Праектыўная прастора

[thumb|right|У [перспектыва|перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў  на гарызонце.]]
**Праекты́ўная прасто́ра** над полем  — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы  над гэтым полем. Прамыя прасторы  называюцца *пунктамі* праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела .

Калі  мае размернасць , то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік , а сама праектыўная прастора абазначаецца  і называецца асацыяванаю з 
(каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне ).

Пераход ад вектарнай прасторы  размернасці  да адпаведнай праектыўнай прасторы  называецца **праектывізацыяй** прасторы .

Пункты  можна апісаць з дапамогаю .

## Аксіяматычнае азначэнне 
**Праектыўная прастора** можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу . У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў *P*, мноства прамых *L* і дачынення інцыдэнтнасці *I*, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:
* Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
* Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
* Калі прамыя *L* і *M* перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты *p* і *q* ляжаць на прамой *L*, а пункты *s* і *r* — на прамой *M*, то прамыя *ps* і *qr* перасякаюцца.

*Падпрастораю* праектыўнай прасторы называецца падмноства *T* мноства *P*, такое што для любых p,q\in P з гэтага падмноства ўсе пункты прамой *pq* належаць *T*. *Размернасцю* праектыўнай прасторы *P* называецца найбольшы лік *n*, такі што існуе строга нарастаючы  падпрастор віду
: \varnothing = X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.

Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

### Класіфікацыя 
* Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
* Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
* Размернасць 2 (): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду KP^n для некаторага цела K задавальняюць , аднак існуюць такія .
* Большыя размернасці: згодна з , любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя  над некаторым целам.

## Звязаныя азначэнні і ўласцівасці 
* Няхай M — гіперплоскасць у лінейнай прасторы L. Праектыўная прастора P(M)\subset P(L) называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў P(L).
* На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці A=P(L)\backslash P(M) існуе натуральная структура .
* Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору A можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

## Таўталагічнае расслаенне 
*Таўталагічным расслаеннем* \gamma^n : E \to \mathbb{R}P^n называецца , прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку \mathbb{R} P^n\times\mathbb{R}^{n+1}
: E(\gamma^n):=\big\{(\{\pm\;x\},v)\in\mathbb{R}P^n\times\mathbb{R}^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda\in\mathbb{R}\big\}.
а слоем — рэчаісная прамая \mathbb R. Кананічная праекцыя \gamma^n адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты \pm x \in \mathbb{R}^{n+1}, у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры n\geq 1 гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным.
Пры n=1 прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.

## Зноскі 
## Літаратура 
* *Артин Э.* Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
* *Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.* Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
* *Кострикин А. И., Манин Ю. И.* Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
* *Хартсхорн Р.* Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
* *Шафаревич И. Р., Ремизов А. О.* Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
* *Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю.* Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
* *Бэр Р.* Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
* *Фиников С. П.* Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.

Катэгорыя:Праектыўная геаметрыя