Спіс лімітаў

Старонка змяшчае спіс лімітаў для асноўных функцый, а таксама правілы вылічэння лімітаў.

## Агульныя правілы 
### Ліміт непарыўнай функцыі 
Калі функцыя  непарыўная ў пункце , то яе ліміт пры імкненні  да  роўны значэнню функцыі ў гэтым пункце:
: \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).

### Арыфметычныя правілы для лімітаў 
Няхай існуюць ліміты \lim_{x \to c} f(x) = L_1 і \lim_{x \to c} g(x) = L_2. Тады

* ліміт сумы роўны суме лімітаў
*: \lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) = L_1 + L_2,

* ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў
*: \lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) = L_1 - L_2,

* ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў
*: \lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2

Няхай \lim_{x \to c} g(x) = L_2 \ne 0. Тады
* ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў
*: \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}.

Няхай \lim_{x \to c} f(x) = L_1 > 0. Тады
* ліміт ступені існуе і роўны
*: \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)} = L_1^{L_2}.

*Заўвага*. Усе гэтыя правілы праўдзяцца і для лімітаў паслядоўнасцей. Паслядоўнасць можна разглядаць як адмысловы выпадак функцыі, якая вызначана толькі для натуральных значэнняў сваёй зменнай. У гэтым выпадку граніцу паслядоўнасці можна вытлумачыць як граніцу такой функцыі пры імкненні зменнай (натуральнага ліку) да бясконцасці.

### Правіла Лапіталя 
Калі \lim_{x \to c} f(x) = 0 і \lim_{x \to c} g(x) = 0, і існуе ліміт дзелі іх вытворных
: \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)},
то
: \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}.

## Ліміты рацыянальных выразаў 
* \lim_{x\to \pm\infty}\frac{a_0x^k + a_1x^{k-1} + ... + a_k}{b_0x^r + b_1x^{r-1} + ... + b_r}=
\begin{cases}
\sgn[{a_0 \over b_0}]\cdot (\pm 1)^{(k-r)}\cdot \infty, & k>r,\\
\frac{a_0}{b_0}, & k=r,\\
0, & k

## «Грунтоўныя» ліміты 
Словазлучэнне **грунтоўныя ліміты** () замацавалася ў савецкіх і цяперашніх расійскіх і беларускіх падручніках па матэматычным аналізе як назва двух важных лімітаў, якія маюць шматлікія дастасаванні ў матэматычным аналізе.

* **Першы грунтоўны ліміт** ()
*: \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 

* **Другі грунтоўны ліміт** ()
*: \lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^x = e 

*Заўвага 1*. Ліміты многіх выразаў з трыганаметрычнымі функцыямі вынікаюць з першага грунтоўнага ліміту.

*Заўвага 2*. Ліміты выразаў з лагарыфмамі і ступенна-паказнікавых выразаў часта можна атрымаць як вынік другога грунтоўнага ліміту.

## Трыганаметрычныя выразы 
* \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 

* \lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b} 

* \lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{\sin(bx)} = \frac{a}{b} 

* \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{tg}(x)}{x} = 1 

* \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} = 1 

* \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg}(x)}{x} = 1 

* \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x} = 0 

* \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} 

## Ступенна-паказнікавыя і лагарыфмічныя выразы 
* \lim_{x\to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e

* \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1

* \lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \frac{1}{\ln a}

* \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

* \lim_{x\to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a

* \lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\alpha} - 1}{x} = \alpha

## Ліміты і вядомыя матэматычныя сталыя 
* \lim_{n\to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e

* \lim_{n\to \infty} \left(\frac{2\cdot 4\cdot\dots\cdot 2n}{1\cdot 3\cdot\dots\cdot (2n-1)}\right)^2\cdot\frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}&emsp;(формула Уоліса)
*: 
\Gamma(z) = \lim_{n\to\infty} \frac{n!\, n^z}{z(z+1)\dots(z+n)}

### Дзэта-функцыя Рымана 
* Дзэта-функцыя Рымана на камплекснай плоскасці пры  вызначаецца як ліміт
*: \zeta(z) := \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^z}

Катэгорыя:Ліміты