Аксіёмы геаметрыі

**Аксіё́мы геаме́трыі** – набор аксіём, якія складаюць лагічную аснову геаметрыі (яе аксіяматыку). Аксіёмы прызнаюцца як сапраўдныя сцверджанні, якія не патрабуюць доказу. Усе іншыя палажэнні геаметрыі даказваюцца (лагічна выводзяцца) з яе аксіём.

## Аксіяматыка Еўкліда
Старажытнагрэчаскі матэматык Еўклід (III ст. да н.э.) быў першым, хто распрацаваў сістэму геаметрычных аксіём (пастулатаў). Аксіяматыка Еўкліда складаецца з пяці пастулатаў:

* праз любыя два пункты можна правесці адну, і толькі адну, прамую
* любы адрэзак можна прадоўжыць, каб атрымаць прамую
* праз любы адрэзак можна правесці акружнасць так, што гэты адрэзак будзе яе радыусам, а адзін з яго канцоў – цэнтрам
* усе прымыя вуглы роўныя між сабой
* праз любы пункт, што не належыць да прамой, можна правесці прамую, якая не перасякае яе.

## Аксіяматыка Гільберта 
У 1899 годзе нямецкі матэматык Д. Гільберт прапанаваў больш дасканалую сістэму з 21 аксіёмы, падзеленай на пяць груп:

* аксіёмы спалучэння
* аксіёмы парадку
* аксіёмы кангруэнтнасці
* аксіёма паралельнасці
* аксіёмы неперарыўнасці

### Спалучэння
Аксіё́мы спалучэ́ння (прынале́жнасці, інцыдэ́нтнасці) – група геаметрычных аксіём, якія датычацца прыналежнаці пунктаў, прамых і пласкасцей адна да адной. Гэта першая з пяці груп аксіём у аксіяматыцы Гільберта. Яна складаецца з васьмі аксіём, першыя тры з якіх адносяцца як да планіметрыі, так і да стэрэаметрыі, а астатнія пяць – толькі да стэрэаметрыі.

**Аксіёма 1**. Праз любыя два пункты можна правесці прамую.

**Аксіёма 2**. Любыя два пункты прамой вызначаюць гэтую прамую (гэта значыць, праз іх нельга правесці ніякую іншую прамую).

**Аксіёма 3**. Кожная прамая мае прынамсі два пункты; кожная плоскасць мае прынамсі тры пункты, якія не належаць да аднае прамой.

**Аксіёма 4**. Праз любыя тры пункты, якія не належаць да аднае прамой, можна правесці плоскасць.

**Аксіёма 5**. Любыя тры пункты плоскасці, якія не належаць да аднае прамой, вызначаюць гэтую плоскасць (гэта значыць, праз іх нельга правесці ніякую іншую плоскасць).

**Аксіёма 6**. Калі два пункты прамой належаць да плоскасці, то і ўся гэтая прамая (усе астатнія яе пункты) належаць да гэтай плоскасці.

**Аксіёма 7**. Калі дзве плоскасці маюць агульны пункт, то яны маюць прынамсі яшчэ адзін агульны пункт.

**Аксіёма 8**. Існуе прынамсі чатыры пункты, праз якія не належаць да аднае плоскасці.

Аксіёмы 1 і 2, а таксама 4 і 5, пры пабудове геаметрычнай аксіяматыкі могуць фармулявацца як адзіныя аксіёмы: *праз любыя два пункты можна правесці адну і толькі адну прамую*. Аналагічна, *праз любыя тры пункты можна правесці адну і толькі адну плоскасць*.

Аксіёму 1 часам фармулююць такім чынам: *Любая прамае мае незлічонае мноства пунктаў, якія належаць да яе*. Але такая фармулёўка з'яўляецца лішкавай, бо незлічонасць пунктаў прамой вынікае з аксіём парадку.

#### Вынікі аксіём спалучэння
Непасрэдна з аксіёмы 3 вынікае, што дзве розныя прамыя могуць мець не больш за адзін агульны пункт.

З аксіём 1 – 3 вынікае, што для кожнай прамой існуе прынамсі адзін пункт, які да яе не належыць. Гэтае сцверджанне ў некаторых варыянтах пабудовы геаметрыі прымаецца за аксіёму.

Таксама з гэтых аксіём вынікае, што праз любы пункт, які не належыць да прамой, можна правесці прамую, што перасякае яе (мае з ёй агульны пункт). У той жа час, аксіёмы спалучэння не даюць адказу на пытанне аб магчымасці правесці праз пункт прамую, якая не перасякае дадзеную прамую. Гэта вырашаецца аксіёмай паралельнасці.

З аксіём 1 – 2 і 4 вынікае, што плоскасць можна вызначыць прамой і пунктам, які да яе не належыць.

З аксіём 7, 1 – 2, і 6 вынікае, што калі дзве плоскасці перасякаюцца (маюць агульны пункт), то яны маюць агульную прамую (перасякаюцца па прамой). Пры гэтым любы агульны пункт гэтых пласкасцей належыць да гэтай прамой.
: Сапраўды, калі дзве плоскасці α і β маюць агульны пункт A, то, паводле аксіёмы 7, яны маюць яшчэ адзін агульны пункт B. Праз гэты пункт, за аксіёмамі 1 – 2, можна правесці прамую a. Пры гэтым два яе пункты (A і B) належаць да абодвух пласкасцей. Значыць, і ўся прамая належыць да гэтых пласкасцей (аксіёма 6). Прыпусцім, што плоскасці α і β маюць яшчэ адзін агульны пункт C. Калі ён не належыць да прамой a, то, згодна аксіёме 5, плоскасці α і β супадаюць. Таму пункт C, як і любы іншы агульны для пласкасцей α і β пункт, павінен належаць да прамой a.

### Парадку
### Кангруэнтнасці
### Паралельнасці
### Неперарыўнасці
Катэгорыя:Геаметрыя