Гама-размеркаванне

{{Размеркаванне імавернасцей
| name       = Гама-размеркаванне
| type       = density
| pdf_image  = 
| cdf_image  = 
| parameters =
* *k* > 0 форма
* *θ* > 0 маштаб
| support    = x \in (0, \infty)
| pdf        = f(x)=\frac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k - 1} e^{-x/\theta}
| cdf        = F(x)=\frac{1}{\Gamma(k)} \gamma\left(k, \frac{x}{\theta}\right)
| mean       = k \theta 
| median     = Няма аналітычнай формы
| mode       = (k - 1)\theta для k \geq 1,0 для k 
| variance   = k \theta^2
| skewness   = \frac{2}{\sqrt{k}}
| kurtosis   = \frac{6}{k}
| entropy    = \begin{align}
                      k &+ \ln\theta + \ln\Gamma(k)\\
                        &+ (1 - k)\psi(k)
                    \end{align}
| mgf        = (1 - \theta t)^{-k} для t 
| char       = (1 - \theta it)^{-k}
| parameters2 =
* *α* > 0 форма
* *β* > 0 частата
| support2    = x \in (0, \infty)
| pdf2        = f(x)=\frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x }
| cdf2        = F(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \gamma(\alpha, \beta x)
| mean2       = \frac{\alpha}{\beta}
| median2     = Няма аналітычнай формы
| mode2       = \frac{\alpha - 1}{\beta} для \alpha \geq 1,0 для \alpha 
| variance2   = \frac{\alpha}{\beta^2}
| skewness2   = \frac{2}{\sqrt{\alpha}}
| kurtosis2   = \frac{6}{\alpha}
| entropy2    = \begin{align}
                      \alpha &- \ln \beta + \ln\Gamma(\alpha)\\
                             &+ (1 - \alpha)\psi(\alpha)
                    \end{align}
| mgf2        = \left(1 - \frac{t}{\beta}\right)^{-\alpha} для t 
| char2       = \left(1 - \frac{it}{\beta}\right)^{-\alpha}
| moments     =  k = \frac{E[X]^2}{V[X]} \quad \quad  \theta = \frac{V[X]}{E[X]} \quad \quad
| moments2    =  \alpha = \frac{E[X]^2}{V[X]}  \beta = \frac{E[X]}{V[X]} 
| fisher      = I(k, \theta) = \begin{pmatrix}\psi^{(1)}(k) & \theta^{-1} \\ \theta^{-1} & k \theta^{-2}\end{pmatrix}
| fisher2     = I(\alpha, \beta) = \begin{pmatrix}\psi^{(1)}(\alpha) & -\beta^{-1} \\ -\beta^{-1} & \alpha \beta^{-2}\end{pmatrix}
}}

**Гама-размеркаванне** — абсалютна непарыўнае размеркаванне імавернасцей з двума параметрамі. Найчасцей ужываюцца два эквівалентныя спосабы параметрызацыі:
# З  k і  \theta.
# З каэфіцыентам формы \alpha = k і адваротным каэфіцыентам маштабу \beta = 1/\theta, вядомым пад назвай .
У абедзвюх формах абодва параметры — дадатныя рэчаісныя лікі.

Параметрызацыя з k і \theta часта выкарыстоўваецца ў эканаметрыцы і іншых прыкладных абласцях, дзе з дапамогай гама-размеркавання мадэлююць час чакання.

Параметрызацыя праз \alpha і \beta распаўсюджана ў , дзе гама-размеркаванне грае ролю  для каэфіцыентаў частаты розных размеркаванняў, напрыклад \lambda паказнікавага або пуасонавага размеркавання, або \beta самога гама-размеркавання. Цесна звязанае з ім  служыць спалучаным апрыёрным размеркаваннем для каэфіцыентаў маштабу, напрыклад для \sigma^2 нармальнага размеркавання.

## Азначэнне 
Кажуць, што выпадковая велічыня мае гама-размеркаванне, калі яе шчыльнасць імавернасці задаецца формулай
: f(x)= 
  \begin{cases}
    \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x }, & x > 0, \\
    0, & x \leq 0,
  \end{cases}

дзе \alpha, \beta — параметры размеркавання, \Gamma(\alpha) — гама-функцыя \Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty}t^{\alpha - 1} e^{-t} dt.

Можна паказаць, што інтэграл шчыльнасці імавернасці па ўсім \mathbb{R} роўны 1:
: \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} x^{\alpha - 1} e^{-\beta x } dx = 
: = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} \frac{t^{\alpha - 1}}{\beta^{\alpha - 1}} e^{-t} \frac{dt}{\beta} = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} t^{\alpha - 1} e^{-t} dt = 1.

## Асобныя выпадкі 
### Паказнікавае размеркаванне 
Паказнікавае размеркаванне — асобны выпадак гама-размеркавання, калі каэфіцыент формы роўны 1. Яго шчыльнасць мае выгляд:
: f(x)= 
  \begin{cases}
    \frac{\beta^1}{\Gamma(1)} x^{1- 1} e^{-\beta x } = \beta e^{-\beta x}, & x > 0, \\
    0, & x \leq 0,
  \end{cases}

### Размеркаванне Эрланга 
Калі каэфіцыент формы гама-размеркавання — натуральны лік, то яно завецца размеркаваннем Эрланга. Шчыльнасць можна перапісаць, замяніўшы гама-функцыю на фактарыял, бо для натуральных лікаў \Gamma(n) = (n - 1)! \ :
: f(x)= 
  \begin{cases}
    \frac{\beta^n}{(n - 1)!} x^{n - 1} e^{-\beta x }, & x > 0, \\
    0, & x \leq 0.
  \end{cases}

### Размеркаванне хі-квадрат 
Калі для гама-размеркавання прыняць каэфіцыент формы \alpha = n/2, дзе n \in \mathbb{N}, а каэфіцыент частаты \beta = 1/2, атрымаем размеркаванне хі-квадрат з n  і шчыльнасцю
: f(x)= 
  \begin{cases}
    \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}, & x > 0, \\
    0, & x \leq 0,
  \end{cases}

Катэгорыя:Размеркаванні імавернасцей