Ураўненне Паўлі

**Ураўненне Паўлі** — ураўненне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным полі. Прапанавана Вольфгангам Паўлі ў 1927 годзе. Не блытаць з , якое таксама часам называюць ураўненнем Паўлі.

Ураўненне Паўлі з’яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якое ўлічвае наяўнасць у часціцы ўласнага механічнага моманту імпульсу — спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і −1/2 на некаторы (адвольна выбраны) кірунак, які прымаецца звычайна за вось *z*. У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы \psi (r,t) (дзе *r* — каардыната часціцы, *t* — час) з’яўляецца двухкампанентнай:
: 
\psi (r,t)=\begin{pmatrix}
\psi_1 (r,t)\\
\psi_2 (r,t)
\end{pmatrix}.

Пры паваротах каардынатных восей \psi_1 i \psi_2 пераўтвараюцца як кампаненты спінара. У прасторы спінарных хвалевых функцый скалярны здабытак \psi i \psi' мае выгляд
:  ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr. 
Аператары фізічных велічынь з’яўляюцца матрыцамі 2×2, якія для велічынь (назіраных), незалежных ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.

У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з ненулявым спінавым момантам  \vec{s}  валодае і магнітным момантам, прапарцыянальным  \vec{s}: \vec{ \mu}=g \vec{s}  (g — гірамагнітныя адносіны). Для арбітальнага моманту g={e \over 2mc}, дзе е — зарад, m — маса часціцы; спінавыя гірамагнітныя адносіны аказваюцца ў два разы большымі: g={e \over mc}. У вонкавым магнітным полі напружанасці \vec{B} магнітны момант валодае патэнцыяльнай энергіяй  U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} , дабаўленне якой у гамільтаніян H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі  \phi  і A прыводзіць да ўраўнення Паўлі:
: i\hbar {\partial \psi \over \partial t}  = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m}  ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi, 
дзе  \hat p — аператар імпульсу, \hat I — адзінкавы аператар, а \hat \sigma прапарцыянальны аператару спіна: \hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma.

Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў ураўненне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцкі-інварыянтнага ўраўнення Дзірака ў слабарэлятывісцкім прыбліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па адваротных ступенях скорасці святла.

Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд  \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t), дзе  \Phi (r,t) — скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца ўраўненню Шродзінгера, а спінар 
\chi=
\begin{pmatrix}
\chi_1\\
\chi_2
\end{pmatrix}
 задавальняе ўраўненню
: i\hbar {\partial \chi \over \partial t}  =  - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. 
З гэтага ураўнення вынікае, што сярэдняе значэнне спіна  \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi )  прэцэсіруе вакол напрамку магнітнага поля:
:  \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. 
Тут  \omega_B = {eB \over mc}  — цыклатронная частата,  \vec{n}  — адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля.

На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне ўзроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкія эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па адваротных ступенях скорасці святла.

## Гл. таксама 
* Ураўненне Дзірака
* Ураўненне Шродзінгера

## Літаратура 
* *Блохинцев Д. И.* Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
* *Давыдов А. С.* Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
* *Паули В.* Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
* *Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.* Квантовая электродинамика, 2002.
* Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.

Катэгорыя:Квантавая механіка
Катэгорыя:Фізіка элементарных часціц
Паўлі ўраўненне