Гама-функцыя

**Гама-функцыя** (або **Эйлераў інтэграл другога роду**) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай **гама** .

Для натуральных  справядліва роўнасць:
: \Gamma(n) = (n-1)!

Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогай збежнага неўласцівага інтэграла:
:  \Gamma(t) = \int\limits_0^\infty  x^{t-1} e^{-x}\, dx.
Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

## Азначэнні 
### Інтэгральнае азначэнне 
Калі рэчаісная частка камплекснага ліку z дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл
: ~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty} t^{{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C} : \mathrm{Re}(z)>0
На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць
: ~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).
Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля
: ~\Gamma(z)=\frac{1}{e^{i 2\pi {\mathrm z}}-1}\int\limits_L\!t^{{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.
дзе контур L — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт t = 0 супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з’яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

### Азначэнне па Гаусу 
Яно вернае для ўсіх камплексных z, за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў
: \Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

### Азначэнне па Эйлеру 
: \Gamma(z)=\frac{1}{z}\left(\prod\limits_{n=1}^\infty {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^z{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^{-1}\right)= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

### Азначэнне па Веерштрасу 
: \Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\},
дзе \gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\approx 0,57722 — пастаянная Эйлера — Маскероні.

### Заўвагі 
* Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна, калі рэчаісная частка камплекснага ліку z дадатна.
* Прымяняючы інтэграванне па частках, можна паказаць, што тоеснасць
*: \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
: справядліва для падынтэгральнага выразу.
* Паколькі \Gamma(1)=1, для ўсіх натуральных лікаў n
: \Gamma(n+1)=n\cdot\Gamma(n)=\ldots=n!\cdot\Gamma(1)=n!
* \Gamma(z) з’яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots

## Звязаныя азначэнні 
* Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая *пі-функцыя*, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
*: \Pi(z)=\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).
* У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:
: \Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty {t^{a-1} e^{-t}\,dt},
і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:
: \gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z} {t^{a-1} e^{-t}\,dt}.

## Уласцівасці 
* Формула дапаўнення Эйлера:
*: \Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}.
* З яе вынікае :
*: \Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{n}\right)\ldots\Gamma\left(z+\frac{n-1}{n}\right)=n^{\frac{1}{2}-nz}\cdot(2\pi)^{\frac{n-1}{2}}\Gamma(nz),
* якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
*: 
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z). \,\!

* Гама-функцыя мае полюс у z=-n для любога натуральнага n і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:
*: \operatorname{Res}_{z=-n} \Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}.
* Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных z, акрамя недадатных цэлых лікаў:
*: \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{k}\right)^{-1} e^{z/k},
: дзе \gamma — пастаянная Эйлера — Маскероні.
* Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
*: \overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}).
* Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
*: \Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x),
: дзе \psi(x) часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.
* Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:
*: \Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.

### Асобныя значэнні 
* Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:
*: \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}.
*: \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt\frac{(2 \pi)^{3/2}}{AGM(\sqrt 2, 1)},
*: дзе  —  лікаў  і .
*: \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
*: \Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} \cdot \left[ {n-\frac{1}{2}\choose n} n! \right] 
*: \Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \sqrt{\pi} / \left[ {-\frac{1}{2} \choose n} n! \right] 

## Гл. таксама 
* Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера
* K-функцыя
* G-функцыя Барнса
* Бэта-функцыя
* Гама-размеркаванне
* Няпоўная гама-функцыя
* Формула Стырлінга

## Літаратура 
* 

## Спасылкі 
* 

Катэгорыя:Спецыяльныя функцыі