Факториал

** һанының факториалы** ( — эшләүсе, яһаусы, ҡабатлаусы; **!** тамғалана, *эн факториа́л* тип уҡыла) — 1-ҙән алып  -ға тиклем, -ды ла индереп, бөтә натураль һандарҙың ҡабатландығы:
: n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{i=1}^n i.

Мәҫәлән:
: 5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120.
Килешеү буйынса: 0! = 1. Шулай уҡ был тигеҙлек тәбиғи рәүештә лә үтәлә:
: 0! = \Bigl.(n-1)!\Bigr|_{n=1} = \Bigl.\frac{n!}{n}\Bigr|_{n=1} = \frac{1!}{1} = 1
Факториал тиҫкәре булмаған бөтөн һандар өсөн генә билдәләнә.
Тиҫкәре булмаған бөтөн һандарҙың факториалдары эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана:
: 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, , , , , , , , , , , , , , …
Факториалдарҙы йыш ҡына комбинаторикала, һандар теорияһында һәм функциональ анализда ҡулланалар. Факториалдың n! тамғаланышын француз математигы Кристиан Крамп 1808 йылда тәҡдим иткән.
Факториал бик тиҙ үҫеүсе функция булып тора. Ул теләһә ниндәй дәрәжәләге күпбыуынға ҡарағанда ла тиҙерәк үҫә, экспоненциаль функцияға ҡарағанда ла тиҙерәк үҫә (ләкин икеләтә экспоненциаль функцияға ҡарағанда e^{e^n} яйыраҡ үҫә).

## Үҙсәнлектәре

### Рекуррент формула
: n!= \begin{cases}
1 & n = 0,\\
n \cdot (n-1)! & n > 0.
\end{cases}

### Комбинаторлы интерпретация
Комбинаторикала  натураль һанының факториалы  элементтан торған күмәклектең перестановкалары һаны булараҡ интерпретациялана. Мәҫәлән, дүрт элементтан торған {*A*,*B*,*C*,*D*} күмәклеге өсөн 4! = 24 перестановка бар:
 ABCD  BACD  CABD  DABC
 ABDC  BADC  CADB  DACB
 ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
 ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
 ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
 ADCB  BDCA  CDBA  DCBA
Факториалды комбинаторик интерпретациялау 0! = 1 тождествоһфын нигеҙләргә лә мөмкинлек бирә, сөнки буш күмәклек бер генә ысул менән тәртипкә һалынырға мөмкин.

### Гамма-функция менән бәйләнеш

Факториал бөтөн аргументлы гамма-функция менән түбәндәге нисбәт ярҙамында бәйләнгән:
: n! = \Gamma(n+1).
Шулай итеп, гамма-функцияны факториалды ыңғай ысын һандар өсөн дөйөмләштереү тип ҡарайҙар.
Аналитик дауам итеү юлы менән, n=-1, -2, -3\ldots булғандағы айырым нөктәләрҙе алып ташлап, уны бөтә комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтәләр.

Факториалдың ысын (һәм комплекслы) һандар күмәклегенә туранан тура дөйөмләштереү булып түбәндәгесә билдәләнгән пи-функция тора:
: \Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t.
\Pi(z) = \Gamma(z+1) \,, булғанлыҡтан, натураль һандан пи-функция уның факториалы менән тап килә: \Pi(n) = n!. Факториал булараҡ, пи-функция рекурсив нисбәтте ҡәнәғәтләндерә: \Pi(z) = z\Pi(z-1)\,.

### Стирлинг формулаһы
**Стирлинг формулаһы** — факториалды иҫәпләү өсөн асимптотик формула:
: n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),
(ҡара. ҙур-O).
Күп осраҡта факториалды яҡынса иҫәпләү өсөн Стирлинг формулаһының баш быуынын ғына ҡарау етә:
: n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.
Шуның менән бергә,
: \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)} тип раҫлап була
Стирлинг Формулаһы, натураль һандар эҙмә-эҙлелеген ҡабатлап тормайынса, туранан тура, ҙур һандарҙың факториалының яҡынса ҡиммәтен табырға мөмкинлек бирә. Шулай, Стирлинг формулаһы ярҙамында еңел иҫәпләп була:
* 100! ≈ 9,33×10157;
* 1000! ≈ 4,02×102567;
* ! ≈ 2,85×10.

### Ябай һандарға тарҡатыу
Һәр  ябай һаны -ың ябай ҡабатлашыусыларға тарҡатмаһына 
: \left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots. дәрәжәһендә инә.
Шулай итеп,
: n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},
бында ҡабатландыҡ бөтә ябай һандар буйынса алына. -дан ҙурыраҡ булған һәр  ябай һаны өсөн ҡабатландыҡта ярашлы ҡабатлашыусы 1-гә тигеҙ икәне күренеп тора. Шуға күрә ҡабатландыҡты -дан ҙур булмаған  ябай һандары буйынса ғына алырға мөмкин.

### Дәрәжәле функцияның сығарылмаһы менән бәйләнеш
Тиҫкәре булмаған бөтөн  һаны өсөн:
: \left( x^n \right)^{(n)}=n!
Мәҫәлән:
: \left( x^5 \right)^{(5)} 
= \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} 
= \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right)**
= \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' 
= \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' 
= {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!</math>

=== Башҡа үҙсәнлектәре ===
* Натураль  һаны өсөн:
:: <math>n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n</math>

== Дөйөмләштереү ==

=== Икеләтә факториал ===
 һанының **икеләтә факториалы**  тип тамғалана һәм [1,] киҫегендәге  кеүек үк йоп (таҡ) бөтә натураль һандарҙың ҡабатландығы тип билдәләнә.
* Йоп  һаны өсөн:
: <math>n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2}} 2i = 2^} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>
* Таҡ  һаны өсөн:
: <math>n!! = {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n} = \prod_{i=0}^{\frac{n-1}{2}} (2i+1) = \frac{n!}{2^} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>

Тиҫкәре булмаған бөтөн ике йәнәш торған һандарҙың икеләтә факториалы менән берәүһенең ябай факториалы араһында бәйләнеш.
* Йоп өсөн:
: <math>n!! = \frac{(n+1)!}{(n+1)!!}</math>
* Таҡ  өсөн:
: <math>n!! = \frac{n!}{(n-1)!!}</math>

* **Йоп  өсөн формула:**
: <math>n!! = 2^} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>

: Юғарылағы формуланы сығарғанда ҡулланылғанды иллюстрациялаусы **Миҫал**:
: <math>\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = 
\\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = 
\\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = 
\\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}</math>

* **Таҡ  өсөн формула:**
: <math>n!! = \frac{n!}{2^} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>

Юғарылағы формуланы сығарғанда ҡулланылғанды иллюстрациялаусы **Миҫал**:
: <math>\begin{align} 15!! & = \frac{15!}{2^} \cdot \left ( \frac{15-1}{2} \right )!} 
= \frac{15!}{2^ \cdot 7!} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7)}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7)}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot {\color{OliveGreen}8} \cdot 9 \cdot {\color{OliveGreen}10} \cdot 11 \cdot {\color{OliveGreen}12} \cdot 13 \cdot {\color{OliveGreen}14} \cdot 15}{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15}} = 2027025 \end{align}</math>


<math>n=2k</math> йоп  һәм <math>n=2k+1</math> таҡ  өсөн ярашлы рәүештә алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарып, бында <math>k</math> — бөтөн тиҫкәре булмаған һан, табабыҙ:

* йоп һан өсөн:
: <math>(2k)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!</math>

* таҡ һан өсөн:
: <math>(2k+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}</math>

Килешеү буйынса: <math>0!! = 1</math>. Был тигеҙлек шулай уҡ тәбиғи рәүештә үтәлә:
: <math>0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1</math>


Икеләтә факториал, ябай факториал кеүек үк, бөтөн тиҫкәре булмаған һандар өсөн генә билдәләнгән.

-дың ҡиммәттәренең эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана:
: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, , , , , , , , , , , , , , , , , …

=== Тапҡыр факториал ===
 һанының **-тапҡыр факториалы** <math>\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m</math> тип тамғалана һәм ошолай билдәләнә.  һанын <math>n=mk-r,</math> күренешендә күрһәтеп булһын, ти; бында <math>k \in \mathbb{Z},</math> <math>r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.</math> Ул саҡта
: <math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)</math>
Ғәҙәттәге һәм икеләтә факториалдар  -тапҡыр факториалдың ярашлы рәүештә  һәм  булғандағы айырым осраҡтары.
Тапҡыр факториал гамма-функция менән түбәндәге  нисбәт ярҙамында бәйләнгән:
: <math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}.</math>

=== Тулы булмаған факториал ===

==== Кәмеүсе факториал ====
**Кәмеүсе факториал** тип 
: <math>(n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \prod_{i=n-k+1}^n i</math> аңлатмаһы атала.
Мәҫәлән:
:  = 7;  = 4,
: () + 1 = 4,
: n<sup><u>k</u></sup> = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
Кәмеүсе факториал  элементтан -шар элементлы урынлаштырмалар һанын бирә.

==== Үҫә барыусы факториал ====
**Үҫә барыусы факториал** тип 
: <math>n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.</math> аңлатмаһы атала

=== Праймориал йәки примориал ===

 һанының **Праймориалы** йәки **примориалы** ()  тип тамғалана һәм тәүге  ябай һандың ҡабатландығы тип билдәләнә. Мәҫәлән,
: <math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310</math>.
Ҡайһы берҙә праймориал тип <math>n\#</math> һанын атайҙар, ул -дан ҙур булмаған бөтә ябай һандарҙың ҡабатландығы булараҡ билдәләнә.

Праймориалдар эҙмә-эҙлелеге  (<math>{\textstyle{1\# \equiv 1}}</math> ла индереп) ошолай башлана:
: , , , , , , , , , , , , , , , , , , …

=== Суперфакториалдар ===
Нейл Слоан һәм Симон Плуффэ 1995 йылда **суперфакториалға** тәүге  факториалдың ҡабатландығы булараҡ билдәләмә бирҙеләр. Был билдәләмәгә ярашлы, дүрт һанының суперфакториалы 
: <math> \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288</math> -гә тигеҙ.
(нығынған тамғалау булмағанлыҡтан, функциональ тамғалау ҡулланыла).
Дөйөм алғанда,
: <math>
  \operatorname{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 </math>

<math>n \geqslant 0</math> Һандарының суперфакториалдары эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана:
: 1, 1, 2, 12, 288, , , , , , , , , …

Идея 2000 йылда Генри Боттомли тарафынан дөйөмләштерелә, был **гиперфакториалдарға** килтерә (), ул тәүге  суперфакториалдың ҡабатландығы булып тора. <math>n \geqslant 0</math> һандарының гиперфакториалдарының эҙмә-эҙлелеге ошолай башлана:

: 1, 1, 2, 24, 6912, , , , , , …

Рекуррент рәүештә дауам итеп, **тапҡыр кимәлдә факториал**, йәки  һанының -кимәлле факториалы билдәләнә, ул 1-ҙән алып -ға тиклем һандарҙың ( − 1)-кимәлдәге  факториалдарының ҡабатландығы булараҡ билдәләнә, йәғни
: <math>\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}, </math>
бында <math>n>0</math>өсөн <math>\operatorname{mf}(n,0)=n</math> һәм <math>\operatorname{mf}(0,m)=1.</math>

=== Субфакториал ===

**Субфакториал''' !   тәртибендәге тәртипһеҙлектәр һаны итеп билдәләнә, йәғни  -элементлы күмәклектең хәрәкәтһеҙ нөктәләрҙән башҡа перестановкалары.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ

* Факторион

## Иҫкәрмәләр