Закон Кюры

**Закон Кюры** — фізічны закон, які апісвае магнітную ўспрымальнасць парамагнетыкаў, якая пры пастаяннай тэмпературы для гэтага віду матэрыялаў прыблізна прама прапарцыянальная прыкладзенаму магнітнаму полю. Закон Кюры пастуліруе, што пры змене тэмпературы і пастаянным знешнім поле, ступень намагнічанасці парамагнетыкаў зваротна прапарцыянальная тэмпературы:

:M = C \cdot \frac{B}{T},

дзе ў адзінках Міжнароднай сістэмы адзінак (СІ): M — намагнічанасць матэрыялу, якая атрымліваецца; B — магнітнае поле, як вымяраецца ў Тэслах; T — абсалютная тэмпература ў Кельвінах; C — пастаянная Кюры дадзенага матэрыялу. Гэтыя суадносіны, атрыманае эксперыментальна П. Кюры, выконваюцца толькі пры высокіх тэмпературах або слабых магнітных палях. У адваротным выпадку — гэта значыць пры нізкіх тэмпературах або пры моцных палях — намагнічанасць не падпарадкоўваецца гэтаму закону.

## Вывад закона з выкарыстаннем квантавай статыстычнай механікі 
Простыя мадэлі парамагнетыкаў засноўваюцца на здагадцы, што гэтыя матэрыялы складаюцца з частак або абласцей (парамагнетонаў), якія не ўзаемадзейнічаюць адзін з адным. Кожная вобласць мае ўласны магнітны момант, які можна пазначыць вектарнай велічынёй \vec{\mu}. Энергія моманту магнітнага поля можа быць запісана наступным чынам:

:E=-\vec{\mu}\cdot\vec{B}

### Вобласці з двума станамі (спін-1/2) 
Для таго, каб спрасціць вывад, выкажам здагадку, што кожная з абласцей разгляданага парамагнетыка мае два станы моманту, кірунак якога можа супадаць з кірункам магнітнага поля або быць накіраваным ў процілеглы бок. У дадзеным выпадку магчымыя толькі два значэнні магнітнага моманту \mu, -\mu і два значэння энергіі E_0 = - \mu B и E_1 = \mu B. Пры пошуку магнітнай успрымальнасці парамагнетsка вызначаецца імавернасць для кожнай вобласці апынуцца ў стане, сунакіраваным магнітнаму полю. Іншымі словамі, вызначаецца матэматычнае чаканне намагнічанасці матэрыялу \mu:
:\left\langle\mu\right\rangle =  \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right)
 = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} -  \mu e^{  - \mu B\beta} \right)
 = {2\mu \over Z} \sinh( \mu B\beta), 

дзе імавернасць сістэмы апісваецца размеркаваннем Больцмана, статыстычная сума Z забяспечвае нармалізацыю імавернасцей. Функцыя, якая нармуе, для адной вобласці можа быць прадстаўлена наступным чынам:

:Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \cosh\left(\mu B\beta\right)

Такім чынам, у двухспінавай мадэлі мы маем :

:\left\langle\mu\right\rangle  = \mu \tanh\left(\mu B\beta\right)

Выкарыстоўваючы атрыманы выраз для адной вобласці, атрымліваем магнітную ўспрымальнасць ўсяго матэрыялу:

M = N\left\langle\mu\right\rangle = N \mu \tanh\left({\mu B\over k T}\right)

Выведзеная вышэй формула носіць назву ўраўнення Ланжавэна для парамагнетыкаў. П. Кюры ў ходзе эксперыментаў выявіў набліжэнне да гэтага закона, якое выконвалася пры высокіх тэмпературах і слабых магнітных палях. Выкажам здагадку, што абсалютнае значэнне тэмпературы T вялікае, а B мала. У дадзеным выпадку, часам званым рэжымам Кюры, велічыня аргументу гіпербалічнага тангенса малая:

:\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1

І так як вядома, што ў выпадку |x| \ll 1 выконваюцца суадносіны:

:\tanh x \approx x,

атрымліваем вынік:

:\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={N\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},

дзе канстанта Кюры роўная C= N\mu^2/k. Таксама варта адзначыць, што ў процілеглым выпадку нізкіх тэмператур і моцных палёў, M і N\mu маюць тэндэнцыю прымаць максімальныя значэнні, што адпавядае выпадку, калі ўсе вобласці маюць магнітны момант, які супадае па кірунку з магнітным полем.

### Агульны выпадак 
У агульным выпадку адвольнага размеркавання напрамкаў магнітных момантаў формула становіцца некалькі больш складанай (гл.). Як толькі значэнне спіна набліжаецца да бясконцасці, формула для магнітнай успрымальнасці прымае класічны выгляд.

## Атрыманне з дапамогай класічнай статыстычнай механікі 
Альтэрнатыўны падыход мяркуе, што парамагнетоны прадстаўляюць з сябе вобласці з магнітнымі момантамі, якія свабодна верцяцца. У дадзеным выпадку іх становішча вызначаецца вугламі ў сферычных каардынатах, а энергія адной вобласці прадстаўляецца ў выглядзе:

:E =  - \mu B\cos\theta, 

дзе \theta — вугал паміж кірункам магнітнага моманту і кірункам магнітнага поля, які, выкажам здагадку, накіраваны ўздоўж каардынаты z. Адпаведная функцыя для адной вобласці будзе мець выгляд:

:Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).

Як відаць, у дадзеным выпадку няма відавочнай залежнасці ад вугла \phi, і мы таксама можам ажыццявіць замену зменнай y=\cos\thetay=\cos\theta, што дазваляе атрымаць:

:Z = 2\pi  \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) =
2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }=
{4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over  \mu B\beta .}

Матэматычнае чаканне кампаненты z будзе адпавядаць ступені намагнічанасці, а астатнія дзве звернуцца ў нуль пасля інтэгравання па \phi:
:\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .

Для спрашчэння вылічэнняў, запішам выраз у дыферэнцыяльнай форме па зменнай Z:

:\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z B} \partial_\beta Z,

што дае:

:\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta), 

дзе L носіць назву функцыі Ланжавэна:

: L(x)= \coth x -{1 \over x}.

Гэтая функцыя мае сінгулярнасць (разрыў) для маленькіх значэнняў x, але на самой справе няма, так як дзве сінгулярнасці кампаненты з процілеглым знакам захоўваюць бесперапыннасць функцыі. На самай справе, яе паводзіны пры невялікіх значэннях аргументу L(x) \approx x/3, што захоўвае дзеянне закона Кюры, але з утрая меншым пастаянным множнікам-канстантай Кюры. У выпадку мяжы з вялікім значэннем аргументу прымяненне гэтай функцыі таксама магчыма.

## Прымяненне 
Захаванне закона Кюры для парамагнетыкаў ў слабым магнітным полі дазваляе іх выкарыстанне ў якасці магнітных тэрмометраў.

## Гл. таксама 
* Закон Кюры — Вейса
* Парамагнетызм
* П’ер Кюры

## Спасылкі 
* *Закон Кюри* — статья с сайта Элементы.ру
* 

Катэгорыя:Фізічныя законы
Катэгорыя:Магнетызм