Пераход між сістэмамі злічэння

**Перахо́д між сістэ́мамі злічэ́ння** − перавод ліку з адной сістэмы злічэння ў іншую. Патрэба ў пераходзе да іншай сістэмы злічэння можа ўзнікнуць пры выкананні арыфметычных дзеянняў з лікамі, запісанымі ў розных сістэмах злічэння. Класічны прыклад – перавод ліку з дзесятковай сістэмы ў двайковую, або наадварот.

Калі адначасова ўжываюцца адразу некалькі сістэм злічэння, то, каб пазбегнуць неадназначнасцей, у запісе ліку ніжнім індэксам пазначаюць аснову сістэмы, у якой ён запісан. Напрыклад, 56_8 абазначае «васьмерковы лік 56».

## Перавод ліку з дзесятковай сістэмы ў іншую пазіцыйную сістэму
Разгледзім пазіцыйную сістэму злічэння з асновай B (B-ковую сістэму). Лік A, які ў гэтай сістэме запісваецца як \overline {d_{n-1} \dots d_1 d_0} (дзе d_i – лічба B-ковай сістэмы), роўны
:A = {\overline {d_{n-1} \dots d_1 d_0}}_B = d_{n-1} B^{n-1} + d_{n-2} B^{n-2} + ... + d_2 B^2 + d_1 B + d_0
Можна заўважыць, што ўсе складнікі ў выразе справа дзеляцца на B, акрамя d_0 . Гэта значыць, што пры дзяленні A на B з астачай астача раўняецца d_0 (улічваючы, што d_i ). У той жа час, няпоўная дзель A на B (або цэлая частка звычайнай дзелі) раўняецца

:\left[\frac{ d_{n-1} B^{n-1} + d_{n-1} B^{n-2} + \dots + d_2 B^2 + d_1 B + d_0 }{ B }\right] = d_{n-1} B^{n-2} + d_{n-2} B^{n-3} + \dots + d_2 B + d_1 = {\overline {d_{n-1} d_{n-2} \dots d_2 d_1}}_B

Мы атрымалі новы B-ковы лік, і яго апошняя лічба (паводле гэткай жа логікі) ёсць астачай ад яго дзялення на B. У той жа час, гэтая лічба ёсць перадапошняю лічбай ліку A (у B-ковым прадстаўленні). Такім чынам, паслядоўна дзелячы A (а потым вынік ад дзялення) на B, мы будзем паслядоўна атрымліваць у астачы ўсе лічбы B-ковага ліка A, ад наймалодшай да найстарэйшай.

У выніку маем наступны **алгарытм пераводу ліку з дзесятковай сістэмы ў B-ковую**:

1) У якасці ліку X узяць лік A

2) падзяліць лік X на B.

3) Астачу ад дзялення запісаць злева ад ужо атрыманых лічбаў ліку. (Калі папярэдніх лічбаў яшчэ няма, проста запісаць гэту лічбу.)

4) У якасці ліку X узяць няпоўную дзель X на B.

5) Калі X не роўны нулю, перайсці на крок 2.

Напрыклад,

*Перавесці лік 345 у трайковую сістэму злічэння*

345
/ 3 =
115
0

115
/ 3 =
38
1

38
/ 3 =
12
2

12
/ 3 =
4
0

4
/ 3 =
1
1

1
/ 3 =
0
1

Такім чынам, 345_{10} = 110210_3.

## Перавод ліку ў дзесятковую сістэму з іншай пазіцыйнай сістэмы
**Алгарытм пераводу ліку з B-ковай сістэмы ў дзесятковую** заключаецца ў выкананні адваротных дзеянняў у адваротным парадку:

1) Прысвоіць ліку X значэнне 0

2) Прыбавіць к ліку X найстарэйшую (самую левую) лічбу ліку

3) Дамножыць X на B.

4) Дадаць да X наступную (другую злева) лічбу B-ковага ліку

5) Дамножыць X на B.

6) Працягваць паслядоўна дадаваць лічбы да выніку і дамнажаць яго на B, паступова пераходзячы злева направа ад старэйшых разрадаў да малодшых. Тое, што атрымаецца пасля прыбаўлення самай малодшай лічбы, і будзе дзесятковым запісам ліку.

Напрыклад,

*Перавесці лік 110100111012 з двайковай сістэмы злічэння ў дзесятковую*

&nbsp;
&nbsp;
1
&nbsp;
&nbsp;
1
* 2 =
2

2
+
1
=
3;
3
* 2 =
6

6
+
0
=
6;
6
* 2 =
12

12
+
1
=
13;
13
* 2 =
26

26
+
0
=
26;
26
* 2 =
52

52
+
0
=
52;
52
* 2 =
104

104
+
1
=
105;
105
* 2 =
210

210
+
1
=
211;
211
* 2 =
422

422
+
1
=
423;
423
* 2 =
846

846
+
0
=
846;
846
* 2 =
1692

1692
+
1
=
1693
&nbsp;
&nbsp;
&nbsp;

Такім чынам, 110100111012 = 169310 .

У асобных выпадках пераход між сістэмамі злічэння можа быць прасцейшым. Так, пры пераходзе між двайковай і шаснаццатковай сістэмамі дастаткова замяніць кожны шаснаццатковы разрад камбінацыяй з чатырох двайковых разрадаў (або наадварот).

Катэгорыя:Сістэмы злічэння