Гіпотэза Пуанкарэ

**Гіпо́тэза Пуанкарэ́** — адна з самых вядомых задач тапалогіі.
Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

## Фармулёўка 
### Гіпотэза Пуанкарэ 
У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Усякая   трохмерная  без краю гомеаморфная трохмернай сферы.

### Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ 
Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

Для любога натуральнага ліку *n* усякая мнагастайнасць размернасці *n*  сферы размернасці *n* тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй.

Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры *n* = 3.

## Схема доказу 
 — гэта пэўнае , падобнае на .
Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць.
Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку.
Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць  — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць  прамому здабытку (0,1)\times S^2), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што  атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй».
Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак»  .

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці M і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй.
Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё.
Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць M можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм S^3/\Gamma_i, злучаных адна з адною трубкамі [0,1]\times S^2.
Падлік  паказвае, што M дыфеаморфная  набору прасторавых форм S^3/\Gamma_i, і больш таго, усе \Gamma_i трывіяльныя.
Такім чынам, M з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

## Гісторыя 
У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы.
У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца , і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы.
Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для *n* ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі  (для *n* ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі *n* = 5 і 6 ). Доказ значна цяжэйшага выпадку *n* = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам.
Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага , які таксама першым прымяніў паток Рычы.

### Прызнанне і ацэнкі 
* Фрыдман (у 1986 годзе) і Перэльман (у 2006 годзе) сталі Філдсаўскімі лаўрэатамі.
* У 2006 годзе часопіс Science назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» (). Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званне.
* У 2006 годзе  апублікавала нашумелы артыкул , які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ.
* 18 сакавіка 2010 года  прысудзіў Прэмію тысячагоддзя за доказ гіпотэзы Пуанкарэ Р. Я. Перэльману, але той адмовіўся яе браць.

## Гл. таксама 
* 
* 

## Зноскі 
## Літаратура 
* 
* 
* 
* J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report
* 
* John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture
* B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers
* Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective

Катэгорыя:Тапалогія
Пуанкарэ
Катэгорыя:Задачы тысячагоддзя