Ранг матрыцы

**Рангам** сістэмы радкоў (слупкоў) матрыцы A з m радкоў і n слупкоў называецца максімальны лік лінейна незалежных радкоў (слупкоў). Некалькі радкоў (слупкоў) называюцца лінейна незалежнымі, калі ні адзін з іх не выражаецца лінейна праз іншыя. Ранг сістэмы радкоў заўсёды роўны рангу сістэмы слупкоў, і гэты лік называецца рангам матрыцы.

**Ранг матрыцы** — найвышэйшы з парадкаў мінораў гэтай матрыцы, няроўных нулю.

**Ранг матрыцы** — размернасць вобраза \dim (\operatorname{Im} (A)) лінейнага аператара, якому адпавядае матрыца.

Звычайна ранг матрыцы A абазначаецца \operatorname{rang}A (\operatorname{rg}A) або \operatorname{rank}A.
Абодва абазначэння прыйшлі да нас з замежных моў, таму і ўжывацца могуць абодва. Апошні варыянт уласцівы для англійскай мовы, у той час як першы — для нямецкай, французскай і шэрага іншых моў.

## Азначэнне 
Хай A_{m\times n} — прамавугольная матрыца.

Тады па азначэнні **рангам матрыцы** A з’яўляецца:

* нуль, калі A — нулявая матрыца;
* лік r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0, дзе M_r — мінор матрыцы A парадку r, а M_{r+1} — аблямоўваючы яго мінор парадку (r+1), калі яны існуюць.

**Тэарэма (пра карэктнасць вызначэння рангаў)**. Хай усе міноры матрыцы A_{m\times n} парадку k роўныя нулю (M_k=0). Тады \forall M_{k+1}=0, калі яны існуюць.

## Звязаныя азначэнні 
* Ранг \operatorname{rang}M матрыцы A памеру m \times n называюць **поўным**, калі \operatorname{rang}M = \min\{m, n\}.
* **Базісны мінор** матрыцы A — любы ненулявы мінор матрыцы A парадку r, дзе r=\operatorname{rang}A.
** Радкі і слупкі, на скрыжаванні якіх знаходзіцца базісны мінор, называюцца **базіснымі радкамі і слупкамі**. (Яны вызначаны неадназначна ў сілу неадназначнасці базіснага мінора.)

## Уласцівасці 
* **Тэарэма (аб базісным міноры)**: Няхай r=\operatorname{rang}A,M_r — базісны мінор матрыцы A, тады:
*# базісныя радкі і базісныя слупкі лінейна незалежныя;
*# любы радок (слупок) матрыцы A ёсць лінейная камбінацыя базісных радкоў (слупкоў).
* **Следства**:
** Калі ранг матрыцы роўны r, то любыя p\colon p>r радкоў ці слупкоў гэтай матрыцы будуць лінейна залежныя.
** Калі A — квадратная матрыца, і \det A=0\iff, то радкі і слупкі гэтай матрыцы лінейна залежныя.
** Хай r=\operatorname{rang}A, тады максімальная колькасць лінейна незалежных радкоў (слупкоў) гэтай матрыцы роўная r.
* **Тэарэма (аб інварыянтнасці рангу пры элементарных пераўтварэннях)**: Увядзём абазначэнне A\sim B для матрыц, атрыманых адна з адной элементарнымі пераўтварэннямі. Тады справядліва сцвярджэнне: Калі A\sim B, то іх рангі роўныя.
* **Тэарэма Кронекера — Капелі**: Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў сумесная тады і толькі тады, калі ранг яе асноўнай матрыцы роўны рангу яе пашыранай матрыцы. У прыватнасці:
** Колькасць галоўных пераменных сістэмы роўна рангу сістэмы.
** Сумесная сістэма будзе вызначанай (яе рашэнне адзіным), калі ранг сістэмы роўны ліку ўсіх яе зменных.

## Лінейнае пераўтварэнне і ранг матрыцы 
Няхай A — матрыца памеру m \times n над полем \Complex (або \R). Няхай T — лінейнае пераўтварэнне, якое адпавядае A ў стандартным базісе; гэта значыць, што T(x)=Ax. *Ранг матрыцы* ***A*** — гэта размернасць вобласці значэнняў пераўтварэння T.

## Метады 
Існуе некалькі метадаў знаходжання рангу матрыцы:

* **Метад элементарных пераўтварэнняў**

: Ранг матрыцы роўны ліку ненулявых радкоў у матрыцы пасля прывядзення яе да ступеньчатай формы пры дапамозе элементарных пераўтварэнняў над радкамі матрыцы.

* **Метад аблямоўваючых мінораў**

: Няхай ў матрыцы A знойдзены ненулявы мінор k-га парадку M. Разгледзім усе міноры (k+1)-га парадку, якія ўключаюць у сябе (аблямоўваючы) мінор M; калі ўсе яны роўныя нулю, то ранг матрыцы роўны k. У адваротным выпадку сярод аблямоўваючых мінораў знойдзецца ненулявы, і ўся працэдура паўтараецца.

## Літаратура 
* 

Катэгорыя:Матрычныя інварыянты
Катэгорыя:Лінейная алгебра