Раўнаньні Максўэла

**Раўнаньні Максўэла** — сыстэма дыфэрэнцыйных раўнаньняў, якія апісваюць электрамагнітнае поле і ягоную сувязь з электрычнымі зарадамі і токамі. Раўнаньні былі сфармуляваныя Джэймзам Кларкам Максўэлам у XIX стагодзьдзі на падставе накопленых экспэрымэнтальных дадзеных. Адыгралі важную ролю ў зьяўленьні спэцыяльнае тэорыі адноснасьці.

## Агульнае апісаньне

Раўнаньні Максўэла апісваюць, якім чынам электрамагнітнае поле ствараецца электрычнымі зарадамі і токамі і якім чынам зьменныя электрычнае і магнітнае палі спараджаюць адно адно. Раўнаньні Максўэла зьяўляюцца каварыянтнымі, гэта значыць задавальняюць прынцыпам спэцыяльнай тэорыі адноснасьці. Іх можна запісаць у яўна каварыянтнай чатырохвымернай, альбо ў трохвымернай форме. У першым выпадку атрымліваюцца два чатырохвымерныя раўнаньні, у другім чатыры пары эквівалентных ім раўнаньняў (два вэктарныя і два скалярныя).

### Закон Гаўса

Закон Гаўса апісвае, якім чынам электрычныя зарады спараджаюць электрычнае поле: ён дае сувязь паміж струмянём вэктару напружанасьці (для палёў у рэчыве — індукцыі) электрычнага поля праз замкнёную паверхню і поўным электрычным зарадам, які яна атачае. Фармулюецца наступным чынам:

:*струмень вэктару напружанасьці (для палёў у рэчыве — індукцыі) электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе памераў і формы, а вызначаецца толькі поўным зарадам, зьмешчаным у аб'ёме, які гэтая паверхня атачае (прапарцыйны яму).*

Адным з вынікаў закону Гаўса зьяўляецца закон Кулёна, які апісвае поле кропкавага зараду. Хаця ён і быў адкрыты першым, аднак менавіта закон Гаўса належыць да фундамэнтальных законаў электрадынамікі (паколькі дзейнічае як для нерухомых, так і для рухомых зарадаў і ўваходзіць у сыстэму раўнаньняў Максўэла, якія ў сваю чаргу альбо зьяўляюцца пастулятамі электрадынамікі, атрыманымі шляхам абагульненьня экспэрымэнтальных дадзеных, альбо выводзяцца з больш агульных прынцыпаў).

### Закон Гаўса для магнітнага поля
Гэты закон сьцьвярджае, што няма магнітных зарадаў, аналягічных элетрычным. Фармулюецца наступным чынам:

:* струмень магнітнага поля празь любую замкнёную паверхню роўны нулю.*

### Закон індукцыі Фарадэя

Закон індукцыі Фарадэя апісвае, якім чынам зьмяненьне магнітнага поля спараджае электрычнае поле:

:* [[цыркуляцыя (матэматыка)|цыркуляцыя]] вэктара напружанасьці электрычнага поля па замкнёным контуры прапарцыйная хуткасьці зьмяненьня напружанасьці магнітнага поля, якое пранізвае гэты контур (прычым каэфіцыент прапарцыйнасьці адмоўны). *

### Тэарэма пра цыркуляцыю магнітнага поля

Гэтае раўнаньне апісвае, якім чынам ток і зьмяненьне электрычнага поля спараджаюць магнітнае поле:

:* цыркуляцыя магнітнага поля па замкнёным контуры прапарцыйная суме токаў, якія пранізваюць гэты контур (з улікам [[ток зруху|току зруху]], то бок зьмяненьня электрычнага поля).*

## Гісторыя

## Сыстэмы адзінак вымярэньня і разьмерныя канстанты
Значэньні разьмерных каэфіцыентаў, якія ўваходзяць у раўнаньні Максўэла залежаць ад выбранай сыстэмы адзінак вымярэньня. На сёньняшні дзень найбольш распаўсюджанымі зьяўляюцца дзьве: сымэтрычная Гаўсава сыстэма (СГС) і СІ. У першай адзінкі вымярэньня ўсіх палёў маюць аднолькавую разьмернасьць, а раўнаньні маюць больш просты і натуральны выгляд, другая больш распаўсюджаная на практыцы (у тым ліку ў інжынэрных разьліках).
У Гаўсавай сыстэме адзінак у раўнаньнях фігуруе адна разьмерная канстанта: 
* хуткасьць сьвятла ў вакуўме c\ = 29\;979\;245\;800 см/с.
У сыстэме СІ ў раўнаньні ўваходзяць тры канстанты:
* хуткасьць сьвятла ў вакуўме c\ = 299\;792\;458 м/с;
* магнітная канстанта \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\ = 1{,}256\;637\;06\dots\times 10^{-6}  Гн/м;
* электрычная канстанта \varepsilon_0=1/(\mu_0 c^2) = 8{,}854\;187\;82\dots\times 10^{-12} Ф/м.

У сыстэме СІ ўводзяць таксама «хвалявае супраціўленьне» альбо «імпэданс» вакуўму:

Z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\mu_0 c \approx 120\pi Ом.

У сыстэме СГС Z_0=1\ .

## Раўнаньні Максўэла ў вакуўме  (раўнаньні Максўэла для мікрапалёў)

У вакуўме ў трохвымерным дыфэрэнцыйным выглядзе раўнаньні Максўэла маюць наступны выгляд (сыстэма СГС):

\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t},

\nabla\cdot\mathbf{H}=0,

\nabla\times\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c} \mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},

\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi \rho.

Выкарыстаныя наступныя абазначэньні:

* \rho\  — шчыльнасьць электрычнага зараду;
* \mathbf{j} — шчыльнасьць электрычнага току;
* c\, — хуткасьць сьвятла ў вакуўме;
* \mathbf E — напружанасьць электрычнага поля;
* \mathbf H — напружанасьць магнітнага поля.

## Раўнаньні Максўэла ў рэчыве (раўнаньні Максўэла для макрапалёў)

У сыстэме СГС у трохвымерным дыфэрэнцыйным выглядзе раўнаньні Максўэла запісваюцца наступным чынам:

\nabla\cdot\mathbf{D}=4\pi \rho,

\nabla\cdot\mathbf{B}=0,

\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},

\nabla\times\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c} \mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.

Выкарыстаныя наступныя абазначэньні:

* \mathbf D — электрычная індукцыя;
* \mathbf B — магнітная індукцыя.

Выкарыстаўшы формулу Астраградзкага-Гаўса і формулу Стокса можна запісаць раўнаньні Максўэла ў інтэгральным выглядзе:

\oint_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}=4\pi Q,

\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0,

\oint_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s  \mathbf{B}\cdot d\mathbf{s},

\oint_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}= \frac{4\pi}{c} I+\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int_s\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s},

дзе

* s\  — двухвымерная замкнёная для двух першых раўнаньняў і адкрытая для двух апошніх паверхня (яе мяжой зьяўляецца замкнёны контур l\ );
* Q=\int_v \rho\, dv\ ;
* I=\int_s \mathbf{j}\cdot d\mathbf{s}\ .

## Каварыянтная форма раўнаньняў

У каварыянтнай форме раўнаньні Максўэла можна запісаць пры дапамозе тэнзара электрамагнітнага поля. У сыстэме СГС гэты тэнзар выглядае наступным чынам:

F_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix}
0 & E_x & E_y & E_z \\
-E_x & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z & -B_y & B_x & 0
\end{matrix}\right).

А раўнаньні маюць такі выгляд:

\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0,

\partial_\alpha F^{\alpha \beta}=\frac{4\pi}{c}j^\beta,

дзе

\tilde{F}^{\alpha \beta} =\frac{1}{2}
\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\, F_{\gamma\delta} — дуальны тэнзар электрамагнітнага поля.

## Патэнцыял

## Вывад раўнаньняў Максўэла

## Раўнаньні Максўэла ў скрыўленым [[прастора-час]]е

## Крыніцы

Катэгорыя:Электрадынаміка