Біномнае размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей|
  | name       = Біномнае размеркаванне
  | type       = mass
  | pdf_image  = 
  | cdf_image  = 
  | notation   = B(n,p)
  | parameters = n \in \{0, 1, 2, \ldots\} &ndash; колькасць выпрабаванняўp \in [0,1] &ndash; імавернасць поспеху кожнага выпрабаванняq = 1 - p &ndash; імавернасць няўдачы выпрабавання
  | support    = k \in \{0, 1, \ldots, n\} &ndash; колькасць паспяховых выпрабаванняў
  | pdf        = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
  | cdf        = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i} або I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) (рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя)
  | mean       = np
  | median     = \lfloor np \rfloor або \lceil np \rceil
  | mode       = \lfloor (n + 1)p \rfloor або \lceil (n + 1)p \rceil - 1
  | variance   = npq
  | skewness   = \frac{q-p}{\sqrt{npq}}
  | kurtosis   = \frac{1-6pq}{npq}
  | entropy    = \frac{1}{2} \log_2 (2\pi enpq) + O \left( \frac{1}{n} \right) у . Для , лагарыфм мусіць быць натуральным.
  | mgf        = (q + pe^t)^n
  | char       = (q + pe^{it})^n
  | pgf        = G(z) = [q + pz]^n
  | fisher     =  g_n(p) = \frac{n}{pq} (для вызначанага n)
}}
**Біномнае размеркаванне** з параметрамі n і p — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое апісвае колькасць паспяховых зыходаў пры правядзенні n незалежных выпрабаванняў, кожнае з якіх мае два магчымыя зыходы: поспех (з імавернасцю p) і няўдача (з імавернасцю q = 1 - p). Кожнае такое выпрабаванне завецца , а шэраг зыходаў — . Для аднаго выпрабавання (n = 1) біномнае размеркаванне адпавядае размеркаванню Бэрнулі. Біномнае размеркаванне ляжыць у падмурку  .

Біномнае размеркаванне часта выкарыстоўваецца для  колькасці «паспяховых» элементаў у   памерам n з генеральнай сукупнасці памерам N. Калі робіцца адбор без вяртання, выпрабаванні не незалежныя, і мадэляваць такую сітуацыю трэба з дапамогай гіпергеаметрычнага размеркавання. Аднак калі N значна большае за n, біномнае размеркаванне добра яго набліжае і таму часта выкарыстоўваецца.

## Азначэнне 
### Функцыя імавернасці 
Выпадковая велічыня X, якая мая біномнае размеркаванне з параметрамі n \in \mathbb{N} і p \in [0, 1] запісваецца як X \sim B(n, p). Імавернасць назірання k поспехаў у n выпрабаваннях Бэрнулі задаецца функцыяй імавернасці:
: p_{X \sim B(n, p)}(k) = P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

для k = 0, 1, 2, \dots, n, дзе

: \binom{n}{k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}

— , ад якога і паходзіць імя размеркавання. Формула тлумачыцца наступным чынам: імавернасць назірання k поспехаў роўная p^k, а n - k няўдач адбываюцца з імавернасцю (1 - p)^{n - k}. Пры гэтым паспяховымі могуць быць якія-кольвек k з шэрагу n выпрабаванняў, і існуе \tbinom{n}{k} спалучэнняў з n выпрабаванняў па k.

### Функцыя размеркавання 
Функцыя размеркавання для k \in [0, n] мае выгляд:

: F_{X \sim B(n, p)}(k) = P(X \le k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i},

дзе \lfloor k\rfloor —  ад k.

### Прыклад 
Няхай манетка мае імавернасць 0.3 выпасці рэшкай. Імавернасць пабачыць 4 рэшкі пры яе шасціразовым падкіданні роўная

: p_{B(6, 0.3)}(4) = \binom{6}{4}0.3^4 (1-0.3)^{6-4}= 0.059535.

## Характарыстыкі 
Няхай X \sim B(n, p). Тады можна запісаць X = \sum_{i=1}^n X_i, дзе кожная велічыня X_i мае размеркаванне Бэрнулі з параметрам p і ўсе X_i незалежныя адна ад адной. Ведаючы характарыстыкі размеркавання Бэрнулі (\mathbb{E}[X_i] = p і Var(X_i) = p(1-p)), можна знайсці матэматычнае спадзяванне і дысперсію біномнага размеркавання:
: \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n \mathbb{E} [X_i] = np,
: Var(X) = Var\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n Var(X_i) = np(1-p) = npq.

## Сувязь з іншымі размеркаваннямі 
### Размеркаванне Бэрнулі 
Размеркаванне Бэрнулі — асобны выпадак біномнага размеркавання для n = 1. Іншымі словамі, велічыня X \sim B(1, p) мае такое ж размеркаванне, як і велічыня X \sim Bernoulli(p).

### Паліномнае размеркаванне 
Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага. Яно дазваляе мадэляваць сітуацыі, калі магчымых зыходаў выпрабавання больш за два.

Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей