Е (һан)

I төр Эйлер һандары менән бутамаҫҡа
Эйлер — Маскерони константаһы менән бутамаҫҡа

**e** — Натураль логарифмдың нигеҙе, математик константа, иррациональ һәм трансцендент һан. Яҡынса 2,71828 тигеҙ. Ҡайһы берҙә e һанын *Эйлер һаны* йәки *Непер һаны* тип атайҙар. Бәләкәй латин хәрефе менән тамғалана «e».

*e* һаны дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәлә, шулай уҡ математиканың башҡа күп бүлектәрендә мөһим роль уйнай.
e^x функцияһы (экспонента) «үҙ-үҙенә» интеграциялана һәм дифференцияланғанлыҡтан, e нигеҙе буйынса логарифмдар натураль логарифм итеп ҡабул ителәләр.

## Билдәләмә биреү ысулдары
*e* һанына бер нисә ысул менән билдәләмә бирергә мөмкин.
* Сикләмә аша:
*: e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x (икенсе бик яҡшы сикләмә).
*: e=\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot \bigg (\frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \bigg )^{\frac 1n} (Муавр — Стирлинг формулаһы).
* Рәт суммаһы булараҡ:
*: e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} йәки {\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}.
*: \int\limits_{1}^{a} \frac{dx}{x} = 1. шарты үтәлгән берҙән-бер a һаны булараҡ.
*: \frac d {dx} a^x = a^x. тигеҙлеге дөрөҫ булған берҙән-бер ыңғай a һаны булараҡ.

## Үҙсәнлектәре
* Экспонентаның сығарылмаһы экспонентаның үҙенә тигеҙ: \frac{de^x }{dx} = e^x.Был үҙсәнлеге дифференциаль тигеҙләмәләрҙе эшләгәндә мөһим роль уйнай. Шулай, мәҫәлән, \frac{df(x)}{dx} = f(x) дифференциаль тигеҙләмәһенең берҙән-бер сығарылышы булып f(x) = c e^x функцияһы тора, бында c — теләһә ниндәй константа.
* e һаны иррациональ һәм хатта трансцендент һан. Уның трансцендентлығы тик 1873 йылда Шарль Эрмит тарафынан иҫбат ителә . e — һаны нормаль һан тип фараз ителә, йәғни уның яҙылышында төрлө цифрҙарҙың осрау ихтималлағы тигеҙ.

* *e* һаны иҫәпләп була торған һан (тимәк, арифметик һан да) булып тора.
* e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x), Эйлер формулаһын ҡара, айырым осраҡта
** e^{i\pi} + 1 = 0.
**  e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1) 
* e һәм \pi һандарын бәйләүсе тағы ла формулалар:
* «Пуассон интегралы» йәки «Гаусс интегралы» тип йөрөтөлгән формулалар
*: \int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}
* сикләмә
*: e=\lim \limits_{n \to \infty} n \cdot \bigg (\frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \bigg )^{\frac 1n}
* Теләһә ниндәй *z* комплекслы һаны өсөн түбәндәге тигеҙлектәр дөрөҫ:
*: e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.
* *e* һаны түбәндәгесә сикһеҙ сылбырлы кәсергә тарҡала:
*: e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots], йәғни
*: e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}} 
* Йәки уға эквивалентлы:
*: e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}} 
* Күп һандағы тамғаларҙы тиҙ иҫәпләү өсөн икенсе тарҡатманы ҡулланыу уңайлыраҡ:
*: \frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}}
* e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.
* Евгений-Шарль Каталан тәҡдим иткәнсә:
*: e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots
* Ҡабатлау аша күрһәтеү:
*:  e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}
* Белл һаны аша
e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}
* e һанының иррационаллек үлсәме 2-гә тигеҙ (иррациональ һандар өсөн мөмкин булған иң бәләкәй ҡиммәт).

## Тарихы
Был һанды ҡайһы берҙә «Ғәжәйеп логарифмдар таблицаһын тасуирлау» (1614 йыл) эше авторы шотланд ғалимы Джон Непер хөрмәтенә *непер* һаны тип тә атайҙар. Ләкин был исем бик үк бармай, сөнки унда x һанының логарифмы 10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right)-гә тигеҙ.
Беренсе тапҡыр константа, Неперҙың юғарыла телгә алынған эшенең 1618 йылда баҫтырылып сыҡҡан инглиз теленә тәржемәһендә йәшерен рәүештә бар. Йәшерен, сөнки унда тик натураль логарифдарҙың кинематик фекерләүҙән сығып билдәләнгән таблицаһы ғына бар, ә константа үҙе юҡ. Таблицаның авторы инглиз математигы Уильям Отред тип фараз ителә.
Константаның үҙен беренсе тапҡыр швейцар математигы Якоб Бернулли процентлы килемдең сикләмә дәүмәле тураһында мәсьәләне эшләү барышында иҫәпләп сығарған.
Әгәр баштағы сумма $1 һәм йыл аҙағында бер тапҡыр йыллыҡ 100% өҫтәлһә, һөҙөмтәлә сумма  $2 булыуын асыҡлаған. Ләкин шул уҡ процентты йылына ике тапҡыр өҫтәһәң, ул саҡта $1 ике тапҡыр 1,5-кә ҡабатлана, һөҙөмтәлә $1,00 \cdot 1,5^2 = $2,25 килеп сыға. Процентты кварталға бер тапҡыр өҫтәү $1,00 \cdot 1,25^4 = $2,44140625 һөҙөмтәһенә килтерә һ.б. артабан шулай.
Бернулли, әгәр процент өҫтәү йышлығын сикһеҙ арттырһаң, ҡатмарлы процент осрағында процентлы килемдең сикләмәһе бар:
\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n. һәм был сикләмә e ~ (\approx 2,71828) һанына тигеҙ икәнен күрһәткән.
$1,00 \cdot ( 1+ \frac{1}{12} )^{12} = $2,613035...
$1,00 \cdot (1+\frac{1}{365})^{365} = $2,714568...
Шулай итеп, e константаһы максималь йышлыҡтағы йыллыҡ 100% капиталлаштырыу осрағында мөмкин булған максималь йыллыҡ килемде аңлата.
Беренсе билдәле булған, унда b хәрефе менән тамғаланған, был константаны ҡулланыу Готфрид Лейбництың 1690—1691 йылдарҙа Гюйгенс Христианға яҙған хатында осрай.
e хәрефен 1727 йылда Эйлер ҡуллана башлай, беренсе тапҡыр ул Эйлерҙың  немец математигы Кристиан Гольдбахҡа 1731 йылдың 25 ноябрендә яҙған хатында осрай, ә был хәреф менән беренсе баҫмаһы уның «Механика, йәки аналитик тасуирләнгән хәрәкәт тураһындағы фән» хеҙмәте була, 1736 йыл. Шуға ярашлы, e һанын ғәҙәттә *Эйлер һаны* тип атайҙар. Һуңғараҡ ҡайһы бер ғалимдар c хәрефен ҡулланыуға ҡарамаҫтан, e хәрефе йышыраҡ ҡулланыла һәм хәҙерге көндә стандарт тамғаланышы булып тора.
Ни өсөн тап e хәрефе һайланған икәне аныҡ билдәле түгел. Бәлки, *exponential* («күрһәткесле», «экспоненциаль») һүҙе ошо хәрефтән башланыуы менән бәйлелер. Икенсе фараз буйынса, a, ~ b, ~c һәм d хәрефтәре башҡа маҡсаттарҙа етерлек йыш ҡулланылалар, һәм e беренсе «буш» хәреф була. Шулай уҡ e хәрефе Эйлер (Euler) фамилияһында беренсе хәреф булыуы ла иғтибарға лайыҡ.

## Яҡынлауҙар
* e һанын 2,7 һәм ҡабатланып килеүсе 18, 28, 18, 28 булараҡ иҫтә ҡалдырырға мөмкин.
* Мнемоник ҡағиҙә: ике һәм ете, артабан ике тапҡыр Лев Толстойҙың тыуған йылы (1828), артабан тура мөйөшлө тигеҙ эргәле өсмөйөштөң мөйөштәре (45, 90 һәм 45 градус). Был ҡағиҙәнең бер өлөшөн иллюстрациялаусы шиғри мнемофраза: «Экспонентаны хәтерләүҙең ысулы ябай: ике һәм ундан ете, икеләтә Лев Толстой»
* Өтөрҙән һуң тәүге 12 тамғаны хәтерҙә ҡалдырырға булышлыҡ иткән мнемоник шиғыр (һүҙҙәрҙең оҙонлоғо e һаны цифрҙарын кодлай): *Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли*.
* *e* ҡағиҙәләре АҠШ президенты Эндрю Джексон менән дә бәйле: 2 — шул тапҡыр һайланған, 7 — ул АҠШ-тың етенсе президенты булған, 1828 — уның һайланған йылы, ике тапҡыр ҡабатлана, сөнки Джексон ике тапҡыр һайлана. Артабан — тура мөйөшлө тигеҙ эргәле өсмөйөш.
* Өтөрҙән һуң өс тамғаға тиклем аныҡлыҡ менән «иблис һаны» аша: 666-ны, 6−4, 6−2, 6−1 (өс алты, уларҙан кире тәртиптә икенең тәүге өс дәрәжәһе алып ташлана) цифрҙарынан торған һанға бүлергә кәрәк: {666 \over 245} \approx 2,718.
* *e* һанын \frac{666}{10 \cdot \sqrt{666} - 13} итеп хәтерҙә ҡалдырыу (0,001-ҙән кәмерәк аныҡлыҡ менән).
* Тупаҫ (0,001-гә тиклем аныҡлыҡ менән) яҡынайыу *e* һанын \pi \cdot \cos {\pi \over 6} тигеҙ тип ҡарай. Бөтөнләй тупаҫ (0,01-гә тиклем аныҡлыҡ менән) яҡынайыу 5 \cdot \pi - 13 аңлатмаһы менән бирелә.
* «Боинг-747 ҡағиҙәһе»: e \approx 4 \cdot \sin 0,747  0,0005 аныҡлығын бирә.
*  10^{-7} -гә тиклем аныҡлыҡ менән: e \, \approx \, 3 - \sqrt { \frac {5}{63}} \,\,\, ,  10^{-9}\to e \approx 2,7 + \frac {1828}{99990} ,,   4,6 \, \cdot \, 10^{-10} \,\,\to \,\,e \, \approx \, 3 - \frac {93}{94} \sqrt { \frac {3}{37}}
*  1/e \approx (1-\frac{1}{10^6})^{10^6},  0,000001-гә тиклем аныҡлыҡ менән ;
* 19/7 һаны *e* һанынан 0,004-тән әҙерәккә артыҡ;
** 87/32 һаны *e* һанынан 0,0005-тән әҙерәккә артыҡ;
*** 193/71 һаны *e* һанынан 0,00003-тән әҙерәккә артыҡ;
**** 1264/465 һаны *e* һанынан 0,000003-тән әҙерәккә артыҡ;
***** 2721/1001 һаны *e* һанынан 0,0000002-нән әҙерәккә артыҡ;
****** 23225/8544 һаны *e* һанынан 0,00000001-ҙән әҙерәккә артыҡ.
* Эргә ҡырҙары төҙөк өсмөйөш, ҡабырғаһының оҙонлоғо  1-гә тигеҙ булған (0,005-кә тиклем аныҡлыҡ менән) квадрат пирамиданың өҫкө йөҙөнөң майҙаны.

## Асыҡ ҡалған проблемалар
* e һаны периодтар дүңгәләге элементы буламы икәне билдәһеҙ.
* \pi һәм e һандары алгебраик бәйләнешһеҙме икәне билдәле түгел]].
* Түбәндәге һандарҙың береһе өсөн дә иррационаллек үлсәме билдәле түгел: \pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, e^{\pi^2}, e^e, 2^e. Уларҙың береһе өсөн дә, хатта ул һан рациональ һан, алгебраик иррациональ йәки трансцендент һан буламы икәнлеге лә билдәле түгел.
* Беренсе Скьюз һаны  e^{e^{e^{79}}} бөтөн һан буламы икәнлеге билдәһеҙ.

## Ҡыҙыҡлы факттар
*2004 йылда IPO Googl компанияһында компания үҙенең килемен 2 718 281 828 долларға арттырырға ниәт итеүе тураһында иғлан ителә. Иғлан ителгән һан билдәле математик константаның тәүге 10 цифры булып тора. 
* Теоретик яҡтан иң етештереүсән компьютерҙарҙың  разрядлығы e-гә тигеҙ булырға тейеш тип иҫәпләнә. Өсәрле ЭВМ был ҡиммәткә яҡын, ләкин техник ҡатмарлылыҡ арҡаһында 1 һәм 0 ҡулланылған тик икеле компьютерҙар ғына таралыу алған.
* Программалау телдәрендә e символына һандарҙың экспоненциаль яҙылышында 10 һаны тура килә, ә Эйлер һаны түгел. Был математик иҫәпләүҙәр өсөн FORTRAN телен төҙөү тарихы һәм ҡулланыу менән бәйле.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ
* Леонард Эйлер хөрмәтенә аталған объекттар исемлеге

## Иҫкәрмәләр

## Һылтанмалар
* 
*  (статья с примерами физического смысла констант \pi и e)
* 
* e for 2.71828…  (история и правило Джексона)
* «Экспонента и число е: просто и понятно » — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & Number e | BetterExplained