Ступенны рад

У матэматыцы, **ступенны рад** (ад аднае зменнай) — бесканечны рад віду
: f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots
дзе *an* — каэфіцыент пры *n*-м ступенным члене, *c* — пастаянная, а *x* прымае значэнні каля *c* (з гэтае прычыны іншы раз гавораць, што рад *цэнтраваны* ў *c*). Такія рады звычайна ўзнікаюць як рады Тэйлара некаторых вядомых функцый.

У многіх задачах *c* раўняецца нулю, напрыклад, для радоў Маклорэна. У такіх выпадках ступенны рад прымае прасцейшы від
: 
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

Такія ступенныя рады ўзнікаюць у першую чаргу ў аналізе, але таксама сустракаюцца ў камбінаторыцы (як утваральныя функцыі, разнавіднасць фармальных ступенных радоў) і электратэхніцы (пад назваю Z-пераўтварэнне). Падобны па выгляду дзесятковы запіс рэчаісных лікаў можна таксама разглядаць як прыклад ступенных радоў з цэлымі каэфіцыентамі, але з вызначаным аргументам *x*, роўным . У тэорыі лікаў, паняцце p-адычных лікаў таксама цесна звязана з ідэяй ступенных радоў.

## Прыклады 
[right|thumb|[Паказчыкавая функцыя (сіняя), і сума першых *n*+1 членаў яе ступеннага рада Маклорэна (чырвоная).]]

Любы мнагачлен лёгка можна запісаць у выглядзе ступеннага рада каля любога цэнтра *c*, пры гэтым такі рад будзе ўтрымліваць толькі канечную колькасць ненулявых членаў. Напрыклад, мнагачлен f(x) = x^2 + 2x + 3 можна запісаць як ступенны рад у наваколлі пункта c=0:
:: f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,
ці ў наваколлі пункта c=1:
:: f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,
ці ў наваколлі любога іншага пункта *c*.

Ступенныя рады можна вобразна разглядаць як «мнагачлены бесканечнае ступені», аднак, строга кажучы, ступенныя рады — не мнагачлены.

Формула для сумы бесканечнай геаметрычнай прагрэсіі
::  \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,
справядлівая пры |x|, — адзін з найважнейшых прыкладаў ступенных радоў.

Іншымі шырокавядомымі прыкладамі ступенных радоў з'яўляюцца формулы для паказчыкавай функцыі
::  e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,
і сінуса
::  \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,
справядлівыя для ўсіх рэчаісных x.
Названыя рады таксама з'яўляюцца прыкладамі радоў Тэйлара.

Адмоўныя ступені ў ступенных радах не дапускаюцца. Так, напрыклад, рад 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots
не разглядаецца як ступенны (хаця з'яўляецца радам Ларана). Дробныя ступені, як напрыклад x^{1/2}, таксама не дапушчальныя (гл. аднак рад Пюізё). Каэфіцыенты a_n не павінны залежаць ад x, таму, напрыклад, выраз:
: \sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,
не з'яўляецца ступенным радам.

## Радыус збежнасці 
Ступенны рад можа для адных значэнняў *x* збягацца, а для другіх разбягацца. Усе ступенныя рады *f*(*x*) па ступенях (*x*-*c*) будуць збягацца ў пункце *x* = *c*. (Пры гэтым, каб атрымаць правільнае *f*(*c*) = *a*0, трэба прыняць па азначэнню, што 00 роўны 1.) Калі *c* — не адзіны пункт збежнасці, тады заўсёды існуе лік *r*, 0  *r*. Лік *r* называецца **радыусам збежнасці** ступеннага рада; у агульным выпадку ён вызначаецца як
: r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}
ці, што раўназначна, як
r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}.
Гэты факт носіць назву тэарэмы Кашы — Адамара.

Радыус збежнасці зручна вылічаць як граніцу
: r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|,
калі яна існуе.

Рад збягаецца абсалютна пры |*x* − *c*| f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
: g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n
то
: f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

### Множанне і дзяленне 
З улікам прыведзеных вышэй абазначэнняў, ступенныя рады здабытку і дзелі функцый можна атрымаць наступным чынам:

:  f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)

:  = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}

:  = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

Паслядоўнасць m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} вядома як згортка паслядоўнасцей a_n і b_n.

Для дзелі маем:

:  {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n

:  f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

і далей, параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях, знаходзім невядомыя каэфіцыенты .

### Дыферэнцаванне і інтэграванне 
Вызначаная ступенным радам функцыя дыферэнцавальная ўнутры абсягу збежнасці. Яе можна лёгка прадыферэнцаваць і праінтэграваць, разглядаючы кожны член паасобку:

:: 
f'(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

:: 
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

Абодва рада маюць той жа радыус збежнасці, што і зыходны рад.

## Аналітычныя функцыі 
Функцыя *f*, вызначаная на некаторым адкрытым падмностве *U* мноства **R** ці **C**, называецца **аналітычнаю**, калі яна лакальна задаецца збежным ступенным радам. Гэта значыць, што для кожнага пункта *a* ∈ *U* ёсць адкрытае наваколле *V* ⊆ *U*, такое што існуе ступенны рад з цэнтрам *a*, які збягаецца да *f*(*x*) для любога *x* ∈ *V*.

Кожны ступенны рад з дадатным радыусам збежнасці задае аналітычную функцыю на ўнутранасці яго абсягу збежнасці. Усе галаморфныя функцыі камплексна аналітычныя. Сумы і здабыткі аналітычных функцый — аналітычныя функцыі, дзелі таксама аналітычныя, калі дзельнік не роўны нулю.

Калі функцыя аналітычная, то яна бесканечна дыферэнцавальная. Але адваротнае ў рэчаісным выпадку, увогуле кажучы, няверна. Для аналітычнай функцыі каэфіцыенты *a**n* можна вылічыць па формуле

:: 
a_n = \frac {f^{\left( n \right)}\left( c \right)} {n!}

дзе f^{(n)}(c) — *n*-я вытворная функцыі *f* у пункце *c*, і f^{(0)}(c) = f(c). Гэта значыць, што кожную аналітычную функцыю можна лакальна прадставіць у выглядзе яе рада Тэйлара.

На глабальным узроўні аналітычная функцыя поўнасцю вызначаецца сваімі лакальнымі паводзінамі ў наступным сэнсе: калі *f* і *g* дзве аналітычныя функцыі, вызначаныя на адным і тым жа звязным адкрытым мностве *U*, і існуе элемент *c*∈*U*, такі што *f*&nbsp;(*n*)(*c*) = *g*&nbsp;(*n*)(*c*) для ўсіх *n* ≥ 0, тады *f*(*x*) = *g*(*x*) для ўсіх *x* ∈ *U*.

Калі зададзен ступенны рад з радыусам збежнасці *r*, можна разглядаць аналітычныя працягі гэтага рада, г. зн. аналітычныя функцыі *f*, вызначаныя на мноствах, большых чым { *x* : |*x* − *c*| 
f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},

дзе *j* = (*j*1, …, *j**n*) — вектар натуральных лікаў, каэфіцыенты
*a*(*j1,…,jn*) звычайна рэчаісныя ці камплексныя лікі, цэнтр *c* = (*c*1, …, *c**n*) і аргумент *x* = (*x*1, …, *x**n*) звычайна рэчаісныя ці камплексныя вектары. У зручнейшай шматындэксных абазначэннях гэта можна запісаць як

:: 
f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.

Тэорыя такіх радоў больш складаная і мудрагелістая чым для радоў ад аднае зменнай, з больш складанымі абласцямі збежнасці. Напрыклад, ступенны рад  \sum_{n=0}^\infty x_1^n x_2^n збягаецца абсалютна на мностве \{ (x_1,x_2): |x_1 x_2|  паміж дзвюма гіпербаламі. (Гэта прыклад *лагарыфмічна выпуклага мноства* ў тым сэнсе, што мноства пунктаў (\log |x_1|, \log |x_2|), дзе (x_1,x_2) ляжыць у вышэйназванай вобласці, ёсць выпуклае мноства. У больш агульным выглядзе можна паказаць, што пры c=0 унутранасць вобласці абсалютнай збежнасці заўсёды ёсць лагарыфмічна выпуклае мноства.) З другога боку, унутры гэтай вобласці збежнасці рад можна дыферэнцаваць і інтэграваць пачленна, гэтак жа як і звычайныя ступенныя рады.

## Гл. таксама 
* Тэарэма Тэйлара
* Рад Тэйлара
* Лінейнае прыбліжэнне

## Літаратура 
* 
* 

## Спасылкі 
* 
* 
* Complex Power Series Module by John H. Mathews
* Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

Катэгорыя:Рэчаісны аналіз
Катэгорыя:Камплексны аналіз
Катэгорыя:Аналіз функцый многіх зменных
Катэгорыя:Матэматычныя рады