Трыганаметрыя

**Трыганаметрыя** (ад  «трохвугольнік» і  «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

## Гісторыя 
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

## Трыганаметрычныя функцыі 
thumb|200px|Адзінкавая акружнасць
338px|thumb|Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла \alpha на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень l з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла \alpha ад дадатнага праменя восі Ox супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння l з адзінкавай акружнасцю будзе M. Тады па азначэнню:
* функцыя **косінус** \cos(\alpha) будзе абсцысай M,
* функцыя **сінус** \sin(\alpha) будзе ардынатай M
* функцыя **тангенс** \operatorname{tg}(\alpha) будзе дзеллю ардынаты M і яе абсцысы: \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
* функцыя **катангенс** \operatorname{ctg}(\alpha) будзе дзеллю абсцысы M і яе ардынаты: \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}
* функцыя **секанс** \sec(\alpha) будзе дзеллю \frac{1}{\sin(\alpha)}
* функцыя **касеканс** \operatorname{cosec}(\alpha) будзе дзеллю \frac{1}{\cos(\alpha)}

[thumb|right|400px|[Графік функцыі y = sin(x)]]
[thumb|right|400px|[Графік функцыі y = cos(x)]]

Функцыі \sin(\alpha) і \cos(\alpha) вызначаныя на ўсём \mathbb{R}, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд 2\pi. Функцыя \operatorname{tg}(\alpha) не вызначана ў пунктах \pi n, n\in\mathbb{Z}, а функцыя \operatorname{ctg}(\alpha) не вызначана ў пунктах \pi n + \pi/2, n\in\mathbb{Z}, і абедзве маюць вобласць значэнняў \mathbb{R} і перыяд \pi.

## Адваротныя трыганаметрычныя функцыі 
Функцыя, адваротная да

* \sin(\alpha) называецца арксінус \arcsin(\alpha)
* \cos(\alpha) называецца арккосінус \arccos(\alpha)
* \operatorname{tg}(\alpha) называецца арктангенс \operatorname{arctg}(\alpha)
* \operatorname{ctg}(\alpha) называецца арккатангенс \operatorname{arcctg}(\alpha)

## Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці 
Асноўная трыганаметрычная тоеснасць \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1.

Формула косінуса сумы: \cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)

Формула косінуса рознасці: \cos(\alpha-\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)

Формула сінуса сумы: \sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\beta)\cos(\alpha)

Формула сінуса рознасці: \sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\beta)\cos(\alpha)

## Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай 
thumb|220px|y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзём функцыі \sin(x) і \cos(x) ў рад Тэйлара:

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^k\frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!} + \dots,

\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} + \dots

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай z:

\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \dots + (-1)^k\frac{z^{2k-1}}{(2k-1)!} + \dots,

\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \dots + (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!} + \dots.

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё \mathbb{C}.

## Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў 
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
(«∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

300px|thumb|right|Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

## Ужыванне 
Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

## Гл. таксама 
* Сферычная трыганаметрыя
* Эліптычная трыганаметрыя
* Гіпербалічная трыганаметрыя

## Літаратура 
* *Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»*
* *Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»*
* *И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»*



Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы