Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей|
  name       =Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне|
  type       =mass|
  pdf_image  =n = 5, дзе n = b - a + 1|
  cdf_image  =|
  notation   = \mathcal{U}\{a, b\}  або \mathrm{unif}\{a,b\}|
  parameters =a,b цэлыя і b \geq an=b-a+1|
  support    =k \in \{a,a+1,\dots,b-1,b\}|
  pdf        =\frac{1}{n}|
  cdf        = \frac{\lfloor k \rfloor -a+1}{n} |
  mean       =\frac{a+b}{2}|
  median     =\frac{a+b}{2}|
  mode       =няма|
  variance   =\frac{n^2-1}{12}|
  skewness   =0|
  kurtosis   =-\frac{6(n^2+1)}{5(n^2-1)}|
  entropy    =\ln(n)|
  mgf        =\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^t)}|
  char       =\frac{e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}|
  pgf        =\frac{z^{a}-z^{b+1}}{n(1-z)}|
}}
**Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне** —  размеркаванне імавернасцей, якое ўзнікае, калі выпадковая велічыня мае аднолькавы шанец прыняць кожнае з  значэнняў. Кожнае з n значэнняў мае імавернасць \frac{1}{n}.

Просты прыклад раўнамернага дыскрэтнага размеркавання — падкіданне шасціграннага кубіка. Магчымыя значэнні — 1, 2, 3, 4, 5, 6, і пры кожным падкіданні імавернасць выпадзення пэўнага значэння роўная 1/6. Калі б падкідаліся два кубікі і іх значэнні складаліся, размеркаванне такой выпадковай велічыні ўжо не было б раўнамерным, бо розныя сумы маюць розныя імавернасці.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне прынята вызначаць для цэлых лікаў, але яго можна абагульніць і на адвольнае канечнае мноства. Напрыклад,  атрымліваецца ў выніку выбару з роўнаімаверных перастановак пэўнай даўжыні.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне задаецца на ўсіх цэлых ліках у інтэрвале [a, b], дзе a, b — некаторыя цэлыя лікі і a \leq b. Лікі a і b завуцца параметрамі раўнамернага дыскрэтнага размеркавання. Часам выкарыстоўваецца адзін параметр n і значэнні велічыні бяруцца з інтэрвалу [1, n]. З такой параметрызацыяй функцыя размеркавання мае выгляд
F(k;a,b)=\frac{\lfloor k \rfloor -a + 1}{b-a+1}.

## Ацэнка максімуму 
Няхай маем  без вяртання з k назіранняў з раўнамернага дыскрэтнага размеркавання на цэлых ліках 1,2,\dotsc,N. Патрабуецца  невядомы максімум N. Гэтая задача вядомая пад назвай «», бо яна прымянялася для ацэнкі колькасці вырабленых нямецкіх танкаў падчас Другой сусветнай вайны.

 задаецца формулай
: \hat{N}=\frac{k+1}{k} m - 1 = m + \frac{m}{k} - 1,
дзе m — максімум выбаркі, а k — памер выбаркі.

Дысперсія ацэнкі роўная
: \frac{1}{k}\frac{(N-k)(N+1)}{(k+2)} \approx \frac{N^2}{k^2},
дзе прыблізная роўнасць дасягаецца для невялікіх выбарак k \ll N.

Беручы ў якасці ацэнкі выбаркавы максімум m, атрымаем ацэнку максімальнай праўдападобнасці, але такая ацэнка будзе .

Калі элементы выбаркі не пранумараваныя, але іх магчыма памеціць, памер генеральнай сукупнасці можна ацаніць , якім карыстаюцца напрыклад для ацэнкі папуляцыі жывёл.

## Дастатковая статыстыка 
Сямейства раўнамерных дыскрэтных размеркаванняў над інтэрваламі цэлых лікаў (з адной ці дзвюма невядомымі межамі) мае канечнавымерную : тройку выбаркавага  і памеру выбаркі. Пры гэтым раўнамерныя дыскрэтныя размеркаванні не з’яўляюцца  размеркаванняў, бо іх носьбіт залежыць ад параметраў. Для сямействаў чый  не залежыць ад параметраў, тэарэма Пітмана-Купмана-Дармуа сцвярджае, што толькі экспанентавыя сямействы маюць дастатковую статыстыку, памернасць якой абмежаваная пры павелічэнні памеру выбаркі. Такім чынам, раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне — просты прыклад абмежавання тэарэмы.

Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей