Сыстэма каардынат

**Сыстэма каардынат** (слова *каардынат* паходзіць ад лац.: *co* + *ordinatus*, сумесна падпарадкаваны) — комплекс вызначэньняў, які ажыцьцяўляе мэтад каардынат, то бок спосаб вызначаць палажэньне пункту або цела з дапамогай лічбаў або іншых сымбаляў. Сукупнасьць лічбаў, якія вызначаюць палажэньне канкрэтнага пункту, называецца каардынатамі гэтага пункту.

* у матэматыцы каардынаты — сукупнасьць лічбаў, супастаўленых пунктам мнагастайнасьці ў мапе пэўнага атлясу.

* у элемэнтарнай геамэтрыі каардынаты — велічыні, якія вызначаюць палажэньне пункту на роўніцы і ў прасторы. На роўніцы палажэньне пункту часьцей за ўсё вызначаецца адлегласьцю ад дзьвюх прамых (каардынаты восяў), якія перасякаюцца ў адным пункце (пачатку каардынат) пад простым вуглом; адна з каардынат называецца ардынатай, іншая — абсцысай. У прасторы паводле сыстэмы Дэкарта палажэньне пункту вызначаецца адлегласьцямі ад трох роўніцаў каардынат, якія перасякаюцца ў адным пункце пад простымі вугламі адзін да аднаго, альбо сфэрычнымі каардынатамі, дзе пачатак каардынат знаходзіцца ў цэнтры сфэры.

* у геаграфіі каардынаты — шырата, даўгата і вышыня над вядомым агульным узроўнем (напрыклад, акіяну). Гл. геаграфічныя каардынаты.

* у астраноміі каардынаты — велічыні, з дапамогай якіх вызначаецца палажэньне зоркі, напрыклад, простае ўзьняцьцё і схіленьне.

* Нябесныя каардынаты — лічбы, з дапамогай якіх вызначаюць палажэньне сьвяцілаў і дапаможных пунктаў на нябеснай сфэры. У астраноміі выкарыстоўваюцца розныя сыстэмы нябесных каардынат. Кожная зь іх па сутнасьці ўяўляе сабой сыстэму палярных каардынат на сфэры з адпаведным чынам абраным полюсам. Сыстэму нябесных каардынат задаюць вялікім кругам нябеснае сфэры (альбо яго полюсам, які ляжыць за 90° ад любога пункту гэтага круга) з указаньнем на ім пачатковага пункту адліку адной з каардынат. У залежнасьці ад выбару гэтага круга сыстэмы нябесных каардынат называлася гарызантальнай, экватарыяльнай, экліптычнай і галяктычнай.

Найбольш выкарыстоўвальная сыстэма каардынат — простакутная сыстэма каардынат (таксама вядомая як дэкартава сыстэма каардынат).

Каардынаты на роўніцы і ў прасторы можна ўводзіць бясконцай колькасьцю розных спосабаў. Разьвязваючы тую ці іншую матэматычную альбо фізычную задачу мэтадам каардынат, можна выкарыстоўваць розныя каардынатныя сыстэмы, абіраючы тую зь іх, у якой задача разьвязваецца прасьцей альбо зручней у дадзеным канкрэтным выпадку. Вядомым абагульненьнем сыстэмы каарданыт зьяўляюцца сыстэмы адліку і сыстэмы рэфэрэнцыі.

## Асноўныя сыстэмы
### Дэкартавая сыстэма
Самай распаўсюджанай сыстэмай каардынатаў у матэматыцы ёсьць дэкартавая сыстэма каардынатаў, названая гэтак у гонар Рэнэ Дэкарта. Дэкартавая сыстэма каардынатаў задаецца пачаткам каардынатаў і трыма вэктарамі, якія вызначаюць кірунак каардынатных восяў. Кожны пункт прасторы задаецца лікамі, якія роўныя адлегласьці ад дадзенага пункту да каардынатных плоскасьцяў.

Каардынаты дэкартавай сыстэмы на графіку прынята пазначаць  (x, y) , у прасторы  (x,y,z) .

Розныя дэкартавыя сыстэмы каардынатаў зьвязаныя адзін з адным афіннымі пераўтварэньнямі, то бо зрушэньнем і паваротамі.

### Палярная сыстэма

Прыкладам крывалінейнай сыстэмы каардынатаў на плоскасьці зьяўляецца палярная сыстэма каардынатаў, у якой становішча пункту задаецца двума лікамі: адлегласьцю  \rho  паміж пунктам і пачаткам каардынатаў, і кутом  \varphi  паміж промнем, які злучае пачатак каардынатаў з пунктам і абранай восьсю. Пункты дэкартавых і палярных каардынатаў зьвязаныя паміж сабой формуламі:
:  x = \rho \cos\varphi ,
:  y = \rho \sin\varphi ,

Некаторыя раўнаньні ў палярнай сыстэме каардынатаў маюць просты выгляд, як то канічныя перасекі, сьпіралі, кардыёда і г. д. Палярную сыстэму каардынатаў можна абагульніць на выпадак n-мернай прасторы. Выпадак n = 2 (на плоскасьці) адпавядае звычайнай палярнай сыстэме каардынатаў, а n = 3 — сфэрычнай сыстэме каардынатаў.

У прасторы прымяняюцца абагульненьня палярных каардынатаў, то бок цыліндрычныя і сфэрычныя сыстэмы каардынатаў.

### Цыліндрычная сыстэма
Цыліндрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў, у якім пункт P уяўляецца ўпарадкаванай тройкай (r, \varphi, z). У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

* 0\leqslant{r} (радыюс) — адлегласьць ад восі z да пункту P,
* 0\leqslant\varphi (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») часткай восі x і адрэзкам, праведзеным ад полюсу да пункту P і спраектаваным на плоскасьць xy.
* z (вышыня) роўная дэкартавай z-каардынаце пункту P.

Палярныя каардынаты маюць адзіны недахоп, то бок значэньне \varphi не вызначана пры r = 0.

Цыліндрычныя каардынаты карысныя для вывучэньня сыстэмаў, які зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна некаторай восі. Напрыклад, падоўжаны цыліндар з радыюсам R у дэкартавых каардынатах (з восьсю z, якая супадае з восьсю цыліндру) мае раўнаньне x^2 + y^2 = R^2, тады як у цыліндрычных каардынатах яно выглядае значна прасьцей, як то r = R.

### Сфэрычная сыстэма
Сфэрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў. У сфэрычнай сыстэме каардынатаў разьмяшчэньне пункту P вызначаецца трыма кампанэнтамі: \rho,\varphi,\theta. У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

* 0\leqslant\rho (радыюс) — адлегласьць ад пункту P да полюсу,
* 0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю x і праекцыяй адрэзка, праведзенага з полюсу да пункту P, на плоскасьць xy.
* 0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ (шырата або палярны кут) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю z і адрэзкам, праведзенага з полюсу да пункту P.

Сфэрычная сыстэма каардынатаў таксама мае недахоп: \varphi і \theta ня вызначаныя, калі \rho=0; кут \varphi не вызначаны таксама і для межавых значэньняў \theta=0 і \theta=180^\circ (або для \theta=\pm90^\circ, у выпадку прыняцьця адпаведнага дыяпазону для гэтага кута).

Для пабудовы пункту P па ягоных сфэрычных каардынатах трэба ад полюса ўздоўж дадатнай паўвосі z адкласьці адрэзак, роўны \rho, павярнуць яго на кут \theta вакол восі y у напрамку дадатнай паўвосі x, і затым павярнуць на кут \theta вакол восі z у напрамку дадатнай паўвосі y.

Сфэрычныя каардынаты карысныя пры вывучэньні сыстэм, якія зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна пункту. Гэтак раўнаньне сфэры з радыюсам R у дэкартавых каардынатах з пачаткам адліку ў цэнтры сфэры выглядае як  x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = R ^ 2, тады як у сфэрычных каардынатах яно становіцца нашмат прасьцейным, як то r = R.

## Вонкавыя спасылкі
* Шасьцігранныя сыстэмы каардынатаў.


Катэгорыя:Элемэнтарная матэматыка
Катэгорыя:Вікіпэдыя:Істотныя артыкулы