Вышыня трохвугольніка

frame|Вышыня ў трохвугольніках розных відаў
**Вышыня́ трохвугольніка** — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні трохвугольніка да прамой, якая змяшчае процілеглую старану.
У залежнасці ад віду трохвугольніка вышыня можа праходзіць унутры трохвугольніка (для востравугольнага трохвугольніка), супадаць з яго стараною (катэтам прамавугольнага трохвугольніка) ці праходзіць па-за трохвугольнікам (для тупавугольнага).

## Уласцівасці 
thumb|Вышыні трохвугольніка
* Вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, так званым артацэнтры. Гэта сцвярджэнне лёгка даказаць, карыстаючыся вектарнаю тоеснасцю, справядліваю для любых пунктаў A, B, C, E (нават калі яны не ляжаць у адной плоскасці):
: \overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0

(Каб даказасць тоеснасць, трэба скарыстаць формулы
: \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EA},\,\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EC} - \overrightarrow{EB},\,\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{EC}

У якасці пункта E трэба ўзяць перасячэнне дзвюх вышынь трохвугольніка.)

* У востравугольным трохвугольніку артацэнтр ляжыць унутры трохвугольніка; у тупавугольным — па-за трохвугольнікам; у прамавугольным — у вяршыні прамога вугла.
* У прамавугольным трохвугольніку вышыня, праведзеная з вяршыні прамога вугла, разбівае яго на два трохвугольнікі, падобныя зыходнаму.
* У востравугольным трохвугольніку дзве яго вышыні адсякаюць ад яго падобныя трохвугольнікі.
* Асновы вышынь утвараюць так званы ортатрохвугольнік, які мае свае ўласцівасці.

Найменшая з вышынь трохвугольніка мае экстрэмальныя уласцівасці. Напрыклад:

* Найменшая артаганальная праекцыя трохвугольніка на прамыя, што ляжаць у плоскасці трохвугольніка, мае даўжыню, роўную найменшай з яго вышынь.
* Найменшы прамалінейны разрэз у плоскасці, праз які можна працягнуць незгінальную трохвугольную пласціну, павінен мець даўжыню, роўную найменшай з вышынь гэтай пласціны.
* Пры непарыўным руху двух пунктаў па перыметры трохвугольніка насустрач адзін аднаму, найбольшая адлегласць паміж імі не можа быць меншаю за даўжыню найменшай з вышынь трохвугольніка.

Найменшая вышыня ў трохвугольніку заўсёды праходзіць унутры гэтага трохвугольніка.

## Асноўныя суадносіны 
* h_a=b \sin \gamma=c \sin \beta,
* h_a=\frac{2S}{a},
дзе S — плошча трохвугольніка, a — даўжыня стараны трохвугольніка, на якую апушчана вышыня.
* h_a:h_b:h_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=bc:ac:ab.
* \frac1{h_a} + \frac1{h_b} + \frac1{h_c} = \frac{1}{r}, дзе *r* — радыус упісанай акружнасці.
* Вышыня раўнабедранага трохвугольніка, апушчаная на аснову:
:: h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2},
дзе c — аснова.
* h=\frac{a\sqrt 3}{2} — вышыня ў роўнастароннім трохвугольніку.

## Тэарэма аб вышыні прамавугольнага трохвугольніка 
Калі вышыня даўжынёю h, праведзеная з вяршыні прамога вугла, дзеліць гіпатэнузу даўжынёю c на адрэзкі m і n, адпаведныя катэтам b і a, то верныя наступныя роўнасці:
* h^2=nm
* a^2=cn
* b^2=cm
* hc=ab

## Мнеманічны верш 
: Вышыня
: Падобна на ката́,
: Што выгнуў спі́ну
: І пад прамым вуглом
: Злучыў вяршыню
: І старану хвастом.

## Спасылкі 
* Даведнік: Трохвугольнікі  

Катэгорыя:Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя:Планіметрыя