Гипербола (математика)

**Гипе́рбола** (,  — «верх» +  — «бросать» һүҙҙәренән) — Евклид яҫылығының, *M*-дан бирелгән ике F_1  һәм F_2 (фокустар тип аталған) нөктәләренә тиклемге алыҫлыҡтар айырмаһының абсолют ҡиммәте даими булған *M* геометрик нөктәләр урыны. Теүәлерәк әйткәндә,
: \bigl||F_1M|-|F_2M|\bigr|= 2a, шуның менән бергә  |F_1F_2| > 2a > 0.

Эллипс һәм парабола менән бер рәттән, гипербола конус киҫелеше һәм квадрика була. Гиперболаға эксцентриситеты берҙән ҙур булған конус киҫелеше булараҡ билдәләмә бирергә мөмкин.

## Тарихы
«Гипербола» термины ( — артыҡлыҡ) Аполлоний Пергский (яҡынса беҙҙең эраға тиклем 262 йыл — беҙҙең эраға тиклем 190 йыл) тарафынан индерелә, сөнки гиперболаның нөктәләрен төҙөү мәсьәләһе артығы менән ҡушымта мәсьәләһенә ҡайтып ҡала.

## Билдәләмәләр
Гиперболаға бер нисә ысул менән билдәләмә бирергә була.

### Конус киҫелеше

Гиперболаға, түңәрәк конустың яҫылыҡ менән, конустың ике өлөшө менән дә  киҫешеүе һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килгән нөктәләр күмәклеге булараҡ билдәләмә бирергә була. Конустың яҫылыҡ менән киҫелешенең башҡа һөҙөмтәләре булып парабола, эллипс, шулай уҡ, киҫеүсе яҫылыҡ конустың түбәһе аша үткәндә барлыҡҡа килгән киҫешеүсе һәм тап килеүсе тура һыҙыҡтарға һәм нөктәгә әүерелгән шундай осраҡтары тора. Айырым алғанда, киҫешеүсе тура һыҙыҡтарҙы, үҙенең асимптоталары менән тап килеүсе үҙгәргән гипербола тип һанарға мөмкин.

### Геометрик нөктәләр урыны булараҡ

#### Фокустары аша
Гиперболаға, бирелгән ике фокустар тип аталған нөктәләргә тиклемге алыҫлыҡтар айырмаһының абсолют ҡиммәте даими булған нөктәләрҙең геометрик урыны булараҡ билдәләмә бирергә мөмкин.

Сағыштырыу өсөн: теләһә ниндәй нөктәһенән фокустарға тиклемге алыҫлыҡтар суммаһы даими булған кәкере һыҙыҡ — эллипс, даими бәйләнештәге — Аполлоний әйләнәһе, даими ҡабатландыҡлы — Кассини овалы.

#### Директриса һәм фокус аша
Фокусҡа һәм бирелгән директриса тип аталған тура һыҙыҡҡа тиклемге алыҫлыҡтар сағыштырмаһы даими һәм берәмектән ҙур булған нөктәләрҙең геометрик урыны гипербола тип атала. Бирелгән \varepsilon>1 даимиһы гиперболаның эксцентриситеты тип атала.

## Бәйле билдәләмәләр

* Гипербола *тармаҡтар* тип аталған ике айырым кәкере һыҙыҡтан тора.
* Гиперболаның ике тармағының бер береһенә иң яҡын торған нөктәләре *түбәләре* тип атала.
* Гиперболаның ике тармағы араһындағы иң ҡыҫҡа алыҫлыҡ гиперболаның *ҙур күсәре* тип атала.
* Ҙур күсәрҙең уртаһы гиперболаның *үҙәге* тип атала.
* Гиперболаның үҙәгенән түбәләренең береһенә тиклемге алыҫлыҡ гиперболаның *ҙур ярымкүсәре* тип атала.
** Ғәҙәттә *a* тип тамғалана.
* Гиперболаның үҙәгенән фокустарының береһенә тиклемге алыҫлыҡ *фокаль алыҫлыҡ* тип атала.
** Ғәҙәттә *c* тип тамғалана.
* Гиперболаның ике фокусы ла ҙур күсәрҙең дауамында гиперболаның үҙәгенән бер үк алыҫлыҡта яталар. Гиперболаның ҙур күсәрен үҙ эсенә алған тура һыҙыҡ гиперболаның *ысын* йәки *арҡыры* күсәре тип атала.
* Ысын күсәргә перпендикуляр булған һәм уның үҙәге аша үткән тура һыҙыҡ  гиперболаның *ялған* йәки *бәйле* күсәре тип атала.
* Гиперболаның фокусы һәм гипербола араһындағы, уның ысын күсәренә перпендикуляр булған киҫек, *фокаль параметр* тип атала.
* Гиперболаның фокусынан гиперболаның асимптотаһына тиклемге алыҫлыҡ *прицелле параметр* тип атала.
** Ғәҙәттә *b* тип тамғалана.
* Есемдәрҙең гиперболалы траекториялар буйынса хәрәкәте менән бәйле мәсьәләләрҙә, фокустан гиперболаның иң яҡын ятҡан түбәһенә тиклемге алыҫлыҡ *перицентрик алыҫлыҡ* тип атала.
** Ғәҙәттә r_p тип тамғалана.

### Нисбәттәр
Гиперболаның юғарыла билдәләнгән характеристикалары өсөн түбәндәге нисбәттәр бар
* c^2 = a^2 + b^2.
*  \varepsilon = c/a.
* b^2 = a^2\left( \varepsilon^2 - 1\right).
* r_p = a\left( \varepsilon - 1\right).
* a = \frac{p}{\varepsilon^2-1}.
* b = \frac{p}{\sqrt{\varepsilon^2-1}}.
* c = \frac{p\varepsilon}{\varepsilon^2-1}.
* p = \frac{b^2}{a}.

## Тигеҙ ҡабырғалы гипербола

Әгәр гипербола өсөн a = b булһа, уны **тигеҙ ҡабырғалы** тип атайҙар.
Равнобочная гипербола Тура мөйөшлө координаталар системаһында тигеҙ ҡабырғалы гипербола
: xy = a^2/2 тигеҙләмәһе менән бирелә,
шуның менән бергә гиперболаның фокустары (*a, a*) һәм (*−a,−a*) нөктәләрендә урынлашҡан.

## Тигеҙләмәләр

### Декарт координаталары
Яҫылыҡта (*x*, *y*) Декарт координаталарында гипербола икенсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелә:
: 
A_{xx} x^{2} + 2 A_{xy} xy + A_{yy} y^{2} + 2 B_{x} x + 2 B_{y} y + C\,=\,0
,
бында *A**xx*, *A**xy*, *A**yy*, *B**x*, *B**y*, һәм *C* коэффициенттары түбәндәге нисбәтте ҡәнәғәтләндерә
: 
D = \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy}\\A_{xy} & A_{yy} \end{vmatrix} 
һәм
: 
\Delta := \begin{vmatrix} A_{xx} & A_{xy} & B_{x} \\A_{xy} & A_{yy} & B_{y}\\B_{x} & B_{y} & C \end{vmatrix} \not= 0.


#### Каноник күренеш
Гиперболаның үҙәген координаталар башына күсереп һәм уны үҙәккә ҡарата өйрөлтөп, гиперболаның тигеҙләмәһен каноник күренешкә килтерергә мөмкин:
: 
\frac{a^{2}} - \frac{b^{2}} = 1
,
бында *a* — гиперболаның ысын ярымкүсәре; *b* — гиперболаның уйланма ярымкүсәре.

### Поляр координаталар

Әгәр гиперболаның полюсы фокусында урынлашһа, ә гиперболаның түбәһе поляр күсәрҙең дауамында ятһа, ул саҡта
: r = \frac{p}{1-\varepsilon \cos\varphi }

Әгәр гиперболаның полюсы фокусында урынлашһа, ә поляр күсәре асимптоталарҙың береһенә параллель булһа, ул саҡта
: \frac{1}{r} = \frac{a}{b^2}\left(1-\cos\theta\right) + \frac{1}{b}\sin\theta

### Параметрлы формала тигеҙләмәләр
Эллипс тригонометрик функциялар ингән параметрлы формалағы тигеҙләмә менән күрһәтелергә мөмкин булған кеүек, гипербола үҙәге уның үҙәге менән тап килгән, ә  абсциссалар күсәре фокустар аша үткән тура мөйөшлө  координаталар системаһында гиперболик функциялар ингән параметрлы формала тигеҙләмә менән бирелергә мөмкин.

\begin{cases} x=\pm a\operatorname{ch}t \\ y=b\operatorname{sh}t \end{cases}\;\;\; -\infty 

Беренсе тигеҙләмәлә «+» тамғаһы гиперболаның уң тармағына, ә «-» — уның һул тармағына ярашлы.

## Үҙсәнлектәре
* **Оптик үҙсәнлеге.** Гиперболаның фокустарының береһендә урынлашҡан сығанаҡтан сыҡҡан яҡтылыҡ гиперболаның икенсе тармағынан, сағылған нурҙарҙың дауамы икенсе фокуста киҫешерлек итеп сағыла.
** Икенсе төрлө итеп әйткәндә, әгәр F_1 һәм F_2 гиперболаның фокустары булһа, ул саҡта гиперболаның теләһә ниндәй X нөктәһендә тейеүсе \angle F_1 X F_2 мөйөшөнөң биссектрисаһы була.
* Гиперболала ятҡан теләһә ниндәй нөктә өсөн, был нөктәнән фокусҡа тиклемге алыҫлыҡтың ошо уҡ нөктәнән директрисаға тиклемге алыҫлыҡҡа сағыштырмаһы даими дәүмәл.
* Гипербола ысын һәм уйҙырма күсәрҙәренә ҡарата көҙгөләгесә симметрияға эйә, шулай уҡ гиперболаның үҙәге тирәләй 180° мөйөшкә борғанда өйрөлөү симметрияһына эйә.
* Һәр гиперболаның *бәйле гиперболаһы* бар, уларҙың ысын һәм уйҙырма күсәрҙәре урындары менән алмашына, ләкин асимптоталары элеккесә ҡала. Был гиперболаны биреүсе формулала *a* һәм *b*-ны бер береһенә алмаштырыуға тап килә. Бәйле гипербола баштағы гиперболаны 90° мөйөшкә бороу һөҙөмтәһе булмай; гиперболалар a \neq b булғанда формалары менән айырылалар.
* Гиперболаның теләһә ниндәй нөктәһендә үткәрелгән тейеүсенең, уның ике асимптоталары араһында урынлашҡан киҫеге, тейеү нөктәһе менән урталай бүленә һәм ике асимптотанан даими майҙанлы өсмөйөш киҫеп ала.

### Асимптоталары

Каноник күренештә бирелгән гипербола өсөн
: 
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

ике асимптоталарының тигеҙләмәләре түбәндәге күренештә:
: \frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0.

### Диаметрҙары һәм хордалары

Гиперболаның диаметры, һәр конус киҫелешенеке кеүек, параллель хордаларҙың урталары аша үтеүсе тура һыҙыҡ. Параллель хордаларҙың һәр йүнәлешенә үҙенең бәйле диаметры ярашлы. Гиперболаның бөтә диаметрҙары уның үҙәге аша үтә. Уйҙырма күсәренә параллель хордаларға ярашлы диаметр уның ысын күсәре; диаметр соответствующий хордам, ысын күсәренә параллель хордаларға ярашлы диаметр, уның уйҙырма күсәре.

Параллель хордаларҙың мөйөшсә коэффициенты k һәм ярашлы диаметрҙың мөйөшсә коэффициенты k_1 түбәндәге нисбәт менән бәйләнгәндәр
: k \cdot k_1 = \varepsilon^2 - 1 = \frac{b^2}{a^2}

Әгәр *a* диаметры *b* диаметрына параллель хордаларҙы урталай бүлһә, ул саҡта *b* диаметры *a* диаметрына параллель хордаларҙы урталай бүлә. Бындай диаметрҙар *үҙ-ара бәйле диаметрҙар* тип аталалар. Үҙ-ара бәйле һәм үҙ-ара перпендикуляр диаметрҙар *төп диаметрҙар* тип аталалар. Гиперболаның бер генә пар төп диаметрҙары бар — ысын һәм уйҙырма күсәрҙәре.

## Тейеүсе һәм нормаль
Гипербола талғын кәкере һыҙыҡ булғанлыҡтан, уның теләһә ниндәй (*x<sub>0</sub>*, *y<sub>0</sub>*) нөктәһендә тейеүсе һәм нормаль үткәрергә мөмкин. Каноник тигеҙләмә менән бирелгән гиперболаға тейеүсенең тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә:
: 
\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1
,
йәки, шул уҡ,
: 
y = y_0 + \frac{b^2x_0}{a^2y_0}\left(x-x_0\right)
.

Гиперболаға нормалдең тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә:
: 
y = y_0 - \frac{a^2}{b^2}\frac{y_0}{x_0}\left(x-x_0\right)
.

## Кәкрелек һәм эволюта

Гиперболаның уның һәр (*x*, *y*) нөктәһендә кәкрелеге түбәндәге аңлатманан билдәләнә:
: 
K = \frac{ab}{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}
.
Ярашлы рәүештә, кәкрелек радиусы ошондай күренештә:
: 
R = \frac1K =\frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2 + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{ab}
.
Айырып әйткәндә, (*a*, *0*) нөктәһендә кәкрелек радиусы тигеҙ
: 
R\left(a,0\right) = \frac{b^2}{a} = p
.

.
Гиперболаның параметрлы тигеҙләмәһен файҙаланабыҙ:
: 
\begin{cases}
x = a \cdot \mathrm{ch}\,(t)  \\
y = b \cdot \mathrm{sh}\,(t)
\end{cases}

Ул саҡта, *x* һәм *y*-тың *t* буйынса беренсе сығарылмаһы ошондай күренештә
: 
\begin{cases}
x' = a \cdot \mathrm{sh}\,(t) = \frac{a}{b}y  \\
y' = b \cdot \mathrm{ch}\,(t) = \frac{b}{a}x
\end{cases}
,
ә икенсе сығарылмаһы -
: 
\begin{cases}
x* = a \cdot \mathrm{ch}\,(t) = x  \\
y* = b \cdot \mathrm{sh}\,(t) = y
\end{cases}

Был ҡиммәттәрҙе кәкрелек өсөн формулаға ҡуйып табабыҙ:
: 
R_c = \frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2\ + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{\left| a\frac{y^2}{b} - b\frac{x^2}{a}\right|} = \frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2\ + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{ab\left| \frac{y^2}{b} - \frac{x^2}{a}\right|} = \frac{\left(\frac{a^2}{b^2}y^2\ + \frac{b^2}{a^2}x^2\right)^{3/2}}{ab}
.
|}

Кәкрелек үҙәктәренең координаталары тигеҙләмәләр пары менән бирелә:
: 
\begin{cases}
x_c = \frac{x^3}{a^2}\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right) \\
y_c = -\frac{y^3}{b^2}\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right)
\end{cases}


Һуңғы тигеҙләмәләр системаһына *x* һәм *y* урынына уларҙың гиперболаның параметрлы күрһәтмәһенән ҡиммәттәрен ҡуйып, гиперболаның кәкрелек үҙәктәренән торған яңы кәкере һыҙыҡты биреүсе тигеҙләмәләр парын табабыҙ. Был кәкере һыҙыҡ гиперболаның эволютаһы тип атала.
: 
\begin{cases}
x = \pm a\,\mathrm{ch}^3\,t\left(1+\frac{b^2}{a^2}\right) \\
y = b\,\mathrm{sh}^3\,t\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right)
\end{cases}


## Дөйөмләштереү
n=-2 булғанда гипербола синусоидаль спираль була;

## Ҡулланылышы
* Конфокаль (фокуслы) гиперболалар ғаиләһе фокуслы эллипстар ғаиләһе менән бергә ике үлсәмле эллиптик координаталар системаһын төҙөй.

* Гиперболалар ярҙамында төҙөлгән башҡа ортогональ ике үлсәмле координаталар системалары башҡа конформлы үҙгәртеүҙәр ярҙамында алынырға мөмкиндәр. Мәҫәлән, *w* = *z*² үҙгәртеүе Декарт координаталарын ортогональ гиперболаларҙың ике ғаиләһенә сағылдыра.

* Үҙәге үҙенең үҙәгендә, фокусында йәки түбәһендә ятҡан гиперболаның инверсияһы ярҙамында ярашлы рәүештә Бернулли лемнискатаһын, Паскаль ҡусҡарын йәки строфоиданы алырға мөмкин.

* Гиперболаларҙы күп ҡояш сәғәттәрендә күрергә мөмкин. Йылдың теләһә ниндәй көнө дауамында Ҡояш күк сфераһында әйләнә яһай, һәм уның ҡояш сәғәте гномоны түбәһенә төшөүсе нурҙары, яҡтылыҡ конусы яһай. Был конустың ҡояш сәғәттәренең горизонталь йәки вертикаль яҫылыҡтары менән киҫешеү һыҙығы конус киҫелеше була. Халыҡ күберәк йәшәгән киңлектәрҙә һәм йылдың күп өлөшөндә был конус киҫелеше гипербола була. Ҡояш сәғәттәрендә йыш ҡына көн йәки йылдың бер нисә көнө дауамында (мәҫәлән, йәйге һәм ҡышҡы ҡояш тороштары көндәрендә) гномон түбәһе шәүләһе яһаған һыҙыҡтар күрһәтелгән, шулай итеп, уларҙа йыш ҡына гиперболаларҙы күрергә мөмкин, уларҙың күренеше йылдың төрлө көндәре һәм төрлө киңлектәр өсөн төрлөсә.

## Шулай уҡ ҡарағыҙ
* Гиперболоид
* Өсмөйөштө ҡамаусы гиперболалар
* Каустика
* Конус киҫелештәре:
* Икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡтар
* Әйләнә
* Парабола
* Эллипс
* Ике нөктә араһындағы алыҫлыҡтар суммаһы даими булған кәкере һыҙыҡ — Эллипс,
* Ике нөктә араһындағы алыҫлыҡтар айырмаһы даими булған кәкере һыҙыҡ — гипербола,
* даими бәйләнешле кәкере һыҙыҡ  — Аполлоний әйләнәһе,
* даими ҡабатландыҡлы кәкере һыҙыҡ — Кассини овалы.

* :en:Smoothed octagon#Construction

## Иҫкәрмәләр

## Әҙәбиәт

* 
* 
* Математическая энциклопедия (в 5-и томах). М.: Советская энциклопедия, 1982.
*