গাউসের বৃত্ত সমস্যা

গণিতে, **গাউসের বৃত্ত সমস্যা** হলো এমন একটি সমস্যা যা নির্ধারণ করে যে, উৎপত্তিতে কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের মধ্যে কতগুলি পূর্ণসংখ্যা বিন্দু আছে। এই সংখ্যাটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল দ্বারা আনুমানিকভাবে প্রকাশ করা যায়। তবে আসল চ্যালেঞ্জ হলো বিন্দুর সংখ্যা এবং ক্ষেত্রফলের মধ্যে পার্থক্য বর্ণনাকারী ত্রুটির পরিমাণকে সঠিকভাবে সীমাবদ্ধ করা। এই সমস্যার সমাধানে প্রথম অগ্রগতি করেছিলেন কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস, তাই এটির নাম তার নামে রাখা হয়েছে।
## সমস্যাটি
ধরা যাক, \mathbb{R}^2 এ একটি বৃত্ত আছে যার কেন্দ্র উৎপত্তিতে এবং ব্যাসার্ধ r\ge 0। গাউসের বৃত্ত সমস্যা জিজ্ঞাসা করে যে, এই বৃত্তের মধ্যে কতগুলি বিন্দু আছে যাদের রূপ (m,n), যেখানে m এবং n উভয়ই পূর্ণসংখ্যা। যেহেতু কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে এটি বৃত্তের সমীকরণ x^2+y^2= r^2 দ্বারা প্রদত্ত, তাই প্রশ্নটি সমতুল্যভাবে জিজ্ঞাসা করছে যে, কতগুলি পূর্ণসংখ্যা জোড়া *m* এবং *n* আছে যেন:m^2+n^2\leq r^2 হয়।

যদি একটি নির্দিষ্ট r এর জন্য উত্তরটি N(r) দ্বারা চিহ্নিত হয়, তবে নিম্নলিখিত তালিকাটি ০ থেকে ১২ পর্যন্ত পূর্ণসংখ্যা *r* এর জন্য N(r) এর প্রথম কয়েকটি মান দেখায়, এবং তারপর  \pi r^2  এর মানগুলি নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় দেখানো হয়েছে:
:১, ৫, ১৩, ২৯, ৪৯, ৮১, ১১৩, ১৪৯, ১৯৭, ২৫৩, ৩১৭, ৩৭৭, ৪৪১ 
:০, ৩, ১৩, ২৮, ৫০, ৭৯, ১১৩, ১৫৪, ২০১, ২৫৪, ৩১৪, ৩৮০, ৪৫২ 

## সমাধানের সীমা এবং অনুমান
N(r) আনুমানিকভাবে \pi r^2, যা ব্যাসার্ধ r বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অভ্যন্তরের ক্ষেত্রফল। এটি এই কারণে যে গড়ে, প্রতিটি একক বর্গে একটি পূর্ণসংখ্যা বিন্দু থাকে। সুতরাং, বৃত্তের মধ্যে পূর্ণসংখ্যা বিন্দুর প্রকৃত সংখ্যা তার ক্ষেত্রফল \pi r^2 এর প্রায় সমান। তাই আশা করা যায়: N(r)=\pi r^2 +E(r), যেখানে ত্রুটির পরিমাণ E(r) এর পরম মান তুলনামূলকভাবে অনেক ছোট। সুতরাং, \mid E(r)\mid এর জন্য একটি সঠিক ঊর্ধসীমা খুঁজে বের করাই এই সমস্যার মূল উদ্দেশ্য। উল্লেখ্য যে,  rকে পূর্ণসংখ্যা হতে হবে না। N(4)=49 এর পরে N(\sqrt{17})=57, N(\sqrt{18})=61, N(\sqrt{20})=69, N(5)=81 পাওয়া যায়। এই স্থানগুলিতে E(r) মূলত  8, 4, 8, 12 দ্বারা বৃদ্ধি পায় এবং তারপর (2 \pi r হারে) হ্রাস পায় যতক্ষণ না এটি আবার বৃদ্ধি পায়। গাউস প্রমাণ করতে সক্ষম হন  যে
:| E(r) |\leq 2\sqrt{2}\pi r
হার্ডি এবং স্বাধীনভাবে, এডমান্ড ল্যান্ডাউ ছোট o-সংকেত ব্যবহার করে একটি নিম্নসীমা খুঁজে পান এটি দেখিয়ে যে: 
:|E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right)। অনুমান করা হয়, সঠিক সীমা হলো:
:| E(r) |=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right)। আবার E(r)\le Cr^t লিখলে, tএর বর্তমান সীমা হলো:
:\frac{1}{2},যেখানে নিম্নসীমা হার্ডি এবং ল্যান্ডাউ ১৯১৫ সালে দিয়েছিলেন, এবং ঊর্ধসীমা মার্টিন হাক্সলি ২০০০ সালে প্রমাণ করেন।
## সঠিক রূপ
N(r) এর মান একাধিক ধারা (সিরিজ) দ্বারা প্রকাশ করা যায়। ফ্লোর ফাংশন জড়িত একটি সমষ্টির মাধ্যমে এটিকে নিম্নরূপে লেখা যায়:
:N(r)=1+4\sum_{i=0}^\infty \left(\left\lfloor\frac{r^2}{4i+1}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r^2}{4i+3}\right\rfloor\right).

এটি আসলে জ্যাকোবির দুই-বর্গ উপপাদ্যের () একটি অনুসিদ্ধান্ত , যা জ্যাকোবির ট্রিপল প্রোডাক্ট থেকে প্রায় সরাসরিভাবে পাওয়া যায়।

একটি আরও সরল সমষ্টি পাওয়া যায় যদি বর্গের সমষ্টি ফাংশনকে r_2(n) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে r_2(n) হলো n সংখ্যাটিকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার বর্গের সমষ্টি হিসেবে লেখার বিভিন্ন উপায়ের সংখ্যা নির্দেশ করে। তাহলে

:N(r)=\sum_{n=0}^{r^2} r_2(n)

গাউসের বৃত্ত সমস্যায় সাম্প্রতিকতম অগ্রগতি মূলত নিচের অভেদটির উপর নির্ভর করে, যেটি সর্বপ্রথম হার্ডি আবিষ্কার করেছিলেন:
: N(x)-\frac {r_2(x^2)}2 = \pi x^2 + x \sum_{n=1}^\infty \frac {r_2(n)}{\sqrt {n}}  J_1(2 \pi x \sqrt n), 
এখানে J_1 দ্বারা প্রথম প্রকারের বেসেল ফাংশনকে ক্রম ১ সহ নির্দেশ করা হয়েছে।

## সাধারণীকরণ

মূল সমস্যাটি একটি বৃত্তের মধ্যে পূর্ণসংখ্যা বিন্দু  চাইলেও, অন্য আকার—যেমন কনিক—বিবেচনা না করার কোনো কারণ নেই। আসলে, ডিরিখলেটের ভাজক সমস্যা হলো একটি সমতুল্য সমস্যা যেখানে বৃত্তের স্থলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার অধিবৃত্ত ব্যবহার করা হয়েছে। একইভাবে, প্রশ্নটিকে দ্বিমাত্রিক থেকে উচ্চতর মাত্রায় সম্প্রসারিত করা যায় এবং একটি গোলকের  মধ্যে বা অন্যান্য বস্তুর মধ্যে পূর্ণসংখ্যা বিন্দু জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে। এই সমস্যাগুলির উপর একটি ব্যাপক সাহিত্য (extensive literature) রয়েছে। যদি কেউ জ্যামিতিকে উপেক্ষা করে এবং শুধু সমস্যাটিকে ডায়োফ্যান্টাইন অসমতার একটি বীজগাণিতিক সমস্যা হিসেবে বিবেচনা করে, তাহলে বর্গের সূচকগুলিকে ঘনক বা উচ্চতর সূচকে উন্নীত করা যেতে পারে।

ডট প্ল্যানিমিটার হলো ক্ষেত্রফল অনুমানের জন্য একটি ভৌত যন্ত্র যা একই নীতির উপর ভিত্তি করে তৈরি। এটি বিন্দুর একটি বর্গাকার জালি (গ্রিড) নিয়ে গঠিত, যা একটি স্বচ্ছ শীটে মুদ্রিত থাকে; একটি আকৃতির ক্ষেত্রফলকে আকৃতির মধ্যে থাকা বিন্দুর সংখ্যা এবং জালির একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের গুণফল হিসাবে অনুমান করা যায়।

### আদিম বৃত্ত সমস্যা

আরেকটি সাধারণীকরণ হলো এই অসমতাকে সিদ্ধ করে এমন সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যার সমাধান m,n-এর সংখ্যা নির্ণয় করা:
:m^2+n^2\leq r^2\,
এই সমস্যাটি আদিম বৃত্ত সমস্যা নামে পরিচিত, কারণ এটি মূল বৃত্ত সমস্যার জন্য আদিম সমাধান খোঁজার সাথে জড়িত। এটিকে স্বজ্ঞাতভাবে বোঝা যায় ইউক্লিডের বাগান (Euclid's orchard)-এ উৎপত্তি বিন্দুতে দাঁড়িয়ে r দূরত্বের মধ্যে কতগুলি গাছ দৃশ্যমান—এই প্রশ্ন হিসাবে। যদি এই ধরনের সমাধানের সংখ্যাকে V(r) দ্বারা নির্দেশ করা হয়, তবে *<math>r</math>*-এর ছোট পূর্ণসংখ্যা মানগুলির জন্য V(r)-এর মানগুলি হল:
:0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … 

স্বাভাবিক গাউস বৃত্ত সমস্যার মতো একই ধারণা এবং এই সত্যটি ব্যবহার করে যে দুটি পূর্ণসংখ্যার সহমৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা 6/\pi^2, এটি তুলনামূলকভাবে সহজভাবে দেখানো যায় যে
:V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r^{1+\varepsilon})

স্বাভাবিক বৃত্ত সমস্যার মতো, আদিম বৃত্ত সমস্যার সমস্যাজনক অংশ হলো ত্রুটি পদে (error term) সূচক হ্রাস করা। বর্তমানে, সর্বোত্তম পরিচিত সূচক হলো 221/304+\varepsilon যদি কেউ রিম্যান হাইপোথিসিস ধরে নেয়। রিম্যান হাইপোথিসিস ধরে না নিলে, বর্তমানে জানা সেরা ঊর্ধ্বসীমা  হলো 
:V(r)=\frac{6}{\pi}r^2+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log\log r^2)^{-1/5}))
যেখানে c একটি ধনাত্মক ধ্রুবক। বিশেষ করে, ত্রুটি পদের জন্য r^{1-\varepsilon} আকারের কোনো সীমা, যেকোনো \varepsilon>0 এর জন্য, বর্তমানে জানা নেই যা রিম্যান হাইপোথিসিস ধরে না নেয়।

## তথ্যসূত্র

## বহিঃসংযোগ
*
*

বিষয়শ্রেণী:Arithmetic functions
বিষয়শ্রেণী:Lattice points
বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বের অমীমাংসিত সমস্যা
বিষয়শ্রেণী:Circles