অয়লার গুণজ

সংখ্যাতত্ত্বে **অয়লার গুণজ** হলো ডিরিখলে ধারার এক বিস্তৃতি যা মৌলিক সংখ্যা দ্বারা সূচীকৃত একটি অসীম গুণফল। লেওনার্ড অয়লার দ্বারা প্রমাণিত এই ধারাটি নির্দিষ্ট ঘাতে উত্থিত সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যোগফলের জন্য দেওয়া হয়েছিল। এই ধারা এবং সমগ্র জটিল সমতলে এর ধারাবাহিকতা পরবর্তীতে রিম্যান জেটা ফাংশন নামে পরিচিত হতে পারে।

## সংজ্ঞা

সাধারণভাবে,  যদি একটি আবদ্ধ গুণক ফাংশন হয়, তাহলে ডিরিখলে ধারা

: \sum_{n} \frac{a(n)}{n^s}\,

সমান

: \prod_{p} P(p, s) \quad \text{for } \operatorname{Re}(s) >1 .

যেখানে গুণফলটি মৌলিক সংখ্যা  -এর উপর নেওয়া হয় এবং  হল সমষ্টি

: \sum_{k=0}^\infty \frac{a(p^k)}{p^{ks}} = 1 + \frac{a(p)}{p^s} + \frac{a(p^2)}{p^{2s}} + \frac{a(p^3)}{p^{3s}} + \cdots 

প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা এইগুলিকে আনুষ্ঠানিক উদ্ভূত ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করি, তাহলে এই ধরনের একটি *আনুষ্ঠানিক* অয়লার গুণজ সম্প্রসারণের/ বিস্তৃতির অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হলো  গুণিত হবে: এটি ঠিক বলে যে  হল -এর গুণজ যখন  গুণনীয়কগুলো স্বতন্ত্র মৌলিক সংখ্যা  এর  ঘাতগুলির গুণফল হিসাবে থাকে।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ অবস্থা হলো যেটিতে  সম্পূর্ণরূপে গুণক, যাতে  একটি গুণোত্তর ধারা। তারপর,

: P(p, s)=\frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}},

যেমনটি রিম্যান জেটা ফাংশনের ক্ষেত্রে, যেখানে , এবং আরও সাধারণভাবে ডিরিচলেট প্রতীকের ক্ষেত্রে।

## সন্নিবেশ

বাস্তবে সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে এমন অসীম ধারা এবং অসীম গুণজের বিস্তার কিছু জায়গায় একেবারে সন্নিবেশিত

: \operatorname{Re}(s) > C,

অর্থাৎ জটিল সংখ্যায় কিছু ডানদিকে অর্ধেক সমতল । এটি ইতিমধ্যেই কিছু তথ্য দেয়, উদাহরণস্বরূপ অসীম গুণজ, একত্রীকরণ, অ-শূন্য মান প্রদান; তাই অসীম ধারা দ্বারা প্রদত্ত ফাংশন এই ধরনের একটি অর্ধ-সমতলে শূন্য নয়।

মডুলার ফর্মের তত্ত্বে হর-এ দ্বিঘাত বহুপদীসহ অয়লার গুণজ থাকা সাধারণ। সাধারণ ল্যাংল্যান্ডস দর্শনে  মাত্রার বহুপদীর সংযোগের একটি তুলনামূলক ব্যাখ্যা এবং  এর উপস্থাপনা তত্ত্ব রয়েছে।

## উদাহরণ
নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে স্বরলিপি \mathbb{P} দ্বারা সকল মৌলিক সংখ্যার সেট কে বোঝানো হয়েছে, সেগুলো:
:\mathbb{P}=\{p \in \mathbb{N}\,|\,p\text{ is prime}\}.

অয়লার গুণজ রিম্যান জেটা ফাংশনের  সাথে সম্পর্কযুক্ত, এছাড়াও গুণোত্তর ধারার যোগফল ব্যবহার করে,

:\begin{align}
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right) &= \prod_{p\ \in\ \mathbb{P}} \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{ks}}\right) \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \zeta(s).
\end{align}

যখন লিউভিল ফাংশন , এটি হয়:

: \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{p^s}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)}{n^{s}} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.

মোবিয়াস ফাংশনের  জন্য দুই অয়লার গুণজ হলো:

: \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu (n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)} 

এবং

: \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1+\frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}.

এই দুটির অনুপাত দাঁড়ায়
: \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1+\frac{1}{p^s}}{1-\frac{1}{p^s}}\right) = \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right) = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}.

যেহেতু -এর জোড় মানের জন্য রিম্যান জেটা ফাংশন  এর  এর একটি মূলদ গুণিতক পরিপ্রেক্ষিতে একটি বিশ্লেষণাত্মক রাশি আছে, তাহলে জোড় সূচকের জন্য, এই অসীম গুণফল একটি মূলদ সংখ্যায় রূপান্তর করে। উদাহরণস্বরূপ, , , এবং , তারপর,

:\begin{align}
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right) &= \frac53 \cdot \frac{10}{8} \cdot \frac{26}{24} \cdot \frac{50}{48} \cdot \frac{122}{120} \cdots &= \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} &= \frac52, \\[6pt]
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right) &= \frac{17}{15} \cdot \frac{82}{80} \cdot \frac{626}{624} \cdot \frac{2402}{2400} \cdots &= \frac{\zeta(4)^2}{\zeta(8)} &= \frac76, 
\end{align}

এবং আরও, ফলাফল রামানুজনের ফলাফলের সাথে মিল লক্ষ করা যায়। অসীম গুণজের এই পরিবারটির সমতুল্য হলো

: \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1+\frac{2}{p^s}+\frac{2}{p^{2s}}+\cdots\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}, 

যেখানে   এর স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়কের সংখ্যা গণনা করে এবং  হল বর্গ-মুক্ত ভাজকের সংখ্যা।

যদি  কন্ডাকটর -এর একটি ডিরিচলেট প্রতীক হয়, যেখানে  সম্পূর্ণরূপে গুণিত হয় এবং  শুধুমাত্র -এর উপর নির্ভর করে, এবং  যদি  ও  সহমৌলিক না হয়, তাহলে

: \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \frac{1}{1- \frac{\chi(p)}{p^s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.

এখানে গুণফল থেকে বাদ দেওয়া সুবিধাজনক হলো মৌলিক সংখ্যা /কন্ডাকটর । রামানুজন জিটা ফাংশনের জন্য অয়লার গুণজকে সর্বায়নকৃত করেছেন এভাবে:

: \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(x-\frac{1}{p^s}\right)\approx \frac{1}{\operatorname{Li}_s (x)} 

 এর জন্য যেখানে  হলো বহুলগারিদম।  জন্য উপরের গুণফল হবে কেবলমাত্র ।

## উল্লেখযোগ্য ধ্রুবক
অনেক সুপরিচিত ধ্রুবকের অয়লার গুণজ বিস্তৃতি রয়েছে।

-এর জন্য লিবনিজ প্রদত্ত সূত্র

:\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots

অনন্য ডিরিখলে প্রতীক modulo&nbsp;4 ব্যবহার করে ডিরিচলেট ধারা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং সুপারপার্টিকুলার অনুপাতের একটি অয়লার গুণজে রূপান্তরিত করা যেতে পারে (ভগ্নাংশ যেখানে লব এবং হর 1 দ্বারা পৃথক হয়):

:\frac{\pi}{4} = \left(\prod_{p\equiv 1\pmod 4}\frac{p}{p-1}\right)\left( \prod_{p\equiv 3\pmod 4}\frac{p}{p+1}\right)=\frac34 \cdot \frac54 \cdot \frac78 \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots,

যেখানে প্রতিটি লব একটি মৌলিক সংখ্যা এবং প্রতিটি হর হলো 4-এর নিকটতম গুণিতক।

অন্যান্য পরিচিত ধ্রুবকের জন্য অয়লার গুণজ:

* হার্ডি-লিটলউড যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা ধ্রুবক:

:: \prod_{p>2} \left(1 - \frac{1}{\left(p-1\right)^2}\right) = 0.660161... 

* লান্দাউ-রামানুজন ধ্রুবক:

::\begin{align}
\frac{\pi}{4} \prod_{p \equiv 1\pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^\frac12 &= 0.764223... \\[6pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} \prod_{p \equiv 3\pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{-\frac12} &= 0.764223... 
\end{align}

* মুরাতার ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{\left(p-1\right)^2}\right) = 2.826419... 

* স্ট্রংলি কেয়ারফ্রি ধ্রুবক  :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{\left(p+1\right)^2}\right) = 0.775883... 

* আর্টিনের ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.373955... 

* লান্দাউ-এর টোটিয়েন্ট ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p(p-1)}\right) = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3) = 1.943596... 

* কেয়ারফ্রি ধ্রুবক  :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p+1)}\right) = 0.704442... 

:এবং এর রেসিপ্রোকাল :

:: \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p^2+p-1}\right) = 1.419562... 

* ফেলার–টর্নিয়ার ধ্রুবক :

:: \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \prod_{p} \left(1 - \frac{2}{p^2}\right) = 0.661317... 

* দ্বিঘাত শ্রেণী সংখ্যা ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^2(p+1)}\right) = 0.881513... 

* টোটিয়েন্ট সামেটরি ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p^2(p-1)}\right) = 1.339784... 

* সারনাকের ধ্রুবক :

:: \prod_{p>2} \left(1 - \frac{p+2}{p^3}\right) = 0.723648... 

* কেয়ারফ্রি ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{2p-1}{p^3}\right) = 0.428249... 

* স্ট্রংলি কেয়ারফ্রি ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{3p-2}{p^3}\right) = 0.286747... 

* স্টিফেনের ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{p}{p^3-1}\right) = 0.575959... 

* বার্বেনের ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 + \frac{3p^2-1}{p(p+1)\left(p^2-1\right)}\right) = 2.596536... 

* তানিগুচির ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{3}{p^3}+\frac{2}{p^4}+\frac{1}{p^5}-\frac{1}{p^6}\right) = 0.678234... 

* হিথ-ব্রাউন এবং মরোজ ধ্রুবক :

:: \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^7 \left(1 + \frac{7p+1}{p^2}\right) = 0.0013176... 

## টীকা

## তথ্যসূত্র

* G. Polya, *Induction and Analogy in Mathematics Volume 1* Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 *(A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)*
*  *(Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)*
* G.H. Hardy and E.M. Wright, *An introduction to the theory of numbers*, 5th ed., Oxford (1979)  *(Chapter 17 gives further examples.)*
* George E. Andrews, Bruce C. Berndt, *Ramanujan's Lost Notebook: Part I*, Springer (2005), 
* G. Niklasch, ''Some number theoretical constants: 1000-digit values"

বিষয়শ্রেণী:বিশ্লেষণী সংখ্যাতত্ত্ব
বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধ্রুবক