Statik

De **Statik** is a Täugebiet vo da Mechanik und bschäftigt se mim Gleichgwicht vo ruhendn Kräftn. Waunst a Bewegung drin hosd, nocha bist in da Dynamik. De Baustatik hod de Aufgob, fiara Bauweak de Trogsysteme zan festlegn und draus de Lostn und de statischn Beaunspuchungan (Biegemaument, Queakroft und Noamäukroft) rechnarisch zan eamittln. Nocha kau da Bautäu dimensiauniat wean, indem de auftretandn Spaunnungan den zualässign gegniwa gstööt wean. Aa de Gebrauchstauglichkeit und Staundsichaheit san zan berücksichtign.

## Lostaunauhman und Sichaheitskonzepte

Auf jeds Gebaide wiakn Kräft', de wean in Lostn umgrechnat und miassn van Doch zan Fundament ohgleit' wean. Ma untascheidt:
* Ständige Lostn (Eigngwicht)
* Vaändaliche Lostn: Nutzlostn, Windlostn, Schneelostn, Eadbebmlostn, Temparatuabeaunspruchugan, Eaddruck, ...

Auf de eamittltn Lostn wiad no a Sichaheit draufgschlogn. Dofia gibt's de fuigendn Methodn, heidzutog is de letztare übli:
* Detaministisches Sichaheitskonzept
* Probabilistisches Sichaheitskonzept
* Semiprobabilistisches Sichaheitskonzept

## Trägalehr'

Jeds Trogweak muass iagendwo glogat sei, und zwoa so, dass sa se oisa Gaunzas ned vaschiam kau, sunst deds owefliang. Ma untascheidt drei Oatn vo Auflogan:
* Vaschieblichs Loga (oda beweglichs Loga): kau nua a Kroft senkrecht zua Vaschiebungsebanan aufnehma und se vadrahn und vaschiam, des hoaßt, es hod oa Auflogareaktiaun (1-weatigs Aufloga), z.&nbsp;B. Ruinloga, Gleitloga, Gummiloga owa aa a Pendlstützn.
* Glenkigs Loga (Fests Loga, Kipploga): kau a Kroft in beidn Richtungan aufnehma, owa es kau se vadrahn, des hoaßt, koa Maument aufnehma. Hod oiso zwoa Auflogareaktiaunan (2-weatigs Aufloga), z.&nbsp;B. Glenkloga, Schneidnloga, Wöözloga.
* Eispaunnung: kau se weda vaschiam no vadrahn, des is a 3-weatigs Aufloga, wos drei Auflogareaktiaunan aufnehma kau.

### Statisch bstimmte Trogweake

Bei statisch bstimmtn Systeman kennan de Auflogakräft' duach de Gleichgewichtsbedingungan berechnat wean. Bei an ebanan System hosd drei Gleichungan, des hoaßt, du deafst aa nua so vü unbekaunte Auflogareaktiaunan haum. Drei Gleichungan und drei Unbekaunte, des kenn ma lösn, wia ma aus da Mathematik wissn. De drei Auflogakräft' deafn ned parallöö sei und se ned aun oan Punkt schneidn. De dritte Auflogareaktiaun kau aa a Maument sei, wia ma's bei ana Eispaunung haum. Da Vuatäu vo an statisch bstimmtn System is, dass sa se bei Temperatuaschwaunkungan frei ausdehnan kau und dahea koane Zwängsspaunnungan auftredn.

In jedm Bautäu wiakn aa innare Kräfte, des san de drei Schnittgressn. Waun ma an Träga in da Mittn gedaunkli ausanaund schneidt, wiakn auf beidn Schnittufan a Biegemaument, a Queakroft und a Noamäukroft; de gleich groß, owa entgegngsetzt gricht' san. Waun ma se nua oan Täu vo an System auschaut, muass dea aa im Gleichgwicht sei (aißare Beaunspruchungan und Schnittgressn).

De Noamäukroft wiakt in da Richtung vo da Stobaxn (x-Axn), oiso noamäu zan Queaschnitt. De Queakroft wiakt quea zua Stobaxn (in de Richtung vo da z- oda y-Axn). Es Maument draht bei an zwoadimensiaunäun System um de y-Axn, waun de Belostung vo obm kummt, kau owa aa um de beidn aundan Axn drahn. A Maument um de x-Axn nennt ma Toasiaunsmaument. De Vuazeichn vo de Schnittgressn kaunst da ned aussuachn: de positiave Noamäukroft wiakt imma vom Schnittufa wecka, de positiave Queakroft geht bei an linkn Schnittufa noch owezua und bei an rechtn noch auffezua. Es positiave Maument is so definiat, dass de Kennfosa zogn wiad. Waunst da de drei Schnittgressn aun jeda Stöö van Träga auschaust, nocha kriagst de Maumentn-, Queakroft- und Noamäukroftlinie, de wos ihn Valauf vo da entsprechandn Gressn iwa'd gaunze Läng' doastöön.

Waun ma vo an Träga mit ana Gleichlost q a gaunz a kloans Stickl mit da Längan dx ausseschneidt und in de Gleichgwichtsbedingungan eisetzt, nocha siechst, wos de Linian fia an Zaumanhaung haum:

: \sum V = 0 
: - V(x) + (V(x) + dV) + q(x) \cdot dx = 0 

: \sum M = 0 
: - M(x) + (M(x) + dM) - V(x) \cdot dx + q(x) \cdot \frac{dx^2}{2} = 0 

Waunst de Diffarenziäugleichungan auflöst, kummt ausse:

: \frac{dV}{dx} = -q 
: \frac{dM}{dx} = V 

Des hoaßt, de Queakroftlinie ohgleit' eagibt de negatiave Belostung und de Maumentnlinie ohgleit' eagibt de Queakroftlinie. Waunst koa Belostung hosd, bleibt de Queakroft konstaunt und es Maument steigt linear au. A Oanzlkroft vauasocht an Sprung in da Queakroftlinie und an Knick in da Maumentnlinie. Bei ana konstauntn Gleichlost valaift de Queakroftlinie linear und de Maumentnlinie is a quadrotische Parabl. Bei ana linearn Gleichlost is de Queakroftlinie a quadrotische Parabl und de Maumentnlinie a kubische Parabl.

#### Oafödträga, Krogträga, Schiefe Träga, Knickte Träga

Oafödträga, Krogträga, Schiefe Träga, Knickte Träga und Mischfuaman davau rechnat ma olle nochm sööm Prinzip. Mit de Gleichgwichtsbedingungan rechnast da zeascht de Auflogakräft' und nocha de Schnittgressn aus.

De Gleichgwichtsbedingungan lautn, de Summan vo oin hurizontoin und veatikoin Kräftn (bzw. Kroftkomponentn), sowia vo oin Biegemaumentn is nui. 
: \sum F_H = 0 
: \sum F_V = 0 
: \sum M = 0 

Mit de drei Gleichungan kaunst Systeme mit drei unbekauntn Auflogareaktiaunan rechna.

Bei an dreidimensionäun System muass de Summan vo oin Kräftn in olle drei Richtungan sowia vo oin Maumentn um olle drei Axn glei nui sei.
: \sum F_x = 0 
: \sum F_y = 0 
: \sum F_z = 0 
: \sum M_y = 0 
: \sum M_z = 0 
: \sum M_T = 0 

Wäu ma sechs Gleichungan haum, braucht ma fiara statisch bstimmts System aa sechs Auflogareaktiaunan, z.&nbsp;B. Ax, Ay, Az, By, Bz, MTb. Des MTb is a Toasiaunsauflogamaument, dass se da Träga ned um sei eigane Axn draht.

Fian Schnittgressnvalauf muasst auf olle Stöön schneidn, wo a Kroft oda a Maument augreift, wäu duatn ändat se de Linie.

Fia haifige Belostungsfälle san in Taböönweakn scho featiche Fuamln auge'm. Zan Beispü fiaran Oafödträga mit ana Oanzlkroft F in Födmittn kriagst de Auflogakräfte, Maumente und Duachbiegungan wia fuigt ausse:
: A_v = B = \frac{F}{2} 
: M_{max} = \frac{F \cdot l}{4}  (in Födmittn)
: w_{max} = \frac{F \cdot l^3}{48 \cdot E \cdot I}  (in Födmittn)

Fiaran Oafödträga mit ana Gleichlost q iwa'd gaunze Läng' schaut's so aus:
: A_v = B = \frac{q \cdot l}{2} 
: M_{max} = \frac{q \cdot l^2}{8}  (in Födmittn)
: w_{max} = \frac{5 \cdot q \cdot l^4}{384 \cdot E \cdot I}  (in Födmittn)

Und fiaran Krogträga mit da Kroft F aum frein End eagibt se:
: A_v = F 
: M_{min} = -F \cdot l  (beim Aufloga)
: w_{max} = \frac{F \cdot l^3}{3 \cdot E \cdot I}  (beim F)

mit:
* l ... Spaunweidn
* E ... Elastizitätsmodui
* I ... Trägheitsmaument

Bei schrägn Trägan (z.&nbsp;B. de Sporrn beim Dachl) miassn de innan Kräfte van lokoin, gneigtn Kooadinotnsystem umgrechnat wean, des is hoid a bissal a Sinus/Cosinus-Spülarei. Bei knicktn Trägan (z.&nbsp;B. Stiagn) wiad de Kennfosa mit ana strichliatn Linian auftrogn, dassd woaßt, wohinsd es positiave Maument auftrogn muasst.
Nochm Iwalogarungsprinzip kennan de Belostungan aa auftäut und oanzlt grechnat wean, es kummt ollawäu des söwe ausse.

#### Fochweake

A Fochweak bsteht aus oanzlnan Stäbn, de hauptsächli auf Noamäukroft (Druck oda Zug) beaunsprucht wean und duach Gelenke vabundn san. Damit a Fochweak stabüü is, muass' imma aus Dreieckn bstehngan. A statisch bstimmts Fochweak muass doppelt so vü Knotn haum, wia's Auflogareaktiaunan und Stäbe zaum hod. De Auflogakräfte rechnast da gaunz noamäu wia bei an Oafödträga aus. De Stobkräfte kaunst duach de fuigandn Vafoahn eamittln:
* Rundschnittvafoahn: es wiad oa Knotn aussegschnittn und de Gleichgewichtsbedingungan *Summan vo de hurizontoin Kräftn is nui* und *Summan vo de veatikoin Kräftn is nui* augsetzt, schräge Kräfte wean in de Hurizontoi- und Veatikoikomponentn zalegt. Du beginnst bei oan Knotn, wosd nua zwoa Unbekaunte hosd, und hauntlst di vo Knotn zua Knotn.
* Ritterschnittvafoahn (benaunt nochm August Ritter): do schneidst in da Mittn duach, maximoi duach drei Stäbe. Duatn, wo se zwoa schneidn, host an Rittapunkt. Nocha rechnast *de Summan vo de Maumente uman Rittapunkt is nui*, da foin de beidn Stobkräfte wecka, wäu's koan Heblsoam haum, so kriagst de Kroft van drittn Stob ausse.
* Culman'sches Vafoahn: Do schneidtst in da Mittn duach und büdst Täuresultiarende vo de aißan Kräfte.
* Cremonaplan: des is de Summan vo de Kroftecke aun de oanzalnan Knotn. Aufaungan duasd bei an Knotn mit hechstns zwoa Unbekauntn. Da Umlaufsinn kau frei gwöht, muss owa daun beibehoidn wean. Nochm Aufzoachna vo de aißan Kräfte hängst fia jedn Knotn ihn zuaghearign Kräfteplan mim gleichn Umlaufsinn ei. Die Reichnfuig, mit deast de Knotn eihängst, is wuascht.


Fachwerk2.png|Oafochs Fochweak mit quadrotischn Föödan und mit Druckstrebm, drunta da Noamäukroftvalauf: in de Diagonoin is Druck, im Untaguat Zug, da Rest san Nuistäb'.
Fachwerk3.png|Dessöwe mit Zugstrebm, do is in de Diagonoin natiali Zug, im Owaguat und in de Veatikoin is Druck.
Fachwerk4.png|Rundschnitt uman Knotn links obm vo an Fochweak. Da O1 is 0 und des V1 is van Betrog gleich wia de Belostung, owa negatiav, wäu genau daun de Summan nui is. 
Fachwerk5.png|Rittaschnittvafoahn, fias U1 miass ma unam RP1 drahn und fias O1 uman RP2
Cremona.PNG|A Cremonaplan


#### Meahtäulige Trogweake

##### Geabaträga
Geabaträga (benaunt nochm Gerber Heinrich) valaufn iwa mehrare Fööda und san im Vagleich zan Duachlaufträga statisch bstimmt, wäu's Gelenke drinad haum. In an Gelenk is es Maument ollawäu nui; de Gelenke kennan nua Quea- und Noamäukräfte iwatrong. Im Vagleich zua ana Oafödträgakettn, wo de Gelenke imma beim Aufloga san, hod da Geabaträga ihn Vuatäu, dass de Duachbiagungan kloana wean, waun de Gelenke gschickt aug'uadnat san (ca. im Drittlpunkt).

Zan rechnan zalegst ihn Träga gedaunkli. De Gelenkskräfte wean wia noamäule Kräfte bzw. Auflogakräfte behaundlt und so kaunst des System wia lauta Oafödträga und Oafödträga mit Krogoame rechna.

##### Dreigelenksrauhman und Dreigelenksbögn

Dreigelenkrauhman bstehngan aus grodn Stäbn und haum in de Mittn a Scheitlgelenk und zwoa Auflogagelenke. Se san dahea statisch bstimmt und kennan gaunz noamäu grechnat wean. Dreigelenksysteme eazeign ollawäu Hurizontäukräfte aum Aufloga, de ohgleit' wean miassn. Da Vuatäu is de Montage in zwoa Täun.

### Statisch unbestimmte Trogweake

Waunst meah Auflogakräfte ois wia Gleichgewichtsbedingungan oda Maumentnbedingungan (in an Glenk is es Maument nui) hosd, nocha is dei System statisch unbstimmt. Des san z.&nbsp;B. Duachlaufträga, Rauhman, Bognträga, Hängeweake, Sprengweake und Flächntrogweake. Um de lösn zan kenna, brauchst no zuasätzli Vafuamungsbedingungan.

Lösungsvafoahn:
* Clapeyron'sche Gleichung (Dreimaumentngleichung)
* Winkler'sche Zoihntofln  
* Prinzip vo de virtuöön Kräfte
* Kroftgressnvafoahn
* Maumentnweate fia Duachlaufträga noch Löser 
* Maumentnausgleich noch Cross
* Näharungsvafoahn vo Engesser
* Graphische Behaundlung vo Duachlaufträgan

#### Rauhman
Rauhman san Trogweak', wo da Stüü mim Riagl biegesteif mitanaund vabundn is, so dassd auf da Eckn koa Glenk, sundan a Eispaunnung hosd. Daduach kriagst a kloanas Födmaument. Fia de wichstigstn Rauhmanfälle, wia aa fia Bognträga, Hänge- und Sprengweake san in Taböönweakn scho featiche Fuamln auge'm.

#### Flächntrogweake
Flächntrogweake san ebane Bautäu', wo de Dickn im Vagleich zua de aundan Ohmessungan kloa is. Ma untascheidt:
* Scheibm: wean nua in ihra Ebanan belost'
* Plottn: wean noamäu dazua belost'
* Schoin: des is a krümmts Flächntrogweak

## Festigkeitslehr'

Es wiad an Untaschied mochn, waunst an 10&nbsp;m laungan Träga mit 50&nbsp;kN belostn duast, ob dea aus an Zuibrettl oda aus Bedau 30 Zanti broad und 70 hoch is. Des berücksichtigt de Festigkeitslehr', do wean hiaz de Schnittgressn aus da Trägalehr' mim Queaschnitt und ihm Materiäu kombiniat, des mocht ma mit Spaunnungan. Ois easchtas rechnast da amoi de Queaschnittweate aus: 
* Queaschnittsflächn
* Statisches Maument
* Trägheitsmaument
* Widastaundsmaument

Beim Zuibrettl mochts aa an Untaschied, ob ma des hilegn oda hochkaunt stöön, genau des berücksichtigt des Trägheitsmaument, wäu do geht de Hechn mit da drittn Potenz ei.

Ma untascheidt de fuigendn Spaunnungsoatn: noamäu zan Queaschnitt: 
* Noamäuspaunnungan (Zug- und Druckspaunnungan), heavoagruafn duach Noamäukräfte
* Biegespaunnungan, heavoagruafn duach Biegemaumente

Taungentiäu zan Queaschnitt:
* Schub- und Scheaspaunnungan, heavoagruafn duach Queakräfte bzw. Scheakräfte
* Toasiaunsspaunnungan, heavoagruafn duach Toasiaunsmaumente

De Spaunnung wos auftritt, oiso des σEd, muass nochm Semiprobabilistischn Sichaheitskonzept natiali kloana sei, ois wia des, wos es Materiäu aushööt, z.&nbsp;B. a Baustoi S235 hoid 235&nbsp;N/mm² aus, des san 23,5&nbsp;kN/cm² ois σRd. Waun ma'n weida belostn, gibt's bleibende Vafuamungan, bis a iagandwaun zaumbricht.

De Fuamln fia de (Biege-)Noamäuspaunnung und de Schubspaunnung lautn:

: \sigma_{Ed} = \frac NA + \frac {M_y}{W_y} - \frac {M_z}{W_z} \le \sigma_{Rd} 

mit:
* σ ... (Biege-) Noamäuspaunnung [kN/cm²]
* N ... Noamäukroft [kN]
* A ... Queaschnittsflächn [cm²]
* My, Mz ... Biegemaument um de y- bzw. z-Axn [kNcm]
* Iy, Iz ... Trägheitsmaument fia de y- bzw. z-Axn [cm4]
* y, z ... Ohstaund vom Schweapunkt in y- bzw. z-Richtung bis zu dera Stöö, wosd de Spaunnung rechna wüüst [cm]

: \tau_{Ed} = \frac {V_z \cdot S_y}{I_y \cdot t} \le \tau_{Rd} 

mit:
* τ ... Schubspaunnung [kN/cm²]
* Vy, Vz ... Queakroft in y- bzw. z-Richtung [kN]
* Sy, Sz ... Statisches Maument fia de y- bzw. de z-Axn [cm³]
* Iy, Iz ... Trägheitsmaument fia de y- bzw. z-Axn [cm4]
* t ... Broadn vom Träga (bei Stoiprofüün de Stegdickn) [cm]

De resuitiarande Kroft vo de Schubspaunnungan nennt ma Schubfluss.

Waun a Träga scho vuiständig auf Biegespaunnung ausglost' is, nocha kau a koa Schubspaunnung oda sunstwos aufnehma, desweng muass ma se aa de sognaunte Vagleichsspaunnung ausrechna, wo de oanzalnan Spaunnungsoatn mitanaund kombiniat wean.

De genaun Nochweise eafuign je noch Materiäu, zan Beispü beim Stoibedau muasst da no de eafuadaliche Beweahrung ausrechna.
* Stoibedaubau, Spaunbedaubau
* Stoibau
* Stoibedau-Stoi-Vabundbau
* Aluminiumbau
* Huizbau
* Mauaweaksbau
* Grundbau

## Stabilität

Bei an auf Druck belostetn Bautäu, z.&nbsp;B. ana Stützn, hauma no des Problem, dass seitli Ausknickn kau. Waunst da a Lineäu vuastööst, des wosd senkrecht aum Tisch stööst und nocha draufdruckst, solaungs grod steht, wiads einigs aushoidn. Owa soboids sa se seitli ausbeult und du weida draufdruckst, nocha kaunst das vagessn, wäu daun kriagst a Maument eine und des Gaunze bricht zaum. Des Knickproblem is grod im Stoibau vo Bedeitung, wäu da hauma dünne, schlaunke Bautäu.

Des hoaßt, mia miassn uns aa des vafuamte System auschaun, des is de sognaunte Theorie II. Uadnung.

Wia gehma da vua? Mia schaun easchta, wos ma fia a Knicklängan haum, de is ohhängig van Eulerfoi. Ausm Queaschnitt kriagst ihn Trägheitsradius, und draus de Schlaunkheit und nocha de Bezuagsschlaunkheit und ihn Schlaunkheitsgrod. Mim Schlaunkheitsgrod gehst in de Taböön vo de Eiropäischn Knicklinian eine, wost an Ohmindarungsfaktor χ fia Knickn ausse kriagst und nocha kaunst gaunz noamäu ihn Nochweis fiahrn. De Kroft, wos aufn Stob kummt, muass kloana sei ois wia des, wos a inkl. Ohmindarungsfaktor aushoid.

## Fuamändarungan
Fia de Gebrauchstauglichkeit is' wichtig, dass de Vafuamungan wia Duachbiegungan, Auflogavadrehungan etc. in an gwissn Rauhman blei'm. A Noamäukroft fiaht zua ana Längsdehnung, a Biegemaument zua ana Vakrümmung, a Queakroft zua ana Gleitung und a Toasiaunsmaument zua ana Vadrillung. 
:  \epsilon = \frac{N}{E \cdot A} 
:  \kappa = \frac{M}{E \cdot I} 
:  \gamma = \frac{V}{G \cdot A} 
:  \vartheta = \frac{M_T}{G \cdot I_T} 

mit:
* ε ... Dehnung
* N ... Noamäukroft
* EA ... Dehnsteifigkeit (Elastizitätsmodui moi Queaschnittsflächn)
* κ ... Krümmung
* M ... Biegemaument
* EI ... Biegesteifigkeit (Elastizitätsmodui moi Trägheitsmaument)
* γ ... Gleitung
* V ... Queakroft
* GA ... Schubsteifigkeit (Schubmodui moi Queaschnittsflächn bei Vuiwaundqueaschnittn)
* ϑ ... Vadrillung 
* MT ... Toasiaunsmaument
* GIT ... St. Venantsche Toasiaunssteifigkeit (Schubmodui moi Toasiaunsträgheitsmaument)

Waunst an Stob ausdehnst, nocha wiad a aa a bissal dünna wean, des nennt ma Queadehnung.

Dass de zweite Ohleitung van Maument de easchte Ohleitung vo da Queakroft, und de gleich da negativn Belostung is, des hauma scho gsehn. 
:  M* = V' = -q </math>

De Vafuamungan haum ihn sööm Zaumanhaung mitanaunda: De zweite Ohleitung vo da Duachbiagung is glei da easchtn Ohleitung vo da Winklvadrehung und de gleich da negatiavn Krümmung. 
:<math>  w* = \varphi' = - \kappa 

Wäu de Krümmung nix aundas is, wia's Maument duach de Biegesteifigkeit, kau ma sogn, de viate Ohleitung vo da Duachbiegung is de Belostung, de muasst no duach de Biegesteifigkeit duachdividian, wäu's jo aufn Queaschnitt und aufs Materiäu aukummt.
:  \kappa = \frac{M}{E \cdot I} 
:  w^{(4)} = \frac{q}{E \cdot I} 

Diesn Zaumanhaung nutzt ma bei de fuigendn Vafoahn, wora Easotzträga mit da Maumentnlinie belost' und nocha davau de Maumentnlinian ausgrechnat wiad, des is daun de Duachbiagung.
* Mohr'sches Vafoahn
* Prinzip vo de virtuöön Vaschiabungan
* Prinzip vo de virtuöön Kräfte

## Im Netz
* Dlubal RSTAB, des is a Prograum, mit demst de Statik rechna kaunst

## Literatua
* Kofler, Fritsch, Möslinger: *Statik* Baund 1-3, Manz-Valog
* Lohmeyer, Baar: *Baustatik* Baund 1-2, Vieweg+Teubner-Valog
* Krapfenbauer: *Bautabellen*, Jugend&Volk-Valog
* Polzer, Pilgram, Kothmayer: Skriptum *Statik und Festigkeitslehre*
* Rubin: Skriptum *Baustatik*