Квазічасціца

**Квазічасціца** - паняцце ў квантавай механіцы, увядзенне якога дазваляе істотна спрасціць апісанне складаных квантавых сістэм з узаемадзеяннем, такіх як цвёрдыя целы і квантавыя вадкасці.

Напрыклад, надзвычай складанае апісанне руху электронаў у паўправадніках можа спрасціцца увядзеннем квазічасціцы, пад назвай электрон праводнасці, якая адрозніваецца ад электрона масай і што рухаецца ў вольнай прасторы. Для апісання ваганняў атамаў ў вузлах крышталічнай рашоткі ў тэорыі кандэнсаванага стану рэчывы выкарыстоўваюць фаноны, для апісання распаўсюджвання элементарных магнітных узбуджанасцяў ў сістэме спінаў - магноны.

## Увядзенне 
Ідэя выкарыстання квазічасціц была ўпершыню прапанавана Л. Д. Ландау ў тэорыі фермі-вадкасці для апісання вадкага гелія-3, пазней яе сталі выкарыстоўваць у тэорыі кандэнсаванага стану рэчывы. Апісваць стану такіх сістэм наўпрост, вырашаючы ураўненне Шродзінгера з парадку 1023 узаемадзейнымі часціцамі, немагчыма. Абыйсці гэтую цяжкасць удаецца звядзеннем задачы ўзаемадзеяння часціц да больш простай задачы з неузаемадзеучымі квазічасціцамі.

## Квазічасціцы ў фермі-вадкасці 
Увядзенне квазічасціц для фермі-вадкасці вырабляецца плаўным пераходам ад узбуджанага стану ідэальнай сістэмы (без узаемадзеяння паміж часціцамі), атрыманага з асноўнага, з функцыяй размеркавання n_{0}(\vec{p}), шляхам дадання часціцы з імпульсам \vec{p}, адыябатычным уключэннем ўзаемадзеяння паміж часціцамі. Пры такім ўключэнні ўзнікае узбуджаны стан рэальнай фермі-вадкасці з тым жа імпульсам, так як ён захоўваецца пры сутыкненні часціц. Па меры ўключэння ўзаемадзеяння, дабаўленая часціца залучае ў рух навакольных яе часціц, утвараючы абурэнне. Такое абурэнне называюць квазічасціцай. Атрыманы такім чынам стан сістэмы адпавядае рэальнаму асноўнаму стану плюс квазічасціца з імпульсам \vec{p} і энергіяй, якая адпавядае дадзеным абурэнням. Пры такім пераходзе роля часціц газу (у выпадку адсутнасці ўзаемадзеяння) пераходзіць да элементарным ўзбуджэнням (квазічасціцам), колькасць якіх супадае з колькасцю часціц і якія, як і часціцы, падпарадкоўваюцца статыстыцы Фермі — Дзірака.

## Квазічасціцы ў цвёрдых целах 
### Фанон як квазічасціца 
Апісанне стану цвёрдых цел, непасрэдна вырашаючы ураўненне Шродзінгера для ўсіх часціц, практычна немагчыма з-за вялікага ліку зменных і складанасці ўліку ўзаемадзеяння паміж часціцамі. Спрасціць такое апісанне ўдаецца увядзеннем квазічасціц - элементарных узбуджанняў адносна нейкага асноўнага стану. Часта ўлік толькі ніжэйшых энергетычных узбуджанняў адносна гэтага стану дастатковы для апісання сістэмы, так як, згодна з размеркаваннем Больцмана, станы з вялікімі значэннямі энергій даюцца з меншай верагоднасцю. Разгледзім прыклад прымянення квазічасціц для апісання ваганняў атамаў ў вузлах крышталічнай рашоткі.

Прыкладам пажаднасці з нізкімі энергіямі можа служыць крышталічная рашотка пры абсалютным нулі тэмпературы, калі да асноўнага стану, пры якім ваганні ў рашотцы адсутнічаюць, дадаецца элементарнае абурэнне пэўнай частаты, фанон. Бывае, што стан сістэмы характарызуецца некалькімі элементарнымі ўзбуджэннямі, а гэтыя ўзбуджэнні, у сваю чаргу, могуць існаваць незалежна адзін ад аднаго, у такім выпадку гэты стан інтэрпрэтуецца сістэмай неузаемадзеуючых фанонаў. Аднак не заўсёды выходзіць апісаць стан неузаемадзеуючымі квазічасціцамі з-за ангарманічнага вагання ў крышталі. Тым не менш, у многіх выпадках элементарныя ўзбуджэнні могуць разглядацца як незалежныя. Такім чынам, можна набліжана лічыць, што энергія крышталя, звязаная з ваганнем атамаў ў вузлах рашоткі, роўная суме энергіі некаторага асноўнага стану і энергій усіх фанонаў.

### Квантаванне ваганняў на прыкладзе фанонаў 
Разгледзім скалярную мадэль крышталічнай рашоткі, згодна з якой атамы вагаюцца ўздоўж аднаго кірунку. Карыстаючыся базісам плоскіх хваляў, напішам выраз для зрушэнняў атамаў ў вузле:

u_{n}(t) = \sum_{\vec{k}} Q_{\vec{k}}(t) \phi_{\vec{k}}(\vec{r}_{n})

\phi_{\vec{k}}(\vec{r}_{n}) = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{i \vec{k} \vec{r}_{n}}

У такой форме Q_{\vec{k}} называюць абагульненымі каардынатамі. Тады лагранжыян сістэмы:

L = \sum_{n} \frac{m \dot{u}_{n}^{2}}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n,n^{'}} A(\vec{r}_{n} - \vec{r}_{n^{'}})u_{n}u_{n^{'}}

выкажацца ў тэрмінах Q_{\vec{k}} у выглядзе:

L = \frac{m}{2} \sum{\vec{k}}(\dot{Q}_{\vec{k}}^{*}\dot{Q}_{\vec{k}} - \omega_{\vec{k}}^{2}Q_{\vec{k}}^{*}Q_{\vec{k}})

Адсюль выяўляецца кананічны імпульс і гамільтаныян:

P_{\vec{k}} = \frac{\delta L}{\delta \dot{Q}_{\vec{k}}} = m \dot{Q}_{\vec{k}}^{*}

H = \sum_{\vec{\vec{k}}} P_{\vec{k}} \dot{Q}_{\vec{k}} - L = \frac{1}{2m} \sum_{\vec{k}}(P_{\vec{k}}P_{\vec{k}}^{*} + m^{2}\omega_{\vec{k}}^{2}Q_{\vec{k}}^{*}Q_{\vec{k}})

Квантаванне дзеяння вырабляецца патрабаваннем аператарных правілаў камутацыі для абагульненай каардынаты і імпульсу (\hbar = 1):

[Q_{\vec{k}},P_{\vec{k}^{'}}] = i\delta_{\vec{k}, \vec{k}^{'}} 

[Q_{\vec{k}},Q_{\vec{k}^{'}}] = [P_{\vec{k}},P_{\vec{k}^{'}}] = 0

Для пераходу да фанонаў прадстаўленні выкарыстоўваюць мову другаснага квантавання, вызначыўшы аператары нараджэння a_{\vec{k}}^{+} і знішчэння a_{\vec{k}} квантавага фаноннага поля:

[a_{\vec{k}},a_{\vec{k}^{'}}^{+}] = i \delta_{\vec{k},\vec{k}^{'}} \, \, \, \, \, \, \, [a_{\vec{k}},a_{\vec{k}^{'}}] = 0

Прамым вылічэннем можна праверыць, што патрабаваныя правілы камутацыі выконваюцца для аператараў:

Q_{\vec{k}} = \frac{1}{\sqrt{2 m \omega_{\vec{k}}}}(a^{+}_{\vec{k}} e^{i \omega t} + a_{-\vec{k}} e^{-i \omega_{\vec{k}} t})

P_{\vec{k}} = i \sqrt{\frac{\omega_{\vec{k}} m}{2}}(a^{+}_{-\vec{k}} e^{i \omega t} - a_{\vec{k}} e^{-i \omega_{\vec{k}} t})

Замяніўшы знак комплекснага спалучэння Q_{\vec{k}}^{*} на Q_{\vec{k}}^{+} і улічачы, што энергія - цотная функцыя квазіімпульсу, \omega_{\vec{k}} = \omega_{-\vec{k}} (з аднастайнасці), атрымаем выразы для кінетычнай і патэнцыяльнай частак гамільтаныяна:

K = \frac{1}{2m} \sum_{\vec{k}} P_{\vec{k}}P_{-\vec{k}} = - \frac{1}{4} \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{-\vec{k}} - a_{\vec{k}})(a^{+}_{\vec{k}} - a_{-\vec{k}})

H = \frac{m \omega_{\vec{k}}^{2}}{2} \sum_{\vec{k}} Q_{\vec{k}}Q_{-\vec{k}} =  \frac{1}{4} \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{-\vec{k}} - a_{\vec{k}})(a^{+}_{\vec{k}} - a_{-\vec{k}})

Тады гамільтаныян прыме выгляд:

H = \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{\vec{k}}a_{\vec{k}} + \frac{1}{2})

Інакш можна перапісаць:

H = \sum_{\vec{k}} E_{\vec{k}}(n_{\vec{k}} + \frac{1}{2})

Дзе

n_{\vec{k}} = a^{+}_{\vec{k}}a_{\vec{k}} — аператар колькасці часціц, фанонаў,

E_{\vec{k}} = \omega_{\vec{k}} — энергія фанонаў з імпульсам \vec{k}

Такое апісанне ваганняў ў крышталі называецца гарманічным набліжэннем. Яно адпавядае толькі разгляду квадратычных членаў па зрушэнням ў гамільтаныяне.

### Квазічасціцы ў феромагнетыку, магноны 
У выпадку ферамагнетыка, пры абсалютным нулі тэмпературы, усё спіны выстройваюцца ўздоўж аднаго кірунку. Такое размяшчэнне спінаў адпавядае асноўнаму стану. Калі адзін з спінаў адхіліць ад зададзенага кірунку і прадставіць сістэму самой сабе, пачне распаўсюджвацца хваля. Энергія гэтай хвалі будзе роўная энергіі ўзбуджэння крышталя, звязанай з змяненнем арыентацыі спіна атама. Гэтую энергію можна разглядаць як энергію некаторай часціцы, якую і называюць магнонам.

Калі энергія ферамагнетыка, звязаная з адхіленнем спінаў, невялікая, то яе можна прадставіць у выглядзе сумы энергій асобных спінавай хвалі або, кажучы інакш, у выглядзе сумы энергій магнонаў.

Магноны, як і фаноны, падпарадкоўваюцца статыстыцы Бозэ - Эйнштэйна.

## Уласцівасці 
* Квазічасціцы характарызуюцца вектарам \vec{p}, уласцівасці якога падобныя на імпульс, яго называюць квазіімпульсам.
* Энергія квазічасціцы, у адрозненне ад энергіі звычайнай часціцы, мае іншую залежнасць ад імпульсу.
* Квазічасціцы могуць узаемадзейнічаць паміж сабой, а таксама з звычайнымі часціцамі
* Могуць мець зарад і/або спін.
* Квазічасціцы з цэлым значэннем спіна падпарадкоўваюцца статыстыцы Бозэ - Эйнштэйна, з паўцелым - Фермі - Дзірака.

## Параўнанне квазічасціц са звычайнымі часціцамі 
Між квазічасціцамі і звычайнымі элементарнымі часціцамі існуе шэраг падабенстваў і адрозненняў. У многіх тэорыях поля (у прыватнасці, у канформнай тэорыі поля) не робяць наогул ніякіх адрозненняў паміж часціцамі і квазічасціцамі.

### Падабенства 
* Як і звычайная часціца, квазічасціца можа быць больш-менш лакалізаванай ў прасторы і захоўваць сваю лакалізаванасць ў працэсе руху.
* Квазічасціцы могуць сутыкацца і/або ўзаемадзейнічаць іншым чынам. Пры сутыкненні нізкаэнергетычных квазічасціц выконваюцца механічныя законы захавання квазіімпульсу і энергіі. Квазічасціцы могуць таксама ўзаемадзейнічаць і з звычайнымі часціцамі (напрыклад, з фатонамі).
* Для квазічастиц з квадратычным законам дысперсіі (гэта значыць энергія прапарцыйная квадрату імпульсу) можна ўвесці паняцце эфектыўнай масы. Паводзіны такой квазічасціцы будзе вельмі падобныя на паводзіны звычайных часціц.

### Адрозненні 
* У адрозненне ад звычайных часціц, якія існуюць самі па сабе, у тым ліку і ў пустым прасторы, квазічасціцы не могуць існаваць па-за асяроддзя, ваганнямі якой яны і з'яўляюцца.
* Пры сутыкненнях, для многіх квазічасціц закон захавання квазіімпульса выконваецца з дакладнасцю да вектара зваротнай рашоткі.
* Закон дысперсіі звычайных часціц - гэта дадзенасць, якую ніяк не змяніць. Закон дысперсіі квазічасціц ўзнікае дынамічна, і таму можа мець самы мудрагелісты выгляд.
* Квазічасціцы могуць мець дробны электрычны зарад або магнітны зарад.

## Іншыя квазічасціцы 
* Электрон праводнасці - мае той жа зарад і спін, як у «нармальнага» электрона, але адрозніваецца масай.
* Дзірка - незапоўненая валентная сувязь, якая праяўляе сябе як дадатны зарад, па абсалютнай велічыні роўны зараду электрона.
* Ратон - калектыўнае ўзбуджэнне, звязанае з віхравым рухам у вадкасці.
* Палярон - квазічасціца, адпаведная палярызацыі, звязанай з рухам электрона, абумоўленай узаемадзеяннем электрона з крышталічнай рашоткай.
* Плазмон - прадстаўляе сабой калектыўнае ваганне электронаў у плазме.

Катэгорыя:Фізіка цвёрдага цела
Катэгорыя:Квазічасціцы
Катэгорыя:Калектыўныя з’явы ў кандэнсаваных асяроддзях