Рад (матэматыка)

Простымі словамі, **рад** або **шэраг** — упарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай (a_n)_{n=1}^\infty — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя элементы знакам плюс (+), атрымаем выраз:
: \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots,
які і называецца **лікавым радам** са складнікамі a_1, a_2, \dots, a_n, \dots.

Будзем казаць, што рад
: \sum_{n=1}^\infty a_n
мае суму, калі існуе ліміт паслядоўнасці (s_n)_{n=1}^\infty яго частковых сум
: s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n.
Гэты ліміт
: s = \lim_{n\to \infty} s_n
і называецца **сумай рада**.

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца **збежным**, а ва ўсіх астатніх выпадках — **разбежным**.

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і лімітавага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:
* лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з’яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
* функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з’яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных дастасаванняў лікавых радоў — набліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, набліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як [[Лік e|]] і [[Пі|]], можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.

## Азначэнне 
Няхай \{a_i\}_{i=1}^{\infty} — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць

: \{s_k\}_{k=1}^{\infty},

кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых элементаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду

: s_k=\sum_{i=1}^{k}a_i.

Наогул, для пазначэння рада выкарыстоўваецца знак

: \sum_{i=1}^{\infty}a_i,

бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

* лікавы рад *збягаецца*, калі збягаецца паслядоўнасць яго частковых сум;
* лікавы рад *разбягаецца*, калі разбягаецца паслядоўнасць яго частковых сум:
* лікавы рад *збягаецца абсалютна*, калі збягаецца рад з модуляў яго складнікаў.

Калі лікавы рад збягаецца, то ліміт S паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:

: S=\sum_{i=1}^{\infty}a_i.

## Аперацыі над радамі 
Няхай зададзены збежныя рады \sum_{n=0}^\infty a_n і \sum_{n=0}^\infty b_n. Тады:
* іх сумай называецца рад \sum (a_n + b_n);
* іх здабыткам па Кашы называецца рад \sum c_n, дзе  c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

Калі абодва рады збягаюцца, то іх сума збягаецца, калі абодва рады збягаюцца абсалютна, то іх сума збягаецца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў збягаецца абсалютна, то здабытак радоў збягаецца.

## Крытэр абсалютнай збежнасці 
Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад \sum_{k=1}^\infty a_k  называецца абсалютна збежным, калі збягаецца рад \sum_{k=1}^\infty |a_k|.

Рад \sum_{k=1}^\infty a_k збягаецца абсалютна тады і толькі тады, калі збягаюцца абодва дадатныя рады b_k і c_k, дзе a_k = b_k - c_k, \left|a_k\right| = b_k + c_k, b_k \geqslant 0, c_k \geqslant 0, \forall k.

;Доказ.
Калі збягаецца \sum \left|a_k\right|, то па прыкмеце параўнання тым больш збягаюцца b_k і \,c_k.
Наадварот, калі збягаюцца b_k і c_k, то збягаецца і іх сума \sum \left|a_k\right|.

## Гл. таксама 
* Функцыянальны рад
* Ступенны рад
* Рад Фур’е

## Літаратура 
* Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
* 
* *Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.*
* Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063—1070.

## Спасылкі 
* 
* 

Катэгорыя:Рады і паслядоўнасці