Grundlogn vo da Mathematik

Des san de **Grundlogn vo da [[Mathematik]]** (dt.: **Grundlagen der Mathematik**).

## Mengan, Zoihn, Intervolle

### Mengan

A Menge is a gedaunkliche Zaumenfossung vo vaschiedenan Objektn; de nennt ma Elemente vo da Menge. A Menge kaunst auge'm, waunst de Elemente aufzööst oda charakterisiast. Zwoa Mengan san gleich, wauns de sööm Elemente enthoidn. De Menge, wos kane Elemente enthööt, nennt ma laare Menge.

* Vaeinigungsmenge (A∪B): enthööt olle Elemente, de wos in A und/oda in B enthoidn san.
* Schnittmenge oda Duachschnitt (A∩B): enthööt olle Elemente, de in A UND in B enthoidn san.
* Diﬀerenzmenge oda Restmenge (A\B): enthööt de Elemente, de in A, owa ned in B enthoidn san.
* Täumenge: De Menge A is de Täumenge vo da Menge B, waun jeds Element vo A aa Element vo da Obamenge B is.

Waun a Menge a gressdes oda kloanstes Element enthööt, des is a Maximum bzw. Minimum. Olle Zoihn, de wos kloana gleich oda gressa gleich ois wia de Elemente in da Menge san, san Schraunkn. Vo de untan Schraunkn gibd's a gressde, des is es Infimum. Vo de oban Schraunkn gibd's a kloanste, des is es Supremum. A Haifungspunkt vo ana Menge is, waun in da ε-Umgebung vo dem Punkt unendli vü Elemente vo dera Menge liagn.

### Zoihn

* Natialiche Zoihn: N = {1,2,3,...}, täuweis wead a 0 dazuazööt
* Gaunze Zoihn: Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} 
* Rationäule Zoihn (Brüche): Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}
* Reelle Zoihn: R = Q + I (I san de Irrationäun Zoihn, des hassd, Zoihn, de ned ois Vahötnis vo gaunzn Zoihn auge'm wean kennan. Des san entweda aa algebraische (z.&nbsp;B. \sqrt{2}) oda transzendente Zoihn (z.&nbsp;B. π, e).
* Komplexe Zoihn: C = {z = a + bi | a, b ∈ R}, a is da Realtäu und b da Imaginärtäu vo z; da Imaginärtäu söwa is aa reell. Ois de zu z = a + ib konjugiat komplexe Zoih bezeichnd ma z = a − ib.

### Intavoi

A Intavoi is a zaumhängende Täumenge vo ana g'uadnadn Trägamenge. Es bstähd aas oin Elementn, de zwischn de Grenzn liagn. Ob de Grenzn söwa no dazuaghean, hängd dovo oh, ob ma a offans oda a gschlossans Intavoi haum.
* ohgschlossans Intavoi: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} 
* offans Intavoi: ]a, b[ = {x ∈ R : a  a + \left( b + c \right) = \left( a + b \right) + c 
:  a \cdot \left( b \cdot c \right) = \left( a \cdot b \right) \cdot c 

Kommutativgsetz:

:  a + b = b + a \,
:  a \cdot b = b \cdot a 

Distributivgsetz:

:  a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c 
:  \left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c 

Neutralität vo 0 und 1:

:a + 0 = 0 + a = a
:a \cdot 1 = 1 \cdot a = a

### Gaunzzohliga Exponent

A Potenzfunktiaun hod de Form an, a wiad ois Basis (Radikand) bezeichnd und n ois Exponent.
: 
\begin{matrix}
a^n = 1 \cdot \underbrace_}.
\end{matrix}


a0 eagibd imma 1.
: 
\begin{align}
a^2 & = 1 \cdot a \cdot a \\
a^1 & = 1 \cdot a \\
a^0 & = 1
\end{align}


Es güüt:

: a^{-r} = \frac{1}{a^r}
:a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}=(\sqrt [n] a)^m
:a^{r+s} = a^r\cdot a^s
:a^{r-s}=\frac{a^r}{a^s}
:(a\cdot b)^r = a^r\cdot b^r
:\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}
:\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r
:(a^r)^s = a^{r\cdot s}

### Rationala Exponent

De Umkeahfunktiaun zan Potenzian is des Wuazlziagn. Bei da n-ten Wurzl aas a hosd a nednegative Lösung, waun a aa koa negative Zoih is und n a natialiche Zoih gressa 1. De zwoate Wuazl nennd ma Quadrotwuazl, de dritte Kubikwuazl.

:\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}
:\sqrt[n]{a ^m} = ({\sqrt[n]{a}}) ^m = a^\frac{m}{n}
:\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}
: \over {\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{a \over b}
: \sqrt[n]} = \sqrt[n \cdot m]{a}
: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[n \cdot m]{a^{n+m}}
:\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a^{m-n}}

### Logarithmus

Ois Logarithmus vo ana Zoih a zua Basis b bezeichnd ma de Zoih x, de de Gleichung a = bx lösd. Des Logarithmian is a Umkeahoperation vom Potenzian:

:x = \log_b a \; \Leftrightarrow \; a = b^x &nbsp; (Logarithmus vo da Zoih a zua Basis b; a, b san positive reelle Zoihn)

Speziäufälle:

:\log_2 a = \operatorname{lb} a &nbsp; (binära Logarithmus)
:\log_e a = \ln a &nbsp; (natialicha Logarithmus)
:\log_{10} a = \lg a &nbsp; (dekadischa Logarithmus)
:\log_b 1 = 0
:\log_b b = 1

Logarithmangsetz':

:\lg_b ( a \cdot c ) = \log_b a + \log_b c
:\log_b \left( \frac{a}{c} \right) = \log_b a - \log_b c
:\log_b \left( a^c \right) = c \cdot \log_b a
:\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}

### Obsolutweat

Da Obsolutweat oda Betrog vo ana reelln oda komplexn Zoih is da Ohstaund vo Nui, des is imma a nednegative reelle Zoih.
* |x| = x, wenn x ≥ 0 
* |x| = −x, wenn x z = r \cdot e^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)

Rechnregln:

Addian und Subtrahian gehd aum oafochsdn in da Real-/Imaginärtäu-Doastöllung (z = x + yi); Muitiplizian, Dividian, Potenzian, Wuazlziahgn und Logarithmian aum gscheidan in da Polardoastöllung (z = r · eiφ).
:z_1+z_2 = (x_1+x_2) + (y_1+y_2)\,\mathrm i.
:z_1-z_2 = (x_1-x_2) + (y_1-y_2)\,\mathrm i.
:z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi_1+\varphi_2)}
:\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2)}
:z^n = r^n \cdot e^{\mathrm i n\varphi}
:\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r} \cdot e^{(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}}), \quad(k=0,1,\dots,n-1) (es gibd so vü Lösungan, de wiavüüte Wuazl doss ma haum)
:\ln z = \ln r + \mathrm i \varphi + k \cdot 2 \pi, \quad (k= 0, 1, 2, \dots) (es gibd unendli vü Lösungan)

### Summe, Produkt, Fakultet, Binominäukoeffizent

Fiara meahfoche Summe schreibd ma kuaz:

:\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n

Dessöwe gehd aa fia Produkte:

:\prod_{i=1}^n a_i = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n

Waun n a natialiche Zoih is, nocha is de Fakultet vo n:

:n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n = \prod_{k=1}^n k 

Waun a a reelle Zoih und k a natialiche Zoih is, is da Binominäukoeffizent a iwa k fuigndamoßn definiad:

:\binom{a}{k} = \frac{1}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} (a-i) = \frac{a \cdot (a-1) \cdot (a-2) \cdot ... \cdot (a-k+1) }{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k}

## Analytische Geometrie

### Koordinatn und Punkte

A jeda Punkt P in da Ebane wiad duach zwoa karthesische Koordinatn bschriebn, des san de Abszissn (x-Koordinatn) und de Ordinatn (y-Koordinatn). De x- und y-Achsn büdn de via Quadrauntn. Bam Polarkoordinatnsystem hosd'n Wingl undn Ohstaund zan Uasprung auge'm. 
Mi'm Pythagoras a² + b² = c² kaunsd da'n Ohstaund zwischn zwoa Punktn aasrechnan, waun de Koordinatn bekaund san.

### Grodn

A Grodn wiad duach an Punkt vo da Grodn und de Steigung bschriam.
:*k = (y<sub>2</sub> − y<sub>1</sub>)/(x<sub>2</sub> − x<sub>1</sub>)*
:*y − y<sub>0</sub> = k (x − x<sub>0</sub>)*

A Grodn y = kx + d ist parallöö zua y0 = k0x + d, waun k = k0 is. Noamäu drauf is', waun k · k0 = −1

### Kroas

A Kroas is de Menge vo oin Punktn vo ana Ebane, de wos an konstauntn Ohstaund zua am vuagebanan Punkt auf diesa Ebane (dem Middlpunkt M) haum. Da Ohstaund vo de Kroaspunkte zan Middlpunkt is da Radius r. De Gleichung fiaran Kroas mim Middlpunkt M (a, b) laut': (x − a)2 + (y − b)2 = r2.

### Ellipsn

A Ellipsn is a Keglschnitt; se wiad definiad ois de Menge vo oin Punktn vo ana Ebane, fia de de Summan vo de Ohständ zua zwoa gebanan Punktn F1 und F2 (Brennpunkte) gleich is. De Variabln a und b wean ois Hoibachsn vo da Ellipsn bezeichnd. Wauns gleich san, nocha is de Ellipsn a Kroas.

De Staundardfuam vo ana Ellipsn laut':

:\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.
Middlpunkt (x_0|y_0), Haptachsn parallöö zua x-Achsn

### Hyperbel

A Hyperbel is definiad ois de Mengan vo oin Punktn vo ana Ebane, fia de de absolute Diffarenz vo de Ohständ zua zwoa gebanan Punktn auf da Haptachsn, den Brennpunktn F1 und F2, konstant gleich 2a is.

De Gleichung vo ana Hyperbl in da easchtn Haptlagn laut' (x-Achsn ois Haptachsn):

:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= 1

In da zwoatn Haptlagn (y-Achsn ois Haptachsn):

:\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}= 1

### Parabl

A Parabl is definiad ois de Mengan vo oin Punktn vo ana Ebane, dean Ohstaund zua am speziöön festn Punkt (Brennpunkt) gleich dem zua ana speziöön Grodn (Leitlinian) is.

Oigmoane Fuam vo ana Parabl:

:y = ax^2 + bx + c \text{ mid } a,b,c \in \R, a \ne 0

Duach de quadrotische Eagänzung kriagsd:

:y=a(x-x_0)^2 + y_0 \ ,\ a\ne 0 midm Scheitl S=(x_0,y_0)

## Polynome

A Polynom is a endliche Summe vo Vüfochn vo Potenzn. Ois Grad vom Polynom wiad da häxde Exponent n bezeichnd, fia den doss da Koeffizient anxn ned nui is. De Nuistöön san de Weate vo x, wo da Funktiaunsweat nui is.
:P(x) = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \dotsb + a_{n-1}x^{n-1} + a_nx^n , \quad n \ge 0

Polynome vom Grod:

* 0 ... konstaunte Funktiaun
* 1 ... lineare Funktiaun
* 2 ... quadratische Funktiaun
* 3 ... kubische Funktiaun

Binomische Fuamln:

:(a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2
:(a-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2
:(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2

Quadrotische Eagänzung:

:a x^2 + b x + c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)

## Gleichungan

A Gleichung is a Ausdruck, wo jede Seitn vom Gleichheitszeichn gleich groß is.

### Lineare Gleichungan

A linare Gleichung muassd so laung umfuaman, bis de Unbekonnte aloa af ana Seitn stähd.
:ax + b = 0

### Quadrotische Gleichungan

Quadrotische Gleichungan kaunsd mid Lösungsfuamln oda mid da quadratischn Eagänzung lösn.

De oigmoane Fuam laut':

:a x^2 + b x + c = 0 &nbsp; mid a \ne 0

Da Ausdruck b2 −4ac wiad ois Diskriminante D bezeichnd.

Lösungan:

:x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} &nbsp; fois D > 0
:x = -\frac{b}{2 a} &nbsp; fois D = 0
:koa reelle Lösung fois D 

### Kubische und hähare Gleichungan

Kubische Gleichungan haum drei Lösungan, wo mindestns ane reell is. De beidn aundan san entweda beide reell oda beide komplex. Ma kauns mid da Cardanischen Fuaml lösn. Fia Gleichungan, de häha wia da viate Grod san, gibds koa oigmoane Lösungsfuaml, de wos nua mid de via Grundrechnoaten und'm Wuazlziagn aaskummd.

### Wurzlgleichungan

Waunst de Variable unta da Wurzl stehn hosd, is des a Wuazlgleichung. Ois easchtas isoliasd oa Wurzl und potenziasd daun mim Wuazlexponentn, so doss wecka foid. Dessöwe mochsd ba de aundan Wuazln. Wäu potenzian koa Äquivalentumfuamung ned is, muassd nocha no a Probm mochn.

### Gleichungan mid Obsolutweatn

In obsolutn Betrog vo ana reelln Zoih eahöötsd duach Weglossn vo an Vuazeichn. Waun Q a beliebiga Ausdruck und A ≥ 0 is, daun is de Gleichung |Q| = A äquivalent zua Q = ±A. Dassdn Obsolutweat vo ana Gleichung löst, muassd de Gleichung in Q = A und Q = −A auftäun.

## Ungleichungan

Lösn vo ana Ungleichung hoassd, dossd olle Weate findn muassd, de wos de Ungleichung eafüün. Im Gegnsotz zu Gleichungan kennan des aa unendli vü sei:

* waun x ≤ y, daun güüt x ± z ≤ y ± z 
* waun x ≤ y und z ≥ 0, daun güüt xz ≤ yz 
* waun x ≤ y und z ≤ 0, daun güüt xz ≥ yz
* waun x ≤ y −1(x)

### Exponentiäufunktiaun

A Exponentiäufunktiaun is a Funktiaun in da Fuam f(x) = a^x; x ∈ R mid da reelln Basis a > 0. De Exponentiäufunktiaun mid da eulerschen Zoih e = 2,718281... ois Basis is de e-Funktiaun.

### Trigonometrische Funktiaun

De wichtigstn Winglfunktiaunan san da Sinus, da Cosinus und da Tangens, sowia de Keahweate dovo - da Cosektans, Sektans und Cotangens.

:\begin{align}
\sin\alpha & = \frac{\text{Gegnkathete vo }\alpha}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{a}{c}\\
\cos\alpha & = \frac{\text{Ankathete vo }\alpha}{\text{Hypotenuse}} & = \frac{b}{c}\\
\tan\alpha & = \frac{\text{Gegnkathete vo }\alpha}{\text{Ankathete vo }\alpha} & = \frac{a}{b}\\
\end{align}

Waunst da den Wingl aasrechnan wüüst, brauchsd de Umkeahfunktiaun (Arkusfunktiaun).

A poa grundlegande Regln:

* sin(−θ) = −sin(θ)
* sin(π − θ) = sin(θ)
* sin(π + θ) = −sin(θ)
* sin(2π − θ) = sin(θ)
* cos(−θ) = cos(θ)
* cos(π−θ) = −cos(θ)
* cos(π + θ) = −cos(θ)
* cos(2π − θ) = cos(θ)
* tan(−θ) = −tan(θ)
* tan(π − θ) = −tan(θ)
* tan(π + θ) = tan(θ)
* tan(2π − θ) = tan(θ)
* sin(2α) = 2 sinα cosα
* cos(2α) = cos²α − sin²α 
* sin(π/2 + θ) = cosθ
* sin(π/2 − θ) = cosθ 
* cos(π/2 + θ) = −sinθ
* cos(π/2 − θ) = sinθ

A vulla Kroas (360°) entsprechn 2π. Da Wingl θ in Grad is gleichm Wingl (π/180)θ in Radiant. Da Wingl θ in Radiant is gleich'm Wingl (180/π)θ in Grod.

#### Sinus- und Cosinusfunktiaun

:*f(x) = A cos(B (x − φ)) + D*

*|A| ... Amplitudn
*T = (2π)/B ... Periodn
*D ... Middlweat oda Gleichauntäu
*φ ... Phasn

## Vektoan und Matritzn

### Vektoan

A Vektoa is a grichtde Gressn („a Pfäu“), dea wos duach an Betrog und a Richtung auge'm wiad. Beispü san: Gschwindigkeit, Kroft, elektrische Föödstärkn, ... 
As Gegntäu davau is a Skalar, des is a ungrichtde Gressn wia Massn, Temperatua, elektrisches Potenziäu, ...

A Vektor wiad mid an kloan Pfäu driwa gschriam, und es wean de Koordinotn in x-, y- und z-Richtung auge'm:

: \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} .

De Längan vom Vektoa is da Betrog, den kriagsd iwa'n Pythagoras:

: a = |\vec{a}| = \sqrt

* Vektoaprodukt (oda aa Kreizprodukt), des brauchsd, waunsd de afgspaunde Flächn vo zwoa Vektoan wissn wüsd, des is a Parallelograum:

: 
 \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
 

* Spatprodukt, des gibd da es afgspaunde Voluman ba drei Vektoan und is a Kombinatiaun aas de aundan beidn:

:(\vec a, \vec b, \vec c) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}
:(a negitiavs Vuazoachn kaunsd dobei ignorian)

### Matritzn

A Matrix is a rechteckige taböönfeamige Aunuadnung vo Elementn.

Matritzn kennan addiad wean, wauns gleich groß san, indemst oafoch jeds Element mim entschprechndn vo da aundan Matrix addiasd.

Beispü:

:
 \begin{pmatrix}
  1 & -3 & 2 \\
  1 & 2 & 7
 \end{pmatrix}
 +
 \begin{pmatrix}
  0 & 3 & 5 \\
  2 & 1 & -1
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
  1+0 & -3+3 & 2+5 \\
  1+2 & 2+1 & 7+(-1)
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
  1 & 0 & 7 \\
  3 & 3 & 6
 \end{pmatrix}


Fia's Muitiplizian vo ana Matrix mid an Skalar wiad jeds Element vo da Matrix mim Skalar muitipliziad, z.&nbsp;B.:

:5 \cdot
 \begin{pmatrix}
  1 & -3 & 2 \\
  1 & 2 & 7
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
  5 \cdot 1 & 5 \cdot (-3) & 5 \cdot 2 \\
  5 \cdot 1 & 5 \cdot  2 & 5 \cdot 7
 \end{pmatrix}
 =
 \begin{pmatrix}
  5 & -15 & 10 \\
  5 & 10 & 35
 \end{pmatrix}


Zwoa Matritzn kaunsd noch da fuigndn Fuaml midaranaund muitiplizian:

: c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}

Ois Traunsponiate vo ana m\times n-Matrix A = \left(a_{ij}\right) bezeichnd ma n\times m-Matrix A^T = \left(a_{ji}\right), oiso waunsd Spoitn und Zäun vatauschd.

De Inverse Matrix is de Keahmatrix, de wos mid da Ausgaungsmatrix muitipliziad de Eihheitsmatrix eagibd:

:A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E

Beispü:

De Inverse vo da Matrix

:A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

is

:A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix},

wäu güüt:

:A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-5 & -10+10 \\ 3-3 & -5+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E.

De Determinantn is a Matrix ois Zoih ausdrückd, des is des schräg iwa Kreiz Rechnan, z.&nbsp;B. vo da Matrix:

: 
 A=\begin{pmatrix}
 a & b \\
 c & d
 \end{pmatrix}


is de Determinantn:

: \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc.

## Schau aa

* Differenziäurechnung
* Integräurechnung

## Literatua

* Oskar Becker: *Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung*. Suhrkamp, Frankfurt a. M. 1975
* David Hilbert/Paul Bernays, Grundlagen der Mathematik, I-II, Berlin/Heidelberg/New York 2. A. 1970

## Im Netz
* 
* William S. Hatcher: Foundations of Mathematics. An Overview at the Close of the Second Millennium
* Geoffrey Hellman und John L. Bell: Pluralism and the Foundations of Mathematics
* David Hilbert: The Foundations of Mathematics (1927)
* A. Sakharov: Foundations of Mathematics Linksammlung