Бра і кет

**Бра** і **кет** ( - дужка) — алгебраічны фармалізм (сістэма абазначэнняў), прызначаны для апісання квантавых станаў. Называется таксама *абазначэннямі* *Дырака*. У матрычнай механіцы такая сістэма абазначэнняў з'яўляецца агульнапрынятай.

## Азначэнне і выкарыстанне 
У квантавай механіцы стан сістэмы апісваецца променем (напрамкам) у сепарабельнай гільбертовай прасторы, ці, што эквівалентна, элементам праектыўнай гільбертавай прасторы  \mathcal{H}, элементы якой завуцца «вектары стана» (*«кет-вектары»*) і пазначаюцца сімвалам |\psi\rangle.

Кожнаму кет-вектару |\psi\rangle ставіцца ў адпаведнасць *бра-вектар* з прасторы, сапружанай да \mathcal{H}, гэта значыць з \mathcal{H}^*. 

Бра-вектар \langle \psi | з прасторы \mathcal{H}^*азначаецца раўнаннем:

\langle\psi|\colon \mathcal H \to \mathbb{C}\colon \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \left( |\psi\rangle,\; |\rho\rangle \right) для любога кет-вектара |\rho\rangle.  

Вольна кажучы, у нейкім сэнсе бра-вектары «супадаюць» з адпаведнымі ім камплексна-сапружанымі кет-вектарамі. Пры гэтым звычайна адбываецца атаясамленне вектараў і функцыяналаў над вектарамі са слупкамі ці радкамі каардынат разлажэння іх па адпаведным базісе \mathcal{H}^*ці \mathcal{H}. 

Скалярны здабытак бра-вектара з кет-вектарам (а больш дакладна, дзеянне бра-вектара на кет-вектар) запісваецца у выглядзе \langle \varphi |\psi\rangle; дзве вертыкальныя рысы «зліваюцца», а дужкі не пішуцца. Квадрат вектара, па вызначэнні гильбертовай прасторы, неадмоўны: \langle \psi |\psi\rangle \geqslant 0. На вектары, што апісваюць станы сістэмы, накладаецца ўмова нарміроўкі\langle \psi |\psi\rangle = 1. 

## Лінейныя аператары 
Калі A\colon H\to H — лінейны аператар з H у H, то дзеянне аператара A на кет -вектар |\psi\rangle запісваецца як  A|\psi\rangle. 

Для кожнага аператара A і бра-вектара \langle\varphi| уводзіцца  функцыянал (\langle\varphi|A) з прасторы \mathcal{H}^*, гэта  значыць бра-вектар, памножаны на аператар A, што азначаецца роўнасцю:

:: \bigg(\langle\varphi|A\bigg) \; |\psi\rangle = \langle\varphi| \; \bigg(A|\psi\rangle\bigg), для любого вектара |\psi\rangle. 

Паколькі месцазнаходзанне дужак не мае значэння, іх звычайна прыбіраюць і пішуць проста \langle\varphi| A|\psi\rangle. 

Гэтае выражэнне называется свёрткай аператара A з  бра-вектарам \langle \varphi | і кет-вектарам |\psi\rangle. Значэнне гэтага выражэння ёсць скаляр (камплексны лік).

У прыватнасці, матрычны элемент аператара A ў  акрэсленым базісе (у тэнзарных абазначэннях — A_{kl}) запісваецца у абазначэннях Дырака як \langle k| A| l\rangle, а сярэдняе значэнне назіраемай у квантавым стане \psi — як \langle\psi| A|\psi\rangle. 

Множанне вектараў на аператар (кет-вектара — злева, бра-вектара — справа) дае вектары таго ж тыпа і запісвается тым жа спосабам, што і ў лінейнай алгебры (гэта значыць, што бра- і кет-вектары атаясамліваюцца з вектарамі-радкамі і слупкамі, а аператары — з квадратнымі матрыцамі):

:  |\tilde\psi\rangle = A|\psi\rangle,
:  \langle \tilde\varphi | = \langle \varphi |A.

Ураўненне Шродзінгера (для стацыянарнага стана) будзе мець выгляд:

:  H|\psi\rangle = E|\psi\rangle, дзе H — гамильтаніян, а  E — скаляр (энергія стану).

## Адрозненні бра-кет-абазначэнняў ад традыцыйных 
У матэматыцы ўжываецца абазначэнне «эрмітавага» скалярнага здабытку \langle\varphi,\;\psi\rangle ў гільбертавай прасторы, якое мае той жа сэнс, што і перамнажэнне бра на кет. Аднак матэматыкі звычайна разглядаюць вуглавыя дужкі як знак аперацыі, а не часткі абазначэння вектара. Традыцыйнае матэматычнае абазначэнне, у адрозненне ад дыракаўскага, несіметрычнае — абодва вектары лічацца велічынямі аднаго тыпу, і па першым аргуменце з двух аперацыя з'яўляецца антылінейнай.

З іншага боку, здабытак бра і кет з'яўляецца білінейным, але ад двух аргументаў рознага тыпу. Сапружаным да кет-вектара i|\psi\rangle ёсць бра-вектар  -i \langle \psi | (дзе i — уяўная адзінка).  Аднак, у квантавай механіцы гэтую мудрагелістасць абазначэнняў дазваляецца ігнараваць, паколькі квантавы стан, прадстаўляемы вектарам, не залежыць ад множання вектара на любыя камплексныя лікі, па модулю роўныя адзінцы.

Акрамя таго, выкарыстанне бра і кет дазваляе падкрэсліць адрозненне *стана* \psi (запісваецца літарай без дужак і рысак) ад канкрэтных вектараў, што яго прадстаўляюць.

У адрозненне ад алгебраічных абазначэнняў, дзе элементы базісу пазначаюцца як e_k, у бра-кет-абазначэннях можа указвацца адзін толькі індэкс базіснага элемента, напрыклад: \langle k|\;,\;|l\rangle. Гэтым яны падобныя да тэнзарных абазначэнняў, але, у адрозненне ад апошніх, дазваляюць запісваць здабыткі аператараў з вектарамі без выкарыстання дапаўняльных (падтэкставых ці надрадковых) літар.

## Матэматычныя ўласцівасці 
Бра і кет можна выкарыстоўваць і ў чыстай матэматыцы для абазначэння элементаў сапружаных адна да адной лінейных прастораў. Калі, напрыклад, \mathcal{H}=R^n, то кет-вектары лічацца пры гэтым «вектарамі-слупкамі», а бра-вектары — «вектарамі-радкамі».

Перамнажэнне бра- і кет-вектараў адзін на аднаго і на аператары можна разглядаць як прыватны выпадак матрычнага фармалізму «радок на слупок». А менавіта, над трэба лічыць кет-вектары матрыцамі памеру N\times 1, бра-вектары — памеру 1\times N, аператары — памеру N\times N, дзе N — колькасць станаў квантавай сістэмы (размернасць прасторы \mathcal{H}). Матрыцы памеру  маюць адзіны элемент і атаясамляюцца са скалярамі. У выпадку бясконцамернае прасторы станаў на «матрыцы» (фактычна рады) даводзіцца накладаць дадатковыя ўмовы збежнасці.

Формула для сапружанага вектара выглядае наступным чынам:

Запіс тыпа \langle \ldots \rangle заўжды азначае скаляр. Бра-вектар заўжды мае дужку злева: \langle, кет-вектар —  дужку справа:  \rangle. Да таго ж, уводзіцца здабытак у «ненатуральным» парадку | \varphi\rangle \langle \psi | —  (аналагічна матрычнаму множанню вектара-слупка на вектар-радок), якое дае гэтак называемый *кет-бра-аператар*. Аператар |\psi\rangle \langle \varphi| мае ранг 1 і з'яўляецца тэнзарным здабыткам |\psi\rangle  і  \langle \varphi|. Такія аператары часта разглядаюцца ў тэорыі аператараў і квантавых вылічэннях. У прыватнасці, аператар |\psi\rangle \langle \psi| (пры ўмове нарміроўкі \langle \psi |\psi\rangle = 1) з'яўляецца праектарам на стан \psi, дакладней, на адпаведную аднамерную лінейную падпрастору ў \mathcal{H}. 

Мае месца асацыятыўнасць:

: \langle\varphi |\cdot A|\psi\rangle\ =\ \langle\varphi| A|\psi\rangle\ =\ \langle \varphi |A \cdot| \psi\rangle,
: |\psi\rangle\cdot\langle\varphi|\tilde\psi\rangle\ =\ (|\psi\rangle\langle\varphi|) \cdot| \tilde\psi\rangle.

## Літаратура 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

Катэгорыя:Тэнзарнае злічэнне
Катэгорыя:Квантавая механіка