ম্যান্ডেলব্রট সেট

থাম্ব|400px|ম্যান্ডেলব্রট সেটের একটি বিস্তারিত চিত্র, যেখানে বিভিন্ন রঙ দ্বারা সেটের বাইরের বিন্দুগুলির "পলায়নের সময়" নির্দেশ করা হয়েছে।  

## ভূমিকা
**ম্যান্ডেলব্রট সেট** (ইংরেজি: Mandelbrot Set) হলো জটিল সংখ্যার সমতলে একটি গাণিতিক সেট, যা ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতির সবচেয়ে বিখ্যাত উদাহরণ। এই সেটটি প্রথম কম্পিউটারের মাধ্যমে ভিজ্যুয়ালাইজ করা হয়েছিল এবং এর অসীম জটিলতা ও স্ব-সাদৃশ্য (self-similarity) বৈশিষ্ট্যের জন্য গণিত ও শিল্প জগতে ব্যাপক আলোচিত। ফরাসি-মার্কিন গণিতবিদ বেনোয়া ম্যান্ডেলব্রট ১৯৮০ সালে এই সেটটির বিস্তারিত অধ্যয়ন করেন, যদিও এর গাণিতিক ভিত্তি ২০শ শতকের শুরুতে পিয়েরে ফাতু ও গাস্তঁ জুলিয়ার কাজে পাওয়া যায়।  

## ইতিহাস
ম্যান্ডেলব্রট সেটের ধারণার উৎপত্তি ২০শ শতকের প্রথম দিকে, যখন ফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে ফাতু ও গাস্তঁ জুলিয়া জটিল গতিবিদ্যা (complex dynamics) নিয়ে গবেষণা করছিলেন। তারা পুনরাবৃত্তিমূলক ফাংশন f_c(z) = z^2 + c এর আচরণ বিশ্লেষণ করেন, যেখানে c একটি জটিল ধ্রুবক। তবে সেই সময় কম্পিউটারের অভাবে সেটটির দৃশ্যায়ন সম্ভব হয়নি।  

১৯৭৮ সালে রবার্ট ব্রুকস ও পিটার ম্যাটেলস্কি প্রথম এই সেটের কিছু বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করলেও, ১৯৮০ সালে বেনোয়া ম্যান্ডেলব্রট আইবিএম-এর গবেষণাগারে কম্পিউটার গ্রাফিক্স ব্যবহার করে সেটটির প্রথম স্পষ্ট চিত্র তৈরি করেন। তাঁর বই *দ্য ফ্র্যাক্ট্যাল জিওমেট্রি অফ নেচার* (১৯৮২) এই সেটকে জনপ্রিয় করে তোলে এবং "ফ্র্যাক্ট্যাল" শব্দটিকে বৈজ্ঞানিক শব্দভাণ্ডারে প্রতিষ্ঠিত করে।

## গাণিতিক সংজ্ঞা
ম্যান্ডেলব্রট সেটকে জটিল সমতলে (complex plane) সংজ্ঞায়িত করা হয় নিম্নলিখিত পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্রের মাধ্যমে:  
z_{n+1} = z_n^2 + c  
যেখানে z_0 = 0, এবং c একটি জটিল সংখ্যা। কোনো বিন্দু c ম্যান্ডেলব্রট সেটের সদস্য হবে যদি এবং কেবল যদি পুনরাবৃত্তি ক্রম \{z_n\} অসীমের দিকে না যায় (অর্থাৎ, সীমিত থাকে)।  

**গণনার পদ্ধতি:**  
১. জটিল সমতলের প্রতিটি বিন্দু c এর জন্য z_0 = 0 ধরে শুরু করুন।  
২. প্রতি ধাপে z_{n+1} = z_n^2 + c গণনা করুন।  
৩. যদি কোনো n এর জন্য |z_n| > 2 হয়, তবে c সেটের বাইরে। অন্যথায়, c সেটের অন্তর্ভুক্ত।  

## বৈশিষ্ট্যাবলী

  
  
১. **ফ্র্যাক্টাল সীমানা:** ম্যান্ডেলব্রট সেটের সীমানা অসীমভাবে জটিল এবং যেকোনো মাপে জুম করলে নতুন নকশা দেখা যায়।  
২. **স্ব-সাদৃশ্য:** সেটটির ছোট অংশগুলি বৃহত্তর অংশের অনুরূপ, তবে সম্পূর্ণ অনুরূপ নয় (quasi-self-similar)।  
৩. **সংযুক্ততা:** ম্যান্ডেলব্রট সেট সংযুক্ত (connected), অর্থাৎ এটি একটিই টুকরো।  
৪. **এমএলসি অনুমান:** এটি একটি অপ্রমাণিত অনুমান যে ম্যান্ডেলব্রট সেট "লোকালি কানেক্টেড" (স্থানীয়ভাবে সংযুক্ত)।

## দৃশ্যায়ন

[thumb|upright=1.35|১৯৭৮ সালে [রবার্ট ডব্লিউ. ব্রুকস এবং পিটার ম্যাটেলস্কি দ্বারা অঙ্কিত ম্যান্ডেলব্রট সেটের প্রথম প্রকাশিত চিত্র]]  

ম্যান্ডেলব্রট সেটের চিত্রণে সাধারণত রঙের ব্যবহার করা হয় বিন্দুগুলির "পলায়নের গতি" (escape time) নির্দেশ করতে। যে বিন্দুগুলি দ্রুত অসীমে পৌঁছায়, তাদেরকে ভিন্ন রঙে দেখানো হয়। কম্পিউটার প্রোগ্রাম যেমন *Ultra Fractal* বা *Mandelbrot Explorer* ব্যবহার করে ব্যবহারকারীরা সেটটিকে অসীম পর্যন্ত জুম করতে পারেন, যেখানে প্রতিটি স্তরে নতুন ফ্র্যাক্টাল নকশা প্রকাশ পায়।

170x170পিক্সেল 170x170পিক্সেল 170x170পিক্সেল 170x170পিক্সেল 170x170পিক্সেল 170x170পিক্সেল

## প্রয়োগ
যদিও ম্যান্ডেলব্রট সেট প্রধানত গাণিতিক অনুসন্ধানের বিষয়, এর ধারণাগুলি নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়েছে:  
- **কম্পিউটার গ্রাফিক্স:** ফ্র্যাক্টাল অ্যালগরিদম প্রাকৃতিক ভূদৃশ্য (যেমন পাহাড়, মেঘ) তৈরি করতে ব্যবহৃত হয়।  
- **শিল্প ও সংস্কৃতি:** ফ্র্যাক্টাল শিল্প (fractal art) ডিজিটাল শিল্পের একটি শাখা হয়ে উঠেছে।  
- **বৈজ্ঞানিক মডেলিং:** ফ্র্যাক্টাল গঠন তরল গতিবিদ্যা (fluid dynamics) বা জীববিজ্ঞানে জটিল কাঠামো বোঝাতে সাহায্য করে।  

## তথ্যসূত্র
  

## বহিঃসংযোগ
* ম্যান্ডেলব্রট সেটের ইন্টারেক্টিভ ভিজ্যুয়ালাইজেশন  
* ফ্র্যাক্টাল ফাউন্ডেশনের শিক্ষামূলক সম্পদ  

বিষয়শ্রেণী:ফ্র্যাক্টাল তত্ত্ব  
বিষয়শ্রেণী:জটিল গতিশীলতা  
বিষয়শ্রেণী:গণিতের চিত্র