Алгебраічны лік

**Алгебраі́чны лік** над полем k — элемент алгебраічнага замыкання поля k, г. зн. корань мнагачлена (не роўнага тоесна нулю) з каэфіцыентамі з k.

Калі поле не пазначана, то маецца на ўвазе поле рацыянальных лікаў, г. зн. k=\mathbb{Q}, у гэтым выпадку поле алгебраічных лікаў звычайна абазначаецца \mathbb{A}.
Поле \mathbb{A} з’яўляецца падполем поля камплексных лікаў.

Гэта артыкул прысвечан іменна гэтым «рацыянальным алгебраічным лікам».

## Звязаныя азначэнні 
* Камплексны лік, які не з’яўляецца алгебраічным, называецца трансцэндэнтным.
* Цэлымі алгебраічнымі лікамі называюцца карані мнагачленаў з цэлымі каэфіцыентамі і са старшым каэфіцыентам, роўным адзінцы.
* Калі \alpha — алгебраічны лік, то сярод усіх мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якіх \alpha з’яўляецца коранем, існуе адзіны мнагачлен найменшае ступені са старшым каэфіцыентам, роўным 1. Такі мнагачлен аўтаматычна з’яўляецца непрыводным, ён называецца **кананічным**, ці **мінімальным**, мнагачленам алгебраічнага ліку \alpha. (Іншы раз **кананічным** называюць мнагачлен, які атрымліваецца з мінімальнага дамнажэннем на найменшае агульнае кратнае назоўнікаў яго каэфіцыентаў, г. зн. мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі)
** Ступень кананічнага мнагачлена \alpha называецца **ступенню** алгебраічнага ліку \alpha.
** Іншыя карані кананічнага мнагачлена \alpha называюцца **спалучанымі** з \alpha.
** **Вышынёю** алгебраічнага ліку \alpha называецца найбольшая з абсолютных велічынь каэфіцыентаў у непрыводным і нескарачальным мнагачлене з цэлымі каэфіцыентамі, для якога \alpha з’яўляецца коранем.

## Прыклады 
* Рацыянальныя лікі, і толькі яны, з’яўляюцца алгебраічнымі лікамі 1-й ступені.
* Уяўная адзінка i і \sqrt2 з’яўляюцца алгебраічнымі лікамі 2-й ступені. Спалучанымі да іх з’яўляюцца адпаведна -i і -\sqrt2.
* Пры любым натуральным паказчыку n лік \sqrt[n]2 з’яўляецца алгебраічным ступені n.

## Уласцівасці 
* Мноства алгебраічных лікаў злічальнае, і такім чынам, мае меру нуль.
* Мноства алгебраічных лікаў шчыльнае на камплекснай плоскасці.
* Сума, рознасць, здабытак і дзель двух алгебраічных лікаў (акрамя дзялення на нуль) з’яўляюцца алгебраічнымі лікамі, г. зн. мноства ўсіх алгебраічных лікаў утварае поле.
* Корань мнагачлена з алгебраічнымі каэфіцыентамі ёсць алгебраічны лік, г. зн. поле алгебраічных лікаў алгебраічна замкнута.
* Для ўсякага алгебраічнага ліку \alpha існуе такое натуральнае N, што N\alpha — цэлы алгебраічны лік.
* Алгебраічны лік \alpha ступені n мае n розных спалучаных лікаў (уключаючы сябе).
* \alpha і \beta спалучаныя тады і толькі тады, калі існуе аўтамарфізм поля \mathbb{A}, які пераводзіць \alpha ў \beta.
* Любы алгебраічны лік вылічымы, і такім чынам, арыфметычны.
* Парадак на мностве рэчаісных алгебраічных лікаў ізаморфны парадку на мностве рацыянальных лікаў.

## Гісторыя 
Упершыню алгебраічныя палі стаў разглядаць Гаус.
Пры абгрунтаванні тэорыі біквадратычных вылікаў ён развіў арыфметыку цэлых гаусавых лікаў, г. зн. лікаў віду a + bi, дзе a і b — цэлыя лікі.
Далей, вывучаючы тэорыю кубічных вылікаў, Якобі і
Эйзенштэйн стварылі арыфметыку лікаў віду a + b\rho, дзе \rho = (-1+i\sqrt3)/2 — кубічны корань з адзінкі, а a і b — цэлыя лікі.
У 1844 годзе Ліувіль даказаў тэарэму аб немагчымасці надта добрага прыбліжэння каранёў мнагачленаў з рацыянальнымі каэфіцыентамі рацыянальнымі дробамі, і, як вынік, увёў фармальныя паняцці алгебраічных і трансцэндэнтных (г. зн. усіх астатніх рэчаісных) лікаў.
Спробы даказаць вялікую тэарэму Ферма прывялі Кумера да вывучэння палёў дзялення круга, увядзення паняцця ідэала і стварэння элементаў тэорыі алгебраічных лікаў.
У працах Дзірыхле,
Кронекера,
Гільберта
і іншых тэорыя алгебраічных лікаў атрымала сваё далейшае развіццё.
Вялікі ўклад у яе ўнеслі рускія матэматыкі
Залатароў (тэорыя ідэалаў),
Вараны (кубічныя ірацыянальнасці, адзінкі кубічных палёў),
Маркаў (кубічнае поле),
Сахоцкі (тэорыя ідэалаў)
і іншыя.

## Гл. таксама 
* Колца перыядаў

## Спасылкі 
* *Фельдман, Н.* *Алгебраические и трансцендентные числа*  // Квант, № 7, 1983.
* *Нестеренко Ю. В.* Лекции об алгебраических числах // Конспект курса лекций, читаемых на мехмате МГУ.

Катэгорыя:Абстрактная алгебра
Катэгорыя:Лікі
Катэгорыя:Алгебраічныя лікі