Позицион иҫәпләү системаһы

**Позицион иҫәпләү системаһы** (**позицион нумерация**) — һандың яҙылышында һәр һанлы тамғаның (цифрҙың) ҡиммәте уның позицияһына (разрядына) бәйле булған иҫәпләү системаһы.

__TOC__

## Тарихы

Цифрҙарҙың урыны буйынса ҡиммәтенә нигеҙләнгән позицион нумерлауҙы шумерҙар һәм  вавилонсылар уйлап тапҡан тип иҫәпләнә. Аҙаҡҡы периодта бындай нумерацияны индустар үҫтерәләр һәм цивилизация  тарихында баһалап бөткөһөҙ эҙемтәләргә киләләр. Бындай системалар иҫәбенә унарлы иҫәпләү системаһы инә, уның барлыҡҡа килеүе бармаҡтар менән иҫәпләүгә бәйле. Урта быуаттар Европаһына ул итальян сауҙагәрҙәре аша килеп инә, улар үҙ сиратында Урта Азия халҡынан үҙләштергәндәр.

## Билдәләмәләр

Позицион иҫәпләү системаһы, иҫәпләү системаһының **нигеҙе** тип аталған бөтөн b > 1 һаны менән билдәләнә. Нигеҙе b булған иҫәпләү системаһы шулай уҡ b**-арлы** (айырым әйткәндә, *икеле*, *өсәрле*, *унарлы* һәм башҡа) иҫәпләү системаһы тип атала.

Тамғаһыҙ x бөтөн һаны b-арлы иҫәпләү системаһында b һаны дәрәжәләренең сикле һыҙыҡлы комбинацияһы рәүешендә күрһәтелә :
: x = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k, бында \ a_k —   0 \leq a_k \le b-1 тигеҙһеҙлеген ҡәнәғәтләндергән, **цифрҙар** тип аталған бөтөн һандар.
Был яҙылышта һәр \ b^k базис элементы **[[Һанлы разряд|разряд]]** (**позиция**) тип атала, разрядтарҙың һәм уларға ярашлы цифрҙарҙың ололоғо разрядтың (позицияның) номеры \ k (дәрәжә күрһәткесенең ҡиммәте) менән билдәләнә.

b-арлы иҫәпләү системаһында n позицияһы ярҙамында 0-дән b^n-1-гә тиклем  диапазондағы бөтөн һандарҙы яҙырға мөмкин, йәғни бөтәһе төрлө b^n һан.

## Һандарҙы яҙыу
Әгәр төрлөсә уҡыу мөмкинлеге тыумаһа (мәҫәлән, бөтә цифрҙар ҙа уникаль яҙма тамғалар рәүешендә күрһәтелгән), \ x һаны уның b-арлы цифрҙары эҙмә-эҙлелеге рәүешендә, уңдан һулға ҡарай разрядтары ололоғо кәмей барыу тәртибендә теҙеп яҙыла:
: x = a_{n-1} a_{n-2}\dots a_0.
Нулдән айырмалы \ x һанында баштағы нулдәр ғәҙәттә яҙылмай.

Нигеҙҙәре, 36-ны ла индереп, 36-ға тиклем булған иҫәпләү системаларында һандарҙы яҙыу өсөн цифрҙар (тамғалар) сифатында ғәрәп цифрҙары ҡулланыла (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) һәм, аҙаҡ, латин алфавиты хәрефтәре (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z). Шуның менән бергә, a = 10, b = 11 һәм башҡа шулай, ҡайһы берҙә x = 10.

Бер үк ваҡытта бер нисә иҫәпләү системаһы менән эшләгәндә, уларҙы айырыу өсөн ғәҙәттә системаның нигеҙе аҫтағы индекс рәүешендә күрһәтелә, нигеҙ унарлы системала яҙыла:
: 123_{10} — был 123 һаны унарлы иҫәпләү системаһында;
: 173_8 — шул уҡ һан һигеҙәрле иҫәпләү системаһында;
: 1111011_2 — шул уҡ һан, ләкин икеле иҫәпләү системаһында;
: 0001\ 0010\ 0011_{10} = 000100100011_{BCD} — шул уҡ һан, ләкин унарлы цифрҙары икеле кодланған унарлы иҫәпләү системаһында (BCD);
: 11120_{3N} — шул уҡ һан, ләкин симметрик булмаған өсәрле иҫәпләү системаһында;
: 1iiii0_{3S} = 177770_{3S} = 122220_{3S} = +----0_{3S} — шул уҡ һан, ләкин симметрик өсәрле иҫәпләү системаһында, «i», «7», «2» һәм «−» тамғалары «−1»-ҙе аңлата, «1» һәм «+» тамғалары «+1»-ҙе аңлата.

Ҡайһы бер махсус өлкәләрҙә нигеҙҙе күрһәтеүҙең айырым ҡағиҙәләре ҡулланыла. Мәҫәлән, программалауҙа алтмышарлы система ошолай тамғалана:
* ассемблерҙә һәм конкрет телгә бәйләнмәгән дөйөм төрҙәге яҙыуҙарҙа, h хәрефе менән (**h**exadecimal һүҙенән) һандың аҙағында (синтаксис Intel);
* Паскалдә «$» тамғаһы менән һандың алдында;
* Си һәм күп башҡа телдәрҙә 0x йәки 0X комбинацияһы менән (he**x**adecimal һүҙенән) башта.

Си теленең ҡайһы бер диалекттарында  «0x»-ҡа оҡшашлыҡ буйынса икеле һандарҙы тамғалау өсөн «0b» префиксы ҡулланыла («0b» тамғалауы ANSI C стандартына инмәй).

## Миҫалдар

* **2** — икеле (дискретлы математикала, информатикала, программалауҙа)
* **3** — өсәрле иҫәпләү системаһы
* **4** — дүртәрле иҫәпләү системаһы
* **8** — һигеҙәрле (программалауҙа)
* **10** — унарлы иҫәпләү системаһы
* **12** — ун икеле (борон киң ҡулланылған, ҡайһы бер айырым өлкәләрҙә хәҙер ҙә ҡулланыла)
* **16** — ун алтылы (күберәк программалауҙа ҡулланыла, шулай уҡ шрифттарҙа)
* **20** — егермеле (майя һәм ацтектарҙа ҡулланылған)
* **40** — ҡырҡарлы иҫәпләү системаһы (борон ҡулланылған: айырып әйткәндә, *«ҡырҡ ҡырҡың»* = 1600)
* **60** — алтмышарлы (Боронғо Вавилонда ҡулланылған, ә аҙағыраҡ боронғо грек астрономдары тарафынан йондоҙҙарҙың мөйөшсә координаталарын (оҙонлоғон һәм киңлеген) һәм ваҡытты үлсәгәндә ҡулланғандар). Хәҙерге көндә лә тәүлек ваҡытын үлсәүҙә ҡулланыла.

## Үҙсәнлектәре
Позицион иҫәпләү системаһы бер нисә үҙсәнлеккә эйә:

* Иҫәпләү системаһының нигеҙе уның үҙендә һәр саҡ 10 тип яҙыла; мәҫәлән, икеле иҫәпләү системаһында 10 2 һанын аңлата. Был раҫлау унар иҫәпләү системаһына ҡулланыла алмай, унда бер генә цифр ҡулланыла.
* *x* һанын *b*-арлы иҫәпләү системаһында яҙыу өсөн \lfloor\log_b x\rfloor + 1 цифр талап ителә, бында \lfloor\cdot\rfloor һандың бөтөн өлөшөн алыуҙы аңлата.
* Позицион иҫәпләү системаһында яҙылған һандарҙы, алдан уларҙы башта торған нулдәр менән бер үк оҙонлоҡҡа тиклем тигеҙләгәндә,  разрядтары буйынса  сағыштырырға мөмкин. Был ваҡытта сағыштырыу өлкәнерәк разрядтан бәләкәйерәгенә, бер һандағы цифр икенсе һандағы ярашлы цифрҙан ҙурыраҡ булғанға тиклем дауам итә. Мәҫәлән, унарлы иҫәпләү системаһында яҙылған 321 һәм 312 һандарын сағыштырыу өсөн бер үк разрядтарҙағы цифрҙар һулдан уңға сағыштырыла:
** 3 = 3 — һандарҙы сағыштырыу һөҙөмтәһе әлегә билдәһеҙ;
** 2 &gt; 1 — беренсе һан ҙурыраҡ (ҡалған цифрҙарға бәйһеҙ рәүештә).
: Шулай итеп, һандарҙың позицион иҫәпләү системаһында яҙылышында, был яҙыуҙар  башта торған нулдәр менән бер үк оҙонлоҡҡа тиклем тигеҙләнгәндә, һандарҙағы тәбиғи тәртип лексикографик тәртипкә ярашлы. 
* Һандар өҫтөндә арифметик ғәмәлдәр. Позицион иҫәпләү системаһы, тик бер урынлы һандарҙы ҡушыу таблицаһын, ә ҡалған өс ғәмәл өсөн тағы ла ярашлы системала ҡабатлау таблицаһын (ҡарағыҙ, мәҫәлән, бағаналап бүлеү) белгән хәлдә, бер ҡыйынлыҡһыҙ ҡушыу, алыу, ҡабатлау, бүлеү һәм ҡалдыҡлы бүлеү ғәмәлдәрен башҡарырға мөмкинлек бирә.

### Экономиялыҡ

Нигеҙе b булған иҫәпләү системаһы цифрлы техникала, һәр береһе һандың цифрҙарын кодлаусы b  төрлө торошто ҡабул итә алған триггерҙар йыйылмаһынан торған регистрҙар менән тормошҡа ашырыла. Был ваҡытта *иҫәпләү системаһының экономиялылығы* — мөмкин тиклем әҙ һандағы дөйөм тамғалар ярҙамында мөмкин тиклем күберәк һандағы һандарҙы күрһәтеү мөмкинлеге — бигерәк тә ҙур әһәмиәткә эйә. Әгәр триггерҙар һаны r-ға тигеҙ булһа, ул саҡта дөйөм тамғалар һаны m=r\cdot b-ға тигеҙ, ә улар ярҙамында яҙылырға мөмкин булған һандар һаны ярашлы рәүештә — b^r=b^{\frac{m}{b}}. b-нан функция булараҡ, был аңлатма  b ''e'' = 2,718281828… һанына тигеҙ булғанда үҙенең максимум ҡиммәтен ҡабул итә, b-ның бөтөн ҡиммәттәрендә b = 3 булғанда максимумына өлгәшә. Шулай итеп, өсәрле иҫәпләү системаһы (өсәрле ЭВМ-дарҙа ҡулланылған) иң экономиялыһы була, уның артынса икеле иҫәпләү системаһы (ғәҙәттә күпселек киң таралған ЭВМ-дарҙа ҡулланылған) һәм дүртәрле иҫәпләү системаһы килә.

Иҫәпләү системаһының экономиялылығын эквивалентлы тасуирлауҙы, мәғлүмәти энтропия төшөнсәһен ҡулланып алырға була. Һандың яҙылышында һәр цифрҙың күренеүенең тигеҙ ихтималлығы шарттарында, *n*-разрядлы һанды нигеҙе *b* булған иҫәпләү системаһында яҙыуҙың мәғлүмәти энтропияһы n\tfrac{\ln b}{b} ҡиммәтен ҡабул итә (даими коэффициентҡа тиклем аныҡлыҡ менән). Шуға күрә нигеҙе *b* булған иҫәпләү системаһында һандарҙың *яҙыу тығыҙлығы* (йәғни, бер разрядҡа мәғлүмәт миҡдары) \tfrac{\ln b}{b}-ға тигеҙ, ул шулай уҡ иң ҙур ҡиммәтен *b* = *e* булғанда, ә *b*-ның бөтөн ҡиммәттәре өсөн *b* = 3 булғанда ҡабул итә.

## Икенсе нигеҙгә күсеү

### Унарлы иҫәпләү системаһына күсереү
Әгәр һан b-арлы иҫәпләү системаһында

: a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0 тигеҙ булһа,

ул саҡта уны унарлы иҫәпләү системаһына күсереү өсөн ошондай сумманы иҫәпләйбеҙ:
: \sum_{k=0}^{n-1} a_k\cdot b^k

йәки, асығыраҡ күренештә:
: a_{n-1}\cdot b^{n-1} + a_{n-2} \cdot b^{n-2} + \ldots + a_1 \cdot b^1 + a_0 \cdot b^0,

йәки, аҙаҡ килеп, Горнер схемаһы күренешендә:
: ((\ldots(a_{n-1} \cdot b + a_{n-2}) \cdot b + a_{n-3}) \ldots ) \cdot b + a_0.

Мәҫәлән:

: 1011002 =
:: = 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 =
:: = 1 · 32 + 0 · 16 + 1 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 0 · 1 =
:: = 32 + 8 + 4 + 0 = 4410

### Унарлы иҫәпләү системаһынан күсереү
; Бөтөн өлөшө
# Унарлы һандың бөтөн өлөшөн, унарлы һан нулгә тигеҙ булғанға тиклем, эҙмә-эҙ нигеҙгә бүлергә.
# Бүлгәндә табылған ҡалдыҡтар кәрәкле һандың цифрҙары булып торалар. Яңы системала һанды һуңғы ҡалдыҡтан башлап яҙалар.
; Кәсер өлөшө
# Унарлы һандың кәсер өлөшөн күсерергә кәрәк булған системаның нигеҙенә ҡабатлайбыҙ. Бөтөн өлөшөн айырабыҙ. Кәсер өлөшөн яңы системаның нигеҙенә ҡабатлауҙы, ул нулгә тигеҙ булғанға тиклем дауам итәбеҙ.
# Яңы системала һанды, ҡабатлау һөҙөмтәһенең табылыу тәртибендә яҙылған бөтөн өлөштәре төҙөй.

; Миҫал
44_{10} һанын икеле системаға күсерәйек:
 44-те 2-гә бүләбеҙ. бүлендек 22, ҡалдыҡ 0
 22-не 2-гә бүләбеҙ. бүлендек 11, ҡалдыҡ 0
 11-ҙе 2-гә бүләбеҙ. бүлендек  5, ҡалдыҡ 1
  5-те 2-гә бүләбеҙ. бүлендек  2, ҡалдыҡ 1
  2-не 2-гә бүләбеҙ. бүлендек  1, ҡалдыҡ 0
  1-ҙе 2-гә бүләбеҙ. бүлендек  0, ҡалдыҡ 1
Бүлендек нулгә тигеҙ, бүлеү тамамлана. Хәҙер бөтә ҡалдыҡтарҙы аҫтан өҫкә ҡарай яҙып 101100_2 һанын табабыҙ.

### Икеле иҫәпләү системаһынан һигеҙле һәм ун алтылы иҫәпләү системаһына күсеү
Был типтағы операциялар өсөн ябайлаштырылған алгоритм бар.

Һигеҙле иҫәпләү системаһы өсөн — күсерелә торған һанды 2-нең дәрәжәһенә тигеҙ булған цифрҙар һанына бүлгеләйбеҙ (2, һанды күсерергә кәрәк булған системаның нигеҙе килеп сыҡһын өсөн күтәрергә кәрәк булған дәрәжәгә күтәрелә (2³=8), был осраҡта 3, йәғни триад). Триадаларҙы триадалар  таблицаһы буйынса үҙгәртәбеҙ:
 000 0 100 4
 001 1 101 5
 010 2 110 6
 011 3 111 7

Ун алтылы иҫәпләү системаһы өсөн — күсерелә торған һанды 2-нең дәрәжәһенә тигеҙ булған цифрҙар һанына бүлгеләйбеҙ (2, һанды күсерергә кәрәк булған системаның нигеҙе килеп сыҡһын өсөн күтәрергә кәрәк булған дәрәжәгә күтәрелә (24=16), был осраҡта 4, йәғни тетрад). Тетрадтарҙы тетрадтар таблицаһы буйынса үҙгәртәбеҙ:
 0000 0 0100 4 1000 8 1100 C 
 0001 1 0101 5 1001 9 1101 D
 0010 2 0110 6 1010 A 1110 E
 0011 3 0111 7 1011 B 1111 F

Миҫал:
 үҙгәртәбеҙ 1011002
 һигеҙле — 101 100 → 548
 ун алтылы — 0010 1100 → 2C16

### Һигеҙле һәм ун алтылы иҫәпләү системаһынан икеле иҫәпләү системаһына күсереү
Был типтағы операциялар өсөн ябайлаштырылған алгоритм бар.

Һигеҙле система өсөн — таблица буйынса триплеттарға үҙгәртәбеҙ
 0 000 4 100
 1 001 5 101
 2 010 6 110
 3 011 7 111

Ун алтылы система өсөн — таблица буйынса квартеттарға үҙгәртәбеҙ
 0 0000 4 0100 8 1000 C 1100 
 1 0001 5 0101 9 1001 D 1101
 2 0010 6 0110 A 1010 E 1110
 3 0011 7 0111 B 1011 F 1111

Миҫал:
 үҙгәртәбеҙ
 548 → 101 100
 2C16 → 0010 1100

### Икеле иҫәпләү системаһынан һигеҙле һәм ун алтылы иҫәпләү системаһына күсереү
Кәсер өлөшөн икеле иҫәпләү системаһынан һигеҙле һәм ун алтылы иҫәпләү системаһына күсереү һандың бөтөн өлөшөн күсергәндәге кеүек тормошҡа ашырыла, тик шул айырма менән, октаваларға һәм тетрадтарға бүлеү унарлы өтөрҙән уңға ҡарай бара, тулмаған разрядтар уңдан нулдәр менән тултырыла. Мәҫәлән, юғарыла ҡаралған 1100,0112 һаны 14,38 йәки C,616 күренешендә буласаҡ.

### Ирекле иҫәпләү системаһынан унарлы иҫәпләү системаһына күсереү
Икеле 1100,0112 һанын унарлы иҫәпләү системаһына күсереү миҫалын ҡарайыҡ. Был һандың бөтөн өлөшө 12-гә тигеҙ (юғарыла ҡарағыҙ), ә бына кәсер өлөшөн күсереүҙе ентекләп ҡарайыҡ:
:  0,011 = 0 \cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3} = 0 + 0,25 + 0,125 = 0,375.

Шулай итеп, 1100,0112 = 12,37510.

Теләһә ниндәй иҫәпләү системаһынан күсереү тап шулай уҡ тормошҡа ашырыла, тик «2» урынына системаның нигеҙе ҡуйыла.

Күсереү уңайлы булһын өсөн, һандың бөтөн һәм кәсер өлөштәрен айырым күсерәләр, ә һөҙөмтәне аҙаҡ берләштерәләр.

### Унарлы иҫәпләү системаһынан ирекле системаға күсеү
Һандың кәсер өлөшөн башҡа иҫәпләү системаларына күсереү өсөн уның бөтөн өлөшөн нулгә әйләндерергә һәм килеп сыҡҡан һанды күсерергә кәрәк булған системаның нигеҙенә ҡабатлай башларға кәрәк. Әгәр ҡабатлау һөҙөмтәһендә яңынан бөтөн өлөш барлыҡҡа килһә, килеп сыҡҡан бөтөн өлөштөң ҡиммәтен иҫтә ҡалдырып (яҙып ҡуйып), уны ҡабаттан нулгә әйләндерергә кәрәк. Кәсер өлөшө тулыһынса нулгә әйләнгәс операция тамамлана. Түбәндә 103,62510 һанын икеле иҫәпләү системаһына күсереү миҫалы килтерелә.

Бөтөн өлөшөн юғарыла тасуирланған ҡағиҙә буйынса күсереп табабыҙ 10310 = 11001112.
 0,625-те 2-гә ҡабатлайбыҙ. Кәсер өлөшө 0,250. Бөтөн өлөшө 1.
 0,250-не 2-гә ҡабатлайбыҙ. Кәсер өлөшө 0,500. Бөтөн өлөшө 0.
 0,500-ҙө 2-гә ҡабатлайбыҙ. Кәсер өлөшө 0,000. Бөтөн өлөшө 1.
Шулай итеп, өҫтән аҫҡа 1012 һанын алабыҙ. Шуға күрә 103,62510 = 1100111,1012

Тап шулай уҡ теләһә ниндәй нигеҙле иҫәпләү системаһына күсереү башҡарыла. 

Баштан әйтеп китергә кәрәк, был миҫал махсус һайланған, дөйөм осраҡта һандың кәсер өлөшөн унарлы иҫәпләү системаһынан башҡа иҫәпләү системаларына күсереүҙе бик һирәк осраҡта тамамлауға өлгәшеп була, шуға күрә, күпселек осраҡта, күсереүҙе бер ни тиклем хата менән башҡарырға мөмкин. Өтөрҙән һуң тамғалар ни тиклем күберәк булһа, шул тиклем күсереү һөҙөмтәһенең яҡынса ҡиммәте дөрөҫкә яҡыныраҡ була. Әгәр, мәҫәлән, 0,626 һанын икеле кодҡа күсереп ҡарағанда, был һүҙҙәрҙең дөрөҫлөгөнә еңел ышанып була.

## Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

### Рациональ һандарҙың яҙылышы
x рациональ һаны b-арлы иҫәпләү системаһында b һанының дәрәжәләренең һыҙыҡлы комбинацияһы (ғөмүмән алғанда, сикһеҙ) рәүешендә күрһәтелә:
: x = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots)_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{\infty} c_k b^{-k}
бында a_k — бөтөн өлөшөнөң цифрҙары (айырғысҡа тиклем), c_k — кәсер өлөшөнөң цифрҙары (айырғыстан һуң), n — бөтөн өлөшөнөң разрядтары һаны.

b-арлы иҫәпләү системаһында тик \frac{q}{b^m}, бында m һәм q — бөтөн һандар, күренешендә күрһәтергә мөмкин булған рациональ һандарҙың ғына ахырғы яҙыуы бар:
: \frac{q}{b^m} = (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0 , c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b = \sum_{k=0}^{n-1} a_k b^k + \sum_{k=1}^{m} c_k b^{-k},
бында (a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_1 a_0)_b һәм (c_1 c_2 \ldots c_{-m})_b  q-ны b^m-нә бүлгәндә ярашлы рәүештә бүлендектең һәм ҡалдыҡтың b-арлы яҙылышы булып торалар.

\frac{q}{b^m} күренешендә күрһәтеп булмаған рациональ һандар периодлы кәсерҙәр рәүешендә яҙылалар.

### Симметрик иҫәпләү системалары
**Симметрик (тигеҙләшкән, тамға разрядлы) иҫәпләү системаһы** шуның менән айырыла, цифрҙарҙы \{0, 1, \ldots, b-1\} күмәклегенән түгел, ә \left\{0-\left(\tfrac{b-1}{2}\right),1 -\left(\tfrac{b-1}{2}\right), \ldots,(b-1)-\left(\tfrac{b-1}{2}\right)\right\} күмәклегенән алып ҡулланалар. Цифрҙар бөтөн булһын өсөн, b таҡ булырға тейеш. Симметрик иҫәпләү системаларында һандың тамғаһы өсөн өҫтәлмә тамғалауҙар кәрәкмәй. Бынан тыш, симметрик системаларҙа иҫәпләүҙәр шуның менән уңайлы, түңәрәкләү өсөн айырым ҡағиҙәләр кәрәкмәй — ул артыҡ разрядтарҙы ябай алып ташлауға ҡайтып ҡала, был иҫәпләүҙәрҙең систематик хаталарын ҡырҡа кәметә.

Йышыраҡ симметрик өсәрле иҫәпләү системаһы \{-1,0,1\} цифрҙары менән ҡулланыла. Ул өсәрле логикала ҡулланыла һәм «Сетунь» иҫәпләү  машинаһында техник тормошҡа ашырыла.

### Тиҫкәре нигеҙҙәр

Нега-позицион тип аталған, нигеҙҙәре тиҫкәре позицион системалар була:
* **-2** — нега-икеле иҫәпләү системаһы
* **-3** — нега-өсәрле иҫәпләү системаһы
* **-10** — нега-унарлы иҫәпләү системаһы
### Бөтөн һан булмаған нигеҙҙәр
Ҡайһы берҙә шулай уҡ нигеҙҙәре бөтөн һан булмаған позицион иҫәпләү системалары ҡарайҙар: рациональ, иррациональ, трансцендентлы.

Бындай иҫәпләү системаларының миҫалдары булып торалар:
* *b* = ⅓  булғанда— рациональ кәсер нигеҙле иҫәпләү системаһы, күсештең өсәрле реверсивлы регистрҙарында бөтөн һандарға ҡабатлау һәм бүлеү ғәмәлдәрен башҡарырға мөмкинлек бирә ,
* *b* = ½ булғанда — рациональ кәсер нигеҙле иҫәпләү системаһы,
* *b* = φ = 1,61… булғанда — «алтын киҫелешкә» тигеҙ булған иррациональ нигеҙле Бергман иҫәпләү системаһы.

### Комплекслы нигеҙҙәр
Позицион иҫәпләү системаһының нигеҙе шулай уҡ комплекслы һан булырға мөмкин. Был ваҡытта уларҙа цифрҙар, туранан-тура был иҫәпләү системаларында күрһәтелгән һандар менән арифметик ғәмәлдәр башҡарырға мөмкинлек биреү шартын ҡәнәғәтләндереүсе ниндәйҙер сикле күмәклектән ҡиммәттәр алалар.

Атап әйткәндә, комплекслы нигеҙле позицион иҫәпләү системалары араһында тик ике генә цифр 0 һәм 1 ҡулланылған икеле системаларҙы айырып ҡарарға була.

; Миҫалдар

Артабан позицион иҫәпләү системаһын ошондай күренештә яҙырбыҙ \langle \rho,A \rangle, бында \rho — иҫәпләү системаһының нигеҙе, ә *A* — цифрҙар күмәклеге. Атап әйткәндә, *A* күмәклеге ошондай күренештә булырға мөмкин:
* B_R = \{ 0, 1, 2,\dots, R-1 \},
* D_R = \{-r_1,-r_1+1,\dots, -1,0,1,\dots,r_2-1,r_2 \}, бында r_1, r_2\geq 0 һәм R =r_1+r_2+1. r_1=0 булғанда D_R күмәклеге B_R күмәклегенә әйләнә.

Комплекслы нигеҙле позицион иҫәпләү системаларына миҫал булып торалар (артабан *j* — уйланма берәмек):
* \langle \rho=j\sqrt{R},B_R \rangle.
** Миҫал: \langle \rho=\pm j\sqrt{2},\{0,1\} \rangle;
* \langle \rho=\sqrt{2}e^{\pm j \pi / 2},B_2 \rangle.
** Миҫал: \langle \rho=-1\pm j,\{0,1\} \rangle;
* \langle \rho=2e^{j \pi / 3}, \{0,1,e^{2j \pi / 3},e^{-2j \pi / 3}\} \rangle;
* \langle \rho=\sqrt{R},B_R \rangle, бында \varphi=\pm \arccos{(-\beta/2\sqrt{R})}, \beta — бирелгән *R* өсөн бер нисә ҡиммәт ҡабул итә алған бөтөн ыңғай һан;
* \langle\rho=-R, A_R^2 \rangle, бында A_R^2 күмәклеге r_m=\alpha_m^1 + j\alpha_m^2 күренешендәге комплекслы һандарҙан тора, ә \alpha_m \in B_R. Мәҫәлән: \langle -2, \{0,1,j,1+j\} \rangle;
* \langle \rho=\rho_2^{ },\{0,1\} \rangle, бында \rho_2=\begin{cases}(-2)^{1/2} & \mbox{if}\ m\ \mbox{even},\\ j(-2)^{(m-1)/2m} & \mbox{if}\ m\ \mbox{odd}.\end{cases} .

; Икеле комплекслы иҫәпләү системалары

Түбәндә икеле позицион иҫәпләү системаларының нигеҙҙәре һанап кителгән һәм уларҙа 2, −2 һәм −1 һандарының яҙылыштары бирелгән:
* \rho=2: 2=(10)_{\rho} (натураль нигеҙле иҫәпләү системаһы);
* \rho=-2: 2=(110)_{\rho}, -2=(10)_{\rho}, -1=11_{\rho} (нега-позицион иҫәпләү системаһы);
* \rho=-\rho_2: 2=(10100)_{\rho}, -2=(100)_{\rho}, -1=101_{\rho} (комплекслы нигеҙле иҫәпләү системаһы);
* \rho=j\sqrt{2}: 2=(10100)_{\rho}, -2=(100)_{\rho}, -1=(101)_{\rho} (комплекслы нигеҙле иҫәпләү системаһы);
* \rho=-1+j: 2=(1100)_{\rho}, -2=(11100)_{\rho}, -1=(11101)_{\rho} (комплекслы нигеҙле иҫәпләү системаһы);
* \rho=\frac{-1+j\sqrt{7}}2: 2=(1010)_{\rho}, -2=(110)_{\rho}, -1=(111)_{\rho} (комплекслы нигеҙле иҫәпләү системаһы).

### Күрһәткесле булмаған иҫәпләү системалары
Күрһәткесле иҫәпләү системалары күрһәткесле бәйләнешле позицион иҫәпләү системаларының айырым осраҡтары булып торалар. Күрһәткесле бәйләнеш урынына башҡа бәйләнештәр булырға мөмкин. Мәҫәлән, гипероператорлы позицион иҫәпләү системаһы
: {\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b = \atop {\ }} \quad {\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}  \atop {b\mbox{ times}}} \quad {=a\to b\to 2 \atop {\ } }
шул уҡ һандағы тамғалар менән һандарҙың ҙур диапазонын яҙырға мөмкинлек бирә.

## Иҫкәрмәләр

## Һылтанмалар

* 
* 
*