Непарыўны дроб

**Непары́ўны дроб** (або **ланцуго́вы дроб**) — гэта матэматычны выраз віду
: [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;
дзе  ёсць цэлы лік, і ўсе астатнія  — натуральныя лікі (дадатныя цэлыя).

Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе непарыўнага дробу (канечнага ці бесканечнага).
Лік можна прадставіць канечным ланцуговым дробам , калі ён рацыянальны. Лік можна прадставіць перыядычным ланцуговым дробам тады і толькі тады, калі ён ёсць квадратычная ірацыянальнасць.

## Раскладанне ў непарыўны дроб 
Любы рэчаісны лік x можна прадставіць (канечным ці бесканечным, перыядычным ці неперыядычным) ланцуговым дробам [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], дзе
: a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,
: a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,
: \dots
: a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,
: \dots

дзе \lfloor x \rfloor абазначае  ліку x.

Для рацыянальнага ліку x гэта раскладанне абарвецца па дасягненні нулявога x_n для некаторага . У гэтым выпадку x прадстаўляецца канечным непарыўным дробам x = [a_0; a_1, \cdots, a_n].

Для ірацыянальнага x усе велічыні x_n будуць ненулявыя і працэс раскладання можна працягваць без канца. У гэтым выпадку x прадстаўляецца бесканечным ланцуговым дробам x = [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots].

Каб хутка раскласці рацыянальны лік у ланцуговы дроб, можна скарыстаць алгарытм Еўкліда.

## Падыходныя дробы 
*n*-ым **падыходным дробам** (або **падыходзячым дробам**) для ланцуговага дробу x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] называецца канечны ланцуговы дроб [a_0; a_1, \cdots, a_n]. Значэнне падыходнага дробу раўняецца некатораму рацыянальнаму ліку \frac{p_n}{q_n}. Падыходзячыя дробы з цотнымі нумарамі ўтвараюць нарастаючую паслядоўнасць, граніца якой роўная x. Аналагічна, падыходзячыя дробы з няцотнымі нумарамі ўтвараюць спадаючую паслядоўнасць, граніца якой таксама роўная x.

Эйлер вывеў  для вылічэння лічнікаў і назоўнікаў падыходных дробаў:
: p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};
: q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.
Такім чынам, велічыні p_n і q_n прадстаўляюцца значэннямі :
: p_n = K_{n+1}(a_0, a_1, \cdots, a_n)
: q_n = K_n(a_1, a_2, \cdots, a_n)

Паслядоўнасці \left\{p_n\right\} і \left\{q_n\right\} нарастаюць.

Лічнікі і назоўнікі суседніх падыходных дробаў звязаны суадносінамі:
: p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1},&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;&emsp;(1)
якія можна перапісаць у выглядзе
: \frac{p_n}{q_n} - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{q_{n-1} q_n}.
Адкуль вынікае, што
: \left|x - \frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\right| 

## Прыбліжэнне рэчаісных лікаў рацыянальнымі 
Непарыўныя дробы дазваляюць эфектыўна знаходзіць добрыя рацыянальныя прыбліжэнні рэчаісных лікаў. А іменна, калі рэчаісны лік x раскласці ў ланцуговы дроб, то яго падыходныя дробы будуць задавальняць няроўнасць
: \left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| 

Адсюль, сярод іншага, вынікае:
* падыходны дроб \frac{p_n}{q_n} з'яўляецца найлепшым прыбліжэннем для x сярод усіх дробаў, назоўнік якіх не пераўзыходзіць q_n;
*  любога ірацыянальнага ліку не меншая чым 2.

### Прыклады 
* Раскладзём лік \pi=3,14159265… у непарыўны дроб і падлічым яго падыходныя дробы:
*: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …
: Другі падыходны дроб 22/7 — гэта вядомае архімедава прыбліжэнне. Чацвёрты падыходны дроб 355/113 быў упершыю атрыман у .

* У тэорыі музыкі трэба адшукаць рацыянальнае прыбліжэнне для \textstyle\log_2 \frac {3}{2} \approx 0{,}585. Трэці падыходны дроб 7/12 дазваляе абгрунтаваць класічнае дзяленне актавы на 12 .

## Уласцівасці і прыклады 
* Любы рацыянальны лік можна прадставіць у выглядзе канечнага непарыўнага дробу двума спосабамі, напрыклад:
::  9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;
* **Тэарэма Лагранжа**: Лік прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага перыядычнага ланцуговага дробу тады і толькі тады, калі ён з'яўляецца ірацыянальным рашэннем квадратнага ўраўнення з цэлымі каэфіцыентамі.
: Напрыклад:
:: \sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]
:: залатое сячэнне \phi = [1;1,1,1,\dots]
* Для алгебраічных лікаў ступені, большай за 2, характар раскладанняў у непарыўны дроб невядомы. Напрыклад, нават для \sqrt[3]{2} невядома, ці канечная колькасць розных лікаў у яго раскладанні ().
* Для некаторых трансцэндэнтных лікаў можна знайсці простую заканамернасць. Напрыклад, для асновы натуральнага лагарыфма:
:: e - 1 = [1; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, \ldots, 1, 1, 2n-2, 1, 1, 2n, \ldots]
:для ліку
:: \operatorname{tg}\,1 = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, \ldots, 1, 2n+1, 1, 2n+3, \ldots]
* У ліку пі простай заканамернасці не відаць:
:: \pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, \dots]
* :  (акрамя мноства нулявой меры) рэчаісных лікаў існуе сярэдняе геаметрычнае каэфіцыентаў адпаведных ім ланцуговых дробаў, і яно роўнае .
* Тэарэма Маршала Хола. Калі ў раскладанні ліку x у непарыўны дроб, пачынаючы з другога элемента не сустракаюцца лікі, большыя за n, то кажуць, што лік x адносіцца да класа F(n). Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух лікаў з класа F(4) і ў выглядзе здабытку двух лікаў з класа F(4). У далейшым было паказана, што любы рэчаісны лік можна прадставіць сумаю трох лікаў з класа F(3) і сумаю чатырох лікаў з класа F(2). Колькасць неабходных складнікаў у гэтай тэарэме нельга паменшыць — для прадстаўлення некаторых лікаў названым спосабам меншай колькасці складнікаў недастаткова.

## Прыкладанні непарыўных дробаў 
### Тэорыя календара 
Пры распрацоўцы  неабходна знайсці рацыянальнае прыбліжэнне для ліку дзён у годзе, які роўны 365,2421988… Падлічым падыходныя дробы для дробнай часткі гэтага ліку:
: \frac{1}{4}; \frac{7}{29}; \frac{8}{33}; \frac{31}{128}; \frac{132}{545} \cdots
Першы дроб азначае, што раз у 4 гады трэба дабаўляць дадатковы дзень; гэты прынцып лёг у аснову юліянскага календара. Пры гэтым памылка ў 1 дзень набіраецца за 128 гадоў. Другое значэнне (7/29) ніколі не выкарыстоўвалася. Трэці дроб (8/33), г.зн. 8 высакосных гадоў за перыяд у 33 гады, быў прапанован Амарам Хаямам у XI ст. і даў пачатак , у якім памылка ў дзень набіраецца за 4500 гадоў (у грыгарыянскім — за 3280 гадоў). Вельмі дакладны варыянт з чацвёртым дробам (31/128, памылка ў суткі набіраецца толькі за 100000 гадоў) прапагандаваў нямецкі астраном Іаган фон Медлер (1864), аднак вялікай цікавасці ён не выклікаў.

### Рашэнне параўнанняў першай ступені 
Разгледзім :
: ax \equiv b \pmod m ,
дзе a,\ b зададзеныя, прычым можна лічыць, што a узаемна простае з m. Трэба знайсці x.

Раскладзём \frac{m}{a} у непарыўны дроб. Ён будзе канечны, і апошні падыходны дроб \frac{p_n}{q_n}=\frac{m}{a}. Падставім у формулу (1):
: m q_{n-1} - a p_{n-1} = (-1)^{n-1}.
Адсюль вынікае:
: a p_{n-1} \equiv (-1)^n \pmod m, &nbsp;ці: &nbsp;\ a (-1)^n p_{n-1} \equiv 1 \pmod m .
Вывад: клас вылікаў x \equiv (-1)^n p_{n-1} b \pmod m&nbsp; ёсць рашэнне зыходнага параўнання.

### Іншыя прыкладанні 
* Доказ ірацыянальнасці лікаў. Напрыклад, з дапамогаю ланцуговых дробаў была даказана ірацыянальнасць значэння дзэта-функцыі Рымана \zeta(3)
* Рашэнне ў цэлых ліках : \;x^2-n y^2=1\; і іншых .
* Вызначэнне заведама трансцэндэнтнага ліку (гл. )
* Алгарытмы фактарызацыі SQUFOF і CFRAC.
* Характарыстыка 
* Характарыстыка 

#### Уласцівасці залатога сячэння 
У непарыўным дробе залатога сячэння φ няма цэлых лікаў, большых за 1. Адсюль выцякае цікавы вынік: сярод рэчаісных лікаў лік φ — адзін з самых «цяжкіх» для прыбліжэння рацыянальнымі лікамі. Тэарэма Гурвіца сцвярджае, што любы рэчаісны лік  можна прыблізіць дробам  так, што
: \left| x - {m \over n}\right| 

Хоць практычна ўсе рэчаісныя лікі  маюць бесканечна многа прыбліжэнняў , значна бліжэйшых да , чым гэта верхняя мяжа, прыбліжэнні для φ (г.зн. лікі 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 і г. д.) на граніцы дасягаюць гэтай мяжы, утрымліваючы адлегласць амаль дакладна на {\scriptstyle{1 \over n^2 \sqrt 5}} ад φ, тым самым ніколі не даючы такога добрага прыбліжэння як, напрыклад, 355/113 для . Можна паказаць, што любы рэчаісны лік віду (*a*&nbsp;+&nbsp;*b*φ)/(*c*&nbsp;+&nbsp;*d*φ), дзе *a*, *b*, *c* і *d* — цэлыя лікі, такія што *ad*&nbsp;−&nbsp;*bc*&nbsp;=&nbsp;±1, мае такую ж уласцівасць, як і залатое сячэнне φ; а таксама, што ўсе астатнія рэчаісныя лікі можна прыблізіць намнога лепш.

## Гістарычная даведка 
 ўмелі прадстаўляць адносіны несувымерных велічынь у выглядзе ланцужка падыходных адносін, атрымліваючы гэты ланцужок з дапамогаю алгарытма Еўкліда. Відаць, іменна такім спосабам Архімед атрымаў прыбліжэнне \sqrt{3} \approx \frac {1351}{780} — гэта 12-ы падыходны дроб для \sqrt{3} ці \frac {1}{3} ад 4-га падыходнага дробу для \sqrt{27}.

У V стагоддзі індыйскі матэматык Арыябхата прымяняў падобны «метад здрабнення» для рашэння неазначальных ураўненняў першай і другой ступені. З дапамогаю гэтай жа тэхнікі было, мабыць, атрымана вядомае прыбліжэнне ліку \pi (355/113). У XVI стагоддзі  здабываў з дапамогаю ланцуговых дробаў квадратныя карані (гл. яго алгарытм).

Пачатак сучаснай тэорыі непарыўных дробаў даў у 1613 годзе П’етра Антоніа Катальдзі. Ён адзначыў іх асноўную ўласцівасць (гранічнае значэнне ляжыць паміж падыходнымі дробамі) і ўвёў абазначэнне, падобнае на сучаснае. Пазней яго тэорыю пашырыў Джон Валіс, які і прапанаваў тэрмін «*непарыўны дроб*». Раўназначны тэрмін «*ланцуговы дроб*» паявіўся ў канцы XVIII стагоддзя.

Прымяняліся гэтыя дробы найперш для рацыянальнага прыбліжэння рэчаісных лікаў; напрыклад, Хрысціян Гюйгенс выкарыстоўваў іх пры праектаванні зубчастых колаў свайго планетарыя. Гюйгенс ужо знаў, што падыходныя дробы заўсёды нескарачальныя і што яны даюць найлепшае рацыянальнае прыбліжэнне.

У XVIII стагоддзі тэорыю ланцуговых дробаў у агульных рысах завяршылі Леанард Эйлер і Жазеф Луі Лагранж.

## Гл. таксама 
* Алгарытм Еўкліда
* Лікі Фібаначы
* 
* 

## Зноскі 
## Літаратура 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*   
* 

Катэгорыя:Тэорыя лікаў
Катэгорыя:Непарыўныя дробы