Залатое сячэнне

**Залатое сячэнне** (*залатая прапорцыя*, *дзяленне ў крайняй і сярэдняй адносіне*, *гарманічнае дзяленне*) — адносіна дзвюх велічынь a і b, b > a, калі справядліва b/a = (a+b)/b.
Лік, роўны адносіне b/a, звычайна абазначаецца грэчаскай літарай \varphi, радзей — грэчаскай літарай \tau.
З зыходнай роўнасці няцяжка атрымаць, што
: \varphi=\frac{1+\sqrt5}2.
Адваротны лік
: \frac1\varphi=\frac{-1+\sqrt5}2.
Адсюль вынікае, што
: \frac1\varphi = \varphi-1.

Для практычных мэт абмяжоўваюцца прыблізным значэннем \varphi = 1{,}618 ці \varphi = 1{,}62. У працэнтным акругленым значэнні залатое сячэнне — гэта дзяленне якой-небудзь велічыні ў адносінах 62 % і 38 %.

Гістарычна першапачаткова залатым сячэннем называлася дзяленне адрэзка АВ кропкай С на дзве часткі (меншы адрэзак АС і большы адрэзак СВ), каб для даўжынь адрэзкаў было верна AC/CB = CB/AВ. Пазней гэта было распаўсюджана на адвольныя велічыні.

Лік \varphi называецца таксама **залатым лікам**.

У дайшоўшай да нас антычнай літаратуры дзяленне адрэзка ў крайняй і сярэдняй адносіне () упершыню сустракаецца ў «Пачатках» Еўкліда (каля 300 г. да н. э.), дзе яно прымяняецца для пабудовы правільнага пяцівугольніка.

Лука Пачолі, сучаснік і друг Леанарда да Вінчы, называў гэту адносіну «боскай прапорцыяй». Тэрмін «залатое сячэнне» () быў уведзены ва ўжытак Марцінам Омам ў 1835 годзе.

Залатое сячэнне мае мноства выдатных уласцівасцей, але, акрамя таго, яму прыпісваюць і многія выдуманыя ўласцівасці.

## Матэматычныя ўласцівасці 
### Лікава-алгебраічныя ўласцівасці 
* \varphi — ірацыянальны алгебраічны лік, дадатнае рашэнне квадратнага ўраўнення
*: x^2 - x - 1 = 0,
: адкуль, у прыватнасці, вынікаюць суадносіны:
:: \varphi \cdot (\varphi - 1) = 1.

* \varphi выражаецца праз значэнні трыганаметрычных функцый:
*: \varphi = 2  \cos \frac{\pi}5 = 2  \cos 36^\circ.
*: \varphi = 2  \sin (3\pi/10) = 2 \sin 54^\circ. 

* \varphi прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага ланцужка квадратных каранёў:
*: \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.

* \varphi\; прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага ланцуговага дробу
*: \varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\dots}}},
: падыходнымі дробамі якой служаць адносіны паслядоўных лікаў Фібаначы \frac{F_{n+1}}{F_n}. Такім чынам,
:: \varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}.

* Мера ірацыянальнасці \varphi роўная 2.

* Значэнні дробу пасля коскі для \varphi, \frac1\varphi і \varphi^2 у любой сістэме злічэння будуць роўныя.

### Геаметрычныя ўласцівасці 
]]
* У правільнай пяціканцовай зорцы кожны адрэзак дзеліцца перасякаючым яго адрэзкам у залатым сячэнні (на прыведзеным малюнку адносіны чырвонага адрэзка да зялёнага, зялёнага да сіняга і сіняга да пурпурнага роўныя \varphi. Акрамя таго, адносіна чырвонага адрэзка да адлегласці паміж суседнімі вяршынямі зоркі (якое роўна зялёнаму адрэзку), таксама роўная \varphi).

* Адносіна дыяганалі правільнага пяцівугольніка да стараны роўна залатому сячэнню.
* Пры дзяленні папалам вугла паміж дыяганаллю і меншай стараной прамавугольніка з адносінамі старон 1:2 атрымліваем лік
*:\frac{1}{\varphi} = \operatorname{tg}\left(\frac{\operatorname{arctg} 2}{2}\right).

; Геаметрычная пабудова
Залатое сячэнне адрэзка AB можна пабудаваць наступным чынам: у пункце B будуюць перпендыкуляр да  AB , адкладваюць на ім адрэзак  BC , роўны палавіне  AB , на адрэзку  AC  адкладваюць адрэзак  CD , роўны  BC , і нарэшце, на адрэзку  AB  адкладваюць адрэзак  AE , роўны  AD  . Тады
: \varphi=\frac=\frac.

## Залатое сячэнне і гармонія ў мастацтве 
Пад «правілам залатога сячэння» ў архітэктуры і мастацтве звычайна маюцца на ўвазе кампазіцыі, якія змяшчаюць прапорцыі, блізкія да залатога сячэння.

Некаторыя са сцвярджэнняў на карысць гіпотэзы ведання старажытнымі правіла залатога сячэння:
* Прапорцыі піраміды Хеопса, храмаў, барэльефаў, прадметаў побыту і ўпрыгажэнняў з грабніцы Тутанхамона сведчаць, што егіпецкія майстры карысталіся суадносінамі залатога сячэння пры іх стварэнні.
* Згодна з Ле Карбюзье, у рэльефе з храма фараона Сеці I у Абідасе прапорцыі фігур адпавядаюць залатому сячэнню. У фасадзе старажытнагрэчаскага храма Парфенона таксама прысутнічаюць залатыя прапорцыі. У цыркулі з старажытнарымскага горада Пампеі (музей у Неапалі) таксама закладзены прапорцыі залатога дзялення, і т. д.
* Варта адзначыць, што сама дакладная прапорцыя з'яўляецца ідэальным эталонным значэннем. У прыродзе рэальныя суадносіны у біялагічных відаў, як правіла, трохі адрозніваюцца ад залатога сячэння, што выклікана прыстасаваннем да навакольнага асяроддзя ў працэсе жыцця. Прыкладам такіх «адхіленняў» можа служыць марская камбала.

### Прыклады свядомага выкарыстання 
Пачынаючы з Леанарда да Вінчы, многія мастакі свядома выкарыстоўвалі прапорцыі «залатога сячэння». Расійскі дойлід Жалтоўскі выкарыстоўваў залатое сячэнне ў сваіх праектах.
Іаган Себасцьян Бах у сваёй інвенцыі E-dur № 6 BWV 792 выкарыстоўваў двухчасткавую форму, у якой суадносіны памераў частак адпавядаюць прапорцыям залатога сячэння. 1 частка — 17 тактаў, 2 частка — 24 такты. (Невялікія неадпаведнасці выраўноўваюцца за кошт ферматы ў 34 такце).

Геаметрыя плана грабніцы фараона Старажытнага Егіпта Менеса пабудавана з выкарыстаннем прапорцыі, якую мы цяпер звязваем з залатым сячэннем.

## Залатое сячэнне ў біялогіі і медыцыне 
Жывыя сістэмы таксама валодаюць уласцівасцямі, характэрнымі для «залатога сячэння». Напрыклад: прапорцыі цел, спіральныя структуры ці параметры біярытмаў і інш.

## Гл. таксама 
* 
* 
* 
* 

## Зноскі 
## Літаратура 
* Залатое сячэнне //  С. 510.
* 
* *Аракелян Г. Б.* Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
* *Бендукидзе А. Д.* Золотое сечение «Квант» № 8, 1973
* *Васютинский Н. А.* Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
* *Власов В. Г.* Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.
* *Власов В. Г.* Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.
* *Шмигевский Н. В.* Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
* *Сабанеев Л. Л.* Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.

## Спасылкі 
* *В. С. Белнин*, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа» 
* *А. В. Радзюкевич*, К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве.
* *А. В. Радзюкевич*, Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечнения».
* *В. Лаврус*, Золотое сечение
* *Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве*, Золотое сечение в изобразительном искусстве 
* Функция Фибоначчи в Wolfram alpha
* 
* 

Катэгорыя:Залатое сячэнне
Катэгорыя:Алгебраічныя лікі
Катэгорыя:Безразмерныя параметры