Эліптычная крывая

[[Выява:EllipticCurveCatalog.svg|right|thumb|392px|Каталог эліптычных крывых. Паказана вобласць [−3,3]² (Для *a* = 0 і *b* = 0 функцыя не гладкая і таму не з’яўляецца эліптычнай крывой.)]]

У матэматыцы, **эліптычная крывая** (**ЭК**) — ,    адзін, на якой ёсць вызначаны пункт *O*. Эліптычная крывая — гэта па сутнасці , г.зн. на ёй вызначана алгебраічная аперацыя множання, адносна якой пункты крывой утвараюць групу (абавязкова камутатыўную), а пункт *O* служыць адзінкай групы (нейтральным элементам). Часта сама крывая, без выбранага пункта *O*, называецца эліптычнаю крывою.

Любую эліптычную крывую можна прадставіць як плоскую алгебраічную крывую, вызначаную ўраўненнем віду:
: y^2 = x^3 + ax + b,
якое не мае , г.зн. на яго графіку няма  і самаперасячэнняў. (Калі характарыстыка поля каэфіцыентаў раўняецца 2 ці 3, вышэйпрыведзенае ўраўненне не дастаткова агульнае, каб уключыць усе несінгулярныя ; гл. ніжэй больш дакладнае азначэнне.) Пункт *O* — гэта, на самай справе, «» на .

Калі *y*² = *P*(*x*), дзе *P* — кубічны мнагачлен ад *x* без кратных каранёў, то мы атрымліваем несінгулярную плоскую крывую  1, якая, такім чынам, з’яўляецца эліптычнаю крывою. Калі *P* мае чацвёртую ступень і , гэтае ўраўненне ізноў апісвае плоскую крывую роду адзін; аднак, для яе няма натуральнага выбару нейтральнага элемента. Больш агульна, любая алгебраічная крывая роду адзін, напрыклад, перасячэнне дзвюх , укладзеных у трохмерную праектыўную прастору, называецца эліптычнай крывой пры ўмове, што на ёй ёсць хоць адзін , які б выконваў ролю нейтральнага элемента.

Карыстаючыся тэорыяй , можна паказаць, што эліптычныя крывыя, вызначаныя над полем камплексных лікаў, адпавядаюць укладанням тора ў . Пунты тора таксама ўтвараюць абелеву групу, і па сутнасці, гэтая адпаведнасць з’яўляецца .

Эліптычныя крывыя асабліва важныя ў тэорыі лікаў і складаюць значную вобласць сучасных даследаванняў. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца ў доказе Вялікай тэарэмы Ферма, які быў праведзены Эндру Уайлсам (пры дапамозе Рычарда Тэйлара). Яны таксама знайшлі прыкладанні ў  (ECC) і .

Эліптычная крывая — гэта *не* эліпс: гл. аб паходжанні тэрміна ў артыкуле . Тапалагічна камплексная эліптычная крывая ёсць тор.

## Эліптычныя крывыя над полем рэчаісных лікаў 
frame|right|Графікі крывых *y*² = *x*³ − *x* і *y*² = *x*³ − *x* + 1
Хаця фармальнае азначэнне эліптычнай крывой даволі тэхнічнае і патрабуе некаторага ведання алгебраічнай геаметрыі, можна апісаць некаторыя асаблівасці эліптычных крывых над полем рэчаісных лікаў, карыстаючыся толькі ўніверсітэцкім курсам алгебры і геаметрыі.

У гэтым кантэксце, эліптычная крывая — гэта плоская крывая, вызначаная ўраўненнем віду

: y^2 = x^3 + ax + b,

дзе *a* і *b* — рэчаісныя лікі. Такое ўраўненне называецца **ўраўненнем Веерштраса**.

Азначэнне эліптычнай крывой таксама патрабуе, каб крывая была несінгулярнай. Геаметрычна гэта значыць, што графік не мае , самаперасячэнняў і ізаляваных пунктаў. Алгебраічна гэта ўключае ў сябе вылічэнне дыскрымінанта

: \Delta = -16(4a^3 + 27b^2).

Крывая будзе несінгулярнаю, калі і толькі калі дыскрымінант не роўны нулю. (І хаця множнік −16 выглядае тут недарэчным, ён аказваецца зручным пры глыбейшым вывучэнні эліптычных крывых.)

Графік (на рэчаіснай плоскасці) несінгулярнай крывой мае *дзве* кампаненты, калі яе дыскрымінант дадатны, і *адну* кампаненту, калі ён адмоўны. Напрыклад, на графіках на рысунку справа дыскрымінант у першым выпадку роўны 64, а ў другім раўняецца −368.

## Групавы закон 
Дабаўляючы «пункт на бесканечнасці», мы атрымліваем праектыўную версію эліптычнай крывой. Калі *P* і *Q* — два пункты на крывой (г.зн. іх каардынаты з’яўляюцца рашэннямі ўраўнення крывой), тады можна адназначна апісаць трэці пункт, які ляжыць на перасячэнні крывой з прамою, праведзенаю праз пункты *P* і *Q*. Звычайна існуе адзіны пункт на перасячэнні (калі прамая датыкаецца да крывой у пункце, тады гэты пункт трэба ўлічваць двойчы; а калі прамая паралельная восі *y*, трэці пункт вызначаецца як пункт «на бесканечнасці»).

Такім чынам, на крывой можна ўвесці групавую аперацыю, *+*, з наступнымі ўласцівасцямі: бесканечна аддалены пункт будзем разглядаць як 0, нейтральны элемент групы. Калі прамая лінія перасякае крывую ў пунктах *P*, *Q* і *R*, тады будзем лічыць, што ў групе гэтыя пункты звязаны роўнасцю *P* + *Q* + *R* = 0. Можна праверыць, што гэта ператварае крывую ў абелеву групу, і, такім чынам, у абелеву мнагастайнасць.

Няхай *K* — поле, над якім крывая вызначана (г.зн. каэфіцыенты ўраўнення, якое вызначае крывую, узятыя з поля *K*). Абазначым крывую цераз *E*. Тады *K*-рацыянальныя пункты крывой *E* з’яўляюцца пунктамі на *E*, усе каардынаты якіх ляжаць у *K*, уключаючы пункт на бесканечнасці. Мноства *K*-рацыянальных пунктаў абазначаецца як *E*(*K*). Яны таксама ўтвараюць групу, таму што ўласцівасці алгебраічных ураўненняў паказваюць, што калі *P* ляжыць у *E*(*K*), то і &minus;*P* таксама ляжыць у *E*(*K*), і калі два з трох пунктаў *P*, *Q* і *R* ляжаць у *E*(*K*), то і трэці таксама там жа. Больш таго, калі *K* — падполе поля *L*, то *E*(*K*) — падгрупа групы *E*(*L*).

Вышэйназваную групу можна апісаць як алгебраічна, так і геаметрычна. Няхай зададзена крывая *y*² = *x*³ − *px* − *q* над полем *K* (характарыстыка якога не роўная ні 2, ні 3), і пункты *P* = (*xP*, *yP*) і *Q* = (*xQ*, *yQ*) на крывой. Будем лічыць, што *xP* ≠ *xQ*. Няхай *s* — нахіл прамой, праведзенай праз *P* і *Q*; г.зн.,

: s = \frac{y_P - y_Q}{x_P - x_Q}.

Паколькі *K* — поле, *s* вызначаны карэктна. Тады можна вызначыць *R* = *P* + *Q* = (*xR*, *−yR*) згодна з

: \begin{align}
  x_R &= s^2 - x_P - x_Q \\
  y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}

Калі *xP* = *xQ* (трэцяя і чацвёртая карцінкі вышэй), то ёсць дзве магчымасці: калі *yP* = −*yQ*, уключаючы выпадак, дзе *yP* = *yQ* = 0, тады сума вызначаецца як 0; такім чынам, адваротны пункт для адвольнага пункта крывой атрымліваецца адлюстраваннем адносна восі *x*. Калі *yP* = *yQ* ≠ 0 (другая карцінка), тады *R* = *P* + *P* = 2*P* = (*x**R*, *−y**R*) вызначана па формулах

: \begin{align}
    s &= \frac{3{x_P}^2 - p}{2y_P}\\
  x_R &= s^2 - 2x_P\\
  y_R &= y_P + s(x_R - x_P)
\end{align}

### Спалучальнасць 
right|Эліптычная група
Усе групавыя законы, за выключэннем асацыятыўнасці, адразу ж вынікаюць з геаметрычнага азначэння групавой аперацыі. Анімацыя справа геаметрычна ілюструе закон спалучальнасці.

Варта заўважыць, што сума трох значэнняў на любой з шасці прамых раўняецца нулю. Становішча ўсіх дзевяці пунктаў вызначаецца эліптычнаю крывою, становішчам нуля, і пунктамі *a*, *b* і *c*. Цэнтральны пункт з дзевяці ляжыць на прамой, праведзенай праз *a* і *b&nbsp;+&nbsp;c*, а таксама на прамой праз *a&nbsp;+&nbsp;b* і *c*. Спалучальнасць закона складання раўназначная таму, што крывая праходзіць праз цэнтральны пункт «рашоткі». Адсюль вынікае роўнасць −(*a*&nbsp;+&nbsp;(*b*&nbsp;+&nbsp;*c*)) і −((*a*&nbsp;+&nbsp;*b*)&nbsp;+&nbsp;*c*).

На анімацыі эліптычная крывая і пункт нуль зафіксаваныя, тады як пункты *a*, *b* і *c* перамяшчаюцца па крывой незалежна адзін ад аднаго.

## Эліптычныя крывыя над полем камплексных лікаў 
right|thumb|300px|Эліптычная крывая над полем камплексных лікаў атрымліваецца як фактар-група камплекснай плоскасці па рашотцы Λ, нацягнутай тут на два фундаментальныя перыяды ω1 і ω2. Таксама паказана 4-кручэнне, якое адпавядае рашотцы 1/4 Λ, якая ўтрымлівае рашотку Λ.
Вытлумачэнне эліптычных крывых як укладанняў тора ў  натуральным чынам вынікае з цікавай уласцівасці . Гэтыя функцыі і іх першая вытворная звязаныя формулай

: \wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3 ,

дзе *g*2 і *g*3 — пастаянныя; \wp(z) — эліптычныя функцыя Веерштраса, а \wp'(z) — яе вытворная. Відавочна, гэта сувязь выглядае дакладна так жа, як і ўраўненне эліптычнай крывой (над камплекснымі лікамі). Функцыі Веерштраса дваяка перыядычныя, г.зн. яны перыядычныя адносна  Λ. Па сутнасці, функцыі Веерштраса натуральна вызначаюцца на торы *T* = **C**/Λ. Гэты тор можна ўкласці ў камплексную праектыўную плоскасць з дапамогаю адлюстравання

: z \mapsto [1 :\wp(z) : \wp'(z)].

Гэтае адлюстраванне з’яўляецца  і пераносіць натуральную структуру групы тора ў праектыўную плоскасць. Яно таксама з’яўляецца ізамарфізмам , так што тапалагічна эліптычная крывая выглядае як тор. Калі рашотка Λ звязана праз дамнажэнне на ненулявы камплексны лік *c* з рашоткаю *c*Λ, то адпаведныя крывыя ізаморфныя. Класы ізаморфных эліптычных крывых вызначаюцца па .

Класы ізаморфных крывых можна таксама вытлумачыць прасцейшым спосабам. Пастаянныя *g*2 і *g*3, якія называюцца , адназначна вызначаюцца па рашотцы, г.зн. па структуры тора. Аднак, камплексныя лікі ўтвараюць  для мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, і таму эліптычную крывую можна запісаць як
: y^2 = x(x - 1)(x - \lambda)

Можна паказаць, што
: g_2 = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3} (\lambda^2 - \lambda + 1)

і
: g_3 = \frac{1}{27} (\lambda + 1)(2\lambda^2 - 5\lambda + 2)

так што,  роўны
: \Delta = g_2^3 - 27g_3^2 = \lambda^2(\lambda - 1)^2

Тут велічыня λ тут часам называецца .

Варта заўважыць, што паводле , кожную  Рыманаву паверхню роду адзін можна прадставіць як тор.

Гэта таксама дазваляе лёгка зразумець, што такое  на эліптычнай крывой: калі рашотка Λ нацягнута на фундаментальныя перыяды ω1 і ω2, то пункты *n*-кручэння — гэта пункты (класы эквівалентнасці) віду,
:  \frac{a}{n} \omega_1 + \frac{b}{n} \omega_2

дзе *a* і *b* — цэлыя лікі з прамежку ад 0 да *n*−1.

Над полем камплексных лікаў кожная эліптычная крывая мае дзевяць . Кожная прамая праз два з гэтых пунктаў таксама праходзіць праз трэці пункт перагіну; дзевяць пунктаў і 12 прамых, праведзеных такім чынам, утвараюць .

## Эліптычныя крывыя над полем рацыянальных лікаў 
Крывая *E*, вызначаная над полем рацыянальных лікаў, таксама вызначана над полем рэчаісных лікаў, і такім чынам, закон складання (пунктаў з рэчаіснымі каардынатамі) з дапамогаю датычнай і сякучай прамой можна прымяніць на *E*. Яўныя формулы паказваюць, што сума двух пунктаў *P* і *Q* з рацыянальнымі каардынатамі зноў мае рацыянальныя каардынаты, бо прамая, якая злучае *P* і *Q* мае рацыянальныя каэфіцыенты. Адсюль можна паказаць, што мноства рацыянальных пунктаў крывой *E* утварае падгрупу групы рэчаісных пунктаў крывой *E*. Як і гэтая група, яна з’яўляецца абелевай, г.зн. *P* + *Q* = *Q* + *P*.

### Структура рацыянальных пунктаў 
Найважнейшы вынік заключаецца ў тым, што ўсе пункты можна пабудаваць па метаду датычных і сякучых, пачынаючы з *канечнага* ліку пунктаў. Больш дакладна  сцвярджае, што група *E*(**Q**) з’яўляецца  (абелевай) групай. Па фундаментальнай тэарэме аб канечнаспароджаных абелевых групах яна з’яўляецца прамою сумаю копій **Z** і канечных цыклічных груп.

Доказ гэтай тэарэмы абапіраецца на два складнікі: першы — паказваем, што для любога цэлага *m*&nbsp;>&nbsp;1, фактар-група *E*(**Q**)/*mE*(**Q**) будзе канечнаю (слабая тэарэма Мордэла-Вейля). Другі — увядзенне  *h* на рацыянальных пунктах *E*(**Q**), вызначанай згодна з суадносінамі *h*(*P*0) = 0 і  для пункта *P* (не роўнага бесканечна аддаленаму пункту *P*0), абсцыса якога раўняецца рацыянальнаму ліку *x* =  (з  *p* і *q*). Функцыя вышыні *h* мае ўласцівасць, што *h*(*mP*) расце прыблізна як квадрат *m*. Больш таго, на крывой *E* існуе толькі канечная колькасць рацыянальных пунктаў з вышынямі, меншымі за адвольную пастаянную.

Такім чынам, доказ тэарэмы з’яўляецца варыянтам  і грунтуецца на паўтарэнні Еўклідавых дзяленняў на *E*: няхай *P* ∈ *E*(**Q**) — рацыянальны пункт на крывой. Запісваючы пункт *P* як суму 2*P*1 + *Q*1, дзе *Q*1 — прадстаўленне пункта *P* ў фактар-групе *E*(**Q**)/2*E*(**Q**), атрымліваем, што вышыня пункта *P*1 складае каля  вышыні пункта *P* (больш агульна, пры замене 2 на любое *m* > 1, замест  будзе ). Робячы тое самае з пунктам *P*1, г.зн. запісваем *P*1 = 2*P*2 + *Q*2, затым *P*2 = 2*P*3 + *Q*3, і г.д. канчаткова выражаем *P* як цэлалікавую лінейную камбінацыю пунктаў *Qi* і пунктаў, чыя вышыня абмежавана фіксаванаю пастаяннаю, выбранаю загадзя: па слабай тэарэме Мордэла-Вейля і другой уласцівасці функцыі вышыні пункт *P* такім чынам выражаецца як цэлалікавая лінейная камбінацыя канечнай колькасці фіксаваных пунктаў.

Тэарэма не эфектыўная, бо дагэтуль не знойдзена агульная працэдура вызначэння прадстаўнікоў групы *E*(**Q**)/*mE*(**Q**).

 групы *E*(**Q**), г.зн. колькасць копій **Z** у *E*(**Q**) ці, што тое самае, колькасць незалежных пунктаў бесканечнага парадку, называецца *рангам* крывой *E*. Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера звязана з вызначэннем рангу. Існуе меркаванне, што ранг крывых можа быць адвольна вялікім, хаця вядомыя толькі прыклады адносна малога рангу. Эліптычная крывая з найбольшым дакладна вядомым рангам — такая:
: *y*² + *xy* + *y* = *x*³ − *x*² + *x* + 

Яна мае ранг 19 і была знойдзена  у 2009. Вядомыя таксама крывыя з рангам не менш чым 28, але іх ранг невядомы дакладна.

Што да груп, якія ўтвараюць  групы *E*(**Q**), то вядома наступнае: падгрупа кручэння групы *E*(**Q**) з’яўляецца адною з 15 наступных груп (тэарэма належыць ): **Z**/*N***Z** для *N* = 1, 2, …, 10, ці 12, альбо **Z**/2**Z** × **Z**/2*N***Z** з *N* = 1, 2, 3, 4. Прыклады вядомыя для ўсіх выпадкаў. Больш таго, эліптычныя крывыя, чые групы Мордэла—Вейля над **Q** маюць тыя ж групы кручэння, належаць да параметрызаванага сямейства.

### Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера 
*Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера* (БСД) — адна з  . У гіпотэзе гаворка вядзецца аб аналітычных і арыфметычных аб’ектах, вызначаных разглядаемай эліптычнай крывой.

З аналітычнага боку, важным інгрыдыентам з’яўляецца функцыя камплекснай зменнай, *L*,  крывой *E* над **Q**. Гэта функцыя з’яўляецца варыянтам дзэта-функцыі Рымана і . Яна вызначаецца як , у якім утрымліваецца па аднаму множніку для кожнага простага ліку *p*.

Для крывой *E* над **Q**, зададзенай мінімальным ураўненнем
: y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6

з цэлымі каэфіцыентамі *ai*, прывядзенне каэфіцыентаў  *p* вызначае эліптычную крывую над канечным полем **F***p* (выключаючы канечныя палі для простых лікаў *p*, пры якіх рэдукаваная крывая мае сінгулярнасць і таму не з’яўляецца эліптычнаю, у такім выпадку кажуць, што *E* з’яўляецца  для *p*).

Дзэта-функцыя эліптычнай крывой над канечным полем **F***p* з’яўляецца, у некаторым сэнсе, , у якой сабрана інфармацыя аб колькасці пунктаў на крывой *E* са значэннямі ў канечных  **F***p*, палях **F***pn*. Яна задаецца як
: Z(E(\mathbf{F}_p)) = \exp \left(\sum \mathrm{card} \left[E({\mathbf F}_{p^n})\right]\frac{T^n}{n}\right)

Унутраная сума ў экспаненце падобная на раскладанне лагарыфма, і, па факце, вызначаная такім чынам дзэта-функцыя з’яўляецца :
: Z(E(\mathbf{F}_p)) = \frac{1 - a_pT + pT^2}{(1 - T)(1 - pT)}

Затым дзэта-функцыя Хассэ — Вейля крывой *E* над **Q** вызначаецца збіраннем гэтай інфармацыі разам, для ўсіх простых *p*. А вызначана яна так:
: L(E(\mathbf{Q}), s) = \prod_p \left(1 - a_p p^{-s} + \varepsilon(p)p^{1 - 2s}\right)^{-1},

дзе ε(*p*) = 1, калі *E* мае добрую рэдукцыю для *p*, і 0 іначай (у апошнім выпадку *ap* вызначаецца не так, як вышэй).

Гэты здабытак  толькі пры Re(*s*) > 3/2. Гіпотэза Хассэ сцвярджае, што *L*-функцыя можа быць  на ўсю камплексную плоскасць і задавальняе , якое звязвае для любых *s* значэнні *L*(*E*, *s*) і *L*(*E*, 2 − *s*). У 1999 было паказана, што справядлівасць гэтай здагадкі вынікае з доказу гіпотэзы Шымуры — Таніямы — Вейля, якая сцвярджае, што любая эліптычная крывая над *Q* ёсць , што ў сваю чаргу паказвае, што яе *L*-функцыя ёсць *L*-функцыя , для якой аналітычнае прадаўжэнне вядомае.

Такім чынам, можна гаварыць пра значэнні *L*(*E*, *s*) пры адвольным камплексным ліку *s*. Здагадка Бёрча — Свінертан-Даера звязвае арыфметыку крывой з паводзінамі яе *L*-функцыі ў пункце *s* = 1. Больш дакладна, гіпотэза сцвярджае, што парадак *L*-функцыі ў пункце *s* = 1 раўняецца рангу крывой *E*, і прадказвае сувязь першага складніка рада Ларана функцыі *L*(*E*, *s*) у гэтым пункце з некалькімі велічынямі, прывязанымі да эліптычнай крывой.

Як і гіпотэза Рымана, гэтая здагадка мае мноства вынікаў, уключаючы наступныя два:
* Няхай *n* — няцотны . Пры справядлівасці гіпотэзы Бёрча — Свінертан-Даера, *n* будзе плошчай прамавугольнага трохвугольніка з рацыянальнымі даўжынямі старон () тады і толькі тады, калі лік троек цэлых лікаў (*x*, *y*, *z*), якія задавальняюць роўнасць 2x^2 + y^2 + 8z^2 = n раўняецца падвоенаму ліку троек, якія задавальняюць роўнасць 2x^2 + y^2 + 32z^2 = n. Гэтае сцвярджэнне, па , связана з тым фактам, што *n* будзе кангруэнтным лікам, калі і толькі калі эліптычная крывая y^2 = x^3 - n^2x мае рацыянальны пункт бесканечнага парадку (адпаведна, пры справядлівасці здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, яе *L*-функцыя мае нуль у пункце 1). Гэта сцвярджэнне цікавае тым, што яго ўмова лёгка правяраецца.
* У іншым напрамку, пэўныя аналітычныя метады дазваляюць ацэньваць парадак нуля пасярэдзіне крытычнай паласы сямействаў *L*-функцый. Пры справядлівасці здагадкі БСД, гэтыя ацэнкі адпавядаюць звесткам аб рангу гэтых сямействаў эліптычных крывых. Напрыклад: дапусцім справядлівасць  і гіпотэзы Бёрча — Свінертан-Даера, тады сярэдні ранг крывых, вызначаных ураўненнем y^2=x^3+ax+b, меншы чым 2.

### Тэарэма аб мадулярнасці і яе прыкладанне да Вялікай тэарэмы Ферма 
, некалі вядомая як гіпотэза Таніямы — Шымуры — Вейля, сцвярджае, што кожная эліптычная крывая *E* над **Q** з’яўляецца , гэта значыць, ейная дзэта-функцыя Хассэ — Вейля з’яўляецца *L*-функцыяй  вагі 2 і ўзроўню *N*, дзе *N* —  крывой *E* (цэлы лік, які дзеліцца на тыя самыя простыя лікі, што і дыскрымінант крывой *E*, Δ(*E*).) Іншымі словамі, калі пры Re(*s*) > 3/2 запісаць *L*-функцыю ў выглядзе
: L(E(\mathbf{Q}), s) = \sum_{n>0}a(n)n^{-s},

тады выраз
: \sum a(n) q^n, \qquad q = \exp(2 \pi i z),

вызначае парабалічную мадулярную  вагі 2 і ўзроўню *N*. Для простых лікаў ℓ, якія не дзеляць *N*, каэфіцыент *a*(ℓ) формы раўняецца ℓ — ліку рашэнняў мінімальнага ўраўнення крывой па модулю ℓ.

Напрыклад, для эліптычнай крывой y^2 - y = x^3 -x з дыскрымінантам (і правадніком) 37 сцэплена (з’яўляецца асацыяванай) форма
: f(z) = q - 2q^2 - 3q^3 + 2q^4 - 2q^5 + 6q^6 + \cdots, \qquad q = \exp(2 \pi i z).

Для простых лікаў ℓ, не роўных 37, можна праверыць гэту ўласцівасць каэфіцыентаў. Такім чынам, для ℓ = 3 рашэнні ўраўнення па модулю 3 такія: (0, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), бо і *a*(3) = 3 − 6 = −3.

Гэтая гіпотэза, прапанаваная ў 50-я гады, была поўнасцю даказана каля 1999 на аснове ідэй Эндру Уайлса, які даказаў яе ў 1994 для вялікага сямейства эліптычных крывых.

Існуе некалькі фармулёвак гіпотэзы. Доказ іхняй раўназначнасці складаны і быў адным з асноўных напрамкаў даследаванняў у тэорыі лікаў у другой палавіне 20-га стагоддзя. Мадулярнасць эліптычнай крывой *E* з правадніком *N* можна таксама апісаць, сказаўшы, што існуе , вызначанае над **Q** і не роўнае тоесна пастаяннай, якое пераводзіць мадулярную крывую *X*0(*N*) у *E*. Сярод іншага, пункты крывой *E* можна параметрызаваць .

Напрыклад, мадулярная параметрызацыя крывой y^2 - y = x^3 - x задаецца так:

: \begin{align}
  x(z) &= q^{-2} + 2q^{-1} + 5 + 9q + 18q^2 + 29q^3 + 51q^4 +\ldots\\
  y(z) &= q^{-3} + 3q^{-2} + 9q^{-1} + 21 + 46q + 92q^2 + 180q^3 +\ldots
\end{align}

дзе, як і вышэй, *q* = exp(2π*iz*). Функцыі *x(z)* і *y(z)* з’яўляюцца мадулярнымі вагі 0 і ўзроўню 37; іншымі словамі, яны , вызначаныя на  Im(*z*) > 0 і задавальняюць роўнасць
: x\left(\frac{az + b}{cz + d}\right) = x(z)

і тое ж справядліва і для *y(z)* для ўсіх цэлых *a, b, c, d* з *ad* − *bc* = 1 і 37|*c*.

Іншая фармулёўка засноўваецца на супастаўленні , прывязаных з аднаго боку да эліптычных крывых, а з другога — да мадулярных форм. Апошняя фармулёўка выкарыстоўвалася ў доказе гіпотэзы. Разгляд узроўню форм (і іх сувязь з правадніком крывой) — асабліва тонкая справа.

Самым яркім прыкладаннем гіпотэзы стаў доказ Вялікай тэарэмы Ферма (ВТФ). Дапусцім, што для простага ліку *p* > 5 ураўненне Ферма
: a^p + b^p = c^p

мае рашэнне ў ненулявых цэлых ліках, якое, такім чынам, з’яўляецца контр-прыкладам для ВТФ. Тады эліптычная крывая
: y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)

з дыскрымінантам
: \Delta = \frac{1}{256}(abc)^{2p}

не можа быць мадулярнаю. Такім чынам, доказ здагадкі Таніямы — Шымуры — Вейля для гэтага сямейства эліптычных крывых (т. зв. крывых Хэлгуарча — Фрэя (Hellegouarch-Frey curves)) заключае ў сабе ВТФ. Доказ сувязі паміж гэтымі двума сцвярджэннямі, заснаваны на ідэі  (1985), складаны і тэхнічна закручаны. Сувязь была ўстаноўлена  у 1987.

### Цэлыя пункты 
Гэты раздзел прысвечнаны пунктам *P* = (*x*, *y*) крывой *E*, у якіх *x* — цэлы лік. Наступная тэарэма даказана К. Л. Зігелем: мноства пунктаў *P* = (*x*, *y*) крывой *E*(**Q**), у якіх *x*-каардыната — цэлы лік, канечнае. Гэтую тэарэму можна абагульніць на пункты, чыя *x*-каардыната мае назоўнік, які дзеліцца толькі на фіксаванае канечнае мноства простых лікаў.

Тэарэму можна сфармуляваць эфектыўна. Напрыклад, калі ўраўненне Веерштраса крывой *E* мае цэлыя каэфіцыенты, абмежаваныя пастаяннаю *H*, каардынаты (*x*, *y*) пункта крывой *E*, калі і *x*, і *y* цэлыя, задавальняюць няроўнасць:
: \max (|x|, |y|) 

Напрыклад, ураўненне  мае восем рашэнняў з *y* > 0 :
: (*x*,*y*) = (−1, 4), (−2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (, ).

Іншы прыклад,  задае крывую, чыё ўраўненне ў Веерштрасавай форме выглядае як , і мае толькі чатыры рашэнні з *y* ≥ 0 :
: (*x*,*y*) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, 6214).

### Абагульненне на лікавыя палі 
Многія з папярэдніх вынікаў застаюцца справядлівымі, калі поле вызначэння крывой *E* з’яўляецца лікавым полем, г.зн. канечным  поля **Q**. Сярод іншага, група *E(K)* *K*-рацыянальных пунктаў эліптычнай крывой *E*, вызначанай над *K*, з’яўляецца канечнаспароджанай, што абагульняе вышэйзгаданую тэарэму Мордэла — Вейля. Тэарэма  паказвае, што для заданага цэлага *d* існуе ( ізамарфмізму) толькі канечная колькасць груп, якія могуць быць групамі кручэння групы *E*(*K*) для эліптычнай крывой, вызначанай над лікавым полем *K*  *d*. А дакладней, існуе лік *B*(*d*), такі што для любой эліптычнай крывой *E*, вызначанай над лікавым полем *K* ступені *d* любы пункт кручэння з *E*(*K*) мае , меншы чым *B*(*d*). Тэарэма эфектыўная: пры *d* > 1, калі пункт кручэння мае парадак *p*, для простага *p*, то
: p 

Як і для цэлых пунктаў, тэарэма Зігеля абагульняецца наступным чынам:
няхай *E* — эліптычная крывая, вызначаная над лікавым полем *K*, а *x* і *y* — Веерштрасавы каардынаты. Тады мноства пунктаў крывой *E(K)*, *x*-каардынаты якіх ляжаць у  *O**K*, канечнае.

Уласцівасці дзэта-функцыі Хассэ — Вейля і гіпотэзу Бёрча — Свінертан-Даера можна пашырыць на гэты больш агульны выпадак.

## Эліптычныя крывыя над полем агульнага віду 
Эліптычныя крывыя можна вызначыць над любым полем *K*. Фармальна эліптычную крывую вызначаюць як несінгулярную праектыўную алгебраічную крывую над *K* з  1 з заданым пунктам, вызначаным над *K*.

Калі характарыстыка поля *K* не роўная ні 2, ні 3, тады любую эліптычную крывую над полем *K* можна запісаць у выглядзе
: y^2 = x^3 - px - q,

дзе *p* і *q* — элементы поля *K*, такія што мнагачлен з правай часткі *x*³ − *px* − *q* не мае кратных каранёў. Калі характарыстыка роўная 2 ці 3, тады трэба ўтрымаць больш членаў.

Для характарыстыкі 3, найбольш агульнае ўраўненне мае выгляд
: y^2 = 4x^3 + b_2 x^2 + 2b_4 x + b_6,

дзе *b*2, *b*4, *b*6 — адвольныя сталыя, такія што мнагачлен у правай частцы мае раздзеленыя карані (абазначэнні выбраны з гістарычных прычын).

Для характарыстыкі 2 нават такая колькасць складнікаў не дастатковая, і найбольш агульнае ўраўненне будзе такое
: y^2 + a_1 xy + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6,

дзе вызначаная ўраўненнем мнагастайнасць несінгулярная.

Калі б характарыстыка не была перашкодай, любое ўраўненне можна было б прывесці да вышэйназваных форм адпаведнаю заменаю зменных.

Звычайна пад крывой разумеюць мноства ўсіх пунктаў (*x*,*y*), якія задавальняюць адно з вышэйпрыведзеных ураўненняў і такія, што і *x*, і *y* з’яўляюцца элементамі  поля *K*. Пункты крывой, абедзве каардынаты якіх належаць полю *K*, называюцца '''*K*-рацыянальнымі пунктамі'*.

## Ізагенія 
Няхай *E* і *D* — эліптычныя крывыя над полем *k*.  паміж *E* і *D* — гэта  *f* : *E* → *D* , які захоўвае базавыя пункты (іншымі словамі, адлюстроўвае зададзеныя пункты на *E* у зададзеныя на *D*).

Дзве крывыя называюцца *ізагеннымі*, калі існуе ізагенія паміж імі. Гэта , сіметрыя ёсць дзякуючы існаванню . Кожная ізагенія ёсць алгебраічны  і, такім чынам, спараджае гомамарфізм груп эліптычных крывых для *k*-значных пунктаў.

## Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі 
thumb|right|275px|Мноства афінных пунктаў эліптычнай крывой *y*² = *x*³ − *x* над канечным полем **F**61.
thumb|right|275px|Мноства афінных пунктаў эліптычнай крывой *y*² = *x*³ − *x* над канечным полем **F**71.
thumb|right|275px|Мноства афінных пунктаў эліптычнай крывой *y*² = *x*³ − *x* над канечным полем **F**89.

Няхай *K* = **F***q* — канечнае поле з *q* элементаў, а *E* — эліптычная крывая, вызначаная над *K*. Хаця дакладную  *E* над *K* у агульным выпадку даволі складана вылічыць,  дае, улічваючы пункт на бесканечнасці, наступную ацэнку:
: |\operatorname{card} E(K) - (q + 1) | \le 2\sqrt{q}.

Іншымі словамі, колькасць пунктаў крывой расце прыблізна як колькасць элементаў у полі. Гэты факт можна растлумачыць і даказаць з дапамогаю некаторай агульнай тэорыі; гл. , .

Мноства пунктаў *E*(**F***q*) з’яўляецца канечнай абелевай групай. Яна ці цыклічная, ці з’яўляецца здабыткам дзвюх цыклічных груп. Напрыклад, крывая, вызначаная ўраўненнем
: y^2 = x^3 - x

над **F**71, мае 72 пункты (71 афінны пункт, уключаючы (0,0), і адзін ) над гэтым полем, чыя групавая структура задаецца як **Z**/2**Z** × **Z**/36**Z**. Колькасць пунктаў на выбранай крывой можна вылічыць па .

Вывучэнне крывой над  поля **F***q* аблягчаецца ўвядзеннем лакальнай дзэта-функцыі крывой *E* над **F***q*, вызначанай утваральным радам (таксама гл. вышэй)
: Z(E(K), T) := \exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{card} \left[E(K_n)\right] {T^n\over n} \right),

дзе поле *Kn* з’яўляецца (адзіным) пашырэннем поля *K* = **F***q* ступені *n* (г.зн. **F***qn*). Дзэта-функцыя з’яўляецца рацыянальнаю функцыяй ад *T*. Існуе лік *a*, такі што

: Z(E(K), T) = \frac{1 - aT + qT^2}{(1 - qT)(1 - T)}.

Больш таго,

: \begin{align}
  Z \left(E(K), \frac{1}{qT} \right) &= Z(E(K), T),\\
         \left(1 - aT + qT^2 \right) &= (1 - \alpha T)(1 - \beta T)
\end{align}

для некаторых камплексных α, β з абсалютнаю велічынёю \scriptstyle \sqrt{q}. Гэты вынік з’яўляецца асобным выпадкам . Напрыклад, дзэта-функцыя крывой *E* : *y*² + *y* = *x*³ над полем **F**2 задаецца як
: \frac{1 + 2T^2}{(1 - T)(1 - 2T)}.

Гэта вынікае з роўнасці:
:  \left| E(\mathbf{F}_{2^r}) \right| = \begin{cases}
2^r + 1, & r \equiv 1 \pmod 2, \\
2^r + 1 - 2(-2)^{\frac{r}{2}}, & r \equiv 0 \pmod 2.
\end{cases} 

 — сцвярджэнне аб тым, як астаткавы член у тэарэме Хассэ, абмежаваны велічынёй \scriptstyle 2\sqrt{q}, змяняецца для розных простых *q*, калі ўзяць эліптычную крывую E над **Q** і прывесці яе па модулю q. Яна была даказана (для амаль усіх такіх крывых) у 2006 годзе дзякуючы вынікам Тэйлара, Харыса і Шэферд-Бэрана і сцвярджае, што астаткавы член размеркаваны раўнамерна.

Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі прымяняюцца найперш у крыптаграфіі і для  вялікіх цэлых лікаў. Гэтыя алгарытмы часта выкарыстоўваюць групавую структуру пунктаў крывой *E*. Алгарытмы, прыдатныя для агульных груп, напрыклад, для групы абарачальных элементаў у канечных палях, **F****q*, можна таксама прымяніць да групы пунктаў на эліптычнай крывой. У якасці прыкладу такога алгарытму можна назваць . Цікавасць тут у тым, што выбар эліптычнай крывой дапускае большую гібкасць, чым выбар модуля *q* (і, такім чынам, групы абарачальных элементаў у **F***q''). Да таго ж, групавая структура эліптычных крывых у агульным выпадку больш складаная.

## Алгарытмы на аснове эліптычных крывых 
Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі ўжываюцца ў некаторых крыптаграфічных прыкладаннях і для . Як правіла, агульная ідэя ў такіх прыкладаннях заключаецца ў тым, што вядомы алгарытм, які выкарыстоўвае пэўныя канечныя групы, перапісваецца на выкарыстанне груп рацыянальных пунктаў эліптычных крывых. Падрабязней гл. таксама:
* 
* 
*  (ECDSA)
*  (EdDSA)
* 
* 
* 

## Альтэрнатыўныя прадстаўленні эліптычных крывых 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Гл. таксама 
* 
* 

## Крыніцы 
## Літаратура 
 ва ўводзінах да кнігі, прыведзенай ніжэй, зазначыў, што «Пра эліптычныя крывыя можна пісаць бесканечна. (Гэта не пагроза.)» Такім чынам, наступны кароткі спіс з’яўляецца, у найлепшым выпадку, толькі кіраўніцтвам у велізарным аб’ёме даведачнай і навуковай літаратуры, прысвечанай тэарэтычным, алгарытмічным і крыптаграфічным бакам тэорыі эліптычных крывых.
* 
* 
* 
* 
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, Zbl 1159.11001. Chapter XXV
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Спасылкі 
* 
* The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves 
* 
* The Arithmetic of elliptic curves from PlanetMath
* Three Fermat Trails to Elliptic Curves , Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31 (2000), pp.&nbsp;162–172, winner of the MAA writing prize the George Pólya Award.
* Matlab code for implicit function plotting  — Can be used to plot elliptic curves.
* Interactive introduction to elliptic curves and elliptic curve cryptography with SAGE
* Geometric Elliptic Curve Model(Java-Applet drawing curves)
* Interactive elliptic curve over R and over Zp — Web application that requires HTML5 capable browser.
* Comprehensive database of Elliptic Curves over Q


Катэгорыя:Аналітычная тэорыя лікаў
Катэгорыя:Тэорыя груп