Табліца вытворных

Знайсці вытворную функцыі можна некалькімі шляхамі: па азначэнні, па табліцы (папярэдне вылічаных вытворных) і з дапамогай правіл дыферэнцавання. Звычайна гэтыя спосабы ўжываюцца ў спалучэнні.

Гэты артыкул змяшчае спіс вытворных найпрасцейшых элементарных функцый, а таксама спіс правіл дыферэнцавання функцый.

## Вытворныя найпрасцейшых функцый 
### Вытворныя ступенных функцый і мнагачленаў 
* **Ступеневае правіла**: няхай f(x) = x^n, тады для любога рэчаіснага паказніка  праўдзіцца роўнасць 
*:f'(x) = nx^{n-1}.
* Адмысловым выпадкам ступеневага правіла ёсць так званае **правіла сталай**:
*: калі функцыя  ёсць сталаю функцыяй (г. зн. для любых  значэнне функцыі аднолькавае і роўнае , дзе  некаторы нязменны лік), то яе вытворная  ёсць тоесным нулём:
*:(c)' = 0.
* Дзякуючы лінейнасці дыферэнцавання, карыстаючыся *ступеневым правілам* і *правілам сталай* можна знайсці вытворную любога мнагасклада:
*: (a_n x^n + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)' = n a_n x^{n-1} + \dots + 2 a_2 x + a_1 .
* Вытворная модуля
*: (|x|)' = \frac{x} = \sgn x, \qquad x \ne 0.

### Вытворныя паказнікавых і лагарыфмічных функцый 
* Вытворная паказнікавай функцыі: 
*:  (e^x)' = e^x.
* Вытворная паказнікавай функцыі з асновай : 
*:  (b^x)' = {b^x \ln b}, \qquad b > 0.
* Вытворная натуральнага лагарыфма:
*:  (\ln x)' = \frac{1}{x}.
* Вытворная лагарыфма з асноваю :
*:  (\log_b x)' = \frac{1}{x \ln b},\qquad b > 0, \quad b \ne 1.

## Табліца вытворных 
### Вытворныя трыганаметрычных функцый 
### Вытворныя гіпербалічных функцый 
## Правілы дыферэнцавання 
### Вытворная сумы і рознасці (лінейнасць дыферэнцавання) 
Для любых дыферэнцавальных функцый  і  і любых сталых  і   вытворная функцыі  па зменнай  раўняецца
: (a f(x) + b g(x))' = a f'(x) + b g'(x). 
У Ляйбніцавых абазначэннях гэта можна запісаць як:
: \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.

**Адмысловыя выпадкі**:
* Вытворная здабытку функцыі і сталай велічыні:
:(af)' = af' . 
* Вытворная суммы:
:(f + g)' = f' + g'.
* Вытворная рознасці:
:(f - g)' = f' - g'.

### Вытворная здабытку (правіла Ляйбніца)
Вытворную здабытку дыферэнцавальных функцый  і  можна вылічыць па формуле
: (f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x). 
У Ляйбніцавых абазначэннях гэта правіла выглядае як:
:\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.

### Вытворная дзелі 
* Вытворная функцыі  для любой (ненулявой) дыферэнцавальнай функцыі  раўняецца
*: \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}.
*:Пры дапамозе Ляйбніцавых абазначэнняў гэта запісваюць у выглядзе:
*: \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.
* *Вытворная дзелі дзвюх функцый*. Калі  і  ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго , тады:
*:\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}.

### Вытворная складанай функцыі (ланцуговае правіла) 
Вытворная складанай функцыі  па зменнай  раўняецца
: (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x).
У Ляйбніцавых абазначэннях ланцуговае правіла запісваюць як:
:\frac{dh}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}.
Аднак, часта пішуць прасцей, разглядаючы  як функцыю ад фармальнага аргумента :
:\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}.

### Вытворная адваротнай функцыі 
Калі дыферэнцавальная функцыя  мае адваротную функцыю  (г.зн. праўдзяцца тоеснасці  і ), тады
:g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}.

У Ляйбніцавых абазначэннях гэтае правіла мае выгляд
: \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.

*Заўвага*: нельга блытаць паняцці *функцыйна адваротнай* функцыі і *лікава адваротнай* функцыі. Правіла з гэтага раздзела прыдатнае да функцыйна адваротнай функцыі. Для дыферэнцавання лікава адваротнай функцыі трэба карыстацца першым правілам з раздзела #Вытворная дзелі.

### Вытворная складана-ступеневай функцыі 
Няхай  і  ёсць дыферэнцавальнымі функцыямі, і акрамя таго , тады
:(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(g\frac{f'}{f} + g'\ln f\right).

**Адмысловыя выпадкі**:
* Калі , атрымліваем  для любых рэчаісных паказнікаў  і любога дадатнага значэння зменнай .
* Калі , формула для вытворнай складана-ступеневай функцыі ператвараецца ў формулу для вытворнай лікава адваротнай функцыі.

## Гл. таксама 
* Вытворная функцыі

## Літаратура 
*

Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне