Упісаная акружнасць

Акружнасць называюць **упісанаю** (**умежанаю**) у вугал, калі яна ляжыць унутры вугла і датыкаецца да яго старон. Цэнтр акружнасці, упісанай (умежанай) у вугал, ляжыць на бісектрысе гэтага вугла.

Акружнасць называецца **ўпісанаю ў выпуклы многавугольнік**, калі яна ляжыць унутры дадзенага многавугольніка і датыкаецца да ўсіх яго старон.

## У многавугольніку 
* Калі ў дадзены выпуклы многавугольнік можна ўпісаць (умежыць) акружнасць, то бісектрысы ўсіх унутраных вуглоў дадзенага многавугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які з'яўляецца цэнтрам упісанай акружнасці.
* Радыус упісанай у многавугольнік акружнасці роўны адносіне яго плошчы да паўперыметра

: r=\frac{S}{p}

## У трохвугольніку 
Уласцівасці ўпісанай акружнасці:

* У кожны трохвугольнік можна ўпісаць акружнасць, прытым толькі адну.
* Цэнтр I упісанай акружнасці называецца інцэнтрам, ён роўнааддалены ад усіх старон і з'яўляецца пунктам перасячэння бісектрыс трохвугольніка.
* Радыус умежанай у трохвугольнік акружнасці роўны
: r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}

* Калі AB — аснова роўнастаронняга \triangle ABC, то акружнасць, якая датыкаецца да старон \angle ACB ў пунктах A і B, праходзіць праз інцэнтр трохвугольніка ABC.
* Формула Эйлера: R^2-2Rr=|OI|^2, дзе R — радыус апісанай вакол трохвугольніка акружнасці, r — радыус умежанай у яго акружнасці, O — цэнтр апісанай акружнасці, I — цэнтр упісанай акружнасці.
* Калі прамая, якая праходзіць праз пункт I паралельная старане AB, перасякае стораны BC і CA у пунктах A1 і B1, то A_1B_1=A_1B+AB_1.
* Пункты дотыку ўмежанай у трохвугольнік T акружнасці, злучаныя адрэзкамі, утвараюць трохвугольнік T1.
** Бісектрысы T з'яўляюцца сярэдзіннымі перпендыкулярамі T1.
** Хай  T2 — ортатрохвугольнік  T1. Тады яго стораны паралельныя сторанам зыходнага трохвугольніка T.
** Хай  T3 — пасярэдні трохвугольнік  T1. Тады бісектрысы T з'яўляюцца вышынямі  T3.
** Хай T4 — ортатрохвугольнік  T3, тады бісектрысы T з'яўляюцца бісектрысамі  T4.
* Радыус умежанай ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a, b і гіпатэнузай c акружнасці роўны \frac{a+b-c}{2}.
* Адлегласць ад вяршыні С трохвугольніка да пункта, у якім умежаная акружнасць датыкаецца да стараны, роўная d=\frac{a+b-c}{2}=p-c.
* Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці роўная l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}, дзе r — радыус упісанай акружнасці, а γ — вугал вяршыні C.
* Адлегласць ад вяршыні C да цэнтра ўмежанай акружнасці можна таксама знайсці па формулах l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2} і l_c = \sqrt{ab - 4Rr}
* Тэарэма аб трызубцы ці пра канюшыну: Калі W — пункт перасячэння бісектрысы вугла A з апісанаю акружнасцю, а I — цэнтр упісанай акружнасці, то |WI|=|WB|=|WC|.
* Лема Вер'ера: хай акружнасць V датыкаецца да старон AB, AC і дугі BC апісанай акружнасці трохвугольніка ABC. Тады пункты дотыку акружнасці V са старонамі і цэнтр умежанай акружнасці трохвугольніка ABC ляжаць на адной прамой.

## У чатырохвугольніку 
Апісаны чатырохвугольнік, калі ў яго няма самаперасячэнняў («просты»), павінен быць выпуклым.

У выпуклы чатырохвугольнік ABCD можна ўпісаць акружнасць тады і толькі тады, калі сумы яго процілеглых старон роўныя: AB + CD = BC + AD.

Калі ў чатырохвугольнік ўпісана акружнасць, то плошча такога чатырохвугольніка можна вылічыць па формуле:
S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.

Ва ўсякім апісаным чатырохвугольніку сярэдзіны дыяганалей і цэнтр упісанай акружнасці ляжаць на адной прамой (тэарэма Ньютана). На ёй жа ляжыць сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах перасячэння процілеглых бакоў чатырохвугольніка. Гэтая прамая называецца прамою Гауса. Цэнтр умежанай у чатырохвугольнік акружнасці — пункт перасячэння вышынь трохвугольніка з вяршынямі ў пункце перасячэння дыяганалей і пунктах скрыжавання процілеглых старон (тэарэма Брокараў).

## У сферычным трохвугольніку 
Упісаная акружнасць для сферычнага трохвугольніка — гэта акружнасць, якая датыкаецца да ўсіх яго старон.

* Тангенс радыуса ўпісанай у сферычны трохвугольнік акружнасці роўны
: \operatorname{tg}r=\sqrt{\frac{\sin (p-a)\sin (p-b)\sin (p-c)}{\sin p}}\,

* Упісаная ў сферычны трохвугольнік акружнасць належыць сферы. Радыус, праведзены з цэнтра сферы праз цэнтр упісанай акружнасці перасячэ сферу ў пункце перасячэння бісектрыс вуглоў (дуг вялікіх колаў сферы, якія дзеляць вуглы напалову) сферычнага трохвугольніка.

## Гл. таксама 
* Выдатныя пункты трохвугольніка
* Апісаная акружнасць
* Пазаўпісаная акружнасць

## Заўвагі 
## Крыніцы 
## Літаратура 
* Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3
* *Понарин Я. П.* Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0

Катэгорыя:Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя:Крывыя