Трыганаметрычныя функцыі

**Трыганаметры́чныя фу́нкцыі** — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:
; прамыя трыганаметрычныя функцыі
* сінус (\sin x)
* косінус  (\cos x)
; вытворныя трыганаметрычныя функцыі
* тангенс (\operatorname{tg} x)
* катангенс (\operatorname{ctg} x)
; іншыя трыганаметрычныя функцыі
* секанс (\sec x) 
* касеканс (\operatorname{cosec} x)

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца \tan x, \cot x, \csc x. 

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах \pm \pi n + \frac{\pi}{2}, а катангенс і касеканс — у пунктах \pm \pi n.

## Спосабы вызначэння 
### Геаметрычнае азначэнне 
#### Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка 
Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай  — трохвугольнік з вуглом . Тады:

* Сінусам вугла \alpha называецца дзель \frac{AB}{OB} (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
* Косінусам вугла \alpha называецца дзель \frac{OA}{OB} (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
* Тангенсам вугла \alpha называецца дзель \frac{AB}{OA} (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
* Катангенсам вугла \alpha называецца дзель \frac{OA}{AB} (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
* Секансам вугла \alpha называецца дзель \frac{OB}{OA} (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
* Касекансам вугла \alpha называецца дзель \frac{OB}{AB} (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце , напрамкам восі абсцыс уздоўж  і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

#### Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці 
Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса  з цэнтрам у пачатку каардынат . Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня . Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта  абазначым x_B, ардынату — y_B.

* Сінусам называецца дзель \sin \alpha=\frac{y_B}{R}.
* Косінусам называецца дзель \cos \alpha=\frac{x_B}{R}.
* Тангенс вызначаецца як \operatorname{tg} \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.
* Катангенс вызначаецца як \operatorname{ctg} \alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.
* Секанс вызначаецца як \sec \alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.
* Касеканс вызначаецца як \operatorname{cosec} \alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці  дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце y_B, а косінус — абсцысе x_B. На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі \alpha — рэчаісны лік, то сінусам \alpha ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная \alpha, гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

### Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў 
Функцыі **косінус** і **сінус** можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення
: \frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),
з пачатковымі ўмовамі
:\cos(0) = \sin'(0) = 1.
Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:
: \left(\cos x\right)* = - \cos x,
: \left(\sin  x\right)* = - \sin x.

### Як рашэнні функцыянальных ураўненняў 
Функцыі **косінус** і **сінус** можна вызначыць як непарыўныя рашэнні (f і g адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

\left\{
\begin{array}{rcl}
f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y),\\
g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y).
\end{array}
\right.

### Праз рады 
Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:
: \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},
: \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.

Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі
:\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad
\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad
\sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad
\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x},
можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:
: \operatorname{tg} x = x + \frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \dots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1}, \quad \left(-\frac{\pi}{2}
: \operatorname{ctg} x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \dots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1}, \quad \left(-\pi 
: \sec x = 1 + \frac{1}{2}\,x^2 + \frac{5}{24}\,x^4 + \frac{61}{720}\,x^6 + \frac{277}{8064}\,x^8 + \dots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} 
: \operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \dots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1}, \quad \left(-\pi 
дзе
: B_n — лікі Бернулі,
: E_n — лікі Эйлера.

## Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў 
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

## Уласцівасці трыганаметрычных функцый 
### Найпрасцейшыя тоеснасці 
Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу , то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:
:\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,
Гэта роўнасць называецца *асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю*.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:
: 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},
: 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha}.

Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:
: \operatorname{tg} \alpha  \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.

### Непарыўнасць 
Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву \pm90^\circ,\;\pm270^\circ,\;\pm450^\circ,\;\dots; катангенс і касеканс — 0^\circ,\;\pm180^\circ,\;\pm360^\circ,\;\dots.

### Цотнасць 
Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

:  \sin (-\alpha)  =  - \sin \alpha ,
:  \cos (-\alpha)  =  \cos \alpha ,
:  \operatorname{tg} (-\alpha) = - \operatorname{tg} \alpha ,
:  \operatorname{ctg} (-\alpha) = - \operatorname{ctg} \alpha ,
:  \sec (-\alpha)  =  \sec \alpha ,
:  \operatorname{cosec} (-\alpha) = - \operatorname{cosec} \alpha .

### Перыядычнасць 
Функцыі  y = \sin x, y = \cos x, y = \sec x, y = \operatorname{cosec} x — перыядычныя з перыядам 2\pi, функцыі  y = \operatorname{tg} x  і  y = \operatorname{ctg} x — з перыядам \pi.

### Формулы прывядзення 
Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:
:  f ( n \pi + \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,
:  f ( n \pi - \alpha )  = \pm  f (\alpha),\,
:  f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right)  = \pm  g (\alpha),\,
:  f \left(  \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right)  = \pm  g (\alpha).\,

Тут f — любая трыганаметрычная функцыя, g — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса),  — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал  востры, напрыклад:
:  \cos \left(  \frac{ \pi}{2} - \alpha \right)  =   \sin \alpha ,

Некаторыя формулы прывядзення:

### Формулы складання 
Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:
:  \sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,
:  \cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,
:  \operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},
:  \operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.

Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:
: \sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,
: \cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.

### Формулы для кратных вуглоў 
Формулы двайнога вугла:
: \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},
: \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},
: \operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},
: \operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.

Формулы трайнога вугла:
: \sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,
: \cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,
: \operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},
: \operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.

Іншыя формулы для кратных вуглоў:
: \sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),
: \cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,
: \operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},
: \operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},

: \sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha, 
: \cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha, 
: \operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1}, 
: \operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1}, 
:  \sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right) 
Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:
: \sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha,
: \cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha,
: \mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}},
: \mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}},
дзе [n] — цэлая частка ліку n, \binom{n}{k} — біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:
: \sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,
: \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,
: \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
: \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},
: \operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha 
: \operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 

### Здабыткі 
Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:
: \sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},
: \sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},
: \cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},
: \operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},
: \operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},
: \operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.

Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:
: \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
: \sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
: \sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},
: \cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.
Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

### Ступені 
### Сумы 
:  \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2} 
:  \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} 
:  \cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} 
:  \operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} 
:  \operatorname{ctg} \alpha \pm \operatorname{ctg} \beta = \frac{\sin (\beta \pm \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} 
:  1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .

Для функцый ад аргумента x існуе прадстаўленне:
:A \sin \ x + B \cos \ x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin( x + \phi ),
дзе вугал \phi вызначаецца з суадносін:
:\sin \phi =  \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \phi =  \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

### Аднапараметрычнае прадстаўленне 
Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}

\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}

## Вытворныя і першаісныя 
Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

( \sin x )' = \cos x ,

( \cos x )' = -\sin x ,

( \operatorname{tg} x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},

( \operatorname{ctg} x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},

( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x}, 

( \operatorname{cosec} x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}. 

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

\int\sin x\, dx = -\cos x + C ,

\int\cos x\, dx = \sin x + C ,

\int\operatorname{tg} x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C ,

\int\operatorname{ctg} x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C ,

\int\sec x\, dx = \ln \left| \operatorname{tg} \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C,

\int\operatorname{cosec} x\, dx = \ln \left| \operatorname{tg} \frac{x}{2} \right|+ C.

## Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай 
### Азначэнне 
Формула Эйлера:
: e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta 
дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:
: \sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh}  i z }{i}; 

: \cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z; 

: \operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})}; 

: \operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}}; 

: \sec z = \frac{1}{\cos z} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}}; 

: \operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin z} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\, 
дзе i^2=-1.

Адпаведна, для рэчаіснага ,

: \cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}),
: \sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}).

Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:
: \sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch} y + i \cos x\, \operatorname{sh} y,
: \cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch} y - i \sin x\, \operatorname{sh} y.

Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:
* камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
* усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

### Камплексныя графікі 
На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

## Гісторыя назваў 
Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні  і  уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад  — датычны) і «секанс» ( — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін *трыганаметрычныя функцыі* ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

## Гл. таксама 
* Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
* Гіпербалічныя функцыі
* Эліптычныя функцыі
* Інтэгральны сінус
* Інтэгральны косінус
* Рашэнне трохвугольнікаў
* Сінус-верзус
* Сферычная трыганаметрыя
* Функцыя Гудэрмана
* Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

## Літаратура 
* 
* 
* Maor, Eli, *Trigonometric Delights*, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.
* 
* 

## Спасылкі 
* 
* Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
* Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый 

Катэгорыя:Трыганаметрыя
Катэгорыя:Элементарныя функцыі