Дыфэрэнцыйнае раўнаньне

**Дыфэрэнцыйнае раўнаньне** — раўнаньне, якое зьвязвае значэньне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэньне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне ўтрымлівае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя зьменныя; аднак ня кожнае раўнаньне, якое зьмяшчае вытворныя невядомай функцыі, зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Напрыклад, \ f'(x)=f(f(x)) не зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Варта таксама адзначыць, што дыфэрэнцыйнае раўнаньне можа, наогул, не зьмяшчаць невядомай функцыі, некаторых яе вытворных і свабодных зьменных, але абавязкова зьмяшчаць прынамсі адну з вытворных. Дыфэрэнцыйныя раўнаньні гуляюць важную ролю ў тэхніцы, фізыцы, эканоміцы й іншых дысцыплінах.

У прыкладаньнях матэматыкі часта ўзьнікаюць задачы, у якіх невядомая залежнасьць аднаго парамэтру ад іншага, але магчыма запісаць выраз дзеля хуткасьці зьмены аднаго парамэтру адносна іншага (вытворнай). У гэтым выпадку задача зводзіцца да знаходжаньня функцыі па яе вытворнай, зьвязанай зь некаторымі іншымі выразамі.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні ўзьнікаюць у многіх галінах навукі й тэхнікі, у прыватнасьці, калі існуюць дэтэрмінаваныя адносіны з удзелам некаторых бесьперапынна зьмяняльных велічыняў і тэмпы іхных зьменаў у прасторы ці часе вядомыя. Гэтае маецца ў клясычнай мэханіцы, дзе рух цела апісваецца ягоным становішчам і хуткасьцю, у той час як значэньне часу зьмяняецца. Законы Ньютана дазваляюць з улікам месцазнаходжаньня, хуткасьці, паскарэньня й розных сілаў, якія дзейнічаюць на цела, выказаць гэтыя зьмены дынамічна праз дыфэрэнцыйнае раўнаньне для невядомага становішча цела як функцыю часу. У некаторых выпадках, гэтае дыфэрэнцыйнае раўнаньне, гэтак званыя раўнаньні руху, могуць быць вырашаны ў відавочным выглядзе.

Прыкладам мадэляваньня праблемы рэальнага сьвету з дапамогай дыфэрэнцыйных раўнаньняў зьяўляецца вызначэньне хуткасьці падзеньня шара ў паветры, разглядаючы толькі гравітацыю й супраціў паветра. Паскарэньне шара да зямлі зьяўляецца паскарэньнем сілы цяжару за мінусам запаволеньня шара з-за супраціву паветра. Гравітацыя лічацца сталай велічынёй, а супраціў паветра можа быць змадэляваны як прапарцыйная велічыня да хуткасьці шара. Гэта азначае, што паскарэньне шара, якое зьяўляецца вытворным ад ягонай хуткасьці, залежыць ад хуткасьці, а хуткасьць залежыць ад часу. Знаходжаньне хуткасьці як функцыі часу ўлучае ў сябе разьвязкі дыфэрэнцыйных раўнаньняў.

## Дыфэрэнцыйныя раўнаньні першага парадку
Раўнаньне F(x, y, y ') = 0, дзе y=y(x) — невядомая функцыя, якая непарыўна дыфэрэнцуецца на адцінку (a, b), называецца звычайным дыфэрэнцыйным раўнаньнем першага парадку.

Функцыя y=y(x) называецца разьвязкам дыфэрэнцыйнага раўнаньня F(x, y, y ') = 0,, калі яна непарыўна дыфэрэнцуецца на (a, b) і F(x, y, y ') = 0 \forall x.

### Раўнаньні першага парадку, разьвязаныя адносна вытворнай

Звычайнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку першай ступені, разьвязанае адносна вытворнай можна прадставіць у выглядзе
\frac{dy}{dx}=f(x, y).

#### Прыклад

\frac{dy}{dx}=f(x)

Разьвязаньне гэтага раўнаньня:

{dy}=f(x)\,dx

y=\int f(x)\,dx + c 

### Аднародныя раўнаньні
Аднародныя дыфэрэнцыйныя раўнаньні — раўнаньні выгляду y'=f(\frac{y}{x}). Таксама могуць быць запісаныя ў выглядзе M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, дзе M(x,y) і N(x,y) зьяўляюцца аднароднымі функцыямі адной і той жа ступені.

#### Прыклад
Для таго, каб разьвязаць аднароднае раўнаньне, можна зрабіць замену y=tx.

xdy=(x+y)dx

y=tx

x(xdt+tdx)=(x+tx)dx

xdt=dx

Адкуль:

dt=\frac{dx}{x}, (*)

t=\ln |x|+c

Паколькі y=tx, y=x(\ln |x|+c). Таксама застаўся разьвязак x=0, згублены пры дзяленьні на x (гл. (*)).

### Лінейныя раўнаньні
Лінейнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку — раўнаньне, якое лінейнае адносна нейкай невядомай функцыі і яе вытворнай. Выгляд лінейнага раўнаньня:

t=\frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x), дзе p(x) іf(x) лічацца непарыўнымі функцыямі ў вобласьці інтэграваньня раўнаньня.

#### Лінейныя аднародныя раўнаньні
Калі f(x)\equiv0, то лінейнае раўнаньне аднароднае. Такія раўнаньні разьвязваюцца дзяленьнем зьменных:

\frac{dy}{dx}+p(x)y=0

\frac{dy}{y}=-p(x){dx}

Інтэгруем: \ln |y|=-\int {p(x)dx}+\ln c, дзе c>0

y=e ^ {\int\! p(x)\,dx}, дзе c\ne0

Пры дзяленьні на y згубіўся разьвязак y\equiv0.

#### Лінейныя неаднародныя раўнаньні
Для разьвязаньня лінейных неаднародных раўнаньняў можна ўжыць мэтад варыяцыі пастаяннай.

#### Раўнаньне Бэрнулі
*Гл. [[Дыфэрэнцыйнае раўнаньне Бэрнулі]]*

#### Раўнаньне Рыкаці
*Гл. [[Раўнаньне Рыкаці]]*

## Дыфэрэнцыйныя раўнаньні парадку, вышэйшага за першы
Дыфэрэнцыйныя раўнаньні n-га парадку маюць выгляд

y^{(n)}=f(x.y,y',...,y^{(n-1)}).

Калі раўнаньне разьвязанае адносна самай высокай вытворнай, яно мае выгляд
F(x,y,y',...,y^{(n)}).

### Паніжэньне парадку дыфэрэнцыйнага раўнаньня
Для разьвязаньня дыфэрэнцыйнага раўнаньня n-га парадку трэба панізіць гэты парадак. Гэта можна ажыцьцявіць шматлікімі спосабамі.

#### Прыклад
yy*=y'^2</math>

Падзелім раўнаньне на <math>yy'</math>:

<math>\frac{y*}{y'}=\frac{y'}{y}.

Адкуль (\ln y')'=(\ln y)',

\ln y'=\ln y+\ln c,

y'=yc.

Парадак раўнаньня панізілі.

### Лінейныя раўнаньні вышэйшых парадкаў
Раўнаньне выгляду

 y^{(n)} + p_1 (x)y^{(n-1)} + p_2 (x)y^{(n-2)} + ... + p_{n-1} (x) y' + p_n (x)y = f(x) 

называецца лінейным раўнаньнем n-га парадку.

Калі f(x) = 0 \forall x, то раўнаньне называецца *аднародным*. Калі ж f(x) \ne \ 0, то раўнаньне называецца *неаднародным*.

#### Раўнаньні з пастаяннымі каэфіцыентамі
Раўнаньне выгляду 

 y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + a_2 y^{(n-2)} + ... + a_{n-1}  y' + a_n y = 0 

з пастаяннымі рэчаіснымі каэфіцыентамі a_1, a_2, ..., a_n мае фундамэнтальную сыстэму разьвязкаў (ФСР) y_1, y_2, ..., y_n \forall x. 

Агульны разьвязак, які адпавядае ФСР:
y = C_1 y_1 + C_2 y_2 + ... + C_n y_n, дзе C_1, C_2, ..., C_n — вольныя пастаянныя.

Неаднароднае раўнаньне

 y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + a_2 y^{(n-2)} + ... + a_{n-1}  y' + a_n y = f(x) 

можа быць праінтэграванае з дапамогай мэтаду варыяцыі вольных пастаянных.

## Крыніцы

## Вонкавыя спасылкі

* Лекцыі па дыфэрэнцыйным раўнаньням. МТІ
* Дыфэрэнцыйныя раўнаньні. S.O.S. Mathematics
* Вырашальнік дыфэрэнцыйных раўнаньняў. Джава-аплет
* Увядзенне ў мадэляваньне з дапамогай дыфэрэнцыйных раўнаньняў
* Дакладныя разьвязкі звычайных дыфэрэнцыйных раўнаньняў
* «Сьвет матэматычных раўнаньняў»
* Прыклады разьвязаньня дыфэрэнцыйных раўнаньняў


Катэгорыя:Вікіпэдыя:Істотныя артыкулы