এ-ডি-ই শ্রেণীবিভাগ

[থাম্ব|[সরল সংযুক্ত ডিনকিন আকারচিত্র|সরল সংযুক্ত ডিনকিন আকারচিত্রগুলি নানা ধরনের গণিতীয় বস্তু শ্রেণিবদ্ধ করে।]]
গণিতে, **এ-ডি-ই** **শ্রেণিবিন্যাস** (মূলত ***A-D-E শ্রেণিবিন্যাস***) এমন একটি প্রক্রিয়া যেখানে নির্দিষ্ট কিছু ধরনের বস্তু সরল সংযুক্ত ডিনকিন আকারচিত্রের সঙ্গে সাদৃশ্যপূর্ণ হয়। এই শ্রেণিবিন্যাসগুলোর মধ্যে একটি অভিন্ন উৎস রয়েছে কি না—না যে শুধুই মিল খুঁজে পাওয়া যায়—সেই প্রশ্নটি প্রথম তুলেছিলেন ।

সম্পূর্ণ সরল সংযুক্ত ডিনকিন আকারচিত্রগুলির তালিকা হল:

: A_n, \, D_n, \, E_6, \, E_7, \, E_8.

এখানে "সরল সংযুক্ত" বলতে বোঝানো হয়েছে যে কোনো দ্বৈত সংযোগ নেই। অর্থাৎ, মূল সিস্টেমের সমস্ত সরল মূলের মধ্যেকার কোণ হয় \pi/2 = 90^\circ (যেখানে কোনো সংযোগ থাকে না) অথবা 2\pi/3 = 120^\circ (যেখানে একটি মাত্র সংযোগ থাকে)। এই তালিকাটি ডিনকিন আকারচিত্রের চারটি পরিবারের মধ্যে দুটি (অর্থাৎ B_n ও C_n বাদে) এবং পাঁচটি ব্যতিক্রমী ডিনকিন আকারচিত্রের মধ্যে তিনটি (অর্থাৎ F_4 ও G_2 বাদে) প্রতিনিধিত্ব করে।

এই তালিকাটি তখনই অপ্রতুল হয় না, যদি D_n এর জন্য n \geq 4 ধরা হয়। তবে যদি পুনরাবৃত্ত উপাদান অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তবে কিছু ব্যতিক্রমী সমরূপতা দেখা যায়:

: D_3 \cong A_3, \quad E_4 \cong A_4, \quad E_5 \cong D_5,

এবং শ্রেণিবদ্ধ বস্তুর ক্ষেত্রেও সমরূপতা দেখা যায়।

*A*, *D* ও *E* চিহ্নগুলো একইসঙ্গে সরল সংযুক্ত সসীম কক্সেটার গোষ্ঠীগুলিকে নির্দেশ করে। এই ক্ষেত্রে ডিনকিন আকারচিত্র ও কক্সেটার আকারচিত্র একে অপরের সঙ্গে হুবহু মিলে যায়, কারণ এখানে কোনো দ্বৈত সংযোগ থাকে না।

## লাই বীজগণিত
জটিল সেমিসিম্পল লাই বীজগণিতের পরিপ্রেক্ষিতে:

* A_n এর সঙ্গে মিলে \mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbf{C}), যা হল বিশেষ রৈখিক লাই বীজগণিত—অর্থাৎ যে অপারেটরগুলোর ট্রেস শূন্য;
* D_n এর সঙ্গে মিলে \mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{C}), যা হল বিশেষ অর্থোগোনাল লাই বীজগণিত—অর্থাৎ সমবায় মাত্রার বিকৃত-সাম্য ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত;
* E_6, E_7, E_8 হল পাঁচটি ব্যতিক্রমী লাই বীজগণিতের মধ্যে তিনটি।

কমপ্যাক্ট লাই বীজগণিত এবং সংশ্লিষ্ট সরল সংযুক্ত লাই গোষ্ঠীর দৃষ্টিকোণ থেকে:

* A_n এর সঙ্গে মেলে \mathfrak{su}_{n+1}, যা SU(n+1) বিশেষ ইউনিটারি গোষ্ঠীর বীজগণিত;
* D_n এর সঙ্গে মেলে \mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{R}), যা PSO(2n) প্রক্ষেপিত বিশেষ অর্থোগোনাল গোষ্ঠীর বীজগণিত;
* E_6, E_7, E_8 হল পাঁচটি ব্যতিক্রমী কমপ্যাক্ট লাই বীজগণিতের মধ্যে তিনটি।

## বাইনারি পলিহেড্রাল গোষ্ঠী
একই ADE শ্রেণিবিন্যাস SU(2)-এর বিযুক্ত উপগোষ্ঠীগুলির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যেগুলি হল বাইনারি পলিহেড্রাল গোষ্ঠী। যথাযথভাবে বললে, এই বাইনারি পলিহেড্রাল গোষ্ঠীগুলির সঙ্গে সাদৃশ্যপূর্ণ হল সরল সংযুক্ত *অ্যাফাইন* ডিনকিন আকারচিত্র \tilde A_n, \tilde D_n, \tilde E_k, এবং এই গোষ্ঠীগুলির উপস্থাপনাগুলি এই আকারচিত্রগুলির মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যায়। এই সম্পর্কটি ***' নামে পরিচিত, যা গণিতবিদ [[John McKay (mathematician)|জন ম্যাককে]]-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে। [[প্লেটোনিক ঘনপিণ্ড|প্লেটোনিক ঘনপিণ্ডগুলির]] সঙ্গে এই সম্পর্কের বর্ণনা পাওয়া যায় -এ। এই পাটিগণিতে [[ম্যাককে গ্রাফ]] নামক নির্মাণ ব্যবহার করা হয়।

উল্লেখযোগ্য বিষয় হল, ADE পাটিগণিত প্লেটোনিক ঘনপিণ্ড এবং তাদের [[প্রতিফলন গোষ্ঠী|প্রতিফলন গোষ্ঠীগুলির]] মধ্যে সম্পর্ক নয়। উদাহরণস্বরূপ, ADE পাটিগণিতে [[টেট্রাহেড্রন]], [[কিউব]]/[[অক্টাহেড্রন]], এবং [[ডোডেকাহেড্রন]]/[[আইকোসাহেড্রন]] যথাক্রমে <math>E_6, E_7, E_8</math>-এর সঙ্গে সাদৃশ্যপূর্ণ। কিন্তু এই ঘনপিণ্ডগুলির প্রতিফলন গোষ্ঠী হল <math>A_3, BC_3,</math> এবং <math>H_3,</math> যা [[কক্সেটার গোষ্ঠী|কক্সেটার গোষ্ঠীর]] উপস্থাপনা।

প্রত্যেক বিযুক্ত উপগোষ্ঠী ব্যবহার করে <math>\mathbf{C}^2</math>-এর একটি [[অর্বিফোল্ড]] নির্মাণ করা যায়, যার ফলে উৎপত্তিবিন্দুতে একটি ADE ধরনের একবিন্দু ব্যতিক্রম দেখা যায়, যাকে [[du Val একবিন্দু ব্যতিক্রম]] বলা হয়।

ম্যাককে পাটিগণিতকে বহুগুণ সংযুক্ত (multiply laced) ডিনকিন আকারচিত্র পর্যন্ত বিস্তৃত করা যায়, যদি একজোড়া বাইনারি পলিহেড্রাল গোষ্ঠী ব্যবহার করা হয়। এই সম্প্রসারিত রূপটি '''স্লোডোভি পাটিগণিত''' নামে পরিচিত, যা [[Peter Slodowy|পিটার স্লোডোভি]]-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে – বিস্তারিত দেখতে পারেন ।

== লেবেলযুক্ত গ্রাফ ==
ADE গ্রাফ এবং সম্প্রসারিত (অ্যাফাইন) ADE গ্রাফগুলোকে নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন লেবেলিং-এর মাধ্যমে চিহ্নিত করা যায়, যা ব্যাখ্যা করা যায় [[বিযুক্ত ল্যাপ্লাস অপারেটর]] অথবা [[কার্তান ম্যাট্রিক্স]] ব্যবহার করে। কার্তান ম্যাট্রিক্সের ভিত্তিতে প্রমাণ পাওয়া যাবে -এ।

অ্যাফাইন ADE গ্রাফগুলোই একমাত্র গ্রাফ যা এমন একটি ধনাত্মক লেবেলিং গ্রহণ করে (অর্থাৎ গ্রাফের প্রতিটি শীর্ষবিন্দুকে ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যায় লেবেল দেওয়া হয়), যার জন্য নিম্নলিখিত শর্তটি পূরণ হয়:

: যেকোনো শীর্ষবিন্দুর লেবেলের দ্বিগুণ সমান হয় তার সংযুক্ত প্রতিবেশী শীর্ষবিন্দুগুলোর লেবেলসমষ্টি।

অর্থাৎ, এরা হল একমাত্র ধনাত্মক ফাংশন যেগুলোর জন্য বিযুক্ত ল্যাপ্লাসিয়ানের বিবেচনায় আত্মমান ১ হয় (প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর প্রতিবেশী লেবেলসমষ্টি থেকে নিজস্ব লেবেল বাদ দিলে ফলাফল হয় নিজস্ব লেবেল) — এই সমীকরণের ধনাত্মক সমাধান:

: <math>\Delta \phi = \phi.\ </math>

অথবা, সমানভাবে বলা যায়, <math>\Delta - I</math> অপারেটরের নিউক্লিয়াসে অবস্থিত ধনাত্মক ফাংশন। এই সংখ্যা নির্ধারণ স্কেল ব্যতীত একক, এবং যদি এভাবে স্বাভাবিকীকরণ করা হয় যে সর্বনিম্ন মান ১ হয়, তবে প্রাপ্ত মানগুলি ছোট পূর্ণসংখ্যা — ১ থেকে ৬ পর্যন্ত হতে পারে, নির্ভর করে গ্রাফটির উপর।

সাধারণ ADE গ্রাফগুলোই একমাত্র গ্রাফ যেগুলো এমন ধনাত্মক লেবেলিং গ্রহণ করে, যার জন্য নিম্নলিখিত শর্তটি পূরণ হয়:

: যেকোনো লেবেলের দ্বিগুণ থেকে ২ বিয়োগ করলে, তা হয় সংযুক্ত প্রতিবেশীদের লেবেলসমষ্টি।

ল্যাপ্লাসিয়ান বিবেচনায়, এটি নিচের অসমান্তর সমীকরণের ধনাত্মক সমাধান:

: <math>\Delta \phi = \phi - 2.\ </math>

এই সংখ্যাগুলো এককভাবে নির্ধারিত (এখানে "২"-এর মাধ্যমে স্কেল নির্ধারিত হয়) এবং এগুলো পূর্ণসংখ্যা হয়। উদাহরণস্বরূপ, <math>E_8</math> গ্রাফের জন্য এই সংখ্যাগুলি ৫৮ থেকে ২৭০ পর্যন্ত বিস্তৃত হয়, এবং এগুলোর উল্লেখ প্রথম -এ দেখা যায়।

== অন্যান্য শ্রেণিবিন্যাস ==

[[বিপর্যয় তত্ত্ব#প্রাথমিক বিপর্যয়|প্রাথমিক বিপর্যয় (elementary catastrophes)]]-গুলিও ADE শ্রেণিবিন্যাসের মাধ্যমে শ্রেণিবদ্ধ করা যায়।

ADE আকারচিত্রগুলি ঠিক সেইসব [[কুইভার (গণিত)|কুইভার]] যা সসীম ধরণের, [[গ্যাব্রিয়েলের উপপাদ্য]] অনুসারে।

এছাড়াও, [[সাধারিত চতুর্ভুজ (generalized quadrangle)]]গুলির সঙ্গেও একটি সম্পর্ক রয়েছে, যেখানে তিনটি অ-অপচয়ী (non-degenerate) GQ—যার প্রতিটি রেখায় থাকে তিনটি বিন্দু—সাদৃশ্যপূর্ণ হয় তিনটি ব্যতিক্রমী মূল সিস্টেম <math>E_6</math>, <math>E_7</math>, এবং <math>E_8</math>–এর সঙ্গে।
''A'' এবং ''D'' শ্রেণিগুলি সাদৃশ্যপূর্ণ হয় অপচয়ী (degenerate) অবস্থার সঙ্গে—যেখানে রেখার সংখ্যা শূন্য, অথবা সমস্ত রেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়।

একটি প্রস্তাবে বলা হয়েছে যে, ছোট [[জলবিন্দু গুচ্ছ|জলবিন্দু গুচ্ছের]] জ্যামিতিক সাদৃশ্যও ADE শ্রেণিবিন্যাস অনুসরণ করতে পারে।

[[দ্বি-মাত্রিক সঙ্গতিক্ষেত্র তত্ত্ব|দ্বি-মাত্রিক কনফরমাল ফিল্ড থিয়োরি]]-র [[ন্যূনতম মডেল (পদার্থবিদ্যা)|ন্যূনতম মডেলগুলি]] ADE শ্রেণিবিন্যাস অনুসরণ করে।

চার-মাত্রিক <math>\mathcal{N}=2</math> [[সুপারকনফরমাল গেজ তত্ত্ব|সুপারকনফরমাল গেজ কুইভার তত্ত্ব]], যেখানে গেজ গোষ্ঠীগুলি ইউনিটারি, তারাও ADE শ্রেণিবিন্যাসের মধ্যে পড়ে।

== শ্রেণিবিন্যাসের সম্প্রসারণ ==

[[ভ্লাদিমির আর্নল্ড|আর্নল্ড]] পরবর্তীতে এই শ্রেণিবিন্যাস প্রকল্পের অনেক সম্প্রসারিত রূপ প্রস্তাব করেন। তাঁর উদ্দেশ্য ছিল [[মূল সিস্টেম|মূল সিস্টেমের]] অধীনে [[কক্সেটার-ডিনকিন শ্রেণিবিন্যাস|কক্সেটার শ্রেণিবিন্যাস]] ও [[ডিনকিন আকারচিত্র|ডিনকিন শ্রেণিবিন্যাস]]কে নতুন করে চিন্তা করা ও সাধারণীকরণ করা।

তিনি [[পিকার–লেফশেত্জ তত্ত্ব]] ও [[মর্স তত্ত্ব|মর্স তত্ত্বের]] মধ্যে সাদৃশ্যের উপর ভিত্তি করে "কমপ্লেক্সিফিকেশন" (জটিলায়ন) এবং "সিমপ্লেক্টাইজেশন" (সিমপ্লেক্টিকায়ন) নামের কিছু অনানুষ্ঠানিক ধারণা প্রস্তাব করেন, যেখানে পিকার–লেফশেত্জ তত্ত্বকে মর্স তত্ত্বের জটিলায়িত রূপ হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়। তিনি এই ধারণাগুলিকে গণিতের অন্যান্য শাখায় সম্প্রসারিত করার চেষ্টা করেন।

আর্নল্ড এমন কিছু "হায়ারার্কি" ও "অভিধান" চিহ্নিত করার চেষ্টা করেন যেখানে বিভিন্ন গণিতীয় বস্তু ও তত্ত্বের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, [[ডিফিওমরফিজম]] A ধরনের [[ডিনকিন শ্রেণিবিন্যাস]]-এর সঙ্গে সাদৃশ্যপূর্ণ; আয়তন সংরক্ষণকারী ডিফিওমরফিজম B ধরনের সঙ্গে এবং [[সিমপ্লেক্টোমরফিজম]] C ধরনের সঙ্গে সাদৃশ্যপূর্ণ।

এই ভাবনার ধারা ধরে তিনি বিভিন্ন গণিতীয় বস্তু ও তত্ত্বের মধ্যে সাদৃশ্য বিশ্লেষণ করেন। উদাহরণস্বরূপ, [[ডিফিওমরফিজম]]-এর ক্ষেত্রে ব্যবহৃত [[লাই বন্ধনী]]কে তিনি [[সিমপ্লেক্টোমরফিজম]]-এর [[পোয়াসঁ বন্ধনী|পোয়াসঁ বন্ধনীর]] একটি সাধারণীকরণ ও একইসঙ্গে একটি বিশেষ রূপ হিসেবে দেখান।

== ত্রিত্ব (Trinities) ==

আর্নল্ড তাঁর এই ভাবনাকে আরও সম্প্রসারিত করেন "গণিতীয় ত্রিত্ব" (''mathematical trinities'') ধারণার মাধ্যমে। ম্যাককে (McKay) তাঁর নিজস্ব পাটিগণিতকে একইরকম, এবং কিছুটা মিল থাকা সাদৃশ্যপূর্ণ পথে প্রসারিত করেছেন। আর্নল্ড এই ধারণাগুলিকে "ত্রিত্ব" বলে অভিহিত করেন ধর্মীয় ত্রিত্বের (Trinity) অনুকরণে, এই ইঙ্গিত দিয়ে যে—এই সাদৃশ্যগুলো অনেক সময় বিশ্বাসের উপর নির্ভরশীল, কারণ এদের কঠোর প্রমাণ সব সময় নেই, যদিও কিছু ক্ষেত্রে সাদৃশ্য বিস্তারিতভাবে উপস্থাপিত হয়েছে। অন্যান্য গবেষকরাও আরও ত্রিত্ব প্রস্তাব করেছেন। আর্নল্ডের ত্রিত্বের সূচনা ঘটে '''R'''/'''C'''/'''H''' দ্বারা—অর্থাৎ বাস্তব সংখ্যা, জটিল সংখ্যা এবং কোয়াটারনিয়ন, যা তাঁর মতে "সবাই জানে"। তিনি এর পর কল্পনা করেন অন্যান্য ত্রিত্বকে, বাস্তব সংখ্যার গণিতকে জটিলায়ন (complexification) এবং কোয়াটারনিয়নীয়করণ (quaternionification) করে। এই ভাবনা তিনি রিম্যানীয় জ্যামিতির সিমপ্লেক্টিক সমতুল্য খোঁজার সঙ্গে তুলনা করেন, যা তিনি ১৯৭০-এর দশকে প্রস্তাব করেছিলেন। ডিফারেনশিয়াল টোপোলজির বিভিন্ন দৃষ্টান্ত (যেমন [[চারিত্রিক শ্রেণি|চারিত্রিক শ্রেণিসমূহ]]) ছাড়াও, আর্নল্ড তিনটি প্লেটোনিক প্রতিসাম্য—[[টেট্রাহেড্রন]], [[অক্টাহেড্রন]], এবং [[আইকোসাহেড্রন]]—এর সঙ্গে যথাক্রমে বাস্তব, জটিল, এবং কোয়াটারনিয়ন সংখ্যার সম্পর্ক কল্পনা করেন। এই সম্পর্ক পরে ম্যাককের অধিক বীজগাণিতিক পাটিগণিতের সঙ্গে সংযুক্ত হয়ে পড়ে।

[[ম্যাককে পাটিগণিত|ম্যাককের পাটিগণিত]] অপেক্ষাকৃত সহজভাবে ব্যাখ্যা করা যায়। প্রথমত, সম্প্রসারিত ডিনকিন আকারচিত্র <math>\tilde E_6, \tilde E_7, \tilde E_8</math> (যেগুলি যথাক্রমে টেট্রাহেড্রাল, অক্টাহেড্রাল ও আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্যের প্রতিনিধিত্ব করে) তাদের প্রতিসাম্য গোষ্ঠী হল যথাক্রমে <math>S_3, S_2, S_1</math>। এই প্রতিসাম্য ব্যবহার করে আকারচিত্রগুলিকে ভাঁজ করে (folding) যে নতুন ডায়াগ্রামগুলি পাওয়া যায়, তা হল <math>\tilde G_2, \tilde F_4, \tilde E_8</math>। (উল্লেখযোগ্য যে, অনেক সময় লেখায় "সম্প্রসারিত" বা <math>\tilde{}</math> চিহ্নটি উপেক্ষিত হয়।) এর চেয়েও গুরুত্বপূর্ণভাবে, ম্যাককে <math>\tilde E_8</math> আকারচিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলির সঙ্গে [[মনস্টার গোষ্ঠী|মনস্টার গোষ্ঠীর]] কিছু নির্দিষ্ট সংযুক্ত শ্রেণির (conjugacy class) মিল খুঁজে পান—এটি ''ম্যাককের E<sub>8</sub> পর্যবেক্ষণ'' নামে পরিচিত। এ সম্পর্কের সঙ্গে যুক্ত ধারণাগুলির মধ্যে অন্যতম হলো [[মন্সট্রাস মুনশাইন]]। ম্যাককে আরও বলেন যে, <math>\tilde E_7</math> ডায়াগ্রামের শীর্ষবিন্দুগুলোর সঙ্গে <math>2.B</math> গোষ্ঠীর (যা [[বেবি মনস্টার গোষ্ঠী|বেবি মনস্টার গোষ্ঠীর]] ২ গুণ বিস্তৃত একটি রূপ) সংযুক্ত শ্রেণিগুলির মিল রয়েছে এবং <math>\tilde E_6</math> ডায়াগ্রামের শীর্ষবিন্দুগুলোর সঙ্গে <math>3.\mathrm{Fi}_{24}'</math> (যা [[ফিশার গোষ্ঠী|ফিশার গোষ্ঠীর]] ৩ গুণ বিস্তৃত রূপ) এর সংযুক্ত শ্রেণিগুলোর সাদৃশ্য রয়েছে। উল্লেখযোগ্যভাবে, এই তিনটি গোষ্ঠী—মনস্টার, বেবি মনস্টার, এবং <math>\mathrm{Fi}_{24}'</math>—হল সবচেয়ে বৃহৎ [[অসামান্য গোষ্ঠী|অসামান্য গোষ্ঠীগুলোর]] (sporadic groups) মধ্যে তিনটি। এবং ডায়াগ্রামগুলির প্রতিসাম্যের পরিমাণ এই বিস্তৃতির মাত্রার (2 বা 3) সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

বড় সরল গোষ্ঠী থেকে ছোট গোষ্ঠীর দিকে নজর দিলে, সংশ্লিষ্ট প্লেটোনিক গোষ্ঠী <math>A_4, S_4, A_5</math>-এর সঙ্গে [[প্রক্ষেপিত বিশেষ রৈখিক গোষ্ঠী]] PSL(2,5), PSL(2,7), এবং PSL(2,11)-এর (যাদের গোষ্ঠীমান যথাক্রমে ৬০, ১৬৮ ও ৬৬০) সম্পর্ক রয়েছে। এই সম্পর্ককেও এক ধরনের ''ম্যাককে পাটিগণিত'' হিসেবে ধরা হয়।

এই গোষ্ঠীগুলিই একমাত্র (সরল) মান যেখানে PSL(2,''p'') গোষ্ঠীটি ''p'' বিন্দুর ওপর অ-তুচ্ছভাবে ক্রিয়া করে—এই তথ্যটি ১৮৩০-এর দশকে [[এভারিস্ত গ্যালোয়া|গ্যালোয়া]]র সময় থেকেই পরিচিত। প্রকৃতপক্ষে, এই গোষ্ঠীগুলিকে গোষ্ঠী হিসেবে না হলেও সেটের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়: <math>A_4 \times Z_5,</math> <math>S_4 \times Z_7,</math> এবং <math>A_5 \times Z_{11}.</math>

এই গোষ্ঠীগুলোর বিভিন্ন জ্যামিতির সঙ্গেও সম্পর্ক রয়েছে, যার সূত্রপাত [[ফেলিক্স ক্লেইন]] করেছিলেন ১৮৭০-এর দশকে। বিস্তারিত ব্যাখ্যার জন্য দেখুন: [[Icosahedral symmetry#Related geometries|আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য: সম্পর্কিত জ্যামিতি]] এবং ।

তালিকাভুক্ত জ্যামিতিগুলির (যেগুলি [[রিম্যান পৃষ্ঠ]]ের উপর টাইলিং হিসাবে দেখা যায়) মধ্যে এই ক্রিয়াগুলো দেখা যায়:

* PSL(2,5): আইকোসাহেড্রনের প্রতিসাম্য (বংশ ০) — এখানে [[পাঁচটি টেট্রাহেড্রনের যৌগ|পাঁচ টেট্রাহেড্রনের যৌগ]] একটি ৫-উপাদান বিশিষ্ট সেট;
* PSL(2,7): [[ক্লেইন চতুরাংশ|ক্লেইন কোয়ার্টিক]] (বংশ ৩) — এখানে একটি [[ফানো সমতল]] (order 2 biplane) ৭ উপাদানের সেট হিসাবে এম্বেডেড;
* PSL(2,11): ***' (বংশ ৭০) — যেখানে একটি এম্বেডেড প্যালি বাইপ্লেন ১১ উপাদানের সেট (order 3 বাইপ্লেন) হিসেবে দেখা যায়।

এই উদাহরণগুলির মধ্যে আইকোসাহেড্রন প্রাচীনকাল থেকে পরিচিত, ক্লেইন কোয়ার্টিক এসেছে ক্লেইনের ১৮৭০-এর দশকের কাজ থেকে, আর বাকমিনস্টারফুলারিন পৃষ্ঠ প্রথম দেখান প্যাবলো মার্টিন ও ডেভিড সিঙ্গারম্যান ২০০৮ সালে।

অ্যালজেব্রিক জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, ম্যাককে E_6, E_7, E_8-এর সঙ্গে যথাক্রমে মিল খুঁজে পান:

* কিউবিক পৃষ্ঠে ২৭টি সরলরেখা,
* প্লেন চতুরাংশ বক্ররেখার ২৮টি বিট্যানজেন্ট,
* এবং একটি বংশ ৪-এর আদর্শ সেক্সটিক বক্ররেখার ১২০টি ট্রাইট্যানজেন্ট সমতল।

এইগুলির মধ্যে প্রথমটি বেশ পরিচিত। দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে, যেকোনো সরলরেখার বাইরে থেকে কিউবিক পৃষ্ঠকে প্রক্ষেপণ করলে একটি দ্বৈত আবরণ পাওয়া যায় যা একটি চতুরাংশ বক্ররেখা বরাবর শাখাবদ্ধ হয়। সেই প্রক্ষেপণে ২৭টি সরলরেখা মাপে ২৮ বিট্যানজেন্টের মধ্যে ২৭টি তৈরি করে, আর ২৮তম বিট্যানজেন্ট আসে ব্লো-আপে সৃষ্ট ব্যতিক্রমী বক্ররেখার ছবি হিসেবে।

এছাড়াও লক্ষ্যণীয়, E_6, E_7, E_8-এর মৌলিক উপস্থাপনগুলির মাত্রা যথাক্রমে ২৭, ৫৬ (২৮×২), এবং ২৪৮ (১২০+১২৮); এবং মূলের সংখ্যা যথাক্রমে ২৭+৪৫ = ৭২, ৫৬+৭০ = ১২৬, ও ১১২+১২৮ = ২৪০।

এই সম্পর্কগুলো  দ্বারা প্রস্তাবিত একটি বৃহত্তর কাঠামোর মধ্যে আসে, যেখানে E_8, E_7, E_6 কে যথাক্রমে বৃহত্তম তিনটি অসামান্য গোষ্ঠী—মনস্টার, বেবি মনস্টার ও ফিশার ২৪′—এর সঙ্গে যুক্ত করা হয় (দেখুন মন্সট্রাস মুনশাইন)।

## আরও দেখুন

* এলিপটিক পৃষ্ঠ