0 (лік)

**0** (**нуль** ад  — ніякі) — цэлы лік, які раздзяляе на лікавай прамой дадатныя і адмоўныя лікі. Выконвае цэнтральную роль у матэматыцы як элемент,  адносна складання цэлых, рэчаісных лікаў, і іншых .

У , напрыклад дзесятковай, нуль выступае яшчэ і як лічба для пазначэння таго, што адпаведная ступень 10 не дамнажаецца ні на што і не дадаецца да выніку. Здаецца, што гістарычна такую канцэпцыю было цяжка прыдумаць.

## Асноўныя ўласцівасці нуля 
* Нуль не мае знака.
* Любы лік пры складанні з нулём не мяняецца.
* Пры адніманні нуля з любога ліку атрымліваецца той жа лік.
* Дамнажэнне любога ліку на нуль дае нуль.
* Пры дзяленні нуля на любы лік, акрамя самога 0, атрымліваецца нуль. Дзяленне нуля на нуль прыводзіць да нявызначанасці (0/0).
* Нуль з’яўляецца цотным лікам, бо пры дзяленні на 2 атрымліваецца цэлы лік.
* Дзяленне на нуль немагчыма ў прасторы камплексных лікаў. На самай справе, калі абазначыць \frac{a}{0} = b, то па азначэнні дзялення фармальна павінна быць b \cdot 0 = a, у той час як выраз b \cdot 0, пры любым камплексным b, ровен нулю. Іншымі словамі, для нуля не існуе адваротнага ліку ў прасторы комплексных лікаў. Але гэта магчыма на пашыранай камплекснай плоскасці.
* Пры ўзвядзенні любога ліку, акрамя нуля, ў нулявую ступень па азначэнні атрымліваецца 1: n^0 = 1, пры n \neq 0.

### Абагульненні 
Аналаг нуля можна ўвесці ў любым мностве, на якім вызначана аперацыя складання; у вышэйшай алгебры такі элемент называецца **нейтральным элементам** (або, у залежнасці ад умоўнай назвы групавой аперацыі, **адытыўным нулём**, ці **мультыплікатыўнай адзінкай**). Часцей за ўсё выкарыстоўваецца рэчаісны нуль, г.зн. нуль у кантэксце мноства рэчаісных лікаў. Іншыя распаўсюджаныя варыяцыі:
* Нулявая матрыца
* Нуль-вектар
* Пункт (як нульмерны аб'ект, ці нульмерная прастора)
* Нулявы мнагачлен

## Адносіны да натуральных лікаў 
Існуюць два падыходы да вызначэння натуральных лікаў — адны аўтары адносяць нуль да натуральных лікаў, іншыя — не. У краінах былога СССР (у тым ліку, і Беларусі) у школьных праграмах па матэматыцы не прынята адносіць нуль да натуральных лікаў (бо натуральнымі лікамі там азначаюцца як лікі, якія выкарыстоўваюцца пры лічэнні, а 0 пры лічэнні не выкарыстоўваецца), хоць гэта абцяжарвае некаторыя фармулёўкі (напрыклад, прыходзіцца адрозніваць дзяленне з астачай і дзяленне без астачы).

## Ужыванне 
### У матэматыцы 
* Нулявы лік Фібаначы, нулявы лік Мерсена, нулявы трохвугольны лік і г. д.
* 0! (Нуль фактарыял) вызначаецца як 1.
* Становішчы 0 і 360 градусаў супадаюць
* Нуль функцыі

; Нявызначанасці з удзелам нуля
У матэматычным аналізе магчыма 7 нявызначаных сітуацый, у 4 з якіх фармальна прысутнічае нуль (ён абазначае бесканечна малую велічыню):

І цалкам вызначаная сітуацыя, калі разглядаецца граніца бесканечна малой велічыні (справа ці злева):
:* Правая граніца: \lim_{x \to 0+0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty &emsp; ці &emsp; \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} 0+0]{} +\infty
:* Левая граніца: \lim_{x \to 0-0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty &emsp; ці &emsp; \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} 0-0]{} -\infty

### У фізіцы 
* Абсалютны нуль тэмпературы.

### У іншых галінах 
* ASCII — код кіруючага сімвала `NULL`.
* Нулявога года ў юліянскім і Грыгарыянскім календары няма, гэтак жа, як няма нулявога дня ў годзе і нулявога дня ў месяцы. Аднак існуе , у якім нулявы год ёсць.
* Нулявы кіламетр.

## Гісторыя 
### Старажытны Блізкі Усход 
Старажытныя егіпецкія лічбы былі дзесятковымі. Іерогліфы выкарыстоўваліся ў якасці лічбаў у . К 1770 г. да н.э. у егіпцян з’явіўся сімвал нуля ў гаспадарчых тэкстах. Сімвал , што значыць прыгожы, выкарыстоўвалі яшчэ і для абазначэння базавага ўзроўню на малюнках магільняў і пірамід, ад якога адмяраліся ўсе адлегласці зверху і знізу.

К сярэдзіне 2-га тысячагоддзя да н.э.  мела складаную  сістэму злічэння. Адсутнасць пазіцыйнага значэння пазначалася прабелам паміж шасцідзесятковымі лічбамі. На таблічцы, раскапанай у Кішы (якая датуецца яшчэ 700 г. да н. э.), перапісчык Бел-бан-аплу выкарыстаў тры кручкі замест прабелу ў той жа . К 300 г. да н.э. знак двух нахіленых кліноў ужываўся ў якасці запаўняльніка.

### Дакалумбава Амерыка 
, распрацаваны ў паўднёва-цэнтральнай частцы Мексікі і Цэнтральнай Амерыцы, патрабаваў выкарыстання нуля ў якасці запаўняльніка ў сваёй  пазіцыйнай сістэме злічэння. Многія гліфы, у тым ліку частковы , выкарыстоўваліся ў якасці нулявога сімвала для запісу дат, найраннейшы з якіх (на Стэле 2 у Ч’япа-дэ-Корса, Ч’япас) датуецца 36 г. да н.э.

Восем найраннейшых дат доўгага падліку з’яўляюцца па-за межамі рассялення мая, таму звычайна ўважаецца, што выкарыстанне нуля ў Амерыцы пачалося раней за мая і, магчыма, было вынаходніцтвам альмекаў. Многія з ранніх дат доўгага падліку былі знойдзены ў асяродку рассялення альмекаў, хаця іх цывілізацыя знікла ў 4 стагоддзі да н.э., за некалькі стагоддзяў да найраннейшых вядомых дат доўгага падліку.

Нягледзячы на тое, што нуль стаў неад’емнай часткай  з пустой чарапахападобнай «формай панцыра», якая часта выкарыстоўвалася для адлюстравання лічбы «нуль», мяркуецца, што гэта не паўплывала на сістэмы злічэння Старога Свету.

Кіпу, прылада з шнуроў з вузламі, якая выкарыстоўвалася ў Імперыі Інкаў і папярэдніх грамадствах у рэгіёне Анд для запісу бухгалтарскіх і іншых лічбавых даных, адпавядае дзесятковай пазіцыйнай сістэме. Нуль прадстаўлены адсутнасцю вузла ў адпаведным становішчы.

### Класічная антычнасць 
Старажытныя грэкі не мелі сімвала для нуля (, вымаўляецца як «мідэн») і не выкарыстоўвалі лічбавы запаўняльнік для яго. Паводле матэматыка , старажытныя грэкі сапраўды пачалі карыстацца вавілонскім нулём для прац па астраноміі пасля 500 г. да н.э., прадстаўляючы яго малой грэчаскай літарай ό (о мікрон). Тым не менш, пасля выкарыстання вавілонскага нуля для астранамічных разлікаў яны звычайна пераводзілі лічбы назад у грэчаскія
.

Грэкі, здаецца, не былі ўпэўненыя ў статусе нуля як ліку. Некаторыя з іх задаваліся пытаннем: «Як небыццё можа быць?», што прывяло да філасофскіх, а ў перыяд сярэднявечча і рэлігійных аргументаў аб прыродзе і існаванні нуля і вакууму.  Зянона Элейскага шмат у чым грунтуюцца на няпэўнай інтэрпрэтацыі нуля.

К 150 г. нашай эры Пталемей пад уплывам Гіпарха і вавілонян выкарыстоўваў сімвал нуля \overline{\circ} у сваёй працы па тэарэтычнай астраноміі пад назвай Syntaxis Mathematica, таксама вядомай як Альмагест. Гэты эліністычны нуль быў, мабыць, самым раннім дакументальна пацверджаным выкарыстаннем лічбы, якая прадстаўляе нуль, у Старым Свеце. Пталамей шмат разоў выкарыстоўваў яго ў сваім Альмагесце (VI.8) для апісання сонечных і месячных зацьменняў.

Самае ранняе выкарыстанне нуля пры  адбылося да 311 года н.э., у першым запісе ў табліцы , захаванай у эфіопскім дакуменце за 311—369 гады, з выкарыстаннем  слова для «нішто» разам з геэзскімі лічбамі (на аснове грэчаскіх лічбаў). Табліца была перакладзена з эквівалентнай табліцы, апублікаванай  на . Тое ж фіксуецца ў 525 годзе ў эквівалентнай табліцы, пры перакладзе якой на лацінскую Дыянісій Малы ўжываў слова nulla ў адным шэрагу з рымскімі лічбамі. Калі дзяленне давала нуль у якасці рэшты, выкарыстоўваўся nihil, што азначае «нічога». Гэтыя сярэднявечныя нулі выкарыстоўвалі ўсе наступныя сярэднявечныя вылічальнікі Вялікадня. Ініцыял «N» выкарыстоўваў у якасці нулявога сімвала ў табліцы рымскіх лічбаў Беда Вялебны або яго калегі каля 725 г. н.э.

### Кітай 
 абнародавала , адным з якіх быў «〇» (сін); першапачаткова іерогліф абазначаў зорку, а пазней стаў выкарыстоўвацца для запісу нуля.

Нуль у той час разглядаўся не як лік, а як «пустая пазіцыя».  Цынь Цзюшаа 1247 года з’яўляецца найстарэйшым захаваным кітайскім матэматычным тэкстам, які выкарыстоўвае круглы сімвал для нуля. Кітайскія аўтары былі знаёмыя з ідэяй адмоўных лікаў у часы дынастыі Хань (2 стагоддзе нашай эры), як відаць у .

### Індыя 
 (прыблізна 3-е/2-е стагоддзі да н.э.), даследуючы метр санскрыцкіх вершаў, выкарыстоўваў двайковыя лікі ў выглядзе кароткіх і доўгіх складоў (апошнія роўныя па даўжыні двум кароткім складам) — запіс, падобны да азбукі Морзэ. Пінгала яўна выкарыстоўваў санскрыцкае слова  для абазначэння нуля. Сімвал нуля, вялікая кропка, якая, верагодна, з’яўляецца папярэднікам распаўсюджанага цяпер пустога сімвала, выкарыстоўваецца ў , практычным дапаможніку па арыфметыцы для гандляроў. У 2017 годзе радыевугляроднае датаванне паказала, што тры ўзоры з рукапісу паходзяць з трох розных стагоддзяў: з 224—383, 680—779 і 885—993 гг. н.э. Невядома, якім чынам фрагменты берасцянай кары розных стагоддзяў, якія складалі рукапіс, былі ўкладзеныя разам.

, джайнісцкі тэкст па касмалогіі 458 г. н.э. (эра Сака 380), што захаваўся ў сярэднявечным санскрыцкім перакладзе з пракрыту, выкарыстоўвае дзесятковую  сістэму з нулём. У гэтым тэксце шунья («пусты») таксама выкарыстоўваецца для абазначэння нуля.

 (каля 500 г.) сцвярджае, што «ад месца да месца кожнае ў дзесяць разоў перавышае папярэдняе».

Правілы, якія рэгулююць выкарыстанне нуля, з’явіліся ў  Брахмагупты (7-е стагоддзе), дзе гаворыцца, што сума нуля з самім сабой роўная нулю, і згадваецца дзяленне нуля і :

Першае вядомае выкарыстанне гліфа нуль у сучасным выглядзе маленькага круга, знойдзена на каменным надпісе ў храме , Гваліёр, у Індыі, датаваным 876 г.

### Сярэднявечча 
#### З'яўленне ў ісламскім свеце 
Арабскамоўная навука збольшага грунтавалася на грэчаскай з індускімі ўплывамі. У 773 годзе на загад  былі зробленыя пераклады многіх старажытных трактатаў, у тым ліку грэчаскіх, рымскіх, індыйскіх і іншых.

У 813 г. н.э. персідскі матэматык Мухамад Аль-Харэзмі падрыхтаваў астранамічныя табліцы, у якіх карыстаўся індыйскімі лікамі. Гэтая кніга была перакладзена на лаціну ў XII ст. пад назвай *Algoritmi de numero Indorum* (Аль-Харэзмі пра лікі індыйцаў). Слова "Algoritmi" было перакладчыцкай лацінізацыяй імя Аль-Харэзмі, і з тых пор пачало набываць значэнне якой-кольвек арыфметычнай працэдуры.

#### З'яўленне ў Еўропе 
Дзесятковая  патрапіла ў Заходнюю Еўропу ў XI ст. праз Аль-Андалус ад іспанскіх мусульман, маўраў, разам з класічнай астраноміяй і такімі інструментамі як астралябія. Вяртанне забытай навукі ў каталіцкую Еўропу прыпісваецца Герберту Арыльякскаму. З гэтай прычыны лічбы сталі вядомыя ў Еўропе як "арабскія лічбы". Італьянскі матэматык Фібаначы, або Леанарда Пізанскі, адыграў важную ролю ў распаўсюдзе сістэмы лікаў у Еўрапейскай матэматыцы, напісаўшы ў 1202 г.:

Пасля прызначэння майго бацькі на радзіме дзяржаўным чыноўнікам на мытні Буджа для пізанскіх гандляроў, якія тоўпіліся ля яе, ён узяў на сябе кіраўніцтва; і для карысці і зручнасці, перавёз мяне малога да сябе і хацеў, каб я прысвяціў сябе і быў навучаны лічэнню некаторы час. Там, пасля майго знаёмства, як следства цудоўнага навучання майстэрству, з дзевяццю лічбамі індусаў, гэтае майстэрства вельмі спадабалася мне перад усімі іншымі, і я зразумеў, што ўсе яго аспекты вывучаліся ў Егіпце, Сірыі, Грэцыі, Сіцыліі і Правансе з іх рознымі метадамі. Я працягваў паглыбленае вывучэнне і навучыўся кампрамісам у спрэчках. Але нават усё гэта, і алгарызм, як і майстэрства Піфагора, я лічыў ледзь не памылкай у параўнанні з метадам індусаў (Modus Indorum). Дзеля таго я больш строга прытрымліваўся гэтага індускага метаду і больш рупліва стараўся яго вывучаць, адначасова дадаючы некаторыя рэчы з майго ўласнага разумення і ўстаўляючы таксама некаторыя рэчы з тонкасцей геаметрычнага майстэрства Эўкліда. Я імкнуўся скласці гэтую кнігу як мага больш зразумелай, падзяліўшы яе на пятнаццаць раздзелаў. Амаль усё, што я прадставіў, я паказаў з дакладнымі доказамі, каб тыя, хто далей паглыбляецца ў гэтую навуку з яе найвыдатнейшым метадам, маглі атрымаць інструкцыі, а таксама каб лацінскі народ не быў пазбаўлены яе, як да гэтага часу. Калі я выпадкова прапусціў што-небудзь больш-менш належнае або неабходнае, прашу паблажлівасці, бо няма нікога, хто быў бы беззаганным і цалкам прадбачлівым ва ўсім. Дзевяць індыйскіх лічбаў: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. З дапамогай гэтых дзевяці лічбаў і са знакам 0 ... можа быць запісаны любы лік.

Тут Леанарда Пізанскі піша "знак 0" маючы на ўвазе што ён падобны да знакаў арыфметычных дзеянняў, такіх як складанне і множанне. З XIII ст. у Еўропе становяцца папулярнымі падручнікі па лічэнні (складанне, множанне, караняванне і інш.), якія называліся  паводле персідскага матэматыка Аль-Харэзмі. Найвядомейшы падручнік быў напісаны  каля 1235 г. і ў 1488 г. стаў адной з першых надрукаваных навуковых кніг. Да канца XV-га стагоддзя сярод матэматыкаў, падобна, пераважалі інда-арабскія лічбы, у той час як гандляры аддавалі перавагу рымскім. У XVI стагоддзі арабскія лічбы сталі шырока ўжывацца ў Еўропе.

У Еўропе доўгі час нуль лічыўся ўмоўным знакам і не прызнаваўся лікам. Нават у XVII стагоддзі Валіс пісаў: «Нуль не ёсць лік». У арыфметычных працах адмоўны лік тлумачыўся як доўг, а нуль — як сітуацыя поўнага спусташэння. Поўнаму ўраўнаванню яго ў правах з іншымі лікамі асабліва спрыялі працы Леанарда Эйлера.

## Гл. таксама 
* -0 і +0 — фіктыўныя паняцці ў матэматычным аналізе.
* Машынны нуль
* Лічба 0
* Адмоўны лік
* Дзельнік нуля
* Лік 1 — мультыплікатыўная адзінка

## Заўвагі 
## Крыніцы 
## Спасылкі 
* История нуля
* Почему нельзя делить на ноль? 
* Символика чисел (нуль)  /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
* О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто»  Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
* Свойства числа ноль 

Катэгорыя:Лікі з уласнымі імёнамі
*0