Дзэта-функцыя Рымана

**Дзэта-функцыя Рымана** — функцыя \displaystyle \zeta(s) камплекснай зменнай s = \sigma + i t, якую пры \sigma > 1  вызначаюць з дапамогай рада Дзірыхле:
: \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots,
дзе \displaystyle s \in \mathbb{C}.

У зададзенай вобласці \sigma > 1 ~(\left\{ s : \operatorname{Re} s > 1\right\}) гэты рад збягаецца, з’яўляецца аналітычнаю функцыяй і дапушчае аналітычны працяг на ўсю камплексную плоскасць без адзінкі.

## Тоеснасць Эйлера 
У зыходнай вобласці таксама справядліва прадстаўленне ў выглядзе бесканечнага здабытку (**тоеснасць Эйлера**)
: \zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}} ,
дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках .
{{Hider|
  title = Чаму гэта так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
.]]
Доказ грунтуецца на простых алгебраічных пераўтварэннях, для разумення якіх дастаткова школьных ведаў. Упершыню іменна гэтым спосабам Эйлер вывеў формулу. Наступныя пераўтварэнні па сутнасці з'яўляюцца запісам ідэі Эратасфенавага рэшата:

:\zeta(s) = 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+ \ldots 

:\frac{1}{2^s}\zeta(s) = \frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\frac{1}{10^s}+ \ldots 

Адымаючы другое з першага, выдаляем элементы з дзельнікам 2:

:\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+ \ldots 

Паўтараем для наступнага простага ліку, для тройкі:

:\frac{1}{3^s}\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = \frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+\frac{1}{33^s}+ \ldots 

Ізноў адымаем, атрымліваем:

:\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+ \ldots 

дзе выдалены ўсе элементы з дзельнікамі 2 і/ці 3.

Такім чынам, правая частка прасейваецца праз рэшата. Паўтараючы гэта для ўсіх простых лікаў (іх бесканечна многа), атрымліваем:

: \ldots \left(1-\frac{1}{11^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) = 1 

Падзелім абедзве часткі на ўсё, акрамя \zeta(s), атрымаем:

: \zeta(s) = \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^s}\right)\left(1-\frac{1}{3^s}\right)\left(1-\frac{1}{5^s}\right)\left(1-\frac{1}{7^s}\right)\left(1-\frac{1}{11^s}\right) \ldots } 

Гэта можна запісаць карацей як бесканечны здабытак па ўсіх простых *p*:

:\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}

Каб зрабіць доказ строгім, неабходна толькі дадаць умову   \quad \Re(s)>1 . Пры гэтым рад Дзірыхле збягаецца абсалютна, і ўсе вышэйпрыведзеныя пераўтварэнні з бесканечнымі сумамі і здабыткамі становяцца "законнымі".

}}

Гэта роўнасць з’яўляецца адной з асноўных уласцівасцей дзэта-функцыі.

## Уласцівасці 
* Існуюць яўныя формулы для значэнняў дзэта-функцыі ў цотных цэлых пунктах:
*: 2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m},
*: дзе \displaystyle B_{2m} — лік Бернулі.
** Напрыклад, \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}.
* Пра значэнні дзэта-функцыі ў няцотных цэлых пунктах вядома мала: лічыцца, што яны ірацыянальныя і нават трансцэндэнтныя, але пакуль даказана толькі ірацыянальнасць ліку ζ(3) (Ражэ Аперы, 1978). Таксама даказана, што сярод значэнняў ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) ёсць хаця б адзін ірацыянальны.
* Пры \operatorname{Re} s > 1
** \frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s},
*: дзе \displaystyle \mu(n) — функцыя Мёбіуса
** \zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s},
*: дзе \displaystyle \tau(n) — лік дзельнікаў ліку \displaystyle n
** {\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s},
*: дзе \displaystyle \nu(n) — лік простых дзельнікаў ліку \displaystyle n
* \displaystyle \zeta(s) мае ў пункце \displaystyle s=1 просты полюс з вылікам, роўным 1.
* Дзэта-функцыя пры \displaystyle s\ne 0, s\ne 1 задавальняе ўраўненне:
*: \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s),
*: дзе \displaystyle \Gamma(z) — гама-функцыя Эйлера. Гэта ўраўненне называецца *функцыянальным ураўненнем Рымана*.
* Для так званай **ксі-функцыі Рымана**
*: \xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s),
*: уведзенай Рыманам для даследавання \displaystyle \zeta(s), гэта ўраўненне прымае выгляд:
*: \displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s).

### Нулі дзэта-функцыі 
Як вынікае з функцыянальнага ўраўнення Рымана, у паўплоскасці \operatorname{Re} s , функцыя \zeta(s) мае толькі простыя нулі ў адмоўных цотных пунктах:
: 0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots.
Гэтыя нулі называюцца «трывіяльнымі» нулямі дзэта-функцыі. Далей, \zeta(s) \neq 0 пры рэчаісных s \in (0,1). Такім чынам, усе «нетрывіяльныя» нулі дзэта-функцыі — камплексныя лікі. Акрамя таго, яны размяшчаюцца сіметрычна адносна рэчаіснае восі і адносна вертыкалі \operatorname{Re} s = \frac{1}{2} і ляжаць у паласе 0 \leqslant \operatorname{Re} s \leqslant 1, якая называецца **крытычнаю паласою**. Згодна з гіпотэзаю Рымана, яны ўсе знаходзяцца на **крытычнай прамой** \operatorname{Re} s = \frac{1}{2}.

## Абагульненні 
Існуе даволі вялікая колькасць адмысловых функцый, звязаных з дзэта-функцыяй Рымана і аб’яднаных пад агульнай назваю дзэта-функцыі. Напрыклад:

* **Дзэта-функцыя Гурвіца**:
*: \zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},
: якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры *q* = 1 (бо сумаванне вядзецца ад 0, а не ад 1).

* **Полілагарыфм**:
*: \mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},
: які супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры *z* = 1.

* **Дзэта-функцыя Лерха**:
*: \Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s},
: якая супадае з дзэта-функцыяй Рымана пры *z* = 1 і *q* = 1 (бо сума бярэцца ад 0, а не ад 1).

* **Квантавы аналаг** (*q*-аналаг).

## Гісторыя 
Як функцыя рэчаіснай зменнай, дзэта-функцыя была ўведзена ў 1737 годзе Эйлерам, які і знайшоў формулу яе раскладання ў здабытак.
Затым гэту функцыю разглядаў Дзірыхле і, асабліва паспяхова, Чабышоў пры даследаванні закону размеркавання простых лікаў.
Але найбольш глыбокія ўласцівасці дзэта-функцыі былі выяўлены пазней, пасля працы Рымана (1859), у якой дзэта-функцыя разглядалася як функцыя камплекснай зменнай.

## Спасылкі 
* 

Катэгорыя:Дзэта- і L-функцыі
Катэгорыя:Аналітычная тэорыя лікаў