রিম্যান হাইপোথিসিস

গণিতে, **রিম্যান হাইপোথিসিস** বা **রিম্যান অনুমান** একটি অনুমান বা অনুকল্প যার মূল বিবৃতি অনুযায়ী রিম্যান জিটা ফাংশনের শূন্যস্থান কেবল মাত্র ঋণাত্মক জোড় পূর্ণ সংখ্যা এবং বাস্তব অংশ যুক্ত জটিল সংখ্যাগুলিতে পাওয়া যায়। একে বিশুদ্ধ গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অমীমাংসিত সমস্যা হিসেবে বিবেচনা করা হয়। এটি সংখ্যাতত্ত্বে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সম্পর্কিত ধারণা প্রদান করে। এটি প্রথম প্রস্তাব করেছিলেন , যার নামে এটি পরিচিত।

রিম্যান হাইপোথিসিস এবং এর কিছু সম্প্রসারণ (যেমন গোল্ডবাখ অনুমান এবং যমজ মৌলিক অনুমান) ডেভিড হিলবার্টের তেইশটি অসমাধিত সমস্যার মধ্যে অষ্টম সমস্যা হিসেবে অন্তর্ভুক্ত। এটি ক্লে ম্যাথেমেটিক্স ইন্সটিটিউটের মিলেনিয়াম পুরস্কার সমস্যাগুলোর একটি, যার সমাধানের জন্য  *এক মিলিয়ন* মার্কিন ডলার পুরস্কার ঘোষণা করা হয়েছে। এছাড়া, এর সাথে সম্পর্কিত আরও কিছু সাধারণ অনুমান রয়েছে, যেমন: সসীম ক্ষেত্রের ওপর রিম্যান অনুমান।

রিম্যান জিটা ফাংশন, যাকে \zeta(s) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এমন একটি ফাংশন, যার আর্গুমেন্ট s যেকোনো জটিল সংখ্যা হতে পারে (১ ব্যতীত), এবং এর মানও জটিল। এর শূন্যস্থান ঋণাত্মক জোড় পূর্ণ সংখ্যায় পাওয়া যায়, অর্থাৎ \zeta(s)=0 যখন s হলো -2,-4,-6,\cdots,  এদেরকে *তুচ্ছ শূন্যস্থান* বলা হয়।

তবে, জিটা ফাংশনের আরও কিছু শূন্যস্থান রয়েছে, যেগুলো *অতুচ্ছ শূন্যস্থান* নামে পরিচিত। রিম্যান হাইপোথিসিস এই অতুচ্ছ শূন্যস্থানগুলোর অবস্থান নিয়ে আগ্রহী এবং অনুমানভিত্তিক ভাষ্য হলো:

এর ফলে, যদি অনুমানটি সঠিক হয়, তবে সব *অতুচ্ছ শূন্যস্থান* ক্রিটিকাল লাইনে থাকবে, যা \frac{1}{2}+it আকারে লিখা সম্ভব, যেখানে t একটি বাস্তব সংখ্যা এবং i হলো কাল্পনিক একক।

## রিম্যান জিটা ফাংশন
রিম্যান জিটা ফাংশন এমন জটিল সংখ্যা s এর জন্য সংজ্ঞায়িত যার বাস্তব অংশ ১ এর চেয়ে বড় (অর্থাৎ \operatorname{Re}(s)> 1) এবং নিম্নলিখিত পরম অভিসারী অসীম ধারার মাধ্যমে এটিকে প্রকাশ করা যায়:  
\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots  

লিওনার্ড অয়লার ১৭৩০ এর দশকে বাসেল সমস্যার সমাধানকালে এই ধারাটি বাস্তব s এর জন্য বিশ্লেষণ করেন। তিনি প্রমাণ করেন যে এটি অয়লার গুণফলের সমতুল্য:  
\zeta(s) = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots  
যেখানে অসীম গুণফলটি সমস্ত মৌলিক সংখ্যার (p) উপর বিস্তৃত

রিম্যান অনুমিতি এই ধারা ও অয়লার গুণফলের অভিসারী অঞ্চলের (\text{region of convergence}) বাইরের শূন্যগুলি নিয়ে আলোচনা করে। এই অনুমিতিকে অর্থবহ করতে ফাংশনটিকে বিশ্লেষণীভাবে সম্প্রসারিত (\text{analytically continue}) করে একটি এমন রূপে আনতে হয় যা সমস্ত জটিল s-এর জন্য বৈধ। যেহেতু জিটা ফাংশন মেরোমর্ফিক (\text{meromorphic}), তাই অভেদ উপপাদ্যানুযায়ী (\text{identity theorem}) যেকোনো পদ্ধতিতে সম্প্রসারণ একই ফল দেবে।  

প্রথম পদক্ষেপ: জিটা ফাংশন ও ডিরিখলেট ইটা ফাংশনের (\text{Dirichlet eta function}) মধ্যে সম্পর্ক:  
\left(1-\frac{2}{2^s}\right)\zeta(s) = \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots  
এই সম্পর্ক উভয় ধারার অভিসারী অঞ্চলে প্রযোজ্য। কিন্তু ডানপক্ষের ইটা ফাংশনের ধারা কেবল \operatorname{Re}(s) > 1-এ নয়, বরং যেকোনো \operatorname{Re}(s) > 0 ক্ষেত্রেও অভিসৃত হয়। সুতরাং জিটা ফাংশনকে পুনঃসংজ্ঞায়িত করা যায়:  
\zeta(s) = \frac{\eta(s)}{1 - 2^{1-s}}  
এটি ফাংশনের ডোমেইনকে \operatorname{Re}(s) > 1 থেকে \operatorname{Re}(s) > 0-এ সম্প্রসারিত করে, তবে 1 - 2^{1-s} = 0 এমন বিন্দুগুলি বাদে। এই বিন্দুগুলি:  
s = 1 + \frac{2\pi i n}{\ln 2} \quad (n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\})  
সীমার মাধ্যমে এখানেও জিটা ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যায় (দেখুন)। ফলে \operatorname{Re}(s) > 0 অঞ্চলে s=1 বিন্দুতে সরল মেরু (\text{simple pole}) ছাড়া সর্বত্র ফাংশনটি সসীম।

0  স্ট্রিপে রিম্যান জিটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণ প্রযোজ্য:  
\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1}  \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)  \Gamma(1-s)  \zeta(1-s)  
এই সমীকরণ ব্যবহার করে \operatorname{Re}(s) \leq 0 (এবং s \neq 0) অঞ্চলে জিটা ফাংশন সংজ্ঞায়িত হয়।  
*তুচ্ছ শূন্য: s = -2, -4, -6, \ldots (ঋণাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা) → \sin(\pi s/2) = 0 → \zeta(s) = 0।  
*\zeta(0) = -\frac{1}{2}: কার্যকরী সমীকরণ থেকে নয়, বরং s \to 0 সীমা থেকে প্রাপ্ত।  
*অতুচ্ছ শূন্য: কার্যকরী সমীকরণ অনুসারে, ঋণাত্মক বাস্তব অংশে তুচ্ছ শূন্য ছাড়া অন্য কোনো শূন্য নেই। সুতরাং সমস্ত অতুচ্ছ শূন্য ক্রিটিকাল স্ট্রিপে (0 ) অবস্থিত।

  
চিত্র:ParametricZeta.svg|**ক্রিটিকাল লাইন:** \operatorname{Re}(s) = \frac{1}{2} বরাবর জিটা ফাংশনের বাস্তব (অনুভূমিক) ও কাল্পনিক (উল্লম্ব) অংশ, t \in [-30, 30]।  
চিত্র:Riemann3d Re 0.1 to 0.9 Im 1 to 51.ogg|**ত্রিমাত্রিক দৃশ্য:** নীল (ক্রিটিকাল স্ট্রিপ: 0.1 \leq \operatorname{Re}(s) \leq 0.9), লাল (ক্রিটিকাল লাইন), শূন্য (ক্রস)।  
চিত্র:RiemannCriticalLine.svg|**ক্রিটিক্যাল লাইনে মান:** প্রথম অতুচ্ছ শূন্যগুলি \operatorname{Im}(s) = \pm 14.135, \pm 21.022, \pm 25.011 বিন্দুতে।  


## উৎপত্তি

রিমান ζ ফাংশন ও তার শূন্যবিন্দুগুলো নিয়ে গবেষণা শুরু করেন কারণ এগুলো তাঁর স্পষ্ট সূত্রে উপস্থিত, যা একটি প্রদত্ত সংখ্যা *x*-এর নিচে বা সমান যতগুলো মৌলিক সংখ্যা রয়েছে তা গণনা করে — অর্থাৎ (*x*)। তিনি এই সূত্রটি উপস্থাপন করেন তাঁর ১৮৫৯ সালের প্রবন্ধ *On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude*-এ। সূত্রটি নিচের সম্পর্কিত ফাংশনের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়:
:\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi(x^{1/2}) +\tfrac{1}{3} \pi(x^{1/3}) + \tfrac{1}{4}\pi(x^{1/4}) + \tfrac{1}{5} \pi(x^{1/5}) +\tfrac{1}{6}\pi(x^{1/6}) +\cdots 
এই ফাংশনটি *x* পর্যন্ত সকল মৌলিক সংখ্যা ও তাদের ঘাতকে গণনা করে, যেখানে একটি মৌলিক ঘাত *p**n* কে  হিসেবে গণনা করা হয়। 

এরপর, মবিয়াস বিপরীত সূত্র ব্যবহার করে মূল π(*x*) পুনরুদ্ধার করা যায়:
:\begin{align} 
\pi(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)} n \Pi(x^{1/n}) \\ 
       &= \Pi(x) -\frac{1}{2}\Pi(x^{1/2}) - \frac{1}{3}\Pi(x^{1/3}) - \frac{1}{5}\Pi(x^{1/5}) + \frac{1}{6} \Pi(x^{1/6}) -\cdots, 
\end{align}
যেখানে *μ* হলো মবিয়াস ফাংশন।

রিমানের সূত্রটি হলো:
:\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_\rho \operatorname{li}(x^\rho) -\log 2 + \int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1) \log t}
এখানে, যোগফলটি ζ ফাংশনের সব গুরত্বপূর্ণ শূন্যবিন্দু *ρ* এর উপর নির্ভর করে এবং Π0 হলো Π ফাংশনের একটি পরিবর্তিত রূপ, যেখানে অসতততা বিন্দুতে এর মান উপরের ও নিচের সীমার গড় হিসেবে গ্রহণ করা হয়:
:\Pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\Pi(x-\varepsilon) + \Pi(x+\varepsilon)}2. 

উল্লেখ্য, এই সূত্রে শূন্যবিন্দুগুলোর উপর ভিত্তি করে যোগফলটি পরমভাবে অভিসারী নয়, তবে এগুলিকে কল্পাংশের মান অনুযায়ী সাজিয়ে হিসাব করা যায়। প্রথম পদে ব্যবহৃত li ফাংশন হলো (অব্যাহত) লগারিদমিক অন্তর্লগ্ন ফাংশন, যা নিচের বিভাজ্য ইন্টিগ্রালের কোশি প্রধান মান হিসেবে সংজ্ঞায়িত:
:\operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\log t}.

ζ ফাংশনের শূন্যবিন্দু *ρ* যুক্ত li(*x**ρ*) এই পদগুলো সংজ্ঞায়িত করতে কিছুটা সতর্কতা প্রয়োজন, কারণ li ফাংশনের ০ ও ১ এ শাখা বিন্দু রয়েছে। তাই এগুলোকে (যখন *x* &gt; 1) ধরা হয় একটি জটিল চলরাশিতে বিশ্লেষণাত্মক সম্প্রসারণ হিসেবে — অর্থাৎ । অন্যান্য ছোট ছোট পদগুলোও বিভিন্ন শূন্যবিন্দুর প্রতিনিধিত্ব করে। li(*x*) পদটি আসে *s* = 1এর একটি মেরু থেকে, যেটিকে −1 গুণের একটি শূন্যবিন্দু হিসেবে ধরা হয়। বাকি ছোট ছোট পদগুলো আসে স্বাভাবিক শূন্যবিন্দু থেকে। এই সিরিজের প্রথম কয়েকটি পদ সংক্রান্ত গ্রাফ দেখতে পারেন  অথবা ।

এই সূত্রটি ইঙ্গিত করে যে, রিমান ζ ফাংশনের শূন্যবিন্দুগুলো মৌলিক সংখ্যার "প্রত্যাশিত" অবস্থানের চারপাশে দোলনের নিয়ন্ত্রণ করে। রিমান জানতেন যে এই গুরত্বপূর্ণ শূন্যবিন্দুগুলো সমান্তরালভাবে *s* = 1/2 + *it* রেখার চারপাশে ছড়ানো এবং এগুলো 0 ≤ Re(*s*) ≤ 1 পরিসরের মধ্যেই থাকবে। তিনি হাতে গোনা কয়েকটি শূন্যবিন্দু যাচাই করেছিলেন যেগুলো এই রেখার ওপর অবস্থিত এবং ধারণা করেছিলেন বাকিগুলোও তাই — এটিই রিম্যান অনুমান।

## বিশেষ ফলাফল
১৯১৫ সালে, রিম্যান অনুমানের প্রেক্ষিতে রামানুজন প্রমাণ করেন যে, 
:\sigma(n) 
(যেখানে γ হলো  অয়লার–মাস্কেরনি ধ্রুবক) সকল যথেষ্ট বৃহৎ *n* এর জন্য সত্য । এই অসমতাকে লঙ্ঘন করে এমন সর্বোচ্চ পরিচিত মান n=5040।
১৯৮৪ সালে,  রবিন প্রমাণ করেন যে, এই অসমতা সকল n > 5040 এর জন্য তখনই সত্য, যদি ও কেবল যদি রিম্যান হাইপোথিসিস সত্য হয় । এই ফলাফলটি **রবিনের অসমতা** নামে পরিচিত।

রবিন আরও দেখিয়েছেন যে, যদি রিম্যান হাইপোথিসিস মিথ্যা হয়, তবে অসংখ্য এমন n রয়েছে যা অসমতাটিকে লঙ্ঘন করবে, এবং জানা গেছে যে, 5040 এর পরের ক্ষুদ্রতম এমন n অবশ্যই সুপার অ্যাবান্ড্যান্ট সংখ্যা হতে হবে । এছাড়াও, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে, বৃহৎ বিজোড় ও বর্গমুক্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য এই অসমতা সত্য এবং মৌলিক সংখ্যার পঞ্চম ঘন দ্বারা বিভাজ্য n এর জন্য রিম্যান হাইপোথিসিস এই অসমতার সমতুল্য ।

রবিন আরও প্রমাণ করেছেন যে নিম্নলিখিত অসমতা
:\ \sigma(n) 
সকল n\geq3এর জন্য সত্য।

২০০২ সালে জেফ্রি লাগারিয়াস সংশ্লিষ্ট ঊর্ধ্বসীমা প্রদান করেন, যিনি প্রমাণ করেছেন যে রিম্যান  হাইপোথিসিসটি নিম্নলিখিত বিবৃতির সমতুল্য:
: \sigma(n) 
যখন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা n>1, যেখানে H_n হলো nতম হারমোনিক সংখ্যা ।

## তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:১৮৫৯-এ প্রবর্তন
বিষয়শ্রেণী:বিশ্লেষণী সংখ্যাতত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:বার্নহার্ড রিম্যান
বিষয়শ্রেণী:অনুমান
বিষয়শ্রেণী:হিলবার্টের সমস্যা
বিষয়শ্রেণী:অনুকল্প
বিষয়শ্রেণী:সহস্রাব্দ পুরস্কারের সমস্যা
বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বের অমীমাংসিত সমস্যা
বিষয়শ্রেণী:জেটা- ও এল-অপেক্ষক