Выпадковая велічыня

**Выпадковая велічыня** — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня, а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую , часта рэчаісных лікаў.

## Азначэнне 
Вызначым спачатку \mathcal{A}- функцыю. Функцыя f: \Omega \to \mathbb{R} называецца \mathcal{A}-вымернай для некаторай σ-алгебры \mathcal{A}, калі для кожнага x \in \mathbb{R} выконваецца
f^{-1}((-\infty, x)) := \{\omega \in \Omega | f(\omega) 

Выпадковай велічынёй называецца \mathcal{A}-вымерная функцыя \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}, абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей \Omega імавернаснай прасторы (\Omega, \mathcal{A}, P).

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага  B \subset \mathbb{R} праўдзіцца \xi^{-1}(B) \in \mathcal{A}. Аналагічным чынам замест (\xi  у азначэнні можна браць (\xi \leq x), (\xi > x), (\xi \geq x), (x_1 \leq \xi \leq x_2) і г.д..

Фукнцыю размеркавання \eta можна запісаць як
: F_\eta(x) = \int\limits_{\varphi^{-1} ((-\infty, x))} dF_\xi,
дзе F_\xi — функцыя размеркавання \xi.

Калі \xi — абсалютна непарыўная выпадковая велічыня са шчыльнасцю f_{\xi}, а \varphi — строга манатонная і , то \eta = \varphi(\xi) будзе мець шчыльнасць
: f_\eta (x) = f_\xi (\varphi^{-1}(x)) \left|\left[\varphi^{-1}\right]'(x)\right| = \frac{f_\xi (\varphi^{-1}(x))}{\left|\varphi'(\varphi^{-1}(x))\right|}.

### Прыклад 
Няхай выпадковая велічыня \xi мае паказнікавае размеркаванне (\xi \sim Exp(\lambda)) са шчыльнасцю
: f_\xi(x) = \lambda e^{-\lambda x}  для x \geq 0,
а функцыя \varphi(x) = 2x. Тады \varphi^{-1}(x) = x/2, а \eta = \varphi(\xi) = 2 \xi — выпадковая велічыня са шчыльнасцю
: f_\eta(x) = f_\xi \left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left|\left(\frac{x}{2}\right)'\right| = \lambda e^{-\lambda \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\lambda}{2} e^{-\frac{\lambda }{2} x},

то бок \eta \sim Exp(\lambda / 2).

Інтуітыўна формулу можна растлумачыць так, што памнажаючы велічыню на два, мы рассоўваем пункты на восі абсцыс адзін ад аднаго такім чынам, што дыстанцыя паміж пунктамі становіцца ў два разы большай, што робіць шчыльнасць у два разы меншай, бо плошча пад графікам шчыльнасці мусіць заставацца роўнай 1. У выпадку нелінейнай манатоннай функцыі \varphi, напрыклад \varphi = x^3, інтуіцыя захоўваецца, але дыстанцыі паміж пунктамі будуць змяняцца па-рознаму ў розных пунктах восі абсцыс, адпаведна і значэнне вытворнай у формуле будзе залежаць ад x.

## Абагульненні 
Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,
* Вымерная функцыя X : \Omega \to \mathbb{R}^n называецца -мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай \sigma-алгебры на \mathbb{R}^n) або многавымернай выпадковай велічынёй.
* Вымерная функцыя X : \Omega \to \mathbb{C}^n называецца -мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай \sigma-алгебры).
* Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

## Гл. таксама 
* Выпадковы працэс
* Функцыя размеркавання
* Матэматычнае спадзяванне

## Літаратура 
* *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. 206 с.

## Спасылкі 
* Многомерные случайные величины

Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей