Многавымерная выпадковая велічыня

**Многавымерная выпадковая велічыня** або **выпадковы вектар** — набор аднамерных выпадковых велічынь. Асобныя велічыні прадстаўляюць у выглядзе вектара, калі паміж імі ёсць пэўная сувязь, часта яны адлюстроўваюць розныя характарыстыкі аднаго аб’екта. Напрыклад выпадковым вектарам можа быць сукупнасць узросту, вагі і росту чалавека, якога выпадкова выбіраюць з пэўнай групы людзей.

## Азначэнне 
Выпадковым n-мерным вектарам завецца адлюстраванне \boldsymbol{\xi} : \Omega \to \mathbb{R}^n, каардынатнымі функцыямі якога ёсць выпадковыя велічыні \xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n, зададзеныя на імавернаснай прасторы (\Omega, \mathcal{A}, P).

Адлюстраванне \boldsymbol{\xi} : \Omega \to \mathbb{R}^n ёсць \mathcal{A}- адлюстраваннем  (\Omega, \mathcal{A}) у вымерную прастору (\mathbb{R}^n, \mathcal{B}^n), дзе \mathcal{B}^n — алгебра ўсіх  мноства \mathbb{R}^n.

## Размеркаванне і функцыя размеркавання 
Для многавымерных выпадковых велічынь існуюць свае аналагі размеркавання і функцыі размеркавання.

Адлюстраванне P_\boldsymbol{\xi}: \mathcal{B}^n \to \mathbb{R}, якое для кожнага барэлеўскага мноства задаецца роўнасцю P_\boldsymbol{\xi}(B) := P(\boldsymbol{\xi} \in B), завецца размеркаваннем выпадковага вектара \boldsymbol{\xi}.

Функцыя
: F_\boldsymbol{\xi}(\boldsymbol{x}) = F_{1, 2, \dots, n}(x_1, x_2, \dots, x_n) := P(\xi_1 
завецца функцыяй размеркавання выпадковага вектара \boldsymbol{\xi} = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n).

### Уласцівасці функцыі размеркавання 
Для функцый размеркавання многавымерных выпадковых велічынь справядлівыя наступныя ўласцівасці:
# F(x_1, x_2, \dots, x_n)  і непарыўная злева па кожным аргуменце;
# калі значэнне прынамсі аднаго з аргументаў x_k імкнецца да -\infty, то значэнне функцыі размеркавання імкнецца да нуля;
# F(+\infty, x_2, \dots, x_n) = F_{2,3,\dots,n}(x_2, x_3, \dots, x_n), і аналагічныя роўнасці маюць месца, калі значэнні некаторых аргументаў роўныя +\infty і ўрэшце F(+\infty, +\infty, \dots, +\infty) = 1;
# для любых неадмоўных h_1, h_2, \dots, h_n мае месца няроўнасць F(x_1 + h_1, x_2 + h_2, \dots, x_n + h_n) - F(x_1, x_2, \dots, x_n) \geq 0.
Як і ў аднамерным выпадку, кожная функцыя F, якая задавальняе ўласцівасцям, мае адпаведны выпадковы вектар, чыя функцыя размеркавання супадае з F.

## Класіфікацыя 
### Многавымернае дыскрэтнае размеркаванне 
Размеркаванне выпадковага вектара завецца дыскрэтным, калі ён прымае  або злічальную колькасць значэнняў. Гэта эквівалентна таму, што кожная кардыната выпадковага вектара мае дыскрэтнае размеркаванне.

Прыклад многавымернага дыскрэтнага размеркавання — паліномнае размеркаванне.

### Многавымернае абсалютна непарыўнае размеркаванне 
Размеркаванне выпадковага вектара завецца абсалютна непарыўным, калі існуе  неадмоўная функцыя f_{1,2,\dots,n}: \mathbb{R}_n \to \mathbb{R}, такая, што
: P_\boldsymbol{\xi}(B) = P(\boldsymbol{\xi} \in B) = \int_{B} f_{1,2,\dots,n} (\boldsymbol{x}) d \boldsymbol{x}
для кожнага барэлеўскага мноства B \subset \mathbb{R}^n, а інтэграл разумеюць у . Функцыя f_{1,2,\dots,n} (\boldsymbol{x}) завецца шчыльнасцю размеркавання выпадковага вектара або шчыльнасцю сумеснага размеркавання выпадковых велічынь.

Прыклады многавымерных абсалютна непарыўных размеркаванняў — многавымернае нармальнае і размеркаванне Дзірыхле.

## Функцыі ад многавымерных выпадковых велічынь 
Калі \boldsymbol{\xi}: \Omega \to \mathbb{R}^n — выпадковы вектар, а  \boldsymbol{\varphi}: \boldsymbol{\xi}(\Omega) \to \mathbb{R}^m , то кампазіцыя \boldsymbol{\eta} = \boldsymbol{\varphi} \circ \boldsymbol{\xi} — выпадковы вектар з размеркаваннем
: P(\boldsymbol{\eta} = \boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\xi}) \in B) = \int\limits_{\boldsymbol{\varphi}^{-1} (B)} dF_\boldsymbol{\xi},
дзе B — адвольнае , а F_\boldsymbol{\xi} — функцыя размеркавання \boldsymbol{\xi}.

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей