Эквивалентлыҡ бәйләнеше

**Эквивалентлыҡ бәйләнеше** () — бирелгән күмәклектең үҙсәнлектәре тигеҙлек бәйләнешенең үҙсәнлектәренә оҡшаш булған элементтары араһында бинар бәйләнеш.

## Билдәләмә
X күмәклегендә **эквивалентлыҡ бәйләнеше** (\sim)   — ул X күмәклегенән теләһә ниндәй a,b,c өсөн түбәндәге шарттар үтәлгән бинар бәйләнеш:
# рефлексивлыҡ: a \sim a;
# симметриялыҡ: әгәр a \sim b булһа, ул саҡта b \sim a;
# транзитивлыҡ: әгәр a \sim b һәм b \sim c булһа, ул саҡта a \sim c.

«a \sim b» күренешендәге яҙыу «a эквивалентлы b-ға» тип уҡыла.

## Бәйле билдәләмәләр
a \in X элементының **эквивалентлыҡ класы** [a]\subset X тип a-ға эквивалентлы элементтары аҫкүмәклеге атала; йәғни, 
:[a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}. 
Юғарыла килтерелгән билдәләмәнән кисекмәҫтән, әгәр b \in [a] булһа, ул саҡта [a] = [b] булыуы килеп сыға.

**[[Факторкүмәклек]]** — бирелгән X күмәклегенең бирелгән \sim бәйләнеше буйынса бөтә эквивалентлыҡ кластары күмәклеге, X/{\sim} тип тамғалана.

a элементының эквивалентлыҡ класы өсөн ошондай тамғалауҙар ҡулланыла: [a], a / {\sim}, \overline{a}.

\sim эквивалентлыҡ бәйләнешенә ҡарата эквивалентлыҡ кластары күмәклеге күмәклектең бүленеүе булып тора.

## Миҫалдар
* Тигеҙлек («=»), теләһә ниндәй күмәклектә тривиаль эквивалентлыҡ бәйләнеше,  айырым алғанда, ысын һандар күмәклегендә.
* Модуле буйынса сағыштырыу:  а ≡ b (mod n).
* Евклид геометрияһында
** Конгруэнтлыҡ бәйләнеше («\cong»).
** Оҡшашлыҡ бәйләнеше («\sim»).
** Тура һыҙыҡтарҙың параллеллеге бәйләнеше («\|») (әгәр һәр тура һыҙыҡты үҙ-үҙенә параллель тип иҫәпләгәндә).
* Математик анализда функцияларҙың эквивалентлығы:
*:  x \rightarrow x_0-да f(x) функцияһы g(x) функцияһына эквивалентлы була, әгәр уны f(x) = \alpha(x) g(x) күренешендә күрһәтеп булһа, бында  x \rightarrow x_0-да \alpha(x) \rightarrow 1. Был осраҡта f(x) \sim g(x) тип яҙалар, кәрәк булғанда һүҙ x \rightarrow x_0-да функцияларҙы сағыштырыу тураһында барыуы иҫкә төшөрөлә. Әгәр x \ne x_0 булғанда g(x) \ne 0 булһа,  x \rightarrow x_0-да f(x) һәм g(x) функцияларының эквивалентлығы, күренеүенсә, \lim_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 нисбәтенә тиң.
* Векторлы арауыҡта Нормаларҙың эквивалентлығы.
* Күмәклектәрҙең тиң ҡеүәтлелек бәйләнеше.
*  Төркөмдәрҙең, ҡулсаларҙың, векторлы арауыҡтарҙың изоморфизмы
* Категорияларҙың эквивалентлығы.
* Ниндәйҙер категорияла изоморфизм был категорияла эквивалентлыҡ бәйләнешен бирә.
* Шыма күп төрлөлөктөң шыма атластары эквивалентлығы.

## Эквивалентлыҡ кластары
\sim эквивалентлыҡ бәйләнешенә яуап биргән бөтә эквивалентлыҡ кластары күмәклеге, X/{\sim}  символы менән тамғалана һәм \sim эквивалентлыҡ бәйләнешенә ҡарата  *[[факторкүмәклек]]* тип атала.
Шул уҡ ваҡытта
:  p\colon x \mapsto [x] сюръектив сағылышы
X күмәклегенең X/{\sim} факторкүмәклегенә  *тәбиғи сағылышы* (йәки *каноник проекцияһы*) тип атала.

X һәм Y — күмәклектәр, f\colon X \to Y — сағылышы булһын, ти, ул саҡта
: x \sim y \iff f(x) = f(y), \quad x, y \in X ҡағиҙәһе менән билдәләнгән  x \sim y бинар бәйләнеше X күмәклегендә эквивалентлыҡ бәйләнеше була.
Был ваҡытта f сағылышы
: \overline{f}([x]) = f(x) ҡағиҙәһе, 
йәки, шул уҡ булған,
: (\overline{f}\circ p)(x) = f(x) менән билдәләнгән  \overline{f}\colon X/{\sim} \to Y сағылышын тыуҙыра.
Был ваҡытта f сағылышының p сюръектив сағылышына һәм \overline{f} инъектив сағылышна факторизацияһы килеп сыға.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ
* Отношение толерантности — эквивалентлыҡтың көсһөҙ формаһы.
* Эквиваленция — логик операция.
* Тигеҙлек тамғаһы.

## Әҙәбиәт
* *А. И. Кострикин*, Введение в алгебру. : Наука, 1977, 47—51.
* *А. И. Мальцев*, Алгебраические системы, : Наука, 1970, 23—30.
*