কৌণিক ভরবেগ অপারেটর

কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে, **কৌণিক ভরবেগ অপারেটর** হলো ধ্রুপদী কৌণিক ভরবেগের অনুরূপ বেশ কিছু সম্পর্কিত অপারেটরের মধ্যে একটি। পারমাণবিক ও আণবিক পদার্থবিজ্ঞানের তত্ত্বে এবং ঘূর্ণন প্রতিসাম্য যুক্ত অন্যান্য কোয়ান্টাম সমস্যা সমাধানে কৌণিক ভরবেগ অপারেটর অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এটি একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি হওয়ায়, এর আইগেনফাংশনগুলো একটি সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের স্বতন্ত্র ভৌত অবস্থাকে নির্দেশ করে এবং এর সংশ্লিষ্ট আইগেনমানগুলো পরীক্ষালব্ধ মানসমূহ প্রদর্শন করে। সিস্টেমের কোনো অবস্থার গাণিতিক উপস্থাপনার ওপর এটি প্রয়োগ করলে, যদি অবস্থাটি একটি আইগেন-অবস্থা হয়, তবে ফলাফল হিসেবে সেই একই অবস্থার সাথে কৌণিক ভরবেগের মানের গুণফল পাওয়া যায় (আইগেন-অবস্থা/আইগেনমান সমীকরণ অনুযায়ী)। ধ্রুপদী এবং কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান উভয় পদ্ধতিতেই কৌণিক ভরবেগ (রৈখিক ভরবেগ এবং শক্তির সাথে) গতির তিনটি মৌলিক ধর্মের একটি।

কৌণিক ভরবেগ অপারেটর কয়েক ধরনের হতে পারে: **মোট কৌণিক ভরবেগ** (সাধারণত **J** দ্বারা চিহ্নিত), **কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ** (সাধারণত **L** দ্বারা চিহ্নিত), এবং **স্পিন কৌণিক ভরবেগ** (সংক্ষেপে **স্পিন**, সাধারণত **S** দ্বারা চিহ্নিত)। 'কৌণিক ভরবেগ অপারেটর' শব্দটি কখনো কখনো বিভ্রান্তিকরভাবে মোট অথবা কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ—উভয়কেই বোঝাতে পারে। মোট কৌণিক ভরবেগ সর্বদা সংরক্ষিত থাকে, এ বিষয়ে নোয়েদারের উপপাদ্য দেখুন।

## সারসংক্ষেপ

কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে কৌণিক ভরবেগ বলতে তিনটি ভিন্ন কিন্তু সম্পর্কিত বিষয়কে বোঝানো হতে পারে।

### কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ
কৌণিক ভরবেগের ধ্রুপদী সংজ্ঞা হলো \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}। এই রাশিগুলোর কোয়ান্টাম-বলবৈজ্ঞানিক প্রতিরূপগুলোও একই সম্পর্ক মেনে চলে:
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}
যেখানে **r** হলো কোয়ান্টাম অবস্থান অপারেটর, **p** হলো কোয়ান্টাম ভরবেগ অপারেটর, × হলো ক্রস গুণন, এবং **L** হলো *কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ অপারেটর*। **L** (ঠিক **p** এবং **r** এর মতো) একটি *ভেক্টর অপারেটর* (এমন একটি ভেক্টর যার উপাদানগুলো অপারেটর), অর্থাৎ \mathbf{L} = \left(L_x, L_y, L_z\right) যেখানে *L*x, *L*y, *L*z হলো তিনটি ভিন্ন কোয়ান্টাম-বলবৈজ্ঞানিক অপারেটর।

বৈদ্যুতিক আধান এবং স্পিন নেই এমন একটি একক কণার বিশেষ ক্ষেত্রে, কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ অপারেটরকে অবস্থান ভিত্তিতে এভাবে লেখা যায়:
\mathbf{L} = -i\hbar(\mathbf{r} \times \nabla)
যেখানে  হলো ভেক্টর অন্তরকলন অপারেটর, বা ডেল।

### স্পিন কৌণিক ভরবেগ

কৌণিক ভরবেগের আরেকটি ধরন রয়েছে, যাকে ''স্পিন কৌণিক ভরবেগ'' (সংক্ষেপে *স্পিন*) বলা হয়, যা স্পিন অপারেটর \mathbf{S} = \left(S_x, S_y, S_z\right) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। স্পিনকে প্রায়ই কোনো কণার আক্ষরিক অর্থে নিজের অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণন হিসেবে চিত্রিত করা হয়, তবে এটি কেবল একটি রূপক মাত্র: এর সবচেয়ে কাছাকাছি ধ্রুপদী সদৃশ ধারণাটি তরঙ্গের সঞ্চালনের ওপর ভিত্তি করে তৈরি। সব মৌলিক কণার একটি নিজস্ব স্পিন থাকে (স্কেলার বোসনের স্পিন শূন্য)। উদাহরণস্বরূপ, ইলেকট্রনের স্পিন সর্বদা "১/২" এবং ফোটনের স্পিন সর্বদা "১" হয় (বিস্তারিত নিচে দেখুন)।

### মোট কৌণিক ভরবেগ
সবশেষে রয়েছে মোট কৌণিক ভরবেগ \mathbf{J} = \left(J_x, J_y, J_z\right), যা একটি কণা বা সিস্টেমের স্পিন এবং কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ উভয়কে একত্রিত করে:
\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}.

কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণশীলতা অনুযায়ী, একটি বিচ্ছিন্ন সিস্টেম বা সমগ্র মহাবিশ্বের জন্য **J** সংরক্ষিত থাকে। তবে, **L** এবং **S** সাধারণত সংরক্ষিত থাকে না। উদাহরণস্বরূপ, স্পিন-অরবিট মিথস্ক্রিয়া  চলাকালীন কৌণিক ভরবেগ **L** এবং **S** এর মধ্যে আদান-প্রদান হতে পারে, যেখানে মোট **J** ধ্রুবক থাকে।

## বিনিময় সম্পর্ক

### উপাংশগুলোর মধ্যে বিনিময় সম্পর্ক
কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ অপারেটর একটি ভেক্টর অপারেটর, যার অর্থ এটিকে এর ভেক্টর উপাংশ \mathbf{L} = \left(L_x, L_y, L_z\right) এর মাধ্যমে লেখা যেতে পারে। এই উপাংশগুলোর একে অপরের সাথে নিম্নোক্ত বিনিময় সম্পর্ক রয়েছে:
\left[L_x, L_y\right] = i\hbar L_z, \;\; \left[L_y, L_z\right] = i\hbar L_x, \;\; \left[L_z, L_x\right] = i\hbar L_y,

যেখানে  দ্বারা কমিউটেটর বোঝানো হয়েছে
[X, Y] \equiv XY - YX.

এটিকে এভাবেও লেখা যায়
\left[L_l, L_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} L_n,
যেখানে *l*, *m*, *n* হলো উপাংশ সূচক (*x* এর জন্য ১, *y* এর জন্য ২, *z* এর জন্য ৩), এবং  লেভি-সিভিটা প্রতীক নির্দেশ করে। বিকল্পভাবে, আইনস্টাইনের সমষ্টি নীতি ব্যবহার করেও এটি লেখা সম্ভব:
\left[L_l, L_m\right] = i \hbar \varepsilon_{lmn} L_n.

একটি ভেক্টর সমীকরণ হিসেবেও এর সংক্ষিপ্ত প্রকাশ সম্ভব:
\mathbf{L} \times \mathbf{L} = i\hbar \mathbf{L}

এই বিনিময় সম্পর্কগুলো ক্যানোনিকাল বিনিময় সম্পর্কের ([x_l,p_m] = i \hbar \delta_{lm}) সরাসরি ফলাফল হিসেবে প্রমাণ করা যায়, যেখানে  হলো ক্রোনেকার ডেল্টা।

ধ্রুপদী পদার্থবিজ্ঞানেও এর একটি অনুরূপ সম্পর্ক বিদ্যমান:
\left\{L_i, L_j\right\} = \varepsilon_{ijk} L_k
যেখানে *L**n* হলো *ধ্রুপদী* কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের একটি উপাংশ, এবং \{ ,\} হলো পয়সন ব্র্যাকেট।

একই বিনিময় সম্পর্ক অন্যান্য কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের (স্পিন এবং মোট কৌণিক ভরবেগ) ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য:
\left[S_l, S_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} S_n, \quad \left[J_l, J_m\right] = i \hbar \sum_{n=1}^{3} \varepsilon_{lmn} J_n.

**L** এর সাথে মিল রেখে এগুলোকে সত্য বলে *ধরে নেওয়া* যেতে পারে। অথবা, নিচে বর্ণিত আলোচনা অনুযায়ী এগুলো *প্রতিপাদন* করা যেতে পারে।

এই বিনিময় সম্পর্কগুলোর অর্থ হলো **L** এর গাণিতিক কাঠামো একটি লাই অ্যালজেব্রার মতো, এবং  হলো এর গঠন ধ্রুবক । এক্ষেত্রে, লাই অ্যালজেব্রাটি হলো পদার্থবিজ্ঞানের ভাষায় SU(2) বা SO(3) (গণিতের ভাষায় যথাক্রমে \operatorname{su}(2) বা \operatorname{so}(3)), যা ত্রিমাত্রিক ঘূর্ণনের সাথে যুক্ত। **J** এবং **S** এর ক্ষেত্রেও এটি একই রকম। এর কারণ নিচে আলোচনা করা হয়েছে। এই বিনিময় সম্পর্কগুলো পরিমাপ এবং অনিশ্চয়তার জন্য প্রাসঙ্গিক, যা আরও নিচে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়েছে।

অণুর ক্ষেত্রে মোট কৌণিক ভরবেগ **F** হলো রোভাইব্রোনিক (কক্ষীয়) কৌণিক ভরবেগ **N**, ইলেকট্রন স্পিন কৌণিক ভরবেগ **S** এবং নিউক্লিয়ার স্পিন কৌণিক ভরবেগ **I** এর সমষ্টি। ইলেকট্রনিক সিঙ্গলেট অবস্থার জন্য রোভাইব্রোনিক কৌণিক ভরবেগকে **N** এর পরিবর্তে **J** দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ভ্যান ভ্লেকের ব্যাখ্যা অনুযায়ী, অণু-স্থির অক্ষের সাপেক্ষে আণবিক রোভাইব্রোনিক কৌণিক ভরবেগের উপাংশগুলোর বিনিময় সম্পর্ক উপরে প্রদত্ত স্থান-স্থির অক্ষের সম্পর্কগুলো থেকে ভিন্ন হয়।

### ভেক্টর মানের সাথে জড়িত বিনিময় সম্পর্ক
যেকোনো ভেক্টরের মতো, কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের জন্য এর মানের বর্গ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে,
L^2 \equiv L_x^2 + L_y^2 + L_z^2.

L^2 হলো আরেকটি কোয়ান্টাম অপারেটর। এটি \mathbf{L} এর উপাংশগুলোর সাথে বিনিময়যোগ্য ,
\left[L^2, L_x\right] = \left[L^2, L_y\right] = \left[L^2, L_z\right] = 0 .

এই অপারেটরগুলো যে বিনিময়যোগ্য, তা প্রমাণের একটি উপায় হলো পূর্ববর্তী পরিচ্ছেদে বর্ণিত [*L**ℓ*, *L**m*] বিনিময় সম্পর্ক থেকে শুরু করা:

গাণিতিকভাবে, L^2 হলো \mathbf{L} দ্বারা গঠিত **SO(3)** লাই অ্যালজেব্রার একটি কাসিমির ইনভ্যারিয়েন্ট।

উপরের মতোই, ধ্রুপদী পদার্থবিজ্ঞানেও এর একটি অনুরূপ সম্পর্ক রয়েছে:
\left\{L^2, L_x\right\} = \left\{L^2, L_y\right\} = \left\{L^2, L_z\right\} = 0
যেখানে L_i হলো *ধ্রুপদী* কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের একটি উপাংশ, এবং \{ ,\} হলো পয়সন ব্র্যাকেট।

কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে ফিরে আসলে, একই বিনিময় সম্পর্ক অন্যান্য কৌণিক ভরবেগ অপারেটরের (স্পিন এবং মোট কৌণিক ভরবেগ) ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য,
\begin{align}
 \left[ S^2, S_i \right] &= 0, \\
 \left[ J^2, J_i \right] &= 0.
\end{align}

### অনিশ্চয়তা নীতি

সাধারণত, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে যখন দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য অপারেটর বিনিময় করে না, তখন তাদের পরিপূরক পর্যবেক্ষণযোগ্য বলা হয়। দুটি পরিপূরক পর্যবেক্ষণযোগ্যকে একই সাথে পরিমাপ করা যায় না; বরং তারা একটি অনিশ্চয়তা নীতি মেনে চলে। একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য সম্পর্কে যত নির্ভুলভাবে জানা যায়, অন্যটি সম্পর্কে তত কম নির্ভুলভাবে জানা সম্ভব হয়। অবস্থান এবং ভরবেগের মধ্যে যেমন একটি অনিশ্চয়তা নীতি রয়েছে, তেমনি কৌণিক ভরবেগের জন্যও অনিশ্চয়তা নীতি বিদ্যমান।

রবার্টসন–শ্রোডিঞ্জার সম্পর্ক থেকে নিচের অনিশ্চয়তা নীতিটি পাওয়া যায়:
\sigma_{L_x} \sigma_{L_y} \geq \frac{\hbar}{2} \left| \langle L_z \rangle \right|.
যেখানে \sigma_X হলো *X* এর পরিমাপকৃত মানের আদর্শ বিচ্যুতি এবং \langle X \rangle দ্বারা *X* এর প্রত্যাশিত মান বোঝায়। এই অসমতাটি তখনো সত্য হবে যদি *x, y, z* এর অবস্থান পরিবর্তন করা হয়, অথবা *L*-কে *J* বা *S* দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়।

সুতরাং, কৌণিক ভরবেগের দুটি লম্ব উপাংশ (উদাহরণস্বরূপ Lx এবং Ly) পরিপূরক এবং L_x = L_y = L_z = 0 এর মতো বিশেষ ক্ষেত্র ব্যতীত এদের একই সাথে জানা বা পরিমাপ করা সম্ভব নয়।

যাইহোক, *L*2 এবং *L* এর যেকোনো একটি উপাংশ (যেমন: *L*2 এবং *L*z) একই সাথে পরিমাপ করা বা সুনির্দিষ্ট করা সম্ভব। এটি প্রায়শই বেশ কার্যকর এবং এই মানগুলোকে অ্যাজিমুথাল কোয়ান্টাম সংখ্যা (*l*) ও চৌম্বক কোয়ান্টাম সংখ্যা (*m*) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই ক্ষেত্রে সিস্টেমের কোয়ান্টাম অবস্থাটি *L*2 এবং *L*z অপারেটরের একটি যুগপৎ আইগেন-অবস্থা , কিন্তু *L*x বা *L*y এর ক্ষেত্রে তা নয়। নিচের সারণিতে দেখানো হয়েছে যে আইগেন-মানগুলো কীভাবে *l* এবং *m* এর সাথে সম্পর্কিত।

## কোয়ান্টায়ন

কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানে কৌণিক ভরবেগ হলো *কোয়ান্টায়িত* – অর্থাৎ এটি নিরবচ্ছিন্নভাবে পরিবর্তিত হতে পারে না, বরং নির্দিষ্ট অনুমোদিত মানের মধ্যে "কোয়ান্টাম লাফের" মাধ্যমে পরিবর্তিত হয়। যেকোনো সিস্টেমের পরিমাপের ফলাফলের ক্ষেত্রে নিচের সীমাবদ্ধতাগুলো প্রযোজ্য, যেখানে \hbar হলো হ্রাসকৃত প্লাঙ্ক ধ্রুবক:

### ল্যাডার অপারেটর ব্যবহার করে প্রতিপাদন
উপরের কোয়ান্টায়ন নিয়মগুলো প্রতিপাদনের একটি সাধারণ পদ্ধতি হলো *[[ladder operator|ল্যাডার অপারেটর]]* পদ্ধতি। মোট কৌণিক ভরবেগ \mathbf{J} = \left(J_x, J_y, J_z\right) এর জন্য ল্যাডার অপারেটরগুলোকে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:
\begin{align}
  J_+ &\equiv J_x + i J_y, \\
  J_- &\equiv J_x - i J_y
\end{align}

ধরা যাক, |\psi\rangle হলো J^2 এবং J_z এর একটি যুগপৎ আইগেন-অবস্থা (অর্থাৎ এমন একটি অবস্থা যার J^2 এবং J_z এর জন্য একটি সুনির্দিষ্ট মান রয়েছে)। \mathbf{J} এর উপাংশগুলোর মধ্যে বিনিময় সম্পর্ক ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায় যে, J_+ |\psi\rangle এবং J_-|\psi\rangle অবস্থার প্রতিটি হয় শূন্য হবে অথবা J^2 ও J_z এর একটি যুগপৎ আইগেন-অবস্থা হবে। এক্ষেত্রে J^2 এর মান |\psi\rangle এর সমান থাকবে কিন্তু J_z এর মান যথাক্রমে \hbar পরিমাণ বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে। যদি ল্যাডার অপারেটর ব্যবহারের ফলে J_z এর মান অনুমোদিত সীমার বাইরে চলে যায়, তবে ফলাফল শূন্য হয়। এভাবে ল্যাডার অপারেটর ব্যবহার করে J^2 এবং J_z এর সম্ভাব্য মান ও কোয়ান্টাম সংখ্যাগুলো বের করা যায়।

যেহেতু \mathbf{S} এবং \mathbf{L} এর বিনিময় সম্পর্ক \mathbf{J} এর মতোই, তাই এদের ক্ষেত্রেও একই ল্যাডার বিশ্লেষণ প্রয়োগ করা যেতে পারে। তবে \mathbf{L} এর ক্ষেত্রে কোয়ান্টাম সংখ্যাগুলোর ওপর একটি বাড়তি সীমাবদ্ধতা থাকে যে এদের অবশ্যই পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।

### দৃশ্যমান চিত্রায়ন

যেহেতু কৌণিক ভরবেগগুলো কোয়ান্টাম অপারেটর, তাই এদের চিরায়ত বলবিদ্যার মতো ভেক্টর হিসেবে সরাসরি আঁকা যায় না। তা সত্ত্বেও, বোঝার সুবিধার্থে বা হিউরিস্টিক উপায়ে এদের প্রায়শই এভাবে চিত্রায়িত করা হয়। ডানে \ell = 2 কোয়ান্টাম সংখ্যা বিশিষ্ট একগুচ্ছ অবস্থা চিত্রায়িত করা হয়েছে, যেখানে নিচ থেকে উপরে পাঁচটি শঙ্কুর জন্য m_\ell = -2, -1, 0, 1, 2। যেহেতু |L| = \sqrt{L^2} = \hbar \sqrt{6}, তাই ভেক্টরগুলোকে \hbar \sqrt{6} দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে দেখানো হয়েছে। বলয় বা রিংগুলো এই সত্যটি নির্দেশ করে যে, L_z এর মান সুনির্দিষ্টভাবে জানা থাকলেও L_x এবং L_y অজানা; তাই উপযুক্ত দৈর্ঘ্য এবং *z*-উপাংশ বিশিষ্ট প্রতিটি চিরায়ত ভেক্টর আঁকা হয়েছে, যা একটি শঙ্কু তৈরি করে।  \ell এবং m_\ell দ্বারা চিহ্নিত কোয়ান্টাম অবস্থায় থাকা কোনো সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের প্রত্যাশিত মান এই শঙ্কুর যে কোনো জায়গায় হতে পারে, তবে একটি একক সিস্টেমের জন্য এটি সংজ্ঞায়িত করা যায় না (যেহেতু L এর উপাংশগুলো একে অপরের সাথে বিনিময় করে না)।

### ম্যাক্রোস্কোপিক সিস্টেমে কোয়ান্টায়ন
কোয়ান্টায়ন বা কোয়ান্টাইজেশন নীতিগুলো বৃহৎ পরিসরের ব্যবস্থার (ম্যাক্রোস্কোপিক সিস্টেম) ক্ষেত্রেও সত্য বলে ব্যাপকভাবে ধারণা করা হয়, যেমন একটি ঘূর্ণায়মান চাকার কৌণিক ভরবেগ **L**। তবে এগুলোর কোনো পর্যবেক্ষণযোগ্য প্রভাব নেই বলে এটি পরীক্ষা করে দেখা সম্ভব হয়নি। উদাহরণস্বরূপ, যদি L_z/\hbar এর মান প্রায় ১০০০০০০০০ হয়, তবে এর সঠিক মান ১০০০০০০০০ বা ১০০০০০০০১ এর মতো পূর্ণসংখ্যা নাকি ১০০০০০০০০.২ এর মতো অপূর্ণসংখ্যা—তাতে বাস্তবে কোনো পার্থক্য তৈরি হয় না। এই বিচ্ছিন্ন ধাপগুলো বর্তমানে পরিমাপ করার জন্য অত্যন্ত ক্ষুদ্র। সব ধরনের উদ্দেশ্য ও ব্যবহারের ক্ষেত্রে, ম্যাক্রোস্কোপিক স্কেলে কৌণিক ভরবেগের সমস্ত সম্ভাব্য মানের বিন্যাস কার্যকরভাবে অবিচ্ছিন্ন বা নিরবচ্ছিন্ন হিসেবে গণ্য হয়।

## ঘূর্ণনের উৎপাদক হিসেবে কৌণিক ভরবেগ
কৌণিক ভরবেগের সবচেয়ে সাধারণ এবং মৌলিক সংজ্ঞা হলো একে ঘূর্ণনের 'উৎপাদক' বা 'কারক' হিসেবে বিবেচনা করা। আরও নির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, ধরা যাক R(\hat{n},\phi) একটি ঘূর্ণন অপারেটর, যা যেকোনো কোয়ান্টাম অবস্থাকে \hat{n} অক্ষের সাপেক্ষে \phi কোণে ঘুরিয়ে দেয়। যখন \phi\rightarrow 0 হয়, তখন R(\hat{n},\phi) অপারেটরটি অভেদ অপারেটরের নিকটবর্তী হয়, কারণ ০° ঘূর্ণন সমস্ত অবস্থাকে নিজের অবস্থানেই রাখে। এমতাবস্থায় \hat{n} অক্ষের সাপেক্ষে কৌণিক ভরবেগ অপারেটর J_{\hat{n}}-কে সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে:
J_\hat{n} \equiv i\hbar \lim_{\phi \rightarrow 0} \frac{R\left(\hat{n}, \phi\right) - 1}{\phi} = \left. i\hbar \frac{\partial R\left(\hat{n}, \phi\right)}{\partial\phi} \right|_{\phi = 0}

যেখানে 1 হলো অভেদ অপারেটর। আরও লক্ষ্য করুন যে *R* একটি যোগজ মরফিজম : R\left(\hat{n}, \phi_1 + \phi_2\right) = R\left(\hat{n}, \phi_1\right)R\left(\hat{n}, \phi_2\right) ; এর ফলে:
R\left(\hat{n}, \phi\right) = \exp\left(-\frac{i \phi J_\hat{n}}{\hbar}\right)
যেখানে exp হলো ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়াল। এই উৎপাদকের অস্তিত্ব স্টোনের উপপাদ্য দ্বারা নিশ্চিত করা হয়।

সহজ কথায়, একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমকে ঘোরালে সেটি কীভাবে পরিবর্তিত হয়, তা মোট কৌণিক ভরবেগ অপারেটর দ্বারা নির্ধারিত হয়। কৌণিক ভরবেগ অপারেটর এবং ঘূর্ণন অপারেটরের মধ্যকার সম্পর্কটি গণিতের লি অ্যালজেব্রা এবং লি গ্রুপের মধ্যকার সম্পর্কের মতোই, যা নিচে আরও আলোচনা করা হয়েছে।

**J** যেমন ঘূর্ণন অপারেটরের উৎপাদক, তেমনি **L** এবং **S** হলো পরিবর্তিত আংশিক ঘূর্ণন অপারেটরগুলোর উৎপাদক।
R_{\text{spatial}}(\hat{n}, \phi) = \exp\left(-\frac{i \phi L_{\hat{n}}}{\hbar}\right)
অপারেটরটি কোনো কণার অভ্যন্তরীণ (স্পিন) অবস্থার পরিবর্তন না করেই সমস্ত কণা এবং ক্ষেত্রের অবস্থান (মহাকাশে) পরিবর্তন করে। একইভাবে,
R_{\text{internal}}(\hat{n}, \phi) = \exp\left(-\frac{i \phi S_{\hat{n}}}{\hbar}\right)
অপারেটরটি কণা বা ক্ষেত্রগুলোর অবস্থানের পরিবর্তন না করে কেবল তাদের অভ্যন্তরীণ (স্পিন) অবস্থা পরিবর্তন করে। **J** = **L** + **S** সম্পর্কটি এখান থেকে আসে:
R\left(\hat{n}, \phi\right) = R_\text{internal}\left(\hat{n}, \phi\right) R_\text{spatial}\left(\hat{n}, \phi\right)

অর্থাৎ, যদি অবস্থানগুলো ঘোরানো হয় এবং এরপর অভ্যন্তরীণ অবস্থাগুলো ঘোরানো হয়, তবে সামগ্রিকভাবে সম্পূর্ণ সিস্টেমটিই ঘোরানো হয়েছে।

### SU(2), SO(3), এবং ৩৬০° ঘূর্ণন

যদিও কেউ আশা করতে পারেন যে R\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = 1 (৩৬০° ঘূর্ণন হলো একটি অভেদ অপারেটর), কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় এটি ধরে নেওয়া হয় না এবং দেখা যায় যে এটি প্রায়শই সত্য নয়: যখন মোট কৌণিক ভরবেগ কোয়ান্টাম সংখ্যা একটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা (১/২, ৩/২ ইত্যাদি) হয়, তখন R\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = -1 হয়, আর যখন এটি একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন R\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = +1 হয়। গাণিতিকভাবে, মহাবিশ্বের ঘূর্ণন কাঠামো SO(3) নয় (যা চিরায়ত বলবিদ্যার ত্রিমাত্রিক ঘূর্ণন গ্রুপ)। এর পরিবর্তে এটি হলো SU(2), যা ক্ষুদ্র ঘূর্ণনের জন্য SO(3) এর অভিন্ন, কিন্তু যেখানে ৩৬০° ঘূর্ণনকে গাণিতিকভাবে ০° ঘূর্ণন থেকে আলাদা করা হয়। (তবে ৭২০° ঘূর্ণন এবং ০° ঘূর্ণন একই।)

অন্যদিকে, সব পরিস্থিতিতেই R_\text{spatial}\left(\hat{n}, 360^\circ\right) = +1, কারণ 'স্থানিক' বিন্যাসের ৩৬০° ঘূর্ণন কোনো ঘূর্ণন না করার সমতুল্য। (এটি কণার 'অভ্যন্তরীণ' বা স্পিন অবস্থার ৩৬০° ঘূর্ণন থেকে আলাদা, যা কোনো ঘূর্ণন না করার সমান হতেও পারে বা নাও হতে পারে)। অন্য কথায়, R_\text{spatial} অপারেটরগুলো SO(3) কাঠামো বহন করে, যেখানে R এবং R_\text{internal} বহন করে SU(2) কাঠামো।

+1 = R_\text{spatial}\left(\hat{z}, 360^\circ\right) = \exp\left(-2\pi i L_z / \hbar\right) সমীকরণ থেকে একটি আইগেন অবস্থা L_z |\psi\rangle = m\hbar |\psi\rangle গ্রহণ করলে পাওয়া যায়
e^{-2\pi i m} = 1
যার অর্থ হলো অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ কোয়ান্টাম সংখ্যা কেবল পূর্ণসংখ্যা হতে পারে, অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা নয়।

### রিপ্রেজেন্টেশন থিওরির সাথে সংযোগ
একটি নির্দিষ্ট কোয়ান্টাম অবস্থা |\psi_0\rangle থেকে শুরু করে, সমস্ত সম্ভাব্য \hat{n} এবং \phi এর জন্য R\left(\hat{n}, \phi\right) \left|\psi_0\right\rangle সেটটি বিবেচনা করুন। অর্থাৎ আদি অবস্থাটিকে সম্ভাব্য সব উপায়ে ঘুরিয়ে যে অবস্থাগুলো পাওয়া যায়। সেই সেটের লিনিয়ার স্প্যান হলো একটি ভেক্টর স্পেস, এবং সেইজন্য ঘূর্ণন অপারেটরগুলো যেভাবে একটি অবস্থাকে অন্যটিতে রূপান্তর করে তা হলো ঘূর্ণন অপারেটর গ্রুপের একটি 'রিপ্রেজেন্টেশন'।

**J** এবং ঘূর্ণন অপারেটরের মধ্যকার সম্পর্ক থেকে:

(SU(2) এবং SO(3) এর লি অ্যালজেব্রা অভিন্ন।)

উপরে ল্যাডার অপারেটর বা মই অপারেটর থেকে প্রাপ্ত ফলাফলটি হলো SU(2) লি অ্যালজেব্রার রিপ্রেজেন্টেশনগুলো শ্রেণিবদ্ধ করার একটি পদ্ধতি।

### বিনিময় সম্পর্কের সাথে সংযোগ
চিরায়ত ঘূর্ণনগুলো একে অপরের সাথে বিনিময় করে না: উদাহরণস্বরূপ, *x*-অক্ষের সাপেক্ষে ১° এবং এরপর *y*-অক্ষের সাপেক্ষে ১° ঘূর্ণন করলে যে সামগ্রিক ঘূর্ণন পাওয়া যায়, তা *y*-অক্ষের সাপেক্ষে ১° এবং এরপর *x*-অক্ষের সাপেক্ষে ১° ঘূর্ণনের থেকে কিছুটা আলাদা। এই অ-বিনিময়যোগ্যতা  মনোযোগ সহকারে বিশ্লেষণের মাধ্যমে কৌণিক ভরবেগ অপারেটরগুলোর বিনিময় সম্পর্ক বা কমিউটেশন রিলেশন পাওয়া সম্ভব।

(এই একই গাণিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করে "লি গ্রুপ SO(3) বা SU(2) এর লি অ্যালজেব্রা কী?"—এই গাণিতিক প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যায়।)

## কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণশীলতা
হ্যামিল্টোনিয়ান *H* কোনো সিস্টেমের শক্তি এবং গতিবিদ্যাকে উপস্থাপন করে। গোলীয়ভাবে প্রতিসম অবস্থায় হ্যামিল্টোনিয়ান ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে:
RHR^{-1} = H
যেখানে *R* হলো একটি ঘূর্ণন অপারেটর। এর ফলে, [H, R] = 0, এবং **J** ও *R* এর সম্পর্কের কারণে [H,\mathbf{J}]=\mathbf 0 হয়। এরেনফেস্টের উপপাদ্য অনুযায়ী, এর থেকে বোঝা যায় যে **J** সংরক্ষিত থাকে।

সংক্ষেপে, যদি *H* ঘূর্ণন-অপরিবর্তিত হয়, তবে মোট কৌণিক ভরবেগ **J** সংরক্ষিত থাকে। এটি নোয়েদারের উপপাদ্যের একটি উদাহরণ।

যদি *H* কেবল একটি কণার হ্যামিল্টোনিয়ান হয়, তবে কণাটি একটি কেন্দ্রীয় বিভবে থাকলে (অর্থাৎ যখন বিভব শক্তি কেবল \left|\mathbf{r}\right| এর ওপর নির্ভর করে) সেই কণার মোট কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। বিকল্পভাবে, *H* মহাবিশ্বের সমস্ত কণা এবং ক্ষেত্রের হ্যামিল্টোনিয়ান হতে পারে, এবং তখন *H* সর্বদাই ঘূর্ণন-অপরিবর্তিত থাকে, কারণ মহাবিশ্বের মৌলিক পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রগুলো সব দিকেই অভিন্ন। এটিই কৌণিক ভরবেগের সংরক্ষণশীলতা পদার্থবিজ্ঞানের একটি সাধারণ নীতি হওয়ার ভিত্তি।

স্পিনহীন কণার জন্য **J** = **L**, তাই একই পরিস্থিতিতে অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। যখন স্পিন শূন্য নয়, তখন স্পিন-অরবিট মিথস্ক্রিয়া কৌণিক ভরবেগকে **L** থেকে **S** এ বা উল্টোদিকে স্থানান্তরের সুযোগ করে দেয়। তাই কেবল **L** সংরক্ষিত থাকে না।

## কৌণিক ভরবেগ কাপলিং
প্রায়শই দুই বা ততোধিক প্রকারের কৌণিক ভরবেগ একে অপরের সাথে মিথস্ক্রিয়া করে, যার ফলে কৌণিক ভরবেগ এক অবস্থা থেকে অন্য অবস্থায় স্থানান্তরিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, স্পিন-অরবিট কাপলিংয়ে, কৌণিক ভরবেগ **L** এবং **S** এর মধ্যে স্থানান্তরিত হতে পারে, তবে কেবল মোট ভরবেগ **J** = **L** + **S** সংরক্ষিত থাকে। অন্য একটি উদাহরণে, দুটি ইলেকট্রন বিশিষ্ট একটি পরমাণুতে প্রতিটির নিজস্ব কৌণিক ভরবেগ **J**1 এবং **J**2 থাকে, তবে কেবল মোট কৌণিক ভরবেগ **J** = **J**1 + **J**2 সংরক্ষিত থাকে।

এই পরিস্থিতিতে, একদিকে \left(J_1\right)_z, \left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)_z, \left(J_2\right)^2 এর সুনির্দিষ্ট মান বিশিষ্ট অবস্থা এবং অন্যদিকে \left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)^2, J^2, J_z এর সুনির্দিষ্ট মান বিশিষ্ট অবস্থার মধ্যে সম্পর্ক জানা খুব গুরুত্বপূর্ণ, কারণ শেষোক্ত চারটি সাধারণত সংরক্ষিত থাকে। এই বেসিসগুলোর মধ্যে যাতায়াত করার পদ্ধতিটি হলো ক্লেবশ-গর্ডান সহগ ব্যবহার করা।

এই ক্ষেত্রের একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল হলো \left(J_1\right)^2, \left(J_2\right)^2, J^2 এর কোয়ান্টাম সংখ্যাগুলোর মধ্যকার সম্পর্ক:
j \in \left\{ \left|j_1 - j_2\right|, \left(\left|j_1 - j_2\right| + 1\right), \ldots, \left(j_1 + j_2\right) \right\} .

**J** = **L** + **S** বিশিষ্ট কোনো পরমাণু বা অণুর জন্য, টার্ম সিম্বল L^2, S^2, J^2 অপারেটরগুলোর সাথে সম্পর্কিত কোয়ান্টাম সংখ্যাগুলো প্রদান করে।

## গোলীয় স্থানাঙ্কে অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ

কৌণিক ভরবেগ অপারেটরগুলো সাধারণত গোলীয় স্থানাঙ্কে গোলীয় প্রতিসাম্য বিশিষ্ট সমস্যা সমাধানের সময় ব্যবহৃত হয়। স্থানিক রিপ্রেজেন্টেশনে কৌণিক ভরবেগ হলো
\begin{align}
  \mathbf L &= i \hbar \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\theta}}}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\phi} - \hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\partial}{\partial\theta}\right) \\
            &= i\hbar\left(
                 \hat{\mathbf{x}} \left(\sin(\phi) \frac{\partial}{\partial\theta} + \cot(\theta)\cos(\phi) \frac{\partial}{\partial\phi}
               \right)
                 + \hat{\mathbf{y}} \left(-\cos(\phi)\frac{\partial}{\partial\theta} + \cot(\theta)\sin(\phi) \frac{\partial}{\partial\phi}\right)
                 - \hat{\mathbf z} \frac{\partial}{\partial\phi}
               \right) \\
        L_+ &= \hbar e^{i\phi} \left( \frac{\partial}{\partial\theta} + i\cot(\theta) \frac{\partial}{\partial\phi} \right), \\
        L_- &= \hbar e^{-i\phi} \left( -\frac{\partial}{\partial \theta} + i\cot(\theta) \frac{\partial}{\partial\phi} \right), \\
        L^2 &= -\hbar^2 \left(\frac{1}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\theta} \left(\sin(\theta) \frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2(\theta)}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right), \\
        L_z &= -i \hbar \frac{\partial}{\partial\phi}.
\end{align} 

গোলীয় স্থানাঙ্কে ল্যাপলাস অপারেটরের কৌণিক অংশটিকে কৌণিক ভরবেগের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। এটি নিচের সম্পর্কটির দিকে পরিচালিত করে
\Delta = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2\, \frac{\partial}{\partial r}\right) - \frac{L^2}{\hbar^{2} r^2}.

 L^{2}  অপারেটরের আইগেন অবস্থাগুলো সমাধান করার সময় আমরা নিচের ফলাফলগুলো পাই
\begin{align}
  L^2 \left| \ell, m \right\rangle &= \hbar^2 \ell(\ell + 1) \left| \ell, m \right\rangle \\
  L_z \left| \ell, m \right\rangle &= \hbar m \left| \ell, m \right\rangle
\end{align}
যেখানে
\left\langle \theta, \phi | \ell, m \right\rangle = Y_{\ell,m}(	heta, \phi)
হলো গোলীয় হারমোনিক।

## আরও দেখুন

*রুঙ্গে–লেঞ্জ ভেক্টর
*হোলস্টাইন–প্রাইমাকফ রূপান্তর
*জর্ডান ম্যাপ
*পাউলি–লুবানস্কি ছদ্ম-ভেক্টর
*কৌণিক ভরবেগ ডায়াগ্রাম (কোয়ান্টাম বলবিদ্যা)
*গোলীয় বেসিস
*টেনসর অপারেটর
*অরবিটাল চুম্বকায়ন
*মুক্ত ইলেকট্রনের অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ
*আলোর অরবিটাল কৌণিক ভরবেগ

## টীকা


## তথ্যসূত্র


## আরও পড়ুন
* 
* 
* 
* 
* 
* 

বিষয়শ্রেণী:কৌণিক ভরবেগ
বিষয়শ্রেণী:কোয়ান্টাম অপারেটর
বিষয়শ্রেণী:ঘূর্ণন প্রতিসাম্য