Цялесны вугал

**Цялесны вугал** — частка прасторы, якая з’яўляецца аб’яднаннем усіх прамянёў, якія выходзяць з дадзенай кропкі (вяршыні вугла) і перасякаюць некаторую паверхню (якая называецца паверхняй, якая сцягвае дадзены цялесны вугал). Асобнымі выпадкамі цялеснага вугла з’яўляюцца трохгранныя і шматгранныя вуглы. Мяжой цялеснага вугла з’яўляецца некаторая канічная паверхня.

Цялесны вугал вымяраецца адносінай плошчы той часткі сферы з цэнтрам у вяршыні вугла, якая выражаецца гэтым цялесным вуглом, да квадрата радыуса сферы:
:: \Omega\,=\,{S\over R^2}.

Відавочна, цялесныя вуглы вымяраюцца адцягненымі (безразмернымі) велічынямі. Адзінкай вымярэння цялеснага вугла ў сістэме СІ з’яўляецца стэрадыян, роўны цялеснаму вуглу, выразаючаму са сферы радыуса ~r паверхню з плошчай ~r^2.
Поўная сфера ўтварае цялесны вугал, роўны ~4\pi стэрадыян (поўны цялесны вугал), для вяршыні, размешчанай унутры сферы, у прыватнасці, для цэнтра сферы; такім жа з’яўляецца цялесны вугал, пад якім бачна любая замкнёная паверхня з кропкі, якая цалкам ахопліваецца гэтай паверхняй, але не належыць ёй.
Акрамя стэрадыянаў, цялесны вугал можа вымярацца ў квадратных градусах, квадратных хвілінах і квадратных секундах, а таксама ў долях поўнага цялеснага вугла.

Цялесны вугал мае нулявую фізічную размернасць.

Пазначаецца цялесны вугал звычайна літарай ~\Omega.

Дваісты цялесны вугал да дадзенага цялеснага вугла ~\Omega вызначаецца як вугал, які складаецца з прамянёў, якія ўтвараюць з любым прамянём вугла ~\Omega нявостры вугал.

*Каэфіцыенты пераліку адзінак цялеснага вугла.*

## Вылічэнне цялесных вуглоў 
Для адвольнай сцягвальнай паверхні S цялесны вугал \Omega, пад якім яна бачная з пачатку каардынат, роўны

\Omega = \iint\limits_S d\Omega 
= \iint\limits_S \sin \vartheta d\varphi d\vartheta
= \iint\limits_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2},

дзе r, \vartheta, \varphi — сферычныя каардынаты элемента паверхні dS, \mathbf{r} — яго радыус-вектар, \mathbf{n} — адзінкавы вектар, нармальны даdS.

## Уласцівасці цялесных вуглоў 
* Поўны цялесны вугал (поўная сфера) роўны 4\pi стэрадыян.
* Сума ўсіх цялесных вуглоў, дваістых да ўнутраных цялесных вуглоў выпуклага шматгранніка, роўная поўнаму вуглу.

## Велічыні некаторых цялесных вуглоў 
* Трохвугольнік з каардынатамі вяршынь \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3 бачны з пачатку каардынат пад цялесным вуглом
: \Omega = 2\, \mathrm{arctg}\, \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2},
дзе (\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3) — змешаны здабытак дадзеных вектараў, (\mathbf{r}_i\cdot\mathbf{r}_j) — скалярны здабытак адпаведных вектараў, паўтлустым шрыфтам пазначаныя вектары, нармальным шрыфтам — іх даўжыні. Па гэтай формуле можна вылічаць цялесныя вуглы, сцягнутыя адвольнымі шматвугольнікамі з вядомымі каардынатамі вяршынь (для гэтага дастаткова разбіць многавугольнік на неперасякальныя трохвугольнікі).

* Цялесны вугал пры вяршыні прамога кругавога конуса з вуглом раствора α роўны \Omega = 2\pi (1 - \cos \frac{\alpha}{2}). Калі вядомы радыус асновы R і вышыня H конуса, то \Omega = 2\pi (1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}).
Калі вугал раствора конуса малы,\Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4} (\alpha выражана ў радыянах), ці \Omega \approx 0,000239 \alpha^2 (\alpha выражана ў градусах). Так, цялесны вугал, пад якім з Зямлі бачныя Месяц і Сонца (іх вуглавы дыяметр прыкладна роўны 0,5°), складае каля 6.10−5 стэрадыян, або ≈ 0,0005 % плошчы нябеснай сферы (гэта значыць поўнага цялеснага вугла).

* Цялесны вугал двухграннага вугла ў стэрадыянах роўны падвоенаму значэнню двухграннага вугла ў радыянах:

* Цялесны вугал трохграннага вугла выражаецца па тэарэме Люілье праз яго плоскія вуглы \theta_a, \theta_b, \theta_c пры вяршыні як:
:: \Omega = 4\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} , где \theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2} — паўперыметр.
: Праз двухгранныя вуглы \alpha, \beta, \gamma цялесны вугал выражаецца як:
:: \Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi

* Цялесны вугал пры вяршыні куба (або любога іншага прамавугольнага паралелепіпеда) роўны \frac{1}{8} поўнага цялеснага вугла, або \frac{\pi}{2} стэрадыян.

* Цялесны вугал, пад якім бачная грань правільнага N-гранніка з яго цэнтра, роўны \frac{1}{N} поўнага цялеснага вугла, або \frac{4\pi}{N} стэрадыян.

## Гл. таксама 
* Вугал
* Двухгранны вугал
* Трохгранны вугал
* Шматгранны вугал

## Спасылкі 
Катэгорыя:Геаметрычныя фігуры
Катэгорыя:Фізічныя велічыні
Катэгорыя:Стэрэаметрычныя вуглы