Holevo teoremi

**Xolevo teoremi** fizika və kompüter elmlərinin fənlərarası sahəsi olan kvant hesablamaları sahəsində mühüm məhdudlaşdırıcı teoremdir. Bəzən buna Xolevo sərhədi deyilir, çünki teorem kvant vəziyyəti (mövcud məlumat) haqqında öyrənilə bilən məlumatların miqdarına yuxarı hədd qoyur. Teorem 1973-cü ildə Alexander Semyonoviç Xolevo tərəfindən nəşr edilmişdir.

## Giriş məlumatı
Kvant informasiya nəzəriyyəsindəki digər anlayışlarda olduğu kimi, məsələnin mahiyyətini iki nəfər arasında ünsiyyət nümunəsi ilə başa düşmək daha asandır. Bizə Alice və Bob olsun. Alis klassik təsadüfi dəyişən X-ə malikdir və müvafiq ehtimallarla {1, 2, ..., n } dəyərlərini qəbul edə bilər. {𝑝1, 𝑝2, …, 𝑝𝑛}. Alice sıxlıq matrisi ilə təmsil olunan kvant vəziyyətini hazırlayır 𝜌𝑋, dəstdən seçilir {𝜌1, 𝜌2, … 𝜌𝑛}, və bu vəziyyəti Boba ötürür. Bobun məqsədi vəziyyətin ölçülməsi ilə həyata keçirilən X dəyərini tapmaqdır 𝜌𝑋 Y ilə işarələnən klassik nəticəni verən . Bu kontekstdə mövcud informasiyanın miqdarı, yəni Bobun X dəyişəni vasitəsilə əldə edə biləcəyi məlumatın miqdarı X və Y təsadüfi dəyişənləri arasında I ( X : Y ) qarşılıqlı məlumatın bütün mümkün olan maksimum dəyəridir. 

Mövcud məlumatı hesablamaq üçün hazırda məlum formula yoxdur. Bununla belə, bir neçə yuxarı hədd var ki, onlardan ən yaxşı məlum olanı aşağıdakı teorem  ilə ifadə olunan Holevo sərhədidir.

## Teoremin ifadəsi
Qoy \{\rho_1, \rho_2, \dots, \rho_n\}  qarışıq dövlətlər dəsti olacaq və icazə ehtimal paylanmasına görə çəkilmiş bu vəziyyətlərdən biri olacaq \rho_X
İndi POVM elementləri ilə təsvir olunan istənilən ölçü üçün (ing. positive operator-valued measure, müsbət operator ölçüsü)  və həyata keçirilir P = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}. Y ölçmə nəticəsi şəklində X dəyişənindən mövcud olan məlumatların miqdarı yuxarıdan aşağıdakı kimi məhdudlaşdırılır: : I(X:Y) \leqslant S(\rho) - \sum_i p_i S(\rho_i)

Harada \rho = \sum_i p_i \rho_i ; S(\cdot) fon Neyman entropiyasıdır.

Bərabərsizliyin sağ tərəfindəki kəmiyyət Holevo məlumatı və ya Holevo kəmiyyəti x adlanır:

: \chi := S(\rho) - \sum_i p_i S(\rho_i) .

## Sübut
Bunu sübut etmək üçün adlanan üç kvant sistemini nəzərdən keçirək P, Q, M.

Harada P hazırlıq hesab olunur,  Q  - Alice tərəfindən hazırlanmış və Bob-a ötürülən kvant vəziyyəti kimi, və M  - Bobun qəbul etdiyi məlumatı ölçmək vasitəsi kimi.

Mürəkkəb sistem P \otimes Q \otimes M başlanğıcda vəziyyətdədir

: \rho^{PQM} := \sum_x p_x |x\rangle \langle x| \otimes \rho_x \otimes |0\rangle \langle0|

Alisin vəziyyəti P sanki Alice vacibdir x  təsadüfi dəyişən üçün. Sonra hazırlıq vəziyyəti sıxlıq matrisi ilə təsvir edilən qarışıq vəziyyətdir 
∑ \sum_x p_x |x\rangle \langle x|, Boba ötürülən kvant vəziyyəti bərabərdir 
∑\sum_x p_x \rho_x və Bobun ölçü alətləri ilkin və ya boş vəziyyətdədir |0\rangle .

Kvant informasiya nəzəriyyəsinin məlum nəticələrindən istifadə

:  S(P';M') \leqslant S(P;Q)

Həmçinin bəzi cəbri hesablamalardan sonra göstərə bilərik ki, bu teorem  ifadəsinə ekvivalentdir.

## Qeydlər
Əslində, Holevo sərhədi sübut edir ki, n kubit üçün onlar kvant superpozisiyasına görə daha çox (klassik) məlumat "daşıya" bilsələr də, çıxarıla bilən, yəni praktikada əldə edilən klassik məlumatların miqdarı n klassikdən çox deyil. yəni kvant kodlu bitlər deyil. Bu iki səbəbə görə təəccüblüdür.

* Kvant hesablamaları çox vaxt adi hesablamalardan o qədər güclüdür ki, nəticələr onun adi üsullardan yalnız bir qədər yaxşı və ya hətta daha pis olduğunu göstərir;

* tələb olunur 2^n yalnız n biti təmsil edən qubiti kodlaşdırmaq üçün kompleks ədədlər.

## Həmçinin bax
* Kvant ultra sıx kodlaşdırma

## Qeydlər

## Ədəbiyyat