আব্রাহাম-লরেন্টজ বল

পদার্থবিজ্ঞানের তড়িৎচুম্বকত্ব বিভাগে, **আব্রাহাম-লরেন্টজ বল** (যাকে লরেন্টজ-আব্রাহাম বলও বলা হয়) হলো একটি ত্বরিত চার্জযুক্ত কণা-র উপর প্রতিক্রিয়া বল, যা কণাটি নিজের সাথে স্ব-মিথস্ক্রিয়ার মাধ্যমে তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণ নির্গত করার কারণে সৃষ্ট হয়। এটিকে **বিকিরণ প্রতিক্রিয়া বল**, **বিকিরণ স্যাঁতসেঁতে বল** বা **স্ব-বল** (self-force) নামেও ডাকা হয়। এই বলের নামকরণ করা হয়েছে পদার্থবিজ্ঞানী ম্যাক্স আব্রাহাম এবং হেন্দ্রিক লরেন্টজ-এর নামে।

এই সূত্রটি, যদিও বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্বের পূর্বে আবিষ্কৃত, প্রথমে অ-আপেক্ষিক বেগের আনুমানিক গণনার জন্য তৈরি করা হয়েছিল। পরবর্তীতে ম্যাক্স আব্রাহাম এটিকে যেকোনো বেগের জন্য প্রসারিত করেন এবং জর্জ অ্যাডলফাস শট এর ভৌত সামঞ্জস্য প্রমাণ করেন। অ-আপেক্ষিক রূপটিকে **লরেন্টজ স্ব-বল** এবং আপেক্ষিক রূপটিকে **লরেন্টজ-ডিরাক বল** বা সম্মিলিতভাবে **আব্রাহাম-লরেন্টজ-ডিরাক বল** বলা হয়। এই সমীকরণগুলো শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞান-এর ক্ষেত্রে পড়ে, কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞান-এর নয়, এবং তাই কম্পটন তরঙ্গদৈর্ঘ্য বা তার নিচের দূরত্বে বৈধ নাও হতে পারে। তবে এর দুটি পূর্ণ কোয়ান্টাম ও আপেক্ষিক অনুরূপ রয়েছে: একটি "আব্রাহাম-লরেন্টজ-ডিরাক-ল্যাঙ্গেভিন সমীকরণ" নামে পরিচিত, অন্যটি চলমান আয়নার উপর স্ব-বল।

এই বল বস্তুর বৈদ্যুতিক চার্জ-এর বর্গের সমানুপাতিক এবং কণাটি যে জার্ক অনুভব করছে তার সমানুপাতিক। (জার্ক হলো ত্বরণ-এর পরিবর্তনের হার।) বলটি জার্কের দিকে নির্দেশ করে। উদাহরণস্বরূপ, সাইক্লোট্রন-এ যেখানে জার্ক বেগের বিপরীতে নির্দেশ করে, সেখানে বিকিরণ প্রতিক্রিয়া কণার বেগের বিপরীতে কাজ করে এবং ব্রেকিং প্রভাব সৃষ্টি করে। আব্রাহাম-লরেন্টজ বল হলো রেডিও অ্যান্টেনা-র বিকিরণ প্রতিরোধ-এর উৎস যা রেডিও তরঙ্গ নির্গত করে।

আব্রাহাম-লরেন্টজ-ডিরাক সমীকরণের কিছু প্যাথলজিক্যাল সমাধান রয়েছে যেখানে কণা বল প্রয়োগের আগেই ত্বরিত হয়, যাকে *প্রি-অ্যাক্সিলারেশন* বলা হয়। যেহেতু এটি কারণের আগে প্রভাব ঘটায় (পশ্চাদ্বর্তী কার্যকারণ), কিছু তত্ত্বে অনুমান করা হয় যে এই সমীকরণ সময়ের পশ্চাদমুখী সংকেত প্রেরণের অনুমতি দেয়, যা কার্যকারণ-এর ভৌত নীতিকে চ্যালেঞ্জ করে। এই সমস্যার একটি সমাধান আর্থার ডি. ইয়াগজিয়ান আলোচনা করেছেন এবং পরবর্তীতে ফ্রিটজ রোহরলিচ এবং রড্রিগো মেদিনা আরও আলোচনা করেছেন। এছাড়া কিছু লেখক যুক্তি দেখান যে বিকিরণ প্রতিক্রিয়া বলের প্রয়োজন নেই, এবং একটি সংশ্লিষ্ট স্ট্রেস-এনার্জি টেনসর প্রবর্তন করে যা মিঙ্কোভস্কি স্পেস এবং অন্যান্য উপযুক্ত স্পেসটাইমে শক্তি ও ভরবেগ সংরক্ষণ করে।

## সংজ্ঞা ও বর্ণনা

অ-আপেক্ষিক বেগের আনুমানিকের জন্য প্রাপ্ত **লরেন্টজ স্ব-বল** এসআই একক-এ নিম্নরূপ:

\mathbf{F}_\mathrm{rad} = \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \mathbf{\dot{a}} = \frac{ q^2}{6 \pi \varepsilon_0 c^3} \mathbf{\dot{a}} = \frac{2}{3} \frac{ q^2}{4 \pi \varepsilon_0 c^3} \mathbf{\dot{a}}

অথবা গাউসীয় একক-এ:

\mathbf{F}_\mathrm{rad} = { 2 \over 3} \frac{ q^2}{ c^3} \mathbf{\dot{a}}.

যেখানে \mathbf{F}_\mathrm{rad} হলো বল, \mathbf{\dot{a}} হলো ত্বরণ-এর অন্তরজ বা স্থানচ্যুতির তৃতীয় অন্তরজ, যাকে জার্ক বলা হয়, μ₀ হলো চৌম্বকীয় ধ্রুবক, ε₀ হলো বৈদ্যুতিক ধ্রুবক, c হলো শূন্যে আলোর গতি, এবং q হলো কণার বৈদ্যুতিক চার্জ।

ভৌতভাবে, ত্বরিত চার্জ বিকিরণ নির্গত করে (লারমর সূত্র অনুসারে), যা চার্জ থেকে ভরবেগ বহন করে নিয়ে যায়। যেহেতু ভরবেগ সংরক্ষিত হয়, চার্জটি নির্গত বিকিরণের বিপরীত দিকে ঠেলা পায়। আসলে উপরের বিকিরণ বলের সূত্রটি লারমর সূত্র থেকে **উদ্ভূত** করা যায়।

**আব্রাহাম-লরেন্টজ বল**, যা যেকোনো বেগের জন্য লরেন্টজ স্ব-বলের সাধারণীকরণ, নিম্নরূপ:

\mathbf{F}_\mathrm{rad} =\frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\left(\gamma^2\dot{a}+\frac{\gamma^4v(v \cdot \dot{a})}{c^2} + \frac{3\gamma^4a(v\cdot a)}{c^2}+\frac{3\gamma^6v(v\cdot a)^2}{c^4}\right)

যেখানে \gamma হলো বেগ v-এর সাথে যুক্ত লরেন্টজ ফ্যাক্টর। এই সূত্রটি বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং নিম্ন বেগ সীমায় লরেন্টজের স্ব-বলের রূপে পরিণত হয়।

ডিরাক কর্তৃক যেকোনো আকৃতির মৌলিক চার্জের জন্য অনুমান করা বিকিরণ প্রতিক্রিয়ার কোভ্যারিয়েন্ট রূপ নিম্নরূপ:

F^{\mathrm{rad}}_\mu = \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi m c}
\left[\frac{d^2 p_\mu}{d \tau^2}-\frac{p_\mu}{m^2 c^2}
\left(\frac{d p_\nu}{d \tau}\frac{d p^\nu}{d \tau}\right)
\right]

## ইতিহাস

বিদ্যুৎ প্রবাহের কারণে তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণ শক্তির প্রথম গণনা ১৮৮৩ সালে জর্জ ফ্রান্সিস ফিৎজজেরাল্ড দেন, যেখানে বিকিরণ প্রতিরোধ প্রকাশ পায়। তবে হাইনরিখ হার্টজ-এর ডাইপোল অ্যান্টেনা পরীক্ষা বড় প্রভাব ফেলে এবং হেনরি পোয়াঁকারে অসিলেটরের বিকিরণ নির্গমনের কারণে *amortissement* বা স্যাঁতসেঁতে হওয়া নিয়ে মন্তব্য করেন। ত্বরিত চার্জের বিকিরণ নির্গমনের স্যাঁতসেঁতে প্রভাব নিয়ে গুণগত আলোচনা ১৮৯১ সালে হেনরি পোয়াঁকারে শুরু করেন। ১৮৯২ সালে হেন্দ্রিক লরেন্টজ নিম্ন বেগের জন্য চার্জের স্ব-মিথস্ক্রিয়া বল উদ্ভাবন করেন কিন্তু এটিকে বিকিরণ ক্ষয়ের সাথে যুক্ত করেননি। বিকিরণ শক্তি ক্ষয় ও স্ব-বলের মধ্যে সম্পর্কের প্রথম পরামর্শ দেন ম্যাক্স প্ল্যাঙ্ক। প্ল্যাঙ্কের স্যাঁতসেঁতে বলের ধারণা, যা মৌলিক চার্জযুক্ত কণার কোনো নির্দিষ্ট আকৃতি ধরে নেয়নি, ম্যাক্স আব্রাহাম ১৮৯৮ সালে অ্যান্টেনার বিকিরণ প্রতিরোধ খুঁজতে প্রয়োগ করেন, যা এই ঘটনার সবচেয়ে ব্যবহারিক প্রয়োগ হিসেবে রয়ে গেছে।

১৯০০-এর দশকের প্রথম দিকে আব্রাহাম লরেন্টজ স্ব-বলকে যেকোনো বেগের জন্য সাধারণীকরণ করেন, যার ভৌত সামঞ্জস্য পরবর্তীতে জর্জ অ্যাডলফাস শট দেখান। শট আব্রাহাম সমীকরণ উদ্ভাবন করতে সক্ষম হন এবং "ত্বরণ শক্তি"কে তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণের শক্তির উৎস হিসেবে চিহ্নিত করেন। মূলত ১৯০৮ সালের অ্যাডামস প্রাইজ-এর জন্য প্রবন্ধ হিসেবে জমা দেওয়া হয়, তিনি প্রতিযোগিতায় জয়ী হন এবং ১৯১২ সালে প্রবন্ধটি বই আকারে প্রকাশিত হয়। এই সময়ে স্ব-বল ও বিকিরণ প্রতিক্রিয়ার সম্পর্ক সুপ্রতিষ্ঠিত হয়। ভল্ফগ্যাং পাউলি প্রথম বিকিরণ প্রতিক্রিয়ার কোভ্যারিয়েন্ট রূপ পান এবং ১৯৩৮ সালে পল ডিরাক দেখান যে চার্জযুক্ত কণার গতিসমীকরণে, কণার আকৃতি অনুমান না করেও আব্রাহামের সূত্র যুক্তিসঙ্গত আনুমানিকের মধ্যে রয়েছে। ডিরাকের উদ্ভাবিত সমীকরণগুলো শাস্ত্রীয় তত্ত্বের সীমার মধ্যে সঠিক বলে বিবেচিত।

## পটভূমি
শাস্ত্রীয় তড়িৎচুম্বকত্ব-এ সমস্যাগুলো সাধারণত দুটি শ্রেণিতে বিভক্ত করা হয়:

# যেসব সমস্যায় ক্ষেত্রের চার্জ ও প্রবাহ *উৎস* নির্দিষ্ট করা থাকে এবং *ক্ষেত্র* গণনা করা হয়,
# এবং বিপরীত পরিস্থিতি, যেখানে ক্ষেত্র নির্দিষ্ট থাকে এবং কণার গতি গণনা করা হয়।

প্লাজমা পদার্থবিজ্ঞান এবং পরিবহন সহগ (পরিবাহিতা, বিস্তার গুণাঙ্ক ইত্যাদি) গণনার মতো কিছু ক্ষেত্রে উৎসের দ্বারা উৎপন্ন ক্ষেত্র এবং উৎসের গতি স্ব-সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে সমাধান করা হয়। তবে এসব ক্ষেত্রেও একটি নির্দিষ্ট উৎসের গতি অন্য সকল উৎসের দ্বারা উৎপন্ন ক্ষেত্রের প্রতিক্রিয়ায় গণনা করা হয়। খুব কমই কোনো কণার (উৎসের) গতি সেই কণাটির নিজের উৎপন্ন ক্ষেত্রের কারণে গণনা করা হয়। এর দুটি কারণ:

# "স্ব-ক্ষেত্র" উপেক্ষা করলে অনেক অ্যাপ্লিকেশনে যথেষ্ট সঠিক উত্তর পাওয়া যায়,
# এবং স্ব-ক্ষেত্র অন্তর্ভুক্ত করলে পদার্থবিজ্ঞানে রিনর্মালাইজেশন-এর মতো সমস্যা সৃষ্টি হয়, যা এখনও সমাধানের অপেক্ষায় রয়েছে এবং পদার্থ ও শক্তির মৌলিক প্রকৃতির সাথে সম্পর্কিত।

স্ব-ক্ষেত্রের এই ধারণাগত সমস্যাগুলো একটি আদর্শ স্নাতকোত্তর পাঠ্যপুস্তকে তুলে ধরা হয়েছে। [জ্যাকসন]

এই সমস্যাটি পদার্থবিজ্ঞানের সবচেয়ে মৌলিক দিকগুলোর একটিকে স্পর্শ করে—মৌলিক কণার প্রকৃতি। যদিও সীমিত ক্ষেত্রে কার্যকর আংশিক সমাধান দেওয়া যায়, মৌলিক সমস্যাটি এখনও অমীমাংসিত। কেউ আশা করতে পারেন যে শাস্ত্রীয় থেকে কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক চিকিৎসায় রূপান্তর এই সমস্যাগুলো দূর করবে। যদিও এখনও এমন আশা আছে যে এটি শেষ পর্যন্ত ঘটবে, বর্তমান কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক আলোচনাগুলো শাস্ত্রীয়গুলোর চেয়েও আরও জটিল সমস্যায় জর্জরিত। তুলনামূলকভাবে সাম্প্রতিক বছরগুলোর (~ ১৯৪৮–১৯৫০) একটি বিজয় হলো লরেন্টজ কোভ্যারিয়েন্স ও গেজ অভেদ্যতার ধারণাগুলোকে যথেষ্ট চতুরতার সাথে কাজে লাগিয়ে কোয়ান্টাম তড়িৎচুম্বকত্বে এই সমস্যাগুলো এড়িয়ে যাওয়া এবং অত্যন্ত উচ্চ নির্ভুলতায় অতি ক্ষুদ্র বিকিরণ প্রভাব গণনা করা সম্ভব হয়েছে, যা পরীক্ষার সাথে পুরোপুরি সামঞ্জস্যপূর্ণ। তবে মৌলিক দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্যাগুলো এখনও রয়ে গেছে।

আব্রাহাম-লরেন্টজ বল হলো স্ব-উৎপন্ন ক্ষেত্রের প্রভাবের সবচেয়ে মৌলিক গণনার ফল। এটি এই পর্যবেক্ষণ থেকে উদ্ভূত যে ত্বরিত চার্জ বিকিরণ নির্গত করে। আব্রাহাম-লরেন্টজ বল হলো ত্বরিত চার্জযুক্ত কণা যে বিকিরণ নির্গত করার প্রতিক্রিয়া-তে গড়ে যে বল অনুভব করে। কোয়ান্টাম প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করলে কোয়ান্টাম তড়িৎচুম্বকত্ব-এর দিকে নিয়ে যায়। কোয়ান্টাম তড়িৎচুম্বকত্বে স্ব-ক্ষেত্র গণনায় সীমিত সংখ্যক অসীমতা সৃষ্টি করে, যা রিনর্মালাইজেশন প্রক্রিয়ায় অপসারণ করা যায়। এর ফলে এমন একটি তত্ত্ব পাওয়া গেছে যা এ পর্যন্ত মানুষের সবচেয়ে নির্ভুল পূর্বাভাস দিতে সক্ষম। (দেখুন কিউইডি-এর নির্ভুল পরীক্ষা)। তবে মহাকর্ষীয় বলে রিনর্মালাইজেশন প্রয়োগ করলে ব্যর্থ হয়। সেক্ষেত্রে অসীমতার সংখ্যা অসীম, যা রিনর্মালাইজেশনের ব্যর্থতা ঘটায়। তাই সাধারণ আপেক্ষিকতা-তে স্ব-ক্ষেত্র সমস্যা এখনও অমীমাংসিত। স্ট্রিং তত্ত্ব এবং লুপ কোয়ান্টাম মহাকর্ষ বর্তমানে এই সমস্যা সমাধানের প্রচেষ্টা, যাকে আনুষ্ঠানিকভাবে বিকিরণ প্রতিক্রিয়া সমস্যা বা স্ব-বল সমস্যা বলা হয়।

## উদ্ভব

স্ব-বলের সবচেয়ে সরল উদ্ভব পাওয়া যায় পর্যায়ক্রমিক গতির ক্ষেত্রে লারমর সূত্র থেকে, যা আলোর গতির তুলনায় অনেক কম বেগে চলমান বিন্দু চার্জের বিকিরিত শক্তির জন্য প্রযোজ্য:

P = \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \mathbf{a}^2.

যদি আমরা ধরি চার্জযুক্ত কণার গতি পর্যায়ক্রমিক, তবে একটি পর্যায়ে (τ₁ থেকে τ₂) আব্রাহাম-লরেন্টজ বলের দ্বারা কণার উপর গড় কাজ লারমর শক্তির ঋণাত্মক মানের সমান:

\int_{\tau_1}^{\tau_2} \mathbf{F}_\mathrm{rad} \cdot \mathbf{v} dt = \int_{\tau_1}^{\tau_2} -P dt = - \int_{\tau_1}^{\tau_2} \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \mathbf{a}^2 dt = - \int_{\tau_1}^{\tau_2} \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \frac{d \mathbf{v}}{dt} dt.

উপরের অভিব্যক্তিটিকে অংশগত সমাকলন দিয়ে সমাকলন করা যায়। পর্যায়ক্রমিক গতি ধরে নিলে সমাকলনের সীমান্ত পদ অদৃশ্য হয়ে যায়:

\int_{\tau_1}^{\tau_2} \mathbf{F}_\mathrm{rad} \cdot \mathbf{v} dt = - \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \frac{d \mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} \bigg|_{\tau_1}^{\tau_2} + \int_{\tau_1}^{\tau_2} \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \frac{d^2 \mathbf{v}}{dt^2} \cdot \mathbf{v} dt = 0 + \int_{\tau_1}^{\tau_2} \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \mathbf{\dot{a}} \cdot \mathbf{v} dt.

স্পষ্টতই, আমরা লরেন্টজ স্ব-বল সমীকরণ চিহ্নিত করতে পারি যা ধীর গতির কণার জন্য প্রযোজ্য:

\mathbf{F}_\mathrm{rad} = \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi c} \mathbf{\dot{a}}.

আরও কঠোর উদ্ভব, যা পর্যায়ক্রমিক গতির প্রয়োজন করে না, কার্যকর ক্ষেত্র তত্ত্ব সূত্রায়ন ব্যবহার করে পাওয়া গেছে।

যেকোনো বেগের জন্য সাধারণীকৃত সমীকরণ ম্যাক্স আব্রাহাম প্রণয়ন করেন, যা বিশেষ আপেক্ষিকতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়। আরেকটি বিকল্প উদ্ভব, তৎকালীন আপেক্ষিকতা তত্ত্ব ব্যবহার করে পল ডিরাক করেন, যেখানে চার্জযুক্ত কণার আকৃতির কোনো অনুমান করা হয়নি।

## ভবিষ্যৎ থেকে সংকেত

নিচে দেখানো হলো কীভাবে শাস্ত্রীয় বিশ্লেষণ আশ্চর্যজনক ফলাফলের দিকে নিয়ে যেতে পারে। শাস্ত্রীয় তত্ত্ব কার্যকারণের আদর্শ চিত্রকে চ্যালেঞ্জ করে, যা হয় তত্ত্বের ভাঙন বা সম্প্রসারণের প্রয়োজনীয়তা নির্দেশ করে। এখানে সম্প্রসারণ হলো কোয়ান্টাম বলবিদ্যা এবং তার আপেক্ষিক প্রতিরূপ কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব-এর দিকে। রোহরলিচের উক্তি দেখুন ভূমিকায় "ভৌত তত্ত্বের বৈধতা সীমা মেনে চলার গুরুত্ব" সম্পর্কে।

বাহ্যিক বল  \mathbf{F}_\mathrm{ext}-এর অধীনে একটি কণার জন্য আমাদের আছে

 m \dot {\mathbf{v} } = \mathbf{F}_\mathrm{rad} + \mathbf{F}_\mathrm{ext} = m t_0 \ddot { \mathbf} + \mathbf{F}_\mathrm{ext} .

যেখানে

t_0 = \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi m c}.

এই সমীকরণকে একবার সমাকলন করে পাওয়া যায়

 m \dot {\mathbf{v} } = {1 \over t_0} \int_t^{\infty} \exp \left( - {t'-t \over t_0 }\right ) \, \mathbf{F}_\mathrm{ext}(t') \, dt' .

সমাকলনটি বর্তমান থেকে অসীম ভবিষ্যৎ পর্যন্ত বিস্তৃত। অর্থাৎ ভবিষ্যতের বলের মান বর্তমানে কণার ত্বরণকে প্রভাবিত করে। ভবিষ্যতের মানগুলো নিম্নলিখিত ফ্যাক্টর দ্বারা ওজনযুক্ত:

 \exp \left( -{t'-t \over t_0 }\right ) 

যা t₀-এর চেয়ে বেশি সময়ের জন্য দ্রুত হ্রাস পায়। অতএব, প্রায় t₀ সময় ভবিষ্যতে সংকেত বর্তমানে ত্বরণকে প্রভাবিত করে। ইলেকট্রনের জন্য এই সময় প্রায় ১০^{-২৪} সেকেন্ড, যা আলোর তরঙ্গ ইলেকট্রনের "আকার" অতিক্রম করতে যে সময় নেয়, তা শাস্ত্রীয় ইলেকট্রন ব্যাসার্ধ। এই "আকার" নির্ধারণের একটি উপায় হলো: এটি (কিছু ধ্রুবক গুণিতক পর্যন্ত) দূরত্ব r যেখানে দুটি ইলেকট্রনকে বিশ্রামে r দূরত্বে রেখে ছেড়ে দিলে তারা আলোর অর্ধেক গতিতে পৌঁছানোর জন্য যথেষ্ট শক্তি পাবে। অর্থাৎ এটি এমন দৈর্ঘ্য (বা সময়, বা শক্তি) স্কেল যেখানে ইলেকট্রনের মতো হালকা কণাও পুরোপুরি আপেক্ষিক হয়ে যায়। লক্ষণীয় যে এই অভিব্যক্তিতে প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক একেবারেই নেই, তাই যদিও এটি এই দৈর্ঘ্য স্কেলে কিছু ভুল আছে তা নির্দেশ করে, এটি সরাসরি কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তা বা ফোটনের কম্পাঙ্ক-শক্তি সম্পর্কের সাথে যুক্ত নয়। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় \hbar \to 0-কে "শাস্ত্রীয় সীমা" হিসেবে বিবেচনা করা সাধারণ হলেও কিছু লেখক মনে করেন যে প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক যাই হোক না কেন শাস্ত্রীয় তত্ত্বেরও রিনর্মালাইজেশন প্রয়োজন।

## আব্রাহাম-লরেন্টজ-ডিরাক বল

আব্রাহাম-লরেন্টজ বলের আপেক্ষিক সাধারণীকরণ খুঁজতে ১৯৩৮ সালে ডিরাক আব্রাহাম-লরেন্টজ বলসহ গতিসমীকরণে ভর রিনর্মালাইজ করেন। এই রিনর্মালাইজড গতিসমীকরণকে আব্রাহাম-লরেন্টজ-ডিরাক গতিসমীকরণ বলা হয়।

### সংজ্ঞা

ডিরাক কর্তৃক উদ্ভাবিত অভিব্যক্তি স্বাক্ষর (− + + +)-এ নিম্নরূপ

F^{\mathrm{rad}}_\mu = \frac{\mu_0 q^2}{6 \pi m c}
\left[\frac{d^2 p_\mu}{d \tau^2}-\frac{p_\mu}{m^2 c^2}
\left(\frac{d p_\nu}{d \tau}\frac{d p^\nu}{d \tau}\right)
\right].

লিয়েনারের লারমর সূত্রের আপেক্ষিক সাধারণীকরণ সহ-চলমান ফ্রেমে ব্যবহার করে,

P = \frac{\mu_0 q^2 a^2 \gamma^6}{6 \pi c},

একটি বৈধ বল হিসেবে এটি প্রমাণ করা যায় শক্তির সময় গড় সমীকরণ ম্যানিপুলেট করে:

\frac{1}{\Delta t}\int_0^t P dt = \frac{1}{\Delta t}\int_0^t \textbf{F} \cdot \textbf{v}\,dt.

## প্যারাডক্স

### প্রি-অ্যাক্সিলারেশন

অ-আপেক্ষিক ক্ষেত্রের মতোই, আব্রাহাম-লরেন্টজ-ডিরাক সমীকরণের প্যাথলজিক্যাল সমাধান রয়েছে যা বাহ্যিক বলের পরিবর্তনের আগেই অনুমান করে এবং যার অনুসারে কণা বল প্রয়োগের আগেই ত্বরিত হয়, যাকে *প্রি-অ্যাক্সিলারেশন* সমাধান বলা হয়। এই সমস্যার একটি সমাধান ইয়াগজিয়ান আলোচনা করেছেন, এবং রোহরলিচ ও মেদিনা আরও আলোচনা করেছেন।

### রানওয়ে সমাধান

রানওয়ে সমাধান হলো এএলডি সমীকরণের এমন সমাধান যা বস্তুর উপর বল সময়ের সাথে ঘাতকভাবে বৃদ্ধি পাবে বলে পরামর্শ দেয়। এগুলোকে অভৌতিক বলে বিবেচনা করা হয়।

### হাইপারবলিক গতি

এএলডি সমীকরণগুলো মিঙ্কোভস্কি স্পেসটাইম ডায়াগ্রামে ধ্রুব ত্বরণ বা হাইপারবলিক গতির জন্য শূন্য হয় বলে জানা যায়। এমন অবস্থায় তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণ আছে কি না তা নিয়ে বিতর্ক ছিল যতক্ষণ না ফ্রিটজ রোহরলিচ সমস্যাটি সমাধান করে দেখান যে হাইপারবলিক গতিশীল চার্জও বিকিরণ নির্গত করে। পরবর্তীতে এই বিষয় শক্তি সংরক্ষণ এবং সমতুল্যতা নীতি প্রসঙ্গে আলোচিত হয়েছে, যা শাস্ত্রীয়ভাবে "ত্বরণ শক্তি" বা শট শক্তি বিবেচনা করে সমাধান করা হয়।

## স্ব-মিথস্ক্রিয়া

তবে আব্রাহাম-লরেন্টজ বল থেকে উদ্ভূত অ্যান্টি-ড্যাম্পিং প্রক্রিয়া অন্যান্য অরৈখিক পদ দ্বারা ক্ষতিপূরণ করা যেতে পারে, যা প্রায়ই বিলম্বিত লিয়েনার-ভিখার্ট পটেনশিয়াল-এর প্রসারণে উপেক্ষা করা হয়।

## ল্যান্ডাউ-লিফশিৎজ বিকিরণ স্যাঁতসেঁতে বল

আব্রাহাম-লরেন্টজ-ডিরাক বল কিছু প্যাথলজিক্যাল সমাধানের দিকে নিয়ে যায়। এগুলো এড়াতে লেভ ল্যান্ডাউ এবং ইভগেনি লিফশিৎজ বিকিরণ স্যাঁতসেঁতে বলের নিম্নলিখিত সূত্র দেন, যা কোনো রেফারেন্স ফ্রেমে (যদি থাকে) বিকিরণ স্যাঁতসেঁতে বল লরেন্টজ বলের তুলনায় কম হলে বৈধ:

: g^i= \frac{2e^3}{3mc^3}\left\{\frac{\partial F^{ik}}{\partial x^l}u_{k}u^{l}-\frac{e}{mc^2}\left[F^{il}F_{kl}u^k - (F_{kl}u^l)(F^{km}u_m)u^i\right]\right\}

যাতে চার্জ e-এর বাহ্যিক ক্ষেত্র F^{ik}-এ গতিসমীকরণ লেখা যায়

: mc\frac{du^i}{ds}= \frac{e}{c}F^{ik}u_k+g^i.

এখানে u^i=(γ,γ𝐯/c) হলো কণার চার-বেগ, γ=১/√(১-v²/c²) হলো লরেন্টজ ফ্যাক্টর এবং 𝐯 হলো ত্রিমাত্রিক বেগ ভেক্টর। ত্রিমাত্রিক ল্যান্ডাউ-লিফশিৎজ বিকিরণ স্যাঁতসেঁতে বল লেখা যায়

: \mathbf F_{\mathrm{rad}} = \frac{2e^3\gamma}{3mc^3}\left\{\frac{D\mathbf E}{Dt}+\frac{1}{c}\mathbf v\times \frac{D\mathbf H}{Dt} \right\}+\frac{2e^4}{3m^2c^4}\left[\mathbf E\times\mathbf H+ \frac{1}{c}\mathbf H\times(\mathbf H\times\mathbf v) + \frac{1}{c}\mathbf E(\mathbf v\cdot\mathbf E)\right]-\frac{2e^4\gamma^2\mathbf v}{3m^2c^5}\left[\left(\mathbf E + \frac{1}{c}\mathbf v\times\mathbf H\right)^2-\frac{1}{c^2}(\mathbf E\cdot\mathbf v)^2\right]

যেখানে D/Dt=∂/∂t+𝐯·∇ হলো মোট অন্তরজ।
## পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণ

আব্রাহাম-লরেন্টজ বল অনেক পরীক্ষামূলক বিবেচনায় বেশিরভাগ ক্ষেত্রে উপেক্ষিত হলেও, বড় প্লাজমোনিক ন্যানোকণা-তে স্থানীয় পৃষ্ঠ প্লাজমোন উত্তেজনার ক্ষেত্রে এটি গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে কারণ স্থানীয় ক্ষেত্রের বৃদ্ধি অনেক বেশি হয়। বিকিরণ স্যাঁতসেঁতে পৃষ্ঠ-বর্ধিত রামান বিক্ষেপণ-এ প্লাজমোনিক উত্তেজনার জন্য সীমাবদ্ধকারী ফ্যাক্টর হিসেবে কাজ করে। বিকিরণ স্যাঁতসেঁতে বল সোনার ন্যানোকণা, ন্যানোরড এবং ক্লাস্টার-এ পৃষ্ঠ প্লাজমোন অনুরণনকে প্রসারিত করে বলে দেখানো হয়েছে।

নিউক্লিয়ার ম্যাগনেটিক রেজোন্যান্স-এ বিকিরণ স্যাঁতসেঁতে প্রভাবও পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে নিকোলাস ব্লুমবার্গেন এবং রবার্ট পাউন্ড কর্তৃক, যারা নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে এটির স্পিন-স্পিন রিল্যাক্সেশন এবং স্পিন-ল্যাটিস রিল্যাক্সেশন প্রক্রিয়ার উপর প্রাধান্য দেখিয়েছেন।

আব্রাহাম-লরেন্টজ বল সেমিক্লাসিক্যাল রেজিমে পর্যবেক্ষণ করা গেছে এমন পরীক্ষায় যেখানে উচ্চ-তীব্রতার লেজারের সাথে আপেক্ষিক ইলেকট্রন রশ্মির বিক্ষেপণ ঘটে। এই পরীক্ষায় হিলিয়াম গ্যাসের সুপারসোনিক জেটকে উচ্চ-তীব্রতার (১০^{১৮}–১০^{২০} ওয়াট/সেমি²) লেজার দিয়ে আঘাত করা হয়। লেজার হিলিয়াম গ্যাসকে আয়নিত করে এবং "লেজার-ওয়েকফিল্ড" প্রভাবের মাধ্যমে ইলেকট্রনকে ত্বরিত করে। এরপর দ্বিতীয় উচ্চ-তীব্রতার লেজার রশ্মি এই ত্বরিত ইলেকট্রন রশ্মির বিপরীতে প্রচারিত হয়। অল্প সংখ্যক ক্ষেত্রে ইনভার্স-কম্পটন বিক্ষেপণ ঘটে ফোটন এবং ইলেকট্রন রশ্মির মধ্যে, এবং বিক্ষিপ্ত ইলেকট্রন ও ফোটনের স্পেকট্রাম পরিমাপ করা হয়। ফোটন স্পেকট্রাম তারপর মন্টে কার্লো সিমুলেশন থেকে গণিত স্পেকট্রামের সাথে তুলনা করা হয়, যেখানে কিউইডি বা শাস্ত্রীয় এলএল গতিসমীকরণ ব্যবহার করা হয়।

## সমষ্টিগত প্রভাব

বিকিরণ প্রতিক্রিয়ার প্রভাব প্রায়ই একক-কণা গতিবিদ্যার কাঠামোয় বিবেচনা করা হয়। তবে শক্তিশালী তড়িৎচুম্বকীয় ক্ষেত্রে চার্জযুক্ত কণার সমষ্টি (যেমন প্লাজমা) থাকলে আকর্ষণীয় ঘটনা দেখা যায়। এমন পরিস্থিতিতে প্লাজমার সমষ্টিগত আচরণ বিকিরণ প্রতিক্রিয়ার প্রভাবে উল্লেখযোগ্যভাবে পরিবর্তিত হতে পারে।

তাত্ত্বিক অধ্যয়নে দেখা গেছে যে শক্তিশালী চৌম্বক ক্ষেত্রের পরিবেশে, যেমন পালসার এবং ম্যাগনেটার-এর চারপাশে, বিকিরণ প্রতিক্রিয়া শীতলকরণ প্লাজমার সমষ্টিগত গতিবিদ্যাকে পরিবর্তন করতে পারে। এই পরিবর্তন প্লাজমার মধ্যে অস্থিতিশীলতা সৃষ্টি করতে পারে। বিশেষ করে এই জ্যোতির্বিজ্ঞানীয় বস্তুর উচ্চ চৌম্বক ক্ষেত্রে, বিকিরণ প্রতিক্রিয়া বলের কারণে কণার ভরবেগ বণ্টন বান্ডিল হয়ে অ্যানিসোট্রপিক হয়ে যায়, যা প্লাজমা অস্থিতিশীলতা সৃষ্টি করতে পারে এবং সামগ্রিক প্লাজমা আচরণকে প্রভাবিত করতে পারে। এই অস্থিতিশীলতার মধ্যে ফায়ারহোজ অস্থিতিশীলতা অ্যানিসোট্রপিক চাপের কারণে উদ্ভূত হতে পারে, এবং রিং-এ জনসংখ্যা উল্টোকরণ-এর কারণে ইলেকট্রন সাইক্লোট্রন মেজারও হতে পারে।

## আব্রাহাম-লরেন্টজ বল ছাড়া বিকিরণ প্রতিক্রিয়া

বাহ্যিক বল দ্বারা ত্বরিত বিন্দু চার্জের উপর বিকিরণ প্রতিক্রিয়ার একটি বিকল্প প্রক্রিয়া হলো চার্জের শক্তি বৃদ্ধি তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণ দ্বারা বহন করা শক্তির কারণে হ্রাস পায়। এতে কণার ত্বরণ কমে যায় অতিরিক্ত বল ছাড়াই, এবং এর ফলে যে প্যারাডক্স সৃষ্টি হয় তা এখানে থাকে না।

## আরও দেখুন

* লরেন্টজ বল
** সিনক্রোট্রন বিকিরণ
* তড়িৎচুম্বকীয় বল

## তথ্যসূত্র

## আরও পড়ুন

*  অধ্যায় ১১.২.২ এবং ১১.২.৩ দেখুন
* 
* Donald H. Menzel (১৯৬০) *পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক সূত্র*, ডোভার পাবলিকেশনস ইনক., , খণ্ড ১, পৃ. ৩৪৫।
* Stephen Parrott (১৯৮৭) *আপেক্ষিক তড়িৎচুম্বকত্ব এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি*, § ৪.৩ বিকিরণ প্রতিক্রিয়া এবং লরেন্টজ-ডিরাক সমীকরণ, পৃ. ১৩৬–১৪৫, এবং § ৫.৫ লরেন্টজ-ডিরাক সমীকরণের অদ্ভুত সমাধান, পৃ. ১৯৫–২০৪, স্প্রিঙ্গার-ভার্লাগ  ।

## বহিঃসংযোগ

* ম্যাথপেজেস – একটি সমান ত্বরিত চার্জ কি বিকিরণ করে?
* ফাইনম্যান: কোয়ান্টাম তড়িৎচুম্বকত্বের স্পেস-টাইম দৃষ্টিভঙ্গির উন্নয়ন
* ইসি. দেল রিও: ত্বরিত চার্জের বিকিরণ

বিষয়শ্রেণী:তড়িৎচুম্বকত্ব
বিষয়শ্রেণী:তড়িৎচুম্বকীয় বিকিরণ
বিষয়শ্রেণী:বিকিরণ
বিষয়শ্রেণী:হেন্দ্রিক লরেন্টজ