Палярная сістэма каардынат

**Палярная сістэма каардынат** — двухмерная сістэма каардынат, у якой кожны пункт на плоскасці вызначаецца двума лікамі — палярным вуглом і палярным радыусам. Палярная сістэма каардынат асабліва карысная ў выпадках, калі адносіны паміж пунктамі прасцей адлюстраваць у выглядзе радыусаў і вуглоў; ў больш распаўсюджанай, дэкартавай або прамавугольнай сістэме каардынат, такія адносіны можна ўсталяваць толькі шляхам прымянення трыганаметрычных ураўненняў.

Палярная сістэма каардынат задаецца прамянём, які называюць *нулявым* або *палярнай воссю*. Пункт, з якога выходзіць гэты прамень, называецца пачаткам каардынат альбо *полюсам*. Любы пункт на плоскасці вызначаецца двума палярнымі каардынатамі: радыяльнай і вуглавой. Радыяльная каардыната (звычайна пазначаецца r) адпавядае адлегласці ад пункта да пачатку каардынат. Вуглавая каардыната таксама называецца палярным вуглом або азімутам і пазначаецца \varphi, роўная куце, на які трэба павярнуць супраць гадзінны стрэлкі палярную вось для таго, каб патрапіць у гэты пункт.

Вызначаная такім чынам радыяльная каардыната можа прымаць значэнні ад нуля да бясконцасці, а вуглавая каардыната змяняецца ў межах ад 0° да 360°. Аднак, для зручнасці вобласць значэнняў палярнай каардынаты можна пашырыць за межы поўнага вугла, а таксама дазволіць ёй прымаць адмоўныя значэння, што адказвае павароту палярнай восі па гадзіннікавай стрэлцы.

## Гісторыя 
]]
Паняцці вугла і радыуса былі вядомыя яшчэ ў першым тысячагоддзі да н. э. Грэчаскі астраном Гіпарх (190—120 гг. да н. э.) стварыў табліцу, у якой для розных вуглоў прыводзіліся даўжыні хорд. Існуюць сведчанні, што ён выкарыстоўваў палярныя каардынаты для вызначэння становішча нябесных цел. Архімед у сваім трактаце «Пра спіралі» апісвае Архімедаву спіраль — функцыю, радыус якой залежыць ад велічыні вугла. Аднак працы грэчаскіх даследчыкаў не развіліся ў цэласнае апісанне сістэмы каардынат.

У IX стагоддзі персідскі матэматык Хабаш аль-Хасіб аль-Марвазі выкарыстоўваў метады картаграфічных праекцый і сферычнай трыганаметрыі для пераўтварэння палярных каардынат у іншую сістэму каардынат з цэнтрам у пэўным пункце на сферы. У дадзеным выпадку гэта рабілася для вызначэння Кіблы — напрамку на Мекку. Персідскі географ Абу Райхан Біруні (973—1048) выказаў ідэі, якія выглядаюць як апісанне палярнай сістэмы каардынат. Ён быў першым, хто прыблізна ў 1025 годзе апісаў палярную эквіазімутальную эквідыстантную праекцыю нябеснай сферы.

Існуюць розныя версіі наконт таго, хто менавіта ўвёў палярныя каардынаты як фармальную сістэму. Гісторыя іхняга узнікнення і развіцця падрабязна апісана ў працы прафесара Гарварда Джуліяна Лоўэла Куліджа «Паходжанне палярных каардынат». Грэгуар дэ Сент-Вінсент і Банавентура Кавальеры незалежна адзін ад аднаго прыйшлі да падобнай канцэпцыі ў сярэдзіне XVII стагоддзя. Сент-Вінсент апісаў палярную сістэму ў асабістых нататках у 1625 годзе, апублікаваўшы свае працы ў 1647-м, а Кавальеры надрукаваў свае першыя працы ў 1635 годзе (выпраўленую версію — у 1653-м). Кавальеры ўжываў палярныя каардынаты для вылічэння плошчы, абмежаванай Архімедавай спіраллю. Пазней Блез Паскаль выкарыстаў іх для вылічэння даўжынь парабалічных дуг.

У кнізе «Метад флюксій» (напісанай у 1671 годзе і выдадзенай у 1736-м) сэр Ісаак Ньютан даследаваў пераўтварэнні паміж палярнымі каардынатамі, якія ён абазначаў як «Сёмы спосаб; Для спіралей» (), і дзевяццю іншымі сістэмамі каардынат. У артыкуле, апублікаваным у 1691 годзе ў часопісе «Acta Eruditorum», Якаб Бернулі выкарыстаў сістэму з пунктам на прамой, якія ён назваў полюсам і палярнай воссю адпаведна. Каардынаты задаваліся як адлегласць ад полюса і вугал ад палярнай восі. Праца Бернулі была прысвечана праблеме пошуку радыуса крывізны крывых, вызначаных у гэтай сістэме.

Увядзенне тэрміна «палярныя каардынаты» прыпісваюць Грэгорыа Фантане. У XVIII стагоддзі гэты тэрмін увайшоў у лексікон італьянскіх аўтараў. У англійскую мову ён трапіў праз пераклад трактата Сільвестра дэ Лакруа «Дыферэнцыяльнае і інтэгральнае вылічэнне», выкананы Джорджам Пікакам у 1816 годзе. Для трохмернай прасторы палярныя каардынаты ўпершыню прапанаваў Алексі Клод Клеро, а Леанард Эйлер стаў першым, хто распрацаваў адпаведную сістэму.

Для абазначэння полюса выкарыстоўваюць каардынаты (0, \varphi). Незалежна ад каардынаты \varphi, пункт з нулявой адлегласцю ад полюса заўсёды супадае з ім. Для атрымання адназначных каардынат пункта звычайна абмяжоўваюць адлегласць неадмоўнымі значэннямі r \ge 0, а вугал \varphi — інтэрваламі [0, 360^\circ) або (-180^\circ, 180^\circ] (у радыянах — [0, 2\pi) або (-\pi, \pi]).

Вуглы ў палярных каардынатах задаюцца або ў градусах, або ў радыянах, пры гэтым 2\pi \text{ рад} = 360^\circ. Выбар адзінак вымярэння, як правіла, залежыць ад сферы прымянення. У навігацыі традыцыйна выкарыстоўваюць градусы, у той час як у некаторых галінах фізікі і амаль ва ўсіх раздзелах матэматыкі ўжываюць радыяны.

### Сувязь паміж дэкартавымі і палярнымі каардынатамі 
Пару палярных каардынат r і \varphi можна перавесці ў дэкартавы каардынаты x і y з дапамогай трыганаметрычных функцый сінуса і косінуса:
: x = r \cos \varphi \,
: y = r \sin \varphi, \,

Дэкартавы каардынаты x і y пераўтвараюцца ў палярныя каардынаты (r; \varphi) наступным чынам:
: r^2 = y^2 + x^2 \quad (паводле тэарэмы Піфагора).

Для вызначэння вуглавой каардынаты \varphi трэба ўлічваць два аспекты:
# Пры r = 0 вугал \varphi можа быць адвольным рэчаісным лікам.
# Пры r \neq 0, каб атрымаць адзінае значэнне \varphi, неабходна абмежавацца інтэрвалам даўжынёй 2\pi. Звычайна выбіраюць інтэрвал [0, 2\pi) або (-\pi, \pi].

Для вылічэння \varphi у інтэрвале [0, 2\pi) можна скарыстацца наступнымі формуламі (\operatorname{arctg} абазначае функцыю арктангенс):
: \varphi = 
\begin{cases} 
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) & x > 0, y \geq 0 \\
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) + 2\pi & x > 0, y  0 \\
\frac{3\pi}{2} & x = 0, y 

Для вылічэння \varphi у інтэрвале (-\pi, \pi] выкарыстоўваюцца наступныя суадносіны:
: \varphi = 
\begin{cases} 
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) & x > 0 \\
\operatorname{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi & x  0 \\
-\frac{\pi}{2} & x = 0, y 

Улічваючы, што для вылічэння палярнага вугла недастаткова ведаць адносіны y да x, а трэба таксама ўлічваць знакі гэтых лікаў, многія сучасныя мовы праграмавання маюць сярод сваіх функцый не толькі `atan` (вызначае арктангенс ліку), але і дадатковую функцыю `atan2`. Апошняя прымае асобныя аргументы для лічніка і назоўніка. У мовах праграмавання, якія падтрымліваюць неабавязковыя аргументы (напрыклад, у Common Lisp), функцыя `atan` можа непасрэдна прымаць значэнне каардынаты x.

## Ураўненні крывых у палярных каардынатах 
Дзякуючы радыяльнай прыродзе палярнай сістэмы каардынат, некаторыя крывыя можна апісаць простымі палярнымі ўраўненнямі, у той час як іхнія ўраўненні ў дэкартавай сістэме былі б значна больш грувасткімі. Сярод найбольш вядомых крывых — кардыёіда, лемніската, палярная ружа, смоўж Паскаля і Архімедава спіраль.

### Акружнасць 
Агульнае ўраўненне акружнасці з цэнтрам у пункце (r_0, \theta) і радыусам a мае выгляд:
: r^2 - 2rr_0\cos(\varphi - \theta) + r_0^2 = a^2
Гэта ўраўненне можна спрасціць для асобных выпадкаў. Напрыклад, ураўненне
: r(\varphi) = a
вызначае акружнасць з цэнтрам у полюсе і радыусам a.

Калі r_0 = a або пачатак каардынат ляжыць на акружнасці, ураўненне прымае выгляд:
: r = 2a \cos(\varphi - \theta)
У агульным выпадку ўраўненне можна развязаць адносна r, атрымаўшы:
: r = r_0 \cos(\varphi - \theta) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\varphi - \theta)}
Развязак са знакам мінус перад квадратным коранем вызначае тую ж самую крывую.

### Прамая 
Радыяльныя прамыя (тыя, што праходзяць праз полюс) вызначаюцца ўраўненнем:
: \varphi = \theta,
дзе \theta — вугал, на які прамая адхіляецца ад палярнай восі; гэта значыць \theta = \operatorname{arctg} m, дзе m — вуглавы каэфіцыент (нахіл) прамой у дэкартавай сістэме каардынат. Нерадыяльная прамая, якая перпендыкулярна перасякае радыяльную прамую \varphi = \theta у пункце (r_0, \theta), вызначаецца ўраўненнем:
: r(\varphi) = r_0 \sec(\varphi - \theta).

Інакш кажучы, (r_0, \theta) — гэта пункт, у якім датычная перасякае ўяўную акружнасць радыуса r_0.

### Палярная ружа 
Палярная ружа — вядомая матэматычная крывая, якая сваім выглядам нагадвае кветку з пялёсткамі і можа быць апісана адным з двух розных палярных ураўненняў:
* r(\varphi) = a \cos(k\varphi)
* r(\varphi) = a \sin(k\varphi)

Варыянты з косінусам і сінусам не эквівалентныя, аднак розніца паміж імі заключаецца толькі ў павароце атрыманай крывой. Абодва варыянты з’яўляюцца асобнымі выпадкамі ўраўнення r(\varphi) = a \cos(k\varphi + \theta_0), дзе \theta_0 — адвольная пастаянная (уключаючы 0), якая вызначае фазу і, адпаведна, паварот.

Калі k — цэлы лік, то гэта ўраўненне будзе вызначаць ружу з k пялёсткамі для няцотных k, або з 2k пялёсткамі для цотных k. Калі k — рацыянальны, але не цэлы лік, графік утворыць фігуру, падобную да ружы, але пялёсткі будуць перакрывацца.
Варта адзначыць, што ружы з колькасцю пялёсткаў 2, 6, 10, 14 і г. д. гэтым ураўненнем вызначыць немагчыма. Пераменная a непасрэдна вызначае даўжыню або амплітуду пялёсткаў ружы, у той час як k звязана з іхняй прасторавай частатой.

### Архімедава спіраль 
Вядомая Архімедава спіраль названа ў гонар яе вынаходніка, старажытнагрэчаскага матэматыка Архімеда. Гэтую спіраль можна вызначыць з дапамогай простага палярнага ўраўнення:
: r(\varphi) = a + b\varphi

Змена параметра a прыводзіць да павароту спіралі, а параметра b — вызначае адлегласць паміж віткамі, якая з’яўляецца пастаяннай для канкрэтнай спіралі. Архімедава спіраль мае дзве галіны: адну для \varphi > 0 і другую для \varphi . Дзве галіны плаўна злучаюцца ў полюсе. Люстэркавае адлюстраванне адной галіны адносна прамой, што праходзіць праз вугал 90^\circ/270^\circ, дасць іншую галіну.

Гэтая крывая цікавая тым, што была апісана ў матэматычнай літаратуры адной з першых (пасля канічных сячэнняў) і лепш за іншыя вызначаецца менавіта палярным ураўненнем.

### Канічныя сячэнні 
Канічнае сячэнне, адзін з фокусаў якога знаходзіцца ў полюсе, а другі — недзе на палярнай восі (так, што факальная вось супадае з палярнай), задаецца ўраўненнем:
: r = \frac{\ell}{1 + e \cos \varphi}
дзе e — эксцэнтрысітэт, а \ell — факальны параметр.
* Калі e > 1, гэта ўраўненне вызначае гіпербалу.
* Калі e = 1 — парабалу.
* Калі e  — эліпс.
Асобным выпадкам з’яўляецца e = 0, што вызначае акружнасць радыусам \ell.

### Квадратрыса 
Квадратрыса ў першай чвэрці (x, y) — гэта крывая, у якой ардыната y = \rho \sin \theta роўная долі чвэрці акружнасці радыуса r, вызначанай радыусам, праведзеным праз гэты пункт крывой. Паколькі гэтая доля складае \frac{2 r \theta}{\pi}, крывая задаецца ўраўненнем:
: \rho (\theta) = \frac{2 r \theta}{\pi \sin \theta}

### Перасячэнне дзвюх палярных крывых 
Графікі дзвюх палярных функцый r=f(\theta) і r=g(\theta) могуць мець перасячэнні трох тыпаў:
* У пачатку каардынат (полюсе), калі ўраўненні f(\theta)=0 і g(\theta)=0 маюць хоць бы па адным развязку.
* Усе пункты [g(\theta_i), \theta_i], дзе \theta_i — развязкі ўраўнення f(\theta+2k\pi)=g(\theta), дзе k — цэлы лік.
* Усе пункты [g(\theta_i), \theta_i], дзе \theta_i — развязкі ўраўнення f(\theta+(2k+1)\pi)=-g(\theta), дзе k — цэлы лік.

## Камплексныя лікі 
Кожны камплексны лік можа быць прадстаўлены пунктам на камплекснай плоскасці, і, адпаведна, гэты пункт можа вызначацца ў дэкартавых каардынатах (прамавугольная альбо дэкартавая форма), або ў палярных каардынатах (палярная форма). Камплексны лік *z* можа быць запісаны ў прамавугольнай форме як:

: z = x + iy\,

дзе *i*&nbsp; — уяўная адзінка, ці ў палярнай:

: z = r\cdot(\cos\varphi+i\sin\varphi)

і адсюль, як:

: z = re^{i\varphi} \,

дзе *e*&nbsp;— лік Эйлера. Дзякуючы формуле Эйлера, абодва прадстаўлення эквівалентныя. (Варта адзначыць, што ў гэтай формуле, падобна астатнім формул, якія змяшчаюць узвядзенне ў ступень вуглоў, вугал φ зададзена ў радыянах.)

Для пераходу паміж прамавугольным і палярным прадстаўленнем камплексных лікаў, могуць выкарыстоўвацца прыведзеныя вышэй формулы пераўтварэння паміж сістэмамі каардынат.

Аперацыі множанне, дзяленне, узвядзенне ў ступень і здабыванне кораня з камплекснымі лікамі, як правіла, прасцей праводзіць у палярнай форме. Згодна з правіламі ўзвядзення ў ступень:
* Множанне: r_0 e^{i\varphi_0}\, r_1 e^{i\varphi_1} = r_0 r_1 e^{i\left(\varphi_0 + \varphi_1\right)} 
* Дзяленне: \frac{r_0 e^{i\varphi_0}}{r_1 e^{i\varphi_1}} = \frac{r_0}{r_1}e^{i(\varphi_0 - \varphi_1)} 
* Узвядзенне ў ступень (формула Муавра): \left(re^{i\varphi}\right)^n = r^n e^{in\varphi} 
* Здабыванне кораня або галоўнае значэнне кораня: \sqrt[n]{re^{i\varphi}} = \sqrt[n]{r} e^{\frac{i\varphi}{n}}

## У матэматычным аналізе 
Аперацыі матэматычнага аналізу таксама можна сфармуляваць з выкарыстаннем палярных каардынат.

### Дыферэнцыяльнае вылічэнне 
Справядлівы наступныя формулы для аператараў дыферэнцыравання:
: r \tfrac{\partial}{\partial r}= x \tfrac{\partial}{\partial x} + y \tfrac{\partial}{\partial y} \,
: \tfrac{\partial}{\partial \varphi} = -y \tfrac{\partial}{\partial x} + x \tfrac{\partial}{\partial y} .

Каб знайсці тангенс вугла нахілу датычнай да любога дадзенага пункта палярнай крывой r(\varphi) у дэкартавых каардынатах, выразім іх праз сістэму ўраўненняў у параметрычным выглядзе:
: x=r(\varphi)\cos\varphi \,
: y=r(\varphi)\sin\varphi \,

Дыферэнцыруючы абодва ўраўненні па \varphi, атрымаем:
: \frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi \,
: \frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi. \,

Падзяліўшы гэтыя ўраўненні (другое на першае), знойдзем шуканы тангенс вугла нахілу датычнай у дэкартавай сістэме каардынат у пункце (r, \varphi):
: \frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.

### Інтэгральнае вылічэнне 
Няхай R — вобласць, абмежаваная палярнай крывой r(\varphi) і прамянямі \varphi = a і \varphi = b, дзе 0 . Тады плошча гэтай вобласці вылічваецца вызначаным інтэгралам:
: \frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphi.

Гэты вынік можна атрымаць наступным чынам. Спачатку разаб’ём інтэрвал [a, b] на адвольную колькасць n частковых інтэрвалаў. Такім чынам, даўжыня кожнага такога інтэрвала \Delta\varphi роўная b - a (поўная даўжыня інтэрвала), падзеленай на n (колькасць інтэрвалаў). Няхай для кожнага частковага інтэрвала i = 1, 2, \dots, n, \varphi_i — сярэдні пункт. Пабудуем сектары з цэнтрам у полюсі, радыусамі r(\varphi_i), цэнтральнымі вугламі \Delta\varphi і даўжынямі дуг r(\varphi_i)\Delta\varphi. Таму плошча кожнага такога сектара будзе роўная \frac{1}{2}r(\varphi_i)^2\Delta\varphi. Адсюль поўная плошча ўсіх сектараў:
: \sum_{i=1}^n \tfrac12r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi.

Калі колькасць частковых інтэрвалаў n павялічваць, то хібнасць такога прыблізнага выразу будзе змяншацца. Пры n \to \infty атрыманая вышэй сума стане інтэгральнай. Граніца гэтай сумы пры \Delta\varphi \to 0 вызначае вышэйапісаны інтэграл:
: \lim_{\Delta\varphi \to 0} \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2}r(\varphi_i)^2\Delta\varphi = \frac{1}{2}\int_a^b [r(\varphi)]^2 d\varphi

#### Абагульненне 
Пры выкарыстанні дэкартавых каардынат плошча бясконца малога элемента вылічваецца як dA = dx\,dy. Пры пераходзе да іншай сістэмы каардынат у кратных інтэгралах неабходна выкарыстоўваць вызначнік Якобі (якабіян):
: J = \det \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)} = 
\begin{vmatrix} 
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ 
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} 
\end{vmatrix}

Для палярнай сістэмы каардынат вызначнік матрыцы Якобі роўны r:
: J = 
\begin{vmatrix} 
\cos \varphi & -r \sin \varphi \\ 
\sin \varphi & r \cos \varphi 
\end{vmatrix} 
= r \cos^2 \varphi + r \sin^2 \varphi = r

Такім чынам, плошчу элемента ў палярных каардынатах можна запісаць так:
: dA = J\,dr\,d\varphi = r\,dr\,d\varphi

Цяпер інтэграванне функцыі, зададзенай у палярных каардынатах, можна выканаць наступным чынам:
: \iint_R f(r,\varphi)\,dA = \int_a^b \int_0^{r(\varphi)} f(r,\varphi)\,r\,dr\,d\varphi

Тут вобласць R — такая ж, як і ў папярэднім раздзеле, гэта значыць яна абмежавана палярнай крывой r(\varphi) і прамянямі \varphi = a і \varphi = b.

Формула для вылічэння плошчы, апісаная ў папярэднім раздзеле, атрымліваецца з гэтага выразу пры f=1. Цікавым вынікам прымянення формулы для кратных інтэгралаў з’яўляецца інтэграл Гауса:
: \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}

### Вектарны аналіз 
Элементы вектарнага аналізу можна прымяніць і да палярных каардынат. Любое вектарнае поле \mathbf{F} можна запісаць у палярнай сістэме, выкарыстоўваючы адзінкавыя вектары (орты):
* \mathbf{e}_r = (\cos \varphi, \sin \varphi) — у напрамку r,
* \mathbf{e}_\varphi = (-\sin \varphi, \cos \varphi) — перпендыкулярна напрамку r (у бок росту вугла \varphi).

Тады вектарнае поле запісваецца як:
: \mathbf{F} = F_r \mathbf{e}_r + F_\varphi \mathbf{e}_\varphi

Сувязь паміж дэкартавымі кампанентамі поля F_x і F_y і ягонымі кампанентамі ў палярнай сістэме задаецца ўраўненнямі:
: F_x = F_r \cos \varphi - F_\varphi \sin \varphi
: F_y = F_r \sin \varphi + F_\varphi \cos \varphi

Адпаведным чынам у палярнай сістэме каардынат вызначаюцца аператары вектарнага аналізу. Напрыклад, градыент скалярнага поля \Phi(r, \varphi) запісваецца наступным чынам:
: \operatorname{grad} \Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial r} \mathbf{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \varphi} \mathbf{e}_\varphi

## Дыферэнцыяльная геаметрыя 
У сучаснай тэрміналогіі дыферэнцыяльнай геаметрыі палярныя каардынаты вызначаюць каардынатныя карты для дыферэнцавальнага мнагавіда \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} (плоскасці без пачатку каардынат). У гэтых каардынатах еўклідаў метрычны тэнзар мае выгляд:
: ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2.

Гэты вынік можна атрымаць, выкарыстоўваючы формулу замены пераменных для метрычнага тэнзара, альбо вылічыўшы дыферэнцыяльныя формы dx і dy праз знешні дыферэнцыял 0-формаў x = r \cos(\theta) і y = r \sin(\theta) з наступнай падстаноўкай іх у еўклідаў метрычны тэнзар ds^2 = dx^2 + dy^2.

Няхай p_1=(x_1,y_1)=(r_1,\theta_1) і p_2=(x_2,y_2)=(r_2,\theta_2) — два пункты на плоскасці, зададзеныя сваімі дэкартавымі і палярнымі каардынатамі. Тады:
: ds^2=dx^2+dy^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2.
Паколькі dx^2=(r_2\cos\theta_2-r_1\cos\theta_1)^2 і dy^2=(r_2\sin\theta_2-r_1\sin\theta_1)^2, атрымліваем:
: ds^2=r_2^2\cos^2\theta_2-2r_1r_2\cos\theta_1\cos\theta_2+r_1^2\cos^2\theta_1+r_2^2\sin^2\theta_2-2r_1r_2\sin\theta_1\sin\theta_2+r_1^2\sin^2\theta_1=
: r_2^2(\cos^2\theta_2+\sin^2\theta_2)+r_1^2(\cos^2\theta_1+\sin^2\theta_1)-2r_1r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2)=
: r_1^2+r_2^2-2r_1r_2(1-1+\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2)=
: (r_2-r_1)^2+2r_1r_2(1-\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2).
Цяпер скарыстаемся трыганаметрычнай тоеснасцю \cos(\theta_2-\theta_1)=\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2:
: ds^2=dr^2+2r_1r_2(1-\cos d\theta).
Калі значэнні радыяльных і вуглавых каардынат блізкія паміж сабой, а значыць, блізкія да агульных велічынь r і \theta, то r_1r_2\approx r^2. Акрамя таго, косінус d\theta можна прыблізна выразіць праз раскладанне ў рад Тэйлара:
: \cos d\theta\approx1-\frac{d\theta^2}{2},
Такім чынам, 1-\cos d\theta\approx\frac{d\theta^2}{2}, і 2r_1r_2(1-\cos d\theta)\approx2r^2\frac{d\theta^2}{2}=r^2d\theta^2. Адсюль вынікае, што ў бясконца малым наваколлі любога пункта:
: ds^2=dr^2+r^2d\theta^2,
што і сцвярджалася.

Артанарміраваны рэпер адносна гэтай метрыкі вызначаецца як e_r=\frac{\partial}{\partial r}, e_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}, з дваістым карэперам e^r=dr, e^\theta=r d\theta.

Форма звязнасці адносна гэтага рэпера і звязнасці Леві-Чывіта задаецца косасіметрычнай матрыцай 1-формаў
: {\omega^i}_j = \begin{pmatrix} 0 & -d\theta \\ d\theta & 0\end{pmatrix}

і таму форма крывізны \Omega = d\omega + \omega\wedge\omega звяртаецца ў нуль. Такім чынам, як і чакалася, праколатая плоскасць з’яўляецца плоскім мнагавідам.

## Трохмернае пашырэнне 
Палярная сістэма каардынат пашыраецца ў трэцяе вымярэнне з дапамогай дзвюх сістэм: цыліндрычнай і сферычнай. Абедзве яны ўключаюць двухмерную палярную сістэму як падмноства. Па сутнасці, цыліндрычная сістэма пашырае палярную даданнем яшчэ адной каардынаты адлегласці, а сферычная — даданнем яшчэ адной вуглавой каардынаты.

### Цыліндрычныя каардынаты 
Цыліндрычная сістэма каардынат, прасцей кажучы, пашырае плоскую палярную сістэму даданнем трэцяй лінейнай каардынаты, якая называецца *вышынёй*. Яна роўная вышыні пункта над нулявой плоскасцю, падобна таму, як дэкартава сістэма пашыраецца на выпадак трох вымярэнняў. Трэцяя каардыната звычайна абазначаецца як z, утвараючы тройку каардынат (\rho, \varphi, z).

Тройку цыліндрычных каардынат можна перавесці ў дэкартаву сістэму наступнымі пераўтварэннямі:
:  \begin{align}
x &= \rho \, \cos\varphi \\
y &= \rho \, \sin\varphi \\
z &= z
\end{align} 

### Сферычныя каардынаты 
Таксама палярныя каардынаты можна пашырыць на выпадак трох вымярэнняў шляхам дадання вуглавой каардынаты \theta, якая роўная вуглу павароту ад вертыкальнай восі z (называецца зенітным вуглом або шыратой; значэнні ляжаць у інтэрвале ад 0 да 180^\circ).

Такім чынам, сферычныя каардынаты — гэта тройка (r, \theta, \varphi), дзе:
* r — адлегласць ад пачатка каардынат (радыус);
* \varphi — вугал ад восі x (азімут, як і ў плоскіх палярных каардынатах);
* \theta — вугал ад восі z (зеніт).

Сферычная сістэма каардынат падобная да геаграфічнай сістэмы для вызначэння месцазнаходжання на паверхні Зямлі (дзе пачатак каардынат супадае з цэнтрам Зямлі). Аднак ёсць адрозненні: геаграфічная шырата \delta з’яўляецца дапаўненнем \theta і роўная \delta = 90^\circ - \theta, а даўгата l вылічваецца па формуле l = \varphi - 180^\circ.

Тройку сферычных каардынат можна перавесці ў дэкартаву сістэму наступнымі пераўтварэннямі:
:  \begin{align}
x &= r \, \sin\theta \, \cos\varphi \\
y &= r \, \sin\theta \, \sin\varphi \\
z &= r \, \cos\theta.
\end{align} 

### Абагульненне на *n* вымярэнняў 
Палярную сістэму каардынат можна пашырыць на выпадак *n*-мернай прасторы. Няхай x_i \in \mathbb{R}, i=1,\dots,n — каардынаты вектара ў *n*-мернай дэкартавай сістэме. Каардынаты ў *n*-мернай палярнай сістэме ўводзяцца праз вуглы адхілення вектара \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n ад каардынатных восей.

Для пераводу абагульненых *n*-мерных палярных каардынат у дэкартавы можна скарыстацца наступнымі формуламі:
: \begin{aligned}
x_1 &= r \cos \varphi \sin \vartheta_1 \sin \vartheta_2 \cdots \sin \vartheta_{n-3} \sin \vartheta_{n-2} \\
x_2 &= r \sin \varphi \sin \vartheta_1 \sin \vartheta_2 \cdots \sin \vartheta_{n-3} \sin \vartheta_{n-2} \\
x_3 &= r \cos \vartheta_1 \sin \vartheta_2 \cdots \sin \vartheta_{n-3} \sin \vartheta_{n-2} \\
x_4 &= r \cos \vartheta_2 \cdots \sin \vartheta_{n-3} \sin \vartheta_{n-2} \\
&\vdots \\
x_{n-1} &= r \cos \vartheta_{n-3} \sin \vartheta_{n-2} \\
x_n &= r \cos \vartheta_{n-2}
\end{aligned}

Як можна паказаць, выпадак n=2 адпавядае звычайнай палярнай сістэме каардынат на плоскасці, а n=3 — звычайнай сферычнай сістэме каардынат.

Якабіян пераўтварэння палярных каардынат у дэкартавы будзе мець выгляд:
: \det \frac{\partial(x_1,\dots,x_n)}{\partial(r,\varphi,\vartheta_1,\dots,\vartheta_{n-2})} = r^{n-1} \sin \vartheta_1 (\sin \vartheta_2)^2 \cdots (\sin \vartheta_{n-2})^{n-2}

Адпаведна, $n$-мерны элемент аб’ёму запісваецца так:
: \begin{matrix} \mathrm dV &=& r^{n-1} \sin\vartheta_{1} \left(\sin\vartheta_{2}\right)^{2}\ldots \left(\sin\vartheta_{n-2}\right)^{n-2} \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \mathrm d\vartheta_{1} \ldots \mathrm d\vartheta_{n-2} \\ 
&=& r^{n-1}\ \mathrm dr\ \mathrm d\varphi\ \prod\limits_{j=1}^{n-2} (\sin\vartheta_{j})^{j}\ \mathrm d\vartheta_{j} \end{matrix}

## Прымяненне 
Паколькі палярная сістэма каардынат з’яўляецца двухмернай, яна прымяняецца толькі ў тых выпадках, калі пункты знаходзяцца на адной плоскасці. Яна найбольш зручная ў кантэкстах, дзе з’явы вызначаюцца напрамкам і адлегласцю ад пэўнага цэнтра.

Прыведзеныя вышэй прыклады дэманструюць, што простых палярных ураўненняў дастаткова для апісання такіх крывых, як Архімедава спіраль. У дэкартавай сістэме іхнія ўраўненні былі б значна больш грувасткімі. Акрамя таго, многія фізічныя сістэмы — напрыклад, тыя, што апісваюць рух цел вакол цэнтра або з’явы, якія распаўсюджваюцца з яго, — мадэляваць у палярных каардынатах прасцей і больш інтуітыўна. Першапачатковай матывацыяй для ўвядзення гэтай сістэмы стала менавіта вывучэнне арбітальнага руху і руху па акружнасці.

### У пазіцыянаванні і навігацыі 
Палярныя каардынаты часта выкарыстоўваюцца ў навігацыі, бо пункт прызначэння або напрамак руху зручна задаваць як вугал і адлегласць адносна аб’екта. Напрыклад, у авіяцыі ўжываецца крыху мадыфікаваная версія сістэмы палярных каардынат. У навігацыйнай практыцы прамень 0° называюць курсам 360, а адлік вуглоў вядзецца па гадзіннікавай стрэлцы, а не супраць яе, як прынята ў матэматыцы. Курс 360 адпавядае магнітнай поўначы, тады як курсы 90, 180 і 270 — магнітнаму ўсходу, поўдню і захаду адпаведна. Такім чынам, самалёт, які ляціць 5 марскіх міль на ўсход, будзе рухацца на 5 адзінак па курсе 90 (што дыспетчарамі паветранага руху згодна з міжнародным стандартам чытаецца як «zero-niner-zero»).

### У мадэляванні 
авой хвалі прамысловага гучнагаварыцеля паказаны ў сферычных палярных каардынатах пры шасці частотах.]]
Сістэмы з радыяльнай сіметрыяй з’яўляюцца натуральнай вобласцю прымянення палярных каардынат, пры гэтым цэнтральны пункт выконвае ролю полюса. Яскравым прыкладам такога выкарыстання з’яўляецца  прымяняльна да радыяльна-сіметрычных свідравін.

Сістэмы з радыяльнай сілай таксама добра падыходзяць для выкарыстання палярнай сістэмы каардынат. Да іх адносяцца гравітацыйныя палі, якія падпарадкоўваюцца закону адваротных квадратаў, а таксама сістэмы з кропкавымі крыніцамі, такія як радыеантэны. Радыяльна асіметрычныя сістэмы таксама могуць мадэлявацца ў палярных каардынатах. Напрыклад, дыяграма накіраванасці мікрафона ілюструе ягоную адчувальнасць да гуку, які паступае з пэўнага напрамку, і гэтыя дыяграмы могуць быць прадстаўлены ў выглядзе палярных крывых. Крывая для стандартнага  кардыёіднага мікрафона (найбольш распаўсюджанага тыпу аднанакіраваных мікрафонаў) можа быць апісана ўраўненнем r = 0,5 + 0,5\sin(\phi) на ягонай разліковай частаце. На ніжэйшых частотах дыяграма імкнецца да ўсенакіраванай.

## Крыніцы 
## Спасылкі 
*  — выконвае пераўтварэнне паміж палярнымі, дэкартавымі і сферычнымі каардынатамі.

Катэгорыя:Сістэмы каардынат