Нармальнае размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей
  | name       = Нармальнае размеркаванне
  | type       = density
  | pdf_image  = Normal Distribution PDF.svg
  | pdf_caption = Чырвоная лінія адпавядае стандартнаму нармальнаму размеркаванню
  | cdf_image  = Normal Distribution CDF.svg
  | cdf_caption = 
  | notation   = \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)
  | parameters = \mu\in\R — каэфіцыент зруху\sigma^2\in\R_{>0} — 
  | support    = x\in\R
  | pdf        = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}
  | cdf        = \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] 
  | quantile   = \mu+\sigma\sqrt{2} \operatorname{erf}^{-1}(2p-1)
  | mean       = \mu
  | median     = \mu
  | mode       = \mu
  | variance   = \sigma^2
  | mad      = \sigma\sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(1/2) 
  | skewness   = 0
  | kurtosis   = 0 
  | entropy    = \frac{1}{2} \ln(2\pi \sigma^2) + \frac{1}{2}
  | mgf        = \exp(\mu t + \sigma^2t^2/2)
  | char       = \exp(i\mu t - \sigma^2 t^2/2)
  | fisher     = \mathcal{I}(\mu,\sigma) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 2/\sigma^2\end{pmatrix} 
\mathcal{I}(\mu,\sigma^2) =\begin {pmatrix} 1/\sigma^2 & 0 \\ 0 & 1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}
  | KLDiv      = { 1 \over 2 } \left\{ \left( \frac{\sigma_0}{\sigma_1} \right)^2 + \frac{(\mu_1 - \mu_0)^2}{\sigma_1^2} - 1 + \ln {\sigma_1^2 \over \sigma_0^2} \right\}
  | ES         = \mu - \sigma \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-\left(q_p\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)\right)^2}{2}}}{1-p}
}}

**Нарма́льнае размеркава́нне** (або **размеркаванне Га́уса**) — размеркаванне імавернасцей, графік шчыльнасці якога нагадвае звон з пікам пасярэдзіне і сіметрычнымі бакамі. З дапамогай нармальнага размеркавання часта мадэлююць велічыні, сканцэнтраваныя вакол аднаго значэння, хаця гэта не адзінае размеркаванне падобнага тыпу.

Нармальнае размеркаванне выконвае важную функцыю ў статыстыцы і іншых навуках, бо часта паўстае ва ўсялякіх прыродных працэсах. Напрыклад, у фізіцы з дапамогай нармальнага размеркавання мадэлюецца хібнасць мерання. У статыстыцы звычайна робіцца дапушчэнне, што памылкі  нармальна размеркаваныя.

Цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што пры выкананні некаторых умоў размеркаванне  збягаецца да нармальнага размеркавання пры павелічэнні выбаркі. Таму фізічныя велічыні, якія атрымліваюцца як сярэдняе ці сума шэрагу незалежных працэсаў, часта маюць размеркаванні, блізкія да нармальнага.

Часам размеркаванне Гауса называюць звонападобнай крывой () праз выгляд графіка яго шчыльнасці, хаця шмат іншых размеркаванняў маюць графік шчыльнасці ў выглядзе звана (напрыклад, размеркаванні Кашы, Ст’юдэнта, ).

## Азначэнне 
Кажучы строга, **нармальнае размеркаванне** — размеркаванне імавернасцей, чыя функцыя шчыльнасці імавернасцей супадае з функцыяй Гауса:

: 
    f(x) = \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },
  

дзе параметр  — матэматычнае спадзяванне, медыяна і мода размеркавання, а параметр  — стандартнае адхіленне ( — дысперсія) размеркавання. Пры павелічэнні \sigma, графік шчыльнасці нармальнага размеркавання расцягваецца ў гарызантальным кірунку увёў азначэнне
:  \varphi(z) = e^{-\pi z^2},
што мае простую форму запісу і дысперсію \sigma^2 = 1/(2\pi).

Функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання звычайна абазначаецца грэчаскай літарай \Phi (фі) і мае выгляд інтэграла
: \Phi(x) = \frac 1 {\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} \, dt.

## Характарыстыкі 
### Матэматычнае спадзяванне 
Каб даказаць, што матэматычнае спадзяванне нармальнага размеркавання роўнае \mu, скарыстаемся:
: Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 
: = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx - \mu^2
: = \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (\sqrt{2} \sigma t + \mu)^2 e^{-t^2} dt - \mu^2 \quad — падстаноўка t = \frac{x - \mu}{\sqrt{2}\sigma}
: = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( 2\sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} t^2 e^{-t^2} dt +  2\sqrt{2}\sigma\mu \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-t^2} dt + \mu^2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt \right) - \mu^2
: = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left(2\sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} t^2 e^{-t^2} dt + 2\sqrt{2}\sigma\mu \left[ -\frac{1}{2} e^{-t^2} \right]_{-\infty}^{\infty} + \mu^2 \sqrt{\pi} \right) - \mu^2
: = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t^2 e^{-t^2} dt
: = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}t\right) \cdot (-2 t e^{-t^2}) dt
: = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \left( \left[ -\frac{t}{2}e^{-t^2} \right]_{-\infty}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} dt \right)\quad — 
: = \frac{2\sigma^2}{\sqrt{\pi}} \frac{\sqrt{\pi}}{2}
: = \sigma^2.

Катэгорыя:Статыстыка
Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей