Гаўсаў пучок

**Гаўсаў пучок** (сін. гаўсаўскі пучок)&nbsp;- пучок электрамагнітнага выпраменьвання, у якім размеркаванне электрычнага поля ў папярочным сячэнні добра набліжаецца функцыяй Гаўса. Кагерэнтны светлавы пучок з гаўсаўскім размеркаваннем поля мае фундаментальае значэнне ў тэорыі хвалевых пучкоў. Гэты пучок называецца асноўнай модай у адрозненне ад іншых модаў больш высокага парадку.

## Матэматычнае апісанне 
Шукаецца рашэнне наступнага хвалевага раўнання, якое апісвае распаўсюджванне пучка ў выглядзе  :

: \Psi = u(x,y,z)e^{ikz}  ,

дзе u(x, y, z)&nbsp;- павольна змяняльная камплексная функцыя, якая вызначае ўласцівасці лазернага промня, якія адрозніваюць яго ад плоскай хвалі . Прымяненне аператара Δ да функцыі Ψ дае:

: \Delta\Psi = \left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2u}{\partial z^2} + 2ik\frac{\partial u}{\partial z} - k^2u\right)e^{ikz}  .

Калі у гэтым выразе пагрэбаваць другой вытворнай ад u па z у параўнанні з першай, на аснове хвалевага раўнання Гельмгольца атрымліваецца раўнанне:

: \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + 2ik\frac{\partial u}{\partial z} = 0  .

Атрыманае раўнанне адносіцца да ўраўненняў парабалічнага тыпу, а набліжэнне, у якім яно атрыманае, называецца парабалічным набліжэннем. Лёгка паказаць, што раўнанню будзе задавальняць гаўсаў пучок, амплітуда якога змяняецца ўздоўж папярочнай каардынаты паводле закона Гаўса.

Для гаўсавага пучка можна запісаць выраз:

: u = a \exp {\left[i\left(p+\frac{k}{2q}r^2\right)\right]} ,

дзе r 2 = х 2 + у 2 . Параметр р&nbsp;- камплексны зрух фазы падчас распаўсюджвання святла ўздоўж восі z, і q&nbsp;- комплексны параметр пучка, які вызначае гаўсавае размеркаванне поля па каардынаце r, дзе r&nbsp;- адлегласць ад восі. Акрамя таго, q вызначае крывізну хвалевага фронту, які з'яўляецца сферычным каля восі z.

Разгледзім уласцівасці гаўсавага пучка з даўжынёй хвалі λ больш падрабязна. Для гэтага выразім камплексны параметр q праз два параметры пучка R і w

:  \frac{1}{q} = \frac{1}{R} + i\frac{\lambda}{\pi w^2}, 

дзе R - радыус крывізны хвалевага фронту, а w характарызуе змяненне поля *E* ў папярочнай плоскасці (параметр w называецца шырынёй пучка). Размеркаванне поля ў гэтай плоскасці падпарадкоўваецца закону Гаўса, а w роўнае адлегласці, на якім амплітуда поля памяншаецца ў *e* разоў у параўнанні з полем на восі.

## Уласцівасці пучка 
### Шырыня пучка 
У некаторай плоскасці, так званай шыйцы каўстычнай паверхні або перацяжцы, гаўсавы пучок сцягваецца да мінімальнай шырыні w0 . У гэтай плоскасці, ад якой мэтазгодна вылічваць адлегласць z, фазавы фронт плоскі, а камплексны параметр пучка становіцца чыста ўяўным:

: q_0 = \frac{\pi w_0^2}{i \lambda},  z_R = iq_0, 

дзе zR&nbsp;- рэлееўская даўжыня. Тады шырыня промня на адлегласці z задаецца наступнай формулай:

:  w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{\lambda z}{\pi w_0^2}\right)^2} 

### Радыус крывізны 
Залежнасць радыусу крывізны ад каардынаты:

:  R(z) = z\left(1+\left(\frac{\pi w_0^2}{\lambda z}\right)^2\right) 

### Разбежнасць пучка 
Абгінальная промня w (z) ставіць сабой гіпербалу, асімптота якой нахіленая да восі пад вуглом

:  \theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} .

Гэты вугал роўны вуглу дыфракцыі галоўнай моды ў далёкай зоне.

Поўная вуглавая разбежнасць промня складае

:  \Theta = 2\theta .

## Моды вышэйшых парадкаў 
-Гаўса]]
Гаўсавы пучкі - толькі адно з магчымых рашэнняў параксіяльнага хвалевага ўраўнення. Для мадэлявання лазерных прамянёў выкарыстоўваюцца камбінацыі розных артаганальных рашэнняў. У агульным выпадку, калі вызначаецца поўны базіс рашэнняў, то любы пучок можна апісаць як суперпазіцыю рашэнняў з базісу.

Катэгорыя:Электрамагнітнае выпраменьванне
Катэгорыя:Фізічная оптыка
Катэгорыя:Лазерная фізіка