Күрһәткесле функция

** Күрһәткесле функция** —  f(x) = a^x математик функцияһы, бында a дәрәжәнең нигеҙе, ә x — дәрәжә күрһәткесе тип атала.
* Ысын осраҡта дәрәжәнең нигеҙе a — ниндәйҙер тиҫкәре булмаған ысын һан, ә  функцияның  аргументы ысын дәрәжә күрһәткесе була.
* Комплекслы функция теорияһында дөйөм осраҡ ҡарала, аргумент  һәм дәрәжә күрһәткесе ирекле комплекслы һан була ала.
* Иң дөйөм күренештә — u^v, Лейбниц  тарафынан 1695 йылда индерелә.

Дәрәжәнең нигеҙе сифатында e һаны булған осраҡ айырым ҡарала. Бындай функция экспонента (ысын йәки комплекслы) тип атала. Шул уҡ ваҡытта, теләһә ниндәй  a ыңғай нигеҙен е һанының дәрәжәһе булараҡ күрһәтергә мөмкин булғанлыҡтан, «экспонента» төшөнсәһе йыш ҡына «күрһәткесле функция» төшөнсәһе урынына ҡулланыла.

## Ысын функция

### Күрһәткесле функция билдәләмәһе
a — тиҫкәре булмаған ысын һан булһын, ти, x — рациональ һан: x=\frac{m}{n}. Ул саҡта a^x артабанғы ҡағиҙәләр буйынса билдәләнә.
* Әгәр x>0 булһа, ул саҡта a^x=\sqrt[n]{a^m}.
* Әгәр x=0 һәм a \ne 0 булһа, ул саҡта a^x=1.
** 0^0 ҡиммәте юҡ (ҡарағыҙ. Билдәһеҙлектәрҙе асыу).
* Әгәр x һәм a>0 булһа, ул саҡта a^x=\frac {1} {a^}.
** x булғанда a^x ҡиммәте юҡ (мәғәнәһе юҡ).
Ирекле ысын x күрһәткесе өсөн a^x ҡиммәтен a^{r_n} эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһетип билдәләргә мөмкин, бында r_n — x-ҡа йыйылыусан рациональ һандар. Экспонента өсөн сикләнмә аша башҡа билдәләмәләр ҙә бар, мәҫәлән:
: e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.

### Үҙсәнлектәре

**Дәрәжәгә күтәреү үҙсәнлектәре:**
* a^0 = 1
* a^{x+y} = a^x \, a^y
* (a^x)^y = a^{xy}
* (ab)^x = a^x \, b^x
* a^x / b^x = (a/b)^x

**Монотонлыҡ аралыҡтары:**

a>1 булғанда күрһәткесле функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә үҫә, шуның менән бергә:

* \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}=0 (теләһә ниндәй n өсөн)
* \lim_{x\to -\infty}a^x = 0

0  булғанда ярашлы рәүештә күрһәткесле функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә кәмей, шуның менән бергә:

* \lim_{x\to-\infty}\frac{x^n}{a^x}=0 (теләһә ниндәй n өсөн)
* \lim_{x\to \infty}a^x = 0

Йәғни күрһәткесле функция сикһеҙлектә теләһә ниндәй полиномиаль функциянан тиҙерәк үҫә. Үҫеүенең ҙур тиҙлеген, мәҫәлән, ҡағыҙҙы бөкләү тураһында мәсьәлә менән иллюстрацияларға мөмкин.

**Кире функция:**

Дәрәжәле функция өсөн кире функция - тамыр функцияһы индергән кеүек, күрһәткесле функцияға кире логарифмик функцияны индерәйек:

: f(x)=a^x,\quad f^{-1}(x)=\log_{a}x (a нигеҙе буйынса логарифм x)

**е һаны:**

Күрһәткесле функцияның уникаль үҙсәнлеген билдәләп китәйек,  a_0:(a_0^x)'_x=a_0^x
 үтәлгән a_0 һанын табайыҡ (шундай a һаны, уның күрһәткесле функцияһының сығарылмаһы функцияның үҙенә тигеҙ):

: \frac{d}{dx}a_0^x = a_0^x\;\Leftrightarrow\;a_0^{x+dx}-a_0^x=a_0^x\,dx

a_0^x-ҡа ҡыҫҡартҡандан һуң a_0-ны аныҡларға мөмкин булыуы еңел күренә:

: a_0^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow\;a_0=\left(1+dx\right)^{1/dx}


dx = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} һайлап, Эйлер һанын табабыҙ:

: a_0\equiv e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}

e^x функцияһын икенсе төрлө рәт рәүешендә күрһәтергә мөмкин булыуын билдәләп китәйек: (дөрөҫлөгөн еңел генә быуын-быуынлап дифференциаллау юлы менән асыҡларға мөмкин):

: e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots

Ошонан сығып теүәлерәк яҡынлашыу табабыҙ:

: e = \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}

e һанының берҙән берлеген e^x-ты төрләндереп еңел күрһәтергә мөмкин. Ысынлап та, әгәр e_1^x  e^x-тан юғарыраҡта үтһә, шул уҡ арауыҡта (e_1^x)' булған өлкә табыла.

**Дифференциаллау:**

\ln \, x: e^{\ln x}=x  натураль логарифм функцияһын ҡулланып, ирекле ыңғай нигеҙле күрһәткесле функцияны  экспонента аша күрһәтергә була. Дәрәжәнең үҙсәнлеге буйынса: a^x = e^{\ln(a)\,x}, ошонан сығып, экспонентаның үҙсәнлеге һәм ҡатмарлы функцияны дифференциаллау ҡағиҙәһе буйынса:

: (a^x)'=\ln(a)a^x

**Аныҡһыҙ интеграл:**

: \int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C
\ln \, x натураль логарифм функцияһын ҡулланып, нигеҙе ирекле ыңғай һан булған күрһәткесле функцияны экспонента аша күрһәтергә мөмкин:
: a^x = e^{x\cdot \ln a}
Был бәйләнеш экспонентаның үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән сикләнергә мөмкинлек бирә.

Аналитик үҙсәнлектәре:
: {d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.
Айырым алғанда:
: {d \over dx} e^x = e^x
 = \frac {\lim_{u \to 0} 1} {\lim_{u \to 0} \ln (u+1)^{\frac {1} {u}}} = \frac {1} {\ln \lim_{u \to 0} (u+1)^{\frac {1} {u}}} = \frac {1} {\ln e} = 1.

II. {d \over dx} a^x = {d \over dx} \left (e^{\ln a} \right )^x = {d \over dx} e^{x \cdot \ln a} = e^{x \cdot \ln a} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a
}}

Рәткә тарҡатыу:
: e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

### Потенцирлау һәм ҡаршы логарифм

*Потенцирлау* ( һүҙенән — һанды уның логарифмының билдәле ҡиммәте буйынса табыу, йәғни \log_a x = b тигеҙләмәһен сығарыу ул. Логарифмдың билдәләмәһенән x = a^b булыуы килеп сыға, шулай итеп, a һанын b дәрәжәһенә күтәреүҙе икенсе һүҙ менән «b һанын a нигеҙе буйынса потенцирлау», йәки b һанынан күрһәткесле функцияны иҫәпләү тип әйтергә мөмкин.

*Ҡаршы логарифм* числа *x* — потенцирлау һөҙөмтәһе, йәғни логарифмы (бирелгән a нигеҙе өсөн) x һанына тигеҙ булған һан:
: \operatorname{ant} \log _a {x} = a^x.
«Ҡаршы логарифм» терминын Валлисом 1693 йылда индергән. Үҙ-аллы төшөнсә булараҡ ҡаршы логарифм логарифмик таблицаларҙа, логарифмик линейкаларҙа, микрокалькуляторҙарҙа ҡулланыла. Мәҫәлән, a һанынан куб тамыр алыу өсөн логарифмик таблицалар буйынса a һанының логарифмын табырға, уны 3-кә бүлергә һәм аҙаҡ (ҡаршы логарифмдар  таблицаһы буйынса) һөҙөмтәнең ҡаршы логарифмын табырға кәрәк.

## Комплекслы функция
Экспонентаны комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтеү өсөн, ысын аргументты комплекслы аргументҡа алмаштырып, уға шул уҡ рәт аша билдәләмә бирәбеҙ:
: e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots
Был функция, ысын функция кеүек үк, шул уҡ төп алгебраик һәм аналитик үҙсәнлектәргә эйә. Рәттә e^{ix} өсөн ысын өлөшөн уйланма өлөшөнән айырып, беҙ данлыҡлы Эйлер формулаһын табабыҙ:
: e^{ix}=\cos x+i\sin x
Бынан комплекслы экспонента уйланма күсәрҙә периодлы булыуы килеп сыға:
: e^{z+2\pi i} = e^z

Нигеҙе һәм дәрәжә күрһәткесе ирекле комплекслы һан булған күрһәткесле функция комплекслы экспонента һәм комплекслы логарифм ярҙамында еңел иҫәпләнә.

Миҫал: i^i=e^{i\cdot\ln(i)}; сөнки \ln (i) = i \frac{\pi} {2} (логарифмдың төп ҡиммәте), аҙаҡ табабыҙ: i^i = e^{i \frac{i \pi} {2}} = e^{- \frac{\pi} {2}}.

## Әҙәбиәт
* 
## Иҫкәрмәләр