এরডোস-স্ট্রাউস অনুমান

** এরডোস-স্ট্রাউস অনুমান** (ইংরেজি: Erdős–Straus conjecture) হল সংখ্যাতত্ত্বের একটি অমীমাংসিত সমস্যা। এই অনুমান অনুসারে, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা n \geq 2-এর জন্য এমন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা x, y, z বিদ্যমান, যেন নিম্নলিখিত সমীকরণটি সিদ্ধ হয়:  
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.  
অর্থাৎ, \frac{4}{n} সংখ্যাটিকে তিনটি ধনাত্মক একক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা সম্ভব।  
  
এই অনুমানের নামকরণ করা হয়েছে পল এরডোস এবং আর্নস্ট জি. স্ট্রাউসের নামানুসারে, যাঁরা ১৯৪৮ সালে এটি প্রণয়ন করেন। তবে এর সূত্র প্রাচীন গণিতের সাথে জড়িত: ঐকিক ভগ্নাংশের সমষ্টি (যেমন এই সমস্যায় ব্যবহৃত) প্রাচীন মিশরীয় গণিতে ব্যবহারের কারণে মিশরীয় ভগ্নাংশ নামে পরিচিত। Erdős–Straus অনুমান, এরডোসের অসংখ্য অনুমানের মধ্যে একটি এবং ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সংক্রান্ত গণিতের অনেক অমীমাংসিত সমস্যার মধ্যে একটি।  
  
যদিও সমস্ত n-এর জন্য সমাধান জানা নেই, তবুও অনন্ত সমান্তর প্রগতির অন্তর্গত অসীম সংখ্যক n-এর জন্য সরল সমাধান সূত্র আবিষ্কৃত হয়েছে। এই জানা মানগুলিকে উপেক্ষা করে প্রতিদৃষ্টান্ত (Counter example) অনুসন্ধানের গতি বৃদ্ধি করা সম্ভব। এছাড়া, এই অনুসন্ধান শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যার n-এর উপর কেন্দ্রীভূত করা যথেষ্ট, যেহেতু যেকোন যৌগিক প্রতিদৃষ্টান্তের মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে একটি ক্ষুদ্রতর প্রতিদৃষ্টান্ত থাকবে। কম্পিউটার অনুসন্ধানের মাধ্যমে n \leq 10^{17} পর্যন্ত এই অনুমানের সত্যতা যাচাই করা হয়েছে।  

যদি অনুমানটিকে ঋণাত্মক ঐকিক ভগ্নাংশ ব্যবহারের অনুমতি দিয়ে পুনর্বিন্যস্ত করা হয়, তবে এটি সত্য বলে প্রমাণিত। \frac{5}{n} বা তার চেয়ে বড় লবযুক্ত ভগ্নাংশের জন্য এই অনুমানের সাধারণীকরণও গবেষণার বিষয়।  

এই অনুমান পূর্ণসংখ্যার গভীর গঠন, ভগ্নাংশের বিভাজ্যতা প্যাটার্ন এবং ডায়োফ্যান্টাইন বিশ্লেষণের মৌলিক প্রশ্নগুলোর সাথে সম্পর্কিত। এর সমাধান প্রাচীন মিশরীয় ভগ্নাংশ পদ্ধতির আধুনিক বোঝাপড়াকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রসারিত করতে পারে।

## পটভূমি ও ইতিহাস
যখন একটি মিশরীয় ভগ্নাংশের মাধ্যমে কোনো যুক্তিসঙ্গত সংখ্যাকে ঐকিক ভগ্নাংশের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করা হয়, তখন তাকে **মিশরীয় ভগ্নাংশের সম্প্রসারণ** বলা হয়। ভগ্নাংশ লেখার এই পদ্ধতির সূত্রপাত প্রাচীন মিশরীয় গণিতে, যেখানে সাধারণ ভগ্নাংশের (\tfrac{a}{b}) আধুনিক রূপের পরিবর্তে এই পদ্ধতি ব্যবহৃত হত। মিশরীয়রা দুই দ্বারা গুণিত ঐকিক ভগ্নাংশের (আধুনিক সংকেতে \tfrac{2}{n}) জন্য মিশরীয় ভগ্নাংশের সারণী তৈরি করত, যেমন রাইন্ড গাণিতিক প্যাপিরাসের সারণী; এই সারণীতে অধিকাংশ সম্প্রসারণে দুই বা তিনটি পদ ব্যবহৃত হয়েছে। এই সারণীর প্রয়োজন ছিল কারণ সুস্পষ্ট সম্প্রসারণ \tfrac{2}{n} = \tfrac{1}{n} + \tfrac{1}{n} অনুমোদিত ছিল না: মিশরীয়রা মিশরীয় ভগ্নাংশে ব্যবহৃত সকল ভগ্নাংশকে পরস্পর থেকে ভিন্ন হতে বাধ্য করত। এই একই শর্ত—সমস্ত ভগ্নাংশের ভিন্নতা—কখনো কখনো Erdős–Straus অনুমানে আরোপ করা হয়, কিন্তু এটি সমস্যায় তাৎপর্যপূর্ণ পরিবর্তন আনে না, কেননা n>2 এর জন্য \tfrac{4}{n} = \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{y} + \tfrac{1}{z} সমীকরণের যেকোনো অ-ভিন্ন ভগ্নাংশ সমাধানকে ভিন্ন ভগ্নাংশবিশিষ্ট সমাধানে রূপান্তরিত করা যায় (নিচে দেখুন)।

যদিও মিশরীয়রা সর্বদা ন্যূনতম পদ ব্যবহার করে সম্প্রসারণ খুঁজে পেত না, পরবর্তী গণিতবিদেরা কতগুলি পদ প্রয়োজন সেই প্রশ্নে আগ্রহী হন। প্রতিটি ভগ্নাংশ \tfrac{a}{b}-এর সর্বোচ্চ a সংখ্যক পদের সম্প্রসারণ বিদ্যমান; সুতরাং \tfrac{2}{n}-এর জন্য সর্বোচ্চ দুইটি, \tfrac{3}{n}-এর জন্য তিনটি এবং \tfrac{4}{n}-এর জন্য চারটি পদ প্রয়োজন। \tfrac{2}{n}-এর জন্য সর্বদা দুইটি পদ প্রয়োজন, এবং \tfrac{3}{n}-এর জন্য মাঝেমধ্যে তিনটি পদ প্রয়োজন—সুতরাং এই দুই লবের জন্য প্রয়োজনীয় সর্বোচ্চ পদসংখ্যা জানা আছে। কিন্তু \tfrac{4}{n}-এর জন্য এটি অজানা যে চারটি পদ কখনো প্রয়োজন হয় কিনা, নাকি শুধুমাত্র তিনটি ঐকিক ভগ্নাংশ ব্যবহার করে \tfrac{4}{n} আকারের সকল ভগ্নাংশ প্রকাশ করা সম্ভব; এটি Erdős–Straus অনুমানের মূল বিষয়। এভাবে, এই অনুমান একটি বৃহত্তর সাধারণ প্রশ্নের প্রথম অজানা ক্ষেত্রকে আবৃত করে: সকল a-এর জন্য \tfrac{a}{b} ভগ্নাংশের সম্প্রসারণে প্রয়োজনীয় সর্বোচ্চ পদসংখ্যা নির্ণয়ের সমস্যা।

সংক্ষিপ্ত (তবে সর্বদা সংক্ষিপ্ততম নয়) সম্প্রসারণ খুঁজে পেতে লোভী অ্যালগরিদম ব্যবহৃত হয়, যা ১২০২ সালে ফিবোনাচ্চি তাঁর *[[লিবার আবাকি]]* গ্রন্থে প্রথম বর্ণনা করেন। এই পদ্ধতিতে একবারে একটি ঐকিক ভগ্নাংশ নির্বাচন করা হয়, যেখানে প্রতিটি ধাপে লক্ষ্য সংখ্যাকে অতিক্রম না করে এমন বৃহত্তম ঐকিক ভগ্নাংশ বাছাই করা হয়। প্রতিটি ধাপের পর যে ভগ্নাংশটির সম্প্রসারণ বাকি থাকে, তার লব হ্রাস পায়—সুতরাং মোট ধাপের সংখ্যা প্রারম্ভিক লবকে অতিক্রম করতে পারে না, তবে মাঝেমধ্যে এটি ছোট হয়। উদাহরণস্বরূপ, \tfrac{3}{n}-এ প্রয়োগ করলে, লোভী অ্যালগরিদম দুইটি পদ ব্যবহার করবে যখন n \equiv 2 \pmod{3}; কিন্তু একটি দুর্বল শর্তে, যখন n-এর একটি উৎপাদক ২ মডুলো ৩ হয়, তখনও দুই-পদবিশিষ্ট সম্প্রসারণ বিদ্যমান। \tfrac{4}{n} আকারের সংখ্যায়, লোভী অ্যালগরিদম চার-পদবিশিষ্ট সম্প্রসারণ উৎপন্ন করবে যখন n \equiv 1 \pmod{4}, এবং অন্যথায় কম পদে সম্প্রসারণ দেবে। এভাবে, Erdős–Straus অনুমানের আরেকটি পুনঃবিবৃতিতে জিজ্ঞাসা করা হয়: \tfrac{4}{n} সংখ্যাগুলোর জন্য কম সর্বোচ্চ পদসংখ্যা ব্যবহার করে মিশরীয় ভগ্নাংশ উৎপাদনের অন্য কোনো পদ্ধতি বিদ্যমান কিনা।

Erdős–Straus অনুমান ১৯৪৮ সালে পল এরডোস্ এবং আর্নস্ট জি. স্ট্রাউসের দ্বারা প্রণীত হয় এবং  দ্বারা প্রকাশিত হয়। রিচার্ড ওবলাথও এই অনুমান সম্পর্কে প্রাথমিক কাজ প্রকাশ করেন; ১৯৪৮ সালে রচিত ও ১৯৫০ সালে প্রকাশিত এক প্রবন্ধে তিনি স্ট্রাউস ও হ্যারল্ড এন. শ্যাপিরোর পূর্ববর্তী গণনাকে সম্প্রসারিত করে n \leq 10^{5} পর্যন্ত অনুমানটি যাচাই করেন।

## গাণিতিক রূপ
Erdős–Straus অনুমান অনুযায়ী, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা n \geq 2-এর জন্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা x, y, z বিদ্যমান, যেন:  
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.  
উদাহরণস্বরূপ, n=5-এর জন্য দুটি সমাধান রয়েছে:  
\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{20} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}.  

সমীকরণের উভয় পক্ষকে nxyz দ্বারা গুণ করলে একটি সমতুল্য বহুপদী রূপ পাওয়া যায়:  
4xyz = n(xy + xz + yz).  

### ভিন্ন ঐকিক ভগ্নাংশ
কিছু গবেষক x, y, z পূর্ণসংখ্যাগুলির পারস্পরিক ভিন্নতা আরোপ করেন (প্রাচীন মিশরীয় রীতিতে), আবার কেউ কেএ সমান মানের অনুমতি দেন। n \geq 3-এর জন্য ভিন্নতার প্রয়োজনীয়তা গৌণ: কোনো তিন পূর্ণসংখ্যায় সমাধান থাকলে ভিন্ন পূর্ণসংখ্যায়ও সমাধান বিদ্যমান। কারণ দুইটি অভিন্ন ঐকিক ভগ্নাংশ নিম্নলিখিত যেকোনো একটি সম্প্রসারণ দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে:  
  
\begin{align}  
\frac{1}{2r} + \frac{1}{2r} &\Rightarrow \frac{1}{r+1} + \frac{1}{r(r+1)} \\  
\frac{1}{2r+1} + \frac{1}{2r+1} &\Rightarrow \frac{1}{r+1} + \frac{1}{(r+1)(2r+1)}  
\end{align}  
  
(পুনরাবৃত্ত ভগ্নাংশের হর জোড় বা বিজোড় হওয়ার উপর নির্ভর করে)। এই প্রতিস্থাপন যতক্ষণ না সকল ভগ্নাংশ ভিন্ন হয় ততক্ষণ পুনরাবৃত্ত করা যায়। তবে n=2-এর ক্ষেত্রে একমাত্র সমাধান হলো \tfrac{4}{2} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{1}-এর বিন্যাস।  

### ঋণাত্মক সংখ্যার সমাধান
Erdős–Straus অনুমানে x, y, z সকলের ধনাত্মক হওয়া আবশ্যক। এই শর্তটি সমস্যাকে জটিল করে তোলে। শিথিল করা ছাড়াই, অনুমানটি শুধুমাত্র বিজোড় n-এর জন্য কঠিন; ঋণাত্মক মান অনুমোদিত হলে প্রতিটি বিজোড় n-এর জন্য নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা সমাধান সম্ভব:  
\frac{4}{n} = \frac{1}{(n-1)/2} + \frac{1}{(n+1)/2} - \frac{1}{n(n-1)(n+1)/4}.
## গণনামূলক ফলাফল
যদি অনুমানটি মিথ্যা হয়, তবে কেবলমাত্র একটি সংখ্যা \tfrac{4}{n} খুঁজে বের করেই তা প্রমাণ করা সম্ভব, যার তিন-পদবিশিষ্ট মিশরীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ নেই। এই সম্ভাব্য প্রতিদৃষ্টান্ত অনুসন্ধানের জন্য বিভিন্ন গবেষক কোটি অন্বেষণ পদ্ধতি প্রয়োগ করেছেন। এই অনুসন্ধানগুলি নিশ্চিত করেছে যে n \leq 10^{17} পর্যন্ত সমস্ত n-এর জন্য অনুমানটি সত্য।

এ ধরনের অনুসন্ধানে শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যার \tfrac{4}{n} নিয়ে কাজ করা প্রয়োজন। কারণ যখন \tfrac{4}{n}-এর তিন-পদবিশিষ্ট প্রকাশ থাকে, তখন যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা m-এর জন্য \tfrac{4}{mn}-এরও প্রকাশ বিদ্যমান। \tfrac{4}{mn}-এর সমাধান পেতে \tfrac{4}{n}-এর সমাধানের প্রতিটি ঐকিক ভগ্নাংশকে m দ্বারা ভাগ করুন:  
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}  
\implies \frac{4}{mn} = \frac{1}{mx} + \frac{1}{my} + \frac{1}{mz}.  
যদি যৌগিক n-এর জন্য \tfrac{4}{n} একটি প্রতিদৃষ্টান্ত হয়, তবে n-এর প্রতিটি মৌলিক উৎপাদক p-এর জন্য \tfrac{4}{p} পূর্বে আবিষ্কৃত একটি প্রতিদৃষ্টান্ত হবে। অতএব, যৌগিক সংখ্যার সমাধান পরীক্ষা করা নিরর্থক এবং অনুসন্ধানে এড়িয়ে যাওয়া যেতে পারে। তদুপরি, অনুমানের জন্য পরিচিত মডুলার অভেদসমূহ (নিচে দেখুন) অনুসন্ধানের গতি বাড়াতে পারে—যেমন লোভী অ্যালগরিদম n \not\equiv 1 \pmod{4} হলে সর্বদা তিন বা কম পদের প্রকাশ খুঁজে পায়, তাই অনুসন্ধানে শুধুমাত্র ১ মডুলো ৪ মানগুলিই পরীক্ষা করতে হয়। এই সমস্যায় অগ্রগতির একটি উপায় হলো আরও মডুলার অভেদ সংগ্রহ করা, যাতে কম পরীক্ষা নিয়ে উচ্চতর সীমা পর্যন্ত পৌঁছানো যায়।

\tfrac{4}{n} সমস্যার স্বতন্ত্র সমাধানের সংখ্যা, n-এর ফাংশন হিসেবে, ক্ষুদ্র n-এর জন্য কম্পিউটার অনুসন্ধান দ্বারা নির্ণীত হয়েছে এবং এটি n-এর সাথে অনিয়মিতভাবে বৃদ্ধি পায়। n=3 থেকে শুরু করে **ভিন্ন হরবিশিষ্ট** স্বতন্ত্র সমাধানের সংখ্যাগুলি হলো:  
  
বৃহত্তর n-এর জন্যও মাঝে মাঝে অপেক্ষাকৃত কম সমাধান থাকতে পারে; যেমন n=73-এর জন্য মাত্র সাতটি স্বতন্ত্র সমাধান বিদ্যমান।

## তাত্ত্বিক ফলাফল
4xyz = n(xy + xz + yz) রূপে, একটি বহুপদী সমীকরণের পূর্ণসংখ্যা চলক হিসেবে Erdős–Straus অনুমান একটি ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের উদাহরণ। ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের জন্য হাসি নীতিটি প্রস্তাব করে যে মডুলার অ্যারিথমেটিক ব্যবহার করে এগুলির অধ্যয়ন করা উচিত। যদি একটি বহুপদী সমীকরণের পূর্ণসংখ্যায় সমাধান থাকে, তবে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা q-এর জন্য এই সমাধানকে q মডুলো নিলে একটি মডুলো-q সমাধান পাওয়া যায়। বিপরীতভাবে, যদি প্রতিটি মৌলিক ঘাত q-এর জন্য সমীকরণটির মডুলো q সমাধান থাকে, তবে কিছু ক্ষেত্রে চাইনিজ ভাগশেষ উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কিত পদ্ধতি ব্যবহার করে এই মডুলার সমাধানগুলিকে যুক্ত করে পূর্ণসংখ্যায় সমাধান পাওয়া সম্ভব। হাসি নীতির সমাধান ক্ষমতা মানিন বাধা দ্বারা সীমাবদ্ধ, কিন্তু Erdős–Straus অনুমানের জন্য এই বাধা অনুপস্থিত।

প্রথম দর্শনে এই নীতিটি Erdős–Straus অনুমানের জন্য অপ্রাসঙ্গিক মনে হয়। প্রতিটি n-এর জন্য, 4xyz = n(xy + xz + yz) সমীকরণটি যেকোনো মৌলিক বা মৌলিক ঘাতের জন্য সহজে সমাধানযোগ্য, কিন্তু এই সমাধানগুলিকে যুক্ত করে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমাধান পাওয়ার কোনো উপায় নেই বলে মনে হয়। তবুও, মডুলার অ্যারিথমেটিক এবং এর উপর ভিত্তি করে গঠিত অভেদসমূহ অনুমান অধ্যয়নে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার হিসেবে প্রমাণিত হয়েছে।

### মডুলার অভেদসমূহ
n-এর নির্দিষ্ট সমসূত্রতা শর্ত পূরণকারী মানের জন্য, \frac{4}{n}-কে একটি বহুপদী অভেদের উদাহরণ হিসাবে স্বয়ংক্রিয়ভাবে সম্প্রসারিত করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যখন n \equiv 2 \pmod{3}, তখন \frac{4}{n}-এর সম্প্রসারণ:  
\frac{4}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{(n+1)/3} + \frac{1}{n(n+1)/3}.  
এখানে প্রতিটি হর n, (n+1)/3, এবং n(n+1)/3 হল n-এর বহুপদী, এবং n \equiv 2 \pmod{3} হলে প্রত্যেকটি পূর্ণসংখ্যা। লোভী অ্যালগরিদম তিন বা কম পদের সমাধান খুঁজে পায় যখন n \not\equiv 1, 17 \pmod{24}, এবং ১৭ মডুলো ২৪ ক্ষেত্রটি ২ মডুলো ৩ সম্পর্ক দ্বারা আবৃত হয়; সুতরাং শুধুমাত্র n \equiv 1 \pmod{24} মানগুলির জন্য এই দুটি পদ্ধতি তিন বা কম পদের সম্প্রসারণ খুঁজে পায় না।

 তালিকাভুক্ত বহুপদী অভেদসমূহ \frac{4}{n}-এর জন্য তিন-পদবিশিষ্ট মিশরীয় ভগ্নাংশ প্রদান করে যখন n নিম্নলিখিত যেকোনোটির সাথে সমসূত্র:  
* 2 \pmod{3} (উপরে),  
* 3 \pmod{4},  
* 2 বা 3 \pmod{5},  
* 3, 5, বা 6 \pmod{7}, অথবা  
* 5 \pmod{8}।  
মর্ডেলের অভেদসমূহের সংমিশ্রণে \frac{4}{n}-কে সমস্ত n-এর জন্য সম্প্রসারিত করা যায়, সম্ভাব্য ব্যতিক্রম হল 1, 121, 169, 289, 361, 529 \pmod{840} মানগুলি। এই অভেদ দ্বারা আবৃত নয় এমন ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ১০০৯। বৃহত্তর মডুলার অভেদ শ্রেণী সংমিশ্রণ করে, ওয়েব ও অন্যান্যরা দেখিয়েছেন যে অনুমানের সম্ভাব্য প্রতিদৃষ্টান্তের স্বাভাবিক ঘনত্ব শূন্য: N প্যারামিটার অসীমের দিকে গেলে, [1,N] ব্যবধানে প্রতিদৃষ্টান্ত হতে পারে এমন মানের ভগ্নাংশ সীমায় শূন্যের দিকে প্রবণ।

### অপ্রমাণিত অংশ
মর্ডেল দেখিয়েছেন যে, কেবল মাত্র 
n \equiv 1, 11^2, 13^2, 17^2, 19^2, 23^2 \pmod{840} অর্থাৎ সহজ ভাষায়:840k+1, 840k+11^2, 840k+13^2, 840k+17^2, 840k+19^2, 840k+23^2
আকৃতির মৌলিক সংখ্যাসমূহের জন্য অপ্রমানিত রয়েছে।

### অভেদের অনুপস্থিতি
যদি বিভিন্ন মডুলাসের জন্য পর্যাপ্ত সমাধান খুঁজে একটি পূর্ণাঙ্গ আবরণ ব্যবস্থা গঠন করা সম্ভব হত, তবে সমস্যাটির সমাধান হত। তবে  দেখিয়েছেন, r মডুলো p-এর সাথে সমসূত্র n-এর মানের জন্য একটি বহুপদী অভেদ তখনই বিদ্যমান থাকতে পারে যখন r, p মডুলোর একটি বর্গ সংখ্যার সাথে সমসূত্র নয় (আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, r মডুলো p দ্বিঘাত অবশেষ নয়)। উদাহরণস্বরূপ, ২ মডুলো ৩ একটি অ-বর্গ, তাই মর্ডেলের ফলাফল n \equiv 2 \pmod{3}-এর জন্য একটি অভেদের অস্তিত্ব অনুমোদন করে। কিন্তু ১ মডুলো ৩ একটি বর্গ (১ এবং ২ উভয়ের বর্গের সমান), তাই n \equiv 1 \pmod{3} সমস্ত মানের জন্য অনুরূপ অভেদ থাকতে পারে না। সাধারণভাবে, 1 সমস্ত n>1-এর জন্য মডুলো n একটি বর্গ, তাই সমস্ত n-এর জন্য মডুলার অভেদের একটি পূর্ণাঙ্গ আবরণ ব্যবস্থা থাকতে পারে না, কারণ ১ সর্বদা অনাবৃত থাকবে।

এই সমস্যার জন্য মডুলার অভেদের ফর্ম সীমাবদ্ধ করা সত্ত্বেও, Erdős–Straus অনুমান প্রমাণে মডুলার অভেদ ব্যবহারের কিছু আশা রয়েছে। কোনো মৌলিক সংখ্যা বর্গ হতে পারে না, তাই হাসি-মিনকাউস্কি উপপাদ্য অনুসারে, যখন p মৌলিক, তখন একটি বৃহত্তর মৌলিক q বিদ্যমান যাতে p, q মডুলোর দ্বিঘাত অবশেষ নয়। অনুমান প্রমাণের একটি সম্ভাব্য পদ্ধতি হল প্রতিটি মৌলিক p-এর জন্য একটি বৃহত্তর মৌলিক q এবং একটি সমসূত্রতা খুঁজে বের করা যা n \equiv p \pmod{q}-এর জন্য \frac{4}{n} সমস্যার সমাধান করে। এটি করা গেলে, কোনো মৌলিক p অনুমানের প্রতিদৃষ্টান্ত হতে পারবে না এবং অনুমান সত্য হত।

### সমাধানের সংখ্যা
 দেখিয়েছেন যে \frac{4}{n} সমস্যার গড় সমাধান সংখ্যা (প্রাইম n পর্যন্ত গড়) n-এ পলি-লগারিদমিকভাবে ঊর্ধ্বসীমাবদ্ধ। অন্য কিছু ডায়োফ্যান্টাইন সমস্যার জন্য, সমাধানের অস্তিত্ব সমাধান সংখ্যার সীমান্তিক নিম্নসীমার মাধ্যমে প্রদর্শিত হতে পারে, তবে এটি তখনই কার্যকর যখন সমাধান সংখ্যা বহুপদী হারে বৃদ্ধি পায়; এলশোল্ৎস ও টাও-এর ফলাফলের ধীর বৃদ্ধির হার এই ধরনের প্রমাণকে কম সম্ভাব্য করে তোলে। এলশোল্ৎস ও তাও সমাধানগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করেন x, y, z-এর মধ্যে এক বা দুইটি n দ্বারা বিভাজ্য কিনা তার ভিত্তিতে; মৌলিক n-এর জন্য এগুলি একমাত্র সম্ভাবনা, যদিও যৌগিক n-এর গড়ে বেশিরভাগ সমাধান অন্যান্য ধরনের। তাঁদের প্রমাণে বোম্বিয়েরি-ভিনোগ্রাদভ উপপাদ্য, ব্রুন-টিচমার্শ উপপাদ্য, এবং মডুলার অভেদের একটি সিস্টেম ব্যবহার করা হয়েছে, যা বৈধ যখন n \equiv -c বা -\frac{1}{c} \pmod{4ab}, যেখানে a ও b যেকোনো দুইটি পরস্পর মৌলিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং c হলো a+b-এর যেকোনো বিজোড় উৎপাদক। উদাহরণস্বরূপ, a=b=1 নির্ধারণ করলে মর্ডেলের একটি অভেদ পাওয়া যায়, যা n \equiv 3 \pmod{4} হলে বৈধ।

## সাধারণীকরণ
\tfrac{4}{n} আকারের ভগ্নাংশের মতোই, এটি অনুমান করা হয়েছে যে প্রতিটি ভগ্নাংশ \tfrac{5}{n} (n>1)-কে তিনটি ধনাত্মক ঐকিক ভগ্নাংশের সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা সম্ভব। অনুমানের একটি সাধারণীকৃত রূপ বলে যে, যেকোনো ধনাত্মক k-এর জন্য, \tfrac{k}{n} আকারের **সবাইকে বাদ দিয়ে সসীম সংখ্যক** ভগ্নাংশকে তিনটি ধনাত্মক ঐকিক ভগ্নাংশের সমষ্টি হিসাবে প্রকাশ করা যায়। \tfrac{5}{n} ভগ্নাংশের জন্য এই অনুমানটি ১৯৫৬ সালে ভাৎসলাভ শিয়েরপিনস্কির একটি প্রবন্ধে উত্থাপিত হয়, যেখানে পূর্ণ অনুমানের কৃতিত্ব তার ছাত্র আন্দ্রেই শিনজেলকে দেওয়া হয়।

যদিও সাধারণীকৃত অনুমান যেকোনো নির্দিষ্ট k-এর জন্য মিথ্যা হয়, তবুও n ১ থেকে N পর্যন্ত সীমার মধ্যে থাকা \tfrac{k}{n} ভগ্নাংশের মধ্যে **তিন-পদবিশিষ্ট সম্প্রসারণ নেই**—এমন ভগ্নাংশের সংখ্যা N-এর ফাংশন হিসাবে শুধুমাত্র উপ-রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পাবে। বিশেষভাবে, যদি Erdős–Straus অনুমান নিজেই (k=4 ক্ষেত্র) মিথ্যা হয়, তবে প্রতিদৃষ্টান্তের সংখ্যা শুধুমাত্র উপ-রৈখিকভাবে বৃদ্ধি পাবে। আরও জোরালোভাবে, যেকোনো নির্দিষ্ট k-এর জন্য, শুধুমাত্র একটি উপ-রৈখিক সংখ্যক n-এর মিশরীয় ভগ্নাংশ সম্প্রসারণের জন্য দুইটির বেশি পদ প্রয়োজন হয়। অনুমানের সাধারণীকৃত রূপটি এই বিবৃতির সমতুল্য যে **অসম্প্রসারণযোগ্য ভগ্নাংশের সংখ্যা কেবল উপ-রৈখিক নয়, বরং সসীম**।

যখন n একটি বিজোড় সংখ্যা, বিজোড় লোভী সম্প্রসারণের সমস্যার অনুরূপ, কেউ জিজ্ঞাসা করতে পারেন \tfrac{k}{n} = \tfrac{1}{x} + \tfrac{1}{y} + \tfrac{1}{z} সমীকরণের এমন সমাধানের জন্য যেখানে x, y, z **ভিন্ন ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যা**। এই সমীকরণের সমাধান k=3 ক্ষেত্রের জন্য সর্বদা বিদ্যমান বলে জানা যায়।

## সমীকরণ
*\frac{4}{2k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k(k+1)}
*\frac{4}{3k} = \frac{1}{2k}+\frac{1}{2k} + \frac{1}{3k}
*\frac{4}{3k+2} = \frac{1}{k+1} +\frac{1}{3k+2}+ \frac{1}{(k+1)(3k+2)}
*\frac{4}{4k-1} = \frac{1}{k} +\frac{1}{2k(4k-1)}+ \frac{1}{2k(4k-1)}=\frac{1}{k} +\frac{1}{(k+1)(4k-1)}+\frac{1}{k(k+1)(4k-1)}
*\frac{4}{4k+3} = \frac{1}{k+1} +\frac{1}{(2k+2)(4k+3)}+ \frac{1}{(2k+2)(4k+3)}
*\frac{ 4 }{ 3ak - 1 } = \frac{ 1 }{ ak } + \frac{ 1 }{ 3ak - 1 } + \frac{ 1 }{ ak ( 3ak - 1 )  }
:\frac{4}{3k-1} = \frac{1}{k} +\frac{1}{3k-1}+ \frac{1}{k(3k-1)};a=1
:\frac{4}{6k-1} = \frac{1}{2k} +\frac{1}{6k-1}+ \frac{1}{2k(6k-1)};a=2
*\frac{ 4 }{ 8k - 3 } = \frac{ 1 }{ 3k - 1 } + \frac{ 1 }{ 2 ( 3k - 1 )  } + \frac{ 1 }{ 2 ( 3k - 1 )  ( 8k- 3 )}
*\frac{4}{8k+2} = \frac{1}{4k+1} + \frac{1}{4k+2} + \frac{1}{(4k+1)(4k+2)}
*\frac{4}{8k+3} = \frac{1}{2k+2} + \frac{1}{(2k+1)(2k+2)} + \frac{1}{(2k+1)(8k+3)}
*\frac{4}{8k+4} = \frac{1}{2k+3} + \frac{1}{(2k+2)(2k+3)} + \frac{1}{(2k+1)(2k+2)}
*\frac{4}{8k+5} = \frac{1}{2k+2} + \frac{1}{(2k+2)(8k+5)} + \frac{1}{(k+1)(8k+5)}
*\frac{4}{8k+6} = \frac{1}{4k+3} + \frac{1}{4k+4} + \frac{1}{(4k+3)(4k+4)}
*\frac{4}{8k+7} = \frac{1}{2k+3} + \frac{1}{(2k+2)(2k+3)} + \frac{1}{(2k+2)(8k+7)}
*\frac{4}{8k+8} = \frac{1}{2k+4} + \frac{1}{(2k+2)(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+4)}
*\frac{ 4 }{  ( 8a - 1 ) k + 4a - 1 } = \frac{ 1 }{ a ( 2k + 1 )  } + \frac{ 1 }{ 2a \{  ( 8a - 1 ) k + 4a - 1 \}  } + \frac{ 1 }{ 2a ( 2k + 1 )  \{  ( 8a - 1 ) k + 4a - 1 \}  }
* \frac{ 4 }{  4k^{ 2 } - k - 1   } =\frac{ 1 }{ k^{ 2 } } + \frac{ 1 }{ k( 4k^{ 2 } - k - 1 )  } + \frac{ 1 }{ k^{ 2 } ( 4k^{ 2 } - k - 1 )  }
*\frac{ 4 }{ 12k - 3 } = \frac{ 1 }{ 3k } + \frac{ 1 }{  ( k + 1 )  ( 12k - 3 )  } + \frac{ 1 }{ 3k ( k + 1 )  ( 4k - 1 )  }
*\frac{ 4 }{ 12k - 7} = \frac{ 1 }{ 3k-1} + \frac{ 1 }{ k   ( 12k - 7 )  } + \frac{ 1 }{ k ( 3k - 1 )  ( 12k - 7 )  }
*\frac{ 4 }{ 24k - 11} = \frac{ 1 }{ 6k-2} + \frac{ 1 }{ 2k   ( 24k - 11 )  } + \frac{ 1 }{ k ( 6k - 2 )  ( 24k - 11 )  }
*\frac{ 4 }{ 60k - 35} = \frac{ 1 }{ 24k-14} + \frac{ 1 }{  60k - 35 } + \frac{ 1 }{ 2( 60k - 35 )}

## টীকা

## তথ্যসূত্র

*.
*.
*.
*.
*.
*. See in particular the "Small numerators" section
*.
*
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*.
*
*.
*.
*. Reprinted with additional annotations in .
*.
*.
*
*.
*.
*.

বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বের অমীমাংসিত সমস্যা