Магнітагідрадынаміка

**Магнітная гідрадынаміка** — фізічная дысцыпліна, якая ўзнікла на скрыжаванні гідрадынамікі і электрадынамікі суцэльных асяроддзяў. Прадметам яе вывучэння з'яўляецца дынаміка вадкасці (газу), якія праводзіць ток, ў магнітным полі. Прыкладамі такіх асяроддзяў з'яўляюцца: рознага роду плазма, вадкія металы, салёная вада.

Піянерам даследаванняў у галіне тэорыі магнитагідрадынамікі прызнаны Ханес Альфвен, быў уганараваны за гэтыя працы Нобелеўскай прэміі ў 1970 годзе. Першай эксперыментальнай працай у гэтай галіне стала даследаванне Гартманам у 1937 супраціву плыні ртуці ў трубцы пры ўздзеянні папярочнага магнітнага поля.

## Ураўненні магнітнай гідрадынамікі 
Поўная сістэма ўраўненняў нерэлятывісцкай магнітнай гідрадынамікі вадкасці мае выгляд:

:: 
\begin{cases}
\rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla  p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] + \eta \Delta \vec v + \left(\frac 13 \eta + \zeta\right)\nabla \operatorname{div}\vec v \\
p=p(\rho) \\
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \frac {1}{\sigma} \frac{c^2}{4\pi} \operatorname{rot} \left[\nabla \times \vec H\right] +   \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\
\nabla \cdot \vec H = 0

\end{cases}

Тут \ p - ціск у серадзе, \ \rho - шчыльнасць, \sigma - праводнасць вадкасці, \eta - зрухавая вязкасць, \zeta  - аб'ёмная вязкасць, \vec v - поле хуткасцей яе элементаў, \vec H - напружанасць магнітнага поля.

Гэтая сістэма змяшчае 8 ўраўненняў і дазваляе вызначыць 8 невядомых \ p, \rho, \vec H, \vec v пры наяўнасці зададзеных пачатковых і межавых умоў.

Калі скарыстацца наступнымі набліжанай (бездысыпатыўная мяжа):
# \sigma \to \infty
# \eta = 0,\quad \zeta =0 
то сістэма ўраўненняў МГД запішацца ў больш простым выглядзе:

:: 
\begin{cases}
\rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla  p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] \\
p=p(\rho) \\
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\
\nabla \cdot \vec H = 0

\end{cases}

### Вывад ураўненняў 
{{Hider|
title = Вывад ураўненняў МГД з ураўненняў Максвела і гідрадынамікі|
hidden = 1|
title-style = text-align: left;|
content-style = text-align: left;|
content =
Запішам сістэму ўраўненняў Максвелла ў сістэме СГС.
: 
\begin{cases}
\nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\ partial \ vec H}{\ partial t} \\
\nabla \times \vec H = \frac 1c \frac {\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec j\\
\nabla \cdot \vec H = 0\\
\nabla \cdot \vec E = 0
\end{cases}

Будзем зыходзіць з наступных здагадак:
# Магнітная пранікальнасць  \mu=1 
# Няма электрычных зарадаў  \rho=0 
# Закон Ома мае выгляд:  \vec j = \sigma \vec E + \frac {\sigma}{c} \vec v \times \vec H 
Абмяжуемся нерэлятывісцкім выпадкам ( v \ll c ), т.е  \left | \nabla \times \vec H \right| \gg \left| \frac 1c \vec E \right| 

{{Hider|
  title = Абгрунтаванне нерэлятывісцкага набліжэння. |
  hidden = 1 |
  content =
Пакажам, што  v \ll c  эквівалентна  \left| \nabla \times \vec H \right | \gg \left | \frac 1c \frac {\partial \vec E} {\partial t} \right| 
::  \left | \nabla \times \nabla \times \vec H \right | \gg \left| \frac 1c \nabla \times \frac {\partial \vec E} {\partial t} \right | = \frac{1}{c^2} \left| \frac{\partial^2 \vec H}{\partial t^2} \right|
Ацэнім гэты выраз:
:: \frac{H}{L^2} \gg \frac{1}{c^2}\frac{H}{\tau^2}
L - характэрная даўжыня

\tau - характэрны час

Гэта прыводзіць нас да наступных суадносінах:
:: c^2 \gg \frac{L^2}{\tau^2} = v^2
::  v \ll c 
Гэта значыць, характэрная хуткасць у сістэме павінна быць шмат менш хуткасці святла.
 |
  title-style = color: black; font-weight: bold; text-align: left; |
  content-style = color: black; text-align: left; |
}}
Ураўненні Максвела ў гэтым набліжэнні запішуцца наступным чынам:
: 
\begin{cases}
\nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\
\nabla \times \vec H = \frac {4 \pi}{c} \vec j\\
\end{cases}

Выразім з закона Ома \vec E  і падставім яго ў першае ўраўненне:
::  - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left(\frac{1}{\sigma} \vec j - \frac 1c \vec v \times \vec H\right)
Падставім у гэтае ўраўненне ток з другога ўраўнення Максвела і атрымаем:
:: - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \frac {1}{\sigma} \frac{c}{4\pi} \nabla \times \left[\nabla\times \vec H\right] - \frac 1c \nabla \times \left[\vec v \times \vec H \right]

У мяжы ідэальнай вадкасці  \sigma \to \infty  атрымліваем:
 \ fra {\partial \vec H} {\partial t} = \nabla \times \left [\vec v \times \vec H\right] 

Для сувязі з гідрадынамікай ва ўраўненне Наўе — Стокса дадаецца член, які адказвае за сілу Ампера, якая дзейнічае на токі з боку магнітнага поля (ток выяўляецца з другога ўраўнення Максвела праз напружанасць магнітнага поля):
:: \vec f = \frac 1c \left[\vec j \times \vec H \right] = - \frac{1}{4 \pi} \left [\vec H\ times \operatorname{rot} \vec H \right]
}}

## Прыкладанні 
Прынцыпы магнітнай гідрадынамікі выкарыстоўваюцца для дыстанцыйнага кантролю і кіравання паводзінамі вадкіх металаў у прамысловасці, у прыватнасці:

* МГД-насос
* Магнітагідрадынамічная апрацоўка
* МГД-генератар

## Гл. таксама 
* Электрагідрадынаміка
* Электрадынаміка суцэльных асяроддзяў

## Літаратура 
* Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9
* Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное.. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4

Катэгорыя:Электрадынаміка