Электрамагнітныя ваганні

**Электрамагнітнымі ваганнямі** называюцца перыядычныя змены напружанасці Е і індукцыі В.

Электрамагнітнымі ваганнямі з'яўляюцца радыёхвалі, мікрахвалі, інфрачырвонае выпраменьванне, бачнае святло, ультрафіялетавае выпраменьванне, рэнтгенаўскія прамяні, гама-прамяні.

## Вывад формулы 
Электрамагнітныя хвалі як універсальная з'ява былі прадказана класічнымі законамі электрычнасці і магнетызму, вядомымі як ураўненні Максвела. Калі вы ўважліва паглядзіце на ураўненні Максвела ў адсутнасць крыніц (зарадаў або токаў), то выявіце, што акрамя трывіяльнага рашэння, калі напружанасці электрычнага і магнітнага поля роўныя нулю ў кожнай кропцы прасторы і нічога не мяняецца, існуюць нетрывіяльныя рашэнні, якія ўяўляюць сабой змены абедзвюх напружанасцяў ў прасторы і часу. Пачнем з ураўненняў Максвелла для вакууму

:: \nabla \cdot \mathbf{E} = 0  \qquad \qquad \qquad \ \ (1)
:: \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}  \qquad \qquad (2)
:: \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \qquad \qquad \qquad \ \ (3)
:: \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{E}  \qquad \ \ \ (4)
: дзе
:: \nabla — вектарны дыферэнцыяльны аператар (набла).

Адно з рашэнняў,

:: \mathbf{E}=\mathbf{B}=\mathbf{0},
— самае простае.

Каб знайсці іншае, больш цікавае рашэнне, мы скарыстаемся вектарнай тоеснасцю, якая справядліва для любога вектара, у выглядзе:

:: \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf{A} \right) - \nabla^2 \mathbf{A}

Каб паглядзець як мы можам выкарыстоўваць яго, возьмем аперацыю віхуры ад выказвання (2):

:: \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) \qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (5) \,

Левая частка эквівалентная:

::  \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf{E} \right) = \nabla\left(\nabla \cdot \mathbf{E} \right) - \nabla^2 \mathbf{E} =  - \nabla^2 \mathbf{E} \qquad \quad \ (6) \,

: дзе мы спрашчаем, выкарыстоўваючы вышэй прыведзенае раўнанне (1).

Правая частка эквівалентная:

:: \nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \left( \nabla \times \mathbf{B} \right) = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \mathbf{E} \qquad (7)

Ураўненні (6) і (7) роўныя, такім чынам гэтыя вынікі ў вектарназначным дыферэнцыяльным ураўненні для электрычнага поля, а менавіта

Ужываючы аналагічныя зыходныя вынікі ў аналагічным дыферэнцыяльным ураўненні для магнітнага поля:

Гэтыя дыферэнцыяльныя ураўненні эквівалентныя хвалеваму ураўнанню:

:: \nabla^2 f = \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \,
: дзе
:: *c*0 — хуткасць хвалі у ваккуме;
:: *f* — апісвае зрух.

Ці яшчэ прасцей:

:: \Box^2 f = 0
: где \Box^2 — аператар Д’Аламбера:
:: \Box^2 = \nabla^2 - \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \ 

Заўважце, што ў выпадку электрычнага і магнітнага палёў хуткасць:

:: c_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}

Якая, як высвятляецца, ёсць хуткасць святла ў вакууме. ураўненні Максвела аб'ядналі дыэлектрычную пранікальнасць вакууму ε0, магнітную пранікальнасць вакууму μ0 і непасрэдна хуткасць святла c0. Да гэтага вываду не было вядома, што была такая строгая сувязь паміж святлом, электрычнасцю і магнетызмам.

Але маюцца толькі два ураўненні, а мы пачалі з чатырох, таму маецца яшчэ больш інфармацыі адносна хваляў, схаваных у ураўненнях Максвела. Давайце разгледзім тыповую вектарную хвалю для электрычнага поля.

: \mathbf{E} = \mathbf{E}_0 f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0 t \right)

Тут \mathbf{E}_0 — пастаянная амплітуда ваганняў, f — любая імгненная дыферэнцавальная функцыя,  \hat{\mathbf{k}} — адзінкавы вектар у кірунку распаўсюджвання, а  {\mathbf{x}} i- радыус-вектар. Мы заўважаем, што f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0 t \right) — агульнае рашэнне хвалевага ураўнення. Іншымі словамі

: \nabla^2 f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0 t \right) = \frac{1}{{c_0}^2} \frac{\partial^2}{\partial^2 t} f\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0 t \right),

для тыповай хвалі, якая распаўсюджваецца ў \hat{\mathbf{k}} кірунку.

Гэтая форма будзе задавальняць хвалеваму ураўненні, але ці будзе яна задавальняць усім ураўненням Максвела, і з чым адпаведны магнітнае поле?

: \nabla \cdot \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{E}_0 f'\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0 t \right) = 0
: \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{k}} = 0

Першае ураўненне Максвелла мае на ўвазе, што электрычнае поле артаганальнае (перпендыкулярнае) кірунку распаўсюджванню хвалі.

: \nabla \times \mathbf{E} = \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}_0 f'\left( \hat{\mathbf{k}} \cdot \mathbf{x} - c_0 t \right) = -\frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}
: \mathbf{B} = \frac{1}{c_0} \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E}

Другое ураўненне Максвелла спараджае магнітнае поле. Тыя, што засталіся, ўраўненні будуць задавальняцца выбарам \mathbf{E},\mathbf{B}.

Мала таго, што хвалі электрычнага і магнітнага палёў распаўсюджваюцца з хуткасцю святла, але яны маюць абмежаваную арыентацыю і прапарцыйную велічыню, E_0 = c_0 B_0, якую можна адразу ж заўважыць з вектара Пойнтынга. Электрычнае поле, магнітнае поле і кірунак распаўсюджвання хвалі, ўсе з'яўляюцца артаганальнымі, і распаўсюд хвалі ў тым жа кірунку як вектар \mathbf{E} \times \mathbf{B}.

З пункту гледжання электрамагнітнай хвалі, якая перамяшчаецца прамалінейна, электрычнае поле можа вагацца уверх і ўніз, у той час як магнітнае поле можа вагацца направа і налева, але гэтая карціна можа чаргавацца з электрычным полем, рухомым направа і налева, і магнітным полем, якое вагаецца уверх і ўніз. Гэтая адвольнасць ў арыентацыі з перавагай да кірунку распаўсюджвання вядома як палярызацыя.

## Гл. таксама 
* Ураўненні Максвела
* Вібратар Герца
* Вагальны контур

Катэгорыя:Электрамагнетызм
Катэгорыя:Вагальныя з’явы