Алгебраик топология

**Алгебраи́к тополо́гия** (боронғо исеме: **комбинаторлы топология**) — топологияның, уларға алгебраик объекттар төркөмөн (ҡулсаларын һәм башҡа шундай) ярашлы ҡуйыу юлы менән топологик арауыҡтарҙы, шулай уҡ был объекттарҙың төрлө топологик операциялар тәьҫире аҫтында тәртиптәрен өйрәнеүсе бүлеге.

## Төп ысулдары
Алгебраикй топологияның ысулдары, дөйөм алгебраик структуралар топологик структураларға ҡарағанда ябайыраҡ төҙөлгән тигән фаразға нигеҙләнгәндәр.

Төрлө гомологияларҙан тыш (хәҙер экстраординар гомологиялар ҙур әһәмиәткә эйә, мәҫәлән бордизмдар йәки <math>K</math>-теориялар) алгебраик топология өсөн гомотопик төркөмдәр \pi_n(X) мөһим. Уларҙан \pi_1(X) — фундаменталь төркөм тип аталғаны иң мөһиме, ул, бөтә башҡа үлсәмле төркөмдәрҙән айырмалы рәүештә, Абель булмаған төркөм була ала.

Гомологиялар тип аталған (мәҫәлән, симплициаль йәки сингулярлы) төркөмдәр алгебраик топологияның мөһим инструменты булып торалар. Һәр X топологик арауыҡҡа һәр n үлсәнешендә үҙенең H_n(X) гомологиялар Абель төркөмө ярашлы, ә һәр өҙлөкһөҙ f:X\to Y сағылышына f_*:H_n(X)\to H_n(Y) төркөмдәр гомоморфизмы ярашлы, шуның менән бергә fg сағылыштар ҡабатландығына f_*g_* гомоморфизмдар ҡабатландығы ярашлы, ә \mathrm{id} тождестволы сағылышына \mathrm{id}_* тождестволы изоморфизмы ярашлы. (Категориялар теорияһы телендә был, гомологиялар төркөмө топологик арауыҡтар категорияһынан Абель төркөмдәре категорияһына ковариантлы функтор була тигәнде аңлата.)

## Методика миҫалы
Алгебраик топология ысулдарының ҡулланылышына классик миҫалдарҙың береһе булып хәрәкәтһеҙ нөктә тураһында Брауэр теоремаһын иҫбатлау тора. Теореманың раҫлауы шунан ғибәрәт, йомоҡ n-үлсәмле шарҙың үҙенә теләһә ниндәй f \colon D_n \to D_n өҙлөкһөҙ сағылышының хәрәкәтһеҙ нөктәһе бар, йәғни \exists x\colon f(x) =x.

Иҫбатлау өсөн шундай лемма ҡулланыла: D_n n-үлсәмле шарҙың үҙенең сигенә ((n-1)-үлсәмле S_{n-1} сфераһына), сиктең (ретракцияның) бөтә нөктәләре өсөн g(x)=x тигеҙлеге үтәлгән g өҙлөкһөҙ сағылышы юҡ. Ысынында, әгәр f сағылышының хәрәкәтһеҙ нөктәләре булмаһа, ул саҡта, шарҙың һәр x нөктәһе өсөн f(x)-тан сыҡҡан һәм x нөктәһе аша үткән нур үткәреп, шарҙың сфераға g сағылышын төҙөп була (хәрәкәтһеҙ нөктәләр булмаған осраҡта улар төрлө нөктәләр); нурҙың S_{n-1} сфера менән киҫешеү нөктәһе — y, һәм g(x)=y булһын. g(x)=y сағылышы өҙлөкһөҙ, һәм әгәр x сферала ятһа, ул саҡта g(x)=x. Шулай итеп, шарҙың сфераға ретракцияһы алынды, лемма буйынса был мөмкин түгел, йәғни хәрәкәтһеҙ нөктәләр (берәү булһа ла) булырға тейеш.

Лемманы иҫбатлау өсөн шундай ретракция g бар тип фараз ителә. Сфераны шар эсенә һалыу өсөн i(x)=x шундай үҙсәнлек үтәлә: сағылыштар ҡабатландығы gi=\mathrm{id} — сфераның тождестволы сағылышы (башта i, аҙаҡ g). Артабан H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf{Z} икәне күрһәтелә, ә H_{n-1}(D_n)=0. Ул саҡта g_*:H_{n-1}(D_n)\to H_{n-1}(S_{n-1}) сағылышы 0-гә сағылыш була, ләкин, икенсе яҡтан, gi=\mathrm{id} булғанлыҡтан, g_*i_*=\mathrm{id}_*:\mathbf{Z}\to\mathbf{Z} — нуль гомоморфизм түгел, ә тождестволы изоморфизм була икәне килеп сыға.

Шуның менән бергә Брауэр  теоремаһының алгебраик булмаған иҫбатланыштары ла бар, ләкин гомологияларҙы индереү, элек бер береһе менән бәйләнмәгән кеүек күренгән бик күп раҫлауҙарҙы бик еңел иҫбат итергә мөмкинлек бирә.

## Тарихы
Алгебраик топологияның ҡайһы бер теоремалары Эйлерға ла билдәле булғандар, мәҫәлән, түбәләре һаны V, ҡабырғалары һаны E һәм ҡырҙары һаны F булған теләһә ниндәй ҡабарынҡы күпҡыр өсөн V-E+F=2 нисбәте дөрөҫ.

Топологик һорауҙар менән Гаусс һәм Риман ҡыҙыҡһыналар.

Ләкин алгебраик топологияны фән булараҡ төҙөүҙә төп ролде Пуанкаре уйнай — симплициаль гомологиялар һәм фундаменталь төркөм төшөнсәләре тап уныҡы тип иҫәпләнә.
Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стинрод, Эйленберг, Серр, Том, Атья, Хирцебрух, Ботт, Адамс, Смейл, Милнор, Квиллен ҙур өлөш индерәләр; совет/Рәсәй математиктарынан П. С. Александровты, Колмогоровты, Понтрягинды, Люстерникты, Рохлинды, Новиковты, Фоменконы, Концевичаүты, Воеводскийҙы, Перельманды билдәләп китергә кәрәк.

## Әҙәбиәт
* Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
* Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
* Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
* Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
* Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
* Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
* Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
* Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
* Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
* Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
* Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
* Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
* Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
* Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
* Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989

* Hatcher A. Algebraic Topology