সক্রিয় ও নিষ্ক্রিয় রূপান্তর

জ্যামিতিক রূপান্তর দুটি ধরনের ভাগ করা যেতে পারে: **একটিভ** বা **অ্যালিবি রূপান্তর** যা একটি স্থির রেফারেন্স ফ্রেম বা কোঅর্ডিনেট সিস্টেম এর বিপরীতে পয়েন্টগুলোর শারীরিক অবস্থান পরিবর্তন করে ("অ্যালিবি" মানে "একই সময়ে অন্য কোথাও থাকা"); এবং **প্যাসিভ** বা **অ্যালিয়াস রূপান্তর** যা পয়েন্টগুলো স্থির রেখে রেফারেন্স ফ্রেম বা কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের পরিবর্তন ঘটায় ("অ্যালিয়াস" মানে "অন্য নামে পরিচিত হওয়া")। "রূপান্তর" শব্দটি সাধারণত গাণিতিকরা একটিভ রূপান্তর বোঝাতে ব্যবহার করেন, যখন পদার্থবিজ্ঞানী এবং প্রকৌশলীরা এটিকে যে কোন ধরনের রূপান্তরের জন্য ব্যবহার করতে পারেন।

যেমন, একটিভ রূপান্তরগুলি rigid body এর পরপর অবস্থান বর্ণনা করতে উপকারী। অন্যদিকে, প্যাসিভ রূপান্তরগুলি মানুষের চলাচল বিশ্লেষণে উপকারী হতে পারে যাতে তিবিয়ার গতিবিধি ফিমার এর সাথে তুলনা করা যায়, অর্থাৎ (*স্থানীয়*) কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের মধ্যে যা ফিমারের সাথে একত্রে চলে, এর পরিবর্তে (*গ্লোবাল*) কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের মধ্যে যা মেঝের সাথে স্থির থাকে।

তিন-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেস-এ, যে কোন প্রকৃত রিগিড রূপান্তর, একটিভ বা প্যাসিভ হোক, তা একটি স্ক্রু ডিসপ্লেসমেন্ট হিসেবে উপস্থাপন করা যায়, যা একটি অনুবাদ এবং রোটেশন এর সমন্বয় হয় যা একটি অক্ষের চারপাশে হয়।

*একটিভ রূপান্তর* এবং *প্যাসিভ রূপান্তর* শব্দগুলি প্রথম ১৯৫৭ সালে ভ্যালেন্টাইন বার্গম্যান কর্তৃক লরেন্টজ রূপান্তর বর্ণনা করতে ব্যবহার করা হয় বিশেষ আপেক্ষিকতায়।

## উদাহরণ

একটি উদাহরণ হিসেবে, ধরা যাক ভেক্টর \mathbf{v}=(v_1,v_2) \in \R^2, এটি সমতলে একটি ভেক্টর। একটি ভেক্টরকে θ কোণে বিপরীত দিক থেকে ঘূর্ণন করা হয় rotation matrix দ্বারা:
R=
\begin{pmatrix}
 \cos \theta & -\sin \theta\\
 \sin \theta &  \cos \theta
\end{pmatrix},

যা একটি *সক্রিয় রূপান্তর* অথবা একটি *নিষ্ক্রিয় রূপান্তর* হিসেবে দেখা যেতে পারে (যেখানে উপরোক্ত মেট্রিক্স বিপরীত হবে), যেমনটি নিচে বর্ণনা করা হয়েছে।

## ইউক্লিডীয়ান স্পেস R<sup>3</sup> এ স্থানান্তর
সাধারণভাবে একটি স্থানান্তর T\colon\R^3\to \R^3 একটি স্থানান্তর এবং একটি রেখীয় স্থানান্তরের সমন্বয়ে গঠিত হতে পারে। নিচে, স্থানান্তরটি বাদ দেওয়া হবে এবং রেখীয় স্থানান্তরটি একটি ৩×৩ ম্যাট্রিক্স T দ্বারা উপস্থাপিত হবে।

### সক্রিয় স্থানান্তর
একটি সক্রিয় স্থানান্তর হিসেবে, T প্রাথমিক ভেক্টর \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) কে একটি নতুন ভেক্টর \mathbf{v}'=(v'_x,v'_y,v'_z)=T\mathbf{v}=T(v_x,v_y,v_z) এ রূপান্তরিত করে।

যদি \{\mathbf{e}'_x=T(1,0,0),\ \mathbf{e}'_y=T(0,1,0),\ \mathbf{e}'_z=T(0,0,1)\} কে একটি নতুন ভিত্তি হিসেবে দেখা হয়, তবে নতুন ভেক্টর \mathbf{v}'=v_x\mathbf{e}'_x+v_y\mathbf{e}'_y+v_z\mathbf{e}'_z এর উপাদানগুলো পুরানো ভিত্তিতে \mathbf{v}=v_x\mathbf{e}_x+v_y\mathbf{e}_y+v_z\mathbf{e}_z এর উপাদানগুলির মতোই থাকবে। লক্ষ্য করুন যে সক্রিয় স্থানান্তরগুলি এমনকি একটি ভিন্ন ভেক্টর স্পেস এ রেখীয় স্থানান্তর হিসেবেও অর্থপূর্ণ হতে পারে। এটি তখনই শুধু উপযুক্ত যখন স্থানান্তরটি একই স্পেসে হয়, এবং নতুন ভেক্টরটি অপরিবর্তিত ভিত্তিতে (যেমন উপরে) লেখা হয়।

### নিষ্ক্রিয় স্থানান্তর
অন্যদিকে, যখন T কে একটি নিষ্ক্রিয় স্থানান্তর হিসেবে দেখা হয়, তখন প্রাথমিক ভেক্টর \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) অপরিবর্তিত থাকে, তবে সমন্বয় ব্যবস্থা এবং তার ভিত্তি ভেক্টরগুলি বিপরীত দিকে রূপান্তরিত হয়, অর্থাৎ, T^{-1} এর মাধ্যমে। এটি একটি নতুন সমন্বয় ব্যবস্থা *XYZ* তৈরি করে যার ভিত্তি ভেক্টরগুলো হবে:
\mathbf{e}_X = T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf{e}_Y = T^{-1}(0,1,0),\ \mathbf{e}_Z = T^{-1}(0,0,1)

নতুন সমন্বয়ে (v_X,v_Y,v_Z) দ্বারা \mathbf{v} এর নতুন উপাদানগুলো হবে:
\mathbf{v} = (v_x,v_y,v_z) = v_X\mathbf{e}_X+v_Y\mathbf{e}_Y+v_Z\mathbf{e}_Z = T^{-1}(v_X,v_Y,v_Z).

এই সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে নতুন উপাদানগুলো হবে:
(v_X,v_Y,v_Z) = T(v_x,v_y,v_z).

একটি নিষ্ক্রিয় স্থানান্তর হিসেবে T পুরানো সমন্বয়গুলোকে নতুন সমন্বয়ে রূপান্তরিত করে।

দুটি ধরনের স্থানান্তরের মধ্যে সমতুল্যতা লক্ষ্য করুন: সক্রিয় স্থানান্তরে নতুন বিন্দুর উপাদান এবং নিষ্ক্রিয় স্থানান্তরে নতুন বিন্দুর উপাদান একই, অর্থাৎ:
(v_X,v_Y,v_Z)=(v'_x,v'_y,v'_z).

## বিমূর্ত ভেক্টর স্পেসে

সক্রিয় এবং নিষ্ক্রিয় রূপান্তরের মধ্যে পার্থক্য গণিতগতভাবে বিমূর্ত ভেক্টর স্পেস নিয়ে আলোচনা করে দেখা যায়।

একটি সীমিতমাত্রিক ভেক্টর স্পেস V কে একটি ক্ষেত্র K (যেমন \mathbb{R} অথবা \mathbb{C}) উপর নির্ধারণ করা হয় এবং \mathcal{B} = \{e_i\}_{1 \leq i \leq n} নামক V-এর একটি বেস দেওয়া হয়। এই বেস একটি আইসোমরফিজম C: K^n \rightarrow V প্রদান করে উপাদান ম্যাপ (v_i)_{1 \leq i \leq n} = (v_1, \cdots, v_n) \mapsto \sum_i v_i e_i এর মাধ্যমে।

একটি **সক্রিয় রূপান্তর** হলো V এর উপর একটি এন্ডোমরফিজম অর্থাৎ, একটি লিনিয়ার মানচিত্র যা V থেকে আবার নিজে V তে চলে। এমন একটি রূপান্তর \tau \in \text{End}(V) গ্রহণ করলে, একটি ভেক্টর v \in V রূপান্তরিত হয় v \mapsto \tau v হিসাবে। \mathcal{B} এর প্রতি বেসে \tau-এর উপাদানগুলো এই সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়: \tau e_i = \sum_j\tau_{ji}e_j। তখন, v এর উপাদানগুলো রূপান্তরিত হয় যেমন: v_i \mapsto \tau_{ij}v_j।

একটি **নিষ্ক্রিয় রূপান্তর** হলো এর বদলে একটি K^n উপর একটি এন্ডোমরফিজম। এটি উপাদানগুলির উপর প্রয়োগ করা হয়: v_i \mapsto T_{ij}v_j =: v'_i। যদি T ইনভার্টেবল হয়, তবে নতুন বেস \mathcal{B}' = \{e'_i\} এইভাবে নির্ধারিত হয় যে v_ie_i = v'_i e'_i, যেখান থেকে e'_i = (T^{-1})_{ji}e_j সমীকরণটি উত্পন্ন করা যায়।

যদিও \text{End}(V) এবং \text{End}({K^n}) আইসোমরফিক, তারা স্বতঃস্ফূর্তভাবে আইসোমরফিক নয়। তবুও একটি বেস \mathcal{B} এর নির্বাচন একটি আইসোমরফিজম তৈরি করতে সহায়ক।

### বাম-এবং ডান-অ্যাকশন হিসেবে

প্রায়ই এমন ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ করা হয় যেখানে মানচিত্রগুলি ইনভার্টেবল, তাই সক্রিয় রূপান্তরগুলি হলো জেনারেল লিনিয়ার গ্রুপ \text{GL}(V) এবং নিষ্ক্রিয় রূপান্তরগুলি হলো গ্রুপ \text{GL}(n, K)।

তখন রূপান্তরগুলোকে V এর বেসগুলির স্পেসে প্রয়োগ করা হয়। একটি সক্রিয় রূপান্তর \tau \in \text{GL}(V) বেস \{e_i\} \mapsto \{\tau e_i\} পাঠায়। অন্যদিকে একটি নিষ্ক্রিয় রূপান্তর T \in \text{GL}(n, K) বেস \{e_i\} \mapsto \left\{\sum_{j}(T^{-1})_{ji}e_j\right\} পাঠায়।

নিষ্ক্রিয় রূপান্তরের ইনভার্সটি নিশ্চিত করে যে *উপাদানগুলো* \tau এবং T এর অধীনে অভিন্নভাবে রূপান্তরিত হয়। এটি সক্রিয় এবং নিষ্ক্রিয় রূপান্তরের মধ্যে একটি তীক্ষ্ণ পার্থক্য তৈরি করে: সক্রিয় রূপান্তরগুলি বাম থেকে অ্যাকশন করে বেসগুলির উপর, যখন নিষ্ক্রিয় রূপান্তরগুলি ডান থেকে অ্যাকশন করে, ইনভার্সের কারণে।

এই পর্যবেক্ষণটি আরো প্রাকৃতিক হয়ে ওঠে যখন বেসগুলোকে \mathcal{B} এর একটি আইসোমরফিজম \Phi_{\mathcal{B}}: V \rightarrow K^n হিসেবে দেখা হয়। বেসগুলির স্পেসটি সমানভাবে এমন আইসোমরফিজমগুলির স্পেস, যেগুলিকে \text{Iso}(V, K^n) হিসেবে চিহ্নিত করা হয়। সক্রিয় রূপান্তরগুলি, যেগুলি \text{GL}(V) এর সাথে চিহ্নিত, বাম থেকে \text{Iso}(V, K^n) এ অ্যাকশন করে যৌথকরণ দ্বারা, এবং নিষ্ক্রিয় রূপান্তরগুলি, যেগুলি \text{GL}(n, K) এর সাথে চিহ্নিত, ডান থেকে \text{Iso}(V, K^n) এ অ্যাকশন করে পূর্ব-যৌথকরণ দ্বারা।

এটি বেসগুলির স্পেসকে একটি *বাম* \text{GL}(V)-টরসর এবং একটি *ডান* \text{GL}(n, K)-টরসর তৈরি করে।

একটি শারীরিক দৃষ্টিকোণ থেকে, সক্রিয় রূপান্তরগুলি শারীরিক স্থান পরিবর্তনের রূপে চিহ্নিত করা যায়, যখন নিষ্ক্রিয় রূপান্তরগুলি শারীরিক স্থান বর্ণনার মধ্যে অতিরিক্ততা হিসেবে চিহ্নিত করা হয়। এটি গাণিতিক গেজ তত্ত্বে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেখানে গেজ রূপান্তরগুলি গাণিতিকভাবে ট্রানজিশন ম্যাপ দ্বারা বর্ণিত হয়, যা *ডান থেকে* ফাইবারগুলির উপর অ্যাকশন করে।

## দেখুন
* বেস পরিবর্তন
* ভেক্টরের কভেরিয়েন্স এবং কন্ট্রাভেরিয়েন্স
* অক্ষের ঘূর্ণন
* অক্ষের স্থানান্তর

## তথ্যসূত্র

* ডার্ক স্ট্রুইক (১৯৫৩) *অ্যানালিটিক এবং প্রজেকটিভ জিওমেট্রি সম্পর্কিত বক্তৃতাসমূহ*, পৃষ্ঠা ৮৪, অ্যাডিসন-ওয়েসলি।

## বহিঃসংযোগ
* UI ambiguity

বিষয়শ্রেণী:ব্যবস্থাদি তত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক পরিভাষা
বিষয়শ্রেণী:পদার্থবিজ্ঞানের ধারণা