Алгебраічнае лікавае поле

**Алгебраі́чнае лі́кавае по́ле** (ці проста **лікавае поле**) — гэта канечнае (і як вынік — алгебраічнае) пашырэнне поля рацыянальных лікаў \mathbb Q. Такім чынам, лікавае поле — гэта поле, якое ўтрымлівае \mathbb Q і з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над ім.

Лікавыя палі і, больш агульна, алгебраічныя пашырэнні поля рацыянальных лікаў з’яўляюцца асноўным аб'ектам вывучэння алгебраічнай тэорыі лікаў.

## Прыклады 
* Найменшае і базавае лікавае поле — поле рацыянальных лікаў \mathbb Q.
* Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца \mathbb Q(i), — першы нетрывіяльны прыклад лікавага поля. Яго элементы — выразы віду
:: a+bi,
: дзе a і b — рацыянальныя лікі, i — уяўная адзінка. Такія выразы можна складваць і перамнажаць па звычайных правілах дзеянняў з камплекснымі лікамі, і ў кожнага ненулявога элемента існуе адваротны, як гэта відаць з роўнасці
:: (a+bi)\left(\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i\right)=\frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2+b^2}=1.
: З гэтага вынікае, што рацыянальныя гаусавы лікі ўтвараюць поле, якое з'яўляецца двухмернаю прастораю над \mathbb Q (г. зн. квадратычным полем).
* Больш агульна, для любога свабоднага ад квадратаў цэлага ліку d \mathbb Q(\sqrt d) будзе квадратычным пашырэннем поля \mathbb Q.
* Кругавое поле \mathbb Q(\zeta_n) атрымліваецца дабаўленнем у \mathbb Q прымітыўнага кораня *n*-й ступені з адзінкі. Поле павінна ўтрымліваць і ўсе яго ступені (г. зн. усе карані *n*-й ступені з адзінкі), яго размернасць над \mathbb Q раўняецца функцыі Эйлера \varphi (n).
* Рэчаісныя і камплексныя лікі маюць бесканечную ступень над рацыянальнымі, таму яны не з’яўляюцца лікавымі палямі. Гэта вынікае з незлічальнасці: любое лікавае поле з’яўляецца злічальным.

## Кальцо цэлых лікавага поля 
Паколькі лікавае поле з’яўляецца алгебраічным пашырэннем поля \mathbb Q, любы яго элемент з’яўляецца коранем некаторага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі (г. зн. з’яўляецца алгебраічным). Больш таго, кожны элемент з’яўляецца коранем мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, бо можна дамножыць усе рацыянальныя каэфіцыенты на здабытак назоўнікаў. Калі ж дадзены элемент з’яўляецца коранем некаторага прыведзенага (унітарнага) мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, ён называецца цэлым элементам (ці алгебраічным цэлым лікам). Не ўсе элементы лікавага поля цэлыя: напрыклад, лёгка паказаць, што цэлыя элементы поля рацыянальных лікаў \mathbb Q — гэта звычайныя цэлыя лікі і толькі яны.

Можна даказаць, што сума і здабытак двух алгебраічных цэлых лікаў — ізноў алгебраічны цэлы лік, таму цэлыя элеманты ўтвараюць падкальцо лікавага поля K, якое называецца **кальцом цэлых** поля K і абазначаецца \mathcal{O}_K. Поле не ўтрымлівае дзельнікаў нуля і гэтая ўласцівасць наследуецца пры пераходзе да падкальца, таму кальцо цэлых цэластнае; поле дзелей кальца \mathcal O_K — гэта само поле K. Кальцо цэлых любога лікавага поля валодае наступнымі трыма ўласцівасцямі: яно цэлазамкнутае, нётэрава і аднамернае. Камутатыўнае кальцо з такімі ўласцівасцямі называецца дэдэкіндавым у гонар Рыхарда Дэдэкінда.

### Раскладанне на простыя і група класаў 
У адвольным дэдэкіндавым кальцы існуе адно і толькі адно раскладанне ненулявых ідэалаў у здабытак простых. Аднак не любое кальцо цэлых мае ўласцівасць фактарыяльнасці: ужо для кальца цэлых квадратычнага поля
\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt {-5})} = \mathbb Z[\sqrt {-5}] раскладанне не адзінае:
: 6 = 2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})

Увёўшы на гэтым кальцы норму, можна паказаць, што гэтыя раскладанні сапраўды розныя, г.зн. адно нельга атрымаць з другога дамнажэннем на абарачальны элемент.

Ступень парушэння ўласцівасці фактарыяльнасці вымяраюць пры дапамозе групы класаў ідэалаў, гэтая група для кальца цэлых заўсёды канечная і яе парадак называюць лікам класаў.

## Базісы лікавага поля 
### Цэлы базіс 
*Цэлы базіс* лікавага поля *F* ступені *n* — гэта мноства
: *B* = {*b*1, …, *bn*}
з *n* элементаў кальца цэлых поля *F*, такое што любы элемент кальца цэлых *OF* поля *F* можна толькі адным спосабам запісаць як **Z**-лінейную камбінацыю элементаў *B*; г.зн. для любога *x* з *OF* існуе адзінае раскладанне
: *x* = *m*1*b*1 + … + *mnbn*,
дзе *mi* — звычайныя (рацыянальныя) цэлыя лікі. У гэтым выпадку любы элемент *F* можна запісаць як
: *m*1*b*1 + … + *mnbn*,
дзе *mi* — рацыянальныя лікі. Пры такім базісе цэлыя элементы *F* вылучаюцца тою ўласцівасцю, што гэта дакладна тыя элементы, для якіх усе *mi* цэлыя.

Выкарыстоўваючы такія працэдуры як лакалізацыя і эндамарфізм Фрабеніуса, можна пабудаваць такі базіс для любога лікавага поля. Его пабудова з’яўляецца ўбудаванаю функцыяй у многіх сістэмах камп'ютарнай алгебры.

### Ступенны базіс 
Няхай *F* — лікавае поле ступені *n*. Сярод усіх магчымых базісаў *F* (як **Q**-вектарнай прасторы), існуюць ступенныя базісы, г.зн. базісы віду
: *Bx* = {1, *x*, *x*², …, *x**n*−1}
для некаторага *x* ∈ *F*. Згодна з тэарэмаю аб прымітыўным элеменце, такі *x* заўсёды існуе, яго называюць *прымітыўным элементам* дадзенага пашырэння.

## Норма і след 
Алгебраічнае лікавае поле з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над \mathbb Q (абазначым яе размернасць праз n), і дамнажэнне на адвольны элемент поля з’яўляецца лінейным пераўтварэннем гэтае прасторы. Няхай e_1,e_2,\ldots e_n — які-небудзь базіс поля *F*, тады пераўтварэнню x\mapsto \alpha x адпавядае матрыца A=(a_{ij}), вызначаная ўмовай
: \alpha e_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j, \quad a_{ij}\in\mathbf{Q}.

Элементы гэтай матрыцы залежаць ад выбару базіса, аднак ад яго не залежаць усе інварыянты матрыцы, такія як вызначнік і след. У кантэксце алгебраічных пашырэнняў, вызначнік матрыцы дамнажэння на элемент называецца **нормай** гэтага элемента (абазначаецца N(x)); след матрыцы — **следам элемента** (абазначаецца \text{Tr}(x)).

След элемента з’яўляецца лінейным функцыяналам на *F*:
: \text{Tr}(x+y)=\text{Tr}(x)+\text{Tr}(y) и \text{Tr}(\lambda x)=\lambda \text{Tr}(x), \lambda\in \mathbb Q.

Норма з’яўляецца мультыплікатыўнай і аднароднай функцыяй:
: N(xy)=N(x)\cdot N(y) и N(\lambda x)=\lambda^nN(x),\lambda\in\mathbb Q.

У якасці зыходнага базіса можна выбраць цэлы базіс, дамнажэнню на цэлы алгебраічны лік (г.зн. на элемент кальца цэлых) у гэтым базісе будзе адпавядаць матрыца з цэлымі элементамі. Такім чынам, след і норма любога элемента кальца цэлых з’яўляюцца цэлымі лікамі.

### Прыклад выкарыстання нормы 
Хай d — натуральны лік, свабодны ад квадратаў, тады \mathbb Q(\sqrt d) — квадратычнае поле (і такім чынам, лікавае поле). Выберам у гэтым полі цэлы базіс (1, \sqrt d) (\sqrt d — цэлы элемент, бо ён з’яўляецца коранем прыведзенага мнагачлена x^2-d). У гэтым базісе дамнажэнню на a + b \sqrt d адпавядае матрыца
: \begin{pmatrix} a & db \\b & a \end{pmatrix}

Такім чынам, N(a + b \sqrt d) = a^2-d b^2. На элементах кальца \mathbb Z[\sqrt d] гэтая норма прымае цэлыя значэнні. Норма з’яўляецца гомамарфізмам мультыплікатыўнай групы \mathbb Z[\sqrt d] на мультыплікатыўную групу \mathbb Z, таму норма абарачальных элементаў кальца можа быць роўная толькі 1 або -1. Для таго, каб рашыць ураўненне Пеля a^2 - d b^2 = 1, дастаткова знайсці ўсе абарачальныя элементы кальца цэлых (так званыя *адзінкі кальца*) і вылучыць сярод іх тыя, што маюць норму 1. Згодна з , усе абарачальныя элементы дадзенага кальца з’яўляюцца ступенямі аднаго элемента (з дакладнасцю да множання на -1), таму для знаходжання ўсіх рашэнняў ураўнення Пеля дастаткова знайсці адно фундаментальнае рашэнне.

## Гл. таксама 
* Тэорыя Кумера

## Літаратура 
* 
* 
* 
* *Serge Lang*, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000

Катэгорыя:Алгебраічная тэорыя лікаў
Катэгорыя:Тэорыя палёў