Вонкавая мера

**Вонкавая мера** (або **знешняя мера**) — адно з абагульненняў паняццяў даўжыні, плошчы і аб'ёму;
з'яўляецца рэчаісназначнаю функцыяй, вызначанай на ўсіх падмноствах прасторы, якая адпавядае некаторым дадатковым умовам.

## Гісторыя
Агульная тэорыя вонкавае меры была распрацована Канстанцінам Каратэадоры з мэтай стварыць падмурак для тэорыі вымерных мностваў і злічальна-адытыўных мер. 
Працы Каратэадоры па вонкавай меры знайшлі нямала прымяненняў у тэорыі вымерных мностваў. Напрыклад, вонкавая мера выкарыстоўваецца ў доказе фундаментальнай тэарэмы Каратэадоры аб працягу меры), таксама яна была выкарыстана Хаусдорфам для вызначэння метрычнага інварыянта, які абагульняе паняцце размернасці, цяпер ён называецца размернасцю Хаусдорфа.

## Выпадак лікавай прамой 
Для адвольнага падмноства E лікавай прамой можна знайсці неабмежавана многа розных сістэм, які складаюцца з канечнай ці злічальнай колькасці прамежкаў, аб'яднанне якіх утрымлівае мноства E. Назавём такія сістэмы пакрыццямі. А раз для любога пакрыцця сума даўжынь прамежкаў, якія яго ўтвараюць, — велічыня неадмоўная, то яна абмежавана знізу, і таму мноства даўжынь усіх пакрыццяў мае дакладную ніжнюю мяжу. Гэта мяжа, якая залежыць толькі ад мноства E, і называецца **вонкаваю мерай**:
: m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}.
Іншы раз вонкавую меру абазначаюць як:
: m^*E=\varphi(E)=|E|^*.

## Аксіяматычнае азначэнне 
Няхай  — пэўнае ўніверсальнае мноства.

**Вонкавая мера** на мностве  — гэта функцыя
:\mu^{*}\colon 2^{X} \to [0, +\infty],
якая вызначана на ўсіх падмноствах мноства  і адпавядае наступным умовам:
# *нуль на пустом мностве*: пустое мноства мае нулявую вонкавую меру
#: \mu^{*}(\varnothing) = 0;
# *манатоннасць*: для любых двух падмностваў  і  мноства 
#:  A \subseteq B \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \mu^{*}(B);
# *злічальная паўадытыўнасць*: для любой паслядоўнасці \{A_n\} падмностваў мноства  справядліва няроўнасць:
#: \mu^{*}\left(\bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n\right) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_n).

## Пашырэнне мер (канструктыўнае азначэнне) 
Няхай \mu — мера, вызначаная на некаторым колцы  падмностваў мноства . Справядліва наступная тэарэма:
{{Тэарэма|
Няхай функцыя \mu^{*} вызначана на мностве 2^X з дапамогай правіла:
# калі існуе хоць адно злічальнае пакрыццё мноства A\subseteq X элементамі з колца , то
#:\mu^{*}(A) := \inf\left\{ \sum_{n = 1}^{\infty}\mu(A_{n}) : A_n \in K, \ n \ge 1, \ A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n \right\},
# у адваротным выпадку
#:\mu^{*}(A) := +\infty.
Тады \mu^{*} з'яўляецца вонкавай мерай на , а на колцы  супадае з мерай \mu.
}}

Часта гэту тэарэму прымаюць у якасці азначэння вонкавай меры. Пры гэтым аксіёмы вонкавай меры (а іменна, *нуль на пустом мностве*, *манатоннасць* і *злічальная паўадытыўнасць*) выводзяцца з аксіём звычайнай меры як уласцівасці (тэарэмы).

## Уласцівасці вонкавай меры 
* Для любога падмноства  і любой паслядоўнасці \{A_n\} падмностваў мноства 
*:  A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_n).
*Доказ*: з аксіём манатоннасці і злічальнай адытыўнасці маем:
:  A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \mu^{*}\left(\bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n\right) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_n).

## -вымерныя мноствы 
Дапаўненне мноства  ў  абазначым як :
:E' = X\setminus E.
Няхай \mu^{*} — некаторая вонкавая мера, вызначаная на мностве .

Мноства E \subset X называецца **\mu^{*}-вымерным**, калі для любога A \subset X справядліва роўнасць:
:  \mu^{*}(A) = \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E'). 

## Гл. таксама 
* Мера Лебега
* Тэарэма Каратэадоры аб працягу меры

## Літаратура 
* Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
* Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989

Катэгорыя:Тэорыя меры