Вызначнік (алгебра)

**Вызначнік** (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад  зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх
лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).

Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.

## Строгае азначэнне 
### Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы 
Няхай
:
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}.

**Вызначнік** -матрыцы  − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:
:\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \dots a_{n, \sigma(n)},
дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках  мноства {{math|{1,...,*n*} }},  − знак перастаноўкі , роўны +1, калі  цотная, і роўны -1, калі  няцотная.

### Праз адметныя ўласцівасці 
Няхай
:
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{pmatrix}

− матрыца, каэфіцыенты  якой належаць колцу , у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.

Абазначым праз  -ты слупок матрыцы :
:a_i = \begin{pmatrix}
a_{i1}\\ a_{i2}\\ \dots\\ a_{in}
\end{pmatrix}.

**Вызначнікам** называецца функцыя ад матрыцы , якая прымае значэнні з колца  і задавальняе наступныя ўмовы:
# Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
#:\det E = 1
# Вызначнік як функцыя ад  слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
#:\det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & \lambda a'_j + \mu a''_j & \dots & a_n \end{bmatrix} =
\lambda \det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & a'_j & \dots & a_n \end{bmatrix} \ + \ 
\mu \det \begin{bmatrix} a_1 & \dots & a''_j & \dots & a_n \end{bmatrix} 
# Вызначнік як функцыя ад  слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):
#:\det\begin{bmatrix} a_1 & \dots & a_j & a_{j+1} & \dots & a_n \end{bmatrix} = -\det\begin{bmatrix} a_1 & \dots & a_{j+1} & a_j & \dots & a_n \end{bmatrix}

## Уласцівасці 
* Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
*: \det E = 1
* Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
*: \det (AB) = \det (A) \cdot \det (B)
* Няхай  ёсць скалярнай велічынёю,  з'яўляецца квадратнай матрыцай парадку . Тады
*: \det(rA) = r^n \det(A)
* Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:
*: \det A^T = \det A 
* Няхай колца  ёсць полем. Тады
*:\det (A^{-1}) = (\det A)^{-1} 
* Калі матрыца  трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы:  пры ; для ніжняй трохвугольнай матрыцы:  пры ), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:
*:\det A = a_{11} a_{22} \dots a_{nn}.

## Вызначнікі малых парадкаў 
Для матрыцы першага парадку **вызначнік** роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:
: \Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}

Для матрыцы  **вызначнік** роўны
: \Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Для матрыцы  **вызначнік** можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як **раскаданне па першым радку**):
: \Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j},
дзе  M_{1j} — дадатковы мінор элемента a_{1j}.

*Заўвага*: каб атрымаць дадатковы мінор  элемента , трэба закрэсліць -ты радок і -ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.

Адсюль вынікае, што **вызначнік** матрыцы  раўняецца:
: \Delta = 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =
a_{11}\begin{vmatrix}    a_{22} & a_{23} \\  a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}    a_{21} & a_{23} \\  a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}    a_{21} & a_{22} \\  a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = 
:: = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}  - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} 

## Літаратура 
* 

Катэгорыя:Лінейная алгебра
Катэгорыя:Алгебра
Катэгорыя:Вызначнікі