Гілель Фюрстэнберг

**Гілель (Гары) Фюрстэнберг** (нар. , ) — амерыкана-ізраільскі матэматык. Лаўрэат Абелеўскай прэміі і Прэміі Вольфа па матэматыцы. Член Нацыянальнай акадэміі навук ЗША (з 1989).

## Біяграфія 
Нарадзіўся ў Германіі, адкуль яго сям’я збегла ў 1939 годзе, неўзабаве пасля Крыштальнай ночы. Незадоўга да пачатку Другой сусветнай вайны яны пасяліліся ў Нью-Ёрку. Наведваў Талмудычную акадэмію Марша Стэрн, а затым Ешыва-ўніверсітэт. У 1955 годзе, ва ўзросце дваццаці гадоў, атрымаў ступень магістра. Яшчэ да выпуску, у 1953—1955 гадах, апублікаваў дзве працы па матэматыцы. Абедзве з’явіліся на старонках «American Mathematical Monthly». У працы «On the infinitude of primes» (1955) змяшчаецца тапалагічны доказ знакамітай тэарэмы Еўкліда аб бясконцай колькасці простых лікаў.

Вучыўся ў аспірантуры ў Прынстанскім універсітэце пад кіраўніцтвам . У 1958 годзе атрымаў доктарскую ступень (PhD). У 1959—1960 гадах працаваў у МІТ. З 1961 года выкладаў ва ўніверсітэце Мінесоты. У 1965 годзе пераехаў у Ізраіль і да 2003 года працаваў у Яўрэйскім універсітэце ў Іерусаліме (Інстытут матэматыкі імя Эйнштэйна). Быў членам Камітэта дарадцаў універсітэта імя Бен-Гурыёна ў Негеве. У 2003 годзе абедзве гэтыя ВНУ правялі ў гонар выхаду вучонага на пенсію чатырохдзённую канферэнцыю Furstenfest 2003 з чытаннем лекцый.

## Доказ бясконцасці простых лікаў па Фюрстэнбергу 
Зададзім тапалогію на цэлых ліках \mathbb{Z} наступным чынам: падмноства *U*&nbsp;⊆&nbsp;\mathbb{Z} будзем лічыць адкрытым (г. зн. элементам тапалогіі) у тым і толькі тым выпадку, калі яно або пустое, або з’яўляецца аб’яднаннем арыфметычных прагрэсій *S*(*a*, *b*) для *a*&nbsp;≠&nbsp;0, дзе

:S(a, b) = \{ a n  + b \mid n \in \mathbb{Z} \} = a \mathbb{Z} + b. 

Інакш кажучы, *U* адкрытае ў тым і толькі тым выпадку, калі для кожнага *x&nbsp;∈&nbsp;U* знойдзецца ненулявы цэлы лік *a* такі, што *S*(*a*, *x*)&nbsp;⊆&nbsp;*U*.

Лёгка праверыць, што выконваюцца аксіёмы тапалагічнай прасторы:

* Пустое мноства ∅ адкрытае паводле азначэння, а ўсё мноства \mathbb{Z} — гэта паслядоўнасць *S*(1, 0), таму яно таксама адкрытае.
* Любое аб’яднанне адкрытых мностваў адкрытае: разгледзім набор адкрытых мностваў *U**i*, хай *x* ляжыць у іх аб’яднанні *U*, тады можна ўзяць любы з лікаў *a**i*, для якіх выконваецца *S*(*a**i*, *x*)&nbsp;⊆&nbsp;*U**i*, каб упэўніцца, што таксама выконваецца *S*(*a**i*, *x*)&nbsp;⊆&nbsp;*U*.
* Перасячэнне двух (і, значыць, любога канечнага сямейства) адкрытых мностваў адкрытае: хай *U*1 і *U*2 — адкрытыя мноствы і *x*&nbsp;∈&nbsp;*U*1&nbsp;∩&nbsp;*U*2 (з адпаведнымі лікамі *a*1 і *a*2). Абазначым *a* найменшае агульнае кратнае *a*1 і *a*2. Тады *S*(*a*, *x*)&nbsp;⊆&nbsp;*S*(*a**i*, *x*)&nbsp;⊆&nbsp;*U**i*.

У гэтай тапалагічнай прасторы ёсць дзве важныя ўласцівасці:

# Любое непустое адкрытае мноства ўтрымлівае бясконцую паслядоўнасць, таму непустое канечнае мноства не можа быць адкрытым. Інакш кажучы, дапаўненне непустога канечнага мноства не можа быць замкнёным.
# Прагрэсіі *S*(*a*, *b*) з’яўляюцца адначасова адкрытымі і замкнёнымі: адкрытымі паводле азначэння, а замкнёнымі таму, што можна прадставіць *S*(*a*, *b*) як дапаўненне адкрытага мноства наступным чынам:

::: S(a, b) = \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{j = 1}^{a - 1} S(a, b + j).

Сярод цэлых лікаў толькі &minus;1 і +1 нельга прадставіць як здабытак цэлага ліку і простага ліку, адкуль

::: \mathbb{Z} \setminus \{ -1, + 1 \} = \bigcup_{p \mathrm{\, prime}} S(p, 0).

Паводле першай уласцівасці, мноства \mathbb{Z} \setminus \{ -1, + 1 \} не можа быць замкнёным. Паводле другой уласцівасці, мноствы *S*(*p*, 0) замкнёныя. Уявім сабе, што колькасць усіх простых лікаў канечная, тады аб’яднанне ўсіх *S*(*p*, 0) было б замкнёным, як канечнае аб’яднанне замкнёных мностваў. Атрымліваем супярэчнасць, з якой вынікае, што колькасць усіх простых лікаў бясконцая.

Катэгорыя:Матэматыкі Ізраіля
Катэгорыя:Матэматыкі ЗША
Катэгорыя:Матэматыкі XX стагоддзя
Катэгорыя:Матэматыкі XXI стагоддзя