Тэарэма Беры — Эсеена

У тэорыі імавернасцей цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што пры пэўных умовах размеркаванне імавернасцей сярэдняга значэння выпадковай выбаркі  к нармальнаму размеркаванню пры нарастанні аб'ёму выбаркі да бесканечнасці. Пры больш моцных дапушчэннях, **тэарэма Беры — Эсеена** (або **няроўнасць Беры — Эсеена**) колькасна ацэньвае скорасць, з якою гэта збежнасць адбываецца, даючы ацэнку найбольшай пагрэшнасці прыбліжэння сапраўднага размеркавання нармальным. Прыбліжэнне ацэньваецца па адлегласці Калмагорава — Смірнова. У выпадку незалежных выбарак скорасць збежнасці мае парадак , дзе  — аб'ём выбаркі, а пастаянная ацэньваецца праз трэція абсалютныя нарміраваныя моманты.

## Сцвярджэнне тэарэмы 
Фармулёўкі тэарэмы могуць адрознівацца, бо яна была адкрыта незалежна двума матэматыкамі: Эндру Беры (у 1941) і  (1942), які затым, разам з іншымі аўтарамі, некалькі разоў паляпшаў тэарэму на працягу наступных дзесяцігоддзяў.

### Аднолькава размеркаваныя складнікі 
Адзін з варыянтаў, які ў нечым ахвяруе агульнасцю дзеля яснасці, гучыць наступным чынам:

: Няхай *X*1, *X*2, …, — незалежныя і аднолькава размеркаваныя выпадковыя велічыні з E(*X**i*) = 0, E(*X*) = σ² > 0, і E(|*X**i*|³) = ρ Y_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}.
: Няхай *F**n* ёсць функцыя размеркавання велічыні
:: {Y_n \sqrt{n} \over {\sigma}},
: а Φ ёсць функцыя стандартнага нармальнага размеркавання.
: Тады існуе дадатная пастаянная *C* такая, што для ўсіх *x* і *n* справядліва няроўнасць
:: \left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {C \rho \over \sigma^3\,\sqrt{n}}.\ \ \ \ (1)

thumb|250px|Ілюстрацыя рознасці паміж упамянутымі ў тэарэме функцыямі размеркавання.
Гэта значыць: зададзена паслядоўнасць  з нулявым спадзяваннем і дадатнаю дысперсіяй, і, акрамя таго, з канечным трэцім абсалютным момантам. Тады функцыі размеркавання ўнармаванага выбарачнага сярэдняга і стандартнай нармальнай велічыні адрозніваюцца не больш чым на вызначаную велічыню. Варта заўважыць, што хібнасць прыбліжэння для ўсіх *n* абмежавана велічынёю парадку *n*−1/2.

На працягу гадоў вылічаныя значэнні пастаяннай *C* прыкметна панізіліся са значэння 7.59, атрыманага Эсеенам, да 0.7882, атрыманага ван-Беекам, пасля 0.7655, тады 0.7056, затым 0.7005, потым 0.5894, пазней 0.5129, затым 0.4785. Падрабязны агляд можна знайсці ў артыкулах. Найлепшая ацэнка на 2012 год, *C*&nbsp;\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {0.33554 (\rho+0.415\sigma^3)\over \sigma^3\,\sqrt{n}},
даказанай Шаўцовай, пры ўліку суадносін σ³&nbsp;≤&nbsp;ρ і 0.33554&nbsp;·&nbsp;1.415&nbsp;\sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le {0.3328 (\rho+0.429\sigma^3)\over \sigma^3\,\sqrt{n}},
якая таксама даказана Шаўцовай, дае яшчэ стражэйшую верхнюю ацэнку.

Эсеен атрымаў ніжнюю мяжу для пастаяннай
:  C\geq\frac{\sqrt{10}+3}{6\sqrt{2\pi}} \approx 0.40973 \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}} + 0.01079.

### Рознаразмеркаваныя складнікі 
: Няхай *X*1, *X*2, …, — незалежныя выпадковыя велічыні з E(*X*i) = 0, E(*X*i²) = σi² > 0, і E(|*X*i|³) = ρi S_n = {X_1 + X_2 + \cdots + X_n \over \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2+\cdots+\sigma_n^2} }
: унармаваная *n*-я частковая сума. Абазначым *F**n* функцыю размеркавання велічыні *S**n*, а сімвалам Φ — функцыю стандартнага нармальнага размеркавання. Дзеля зручнасці абазначым
:: \vec{\sigma}=(\sigma_1,...,\sigma_n),\ \vec{\rho}=(\rho_1,...,\rho_n).
: У 1941 Эндру Беры даказаў, што для ўсіх *n* існуе абсалютная пастаянная *C*1, такая што
:: \sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le C_1\cdot\psi_1,\ \ \ \ (2)
: дзе
:: \psi_1=\psi_1\big(\vec{\sigma},\vec{\rho}\big)=\Big({\textstyle\sum\limits_{i=1}^n\sigma_i^2}\Big)^{-1/2}\cdot\max_{1\le
i\le n}\frac{\rho_i}{\sigma_i^2}.

: Незалежна, у 1942 годзе, Карл Густаў Эсеен даказаў, што для любых *n* існуе абсалютная пастаянная *C*0, такая што
:: \sup_{x\in\mathbb R}\left|F_n(x) - \Phi(x)\right| \le C_0\cdot\psi_0, \ \ \ \ (3)
: дзе
:: \psi_0=\psi_0\big(\vec{\sigma},\vec{\rho}\big)=\Big({\textstyle\sum\limits_{i=1}^n\sigma_i^2}\Big)^{-3/2}\cdot\sum\limits_{i=1}^n\rho_i.

Лёгка пераканацца, што ψ0≤ψ1. Таму няроўнасць (3) прынята называць **няроўнасцю Беры-Эсеена**, велічыня ψ0 называецца **дробам Ляпунова трэцяга парадку**. Больш таго, у выпадку, калі ўсе складнікі *X*1,… *X*n размеркаваны аднолькава
:: \psi_0=\psi_1=\frac{\rho_1}{\sigma_1^3\sqrt{n}},
ацэнкі з няроўнасцей (1), (2) і (3) супадаюць.

Адносна *C*0, відавочна, ніжняя мяжа, устаноўленая Эсеенам, застаецца ў сіле:
: C_0\geq\frac{\sqrt{10}+3}{6\sqrt{2\pi}} = 0.4097\ldots.

Верхнія межы для *C*0 пазней былі паніжаны ад зыходнай ацэнкі 7.59 Эсеена да (тут пералічваюцца толькі нядаўнія вынікі) 0.9051 Залатарова, 0.7975 ван-Беека, 0.7915 Шыганава, 0.6379 і 0.5606 Цюрына. На 2011 год найлепшая ацэнка 0.5600 атрымана Шаўцовай.

## Гл. таксама 
* Цэнтральная гранічная тэарэма
* 
* 

## Крыніцы 
## Літаратура 
* 
* Durrett, Richard (1991). *Probability: Theory and Examples*. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.
* 
* 
* Feller, William (1972). *An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II* (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25709-5.
* 
* 
* Manoukian, Edward B. (1986). *Modern Concepts and Theorems of Mathematical Statistics*. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96186-0.
* Serfling, Robert J. (1980). *Approximation Theorems of Mathematical Statistics*. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Спасылкі 
* 

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя:Тэарэмы тэорыі імавернасцей і матэматычнай статыстыкі
Катэгорыя:Імавернасныя няроўнасці