Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных

Пры рашэнні задач часта бывае карысна ведаць дакладныя алгебраічныя выразы для значэнняў трыганаметрычных функцый, у першую чаргу для таго, каб прадставіць рашэнне праз радыкалы (карані), што адкрывае магчымасці для далейшага спрашчэння.

Усе значэнні сінусаў, косінусаў і тангенсаў вуглоў, кратных 3°, выражаюцца ў радыкалах. Гэтыя значэнні атрыманы шляхам прымянення тоеснасцей для палавіннага вугла, двайнога вугла, а таксама формул для сумы і рознасці вуглоў са значэннямі 0°, 30°, 36°, і 45°.

Заўвага: градусы і радыяны звязаны суадносінамі  радыян.

## Рацыянальныя значэнні трыганаметрычных функцый 
Згодна з тэарэмай Нівена, адзінымі рацыянальнымі значэннямі функцыі сінуса пры рацыянальным аргуменце (у градусах) з'яўляюцца лікі 0, 1/2, і 1.

## Стандартныя «школьныя» вуглы 
### Асноўныя вострыя вуглы 
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для найбольш ужывальных вострых вуглоў прыведзены ў табліцы.
(«∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана, а ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

### Значэнні трыганаметрычных функцый вуглоў, кратных 30° ці 45° 
### Значэнні для іншых распаўсюджаных вуглоў 
## Пашыраны спіс значэнняў трыганаметрычных функцый 
\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},

\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},

\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^\circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},

\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},

\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},

\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},

\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},

\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},

\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},

\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},

\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},

\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},

\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},

\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},

\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},

\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},

\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},

\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},

\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},

\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},

\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},

\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},

\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg} 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},

\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg} 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{2},

\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},

\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},

\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},

\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},

\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},

\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},

\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg} 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},

\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg} 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},

\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},

\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},

\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},

\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},

\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},

\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},

\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},

\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},

\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1.5^\circ = \operatorname{ctg} 88.5^\circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{
2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}
}},

\cos \frac{\pi}{240} = \sin \frac{119\,\pi}{240} = \cos 0.75^\circ = \sin 89.25^\circ = \frac{1}{16} 
\left(
\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5}) \right) + \right.
 
\left.
+ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) 
\right),

### Асобыя вуглы 
\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.

Катэгорыя:Трыганаметрыя