Камплексная плоскасць

**Камплексная плоскасць** — гэта двухмерная рэчаісная прастора \mathbb{R}^2, ізаморфная полю камплексных лікаў \mathbb{C}. Кожны пункт такой прасторы — гэта ўпарадкаваная пара выгляду (x,y), дзе x і y — рэчаісныя лікі, і дзе першы элемент пары адпавядае рэчаіснай частцы, а другі элемент пары адпавядае ўяўнай частцы камплекснага ліку z=x+iy:
:x=\mathrm{Re}\,z,
:y=\mathrm{Im}\,z.

Упарадкаваную пару (x,y) натуральна вытлумачваць як радыус-вектар з пачаткам у нулі і з канцом у пункце (x,y). 

З прычыны ізамарфізму \mathbb C і \mathbb{R}^2, алгебраічныя аперацыі над камплекснымі лікамі пераносяцца на аперацыі над адпаведнымі ім радыус-вектарамі:
* складанне камплексных лікаў — гэта складанне адпаведных радыус-вектараў;
* множанне камплексных лікаў — гэта пераўтварэнне радыус-вектара, звязанае з яго паваротам і расцяжэннем.

Вынікам кампактыфікацыі (замыкання) камплекснай плоскасці з'яўляецца пашыраная камплексная плоскасць — камплексная плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленым пунктам, ізаморфная камплекснай сферы. Камплексная плоскасць звязана з камплекснай сферай, напрыклад, стэрэаграфічнай праекцыяй.

Камплексназначныя функцыі комплекснай пераменнай звычайна інтэрпрэтуюцца як адлюстраванні камплекснай плоскасці або сферы ў сябе. Паколькі прамыя на плоскасці (пры стэрэаграфічнай праекцыі) пераходзяць у акружнасці на сферы, якія ўтрымліваюць бясконца аддалены пункт, камплексныя функцыі зручней разглядаць на сферы.

Разглядаючы на камплекснай плоскасці тапалогію \mathbb{R}^2, можна ўводзіць паняцці адкрытых, замкнёных мностваў, і даваць вызначэнні такіх аб'ектаў як крывыя і фармуляваць такія ўласцівасці камплексных функцый як непарыўнасць, дыферэнцавальнасць і аналітычнасць, а камплекснае прадстаўленне дазваляе кампактна апісваць гэтыя ўласцівасці на мове суадносін паміж рэчаіснымі і ўяўнымі часткамі, а таксама, паміж модулямі і аргументамі адпаведных камплексных лікаў.

Асаблівую ролю ў камплексным аналізе адыгрываюць канформныя адлюстраванні.

## Мноствы на камплекснай плоскасці 
### Адкрытыя мноствы 
Фундаментальнае паняцце наваколля ўводзіцца на камплекснай плоскасці вельмі проста - наваколлем {\mathcal U}_{z_0} пункта z_0\in\mathbb C называецца мноства выгляду {\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|0. Геаметрычна на камплекснай плоскасці наваколлі маюць вельмі просты выгляд — гэта проста акружнасці з цэнтрам у пэўных пунктах камплекснай плоскасці. Часам бывае зручна разглядаць праколатыя наваколлі \dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\}.

Зараз азначым адкрытае мноства — паводле аднаго з варыянтаў класічнага азначэння з агульнай тапалогіі, адкрытым мноства будзе, калі яно для любога свайго пункта змяшчае некаторае яго наваколле. Паняцце наваколля ўжо вызначана, адпаведна, адкрытае мноства на \mathbb C цалкам вызначана.

### Гранічны пункт і замкнёнае мноства 
Вызначыць гранічны пункт таксама няцяжка — пункт z_0\in\mathbb C будзе гранічным для мноства G\subset\mathbb C, калі для адвольнага наваколля {\mathcal U}_{z_0} перасячэнне {\mathcal U}_{z_0}\cap G будзе непустым. Іншымі словамі, пункт з'яўляецца гранічным, калі ў адвольнай «блізкасці» да яго заўсёды ёсць пункты мноства. Мноства гранічных пунктаў часам называецца вытворным і абазначаецца як G'.

Мноства G\subset\mathbb C будзе называцца замкнёным, калі для яго справядліва ўключэнне G'\subset G. Ясна відаць, што для адвольнага мноства G мноства \overline{G}=G\cup G' будзе замкнёна; яно называецца замыканнем мноства G.

### Мяжа 
Кропка z_0\in\mathbb C называецца межавою для мноства G\subset\mathbb C, калі для адвольнага наваколля {\mathcal U}_{z_0} перасячэнні {\mathcal U}_{z_0}\cap G і {\mathcal U}_{z_0}\cap({\mathbb C}\setminus G) пустыя. Мноства ўсіх межавых пунктаў называецца межавым мноствам \partial G або проста мяжой.

### Усюды шчыльныя мноствы 
Мноства E\subset\mathbb C называецца ўсюды шчыльным ў іншым мностве G\subset\mathbb C, калі для адвольнага пункта z_0\in G і любога наваколля {\mathcal U}_{z_0} перасячэнне {\mathcal U}_{z_0}\cap E непустое.

## Звязнасць 
### Адлегласць паміж мноствамі 
Як вядома з элементарнай матэматыкі, на камплекснай плоскасці адлегласць паміж двума пунктамі роўна модулю іх рознасці. Вызначым адлегласць паміж пунктам z_0 і некаторым мноствам G\subset\mathbb C як велічыню \mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0|.

На аснове гэтага паняцця ўжо можна вызначыць адлегласць паміж двума адвольнымі мноствамі ў \mathbb C: \mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1).

### Звязнасць 
Мноства G\subset\mathbb C называецца **звязным**, калі для яго выконваюцца суадносіны \inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0. Калі дадзеная велічыня не роўная нулю, то мноства называецца **нязвязным**. Можна паказаць, што нязвязнае мноства G можна прадставіць у выглядзе аб'яднання (канечнага або злічальнага) \sum G_n, дзе G_n — неперасякальныя звязныя мноствы, так званыя **звязнымі кампанентамі** мноства G. Магутнасць мноства звязных кампанент называецца **парадкам звязнасці**.

## Выпуклыя, зорныя і лінейна звязныя мноствы 
Мноства G\subset\mathbb C называецца **зорным** адносна пункта z_0\in G, калі для адвольнага пункта z\in G справядліва ўключэнне \overline{z_0z}\subset G.

Мноства G\subset\mathbb C называецца **выпуклым**, калі яно зорнае адносна любога свайго пункта. Мноства G^* называецца **выпуклай абалонкай** мноства G, калі яно выпуклае, G\subset G^* і для любога выпуклага мноства G^{**}, якое змяшчае мноства G, выконваецца ўключэннеG^*\subset G^{**}.

**Ламанаю** \Gamma называецца мноства пунктаў камплекснай плоскасці, што прадстаўляецца ў выглядзе аб'яднання адрэзкаў. Мноства G называецца лінейна звязным, калі для двух адвольных пунктаў z_1,z_2\in G існуе ламаная \Gamma\subset G такая, што выконваецца z_1,z_2\in\Gamma.

Можна даказаць, што любое лінейна звязнае мноства будзе звязным. Адсюль адразу вынікае, што ўсе выпуклыя і зорныя мноствы звязныя.

## Крывыя на \mathbb C 
### Крывыя і шляхі 
Крывой або шляхам на камплекснай плоскасці \mathbb C называецца адлюстраванне выгляду \varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C. Асабліва варта адзначыць, што пры такім азначэнні можна канкрэтызаваць не толькі выгляд крывой, які будзе залежаць ад аналітычных уласцівасцей функцыі \varphi(t), але і яе кірунак. Для прыкладу, функцыі \varphi(t) і \eta(t)=\varphi(1-t) будуць вызначаць аднолькавую з віду крывую, але з процілеглымі кірункамі.

### Гоматопія крывых 
Крывыя \varphi_0(t)\colon[0;1]\to\mathbb C і \varphi_1(t)\colon[0;1]\to\mathbb C называюцца **гоматопнымі**, калі існуе крывая \xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\mathbb C, якая залежыць ад параметра q такім чынам, што \xi(t,0)\equiv\varphi_0 і \xi(t,1)\equiv\varphi_1.

## Бясконца аддалены пункт 
У камплексным аналізе часта карысна разглядаць *поўную камплексную плоскасць*, дапоўненую у параўнанні са звычайнай бясконца аддаленым пунктам: z=\infty. Пры такім падыходзе неабмежавана нарастальная (па модулю) паслядоўнасць лічыцца збежнай да бясконца аддаленага пункта. Алгебраічныя аперацыі з бесканечнасцю не вызначаны, хоць некалькі алгебраічных суадносін маюць месца:
* \frac{z}{\infty}=0; z+\infty=\infty (z \ne \infty)
* z \cdot \infty=\infty; \frac{z}{0}=\infty (z \ne 0)
\varepsilon-наваколлем бясконца аддаленага пункта лічыцца мноства пунктаў z, модуль якіх большы, чым \varepsilon, гэта значыць знешняя частка \varepsilon-наваколляў пачатку каардынат.

## Літаратура 
* *Арнольд В. И.* Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
* *Понтрягин Л.* Комплексные числа , Квант, №&nbsp;3, 1982.
* *Свешников А. Г., Тихонов А. Н.* Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.

Катэгорыя:Камплексны аналіз