৩-জে প্রতীক

কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় উইগনারের **৩-জে প্রতীক**, যাকে কখনও কখনও **৩-জেএম প্রতীক** হিসাবেও উল্লেখ করা হয়, হলো কৌণিক ভরবেগ যোগ করার উদ্দেশ্যে ক্লেবচ-গর্ডান সহগের বিকল্প। যদিও এই দুটি পদ্ধতিই ঠিক একই ভৌত সমস্যা সমাধান করে থাকে, কিন্তু ৩-জে প্রতীকগুলি আরও প্রতিসমভাবে তা করে। এটি Clebsch-Gordan সহগের সাথে সম্পর্কিত এবং গণিতগত প্রয়োগে ব্যবহার হয়ে থাকে। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় স্পিন-অরবিট কাপলিং, কৌণিক ভরবেগ কাপলিং ইত্যাদি ক্ষেত্রে 3-j প্রতীক ব্যবহৃত হয়। এটি কণা পদার্থবিদ্যা এবং পরমাণু ও নিউক্লিয়ার সংশ্লিষ্ট গবেষণায় অপরিহার্য। এছাড়াও প্রতীকটি পরমাণু ও কণা পদার্থবিজ্ঞানে কৌণিক ভরবেগ বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহার হয়।

## ক্লেবচ-গর্ডান সহগের সাথে গাণিতিক সম্পর্ক
৩-জে প্রতীকগুলি ক্লেবচ-গর্ডান  সহগের পরিপ্রেক্ষিতে দেওয়া হয়েছে -
:
  \begin{pmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3 \\
    m_1 & m_2 & m_3
  \end{pmatrix}
  \equiv
  \frac{(-1)^{j_1 - j_2 - m_3}}{\sqrt{2 j_3 + 1}}
    \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | j_3 \, (-m_3) \rangle.

জে (*j*) এবং এম (*m*) উপাদানগুলি কৌণিক-ভরবেগ কোয়ান্টাম সংখ্যা, অর্থাৎ, প্রতিটি j (এবং প্রতিটি সংশ্লিষ্ট m ) হয় একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা অথবা অর্ধ-বিজোড়-পূর্ণসংখ্যা। চিহ্ন গুণনীয়কের সূচক সর্বদা একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই বাম দিকে স্থানান্তরিত হলে এটি একই থাকে এবং প্রতিস্থাপন  তৈরি করার পরে বিপরীত সম্পর্কটি অনুসরণ করে:

:
\langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | j_3 \, m_3 \rangle
  = (-1)^{-j_1 + j_2 - m_3} \sqrt{2 j_3 + 1}
    \begin{pmatrix}
      j_1 & j_2 &  j_3 \\
      m_1 & m_2 & -m_3
    \end{pmatrix}.


## স্পষ্টীকৃত বিবরণ
:
\begin{align}\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
&  \equiv \delta(m_1+m_2+m_3,0) (-1)^{j_1 - j_2 - m_3} {} \sqrt{\frac{(j_1+j_2-j_3)!(j_1-j_2+j_3)!(-j_1+j_2+j_3)!}{(j_1+j_2+j_3+1)!}}\ \times {} \\[6pt]
&\times\sqrt{(j_1-m_1)!(j_1+m_1)!(j_2-m_2)!(j_2+m_2)!(j_3-m_3)!(j_3+m_3)!}\ \times {} \\[6pt]
&\times\sum_{k=K}^N \frac{(-1)^k}{k!(j_1+j_2-j_3-k)!(j_1-m_1-k)!(j_2+m_2-k)!(j_3-j_2+m_1+k)!(j_3-j_1-m_2+k)!},
\end{align}

যেখানে, \delta (i,j) হলো একটি ক্রোনেকার ডেল্টা।
যোগফলটি সেই পূর্ণসংখ্যার মান  -এর উপর সঞ্চালিত হয় যার জন্য হর-এর প্রতিটি ফ্যাক্টোরিয়ালের যুক্তি অ-ঋণাত্মক, অর্থাৎ যোগফলের সীমা  এবং  সমান নেওয়া হয়: নিম্নতমটি K=\max(0, j_2-j_3-m_1, j_1-j_3+m_2), উর্ধ্বতনটি N=\min(j_1+j_2-j_3, j_1-m_1, j_2+m_2)। ঋণাত্মক সংখ্যার উৎপাদকগুলিকে প্রচলিতভাবে শূন্যের সমান ধরা হয়, যাতে ৩-জে প্রতীকের মান, উদাহরণস্বরূপ, j_3>j_1+j_2 অথবা, j_1 স্বয়ংক্রিয়ভাবে শূন্যে পরিণত হয়।

## ক্লেবচ-গর্ডান সহগের সাথে সংজ্ঞাগত সম্পর্ক
সিজি সহগগুলিকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে যাতে দুটি কৌণিক ভরবেগের যোগকে তৃতীয়াংশের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যায়:

:
|j_3\, m_3\rangle
  = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}
     \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | j_3 \, m_3 \rangle
        |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle.


অন্যদিকে, ৩-জে প্রতীকগুলি হল সেই সহগ যার সাথে তিনটি কৌণিক ভরবেগ যোগ করতে হবে যাতে ফলাফল শূন্য হয়:

:
  \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3}
  |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_3 m_3\rangle
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
  = |0 \, 0\rangle.


এখানে |0 \, 0\rangle শূন্য-কৌণিক-ভরবেগ অবস্থা (j = m = 0)। এটা স্পষ্ট যে ৩-জে প্রতীকটি যোগ সমস্যার সাথে জড়িত তিনটি কৌণিক ভরবেগকে সমান ভিত্তিতে বিবেচনা করে এবং তাই সিজি সহগের চেয়ে বেশি প্রতিসম।
যেহেতু অবস্থা |0 \, 0\rangle ঘূর্ণনের মাধ্যমে অপরিবর্তিত থাকে, তবে এটি আরও বলে যে ৩-জে প্রতীক সহ তিনটি ঘূর্ণন অবস্থার গুণফলের সংকোচন ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনীয়।

## নির্বাচন করার নিয়ম
এই সমস্ত শর্ত পূরণ না হলে উইগনারের ৩-*জে* প্রতীকটির মান শূন্য হবে:

:\begin{align}
& m_i \in \{-j_i, -j_i + 1, -j_i + 2, \ldots, j_i\} \quad (i = 1, 2, 3), \\
& m_1 + m_2 + m_3 = 0, \\
& |j_1 - j_2| \le j_3 \le j_1 + j_2, \\
& (j_1 + j_2 + j_3) \text{ is an integer (and, moreover, an even integer if } m_1 = m_2 = m_3 = 0 \text{)}. \\
\end{align}

## প্রতিসাম্য বৈশিষ্ঠ্য
একটি ৩-*জে* প্রতীক তার কলামগুলির সমান বিন্যাসের অধীনে অপরিবর্তনীয়:
:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_3 & j_1\\
  m_2 & m_3 & m_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_3 & j_1 & j_2\\
  m_3 & m_1 & m_2
\end{pmatrix}.

কলামগুলির অসাম্যের অদ্ভুত বিন্যাস একটি পর্যায় অবস্থান দেয়:
:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_1 & j_3\\
  m_2 & m_1 & m_3
\end{pmatrix}

:
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_3 & j_2\\
  m_1 & m_3 & m_2
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_3 & j_2 & j_1\\
  m_3 & m_2 & m_1
\end{pmatrix}.

m কোয়ান্টাম সংখ্যার চিহ্ন পরিবর্তন করলে (সময় বিপরীত) একটি পর্যায়ও পাওয়া যায়:
:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -m_1 & -m_2 & -m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}.

৩-*জে* প্রতীকগুলোর তথাকথিত রেগ্গে প্রতিসাম্যও রয়েছে, যা বিন্যাস বা সময় বিপরীতের কারণে হয় না। এই প্রতিসাম্যগুলো হল:
:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_1 & \frac{j_2+j_3-m_1}{2} & \frac{j_2+j_3+m_1}{2}\\
  j_3-j_2 & \frac{j_2-j_3-m_1}{2}-m_3 & \frac{j_2-j_3+m_1}{2}+m_3
\end{pmatrix},

:
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  \frac{j_2+j_3+m_1}{2} & \frac{j_1+j_3+m_2}{2} & \frac{j_1+j_2+m_3}{2}\\
  j_1 - \frac{j_2+j_3-m_1}{2} & j_2 - \frac{j_1+j_3-m_2}{2} & j_3-\frac{j_1+j_2-m_3}{2}
\end{pmatrix}.

রেগ্গে প্রতিসাম্যের সাথে ৩-*জে* প্রতীকটির মোট ৭২টি প্রতিসাম্য রয়েছে। এগুলো সবচেয়ে ভালোভাবে রেগ্গে প্রতীকের সংজ্ঞা দিয়ে প্রদর্শিত হয়, যা রেগ্গে প্রতীক এবং ৩-*জে* প্রতীকের মধ্যে এক-থেকে-এক সঙ্গতিপূর্ণ এবং একটি আধা-যাদুকরী বর্গক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্য ধরে নেয়:
:
R=
\begin{array}
  \hline
    -j_1+j_2+j_3 & j_1-j_2+j_3 & j_1+j_2-j_3\\
    j_1-m_1 & j_2-m_2 & j_3-m_3\\
    j_1+m_1 & j_2+m_2 & j_3+m_3\\
  \hline
\end{array},

যার ফলে ৭২টি প্রতিসাম্য এখন ৩! সারি এবং ৩! কলামের আন্তঃবিনিময় এবং ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তরের সাথে মিলে যায়। এই বিষয়গুলো একটি কার্যকর সংরক্ষণ পরিকল্পনা তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

## অক্ষীয়তা সম্পর্ক
 এবং  মাত্রা বিশিষ্ট দুটি কৌণিক ভরবেগের একটি সিস্টেমকে অসংযুক্ত ভিত্তি অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে (যা কোয়ান্টাম সংখ্যা  এবং  দ্বারা চিহ্নিত), অথবা সংযুক্ত ভিত্তি অবস্থার পরিপ্রেক্ষিতে (যা কোয়ান্টাম সংখ্যা  এবং  দ্বারা চিহ্নিত) বর্ণনা করা যেতে পারে। ৩-*জে* প্রতীকগুলো এই দুটি ভিত্তির মধ্যে একটি ঐক্য রূপান্তর গঠন করে এবং এই ঐক্য অক্ষীয়তা সম্পর্ককে বুঝায়:
:
(2 j_3 + 1)\sum_{m_1 m_2}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j'_3\\
  m_1 & m_2 & m'_3
\end{pmatrix}
= \delta_{j_3, j'_3} \delta_{m_3, m'_3} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \end{Bmatrix},

:
\sum_{j_3 m_3} (2 j_3 + 1)
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1' & m_2' & m_3
\end{pmatrix}
= \delta_{m_1, m_1'} \delta_{m_2, m_2'}.

*ত্রিভুজাকার ডেল্টা* }  'র মান ১-এর সমান হয় যদি ত্রিভুজ (*j*1, *j*2, *j*3) প্রয়োজনীয় শর্ত পূরণ করে; অন্যথায় এটির মান শূন্য হবে। ত্রিভুজাকার ডেল্টাকে কখনও কখনও বিভ্রান্তিকরভাবে ৬-''জে'' এবং ৯-''জে'' প্রতীকের সাদৃশ্যে "৩-*জে* প্রতীক" (m বিহীন) বলা হয়, যাদের সবকটিই মূলতঃ ৩-*জেএম* প্রতীকের অপরিবর্তনীয় যোগফল যেখানে কোনও  চলক থাকে না।

## গোলাকার সুরেলাতার সাথে সম্পর্ক; গন্ট সহগ

৩-*জেএম* প্রতীকগুলো তিনটি গোলাকার সুরেলার গুণফলের অখণ্ডতা প্রদান করে:
:
\begin{align}
& \int Y_{l_1 m_1}(\theta, \varphi) Y_{l_2 m_2}(\theta, \varphi) Y_{l_3 m_3}(\theta, \varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\
&\quad = \sqrt{\frac{(2l_1 + 1)(2l_2 + 1)(2l_3 + 1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3 \\
  0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\end{align}

যার l_1, l_2 এবং l_3 পূর্ণসংখ্যা। এই সমাকলনগুলিকে গন্ট সহগ বলা হয়।

### ঘূর্ণন-ওজনযুক্ত গোলাকার সুরেলার সমাকলনের সাথে সম্পর্ক
ঘূর্ণন-ওজনযুক্ত গোলাকার সুরেলার জন্য একই রকম সম্পর্ক বিদ্যমান থাকে যদি s_1 + s_2 + s_3 = 0 হয়:
:
\begin{align}
& \int d\mathbf{\hat n} \,_{s_1}\!Y_{j_1 m_1}(\mathbf{\hat n}) \,_{s_2}\!Y_{j_2 m_2}(\mathbf{\hat n}) \,_{s_3}\!Y_{j_3 m_3}(\mathbf{\hat n}) \\
&\quad = \sqrt{\frac{(2j_1 + 1)(2j_2 + 1)(2j_3 + 1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -s_1 & -s_2 & -s_3
\end{pmatrix}.
\end{align}


## পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক
:
\begin{align}
& {-}\sqrt{(l_3 \mp s_3)(l_3 \pm s_3 + 1)}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3 \\
  s_1 & s_2 & s_3 \pm 1
\end{pmatrix}=
 \\
&\quad = \sqrt{(l_1 \mp s_1)(l_1 \pm s_1 + 1)}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3 \\
  s_1 \pm 1 & s_2 & s_3
\end{pmatrix}
+ \sqrt{(l_2 \mp s_2)(l_2 \pm s_2 + 1)}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3 \\
  s_1 & s_2 \pm 1 & s_3
\end{pmatrix}.
\end{align}


## অসীম রাশিমালা
l_1 \ll l_2, l_3 'এর জন্য একটি অ-শূণ্য ৩-*জে* প্রতীক হলো:
:
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
 \approx (-1)^{l_3+m_3} \frac{d^{l_1}_{m_1, l_3 - l_2}(\theta)}{\sqrt{2l_3 + 1}},

যেখানে, \cos(\theta) = -2m_3 / (2l_3 + 1) এবং d^l_{mn} হলো উইগনার চলক। সাধারণত রেগ্গের প্রতিসাম্য শর্ত মেনে এর একটি ভাল আনুমানিকতা দেওয়া যায়:
:
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
 \approx (-1)^{l_3+m_3} \frac{ d^{l_1}_{m_1, l_3-l_2}(\theta)}{\sqrt{l_2+l_3+1}},

যেখানে, \cos(\theta) = (m_2 - m_3)/(l_2 + l_3 + 1)।

## মেট্রিক টেনসর
কৌণিক-ভরবেগ তত্ত্বে নিম্নলিখিত রাশিটি একটি মেট্রিক টেনসর হিসেবে কাজ করে এবং এটি একই সঙ্গে *উইগনার ১-জেএম প্রতীক* হিসাবেও পরিচিত:
:\begin{pmatrix}
  j \\
  m \quad m'
\end{pmatrix}
:= \sqrt{2 j + 1}
\begin{pmatrix}
  j & 0 & j \\
  m & 0 & m'
\end{pmatrix}
= (-1)^{j - m'} \delta_{m, -m'}.


এটি কৌণিক মোমেন্টায় সময় বিপরীতকরণ সম্পাদন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

## বিশেষ ক্ষেত্রে এবং অন্যান্য বৈশিষ্ট্য
:\sum_m (-1)^{j - m}
\begin{pmatrix}
  j & j & J \\
  m & -m & 0
\end{pmatrix} = \sqrt{2 j + 1} \, \delta_{J, 0}.


(৩.৭.৯) সমীকরণ হতে পাই:
:
\begin{pmatrix}
  j & j & 0 \\
  m & -m & 0
\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2 j + 1}} (-1)^{j - m}.


:
\frac{1}{2} \int_{-1}^1 P_{l_1}(x) P_{l_2}(x) P_{l}(x) \, dx =
\begin{pmatrix}
  l & l_1 & l_2 \\
  0 & 0 & 0
\end{pmatrix}^2,

যেখানে, *পি* (P) হলো আখ্যান বহুপদী।

## রাকাহ -সহগের সাথে সম্পর্ক

উইগনার ৩-*জে* প্রতীকগুলো একটি সহজ ধাপ দ্বারা রাকাহ -সহগের সাথে সম্পর্কিত:

:
V(j_1 \, j_2 \, j_3; m_1 \, m_2 \, m_3) = (-1)^{j_1 - j_2 - j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3 \\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}.


## গোষ্ঠী তত্ত্বের সাথে সম্পর্ক

এই অংশটি মূলতঃ গোষ্ঠী তত্ত্বের ভাষায় সংজ্ঞাগত সম্পর্ককে পুনর্ব্যক্ত করে।

একটি গোষ্ঠীর গোষ্ঠী প্রতিনিধিত্ব হলো কিছু ভেক্টর স্থানের উপর রৈখিক রূপান্তরের একটি দল গোষ্ঠীর একটি সমরূপতা। ভেক্টর স্থানের কিছু ভিত্তির সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্সের একটি দল দ্বারা রৈখিক রূপান্তর দেওয়া যেতে পারে।

কৌণিক মোমেন্টা অপরিবর্তনীয় রেখে যাওয়া রূপান্তরের গ্রুপটি হল ত্রিমাত্রিক ঘূর্ণন গ্রুপ এসও(৩)। যখন "ঘূর্ণন" কৌণিক মোমেন্টা অন্তর্ভুক্ত করা হয়, তখন গ্রুপটি হল এর দ্বি-আবরণ গ্রুপ এসইউ(২)।
হ্রাসযোগ্য উপস্থাপনা হলো এমন একটি উপস্থাপনা যেখানে ভিত্তির পরিবর্তন প্রয়োগ করে সমস্ত ম্যাট্রিক্সকে ব্লক ডায়াগোনাল আকারে আনা যায়। যদি এই ধরণের কোনও রূপান্তর না থাকে তবে একটি উপস্থাপনা অপরিবর্তনীয় (irrep) হয়।

*জে* -এর প্রতিটি মানের জন্য ২*জে*+১ সেটগুলো জটিল সংখ্যার উপর এসও(৩)/এসইউ(২)-এর একটি অপরিবর্তনীয় উপস্থাপনার (irrep) ভিত্তি তৈরি করে। দুটি অপরিবর্তনীয় দেওয়া হলে টেনসরের প্রত্যক্ষ গুণফলকে অপরিবর্তনীয় যোগফলে হ্রাস করা যেতে পারে, যা ক্লেবচ-গর্ডান সহগ তৈরি করে; অথবা তিনটি অপরিবর্তনীয় গুণফলকে **১** এ হ্রাস করে ৩জে প্রতীক তৈরি করে।
## অন্যান্য দলের জন্য ৩জে প্রতীক
কৌণিক ভরবেগের সংযোগের প্রেক্ষাপটে 3j প্রতীকটি সবচেয়ে বেশি গভীরভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে। এর ফলে, এটি উপরে আলোচনা করা এসইউ(২) এবং এসও(৩) গোষ্ঠীগুলোর গ্রুপ প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বের সাথে দৃঢ়ভাবে সম্পর্কিত।

যদিও, পদার্থবিদ্যা এবং রসায়নে আরও অনেক গ্রুপ গুরুত্বপূর্ণ এবং এই অন্যান্য গ্রুপগুলোর জন্য 3j প্রতীক নিয়ে অসংখ্য কাজ হয়েছে। এই অংশটিতে সেই সমস্ত কাজের কিছু অংশ আলোচনা করা হলো।

### সহজভাবে হ্রাসযোগ্য গোষ্ঠী
উইগনারের মূল গবেষণাপত্র কেবলমাত্র এসও(৩)/এসইউ(২) -এর মধ্যেই সীমাবদ্ধ ছিল না বরং কেবল হ্রাসযোগ্য (এসআর) গোষ্ঠীর উপরই দৃষ্টি নিবদ্ধ করেছিল। এগুলো এমন গোষ্ঠী যেখানে -
* সকল শ্রেণীই দ্বিমুখী; অর্থাৎ যদি X একটি শ্রেণীর সদস্য হয়, তাহলে X^{-1} হবে;
* দুটি অপরিবর্তনীয় (irrep) ক্রোনেকার গুণফল বহুগুণমুক্ত; অর্থাৎ এতে একাধিকবার কোনও অপরিবর্তনীয় (irrep) থাকে না।
এসআর গ্রুপের জন্য, প্রতিটি অপরিবর্তনীয় (irrep) তার জটিল সংযুক্তের সমতুল্য এবং কলামের ক্রমবিন্যাসের অধীনে প্রতীকের পরম মান অপরিবর্তনীয় ও প্রতিটির পর্যায় এমনভাবে নির্বাচন করা যেতে পারে যেন এটি সর্বাধিক বিজোড় বিন্যাসের অধীনে চিহ্ন পরিবর্তন করে এবং জোড় বিন্যাসের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে।

### সাধারণ নিরবিচ্ছিন্ন গোষ্ঠী
নিরবিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীগুলো সজ্জার গঠন সহ বিস্তৃত গোষ্ঠী তৈরি করে থাকে। এগুলোর মধ্যে রয়েছে অতিরিক্ত বিচ্ছিন্ন টপোলজি সহ সসীম গ্রুপ এবং অনেক লি গোষ্ঠী।

সাধারণ নিরবিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীগুলো দ্বিমুখী বা বহুগুণমুক্ত হবে না। ডেরোম এবং শার্প এবং ডেরোম কর্তৃক 3j প্রতীকটি পরীক্ষা করা হয়েছে  সাধারণ ক্ষেত্রে ক্লেবচ-গর্ডন সহগের সাথে সম্পর্ক ব্যবহার করে
:
  \begin{pmatrix}
    j_1 & j_2 & j_3 \\
    m_1 & m_2 & m_3
  \end{pmatrix}
  \equiv
  \frac{1}{[j_3]}
    \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | j_3^* \, m_3 \rangle
।

যেখানে, [j] হলো j প্রতিনিধিত্ব স্থানের মাত্রা এবং j_3^* হলো j_3 -এর জটিল সংযোজিত উপস্থাপনা।.

3j প্রতীকের কলামের ক্রমবিন্যাস পরীক্ষা করে তারা তিনটি পরিস্থিতি দেখিয়েছে:

* যদি j_1, j_2, j_3 সবগুলোই অসমান হয় তাহলে 3j প্রতীকটিকে তার কলামের যেকোনো ক্রমবিন্যাসের অধীনে অপরিবর্তনীয় হিসেবে বেছে নেওয়া যেতে পারে;
* যদি ঠিক দুটি সমান হয়, তাহলে এর কলামের স্থানান্তর নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে কিছু প্রতীক অপরিবর্তনীয় থাকে এবং অন্যগুলো চিহ্ন পরিবর্তন করে। S_3 সহ গোষ্ঠীর একটি সংযুক্ত দল ব্যবহার করে একটি পদ্ধতিতে দেখা গেছে যে এগুলো প্রতিসম গোষ্ঠী S_2 -এর উপস্থাপনার সাথে [2] অথবা [1^2] এর সাথে মিলে যায়। চক্রীয় বিন্যাস 3j প্রতীক অপরিবর্তনীয় রেখে দেয়।
* যদি তিনটিই সমান হয়, তাহলে আচরণটি S_3 প্রতিসম গোষ্ঠীর উপস্থাপনার উপর নির্ভরশীল হয়। [3] এর সাথে সম্পর্কিত সংযুক্ত গোষ্ঠীর উপস্থাপনাগুলো কলামের স্থানান্তরের অধীনে অপরিবর্তনীয় থাকে এবং[1^3] এর সাথে সম্পর্কিত পরিবর্তন চিহ্ন স্থানান্তরের অধীনে ঘটে; যেখানে দ্বিমাত্রিক উপস্থাপনার সাথে সম্পর্কিত একটি জোড়া [21]  সেই অনুসারে রূপান্তরিত হয়।

এই নীতিগুলির উপর ভিত্তি করে নিরবিচ্ছিন্ন গোষ্ঠীর 3j প্রতীকগুলো নিয়ে আরও গবেষণা কার্যক্রম পরিচালিত হয়েছে।

### এসইউ (এন)

বিশেষ ঐকিক গোষ্ঠী "এসইউ (এন)" *(SU(n))* হলো n × n ঐকিক ম্যাট্রিক্সের লি গোষ্ঠী যার নির্ধারক ১।

কণা তত্ত্বে এসইউ (এন) গোষ্ঠীটি গুরুত্বপূর্ণ। 3j অথবা সমতুল্য প্রতীক বিষয় নিয়ে অনেক গবেষণাপত্র রয়েছে।

এসইউ (৪) গোষ্ঠীর জন্য 3j প্রতীকটি অধ্যয়ন করা হয়েছে  এবং সাধারণ এইউ (এন) গোষ্ঠীগুলোর উপরও কাজ চলছে।

### স্ফটিকাকৃতির বিন্দু গোষ্ঠী
সসীম স্ফটিকাকৃতির বিন্দু গোষ্ঠীর জন্য 3j প্রতীক বা ক্লেবচ-গর্ডান সহগ নিয়ে অনেক গবেষণাপত্র রয়েছে এবং এবং দ্বৈত বিন্দু গোষ্ঠী নিয়ে বাটলারের বইটিতে এগুলো উল্লেখ করা হয়েছে এবং টেবিল সহ এই তত্ত্বের বিস্তারিত বর্ণনা দেওয়া হয়েছে।

### চৌম্বোকীয় গোষ্ঠী
চৌম্বকীয় গোষ্ঠীতে রৈখিক চালকের পাশাপাশি বিপ্র-রৈখিক চালকও অন্তর্ভুক্ত। উইগনারের একক এবং একক-বিরোধী গোষ্ঠীর সহ-উপস্থাপনার তত্ত্ব ব্যবহার করে এগুলি বন্টন করা হয়। আদর্শ স্থানীয় উপস্থাপনা তত্ত্ব থেকে একটি উল্লেখযোগ্য বিচ্যুতি হল অপ্রয়োজনীয় সহ-উপস্থাপনার বহুগুণ j_3^* অপ্রকাশ্য সহ-উপস্থাপনার সরাসরি উত্পাদক j_1 \otimes j_2 সাধারণত ত্রি-গুণফলের তুচ্ছ সহ-উপস্থাপনার গুণনের চেয়ে ছোট j_1 \otimes j_2 \otimes j_3, যা ক্লেবচ-গর্ডন সহগ এবং ৩-জে প্রতীকের মধ্যে উল্লেখযোগ্য পার্থক্যের দিকে পরিচালিত করে।

৩-জে প্রতীকগুলি ধূসর গোষ্ঠীর জন্য এবং চৌম্বকীয় বিন্দু গোষ্ঠীর জন্য পরীক্ষা করা হয়েছে।

## আরও দেখুন
* ক্লেবচ–গর্ডান সহগ
* রাকাহ ডব্লিউ–সহগ
* রাকাহ ভি–সহগ
* গোলাকার সুরেলা
* ৬-জে প্রতীক
* ৯-জে প্রতীক
* ধ্রুপদী গোষ্ঠীর প্রতিনিধি

## তথ্যসূত্র

## আরো পড়ুন

*L. C. Biedenharn and J. D. Louck, *Angular Momentum in Quantum Physics*, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics,  Addison-Wesley, Reading, 1981.
* D. M. Brink and G. R. Satchler, *Angular Momentum*, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
* A. R. Edmonds,  *Angular Momentum in Quantum Mechanics*, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
*
* 
*

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*


## বহিঃসংযোগ
* 
*  (Numerical)
* 
* 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science (Numerical)
* Frederik J Simons: Matlab software archive, the code THREEJ.M
* Sage (mathematics software) Gives exact answer for any value of j, m
*  (accurate; C, fortran, python)
*  (fast lookup, accurate; C, fortran)

বিষয়শ্রেণী:ঘূর্ণন প্রতিসাম্য
বিষয়শ্রেণী:কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান