Бэта-размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей
| name       = Бэта-размеркаванне
| type       = density
| pdf_image  = 
| cdf_image  = 
| notation   = Beta(*α*, *β*)
| parameters = *α* > 0 параметр формы (рэчаісны лік)*β* > 0 параметр формы (рэчаісны лік)
| support    = x \in [0, 1]\! або x \in (0, 1)\!
| pdf        = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\Beta(\alpha,\beta)}\!дзе \Beta(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}, а \Gamma гама-функцыя.
| cdf    = I_x(\alpha,\beta)\!
(рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя)
| mean   = \operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!\operatorname{E}[X \, \ln X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\left[\psi(\alpha+1)-\psi(\alpha+\beta+1)\right]\!
дзе \psi — 
| median = I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha,\beta)
\approx \frac{ \alpha - \tfrac{1}{3} }{ \alpha + \beta - \tfrac{2}{3} } для \alpha, \beta >1
| mode     = 
\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! для *α*, *β* > 1

усякае значэнне ў (0,1) для *α*, *β* = 1

{0, 1} (бімадальнае) для *α*, *β*  1

1 для *α* > 1, *β* ≤ 1
| variance = \operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta)\!(гл. )
| skewness = \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
| kurtosis = \frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}
| entropy  = \begin{matrix}\ln\Beta(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)\\[0.5em]
{}+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{matrix}
| mgf    = 1  +\sum_{k=1}^\infty \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
| char   = {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\! (гл. )
| fisher = \begin{bmatrix} \operatorname{var}[\ln X] &\operatorname{cov}[\ln X, \ln(1-X)] \\ \operatorname{cov}[\ln X, \ln(1-X)] & \operatorname{var}[\ln (1-X)]\end{bmatrix}
| moments =  \alpha = \left(\frac{E[X](1 - E[X])}{V[X]} - 1 \right)E[X] \beta = \left(\frac{E[X](1 - E[X])}{V[X]} - 1 \right)(1 - E[X])

}}

**Бэта-размеркаванне** — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей на прамежку [0, 1] або (0, 1) з двума параметрамі: *альфа* (*α*) і *бэта* (*β*), якія задаюць  размеркавання.

Бэта-размеркаванне выкарыстоўваецца ў розных навуках для мадэлявання выпадковых велічынь, абмежаваных на пэўным  канечнай даўжыні, напрыклад адсоткаў або прапорцый.

У  бэта-размеркаванне выконвае ролю  для размеркавання Бэрнулі, біномнага, адмоўнага біномнага і геаметрычнага размеркаванняў.

Часам называецца **бэта-размеркаваннем першага тыпу**, каб адрозніць яго ад бэта-размеркавання другога тыпу. Многавымернае абагульненне бэта-размеркавання завецца размеркаваннем Дзірыхле.

## Азначэнне 
### Шчыльнасць імавернасці 
Шчыльнасць імавернасці бэта-размеркавання для  або  і параметраў формы *α*, *β* > 0 — ступеневая функцыя ад &nbsp;*x* і :

: 
\begin{align}
f(x;\alpha,\beta) & = \mathrm{constant}\cdot x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[3pt]
& = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{\displaystyle \int_0^1 u^{\alpha-1} (1-u)^{\beta-1}\, du} \\[6pt]
& = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} \\[6pt]
& = \frac{1}{\Beta(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}
\end{align}

дзе Γ(*z*) — гама-функцыя. Бэта-функцыя \Beta — , які забяспечвае выкананне аксіёмы нармаванасці.

Калі выпадковая велічыня *X* мае бэта-размеркаванне з параметрамі *α* і *β*, пішуць
: X \sim \operatorname{Beta}(\alpha, \beta)

Часам ужываюць таксама абазначэнні X \sim \mathcal{B}e(\alpha, \beta) і X \sim \beta_{\alpha, \beta}.

### Функцыя размеркавання 
Функцыя размеркавання мае выгляд
: F(x;\alpha,\beta) = \frac{\Beta{}(x;\alpha,\beta)}{\Beta{}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta),
дзе \Beta(x;\alpha,\beta) — няпоўная бэта-функцыя, а I_x(\alpha,\beta) — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя.

Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей