Foahdynamik vo Zügn

A **[[Zug]]** kau bschleinign, bremsn oda gleich schnöö foahn. Aus da Bschleinigung kaunst da ihn zruckglegtn Weg ausrechnan, und de Foahzeid, wia laung dass a dofia braucht. Dea Weat is daun de Grundlog fia de Eastöllung vom Foahplaun, do kumman daun 3 bis 7&nbsp;% Foahzeidzuaschläg ois Reserv dazua, de Zeid muass mit aundan Zügn ohgstimmt wean und es kumman no Aufenthoitszeitn dazua.

## Bschleinign
Jede Lok kau bei ana gwissn Gschwindigkeit a gwisse Zugkroft auf de Schiene bringan. Waun de Zugkroft gressa is ois wia des, wos uns de Streckn ohvalaungt (Ruireibung, Luaftwidastaund, Steigung, Krümmung, ...), nocha kenn ma den Zugkroftiwaschuss zan Bschleinign nutzn.

### Strecknwidaständ'
#### Laufwidastaund
In' Laufwidastaund geht de Ruireibung zwischn Rod und Schiene, da Luaftwidastaund und Widaständ' vo Schienanunebmheitn ei; bei hochn Gschwindigkeitn foah ma praktisch nua meah gengan Luaftwidastaund. Da Laufwidastaund is fia de Lok und de Wogn getrennt zan rechna.

Laufwidastaund vom Wognzug:
: W_{LZ} = m_{Zug} \cdot g \cdot [2 + e \cdot (\frac{v}{10})^2] 

mit:
* WLZ ... Laufwidastaund vo de Wogn [N]
* mZug ... Massn vo de Wogn [t]
* g ... Eadbschleinigung [m/s²], g ≈ 9,81&nbsp;m/s²
* e ... Faktoa fian Luaftwidastaund [-]; e = 0,415 fiaran Fernvakeahszug, e = 0,518 fiaran Regionäuzug und e = 0,74 fiaran Gütazug
* v ... Duachschnittsgschwindigkeit (2/3-Weat, wäu's quadrotisch austeigt) [m/s], z.&nbsp;B. waun ma vo 0 auf 90&nbsp;km/h bschleinign, setz ma 60&nbsp;km/h ei, und des no duach 3,6 dividiat, wäu ma jo m/s brauchn. Waun ma vo 50 auf 80&nbsp;km/h bschleinign, nocha is de Diffarenz 30&nbsp;km/h, davau 2/3 san 20&nbsp;km/h und des no zua Ausgaungsgschwindigkeit dazua, san 70&nbsp;km/h, wos ma eisetzn, natiali wieda in m/s umgrechnat.

Laufwidastaund vom Triabfoahzeig:
: W_{LT} = c_1 \cdot m_{Lok} + c \cdot (\frac{v}{10})^2 

mit:
* WLT ... Laufwidastaund vom Triabfoahzeig [N]
* c1 ... Faktoa fia de Logareibung und de Widaständ' im Auntriab [-]; c1 = 35 fiara E-Tfz mit an Kollektoanmotoa, c1 = 12 fiara E-Tfz mit an Drehstraummotoa und c1 = 50 fiara Diesltfz
* mLok ... Massn vom Triabfoahzeig [t]
* c ... Faktoa fian Luaftwidastaund [-], ohhängig vo da Fuam, z.&nbsp;B. c = 500 bei da 1044er, c = 400 bei ana Taurus und c = 700-800 bei ana Lok mit Vuabautn, wia de 1063er oda 2070er. 
* v ... Duachschnittsgschwindigkeit (wieda da 2/3-Weat) [m/s]

#### Krümmungswidastaund
Waun ma in a Kuavn foahn, nocha wiad de Reibung gressa, wäu de Spuakränz' vo de Radln noch innan druckt wean:
: W_K = m_{\rho} \cdot g \cdot \frac{A}{\rho - B} 

mit:
* WK ... Krümmungswidastaund [N]
* mρ ... Massn vom Zug, dea wos im Gleisbogn is [t]
* g ... Eadbschleinigung [m/s²], g ≈ 9,81&nbsp;m/s²
* ρ ... Bognradius [m]
* A ... waun da Radius ρ  W_{S} = i \cdot m \cdot g 

mit:
* WS ... Steigungswidastaund [N]
* i ... Steigung [‰]
* m ... Massn vom gesaumtn Zug [t]
* g ... Eadbschleinigung [m/s²], g ≈ 9,81&nbsp;m/s²

#### Losbrechwidastaund
Beim Aufoahn muass da Widastaund vo de Loga iwawundn wean, bei Foahzeig mit Ruinlogan is dea (außa beim Aufoahn in da Steigung) owa vanochlässigboa.
: W_{LB} = 30 \cdot m 

mit:
* WLB ... Losbrechwidastaund [N]
* m ... Massn vom gesaumtn Zug [t]

### Zugkroft

De Zugkroft, wos ma auf'd Schienan bringan kenna, hängt oh vo da Leistung vom Motoa, vo da Massn (hechas Reibungsgwicht) und vom Reibbeiweat zwischn Rod und Schiene. Se muass imma kloana sei ois wia de Haftkroft, wäu sunst dedn se da Radln duachdrahn.

Beim Aunfoahn hängt de Zugkroft v.&nbsp;a. vo da Massn vom Triabfoahzeig oh. De Lok hädad in da Regl a hechare Leistung, owa des bringt uns nix, wäu ma's ned auf'd Schiene bringan kenna wia ma gheat haum, wäu se sunst nua de Radln duachdrahn dedn. De maximole Rodsotzlost, des is de Massn vom Foahzeig dividiat duach de Auzoi vo de Radsätz', beträgt 22,5&nbsp;t (bei entsprechanda Strecknklassn), des hoaßt, vo do hea sauma scho amoi begrenzt. Mia kenntadn hiaz heageh und sogn, mia baun sechsachsade Lokn, owa des hod wieda aundre Nochtäu, z.&nbsp;B. beim Kuavnfoahn.

In da Praxis nutzt ma owa ned amoi diese Reibungsgrenzn vui aus, dass ma aa bei schlechtm Weda, waun de Schiene feicht is, ihn Foahplaun eihoitn kenna. Des nächste is de de Zughokngrenzlost vo 450&nbsp;kN, de wos beim Aufoahn ned iwaschrittn wean deaf, wäu sunst ded ma de Wogn valian, wäu de Kupplung reißt.
: Z_{R} = m_{Lok} \cdot g \cdot \mu 

mit:
* ZR ... Zugkroft aum Rod [N]
* mLok ... Massn vom Triabfoahzeig [t]
* g ... Eadbschleinigung [m/s²], g ≈ 9,81&nbsp;m/s²
* μ ... Reibbeiweat zwischn Rod und Schiene [-]; μ ≈ 0,18 - 0,3 bei trockanan Schienan und μ ≈ 0,09 - 0,15 bei schlüpfrign Schienan

Mit wos fia an Reibbeiweat dass ma in de Berechnung einegehn, hängt davau oh, wos uns wichtiga is, de Ohbefeadarung vo großn Lostn oda de genaue Eihoitung vom Foahplaun; aa vom Triabfoahzeig und vo da Streckn. Aum Semmering rechnat ma z.&nbsp;B. fiara 1142er mit 0,22 und fiara 1144er mit 0,25.

Im hechan Gschwindigkeitsbereich schaut's so aus, dass de Zugkroft vo da Leistung vom Triabfoahzeig und vo da Gschwindigkeit ohhängt.
: Z_{R} = \frac{P}{v} 

mit:
* P ... Leistung [W]
* v ... Duachschnittsgschwindigkeit (2/3-Weat) [m/s]

Bei da Leistung untascheidt ma zwischn Aunfoahstraum, Stundnstraum und Dauastraum, des is des, wos des Triabfoahzeig kuazfristig beim Aufoahn, oa Stund laung bzw. auf Daua leistn kau, ohne dass se de Foahmotoan iwahitzn. Waunst a Vuaspaunlok fian Semmaring rechna wüsd, nimmst ihn Stundnstraum hea, wäu de wiad ihn Gloggnitz aughängt und in Mürz kummts wieda owe, des is ned meah wia oa Stund. Waunst an Eurocity vo Wean noch Bregenz rechnast, nocha brauchst ihn Dauastraum, des hoaßt, du kaunst vo dera Lok nua weniga ohvalaunga.

Fia jede Triabfoahzeigreihe is a Leistungstofl aufglegt, wosd de maximole Auhängelost unta Berücksicktigung vo da Gschwindigkeit und da Neigung ausselesn kaunst.

### Zugkroftiwaschuss, Bschleinigung, Weg, Zeid und Energievabrauch
Da Zugkroftiwaschiss is de Zugkroft, de wos de Lok leistn kau minus de gaunzn Strecknwidaständ.
: Z_{\ddot U} = Z_{R} - W_{LZ} - W_{LT} - W_{K} - W_{S} - W_{LB} 

Den kenn ma hiaz zan Bschleinign nutzn:
: a = \frac{Z_{\ddot U}}{m*} 

mit:
* a ... Bschleinigung [m/s²]
* ZÜ ... Zugkroftiwaschuss [N]
* m* ... Dynamische Massn [kg], m* = mLok · k + mZug · k
:* mLok ... Massn vom Triabfoahzeig [kg]
:* mZug ... Massn vo de Wogn [kg]
:* k ... Faktoa fia de dynamischn Massn (wäu des Foahzeig fiaht ned nua a Traunslatiaun aus, sundan do rotiat aa einigs drin) [-]; z.&nbsp;B. k = 1,17 bei ana 1044er, k = 1,06 bei ana Taurus und bei Reisezugwogn, k = 1,05 bei Gütawogn

Draus kriagst ihn Weg und de Zeid:
: s = \frac{v^2}{2 \cdot a} 
: t = \frac{v}{a} 

mit:
* s ... Weg [m]
* t ... Zeid [s]
* v ... Gschwindigkeit (diesmoi de vulle Gschwindigkeit) [m/s]
* a ... Bschleinigung [m/s²]

Waunst ned ausm Stüüstaund heraus bschleinigst:
: s = \frac{v_e^2 - v_a^2}{2 \cdot a} 
: t = \frac{v_e - v_a}{a} 

mit:
* va ... Aunfaungsgschwindigkeit [m/s]
* ve ... Endgschwindigkeit [m/s]

Nocha kaunst da no ihn Energievabrauch ausrechnan:
: E = Z_R \cdot s 

mit:
* E ... vabrauchte Energie [Nm = J = Ws]
* ZR ... Zugkroft [N]
* s ... zruckglegta Weg [m]

## Foaht mit konstaunta Gschwindigkeit
Do hosd ihn fuigandn Zaumanhaung zwischn Weg, Zeid und Gschwindigkeit, wäu de Bschleinigung is Nui:
: t = \frac{s}{v} 

## Bremsn

Da Bremsweg is de Wegstreckn, de wos zwischn Eileitn vo da Bremsung bis zan Stüüstaund zruckglegt wiad und muass imma kloana oda gleich ihm kloanstn Ohstaund zwischn Vuasignoi und Hauptsignoi auf dera Streckn sei. De Haupteiflussfaktoan fian Bremsweg san de Neigung, de Gschwindigkeit und de Bremshundatstl, de wos unsa Zug hod. De Bremshundatstl (Bh) gebm de Bremswiakung au; des is a Vahötnisweat ausm Bremsgwicht (ohhängig vo da Bremsbauoat) zua Massn vom Zug. Je meah Bremshundatstl dass ma haum, desto kiaza is da Bremsweg. 
: \lambda = \frac{B \cdot 100}{m}  

mit:
* λ ... Bremshundatstl [%]
* B ... Bremsgwicht, des steht aum Foahzeig augschriam [t]
* m ... Massn vom Zug [t]

Es gibt a Taböön, des is de Bremstofl, wo de via Weate Neigung, Gschwindigkeit, Bemsweglängan und Bremshundatstl auge'm san. Waunst drei davau woaßt, nocha kaunst da ihn viatn aussesuachn. Fia de Foahplauneastöllung suachst noch de Bremshundatstl, de wos dei Zug braucht oda waunst heit de im Foahplaun augebanan Bremshundatstl ned eareichst, kaunst da de Gschwindigkeit suachn, mit deast mit de vuahaundanan Bremshundatstl maximoi foahn deafst.
Wäu aun da Neigung vo da Streckn wiast ned vü ändan kenna und de Signäu (de Bremsweglängan is da kloanste Ohstaund zwischn Vua- und Hauptsignäu) bleibm aa duat steh, wos stehngan.

Des mit de Bremshundatstl kummt aus de 30er-Joah, 100&nbsp;% woa oafoch des beste, wos ma domois ghobt hod. Heit bringt ma fiaran Gütazug um de 80&nbsp;% zaum und fiaran Reisezug 150 bis 200&nbsp;%. De Mindestbremshundatstl (Mbh) san de Bremshundatstl wosd brauchst fiara Streckn, dassd bei 20&nbsp;km/h no innahoib vo da Bremsweglängan auhoitn kaunst. Ois Festhoitebremshundatstl (Fbh) bezeichnat ma de Bremshundaststl aufs stüüstehande Foahzeig bezogn, wosd fiara Bremsgewicht dassd mit Haundbremsn oda Hemmschuach eareichn muasst, dass de Wogn ned davauruin.

De Fuaml, de wos hinta da Bremstofl steckt, is de sognaunte Mindener Fuaml:
: s = \frac{3,85 \cdot V^2}{6,1\cdot \psi \cdot (1 + \frac{\lambda}{10}) + i}  

mit:
* s ... Bremsweg [m]
* V ... Gschwindigkeit [km/h]
* ψ ... Faktoa fia Bremsbauoat, Bremszylindadruck und spezifische Klotzpressung (Taböönweat) [-]
* λ ... Bremshundaststl [%], do kummt no Korrektuaweat dazua
* i ... Steigung [‰], do kummt no Korrektuaweat dazua; bei an Gefälle wiads ohzogn

Fia de Vazögarung (negatiave Bschleinigung) gibt's a Diagraum, wosd das in Ohhängigkeit vo de Bremshundatstl ausselesn kaunst. Zuasätzli muasst no ihn Widastaund vo da Neigung berücksichtign, wäu a Steigung bremst ihn Zug und a Gefälle beschleinigt eahm. De aundan Widaständ' (Laufwidastaund, Krümmungswidastaund, ...) san vanochlässigboa. De beim Bremsn zruckglegte Zeid kaunst da daun wieda noch de obm augebanan Fuamln ausrechna.

## Beispü
Sog ma, mia haum an Wendezug mit ana Taurus auf da Westbauhn, dea wos vo da Hoitestöö Purkersdorf Zentrum (km 12,889) noch Unter Tullnerbach (km 16,865) foaht. vmax = 110&nbsp;km/h, duachschnittliche Krümmung is nochm Bognvazeichnis 2500&nbsp;m, de Steigung san nochm VzG 10&nbsp;‰. Da Wognzug is 217&nbsp;t schwaa und 132&nbsp;m laung, de Lok (Rh 1116) is 86&nbsp;t schwaa, 19&nbsp;m laung und hod a Leistung vo 6,4&nbsp;MW - dass ma'n Foahplaun a bei schlechtm Weda eihoidn kenna, rechma mit ana duachschnittlichn Zugkroft vo 250&nbsp;kN. In Unta Tullnaboch wuin ma nua mit da elektrischn Bremsn ohbremsn, dass ma de Energie wieda in'd Foahleitung zruckspeisn kenna, de hod an Wirkungsgrod vo 80&nbsp;%. Aufpassn mit de Eiheitn!

Gesucht is de Foahzeid vom Zug und wos a fia Energie vabraucht. Schätzts amoi, wia vü kWh dass des san und daun schau ma's uns au.

1. Bschleinigung:
* Laufwidastaund Wognzug:  W_{LZ} = m_{Zug} \cdot g \cdot [2 + e \cdot (\frac{v}{10})^2] = 217 \cdot 9,81 \cdot [2 + 0,518 \cdot (\frac{\frac{110 \cdot \frac23}{3,6}}{10})^2] = 8792 N
* Laufwidastaund Lok:  W_{LT} = c_1 \cdot m_{Lok} + c \cdot (\frac{v}{10})^2 = 12 \cdot 86 + 400 \cdot (\frac{\frac{110 \cdot \frac23}{3,6}}{10})^2 = 2677 N
* Krümmungswidastaund:  W_K = m_{\rho} \cdot g \cdot \frac{A}{\rho - B} = (217+86) \cdot 9,81 \cdot \frac{650}{2500 - 50} = 789 N
* Steigungswidastaund:  W_{S} = i \cdot m \cdot g = 10 \cdot (217+86) \cdot 9,81 = 29724 N 
* Zugkroftiwaschuss:  Z_{\ddot U} = Z_{R} - W_{LZ} - W_{LT} - W_{K} - W_{S} = 250000 - 8792 - 2677 - 789 - 29724 = 208018 N 
* Dynamische Massn: m* = m_{Lok} \cdot k + m_{Zug} \cdot k = 86000 \cdot 1,06 + 217000 \cdot 1,06 = 321180 kg
* Bschleinigung:  a = \frac{Z_{\ddot U}}{m*} = \frac{208018}{321180} = 0,65 \frac{m}{s^2}
* Weg:  s_a = \frac{v^2}{2 \cdot a} = \frac{(\frac{110}{3,6})^2}{2 \cdot 0,65} = 718 m
* Zeid:  t_a = \frac{v}{a} = \frac{\frac{110}{3,6}}{0,65} = 47 s

2. Vazegarung: de Bremskroft nehma ausm Diagraum: im Mittl 178182&nbsp;N
* Bremswidaständ (gleich wia de Widaständ vo vuaha + da Bremskroft):   W_B = W_{LZ} + W_{LT} + W_{K} + W_{S} + Z_B = 8792 + 2677 + 789 + 29724 + 178182 = 220164 N
* (negatiave) Bschleinigung:  a = \frac{W_{B}}{m*} = \frac{220164}{321180} = 0,69 \frac{m}{s^2}
* Weg:  s_b = \frac{v^2}{2 \cdot a} = \frac{(\frac{110}{3,6})^2}{2 \cdot 0,69} = 681 m
* Zeid:  t_b = \frac{v}{a} = \frac{\frac{110}{3,6}}{0,69} = 45 s

3. Wegstreckn mit konstaunt 110&nbsp;km/h, des is da Ohstaund zwischn de beidn Hoitestöön minus dem Weg, wos ma zan Bschleinign brauchn und dem Weg, wos ma zan Bremsn brauchn:
* Weg:  s_{const} = \Delta s_{Unta Tullnaboch - Purkasduaf Zentrum} - s_a - s_b = 16865 - 12889 - 718 - 681 = 2577 m 
* Zeid:  t_{const} = \frac{s}{v} = \frac{2577}{\frac{110}{3,6}} = 84 s
 
4. Gesaumtfoahzeid:
*  t_{ges} = t_a + t_{const} + t_b = 47 + 84 + 45 = 176 s

5. Energievabrauch:
* Bschleinign:  E_a = Z_R \cdot s_a = 250000 \cdot 718 = 179500000 Ws
* Konstaunte Foaht (dofia brauch ma de Widaständ fia de Streckn mit konstaunta Gschwindigkeit, des hoaßt, mit da vuin Gschwindigkeit, ned mim 2/3-Weat, owa sunst genauso wia ma's vuaha gmocht haum - de varod i eich hiaz, und zwoa sans insgesaumt 49833&nbsp;N):  E_{const} = W \cdot s_{const} = 49833 \cdot 718 = 128419641 Ws
* Bremsn:  E_b = Z_B \cdot s_b \cdot \eta= 178182 \cdot 681 \cdot 0,8 = 97073554 Ws
* Gesaumtenergievabrauch [Ws]: E_{ges} = E_a + E_{const} - E_b = 179500000 + 128419641 - 97073554 = 210846087 Ws
* Gesaumtenergievabrauch [kWh]: \frac{210846087}{3600 \cdot 1000} = 59 kWh
Bei an Energiepreis vo 13 Cent san des 7,67&nbsp;€.

## Im Netz
* Zugkroft- und Gschwindigkeitsrechna