Незалежнасць (тэорыя імавернасцей)

**Незалежнасць ** — фундаментальнае паняцце тэорыі імавернасцей і статыстыкі. Дзве падзеі завуцца незалежнымі, калі здзяйсненне адной падзеі ніяк не ўплывае на імавернасць здзяйснення іншай.

## Азначэнне 
### Для дзвюх падзей 
Дзве падзеі A і B завуцца незалежнымі, калі справядліва роўнасць
P(AB) = P(A) P(B).

Калі гэтая роўнасць не выконваецца, то адпаведныя падзеі будзем называць залежнымі.

З такога азначэння вынікае роўнасць умоўнай імавернасці P(A|B) і імавернасці P(A), калі ўмоўная імавернасць існуе (P(B) > 0). Інтуітыўна гэта тлумачыць, чаму выкананне вышэйпрыведзенай роўнасці азначае незалежнасць:
P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A)P(B)}{P(B)} = P(A).

### Для канечнай колькасці падзей 
Падзеі A_1, A_2, \dots, A_n называюцца незалежнымі, калі для любога падмноства падзей \{A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k}\}, дзе 1 \leq i_1 , 2 \leq k \leq n, праўдзіцца роўнасць

P(A_{i_1} A_{i_2} \dots A_{i_k}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2}) \dots P(A_{i_k}).

У процілеглым выпадку падзеі A_1, A_2, \dots, A_n называюцца залежнымі.

У выпадку незалежнасці падзей A_1, A_2, \dots, A_n, для кожных двух  \{A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k}\} і \{A_{j_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_s}\} выконваецца роўнасць умоўнай імавернасці і звычайнай, як і ў выпадку дзвюх падзей:

P(A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k} | A_{j_1}, A_{j_2}, \dots, A_{j_s}) = P(A_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k}).

## Незалежнасць у сукупнасці і парамі 
Незалежнасць канечнай колькасці падзей завецца яшчэ незалежнасцю ў сукупнасці. Як вынікае з азначэння, кожнае падмноства мноства незалежных падзей — у сваю чаргу мноства незалежных падзей. У прыватнасці ўсе пары такіх падзей незалежныя. Такім чынам, з незалежнасці ў сукупнасці вынікае незалежнасць парамі. Аднак адваротнае сцверджанне не мае месца, бо існуюць выпадкі, калі незалежныя парамі падзеі залежныя ў сукупнасці.

### Прыклад 
Разгледзім дзве імавернасныя прасторы. У абодвух выпадках, \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B) = 1/2 and \mathrm{P}(C) = 1/4. Падзеі з першай прасторы незалежныя парамі, бо \mathrm{P}(A|B) = \mathrm{P}(A|C)=1/2=\mathrm{P}(A), \mathrm{P}(B|A) = \mathrm{P}(B|C)=1/2=\mathrm{P}(B) і \mathrm{P}(C|A) = \mathrm{P}(C|B)=1/4=\mathrm{P}(C); але гэтыя ж тры падзеі залежныя ў сукупнасці. Падзеі ў другой прасторы незалежныя як парамі, так і ў сукупнасці. Каб праілюстраваць розніцу, знойдзем умоўныя імавернасці калі выконваюцца дзве падзеі. У першым выпадку, хоць кожная падзея і незалежная ад кожнай іншай асобна, яна не незалежная ад іх здабытку:

:\mathrm{P}(A|BC) = \frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40} + \frac{1}{40}} = \tfrac{4}{5} \ne \mathrm{P}(A)
:\mathrm{P}(B|AC) = \frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40} + \frac{1}{40}} = \tfrac{4}{5} \ne \mathrm{P}(B)
:\mathrm{P}(C|AB) = \frac{\frac{4}{40}}{\frac{4}{40} + \frac{6}{40}} = \tfrac{2}{5} \ne \mathrm{P}(C)

У другім выпадку захоўваецца незалежнасць у сукупнасці:
:\mathrm{P}(A|BC) = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \tfrac{1}{2} = \mathrm{P}(A)
:\mathrm{P}(B|AC) = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \tfrac{1}{2} = \mathrm{P}(B)
:\mathrm{P}(C|AB) = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{16} + \frac{3}{16}} = \tfrac{1}{4} = \mathrm{P}(C)

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей