Міжгаліновы баланс

**Мадэль Лявонцьева** — матэматычная мадэль узаемных дачыненняў галін шматгаліновай гаспадаркі. Мадэль апісвае сувязі і баланс паміж галінамі гаспадаркі, якія з’яўляюцца адначасова вытворцамі і спажыўцамі прадукцыі; мадэль таксама вядомая як «**выдаткі-выпуск**». У залежнасці ад мэты даследвання эканоміку можна вывучаць у розных маштабах — ад узроўню нацыянальнай эканомікі да ўзроўню асобных вытворцаў і спажыўцоў.

Праблема і мадэль для яе вырашэння былі распрацаваныя ў 1936 годзе амерыканскім эканамістам В. Лявонцьевым. Лявонцьеў паспрабаваў прааналізаваць прычыны эканамічнай дэпрэсіі ў ЗША ў 1929—1932 гг. і для аналізу міжгаліновых сувязяў у гаспадарцы ЗША выкарыстаў апарат лінейнай алгебры. Падчас Другой сусветнай вайны распрацаваная Лявонцьевым матрыца «выдаткі — выпуск» для эканомікі Германіі служыла для выбару мэтаў ВПС ЗША. Аналагічны баланс для СССР, распрацаваны Лявонцьевым, выкарыстоўваўся ўладамі ЗША для прыняцця рашэння аб аб’ёмах і структуры Ленд-Ліза.

Існуюць наступныя разнавіднасці матрычных балансавых мадэляў. Дадзеныя мадэлі могуць прымяняцца як на ўзроўні народнай гаспадаркі, так і на ўзроўні асобнага прадпрыемства. Прадстаўляюць:
* Матрычную мадэль народнай гаспадаркі ў цэлым;
* Матрычную мадэль міжрэгіянальнага балансу;
* Балансавыя мадэлі на ўзроўні асобных прадпрыемстваў;

Шырока распаўсюджаным у сусветнай і айчыннай практыцы сродкам макраэканамічнага аналізу і прагназавання з’яўляецца мадэль міжгаліновага балансу, у якой прадстаўленыя і ўзаемазвязаныя ўсе асноўныя фактары і паказчыкі эканомікі: сферы і сектары, валавы выпуск, ВУП, прамежкавы прадукт, экспарт і імпарт.

### Мадэль Лявонцьева шматгаліновай эканомікі (балансавы аналіз) 
Мэта балансавага аналізу — адказаць на пытанне, якое ўзнікае ў макраэканоміцы і звязанае з эфектыўнасцю вядзення шматгаліновай гаспадаркі: які павінен быць аб’ём вытворчасці кожнай з *n* галін, каб задаволіць усе патрэбы ў прадукцыі гэтай галіны? Сувязь паміж галінамі адлюстроўваецца ў табліцах міжгаліновага балансу, якія характарызуюць узаемасувязі паміж аб’ектамі эканамічнай сістэмы. Звычайна працэс вытворчасці разглядаецца за некаторы перыяд часу, у шэрагу выпадкаў такой адзінкай служыць год.

хі — агульны аб’ём прадукцыі i-галіны (яе **валавы выпуск**);

хіj — аб’ём прадукцыі, выраблены i-ай галіной і спажыты j-й галіной у працэсе вытворчасці;

yi — аб’ём прадукцыі i-й галіны, прызначаны да спажывання ў невытворчай сферы (канчатковы прадукт, які ўключае назапашвання, асабістае і грамадскае спажыванне, экспарт і г.д.);

Валавая прадукцыя любой у любой галіне будзе роўная суме канчатковай прадукцыі дадзенай галіны і аб’ёмаў яе прадукцыі, спажытай іншымі галінамі. У самай простай форме (*гіпотэза лінейнасці* ці простага складання) балансавыя суадносіны маюць выгляд:

хi=(xi1+xi2+…+xin)+yi, i=1,2…,n; **(1)**

Ураўненні **(1)** завуцца **суадносінамі балансу**. Паколькі прадукцыя розных галін мае розныя вымярэнні, будзем у далейшым мець на ўвазе **коштавы баланс**.

В. Лявонцьевым на падставе аналізу эканомікі ЗША ў перыяд перад Другой сусветнай вайной быў усталяваны важны факт: на працягу доўгага часу велічыні  a_{ij}=\frac{x_{ij}}{x_j}  змяняюцца вельмі слаба і могуць разглядацца як пастаянныя лічбы. Гэта з’ява становіцца зразумелай у святле таго, што тэхналогія вытворчасці застаецца на адным і тым жа ўзроўні даволі працяглы час і, такім чынам, аб’ём спажывання j-й галіной прадукцыі i-й галіны пры вытворчасці сваёй прадукцыі аб’ёмам xj ёсць **тэхналагічная канстанта**.

У сілу названага факту можна зрабіць наступнае дапушчэнне: для вытворчасці прадукцыі j-й галіны аб’ёмам xj трэба выкарыстоўваць прадукцыю i-й галіны аб’ёмам aijxi, дзе aij — пастаянная лічба. Пры такім дапушчэнні тэхналогія вытворчасці прымаецца *лінейнай*, а само гэта дапушчэнне называецца **гіпотэзай лінейнасці**. Пры гэтым лічбы aij называюцца **каэфіцыентамі прамых выдаткаў**. Згодна гіпотэзе лінейнасці, маем:
 
 a_{ij}=\frac{x_{ij}}{x_j}; x_j=a_{ij}x_i;  i, j= 1, 2, …, n **(2)**

Тады ўраўненні **(2)** можна перапісаць у выглядзе сістэмы ўраўненняў **(3)**:

: 
\begin{cases}
    x_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n+y_1 \\
    x_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n+y_2 \\
    \dots\\
    x_n=a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n+y_n \\
\end{cases}

Увядзем у разгляд вектары-слупкі аб’ёмаў вырабленай прадукцыі (**вектар валавога выпуску**), аб’ёмаў прадукцыі канчатковага спажывання (**вектар канчатковага спажывання**) і матрыцу каэфіцыентаў прамых выдаткаў, дзе:
: 
\overline{x}=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}

\overline{y}=
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{pmatrix}

A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}

(4)

Тады сістэма ўраўненняў **(3)** у матрычнай форме мае выгляд:

 \overline{x}=A\overline{x}+\overline{y} (5) 

Звычайна гэтыя суадносіны называюць **ураўненнем лінейнага міжгаліновага балансу**. Разам з апісаннем матрычнага прадстаўлення **(5)** гэта ўраўненне носіць назву** мадэлі Лявонцьева**.
  
Пры разглядзе дадзенай (*класічнай*) мадэлі Лявонцьева варта ўлічыць:

— Разглядаецца эканоміка, якая складаецца з «чыстых» галін, г.зн. калі кожная галіна выпускае адзін і толькі свой тып прадукту;

— Узаемасувязь паміж выпускам і выдаткамі апісваецца лінейнымі ўраўненнямі (лінейная і пастаянная тэхналогія);

— Вектар попыту на тавары лічыцца зададзеным, г.зн. у мадэлі адсутнічаюць аптымізацыйныя задачы спажыўцоў;

— Вектар выпуску тавараў вылічваецца, зыходзячы з попыту, г.зн. адсутнічаюць як такія аптымізацыйныя задачы фірмаў;

— Раўнавага разумеецца як строгая роўнасць попыту і прапановы, г.зн. коштавы баланс адсутнічае, больш таго, кошты тавараў у мадэлі не разглядаюцца наогул.
  
Гэтае дапушчэнне і шэраг іншых спрашчэнняў (сталасць тэхналогіі вытворчасці, адсутнасць інвестыцый, ігнараванне неаднаўляемых рэсурсаў і інш) датычацца, у асноўным, зыходнай мадэлі. Іх не варта адносіць да недахопаў мадэлі, бо яна ў далейшым абагульняецца і канкрэтызуецца да розных узроўняў дэталізацыі.

Ураўненне міжгаліновага балансу можна выкарыстоўваць у двух мэтах. У першым, найбольш простым выпадку, калі вядомы вектар канчатковага валавога выпуску  \overline{x} , патрабуецца разлічыць вектар канчатковага спажывання  \overline{y} . У другім выпадку ўраўненне міжгаліновага балансу выкарыстоўваецца для мэтаў планавання з наступнай фармулёўкай задачы: для перыяду часу Т (напрыклад, год) вядомы вектар канчатковага спажывання  \overline{y}  і патрабуецца вызначыць вектар  \overline{x}  валавога выпуску. Тут неабходна вырашаць сістэму лінейных ураўненняў **(5)** з вядомай матрыцай А і зададзеным вектарам  \overline{y} .

Між тым сістэма **(5)** мае шэраг асаблівасцей, якія вынікаюць з прыкладнога характару дадзенай задачы; перш за ўсё — ўсе элементы матрыцы А і вектараў  \overline{x}  i  \overline{y}  павінны быць неадмоўнымі. Таксама існуе змяшаны тып задач, дзе па некаторых зададзеных хі
і yj знайсці адпаведныя xj i yi.

### Прыклад пашыранай мадэлі Лявонцьева 
Напрыклад, існуе мадэль міжгаліновага балансу з улікам прыбавачнага кошту і кошту адзінкі прадукцыі.

Увядзем наступныя абазначэнні:

хi — агульны аб’ём прадукцыі i-галіны (яе валавы выпуск);

хik — аб’ём прадукцыі, вырабленай i-ай галіной і спажыты k-й галіной у працэсе вытворчасці;

yi — аб’ём прадукцыі i-й галіны, прызначаны да спажывання ў невытворчай сферы (канчатковы прадукт, які ўключае назапашвання, асабістае і грамадскае спажыванне, экспарт і г.д.);

zk  — прыбавачны кошт k-й галіны (частка даходу, якая ідзе на зарплату, амартызацыю, інвестыцыі г.д.);

pi  — кошт адзінкі прадукцыі i-й галіны.

У гэтых пазначэннях дадзеныя аб міжгаліновым балансе зручна прадставіць у выглядзе табліцы, дзе кожная галіна фігуруе як вырабнік і спажывец:

Велічыня   \nu_k=\frac{z_k}{x_k} , роўная прыбавачнаму кошту k-й галіны на адзінку вырабленай гэтай галіной прадукцыі, завецца **нормай прыбавачнага кошту**. У вектарна-матрычным выглядзе гэтыя ж балансавыя суадносіны выглядаюць так:

 \overline{x}=A\overline{x}+\overline{y} 

 \overline{p}=A^T\overline{p}+\overline{\nu} 

дзе 
\overline{x}=
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}

\overline{y}=
\begin{pmatrix}
y_1 \\
y_2 \\
\vdots \\
y_n
\end{pmatrix}

\overline{p}=
\begin{pmatrix}
p_1 \\
p_2 \\
\vdots \\
p_n
\end{pmatrix}

\overline{\nu}=
\begin{pmatrix}
\nu_1 \\
\nu_2 \\
\vdots \\
\nu_n
\end{pmatrix}
 
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix}

### Прадуктыўныя мадэлі Лявонцьева 
Асноўная задача міжгаліновага балансу складаецца ў адшукання такога вектару валавога выпуску  \overline{x} , які пры вядомай матрыцы прамых выдаткаў А забяспечвае зададзены вектар канчатковага прадукту  \overline{y} .

Матрыца  A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix} , усе элементы якой неадмоўныя, завецца **прадуктыўнай**, калі для любога вектару  \overline{y}  з неадмоўных кампанентамі існуе рашэнне ўраўнення  \overline{x} =A\overline{x}+\overline{y}  — вектар, усе элементы якога неадмоўныя. У такім выпадку і мадэль Лявонцьева называецца *прадуктыўнай*.

Для ўраўнення тыпу **(5)** распрацавана адпаведная матэматычная тэорыя даследвання рашэння і яго асаблівасцей. Пакажам некаторыя асноўныя яе моманты.

Перапішам сістэму **(5)** з выкарыстаннем адзінкавай матрыцы E у выглядзе:

 (E-A)\overline{x}=\overline{y} (6). 

Калі існуе адваротная матрыца (Е-А)−1, то існуе і адзінае рашэнне ўраўнення **(5)**:

 \overline{x}=(E-A)^{-1}\overline{y} (7). 

Матрыца (Е-А)−1 завецца **матрыцай поўных выдаткаў**.

Існуе некалькі крытэрыяў прадуктыўнасці матрыцы А. Прывядзем 2 з іх.

1) Матрыца А прадуктыўная тады і толькі тады, калі матрыца (Е-А)−1 існуе і яе элементы неадмоўныя.

2) Матрыца А з неадмоўнымі элементамі прадуктыўная, калі сума элементаў па любому яе слупку (радку) не пераўзыходзіць адзінкі:

\sum^{n}_{i=1}a_{ij}\leqslant1;
\sum^{n}_{j=1}a_{ij}\leqslant1; i,j = 1, 2,..., n(8)

прычым хаця б для аднаго слупка (радка) гэтая сума строга менш адзінкі.

Для таго, каб матрыца А была прадуктыўнай, неабходна і дастаткова, каб існавала неадмоўная матрыца (для гэтага неабходна, каб матрыца (Е-А) была нявыраджаная, г.зн. \mid E-A \mid \neq 0):

 B=(E-A)^{-1} (9) 

B=
\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1k} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{k1} & \cdots & b_{kk} 
\end{pmatrix}

Матрыцу B называюць **матрыцай поўных матэрыяльных затратаў** ці **адваротнай матрыцай Лявонцьева**. Такім чынам, ураўненне **(7)** прыме выгляд:

\overline{x}=B\overline{y} (10)

ці ў каардынатнай форме

x_i=\sum^{n}_{j=1}b_{ij}y_i, i=1, 2,..., n.

Таксама адваротная матрыца В−1 існуе і з’яўляецца неадмоўнай, калі ўсе галоўныя міноры матрыцы В станоўчыя (**ўмова Хокінса-Саймана**):

det\begin{pmatrix}
b_{11} & \cdots & b_{1k} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
b_{k1} & \cdots & b_{kk} 
\end{pmatrix} >0, k=1, 2,..., n.

### Тыповая задача міжгаліновага балансу 
Выкарыстоўваючы дадзеныя справаздачнага балансу, пабудаваць сістэму балансавых ураўненняў і знайсці:

а) вектар валавога прадукту  \overline{x} , калі вектар канчатковага спажывання  \overline{y}=\begin{pmatrix}
10 \\
15 \\
\end{pmatrix}. 

б) вектар канчатковага спажывання  \overline{y} , калі вектар валавога прадукту  \overline{x}=\begin{pmatrix}
20 \\
25 \\
\end{pmatrix}. 

*Рашэнне.*

Для пабудовы балансавых ураўненняў знойдзем каэфіцыенты прамых выдаткаў aij па формуле **(2)**:

 a_{11}=\frac{x_{11}}{x_1}=\frac{4}{10}=0,4 

 a_{12}=\frac{x_{12}}{x_2}=\frac{0}{16}=0 

 a_{21}=\frac{x_{21}}{x_1}=\frac{1}{10}=0,1 

 a_{22}=\frac{x_{22}}{x_2}=\frac{8}{16}=0,5 

Сістэма балансавых ураўненняў **(3)** будзе мець выгляд:

\begin{cases}
    x_1-(0,4x_1+0x_2)=y_1 \\
    x_2-(0,1x_1+0.5x_2)=y_2\\
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
    0.6x_1=y_1 \\
    -0,1x_1+0.5x_2=y_2\\
\end{cases}

а) Пры зададзеным  \overline{y}=\begin{pmatrix}
10 \\
15 \\
\end{pmatrix} маем:

\begin{cases}
    0.6x_1=10 \\
    -0,1x_1+0.5x_2=15\\
\end{cases}

Атрыманую сістэму лінейных ураўненняў вырашым па формулах Крамера:

 
\Delta=det \begin{pmatrix}
0,6 & 0 \\
-0,1 & 0,5 \\ 
\end{pmatrix}=0,3

 
\Delta_1=det \begin{pmatrix}
10 & 0 \\
15 & 0,5 \\ 
\end{pmatrix}=5

 
\Delta_2=det \begin{pmatrix}
0,6 & 10 \\
-0,1 & 15 \\ 
\end{pmatrix}=10

 
x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{5}{0,3}=\frac{50}{3}

 
x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{10}{0,3}=\frac{100}{3}

 
\overline{x}= \begin{pmatrix}
 \frac{50}{3} \\
\frac{100}{3} \\ 
\end{pmatrix}.

б) Пры зададзеным  \overline{x}=\begin{pmatrix}
20 \\
25 \\
\end{pmatrix}  сістэма балансавых ураўненняў прымае выгляд:

\begin{cases}
    y_1=0,6\cdot20 \\
    y_2=-0,1\cdot20+0,5\cdot25 \\
\end{cases}

 \overline{y}=\begin{pmatrix}
12 \\
10,5 \\
\end{pmatrix}. 

### Уплыў недакладнасці прагнозу каэфіцыентаў прамых выдаткаў на хібнасць у рашэнні задач міжгаліновага балансу 
Мадэль міжгаліновага балансу знаходзіць прымяненне як у базавым варыянце мадэлі Лявонцьева, так і ў розных мадыфікацыях і спалучэннях з іншымі мадэлямі і метадамі, часта з’яўляючыся цэнтральным звяном мадэльных комплексаў.

Тут будзе разгледжана пытанне аб тым, наколькі недакладнасць прагнозу матрыцы каэфіцыентаў прамых выдаткаў (далей **МКПВ**) пагаршае дакладнасць разлікаў, якія праводзяцца з дапамогай мадэляў міжгаліновага балансу (**МГБ**).

Асноўнай праблемай у РБ з’яўляецца супярэчнасць нестабільнасці МКПВ тэарэтычнаму палажэнню аб тым, што гэтая матрыца не павінна істотна змяняцца ў часе. Дадзенае становішча, выкладзенае В. В. Лявонцьевым, відавочна: МКПВ адлюстроўвае тэхналогію вытворчасці тавараў і паслуг, якая ў цэлым па эканоміцы не можа значна змяняцца на працягу аднаго года. Тэхналагічныя зрухі ў асобных галінах цягнуць за сабой толькі варыяцыі асобных каэфіцыентаў прамых выдаткаў (КПВ). Для навочнага прыкладу тэзіса аб нестабільнасці МКПВ у Беларусі разгледзім табліцу адносных змяненняў матрыцы з 1995 па 2001 год:

**Адносныя змены МКПВ Рэспублікі Беларусь ад года да года, %:**

Велічыня, якая характарызуе адносную змену вектара або матрыцы, у агульным выглядзе вылічваецца па формуле
 \delta(z, z^')=\frac, 

дзе z і z' — эканамічны паказчык (прадстаўлены вектарам або матрыцай), вымераны адпаведна ў «зыходны» і ў «новы» перыяды часу;  ||\cdot||  — норма ў Эўклідавай прасторы (у якасці нормы матрыцы бярэцца норма вектара, складзенага з яе элементаў). У прыватнасці, калі і *А* і *А*'- МКПВ адпаведна зададзенага і наступнага года, то адноснае змяненне за год вылічваецца па формуле:

 \delta(A, A^')=\sqrt{\frac{\sum^{n}_{i,j=1} {(a^{'}}_{ij}-a_{ij})^2}{\sum^{n}_{i,j=1} {a^{2}}_{ij}}}. 

З вышэйпрыведзенай табліцы бачна, што змены МКПВ ад года да года значныя. Такім чынам, выкарыстанне пры правядзенні разлікаў замест актуальнай МКПВ (якая невядомая па прычыне запазнення), напрыклад, МКПВ за мінулы год можа прыўнесці ў зыходныя дадзеныя значную хібнасць. Для рашэння апісанай праблемы прымяняюцца метады карэкціроўкі МКПВ на аснове карэкціроўкі матрыцы за адзін год з папярэдніх. У дачыненні да беларускай эканомікі былі апрабаваныя і вывучаныя задачы матэматычнага праграмавання. У якасці крытэрыю, па якім ацэньваецца іх эфектыўнасць на практыцы, выступае адносная хібнасць: калі *А* — фактычная МКПВ, *А*'- прагнозная МКПВ за гэты ж год, разлічаная з дапамогай метаду карэкціроўкі, то  \delta(A, A^')  — адносная хібнасць разліку.

Пры выкарыстанні метадаў карэкціроўкі МКПВ узнікаюць наступныя пытанні:

— Наколькі моцная залежнасць паміж недакладнасцю прагнозу МКПВ і абумоўленай ёю хібнасць рашэння задач МГБ;

— Наколькі вялікая хібнасць рашэння задач МГБ, абумоўленая недакладнасцю прагнозу МКПВ;

— Ці можа хібнасць прагнозу МКПВ служыць мерай эфектыўнасці метадаў карэкціроўкі МКПВ.

Для адказу на гэтыя пытанні праводзяцца эксперыменты, у якіх зыходныя дадзеныя генеруюцца з дапамогай датчыка выпадковых лікаў. Пры парушэнні зададзенай МКПВ *А* мадэлюецца тым самым недакладнасць яе прагнозу з дапамогай якога-небудзь з метадаў карэкціроўкі, а далей вылічаецца хібнасць абуранай матрыцы *А* адносна зыходнай матрыцы і абумоўленыя ёю хібнасці рашэння задач МГБ.

Існуюць некалькі выглядаў рашэння разлікаў хібнасцей па мадэлі Лявонцьева:

* «**у-хібнасць**»= \delta(y, y^')  — задача пошуку вектара канчатковага выкарыстання задачы МГБ у'=(Е-А')х;
* «** \sum  y-хібнасць**»= \frac {\sum {y^'} - \sum {y} } {\sum {y}}  — задача вылічэння ВУП;
* «**х-хібнасць**»= \delta(x, x^')  — задача пошуку вектара валавога выпуску x'=(Е-А)−1y;
* «** \sum  x-хібнасць**»= \frac {\sum {x^'} - \sum {x} } {\sum {x}}  — задача вылічэння агульнага аб’ёму валавога выпуску.

Тут знак  \sum  паказвае на сумаванне ўсіх элементаў вектара; *х*, *у* — фактычныя вектар-слупкі валавога выпуску і канчатковага выкарыстання адпаведна; ''х', у'* — адпаведныя вектар-слупкі, разлічаныя на аснове абуранай матрыцы *А'*.

Такім чынам, хібнасць вылічэння вектараў *х* і *у'' лінейна залежыць ад хібнасці матрыцы. Велічыню адноснай хібнасці матрыцы можна выкарыстоўваць у якасці меры эфектыўнасці метаду карэкціроўкі МКПВ, калі прагнозная МКПВ у далейшым будзе прымяняцца ў задачах пошуку вектараў МГБ.

Асноўная цяжкасць у практычным прымяненні мадэляў МГБ у Рэспубліцы Беларусь носіць інфармацыйны характар. Справаздачны баланс прадстаўляецца толькі праз паўтары гады пасля заканчэння справаздачнага перыяду, а нестабільнасць каэфіцыентаў прамых выдаткаў у Рэспубліцы Беларусь выключае магчымасць выкарыстання састарэлай матрыцы каэфіцыентаў прамых выдаткаў у мадэльных разліках.

## Гл. таксама 
* Стратэгічнае планаванне
* Мадэляванне
* Мікалай Іванавіч Вядута

## Крыніцы 
## Літаратура 
* Грынберг, А. С. Эканоміка-матэматычныя метады і мадэлі/ А. С. Грынберг. — Мінск: Акадэмія кіравання пры Прэзідэнце Рэспублікі Беларусь, 2005.
* Красс, М. С. Матэматыка для эканамістаў/ М. С. Красс, Б. П. Чупрынаў. — Санкт-Пецярбург: Пітэр Прэс, 2009.
* Краўцоў, М. К., Міксюк, С. Ф. Матэматычнае мадэляванне макраэканамічных працэсаў/ М. К. Краўцоў, С. Ф. Міксюк. — Мінск: НІЭД Міністэрства эканомікі РБ, 2005.
* Крэмер, Н. Ш. Вышэйшая матэматыка для эканамічных спецыяльнасцяў/ Н. Ш. Крэмер. — Масква: Вышэйшая адукацыя, 2010.
* Лявонцьеў, В. У. Міжгаліновая эканоміка/ В. У. Лявонцьеў. — Масква: Эканоміка, 1997.
* Макараў, С. І. Эканоміка-матэматычныя метады і мадэлі/ С. І. Макараў, Севасцьянава С. А. — Масква: Кнорус, 2008.
* Малугін, В. А. Матэматыка для эканамістаў: лінейная алгебра/ В. А. Малугін. — Масква: Эксмо, 2006.
* Самуэльсон, П., Баннет, У. Аб чым думаюць эканамісты: Гутаркі з нобелеўскімі лаўрэатамі/ Пад рэд. П. Самуэльсона і У. Баннета. — Масква: Альпіна Бізнес букс, 2009.
* Сідзін, Э. Ф. Эканоміка-матэматычнае мадэляванне/ З. Ф. Сідзін. — Чарнігаў: 1999.
* Чарняк, А. А. Матэматыка для эканамістаў на базе Mathcad/ А. А. Чарняк. — Санкт-Пецярбург: БХВ-Пецярбург, 2003.

## Спасылкі 
* Сістэма табліц «Выдаткі — Выпуск» для Рэспублікі Беларусь 
* Табліцы «выдаткі — выпуск» для ЗША

Катэгорыя:Вытворчасць
Катэгорыя:Эканоміка-матэматычныя мадэлі