Аксіяматыка Калмагорава

**Аксіёмы Калмагорава** — асноўныя палажэнні тэорыі імавернасцей, прапанаваныя савецкім матэматыкам Андрэем Калмагоравым у 1933 г. Гэтыя аксіёмы сталі класічнымі і дагэтуль застаюцца найбольш распаўсюджанай  у сучаснай тэорыі імавернасцей.

## Аксіёмы 
Для задання аксіём уводзіцца паняцце імавернаснай прасторы — тройкі (\Omega, \mathcal{A}, P), дзе \Omega — прастора элементарных падзей, \mathcal{A} — σ-алгебра падмностваў мноства \Omega, якія называюцца выпадковымі падзеямі, P: \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{R} — , якая называецца .

Аксіёмы Калмагорава для тэорыі імавернасцей:

# Неадмоўнасць. P(A) \ge 0 для адвольнай падзеі A \in \mathcal{A}.
# Нармаванасць. P(\Omega) = 1, г.зн. імавернасць верагоднай падзеі роўна 1.
# Адытыўнасць. P(A + B) = P(A) + P(B) для якіх-кольвек несумесных падзей A, B \in \mathcal{A}.
# Непарыўнасць. Калі паслядоўнасць (A_n)_{n=1}^{\infty} падзей A_n \in \mathcal{A} такая, што A_1 \supset A_2 \supset \dots \supset A_n \supset \dots і \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n = \varnothing, то \lim_{n \to \infty} P(A_n) = 0.

## Аксіёма злічонай адытыўнасці 
Часам замест чатырох аксіём Калмагорава прыводзяцца тры, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замяняюцца эквівалентнай ім аксіёмай злічонай адытыўнасці: 

Для адвольнай злічонай сям'і дыз'юнктных (то бок несумесных) падзей \{B_k | k \in \mathbb{N}\} справядліва роўнасць
P\left(\sum_{k=1}^{\infty} B_k\right) = \sum_{k=1}^{\infty} P(B_k).

З пункту гледжання праўдзівасці сцверджанняў, якія грунтуюцца на аксіёмах Калмагорава, няма розніцы паміж класічным наборам з чатырох аксіём і наборам, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замененыя на аксіёму злічонай адытыўнасці, бо гэтыя наборы аксіём эквівалентныя паміж сабой.

### Доказ эквівалентнасці 
Дапусцім спачатку, што выконваюцца аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці. Зададзім злічоную сям'ю дыз'юнктных мностваў A_n := \sum_{k=n+1}^{\infty} B_k і атрымаем, што A_1 \supset A_2 \supset \dots \supset A_n \supset \dots. Пазначым B := \sum_{k=1}^{\infty} B_k і запішам

\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n+1}^{\infty} B_k = \bigcap_{n=1}^{\infty} \left(B \setminus \bigcup_{k=1}^{n} B_k\right) =   = B \setminus \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{n} B_k = B \setminus B = \varnothing .

Такім чынам, \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n = \varnothing і паводле аксіёмы непарыўнасці \lim_{n \to \infty} P(A_n) = 0. З вызначэння A_n і аксіёмы адытыўнасці вынікае 
P\left(\sum_{k=1}^{\infty} B_k\right) = P\left(\sum_{k=1}^{n} B_k + A_n \right) = \sum_{k=1}^{n} P(B_k) + P(A_n).

Пераходзячы ў апошняй роўнасці да ліміту n \to \infty атрымліваем роўнасць з аксіёмы злічонай адытыўнасці.

Цяпер дакажам што выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання адытыўнасці і непарыўнасці. 

Для доказу спатрэбіцца факт таго, што P(\varnothing) = 0. Сапраўды, прымаючы B_k = \varnothing (што можна зрабіць, бо пустое мноства не перасякаецца з самім сабой) атрымліваем 
P(\varnothing) = P\left(\sum_{k=1}^{\infty} \varnothing\right) = \sum_{k=1}^{\infty} P(\varnothing).

Успомнім, што паводле азначэння P можа прымаць толькі рэчаісныя значэнні, а з усіх рэчаісных лікаў выкананне прыведзенай вышэй роўнасці магчыма толькі для P(\varnothing) = 0.

Для адвольных несумесных падзей A, B прымем B_1 = A, B_2 = B, B_3 = B_4 = \dots = \varnothing. Улічваючы аксіёму злічонай адытыўнасці і тое, што P(\varnothing) = 0, маем

P(A+B) = P(B_1 + B_2 + \varnothing + \varnothing + \dots) = 
 = P(B_1) + P(B_2) + P(\varnothing) + \dots = P(A) + P(B).

Гэта значыць, што праўдзіцца аксіёма адытыўнасці. 

Возьмем цяпер адвольны набор падзей A_1 \supset A_2 \supset \dots \supset A_n \supset \dots, для якіх \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}} A_n = \varnothing. Пазначым B_n := A_n \setminus A_{n+1} для ўсіх n \in \mathbb{N} і атрымаем дыз'юнктнае мноства падзей \{B_1, B_2, \dots, B_n, \dots \}. Паводле аксіёмы злічонай адытыўнасці, шэраг \sum_{k=1}^{\infty} P(B_k) збягаецца і таму паслядоўнасць ягоных астачаў імкнецца да нуля, г.зн.:

0 = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^\infty P(B_k) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n}^\infty P(A_k \setminus A_{k+1}) = \lim_{n \to \infty} P(A_n).

Такім чынам мы паказалі, што аксіём адытыўнасці і непарыўнасці дастаткова для выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці, а таксама што аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання аксіём адытыўнасці і непарыўнасці. Гэта значыць, што аксіёма злічонай адытыўнасці эквівалентная аксіёмам адытыўнасці і непарыўнасці, узятым разам.

## Высновы з першых трох аксіём 
Грунтуючыся на аксіёмах Калмагорава, можна даказаць шэраг сцверджанняў, карысных для вывучэння тэорыі імавернасцей.

### Адытыўнасць для канечнага мноства падзей 
Калі падзеі A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathcal{A} парамі несумесныя, то
P\left(\sum_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n P(A_k).

#### Доказ 
Доказ будуецца метадам матэматычнай індукцыі з аксіёмы адытыўнасці. Паводле аксіёмы, роўнасць слушная для n=2. Для n > 2 дапусцім, што праўдзіцца роўнасць
P\left(\sum_{k=1}^{n-1} A_k\right) = \sum_{k=1}^{n-1} P(A_k).
Выкарыстоўваючы яе і аксіёму адытыўнасці, маем
P\left(\sum_{k=1}^n A_k\right) = P\left(\sum_{k=1}^{n-1} A_k + A_n\right) = P\left(\sum_{k=1}^{n-1} A_k\right) + P(A_n) = \sum_{k=1}^{n-1} P(A_k) + P(A_n) = \sum_{k=1}^n P(A_k).

### Правіла сумы 
Для адвольных дзвюх падзей A, B \in \mathcal{A} справядліва роўнасць

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

#### Доказ 
Заўважым, што P(A \cup B) = A \setminus B + B \setminus A  + A \cap B, дзе ўсе тры падзеі парамі несумесныя. З адытыўнасці для канечнага мноства падзей вынікае
P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A)  + P(A \cap B) =
= (P(A \setminus B) + P(A \cap B)) + (P(B \setminus A) + P(A \cap B)) - P(A \cap B) =
= P(A) + P(B) - P(A \cap B).

### Імавернасць надмноства 
Калі A \subset B, то P(B) = P(A) + P(B \setminus A).

#### Доказ 
З A \subset B вынікае B = A + B \setminus A. Тады паводле аксіёмы адытыўнасці маем P(B) = P(A) + P(B \setminus A).

### Імавернасць немагчымай падзеі 
P(\varnothing) = 0.
#### Доказ 
У формуле імавернасці надмноства прымем B = A. Атрымаем P(A) = P(A) + P(A \setminus A) = P(A) + P(\varnothing). Адсюль вынікае, што P(\varnothing) = 0.

### Імавернасць процілеглай падзеі 
P(\bar{A}) = 1 - P(A), дзе \bar{A} — падзея, процілеглая да A.

#### Доказ 
Сыходзячы з таго, што \Omega = A + \bar{A}, а таксама з аксіём адытыўнасці і нармаванасці, атрымліваем
1 = P(\Omega) = P(A + \bar{A}) = P(A) + P(\bar{A}).

### Манатоннасць 
Калі A \subset B, то P(A) \leq P(B).

#### Доказ 
З формулы імавернасці надмноства і аксіёмы неадмоўнасці маем
P(A) = P(B) - P(B \setminus A) \leq P(B).

### Лікавыя межы імавернасці 
Для кожнай падзеі A \in \mathcal{A} праўдзіцца 0 \leq P(A) \leq 1.

#### Доказ 
З таго, што \varnothing \subset A \subset \Omega вынікае 
0 = P(\varnothing) \leq P(A) \leq P(\Omega) = 1.

### Няроўнасць для імавернасці аб'яднання 
Для якіх-кольвек падзей A_1, A_2, \dots, A_n справядліва няроўнасць

P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \leq P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n).

#### Доказ 
Для n = 2, з правіла сумы і аксіёмы неадмоўнасці вынікае 

P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \leq P(A_1) + P(A_2).

Дапусцім, што для n - 1 выконваецца

P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{n-1}) \leq P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_{n-1}).

Сумяшчаючы гэтыя няроўнасці, атрымоўваем 

P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) = P((A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{n-1}) \cup A_n) \leq
\leq P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_{n-1}) + P(A_n) \leq P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n).

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей