Складаньне

**Складаньне** — бінарная апэрацыя, якая дазваляе аб’яднаць два аб’екты.

Апэрацыя складаньня звычайна пазначаецца знакам **+** (плюс). У асобных разьдзелах матэматыкі складаньне таксама пазначаецца іншымі спэцыфічнымі для гэтага абсягу сымбалямі ( \lor ,  \cup ,  \sum , і г.д.)

Апэранды апэрацыі складаньня завуцца складнікамі, вынік — сумай. Адваротная да складаньня апэрацыя завецца адыманьнем.

## Агульныя ўласьцівасьці апэрацыі складаньня
Любую бінарную апэрацыя, яка задавальняе наступным умовам у матэматыцы можна назваць складаньнем:
* Камутатыўнасьць 
*:  a + b = b + a \,
:Ад перастаноўкі складнікаў сума не зьмяняецца.
* Асацыятыўнасьць
*:  (a + b) + c = a + (b+c) \,  

## Азначэньне складаньня

### Складаньне натуральных лікаў
Для таго, каб да натуральнага ліку m дадаць натуральны лік n трэба павялічыць лік m на адзінку n разоў. 

Напрыклад, 
: 5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9

#### Альгарытм складаньня шматзначных натуральных лікаў
Cкладаньне шматзначных лікаў у пазыцыйнай сыстэме лічэньня можна зьвесці да складаньня адназначных лікаў шляхам паразраднага складаньня зь пераносам, гэта значыць складаньня аднолькавых разрадаў складнікаў як асобных лікаў. Вынік складаньня разрадаў будзе значэньнем гэтага ж разраду сумы; калі ж сума разрадаў складае двухзначны лік, то бярэцца малодшы разрад, а старэйшы пераносіцца ў наступны (па нумары) разрад, гэта значыць дадаецца да сумы наступных разрадаў.

Такім чынам, складаньне шматзначных лікаў зьдзяйсьняецца паводле наступнага альгарытму:

# Скласьці наймалодшыя разрады (адзінкі). Калі вынік складаньня не перавышае 9, гэта складзе наймалодшы разрад сумы. Калі ж вынікам складаньня атрымаўся двухзначны лік, то другая (наймалодшая) лічба вызначае колькасьць адзінак у суме, а першая пераносіцца ў старэйшы разрад (дзясяткі).
# Скласьці наступныя разрады (дзясяткі); калі быў перанос з папярэдняга разраду, дадаць яго да сумы. Вызначыць другую лічбу сумы, а таксама неабходнасьць пераносу гэтак жа, як і першага разраду (п.1);
# Паўтараць п.2, рухаючыся ад малодшых разрадаў да старэйшых (справа налева), пакуль ня будуць складзеныя ўсе разрады складнікаў.

Калі разраднасьць складнікаў не супадае, то ў разрадах меншага складніка, якіх не хапае, ставяцца нулі.

Пры ручным складаньні лікі для зручнасьці запісваюць адзін пад адным, так, каб аднолькавыя разрады апынуліся ў адным слупку. Адзінку, якая пераносіцца ў старэйшы разрад, запісваюць над першым складнікам або проста запамінаюць.

Напрыклад,



1
1
1


1




+
9
7
5
2
6
3
4



4
5
4
1
8
2


1
0
2
0
6
8
1
6



Такое складаньне завецца складаньнем «у слупок». Гэтак жа можна скласьці тры ці болей лікаў. У такім выпадку пераносіцца ў наступны разрад можа ня толькі 1, а і большы лік. Напрыклад,



1
2
1
3



+
5
7
0
8




1
7



6
5
7


7
6
6
9


1
4
0
3
1



### Складаньне цэлых лікаў
Складаньне дадатных цэлых лікаў аналягічнае складаньню натуральных лікаў. 

Калі сярод складнікаў прысутнічаюць адмоўныя лікі, складаньне можна зьвесьці да складаньня або адыманьня дадатных лікаў. Менавіта,

* каб скласьці два адмоўныя лікі, трэба скласьці іх модулі; вынік узяць са знакам «мінус»
* каб скласьці дадатны лік з адмоўным, трэба ад модуля большага (па модулі) ліку адняць модуль меншага; вынік узяць са знакам ліку, што мае большы модуль.

Напрыклад,

: −22 + (−17) = −(22 + 17) = −39
: −14 + 40 = 40 −14 = 26
: 23 + (−27) = −(27 − 23) = −4

Гэтыя правілы вынікаюць з таго, што сума супрацьлеглых лікаў складае нуль:

: a + (−a) = 0

Таму

: a + b = a + b − 0 = a + b − (b + (−b)) = a −(−b).

Гэта значыць, складаньне можна замяніць адыманьнем, зьмяніўшы знак другога складніка на супрацьлеглы. І наадварот, адыманьне можна замяніць складаньнем, зьмяніўшы на супрацьлеглы знак аднімніка.

Складаньне ліку 0 (нуль) зь любым іншым цэлым лікам не зьмяняе яго. Напрыклад, 
: 5 + 0 = 5

### Складаньне рацыянальных лікаў
Для складаньня рацыянальных лікаў перш за ўсё неабходна прывсьці іх да агульнага назоўніка, а потым скласьці зь лічнікам, беручы агульны назоўнік за назоўнік сумы. 

Напрыклад, 
:  \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6} 

### Складаньне ірацыянальных лікаў
Кожны ірацыянальны лік зьяўляецца мяжой пэўнай пасьлядоўнасці рацыянальных набліжэньняў. Калі ірацыянальны лік 
 a = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n, а ірацыянальны лік  b = \lim_{n\rightarrow \infty} b_n , то 
:  a+b  =  \lim_{n\rightarrow \infty} (a_n + b_n) 

### Складаньне камплексных лікаў
Пры складаньни камплексных лікаў асобна складаюцца рэчаісная і зданьнёвая часткі 
:  z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)\, 
або 
:  (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \, 

### Складаньне вэктараў
Для складаньня вэктараў, азначаных у вэктарнай прасторы з базісам неабходна скласьці іх кампанэнты 
:\ (a_1, a_2, \ldots, a_n) + (b_1, b_2, \ldots, b_n ) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n ) 

* Элемэнт маркіраванага сьпісу
### Складаньне матрыц
Можна складаць матрыцы, якія маюць аднолькавую колькасьць радкоў і слупкоў. Сума такіх матрыц мае тую ж самую колькасьць радкоў і слупкоў, а кожны элемэнт матрыцы сумы зьяўляецца сумай элемэнтаў матрыц-складнікаў. Напрыклад, 

:
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}


### Складаньне мностваў
Для мностваў апэрацыя аб'яднання задавальняе патрабаваньням камутатыўнасьці і асацыятыўнасьці, а таму зьяўляецца аналягам cкладаньня. 

### Складаньне элемэнтаў групаў
Увогуле, групавыя апэрацыі ня маюць ўласцівасьці асацыятыўнасьці. Групы, для якіх групавая апэрацыя камутатыўная, завуцца **абэлевымі**. Сярод абэлевых групаў вылучаюць **адытыўная**, у якіх групавую апэрацыю завуць складаньнем. Прыкладам такой групы можа быць група паваротаў гадзіннай стрэлкі. 

### Складаньне ў матэматычнай лёгіцы

У матэматычнай лёгіцы складаньню адпавядае апэрацыя АБО. Вынік гэтай апэрацыі ІСЬЦІНА калі хаця б адзін з апэрандаў мае значэньне ісьціны. 

Апэрацыя складаньня ў булевай альгебры пазначаецца сымбалем  \lor .

## Лёгіка
**Складаньне (лёгіка)** гэта карэктная, простая форма аргумэнтацыі ў лёгіцы: 

: A. 
: Такім чынам, A або B. 

або ў лёгіка-апэратарнай натацыі: 

: A \vdash A \lor B 

Аргумэнт мае адну зыходную здагадку A. З праўдзівасьці A вынікае, што **A або B** зьяўляецца ісьцінай. 

Катэгорыя:Арытмэтыка
Катэгорыя:Элемэнтарная матэматыка