Ступеняванне

**Узвядзе́нне ў ступе́нь** (ці **падвышэ́нне да ступе́ні** — арыфметычная аперацыя над двума лікамі:
**асновай** *b* і **пака́зчыкам** (або **ступе́нню**) *n*. На пісьме ступеняванне пазначаецца як
*b**n*.
Калі *n* ёсць натуральным лікам, ступеняванне адпавядае кратнаму (паўтаральнаму) множанню; інакш кажучы, ***b*** ў ступені ***n*** — гэта здабытак ***n*** множнікаў, кожны з якіх роўны ***b*** (такі здабытак таксама называецца **ступенню**):
: b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n.

Тут відаць падабенства з аперацыяй множання на натуральны лік, якая адпавядае кратнаму складанню:
: b \times n = \underbrace{b + \cdots + b}_n.

Гістарычна, аперацыя ступенявання была спачатку вызначана для натуральных лікаў, і толькі потым, з цягам часу, яна была распаўсюджана на адмоўныя цэлыя ступені (увабраўшы ў сябе аперацыю кратнага дзялення), на рацыянальныя ступені (такім чынам, сюды была ўключана і аперацыя здабывання кораня). Пазней ступеняванне для адвольных рэчаісных ступеней было вызначана як непарыўны працяг з мноства рацыянальных ступеней.

Паказчык ступені звычайна запісваюць як надрадковы знак справа ад асновы. Запіс ступенявання *b**n* можна чытаць наступным чынам:
: * **b** ўзведзенае ў **n**-ую ступень*,
: * **b** ўзведзенае ў ступень **n** *,
: * **b** ў ступені **n** *,
: або коратка, * **b** ў **n**-ай*.

Некаторыя ступені маюць свае ўласныя назвы:
: *b*² звычайна называюць *квадра́там* ліку ***b*** і чытаюць як * **b** ў квадраце*,
: *b*³ называецца *ку́бам* ліку ***b*** і чытаюць як * **b** ў кубе*.

Таксама варта падкрэсліць некаторую розніцу паміж тэрмінамі *«ўзвядзенне ў ступень»* і *«ступеняванне»*:
# словазлучэнне «ўзвядзенне ў ступень» ужываецца, калі паказчык ступені — сталая велічыня, а аснова — зменная.
# слова «ступеняванне» выкарыстоўваюць, калі маюць на ўвазе, што паказчык з’яўляецца зменнай велічынёй, а аснова нязменная.
Аднак у якасці назвы аперацыі і ў выпадках, калі не трэба падкрэсліваць сталасць ці зменнасць аргументаў, аднолькава можна ўжываць і «ступеняванне», і «ўзвядзенне ў ступень».

Як адзначалася вышэй, ступень *b**n* можна вызначыць і для адмоўных цэлых *n*, калі *b* не нуль. Не існуе натуральнага пашырэння ступенявання на ўсе рэчаісныя асновы *b* і паказчыкі *n*, аднак калі аснова *b* з’яўляецца дадатным рэчаісным лікам, ступеняванне *b**n* можна вызначыць для ўсіх рэчаісных і нават камплексных паказчыкаў *n* з дапамогай паказнікавай функцыі *e**z*. Трыганаметрычныя функцыі таксама можна выразіць праз камплекснае ступеняванне.

Ступеняванне матрыц выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў.

Ступеняванне паўсюдна сустракаецца ў шматлікіх мадэлях і вылічэннях у самых разнастайных галінах навукі і прамысловасці, сюды можна ўключыць фізіку (хвалі, ядзерны распад), хімію (хімічная кінетыка), біялогію (рост папуляцый), эканоміку (складаныя працэнты) і камп'ютарныя навукі (крыптаграфія з адкрытым ключом).

 (чырвоны), аснова 2 (сіні), і аснова ½ (блакітны). Кожная крывая праходзіць праз пункт (0, 1), таму што любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы. Пры *x*=1, значэнне *y* роўнае аснове.]]

## Цэлыя паказчыкі 
Для ступенявання з цэлымі паказчыкамі патрэбна толькі элементарная алгебра.

### Натуральныя паказчыкі 
*Фармальнае азначэнне*:

Ступені з натуральным паказчыкам можна вызначыць з дапамогай пачатковай умовы
: b^1 = b

і зваротнай формулы
: b^{n+1} = b^n \cdot b\,..

Са спалучальнасці множання вынікае, што для любых натуральных *m* і *n*,
: b^{m+n} = b^m \cdot b^n\,.

### Адвольныя цэлыя паказчыкі 
Пры ненулявых *b* і натуральных *n* зваротныя суадносіны з папярэдняга падраздзела можна перапісаць у выглядзе
: b^{n} = \frac{b^{n+1}}{b}.

Лічачы гэтыя суадносіны справядлівымі да ўсіх цэлых *n* і ненулявых *b*, атрымліваем
: \begin{align}
  b^0    &= \frac{b^{1}}{b} = 1, \\
  b^{-1} &= \frac{b^{0}}{b} = \frac{1}{b},
\end{align}

ці больш агульна,
: b^{-n} = \frac{1}{b^n}\,.

для любой ненулявой асновы *b* і любога цэлага паказчыка *n*.

Варта адзначыць наступнае:
* Любы лік у першай ступені роўны самому сабе.
* Любы ненулявы лік у нулявой ступені роўны адзінцы; нулявы паказчык можна вытлумачыць як пусты здабытак, г.зн. здабытак, які не мае множнікаў.
* Прыведзеныя вышэй роўнасці ніяк не вызначаюць выраз 00. Гэты выраз з’яўляецца нявызначанасцю і падрабязней разглядаецца ніжэй.
* Узвядзенне нуля ў адмоўную ступень прадугледжвала б дзяленне на нуль, таму нуль у адмоўнай ступені нявызначаны.

Тоеснасць
: b^{m+n} = b^m b^n\,,

спачатку вызначаная толькі для натуральных *m* і *n*, спраўджваецца для адвольных цэлых *m* і *n*, з тым толькі абмежаваннем, што *m* і *n* павінны быць дадатнымі, калі *b* — нуль.

### Камбінаторнае вытлумачэнне 
Для неадмоўных цэлых *n* і *m*, ступень  роўная магутнасці мноства *m*-ак з *n*-элементнага мноства, або ліку ўсіх *m*-літарных слоў, якія можна ўтварыць з дапамогай азбукі, складзенай з *n* букваў.

:

### Тоеснасці і ўласцівасці 
* Калі аснова *b* не роўная нулю, наступныя тоеснасці спраўджваюцца для любых цэлых паказчыкаў *m* і *n*:
: \begin{align}
      b^{m + n} &= b^m \cdot b^n, \\
        (b^m)^n &= b^{m\cdot n}, \\
  (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n.
\end{align}

* Ступеняванне не перастаўляльнае ў адрозненне ад складання і множання. Таму, увогуле кажучы:
*: 
a^b \ne b^a.

*: Напрыклад,  і , але , у той час як .

* Ступеняванне не спалучальнае, тады як для складання і множання спалучальнасць ўласціва. У агульным выпадку:
*: 
b^{p^q} = b^{(p^q)} \ne (b^p)^q = b^{p \cdot q}.

*: Напрыклад,  і , аднак 2³ ў 4-й ступені роўнае 84 або 4,096, а 2 ў ступені 34 роўнае 281 або 2 417 851 639 229 258 349 412 352.

 Без дужак, якія змяняюць парадак вылічэнняў, па дамоўленасці парадак ступенявання зверху-ўніз, а НЕ знізу-ўверх.

*Заўвага*:
У вышэйпрыведзенай формуле пра парадак вылічэнняў можна здагадацца дзякуючы адрозненням у памерах шрыфту, якім пададзеныя паказчыкі ступені. Тым не менш, дамоўленасць распаўсюджваецца і на радковыя запісы ўзору *b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q* (такое адлюстраванне ўласціва камп’ютарным сістэмам алгебры).

## Рацыянальныя паказчыкі 
'*Корань *n*-й ступені*' з ліку *b* — такі лік *x*, *n*-ая ступень якога роўная *b*: .

Калі *b* — дадатны рэчаісны лік, а *n* — натуральны, тады існуе адзінае рэчаіснае рашэнне ўраўнення . Гэтае рашэнне называецца '*арыфметычным коранем ступені *n* *' з *b*. Ён абазначаецца як \sqrt[n]{b}, дзе сімвал √&ensp; — так званы **радыкал**; іншым шляхам гэта можна запісаць як . Напрыклад: 41/2 = 2, 81/3 = 2.

Калі кажуць корань *n*-й ступені з дадатнага рэчаіснага ліку *b*, звычайна маюць на ўвазе '*арыфметычны корань *n*-й ступені*'.

Калі *n* — цотны, то ўраўненне  мае два рэчаісныя рашэнні пры дадатным *b*: дадатны і адмоўны карані *n*-й ступені.
Пры адмоўным *b* ураўненне не мае рашэнняў.

Пры няцотным *n* ураўненне  мае адзінае рэчаіснае рашэнне. Яно дадатнае пры дадатным *b* і адмоўнае пры адмоўным *b*.

Няхай  — нескарачальны дроб.
: Пры цотных *m* значэнне ступені b^{\frac{m}{n}} дадатнае для любых рэчаісных *b*.
: Калі *m* і *n* абодва няцотныя, то знак ступені супадае са знакам асновы.
: Калі ж *m* няцотны, а *n* цотны, то значэнне ступені можа быць і дадатным, і адмоўным пры дадатным *b*.

Прыклады:
(−27)1/3 = −3,
(−27)2/3 = 9,
а 43/2 мае два карані 8 і −8.

Калі *b* адмоўны, а *n* цотны, пры вызначэнні ступені  даводзіцца выкарыстоўваць уяўную адзінку *i*, як апісана ніжэй у раздзеле Ступені камплексных лікаў. Прычынай гэтага з’яўляецца адсутнасць рэчаісных рашэнняў ураўнення *x*² = −1.

Такім чынам, ступень рэчаіснага ліку *b* з рацыянальным паказчыкам  (нескарачальны дроб) можна вызначыць праз цэлую ступень і корань:

: b^\frac{m}{n} = \left(b^m\right)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{b^m}

дзе *m* — цэлы лік, а *n* — натуральны лік.

*Заўвага*: ужываючы ступенныя тоеснасці ў выпадку адмоўнага значэння кораня *n*-ай ступені, нельга губляць пільнасці.
Напрыклад: выснова −27 = (−27)((2/3)⋅(3/2)) = ((−27)2/3)3/2 = 93/2 = 27
відавочна няправільная. Праблема, з якой мы тут сутыкнуліся, заключаецца ў адвольнасці выбару нейкага аднаго значэння кораня з мноства магчымых яго значэнняў. Яшчэ выразней гэта ж праблема выяўляецца пры вызначэнні ступеней камплексных лікаў (гл. раздзел Няздатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей).
З гэтай прычыны ў якасці значэння кораня *n*-ай ступені варта браць значэнне арыфметычнага кораня.

## Рэчаісныя паказчыкі 
Прыведзеныя вышэй для цэлых паказчыкаў тоеснасці і ўласцівасці спраўджваюцца таксама і для дадатных рэчаісных лікаў з няцэлымі паказчыкамі. Аднак тоеснасць

: (b^r)^s = b^{r\cdot s}

нельга пашырыць на адмоўныя рэчаісныя асновы *b* (гл. Рэчаіснае ступеняванне з адмоўнымі асновамі). Непрыдатнасць гэтай тоеснасці ляжыць у аснове праблем са ступенямі камплексных лікаў, разгледжаных падрабязней у раздзеле Непрыдатнасць ступенных і лагарыфмічных тоеснасцей.

Пашырэнне ступенявання на рэчаісныя паказчыкі можна ажыццявіць або непарыўна працягваючы рацыянальныя ступені да рэчаісных, або выкарыстоўваючы паказнікавую функцыю і адваротны ёй натуральны лагарыфм.

### Граніцы рацыянальных ступеней 
А раз ірацыянальны лік можна прыблізіць рацыянальным, то ступеняванне дадатнага рэчаіснага ліку *b* с адвольным рэчаісным паказчыкам *x* можна вызначыць непарыўным працягам згодна з правілам
:  b^x = \lim_{r \to x} b^r\quad(r\in\mathbb Q,\,x\in\mathbb R),

дзе граніца бярэцца па *r*, якія імкнуцца да *x*, прабягаючы рацыянальныя значэнні. Гэта граніца існуе толькі для дадатных *b*. З (ε, δ)-азначэння граніцы вынікае, што можна выбраць дастаткова малы прамежак вакол *x* так, што ўсе рацыянальныя ступені ўнутры яго будуць набліжаць рэчаісную ступень  з патрэбнай дакладнасцю.

Напрыклад, няхай  і . Тады каб атрымаць прамежкі, якія сцягваюцца да пункта і абмежаваныя рацыянальнымі ступенямі, (дзякуючы строгай манатоннасці рацыянальных ступеней) можна выкарыстаць бесканечнае дзесятковае прадстаўленне :
: [b^3,b^4],\ [b^{3.1},b^{3.2}],\ [b^{3.14},b^{3.15}],\ [b^{3.141},b^{3.142}],\ [b^{3.1415},b^{3.1416}],\ [b^{3.14159},b^{3.14160}],\ \ldots.

Гэтыя прамежкі збягаюцца да адзінага рэчаіснага ліку, абазначанага як . Гэты спосаб можна ўжываць для атрымання любой ірацыянальнай ступені ліку *b*. Такім чынам, функцыя  вызначана для любога рэчаіснага ліку *x*.

### Паказнікавая функцыя 
Вядомая матэматычная сталая *e* (таксама вядомая як лік Ойлера і прыблізна роўная 2,718) з’яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. І хоць ступеняванне ліку *e* можна разгледзець такім жа чынам, як і ступеняванне ўсіх іншых рэчаісных лікаў, такі падыход пакідае па-за ўвагай некаторыя прыгожыя і карысныя ўласцівасці. Сярод іншага, гэтыя ўласцівасці дазваляюць натуральным чынам абагульніць ступеняванне ліку *e* на іншыя віды паказчыкаў, такія як камплексныя лікі ці, нават, матрыцы.

Як вынік, запіс  звычайна пазначае абагульненую **паказнікавую функцыю** , якую можна вызначыць некалькімі раўназначнымі спосабамі, напрыклад як:
: \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac x n \right)^n .

Сярод іншых уласцівасцей функцыя  задавальняе паказчыкавую тоеснасць:
: \exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)

Паказнікавая функцыя  вызначана пры ўсіх цэлых, дробных, рэчаісных і камплексных значэннях *x*.
Гэтае азначэнне можна выкарыстоўваць нават пры пашырэнні ступенявання на некаторыя нялікавыя велічыні, такія як квадратныя матрыцы (у гэтым выпадку паказчыкавая тоеснасць спраўджваецца, толькі калі *x* і *y* перастаўляльныя).

А раз , і функцыя  задавальняе паказчыкавую тоеснасць, то адразу атрымоўваем, што азначэнне функцыі  з дапамогай граніцы раўназначнае кратна-дамнажальнаму азначэнню  для цэлых *x*, адсюль вынікае супадзенне пры ўсіх рацыянальных паказчыках, а далей праз непарыўнасць і пры ўсіх рэчаісных паказчыках.

### Ступеняванне праз лагарыфмаванне 
Натуральны лагарыфм ln(*x*) з’яўляецца адваротнай функцыяй да паказнікавай функцыі *e**x*. Ён вызначаны пры *b* > 0 і задавальняе тоеснасць
: b = e^{\ln b}

З лагарыфмічных і паказчыкавых тоеснасцей вынікае, што для любога рэчаіснага ліку *x* справядліва тоеснасць
: b^x = (e^{\ln b})^x = e^{x \cdot\ln b}.

Гэту тоеснасць можна выкарыстаць:
: 
w = \sqrt[n]{z} = \underset{+}{\sqrt[n]} \left(\cos\left(\frac{\arg z + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\arg z + 2k\pi}{n}\right)\right), \qquad k=0,1,\dots,n-1,

дзе \scriptstyle \underset{+}{\sqrt[n]} — арыфметычны корань з абсалютнай велічыні камплекснага ліку ;
 — галоўнае значэнне аргумента ліку , якое належыць прамежку .

Для любых , не роўных нулю і бесканечнасці, гэта формула дае *n* розных значэнняў, якія ляжаць на акружыне радыуса \scriptstyle \underset{+}{\sqrt[n]} і ўтвараюць правільны *n*-вугольнік.

Значэнне кораня *n*-ай ступені, роўнае
: 
\underset{+}{\sqrt[n]{z}} = \underset{+}{\sqrt[n]} \left(\cos \frac{\arg z}{n} + i \sin \frac{\arg z}{n} \right),

называецца **галоўным значэннем**. Няцяжка пераканацца, што для дадатных рэчаісных лікаў галоўнае значэнне кораня супадае з арыфметычным коранем *n*-ай ступені.

Нарэшце, вызначым ступень з адвольным рацыянальным паказчыкам як:
: 
z^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{z}\right)^m.

### Адвольныя ступені камплексных лікаў 
Ступеняванне ў выпадку адвольных камплексных асноў і паказчыкаў вызначаецца праз камплексны натуральны лагарыфм:
*: Для любога цэлага *n* маем:
*:# e^{1 + 2 \pi i n} = e^{1} e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e,
*:# \left( e^{1+2\pi i n} \right)^{1 + 2 \pi i n} = e,
*:# e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^{2} n^{2}} = e,
*:# e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e,
*:# e^{-4 \pi^2 n^2} = 1.
*: Але гэта няпраўда для любога *n*, не роўнага нулю.
*: У прыведзеным разважанні паўстае шэраг праблем:
*: Галоўная памылка — гэта змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга: якое са значэнняў выбіраецца ў якасці галоўнага.
*: Аднак з погляду мнагазначнасці першая памылка была зроблена раней. У першым радку лік *e* разглядаецца як рэчаісны, тады як вынік  з’яўляецца камплексным лікам, які лепш запісаць у выглядзе . Падстаноўка камплекснага ліку замест рэчаіснага ў другім радку надае ступені мнагазначнасць. Змена парадку ступенявання пры пераходзе ад другога радка да трэцяга таксама ўплывае на мноства значэнняў выніку. Таму \scriptstyle (e^z)^w \;\ne\; e^{z w}, а дакладней спраўджваецца роўнасць \scriptstyle (e^z)^w \;=\; e^{(z \,+\, 2\pi i n) w}, дзе апошні выраз прымае розныя значэнні ў залежнасці ад цэлых *n*.

## Нуль у нулявой ступені 
, калі  прыбліжаецца да . Зялёныя ж крывыя (якія маюць канечны сталы нахіл: ) усе даюць граніцу 1.]]

### Дыскрэтныя паказчыкі ступені 
Часцей за ўсё, у абставінах, дзе паказчыкі прымаюць дыскрэтныя (звычайна, цэлыя) значэнні, вытлумачэнне значэння 00 як адзінкі спрашчае формулы і здымае патрэбу ва ўвядзенні адмысловых выпадкаў у тэарэмах. (Гл. наступны падраздзел пра абставіны, дзе паказчыкі прымаюць значэнні з непарыўнага мноства.)
Напрыклад:
* Разгляд выразу  як пустога здабытку надзяляе яго значэннем 1, нават калі .
* У камбінаторыцы выраз 00 тлумачыцца як колькасць пустых 0-ак (нулёвак), складзеных з элементаў пустога мноства. Існуе адзіная пустая нулёўка.
* Гэтак жа тэорыя мностваў вытлумачвае выраз 00 як лік функцый з пустога мноства ў пустое. Існуе адзіная такая функцыя, а іменна пустая функцыя.
* Пішучы \scriptstyle \sum a_nx^n для мнагачленаў і ступенных радоў, мяркуюць, што . Тоеснасці на ўзор \scriptstyle \frac{1}{1-x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} x^n і \scriptstyle e^{x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, а таксама біном Ньютана \scriptstyle (1 \,+\, x)^n \;=\; \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} x^k справядлівыя для  толькі пры ўмове 00 = 1 .
* У дыферэнцыяльным злічэнні правіла дыферэнцавання ступеневай функцыі \scriptstyle \frac{d}{dx} x^n \;=\; nx^{n-1} выконваецца для *n* = 1 у пункце  толькі пры ўмове 00 = 1.

### У аналізе 
З другога боку, калі выраз 00 узнікае пры спробе вызначыць граніцу \scriptstyle \lim_{x\to 0} f(x)^{g(x)}, яго трэба разглядаць як нявызначанасць.
* Граніцу выразу часта можна вылічыць, замяніўшы падвыразы іхнімі граніцамі, ці проста падставіўшы гранічныя значэнні аргумента. Калі ж выраз пры такой падстаноўцы страчвае сэнс, яго называюць нявызначанасцю. На самай справе, калі *f*(*t*) і *g*(*t*) з’яўляецца рэчаіснымі функцыямі і абедзве імкнуцца да 0 (пры *t*, накіраваным да рэчаіснага ліку або ±∞), і акрамя таго *f*(*t*)>0, функцыя  не абавязана імкнуцца да 1. У залежнасці ад *f* і *g*, граніца выразу  можа быць любым неадмоўным рэчаісным лікам або +∞, ці можа проста не існаваць. Напрыклад, усе прыведзеныя ніжэй функцыі выглядаюць як , дзе , пры [[аднабаковая граніца функцыі|]], аднак іхнія гранічныя значэнні розныя:
::  \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^t = 0, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t^2}}\right)^{-t} = +\infty, \quad \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{t}}\right)^{at} = e^{-a}.

: Такім чынам, выраз 00 з’яўляецца нявызначанасцю. Такія паводзіны паказваюць, што функцыя ад двух зменных , хоць і непарыўная на мностве {{math|{(*x*,*y*): *x* > 0}}}, але не можа быць непарыўна працягнута ні на адно мноства, якое ўтрымлівае пункт (0,0), бо няма спосабу несупярэчліва вызначыць 00.
* На камплекснай плоскасці функцыя  вызначаецца для ненулявых *z* згодна з . Аднак ніводная галіна функцыі  не вызначана ў пункце .

## Зноскі 
## Літаратура 
* 

Катэгорыя:Элементарныя функцыі
Катэгорыя:Элементарная матэматыка
Катэгорыя:Арыфметычныя аперацыі