Иррациональ һан

**Иррациона́ль һан** — ул рациональ булмаған ысын һан, йәғни \frac{m}{n} күренешендәге кәсер рәүешендә күрһәтеп булмаған һан, бында m — бөтөн һан, n — натураль һан. Иррациональ һанды сикһеҙ периодлы булмаған унарлы кәсер рәүешендә күрһәтеп була.

Иррациональ һандар күмәклеге ғәҙәттә баш латин хәрефе \mathbb I менән тамғалана. Шулай итеп: \mathbb I =\R\backslash  \Q, йәғни иррациональ һандар күмәклеге ысын һәм рациональ һандар күмәклектәре айырмаһы.

Иррациональ һандарҙың, дөрөҫөрәге, берәмек оҙонлоҡтағы киҫек менән үлсәүҙәш киҫектәрҙең барлығы тураһында боронғо математиктар белгәндәр: уларға, мәҫәлән, квадраттың яғы менән диагоналының үлсәүҙәш булмауы билдәле булған, был \sqrt 2 һанының иррациональ һан булыуына тиң.

## Үҙсәнлектәре
* Ике ыңғай иррациональ һандарҙың суммаһы рациональ һан булырға мөмкин.
* Иррациональ һандар рациональ һандар күмәклегендә Дедекинд киҫелештәрен билдәләйҙәр, уларҙың түбәнге класында иң ҙур, ә юғары класында иң бәләкәй һан юҡ.
* Һәр ысын трансцендент һан иррациональ һан була.
* Һәр иррациональ һан йә алгебраик, йә трансцендент һан була.
* Иррациональ һандар күмәклеге һанлы тура һыҙыҡта бөтә урында тығыҙ: теләһә ниндәй төрлө ике һан араһында иррациональ һан бар.
* Иррациональ һандар күмәклегендә тәртип ысын трансцендент һандар күмәклегендәге тәртипкә изоморфлы.
* Иррациональ һандар күмәклеге иҫәпһеҙ, икенсе категория күмәклек булып тора.

## Миҫалдар

Иррациональ һан булып торалар:
* \sqrt{n}, теүәл квадрат булмаған теләһә ниндәй натураль n һаны өсөн
* \ln x, теләһә ниндәй ыңғай рациональ x\ne 1 һаны өсөн
* \pi, шулай уҡ \pi^n, теләһә ниндәй бөтөн n \ne 0 һаны өсөн

## Иррационаллекте иҫбатлауға миҫалдар

### 2-нән тамыр

Киреһе дөрөҫ тип уйлайыҡ: \sqrt{2} рациональ һан, йәғни \frac{m}{n} күренешендәге кәсер рәүешендә күрһәтеп була, бында m — бөтөн һан, ә n — натураль һан.

Уйланылған тигеҙлекте квадратҡа күтәрәбеҙ:
: \sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.
Тигеҙлектең һул яғында каноник тарҡалмаға 2 һаны йоп дәрәжәлә инә, ә 2n2 тарҡалмаһына — таҡ дәрәжәлә. Шуға күрә m2=2n2 тигеҙлеге мөмкин түгел. Тимәк, баштағы уйланылған фекер дөрөҫ булмаған, һәм \sqrt{2} — иррациональ һан.

### 3 һанының икеле логарифмы

Киреһе дөрөҫ тип уйлайыҡ: \log_2 3 рациональ, йәғни \frac{m}{n} күренешендәге кәсер рәүешендә күрһәтеп була, бында m һәм n — бөтөн һандар. \log_2 3 > 0 булғанлыҡтан, m һәм n ыңғай һандар итеп һайлап алып була. Ул саҡта
: \log_2 3 = \frac{m}{n} \Rightarrow m = n \log_2 3 \Rightarrow 2^m = 2^{n \log_2 3} = \left (2^{\log_2 3}\right )^n = 3^n
Ләкин 2^m йоп, ә килеп сыҡҡан тигеҙлектең уң яғы таҡ. Ҡапма-ҡаршылыҡ килеп сыға.

### ''e''

Ҡара. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e».

## Тарихы

### Антиклыҡ
Манава (яҡынса б. э. тиклем 750 й. — 690 й.) 2 һәм 61 кеүек ҡайһы бер натураль һандарҙың квадрат тамырҙары асыҡтан-асыҡ күрһәтелә алмай икәнен асыҡлағандан һуң, иррациональ һандар концепцияһын һинд математиктары беҙҙең эраға тиклем VII быуатта асыҡтан-асыҡ ҡабул итмәйҙәр.

Иррациональ һандар бар икәнен беренсе иҫбатлаусы тип Метапонттан пифагорсы Гиппас (яҡынса б. э. тиклем 500 й.) иҫәпләнә.
Пифагорсылар осоронда, шундай берҙәм киҫек берәмеге бар, етерлек бәләкәй һәм бүленмәҫ, ул теләһә ниндәй киҫеккә бөтөн һан тапҡыр инә тип иҫәпләгәндәр.

Гиппастың ниндәй һан иррациональ булыуын иҫбатлауы тураһында аныҡ ҡына мәғлүмәт юҡ.
Легенда буйынса, ул уны пентаграмма яҡтарын өйрәнгәндә таба.
Шуға күрә был алтын киҫелеш тип уйлау дөрөҫөрәк була.

Грек математиктары был үлсәүҙәш булмаған дәүмәлдәрҙең сағыштырмаһын *алогос* (күрһәтеп булмаған) тип атағандар, ләкин легендаларға ҡарағанда, улар Гиппасҡа тейешле хөрмәт күрһәткәндәр.
Шундай легенда бар, Гиппас диңгеҙҙә сәйәхәттә йөрөгәндә асыш яһай, һәм башҡа пифагорсылар, «ер йөҙөндә, ер йөҙөндәге бөтә нәмәләр ҙә бөтөн һандарға һәм уларҙың бүлендегенә ҡайтарып ҡалдырыла алалар, тигән доктринаны кире ҡағыусы элемент булдырғаны өсөн» уны борт аша һыуға ташлайҙар.

Гиппастың асышы, бөтә теорияның нигеҙендә ятыусы, һандар һәм геометрик объекттар берҙәм һәм бүленгеһеҙ тигән фекерҙе емереп, пифагорсы математика алдына етди проблема ҡуя.

Феодор Киренский 17-гә тиклемге натураль һандарҙың тамырҙары иррациональ булыуын иҫбат иткән (әлбиттә, теүәл квадраттарҙы — 1, 4, 9 һәм 16 төшөрөп ҡалдырып), ләкин шунда туҡтап ҡалған, сөнки уның инструментарийында булған алгебра 17-нән квадрат тамырҙың иррационаллеген иҫбатларға мөмкинлек бирмәгән.
Был иҫбатлау ниндәй булырға мөмкин ине тигән һылтау менән математика тарихсылары төрлө бер нисә тәҡдим индерәләр. Иң дөрөҫкә яҡыныраҡ фараз буйынса , ул таҡ квадрат һан һигеҙгә бер ҡалдығы менән бүленә тигән теоремаға нигеҙләнгән булған.

Һуңғараҡ Евдокс Книдский (б. э. тиклем 410 йәи 408 й. — 355 йәки 347 й.) пропорциялар теорияһын үҫтерә, ул рациональ, шулай уҡ иррациональ сағыштырмаларҙы ла иғтибарға ала. Был иррациональ һандарҙың фундаменталь асылын аңлауға нигеҙ булып тора. Дәүмәл һан тип иҫәпләнмәй башлай, ләкин тура һыҙыҡ киҫеге, мөйөш, майҙан, күләм, ваҡыт аралығы кеүек дәүмәлдәрҙең тамғаланышы — өҙлөкһөҙ үҙгәрә алған дәүмәлдәрҙең (был һүҙҙең хәҙерге мәғәнәһендә). Дәүмәлдәр, бер һандан икенсеһенә «һикереп» кенә үҙгәрә алған, мәҫәлән, 4-тән 5-кә, һандарға ҡапма-ҡаршы ҡуйыл. Һандар иң бәләкәй бүленмәй торған дәүмәлдән төҙөлә, ә был ваҡытта дәүмәлдәрҙе сикһеҙ бәләкәйләтергә мөмкин.

Дәүмәлгә бер ниндәй ҙә миҡдар ҡиммәте ярашлы ҡуйылмағас, Евдокс кәсерҙе ике дәүмәлдең сағыштырмаһы һәм пропорцияны ике кәсерҙең тигеҙлеге тип билдәләгәндә, үлсәүҙәш тә, һәм үлсәүҙәш булмаған да дәүмәлдәрҙе йәлеп итә ала. Тигеҙләмәләрҙән миҡдар ҡиммәттәрен (һандарҙы) алып ташлап, ул иррациональ дәүмәлдәрҙе һан тип атау кәрәклегенән торған ҡапҡандан ҡотола. Евдокс теорияһы грек математиктарына, үлсәүҙәш булмаған дәүмәлдәр менән эшләү өсөн логик нигеҙләү тәьмин итеп, геометрияла мөмкин булмаған прогрессҡа өлгәшергә мөмкинлек бирә. Евклидтың «Начала» унынсы китабы иррациональ дәүмәлдәрҙе классификациялауға арналған.

### Урта быуаттар
Урта быуаттар тәүҙә һинд, аҙаҡ ҡытай математиктарының ноль, тиҫкәре һандар, бөтөн һәм кәсер һандар кеүек төшөнсәләр ҡабул итеүе менән билдәләнде. Аҙағыраҡ ғәрәп математиктары ҡушыла, улар беренсе булып тиҫкәре һандарҙы алгебраик объекттар тип иҫәпләй башлайҙар (ыңғай һандар менән бер рәттән һәм тигеҙ хоҡуҡта), был хәҙерге алгебра тип аталған дисциплинаның үҫешенә булышлыҡ итте.

Ғәрәп математиктары «һандар» һәм «дәүмәлдәр» тигән боронғо грек төшөнсәләрен берҙәм, дөйөмөрәк ысын һандар идеяһына берләштерәләр. Улар Евклидтың сағыштырмалар тураһында күҙаллауына тәнҡит менән ҡарайҙар, уға ҡаршы улар теләһә ниндәй дәүмәлдәрҙең сағыштырмаһы теорияһын үҫтерәләр һәм һан төшөнсәһен өҙлөкһөҙ дәүмәлдәр сағыштырмаһына тиклем киңәйтәләр. Евклидтың «Книга 10 Элементов» хеҙмәтенә комментарийҙарында фарсы математигы Аль Махани (яҡынса б. э. 800 й.) квадратик иррациональ һандарҙы (күренешендәге һандар) һәм дөйөмөрәк кубик иррациональ һандарҙы тикшерә һәм классификациялай. Ул рациональ һәм иррациональ дәүмәлдәргә билдәләмә бирә, уларҙы тап ул иррациональ һандар тип атай. Ул был объекттар менән еңел таянып эш итә, ләкин үҙенә башҡа объекттар тураһында һымаҡ фекер йөрөтә, мәҫәлән:

Евклидтың дәүмәлдәр беренсе нәүбәттә тура һыҙыҡтарҙың киҫектәре тигән концепцияһына ҡаршы, Аль Махани бөтөн һандарҙы һәм кәсерҙәрҙе рациональ, ә квадрат һәм куб тамырҙарҙы — иррациональ дәүмәлдәр тип иҫәпләй. Ул шулай уҡ иррациональ һандар күмәклегенә арифметик ҡараш индерә, тап ул түбәндәге дәүмәлдәрҙең иррациональ булыуын күрһәтә:

Египет математигы Абу Камил (яҡынса б. э. 850 й. — 930 й.) иррациональ һандарҙы — нигеҙҙә, квадрат йәки кубик тамырҙар, шулай уҡ дүртенсе дәрәжә тамырҙар күренешендә, квадрат тигеҙләмәләрҙең тамыры йәки тигеҙләмәләрҙәге коэффициенттар тип таныуҙы ҡабул итерлек тип һанаусы беренсе математик. X быуатта ираҡ математигы Аль Хашими иррациональ һәм рациональ һандарҙың ҡабатландығының, бүлендегенең, һәм башҡа математик үҙгәртеүҙәр һөҙөмтәләренең иррационаллеген дөйөм иҫбатлау ысулын (ә күргәҙмә геометрик демонстрация түгел) сығара. Ал Хазин (б. э. 900 й. — 971 й.) рациональ һәм иррациональ дәүмәлдәргә түбәндәге билдәләмә бирә:

Һуңғараҡ, XII быуатта ғәрәп текстарын латинға күсергәндән һуң, был идеяларҙың күбеһен Европа математиктары үҙләштерәләр. Магрибтан ғәрәп математигы, мираҫ тураһында ислам закондарында махсуслашҡан Аль Хассар, XII быуатта кәсерҙәр өсөн хәҙерге символлы математик нотация индерә, числитель һәм знаменателде горизонталь һыҙыҡ менән айыра. Шундай уҡ нотация артабан XIII быуатта Фибоначчи хеҙмәттәрендә күренә. XIV—XVI быуаттар дауамында Сангамаграманан Мадхава һәм Керал астрономия һәм математика мәктәбенең вәкилдәре, ниндәйҙер иррациональ һандарға йыйылыусан сикһеҙ рәттәрҙе тикшерәләр, мәҫәлән, π-гә, шулай уҡ ҡайһы бер тригонометрик функцияларҙың иррационаллеген күрһәтәләр. Джестадева был һөҙөмтәләрҙе «Йуктибхаза» китабында килтерә.

### Яңы ваҡыт
XVII быуатта математикала комплекслы һандар ныҡ нығыналар, уларҙы өйрәнеүгә Абрахам де Муавр (1667—1754) Леонард Эйлер (1707—1783) ҙур өлөш индерәләр. Комплекслы һандар теорияһы XIX быуатта йомоҡ һәм аныҡ була, шулай итеп Евклидтың иррациональ һандарҙы классификациялау буйынса хеҙмәттәрен төшөнөп етеп, иррациональ һандарҙы алгебраик һәм трансцендент һандарға классификациялау мөмкин була (шуның менән бергә трансцендент һандарҙың булыуын иҫбатлап). Был тема буйынса 1872 йылда Вейерштрасстың, Гейненың, Канторҙың һәм Дедекиндтың хеҙмәттәре баҫылып сыға. 1869 йылда уҡ Мерэ Гейне хеҙмәттәренә оҡшаш тикшеренеүҙәр башлаһа ла, тап 1872 йыл теорияның тыуған йылы тип иҫәпләү ҡабул ителгән. Вейерштрасс, Кантор һәм Гейне үҙҙәренең теорияларын рәттәр ярҙамында нигеҙләйҙәр, ә Дедекинд, бөтә рациональ һандарҙы билдәле бер характерлы үҙсәнлектәргә эйә ике күмәклеккә бүлеп, ысын һандар күмәклегенең (хәҙер аталғанса) дедекинд киҫелештәре менән эшләй.

Иррациональ һандар менән тығыҙ бәйләнгән сынйырлы кәсерҙәрҙе (бирелгән һанды кәүҙәләндергән сынйырлы кәсер шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына сикһеҙ, әгәр һан иррациональ булһа), беренсе булып Катальди 1613 йылда тикшерә, сынйырлы кәсерҙәр артабан яңынан Эйлерҙың хеҙмәттәрендә үҙҙәренә иғтибар йәлеп иттерәләр, ә XIX быуат башында — Лагранж хеҙмәттәрендә. Дирихле шулай уҡ сынйырлы кәсерҙәр теорияһы үҫешенә һиҙелерлек өлөш индерә. 1761 йылда Ламберт сынйырлы кәсерҙәр ярҙамында \pi рациональ һан булмауын иҫбат итә, шулай уҡ x-тың теләһә ниндәй нулдән айырмалы рациональ ҡиммәтендә e^x һәм \operatorname{tg} x иррациональ булыуын иҫбатлай. Ламберттың иҫбатлауын тамамланмаған тип иҫәпләп булһа ла, ул етерлек дәрәжәлә ҡәтғи тип иҫәпләнә, бигерәк тә уның яҙылыу ваҡытын иҫәпкә алғанда. Лежандр 1794 йылда, Бессель — Клиффорд функцияһын индергәндән һуң, \pi^2 иррациональ булыуын күиҫбатлаған, бынан \pi һанының иррационаллеге килеп сыға (рациональ һандың квадраты рациональ һан булыр ине).

Трансцендент һандарҙың барлығын Лиувилль 1844—1851 йылдарҙа иҫбатлай. Һуңғараҡ Георг Кантор (1873) уларҙың барлығын, икенсе ысул ҡулланып иҫбатлай һәм, ысын рәттең теләһә ниндәй интервалында сикһеҙ күп трансцендент һандар булыуын нигеҙләй. Шарль Эрмит 1873 йылда *e* трансцендент һан икәнен иҫбатлай, ә Фердинанд Линдеман 1882 йылда, был һөҙөмтәгә таянып, \pi һанының трансцендентлығын күрһәтә. Линдеманндың иҫбатлауын аҙаҡ Вейерштрасс 1885 йылда ябайлаштыра, Давид Гильберт 1893 йылда тағы ла нығыраҡ ябайлаштыра, аҙаҡ килеп, Адольф Гурвиц һәм Пауль Гордан тарафынан элементар тиерлек хәлгә еткерелә.

## Иҫкәрмәләр