Функцыянал

**Функцыяна́л** — гэта функцыя, якая зададзена на адвольным мностве і мае лікавую вобласць значэнняў: звычайна мноства рэчаісных лікаў \R або комплексных лікаў \mathbb{C}.

## Азначэнні 
Вобласць вызначэння функцыянала можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з’яўляецца тапалагічнай прасторай, можна вызначыць неперарыўны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца лінейнай прасторай над \R або над \mathbb{C}, можна вызначыць лінейны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца ўпарадкаваным мноствам, можна вызначыць манатонны функцыянал.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы X, называецца неперарыўным, калі ён неперарыўны як адвображанне ў тапалагічную прастору \R або \mathbb{C}.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы X, называецца неперарыўным у кропцы x \in X, калі ён непарыўны ў гэтай кропцы як адвображанне ў тапалагічную прастору \R або \mathbb{C}.

У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адвображанне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) кальцо.

Зададзены на лінейнай прасторы функцыянал, які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (Адвображанне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць аператарам) .

Мабыць, самы просты функцыянал — праекцыя — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).

Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора функцый (неперарыўныя функцыі на адрэзку, інтэгравальныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адвображанне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).

Функцыянал на лінейнай прасторы называецца дадатна вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.

Адвображанне, якое пераводзіць вектар у яго норму, з’яўляецца выпуклым дадатна вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца дзеянне — таксама функцыянал.

Задачы аптымізацыі фармулююцца на мове функцыяналаў: знайсці рашэнне (ураўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы ўключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.

## Функцыянал у лінейнай прасторы 
Пазней ад паняцця традыцыйнага функцыянала аддзялілася паняцце функцыянала ў лінейнай прасторы, як функцыі, якая адвображвае элементы лінейнай прасторы ў яе прастору скаляраў. Часта (напрыклад, калі прастора функцый з’яўляецца лінейнай прасторай) гэтыя дзве разнавіднасці паняцця «функцыянал» супадаюць, у той жа час яны не тоесныя і не паглынаюць адна адну.

Асабліва важнай разнавіднасцю функцыяналаў з’яўляюцца лінейныя функцыяналы.

## Прыклады 
* норма функцыі
* значэнне функцыі ў фіксаванай кропцы
* максімум або мінімум функцыі на адрэзку
* велічыня інтэграла ад функцыі
* даўжыня графіка рэчаіснай функцыі рэчаіснай зменнай
* даўжыня крывой, параметрычна зададзенай вектарнай функцыяй рэчаіснага аргумента (даўжыня шляху)
* плошча паверхні, параметрычна зададзенай вектарнай функцыяй двух рэчаісных аргументаў
* скалярны здабытак на фіксаваны вектар
* дзеянне ў механіцы
* функцыянал энергіі

## Гл. таксама 
* Аператар (матэматыка)

## Крыніцы 
## Літаратура 
* 
* 
* 
* Математическая Энциклопедия. Функционал
* Конев В. В., Элементы Функционального Анализа

Катэгорыя:Функцыянальны аналіз
Катэгорыя:Тыпы функцый