Арыфметычная прагрэсія

**Арыфметычная прагрэсія** — паслядоўнасць лікаў , кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку , які называецца **рознасцю** або **крокам** арыфметычнай прагрэсіі.

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі  і яе рознасць , можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы
:a_{n+1}=a_n+d, \qquad n = 1,2,3,\dots,

якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна падаць у выглядзе
:a_1, \quad a_1+d, \quad a_1+2d, \quad \dots.

Арыфметычная прагрэсія ёсць **манатоннай паслядоўнасцю**. Пры  яна нарастае, а пры  спадае. Калі , паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку , справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

## Уласцівасці 
### Агульны член арыфметычнай прагрэсіі 
Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам  можа быть вылічаны па формуле
: a_n=a_1+(n-1)d,

дзе  — першы член прагрэсіі,  — яе рознасць.
{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = Карыстаючыся роўнасцю a_{n+1}=a_n+d выпісваем паслядоўна некалькі членаў прагрэсіі:

:a_2=a_1+d
:a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d
:a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d
:a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d

Заўважыўшы заканамернасць, выказваем здагадку, што a_n=a_1+(n-1)d. З дапамогай матэматычнай індукцыі пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх натуральных :

**Першы крок** індукцыі (n=1) :

a_1=a_1+(1-1)d=a_1 - сцверджанне праўдзівае.

**Пераход** індукцыі:

Хай наша сцверджанне праўдзіцца пры n=k, гэта значыць a_k=a_1+(k-1)d. Дакажам справядлівасць сцверджання пры n=k+1:

a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd

Такім чынам, сцвержанне праўдзіцца і пры n=k+1. Гэта азначае, што a_n=a_1+(n-1)d для ўсіх n \in \mathbb N.
}}

### Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі 
Паслядоўнасць a_1, a_2, a_3, \ldots ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць 
:a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, \qquad n \ge 2.
{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = **Неабходнасць**:

Раз паслядоўнасць a_1, a_2, a_3, \ldots ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, то для n \ge 2 праўдзяцца роўнасці:
:a_n=a_{n-1}+d,
:a_n=a_{n+1}-d.

Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2 .

**Дастатковасць**:

Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2 . Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}.

Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.
}}

### Сума першых  членаў арыфметычнай прагрэсіі 
Суму першых n элементаў арыфметычнай прагрэсіі S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n можна вылічыць па формулах
:S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n, 

або
:S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n, 

дзе  — першы член прагрэсіі,  — член з нумарам ,  — рознасць прагрэсіі.

{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = Запішам суму двума спосабамі:
:
\begin{array}{ccccccccccccccc}
S_n & = & a_1 & + & a_2 & + & a_3 & + & \ldots & + & a_{n-2} & + & a_{n-1} & + & a_n ,\\
S_n & = & a_n & + & a_{n-1} & + & a_{n-2} & + & \ldots & + &  a_3 & + & a_2 & + & a_1 .
\end{array}

У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.

Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:
:2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1).

Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна падаць як  a_i+a_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots,n. Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:
:a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots,n.

Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад  і роўная 2a_1+(n-1)d. У прыватнасці, a_1+a_n=2a_1+(n-1)d. А раз такіх складнікаў , то
:2S_n=(a_1+a_n)\cdot n

Адсюль вынікае роўнасць
:S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n.

Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай 2a_1+(n-1)d замест a_1+a_n.

**Заўвага**:

Замест a_1+a_n у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў a_i+a_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots,n, бо ўсе яны роўныя між сабой.

}}

### Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі 
Няхай a_1, a_2, a_3, \ldots — арыфметычная прагрэсія з рознасцю d і лік b > 0. Тады паслядоўнасць выгляду  b^{a_1}, b^{a_2}, b^{a_3}, \ldots ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам b^d.

{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = Праверым адметную ўласцівасць для ўтворанай паслядоўнасці:
:\sqrt{b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}= b^{a_n}, \qquad n\ge 2.

Выкарыстаем выраз агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:
:\sqrt{b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}=\sqrt{b^{a_1+(n-2)d}\cdot b^{a_1+nd}}=\sqrt{b^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(b^{a_1+(n-1)d})^2}=b^{a_1+(n-1)d}=b^{a_n}, \qquad n\ge 2.

А як адметная ўласцівасць праўдзіцца, то паслядоўнасць b^{a_1}, b^{a_2}, b^{a_3}, \ldots ёсць геаметрычнаю прагрэсіяй. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці q=\frac{b^{a_2}}{b^{a_1}}=\frac{b^{a_1+d}}{b^{a_1}}=b^d.
}}

### Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі 
Арыфметычная прагрэсія a_1, a_2, a_3, \ldots разбягаецца пры d\ne 0 і збягаецца пры d=0. Прычым
: 
\lim_{n\to\infty} a_n = \begin{cases}
+\infty,& d>0 \\
-\infty,& d

{{Схаваны
| Загаловак     = Доказ
| Фон_загалоўку = #F0F0F0
| Рамка         = 
| Змест    = Запісаўшы выраз агульнага члена і разгледзеўшы граніцу \lim_{n\to\infty} (a_1+(n-1)d), атрымліваем патрэбны вынік.
}}

## Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў 
Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць **арыфметычнай паслядоўнасцю 1-га парадку**.

**Арыфметычнай паслядоўнасцю 2-га парадку** называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:
: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...,

рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:
: 1, 3, 5, 7, 9, 11, ....

Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, **арыфметычнай паслядоўнасцю -га парадку** называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць -га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць -ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць -га парадку.

## Прыклады 
* Натуральны рад 1, 2, 3, 4, 5, \ldots — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент a_1=1, а рознасць d=1.
* 1, -1, -3, -5, -7 — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе a_1=1 і d=-2.
* Суму першых n натуральных лікаў можна вылічыць па формуле
:1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2.

## Гл. таксама 
* Геаметрычная прагрэсія

## Спасылкі 
* Развязанне задач на арыфметычныя прагрэсіі

Катэгорыя:Арыфметыка
Катэгорыя:Элементарная матэматыка
Катэгорыя:Рады і паслядоўнасці