Магутнасць мноства

**Магутнасць мноства**, **кардынальны лік мноства** (лац. cardinalis ← cardo «стрыжань; асяродак») — характарыстыка мностваў (у тым ліку бясконцых), якая абагульняе паняцце колькасці (лічбы) элементаў канечнага мноства.

У аснове гэтага паняцця ляжаць натуральныя прадстаўленні аб параўнанні мностваў:

# Любыя два мноствы, паміж элементамі якіх можа быць выяўлена ўзаемна-адназначная адпаведнасць (біекцыя), змяшчаюць аднолькавую колькасць элементаў (маюць аднолькавую магутнасць).
# Наадварот: мноствы, роўныя па магутнасці, павінны мець такую ўзаемна-адназначную адпаведнасць.
# Частка мноства не перавышае поўнага мноства па магутнасці (гэта значыць па колькасці элементаў).

Да пабудавання тэорыі магутнасці мностваў мноства адрозніваліся па прыкметам: пустое/непустое і канечнае/бясконцае, таксама канечныя мноствы адрозніваліся па колькасці элементаў. Бясконцыя ж мноства нельга было параўновываць.

Магутнасць мностваў дазваляе параўновываць бясконцыя мноствы.
Напрыклад, злічальныя мноствы з'яўляюцца самымі «маленькімі» бясконцымі мноствамі.

Магутнасць мноства A пазначаецца праз |A|. Часам сустракаюцца абазначэнні \overline{\overline{A}}, \# A і \mathrm{card}(A).

## Азначэнне 
Пры выконванні аксіёмы выбару магутнасць мноства фармальна азначаецца як мінімальны парадкавы лік \alpha, пры каторым між X і \alpha можна выявіць біектыўную адпаведнасць. Дадзенае азначэнне таксама называецца размеркаваннем кардынальных лікаў па фон Нэйману. 

Фармальны парадак сярод кардынальных лікаў уводзіцца наступным вобразам: |X| \le |Y| азначае, што мноства X можна ін'ектыўна адлюстраваць на Y. Згодна з тэарэмай Кантара — Бярнштэйна, з двух няроўнасцей |X| \le |Y| і |Y| \le |X| вынікае, што |X| = |Y|. Аксіёма выбару эквівалентная сцвярджэнню аб тым, што для любых мностваў X і Y выконваецца прынамсі адно з няроўнасцей |X| \le |Y| або |Y| \le |X|.

## Звязаныя азначэнні 
* Магутнасць мноства натуральных лікаў {\mathbb N} пазначаецца сімвалам \aleph_0 («алеф-нуль»). Мноства называецца **бясконцым**, калі яго магутнасць \geqslant\aleph_0 (не менш магутнасці мноства натуральных лікаў), такім вобразам, злічальныя мноствы — гэта «самыя маленькія» з **бясконцых** мностваў. Наступныя кардынальныя лікі ў парадку нарастання пазначаюцца \aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots (дзе індэкс прабягае усё парадкавыя лікі). Сярод кардынальных лікаў няма найбольшага: для любога мноства кардынальных лікаў існуе кардынальны лік, большы за ўсе элементы гэтага мноства.

* Пра мноствы, раўнамагутныя мноству ўсіх рэчаісных лікаў, кажуць, што яны маюць магутнасць кантынуума, і магутнасць такіх мностваў пазначаецца сімвалам \mathfrak{c} . Меркаванне аб тым, што \mathfrak{c}=\aleph_1, называецца кантынуум-гіпотэзай.

## Прыклады 
* Мноства называецца канечным, калі яно раўнамагутна адрэзку натуральнага шэрага I_n = \{1,2...,n\} пры некаторым неадмоўным цэлым n. Лік n абазначае колькасць элементаў канечнага мноства. Пры n=0 мноства не змяшчае элементаў (пустое мноства). Калі n, то не існуе ін'ектыўнага адлюстравання з I_m у I_n (прынцып Дырыхле), а значыць, не існуе і біекцыі між імі. Таму мноства I_m і I_n маюць розную магутнасць.

* Мноства называецца злічальным, калі яно раўнамагутна мноству ўсіх натуральных лікаў \mathbb{N}. Злічальнымі мноствамі з'яўляюцца:
** Мноства \mathbb{N}\setminus I_k пры любым натуральным k. Адпаведнасць: n\rightarrow n+k. 
** Мноства \mathbb{N}\cup \{0\}. Адпаведнасць: n\rightarrow n-1.
** Мноства цэлых лікаў \mathbb{Z}. Адпаведнасць атрымоўваецца пры супастаўленні складнікаў шэрага 0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...  яго частковымі сумам (складнікі шэрага бяруцца без учоту знака).
** Мноства пар натуральных лікаў \mathbb{N}\times\mathbb{N}.
** Мноства рацыянальных лікаў \mathbb{Q} ін'ектыўна адлюстроўваецца у мноства \mathbb{Z}\times\mathbb{N} (нескарачальнаму дробу p/q выгляду адпавядае пара лікаў (p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}. Таму мноства рацыянальных лікаў не больш, за злічальнае. Але паколькі яно змяшчае мноства натуральных лікаў, то яно і не менш, за злічальнае. Па тэарэме Кантара-Бярнштэйна яно злічальнае.

* Бясконцыя мноствы, нераўнамагутныя мноству \mathbb{N}, называюцца незлічальнымі. Па тэарэме Кантара незлічальным з'яўляецца мноства бясконцых паслядоўнасцей, састаўленых з лічб 0 і 1. Магутнасць гэтага мноства называется кантынуум.

* Магутнасць мноства \mathbb{R} рэчаісных лікаў роўна кантынууму.

## Уласцівасці 
* Два **канечных** мноства раўнамагутныя тады і толькі тады, калі яны складаюцца з аднолькавай лічбы элементаў. Гэта значыць што для канечнага мноства паняцце магутнасці супадае з звычайным паняццем колькасці.
* Для бясконцых мностваў магутнасць мноства можа супадаць з магутнасцю свайго ўласнага падмноства, напрыклад |{\mathbb N}|=|\mathbb Z|.
* Больш таго, мноства бясконца тады і толькі тады, калі яно змяшчае раўнамагутнае ўласнае (гэта значыць яно не супадае з асноўным мноствам) падмноства.
* Тэарэма Кантара гарантуе існаванне больш магутнага мноства за любое дадзенае: *Мноства ўсіх падмноств мноства *A* мае большую моцнасць, чым *А*, іначай кажучы |2^A| > |A|. *
* З дапамогай кантарава квадрата можна таксама даказаць наступнае прыдатнае сцвярджэнне: *дэкартаў  здабытак* *бясконцага мноства* A *з самім сабой раўнамагутны* A.

## Літаратура 
* 
* Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948.

Катэгорыя:Тэорыя мностваў