Дзялімасць

**Дзялі́масць** — адно з асноўных паняццяў арыфметыкі і тэорыі лікаў, звязанае з аперацыяй дзялення. З пункту погляду тэорыі мностваў, дзялімасць цэлых лікаў з'яўляецца дачыненнем, вызначаным на мностве цэлых лікаў.

## Азначэнне 
Калі для некаторага цэлага ліку a і цэлага ліку b існуе такі цэлы лік q, што bq=a, то кажуць, што лік a **дзеліцца цалкам** (ці **дзеліцца без астачы**) на b або што b **дзеліць** a.

Пры гэтым лік b называецца **дзельнікам** ліку a, **дзеліва** a будзе **кратным** ліку b, а лік *q* называецца **дзеллю** ад дзялення *a* на *b*.

Хоць уласцівасць дзялімасці вызначана на ўсём мностве *цэлых* лікаў, звычайна разглядаецца толькі дзялімасць *натуральных* лікаў. У прыватнасці, функцыя колькасці дзельнікаў натуральнага ліку падлічвае толькі яго дадатныя дзельнікі.

### Абазначэнні 
* Запіс a\,\vdots\, b абазначае, што a дзеліцца на b, ці, што тое самае, лік a *кратны* ліку b.
* Запіс b\mid a ці b\setminus a абазначае, што b *дзеліць* a, ці, што тое ж: b — дзельнік a.

## Звязаныя азначэнні 
* У кожнага натуральнага ліку, большага за адзінку, ёсць прынамсі два натуральныя дзельнікі: адзінка і сам гэты лік. Пры гэтым натуральныя лікі, у якіх роўна два дзельнікі, называюцца простымі, а тыя, у якіх больш за два дзельнікі — састаўнымі. Адзінка мае роўна адзін дзельнік і не з'яўляецца ні простым, ні састаўным лікам.
* У кожнага натуральнага ліку, большага за 1, ёсць хоць адзін просты дзельнік.
* *Уласным дзельнікам* ліку называецца ўсякі яго дзельнік, не роўны самому ліку. У простых лікаў ёсць роўна адзін уласны дзельнік — адзінка.
* Незалежна ад дзялімасці цэлага ліку a на цэлы лік b\ne 0, лік *a* заўсёды можна падзяліць на *b* з астачаю, г. зн. прадставіць у выглядзе:
*: a=b\,q + r,
*: дзе 0 \le r .
: У гэтых суадносінах лік q называецца *няпоўнаю дзеллю*, а лік *r* —  *астачаю* ад дзялення a на b. Як дзель, так і астача вызначаюцца адназначна.
: Лік *a* дзеліцца цалкам на *b* тады і толькі тады, калі астача ад дзялення *a* на *b* роўная нулю.
* Усякі лік, які дзеліць як a, так і b, называецца іх **агульным дзельнікам**; найбольшы з такіх лікаў называецца *найбольшым агульным дзельнікам*. Любая пара цэлых лікаў мае сама менш два агульныя дзельнікі: +1 і -1. Калі іншых агульных дзельнікаў няма, то гэтыя лікі называюцца *ўзаемна простымі*.

## Уласцівасці 
: *Заўвага:* ва ўсіх формулах гэтага раздзела мяркуецца, што  — цэлыя лікі.

* Любы цэлы лік з'яўляецца дзельнікам нуля, і дзель роўная нулю:
:0\,\vdots\,a.

* Любы цэлы лік дзеліцца на адзінку:
:a\,\vdots\,1.

* На нуль дзеліцца толькі нуль:
:a\,\vdots\,0\quad\Rightarrow\quad a = 0,
: прычым дзель у гэтым выпадку не вызначана.

* Адзінка дзеліцца толькі на адзінку:
:1\,\vdots\,a\quad\Rightarrow\quad a = \pm 1.

* Для любога цэлага ліку a \ne 0 знойдзецца такі цэлы лік b \ne a, для якога b\,\vdots\,a.
* Калі a\,\vdots\,b і \left|b\right| > \left|a\right|, то a\,=\,0. Адсюль жа вынікае, што калі a\,\vdots\,b і a \ne 0 то \left|a\right| \ge \left|b\right|.
* Для таго каб a\,\vdots\,b неабходна і дастаткова, каб \left|a\right| \vdots \left|b\right|.
* Калі a_1\,\vdots\,b,\,a_2\,\vdots\,b,\,\dots,\,a_n\,\vdots\,b, то \left( a_1 + a_2 + \dots + a_n \right)\,\vdots\,b.
* Уласцівасць дзялімасці з'яўляецца дачыненнем нястрогага парадку і, адпаведна, яно:
** рэфлексіўнае, г. зн. любы цэлы лік дзеліцца на сябе: \quad a\,\vdots\,a.
** транзітыўнае, г. зн. калі a\,\vdots\,b і b\,\vdots\,c, то a\,\vdots\,c.
** антысіметрычнае, г. зн. калі a\,\vdots\,b і b\,\vdots\,a, то альбо a\,=\,b, альбо a\,=\,-b.

## Лік дзельнікаў 
Лік дадатных дзельнікаў натуральнага ліку n звычайна абазначаецца \tau(n) і з'яўляецца мультыплікатыўнаю функцыяй, для яе справядліва асімптатычная формула Дзірыхле:
: \sum_{n=1}^N\tau(n)=N\ln N+(2\,\gamma-1)N+O\left(N^\theta\right),
дзе \gamma — пастаянная Эйлера — Маскероні, а для \theta Дзірыхле атрымаў значэнне \frac{1}{2}. Гэты вынік неаднаразова паляпшаўся, і на сёння найлепшы вядомы вынік \theta=\frac{131}{416} (атрыман у 2003 годзе Хакслі). Аднак, найменшае значэнне \theta, пры якім гэта формула застаецца вернаю, невядома (даказана, што яно не меншае, чым \frac{1}{4}).

Пры гэтым сярэдні дзельнік вялікага ліку  у сярэднім расце як \frac{c_1 n}{\sqrt{\ln n}}, што было выяўлена А. Карацубам. Паводле камп'ютарных ацэнак М. Каралёва
:c_1=\frac{1}{\pi}\prod_p \left(\frac{p^{3/2}}{\sqrt{p-1}} \ln\left(1+\frac{1}{p}\right)\right)\approx 0,7138067.

## Абагульненні 
Паняцце дзялімасці абагульняецца на адвольныя колцы, напрыклад колца мнагачленаў.

## Гл. таксама 
* Дзяленне з астачай
* Прыкметы дзялімасці
* Дзяленне
* Параўнанне па модулю
* Колца
* Фактарызацыя

## Літаратура 
* *Виноградов И. М.* Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
* 

## Спасылкі 
* Відэа пра дзялімасць

Катэгорыя:Матэматычныя дачыненні
Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Арыфметыка