Normal paylanma

thumb|268x268px|right|Normal paylanmanın sıxlığı.''(Yaşıl xətt standart normal paylanmanı göstərir.)''

**Normal paylanma** və ya **[[Karl Qauss|Qauss]] paylanması** – kəsilməz ehtimal paylanmasının vacib növü. Fiziki kəmiyyət bir çox təsadüfi amillərin təsirinə məruz qaldıqda o normal paylanmaya tabe olur. Məlumdur ki, belə hallar təbiətdə çox rast gəlinir. Onlardan normal paylanma geniş yayılmışdır, onun adı da buradan götürülmüşdür.

Normal paylanmanın  mahiyyəti mərkəzi limit teoreminə əsaslanır. Burada deyilir ki, bir-birindən asılı olmayan, identik paylanmış təsadüfi dəyişənlərin sərhəd qiymətləri normal paylanır. Təsadüfi dəyişənlər o vaxt normal paylanırlar ki, onlar çoxlu sayda amillərin təsirlərinin cəmlənməsindən yaranır və hər bir amil ayrı-ayrılıqda heç bir əhəmiyyətli təsirə malik deyil. 

Təsadüfi parametrlərin normal paylanmasından sürətlərin, ölçü xətalarının, nəzarət xətalarının təyini zamanı aparılan sınaqlar zamanı istifadə edilir. 

Riyazi və statatistik qiymətləndirmələr zamanı qiymətləndirilən funksiya əmsallarının meyilli olub olmamasının təyin edilməsi üçün normal paylanmadan istifadə edilir.

## Təyinatı

Ehtimal paylanma sıxlığı f:\R\to\R,\ x\mapsto f(x) olan bir kəsilməz təsadüfi dəyişən üçün:

:f(x) = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right) 

o vaxt \mu-\sigma-normal paylanır ki, X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2) və ya (\mu,\sigma^2)-da normal paylansın, burada \mu riyazi gözləməni (orta kəmiyyət) və \sigma təsadüfi kəmiyyətin variyansıdır.

Normal paylanmanın sıxlıq funksiyası 
:F(x) = \frac {1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac {1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \mathrm{d}t.

ilə təsvir olunur.

## Xassələri
\mu sürüşmə parametri və \sigma dispersiyasına malik təsadüfi dəyişənli normal paylanmanın ehtimal sıxlığı belə hesablanır:


p (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \exp \left( -\frac {(x - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right).


Belə dəyişənlərin paylanma funksiyası elementar funksiya ilə təyin olunmur və 

F (x) = \frac 1 {\sigma \sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {(t - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right) dt.

kimi Riman inteqralının köməyi ilə təsvir olunur. 

Standart normal dəyişən üçün paylanma funksiyası bərabərdir:


\operatorname  F (x; 0, 1) = \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int _{-\infty} ^x \exp \left( -\frac {t^2} 2 \right) dt.


Ümumi normal dəyişən üçün normal paylanma F_0 vasitəsilə belə təsvir olunur:

\operatorname  F(x, \mu, \sigma) = F\left(\frac {x - \mu} {\sigma}, 0, 1\right).


Standart təsadüfi dəyişənin 0 nəzərən simmetrik sıxlığı:


\int _{-\infty} ^0 \exp{ \left( -\frac {(t - \mu)^2} {2 \sigma^2} \right)} dt = 0,5


Buradan alınır ki, standart normal dəyişənin (0, x) intervalına düşmə ehtimalı bərabərdir:


\operatorname  F(x, 0, 1) = 0,5 + \int _{0} ^x \exp \left( -\frac {t^2} {2} \right) dt = 0,5 + \Phi(x),

burada \Phi(x) - Laplas funsiyasıdır

\operatorname  \Phi(x)= \frac 1 {\sqrt {2 \pi}} \int _{0} ^x \exp \left( -\frac {t^2} {2} \right) dt.


\mu və \sigma parametrlərinə malik standart normal dəyişənin (\alpha, \beta) intervalına düşmə ehtimalı:


\operatorname P(\alpha 


Normal paylanmanın xarakteristik funksiyası belədir:


f (t) = \operatorname {E} \{e ^ {i t \xi}\} = \exp \left( i \mu t - \frac {\sigma^2 t^2} 2 \right),


burada \xi \sim N (\mu, \sigma^2)&nbsp;— təsadüfi dəyişəninin parametrləri \mu və \sigma olan normal paylanmadır.

## İstinadlar