Лікі харшад

**Лік харшад**, **H-лік**, **лік Нівэна** — цэлы лік, які дзеліцца на суму сваіх лічбаў без астатку. Напрыклад, лік 730 ёсьць харшадавым, бо 730 ÷ (7 + 3 + 0) = 73. Відавочна, што ўсе лікі ад 1 да 10 ёсьць харшадавымі.

Лікі харшад былі вынайдзеныя індыйскім матэматыкам .

## Апісаньне

Хай *X* — дадатны цэлы лік з *m* разрадаў, запісаны ў базысе *n*, і ягоныя разрады *a<sub>i</sub>* (*i* = 0, 1, ..., *m*&nbsp;&minus;&nbsp;1) (вынікае, што *a<sub>i</sub>* павінна быць роўная нулю або любому цэламу ліку да *n*&nbsp;&minus;&nbsp;1.). *X* можа быць выражаная як

: X=\sum_{i=0}^{m-1} a_i n^i.

Калі існуе цэлы лік *A* такі, што сапраўдны ніжэйшы выраз, тады *X* — лік харшад у базысе *n*:

: X=A\sum_{i=0}^{m-1} a_i.

Першыя 50 лікаў харшад, што складаюцца больш чым з аднаго разраду, у базысе 10 наступныя:

: 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Лік, што зьяўляецца лікам харшад у любым базысе, завецца **ўсе-харшадавым**, **абагуленым харшадавым** або **ўсе-Нівэнавым лікам**. Такіх лікаў усяго чатыры: 1, 2, 4 і 6.

## Этымалёгія

Слова «харшад» паходзіць ад , што азначае «вялікая радасьць». Назва «лік Нівэна» — у гонар матэматыка , які спэцыялізаваўся на тэорыі лікаў.

## Якія лікі могуць быць лікамі харшад?

Лік-аснова базысу і ўсе ягоныя ступені заўсёды зьяўляюцца лікамі харшад у сваім базысе, бо заўсёды будуць уяўляць зь сябе, напрыклад, ступені ліку «10» і 1 + 0 = 1.

Просты лік, меншы за базысны лік або роўны яму, таксама зьяўляецца лікам харшад.

Хоць фактарыяльная пасьлядоўнасьць і пачынаецца зь лікаў харшад у базысе 10, ня ўсе фактарыялы зьяўляюцца лікамі харшад. 432! — першы такі лік.

## Пасьлядоўнасьці лікаў харшад

 у 1994 годзе даказала, што ў базысе 10 не існуе 21 пасьлядоўнага цэлага, якія былі б лікамі харшад. Яна таксама знайшла першую пасьлядоўнасьць з 20 цэлых лікаў, якія ёсьць харшадавымі; яны пераўзыходзяць 1044 363 342 786.

У двайковай сыстэме існуе бясконцая колькасьць пасьлядоўнасьцяў з чатырох лікаў харшад; у трайковай — безьліч пасьлядоўнасьцяў з шасьці харшадавых лікаў. Гэтыя факты былі даказаныя  у 1996 годзе.

Увогуле, такія максымальныя пасьлядоўнасьці пачынаюцца ад *N · b<sup>k</sup> — b* да *N · b<sup>k</sup>* + (*b*-1), дзе *b* — базыс, *k* — адносна вялікая ступень, і N — канстанта. Інтэрпаляцыя нулёў у N не зьмяняе пасьлядоўнасьці сумы разрадаў, таму любое рашэньне магчыма прымяніць да любога большага, проста інтэрпалюючы неабходную колькасьць нулёў, так як 21, 201 і 2001 — лікі харшад у базысе 10. Адпаведна любое рашэньне дапускае бясконцую колькасьць рашэньняў.

## Разьлік шчыльнасьці

Дапусьцім, што *N*(*x*) пазначае колькасьць лікаў харшад ≤ x, тады для любога ε > 0,

: x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}

як даказалі  і Нікаля Даён; акрамя таго, дэ Канінк, Даён і Kátai даказалі, што

: N(x)=(c+o(1))\frac{x}{\log x}

дзе *c* = (14/27) log 10 ≈ 1,1939.

## Нівэнаморфныя лікі

**Нівэнаморфны лік** або **харшадаморфны лік** — такі цэлы *t*, што ў гэтай сыстэме зьлічэньня магчыма знайсьці такі лік харшад *Nt*, сума разрадаў якога роўная *t*, і гэты лік *Nt* будзе сканчацца лікам *t*.

Напрыклад, 18 — нівэнаморфны лік:

  Сума разрадаў ліку 16218 - 18
     18 ёсьць дзельнікам 16218
     16218 сканчаецца на 18

Сандра Баскара вызначыў, што ўсе цэлыя лікі ў базысе 10, акрамя 11, ёсьць нівэнаморфнымі.

## Крыніцы і заўвагі

## Літаратура

* 
* 
* 
* 
* 

## Вонкавыя спасылкі

Катэгорыя:Цэлалікавыя пасьлядоўнасьці