৬-জে প্রতীক

উইগনারের **৬-''জে'' প্রতীক** সর্বপ্রথম ১৯৪০ সালে ইউজিন পল উইগনার কর্তৃক প্রবর্তিত হয় এবং ১৯৬৫ সালে তা প্রকাশিত হয়। এগুলোকে চারটি উইগনার ৩-জে প্রতীকের গুণফলের অপরপার্শ্বের সমষ্টি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়,

:

\begin{align}
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
  \end{Bmatrix}
   &= \sum_{m_1, \dots, m_6} (-1)^{\sum_{k = 1}^6 (j_k - m_k)}
  \begin{pmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    -m_1 & -m_2 & -m_3
  \end{pmatrix}\times\\
  &\times
  \begin{pmatrix}
    j_1 & j_5 & j_6\\
    m_1 & -m_5 & m_6
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    j_4 & j_2 & j_6\\
    m_4 & m_2 & -m_6
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    j_4 & j_5 & j_3\\
    -m_4 & m_5 & m_3
  \end{pmatrix}
.
\end{align}

সমষ্টিটি ৩-*জে* প্রতীকের নির্বাচন বিধি দ্বারা অনুমোদিত অপরাপর সকল ছয়টি -এর জন্য করা হয়েছে।
এগুলি রাকাহ ডব্লিউ-সহগ-এর সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, যা ৩টি কৌণিক ভ্রামককে পুনরায় সংযোগ করার জন্য ব্যবহৃত হয়; যদিও উইগনার ৬-*জে* প্রতীকের উচ্চতর প্রতিসাম্য রয়েছে এবং সেইজন্য রিকপলিং কোফিসিয়েন্ট সংরক্ষণের জন্য আরও কার্যকর উপায় ব্যবহার করে। এদের মধ্যকার সম্পর্কটি নিম্নরূপ:

:
  \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
  \end{Bmatrix}
   = (-1)^{j_1 + j_2 + j_4 + j_5} W(j_1 j_2 j_5 j_4; j_3 j_6).


## প্রতিসাম্য সম্পর্ক

৬-*জে* প্রতীকটি কলামগুলির যেকোনো বিন্যাসের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে:

:
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_2 & j_1 & j_3\\
    j_5 & j_4 & j_6
 \end{Bmatrix}
=
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_3 & j_2\\
    j_4 & j_6 & j_5
 \end{Bmatrix}
=
 \begin{Bmatrix}
    j_3 & j_2 & j_1\\
    j_6 & j_5 & j_4
 \end{Bmatrix}
= \cdots


৬-*জে* প্রতীকটি তখনো অপরিবর্তিত থাকে যদি যেকোনো দুটি কলামের উপরের এবং নীচের আর্গুমেন্টগুলি পরস্পর পরিবর্তন করা হয়:
:
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_4 & j_5 & j_3\\
    j_1 & j_2 & j_6
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_5 & j_6\\
    j_4 & j_2 & j_3
 \end{Bmatrix}
 =
 \begin{Bmatrix}
    j_4 & j_2 & j_6\\
    j_1 & j_5 & j_3
 \end{Bmatrix}.


এই সমীকরণগুলি অটোমরফিজম গ্রুপ-এর ২৪টি প্রতিসাম্য ক্রিয়াকলাপকে প্রতিফলিত করে যা সংশ্লিষ্ট টেট্রাহেড্রাল ইউটিস গ্রাফকে ৬টি প্রান্ত সহ অপরিবর্তিত রাখে: আয়না ক্রিয়াকলাপ যা দুটি শীর্ষবিন্দুকে বিনিময় করে এবং একটি সন্নিহিত প্রান্তের জোড়াকে অদলবদল করে।
৬-*জে* প্রতীক
:
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}

শূন্য হয় যদি না
*j*1, *j*2,এবং 
*j*3 ত্রিভুজ শর্ত পূরণ করে,
অর্থাৎ,
:
  j_1 = |j_2-j_3|, \ldots, j_2+j_3


উপরের এবং নীচের আর্গুমেন্টগুলির স্থানান্তরের জন্য প্রতিসাম্য সম্পর্কের সাথে একত্রে এটি দেখায় যে ত্রয়ীগুলির জন্যও ত্রিভুজ শর্তগুলি অবশ্যই পূরণ করতে হবে

(*j*1, *j*5, *j*6), (*j*4, *j*2, *j*6), এবং (*j*4, *জে*5, *j*3).
উপরন্তু, প্রতিটি ত্রয়ীর উপাদানগুলির যোগফল একটি পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। অতএব, প্রতিটি ত্রয়ীর সদস্যরা হয় সবাই পূর্ণসংখ্যা হবে অথবা একটি পূর্ণসংখ্যা এবং দুটি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা থাকবে।

## বিশেষ ঘটনা

যখন *j*6 = 0 হয়, তখন 6-*j* প্রতীকের অভিব্যক্তিটি হলো:

:
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & 0
 \end{Bmatrix}
 = \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \end{Bmatrix}.

ত্রিকোণীয় ডেল্টা
} ১ এর সমান হয় যখন (*j*1, *j*2, *j*3) 
ত্রিভুজের শর্তগুলি পূর্ণ করে, অন্যথায় এটি শূন্য। সিমেট্রি সম্পর্কগুলি ব্যবহার করে প্রকাশটি পাওয়া যায় যখন কোনো একটি "জে" শূন্য হয়।

## অর্থোগোনালিটি সম্পর্ক
৬-*জে* চিহ্নগুলি এই অর্থোগোনালিটি সম্পর্কটি পূর্ণ করে:
:
  \sum_{j_3} (2j_3+1)
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6
 \end{Bmatrix}
 \begin{Bmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3\\
    j_4 & j_5 & j_6'
 \end{Bmatrix}
  = \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \begin{Bmatrix} j_1 & j_5 & j_6 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} j_4 & j_2 & j_6 \end{Bmatrix}.


## উপসর্গবিহীন
৬-জে চিহ্নের অ্যাসিম্পটোটিক আচরণের জন্য একটি উল্লেখযোগ্য সূত্র প্রথমে পনজানো এবং রেগে দ্বারা অনুমান করা হয়েছিল, এবং পরবর্তীতে রবার্টস দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।
অ্যাসিম্পটোটিক সূত্রটি তখন প্রযোজ্য হয় যখন সমস্ত ছয়টি কোয়ান্টাম সংখ্যা
*j*1, ..., *j*6 
সম্পর্কিত একটি চতুস্তলকের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের সাথে সম্পর্কিত, যেখানে
*J*i = *j*i+1/2 (i=1,...,6) এবং অ্যাসিম্পটোটিক সূত্রটি দ্বারা দেওয়া হয়,
:

\begin{Bmatrix}

j_1 & j_2 & j_3\\

j_4 & j_5 & j_6

\end{Bmatrix}

\sim \frac{1}{\sqrt{12 \pi |V|}} \cos{\left( \sum_{i=1}^{6} J_i \theta_i +\frac{\pi}{4}\right)}.


চিহ্নগুলি নিম্নরূপ: প্রতিটি θi হলো সংশ্লিষ্ট চতুস্তলকের *J*i বাহুর বাইরের দ্বিতল কোণ, এবং প্রশস্ততা গুণকটি এই চতুস্তলকের আয়তন, *V*-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

## গাণিতিক ব্যাখ্যা
প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বে, ৬-জে প্রতীকগুলি একটি টেনসর শ্রেণীতে সংযোজক সমরূপতার ম্যাট্রিক্স সহগ। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের তিনটি উপস্থাপনা দেওয়া হয়
*V*i, *V*j, *V*k একটি দল (অথবা কোয়ান্টাম গ্রুপ)-এর যদি তিনটি উপস্থাপনা দেওয়া হয়, তাহলে একটি স্বাভাবিক সমরূপতা থাকে
:(V_i \otimes V_j) \otimes V_k \to V_i \otimes (V_j \otimes V_k)
যদি একটি দল (অথবা কোয়ান্টাম গ্রুপ)-এর তিনটি উপস্থাপনা থাকে, তাহলে আমরা টেনসর গুণফল উপস্থাপনার একটি স্বাভাবিক সমরূপতা পাই, যা সংশ্লিষ্ট দ্বি-বীজগণিতের সহ-সহযোগীতা দ্বারা গঠিত।  একটি মোনোয়েডাল শ্রেণীর সংজ্ঞা অনুযায়ী, সংযোজকদের একটি পঞ্চভুজ অভেদ মেনে চলতে হয়, যা ৬-জে প্রতীকের বাইডেনহার্ন-এলিয়ট অভেদের সমান।

যখন একটি মোনোয়েডাল শ্রেণী অর্ধসরল হয়, তখন আমরা অবিভাজ্য বস্তুর উপর আমাদের মনোযোগ সীমাবদ্ধ করতে পারি এবং বহুগুণ স্থান সংজ্ঞায়িত করতে পারি।
:H_{i,j}^\ell = \operatorname{Hom}(V_{\ell}, V_i \otimes V_j)
সুতরাং, টেনসর গুণফলগুলির নিম্নলিখিতরূপে বিন্যাসিত হয়:
:V_i \otimes V_j = \bigoplus_\ell H_{i,j}^\ell \otimes V_\ell
যেখানে অবিভাজ্য বস্তুর সমস্ত আইসোমরফিজম শ্রেণীর উপর যোগফলটি বিস্তৃত। তারপর:
:(V_i \otimes V_j) \otimes V_k \cong \bigoplus_{\ell,m} H_{i,j}^\ell \otimes H_{\ell,k}^m \otimes V_m \qquad \text{while} \qquad V_i \otimes (V_j \otimes V_k) \cong \bigoplus_{m,n} H_{i,n}^m \otimes H_{j,k}^n \otimes V_m
সংযোগ সমরূপতার ফলে একটি ভেক্টর স্থান সমরূপতা তৈরি হয়।
:\Phi_{i,j}^{k,m}: \bigoplus_{\ell} H_{i,j}^\ell \otimes H_{\ell,k}^m \to \bigoplus_n H_{i,n}^m \otimes H_{j,k}^n
এবং ৬জে প্রতীকগুলি উপাদান মানচিত্রের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত হয়:
:
  \begin{Bmatrix}
    i & j & \ell\\
    k & m & n
  \end{Bmatrix}
= (\Phi_{i,j}^{k,m})_{\ell,n}
যখন বহুগুণ স্থানগুলির ক্যানোনিকাল ভিত্তি উপাদান থাকে এবং মাত্রা সর্বাধিক এক হয় (যেমন ঐতিহ্যবাহী পরিস্থিতিতে *SU*(2)-এর ক্ষেত্রে), তখন এই উপাদান মানচিত্রগুলিকে সংখ্যা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং ৬-জে প্রতীকগুলি সাধারণ ম্যাট্রিক্স সহগ হয়ে যায়।

বিমূর্তভাবে, ৬-জে প্রতীকগুলি অবিকল সেই তথ্য যা একটি অর্ধসরল মোনোয়েডাল শ্রেণী থেকে তার গ্রোথেন্ডিক রিং-এ যাওয়ার সময় হারিয়ে যায়, যেহেতু সংযোজককে ব্যবহার করে একটি মোনোয়েডাল গঠন পুনর্গঠন করা যায়। একটি সসীম গ্রুপের উপস্থাপনার ক্ষেত্রে, এটা সুবিদিত যে শুধুমাত্র ক্যারেক্টার টেবিল (যা অন্তর্নিহিত অ্যাবিলিয়ান শ্রেণী এবং গ্রোথেন্ডিক রিং গঠন নির্ধারণ করে) একটি গ্রুপকে আইসোমরফিজম পর্যন্ত নির্ধারণ করে না, যেখানে প্রতিসম মোনোয়েডাল শ্রেণী গঠন টান্নাকা-ক্রেইন দ্বৈততা দ্বারা তা করে। বিশেষ করে, ৮ ক্রমের দুটি অ-অ্যাবিলিয়ান গ্রুপের উপস্থাপনার সমতুল্য অ্যাবিলিয়ান শ্রেণী এবং আইসোমরফিক গ্রোথেন্ডিক রিং রয়েছে, কিন্তু তাদের উপস্থাপনা শ্রেণীর ৬-জে প্রতীকগুলি স্বতন্ত্র, যার অর্থ হল তাদের উপস্থাপনা শ্রেণীগুলি মোনোয়েডাল শ্রেণী হিসাবে অসমতুল্য। সুতরাং, ৬-জে প্রতীকগুলি তথ্যের একটি মধ্যবর্তী স্তর দেয়, যা প্রকৃতপক্ষে অনেক ক্ষেত্রে গ্রুপগুলিকে অনন্যভাবে নির্ধারণ করে, যেমন যখন গ্রুপটি বিজোড় ক্রমের বা সরল হয়।

## আরও দেখুন
* ক্লেবচ–গর্ডান সহগ
* ৩-জে প্রতীক
* রাকাহ ডব্লিউ–সহগ
* ৯-জে প্রতীক

## টীকা

## তথ্যসূত্র
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 

## বহিঃসংযোগ

* 
*  (Gives exact answer)
* 
* 
* 
* 
*  (accurate; C, fortran, python)
*  (fast lookup, accurate; C, fortran)

বিষয়শ্রেণী:ঘূর্ণন প্রতিসাম্য
বিষয়শ্রেণী:কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান