Тэарэма Нётэр

**Тэарэма Эмі Нётэр** сцвярджае, што кожнай неперарыўнай сіметрыі фізічнай сістэмы адпавядае некаторы закон захавання.

Так, закон захавання энергіі адпавядае аднароднасці часу,

закон захавання імпульсу — аднароднасці прасторы,

закон захавання моманту імпульсу — ізатрапіі прасторы,

закон захавання электрычнага зараду — калібровачнай сіметрыі і г. д.

Тэарэма звычайна фармулюецца для сістэм, якія валодаюць функцыяналам дзеяння, і выражае сабой інварыянтнасць лагранжыяна адносна некаторай неперарыўнай групы пераўтварэнняў.

Тэарэма ўстаноўлена ў працах навукоўцаў Гётынгенскай школы Д. Гільберта, Ф. Клейна і Э. Нётэр. У найбольш распаўсюджанай фармулёўцы была даказана Эмі Нётэр ў 1918 годзе.

## Фармулёўка 
### Класічная механіка 
Кожнай аднапараметрычнай групе дыфеамарфізмаў g^s(q_i), якія захоўваюць функцыю Лагранжа, адпавядае першы інтэграл сістэмы, роўны
: I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}

У тэрмінах інфінітэзімальных пераўтварэнняў, хай інфінітэзімальнае пераўтварэнне каардынат мае выгляд
: g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q, t)
і функцыя Лагранжа L(q, \dot q, t) інварыянтная адносна гэтых пераўтварэнняў, гэта значыць
: \frac{d}{ds}L(\vec q_0 + s \vec \psi (\vec q, t), \dot {\vec q_0} + s \dot {\vec \psi} (\vec q, t), t) = 0
Тады ў сістэмы існуе першы інтэграл, роўны
: I = \left( \vec \psi (\vec q, t); \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right) = \sum^n_{i=1}\psi_i (\vec q, t) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}.
Тэарэму можна абагульніць на выпадак пераўтварэнняў, якія закранаюць таксама і час, калі прадставіць яе рух як працэс, што залежыць ад некаторага параметра \tau, прычым у працэсе руху t=\tau. Тады з пераўтварэнняў
: g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q, t)
: g^s(t) = t_0 + s \xi (\vec q, t)
вынікае першы інтэграл
: I = \xi L + \left( \vec \psi - \xi \dot {\vec q}; \frac{\partial L}{\partial \dot {\vec q}} \right)

### Тэорыя поля 
Тэарэма Нётэр дапускае прамое абагульненне на выпадкі сістэм з бесканечным лікам ступеней свабоды, прыкладам якіх з’яўляюцца гравітацыйнае і электрамагнітнае поле. А менавіта, няхай функцыя Лагранжа сістэмы залежыць ад n патэнцыялаў, якія залежаць, у сваю чаргу, ад k каардынат. Функцыянал дзеяння будзе мець выгляд

: S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k.

Няхай аднапараметрычная група g^s дыфеамарфізмаў прасторы патэнцыялаў захоўвае функцыю Лагранжа, тады захоўваецца вектар

: J^\mu = \left( \frac{d}{ds} g^s A^i \right) \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu A^i)},

званы **вектарам патоку Нётэр**. Па індэксах, якія паўтараюцца, падразумяваецца падсумоўванне, \partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}. Сэнс захавання вектара патоку Нётэр ў тым, што

: \ \partial_\mu J^\mu = 0,

таму паток J праз любую замкнёную паверхню ў прасторы каардынат роўны 0. У прыватнасці, калі вылучыць сярод каардынат адну, званую *часам*, і разгледзець гіперплоскасці пастаяннага часу, то паток J праз такую гіперплоскасць пастаянны ў часе, пры ўмове досыць хуткага змяншэння поля на бесканечнасці і некампактнай гіперпаверхні, каб паток вектара праз бакавую мяжу вобласці прасторы паміж дзвюма гіперпаверхнямі быў роўны 0. У класічнай тэорыі поля такой уласцівасцю валодае, напрыклад, тэнзар энергіі-імпульсу для электрамагнітнага поля. У вакууме лагранжыян поля не залежыць яўна ад каардынат, таму паяўляецца велічыня, якая захоўваецца і звязваецца з патокам энергіі-імпульсу.

### Дыферэнцыяльныя ўраўненні 
Хай маецца варыяцыйная задача з функцыяналам дзеяння S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x. Тут L — лагранжыян, x — незалежныя зменныя, u — залежныя зменныя, гэта значыць функцыі ад x. L можа залежаць таксама і ад вытворных u па x, не абавязкова толькі першага парадку.

Варыяцыйная задача для такога функцыянала прыводзіць да дыферэнцыяльных ураўненняў Эйлера — Лагранжа, якія можна запісаць у выглядзе

: \mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q,

дзе \mathrm{E} — аператары Эйлера-Лагранжа:

: \mathrm{E_\alpha}= \frac{\partial}{\partial u_\alpha}-\sum_{i=1}^{p} \frac{d}{d x_i}\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_{x_i}} + \dots,

u^{\alpha}_{x_i} — вытворная функцыі u^{\alpha} па зменнай x_i. Шматкроп’е азначае, што калі L залежыць ад вытворных парадку вышэй першага, то трэба дадаць адпаведныя складнікі ў \mathrm{E}. У кампактным запісе \mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J}, дзе J — мультыіндэкс. Сумаванне вядзецца па ўсіх складніках такіх, што вытворная u^{\alpha}_J ўваходзіць у L.

Тэарэма Нётэр звязвае так званыя варыяцыйныя сіметрыі функцыянала S з законамі захавання, якія будуць выконвацца на рашэннях ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

#### Законы захавання 
Закон захавання для сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў — гэта выраз выгляду

\mathrm{Div} \vec P =0,

які справядліў на рашэннях гэтай сістэмы, г. зн. такі, што калі падставіць у яго гэтыя дыферэнцыяльныя ўраўненні, атрымаецца тоеснасць. У дадзеным выпадку разглядаюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні Эйлера — Лагранжа. Тут \mathrm{Div} — поўная дывергенцыя (дывергенцыя з поўнымі вытворнымі) па x. \vec P — гладкія функцыі u, x і вытворных u па x.

Трывіяльнымі законамі захавання называюцца законы захавання,

* для якіх \mathrm{Div} \vec P =0 само па сабе з’яўляецца тоеснасцю без уліку якіх-небудзь дыферэнцыяльных ураўненняў;
* або для якіх \vec P ператвараецца ў 0 адразу пры падстаноўцы дыферэнцыяльных ураўненняў, без вылічэння дывергенцыі (захоўваецца тоесны нуль на рашэннях);
* або для якіх \vec P ёсць лінейная камбінацыя папярэдніх тыпаў.

Калі для двух законаў захавання з функцыямі \vec P і \vec R рознасць \vec P - \vec R дае трывіяльны закон захавання, такія два закона захавання называюцца эквівалентнымі.

Кожны закон захавання эквівалентны закону захавання ў характарыстычнай форме — гэта значыць такому, для якога

: \mathrm{Div} \vec P =\vec Q\cdot \vec \Delta,

дзе \Delta — выразы, якія ўваходзяць у вызначэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў: \vec \Delta=0. Для апісанага выпадку \Delta_\alpha=E_\alpha (L) і

: \mathrm{Div} \vec P =\sum_\alpha Q_\alpha E_\alpha (L).

Q_\alpha залежаць ад u, x і вытворных u па x і называюцца характарыстыкамі закона захавання.

#### Варыяцыйныя сіметрыі 
Хай маецца абагульненае вектарная поле

: \vec v=\sum_{i=1}^{p}\xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}+\sum_{\alpha=1}^{q}\varphi_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha}.

«Абагульненае» разумеецца ў тым сэнсе, што \xi і \varphi могуць залежаць не толькі ад u і x, але і ад вытворных u па x.

**Азначэнне:** \vec v называецца варыяцыйнай сіметрыяй функцыянала S, калі існуе набор функцый \vec\mathrm B(\vec u, \vec x,\dots ) такі, што

: \mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div} \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec \mathrm{B}.

\mathrm{pr}\, \vec v — працяг \vec v. Працяг ўлічвае, што дзеянне \vec v на u і x выклікае таксама інфінітэзімальную змену вытворных, і задаецца формуламі

: \mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr).

У формуле для працягу неабходна браць, акрамя \vec v, складнікі з такімі \partial /\partial u^\alpha_J, для якіх u^\alpha_J ўваходзяць у L або, у агульным выпадку, у той выраз, на які працяг дзейнічае.

Сэнс вызначэння варыяцыйнай сіметрыі заключаецца ў тым, што \vec v — гэта інфінітэзімальныя пераўтварэнні, якія ў першым парадку мяняюць функцыянал S такім чынам, што ўраўненні Эйлера — Лагранжа пераўтвараюцца ў эквівалентныя. Справядлівая

**тэарэма**: калі \vec v з’яўляецца варыяцыйнай сіметрыяй, то \vec v з’яўляецца (абагульненай) сіметрыяй ураўненняў Эйлера — Лагранжа:

:  \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L) \vert_{\vec \mathrm{E} (L)=0}=0.

Гэта формула азначае, што інфінітэзімальныя змены выразаў \mathrm{E}_\alpha (L), запісаныя тут у выглядзе \mathrm{pr}\, \vec v\, \mathrm{E}_\alpha (L), ператвараюцца ў 0 на рашэннях.

#### Характарыстыкі вектарных палёў 
Набор функцый Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i (у абазначэннях, дадзеных вышэй) завецца характарыстыкай вектарнага поля \vec v. Замест \vec v можна браць вектарнае поле

: \vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha},

якое называецца эвалюцыйным прадстаўніком \vec v.

\vec v і \vec v_Q вызначаюць па сутнасці адну і тую ж сіметрыю, таму, калі вядомыя характарыстыкі Q_\alpha, можна лічыць, што тым самым зададзена і сіметрыя. Працяг \vec v_Q вызначаецца аналагічна працягу \vec v, але фармальна прасцей, бо не трэба асобна ўлічваць ўклад ад \xi.

Тэарэма Нётэр ўстанаўлівае сувязь паміж характарыстыкамі законаў захавання і характарыстыкамі вектарных палёў.

#### Тэарэма Нётэр 
Абагульненае вектарнае поле \vec v вызначае групу сіметрыі функцыянала S у тым і толькі ў тым выпадку, калі яго характарыстыка \vec Q з’яўляецца характарыстыкай закона захавання \mathrm{Div} \vec P =0 для адпаведных ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

## Законы захавання 
У класічнай механіцы законы захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу выводзяцца з аднароднасці/ізатропнасці лагранжыяна сістэмы — лагранжыян (функцыя Лагранжа) не мяняецца з часам сам па сабе і не змяняецца пераносам або паваротам сістэмы ў прасторы. Па сутнасці, гэта азначае тое, што пры разглядзе нейкай замкнёнай у лабараторыі сістэмы будуць атрыманы адны і тыя ж вынікі незалежна ад размяшчэння лабараторыі і часу правядзення эксперыменту. Іншыя сіметрыі лагранжыяна сістэмы, калі яны ёсць, ці адпавядаюць іншым велічыням, што захоўваюцца ў дадзенай сістэме (інтэграле руху); напрыклад, сіметрыя лагранжыяна гравітацыйнай і кулонаўскай задачы двух цел прыводзіць да захавання не толькі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу, але і вектара Лапласа — Рунге — Ленца.

## Літаратура 
* *Арнольд В. И.* Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — : Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
* *Ибрагимов Н. Х.* Группы преобразований в математической физике. — : Наука, 280 с., 1983 г.

## Спасылкі 
* Пераклад артыкула Нётэр на англійскую
* Артыкул пра Тэарэму Нётэр, by John Baez 
* E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
* Тэарэма Нётэр на MathPages. 
* Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. 
* *Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G.* On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. **50** (2009) 012903; arXiv 0807.3003.

Катэгорыя:Тэарэтычная механіка
Катэгорыя:Тэорыя поля
Катэгорыя:Квантавая тэорыя поля
Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы
Катэгорыя:Законы захавання
Катэгорыя:Дыферэнцыяльныя ўраўненні