Дыфракцыя Фрэнеля

**Дыфракцыя Фрэнеля** — дыфракцыйная карціна, якая назіраецца на невялікай адлегласці ад перашкоды, ва ўмовах, калі асноўны ўнёсак у інтэрферэнцыйную карціну даюць межы экрана.

На малюнку схематычна намаляваны (злева) непразрысты экран з круглай адтулінай (апертура), злева ад якой размешчана крыніца святла. Выява фіксуецца на іншым экране — справа. З прычыны дыфракцыі святло, якое праходзіць праз адтуліну, разыходзіцца, таму вобласць, якая была прыцемнена па законах геаметрычнай оптыкі, будзе часткова асветленай. У вобласці, якая пры просталінейным распаўсюдзе святла была б асветленай, назіраюцца ваганні інтэнсіўнасці асвятлення ў выглядзе канцэнтрычных кольцаў.

Дыфракцыйная карціна для дыфракцыі Фрэнеля залежыць ад адлегласці паміж экранамі і ад размяшчэння крыніц святла. Яе можна разлічыць, лічачы, што кожны пункт на мяжы апертуры выпраменьвае сферычную хвалю па прынцыпу Гюйгенса. У пунктах назірання на другім экране хвалі ці ўзмацняюць адна адну, ці гасяцца ў залежнасці ад рознасці ходу, а значыць інтэрферыруюць паміж сабой. Гэты дапоўнены прынцып мае назву прынцыпу Гюйгенса-Фрэнеля.

## Інтэграл Фрэнеля 
У скалярнай тэорыі дыфракцыі размеркаванне электрычнага поля дыфрагавальнага святла у пункце *(x,y,z)* задаецца выразам Рэлея-Зомерфельда:

: E(x,y,z)=-{i \over \lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}{ E(x',y',0) \frac{e^{ikr}}{r} \cos \theta}dx'dy'  

дзе  r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2},  i \, — уяўная адзінка, і \cos \theta = \frac{z}{r} — косінус кута паміж кірункамі *z* і *r*. У аналітычным выглядзе гэты інтэграл прадстаўляльны толькі для найпростых геаметрый адтулін, таму ён вылічаецца звычайна лічбавымі метадамі.

### Апраксімацыя Фрэнэля 
Галоўная цяжкасць пры вылічэнні інтэграла ўяўляе сабою выраз для *r*. Па-першае, спросцім вылічэнні, зрабіўшы замену зменных:

:\rho^2 = (x-x')^2+(y-y')^2 \,

Падстаўляючы гэты выраз замест *r*, знойдзем:

: r=  \sqrt{\rho^2+z^2} = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } 

Скарыстаемся раскладаннем Тэйлара у шэраг

:\sqrt{1+u} = (1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots

і выкажам *r* у выглядзе

:r = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } = z \left[ 1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right] = z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3}  + \cdots

Калі мы разгледзім усе члены раскладання, гэта будзе дакладным выразам. Падставім гэты выраз у аргумент экспанентнай функцыі пад інтэгралам; ключавую ролю ў набліжэнні Фрэнэля гуляе грэбаванне трэцім членам у раскладанні, які мяркуецца малым. Каб гэта было магчымым, ён павінен слаба ўплываць на паказчык ступені. Іншымі словамі, ён павінен быць нашмат менш, чым перыяд паказчыку экспаненты, гэта значыць 2 \pi:

: k \frac{\rho^4}{8 z^3}  \ll 2 \pi.

Выяўляючы *k* у тэрмінах даўжыні хвалі,

:k = { 2 \pi \over \lambda } \, 

атрымаем наступныя суадносіны:

: \frac{\rho^4}{z^3 \lambda} \ll 8

Памнажаючы абодва бакі на z/\lambda, атрымаем

: \frac{\rho^4}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda}

ці, падстаўляючы раней атрыманы выраз для ρ2, 

: \frac{[(x-x')^2+(y-y')^2]^2}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda}

Калі гэта ўмова выконваецца для ўсіх значэнняў *x*, ''x' *, *y* і *y' '', тады мы можам занядбаць трэцім членам у раскладанні Тэйлара. Больш таго, калі трэці член малы, тое ўсё наступныя складнікі больш высокіх парадкаў таксама малыя, і імі можна занядбаць. Тады можна апраксімаваць выраз, выкарыстоўваючы два члена раскладання:

: r \approx z + \frac{(x-x')^2 +(y-y')^2}{2 z} 

Гэты выраз завецца *набліжэннем Фрэнэля*, а няроўнасць, атрыманая раней, ёсць умова дастасавальнасці гэтага набліжэння.

### Дыфракцыя Фрэнэля 
Умова дастасавальнасці досыць слабая і дазваляе ўсе характэрныя памеры ўзяць як параўнальныя велічыні, калі апертура шмат менш, чым даўжыня шляху. Да таго ж, нас цікавіць толькі малая вобласць недалёка ад крыніцы, велічыні *x* і *y* шмат менш, чым *z*, выкажам здагадку \theta \approx 0, што азначае \cos \theta \approx 1, і *r* у назоўніку можна апраксімаваць выразам r \approx z.

У супрацьлегласць дыфракцыі Фраўнгофера, дыфракцыя Фрэнэля павінна ўлічваць крывізну хвалевага фронта, каб правільна ўлічыць адносныя фазы інтэрферуючых хваль.

Электрычнае поле для дыфракцыі Фрэнэля ў пункце *(x,y,z)* дадзена ў выглядзе:

: E(x,y,z)=-{i \over \lambda}{e^{ikz} \over z}\iint_{-\infty}^{+\infty} E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^2+(y-y')^2]}dx'dy'  

Гэта - інтэграл дыфракцыі Фрэнэля; ён азначае, што, калі набліжэнне Фрэнэля сапраўднае, то поле, якое распаўсюджваецца, з'яўляецца хвалей, якая пачынаецца ў апертуры і рухаецца ўздоўж *z*. Інтэграл мадулюе амплітуду і фазу сферычнай хвалі. Аналітычнае рашэнне гэтага выраза магчыма толькі ў рэдкіх выпадках. Для далейшага спрашчэння, сапраўднага толькі для нашмат большых адлегласцяў ад крыніцы дыфракцыі, гл. дыфракцыя Фраўнгофера.

## Гл. таксама 
* Дыфракцыя Фраўнгофера
* Інтэграл Кірхгофа
* Інтэгралы Фрэнэля

## Спасылкі 
* http://www.falstad.com/diffraction/

Катэгорыя:Оптыка
Катэгорыя:Дыфракцыя