Натуральны лік

**Натуральныя лікі** — элемэнты бясконцага мноства . Гэта мноства называецца **натуральны шэраг**. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.

У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г. зв. «пашыраны натуральны шэраг» .

## Гісторыя
Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік «два» зьвязваўся з органамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. «Вочы» ў індыйцаў, «Крылы» ў тыбэтцаў азначалі таксама «два». З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць «эталённыя мноствы» — зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі — узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі.

Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў III стагодзьдзі да н. э. Архімэд у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. Эўклід яшчэ ў III стагодзьдзі да н. э. вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” грэцкага матэматыка (нэапітагарэйца) Нікамах з Геразы, які жыў каля 100 г. н. э. Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на латцінскую мову рымскім аўтарам Баэцыем (480—524), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных рукапісах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў францускага філёзафа і матэматыка Ж. д’Алямбэра (1717—1783). 

З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.

У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.

## Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэана
Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства \mathbb{N}, у якім для нейкіх элемэнтаў a і b існуе адносіна "b накіроўваецца за a (пазначаецца як a') і задавальняе наступным аксіёмам, якія атрымалі назву аксіёмаў Пэана:

# існуе 1, якое не накіроўваецца ні за ніводным элемэнтам,
# для любога a існуе a', якое накіроўваецца за ім, прычым толькі адно,
# любы элемэнт накіроўваецца ня больш чым за адным элемэнтам,
# любое мноства \mathbb{M} з уласьцівасьцямі
#* 1 прыналежыць \mathbb{M},
#* калі a прыналежыць \mathbb{M}, то і a' прыналежыць \mathbb{M}
- супадае з \mathbb{N} (аксіёма індукцыі)

На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.

Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
# a+1=a'
# a+b'=(a+b)'

Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:
# a\times 1=a
# a\times b'=a\times b+a

## Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне
Пашыраны натуральны шэраг можна ўвесьці як магутнасьць канечнага мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут азначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:

:* 0 = {&nbsp;}
:* 1 = 
:* 2 = 
:* 3 = 
:* *n* = {0,1,2,...,*n*−2,*n*−1} = {0,1,2,...,*n*−2} ∪ {*n*−1} = (*n*−1) ∪ {*n*−1}

## Уласьцівасьці
Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).
 
## Літаратура
* *Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина*
* *История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич*
* *Зорич В. А. Математический анализ. Часть І.*
* *Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.*
* *Глейзер Г. И. История математики в школе.*
* *Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?*