Эйлер формулаһы

**Эйлер формулаһы** комплекслы экспонентаны тригонометрик функциялар менән бәйләй. Уны индергән Леонард Эйлер хөрмәтенә аталған.

Эйлер формулаһы теләһә ниндәй комплекслы (айырым алғанда ысын) x һаны өсөн түбәндәге тигеҙлек үтәлә тип раҫлай:
: e^{ix}=\cos x+i\sin x,
бында e — артабанғы формула менән бирелгән математик константаларҙың иң мөһимдәренең береһе: e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x,
: i — уйланма берәмек.

## Тарихы
Эйлер формулаһы беренсе тапҡыр инглиз математигы Роджер Котстың (Ньютондың ярҙамсыһы) «Философские труды Королевского общества» журналында 1714 йылда баҫылып сыҡҡан «Логометрия» () мәҡәләһендә килтерелә һәм 1722 йылда баҫылып сыҡҡан «Гармония мер» () китабында, автор вафат булғандан һуң, яңынан баҫтырыла. Котс уны күп геометрик төҙөүҙәр араһында ҙур булмаған һөйләм рәүешендә килтерә, уны хәҙерге математика теленә күсергәндән һәм тамғалағы хатаһын төҙәткәндән һуң формула ошондай күренештә була:
: \ln(\cos x+i\sin x)=i x.

Эйлер формуланы уның ғәҙәттәге күренешендә 1740 йылдағы мәҡәләһендә һәм «Введение в анализ бесконечно малых» () (1748) китабында баҫтыра, иҫбатлауҙы формуланың уң һәм һул яҡтарының дәрәжәле рәттәргә сикһеҙ тарҡалмаларының тигеҙлегенә таянып төҙөй. Эйлер ҙа, Котс та формуланың геометрик интерпретацияларын күҙ алдына килтерә алмайҙар: комплекслы һандар тураһында комплекслы яҫылыҡтағы нөктәләр кеүек ҡараш сама менән 50 йыл үткәс К. Весселдә барлыҡҡа килә.

## Сығарылма формулалар
Эйлер формулаһы ярҙамында \sin һәм \cos функцияларына түбәндәгесә билдәләмә бирергә мөмкин:
: \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},
: \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}.

Артабан комплекслы үҙгәреүсәнле тригонометрик функциялар төшөнсәһе индерергә мөмкин. x=iy булһын, ул саҡта:
: \sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y,
: \cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y.

Биш фундаменталь математик константаларҙы бәйләүсе билдәле Эйлер тождествоһы:
: e^{i\pi}+1=0
Эйлер формулаһының x=\pi булғандағы айырым осрағы булып тора.

## Һандар теорияһында ҡулланылышы

Һандарҙың аналитик теорияһында йыш ҡына \sum \limits_{x \in X} {e^{2 \pi i f(x)}} күренешендәге махсус суммалар ҡарала, бында X — ниндәйҙер ҡаралған объекттар күмәклеге, ә f:\ X \to {\mathbb R} — объекттарҙың өйрәнелгән үҙсәнлектәрен сағылдырыусы функция.

Бөтөн һандарҙы өйрәнгән һандар теорияһы өсөн беренсе нәүбәттә, ирекле n бөтөн һанына ҡағылған, Эйлер формулаһынан сығарылған индикаторлы тождестволар әһәмиәткә эйә.

: \sum \limits_{k=1}^{p} {e^{2 \pi \frac{nk}{p} i}} = p [p | n] = \left\  = [n = 0] = \left\{2} \\
& = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right].
\end{align}


Икенсе ҡараштың асылы синусоидаларҙы комплекслы аңлатманың ысын өлөшө сифатында күрһәтеүҙән һәм туранан-тура комплекслы аңлатма менән манипуляциялар яһауҙан тора. Мәҫәлән**:**

: 
\begin{align}
\cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} 
= \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\
& = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\
& = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x].
\end{align}

Был формула *n*-дың бөтөн ҡиммәттәре һәм *x*-тың (радиандарҙа) ирекле ҡиммәттәре өсөн cos(*nx*) ҡиммәттәрен рекурсив иҫәпләү өсөн ҡулланыла.

## Иҫбатлау
Эйлер формулаһын Маклорен рәтен файҙаланып иҫбатларға мөмкин. e^{ix} функцияһын a = 0 нөктәһенең тирә-яғында x-тың дәрәжәләре буйынса Тейлор рәтенә (Маклорен рәтенә) тарҡатабыҙ. Табабыҙ:

e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)

Ләкин

1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x

\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x

Шуға күрә e^{ix}=\cos x + i\sin x, ш. и. и. һ..

### Күргәҙмә демонстрация
Билдәле булыуынса, e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n.
Түбәндә килтерелгән һүрәттәр e^{i\varphi} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{i\varphi}{n}\right)^n сикләнмәһе берәмек әйләнәлә ятҡан нөктәгә  ынтылыуын иллюстрациялай, һәм был нөктәнән 1 нөктәһенә тиклем дуғаның оҙонлоғо \varphi-ға тигеҙ. Был, атап әйткәндә, \lim \limits_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x}} = 1 булыуы менән бәйле.

File:Euler's formula n1.png|n=1
File:Euler's formula n2.png|n=2
File:Euler's formula n3.png|n=3
File:Euler's formula n4.png|n=4
File:Euler's formula n5.png|n=5
File:Euler's formula n6.png|n=6
File:Euler's formula n8.png|n=8
File:Euler's formula n16.png|n=16


\varphi үҙгәргәндә e^{\varphi i}-тың үҙгәреү процессын  шулай уҡ сығарылма аша асыҡ күрһәтергә мөмкин.
\left({e^x}\right)' = e^x һәм \left({e^{f(x)}}\right)' = f'(x) e^{f(x)} булыуы билдәле. Шул уҡ факт функцияның комплекслы ҡиммәте өсөн дә дөрөҫ булып ҡала. f(\varphi) = e^{\varphi i} функцияһын ҡарап, f'(\varphi) = i f(\varphi) булыуын табабыҙ. Комплекслы һандарҙың геометрик күрһәтелешендә i-гә ҡабатлау 90 градусҡа боролошҡа тиң булғанлыҡтан, f(\varphi) = e^{\varphi i} функцияһының һәм уның сығарылмаһының график һүрәтләнеше, физик мәғәнәһе билдәле булған үҙәккә ынтылышлы көстөң тәьҫире һыҙмаһына оҡшаш була.

## [[Комплекслы һан]]дың күрһәткесле формаһы
Комплекслы һандарҙың күрһәткесле һәм тригонометрик формалары үҙ-ара Эйлер формулаһы менән бәйләнгәндәр.

 z  комплекслы һаны тригонометрик формала  z = r(\cos\varphi+i\sin\varphi) күренешендә булһын, ти. Эйлер формулаһы нигеҙендә йәйә эсендәге аңлатманы күрһәткесле аңлатмаға алмаштырырға мөмкин. Нәтижәлә табабыҙ:
:  z = re^{i\varphi} 

Был яҙыу комплекслы һандың күрһәткесле формаһы тип атала. Шулай уҡ, тригонометрик формалағы кеүек, бында  r = |z|  **,**  \varphi = \arg z .

## Шулай уҡ ҡарағыҙ
* Муавр формулаһы
* Леонард Эйлер хөрмәтенә аталған объекттар теҙеме

## Иҫкәрмәләр

## Әҙәбиәт
* Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. 
* 
*