Аксіёма паралельнасці Эўкліда

right|thumb|301px|Перасячэнне прамых (анімацыя)
**Аксіё́ма парале́льнасці Эўклі́да**, або **пя́ты пастула́т** — адна з аксіём класічнай планіметрыі. Упершыню прыведзена ў «Пачатках» Эўкліда:

Эўклід адрознівае паняцці *пастулат* і *аксіёма*, не тлумачачы іх розніцы; у розных рукапісах «Пачаткаў» Эўкліда раздзяленне сцвярджэнняў на аксіёмы і пастулаты адрозніваецца, таксама не супадае і іх парадак. У класічным выданні «Пачаткаў» Хейберга сфармуляванае сцвярджэнне з'яўляецца пятым пастулатам.

На сучаснай мове Эўклідаў тэкст можна перафармуляваць так:

Удакладненне, з якога іменна боку перасякаюцца прамыя, Эўклід дадаў, верагодна, дзеля яснасці — лёгка даказаць, што яно выцякае з самога факта існавання перасячэння (у замежнай літаратуры яе часта называюць аксіёмаю Плейфера):

У гэтай фармулёўцы слова «адну і толькі адну» часта замяняюць на «толькі адну» ці «не больш чым адну», бо існаванне хаця б аднае такой паралельнай адразу вынікае з тэарэм 27 і 28 «Пачаткаў» Эўкліда.

Увогуле, для V пастулата існуе вялікая колькасць раўназначных фармулёвак, многія з якіх самі па сабе здаюцца даволі відавочнымі. Вот некаторыя з іх.

* Існуе прамавугольнік (*хаця б адзін*), г. зн. чатырохвугольнік, у якога ўсе вуглы прамыя.
* Існуюць падобныя, але не роўныя трохвугольнікі (*аксіёма Валіса*, 1693). І тут дастаткова, каб існавала хоць адна пара такіх трохвугольнікаў.

Пяты пастулат рэзка выдзяляецца сярод іншых, даволі відавочных, ён больш падобен на складаную, невідавочную тэарэму. Эўклід, верагодна, усведамляў гэта, і таму першыя 28 сцвярджэнняў у «Пачатках» даказваюцца без яго дапамогі.

«Эўклід безумоўна павінен быў ведаць розныя формы пастулата аб паралельных». Трэба патлумачыць, што антычныя матэматыкі пазбягалі выкарыстання актуальнай бесканечнасці; напрыклад, дургі пастулат Эўкліда сцвярджае не бесканечнасць прамой, а ўсяго толькі тое, што «прамую можна непарыўна працягваць». З пункту погляду антычных матэматыкаў, вышэйназваныя эквіваленты пастулата аб паралельных маглі казацца непрымальнымі: яны альбо спасылаюцца на актуальную бесканечнасць ці (яшчэ не ўведзенае) паняцце вымярэння, альбо таксама не вельмі відавочныя. Яшчэ адну версію прапанаваў гісторык Імрэ Тот: эўклідава фармулёўка, магчыма, была спачатку (памылкова даказанаю) тэарэмаю ў кагосьці з папярэднікаў Эўкліда, і калі пераканаліся, што даказаць яе не ўдаецца, статус тэарэмы павысілі да пастулата, не мяняючы тэксту фармулёўкі.

## Абсалютная геаметрыя 
Калі са спіса аксіём выключыць V пастулат, то атрыманая сістэма аксіём будзе апісваць так званую абсалютную геаметрыю. У прыватнасці, першыя 28 тэарэм «Пачаткаў» Эўкліда даказваюцца без выкарыстання V пастулата і таму адносяцца да абсалютнай геаметрыі. Для далейшага адзначым дзве тэарэмы абсалютнай геаметрыі:
* Паралельныя прамыя існуюць; гэта вынікае з тэарэм 27 і 28 «Пачаткаў» Эўкліда.
* Пры прадаўжэнні дзвюх прамых ад пункта іх перасячэння адлегласць паміж імі неабмежавана нарастае.

## Спробы доказу 
Матэматыкі з даўніх часоў спрабавалі «палепшыць Эўкліда» — альбо выключыць пяты пастулат з ліку зыходных сцвярджэнняў, г. зн. даказаць яго, абапіраючыся на астатнія пастулаты і аксіёмы, альбо замяніць яго іншым, такім жа відавочным, як іншыя пастулаты. Надзею на дасяжнасць гэтага выніку патрымлівала тое, што IV пастулат Эўкліда (*усе прамые вуглы роўныя між сабой*) і праўда аказаўся лішнім — ён быў строга даказан як тэарэма і выключаны з пераліку аксіём.

За два тысячагоддзі было прапанавана шмат доказаў пятага пастулата, але ў кожным з іх рана ці позна выяўляўся заганны круг: аказвалася, што сярод яўных ці няяўных дапушчэнняў было сцвярджэнне, якое не ўдаецца даказаць без выкарыстання таго ж пятага пастулата.

Прокл (V стагоддзе н.&nbsp;э.) у «Каментарыі да I кнігі Пачаткаў Эўкліда» паведамляе, што такі доказ прапанаваў Клаўдзій Пталемей, крытыкуе яго доказ і прапануе свой уласны.

Пасля ўпадку антычнае культуры V пастулатам заняліся матэматыкі ісламскіх краін. Доказ ал-Джаухары, вучня ал-Харэзмі (IX стагоддзе),
няяўна дапускаў, што калі пры перасячэнні дзвюх прамых нейкаю трэцяю накрыж-ляжачыя вуглы роўныя, то тое ж справядліва пры перасячэнні тых жа прамых любою іншаю. І гэта дапушчэнне раўназначнае V пастулату.

Сабіт ібн Кура (IX стагоддзе) даў два доказы; у першым ён апіраецца на дапушчэнне, што калі дзве прамыя аддаляюцца адна ад аднае з аднаго боку, яны абавязкова прыбліжаюцца з другога боку. У другім, як і Пасідоній, ён зыходзіць з існавання роўнааддаленых прамых, прычом гэты факт ібн Кура спрабуе вывесці з уяўлення аб «простым руху», г.&nbsp;зн. аб раўнамерным руху на нязменнай адлегласці ад прамой (яму здаецца відавочным, што траекторыя такога руху — таксама прамая).
Кожнае з двух названых сцвярджэнняў Ібн Куры раўназначнае V пастулату.

right|200px|frame|Чатырохвугольнік Ламберта

Падобную ж памылку зрабіў ібн ал-Хайсам, але ён упершыню разгледзеў фігуру, якую пазней сталі называць «чатырохвугольнікам Ламберта», — чатырохвугольнік, у якога тры ўнутраныя вуглы — прамыя. Ён сфармуляваў тры магчымыя варыянты для чацвёртага вугла: востры, прамы, тупы. Абмеркаванне гэтых трох гіпотэз, у розных варыянтах, шмат разоў узнікала ў пазнейшых даследаваннях.

Паэт і матэматык Амар Хаям раскрытыкаваў спробы ўвесці ў геаметрыю механічны рух. Ён прапанаваў замяніць V пастулат на іншы, больш просты: дзве прамыя, збягаючыся, перасякаюцца, і немагчыма, каб дзве прамыя разбягаліся ў напрамку збліжэння. Кожная з дзвюх частак гэтага сцвярджэння раўназначная пастулату Эўкліда.

Ал-Абхары прапанаваў доказ, падобны да доказу ал-Джаухары. (Гэты доказ прыводзіць у сваёй кнізе ас-Самаркандзі, і рад даследчыкаў лічыў яго доказам ас-Самаркандзі.) Ён зыходзіць з вернага ў абсалютнай геаметрыі сцвярджэння, што для ўсякай прамой, якая перасякае стораны данага вугла, можна пабудаваць яшчэ адну прамую, якая перасякае стораны гэтага ж вугла і ляжыць ад яго вяршыні далей, чым першая. Але з гэтага сцвярджэння ён робіць неабгрунтаваны вывад, што праз усякі пункт унутры данага вугла можна правесці прамую так, каб яна перасякала абедзве стораны гэтага вугла, — і будуе на апошнім сцвярджэнні, раўназначным V пастулату, увесь далейшы доказ.

Насір ад-Дзін ат-Тусі прапанаваў пабудову, падобную на пабудову Амара Хаяма.
Адзначым, што творы ат-Тусі сталі вядомыя Джону Валісу, і тым самым адыгралі ролю ў разгортванні даследаванняў па неэўклідавай геаметрыі ў Еўропе.

У сярэдневяковай Еўропе першую вядомую спробу доказу аксіёмы паралельнасці Эўкліда зрабіў жыхар Праванса (Францыя) Герсанід (ён жа Леві бен Гершом, XIV стагоддзе). Яго доказ апіраўся на сцвярджэнне аб існаванні прамавугольніка.

Да XVI стагоддзя адносіцца доказ вучонага-езуіта Хрыстафора Клавіуса. Яго доказ, як і ў ібн Куры, быў заснаваны на сцвярджэнні, што лінія, роўнааддаленая ад прамой — таксама прамая.

Валіс у 1693 годзе ў адной са сваіх прац прыводзіць пераклад твора ат-Тусі і прапануе раўназначную, але больш простую фармулёўку: існуюць падобныя, але не роўныя фігуры.
Клеро ў сваіх «*Пачатках геаметрыі*» (1741), як і Герсанід, замест V пастулата ўзяў яго эквівалент «існуе прамавугольнік».

У целым можна сказаць, што ўсе пералічаныя спробы прынеслі немалую карысць: была ўстаноўлена сувязь паміж V пастулатам і іншымі сцвярджэннямі, былі выразна сфармуляваны дзве альтэрнатывы V пастулату — гіпотэзы вострага і тупога вугла.

## Першыя накіды неэўклідавай геаметрыі 
thumb|Праца Сакеры
Глыбокае даследаванне V пастулата, заснаванае на цалкам арыгінальным прынцыпе, правёў у 1733 годзе італьянскі манах-езуіт, выкладчык матэматыкі Джыралама Сакеры. Ён апублікаваў працу пад назваю «*Эўклід, ачышчаны ад усіх плям, альбо геаметрычная спроба ўстанавіць самыя першыя пачаткі ўсяе геаметрыі*». Ідэя Сакеры заключалася ў тым, каб замяніць V пастулат процілеглым сцвярджэннем, вывесці з новай сістэмы аксіём як мага больш вынікаў, тым самым пабудаваўшы «ілжывую геаметрыю», і знайсці ў гэтай геаметрыі супярэчнасці ці яўна непрымальныя вывады. Тады справядлівасць V пастулата будзе даказана ад процілеглага.

Сакеры разглядае ўсё тыя ж тры гіпотэзы аб 4-м вугле чатырохвугольніка Ламберта. Гіпотэзу тупога вугла ён адкінуў адразу з фармальных меркаванняў. Лёгка паказаць, што ў гэтым выпадку наогул усе прамыя перасякаюцца, а тады атрымліваецца, што V пастулат Эўкліда справядлівы — бо ён як-раз і сцвярджае, што пры некаторых умовах прамыя перасякаюцца. Адсюль робіцца вывад, што «*гіпотэза тупога вугла заўсёды цалкам няслушная, бо яна сама сябе разбурае*».

Пасля гэтага Сакеры пераходзіць да абвяржэння «гіпотэзы вострага вугла», і тут яго даследаванне значна цікавейшае. Ён дапускае, што яна справядлівая, і, адзін за адным, даказвае рад вынікаў. Сам таго не падазраваючы, ён прасоўваецца даволі далёка ў пабудове геаметрыі Лабачэўскага. Многія тэарэмы, даказаныя Сакеры, выглядаюць інтуітыўна непрымальнымі, але ён працягвае ланцужок тэарэм. Нарэшце, Сакеры даказвае, што ў «ілжывай геаметрыі» любые дзве прамыя ці перасякаюцца, ці маюць агульны перпендыкуляр, па *абодва* бакі ад якога яны аддаляюцца адна ад аднае, ці аддаляюцца адна ад аднае з аднаго боку і неабмежавана збліжаюцца з другога. У гэтым месцы Сакеры робіць нечаканы вывад: «*гіпотэза вострага вугла цалкам няслушная, бо супярэчыць прыродзе прамой лініі*».

Відаць, Сакеры адчуваў неабгрунтаванасць гэтага «доказу», бо даследаванне працягваецца. Ён разглядае эквідыстанту — геаметрычнае месца пунктаў плоскасці, роўнааддаленых ад прамой; у адрозненне ад сваіх папярэднікаў, Сакеры разумее, што ў даным выпадку гэта зусім не прамая. Аднак, вылічваючы даўжыню яе дугі, Сакеры дапускае памылку і прыходзіць к сапраўднай супярэчнасці, пасля чаго заканчвае даследаванне і з палёгкаю заяўляе, што ён «*вырваў гэту злашкодную гіпотэзу з коранем*». На жаль, піянерская праца Сакеры, выдадзеная пасмяротна, не прыцягнула да сябе тае ўвагі матэматыкаў, якой заслугоўвала, і толькі праз 150 год (1889) яго суайчыннік Бельтрамі знайшоў гэту забытую працу і ацаніў яе гістарычнае значэнне.

У другой палавіне XVIII стагоддзя было апублікавана больш чым 50 прац па тэорыі паралельных. У аглядзе тых гадоў (Г.&nbsp;С.&nbsp;Клюгель) даследуецца больш чым 30 спроб даказаць V пастулат і даказваецца іх памылковасць. Вядомы нямецкі матэматык і фізік І.&nbsp;Г.&nbsp;Ламберт, з якім Клюгель перапісваўся, таксама зацікавіўся праблемаю; яго «Тэорыя паралельных ліній» была выдадзена (як і праца Сакеры, пасмяротна) у 1786 годзе.

right|frame|Сферычная геаметрыя: усе прамыя перасякаюцца
Ламберт першы ўстанавіў, што «геаметрыя тупога вугла» рэалізуецца на сферы, калі пад прамымі разумець вялікія кругі. Ён, як і Сакеры, вывеў з «гіпотэзы вострага вугла» мноства вынікаў, прычым прасунуўся значна далей за Сакеры; сярод іншага, ён устанавіў, што дапаўненне сумы вуглоў трохвугольніка да 180° прапарцыянальнае плошчы трохвугольніка.

У сваёй кнізе Ламберт пранікліва заўважыў:

thumb|300px|Геаметрыя на паверхні адмоўнай крывізны
Ламберт не знайшоў супярэчнасці ў гіпотэзе вострага вугла і прыйшоў к заключэнню, што ўсе спробы даказаць V пастулат безнадзейныя. Ён не выказаў якіх-небудзь сумненняў у няслушнасці «геаметрыі вострага вугла», аднак, судзячы па другой яго праніклівай заўвазе, Ламберт думаў аб магчымай фізічнай рэальнасці неэўклідавай геаметрыі і аб выніках гэтага для навукі:

Выдатная праца Ламберта, як і кніга Сакеры, далёка апярэдзіла свой час і выклікала цікавасці ў тагачасных матэматыкаў. Тая ж доля спасцігла «астральную геаметрыю» нямецкіх матэматыкаў Ф. К. Швайкарта (1817) і Ф. А. Таурынуса (1826), па ідэях блізкую да пабудаванай Ламбертам.

Тым часам спробы «змыць плямы» з Эўкліда працягваліся (Луі Бертран, Лежандр, Сямён Гур'еў і іншыя). Лежандр даў цэлых тры доказы V пастулата, памылковасць якіх скора паказалі яго сучаснікі.
Апошні «доказ» ён апублікаваў у 1823 годзе, за тры гады да першага дакладу Лабачэўскага аб новай геаметрыі.

## Адкрыццё неэўклідавай геаметрыі 
У першай палавіне XIX стагоддзя па шляху, пракладзенаму Сакеры, пайшлі [[Карл Фрыдрых Гаус|]], 
[[Янаш Бояі|]],
[[Мікалай Іванавіч Лабачэўскі|]] і 
Ф. К. Швайкарт. 
Але мэта ў іх была ўжо іншая — не выкрыць неэўклідаву геаметрыю як немагчымую, а, наадварот, пабудаваць альтэрнатыўную геаметрыю і высветліць яе магчымую ролю ў рэальным свеце.
На той момант гэта была цалкам ератычная ідэя; ніхто з вучоных раней не сумняваўся, што фізічная прастора эўклідава. 
Цікава, што Гауса і Лабачэўскага вучыў у маладосці адзін настаўнік — Марцін Бартэльс, які, зрэшты, сам неэўклідавай геаметрыяй не займаўся.

Першым быў Швайкарт. У 1818 годзе ён адправіў Гаусу пісьмо з сур'ёзным аналізам асноў неэўклідавай геаметрыі, аднак устрымаўся ад вынясення сваіх поглядаў на публічнае абмеркаванне. Гаус таксама не адважыўся апублікаваць працу на гэту тэму, але яго чарнавыя заметкі і некалькі пісем адназначна пацвярджаюць глыбокае разуменне неэўклідавай геаметрыі. Вот некалькі характэрных урыўкаў з пісем Гауса, дзе ўпершыню ў навуцы паяўляецца тэрмін «неэўклідава геаметрыя»:

У 1818 годзе ў пісьме аўстрыйскаму астраному Герлінгу Гаус выказаў свае асцярогі:

Азнаёміўшыся з працаю Лабачэўскага «Геаметрычныя даследаванні па тэорыі паралельных», Гаус энергічна хадатайнічае аб абранні рускага матэматыка замежным членам-карэспандэнтам Гётынгенскага каралеўскага таварыства (што і адбылося ў 1842 годзе).

thumb|left|250px|М. І. Лабачэўскі
Лабачэўскі і Бояі праявілі большую смеласць, чым Гаус, і амаль адначасова (Лабачэўскі — у дакладзе 1826 года і публікацыі 1829 года; Бояі — у пісьме 1831 года і публікацыі 1832 года), незалежна адзін ад другога, апублікавалі выклад таго, што цяпер называецца геаметрыяй Лабачэўскага. Лабачэўскі прасунуўся ў даследаванні новай геаметрыі далей за ўсіх, і яна сёння носіць яго імя. Але галоўная яго заслуга не ў гэтым, а ў тым, што ён паверыў у новую геаметрыю і меў мужнасць адстойваць сваё перакананне (ён нават прапанаваў эксперыментальна праверыць V пастулат, вымерыўшы суму вуглоў трохвугольніка).

Ва ўступленні да сваёй кнігі «Новые начала геометрии» Лабачэўскі рашуча заяўляе:

Трагічная доля Лабачэўскага, падвергнутага астракізму ў навуковым свеце і службовым асяроддзі за занадта смелыя мыслі, паказала, што асцярогі Гауса былі не дарэмныя. Але і яго барацьба была не дарэмная. Па іроніі лёсу перамогу смелых ідэй Лабачэўскага забяспечыў (пасмяротна) асцярожны Гаус. У 1860-я годы была апублікавана перапіска Гауса, у тым ліку некалькі захопленых водгукаў аб геаметрыі Лабачэўскага, і гэта прыцягнула ўвагу к працам рускага матэматыка. У 1868 годзе выходзіць артыкул Э. Бельтрамі, які паказаў, што плоскасць Лабачэўскага мае пастаянную адмоўную крывізну (у эўклідавай плоскасці крывізна нулявая, у сферы — дадатная); вельмі скора неэўклідава геаметрыя набыла статус законнай навукі, хоць усё яшчэ разглядалася як чыста адцягнутая (абстрактная).

У канцы XIX—пачатку XX стагоддзя спачатку матэматыкі (Бернхард Рыман, Уільям Кінгдан Кліфард), а затым і фізікі (Агульная тэорыя адноснасці, Эйнштэйн), канчаткова пакончылі з дагматам аб эўклідавай геаметрыі фізічнай прасторы.

## Доказ незалежнасці пятага пастулата 
Даказаць несупярэчлівасць новай геаметрыі ні Лабачэўскі, ні Бояі не змаглі — тады матэматыка яшчэ не мела неабходных для гэтага сродкаў. Толькі праз 40 год з'явілася мадэль Клейна (1871) і мадэль Пуанкарэ (1882), у якіх рэалізавана аксіяматыка геаметрыі Лабачэўскага на аснове эўклідавай геаметрыі. Гэтыя мадэлі пераканаўча даказваюць, што адмаўленне V пастулата не супярэчыць астатнім аксіёмам геаметрыі; адсюль выцякае, што V пастулат не залежыць ад астатніх аксіём, і даказаць яго немагчыма.

## Зноскі 
## Літаратура 
* 
** Тэкст кніг I—VI на www.math.ru ці на mccme.ru  
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Спасылкі 
* 
* 
* 

Катэгорыя:Эўклідава геаметрыя
Катэгорыя:Гісторыя матэматыкі
Катэгорыя:Планіметрыя