Тэарэма Ліувіля аб захаванні фазавага аб’ёму

**Тэарэма Ліўвіля**, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа Ліувіля, з'яўляецца адной з ключавых тэарэм у матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліувіля абвяшчае

: * гамільтанавай сістэмы пастаянная ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.*

Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці імавернасці ў фазавай прасторы.

## Ураўненне Ліувіля 
Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці імавернасці) гамільтанавай сістэмы ў 6N-мернай фазавай прасторы (N — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанаву сістэму з каардынатамі q_i і спалучанымі імпульсамі p_i, дзе i=1,\dots,d, d=3N. Тады размеркаванне ў фазавай прасторы \rho(p_i,q_i) вызначае імавернасць \rho(p,q)\,\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму \mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю \rho(p_i,q_i;t) ў часе t паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам несціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:

: \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\rho}{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right)=0.

Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:

:  \dot{q}_i \equiv \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, 
:  \dot{p}_i \equiv \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}. 

Просты доказ тэарэмы заключаецца ў назіранні, што эвалюцыя \rho вызначаецца ўраўненнем неразрыўнасці:

:  \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla (\rho \, \mathbf{v})= \frac{\partial\rho}{\partial t}+ \rho\,\mathrm{div}\mathbf{v} + \mathbf{v}\,\mathrm{grad}\rho =0,

дзе  \mathbf{v} — скорасць перамяшчэння разглядаемага аб'ёму фазавай прасторы:

:  \nabla (\rho \, \mathbf{v}) =  \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right)

і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ўраўненнем Ліувіля вызначаецца толькі складнікам, які апісвае дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці імавернасці:

:  \rho\,\mathrm{div}\mathbf{v} = \rho \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right)=\rho\sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i}-\frac{\partial^2 H}{\partial p_i \partial q_i}\right)=0,

дзе H — гамільтаніян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці d \rho/dt роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення неразрыўнасці, бо поле скарасцей (\dot p , \dot q) у фазавай прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

## Геаметрычная інтэрпрэтацыя 
Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам — p_i — але сціскаецца па іншай каардынаце q_i  так, што здабытак \Delta p_i \Delta q_i  застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём \Gamma захоўваецца пры зрухах часу. Калі

: \int\limits_\Gamma d^dq\,d^dp = C,

і \Gamma(t) мноства кропак фазавай прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства \Gamma у момант часу t, тады

: \int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C,

для ўсіх часоў t. Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

## Фізічная інтэрпрэтацыя 
Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:

: N=\int d^dq\,d^dp\,\rho(p,q)

(нарміровачны множнік апушчаны). У найпрасцейшым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыяльных сіл \mathbf{F} з каардынатамі \mathbf{x} і імпульсамі \mathbf{p}, тэарэму Ліувіля можна запісаць у выглядзе

: \frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla_\mathbf{x}\rho+\frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_\mathbf{p}\rho=0,

дзе \mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}} — скорасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца  і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікую колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў  сіл \mathbf{F}.

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц N вялікі, парадку ліку Авагадра. У стацыянарным выпадку \partial\rho/\partial t=0 можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання \rho роўная любой функцыі гамільтаніяна H, напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана \rho\propto e^{-H/kT}, дзе T — тэмпература, k — пастаянная Больцмана.

## Запіс праз дужку Пуасона 
Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах (q^i,p_j) выгляд

: \{A,B\} = \sum_{i=1}^{N} \left(
- \frac{\partial A}{\partial q^{i}} \frac{\partial B}{\partial p_{i}} +
\frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial B}{\partial q^{i}}
\right), 

ураўненне Ліувіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд

: \frac{\partial\rho}{\partial t}=-\{\,\rho,H\,\}.

## Запіс з выкарыстаннем аператара Ліувіля 
Пры дапамозе аператара Ліувіля 

:  i{\hat{L}}=\sum_{i=1}^{d}\left[\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\frac{\partial }{\partial p_{i}}\right],

для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд

: \frac{\partial \rho }{\partial t}+i{\hat{L}}\rho =0.

Катэгорыя:Статыстычная фізіка
Катэгорыя:Квантавая механіка
Катэгорыя:Тэарэтычная механіка
Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы