মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন

গণিত শাস্ত্রে,  **মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন** হচ্ছে এমন এক ধরনের ফাংশন যা কোন একটি বাস্তব সংখ্যা -এর সমান বা তার ছোট মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে তা গণনা করে । এটিকে  দ্বারা প্রকাশ করা হয় (তবে এটি মোটেও সুপরিচিত বৃত্তসম্বন্ধীয় ধ্রুবক -এর সাথে সম্পর্কিত নয়)।

## বৃদ্ধির হার

সংখ্যা তত্ত্বে মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশনের অনুমান নির্ভর বিশ্লেষণে বৃদ্ধির হার অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

গাউস এবং লেজঁন্দ্রে ১৮শ শতকের শেষে এটি অনুমান করেছিলেন, যা আনুমানিকভাবে
 \frac{x}{\log x} 
যেখানে  হল ন্যাচারাল লগারিদম। এর মানে হল:
\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x}=1. 
এটাই সেই মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য। সমতুল্য একটি বক্তব্য হল:
\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{\operatorname{li}(x)}=1
যেখানে  হল লগারিদমিক ইন্টিগ্রাল ফাংশন।

মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্য প্রথম প্রমাণ করেছিলেন জ্যাক হাডামার্ড এবং চার্লস দে লা ভালে পুসিন স্বাধীনভাবে ১৮৯৬ সালে। তারা রিমানের জিটা ফাংশনের গুণাবলী ব্যবহার করেছিলেন, যা রিমান ১৮৫৯ সালে প্রবর্তন করেন। জিটা ফাংশন বা কমপ্লেক্স এনালাইসিস ব্যবহার না করে এই উপপাদ্যের প্রমাণ ১৯৪৮ সালের দিকে অ্যাটলে সেলবার্গ এবং পল এরডোস স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করেন।

### আরো নির্ভুল মান
১৮৯৯ সালে, চার্লস দে লা ভাল্লে পুসিন প্রমাণ করেন যে

\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty
কোনও ধনাত্মক ধ্রুবক -এর জন্য। এখানে,  বিগ  নোটেশন।

বর্তমানে -এর আরও নির্ভুল মান জানা যায়। উদাহরণস্বরূপ, ২০০২ সালে কেভিন ফোর্ড প্রমাণ করেন:
\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^{3/5} (\log \log x)^{-1/5} \right) \right).

মসিংহফ এবং ট্রুডজিয়ান প্রমাণ করেন:
\bigl| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \bigr| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right) \quad \text{for } x \ge 229.

### সুনির্দিষ্ট রূপ
 এর জন্য  যখন  একটি মৌলিক সংখ্যা, অন্যথায় । রিমান তার *On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude* গবেষণায় প্রমাণ করেন, 
\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho),
যেখানে
\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}\left(x^{1/n}\right), যেখানে
 = মোবিয়াস ফাংশন,  = লগারিদমিক ইন্টিগ্রাল ফাংশন,  = রিমান জিটা ফাংশনের প্রতিটি শূন্যকে নির্দেশ করে এবং  শাখা বিভাজন দ্বারা মূল্যায়িত নয়, বরং  হিসাবে বিবেচিত যেখানে  সূচক ইন্টিগ্রাল।

রিম্যান হাইপোথিসিস ইঙ্গিত দেয় যে এই ধরনের প্রতিটি নন-ট্রিভিয়াল শূন্য Re(s) = \frac{1}{2} বরাবর অবস্থান করে।

## , , এবং -এর টেবিল

নিচের টেবিলে , , এবং  ফাংশনগুলোর তুলনা ১০-এর বিভিন্ন ঘাতের জন্য দেখানো হয়েছে। আরও দেখুন, এবং

:

 কলামটি ,   এবং  ।

-এর মান প্রথমে জে. বুইথে, জেনস ফ্রাঙ্কে, এ. জস্ট এবং টি. ক্লেইনজুং দ্বারা রিম্যান হাইপোথিসিস ধরে গণনা করা হয়েছিল।
পরে এটি ডি. জে. প্ল্যাট দ্বারা প্রমাণিত হয়।

-এর মান একই চারজন লেখকের দ্বারা গণনা করা হয়েছে।
-এর মান ডি. বি. স্ট্যাপল দ্বারা গণনা করা হয়েছে।

, , এবং -এর মান যথাক্রমে ২০১৫, ২০২০, এবং ২০২২ সালে ডেভিড বাউ এবং কিম ওয়ালিশ দ্বারা ঘোষণা করা হয়েছে।

## নির্ণয়ের জন্য অ্যালগরিদম

যদি  খুব বড় না হয়, তবে  নির্ণয়ের একটি সহজ উপায় হল এরাটোস্থিনিসের ছাকুনি ব্যবহার করা, যা -এর সমান বা ছোট মৌলিক সংখ্যা বের করে এবং তাদের সংখ্যা গণনা করে।

আরও উন্নত পদ্ধতি লেজঁন্দ্রে প্রস্তাব করেছিলেন, যেখানে অন্তর্ভুক্তি–বর্জন নীতি প্রয়োগ করা হয়: ধরা যাক  একটি প্রদত্ত সংখ্যা এবং  পৃথক পৃথক মৌলিক সংখ্যা। তখন -এর সমান বা ছোট এমন সংখ্যার সংখ্যা, যা কোনো  দ্বারা বিভাজ্য নয়, তা হবে

:\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i

(যেখানে  হলো ফ্লোর ফাংশন)। এই সংখ্যাটি সমান হবে

:\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1

যখন -গুলি -এর বর্গমূলের সমান বা ছোট মৌলিক সংখ্যা।

## মাইসেল–লেমার অ্যালগরিদম

১৮৭০ থেকে ১৮৮৫ সালের মধ্যে আর্নস্ট মাইসেল  নির্ণয়ের একটি বাস্তবিক কম্বিনেটরিয়াল পদ্ধতি বর্ণনা ও প্রয়োগ করেন। ধরা যাক  প্রথম  মৌলিক সংখ্যা এবং  দ্বারা বোঝানো হয়েছে -এর সমান বা ছোট সংখ্যাগুলির সংখ্যা, যা  দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাহলে

:\Phi(m,n) = \Phi(m,n-1) - \Phi\left(\frac{m}{p_n},n-1\right).

একটি স্বাভাবিক সংখ্যা -এর জন্য, যদি  এবং , তাহলে

:\pi(m) = \Phi(m,n) + n(\mu+1) + \frac{\mu^2-\mu}{2} - 1 - \sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac{m}{p_{n+k}}\right).

এই পদ্ধতি ব্যবহার করে মাইসেল -এর মান নির্ণয় করেন, যেখানে  
 , 106, 107, এবং 108।

১৯৫৯ সালে ডেরিক হেনরি লেমার এই পদ্ধতিটিকে আরও সরল ও কার্যকর করেন। একটি বাস্তব সংখ্যা এবং স্বাভাবিক সংখ্যা  ও -এর জন্য  দ্বারা বোঝানো হয় -এর চেয়ে বড় নয় এমন সংখ্যাগুলির সংখ্যা, যেগুলিতে ঠিক টি মৌলিক গুণক থাকে, এবং এগুলো -এর চেয়ে বড়।   তখন

:\Phi(m,n) = \sum_{k=0}^{+\infty} P_k(m,n)

যোগফলটি আসলে সীমিত সংখ্যক অমৌলিক পদে শেষ হয়।  একটি পূর্ণসংখ্যা যেখানে , এবং । তখন

:\pi(m) = \Phi(m,n) + n - 1 - P_2(m,n).

 নির্ণয়ের সূত্র:

:P_2(m,n) = \sum_{y 

যেখানে যোগফলটি মৌলিক সংখ্যার উপর সীমাবদ্ধ।

অন্যদিকে,  নির্ণয়ের জন্য নিয়ম:

1. \Phi(m,0) = \lfloor m \rfloor

2. \Phi(m,b) = \Phi(m,b-1) - \Phi\left(\frac{m}{p_b},b-1\right).

এই পদ্ধতি ব্যবহার করে লেমার -এর সঠিক মান নির্ণয় করেন, তবে -এর ক্ষেত্রে ১-এর পার্থক্য থাকে।

লেগারিয়াস, মিলার, ওডলিজকো, ডেলেগ্লিজ এবং রিভাত এই পদ্ধতির আরও উন্নতি করেন।

## অন্যান্য মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন

### রিমানের মৌলিক ঘাত গণনাকারী ফাংশন
রিমানের মৌলিক ঘাত গণনাকারী ফাংশন সাধারণত  বা  দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

গাণিতিকভাবে, -এর সংজ্ঞা হল:
:\Pi_0(x) = \frac{1}{2} \left( \sum_{p^n 
যেখানে  হল মৌলিক সংখ্যা ।

আবার, \ \Pi_0(x) = \sum_{n=2}^x \frac{\Lambda(n)}{\log n} - \frac{\Lambda(x)}{2\log x} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \pi_0\left(x^{1/n}\right)
এখানে  ভন মাঙ্গোল্ড ফাংশন এবং

:\pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\pi(x-\varepsilon) + \pi(x+\varepsilon)}{2}.

তারপর ম্যোবিয়াস ইনভার্শন সূত্র থেকে পাই:
\pi_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n}\ \Pi_0\left(x^{1/n}\right),
যেখানে  ম্যোবিয়াস ফাংশন।

রিমান জিটা ফাংশন এবং ভন মাঙ্গোল্ড ফাংশন -এর লগারিদমের সম্পর্ক জানার পর এবং পেরন সূত্র ব্যবহার করে পাই:
\log \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s-1}, \mathrm{d}x

### চেবিশেভ ফাংশন
চেবিশেভ ফাংশন মৌলিক সংখ্যা বা মৌলিক ঘাত -কে  দ্বারা সম্পর্কিত করে:

:\begin{align} \vartheta(x) &= \sum_{p\le x} \log p \ \psi(x)&=\sum_{p^n \le x} \log p = \sum_{n=1}^\infty \vartheta \left( x^{1/n} \right) = \sum_{n \le x}\Lambda(n) . \end{align}

যেখানে ,
:\vartheta(x) = \pi(x)\log x - \int_2^x \frac{\pi(t)}{t}, \mathrm{d}t 
এবং
:\pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x} + \int_2^x \frac{\vartheta(t)}{t\log^{2}(t)} \mathrm{d} t .

## মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী সূত্রসমূহ

মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশনের জন্য ব্যবহৃত সূত্র সাধারণত দুই ধরণের হয়—গাণিতিক সূত্র এবং বিশ্লেষণাত্মক সূত্র। বিশ্লেষণাত্মক সূত্রগুলোর উদ্ভব রীমান এবং ভন মাঙ্গোল্ডের কাজ থেকে, যা পরে মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য প্রমাণের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়। এই সূত্রগুলো স্পষ্ট সূত্র নামে পরিচিত।

দ্বিতীয় চেবিশেভ ফাংশন -এর জন্য নিম্নলিখিত সূত্র পাওয়া যায়:
:\psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2} \log\left(1-x^{-2}\right),

এখানে,
:\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\psi(x - \varepsilon) + \psi(x + \varepsilon)}{2}.

এক্ষেত্রে  হল রীমান জিটা ফাংশনের শূন্য বিন্দু, যা ক্রিটিক্যাল অঞ্চলে শূন্য এবং একের মধ্যে থাকে। সূত্রটি -এর জন্য কার্যকর, কারণ এই পরিসীমাই গবেষণার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ।

এছাড়া -এর জন্য একটি জটিলতর সূত্র রয়েছে:
:\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_\rho \operatorname{li}\left(x^\rho\right) - \log 2 + \int_x^\infty \frac{\mathrm{d}t}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}.

এখানে  জিটা ফাংশনের non-trivial শূন্য বিন্দু এবং । এই সূত্রের প্রথম অংশ  লগারিদমিক ইন্ট্রিগাল ফাংশন বোঝায়। দ্বিতীয় অংশে  আসলে  নির্দেশ করে, যা ঘাতীয় ইন্ট্রিগ্রাল ফাংশনের এক প্রকার সম্প্রসারণ।

তৃতীয় অংশটি -এর trivial শূন্যগুলির উপর ক্রম হিসেবে লেখা যায়:
:\int_x^\infty \frac{\mathrm dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t} = -\sum_{m} \operatorname{li}\left(x^{-2m}\right).

ম্যোবিয়াস ইনভার্শন সূত্র থেকে পাই:
:\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}\left(x^\rho\right) - \sum_{m} \operatorname{R}\left(x^{-2m}\right)

এখানে  হল রীমানের R-ফাংশন:
:\operatorname{R}(x) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{\left(\log x\right)^k}{k! k \zeta(k+1)}.

এই ক্রমটি সব ধরণের ধনাত্মক -এর জন্য অভিসারিত। গ্রাম ক্রম ব্যবহার করে  আনুমানিকভাবে নির্ধারণ করা যায়।

সবশেষে, এই সূত্র নির্দেশ করে যে -এর বিভাজন এবং বণ্টন বুঝতে  খুব কার্যকর একটি অনুমান। এই অনুমান -এর সুনির্দিষ্ট প্রবণতা এবং বিচ্যুতি স্পষ্টভাবে তুলে ধরে।

## অসমতাসমূহ
রামানুজন প্রমাণ করেছিলেন যে, নিম্নোক্ত অসমতাটি সকল  এর যথেষ্ট বৃহৎ মানের জন্য সত্য
:\pi(x)^2 

 এর কিছু দরকারি অসমতাসমূহ উল্লেখ করা হলো:

 \frac x {\log x} 

বাম অসমতাটি সত্য যখন  এবং ডান অসমতাটি সত্য যখন . The constant  is  to 5 decimal places, as  has its maximum value at .

পিয়েরে ডুজার্ট ২০১০ এ প্রমাণ করেন:

: \frac {x} {\log x - 1} 

সম্প্রতি তিনি আরো প্রমাণ করেছেন
(Theorem 5.1) যে
:\frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} \right) \le \pi(x) \le \frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} + \frac{7.59}{\log^3 x} \right),
for  and  , respectively.

 -তম মৌলিক সংখ্যা,  এর approximation ফর্মুলা
:p_n = n \left(\log n + \log\log n - 1 + \frac {\log\log n - 2}{\log n} + O\left( \frac {(\log\log n)^2} {(\log n)^2}\right)\right).

এখানে -তম মৌলিক সংখ্যার জন্য আরো কিছু অসমতা দেওয়া হল । এই lower বাউন্ডটি  ডুজার্ট প্রদত্ত (১৯৯৯) and the upper bound to Rosser (1941).

: n (\log n + \log\log n - 1) 

বাম অসমতাটি  এবং ডান অসমতাটি  এর জন্য সত্য । আবার \log n +\log\log n = \log(n \log n).  An even simpler lower bound is
:n \log n 
যেটি সকল  এর ক্ষেত্রে সত্য, তবে উপরোক্ত lower বাউন্ডটি আরো বেশি শক্তিশালী হয় যখন .

২০১০ এ ডুজার্ট প্রমাণ করেন (Propositions 6.7 and 6.6) that
: n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2.1}{\log n} \right) \le p_n \le n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2}{\log n} \right),
যখন  এবং , একই সাথে ।

২০২৪ সালে, এক্সলার আরো বেশি শক্তিশালী করে (সমীকরণ 1.12 ও 1.13) 
: f(n,g(w)) = n \left( \log n + \log\log n - 1 + \frac{\log\log n - 2}{\log n} - \frac{g(\log\log n)}{2\log^2 n} \right) এই আকারের bound ব্যবহার করে ।

যা প্রমান করে

: f(n, w^2 - 6w + 11.321) \le p_n \le f(n, w^2 - 6w)
যখন  এবং , একই সাথে ।
এখানে lower বাউন্ডটি হয়তো আরো বেশি সরলকৃত করা সম্ভব এভাবে:  কোন রূপ validity পরিবর্তন না করে । উপরের সীমাটি আরো বেশি সংকুচিত করা যেতে পারে এভাবে  যদি .

বিভিন্ন জটিলতার প্রেক্ষিতে অতিরিক্ত বেশ কিছু bounds রয়েছে। 

## রিমানের অনুমান

রিমানের অনুমান -এর সন্নিকট মানের ত্রুটির জন্য অনেক শক্তিশালী সীমা প্রদান করে এবং মৌলিক সংখ্যার আরও নিয়মিত বণ্টন নির্দেশ করে,
:\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x}).
বিশেষত,

:|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| 

 প্রমাণ করেছেন যে রিমানের অনুমান থেকে প্রমাণিত হয় যে  এর জন্য সর্বদা একটি মৌলিক সংখ্যা  পাওয়া যায় যা :
:x - \frac{4}{\pi} \sqrt{x} \log x  অসমতাটি মেনে চলে ।

## আরো দেখুন
মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য

## রেফারেন্স

### Notes

## বাহ্যিক লিংকসমূহ
*Chris Caldwell, ''The Nth Prime Page'' at The Prime Pages.
*Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.
* 

বিষয়শ্রেণী:Analytic number theory
বিষয়শ্রেণী:Prime numbers
বিষয়শ্রেণী:Arithmetic functions
বিষয়শ্রেণী:আপেক্ষক সংখ্যা তত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:মৌলিক সংখ্যা
বিষয়শ্রেণী:বিশ্লেষণী সংখ্যাতত্ত্ব