Bütöv mühit mexanikası

**Bütöv mühit mexanikası** mexanikanın bir bölməsi olub materialların mexaniki xassəsini və kinematik analizini öyrənir. Materiallar diskret paylanmış hissəciklər şəklində yox, bütöv (arasıkəsilməz paylanmış) kütlə şəklində modelləşdirilir. Belə bir model ilk dəfə XIX əsrdə Fransız riyaziyyatçısı Auqusto Koşi (fr. Augustin Louis Cauchy) tərəfindən ifadə edilmişdir, amma tədqiqatlar bu gün də davam etdirilir.

## Qısa şərh

Bir obyektin bütöv cisim şəklində modelləşdirilməsi dedikdə obyekti təşkil edən cismin obyektin tutduğu fəzanı tamamilə doldurması fərziyyəsi nəzərdə tutulur. Obyektin belə modelləşdirilməsi maddənin atomlardan təşkil olunmasını və beləliklə bütöv olmamasını nəzərə almır. Buna baxmayaraq atomlar arası məsafələrdən qat-qat böyük ölçü miqyaslarında belə modellər olduqca dəqiqdir. Belə obyektlərin xassəsini təsvir edən differensial tənliklərin çıxarılması üçün kütlənin saxlanması, momentin müvazinəti və enerjinin müvazinəti kimi özül fizika qanunlarını belə modellərə tətbiq etmək olar.

Bütöv mühit mexanikası bərk, maye və qazların fiziki xassələrini onların müşahidə edildiyi istənilən xüsusi koordinat sistemindən asılı olmadan öyrənir. Beləliklə, bu fiziki xassələr tenzorlarla ifadə edilir ki, tenzorlar tələb olunan xassəyə malik riyazi predmet olub koordinat sistemindən asılı deyildir. Bu tenzorlar hesablamanı asanlaşdırmaq üçün koordinat sistemləri ilə də ifadə oluna bilər.

## Anlayış

Bərk, maye və qazlar kimi materiallar "boş" fəza ilə bir-birindən ayrılmış molekullardan təşkil olunub. Mikroskopik ölçüdə, materiallarda çatlar və kəsilmələr (materialın bütöv və davamlı olmaması, onlarda qüsurların olması nəzərdə tutulur) mövcuddur. Buna baxmayaraq, müəyyən fiziki hadisələr "bütöv mühit - cisimdəki maddə miqdarı kəsilməz yayılmışdır və cismin tutduğu fəzanı tamamilə doldurur deməkdir" fərziyyəsi qəbul olunmaqla modelləşdirilə bilər. Bir bütöv mühit elə bir cisimdir ki, o davamlı olaraq çox kiçik elementlərə bölündükdə belə, bu kiçik hissəciklər əsas cismin xassələrini özündə saxlayır.

## Bütöv mühit mexanikasının əsas sahələri

## Modelin ifadə olunması

Bütöv mühit mexanikası modeli, modelləşdiriləcək material cisim \mathcal B-nin üç-ölçülü Evklid fəzasında müəyyən bir sahədə yerləşdirilməsi ilə başlanır. Həmin sahədəki nöqtələr, hissəciklər və ya material nöqtələri adlandırılır. Deformasiyaya uğrayan cisim Evklid fəzasında ilkin yerləşmə sahəsindən  yerini dəyişməyə başlayır. Deformasiyanın hər anında cismin fəzada tutduğu hər bir sahə bu cismin *konfiqurasiyası* və ya halı adlandırılır. \ t zamanında cismin konfiqurasiyasına uyğun sahə  \ \kappa_t(\mathcal B) ilə işarələnir.

Cisim daxilindəki hər hansı bir hissəciyin  müəyyən bir konfiqurasiyada vəziyyəti radius-vektoru ilə ifadə edilir 
:\ \mathbf x =\sum_{i=1}^3 x_i \mathbf e_i,
Burada \mathbf e_i həll olunacaq məsələ üçün təyin olunmuş hesablama sistemində koordinant vektorlarıdır (Bax şəkil 1). Bu vektor eyni zamanda həmin hissəciyin hər hansı bir seçilmiş *istinad konfiqurasiyasında* (adətən cismin deformasiya olunmamış ilkin yerləşmə konfiqurasiyası istinad və ya (hərəkətin və ya processin) başlanğıc konfiqurasiyası kimi seçilir) vəziyyəti (koordinantları) \mathbf X-in funksiyası kimi ifadə edilə bilər, belə ki

:\mathbf{x}=\kappa_t(\mathbf X).

Bu funksiya fiziki məna verməsi üçün müxtəlif xassəllərə malik olmalıdır. \kappa_t(\cdot):
* zamanda kəsilməzdir, yəni cisimin dəyişməsi reallığı əks edirir,
* istənilən bütün zaman kəsiyində tərs funksiyasına malikdir, yəni cisimdə heç bir hissəcik yox olmur və ya yenisi yaranmır (riyazi olaraq bu, hissəciklərin deformasiya olunmuş və deformasiya olunmamış konfiqurasiyalarda birin-birə əlaqələrinin olmasını nəzərdə tutur),
* dəyişməz oriyentasiyalıdır, yəni təbiətdə heç bir tansformasiya cisimdə güzgü əksi yaratmır.

Modelin riyazi ifadəsi üçün, \ \kappa_t(\cdot)-nin iki dəfə kəsilməz differensiallanan olması fərz olunur,  bununla da cismin hərəkətini təyin edən differensial tənliklər ifadə oluna bilər.

## Bütöv mühitdə qüvvələr
Bütöv mühit mexanikası mütləq bərk cisminlərin əksinə deformasiya olunan cisimlərlə məşğuldur. Bərk cisim deformasiya oluna bilən cisim olub kəsici müqavimətə, yəni kəsici qüvvələrə (cismin səthinə parallel təsir göstərən qüvvə nəzərdə tutulur) qarşı müqavimətə, malikdir. Anacaq mayelər belə müqavimətə malik deyillər. Maye və bərk cisimləri tədqiq etmək üçün onların bütöv olması fərz olunur, yəni onların həcimlərinin, tutduqları fəzanın bütün sahəsini doldurması nəzərdə tutulur. Ona görə də, bütöv mühit mexanikasında cisimdəki nöqtə və ya hissəcikdən danışıldıqda bu hər hansı bir atom hissəciyi və ya atom miqyasında bir nöqtə deyil, bu nöqtəni əhatə edən cismin ideallaşdırılmış bir hissəsi nəzərdə tutulur.

Nyuton və Eyler-in klassik dinamikasına əsaslanaraq, bir maddi cismin hərəkəti ona tətbiq olunmuş xarici qüvvələrin təsirindən yaranır. Bu qüvvələrin iki cür: səthi qüvvələr \mathbf F_C və həcmi qüvvələr \mathbf F_B olması fərz olunur. Beləliklə, cisimə və ya onun bir hissəsinə tətbiq edilmiş yekun qüvvə \mathcal F belə ifadə oluna bilər:

:\mathcal F = \mathbf F_B + \mathbf F_C

### Səthi qüvvələr

Səthi qüvvələr və ya *təmas qüvvələri* vahid sahəyə düşən qüvvə kimi ifadə olunur. Bu qüvvələr ya bir cismin başqa cisimlərlə təması nəticəsində onun sərhəd səthinə, ya da bir cismin hissələri arasındakı mexaniki qarşılıqlı təsiri nəticəsinə təsir səthinin hər iki tərəfinə təsir göstərə bilər. Bir cismə xarici təmas qüvvələri təsir etdikdə, bu zaman daxili təmas qüvvəlləri Nyutonun üçüncü hərəkət qanuna və eləcə də bucaq momentinin və xətli momentin saxlanması qanunlarına görə cisim daxilində nöqtədən nöqtəyə ötürülməklə müvazinətləşir (bütöv mühit mexanikasında bu qanunlar Eylerin hərəkət qanunları adlandırılır). Daxili təmas qüvvələri, material tənlikləri (materialın fiziki xarakteristikasını məs. elatiklik, plastiklik və s. təyin edən tənliklər) vasitəsilə cismin deformasiyası ilə əlaqələndirilir.

Daxili qüvvələrin cismin bütün həcmində kəsilməz olaraq yayılması fərz edilir. Beləliklə, daxili qüvvələr *təmas qüvvə sıxlığı* və ya *Koşi dartma sahəsi* \mathbf T(\mathbf n, \mathbf x, t) ilə ifadə edilə bilər.  Koşi dartma sahəsi \mathbf T(\mathbf n, \mathbf x, t), daxili qüvvələrin yayılmasını müəyyən bir konfiqurasiya üçün müəyyən bir t\,\! zamanında təmsil edir. Bu sahə ancaq material nöqtəsinin yeri  \mathbf x-dən asılı deyil eyni zamanda səth elementinin yerli (lokal) oriyentasiyası \mathbf n-dən ("yerli oriyentasiya" \mathbf T(\mathbf n, \mathbf x, t) sahəsinin \mathbf x-dəki oriyentasiyasını bildirir) də asılıdır. Ona görə də, bu sahə vektor sahəsi deyildir.

Verilmimş bir daxili S\,\! səthinin hər hansı \mathbf n normal vektoruna malik differensial dS\,\! sahəsi differensial d\mathbf F_C\,\! təmas qüvvəsinə məruz qalır. Bu qüvvə, cismin S\,\! səthinin hər iki tərəfindəki hissələri arasındakı təmasının nəticəsindən yaranır və belə ifadə olunur

:d\mathbf F_C= \mathbf T^{(\mathbf n)}\,dS.

Burada \mathbf T^{(\mathbf n)} *səthi dartqı*, və ya *gərginlik vektoru*,, *dartqı*, və ya *dartma vektoru*. adlandırılır. Gərginlik vektoru koordinat sisteminin dəyişməsinə nəzərən invariantdır.

Xüsusi səthdəki yekun təmas qüvvəsi S\,\! bütün differensial səthlərdəki dS\,\! təmas qüvvələrinin cəmi (sahə inteqralı) kimi ifadə edilir:

:\mathbf F_C=\int_S \mathbf T^{(\mathbf n)}\,dS

Bütöv mühit mexanikasında bir cisim o halda gərginliksiz hesab edilir ki, yeganə mövcud qüvvəllər atomlar arası (ionik, metalik, və Van-der-Vaals) qüvvələrdir ki, bu qüvvələr də bütün xarici təsirlərin (yerin cazibə qüvvəsi də bura daxildir) yoxluğunda, cismin özünü saxlaması və formasını qoruması üçün vacibdir. Cismin istehsalı zamanı yaranan gərginliklər də, hesablanma zamanı istisna edilir. Beləliklə, bütöv mühit mexanikasında gərginliklər adətən qəbul olunmuş ilkin konfiqurasiyaya nəzərən deformasiyanın yaratdığı gərginlikləri nəzərdə tutur. Başqa sözlə, cisimdəki gərginliyin mütləq (gerçək) qiymətinə deyil, yalnız gərginlikdəki nisbi dəyişmələrə baxılır.

### Həcmi qüvvələr

*[[Həcmi qüvvələr]]* cismin həcminə (və ya kütləsinə) xaricdən təsir göstərən qüvvələrdir. Həcmi qüvvələrin xaricdən təsir edən qüvvələr olduğunu deməklə, biz fərz edirik ki, cismin müxtəlif hissələri arasındakı qarşılıqlı təsir (daxili qüvvələr) yalnız təmas (kontakt) qüvvələri ilə verilir. Həcmi qüvvələr cismin, məs. qravitasiya sahəsi, elektrik sahəsi  və ya  maqnit sahəsi kimi qüvvə sahələrində yerləşməsindən yaranır. Bütöv cismin kütləsinin kəsilməz paylandığı fərz edildiyindən, bu kütlədən qaynaqlanan istənilən qüvvə də kəsilməz paylanacaqdır. Beləliklə, həcmi qüvvələr cismin bütün həcmi üzrə kəsilməz olan, yəni cismin hər bir nöqtəsinə təsir edən, vektor sahələri ilə verilir. Həcmi qüvvələr həcmi qüvvə sıxlığı (vahid kütləyə düşən qüvvə) \mathbf b(\mathbf x, t) ilə təsvir edilir. Bu qüvvələr koordinant sisteminin seçilməsindən asılı deyildir.

Həcmi qüvvələr qravitasiya qüvvələri olduqda, bu qüvvənin intensivliyi materialın kütlə sıxlığı \mathbf \rho (\mathbf x, t)\,\! ilə düz mütənasib olur və vahid kütləyə düşən qüvvə  (b_i\,\!) yaxud vahid həcmə düşən qüvvə (p_i\,\!) şəklində verilə bilər. Bu iki kəmiyyət bir-biri ilə materialın sıxlığı ilə əlaqələndirilir, yəni \rho b_i = p_i\,\!. Oxşar olaraq, elektrik qüvvələrinin intensivliyi elektrik yükünün miqdarından asılıdır.

Bir bütöv cismə təsir göstərən bütün həcmi qüvvələr belə təsvir edilir

:\mathbf F_B=\int_V\mathbf b\,dm=\int_V \rho\mathbf b\,dV

Cismə təsir göstərən həcmi qüvvələr və təmas qüvvələri müəyyən bir nöqtəyə nəzərən müvafiq qüvvə momentləri (fırladıcı momentlər) yaradır. Beləliklə, bütün tətbiq olunmuş fırladıcı moment \mathcal M koordiant başlanğıcına görə belə ifadə edilir

:\mathcal M= \mathbf M_C + \mathbf M_B

## Kinematika: hərəkət və deformasiya

Bütöv cismin konfiqurasiyasının dəyişməsi yerdəyişmə sahəsi ilə təsvir edilir. Cismin yerdəyişməsinin iki tərkib hissəsi mövcuddur: mütləq-cisim yerdəyişməsi və deformasiya. Mütləq-cisim yerdəyişməsi, cismin forma və ölçülərini dəyişməyən eyni anda baş verən irəlilləmə və fırlanma hərəkətlərindən təşkil olunur. Deformasiya, cismin başlanğıc vəziyyətinə nəzərən forma və ya ölçülərini dəyişməsini bildirir. Cismin başlanğıc vəziyyəti onun başlanğıc və ya istinad konfiqurasiyası (\ \kappa_0(\mathcal B)) və deformasiya olunmuş vəziyyəti isə onun cari və ya deformasiya olunmuş konfiqurasiyası (\ \kappa_t(\mathcal B)) adlanır (Şəkil 2).

Bütöv bir cismin hərəkəti yerdəyişmələrin zamanda kəsilməz ardıcıllığından ibarətdir. Beləliklə, material cisim müxtəlif zaman anlarında müxtəlif konfiqurasiyaları tutur ki, cismin istənilən bir hissəciyi də fəzada uyğun olaraq müəyyən nöqtələr sırasınında yerini dəyişir. Bu nöqtələr sırası həmin hissəciyin trayektoriyasını təsvir edir.

Bütöv cisimin deformasiyası və ya hərəkəti ərzində aşağıdakı mənada kəsilməzlik vardır:
* İstənilən bir zaman anında qapalı bir əyri meydana gətirən material nöqtələri, sonrakı istənilən zaman ardıcıllığına da həmişə qapalı bir əyri meydana gətirəcəklər.
* İstənilən bir zaman anında qapalı bir səth meydana gətirən material nöqtələri, sonrakı istənilən zaman ardıcıllığında da həmişə qapalı bir səth meydana gətirəcəklər və bu qapalı səth daxilindəki maddə həmişə bu səth daxilində qalacaqdır.

## Əsas tənliklər
Bütöv mühit mexanikası materialların xassələri ilə məşğul olur ki, onlar müəyyən uzunluq və zaman miqyasları üçün kəsilməz olaraq təqribi hesablana bilər. 
Materialların mexanikasını təyin edən belə tənliklərə  kütlə, moment və enerji üçün müvazinət (balans və ya saxlanma) qanunları daxildir. Əsas (idarəedici) tənliklər sistemini tamlamaq üçün  kinematik asılılıqlar və material tənlikləri lazım gəlir. Material asılılıqları formasına fiziki məhdudiyyətlər termodinamikanın ikinci qanunu-nun bütün şərtlərdə təmin edilməsi tələbi ilə tətbiq edilə bilər. 
Bərk cisimlərin bütöv mühit mexanikasında, əgər entropiya bərabərsizliyi Clausius–Duhem şəklində təmin edilmişdirsə, termodinamikanın ikinci qanunu təmin edilmiş hesab olunur.

Müvazinət qanunları vahid həcmdə bir kəmiyyətin (kütlə, moment, enerji) dəyişmə tezliyinin üç səbəbdən yaranması ideyasını ifadə edir:
#fiziki kəmiyyət özlüyündə həcmi hüdudlandıran (sərhədləndirən) səthindən axır,
#həcmin səthində fiziki kəmiyyətin qaynağı (mənbəyi) mövcuddur, yaxud/və,
#həcm daxilində fiziki kəmiyyətin qaynağı vardır.
  
Gəlin, \Omega ilə cisimi (Evkilid fəzasında bir açıq altçoxluq) və  \partial \Omega  ilə isə onun səthini (\Omega-nın sərhəddi) göstərək. 
  
Cisim daxilindəki material nöqtələri aşağıdakı tənliklə deformasiya olunur
:
    \mathbf{x} = \boldsymbol{\chi}(\mathbf{X}) = \mathbf{x}(\mathbf{X})
  
burada, \mathbf{X} başlanğıc konfiqurasiyada hər hansı bir nöqtənin vəziyyətini (yerini) və \mathbf{x} isə deformasiya olunmuş konfiqurasiyada nöqtənin yerini göstərir.

Deformasiya qradiyenti verilir
:
    \boldsymbol{F} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} = \nabla \boldsymbol{\mathbf{x}}  ~.
  

### Müvazinət qanunları
Qoy f(\mathbf{x},t) cisim daxilində axaran hər hansı bir fiziki kəmiyyət olsun.  Eləcə də gəlin g(\mathbf{x},t)-lə cismin səthindəki qanaqları, h(\mathbf{x},t)-lə isə daxilindəki qaynaqları işarələyək. Gəlin \mathbf{n}(\mathbf{x},t)-in cismin \partial \Omega  səthinin vahid normalını işarələməsini qəbul edək. \mathbf{v}(\mathbf{x},t) isə  axan fiziki kəmiyyəti özləri ilə daşıyan fiziki hissəciklərin axın sürətini nəzərdə tutur.  Eyni \partial \Omega  hərəkət sürəti u_n  (\mathbf{n} istiqamətində) işarələnir.

Onda, müvazinət qanunları aşağıdakı ümumi formada ifadə edilə bilər
:
    \cfrac{d}{dt}\left[\int_{\Omega} f(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right] = 
      \int_{\partial \Omega } f(\mathbf{x},t)[u_n(\mathbf{x},t) - \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\cdot\mathbf{n}(\mathbf{x},t)]~\text{dA} + 
      \int_{\partial \Omega } g(\mathbf{x},t)~\text{dA} + \int_{\Omega} h(\mathbf{x},t)~\text{dV} ~.
  
Nəzər alın ki, f(\mathbf{x},t), g(\mathbf{x},t), və h(\mathbf{x},t) funksiyaları skalyar, vektorial və ya tenzorial qiymətli funksiyalar ola bilər ki, bu da müvazinət qanununa daxil olan fiziki kəmiyyətdən asılıdır. Əgər cisimdə daxili sərhədlər, sıçrayışlı kəsilmələr olarsa, onlar da müvazinət qanunlarında nəzərdə tutulmalıdır.

Əgər biz Eyler nöqteyi nəzərdən çıxış etsək, kütlə, moment, bucaq momenti və enerji üçün müvazinət qanunlarının aşağıdakı şəkildə olacağını göstərmək olar (kütlə və bucaq momenti üçün qaynaq həddlərin sıfır olduğu fərz olunur)
:
    {
    \begin{align}
      \dot{\rho} + \rho~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} & = 0 
          & & \qquad\text{Kütlənin müvazinəti (saxlanması)} \\
      \rho~\dot{\mathbf{v}} - \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} - \rho~\mathbf{b} & = 0 
          & & \qquad\text{Xətli momentin müvazinəti (Koşinin birinci hərəkət qanunu)} \\
      \boldsymbol{\sigma} & = \boldsymbol{\sigma}^T
          & & \qquad\text{Bucaq momentinin müvazinəti (Koşinin ikinci hərəkət qanunu)} \\
      \rho~\dot{e} - \boldsymbol{\sigma}:(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}) + \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q} - \rho~s & = 0
          & & \qquad\text{Enerjinin müvazinəti.}
    \end{align}
    }
  

Yuxarıdakı bərabərliklərdə \rho(\mathbf{x},t) — kütlə sıxlığı (cari), \dot{\rho} — \rho-nun material zaman törəməsi, \mathbf{v}(\mathbf{x},t) — hissəciyin sürəti, \dot{\mathbf{v}} — \mathbf{v}-nin material zaman törəməsi, \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t) — Koşi gərginlik tenzoru,  \mathbf{b}(\mathbf{x},t) — həcmi qüvvə sıxlığı, e(\mathbf{x},t) — vahid kütləyə düşən daxili enerji, \dot{e} — e-nin material zaman törəməsi, \mathbf{q}(\mathbf{x},t) — istilik seli vektoru, və s(\mathbf{x},t) — vahid kütləyə düşən enerji qaynağıdır.

İstinad konfiqurasiyasına (Laqranj nöqteyi nəzərdən) nəzərən, müvazinət qanunları aşağıdakı kimi yazıla bilər
:
    {
    \begin{align}
      \rho~\det(\boldsymbol{F}) - \rho_0 &= 0 & &  \qquad \text{Kütlənin müvazinəti (saxlanması)} \\
      \rho_0~\ddot{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\nabla}_{\circ}\cdot\boldsymbol{P}^T -\rho_0~\mathbf{b} & = 0  & & 
        \qquad \text{Xətli momentin müvazinəti} \\
      \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{P}^T & = \boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{F}^T  & & 
        \qquad \text{Bucaq momentinin müvazinəti} \\ 
      \rho_0~\dot{e} - \boldsymbol{P}^T:\dot{\boldsymbol{F}} + \boldsymbol{\nabla}_{\circ}\cdot\mathbf{q} - \rho_0~s & = 0
          & & \qquad\text{Enerjinin müvazinəti.} 
    \end{align}
    }
  

Yuxarıda, \boldsymbol{P} birinci Piola-Kirxhof gərginlik tenzoru, \rho_0 isə istinad konfiqurasiyasında kütlə sıxlığıdır. Birinci Piola-Kirxhof gərginlik tenzoru ilə Koşi gərginlik tenzoru arasında aşağıdakı aşğıdakı əlaqə mövcuddur
:
    \boldsymbol{P} = J~\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{F}^{-T}
   ~\text{where}~ J = \det(\boldsymbol{F})
  

Biz əlavə olaraq birinci Piola-Kirxhof gərginlik tenzorunun transponiri olan nominal gərginlik tenzoru \boldsymbol{N}-i  təyin edirik.
:
    \boldsymbol{N} = \boldsymbol{P}^T = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} ~.
  
Beləliklə müvazinət qanunları aşağıdakı kimi də verilə bilər
:
    {
    \begin{align}
      \rho~\det(\boldsymbol{F}) - \rho_0 &= 0 & &  \qquad \text{Kütlənin müvazinəti (saxlanması)} \\
      \rho_0~\ddot{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\nabla}_{\circ}\cdot\boldsymbol{N} -\rho_0~\mathbf{b} & = 0  & & 
        \qquad \text{Xətli momentin müvazinəti} \\
      \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{N} & = \boldsymbol{N}^T\cdot\boldsymbol{F}^T  & & 
        \qquad \text{Bucaq momentinin müvazinəti} \\ 
      \rho_0~\dot{e} - \boldsymbol{N}:\dot{\boldsymbol{F}} + \boldsymbol{\nabla}_{\circ}\cdot\mathbf{q} - \rho_0~s & = 0
          & & \qquad\text{Enerjinin müvazinəti.} 
    \end{align}
    }
  

Yuxarıdakı tənliklərdəki operatorlar belə təyin edilmişdir
:
    \boldsymbol{\nabla} \mathbf{v} = \sum_{i,j = 1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j = 
        v_{i,j}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j ~;~~
    \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} =  \sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = v_{i,i} ~;~~
    \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{S} = \sum_{i,j=1}^3 \frac{\partial S_{ij}}{\partial x_j}~\mathbf{e}_i 
          = \sigma_{ij,j}~\mathbf{e}_i ~.
  
harada \mathbf{v} bir vektor sahəsini, \boldsymbol{S} bir ikinci tərtib tenzor sahəsini, və \mathbf{e}_i isə cari konfiqurasiyada ortonormal bazisin komponentləridir.  Eyni ilə,
:
    \boldsymbol{\nabla}_{\circ} \mathbf{v} = \sum_{i,j = 1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial X_j}\mathbf{E}_i\otimes\mathbf{E}_j = 
        v_{i,j}\mathbf{E}_i\otimes\mathbf{E}_j ~;~~
    \boldsymbol{\nabla}_{\circ}\cdot\mathbf{v} =  \sum_{i=1}^3 \frac{\partial v_i}{\partial X_i} = v_{i,i} ~;~~
    \boldsymbol{\nabla}_{\circ}\cdot\boldsymbol{S} = \sum_{i,j=1}^3 \frac{\partial S_{ij}}{\partial X_j}~\mathbf{E}_i = S_{ij,j}~\mathbf{E}_i 
  
harada \mathbf{v} bir vektor sahəsini, \boldsymbol{S} bir ikinci ətrtib tenzor sahəsini, və \mathbf{E}_i isə istinad konfiqurasiyada ortonormal bazisin komponentləridir.

İkinci tərtib tenzorların daxili hasili (skalyar hasili) belə təyin edilmişdir
:
    \boldsymbol{A}:\boldsymbol{B} = \sum_{i,j=1}^3 A_{ij}~B_{ij} = \operatorname{trace}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}^T) ~.
  

### Klausius-Duhem bərabərsizliyi

Klausius-Duhem bərabərsizliyi elastik-plastik materiallarda termodinamikanın ikinci qanununu ifadə etmək üçün istifadə edilir. Bu bərabərsizlik təbii prosesslərin dönməzliyini, xüsusilə enerji itgisini, xarakterizə edən bir ifadədir.

Əvvəlki bölmədəki müvazinət tənliklərində olduğu kimi, nəzərdə tutulan bir kəmiyyətin selinin və mənbəsinin və eləcə də həmin kəmiyyətin vahid kütlədə daxili sıxlığının olması fərz edilir. Bu bölmədə nəzərdə tutulan kəmiyyət entropiyadır. Beləliklə, biz entropiya selinin, entropiya mənbəsinin və daxili spesifik entropiya (vahid kütləyə düşən entropiya) \eta-nın baxılan bölgədə olmasını fərz edirik.

\Omega ilə belə bir bölgəni və \partial \Omega  ilə onun sərhədini işarələyək. Bu zaman, termodinamikanın ikinci qanunu ifadə edir ki,  \eta-nın bu böləgə artma tezliyi daxili entropiya sıxlığının \rho\eta dəyişməsi ilə entropiyanın \Omega-ya (sel və yaxud daxili mənbələr vasitəsilə) təchizinin cəmindən böyük yaxud bərabərdir. Daxili entropiya sıxlığının dəyişməsi baxılan bölgəyə materialın axaraq daxil və xaric olması ilə əlaqələndirilir.

Gəlin \partial \Omega -nun u_n axış sürəti ilə hərəkətdə olmasını və \Omega daxilindəki hissəciklərin  \mathbf{v} sürətlərinə malik olmasını fərz edək. \rho isə bölgədə maddənin sıxlığını, \bar{q} səthdə entropiya selini və r vahid həcmə düşən entropiya mənbəyini göstərsin. Beləliklə, entropiya bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər
:
    \cfrac{d}{dt}\left(\int_{\Omega} \rho~\eta~\text{dV}\right) \ge
    \int_{\partial \Omega} \rho~\eta~(u_n - \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) ~\text{dA} + 
    \int_{\partial \Omega} \bar{q}~\text{dA} + \int_{\Omega} \rho~r~\text{dV}.
  
Skalyar entropiya seli, səthdəki vektoriyal sel ilə \bar{q} = -\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x})\cdot\mathbf{n} ifadəsi vasitəsilə əlaqələndirlə bilər. Zamanın hər kiçik artan anı üçün isotermal şərtlər fərz edildikdə, biz yaza bilərik
:
    \boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}) = \cfrac{\mathbf{q}(\mathbf{x})}{T} ~;~~ r = \cfrac{s}{T}
  
yuxarıda \mathbf{q} istilik seli vektoru, s vahid həcmə düşən enerji mənbəyi, T isə mütləq temperaturdur. Kəmiyyətlər hər hansı bir material nöqtənin \mathbf{x} vəziyyətinə və t zamanına uyğun gəlir.

Beləliklə Klausius-Duhem bərabərsizliyi integral şəkildə verilir: 
:
    {
    \cfrac{d}{dt}\left(\int_{\Omega} \rho~\eta~\text{dV}\right) \ge
    \int_{\partial \Omega} \rho~\eta~(u_n - \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) ~\text{dA} - 
    \int_{\partial \Omega} \cfrac{\mathbf{q}\cdot\mathbf{n}}{T}~\text{dA} + \int_\Omega \cfrac{\rho~s}{T}~\text{dV}.
    }
  
Biz göstərə bilərik ki, entropiya bərabərsizliyi differensial formada aşağıdakı kimi verilir
:
    {
    \rho~\dot{\eta} \ge - \boldsymbol{\nabla} \cdot \left(\cfrac{\mathbf{q}}{T}\right)
       + \cfrac{\rho~s}{T}.
    }
  
Koşi stressi və daxili enerjidən istifadə etməklə Klausius-Duhem bərabərsizliyi aşağıdakı kimi yazıla bilər
:
    {
      \rho~(\dot{e} - T~\dot{\eta}) - \boldsymbol{\sigma}:\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} \le 
           - \cfrac{\mathbf{q}\cdot\boldsymbol{\nabla} T}{T}.
    }
  

## Qeydlər


## Mənbələr

*
*

*

*

*

*

*

*

*
*

*

*

*

*

*

*
*

*

*

*

## Xarici link
* www.continuummechanics.org