Мера Хаусдорфа

У матэматыцы, **меры Хаусдорфа** — сямейства вонкавых мер, прапанаваных Феліксам Хаўсдорфам. Меры Хаусдорфа кожнаму падмноству прасторы \R^n (ці больш агульна, любой метрычнай прасторы) ставяць у адпаведнасць некаторы неадмоўны лік або дадатную бесканечнасць. Нуль-мерная Хаусдорфава мера раўняецца колькасці пунктаў у мностве (калі мноства канечнае) ці +∞ (калі мноства бесканечнае). Аднамерная мера Хаусдорфа простай крывой у \R^n раўняецца даўжыні гэтай крывой. Гэтак жа двухмерная Хаусдорфава мера вымернага мноства ў \R^2 прапарцыянальная плошчы мноства. Адсюль відаць, што паняцце меры Хаусдорфа абагульняе паняцці колькасці (або магутнасці канечнага мноства), даўжыні, плошчы і аб'ёму. На самай справе існуюць  -мерныя меры Хаусдорфа для любога  (не абавязкова цэлага). Гэтыя меры ляжаць у аснове геаметрычнай тэорыі меры. Яны таксама натуральным чынам узнікаюць у гарманічным аналізе і тэорыі патэнцыялу.

## Азначэнне 
Няхай (X,\rho) — метрычная прастора. Дыяметр мноства U\subset X абазначым наступным чынам:
:\operatorname{diam} U :=\sup\{\rho(x,y) : x,y\in U \}.
Прымем па азначэнню:
:\operatorname{diam}\varnothing := 0.
  
Няхай S — адвольнае падмноства X, а \delta>0 — рэчаісны лік. Вызначым функцыю
:H^d_\delta(S) := \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam} U_i)^d : \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq S,\ \operatorname{diam} U_i

Тут дакладная ніжняя мяжа бярэцца па ўсіх злічальных пакрыццях мноства S мноствамі U_i\subset X з дыяметрамі, меншымі за .

Варта заўважыць, што H^d_\delta(S) манатонна спадае пры нарастанні , бо чым большае  — тым больш магчымых пакрыццяў мноства, што, відавочна, можа толькі панізіць дакладную ніжнюю мяжу. Адсюль вынікае, што граніца
:\lim\limits_{\delta\to 0} H^d_\delta(S)
існуе, але можа раўняцца дадатнай бесканечнасці.

Няхай
: H^d(S):=\sup_{\delta>0} H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S).

Функцыя H^d(S) з'яўляецца вонкаваю мерай (а дакладней, метрычнай вонкавай мерай) і называецца **-мернаю мерай Хаусдорфа** мноства .

Па агульнай тэорыі, яе абмежаванне на σ-алгебру вымерных па Каратэадоры мностваў з'яўляецца мерай. Дзякуючы ўласцівасцям метрычнай вонкавае меры, усе барэлеўскія падмноствы прасторы  вымерныя адносна меры .

У вышэйпрыведзеным азначэнні мноствы ў пакрыццях могуць быць адвольнымі. Нягледзячы на гэта, можна разглядаць пакрыцці ці аднымі толькі адкрытымі мноствамі, ці толькі замкнутымі, у выніку гэта ўсё роўна прывядзе да той жа меры, хоць прыбліжэнні H^d_\delta(S) пры гэтым могуць адрознівацца. Калі X — унармаваная прастора, можна разглядаць пакрыцці толькі выпуклымі мноствамі. Але калі браць пакрыцці толькі шарамі, у выніку атрымаецца іншая мера.

## Уласцівасці Хаусдорфавых мер 
Варта заўважыць, што калі  — дадатны цэлы лік, -мерная Хаусдорфава мера на \R^d ёсць проста змененая ў маштабе -мерная мера Лебега \lambda_d, якая ўнармавана так, што Лебегава мера адзінкавага куба  роўная 1. На самай справе, для любога Барэлеўскага мноства :
: \lambda_d(E) = 2^{-d} \alpha_d H^d(E)\, 
дзе  — аб'ём адзінкавага -шара; яго можна вылічыць праз гама-функцыю Эйлера
:\alpha_d =\frac{\Gamma(\frac12)^d}{\Gamma(\frac{d}{2}+1)} =\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac{d}{2}+1)}.

**Заўвага**.  Некаторыя аўтары ў якасці азначэння меры Хаусдорфа прымаюць іншае, якое трохі адрозніваецца ад прыведзенага вышэй, розніца заключаецца ў том, што яе нармуюць так, каб Хаусдорфава -мерная мера ў выпадку еўклідавай прасторы дакладна супадала з Лебегавай мерай.

## Сувязь з размернасцю Хаусдорфа 
Існуе шэраг раўназначных азначэнняў размернасці Хаусдорфа. Напрыклад, такое:
:\operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(S)=\inf\{d\ge 0:H^d(S)=0\}=\sup\{d\ge 0:H^d(S) > 0\},
дзе прынята па азначэнню
:\inf\varnothing := \infty.

## Абагульненні 
У геаметрычнай тэорыі меры і сумежных раздзелах для вымярэння памеру падмноства метрычнай прасторы з мерай часта выкарыстоўваецца т.зв. аб'ём Мінкоўскага. Для зручных (г.зн. не вельмі складаных і мудрагелістых) абсягаў у еўклідавай прасторы гэтыя два паняцці памеру супадаюць з дакладнасцю да пастаяннага множніка, які залежыць ад дамоўленасцей. А іменна, кажуць, што падмноства прасторы \mathbb{R}^n называецца **-выпрастальным** (*квадравальным*, *кубавальным*), калі яно з'яўляецца вобразам абмежаванага падмноства прасторы \mathbb{R}^n пры Ліпшыцавым адлюстраванні.  Калі , тады -мерны аб'ём Мінкоўскага замкнутага -выпрастальнага падмноства ў \mathbb{R}^n раўняецца -мернай меры Хаусдорфа, дамножанай на 2^{-m}\alpha_m.

У фрактальнай геаметрыі некаторыя фракталы з Хаусдорфавай размернасцю  маюць нулявую або бесканечную -меру Хаусдорфа. Напрыклад, амаль напэўна траекторыя плоскага броўнаўскага руху мае размернасць Хаусдорфа 2, а яе двухмерная мера Хаусдорфа роўная нулю. Каб "вымераць" "памер" такіх мностваў, была прыдумана наступнае абагульненне паняцця Хаусдорфавай меры:
:У азначэнні меры складнікі |U_i|^d замяняюцца на \phi(U_i), дзе \phi — любая манатонна нарастаючая функцыя мноства, якая задавальняе ўмову \phi(\varnothing) = 0. 

Вызначаная так мера называецца Хаусдорфавай мерай мноства S з функцыяй размернасці \phi, ці \phi-Хаусдорфавай мераю. Можа здарыцца, што -мернае мноства S будзе мець звычайную меру Хаусдорфа H^d(S)=0, але пры адпаведным выбары функцыі \phi можна дабіцца выканання няроўнасці
:0 
У якасці прыкладаў функцый размернасці можна прывесці такія:
:\phi(t) = t^2\,\log\log\frac 1t
або
:\phi(t) = t^2\,\log\frac{1}{t}\,\log\log\log\frac{1}{t}.
Першая функцыя дае амаль напэўна дадатную і σ-канечную меру для броўнаўскай траекторыі ў \mathbb{R}^n пры , а апошняя — пры .

## Гл. таксама 

* Размернасць Хаусдорфа
* Вонкавая мера
* Тэорыя меры
* Геаметрычная тэорыя меры

## Літаратура
* 
* 
* Yan Kun (2007), Fractal Measure.
* 
* 
* 
* 

## Спасылкі
* Размернасць Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі 
* Мера Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі 

Катэгорыя:Фракталы
Катэгорыя:Тэорыя меры
Катэгорыя:Метрычная геаметрыя
Катэгорыя:Тэорыя размернасці