Жарданава матрыца

**Жарданава матрыца** (нармальная жарданава форма) — адно з фундаментальных паняццяў лінейнай алгебры, якое мае вялікі лік прымяненняў у розных раздзелах матэматыкі і фізікі.

Жарданавай матрыцай называецца квадратная блокава-дыяганальная матрыца над полем \mathbb K, з блокамі выгляду

: J_\lambda=\begin{pmatrix}
\lambda & 1       & 0             & \cdots & 0       & 0      \\
0           & \lambda & 1             & \cdots & 0       & 0      \\
0           & 0       & \lambda       & \ddots & 0       & 0      \\
\vdots   & \vdots  & \ddots     & \ddots & \ddots  & \vdots \\
0           & 0       & 0             & \ddots & \lambda & 1      \\
0           & 0       & 0             & \cdots & 0       & \lambda \\\end{pmatrix},

пры гэтым кожны блок J_\lambda называецца жарданавай клеткай з уласным значэннем \lambda (уласныя значэнні ў розных блоках, наогул кажучы, могуць супадаць).

Згодна з тэарэмай аб жарданавай нармальнай форме, для адвольнай квадратнай матрыцы A над алгебраічна замкнёным полем \mathbb K (напрыклад, полем камплексных лікаў \mathbb K = \mathbb C) існуе квадратная нявыраджаная (гэта значыць адваротная, з вызначніком, які адрозніваецца ад нуля) матрыца C над \mathbb K, такая, што

: J=C^{-1}A\,C

з'яўляецца жарданавай матрыцай. Пры гэтым J называецца **жарданавай формай** (або **жарданавай нармальнай формай**) матрыцы A. У гэтым выпадку таксама кажуць, што жарданава матрыца J ў поле \mathbb K падобная (або спалучаная) дадзенай матрыцы A. І наадварот, у сілу эквівалентных суадносін

: A=CJC^{-1}

матрыца A падобная ў поле \mathbb K матрыцы J. Няцяжка паказаць, што ўведзеныя такім чынам адносіны падабенства з'яўляюцца адносінамі эквівалентнасці і разбіваюць мноства ўсіх квадратных матрыц зададзенага парадку над дадзеным полем на класы эквівалентнасці, якія не перасякаюцца. Жарданава форма матрыцы вызначана не адназначна, а з дакладнасцю да парадку жарданавых клетак. Дакладней, дзве жарданавыя матрыцы падобныя над \mathbb K ў тым і толькі ў тым выпадку, калі яны складзеныя з адных і тых жа жарданавых клетак і адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі размяшчэннем гэтых клетак на галоўнай дыяганалі.

## Уласцівасці 
* Колькасць жарданавых клетак парадку n з уласным значэннем \lambda ў жарданавай форме матрыцы A можна вылічыць па формуле
*: c_n(\lambda)=
\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n-1}
-2\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n}
+\operatorname{rank}(A-\lambda I)^{n+1},
: дзе I — адзінкавая матрыца таго ж парадку, што і A, сімвал \operatorname{rank} пазначае ранг матрыцы, а \operatorname{rank} (A-\lambda I)^0, па вызначэнні, роўны парадку A. Вышэйпрыведзеная формула вынікае з роўнасці

::: \operatorname{rank}(A-\lambda I) = \operatorname{rank}(J-\lambda I).

* У выпадку, калі поле \mathbb Kне з'яўляецца алгебраічна замкнёным, для таго каб матрыца A была падобная над \mathbb K некаторай жордановой матрыцы, неабходна і дастаткова, каб поле \mathbb K змяшчала ўсе карані характарыстычнага мнагачлена матрыцы A.
* У эрмітавай матрыцы ўсе жарданавы клеткі маюць памер 1.
* З'яўляецца матрыцай лінейнага аператара ў кананічным базісе.
* Жарданавы формы двух падобных матрыц супадаюць з дакладнасцю да парадку клетак.

## Гісторыя 
Такая форма матрыцы разглядалася адным з першых Жарданам.

## Варыяцыі і абагульненні 
* Над полем рэчаісных лікаў уласныя значэнні матрыцы (гэта значыць карані характарыстычнага мнагачлена) могуць быць як рэчаіснымі, так і камплекснымі, прычым камплексныя ўласныя значэння, калі яны ёсць, прысутнічаюць парамі разам са сваімі камплексна спалучанымі: \lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta, дзе \alpha и \beta — рэчаісныя лікі, \beta \neq 0. У рэчаіснай прасторы такой пары комплексных ўласных значэнняў адказвае блок J_{\lambda_{1,2}}, і да згаданага вышэй выгляду жарданавых матрыц дадаюцца матрыцы, якія змяшчаюць таксама блокі выгляду J_{\lambda_{1,2}}, якія адказваюць парам камплексных уласных значэнняў:
:J_{\lambda_{1,2}}= \left( \begin{array}{ccccccccccc}
\alpha      & \beta   & 1          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
-\beta      & \alpha  & 0          & 1             & 0            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
0           & 0       & \alpha     & \beta         & 1            & 0           & \cdots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
0           & 0       & -\beta     & \alpha        & 0            & 1           & \ddots        & 0       & 0       & 0       & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & \alpha  & \beta   & 1       & 0\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & -\beta  & \alpha  & 0       & 1\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0 & 0       & \alpha  & \beta\\
0           & 0       & 0          & 0             & 0            & 0           & \cdots        & 0 & 0       & -\beta  & \alpha\\
\end{array}\right).

* Тэарэма аб жарданавай нармальнай форме з'яўляецца прыватным выпадкам тэарэмы аб структуры канечнаспароджаных модуляў над абласцямі галоўных ідэалаў. Сапраўды, класіфікацыя матрыц адпавядае класіфікацыі лінейных аператараў, а вектарныя прасторы над полем \mathbb K з фіксаваным лінейным аператарам біектыўна адпавядаюць модулям над кальцом мнагачлена \mathbb K [x] (множанне вектара на x задаецца як прымяненне лінейнага аператара) .
* Акрамя жарданавай нармальнай формы, разглядаюць шэраг іншых тыпаў нармальных форм матрыцы (напрыклад, фробеніўсава нармальная форма). Да іх разгляду звяртаюцца, у прыватнасці, калі асноўнае поле не змяшчае ўсіх каранёў характарыстычнага мнагачлена дадзенай матрыцы.

## Літаратура 
* 
* *Гантмахер Ф. Р.* Теория матриц. — : Наука, 1966. — 576 с.
* *Хорн Р. (Roger A. Horn), Джонсон Ч. (Charles C. Johnson).* Матричный анализ. — : Мир, 1989, 655 с., ил. (ISBN 5-03-001042-4).
* *Гельфанд И. М.* Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
* *Фаддеев Д. К.* Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
* *Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.* Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
* *Ким, Г. Д.* Линейная алгебра и аналитическая геометрия, Москва, 2005.
* *В. В. Колыбасова, Н. Ч. Крутицкая, А. В. Овчинников.* Жорданова форма матрицы оператора 
* *P. Aluffi.* Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.

Катэгорыя:Лінейная алгебра
Катэгорыя:Тыпы матрыц