Матэматычнае спадзяванне

**Матэматы́чнае спадзява́нне**, таксама **матэматычнае чаканне**, **сярэдняе значэнне**, **матспадзяванне** выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні *X*. Абазначаецца M[X] або \mathbb{E}[X]. Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні X і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні X пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да \mathbb{E}[X].

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні X_1, X_2, \dots X_n, з імавернасцямі p_1, p_2, \dots, p_n, дзе p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1, то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш \mathbb{E}[X] = X_1p_1 + X_2p_2 + \dots + X_np_n (адсюль назва).

Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.

## Азначэнне 
### Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега 
Няхай зададзена прастора імавернасцей (\Omega,\mathcal{A}, P) і азначаная на ёй выпадковая велічыня X. То бок, паводле азначэння, X\colon\Omega \to \mathbb{R} — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад X па прасторы \Omega, то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца M[X] або \mathbb{E}[X]:
: \mathbb{E}[X]=\int\limits_{\Omega}\! X(\omega)\, dP(\omega).
Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны \pm\infty, кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання.

### Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні 
Калі F_X(x) — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса:
: \mathbb{E}[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x\, dF_X(x), x \in \mathbb R.

### Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання) 
Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю f_X(x), роўнае
: \mathbb{E}[X]=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\! x f_X(x)\, dx.

### Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні 
Калі X — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем
: \mathbb{P}(X=x_i) = p_i , \sum\limits_{i} p_i = 1,
тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што
: \mathbb{E}[X]=\sum\limits_{i} x_i\, p_i.

#### Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні 
* Калі X — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей
: \mathbb{P}(X=j) = p_j , j=0,1,\dotsc, \sum\limits_{j=0}^{\infty} p_j = 1,
то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці \{p_i\}
: P(s)=\sum_{k=0}^\infty\;p_k s^k 

## Уласцівасці матэматычнага спадзявання 
* Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
:: \mathbb{E}[a] = a
: a \in \mathbb{R} — канстанта;

* Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок
:: \mathbb{E}[aX+bY] = a\mathbb{E}[X]+b\mathbb{E}[Y],
: дзе X,Y — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а a,b\in \mathbb{R} — любыя канстанты;
: У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.

* Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі 0 \leqslant X \leqslant Y амаль напэўна, і Y — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні X таксама канечнае, і больш за тое:
:: 0 \leqslant \mathbb{E}[X] \leqslant \mathbb{E}[Y].

* Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі X = Y амаль напэўна, то
:: \mathbb{E}[X]=\mathbb{E}[Y].

* Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь X,Y роўнае здабытку іх матспадзяванняў
:: \mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}[X]\cdot \mathbb{E}[Y].

* Для ўсякай  і інтэгравальнай па меры dF_X функцыі \varphi : X(\Omega) \to \mathbb{R} матэматычнае спадзяванне \varphi (X) існуе і роўнае
:: \mathbb{E}[\varphi(X)] = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) dF_X(x).

### Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем 
Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні X\colon \Omega \to \mathbb{R}^+, азначанай на прасторы імавернасцей (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}) з канечным матспадзяваннем \mathbb{E}(X), справядліва няроўнасць:
: \mathbb{P}\left(X \geqslant a\right) \leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{a}, дзе a>0.

Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) — прастора імавернасцей, X\colon\Omega\to \mathbb{R} — азначаная на ёй выпадковая велічыня, \varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R} — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што X, \varphi(X) \in L^1(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), тады
: \varphi(\mathbb{E}(X)) \leqslant \mathbb{E}(\varphi(X)). 

### Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем 
* Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць
* Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць

## Заўвагі 
## Літаратура 
* Матэматычнае спадзяванне і дысперсія // *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 111. — 206 с. — ISBN 978-985-01-1043-5.
* 
* 

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей