Адмоўнае біномнае размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей
  | type       = mass
  | pdf_image  = Аранжавая лінія паказвае матэматычнае спадзяванне, роўнае 10 на кожным з гэтых графікаў. Зялёная лінія паказвае стандартнае адхіленне.
  | notation   = \mathrm{NB}(r,\,p)
  | parameters = *r* > 0 — колькасць поспехаў да спынення эксперыменту, цэлы лік*p* ∈ [0,1] — імавернасць поспеху ў кожным выпрабаванні, рэчаісны лік
  | support    = *k* ∈ {&thinsp;0, 1, 2, 3, …&thinsp;} — колькасць няўдач

  | pdf        = k\mapsto{k+r-1 \choose k}\cdot (1-p)^k p^r, з удзелам 
  | cdf        = k\mapsto I_p(r,\,k+1), — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя
  | mean       = \frac{r(1-p)}{p}
  | median     =
  | mode       = \begin{cases}\left\lfloor\frac{(r-1)(1-p)}{p}\right\rfloor & r>1 \\
                       0 & r\leq 1\end{cases}
  | variance   = \frac{r(1-p)}{p^2}
  | skewness   = \frac{2-p}{\sqrt{(1-p)r}}
  | kurtosis   = \frac{6}{r} + \frac{p^2}{(1-p)r}
  | entropy    = 
  | mgf        = \biggl(\frac{p}{1 - (1 - p)e^t}\biggr)^{\!r} дзе t
  | char       = \biggl(\frac{p}{1 - (1 - p)e^{i\,t}}\biggr)^{\!r} дзе t\in\mathbb{R}
  | pgf   = \biggl(\frac{p}{1 - (1 - p)z}\biggr)^{\!r} дзе |z|
  | fisher     =  \frac{r}{p^2 (1-p) } 
  | moments    =  r = \frac{E[X]^2}{V[X] - E[X]}    p = 1 - \frac{E[X]}{V[X]}
}}

**Адмоўнае біномнае размеркаванне** — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое мадэлюе колькасць няўдач у шэрагу незалежных і аднолькава размеркаваных  перад тым, як адбудзецца пэўная, зададзеная параметрам r, колькасць поспехаў. Напрыклад, мы можам абазначыць выпаданне 6 на кубіку як поспех, а выпаданне кожнага іншага значэння як няўдачу, і паставіць пытанне, колькі няўдачных выпаданняў адбудзецца, перш чым мы пабачым трэці поспех (r=3). У такім выпадку размеркаванне імавернасцей колькасці няўдач будзе адмоўным біномным.

У альтэрнатыўнай фармулёўцы мадэлюецца агульная колькасць выпрабаванняў, а не толькі няўдач.

## Азначэнне 
Няхай праводзіцца серыя незалежных выпрабаванняў Бернулі: кожнае выпрабаванне мае два магчымыя зыходы, званыя «поспехам» і «няўдачай». У кожным выпрабаванні імавернасць поспеху роўная p, а імавернасць няўдачы 1-p. Выпрабаванні праводзяцца да той пары, пакуль не адбудзецца прадвызначаная колькасць r поспехаў. Тады размеркаванне імавернасцей, якому падпарадкоўваецца колькасць няўдач сярод праведзеных выпрабаванняў, завецца адмоўным біномным размеркаваннем або размеркаваннем Паскаля, і адпаведная выпадковая велічыня абазначаецца як
: X\sim\operatorname{NB}(r, p).

### Функцыя імавернасці 
Функцыя імавернасці адмоўнага біномнага размеркавання мае выгляд
: 
    p_{X\sim\operatorname{NB}(r, p)}(k) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} (1-p)^k p^r.
  

Значэнне ў дужках — гэта , роўны
: 
    \binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{(r-1)!\,(k)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!},
  
дзе k няўдач выбіраюцца з k+r-1 выпрабавання, а не з k + r, бо апошняе выпрабаванне паспяховае і не можа быць няўдачай паводле азначэння.

Гэты біномны каэфіцыент можна запісаць як (абагульнены) біномны каэфіцыент з адмоўнай верхняй часткай, таму размеркаванне і завецца адмоўным біномным:

: 
\begin{align}
& \frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!}
= (-1)^k \frac{\overbrace{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}^{k\text{ množnikaŭ}}}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{\phantom{-}k}.
\end{align}

## Сувязь з іншымі размеркаваннямі 
### Геаметрычнае размеркаванне 
Геаметрычнае размеркаванне — асобны выпадак адмоўнага біномнага размеркавання, калі колькасць поспехаў r роўная 1.

Выпадковую велічыню з адмоўным біномным размеркаваннем можна ўявіць у выглядзе сумы r незалежных выпадковых велічынь з геаметрычным размеркаваннем.

Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей