Ліміт функцыі

**Лімі́т фу́нкцыі** — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання ліміту функцыі называецца **лімітавым пераходам**.

Калі функцыя  мае ліміт  ў пункце , гэта абазначаецца наступным чынам:
: \lim_{x \to a} f(x) = A.

## Азначэнне ліміту 
### (ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы) 
Лік  называецца **лімітам** функцыі  пры імкненні  да , калі для любога ліку  існуе такі лік , што для ўсіх , якія задавальняюць умову
: 
0 
справядлівая няроўнасць
: 
|f(x) - A| 

Або, кажучы словамі, функцыя мае **ліміт**  ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога  можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад  больш чым на .

### Азначэнне праз ліміт паслядоўнасці (паводле Гейнэ) 
Функцыя  мае ў пункце  канечны **ліміт** , калі і толькі калі для любой паслядоўнасці \scriptstyle (x_n)_{n=1}^\infty, якая збягаецца да пункта :
: 
\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a,

адпаведная паслядоўнасць \scriptstyle \left(f(x_n)\right)_{n=1}^\infty значэнняў функцыі збягаецца да :
: 
\lim\limits_{n\to\infty} f(x_n) = A.

## Крытэрыі і прыкметы існавання канечнага ліміту 
### Крытэрый Кашы існавання канечнага ліміту 
Функцыя  мае ў пункце  канечны ліміт, калі і толькі калі для адвольнага  існуе такое , што для любых  і , узятых з δ-наваколля пункта , спраўджваецца няроўнасць
: 
|f(x_1) - f(x_2)| 

*Заўвага*: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне ліміту. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне ліміту, але нічога не кажа пра само лімітнае значэнне.

## Уласцівасці 
Калі існуюць канечныя ліміты \scriptstyle \lim_{x \to a} f(x) і \scriptstyle \lim_{x \to a} g(x), тады справядлівыя сцвярджэнні:

1) Лімітавы пераход з’яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў  і  існуе ліміт лінейнай камбінацыі
: 
\lim\limits_{x \to a} (\lambda f(x) + \mu g(x)) = \lambda\lim\limits_{x \to a} f(x) + \mu\lim\limits_{x \to a} g(x).

*Заўвага*: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:
: \begin{matrix}
\lim\limits_{x \to a} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) + \lim\limits_{x \to a} g(x), \\
\lim\limits_{x \to a} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) - \lim\limits_{x \to a} g(x).
\end{matrix}

2) Існуе ліміт здабытку гэтых функцый, прычым:
: 
\lim\limits_{x \to a} (f(x)\cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x).

3) Калі \scriptstyle \lim_{x \to a} g(x) \ne 0, то існуе ліміт дзелі, прычым:
: 
\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}.

4) Калі  і \scriptstyle \lim_{x \to a} f(x) \ne 0, то існуе ліміт ступені, прычым:
: 
\lim\limits_{x \to a} \left(f(x)^{g(x)}\right) = \left(\lim\limits_{x \to a} f(x)\right)^{\lim\limits_{x \to a} g(x)}.

## Гл. таксама 
* Аднабаковы ліміт функцыі
* Ліміт у матэматыцы
* Ліміт паслядоўнасці

## Зноскі 
Катэгорыя:Матэматычны аналіз
Катэгорыя:Ліміты