Паказнікавая функцыя

**Пака́знікавая функцыя**
, **паказальная функцыя**, экспаненцыяльная функцыя — матэматычная функцыя выгляду

: 
y = e^x = \exp(x),

дзе е = 2,718… — аснова натуральнага лагарыфму.

Паказнікавая (паказальная) функцыя прымае толькі дадатныя значэнні пры сапраўдных значэннях *х*. На камплекснай плоскасці яна прымае ўсе камплексныя значэнні, акрамя нуля. Графік функцыі называецца экспанентай. Адваротнай да паказнікавай (паказальнай) з’яўляецца лагарыфмічная функцыя (таму паказнікавую функцыю часам называюць **антылагарыфмам**).

У курсе матэматычнага аналізу разглядаецца паказнікавая функцыя віду

: 
f(x) = a^x,

дзе  a  — **аснова** паказнікавай функцыі,
 x  — **паказнік** ступені, аргумент паказнікавай функцыі.

Абсяг (вобласць) вызначэння паказнікавай функцыі ёсць мноствам усіх рэчаісных (сапраўдных) лікаў \mathbb{R}.

Звычайна прымаюць, што a — рэчаісны (сапраўдны) дадатны лік, не роўны адзінцы.

У тэорыі функцый камплекснай зменнай аснова a можа быць любым камплексным лікам, не роўным нулю і адзінцы.

## Уласцівасці 
### Сувязь з лагарыфмам 
Няхай a — рэчаісны лік, a>0 і a\ne 1.

Для любых рэчаісных x праўдзяцца наступныя дзве тоеснасці

* 
a^{\log_a x} = x

* 
\log_a\left(a^x\right) = x

*Заўвага 1*: гэтыя тоеснасці ёсць сімвальным запісам таго факту, што лагарыфм па аснове a ёсць адваротнай функцыяй для паказнікавай функцыі с той жа асновай a.

*Заўвага 2*: калі a\in\mathbb{C} і x\in\mathbb{C}, гэтыя тоеснасці справядлівыя толькі з пэўнымі абмоўкамі.

*Заўвага 3*: для натуральнай паказнікавай функцыі гэтыя тоеснасці маюць выгляд
: 
e^{\ln x} = x,

: 
\ln\left(e^x\right) = x.

### Арыфметычныя ўласцівасці 
Уласцівасці паказнікавай функцыі напрамую вынікаюць з уласцівасцей аперацыі ўзвядзення ў ступень.

* Сувязь з арыфметычным коранем: няхай q — натуральны лік, p — цэлы лік. Тады
: \sqrt[q]{a^p}=a^\frac{p}{q}

* Найпрасцейшыя тоеснасці:
: a^0=1, 
: a^1=a, 
: \frac{1}{a}=a^{-1}, 
: a^{-x} = \frac{1}{a^x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x. 

* Здабытак значэнняў паказнікавай функцыі ў розных пунктах
: 
a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}

* Узвядзенне паказнікавай функцыі ў ступень
: 
\left(a^x\right)^y = a^{x\cdot y}

* Здабытак паказнікавых функцый з агульным паказнікам
: 
a^x \cdot b^x = (a\cdot b)^x

* Паказнікавая функцыя ад лінейнай функцыі
: 
a^{k \cdot x + b} = a^b \cdot \left(a^k\right)^x

*Заўвага*: гэта ўласцівасць можа быць карысная пры пабудове графікаў.

* Пераход да другой асновы
: 
a^x = b^{x\cdot \log_b a}

*Заўвага*: дзякуючы гэтай і папярэдняй уласцівасці, любую функцыю выгляду
: 
f(x) = c \cdot a^{k\cdot x + b},

дзе a, c, k і b — некаторыя лікавыя сталыя,
можна прывесці да выгляду
: 
f(x) = c_1 \cdot e^{k_1\cdot x},

дзе, у сваю чаргу, c_1 і k_1 — іншыя лікавыя сталыя, якія залежаць ад a,c, k і b.

Адсюль і вынікае, што для вывучэння любой паказнікавай функцыі дастаткова ведаць паводзіны натуральнай паказнікавай функцыі
.

### Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўласцівасці 
* Вытворная паказнікавай функцыі
: 
\left(a^x\right)' = a^x \cdot (\ln a).

* Першаісная паказнікавай функцыі
: 
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C,

дзе C — адвольная сталая.

*Заўвага*: для натуральнай паказнікавай функцыі гэтыя роўнасці маюць выгляд
: 
\left(e^x\right)' = e^x,

: 
\int e^x\,dx = e^x + C.

## Азначэнні функцыі 
У гэтым раздзеле пад паказнікавай функцыяй будзем разумець функцыю f(x)=e^x.

1. Як граніца:
: 
e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n .

2. Як сума бясконцага шэрагу:
: 
e^x = \sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots,

дзе сімвалам *n*! пазначаны фактарыял ліку *n*.

3. Паказнікавая функцыя f(x) = e^x ёсць **адзінай вымe&#769;рнай па Лебe&#769;гу функцыяй** з умовай f(1) = e, якая задавальняе функцыянальнае раўнанне
: 
f(x+y) = f(x) f(y)

для ўсіх x і y.

4. Паказнікавая функцыя f(x) = e^x ёсць **адзінай усюды непарыўнай функцыяй**, якая задавальняе ўмову f(1) = e і функцыянальнае раўнанне
: 
f(x+y) = f(x) f(y)

для ўсіх x і y.

## Формула Ойлера і сувязь з трыганаметрычнымі функцыямі 
Найбольш цікавыя ўласцівасці функцыі e^x выяўляюцца толькі пры разглядзе гэтай функцыі на камплекснай плоскасці.

Формула Ойлера:
: 
e^{ix} = \cos x + i \sin x

## Гл. таксама 
* Ступеняванне
* Лагарыфм

## Літаратура 
* Паказнікавая функцыя // БЭ ў 18 т. Т. 11. Мн., 2000.

## Спасылкі 
* «Экспонента и число е: просто и понятно»  — пераклад артыкула An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained 

Катэгорыя:Элементарныя функцыі