Скалярны здабытак

**Скалярны здабытак** (часам **унутраны здабытак**) — аперацыя над двума вектарамі,
вынікам якой з’яўляецца лік (скаляр), што не залежыць ад сістэмы каардынат і характарызуе даўжыні вектараў-сумножнікаў і вугал паміж імі. Дадзенай аперацыі адпавядае памнажэнне *даўжыні* вектара *x* на *праекцыю* вектара *y* на вектар *x*. Гэта аперацыя звычайна разглядаецца як камутатыўная і лінейная па кожным сумножніку.

Звычайна выкарыстоўваецца адно з наступных абазначэнняў:
: \langle \mathbf a, \mathbf b \rangle,
:  (\mathbf a, \mathbf b)  ,
:  \mathbf a \cdot \mathbf b ,
ці (абазначэнне Дырака, якое часта ўжываецца ў квантавай механіцы для вектараў стану):
: \langle a|b\rangle.

Звычайна лічыцца, што скалярны здабытак дадатна вызначаны, то бок
:  \langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0 для ўсіх a\not=0.

Калі гэтага не прадугледжваецца, то здабытак завецца **індэфінітным (няпэўным)**.

## Вызначэнне 
**Скалярным здабыткам** у вектарнай прасторы \mathbb L над полем \mathbb C кaмплексных (ці \mathbb R рэчаісных) лікаў называецца функцыя \langle x, y \rangle для элементаў x, y \in \mathbb L, якая прымае значэнні ў  \mathbb C  (ці \mathbb R), якая вызначана для кожнай пары элементаў і задавальняе наступным умовам:
# для любых трох элементаў  ~x_1, x_2  і  ~y  прасторы  \mathbb L і любых лікаў  ~\alpha , \beta  з  \mathbb C  (ці \mathbb R) справядліва роўнасць  \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle (лінейнасць скалярнага здабытка па першым аргуменце);
# для любых  ~x  і  ~y  справядліва роўнасць  \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}, дзе рыса азначае комплекснае спалучэнне (эрмітава сіметрычнасць);
# для любога  ~x  маем \langle x,x \rangle \ge 0 , прычым \langle x,x \rangle =0  толькі пры  ~x=0  (дадатная вызначанасць скалярнага здабытка).

Заўважым, што з п.2 вызначэння вынікае, што  \langle x,x \rangle \in \mathbb R. Таму п.3 мае сэнс, нягледзячы на комплексныя (у агульным выпадку) значэнні **скалярнага здабытка**.

## Алгебраічнае вызначэнне 
Скалярны здабытак для двух вектараў  і  у ***n***-мернай рэчаіснай прасторы вызначаецца як:
: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n.
Напрыклад, у трохмернай прасторы здабытак вектараў  і  будзе вылічаны як:

: 
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3.
\end{align}

Для комплексных вектараў  і  скалярны здабытак вызначаецца як:
: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_i\overline{b_i}=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots+a_n\overline{b_n}.
Напрыклад,  [1+i, 2] \cdot [2+i, i] = (1+i) \cdot (\overline{2+i}) + 2 \cdot \overline i = (1+i) \cdot (2-i) + 2 \cdot (-i) = 3-i

## Геаметрычнае вызначэнне 
Калі вызначэнні даўжыні вектара і вугла паміж вектарамі ўведзены незалежна ад паняцця скалярнага здабытку (звычайна, так і робяць пры выкладанні класічнай геаметрыі), то скалярны здабытак вызначаецца праз даўжыні сумножнікаў і вугал паміж імі:

:  \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)} 

Сучасная аксіяматыка звычайна будуецца пачынаючы са скалярнага здабытку, і тады даўжыня вектара і вугал вызначаюцца ўжо праз скалярны здабытак (гл. ніжэй).

## Звязаныя вызначэнні 
* Рэчаісная канечнамерная лінейная прастора са скалярным здабыткам завецца *еўклідавай*, комплексная — *унітарнай*.

У сучасным аксіяматычным падыходзе ўжо на аснове паняцця скалярнага здабытку вектараў уводзяцца наступныя вытворныя паняцці:

* **Даўжыня** вектара, пад якой звычайна разумеецца яго еўклідава норма: \| \mathbf x\| = \sqrt{\langle \mathbf x,\mathbf x\rangle} (тэрмін 'даўжыня' звычайна ўжываецца да канечнамерных вектараў, аднак у выпадку вылічэння даўжыні крывалінейнага шляху часта выкарыстоўваецца і ў выпадку бясконцамерных прастор).
* **Вуглом** паміж двума ненулявымі вектарамі еўклідавай прасторы (у прыватнасці, еўклідавай плоскасці) завецца лік, косінус якога роўны адносінам скалярнага здабытку гэтых вектараў да здабытку іх даўжынь (норм):&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = |\mathbf a| |\mathbf b| \cos \varphi.У выпадку, калі прастора з’яўляецца псеўдаеўклідавай, паняцце вугла вызначаецца толькі для вектараў, якія не ўтрымоўваюць ізатропных прамых унутры ўтворанага вектарамі сектара. Сам вугал пры гэтым уводзіцца як лік, гіпербалічны косінус якога роўны адносінам модуля скалярнага задабытку гэтых вектараў да задабытку іх даўжынь (норм):&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle| = |\mathbf a| |\mathbf b| \operatorname{ch} \varphi.

* **Артаганальнымі** (перпендыкулярнымі) завуцца вектары, скалярны здабытак якіх роўны нулю. Гэта вызначэнне дастасоўна да любых прастор з дадатна вызначаным скалярным здабыткам. Напрыклад, артаганальныя мнагачлены насамрэч артаганальныя (у сэнсе гэтага вызначэння) адзін аднаму ў некаторай гільбертавай прасторы.
* Прастора (рэчаісная ці комплексная) з дадатна вызначаным скалярным здабыткам завецца прадгільбертавай прасторай.
** Пры гэтым канечнамерная рэчаісная прастора з дадатна вызначаным скалярным здабыткам называецца таксама еўклідавай, а комплексная — эрмітавай ці ўнітарнай прасторай.
* Выпадак, калі скалярны здабытак не з’яўляецца знакавызначаным, прыводзіць да т.зв. *прастор з індэфінітнай метрыкай*. Скалярны здабытак у такіх прасторах ужо не спараджае нормы (і яна звычайна ўводзіцца дадаткова). Канечнамерная рэчаісная прастора з індэфінітнай метрыкай завецца псеўдаеўклідавай (найважнейшым асобным выпадкам такой прасторы з’яўляецца прастора Мінкоўскага). Сярод бясконцамерных прастор з індэфінітнай метрыкай важную ролю іграюць прасторы Пантрагіна і прасторы Крэйна.

## Прыклады 
* У трохмернай рэчаіснай вектарнай прасторы вектараў \mathbf x = (x_1, x_2, x_3) увядзенне скалярнага здабытку па формуле  \langle\mathbf x, \mathbf y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 ператварае гэту прастору ў еўклідаву прастору. Аналагічнае сцвярджэнне справядліва для еўклідавай прасторы любой размернасці (у суму тады ўваходзіць колькасць членаў, роўная размернасці прасторы).
** У любой еўклідавай прасторы (размернасці *n*) заўсёды можна абраць ортаўнармаваны базіс {\mathbf e_1, \mathbf e_2,\dots,\mathbf e_n} 
:: пры раскладанні вектараў па якім:
:: \mathbf a = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + \dots + a_n \mathbf e_n,
:: \mathbf b = b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + \dots + b_n \mathbf e_n і г.д.,
:: скалярны здабытак будзе вызначацца формулай:
:: \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle=\mathbf a^T \mathbf b = a_1 b_1+a_2 b_2+\dots+a_n b_n.

* У такой жа, але комплекснай, прасторы, скалярны здабытак уводзіцца па трохі іншай формуле:  \langle\vec x, \vec y\rangle = x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+x_3\overline{y_3}. Тут праз \overline{a} пазначаны лік, комплексна спалучаны да \ a. Пры такім вызначэнні скалярны здабытак становіцца дадатна вызначаным. Без комплекснага спалучэння аксіёма эрмітавасці скалярнага здабытку была б парушана, а значыць, рэчаіснасці вызначанай праз яго нормы вектара дамагчыся б не атрымалася, гэта значыць норма ў звычайным сэнсе ім бы не спараджалася.
* У прасторы вымерных інтэграваных з квадратамі на некаторай вобласці Ω рэчаісных функцый можна ўвесці дадатна вызначаны скалярны здабытак:
::  \langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega f(x) g(x) d\Omega

* У аналагічным выпадку для комплексных функцый, калі патрабуецца эрмітавасць (і дадатная вызначанасць) скалярнага здабытку, трэба дадаць комплекснае спалучэнне да f ці g пад інтэгралам.
* Пры выкарыстанні неортанарміраваных базісаў скалярны здабытак выражаецца праз кампаненты вектараў з удзелам метрычнага тэнзара g_{ij}:
::  \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = \sum g_{ij}a^i b^j
: пры гэтым сама метрыка (кажучы дакладней, яе прадстаўленне ў дадзеным базісе) так звязана са скалярнымі здабыткамі базісных вектараў  f_i\ :
::  g_{ij} = \langle\mathbf f_i, \mathbf f_j\rangle 

** (метрыка ў ортаўнармаваных базісах трывіяльная, гэта значыць прадстаўлена адзінкавай матрыцай g_{ij} = \delta_{ij})
* Аналагічныя канструкцыі скалярнага здабытку можна ўводзіць і на бясконцамерных прасторах, напрыклад, на прасторах функцый:
::  \langle f, g \rangle = \int\limits_{(\Omega_1 \times \Omega_2)} K(x_1,x_2) f(x_1) g(x_2) d(\Omega_1 \times \Omega_2) 
:::  \langle f, g \rangle = \int\limits_\Omega K(x) f(x) g(x) d\Omega 
: дзе *K* — дадатна вызначаная, у першым выпадку сіметрычная адносна перастаноўкі аргументаў (пры комплексных x — эрмітава) функцыя (калі трэба мець звычайны сіметрычны дадатна вызначаны скалярны здабытак).

## Уласцівасці 
* тэарэма косінусаў лёгка выводзіцца з выкарыстаннем скалярнага здабытку:
*: |BC|^2 = \vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = \langle\vec{AC} - \vec{AB},\vec{AC} - \vec{AB}\rangle = \vec{AC}^2 + \vec{AB}^2 - 2 \langle\vec{AC},\vec{AB}\rangle = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \cos\hat A
* Вугал паміж вектарамі:
*: \alpha = \arccos \frac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle\langle\mathbf b,\mathbf b\rangle}}
* Ацэнка вугла паміж вектарамі:
*: у формуле  \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)}  знак вызначаецца толькі косінусам вугла (нормы вектараў заўсёды дадатныя). Таму скалярны здабытак > 0, калі вугал паміж вектарамі востры, і \mathbf a на кірунак, вызначанае адзінкавым вектарам \mathbf e:
*: a_e = \langle\mathbf a,\mathbf e\rangle = |\mathbf a| |\mathbf e| \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf e)} = |\mathbf a| \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf e)} , бо |\mathbf e| = 1
* умова артаганальнасці (перпендыкулярнасці) вектараў \mathbf a і \mathbf b:
:: \mathbf a\bot \mathbf b \Leftrightarrow \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle = 0

* Плошча паралелаграма, нацягнутага на два вектары \mathbf{a}\  і \mathbf{b}\ , роўная
::  \sqrt{\langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{b},\mathbf{b}\rangle - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle^2}\ 

### Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага 
Для любых элементаў  \mathbf x і  \mathbf y  лінейнай прасторы са скалярным здабыткам выконваецца няроўнасць http://www.nsu.ru/education/funcan/node75.html 

  \vert \langle x,y \rangle \vert ^2 \le \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle 

## Гісторыя 
Скалярны здабытак быў уведзены У. Гамільтанам у 1846 годзе адначасова з вектарным здабыткам у сувязі з кватэрніёнамі — адпаведна, як скалярная і вектарная частка здабытку двух кватэрніёнаў, скалярная частка якіх роўная нулю.

## Варыяцыі і абагульненні 
Найпрасцейшым абагульненнем канечнамернага скалярнага здабытку ў тэнзарнай алгебры з’яўляецца згортка па паўтаральных індэксах. Аналагічнае абагульненне ў прынцыпе няцяжка зрабіць і ў бесканечнамерным выпадку (для бесканечнамерных прастор функцый — гл. прыклады (вышэй)).

## Гл. таксама 
* Псеўдаскалярны здабытак
* Вонкавы здабытак
* Вектарны здабытак
* Змяшаны здабытак
* Гільбертава прастора
* Метрычны тэнзар

## Літаратура 
* 

## Спасылкі 
Катэгорыя:Аналітычная геаметрыя
Катэгорыя:Лінейная алгебра
Катэгорыя:Функцыянальны аналіз
Катэгорыя:Вектарны аналіз