Задача двух цел

У класічнай механіцы, **задача двух цел** заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з’яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

й, якія рухаюцца вакол агульнага цэнтра мас па эліптычных арбітах.]]

 — Харон.]]

## Пастаноўка задачы 
Няхай \mathbf{x}_{1} і \mathbf{x}_{2} радыус-вектары двух цел, а m_{1} і m_{2} іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю \mathbf{x}_{1}(t) і \mathbf{x}_{2}(t) для любога часу t, пры зададзеных пачатковых каардынатах
: \mathbf{x}_{1}(t=0), \mathbf{x}_{2}(t=0)
і хуткасцях
: \dot{\mathbf{x}}_{1}(t=0), \dot{\mathbf{x}}_{2}(t=0).

Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што

: \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (1)
: \mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (2)
дзе
: \mathbf{F}_{12} — сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам,
: \mathbf{F}_{21} — сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага.

Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. «Складанне» раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, «адыманне» раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар \mathbf{r} \equiv \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2} паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый \mathbf{x}_{1}(t) и \mathbf{x}_{2}(t).

### Рух цэнтра мас (першая задача) 
Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці
: 
m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2} = (m_{1} + m_{2})\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0,

дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}, і дзе
: \mathbf{x}_{cm} \equiv \frac{m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2}}{m_{1} + m_{2}}
становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд
: 
\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = 0.

Яно паказвае, што хуткасць \dot{\mathbf{x}}_{cm} цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс m_{1}\dot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\dot{\mathbf{x}}_{2} таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

### Адносны рух (другая задача) 
Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання
: 
\ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = 
\left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12},

дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана \mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21} і \mathbf{r} (азначаны вышэй) — вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі \mathbf{r}, а не абсалютных радыус-вектараў \mathbf{x}_{1} і \mathbf{x}_{2}; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:
: 
\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r}),

дзе \mu -**прыведзеная маса**
: 
\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}.

Як толькі мы знойдзем рашэнне для \mathbf{x}_{cm}(t) і \mathbf{r}(t), першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе
: 
\mathbf{x}_{1}(t) = 
\mathbf{x}_{cm}(t) + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \mathbf{r}(t);

: 
\mathbf{x}_{2}(t) = 
\mathbf{x}_{cm}(t) - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \mathbf{r}(t) 

як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для \mathbf{x}_{cm}(t) і \mathbf{r}(t).

## Рашэнне задачы двух цел 
Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць
: m_1\ddot{\mathbf{r}}_1 + m_2\ddot{\mathbf{r}}_2 = 0.

Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем
: m_1\dot{\mathbf{r}}_1 + m_2\dot{\mathbf{r}}_2 = \mathbf{a};
: m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2 = \mathbf{a}t + \mathbf{b},
дзе **a** і **b** — некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз **r** становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і *M* — іх агульную масу:
: ~M = m_1 + m_2;
: ~M\mathbf{r} = m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2,
атрымаем
: ~M\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{a},
гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам
: ~
\ddot{\mathbf{r}}_1 = Gm_2\frac{\mathbf{r}}{r^3};\;\;\;
\ddot{\mathbf{r}}_2 = -Gm_1\frac{\mathbf{r}}{r^3}, &nbsp;&nbsp;&nbsp; где &nbsp;&nbsp;&nbsp; ~\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1.

Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем
: ~\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{\mu\mathbf{r}}{r^3}, &nbsp;&nbsp;&nbsp; где &nbsp;&nbsp;&nbsp; ~\mu = G(m_1+m_2). \;\;\; (1)

Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на **r** і інтэгруючы, атрымаем
: ~\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} = 0;
: ~\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{h}.

Пастаянны вектар **h**, які з’яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат **r**,**?**, **z**. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як **i**, **j** і **k**. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць
: ~\dot{\mathbf{r}}_r = \mathbf{i}\dot r;
~~~\dot{\mathbf{r}}_\phi = \mathbf{j}r\dot\phi,
~~~\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{i}\dot r + \mathbf{j}r\dot\phi.
Тады
: ~\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{h};
: ~\mathbf{i}r \times (\mathbf{i}\dot r + \mathbf{j}r\dot\phi) = \mathbf{k}h;
: ~\mathbf{i}r \times \mathbf{j}r\dot\phi = \mathbf{k}h;
: ~\mathbf{k}r^2\dot\phi = \mathbf{k}h;
: ~r^2\dot\phi = h.

У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам **r** за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з’яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем

{{Hider|
  title = Падрабязны вывад|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =

:~\dot{\mathbf{r}}\cdot\ddot{\mathbf{r}} = -\mu\frac{\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}}{r^3};

Распішам апошні выраз у каардынатах:

:~
\frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} +
\frac{dy}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} =
-\frac{\mu}{\sqrt{\left( x^2+y^2\right)^3}}
\left(
x\frac{dx}{dt} +
y\frac{dy}{dt}
\right);

:~
\frac{dx}{dt}d\left(\frac{dx}{dt}\right)  +
\frac{dy}{dt}d\left(\frac{dy}{dt}\right)  =
-\frac{\mu\left( xdx+ydy \right)}{\sqrt{\left( x^2+y^2\right)^3}}.

Памецім, што
:~
d\left(r^2\right)=d\left(x^2+y^2\right)=2xdx+2ydy.

Тады
:~
\frac{dx}{dt}d\left(\frac{dx}{dt}\right)  +
\frac{dy}{dt}d\left(\frac{dy}{dt}\right)  =
-\frac{\mu}{2}\left(r^2\right)^{-3/2}d\left(r^2\right).

Інтэгруючы абедзве часткі, атрымаем

:~
\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2
+\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 
-\frac{\mu}{2}\frac{\left(r^2\right)^{-1/2}}{-1/2} + C;

:~\frac{v^2}{2} = \frac{\mu}{r} + C;

}}

: ~\frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r} = C.

Апошні стасунак з’яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

## Рух двух цел у плоскасці 
Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс \mathbf{p} = \mu \dot{\mathbf{r}} і момант імпульсу
: 
\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}

Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы \mathbf{N}
: 
\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \dot{\mathbf{r}} \times \mu\dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \mu\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{N},

але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць \mathbf{F} || \mathbf{r}. Адсюль \mathbf{r} \times \mathbf{F} = 0 і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння \mathbf{r} і хуткасць яго змянення \dot{\mathbf{r}} ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара \mathbf{L}.

## Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці 
Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла \mathbf{F}(\mathbf{r}) ёсць функцыяй радыуса r. А раз r-кампанента паскарэння раўняецца \ddot{r} - r \dot{\theta}^{2}, ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння \mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(r) \equiv F(r) можна перапісаць у выглядзе
: 
\mu\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \mu r \omega^{2} = 
\mu\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = F(r),

дзе \omega \equiv \dot\theta і момант імпульсу L = \mu r^{2}\omega захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі r(\theta), выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад t да \theta

: 
\frac{d}{dt} = \frac{L}{\mu r^{2}} \frac{d}{d\theta}

атрымаем ўраўненне руху

: 
\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{\mu r^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = F(r)

Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных u \equiv \frac{1}{r} і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на \frac{\mu r^{2}}{L^{2}} = \frac{\mu}{L^{2} u^{2}}

: 
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{\mu}{L^{2}u^{2}}  F(1/u)

### Прымяненне 
Для сіл F, адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем
: 
F = \frac{\alpha}{r^{2}} = \alpha u^{2}

для некаторых канстант \alpha, ўраўненне для траекторый становіцца лінейным

: 
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = \frac{\alpha \mu}{L^{2}}

Рашэнне гэтага ўраўнення

: 
u(\theta) \equiv \frac{1}{r(\theta)} = \frac{\alpha \mu}{L^{2}} + A \cos(\theta - \theta_{0}),

дзе A>0 і \theta_{0} — пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго A меншая за выраз \frac{\alpha \mu}{L^{2}}, большая ці роўная яму.

## Задача двух цел у АТА 
Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць — іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел — там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб’екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю — і гэтак далей.

## Прыклад 
Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.. Пры гэтым варта не губляць з ўвазе, што з’яўляецца рызыка страты патрэбнай дакладнасці разлікаў пры злоўжыванні гэтым спрашчэннем. У прыватнасці, знаходжанне месца цэнтра кручэння ў больш масіўным целе расплывісте, у рэаліях яшчэ патрэбен ўлік іншых целаў і палёў. Патрэбен папярэдні аналіз, асабліва пры разліку устояных і стацыянарных арбіт: шматразовае кручэнне непазбежна назапасіць недакладнасці да непрымальнай велічыні памылкі.

## Гл. таксама 
* Законы Кеплера
* Задача Бертрана
* Задача трох цел
* Гравітацыйная задача N цел

## Літаратура 
* Курс тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца
* H. Goldstein, (1980) *Classical Mechanics*, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

Катэгорыя:Нябесная механіка
Катэгорыя:Класічная механіка