গেলফোন্ডের ধ্রুবক

গণিতে, **π-এর সূচক** , এছাড়াও **গেলফন্ডের ধ্রুবক** নামে পরিচিত, হল প্রকৃত সংখ্যা  উত্তোলিত থেকে ।

এর দশমিক প্রসারণ দ্বারা দেওয়া হয়:

:**' = ... 
 এবং  উভয়ের মতোই, এই ধ্রুবকটি উভয়ই [[irrational number|অপরিমেয়]] এবং [[transcendental number|অতিক্রমী]]। এটি [[Gelfond–Schneider theorem|গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য]] থেকে অনুসরণ করে, যা প্রতিষ্ঠিত করে  অতিক্রমী হতে, দেওয়া যে  হল [[Algebraic number|বীজগাণিতিক]] এবং [[0|শূন্য]] বা [[1|এক]] নয় এবং  হল বীজগাণিতিক কিন্তু [[Rational number|পরিমেয়]] নয়। আমাদের আছে<math display="block"> e^\pi = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i},</math>যেখানে  হল [[imaginary unit|কাল্পনিক একক]]। যেহেতু  হল বীজগাণিতিক কিন্তু পরিমেয় নয়,  অতিক্রমী। সংখ্যাগুলি  এবং  এছাড়াও [[Algebraic independence|বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন]] হিসাবে পরিচিত [[Rational number|পরিমেয় সংখ্যাগুলির]] উপর, যেমন [[Yuri Nesterenko (mathematician)|ইউরি নেস্টেরেঙ্কো]] দ্বারা প্রদর্শিত। এটি জানা যায়নি যে  একটি লিউভিল সংখ্যা কিনা। এই ধ্রুবকটি [[Hilbert's seventh problem|হিলবার্টের সপ্তম সমস্যায়]] উল্লেখিত হয়েছে [[Gelfond–Schneider constant|গেলফন্ড-স্নাইডার ধ্রুবক]]  এর পাশাপাশি এবং নাম "গেলফন্ডের ধ্রুবক" সোভিয়েত গণিতবিদ [[Alexander Gelfond|আলেকজান্ডার গেলফন্ড]] থেকে উদ্ভূত হয়েছে।

==অভিযোগ==
ধ্রুবক  [[Volume|আয়তন]] এর সাথে সম্পর্কিত হিসাবে প্রদর্শিত হয় [[N-sphere|হাইপারস্পিয়ার]]:



একটি ''n-গোলকের'' [[radius|ত্রিজ্যা]]  সহ আয়তন দেওয়া হয়:<math display="block">V_n(R) = \frac{\pi^\frac{n}{2}R^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)},</math>যেখানে  হল [[gamma function|গামা ফাংশন]]। কেবলমাত্র একক গোলকগুলি () বিবেচনা করলে পাওয়া যায়:<math display="block">V_n(1) = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)},</math> যেকোনও সমমাত্রিক 2''n-গোলক'' এখন দেয়:<math display="block">V_{2n}(1) = \frac{\pi^n}{\Gamma(n+1)} = \frac{\pi^n}{n!}</math>সমস্ত সমমাত্রিক একক গোলকগুলির আয়তনগুলির যোগফল নিয়ে এবং [[series expansion|সিরিজ সম্প্রসারণ]] এর [[exponential function|সূচক ফাংশন]] ব্যবহার করে দেয়:<math display="block">\sum_{n=0}^\infty V_{2n} (1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\pi^n}{n!} = \exp(\pi) = e^\pi.</math>এছাড়াও পাওয়া যায়:

যদি কেউ সংজ্ঞায়িত করে  এবং<math display="block">k_{n+1} = \frac{1 - \sqrt{1 - k_n^2}}{1 + \sqrt{1 - k_n^2}}</math> এর জন্য, তাহলে ক্রম<math display="block">(4/k_{n+1})^{2^{-n}}</math>দ্রুতগতিতে অভিসারিত হয়  এর দিকে।

==অনুরূপ বা সম্পর্কিত ধ্রুবকসমূহ==

=== রামানুজনের ধ্রুবক ===
সংখ্যাটি  [[Ramanujan's constant|রামানুজনের ধ্রুবক]] হিসাবে পরিচিত। এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়েছে:

: = ... 

যা আশ্চর্যজনকভাবে সংখ্যা  এর খুব কাছাকাছি: এটি [[Heegner number|হিগনার সংখ্যা]]র একটি প্রয়োগ, যেখানে 163 হল প্রশ্নে উল্লিখিত হিগনার সংখ্যা। এই সংখ্যাটি ১৮৫৯ সালে গণিতবিদ [[Charles Hermite|চার্লস হারমাইট]] দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল। ১৯৭৫ সালে [[April Fools' Day|এপ্রিল ফুল]] নিবন্ধে ''[[Scientific American|সায়েন্টিফিক আমেরিকান]]'' ম্যাগাজিনে, "ম্যাথেমেটিক্যাল গেমস" কলাম লেখক [[Martin Gardner|মার্টিন গার্ডনার]] মিথ্যা দাবি করেন যে সংখ্যাটি আসলে একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং ভারতীয় গণিত প্রতিভা [[Srinivasa Ramanujan|শ্রীনিবাস রামানুজন]] এটি পূর্বাভাস করেছিলেন—এই কারণে এর নাম। রামানুজনের ধ্রুবকটিও একটি অতিক্রম সংখ্যা।

অদ্ভুত সন্নিকটতা, যা সংখ্যার থেকে এক ট্রিলিয়নথের মধ্যে  ব্যাখ্যা করা হয় [[complex multiplication|জটিল গুণফল]] এবং [[Q-expansion|''q''-এক্সপ্যানশন]] দ্বারা [[j-invariant|জে-অপরিবর্তক]], বিশেষভাবে:<math display="block">j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640\,320)^3</math> এবং,<math display="block">(-640\,320)^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)</math> যেখানে  হল ত্রুটি শব্দ,<math display="block">{\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right) = -196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}</math> যা ব্যাখ্যা করে কেন   এর থেকে 0.000 000 000 000 75 নিচে।

(এই প্রমাণের আরও বিস্তারিত জানার জন্য, [[Heegner number|হেগনার সংখ্যা]] নিবন্ধটি দেখুন।)

=== সংখ্যাটি  ===
সংখ্যাটি  খুব কাছাকাছি একটি পূর্ণ সংখ্যা, যার দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

: = ... 

এই অদ্ভুত সন্নিকটতার ব্যাখ্যা ২০২৩ সালের সেপ্টেম্বরে এ. ডোমান দ্বারা দেওয়া হয়েছিল, এবং এটি একটি ফলাফল যা [[Jacobi theta functions|জ্যাকোবি থেটা ফাংশন]] এর সাথে সম্পর্কিত যেমন: <math display="block">\sum_{k=1}^{\infty}\left( 8\pi k^2 -2 \right) e^{-\pi k^2} = 1</math> প্রথম পদটি প্রাধান্য পায় যেহেতু <math>k\geq 2</math> এর জন্য পদগুলির সমষ্টি মোট <math>\sim 0.0003436</math> সমষ্টি তখন <math>\left( 8\pi -2\right) e^{-\pi}\approx 1,</math> এ সংকুচিত করা যায়, যেখানে <math>e^{\pi}</math> সমাধানের জন্য <math>e^{\pi} \approx 8\pi -2</math> <math>e^{\pi}</math> এর আনুমানিকটি পুনর্লিখন এবং <math>7\pi \approx 22</math> এর আনুমানিকটি ব্যবহার করে <math display="block"> e^{\pi} \approx \pi + 7\pi - 2 \approx \pi + 22-2 = \pi+20</math> সুতরাং, পদগুলি পুনর্বিন্যাস করে <math>e^{\pi} - \pi \approx 20</math> খেয়ালীভাবে, <math>7\pi</math> এর স্থূল আনুমানিকটি একটি অতিরিক্ত অর্ডার প্রদান করে।

=== সংখ্যাটি  ===
 এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

:<math>
\pi^{e} = </math> ... 

এটি অজানা যে এই সংখ্যা সাংক্রমিক কিনা। লক্ষ করুন যে, [[Gelfond–Schneider theorem|গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য]] দ্বারা, আমরা শুধুমাত্র নিশ্চিতভাবে নির্ধারণ করতে পারি  সাংক্রমিক কিনা যদি  এবং  বীজগাণিতিক হয় ( এবং  উভয়ই [[complex number|জটিল সংখ্যা]] হিসেবে বিবেচিত হয়)।

 এর ক্ষেত্রে, আমরা শুধুমাত্র এই সংখ্যা সাংক্রমিক প্রমাণ করতে পারি জটিল সূচকীয় ফর্মের বৈশিষ্ট্য এবং উপরের সমতুল্য প্রদত্ত কারণ এটিকে  তে রূপান্তর করতে দেয়, যা গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে দেয়।

 এর কোনও সমতুল্য নেই, এবং তাই, যেহেতু উভয়  এবং  সাংক্রমিক, আমরা  এর সাংক্রমিকতা সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি না। তবে বর্তমানে অপ্রমাণিত [[Schanuel's conjecture|সানুয়েলের অনুমান]] এর সাংক্রমিকতা নির্দেশ করবে।

=== সংখ্যাটি  ===
[[complex logarithm|জটিল লগারিদমের]] [[principal value|প্রধান মান]] ব্যবহার করে<math display="block">i^{i} = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = (e^{\pi})^{-1/2}</math> এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

:<math>
i^{i} = </math> ... 

এর সাংক্রমিকতা সরাসরি  এর সাংক্রমিকতা থেকে অনুসৃত হয়।

== এছাড়াও দেখুন ==
* [[Transcendental number|সাংক্রমিক সংখ্যা]]
* [[Transcendental number theory|সাংক্রমিক সংখ্যা তত্ত্ব]], সাংক্রমিক সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত প্রশ্নগুলির গবেষণা
* [[Euler's identity|অয়লার এর পরিচয়]]
* [[Gelfond–Schneider constant|গেলফন্ড-স্নাইডার ধ্রুবক]]

==তথ্যসূত্র==


==অধিক পঠন==
* [[Alan Baker (mathematician)|অ্যালান বেকার]] এবং [[Gisbert Wüstholz|গিসবার্ট উস্টহোলজ]], ''Logarithmic Forms and Diophantine Geometry'', নিউ ম্যাথেমেটিকাল মনোগ্রাফস **9*', ক্যামব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, ২০০৭, 

==বহিঃসংযোগ==
* [http://mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html গেলফন্ডের ধ্রুবক *ম্যাথওয়ার্ল্ড* এ]
* [https://web.archive.org/web/20091027100754/http://www.geocities.com/timeparadox/Muntekim.htm  গেলফন্ডের ধ্রুবকের জন্য একটি নতুন জটিল শক্তি টাওয়ার পরিচয়]
* [http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html প্রায় পূর্ণসংখ্যা *ম্যাথওয়ার্ল্ড'' এ]

বিষয়শ্রেণী:গণিত
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধ্রুবক