Размеркаванне Пуасона

{{Размеркаванне імавернасцей
  | name       = Размеркаванне Пуасона
  | type       = mass
  | pdf_image  = 
  | cdf_image  = 
  | notation   = \operatorname{Pois}(\lambda), \Pi(\lambda)
  | parameters = \lambda\in (0, \infty) — частата
  | support    = k \in \mathbb{N}_0 (Натуральныя лікі з нулём)
  | pdf        = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
  | cdf        = \frac{\Gamma(\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)}{\lfloor k \rfloor !}, або e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\lfloor k\rfloor} \frac{\lambda^j}{j!}, або Q(\lfloor k+1 \rfloor, \lambda)
(для k \ge 0, дзе \Gamma(x, y) — , \lfloor k \rfloor — , а Q —  )
  | mean       = \lambda
  | median     = \approx\left\lfloor\lambda + \frac{1}{3} - \frac{1}{50 \lambda} \right\rfloor
  | mode       = \left\lceil \lambda \right\rceil - 1, \left\lfloor \lambda \right\rfloor
  | variance   = \lambda
  | skewness   = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}
  | kurtosis   = \frac{1}{\lambda}
  | entropy    = \lambda\Bigl[1 - \log(\lambda)\Bigr] + e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}
&emsp; або для вялікіх \lambda &emsp;
\begin{align}\approx\frac{1}{2}\log\left( 2 \pi e \lambda \right) - \frac{1}{12 \lambda} - \frac{1}{24 \lambda^2} \\- \frac{19}{360 \lambda^3} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{\lambda^4}\right)\end{align}
  | pgf        = \exp \left[\lambda \left( z - 1 \right)\right]
  | mgf        = \exp \left[\lambda \left( e^{t} - 1 \right)\right]
  | char       = \exp \left[\lambda \left( e^{it} - 1 \right)\right]
  | fisher     = \frac{1}{\lambda}
}}
**Размеркава́нне Пуасо́на** — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей выпадковай велічыні з цэлалікавымі неадмоўнымі значэннямі, якое апісвае імавернасць здарэння пэўнай колькасці падзей за акрэслены прамежак часу пры ўмове, што падзеі здараюцца з нязменнай сярэдняй частатой і незалежна ад таго, калі здарылася папярэдняя падзея.

Напрыклад, кругласутачны кол-цэнтр прымае ў сярэднім 180 званкоў на гадзіну. Званкі незалежныя, то бок тое, калі здарыцца наступны званок не залежыць ад таго, калі быў папярэдні, і імавернасць атрымаць званок не залежыць ад часу дня. Тады колькасць званкоў, атрыманых за хвіліну, будзе мець размеркаванне Пуасона з частатой 3. Хутчэй за ўсё за хвіліну будзе 2 ці 3 званкі, але 1 ці 4 таксама верагодныя значэнні. Ёсць невялікая імавернасць атрымаць 0 званкоў і зусім маленькая таго, што іх будзе 10 ці больш.

## Гісторыя 
Размеркаванне атрымана Сімеонам Дэні Пуасонам у 1873 годзе пры вывядзенні прыбліжанай формулы біномнага размеркавання для вялікага ліку выпрабаванняў. У сваёй працы *Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile* (1837) ён разважаў над колькасцю несправядлівых абвінавачванняў, выкарыстоўваючы пэўныя выпадковыя велічыні N, якія сярод іншага апісвалі колькасць здарэнняў цягам зададзенага прамежку часу. Аналагічны вынік ужо быў атрыманы ў 1711 годзе Абрахамам дэ Муаўрам у *De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus*. Такім чынам, назва размеркавання — прыклад выканання , і некаторыя аўтары сцвярджаюць, што размеркаванне мусіць мець імя дэ Муаўра.

У 1860 годзе  выкарыстаў размеркаванне Пуасона для ацэнкі колькасці зорак на адзінку прасторы. У 1898 годзе  прымяняў размеркаванне каб даведацца колькі салдат прускай арміі гіне выпадкова ад конскіх удараў.

## Азначэнне 
Кажуць, што дыскрэтная выпадковая велічыня X мае размеркаванне Пуасона з параметрам \lambda>0, калі яе функцыя імавернасці мае выгляд:
: p_{X \sim \Pi(\lambda)}(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},
дзе
* k — колькасць здарэнняў падзеі (k = 0, 1, 2, \ldots)
* e — лік Эйлера (e = 2.71828\ldots)
* ! — фактарыял.

### Вывядзенне 
Каб вывесці функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, увядзём функцыю P(n;t) — імавернасць таго, што за прамежак часу даўжынёй t (у некаторых адзінках вымярэння, што неістотна для вывядзення) адбудзецца n падзей, пры гэтым падзеі незалежныя.

Разаб’ём прамежак на часткі \delta t настолькі маленькія, што імавернасцю здарэння дзвюх ці больш падзей за \delta t можна пагрэбаваць (P(2;\delta t) \approx 0). Пры гэтым дапусцім, што P(1; \delta t) = \lambda \delta t, а P(0; \delta t) = 1 - \lambda \delta t. Гэта значыць, што за час t здараецца ў сярэднім \lambda \delta t \cdot (t / \delta t) = \lambda t падзей, то бок \lambda выконвае ролю частаты.

Каб атрымаць функцыю імавернасці размеркавання Пуасона, трэба знайсці P(n;1) — імавернасць здарэння n падзей за адзінку часу. Для пачатку можна знайсці P(0; t) і метадам матэматычнай індукцыі абагульніць гэты вынік на іншыя n.

Карыстаючыся незалежнасцю падзей, заўважым, што
: P(0; t + \delta t) = P(0;t) \cdot P (0;\delta t) = P(0;t) \cdot (1 - \lambda \delta t).

Перапішам гэтую роўнасць наступным чынам:

: \frac{P(0; t + \delta t) - P(0;t)}{\delta t} = - \lambda P(0;t).

Пераходзячы цяпер да ліміту \delta t \to 0, атрымліваем дыферэнцыяльнае раўнанне
: \frac{d}{d t} P(0;t) = - \lambda P(0;t).

Развязаць раўнанне можна праінтэграваўшы абедзве часткі:
: P(0; t) = Ce^{-\lambda t}.

Імавернасць таго, што ніводнай падзеі не здарыцца за нулявы прамежак часу роўная 1, то бок павінна выконвацца  P(0;0) = 1. Падстаўляючы t=0 у развязанне дыферэнцыяльнага раўнання і карыстаючыся ўмовай, знаходзім C = 1. Такім чынам, P(0;t) = e^{-\lambda t}.

Цяпер разгледзім выпадак n>0. Існуе два варыянты, пры якіх за інтэрвал t + \delta t можа здарыцца n падзей:
# за інтэрвал t здарылася n падзей, і ніводнай за  \delta t;
# за інтэрвал t здарылася n-1 падзея, і адна за  \delta t.

Запішам гэта ў выглядзе роўнасці і пераўтворым у дыферэнцыяльнае раўнанне аналагічна папярэдняму выпадку:
: P(n; t + \delta t) = P(n;t) \cdot (1 - \lambda \delta t) + P(n - 1; t) \cdot \lambda \delta t;
: \frac{P(n; t + \delta t) - P(n;t)}{\delta t} + \lambda P(n;t) = \lambda P(n - 1;t);
: \frac{d}{dt} P(n;t) + \lambda P(n;t) = \lambda P(n - 1;t).

Дамножым абедзве часткі на e^{\lambda t} і скарыстаемся  для вытворных:
: e^{\lambda t} \frac{d}{dt} P(n;t) + \lambda e^{\lambda t} P(n;t) = \lambda e^{\lambda t} P(n - 1;t).
: e^{\lambda t} \frac{d}{dt} P(n;t) + P(n;t) \frac{d}{dt} e^{\lambda t} = \lambda e^{\lambda t} P(n - 1;t).
: \frac{d}{dt} (e^{\lambda t} P(n;t)) = \lambda e^{\lambda t} P(n - 1;t). 

Выкарыстоўваючы гэтае раўнанне, прыменім метад матэматычнай індукцыі. Дапусцім, P(n;t) = \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}. Справядлівасць гэтага сцверджання ўжо прадэманстравана для n = 0, што дае нам базу індукцыі.

Для n > 0:
: \frac{d}{dt} (e^{\lambda t} P(n + 1;t)) = \lambda e^{\lambda t} P(n;t) = \lambda e^{\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t} = \frac{\lambda^{n+1} t^n}{n!};
: e^{\lambda t} P(n + 1;t) = \frac{(\lambda t)^{n+1}}{(n+1)!} + C;
: P(n+1;t) = \frac{(\lambda t)^{n+1}}{(n+1)!}e^{-\lambda t} + C e^{-\lambda t}.

Заўважым, што павінна выконвацца роўнасць P(n+1;0) = 0, таму C=0. Такім чынам, крок індукцыі даказаны, а значыць P(n;t) = \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t} мае месца для ўсіх цэлых n \geq 0.

Для адзінкі часу t=1 атрымліваем P(n;1) = \frac{(\lambda)^n}{n!} e^{-\lambda} — функцыю імавернасці размеркавання Пуасона.

## Характарыстыкі 
### Матэматычнае спадзяванне 
Матэматычнае спадзяванне размеркавання Пуасона можна знайсці, скарыстаўшыся адным з азначэнняў паказнікавай функцыі:
: \mathbb{E}[X] = \sum_{k=0}^{\infty}k \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \left(0 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k - 1)!}\right) = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k - 1)!} = 
:  = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!} = \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} = \lambda.

### Дысперсія 
Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з размеркаваннем Пуасона:
: \mathbb{E}[X^2] = \sum_{k=0}^{\infty}k^2 \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k \lambda^{k - 1}}{(k - 1)!} = \lambda e^{-\lambda} \frac{d}{d \lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k - 1)!} = 
: = \lambda e^{-\lambda} \frac{d}{d \lambda} \lambda e^{\lambda} = \lambda e^{-\lambda} (e^{\lambda} + \lambda e^{\lambda}) = \lambda + \lambda^2.

Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:
: Var(X) = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 = \lambda + \lambda^2 - \lambda^2 = \lambda.

## Выкарыстанне 
У тэарэтыка-імавернасных мадэлях размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца як прыбліжанае і як дакладнае размеркаванне.

Напрыклад, калі пры  незалежных выпрабаваннях падзеі  назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю , то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-небудзь  падзей прыбліжана выражаецца функцыяй  (гл. тэарэма Пуасона).
У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс радыеактыўнага распаду і іншыя фізічныя з’явы.

Як дакладнае, размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца ў тэорыі выпадковых працэсаў, напрыклад, пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць незалежныя выпадковыя велічыні, якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Пуасона.

## Літаратура 
* Пуасона размеркаванне //  С. 114—115.

Пуасона