Гісторыя тэорыі імавернасцей

**Гісторыя тэорыі імавернасцей** мае мноства ўнікальных асаблівасцей. Перш за ўсё, у адрозненне ад іншых раздзелаў матэматыкі, якія ўзніклі прыкладна ў той жа час (напрыклад, матэматычнага аналізу ці аналітычнай геаметрыі), у тэорыі імавернасцей па сутнасці не было антычных ці сярэдневяковых папярэднікаў, яна цалкам — стварэнне Новага часу. Доўгі час тэорыя імавернасцей лічылася чыста эксперыментальнаю навукаю і «не зусім матэматыкаю», яе строгае абгрунтаванне было распрацавана толькі ў 1929 годзе, г. зн. нават пазней, чым аксіяматыка тэорыі мностваў (1922). У нашы дні тэорыя імавернасцей займае адно з першых месцаў у прыкладных навуках па шырыні сваёй вобласці прымянення; «няма амаль ні аднае прыродазнаўчае навукі, у якой так ці йначай не прымяняліся б імавернасныя метады».

Гісторыкі выдзяляюць у развіцці тэорыі імавернасцей некалькі перыядаў.

Буйны алгебраіст XVI стагоддзя Джэралама Кардана прысвяціў аналізу гульні змястоўную манаграфію «Кніга аб гульні ў косці» (1526 год, апублікавана пасмяротна). Кардана правёў поўны і беспамылковы камбінаторны аналіз для значэнняў сумы ачкоў і прывёў для розных падзей чаканае значэнне долі «спрыяльных» падзей: напрыклад, пры кіданні трох касцей доля выпадкаў, калі значэнні ўсіх 3 касцей супадаюць, роўная 6/216 ці 1/36. Кардана зрабіў праніклівую заўвагу: сапраўдная колькасць даследуемых падзей можа пры невялікім ліку гульняў моцна адрознівацца ад тэарэтычнай, але чым больш гульняў у серыі, тым доля гэтага адрознення меншая. Па сутнасці, Кардана блізка падышоў да паняцця імавернасці:

Іншы італьянскі алгебраіст, Нікола Тарталья, раскрытыкаваў падыход Пачолі да рашэння задачы аб падзеле стаўкі: бо калі адзін з ігракоў яшчэ не паспеў набраць ні аднаго ачка, то алгарытм Пачолі аддае ўсю стаўку яго саперніку, але гэта цяжка назваць справядлівым, бо некаторыя шансы на выйгрыш у адстаючага ўсё ж ёсць. Кардана і Тарталья прапанавалі свае (розныя) спосабы падзелу, але пазней і гэтыя спосабы былі прызнаны няўдалымі.

Даследаваннем гэтай тэмы займаўся і Галілеа Галілей, які напісаў трактат «Аб выхадзе ачкоў пры гульні ў косці» (1718 год, апублікаваны пасмяротна). Выклад тэорыі гульні ў Галілея адрозніваецца вычарпальнаю паўнатою і яснасцю. У сваёй галоўнай кнізе «Дыялог аб дзвюх найгалоўнейшых сістэмах свету, пталемеевай і капернікавай» Галілей таксама адзначыў магчымасць ацэнкі хібнасці астранамічных і іншых вымярэнняў, прычым заявіў, што малыя хібнасці вымярэння больш імаверныя, чым вялікія, адхіленні ў абодва бакі роўнаімаверныя, а сярэдняе значэнне павінна быць блізкім да сапраўднага значэння вымяранай велічыні. Гэтыя якасныя разважанні сталі першым у гісторыі прадказаннем нармальнага размеркавання хібнасцей.

## XVII стагоддзе: Паскаль, Ферма, Гюйгенс 
, аснова камбінаторных даследаванняў Паскаля]]
У XVII стагоддзі пачало фарміравацца выразнае ўяўленне пра праблемы тэорыі імавернасцей і з’явіліся першыя матэматычныя (камбінаторныя) метады рашэння імавернасных задач. Заснавальнікамі матэматычнай тэорыі імавернасцей сталі Блез Паскаль і П’ер Ферма.

Перад гэтым матэматык-аматар шэвалье дэ Мерэ звярнуўся да Паскаля наконт т. зв. «задачы аб ачках»: колькі разоў трэба кідаць дзве косці, каб ставіць на адначасовае выпадзенне хоць раз дзвюх шасцёрак было выгадна? Паскаль і Ферма пачалі перапісвацца адзін з адным наконт гэтай задачы і блізкіх пытанняў (1654). Перапісваючыся, вучоныя абмеркавалі шэраг праблем, звязаных з імавернаснымі разлікамі; сярод іншага, разглядалася старая задача пра раздзел стаўкі, і абодва навукоўцы прыйшлі да рашэння, што трэба падзяліць стаўку адпаведна шансам на выйгрыш, якія застаюцца на момант спынення гульні. Паскаль указаў дэ Мерэ на памылку, дапушчаную ім пры рашэнні «задачы пра ачкі»: у той час як дэ Мерэ няправільна вызначыў роўнаімаверныя падзеі, атрымаўшы адказ: 24 кідкі, Паскаль даў правільны адказ: 25 кідкоў.

Паскаль у сваіх працах далёка прасунуў прымяненне камбінаторных метадаў, якія сістэматызаваў у сваёй кнізе «Трактат аб арыфметычным трохвугольніку» (1665). Абапіраючыся на імавернасны падыход, Паскаль нават даказваў (у пасмяротна апублікаваных заметках), што быць веруючым выгадней, чым атэістам (гл. «пары Паскаля)».

Тэматыка дыскусіі Паскаля і Ферма (без падрабязнасцей) стала вядома Хрысціяну Гюйгенсу, які апублікаваў уласнае даследаванне «Аб разліках у азартных гульнях» (1657): першы трактат па тэорыі імавернасцей. У прадмове Гюйгенс піша:

У трактаце Гюйгенс падрабязна выкладае пытанні, разгледжаныя Ферма і Паскалем, але ставіць і новыя пытанні.

Гюйгенс прааналізаваў і задачу аб падзеле стаўкі, даўшы яе канчатковае рашэнне: стаўку трэба раздзяліць прапарцыянальна імавернасцям выйгрышу пры працягу гульні. Ён таксама ўпершыню прымяніў імавернасныя метады ў дэмаграфічнай статыстыцы і паказаў, як разлічыць сярэднюю працягласць жыцця.

Да гэтага ж перыяду адносяцца публікацыі англійскіх статыстыкаў Джона Граўнта (1662) і Уільяма Пеці (1676, 1683). Апрацаваўшы даныя больш чым за стагоддзе, яны паказалі, што многія дэмаграфічныя характарыстыкі лонданскага насельніцтва, нягледзячы на выпадковыя ваганні, маюць досыць устойлівы характар — напрыклад, суадносіны ліку нованароджаных хлопчыкаў і дзяўчынак рэдка адхіляецца ад прапорцыі 14 к 13, невялікія ваганні і працэнта смяротнасці ад канкрэтных выпадковых прычын. Гэтыя даныя падрыхтавалі навуковую супольнасць да ўспрымання новых ідэй.

## XVIII стагоддзе 
На кнігу Гюйгенса абапіраліся створаныя ў пачатку XVIII ст. трактаты П’ера дэ Манмора «Вопыт даследавання азартных гульняў» (; апублікаваны ў 1708 і перавыдадзены з дапаўненнямі ў 1713 годзе) і Якаба Бернулі «Мастацтва здагадак» (; апублікаваны ўжо пасля смерці вучонага, у тым жа 1713 годзе). Апошні меў для тэорыі імавернасцей асабліва вялікае значэнне.

Была рэшана найважнейшая задача разліку імавернасці складаных падзей. Англійскі матэматык Томас Баес першым у дакладным выглядзе прывёў тэарэму складання імавернасцей для некалькіх несумяшчальных падзей і асноватворныя ў тэорыі імавернасцей і статыстыцы «формулы Баеса» (1763 год, апублікаваныя пасмяротна). У сучаснай тэрміналогіі формулы Баеса дазваляюць разлічыць умоўную імавернасць, а таксама ўдакладніць разлічаную імавернасць пасля атрымання новых даных. Тэарэму множання імавернасцей раней адкрыў Муаўр (1718 год) і даў ёй цалкам сучасную, хоць і выражаную словамі фармулёўку: «імавернасць з’яўлення дзвюх залежных падзей раўняецца здабытку імавернасці з’яўлення аднае з іх на імавернасць таго, што другая павінна адбыцца, калі першая з іх ужо з’явілася».

К сярэдзіне XVIII стагоддзя аналіз гульняў усё яшчэ прыцягвае некаторую цікавасць — напрыклад, Леанард Эйлер падрабязна прааналізаваў розныя тыпы латарэй, але цэнтрам увагі матэматыкаў усё ў большай ступені становяцца дэмаграфічная статыстыка, страхаванне і ацэнка памылак (вымярэння, акруглення і пад.). Статыстыцы і страхаванню Эйлер прысвяціў нямала прац; ён, сярод іншага, рашаў задачу: ацаніць па статыстычных табліцах, якая імавернасць таго, што чалавек ва ўзросце  гадоў пражыве яшчэ  гадоў.

## XIX стагоддзе 
### Агульныя тэндэнцыі і крытыка 
У XIX стагоддзі лік работ па тэорыі імавернасцей працягваў расці, былі нават недарэчныя для навукі спробы распаўсюдзіць імавернасныя метады далёка за разумныя межы — напрыклад, на вобласць маралі, псіхалогіі, правапрымянення і нават багаслоўя. У прыватнасці, валійскі філосаф Рычард Прайс, а следам за ім і Лаплас лічылі магчымым разлічыць па формулах Баеса імавернасць наступнага ўзыходу Сонца, Пуасон спрабаваў правесці імавернасны аналіз судовых прыгавораў і верагоднасці паказанняў сведак. Гэтая і іншыя ацэнкі сведчылі пра недастатковую строгасць абгрунтавання тэорыі імавернасцей.

Матэматычны апарат тэорыі імавернасцей тым часам працягваў удасканальвацца. Асноўнаю галіною яе прымянення ў той перыяд была матэматычная апрацоўка вынікаў назіранняў, у якіх ўтрымліваліся выпадковыя хібнасці, а таксама разлікі рызык у страхаванні і іншых статыстычных параметраў. Сярод галоўных прыкладных задач тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыкі XIX стагоддзя можна назваць наступныя:
* знайсці імавернасць таго, што сума незалежных выпадковых велічынь з аднолькавым (вядомым) законам размеркавання знаходзіцца ў вызначаных граніцах. Асабліва важнаю гэта праблема была для тэорыі памылак вымярэння, у першую чаргу для ацэнкі хібнасці назіранняў;
* устанаўленне статыстычнай значнасці розніцы выпадковых значэнняў ці паслядоўнасці такіх значэнняў. Прыклад: параўнанне вынікаў прымянення новага і старога відаў лякарстваў, каб вырашыць ці сапраўды новае лякарства лепшае;
* даследаванне ўплыву пэўнага чынніка на выпадковую велічыню (фактарны аналіз).
Ужо к сярэдзіне XIX стагоддзя складваецца імавернасная тэорыя артылерыйскай стральбы. У большасці буйных краін Еўропы былі створаны нацыянальныя статыстычныя арганізацыі. У канцы стагоддзя вобласць ужывання імавернасных метадаў пачала паспяхова пашырацца на фізіку, біялогію, эканоміку, сацыялогію.

Лаплас прывёў формулу поўнай імавернасці для некалькіх несумяшчальных «прычын» (у сучаснай тэрміналогіі, «гіпотэз»), даказаў рад гранічных тэарэм, у тым ліку тэарэму Муаўра—Лапласа і збежнасць біномнага размеркавання да нармальнага пры павелічэнні ліку выпрабаванняў. Значная частка кнігі прысвечана статыстычным прыкладанням і рашэнню задач. Для ацэнкі магчымага дыяпазону значэнняў вымяранай велічыні Лаплас, як і Гаус, рэкамендаваў метад найменшых квадратаў.

Лаплас апісаў і сваё разуменне сутнасці выпадковасці і імавернасці. На яго думку, ход рэальных працэсаў поўнасцю прадвызначаны («дэтэрмінован»), выпадковасць узнікае толькі ў чалавечым успрыманні і толькі там, дзе чалавек не валодае поўнымі ведамі аб тым, што адбываецца:

Сімеон Дэні Пуасон у 1837 годзе абагульніў закон вялікіх лікаў Бернулі, зняўшы ўмову аб тым, што імавернасць падзеі ў кожнай гульні адна і тая ж; пры гэтых новых умовах статыстычная частата будзе збягацца да сярэдняга арыфметычнага для імавернасцей асобных гульняў. Ён жа апублікаваў формулу Пуасона, зручную для апісання схемы Бернулі ў тым выпадку, калі імавернасць падзеі блізкая да нуля ці адзінкі. Размеркаванне Пуасона («закон рэдкіх падзей») з’яўляецца адным з асноўных у прыкладных задачах, напрыклад, яму падпарадкоўваюцца радыеактыўны распад, нараджэнне тройні, статыстыка аварый і няшчасных выпадкаў.

### Тэорыя памылак вымярэння 
Асноўная праблема ў гэтай вобласці наступная. Хай паслядоўныя вымярэнні некаторай велічыні далі  блізкіх, але няроўных значэнняў. Падразумяваецца, што сістэматычныя памылкі і залежнасць велічыні ад часу вымярэння (напрыклад, пры кручэнні нябеснага купала) улічаныя, так што розніца даных выклікана чыста выпадковымі хібнасцямі. Трэба па выніках вымярэнняў знайсці найлепшую ацэнку сапраўднага значэння даследаванай велічыні.

Першае матэматычнае даследаванне гэтай практычна важнай (асабліва ў астраноміі) тэмы зрабіў Томас Сімпсан (1755). Ён зыходзіў з няправільнай гіпотэзы, што памылкі вымярэння размеркаваныя па «трохвугольным законе», але зрабіў правільны вывад — сярэдняе арыфметычнае вынікаў вымярэння бліжэй да сапраўднага значэння, чым асобнае вымярэнне. Данііл Бернулі (1778) лічыў, што шчыльнасць размеркавання хібнасцей прадстаўляе сабою дугу акружнасці, але вывад Сімпсана пацвердзіў. Ідэі Сімсана развіў І. Г. Ламберт, які ўпершыню прымяніў метад утваральных функцый і метад найбольшай праўдападобнасці, пазней абагульнены Р. Э. Фішэрам.

У XIX стагоддзі Лаплас указаў, што назіраныя хібнасці вымярэння звычайна з’яўляюцца вынікам складвання мноства выпадковых памылак, і таму іх размеркаванне павінна быць блізкае да нармальнага. Замест сярэдняга арыфметычнага ён прапанаваў статыстычную медыяну. Аднак амаль адначасова быў апублікаваны значна больш практычны метад найменшых квадратаў Гауса (1809), які і стаў агульнаўжывальным. У 1853 годзе Кашы знайшоў прыклад размеркавання, для якога сярэдняе арыфметычнае з’яўляецца вельмі кепскаю ацэнкаю. К канцу XIX стагоддзя статыстычная тэорыя апрацоўкі памылак была ў асноўным завершана.

Першыя фізічныя імавернасныя мадэлі ўзніклі ў статыстычнай фізіцы, якую распрацавалі ў другой палавіне XIX стагоддзя Л. Больцман, Д. К. Максвел і Д. У. Гібс. Больцман у шэрагу работ (1860-я гады) паказаў, што тэрмадынамічныя законы маюць імавернасна-статыстычны характар і звязаныя з пераходам фізічных сістэм з менш імавернага стану і больш імаверны, прычым мераю імавернасці з’яўляецца энтрапія. Максвел у тыя ж гады вывеў закон размеркавання хуткасцей малекул у газе, які дазваляе разлічыць энергію, даўжыню свабоднага прабегу і іншыя характарыстыкі малекул. У 1902 годзе Гібс апублікаваў манаграфію «Асноўныя прынцыпы статыстычнай механікі», якая значна паўплывала на развіццё фізікі. К канцу XIX стагоддзя вялікае практычнае значэнне імавернасных метадаў стала агульнапрызнаным фактам.

### Расійская школа 
У Расіі ў першай палавіне XIX стагоддзя пачалі ўзнікаць уласныя сур’ёзныя даследаванні па тэорыі імавернасцей. Першы вучэбны курс пачаў чытаць С. Раўкоўскі ў Віленскім універсітэце (1829 год), там жа ў 1830 годзе была створана першая ў Расійскай імперыі кафедра тэорыі імавернасцей. У Пецярбургскім універсітэце лекцыі з 1837 года чытаў спачатку В. А. Анкудовіч, а з 1850 года — В. Я. Бунякоўскі. Фундаментальны падручніку «Основания математической теории вероятностей» Бунякоўскі апублікаваў у 1846 годзе, і прыдуманая ім руская тэрміналогія стала агульнапрынятаю. У Маскоўскім універсітэце курс з’явіўся ў 1850 годзе, лекцыі чытаў А. Ю. Давідаў, будучы прэзідэнт Маскоўскага матэматычнага таварыства.

Артыкулы на імавернасныя тэмы публікавалі многія буйныя матэматыкі Расіі, у тым ліку М. В. Астраградскі, М. Д. Брашман, М. І. Лабачэўскі, М. Я. Зярноў. У значнай частцы гэтых работ адчуваецца моцны ўплыў прац і поглядаў Лапласа.

Першымі рускімі матэматыкамі сусветнага ўзроўню ў тэорыі імавернасцей сталі П. Л. Чабышоў і яго вучні А. А. Маркаў і А. М. Ляпуноў. Чабышоў з самага пачатку сваёй навуковай кар’еры ўдзяляў найбольшую ўвагу тэорыі імавернасцей (разам з тэорыяй лікаў), а з 1860 года змяніў Бунякоўскага на кафедры тэорыі імавернасцей і пачаў свой цыкл лекцый. Ён апублікаваў па дадзенай тэме ўсяго чатыры працы, але фундаментальныя. Асабліва цікавы яго артыкул «О средних величинах» (1866 год), дзе прыведзена «няроўнасць Чабышова», пазней узмоцненая Маркавым:
: \mathbb{P}\left(|x - Mx|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}.
, якая абмяжоўвае імавернасць вялікіх адхіленняў выпадковай велічыні ад свайго матэматычнага спадзявання]]
Гэта формула азначае, што імавернасць адхілення любой выпадковай велічыні x ад яе сярэдняга значэння (матэматычнага спадзявання) Mx больш чым на k стандартных адхіленняў (\sigma) не перавышае ~\frac{1}{k^2}. Напрыклад, адхіленне на 5 \sigma мае імавернасць 1/25, г.зн. 4 %.

У якасці выніку сваёй няроўнасці Чабышоў атрымаў надзвычайна агульную фармулёўку закона вялікіх лікаў: калі матэматычныя спадзяванні паслядоўнасці  выпадковых велічынь і квадраты гэтых матэматычных спадзяванняў абмежаваныя ў сукупнасці, то сярэдняе арыфметычнае гэтых велічынь з ростам  збягаецца да сярэдняга арыфметычнага іх матэматычных спадзяванняў. З гэтай тэарэмы выводзяцца тэарэмы Бернулі і Пуасона; Чабышоў упершыню строга ацаніў дакладнасць гэтых тэарэм і іншых прыбліжэнняў.

У 1887 годзе з’явіўся артыкул Чабышова «О двух теоремах относительно вероятностей». У гэтай рабоце ён устанавіў, што пры некаторых (дастаткова агульных) умовах выконваецца гранічная тэарэма: сума вялікага ліку незалежных выпадковых велічынь (напрыклад, хібнасцей вымярэння) размеркавана прыблізна па нармальным законе і тым дакладней, чым больш складнікаў. Гэты вынік па сваёй агульнасці далёка перакрывае тэарэму Муаўра — Лапласа і ўсе яе аналагі. Пазней А. А. Маркаў і А. М. Ляпуноў удакладнілі і яшчэ больш абагульнілі гэту тэарэму Чабышова.

Абедзве названыя тэарэмы Чабышова займаюць цэнтральнае месца ў тэорыі імавернасцей. Асабліва важная тая акалічнасць, што Чабышоў не толькі знайшоў гранічнае размеркаванне, але ў абодвух выпадках падрабязна прааналізаваў межы магчымых адхіленняў ад гэтай граніцы.

Калі Чабышоў даследаваў незалежныя выпадковыя велічыні, то А. А. Маркаў у 1907 годзе расшырыў поле даследаванняў, разглядаючы і выпадак, калі новае выпадковае значэнне залежыць ад старога. Маркаў даказаў варыянт закона вялікіх лікаў для некаторых распаўсюджаных тыпаў залежных велічынь, увёўшы ў тэрміналогію сусветнай навукі «ланцугі Маркава». Аналізу і класіфікацыі гэтых ланцугоў Маркаў прысвяціў нямала прац; ланцугі Маркава і маркаўскія выпадковыя працэсы прымяняюцца не толькі ў матэматыцы, але і ў іншых навуках, такіх як статыстычная фізіка, квантавая механіка, тэорыя аўтаматычнага кіравання і многія іншыя. Маркаву належыць таксама імавернаснае абгрунтаванне метаду найменшых квадратаў.

А. М. Ляпунову належыць увядзенне метаду характарыстычных функцый у вучэнне аб гранічных тэарэмах тэорыі імавернасцей.

## XX стагоддзе 
### Тэарэтычныя пытанні і матэматычныя метады 
У XX стагоддзі даследаванні Чабышова і Маркава працягнулі А. Я. Хінчын, А. М. Калмагораў і інш. У прыватнасці, Ярл В. Ліндэберг (1922) і Калмагораў (1926) знайшлі ўмовы, неабходныя і дастатковыя для выканання закона вялікіх лікаў.

Матэматычны апарат тэорыі імавернасцей значна ўзбагаціўся ў многіх напрамках. Пасля распрацоўкі тэорыі меры гэта агульнае паняцце аказалася зручна прымяніць у тэорыі імавернасцей, г.зн. разглядаць імавернасць як меру (канечнага альбо бесканечнага) мноства «спрыяльных падзей». Такі падыход дазваляе апісваць і даследаваць уласцівасці імавернасці на добра распрацаванай мове тэорыі мностваў.

У тэорыі дынамічных сістэм было выяўлена, што рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў некаторых сістэм паводзяць сябе як выпадковыя працэсы. Гэта значнае адкрыццё прывяло да стварэння паняцця «дынамічны хаос» і агульнай «тэорыі хаосу». Адным з прыкладаў з’яўляецца «задача трох цел» нябеснай механікі.

Да XX стагоддзя выкарыстоўваліся ў асноўным нармальнае, біномнае і (часам) пуасонава размеркаванне, аднак практычна карыснымі аказаліся і многія іншыя тэарэтычныя законы. Напрыклад, лагнармальнае размеркаванне часта сустракаецца ў выпадках, калі даследуемая велічыня ёсць здабытак некалькіх незалежных дадатных выпадковых велічынь.

Імавернасныя метады аказаліся плённымі ў многіх абласцях тэарэтычнай і прыкладной матэматыкі, нават у такіх класічных, як тэорыя лікаў ці логіка. У сваю чаргу, сучасная тэорыя імавернасцей выкарыстоўвае метады і падыходы, распрацаваныя ў функцыянальным аналізе, тапалогіі і іншых раздзелах матэматыкі, што ўзніклі ў XX стагоддзі.

### Стварэнне матэматычнай статыстыкі 
Матэматычная статыстыка як аснова для прыняцця надзейных рашэнняў аб выпадковых велічынях узнікла на рубяжы XIX—XX стагоддзяў дзякуючы асноватворным працам Карла Пірсана. Пірсан распрацаваў тэорыю карэляцыі, крытэрыі згоды, рэгрэсійны аналіз, алгарытмы праверкі гіпотэз, прыняцця рашэнняў і ацэнкі параметраў. Алгарытмы, прапанаваныя Пірсанам, шырока прымяняюцца ў фізіцы, медыцыне, біялогіі, сацыялогіі, сельскай гаспадарцы і інш.

Найбольш значным прадаўжальнікам прац Пірсана па прыкладной матэматычнай статыстыцы ў першай палавіне XX стагоддзя стаў Рональд Эйлмер Фішэр. Ён апублікаваў работы па планаванні эксперымента, распрацаваў метад найбольшай праўдападобнасці, тэст статыстычнай значнасці, дысперсійны аналіз і рашэнне мноства іншых практычна важных статыстычных праблем. Сумесна з Ежы Нэйманам распрацаваў канцэпцыю давяральнага прамежку (1937). Фішэр — аўтар агульнапрызнанага тэрміна «дысперсія выпадковай велічыні» ().

Пачынаючы прыкладна з 1920-х гадоў, хутка развіваецца тэорыя статыстычнага кантролю якасці прамысловай прадукцыі. Першую праблему па гэтай тэме разгледзеў яшчэ Томас Сімпсан у 1846 годзе. У масавай вытворчасці трэба вызначыць, па якой методыцы трэба выбраць прадметы з аднае ці некалькіх партый прадукцыі для праверкі іх якасці.

Вялікая ў нашы дні колькасць статыстычных даследаванняў, якія нярэдка даюць процілеглыя вынікі (напрыклад, аб шкоднасці ці няшкоднасці мабільных тэлефонаў ці генна-мадыфікаваных прадуктаў), павысіла актуальнасць праблемы забеспячэння верагодных вывадаў са статыстычнага абследавання. Самая частая памылка — аб’яўленне, што статыстычная залежнасць (карэляцыя) даследаваных чыннікаў нібыта сведчыць аб прычыннай сувязі паміж імі, хаця часта сувязь гэтых чыннікаў на самай справе тлумачыцца іх залежнасцю ад аднаго ці некалькіх трэціх чыннікаў. «Статыстычная залежнасць, якая б моцная яна ні была, ніколі не можа ўстанавіць прычыннай сувязі: нашы ідэі аб прычыне павінны прыходзіць не са статыстыкі, у канчатковым выніку з некаторай іншай тэорыі».

### Выпадковыя працэсы 
)]]
Паняцце выпадковага (ці стахастычнага) працэсу, якое ўзнікла ў пачатку XX стагоддзя, стала адным з цэнтральных, развітых і найбольш карысных прымяненняў тэорыі імавернасці. Выпадковы працэс — гэта зменная ў часе выпадковая велічыня. Першыя даследаванні выпадковых працэсаў датычыліся ў асноўным электронікі і паведамленняў тэорыі сувязі, у нашы дні можна прывесці ў якасці прыкладаў часавыя рады ў эканоміцы ці медыцыне, рэгістраграмы тэорыі механізмаў, статыстыку жыцця біялогіі папуляцый. Шырокую вобласць практычнага ўжывання мае тэорыя масавага абслугоўвання. Сярод тыповых задач аналізу выпадковых працэсаў:
* прагназаванне развіцця працэсу, зыходзячы з яго мінулай гісторыі;
* надзейнае выдзяленне сігналу на фоне шумавых перашкод;
* ацэнка і аптымізацыя параметраў (напрыклад, імавернага часу безадмоўнай работы);
* фільтрацыя ўваходнага выпадковага працэсу для атрымання жаданага выхаднога працэсу.

Праведзена класіфікацыя тыпаў выпадковых працэсаў, распрацаваны аналітычныя сродкі іх даследавання (карэляцыйная і каварыяцыйная функцыі, спектральнае раскладанне). Для аналізу працэсаў распрацаваны такія новыя сродкі, як стахастычныя дыферэнцыяльныя ўраўненні, стахастычны інтэграл, сродкі спектральнага аналізу і фільтрацыі.

### Новыя прыкладанні 
Новыя прымяненні імавернасных метадаў узнікалі ў XX стагоддзі пастаянна і ў многіх навуках; коратка пералічым некаторыя этапныя падзеі ў гэтым працэсе.

; Фізіка
Цэнтральным паняццем створанай у 1920-я гады квантавай механікі з’яўляецца камплексная хвалевая функцыя, квадрат модуля якой, паводле распаўсюджанай капенгагенскай інтэрпрэтацыі, вызначае шчыльнасць выяўлення мікрачасціцы ў зададзеным пункце прасторы. Калі прыняць такое вытлумачэнне, то ў матэматычнай мадэлі мікрасвету выпадковасць неадольная, а лапласаў дэтэрмінізм поўнасцю абвергнуты. Для мікрасвету былі распрацованы адмысловыя квантавыя статыстыкі Бозэ — Эйнштэйна і Фермі — Дзірака.

; Біялогія
Пасля адкрыццяў Мендэля і Моргана стала зразумела, што спадчынныя прыкметы перадаюцца патомкам шляхам выпадковай камбінацыі аднае з дзвюх прыкмет (алелей) ад бацькі і аднае з дзвюх алелей ад мацеры. Выпадковы выбар бацькавай алелі вызначае заадно пол будучага патомка. На гэты працэс дадаткова накладваюцца выпадковыя мутацыі, таму імавернасныя метады леглі ў аснову генетыкі. Прымяняюцца яны таксама пры даследаванні і кіраванні развіццём біялагічных папуляцый. Істотна выкарыстоўваюцца імавернасныя падыходы (напрыклад, баесаўскія метады і метады, аснаваныя на прынцыпе найбольшай праўдападобнасці) ў , якая прадугледжвае прымяненне адмысловых вылічальных алгарытмаў і камп’ютарных праграм для пабудовы філагенетычных дрэў.

; Кібернетыка і тэорыя інфармацыі
Тэорыя інфармацыі апіраецца на ўведзенае Клодам Шэнанам у 1948 годзе паняцце інфармацыйнай энтрапіі. Калі выпадковая велічыня x можа прымаць значэнні ~x_1, x_2, \dots x_n, імавернасці якіх адпаведна роўныя ~p_1, p_2, \dots p_n, то энтрапія вызначаецца формулаю:
: H(x)=-\sum_{i=1}^n p_i \log_2 p_i.
Вызначаная так энтрапія ёсць мера выпадковасці (ці нявызначанасці): яна роўная нулю, калі выпадковасці няма, г.зн. з імавернасцю 1 велічыня прымае адно пэўнае значэнне. Павелічэнне выпадковасці звязана з павелічэннем энтрапіі.

Тэорыя аўтаматычнага кіравання таксама з самага пачатку карысталася імавернаснымі метадамі. Са з’яўленнем камп’ютараў прымяненне такіх метадаў значна пашырылася. Карыстаючыся генератарам псеўдавыпадковых лікаў, можна прамадэляваць на камп’ютары выпадковыя велічыні ці працэсы з адвольным размеркаваннем, а гэта, у сваю чаргу, дазваляе даследаваць самыя розныя рэальныя працэсы шляхам іх камп’ютарнага мадэлявання (метад Монтэ-Карла).

; Мовазнаўства
У 2-й палавіне XX стагоддзя ў важны напрамак матэматычнай лінгвістыкі аформілася прымяненне метадаў тэорыі імавернасці і матэматычнай статыстыкі да вывучэння моўных з’яў. Шматлікія даследаванні, аснаваныя на прымяненні такіх метадаў, уключалі: атрыманне імавернасна-інфармацыйных ацэнак нормы мовы; аналіз размеркавання сінтаксічнай інфармацыі ў граніцах словаформы, кантэкстнай абумоўленасці і лішкавасці тэкстаў, узаемадзеяння выпадковых і прадвызначаных (дэтэрмінаваных) працэсаў у маўленні; распрацоўка адэкватных методык лінгвістычнага эксперыменту; выяўленне статыстычных характарыстык лінгвістычных варыяцыйных радоў і інш.

### Абгрунтаванне і аксіяматызацыя 
На момант стварэння тэорыі імавернасцей асноваю матэматыкі былі два класы аб’ектаў — лікі і геаметрычныя фігуры. Для тэорыі імавернасцей трэба было дабавіць у гэты спіс зусім новы аб’ект: выпадковую падзею, а таксама цесна звязаныя з ёю паняцці (імавернасць, выпадковая велічыня і інш.). Своеасаблівасць новай навукі праяўлялася і ў тым, што яе сцвярджэнні насілі не безумоўны характар, як раней было прынята ў матэматыцы, а магчымасна-імавернасны.

Па меры развіцця тэорыі імавернасцей не спыняліся спрэчкі, ці можна лічыць ідэалізаваную падзею матэматычным паняццем (і тады тэорыя імавернасцей ёсць частка матэматыкі), ці ж гэта факт, што назіраецца на вопыце (і тады тэорыю імавернасцей трэба аднесці да прыродазнаўчых навук). Розныя вучоныя выказвалі самыя розныя меркаванні аб гэтым. П. Л. Чабышоў упэўнена лічыў тэорыю імавернасцей матэматычнаю дысцыплінаю, задача якой — па вядомых імавернасцях некаторых падзей вызначыць невядомую імавернасць даследаванай падзеі. На думку Давіда Гільберта, тэорыя імавернасцей роднасная механіцы, г.зн. з’яўляецца матэматызаванай «фізічнай дысцыплінай». Абмеркаванне канцэпцыі Мізэса часам працягваецца і цяпер. Былі і іншыя спробы абгрунтавання — Джон Мейнард Кейнс (1921) і Харальд Джэфрыс (1939) прапанавалі разумець імавернасць сцвярджэння як «ступень праўдападобнасці» гэтага сцвярджэння, гэты падыход таксама час ад часу ўпамінаецца ў абмеркаванні пытання.

]]
У пачатку XX стагоддзя школа Д. Гільберта паставіла такія класічныя раздзелы матэматыкі, як геаметрыя і аналіз, на строгую аксіяматычную аснову, з’явілася аксіяматыка і ў іншых раздзелах матэматыкі: тэорыя мностваў, матэматычная логіка і інш. Наспела неабходнасць распрацаваць аксіяматыку і для тэорыі імавернасцей, бо ранейшае, напалову інтуітыўнае і нефармальнае абгрунтаванне Бернулі і Лапласа даўно ўстарэла. Першы варыянт такой аксіяматыкі даў савецкі матэматык С. Н. Бернштэйн у сваім курсе «Тэорыя імавернасцей» (1927 год). Агульнапрызнаным у навуцы стаў варыянт А. М. Калмагорава, апублікаваны ў 1929—1933 гадах і заснаваны на ідэях тэорыі меры. У другой палавіне XX стагоддзя Альфрэд Рэньі і А. М. Калмагораў даследавалі магчымасць даць абгрунтаванне тэорыі імавернасцей на аснове тэорыі інфармацыі. У нашы дні «склалася яснае разуменне таго, што тэорыя імавернасцей з’яўляецца сапраўды матэматычнай навукай, якая мае разам з тым самыя цесныя і непасрэдныя сувязі з шырокім спектрам навук аб прыродзе, а таксама з тэхнічнымі і сацыяльна-эканамічнымі дысцыплінамі».

Нягледзячы на даказаную практыкай эфектыўнасць імавернасных метадаў, роля выпадковасці ў прыродзе, прычына і межы статыстычнай устойлівасці застаюцца прадметам дыскусій. «За 200 гадоў, што прайшлі з часоў Лапласа і Гауса, навука не дабілася прасоўвання наперад у фундаментальным пытанні — калі ўзнікае статыстычная ўстойлівасць».

## Гл. таксама 
* Імавернасная логіка
* Імавернасная прастора
* Рызыка
* Стахастычнасць

## Крыніцы 
## Літаратура 
; Працы заснавальнікаў
* 
* 
* .
* 
* 
** Рецензия: 
* 
* 

; Сучасныя даследаванні
* 
* 
* . — С. 366—435.
* 
* 
* 
* 
* .
* 
* 

## Спасылкі 
* .
* .

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя:Матэматычная статыстыка
Катэгорыя:Гісторыя матэматыкі