Тейлор рәте

**Те́йлор рәте** — функцияны дәрәжәле функцияларҙың сикһеҙ суммаһына тарҡатыу.

Тейлор рәте Тейлорҙың баҫылып сыҡҡан хеҙмәттәренән күп алда билдәле була — уны XIV быуатта уҡ Һиндостанда, шулай уҡ XVII быуатта Грегори һәм Ньютон ҡулланалар.

Тейлор рәттәре функцияны күпбыуындар менән аппроксимациялағанда () ҡулланылалар.
Атап әйткәндә, тигеҙләмәләрҙе линеаризациялау Тейлор рәтенә тарҡатыу һәм беренсе тәртиптән юғары бөтә быуындарын алып ташлау юлы менән башҡарыла.

## Билдәләмә
1. Ысын x үҙгәреүсәнле, a нөктәһендә k тапҡыр дифференциалланыусы f(x) функцияһының Тейлор **күпбыуыны** тип түбәндәге сикле сумма атала
: \sum_{n=0}^k \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k,

ул, дифференциалланыусы функцияның урта ҡиммәт тураһында Лагранж теоремаһы эҙемтәһенең дөйөмләштерелеүе булараҡ, яҡынса иҫәпләүҙәрҙә ҡулланыла:
: x-a=h \to 0 булғанда f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h +o(h)\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x - a) дөрөҫ.

Сумманың яҙылышында f^{(0)}(x)=f(x) тамғаланышы һәм буш күмәклек буйынса ҡабатлау тураһында килешеү: 0!=1, (x - a)^0=1 ҡулланылған.

2. Ысын x үҙгәреүсәнле, a нөктәһенең эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы f(x) функцияһының a нөктәһендә Тейлор **рәте** тип, a параметрына бәйле \varphi_{n}(x;a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x - a)^n уртаҡ быуынлы, формаль дәрәжәле рәт атала
: \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi_{n}(x;a).
Икенсе төрлө әйткәндә, f(x) функцияһының a нөктәһендә Тейлор рәте тип (x - a) икебыуынының ыңғай дәрәжәләре буйынса рәт атала:
: f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f*(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \ldots\,</math>.

Түбәндә миҫалдарҙа күрһәтелеүенсә, <math>a</math> нөктәһенең эргә-яғында <math>f(x)</math> функцияһының сикһеҙ дифференциалланыусы булыуы, Тейлор рәте <math>a</math> нөктәһенең үҙенән башҡа ҡайҙа булһа ла функцияның үҙенә йыйылыусан булыуы өсөн етерлек түгел.

3. <math>a</math> нөктәһенең ниндәйҙер <math>U\subseteq \mathbb C</math> эргә-яғында [[Коши — Риман шарттары]]н ҡәнәғәтләндергән комплекслы <math>z</math> үҙгәреүсәнле <math>f(z)</math> функцияһының <math>a</math> нөктәһендә Тейлор *'рәте** тип, түбәндәге дәрәжәле рәт атала:

: <math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n</math>.

Ысын үҙгәреүсәнле функция осрағынан айырмалы рәүештә, шарттарҙан радиустың шундай <math>R>0</math> ҡиммәте табыла, бында <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}\subseteq U</math> өлкәһендә рәт <math>f(z)</math> функцияһына йыйыла икәне килеп сыға.

4. <math>a=0</math> осрағында рәт
: <math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>
**Маклорен рәте** тип атала.

== Аналитик функция ==
1. Ысын <math>x</math> үҙгәреүсәнле <math>f(x)</math> функцияһы өсөн, <math>f(x)</math> <math>(a-R; a+R)</math>  интервалында йыйылыусан дәрәжәле рәт <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} } },& x \ne 0\\
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math> функцияһы өсөн башҡарабыҙ.

<math>\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)</math> функцияһы, бөтә <math>z\in\overline{\mathbb C}\setminus\{0\}</math> өсөн комплекслы үҙгәреүсәнле аналитик функция була.

<math>z \neq 0</math> өсөн 
<math>\frac{d}{dz}\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)
=\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)\cdot \left( \frac{2}{z^3}\right)</math> икәне асыҡ күренә.
<math>x\in\mathbb R</math> өсөн <math>f(x)</math> функцияһы — ул, һулдан  <math>x=0</math> нөктәһендә <math>\lim_{x\to 0, x<0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math> сикләнмәһе
һәм уңдан <math>\lim_{x\to 0, x>0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math> сикләнмәһе менән тулыландырылған, «төҙәтелгән» функция
<math>\exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)</math>, <math>x \in \mathbb R\setminus\{0\}</math>.


Функцияның <math>f(x)</math> <math>x=0</math> нөктәһендә сығарылмаһын табабыҙ.
Билдәләмә буйынса:
<math>f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0, \Delta x\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} 
= \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(h) - 0}{h} 
= \frac{0}{0}
= \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f'(h)}{h'} 
=\lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}</math>.

<math>x \in (0;1)</math> өсөн
<math>0<e^{ - \frac{1}{x^{2}}} < e^{ - \frac{1}{x}} </math> үтәлгәнлектән,
ирекле <math>\alpha> 0</math> өсөн <math> 
\lim_{x \to 0, x>0}\frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} = 
0</math> дөрөҫ икәнен иҫбатлайбыҙ.

Лопиталь ҡағиҙәһен туранан тура өлөштәргә ҡулланыу
:<math>\lim_{x \to 0, x>0}e^{ - \frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0, x>0}x^{\alpha}=0</math> һөҙөмтә бирмәй.
Үҙгәреүсәнде алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарабыҙ: <math>\frac{1}{x} = t</math>:

<math> \lim_{x \to 0, x>0} \frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} 
= \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} 
= \frac{+\infty}{+\infty}
= \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha t^{\alpha-1}}{e^t}</math>.

<math>k =\lceil \alpha \rceil</math> булһын ти.
Лопиталь ҡағиҙәһен <math>k</math> тапҡыр ҡулланып, числителдә табабыҙ йә (<math>\alpha=k</math> булғанда) <math>k! </math> константаһын, йәки (<math>\alpha<k</math> булғанда) сикһеҙ бәләкәй <math>\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}</math>:

:<math> \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t} 
= \frac{+\infty}{+\infty}
= \ldots
= \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}}{e^t}=0</math>.

Шулай итеп,
:<math>f'(0) = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}=0</math>.

(<math>x \neq 0</math> өсөн) <math>f(x)</math> функцияһының бер нисә башланғыс сығарылмаларын табабыҙ:

: <math>f'(x) = \frac}</math>

: <math>f''(x) = \left( {\frac}} \right)' 
= 2\left( {f'(x)\frac{1}} + f(x)\left( {\frac{1}}} \right)'} \right) 
= 2\left( {\frac}\frac{1}} + f(x)\left( {\frac{1}}} \right)'} \right) 
= 2f(x)\left( {\frac{2}} - \frac{3}}} \right)
</math>

: <math>f**(x) = \left( {2f(x)\left( {\frac{2}} - \frac{3}}} \right)} \right)' 
= 4f(x)\left( {\frac{2}} - \frac{3}} + \frac{6}} - \frac{6}}} \right)


Һәм шулай артабан. Бөтә осраҡтарҙа ла, күренеүенсә,
f(x)-тың
x-тың бөтөн тиҫкәре дәрәжәләре суммаһына ҡабатландығы килеп сыға.
Сикһеҙ бәләкәйҙәрҙең һуңғы суммаһы сикһеҙ бәләкәй була.
Шулай итеп,
\lim_{x \to 0, x\in\mathbb R\setminus\{0\}}f^{(k)}(x) = 0 .

Эҙмә-эҙ рәүештә билдәләмә буйынса (юғарылағы кеүек)  x=0 нөктәһендә f(x)-тың сығарылмаларын иҫәпләп,
бөтә сығарылмалары ла x=0 нөктәһендә нулгә тигеҙ булыуын асыҡлайбыҙ.

## Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ өлкәһе
Тейлор рәтенең, дәрәжәле рәт булараҡ, йыйылыу өлкәһе — түңәрәк (үҙәге a нөктәһендә булған) комплекслы үҙгәреүсән осрағында һәм интервал (үҙәге a нөктәһендә булған) — ысын үҙгәреүсән осрағы өсөн.

1. Мәҫәлән, f(x) = \frac{1}{1 - x} функцияһы Тейлор рәтенә ошолай тарҡатылырға мөмкин: \frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty    (был сикһеҙ кәмей барыусы геометрик прогрессия суммаһының билдәле формулаһы). Ләкин, әгәр \frac{1}{1 - x}  функция, x=1  нөктәһенән башҡа, бөтә ысын һандар күмәклегендә бирелһә, ул саҡта  \sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^k}  рәт тик  |x| шарты үтәлгәндә генә йыйыла.

2. Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ радиусын, мәҫәлән, Даламбер формулаһы буйынса табырға мөмкин:

: R = \lim_{k \to \infty} \left| {\dfrac}}}}} \right| 
= \lim_{k \to \infty} \left| {\frac(a)}}(a)}}(k + 1)} \right|.

3. Миҫал өсөн  e^x  экспоненциаль функцияһын ҡарайыҡ. Экспоненциаль функцияның теләһә ниндәй сығарылмаһы теләһә ниндәй нөктәлә функцияның үҙенә тигеҙ булғанлыҡтан, экспоненциаль функцияның йыйылыусанлыҡ радиусы R=\lim_{k \to \infty}\left| {\frac}}(k + 1)} \right| = \lim_{k \to \infty}(k + 1) = \infty. Тимәк, экспоненциаль функцияның теләһә ниндәй a параметрлы Тейлор рәте бөтә x күсәрендә йыйыла.

4. Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ өлкәһе параметрға — рәтте тарҡатыу a нөктәһенә бәйле.

Мәҫәлән, дөйөм осраҡта (ирекле a өсөн) f(x) = \frac{1} функцияһын Тейлор рәтенә тарҡатайыҡ: f(x) = \frac{1} = \frac{1}\sum\limits_{k = 0}^\infty  .

Геометрик прогрессияның суммаһы формулаһы ярҙамында, был рәт, x аргументының функцияһы булараҡ, a-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә (a=1 башҡа) бер үк күренештә була икәнен иҫбатлап була.

Ысынлап та,

: \frac{1}{1 - a}\sum\limits_{k = 0}^{\infty} күренешендә булыуын еңел иҫбатлап була, йәғни ул f(x) функцияһының Тейлор рәтенең n-сы өлөшсә суммаһы. f(x)функцияһы һәм {P_n}(x) күпбыуыны араһындағы айырма ҡалдыҡ быуын тип атала һәм {R_n}(x)=f(x)-{P_n}(x) тип тамғалана. f(x)={P_n}(x)+{R_n}(x) формулаһы Тейлор формулаһы тип атала. Ҡалдыҡ быуын a нөктәһенең ҡараған эргә-яғында n+1 тапҡыр дифференциалланыусы икәнен еңел аңлап була. Тейлор формулаһы дифференциаль иҫәпләмәлә күп һандағы теоремаларҙы иҫбат иткәндә ҡулланыла.
Икенсе төрлө әйткәндә, Тейлор формулаһы ниндәйҙер нөктәнең эргә-яғында функцияның үҙ-үҙен тотошон билдәләй.

Теорема:

Әгәр f(x) функцияһының остары a һәм x булған киҫектә n+1 сығарылмаһы булһа, ул саҡта ирекле ыңғай p һаны өсөн, a һәм x араһында ятҡан шундай \xi нөктәһе табыла, бында

: f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi).

Был ҡалдыҡ быуын менән дөйөм формала Тейлор формулаһы (**[[Шлёмильх, Оскар Ксавер|Шлёмильх]] — [[Рош, Эдуард Альберт|Рош]]** формаһы).

### [[Ҡалдыҡ быуын|Ҡалдыҡ быуындың]] төрлө формалары
Лагранж формаһында:
: R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 

: Тейлор формулаһының ике өлөшөн дә n тапҡыр x буйынса дифференциаллайыҡ:
: \begin{array}{l}
1)f(x)' = f(a)' + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac(a)}}}  + {R_n}(x)'\\
2)f(x)* = f(a)* + \sum\limits_{k = 3}^n {\frac(a)}}}  + {R_n}(x)*\\
...\\
n - 1)f{(x)^{(n - 1)}} = f{(a)^{(n - 1)}} + {f^{(n)}}(a)(x - a) + {R_n}{(x)^{(n - 1)}}\\
n)f{(x)^{(n)}} = {f^{(n)}}(a) + {R_n}{(x)^{(n)}}
\end{array}
 </math>
: (Бынан, айырым алғанда, <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)* = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0  булыуы күренә — был теләһә ниндәй формалағы ҡалдыҡ быуындың үҙсәнлеге.)
: Лагранж теоремаһы буйынса (f(x) теореманың шарттарына тура килгәнлектән) x  һәм a  араһында шундай \xi  нөктәһе бар (йәғни \xi  x -ҡа ла, a -ға ла тигеҙ түгел), бында f{(x)^{(n)}} - {f^{(n)}}(a) = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) . Бынан {R_n}{(x)^{(n)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}}(x - a) . Һуңғы тождествоны тағы ла бер тапҡыр x  буйынса дифференциаллайбыҙ һәм табабыҙ {R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} .
: Ҡалдыҡ быуын {R_n}(x) = \frac  күренешендә бирелһен ти. Ул саҡта, беренсенән, ул һәм уның бөтә сығарылмалары x=a нөктәһендә нулгә тигеҙ, икенсенән, {R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} . Аҙағында тағы ла алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарырға мөмкин: \xi  = a + \theta (x - a),\qquad 0 . Формула сығарылды.

Коши формаһында:
: R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 

Интеграль формала:
: R_{n}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt

: Өлөштәре буйынса интеграллау ысулы менән табабыҙ \begin{array}{l}
{R_n}(x) = \frac{1}\int\limits_a^x (t)dt}  = \frac{1}\int\limits_a^x (t)}  = \frac{1}\left. {\left( (t)} \right)} \right|_a^x - \frac{1}\int\limits_a^x (t)d} {(x - t)^n} = \\
 = \frac{1}\int\limits_a^x {f^{(n)}}(t)d} t - \frac = ... = \int\limits_a^x {f'(t)d} t - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac(a)}}  = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac(a)}} 
\end{array}
: бынан
: f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac(a)}}  + {R_n}(x)

Фаразлауҙы йомшартабыҙ:
* f(x) функцияһының a нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында n-1 сығарылмаһы һәм a нөктәһенең үҙендә n-сы сығарылмаһы булһын, ул саҡта:

: Асимптотик формала (Пеано формаһында, локаль формала):
:: R_{n}(x) = o[(x - a)^n ]

:: {R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)* = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math> булғанлыҡтан, <math>x</math> <math>a</math>-ға ынтылғанда, <math>\frac{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n, </math> бөтә <math> x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0</math> өсөн
* [[Тригонометрик функциялар]]:
** Синус: <math>\displaystyle\sin x =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, x\in\mathbb{C}</math>
** Косинус: <math>\displaystyle\cos x =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, x\in\mathbb{C}</math>
** Тангенс: <math>\displaystyle\operatorname{tg}\ x =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1},</math> бөтә <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2}</math> өсөн, бында <math>B_{2n}</math> — [[Бернулли һандары]]
** Секанс: <math>\displaystyle\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}</math> для всех <math> \left| x \right| < \dfrac{\pi}{2}</math> бында <math>E_{2n}</math> — [[Эйлер һандары]]
** Арксинус: <math>\displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> бөтә <math> \left| x \right| \le 1</math> өсөн
** Арккосинус: <math>\displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> бөтә <math> \left| x \right| \le 1</math> өсөн
** Арктангенс: <math>\displaystyle\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1}</math> бөтә <math>\left| x \right| \le 1</math> өсөн
* [[Гиперболик функциялар]]:
** <math>\operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}</math>
** <math>\operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}</math>
** <math>\operatorname{th}\,\left(x\right) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}</math> бөтә <math> 
\left|x\right| < \dfrac{\pi}{2}</math> өсөн
** <math>\operatorname{arsh}\, \left(x\right) =  x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}</math> бөтә <math> \left| x \right| < 1</math> өсөн
** <math>\operatorname{arth}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}</math> бөтә <math> \left| x \right| < 1</math> өсөн.

== Ике үҙгәреүсәнле функция өсөн Тейлор формулаһы ==
<math>f(x,y)</math> функцияһының <math>(x_0, y_0)</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында, <math>(n+1)</math>-ҙе лә индереп <math>(n+1)</math>-се тәртипкә тиклем өҙлөкһөҙ сығарылмалары булһын, ти.
Дифференциаль оператор индерәбеҙ

: <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}</math>.

Ул саҡта <math>f(x,y)</math> функцияһының <math>(x_0, y_0)</math> нөктәһенең эргә-яғында <math>(x-x_0)^p (y-y_0)^q</math> дәрәжәләре буйынса <math>p+q\leq n</math> өсөн  тарҡалмаһы (Тейлор формулаһы) ошондай күренештә була

: <math>f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),</math>

бында <math>R_n(x,y)</math> — Лагранж формаһында ҡалдыҡ быуын:

: <math>R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]</math>

<math>\dfrac {\partial} {\partial x}</math> һәм <math>\dfrac {\partial} {\partial y}</math> операторҙары
<math>\mathrm{T}^{k}</math>-ла тик <math>f(x,y)</math> функцияһына тәьҫир итә, ләкин <math>(x-x_0)</math>-ға һәм/йәки <math>(y-y_0)</math>-ға түгел икәнен күҙ уңында тоторға кәрәк.

Оҡшаш рәүештә теләһә ниндәй һандағы үҙгәреүсәнле функциялар өсөн формула төҙөлә, тик <math>\mathrm{T}</math> операторында ҡушылыусылар һаны ғына үҙгәрә.

Бер үҙгәреүсәнле функция осрағында <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {d}{dx}\,</math>.

== Күп үҙгәреүсәнле Тейлор формулаһы ==
<math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында <math>(m+1)</math>-ҙе лә индереп <math>(m+1)</math>-се тәртипкә тиклем өҙлөкһөҙ сығарылмалары булған <math>n</math> үҙгәреүсәнле <math>f(x_1, x_2, ... x_n)</math> функцияһының Тейлор формулаһын табыу өсөн, дифференциаль оператор индерәбеҙ

: <math>\mathrm{T}=(x_1-a_{1})\dfrac {\partial} {\partial x_1}+(x_2-a_{2})\dfrac {\partial} {\partial x_2}+ ... +(x_n-a_{n})\dfrac {\partial} {\partial x_n}.</math>

Ул саҡта <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> нөктәһенең эргә-яғында функцияның <math>(x_i-a_{i})^{k_i}</math> дәрәжәләре буйынса тарҡалмаһы (Тейлор формулаһы) ошондай күренештә була

: <math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k=0}^m \dfrac {\mathrm{T}^k f(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})} {k!} + R_m(x_1, x_2, ... x_n),</math>

бында <math>R_m(x_1, x_2, ... x_n)</math> — <math>(m+1)</math> -се тәртиптәге ҡалдыҡ быуын.

<math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы <math>n</math> үҙгәреүсәнле функция өсөн, Тейлор рәте ошондай күренештә

: <math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k_1=0}^\infty\sum\limits_{k_2=0}^\infty...\sum\limits_{k_n=0}^\infty C_{k_1,k_2,...k_n}(x_1-a_{1})^{k_1}(x_2-a_{2})^{k_2}...(x_n-a_{n})^{k_n}</math>,

бында‘

: <math>C_{k_1,k_2,...k_n}=\dfrac{1}{k_1!k_2!...k_n!}\dfrac {\partial^{k_1+k_2+...+k_n}} 
{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}...\partial x_n^{k_n}}f(x_1,x_2,...x_n)|_{x_1=a_{1},x_2=a_{2},...,x_n=a_{n}}
</math>

=== Өс үҙгәреүсәнле функцияның Маклорен рәтенә тарҡалыу миҫалы ===
Өс <math>x</math>, <math>y</math> һәм <math>z</math> үҙгәреүсәнле функцияның <math>(0, 0, 0)</math> нөктәһе эргә-яғында бәләкәйлектең икенсе тәртибенә тиклем Тейлор рәтенә тарҡатыу өсөн аңлатма табабыҙ. <math>\mathrm{T}</math> операторы түбәндәге күренештә була
: <math>\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.</math>

Тейлор рәтенә тарҡалма түбәндәге күренештә яҙыла

: <math>f(x, y, z)=\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac {\mathrm{T}^k f_0} {k!} + R_2(x, y, z) =</math>

: <math>= \left( 1+T+\frac {T^2}{2} \right) f_0 + R_2(x, y, z);</math>

: <math>T^2 = 
x^2 \dfrac {\partial^2} {\partial x^2}+ y^2 \dfrac {\partial^2} {\partial y^2}+ z^2 \dfrac {\partial^2} {\partial z^2} + 2xy \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial y} + 2xz \dfrac {\partial^2} {\partial x \partial z}+ 2yz \dfrac {\partial^2} {\partial y \partial z},
</math> булыуын иҫәпкә алып,

табабыҙ

: <math>f(x, y, z)=  f_0 +

x \dfrac {\partial f_0} {\partial x} + y \dfrac {\partial f_0} {\partial y} + z \dfrac {\partial f_0} {\partial z}

+ \frac{x^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x^2} + \frac{y^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y^2} + \frac{z^2}{2} \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial z^2} +

</math>

: <math>
+ xy \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial y} + xz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial x \partial z} + yz \dfrac {\partial^2 f_0} {\partial y \partial z}

+ R_2(x, y, z).
</math>

Мәҫәлән, <math>f(x,y,z)=e^{x+y+z}</math> булғанда,

: <math>f(x, y, z)=  1 + x + y + z  
+ \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2}
+ xy + xz + yz + R_2(x, y, z).
</math>

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Тейлор теоремаһы]]
* [[Фурье рәте]]
* [[Лоран рәте]]
* [[Дельсарт, Жан Фридерик]]
* [[Аналитик функция]]
* [[Эйлер формулаһы]]
* [[Үҫенте (математика)|Үҫенте]]
* [[Ағым (математика)|Ағым]]

== Иҫкәрмәләр ==


== Әҙәбиәт ==
* *Емелин Александр* [http://mathprofi.ru/razlozhenie_funkcij_v_stepennye_ryady.html Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений]
* *Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х.* Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
* *Камынин Л. И.* Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
* *Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф.'' Высшая математика. Первый семестр,  Интерактивный компьютерный учебник.
* 
* 
* 
* 
* 
*