Дыферэнцыяльнае ўраўненне

[thumb|300px|Мадэль размеркавання цяпла ў корпусе помпы, створаная шляхам рашэння [ураўненне цеплаправоднасці|ўраўнення цеплаправоднасці]]
**Дыферэнцыяльнае ўраўненне**, ці **дыферэнцыяльнае раўнанне** — ураўненне, якое звязвае значэнне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэнне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыферэнцыяльнае ўраўненне змяшчае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя пераменныя. Аднак не кожнае ўраўненне, якое змяшчае вытворныя невядомай функцыі, з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Напрыклад, f'(x)=f(f(x)) не з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Варта таксама адзначыць, што дыферэнцыяльнае ўраўненне можа наогул не змяшчаць невядомую функцыю, некаторыя яе вытворныя і свабодныя зменныя, але абавязкова змяшчаць хоць адну з вытворных.

У прыкладаннях матэматыкі часта ўзнікаюць задачы, у якіх невядомая залежнасць аднаго параметра ад іншага, але магчыма запісаць выраз дзеля хуткасці змены аднаго параметра адносна іншага (вытворнай). У гэтым выпадку задача зводзіцца да знаходжання функцыі па яе вытворнай, звязанай з некаторымі іншымі выразамі.

## Гісторыя даследавання 
Першапачаткова дыферэнцыяльныя ўраўненні ўзніклі з задач механікі, у якіх патрабавалася вызначыць каардынаты цел, іх хуткасці і паскарэнні, якія разглядаюцца як функцыі часу пры розных уздзеяннях. Да дыферэнцыяльных раўнанняў прыводзілі таксама некаторыя разгледжаныя ў той час геаметрычныя задачы.

Асноваю тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў стала дыферэнцыяльнае злічэнне, створанае Лейбніцам і Ньютанам (1642—1727). Сам тэрмін «дыферэнцыяльнае раўнанне» быў прапанаваны ў 1676 годзе Лейбніцам.

З вялікай колькасці работ XVIII стагоддзя па дыферэнцыяльных ураўненнях вылучаюцца працы Эйлера (1707—1783) і Лагранжа (1736—1813). У гэтых працах была развіта тэорыя малых ваганняў і тэорыя лінейных сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў; адначасова ўзніклі асноўныя паняцці лінейнай алгебры (уласныя лікі і вектары ў -мерным выпадку). Услед за Ньютанам Лаплас і Лагранж, а пазней Гаус (1777—1855) развіваюць таксама метады тэорыі ўзбурэнняў.

Калі была даказана невырашальнасць алгебраічных ураўненняў у радыкалах, Жазеф Ліувіль (1809—1882) пабудаваў аналагічную тэорыю для дыферэнцыяльных ураўненняў, устанавіўшы немагчымасць рашэння рада раўнанняў (у тым ліку, такіх класічных, як лінейныя ўраўненні другога парадку) у элементарных функцыях і квадратуры. Пазней Софус Лі (1842—1899), аналізуючы пытанне аб інтэграванні раўнанняў у квадратурах, прыйшоў да неабходнасці падрабязна даследаваць групы дыфеамарфізмаў (якія пасля атрымалі назву груп Лі) — так з тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў узнікла адна з самых плённых абласцей сучаснай матэматыкі, далейшае развіццё якой было цесна звязана зусім з іншымі пытаннямі (алгебры Лі яшчэ раней разглядалі Сімеон Дэні Пуасон (1781—1840) і, асабліва, Карл Густаў Якаб Якобі (1804—1851)).
Новы этап развіцця тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў пачынаецца з работ Анры Пуанкарэ (1854—1912), створаная ім «якасная тэорыя дыферэнцыяльных раўнанняў» разам з тэорыяй функцый камплексных зменных прывяла да стварэння сучаснай тапалогіі. Якасная тэорыя дыферэнцыяльных ураўненняў, ці, як цяпер яе часцей называюць, тэорыя дынамічных сістэм, цяпер актыўна развіваецца і мае шмат прыкладанняў у прыродазнаўстве.

## Віды дыферэнцыяльных ураўненняў 
### Звычайныя ДУ 
**Звычайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні** (ЗДУ) — гэта ўраўненні, у якіх невядомая функцыя залежыць ад аднае зменнай. Яны маюць выгляд
: F\left(x,y,y',y*,\dots,y^{(n)}\right)=0\! &emsp;ці&emsp; F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},\dots,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0,

дзе y=y(x) — невядомая функцыя (магчыма, вектар-функцыя; у такім выпадку часта гавораць аб сістэме дыферэнцыяльных ураўненняў), якая залежыць ад незалежнай зменнай , штрых абазначае дыферэнцаванне па . Лік , роўны найвышэйшаму парадку вытворных, прысутных ва ўраўненні, называецца *парадкам* дыферэнцыяльнага ўраўнення. Найбольш практычна важнымі з’яўляюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні першага і другога парадку.

### ДУ ў частковых вытворных 
**Дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных** (ДУЧВ) — ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі ад некалькіх зменных і іх частковыя вытворныя. Такія ўраўненні можна запісаць у выглядзе:

: F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0,

дзе x_1, x_2,\dots, x_m — незалежныя пераменныя, а z = z(x_1, x_2,\dots, x_m) — функцыя гэтых пераменных. Парадак ураўненняў у частковых вытворных можа вызначацца гэтак жа, як для звычайных ДУ.

Ураўненні ў ЧВ другога парадку таксама падзяляюцца на ўраўненні эліптычнага, парабалічнага і гіпербалічнага тыпу.

### Абагульненыя тыпы ДУ 
*  (ДУЗ) — ураўненне для функцыі адной зменнай (т.зв. *часу''), у якім вытворная функцыі ў пэўны час выражаецца праз значэнні функцыі ў больш раннія часы.
*  (СДУ) — ураўненне, у якім невядомая велічыня з’яўляецца выпадковым працэсам. Такое ўраўненне можа ўключаць зададзеныя стахастычныя працэсы, напрыклад,  у выпадку .
*  (ДАУ) — дыферэнцыяльнае ўраўненне, якое ўключае дыферэнцыяльныя і алгебраічныя залежныя пераменныя, зададзеныя няяўным чынам.

## Праграмнае забеспячэнне 
* ExpressionsinBar
* Maple: dsolve
* SageMath
* Xcas: desolve(y'=k*y,y)

## Гл. таксама 
* Правіла Рунге — Ромберга

## Зноскі 
## Літаратура 
*  С. 301.

### Падручнікі 
* В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
* Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
* Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
* А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4-е изд., Физматлит, 2005.
* А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
* А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
* 
* 

### Даведнікі 
* *Э. Камке.* Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
* *В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин.* Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
* *Э. Камке.* Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
* *В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин.* Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. — М.: Физматлит, 2003.
* *А. Д. Полянин.* Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
* *А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев.* Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

## Спасылкі 
* Сайт пад рэдакцыяй А. Д. Паляніна «Мир математических уравнений» — EqWorld 
* Рускамоўныя рэсурсы па дыферэнцыяльных ураўненнях у Адкрытым Каталозе. 
* Прыклады рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў  

Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы
*