Гаусавы цэлыя лікі

**Гаусавы цэлыя лікі** (**гаусавы лікі**, **цэлыя камплексныя лікі**) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць \mathbb{Z}[i], іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў \mathbb{Z}, але ёсць і істотныя адрозненні.

## Агульныя ўласцівасці 
### Азначэнне і класіфікацыя 
Фармальнае азначэнне:
: \mathbb{Z}[i] = \{a+bi : a,b\in \mathbb{Z} \}.
Мноства \mathbb{Z}[i] утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў \mathbb{Z} і з’яўляецца яго пашырэннем. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцам. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку a+bi ёсть таксама гаусаў лік a-bi.

Кожны лік z=a+bi задавальняе квадратнае ўраўненне:
: (z-a)^2+b^2=0.
Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.

### Норма 
**Норма** для гаусавага ліку a + bi вызначаецца як квадрат яго модуля:
: N \left(a+bi \right) = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)}.

**Уласцівасці нормы**:
* Норма роўная нулю толькі для нуля. У астатніх выпадках норма — дадатны цэлы лік.
* Нормы спалучаных лікаў супадаюць.
* Норма звычайнага цэлага ліку роўная яго квадрату.
* Калі норма няцотная, то яна мае від , г. зн. пры дзяленні яе на 4 атрымліваецца астача 1. Ніякі гаусаў лік не можа мець норму віду .

Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці. Гл. .
* Знайсці прамыя на камплекснай плоскасці, на якіх бесканечна многа простых гаусавых лікаў. Дзве такія прамыя відавочныя — гэта каардынатныя восі; невядома, ці існуюць іншыя.
* Задача, вядомая пад назваю «Гаусаў роў»: ці можна дайсці да бесканечнасці, пераходзячы ад аднаго простага гаусавага ліку да другога скачкамі загадзя абмежаванай даўжыні? Задача пастаўлена ў 1962 годзе і дагэтуль не развязана.

## Відазмяненні і абагульненні 
Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «цэлыя лікі Эйзенштэйна».

Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца \mathbb Q(i), — гэта камплексныя лікі віду a+bi, дзе a, b — рацыянальныя лікі. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з’яўляецца полем, якое пашырае колца гаусавых лікаў.

## Гісторыя 
У 1820-х гадах Карл Фрыдрых Гаус даследаваў біквадратычны закон узаемнасці, вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач тэорыі лікаў, хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі».

thumb|Карл Фрыдрых Гаус у 1828 годзе
У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры дзельнікі адзінкі, вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі асноўнай тэарэмы арыфметыкі, малой тэарэмы Ферма. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, індэксы і першаісныя карані. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу.

Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненнях. Ідэі Гауса былі развіты ў працах Карла Густава Якаба Якобі і Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, Дзірыхле і Эрміт увялі і даследавалі абагульненае паняцце цэлага алгебраічнага ліку.

Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася абстрактная алгебра, якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб’ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.

## Гл. таксама 
* Еўклідава колца
* Квадратычнае поле
* Кватэрніён Гурвіца
* Гаусава праблема круга
* Простыя лікі Эйзенштэйна
* Цэлыя лікі Эйзенштэйна
* Цэлы элемент
* Фактарыяльнае колца

## Зноскі 
## Літаратура 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Спасылкі 
* 
* 
* 

Катэгорыя:Тэорыя колцаў
Катэгорыя:Алгебраічныя лікі