Паліномнае размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей
|pdf_image  =
|cdf_image  =
|name       = Паліномнае размеркаванне
|type       = mass
|parameters = n > 0 колькасць выпрабаванняў (цэлая)
k > 0 колькасць магчымах несумяшчальных зыходаў (цалая)
p_1, \ldots, p_k імавернасці зыходаў, дзе p_1 + \dots + p_k = 1
|support    = \left\lbrace (x_1, \dots, x_k) \, \Big\vert\, \sum_{i=1}^k x_i = n, x_i \ge 0 (i=1,\dots,k) \right\rbrace 
|pdf        = \frac{n!}{x_1!\cdots x_k!} p_1^{x_1} \cdots p_k^{x_k}
|cdf        =
|mean       = \operatorname E(X_i) = np_i
|median     =
|mode       =
|variance   = \operatorname{Var}(X_i) = n p_i (1-p_i)\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = - n p_i p_j~~(i\neq j)
|skewness   =
|kurtosis   =
|mgf        = \biggl( \sum_{i=1}^k p_i e^{t_i} \biggr)^n
|char       =  \left(\sum_{j=1}^k p_je^{it_j}\right)^n дзе i^2= -1
|pgf = \biggl( \sum_{i=1}^k p_i z_i \biggr)^n для (z_1,\ldots,z_k)\in\mathbb{C}^k
|entropy =  -\log(n!) - n\sum_{i=1}^kp_i\log(p_i)+\sum_{i=1}^k\sum_{x_i=0}^n\binom{n}{x_i}p_i^{x_i}(1-p_i)^{n-x_i}\log(x_i!)
}}

**Паліномнае размеркаванне** — многавымернае абагульненне біномнага размеркавання. Напрыклад, такое размеркаванне маюць колькасці выпадзенняў кожнага значэння на *k*-гранным кубіку, які падкідаецца *n* разоў. Для *n* незалежных выпрабаванняў, якія маюць *k* магчымых зыходаў з фіксаванымі імавернасцямі, паліномнае размеркаванне апісвае імавернасць кожнай камбінацыі колькасцей кожнага з гэтых зыходаў.

Калі k=2 і n=1, паліномнае размеркаванне супадае з размеркаваннем Бэрнулі. Для k=2 і n>1 — з біномным размеркаваннем. Для k>2 і n=1 — з .

## Азначэнне 
Няхай *k* — натуральны лік і кожнае выпрабаванне мае адзін з *k* магчымых зыходаў з імавернасцямі *p*1, …, *p**k*. Праводзіцца *n* незалежных выпрабаванняў. З таго, што зыходы  і адзін з іх мусіць адбыцца маем *p**i*&nbsp;≥&nbsp;0 для *i*&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;…,&nbsp;*k* і \sum_{i=1}^k p_i = 1. Калі выпадковыя велічыні *X**i* прымаюць значэнні колькасці выпрабаванняў, у якіх назіраўся зыход *i*, кажуць, што выпадковы вектар *X*&nbsp;=&nbsp;(*X*1,&nbsp;…,&nbsp;*X**k*) мае паліномнае размеркаванне з параметрамі *n* і **p**, дзе **p**&nbsp;=&nbsp;(*p*1,&nbsp;…,&nbsp;*p**k*). Хаця выпрабаванні незалежныя, велічыні *X**i* залежныя, бо іх сума мае быць роўнай *n*.

## Функцыя імавернасці 
Функцыя імавернасці паліномнага размеркавання мае выгляд
:  \begin{align}
f(x_1,\ldots,x_k;n,p_1,\ldots,p_k) & {} = P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \dots, X_k = x_k) \\
& {} = \begin{cases} { \displaystyle {n! \over x_1!\cdots x_k!}p_1^{x_1}\times\cdots\times p_k^{x_k}}, \quad &
\sum_{i=1}^k x_i=n \\  \\
0 & \sum_{i=1}^k x_i \neq n \end{cases}
\end{align}

для неадмоўных цэлых *x*1, …, *x**k*.

Функцыю імавернасці можна перапісаць з выкарыстаннем гама-функцыі:
: f(x_1,\dots, x_{k}; p_1,\ldots, p_k) = \frac{\Gamma(\sum_i x_i + 1)}{\prod_i \Gamma(x_i+1)} \prod_{i=1}^k p_i^{x_i}.

Гэтая форма паказвае падабенства да размеркавання Дзірыхле, якое выкарыстоўваецца як  для паказнікавага размеркавання.

### Прыклад 
Няхай на выбарах у некаторай вялікай краіне кандыдат A набраў 20 % галасоў, кандыдат B — 30 %, а кандыдат C — 50 %. Калі ўзяць 6 выпадковых выбаршчыкаў, якая імавернасць таго, што сярод іх адзін галасаваў за кандыдата A, два за кандыдата B і тры за кандыдата C?

Строга кажучы, паводле ўмовы задачы адбываецца , таму для дакладнага адказу на пытанне трэба ведаць колькасць усіх выбаршчыкаў у краіне і скарыстацца многавымерным гіпергеаметрычным размеркаваннем. Але калі краіна дастаткова вялікая, паліномнае размеркаванне дазваляе атрымаць адказ з вельмі невялікай хібнасцю. Падстаўляючы значэнні ў формулу функцыі імавернасці, атрымліваем

:  P(A=1,B=2,C=3) = \frac{6!}{1! 2! 3!}(0.2^1) (0.3^2) (0.5^3) = 0.135 

Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей