Фактарыял

**Фактарыя́л ліку ** ( — дзеючы, множачы; абазначаецца **!**, чытаецца *эн фактарыя́л*) — здабытак усіх натуральных лікаў ад 1 да  уключна:
: n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i.

Напрыклад:
:5 ! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120. 

Па азначэнню лічаць 0! = 1. Фактарыял вызначаны толькі для цэлых неадмоўных лікаў. 

Паслядоўнасць фактарыялаў неадмоўных цэлых лікаў пачынаецца так:
: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, , , , , , ,  , , , , , , , … ()

Фактарыялы часта выкарыстоўваюцца ў камбінаторыцы, тэорыі лікаў і функцыянальным аналізе. 

Як функцыя, фактарыял вельмі хутка нарастае. Ён расце хутчэй, чым мнагачлен любой ступені, і хутчэй, чым паказчыкавая функцыя (але павольней, чым двайная экспаненцыяльная функцыя e^{e^n}).

## Уласцівасці 
### Зваротная формула 
: n!= \begin{cases}
1 & n = 0,\\
n \cdot (n-1)! & n > 0.
\end{cases}

### Камбінаторнае вытлумачэнне 
У камбінаторыцы фактарыял натуральнага ліку  вытлумачваецца як колькасць перастановак (упарадкаванняў) мноства з  элементаў. Напрыклад, для мноства {*A*,*B*,*C*,*D*} з 4-х элементаў існуе 4! = 24 перастаноўкі:
 ABCD  BACD  CABD  DABC
 ABDC  BADC  CADB  DACB
 ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
 ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
 ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
 ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Камбінаторны сэнс фактарыяла служыць абгрунтаваннем тоеснасці 0! = 1, бо пустое мноства можна ўпарадкаваць толькі адным спосабам.

### Сувязь з гама-функцыяй 
Фактарыял звязаны з гама-функцыяй ад цэлалікавага аргумента суадносінамі:
: n! = \Gamma(n+1).
Такім чынам, гама-функцыю разглядаюць як абагульненне фактарыяла для дадатных рэчаісных лікаў. 

Шляхам аналітычнага працягу яе таксама пашыраюць і на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем асаблівых пунктаў пры n=-1, -2, -3\ldots.

Больш непасрэдным абагульненне фактарыяла на мноства рэчаісных (і камплексных) лікаў з'яўляецца пі-функцыя, вызначаная як

:\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t\,.

Паколькі \Pi(z) = \Gamma(z+1) \,, то пі-функцыя натуральнага ліку супадае з яго фактарыялам: \Pi(n) = n!. Як фактарыял, пі-функцыя задавальняе зваротныя (рэкурсіўныя) суадносіны
:\Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.

### Формула Стырлінга 
**Формула Стырлінга** — асімптатычная формула для вылічэння фактарыяла:
: n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),
гл. O-вялікае. Каэфіцыенты гэтага раскладання даюць  (лічнікі) і  (назоўнікі).

У многіх выпадках для прыбліжанага значэння фактарыяла дастаткова разглядаць толькі галоўны член формулы Стырлінга:
: n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.
Пры гэтым можна сцвярджаць, што
: \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)}

Формула Стырлінга дазваляе атрымліваць прыбліжаныя значэнні фактарыялаў вялікіх лікаў без непасрэднага перамнажэння паслядоўнасці натуральных лікаў. Так, з дапамогаю формулы Стырлінга лёгка падлічыць, што 

* 100! ≈ 9,33×10157;
* 1000! ≈ 4,02×102567;
* ! ≈ 2,85×10.

### Раскладанне на простыя лікі 
Кожны просты лік  ўваходзіць у раскладанне  на простыя множнікі ў ступені
: \left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots.
Такім чынам,
: n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},
дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках. Няцяжка бачыць, што для ўсякага простага , большага за , адпаведны множнік у здабытку роўны 1, а таму здабытак можна браць толькі па простых , не большых за .

### Іншыя ўласцівасці 
* Для натуральнага ліку 
*: n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n.

## Абагульненні 
### Двайны фактарыял 
**Двайны фактарыял** ліку  абазначаецца  і вызначаецца як здабытак усіх натуральных лікаў у адрэзку [1,], маючых тую ж цотнасць што і . Такім чынам,
: (2k)!! = 2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!,
: (2k+1)!! = 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!} = \frac{(2k+1)!}{(2k)!!}.
Па азначэнню прымаюць 0!! = 1.

Паслядоўнасць значэнняў  пачынаецца так:
: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945,  3840, , , , , , , , , , , , , , , , , … ().

### Кратны фактарыял 
**-кратны фактарыял** ліку  абазначаецца \textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m і вызначаецца наступным чынам:

Няхай лік  можна прадставіць у выглядзе n=mk-r, дзе k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}. Тады

:n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r). 

Двайны фактарыял з'яўляецца асобным выпадкам -кратнага фактарыяла для  = 2.

Кратны фактарыял звязаны з гама-функцыяй наступнымі суадносінамі:
:n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}.

### Спадаючы фактарыял 
**Спадаючым фактарыялам** (ці **няпоўным фактарыялам**) называецца выраз
: (n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}.
Спадаючы фактарыял дае лік размяшчэнняў з  па .

### Нарастаючы фактарыял 
**Нарастаючым фактарыялам** называецца выраз
: n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}.

### Прымарыял 
**Прымарыял** () ліку  абазначаецца  і вызначаецца як здабытак усіх простых лікаў, не большых чым *n*. Напрыклад,
: 11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

Паслядоўнасць прымарыялаў (уключаючы {\textstyle{1\# \equiv 1}}) пачынаецца так:
: 1, 2, 6, 30, 210, 2310, , , , , , , , , , , , , … ().

### Суперфактарыялы 
Нейл Слоан і  у 1995 годзе вызначылі **суперфактарыял** як здабытак першых  фактарыялаў. Згодна з гэтым азначэннем, суперфактарыял чатырох роўны 

:  \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,

(устоянага абазначэння няма, таму выкарыстоўваецца функцыянальнае).

Такім чынам,
: 
  \operatorname{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 

Паслядоўнасць суперфактарыялаў лікаў n \geqslant 0 пачынаецца так:
: 1, 1, 2, 12, 288, , , … ().

Ідэя была абагульнена ў 2000 годзе , што прывяло да **гіперфактарыялаў** (), якія з'яўляюцца здабыткам першых  суперфактарыялаў. Паслядоўнасць гіперфактарыялаў лікаў n \geqslant 1 пачынаецца так:

: 1, 1, 2, 24, 6912, , ,  , ,  … ()

Працягваючы рэкурэнтна, можна вызначыць **фактарыял кратнага ўзроўню**, ці -узроўневы фактарыял ліку , як здабытак першых  (−1)-узроўневых фактарыялаў, г. зн.
: \operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}, 
дзе \operatorname{mf}(n,0)=n для n>0 і \operatorname{mf}(0,m)=1.

### Субфактарыял 
**Субфактарыял** ! вызначаецца як колькасць беспарадкаў парадку , г. зн. перастановак -элементнага мноства без нерухомых пунктаў.

## Гл. таксама 
* Фактарыён

## Крыніцы 
## Літаратура 
* 
* 
* 
* 
* 

Катэгорыя:Цэлалікавыя паслядоўнасці
Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Камбінаторыка