Ферманың бөйөк теоремаһы

**Ферма́ның бөйөк теоремаһы** (йәки **Ферма́ның һуңғы теоремаһы**) — математиканың иң популяр  теоремаларының береһе. Уның шарты ябай ғына, «мәктәп» арифметикаһы кимәлндә  формулировкалана, әммә теореманың иҫбатланышын күп математиктар өс йөҙҙән артыҡ йыл эҙләйҙәр. 1994 йылда Эндрю Уайлс коллегалары менән  иҫбатлай (иҫбатланышы 1995 йылда баҫыла).

## Формулировкаһы
Теорема, теләһә ниндәй n > 2  натураль һаны өсөн 
: a^n + b^n = c^n
тигеҙләмәһенең  a, b, c-ның нулдән айырмалы бөтөн һандарында сығарылышы юҡ тип раҫлай.

Формулировканың тарыраҡ варианты ла осрай, ул был тигеҙләмәнең натураль сығарылыштары юҡ тип раҫлай. Әммә шуныһы асыҡ: бөтөн һандар өсөн сығарылышы булһа, натураль һандарҙа ла сығарылышы була. Ысынлап та, a, b, c — Ферма тигеҙләмәһенең сығарылышын биргән бөтөн һандар булһын, ти. Әгәр n йоп булһа, |a|, |b|, |c| шулай уҡ сығарылышы була, ә әгәр таҡ булһа, бөтә тиҫкәре ҡиммәттәрҙең дәрәжәләрен, тамғаһын үҙгәртп, тигеҙләмәнең икенсе яғына күсерәбеҙ. Мәҫәлән, әгәр a^3 + b^3 = c^3 тигеҙләмәһенең сығарылышы булһа һәм шуның менән бергә a тиҫкәре, ә ҡалғандары ыңғай булһа, ул саҡта b^3 = c^3 + |a|^3, һәм c, |a|, b.  натураль сығарылыштарын табабыҙ. Шуға күрә ике формулировка ла эквивалентлы.

Ферма теоремаһы раҫлауының дөйөмләштереүҙәре булып кире ҡағылған Эйлер гипотезаһы һәм асылған Ландер — Паркин — Селфридж гипотезаһы тора.

## Тарихы
n = 3 булған осраҡ өсөн был теореманы X быуатта ал-Ходжанди иҫбатларға маташа, ләкин уның иҫбатлауы һаҡланмаған.

Дөйөм күренештә теорема Пьер Ферма тарафынан 1637 йылда Диофанттың «Арифметикаһының» ситендә формулировкалана. Эш шунда, Ферма үҙенең күрһәтмәләрен уҡыған математик трактаттар ситенә яҙып ҡуя һәм шунда уҡ аңға килгән мәсьәләләрҙе һәм теоремаларҙы билдәләй торған була. Һүҙ алып барылған теореманы яҙып ҡуйғанда, ул был теореманың табылған тапҡыр иҫбатланышы бик оҙон, уны китап ситенә һыйҙырып булмай тип өҫтәп ҡуя:

Киреһенсә, куб ике кубҡа, биквадрат ике биквадратҡа, һәм ғөмүмән, квадраттан ҙурыраҡ бер ниндәй дәрәжә лә шул уҡ күрһәткесле ике дәрәжәгә тарҡатыла алмай. Мин быға ысынлап та иҫ киткес иҫбатлау таптым, ләкин китап биттәре уның өсөн бик тар.

Ферма Диофанттың «Арифметика»һына 45-се комментарийында һәм Каркавиға хатында (1659 йылдың авгусы) теореманың дүртенсе дәрәжәһенә, n = 4, ҡайтарып ҡалдырылған мәсьәләне сығарыу булараҡ ҡына иҫбатлау килтерә. Бынан тыш, Ферма n = 3 булған осраҡты «Сикһеҙ төшөү ысулы» менән сығарылыусы мәсьәләләр исмлегенә индерә.

Эйлер 1770 йылда теореманы n = 3 осрағы өсөн иҫбатлай, Дирихле һәм Лежандр 1825 йылда — n = 5 осрағы, Ламе — n = 7 осрағы өсөн иҫбатлайҙар. Эрнст Эдуард Куммер, иррегуляр тип аталған 37, 59, 67 ябай һандарынан тыш, теорема 100-ҙән бәләкәй бөтә ябай n өсөн дөрөҫ булыуын күрһәтә.

a^n + b^n = c^n тигеҙләмәһен n-ға бүленмәгән һандар ҡәнәғәтләндерә алмай тигән раҫлауҙы, Ферма теоремаһының беренсе осрағы тип атау ҡабул ителгән, ә a^n + b^n = c^n тигеҙләмәһен араһынан береһе n-ға бүленгән һандар ҡәнәғәтләндерә алмай тигән раҫлауҙы, — Ферма теоремаһының икенсе осрағы тип атау ҡабул ителгән. Ферма теоремаһының беренсе осрағы Софи Жермен һандары күренешендәге күрһәткестәр өсөн Софи Жермен теоремаһы менән иҫбатлана.

Бөйөк теореманы тулыһынса иҫбатлау өҫтөндә бик күп күренекле математиктар һәм күп һәүәҫкәр дилетанттар эшләй; был теорема дөрөҫ булмаған «иҫбатлауҙар» һаны буйынса беренсе урында тора, тип һанала. Шуға ҡарамаҫтан, был тырышлыҡтар хәҙерге заман һандар теорияһының күп мөһим һөҙөмтәләрен алыуға килтерҙе. Давид Гильберт Халыҡ-ара математиктар конгресында үҙенең «Математик проблемалар» исемле докладында (1900) ошо аҙ әһәмиәтле теорема өсөн иҫбатлау эҙләүҙең һандар теорияһында тәрән һөҙөмтәләргә килтереүен билдәләй.
1908 йылда һәүәҫкәр немец математигы  Ферма теоремаһын иҫбатлағандарға 100 мең немец маркаһын васыят итә. Ләкин Беренсе бөтә донъя һуғышынан һуң, премия осһоҙлана.

1980-сы йылдарҙа проблеманы хәл итеүгә яңы ҡараш барлыҡҡа килә. Герд Фальтингс 1983 йылда иҫбатлаған Морделл гипотезаһынан, a^n + b^n = c^n тигеҙләмәһенең n > 3 булғанда тик сикле һанда үҙ-ара ябай сығарылышы булырға мөмкин булыуы килеп сыға.

1984 йылда немец математигы  Ферма тигеҙләмәһенең сығарылышын, әгәр ул булһа, ниндәйҙер эллиптик тигеҙләмәгә индерергә мөмкин һәм, Бөйөк Ферма теоремаһы Танияма — Симура гипотезаһының эҙемтәһе, тип фаразлай. Был фараз  тарафынан иҫбатлана, ул, был гипотетик тигеҙләмәнең модуляр формалар араһында игеҙәге була алмауын күрһәтә.

Уайлс Эндрю 1994 йылдың сентябрендә теореманы иҫбатлауҙа һуңғы мөһим аҙымды яһай. Уның Танияма — Симура гипотезаһын 130-битлек иҫбатлауы «Annals of Mathematics» журналында баҫылып сыға.

Уайлс үҙенең иҫбатлауының беренсее вариантын 1993 йылда (ете йыл эшләгәндән һуң) баҫтырып сығара, әммә тиҙҙән унда етди етешһеҙлек асыҡлана, ул Ричард Лоуренс Тейлор ярҙамында тиҙ арала бөтөрөлә. 1995 йылда һуңғы варианты баҫылып сыға. 2016 йылда Ферманың бөйөк теоремаһын иҫбатлаған өсөн Эндрю Уайлс Абель премияһын ала.

Колин Мак-Ларти, "ҙур кардинал" һандарҙың булыуын фараз итмәҫ өсөн, Уайлстың иҫбатлауын ябайлаштырып булыр моғайын, тип билдәләй.

Ферма теоремаһы шулай уҡ ''abc''-гипотезанан эҙемтә булараҡ килеп сыға, япон математигы Синъити Мотидзуки уны иҫбатлауы тураһында белдерә; уның иҫбатлауы ҡатмарлы булыуы менән айырылып тора. Әлеге ваҡытта математиктар берләшмәһендә уның хеҙмәттәренә ҡарата асыҡ консенсус юҡ.

## Ҡайһы бр вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр
Эйлер тарафынан тәҡдим ителгән гипотезаларҙың береһе (1769 йыл) a^4 + b^4 + c^4 = d^4 тигеҙләмәһенең натураль a, b, c, d сығарылыштары юҡ тип раҫлай. Тик XX быуатта, ҡеүәтле компьютерҙар ярҙамында, гипотезаны кире ҡағыусы ҡаршы миҫалдар табыуға өлгәшелә. 1988 йылда Ноам Элкис ошондай сығарылышты асыҡлай:
: 2\,682\,440^4 + 15\,365\,639^4 + 18\,796\,760^4 = 20\,615\,673^4.
Һуңңғараҡ башҡа сығарылыштары ла табыла; уларҙың иң ябайҙары:
: 95\,800^4 + 217\,519^4 + 414\,560^4 = 422\,481^4.

1993 йылда америка һәүәҫкәр математигы тарафынан формулировкаланған Бил гипотезаһы Ферма теоремаһының тағы ла бер популяр һығымтаһы булып тора, ул был гипотезаның иҫбатланышы йәки инҡар ителеше өсөн 1 млн америка доллары вәғәҙә итә.

## «Ферматистар»

Ферма теоремаһын ябай формулировкаһы (һәр уҡыусы аңлай алырлыҡ), шулай уҡ берҙән-бер билдәле иҫбатлауҙың ҡатмарлы булыуы (йәки уның барлығы тураһында белмәү) күптәрҙе башҡа, ябайыраҡ иҫбатлау табырға маташырға дәртләндерә. Ферма теоремаһын ябай ысулдар менән иҫбатларға тырышҡан кешеләрҙе **ферматистар**" йәки «ферматиктар» тип атайҙар Ферматистар йыш ҡына профессионал түгел һәм арифметик ғәмәлдәрҙә йәки логик һығымталарҙа хаталар ебәрәләр, Шулай ҙа ҡайһы берәүҙәр хаталарын табыуы ҡыйын булған бик нескә «иҫбатлауҙарҙы» тәҡдим итәләр.

Математика һөйөүселәр араһында Ферма теоремаһын иҫбатлау шул тиклем популяр була, хатта 1972 йылда «Квант» журналы Ферма теоремаһы тураһында мәҡәлә баҫтырып сығарғанда, уға киләһе өҫтәп яҙыуҙы теркәй: «„Квант“ редакцияһы үҙ яғынан уҡыусыларға Ферма теоремыһын иҫбатлау проекты менән хаттар ҡаралмаясағын (һәм кире ҡатарылмаясағын) хәбәр итеүҙе кәрәк тип иҫәпләй».

«Ферматистар» немец математигы Эдмунд Ландауҙың бик ныҡ маҙаһына тейә. Төп эшенән айырылмаҫ өсөн, ул шаблонлы текст менән бер нисә йөҙ бланкка заказ бирә, унда билдәле бер юлда хата булыуын хәбәр итә, шуның менән бергә хатаны табыуҙы һәм бланктағы бушлыҡтарҙы тултырыуҙы үҙ аспиранттарына йөкмәтә.

Айырым ферматистар үҙҙәренең (дөрөҫ булмаған) «иҫбатлауҙарын» фәнни булмаған матбуғатта баҫтырыуға өлгәшә, матбуғат уларҙың әһәмиәтен фәнни сенсацияға тиклем ҡабартып күрһәтә. Хәйер, ҡайһы берҙә бындай мәҡәләләр абруйлы ғилми баҫмаларҙа ла донъя күрә, ҡағиҙә булараҡ, артабанғы кире ҡағыу менән,. Башҡа миҫалдар араһында:
* Ярославлдә «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» исеме аҫтында баҫылып сыҡҡан В. И. Будкиндың брошюраһы (47 б., 5000 экз., Үрге Волга китап нәшриәте, 1975).
* Л. Ш. Райхелдың Ленинградта 1990 йылда баҡылып сыҡҡан «Великая теорема» исемле китабы.
* Украинаның Мәғариф һәм фән министрлығы Л. В. Шаповалова менән Г. А. Середкинға биргән «Ферма теоремаһы иҫбатланышы» хеҙмәтенә авторлыҡ хоҡуғын теркәү тураһында таныҡлыҡ. Документ иҫбатлауҙың дөрөҫлөгөн дәлилләмәй, Мәғариф һәм фән министрлығына тапшырылған баҫма хеҙмәткә авторлыҡ хоҡуғын ғына теркәй; был министрлыҡҡа ошондай таныҡлыҡтар реестрын алып барыу бурысы йөкмәтелгән.

## Иҫкәрмәләр

## Әҙәбиәт

### Рус телендә
* *Абраров Д.* Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса .
* 
* 
* *Кирсанов Ф.* История Великой Теоремы Ферма.
* 
*  Основная тема книги — последняя теорема Ферма.
* 
* 
* 
*  В книге подробно рассматривается теория идеальных делителей Куммера.

### Инглиз телендә
* 
* *Faltings, Gerd* (1995). The Proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles , *Notices of the AMS* (**42**) (7), 743—746.
* *Daney, Charles* (2003). The Mathematics of Fermat’s last theorem. Retrieved Aug. 5, 2004.
* *O’Connor, J. J. & and Robertson, E. F.* (1996). Fermat’s last theorem. The history of the problem. Retrieved Aug. 5, 2004.
* Shay, David (2003). Fermat’s last theorem. The story, the history and the mystery . Retrieved Aug. 5, 2004.

## Һылтанмалар
* *Andrey J. Hanson.* : [пер. с англ.] — Indiana University Department of Computer Sience and the Center for Innovative Computer Applications. (1990)