Гиперболик функциялар

**Гиперболи́к функциялар** — экспонента аша күрһәтелеүсе һәм тригонометрик функциялар менән тығыҙ бәйләнгән элементар функциялар ғаиләһе.

## Билдәләмә

Гиперболик функциялар түбәндәге формулалар менән биреләләр:

* **гиперболик синус**:

:\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

(инглиз телендәге әҙәбиәттә \sinh x тип тамғалана)

* **гиперболик косинус**:

: \operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} 
(инглиз телендәге әҙәбиәттә \cosh x тип тамғалана)

* **гиперболик тангенс**:

: \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} 
(инглиз телендәге әҙәбиәттә \tanh x тип тамғалана)

* **гиперболик котангенс**:

: \operatorname{cth}x=\frac{1}{\operatorname{th}x}
(инглиз телендәге әҙәбиәттә \coth x тип тамғалана)

* **гиперболик секанс**:

: \operatorname{sch}x=\frac{1}{\operatorname{ch}x}
Гиперболик секанс ҡайһы берҙә шулай уҡ \operatorname{sech}x тип тамғалана.

* **гиперболик косеканс**:

: \operatorname{csch}x=\frac{1}{\operatorname{sh}x}

### Геометрик билдәләмә

\operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1 нисбәте  арҡаһында гиперболик функциялар x^2-y^2=1 гиперболаһының параметрлы күҙаллауын бирә. (x=\operatorname{ch}t, y=\operatorname{sh}t). Был ваҡытта t=2S аргумент, бында S — әгәр сектор OX күсәренән өҫтә ятһа «+» тамғаһы менән алынған, һәм кире осраҡта «−»  тамғаһы менән алынған, OQR кәкре һыҙыҡлы өсмөйөшөнөң майҙаны. Гиперболик функциялар ҙа был параметр аша билдәләнә икәне асыҡ күренә, мәҫәлән, гиперболик синус тигеҙләмәләре параметрлы формала: x=t, y=f(t), бында f(t) — , гипербола нөктәһенең t=2S майҙанына ярашлы ординатаһы. Был билдәләмә тригонометрик функцияларҙың берәмек әйләнә аша билдәләмәһенә оҡшаш, уны шулай уҡ оҡшаш рәүештә төҙөргә мөмкин.

## Үҙсәнлектәре

### Тригонометрик функциялар менән бәйләнеш
Гиперболик функциялар уйланма аргументтың тригонометрик функциялары аша күрһәтеләләр.


\operatorname{sh}x=-i\sin(ix),\quad
\operatorname{ch}x=\cos(ix),\quad
\operatorname{th}x=-i\operatorname{tg}(ix)
.

\operatorname{sh}(ix) = i\sin x,\quad
\operatorname{ch}(ix) = \cos x,\quad
\operatorname{th}(ix)= i\operatorname{tg}x
.

Гудерман функцияһы тригонометрик функцияларҙы һәм гиперболик функцияларҙы комплекслы һандарҙы ҡулланмайынса бәйләй.

### Мөһим нисбәттәр
# \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x = 1.
# йоп/таҡ булыу:
## \operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x.
## \operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x.
## \operatorname{th}(-x)=-\operatorname{th}x.
# Ҡушыу формулалары:
## \operatorname{sh}(x \pm y)=\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{ch}x.
## \operatorname{ch}(x \pm y)=\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{sh}x.
## \operatorname{th}(x \pm y)=\frac{\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y}{1 \pm \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y}.
## \operatorname{cth}(x \pm y)=\frac{ 1 \pm \operatorname{cth}x\,\operatorname{cth}y}{\operatorname{cth}x \pm \operatorname{cth}y}.
# Икеләтелгән мөйөш формулалары:
## \operatorname{sh}2x=2\operatorname{ch}x\,\operatorname{sh}x=\frac{2\,\operatorname{th}x}{1-\operatorname{th}^2x}.
## \operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x=\frac{1+\operatorname{th}^2x}{1-\operatorname{th}^2x}.
## \operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}.
##  \operatorname{cth}2x=\frac{1}{2} (\operatorname{th}x+\operatorname{cth}x). 
##  \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{ch}2x-1}{\operatorname{sh}2x}=\frac{\operatorname{sh}2x}{1+\operatorname{ch}2x}.
##  \operatorname{ch}2x \pm \operatorname{sh}2x=(\operatorname{sh}x\pm\operatorname{ch}x)^2. 
# Тапҡырлы мөйөш формулалары:
## \operatorname{sh}3x=4\operatorname{sh}^3x+3\operatorname{sh}x .
## \operatorname{ch}3x=4\operatorname{ch}^3x-3\operatorname{ch}x .
## \operatorname{th}3x=\operatorname{th}x\frac{3+\operatorname{th}^2x}{1+3\operatorname{th}^2x}.
## \operatorname{sh}5x=16\operatorname{sh}^5x+20\operatorname{sh}^3x+5\operatorname{sh}x .
## \operatorname{ch}5x=16\operatorname{ch}^5x-20\operatorname{ch}^3x+5\operatorname{ch}x .
## \operatorname{th}5x=\operatorname{th}x\frac{\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+5}{5\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+1}.
# Ҡабатландыҡ формулалары:
## \operatorname{sh}x\,\operatorname{sh}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{2}. 
## \operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{sh}(x+y)+\operatorname{sh}(x-y)}{2}. 
## \operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}{2}. 
## \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}. 
# Сумма:
## \operatorname{sh}x \pm \operatorname{sh}y=2\operatorname{sh}\frac{x \pm y}{2}\operatorname{ch}\frac{x \mp y}{2}. 
## \operatorname{ch}x + \operatorname{ch}y=2\operatorname{ch}\frac{x+y}{2}\operatorname{ch}\frac{x -y}{2}. 
## \operatorname{ch}x - \operatorname{ch}y=2\operatorname{sh}\frac{x+y}{2}\operatorname{sh}\frac{x -y}{2}. 
## \operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y=\frac{\operatorname{sh}(x \pm y)}{\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y}. 
# Дәрәжәне кәметеү формулалары:
## \operatorname{ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x + 1}{2}.
## \operatorname{sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x - 1}{2}.
# Сығарылмалар:
## (\operatorname{sh}x)^\prime=\operatorname{ch}x.
## (\operatorname{ch}x)^\prime=\operatorname{sh}x.
## (\operatorname{th}x)^\prime=\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}.
## (\operatorname{cth}x)^\prime=-{\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}}.
# Интегралдар:
#: 'Шулай уҡ ҡарағыҙ: **[[Гиперболик функциялар интегралдары теҙеме]]**, **[[Кире гиперболик функциялар интегралдары  теҙеме]]** *
## <math>\int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C.</math>
## <math>\int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C.</math>
## <math>\int\operatorname{th}x\,dx=\ln\operatorname{ch}x+C.</math>
## <math>\int\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}\,dx=\operatorname{th}x+C.</math>
## <math>\int\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}\,dx=-\operatorname{cth}x+C.</math>
## <math>\operatorname{sh}x=\int\limits^x_0\operatorname{ch}tdt.</math>
## <math>\operatorname{ch}x=1+\int\limits^x_0\operatorname{sh}tdt.</math>
## <math>\operatorname{th}x=\int\limits^x_0\frac{dt}{\operatorname{ch}^2t}.</math>
# [[Универсаль тригонометрик алмаштырыу#Гиперболик функцияларҙы|Мөйөштөң яртыһының гиперболик тангенсы аша күрһәтеү]]:
## <math>\operatorname{sh}x=\frac{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}</math>
## <math>\operatorname{ch}x=\frac{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}</math>
## <math>\operatorname{th}x=\frac{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}</math>
## <math>\operatorname{cth}x=\frac{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}</math>
## <math>\operatorname{sch}x=\frac{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}</math>
## <math>\operatorname{csch}x=\frac{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}</math>

=== Тигеҙһеҙлектәр ===
Бөтә <math>x\in\R</math> өсөн үтәләләр:
# <math> 0 \le \operatorname{ch}x-1 \le |\operatorname{sh} x| < \operatorname{ch}x </math>
# <math> | \operatorname{th}x | <1 </math>

=== Дәрәжәле рәттәргә тарҡатыу ===
: <math>\operatorname{sh}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
: <math>\operatorname{ch}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>
: <math>\operatorname{th}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|<\frac{\pi}{2}</math>
: <math>\operatorname{cth}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad0<|x|<\pi</math> ([[Лоран рәте]])
: <math>\operatorname{sch}\,x=\frac 1{\operatorname{ch}\,x}    =   \sum_{n=0}^\infty   \frac{E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}</math>  

Бында <math>B_{2n}</math> — [[Бернулли һандары]], <math>E_{2n}</math> — [[Эйлер һандары]].

=== Графиктар ===




=== Аналитик үҙсәнлектәре ===
Гиперболик синус һәм гиперболик косинус сикһеҙлектәге [[мөһим айырым нөктә]]нән башҡа бөтә комплекслы яҫылыҡта  [[Аналитик функция|аналитик]] функциялар. Гиперболик тангенс <math>z=i\pi(n+1/2)</math> нөктәләрендәге, бында <math>n</math> — бөтөн һан, [[Полюс (комплекслы анализ)|полюстарҙан]] башҡа бөтә урында [[Аналитик функция|аналитик]]. [[Вычет (комплекслы анализ)|Вычеттар]] был бөтә полюстарҙа бергә тигеҙ. Гиперболик котангенс <math>z=i\pi n</math> нөктәләренән башҡа бөтә урында [[Аналитик функция|аналитик]], уның вычеттары был полюстарҙа шулай уҡ бергә тигеҙ. 

== Кире гиперболик функциялар ==

Икенсе төрлө ареа-функциялар тип аталалар: ярашлы гиперболик функцияларҙың исемдәренә «ареа-» префиксы өҫтәлә  —  — «майҙан» һүҙенән. Ареа-функцияларҙың мөһим әһәмиәте түбәндәге аңлатмалар менән билдәләнә.
* <math>\operatorname{arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})</math> — кире гиперболик синус, ареа-синус.
* <math>\operatorname{arch}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right); x\ge 1</math> — кире гиперболик косинус, ареа-косинус.
* <math>\operatorname{arth}x=\ln\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}; |x|<1</math> — кире гиперболик тангенс, ареа-тангенс.
* <math>\operatorname{arcth}x=\ln\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}; |x|> 1</math> — кире гиперболик котангенс, ареа-котангенс.
* <math>\operatorname{arsch}x=\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}; 0<x\le 1</math> — кире гиперболик секанс, ареа-секанс. <math>y=-\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}</math> сығарылышы шулай уҡ <math>\operatorname{sch} y=x</math> тигеҙләмәһен ҡәнәғәтләндереүен билдәләп китәйек, әммә ареа-функцияларҙың төп ҡиммәттәре бер ҡиммәтле функциялар булалар.
* <math>\operatorname{arcsch}x=\ln\frac{1+\sgn x\sqrt{1+x^2}}{x}=\left\{\begin{array}{l}\ln\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x<0 \\ \ln\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x>0\end{array}\right.</math> — кире гиперболик косеканс, ареа-косеканс.

=== Графиктар ===

Ҡайһы бер кире гиперболик һәм кире тригонометрик функциялар араһында бәйләнеш:

: <math>\operatorname{Arsh}x=-i\operatorname{Arcsin}(-ix),</math>
: <math>\operatorname{Arsh}(ix)=i\operatorname{Arcsin} x,</math>
: <math>\operatorname{Arcsin} x=-i\operatorname{Arsh}(ix),</math>
: <math>\operatorname{Arcsin} (ix)=-i\operatorname{Arsh}(-x),</math>

бында *i* — уйланма берәмек.

Был функциялар түбәндәге рәттәргә тарҡалалар:

: <math>\operatorname{arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1;</math>

: <math>\operatorname{arch}x=\ln(2x)-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln(2x)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x>1;</math>

: <math>\operatorname{arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1.</math>

Сит ил әҙәбиәтендә кире гиперболик функцияларҙы йыш ҡына беренсе дәрәжә минус тамғаһы аша тамғалайҙар: мәҫәлән, <math>\operatorname{Arth}\,x</math> <math>\operatorname{tanh}^{-1}x</math> тип яҙалар (шуның менән бергә <math>(\operatorname{tanh}\,x)^{-1}</math> икенсе функцияның тамғаланышы — <math>\operatorname{cth}\,x</math>), һәм б. ш.

== Тарихы ==
Гиперболик функцияларҙың беренсе килеп сығыуын [[тарихсы]]лар инглиз математигы [[Муавр, Абрахам де|Абрахам де Муавр]] ([[1707]], [[1722]]) хеҙмәттәрендә күрәләр. Хәҙерге билдәләмәне һәм уларҙы ентекле тикшереүҙе [[Риккати, Винченцо|Винченцо Риккати]] [[1757 йыл]]да башҡара («Opusculorum», том I), шулай уҡ уларҙың тамғаланышын тәҡдим итә: <math>\operatorname{sh}</math>, <math>\operatorname{ch}</math>. Риккати берәмек гиперболаны ҡарауҙан  сығып эш итә ([[#Билдәләмә]] бүлегендәге һүрәтте ҡарағыҙ). 

[[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганн Ламберт]] ([[1768]]) бәйһеҙ рәүештә гиперболик функцияларҙы аса һәм артабан уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнә, ул ғәҙәттәге һәм гиперболик тригонометрия формулаларының киң параллеллеген асыҡлай. [[Лобачевский, Николай Иванович|Н. И. Лобачевский]] аҙағыраҡ, [[Евклид булмаған геометрия|Евклид булмаған геометрияның]] [[ҡаршылыҡлы булмауын]] иҫбатларға тырышҡанда, был параллелизмды ҡуллана, унда түңәрәк тригонометрия гиперболиккә алмашынған.

Гиперболик функцияларҙың тамғаланышында ниндәйҙер төрлөлөк нығына. Мәҫәлән, [[Брокгауз һәм Эфрон энциклопедияһы]]нда  <math>\operatorname{sinhyp}</math>, <math>\operatorname{coshyp}</math> тамғаланыштары ҡулланыла, урыҫ телле әҙәбиәттә <math>\operatorname{sh}, \operatorname{ch}</math> тамғаланыштары нығына, инглиз телле әҙәбиәттә <math>\sinh, \cosh</math> тип тамғалана.

== Ҡулланылышы ==
Гиперболик функциялар йыш ҡына төрлө [[интеграл]]дарҙы иҫәпләгәндә осрай. Ҡайһы бер [[рациональ функция|рациональ функцияларҙың]] һәм радикалдар ингән функцияларҙың интегралдары, гиперболик функцияларҙы ҡулланып [[интегралда үҙгәреүсәнде алмаштырыу|үҙгәреүсәнде алмаштырыу]] ярҙамында, ябай ғына итеп иҫәпләнәләр.

<math>\begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix}</math> күренешендәге матрицалар ике үлсәмле [[Евклид арауығы|Евклид арауығының]] боролоштарын тасуирлаған кеүек, <math>\begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix}</math> матрицалары иң ябай ике үлсәмле [[Минковский арауығы]]нда боролоштарҙы тасуирлайҙар. Ошоноң менән бәйле гиперболик функциялар йыш ҡына [[махсус сағыштырмалыҡ теорияһы|сағыштырмалыҡ теорияһында]] осрайҙар.

Үҙенең остарынан ирекле рәүештә эленеп ҡуйған бер үлсәмле арҡан йәки сынйыр  <math>y=a\,\mathop{\mathrm{ch}}\,\frac{x}{a}</math> функцияһының графигы формаһын ала (ошоноң менән бәйле гиперболик косинустың графигын ҡайһы берҙә *сынйырлы һыҙыҡ'' тип атайҙар). Был хәл аркаларҙы проектирләгәндә ҡулланыла, сөнки арканың әйләндерелгән сынйырлы һыҙыҡ формаһы ауырлыҡты иң ныҡ эффективлы бүлә.

## Әҙәбиәт
* 

*
*

## Һылтанмалар

* GonioLab: Интерактивная демонстрация тригонометрических и гиперболических функций на Java Web Start
* БСЭ: Знаки математические
* Обратные тригонометрические и гиперболические функции (англ.)