Метад Рунгэ — Ромберга

**Метад Рунгэ — Ромберга** — спосаб удакладнення прыбліжаных значэнняў функцыі, атрыманых на сетцы вузлоў з дапамогай некаторых формул. Метад дазваляе павышаць парадак дакладнасці сеткавых формул без увядзення дадатковых вузлоў і ўскладнення саміх формул.

Адно з асноўных прымяненняў — павышэнне дакладнасці сеткавых метадаў лікавага рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў.

Метад даволі агульны і не залежыць ад выгляду формул прыбліжанага вылічэння.

Асноўная ідэя:
* вылічваецца рашэнне выбраным метадам з крокам ;
* а затым рашэнне з крокам  (як правіла, у якасці  бярэцца цэлы лік, часцей за ўсё 2);
* на аснове гэтых рашэнняў вылічваецца ўдакладненае рашэнне (з дапамогай простых арыфметычных дзеянняў з пагрэшнасці выключаецца член найменшага парадку, г.зн. найбольшы па абсалютнай велічыні).

## Апісанне метаду 
Ёсць некаторая функцыя , дзе  прымае значэнні з некаторай вобласці прасторы. Неабходна вылічыць значэнні функцыі  на вузлах раўнамернай рашоткі (сеткі) ў вобласці.

Няхай  — формула для прыбліжанага вылічэння функцыі  на вузлах раўнамернай сеткі з крокам , такая што для пагрэшнасці справядліва ацэнка:
:z(x) - \zeta(x,h) = \psi(x) h^p + O(h^{p+1}).

Адпаведна, калі ажыццявіць разлік па формуле  на раўнамернай сетцы з крокам , атрымаем:
:z(x) - \zeta(x,rh) = \psi(x) (rh)^p + O((rh)^{p+1}).

Заўважым, што  — некаторы пастаянны загадзя выбраны лік. Таму .

Выразім велічыню  з гэтых дзвюх роўнасцей, атрымаем *першую формулу Рунгэ*:
:\psi(x) h^p = \frac{\zeta(x,h) - \zeta(x, rh)}{r^p - 1} + O(h^{p+1}).
Першы складнік справа і ёсць галоўны член пагрэшнасці. Такім чынам, разлік на другой сетцы дазваляе ацаніць пагрэшнасць разліку на першай (з дакладнасцю да членаў вышэйшых парадкаў).

Падстаўляючы знойдзеную велічыню, атрымліваем *другую формулу Рунгэ*:
:z(x) = \zeta(x,h) + \frac{\zeta(x,h) - \zeta(x, rh)}{r^p - 1} + O(h^{p+1}),
якае дае прыбліжэнне функцыі  з большай дакладнасцю.

Такі спосаб павышэння дакладнасці называецца **метадам Рунгэ**.

## Абагульненне 
Метад Рунгэ абагульняецца на выпадак адвольнага ліку сетак. Няхай функцыя  мае дастаткова высокія непарыўныя вытворныя. Тады ў раскладаннях Тэйлара, на аснове якіх будуюцца прыбліжаныя формулы, можна браць больш членаў. Гэта дазваляе прадставіць пагрэшнасць у выглядзе рада:
:z(x) - \zeta(x,h) = \sum_{m\ge p} \psi_m(x) h^m.
Няхай разлік праведзены на  розных раўнамерных сетках з крокамі  , . Тады можна выключыць першыя  складнікаў пагрэшнасці. Для гэтага запішам выраз для  на кожнай з сетак у наступным выглядзе:
:z(x) - \sum_{m = p}^{p+q-2} \psi_m(x) h_j^m = \zeta(x,h_j) + O(h^{p+q-1}), \qquad 1\le j\le q,
тут улічана, што , дзе  — пастаянныя загадзя выбраныя лікі.

Разам гэтыя роўнасці ўтвараюць сістэму лінейных ураўненняў адносна велічынь  і . Развязваючы яе па правілу Крамера, атрымліваем **формулу Ромберга** для ўдакладненага значэння:
:z(x) =
\left|
\begin{array}{ccccc}
\zeta(x,h_1) & h_1^p & h_1^{p+1} & \dots & h_1^{p+q-2}\\
\zeta(x,h_2) & h_2^p & h_2^{p+1} & \dots & h_2^{p+q-2}\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\
\zeta(x,h_q) & h_q^p & h_q^{p+1} & \dots & h_q^{p+q-2}\\
\end{array}
\right|
\times
\left|
\begin{array}{ccccc}
1 & h_1^p & h_1^{p+1} & \dots & h_1^{p+q-2}\\
1 & h_2^p & h_2^{p+1} & \dots & h_2^{p+q-2}\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\
1 & h_q^p & h_q^{p+1} & \dots & h_q^{p+q-2}\\
\end{array}
\right|^{-1} + \ O(h^{p+q-1}).

Гэта формула дае павышэнне парадку дакладнасці выніку на  у параўнанні з зыходнаю формулай , г.зн. кожная наступная сетка дазваляе павысіць парадак дакладнасці на адзінку.

## Літаратура 
* 

* 

Катэгорыя:Лікавыя метады
Катэгорыя:Дыферэнцыяльныя ўраўненні