Фрактал

У матэматыцы **фрактал** (— дроблены, зламаны, разбіты) — гэта падмноства эўклідавай прасторы з фрактальнай памернасцю (у сэнсе Мінкоўскага або Хаўсдорфа), якая строга перавышае яе тапалагічную памернасць. Фракталы выглядаюць аднолькава ў розных маштабах, як паказана ў паслядоўных павелічэннях мноства Мандэльброта. Фракталы дэманструюць падобныя ўзоры ва ўсё меншых маштабах. Гэта ўласцівасць, званая самападабенствам, таксама вядомая як пашыраючаяся сіметрыя або сіметрыя разгортвання. Калі такое падабенства абсалютна аднолькавае ў кожным маштабе, як у губкі Менгера , яно называецца афінным самападабенствам. Фрактальная геаметрыя ляжыць у рамках матэматычнай галіны тэорыі меры.

Адным са спосабаў адрознення фракталаў ад канчатковых геаметрычных фігур з’яўляецца іх маштабаванне. Падваенне даўжыні краю шматвугольніка памнажае яго плошчу на чатыры, што складае два (адносіны даўжыні новай да старой стараны) у ступені два (памернасць прасторы, у якой знаходзіцца шматкутнік). Калі радыус сферы павялічыцца ўдвая, яе аб’ём павялічыцца ў восем разоў, што роўна два (адносіны новага радыусу да старога) у ступені тры (вымярэнне, у якім знаходзіцца сфера). Аднак, калі ўсе аднамерныя даўжыні фрактала падвоіць, плошча або аб’ём фракталу павялічыцца ў ступені, якая не абавязкова з’яўляецца цэлым лікам.

Аналітычна большасць фракталаў не дыферэнцыруюцца канечным лікам бакоў. Слова *«фрактал»* увёў Бенуа Мандэльброт у 1975 годзе і выкарыстаў яго для пашырэння паняцця тэарэтычных дробавых памераў на геаметрычныя ўзоры ў прыродзе. Яно стала шырока вядома з выхадам у 1977 годзе яго кнігі «Фрактальная геаметрыя прыроды». З развіццём вылічальнай тэхнікі з’явілася магчымасць больш хуткага графічнага выяўлення фракталаў.

Сярод матэматыкаў існуюць некаторыя рознагалоссі наконт таго, як павінна быць фармальна вызначана паняцце фрактала. Сам Мандэльброт рэзюмаваў гэта як «прыгожае, надзвычай цяжкае, усё больш карыснае. Гэта фракталы». Больш фармальна, у 1982 годзе Мандэльброт вызначыў *фрактал* наступным чынам: «Фрактал — гэта мноства, для якога памернасць Хаўсдорфа-Безіковіча строга перавышае тапалагічную памернасць». Пазней, лічачы гэта занадта абмежавальным, ён спрасціў і пашырыў вызначэнне да наступнага: «Фрактал — гэта форма, складзеная з частак, у нечым падобных да цэлага». Яшчэ пазней Мандэльброт прапанаваў «выкарыстоўваць *фрактал* без педантычнага вызначэння, выкарыстоўваць *фрактальную памернасць* у якасці агульнага тэрміна, які ўжываецца да *ўсіх* варыянтаў».

Сярод матэматыкаў адзіны кансэнсус заключаецца ў тым, што тэарэтычныя фракталы — гэта бясконца самападобныя, паўтараючыяся і дэталёвыя матэматычныя структуры, якія маюць фрактальныя памеры, прыкладаў якіх было сфармулявана і вывучана шмат.

Фракталам можа называцца прадмет, які праяўляе, па меншай меры, адну з наступных уласцівасцяў:

* Мае нетрывіяльную структуру на ўсіх маштабах. Пры набліжэнні ў маштабе да звычайных фігур: акружнасці, эліпсу, графіку гладкай функцыі — фрагмент фігуры будзе нагадваць фрагмент прамой. Для фрактала павелічэнне маштабу не вядзе да спрашчэння структуры, і ва ўсіх маштабах бачна аднолькава складаная выява.
* З’яўляецца самападобным або прыблізна самападобным.
* Мае дробавую метрычную памернасць або памернасць, якая перавышае тапалагічную памернасць.

Прыклады аб’ектаў у прыродзе, што маюць уласцівасці фрактала: узбярэжжа, аблокі, кроны дрэў, сняжынкі, сістэма кровазвароту, альвеолы і інш. Фракталы не абмяжоўваюцца геаметрычнымі ўзорамі, але таксама могуць апісваць працэсы ў часе. Фрактальныя ўзоры з рознай ступенню самападабенства былі апрацаваны або вывучаны ў візуальных, фізічных і слыхавых носьбітах і знойдзены ў тэхналогіях, мастацтве, архітэктуры  і праве. Фракталы маюць асаблівае значэнне ў галіне тэорыі хаосу, таму што графікі большасці хаатычных працэсаў з’яўляюцца фракталамі. Многія рэальныя і мадэльныя сеткі маюць фрактальныя асаблівасці, такія як самападабенства.

## Уводзіны 
Слова «фрактал» часта нясе розныя сэнсы для непрафесіяналаў і матэматыкаў. Грамадскасць звычайна больш знаёмая з фрактальным мастацтвам, чым з матэматычным паняццем. Для спрашчэння разумення мы будзем апісваць паняцце па яго ключавых рысах, не па яго навуковым вызначэнні.

Так, рысу «самападабенства» лёгка зразумець па аналогіі з павелічэннем з дапамогай аб’ектыва або іншай прылады, якая павялічвае лічбавыя выявы, каб выявіць больш тонкія, раней нябачныя новыя прыкметы. Калі гэта робіцца на фракталах, новыя дэталі не з’яўляюцца; нічога не мяняецца, і амаль адна і тая ж карціна паўтараецца зноў. Самападабенства само па сабе не абавязкова з’яўляецца супрацьінтуітыўным (так, людзі разважалі аб самападабенстве нефармальна, напрыклад, у бясконцым шэрагу адлюстраванняў у паралельных люстэрках, або ў Гамункуле, маленькім чалавеку ў галаве маленькага чалавека ў галаве…). Розніца для фракталаў заключаецца ў тым, што выяўлены ўзор павінен быць дэталізаваны.

Гэтая ідэя дэталізацыі звязана з іншай рысай, якую можна зразумець без спецыяльнай матэматычнай падрыхтоўкі. Фрактальная памернасць, большая за тапалагічную памернасць, значыць, што фрактал маштабуецца троху інакш, чым звычайныя геаметрычныя фігуры. Прамая лінія, напрыклад, звычайна разумеецца як аднамерная; калі такую фігуру разбіць на кавалкі, кожны памерам 1/3 даўжыні арыгінала, то заўсёды застаецца тры роўныя часткі. Суцэльны квадрат разумеецца як двухмерны; калі такую фігуру разбіць на кавалкі, кожная паменшаная ў 1/3 у абодвух вымярэннях, агулам атрымаецца 3² = 9 частак.

Мы бачым, што для звычайных самападобных аб’ектаў *n*-мернасць азначае, што, калі іх разбіваць на кавалкі, кожны з якіх памяншаецца на каэфіцыент 1/*r*, агулам застаецца *r**n* частак. Разгледзім крывую Коха. Яе можна разбіць на чатыры часткі, кожная у маштабе 1/3. Такім чынам, строга па аналогіі, мы можам разглядаць «памернасць» крывой Коха як сапраўдны лік *D*, які задавальняе 3*D* = 4. Матэматыкі называюць гэты лік *фрактальнай памернасцю* крывой Коха. Вядома, гэта *не* тое, што звычайна ўспрымаецца як памернасць крывой (гэты лік нават не цэлы!). Так, крывая Коха мае фрактальную памернасць, якая адрозніваецца ад яе *звычайна зразумелай* памернасці (або яе тапалагічнай памернасці), і гэта вызначае яе як фрактал.

Гэта таксама прыводзіць да разумення трэцяй асаблівасці, што фракталы як матэматычныя ўраўненні «нідзе не дыферэнцыруюцца». У канкрэтным сэнсе гэта азначае, што традыцыйныя спосабы вымярэння недастатковыя для фракталаў. У 1960-х гадах Бенуа Мандэльброт пачаў пісаць пра самападабенства ў такіх артыкулах, як «*Даўжыня ўзбярэжжа Брытаніі*», «*Статыстычная самападобнасць і дробавае вымярэнне*», якія пашыралі даследаванні і ідэі, закладзеныя ў ранейшай працы Льюіса Фрая Рычардсана.

У 1975 г.

У 1980 годзе Лорэн Карпентэр выступіў з прэзентацыяй на SIGGRAPH, дзе ён прадставіў сваё праграмнае забеспячэнне для стварэння і візуалізацыі фрактальна генераваных ландшафтаў.

## Азначэнне і характарыстыкі 
Часта цытуецца апісанне, якое Мандэльброт апублікаваў для характарызацыі геаметрычных фракталаў, — гэта «няроўная або фрагментаваная геаметрычная фігура, якую можна падзяліць на часткі, кожная з якіх з’яўляецца (прынамсі прыблізна) паменшанай копіяй цэлага». Хоць гэтае вызначэнне звычайна карыснае, яно абмежаванае. Аўтары разыходзяцца ў меркаванні адносна дакладнага вызначэння *фрактала*, але часцей за ўсё ўдакладняюць асноўныя ідэі самападабенства і незвычайныя адносіны, якія фракталы маюць з прасторай, дзе яны знаходзяцца. У 1975 годзе, калі Мандэльброт прыдумаў слова «фрактал», ён зрабіў гэта для абазначэння аб’екта, памернасць Хаўсдорфа-Безіковіча якога большая за тапалагічную памернасць.
:* Мультыфрактальнае маштабаванне: характарызуецца больш чым адным фрактальным вымярэннем або правілам маштабавання.

* Тонкая, або дэталёвая структура ў заўгодна малых маштабах. Следствам такой структуры з’яўляецца тое, што фракталы могуць мець раптоўна ўзнікаючыя ўласцівасці, звязаныя з наступным крытэрыем у гэтым спісе.
* Няправільнасць лакальна і глабальна, якую няпроста апісаць традыцыйнай эўклідавай геаметрычнай мовай. Для выяваў фрактальных узораў гэта выражалася такімі фразамі, як «гладка нагрувашчваючыяся паверхні» і «завітыя на віхуры».]]

Выявы фракталаў могуць быць створаны з дапамогай праграм генерацыі фракталаў. З-за эфекту матылька невялікая змена адной пераменнай можа мець непрадказальны вынік.

* *Сістэмы паўторных функцый (IFS)* — выкарыстоўваюць фіксаваныя геаметрычныя правілы замены; могуць быць стахастычнымі або дэтэрмінаванымі; напрыклад, сняжынка Коха, набор Кантара, дыван Хафермана, дыван Сярпінскага, сурвэтка Сярпінскага, крывая Пеана, крывая дракона Хартэра-Хайвэя, Т-квадрат, губка Менгера.
* *Дзіўныя атрактары* — выкарыстоўваюць ітэрацыі карты або рашэнні сістэмы дыферэнцыяльных або рознасных ураўненняў з пачатковым значэннем, якія дэманструюць хаос (напрыклад, гл. мультыфрактальны малюнак або лагістычную карту).
* *L-сістэмы* — выкарыстоўваюць ; могуць нагадваць узоры галінавання, напрыклад, у раслін, біялагічных клетак (напрыклад, нейронаў і клетак імуннай сістэмы), крывяносных сасудаў, структуры лёгкіх і г.д. або узораў , такіх як крывыя і пліткі, якія запаўняюць прастору.
* *Фракталы часу ўцёкаў* — выкарыстоўваюць формулу або рэкурэнтныя суадносіны ў кожнай кропцы прасторы (напрыклад, у комплекснай плоскасці); звычайна квазі-самападобныя; таксама вядомы як фракталы «арбіта»; напрыклад, мноства Мандэльброта, мноства Жуліа, фрактал Burning Ship, фрактал Нова і фрактал Ляпунова. Плоскасцевыя вектарныя палі, створаныя адной або дзвюма ітэрацыямі формул часу ўцёкаў, таксама ўтвараюць фрактальную форму, калі кропкі (або піксельныя дадзеныя) праходзяць праз гэта поле паўторна.
* *Выпадковыя фракталы* — выкарыстоўваюць стахастычныя правілы; напрыклад, палёт Леві, кластары перкаляцыі, самапазбягаючыя прагулкі, фрактальныя ландшафты, траекторыі броўнаўскага руху і броўнаўскага дрэва (г. зн. дэндрытныя фракталы, створаныя мадэлямі кластарный агрэгацыі з абмежаванай дыфузіяй або з абмежаванай рэакцыяй).

* *Правілы канечнага падраздзялення* — выкарыстоўваюць рэкурсіўны тапалагічны алгарытм для ўдакладнення разрэзаў . Вынік алгарытму адлюстроўвае фігуры, графічна падобныя да працэсу дзялення клетак. Ітэрацыйныя працэсы, якія выкарыстоўваюцца пры стварэнні мноства Кантара, дывана Сярпінскага і барыцэнтрычнага падраздзялення, з’яўляюцца прыкладамі правілаў канечнага падраздзялення.

## Мадэляванне фракталаў 
Фрактальныя ўзоры мадэляваліся шырока, хоць і ў межах дыяпазону маштабаў, але не бясконца, з-за практычных межаў фізічнага часу і прасторы. Мадэлі могуць мадэляваць тэарэтычныя фракталы або прыродныя з’явы з фрактальнымі асаблівасцямі. Вынікі працэсу мадэлявання могуць быць высокамастацкімі візуалізацыямі, вынікамі для расследавання або эталонамі для фрактальнага аналізу. Выявы і іншыя вынікі мадэлявання звычайна называюць «фракталамі», нават калі яны не маюць строга фрактальных характарыстык, напрыклад, калі можна павялічыць вобласць фрактальнага малюнка, якая не праяўляе ніякіх фрактальных уласцівасцяў. Акрамя таго, яны могуць уключаць разлік або адлюстраванне артэфактаў, якія не з’яўляюцца характарыстыкамі сапраўдных фракталаў.

Змадэляванымі фракталамі могуць быць гукі, лічбавыя выявы, электрахімічныя ўзоры, сутачныя рытмы  і г.д. Аднаўленне фрактальных мадэляў у фізічнай 3-мернай прасторы  на практыцы часта называецца мадэляваннем «in silico». і іншыя схемы галінавання ў прыродзе можна змадэляваць на камп’ютары з дапамогай рэкурсіўных алгарытмаў і метадаў L-сістэм. З’явы, якія маюць фрактальныя асаблівасці, уключаюць:
Файл:Frost patterns 2.jpg|Фрактальныя ўзоры крышталёў інею натуральным чынам сустракаюцца на халодным шкле 
Файл:Optical Billiard Spheres dsweet.jpeg|Фрактальная мяжа басейна ў геаметрычнай аптычнай сістэме
Файл:Glue1 800x600.jpg|Фрактал утвараецца пры расцягванні двух пакрытых клеем лістоў з акрылу
Файл:Square1.jpg|Прабой высокага напружання ў блоку акрылавага шкла  стварае фрактал фігура Ліхтэнберга
Файл:Romanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|Брокалі Romanesco паказвае самападобную форму, якая набліжаецца да натуральнага фрактала
Файл:Fractal defrosting patterns on Mars.jpg|Фрактальныя ўзоры размарожвання на палярным Марсе. Узоры ўтвараюцца шляхам сублімацыі замарожанага CO2. Шырыня малюнка каля кіламетра.
Файл:Brefeldia maxima plasmodium on wood.jpg|Слізевая цвіль *Brefeldia maxima* фрактальна расце на дрэве

### Фракталы ў біялогіі клетак 
Фракталы часта з’яўляюцца ў свеце жывых арганізмаў, дзе яны ўзнікаюць у выніку працэсаў галінавання і іншых складаных патэрнаў. Ян Вонг і яго супрацоўнікі паказалі, што мігруючыя клеткі могуць утвараць фракталы шляхам кластарызацыі і разгалінавання. Нервовыя клеткі функцыянуюць праз працэсы на паверхні клеткі, са з’явамі, якія ўзмацняюцца за кошт значнага павелічэння суадносін паверхні да аб’ёму. Як следства, нервовыя клеткі часта ўтвараюцца ў фрактальныя ўзоры. Гэтыя працэсы маюць вырашальнае значэнне ў фізіялогіі клетак і розных паталогіях.

Выяўлена таксама, што некалькі субклеткавых структур збіраюцца ў фракталы. Дыега Крапф паказаў, што праз працэсы разгалінавання актынавыя ніткі ў клетках чалавека збіраюцца ў фрактальныя ўзоры. Аналагічным чынам Маціас Вайс паказаў, што эндаплазматычная сетка мае фрактальныя асаблівасці. Цяперашняе разуменне заключаецца ў тым, што фракталы ўсюдыісныя ў біялогіі клетак, ад бялкоў да арганэл і цэлых клетак.

## У творчых працах 
З 1999 года больш за 10 навуковых груп правялі фрактальны аналіз больш за 50 карцін Джэксана Полака (1912—1956), якія былі створаны шляхам налівання фарбы непасрэдна на яго гарызантальныя палотны  У апошні час фрактальны аналіз быў выкарыстаны для дасягнення 93 % поспеху ў адрозненні сапраўдных твораў Полака ад імітацый. Кагнітыўныя нейранавукоўцы паказалі, што фракталы Полака выклікаюць такое ж зніжэнне стрэсу ў назіральнікаў, як і фракталы, створаныя камп’ютарам, і фракталы прыроды.

Дэкалькаманія, тэхніка, якую выкарыстоўваюць такія мастакі, як Макс Эрнст, можа ствараць фрактальныя ўзоры. Яна ўключае ў сябе націсканне фарбы паміж дзвюма паверхнямі і іх раз’яднанне.

Кібернетык Рон Эглаш выказаў здагадку, што фрактальная геаметрыя і матэматыка з’яўляюцца распаўсюджанымі ў афрыканскім мастацтве, гульнях, варажбе, гандлі і архітэктуры. Круглыя дамы з’яўляюцца ў колах кругоў, прастакутныя — у прастакутніках з прастакутнікаў і г.д. Такія маштабаваныя ўзоры таксама можна сустрэць у афрыканскім тэкстылі, скульптуры, і нават у панкаўскай касе пад кукурузны радок. Хокі Сітунгкір таксама заўважыў падобныя ўласцівасці ў традыцыйным мастацтве Інданезіі, батыку і арнаментах, якія сустракаюцца ў традыцыйных дамах.

Этнаматэматык Рон Эглаш абмеркаваў запланаваную планіроўку горада Беніна з выкарыстаннем фракталаў у якасці асновы не толькі ў самім горадзе і вёсках, але нават у пакоях дамоў. Ён пракаментаваў: «Калі еўрапейцы ўпершыню прыехалі ў Афрыку, яны палічылі архітэктуру вельмі неарганізаванай і, такім чынам, прымітыўнай. Ім і ў галаву не прыходзіла, што афрыканцы, магчыма, выкарыстоўвалі такую форму матэматыкі, якую яны яшчэ нават не адкрылі».

У інтэрв’ю Майкла Сільверблата ў 1996 годзе Дэвід Фостэр Уолес прызнаўся, што структура першага чарнавіка «*Бясконцага жарту*», якую ён даў свайму рэдактару Майклу Пітчу, была натхнёная фракталамі, у прыватнасці трохкутнікам Сярпінскага (ён жа сурвэтка Сярпінскага), але адрэдагаваны раман «больш падобны на аднабокую сурвэтку Сярпінскага».

Некаторыя працы галандскага мастака Эшэра, такія як Circle Limit III, утрымліваюць фігуры, якія паўтараюцца да бясконцасці і становяцца ўсё меншымі і меншымі па меры набліжэння да краёў, у малюнку, які заўсёды будзе выглядаць аднолькава, калі яго павялічыць.
Файл:Animated fractal mountain.gif|Фрактал, які мадэлюе паверхню гары (анімацыя)
Файл:FRACTAL-3d-FLOWER.jpg|3D рэкурсіўны малюнак
Файл:Fractal-BUTTERFLY.jpg|Рэкурсіўны фрактальны малюнак - матылі
Файл:Apophysis-100303-104.jpg|Фрактальнае полымя

## Фізіялагічныя рэакцыі 
Здаецца, людзі асабліва добра прыстасаваныя да апрацоўкі фрактальных патэрнаў са значэннямі *D* ад 1,3 да 1,5. Калі людзі праглядаюць фрактальныя мадэлі са значэннямі *D* ад 1,3 да 1,5, гэта памяншае фізіялагічны стрэс.

## Прыкладанні ў тэхніцы 

* Фрактальныя антэны 
* Фрактальны транзістар 
* Фрактальныя цеплаабменнікі 
* Лічбавыя выявы
* Архітэктура 
* Класіфікацыя гістапаталогіі
* Фрактальны ландшафт або складанасць берагавой лініі
* Выяўленне «жыцця, якім мы яго не ведаем» з дапамогай фрактальнага аналізу 
* Ферменты (кінетыка Міхаэліса-Ментэна)
* Генерацыя новай музыкі
* Сціск сігналу і выявы
* Стварэнне лічбавых фотапавялічэнняў
* Фрактал у механіцы глебы
* Дызайн камп’ютарных і відэагульняў
* Кампутарная графіка
* Арганічныя асяроддзі
* Працэдурная генерацыя
* Фрактаграфія і механіка разбурэння
* Тэорыя рассейвання на малых вуглах фрактальна няроўных сістэм
* Дызайн відэагульняў
* Футболкі і іншая мода
* Генерацыя шаблонаў для камуфляжу, такіх як MARPAT
* Лічбавы сонечны гадзіннік
* Фракталы ў сетках 
* Медыцына 
* Дыягнастычная візуалізацыя 
* Паталогія 
* Геалогія 
* Геаграфія 
* Археалогія 
* Механіка глебы 
* Сейсмалогія
* Пошук і выратаванне 
* Тэхнічны аналіз  цэнавых шэрагаў
* Крывыя мортанаўскага парадку, запаўняючыя прастору, для ўзгодненасці кэша графічнага працэсара ў адлюстраванні тэкстур, растэрызацыі  і індэксацыі дадзеных турбулентнасці.

### Іённы рух 
Калі двухмерныя фракталы паўтараюцца шмат разоў, перыметр фрактала павялічваецца да бясконцасці, але плошча ніколі не можа перавышаць пэўнае значэнне. Фрактал у трохмернай прасторы мае падобную ўласцвасць; такі фрактал можа мець бясконцую плошчу паверхні, але ніколі не перавышаць пэўны аб’ём. Гэта можа быць выкарыстана для максімальнай эфектыўнасці іённага руху пры выбары канструкцыі і матэрыялу электроннага эмітэра. Такім чынам можа быць дасягнута максімальная эфектыўнасць працэсу выкіду.

## Спасылкі 
* Масштабаванне і фракталы  прадстаўлены Шлома Хаўлінам, Універсітэт Бар-Ілана
* Паляванне на схаванае вымярэнне, PBS *NOVA*, упершыню выйшла ў эфір 24 жніўня 2011 г.
* Бенуа Мандэльброт: Фракталы і мастацтва шурпатасці , TED, люты 2010 г.
* Тэхнічная бібліятэка па фракталах для кіравання вадкасцю
* Ўраўненні самааднагоднай фрактальнай меры, заснаваныя на вылічэнні дробавага парадку (2007)

Катэгорыя:Тапалогія
Катэгорыя:Вылічальная матэматыка
Катэгорыя:Фракталы
Катэгорыя:Старонкі з недагледжанымі перакладамі