Ізамарфізм

**Ізамарфізм** (ад  стар.-грэч.:  ἴσος.  — «роўны, аднолькавы, падобны» і μορφή — «форма») — гэтае вельмі агульнае паняцце, якое азначаецца па-рознаму ў розных раздзелах матэматыкі. Ізамарфізм азначаецца для мностваў, надзеленых некаторай структурай (напрыклад, для груп, кольцаў, вектарных прастор і г. д.).
У агульных рысах яго можна апісаць так: абарачальнае адлюстраванне (біекцыя) між двума мноствамі, надзеленымі структурай, называецца ізамарфізмам, калі яно захоўвае гэтую структуру.
Калі між такімі структурамі існуе ізамарфізм, то яны называюцца **ізаморфнымі.** Ізамарфізм заўжды задае дачыненне эквівалентнасці на класе такіх структур.

Так, напрыклад, два графа называюцца ізаморфнымі, калі паміж імі існуе ізамарфізм: гэта значыць вяршыням аднаго графа можна супаставіць вяршыні іншага графа, так каб злучаным вяршыням першага графа адпавядалі злучаныя вяршыні другога графа і наадварот. Іначай кажучы, два графа ізаморфны, калі яны «аднолькавыя» (з дакладнасцю да перайменавання вяршынь).

У агульным выпадку, аб’екты, паміж якімі існуе ізамарфізм, з’яўляюцца «аднолькава упарадкаванымі» у сэнсе гэтай структуры.

Іншым класічным прыкладам ізаморфных сістэм могуць служыць мноства  \mathbb{R}  усіх рэчаісных лікаў з акрэсленай на ім аперацыяй складання і мноства  \mathbb{R}_+  дадатніх рэчаісных лікаў з зададзенай на ім аперацыяй множання. Адлюстраванне x\mapsto \exp(x) у гэтым выпадку з’яўляецца ізамарфізмам.

## Агульная алгебра 
У агульнай алгебры ізамарфізмам называецца абарачальнае адлюстраванне, якое з’яўляецца гомамарфізмам. Ніжэй прыводзяцца некалькі прыкладаў.

### Групы 
Няхай
G
і H  — дзве групы. Біекцыя f\colon G\to H  называецца ізамарфізмам, калі для любых a,\;b\in G
:  f(a) f(b)=f(ab) .

Калі група з’яўляецца тапалагічнай, дадаецца умова гамеаморфнасці адпаведных тапалагічных прастор.

### Палі 
Няхай F_1 і F_2  — палі. Біекцыя f\colon F_1\to F_2 называецца **ізамарфізмам**, калі яна захоўвае абедзве аперацыі поля, гэта значыць для любых a,b\in F_1 выконваецца

# f(a) + f(b)=f(a + b),
# f(a) \cdot f(b)= f(a\cdot b).

**Прыклад.** Фактар-кальцо для кальца паліномаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі \mathbb{R}[x] па модулю палінома x^2+1 з’яўляецца полем, ізаморфным полю камплексных лікаў \mathbb{C}:
: \mathbb R[x]/(x^2 + 1) \ \stackrel \cong \longrightarrow \ \mathbb C

Для палёў з дадатковай структурай (упарадкаваныя, тапалагічныя палі і г.д.) можа дабавіцца умова, што біекцыя захоўвае таксама гэтыя дадатковыя структуры.

## Тэорыя мностваў 
У тэорыі мностваў кожная біекцыя з’яўляецца ізамарфізмам.

На прыклад, два часткова упарадкаваных мноства ізаморфны, калі паміж імі ёсць біекцыя,  якая захоўвае парадак.

## Ізамарфізм у тэорыі катэгорый 
У тэорыі катэгорый ізамарфізм гэта абарачальны марфізм, гэта значыць марфізм \varphi, для якога існуе такі марфізм \varphi^{-1}
, што кампазіцыі \varphi^{-1}\circ\varphi и \varphi\circ\varphi^{-1} — тоесныя марфізмы. Азначэнні катэгорыі груп, катэгорыі кольцаў, катэгорыі вектарных прастор і іншых структур будуюцца такім чынам, што класічныя азначэнні ізамарфізма груп, кольцаў, вектарных прастор супадаюць з агульным азначэннем у катэгорыі.

## Тэорыя графаў 
Граф G называецца ізаморфным графу H, калі існуе біекцыя f з мноства вяршынь графа G у мноства вяршынь графа H
, якая мае наступную уласцівасць: калі ў графе G ёсць рэбра з вяршыні A у вяршыню B, то ў графе H павінна быць рэбра з вяршыні f(A) у вяршыню f(B) і наадварот — калі ў графе H ёсць рэбра з вяршыні A у вяршыню B, то ў графе G павінна быць рэбра з вяршыні f^{-1}(A)
у вяршыню f^{-1}(B). У выпадку арыентаванага графа гэтая биекция таксама павінна захоўваць арыентацыю рэбра. У выпадку ўзважанага графа біекцыя таксама павінна захоўваць вагу рэбра.

## Звязанные азначэнні 
Ізамарфізм алгебраічнай сістэмы на сябе называецца аўтамарфізмам.

## Літаратура 
* *Ван дер Варден Б. Л.* Алгебра. СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9.

Катэгорыя:Абстрактная алгебра