ব্ল্যাকওয়েলের তথ্যমূলকতা উপপাদ্য

গণিতের তথ্য তত্ত্ব এবং সিদ্ধান্ত তত্ত্ব বিষয়গুলিতে, **ব্ল্যাকওয়েলের তথ্যমূলকতা উপপাদ্য** তথ্য কাঠামো বা পরীক্ষার র‍্যাংকিংয়ের সাথে সম্পর্কিত একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল। এটি বলে যে তিনটি সম্ভাব্য র‍্যাংকিংয়ের মধ্যে একটি সমতুল্যতা রয়েছে: একটি *[[প্রত্যাশিত উপযোগিতা]]* ভিত্তিক, অন্যটি *[[ব্ল্যাকওয়েলের তথ্যমূলকতা উপপাদ্য#গার্বলিং|তথ্যমূলকতা]]* ভিত্তিক এবং অন্যটি *[[ব্ল্যাকওয়েলের তথ্যমূলকতা উপপাদ্য#সম্ভাব্যতা|সম্ভাব্যতা]]* ভিত্তিক। এই র‍্যাংকিংটি তথ্য কাঠামোর উপর একটি আংশিক ক্রম সংজ্ঞায়িত করে, যা **ব্ল্যাকওয়েল ক্রম** বা **ব্ল্যাকওয়েলের মানদণ্ড** নামে পরিচিত।

উপপাদ্যটি এমন সমতুল্য শর্তগুলো বলে, যার অধীনে প্রত্যাশিত উপযোগিতা সর্বাধিক করা যেকোনো সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী তথ্য কাঠামো \sigma কে \sigma' এর উপরে পছন্দ করবে, যেকোনো সিদ্ধান্ত গ্রহণ সমস্যার জন্য। এই ফলাফলটি প্রথমে ডেভিড ব্ল্যাকওয়েল দ্বারা ১৯৫১ সালে প্রমাণিত হয় এবং ১৯৫৩ সালে সাধারণীকৃত হয়।

## প্রেক্ষাপট

### অনিশ্চয়তার অধীনে সিদ্ধান্ত গ্রহণ
একজন সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী বিশ্ব পরিস্থিতির একটি সেট \Omega এবং একটি কর্মের সেট A এর মুখোমুখি হন। প্রতিটি \omega \in \Omega এবং a \in A এর জন্য, তার উপযোগিতা u(\omega, a)। তিনি বিশ্ব পরিস্থিতি \omega জানেন না, তবে প্রতিটি সম্ভাব্য অবস্থার জন্য একটি প্রথমিক সম্ভাব্যতা p : \Omega \rightarrow [0, 1] রয়েছে। তিনি যে কোনো কর্ম গ্রহণ করেন তার জন্য তার প্রত্যাশিত উপযোগিতা হয়

: \sum_{\omega \in \Omega} u(a, \omega) p(\omega) 

এই প্রথমিক p এর ভিত্তিতে, তিনি একটি কর্ম a \in A বেছে নেন যাতে তার প্রত্যাশিত উপযোগিতা সর্বাধিক হয়। আমরা এই সর্বাধিক প্রাপ্তব্য উপযোগিতাকে (সর্বোত্তম কর্ম গ্রহণের প্রত্যাশিত মান) চিহ্নিত করি

: V(p) = \underset{a \in A}\operatorname{max} \sum_{\omega \in \Omega} u(a, \omega) p (\omega) 

আমরা এই ডেটাকে (\Omega, A, u, p) একটি *সিদ্ধান্ত গ্রহণ সমস্যা* হিসাবে উল্লেখ করি।

### তথ্য কাঠামো

একটি *তথ্য কাঠামো* (বা একটি *পরীক্ষা*) উপযোগিতার উন্নত করার একটি পদ্ধতি হিসেবে দেখা যায়, অর্থাৎ সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীকে আরও তথ্য সরবরাহ করা। আনুষ্ঠানিকভাবে, একটি তথ্য কাঠামো হল একটি টুপল (S, \sigma), যেখানে S একটি সংকেত স্থান এবং \sigma : \Omega \rightarrow \Delta S একটি ফাংশন যা সংকেত s \in S দেখার শর্তাধীন সম্ভাব্যতা \sigma(s | \omega) প্রদান করে যখন বিশ্ব পরিস্থিতি \omega।

সংকেত s দেখার মাধ্যমে, সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী বায়েসের নিয়ম ব্যবহার করে বিশ্ব পরিস্থিতি \omega সম্পর্কে তার বিশ্বাস আপডেট করতে পারেন, যা পরবর্তী সম্ভাব্যতা দেয়

: \pi (\omega | s) = \frac{p (\omega) \sigma(s | \omega)}{\pi (s)} 

যেখানে  \pi(s) := \sum_{\omega' \in \Omega} p (\omega') \sigma(s | \omega') । সংকেত s দেখার মাধ্যমে এবং তথ্য কাঠামো (S, \sigma) দিয়ে তার বিশ্বাস আপডেট করার ফলে সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর নতুন প্রত্যাশিত উপযোগিতা হয়

: V(\pi, s) =  \underset{a \in A}\operatorname{max} \sum_{\omega \in \Omega} u(a, \omega) \pi (\omega | s) 

এবং সিদ্ধান্ত গ্রহণকারীর জন্য (S, \sigma) এর "প্রত্যাশিত মান" (অর্থাৎ তথ্য কাঠামোতে সর্বোত্তম কর্ম গ্রহণের প্রত্যাশিত মান) সংজ্ঞায়িত হয়

: W(\sigma) = \sum_{s \in S} V(\pi, s) \pi (s)  
### গার্বলিং

যদি দুটি তথ্য কাঠামো (S, \sigma) এবং (S, \sigma') একই সংকেত স্থান ব্যবহার করে, তবে কিছু ক্ষেত্রে \sigma এবং \sigma' উভয়কেই তথ্য কাঠামো হিসেবে উল্লেখ করা হয়। আমরা বলি যে \sigma' হল \sigma-এর **গার্বলিং** যদি একটি স্টোকাস্টিক ম্যাপ (সীমিত সংকেত স্থান S-এর জন্য একটি মারকভ ম্যাট্রিক্স) \Gamma : S \rightarrow S থাকে, যেখানে

:\sigma' = \Gamma \sigma

স্বজ্ঞার দিক থেকে, গার্বলিং হল একটি তথ্য কাঠামোতে "শব্দ" যোগ করার পদ্ধতি, যাতে গার্বলড তথ্য কাঠামোটি তুলনামূলকভাবে কম তথ্যপূর্ণ হয়।

### কার্যকারিতা

**[[কৌশল (গেম থিওরি)#শুদ্ধ এবং মিশ্র কৌশল|মিশ্র কৌশল]]** সিদ্ধান্ত গ্রহণের সমস্যার প্রেক্ষিতে একটি ফাংশন \alpha : S \rightarrow \Delta A, যা প্রতিটি সংকেত s \in S এর জন্য একটি সম্ভাবনা বন্টন \alpha(a | s) প্রদান করে A-এর সম্ভাব্য পদক্ষেপগুলির উপর। তথ্য কাঠামো (S, \sigma) দিয়ে একটি কৌশল \alpha একটি স্টোকাস্টিক ম্যাপ হিসেবে পদক্ষেপের বন্টনকে প্রণোদিত করে \alpha_{\sigma}(a |\omega), যেখানে

:\omega \mapsto \alpha_{\sigma}(a |\omega) = \sum_{s \in S} \alpha (a | s) \sigma (s | \omega) \in \Delta A

অর্থাৎ, \alpha_{\sigma}(a |\omega) এমন পদক্ষেপ a \in A নেওয়ার সম্ভাবনা প্রদান করে, যেখানে পৃথিবীর অবস্থা হল \omega \in \Omega এবং এটি তথ্য কাঠামো (S, \sigma) এর অধীনে। আমরা বলি যে \alpha_{\sigma}(a |\omega) একটি তথ্য কাঠামো (S, \sigma)-এর অধীনে একটি "সম্ভাব্য" কৌশল।

তথ্য কাঠামো (S, \sigma)-এর জন্য

:\Phi_{\sigma} = \{\alpha_{\sigma}(a | \omega) | \alpha : S \rightarrow \Delta A\}

প্রতিটি কৌশল সেটের (পদক্ষেপের সম্ভাবনা) সম্ভাব্য সেট নির্ধারণ করে।

যদি দুটি তথ্য কাঠামো (S, \sigma) এবং (S, \sigma'), থাকে, তাহলে \sigma "তুলনামূলক বৃহত্তর সম্ভাব্য কৌশলের সেট" প্রদান করে, যদি

:\Phi_{\sigma'} \subset \Phi_{\sigma}

## উপপাদ্যের বিবৃতি

ব্ল্যাকওয়েলের উপপাদ্য অনুযায়ী, যদি একটি সিদ্ধান্ত গ্রহণ সমস্যা (\Omega, A, u, p) এবং দুটি তথ্য কাঠামো \sigma এবং \sigma' থাকে, তবে নিম্নলিখিত শর্তগুলি সমতুল্য:

# W(\sigma') \leq W(\sigma): অর্থাৎ, সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী \sigma-এর অধীনে \sigma'-এর তুলনায় বেশি প্রত্যাশিত ইউটিলিটি অর্জন করেন।
# একটি স্টোকাস্টিক ম্যাপ \Gamma রয়েছে, যার জন্য \sigma' = \Gamma \sigma: অর্থাৎ, \sigma' হল \sigma-এর গার্বলিং।
# \Phi_{\sigma'} \subset \Phi_{\sigma}: অর্থাৎ, \sigma তুলনামূলকভাবে বৃহত্তর কার্যক্ষম কৌশলের সেট প্রদান করে।

## ব্ল্যাকওয়েল ক্রম

### সংজ্ঞা

ব্ল্যাকওয়েলের উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা তথ্য কাঠামোগুলোর উপর একটি আংশিক ক্রম তৈরি করতে পারি। আমরা বলি যে, \sigma "ব্ল্যাকওয়েল অর্থে বেশি তথ্যপূর্ণ" (অথবা সংক্ষেপে ব্ল্যাকওয়েল তথ্যপূর্ণ) \sigma'-এর তুলনায় যদি ব্ল্যাকওয়েলের উপপাদ্যের যে কোনও (এবং তাই সব) শর্ত প্রযোজ্য হয়, এবং এটিকে লিখি \sigma' \preceq_B \sigma।

ক্রম \preceq_B সম্পূর্ণ নয় এবং বেশিরভাগ পরীক্ষাগুলি এই ক্রমে স্থান পায় না। আরও নির্দিষ্টভাবে, এটি তথ্য কাঠামোগুলোর আংশিক-ক্রমিত সেটের চেইন।

### প্রয়োগ

ব্ল্যাকওয়েল ক্রমের সিদ্ধান্ত তত্ত্ব এবং অর্থনীতিতে অনেক প্রয়োগ রয়েছে, বিশেষ করে চুক্তি তত্ত্ব-এ। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি প্রধান-প্রতিনিধি মডেলে দুটি তথ্য কাঠামো ব্ল্যাকওয়েল অর্থে ক্রম অনুসারে সাজানো যায়, তবে বেশি তথ্যপূর্ণটি বেশি কার্যকরী হয়। এটি দ্বিতীয়-সর্বোত্তম কার্যক্ষমতা প্রয়োগে কম খরচ সম্পন্ন করে।

## তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:সিদ্ধান্ত তত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:অর্থনৈতিক উপপাদ্য
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক উপপাদ্য