Ураўненне Гамільтана — Якобі

У фізіцы і матэматыцы, **ураўненнем Гамільтана — Якобі** называецца ўраўненне наступнага выгляду

: H\left(q_1,\dots,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

Тут *S* абазначае класічнае дзеянне, H(q_1,\dots,q_n;p_1,\dots,p_n;t) — гамільтаніян, q_i — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасавана для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, бо яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў прыбліжэнні хуткаасцыліруючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна са спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаніяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеней свабоды *s*, у адрозненне ад *2s* ураўненняў Гамільтана і *s* ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

## Кананічнае пераўтварэнне 
Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факта, што для любой функцыі  (не звяртаючы ўвагі на індэксы), ураўненні руху не змяняюцца для  і 

: 
(1) \qquad
{\partial S \over \partial q} = p, \qquad
{\partial S \over \partial p'} = q', \qquad
H' = H + {\partial S \over \partial t} .

Новыя ўраўненні руху становяцца

: 
(2) \qquad {\partial H' \over \partial q'} = - {dp' \over dt}, \qquad
{\partial H' \over \partial p'} = {dq' \over dt}.

Ураўненне Гамільтана — Якобі паяўляецца са спецыфічнай функцыі , якая робіць  роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і

:  (3) \qquad {dp' \over dt} = {dq' \over dt} = 0. 

Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе якой функцыі  дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаваную сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што

: 
H'(q',p',t) = H(q,p,t) + {\partial S \over \partial t} = 0.

Паколькі ўраўненне (1) дае p=\partial S/\partial q, можна запісаць

: 
H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,

што з’яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

## Рашэнне 
Ураўненне Гамільтана — Якобі часта рашаюць . Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра q_1) і адпаведны ёй імпульс \frac{\partial S}{\partial q_1} ўваходзяць ва ўраўненне ў форме
: \frac{\partial S}{\partial t} + H\left( f_1 \left(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}\right), q_2,\ldots,q_n,\frac{\partial S}{\partial q_2},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right) =0.

Тады можна ўзяць

: f_1 \left(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}\right) = \alpha_1,
: \frac{\partial S}{\partial q_1} = g_1(q_1,\alpha_1),

дзе \alpha_1 — адвольная пастаянная, g_1 — адваротная функцыя, і рашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд

: S = - \int H(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) dt + \int g_1(q_1,\alpha_1)dq_1 + \int g_2(q_2,\alpha_1,\alpha_2)dq_2 + \ldots + \int g_n(q_n,\alpha_1,\dots,\alpha_n)dq_n + k, 

дзе \alpha_i — адвольныя пастаянныя, k — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым S з’яўляецца функцыяй канчатковай кропкі (q_1,\dots,q_n). Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:

: \beta_i={\partial S \over \partial \alpha_i}(\mathbf{q},\alpha_1,\dots,\alpha_n,t).

Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

## Гл. таксама 
* Гамільтанава механіка
* Ураўненні Гамільтана

## Літаратура 
* *Ланцош К.* Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
* *Лич Дж. У.* Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
* *Павленко Ю. Г.* Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
* *Парс Л. А.* Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.

## Спасылкі 
* 

Катэгорыя:Тэарэтычная механіка