Неперарыўная функцыя

**Неперарыўная функцыя** (**неперарыўнае адлюстраванне**), або **непарыўная функцыя** (**непарыўнае адлюстраванне**) — функцыя без «скачкоў», г.зн. такая, у якой малое змяненне аргумента прыводзіць да малога змянення значэння функцыі.

## Строгае азначэнне 
### ε-δ азначэнне 
Няхай D\subset\R і f: D\to\R.

Функцыя f называецца **непарыўнаю ў пункце** x_0\in D, калі для любога \varepsilon>0 існуе \delta>0 такое, што для любога
: x\in D,\ |x-x_0|
справядліва
: |f(x)-f(x_0)|

Функцыя f называецца **непарыўнаю на мностве** E, калі яна непарыўная ў кожным пункце мноства.

У гэтым выпадку кажуць, што функцыя f належыць класу C^0, і пішуць: f\in C^0(E) ці, падрабязней, f\in C^0(E, \mathbb{R}).

Інакш кажучы, функцыя f *непарыўная ў пункце* x_0, *гранічным для мноства* D, калі f *мае граніцу* ў пункце x_0, і гэта *граніца супадае са значэннем функцыі* f(x_0).

## Пункты разрыву 
Калі ўмова ў азначэнні непарыўнасці функцыі ў некаторым пункце парушаецца, то кажуць, што функцыя **мае ў дадзеным пункце разрыў**. Іншымі словамі, калі A — значэнне функцыі f у пункце a, то граніца такой функцыі (калі яна існуе) у гэтым пункце не супадае з A. На мове наваколляў умова разрыўнасці функцыі f у пункце a атрымліваецца адмаўленнем умовы непарыўнасці функцыі ў дадзеным пункце, а іменна: існуе такое наваколле пункта A вобласці значэнняў функцыі f, што як бы мы блізка не падыходзілі к пункту a вобласці вызначэння функцыі f, заўсёды знойдуцца такія пункты, чые вобразы будуць за межамі наваколля пункта A.

### Скасавальныя пункты разрыву 
Калі граніца функцыі *існуе*, але функцыя не вызначана ў гэтым пункце, ці граніца не супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце:
: \lim\limits_{x\to a} f(x) \neq f(a),
то пункт a называецца *пунктам скасавальнага разрыву* функцыі f (у камплексным аналізе — скасавальны асаблівы пункт).

Калі «паправіць» функцыю f у пункце скасавальнага разрыву і прыняць f(a) = \lim\limits_{x\to a} f(x), то атрымаецца функцыя, непарыўная ў дадзеным пункце. Такая аперацыя над функцыяй называецца *давызначэннем функцыі да непарыўнай* ці *давызначэннем функцыі па непарыўнасці*, што і абгрунтоўвае назву, як пункта *скасавальнага* разрыву.

### Пункты разрыву першага і другога роду 
Калі граніца функцыі ў дадзеным пункце не існуе (і функцыю нельга давызначыць да непарыўнай), то для лікавых функцый узнікае дзве магчымасці, звязаныя з існаваннем у лікавых функцый *аднабаковых граніц*:
* калі абедзве аднабаковыя граніцы існуюць і канечныя, але хоць адна з іх адрозніваецца ад значэння функцыі ў дадзеным пункце, то такі пункт называюць **пунктам разрыву першага роду**;
* калі хаця б адна з аднабаковых граніц не існуе ці не з'яўляецца канечнаю велічынёю, то такі пункт называюць **пунктам разрыву другога роду**.

## Уласцівасці 
### Лакальныя 
* Функцыя, непарыўная ў пункце a\,, абмежавана ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
* Калі функцыя f\, непарыўная ў пункце a\, і f(a)>0\, (ці \,f(a)), то f(x)>0\, (ці \,f(x)) для ўсіх \,x, дастаткова блізкіх да \,a.
* Калі функцыі f\, і g\, непарыўныя ў пункце \,a, то функцыі f+g\, і f \cdot g\, таксама непарыўныя ў пункце \,a.
* Калі функцыі f\, і g\, непарыўныя ў кропцы a\, і пры гэтым \,g(a)\neq 0, то функцыя f/g\, таксама непарыўная ў кропцы \,a.
* Калі функцыя f\, непарыўная ў пункце a\, і функцыя g\, непарыўная ў кропцы \,b=f(a), то іх кампазіцыя \,h=g\circ f непарыўная ў кропцы \,a.

### Глабальныя 
* Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любой іншай кампактнай прасторы), раўнамерна непарыўная на ім.
* Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любым іншым кампактным мностве), абмежавана і дасягае на ім свайго найбольшага і найменшага значэння.
* Вобласцю значэнняў функцыі f\,, непарыўнай на адрэзку \,[a,b], з'яўляецца адрэзак \,[\min f, \ \max f], дзе мінімум і максімум бяруцца па адрэзку \,[a,b].
* Калі функцыя f\, непарыўная на адрэзку \,[a,b] і \,f(a)\cdot f(b) то існуе кропка \xi \in (a,b), у якой \,f(\xi)=0.
* Калі функцыя f\, непарыўная на адрэзку \,[a,b] і лік \varphi\, задавальняе няроўнасць \,f(a) ці няроўнасць \,f(a)> \varphi > f(b), то існуе пункт \xi \in (a,b), у яком \,f(\xi)=\varphi.
* Непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў рэчаісную прамую ін'ектыўнае тады і толькі тады, калі дадзеная функцыя на адрэзку строга манатонная.
* Манатонная функцыя на адрэзку \,[a,b] непарыўная тады і толькі тады, калі вобласць яе значэнняў ёсць адрэзак з канцамі f(a)\, і \,f(b).
* Калі функцыі f\, і g\, непарыўныя на адрэзку \,[a,b], прычым \,f(a) і \,f(b) > g(b), то існуе пункт \xi \in (a,b), у яком \,f(\xi)=g(\xi). Адсюль, сярод іншага, вынікае, што любое непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў сябе мае хаця б адзін нерухомы пункт.

## Прыклады 
### Элементарныя функцыі 
Адвольныя мнагачлены, рацыянальныя функцыі, паказчыкавыя функцыі, лагарыфмы, трыганаметрычныя функцыі (прамыя і адваротныя) непарыўныя ўсюды ў сваёй вобласці вызначэння.

### Функцыя са скасавальным разрывам 
Функцыя f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}, вызначаная згодна з формулаю
: f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\
0, & x = 0,
\end{cases}

непарыўная ў любым пункце x \neq 0. Пункт x=0 з'яўляецца пунктам скасавальнага разрыву, бо граніца функцыі
: \lim\limits_{x \to 0} f(x) = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \neq 0 = f(0).

### Функцыя знака 
Функцыя
: f(x) = \sgn x = \begin{cases}
-1, & x  0
\end{cases},\quad x\in \R

называецца функцыяй знака.

Гэта функцыя непарыўная ў кожным пункце x \neq 0.

Пункт x=0 ёсць пунктам разрыву *першага роду*, прычым
: \lim\limits_{x \to 0-}f(x) = -1 \neq 1 = \lim\limits_{x \to 0+}f(x),
тады як у самім пункце функцыя раўняецца нулю.

### Ступеньчатая функцыя 
Ступеньчатая функцыя, вызначаная як
: f(x) = \begin{cases}
1,& x \geqslant 0\\
0, & x 
усюды непарыўная, акрамя кропкі x=0, дзе функцыя церпіць разрыў першага роду. Тым не менш, у пункце x=0 існуе правабаковая граніца, якая супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце. Такім чынам, гэта функцыя з'яўляецца прыкладам **непарыўнай справа** функцыі *на ўсёй вобласці вызначэння*.

Гэтак жа, ступеньчатая функцыя, вызначаная як
: f(x) = \begin{cases}
1,& x > 0\\
0, & x \leqslant 0
\end{cases},\quad x\in \mathbb{R}

з'яўляецца прыкладам **непарыўнай злева** функцыі *на ўсёй вобласці вызначэння*.

### Функцыя Дзірыхле 
Функцыя
: f(x) = \begin{cases}
1,& x \in \mathbb{Q}\\
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
называецца функцыяй Дзірыхле. Па сутнасці, функцыя Дзірыхле — гэта характарыстычная функцыя мноства рацыянальных лікаў. Гэта функцыя з'яўляецца **ўсюды разрыўнаю функцыяй**, бо на любым прамежку ёсць як рацыянальныя, так і ірацыянальныя лікі.

### Функцыя Рымана 
Функцыя
: f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{n},& x=\frac{m}{n}\in \mathbb{Q},\ (m,n)=1\\
0, & x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}
\end{cases}
называецца функцыяй Рымана.

Гэта функцыя з'яўляецца непарыўнаю ўсюды на мностве ірацыянальных лікаў (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}), бо граніца функцыі ў кожным ірацыянальным пункце раўняецца нулю.

## Варыяцыі і абагульненні 
### Раўнамерная непарыўнасць 
Функцыя f называецца **раўнамерна непарыўнаю** на E, калі для любога \varepsilon>0 існуе \delta>0 такое, што для любых двух пунктаў x_1 і x_2 такіх, што |x_1-x_2|, спраўджваецца |f(x_1)-f(x_2)|.

Кожная раўнамерна непарыўная на мностве E функцыя, відавочна, з'яўляецца таксама і непарыўнаю на ім. Адваротнае, увогуле кажучы, не справядліва. Аднак, калі вобласць вызначэння — кампакт, то непарыўная функцыя аказваецца таксама і раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку.

### Паўнепарыўнасць 
Існуе дзве сіметрычныя адна адной уласцівасці — паўнепарыўнасць *знізу* і паўнепарыўнасць *зверху*:
* Функцыя f называецца **паўнепарыўнаю знізу** ў пункце a, калі для любога \varepsilon>0 існуе такое наваколле U_E(a), што f(x)>f(a)-\varepsilon для ўсякага x\in U_E(a);
* Функцыя f называецца **паўнепарыўнаю зверху** ў пункце a, калі для любога \varepsilon>0 існуе такое наваколле U_E(a), што f(x) для ўсякага x\in U_E(a).
Паміж непарыўнасцю і паўнепарыўнасцю ёсць наступная сувязь:
* Калі ўзяць функцыю f, непарыўную ў кропцы a, і *паменшыць* значэнне f(a) (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную *знізу* ў кропцы a;
* Калі ўзяць функцыю f, непарыўную ў кропцы a, і *павялічыць* значэнне f(a) (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную *зверху* ў кропцы a.
У адпаведнасці з гэтым можна дапусціць для паўнепарыўных функцый бесканечныя значэнні:
* Калі f(a)=-\infty, то будзем лічыць такую функцыю *паўнепарыўнаю знізу* ў кропцы a;
* Калі f(a)=+\infty, то будзем лічыць такую функцыю *паўнепарыўнаю зверху* ў кропцы a.

### Аднабаковая непарыўнасць 
Функцыя f называецца аднабакова непарыўнаю злева (справа) у кожным пункце x_0 сваёй вобласці вызначэння, калі для аднабаковае граніцы справядліва роўнасць:
: f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0-0} f(x)
: \left(f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0+0} f(x)\right)

### Непарыўнасць амаль усюды 
На рэчаіснай прамой звычайна разглядаецца простая лінейная мера Лебега. Калі функцыя f такая, што яна непарыўная ўсюды на E, акрамя, магчыма, мноства меры нуль, то такая функцыя называецца *непарыўнаю амаль усюды*.

У тым выпадку, калі мноства пунктаў разрыву функцыі не больш чым злічальнае, мы атрымліваем клас інтэгравальных па Рыману функцый (гл. крытэрый інтэгравальнасці функцыі па Рыману).

## Літаратура 
* 

## Спасылкі 
Катэгорыя:Матэматычны аналіз