Матэматычная фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці

У гэтым артыкуле разглядаецца матэматычны базіс агульнай тэорыі адноснасці.

## Зыходныя палажэнні 
Нашае інтуітыўнае ўспрыманне паказвае нам, што прастора-час з'яўляецца рэгулярнай і неперарыўнай, гэта значыць не мае «дзірак». Матэматычна гэтыя ўласцівасці азначаюць, што прастора-час будзе мадэлявацца гладкай дыферэнцавальнай мнагастайнасцю 4 вымярэнняў  M_4 , г. зн. прасторай размернасці 4, для якой наваколле кожнай кропкі лакальна падобнае на чатырохмерную эўклідавую прастору. Гладкасць тут азначае дастатковую дыферэнцавальнасць, пакуль без удакладнення яе ступені.

Паколькі, акрамя таго, з добрай дакладнасцю выконваюцца законы спецыяльнай тэорыі адноснасці, то такую мнагастайнасць можна надзяліць лорэнцавай метрыкай, г. зн. нявыраджаным метрычным тэнзарам з сігнатурай \{-,+,+,+\} (ці, што эквівалентна, \{+,-,-,-\}). Значэнне гэтага раскрываецца ў наступным раздзеле.

## Геаметрыя прасторы-часу 
### Метрычны тэнзар 
Дыферэнцавальная мнагастайнасць M, забяспечанае лорэнцавым метрычным тэнзарам *g* , і прадстаўляе сабой такім чынам *лорэнцаву мнагастайнасць*, якая з'яўляецца асобным выпадак псеўдарыманавай мнагастайнасці (азначэнне «лорэнцаў» будзе ўдакладнена далей у тэксце; гл. ніжэй раздзел Лорэнцава метрыка) .

Возьмем якую-небудзь сістэму каардынат  x^{\mu}  ў наваколлі кропкі  P , і хай {\mathbf e}_{\mu}(x)  — лакальны базіс ў датычнай прасторы  T_xM  да мнагастайнасці  M  ў кропцы x\in M . Датычны вектар  \mathbf w \in T_xM запішацца тады як лінейная камбінацыя базісных вектараў:

Пры гэтым велічыні  \ w^{\mu}  называюцца контраварыянтнымі кампанентамі вектара *w*. Метрычны тэнзар  \mathbf g  тады — сіметрычная білінейная форма:

дзе праз  dx^{\mu}  пазначаны дуальны ў адносінах да {\mathbf e}_{\mu}(x) базіс ў кадатычный прасторы T_x^*M, гэта значыць такія лінейныя формы на T_xM, што:

Далей будзем меркаваць, што кампаненты  g_{\mu\nu}(x)  метрычнага тэнзара змяняюцца ў прасторы-часе неперарыўна.

Метрычны тэнзар, такім чынам, можа быць прадстаўлены сапраўднай сіметрычнай матрыцай 4x4 :

Наогул любая сапраўдная матрыца 4x4 мае апрыёры 4 x 4 = 16 незалежных элементаў. Умова сіметрыі памяншае гэты лік да 10: на самай справе, застаецца 4 дыяганальныя элементы, да якіх трэба дадаць (16 - 4)/2 = 6 недыяганальных элементаў. Тэнзар g_{\mu\nu} валодае, такім чынам, толькі 10 незалежнымі кампанентамі.

### Скалярны здабытак 
Метрычны тэнзар вызначае для кожнай кропкі x \in M  разнастайнасці псеўда-скалярны здабытак («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара); см. Лорэнцава метрыка) у датычнай да разнастайнасці M^{} ў кропцы x псеўдаэўклідавай прасторы T_xM. Калі \mathbf u і \mathbf v — два вектары T_xM, іх скалярны здабытак запішацца як:

У прыватнасці, узяўшы два базісных вектара, атрымліваем кампаненты:

Заўвага: калі велічыні w ^ {\ mu} абазначаюць контраварыянтныя кампаненты вектара *w*, то можна вызначыць таксама яго каварыянтныя кампаненты як:

### Элементарная адлегласць — інтэрвал 
Разгледзім вектар элементарнага перамяшчэння  d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu} паміж кропкай P^{} і бясконца блізкай кропкай:  | \epsilon^{\mu} | \ll 1 . Інварыянтнай інфінітэзімальнай нормай гэтага вэктару будзе сапраўдны лік, які пазначаецца  ds^2 , званы квадратам інтэрвалу, і роўны:

 

Калі пазначыць кампаненты вектара элементарнага перамяшчэння «па-фізічна»  \epsilon^{\mu} = dx^{\mu} , інфінітэзімальны квадрат даўжыні (інтэрвалу) запішацца фармальна як:

*Увага*: у гэтай формуле, а таксама і далей, dx^{\mu} прадстаўляе сабой сапраўдны лік, які інтэрпрэтуецца фізічна як «інфінітэзімальная змена» каардынаты x^{\mu}, а не як дыферэнцыяльная форма!

### Лорэнцава метрыка 
Удакладнім цяпер выраз «лорэнцава» (дакладней лакальна лорэнцава), які азначае, што метрычны тэнзар мае сігнатуру (1,3) і лакальна супадае ў першым парадку з лорэнцавай метрыкай спецыяльнай тэорыі адноснасці. Прынцып эквівалентнасці сцвярджае, што можна «сцерці» лакальна поле гравітацыі, выбіраючы лакальна інерцыйных сістэму каардынатаў. З матэматычнага пункту гледжання такі выбар з'яўляецца перафармулёўку вядомай тэарэмы аб магчымасці прывядзення квадратычнай формы да галоўных восях .

У такой лакальна інерцыяльны сістэме каардынатаў  X^{\alpha}  інварыянт  ds^2  у кропцы  P  запішацца як:

дзе \eta_{\alpha\beta} з'яўляецца метрыкай прасторы-часу Мінкоўскага, а ў малому наваколлі гэтага пункту

дзе \delta_{\alpha\beta} мае мінімум другі парадак драбніцы па адхіленнях каардынатаў ад кропкі  P , г. зн. \delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta}}{\partial X^\alpha}\right|_{P}=0. Прымаючы пагадненне знакаў Мізнэра, Торна і Уілера, маем:

 

Далей выкарыстоўваюцца наступныя звычайныя пагадненні:

* грэчаскія індэксы змяняюцца ад 0 да 3. Яны адпавядаюць велічыням ў прасторы-часу.
* лацінскія індэксы змяняюцца ад 1 да 3. Яны адпавядаюць прасторавым складнікам велічынь у прасторы-часу.

Напрыклад, 4 -вектар становішча запішацца ў лакальна інерцыяльнай сістэме каардынат як:

Увага: на самой справе вядомыя, а не інфінітэзімальныя прырашчэння каардынат не ўтвараюць вектара. Вектар з іх узнікае толькі ў аднастайным прасторы нулявой крывізны і трывіяльнай тапалогіі .

Ларэнца характар разнастайнасці M^{} забяспечвае, такім чынам, тое, што датычныя да M^{} ў кожнай кропцы псеўдаэўклідавай прасторы будуць валодаць псеўдаскалярнымі здабыткамі («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара)) з трыма строга дадатнымі уласнымі значэннямі (адпаведнымі прасторы) і адным строга адмоўным уласным значэннем (адпаведным часе). У прыватнасці, элементарны інтэрвал «ўласнага часу», які аддзяляе дзве паслядоўных падзеі, заўсёды :

### Агульныя паняцці афіннай звязнасці і каварыянтнай вытворнай 
Абагульнена, афіннай звязнасцю называецца аператар  \nabla , які прыводзіць у адпаведнасць вектарнаму полю  \mathbf V  з датычнага пучка  TM  поле эндамарфізмаў  \nabla \mathbf V  этого пучка. гэтага пучка. Калі  {\mathbf w} \in T_xM  — датычны вектар у пункце  x \in M , звычайна пазначаюць

Кажуць , што  \nabla_{\mathbf w} \mathbf V  з'яўляецца «каварыянтнай вытворнай» вектара \mathbf V  ў напрамку  {\mathbf w} . Выкажам здагадку да таго ж , што  \nabla \mathbf V  задавальняе дадатковым умовам: для любой функцыі f справядліва

Каварыянтная вытворная задавальняе наступным двум уласцівасцям лінейнасці:

* лінейнасць па *w*, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў *w* і *u* і сапраўдныя лікі *a* і *b*, мы маем:

* лінейнасць па *V*, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў *X* і сапраўдныя лікі *a* і *b*, мы маем:

Як толькі каварыянтная вытворная вызначана для палёў вектараў, яна можа быць распаўсюджана на тэнзарныя палі з выкарыстаннем правілы Лейбніца: калі  \mathbf T  і  \mathbf S  — два любых тэнзар, то па азначэнні :

Каварыантная вытворная поля тэнзара ўздоўж вектара *w* значыць ізноў поле тэнзара таго ж тыпу.

### Звязнасць, асацыяваная з метрыкай 
Можна даказаць , што звязнасць, асацыяваная з метрыкай — складнасць Леві-Чывіты [ 1 ], з'яўляецца адзінай звязнасцю, якая акрамя папярэдніх умоў дадаткова забяспечвае тое, што для любых палёў вектараў *X, Y, Z* з *TM*

:* \nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g(\mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) (метрычнасць — тэнзар неметрычнасці роўны нулю) .

:* \nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y], где [\mathbf X,\mathbf Y] — камутатар Лі ад X і Y (адсутнасць скрута — тэнзар скрута роўны нулю) .

## Ураўненні Эйнштэйна 
Ураўненні гравітацыйнага поля, якія называюцца *ўраўненнямі Эйнштэйна*, запісваюцца так

або так

дзе  \Lambda  — касмалагічная канстанта,  c  — скорасць святла ў вакууме,  G  — гравітацыйная пастаянная, якая з’яўляецца таксама ў законе сусветнага прыцягнення Ньютана, E_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R — тэнзар Эйнштэйна, а  T_{\mu\nu}  — тэнзар энергіі-імпульсу.

Сіметрычны тэнзар  g_{\mu\nu}  мае толькі 10 незалежных складнікаў, тэнзарнае ўраўненне Эйнштэйна ў зададзенай сістэме каардынат эквівалентна сістэме 10 скалярных ураўненняў. Гэтая сістэма 10 звязаных нелінейных ураўненняў ў частковых вытворных ў большасці выпадкаў вельмі цяжкая для вывучэння.

## Тэнзар энергіі-імпульсу 
Тэнзар энергіі-імпульсу можа быць запісаны ў выглядзе сапраўднай сіметрычнай матрыцы 4x4:

У ім выяўляюцца наступныя фізічныя велічыні:

* T00 — аб'ёмная шчыльнасць энергіі. Яна павінна быць дадатнай.
* T10, T20, T30 — шчыльнасці кампанент імпульсу.
* T01, T02, T03 — кампаненты патоку энергіі.
* Пад-матрыца 3 x 3 з чыста прасторавых кампанент:

— матрыца патокаў імпульсаў. У механіцы вадкасці дыяганальныя кампаненты адпавядаюць ціску, а іншыя складнікі — тангенцыяльным намаганням (высілкам або ў старой тэрміналогіі — нацяжэннем), выкліканым вязкасцю.

Для вадкасці ў спакоі тэнзар энергіі-імпульсу зводзіцца да дыяганальнай матрыцы ~{\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p), дзе ~{\rho} ёсць шчыльнасць масы, а ~p — гідрастатычны ціск.

Катэгорыя:Тэорыі гравітацыі
Катэгорыя:Агульная тэорыя адноснасці