Дыскрымінант

**Дыскрыміна́нт** ( — падзяляць, адрозніваць) або **адро́знік** мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча.
Так, для мнагачлена
: P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0
дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як
: D(P) = a_n^{2n-2} \prod_{1\le i 
дзе \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n − карані мнагачлена  (г.зн. рашэнні ўраўнення ) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

**Дыскрымінант (адрознік)** алгебраічнага **ураўнення**  вызначаюць як адрознік мнагачлена .

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

## Дыскрымінант квадратнага ўраўнення 
Карані квадратнага ўраўнення
: a x^2 + b x + c = 0
з рэчаіснымі каэфіцыентамі ,  і  можна вылічыць па формуле
: x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.
Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз
: b^2 - 4 a c
называюць **дыскрымінантам квадратнага ўраўнення**
: a x^2 + b x + c = 0
і абазначаюць праз .

* Калі , падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні x_1 і x_2.
* Калі , значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
* Калі , квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў \mathbb{R}. Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з'яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.

*Заўвага.* Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

## Азначэнне ў агульным выпадку 
Няхай f(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0\in R[x] − мнагачлен -ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці  (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля).
Няхай  ёсць поле раскладання мнагачлена f (г.зн. у гэтым полі мнагачлен f раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады **адрознік** (**дыскрымінант**) мнагачлена вызначаюць як
: D(f)=a_n^{2n-2}\prod_{1\le i
дзе \alpha_1,\ldots,\alpha_n − карані мнагачлена f, якія ляжаць у полі .

*Заўвага.* Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці  існуе поле раскладання. Так, поле дзелей  колца  з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца . І ў якасці поля раскладання  можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля .

## Уласцівасці дыскрымінанта 
### Сувязь з рэзультантам 
Няхай поле  мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0 над полем  можна вылічыць як рэзультант мнагачлена f і яго вытворнай f', падзелены на старшы каэфіцыент a_n:
: D(f)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n} R(f,f').

Адсюль вынікае тоеснасць
: D(f)=(-1)^{n(n-1)/2} a_n^{n-2} \prod_{i=1}^n f'(\alpha_i).

### Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагачлена 
Рэзультант мнагачлена f(x)=a_n x^n +\dots + a_1 x + a_0 і яго вытворнай f'(x)=n a_n x^{n-1} + \dots + a_1 роўны вызначніку пэўнай -матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра).
Таму, калі поле  мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:
: 
D(f)=\frac{(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}}{a_n}\,
\det \begin{pmatrix}
a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\
  0 & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots &  0\\
  0 & 0 &  0 & a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_0 \\
n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 & 0 & \cdots& 0\\
  0 & n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 & \cdots &  0\\
  \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\
  0 & 0 & 0 & n a_n & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 & n a_{n} & (n-1) a_{n-1} & \cdots & 1 a_1 \\
\end{pmatrix}.

Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік a_n, які скароціцца.

## Прыклады 
* Адрознік квадратнага мнагачлена  роўны
*: D = b^2 - 4ac.

* Адрознік кубічнага мнагачлена  раўняецца
*: D = b^2c^2 - 4ac^3 - 4b^3d - 27a^2d^2 + 18abcd.

* Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені  роўны
*: D = \begin{vmatrix}
 1~ & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
 0~ & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
 0~ & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
 4~ & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\
 0~ & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\
 0~ & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1&  0 \\
 0~ & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\
\end{vmatrix}.

## Гл. таксама 
* Рэзультант
* Дыскрымінант поля

## Зноскі 
## Літаратура 
* Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
* Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.

## Спасылкі 
* 

Катэгорыя:Алгебра
Катэгорыя:Мнагачлены
Катэгорыя:Ураўненні