ত্রিকোণমিতিক অভেদসমূহের তালিকা

ত্রিকনমিতিতে, **ত্রিকোণমিতিক সুত্রসমূহ** হল এমন সমীকরণ যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে জড়িত করে এবং যেগুলির জন্য সমতার উভয় দিককে সংজ্ঞায়িত করা হয় সেই চলকগুলির প্রতিটি মানের জন্য সত্য ৷ জ্যামিতিকভাবে, এগুলি এক বা একাধিক কোণের নির্দিষ্ট ফাংশন জড়িত অভেদ। এগুলি ত্রিভুজের অভেদ থেকে আলাদা, যেগুলি সম্ভাব্য কোণ জড়িত কিন্তু পার্শ্ব দৈর্ঘ্য বা ত্রিভুজের অন্যান্য দৈর্ঘ্যও জড়িত।

যখনই ত্রিকোণমিতিক ফাংশন জড়িত রাশিকে সরলীকরণের প্রয়োজন হয় তখন এই সূত্রগুলি কার্যকর। একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ হল অ-ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির যোগজীকরণ, একটি সাধারণ কৌশলের মধ্যে প্রথমে ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে এবং তারপর ত্রিকোণমিতিক সূত্রের সাথে প্রাপ্ত অবিচ্ছেদ্যকে সরল করা হয়।
## পিথাগোরীয় অভেদসমূহ

সাইন এবং কোসাইন-এর মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক নিম্ন পিথাগোরীয় অভেদ দ্বারা দেওয়া হয়েছে:

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1,

যেখানে \sin^2 \theta মানে (\sin \theta)^2 এবং \cos^2 \theta মানে (\cos \theta)^2 ।

এটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি সংস্করণ হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং নিম্ন সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে x^2 + y^2 = 1 একক বৃত্তের জন্য । এই সমীকরণটি সাইন বা কোসাইনের জন্য সমাধান করা যেতে পারে:

\begin{align}
\sin\theta &= \pm \sqrt{1 - \cos^2\theta}, \\
\cos\theta &= \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}.
\end{align}

যেখানে চিহ্নটি \theta এর বৃত্তের এক-চতুর্থাংশ এর উপর নির্ভর করে।

এই অভেদকে \sin^2 \theta, \cos^2 \theta, বা উভয় দ্বারা ভাগ করলে নিম্নলিখিত অভেদগুলো পাওয়া যায়:                                                            \begin{align}
&1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \\
&1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \\
&\sec^2\theta + \csc^2\theta = \sec^2\theta\csc^2\theta
\end{align}

এই অভেদগুলি ব্যবহার করে যেকোনো ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে অন্য যেকোনো পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা সম্ভব ।

## প্রতিফলন, পরিবর্তন, এবং পর্যায়ক্রম
একক বৃত্ত পরীক্ষা করে, কেউ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি স্থাপন করতে পারে।

### প্রতিফলন

যখন একটি ইউক্লিডীয় ভেক্টরের দিক একটি কোণ \theta, দ্বারা উপস্থাপিত হয় তখন এটি মুক্ত ভেক্টর (উৎপত্তি থেকে শুরু করে) এবং ধনাত্মক x-একক ভেক্টর দ্বারা নির্ধারিত কোণ। একই ধারণা ইউক্লিডীয় স্থানের রেখার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে, যেখানে কোণটি উৎপত্তি এবং ধনাত্মক x-অক্ষের মাধ্যমে প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল দ্বারা নির্ধারিত হয় । যদি \theta দিকনির্দেশ সহ একটি রেখা (ভেক্টর) \alpha, দিক সহ একটি রেখা সম্পর্কে প্রতিফলিত হয় তবে দিক কোণ \theta^{\prime} এই প্রতিফলিত লাইনের (ভেক্টর) মান হচ্ছে
\theta^{\prime} = 2 \alpha - \theta. ।

এই কোণগুলির ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান \theta,\;\theta^{\prime} নির্দিষ্ট কোণগুলির জন্য \alpha সরল পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে: হয় তারা সমান, অথবা বিপরীত চিহ্ন আছে, বা পরিপূরক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন নিয়োগ. এগুলি  নামেও পরিচিত৷ ।

### স্থানান্তর এবং পর্যায়ক্রম

### চিহ্ন
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের চিহ্ন কোণের চতুর্ভুজের উপর নির্ভর করে । যদি {-\pi}  এবং  হয় চিহ্ন ফাংশন, তাহলে:

\begin{align}
\sgn(\sin \theta) = \sgn(\csc \theta) &= \begin{cases}
  +1 & \text{if}\ \  0 
* \cos((2n+1)\theta)=(-1)^n 2^{2n}\prod_{k=0}^{2n}\cos(k\pi/(2n+1)-\theta)
* \cos(2 n \theta)=(-1)^n 2^{2n-1} \prod_{k=0}^{2n-1} \cos((1+2k)\pi/(4n)-\theta)
* \tan(n\theta) = \frac{\sum_{k\text{ odd}} (-1)^\frac{k-1}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}{\sum_{k\text{ even}} (-1)^\frac{k}{2} {n \choose k}\tan^k \theta}

## তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক অভেদ
বিষয়শ্রেণী:ত্রিকোণমিতি
বিষয়শ্রেণী:গণিত সম্পর্কিত তালিকা