Тэарэма Пойнтынга

**Тэарэма Пойнтынга** () — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:

: \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{S} = -\mathbf{J}\cdot\mathbf{E},

Дзе **S** — вектар Пойнтынга, **J** — шчыльнасць току і **E** — электрычнае поле. Шчыльнасць энергіі u (\epsilon_0 — электрычная пастаянная, \mu_0 — магнітная пастаянная).

: u = \frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{\mathbf{B}^2}{\mu_0}\right).

Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

: \frac{\partial}{\partial t} \int_V u \  dV + \oint_{\partial V}\mathbf{S} \  d\mathbf{A} = -\int_V\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} \ dV,

дзе \partial V \! — паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём V \!.

У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так (u — шчыльнасці энергіі):

: 
\nabla\cdot\mathbf{S} + \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0
,

дзе \varepsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} — шчыльнасць энергіі электрычнага поля, \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} — шчыльнасць энергіі магнітнага поля і \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} — магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.

## Вывад 
Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε0 і μ0 прыпісаць ε і μ):

: \nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на \mathbf{B}, атрымаем:

: \mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = - \mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:

: \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на \mathbf{E}, атрымаем:

: \mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \mathbf{E} \cdot \mu_0 \mathbf{J} +  \mathbf{E} \cdot \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Адымаючы першае з другога, атрымаем:

: 
\mathbf{E} \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) - 
\mathbf{B} \cdot (\nabla \times \mathbf{E}) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Нарэшце:

: 
- \nabla\cdot\ ( \mathbf{E} \times \mathbf{B}  ) = 
\mu_0 \mathbf{E} \cdot \mathbf{J} + 
\epsilon_0 \mu_0 \mathbf{E} \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 
\mathbf{B} \cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Паколькі вектар Пойнтынга \mathbf{S} вызначаецца як:

:  \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} 

гэта раўнасільна:

: 
\nabla\cdot\mathbf{S} + 
\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\mathbf{B}}{\mu_0}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} +
\mathbf{J}\cdot\mathbf{E} = 0.

## Абагульненне 
Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы

: 
\frac{\partial}{\partial t} u_m(\mathbf{r},t) + \nabla\cdot \mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) =
\mathbf{J}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r},t),

дзе u_m — кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц \alpha

: 
u_m(\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)),

\mathbf{S_m} — паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:

: 
\mathbf{S}_m (\mathbf{r},t) = \sum_{\alpha} \frac{m_{\alpha}}{2} \dot{r}^2_{\alpha}\dot{\mathbf{r}}_{\alpha}
\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\alpha}(t)).

Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі

: 
\frac{\partial}{\partial t}\left(u_e + u_m\right) + \nabla\cdot \left( \mathbf{S}_e +
\mathbf{S}_m\right) = 0,

## Альтэрнатыўныя формы 
Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку \mathbf{S} \propto \mathbf{E} \times \mathbf{B}, можна выбраць форму Абрагама \mathbf{E} \times \mathbf{H}, форму Мінкоўскага \mathbf{D} \times \mathbf{B}, або якую-небудзь іншую.

Катэгорыя:Электрадынаміка
Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы