Трохвугольнік

**Трохвуго́льнік**, **трохкутнік** — геаметрычная фігура, утвораная трыма адрэзкамі, якія злучаюць тры пункты, што не ляжаць на адной прамой. Гэтыя адрэзкі называюцца **старанамі** (бакамі) трохвугольніка, а пункты, злучаныя старанамі, — яго **вяршынямі**.

Трохвугольнік — найпрасцейшы з многавугольнікаў.

Вяршыні трохвугольніка звычайна абазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні вуглоў пры адпаведных вяршынях — грэчаскімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні процілеглых старон — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).

Трохвугольнік з’яўляецца шматграннікам. У еўклідавай геаметрыі трохвугольнік адназначна задае плоскасць. Усе трохвугольнікі з’яўляюцца плоскімі фігурамі.

## Класіфікацыя трохвугольнікаў 
### Паводле велічыні вуглоў 
Раз сума вуглоў трохвугольніка роўная 180°, то не менш чым два вуглы ў трохвугольніку павінны быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трохвугольнікаў:
* Калі ўсе вуглы трохвугольніка вострыя, то трохвугольнік завецца **востравугольным**;
* Калі адзін з вуглоў трохвугольніка тупы (большы за 90°), то трохвугольнік завецца **тупавугольным**;
* Калі адзін з вуглоў трохвугольніка прамы (роўны 90°), то трохвугольнік завецца **прамавугольным**. Дзве стараны, якія ўтвараюць прамы вугал, завуцца **катэтамі**, а старана, процілеглая прамому вуглу, завецца **гіпатэнузай**.

### Паводле колькасці роўных старон 
* **Рознастароннім** называецца трохвугольнік, у якога даўжыні старон папарна розныя.
* **Раўнабедраным** завецца трохвугольнік, у якога дзве стараны роўныя. Гэтыя стораны завуцца **бакавымі**, трэцяя старана завецца **асновай**. У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя. Вышыня, медыяна і бісектрыса раўнабедранага трохвугольніка, апушчаныя на аснову, супадаюць.
* **Роўнастароннім** завецца трохвугольнік, у якога ўсе тры стараны роўныя. У роўнастароннім трохвугольніку ўсе вуглы роўныя 60°, а цэнтры упісанай і апісанай акружнасцей супадаюць.

## Няроўнасць трохвугольніка 
Стораны трохвугольніка нельга задаваць адвольна, яны звязаныя наступнымі няроўнасцямі
* a
* b
* c
Калі хаця б у адной з гэтых суадносін мае месца роўнасць, трохвугольнік называецца **выраджаным**. Далей усюды маецца на ўвазе нявыраджаны выпадак.

## Прыкметы роўнасці трохвугольнікаў 
Трохвугольнік адназначна можна вызначыць па наступных тройках асноўных элементаў:
* a, b, c (роўнасць па трох старанах);
* a, b, γ (роўнасць па дзвюх старанах і вуглу паміж імі);
* a, β, γ (роўнасць па старане і двух прылеглых вуглах).

## Адрэзкі і акружнасці, звязаныя з трохвугольнікам 
Акружнасць, датычная ўсіх трох старон трохвугольніка, завецца яго **упісанай акружнасцю**. Яна вызначана адназначна. Акружнасць, якая праходзіць праз усе тры вяршыні трохвугольніка, завецца яго **апісанай акружнасцю**. Апісаная акружнасць таксама вызначана адназначна.

**Медыянай** трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адрэзак, які злучае гэту вяршыню з сярэдзінай процілеглай стараны. Усе тры медыяны трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт перасячэння называецца **цэнтроідам** або цэнтрам цяжару трохвугольніка. Апошняя назва звязана з тым, што ў трохвугольніка, зробленага з аднароднага матэрыялу, цэнтр цяжару знаходзіцца ў пункце перасячэння медыян. Цэнтроід дзеліць кожную медыяну ў адносіне 1:2, калі лічыць ад асновы медыяны.

Перпендыкуляр, апушчаны з вяршыні трохвугольніка на процілеглую старану або яе працяг, завецца **вышынёй** трохвугольніка. Тры вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які называецца **ортацэнтрам** трохвугольніка.

**Бісектрысай** трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адрэзак, які злучае гэту вяршыню з пунктам на процілеглай старане і дзеліць вугал пры дадзенай вяршыні папалам. Бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з цэнтрам упісанай акружнасці.

У раўнабедраным трохвугольніку бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Справядліва і адваротнае: калі бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трохвугольнік раўнабедраны. Калі трохвугольнік рознастаронні, то для любой яго вяршыні бісектрыса, праведзеная з яе, ляжыць паміж медыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.

Сярэдзінныя перпендыкуляры да старон трохвугольніка таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам апісанай акружнасці.

**Пазаўпісанай акружнасцю** завецца акружнасць, датычная аднае стараны трохвугольніка і працягу дзвюх іншых старон.

Сярэдзіны трох старон трохвугольніка, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адрэзкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружнасці, якая называецца **акружнасцю дзевяці пунктаў**.

У любым трохвугольніку цэнтр цяжару, артацэнтр, цэнтр апісанай акружнасці і цэнтр акружнасці дзевяці пунктаў ляжаць на адной прамой, якая называецца **прамою Эйлера**.

## Суадносіны ў трохвугольніку 
Калі вядомыя тры велічыні з шасці (тры стараны і тры вуглы), то астатнія можна знайсці па наступных формулах:

### Тэарэма сінусаў 
Справядлівыя наступныя суадносіны паміж даўжынямі старон і сінусамі адпаведных процілеглых вуглоў:
: \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R, 
дзе  — радыус апісанай акружнасці.

Гэтыя суадносіны называюцца тэарэмаю сінусаў.
Сярод іншага, з тэарэмы вынікае, што калі a \triangle ABC:

: {a\over b}={a_L\over b_L}
: l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L} 
= \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
: m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}
: h_c = b\sin\alpha = a\sin\beta = \frac {2S}{c}
: \ d^2 = R^2 - 2Rr — формула Эйлера
: \frac {r}{R} = 4\sin\frac {\alpha}{2}\sin\frac {\beta}{2}\sin\frac {\gamma}{2} 
= \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma - 1
**Дзе:**
: \ l_a, l_b, l_c — адпаведна бісектрысы вуглоў A, B і C,
: \ a_L, b_L — адрэзкі, на якія бісектрысы \ l_c дзеліць старану \ c,
: \ m_a, m_b, m_c — медыяны, праведзеныя адпаведна да старон a, b і c,
: \ h_a, h_b, h_c — вышыні, апушчаныя адпаведна на стораны a, b і c,
: \ r — радыус упісанай акружнасці,
: \ R — радыус апісанай акружнасці,
: p=\frac {a+b+c}{2} — паўперыметр,
: \ S — плошча,
: \ d — адлегласць паміж цэнтрамі ўпісанай і апісанай акружнасцей.

## Плошча трохвугольніка 
Найвядомейшая і найпрасцейшая формула:
: S=\frac{1}{2}bh_b
**Дзе:**
: \ b — даўжыня асновы трохвугольніка (старана, да якой праведзены перпендыкуляр)
: \ h_b — вышыня, праведзеная да стараны \ b,

Гэтай формулай зручна карыстацца, калі можна лёгка знайсці вышыню.

### Трыганаметрычны спосаб 
Вышыню трохвугольніка можна вылічыць з выкарыстаннем трыганаметрычных формул. У адпаведнасці з абазначэннямі на выяве злева, вышыня роўная \ h_b = a \sin \gamma. Калі падставіць вышыню ў формулу S= \frac{1}{2}bh_b, атрымаем:
: S =  \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha  = \frac{1}{2}ca\sin \beta.
Акрамя таго, \sin \alpha = \sin ( \pi - \alpha ) = \sin (\beta + \gamma),, што справядліва і для іншых двух вуглоў:
: S = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).

### З выкарыстаннем вектараў 
Плошчу паралелаграма можна вылічыць з дапамогай вектараў. Няхай вектары *AB* і *AC* накіраваны адпаведна ад *A* да *B* і ад *A* да *C*. Тады плошча паралелаграма *ABDC* роўная *|AB × AC|*, г.зн. лікаваму значэнню вектарнага здабытка *AB* і *AC*. *|AB × AC|* роўны *h · AC*, дзе *h* — вышыня паралелаграма.

Плошча трохвугольніка *ABC* роўная палове плошчы паралелаграма *S = ½|AB × AC|*.

Плошчу трохвугольніка *ABC* таксама можна вылічыць як скалярны здабытак вектараў.
: 
\frac{1}{2} \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\frac{1}{2} \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} \,.

### Выкарыстанне каардынат 
Калі пункт А размешчаны ў пункце пачатку адліку (0, 0) дэкартавай каардынатнай сістэмы, а каардынаты іншых двух пунктаў B = (*x*B, *y*B) і C = (*x*C, *y*C), тады плошчу *S* можна вылічыць як палавіну абсалютнага значэння вызначніка:
: S=\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|x_B y_C - x_C y_B|. 
Ці ў агульным выпадку:
: S=\frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\  y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2} \big| x_A y_C - x_A y_B + x_B y_A - x_B y_C + x_C y_B - x_C y_A \big|. 
У трохмернай прасторы плошча трохвугольніка {A = (*x*A, *y*A, *z*A), B = (*x*B, *y*B, *z*B) і C = (*x*C, *y*C, *z*C)} роўная корню квадратнаму з сумы квадратаў адпаведных праекцый на тры галоўныя плоскасці (для якіх *x* = 0 або *y* = 0 або *z* = 0):
: S=\frac{1}{2} \sqrt{ \left( \det\begin{pmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 +
\left( \det\begin{pmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right)^2 }. 

### Формула Герона 
Форма трохвугольніка адназначна вызначаецца трыма старанамі. Адпаведна, для таго каб вылічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыні старон. Паводле формулы Герона:
: S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, дзе p=\frac {a+b+c}{2} — **паўперыметр**.

Іншы спосаб запісу формулы Герона:
:  S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}.

### Іншыя формулы 
:# S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr = (p-b)r_b
:# S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}
:# S_{\triangle ABC}= \frac {a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha}
:# S_{\triangle ABC}= {2R^2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}
:# S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)]  у дадзенай формуле варта звярнуць увагу на абход вяршынь, калі йсці па гадзіннікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
:# S_{\triangle ABC}=r^2+2rR — для прамавугольнага трохвугольніка
**Дзе:**
: p=\frac {a+b+c}{2} — напаўперыметр,
: \ r — радыус упісанай акружнасці,
: \ r_b — радыус пазаўпісанай акружнасці, датычны да стараны \ b,
: \ R — радыус апісанай акружнасці,
: \ (x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C)  — каардынаты вяршынь трохвугольніка.

## Крыніцы 
## Літаратура 
* 
* 
* 
* 
* 

## Спасылкі 
Катэгорыя:Многавугольнікі