আবেলের উপপাদ্য

**অ্যাবেলের উপপাদ্য** (Abel's theorem) গণিতে একটি পাওয়ার সিরিজের সীমাকে তার গুণকগুলোর যোগফলের সাথে সম্পর্কিত করে। এটি নরওয়েজীয় গণিতবিদ নিলস হেনরিক অ্যাবেলের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এটি ১৮২৬ সালে প্রমাণ করেছিলেন।

## উপপাদ্য

ধরা যাক টেইলর শ্রেণি
G (x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
একটি ঘাত শ্রেণি, যার বাস্তব সহগ a_k এবং অভিসারিত ব্যাসার্ধ 1। ধরে নেওয়া হয়েছে। ধরা যাক যে শ্রেণি
\sum_{k=0}^\infty a_k
অভিসারিত।
তাহলে G(x) বামদিক থেকে অবিচ্ছিন্ন x = 1-এ, অর্থাৎ
\lim_{x\to 1^-} G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k।

একই উপপাদ্য জটিল ঘাত শ্রেণির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য,
G(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k,
যদি z \to 1 সম্পূর্ণরূপে একক *স্টল্ৎস সেক্টর* এর মধ্যে থাকে, যা হলো উন্মুক্ত একক বৃত্তের এমন একটি অঞ্চল যেখানে
|1-z| \leq M(1-|z|)
একটি স্থির এবং সীমিত M > 1 এর জন্য। এই শর্ত ব্যতীত সীমা বিদ্যমান নাও থাকতে পারে: উদাহরণস্বরূপ, ঘাত শ্রেণি
\sum_{n>0} \frac{z^{3^n}-z^{2\cdot 3^n}} n
z = 1-এ 0-এ অভিসারিত হয়, কিন্তু e^{\pi i/3^n} আকারের যেকোনো বিন্দুর কাছে এটি সীমাবদ্ধ নয়। ফলে, z একক বৃত্তে ১-এর দিকে ধাবিত হলে এই মান সীমা হিসেবে গণ্য হয় না।

উল্লেখ্য, G(z) বন্ধ অন্তর [0, t]-এ অবিচ্ছিন্ন, যেখানে t , কারণ এই শ্রেণিটি সমজাত অভিসারণ এর মাধ্যমে সংযোজিত বৃত্তের সঙ্কুচিত উপসেটগুলিতে অভিসারিত হয়। তবে, অ্যাবেলের উপপাদ্য অনুযায়ী G(z) এর [0, 1] এর উপর সংযোজনটি অবিচ্ছিন্ন।

### স্টল্ৎস সেক্টর
থাম্ব|20 স্টল্ৎস সেক্টর, যেখানে <math>M</math> এর মান ১.০১ থেকে ১০ পর্যন্ত পরিবর্তিত। লাল রেখাগুলি শঙ্কুর ডান প্রান্তের স্পর্শক।
স্টল্ৎস সেক্টর |1-z|\leq M(1-|z|) এর নির্দিষ্ট সমীকরণ হলো
y^2 = -\frac{M^4 (x^2 - 1) - 2 M^2 ((x - 1) x + 1) + 2 \sqrt{M^4 (-2 M^2 (x - 1) + 2 x - 1)} + (x - 1)^2}{(M^2 - 1)^2}
এবং এটি ডানদিকে বিভিন্ন মানের জন্য চিত্রিত করা হয়েছে।

সেক্টরের বাম প্রান্ত হলো x = \frac{1-M}{1+M}, এবং ডান প্রান্ত হলো x=1। ডান প্রান্তে এটি একটি শঙ্কুতে পরিণত হয়, যার কোণ 2\theta, যেখানে \cos\theta = \frac{1}{M}।

## মন্তব্য

এই উপপাদ্যের সরাসরি একটি ফলাফল হল, যদি z কোনও অশূন্য জটিল সংখ্যা হয়, যার জন্য ধারাটি
\sum_{k=0}^\infty a_k z^k
অবসিত হয়, তবে এটি প্রমাণ করে যে:
\lim_{t\to 1^{-}} G(tz) = \sum_{k=0}^\infty a_kz^k
যেখানে সীমাটি নিচ থেকে নেওয়া হয়।

এই উপপাদ্যটি এমন ধারাগুলোর জন্যও সাধারণীকৃত হতে পারে, যেগুলো অসীমে অভিসারিত হয়। যদি
\sum_{k=0}^\infty a_k = \infty
তবে
\lim_{z\to 1^{-}} G(z) \to \infty.

তবে, যদি ধারা কেবলমাত্র অসংগতি প্রমাণিত হয়, কিন্তু অন্য কোনও কারণে অসীমে না পৌঁছায়, তাহলে উপপাদ্যের দাবি ব্যর্থ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিচের ধারাটি দেখুন:
\frac{1}{1+z}.

যেখানে z = 1, ধারাটি হয় 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots, কিন্তু \tfrac{1}{1+1} = \tfrac{1}{2}.

উল্লেখযোগ্য বিষয় হল, এই উপপাদ্যটি R = 1 ব্যতিরেকে অন্যান্য অভিসারণ ব্যাসার্ধের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। ধরা যাক,
G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_kx^k
একটি শক্তি ধারা যার অভিসারণ ব্যাসার্ধ R, এবং ধরে নেওয়া হয় যে ধারা x = R-এ অভিসারিত হয়। তাহলে G(x) x = R-এ বামে থেকে ক্রমাগত, অর্থাৎ:
\lim_{x\to R^-}G(x) = G(R).

## প্রয়োগ

অ্যাবেলের উপপাদ্যের প্রয়োগ হল, এটি আমাদের একটি শক্তি ধারার সীমা নির্ণয় করতে সহায়তা করে যখন তার আর্গুমেন্ট (z) 1-এর কাছাকাছি নিচ থেকে পৌঁছায়, এমন ক্ষেত্রেও যেখানে শক্তি ধারার অভিসারণ ব্যাসার্ধ, R, সমান 1 এবং সীমাটি সসীম কিনা তা নিশ্চিত হওয়া যায় না। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিপদ ধারার ক্ষেত্রে এটি দেখুন। অ্যাবেলের উপপাদ্য আমাদের অনেক ধারার সুনির্দিষ্ট মান নির্ণয়ে সাহায্য করে। উদাহরণস্বরূপ, যখন
a_k = \frac{(-1)^k}{k+1},
তখন আমরা পাই:
G_a(z) = \frac{\ln(1+z)}{z}, \qquad 0 
যেখানে জ্যামিতিক শক্তি ধারাটি সমজাতীয়ভাবে অভিসারিত। এইভাবে,
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1}
অ্যাবেলের উপপাদ্য দ্বারা \ln 2-এ অভিসারিত হয়। অনুরূপভাবে,
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}
অভিসারিত হয় \arctan 1 = \tfrac{\pi}{4}.

G_a(z) কে উৎপাদক ফাংশন বলা হয়, যা a ক্রমের জন্য উৎপাদক। অ্যাবেলের উপপাদ্য প্রায়োগিক সম্ভাবনার গ্যালটন-ওয়াটসন প্রক্রিয়ার মতো বিভিন্ন বাস্তব সংখ্যিক ও অঋণাত্মক ক্রমের উৎপাদক ফাংশন নিয়ন্ত্রণে সহায়ক।

## প্রমাণের সংক্ষিপ্তসার
যখন a_0-এর থেকে একটি ধ্রুবক বিয়োগ করা হয়, তখন আমরা ধরে নিতে পারি যে \sum_{k=0}^\infty a_k=0। এখন s_n=\sum_{k=0}^n a_k\! হিসেবে ধরা যাক। তারপর, a_k=s_k-s_{k-1} ধরে এবং ধারাটির সরল রূপান্তর (summation by parts) করলে পাই:
G_a(z) = (1-z)\sum_{k=0}^{\infty} s_k z^k।

যদি \varepsilon > 0 হয়, তবে এমন একটি n নির্বাচন করা সম্ভব যাতে |s_k|  হয় সব k \geq n জন্য এবং দেখা যায় যে:
\left|(1-z)\sum_{k=n}^\infty s_kz^k \right| \leq \varepsilon |1-z|\sum_{k=n}^\infty |z|^k = \varepsilon|1-z|\frac 
যখন z নির্দিষ্ট স্টলজ কোণের মধ্যে থাকে। যথেষ্ট ছোট z যখন 1-এর নিকটবর্তী হয়, তখন পাই:
\left|(1-z)\sum_{k=0}^{n-1} s_kz^k \right| 
ফলে \left|G_a(z)\right|  হয় যখন z যথেষ্টভাবে 1-এর নিকটবর্তী এবং স্টলজ কোণের মধ্যে থাকে।

## সংশ্লিষ্ট ধারণা

অ্যাবেলের উপপাদ্যের বিপরীত গুলিকে টবারীয় উপপাদ্য বলা হয়: কোনও সুনির্দিষ্ট বিপরীত নেই, তবে কিছু শর্তাধীন অনুমানের উপর ভিত্তি করে ফলাফল পাওয়া যায়। অসংগতি ধারা এবং এর যোগফল পদ্ধতি নিয়ে গবেষণার ক্ষেত্রটিতে অনেক উপপাদ্য *অ্যাবেলীয়* এবং *টবারীয়* ধরণের।

## আরও দেখুন

* 
* 
* 

## আরও পড়ুন

*  - আহলফোর্স এটিকে *অ্যাবেলের সীমা উপপাদ্য* বলেছেন।

## তথ্যসূত্র

## বহিঃসংযোগ
*  *(এই ধরণের আরও সাধারণ অ্যাবেলীয় উপপাদ্যের আলোচনা)*
* 
* 

বিষয়শ্রেণী:বাস্তব বিশ্লেষণে উপপাদ্য
বিষয়শ্রেণী:জটিল বিশ্লেষণে উপপাদ্য
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা
বিষয়শ্রেণী:নিলস হেনরিক আবেল
বিষয়শ্রেণী:সমষ্টিযোগ্যতা পদ্ধতি