গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম

গণিতে একটি **গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম** হলো জ্যামিতিক ক্রমের উপাদানগুলোর সাথে গাণিতিক ক্রমের উপাদানগুলোর উপাদান-অনুপাতে গুণফল। একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রমের *n*-তম উপাদান হলো গাণিতিক ক্রমের *n*-তম উপাদান এবং জ্যামিতিক ক্রমের *n*-তম উপাদানের গুণফল। একটি **গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা** হলো সেই ক্রমের উপাদানগুলোর যোগফল। গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম এবং ধারা বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন সম্ভাবনা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মান গণনার ক্ষেত্রে (বিশেষত বার্নুলি প্রক্রিয়াসমূহে)।

উদাহরণস্বরূপ নিম্নের ক্রমটি তথা

:\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots 

একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক অংশটি নীল রঙে (উপরে) এবং জ্যামিতিক অংশটি সবুজ রঙে (নিচে) চিহ্নিত। এই ক্রমের অসীম উপাদানগুলোর ধারা যোগফলকে **গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি** বলা হয় এবং এর মান ২। সাধারণভাবে,

:\sum_{k=1}^{\infty} {\color{blue} k} {\color{green} r^k} = \frac{r}{(1 - r)^2} \quad \mathrm{for\ }0

**গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম** শব্দটি মাঝে মাঝে এমন বিভিন্ন বস্তু বোঝাতেও ব্যবহৃত হয় যা গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয়ের বৈশিষ্ট্য ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, ফরাসি ধারণার গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম বলতে এমন ক্রমকে বোঝানো হয় যা পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক u_{n+1}=r u_n+ d পূরণ করে, যা গাণিতিক ক্রমের সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক u_{n+1}=u_n+d এবং জ্যামিতিক ক্রমের u_{n+1}= r u_n সংযুক্ত করে। এই ক্রমগুলো তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণ-এর একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অপরিবর্তিত সহগবিশিষ্ট অসম প্রথম শ্রেণির স্থির সহগযুক্ত রৈখিক পুনরাবৃত্তি।

## উপাদানসমূহ
গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম (A_n G_n)_{n \geq 1}-এর উপাদানগুলো হলো গাণিতিক ক্রম (A_n)_{n \geq 1} (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিক ক্রম (G_n)_{n \geq 1} (সবুজ রঙে) এর উপাদানগুলোর গুণফল। এখানে গাণিতিক ক্রমের প্রাথমিক মান a এবং সাধারণ পার্থক্য d, যেখানে A_n = a + (n - 1)d, এবং জ্যামিতিক ক্রমের প্রাথমিক মান b এবং সাধারণ অনুপাত r, যেখানে G_n = b r^{n-1}, তাই

: 
\begin{align}
A_1 G_1 & =\color{blue}a \color{green}b \\
A_2 G_2 & =\color{blue}(a+d) \color{green}br \\
A_3 G_3 & =\color{blue}(a+2d)\color{green} br^2 \\
& \ \,\vdots \\
A_n G_n & =\color{blue}(a+(n-1)d )\color{green} br^{n-1}\color{black}.
\end{align}

এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং এগুলো তিনটি পরামিতিতে সংকুচিত করা যেতে পারে: 
ab, 
 
bd, 
 এবং 
r. 


### উদাহরণ
যে ক্রমটি

:\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}, \ \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}, \ \dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}, \ \dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}, \ \dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}, \ \dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}, \cdots 

এটি একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ক্রম, যেখানে d=b=1, a=0, এবং r=1/2।

## ধারাসমূহ

### আংশিক যোগফল
গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা *n*-এর প্রথম n পদগুলোর যোগফল নিচের রূপে প্রকাশিত হয়:

: 
\begin{align}
S_n & = \sum_{k = 1}^n A_k G_k = \sum_{k = 1}^n \left(a + (k - 1) d\right) br^{k - 1} = b \sum_{k = 0}^{n-1} \left(a + k d\right) r^{k} \\
& = ab + (a + d) br + (a + 2 d) br^2 + \cdots + (a + (n - 1) d) br^{n - 1}
\end{align}
  
যেখানে A_i এবং G_i যথাক্রমে গাণিতিক এবং জ্যামিতিক ক্রমের i-তম উপাদান।

এই আংশিক যোগফলের বন্ধ-রূপ অভিব্যক্তি হলো:  
:
\begin{align}
S_n & = \frac{ab - (a+nd)\,br^n}{1 - r}+\frac{dbr\,(1 - r^n)}{(1-r)^2}\\
    & = \frac{A_1G_1 - A_{n+1}G_{n+1}}{1 - r}+\frac{dr}{(1-r)^2}\,(G_1 - G_{n+1}).
\end{align}


#### নিরূপণ
S_n = ab + (a + d) br + (a + 2 d) br^2 + \cdots + (a + (n - 1) d) br^{n - 1} সমীকরণটি r-এর সাথে গুণ করলে:  
:r S_n = a br + (a + d) br^2 + (a + 2 d) br^3 + \cdots + (a + (n - 1) d) br^n.

*rS_n*-কে *S_n* থেকে বিয়োগ করা, উভয় পক্ষকে b দ্বারা ভাগ করা, এবং টেলিস্কোপিক ধারা (দ্বিতীয় সমীকরণ) ও সীমিত জ্যামিতিক ধারার যোগফলের সূত্র (পঞ্চম সমীকরণ) ব্যবহার করলে:  
:\begin{align} 
(1 - r) S_n / b = {} & \left(a + (a + d) r + (a + 2 d) r^2 + \cdots + (a + (n - 1) d) r^{n - 1}\right) \\[5pt]
& {} - \left(a r + (a + d) r^2 + (a + 2 d) r^3 + \cdots + (a + (n - 1) d) r^n\right) \\[5pt]
= {} & a + d \left(r + r^2 + \cdots + r^{n-1}\right) - \left(a + (n - 1) d\right) r^n \\[5pt]
= {} & a + \frac{d r (1 - r^n)}{1 - r} - (a + nd) r^n, \\
S_n = &\frac{b}{1-r} \left( a - (a + nd) r^n + \frac{d r (1 - r^n)}{1 - r} \right) \\
= &\frac{ab - (a + nd) b r^n}{1-r} + \frac{d r (b - br^n)}{(1 - r)^2} \\
= &\frac{A_1 G_1 - A_{n+1} G_{n+1}}{1-r} + \frac{d r (G_1 - G_{n+1})}{(1 - r)^2}
\end{align}
  
যা প্রমাণিত হলো।

### অসীম ধারা
যদি −1 
\begin{align}
S &= \sum_{k = 1}^\infty t_k = \lim_{n \to \infty}S_{n} \\
  &= \frac{ab}{1-r}+\frac{dbr}{(1-r)^2}\\
  &= \frac{A_1G_1}{1 - r}+\frac{d r G_1}{(1-r)^2}.
\end{align}


যদি *r* উপরের পরিসরের বাইরে থাকে, *b* শূন্য না হয়, এবং *a* এবং *d* একসাথে শূন্য না হয়, তবে সীমা অস্তিত্বে থাকে না এবং সিরিজটি বিচ্ছিন্ন হয়।

### উদাহরণ
ধারা

:S=\dfrac{\color{blue}{0}}{\color{green}{1}}+\dfrac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}+\dfrac{\color{blue}{2}}{\color{green}{4}}+\dfrac{\color{blue}{3}}{\color{green}{8}}+\dfrac{\color{blue}{4}}{\color{green}{16}}+\dfrac{\color{blue}{5}}{\color{green}{32}}+\cdots ,

d=b=1, a=0, এবং r=\frac 12 দ্বারা সংজ্ঞায়িত গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা, যা S=2-তে অভিসারিত হয়। এই ক্রমটি মুদ্রা নিক্ষেপের মাধ্যমে প্রথমবার "টেল" পাওয়ার প্রত্যাশিত সংখ্যার সমান। "টেল" প্রথমবার পাওয়ার সম্ভাবনা T_k হলো:

:T_1=\frac 1{2}, \ T_2=\frac 1{4},\dots, T_k = \frac 1{2^k}।

তাই, প্রথমবার "টেল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা নিক্ষেপের প্রত্যাশিত সংখ্যা:

:\sum_{k=1}^{\infty} k T_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac {\color{blue}k}{\color{green}2^k} = 2

এভাবে, ধারা

: S=\dfrac{\color{blue}{0} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{5/6}}+\dfrac{\color{blue}{1} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{1}}+\dfrac{\color{blue}{2} * \color{green}{1/6}}{\color{green}{6/5}}+\cdots,

একটি গাণিতিক-জ্যামিতিক ধারা, যা d = 1, a = 0, b = (1/6) / (5/6), এবং r = 5/6 দ্বারা সংজ্ঞায়িত। এটি S=6-এ অভিসারিত হয়।

এই ক্রমটি ছয়-পার্শ্বযুক্ত পাশা নিক্ষেপের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট মান (যেমন "৫") পাওয়ার প্রত্যাশিত সংখ্যাকে নির্দেশ করে।

সাধারণভাবে, এমন ধারা যেখানে d = 1, a = 0, b = p/(1 - p), এবং r = (1-p), সেগুলো বার্নুলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সফলতার জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা"-এর প্রত্যাশা প্রকাশ করে, যেখানে "সফলতার সম্ভাবনা" p।

প্রত্যেক ফলাফলের সম্ভাবনাগুলো জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং ধারার পদের জ্যামিতিক ক্রমের উপাদানগুলো তৈরি করে। প্রত্যেক ফলাফলের জন্য প্রয়োজনীয় পরীক্ষার সংখ্যা গাণিতিক ক্রমের উপাদান সরবরাহ করে।

## তথ্যসূত্র

## আরও পড়ুন
*
*

বিষয়শ্রেণী:পূর্ণ সংখ্যার ধারা
বিষয়শ্রেণী:জ্যামিতিক ধারা
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা