Формула Герона

**Фо́рмула Герона** дазваляе вылічыць плошчу трохвугольніка (*S*) па яго баках *a, b, c*:
: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

дзе p — **паўперыметр** трохвугольніка: p = \frac{a + b + c}2.

{{Hider|
  title = Доказ:|
  hidden = 0 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 
: S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma},
дзе \ \gamma — вугал трохвугольніка, *процілеглы баку* c. 
Па тэарэме косінусаў:
: c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,
Адсюль:
: \cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},
Значыць,
: \ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=

: ={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=

: ={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c).

Заўважаючы, што a+b+c=2p, a+b-c=2p-2c, a+c-b=2p-2b, c-a+b=2p-2a, атрымліваем:
: \sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.
Такім чынам,
: S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
Q.E.D.}}

## Гісторыя 
Гэта формула ўтрымліваецца ў «Метрыцы» Герона Александрыйскага (I стагоддзя н. э.) і названая ў яго гонар. Герон цікавіўся трохвугольнікамі з цэлалікавымі бакамі, плошчы якіх таксама з’яўляюцца цэлымі. Такія трохвугольнікі носяць назву  *геронавых трохвугольнікаў*. Прасцейшым геронавым трохвугольнікам з’яўляецца егіпецкі трохвугольнік.

## Варыяцыі і абагульненні 
* Выразіўшы паўперыметр праз паўсуму ўсіх бакоў дадзенага трохвугольніка, прыйдзем да формулы выгляду:
*: S=\frac{\sqrt{(-1)(a^4+b^4+c^4)+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}}{4} 
* Плошча ўпісанага ў акружнасць чатырохвугольніка вылічваецца па **формуле Брахмагупты**:
*: S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
: дзе p=\frac{a+b+c+d}2 — **паўперыметр** чатырохвугольніка. (Трохвугольнік з’яўляецца лімітавым выпадкам упісанага чатырохвугольніка пры памкненні даўжыні адной з бакоў да нуля.)
* *Тэарэма Люілье.* Плошча сферычнага трохвугольніка выяўляецца праз яго бакі \theta_a = \frac{a}{R}, \theta_b = \frac{b}{R}, \theta_c = \frac{c}{R} як:
*: S = 4R^2\,\operatorname{arctg}\sqrt{ \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_a}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_b}{2}\right) \operatorname{tg} \left( \frac{\theta_s - \theta_c}{2}\right)} , где \theta_s = \frac{\theta_a + \theta_b + \theta_c}{2} — паўпрыметр.

* Для тэтраэдраў з’яўляецца ісціннай формула Герона — Тарталья, якая абагульнена таксама на выпадак іншых мнагаграннікаў (гл. выгінаныя мнагаграннікі): калі ў тэтраэдра даўжыні кантаў роўныя l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6, то для яго аб’ёма V ісцінны выраз
*: 144 V^2 = l_1^2 l_5^2 (l_2^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_6^2 - l_1^2 - l_5^2) + l_2^2 l_6^2(l_1^2 + l_3^2 + l_4^2 + l_5^2 - l_2^2 - l_6^2) + l_3^2 l_4^2 (l_1^2 + l_2^2 + l_5^2 + l_6^2 - l_3^2 - l_4^2) - l_1^2 l_2^2 l_4^2 - l_2^2 l_3^2 l_5^2 - l_1^2 l_3^2 l_6^2 - l_4^2 l_5^2 l_6^2.

* Формулу Герона можна запісаць з дапамогай вызначальніка ў выглядзе:
*: 16 S^2 = - \begin{vmatrix}
0   & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0   & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0   & 1 \\
1   & 1   & 1   & 0
\end{vmatrix}

: Яна з’яўляецца прыватным выпадкам вызначальніка Кэлі — Менгера для вылічэння гіпераб’ёма сімплекса.

## Гл. таксама 
* Тэарэма катангенсаў

## Літаратура 
* § 258 у 
* 
*  — доказ формулы Герона на аснове тэарэмы Піфагора

Катэгорыя:Геаметрыя трохвугольніка
Герона
Катэгорыя:Планіметрыя
Катэгорыя:Плошча