৯-জে প্রতীক

পদার্থবিজ্ঞানে, ইউজিন পল উইগনার ১৯৩৭ সালে উইগনারের ৯-জে প্রতীকগুলির প্রবর্তন করেন। এগুলি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের চারটি কৌণিক মোমেন্টাম জড়িত পুনঃসংযোগ সহগ-এর সাথে সম্পর্কিত:


  \sqrt{(2j_3+1)(2j_6+1)(2j_7+1)(2j_8+1)}
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}

 
   =
   \langle ( (j_1j_2)j_3,(j_4j_5)j_6)j_9 | ((j_1 j_4)j_7,(j_2j_5)j_8)j_9\rangle.


## চার কৌণিক ভরবেগের পুনঃসংযোগ
দুটি কৌণিক ভরবেগ \mathbf{j}_1 এবং \mathbf{j}_2 এর যুগ্মন হলো \mathbf{J}^2 এবং J_z এর একযোগে আইগেনফাংশন গঠন, যেখানে \mathbf{J}=\mathbf{j}_1+\mathbf{j}_2, যেমন ক্লেবশ-গর্ডান সহগ নিবন্ধে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

তিনটি কৌণিক ভরবেগের যুগ্মন বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে, যেমন রাকাহ ডব্লিউ-গুণাঙ্ক নিবন্ধে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। সেই নিবন্ধের প্রতীক এবং কৌশল ব্যবহার করে, \mathbf{j}_1, \mathbf{j}_2, \mathbf{j}_4, এবং \mathbf{j}_5 কৌণিক ভরবেগ ভেক্টর থেকে উদ্ভূত মোট কৌণিক ভরবেগের অবস্থাগুলিকে এভাবে লেখা যেতে পারে:
:
  | ((j_1j_2)j_3, (j_4j_5)j_6)j_9m_9\rangle.

বিকল্পভাবে, কেউ প্রথমে \mathbf{j}_1 এবং \mathbf{j}_4 কে \mathbf{j}_7 এর সাথে এবং \mathbf{j}_2 এবং \mathbf{j}_5 কে \mathbf{j}_8 এর সাথে যুক্ত করতে পারে, \mathbf{j}_7 এবং \mathbf{j}_8 কে \mathbf{j}_9 এর সাথে যুক্ত করার আগে:
:
  |((j_1j_4)j_7, (j_2j_5)j_8)j_9m_9\rangle.

উভয় ফাংশনের সেটই (2j_1+1)(2j_2+1)(2j_4+1)(2j_5+1) মাত্রা বিশিষ্ট স্থানটির জন্য একটি সম্পূর্ণ, অর্থোনরমাল ভিত্তি প্রদান করে।
:
  |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_4 m_4\rangle |j_5 m_5\rangle, \;\; 
  m_1=-j_1,\ldots,j_1;\;\; m_2=-j_2,\ldots,j_2;\;\; m_4=-j_4,\ldots,j_4;\;\;m_5=-j_5,\ldots,j_5.

অতএব, দুটি সেটের মধ্যেকার রূপান্তরটি ঐক্যিক এবং রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি ফাংশনগুলির স্কেলার গুণফল দ্বারা নির্ধারিত হয়।  রাকাহ ডব্লিউ-গুণাঙ্কের ক্ষেত্রে যেমন, এই ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি মোট কৌণিক ভরবেগ অভিক্ষেপ কোয়ান্টাম সংখ্যার উপর নির্ভরশীল নয়।
(m_9):
:
  |((j_1j_4)j_7, (j_2j_5)j_8)j_9m_9\rangle = \sum_{j_3}\sum_{j_6}
    | ((j_1j_2)j_3, (j_4j_5)j_6)j_9m_9\rangle
  \langle ( (j_1j_2)j_3,(j_4j_5)j_6)j_9 | ((j_1 j_4)j_7,(j_2j_5)j_8)j_9\rangle.


## প্রতিসাম্য সম্পর্ক
একটি ৯-জে প্রতীক উভয় তির্যক সম্পর্কে প্রতিবিম্বের অধীনে এবং এর সারি বা স্তম্ভের জোড় বিন্যাসের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে:
:
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
   = 
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_4 & j_7\\
    j_2 & j_5 & j_8\\
    j_3 & j_6 & j_9
  \end{Bmatrix}
  =
  \begin{Bmatrix}
    j_9 & j_6 & j_3\\
    j_8 & j_5 & j_2\\
    j_7 & j_4 & j_1
  \end{Bmatrix}
  =
  \begin{Bmatrix}
    j_7 & j_4 & j_1\\
    j_9 & j_6 & j_3\\
    j_8 & j_5 & j_2
  \end{Bmatrix}.


সারি বা স্তম্ভের বিজোড় বিন্যাসের ফলে (-1)^S, 
ফেজ ফ্যাক্টর পাওয়া যায়, যেখানে S = \sum_{i=1}^9 j_i

উদাহরণস্বরূপ:
:
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
  =
  (-1)^S
 \begin{Bmatrix}
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
  =
  (-1)^S
  \begin{Bmatrix}
    j_2 & j_1 & j_3\\
    j_5 & j_4 & j_6\\
    j_8 & j_7 & j_9
  \end{Bmatrix}.


## ৬জে প্রতীকে রূপান্তর
৯-*জে* প্রতীকগুলিকে ৬-*জে* প্রতীকের ত্রৈধ গুণফলের উপর যোগফল হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, যেখানে যোগফলটি গুণনীয়কগুলিতে ত্রিভুজ শর্ত দ্বারা স্বীকৃত সমস্ত   এর উপর বিস্তৃত:
:
 \begin{Bmatrix}
   j_1 & j_2 & j_3 \\
   j_4 & j_5 & j_6 \\
   j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix} = \sum_x (-1)^{2 x}(2 x + 1)
  \begin{Bmatrix}
   j_1 & j_4 & j_7 \\
   j_8 & j_9 & x
  \end{Bmatrix}
  \begin{Bmatrix}
   j_2 & j_5 & j_8 \\
   j_4 & x & j_6
  \end{Bmatrix}
  \begin{Bmatrix}
   j_3 & j_6 & j_9 \\
   x & j_1 & j_2
  \end{Bmatrix}
.

## বিশেষ ক্ষেত্র
যখন j_9 = 0 হয়, তখন ৯-জে প্রতীকটি একটি ৬-জে প্রতীক-এর সমানুপাতিক হয়:
:
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & 0
  \end{Bmatrix}
   = 
   \frac{\delta_{j_3,j_6} \delta_{j_7,j_8}}{\sqrt{(2j_3+1)(2j_7+1)}}
   (-1)^{j_2+j_3+j_4+j_7}
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_5 & j_4 & j_7
  \end{Bmatrix}.


## অর্থোগোনাল সম্পর্ক
৯-জে প্রতীকগুলি এই অর্থোগোনাল সম্পর্কটি পূরণ করে:
:
  \sum_{j_7 j_8} (2j_7+1)(2j_8+1)
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3'\\
    j_4 & j_5 & j_6'\\
    j_7 & j_8 & j_9
  \end{Bmatrix}
  = \frac{\delta_{j_3j_3'}\delta_{j_6j_6'} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_4 & j_5 & j_6\end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_3 & j_6 & j_9 \end{Bmatrix}}
         {(2j_3+1)(2j_6+1)}.


ত্রিভুজাকার ডেল্টা } ১ হয় যখন ত্রয়ী 
(*j*1, *j*2, *j*3) ত্রিভুজ শর্ত পূরণ করে, অন্যথায় শূন্য হয়

## 3n-j প্রতীক
৬-জে প্রতীক হল , -*j* প্রতীকের প্রথম প্রতিনিধি, যা উইগনারের 3-*jm* সহগের  গুণফলের যোগফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। যোগফলগুলি  এর সমস্ত সংমিশ্রণের উপরে বিস্তৃত যা -*j* সহগ স্বীকার করে, অর্থাৎ, যা অ-শূন্য অবদান রাখে।

যদি প্রতিটি 3-*jm* গুণনীয়ককে একটি শীর্ষবিন্দু দ্বারা এবং প্রতিটি জে কে একটি প্রান্ত দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তাহলে এই -*j* প্রতীকগুলিকে নির্দিষ্ট 3-নিয়মিত গ্রাফ-এ  প্রান্ত এবং  নোড সহ ম্যাপ করা যেতে পারে। 6-*j* প্রতীকটি ৪টি শীর্ষবিন্দুতে K<sub>4</sub> গ্রাফের সাথে, 9-*j* প্রতীকটি ৬টি শীর্ষবিন্দুতে ইউটিলিটি গ্রাফ (*K*3,3) এবং 8টি শীর্ষবিন্দুতে ''Q''<sub>3</sub> এবং ওয়াগনার গ্রাফ সহ দুটি স্বতন্ত্র (অ-সমরূপী) 12-*j* চিহ্নের সাথে যুক্ত। 
প্রতিসাম্য সম্পর্কগুলি সাধারণত এই গ্রাফগুলির অটোমরফিজম গ্রুপের বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়।

## আরও দেখুন
* ক্লেবচ–গর্ডান সহগ
* ৩-জে প্রতীক
* রাকাহ ডব্লিউ–সহগ
* ৬-জে প্রতীক

## তথ্যসূত্র
* * * 
*
* 
* 
* 
* 
* 
*{{cite journal
|first1=H. A.
|last1=Jahn
|first2=J.
|last2=Hope
|title=Symmetry properties of the Wigner 9j symbol
|journal=Physical Review
|year=1954
|volume=93

## বহিঃসংযোগ
*  (Gives answer in exact fractions)
*  (Answer as floating point numbers)
* 
*  (accurate; C, fortran, python)
*  (fast lookup, accurate; C, fortran)

বিষয়শ্রেণী:ঘূর্ণন প্রতিসাম্য
বিষয়শ্রেণী:কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান