Функцыя размеркавання

**Функцыя размеркавання** выпадковай велічыні — гэта функцыя, якая апісвае імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, меншае за некаторы рэчаісны лік. Функцыя размеркавання задае размеркаванне выпадковай велічыні.

## Азначэнне 
Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя F_{\xi}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, якая вызначаецца праз роўнасць
F_{\xi}(x) := P(\xi 

У некаторых крыніцах функцыя размеркавання вызначаецца з іншым знакам:
F_{\xi}(x) := P(\xi \leq x), \forall x \in \mathbb{R}.
Такое вызначэнне ўплывае на ўласцівасць непарыўнасці, робячы функцыю непарыўнай справа, а не злева (гл. § Уласцівасці).

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

## Уласцівасці 
Для функцыі размеркавання F кожнай выпадковай велічыні \xi справядлівыя наступныя ўласцівасці:
# . Калі x_1 \leq x_2, то F(x_1) \leq F(x_2).
# . Маюць месца няроўнасці 0 \leq F(x) \leq 1, прычым \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0,\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1;
# Непарыўнасць злева. Для кожнага x_0 \in \mathbb{R} выконваецца \lim_{x \to x_0^-} F(x) = F(x_0).

Для кожнай функцыі F: \mathbb{R} \to [0, 1], якая адпавядае ўмовам манатоннасці, абмежаванасці і непарыўнасці злева, існуюць імавернасная прастора (\Omega, \mathcal{A}, P) і выпадковая велічыня \xi : \Omega \to \mathbb{R}, у якой функцыя размеркавання F_{\xi} супадае з F. Іншымі словамі, кожная такая функцыя і ёсць функцыяй размеркавання для некаторай выпадковай велічыні.

Часта функцыя размеркавання задаецца праз роўнасць F_{\xi}(x) := P(\xi \leq x), \forall x \in \mathbb{R}. У такім выпадку для яе характэрна ўласцівасць непарыўнасці справа, а не злева.

### Доказы ўласцівасцей 
#### Доказ манатоннасці 
Няхай x_1 \leq x_2. Тады (-\infty, x_1) \subset (-\infty, x_2), і таму
\xi^{-1}(-\infty, x_1) \subset \xi^{-1}(-\infty, x_2),
гэта значыць (\xi .

Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці, атрымліваем
F(x_1) = P(\xi 

#### Доказ абмежаванасці 
Няроўнасць 0 \leq F(x) \leq 1 відавочна вынікае з 0 \leq P(\xi .

Разгледзім улучэнні (-\infty, -1) \supset (-\infty, -2) \supset \dots \,. Заўважым, што \bigcap_{n=1}^\infty (-\infty, -n) = \varnothing. Акрамя таго,
\xi^{-1}(-\infty, -1) \supset \xi^{-1}(-\infty, -2) \supset \dots ,
\bigcap_{n=1}^\infty\xi^{-1}(-\infty, -n) = \xi^{-1}\left(\bigcap_{n=1}^\infty (-\infty, -n) \right) = \xi^{-1} (\varnothing) = \varnothing.
Па аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем
\lim_{n \to -\infty} F(n) = \lim_{n \to +\infty} P(\xi^{-1}(-\infty, -n)) = 0
для n \in \mathbb{Z}. Няхай цяпер x \in \mathbb{R} імкнецца да -\infty. З манатоннасці функцыі размеркавання вынікае F([x]) \leq F(x) \leq F([x] + 1). Калі x \to -\infty, абедзве крайнія часткі няроўнасці імкнуцца да нуля. Карыстаючыся , атрымліваем
\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0.

Прадставім \mathbb{R} як суму (-\infty, 0) + [0, 1) + [1, 2) + \dots і, скарыстаўшы злічоную адытыўнасць, атрымаем
1 = P_{\xi}(\mathbb{R}) = P_\xi((-\infty, 0)) + \sum_{k=0}^{+\infty} P_\xi([k, k+1)) =
= \lim_{n \to +\infty} \left(P_\xi((-\infty, 0)) + \sum_{k=0}^{n - 1} P_\xi([k, k+1))\right) = 
= \lim_{n \to +\infty} P_\xi((-\infty, 0) + [0, 1) + [1, 2) + \dots + [n - 1, n)) = 
= \lim_{n \to +\infty} P_\xi((-\infty, n)) = \lim_{n \to +\infty} F(n)
для n \in \mathbb{Z}. Доказ для x \in \mathbb{R} праводзіцца аналагічна папярэдняму выпадку праз тэарэму аб заціснутай функцыі.

#### Доказ непарыўнасці злева 
Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў (x_n)_{n=1}^\infty, якая збягаецца да x_0. Існаванне  \lim_{x \to x_0^-} F(x) вынікае з манатоннасці F. Пакажам, што гэты ліміт роўны F(x_0).

Заўважым, што \varnothing = \bigcup_{n=1}^\infty [x_n, x_0) і [x_n, x_0) \supset [x_{n+1}, x_0) \, \forall n \in \mathbb{N}. Карыстаючыся аксіёмамі непарыўнасці і адытыўнасцю імавернасці, атрымліваем

0 = \lim_{n \to +\infty} P_\xi([x_n, x_0)) = \lim_{n \to +\infty} P_\xi ((-\infty, x_0)\setminus((-\infty, x_n)) =
= \lim_{n \to +\infty} (P_\xi((-\infty, x_0)) - P_\xi((-\infty, x_n))) = 
= F(x_0) - \lim_{x_n \to x_0} F(x_n).
Адсюль вынікае \lim_{x \to x_0^-} F(x) = F(x_0).

## Гл. таксама 
* Умоўная функцыя размеркавання
* Функцыя імавернасці
* Шчыльнасць імавернасці

*