Функцияның сығарылмаһы

Функцияның **сығарылмаһы** — функцияның бирелгән нөктәлә үҙгәреү тиҙлеген характерлаусы Дифференциаль иҫәпләмә төшөнсәһе. Әгәр ундай сикләнмә булһа, функция үҫешенең уның аргументы үҫешенә сағыштырмаһының, аргумент үҫеше нулгә ынтылғандағы сикләнмәһе тип билдәләнә. Сикле сығарылмаһы булған функцияны (ниндәйҙер нөктәлә), дифференциалланыусы (был нөктәлә) тип атайҙар.

Сығарылманы иҫәпләү барышы **дифференциаллау** тип атала.
Кире процесс — алынманы табыу — интеграллау.

## Тарихы
Классик дифференциаль иҫәпләмәлә сығарылма йышыраҡ сикләнмә төшөнсәһе аша билдәләнә, әммә сикләнмәләр теорияһы тарихи дифференциаль иҫәпләмәнән һуңыраҡ барлыҡҡа килә. Ньютон сығарылманы *флюксия* тип атай, Лейбниц мәктәбе база төшөнсәһе сифатында дифференциал төшөнсәһенә өҫтөнлөк бирә.

Лагранж ҡулланған ярашлы *dérivée* француз терминын урыҫ теленә тәржемә итеп, «Функцияның сығарылмаһы» формаһында урыҫ терминын беренсе булып В. И. Висковатов ҡуллана.

## Билдәләмә
x_0 \in \R нөктәһенең ниндәйҙер тирә-яғында f\colon U(x_0) \subset \R \to \R функцияһы бирелһен, ти. Функцияның сығарылмаһы тип, функцияны  U(x_0)  тирә-яғында,
: әгәр A булһа, f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h) күренешендә күрһәтергә мөмкин булған A һаны атала.

### Функцияның сығарылмаһының [[Сикләнмә (математика)|сикләнмә]] аша билдәләмәһе
x_0 \in \R нөктәһенең ниндәйҙер тирә-яғында f\colon U(x_0) \subset \R \to \R функцияһы бирелһен, ти. f функцияһының x_0 нөктәһендә сығарылмаһы тип, әгәр ул булһа,
: f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x} сикләнмәһе атала.

### <math>y=f(x)</math> функцияһы сығарылмаһының <math>x_0</math> нөктәһендә дөйөм ҡабул ителгән тамғаланыштары
: f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).
Һуңғыһы ғәҙәттә ваҡыт буйынса сығарылманы аңлатыуын билдәләп китәйек (теоретик механикала).

## Сығарылмалар теҙеме

\left( c\right) =\left(\mathrm{const}\right)
\left( e^{x}\right) ^{\left( n\right) }=e^{x}

## Дифференциалланыусанлыҡ

f функцияһының x_0 нөктәһендә f'(x_0) сығарылмаһы, сикләнмә булараҡ, булырға йәки булмаҫҡа һәм сикле йәки сикһеҙ булырға мөмкин. f функцияһы x_0 нөктәһендә дифференциалланыусы була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уның был нөктәлә сығарылмаһы булһа һәм сикле булһа:
: f \in \mathcal{D}(x_0)\Leftrightarrow\exists f'(x_0) \in (-\infty;\infty).
x_0 нөктәһендә дифференциалланыусы f функцияһы өсөн U(x_0) тирә-яғында түбәндәгесә күрһәтеү дөрөҫ
: f(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + o(x-x_0)   x \to x_0 булғанда

## Иҫкәрмәләр
* \Delta x = x - x_0 функция аргументының үҫеше тип атала, ә \Delta y = f(x) - f(x_0) йәки \Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) функция ҡиммәтенең  x_0 нөктәһендә үҫеше тип атала. Ул саҡта
*: f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.
* f\colon(a,b) \to \R функцияһының һәр x_0 \in (a,b) нөктәһендә сикле сығарылмаһы булһын, ти. Ул саҡта **сығарылма фу́нкция** билдәләнә
*: f'\colon(a,b) \to \R.
* Нөктәлә сығарылмаһы булған функция был нөктәлә өҙлөкһөҙ була. Киреһе һәр ваҡытта ла дөрөҫ түгел.
* Әгәр функцияның сығарылмаһы үҙе өҙлөкһөҙ булһа, ул саҡта f функцияһын **өҙлөкһөҙ  дифференциалланыусы** тип атайҙар һәм ошолай яҙалар: f \in C^{(1)}\bigl((a,b)\bigr).

## Сығарылманың геометрик һәм физик мәғәнәһе

### Тейеүсе тура һыҙыҡтың ауышлыҡ мөйөшө тангенсы

Әгәр f\colon U(x_0) \to \R функцияһының x_0 нөктәһендә сикле сығарылмаһы булһа, ул саҡта U(x_0) тирә-яғында уны
: f_l(x) \equiv f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) һыҙыҡлы функцияһы менән яҡынайтып була.
f_l функцияһы f функцияһына x_0 нөктәһендә тейеүсе тип атала. f'(x_0)  һаны мөйөшсә коэффициент (тейеүсенең *[[Мөйөшсә коэффициент|мөйөшсә коэффициенты]]*) йәки тейеүсе тура һыҙыҡтың ауышлыҡ мөйөшө тангенсы тип атала.

### Функцияның үҙгәреү тиҙлеге
s=s(t) — тура һыҙыҡлы хәрәкәт законы булһын, ти. Ул саҡта v(t_0)=s'(t_0) хәрәкәттең t_0 ваҡыт моментында кинәт тиҙлеген күрһәтә. Икенсе сығарылма a(t_0) = s*(t_0)</math> <math>t_0</math> ваҡыт моментындағы [[кинәт тиҙләнеш]]те күрһәтә.

Ғөмүмән, <math>y=f(x)</math> функцияһының <math>x_0</math> нөктәһендә сығарылмаһы функцияның <math>x_0</math> нөктәһендә үҙгәреү тиҙлеген, йәғни <math>y=f(x)</math> бәйләнеше менән бирелгән [[Процесс (системалар теорияһы)|процесстың]] үтеү тиҙлеген күрһәтә.  



== Юғары тәртиптәге сығарылмалар ==
Ирекле тәртиптәге сығарылма тураһында төшөнсә [[Рекурсия|рекуррентлы]] бирелә. 
: <math>f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0)</math> тип уйлайыҡ.
Әгәр <math>f</math> функцияһы <math>x_0</math> нөктәһендә дифференциалланыусы булһа, ул саҡта беренсе тәртиптәге сығарылма 
: <math>f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0)</math> нисбәте менән билдәләнә.
Хәҙер <math>n</math>-сы  тәртиптәге сығарылма <math>f^{(n)}</math> <math>x_0</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында бирелһен һәм дифференциалланыусы булһын, ти. Ул саҡта
: <math>f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).</math>
Әгәр <math>u = f(x, y, z)</math> функцияһының ниндәйҙер D өлкәһендә үҙгәреүсәндәрҙең берәүһе буйынса [[айырым сығарылма|айырым сығарылмаһы]] булһа, ул саҡта  әйтелгән сығарылманың, үҙе <math>x, y, z,</math> үҙгәреүсәндәренән функция булараҡ, ниндәйҙер <math>(x_0,y_0,z_0)</math> нөктәһендә теге йәки был үҙгәреүсән буйынса айырым сығарылмаһы булырға мөмкин.
Баштағы <math>u = f(x, y, z)</math> функцияһы өсөн был сығарылмалар икенсе тәртиптәге айырым сығарылма (йәки икенсе айырым сығарылма) булалар.
: <math>u*_{x^2} = f*_{x^2}(x_0, y_0, z_0)</math> йәки <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x^2}</math>
: <math>u*_{xy} = f*_{xy}(x_0, y_0, z_0)</math> йәки <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x \partial y}</math>
Төрлө үҙгәреүсәндәр буйынса алынған икенсе йәки юғарыраҡ тәртиптәге айырым сығарылма [[аралаш айырым сығарылма]] тип атала. Мәҫәлән,
: <math>u*_{xy} = f*_{xy}(x_0, y_0, z_0)</math>

== Сығарылмаларҙы яҙыу ысулдары ==
Маҡсатҡа һәм ҡулланылған математик аппараттың ҡулланыу өлкәһенә бәйле, сығарылмаларҙы яҙыуҙың төрлө ысулдарын ҡулланалар. Шулай, n-сы тәртиптәге сығарылма түбәндәге нотацияларҙа яҙылырға мөмкин:
* [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранждың]] <math>f^{(n)}(x_0)</math>, был осраҡта бәләкәй n өсөн йыш ҡына штрихтар һәм рим цифрҙары ҡулланыла:
: <math>f^{(1)}(x_0) = f'(x_0) = f^I(x_0),</math>
: <math>f^{(2)}(x_0) = f*(x_0) = f^{II}(x_0),
: f^{(3)}(x_0) = f**(x_0) = f^{III}(x_0),</math>
: <math>f^{(4)}(x_0) = f^{IV}(x_0),</math> һәм башҡа шулай <br>
Бындай яҙыу үҙенең ҡыҫҡалығы менән уңайлы һәм киң таралған; әммә штрихтар менән өсөнсө тәртиптән юғары булмаған сығарылмалар өсөн генә тамғалау рөхсәт ителә. 
* [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбництың]], сикһеҙ  бәләкәй  сағыштырмаларҙы асыҡ яҙыу менән уңайлы(тик <math>x</math> — бәйләнешһеҙ үҙгәреүсән булғанда; кире осраҡта тамғалау беренсе тәртиптәге сығарылма өсөн генә дөрөҫ):
: <math>\frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0)</math>
* [[Ньютон, Исаак|Ньютондың]], механикала йыш координата функцияһының ваҡыт буйынса сығарылмаһы өсөн ҡулланыла (арауыҡ сығарылмаһы өсөн йышыраҡ Лагранж яҙыуын ҡулланалар). Сығарылманың тәртибе функция өҫтөндәге нөктәләр һаны менән тамғалана, мәҫәлән:
: <math>\dot{x}(t_0)</math> — <math>x</math>-тың <math>t</math> буйынса <math>t=t_0</math> булғанда  беренсе тәртиптәге сығарылмаһы, йәки <math>\ddot{f}(x_0)</math> — <math>f</math>-тың <math>x</math> буйынса <math>x_0</math> нөктәһендә икенсе тәртиптәге сығарылма һәм б. ш. 
* [[Эйлер, Леонард|Эйлерҙың]], [[дифференциаль оператор]] (ҡәтғи әйткәндә, ярашлы функциональ арауыҡ индерелгәнгә тиклем, дифференциаль аңлатма) ҡуллана, һәм шуға күрә [[функциональ анализ]] менән бәйле мәсьәләләрҙә уңайлы яҙыу:
: <math> \mathrm{D}^n\!f(x_0)</math>, йәки ҡайһы берҙә <math> \partial^n\!f(x_0)</math>.
* Вариацион иҫәпләмәлә һәм математик физикала йыш <math>f_x</math>, <math>f_{xx}</math> тамғалауы ҡулланыла; нөктәлә сығарылма ҡиммәте өсөн — <math>f_x\vert_{x=x_0}</math>. Айырым сығарылмалар өсөн тамғалау шул уҡ, шуға күрә тамғалау мәғәнәһен контекстан асыҡлайҙар.

Әлбиттә, шуның менән бергә улар бөтәһе лә бер үк объекттарҙы тамғалау өсөн хеҙмәт итәләр икәнде онотмаҫҡа кәрәк:
: <math> f^{(n)}(x_0)= \frac{d^n\!f}{dx^n}(x_0) = \overset {\overbrace{\cdot\cdot ... \cdot}^{n\ \mathrm {PA}3}}f(x_0) = \mathrm{D}^n\!f(x_0) = f{\underbrace{_{xx \ldots x}}_{n\ \mathrm{PA}3}}\vert_{x=x_0}.</math>

== Миҫалдар ==
* <math>f(x) = x^2</math> булһын, ти. Ул саҡта
: <math>f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.</math>
* <math>f(x) = |x|</math> булһын. Ул саҡта әгәр <math>x_0 \neq 0</math> булһа, ул саҡта
: <math>f '(x_0) = \sgn x_0,</math>
бында <math>\sgn</math> [[Функция sgn(x)|тамға функцияһын]] аңлата. Ә әгәр <math>x_0 = 0</math> булһа, ул саҡта
<math>f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,</math>
ә тимәк <math>f'(x_0)</math> юҡ.

== Дифференциаллау ҡағиҙәләре ==
Сығарылма табыу операцияһы дифференциаллау тип атала. Был операцияны башҡарғанда йыш ҡына функцияларҙың бүлендектәре, суммалары, ҡабатландыҡтары, шулай уҡ «функциялар функцияһы», йәғни ҡатмарлы функциялар менән эш итергә тура килә. Сығарылманың билдәләмәһенән сығып, был эште еңеләйтеүсе дифференциаллау ҡағиҙәләре сығарырға була.
Әгәр <math>C</math> — даими һан һәм <math>f=f(x), g=g(x)</math> — ниндәйҙер дифференциалланыусы функциялар булһа, ул саҡта ошондай ''дифференциаллау ҡағиҙәләре'' дөрөҫ:
* <math>C'=0</math>
* <math>x'=1</math>
* <math>\left(f+g\right)'=f '+g'</math>

* <math>\left(fg\right)'=f'g+fg'</math>

* <math>\left(Cf\right)'=Cf'</math>
* <math>\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2}</math> …(g <big>≠</big> 0)
=</math>

<math>=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}}=</math>

<math>=\lim_{\Delta x\to0}{\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}}=</math>

<math>=\frac1{g^2(x)}\lim_{\Delta x\to0}{\frac{(f(x)+\Delta f(x))g(x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=</math>

<math>=\frac1{g^2(x)}\lim_{\Delta x\to0}{\frac{f(x)g(x)+\Delta f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x}}=</math>

<math>=\frac1{g^2(x)}\lim_{\Delta x\to0}{(g(x)\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}-f(x)\frac{\Delta g(x)}{\Delta x})}=</math>

<math>=\frac1{g^2(x)}(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=</math>

<math>=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}</math>}}
* <math>\left(\frac{C}{g}\right)'=-\frac{Cg'}{g^2}</math> (g <big>≠</big> 0)
* Әгәр функция параметрлы бирелһә:
<math>\left\{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}\; \; t\in\left[T_1; T_2 \right] \right.</math>, то
<math>y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=y'_t\cdot t'_x=\frac{y'_t}{x'_t}</math>

* <math>\frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}=f'_g g'_x</math>
* Ҡабатландыҡ һәм бүлендек сығарылмалары формулалары n-тапҡырлы дифференциаллау осрағына дөйөмләштереләләр ([[Лейбниц формулаһы(ҡабатландыҡ сығарылмаһының)|Лейбниц формулаһы]]):
: <math>(f g)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)} g^{(k)}},</math> бында <math>C_n^k</math> — [[биномиаль коэффициент|биномиаль коэффициенттар]].
**Сығарылманың артабанғы үҙсәнлектәре дифференциаллау ҡағиҙәләренә өҫтәлмә булып хеҙмәт итәләр:*'
* әгәр функция <math>(a,b)</math> интервалында дифференциалланыусы булһа, ул <math>(a,b)</math> интервалында өҙлөкһөҙ була. Киреһе, ғөмүмән алғанда, дөрөҫ түгел (мәҫәлән, <math>y(x)=|x|</math> функцияһы <math>[-1,1]</math> киҫегендә);
* әгәр функцияның аргументтың <math>x</math>-ҡа тигеҙ ҡиммәтендә локаль [[Экстремум|максимумы/минимумы]] булһа, ул саҡта <math>f'(x)=0</math> (был [[Ферма леммаһы]] тип атала);
* был функцияның сығарылмаһы берҙән-бер, ләкин төрлө функцияларҙың бер төрлө сығарылмалары булырға мөмкин. 
* <math>(f(x)^{g(x)})' = f(x)^{g(x)} \left (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x)f'(x)} {f(x)}\right ) (\forall x \in D_f:   f(x)>0) </math>


== Ҡайһы бер функцияларҙың сығарылмалары теҙеме ==



== Вектор-функцияның параметр буйынса сығарылмаһы ==
<math>\mathbf{r}(t)</math> [[Вектор-функция|вектор-функцияһының]] параметр буйынса сығарылмаһына билдәләмә бирәйек:

: <math>\frac{d}{dt}\mathbf{r}(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+h) - \mathbf{r}(t)}{h}</math>.

Әгәр <math>t</math> нөктәһендә сығарылмаһы булһа, вектор-функция был нөктәлә дифференциалланыусы функция тип атала. Сығарылма өсөн <math>x'(t),\ y'(t),\ z'(t)</math> координаталы функциялар булалар.

Вектор-функция сығарылмаһының үҙсәнлектәре (һәр ерҙә сығарылмалар бар тип күҙаллана):
* <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)+\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}+\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}</math> — сумманың сығарылмаһы сығарылмалар суммаһына тигеҙ.
* <math>\frac{d}{dt} (f(t)\mathbf{r}(t))=\frac{df(t)}{dt}\mathbf{r}(t) + f(t)\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}</math> — бында <math>f(t)</math> — дифференцияланыусы скаляр функция.
* <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{r_1}(t)\mathbf{r_2}(t))=\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt}\mathbf{r_2}(t) + \mathbf{r_1}(t)\frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}</math> — [[Скаляр ҡабатландыҡ|скаляр ҡабатландыҡты]]  дифференциаллау.
* <math>\frac{d}{dt} [\mathbf{r_1}(t),\mathbf{r_2}(t)]=\left [\frac{d\mathbf{r_1}(t)}{dt},\mathbf{r_2}(t)\right ] + \left [\mathbf{r_1}(t), \frac{d\mathbf{r_2}(t)}{dt}\right]</math> — [[Векторлы ҡабатландыҡ|векторлы ҡабатландыҡты]] дифференциаллау.
* <math>\frac{d}{dt} (\mathbf{a}(t),\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t))=\left (\frac{d\mathbf{a}(t)}{dt},\mathbf{b}(t),\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t),\frac{d\mathbf{b}(t)}{dt},\mathbf{c}(t)\right) + \left (\mathbf{a}(t), \mathbf{b}(t), \frac{d\mathbf{c}(t)}{dt}\right)</math> — [[Аралаш ҡабатландыҡ|аралаш ҡабатландыҡты]] дифференциаллау.

== Сығарылмаларҙы биреү ысулдары ==
* Джексон сығарылмаһы:
: <math>D_{x}^{q}f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{(q-1)x}.</math>

== Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр ==
* [[Сығарылма (дөйөмләштереү)|Сығарылмаларҙы дөйөмләштереү]]
** [[Кәсерле сығарылма]]
** [[Пеано сығарылмаһы]]
** [[Айырым сығарылма]]

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Сығарылмалар теҙмәһе]]
* [[Сығарылма (математика)]]
* [[Ҡатмарлы функцияны дифференциаллау]]
* [[Кире функцияның сығарылмаһы]]
* [[Дифференциалланыусы функция]]
* [[Анализдың төп теоремаһы]]
* [[Сығарылманың геометрик мәғәнәһе]]
* [[Йүнәлеш буйынса сығарылма]]


== Иҫкәрмәләр ==


== Әҙәбиәт ==
* 
* *В. Г. Болтянский,* Что такое дифференцирование?, [[Популярные лекции по математике|«Популярные лекции по математике»]], Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
* *В. А. Гусев*, *А. Г. Мордкович* «Математика»
* *Г. М. Фихтенгольц* «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
* *В. М. Бородихин'', Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

## Һылтанмалар
* Онлайн калькулятор производных с подробным пошаговым решением на русском языке
* Таблица производных
* «Что такое производная — на примере с банковским счётом» — перевод статьи Understanding Calculus With A Bank Account Metaphor | BetterExplained