Яҫылыҡ

**Яҫылыҡ** — геометрияның төп төшөнсәләренең береһе. Геометрияның логик төҙөлөшөндә яҫылыҡ төшөнсәһе тәүге төшөнсәләрҙең береһе итеп ҡабул ителә, ул геометрияның аксиомалары аша ситләтеп кенә билдәләнә.

**Яҫылыҡ** — тура һыҙыҡтан ғибәрәт булған төҙөүсене йүнәлтеүсе тура һыҙыҡ буйлап кинематик хәрәкәт иттергәндә барлыҡҡа килгән йөҙ йәки фигура (һыҙма геометрия).

## Яҫылыҡтың ҡайһы бер характерлы үҙсәнлектәре
* Яҫылыҡ — уның теләһә ниндәй нөктәләрен тоташтырыусы һәр тура һыҙыҡ тулыһынса унда ятҡан йөҙ;
* Ике Яҫылыҡ йә параллель, йәки тура һыҙыҡ буйлап киҫешә.
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
* Бер үк яҫылыҡҡа перпендикуляр булған ике тура һыҙыҡ бер-береһенә параллель.
* Бер үк тура һыҙыҡҡа перпендикуляр булған ике яҫылыҡ бер-береһенә параллель.

## Яҫылыҡ тигеҙләмәһе
Беренсе булып А. К. Клеро хеҙмәттәрендә осрай (1731).

Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе, күренеүенсә, беренсе булып Г. Ламе хеҙмәттәрендә осрай (1816—1818).

Нормаль тигеҙләмәне Л. О. Гессе индергән (1861).

**Яҫылыҡ** — беренсе тәртиптәге алгебраик йөҙ: координаталарҙың декарт системаһында яҫылыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелә.

* *Яҫылыҡтың дөйөм (тулы) тигеҙләмәһе*

: Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

бында A,B,C һәм D — һандар, шуның менән бергә A,B һәм C бер үк ваҡытта нулгә тигеҙ түгел; Векторлы формала:

: (\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

бында \mathbf{r} — M(x,y,z) нөктәһенең радиус-векторы, \mathbf{N}=(A,B,C) векторы яҫылыҡҡа перпендикуляр (нормаль вектор). \mathbf{N} векторының *йүнәлтеүсе [[косинус]]тары*:
: \cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
: \cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},
: \cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.

Әгәр яҫылыҡ тигеҙләмәһендә коэффициенттарҙың береһе нулгә тигеҙ булһа, тигеҙләмә *тулы булмаған* тигеҙләмә тип атала. D=0 булғанда яҫылыҡ координаталар башы аша үтә, A=0 (йәки B=0, C=0) булһа яҫылыҡ Ox (ярашлы рәүештә Oy йәки Oz) күсәренә  параллель була. Әгәр A=B=0 (A=C=0, йәки B=C=0) булһа, яҫылыҡ Oxy (ярашлы рәүештә Oxz йәки Oyz) яҫылығына  параллель була.

* *Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе:*

: \frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,

бында a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C — яҫылыҡ тарафынан Ox, Oy һәм Oz күсәрҙәренән киҫеп алынған киҫектәр.

* \mathbf{N}(A,B,C)  *нормаль  векторға перпендикуляр булған*, M(x_0,y_0,z_0) *нөктәһе аша үткән яҫылыҡтың тигеҙләмәһе*:

: A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;

векторлы формала:

: ((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.

* *Бер тура һыҙыҡта ятмаған* *бирелгән өс <math>M(x_i,y_i,z_i)</math> нөктә аша үткән яҫылыҡ тигеҙләмәһе*:

: ((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0

(векторҙарҙың ҡатнаш ҡабатландығы), башҡаса

: \left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.

* *Яҫылыҡтың нормаль (нормалаштырылған) тигеҙләмәһе*

: x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)

векторлы формала:

: (\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,

бында \mathbf{N^0}- берәмек вектор, p — яҫылыҡтың координаталар башынан алыҫлығы. (2) тигеҙләмә (1) тигеҙләмәнән нормалаштырыусы ҡабатлашыусыға ҡабатлап килеп сыға

: \mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

(\mu һәм D тамғалары ҡапма-ҡаршы).

## Нөктә һәм нормаль вектор буйынса билдәләмә
Өс үлсәмле арауыҡта яҫылыҡты билдәләүҙең мөһим ысулдарының береһе булып яҫылыҡта ятҡан нөктәне һәм уға нормаль векторҙы күрһәтеү тора.

**<math>r_0</math>** — яҫылыҡта бирелгән P_0 нөктәһенең радиус-векторы булһын, ти, һәм **n** — яҫылыҡҡа  перпендикуляр булған (нормаль) нулдән айырмалы вектор булһын. Идея шунан тора, **r** радиус-векторлы P нөктәһе яҫылыҡта ята шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр P_0 нөктәһенән P нөктәһенә үткәрелгән вектор **n** векторына перпендикуляр булһа.

Ике вектор бер-береһенә перпендикуляр шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың скаляр ҡабатландығы нулгә тигеҙ булһа. Ошонан сығып, беҙгә кәрәкле яҫылыҡ шундай **r** нөктәләре күмәклеге булып тора, бында:
: \mathbf n\cdot (\mathbf r-\mathbf r_0)=0. (Бында нөктә скаляр ҡабатландыҡты аңлата, ә ҡабатлауҙы түгел.)
Аңлатманы үҙгәртеп табабыҙ:
:  n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,
был беҙгә таныш яҫылыҡ тигеҙләмәһе булып тора.

**Мәҫәлән:**
Бирелә: яҫылыҡта ятҡан P(2,6,-3) нөктәһе һәм нормаль вектор N(9,5,2).

Яҫылыҡтың тигеҙләмәһе ошолай яҙыла:

9(x - 2) + 5(y - 6) + 2(z + 3) = 0

-18 + 9x -30 + 5y + 6 + 2z = 0

9x + 5y + 2z - 42 = 0

## Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ
Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ — был нөктә менән яҫылыҡтың нөктәләре араһындағы иң ҡыҫҡа алыҫлыҡ ул. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем  алыҫлыҡ был нөктәнән яҫылыҡҡа төшөрөлгән перпендикуляр оҙонлоғона тигеҙ булыуы билдәле.
* (2) нормалаштырылған тигеҙләмә:
\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p; менән бирелгән яҫылыҡтан  M_1(x_1,y_1,z_1) **нөктәһенең тайпылышы**
: \delta>0,әгәр M_1 һәм координаталар башы яҫылыҡтың төрлө яғында ятһа, ҡапма-ҡаршы осраҡта \delta. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ |\delta| тигеҙ.
* M_0(x_0, y_0, z_0) нөктәһенән ax+by+cz+d=0 тигеҙләмәһе менән бирелгән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ \rho түбәндәге формула буйынса иҫәпләнә:
\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

## Параллель яҫылыҡтар араһында алыҫлыҡ
* Ax+By+Cz+D_1=0 һәм Ax+By+Cz+D_2=0 тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:
d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
* \bar n (\bar r - \bar{r_1})=0 һәм \bar n (\bar r - \bar{r_2})=0 тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:
d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}

## Бәйле төшөнсәләр
* **Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш.** Әгәр яҫылыҡтарҙың тигеҙләмәһе (1) күренештә бирелһә, ул саҡта

: \cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};

Әгәр векторлы формала бирелһә, ул саҡта

: \cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}.

* **[[Яҫылыҡтарҙың параллеллеге|Яҫылыҡтар параллель]]**, әгәр

: \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} йәки [\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0 булһа. (Векторлы ҡабатландыҡ)

* **Яҫылыҡтар перпендикуляр**, әгәр

: A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0 йәки (\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0 булһа. (Скаляр ҡабатландыҡ)

* **Яҫылыҡтар шәлкеме** — ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән бөтә яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар шәлкеме тигеҙләмәһе, йәғни ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:

: \alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,

: бында \alpha һәм \beta — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Ә һыҙыҡтың үҙенең тигеҙләмәһен шәлкем тигеҙләмәһенә α=1, β=0 һәм α=0, β=1 ҡиммәттәрен ҡуйып табып була.

* **Яҫылыҡтар бәйләме** — өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән бөтө яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар бәйләме  тигеҙләмәһе, йәғни өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:

: \alpha(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)+\gamma(A_3x+B_3y+C_3z+D_3)=0,

: бында \alpha, \beta һәм \gamma — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Нөктәнең үҙен яҫылыҡтар бәйләме  тигеҙләмәһенә α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 һәм α=0, β=0, γ=1 ҡиммәттәрен ҡуйып һәм килеп сыҡҡан тигеҙләмәләр системаһын сығарып табып була.

## <math>R^n</math> арауығында m-яҫылыҡ
Ысын һандар яланында n-үлсәмле аффинно-сикле үлсәмле арауыҡ K^n(V,P) бирелһен, ти. Унда тура мөйөшлө координаталар системаһы O, \vec{e_1},...,\vec{e_n} алынған. *m-яҫылыҡ* тип радиус векторҙары түбәндәге нисбәтте ҡәнәғәтләндергән \alpha нөктәләр күмәклеге атала:  \alpha = \{x \mid x = A_{nm}\vec{t_m} + \vec{d}\}. A_{nm} — матрица, бағаналары яҫылыҡтың йүнәлтеүсе аҫарауығын төҙөй, \vec{t} — үҙгәреүсәндәр векторы, \vec{d} — яҫылыҡ нөктәләренең береһенең радиус-векторы.
Килтерелгән нисбәтте матрица-векторлы күренештән векторлы күренешкә үҙгәртергә мөмкин:
 x = \vec{a_1}t_1 + ... + \vec{a_m}t_m + d, \vec{a_i} \in V — m-яҫылыҡтың векторлы тигеҙләмәһе.
\vec{a_i} векторҙары  йүнәлтеүсе аҫарауыҡ төҙөйҙәр. Ике m-яҫылыҡ \alpha, \beta *параллель* тип атала, әгәр уларҙың йүнәлтеүсе аҫарауыҡтары тап килһә һәм  \exists x \in \alpha : x \notin \beta .
 (n-1)-яҫылыҡ n-үлсәмле арауыҡта *[[гиперяҫылыҡ]]* йәки ябай *яҫылыҡ* тип атала. Гиперяҫылыҡ өсөн яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе бар. \vec{n} — яҫылыҡтың нормаль векторы булһын, ти.  \vec{r} = (x^1,...,x^n) — үҙгәреүсәндәр векторы, \vec{r_0} — яҫылыҡта ятҡан нөктәнең радиус векторы, ул саҡта:
 (\vec{r} - \vec{r_0}, \vec{n}) = 0  — яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе. 
Йүнәлтеүсе векторҙарҙың  матрицаһы булғанда, яҫылыҡ тигеҙләмәһен ошолай яҙырға мөмкин:  \det(\vec{r} - \vec{r_0} | A_{n,n-1}) = 0, йәки:
\begin{vmatrix} x^1 - x_{0}^1 & a_{1}^1 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^1 \\ x^2 - x_{0}^2 & a_{1}^2 & a_{2}^1 & ... & a_{n-1}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x^n - x_{0}^n & a_{1}^n & a_{2}^n & ... & a_{n-1}^n \end{vmatrix} = 0 .
*Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш* тип уларҙың нормаль векторҙары араһындағы иң бәләкәй мөйөш атала. 

### m-яҫылыҡтарға миҫалдар
# Өс үлсәмле арауыҡта (n=3) 1-яҫылыҡтың миҫалы булып тура һыҙыҡ хеҙмәт итә. Уның векторлы тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә:  \alpha = \{a_x,a_y,a_z\}t + \{b_x,b_y,b_z\}. n = 2 булған осраҡта тура һыҙыҡ гиперяҫылыҡ була.
# Өс үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ ғәҙәти яҫылыҡ төшөнсәһе менән тап килә.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ
* Тура һыҙыҡ
* Сагитталь яҫылыҡ
* Ярымяҫылыҡ
* Арауыҡ

## Иҫкәрмәләр

## Әҙәбиәт

## Һылтанмалар