অ্যাসোসিয়েটেড লিজেন্ড্রে বহুপদীসমূহ

গণিতে, **সংশ্লিষ্ট লেজেন্ড্র পলিনোমিয়াল** (associated Legendre polynomials) হলো **সাধারণ লেজেন্ড্র সমীকরণ**-এর ক্যানোনিক্যাল সমাধান:

\left(1 - x^2\right) \frac{d^2}{d x^2} P_\ell^m(x) - 2 x \frac{d}{d x} P_\ell^m(x) + \left[ \ell (\ell + 1) - \frac{m^2}{1 - x^2} \right] P_\ell^m(x) = 0,

অথবা সমতুল্যভাবে

\frac{d}{d x} \left[ \left(1 - x^2\right) \frac{d}{d x} P_\ell^m(x) \right] + \left[ \ell (\ell + 1) - \frac{m^2}{1 - x^2} \right] P_\ell^m(x) = 0,

যেখানে সূচক ℓ এবং m (যারা পূর্ণসংখ্যা) যথাক্রমে সংশ্লিষ্ট লেজেন্ড্র পলিনোমিয়ালের ডিগ্রি এবং অর্ডার নির্দেশ করে। এই সমীকরণের অশূন্য সমাধান যা ব্যবধান -এ একক নয় শুধু তখনই থাকে যখন ℓ এবং m পূর্ণসংখ্যা এবং ০ ≤ m ≤ ℓ হয়, অথবা তুচ্ছভাবে সমতুল্য ঋণাত্মক মানের ক্ষেত্রে। যখন m জোড় সংখ্যা হয়, তখন ফাংশনটি একটি পলিনোমিয়াল। যখন m শূন্য এবং ℓ পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন এই ফাংশনগুলো সাধারণ লেজেন্ড্র পলিনোমিয়াল-এর সাথে অভিন্ন। সাধারণভাবে, যখন ℓ এবং m পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন নিয়মিত সমাধানগুলোকে কখনো কখনো "সংশ্লিষ্ট লেজেন্ড্র পলিনোমিয়াল" বলা হয়, যদিও m বিজোড় হলে এগুলো পলিনোমিয়াল নয়। সম্পূর্ণ সাধারণ শ্রেণির ফাংশন, যেখানে ℓ এবং m-এর মান যেকোনো বাস্তব বা জটিল হতে পারে, তাদের লেজেন্ড্র ফাংশন বলা হয়। সেক্ষেত্রে সাধারণত প্যারামিটারগুলো গ্রিক অক্ষরে চিহ্নিত করা হয়।

লেজেন্ড্র সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পদার্থবিজ্ঞান এবং অন্যান্য প্রযুক্তিগত ক্ষেত্রে প্রায়ই দেখা যায়। বিশেষ করে স্ফেরিক্যাল স্থানাঙ্ক-এ লাপ্লাসের সমীকরণ (এবং সম্পর্কিত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ) সমাধান করার সময় এটি দেখা যায়। সংশ্লিষ্ট লেজেন্ড্র পলিনোমিয়াল স্ফেরিক্যাল হারমোনিক-এর সংজ্ঞায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

## অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা প্যারামিটার ℓ এবং m-এর জন্য সংজ্ঞা

এই ফাংশনগুলোকে P_\ell^{m}(x) দিয়ে চিহ্নিত করা হয়, যেখানে উপরের সূচকটি অর্ডার নির্দেশ করে, ক্ষমতা নয়। এদের সবচেয়ে সরল সংজ্ঞা সাধারণ লেজেন্ড্র পলিনোমিয়াল-এর অন্তরজের মাধ্যমে (m ≥ ০):

 P_\ell^{m}(x) = (-1)^m (1-x^2)^{m/2} \frac{d^m}{dx^m} \left( P_\ell(x) \right), 

এই সূত্রে  গুণককে কন্ডন-শর্টলি ফেজ বলা হয়। কিছু লেখক এটি বাদ দেন। এই সমীকরণে বর্ণিত ফাংশনগুলো যে নির্দিষ্ট ℓ এবং m মানের জন্য সাধারণ লেজেন্ড্র ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পূরণ করে তা -এর লেজেন্ড্র সমীকরণকে m বার অন্তরজ নিয়ে প্রমাণ করা যায়:

\left(1-x^2\right) \frac{d^2}{dx^2}P_\ell(x) -2x\frac{d}{dx}P_\ell(x)+ \ell(\ell+1)P_\ell(x) = 0.

এছাড়া, রড্রিগেসের সূত্র অনুসারে,

P_\ell(x) = \frac{1}{2^\ell\,\ell!} \ \frac{d^\ell}{dx^\ell}\left[(x^2-1)^\ell\right],

তাই P_\ell^{m}(x)-কে এভাবে লেখা যায়:

P_\ell^{m}(x) = \frac{(-1)^m}{2^\ell \ell!} (1-x^2)^{m/2}\ \frac{d^{\ell+m}}{dx^{\ell+m}}(x^2-1)^\ell.

এই সমীকরণ m-এর পরিসরকে  পর্যন্ত প্রসারিত করতে দেয়। এই অভিব্যক্তিতে ±m বসিয়ে প্রাপ্ত -এর সংজ্ঞা আনুপাতিক। বাম ও ডান পাশের সমান ক্ষমতার গুণাঙ্ক মিলিয়ে দেখলে দেখা যায় যে আনুপাতিক ধ্রুবক হলো

c_{lm} = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} ,

অতএব

P^{-m}_\ell(x) = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P^{m}_\ell(x).

### বিকল্প স্বরলিপি

সাহিত্যে নিম্নলিখিত বিকল্প স্বরলিপিও ব্যবহৃত হয়:

P_{\ell m}(x) = (-1)^m P_\ell^{m}(x) 

### বন্ধ রূপ

লেজেন্ড্র পলিনোমিয়াল নিবন্ধে দেওয়া স্পষ্ট রূপ থেকে শুরু করে


P_l(x)=2^l\sum_{k=0}^l x^k\binom{l}{k}\binom{(l+k-1)/2}{l}


এবং ক্ষমতার m-গুণ অন্তরজের জন্য সাধারণ নিয়ম প্রয়োগ করে পাওয়া যায়

 P_l^m(x)=(-1)^{m} \cdot 2^{l} \cdot (1-x^2)^{m/2} \cdot \sum_{k=m}^l \frac{k!}{(k-m)!}\cdot x^{k-m} \cdot \binom{l}{k} \binom{\frac{l+k-1}{2}}{l} 

সরল একপদী এবং বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কের সাধারণ রূপ ব্যবহার করে। যোগফলটি কার্যত শুধু তখনই বিস্তৃত হয় যখন l-k জোড় সংখ্যা, কারণ l-k বিজোড় হলে বাইনোমিয়াল গুণাঙ্ক \binom{(l+k-1)/2}{l} শূন্য হয়।

দোহার ফলাফল সংক্ষেপ করে বলা যায় যে অন্তরজগুলোর লেজেন্ড্র পলিনোমিয়ালে প্রসারণ গুণাঙ্ক \tau নির্ধারণ করে:


\frac{d^m}{dx^m}P_l(x)
= \sum_{t=0}^{\lfloor (l-m)/2\rfloor} \tau_{l,m,t} P_{l-m-2t}(x)
,


যেখানে


\tau_{l,m,t}
=
\epsilon_{l-t}
\frac{l-m-2t+1/2}{2l-2t+1}\frac{(2m)!}{2^mm!}
\binom{2l-2t+1}{2m}
\frac{m}{m+t}\binom{m+t}{t}
\frac{1}{\binom{l-t}{m}}
,


এবং যেখানে


\epsilon_q\equiv \begin{cases}
১, & q=০;\\
২, & q\ge ১
\end{cases}


হলো নিউম্যান ফ্যাক্টর।