Экспонента

**Экспоне́нта** — күрһәткесле функция f(x)=\exp(x)=e^x, бында e — Эйлер һаны(e \approx 2,718).

## Билдәләмә
Экспоненциаль функцияға билдәләмәне төрлө эквивалент ысулдар менән бирергә мөмкин. Мәҫәлән, Тейлор рәте аша:

: e^x = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots
йәки сикләмә аша:
e^x=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n. Бында x — теләһә ниндәй комплекслы һан.

## Үҙсәнлектәре
* (e^x)'=e^x, айырым алғанда, экспонента — y'=y дифференциаль тигеҙләмәһенең y(0)=1 башланғыс шарттары өсөн берҙән-бер сығарылышы. Бынан тыш, бер төрлө дифференциаль тигеҙләмәләрҙең уртаҡ сығарылыштары экспонента аша күрһәтеләләр.
* Экспонентаның билдәләнеү өлкәһе бөтә ысын һандар күмәклеге. Ул бөтә һандар күмәклегендә үҫә барыусы һәм тик ыңғай ҡиммәттәр ала. 
* Экспонента — ҡабарынҡы функция.
* Уға кире функция — натураль логарифм (\ln x).
* Экспонентаның Фурье-образы юҡ.
* Ләкин Лаплас үҙгәртеүе бар.
* Экспонентаның сығарылмаһы нуль нөктәһендә 1-гә тигеҙ, шуға күрә экспонентаға тейеүсе был нөктәлә x күсәренә 45^{\circ} ~ \Big( \frac{\pi}{4} \Big) ауышлыҡта
* Экспонентаның, һәр төрлө күрһәткесле функция кеүек, төп функциональ үҙсәнлектәре:
*: \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b).
** Ундай үҙсәнлеккә эйә булған өҙлөкһөҙ функция йәки тождестволы 0-гә тигеҙ, йәки \exp(cx) күренешендә, бында c — ниндәйҙер константа.
* e^x = \sinh x + \cosh x, бында \sinh һәм \cosh — гиперболалы синус һәм косинус.

## Комплекслы экспонента

Комплекслы экспонента — f(z)=e^z формулаһы менән бирелгән математик функция, бында z комплекслы һан. Комплекслы экспонента ысын x үҙгәреүсәнле f(x)=e^x экспонентаның аналитик дауамы булараҡ билдәләнә:
Формаль аңлатма билдәләмә бирәйек: e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy}.
Шул рәүешле билдәләнгән аңлатма ысын һандар күсәрендә классик ысын үҙгәреүсәнле экспонента менән тап килә. Ҡоролоштоң тулыһынса  дөрөҫлөгө өсөн e^z функцияһының аналитик булыуын иҫбат итергә кәрәк, йәғни e^z, сикләмәһе был функцияға тигеҙ булған ниндәйҙер рәткә тарҡала икәнде күрһәтергә кәрәк. Быны күрһәтәйек:
f(z)=e^z=e^x\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
Был рәттең сикләмәһе булыуы еңел иҫбатлана:
\left|e^{iy}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\left|\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\right|\le\sum_{n=0}^\infty\left|\frac{x^n}{n!}\right|= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{|x|^n}{n!} =e^.
Рәттең һәр саҡ сикләмәһе бар, шулай итеп, был рәттең һәр конкрет нөктәлә суммаһы f(z)=e^z аналитик функцияһының ҡиммәтен билдәләйәсәк. Берҙән-берлек теоремаһына ярашлы, килеп сыҡҡан  дауам берҙән-бер була. Ошонан сығып, комплекслы яҫылыҡта e^z функцияһы һәр саҡ билдәләнгән һәм аналитик.

### Үҙсәнлектәре
* Комплекслы экспонента — бөтә комплекслы яҫылыҡта бөтөн голоморфлы функция. Бер нөктәлә лә ул нулгә әйләнмәй.
* e^z — периодлы функция, төп периоды 2πi: e^{i\varphi}=e^{i(\varphi+2\pi)}. Периодлы булғанлыҡтан комплекслы экспонента күп ҡиммәтле функция. Уның бер ҡиммәтлелек өлкәһе сифатында 2 \pi бейеклегендәге теләһә ниндәй горизонталь һыҙатты алырға мөмкин.
* e^z — сығарылмаһы (шулай уҡ ярашлы рәүештә интегралы ла) үҙенә тигеҙ булған берҙән-бер функция.
* Комплекслы аргументлы z=x+iy алгебрак экспонента түбәндәгесә билдәләнергә мөмкин:
*: e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}=e^x(\cos \, y + i\sin \, y) (Эйлер формулаһы)
** Атап әйткәндә, (Эйлер тождествоһы)
**: e^{i\pi}+1=0 тигеҙлеге дөрөҫ

## Вариациялары һәм дөйөмләштереүҙәр
Оҡшаш рәүештә экспонента ирекле ассоциатив алгебра элементы өсөн билдәләнә. Конкрет осраҡта шулай уҡ күрһәтелгән сикләмәләр бар икәнен иҫбатлау талап ителә. 
### Матрицалы экспонента

Квадрат матрицанан (йәки һыҙыҡлы операторҙан) экспонентаны  формаль рәүештә, матрицаны ярашлы рәткә ҡуйып билдәләргә мөмкин:
: \exp A=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}.
Шул рәүешле билдәләнгән рәттең теләһә ниндәй сикләнгән нормалы A операторы өсөн сикләмәһе бар, сөнки A: нормаһы экспонентаһы \exp \|A\|. өсөн рәт менән мажорлана (мажорируется). Тимәк, A \in \mathbb{R}^{n\times n} матрицаһынан экспонента һәр ваҡыт билдәләнә һәм үҙе матрица булып тора.
Матрицалы экспонента ярҙамында коэффициенттары даими булған һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылышы күренешен еңел бирергә мөмкин: башланғыс шарты x(0)=x_0 булған \dot x=Ax, ~~~ x\in \mathbb R^n тигеҙләмәһенең сығарылышы x(t)=\exp (At) x_0.

### h-экспонента
h-экспонентаны индереү икенсе бик яҡшы сикләмәгә нигеҙләнгән:
e_{h}(x)=(1+h)^\frac{x}{h}.
h\to 0 булғанда ғәҙәттәге экспонента килеп сыға.

## Кире функция
Экспоненциаль функцияға кире функция — натураль логарифм.
\ln x тип тамғалана: \ln x = \log_{e} x.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ
* Күрһәткесле функция
* Экспоненциаль функцияларҙың интегралдары исемлеге

## Әҙәбиәт
* Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
* Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

## Һылтанмалар
* "Экспонента и число е: просто и понятно " — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained

## Иҫкәрмәләр