Рад Фур’е

right|thumb|Вынікі дадавання членаў рада Фур'е пры прыбліжэнні разрыўнай кавалкава-пастаяннай функцыі

'''Рад Фур'е''' — прадстаўленне адвольнай функцыі f з перыядам \tau у выглядзе рада
:  f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(2\pi \frac{k}{\tau}x+\theta_k\right)

Гэты рад можна таксама запісаць у відзе
: f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{i2\pi \frac{k}{\tau}x},
дзе
: A_k — амплітуда -га гарманічнага вагання,
: 2\pi \frac{k}{\tau} = k\omega — кругавая частата гарманічнага вагання,
: \theta_k — пачатковая фаза -га вагання,
: \hat{f}_k — -я камплексная амплітуда.

У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента гільбертавай прасторы называецца раскладанне гэтага элемента па артаганальнаму базісу. Існуе мноства сістэм артаганальных функцый: Уолша, Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і згортцы функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

## Трыганаметрычны рад Фур'е 
''Трыганаметрычным радам Фур'е* функцыі f\in L_2([-\pi,\pi]) называюць функцыянальны рад віду

дзе

: a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

: a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

: b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,

Лікі a_0, a_n і b_n (n = 1, 2, \ldots) называюцца *каэфіцыентамі Фур'е функцыі f''. Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю f\in L_2([0,2\pi]) у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты a_0, a_n і b_n. Калі дамножыць правую частку (1) на \cos(kx) і праінтэграваць па прамежку [-\pi,\pi], дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент a_k. Гэтак жа для b_k.

Рад (1) збягаецца к функцыі f у прасторы L_2([-\pi,\pi]). Іншымі словамі, калі абазначыць праз S_k(x) частковыя сумы рада (1):

: S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),

то іх сярэдняе квадратовае адхіленне ад функцыі f будзе імкнуцца к нулю:

: \lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0.

Нягледзячы на збежнасць стандартнага адхілення, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім [[Прастора Lp|прастору L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})]] камплесназначных функцый са скалярным здабыткам
: \langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.

Таксама разгледзім сістэму функцый

:: \varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), \quad k\in\mathbb{Z}.

Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) можна раскласці па іх у рад Фур'е:

: f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx},

дзе рад у правай частцы збягаецца к f па норме ў f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}). Тут

: \hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx.

Каэфіцыенты \hat{f}_k звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:
: 
\hat{f}_k = \begin{cases}
(a_k-ib_k)/2, & k>0,\\
a_0/2, & k=0,\\
(a_+ib_)/2, & k
: a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, \quad k>0,
: b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), \quad k>0.

* Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні \hat{f}_k і \hat{f}_{-k} не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

## Абагульненні 
### Рады Фур'е ў гільбертавай прасторы 
Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка [[Прастора Lp|прасторы L^2[-\pi,\pi]]] з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя артаганальная сістэма \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\} ў гільбертавай прасторы R
і f — адвольны элемент з R. Дапусцім, трэба прадставіць f у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў \{\varphi_k\}:
: f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n.
Дамножым гэты выраз на \varphi_k. З улікам артаганальнасці сістэмы функцый \{\varphi_k\} усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры :
: (f, \varphi_k) = c_k \|\varphi_k\|^2.
Паслядоўнасць лікаў
: c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}
называецца *каардынатамі*, ці ''каэфіцыентамі Фур'е* элемента f па сістэме \{\varphi_k\}, а рад
: \sum_k c_k \varphi_k
называецца *'радам Фур'е''' элемента f па артаганальнай сістэме \{\varphi_k\}.

Рад Фур'е любога элемента f па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы R, але яго сума не абавязкова роўная f. Для ортанармаванай сістэмы {\varphi_k} у сепарабельнай гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

* сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
* сістэма з'яўляецца *поўнай*, г. зн. у R не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n, \dots адначасова.
* сістэма з'яўляецца *замкнутай*, г. зн. для любога f\in R справядліва роўнасць Парсеваля
*: \sum_{k=1}^\infty c_k^2 = \|f\|^2.
* лінейныя камбінацыі элементаў \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... шчыльныя ў прасторы R.

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента f роўная яго артаганальнай праекцыі на замыканне лінейнай абалонкі элементаў \varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n, \dots. У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва *няроўнасць Беселя*:
: \sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le \|f\|^2.

{{Hider|
  title = Прыклады |
  content =  Трыганаметрычныя функцыі \sin(kx), \cos(kx) утвараюць базіс гільбертавай прасторы L_2[-\pi,\pi]. Калі мы разгледзім толькі косінусы ці толькі сінусы, то такая сістэма больш не будзе поўнай. Замыканне лінейнай абалонкі функцый \cos(kx) — гэта ўсе цотныя функцыі з L_2, а замыканне лінейнай абалонкі функцый \sin(kx) — усе няцотныя функцыі. Вынікам раскладання функцыі f у рады Фур'е па гэтых сістэмах будуць адпаведна цотная і няцотная часткі функцыі f: 
:\sum\limits_0^n a_k \cos(kx) = \frac{f(x)+f(-x)}{2},
:\sum\limits_1^n b_k \sin(kx) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}.

Яшчэ цікавейшая сітуацыя ўзнікае пры разглядзе сістэмы \{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}. Гэта сістэма зноў не будзе поўнаю. Замыканне яе лінейнай абалонкі — прастора Хардзі H_2. Элементы гэтай прасторы — тыя і толькі тыя функцыі f\in L_2, што f(t)=g(e^{it}), дзе g — гранічныя значэнні некаторай функцыі, аналітычнай у крузе |z| на мяжы гэтага круга|
  frame-style = border: 1px solid Plum; |
  title-style = color: black; background-color: lavender; font-weight: bold; | 
  content-style = color: black; background-color: ghostwhite; text-align: left; |
  hidden=1
}}

### Дваістасць Пантрагіна 
Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са згорткаю — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на лакальна-кампактных абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

## Збежнасць рада Фур'е 
thumb|400px|Збежнасць рада Фур'е

### Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'е 
Абазначым праз S_N(f,x) частковыя сумы рада Фур'е функцыі f(x):
: S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}.
Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый S_N(f,x) к функцыі f(x) у розных сэнсах. Функцыя f лічыцца 2\pi-перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку [-\pi,\pi], яе можна перыядычна працягнуць).

* Калі f\in L_2([-\pi,\pi]), то паслядоўнасць S_N(f,x) збягаецца к функцыі f(x) у сэнсе L_2. Акрамя таго, S_N(f,x) з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў L_2) прыбліжэннем функцыі f трыганаметрычным мнагачленам ступені не больш за N.
* Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце x_0 — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі f і g супадаюць у некаторым наваколлі x_0, то паслядоўнасці S_N(f,x_0) і S_N(g,x_0) альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
* Калі функцыя f дыферэнцавальная ў пункце x_0, то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к f(x_0). Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі f задаюцца прыкметаю Дзіні.
* Функцыя, непарыўная ў пункце x_0, можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к f(x_0). Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у x_0 функцыі f паслядоўнасць S_N(f,x_0) збягаецца па Чэзара к f(x_0).
* Калі функцыя f разрыўная ў пункце x_0, але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева f(x_0+0)\neq f(x_0-0), то пры некаторых дадатковых умовах S_N(f,x_0) збягаюцца к (f(x_0+0)+f(x_0-0))/2. Падрабязней гл. мадыфікаваную прыкмету Дзіні.
* *Тэарэма Карлесана:* калі f\in L_2([-\pi,\pi]), то яе рад Фур'е збягаецца к ёй амаль усюды. Гэта верна і калі f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1. Аднак, існуюць функцыі з L_1([-\pi,\pi]), чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
* Возьмем пункт x_0\in(-\pi,\pi). Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам першай катэгорыі ў [[прастора непарыўных функцый|прасторы C([-\pi,\pi])]]. У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

### Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыі 
Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа C^{(k)}, а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:
* Каэфіцыенты Фур'е любой інтэгравальнай функцыі імкнуцца да нуля ().
* Калі функцыя f належыць класу C^{(k)}([-\pi,\pi]), г. зн. дыферэнцавальная  разоў і яе -я вытворная непарыўная, то \hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)
* Калі рад \sum n^{\alpha}\hat{f}_n збягаецца абсалютна, то f\in C^{(k)}([-\pi,\pi]) пры ўсіх k.
* Калі функцыя належыць класу Гёльдэра з паказчыкам \alpha>1/2, та рад \sum \hat{f}_n збягаецца абсалютна (тэарэма Бернштэйна).
* Калі \hat{f}_n=O(a^n),0, то функцыя f з'яўляецца аналітычнаю. Справядліва і адваротнае.

## Гл. таксама 
* Пераўтварэнне Фур’е
* Хуткае пераўтварэнне Фур'е
* Трыганаметрычны рад
* Прыкмета Жардана
* Прыкмета Дзіні
* Лікавы рад
* АТС тэарэма

## Літаратура 
* 
* 
* 
* 

Катэгорыя:Пераўтварэнне Фур'е
Катэгорыя:Рады
Катэгорыя:Гарманічны аналіз