P-адычны лік

'''*p*-адычны лік'* (дзе *p* — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэння поля рацыянальных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна *p*-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на *р*.

*p*-адычныя лікі ўвёў  у 1897 годзе.

Поле *p*-адычных лікаў звычайна абазначаецца \mathbb Q_p ці \mathbf Q_p.

## Алгебраічная пабудова 
### Цэлыя *p*-адычныя лікі 
#### Стандартнае азначэнне 
Няхай *p* — некаторы просты лік.
*'Цэлым *p*-адычным лікам'* называецца бесканечная паслядоўнасць x=\{x_1,x_2,\ldots\} цэлых лікаў x_n, якія задавальняюць умову:
: x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.

Дзве паслядоўнасці {x_n} і {y_n} вызначаюць адзін і той жа цэлы *p*-адычным лік тады і толькі тады, калі
: x_n\equiv y_n\pmod{p^n}
для ўсіх .

Складанне і множанне цэлых *p*-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.

#### Азначэнне праз праектыўны ліміт 
У тэрмінах  кальцо цэлых *p*-адычных лікаў вызначаецца як ліміт
: \lim_{\leftarrow}\mathbb{Z} / {p^n}\mathbb{Z}
кольцаў \mathbb{Z} / {p^n}\mathbb{Z} вылікаў па модулю p^n адносна натуральных праекцый \mathbb{Z}/{p^{n+1}}\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/{p^n}\mathbb{Z}.

Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку p, але і любога састаўнога ліку m — атрымаецца т. зв. кальцо m-адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад \mathbb{Z}_p утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.

#### Уласцівасці 
Кальцо цэлых *p*-адычных лікаў звычайна абазначаецца \mathbb{Z}_p. Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў \mathbb{Z}_p відавочным чынам: x=\{x,x,\ldots\} і з’яўляюцца падкальцом.

Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік a_n = x_n\,\bmod\,{p^n} (такім чынам, 0\le a_n), мы можам запісаць кожны цэлы *p*-адычны лік у выглядзе x=\{a_1,a_2,\ldots\} адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца *кананічным*.

Запісваючы кожнае  у *p*-ічнай сістэме злічэння a_n=b_{n-1}\ldots b_1b_0 і, улічваючы, што
: a_n\equiv a_{n+1} \!\! \pmod{p^n},
мы можам усякі *p*-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як
: x=\{b_0, b_1b_0, b_2b_1b_0,\ldots\}
ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у *p*-ічнай сістэме злічэння
: x=\{\ldots b_k\ldots b_1b_0\}.
Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у *p*-ічнай сістэме злічэння.

У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць *p*-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць *p*-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).

### *p*-адычныя лікі 
#### Азначэнне як поля дзелей 
*'*p*-адычным лікам'* называецца элемент поля дзелей \mathbb{Q}_p кальца \mathbb{Z}_p цэлых *p*-адычных лікаў.
Гэтае поле называецца *'полем *p*-адычных лікаў'*.

#### Уласцівасці 
Поле *p*-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле рацыянальных лікаў.

Няцяжка даказаць, што любы цэлы -адычны лік, някратны , будзе абарачальным у колцы \mathbb{Z}_p, а кратнае  адназначна запісваецца ў выглядзе xp^n, дзе лік  не дзеліцца на  і таму абарачальны, а .

Таму любы ненулявы элемент поля \mathbb{Q}_p можна запісаць у выглядзе xp^n, дзе *x* не кратнае *p*, а *n* любое.

Калі *n* адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых *p*-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у *p*-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі *p*-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці
: x=\{\ldots b_k\ldots b_2 b_1 b_0,b_{-1}\ldots b_{-n}\},
г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе *p*-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.

Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.

## Метрычная пабудова 
Любы ненулявы рацыянальны лік  можна запісаць як
: r=p^n \,\frac{a}{b},
дзе  і  — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на , а  — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.

Тады *p*-адычная норма ліку  вызначаецца як
: |x|_p = p^{-n}.

Для нуля *p*-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:
: |0|_p=0.

Поле *p*-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю d_p, вызначанаю *p*-адычнай нормай:
: d_p(x,y)=|x-y|_p .

Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.

Норма |r|_p працягваецца па непарыўнасці да нормы на \mathbb{Q}_p.

## Уласцівасці 
* Кожны элемент *x* поля *p*-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада
:: x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i
: дзе n_0 — некаторы цэлы лік, а a_i — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым p-1. А іменна, у якасці a_i тут выступаюць лічбы з запісу *x* у сістэме злічэння з асноваю *p*. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы d_p да самога x.
* *p*-адычная норма |x|_p задавальняе моцную няроўнасць трохвугольніка
:: |x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.
:* Лікі x\in \mathbb Q_p з умоваю |x|_p\le 1 утвараюць кальцо \mathbb{Z}_p цэлых *p*-адычных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q} у норме |x|_p.
:* Лікі x\in \mathbb{Q}_p з умоваю |x|_p= 1 утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца *p*-адычнымі адзінкамі.
:* Сукупнасць лікаў x\in \mathbb{Q}_p з умоваю |x|_p з’яўляецца галоўным ідэалам у \mathbb{Z}_p з утваральным элементам *p*.
* Метрычная прастора (\mathbb{Z}_p,d_p) гомеаморфная Кантараву мноству, а прастора (\mathbb{Q}_p,d_p) гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам.
* Для розных *p* нормы |x|_p незалежныя, а палі \mathbb{Q}_p неізаморфныя.
* Для любых элементаў r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, … такіх, што r_\infty \in \mathbb R і r_p\in \mathbb Q_p, можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў x_n такіх, што для любога *p* |x_i-r_p|_p\to 0 і |x_i-r_\infty|\to 0.

## Выкарыстанне 
* Калі F(x_1,x_2,\ldots,x_n) — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх *k* параўнання
:: F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}
: раўназначная вырашальнасці ўраўнення
:: F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0
: у цэлых *p*-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях *p*-адычных лікаў пры ўсіх *p*, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю.

: На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых *p*-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў *k*. Напрыклад, згодна з , пры n=1 дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных *k* будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю *p* (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю *p*). Інакш кажучы, пры n=1 для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых *p*-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры k=1.

## Літаратура 
* 
* 
* *Боревич З. И., Шафаревич И. Р.* Теория чисел. — : Наука, 1985.
* *Коблиц Н.* р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — : Мир, 1982.
* *Радына А. Я., Радына Я. В.* Элементарныя ўводзіны ў р-адычны аналіз. — : БДПУ, 2006.
* *Серр Ж.-П.* Курс арифметики. — : Мир, 1972.

## Спасылкі 
* 
* 
* *p*-adic number  at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
* Completion of Algebraic Closure — on-line lecture notes by Brian Conrad
* An Introduction to *p*-adic Numbers and *p''-adic Analysis  — on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
* Efficient p-adic arithmetic (slides)

Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Лікі