Мнагачлен

[[Графік функцыі|Графік кубічнага мнагачлена|thumb|upright]]
**Мнагачле́н**, або **мнагаскла́д**, паліном — алгебраічная сума канечнай колькасці адначленаў, г.зн. складнікаў выгляду
: 
a_{k_1,k_2,\dots,k_n} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots x_n^{k_n},

дзе a_{k_1,k_2,\dots,k_n} — пэўны лік (каэфіцыент),  — зменныя,  — цэлыя неадмоўныя лікі.

Мнагачлен ступені  ад адной зменнай  мае выгляд:
: 
f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,

дзе  — сталыя (пастаянныя) лікі, якія называюцца каэфіцыентамі мнагачлена.

Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз канечнай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень).
Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад,  − мнагачлен, а  − не, таму што ягоны другі складнік () утрымлівае дзяленне на зменную , і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.

Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова «полінаміяльны», вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова «паліном» (); напрыклад, паняцце полінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.

Слова «паліном» () было ўтворана ад грэчаскага «poly», «многа» і сярэдневяковага лацінскага «binomium», «двухчлен». Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет .

Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з'явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні полінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для прыбліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове полінаміяльных колцаў, якія з'яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.

## Віды 
**Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай** − гэта выраз выгляду
:  c_n x^n  + \dots + c_1 x + c_0, 
дзе c_i − сталыя каэфіцыенты, а x − зменная.

Прыклад:  x^{10} + 15 x^7 - 11 x^5 + 1. 

**Мнагачлен ад  зменных** − канечная сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду
:  c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k}, 
дзе c_{i_1,i_2,\dots,i_k} − сталыя каэфіцыенты, x_1, x_2,\ldots x_k − зменныя,
i_1, i_2, \dots, i_k − сталыя неадмоўныя лікі.

Прыклад:  17 + 12 x - y - x^2 + 16 xy + 5 y^7  − мнагачлен ад двух зменных.

**Адначлен** − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік  c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k}. 

## Характарыстыкі 
**Ступенню** адначлена  t = c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} x_1^{i_1} x_2^{i_2}\ldots x_k^{i_k} , дзе c_{i_1,i_2,\ldots,i_k}\ne 0, называецца велічыня
 \deg(t) = i_1 + i_2 + \ldots + i_k .

У выпадку c_{i_1,i_2,\ldots,i_k} = 0 (г.зн. ) зручна лічыць, што ступень роўная адмоўнай бесканечнасці:  \deg(0) = -\infty. 

Прыклад:  \deg(25 x^{3} y^{11} z) = 15. 

**Ступенню** мнагачлена называецца найбольшая са ступеней яго складнікаў.

Прыклад:  \deg(x^{10} + 15 x^7 - 11 x^5 + 1) = 10. 

## Простыя ўласцівасці 
* Сума мнагачленаў ёсць мнагачлен.
* Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачлен.
* Вытворная мнагачлена  роўная мнагачлену .

Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера:
: ((\cdots((a_n x + a_{n-1})x + a_{n-2})x + \cdots + a_3)x + a_2)x + a_1)x + a_0.

## Прыклады графікаў 
Для мнагачленаў ад адной рэчаіснай зменнай можна нарысаваць графік на плоскасці.
* Графік нулявога мнагачлена
:: 
: вось .

* Графік мнагачлена 0-й ступені (сталай)
:: , дзе ,
: лінія, паралельная восі , якая перасякае вось  у пункце .

* Графік мнагачлена 1-й ступені (або лінейнай функцыі)
::  , дзе ,
: нахіленая прамая, што перасякае вось  у пункце  і мае вуглавы каэфіцыент .

* Графік мнагачлена 2-й ступені (квадратнага трохчлена)
:: , дзе 
: парабала.

* Графік мнагачлена 3-й ступені (кубічнага мнагачлена)
:: , дзе 
: кубічная крывая.

* Графікі мнагачленаў 2-й ці большай ступені
::  , дзе  і 
: з'яўляюцца непарыўнымі нелінейнымі крывымі.

Выява:Polynomialdeg2.svg|Квадратны мнагачлен:
Выява:Polynomialdeg3.svg|Кубічны мнагачлен:
Выява:Polynomialdeg4.svg|Мнагачлен 4-й ступені:
Выява:Polynomialdeg5.svg|Мнагачлен 5-й ступені: 
Выява:Sextic Graph.png|мнагачлен 6-й ступені: 
Выява:Septic graph.svg|Мнагачлен 7-й ступені:

## Гл. таксама 
* Дыскрымінант

## Зноскі 
## Літаратура 
* 
*