Ступенная функцыя

thumb|350px|Ступенныя функцыі з рознымі паказчыкамі ступені
**Ступе́нная**, або **ступе́невая функцыя** — функцыя выгляду y=x^a, дзе a (*паказчык*, або *паказчык ступені*) — некаторы рэчаісны лік. Да ступенных часта прылічваюць і функцыі выгляду y=kx^a, дзе *k* — нейкі множнік расцяжэння. Існуе таксама камплекснае абагульненне ступеневай функцыі. На практыцы паказчык ступені амаль заўсёды з’яўляецца цэлым ці рацыянальным лікам.

## Рэчаісная ступенная функцыя 
### Абсяг вызначэння 
* Калі паказчык ступені — цэлы лік, то ступенную функцыю можна вызначыць на ўсёй лікавай прамой (магчыма, акрамя нуля).
* Калі a=\frac{p}{q}, дзе p, q — узаемна простыя лікі, q>0 — няцотны, то ступенная функцыя таксама вызначана пры любых рэчаісных *x* (магчыма, акрамя нуля).
* У агульным выпадку ступенная функцыя вызначана толькі пры x>0 (у абсяг вызначэння можа ўваходзіць і нуль, гл. ніжэй).
* Калі a>0, то функцыя вызначана таксама і пры x=0.
* Пры a нуль ёсць асаблівым пунктам ступеннай функцыі.

### Рацыянальны паказчык ступені 
* Графікі ступеннай функцыі пры натуральным паказчыку *n* называюцца *парабаламі парадку n*. Пры a=1 атрымліваецца лінейная функцыя y=kx, называная *прамой прапарцыйнай залежнасцю*.
* Графікі функцый выгляду y=x^{-n}, дзе *n* — натуральны лік, называюцца *гіпербаламі парадку n*. Пры a=-1 атрымліваецца функцыя y=\frac {k}{x}, называная *адваротнай прапарцыйнай залежнасцю*.
* Калі a=\frac{1}{n}, то функцыя ёсць арыфметычным коранем ступені *n*.

Прыклад: з трэцяга закону Кеплера вынікае, што перыяд *T* абарачэння планеты вакол Сонца звязаны з вялікай паўвоссю *A* яе арбіты наступным чынам:
T=kA^{3/2} (паўкубічная парабала).

Выява:Puissance entière.svg|Парабалы парадку *n*:      
Выява:Puissance inverse.svg|Гіпербалы парадку *n*:  

### Уласцівасці 
: 

* Функцыя непарыўная і бясконца дыферэнцавальная ва ўсіх кропках, у наваколлі якіх яна вызначана. Нуль, увогуле кажучы, ёсць асаблівым пунктам.
Напрыклад, функцыя y=\sqrt{x} вызначана ў нулі і яго правым наваколлі, але яе вытворная y=\frac{1}{2\sqrt{x}} у нулі не вызначана.
* На прамежку (0, \infty) функцыя манатонна нарастае пры a>0 і манатонна спадае пры a. Значэнні функцыі на гэтым прамежку дадатныя.
* Вытворная:
 \left( x^a \right)^\prime = a x^{a-1}.
* Першаісная:
** Калі a \ne -1, то  \int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C 
** Калі a = -1, маем  \int \frac {dx}{x} = \ln |x| + C 

## Камплексная ступенная функцыя 
У агульным выпадку ступенная функцыя камплекснай зменнай *z* азначаецца як:
:  y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)} 
Тут паказчык ступені *c* — некаторы камплексны лік. Значэнне функцыі, адпаведнае галоўнаму значэнню лагарыфму, называецца галоўным значэннем ступені. Напрыклад, значэнне i^i роўнае e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}}, дзе *k* — адвольны цэлы, а яго галоўнае значэнне роўнае e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}.

Камплексная ступенная функцыя істотна адрозніваецца ад свайго рэчаіснага адменніку. З-за мнагазначнасці камплекснага лагарыфму яна, увогуле кажучы, таксама мае бясконца многа значэнняў.
Аднак два выпадкі, важныя ў прыкладаннях, разглядаюцца асобна:
# Пры натуральным паказчыку ступені функцыя y=z^n адназначная і *n*-лістная.
# Калі паказчык ступені — дадатны рацыянальны лік, г.зн. (нескарачальны) дроб \frac{p}{q}, то функцыя будзе мець *q* розных значэнняў.

## Гл. таксама 
* Узвядзенне ў ступень
* Лагарыфм
* Мнагасклад

## Крыніцы 
## Літаратура 
* 
* Алгебра: вучэб. дапам. для 11-га кл. устаноў агул. сярэд. адукацыі з беларус. мовай навучання  / А. П. Кузняцова[і інш.]; пад рэд. праф. Л. Б. Шнэпермана; пер. з рус. мовы Н. М. Алганавай. — 2-е выд., выпр. і дап. — Мінск: Нар. асвета, 2013. — 287 с.: іл. — 16 100 экз. — ISBN 978-985-03-1983-8.
* 
* 
* 

## Спасылкі 
* 

Катэгорыя:Элементарныя функцыі