Гипотеза (математика)

Математикала  **гипотеза** —булған мәғлүмәттәр нигеҙендә юғары ихтималлыҡ менән дөрөҫ булып күренгән, ләкин математик иҫбатланышын табып булмаған раҫлау. 

Математик гипотеза — асыҡ математик проблема. Йәғни хәл ителеш мәсьәләһе булып торған һәр сиселмәгән математик проблема гипотеза рәүешендә формулировкалана ала. 

Әммә һәр математик проблема гипотеза булараҡ формулировкалана алмай. Мәҫәлән, 2208 билдәһеҙ өсөн ниндәйҙер тигеҙләмәләр системаһының йәки оптимизация мәсьәләһенең конкрет сығарылышын белеү мөмкин түгел. Ләкин был практик сығарылыш ҡына түгел, ә ғәмәлдә математик һөҙөмтә лә булырға мөмкин.

Риман гипотезаһы, Ферманың бөйөк теоремаһы, Варинг гипотезаһы һәм ҡайһы бер башҡа математик гипотезалар математикала ҙур роль уйнайҙар. Сөнки уларҙы иҫбатларға маташыуҙар тикшеренеүҙең яңы өлкәләрен һәм ысулдарын асыуға килтерә.

## Математик һәм тәбиғи фәнни гипотеза

Тәбиғи фәнни гипотезанан айырмалы рәүештә, математик гипотеза ниндәйҙер аксиомалар системаһында логик иҫбатланырға мөмкин.  Бынан һуң ул ошо сикләүҙәрҙә «мәңгелеккә» дөрөҫ булған теорема булып китә. 

«Гипотезалар уйлап сығармайым» тип әйткән һәм физикала ла математик моделдәр сиктәренән сыҡмаҫҡа тырышҡан Ньютондың фәнни мираҫы үҙенсәлекле миҫал булып тора. Ньютондың математик теоремалары, боронғо Пифагор теоремаһы кеүек, бөгөнгө көндә лә көсөндә ҡалалар.  Ләкин уның классик механикаһы һәм тартылыу теорияһы махсус һәм дөйөм сағыштырмалыҡ теорияһы барлыҡҡа килгәндән һуң физик гипотезалар менән кире ҡағылалар. 

Әгәр хәл ителеүсе математик гипотеза иҫбатлана йәки кире ҡағыла алһа, тәбиғи фәнни гипотеза өсөн, тәбиғәт фәне белеменең сағыштырмалы булыуы сәбәпле, дөрөҫләнеүсәнлек һәм фальсификацияланғанлыҡ үҙсәнлектәре бер-береһен юҡҡа сығармай. 

Ньютон механикаһы яҡтылыҡ тиҙлегенә яҡын тиҙлектәр өсөн үтәлмәй, ләкин Ҡояш системаһының күпсеоек есемдәренең хәрәкәтен ҙур аныҡлыҡ менән тасуирлай. Шуға күрә физикала ғәҙәттә гипотезаларҙың кире ҡағылыуы тураһында түгел, ә теорияның ҡулланылыу өлкәһенең сикләнгәнлеге тураһында һөйләйҙәр.

## Математик гипотезаларҙы хәл итеү

### Иҫбатлау
Математика формаль иҫбатлауҙарға нигеҙләнгән. Гипотеза ни тиклем генә ышандырырлыҡ булып күренмәһен, уны дөрөҫләгән нисә генә миҫал килтерелмәһен, гипотеза бер ҡаршы миҫал менән кире ҡағылырға мөмкин. Хәҙерге математик журналдар ҡайһы берҙә гипотезаның дөрөҫлөгө тикшерелгән сиктәр диапазоны тураһында тикшеренеүҙәр һөҙөмтәләрен баҫтырып сығара. Мәҫәлән, Коллатц гипотезаһы 1,2 × 1012-гә тиклем бөтә бөтөн һандар өсөн тикшерелгән, ләкин был факт үҙенән үҙе гипотезаны иҫбатлау өсөн бер ни тормай.

Гипотезаны иҫбатлау өсөн, ниндәйҙер аксиомалар системаһы нигеҙендә тел тейҙермәҫлек логик фекерләүҙәр юлы менән, гипотеза раҫлауын берҙән-бер мөмкин иткән йәки ҡапма-ҡаршы раҫлауҙың логик мөмкин булмауын күрһәткән математик иҫбатлау килтерелергә тейеш.

Гипотеза иҫбат ителгәс, ул математикала теорема булып китә. Асыҡ йәки шикле гипотезаларҙы кире ҡағыу ҙа теорема булып китергә мөмкин. Математика тарихында ҡайһы бер гипотезалар оҙаҡ ваҡыт асыҡланмаған формала ҡалалар, һәм күп һандағы түңәрәк квадратураһын табыу йәки радикалдарҙа бишенсе дәрәжә алгебраик тигеҙләмәне сығарырға маташыуҙар, бының мөмкин булыуы тураһындағы гипотезаларҙан сығып эшләнә, аҙаҡ улар кире ҡағыла.

### Кире ҡағыу
Гипотезаны кире ҡағыу шулай уҡ иҫбатлау ярҙамында башҡарыла. Ләкин гипотезаларҙың типик формулировкаларын иҫәпкә алғанда, кире ҡағыуҙы иҫбатлауҙың иң ябай төрө булып йыш ҡына ҡаршы миҫал килереү тора. 

Бындай иҫбатлау логик фекерҙән сығып иң ябай булып тора, ләкин графтар теорияһында миҫал төҙөү йәки һандар теорияһында (Эйлер гипотезаһы) миҫал табыу бик ябай эш булмаҫҡа мөмкин. 

Гипотеза кире ҡағылғандан һуң математика тарихында булған ваҡиға булып ҡалырға, йәки яңы математик гипотезаға әүерелергә мөмкин. Мәҫәлән, Эйлер гипотезаһы кире ҡағылғандан һуң Ландер — Паркин — Селфридж гипотезаһына әйләнә. Был осраҡта процесс тәбиғәт фәндәре гипотезалары эволюцияһына оҡшаш.

### Хәл итә алмаҫлыҡ гипотезалар
Һәр гипотеза өсөн дә бирелгән аксиомалар системаһында уның дөрөҫлөгөн йәки хаталығын иҫбат итеп булмай. Тулы булмағанлыҡ тураһында Гёдель теоремаһына ярашлы, һәр шаҡтай ҡатмарлы аксиоматик теорияла, мәҫәлән арифметикала, теорияның үҙенең сиктәрендә иҫбатлап та, кире ҡағып та булмаған раҫлауҙар бар. Шуға күрә арифметика ингән һәр математик теорияла, уның сиктәрендә иҫбатлап та, кире ҡағып та булмаған гипотезалар бар.

Мәҫәлән, күмәклектәр теорияһында Георг Канторҙың континуум-гипотезаһы дөйөм ҡабул ителгән Цермело — Френкель аксиомалар системаһына бәйле түгел икәнлеге иҫбат ителгән. Шуға күрә был раҫлауҙы йәки уның юҡлығын, ҡалған аксиомалар менән ҡаршылыҡҡа килмәйенсә һәм элек иҫбат ителгән теоремаларға бер ниндәй ҙә эҙемтәһеҙ, аксиома сифатында ҡабул итергә мөмкин. Геометрияла боронғо замандарҙан алып Евклидтың параллеллек аксиомаһы математиктарҙа шикләнеү тыуҙыра. Бөгөн, әгәр бөтә ҡалған аксиомаларҙы һаҡлап, параллеллек аксиомаһына ҡапма-ҡаршы аксиоманы ҡабул итһәң, абсолют геометрияны үҙ эсенә алған ҡапма ҡаршылыҡһыҙ Лобачевский геометрияһын төҙөргә мөмкин икәнлеге билдәле.

### Шартлы иҫбатлауҙар
Ҡайһы бер иҫбатланмаған гипотезаларҙың дөрөҫлөгөнән мөһим эҙемтәләр килеп сыға. Әгәр гипотеза дөрөҫ тигән киң таралған фекер булһа, математиктар, гипотеза иҫбат ителәсәк тигән ышаныс менән, был гипотеза хаҡ булған шарттарҙа ғына дөрөҫ булған теоремалар иҫбат итәләр. Бындай иҫбатлауҙар, мәҫәлән, Риман гипотезаһына бәйле таралғандар.

## Бер нисә билдәле миҫалдар
Бында гипотеза статусында булғанда математикаға ҙур йоғонто яһаған раҫлауҙар һанап сығылған. Уларҙың ҡайһы берҙәре бөгөн дә гипотеза булып ҡалалар, икенселәре иҫбатланған йәки кире ҡағылған.

### Ферманың бөйөк теоремаһы

Һандар теорияһында Ферманың бөйөк теоремаһы, бер ниндәй ҙә өс a, b, c натураль һандары өсөн, әгәр n натураль һаны 2-нән артһа, a^n + b^n = c^n тигеҙлеге үтәлмәй тип раҫлай.

Пьер Ферма был фаразды 1637 йылда Диофанттың «Арифметикаһының» ситенә яҙып ҡуя, шунда уҡ фараздың иҫбатланышы бар, ләкин ул бында һыймаҫлыҡ ныҡ оҙон тип яҙа. Күп математиктарҙың 358 йыл тырышлығынан һуң беренсе уңышлы иҫбатлау Джон Уайлс тарафынан 1994 йылда табыла һәм 1995 йылда баҫылып сыға. Был проблеманы хәл итергә маташыуҙар XIX быуатта һандарҙың алгебраик теорияһының үҫешенә һәм XX быуатта модулярлыҡ тураһында теореманы иҫбатлауға килтерә.

### Пуанкаре гипотезаһы

Пуанкаре гипотезаһы, һәр сиге булмаған бер бәйләнешле компактлы өс үлсәмле төрлөлөк өс үлсәмле сфераға гомеоморфлы тип раҫлай. Анри Пуанкаре был гипотезаны 1904 йылда әйтеп бирә. Математиктарҙың бер быуат самаһы тырышлыҡтарынан һуң Григорий Перельман был гипотезаны 2002 һәм 2003 йылдарҙа arXiv сайтында урынлашҡан өс мәҡәләлә иҫбат итә. Иҫбатлау Ричард Гамильтондың хәл итеү өсөн Риччи ағымын ҡулланырға тигән тәҡдименә эйәрә. Математиктарҙың бер нисә командаһы Перельмандың иҫбатлауын тикшерә һәм ул дөрөҫ тип раҫлай. Шуныһы ҡыҙыҡ, ҙурыраҡ үлсәмле сфералар өсөн иҫбатлау алданыраҡ табыла.

### Риман гипотезаһы

1859 йылда тәҡдим ителгән Риман гипотезаһы, Римандың дзета-функцияһының бөтә таралмаған тамырҙарының ысын өлөшө ½-гә тигеҙ тип раҫлай. Риман гипотезаһының дөрөҫлөгөнән ябай һандарҙың таралыуы тураһында бер нисә эҙемтә килеп сыға. Ҡайһы бер математиктар был гипотезаны «таҙа математикала» иң мөһим хәл ителмәгән проблема тип иҫәпләй. Риман гипотезаһы Гильберт проблемаларының һәм меңйыллыҡ мәсьәләләренең исемлегенә инә.

### P һәм NP кластарының тигеҙлеге

P һәм NP кластарының тигеҙлеге мәсьәләһе меңйыллыҡ мәсьәләләр исемлегенә инә һәм информатиканың иң мөһим проблемаларының береһе булып тора. Рәсми булмағанса, ләкин етерлек теүәллек менән, мәсьәлә шуға ҡайтып ҡала, тәҡдим ителгән сығарылышын полиномиаль ваҡыт эсендә тикшерергә мөмкин булған һәр мәсьәләне, полиномиаль хәтер ҡулланып, шулай уҡ полиномиаль ваҡыт эсендә сығарып буламы. Бөгөнгө көндә был дөрөҫ түгел тигән фекер өҫтөнлөк ала. Ләкин әгәр был гипотезаның дөрөҫлөгөнөң иҫбатланышы конструктив була алһа (бары тик бер алгоритм табырға кәрәк, бик күптәр шуны эшләргә тырышалар), ул саҡта киреһен нисек иҫбатларға — асыҡ түгел. Беренсе тапҡыр проблема 1956 йылда Курт Гёделдың Джон Нейманға хатында телгә алына. Ысынында проблеманы 1971 йылда Стивен Кук әйтеп бирә һәм ул күптәр тарафынан был өлкәлә иң мөһим асыҡ проблема тип иҫәпләнә.

## Тарихы
Боронғо грек математиктары йыш ҡына математик иҫбатлау ысулы сифатында уйҙағы экспериментты ҡулланғандар, ул гипотезаны ҡуйыуҙы һәм баштағы фараздың дөрөҫлөгөн тикшереү маҡсатында унан дедукция ярҙамында эҙемтәләр сығарыуҙы үҙ эсенә ала. Бөгөнгө көндә бындай фекерләүҙәр киреһенән сығып иҫбатлау ысулы тип атала. Платон гипотезаларға, һығымтаның абсолют дөрөҫ булыуын тәьмин итә алған, ул үҙе уйлап тапҡан иҫбатлауҙың аналитик-синтетик ысулына йүнәлтмә булараҡ ҡарай. Әммә Аристотель тарафынан гипотеза тикшеренеү ысулы булараҡ кире ҡағыла, ул силлогистик иҫбатлау сығанағы сифатында тик дөйөм, кәрәк һәм абсолют хәҡиҡәттәр менән генә фекерләй. Был артабан ғалимдарҙа гипотезаларға ышаныслы булмаған йәки ихтимал булған белем формаһы булараҡ кире ҡараш тыуҙыра. Гипотезаларҙы һәм абсолют теүәл белемде ҡапма-ҡаршы ҡуйыуҙы һәм, эҙемтә булараҡ, гипотезаларға кәмһетеүле ҡарашты тик XIX быуатта ғына еңеп сығып була. Атап әйткәндә, Фридрих Энгельс гипотезаны «тәбиғәт фәненең үҫеше» формаһы итеп ҡарай, гипотезаларҙың закондар һәм теориялар менән, хаҡ белемдең төрлө формалары булараҡ, үҙ-ара бәйләнештәре тураһында фекер әйтә.

## Иҫкәрмәләр