Імавернасць

[thumb|right|250px|Просты прыклад: імавернасць таго, што на [Ігральны кубік|кубіку выпадзе лік «5», роўная 1/6]]
**Імавернасць** (імавернасная мера) — лікавая мера магчымасці наступлення пэўнай падзеі.

Калі падставы для таго, каб якая-небудзь магчымая падзея адбылася ў рэчаіснасці, пераважваюць супрацьлеглыя падставы, то гэта падзея называецца імавернай, у адваротным выпадку — малаімавернай або неімавернай. Перавага дадатных падстаў над адмоўнымі, і наадварот, можа быць у рознай ступені, з прычыны чаго імавернасць (і неімавернасць) бывае большай ці меншай. Таму часта імавернасць ацэньваецца на якасным узроўні, асабліва ў тых выпадках, калі больш-менш дакладная колькасная ацэнка немагчымая або вельмі цяжкая. Магчымы розныя градацыі «ўзроўняў» імавернасці.

Даследаванне імавернасці з матэматычнага погляду складае асаблівую дысцыпліну — тэорыю імавернасцей. Ён налічыў 56 варыянтаў. Аднак гэта колькасць па сутнасці не адлюстроўвае колькасць роўнаімаверных магчымасцей, бо кожны з 56 варыянтаў можа рэалізавацца рознай колькасцю спосабаў. У першай палове XIII стагоддзя гэтыя аспекты ўлічыў Рышар дэ Фарніваль. Нягледзячы на тое, што ў яго таксама фігуруе лік 56, але ён у развагах ўлічвае, што, напрыклад, «аднолькавую колькасць ачкоў на трох касцях можна атрымаць шасцю спосабамі». Грунтуючыся на яго развагах, ужо можна ўсталяваць, што лік роўнамагчымых варыянтаў — 216. У далейшым многія не зусім дакладна вырашалі гэтую задачу. Упершыню дакладна колькасць роўнамагчымых зыходаў пры падкіданні трох костак падлічыў Галілеа Галілей, узводзячы шасцёрку (колькасць варыянтаў выпадзення адной косткі) ў ступень 3 (колькасць костак): 6³ = 216. Ён жа склаў табліцы колькасці спосабаў атрымання розных сум ачкоў.

Задачы другога тыпу ў канцы XV стагоддзя сфармуляваў і прапанаваў першае (наогул кажучы памылковае) рашэнне Лука Пачолі. Па сутнасці Гюйгенс ўжо аперыраваў паняццем матэматычнага чакання. Швейцарскі матэматык Я. Бернулі ўсталяваў закон вялікіх лікаў для схемы незалежных выпрабаванняў з двума зыходамі (пасмяротна, 1713).

У XVIII ст. — пачатку ХIХ ст. тэорыя імавернасцей атрымлівае развіццё ў працах А. Муаўра (Англія) (1718), П. Лапласа (Францыя), К. Гауса (Германія) і С. Пуасона (Францыя). Тэорыя імавернасцей пачынае ўжывацца ў тэорыі памылак назіранняў, якая развілася ў сувязі з патрэбамі геадэзіі і астраноміі, і ў тэорыі стральбы. Неабходна адзначыць, што закон размеркавання памылак па сутнасці прапанаваў Лаплас спачатку як экспанентную залежнасць ад памылкі без уліку знака (у 1774 годзе), затым як экспанентную функцыю квадрата памылкі (у 1778 годзе). Апошні закон звычайна называюць размеркаваннем Гауса ці нармальным размеркаваннем. Бернулі (у 1778 годзе) увёў прынцып здабытку імавернасцей адначасовых падзей. Адрыен Мары Лежандр (у 1805 годзе) распрацаваў метад найменшых квадратаў.

У другой палове XIX ст. развіццё тэорыі імавернасцей звязана з працамі рускіх матэматыкаў П. Л. Чабышова, А. М. Ляпунова і А. А. Маркава (старэйшага), а таксама работы па матэматычнай статыстыцы А. Кетле (Бельгія) і Ф. Гальтона (Англія) і статыстычнай фізіцы Л. Больцмана (Аўстрыя) стварылі аснову для істотнага пашырэння праблематыкі тэорыі імавернасцей. Найбольш распаўсюджаная ў цяперашні час лагічная (аксіяматычная) схема пабудовы асноў тэорыі імавернасцей распрацавана ў 1933 годзе савецкім матэматыкам А. М. Калмагоравым.

## Вызначэнні імавернасці 
### Класічнае вызначэнне 
Класічнае «вызначэнне» імавернасці зыходзіць з паняцця роўнамагчымасці як аб'ектыўнай уласцівасці вывучаемых з'яў. Роўнамагчымасць з'яўляецца невызначальным паняццем і ўсталёўваецца з агульных меркаванняў сіметрыі вывучаемых з'яў. Напрыклад, пры падкіданні манеткі зыходзяць з таго, што ў сілу меркаванай сіметрыі манеткі, аднастайнасці матэрыялу і выпадковасці (непрадузятасці) падкідвання няма ніякіх падстаў для перавагі «рэшкі» перад «арлом» ці наадварот, гэта значыць выпадзенне гэтых бакоў можна лічыць роўнамагчымым (роўнаімаверным).

Разам з паняццем роўнамагчымасці ў агульным выпадку для класічнага вызначэння неабходна таксама паняцце элементарнай падзеі (зыходу), спрыяючага ці не падзеі A. Гаворка ідзе пра выпадкі, наступленне якіх выключае магчымасць наступлення iншых зыходаў. Гэта несумяшчальныя элементарныя падзеі. Да прыкладу, пры кіданні ігральнай косці выпадзенне канкрэтнага ліку выключае выпадзенне астатніх лікаў.

Класічнае вызначэнне імавернасці можна сфармуляваць наступным чынам:

Імавернасцю выпадковай падзеі A называюцца адносіны ліку n несумяшчальных роўнаімаверных элементарных падзей, якія складаюць падзею A, да ліку ўсіх магчымых элементарных падзей N:

: P(A)=\frac {n}{N}

Напрыклад, хай падкідваюцца дзве косткі. Агульная колькасць роўнамагчымых зыходаў (элементарных падзей) роўна відавочна 36 (6 магчымасцяў для кожнай косткі). Ацэнім імавернасць выпадзення 7 ачкоў. Атрыманне 7 ачкоў магчыма наступнымі спосабамі: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1. Гэта значыць усяго 6 роўнамагчымых зыходаў, спрыяльных падзеі A — атрыманню 7 ачкоў. Такім чынам, імавернасць будзе роўная  = . Для параўнання, імавернасць атрымання 12 ачкоў або 2 ачкоў роўная ўсяго  — у 6 разоў менш.

### Геаметрычнае вызначэнне 
Нягледзячы на тое, што класічнае вызначэнне з'яўляецца інтуітыўна зразумелым і выведзеным з практыкі, яно, як мінімум, не можа быць непасрэдна ўжыта ў выпадку, калі колькасць роўнамагчымых зыходаў бесканечная. Яркім прыкладам бесканачнага ліку магчымых зыходаў з'яўляецца абмежаваная геаметрычная вобласць G, напрыклад, на плоскасці, з плошчай S. Выпадкова «падкінуты» «пункт» з роўнай імавернасцю можа апынуцца ў любым пункце гэтай вобласці. Задача заключаецца ў вызначэнні імавернасці траплення пункта ў некаторую падвобласць g з плошчай s. У такім выпадку, абагульняючы класічнае вызначэнне, можна прыйсці да геаметрычнага азначэння імавернасці траплення ў падвобласць g:

: P(A)=\frac {s}{S}

Гэта імавернасць не залежыць ад формы вобласці g, яна залежыць толькі ад яе плошчы. Дадзенае вызначэнне натуральна можна абагульніць і на прастору любой размернасці, дзе замест плошчы выкарыстоўваць паняцце «аб'ёму». Больш за тое, менавіта такое вызначэнне прыводзіць да сучаснага аксіяматычнага азначэння імавернасці. Паняцце аб'ёму абагульняецца да паняцця меры некаторага абстрактнага мноства, да якой прад'яўляюцца патрабаванні, якімі валодае і «аб'ём» ў геаметрычнай інтэрпрэтацыі — у першую чаргу, гэта неадмоўнасць і адытыўнасць.

### Частотнае (статыстычнае) вызначэнне 
Класічнае вызначэнне пры разглядзе складаных праблем натыкаецца на цяжкасці непераадольнага характару. У прыватнасці, у некаторых выпадках выявіць роўнамагчымыя выпадкі можа быць немагчыма. Нават у выпадку з манеткай, як вядома, існуе відавочна не роўнаімаверная магчымасць выпадзення «рэбра», якую з тэарэтычных меркаванняў ацаніць немагчыма (можна толькі сказаць, што яна малаімаверная, і то гэта меркаванне хутчэй практычнае). Таму яшчэ на пачатку станаўлення тэорыі імавернасцей было прапанавана альтэрнатыўнае «частотнае» вызначэнне імавернасці. А менавіта, фармальна імавернасць можна вызначыць як граніцу частаты назіранняў падзеі A, мяркуючы аднароднасць назіранняў (гэта значыць аднолькавасць ўсіх умоў назірання) і іх незалежнасць адно ад аднаго:

: P(A)=\lim_{N \to \infty} \frac {n}{N},

дзе N — колькасць назіранняў, а n — колькасць наступленняў падзеі A.

Нягледзячы на тое, што дадзенае вызначэнне хутчэй паказвае на спосаб ацэнкі невядомай імавернасці — шляхам вялікай колькасці аднародных і незалежных назіранняў, — тым не менш, у такім азначэнні адлюстраваны змест паняцця імавернасці. А менавіта, калі падзеі прыпісваецца некаторая імавернасць, як аб'ектыўная мера яе магчымасці, то гэта азначае, што пры фіксаваных умовах і шматразовым паўтарэнні мы павінны атрымаць частату яе з'яўлення, блізкую да p (тым больш блізкую, чым больш назіранняў). Уласна, у гэтым заключаецца зыходны сэнс паняцця імавернасці. У аснове ляжыць аб'ектывісцкі погляд на з'явы прыроды. Ніжэй будуць разгледжаны так званыя законы вялікіх лікаў, якія даюць тэарэтычную аснову (у рамках выкладзенага ніжэй сучаснага аксіяматычнага падыходу) у тым ліку для частотнай ацэнкі імавернасці.

### Аксіяматычнае вызначэнне 
У сучасным матэматычным падыходзе імавернасць задаецца аксіяматыкай Калмагорава. Мяркуецца, што зададзена некаторая прастора элементарных падзей X. Падмноствы гэтай прасторы інтэрпрэтуюцца як выпадковыя падзеі. Аб'яднанне (сума) некаторых падмностваў (падзей) інтэрпрэтуецца як падзея, якая складаецца ў наступленні хаця б аднае з гэтых падзей. Перасячэнне (здабытак) падмноства (падзей) інтэрпрэтуецца як падзея, якая складаецца ў наступленні ўсіх гэтых падзей. Мноствы, якія не перасякаюцца, інтэрпрэтуюцца як несумесныя падзеі (іх сумеснае наступленне немагчыма). Адпаведна, пустое мноства азначае немагчымую падзею.

Імавернасцю (імавернаснай мерай) называецца мера (лікавая функцыя) \mathbf P, зададзеная на мностве падзей, якая валодае наступнымі ўласцівасцямі:

* Неадмоўнасць: \forall A \subset X \colon \mathbf P(A) \geqslant 0,
* Адытыўнасць: імавернасць наступлення хаця б аднае (гэта значыць сумы) з папарна несумесных падзей роўная суме імавернасцей гэтых падзей; іншымі словамі, калі A_i A_j=\varnothing пры i\ne j, то P(\sum_{i} A_i) = \sum_{i}\mathbf P(A_i).
* Канечнасць (абмежаванасць адзінкай): \mathbf P(X) = 1.

У выпадку, калі прастора элементарных падзей X вядома, то дастаткова названай умовы адытыўнасці для адвольных дзвюх несумесных падзей, з якой будзе атрымлівацца адытыўная для любой канчатковай колькасці несумесных падзей. Аднак у выпадку бесканечнай (злічонай або незлічонай) прасторы элементарных падзей гэтай умовы аказваецца недастаткова. Патрабуецца так званая злічоная або сігма-адытыўнасць, гэта значыць выкананне ўласцівасці адытыўнасці для любога не больш чым злічонага сямейства папарна несумесных падзей. Гэта неабходна для забеспячэння «непарыўнасці» імавернаснай меры.

Імавернасная мера можа быць вызначана не для ўсяго падмноства мноства X. Мяркуецца, што яна вызначана на некаторай сігма-алгебры \Omega падмноства. Гэтыя падмноствы называюцца вымернымі па дадзенай імавернаснай меры, і менавіта яны з'яўляюцца выпадковымі падзеямі. Сукупнасць (X,\Omega,P) — гэта значыць мноства элементарных падзей, сігма-алгебра яго падмноства і імавернасная мера — называецца імавернаснай прасторай.

## Уласцівасці імавернасці 
Асноўныя ўласцівасці імавернасці прасцей за ўсё вызначыць, зыходзячы з аксіяматычнага вызначэння імавернасці.

1) імавернасць немагчымай падзеі (пустога мноства \varnothing) роўная нулю:

\mathbf{P}\{\varnothing\}=0;

Гэта вынікае з таго, што кожную падзею можна прадставіць як суму гэтай падзеі і немагчымай падзеі, што ў сілу адытыўнасці і канечнасці імавернаснай меры азначае, што імавернасць немагчымай падзеі павінна быць роўная нулю.

2) калі падзея A «ўваходзіць» ў падзею B, гэта значыць A \subset B, надыход падзеі A цягне таксама надыход падзеі B, то:

\mathbf{P}\{A\}\leqslant\mathbf{P}\{B\};

Гэта вынікае з неадмоўнасці і адытыўнасці імавернаснай меры, бо падзея B, магчыма, «утрымлiвае» акрамя падзеі A яшчэ нейкія іншыя падзеі, несумесныя з A.

3) імавернасць кожнай падзеі A знаходзіцца ў прамежку ад 0 да 1, гэта значыць задавальняе няроўнасць:

0\leqslant\mathbf{P}\{A\}\leqslant1;

Першая частка няроўнасці (неадмоўнасці) сцвярджаецца аксіяматычна, а другая вынікае з папярэдняй уласцівасці з улікам таго, што любая падзея «ўваходзіць» ў X, а для X аксіяматычна мяркуецца \mathbf{P}\{X\}=1.

4) імавернасць наступлення падзеі B\setminus A, якая заключаецца ў надыходзе падзеі B пры адначасовым ненадыходзе падзеі A, роўная:

\mathbf{P}\{B\setminus A\}=\mathbf{P}\{B\}-\mathbf{P}\{A\};

Гэта вынікае з адытыўнасці імавернасці для несумесных падзей і з таго, што падзеі A і B \setminus A з'яўляюцца несумеснымі па вызначэнні, а іх сума роўная падзеі B.

5) імавернасць падзеі \bar{A}, супрацьлеглай падзеі A, роўная:

\mathbf{P}\{\bar{A}\}=1-\mathbf{P}\{A\};

Гэта вынікае з папярэдняй уласцівасці, калі ў якасці мноства B выкарыстоўваць ўсю прастору X і ўлічыць, што \mathbf{P}\{X\}=1.

6) (тэарэма складання імавернасцей) імавернасць наступлення хаця б аднае з (гэта значыць сумы) адвольных (не абавязкова несумесных) дзвюх падзей A і B роўная:

\mathbf{P}\{A+B\}=\mathbf{P}\{A\}+\mathbf{P}\{B\}-\mathbf{P}\{AB\}.

Гэту ўласцівасць можна атрымаць, калі прадставіць аб'яднанне двух адвольных мностваў як аб'яднанне двух неперасякальных — першага і рознасці паміж другім і перасячэннем зыходных мностваў: A+B=A+(B \setminus (AB)). Адсюль, улічваючы адытыўнасць імавернасці для неперасякальных мностваў і формулу для імавернасці рознасці (гл. уласцівасць 4) мностваў, атрымліваем патрэбную ўласцівасць.

## Умоўная імавернасць 
Імавернасць наступлення падзеі A, пры ўмове наступлення падзеі B, называецца ўмоўнай імавернасцю A (пры дадзенай умове) і абазначаецца P(A|B). Найбольш проста вывесці формулу вызначэння ўмоўнай імавернасці, зыходзячы з класічнага вызначэння імавернасці. Для дадзеных дзвюх падзей A и B разгледзім наступны набор несумесных падзей: A\overline{B}, AB, \overline{A}B, \overline{A}\cdot \overline{B}, якія вычэрпваюць усе магчымыя варыянты зыходаў (такі набор падзей называюць поўным). Агульная колькасць роўнамагчымых зыходаў роўная n. Калі падзея B ужо надышла, то роўнамагчымыя зыходы абмяжоўваюцца толькі дзвюма падзеямі AB, \overline{A}B, што эквівалентна падзеі B. Хай колькасць гэтых зыходаў роўная n_B. З гэтых зыходаў падзеі A спрыяюць толькі тыя, што звязаны з падзеяй AB. Колькасць адпаведных зыходаў абазначым n_{AB}. Тады, згодна з класічным вызначэннем імавернасці, імавернасць падзеі A пры ўмове наступлення падзеі B будзе роўная P(A|B)=n_{AB}/n_B. Падзяліўшы лічнік і назоўнік на агульную колькасць роўнамагчымых зыходаў n і паўторна ўлічваючы класічнае вызначэнне, канчаткова атрымаем формулу ўмоўнай імавернасці:

: P(A|B)=\frac {P(AB)} {P(B)}.

Адсюль вынікае так званая тэарэма множання імавернасцей:

: P(AB)=P(B)P(A|B).

У сілу сіметрыі, аналагічна можна паказаць, што таксама P(AB)=P(A)P(B|A), адсюль вынікае формула Баеса:

: P(A|B)=\frac {P(A)P(B|A)}{P(B)}

### Незалежнасць падзей 
Падзеі A і B называюцца незалежнымі, калі імавернасць наступлення адной з іх не залежыць ад таго, наступілі ці не іншыя падзеі. З улікам паняцця ўмоўнай імавернасці гэта азначае, што P(A|B)=P(A), адкуль вынікае, што для незалежных падзей выканана:

: P(A|B)=P(A)

У рамках аксіяматычнага падыходу дадзеная формула прымаецца як азначэнне паняцця незалежнасці дзвюх падзей. Для адвольнай (канчатковай) сукупнасці падзей A_i іх незалежнасць разам азначае, што імавернасць іх сумеснага наступлення роўная здабытку іх імавернасцей:

: P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2)...P(A_n)

Выведзеная (у рамках класічнага вызначэння імавернасці) вышэй формула ўмоўнай імавернасці пры аксіяматычным вызначэнні імавернасці з'яўляецца вызначэннем ўмоўнай імавернасці. Адпаведна, як следства азначэнняў незалежных падзей і ўмоўнай імавернасці, атрымліваецца роўнасць ўмоўнай і безумоўнай імавернасцей падзеі.

### Поўная імавернасць і формула Баеса 
Набор падзей A_j, хоць бы адна з якіх абавязкова (з адзінкавай імавернасцю) наступіць у выніку выпрабавання, называецца поўным. Гэта азначае, што набор такіх падзей вычэрпвае ўсе магчымыя варыянты зыходаў. Фармальна ў рамках аксіяматычнага падыходу гэта азначае, што \sum_i A_i=X. Калі гэтыя падзеі несумесныя, то ў рамках класічнага вызначэння гэта азначае, што сума колькасцей элементарных падзей, спрыяльных таму ці іншаму зыходу, роўная агульнай колькасці роўнамагчымых зыходаў.

Хай маецца поўны набор папарна несумесных падзей A_i. Тады для любой падзеі B верная наступная формула разліку яго імавернасці (формула поўнай імавернасці):

: P(B)=\sum^n_{i=1} P(B|A_i)P(A_i)

Тады вышэйапісаную формулу Баеса з улікам поўнай імавернасці можна запісаць у наступным выглядзе:

: P(A_j|B)=\frac {P(A_j)P(B|A_j)}{\sum^n_{i=1} P(A_i)P(B|A_i)}

Дадзеная формула з'яўляецца асновай альтэрнатыўнага падыходу да імавернасці — баесаўскага або суб'ектыўнага падыходу.

## Імавернасць і квантавая фізіка 
У квантавай механіцы стан сістэмы (часціцы) характарызуецца хвалевай функцыяй (наогул кажучы, вектарам стану) — камплексназначнай функцыяй «каардынат», квадрат модуля якой інтэрпрэтуецца як шчыльнасць імавернасці атрымання зададзеных значэнняў «каардынат». Згодна з сучасным уяўленнем, імавернаснае вызначэнне стану з'яўляецца поўным і прычынай імавернаснага характару квантавай фізікі не з'яўляюцца якія-небудзь «схаваныя» фактары — гэта звязана з прыродай саміх працэсаў. У квантавай фізіцы аказваюцца магчымымі любыя ўзаемаператварэнні розных часціц, не забароненыя тымі ці іншымі законамі захавання. І гэтыя ўзаемаператварэнні падпарадкоўваюцца імавернасным заканамернасцям. Паводле сучасных уяўленняў, прынцыпова немагчыма прадказаць ні момант узаемаператварэння, ні канкрэтны вынік. Можна толькі казаць пра імавернасць тых ці іншых працэсаў ператварэння. Замест дакладных класічных велічынь у квантавай фізіцы магчымая толькі ацэнка сярэдніх значэнняў (матэматычных чаканняў) гэтых велічынь, напрыклад, сярэдні час жыцця часціцы.

## Імавернасць у іншых сферах 
Акрамя пытання аб імавернасці факту, можа ўзнікаць, як у галіне права, так і ў галіне маральнай (пры вядомым этычным пункце гледжання) пытанне аб тым, наколькі імаверна, што дадзены прыватны факт складае парушэнне агульнага закона. Гэтае пытанне, служачы асноўным матывам ў рэлігійнай юрыспрудэнцыі Талмуда, выклікала і ў рымска-каталіцкім маральным багаслоўі (асабліва з канца XVI стагоддзя) вельмі складаныя сістэматычныя пабудовы і велізарную літаратуру, дагматычную і палемічную.

## Гл. таксама 
* Тэорыя імавернасцей
* Рызыка
* Формула поўнай імавернасці
* Формула Бернулі
* Умоўная імавернасць
* Выпадковая велічыня
* Выпадковасць
* Квантавая імавернасць
* Імавернасць пераходу
* Парадокс заканамернасці

## Літаратура 
* *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. 206 с.
* *Ермаліцкі А. А.*, *Лугоўскі С. А.*, *Лукін К. Д.*, *Шылінец У. А.* Зборнік заданняў па тэорыі імавернасцяў. Мн. 2001, 50 с.
* Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970 
* *Купцов В. И.* Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя:Вікіпедыя:Істотныя артыкулы