Формула Эйлера

**Формула Эйлера** звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.

Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці) x выконваецца наступная роўнасць:
: e^{ix}=\cos x+i\sin x,
дзе
: e — адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай: e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x,
: i — уяўная адзінка.

## Гісторыя 
Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд:
: \ln(\cos x+i\sin x)=i x.

Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» () (1748), пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у К. Веселя.

## Вытворныя формулы 
З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі \sin і \cos наступным чынам:
: \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
: \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай x=iy, тады:
: \sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y,
: \cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y.

Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:
: e^{i\pi}+1=0
з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры x=\pi.

## Прымяненне ў камплексным аналізе 
Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:
: x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}.

Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:
: x=|x|e^{i\varphi}, x^n=|x|^ne^{ni\varphi}.
Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку x ў ступень n яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень n, а вугал павароту адносна восі OX павялічваецца ў n разоў.

Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых n, але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.

## Узаемасувязь з трыганаметрыяй 
Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:

: \cos x = \mathrm{Re}\{e^{ix}\} ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
: \sin x = \mathrm{Im}\{e^{ix}\} ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.

Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:

: e^{ix} = \cos x + i \sin x \;

: e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x)  = \cos x - i \sin x \;

з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.

Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку *x* = *iy*, атрымліваем:

:  \cos(iy) =  {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y), 

:  \sin(iy) =  {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y). 

Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:

: 
\begin{align}
\cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right].
\end{align}

Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:

: 
\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} 
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x].
\end{align}

Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(*nx*) для цэлых значэнняў *n* і адвольных значэнняў *x* (у радыянах).

## Доказ 
Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю e^{ix} у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях x. Атрымаем:

e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)

Але

1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x

\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x

Таму e^{ix}=\cos x + i\sin x, што і трэба было даказаць.

## Паказчыкавая форма камплекснага ліку 
Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.

Няхай камплексны лік z у трыганаметрычнай форме мае выгляд  z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi). Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем:
:  z = re^{i\varphi} 

Гэты запіс называецца паказчыкавай формай камплекснага ліку. Гэтак жа, як і ў трыганаметрычнай форме, тут  r = |z|  **,**  \varphi = \arg z .

## Гл. таксама 
* Формула Муаўра
* Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера

## Зноскі 
## Літаратура 
* Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. 
* 
* 

## Спасылкі 
* 

Катэгорыя:Трыганаметрыя
Катэгорыя:Камплексны аналіз
Катэгорыя:Леанард Эйлер