Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага

**Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага** звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы.
Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.

Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць *няроўнасцю Шварца* і *няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца* («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац Бунякоўскага.
Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца **няроўнасцю Кашы** і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.

## Фармулёўка 
Няхай L - лінейная прастора са скалярным здабыткам \langle x,\;y\rangle. Няхай \|x\| — норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн. \|x\|\equiv\sqrt{\langle x,\;x\rangle},\;\forall x\in L. Тады для любых x,\;y\in L маем:
: |\langle x,\;y\rangle| \leqslant \|x\|\cdot\|y\|,
прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары x і y прапарцыянальныя (калінеарныя).

### Каментарыі 
У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што \|x\|^2\|y\|^2-\langle x,\;y\rangle^2=S(x,\;y)^2, дзе S(x,\;y) — плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары x і y.

У агульным выпадку:
: \|x\|^2-\frac{\langle x,\;y\rangle^2}{\|y\|^2}=\left\|x-\frac{\langle x,\;y\rangle}{\|y\|^2}y\right\|^2.

## Прыклады 
* У прасторы камплексназначных квадратычна складальных паслядоўнасцей l^2 няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
: \left|\sum\limits_{k=1}^\infty x_k\bar{y}_k\right|^2\leqslant\left(\sum_{k=1}^\infty|x_k|^2\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^\infty|y_k|^2\right),
дзе \bar{y}_k абазначае камплекснае спалучэнне y_k.
* У прасторы камплексных квадратычна інтэгравальных функцый L^2(X,\;\mathcal{F},\;\mu) няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
: \left|\int\limits_X f(x)\overline{g(x)}\,\mu(dx)\right|^2\leqslant\left(\int\limits_X\left|f(x)\right|^2\,\mu(dx)\right)\cdot\left(\int\limits_X\left|g(x)\right|^2\,\mu(dx)\right).
* У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам L^2(\Omega,\;\mathcal{F},\;\mathbb{P}) няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
*: \mathrm{cov}^2(X,\;Y)\leqslant\mathrm{D}[X]\cdot\mathrm{D}[Y],
: дзе \mathrm{cov} абазначае каварыяцыю, а \mathrm{D} — дысперсію.

## Доказ 
* Калі \langle x,y \rangle \in \R , то  \forall \lambda \in \R  справядліва наступнае
: 0\leqslant\langle\lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle=\lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle.
Значыць дыскрымінант мнагачлена \lambda^2\langle x,\;x\rangle+2\lambda\langle x,\;y\rangle+\langle y,\;y\rangle недадатны, г.зн.
: D=(2\langle x,\;y\rangle)^2-4\langle x,\;x\rangle\langle y,\;y\rangle\leqslant 0.
Такім чынам,
: |\langle x,\;y\rangle|\leqslant\|x\|\cdot\|y\|.
* Калі  Im \langle x,y \rangle \ne 0,  то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе  \langle x,y \rangle = re^{i\phi}. 
Вызначым вектар  z=e^{-i\phi}x. 
Тады
:  \langle z,y \rangle = e^{-i\phi}\langle x,y \rangle = r = \left | \langle x,y \rangle \right | \in \R  і
:  \langle z,z \rangle = e^{-i\phi}\langle x,e^{-i\phi}x \rangle=e^{-i\phi}e^{i\phi}\langle x,x \rangle = \langle x,x \rangle 
Да скалярнага здабытку  \langle z,y \rangle \in \R  прыменім вынік першага пункта доказу.
:  \left | \langle x,y \rangle \right |=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot\|y\|=\|x\|\cdot\|y\| 

## Зноскі 
Катэгорыя:Функцыянальны аналіз
Катэгорыя:Лінейная алгебра
Катэгорыя:Няроўнасці
Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя:Тэорыя аператараў
Катэгорыя:Тэарэмы функцыянальнага аналізу
Катэгорыя:Імавернасныя няроўнасці
Катэгорыя:Лікавыя няроўнасці