Закон Біё — Савара — Лапласа

**Закон Біё — Сава́ра — Лапла́са** — фізічны закон для вызначэння вектара індукцыі магнітнага поля, якое спараджаецца пастаянным электрычным токам. Быў устаноўлены эксперыментальна ў 1820 годзе Біё і Саварам і сфармуляваны ў агульным выглядзе Лапласам. Лаплас паказаў таксама, што з дапамогай гэтага закона можна вылічыць магнітнае поле кропкавага рушачага зараду (калі лічыць рух адной зараджанай часціцы токам).

Закон Біё — Савара — Лапласа іграе ў магнітастатыцы тую ж ролю, што і закон Кулона ў электрастатыцы. Закон Біё — Савара — Лапласа можна лічыць галоўным законам магнітастатыкі, атрымліваючы з яго астатнія яе вынікі.

У сучаснай фармулёўцы закон Біё — Савара — Лапласа часцей разглядаюць як вынік двух ураўненняў Максвела для магнітнага поля пры ўмове сталасці электрычнага поля, г.зн. ў сучаснай фармулёўцы ўраўненні Максвела выступаюць як больш фундаментальныя (перш за ўсё, хаця б таму, што формулу Біё — Савара — Лапласа нельга проста абагульніць на агульны выпадак палёў, якія залежаць ад часу).

## Для току, які цячэ па контуру (тонкім правадніку) 
Няхай пастаянны ток I цячэ па контуру (правадніку) \gamma, які знаходзіцца ў вакууме, \mathbf{r}_0 — кропка, у якой трэба знайсці поле, тады індукцыя магнітнага поля ў гэтай кропцы выражаецца інтэгралам (у Міжнароднай сістэме адзінак (СІ))
: \mathbf B (\mathbf{r}_0)
= {\mu_0 \over 4\pi}
\int\limits_\gamma 
\frac{I[d\mathbf{r} \times (\mathbf{r}_0 - \mathbf{r})]}.

## Для размеркаваных токаў 
Для выпадку, калі крыніцай магнітнага поля з'яўляюцца размеркаваныя токі, якія апісваюцца полем вектара шчыльнасці току , формула закона Біё — Савара прымае выгляд (у сістэме СІ):

: \mathbf B (\mathbf{r}_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int \frac{[\ \mathbf{j} dV,\ \mathbf{r}_0 - \mathbf{r}\ ]}.

## Вынікі 
Хоць у сучасным падыходзе, як правіла, сам закон Біё — Савара выступае вынікам ураўненняў Максвела, гістарычна ён быў адкрыты да ўраўненняў Максвела. Таму ўраўненні Максвела для выпадку магнітастатыкі можна разглядаць як вынік закона Біё — Савара. Чыста фармальна ў выпадку магнітастатыкі абодва падыходы можна лічыць раўнапраўнымі: што з іх лічыць зыходнымі палажэннямі (аксіёмамі), а што вынікамі (вывадамі), залежыць ад выбару аксіяматызацыі, якая ў выпадку магнітастатыкі можа быць той ці іншай з роўным фармальным правам і практычна роўнай зручнасцю.

Асноўнымі вынікамі закона Біё — Савара з'яўляюцца (у згаданым вышэй сэнсе) ураўненні Максвела для выпадку магнітастатыкі, якія ў інтэгральнай форме маюць від

:  \oint\limits_S \mathbf B \cdot d\mathbf S = 0

— варыянт тэарэмы Гауса для магнітнага поля (гэта ўраўненне застаецца ў электрадынаміцы нязменным і для агульнага выпадку)

і

:  \oint\limits_{\partial S} \mathbf B \cdot d\mathbf l = \mu_0 I = \mu_0 \int\limits_S \mathbf j \cdot d \mathbf S 

— ураўненне для цыркуляцыі магнітнага поля ў магнітастатыцы (тут прыведзена для выпадку вакууму, у сістэме СІ). Гэтая формула (і яе вывад з закона Біё — Савара) ёсць змест тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля.

Дыферэнцыяльная форма гэтых ураўненняў:

: \operatorname{div}\mathbf{B} = 0,
: \operatorname{rot} \mathbf B=\mu_0\mathbf{j},

дзе  — шчыльнасць току (запіс у сістэме СІ, у гаусавай сістэме адзінак канстанта замест \mu_0 прымае выгляд \frac{4\pi}{c}).

## Вывад з ураўненняў Максвела 
Закон Біё — Савара — Лапласа можна атрымаць з ураўненняў Максвела для стацыянарнага поля. Пры гэтым вытворныя па часе роўныя 0, так што ўраўненні для поля ў вакууме прымуць выгляд (у сістэме СГС):

: \operatorname{rot} \mathbf B = \frac{4\pi}{c} \mathbf j,
: \operatorname{div} \mathbf B = 0,
: \operatorname{rot} \mathbf E = 0,
: \operatorname{div} \mathbf E = 4\pi \rho,

дзе \mathbf j — шчыльнасць току ў прасторы. Пры гэтым электрычнае і магнітнае палі аказваюцца незалежнымі.

Скарыстаем вектарны патэнцыял для магнітнага поля (у сістэме СГС):

: \mathbf B = \operatorname{rot} \mathbf A.

Калібравальная інварыянтнасць ураўненняў дазваляе накласці на вектарны патэнцыял адну дадатковую ўмову:

: \operatorname{div} \mathbf A = 0.

Раскрываючы двайны ротар па формуле вектарнага аналізу, атрымаем для вектарнага патэнцыялу ўраўненне тыпу ўраўнення Пуасона:

: \Delta \mathbf A = - \frac{4\pi}{c}\mathbf j.

Яго частковае рашэнне даецца інтэгралам, аналагічным ньютанаваму патэнцыялу:

: \mathbf A(\mathbf r_0) = \frac{1}{c} \int \frac{\mathbf j(\mathbf r)} dV.

Тады магнітнае поле вызначаецца інтэгралам (у сістэме СГС)

: \mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A = 
\frac{1}{c} \int \left[ \nabla \frac{1} , \mathbf j(\mathbf r) \right] dV =
: =
\frac{1}{c} \int\limits_\gamma \frac{[\mathbf j(\mathbf r),\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3} dV

аналагічным па форме закону Біё — Савара — Лапласа. Гэту адпаведнасць можна зрабіць дакладнаю, калі скарыстаць абагульненыя функцыі і запісаць прасторавую шчыльнасць току, якая адпавядае вітку з токам ў пустой прасторы. Пераходзячы ад інтэгравання па ўсёй прасторы да паўторнага інтэграла ўздоўж вітка і па артаганальных яму плоскасцях і ўлічваючы, што

: \mathbf j dV = I \mathbf{dl},

атрымаем закон Біё — Савара — Лапласа для поля вітка з токам.

## Прымяненне 
Няхай трэба знайсці велічыню магнітнай індукцыі ў цэнтры вельмі тонкай (усе віткі выкладзеныя паблізу адной акружнасці) катушкі з  віткамі, па якой цячэ ток I. Знойдзем магнітную індукцыю, створаную адным вітком катушкі. З формулы

:d \vec B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I[\vec r \times d \vec r]}{r^3}

атрымаем модуль магнітнай індукцыі як

:d B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I dr \sin \alpha}{r^2},

дзе r — радыус катушкі (у дадзеным выпадку — канстанта), \alpha — вугал паміж вектарам \vec r (радыус-вектарам з цэнтра вітка да элемента вітка) і d \vec r (элементам вітка) — роўны 90^\circ.

Праінтэграваўшы абедзве часткі, атрымліваем

:B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I}{r^2} \int dr,

дзе \int dr = 2 \pi r  — сума даўжынь усіх элементаў правадніка вітка, у дадзеным выпадку — даўжыня акружнасці.

Тады

:B = \mu_0 \frac{I}{2 r}.

Раз катушка мае  віткоў, то сумарны модуль магнітнай індукцыі роўны

:B = \mu_0 \frac{I N}{2 r}.

## Літаратура 
* Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Физматлит; Изд-во МФТИ, 2004. — Т. III. Электричество. — 656 с. — ISBN 5-9221-0227-3; ISBN 5-89155-086-5.
* Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7

Катэгорыя:Электрамагнетызм