Геаметрычная прагрэсія

thumb|right|Кожны наступны фіялетавы квадрат атрыманы змяншэннем у 2 разы старон папярэдняга квадрата (пры гэтым ягоная плошча змяншаецца ў 4 разы). Сума плошчаў усіх фіялетавых квадратаў раўняецца траціне плошчы вялікага квадрата.

**Геаметры́чная прагрэ́сія** — паслядоўнасць лікаў  (*членаў* прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дамнажэннем на пастаянны лік  (**назоўнік** прагрэсіі).

Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй **адме́тнай уласці́васці**:
:  |b_{n}| = \sqrt{b_{n-1} b_{n+1}},
гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.

## Уласцівасці 
* Лагарыфмы членаў геаметрычнай прагрэсіі (калі яны вызначаны) утвараюць арыфметычную прагрэсію
{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = Няхай w_n = \log_p b_n\ . Тады для любога 
: \frac{w_{n-1} + w_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_{n-1} + \log_pb_{n+1}}{2} = \frac{\log_pb_1q^{n-2} + \log_pb_1q^{n}}{2} = \frac{\log_p(b_1^2q^{2n-2})}{2} = \frac{2\cdot \log_pb_1q^{n-1}}{2} = \log_p b_n = w_n 
: Атрыманая роўнасць ёсць адметнай уласцівасцю арыфметычнай прагрэсіі.
}}

* Пашыраная **адметная ўласцівасць** геаметрычнай прагрэсіі:
: b_{n}^2 = b_{n-i} b_{n+i}, \qquad 0\le i 
{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = b_n^2 = b_n b_n = b_1 q^{n - 1} b_1q^{n - 1} = b_1q^{n - 1 - i} b_1q^{n - 1 + i} = b_{n - i} b_{n + i}
}}

* Здабытак першых *n* элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:
: P_{n} = (b_1\cdot b_n)^\frac{n}{2} 
{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = P_n = \prod_{i=1}^nb_i = \prod_{i=1}^nb_1q^{i-1} = b_1^n\prod_{i=1}^nq^{i-1} = b_1^{\frac{n}{2}}b_1^{\frac{n}{2}}q^{\frac{n(0 + (n - 1))}{2}} = (b_1b_1q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = (b_1b_n)^{\frac{n}{2}}
}}

* Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад  да  можна вылічыць па формуле:
: P_{k,n} = \frac{P_{n}}{P_{k-1}} 
{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = P_{k,n} = \prod_{i=k}^nb_i = \frac{\prod_{i=1}^nb_i}{\prod_{j=1}^{k-1}b_j} = \frac{P_n}{P_{k-1}}
}}

* Сума  першых членаў геаметрычнай прагрэсіі:
: S_n = \sum_{i=1}^n  b_i = \begin{cases}
  b_1\frac{1-q^{n}}{1-q}, & q \ne 1, \\
  nb_1, & q = 1.
\end{cases}
{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = 
* Праз пераўтварэнні сумы:
*: S_n = \sum_{i=1}^n b_1q^{i-1} = b_1 + \sum_{i=2}^n b_1q^{i-1} = b_1 + q\sum_{i=2}^n b_1q^{i-2} = b_1 + q\sum_{i=1}^{n-1}b_1q^{i-1} = b_1+q\sum_{i=1}^nb_1q^{i-1} - b_1q^n = q S_n + b_1(1-q^n)
*:Адсюль вынікае
*: (1 - q)S_n = b_1(1 - q^n).

* індукцыяй па :
*: n = 1 : S_1  = \sum_{i=1}^1 b_i = b_1 = b_1\frac{1 - q^1}{1 - q} 
*: n \rightarrow n + 1 : S_{n+1} = \sum_{i=1}^{n+1}b_i = \sum_{i=1}^nb_i + b_{n+1} = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} + b_1q^n = b_1\left(\frac{1 - q^n}{1 - q} + q^n\right) = b_1 \left(\frac{1 - q^n + q^n - q^{n+1}}{1 - q}\right) = b_1\frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}
}}

## Геаметрычны рад 
[thumb|right|300px|На рысунку паказаны тры геаметрычныя рады ўзору  (з назоўнікамі 1/2, 1/3 і 1/4) на 6 крокаў углыб. Першая "цагліна" адлюстроўвае адзінку. Штрыхавая лінія паказвае [#Геаметрычны рад|бясконцую суму паслядоўнасці — лік, да якога канечная сума набліжаецца пры павелічэнні колькасці складнікаў, але ніколі не дасягае (у дадзеным выпадку гэты лік роўны 2, 3/2, і 4/3, адпаведна).]]

**Геаметры́чны ра́д** — такі бясконцы рад, дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталая велічыня. Часам геаметрычны рад яшчэ называюць **сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі**.
У агульным выпадку, геаметрычны рад можна прадставіць у выглядзе:
:a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \dots
або
:\sum_{k=0}^\infty aq^k.

Геаметрычны рад збягаецца, калі і толькі калі .
Суму рада азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум :
:
\sum_{k=0}^\infty aq^k = \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n aq^k = \lim_{n\to\infty} a\frac{1-q^{n}}{1-q}.

А раз , то велічыня  імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні . Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага рада раўняецца:
:a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4 + \dots = \frac{a}{1-q}.

Калі ж , геаметрычны рад разбягаецца.

thumb|Рысунак паказвае геаметрычны рад 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., які збягаецца да значэння 2

### Перыядычныя дзесятковыя дробы 
Геаметрычныя рады маюць адно цікавае дастасаванне.
Так, любы перыядычны дзесятковы дроб, па сутнасці, ёсць запіс пэўнага геаметрычнага рада.
Справядліва наступная тэарэма:

Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны.

Прыклады:
:
0{,}(7) = 0{,}77777\dots = 0{,}7+0{,}07+0{,}007+\dots = 7\frac{1}{10} + 7\left(\frac{1}{10}\right)^2 + 7\left(\frac{1}{10}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{7}{9}

:
0{,}(9) = 0{,}99999\dots = 0{,}9+0{,}09+0{,}009+\dots = 9\frac{1}{10} + 9\left(\frac{1}{10}\right)^2 + 9\left(\frac{1}{10}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{9}{9} = 1

:
0{,}(143) = 0{,}143143\dots = 0{,}143+0{,}000143+0{,}000000143+\dots = 143\frac{1}{1000} + 143\left(\frac{1}{1000}\right)^2 + 143\left(\frac{1}{1000}\right)^3 + \dots = \frac{\frac{143}{1000}}{1-\frac{1}{1000}} = \frac{143}{999}

:
0{,}85(3) = 0{,}85333\dots = 0{,}85+0{,}003+0{,}0003+\dots = \frac{85}{100} + \frac{3}{1000} + \frac{3}{1000}\cdot\frac{1}{10} + \frac{3}{1000}\left(\frac{1}{10}\right)^2 + \dots = \frac{17}{20} + \frac{\frac{3}{1000}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{17}{20} + \frac{1}{300} = \frac{64}{75}

## Прыклады геаметрычных прагрэсій 
* Паслядоўнасць плошчаў квадратаў, дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата.
* 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
* 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадаючая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
* \pi, \pi, \pi, \pi — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1.

## Гл. таксама 
* Арыфметычная прагрэсія
* Паказнікавая функцыя

Катэгорыя:Арыфметыка
Катэгорыя:Элементарная матэматыка
Катэгорыя:Рады і паслядоўнасці