Геаметрычнае размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей
| name        = Геаметрычнае размеркаванне
| type        = mass
| pdf_image   = 
| cdf_image   = 
| parameters  = 0  — імавернасць поспеху (рэчаісны лік)
| support     = *k* выпрабаванняў, дзе k \in \{1,2,3,\dots\}
| pdf         = (1 - p)^{k-1}p
| cdf         = 1-(1 - p)^{\lfloor x\rfloor} для x\geq 1,0 для x
| mean        = \frac{1}{p}
| median      = \left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil 
(не ўнікальная, калі -1/\log_2(1-p) — цэлы лік)
| mode        = 1
| variance    = \frac{1-p}{p^2}
| skewness    = \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}
| kurtosis    = 6+\frac{p^2}{1-p}
| entropy     = \tfrac{-(1-p)\log (1-p) - p \log p}{p}
| mgf         = \frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}, для t
| char        = \frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}
| pgf         = \frac{pz}{1-(1-p)z}
| parameters2 = 0  — імавернасць поспеху (рэчаісны лік)
| support2    = *k* няўдач, дзе k \in \{0,1,2,3,\dots\}
| pdf2        = (1 - p)^k p
| cdf2        = 1-(1 - p)^{\lfloor x\rfloor+1} для x\geq 0,0 для x
| mean2       = \frac{1-p}{p}
| median2     = \left\lceil \frac{-1}{\log_2(1-p)} \right\rceil - 1 
(не ўнікальная, калі -1/\log_2(1-p) — цэлы лік)
| mode2       = 0
| variance2   = \frac{1-p}{p^2}
| skewness2   = \frac{2-p}{\sqrt{1-p}}
| kurtosis2   = 6+\frac{p^2}{1-p}
| entropy2    = \tfrac{-(1-p)\log (1-p) - p \log p}{p}
| mgf2        = \frac{p}{1-(1-p)e^t}, для t
| char2       = \frac{p}{1-(1-p)e^{it}}
| pgf2        = \frac{p}{1-(1-p)z}
}}
У тэорыі імавернасцей і статыстыцы, пад **геаметрычным размеркаваннем** маецца на ўвазе адно з двух дыскрэтных размеркаванняў імавернасцей:
* Размеркаванне колькасці X , неабходных для атрымання аднаго поспеху. Колькасць выпрабаванняў прымае значэнні з мноства \{1,2,3,\ldots\}.
* Размеркаванне колькасці Y = X - 1 няўдач да першага поспеху. Колькасць няўдач прымае значэнні \{0, 1, 2, \ldots \}.

## Азначэнне 
Геаметрычнае размеркаванне задае імавернасць таго, што выпрабаванне з нумарам k будзе першым паспяховым у серыі незалежных выпрабаванняў з двума магчымымі зыходамі: поспех і няўдача, дзе імавернасць поспеху кожнага выпрабавання роўная p:
: P(X = k) = (1-p)^{k-1}p
для &nbsp;*k*&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;4,&nbsp;….

Паводле іншага азначэння, геаметрычнае размеркаванне мадэлюе колькасць няўдач да першага поспеху:

: P(Y=k) =P(X=k+1)= (1 - p)^k p
для&nbsp;*k*&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;….

У абодвух выпадках, паслядоўнасць імавернасцей прадстаўляе сабой геаметрычную прагрэсію.

## Характарыстыкі 
### Матэматычнае спадзяванне 
Матэматычнае спадзяванне геаметрычнага размеркавання можна знайсці наступным чынам, дзе q = 1 - p:
: \mathbb{E}[X] = \sum_{k=1}^{\infty} kpq^{k-1} = p \frac{d}{dq} \left(\sum_{k=1}^{\infty} q^k\right) = p \frac{d}{dq} \left(\frac{q}{1 - q}\right) =
: = p \frac{d}{dq} \left(\frac{1}{1 - q} - 1\right) = \frac{p}{(1-q)^2} = \frac{1}{p}.
Формулай сумы бясконца спадальнай геаметрычнай прагрэсіі дазваляе скарыстацца той факт, што 0 \leq q 

### Дысперсія 
Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з геаметрычным размеркаваннем:
: \mathbb{E}[X^2] = \sum_{k=1}^{\infty} k^2pq^{k-1} = p \frac{d}{dq} \left(\sum_{k=1}^{\infty}k q^k\right) = p \frac{d}{dq} \left(\frac{q}{(1 - q)^2}\right) = 
:  p \left( \frac{1}{(1 - q)^2} + \frac{2q}{(1 - q)^3} \right) = \frac{1}{p} + \frac{2q}{p^2} = \frac{1 + q}{p^2}.

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:
: Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 = \frac{1 + q}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{q}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}.

Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей