Сума

**Су́ма** ( — вынік) — вынік аперацыі складання велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц ). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з'яўляюцца ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці для аперацыі складання, а таксама дыстрыбутыўнасці ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:
* перастаўляльны закон
: а + b = b + a
* спалучальны закон
: а + (b + c) = (а + b) + c
* правы размеркавальны закон
: (а + b)с = ас + bc
* левы размеркавальны закон
: с(а + b) = ca + cb

У тэорыі мностваў сумай (ці аб'яднаннем) мностваў называецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.

## Вызначаная сума 
Часта суму *n* складнікаў *a*k, *a*k+1, …, *a*N абазначаюць вялікай літарай гречаскай літарай Σ (сігма):

a_k + a_{k+1} + ... + a_N = \sum_{i=k}^N a_i

Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай *a*i па*i* ад *k* да *N*.
Для зручнасці замест \sum_{i=k}^Na_i, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць \sum_{P(i)}^{}a_i, дзе P(i)\  — некаторая ўмова для i\ , такім чынам \sum_{P(i)}^{}a_i гэта канечная сума ўсіх a_i\ , дзе i\in Z : P(i)\ 
Уласцівасці вызначанай сумы:
# \left(\sum_{i=k_1}^{k_2}a_i\right)\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}b_j\right) = \sum_{i=k_1}^{k_2}\left(\sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_j\right)
# \sum_{i=k_1}^{k_2}\sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = \sum_{j=p_1}^{p_2}\sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}
# \sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = \sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + \sum_{i=k_1}^{k_2}b_i
# \sum_{i=k_1}^{k_2} {z \cdot a_i} = z \cdot \sum_{i=k_1}^{k_2} a_i

## Прыклады 
# Сума арыфметычнай прагрэсіі:
#: \sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}
# Сума геаметрычнай прагрэсіі:
#: \sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}
# \sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0
{{Hider|
  title = Чаму гэта так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
:\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)}}
# \sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1
{{Hider|
  title = Чаму гэта так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Доказ:
: \sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = 
p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow
: \Rightarrow (1-p)\sum_{k=0}^nip^i = \frac{-np^{n-1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = 
\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}}}
# \sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1
{{Hider|
  title = Чаму гэта так |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Доказ:
:(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =
:=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =
:=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=
:=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i}}
#* Пры p = 10\  атрымліваем \sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5

## Нявызначаная сума 
Нявызначанай сумай *a*i по *i* называецца такая функцыя *f(i)*, якая абазначаецца
\sum_{i}^{} a_i,
что \forall i f(i+1) - f(i) = a_{i+1}.

## Формула Ньютана — Лейбніца 
Калі знайдзена нявызначаная сума
\sum_{i}^{} a_i = f(i),
тады
\sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k).&nbsp;

## Паходжанне слова 
Лацінскае слова *summa* перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З XV стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «падсумоўваць» (1489 год).

Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскай.

Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў Эйлер у 1755 годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара «сігма» Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі інтэгравання.

## Гл. таксама 
* Кантрольная сума

## Літаратура 
* 

Катэгорыя:Элементарная матэматыка