসমূহ
**X**T**X**-কে নিজেই ডেটাসেট **X<sup>T</sup>**-এর এম্পিরিক্যাল নমুনা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের সমানুপাতিক হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

ডেটাসেটের ওপর দুটি ভিন্ন প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টের মধ্যে নমুনা কোভ্যারিয়েন্স *Q* নিম্নোক্তভাবে দেওয়া হয়:

:\begin{align}
Q(\mathrm{PC}_{(j)}, \mathrm{PC}_{(k)})
& \propto (\mathbf{X}\mathbf{w}_{(j)})^\mathsf{T} (\mathbf{X}\mathbf{w}_{(k)}) \\
& = \mathbf{w}_{(j)}^\mathsf{T} \mathbf{X}^\mathsf{T} \mathbf{X} \mathbf{w}_{(k)} \\
& = \mathbf{w}_{(j)}^\mathsf{T} \lambda_{(k)} \mathbf{w}_{(k)} \\
& = \lambda_{(k)} \mathbf{w}_{(j)}^\mathsf{T} \mathbf{w}_{(k)}
\end{align}

যেখানে লাইন ২ থেকে লাইন ৩-এ যাওয়ার জন্য **w**(*k*)-এর আইগেনভ্যালু ধর্ম ব্যবহার করা হয়েছে। তবে একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালুর সাথে সম্পর্কিত আইগেনভেক্টর **w**(*j*) এবং **w**(*k*) পরস্পর লম্ব (যদি আইগেনভ্যালুগুলো ভিন্ন হয়), অথবা এদের লম্ব করা যেতে পারে (যদি ভেক্টরগুলো একই পুনরাবৃত্ত মান শেয়ার করে)। তাই শেষ লাইনের গুণফল শূন্য; ডেটাসেটের ওপর ভিন্ন ভিন্ন প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টের মধ্যে কোনো নমুনা কোভ্যারিয়েন্স নেই।

সুতরাং প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস রূপান্তরকে চিহ্নিত করার আরেকটি উপায় হলো এমন স্থানাঙ্কগুলোতে রূপান্তর যা এম্পিরিক্যাল নমুনা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে কর্ণ (ডায়াগোনাল) ম্যাট্রিক্সে পরিণত করে।

ম্যাট্রিক্স আকারে, মূল চলকগুলোর জন্য এম্পিরিক্যাল কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে নিম্নোক্তভাবে লেখা যেতে পারে:
:\mathbf{Q} \propto \mathbf{X}^\mathsf{T} \mathbf{X} = \mathbf{W} \mathbf{\Lambda} \mathbf{W}^\mathsf{T}

প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোর মধ্যে এম্পিরিক্যাল কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স দাঁড়ায়:
:\mathbf{W}^\mathsf{T} \mathbf{Q} \mathbf{W}
\propto \mathbf{W}^\mathsf{T} \mathbf{W} \, \mathbf{\Lambda} \, \mathbf{W}^\mathsf{T} \mathbf{W}
= \mathbf{\Lambda} 

যেখানে **Λ** হলো **X**T**X**-এর আইগেনভ্যালু *λ*(*k*)-এর ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স। *λ*(*k*) প্রতিটি কম্পোনেন্ট *k*-এর সাথে যুক্ত ডেটাসেটের ওপর বর্গের যোগফলের সমান, অর্থাৎ, *λ*(*k*) = Σ*i* *t**k*2(*i*) = Σ*i* (**x**(*i*) ⋅ **w**(*k*))2।

### মাত্রিকতা হ্রাস
রূপান্তর **P** = **X** **W** একটি ডেটা ভেক্টর **x**(*i*)-কে মূল *x* চলকগুলোর স্পেস থেকে *p* চলকগুলোর একটি নতুন স্পেসে ম্যাপ করে, যা ডেটাসেটের ওপর পরস্পর সম্পর্কহীন।
কেন্দ্রীভূত ডেটাকে মাত্রাহীন করার জন্য, ধরা যাক *X<sub>c</sub>* ডেটা ভেক্টর *X<sub>i</sub>*-এর বৈশিষ্ট্যগত মানগুলোকে উপস্থাপন করে, যা নিম্নোক্তভাবে দেওয়া হয়:
* \|X\|_{\infty} (সর্বোচ্চ নর্ম),
* \frac{1}{n} \|X\|_1 (গড় পরম মান), অথবা
* \frac{1}{\sqrt{n}} \|X\|_2 (সাধারণীকৃত ইউক্লিডীয় নর্ম),
একটি *n* আকারের ডেটাসেটের জন্য। এই নর্মগুলো ব্যবহার করে চলক *x, y*-এর মূল স্পেসকে সম্পর্কহীন চলক *p, q*-এর একটি নতুন স্পেসে (একই অর্থবহ *Y<sub>c</sub>* দেওয়া আছে) রূপান্তরিত করা হয়, যাতে p_i = \frac{X_i}{X_c}, \quad q_i = \frac{Y_i}{Y_c} হয়;
এবং নতুন চলকগুলো রৈখিকভাবে নিম্নোক্ত রূপে সম্পর্কিত হয়: q = \alpha p।
সর্বোত্তম রৈখিক সম্পর্ক খুঁজে পেতে, আমরা মোট বর্গাকার পুনর্গঠন ত্রুটিকে ন্যূনতম করি:
E(\alpha) = \frac{1}{1 - \alpha^2} \sum_{i=1}^{n} (\alpha p_i - q_i)^2; যাতে ত্রুটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্য (E'(\alpha) = 0) বসালে পাওয়া যায়: \alpha = \frac{1}{2} \left( -\lambda \pm \sqrt{\lambda^2 + 4} \right) যেখানে \lambda = \frac{p \cdot p - q \cdot q}{p \cdot q}।

উচ্চ-মাত্রিক ডেটাসেটগুলোর ভিজ্যুয়ালাইজেশন এবং প্রক্রিয়াজাতকরণের জন্য এই ধরনের মাত্রিকতা হ্রাস একটি অত্যন্ত দরকারী পদক্ষেপ হতে পারে, যেখানে ডেটাসেটের ভেদাঙ্ক যতটা সম্ভব ধরে রাখা হয়। উদাহরণস্বরূপ, *L* = ২ নির্বাচন করে এবং কেবল প্রথম দুটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট রেখে উচ্চ-মাত্রিক ডেটাসেটের মধ্য দিয়ে এমন একটি দ্বিমাত্রিক তল পাওয়া যায় যেখানে ডেটা সবচেয়ে বেশি ছড়ানো থাকে। তাই ডেটার মধ্যে যদি কোনো গুচ্ছ থাকে, তবে সেগুলোও সবচেয়ে বেশি ছড়ানো থাকতে পারে এবং ফলস্বরূপ একটি দ্বিমাত্রিক চিত্রে প্লট করার জন্য সেগুলো সবচেয়ে বেশি দৃশ্যমান হতে পারে। অন্যদিকে, ডেটার মধ্য দিয়ে যদি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে দুটি দিক (বা মূল চলকগুলোর মধ্যে দুটি) বেছে নেওয়া হয়, তবে গুচ্ছগুলো একে অপরের থেকে অনেক কম ছড়ানো থাকতে পারে এবং প্রকৃতপক্ষে সেগুলো একে অপরের ওপর যথেষ্ট পরিমাণে সমাপতিত হওয়ার সম্ভাবনা বেশি থাকে, যা তাদেরকে আলাদা করা কঠিন করে তোলে।

একইভাবে, রিগ্রেশন অ্যানালাইসিস-এ অনুমোদিত ব্যাখ্যামূলক চলকের সংখ্যা যত বেশি হয়, মডেলের ওভারফিটিং হওয়ার সম্ভাবনা তত বেশি থাকে, যার ফলে এমন সিদ্ধান্ত তৈরি হয় যা অন্য ডেটাসেটের ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যায় না। একটি পদ্ধতি হলো, বিশেষ করে যখন সম্ভাব্য বিভিন্ন ব্যাখ্যামূলক চলকের মধ্যে শক্তিশালী সহসম্পর্ক থাকে, সেগুলোকে কয়েকটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টে কমিয়ে আনা এবং তারপর সেগুলোর বিপরীতে রিগ্রেশন চালানো, যে পদ্ধতিকে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট রিগ্রেশন বলা হয়।

ডেটাসেটের চলকগুলো নয়েজযুক্ত হলেও মাত্রিকতা হ্রাস উপযুক্ত হতে পারে। যদি ডেটাসেটের প্রতিটি কলামে স্বাধীন এবং অভিন্নভাবে বণ্টিত গাউসিয়ান নয়েজ থাকে, তবে **T**-এর কলামগুলোতেও একইভাবে অভিন্নভাবে বণ্টিত গাউসিয়ান নয়েজ থাকবে (এ ধরনের বণ্টন ম্যাট্রিক্স **W**-এর প্রভাবের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে, যাকে স্থানাঙ্ক অক্ষগুলোর একটি উচ্চ-মাত্রিক ঘূর্ণন হিসেবে চিন্তা করা যেতে পারে)। তবে, একই নয়েজ ভেদাঙ্কের তুলনায় মোট ভেদাঙ্কের বেশিরভাগ অংশ প্রথম কয়েকটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টে কেন্দ্রীভূত থাকায়, নয়েজের আনুপাতিক প্রভাব কম হয়—প্রথম কয়েকটি কম্পোনেন্ট উচ্চতর সিগন্যাল-টু-নয়েজ রেশিও অর্জন করে। ফলে পিসিএ সংকেতের বেশিরভাগ অংশ প্রথম কয়েকটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টে কেন্দ্রীভূত করার প্রভাব ফেলতে পারে, যা মাত্রিকতা হ্রাসের মাধ্যমে কার্যকরভাবে ধারণ করা যেতে পারে; অন্যদিকে পরবর্তী প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোতে নয়েজের আধিপত্য থাকতে পারে এবং খুব বেশি ক্ষতি ছাড়াই সেগুলো বাদ দেওয়া যেতে পারে। ডেটাসেট যদি খুব বেশি বড় না হয়, তবে কয়টি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট রাখতে হবে তা নির্ধারণে সহায়তা করার জন্য প্যারামেট্রিক বুটস্ট্র্যাপ ব্যবহার করে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোর তাৎপর্য পরীক্ষা করা যেতে পারে।

### সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন
প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস রূপান্তরকে আরেকটি ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশনের সাথেও যুক্ত করা যেতে পারে, যা হলো **X**-এর সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন (এসভিডি):
:\mathbf{X} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{W}^T
এখানে **Σ** হলো ধনাত্মক সংখ্যা *σ*(*k*)-এর একটি *n*-বাই-*p* আয়তাকার ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স, যাদেরকে **X**-এর সিঙ্গুলার ভ্যালু বলা হয়; **U** হলো একটি *n*-বাই-*n* ম্যাট্রিক্স, যার কলামগুলো *n* দৈর্ঘ্যের লম্ব একক ভেক্টর এবং যাদেরকে **X**-এর বাম সিঙ্গুলার ভেক্টর বলা হয়; এবং **W** হলো একটি *p*-বাই-*p* ম্যাট্রিক্স যার কলামগুলো *p* দৈর্ঘ্যের লম্ব একক ভেক্টর এবং এদেরকে **X**-এর ডান সিঙ্গুলার ভেক্টর বলা হয়।

এই ফ্যাক্টরাইজেশনের সাপেক্ষে, ম্যাট্রিক্স **X**T**X**-কে নিম্নোক্তভাবে লেখা যেতে পারে:
:\begin{align}
\mathbf{X}^T\mathbf{X}
& = \mathbf{W}\mathbf{\Sigma}^\mathsf{T} \mathbf{U}^\mathsf{T} \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{W}^\mathsf{T} \\
& = \mathbf{W}\mathbf{\Sigma}^\mathsf{T} \mathbf{\Sigma} \mathbf{W}^\mathsf{T} \\
& = \mathbf{W}\mathbf{\hat{\Sigma}}^2 \mathbf{W}^\mathsf{T}
\end{align}

যেখানে ** <math> \mathbf{\hat{\Sigma}} </math>** হলো **X**-এর সিঙ্গুলার ভ্যালু এবং বাদ দেওয়া অতিরিক্ত শূন্যগুলো সম্বলিত একটি বর্গাকার ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স, যা ** <math> \mathbf{\hat{\Sigma}^2}=\mathbf{\Sigma}^\mathsf{T} \mathbf{\Sigma} </math>** শর্তটি পূরণ করে। **X**T**X**-এর আইগেনভেক্টর ফ্যাক্টরাইজেশনের সাথে তুলনা করলে প্রমাণিত হয় যে **X**-এর ডান সিঙ্গুলার ভেক্টর **W** এবং **X**T**X**-এর আইগেনভেক্টর সমতুল্য, অন্যদিকে ** <math> \mathbf</math>**-এর সিঙ্গুলার ভ্যালু *σ*(*k*) হলো **X**T**X**-এর আইগেনভ্যালু *λ*(*k*)-এর বর্গমূলের সমান।

সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন ব্যবহার করে স্কোর ম্যাট্রিক্স **T**-কে লেখা যেতে পারে:
:\begin{align}
\mathbf{T}
& = \mathbf{X} \mathbf{W} \\
& = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{W}^\mathsf{T} \mathbf{W} \\
& = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}
\end{align}
তাই **T**-এর প্রতিটি কলাম পাওয়া যায় **X**-এর একটি বাম সিঙ্গুলার ভেক্টরকে তার সংশ্লিষ্ট সিঙ্গুলার ভ্যালু দ্বারা গুণ করার মাধ্যমে। এই রূপটি **T**-এর পোলার ডিকম্পোজিশন-ও বটে।

ম্যাট্রিক্স **X**T**X** গঠন না করেই **X**-এর এসভিডি গণনা করার জন্য কার্যকরী অ্যালগরিদম রয়েছে, তাই কোনো ডেটা ম্যাট্রিক্স থেকে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস অ্যানালাইসিস গণনা করার জন্য এসভিডি গণনা করাই বর্তমানে মানসম্মত পদ্ধতি, যদি না কেবল অল্প কয়েকটি কম্পোনেন্ট প্রয়োজন হয়।

আইগেন-ডিকম্পোজিশনের মতো, কেবল প্রথম L সংখ্যক বৃহত্তম সিঙ্গুলার ভ্যালু এবং তাদের সিঙ্গুলার ভেক্টর বিবেচনা করে একটি ট্রাংকেটেড  স্কোর ম্যাট্রিক্স **T**L পাওয়া যেতে পারে:
:\mathbf{T}_L = \mathbf{U}_L\mathbf{\Sigma}_L = \mathbf{X} \mathbf{W}_L 
এইভাবে একটি ট্রাংকেটেড সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন ব্যবহার করে কোনো ম্যাট্রিক্স **M** বা **T**-এর ট্রাংকেশানের ফলে এমন একটি ট্রাংকেটেড ম্যাট্রিক্স উৎপন্ন হয় যা মূল ম্যাট্রিক্সের সম্ভাব্য সবচেয়ে কাছাকাছি *L* র‍্যাঙ্কের ম্যাট্রিক্স। এই কাছাকাছি হওয়ার বিষয়টি দুটি ম্যাট্রিক্সের পার্থক্যের সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম ফ্রোবেনিয়াস নর্মের দিক থেকে বিবেচনা করা হয়, যা একার্ট-ইয়াং উপপাদ্য [১৯৩৬] নামে পরিচিত।


**উপপাদ্য (সর্বোত্তম k-মাত্রিক মানানসই)।**  
ধরা যাক P হলো একটি n×m ডেটা ম্যাট্রিক্স যার কলামগুলোকে মিন-সেন্টারড এবং স্কেল করা হয়েছে, এবং এর সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন হলো:  
P = U \,\Sigma\, V^{T}  
তাহলে লিস্ট-স্কোয়ার্স (ফ্রোবেনিয়াস নর্ম) অর্থে P-এর জন্য সর্বোত্তম র‍্যাঙ্ক-k অ্যাপ্রক্সিমেশন হলো:  P_{k} = U_{k}\,\Sigma_{k}\,V_{k}^{T}, 

যেখানে Vk হলো V-এর প্রথম k সংখ্যক কলাম নিয়ে গঠিত। অধিকন্তু, আপেক্ষিক রেসিডিউয়াল ভেদাঙ্ক হলো:  R(k)=\frac{\sum_{j=k+1}^{m}\sigma_{j}^{2}}{\sum_{j=1}^{m}\sigma_{j}^{2}}।


## আরও বিবেচ্য বিষয়সমূহ

সিঙ্গুলার ভ্যালুগুলো (**Σ**-এ) হলো ম্যাট্রিক্স **X**T**X**-এর আইগেনভ্যালুর বর্গমূল। প্রতিটি আইগেনভ্যালু "ভেদাঙ্কের" সেই অংশের (সঠিকভাবে বলতে গেলে, বিন্দুগুলোর বহুমাত্রিক গড় থেকে তাদের বর্গাকার দূরত্বের যোগফলের অংশের) সমানুপাতিক, যা প্রতিটি আইগেনভেক্টরের সাথে যুক্ত থাকে। সমস্ত আইগেনভ্যালুর যোগফল বিন্দুগুলোর বহুমাত্রিক গড় থেকে তাদের বর্গাকার দূরত্বের যোগফলের সমান। পিসিএ মূলত বিন্দুগুলোর সেটকে তাদের গড়ের চারপাশে এমনভাবে ঘোরায় যাতে সেগুলো প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোর সাথে সারিবদ্ধ হয়। এটি ভেদাঙ্কের যতটা সম্ভব বড় অংশকে (একটি লম্ব রূপান্তর ব্যবহার করে) প্রথম কয়েকটি মাত্রায় স্থানান্তরিত করে। তাই বাকি মাত্রাগুলোর মান সাধারণত ছোট হয়ে যায় এবং তথ্যের খুব সামান্য ক্ষতির বিনিময়ে সেগুলোকে বাদ দেওয়া যেতে পারে (নিচে দেখুন)। মাত্রিকতা হ্রাস করার জন্য প্রায়শই পিসিএ-কে এই পদ্ধতিতে ব্যবহার করা হয়। সর্বাধিক "ভেদাঙ্ক" (উপরে সংজ্ঞায়িত) ধারণকারী সাবস্পেস ধরে রাখার জন্য পিসিএ হলো সর্বোত্তম লম্ব রূপান্তর, যা এর একটি অনন্য বৈশিষ্ট্য। তবে এই সুবিধার সাথে একটি মূল্যও যুক্ত থাকে, যা হলো বৃহত্তর গণনামূলক প্রয়োজনীয়তা। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রযোজ্য ক্ষেত্রে এটিকে ডিসক্রিট কোসাইন ট্রান্সফর্ম এবং বিশেষ করে ডিসিটি-২ (যা কেবল "ডিসিটি" নামে পরিচিত)-এর সাথে তুলনা করা হয়, তবে পিসিএ-তে বেশি গণনা প্রয়োজন হয়। ননলিনিয়ার মাত্রিকতা হ্রাস করার কৌশলগুলোতে সাধারণত পিসিএ-এর চেয়ে বেশি গণনামূলক ক্ষমতার প্রয়োজন হয়।

পিসিএ চলকগুলোর স্কেলিংয়ের প্রতি সংবেদনশীল। গাণিতিকভাবে এই সংবেদনশীলতা তৈরি হয় যেভাবে একটি রিস্কেলিং নমুনা-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সকে পরিবর্তন করে, যা পিসিএ ডায়াগোনালাইজ করে।

ধরা যাক \mathbf X_\text{c} হলো *কেন্দ্রীভূত* ডেটা ম্যাট্রিক্স (*n* সারি, *p* কলাম) এবং কোভ্যারিয়েন্স সংজ্ঞায়িত করা হলো:
\Sigma = \frac{1}{n}\,\mathbf X_\text{c}^{\mathsf T}\mathbf X_\text{c}.
যদি j-তম চলককে একটি গুণক \alpha_j দ্বারা গুণ করা হয়, তবে আমরা পাই:
\mathbf X_\text{c}^{(\alpha)} = \mathbf X_\text{c}D,\qquad
       D = \operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_p).  
অতএব নতুন কোভ্যারিয়েন্স হলো:
\Sigma^{(\alpha)} = D^{\mathsf T}\,\Sigma\,D.

যেহেতু \Sigma^{(\alpha)}-এর আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরগুলো মূলত \Sigma-এর আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরগুলোকে D দ্বারা স্কেল করার ফল, তাই প্রধান অক্ষগুলো এমন যেকোনো কলামের দিকে ঘোরে যার ভেদাঙ্ক বৃদ্ধি পেয়েছে, ঠিক যেমনটি নিচের দ্বিমাত্রিক উদাহরণে দেখানো হয়েছে।

যদি আমাদের কাছে কেবল দুটি চলক থাকে এবং তাদের নমুনা ভেদাঙ্ক সমান হয় এবং তারা সম্পূর্ণভাবে সহসম্পর্কিত হয়, তবে পিসিএ ৪৫° ঘূর্ণন ঘটাবে এবং প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টের সাপেক্ষে দুটি চলকের জন্য "ওজন" (যা ঘূর্ণনের কোসাইন) সমান হবে। কিন্তু যদি আমরা প্রথম চলকের সমস্ত মানকে ১০০ দিয়ে গুণ করি, তবে প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টটি প্রায় সেই চলকের মতোই হয়ে যাবে এবং অন্য চলকটির অবদান খুব সামান্য থাকবে। অন্যদিকে, দ্বিতীয় কম্পোনেন্টটি প্রায় দ্বিতীয় মূল চলকটির সাথে সারিবদ্ধ হবে। এর মানে হলো, যখনই বিভিন্ন চলকের একক ভিন্ন হয় (যেমন তাপমাত্রা এবং ভর), তখন পিসিএ একটি কিছুটা ইচ্ছামাফিক বিশ্লেষণ পদ্ধতি হয়ে দাঁড়ায়। (উদাহরণস্বরূপ, কেউ যদি সেলসিয়াসের বদলে ফারেনহাইট ব্যবহার করে তবে ভিন্ন ফলাফল পাওয়া যাবে)। পিয়ারসনের মূল গবেষণাপত্রের শিরোনাম ছিল "অন লাইনস অ্যান্ড প্লেনস অব ক্লোজেস্ট ফিট টু সিস্টেমস অব পয়েন্টস ইন স্পেস" – এখানে "ইন স্পেস" বলতে ভৌত ইউক্লিডীয় জগতকে বোঝানো হয়েছে যেখানে এ ধরনের সমস্যার উদ্ভব হয় না। পিসিএ-কে কম ইচ্ছামাফিক করার একটি উপায় হলো ডেটাকে প্রমিতকরণের মাধ্যমে একক ভেদাঙ্কযুক্ত স্কেল করা চলক ব্যবহার করা, এবং পিসিএ-এর ভিত্তি হিসেবে অটো-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তে অটো-কোরিলেশন ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা। তবে এটি সিগন্যাল স্পেসের সমস্ত মাত্রার ওঠানামাকে একক ভেদাঙ্কে সংকুচিত (বা প্রসারিত) করে।

ক্লাসিক্যাল পিসিএ ধরে নেয় যে বিন্দুগুলোর মেঘ (ক্লাউড অব পয়েন্টস) ইতিমধ্যেই স্থানান্তরিত হয়েছে যাতে এর কেন্দ্র মূলবিন্দুতে থাকে।

প্রতিটি পর্যবেক্ষণকে নিম্নোক্তভাবে লিখুন:
\mathbf q_i = \boldsymbol\mu + \mathbf z_i,\qquad
\boldsymbol\mu = \tfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf q_i.

\boldsymbol\mu বিয়োগ না করে আমরা মূলত নিচের অংশটিকে ডায়াগোনালাইজ করছি:

\Sigma_{\text{unc}} \;=\; n\,\boldsymbol\mu\boldsymbol\mu^{\mathsf T}
\;+\;\tfrac{1}{n}\,\mathbf Z^{\mathsf T}\mathbf Z,

যেখানে \mathbf Z হলো কেন্দ্রীভূত ম্যাট্রিক্স।  
র‍্যাঙ্ক-ওয়ান পদ n\,\boldsymbol\mu\boldsymbol\mu^{\mathsf T} প্রায়শই প্রাধান্য বিস্তার করে, যা শীর্ষস্থানীয় আইগেনভেক্টরকে প্রায় নিখুঁতভাবে গড়ের দিকে নির্দেশ করতে বাধ্য করে এবং কেন্দ্রীভূত অংশ \mathbf Z-এর যেকোনো কাঠামো মুছে ফেলে।  
গড় বিয়োগ করার পর সেই পদটি বিলুপ্ত হয় এবং প্রধান অক্ষগুলো সর্বাধিক ভেদাঙ্কের প্রকৃত দিকগুলোর সাথে সারিবদ্ধ হয়।

কোরিলেশন ম্যাট্রিক্সের ওপর প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস অ্যানালাইসিস সম্পাদনের ক্ষেত্রে মিন-সেন্টারিং অপ্রয়োজনীয়, কারণ কোরিলেশন গণনা করার পর ডেটা এমনিতেই কেন্দ্রীভূত হয়ে যায়। কোরিলেশনগুলো দুটি স্ট্যান্ডার্ড স্কোর (জেড-স্কোর) বা পরিসংখ্যানগত মোমেন্টের ক্রস-প্রোডাক্ট থেকে প্রাপ্ত হয় (তাই এর নাম: *পিয়ারসন প্রোডাক্ট-মোমেন্ট কোরিলেশন*)। এছাড়াও ক্রোমরি এবং ফস্টার-জনসন (১৯৯৮)-এর লেখা "মিন-সেন্টারিং ইন মডারেটেড রিগ্রেশন: মাচ অ্যাডো অ্যাবাউট নাথিং" নামক নিবন্ধটি দেখতে পারেন। যেহেতু কোভ্যারিয়েন্স হলো সাধারণীকৃত চলকগুলোর (জেড- বা স্ট্যান্ডার্ড স্কোর) কোরিলেশন, তাই **X**-এর কোরিলেশন ম্যাট্রিক্সের ওপর ভিত্তি করে তৈরি পিসিএ এবং **X**-এর প্রমিত রূপ **Z**-এর কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের ওপর ভিত্তি করে তৈরি পিসিএ সমান হয়।

পিসিএ হলো প্যাটার্ন রিকগনিশনের একটি জনপ্রিয় প্রাথমিক কৌশল। তবে এটি ক্লাস সেপারেবিলিটি বা শ্রেণি পৃথকীকরণের জন্য অপ্টিমাইজ করা নয়। তা সত্ত্বেও, প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট স্পেসে প্রতিটি শ্রেণির জন্য ভরের কেন্দ্র (সেন্টার অব মাস) গণনা করে এবং দুই বা ততোধিক শ্রেণির ভরের কেন্দ্রের মধ্যে ইউক্লিডীয় দূরত্ব পরিমাপ করে দুই বা ততোধিক শ্রেণির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে এটি ব্যবহৃত হয়েছে। এর বিকল্প হিসেবে লিনিয়ার ডিসক্রিমিন্যান্ট অ্যানালাইসিস ব্যবহার করা যায়, যা ক্লাস সেপারেবিলিটির জন্য অপ্টিমাইজ করা।

## প্রতীক এবং শব্দসংক্ষেপের সারণি

## বৈশিষ্ট্য এবং সীমাবদ্ধতাসমূহ

### বৈশিষ্ট্যসমূহ

পিসিএ-এর কিছু বৈশিষ্ট্যের মধ্যে রয়েছে:

:***বৈশিষ্ট্য ১'':'''</big> যেকোনো পূর্ণসংখ্যা ''q'' (১ ≤ ''q'' ≤ ''p'')-এর জন্য, লম্ব রৈখিক রূপান্তরটি বিবেচনা করুন:
::<math>y =\mathbf{B'}x</math>
:যেখানে <math>y</math> হলো একটি ''q''-উপাদানের ভেক্টর এবং <math>\mathbf{B'}</math> হলো একটি (''q'' × ''p'') ম্যাট্রিক্স, এবং ধরা যাক <math>y</math>-এর জন্য [[ভেদাঙ্ক]]-কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স হলো <math>\mathbf_y = \mathbf{B'}\mathbf{\Sigma}\mathbf{B}</math>। তাহলে <math>\mathbf{\Sigma}_y</math>-এর ট্রেস, যাকে <math>\operatorname{tr} (\mathbf{\Sigma}_y)</math> দ্বারা নির্দেশ করা হয়, সেটি <math>\mathbf{B} = \mathbf{A}_q</math> ধরার মাধ্যমে সর্বাধিক করা হয়, যেখানে <math>\mathbf{A}_q</math> ম্যাট্রিক্সটি <math>\mathbf{A}</math>-এর প্রথম ''q'' সংখ্যক কলাম নিয়ে গঠিত (<math>\mathbf{B'}</math> হলো <math>\mathbf{B}</math>-এর ট্রান্সপোজ)। (<math>\mathbf{A}</math> এখানে সংজ্ঞায়িত নয়)

:<big>***বৈশিষ্ট্য ২*:*' পূর্বের মতো একইভাবে সংজ্ঞায়িত x, \mathbf{B}, \mathbf{A} এবং \mathbf{\Sigma}_y-সহ অর্থোনরমাল রূপান্তরটি আবার বিবেচনা করুন:
::y = \mathbf{B'}x
:তাহলে \mathbf{B} = \mathbf{A}_q^* ধরার মাধ্যমে \operatorname{tr}(\mathbf{\Sigma}_y)-কে ন্যূনতম করা হয়, যেখানে \mathbf{A}_q^* ম্যাট্রিক্সটি \mathbf{A}-এর শেষ *q* সংখ্যক কলাম নিয়ে গঠিত।

এই বৈশিষ্ট্যের পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য হলো যে, গুরুত্বপূর্ণ পিসি বা প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো সরিয়ে নেওয়ার পর শেষের দিকের পিসিগুলো কেবল কিছু কাঠামোহীন অবশিষ্টাংশ নয়। যেহেতু এই শেষ পিসিগুলোর ভেদাঙ্ক সম্ভাব্য ক্ষুদ্রতম হয়, তাই এগুলো নিজস্ব ক্ষেত্রেই দরকারী। এগুলো -এর উপাদানগুলোর মধ্যে অপ্রত্যাশিত প্রায়-ধ্রুবক রৈখিক সম্পর্ক শনাক্ত করতে সহায়তা করতে পারে, এবং রিগ্রেশনে,  থেকে চলকের একটি উপসেট বা সাবসেট নির্বাচনে, এবং আউটলায়ার শনাক্তকরণেও এগুলো দরকারী হতে পারে।

:**''বৈশিষ্ট্য ৩'':** (-এর স্পেকট্রাল ডিকম্পোজিশন)
::\mathbf = \lambda_1\alpha_1\alpha_1' + \cdots + \lambda_p\alpha_p\alpha_p'

এর ব্যবহার দেখার আগে, আমরা প্রথমে ডায়াগোনাল উপাদানগুলোর দিকে তাকাই,
:\operatorname{Var}(x_j) = \sum_{k=1}^P \lambda_k\alpha_{kj}^2
তাহলে, সম্ভবত এই ফলাফলের প্রধান পরিসংখ্যানগত তাৎপর্য হলো যে, আমরা কেবল -এর সমস্ত উপাদানের সম্মিলিত ভেদাঙ্ককে প্রতিটি পিসির কারণে ঘটা হ্রাসপ্রাপ্ত অবদানে ডিকম্পোজ করতে পারি না, বরং আমরা সম্পূর্ণ কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটিকেও প্রতিটি পিসি থেকে আগত \lambda_k\alpha_k\alpha_k' অবদানে ডিকম্পোজ করতে পারি। যদিও কঠোরভাবে ক্রমহ্রাসমান নয়, k বৃদ্ধির সাথে সাথে \lambda_k\alpha_k\alpha_k'-এর উপাদানগুলো ছোট হওয়ার প্রবণতা দেখাবে, কারণ k বৃদ্ধির জন্য \lambda_k\alpha_k\alpha_k' একটি অবর্ধমান পদ, অন্যদিকে সাধারণীকরণ বা নরমালাইজেশন সীমাবদ্ধতা: \alpha_{k}'\alpha_{k}=1, k=1, \dots, p-এর কারণে \alpha_k-এর উপাদানগুলো মোটামুটি একই আকারের থাকার প্রবণতা দেখায়।

### সীমাবদ্ধতাসমূহ

উপরে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, পিসিএ-এর ফলাফল চলকগুলোর স্কেলিংয়ের ওপর নির্ভর করে। প্রতিটি বৈশিষ্ট্যকে তার পরিমিত ব্যবধান দ্বারা স্কেল করে এই সমস্যার সমাধান করা যেতে পারে, যার ফলে শেষ পর্যন্ত একক ভেদাঙ্কযুক্ত মাত্রাহীন বৈশিষ্ট্য পাওয়া যায়।

উপরে বর্ণিত পিসিএ-এর প্রয়োগযোগ্যতা এর প্রতিপাদনের সময় করা কিছু (অব্যক্ত) অনুমানের দ্বারা সীমাবদ্ধ। বিশেষ করে, পিসিএ বৈশিষ্ট্যগুলোর মধ্যে রৈখিক সহসম্পর্ক বা লিনিয়ার কোরিলেশন ধারণ করতে পারে কিন্তু এই অনুমান লঙ্ঘিত হলে এটি ব্যর্থ হয় (তথ্যসূত্রের চিত্র ৬এ দেখুন)। কিছু ক্ষেত্রে, স্থানাঙ্ক রূপান্তরগুলো রৈখিকতার অনুমান পুনরুদ্ধার করতে পারে এবং তখন পিসিএ প্রয়োগ করা যেতে পারে (কার্নেল প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস দেখুন)।

পিসিএ-এর জন্য কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গঠনের আগে গড় অপসারণ বা মিন-রিমুভাল প্রক্রিয়াটি হলো আরেকটি সীমাবদ্ধতা। জ্যোতির্বিজ্ঞানের মতো ক্ষেত্রগুলোতে সমস্ত সংকেত অঋণাত্মক হয় এবং গড় অপসারণ প্রক্রিয়াটি কিছু জ্যোতির্বিজ্ঞানগত এক্সপোজারের গড়কে শূন্যে নামিয়ে আনবে, ফলস্বরূপ এটি অবাস্তব ঋণাত্মক ফ্লাক্স তৈরি করে, এবং সংকেতগুলোর প্রকৃত মান পুনরুদ্ধার করতে ফরওয়ার্ড মডেলিং সম্পাদন করতে হয়। বিকল্প পদ্ধতি হিসেবে, ম্যাট্রিক্সের কেবল অঋণাত্মক উপাদানগুলোর ওপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে তৈরি নন-নেগেটিভ ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশন জ্যোতির্বিজ্ঞানগত পর্যবেক্ষণের জন্য বেশ উপযুক্ত। পিসিএ এবং নন-নেগেটিভ ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশনের মধ্যে সম্পর্ক অংশে আরও দেখুন।

অ্যালগরিদম প্রয়োগ করার আগে ডেটাকে প্রমিত করা না হলে পিসিএ সুবিধাজনক অবস্থানে থাকে না। পিসিএ মূল ডেটাকে এমন ডেটায় রূপান্তরিত করে যা সেই ডেটার প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোর সাথে প্রাসঙ্গিক, যার মানে হলো নতুন ডেটা চলকগুলোকে মূল ডেটার মতো একইভাবে ব্যাখ্যা করা যায় না। সেগুলো হলো মূল চলকগুলোর রৈখিক ব্যাখ্যা। এছাড়া, পিসিএ সঠিকভাবে সম্পাদন না করা হলে তথ্য হারানোর উচ্চ সম্ভাবনা থাকে।

পিসিএ একটি রৈখিক মডেলের ওপর নির্ভর করে। যদি কোনো ডেটাসেটের ভেতরে এমন কোনো প্যাটার্ন লুকিয়ে থাকে যা অ-রৈখিক, তবে পিসিএ প্রকৃতপক্ষে বিশ্লেষণটিকে অগ্রগতির সম্পূর্ণ বিপরীত দিকে পরিচালিত করতে পারে। কানসাস স্টেট ইউনিভার্সিটির গবেষকরা আবিষ্কার করেছেন যে তাদের পরীক্ষায় স্যাম্পলিং ত্রুটি পিসিএ ফলাফলের পক্ষপাত বা বায়াসকে প্রভাবিত করেছে। "যদি সাবজেক্ট বা ব্লকের সংখ্যা ৩০-এর কম হয় এবং/অথবা গবেষক প্রথম পিসির বাইরের অন্য পিসিগুলোতে আগ্রহী হন, তবে পিসিএ পরিচালনা করার আগে সিরিয়াল কোরিলেশন সংশোধন করা ভালো হতে পারে"। কানসাস স্টেটের গবেষকরা আরও দেখেছেন যে "ডেটার অটো-কোরিলেশন কাঠামো সঠিকভাবে পরিচালনা না করা হলে পিসিএ গুরুতরভাবে পক্ষপাতদুষ্ট হতে পারে"।

### পিসিএ এবং ইনফরমেশন থিওরি
সাধারণত, মাত্রিকতা হ্রাসের ফলে তথ্য নষ্ট হয়। নির্দিষ্ট কিছু সিগন্যাল এবং নয়েজ মডেলের অধীনে পিসিএ-ভিত্তিক মাত্রিকতা হ্রাস এই তথ্য হারানোকে ন্যূনতম করার প্রবণতা দেখায়।

এই অনুমানের অধীনে যে,

:\mathbf{x}=\mathbf{s}+\mathbf{n},

অর্থাৎ, ডেটা ভেক্টর \mathbf{x} হলো কাঙ্ক্ষিত তথ্য বহনকারী সংকেত \mathbf{s} এবং একটি নয়েজ সংকেত \mathbf{n}-এর যোগফল। এটি দেখানো যেতে পারে যে একটি তথ্য-তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে মাত্রিকতা হ্রাস করার জন্য পিসিএ সর্বোত্তম হতে পারে।

বিশেষ করে, লিন্সকার দেখিয়েছেন যে যদি \mathbf{s} গাউসিয়ান হয় এবং \mathbf{n} আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সমানুপাতিক কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সযুক্ত গাউসিয়ান নয়েজ হয়, তবে পিসিএ কাঙ্ক্ষিত তথ্য \mathbf{s} এবং মাত্রিকভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত আউটপুট \mathbf{y}=\mathbf{W}_L^T\mathbf{x}-এর মধ্যে মিউচুয়াল ইনফরমেশন (পারস্পরিক তথ্য) I(\mathbf{y};\mathbf{s})-কে সর্বাধিক করে।

যদি নয়েজ এখনও গাউসিয়ান থাকে এবং এর কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের সমানুপাতিক হয় (অর্থাৎ, ভেক্টর \mathbf{n}-এর উপাদানগুলো স্বাধীন ও অভিন্নভাবে বণ্টিত বা আইআইডি), কিন্তু তথ্য বহনকারী সংকেত \mathbf{s} নন-গাউসিয়ান হয় (যা একটি সাধারণ পরিস্থিতি), তবে পিসিএ অন্তত *তথ্য ক্ষতির* (ইনফরমেশন লস) একটি ঊর্ধ্বসীমাকে ন্যূনতম করে, যা নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

:I(\mathbf{x};\mathbf{s}) - I(\mathbf{y};\mathbf{s}).

পিসিএ-এর এই সর্বোত্তম অবস্থা তখনও বজায় থাকে যদি নয়েজ \mathbf{n} আইআইডি হয় এবং তথ্য বহনকারী সংকেত \mathbf{s}-এর তুলনায় অন্তত বেশি গাউসিয়ান (কুলব্যাক-লেইবলার ডাইভারজেন্সের সাপেক্ষে) হয়। সাধারণত, উপরের সংকেত মডেলটি বহাল থাকলেও, নয়েজ \mathbf{n} নির্ভরশীল হওয়ার সাথে সাথেই পিসিএ তার তথ্য-তাত্ত্বিক সর্বোত্তম অবস্থা হারায়।

## কোভ্যারিয়েন্স পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা

নিচে কোরিলেশন পদ্ধতির বিপরীতে কোভ্যারিয়েন্স পদ্ধতি ব্যবহার করে পিসিএ-এর একটি বিস্তারিত বিবরণ দেওয়া হলো।

লক্ষ্য হলো *p* মাত্রার একটি প্রদত্ত ডেটা সেট **X**-কে *L* ক্ষুদ্রতর মাত্রার একটি বিকল্প ডেটা সেট **Y**-এ রূপান্তরিত করা। সমতুল্যভাবে, আমরা ম্যাট্রিক্স **Y** খুঁজতে চাই, যেখানে **Y** হলো ম্যাট্রিক্স **X**-এর কারহুনেন-লোভ রূপান্তর (কেএলটি): \mathbf{Y} = \mathbb{KLT} \{ \mathbf{X} \} 

**ডেটা সেট সংগঠিত করুন**

ধরা যাক আপনার কাছে এমন ডেটা আছে যা *p* সংখ্যক চলকের পর্যবেক্ষণের একটি সেট নিয়ে গঠিত, এবং আপনি ডেটাটিকে এমনভাবে হ্রাস করতে চান যাতে প্রতিটি পর্যবেক্ষণকে কেবল *L* সংখ্যক চলক দিয়ে বর্ণনা করা যায়, যেখানে *L* \mathbf{x}_1 \ldots \mathbf{x}_n-এর একটি সেট হিসেবে সাজানো আছে, যেখানে প্রতিটি \mathbf{x}_i  *p* চলকের একটি একক দলবদ্ধ পর্যবেক্ষণ উপস্থাপন করে।
* \mathbf{x}_1 \ldots \mathbf{x}_n-কে সারি ভেক্টর হিসেবে লিখুন, যার প্রতিটিতে *p* সংখ্যক উপাদান রয়েছে।
* সারি ভেক্টরগুলোকে *n* × *p* মাত্রার একটি একক ম্যাট্রিক্স **X**-এ স্থাপন করুন।


**এম্পিরিক্যাল গড় গণনা করুন**

* প্রতিটি কলাম *j* = ১, ..., *p* বরাবর এম্পিরিক্যাল গড় বের করুন।
* গণনা করা গড় মানগুলোকে *p* × ১ মাত্রার একটি এম্পিরিক্যাল গড় ভেক্টর **u**-তে স্থাপন করুন। u_j = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_{ij} 


**গড় থেকে বিচ্যুতি গণনা করুন**

গড় বিয়োগ করা হলো ডেটার মানানসইকরণের গড় বর্গাকার ত্রুটি (মিন স্কোয়ার এরর) ন্যূনতম করার জন্য প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট ভিত্তি খোঁজার সমাধানের একটি অবিচ্ছেদ্য অংশ। তাই আমরা ডেটাকে নিম্নোক্তভাবে কেন্দ্রীভূত করে এগিয়ে যাই:
* ডেটা ম্যাট্রিক্স **X**-এর প্রতিটি সারি থেকে এম্পিরিক্যাল গড় ভেক্টর  \mathbf{u}^{T}  বিয়োগ করুন।
* গড় বিয়োগ করা ডেটাকে *n* × *p* ম্যাট্রিক্স **B**-তে সংরক্ষণ করুন। \mathbf{B} = \mathbf{X} - \mathbf{h}\mathbf{u}^T  যেখানে **h** হলো সবগুলো ১-এর একটি  কলাম ভেক্টর: h_i = 1 \, \qquad \qquad \text{for } i = 1, \ldots, n 

কিছু প্রয়োগে, প্রতিটি চলককে (**B**-এর কলাম) এমনভাবে স্কেল করা হতে পারে যেন এর ভেদাঙ্ক ১-এর সমান হয় (জেড-স্কোর দেখুন)। এই পদক্ষেপটি গণনাকৃত প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোকে প্রভাবিত করে, কিন্তু তাদেরকে বিভিন্ন চলক পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত একক থেকে স্বাধীন করে তোলে।


**কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স বের করুন**
* ম্যাট্রিক্স **B** থেকে *p* × *p* এম্পিরিক্যাল কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স **C** বের করুন: \mathbf{C} = { 1 \over {n-1} } \mathbf{B}^{*} \mathbf{B} যেখানে  * হলো কনজুগেট ট্রান্সপোজ অপারেটর। যদি **B** সম্পূর্ণভাবে বাস্তব সংখ্যা নিয়ে গঠিত হয়, যা অনেক প্রয়োগের ক্ষেত্রেই দেখা যায়, তবে "কনজুগেট ট্রান্সপোজ" সাধারণ ট্রান্সপোজ-এর মতোই হয়।
* কোভ্যারিয়েন্স গণনা করতে *n*-এর পরিবর্তে  ব্যবহার করার পেছনের কারণ হলো বেসেলের সংশোধন।


**কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু বের করুন**
* আইগেনভেক্টরগুলোর ম্যাট্রিক্স **V** গণনা করুন যা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স **C**-কে ডায়াগোনালাইজ করে: \mathbf{V}^{-1} \mathbf{C} \mathbf{V} = \mathbf{D}  যেখানে **D** হলো **C**-এর আইগেনভ্যালুগুলোর ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স। এই পদক্ষেপে সাধারণত আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু গণনার জন্য একটি কম্পিউটার-ভিত্তিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়। এই অ্যালগরিদমগুলো বেশিরভাগ ম্যাট্রিক্স বীজগণিত ব্যবস্থার উপ-অংশ হিসেবে সহজেই পাওয়া যায়, যেমন স্যাস, আর, ম্যাটল্যাব, ম্যাথমেটিকা, সাইপাই, আইডিএল (ইন্টারেক্টিভ ডেটা ল্যাঙ্গুয়েজ), বা গনু অক্টেভ এবং সেইসাথে ওপেনসিভি।
* ম্যাট্রিক্স **D** একটি *p* × *p* ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের আকার নেবে, যেখানে D_{k\ell} = \lambda_k \qquad \text{for } k = \ell হলো কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স **C**-এর *j*-তম আইগেনভ্যালু, এবং D_{k\ell} = 0 \qquad \text{for } k \ne \ell.
* ম্যাট্রিক্স **V**, যা একইভাবে *p* × *p* মাত্রার, તેમાં *p* সংখ্যক কলাম ভেক্টর থাকে, যার প্রতিটির দৈর্ঘ্য *p*, যা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স **C**-এর *p* সংখ্যক আইগেনভেক্টরকে উপস্থাপন করে।
* আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টরগুলো ক্রমানুসারে এবং জোড়াবদ্ধ থাকে। *j*-তম আইগেনভ্যালু *j*-তম আইগেনভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত।
* ম্যাট্রিক্স **V** *ডান* (রাইট) আইগেনভেক্টরের ম্যাট্রিক্স নির্দেশ করে (*বাম* বা লেফট আইগেনভেক্টরের বিপরীতে)। সাধারণভাবে, ডান আইগেনভেক্টরের ম্যাট্রিক্সটি বাম আইগেনভেক্টরের ম্যাট্রিক্সের (কনজুগেট) ট্রান্সপোজ হওয়ার প্রয়োজন *নেই*।


**আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালুগুলো পুনরায় সাজান**

* আইগেনভেক্টর ম্যাট্রিক্স **V** এবং আইগেনভ্যালু ম্যাট্রিক্স **D**-এর কলামগুলোকে আইগেনভ্যালুর ক্রমানুসারে (বড় থেকে ছোট) সাজান।
* প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের কলামগুলোর মধ্যে সঠিক জোড় বজায় রাখার বিষয়টি নিশ্চিত করুন।


**প্রতিটি আইগেনভেক্টরের জন্য কিউমুলেটিভ এনার্জি কন্টেন্ট বা সঞ্চিত শক্তির পরিমাণ গণনা করুন**
* আইগেনভ্যালুগুলো প্রতিটি আইগেনভেক্টরের মধ্যে উৎস ডেটার শক্তির বণ্টনকে উপস্থাপন করে, যেখানে আইগেনভেক্টরগুলো ডেটার জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে। *j*-তম আইগেনভেক্টরের জন্য কিউমুলেটিভ এনার্জি কন্টেন্ট *g* হলো ১ থেকে *j* পর্যন্ত সমস্ত আইগেনভ্যালু জুড়ে থাকা শক্তির পরিমাণের যোগফলকে সমস্ত আইগেনভ্যালু জুড়ে থাকা মোট শক্তির পরিমাণ দিয়ে ভাগ করার ফল (ধাপ ৮-এ দেখানো হয়েছে): g_j = \sum_{k=1}^j D_{kk} \qquad \text{for } j = 1,\dots,p 


**ভিত্তি ভেক্টর হিসেবে আইগেনভেক্টরগুলোর একটি উপসেট নির্বাচন করুন**

* **V**-এর প্রথম *L* সংখ্যক কলামকে *p* × *L* ম্যাট্রিক্স **W** হিসেবে সংরক্ষণ করুন:  W_{kl} = V_{k\ell} \qquad \text{for } k = 1,\dots,p \qquad \ell = 1,\dots,L  যেখানে 1 \leq L \leq p.
* *L*-এর উপযুক্ত মান বেছে নিতে গাইড হিসেবে ভেক্টর **g** ব্যবহার করুন। লক্ষ্য হলো শতকরা হারে *g*-এর মোটামুটি উচ্চ মান অর্জন করার পাশাপাশি *L*-এর মান যতটা সম্ভব ছোট রাখা। উদাহরণস্বরূপ, আপনি এমনভাবে *L* বেছে নিতে চাইতে পারেন যাতে কিউমুলেটিভ এনার্জি *g* একটি নির্দিষ্ট প্রান্তিকের (থ্রেশহোল্ড) ওপরে থাকে, যেমন ৯০ শতাংশ। এই ক্ষেত্রে, *L*-এর ক্ষুদ্রতম মানটি বেছে নিন যাতে  \frac{g_L}{g_p} \ge 0.9  হয়।


**ডেটাকে নতুন ভিত্তির ওপর প্রজেক্ট করুন**

* প্রজেক্ট করা ডেটা বিন্দুগুলো হলো ম্যাট্রিক্সের সারি  \mathbf{T} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{W}
অর্থাৎ, \mathbf{T}-এর প্রথম কলামটি হলো প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টের ওপর ডেটা বিন্দুগুলোর প্রজেকশন, দ্বিতীয় কলামটি হলো দ্বিতীয় প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টের ওপর প্রজেকশন, ইত্যাদি।



## কোভ্যারিয়েন্স পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রতিপাদন

ধরা যাক, **X** হলো কলাম ভেক্টর হিসেবে প্রকাশ করা একটি *d*-মাত্রিক দৈব ভেক্টর। সাধারণত্ব না হারিয়ে, ধরে নেওয়া যাক **X**-এর গড় শূন্য।

আমরা এমন একটি (\ast)  অর্থোনরমাল রূপান্তর ম্যাট্রিক্স **P** বের করতে চাই যাতে **PX**-এর একটি ডায়াগোনাল কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স থাকে (অর্থাৎ, **PX** হলো এমন একটি দৈব ভেক্টর যার সমস্ত ভিন্ন উপাদান জোড়ায় জোড়ায় সম্পর্কহীন)।

P একটি ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স এমনটি ধরে নিয়ে দ্রুত গণনা করলে পাওয়া যায়:

:\begin{align}
\operatorname{cov}(PX) &= \operatorname{E}[PX~(PX)^{*}]\\
 &= \operatorname{E}[PX~X^{*}P^{*}]\\
 &= P\operatorname{E}[XX^{*}]P^{*}\\
 &= P\operatorname{cov}(X)P^{-1}\\
\end{align}

সুতরাং, (\ast) কেবল তখনই সত্য হবে যদি \operatorname{cov}(X)-কে P দ্বারা ডায়াগোনালাইজ করা যায়।

এটি অত্যন্ত গঠনমূলক, কারণ cov(**X**) সর্বদা একটি নন-নেগেটিভ ডেফিনিট ম্যাট্রিক্স হওয়ার নিশ্চয়তা দেয় এবং তাই কোনো একটি ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স দ্বারা এটি ডায়াগোনালাইজযোগ্য হওয়ারও নিশ্চয়তা থাকে।

## কোভ্যারিয়েন্স-মুক্ত গণনা

ব্যবহারিক প্রয়োগের ক্ষেত্রে, বিশেষ করে উচ্চ মাত্রিক ডেটা (বৃহৎ )-এর ক্ষেত্রে, সাধারণ কোভ্যারিয়েন্স পদ্ধতি খুব কমই ব্যবহৃত হয় কারণ কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সটি স্পষ্টভাবে নির্ণয় করার উচ্চ গণনামূলক এবং মেমরি খরচের কারণে এটি কার্যকর নয়। কোভ্যারিয়েন্স-মুক্ত পদ্ধতিটি কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স  স্পষ্টভাবে গণনা এবং সংরক্ষণ করার  সংখ্যক অপারেশন এড়িয়ে চলে, এর পরিবর্তে এটি ম্যাট্রিক্স-মুক্ত পদ্ধতিগুলোর মধ্যে একটি ব্যবহার করে, উদাহরণস্বরূপ,  সংখ্যক অপারেশনের খরচে গুণফল  মূল্যায়নকারী ফাংশনের ওপর ভিত্তি করে।

### পুনরাবৃত্তিমূলক গণনা

কোনো ডেটা ম্যাট্রিক্স -এর (যার গড় শূন্য) কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা না করেই কার্যকরভাবে প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট গণনা করার একটি উপায় নিচের ছদ্ম-কোডে (সিউডো-কোড) দেখানো হয়েছে।

  =  দৈর্ঘ্যের একটি দৈব ভেক্টর
 **r** = **r** / norm(**r**)
  বার করুন:
        ( দৈর্ঘ্যের একটি ভেক্টর)
       
             
        
       
       
       
 ফেরত দিন 

এই পাওয়ার ইটারেশন অ্যালগরিদমটি কেবল ভেক্টর  গণনা করে, সাধারণীকরণ করে এবং ফলাফলটি আবার -এ স্থাপন করে। আইগেনভ্যালুর প্রায়-মান বা অ্যাপ্রক্সিমেশন  দ্বারা নির্ণয় করা হয়, যা কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স -এর জন্য একক ভেক্টর -এর ওপর র‍্যালে কোশেন্ট। যদি বৃহত্তম সিঙ্গুলার ভ্যালুটি পরবর্তী বৃহত্তমটির থেকে ভালোভাবে আলাদা থাকে, তবে ভেক্টর ,  সংখ্যক পুনরাবৃত্তির মধ্যেই -এর প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টের কাছাকাছি পৌঁছে যায়, যা -এর তুলনায় ছোট, এবং এর মোট খরচ হয় । আরও উন্নত ম্যাট্রিক্স-মুক্ত পদ্ধতি, যেমন ল্যানচস অ্যালগরিদম বা লোকালি অপটিমাল ব্লক প্রিকন্ডিশন্ড কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট (এলওবিপিসিজি) পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রতি পুনরাবৃত্তিতে ছোট খরচ উল্লেখযোগ্যভাবে বিসর্জন না দিয়েই পাওয়ার ইটারেশন-এর কনভারজেন্স ত্বরান্বিত করা যায়।

পরবর্তী প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো ডিফ্লেশনের মাধ্যমে এক এক করে অথবা একটি ব্লক হিসেবে একইসাথে গণনা করা যেতে পারে। প্রথম পদ্ধতিতে, ইতোমধ্যে গণনা করা আনুমানিক প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোর অসম্পূর্ণতা পরবর্তীতে গণনা করা প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোর নির্ভুলতাকে সংযোজনশীলভাবে প্রভাবিত করে, ফলে প্রতিটি নতুন গণনার সাথে ত্রুটি বৃদ্ধি পায়। ব্লক পাওয়ার পদ্ধতির পরবর্তী উপায়ে একক-ভেক্টর  এবং -এর পরিবর্তে ব্লক-ভেক্টর, ম্যাট্রিক্স  এবং  ব্যবহার করা হয়। -এর প্রতিটি কলাম শীর্ষস্থানীয় প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোর একটির আনুমানিক মান প্রদান করে, অন্যদিকে সমস্ত কলাম একসাথে পুনরাবৃত্ত হয়। মূল গণনা হলো গুণফল  মূল্যায়ন করা। উদাহরণস্বরূপ, এলওবিপিসিজিতে প্রয়োগ করা দক্ষ ব্লকিং ত্রুটির সঞ্চয় দূর করে, উচ্চ-স্তরের বিএলএএস ম্যাট্রিক্স-ম্যাট্রিক্স গুণফল ফাংশন ব্যবহারের অনুমতি দেয় এবং সাধারণত একক-ভেক্টর এক-এক-করে পদ্ধতির তুলনায় দ্রুততর কনভারজেন্সের দিকে পরিচালিত করে।

### নিপলস পদ্ধতি
*নন-লিনিয়ার ইটারেটিভ পার্শিয়াল লিস্ট স্কোয়ার্স (নিপলস)* হলো একটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট বা পার্শিয়াল লিস্ট স্কোয়ার্স বিশ্লেষণে প্রথম কয়েকটি কম্পোনেন্ট গণনা করার জন্য বিয়োগফল দ্বারা ম্যাট্রিক্স ডিফ্লেশনসহ শাস্ত্রীয় পাওয়ার ইটারেশনের একটি রূপ। অতি-উচ্চ-মাত্রিক ডেটাসেটগুলোর জন্য, যেমন ওমিক্স বিজ্ঞানে (উদাহরণস্বরূপ, জিনোমিক্স, মেটাবোলোমিক্স) উৎপন্ন ডেটাসেটগুলোর ক্ষেত্রে সাধারণত কেবল প্রথম কয়েকটি পিসি গণনা করা প্রয়োজন হয়। নন-লিনিয়ার ইটারেটিভ পার্শিয়াল লিস্ট স্কোয়ার্স (নিপলস) অ্যালগরিদমটি বাম এবং ডান দিকে প্রতি পুনরাবৃত্তিতে **X** দ্বারা গুণ করে পাওয়ার ইটারেশনের সাহায্যে শীর্ষস্থানীয় স্কোর এবং লোডিং **t**1 ও **r**1T-এর পুনরাবৃত্তিমূলক অ্যাপ্রক্সিমেশন আপডেট করে, অর্থাৎ কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা এড়ানো হয়, ঠিক যেমনটি  গুণফল মূল্যায়নকারী ফাংশনের ওপর ভিত্তি করে -এ পাওয়ার ইটারেশনের ম্যাট্রিক্স-মুক্ত প্রয়োগে করা হয়।

বিয়োগফল দ্বারা ম্যাট্রিক্স ডিফ্লেশনটি **X** থেকে আউটার প্রোডাক্ট **t**1**r**1T বিয়োগ করে সম্পাদন করা হয়, যার ফলে ডিফ্লেটেড রেসিডিউয়াল ম্যাট্রিক্স অবশিষ্ট থাকে যা পরবর্তী শীর্ষস্থানীয় পিসিগুলো গণনা করতে ব্যবহৃত হয়।
বৃহৎ ডেটা ম্যাট্রিক্স বা কলামের সমরেখতার (কোলিনিয়ারিটি) উচ্চ মাত্রা থাকা ম্যাট্রিক্সগুলোর ক্ষেত্রে, প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে সঞ্চিত মেশিন প্রিসিশন রাউন্ড-অফ ত্রুটি এবং বিয়োগ দ্বারা ম্যাট্রিক্স ডিফ্লেশনের কারণে নিপলস পিসিগুলোর লম্বতা বা অর্থোগোনালিটি হারানোর সমস্যায় ভোগে। অর্থোগোনালিটির এই ক্ষতি দূর করতে প্রতিটি পুনরাবৃত্তি ধাপে স্কোর এবং লোডিং উভয়ের ওপর একটি গ্রাম-শ্মিট রি-অর্থোগোনালাইজেশন অ্যালগরিদম প্রয়োগ করা হয়। একক-ভেক্টর গুণের ওপর নিপলসের নির্ভরতা উচ্চ-স্তরের বিএলএএস-এর সুবিধা নিতে পারে না এবং এর ফলে কাছাকাছি থাকা (ক্লাস্টার্ড) শীর্ষস্থানীয় সিঙ্গুলার ভ্যালুগুলোর জন্য ধীর কনভারজেন্স হয়—এই দুটি ত্রুটিই আরও উন্নত ম্যাট্রিক্স-মুক্ত ব্লক সলভার, যেমন লোকালি অপটিমাল ব্লক প্রিকন্ডিশন্ড কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট (এলওবিপিসিজি) পদ্ধতিতে সমাধান করা হয়।

### অনলাইন/পর্যায়ক্রমিক অনুমান
একটি "অনলাইন" বা "স্ট্রিমিং" পরিস্থিতিতে যেখানে ডেটা একক ব্যাচে সংরক্ষিত হওয়ার পরিবর্তে ধাপে ধাপে আসে, সেখানে পিসিএ প্রজেকশনের এমন একটি অনুমান করা কার্যকর যা পর্যায়ক্রমিকভাবে আপডেট করা যায়। এটি কার্যকরভাবে করা যেতে পারে, তবে এর জন্য ভিন্ন ভিন্ন অ্যালগরিদম প্রয়োজন।

## গুণগত চলকসমূহ
পিসিএ-তে, সাধারণত আমরা গুণগত চলকগুলোকে পরিপূরক উপাদান হিসেবে যুক্ত করতে চাই। উদাহরণস্বরূপ, উদ্ভিদের ওপর অনেক পরিমাণগত চলক পরিমাপ করা হয়েছে। এই উদ্ভিদগুলোর জন্য কিছু গুণগত চলকও পাওয়া যায়, যেমন উদ্ভিদটি কোন প্রজাতির অন্তর্গত। এই ডেটাগুলোতে পরিমাণগত চলকের জন্য পিসিএ প্রয়োগ করা হয়েছিল। ফলাফল বিশ্লেষণ করার সময়, প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোকে গুণগত চলক *প্রজাতি*-এর সাথে সংযুক্ত করাটাই স্বাভাবিক।
এর জন্য, নিচের ফলাফলগুলো তৈরি করা হয়।
* ফ্যাক্টোরিয়াল তলগুলোতে বিভিন্ন প্রজাতির শনাক্তকরণ, উদাহরণস্বরূপ, ভিন্ন ভিন্ন রঙ ব্যবহার করে।
* একই প্রজাতির অন্তর্গত উদ্ভিদগুলোর ভরকেন্দ্রের (সেন্টার অব গ্র্যাভিটি) ফ্যাক্টোরিয়াল তলগুলোতে উপস্থাপন।
* প্রতিটি ভরকেন্দ্র এবং প্রতিটি অক্ষের জন্য, ভরকেন্দ্র এবং মূলবিন্দুর মধ্যকার পার্থক্যের তাৎপর্য বিচার করতে পি-ভ্যালু নির্ণয়।

এই ফলাফলগুলোকেই বলা হয় *পরিপূরক উপাদান হিসেবে একটি গুণগত চলক প্রবর্তন করা*। এই প্রক্রিয়াটি হসন, লি, এবং পাজেস (২০০৯) এবং পাজেস (২০১৩)-এ বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে।
খুব কম সফটওয়্যারই "স্বয়ংক্রিয়ভাবে" এই বিকল্পটি প্রদান করে। স্প্যাড (SPAD)-এর ক্ষেত্রে এটি সত্য, যা ঐতিহাসিকভাবে লুডোভিক লেবার্ট-এর কাজের অনুসারী হিসেবে প্রথম এই বিকল্পটি প্রস্তাব করেছিল, এবং আর-প্যাকেজ ফ্যাক্টোমের (FactoMineR)-এও এই সুবিধা রয়েছে।

## প্রয়োগসমূহ

### বুদ্ধিমত্তা
ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসের প্রাথমিক প্রয়োগটি ছিল মানুষের বুদ্ধিমত্তার উপাদানগুলো নির্ণয় এবং পরিমাপে। এটি বিশ্বাস করা হতো যে বুদ্ধিমত্তার বিভিন্ন সম্পর্কহীন উপাদান রয়েছে যেমন স্থানিক বুদ্ধিমত্তা, শাব্দিক বুদ্ধিমত্তা, আরোহন (ইন্ডাকশন), অবরোহন (ডিডাকশন) ইত্যাদি এবং বিভিন্ন পরীক্ষার ফলাফল থেকে ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসের মাধ্যমে এগুলোর স্কোর নির্ণয় করা যেতে পারে, যা একটি একক সূচক প্রদান করবে যা বুদ্ধ্যাঙ্ক (আইকিউ) নামে পরিচিত। অগ্রগামী পরিসংখ্যানগত মনোবিজ্ঞানী স্পিয়ারম্যান মূলত ১৯০৪ সালে তার বুদ্ধিমত্তার দ্বি-উপাদান তত্ত্ব-এর জন্য ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস তৈরি করেছিলেন, যা সাইকোমেট্রিক্সের বিজ্ঞানে একটি আনুষ্ঠানিক কৌশল যুক্ত করেছিল। ১৯২৪ সালে থার্স্টোন বুদ্ধিমত্তার ৫৬টি ফ্যাক্টর খুঁজছিলেন, যা মানসিক বয়স (মেন্টাল এজ) ধারণাটির বিকাশ ঘটায়। বর্তমানের আদর্শ আইকিউ পরীক্ষাগুলো এই প্রাথমিক কাজের ওপর ভিত্তি করেই তৈরি।

### আবাসিক বিভাজন
১৯৪৯ সালে, শেভকি এবং উইলিয়ামস **ফ্যাক্টোরিয়াল ইকোলজি**-এর তত্ত্ব প্রবর্তন করেন, যা ১৯৫০-এর দশক থেকে ১৯৭০-এর দশক পর্যন্ত আবাসিক বিভাজনের গবেষণায় আধিপত্য বিস্তার করেছিল। একটি শহরের আশেপাশের এলাকাগুলোকে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের মাধ্যমে চেনা যেত বা একে অপরের থেকে আলাদা করা যেত, যেগুলোকে ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসের মাধ্যমে তিনটিতে নামিয়ে আনা সম্ভব হয়েছিল। এগুলো হলো 'সামাজিক পদমর্যাদা' (পেশাগত মর্যাদার একটি সূচক), 'ফ্যামিলিজম' বা পরিবারের আকার এবং 'জাতিসত্তা'; এরপর এই তিনটি মূল ফ্যাক্টর চলকের মানের ওপর ভিত্তি করে শহরটিকে বিভিন্ন গুচ্ছ বা এলাকায় ভাগ করার জন্য ক্লাস্টার অ্যানালাইসিস প্রয়োগ করা যেতে পারে। নগর ভূগোলে ফ্যাক্টোরিয়াল ইকোলজিকে কেন্দ্র করে ব্যাপক সাহিত্য গড়ে ওঠে, তবে পদ্ধতিগতভাবে সেকেলে হওয়ার কারণে এবং পোস্টমডার্ন ভৌগোলিক প্যারাডাইমগুলোতে এর তেমন কোনো স্থান না থাকায় ১৯৮০ সালের পর এই পদ্ধতিটি অপ্রচলিত হয়ে পড়ে।

ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসের অন্যতম সমস্যা হলো বিভিন্ন কৃত্রিম ফ্যাক্টরের জন্য বিশ্বাসযোগ্য নাম খুঁজে বের করা। ২০০০ সালে, ফ্লাড ফ্যাক্টোরিয়াল ইকোলজি পদ্ধতিটিকে পুনরুজ্জীবিত করে দেখান যে, প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস অ্যানালাইসিস প্রকৃতপক্ষে ফ্যাক্টর রোটেশনের আশ্রয় না নিয়েই সরাসরি অর্থবহ উত্তর প্রদান করে। প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো মূলত ছিল ডুয়াল চলক বা 'শক্তির' শ্যাডো প্রাইস যা শহরের মানুষদের একসাথে বা আলাদা করে রাখে। প্রথম কম্পোনেন্টটি ছিল 'প্রবেশযোগ্যতা', যা ভ্রমণের চাহিদা এবং স্থানের চাহিদার মধ্যে ধ্রুপদী ট্রেড-অফ (ভারসাম্য), যাকে কেন্দ্র করে ধ্রুপদী নগর অর্থনীতি গড়ে উঠেছে। পরবর্তী দুটি কম্পোনেন্ট ছিল 'অসুবিধা', যা সমমর্যাদার মানুষদের আলাদা আলাদা এলাকায় রাখে (পরিকল্পনার মাধ্যমে মধ্যস্থতা করা হয়), এবং জাতিসত্তা, যেখানে একই জাতিগত পটভূমির মানুষরা একসাথে বসবাস করার চেষ্টা করে।

প্রায় একই সময়ে, অস্ট্রেলিয়ান ব্যুরো অব স্ট্যাটিসটিকস সুবিধাজনক এবং অসুবিধাজনক অবস্থার জন্য আলাদা সূচক সংজ্ঞায়িত করে, যা গুরুত্বপূর্ণ বলে বিবেচিত মূল চলকগুলোর সেটের প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট গ্রহণ করে করা হয়। এই সিফা সূচকগুলো বিভিন্ন বিচারিক এলাকার জন্য নিয়মিত প্রকাশিত হয় এবং স্থানিক বিশ্লেষণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

### উন্নয়ন সূচকসমূহ
পিসিএ-কে সূচক তৈরির একটি আনুষ্ঠানিক পদ্ধতি হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে। বিকল্প হিসেবে, সূচক তৈরি এবং মূল্যায়নের জন্য কনফার্মেটরি কম্পোজিট অ্যানালাইসিস প্রস্তাব করা হয়েছে।

১৯৯৬ সালে ২৫৪টি বৈশ্বিক শহরের ওপর পরিচালিত একটি জরিপে শহরের ফলাফলের প্রায় ২০০টি নির্দেশক থেকে পিসিএ-এর মাধ্যমে সিটি ডেভেলপমেন্ট ইনডেক্স তৈরি করা হয়েছিল। প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টটির ওপর ইটারেটিভ রিগ্রেশন প্রয়োগ করা হয়েছিল, যেখানে মূল চলকগুলোকে একে একে যোগ করা হয়েছিল যতক্ষণ না এর ভেদাঙ্কের প্রায় ৯০% ব্যাখ্যা করা যায়। শেষ পর্যন্ত সূচকটিতে প্রায় ১৫টি নির্দেশক ব্যবহার করা হয়েছিল কিন্তু এটি আরও অনেক চলকের একটি ভালো পূর্বাভাষক (প্রেডিক্টর) ছিল। এর তুলনামূলক মান প্রতিটি শহরের অবস্থার একটি বিষয়গত মূল্যায়নের সাথে খুব ভালোভাবে মিলে গিয়েছিল। অবকাঠামোগত আইটেমগুলোর সহগগুলো প্রায় অন্তর্নিহিত পরিষেবাগুলো প্রদানের গড় খরচের সমানুপাতিক ছিল, যা নির্দেশ করে যে এই সূচকটি প্রকৃতপক্ষে শহরে কার্যকরী ভৌত এবং সামাজিক বিনিয়োগের একটি পরিমাপ ছিল।

ইউএনডিপি থেকে প্রকাশিত দেশ-ভিত্তিক হিউম্যান ডেভেলপমেন্ট ইনডেক্স (এইচডিআই), যা ১৯৯০ সাল থেকে প্রকাশিত হচ্ছে এবং উন্নয়ন গবেষণায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, তাতে অনুরূপ নির্দেশকগুলোতে প্রায় একই রকম সহগ রয়েছে, যা দৃঢ়ভাবে ইঙ্গিত দেয় যে এটি মূলত পিসিএ ব্যবহার করে তৈরি করা হয়েছিল।

### পপুলেশন জেনেটিক্স
১৯ ৭৮ সালে লুইজি লুকা কাভাল্লি-স্ফোরজা এবং অন্যান্যরা বিভিন্ন অঞ্চল জুড়ে মানুষের জিনের ফ্রিকোয়েন্সির তারতম্যের ডেটা সংক্ষেপ করতে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস অ্যানালাইসিস (পিসিএ) ব্যবহারের পথপ্রদর্শক ছিলেন। কম্পোনেন্টগুলো স্বতন্ত্র প্যাটার্ন দেখিয়েছিল, যার মধ্যে গ্রেডিয়েন্ট এবং সাইনোসয়ডাল তরঙ্গ অন্তর্ভুক্ত ছিল। তারা এই প্যাটার্নগুলোকে নির্দিষ্ট প্রাচীন অভিবাসন ঘটনার ফলাফল হিসেবে ব্যাখ্যা করেছিলেন।

তারপর থেকে, পপুলেশন জেনেটিক্সে পিসিএ-এর ব্যবহার সর্বব্যাপী হয়ে উঠেছে, যেখানে হাজার হাজার গবেষণাপত্রে পিসিএ-কে প্রদর্শনের একটি প্রক্রিয়া হিসেবে ব্যবহার করা হয়েছে। জেনেটিক্স মূলত নৈকট্যের ওপর ভিত্তি করে পরিবর্তিত হয়, তাই প্রথম দুটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট প্রকৃতপক্ষে স্থানিক বণ্টন দেখায় এবং বিভিন্ন জনগোষ্ঠীর আপেক্ষিক ভৌগোলিক অবস্থান ম্যাপ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, যার ফলে এমন ব্যক্তিদের দেখানো যায় যারা তাদের মূল অবস্থান থেকে দূরে চলে গেছে।

জেনেটিক্সে পিসিএ পদ্ধতিগতভাবে বিতর্কিত হয়েছে, কারণ কৌশলটি বিচ্ছিন্ন নন-নরমাল চলক এবং প্রায়শই বাইনারি অ্যালিল মার্কারের ওপর প্রয়োগ করা হয়েছে। পিসিএ-তে পরিমিত ত্রুটির কোনো পরিমাপ না থাকাও এর আরও সামঞ্জস্যপূর্ণ ব্যবহারের ক্ষেত্রে একটি বাধা। ২০২২ সালের আগস্টে, আণবিক জীববিজ্ঞানী এরান এলহাইক ১২টি পিসিএ প্রয়োগ বিশ্লেষণ করে সায়েন্টিফিক রিপোর্টস-এ একটি তাত্ত্বিক গবেষণাপত্র প্রকাশ করেন। তিনি উপসংহারে আসেন যে পদ্ধতিটি সহজেই ম্যানিপুলেট করা যায়, যা তার মতে 'ভুল, পরস্পরবিরোধী এবং অযৌক্তিক' ফলাফল তৈরি করে। বিশেষভাবে, তিনি যুক্তি দিয়েছিলেন যে, পপুলেশন জেনেটিক্সে অর্জিত ফলাফলগুলো চেরি-পিকিং এবং সার্কুলার রিজনিং-এর দ্বারা চিহ্নিত ছিল।

### বাজার গবেষণা এবং মনোভাবের সূচক
বাজার গবেষণায় পিসিএ-এর ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে। এটি পণ্যগুলোর জন্য গ্রাহক সন্তুষ্টি বা গ্রাহক আনুগত্যের স্কোর তৈরি করতে এবং ক্লাস্টারিংয়ের সাহায্যে বাজার বিভাজন তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়, যেগুলোকে বিজ্ঞাপন প্রচারণায় লক্ষ্য করা যেতে পারে, ঠিক যেমনটি ফ্যাক্টোরিয়াল ইকোলজি সমধর্মী বৈশিষ্ট্যযুক্ত ভৌগোলিক এলাকাগুলো শনাক্ত করে থাকে।

পিসিএ দ্রুত বিপুল পরিমাণ ডেটাকে ছোট, সহজে বোধগম্য চলকে রূপান্তরিত করে যা আরও দ্রুত এবং সহজে বিশ্লেষণ করা যায়। যেকোনো গ্রাহক প্রশ্নাবলিতে গ্রাহকদের মনোভাব জানার জন্য একাধিক প্রশ্ন থাকে এবং প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো এই মনোভাবগুলোর অন্তর্নিহিত সুপ্ত চলকগুলো খুঁজে বের করে। উদাহরণস্বরূপ, ২০১৩ সালের অক্সফোর্ড ইন্টারনেট সার্ভেতে ২০০০ জন মানুষকে তাদের মনোভাব এবং বিশ্বাস সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল এবং বিশ্লেষকরা সেখান থেকে চারটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট মাত্রা বের করেছিলেন, যেগুলোকে তারা 'পলায়ন', 'সোশ্যাল নেটওয়ার্কিং', 'দক্ষতা' এবং 'সমস্যা সৃষ্টি' হিসেবে চিহ্নিত করেছিলেন।

২০০৮ সালে জো ফ্লাড-এর আরেকটি উদাহরণে, অস্ট্রেলিয়ায় ২৬৯৭টি পরিবারের ওপর পরিচালিত একটি জাতীয় জরিপে ২৮টি মনোভাব সম্পর্কিত প্রশ্ন থেকে আবাসন বিষয়ক মনোভাবের একটি সূচক বের করা হয়েছিল। প্রথম প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টটি সম্পত্তি এবং বাড়ির মালিকানার প্রতি একটি সাধারণ মনোভাবের প্রতিনিধিত্ব করেছিল। সূচকটি, বা এর অন্তর্নিহিত মনোভাব সম্পর্কিত প্রশ্নগুলোকে, টেনিউর বা দখলের পছন্দের একটি জেনারেল লিনিয়ার মডেলে প্রদান করা যেতে পারে। ব্যক্তিগত ভাড়ার সবচেয়ে শক্তিশালী নির্ধারকটি আয়, বৈবাহিক অবস্থা বা পরিবারের ধরনের পরিবর্তে মনোভাব সূচকটি ছিল।

### কোয়ান্টিটেটিভ ফাইন্যান্স
কোয়ান্টিটেটিভ ফাইন্যান্স-এ, পিসিএ আর্থিক ঝুঁকি ব্যবস্থাপনায় ব্যবহৃত হয়,
এবং এটি অন্যান্য সমস্যায় যেমন পোর্টফোলিও অপটিমাইজেশন-এ প্রয়োগ করা হয়েছে।

পিসিএ সাধারণত ফিক্সড ইনকাম সিকিউরিটিজ এবং পোর্টফোলিও, এবং ইন্টারেস্ট রেট ডেরিভেটিভ জড়িত সমস্যাগুলোতে ব্যবহৃত হয়। 
এখানকার মূল্যায়নগুলো সম্পূর্ণ ইল্ড কার্ভ-এর ওপর নির্ভর করে, যা অসংখ্য অত্যন্ত ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত ইন্সট্রুমেন্ট নিয়ে গঠিত, এবং পিসিএ ব্যবহার করে এমন কয়েকটি কম্পোনেন্ট বা ফ্যাক্টরের একটি সেট সংজ্ঞায়িত করা হয় যা হারের গতিবিধি ব্যাখ্যা করে,
ফলে মডেলিং সহজ হয়।
একটি সাধারণ ঝুঁকি ব্যবস্থাপনা প্রয়োগ হলো মন্টে কার্লো সিমুলেশনে পিসিএ প্রয়োগ করে ভ্যালু অ্যাট রিস্ক (ভিএআর) গণনা করা।

এখানে, প্রতিটি সিমুলেশন-নমুনার জন্য, কম্পোনেন্টগুলোর ওপর জোর দেওয়া হয়, এবং হারগুলো, ও ফলস্বরূপ অপশন ভ্যালুগুলো পুনরায় তৈরি করা হয়; পরিশেষে পুরো রানের ওপর ভিএআর গণনা করা হয়। আংশিক ডিউরেশন এবং অন্যান্য সংবেদনশীলতার পরিপ্রেক্ষিতে ইন্টারেস্ট রেট রিস্ক-এর এক্সপোজার হেজিং করার ক্ষেত্রেও পিসিএ ব্যবহৃত হয়।উভয় ক্ষেত্রেই, সিস্টেমের সাধারণত প্রথম তিনটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট আগ্রহের বিষয় হয় (যা "শিফট", "টুইস্ট" এবং "কারভেচার" উপস্থাপন করে)।এই প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো পূর্বনির্ধারিত ম্যাচিউরিটিতে ইল্ডের কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স-এর একটি আইগেন-ডিকম্পোজিশন থেকে উদ্ভূত হয়; 
এবং যেখানে প্রতিটি কম্পোনেন্টের ভেদাঙ্ক হলো তার আইগেনভ্যালু (এবং যেহেতু কম্পোনেন্টগুলো অর্থোগোনাল, পরবর্তী মডেলিংয়ে কোনো সহসম্পর্ক যুক্ত করার প্রয়োজন হয় না)।

ইকুইটির ক্ষেত্রে, একটি সর্বোত্তম পোর্টফোলিও হলো সেটি যেখানে একটি নির্দিষ্ট স্তরের ঝুঁকির জন্য প্রত্যাশিত রিটার্ন সর্বাধিক হয়, অথবা বিকল্পভাবে, যেখানে একটি নির্দিষ্ট রিটার্নের জন্য ঝুঁকি ন্যূনতম হয়; আলোচনার জন্য মার্কোউইটজ মডেল দেখুন। তাই, একটি পদ্ধতি হলো পোর্টফোলিওর ঝুঁকি কমানো, যেখানে অন্তর্নিহিত স্টকের পরিবর্তে "প্রিন্সিপাল পোর্টফোলিওগুলোর" ওপর অ্যালোকেশন কৌশল প্রয়োগ করা হয়।
দ্বিতীয় পদ্ধতিটি হলো পোর্টফোলিও রিটার্ন বাড়ানো, যেখানে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো ব্যবহার করে ঊর্ধ্বমুখী সম্ভাবনাযুক্ত কোম্পানিগুলোর স্টক নির্বাচন করা হয়। আন্তর্জাতিক ইকুইটি মার্কেটগুলোর মধ্যে এবং মার্কেটগুলোর ভেতরে শিল্প বা সেক্টরের কোম্পানিগুলোর বিভিন্ন গ্রুপের মধ্যে সম্পর্ক বোঝার জন্যও পিসিএ ব্যবহৃত হয়েছে।

পিসিএ স্ট্রেস টেস্টিং-এও প্রয়োগ করা যেতে পারে, যা মূলত একটি কাল্পনিক প্রতিকূল অর্থনৈতিক পরিস্থিতি সহ্য করার জন্য কোনো ব্যাংকের ক্ষমতার একটি বিশ্লেষণ। এর উপযোগিতা হলো "[বেশ কয়েকটি] সামষ্টিক অর্থনৈতিক চলকে থাকা তথ্যকে আরও সহজে পরিচালনাযোগ্য একটি ডেটাসেটে রূপান্তর করা, যা পরে বিশ্লেষণের জন্য [ব্যবহার করা] যেতে পারে।" এখানে, ফলস্বরূপ ফ্যাক্টরগুলোকে যেমন সুদের হারের সাথে যুক্ত করা হয় – যা ফ্যাক্টরটির আইগেনভেক্টরের বৃহত্তম উপাদানগুলোর ওপর ভিত্তি করে – এবং তারপরে পর্যবেক্ষণ করা হয় যে প্রতিটি ফ্যাক্টরে একটি "শোক" কীভাবে প্রতিটি ব্যাংকের ইমপ্লাইড সম্পদকে প্রভাবিত করে।

### স্নায়ুবিজ্ঞান
কোনো উদ্দীপকের (স্টিমুলাস) নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলো শনাক্ত করতে নিউরোসায়েন্সে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস অ্যানালাইসিসের একটি রূপ ব্যবহৃত হয়, যা একটি নিউরনের অ্যাকশন পটেনশিয়াল তৈরির সম্ভাবনা বাড়িয়ে দেয়। এই কৌশলটি স্পাইক-ট্রিগারড কোভ্যারিয়েন্স অ্যানালাইসিস নামে পরিচিত। একটি সাধারণ প্রয়োগে, একজন পরীক্ষক উদ্দীপক হিসেবে একটি হোয়াইট নয়েজ প্রক্রিয়া উপস্থাপন করেন (সাধারণত টেস্ট সাবজেক্টের সংবেদনশীল ইনপুট হিসেবে, অথবা সরাসরি নিউরনে প্রবিষ্ট কারেন্ট হিসেবে) এবং ফলস্বরূপ নিউরন দ্বারা উৎপাদিত অ্যাকশন পটেনশিয়াল বা স্পাইকগুলোর একটি সারি রেকর্ড করেন। সম্ভবত, উদ্দীপকের নির্দিষ্ট কিছু বৈশিষ্ট্য নিউরনের স্পাইক করার সম্ভাবনা বাড়িয়ে তোলে। এই বৈশিষ্ট্যগুলো বের করার জন্য, পরীক্ষক *স্পাইক-ট্রিগারড এনসেম্বল*-এর কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স গণনা করেন, যা হলো স্পাইকের ঠিক আগের সমস্ত উদ্দীপকের সেট (একটি সসীম সময়ের উইন্ডোতে সংজ্ঞায়িত এবং ডিসক্রিটাইজ করা, সাধারণত ১০০ মিলিসেকেন্ডের ক্রমে)। স্পাইক-ট্রিগারড কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্স এবং *প্রাইওর স্টিমুলাস এনসেম্বল*-এর (একই দৈর্ঘ্যের সময়ের উইন্ডোতে সংজ্ঞায়িত সমস্ত উদ্দীপকের সেট) কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের মধ্যকার পার্থক্যের আইগেনভেক্টরগুলো তখন উদ্দীপকের স্পেসে সেই দিকগুলো নির্দেশ করে যে দিকগুলো বরাবর স্পাইক-ট্রিগারড এনসেম্বলের ভেদাঙ্ক প্রাইওর স্টিমুলাস এনসেম্বলের ভেদাঙ্ক থেকে সবচেয়ে বেশি আলাদা ছিল। নির্দিষ্টভাবে, বৃহত্তম ধনাত্মক আইগেনভ্যালুযুক্ত আইগেনভেক্টরগুলো সেই দিকগুলোর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে দিকগুলো বরাবর স্পাইক-ট্রিগারড এনসেম্বলের ভেদাঙ্ক প্রাইওরের ভেদাঙ্কের তুলনায় সবচেয়ে বড় ধনাত্মক পরিবর্তন দেখিয়েছিল। যেহেতু এগুলো ছিল সেই দিক যেগুলোতে উদ্দীপকের পরিবর্তন একটি স্পাইকের দিকে পরিচালিত করেছিল, তাই এগুলো প্রায়শই কাঙ্ক্ষিত প্রাসঙ্গিক উদ্দীপক বৈশিষ্ট্যগুলোর একটি ভালো অনুমান।

নিউরোসায়েন্সে, অ্যাকশন পটেনশিয়ালের আকার থেকে নিউরনের পরিচয় শনাক্ত করতেও পিসিএ ব্যবহৃত হয়। স্পাইক সর্টিং একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রক্রিয়া কারণ এক্সট্রাসেলুলার রেকর্ডিং কৌশলগুলো প্রায়শই একাধিক নিউরন থেকে সংকেত গ্রহণ করে। স্পাইক সর্টিংয়ে, প্রথমে অ্যাকশন পটেনশিয়াল ওয়েভফর্মগুলোর স্পেসের মাত্রিকতা কমাতে পিসিএ ব্যবহার করা হয়, এবং তারপর নির্দিষ্ট অ্যাকশন পটেনশিয়ালগুলোকে পৃথক নিউরনের সাথে যুক্ত করতে ক্লাস্টারিং অ্যানালাইসিস সম্পাদন করা হয়।

মাত্রা হ্রাসের একটি কৌশল হিসেবে পিসিএ বৃহৎ নিউরোনাল এনসেম্বলগুলোর সমন্বিত কার্যকলাপ শনাক্ত করতে বিশেষভাবে উপযুক্ত। মস্তিষ্কে ফেজ ট্রানজিশনের সময় কালেক্টিভ চলক, অর্থাৎ অর্ডার প্যারামিটার নির্ধারণে এটি ব্যবহৃত হয়েছে।

## অন্যান্য পদ্ধতির সাথে সম্পর্ক

### করেসপন্ডেন্স অ্যানালাইসিস

করেসপন্ডেন্স অ্যানালাইসিস (সিএ) জ্যঁ-পল বেনজেক্রি দ্বারা বিকশিত হয়েছিল
এবং এটি ধারণাগতভাবে পিসিএ-এর অনুরূপ, তবে এটি ডেটাকে (যা অঋণাত্মক হওয়া উচিত) এমনভাবে স্কেল করে যাতে সারি এবং কলামগুলোকে সমতুল্যভাবে বিবেচনা করা হয়। এটি ঐতিহ্যগতভাবে কন্টিনজেন্সি টেবিলগুলোতে প্রয়োগ করা হয়।
সিএ এই টেবিলের সাথে সম্পর্কিত কাই-স্কয়ারড স্ট্যাটিসটিককে লম্ব ফ্যাক্টরে বিভক্ত বা ডিকম্পোজ করে।যেহেতু সিএ একটি বর্ণনামূলক কৌশল, এটি এমন টেবিলগুলোতে প্রয়োগ করা যেতে পারে যার জন্য কাই-স্কয়ারড স্ট্যাটিসটিক উপযুক্ত বা অনুপযুক্ত।ডিট্রেন্ডেড করেসপন্ডেন্স অ্যানালাইসিস এবং ক্যানোনিকাল করেসপন্ডেন্স অ্যানালাইসিস-সহ সিএ-এর বেশ কয়েকটি রূপ উপলব্ধ। একটি বিশেষ সম্প্রসারণ হলো মাল্টিপল করেসপন্ডেন্স অ্যানালাইসিস, যাকে ক্যাটাগরিকাল ডেটার জন্য প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিসের প্রতিরূপ হিসেবে দেখা যেতে পারে।

### ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস

প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস অ্যানালাইসিস এমন চলক তৈরি করে যা মূল চলকগুলোর রৈখিক সমাহার। নতুন চলকগুলোর বৈশিষ্ট্য হলো যে চলকগুলো সবাই পরস্পর লম্ব। ক্লাস্টারিংয়ের আগে একটি প্রি-প্রসেসিং ধাপ হিসেবে পিসিএ রূপান্তরটি সহায়ক হতে পারে। পিসিএ হলো একটি ভেদাঙ্ক-কেন্দ্রিক পদ্ধতি যা চলকের মোট ভেদাঙ্ক পুনরুৎপাদন করতে চায়, যেখানে কম্পোনেন্টগুলো চলকের সাধারণ এবং অনন্য উভয় ভেদাঙ্ককেই প্রতিফলিত করে। পিসিএ সাধারণত ডেটা হ্রাস করার উদ্দেশ্যে (অর্থাৎ, চলক স্পেসকে সর্বোত্তম ফ্যাক্টর স্পেসে অনুবাদ করা) বেশি পছন্দ করা হয়, তবে সুপ্ত গঠন বা ফ্যাক্টর শনাক্ত করা লক্ষ্য হলে এটি উপযুক্ত নয়।

ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিসের অনুরূপ, কারণ ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসেও চলকের রৈখিক সমাহার জড়িত থাকে। পিসিএ থেকে আলাদা, ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস হলো একটি কোরিলেশন-কেন্দ্রিক পদ্ধতি যা চলকগুলোর মধ্যে আন্তঃ-সম্পর্কগুলো (ইন্টার-কোরিলেশন) পুনরুৎপাদন করতে চায়, যেখানে ফ্যাক্টরগুলো "অনন্য ভেদাঙ্ক বাদ দিয়ে চলকগুলোর সাধারণ ভেদাঙ্কের প্রতিনিধিত্ব করে"। কোরিলেশন ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, এটি অফ-ডায়াগোনাল পদগুলো (অর্থাৎ, শেয়ার করা কো-ভ্যারিয়েন্স) ব্যাখ্যা করার ওপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করার সমতুল্য, অন্যদিকে পিসিএ ডায়াগোনালে থাকা পদগুলো ব্যাখ্যা করার ওপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। তবে, একটি পার্শ্ব-ফলাফল হিসেবে, যখন অন-ডায়াগোনাল পদগুলো পুনরুৎপাদন করার চেষ্টা করা হয়, তখন পিসিএ তুলনামূলকভাবে ভালোভাবে অফ-ডায়াগোনাল কোরিলেশনগুলোর সাথেও মানানসই হওয়ার প্রবণতা দেখায়। বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে পিসিএ এবং ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিসের ফলাফলগুলো খুব একই রকম হয়, তবে এটি সর্বদা ঘটে না এবং এমন কিছু সমস্যা রয়েছে যেখানে ফলাফলগুলো উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন হয়। গবেষণার উদ্দেশ্য যদি ডেটা কাঠামো (অর্থাৎ, সুপ্ত গঠন বা ফ্যাক্টর) বা কজাল মডেলিং শনাক্ত করা হয়, তবে সাধারণত ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস ব্যবহৃত হয়। যদি ফ্যাক্টর মডেলটি ভুলভাবে প্রণয়ন করা হয় বা অনুমানগুলো পূরণ না হয়, তবে ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস ভুল ফলাফল দেবে।

### -মিনস ক্লাস্টারিং
এটি দাবি করা হয়েছে যে ক্লাস্টার সূচকগুলো দ্বারা নির্দিষ্ট করা -মিনস ক্লাস্টারিং-এর রিল্যাক্সড সমাধান প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলোর দ্বারা প্রদান করা হয়, এবং প্রধান দিকগুলো (প্রিন্সিপাল ডিরেকশনস) দ্বারা গঠিত পিসিএ সাবস্পেসটি ক্লাস্টার সেন্ট্রয়েড সাবস্পেসের অনুরূপ। তবে, পিসিএ যে -মিনস ক্লাস্টারিংয়ের একটি দরকারী রিল্যাক্সেশন, তা নতুন কোনো ফলাফল ছিল না, এবং ক্লাস্টার সেন্ট্রয়েড সাবস্পেস প্রধান দিকগুলো দ্বারা গঠিত—এই বিবৃতির বিপরীতে সহজেই পাল্টা উদাহরণ (কাউন্টার-এক্সাম্পল) বের করা যায়।

### নন-নেগেটিভ ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশন
 নন-নেগেটিভ ম্যাট্রিক্স ফ্যাক্টরাইজেশন (এনএমএফ) হলো মাত্রা হ্রাস করার একটি পদ্ধতি যেখানে ম্যাট্রিক্সের কেবল অঋণাত্মক উপাদানগুলো ব্যবহৃত হয়, তাই এটি জ্যোতির্বিজ্ঞানে একটি প্রতিশ্রুতিশীল পদ্ধতি, কারণ জ্যোতির্বিজ্ঞানগত সংকেতগুলো অঋণাত্মক হয়। পিসিএ কম্পোনেন্টগুলো একে অপরের ওপর লম্ব, অন্যদিকে এনএমএফ কম্পোনেন্টগুলো সবগুলোই অঋণাত্মক এবং তাই একটি অ-লম্ব ভিত্তি তৈরি করে।

পিসিএ-তে, প্রতিটি কম্পোনেন্টের অবদান তার সংশ্লিষ্ট আইগেনভ্যালুর মাত্রার ওপর ভিত্তি করে র‍্যাঙ্ক করা হয়, যা এম্পিরিক্যাল ডেটা বিশ্লেষণে ফ্র্যাকশনাল রেসিডিউয়াল ভ্যারিয়েন্স (এফআরভি)-এর সমতুল্য। এনএমএফ-এর ক্ষেত্রে, এর কম্পোনেন্টগুলো কেবল এম্পিরিক্যাল এফআরভি রেখাগুলোর ওপর ভিত্তি করে র‍্যাঙ্ক করা হয়। রেসিডিউয়াল ফ্র্যাকশনাল আইগেনভ্যালু প্লটগুলো, অর্থাৎ, মোট n সংখ্যক কম্পোনেন্ট দেওয়া থাকলে কম্পোনেন্ট সংখ্যা k-এর ফাংশন হিসেবে  1-\sum_{i=1}^k \lambda_i\Big/\sum_{j=1}^n \lambda_j, পিসিএ-এর জন্য একটি সমতল মালভূমি ধারণ করে, যেখানে কোয়াসি-স্ট্যাটিক নয়েজ দূর করার জন্য কোনো ডেটা ধরা পড়ে না, এরপর ওভার-ফিটিং (র‍্যান্ডম নয়েজ) নির্দেশক হিসেবে রেখাগুলো দ্রুত নিচে নেমে যায়। এনএমএফ-এর জন্য এফআরভি রেখাগুলো ক্রমাগত হ্রাস পায় যখন এনএমএফ কম্পোনেন্টগুলো পর্যায়ক্রমিকভাবে গঠন করা হয়, যা কোয়াসি-স্ট্যাটিক নয়েজের ক্রমাগত ধারণ নির্দেশ করে; এরপর পিসিএ-এর চেয়ে উচ্চতর স্তরে গিয়ে সমকেন্দ্রাভিমুখী হয়, যা এনএমএফ-এর কম ওভার-ফিটিং বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করে।

### আইকনোগ্রাফি অব কোরিলেশনস
যখন ডেটার মধ্যে বিভিন্ন উৎসের অনেক চলক থাকে বা যখন কিছু চলক গুণগত হয়, তখন প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো ব্যাখ্যা করা প্রায়শই কঠিন হয়ে পড়ে। এটি পিসিএ ব্যবহারকারীকে বেশ কয়েকটি চলকের সূক্ষ্ম অপসারণের দিকে পরিচালিত করে। যদি পর্যবেক্ষণ বা চলকগুলোর অক্ষের দিকের ওপর অতিরিক্ত প্রভাব থাকে, তবে সেগুলোকে অপসারণ করা উচিত এবং তারপর পরিপূরক উপাদান হিসেবে প্রজেক্ট করা উচিত। এছাড়াও, ফ্যাক্টোরিয়াল তলের কেন্দ্রের কাছাকাছি থাকা বিন্দুগুলোর মধ্যকার নৈকট্য ব্যাখ্যা করা এড়িয়ে চলা প্রয়োজন।

এর বিপরীতে, আইকনোগ্রাফি অব কোরিলেশনস, যা অক্ষের কোনো সিস্টেমের ওপর প্রজেকশন নয়, তাতে এই ধরনের কোনো অসুবিধা নেই। তাই আমরা সমস্ত চলক রাখতে পারি।

ডায়াগ্রামের নীতিটি হলো একটি কঠিন রেখা (ধনাত্মক সহসম্পর্ক) বা ডট-যুক্ত রেখা (ঋণাত্মক সহসম্পর্ক) দ্বারা কোরিলেশন ম্যাট্রিক্সের "উল্লেখযোগ্য" কোরিলেশনগুলোকে আন্ডারলাইন করা।

একটি শক্তিশালী কোরিলেশন যদি প্রত্যক্ষ না হয়ে তৃতীয় কোনো চলকের প্রভাবে সৃষ্টি হয়, তবে তা "উল্লেখযোগ্য" নয়। বিপরীতভাবে, দুর্বল কোরিলেশনগুলো "উল্লেখযোগ্য" হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি চলক Y একাধিক স্বাধীন চলকের ওপর নির্ভর করে, তবে তাদের প্রতিটির সাথে Y-এর কোরিলেশনগুলো দুর্বল হলেও তা "উল্লেখযোগ্য"।

## সাধারণীকরণসমূহ

### স্পার্স পিসিএ

পিসিএ-এর একটি বিশেষ অসুবিধা হলো যে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো সাধারণত সমস্ত ইনপুট চলকের রৈখিক সমাহার হয়। স্পার্স পিসিএ এমন রৈখিক সমাহারগুলো খুঁজে বের করে এই অসুবিধা দূর করে, যেগুলোতে কেবল কয়েকটি ইনপুট চলক থাকে। এটি ইনপুট চলকগুলোর ওপর স্পার্সনেস (বিরলতা) সীমাবদ্ধতা যুক্ত করে ডেটার মাত্রিকতা হ্রাস করার জন্য প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস (পিসিএ)-এর ধ্রুপদী পদ্ধতিকে প্রসারিত করে।
বেশ কয়েকটি পদ্ধতি প্রস্তাব করা হয়েছে, যার মধ্যে রয়েছে:
* একটি রিগ্রেশন ফ্রেমওয়ার্ক,
* একটি কনভেক্স রিল্যাক্সেশন/সেমিডেফিনিট প্রোগ্রামিং ফ্রেমওয়ার্ক,
* একটি সাধারণীকৃত পাওয়ার মেথড ফ্রেমওয়ার্ক
* একটি অল্টারনেটিং ম্যাক্সিমাইজেশন ফ্রেমওয়ার্ক
* শাখা-ও-সীমা (ব্রাঞ্চ-অ্যান্ড-বাউন্ড) কৌশল ব্যবহার করে ফরোয়ার্ড-ব্যাকওয়ার্ড গ্রিডি সার্চ এবং নির্ভুল পদ্ধতিসমূহ,
* বায়েসিয়ান ফর্মুলেশন ফ্রেমওয়ার্ক।
বৈজ্ঞানিক গবেষণায় স্পার্স পিসিএ-এর প্রয়োগগুলোর পাশাপাশি এর পদ্ধতিগত এবং তাত্ত্বিক বিকাশগুলো সম্প্রতি একটি জরিপ গবেষণাপত্রে পর্যালোচনা করা হয়েছে।

### ননলিনিয়ার পিসিএ

ননলিনিয়ার মাত্রিকতা হ্রাস করার বেশিরভাগ আধুনিক পদ্ধতি পিসিএ বা কে-মিনস থেকে তাদের তাত্ত্বিক এবং অ্যালগরিদমিক ভিত্তি খুঁজে পায়। পিয়ারসনের আসল ধারণাটি ছিল এমন একটি সরলরেখা (বা তল) নেওয়া যা ডেটা বিন্দুর একটি সেটের জন্য "সর্বোত্তম মানানসই" হবে। ট্রেভর হাস্টি পিসিএ-এর জ্যামিতিক ব্যাখ্যার স্বাভাবিক সম্প্রসারণ হিসেবে **প্রিন্সিপাল [[বক্ররেখা|কার্ভস]]** প্রস্তাব করে এই ধারণাটিকে প্রসারিত করেছিলেন, যা ডেটা অ্যাপ্রক্সিমেশনের জন্য স্পষ্টভাবে একটি ম্যানিফোল্ড তৈরি করে এবং তারপরে এর ওপর বিন্দুগুলোকে প্রজেক্ট করে। ইলাস্টিক ম্যাপ অ্যালগরিদম এবং প্রিন্সিপাল জিওডেসিক অ্যানালাইসিস-ও দেখুন। আরেকটি জনপ্রিয় সাধারণীকরণ হলো কার্নেল পিসিএ, যা একটি পজিটিভ ডেফিনিট কার্নেলের সাথে যুক্ত একটি রিপ্রোডিউসিং কার্নেল হিলবার্ট স্পেসে সম্পাদিত পিসিএ-এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

মাল্টিলিনিয়ার সাবস্পেস লার্নিং-এ, পিসিএ-কে মাল্টিলিনিয়ার পিসিএ (এমপিসিএ)-তে সাধারণীকৃত করা হয় যা সরাসরি টেনসর উপস্থাপনগুলো থেকে বৈশিষ্ট্যগুলো বের করে। টেনসরের প্রতিটি মোডে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে পিসিএ সম্পাদন করে এমপিসিএ সমাধান করা হয়। এমপিসিএ চেহারা শনাক্তকরণ (ফেস রিকগনিশন), হাঁটার ভঙ্গি শনাক্তকরণ (গেইট রিকগনিশন) ইত্যাদিতে প্রয়োগ করা হয়েছে। এমপিসিএ-কে আনকোরিলেটেড এমপিসিএ, নন-নেগেটিভ এমপিসিএ এবং রোবাস্ট এমপিসিএ-তে আরও প্রসারিত করা হয়েছে।

*এন*-ওয়ে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস মডেলগুলোর সাথে সম্পাদন করা যেতে পারে যেমন টাকার ডিকম্পোজিশন, প্যারাফ্যাক, মাল্টিপল ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস, কো-ইনার্শিয়া অ্যানালাইসিস, স্ট্যাটিস এবং ডিসস্ট্যাটিস।

### রোবাস্ট পিসিএ
যদিও পিসিএ গাণিতিকভাবে সর্বোত্তম পদ্ধতি (যেমন বর্গাকার ত্রুটি ন্যূনতম করার ক্ষেত্রে) খুঁজে বের করে, তবুও এটি ডেটায় থাকা আউটলায়ারগুলোর প্রতি সংবেদনশীল যা বড় ত্রুটি তৈরি করে, এমন কিছু যা এই পদ্ধতিটি শুরুতেই এড়াতে চায়। তাই পিসিএ গণনা করার আগে আউটলায়ারগুলো সরিয়ে ফেলা একটি সাধারণ প্রথা। তবে, কিছু প্রেক্ষাপটে আউটলায়ার শনাক্ত করা কঠিন হতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, কোরিলেশন ক্লাস্টারিং-এর মতো ডেটা মাইনিং অ্যালগরিদমগুলোতে, ক্লাস্টার এবং আউটলায়ারগুলোতে বিন্দুগুলোর বিন্যাস আগে থেকে জানা থাকে না।
একটি ওজনযুক্ত পিসিএ-এর ওপর ভিত্তি করে সম্প্রতি প্রস্তাবিত পিসিএ-এর একটি সাধারণীকরণ ডেটা অবজেক্টগুলোর আনুমানিক প্রাসঙ্গিকতার ওপর ভিত্তি করে সেগুলোকে বিভিন্ন ওজন (ওয়েট) প্রদান করে মজবুত হওয়ার ক্ষমতা (রোবাস্টনেস) বৃদ্ধি করে।

এল১-নর্ম ফর্মুলেশনের (এল১-পিসিএ) ওপর ভিত্তি করে পিসিএ-এর আউটলায়ার-প্রতিরোধী রূপগুলোও প্রস্তাব করা হয়েছে।

লো-র‍্যাঙ্ক এবং স্পার্স ম্যাট্রিক্সে ডিকম্পোজিশনের মাধ্যমে রোবাস্ট প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস (আরপিসিএ) হলো পিসিএ-এর এমন একটি পরিবর্তন যা ব্যাপকভাবে ত্রুটিযুক্ত পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে ভালোভাবে কাজ করে।

## অনুরূপ কৌশলসমূহ

### ইন্ডিপেন্ডেন্ট কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস
ইন্ডিপেন্ডেন্ট কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস (আইসিএ) প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিসের মতোই একই ধরনের সমস্যাগুলোর দিকে পরিচালিত হয়, তবে এটি ধারাবাহিক অ্যাপ্রক্সিমেশনের পরিবর্তে সংযোজনশীলভাবে বিভাজনযোগ্য কম্পোনেন্টগুলো খুঁজে বের করে।

### নেটওয়ার্ক কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস
একটি ম্যাট্রিক্স E দেওয়া থাকলে, এটি এটিকে দুটি ম্যাট্রিক্সে এমনভাবে ডিকম্পোজ করার চেষ্টা করে যাতে E=AP
 হয়। পিসিএ এবং আইসিএ-এর মতো কৌশলগুলো থেকে একটি মূল পার্থক্য হলো যে A-এর কিছু ভুক্তিকে ০ হওয়ার সীমাবদ্ধতা দেওয়া হয়। এখানে P-কে নিয়ন্ত্রক স্তর বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের ডিকম্পোজিশনের একাধিক সমাধান থাকতে পারে, তবে তারা প্রমাণ করে যে যদি নিচের শর্তগুলো পূরণ হয়:
# A-এর সম্পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্ক থাকতে হবে।
# A-এর প্রতিটি কলামে অন্তত L-1 সংখ্যক শূন্য থাকতে হবে, যেখানে L হলো A-এর কলাম সংখ্যা (অথবা বিকল্পভাবে P-এর সারি সংখ্যা)। এই মানদণ্ডের যৌক্তিকতা হলো, যদি নিয়ন্ত্রক স্তর থেকে একটি নোড এবং তার সাথে সংযুক্ত সমস্ত আউটপুট নোড সরিয়ে ফেলা হয়, তবে ফলাফলটিকে অবশ্যই সম্পূর্ণ কলাম র‍্যাঙ্কযুক্ত একটি কানেক্টিভিটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা চিহ্নিত করা উচিত।
# P-এর সম্পূর্ণ সারি র‍্যাঙ্ক থাকতে হবে।
তাহলে ডিকম্পোজিশনটি একটি স্কেলার দ্বারা গুণ করা পর্যন্ত অনন্য হয়।

### ডিসক্রিমিন্যান্ট অ্যানালাইসিস অব প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস

ডিসক্রিমিন্যান্ট অ্যানালাইসিস অব প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস (ডিএপিসি) হলো একটি মাল্টিভ্যারিয়েট পদ্ধতি যা জিনগতভাবে সম্পর্কিত ব্যক্তিদের ক্লাস্টার শনাক্ত এবং বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। জিনগত ভিন্নতাকে দুটি কম্পোনেন্টে ভাগ করা হয়: গ্রুপগুলোর মধ্যকার ভিন্নতা এবং গ্রুপের ভেতরের ভিন্নতা, এবং এটি প্রথমটিকে সর্বাধিক করে। লিনিয়ার ডিসক্রিমিন্যান্টগুলো হলো অ্যালিলগুলোর রৈখিক সমাহার যা ক্লাস্টারগুলোকে সবচেয়ে ভালোভাবে আলাদা করে। তাই যে অ্যালিলগুলো এই পৃথকীকরণে সবচেয়ে বেশি অবদান রাখে, সেগুলোই গ্রুপগুলোর মধ্যে সবচেয়ে লক্ষণীয়ভাবে ভিন্ন হয়। ডিএপিসি দ্বারা শনাক্ত করা গ্রুপিংয়ে অ্যালিলগুলোর অবদান গ্রুপগুলোর মধ্যে জিনগত বৈচিত্র্যকে চালিত করা জিনোমের অঞ্চলগুলো শনাক্ত করার অনুমতি দিতে পারে।
ডিএপিসি-তে, প্রথমে একটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস অ্যানালাইসিস (পিসিএ) ব্যবহার করে ডেটা রূপান্তরিত করা হয় এবং পরবর্তীতে ডিসক্রিমিন্যান্ট অ্যানালাইসিস (ডিএ) ব্যবহার করে ক্লাস্টারগুলো শনাক্ত করা হয়।

অ্যাডজেনেট প্যাকেজটি ব্যবহার করে আর-এ একটি ডিএপিসি বাস্তবায়ন করা যেতে পারে। (আরও তথ্য: ওয়েবে অ্যাডজেনেট)

### ডিরেকশনাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস

ডিরেকশনাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস (ডিসিএ) হলো বায়ুমণ্ডলীয় বিজ্ঞানে মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটাসেট বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত একটি পদ্ধতি। পিসিএ-এর মতো, এটি মাত্রা হ্রাস, উন্নত ভিজ্যুয়ালাইজেশন এবং বৃহৎ ডেটাসেটগুলোর উন্নত ব্যাখ্যাযোগ্যতার সুযোগ দেয়।
এছাড়াও পিসিএ-এর মতো এটি ইনপুট ডেটাসেট থেকে প্রাপ্ত একটি কোভ্যারিয়েন্স ম্যাট্রিক্সের ওপর ভিত্তি করে তৈরি।
পিসিএ এবং ডিসিএ-এর মধ্যে পার্থক্য হলো, ডিসিএ-তে অতিরিক্ত হিসেবে একটি ভেক্টরের দিক ইনপুট দিতে হয়, যাকে ইমপ্যাক্ট বা প্রভাব বলা হয়। 
যেখানে পিসিএ ব্যাখ্যাকৃত ভেদাঙ্ককে সর্বাধিক করে, সেখানে ডিসিএ ইমপ্যাক্টের সাপেক্ষে সম্ভাব্যতার ঘনত্বকে সর্বাধিক করে।
ডিসিএ-এর উদ্দেশ্য হলো একটি মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটাসেটের এমন কম্পোনেন্টগুলো খুঁজে বের করা যেগুলো একইসাথে সম্ভাব্য (সম্ভাব্যতার ঘনত্ব ব্যবহার করে পরিমাপ করা হয়) এবং গুরুত্বপূর্ণ (ইমপ্যাক্ট ব্যবহার করে পরিমাপ করা হয়)।
আবহাওয়ার পূর্বাভাসের এনসেম্বলে সবচেয়ে সম্ভাব্য এবং সবচেয়ে গুরুতর তাপপ্রবাহের প্যাটার্নগুলো খুঁজে বের করতে, এবং জলবায়ু পরিবর্তনের কারণে বৃষ্টিপাতের সবচেয়ে সম্ভাব্য এবং সবচেয়ে প্রভাবশালী পরিবর্তনগুলো খুঁজে পেতে ডিসিএ ব্যবহৃত হয়েছে।

## সফটওয়্যার/সোর্স কোড
* অ্যালগলিব – একটি সি++ এবং সি# লাইব্রেরি যা পিসিএ এবং ট্রাংকেটেড পিসিএ বাস্তবায়ন করে
* অ্যানালিটিকা – অন্তর্নির্মিত আইগেনডিকম্প ফাংশনটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট গণনা করে।
* এলকি – এতে প্রজেকশনের জন্য পিসিএ, পিসিএ-এর রোবাস্ট রূপগুলোর পাশাপাশি পিসিএ-ভিত্তিক ক্লাস্টারিং অ্যালগরিদমগুলো অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।
* গ্রেটল – `pca` কমান্ড অথবা `princomp()` ফাংশনের মাধ্যমে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস সম্পাদন করা যেতে পারে।
* জুলিয়া – মাল্টিভ্যারিয়েটস্ট্যাটস প্যাকেজে `pca` ফাংশনের মাধ্যমে পিসিএ সমর্থন করে।
* নাইম – এটি বিশ্লেষণের জন্য একটি জাভা ভিত্তিক নোডাল সাজানোর সফটওয়্যার, এতে পিসিএ, পিসিএ কম্পিউট, পিসিএ অ্যাপ্লাই, পিসিএ ইনভার্স নামক নোডগুলো এটি সহজে সম্পন্ন করে।
* মেপল – ডেটার একটি সেটের ওপর প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস সম্পাদন করতে পিসিএ কমান্ড ব্যবহৃত হয়।
* ম্যাথমেটিকা – কোভ্যারিয়েন্স এবং কোরিলেশন উভয় পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রিন্সিপালকম্পোনেন্টস কমান্ডের সাহায্যে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস বাস্তবায়ন করে।
* ম্যাথপিএইচপি – পিসিএ সমর্থনযুক্ত পিএইচপি গণিত লাইব্রেরি।
* ম্যাটল্যাব – এসভিডি ফাংশনটি মৌলিক সিস্টেমের অংশ। স্ট্যাটিস্টিকস টুলবক্সে, `princomp` এবং `pca` (আর২০১২বি) ফাংশনগুলো প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট প্রদান করে, অন্যদিকে `pcares` ফাংশনটি একটি লো-র‍্যাঙ্ক পিসিএ অ্যাপ্রক্সিমেশনের জন্য রেসিডিউয়াল এবং পুনর্গঠিত ম্যাট্রিক্স প্রদান করে।
* ম্যাটপ্লটলিব – একটি পাইথন লাইব্রেরি যার .mlab মডিউলে একটি পিসিএ প্যাকেজ রয়েছে।
* এমএলপ্যাক – সি++-এ প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিসের একটি বাস্তবায়ন প্রদান করে।
* এমআরম্যাথ – ডেলফি এবং ফ্রিপ্যাসকেলের জন্য একটি উচ্চ কর্মক্ষমতাসম্পন্ন গণিত লাইব্রেরি যা পিসিএ সম্পাদন করতে পারে; এর রোবাস্ট রূপগুলোও অন্তর্ভুক্ত।
* নাগ লাইব্রেরি – `g03aa` রুটিনের মাধ্যমে (লাইব্রেরির ফোরট্রান সংস্করণে উপলব্ধ) প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস অ্যানালাইসিস বাস্তবায়িত হয়।
* এনম্যাথ – ডট নেট ফ্রেমওয়ার্কের জন্য পিসিএ ধারণকারী মালিকানাধীন নিউমেরিক্যাল লাইব্রেরি।
* গনু অক্টেভ – ম্যাটল্যাবের সাথে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে সামঞ্জস্যপূর্ণ ফ্রি সফটওয়্যার কম্পিউটেশনাল পরিবেশ, `princomp` ফাংশনটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট প্রদান করে।
* ওপেনসিভি
* ওরাকল ডেটাবেস টুয়েলভসি – `SVDS_SCORING_PCA` সেটিং মান উল্লেখ করে `DBMS_DATA_MINING.SVDS_SCORING_MODE`-এর মাধ্যমে বাস্তবায়িত।
* অরেঞ্জ – এর ভিজ্যুয়াল প্রোগ্রামিং পরিবেশে পিসিএ-কে একীভূত করে। পিসিএ একটি স্ক্রি প্লট (ব্যাখ্যাকৃত ভেদাঙ্কের মাত্রা) প্রদর্শন করে যেখানে ব্যবহারকারী ইন্টারঅ্যাকটিভভাবে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টের সংখ্যা নির্বাচন করতে পারেন।
* অরিজিন – এর প্রো সংস্করণে পিসিএ রয়েছে।
* কিউলুকোর – পিসিএ ব্যবহার করে তাৎক্ষণিক প্রতিক্রিয়ার সাথে মাল্টিভ্যারিয়েট ডেটা বিশ্লেষণ করার জন্য বাণিজ্যিক সফটওয়্যার।
* আর – ফ্রি পরিসংখ্যানগত প্যাকেজ, প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিসের জন্য `princomp` এবং `prcomp` ফাংশন ব্যবহার করা যেতে পারে; `prcomp` সিঙ্গুলার ভ্যালু ডিকম্পোজিশন ব্যবহার করে যা সাধারণত ভালো সংখ্যাসূচক নির্ভুলতা দেয়। আর-এ পিসিএ বাস্তবায়ন করে এমন কিছু প্যাকেজের মধ্যে রয়েছে (তবে এগুলোর মধ্যেই সীমাবদ্ধ নয়): `ade4`, `vegan`, `ExPosition`, `dimRed`, এবং `FactoMineR`।
* স্যাস – মালিকানাধীন সফটওয়্যার; উদাহরণস্বরূপ, দেখুন।
* সাইকিট-লার্ন – মেশিন লার্নিংয়ের জন্য পাইথন লাইব্রেরি যার ডিকম্পোজিশন মডিউলে পিসিএ, প্রোবাবিলিস্টিক পিসিএ, কার্নেল পিসিএ, স্পার্স পিসিএ এবং অন্যান্য কৌশল রয়েছে।
* সাইক্ল্যাব – ফ্রি এবং ওপেন-সোর্স, ক্রস-প্ল্যাটফর্ম নিউমেরিক্যাল কম্পিউটেশনাল প্যাকেজ, `princomp` ফাংশনটি প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস গণনা করে, `pca` ফাংশনটি প্রমিত চলকগুলোর সাথে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস গণনা করে।
* এসপিএসএস – পিসিএ, ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস এবং সংশ্লিষ্ট ক্লাস্টার অ্যানালাইসিসের জন্য সমাজবিজ্ঞানীদের দ্বারা সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত মালিকানাধীন সফটওয়্যার।
* উয়েকা – মেশিন লার্নিংয়ের জন্য জাভা লাইব্রেরি যাতে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টগুলো গণনার জন্য মডিউলে রয়েছে।
## আরও দেখুন

* এক্সপ্লোরেটরি ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস (উইকিভার্সিটি)
* প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস (উইকিবুকস)

## তথ্যসূত্র

## আরও পড়ুন
* জ্যাকসন, জে.ই. (১৯৯১)। *আ ইউজার্স গাইড টু প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্টস* (উইলি)।
* 
* 
* হসন ফ্রাঁসোয়া, লি সেবাস্তিয়ান এবং পাজেস জেরোম (২০০৯)। *এক্সপ্লোরেটরি মাল্টিভ্যারিয়েট অ্যানালাইসিস বাই এক্সাম্পল ইউজিং আর*। চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল/সিআরসি দ্য আর সিরিজ, লন্ডন। ২২৪ পৃ. 
* পাজেস জেরোম (২০১৪)। *[https://books.google.com/books?id=_RIeBQAAQBAJ&q=%22principal+component+analysis%22 মাল্টিপল ফ্যাক্টর অ্যানালাইসিস বাই এক্সাম্পল ইউজিং আর]*। চ্যাপম্যান অ্যান্ড হল/সিআরসি দ্য আর সিরিজ লন্ডন ২৭২ পৃ.

## বহিসংযোগ

* 
* 
* আ টিউটোরিয়াল অন প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস
*  (১০০ সেকেন্ডের কম সময়ের একটি ভিডিও।)
* 
* স্ট্যাক ওভারফ্লো-তে প্রিন্সিপাল কম্পোনেন্ট অ্যানালাইসিস, আইগেনভেক্টর এবং আইগেনভ্যালু বোঝার জন্য সাধারণের ব্যবহারোপযোগী ব্যাখ্যা
* আরও দেখুন সফটওয়্যার বাস্তবায়ন-এর তালিকা

বিষয়শ্রেণী:ম্যাট্রিক্স ডিকম্পোজিশন
বিষয়শ্রেণী:মাত্রা হ্রাস