Eifiahrung in de Festigkeitslehr

De **Festigkeitslehr** (dt. *Festigkeitslehre*) bschäftigt se mim Zaumanhaung zwischn aißan Belostungan und innan Spaunnungan.

In da Trägalehr hauma se augschaut, wia ma uns bei an System mit ana gebanan Belostung de Auflogakräfte und de Schnittgressn ausrechnat. Owa es wiad an Untaschied mochn, waunst an 10&nbsp;m laungan Träga mit 50&nbsp;kN belostn duast, ob dea aus an Zuibrettl oda aus Bedau 30 Zanti broad und 70 hoch is. Drum hauma se a poa Queaschnittweate augschaut, wia de Queaschnittsflächn, es Statische Maument, es Trägheitsmaument und es Widastaundsmaument. Beim Zuibrettl mochts aa an Untaschied ob ma des hilegn oda hochkaunt stöön, genau des berücksichtigt des Trägheitsmaument, wäu do geht de Hechn mit da 3. Potenz ei.

De Schnittgressn und de Queaschnittsweate miass ma hiaz mitanaund kombinian, des moch ma mit Spaunnungan. Unsa Züü is, dass ma den Spaunnungsvalauf im Queaschnitt doastöön und de vuahaundanan Spaunnungan nochm semiprobabilistischn Sichaheitskonzept mit den hechstzualässign gegniwastöön. De vuahaundanan miassn natiali kloana sei ois wia des, wos es Materiäu aushoit, wäu sunst brichts zaum. Schau ma uns dazua a Beispü au, nocha sehts, dass goa ned so schwaa is, wia sa se im easchtn Maument vielleicht auhuacht.

## Beispü Oafödträga mit Zugkroft
Mia haum an Oafödträga, dea wos auf Zug und Biegung belost' wiad, den sui ma fia an IPE 220 aus S235J0 nochweisn und den Spaunnungsvalauf zoachna. De augebanan Kräft' san scho Design-Weate, des hoaßt, mit Sichaheitn.

De Auflogakräft' seh ma aum easchtn Blick, des Ah san -100&nbsp;kN, des Av san 7&nbsp;kN und des B aa 7&nbsp;kN. De Schnittgressn kau ma aa im Kopf rechnan, wea's ned glei siecht, schneidt hoid amoi in da Mittn duach und stööt de Gleichgewichtsbedingungan auf. Mia haum a Maument vo 20,3&nbsp;kNm, a Queakroft vo 7&nbsp;kN und a Noamäukroft vo 100&nbsp;kN.

### Biege- und Noamäuspaunnungan

Um de Spaunnungan auszanrechnan, nehma de Spaunnungsfuaml hea. Mia rechna's amoi gaunz obm und amoi gaunz untn.

: \sigma_{Ed} = \frac NA + \frac {M_y}{W_y} - \frac {M_z}{W_z} 

Maument um de z-Axn hauma ned, oiso foit dea Täu wecka.

: \sigma_{Ed} = \frac NA + \frac {M_y}{W_y} 

In de Fuaml setz ma hiaz ei. Noamäukroft und Maument hauma grod ausgrechnat, do nehma natiali de maximoin Weate, oiso de in Födmittn. Hiaz föht nua no de Queaschnittsflächn und es Widastaundsmaument. Mia haum an IPE 220, schau ma in Kropfnbaua oda in a sustige Taböön eine, nocha siechst de Queaschnittsflächn A = 33,4&nbsp;cm² und es Widastaundsmaument Wy = 252&nbsp;cm³. De positiave z-Richtung geht noch untn, oiso miass ma fia herobn es negatiave Widastaundsmaument eisetzn.

: \sigma_{Ed,o} = \frac {100}{33,4} + \frac {20,3}{-252} 
: \sigma_{Ed,o} = 2,99 - 8,06 
: \sigma_{Ed,o} = -5,07 \frac{kN}{cm^2} 

: \sigma_{Ed,u} = \frac {100}{33,4} + \frac {20,3}{252} 
: \sigma_{Ed,u} = 2,99 + 8,06 
: \sigma_{Ed,u} = 11,05 \frac{kN}{cm^2} 

Aus da Noamäukroft kriag ma a Noamäuspaunnung vo 2,99&nbsp;kN/cm² iwa'n gaunzn Queaschnitt, wäu's positiav is, is' a Zugspaunnung. Ausm Maument kriag ma a Biegespaunnung, de is obm a Druckspaunnung (denk ma auns Fraunkfuata Wiaschtl) vo -8,06&nbsp;kN/cm² und untn a Zugspaunnung vo +8,06&nbsp;kN/cm². De valaft linear iwa'n Queaschnitt, des hoaßt, in da Mittn auf da Hechn vom Schweapunkt is' nui. De Noamäuspaunnung und de Biegespaunnung addian ma mitanaund, do kummt fia obm a Weat vo -5,07 ausse und fia untn ana vo 11,05. Da Weat mim gressan Betrog is da moßgebande, mit dem geh ma in' Nochweis eine.

Bis hiaz hauma se de Eiwiakungsseitn augschaut, oiso wos ois auf unsan Träge fia Lostn kumman, des woa des σEd. Ois nächstas miass ma uns des σRd ausrechna, des is de Widastaundsseitn, oiso wiavü Kilonewtn hoit da Stoi pro Quadrotzentimeda aus. A S235 hod a charaktaristische Fliaßgrenzn fyk vo 235&nbsp;N/mm², des san 23,5&nbsp;kN/cm². Nochm semiprobabilistischn Sichaheitskonzept rechnat ma se den Design-Weat fia de Widastaundsseitn noch da fuigendn Fuaml aus:

: f_{yd} = \frac {f_{yk}}{\gamma_{M0}} 

Da Täusichaheitsbeiweat γM0 is im Stoibau glei 1,0, wäu de Eignschoftn vom Stoi san iwaroi gleich guad, do braucht ma koa zusätzliche Sichaheit.

: f_{yd} = \frac {23,5}{1,0} 
: f_{yd} = 23,5 \frac{kN}{cm^2} 

De Fliaßgrenzn nehma hiaz ois σRd au, wäu a Festigkeit is aa nix aundas wiara Spaunnung, des kennts eich meakn, und zwoa genau de maximoi aufnehmboare Spaunnung, oiso de wos es Materiäu aushoid.

Da Trogsichaheitsnochweis fia de (Biege-)Noamäuspaunnungan schaut daun so aus:

: \sigma_{Ed} \le \sigma_{Rd} 
: 11,05 \frac{kN}{cm^2} \le 23,5 \frac{kN}{cm^2} 

Geht se locka aus, da kenntad ma a kloanas Profüü wöhn und des gaunze no amoi rechna.

### Schubspaunnungan
De Fuaml fia de Schubspaunnungan laut':
: \tau_{Ed} = \frac {V_z \cdot S_y}{I_y \cdot t} 

De Dickn vom Steg san bei an IPE 220 5,9&nbsp;mm, oiso 0,59&nbsp;cm, des maximole Statische Maument 143&nbsp;cm³ und es Trägheitsmaument 2770&nbsp;cm4, des san ois Taböönweate. Und de Queakroft san 7&nbsp;kN, dabei san bei den Schubspaunnungan de Vuazeichn ned so wichtig, wäu's eh in Richtung vom Schubfluss wiakn. Mit de Weate gengan mia in de Fuaml eine.
: \tau_{Ed} = \frac {7 \cdot 143}{2770 \cdot 0,59} 
: \tau_{Ed} = 0,61 \frac{kN}{cm^2} 

De Schubspaunnungan wean zan Großtäu vom Steg aufgnumma, des bissl wos de Flaunsche iwanehman, kenn ma vanochlässign. Des maximole Statische Maument is des auf da Hechn vom Schweapunkt, oiso hauma uns grod de Schubspaunnungan auf da Hechn vom Schweapunkt ausgrechnat. Waun ma des in jeda Stöö rechna, weama sehn, dass da Valauf vo de Schubspaunnan im Steg a quadratische Parabl is. De Weate herobn und heruntn intressian uns eigantli ned, wäu fia'n Nochweis is sowieso da Maximoiweat moßgebend.

Da Widastaundsweat fia de Schubspaunnungan is de Fliaßgrenzn vom Stoi brochn duach de Wuazl vo 3.
: \tau_{Rd} = \frac {f_{yd}}{\sqrt3} 
: \tau_{Rd} = \frac {23,5}{\sqrt3} 
: \tau_{Rd} = 13,57 \frac{kN}{cm^2} 

Und da Nochweis geht se aa aus.
: \tau_{Ed} \le \tau_{Rd}
: 0,61 \frac{kN}{cm^2} \le 13,57 \frac{kN}{cm^2} 

### Vagleichsspaunnung
Waun ma scho dabei san, rechma aa no de Vagleichsspaunnung. Wauns σEd kloana gleich 0,5 · σRd oda es τEd kloana gleich 0,5 · τRd is, daspoat ma se's eigantli.

: \sigma_v = \sqrt {\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2 - \sigma_x \cdot \sigma_y - \sigma_x \cdot \sigma_z - \sigma_y \cdot \sigma_z + 3\cdot (\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2 + \tau_{yz}^2)}

Mia haum nua a einachsige Biegung, oiso bleibt iwa:
: \sigma_{v,Ed} = \sqrt {\sigma_{x,Ed}^2 + 3 \cdot \tau_{xz,Ed}^2}
: \sigma_{v,Ed} = \sqrt {11,05^2 + 3 \cdot 0,61^2}
: \sigma_{v,Ed} = 11,10 \frac{kN}{cm^2} \le \sigma_{Rd} = 23,5 \frac{kN}{cm^2} 

Passt aa, kenn ma jausnan geh.

## Schau aa
* Statik