Дыферэнцыял функцыі

**Дыферэнцыя́л** ( — рознасць, адрозненне) — галоўная лінейная частка поўнага прырашчэння функцыі.

## Гісторыя 
Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам.
Першапачаткова dx ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» — велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

## Абазначэнні 
Звычайна дыферэнцыял функцыі f пазначаецца df.
Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню {\rm d}f шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з’яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы x_0 пазначаецца d_{x_0}f, а часам df[x_0],
а таксама df, калі значэнне x_0 ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы x_0 ад h
можа пазначацца як d_{x_0}f(h), а часам df[x_0](h), а таксама df(h), калі значэнне x_0 ясна з кантэксту.

## Выкарыстанне знака дыферэнцыяла 
* Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла \int f(x)\, dx. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял dx уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
* Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай f'(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0). Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі f і аналагічнай функцыі x верныя суадносіны
* :d_{x_0}f=f'(x_0){\cdot} d_{x_0}x.

## Вызначэнне 
### Для функцый 
Дыферэнцыял функцыі f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} у кропцы x_0 \in \mathbb{R} можа быць вызначаны як лінейная функцыя
: d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h,
дзе f'(x_0) абазначае вытворную f у кропцы x_0.

Такім чынам df ёсць функцыя двух аргументаў df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h).

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн., без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя d_{x_0}f(h), якая лінейна залежыць ад h, і для якой верныя наступныя суадносіны
:  d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(|h|).

### Для адлюстраванняў 
Дыферэнцыялам адлюстравання f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m у кропцы x_0 \in \mathbb{R}^n называюць лінейны аператар d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m такі, што выконваецца ўмова
:  d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0)  + o(|h|).

## Звязаныя вызначэння 
* Адлюстраванне f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m называецца *дыферэнцуемым* у кропцы x_0 \in \mathbb{R}^n калі вызначаны дыферэнцыялd_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m.

## Уласцівасці 
* Матрыца лінейнага аператара d_{x_0}f роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з’яўляюцца частковыя вытворныя.
: *Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.
* Дыферэнцыял функцыі f звязаны з яе градыентам \nabla f наступнымі вызначальнымі суадносінамі
: d_{x_0}f(h)=\langle(\nabla f)(x_0),h\rangle
* Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з’яўляюцца узаемазваротнымі.

## Варыяцыі і абагульненні 
* Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
* Знешні дыферэнцыял
* Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
* Вытворная Пеано
* Вытворная Фрэшэ

## Крыніцы 
## Літаратура 
* 
* 
* 
* 
* Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. — М.: ACT: Астрель, 2006. — 991, [1] с: ил. — ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»), ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).
* *Г. М. Фихтенгольц* «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

Катэгорыя:Дыферэнцыяльнае злічэнне
Катэгорыя:Матэматычны аналіз