অ্যাঙ্গেল-রিসলভড ফটোএমিশন স্পেকট্রোস্কোপি

[alt=|thumb|upright=1.2|তামার [মিলার সূচক|(১১১) তলে অবস্থিত একটি দ্বিমাত্রিক ইলেকট্রনিক অবস্থার এআরপিইএস বর্ণালী। এর শক্তির মুক্ত-ইলেকট্রন সদৃশ ভরবেগ নির্ভরতা রয়েছে, যা *p*২/২*m*; যেখানে । রঙের স্কেলটি প্রতি গতিশক্তি এবং নির্গমন কোণ চ্যানেলে ইলেকট্রন সংখ্যা নির্দেশ করে। যখন ২১.২২&nbsp;eV ফোটন ব্যবহার করা হয়, তখন ফার্মি স্তর ১৬.৬৪&nbsp;eV-এ চিত্রিত হয়।]]

**অ্যাঙ্গেল-রিজলভড ফটোএমিশন স্পেকট্রোস্কোপি** (**ARPES**) হলো ঘনীভূত পদার্থবিজ্ঞানে ব্যবহৃত একটি পরীক্ষামূলক পদ্ধতি। এটি কোনো পদার্থের, সাধারণত একটি কেলাসিত কঠিন পদার্থের, ইলেকট্রনসমূহের অনুমোদিত শক্তি এবং ভরবেগ অনুসন্ধানে ব্যবহৃত হয়। এটি আলোকতড়িৎ ক্রিয়ার ওপর ভিত্তি করে কাজ করে, যেখানে পর্যাপ্ত শক্তির একটি আগত ফোটন কোনো পদার্থের পৃষ্ঠ থেকে একটি ইলেকট্রনকে নির্গত করে। নির্গত ফটোইলেকট্রনসমূহের গতিশক্তি এবং নির্গমন কোণের বিন্যাস সরাসরি পরিমাপের মাধ্যমে এই পদ্ধতিটি ইলেকট্রনিক ব্যান্ড গঠন এবং ফার্মি পৃষ্ঠের মানচিত্র তৈরি করতে পারে। এআরপিইএস এক বা দ্বিমাত্রিক পদার্থ অধ্যয়নের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত। পদার্থবিজ্ঞানীরা উচ্চ-তাপমাত্রার অতিপরিবাহী, গ্রাফিন, টপোলজিক্যাল পদার্থ, কোয়ান্টাম ওয়েল অবস্থা এবং আধান ঘনত্ব তরঙ্গ প্রদর্শনকারী পদার্থসমূহ পর্যবেক্ষণে এটি ব্যবহার করে থাকেন।

এআরপিইএস ব্যবস্থায় ফোটনের একটি সংকীর্ণ রশ্মি প্রদানের জন্য একটি একবর্ণী আলোক উৎস, পদার্থের নমুনা রাখার জন্য একটি ম্যানিপুলেটরের সাথে যুক্ত নমুনা ধারক এবং একটি ইলেকট্রন স্পেকট্রোমিটার থাকে। এই সরঞ্জামগুলো একটি অতি-উচ্চ শূন্যস্থান (UHV) পরিবেশে রাখা হয়, যা নমুনাকে রক্ষা করে এবং নির্গত ইলেকট্রনসমূহের বিক্ষেপণ রোধ করে। গতিশক্তি এবং নির্গমন কোণের সাপেক্ষে দুটি লম্ব দিকে বিচ্ছুরিত হওয়ার পর, ইলেকট্রনগুলোকে একটি ডিটেক্টরের দিকে পরিচালিত করা হয় এবং এআরপিইএস বর্ণালী প্রদানের জন্য গণনা করা হয়—যা একটি ভরবেগ অভিমুখে ব্যান্ড গঠনের খণ্ডিতাংশ প্রদর্শন করে। কিছু এআরপিইএস যন্ত্র ডিটেক্টরের পাশাপাশি ইলেকট্রনের একটি অংশ সংগ্রহ করতে পারে যাতে তাদের স্পিন মেরুকরণ পরিমাপ করা যায়।

বিষয়শ্রেণী:পদার্থবিজ্ঞান

## নীতি
স্ফটিক কঠিন পদার্থে ইলেকট্রন কেবল নির্দিষ্ট শক্তি ও ভরবেগের অবস্থাগুলিই দখল করতে পারে; অন্যান্য অবস্থা কোয়ান্টাম বলবিদ্যা দ্বারা নিষিদ্ধ। তারা মিলিতভাবে একটি ধারাবাহিক অবস্থাসমষ্টি গঠন করে, যা কঠিন পদার্থের ব্যান্ড গঠন নামে পরিচিত। ব্যান্ড গঠন নির্ধারণ করে কোনো পদার্থটি নিরোধক, অর্ধপরিবাহী, না কি ধাতু; এটি কীভাবে বিদ্যুৎ পরিবহন করে এবং কোন দিকগুলোতে সর্বোত্তমভাবে পরিবহন করে, অথবা চৌম্বক ক্ষেত্র-এ এর আচরণ কেমন হবে।

কোণ-নির্ধারিত ফটোইমিশন স্পেকট্রোস্কপি ব্যান্ড গঠন নির্ধারণ করে এবং ইলেকট্রনের বিচ্ছুরণ প্রক্রিয়া ও পদার্থের অন্যান্য উপাদানের সাথে তাদের পারস্পরিক ক্রিয়া বোঝাতে সহায়তা করে। এটি ফোটনের প্রভাবে নির্গত ইলেকট্রনগুলোকে পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে তা সম্পন্ন করে; ইলেকট্রনগুলো তাদের প্রাথমিক শক্তি ও ভরবেগের অবস্থা থেকে এমন এক অবস্থায় উত্তীর্ণ হয় যার শক্তি ফোটনের শক্তির কারণে প্রাথমিক শক্তির চেয়ে বেশি এবং কঠিনে ইলেকট্রনের বন্ধন শক্তির চেয়েও বেশি। এই প্রক্রিয়ায় ইলেকট্রনের ভরবেগ প্রায় অপরিবর্তিত থাকে, কেবলমাত্র পদার্থের পৃষ্ঠের লম্ব দিকের উপাদানটি ব্যতিক্রম। ফলে ব্যান্ড গঠন, যেখানে ইলেকট্রন পদার্থের অভ্যন্তরে আবদ্ধ অবস্থায় থাকে সেই শক্তিস্তর থেকে, এমন শক্তিস্তরে রূপান্তরিত হয় যা তাদের স্ফটিক বন্ধন থেকে মুক্ত করে এবং পদার্থের বাইরে সনাক্তকরণ সম্ভব করে।

মুক্ত ইলেকট্রনের গতিশক্তি পরিমাপ করে তার বেগ ও পরম ভরবেগ গণনা করা যায়। পৃষ্ঠের লম্বের সাথে নির্গমন কোণ পরিমাপের মাধ্যমে, ARPES ফটোইমিশন প্রক্রিয়ায় সংরক্ষিত সমতলীয় ভরবেগের দুটি উপাদানও নির্ধারণ করতে পারে। বহু ক্ষেত্রে প্রয়োজন হলে তৃতীয় উপাদানটিও পুনর্গঠন করা সম্ভব।
## যন্ত্রপাতি
কোণ-নির্ধারিত ফটোইমিশনের একটি আদর্শ যন্ত্রে একটি আলোক উৎস, একটি ম্যানিপুলেটরের সাথে সংযুক্ত নমুনা ধারক এবং একটি ইলেকট্রন স্পেকট্রোমিটার থাকে। এরা সবাই একটি অতিউচ্চ শূন্যতা ব্যবস্থার অংশ, যা নমুনার পৃষ্ঠকে অ্যাডসরবেট থেকে প্রয়োজনীয় সুরক্ষা প্রদান করে এবং বিশ্লেষকের পথে ইলেকট্রনগুলোর বিচ্ছুরণ দূর করে।

আলোক উৎসটি নমুনার উপর একটি একবর্ণ (সাধারণত মেরুকৃত), ফোকাসকৃত, উচ্চ-তীব্রতার প্রায় ~1012 ফোটন/সেকেন্ড প্রবাহ সরবরাহ করে, যার শক্তি-বিস্তৃতি কয়েক মিলিইলেকট্রনভোল্ট (meV)। আলোক উৎসের মধ্যে রয়েছে কমপ্যাক্ট নোবেল-গ্যাস স্রাব UV প্রদীপ এবং রেডিও-ফ্রিকোয়েন্সি প্লাজমা উৎস (10–⁠40&nbsp;eV), অতিবেগুনি লেজার (5–⁠11&nbsp;eV) থেকে শুরু করে সিঙ্ক্রোট্রন ইনসারশন ডিভাইস পর্যন্ত, যেগুলো তড়িৎচুম্বকীয় বর্ণালী-এর বিভিন্ন অংশের জন্য অনুকূলিত (অতিবেগুনিতে 10&nbsp;eV থেকে 1000&nbsp;eV এক্স-রে পর্যন্ত)।

নমুনা ধারকটি স্ফটিক পদার্থের নমুনা ধারণ করে, যার বৈদ্যুতিন ধর্ম পরীক্ষা করা হবে। এটি নমুনাকে শূন্যতায় প্রবেশ করানো, পরিষ্কার পৃষ্ঠ উন্মুক্ত করতে বিভাজন (cleavage) এবং সুনির্দিষ্ট অবস্থান নির্ধারণে সহায়তা করে। ধারকটি এমন একটি ম্যানিপুলেটরের সম্প্রসারণ হিসেবে কাজ করে, যা তিনটি অক্ষে সরণ এবং নমুনার মেরু, আজিমুথ ও টিল্ট কোণ সমন্বয়ের জন্য ঘূর্ণন সম্ভব করে। ধারকে সুনির্দিষ্ট তাপমাত্রা পরিমাপ ও নিয়ন্ত্রণের জন্য সেন্সর বা তাপযুগল থাকে। ক্রায়োজেনিক তরলীকৃত গ্যাস, ক্রায়োকুলার এবং ডাইলিউশন রেফ্রিজারেটর ব্যবহার করে তাপমাত্রা 1 কেলভিন পর্যন্ত নামানো যায়। ধারকের সাথে সংযুক্ত রোধী উত্তাপক কয়েক শত °C পর্যন্ত উত্তাপ সরবরাহ করে, আর ক্ষুদ্রাকৃতির পশ্চাৎ-পার্শ্ব ইলেকট্রন-বিম বোমাবর্ষণ যন্ত্র নমুনার তাপমাত্রা 2000&nbsp;°C পর্যন্ত বাড়াতে পারে। কিছু ধারকে আলোক রশ্মি ফোকাস ও ক্যালিব্রেশন-এর জন্য সংযোজনও থাকতে পারে।

ইলেকট্রন স্পেকট্রোমিটার ইলেকট্রনগুলোকে তাদের গতিশক্তি এবং নমুনা ত্যাগের সময় নির্গমন কোণের ভিত্তিতে দুটি স্থানিক দিক বরাবর বিচ্ছুরিত করে; অর্থাৎ, এটি বিভিন্ন শক্তি ও নির্গমন কোণকে সনাক্তকের ভিন্ন ভিন্ন অবস্থানে মানচিত্রায়িত করে। সবচেয়ে প্রচলিত ধরনে, অর্ধগোলীয় ইলেকট্রন শক্তি বিশ্লেষক-এ ইলেকট্রনগুলো প্রথমে একটি তড়িৎস্থির লেন্স অতিক্রম করে। লেন্সটির একটি সংকীর্ণ ফোকাল স্পট থাকে, যা লেন্সের প্রবেশমুখ থেকে প্রায় 40&nbsp;মিমি দূরে অবস্থিত। এটি ইলেকট্রন মেঘের কৌণিক বিস্তার বৃদ্ধি করে এবং শক্তি-বিচ্ছুরণ অংশের সংকীর্ণ প্রবেশ স্লিটে উপযুক্ত শক্তিসহ ইলেকট্রন সরবরাহ করে।

শক্তি বিচ্ছুরণ তথাকথিত পাস শক্তিকে কেন্দ্র করে একটি সংকীর্ণ শক্তি পরিসরে সম্পন্ন হয়, কৌণিক বিচ্ছুরণ দিকের লম্বভাবে; অর্থাৎ প্রায় ~25&nbsp;মিমি দীর্ঘ ও ⪆0.1&nbsp;মিমি প্রশস্ত একটি স্লিটের কাটের লম্ব দিকে। পূর্বে নলাকার লেন্সের অক্ষ বরাবর অর্জিত কৌণিক বিচ্ছুরণ কেবল স্লিট বরাবর সংরক্ষিত থাকে এবং *লেন্স মোড* ও কাঙ্ক্ষিত কৌণিক রেজোলিউশন অনুযায়ী সাধারণত ±3°, ±7° অথবা ±15° নির্ধারণ করা হয়। শক্তি বিশ্লেষকের অর্ধগোলকদ্বয় স্থির ভোল্টেজ-এ রাখা হয়, যাতে কেন্দ্রীয় গতিপথ অনুসরণ করে সেইসব ইলেকট্রন, যাদের গতিশক্তি নির্ধারিত পাস শক্তির সমান; উচ্চতর বা নিম্নতর শক্তির ইলেকট্রন বিশ্লেষকের অপর প্রান্তে যথাক্রমে বহিঃ বা অন্তঃ অর্ধগোলকের নিকটে পৌঁছে। সেখানেই একটি ইলেকট্রন সংবেদক স্থাপিত থাকে, যা সাধারণত 40&nbsp;মিমি মাইক্রোচ্যানেল প্লেট এবং একটি প্রতিদীপ্ত পর্দার সমন্বয়ে গঠিত। ইলেকট্রন সনাক্তকরণ ঘটনাগুলি বাহ্যিক ক্যামেরা দ্বারা রেকর্ড করা হয় এবং শত-সহস্র পৃথক কোণ বনাম গতিশক্তি চ্যানেলে গণনা করা হয়। কিছু যন্ত্রে অতিরিক্তভাবে সনাক্তকের এক পাশে ইলেকট্রন নিষ্কাশন নল সংযুক্ত থাকে, যা ইলেকট্রনের স্পিন মেরুকরণ পরিমাপ সম্ভব করে।

আধুনিক বিশ্লেষক 0.1° পর্যন্ত ক্ষুদ্র ইলেকট্রন নির্গমন কোণ পৃথকীকরণে সক্ষম। শক্তি রেজোলিউশন পাস শক্তি ও স্লিট-প্রস্থের উপর নির্ভরশীল; তাই অপারেটরকে অতিউচ্চ রেজোলিউশন ও নিম্ন তীব্রতা (\nu কম্পাঙ্কের আলো, যা h\nu শক্তিসম্পন্ন ফোটন দ্বারা গঠিত (এখানে h হলো প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক), কঠিনের পূর্ণিত অবস্থা থেকে অপূর্ণিত ইলেকট্রনিক অবস্থা-এ ইলেকট্রনের রূপান্তর উদ্দীপিত করতে ব্যবহৃত হয়। যদি ফোটনের শক্তি কোনো ইলেকট্রনের বন্ধন শক্তি E_\text{B} থেকে বেশি হয়, তবে ইলেকট্রনটি শেষ পর্যন্ত বিচ্ছুরণ ছাড়াই কঠিন ত্যাগ করবে এবং গতিশক্তিসহ পর্যবেক্ষিত হবে
: E_\text{k}=h\nu-E_\text{B}
এবং পৃষ্ঠের লম্ব-এর সাথে \vartheta কোণে নির্গত হবে; উভয়ই অধ্যয়নাধীন পদার্থের বৈশিষ্ট্য নির্দেশ করে।

ARPES দ্বারা পরিমাপিত ইলেকট্রন নির্গমন তীব্রতার মানচিত্র, যা E_\text{k} এবং \vartheta-এর ফাংশন হিসেবে প্রকাশিত, কঠিনে ইলেকট্রনের অন্তর্নিহিত বণ্টনের প্রতিনিধিত্ব করে। এই বণ্টন তাদের বন্ধন শক্তি E_\text{B} এবং ব্লখ তরঙ্গ ভেক্টর \mathbf{k}-এর মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, যা ইলেকট্রনের স্ফটিক ভরবেগ ও গ্রুপ বেগ-এর সাথে সম্পর্কিত। ফটোইমিশন প্রক্রিয়ায় ব্লখ তরঙ্গ ভেক্টরটি পরিমাপকৃত ইলেকট্রনের ভরবেগ \mathbf{p}-এর সাথে সম্পর্কিত, যার মান |\mathbf{p}|  নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়:
: |\mathbf{p}|=\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}}।

ইলেকট্রন যখন পৃষ্ঠীয় বাধা অতিক্রম করে এবং পৃষ্ঠ কার্য ফাংশন-এর কারণে তার শক্তির একটি অংশ হারায়, তখন কেবল \mathbf{p}-এর পৃষ্ঠ-সমান্তরাল উপাদান \mathbf{p}_{\Vert} সংরক্ষিত থাকে। অতএব, ARPES থেকে নিশ্চিতভাবে কেবল \mathbf{k}_{\Vert} = \tfrac{1}{\hbar}\mathbf{p}_{\Vert}  নির্ধারণ করা যায় এবং এর মান
: |\mathbf{k}_{\Vert}| = \tfrac{1}{\hbar}|\mathbf{p_{\Vert}}|=\tfrac{1}{\hbar}\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}} \sin\vartheta।
এখানে \hbar হলো হ্রাসপ্রাপ্ত প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক।

ত্রিমাত্রিক তরঙ্গ ভেক্টরের অসম্পূর্ণ নির্ধারণ এবং স্থিতিস্থাপক ফটোইমিশন প্রক্রিয়ার উল্লেখযোগ্য পৃষ্ঠ-সংবেদনশীলতা-র কারণে, ARPES সুশৃঙ্খল নিম্ন-মাত্রিক ব্যবস্থা যেমন দ্বিমাত্রিক পদার্থ, অতিপাতলা স্তর এবং ন্যানোতার-এ ব্যান্ড গঠনের পূর্ণাঙ্গ চরিত্রায়ণের জন্য বিশেষভাবে উপযোগী। ত্রিমাত্রিক পদার্থের ক্ষেত্রে, তরঙ্গ ভেক্টরের লম্ব উপাদান k_{\perp} সাধারণত একটি প্যারাবলিক, মুক্ত-ইলেকট্রন সদৃশ চূড়ান্ত অবস্থার অনুমান করে, যার নিম্নতম শক্তি -V_0-এ অবস্থিত। এতে পাওয়া যায়:
:k_{\perp}=\tfrac{1}{\hbar}\sqrt{2m_\text{e}(E_\text{k} \cos^2\!\vartheta+V_0)}।
অভ্যন্তরীণ বিভব V_0 পূর্বনির্ধারিতভাবে অজানা একটি পরামিতি। d-ইলেকট্রন ব্যবস্থার ক্ষেত্রে পরীক্ষায় দেখা যায় যে । সাধারণভাবে, অভ্যন্তরীণ বিভব ফোটন শক্তি-নির্ভর একাধিক পরীক্ষার মাধ্যমে, বিশেষত ফটোইমিশন ব্যান্ড ম্যাপিং পরীক্ষায়, নির্ধারণ করা হয়।
## ফার্মি পৃষ্ঠ মানচিত্রায়ন

যেসব ইলেকট্রন বিশ্লেষক স্লিট ব্যবহার করে ভরবেগ ও শক্তি চ্যানেলের মিশ্রণ প্রতিরোধ করে, তারা কেবল এক দিক বরাবর কৌণিক মানচিত্র গ্রহণ করতে সক্ষম। শক্তি ও দ্বিমাত্রিক ভরবেগ স্থানে মানচিত্র গ্রহণের জন্য হয় নমুনাটিকে উপযুক্ত দিকে ঘোরানো হয়, যাতে স্লিট সংলগ্ন নির্গমন কোণ থেকে ইলেকট্রন গ্রহণ করতে পারে, অথবা নমুনা স্থির রেখে তড়িৎস্থির লেন্সের ভেতরে ইলেকট্রন মেঘকে পরিচালিত করা হয়। স্লিটের প্রস্থ কৌণিক স্ক্যানের ধাপ-আকার নির্ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, লেন্সের অক্ষের চারপাশে ±15° বিস্তৃত একটি ইলেকট্রন মেঘ যদি 30&nbsp;মিমি দীর্ঘ ও 1&nbsp;মিমি প্রশস্ত স্লিটে প্রবেশ করানো হয়, তবে স্লিটের প্রতিটি মিলিমিটার উভয় দিকেই 1° অংশ গ্রহণ করবে; কিন্তু সনাক্তকে অপর দিকটি ইলেকট্রনের গতিশক্তি হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয় এবং নির্গমন কোণের তথ্য হারিয়ে যায়। এই গড়ায়ন স্লিটের লম্ব দিকের স্ক্যানের সর্বাধিক কৌণিক রেজোলিউশন নির্ধারণ করে: 1&nbsp;মিমি স্লিটের ক্ষেত্রে 1°-এর চেয়ে বড় ধাপ নিলে তথ্য অনুপস্থিত থাকবে, আর ক্ষুদ্র ধাপ নিলে ওভারল্যাপ সৃষ্টি হবে। আধুনিক বিশ্লেষকে স্লিট 0.05&nbsp;মিমি পর্যন্ত সরু হতে পারে। শক্তি–কোণ–কোণ মানচিত্র সাধারণত আরও প্রক্রিয়াকরণ করে *শক্তি*–*k*x–*k*y মানচিত্রে রূপান্তর করা হয় এবং ব্যান্ড গঠনে ধ্রুব শক্তি পৃষ্ঠ প্রদর্শনের জন্য কাটা হয়; বিশেষত ফার্মি পৃষ্ঠ মানচিত্র প্রদর্শনের জন্য, যখন তা ফার্মি স্তরের নিকটে কাটা হয়।
## নির্গমন কোণ থেকে ভরবেগে রূপান্তর

ARPES স্পেকট্রোমিটার তার স্লিট বরাবর একটি α স্লাইসে কৌণিক বিচ্ছুরণ পরিমাপ করে। আধুনিক বিশ্লেষকগুলো তাদের নিজস্ব রেফারেন্স ফ্রেমে সাধারণত ±15° পরিসরে এই কোণগুলো একযোগে রেকর্ড করে। দ্বিমাত্রিক ভরবেগ স্থানে ব্যান্ড গঠন মানচিত্রায়নের জন্য, পৃষ্ঠে আলোর বিন্দু স্থির রেখে নমুনাটিকে ঘোরানো হয়। সবচেয়ে প্রচলিত পদ্ধতি হলো স্লিটের সমান্তরাল অক্ষের চারদিকে মেরু কোণ θ পরিবর্তন করা এবং ঢাল *τ* অথবা আজিমুথ *φ* সমন্বয় করা, যাতে ব্রিলুয়াঁ অঞ্চল-এর একটি নির্দিষ্ট অংশ থেকে নির্গমন পৌঁছানো যায়।

ইলেকট্রনের ভরবেগের উপাংশসমূহ বিশ্লেষকের রেফারেন্স ফ্রেমে পরিমাপিত রাশিগুলোর সাহায্যে নিম্নরূপ প্রকাশ করা যায়
: \mathbf{P}=[0,P\sin\alpha,P\cos\alpha], যেখানে P=\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}}।

এই উপাংশগুলোকে নমুনার রেফারেন্স ফ্রেমে ভরবেগের উপযুক্ত উপাংশে, \mathbf{p}, রূপান্তর করা যায় ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সসমূহ R_\textrm{axis}(\textrm{angle}) ব্যবহার করে। যখন নমুনাটি y-অক্ষের চারদিকে *θ* দ্বারা ঘোরানো হয়, তখন \mathbf{P}-এর উপাংশ হয় R_y(\vartheta)\,\mathbf{P}। যদি নমুনাটি অতিরিক্তভাবে *x*-অক্ষের চারদিকে *τ* দ্বারা ঢাল দেওয়া হয়, তবে ফলাফল হয় \mathbf{p}=R_x(\tau)R_y(\vartheta)\,\mathbf{P}, এবং এই মানচিত্রায়ন জ্যামিতিতে ARPES দ্বারা নির্ধারিত ইলেকট্রনের স্ফটিক ভরবেগের উপাংশসমূহ হলো
: k_x = \tfrac{1}{\hbar}p_x=\tfrac{1}{\hbar}\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}}\,\cos\alpha\sin\vartheta 
: k_y = \tfrac{1}{\hbar}p_y = \tfrac{1}{\hbar}\sqrt{2 m_\text{e} E_\text{k}}\,
(\pm\sin\alpha\cos\tau+\cos\alpha\sin\tau\cos\vartheta)  
:: \vartheta=0 এ চিহ্ন নির্বাচন করুন, নির্ভর করে k_y আনুপাতিক কিনা 
:: \sin(\alpha+\tau) অথবা \sin(\alpha-\tau)-এর সাথে

যদি নমুনার উচ্চ-সমমিতি অক্ষসমূহ জানা থাকে এবং সেগুলো সারিবদ্ধ করা প্রয়োজন হয়, তবে z-অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণনের মাধ্যমে আজিমুথ *φ* দ্বারা একটি সংশোধন প্রয়োগ করা যেতে পারে, যেখানে \mathbf{p}=R_z(\varphi)R_x(\tau)R_y(\vartheta)\,\mathbf{P} অথবা রূপান্তরিত মানচিত্র -কে দ্বিমাত্রিক ভরবেগ সমতলে উৎসের চারদিকে ঘোরানো যেতে পারে।

## ফটোইমিশন তীব্রতা সম্পর্কের তত্ত্ব
ফটোইমিশন তত্ত্বটি একটি *N*-ইলেকট্রন বিশিষ্ট সিস্টেমের |i\rangle এবং |f\rangle অবস্থার মধ্যে সরাসরি অপটিক্যাল স্থানান্তরের উপর ভিত্তি করে গঠিত। স্ফটিকের ইলেকট্রনগুলোর জন্য কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক হ্যামিল্টোনিয়ান-এর গতিশক্তি অংশে ম্যাগনেটিক ভেক্টর পোটেনশিয়াল \mathbf{A} কে ন্যূনতম প্রতিস্থাপন \mathbf{p} \mapsto \mathbf{p}+e\mathbf{A} এর মাধ্যমে অন্তর্ভুক্ত করে আলোক-উত্তেজনা প্রবর্তন করা হয়। হ্যামিল্টোনিয়ানের বিক্ষোভ অংশটি হয়:
: H' = \frac{e}{2m} (\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} + \mathbf{p}\cdot\mathbf{A}) + \frac{e^2}{2m} |\mathbf{A}|^2।

এই প্রক্রিয়ায় ইলেকট্রনের স্পিন-এর তড়িৎচৌম্বক ক্ষেত্রের সাথে যুগ্মন উপেক্ষা করা হয়। স্কেলার বিভব \phi কে হয় ওয়েইল গেজ \phi=0 আরোপ করে, অথবা কুলম্ব গেজ \nabla\cdot\mathbf{A}=0 এ কাজ করে শূন্য ধরা হয়, যেখানে উৎস থেকে দূরে \phi অত্যন্ত ক্ষুদ্র হয়ে যায়। উভয় ক্ষেত্রেই কমিউটেটর \left[\mathbf{A},\mathbf{p}\right]=i\hbar\,\nabla\cdot\mathbf{A} কে শূন্য ধরা হয়। বিশেষত, ওয়েইল গেজে \nabla\cdot\mathbf{A}\approx0, কারণ অতিবেগুনি আলোর জন্য \mathbf{A}-এর পর্যায় ইলেকট্রনের তরঙ্গ ফাংশন-এর পর্যায়ের তুলনায় প্রায় দুই অর্ডার অব ম্যাগনিটিউড বেশি। উভয় গেজেই ধরা হয় যে পৃষ্ঠে থাকা ইলেকট্রনগুলো আগত বিক্ষোভের প্রতি সাড়া দেওয়ার জন্য খুব অল্প সময় পায় এবং দুই বিভবের কোনোটিতেই অতিরিক্ত অবদান রাখে না। অধিকাংশ ব্যবহারিক ক্ষেত্রে দ্বিঘাত |A|^2 পদটি উপেক্ষা করা নিরাপদ। সুতরাং,
: H' = \frac{e}{m} \mathbf{A}\cdot\mathbf{p}।

স্থানান্তর সম্ভাবনা সময়-নির্ভর বিক্ষোভ তত্ত্বে নির্ণয় করা হয় এবং তা ফার্মির সোনালী নিয়ম দ্বারা প্রদত্ত:
: \Gamma_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar} |\langle f|H'|i \rangle|^2 \delta(E_f-E_i-h\nu)\propto |\langle f|\mathbf{A} \cdot \mathbf{p}|i\rangle|^2 \, \delta(E_f-E_i-h\nu),

উপরের ডেল্টা বিতরণ দ্বারা বোঝানো হয় যে শক্তি সংরক্ষিত থাকে, অর্থাৎ h\nu শক্তির একটি ফোটন শোষিত হলে E_f=E_i+h\nu।

যদি একটি তড়িৎচৌম্বক তরঙ্গের তড়িৎ ক্ষেত্র লেখা হয় \mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E_0}\sin(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t), যেখানে \omega=2\pi\nu, তবে ভেক্টর পোটেনশিয়াল তার মেরুকরণ উত্তরাধিকারসূত্রে গ্রহণ করে এবং হয় \mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\tfrac{1}{\omega}\mathbf{E_0}\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)। তখন স্থানান্তর সম্ভাবনা তড়িৎ ক্ষেত্রের রূপে প্রকাশ করা যায়
: \Gamma_{i \to f} \propto |\langle f|\tfrac{1}{\nu}\mathbf{E_0} \cdot \mathbf{p}|i\rangle|^2 \, \delta(E_f-E_i-h\nu)।

হঠাৎ সন্নিকটায়ন-এ, যেখানে ধরা হয় যে একটি ইলেকট্রন তাৎক্ষণিকভাবে *N* ইলেকট্রনের সিস্টেম থেকে অপসারিত হয়, সিস্টেমের চূড়ান্ত ও প্রাথমিক অবস্থাগুলোকে যথাযথভাবে প্রতিসমবিরোধী একক-কণার অবস্থার গুণফল হিসেবে ধরা হয়—ফটোইলেকট্রনের |k_i\rangle, |k_f\rangle এবং অবশিষ্ট -ইলেকট্রন সিস্টেমের অবস্থাসমূহ।

তখন শক্তি E_f=E_{k} এবং ভরবেগ \mathbf{p}=\hbar \mathbf{k} বিশিষ্ট ইলেকট্রনের ফটোইমিশন প্রবাহকে নিম্নোক্ত গুণফলের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:
* |\langle k_f|\mathbf{E_0} \cdot \mathbf{p}|k_i\rangle|^2 = M_{fi}, যা অপটিক্যাল স্থানান্তরের **ডাইপোল নির্বাচন বিধি** নামে পরিচিত, এবং
* A(\mathbf{k},E), ঘনীভূত পদার্থবিজ্ঞানের বহু-কণিকা তত্ত্ব থেকে পরিচিত এক-ইলেকট্রন অপসারণের **বর্ণালী ফাংশন**
যা পর্যবেক্ষিত শক্তি ও ভরবেগ প্রদানকারী সকল অনুমোদিত প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার উপর সমষ্টি করা হয়। এখানে *E* পরিমাপ করা হয় ফার্মি স্তর *E*F-এর সাপেক্ষে, এবং *E*k শূন্যস্থানের সাপেক্ষে, ফলে E_\text{k} = E+h\nu-W , যেখানে W , অর্থাৎ কর্মফল, দুই রেফারেন্স স্তরের মধ্যে শক্তির পার্থক্য। কর্মফল পদার্থ, পৃষ্ঠের অভিমুখ এবং পৃষ্ঠের অবস্থার উপর নির্ভরশীল। যেহেতু অনুমোদিত প্রাথমিক অবস্থাগুলো কেবল দখলীকৃত অবস্থাই, তাই ফটোইমিশন সংকেতটি ফার্মি-ডিরাক বণ্টন ফাংশন f(E)=\frac{1}{1+e^{(E-E_\text{F})/k_\text{B}T}} প্রতিফলিত করবে, যা *E*F-এর নিকটে তাপমাত্রা-নির্ভর সিগময়েড-আকৃতির তীব্রতা-পতনের রূপে দেখা যায়। দ্বিমাত্রিক, এক-ব্যান্ড ইলেকট্রনিক সিস্টেমের ক্ষেত্রে তীব্রতা সম্পর্কটি আরও সরল হয়ে দাঁড়ায়:
: I(E_\text{k},\mathbf{k_{\Vert}})=I_M(\mathbf{k_{\Vert}},\mathbf{E_0},\nu)\, f(E)\, A(\mathbf{k_{\Vert}},E) ।
### নির্বাচন বিধি
স্ফটিকের ইলেকট্রনিক অবস্থাগুলো শক্তি ব্যান্ড-এ বিন্যস্ত থাকে, যাদের সাথে শক্তি-ব্যান্ড বিচ্ছুরণ E(k) যুক্ত থাকে; এগুলো ব্লখের উপপাদ্য অনুসারে অস্থানীয় ইলেকট্রনের জন্য শক্তির স্বত্বমান। তরঙ্গ ফাংশনের ব্লখ বিশ্লেষণে সমতল তরঙ্গ গুণক \exp(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}) থেকে অনুসৃত হয় যে, অন্য কোনো কণা জড়িত না থাকলে কেবল সেই অবস্থাগুলোর মধ্যেই স্থানান্তর অনুমোদিত, যাদের স্ফটিক ভরবেগ রিসিপ্রোকাল ল্যাটিস ভেক্টর \mathbf{G} দ্বারা পার্থক্যযুক্ত; অর্থাৎ যেসব অবস্থা হ্রাসপ্রাপ্ত অঞ্চল স্কিমে পরস্পরের ঠিক উপরে অবস্থিত (এই কারণেই এদের *সরাসরি অপটিক্যাল স্থানান্তর* বলা হয়)।

আরেক সেট নির্বাচন বিধি M_{fi} (অথবা I_M) থেকে উদ্ভূত হয়, যখন \mathbf{A} (অথবা \mathbf{E_0})-এ অন্তর্ভুক্ত ফোটনের মেরুকরণ এবং প্রাথমিক ও চূড়ান্ত এক-ইলেকট্রন ব্লখ অবস্থাসমূহ |k_i\rangle ও |k_f\rangle-এর সমমিতি বিবেচনায় নেওয়া হয়। এগুলো রিসিপ্রোকাল স্থানের নির্দিষ্ট অংশে ফটোইমিশন সংকেতের দমন ঘটাতে পারে অথবা প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থার নির্দিষ্ট পারমাণবিক-অরবিটাল উৎস সম্পর্কে তথ্য প্রদান করতে পারে।
### বহু-কণিকা প্রভাব

ARPES-এ সরাসরি পরিমাপযোগ্য এক-ইলেকট্রন বর্ণালী ফাংশনটি নির্দেশ করে যে, *N* ইলেকট্রনের সিস্টেম থেকে একটি ইলেকট্রন তাৎক্ষণিকভাবে অপসারণ করলে সিস্টেমের অবস্থা -কণার সিস্টেমের যেকোনো ভূমিস্তর হওয়ার সম্ভাবনা কত:
: A(\mathbf{k},E) = \sum_{m} \left |\,  \left \langle \begin{matrix} {\scriptstyle(N-1)\,\mathrm{eigenstate}} \\ {\scriptstyle m} \end{matrix} \,\,|\,\, \begin{matrix} {\scriptstyle(N)\,\mathrm{eigenstate}} \\ {\scriptstyle\mathrm{with\,} \mathbf{k} \mathrm{\,removed}} \end{matrix} \right\rangle \, \right |^2 \, \delta(E-E^{N-1}_m+E^{N})
।

যদি ইলেকট্রনগুলো পরস্পরের থেকে স্বাধীন হতো, তবে |k_i\rangle অবস্থা অপসারণসহ *N*-ইলেকট্রন অবস্থা ঠিক -কণা সিস্টেমের একটি স্বত্বাবস্থা হতো এবং বর্ণালী ফাংশনটি অপসারিত কণার শক্তি ও ভরবেগে একটি অসীম তীক্ষ্ণ ডেল্টা ফাংশন হয়ে যেত; এটি শক্তি-ভরবেগ স্থানে স্বাধীন কণার E_o(\mathbf{k}) বিচ্ছুরণকে অনুসরণ করত। কিন্তু ইলেকট্রন পারস্পরিক সহসম্পর্ক বৃদ্ধি পেলে বর্ণালী ফাংশন প্রশস্ত হয় এবং এমন সমৃদ্ধ বৈশিষ্ট্য প্রদর্শন করে যা অন্তর্নিহিত বহু-কণিকা সিস্টেম-এর আন্তঃক্রিয়া প্রতিফলিত করে। এগুলো সাধারণত একক-কণার শক্তি বিচ্ছুরণের জটিল সংশোধন হিসেবে বর্ণনা করা হয়, যা কোয়াসিকণা-র স্ব-শক্তি নামে পরিচিত:
: \Sigma(\mathbf{k}, E) = \Sigma'(\mathbf{k}, E) + i \Sigma*(\mathbf{k}, E)</math>।

এই ফাংশনটি আন্তঃক্রিয়ার কারণে ইলেকট্রনিক বিচ্ছুরণের [[পুনঃস্বাভাবিকীকরণ]] এবং উত্তেজনার ফলে সৃষ্ট হোলের [[জীবনকাল (পদার্থবিজ্ঞান)|জীবনকাল]] সম্পর্কে পূর্ণ তথ্য বহন করে। কয়েকটি যুক্তিসঙ্গত অনুমানের অধীনে উচ্চ-রেজোলিউশনের ARPES বর্ণালীর বিশ্লেষণ থেকে উভয়ই পরীক্ষামূলকভাবে নির্ণয় করা যায়। অর্থাৎ, ধরা যায় যে ভরবেগ স্থানের উচ্চ-সমমিতি দিক বরাবর বর্ণালীর <math>M_{fi}</math> অংশ প্রায় ধ্রুবক এবং পরিবর্তনশীল অংশটি কেবল বর্ণালী ফাংশন, যা <math>\Sigma</math>-এর রূপে (যেখানে <math>\Sigma</math>-এর দুই উপাংশ সাধারণত কেবল <math>E</math>-এর উপর নির্ভরশীল ধরা হয়) লেখা যায়:
: <math>
A(\mathbf{k}, E) = -\frac{1}{\pi} \frac{\Sigma*(E)}{\left[E-E_{o}(\mathbf{k})-\Sigma'(E)\right]^2+\left[\Sigma*(E)\right]^2}
</math>



ARPES-এ এটি সাধারণত [[ভরবেগ স্থান]]-এর একটি নির্দিষ্ট দিক বরাবর স্ক্যান হিসেবে জানা যায় এবং <math>A(k,E)</math> আকারের দ্বিমাত্রিক মানচিত্র প্রদান করে। ধ্রুব শক্তি <math>E_m</math> এ কর্তন করলে <math>k</math>-এ একটি [[লরেন্‌জিয়ান বিতরণ|লরেন্‌জিয়ান]]-সদৃশ বক্ররেখা পাওয়া যায়, যার পুনঃস্বাভাবিকীকৃত শীর্ষ অবস্থান <math>k_m</math> নির্ধারিত হয় <math>\Sigma'(E_m)</math> দ্বারা এবং অর্ধ-সর্বাধিক প্রস্থ <math>w</math> নির্ধারিত হয় <math>\Sigma*(E_m) দ্বারা, নিম্নরূপ:
# \Sigma'(E_m) = E_m-E_{o}(k_m)

# \Sigma*(E_m) = \frac{1}{2} \left[E_{o}(k_m+{\textstyle \frac{1}{2}}w) - E_{o}(k_m-{\textstyle \frac{1}{2}}w) \right]</math>

বিশ্লেষণে একমাত্র অজানা রাশি হলো খালি ব্যান্ড <math>E_{o}(k)</math>। পূর্বের দুটি সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত জটিল ফাংশন <math>\Sigma(E)</math>-এর দুই উপাংশের মধ্যে [[ক্রামার্স-ক্রোনিগ সম্পর্ক|ক্রামার্স-ক্রোনিগ সম্পর্ক]] প্রয়োগ করে খালি ব্যান্ডকে স্ব-সঙ্গত উপায়ে নির্ণয় করা যায়। [[অ্যালগোরিদম]]টি নিম্নরূপ: একটি [[আনসাট্‌জ]] খালি ব্যান্ড দিয়ে শুরু করা হয়, সমীকরণ (2) দ্বারা <math>\Sigma*(E) গণনা করা হয়, ক্রামার্স-ক্রোনিগ সম্পর্ক ব্যবহার করে সেটিকে \Sigma'(E)-এ রূপান্তর করা হয়, তারপর সমীকরণ (1) দ্বারা বিচ্ছিন্ন বিন্দুসমূহ k_m-এ খালি ব্যান্ড বিচ্ছুরণ নির্ণয় করা হয় এবং উপযুক্ত বক্ররেখায় তার ফিটকে নতুন আনসাট্‌জ হিসেবে ব্যবহার করা হয়; সাধারণত কয়েকটি দ্রুত পুনরাবৃত্তির মধ্যেই অভিসৃতি অর্জিত হয়।

এভাবে প্রাপ্ত স্ব-শক্তি থেকে ইলেকট্রন-ইলেকট্রন সহসম্পর্কের শক্তি ও প্রকৃতি, ইলেকট্রন-ফোনন (আরও সাধারণভাবে, ইলেকট্রন-বোসন) আন্তঃক্রিয়া, সক্রিয় ফোনন শক্তি এবং কোয়াসিকণার জীবনকাল সম্পর্কে সিদ্ধান্তে পৌঁছানো যায়।

ফার্মি স্তরের নিকটে ডেবাই ফোনন-এর সাথে আন্তঃক্রিয়ার কারণে ব্যান্ড সমতল হয়ে গেলে সরল ক্ষেত্রে ব্যান্ড ভর  দ্বারা বৃদ্ধি পায় এবং ইলেকট্রন-ফোনন যুগ্মন সহগ *λ* তাপমাত্রার সাথে শীর্ষ প্রস্থের রৈখিক নির্ভরতা থেকে নির্ণয় করা যায়।

কিউপ্রেট অতিপরিবাহীর মতো শক্তিশালীভাবে সহসম্পর্কিত সিস্টেমে, বর্ণালীর নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের উৎপত্তি বোঝার জন্য কেবল স্ব-শক্তি জ্ঞান যথেষ্ট নয়। বাস্তবে, কিউপ্রেট অতিপরিবাহীর ক্ষেত্রে বিভিন্ন তাত্ত্বিক পদ্ধতি বর্ণালীর নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের ভিন্ন ভিন্ন ব্যাখ্যা প্রদান করে। একটি আদর্শ উদাহরণ হলো কিউপ্রেটের ছদ্ম-ফাঁক, অর্থাৎ ফার্মি স্তরে ভরবেগ-নির্বাচিত বর্ণালী ওজনের দমন, যা বিভিন্ন লেখক স্পিন, আধান বা (d-তরঙ্গ) জোড়া-গঠন অস্থিরতার সাথে সম্পর্কিত করেছেন। এই অন্তর্নিহিত ভৌত প্রক্রিয়া সম্পর্কে দ্ব্যর্থতা দূর করা যায় দুই-কণিকা সহসম্পর্ক ফাংশন (যেমন অগার ইলেকট্রন বর্ণালীবিদ্যা এবং উপস্থিতি-বিভব বর্ণালীবিদ্যা) বিবেচনার মাধ্যমে, কারণ এগুলো সিস্টেমের সমষ্টিগত মোড বর্ণনা করতে সক্ষম এবং নির্দিষ্ট ভূমিস্তর ধর্মের সাথেও সম্পর্কিত।
## ব্যবহার

ARPES বহু ধাতু ও অর্ধপরিবাহী-এর দখলীকৃত ব্যান্ড গঠন মানচিত্রায়নে ব্যবহৃত হয়েছে, তাদের পৃষ্ঠে প্রক্ষেপিত ব্যান্ড ফাঁকে উদ্ভূত অবস্থাসমূহ, হ্রাসপ্রাপ্ত মাত্রিকতা বিশিষ্ট সিস্টেমে উৎপন্ন কোয়ান্টাম কূপ অবস্থাসমূহ, এক-পরমাণু-পুরু উপাদান যেমন গ্রাফিন, ট্রানজিশন মেটাল ডাইক্যালকোজেনাইড মনোলেয়ার, এবং নানাবিধ টপোলজিক্যাল উপাদান-এ। এটি উচ্চমাত্রায় সহসম্পর্কিত পদার্থ যেমন উচ্চ-তাপমাত্রার অতিপরিবাহী এবং চার্জ ঘনত্ব তরঙ্গ প্রদর্শনকারী পদার্থে অন্তর্নিহিত ব্যান্ড গঠন, ফাঁক এবং কোয়াসিকণার গতিবিদ্যা মানচিত্রায়নেও ব্যবহৃত হয়েছে।

ফার্মি স্তরের ঠিক উপরের আবদ্ধ অবস্থায় ইলেকট্রন গতিবিদ্যা অধ্যয়নের প্রয়োজন হলে, পাম্প-প্রোব বিন্যাসে দুই-ফোটন উত্তেজনা (2PPE) ব্যবহৃত হয়। এখানে প্রথম, অপেক্ষাকৃত নিম্ন-শক্তির ফোটন ইলেকট্রনগুলোকে এমন অপূর্ণ ব্যান্ডে উত্তেজিত করে যা এখনো ফটোইমিশনের জন্য প্রয়োজনীয় শক্তির নিচে থাকে (অর্থাৎ ফার্মি ও শূন্যস্থান স্তরের মধ্যে)। দ্বিতীয় ফোটন ঐ ইলেকট্রনগুলোকে কঠিন পদার্থ থেকে বের করে আনে, যাতে সেগুলো ARPES দ্বারা পরিমাপ করা যায়। দ্বিতীয় ফোটনের সময়নির্ধারণ সুনির্দিষ্টভাবে নিয়ন্ত্রণ করে—সাধারণত নিম্ন-শক্তির স্পন্দিত লেজারের ফ্রিকোয়েন্সি গুণন এবং স্পন্দনের অপটিক্যাল পথ পরিবর্তনের মাধ্যমে বিলম্ব সমন্বয় করে—ইলেকট্রনের জীবনকাল পিকোসেকেন্ড-এর নিচের স্কেলে নির্ণয় করা যায়।
## আরও দেখুন
* কোয়াসিপার্টিকল ইন্টারফেরেন্স ইমেজিং

## টীকা

## তথ্যসূত্র

## বহিঃসংযোগ
* ডায়মন্ড লাইট সোর্স i05 বিমলাইনে ARPES-এর পরিচিতি