এফিন প্রতিসম গ্রুপ

**এফিন প্রতিসম গ্রুপ** হলো একটি গাণিতিক কাঠামোর শ্রেণি, যা সংখ্যারেখা এবং সমতলের নিয়মিত ত্রিভুজাকার বিন্যাসের প্রতিসমতা বর্ণনা করে, পাশাপাশি সংশ্লিষ্ট উচ্চমাত্রিক বস্তুকেও অন্তর্ভুক্ত করে। এই জ্যামিতিক বিবরণের পাশাপাশি, এফিন প্রতিসম গ্রুপকে অন্যান্য উপায়েও সংজ্ঞায়িত করা যায়: এটি বিন্যাস (পূর্ণসংখ্যাগুলোর পুনর্বিন্যাস) এর একটি সমষ্টি, যা নির্দিষ্ট পর্যায়ক্রমিক বৈশিষ্ট্যযুক্ত (), অথবা খাঁটি বীজগাণিতিক পরিভাষায় এটি নির্দিষ্ট উৎপাদক ও সম্পর্কযুক্ত একটি গোষ্ঠী। এটি সমাবেশবিদ্যা এবং প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বে অধ্যয়ন করা হয়।
একটি সসীম প্রতিসম গ্রুপ একটি সসীম সেটের সমস্ত বিন্যাসের সমষ্টি নিয়ে গঠিত। প্রতিটি এফিন প্রতিসম গ্রুপ একটি সসীম প্রতিসম গ্রুপের একটি অসীম সম্প্রসারণ। সসীম প্রতিসম গ্রুপগুলোর অনেক গুরুত্বপূর্ণ সমাবেশিক বৈশিষ্ট্য সংশ্লিষ্ট এফিন প্রতিসম গ্রুপগুলোর জন্যও সম্প্রসারিত করা যায়। বিন্যাস পরিসংখ্যান যেমন অবনমন এবং উলট এফিন ক্ষেত্রেও সংজ্ঞায়িত করা যায়। সসীম ক্ষেত্রের মতো, এই পরিসংখ্যানগুলোর জন্য প্রাকৃতিক সমাবেশিক সংজ্ঞাগুলোর একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যাও রয়েছে।

এফিন প্রতিসম গ্রুপের অন্যান্য গাণিতিক বস্তুর সাথে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে, যার মধ্যে জাগলিং প্যাটার্ন এবং নির্দিষ্ট জটিল প্রতিফলন গ্রুপ অন্তর্ভুক্ত। এদের অনেক সমাবেশগত এবং জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য বিস্তৃত এফিন কক্সেটার গ্রুপ পরিবারের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

## সংজ্ঞা
এফিন প্রতিসম গ্রুপকে সমভাবে একটি বিমূর্ত গ্রুপ হিসেবে উৎপাদক ও সম্পর্কের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, অথবা এটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক ও সমাবেশগত মডেলের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে।

### বীজগণিতীয় সংজ্ঞা

গ্রুপ সংজ্ঞায়িত করার একটি উপায় হল উৎপাদক ও সম্পর্ক ব্যবহার করা। এই সংজ্ঞায়, উৎপাদক হলো গ্রুপের এমন একটি উপসেট, যা বিভিন্ন উপায়ে সংযোজিত হয়ে গ্রুপের সমস্ত উপাদান উৎপন্ন করে। সংজ্ঞার সম্পর্কগুলো হলো একটি সমীকরণ ব্যবস্থা, যা নির্ধারণ করে কখন দুটি উৎপাদকের সংযোজন সমান হয়।

 এইভাবে, এফিন প্রতিসম গ্রুপ \widetilde{S}n একটি সেট  s_0, s_1, \ldots, s{n - 1} দ্বারা উৎপন্ন হয় যা  উপাদান ধারণ করে এবং নিচের সম্পর্কগুলো পূর্ণ করে: যখন  n \geq 3 ,
# s_i^2 = 1 (যেমন, উৎপাদকগুলি উলটন হয়),
#  s_is_j = s_js_i  যদি  i - 1, i, i + 1 এর মধ্যে না হয়, এর মানে হচ্ছে যে, এই উৎপাদকগুলির জন্য গ্রুপ অপারেশন যোগসূত্রীয় গুণনফল এবং
#  s_is_{i + 1}s_i = s_{i + 1}s_is_{i + 1} । 
উপরে দেওয়া সম্পর্কগুলিতে সূচকগুলি মডুলো হিসেবে নেওয়া হয়, যাতে তৃতীয় সম্পর্কটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে অন্তর্ভুক্ত হয়  s_0s_{n - 1}s_0 = s_{n - 1}s_0s_{n - 1} । (দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সম্পর্কগুলোকে কখনও কখনও ব্রেইড সম্পর্ক বলা হয়)।
)  n = 2, এফিন প্রতিসম গ্রুপ \widetilde{S}_2 হল অসীম ডাইহেড্রাল গ্রুপ যা দুটি উপাদান s_0, s_1 দ্বারা উৎপন্ন এবং শুধুমাত্র সম্পর্কগুলি অনুসরণ করে s_0^2 = s_1^2 = 1।

এই সম্পর্কগুলো বিশেষ রূপে পুনরায় লেখা যেতে পারে যা কক্সেটার গ্রুপকে সংজ্ঞায়িত করে, সুতরাং এফিন প্রতিসম গ্রুপগুলি কক্সেটার গ্রুপ, যেখানে s_i তাদের কক্সেটার উৎপাদক সেট হিসেবে কাজ করে। প্রতিটি কক্সেটার গ্রুপ একটি কক্সেটার-ডিনকিন চিত্র দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে, যেখানে শিখরগুলি উৎপাদকদের প্রতিনিধিত্ব করে এবং প্রান্তগুলি তাদের মধ্যে সম্পর্কগুলি এনকোড করে।
 n \geq 3 এর জন্য, \widetilde{S}_n এর কক্সেটার–ডিনকিন ডায়াগ্রাম হল একটি -চক্র (যেখানে প্রান্তগুলি সন্নিহিত উৎপাদকদের মধ্যে সম্পর্কগুলিকে উপস্থাপন করে এবং অন্য উৎপাদকদের মধ্যে প্রান্তের অভাব নির্দেশ করে যে তারা একে অপরের সাথে আবদ্ধ), যখন  n = 2 এর জন্য এটি দুটি নোড নিয়ে গঠিত, যা একটি প্রান্ত দ্বারা যুক্ত এবং তার উপর \infty চিহ্নিত।

### জ্যামিতিক সংজ্ঞা

ইউক্লিডীয় স্থানে \R^{n} এ (x_1, \ldots, x_n) কোঅর্ডিনেট সহ,  পয়েন্টগুলির সেট যার জন্য x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 একটি (হাইপার)প্লেন গঠন করে, একটি -মাত্রিক উপস্থান। প্রতিটি আলাদা উপাদান  এবং  এর জন্য {1, \ldots, n} এবং প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা ,  এর মধ্যে এমন পয়েন্টগুলির সেট যা x_i - x_j = k পূর্ণ করে,  এর মধ্যে একটি -মাত্রিক উপস্থান গঠন করে, এবং  এর একটি অনন্য প্রতিফলন রয়েছে যা এই উপস্থানটি স্থির রাখে। তাহলে এফিন প্রতিসম গ্রুপ \widetilde{S}_n  থেকে নিজে তার মধ্যে মানচিত্রের একটি সংগ্রহ হিসেবে জ্যামিতিকভাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে, এই প্রতিফলনগুলির সংকলন।

 এর মধ্যে, পূর্ণসংখ্যার সহিত সন্নিবেশিত বিন্দুগুলির উপসেট *[[মূল গ্রিড]]*  গঠন করে। এটি সব পূর্ণসংখ্যা ভেক্টরগুলির সেট (a_1, \ldots, a_n) যেমন a_1 + \cdots + a_n = 0। প্রতিটি প্রতিফলন এই নেটটি সংরক্ষণ করে, এবং তাই পুরো গ্রুপ দ্বারা নেটটি সংরক্ষিত থাকে।

এই প্রতিফলনের স্থির উপস্থানগুলি -কে একে অপরের সাদৃশ্যপূর্ণ সাম্প্লেক্স-এ বিভক্ত করে, যেগুলিকে *আলকোভ* বলা হয়। যখন n = 3 তখন পরিস্থিতিটি চিত্রে দেখানো হয়েছে; এই ক্ষেত্রে, রুট ল্যাটিস একটি ত্রিভুজাকার ল্যাটিস, প্রতিফলনকারী রেখাগুলি -কে সমবাহু ত্রিভুজ আলকোভে ভাগ করে, এবং রুটগুলি হলো ছয়টি ত্রিভুজ আলকোভ দ্বারা গঠিত অপর্যায়িত হেক্সাগনের কেন্দ্র।

জ্যামিতিক এবং বীজগণিতীয় সংজ্ঞাগুলির মধ্যে অনুবাদ করতে, একটি আলকোভ নির্ধারণ করা হয় এবং তার সীমানা গঠনকারী  হাইপারপ্লেনগুলি বিবেচনা করা হয়। এই সীমানা হাইপারপ্লেনগুলির মাধ্যমে প্রতিফলনগুলি কোসেটার জেনারেটরের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। বিশেষভাবে, একটি অনন্য আলকোভ (*মৌলিক আলকোভ*) রয়েছে যা এমন পয়েন্ট (x_1, \ldots, x_n) নিয়ে গঠিত, যেখানে  x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq x_1 - 1, যা হাইপারপ্লেনগুলি দ্বারা সীমানাবদ্ধ  x_1 - x_2 = 0, x_2 - x_3 = 0, ..., এবং  x_1 - x_n = 1, n = 3 ক্ষেত্রে চিত্রিত। i = 1, \ldots, n - 1 এর জন্য, x_i - x_{i + 1} = 0 এর মাধ্যমে প্রতিফলনকে কোসেটার জেনারেটর s_i এর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে, এবং  x_1 - x_n = 1 এর মাধ্যমে প্রতিফলনকে জেনারেটর  s_0 = s_n এর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে।

### সম্মিলিত সংজ্ঞা

এফিন প্রতিসম গ্রুপের উপাদানগুলি পূর্ণসংখ্যার একটি আবর্তিত পারমুটেশন গ্রুপ হিসাবে বাস্তবায়িত হতে পারে। বিশেষত, বলুন যে একটি ফাংশন u \colon \Z \to \Z একটি *এফিন পারমুটেশন* যদি
*এটি একটি বিজেকশন (প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা একটি নির্দিষ্ট x এর জন্য ঠিক একবার u(x) এর মান হিসাবে উপস্থিত হয়),
*u(x + n) = u(x) + n সকল পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য (ফাংশনটি n দ্বারা স্থানান্তরের অধীনে ইকুইভেরিয়ান্ট) এবং
* u(1) + u(2) + \cdots + u(n) = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}, nতম ত্রিভুজসংখ্যা।
প্রতিটি এফিন পারমুটেশন, এবং আরও সাধারণভাবে প্রতিটি শিফট-একুইভেরিয়েন্ট বায়েকশন, সংখ্যাগুলি u(1), \ldots, u(n) অবশ্যই  এর মডুলোর মধ্যে সব আলাদা হতে হবে। একটি এফিন পারমুটেশন তার *উইন্ডো নোটেশন* [u(1), \ldots, u(n)] দ্বারা এককভাবে নির্ধারিত, কারণ u এর অন্যান্য মান এই মানগুলিকে শিফট করে পাওয়া যেতে পারে। অতএব, এফিন পারমুটেশনগুলি এমন যুগল [u(1), \ldots, u(n)] হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা  এর প্রতিটি কংগ্রুয়েন্স ক্লাস থেকে একটি উপাদান ধারণ করে এবং 1 + 2 + \cdots + n এর সমান যোগফল থাকে।

কম্বিনেটোরিকাল এবং বীজগণিতিক সংজ্ঞাগুলির মধ্যে অনুবাদ করতে, i = 1, \ldots, n- 1 এর জন্য, কোসেটার জেনারেটর s_i কে সেই এফিন পারমুটেশন হিসেবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যার উইন্ডো নোটেশন [1, 2, \ldots, i - 1, i + 1, i, i + 2, \ldots, n ], এবং জেনারেটর s_0 = s_n কে [0, 2, 3, \ldots, n - 2, n - 1, n + 1] এফিন পারমুটেশন হিসেবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। আরও সাধারণভাবে, প্রতিটি প্রতিফলন (অর্থাৎ, কোসেটার জেনারেটরের একটি কনজুগেট) এককভাবে এইভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে: {1, \ldots, n} এর মধ্যে স্বতন্ত্র পূর্ণসংখ্যা ,  এবং যে কোনো পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য, এটি  কে  মানচিত্রে  কে,  কে  মানচিত্রে রূপান্তরিত করে, এবং সমস্ত ইনপুট যা  বা  এর সাথে মডুলো  সম্মত নয়, সেগুলি অপরিবর্তিত রাখে।

### ম্যাট্রিক্স হিসেবে উপস্থাপনা

এফিন প্রতিসমগুলি অসীম পিরিয়ডিক পারমুটেশন ম্যাট্রিক্স হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

যদি u : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} একটি এফিন প্রতিসম হয়, তবে সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটি অসীম গ্রিড  \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} এ (i, u(i)) অবস্থানে 1 এর মান থাকবে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য, এবং অন্যান্য সব মান 0 হবে। যেহেতু u একটি বাইজেকশন, ফলে ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সে প্রতিটি সারি এবং কলামে ঠিক একটি 1 থাকবে। u মানচিত্রের পিরিয়ডিকিটি শর্ত নিশ্চিত করে যে, প্রতিটি (a, b) অবস্থানে থাকা মানটি (a + n, b + n) অবস্থানে থাকা মানের সমান হবে। যেমন উদাহরণস্বরূপ, [2, 0, 4] \in \widetilde{S}_3 এর জন্য একটি অংশিক ম্যাট্রিক্স চিত্রে দেখানো হয়েছে। সারি 1-এ, কলাম 2-এ একটি 1 আছে; সারি 2-এ, কলাম 0-এ একটি 1 আছে; এবং সারি 3-এ, কলাম 4-এ একটি 1 আছে। ঐ সারি এবং কলামগুলোর বাকি সব মান 0, এবং ম্যাট্রিক্সের অন্যান্য সমস্ত মান পিরিয়ডিকিটি শর্ত দ্বারা স্থির থাকে।

## সসীম প্রতিসম গ্রুপের সাথে সম্পর্ক

এফিন প্রতিসম গ্রুপ \widetilde{S}_n সসীম প্রতিসম গ্রুপ S_n কে অন্তর্ভুক্ত করে, যা n উপাদানের পারমুটেশন দ্বারা গঠিত। এটি উভয়ই একটি উপগুচ্ছ এবং একটি ভগ্নাংশ গ্রুপ হিসেবে কাজ করে। এই সংযোগগুলি এফিন প্রতিসম গ্রুপের সমন্বয় এবং জ্যামিতিক সংজ্ঞাগুলির মধ্যে একটি সরাসরি অনুবাদ সম্ভব করে।

### একটি উপগ্রুপ হিসেবে
এফিন প্রতিসম গ্রুপ \widetilde{S}_n থেকে একটি সাবগ্রুপ নির্বাচন করার একটি  পদ্ধতি রয়েছে, যা সসামান্য প্রতিসম গ্রুপ S_n এর সাথে সমরূপ।
বীজগণিতীয় সংজ্ঞা অনুযায়ী, এটি \widetilde{S}n এর একটি সাবগ্রুপ, যা s_1, \ldots, s{n - 1} দ্বারা উৎপন্ন (সরল প্রতিফলন s_0 = s_n বাদে)। ভৌগোলিকভাবে, এটি সেই রূপান্তরের সাবগ্রুপের সাথে সম্পর্কিত যা উৎপত্তি বিন্দুকে রক্ষা করে, আর কম্বিনেটোরিক্যালভাবে এটি সেই উইন্ডো নোটেশনের সাথে সম্পর্কিত, যার জন্য {u(1), \ldots, u(n) } = {1, 2, \ldots, n } (অথবা, যেখানে উইন্ডো নোটেশনটি একটি সসামান্য প্রতিসম গ্রুপের একলাইন নোটেশন)।

যদি  u = [u(1), u(2), \ldots, u(n)] একটি মানক S_n \subset \widetilde{S}n এর উপাদানের উইন্ডো নোটেশন হয়, তবে এর  তে \R^n হাইপারপ্লেনে ক্রিয়া হলো সমন্বয়ের মাধ্যমে সন্নিবেশ করা:  (x_1, x_2, \ldots, x_n) \cdot u = (x{u(1)}, x_{u(2)}, \ldots, x_{u(n)})। (এই প্রবন্ধে, পারমিউটেশন এবং এফিন পারমিউটেশনগুলির ভূগোলিক ক্রিয়া ডান দিকে হয়; অতএব, যদি  এবং  দুটি এফিন পারমিউটেশন হয়, তবে একটি বিন্দুর উপর  এর ক্রিয়া প্রথমে  প্রয়োগ করার পর, তারপর  প্রয়োগ করার মাধ্যমে দেওয়া হয়।)

এছাড়াও S_n-এর অনেক অ-মানক কপি \widetilde{S}_n-এর মধ্যে রয়েছে। একটি ভূগোলিক নির্মাণ হলো \Lambda তে কোনো একটি বিন্দু  বেছে নেওয়া (অর্থাৎ, একটি পূর্ণসংখ্যার ভেক্টর যার সমন্বয় 0-এ যোগফল হয়); (\widetilde{S}_n)_a সাবগ্রুপ যা \widetilde{S}_n-এর ইজোমেট্রি-গুলি নিয়ে গঠিত এবং যা -কে স্থির রাখে, তা S_n-এর সাথে সমরূপ।

### ভাগফল হিসেবে

একটি সাধারণ মানচিত্র (প্রকৃতপক্ষে, একটি সার্জেকটিভ গ্রুপ হোমোমরফিজম)  রয়েছে যা \widetilde{S}_n কে সীমিত সিমেট্রিক গ্রুপ S_n তে ম্যাপ করে। সংমিশ্রণগত সংজ্ঞা অনুসারে, একটি অ্যাফাইন পারমিউটেশনকে একটি পারমিউটেশনে ম্যাপ করা যায় উইন্ডো এন্ট্রিগুলিকে মডুলো  এর উপাদানে হ্রাস করে, যার ফলে একটি পারমিউটেশনের একলাইন নোটেশন রেখে দেওয়া হয়। এই প্রবন্ধে, একটি অ্যাফাইন পারমিউটেশনের  ছবি \pi(u) কে  এর *অধীন পারমিউটেশন* বলা হয়।

মানচিত্র  কক্সেটর জেনারেটর  s_0 = [0, 2, 3, 4, \ldots, n - 2, n - 1, n + 1] কে সেই পারমিউটেশনে পাঠায়, যার একলাইন নোটেশন এবং সাইকেল নোটেশন যথাক্রমে  [n , 2 , 3 , 4, \ldots , n - 2 , n - 1 , 1] এবং (1 ; n)।

 এর কর্ণেল সংজ্ঞা অনুযায়ী, এটি সেই আফাইন পারমিউটেশনগুলির সেট, যার অধীনস্থ পারমিউটেশন হল ঐক্য। এমন আফাইন পারমিউটেশনগুলির উইন্ডো নোটেশনগুলি [1 - a_1 \cdot n, 2 - a_2 \cdot n, \ldots, n - a_n \cdot n] আকারে থাকে, যেখানে (a_1, a_2, \ldots, a_n) একটি পূর্ণসংখ্যা ভেক্টর যা a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 0, অর্থাৎ যেখানে (a_1, \ldots, a_n) \in \Lambda। জ্যামিতিকভাবে, এই কর্ণেলটি অনুবাদগুলি গঠিত, যে গুলি সম্পূর্ণ  স্থানটি ঘুরানো বা প্রতিফলিত না করেই স্থানান্তরিত করে।
 একটি লিখনগত ভুল হিসাবে, এই প্রবন্ধে চিহ্ন  ব্যবহার করা হয় এই তিনটি সেটের জন্য (-এর পূর্ণসংখ্যার ভেক্টর, আফাইন পারমিউটেশনগুলির অধীনস্থ পারমিউটেশন যা ঐক্য, এবং অনুবাদ); এই তিনটি পরিবেশে, প্রাকৃতিক গ্রুপ অপারেশন -কে একটি অ্যাবেলিয়ান গ্রুপে পরিণত করে, যা  ভেক্টর {(1, -1, 0, \ldots, 0), (0, 1, -1, \ldots, 0), \ldots, (0, \ldots, 0, 1, -1)} দ্বারা স্বাধীনভাবে উৎপন্ন। 

### জ্যামিতিক এবং সম্মিলিত সংজ্ঞার মধ্যে সংযোগ

আফাইন সিমেট্রিক গ্রুপ \widetilde{S}_n  কে একটি স্বাভাবিক উপগ্রুপ হিসেবে ধারণ করে, এবং এটি সেমিডিরেক্ট প্রোডাক্ট  \widetilde{S}_n \cong S_n \ltimes \Lambda -এর সমমূর্তি, যেখানে S_n-এর -এর উপর ক্রিয়া হল সমন্বয়গুলির পারমিউটেশন দ্বারা। অতএব, \widetilde{S}_n-এর প্রতিটি উপাদান  এর একটি অনন্য বাস্তবায়ন রয়েছে যা একটি গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়  u = r \cdot t , যেখানে r হল S_n-এর মানক কপি থেকে একটি পারমিউটেশন এবং t হল -এর একটি অনুবাদ।

এই দৃষ্টিভঙ্গি \widetilde{S}n এর সম্মিলিত এবং জ্যামিতিক সংজ্ঞাগুলির মধ্যে সরাসরি অনুবাদ করার সুযোগ দেয়: যদি কেউ লিখে [u(1), \ldots, u(n)] = [r_1 - a_1 \cdot n, \ldots, r_n - a_n \cdot n], যেখানে r = [r_1, \ldots, r_n] = \pi(u) এবং (a_1, a_2, \ldots, a_n) \in \Lambda, তবে অ্যাফাইন পারমিউটেশন  সংশ্লিষ্ট সাদৃশ্যগত গতি  দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়  (x_1, \ldots, x_n) \cdot u = \left(x{r(1)} + a_1, \ldots, x_{r(n)} + a_n \right).

তদুপরি, প্রতিটি অ্যাফাইন কক্সটার গ্রুপের মতো, অ্যাফাইন সিমেট্রিক গ্রুপ ট্রানসিটিভভাবে এবং ফ্রি গ্রুপ অ্যাকশন দ্বারা অ্যালকোভগুলির সেটে কার্যকর হয়: প্রতি দুটি অ্যালকোভের জন্য, একটি অনন্য গ্রুপ উপাদান এক অ্যালকোভকে অন্যটিতে পরিণত করে। অতএব, একটি অবাধ অ্যালকোভ A_0 বেছে নেওয়া গ্রুপকে অ্যালকোভগুলির একে অপরের সাথে সম্পর্কিত করে: পরিচিতি উপাদান A_0 এর সাথে সম্পর্কিত এবং অন্যান্য প্রতিটি গ্রুপ উপাদান  সম্পর্কিত অ্যালকোভ A = A_0 \cdot g এর সাথে যা A_0 চিত্র g এর অ্যাকশনের অধীনে।

### উদাহরণ:

গণিতগতভাবে \widetilde{S}_2 হলো অসীম দিহেড্রাল গ্রুপ, যা দুটি উৎপাদক s_0, s_1 দ্বারা উৎপন্ন, এবং সম্পর্কগুলি হলো s_0^2 = s_1^2 = 1। গ্রুপের প্রতিটি অন্যান্য উপাদান s_0 এবং s_1 এর কপি দ্বারা একটি পরিবর্তনশীল গুণফল হিসেবে লেখা যেতে পারে।

সম্মিলিতভাবে, এফিন পারমিউটেশন s_1 এর উইন্ডো নোটেশন হলো [2, 1], যা প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য 2k \mapsto 2k - 1, 2k - 1 \mapsto 2k বিজেকশনটির সাথে সম্পর্কিত। এফিন পারমিউটেশন s_0 এর উইন্ডো নোটেশন হলো [0, 3], যা প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য 2k \mapsto 2k + 1, 2k + 1 \mapsto 2k বিজেকশনটির সাথে সম্পর্কিত। অন্যান্য উপাদানগুলির উইন্ডো নোটেশনগুলি হলো:

: 
\begin{align}
\overbrace{s_0 s_1 \cdots s_0 s_1}^{2k \text{ factors}} & = [1 + 2k, 2 - 2k ], \\[5pt]
\overbrace{s_1 s_0 \cdots s_1 s_0}^{2k \text{ factors}} & = [1 - 2k, 2 + 2k ], \\[5pt]
\overbrace{s_0 s_1 \cdots s_0}^{2k + 1 \text{ factors}} & = [2 + 2k, 1 - 2k ], \\[5pt]
\overbrace{s_1 s_0 \cdots s_1}^{2k + 1 \text{ factors}} & = [2 - 2(k + 1), 1 + 2(k + 1) ].
\end{align}


জ্যামিতিকভাবে,  স্থানটি যাহাতে \widetilde{S}_2 কাজ করে তা একটি রৈখিক স্থান, যেখানে অসীম সংখ্যক সমানভাবে স্পেসড প্রতিফলন রয়েছে। যতটুকু বলেছি, \widetilde{S}_2 যা কাজ করে এমন স্থান  একটি রৈখিক স্থান, যেখানে অসীম সংখ্যক সমানভাবে স্পর্শক বিন্দু রয়েছে। এটি স্বাভাবিকভাবে রৈখিক স্থান -কে বাস্তব রেখা \R^1 এর সাথে সংযুক্ত করা যেতে পারে, যেখানে s_0 বিন্দু  এর চারপাশে প্রতিবিম্ব এবং s_1 বিন্দু  এর চারপাশে প্রতিবিম্ব। এই ক্ষেত্রে, প্রতিবিম্ব (s_0 s_1)^k s_0 বিন্দু  এর চারপাশে প্রতিবিম্বিত করে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য, s_0 s_1 এর সমন্বয় রেখাকে  দ্বারা স্থানান্তরিত করে এবং s_1 s_0 এর সমন্বয় রেখাকে  দ্বারা স্থানান্তরিত করে।

## বিন্যাস পরিসংখ্যান ও বিন্যাস ধরন
অনেক বিন্যাস পরিসংখ্যান এবং সীমানাবদ্ধ বিন্যাসের যৌগিকতার অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলো এফিন পরিস্থিতিতে সম্প্রসারিত হতে পারে।

### অবতরণ, দৈর্ঘ্য, এবং বিপরীতক্রম
একটি কক্সেটার গ্রুপ  এর একটি উপাদান  এর *দৈর্ঘ্য* \ell(g) হলো সর্বনিম্ন সংখ্যা , যাতে  কে  টি কক্সেটার উৎপাদক  g= s_{i_1} \cdots s_{i_k} হিসাবে লিখা যেতে পারে।
জ্যামিতিকভাবে, \widetilde{S}n এর একটি উপাদান  এর দৈর্ঘ্য হলো সেই প্রতিফলিত হাইপারপ্লেনগুলির সংখ্যা যা A_0 এবং  A_0 \cdot g কে আলাদা করে, যেখানে A_0 হলো মৌলিক এলকোভ (যা কক্সেটার উৎপাদক s_0, s_1, \ldots, s{n - 1} দ্বারা সীমানাবদ্ধ একটি সিম্পলেক্স)।

যতটুকু গণনা করা যায়, একটি অভ্যন্তরীণ পরিবর্তনশীলতার দৈর্ঘ্য বিপরীততার একটি উপযুক্ত ধারণার মাধ্যমে সংকেতিত হয়: একটি অভ্যন্তরীণ পরিবর্তনশীলতার জন্য
, দৈর্ঘ্য হলো 

 \ell(u) = \# \left\{ (i, j) \colon i \in \{1, \ldots, n\}, j \in \mathbb{Z}, i  u(j) \right\}.
অথবা, এটি সমতুল্য বর্গের সংখ্যা যা  (i, j) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}  এর জন্য, যেখানে  i  এবং  u(i) > u(j), এবং সমতুল্য সম্পর্ক অনুযায়ী  (i, j) \equiv (i', j')  যদি (i - i', j - j') = (kn, kn) কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য
।
দৈর্ঘ্যের জন্য জেনারেটিং ফাংশন
\widetilde{S}_n হলো

 \sum_{g \in \widetilde{S}_n} q^{\ell(g)} = \frac{1 - q^n}{(1 - q)^n}.
এছাড়াও, বিন্যাসে পতন এর একটি এফিন রূপ রয়েছে: একটি এফিন বিন্যাসে  অবস্থানের পতন হয়ে থাকে যদি  u(i) > u(i + 1)।

অনুরূপভাবে, বিন্যাসে অবতরণের একটি অভিক্ষিপ্ত সদৃশ রূপ রয়েছে: একটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস।  একটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসে যদি u(i) > u(i + 1) হয়, তবে অবস্থান  এ একটি অবতরণ থাকে। (আবর্তনশীলতার কারণে, -এর অবস্থান  তে একটি অবতরণ থাকবে যদি এবং কেবল যদি সকল পূর্ণসংখ্যার  এর জন্য i + kn অবস্থানেও অবতরণ থাকে।) বীজগাণিতিকভাবে, অবতরণগুলি কক্সেটার গোষ্ঠীর দৃষ্টিকোণ থেকে ‘‘ডানদিকের অবতরণ’’ এর সাথে সম্পর্কিত; অর্থাৎ,  হল -এর একটি অবতরণ যদি এবং কেবল যদি  \ell(u \cdot s_i) . বামদিকের অবতরণ (অর্থাৎ, সেই সূচক  যার জন্য  \ell(s_i \cdot u) ) হল বিপরীত অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস u^{-1}-এর অবতরণ। সমতুল্যভাবে, এগুলি সেই মান  যেগুলি  থেকে পূর্বে  অবস্থান নেয় ধারাবাহিকতায়:
 \ldots, u(-2), u(-1), u(0), u(1), u(2), \ldots.
জ্যামিতিকভাবে,  তখনই এবং শুধুমাত্র তখনই -এর একটি অবতরণ হবে যদি s_i-এর স্থির সমতল A_0 এবং  A_0 \cdot u এর মধ্যবর্তী অঞ্চলকে বিভক্ত করে।

যেহেতু অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসের অবতরণ সংখ্যার জন্য প্রতিসম সংখ্যক সম্ভাবনা রয়েছে, কিন্তু অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস অসীম সংখ্যক, তাই অবতরণ সংখ্যার ভিত্তিতে অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসের জন্য একটি উৎপাদক ফাংশন সরলভাবে গঠন করা সম্ভব নয় (যা ঐলারীয় বহুপদীগুলির একটি অভিক্ষিপ্ত সদৃশ রূপ)।
 একটি সম্ভাব্য সমাধান হলো সীমিত প্রতিসম গ্রুপ S_n-এর মধ্যে অভিক্ষিপ্ত অবতরণ (সমতুল্যভাবে, আবর্তিত অবতরণ) বিবেচনা করা।
 এর আরেকটি সম্ভাব্য পদ্ধতি হলো অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসের দৈর্ঘ্য এবং অবতরণের সংখ্যা একসঙ্গে বিবেচনা করা। সীমিত প্রতিসম গ্রুপ \widetilde{S}_n-এর জন্য এই পরিসংখ্যানগুলোর বহুচর উৎপাদক ফাংশন একসঙ্গে সমস্ত  এর জন্য প্রকাশ করা হয়:
  
\sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{1 - q^n} \sum_{w \in \widetilde{S}_n} t^{\operatorname{des}(w)} q^{\ell(w)}  
=  
\left[  
\frac{x \cdot \frac{\partial}{\partial{x}} \log(\exp(x; q))}{1 - t \exp(x; q)}  
\right]_{x \mapsto x \frac{1 - t}{1 - q}}  
  যেখানে  হলো অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস -এর অবতরণের সংখ্যা এবং 
\exp(x; q) = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n (1 - q)^n}{(1 - q)(1 - q^2) \cdots (1 - q^n)} হচ্ছে -সূচকীয় ফাংশন।

### চক্রের ধরন এবং প্রতিফলন দৈর্ঘ্য
যেকোনো দ্বৈতএকসংকেতী প্রতিফলন u : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} পূর্ণসংখ্যাগুলিকে (সম্ভাব্য অসীম) চক্রের একটি তালিকায় বিভক্ত করে। প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য, -কে ধারণকারী চক্রটি হলো
 ( \ldots, u^{-2}(i), u^{-1}(i), i, u(i), u^2(i), \ldots ) 
যেখানে সূচকীয় রূপান্তর ফাংশনীয় সংযোজন নির্দেশ করে। 

একটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস  এর জন্য, নিম্নলিখিত শর্তগুলি একে অপরের সমান: -এর সমস্ত চক্র সসীম -এর সসীম অর্ডার আছে,এবং -এর ভৌত ক্রিয়া -এ কমপক্ষে একটি স্থির বিন্দু আছে।

একটি উপাদান  এর "প্রতিচ্ছবি দৈর্ঘ্য" \ell_R(u) হলো সর্বনিম্ন সংখ্যা , এমন যে সেখানে প্রতিচ্ছবিগুলি r_1, \ldots, r_k আছে, যাতে u = r_1 \cdots r_k হয়। (প্রতিসম
গ্রুপে, প্রতিচ্ছবি হলো স্থানান্তর, এবং একটি বিন্যাস -এর প্রতিচ্ছবি দৈর্ঘ্য হলো n - c(u), যেখানে c(u) হলো -এর চক্রের সংখ্যা।) 
, অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস  এর জন্য নিম্নলিখিত সূত্র প্রমাণিত হয়েছে: -এর প্রতিটি চক্রের জন্য, *ওজন* হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সেই পূর্ণসংখ্যা *k* যা এমনভাবে সংজ্ঞায়িত হয় যে, পরপর তালিকাভুক্ত এন্ট্রিগুলি  মডুলো অনুযায়ী কংগ্রুয়েন্ট থাকলেও তারা ঠিক  দ্বারা পার্থক্য করে।  -এর চক্রের ওজনগুলির একটি যুগ্ম তৈরি করুন (একই চক্রের অনুবাদগুলি -এর গুণফল দ্বারা শুধুমাত্র একবার গননা করা হবে), এবং *শূন্যতা* \nu(u) সংজ্ঞায়িত করুন সেই যুগ্মের সর্বনিম্ন সেট বিভাজন হিসেবে, যাতে প্রতিটি অংশের যোগফল 0 হয়।   তাহলে, -এর প্রতিচ্ছবি দৈর্ঘ্য হলো
 \ell_R(u) = n - 2 \nu(u) + c(\pi(u)),
যেখানে \pi(u) হলো -এর অন্তর্নিহিত বিন্যাস।

প্রতিটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস -এর জন্য, এমন একটি উপগোষ্ঠী  নির্বাচন করা হয় \widetilde{S}_n -এর যা W \cong S_n,  \widetilde{S}_n = W \ltimes \Lambda, এবং এই সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্ট দ্বারা যা মানানসই মানক রূপ  u = w \cdot t  এবং এই আধা-প্রত্যক্ষ পণ্য দ্বারা যা মানানসই মানক রূপ  u = w \cdot t  নির্দেশিত হয়, প্রতিচ্ছবি দৈর্ঘ্যগুলো যোগফলযোগ্য, অর্থাৎ, \ell_R(u) = \ell_R(w) + \ell_R(t)।

### সম্পূর্ণরূপে বিনিময়যোগ্য উপাদান এবং প্যাটার্ন পরিহার
একটি কক্সেটার গ্রুপের উপাদান -এর জন্য একটি *হ্রাসকৃত শব্দ* হলো (s_{i_1}, \ldots, s_{i_{\ell(g)}}) এর একটি যুগ্ম যা কক্সেটার উৎপাদকদের সর্বনিম্ন সম্ভব দৈর্ঘ্যের, এমনভাবে যে  g = s_{i_1} \cdots s_{i_{\ell(g)}}।
  উপাদানটি *সম্পূর্ণভাবে আদান-প্রদানযোগ্য* বলা হয় যদি কোন হ্রাসকৃত শব্দটি যেকোনো অন্য শব্দে পরিণত হতে পারে শুধুমাত্র যেসব উপাদান একে অপরের সাথে আদান-প্রদান করে, তাদের জোড়াগুলি একে অপরের সাথে স্থানান্তরিত করে।
উদাহরণস্বরূপ, সমাপ্ত প্রতিসম
গ্রুপ S_4 -এ, উপাদান  2143 = (12)(34) সম্পূর্ণভাবে আদান-প্রদানযোগ্য, কারণ এর দুটি হ্রাসকৃত শব্দ (s_1, s_3) এবং (s_3, s_1) একে অপরের সাথে আদান-প্রদান করে স্থানান্তরিত করা যায়, কিন্তু  4132 = (142)(3) সম্পূর্ণভাবে আদান-প্রদানযোগ্য নয়, কারণ (s_2, s_3, s_2, s_1) থেকে (s_3, s_2, s_3, s_1) হ্রাসকৃত শব্দে পৌঁছানোর জন্য কোন আদান-প্রদান সম্ভব নয়।

 প্রমাণিত হয়েছে যে,প্রতিসম গ্রুপ S_n এ, একটি পারমুটেশন সম্পূর্ণভাবে কমিউটেটিভ হলে এবং কেবল তখনই যদি এটি পারমুটেশন প্যাটার্ন 321 থেকে বিরত থাকে, অর্থাৎ, এর এক-লাইন নোটেশনটিতে কোনো তিন-টার্ম ডিক্রিজিং সাবসিকোয়েন্স না থাকে।
-এ এই ফলাফলটি অ্যাফাইন পারমুটেশনগুলিতে সম্প্রসারিত করা হয়েছে: একটি অ্যাফাইন পারমুটেশন  সম্পূর্ণভাবে কমিউটেটিভ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এমন কোনো পূর্ণসংখ্যা , , এবং  না থাকে, যাদের জন্য  u(i) > u(j) > u(k)। 

যে কোনো একক প্যাটার্ন  পরিহারকারী এফিন প্রতিসমের সংখ্যা সসীম হয় যদি এবং শুধু যদি  321 প্যাটার্নটি পরিহার করে, অতএব, বিশেষ করে, অনন্ত সংখ্যক পুরোপুরি কমিউটেটিভ এফিন প্রতিসম রয়েছে। এগুলি দৈর্ঘ্য অনুসারে গণনা করা হয়েছে ।

## প্যারাবলিক উপগ্রুপ এবং অন্যান্য গঠন
\widetilde{S}_n এর পরাবৃত্তি উপগোষ্ঠীসমূহ এবং তাদের অংশ প্রতিনিধিগুলি একটি সমৃদ্ধ গাণিতিক কাঠামো প্রদান করে। প্রতিসম গ্রুপের অন্যান্য দিক যেমন তাদের ব্রুহাত আদেশ এবং প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বও গাণিতিক পদ্ধতিসমূহের মাধ্যমে বোঝা যেতে পারে।

### প্যারাবলিক উপগ্রুপ, অংশ প্রতিনিধি

একটি *মানক [[প্যারাবোলিক উপগ্রিুপ]]* যা একটি কক্সেটার গ্রুপ এর একটি উপগ্রুপ, এটি তার কক্সেটার উত্পাদক সেটের একটি উপসেট দ্বারা উত্পন্ন একটি উপগ্রুপ। এফিম প্রতিসম গ্রুপের সর্বাধিক প্যারাবোলিক উপগ্রুপগুলো সেগুলি, যা একটি একক কক্সেটার উত্পাদক বাদ দিয়ে আসে \widetilde{S}_n তে, সব সর্বাধিক প্যারাবোলিক উপগ্রুপ S_n সীমিত প্রতিসম গ্রুপের সমরূপ। উপগোষ্ঠীটি যা উপসেট  \{s_0, \ldots, s_{n - 1} \} \smallsetminus \{s_i\} দ্বারা উত্পন্ন, এটি এমন সমস্ত এফিম পেরমুটেশন নিয়ে গঠিত যা সেগুলি স্থির রাখে অন্তর্বর্তীকালীন [i + 1, i + n], অর্থাৎ, যেগুলি এই অন্তর্বর্তীকালীন প্রতিটি উপাদানকে অন্তর্বর্তীকালীন অন্য উপাদানে মানচিত্র করে।

একটি স্থির উপাদান  যার মান {0, \ldots, n - 1} এর জন্য, ধরা যাক  J = {s_0, \ldots, s_{n - 1} } \smallsetminus {s_i} কক্সেটার উত্পাদকগুলির সর্বাধিক সঠিক উপসেট যা s_i বাদ দিয়ে আসে, এবং (\widetilde{S}_n)_J দ্বারা প্রকাশিত প্যারাবোলিক উপগোষ্ঠীটি বোঝানো হয় যা  দ্বারা উত্পন্ন। প্রতিটি  g \cdot (\widetilde{S}_n)_J  এর একটি স্বতন্ত্র উপাদান রয়েছে যার দীর্ঘতায় সর্বনিম্ন মান। এমন প্রতিনিধিদের সংগ্রহ, যা (\widetilde{S}_n)^J দ্বারা প্রকাশিত, নিম্নলিখিত এফিম পেরমুটেশনগুলি নিয়ে গঠিত:

 (\widetilde{S}_n)^J = \left \{ u \in \widetilde{S}_n \colon u(i - n + 1) 

বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে  J = {s_1, \ldots, s_{n - 1} }, তাহলে (\widetilde{S}_n)_J \cong S_n হলো S_n এর একটি মানক অনুলিপি \widetilde{S}_n এর মধ্যে, (\widetilde{S}_n)^J \cong \widetilde{S}_n/S_n এর উপাদানগুলি প্রাকৃতিকভাবে *ব্যাকাস চিত্র* দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে: পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি অসীম স্ট্রিপে  প্রস্থে সাজানো থাকে, যা সারিতে ধারাবাহিকভাবে বাড়তে থাকে এবং তারপর উপরে থেকে নিচে চলে; পূর্ণসংখ্যাগুলি বৃত্তাকৃত হয় যদি সেগুলি মিনিমাম কোসেট প্রতিনিধির জানালা প্রবেশদ্বারের সঠিক উপরে থাকে।যেমন উদাহরণস্বরূপ, ন্যূনতম কোসেট প্রতিনিধি  u = [-5, 0, 6, 9] সঠিক ব্যাকাস চিত্র দ্বারা ডানদিকে উপস্থাপিত হয়েছে। ব্যাকাস চিত্র থেকে প্রতিনিধি এর দৈর্ঘ্য হিসাব করতে, প্রতিটি সারিতে শেষ বৃত্তাকৃত উপাদানের থেকে ছোট যেসব বৃত্তহীন সংখ্যা আছে, সেগুলির মোট যোগফল করা হয়। (দেখানো উদাহরণে, এটি  5 + 3 + 0 + 1 = 9 প্রদান করে।)

\widetilde{S}_n/S_nএর জন্য অন্যান্য সংমিশ্রণ মডেলগুলি কোর পার্টিশন (যে পূর্ণসংখ্যা বিভাজনগুলিতে কোনো হুক দৈর্ঘ্য  দ্বারা বিভাজ্য নয়) বা সীমানিত পার্টিশন (পূর্ণসংখ্যা বিভাজন যেখানে কোনো অংশ  − 1 এর চেয়ে বড় নয়) এর মাধ্যমে প্রদান করা যেতে পারে। এই সম্বন্ধের অধীনে, এটি প্রমাণ করা যায় যে দুর্বল ব্রুহাত আদেশ \widetilde{S}_n / S_n এর উপর একটি নির্দিষ্ট উপগোষ্ঠীর সমরূপ যা ইয়ং-এর স্তম্ভ এর একটি উপ-অংশের সমান।

### ব্রুহাট ক্রম
ব্রুহাট ক্রম\widetilde{S}_n
এর উপর নিম্নলিখিত সংমিশ্রণমূলক বাস্তবায়ন রয়েছে। যদি  একটি এফিম পেরমুটেশন হয় এবং  এবং  পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে সংজ্ঞায়িত করা হয়  u [i, j]  যে সংখ্যাটি  এর সমষ্টি, যাতে  a \leq i  এবং  u(a) \geq j। (যেমন,  u = [2, 0, 4] \in \widetilde{S}_3 হলে, u [ 3, 1 ] = 3: তিনটি প্রাসঙ্গিক মান হল  a = 0, 1, 3 , যেগুলি যথাক্রমে  দ্বারা 1, 2 এবং 4 তে মানচিত্রিত হয়।) তারপর, দুটি এফিম পেরমুটেশন ,  এর জন্য, u \leq v হবে ব্রুহাত আদেশে যদি এবং শুধুমাত্র যদি  u[i, j] \leq v[i, j]  সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য , ।

### উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং একটি এফিম রোবিনসন–শেনস্টেড সঙ্গতিপূর্ণতা
সীমিত প্রতিসম গ্রুপ, রোবিনসন–শেনস্টেড সঙ্গতিপূর্ণতা গোষ্ঠী এবং একই আকারের স্ট্যান্ডার্ড ইয়ং টেবলোx এর জোড় (P, Q) এর মধ্যে একটি বিয়েকশন প্রদান করে। এই বিয়েকশনটি কম্বিনেটোরিক্স এবং সিমেট্রিক গোষ্ঠীর উপস্থাপনা তত্ত্ব এ একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। উদাহরণস্বরূপ, কাজডান–লুসটিগ তত্ত্ব এর ভাষায়, দুটি পেরমুটেশন একে অপরের বাম কোষে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের রোবিনসন–শেনস্টেডের অধীনে চিত্রিত টেবলো  একই হয়, এবং একই ডান কোষে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের চিত্রিত টেবলো  একই হয়।-এ, জিয়ান-ই শি দেখিয়েছিলেন যে \widetilde{S}_n এর বাম কোষগুলি এখন *ট্যাবলয়েড* দ্বারা সূচকিত হয়, এবং -এ, তিনি একটি অ্যালগরিদম প্রদান করেছিলেন যা একটি এফিম পেরমুটেশনের জন্য টেবলো  এর সমতুল্য ট্যাবলয়েড গণনা করে। -এ, লেখকরা শি'র কাজ সম্প্রসারণ করে \widetilde{S}_n এবং (P, Q, \rho) এর মধ্যে একটি বিয়েক্টিভ মানচিত্র প্রদান করেন, যা একই আকারের দুটি ট্যাবলয়েড এবং একটি পূর্ণসংখ্যার ভেক্টর ধারণ করে, যার এন্ট্রিগুলি নির্দিষ্ট অগ্রাধিকার সম্পর্ক পূর্ণ করে। তাদের প্রক্রিয়া এফিম পেরমুটেশনের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা ব্যবহার করে এবং ছায়া নির্মাণ কে সাধারণীকৃত করে, যা -এ পরিচিত হয়েছিল।

## বিপরীত বাস্তবায়ন

কিছু পরিস্থিতিতে, কেউ \Z-এ অথবা এলকোভ এফিম প্রতিসম গ্রুপের ক্রিয়ার বিপরীত কার্যক্রম বিবেচনা করতে চায়, যা উপরে দেওয়া হয়েছে।
 এই বিকল্প বাস্তবায়নগুলি নিচে বর্ণিত হয়েছে।

\widetilde{S}_n এর \Z উপর কম্বিনেটোরিক্যাল ক্রিয়ায়, উৎপাদক s_i *মান*  এবং  পরিবর্তন করে কাজ করে। বিপরীত ক্রিয়ায়, এটি পরিবর্তে *অবস্থান*  এবং  এর মধ্যে প্রবেশস্থল পরিবর্তন করে। একইভাবে, একটি সাধারণ প্রতিফলনের ক্রিয়া হলো *অবস্থান*  এবং  এ প্রবেশস্থল পরিবর্তন করা, প্রতিটি  এর জন্য, এমনকি সমস্ত ইনপুট যেগুলি  অথবা  এর সাথে  মডুলো সমান নয়, সেগুলিকে অপরিবর্তিত রাখা।

\widetilde{S}_n এর জ্যামিতিক ক্রিয়ায়, উৎপাদক s_i একটি আলকোভ -এর উপর কাজ করে এটি মৌলিক আলকোভ  এর একটি সীমানা সমতলে প্রতিফলিত করে। বিপরীত ক্রিয়ায়, এটি -কে তার *নিজস্ব* সীমানা সমতলে প্রতিফলিত করে। এই দৃষ্টিভঙ্গি থেকে, একটি হ্রাসকৃত শব্দ একটি *আলকোভ হাঁটা*-এর সাথে সম্পর্কিত যা টেসেলেটেড স্পেস -এ ঘটে।

## অন্যান্য গাণিতিক বস্তুর সাথে সম্পর্ক
এফিম প্রতিসম গ্রুপগুলো অন্যান্য অনেক গাণিতিক অবজেক্টের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

### জাগলিং নকশা

-এ, একটি সম্পর্ক প্রদান করা হয়েছে যেখানে এফিম প্রতিসম গ্রুপের উপাদান এবং জাগলিং নকশাগুলো সাইটসওয়াপ নোটেশনএর একটি সংস্করণে এনকোড করা হয়েছে। এখানে, একটি জাগলিং নকশা যার  পিরিয়ড, তা হলো একটি সিকোয়েন্স (a_1, \ldots, a_n) যা অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার (কিছু নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতার সাথে) একটি সিকোয়েন্স, যা একটি জাগলারের দ্বারা নিক্ষিপ্ত বলগুলির আচরণ বর্ণনা করে, যেখানে সংখ্যা a_i -তম নিক্ষেপের আকাশে থাকার সময় (অথবা, নিক্ষেপের উচ্চতা) নির্দেশ করে। নকশা বলের সংখ্যা  হলো গড়। b = \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}। 
এহেনবার্গ–রেডি সম্পর্ক প্রতিটি  যুগের জাগলিং নকশা {\bf a} = (a_1, \ldots, a_n) এর সাথে সম্পর্কিত করে w_{\bf a} \colon \Z \to \Z ফাংশনটি, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়

 w_{\bf a}(i) = i + a_i - b,
 যেখানে সিকোয়েন্সের সূচকগুলো  মডুলো নেওয়া হয়। তারপর w_{\bf a} একটি এফিন পেরমুটেশন \widetilde{S}_n এর মধ্যে, এবং তদ্ব্যতীত, প্রতিটি এফিন পেরমুটেশন এইভাবে একটি জাগলিং নকশা থেকে উদ্ভূত হয়। এই বায়েকশনের অধীনে, এফিন পেরমুটেশনের দৈর্ঘ্য একটি প্রাকৃতিক পরিসংখ্যান দ্বারা জাগলিং প্যাটার্নে সংকেতিত হয়:

\ell(w_{\bf a}) = (b - 1)n - \operatorname{cross}({\bf a}),
যেখানে \operatorname{cross}({\bf a}) হলো **a** এর আর্ক চিত্রে (যতটা পরিধির মধ্যে) ক্রসিং এর সংখ্যা। এটি অ্যাফাইন পেরমুটেশনের জন্য দৈর্ঘ্য দ্বারা উৎপন্ন ফাংশনের একটি মৌলিক প্রমাণ প্রদান করে। যেমন উদাহরণস্বরূপ, জাগলিং নকশা 441 এর জন্য n = 3 এবং  b = \frac{4 + 4 + 1}{3} = 3। অতএব, এটি এফিন পেরমুটেশন w_{441} = [1 + 4 - 3, 2 + 4 - 3, 3 + 1 - 3] = [2, 3, 1] এর সাথে সম্পর্কিত। এই জাগলিং নকশাতে চারটি ক্রসিং রয়েছে, এবং অ্যাফাইন পেরমুটেশনের দৈর্ঘ্য \ell(w_{441}) = (3 - 1) \cdot 3 - 4 = 2।

সামান্য কোসেট রিপ্রেজেন্টেটিভদের জন্য উৎপত্তি ফাংশন \widetilde{S}_n/S_n এর দৈর্ঘ্য দ্বারা এই একই কৌশলগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে।

### জটিল প্রতিফলন গ্রুপ
একটি সসীম-মাত্রিক বাস্তব অন্তঃউৎপাদন স্থান-এ, একটি *প্রতিফলন* হলো একটি রৈখিক রূপান্তর যা একটি রৈখিক অতিরিক্ত সপাটকে বিন্দু-ভিত্তিকভাবে স্থির রাখে এবং সপাটের প্রতি আর্পিত ভেক্টরটিকে বিপরীত করে। এই ধারণাটি অন্যান্য ক্ষেত্র-এর জন্যও সম্প্রসারিত হতে পারে। বিশেষভাবে, একটি জটিল অন্তঃউৎপাদন স্থানে, একটি *প্রতিফলন* হলো একটি ঊনিটারি রূপান্তর  যা সসীম আদেশ সহ একটি অতিরিক্ত সপাটকে স্থির রাখে। এটি নির্দেশ করে যে, যেসব ভেক্টর সপাটের প্রতি আর্জিত, সেগুলি  এর ঊইজেনভেক্টর, এবং সংশ্লিষ্ট ঊইজেনমান হলো একটি জটিল ঊনিতির মূল। একটি *[[জটিল প্রতিফলন গোষ্ঠী]]* হল একটি সসীম গ্রুপ যা একটি জটিল ভেক্টর স্থানে প্রতিফলন দ্বারা সৃষ্ট রৈখিক রূপান্তরগুলির সমষ্টি।

জটিল প্রতিফলন গ্রুপগুলোকে সম্পূর্ণরূপে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে -এ: প্রতিটি জটিল প্রতিফলন গ্রুপ অমতান্ত্রিত জটিল প্রতিফলন গ্রুপগুলির একটি গুণফলসমূহের সাথে সমরূপ, এবং প্রতিটি অমতান্ত্রিত গ্রুপ বা একটি অসীম পরিবারে অন্তর্ভুক্ত G(m, p, n) (যেখানে , , এবং  হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং   কে বিভাজ্য) অথবা 34টি অন্যান্য (যেগুলোকে "অস্বাভাবিক" বলা হয়) উদাহরণের একটি। G(m, 1, n) গ্রুপ হলো সাধারণীকৃত প্রতিসম গ্রুপ: গণিতিকভাবে, এটি হলো রিথ পণ্য (\Z / m \Z) \wr S_n যা চক্রীয় গোষ্ঠী \Z / m \Z এবং প্রতিসম গ্রুপ S_n এর গুণফল। বাস্তবে, গ্রুপ উপাদানগুলি মনোমিয়াল ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে (যে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি এবং কলামে একটি অ-শূন্য উপাদান থাকে) যাদের অ-শূন্য উপাদানগুলি সকলেই তম একক রুট। G(m, p, n) গ্রুপগুলি হলো G(m, 1, n) এর উপগ্রুপ, এবং বিশেষভাবে G(m, m, n) গ্রুপটি ঐসব ম্যাট্রিক্স দ্বারা গঠিত যেখানে অ-শূন্য উপাদানগুলির গুণফল 1 এর সমান।

-এ, শি প্রমাণ করেছেন যে, এফিন প্রতিসম গ্রুপ হলো \left\{G(m, m, n) \colon m \geq 1 \right\} পরিবারটির একটি *সাধারণ আচ্ছাদন* পরবর্তী অর্থে: প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা  এর জন্য, \widetilde{S}_n থেকে G(m, m, n) এ একটি সার্জেকশন \pi_m বিদ্যমান, এবং এই মানচিত্রগুলি স্বাভাবিক সার্জেকশনগুলির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যেমন G(m, m, n) \twoheadrightarrow G(p, p, n) যখন p \mid m, যা প্রতিটি উপাদানকে তম শক্তিতে উত্তোলন করা থেকে আসে। অতিরিক্তভাবে, এই প্রক্ষেপণগুলি প্রতিফলন গ্রুপ কাঠামোকে সম্মান করে, অর্থাৎ, \widetilde{S}_n এর প্রতিটি প্রতিফলনের চিত্র \pi_m এর মাধ্যমে G(m, m, n) এ একটি প্রতিফলন হবে; এবং একইভাবে, যখন m > 1, \widetilde{S}n এর মানক কক্সিটার উপাদান s_0 \cdot s_1 \cdots s{n - 1} এর চিত্র একটি কক্সিটার উপাদান হবে  G(m, m, n) এ।

### এফিন লাই বীজগণিতগুলো
প্রতিটি এফিন কক্সিটার গ্রুপ একটি অ্যাফাইন লাই অ্যালজেবরার সাথে সম্পর্কিত, যা একটি নির্দিষ্ট অসীম-মাত্রিক অ-সংযুক্ত অ্যালজেবরা, যার উপস্থাপনামূলক গুণাবলী অত্যন্ত সুন্দর এই সম্পর্কের মধ্যে, কক্সিটার গ্রুপটি লাই বীজগণিত রুট স্থান (যা কার্টান সাবঅ্যালজেবরার দ্বৈত) এর প্রতিসম গ্রুপ হিসেবে উদ্ভূত হয়। এফিন লাই বীজগণিত শ্রেণীবিভাগে, যা \widetilde{S}n এর সাথে সম্পর্কিত, এটি (অ-ঘূর্ণিত) ধরনের A{n - 1}^{(1)} এবং এর কার্টান ম্যাট্রিক্স হলো  \left[ \begin{array}{rr} 2 & - 2 \ - 2& 2 \end{array} \right]  যখন n = 2 এবং  \left[ \begin{array}{rr} 2 & - 2 \\ - 2& 2 \end{array} \right]  for n = 2 and
 \left[ \begin{array}{rrrrrr} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & -1 \\
-1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{array} \right]
 (একটি সার্কুল্যান্ট ম্যাট্রিক্স) যখন  n > 2 ।

অন্যান্য ক্যাক–মুডি অ্যালজেবরার মতো, এফিন লাই বীজগণিতগুলো ওয়েইল–ক্যাক চরিত্র সূত্র পূর্ণ করে, যা বীজগণিতের চরিত্রগুলি তাদের সর্বোচ্চ ওজন এর দ্বারা প্রকাশ করে। অ্যাফাইন লাই অ্যালজেবরার ক্ষেত্রে, ফলস্বরূপ সৃষ্ট সনাক্তকরণগুলি ম্যাকডোনাল্ড সনাক্তকরণ এর সমতুল্য। বিশেষভাবে, A_1^{(1)} ধরনের এফিন লাই বীজগণিতের জন্য, যা এফিন প্রতিসম গ্রুপ \widetilde{S}_2 এর সাথে সম্পর্কিত, সংশ্লিষ্ট ম্যাকডোনাল্ড সনাক্তকরণটি জ্যাকোবি ত্রিপল পণ্য এর সমতুল্য।

### ব্রেইড গ্রুপ এবং গ্রুপ-তাত্ত্বিক গুণাবলী

কক্সিটার গ্রুপগুলোর কিছু বিশেষ গুণাবলী রয়েছে যা সব গ্রুপের মধ্যে ভাগ করা হয় না। এর মধ্যে রয়েছে যে তাদের গণিত বিষয়ক শব্দ সমস্যা অবিচ্ছেদ্য (অর্থাৎ, এমন একটি আলগোরিদম রয়েছে যা নির্ধারণ করতে পারে যে কোনো নির্দিষ্ট উৎপাদিত উপাদান একক উপাদান আইডেন্টিটি এর সমান কি না) এবং তারা রৈখিক গোষ্ঠী (অর্থাৎ, তারা একটি ক্ষেত্রের উপর বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে)।

প্রতিটি কক্সিটার গ্রুপ  একটি আরটিন–টিটস গোষ্ঠী B_W এর সাথে সম্পর্কিত, যা একটি অনুরূপ উপস্থাপনা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, যেখানে প্রতিটি উৎপাদক  এর জন্য s^2 = 1 সম্পর্ক বাদ দেওয়া হয়। বিশেষভাবে, \widetilde{S}n এর সাথে সম্পর্কিত আরটিন–টিটস গোষ্ঠী টি উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা  \sigma_0, \sigma_1, \ldots, \sigma{n - 1} দ্বারা প্রকাশিত হয় এবং সম্পর্কগুলির মধ্যে থাকে \sigma_i \sigma_{i + 1} \sigma_i = \sigma_{i + 1}\sigma_i \sigma_{i + 1} যেখানে i = 0, \ldots, n - 1 (এবং অন্য কোনো সম্পর্ক নেই), যেখানে পূর্বের মতো সূচকগুলি  দ্বারা মডুলো হিসাবে নেওয়া হয় (অতএব  \sigma_n = \sigma_0)। কক্সিটার গ্রুপের আর্টিন-টিটস গ্রুপগুলির অনেক সুন্দর বৈশিষ্ট্য রয়েছে বলে অনুমান করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এগুলি টর্শন-মুক্ত, এদের কেন্দ্র তুচ্ছ, শব্দ সমস্যা সমাধানযোগ্য এবং এরা  K(\pi, 1) অনুমানকে সিদ্ধ করে বলে মনে করা হয়। এই অনুমানগুলি সমস্ত আর্টিন-টিটস গ্রুপের জন্য সত্য বলে জানা যায়নি, তবে সালে দেখিয়েছেন যে B_{\widetilde{S}_n} এই বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে। (পরে, এইগুলি "এফিন" কক্সিটার গ্রুপের সাথে সম্পর্কিত আর্টিন-টিটস গ্রুপগুলির জন্য প্রমাণিত হয়েছে।) এফিন প্রতিসম গ্রুপ ক্ষেত্রে, এই প্রমাণগুলি আরটিন–টিটস গ্রুপের উপর সংশ্লিষ্ট গারসাইড কাঠামো ব্যবহার করে।

আরটিন–টিটস গোষ্ঠীগুলিকে কখনও কখনও *সাধারণীকৃত ব্রেইড গ্রুপ* হিসেবে অভিহিত করা হয়, কারণ (সীমিত) প্রতিসম গ্রুপ B_{S_n} এর আরটিন–টিটস গ্রুপ হচ্ছে ব্রেইড গ্রুপটি স্ত্রান্ডে।
সব আরটিন–টিটস গ্রুপের জন্য জ্যামিতিক ব্রেইডের মাধ্যমে একটি প্রাকৃতিক উপস্থাপনা নেই। তবে, হাইপেরোঅকটাহেড্রাল গোষ্ঠী S^{\pm}_n এর আরটিন–টিটস গোষ্ঠী (জ্যামিতিকভাবে, *n*-মাত্রিক হাইপারকিউব এর প্রতিসম গ্রুপ; সংযোজকভাবে, আকার *n* এর সাইনযুক্ত প্রতিস্থাপন গ্রুপ) এর একটি উপস্থাপনা রয়েছে: এটি ব্রেইড গ্রুপের একটি উপগ্রুপ দ্বারা প্রদত্ত, যা n + 1টি স্ত্রান্ডের ব্রেইড গ্রুপ থেকে গঠিত, যেখানে একটি নির্দিষ্ট স্ত্রান্ড শুরু অবস্থানে ফিরে আসে, অথবা সমতুল্যভাবে এটি টি স্ত্রান্ডের ব্রেইড গ্রুপ হিসেবে উপস্থাপিত হয় একটি অ্যানুলার অঞ্চলে। এছাড়াও, হাইপেরোঅকটাহেড্রাল গ্রুপ S^{\pm}n এর আরটিন–টিটস গ্রুপ একটি সেমিডাইরেক্ট পণ্যের আকারে লেখা যেতে পারে, যা B{\widetilde{S}_n} এবং একটি অর্ন্তগত চক্রাকার গ্রুপ সমন্বয়ে গঠিত।এই অংশে, B_{\widetilde{S}_n} কে জ্যামিতিক ব্রেইড নিয়ে গঠিত একটি নির্দিষ্ট উপগোষ্ঠী হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং এটি একটি রৈখিক গোষ্ঠী হিসাবেও পরিচিত।

### বর্ধিত এফিন প্রতিসম গ্রুপ
এফিন প্রতিসম গ্রুপ হলো *বিস্তৃত এফিন প্রতিসম গ্রুপ*র একটি উপগ্রুপ। বিস্তৃত গ্রুপটি ওথ প্রোডাক্ট \Z \wr S_n এর সাথে অনুরূপ। এর উপাদানগুলো হলো *বিস্তৃত এফিন প্রতিস্থাপন*: u \colon \Z \to \Z এর মতো bijections, যেখানে u(x + n) = u(x) + n সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য সত্য।এফিন প্রতিসম গ্রুপের বিপরীতে, বিস্তৃত এফিন প্রতিসম গ্রুপ একটি কক্সেটর গ্রুপ নয়। তবে এর একটি প্রাকৃতিক উৎপাদন সেট রয়েছে, যা \widetilde{S}n এর জন্য কক্সেটর উৎপাদন সেটকে সম্প্রসারিত করে: *শিফট অপারেটর* \tau, যার উইন্ডো সূচক হলো \tau = [2, 3, \ldots, n, n + 1], এটি সরল প্রতিফলনের সাথে বিস্তৃত গ্রুপটি উৎপন্ন করে, অতিরিক্ত সম্পর্ক \tau s_i \tau^{-1} = s{i + 1} এর অধীনে।

### অন্যান্য এফিন কক্সিটার গ্রুপের সমন্বয়শাস্ত্র
এফিন প্রতিসম গ্রুপ \widetilde{S}_n-এর জ্যামিতিক ক্রিয়া এটিকে প্রাকৃতিকভাবে এফিন কক্সেটার গ্রুপের একটি পরিবারে স্থান দেয়, যেগুলির প্রতিটি একটি অনুরূপ জ্যামিতিক ক্রিয়া একটি এফিন স্থানে সম্পাদন করে। \widetilde{S}_n-এর কম্বিনেটোরিয়াল বর্ণনাও এই গ্রুপগুলির অনেকের জন্য সম্প্রসারিত করা যেতে পারে:কিছু প্রতিস্থাপন গ্রুপের স্বতঃসিদ্ধ বর্ণনা দেন, যা \Z-এর উপর কার্যক্রম চালায় (যা "জর্জ গোষ্ঠী" নামে পরিচিত, জর্জ লুস্জটিগের সম্মানে)। তিনি দেখান যে এই গোষ্ঠীগুলি ঠিক "ক্লাসিক্যাল" কক্সেটার গ্রুপ, যা সসীম এবং এফিন টাইপ A, B, C এবং D এর। (এফিন কক্সেটার গ্রুপগুলির শ্রেণিবিন্যাসে, এফিন প্রতিসম গ্রুপ হলো টাইপ A)। অতএব, অবতরণ, বিপর্যয় ইত্যাদির কম্বিনেটোরিয়াল ব্যাখ্যা এই ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। প্যারাবলিক কোশেন্টের সর্বনিম্ন দৈর্ঘ্যের কোসেট প্রতিনিধিদের অ্যাবাকাস প্রতিরূপগুলিও এই ক্ষেত্রে সম্প্রসারিত হয়েছে।

## ইতিহাস
কক্সেটার গ্রুপের সাধারণ অধ্যয়নকে বলা যেতে পারে যে, এটি প্রাচীন গ্রীসে নিয়মিত পলিহেড্রা (প্ল্যাটনিক সলিডস) শ্রেণীবদ্ধ করার মাধ্যমে প্রথম শুরু হয়েছিল। আধুনিক পদ্ধতিগত অধ্যয়ন (যা গাণিতিক এবং ভৌত সংজ্ঞাগুলিকে সংযুক্ত করে সীমিত এবং এফিন কক্সেটার গ্রুপগুলির) কক্সেটারের ১৯৩০-এর দশকের কাজ থেকে শুরু হয়েছিল। এফিন প্রতিসম গ্রুপের কম্বিনেটোরিয়াল বর্ণনা প্রথম  এর কাজে প্রকাশ পায়, এবং  দ্বারা এর উপর বিস্তার ঘটানো হয়েছিল; উভয় লেখক কম্বিনেটোরিয়াল বর্ণনাটি ব্যবহার করেছিলেন \widetilde{S}_n এর কজদান–লুসতিগ সেলগুলি অধ্যয়ন করতে। কম্বিনেটোরিয়াল সংজ্ঞাটি যে গাণিতিক সংজ্ঞার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, তার প্রমাণ  প্রদান করেছিলেন।

## তথ্যসূত্র

### টীকা

### উদ্ধৃতি
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*  
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

বিষয়শ্রেণী:প্রতিসাম্য