Мөйөш

**Мөйөш** — ул бер нөктәнән (мөйөштөң *түбәһе*) сыҡҡан ике нурҙан (мөйөштөң *яҡтары*) торған геометрик фигура.

## Дөйөм мәғлүмәттәр

Мөйөштөң ике яғы ятҡан яҫылыҡ мөйөш тарафынан ике өлкәгә бүленә. Был өлкәләрҙең һәр береһенең мөйөштөң яҡтары менән берекмәһе **[[#Яҫы мөйөштәр|яҫы мөйөш]]** (йәки мөйөш тип кенә) тип атала. Ҡайһы берҙә яҫы мөйөштәрҙең береһен (ғәҙәттә ике мөйөштөң бәләкәйерәген) шартлы рәүештә *эске*, ә икенсеһен — *тышҡы* мөйөш тип атайҙар. Яҫы мөйөштөң яҡтарында ятмаған нөктәләре *яҫы мөйөштөң эске өлкәһен* төҙөйҙәр.

Билдәләмәнең икенсе, эквивалентлы вариантында яҫы мөйөш тип яҫылыҡтың, бирелгән нөктәнән (мөйөштөң *түбәһенән*) сыҡҡан һәм был яҫылыҡта ятҡан ниндәйҙер һыҙыҡты (был яҫы мөйөштө *тартып тороусы* һыҙыҡ тип атала) киҫеп үткән бөтә нурҙарының берекмәһе булған өлөшө атала.

Йыш ҡына ҡыҫҡаса мөйөш тип шулай уҡ мөйөш үлсәмен, йәғни, мөйөштөң дәүмәлен билдәләүсе һанды атайҙар.

Төрлө үлсәнештәге метрик арауыҡтарҙа Евклид геометрияһында һәм шулай уҡ геометрияның башҡа төрҙәрендә, йыш осраған яҫы мөйөштәрҙән башҡа, мөйөш сифатында дөйөмөрәк объекттар — киҫешеүсе дуғалар, ярымяҫылыҡтар һәм башҡа фигуралар барлыҡҡа килтергән фигуралар ҡаралырға мөмкин.

## Мөйөштәрҙең тамғаланышы

Мөйөштө тамғалау өсөн дөйөм ҡабул ителгән, 1634 йылда француз математигы Пьер Эригон тәҡдим иткән символ: \angle , ҡулланыла.

Математик аңлатмаларҙа мөйөштәрҙе йыш ҡына бәләкәй грек хәрефтәре менән тамғалайҙар:  һәм башҡалар. Ҡағиҙә булараҡ, мөйөштөң эске өлкәһен һайлағанда билдәһеҙлекте булдырмаҫ өсөн, бирелгән тамғалауҙар һыҙмала күрһәтелә. пи һаны менән буталыш килеп сыҡмаһын өсөн,  символы был маҡсатта ҡулланылмай. Есемле мөйөштәрҙе тамғалау өсөн (аҫтараҡ ҡарағыҙ) йыш ҡына  һәм  хәрефтәре ҡулланыла.

Мөйөштө шулай уҡ өс нөктә символы менән тамғалайҙар, мәҫәлән \angle ABC. Был яҙылышта B — түбәһе, ә A һәм C — мөйөштөң төрлө яҡтарында ятҡан нөктәләр. Математикала мөйөштәрҙе сәғәт уғына ҡаршы иҫәпләү йүнәлеше ҡабул ителгәнлектән, мөйөштөң тамғаланышында яҡтарында ятҡан нөктәләрҙе шулай уҡ сәғәт уғына ҡаршы һанап сығыу ҡабул ителгән. Был килешеү яҡтары уртаҡ, ләкин эске өлкәләре төрлө булған ике яҫы мөйөштө айыра белеүҙе тәьмин итә. Яҫы мөйөштөң эске өлкәһен һайлау контекстан билдәле булған, йәки икенсе ысул менән күрһәтелгән осраҡтарҙа, был килешеү үтәлмәҫкә мөмкин.
Ҡарағыҙ. #Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр.

Һирәгерәк мөйөштөң яҡтарын барлыҡҡа килтергән тура һыҙыҡтарҙың тамғалауҙары ҡулланыла. Мәҫәлән, \angle(bc) — бында \angle BAC өсмөйөшөнөң эске мөйөшө күҙ уңында тотола тип уйлана, , уны \angle(cb) тип тамғаларға кәрәк булған булыр ине.

Шулай, һүрәттә уңдан , \angle ACB һәм \angle(ba) яҙыуҙары бер үк мөйөштө аңлаталар.

Ҡайһы берҙә мөйөштәрҙе тамғалау өсөн бәләкәй латин хәрефтәре ( …) һәм цифрҙар ҡулланыла.

Һүрәттәрҙә мөйөштәр, мөйөштөң эске өлкәһендә һыҙылған, үҙәге мөйөш түбәһендә булған ҙур булмаған бер, ике йәки өс дуға менән билдәләнәләр. Мөйөштәрҙең тигеҙлеге бер үк һандағы дуғалар йәки дуғала бер үк һандағы арҡыры штрихтар менән күрһәтелергә мөмкин. Әгәр мөйөштөң иҫәпләү йүнәлешен күрһәтергә кәрәк булһа, ул дуғала уҡ менән билдәләнә. Тура мөйөштәр дуға менән түгел, ә ике тоташҡан тигеҙ киҫектәр менән күрһәтелә, улар мөйөштөң яҡтары менән, бер түбәһе мөйөштөң түбәһе менән тап килгән бәләкәй квадрат барлыҡҡа килтерерлек итеп урынлаштырылалар.

## Мөйөш үлсәме
Яҫы мөйөштәрҙе сағыштырырға мөмкинлек биреүсе мөйөш үлсәме ошолай индерелергә мөмкин. Ике яҫы мөйөш, әгәр уларҙы түбәләре һәм ике яғы тап килерлек итеп тура килтереп һалып булһа, *тигеҙ* (йәки *[[Конгруэнтлыҡ (геометрия)|конгруэнт]]*) тип аталалар. Яҫылыҡта теләһә ниндәй нурҙан бирелгән яҡта бирелгән мөйөшкә тигеҙ булған берҙән бер мөйөш һалып була. Әгәр ике мөйөштөң түбәләре һәм бер яғы тап килерлек итеп, бер мөйөштө тулыһынса икенсе мөйөштөң эсендә урынлаштырып булһа, ул саҡта беренсе мөйөш икенсеһенән бәләкәй була. Ике мөйөш, бер мөйөштөң яғы икенсеһенең яғы менән тап килһә (тимәк, түбәләре лә тап килә), ләкин уларҙың эске өлкәләре киҫешмәһә, *теркәлгән* мөйөштәр тип аталалар. Ике теркәлгән мөйөштөң тап килмәүсе яҡтары төҙөгән мөйөштө был мөйөштәрҙең *ҡушылдығы* тип әйтәләр. Һәр мөйөшкә түбәндәгесә һанды (мөйөш үлсәмен) ярашлы итеп ҡуйып була:
* тигеҙ мөйөштәргә тигеҙ мөйөш үлсәме ярашлы;
* бәләкәйерәк мөйөшкә бәләкәйерәк мөйөш үлсәме ярашлы;
* яҡтары тап килгән мөйөштөң (нуль мөйөштөң) мөйөш үлсәме нулгә тигеҙ (ошо уҡ параллель тура һыҙыҡтар араһындағы мөйөш өсөн дә дөрөҫ);
* һәр нулдән айырмалы мөйөштөң нулдән ҙурыраҡ билдәле бер мөйөш үлсәме бар;
* (аддитивлыҡ) мөйөштөң мөйөш үлсәме, уның яҡтары араһынан үтеүсе теләһә ниндәй нур тарафынан бүленгән мөйөштәрҙең мөйөш үлсәмдәре суммаһына тигеҙ.
Ҡайһы бер тамғалауҙар системаларында, әгәр мөйөш менән уның үлсәмен айырып ҡарарға кәрәк булһа, мөйөш (геометрик фигура) өсөн \angle ABC , тамғалауы ҡулланыла, ә был мөйөштөң үлсәү берәмеге дәүмәле өсөн — \widehat{ ABC} тамғалауы ҡулланыла.

Мөйөштө үлсәйҙәр:
* *[[градус, минут, секунд|градустарҙа, минуттарҙа, секундтарҙа]]*;
* *[[радиан]]дарҙа*;
* *[[Әйләнеш (үлсәү берәмеге)|әйләнештәрҙә]]*;
* *[[Град, минут, секунд|градтарҙа, минуттарҙа, секундтарҙа]]*.

Иң таралған градус үлсәме — *[[градус, минут, секунд]]*, бында 1° итеп йәйелмә мөйөштөң 1/180 өлөшө ҡабул ителә (ҡарағыҙ. түбәндәрәк), бер минут 1'=1^\circ/60, һәм бер секунд 1*=1'/60</math>. Градус үлсәме [[элементар геометрия]]ла ҡулланыла (һыҙмаларҙа мөйөштәрҙе [[транспортир]] менән үлсәү), [[геодезия]]ла карта буйынса һәм урында (мөйөштәрҙе урында үлсәү өсөн бик теүәл прибор — [[Универсал (астрономия)|универсал]]/теодолит ҡулланыла).


Мөйөштөң [[радиан]] үлсәме — тартып тороусы [[Әйләнә дуғаһы|дуға]]  оҙонлоғоноң уның  радиусына сағыштырмаһы ([[Система СИ|СИ системаһында]]). Радиан үлсәме [[математик анализ]]да (мәҫәлән, [[Тригонометрик функциялар|тригонометрик функцияларҙың]] һанлы аргументы итеп, һәм һан ҡиммәттәрен (кире [[Аркфункциялар|аркфункцияларҙың]] таблицалағы һәм [[Функцияның графигы|графиктағы]]) ҡиммәттәрен тапҡанда), [[планиметрия]]ла һәм [[механика]]ла (нөктә йәки күсәр тирәһендә [[боролош]]то һәм тригонометрик функциялар ярҙамында тасуирланыусы башҡа процестарҙы — [[Тулҡын теорияһы|тирбәлеүҙәрҙе, тулҡынды]] ҡарағанда) ҡулланыла һәм башҡалар.

Мөйөштәрҙе шулай уҡ *әйләнештәрҙә* үлсәргә мөмкин. Бер әйләнеш — тулы мөйөш (йәғни 360 градуслы мөйөш). Ирекле мөйөш тураһында, әгәр  — мөйөштө тартып тороусы [[Әйләнә дуғаһы|дуғаның]] оҙонлоғо -тың был дуға ингән әйләнә оҙонлоғо -ға сағыштырмаһы булһа, ул  әйләнеш тәшкил итә тип әйтәләр.

Мөйөштәрҙе үлсәүҙең *градлы* үлсәме ҡулланыуға тарихи тәҡдим ителгән була, хәҙерге ваҡытта ул бер ерҙә лә ҡулланылмай, сөнки киң таралған алтмышарлы [[Градус, минут, секунд|градус]] үлсәмен ҡыҫырыҡлап сығара алмай.

Мөйөштәрҙе градус үлсәмендә үлсәү Боронғо [[Вавилон]]ға барып тоташа, унда [[алтмышарлы иҫәпләү системаһы]] ҡулланылған була, уның эҙе [[Ваҡыт үлсәү берәмектәре|ваҡыт]] һәм мөйөштәр бүлемдәрендә һаҡланған.

1 әйләнеш = 2 радиан = 360° = 400 [[Град (үлсәү берәмеге)|град]].

[[СИ]] системаһында мөйөштөң төп үлсәү берәмеге булып [[радиан]] тора.

Диңгеҙ терминологияһында мөйөштәр [[румб]]тарҙа үлсәнә. 1 румб компастың тулы әйләнәһенең (360 градус)  өлөшө, йәғни 11,25 градус, йәки 11°15′.

Астрономияла [[экваториаль координаталар системаһы]]нда [[тура күтәрелеү]] мөйөшө һәм [[бер сәғәтлек мөйөш]] сәғәттәрҙә, минуттарҙа һәм секундтарҙа (ярашлы рәүештә тулы әйләнәнең ,  һәм  өлөшөн тәшкил итеүсе) үлсәнә; был Ерҙең күсәре тирәһендә әйләнеүенең [[Мөйөшсә тиҙлек|мөйөшсә тиҙлеге]] менән бәйле, *яҡынса* 24 сәғәттә 1 әйләнеш тәшкил итә. Шулай итеп, бер сәғәттә (минутта, секундта) күк сфераһы мөйөшсә үлсәмдә яҡынса 1 сәғәткә (минутҡа, секундҡа) «борола». Ҡалған мөйөшсә дәүмәлдәр астрономияла ғәҙәттә дуға градустарында, минуттарында һәм секундтарында күрһәтеләләр. Буталыш булмаһын өсөн, тура күтәрелеүҙең бер секунды (минуты) дуғаның 15 секундына (минутына) тигеҙ булыуын билдәләп китергә кәрәк.

[[Артиллерия]]ла шулай уҡ [[Меңенсе (мөйөш)|меңенсе]] һәм [[мөйөш үлсәгес бүлемдәре]] ҡулланыла.

[[Поляр координаталар системаһы|Поляр координаталарҙа]] нөктәне тиңләштереү, йәки объекттың, уның база торошона ҡарата ике үлсәмдә торошон тасуирлау кеүек ҡайһы бер контекстарҙа, бөтөн һандағы тулы боролошҡа айырылып торған мөйөштәр ысынында эквивалентлы булалар. Мәҫәлән, бындай осраҡтарҙа 15° һәм 360015° мөйөштәрҙе эквивалентлы тип иҫәпләргә мөмкин . Ишелмә кәкреләрҙә нөктәне тиңләштереү йәки объекттың уның башланғыс торошона ҡарата ике үлсәмдә дөйөм әйләнешен тасуирлау кеүек икенсе контекстарҙа, нулдән айырмалы бөтөн һандағы тулы боролошҡа айырылып торған мөйөштәр эквивалентлы булмайҙар.

Ҡайһы бер яҫы мөйөштәрҙең махсус атамалары бар. Юғарыла һанап кителгән үлсәү берәмектәренән башҡа (радиан, румб, градус һәм башҡалар), уларға инәләр:

* [[Яҫылыҡ квадранты|квадрант]] (тура мөйөш, әйләнәнең е);
* [[секстант]] (әйләнәнең -е);
* [[октант]] (әйләнәнең е; бынан тыш, [[стереометрия]]ла октант тип өс үҙ-ара перпендикуляр яҫылыҡтар төҙөгән өс ҡырлы мөйөш атала),



Ҡайһы берҙә мөйөштәрҙе (мәҫәлән, йөҙҙөң [[Ауышлыҡ (геодезия)|ауышлыҡ]] мөйөшө) мөйөш үлсәменең үҙе менән үлсәмәйҙәр, ә уның [[тангенс]]ы (йәки [[синус]]ы менән), йәғни ауыш йөҙ буйынса үтелгән юлдың был юлдың горизонталь яҫылыҡҡа проекцияһы сағыштырмаһы менән (йәки был юлдың үҙенә) үлсәйҙәр. Ғәҙәттәге бәләкәй ауышлыҡ мөйөштәре булған осраҡтар өсөн был сағыштырма яҡынса [[радиан]]дарҙа күрһәтелгән мөйөшкә тигеҙ ( булғанда , был дәүмәлдәр араһында айырма 1%-тан кәм). Шуның менән бергә сағыштырма ғәҙәттә [[процент]]тарҙа йәки [[промилле]]ләрҙә күрһәтелә. Мәҫәлән, юлдың 10%-лы ауышлығы, юлдың һәр 100 метрына (горизонталгә проекцияһында) юл 10 м-ға күтәрелә тигәнде аңлата; горизонтҡа мөйөш [[Кире тригонометрик функциялар|arctg]](10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радианға тигеҙ.
Мөйөштәрҙе үлсәүҙең бындай ысулы, дөрөҫөн әйткәндә, мөйөш үлсәме түгел, сөнки аддитивлыҡ үҙсәнлегенә эйә түгел (ҡарағыҙ. [[#аддитивлыҡ|юғарыла]]).
Шулай уҡ ҡарағыҙ .

=== Мөйөштәрҙе үлсәү йүнәлеше ===

[[Математика]]ла һәм [[физика]]ла, мөйөштәрҙе үлсәүҙең ыңғай йүнәлеше тип [[сәғәт уғына ҡаршы]] йүнәлеш ҡабул ителгән. Ғәҙәттә, мөйөштө башы [[Координаталар системаһы|координаталар системаһының]] (СК) үҙәге менән, ә йүнәлеше [[абсцисса]]лар күсәренең ыңғай йүнәлеше менән тап килгән [[Нур (геометрия)|нурҙан]] башлап үлсәй башлайҙар ([[Поляр координаталар системаһы|поляр]] КС, [[Цилиндрик координаталар системаһы|цилиндрик]] КС, [[Сферик координаталар системаһы|сферик]] КС, [[Берәмек әйләнә|тригонометрик әйләнәлә]] КС һәм башҡаларҙа).

[[География]]ла һәм [[геодезия]]ла [[Азимут (геодезия)|азимут]] буйынса мөйөштәрҙең иҫәпләү башы итеп «*төньяҡҡа*» йүнәлеш ҡабул ителгән; мөйөш *'сәғәт уғы буйынса** үлсәнә.
Шулай итеп, «''көнсығыш''» йүнәлешкә 90° азимуталь мөйөш, «''көньяҡҡа''» — 180°, «''көнбайышҡа''» — 270° азимуталь мөйөш ярашлы. [[Артиллерия]]ла [[Поляр координаталар системаһы|поляр күсәрҙең]] «''көньяҡҡа''» йүнәлешенә өҫтөнлөк бирәләр һәм ярашлы [[Поляр координаталар системаһы|поляр]] мөйөштө азимут тип атайҙар («''көнбайышҡа''» йүнәлеш 90°-лы азимуталь мөйөшкә ярашлы).



== Мөйөштәрҙең төрҙәре ==
<gallery mode="packed">
Файл:Angle acute.svg|Ҡыҫынҡы мөйөш
Файл:Angle obtuse.svg|Йәйенке мөйөш
Файл:Reflex angle.svg|Ҡабарынҡы булмаған мөйөш
Файл:Right angle.svg|Тура мөйөш
Файл:Angle straight.png|Йәйелмә мөйөш
Файл:Full angle.svg|Тулы мөйөш
</gallery>
Мөйөштәр дәүмәленә бәйле рәүештә түбәндәгесә аталалар.
* Нуль мөйөш (0°); нуль мөйөштөң яҡтары тап килә, уның эске өлкәһе — [[буш күмәклек]].
* Ҡыҫынҡы мөйөш (сик ҡиммәттәрен индермәйенсә, 0°-тан 90°-ҡа тиклем).
* [[Тура мөйөш]] (90°); тура мөйөштөң яҡтары бер-береһенә перпендикуляр.
* Йәйенке мөйөш (сик ҡиммәттәрен индермәйенсә, 90°-тан 180°-ҡа тиклем).
* Ҡыя мөйөш (0°, 90°, 180° йәки 270°-ҡа тигеҙ булмаған теләһә ниндәй мөйөш).
* Йәйелмә мөйөш (180°); йәйелмә мөйөштөң яҡтары  булып бер тура һыҙыҡтың ике [[Ярым тура һыҙыҡ|ярым тура һыҙығы]], йәғни ҡапма-ҡаршы яҡҡа йүнәлгән ике нур тора.
* Ҡабарынҡы мөйөш (0°-дән алып 180°-ты ла индереп, 180°-ҡа тиклем).
* Ҡабарынҡы булмаған мөйөш (сик ҡиммәттәрен индермәйенсә, 180°-дән 360°-ҡа тиклем).
* Тулы мөйөш (360°) — ҡарағыҙ. [[боролош (үлсәү берәмеге)]].



== Биссектриса ==
Мөйөштөң [[Биссектриса|биссектрисаһы]] ( «икеләтә» һәм  «киҫеү» һүҙҙәренән) тип мөйөштөң түбәһенән сығып уның эске өлкәһе аша үткән һәм уның яҡтары менән ике тигеҙ мөйөш яһаған нур атала. Биссектрисаның теләһә ниндәй нөктәһенән уның яҡтарына тиклем алыҫлыҡ тигеҙ (һәм, киреһенсә, мөйөштөң эске өлкәһенең мөйөш яҡтарынан бер тигеҙ алыҫлыҡта ятҡан теләһә ниндәй нөктәһе уның биссектрисаһында ята).

== Яҫы мөйөштәр ==
''Яҫы мөйөш'' термины, мәҡәлә башында билдәләнгән ''мөйөш'' терминының синонимы һымаҡ, уны стереометрияла ҡулланылған [[#Есемле мөйөш|есемле мөйөш]] төшөнсәһенән (шул иҫәптән ике ҡырлы, өс ҡырлы йәки күп ҡырлы мөйөштән) айырыу өсөн ҡулланыла.

Яҫы мөйөштәрҙең үҙсәнлектәре тип йыш ҡына мөйөштәрҙең (эргәләш, өҫтәлмә, теркәлгән, вертикаль — түбәндәрәк ҡарағыҙ), мөйөштәр бер яҫылыҡта ятҡан осрағында (планиметрия өсөн был үҙенән-үҙе аңлашылып тора, әммә стереометрия өсөн асыҡлау кәрәк, кире осраҡта түбәндә һанап кителгән нисбәттәр үтәлмәй, ә мөйөштәр үҙҙәре, әгәр бер яҫылыҡта ятмаһалар, эргәләш йәки теркәлгән тип аталмайҙар (вертикаль мөйөштәр автоматик рәүештә һәр саҡ бер яҫылыҡта яталар)) дәүмәлдәре нисбәтен аңлайҙар.

=== Вертикаль һәм теркәлгән мөйөштәр ===
<gallery mode="packed">
Файл:Vertical Angles.svg|Вертикаль мөйөштәр. Мөйөштәрҙең ике пары (A һәм B, C һәм D) пар-пар тигеҙ.
Файл:Consecutive angles.svg|Теркәлгән мөйөштәр. Мөйөштәрҙең тышҡы (уртаҡ булмаған) яҡтары төҙөгән мөйөштөң дәүмәле теркәлгән мөйөштәрҙең үҙҙәренең дәүмәлдәренең суммаһына (α + β) тигеҙ
Файл:Complement angle.svg|[[Өҫтәлмә мөйөштәр]] <var>a</var> һәм <var>b</var> (үҙ-ара бер береһен тура мөйөшкә тултыралар). Ике өҫтәлмә мөйөш тә ҡыҫынҡы мөйөш булалар
Файл:Supplementary angles.svg|Эргәләш мөйөштәр — был һүрәттә ҡыҫынҡы (α) һәм йәйенке (β) — (α + β) йәйелмә мөйөшөн төҙөйҙәр
Файл:Explementary angles.png|Эйәртеүле мөйөштәр — тулы мөйөш (360°) төҙөйҙәр; был һүрәттә айырым миҫал: 150° + 210° = 360°
</gallery>
* ''[[Вертикаль мөйөштәр]]'' — ике тура һыҙыҡ киҫешкәндә барлыҡҡа килгән мөйөштәр, был мөйөштәрҙең уртаҡ яҡтары юҡ. Икенсе төрлө әйткәндә — ике мөйөш, әгәр бер мөйөштөң яҡтары икенсе мөйөштөң яҡтарының дауамы булып торһа, вертикаль мөйөштәр тип аталалар. Уларҙың төп үҙсәнлеге: ''вертикаль мөйөштәр тигеҙ''.
* ''Теркәлгән мөйөштәр'' — түбәһе һәм яҡтарының береһе уртаҡ, ләкин бер яҫылыҡта ятҡан эске өлкәләре киҫешмәгән ике мөйөш. Теркәлгән мөйөштәрҙең тышҡы (уртаҡ булмаған) яҡтары төҙөгән мөйөштөң дәүмәле теркәлгән мөйөштәрҙең үҙҙәренең дәүмәлдәренең суммаһына тигеҙ (һүрәттә α + β).

Теркәлгән мөйөштәрҙең айырым осраҡтары.

:* Әгәр теркәлгән мөйөштәр тигеҙ булһа, уларҙың уртаҡ яғы — [[#Биссектриса|биссектриса]].

:* ''[[Өҫтәлмә мөйөштәр]]'' — түбәһе уртаҡ булған, яҡтарының береһе — уртаҡ, ә ҡалған яҡтары тура мөйөш төҙөгән ике мөйөш. Өҫтәлмә мөйөштәрҙең суммаһы 90°-ҡа тигеҙ. Мөйөштөң [[Тригонометрик функциялар|синусы]], [[Тригонометрик функциялар|тангенсы]] һәм [[Тригонометрик функциялар|секансы]] ярашлы рәүештә өҫтәлмә мөйөштөң [[Тригонометрик функциялар|косинусына]], [[Тригонометрик функциялар|котангенсына]] һәм [[косеканс]]ына тигеҙ.

:* ''[[Эргәләш мөйөштәр]]'' — түбәһе уртаҡ булған, яҡтарының береһе — уртаҡ, ә ҡалған яҡтары бер тура һыҙыҡта ятҡан (тап килмәйенсә) ике мөйөш. Эргәләш мөйөштәрҙең суммаһы 180°-ҡа тигеҙ.

:* ''Эйәртеүле мөйөштәр'' — түбәһе һәм ике яғы ла уртаҡ булған, ләкин эске өлкәләре төрлө булған ике мөйөш; бындай мөйөштәрҙең берекмәһе бөтә яҫылыҡты тәшкил итә, ә эйәртеүле мөйөштәр булараҡ улар икеһе бергә тулы мөйөш яһай; уларҙың дәүмәлдәренең суммаһы 360°.

=== Яҡтары (анти)параллель булған яҫы мөйөштәр ===


Яҡтары пар-пар параллель һәм бер йүнәлешле (йәки пар-пар параллель һәм ҡапма-ҡаршы йүнәлешле) мөйөштәр бер береһенә тигеҙ. Яҡтарының бер пары бер береһенә параллель һәм бер йүнәлешле, ә яҡтарының икенсе пары параллель һәм ҡапма-ҡаршы йүнәлешле булған мөйөштәр пары йәйелмә мөйөш төҙөйҙәр, йәғни суммаһы 180° (һүрәтте ҡарағыҙ) — сөнки уларҙы параллель күсереү ярҙамында эргәләш мөйөштәргә әйләндереп була (бер йүнәлешле яҡтарын «йәбештереп»).

=== Яҡтары үҙ-ара перпендикуляр булған мөйөштәр ===
* Яҡтары үҙ-ара перпендикуляр булған ике мөйөш, әгәр улар икеһе лә ҡыҫынҡы йәки икеһе лә йәйенке булһа, тигеҙ булалар.

=== Өсмөйөштөң тышҡы мөйөшө ===

* **Өсмөйөштөң тышҡы мөйөшө тураһында теорема**. Өсмөйөштөң тышҡы мөйөшө, уның тышҡы мөйөшө менән эргәләш булмаған, ҡалған ике мөйөшөнөң суммаһына тигеҙ.

=== Күпмөйөштөң мөйөштәре ===


Яҡтары бер-береһе менән киҫешмәгән ирекле -мөйөштөң эске мөйөштәренең суммаһы  <math>\sum_{i=1}^n \alpha_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} </math> тигеҙ.

Шулай,
* [[өсмөйөш]]төң эске мөйөштәренең суммаһы 180°-ҡа тигеҙ,
* дүртмөйөштөң — 360°,
* бишмөйөштөң — 540° һәм шулай артабан.

==== Эҙемтә ====
''Тышҡы'' мөйөш  тип (иғтибар, был тышҡы мөйөштөң ғәҙәттәге билдәләмәһе **түгел*') эске мөйөштө  тулы мөйөшкә тикдем тултырыусы мөйөштө атайыҡ: .

Яҡтары бер-береһе менән киҫешмәгән ирекле -мөйөштөң тышҡы мөйөштәренең суммаһы <math>\sum_{i=1}^n \beta_i = n\cdot 360^{\circ} - \sum_{i=1}^n \alpha_i = (n+2)\cdot 180^{\circ} </math> тигеҙ

== Үҙәк һәм ҡамалған мөйөш ==
Әйләнәнең теләһә ниндәй бирелгән дуғаһына берҙән-бер үҙәк һәм сикһеҙ күп ҡамалған мөйөштәрҙе ярашлы ҡуйып була.
<gallery mode="packed">
Файл:Angle central1.svg|Үҙәк мөйөш
Файл:Angle inscribed1.svg|Ҡамалған мөйөш
</gallery>
* *Үҙәк мөйөш* — түбәһе [[Әйләнә|әйләнәнең]] үҙәгендә булған мөйөш. Үҙәк мөйөштөң дәүмәле был мөйөштөң яҡтары араһындағы дуғаның градус үлсәменә тигеҙ.
* *Ҡамалған мөйөш* — түбәһе әйләнәлә ятҡан, ә яҡтары был әйләнәне киҫеп үткән мөйөш. Ҡамалған мөйөштөң дәүмәле уның яҡтары менән сикләнгән дуғаның градус үлсәменең яртыһына тигеҙ. Бер үк дуғаға таянған бөтә ҡамалған мөйөштәр тигеҙ.

*Ҡамалған мөйөштөң* дәүмәле әйләнәлә шул уҡ дуғаға таянған *үҙәк мөйөш* дәүмәленең яртыһына тигеҙ (һүрәтте ҡарағыҙ.).

== Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр ==
<math>AB</math> *һәм* <math>CD</math> *тура һыҙыҡтары араһындағы йүнәлешле мөйөштөң дәүмәле* тип (тамғалау: <math>\angle(AB,CD)</math>), <math>AB</math> тура һыҙығын, ул <math>CD</math> тура һыҙығына параллель булһын өсөн сәғәт уғына ҡаршы йүнәлештә борорға кәрәк булған мөйөштөң дәүмәлен атайҙар. Шул уҡ ваҡытта ·180°-ҡа ( — бөтөн һан) айырылған мөйөштәрҙе тигеҙ тип һанайҙар. Әйтергә кәрәк, <math>CD</math> һәм <math>AB</math> тура һыҙыҡтары араһындағы йүнәлешле мөйөш <math>AB</math> һәм <math>CD</math> тура һыҙыҡтары араһындағы йүнәлешле мөйөшкә тигеҙ түгел (уларҙың суммаһы 180°, килешеү буйынса шул уҡ 0°). Йүнәлешле мөйөштәр ошондай үҙсәнлектәргә эйә: а) <math>\angle(AB,BC)=-\angle(BC,AB);</math> б) <math>\angle(AB,CD)+\angle(CD,EF)=\angle(AB,EF);</math> в) бер тура һыҙыҡта ятмаған <math>A,B,C,D,</math> нөктәләре <math>\angle(AB,BC)=\angle(AD,DC)</math> булғанда һәм бары тик шул саҡта ғына бер әйләнәлә яталар.

Күп кенә практик мәсьәләләр мөйөштө, беркетелгән нурҙы (нур сыҡҡан) О нөктәһе тирәләй бирелгән торошҡа тиклем борғанда барлыҡҡа килгән фигура итеп ҡарауҙың маҡсатҡа ярашлы булыуына килтерә.Был осраҡта мөйөш нурҙың боролоу үлсәме булып тора. Был билдәләмә, мөйөштөң билдәләнеү өлкәһен бөтә һанлы тура һыҙыҡҡа <math>(-\infty ; +\infty)</math> киңәйтеп, мөйөш төшөнсәһен дөйөмләштерергә мөмкинлек бирә: 360°-тан ҙурыраҡ булған мөйөштәр индерелә, боролоу йүнәлешенә бәйле рәүештә [[Йүнәлешле мөйөш|ыңғай һәм тиҫкәре мөйөштәр]] айырыла. Ошолайтып ҡарау [[тригонометрия]]ла тригонометрик функцияларҙы аргументтың теләһә ниндәй ҡиммәте өсөн өйрәнергә мөмкинлек бирә.

Мөйөш төшөнсәһе [[стереометрия]]ла ҡаралған [[#Есемле мөйөш|есемле мөйөш]]кә дөйөмләштерелә.

=== Есемле мөйөш ===


Есемле мөйөш яҫы мөйөштөң стереометрияға дөйөмләштерелеүе булып тора — ул арауыҡтың, бирелгән нөктәнән (мөйөштөң *түбәһенән*) сыҡҡан һәм ниндәйҙер (был есемле мөйөштө *тарттырыусы* йөҙ тип аталған) йөҙҙө киҫеп үтеүсе бөтә нурҙарҙың берекмәһе булып торған өлөшө.

Есемле мөйөштәр [[стерадиан]]дарҙа үлсәнәләр (СИ системаһының төп берәмектәренең береһе), шулай уҡ системанан тыш берәмектәрҙә — тулы сфераның (йәғни 4 стерадиан тәшкил итеүсе тулы есемле мөйөштөң) өлөштәрендә, квадрат градустарҙа, квадрат минуттарҙа һәм квадрат секундтарҙа үлсәнәләр.

Есемле мөйөш булып, атап әйткәндә, түбәндәге геометрик есемдәр булалар:
* [[ике ҡырлы мөйөш]] — арауыҡтың ике киҫешеүсе яҫылыҡ менән сикләнгән өлөшө;
* [[өс ҡырлы мөйөш]] — арауыҡтың өс киҫешеүсе яҫылыҡ менән сикләнгән өлөшө;
* [[күп ҡырлы мөйөш]] — арауыҡтың бер нөктәлә киҫешеүсе бер нисә яҫылыҡ менән сикләнгән өлөшө.

Ике ҡырлы мөйөш һыҙыҡлы мөйөш менән дә (уны төҙөүсе яҫылыҡтар араһындағы мөйөш), шулай уҡ есемле мөйөш менән дә (түбәһе сифатында уның *ҡабырғаһындағы* — ҡырҙары киҫешкән тура һыҙыҡтағы теләһә ниндәй нөктә һайлап алынырға мөмкин) характерланырға мөмкин. Әгәр ике ҡырлы мөйөштөң һыҙыҡлы мөйөшө (радиандарҙа) -гә тигеҙ булһа, уның есемле мөйөшө (стерадиандарҙа) 2-гә тигеҙ.

=== Кәкреләр араһында мөйөш ===


Планиметриялағы кеүек үк стереометрияла, шулай уҡ бер нисә башҡа геометрияларҙа киҫешеү нөктәләрендә [[кәкре|шыма кәкреләр]] араһында мөйөштө ошолай билдәләргә мөмкин: билдәләмә буйынса уның дәүмәле кәкреләргә киҫешеү нөктәһендә үткәрелгән [[Тейеүсе|тейеүселәр]] араһындағы мөйөш дәүмәленә тигеҙ.

== Мөйөш һәм скаляр ҡабатландыҡ ==
Мөйөш төшөнсәһен ирекле тәбиғәтле (һәм ирекле, шул иҫәптән сикһеҙ, үлсәмле), арауыҡтың ике <math>x</math> һәм <math>y</math> элементтары араһында аксиоматик рәүештә ыңғай билдәләнгән <math>(x,y)</math> [[Векторҙарҙың скаляр ҡабатландығы|скаляр ҡабатландыҡ]] индерелгән [[Һыҙыҡлы арауыҡ|һыҙыҡлы арауыҡ]] өсөн билдәләргә мөмкин. Скаляр ҡабатландыҡ шулай уҡ элементтың [[норма вектора|нормаһын]] (оҙонлоғон) элементтың үҙенә ҡабатландығының квадрат тамыры <math>||x||=\sqrt{(x,x)}</math> итеп билдәләргә мөмкинлек бирә. Скаляр ҡабатландыҡ аксиомаларынан скаляр ҡабатландыҡ өсөн [[Коши — Буняковский тигеҙһеҙлеге]] (Коши — Шварц) килеп сыға: <math>|(x,y)|\leqslant ||x||\cdot||y||,</math> бынан, <math>\frac {(x,y)} </math> дәүмәле −1-ҙән 1-гә тиклемге ҡиммәттәр ҡабул итеүе килеп сыға, шуның менән бергә ситтәге ҡиммәттәрен, элементтар бер-береһенә пропорциональ ([[Коллинеарлыҡ|коллинеар]]) булғанда һәм  [[шул саҡта һәм бары шул саҡта ғына]] ҡабул итәләр (геометрик әйткәндә — уларҙың [[Векторҙың йүнәлеше|йүнәлештәре]] тап килгәндә йәки ҡапма-ҡаршы булғанда). Был <math>\frac {(x,y)} </math> сағыштырмаһын <math>x</math> һәм <math>y</math> элементтары араһындағы мөйөштөң [[косинус]]ы итеп интерпретацияларға мөмкинлек бирә. Атап әйткәндә, әгәр элементтарҙың скаляр ҡабатландығы (йәки мөйөш косинусы) нулгә тигеҙ булһа, улар [[Ортогоналлек|ортогональ]] тип аталалар.

Айырым алғанда, әгәр <math>(f,g) =\int^b_a f(x) g(x) dx</math> стандарт скаляр ҡабатландыҡ индергәндә, ниндәйҙер <math>[a,b]</math> интервалында [[Өҙлөкһөҙ функциялар|өҙлөкһөҙ]] функциялар араһында мөйөш төшөнсәһе индерергә мөмкин, ул саҡта функцияларҙың  нормалары <math>||f||^2=\int^b_a f^2(x)dx</math> тип билдәләнә. Ул саҡта мөйөштөң косинусы стандарт рәүештә функцияларҙың скаляр ҡабатландығының уларҙың нормаларына сағыштырмаһы итеп билдәләнә. Функцияларҙы, әгәр уларҙың скаляр ҡабатландығы (уларҙың ҡабатландығының интегралы) нулгә тигеҙ булһа, шулай уҡ [[Ортогональ функциялар|ортогональ]] тип атап була.

[[Риман геометрияһы|Риман геометрияһында]] оҡшаш рәүештә [[метрик тензор|метрик тензор]] <math>g_{ij}</math> ярҙамында [[Тейеүсе вектор|тейеүсе векторҙар]] араһында мөйөшкә билдәләмә бирергә мөмкин. <math>u</math> һәм <math>v</math> тейеүсе векторҙарының скаляр ҡабатландығы [[тензор]]лы яҙыуҙа ошондай күренештә була: <math>(u,v)=g_{ij}u^iv^j,</math> ярашлы рәүештә векторҙарҙың нормалары — <math>||u||=\sqrt</math> һәм <math>||v||=\sqrt.</math> Шуға күрә мөйөштөң косинусы күрһәтелгән скаляр ҡабатландыҡтың векторҙарҙың нормаларына сағыштырмаһының стандарт формулаһы буйынса билдәләнергә мөмкин: <math>\cos \theta = \frac {(u,v)}  = \frac {g_{ij}u^iv^j} { \sqrt }.</math>

== Метрик арауыҡта мөйөш ==
Шулай уҡ метрик арауыҡтың элементтары араһында мөйөш төшөнсәһе индерелгән байтаҡ хеҙмәттәр бар.

<math>(X,\rho)</math> — [[метрик арауыҡ]] булһын, ти. <math>x,y,z</math> — был арауыҡтың элементтары икән ти.

К. Менгер *түбәһе x нөктәһендә булған y һәм z түбәләре араһында мөйөш* төшөнсәһен тиҫкәре булмаған <math>\widehat{yxz}</math> һаны булараҡ индерә, ул өс аксиоманы ҡәнәғәтләндерә:
* <math>\widehat{yxz}=\widehat{zxy}</math>
* <math>\widehat{yxz}=0</math> *шул саҡта һәм шул саҡта ғына, әгәр* <math>\rho(y,z)=|\rho(x,y)-\rho(x,z)|</math> булһа
* <math>\widehat{yxz}=\pi</math> *шул саҡта һәм шул саҡта ғына, әгәр* <math>\rho(y,z)=\rho(x,y)+\rho(x,z)</math> булһа

[[1932 йыл]]да Вильсон мөйөш сифатында түбәндәге аңлатманы ҡарай:

<math>\widehat{yxz}_w = \arccos \frac{\rho^2(x,y)+\rho^2(x,z)-\rho^2(y,z)}{2\rho(x,y)\rho(x,z)}</math>

Был аңлатманың һәр ваҡытта ла мәғәнәһе бар һәм Менгерҙың өс аксиомаһын ҡәнәғәтләндерә икәнен күреүе ҡыйын түгел.

Бынан тыш, Вильсондың мөйөшө ошондай үҙсәнлеккә эйә, ул [[Евклид арауығы]]нда Евклид арауығы мәғәнәһендә <math>y-x</math> һәм <math>z-x</math> элементтары араһындағы мөйөшкә эквивалентлы.

== Мөйөштәрҙе үлсәү ==

Мөйөштәрҙе төҙөү һәм үлсәү өсөн иң киң таралған инструменттарҙың береһе булып [[транспортир]] (шулай уҡ [[линейка]] — аҫтараҡ ҡарағыҙ) тора; ҡағиҙә булараҡ, ул билдәле бер дәүмәлдәге мөйөштө төҙөү өсөн ҡулланыла. Мөйөштәрҙе теүәлерәк үлсәү өсөн күп инструменттар эшләнгән:
* [[мөйөш үлсәгес]];
* [[гониометр]] — мөйөштәрҙе лабораторияла үлсәү өсөн прибор;
* [[кипрегель]] — геодезик мөйөш үлсәгес инструмент.

Күҙәтеүсе өсөн ике объект араһында *мөйөш алыҫлығы* (йәки мөйөш) тип, түбәһендә күҙәтеүсе торған, ә объекттар яҡтарында ятҡан мөйөш үлсәме атала. Ике алыҫтағы предметтар араһындағы мөйөштө яҡынса баһалау өсөн ҡул суғын файҙаланырға мөмкин. Һуҙылған ҡул алыҫлығында 1 градус (1°) мөйөш алыҫлығына сәтәкәй бармаҡ яҫылығы ярашлы (шулай уҡ аҫтараҡ ҡарағыҙ; урта бармаҡтың мөйөш киңлеге һуҙылған ҡул алыҫлығында яҡынса 2° тәшкил итә),10 градуслы мөйөшкә — горизонталь урынлашҡан төйөлгән йоҙроҡ киңлеге, (йәки ус арҡырыһы), 20 градуслы мөйөшкә (йәки яҡынса 15°÷17°÷20°) — айырылған ҙур һәм һуҡ бармаҡ остары араһындағы алыҫлыҡ ([[ҡарыш]]), ә сәтәкәй бармаҡ осонан баш бармаҡ осона тиклемге мөйөш алыҫлығы яҡынса [[Тура мөйөш|тура мөйөштөң]] сирегенә тигеҙ. Былар яҡынса мәғлүмәт. Уларҙы үҙегеҙҙең ҡулығыҙ өсөн асыҡларға тәҡдим ителә.

Мөйөштәрҙе үлсәү өсөн төрлө ысулдар һәм ҡорамалдар [[мөйөш хәл ителеше]], йәғни был ысул менән үлсәнергә мөмкин булған иң бәләкәй мөйөш менән характерлана. Дуғаның бер нисә микросекунды булған мөйөштәрҙе үлсәргә мөмкинлек биреүсе (~10<sup>−11</sup> радиан) [[Интерферометрия|интерферометрик]] ысулдар иң яҡшы мөйөш хәл ителешенә эйә.

=== Практик [[Тригонометрия|тригонометрик]] үлсәүҙәргә миҫалдар ===
; Мәсьәләне ябай ысул менән сығарыу
*Нисек өсмөйөштөң яҡтары ярҙамында һәм ҡул осондағы ҡорамалдар — миллиметрлы бүлемле линейка менән, (мәҫәлән, инженер/тригонометрик калькулятор (һәм таблицалар) һәм ПК (MS Office Excel) булмағанда cos иҫәпләү өсөн), мөйөштәрҙе (мәҫәлән, картала) үлсәргә?*<br>
Мөйөштөң яҡтарында 60 мм киҫек һалығыҙ һәм остарын киҫек менән тоташтырығыҙ. Был киҫектең миллиметрҙарҙа оҙонлоғо мөйөштөң градустарҙа яҡынса ҡиммәтен күрһәтә. Ошо ысул менән етерлек (ҡабул итерлек) теүәллек менән 60°-ҡа тиклемге ҡыҫынҡы мөйөштәрҙе үлсәргә мөмкин. Әгәр мөйөш 60°-тан ҙур булһа, уның 90°, 180, 270° йәки 360°-ҡа тиклем өҫтәмәһен үлсәйҙәр. 90° йәки 270°-ҡа тиклем өҫтәмәһен үлсәү өсөн мөйөш түбәһенән өсмөйөш ярҙамында яҡтарҙың береһенә *перпендикуляр* үткәрелә (тигеҙ эргәле өсмөйөштә — [[Өсмөйөштөң медианаһы|медиана]]-[[биссектриса]], шул уҡ [[Өсмөйөштөң бейеклеге|бейеклек]] була).

*Һуҙылған ҡулдың тура мөйөшкә айырылған ҙур һәм һуҡ бармаҡтарына тоҫҡау мөйөшө яҡынса 15° тәшкил итә. Быны нисек тикшерергә һәм асыҡларға?*<br>
Иң беренсе урында ориентир билдәләгеҙ һәм унан 90° мөйөш һалығыҙ. Быны алдағы мәсьәләлә тасуирланған ысул менән эшләргә була. Артабан ориентирҙан тура мөйөшкә айырылған ҙур һәм һуҡ бармаҡтарға тоҫҡап 15° алты мөйөш һалығыҙ. Һуңғы мөйөштө һалыу урында тура мөйөш яһарға тейеш. Әгәр был теүәл килеп сыҡмаһа, һуҙылған ҡулда күҙҙән бер аҙ яҡыныраҡ йәки алыҫыраҡ (60 см тирәһе) тотоп, мөйөштәрҙе һалыуҙы ҡабатларға кәрәк. Ошоноң менән һеҙ 15° мөйөш һалыу өсөн ҡулды һуҙырға кәрәк булған алыҫлыҡты белерһегеҙ.

Мөйөштәрҙе шулай уҡ төрлө үлсәү приборҙары һәм ҡулайламалар ярҙамында иҫәпләргә мөмкин — [[иҫәпләү линейкаһы]]нда *тригонометрия* ярҙамында, [[инженер калькуляторы]]нда (шул иҫәптән [[калькулятор (Windows)]]), [[MS Office Excel]] таблицаһы *функциялары* ярҙамында: (1) [[Косинус|cos]], (2) аҙаҡ [[arccos]], һәм (3) шулай уҡ *функциялар ярҙамында*, [[радиан]]дарҙың ҡиммәтен [[Градус (геометрия)|градустарға]] (°) күсерергә (ПК булғанда; бирелгән яҡтары буйынса өсмөйөштөң мөйөштәрен on-line-иҫәпләү бар);
Шулай уҡ махсус тригонометрик таблицалар: sin, cos, шулай уҡ arccos, arcsin бар, һуңғылары, әйткәндәй, градустарға ҡайтарып иҫәпләү менән.

[[Аналитическая геометрия]]ла [[Тура мөйөшлө координаталар системаһы|координаталар яҫылығында]] тура һыҙыҡтар араһында мөйөш, мәҫәлән, түбәндәге тигеҙләмә менән бирелә:
: <math>\alpha = \mathrm{arctg}\,\left | \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right |</math> (ҡарағыҙ. [[Һыҙыҡлы функция]]; шулай уҡ ҡарағыҙ [[#Мөйөш һәм скаляр ҡабатландыҡ]])

== Иҫкәрмәләр ==


== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Углы Эйлера]]
* [[Двугранный угол]]
* [[Трёхгранный угол]]
* [[Телесный угол]]
* [[Азимут (геодезия)]]
* [[Магнитный азимут]]
* [[Азимут (астрономия)]]
* [[Угловой размер]]
* [[Угол места]]
* [[Угол скольжения]]
* [[Румб]]
* [[Кастор (угол)]]
* [[Золотое сечение]]
* [[Угол обзора]]
* [[Угол поля зрения объектива]]
* [[Угловое разрешение]]
* [[Поворот|Угол поворота]]
* Угол ([[наклон]]а, [[уклон]]а)
* [[Угловая скорость]] (& [[ODD|CAV]])
* [[Угловое ускорение]]
* [[Угловая частота]]
* [[Угловой коэффициент]] ([[Линейная функция]])
* [[Изогона]]
* [[Закон постоянства углов]]
* [[Решение треугольников]]
* [[Ортогональность]]
* [[Тригонометрия]]
* [[Пентагон (значения)]]
* [[Полигонометрия]]
* [[Триангуляция]]
* [[Позиционный угол]] и [[Угловое расстояние]] ([[Полярные координаты]])
* [[Аспект (астрология)]]
* [[Склонение (астрономия)]] и [[Часовой угол]] ([[Системы небесных координат]])
* [[Дирекционный угол]]
* [[Тригонометрический параллакс]] & [[Параллактический угол]]
* [[Астрономическая рефракция]]

== Әҙәбиәт ==

* *Барабанов О. О.'' Начала истории прямого угла // История науки и техники, 2015. № 1. С. 16-27.* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*