Трансцэндэнтны лік

У матэматыцы, **трансцэндэнтны лік** — лік (рэчаісны ці камплексны), які не з'яўляецца алгебраічным, г. зн. не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Самымі знакамітымі прыкладамі трансцэндэнтных лікаў з'яўляюцца [[Лік Пі|]] і *e*. Хаця вядома толькі некалькі класаў трансцэндэнтных лікаў (часткова таму, што даказаць трасцэндэнтнасць пэўнага ліку бывае вельмі складана), трансцэндэнтныя лікі не рэдкасць. Больш таго, амаль усе рэчаісныя і камплексныя лікі трансцэндэнтныя, таму што алгебраічныя лікі ўтвараюць злічальнае мноства, тады як мноствы і рэчаісных, і камплексных лікаў абодва незлічальныя. Усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца ірацыянальнымі, бо ўсе рацыянальныя лікі алгебраічныя. Адваротнае несправядліва: не ўсе ірацыянальныя лікі трансцэндэнтныя; напрыклад, квадратны корань з 2 ірацыянальны, але не трансцэндэнтны лік, бо ён з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення .

## Гісторыя 
Слова «трансцэндэнтны» паяўляецца ў Лейбніцавай працы 1682 года, дзе ён даказаў, што Sin *x* — не алгебраічная функцыя ад *x*. Эйлер быў мабыць першым, хто вызначыў трансцэндэнтныя лікі ў сучасным сэнсе.

У 1844 годзе Жазеф Ліувіль першы даказаў існаванне трансцэндэнтных лікаў, і ў 1851 годзе прывёў першыя дзесятковыя прыклады, такія як пастаянная Ліувіля

: \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.1100010000000000000000010000\ldots,

дзе *n*-я лічба пасля коскі раўняецца 1, калі *n* роўнае *k*! (*k* фактарыял) для некаторага *k*, і 0 у процілеглым выпадку. Ліувіль паказаў, што гэты лік адносіцца да класа лікаў, якія цяпер называюцца лікамі Ліувіля; такія лікі можна прыблізіць рацыянальнымі лікамі больш дакладна, чым гэта можна зрабіць для любых ірацыяльных алгебраічных лікаў. Ліувіль паказаў, што ўсе Ліувілевы лікі трансцэндэнтныя.

Іаган Генрых Ламберт у сваёй працы 1761 года, дзе ён даказаў ірацыянальнасць ліку [[лік Пі|]], выказаў здагадку, што *e* і [[лік Пі|]] абодва трансцэндэнтныя. Першым лікам, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, а не вызначана пры пабудове (г. зн. лік не канструяваўся адмыслова як прыклад трансцэндэнтнасці), стаў лік *e*, даказаў гэта Шарль Эрміт у 1873 годзе.

У 1874 годзе Георг Кантар даказаў, што алгебраічныя лікі ўтвараюць злічальнае мноства, а рэчаісныя — незлічальнае. Ён таксама прыдумаў новы метад для канструявання трасцэндэнтных лікаў. У 1878 годзе Кантар апублікаваў выкладкі, якія даказвалі, што трасцэндэнтных лікаў гэтак жа многа, як і рэчаісных. Кантарава праца ўстанавіла паўсюднасць трансцэндэнтных лікаў.

У 1882 годзе Фердынанд фон Ліндэман апублікаваў доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Спачатку ён паказаў, што *e* ў любой ненулявой алгебраічнай ступені з'яўляецца трасцэндэнтным лікам, і раз *e**i*π = −1 ёсць алгебраічны лік (гл. тоеснасць Эйлера), то лік *i*π і, адсюль, лік π павінны быць трансцэндэнтнымі. Гэты падыход быў абагульнены Карлам Веерштрасам як тэарэма Ліндэмана — Веерштраса. Трансцэндэнтнасць ліку π дазволіла даказаць для некалькіх антычных геаметрычных задач на пабудову немагчымасць іх развязання з дапамогаю цыркуля і лінейкі, уключаючы самую знакамітую з іх — квадратуру круга.

У 1900 годе Давід Гільберт паставіў важнае пытанне аб трансцэндэнтных ліках, сваю сёмую праблему: Калі *a* ёсць алгебраічны лік, не роўны нулю і адзінцы, а *b* — ірацыянальны алгебраічны лік, ці будзе лік *a**b* абавязкова трасцэндэнтным? Станоўчы адказ у 1934 годе дала тэарэма Гельфанда — Шнайдэра. Гэты вынік быў пашыраны Аланам Бэйкерам у 1960-х у яго працы аб ніжніх ацэнках для лінейных форм ад адвольнага ліку лагарыфмаў алгебраічных лікаў.

## Уласцівасці 
Мноства трансцэндэнтных лікаў бесканечнае і, больш таго, незлічальнае. З таго, што мнагачлены з цэлымі каэфіцыентамі ўтвараюць злічальнае мноства, і кожны мнагачлен мае канечны лік нулёў, мноства алгебраічных лікаў таксама павінна быць злічальным. Але Кантараў дыяганальны доказ паказвае, што рэчаісных лікаў (і адсюль таксама камплексных лікаў) незлічальнае мноства; таму мноства ўсіх трансцэндэнтных лікаў таксама павінна быць незлічальным.

Сярод трансцэндэнтных лікаў няма рацыянальных, г. зн. усе рэчаісныя траснцэндэнтныя лікі ірацыянальныя. Рацыянальны лік можна запісаць як *p*/*q*, дзе *p* і *q* — цэлыя лікі. Відавочна, *p*/*q* ёсць корань мнагачлена *qx*&nbsp;−&nbsp;*p*&nbsp;=&nbsp;0. Аднак, некаторыя ірацыянальныя лікі не з'яўляюцца трансцэндэнтнымі. Напрыклад, квадратны корань з 2 ірацыянальны, але не трансцэндэнтны (бо з'яўляецца рашэннем алгебраічнага ўраўнення *x*² − 2 = 0). Тое ж справядліва для квадратных каранёў з іншых лікаў, якія не з'яўляюцца поўнымі квадратамі.

Любая непастаянная алгебраічная функцыя ад аднае зменнай дае трансцэндэнтнае значэнне, калі яе аргумент — трансцэндэнтны лік. Напрыклад, ведаючы, што π — трансцэндэнтны лік, адразу ж можна сказаць, што такія лікі, як 5π, (π − 3)/√, (√ − √)8 і (π5 + 7)1/7, таксама трансцэндэнтныя.

Аднак, алгебраічная функцыя некалькіх зменных можа даваць алгебраічны лік пры трансцэндэнтных аргументах у тым выпадку, калі яны алгебраічна залежныя. Напрыклад, π і (1 − π) абодва трансцэндэнтныя, а вось π + (1 − π) = 1 відавочна не. Невядома, трансцэндэнтны лік π + *e* ці не, хаця прынамсі адзін з лікаў π + *e* і π*e* павінен быць трансцэндэнтным. Больш агульна, для любых двух трансцэндэнтных лікаў *a* і *b*, хоць адзін з лікаў *a* + *b* і *ab* будзе трансцэндэнтным. Каб убачыць гэта, разгледзім мнагачлен (*x* − *a*)(*x* − *b*) = *x*² − (*a* + *b*)*x* + *ab*. Калі (*a* + *b*) і *ab* абодва алгебраічныя, тады гэта будзе мнагачлен з алгебраічнымі каэфіцыентамі. З таго, што алгебраічныя лікі ўтвараюць алгебраічна замкнутае поле, вынікае, што карані мнагачлена, *a* і *b*, таксама будуць алгебраічнымі лікамі. Але гэта супярэчнасць, і таму хаця б адзін з каэфіцыентаў трансцэндэнтны.

Невылічальныя лікі ўтвараюць уласнае падмноства трансцэндэнтных лікаў.

Усе лікі Ліувіля трансцэндэнтныя, але не наадварот. Любы лік Ліувіля павінен мець неабмежаваныя няпоўныя дзелі ў раскладанні ў непарыўны дроб. Існуюць трансцэндэнтныя лікі, якія маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі і таму не з'яўляюцца лікамі Ліувіля. Гэта вынікае з таго, што лікі, чые непарыўныя дробы маюць абмежаваныя няпоўныя дзелі, утвараюць незлічальнае мноства, тады як мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і таму абавязкова знойдуцца неалгебраічныя (трасцэндэнтныя) лікі з абмежаванымі няпоўнымі дзелямі.

Карыстаючыся яўным відам раскладання ліку *e* ў непарыўны дроб, можна паказаць, што *e* — не лік Ліувіля (хоць няпоўныя дзелі ў яго непарыўным дробе неабмежаваныя). У 1953 годзе Курт Малер паказаў, што π — таксама не лік Ліувіля. Была выказана гіпотэза, што ўсе бесканечныя неперыядычныя непарыўныя дробы з абмежаванымі дзелямі прадстаўляюць трасцэндэнтныя лікі (перыядычныя непарыўныя дробы адпавядаюць квадратычным ірацыянальнасцям).

Роднасны клас — лікі ў замкнёнай форме, якія можна вызначаць рознымі спосабамі, уключаючы рацыянальныя лікі (і ў некаторых азначэннях усе алгебраічныя лікі), але таксама дазваляюць ступеняванне і лагарыфмаванне.

## Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю 
Лікі з даказанаю трансцэндэнтнасцю:

* *ea*, калі *a* — алгебраічны лік, не роўны нулю (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
* π (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
* *e*π, пастаянная Гельфанда, гэтак жа як *e*−π/2=*i* i (па тэарэме Гельфанда — Шнайдэра).
* *ab*, калі *a* — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, а *b* — ірацыянальны алгебраічны лік (па тэарэме Гельфанда — Шнайдэра), у прыватнасці:
:: 2^\sqrt{2},
: пастаянная Гельфанда — Шнайдэра (ці лік Гільберта).
* Непарыўнадробавая сталая, Карл Людвіг Зігель (1929)
: 
{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{6+\ddots}}}}}}

* sin(*a*), cos(*a*) і tan(*a*), а таксама csc(*a*), sec(*a*) і cot(*a*), для любога ненулявога алгебраічнага ліку *a* (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
* ln(*a*), калі *a* — алгебраічны лік, не роўны 0 ці 1, для любой галіны лагарыфмічнай функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
* *W*(*a*), калі *a* — ненулявы алгебраічны лік, для любой галіны Ламбертавай W-функцыі (па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса).
* Γ(1/3), Γ(1/4), and Γ(1/6)..
* лік Ω,  (бо гэта невылічымы лік).
* **Лік Фрэдгольма**
:: \sum_{n=0}^\infty 2^{-2^n}
: больш агульна, любы лік віду
:: \sum_{n=0}^\infty \beta^{2^n}
: дзе 0 \sum_{n=1}^\infty 10^{-n!};
: больш агульна, любы лік віду
:: \sum_{n=1}^\infty \beta^{n!}
: дзе 0  1
:: \sum_{k=0}^\infty 10^{-\left\lfloor \beta^{k} \right\rfloor},
: дзе \beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor — цэлая частка ліку β.

## Лікі, пра якія невядома, трасцэндэнтныя яны ці не 
Лікі, для якіх на сёння не даказана ні іх трансцэндэнтнасць, ні іх алгебраічнасць:
* Большасць сум, здабыткаў, ступеней і пад. ліку π і ліку *e*. Напрыклад, для лікаў π + *e*, π − *e*, π*e*, π/*e*, ππ, *e**e*, π*e*, π&radic;, *e*π² невядома, рацыянальныя яны, алгебраічныя ірацыянальныя ці трасцэндэнтныя. Вядомымі выключэннямі з'яўляюцца π + *e*π, π*e*π і *e*π&radic;''* (для любога дадатнага цэлага *n*), для якіх было даказана, што яны трансцэндэнтныя.
* Пастаянная Эйлера — Маскероні *γ'' (не даказана нават яе ірацыянальнасць).
* Пастаянная Каталана, для якой таксама невядома, ці ірацыянальная яна.
* Пастаянная Аперы, ζ(3) (якая, як даказаў Аперы, з'яўляецца ірацыянальным лікам)
* Рыманава дзэта-функцыя ў іншых няцотных натуральных пунктах, ζ(5), ζ(7), … (невядома, ірацыянальныя яны ці не.)
* , δ і α.

Гіпотэзы:
* ,
* .

## Накід доказу трасцэндэнтнасці ліку *e* 
Першы доказ, што аснова натуральных лагарыфмаў, *e*, — трасцэндэнтны лік, адносіцца да 1873 года. Тут будзем ісці шляхам Давіда Гільберта (1862—1943), які спрасціў першапачатковы доказ Шарля Эрміта. Ідэя наступная:

Будзем даказваць ад процілеглага.
Дапусцім, што лік *e* алгебраічны. Тады існуе канечны набор цэлых каэфіцыентаў *c*0, *c*1, …, *cn*, якія задавальняюць ураўненне:

: c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0, \qquad c_0, c_n \neq 0.

Цяпер для натуральнага *k*, вызначым наступны мнагачлен:

:  f_k(x) = x^{k} \left [(x-1)\cdots(x-n) \right ]^{k+1},

і дамножым абедзве часткі вышэйпрыведзенага ўраўнення на

: \int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx,

каб атрымаць ураўненне:

: c_{0} \left (\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_1e\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+ c_{n}e^{n} \left (\int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right ) = 0.

Гэта ўраўненне можна запісаць у выглядзе

: P+Q=0,

дзе

: P =c_{0}\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{1}e\left (\int^{\infty}_{1}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{2}e^{2}\left (\int^{\infty}_{2}f_k e^{-x}\,dx\right ) +\dots+ c_{n}e^{n}\left (\int^{\infty}_{n}f_k e^{-x}\,dx\right ) 
: Q=c_{1}e\left (\int^{1}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+c_{2}e^{2} \left (\int^{2}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+\dots+c_{n}e^{n}\left (\int^{n}_{0} f_k e^{-x}\,dx \right ) 

**Лема 1.** Няхай цэлы лік *k* выбраны так, што *k+1* — просты лік, тады \tfrac{P}{k!} — ненулявы цэлы лік.

**Доказ.** Пакажам, што кожны член у *P* з'яўляецца цэлым лікам, дамножаным на суму фактарыялаў. Гэта вынікае з наступных разважанняў.

Для любога натуральнага *j* справядліва роўнасць
: \int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!
(гл. Гама-функцыя).

У складніках віду
: c_{a}e^{a}\int^{\infty}_{a} f_k e^{-x}\,dx,
дзе *a* — цэлы лік,  0 -*a*, пад інтэгралам застанецца здабытак паказчыкавай функцыі і мнагачлена *f**k*(*x*—*a*), які мае цэлыя каэфіцыенты і дзеліцца на *x**k*+1. Такім чынам, *P* ператвараецца ў суму інтэгралаў віду

: \int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx,

дзе *k*+1 ≤ *j*, і, такім чынам, гэта цэлы лік, які дзеліцца на (*k*+1)!. Пасля дзялення на *k!*, атрымліваем нуль па модулю (*k*+1).

Аднак, можна запісаць:

: \int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = \int^{\infty}_{0} \left ([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^k + \dots \right ) dx

і адсюль для складніка з каэфіцыентам *c*0 атрымліваем

: {\frac{1}{k!}}c_{0}\int^{\infty}_{0}  f_k e^{-x}\,dx = c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1} \qquad \mod (k+1).

Выбіраючы *k* так, каб *k*+1 было простым лікам, большым за *n* і |*c*0|, атрымліваем, што \tfrac{P}{k!} не роўны нулю па модулю (*k*+1) і, такім чынам, ненулявы.

**Лема 2.** \left|\tfrac{Q}{k!}\right| для дастаткова вялікага *k*.

 **Доказ.** Заўважым, што
: f_k e^{-x} = x^{k}[(x-1)(x-2)\dots(x-n)]^{k+1}e^{-x} = \left ([x(x-1)\dots(x-n)]^k \right ) \left ((x-1)\dots(x-n)e^{-x}\right ).

Усе сумножнікі ў правай частцы непарыўныя і абмежаваныя на адрэзку [0,*n*]. Таму існуюць такія велічыні G і H (незалежныя ад *k*), што для любых *x* на адрэзку [0,*n*] спраўджваюцца няроўнасці
: |x(x-1)\dots(x-n)| \le G,
: |(x-1)\dots(x-n)e^{-x}| \le H.
Адсюль атрымліваем
:|Q|

З гранічнай роўнасці
: \lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0
вынікае, што
: \lim_{k\to\infty}\frac{Q}{k!}=0,
чаго дастаткова, каб завяршыць доказ лемы.

Заўважаючы, што *k* можна выбраць так, каб спраўджваліся абедзве лемы, атрымліваем супярэчнасць, неабходную, каб даказаць трасцэндэнтнасць ліку *e*.

### Трасцэндэнтнасць ліку π 
Падобны падыход (у першапачатковым Ліндэманавым доказе выкарыстоўваўся іншы) можна выкарыстаць, каб паказаць, что лік π трансцэндэнтны. Акрамя таго, у доказе важную ролю адыгрываюць гама-функцыя і некаторыя ацэнкі (як і ў доказе для *e*), а таксама факты аб сіметрычных мнагачленах.

Больш падрабязныя звесткі пра доказы трансцэндэнтнасці π і *e* гл. у спасылках на крыніцы і сеціўныя рэсурсы.

## Класіфікацыя Малера 
У 1932 годзе Курт Малер раздзяліў усе трасцэндэнтныя лікі на 3 класы, названыя **S**, **T**, і **U**. Вызначэнне гэтых класаў заснавана на пашырэнні ідэі лікаў Ліувіля (згаданых вышэй).

### Мера ірацыянальнасці рэчаіснага ліку 
Адзін са спосабаў вызначыць лік Ліувіля — разгледзець, наколькі малымі зададзены рэчаісны лік **x** робіць лінейныя мнагачлены |*qx*&nbsp;−&nbsp;*p*|, не зануляючы іх. Тут *p*, *q* — цэлыя лікі, такія што |*p*|, |*q*| абмежаваныя дадатным цэлым&nbsp;*H*.

Няхай *m*(*x*,&nbsp;1,&nbsp;*H*) — найменшае ненулявое абсалютнае значэнне, якое прымаюць гэтыя мнагачлены. Возьмем:

: \omega(x, 1, H) = - \frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}
: \omega(x, 1)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,1,H).

ω(*x*,&nbsp;1) часта называецца **мераю ірацыянальнасці** рэчаіснага ліку&nbsp;*x*. Для рацыянальных лікаў, ω(*x*,&nbsp;1) = 0, для ірацыянальных жа лікаў яна не меншая за 1. Лікі Ліувіля вызначаны так, што іх мера ірацыянальнасці бесканечная.  сцвярджае, што ірацыянальныя рэчаісныя алгебраічныя лікі маюць меру ірацыянальнасці 1.

### Мера трансцэндэнтнасці камплекснага ліку 
Далей разгледзім значэнні мнагачленаў у камплексным пункце *x*, калі гэтыя мнагачлены маюць цэлыя каэфіцыенты, ступень не больш за *n*, і вышыню не больш за *H*, дзе *n* і *H* — натуральныя лікі.

Няхай *m*(*x*,*n*,*H*) — найменшае ненулявое абсалютнае значэнне, якое такія мнагачлены прымаюць у пункце *x*. Прымем:
: \omega(x, n, H) = - \frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}
: \omega(x, n)= \limsup_{H\to\infty} \omega(x,n,H).

Дапусцім, гэта раўняецца бесканечнасці для некаторага найменшага натуральнага *n*. Камплексны лік *x* у гэтым выпадку называецца **U-лікам** ступені *n*.

Цяпер можна вызначыць велічыню
: \omega (x) =\limsup_{n\to\infty}\omega(x,n).
ω(*x*) часта называецца **мераю трансцэндэнтнасці** ліку&nbsp;*x*. Калі ω(*x*,*n*) абмежаваныя, тады ω(*x*) канечная, і *x* называецца **S-лікам**. Калі велічыні ω(*x*,*n*) канечныя, але неабмежаваныя, *x* называецца **T-лікам**. Лік *x* алгебраічны, калі і толькі калі&nbsp;ω(*x*)&nbsp;=&nbsp;0.

Відавочна, лікі Ліувіля з'яўляюцца падмноствам U-лікаў. Уільям ЛеВекью () у 1953 годзе пабудаваў U-лікі адвольнай ступені. Лікі Ліувіля і, такім чынам, U-лікі з'яўляюцца незлічальнымі мноствамі. Лебегава мера гэтых мностваў раўняецца нулю.

T-лікі таксама складаюць мноства меры 0. Спатрэбілася каля 35 год, каб паказаць, што яны існуюць. Вольфганг Шміт у 1968 годзе паказаў, што прыклады такіх лікаў існуюць. Такім чынам, атрымліваецца, што амаль усе камплексныя лікі з'яўляюцца S-лікамі: гэта паказвае, што *e* ёсць S-лік, і дае доказ трансцэндэнтнасці ліку π. Амаль усё, што вядома пра лік π, — гэта тое, што ён не U-лік. Многія іншыя трансцэндэнтныя лікі застаюцца некласіфікаванымі.

Два лікі *x* і *y* называюцца **алгебраічна залежнымі**, калі існуе ненулявы мнагачлен *P* ад 2 невядомых з цэлымі каэфіцыентамі, такі што *P*(*x*,&nbsp;*y*)&nbsp;=&nbsp;0. Ёсць моцная тэарэма, якая сцвярджае: калі два камплексныя лікі алгебраічна залежныя, то яны належаць аднаму Малераваму класу. Гэта дазваляе будаваць новыя трансцэндэнтныя лікі, такія як сума ліку Ліувіля з *e* ці&nbsp;π.

Часта мяркуюць, што S абазначае імя Малеравага настаўніка Карла Людвіга Зігеля, а T і U — проста дзве наступныя літары.

### Эквівалентная класіфікацыя Коксмы 
Юр'ен Коксма ў 1939 прапанаваў іншую класіфікацыю, заснаваную на прыбліжэнні алгебраічнымі лікамі.

Разгледзім прыбліжэнне камплекснага ліку *x* алгебраічнымі лікамі ступені ≤&nbsp;*n* і вышыні ≤&nbsp;*H*. Няхай α — алгебраічны лік з гэтага канечнага мноства, такі што |*x*&nbsp;−&nbsp;α| мае найменшае дадатнае значэнне. Вызначым ω*(*x*,*H*,*n*) і ω*(*x*,*n*) паводле суадносін:

: |x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.
: \omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty} \omega^*(x,n,H).

Калі для некаторага найменшага натуральнага *n* велічыня ω*(*x*,*n*) бесканечная, *x* называецца **U*-лікам** ступені&nbsp;*n*.

Калі велічыні ω*(*x*,*n*) абмежаваныя і пры нарастанні *n* не збягяюцца да 0, *x* называецца **S*-лікам**,

Лік *x* называецца **A*-лікам**, калі ω*(*x*,*n*) збягаецца да&nbsp;0 пры імкненні *n* да бесканечнасці.

Калі велічыні ω*(*x*,*n*) ўсе канечныя, але неабмежаваныя, *x* называецца **T*-лікам**.

Класіфікацыі Коксмы і Малера эквівалентныя ў тым, што яны падзяляюць трансцэндэнтныя лікі на тыя самыя класы.

### Канструкцыя ЛеВекью 
Няхай

: \lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}

Можна паказаць, што корань n-ай ступені з λ (ліку Ліувіля) з'яўляецца U-лікам ступені *n*.

Гэту канструкцыю можна палепшыць, каб пабудаваць незлічальнае сямейства U-лікаў ступені *n*. Няхай *Z* — мноства, якое складаецца з усіх ступеней дзясяткі ў вышэйпрыведзеным радзе для λ. Мноства ўсіх падмностваў *Z* незлічальнае. Выдаленне любога з падмностваў мноства *Z* з рада для λ стварае незлічальна многа розных лікаў Ліувіля, чые карані *n*-й ступені з'яўляюцца U-лікамі ступені *n*.

### Тып 
Дакладная верхняя мяжа паслядоўнасці {ω(*x*,&nbsp;*n*)} называецца **тыпам**. Амаль усе рэчаісныя лікі з'яўляюцца S-лікамі тыпу 1, які з'яўляецца найменшым для рэчаісных S-лікаў. Амаль усе камплексныя лікі з'яўляюцца S-лікамі тыпу 1/2, які таксама найменшы для камплексных S-лікаў. Сцвярджэнне для амаль усіх лікаў было сфармулявана Малерам (т. зв. **праблема Малера**) і ў 1965 годзе даказана Уладзімірам Спрынджуком.

## Гл. таксама 
* Тэорыя трансцэндэнтнасці — галіна тэорыі лікаў, у якой разглядаюцца пытанні, звязаныя з трансцэндэнтнымі лікамі
* Алгебраічны лік
* Ірацыянальны лік

## Зноскі 
## Літаратура 
* 
* 
* 
* 
* David Hilbert, «Über die Transcendenz der Zahlen *e* und \pi», *Mathematische Annalen* **43**:216-219 (1893).
* A. O. Gelfond, *Transcendental and Algebraic Numbers*, Dover reprint (1960).
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* Peter M Higgins, «Number Story» Copernicus Books, 2008, ISBN 978-1-84800-001-8.
* 

## Спасылкі 
* 
* 
*  Доказ трансцэндэнтнасці ліку *e* 
*  Доказ трасцэндэнтнасці пастаяннай Ліувіля 
*  Доказ трансцэндэнтнасці ліку *e* (PDF) 
*  Доказ трансцэндэнтнасці ліку \pi (PDF) 

*
Катэгорыя:Лікі