Ліміт паслядоўнасці

thumb|350px|Збяганне паслядоўнасці \scriptstyle(a_n)_{n=1}^\infty да ліміту
**Лімі́т паслядоўнасці**  — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае ліміт, кажуць, што яна *збягаецца да свайго ліміту*. У процілеглым выпадку (калі ліміту няма) кажуць, што паслядоўнасць *разбягаецца*.

Паняцце ліміту няяўна ўсведамлялі яшчэ ў старажытнай Грэцыі. Яскравым прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця ліміту даў Агюстэн Луі Кашы.

## Азначэнне і абазначэнні 
Няхай элементы паслядоўнасці (x_n)_{n=1}^\infty належаць тапалагічнай прасторы .

Кажуць, што паслядоўнасць (x_n)_{n=1}^\infty **збягаецца да свайго ліміту** a \in X і пішуць
: \lim\limits_{n\to \infty} x_n = a,
калі для любога наваколля  элемента  існуе такі нумар  , што для ўсіх  выконваецца x_n \in U(a).

Паслядоўнасць, якая мае канечны ліміт, называюць **збе́жнай**.

Калі ж паслядоўнасць не мае ліміту, кажуць, што **паслядоўнасць разбягаецца**, і называюць яе **разбе́жнай**.

Сам запіс
: \lim\limits_{n\to \infty} x_n
можна прачытаць, як *«ліміт*  *пры імкненні*  *да бесканечнасці»*.

## Ліміт лікавай паслядоўнасці 
### Азначэнне 
Няхай (x_n)_{n=1}^\infty — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць (x_n)_{n=1}^\infty **збягаецца да свайго ліміту** a і пішуць
: \lim\limits_{n\to \infty} x_n = a,
калі для любога  існуе такі нумар  , што для ўсіх  справядліва няроўнасць |x_n-a|\le \varepsilon.

*Заўвага*: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці ліміту такіх паслядоўнасцей значна не зменяцца.

### Уласцівасці 
* *Тэарэма Бальцана — Ваерштраса.* З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Няхай існуюць ліміты \lim_{n\to\infty} a_n=a і \lim_{n\to\infty} b_n=b, тады існуюць наступныя ліміты:
* ліміт сумы роўны суме лімітаў
*: \lim_{n\to\infty} \left(a_n+b_n\right)= a+b,
* ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў
*: \lim_{n\to\infty} \left(a_n-b_n\right)= a-b,
* ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў
*: \lim_{n\to\infty} \left(a_n\cdot b_n\right)= a\cdot b.
* Калі b\neq 0, то ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў
*: \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b} .
* Калі  a > 0 , то ліміт ступені існуе і
*: \lim_{n\to\infty} a_n^{b_n}= a^b .

### Важныя прыклады 
* \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0
* \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1
* \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac {z}{n}\right)^n=e^z&emsp;для рэчаісных або камплексных лікаў .
* \lim_{n\to\infty} n(a^{\frac1{n}}-1) = \ln a&emsp;для рэчаісных .
* \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac12+\frac13+\dotsb+\frac1{n}-\ln n\right) = \gamma&emsp;(Сталая Ойлера — Маскероні)
* Геаметрычны рад \sum_{k=0}^{\infty} q^k збягаецца да \tfrac{1}{1-q} пры |q| і разбягаецца пры |q|\ge 1 .
* Гарманічны рад \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} разбягаецца.
* Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2 .

### Абагульненні 
Ліміт лікавай паслядоўнасці з’яўляецца найпрасцейшым прыкладам ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай  − метрычная прастора, г.зн.  — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) \rho:X\times X \to \R, якая адпавядае умовам:
* , калі і толькі калі ;
* ;
* 
для адвольных элементаў  мноства .

Няхай (x_n)_{n=1}^\infty — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы .

Пункт a\in X называюць **лімітам паслядоўнасці** (x_n)_{n=1}^\infty пры імкненні  да бесканечнасці, калі для любога  існуе такі нумар  , што для ўсіх  спраўджваецца няроўнасць \rho(x_n,a) \le \varepsilon.

## Гл. таксама 
* Ліміт (матэматыка)
* Ліміт функцыі

## Зноскі 
Катэгорыя:Матэматычны аналіз
Катэгорыя:Ліміты