একে এলটি মডেল

ঘনপদার্থবিজ্ঞান, একটি **একে এলটি মডেল**, যা **অ্যাফলেক-কেনেডি-লিব-তাসাকি মডেল** হিসেবেও পরিচিত, একটির এক্সটেনশন হল একমাত্রিক কোয়ান্টাম হেইজেনবার্গ স্পিন মডেল। এই মডেলটির প্রস্তাবনা এবং সঠিক সমাধান ইয়ান অ্যাফলেক, এলিয়ট এইচ. লিব, টম কেনেডি এবং  স্পিন-১ হেইজেনবার্গ চেইনের পদার্থবিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করেছে। এটি এমন ধারণাগুলির জন্য একটি উপকারী উদাহরণ হিসেবে কাজ করেছে যেমন ভ্যালেন্স বন্ড সলিড অর্ডার, সিমেট্রি-প্রোটেক্টেড টপোলজিক্যাল অর্ডার এবং ম্যাট্রিক্স প্রোডাক্ট স্টেট ওয়েভফাংশন।

## পটভূমি

একে এলটি মডেলের একটি প্রধান প্রেরণা ছিল মজুমদার-ঘোষ চেইন। কারণ, একটি মজুমদার-ঘোষ গ্রাউন্ড স্টেটে প্রতি তিনটি পার্শ্ববর্তী স্পিনের মধ্যে দুটি একত্রিত হয়ে একটি সিংগলেট বা ভ্যালেন্স বন্ড তৈরি করে, সেই তিনটি স্পিন কখনও স্পিন ৩/২ অবস্থায় থাকবে না। আসলে, মজুমদার-ঘোষ হ্যামিল্টোনিয়ান হল তিনটি পার্শ্ববর্তী স্পিনের সকল প্রজেক্টরের যোগফল যা ৩/২ অবস্থায় থাকে।

একে এলটি প্রবন্ধটির মূল অন্তর্দৃষ্টি ছিল যে এই নির্মাণটি সাধারণীকৃত হতে পারে এবং ১/২ এর বাইরের স্পিন আকারের জন্য এক্স্যাক্টলি সমাধানযোগ্য মডেল পাওয়া যেতে পারে। ঠিক যেমন একটি ভ্যালেন্স বন্ডের একটি প্রান্ত হল স্পিন ১/২, দুটি ভ্যালেন্স বন্ডের প্রান্ত একত্রিত হয়ে স্পিন ১, তিনটি একত্রিত হয়ে স্পিন ৩/২, ইত্যাদি তৈরি করতে পারে।

## সংজ্ঞা

আফলেক এ টি. আল. একটি একমাত্রিক অবস্থার নির্মাণে আগ্রহী ছিলেন যেখানে প্রতিটি সাইটের মধ্যে একটি ভ্যালেন্স বন্ড থাকবে। কারণ এটি প্রতিটি সাইটের জন্য দুটি স্পিন ১/২ তৈরি করে, ফলস্বরূপ, এটি একটি স্পিন ১ সিস্টেমের ওয়েভফাংশন হবে।

প্রত্যেকটি পাশের স্পিন ১ এর জন্য, চারটি উপাদান স্পিন ১/২ এর মধ্যে দুটি একটি মোট স্পিন শূন্য অবস্থায় আটকে থাকে। সুতরাং, প্রতিটি স্পিন ১ এর জোড়াকে একটি সম্মিলিত স্পিন ২ অবস্থায় থাকতে নিষিদ্ধ করা হয়েছে। এই শর্তটি একটি প্রকল্পকরণের যোগফল হিসেবে লেখা হলে যা স্পিন ২ অবস্থাকে প্রাধান্য দেয় স্পিন ১ এর জোড়াগুলির জন্য, একে এলটি নিম্নলিখিত হ্যামিল্টোনিয়ান পেয়েছিল

:  \hat H = \sum_{\langle ij \rangle} \textit{P}^{(2)}{\langle ij \rangle} \sim \sum_j \vec{S}j \cdot \vec{S}{j+1} + \frac{1}{3} (\vec{S}j \cdot \vec{S}{j+1})^2 

একটি ধ্রুবক পর্যন্ত, এখানে \vec{S_i} হল স্পিন-১ অপারেটর এবং \textit{P}^{(2)}{\langle ij \rangle} হল স্থানীয় ২-পয়েন্ট প্রকল্পকরণ যা পাশের দুটি স্পিনের স্পিন ২ অবস্থাকে প্রাধান্য দেয়।

এই হ্যামিল্টোনিয়ানটি স্পিন ১, একমাত্রিক কোয়ান্টাম হেইজেনবার্গ স্পিন মডেলের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, তবে এর মধ্যে একটি অতিরিক্ত "বাইকোয়াড্রেটিক" স্পিন ইন্টারঅ্যাকশন টার্ম রয়েছে।

## গ্রাউন্ড স্টেট

নির্মাণ অনুযায়ী, একে এলটি হ্যামিল্টোনিয়ানের গ্রাউন্ড স্টেট হল ভ্যালেন্স বন্ড সলিড যেখানে প্রতিটি পার্শ্ববর্তী সাইটের জোড়ার মধ্যে একটি একক ভ্যালেন্স বন্ড সংযুক্ত থাকে। চিত্রত: এটি নিম্নরূপে উপস্থাপিত হতে পারে

এখানে কঠিন পয়েন্টগুলি স্পিন ১/২ কে উপস্থাপন করে, যেগুলি সিংগলেট অবস্থায় রাখা হয়। স্পিন ১/২ গুলিকে সংযুক্ত করা লাইনের মাধ্যমে ভ্যালেন্স বন্ডগুলি নির্দেশিত হয়, যা সিংগলেটের প্যাটার্ন প্রদর্শন করে। অডালগুলি প্রকল্পকরণ অপারেটর যা দুটি স্পিন ১/২ কে একক স্পিন ১ এ "বেঁধে" দেয়, স্পিন ০ বা সিংগলেট সাবস্পেসকে প্রজেক্ট করে এবং শুধুমাত্র স্পিন ১ বা ট্রিপলেট সাবস্পেসকে রাখে। চিহ্নগুলি "+", "0" এবং "−" স্পিন ১ এর মানক বেসিস স্টেটগুলি চিহ্নিত করে (যেগুলি S^z অপারেটরের আইগেনস্টেটস)।

### স্পিন ১/২ এজ স্টেটস

যখন স্পিনগুলি একটি রিংয়ে সাজানো থাকে (পিরিয়ডিক বাউন্ডারি শর্ত), তখন একে এলটি নির্মাণ একটি একক গ্রাউন্ড স্টেট তৈরি করে। কিন্তু একটি ওপেন চেইনের ক্ষেত্রে, প্রথম এবং শেষ স্পিন ১ এর শুধুমাত্র একটি প্রতিবেশী থাকে, যার ফলে তাদের উপাদান স্পিন ১/২ গুলির মধ্যে একটি আনপেয়ার্ড থাকে। ফলস্বরূপ, চেইনের প্রান্তগুলি মুক্ত স্পিন ১/২ মোমেন্টসের মতো আচরণ করে, যদিও সিস্টেমে শুধুমাত্র স্পিন ১ থাকে।

একে এলটি চেইনের স্পিন ১/২ এজ স্টেটগুলি বিভিন্ন উপায়ে পর্যবেক্ষণ করা যেতে পারে। ছোট চেইনগুলির জন্য, এজ স্টেটগুলি একটি সিংগলেট বা একটি ট্রিপলেটে মিশ্রিত হয়, যা অথবা একটি একক গ্রাউন্ড স্টেট বা একটি তিন গুণ মাল্টিপলেট গ্রাউন্ড স্টেট তৈরি করে। বড় চেইনগুলির জন্য, এজ স্টেটগুলি এক্সপোনেনশিয়ালি দ্রুত আলাদা হয়ে যায় চেইনের দৈর্ঘ্যের ফাংশন হিসেবে, যার ফলে একটি গ্রাউন্ড স্টেট ম্যানিফোল্ড তৈরি হয় যা চার গুণ ডিগেনারেট। একটি সাংখ্যিক পদ্ধতি যেমন ডিএমআরজি ব্যবহার করে চেইনের বরাবর স্থানীয় মেগনেটাইজেশন পরিমাপ করলে, সরাসরি এজ স্টেটগুলি দেখা সম্ভব এবং এটা প্রদর্শন করা যেতে পারে যে এগুলি চেইনের প্রান্তে প্রকৃত স্পিন ১/২ স্থাপন করে সরানো যেতে পারে। এমনকি এটি প্রমাণিত হয়েছে যে স্পিন ১/২ এজ স্টেটগুলি কুয়াসি-১ডি ম্যাগনেটিক কম্পাউন্ডের পরিমাপের মাধ্যমে সনাক্ত করা সম্ভব, যার মধ্যে একটি ছোট পরিমাণ অমেধাতার উপস্থিতি থাকে, যার কাজ হল চেইনগুলিকে সসীম সেগমেন্টে ভেঙে ফেলা। ২০২১ সালে, এককীকৃত কোয়ান্টাম স্পিন চেইনগুলিতে স্পিন ১/২ এজ স্টেটগুলির একটি সরাসরি স্পেকট্রোস্কোপিক সিগনেচার পাওয়া গেছে, যা ট্রায়াঙ্গুলেন, একটি স্পিন ১ পলিসাইক্লিক অ্যারোম্যাটিক হাইড্রোকার্বন থেকে তৈরি হয়েছিল।

একে এলটি গ্রাউন্ড স্টেটের সরলতা এটিকে সংকুচিত আকারে ম্যাট্রিক্স প্রোডাক্ট স্টেট হিসেবে উপস্থাপন করতে সক্ষম করে। এটি একটি ওয়েভফাংশন যা এই রূপে থাকে

: |\Psi\rangle = \sum_ \operatorname{Tr}[A^{s_1} A^{s_2} \ldots A^{s_N}] |s_1 s_2 \ldots s_N\rangle.

এখানে A গুলি একটি তিনটি ম্যাট্রিক্সের সেট যা s_j দ্বারা লেবেল করা হয় এবং ট্রেসটি পিরিয়ডিক বাউন্ডারি শর্ত ধারণ করার কারণে আসে।

একে এলটি গ্রাউন্ড স্টেট ওয়েভফাংশনটি এই পছন্দের সাথে সম্পর্কিত:

: A^{+} = +\sqrt{\tfrac{2}{3}}\ \sigma^{+} 

: A^{0} = -\sqrt{\tfrac{1}{3}}\ \sigma^{z}

: A^{-} = -\sqrt{\tfrac{2}{3}}\ \sigma^{-}

এখানে \sigma হল একটি পাউলি মেট্রিক্স।

## সাধারণীকরণ এবং সম্প্রসারণ

একে এলটি মডেলটি উচ্চ মাত্রার ল্যাটিসে সমাধান করা হয়েছে, এমনকি কোয়াসিক্রিস্টালগুলিতেও। মডেলটি উচ্চ লি অ্যালজেব্রাগুলির জন্যও নির্মিত হয়েছে, যেমন SU(''n''), SO(''n''), Sp(n) এবং কোয়ান্টাম গ্রুপ SUq(*n*)-এ সম্প্রসারিত হয়েছে।

## তথ্যসূত্র

বিষয়শ্রেণী:পরিসংখ্যানিক বলবিজ্ঞান