E (лік)

да графікаў апошніх дзвюх функцый.]]

Лік  (таксама **лік Эйлера** або **пастаянная Непера**) — важная матэматычная пастаянная, якая акрамя іншага з'яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. Звычайна ў курсах матэматычнага аналізу пастаянную азначаюць як граніцу паслядоўнасці
:\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
пры імкненні  да бесканечнасці. Такі выраз ўзнікае пры вывучэнні складанага працэнта.

Эйлераў лік можна вылічыць і як суму бесканечнага рада
:e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots.

Пастаянную можна вызначыць мноствам спосабаў. Напрыклад, іншы раз за азначэнне бяруць наступны факт:  — адзіны рэчаісны лік, такі што вытворная (нахіл датычнай прамой) функцыі  у пункце  роўная 1. Функцыя , вызначаная такім чынам, называецца экспаненцыяльнай функцыяй (або натуральнай паказчыкавай функцыяй), адваротнай да яе функцыяй з'яўляецца лагарыфм па аснове  — т.зв. натуральны лагарыфм. Натуральны лагарыфм дадатнага ліку  можна таксама вызначыць напрамую, як плошчу пад крывой , якая заключана паміж значэннямі аргумента  і . Лік  — такі лік, натуральны лагарыфм якога роўны 1. Ёсць і іншыя іншыя азначэнні.

Пастаянную  часам называюць **Эйлеравым лікам** у гонар швейцарскага матэматыка Леанарда Эйлера (не блытаць з  — пастаяннай Эйлера-Маскероні, якую іншы раз называюць проста *пастаяннай Эйлера*). Лік  таксама вядомы як **пастаянная Непера**, бо першыя вядомыя ўпамінанні гэтага ліку былі знойдзены ў працах Джона Непера, які выкарыстоўваў гэты лік у якасці асновы лагарыфма. Абазначаць лік літарай  пачаў Эйлер. Лік  мае вялікае значэнне ў матэматыцы і па важнасці стаіць побач с такімі лікамі як 0, 1, [[пі|]] і ўяўная адзінка. Усе пяць лікаў сустракаюцца, мабыць, ва ўсіх галінах матэматыкі. Цікава, што ўсе яны ўваходзяць у тоеснасць Эйлера:
:e^{i\pi}+1 = 0.
Як і пастаянная ,  — ірацыянальны лік: г.зн. яго нельга запісаць у выглядзе дзелі двух цэлых лікаў. Больш таго, ён трансцэндэнтны: г.зн. не існуе ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якога лік  быў бы коранем.

Лікавае значэнне  з дакладнасцю 50 дзесятковых знакаў пасля коскі:
: ().

## Гісторыя 
Першыя ўскосныя ўпамінанні Эйлерава ліку сустракаюцца ў табліцах ў дадатку Неперавай працы па лагарыфмах, апублікаванай у 1618 годзе. Праца ўтрымлівала не саму пастаянную, а проста спіс лагарыфмаў, вылічаных па аснове, прыблізна роўнай . Мяркуюць, што табліцу напісаў Уільям Оўтрэд. Адкрыццё самой пастаяннай прыпісваецца Якабу Бернуллі, які спрабаваў знайсці значэнне граніцы (якая раўняецца ):
:\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.

Першыя вядомыя прамыя ўпамінанні пастаяннай Непера былі знойдзены ў пісьмах Лейбніца да Гюйгенса ў 1690 і 1691 гг. Там Лейбніц карыстаецца пастаяннай і абазначае яе літарай . Леанард Эйлер ужыў літару  для абазначэння асновы натуральных лагарыфмаў у пісьме да Хрысціяна Гольдбаха 25 лістапада 1731 года. Эйлер пачаў абазначаць пастаянную літарай  недзе ў 1727 ці 1728 годзе, у неапублікаванай працы па выбуховых сілах у гарматах,, а першым з'яўленнем  ў публікацыі была Эйлерава *Mechanica* (1736). І хоць у наступныя гады некаторыя даследчыкі абазначалі лік літарай , абазначэнне  было больш распаўсюджаным і ў выніку стала агульнапрынятым.

## Прымяненні 
### Складаны працэнт 
Якаб Бернулі адкрыў пастаянную, рашаючы задачу аб складаным працэнце:, якою займаліся Якаб Бернуллі і П'ер Раймонд дэ Мантмор (). Вось як гучыць гэта задача:
:На вечарынку запрошана  гасцей. У дзвярах кожны госць аддае сваю шапку дварэцкаму, які затым ложыць яе ў адну з  скрынь, кожная з якіх пазначана іменем аднаго з гасцей. Але дварэцкі не знае гасцей па імёнах (а мо проста чытаць не ўмее) і таму кідае шапкі ў скрыні як папала. Задача дэ Мантмора — знайсці імавернасць таго, што *ні адна* шапка не трапіла ў патрэбную скрыню. Адказ такі:

:p_n = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.

Калі лік гасцей  імкнецца да бесканечнасці,  прыбліжаецца к . Больш таго, колькасць спосабаў раскідаць шапкі па каробках так, каб ні адна не папала куды трэба, для любога  раўняецца ліку , акругленаму да найбліжэйшага цэлага.

### Асімптотыкі
Лік  натуральным чынам узнікае ў сувязі з мноствам задач, якія закранаюць асімтотыку. Выдатным прыкладам з'яўляецца формула Сцірлінга для асімптотыкі фактарыяла, куды ўваходзяць і , і [[пі|]]:
:n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n.
Адсюль можна атрымаць:
:e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.

## Лік  ў аналізе
Важнасць ліку  ў аналізе тлумачыцца найперш патрэбай ажыццяўляць дыферэнцаванне і інтэграванне паказчыкавых функцый і лагарыфмаў. Паказчыкавая функцыя агульнага выгляду  мае вытворную, якая задаецца як граніца:
:\frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^{x}a^{h}-a^x}{h}=a^x\left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}\right).
Самая правая граніца ў выразе не залежыць ад зменнай : яна залежыць толькі ад асновы . Калі аснова роўная , граніца раўняецца адзінцы, і такім чынам  вызначаецца з ураўнення:
:\frac{d}{dx}e^x = e^x.

Адсюль відаць, што паказчыкавая функцыя з асновай  асабліва зручная пры ажыццяўленні розных аперацый у аналізе. Выбар ліку  ў якасці асновы паказчыкавай функцыі значна спрашчае разлікі, у якіх неабходна знаходзіць вытворную.

Выкарыстанне ліку  ў якасці асновы таксама спрашчае інтэграванне і дыферэнцаванне лагарыфмічных функцый. Вылічым вытворную функцыі  па азначэнню, г.зн. як граніцу:
:\frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h\to 0}\frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=\frac{1}{x}\left(\lim_{u\to 0}\frac{1}{u}\log_a(1+u)\right),
дзе на апошнім кроку зроблена падстаноўка . Апошняя граніца ў гэтым ланцужку роўнасцей ізноў залежыць толькі ад асновы , і калі аснова — , граніца раўняецца адзінцы. Такім чынам,
:\frac{d}{dx}\log_e x=\frac{1}{x}.
У гэтым выпадку лагарыфм называецца натуральным і абазначаецца як . Ён зручнейшы за лагарыфмы па іншых асновах, бо пры аперацыях дыферэнцавання і інтэгравання не прыходзіцца ўсюды цягаць нязручныя множнікі выгляду .

Такім чынам, лік  з дапамогай паняцця вытворнай можна вызначыць двума спосабамі. Першы з іх — прыняць, што вытворная паказчыкавай функцыі  роўная , і адсюль знайсці . Другі — сказаць, што вытворная лагарыфма з асновай  раўняецца  і адтуль знайсці . Абодва спосабы раўназначныя і даюць аднолькавы вынік.

### Іншыя азначэнні 
Лік  можна вызначыць і іначай: як граніцу паслядоўнасці, ці як суму  бесканечнага рада, ці праз нейкія інтэгралы. Вышэй было прыведзена толькі два раўназначныя азначэнні (уласцівасці) ліку , а іменна:

1. Лік  — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што
:\frac{d}{dt}e^t = e^t.

2. Лік  — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што
:\frac{d}{dt} \log_e t = \frac{1}{t}.

Можна паказаць, што наступныя тры азначэнні раўназначныя дадзеным раней:

3. Лік  — гэта граніца паслядоўнасці:
:e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n

Ці граніца функцыі:
:e = \lim_{x\to 0} \left( 1 + x \right)^{\frac{1}{x}}

4. Лік  — гэта сума бесканечнага рада
:e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots,
дзе  — фактарыял ліку .

5. Лік  — адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што
:\int_1^e \frac{dt}{t} = 1.

## Уласцівасці 
### Аналіз
Паказчыкавая функцыя  мае важнае значэнне яшчэ і таму, што гэта адзіная не роўная тоесна нулю функцыя (з дакладнасцю да пастаяннага множніка), якая супадае са сваёй вытворнай

:\frac{d}{dx}e^x=e^x

і такім чынам, яе першаісная таксама роўная:

:
\begin{align}
e^x & = \int_{-\infty}^x e^t\,dt \\[8pt]
& = \int_{-\infty}^0 e^t\,dt + \int_0^x e^t\,dt \\[8pt]
& = 1 + \int_{0}^x e^t\,dt.
\end{align}

### Ступенна-паказчыкавыя функцыі
 функцыі \sqrt[x]{x} дасягаецца ў пункце .]]
Глабальны максімум функцыі

: f(x) = \sqrt[x]{x}

дасягаецца ў . Гэтак жа,  — пункт, дзе дасягаецца глабальны мінімум функцыі

: f(x) = x^x\, 

вызначанай для дадатных .

Больш агульна,  будзе пунктам глабальнага мінімума функцыі

: f(x) = x^{x^n} 

для любога .

Па тэарэме Леанарда Эйлера, бесканечная ступенная вежа

: x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}  або ∞x

збягаецца, калі і толькі калі  (або прыблізна паміж 0.0660 і 1.4447).

### Тэорыя лікаў
Лік  ірацыянальны. Эйлер даказаў гэта, паказаўшы, што яго раскладанне ў просты непарыўны дроб бесканечнае. (Гл. таксама доказ ірацыянальнасці ліку, які даў Жан Фур'е.)

Больш таго, па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса  — трансцэндэнтны лік, г.зн. ён не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Гэта быў першы лік, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, і які пры гэтым не быў адмыслова пабудаваны для гэтае мэты (як напрыклад лікі Ліувіля). Трансцэндэнтнасць ліку  даказаў Шарль Эрміт у 1873 годзе.

Была выказана здагадка, што лік  нармальны, г.зн. калі запісаць лік  ў сістэме злічэння для адвольнай асновы, магчымыя лічбы будуць раўнамерна размеркаваны (сустракаюцца з аднолькавай імавернасцю ў любой паслядоўнасці дадзенай даўжыні).

### Камплексныя лікі
Паказчыкавую функцыю  можна запісаць у выглядзе рада Тэйлара:

: e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

Гэты рад дазваляе выявіць мноства важных уласцівасцей функцыі , нават калі   прымае камплексныя значэнні, яго звычайна выкарыстоўваюць, каб пашырыць азначэнне  на ўсе камплексныя лікі. Рад для паказчыкавай функцыі разам з радамі Тэйлара для сінуса і косінуса, дазваляе вывесці формулу Эйлера:
:e^{ix} = \cos x + i\sin x,
справядлівую для ўсіх . Асобны выпадак пры  — тоеснасць Эйлера:
:e^{i\pi} =-1,
з якой вынікае, што на галоўнай галіне лагарыфма,
:\log_e (-1) = i\pi.

Больш таго, карыстаючыся правіламі ступенявання, атрымліваем тоеснасць
:(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),
якая называецца формулай Муаўра.

### Дыферэнцыяльныя ўраўненні
Функцыя агульнага выгляду
:y(x) = Ce^x
ёсць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:
:y' = y.

## Прадстаўленні
Лік  можна задаць рознымі спосабамі: як бесканечны рад, бесканечны здабытак, непарыўны дроб, ці граніцу паслядоўнасці. Як правіла, асабліва ў курсах матэматычнага аналізу, пастаянную азначаюць як граніцу
:\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,
ці як суму рада
:e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!},
якая атрымліваецца з вышэйзгаданага ступеннага рада для  у .

Менш вядома прадстаўленне ліку  непарыўным дробам (), якое атрымаў Леанард Эйлер:
:
e = [2;1,\mathbf 2,1,1,\mathbf 4,1,1,\mathbf 6,1,1,...,\mathbf {2n},1,1,...] = [1;\mathbf 0,1,1,\mathbf 2,1,1,\mathbf 4,1,1,...,\mathbf {2n},1,1,...],

што ў звычайным запісе выглядае як:
:e = 2+
\cfrac{1}
   {1+\cfrac{1}
      {\mathbf 2 +\cfrac{1}
         {1+\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {\mathbf 4 +\cfrac{1}
            {1+\cfrac{1}
               {1+\ddots}
                  }
               }
            }
         }
      }
   }
= 1+
\cfrac{1}
  {\mathbf 0 + \cfrac{1}
    {1 + \cfrac{1}
      {1 + \cfrac{1}
        {\mathbf 2 + \cfrac{1}
          {1 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {\mathbf 4 + \cfrac{1}
            {1 + \cfrac{1}
              {1 + \ddots}
                }
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }.

А гэты ланцуговы дроб  збягаецца ў тры разы хутчэй:
: e = [ 1 ; 0.5 , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , \ldots , 4(4n-1) , (4n+1) , \ldots ],

або ў разгорнутым запісе:

: e = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{22+\cfrac{1}{26+\ddots\,}}}}}}}.

Вядома таксама многа іншых прадстаўленняў ліку  ў выглядзе непарыўных дробаў, радоў, граніц паслядоўнасцей, бесканечных здабыткаў.

### Стахастычныя прадстаўленні
Акрамя дакладных аналітычных выразаў для ліку , ёсць і імавернасныя метады ацэнкі ліку . Вось адзін з іх: няхай ёсць бесканечная паслядоўнасць незалежных выпадковых велічынь , ..., кожная з якіх раўнамерна размеркавана на адрэзку [0, 1]. Няхай  — найменшы лік , для якога сума першых  членаў паслядоўнасці большая за 1:
:V = \min { \left \{ n \mid X_1+X_2+\cdots+X_n > 1 \right \} }.
Тады матэматычнае спадзяванне велічыні  раўняецца :
:\mathbb{E}[V] = e.

### Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў
За апошнія дзесяцігоддзі колькасць вядомых лічбаў ліку  рэзка ўзрасла. Гэта стала магчыма як дзякуючы росту вылічальных магутнасцей, так і дзякуючы ўдасканаленню алгарытмаў.

## У камп'ютарнай культуры
У сучаснай інтэрнэт-культуры як асобы, так і арганізацыі часта аддаюць даніну павагі ліку .

У IPO кампаніі Google у 2004 годзе было аб'яўлена, што кампанія мае намер павялічыць свой прыбытак на $2,718,281,828, што ўяўляе сабой першыя 10 лічбаў ліку . Google таксама прафінансавала рэкламныя шчыты, якія з'явіліся ў цэнтры Крэмніевай даліны, а пазней у Кембрыджы (штат Масачусетс); Сіэтле (штат Вашынгтон) і Осціне (штат Тэхас). На шчытах было напісана
:{first 10-digit prime found in consecutive digits of }.com
Па-беларуску гэта гучала б як:
:{першы 10-разрадны просты лік, знойдзены ў паслядоўных лічбах ліку }.com
Рашэнне гэтай задачы і наведванне рэкламуемага сайта (цяпер не існуе) вяло да яшчэ больш складанай задачы, рашыўшы якую можна было трапіць на сайт Google Labs, дзе наведвальніку прапаноўвалася пакінуць сваё рэзюме. Першы 10-разрадны просты лік у дзесятковым запісе  — 7427466391, і пачынаецца ён на 99-й лічбе.

Яшчэ цікавы прыклад, Дональд Кнут прысвойвае сваёй праграме Metafont нумары версій, якія прыбліжаюцца к ліку . Паслядоўныя версіі пры гэтым выглядаюць так: 2, 2.7, 2.71, 2.718 і гэтак далей. Падобным жа чынам назначаюцца і нумары версій яго TeXа, якія пачынаючы з версіі 3.0 прыбліжаюцца к ліку : 3.0, 3.1, 3.14, 3.141 і г.д.

## Зноскі 
## Літаратура 
* 
* 

## Спасылкі 
* Простыя ўводзіны ў паказчыкавыя функцыі і лік  для нематэматыкаў 
* Лік  з дакладнасцю 1, 2 і 5 мільёнаў знакаў пасля коскі 
* Найранейшыя ўжыванні сімвалаў для пастаянных, 13 студзеня 2008 
* «Гісторыя ліку » 
* Пошукавая прылада для ліку  (2 мільярдаў даступных для пошуку лічбаў лікаў ,  і √2) 
*  
*  

Катэгорыя:Матэматычныя канстанты
Катэгорыя:Лікі з уласнымі імёнамі