Трыкутнік

**Трыку́тнік** (**тро́хвуго́льнік**) у эўклідавай геамэтрыі — тры пункты, якія не ляжаць на адной простай лініі, і тры адцінкі, якія іх злучаюць.

Інакш кажучы, **трыкутнік** — найпрасьцейшы шматкутнік, які мае 3 вяршыні і 3 бакі.
 
Вяршыні трыкутніку звычайна пазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні кутоў пры адпаведных вяршынях — грэцкімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні супрацьлеглых бакоў — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).

Трыкутнік зьяўляецца шматграньнікам і 2-сымплексам. У эўклідавай геамэтрыі трыкутнік адназначна задае роўніцу. Усе трыкутнікі двухмерныя.

## Клясыфікацыя трыкутнікаў

### Паводле велічыні кутоў
Паколькі сума кутоў трыкутніку роўная 180°, то ня менш за два куты ў трыкутніку маюць быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трыкутнікаў:
* Калі ўсе куты трыкутніку вострыя, то трыкутнік завецца **вастракутным**;
* Калі адзін з кутоў трыкутніку тупы (большы за 90°), то трыкутнік завецца **тупакутным**;
* Калі адзін з кутоў трыкутніку просты (роўны 90°), то трыкутнік завецца **прастакутным**. Два бакі, што ўтвараюць просты кут, завуцца **катэтамі**, а бок, супрацьлеглы простаму куту, завецца **гіпатэнузай**.

### Паводле колькасьці роўных бакоў
* **Рознабаковым** завецца трыкутнік, у якога даўжыні трох бакоў парамі розныя.
* **[[Раўнаплечы трыкутнік|Раўнаплечым]]** завецца трыкутнік, у якога два бакі роўныя. Гэтыя бакі завуцца **бочнымі**, трэці бок завецца **асновай**. У раўнаплечым трыкутніку куты пры аснове роўныя. Вышыня, мэдыяна і раўнасечная раўнаплечага трыкутніку, апушчаныя на аснову, супадаюць.
* **[[Роўнабаковы трыкутнік|Роўнабаковым]]** завецца трыкутнік, у якога ўсе тры бакі роўныя. У роўнабаковым трыкутніку ўсе куты роўныя 60°, а цэнтры умежанай і акрэсьленай акружынаў супадаюць.

## Няроўнасьць трыкутніку
Бакі трыкутніку нельга задаваць адвольна, іх зьвязваюць наступныя няроўнасьці
* a
* b
* c
У выпадку выкананьня роўнасьці ў адным зь іх трыкутнік завецца **звыродным**, далей усюды мяркуецца незвыродны выпадак.

## Прыкметы роўнасьці трыкутнікаў
Трыкутнік адназначна (з дакладнасьцю да кангруэнтнасьці) можна вызначыць па наступных тройках асноўных элемэнтаў:
* a, b, c (роўнасьць паводле трох бакоў);
* a, b, γ (роўнасьць паводле двух бакоў і куту паміж імі);
* a, β, γ (роўнасьць паводле бока і двух прылеглых кутоў).

## Адцінкі і акружыны, зьвязаныя з трыкутнікам
Акружына, датычная ўсіх трох бакоў трыкутніку, завецца яго **[[умежаная акружына|ўмежанай акружынай]]**. Яна адзіная. Акружына, якая праходзіць праз усё тры вяршыні трыкутніку, завецца яго **[[акрэсьленая акружына|акрэсьленай акружынай]]**. Акрэсьленая акружына таксама адзіная.

**[[Мэдыяна трыкутніку|Мэдыянай]]** трыкутніку, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адцінак, які злучае гэтую вяршыню зь сярэдзінай супрацьлеглага боку. Усе тры мэдыяны трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт перасячэньня завецца **[[цэнтроід]]ам** або цэнтрам цяжару трыкутніку. Апошні назоў зьвязаны з тым, што ў трыкутніку, зробленага з аднастайнага матэрыялу, цэнтар цяжару знаходзіцца ў пункце перасячэньня мэдыянаў. Цэнтроід падзяляе кожную мэдыяну ў стасунку 1:2, калі лічыць ад асновы мэдыяны.

Пэрпэндыкуляр, апушчаны зь вяршыні трыкутніку на супрацьлеглы бок або яго працяг, завецца **[[вышыня|вышынёй]]** трыкутніку. Тры вышыні трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце, які называецца **[[артацэнтар|артацэнтрам]]** трыкутніку.

**[[Раўнасечная|Раўнасечнай]]** трыкутніку, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адцінак, які злучае гэтую вяршыню з пунктам на супрацьлеглым боку і якая дзеліць кут пры дадзенай вяршыні напалову. Раўнасечныя трыкутніку перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з цэнтрам умежанай акружыны.

Як было зазначана, у роўнабаковым трыкутніку раўнасечная, мэдыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Дакладна і зваротнае: калі раўнасечная, мэдыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трыкутнік роўнабаковы. Калі трыкутнік рознабаковы, то для любой яго вяршыні раўнасечная, праведзеная зь яе, ляжыць паміж мэдыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.

Пасярэднія пэрпэндыкуляры да бакоў трыкутніку таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам акрэсьленай акружыны.

**[[Пазаўмежаная акружына|Пазаўмежанай акружынай]]** завецца акружына, датычная аднаго боку трыкутніку і працягу двух іншых бакоў.

Сярэдзіны трох бакоў трыкутніку, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адцінкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружыне, якая завецца **[[акружына дзевяці пунктаў|акружынай дзевяці пунктаў]]**.

У любым трыкутніку цэнтар цяжару, артацэнтар, цэнтар акрэсьленай акружыны і цэнтар акружыны дзевяці пунктаў ляжаць на адной простай лініяй, якая называецца **[[простая Ойлера|простай Ойлера]]**.

## Суадносіны ў трыкутніку
Калі вядомыя тры велічыні, паказаныя вышэй, то астатнія можна знайсьці па наступных формулах:

### [[Тэарэма сінусаў|Тэарэма сынусаў]]
: \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R 
(З тэарэмы выцякае, што калі a \triangle ABC:

:# {a\over b}={a_L\over b_L}
:# l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L} 
= \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
:# m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}
:# h_c = b\sin\alpha = a\sin\beta = \frac {2S}{c}
:# \ d^2 = R^2 - 2Rr — формула Ойлера
:# \frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} 
= \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1
**Дзе:**
\ l_a, l_b, l_c — адпаведна раўнасечныя кутоў A, B і C,
\ a_L, b_L — адцінкі, на якія раўнасечная \ l_c дзеліць бок \ c,
\ m_a, m_b, m_c — мэдыяны, праведзеныя адпаведна да бакоў a, b і c,
\ h_a, h_b, h_c — вышыні, апушчаныя адпаведна на бакі a, b і c,
\ r — радыюс умежанай акружынай, 
\ R — радыюс акрэсьленай акружынай, 
p=\frac {a+b+c}{2} — напаўпэрымэтар, 
\ S — плошча, 
\ d — адлегласьць паміж цэнтрамі ўмежанай і акрэсьленай акружынаў.

## [[Плошча]] трыкутніку
Найвядомейшая й найпрасьцейшая формула:
: S=\frac{1}{2}bh_b
**Дзе:**

\ b — даўжыня асновы трыкутніку (бок, на які праведзены пэрпэндыкуляр)
\ h_b — вышыня, праведзеная на бок \ b,

Гэтая формула можа быць выкарыстана толькі тады, калі можна лёгка знайсьці вышыню.

### Трыганамэтрычны спосаб
Вышыню трыкутніку можна вызначыць з выкарыстаньнем трыганамэтрычных формулаў. У адпаведнасьці з пазначэньнямі на выяве леваруч, вышыня роўная \ h_b = a \sin \gamma. Калі падставіць вышыню ў формулу S= \frac{1}{2}bh_b якая прыведзеная вышэй, атрымаем:
: S =  \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta.
Апроч гэтага, \ sin \alpha = sin ( \pi - \alpha ) = sin (\beta + \gamma), што справядліва і для іншых двух кутоў:
: S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).

### З выкарыстаньнем вэктараў
Плошчу паралелаграма можна вылічыць з дапамогай вэктараў. Няхай вэктары *AB* і *AC* спраставаны адпаведна ад *A* да *B* і ад *A* да *C*. Тады плошча паралелаграма *ABDC* роўная *|AB × AC|*, г.зн. лічбаваму значэньню вэктарнаму множаньню *AB* і *AC*. *|AB × AC|* роўнае *|h × AC|*, дзе *h* — вышыня паралелаграма як вэктар.

Плошча трыкутніку *ABC* роўная палове плошчы паралелаграма *S = ½|AB × AC|*.

Плошчу трыкутніку *ABC* таксама можна вылічыць як скалярнае множаньне вэктараў.
: 
\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \, .


### Выкарыстаньне каардынатаў
Калі пункт А разьмешчаны ў пункце адліку (0,&nbsp;0) Дэкартавай каардынатнай сыстэмы, а каардынаты іншых двух пунктаў B&nbsp;=&nbsp;(*x*B,&nbsp;*y*B) і C&nbsp;=&nbsp;(*x*C,&nbsp;*y*C), тады плошча *S* можа быць вылічана як ½ абсалютнага значэньня дэтэрмінанту:
: S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|. 
У больш агульным выпадку:
: S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|. 
У трохмернай прасторы плошча трыкутніку {A&nbsp;=&nbsp;(*x*A,&nbsp;*y*A,&nbsp;*z*A), B&nbsp;=&nbsp;(*x*B,&nbsp;*y*B,&nbsp;*z*B) і C&nbsp;=&nbsp;(*x*C,&nbsp;*y*C,&nbsp;*z*C)} роўная Пітагоравае суме адпаведных праекцыяў на тры галоўныя роўніцы (для якіх *x* = 0 або *y* = 0 або *z* = 0):
: S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }. 

### Формула Герона
Форма трыкутніку адназначна вызначаецца трыма бакамі. Адпаведна, для таго каб падлічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыню бакоў. Паводле формулы Герона:
: S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
де s = *½ (a + b + c)* — **напаўпэрымэтар**

Іншы спосаб запісу формулы Герона:
:  S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}.

### Іншыя формулы
:# S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b
:# S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
:# S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}
:# S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}
:# S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)]  у дадзенай формуле варта зьвярнуць увагу на абыход вяршыняў, калі ісьці паводле гадзіньнікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
:# S_{\triangle ABC}=r^2+2rR — для прастакутнага трыкутніку
**Дзе:**

p=\frac {a+b+c}{2} — напаўпэрымэтар, 
\ r — радыюс умежанае акружыны, 
\ r_b — радыюс пазаўмежанае акружыны, датычны боку \ b, 
\ R — радыюс акрэсьленае акружыны, 
\ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C)  — каардынаты вяршыняў трыкутніку.

## Глядзіце таксама
* Тэарэма пра суму кутоў трыкутніку
* Тэарэма сынусаў
* Тэарэма косынусаў
* Формула Герона
* Выбітныя пункты трыкутніку
* Сярэдняя лінія трыкутніку

## Крыніцы