Цэнтральная лімітавая тэарэма

**Цэнтра́льная лімітавая тэарэма** — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя лімітавыя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

## Класічная цэнтральная лімітавая тэарэма 
Няхай  — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ2. Няхай таксама
: S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i.
Тады
: \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt n} \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty,
дзе N(0,1) — нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

;Заўвагі
Абазначыўшы сімвалам \bar{X} выбарачнае сярэдняе першых n велічынь:
:\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i,
вынік цэнтральнай лімітавай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:
: \sqrt{n} \frac{ \bar{X} - \mu}{\sigma} \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty.
Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

* Кажучы прасцей, класічная цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што сума n незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да N(n\mu, n\sigma^2). Ці, што тое самае, \bar{X} мае размеркаванне блізкае да N(\mu,\sigma^2/n).
* Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы Z_n = \frac{S_n - \mu n}{\sigma \sqrt{n}}, атрымліваем F_{Z_n}(x) \to \Phi(x),\; \forall x \in \mathbb{R}, дзе \Phi(x) — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
* Цэнтральная лімітавая тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
* Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь  можна вызначыць шчыльнасць).

## Лакальная цэнтральная лімітавая тэарэма 
У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь \{X_i\}_{i=1}^{\infty} абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне Z_n таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,
: f_{Z_n}(x) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{x^2}{2}} пры n \to \infty,
дзе f_{Z_n}(x) — шчыльнасць выпадковае велічыні Z_n, а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

## Абагульненні 
Вынік класічнай цэнтральнай лімітавай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

### Цэнтральная лімітавая тэарэма Ляпунова 
Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні {{math|{*X**i*} }} маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μ*i* і дысперсіі σ і абсалютныя моманты E[*X**i* − μ*i*2+δ]. Няхай
:B_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2,
:r_n^{2+\delta} = \sum_{i=1}^n \mathbb{E}\left[|X_i-\mu_i|^{2+\delta}\right].
Няхай выконваецца **умова Ляпунова**:
: \lim\limits_{n\to \infty} \frac{r_n^{2+\delta}}{B_n^{2+\delta}} = 0.
Тады
: \frac{1}{B_n}\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_i) \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty.

;Заўвагі
* З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем
*:\mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum\limits_{i=1}^n \mu_i.
* Велічыні  незалежныя, таму
*:\mathrm{D}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum\limits_{i=1}^n \sigma_i^2 = B_n^2.

* Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:
*: \forall \varepsilon>0,\; \lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{B_n^2}\sum\limits_{i=1}^n \mathbb{E}\left[(X_i-\mu_i)^2\, \mathbf{1}_{\{|X_i-\mu_i|> \varepsilon B_n \}}\right] = 0,
*:дзе  \mathbf{1}_{\{\dots\}} — .

### Цэнтральная лімітавая тэарэма для мартынгалаў 
Няхай працэс (X_t)_{t\in \mathbb{N}} з'яўляецца  з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх *t*
: \mathbb{E}\left[X_{t+1}-X_t \mid X_1,\ldots,X_t \right] = 0,
і існуе такая пастаянная , што для ўсіх *t*  справядліва няроўнасць
: |X_{t+1}-X_t| \le C.
Будзем таксама лічыць, што |X_1|\le C.

Няхай
: \sigma_t^2 = \mathbb{E} \left[(X_t-X_{t-1})^2 \mid X_1 ,\ldots, X_{t-1}\right],
і рад з σ разбягаецца :
: \sum_{i=1}^\infty \sigma_i^2 = \infty.
Няхай
: \tau_\nu = \min\left\{t : \sum_{i=1}^t \sigma_t^2 \ge \nu \right\}.
Тады
: \frac{X_{\tau_\nu}}{\sqrt{\nu}} \to N(0,1) па размеркаванню пры n \to \infty.

## Гл. таксама 
* Закон вялікіх лікаў
* Закон паўторнага лагарыфма
* Тэарэма Беры — Эсеена
* Тэарэма Эрдзёша — Каца

## Зноскі 
## Літаратура 
* 

* 
* 
* 
*

## Спасылкі 
* Предельные теоремы теории вероятностей 

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя:Тэарэмы тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыкі