Күпмөйөш

**Күпмөйөш** — ғәҙәттә йомоҡ һыныҡ һыҙыҡ булараҡ билдәләмә бирелгән геометрик фигура.

Күпмөйөшкә билдәләмә биреүҙең төрлө өс варианты бар:
* Яҫы йомоҡ һыныҡ һыҙыҡ — иң дөйөм осраҡ;
* Яҫы йомоҡ, быуындары үҙ-ара киҫешмәгән, теләһә ҡайһы ике күрше быуындары бер тура һыҙыҡта ятмаған һыныҡ һыҙыҡ;
* Яҫылыҡтың йомоҡ үҙ-ара киҫешмәгән һыныҡ һыҙыҡ менән сикләнгән өлөшө — *яҫы күпмөйөш*.
Һәр осраҡта ла һыныҡ һыҙыҡтың түбәләре күпмөйөштөң *түбәләре*, ә уның киҫектәре — күпмөйөштөң *яҡтары* тип атала.

## Бәйләнгән билдәләмәләр

* Күпмөйөштөң түбәләре, әгәр улар күпмөйөш яҡтарының береһенең остары булһалар, *күрше* тип аталалар.
* Күпмөйөштөң яҡтары, әгәр улар бер түбәгә тоташһалар, *эргәләш* тип аталалар.
* Күпмөйөштөң күрше булмаған түбәләрен тоташтырыусы киҫектәр диагоналдәр тип аталалар.
* Күпмөйөштөң бирелгән түбәһе эргәһендәге *мөйөшө* (йәки *эске мөйөшө*) тип был түбәгә тоташҡан яҡтары араһындағы һәм күпмөйөштөң эске өлкәһендә ятҡан мөйөш атала. Айырым осраҡта, әгәр күпмөйөш ҡабарынҡы булмаһа, мөйөш 180°-тан артып китергә мөмкин.
* Ҡабарынҡы күпмөйөштөң бирелгән түбәһендәге *тышҡы мөйөшө* тип, күпмөйөштөң был түбәһендәге эске мөйөшө менән эргәләш мөйөш атала. Дөйөм осраҡта тышҡы мөйөш — 180° менән эске мөйөштөң айырмаһы, ул может принимать значения от −180°-тан 180°-ҡа тиклем ҡиммәттәр ҡабул итергә мөмкин.

## Күпмөйөштөң төрҙәре
* Өс түбәһе булған күпмөйөш өсмөйөш, ә дүрт түбәһе булғаны — дүртмөйөш, биш түбәлеһе — бишмөйөш һ. б. тип атала. n түбәһе булған күпмөйөш *<math>n</math>-мөйөш* тип атала.

* *[[Ҡабарынҡы күпмөйөш]]* — уның яғы аша үтеүсе теләһә ниндәй тура һыҙыҡтан бер яҡта ятыусы күпмөйөш (йәғни күпмөйөштөң яҡтарының дауамы уның ҡалған яҡтарын киҫмәй). Ҡабарынҡы күпмөйөштөң башҡа эквивалентлы билдәләмәләре лә бар.
* Ҡабарынҡы күпмөйөш *[[Төҙөк күпмөйөш|төҙөк]]* тип атала, әгәр уның бөтә яҡтары тигеҙ һәм бөтә мөйөштәре тигеҙ булһа, мәҫәлән тигеҙ яҡлы өсмөйөш, квадрат һәм төҙөк бишмөйөш.
* Әгәр күпмөйөштөң бөтә яҡтары һәм бөтә мөйөштәре тигеҙ, ләкин үҙ-ара киҫешеүсе яҡтары булһа, ул *[[Йондоҙло күпмөйөш|төҙөк йондоҙло күпмөйөш]]* тип атала, мәҫәлән, пентаграмма һәм октаграмма.
* Күпмөйөш, әгәр уның бөтә түбәләре лә бер әйләнәлә ятһалар, әйләнәгә *[[Ҡамалған күпмөйөш|ҡамалған]]* күпмөйөш тип атала.
* Күпмөйөш, әгәр уның бөтә яҡтары ла ниндәйҙер әйләнәгә тейһәләр, әйләнәне *[[Ҡамаусы күпмөйөш|ҡамаусы]]* күпмөйөш тип атала.

## Үҙенсәлектәре
* Яҫы n-мөйөштөң эске мөйөштәренең суммаһы 180^\circ(n-2) тигеҙ.
* Теләһә ҡайһы n-мөйөштөң диагоналдәренең һаны n(n-3)/2 тигеҙ.

### Майҙаны
* \{(X_i,Y_i)\}, i=1,2,...,n  — n-мөйөштөң бер-береһенә күрше түбәләренең координаталары эҙмә-эҙлелеге булһын. Ул саҡта уның майҙаны Гаусс формулаһы буйынса иҫәпләнә:
:  S = \frac{1}{2}\left|\sum\limits_{i=1}^n (X_i+X_{i+1})(Y_i-Y_{i+1})\right|, бында (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1).

### Фигураларҙың квадратланыусанлығы
Күпмөйөштәр күмәклеге ярҙамында яҫылыҡта квадратланыусанлыҡ һәм ирекле фигураның майҙаны билдәләнә. F фигураһы *квадратланыусан* тип атала, әгәр теләһә ниндәй \varepsilon>0 өсөн шундай P һәм Q күпмөйөштәр пары булһа, бында P\subset F\subset Q һәм S(Q)-S(P), бында S(P) P-ның майҙаны тамғаланышы.

## Вариациялар һәм дөйөмләштереү
* Күпҡыр — күпмөйөштөң өс үлсәмле дөйөмләштереүе, күпмөйөштәрҙән төҙөлгән йомоҡ йөҙ, йәки уның менән сикләнгән есем.