Ураўненне Шродзінгера

**Ураўне́нне Шро́дзінгера** — лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных, якое апісвае змяненне ў прасторы (у агульным выпадку, у канфігурацыйнай прасторы) і ў часе чыстага стану, заданага хвалевай функцыяй, у гамільтанавых квантавых сістэмах.

Іграе ў квантавай механіцы такую ж важную ролю, як ураўненні Гамільтана або ўраўненне другога закона Ньютана у класічнай механіцы, або ўраўненні Максвела для электрамагнітных хваль.

Сфармулявана Эрвінам Шродзінгерам у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе. Ураўненне Шродзінгера не выводзіцца, а пастуліруецца метадам аналогіі з класічнай оптыкай, на аснове абагульнення эксперыментальных дадзеных.

Ураўненне Шродзінгера апісвае часціцы без спіна, якія рухаюцца са скарасцямі, шмат меншымі за скорасць святла. У выпадку хуткіх часціц і часціц са спінам выкарыстоўваюцца яго абагульненні (, ураўненне Паўлі, ураўненне Дзірака і інш.)

## Гісторыя 
У пачатку XX ст. навукоўцы прыйшлі да высновы, што паміж прадказаннямі класічнай тэорыі і эксперыментальнымі дадзенымі аб атамнай структуры існуе шэраг разыходжанняў. Адкрыццё ўраўнення Шродзінгера адбылося ўслед за рэвалюцыйнай здагадкай дэ Бройля, што не толькі святло, але і наогул любыя целы (у тым ліку і любыя мікрачасціцы) валодаюць хвалевымі ўласцівасцямі.

Гістарычна канчатковай фармулёўцы ўраўнення Шродзінгера папярэднічаў працяглы перыяд развіцця фізікі.

Само ўраўненне сфармулявана Эрвінам Шродзінгерам у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе.

## Агляд 
### Залежнае ад часу ўраўненне 
Найбольш агульная форма ўраўнення Шродзінгера — гэта форма, якая ўключае залежнасць ад часу:

{{Equation box 1|cellpadding
|border
|indent=:|title=**Залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера** (*агульны выпадак*)|equation=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat H \Psi, |border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}}
дзе  — уяўная адзінка;  — прыведзеная пастаянная Планка, роўная \hbar = \frac{h}{2 \pi}; сімвал  абазначае частковую вытворную па часу ;  — хвалевая функцыя квантавай сістэмы;  —  (які характарызуе поўную энергію сістэмы).

Прыклад нерэлятывісцкага ўраўнення Шродзінгера ў каардынатным прадстаўленні для кропкавай часціцы масы , якая рухаецца ў патэнцыяльным полі з патэнцыялам  V(\vec{r} ,t) :

{{Equation box 1|cellpadding
|border
|indent=:|title=**Залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера** (*для адзіночнай нерэлятывісцкай часціцы*)|equation=i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r} ,t) = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)\right ] \Psi(\vec{r} ,t).|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

У апошнім ураўненні гамільтаніян \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t). Сімвалам  абазначаны лапласіян (дыферэнцыяльны аператар).

### Стацыянарнае ўраўненне 
Нестацыянарнае (залежнае ад часу) ураўненне Шродзінгера, апісанае вышэй, прадказвае, што хвалевыя функцыі могуць утвараць стаячыя хвалі, якія называюцца  (таксама называюцца «арбіталямі», як атамныя і ). Гэтыя станы асабліва важныя, бо іх асобнае вывучэнне спрашчае пазней задачу рашэння нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для *любога* стану. Стацыянарныя станы можна таксама апісаць больш простай формай ураўнення Шродзінгера, т.зв. *стацыянарным ураўненнем Шродзінгера*.

дзе ''* — пастаянная, роўная поўнай энергіі сістэмы.

Гэта ўраўненне выкарыстоўваецца толькі, калі  сам не залежыць яўна ад часу. Аднак, нават у гэтым выпадку поўная хвалевая функцыя ўсё яшчэ залежыць ад часу.

Словамі ўраўненне можна сфармуляваць так:
:: *Калі Гамільтанаў аператар дзейнічае на некаторую хвалевую функцыю* , *і вынік прапарцыянальны гэта жа хвалевай функцыі* , *тады*  — *, і пастаянная прапарцыянальнасці  ёсць энергія гэтага стану* .
У тэрмінах лінейнай алгебры, гэта ўраўненне з’яўляецца характарыстычным ураўненнем аператара Гамільтана, і ў гэтым сэнсе хвалевая функцыя з’яўляецца  аператара Гамільтана.

Як і вышэй, найбольш распаўсюджаны прыклад — нерэлятывісцкае ўраўненне Шродзінгера для адзіночнай часціцы, якая рухаецца ў электрычным полі (але не ў магнітным):

{{Equation box 1
|indent=:
|title=**Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера** (*для адзіночнай нерэлятывісцкай часціцы*)
|equation=\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \Psi(\vec{r}) = E\,\Psi(\vec{r}),
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

дзе абазначэнні супадаюць з уведзенымі раней.

### Некаторыя ўласцівасці 
Паколькі квантавая тэорыя не патрабуе поўнага адмаўлення ад законаў Ньютана, а толькі вызначае межы прымянімасці класічнай фізікі, то ўраўненне Шродзінгера павінна ўзгадняцца з законамі Ньютана ў «гранічным выпадку».

Сярэднія значэнні механічных велічынь для хвалевага пакета, які можна апісаць ураўненнем Шродзінгера, задавальняюць класічным ураўненням Гамільтана (тэарэма Эрэнфеста).

Ураўненне Шродзінгера інварыянтнае адносна пераўтварэнняў Галілея. З гэтага факта выцякае шэраг важных вынікаў: існаванне рада аператараў квантавай механікі, звязаных з пераўтварэннямі Галілея, немагчымасць апісання станаў са спектрам мас або нестабільныя элементарныя часціцы ў нерэлятывісцкай квантавай механіцы (), існаванне квантавамеханічных інварыянтаў, спароджаных пераўтварэннем Галілея.

Ураўненне Шродзінгера з’яўляецца больш складаным у параўнанні з ураўненнямі Гамільтана класічнай механікі. Ураўненні Гамільтана з’яўляюцца сістэмай звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў першага парадку, а ўраўненне Шродзінгера з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем ў частковых вытворных.

Ураўненне Шродзінгера, як і ўраўненні Гамільтана, з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе. Яно з’яўляецца матэматычным выразам прынцыпу статыстычнага дэтэрмінізму ў квантавай механіцы — дадзены стан сістэмы вызначае яе наступны стан не адназначна, а толькі з пэўнай імавернасцю, заданай пры дапамозе хвалевай функцыі \Psi.

Ураўненне Шродзінгера лінейнае, гэта значыць, калі хвалевыя функцыі \Psi і \Phi задавальняюць ураўненню Шродзінгера, то яму задавальняе любая іх лінейная камбінацыя \alpha \Psi + \beta \Phi, дзе \alpha і \beta — камплексныя лікі. З прычыны гэтага лінейная суперпазіцыя хвалевых функцый не парушаецца ўраўненнем Шродзінгера, і патрэбна аперацыя вымярэння для рэдукцыі хвалевай функцыі. Лінейнасць аператара Шродзінгера з’яўляецца вынікам і абагульненнем прынцыпу суперпазіцыі, які важны для карэктнай фармулёўкі паняцця аперацыі вымярэння.

Для ўсіх квантавых сістэм, якія займаюць абмежаваныя вобласці прасторы, рашэнні ўраўнення Шродзінгера існуюць толькі для злічальнага мноства значэнняў энергіі E_{n} і ўяўляюць сабой злічальнае мноства хвалевых функцый \Psi_{n}, члены якога нумаруюцца наборам квантавых лікаў n.

### Абмежаванні прымянімасці 
Ураўненне Шродзінгера не можа растлумачыць , бо хвалевая функцыя ўзбуджанага стану з’яўляецца дакладным рашэннем залежнага ад часу ўраўнення Шродзінгера.

Ураўненне Шродзінгера не можа апісваць працэс  ў квантавай механіцы, бо яно лінейнае, дэтэрміністычнае і абарачальнае ў часе, а працэс вымярэння нелінейны, стахастычны і неабарачальны ў часе.

Паводле , у нерэлятывісцкай квантавай механіцы нельга апісваць станы са спектрам мас ці нестабільныя элементарныя часціцы.

## Фармулёўка 
### Агульны выпадак 
У квантавай фізіцы ўводзіцца камплексназначная функцыя \Psi, якая апісвае чысты стан аб’екта і называецца хвалевай функцыяй. У найбольш распаўсюджанай капенгагенскай інтэрпрэтацыі гэтая функцыя звязана з імавернасцю выяўлення аб’екта ў адным з чыстых станаў (квадрат модуля хвалевай функцыі ўяўляе сабой шчыльнасць імавернасці). Паводзіны гамільтанавай сістэмы ў чыстым стане поўнасцю апісваюцца з дапамогай хвалевай функцыі.

Адмовіўшыся ад апісання руху часціцы з дапамогай траекторый, якія атрымліваюцца з законаў дынамікі, і вызначыўшы замест гэтага хвалевую функцыю, неабходна ўвесці ў разгляд ураўненне, якое эквівалентнае законам Ньютана і дае рэцэпт для знаходжання \Psi  у розных фізічных задачах. Такім ураўненнем з’яўляецца ўраўненне Шродзінгера.

Няхай ёсць сістэма  нерэлятывісцкіх часціц, і -я часціца з масай  размешчана ў пункце, які зададзены радыусам-вектарам \vec{r}_j.

Аператар Гамільтана для такой сістэмы часціц мае выгляд:
: \hat H = -\frac{\hbar^2}{2} \sum_{j=1}^n \frac{1}{m_j} \nabla_j^2 + V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, t),

дзе
:  \hbar = \frac{h}{2\pi} — прыведзеная пастаянная Планка (пастаянная Дзірака); тут h — пастаянная Планка;
: m_j — маса -й часціцы;
: V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, t)  — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц з радыусамі-вектарамі \vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots у момант часу t;
: \nabla_j^2  — аператар Лапласа (ці лапласіян), у якім дыферэнцыраванне праводзіцца па каардынатах -й часціцы, і які ў дэкартавых каардынатах выглядае так:
:  \nabla_j^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} + \frac{\partial^2}{\partial y_j^2} + \frac{\partial^2}{\partial z_j^2}.

Хвалевая функцыя сістэмы  часціц з’яўляецца функцыяй ад становішча \vec{r}_j кожнай часціцы і ад часу .
Таму хвалевая функцыя бярэцца ў выглядзе \Psi = \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t) = \Psi(x_1, y_1, z_1; \dots ; x_n, y_n, z_n; t).

Такім чынам, для сістэмы  часціц ураўненне Шродзінгера запішацца ў выглядзе:

{{Equation box 1|cellpadding
|border
|indent=:
|title=**Нестацыянарнае ўраўненне Шродзінгера** (*для сістэмы  нерэлятывісцкіх часціц*)
|equation =  i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = - \frac{\hbar^2}{2} \sum_{j=1}^n \frac{1}{m_j} \nabla_j^2 \Psi + V\, \Psi, 
|border colour=#0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

дзе  — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц, якая складаецца з асобных патэнцыяльных энергій узаемадзеяння часціц са знешнім полем і між сабою:
: V=V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t) = \sum_{j=1}^n V_j(\vec{r}_j, t) + \sum_{1\le k 

; Нестацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы
У выпадку адзіночнай часціцы ў трохмернай прасторы -функцыя з’яўляецца функцыяй трох прасторавых каардынат і часу.
У дэкартавай сістэме каардынат дзеянне аператара Лапласа на функцыю  выглядае наступным чынам
: \nabla^2 \Psi = \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2}.

У выніку, ураўненне Шродзінгера для адной часціцы ў дэкартавых каардынатах прыме выгляд:
:  - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Psi}{\partial z^2} \right) + V(x, y, z, t) \Psi = i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}, 

дзе  \hbar = \frac{h}{2 \pi} , h  — пастаянная Планка; m — маса часціцы, V(x, y, z, t) — патэнцыяльная энергія часціцы ў кропцы (x, y, z) у момант часу .

### Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера 
Час уваходзіць ва ўраўненне Шродзінгера толькі праз першую вытворную па часе і праз магчымую залежнасць патэнцыялу знешняга поля ад часу. Калі знешняе поле, якое дзейнічае на часціцы сістэмы, можна лічыць пастаянным у часе, то рашэнне ўраўнення Шродзінгера павінна быць нескладанай функцыяй адносна часавай пераменнай .
Форма ўраўнення Шродзінгера паказвае, што адносна часу яго рашэнне павінна быць простым, паколькі час уваходзіць у гэта ўраўненне толькі праз першую вытворную ў правай частцы.

Сапраўды, можна паказаць, што  ў выпадку, калі V=V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n) не з’яўляецца функцыяй часу, можна запісаць у выглядзе:

: \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t) = \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n)\, e^{ - i E t / \hbar},

дзе функцыя \psi=\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n) для сістэмы  нерэлятывісцкіх часціц (з масамі ) павінна задавальняць ураўненню:

{{Equation box 1|cellpadding
|border
|indent=:
|title=**Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера** (*для сістэмы  нерэлятывісцкіх часціц*)
|equation = - \frac{\hbar^2}{2} \sum_{j=1}^n \frac{1}{m_j} \nabla_j^2 \psi + V\,\psi = E\,\psi,
|border colour=#0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

якое атрымліваецца з нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера пры падстаноўцы ў яго названага вышэй асобнага рашэння для \Psi. Заўважым, што апошняе ўраўненне наогул не ўтрымлівае часу; у сувязі з гэтым яно называецца *стацыянарным ураўненнем Шродзінгера* (г.зн. *ураўненне Шродзінгера, якое не змяшчае часу'').

; Стацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы

Для адзіночнай часціцы (з масай ) хвалевая функцыя \psi=\psi(\vec{r}) павінна задавальняць ураўненню:
: - {{\hbar}^2 \over 2 m } \nabla^2 \psi + V \psi = E \psi,
якое ў дэкартавых каардынатах прынімае выгляд
:  - \frac{\hbar^2}{2 m} \left( \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right) + V(x, y, z) \psi = E \psi. 

; Агульнае рашэнне для стацыянарнага патэнцыялу

Няхай функцыя патэнцыяльнай энергіі  не залежыць ад часу.
Няхай \psi_E=\psi_E(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n) ёсць рашэнне стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для значэння . Тады функцыя
: \Psi_E = \Psi_E(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t)=\psi_E\, e^{ - i E t / \hbar}
з’яўляецца асобным рашэннем часавага (нестацыянарнага) ураўнення Шродзінгера і апісвае стан з дакладна вызначанай поўнай энергіяй .

Агульнае рашэнне ўяўляе сабой  ўсіх асобных рашэнняў :
: \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n, t) = \sum_E c_E \Psi_E = \sum_E c_E\,\psi_E(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \dots, \vec{r}_n)\, e^{ - i E t / \hbar},
дзе сума бярэцца па ўсіх значэннях , для якіх існуе фізічна дапушчальнае рашэнне  стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера, а  — пастаянныя камплексныя лікі (якія называюцца амплітудамі і вылічаюцца з умоў канкрэтнай задачы).

Фізічны сэнс: агульнае рашэнне апісвае стан з нявызначанай энергіяй, які з'яўляецца сумессю () станаў з энергіямі  (для якіх амплітуды ).

### Ураўненне Шродзінгера ў электрамагнітным полі 
Гамільтаніян нерэлятывісцкай бясспінавай часціцы з масай  і зарадам  ў электрамагнітным полі, заданым  \varphi=\varphi(\vec{r},t) і \mathbf{A}=\mathbf{A}(\vec{r},t), выглядае так:
: \hat H = \frac{1}{2m}\left(\hat\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + e\varphi,
дзе \hat\mathbf{p}=-i\hbar\nabla — . Патэнцыял электрычнага поля — скалярны і ўваходзіць як звычайны складнік V=e\varphi.

Адсюль атрымліваецца *ўраўненне Шродзінгера ў магнітным полі*, якое апісвае такую часціцу:
: i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \left[ \frac{1}{2m}\left(\hat\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + e\varphi \right] \Psi.

Гэта ўраўненне і выраз для гамільтаніяна запісаныя ў Гаусавай сістэме адзінак. У сістэме СІ каэфіцыент пры \mathbf{A} роўны не \tfrac{e}{c}, а e.

## Метады рашэння ўраўнення Шродзінгера 
* Аналітычны метад. Рашэнне шукаецца ў выглядзе дакладнага матэматычнага выразу. Гэты метад прыдатны толькі ў нешматлікіх найпрасцейшых выпадках (, лінейны асцылятар, патэнцыяльная яма з бесканечна высокімі сценкамі і пад.).
* . Аператар Гамільтана разглядаецца як сума двух складнікаў. Адзін з іх разглядаецца як няўзбураны аператар, які мае дакладнае аналітычнае рашэнне. Другі складнік разглядаецца як малая ўзбураючая дабаўка да яго. Пры стацыянарным узбурэнні рашэнне заключаецца ў раскладанні ўласных значэнняў і ўласных функцый у рад па ступенях малой пастаяннай узбурэння і ў знаходжанні прыбліжанага рашэння сістэмы атрыманых ураўненняў. Пры нестацыянарным узбурэнні хвалевая функцыя шукаецца ў выглядзе лінейнай камбінацыі ўласных хвалевых функцый з каэфіцыентамі, якія залежаць ад часу.
* . Прымяняецца для рашэння стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера. Вызначаюцца экстрэмальныя значэнні сярэдняй поўнай энергіі сістэмы пры дапамозе вар’іравання параметраў некаторай пробнай функцыі.
* .
* .

## Аналогіі і сувязі з іншымі ўраўненнямі 
Ураўненні Максвела для электрамагнітных хваль у пустой прасторы
: 
\left\{
\begin{aligned}
-c \cdot \operatorname{rot} E &= \frac{\partial H}{\partial t},\\
c \cdot \operatorname{rot} H &= \frac{\partial E}{\partial t}
\end{aligned}
\right.

можна шляхам увядзення новай камплекснай велічыні \Psi = E + iH, якая аналагічная хвалевай функцыі ва ўраўненні Шродзінгера, пераўтварыць у адно ўраўненне
: i \frac{\partial \Psi}{\partial t} = c \cdot \operatorname{rot} \Psi,
падобнае на ўраўненне Шродзiнгера.

Ураўненне Шродзінгера падобнае з ураўненнямі цеплаправоднасці і дыфузіі класічнай фізікі тым, што яно з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе, і адрозніваецца ад іх наяўнасцю ўяўнага каэфіцыента перад \frac{\partial \Psi}{\partial t}. Дзякуючы гэтаму множніку яно можа мець і перыядычныя рашэнні.

Ураўненне Шродзінгера можна атрымаць з прынцыпу найменшага дзеяння, разглядаючы як 
: \frac{\partial L}{\partial \psi} - \sum_{k=0}^{3} \frac{\partial}{\partial x_{k}} \frac{\partial L}{\partial \left ( \frac{\partial \psi}{\partial x_{k}} \right )} = 0
некаторай варыяцыйнай задачы, у якой шчыльнасць лагранжыяна мае выгляд:
: L=i \hbar \psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial t} - \frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla \psi^{*} \nabla \psi - U(r,t) \psi^{*} \psi - i \hbar \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} \psi.

## Навадныя меркаванні 
Да ўраўнення Шродзінгера можна прыйсці, абапіраючыся на адпаведнасць паміж класічнай механікай і геаметрычнай оптыкай. Паняццям матэрыяльнага пункта, траекторыі, скорасці, патэнцыяльнай энергіі, энергіі, варыяцыйнаму  ў класічнай
механіцы адпавядаюць паняцці , прамяня, групавой скорасці, фазавай скорасці (паказчык пераламлення), частаты,
варыяцыйнага прынцыпу Ферма ў геаметрычнай оптыцы.

Варыяцыйнаму прынцыпу Маперцюі ў класічнай механіцы

: \int \sqrt{E - V}\,ds = \min \qquad  (1)

адпавядае варыяцыйны прынцып Ферма ў оптыцы

: \int \frac{ds}{v} = \min. \qquad  (2)

Тут E — поўная энергія, V — патэнцыйная энергія, v — фазавая скорасць. Траекторыя у класічнай механіцы адпавядае прамяню святла ў оптыцы, калі

: \frac{1}{v(\omega, x)} = f(\omega)\sqrt{E(\omega)-V(x)}. \qquad  (3)

Хвалевы пакет можна прадставіць у выглядзе

: \sum_{\omega} a_{\omega} \cos {2 \pi \omega \left(t - \frac{x}{v(\omega)}\right)}. \qquad 

Для максімуму пакета справядліва роўнасць:

: \frac{d}{d \omega}\left\{ \omega \left(t - \frac{x}{v(\omega)}\right) \right\}. 

З гэтай роўнасці вынікае, што t = x \frac{d}{d \omega}\left(\frac {\omega}{v}\right). У класічнай механіцы гэтаму адпавядае роўнасць t=\frac{x}{V_{g}}. З гэтых двух выразаў атрымліваецца формула для групавой скорасці:

: V_{g}=\left [ \frac{d}{d \omega}\left(\frac{\omega}{v}\right) \right ]^{-1}. \qquad  (4)

Тады ўмову роўнасці скорасці матэрыяльнай кропкі і групавой скорасці хвалевага пакета можна запісаць у выглядзе:

: \frac{d}{d \omega}\left(\frac{\omega}{v}\right) = \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{1}{\sqrt{E(\omega)-V(\omega)}}. \qquad  (5)

Адсюль, скарыстаўшы (3), атрымліваем:
:  \sqrt{\frac{m}{2}}\frac{1}{\sqrt{E-V}} = \frac{d}{d \omega} \left \{ \omega f(\omega) \sqrt{E-V}\right \} = \frac{d (\omega f(\omega))}{d \omega} \sqrt{E-V} + \frac{\omega f(\omega)}{2 \sqrt{E-V}}\frac{dE}{d \omega}.

Параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях \sqrt{E-V}, знаходзім:
: \frac{d}{d \omega}(\omega f(\omega)) = 0,
\qquad
\sqrt{\frac{m}{2}} = \frac{\omega f(\omega)}{2}\frac{dE}{d\omega}.
Першае з іх дае \omega f(\omega) = \mathrm{const}, тады з другога вынікае
: \frac{dE}{d\omega} = \mathrm{const}, \qquad
E=\hbar \omega, \qquad
f(\omega)=\frac{\sqrt{2m}}{\hbar \omega}.
Фазавая скорасць хвалі v залежыць ад частаты \omega:

: v=\frac{\hbar \omega}{\sqrt{2m}}\frac{1}{\sqrt{\hbar \omega - V}}. \qquad  (6)

Монахраматычная хваля з фазавай скорасцю v задавальняе ўраўненню

: \nabla^2 \Psi - \frac{1}{v^2} \frac {\partial^2 \Psi}{\partial t^2} = 0. \qquad  (7)

Асобнае рашэнне гэтага ўраўнення мае выгляд:

: \Psi = u e^{-i \omega t} = u e^{-\frac{i}{\hbar}Et}, \qquad  (8)

дзе \omega — частата хвалі. Падставіўшы рашэнне (8) ва ўраўненне (7), атрымліваем:

: \nabla^2 u + \frac{\omega^2}{v^2} u = 0. \qquad  (9)

Падстаўляючы (6) у (9), атрымліваем:

: \nabla^2 u + \frac{2m}{\hbar^2}(\hbar \omega - V) u = 0. \qquad  (10)

З ураўнення (8) атрымліваем:

: \omega u = -\frac{1}{i}\frac{\partial \Psi}{\partial t}. \qquad  (11)

Падстаўляючы (11) у (10), атрымліваем залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера (12):

: i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi = \left [ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V\right ] \Psi. \qquad  (12)

## Абагульненні 
* Ураўненне Дзірака
* Ураўненне Паўлі
* 
* 

## Гл. таксама 
* Хвалевая функцыя
* Тэарэма Эрэнфеста
* 

## Крыніцы 
## Літаратура 
* *Шрёдингер Э.* Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.
* *Березин Ф. А., Шубин М. А.* Уравнение Шредингера. : Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Спасылкі 
* 
* Сферычна сіметрычныя станы электрона ў атаме вадароду 

Катэгорыя:Квантавая механіка
Шродзінгера ўраўненне
Шродзінгера ўраўненне