Şredinger tənliyi

**Şredinger tənliyi** — kvant-mexaniki sistemləri təsvir edən xüsusi törəməli xətti diferensial tənlik; kvant mexanikasının fundamental tənliyi. Bu tənlik kvant mexanikasının inkişafında başlıca dönüş nöqtəsi yaratmışdır. Tənlik Ervin Şredingerin adını daşıyır. Şredinger bu tənliyi 1925-ci ildə irəli sürmüş, 1926-cı ildə nəşr etdirmiş, 1933-cü ildə isə bu işinə görə Fizika üzrə Nobel Mükafatı almışdır.

Konseptual olaraq Şredinger tənliyi klassik mexanikadakı Nyutonun ikinci qanununun kvant qarşılığıdır. Bir sıra məlum başlanğıc şərtləri nəzərə aldıqda, Nyutonun ikinci qanunu müəyyən bir fiziki sistemin zamanla hansı yolu keçəcəyinə dair riyazi proqnoz verir. Şredinger tənliyi dalğa funksiyasının zamana görə evolyusiyasını, təcrid olunmuş fiziki sistemin kvant-mexaniki xarakteristikasını ifadə edir. Tənlik zaman-evolyusiya operatorunun unitarlığı şərtindən çıxarıla bilər və buna görə də kvant Hamiltonianı olan özü-özünə qoşma operatorun üstlü qiymətiylə əldə olunmalıdır.

Şredinger tənliyi kvant-mexaniki sistemləri öyrənmək və proqnozlar vermək üçün yeganə yol deyil. Kvant mexanikasının digər formulyasiyalarına Verner Heyzenberq tərəfindən irəli sürülən matris mexanikası və əsası Riçard Feynman tərəfindən hazırlanmış trayektoriya inteqral formulyasiyası daxildir. Pol Dirak matris mexanikasını və Şredinger tənliyini vahid bir formada birləşdirmişdir. Bu yanaşmaları nəzərə aldıqda, Şredinger tənliyinə əsaslanan mexanikaya bəzən "dalğa mexanikası" da deyilir.

## Tərif

### Önhazırlıq

Fizika və ya kimyanın giriş kurslarında, adətən, Şredinger tənliyini elə verirlər ki, yalnız diferensial hesabının əsas anlayış və xassələrini, xüsusən də fəza və zamana aid törəmələri bilərək hesablamalar aparmaq mümkün olsun. Bütün bu deyilənləri özündə əks etdirən Şredinger tənliyinin xüsusi halı, tək qeyri-relyativist hissəcik üçün birölçülü mövqe-fəza Şredinger tənliyidir:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \left [ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\right ] \Psi(x,t).

Burada, \Psi(x,t) dalğa funksiyası olub, hər bir x nöqtəsinə t anında müəyyən bir kompleks ədədi qarşı qoyur. m parametri hissəciyin kütləsi, V (x,t) isə hissəciyin yerləşdiyi mühiti xarakterizə edən potensial, i xəyali vahid, \hbar isə gətirilmiş Plank sabitidir.

Bu sadə vəziyyətin önünə keçməklə kvant mexanikasının Pol Dirak, David Hilbert, Con fon Neyman və Herman Veyl tərəfindən tərtib edilmiş ciddi riyazi forması kvant-mexaniki sistemin halını \mathcal H Hilbert fəzasının |\psi\rangle vektoruyla ifadə edir. Bu vektorun Hilbert fəzasının skalyar hasili altında normallaşdırıldığı fərz edilir, yəni o Dirak notasiyasına tabe olur \langle \psi | \psi \rangle = 1. Hilbert fəzasının təbiəti sistemdən asılıdır — məsələn, mövqe və impulsu təsvir etmək üçün Hilbert fəzası L^2(\Complex) kompleks kvadratik inteqrallanan funksiyalar fəzası, tək protonun spini üçün isə sadəcə olaraq \Complex^2 ikiölçülü kompleks vektorlar fəzasıdır.

Maraqlanılan fiziki kəmiyyətlər — mövqe, impuls, enerji, spin — Hilbert fəzasına təsir edən Ermit (daha dəqiq, özü-özünə qoşma) xətti operatorlar olan "müşahidəolunanlar" ilə təmsil olunur. Dalğa funksiyası müşahidəolunabilənin məxsusi vektoru ola bilər, bu halda o, məxsusi hal adlanır və əlaqəli xüsusi qiymət həmin məxsusi halda müşahidəolunanın qiymətinə uyğun gəlir. Daha ümumi şəkildə, kvant halı kvant superpozisiyası kimi tanınan məxsusi halların xətti kombinasiyası olacaqdır. Müşahidəolunabilən ölçüldükdə, nəticə Born qaydası ilə verilmiş ehtimalla onun məxsusi qiymətlərindən biri olacaq: ən sadə halda məxsusi qiymət {\displaystyle \lambda } cırlaşmayandır və |\langle \lambda | \psi\rangle|^2ehtimalıyla verilir. Burada |\lambda\rangle rabitəli məxsusi vektordur. Daha ümumi şəkildə, məxsusi qiymət cırlaşandır və \langle \psi | P_\lambda |\psi\rangle ehtimalı ilə verilir. Burada P_\lambda rabitəli məxsusi fəza üzrə proyektordur.

İmpulsun məxsusi halı kvadratik inteqrallanmayan, sonsuz dərəcədə mükəmməl monoxromatik dalğa olacaqdır. Eynilə, mövqenin məxsusi halı Dirak delta paylanması olacaq, o kvadratik inteqrallanmır və texniki cəhətdən ümumiyyətlə funksiya deyil. Nəticə etibarilə, heç biri hissəciyin Hilbert fəzasına aid ola bilməz. Fiziklər bəzən bu fəzanın xaricindəki elementlərdən ibarət Hilbert fəzası üçün həqiqi olmayan "əsaslar" irəli sürürlər. Bunlar hesablama rahatlığı üçün icad edilmişdir və fiziki halları təmsil etmir. Beləliklə, mövqe-fəza dalğa funksiyası \Psi(x,t) yuxarıda istifadə edildiyi kimi, zamandan asılı {\displaystyle |\Psi (t)\rangle } hal vektorunun qeyri-fiziki lakin əlverişli olan "mövqenin məxsusi halları" |x\rangle ilə skalyar hasili kimi yazıla bilər

\Psi(x,t) = \langle x | \Psi(t) \rangle.

### Zamandan asılı tənlik
Şredinger tənliyinin forması fiziki şəraitdən asılıdır. Ən ümumi forma zamandan asılı Şredinger tənliyidir. O zamana görə dəyişən sistemi təsvir edir:

Burada, t zaman, \vert\Psi(t)\rangle kvant sisteminin hal vektoru (\Psi yunan hərfi psidir), \hat{H} Hamilton operatorudur.

"Şredinger tənliyi" ifadəsi həm ümumi tənliyi, həm də onun xüsusi qeyri-relyativist versiyanı ifadə edə bilər. Ümumi tənlik həqiqətən də olduqca ümumidir, Dirak tənliyindən tutmuş kvant sahə nəzəriyyəsinə qədər hər şey üçün kvant mexanikasında Hamiltonian üçün müxtəlif ifadələr birləşdirərək istifadə olunur. Xüsusi qeyri-relativist versiya bir çox hallarda, ancaq müəyyən dərəcəyə qədər dəqiq nəticələr verən yaxınlaşmadır.

Şredinger tənliyini tətbiq etmək üçün sistemi təşkil edən hissəciklərin kinetik və potensial enerjilərini nəzərə alaraq sistem üçün Hamiltonian yazılır, sonra o Şredinger tənliyinə daxil edilir. Alınan xüsusi törəməli diferensial tənlik sistem haqqında məlumatı ehtiva edən dalğa funksiyası üçün həll edilir. Praktikada ehtimal sıxlığı funksiyasını təyin etmək üçün hər bir nöqtədə dalğa funksiyasının mütləq qiymətinin kvadratı götürülür. Məsələn, yuxarıdakı kimi mövqe fəzasında \Psi(x,t) dalğa funksiyası verilmişdirsə,

\Pr(x,t) = |\Psi(x,t)|^2.

### Zamandan asılı olmayan tənlik
Yuxarıda təsvir edilən zamandan asılı Şredinger tənliyi dalğa funksiyalarının stasionar hallar adlanan durğun dalğalar əmələ gətirə biləcəyini xəbər verir. Bu hallar xüsusilə vacibdir, çünki onların ayrıca tədqiqi sonradan istənilən vəziyyət üçün zamandan asılı Şredinger tənliyinin həll olunması məsələsini asanlaşdırır. Stasionar hallar Şredinger tənliyinin daha sadə forması, zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyi ilə də təsvir edilə bilər.

\operatorname{\hat H}|\Psi\rangle = E |\Psi\rangle

burada E sistemin enerjisidir. Bu, yalnız Hamiltonian özü zamandan aşkar şəkildə asılı olmadıqda istifadə olunur. Bununla belə, hətta bu halda ümumi dalğa funksiyası aşağıda xəttilik bölməsində izah edildiyi kimi zamandan asılıdır. Xətti cəbrin diliylə desək, bu tənlik məxsusi qiymətli tənlikdir. Buna görə də, dalğa funksiyası Hamilton operatorunun müvafiq məxsusi qiymət(lər)i olan məxsusi funksiyasıdır.

## Xassələr

### Xəttilik
Şredinger tənliyi xətti diferensial tənlikdir, yəni iki hal vektoru |\psi_1\rangle və |\psi_2\rangle həllərdirsə, onda hər hansı bir xətti kombinasiya da tənliyin həlli olar:

|\psi\rangle = a|\psi_1\rangle + b |\psi_2\rangle

burada və ixtiyari kompleks ədədlərdir. Üstəlik, bu cəmi istənilən sayda hal vektoru üçün genişləndirmək olar. Bu xassə kvant hallarının superpozisiyalarının Şredinger tənliyinin həlli olmasına imkan verir. Daha ümumi şəkildə desək, Şredinger tənliyinin ümumi həllini hallar əsasında cəmləmə aparmaqla tapmaq olar. Tez-tez istifadə olunan seçim zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyinin həlləri olan məxsusi enerji hallarının əsasıdır. Bu əsasda zamandan asılı hal vektoru |\Psi(t)\rangle xətti kombinasiya kimi yazıla bilər

|\Psi(t)\rangle = \sum_{n} A_n e^\Psi - \Psi\hat{\mathbf{p}}\Psi^* \right)

isə ehtimal cərəyanıdır (vahid səthə düşən cərəyandır).

### Dəyişənlərə ayrılma
Əgər Hamiltonian zamanın aşkar funksiyası deyilsə, tənlik fəza və zamana aid hissələrin hasili kimi vuruqlara ayrıla bilər. Tənliyi dəyişənlərə ayırma yolu ilə həll etmək, aşağıdakı formanın həllini axtarmaq deməkdir

\Psi(\mathbf{r},t)=\psi(\mathbf{r})\tau(t),

burada \psi(\mathbf{r}) yalnız sistemi təşkil edən hissəcik(lər)in bütün fəza koordinat(lar)ının, \tau(t) isə yalnız zamanın funksiyasıdır. Bu ifadəni \Psi funksiyasının yerinə yazsaq

\Psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r}) e^{-i{E t/\hbar}}.

Bu tip bir həll stasionar adlanır, çünki zamandan asılı olan yeganə şey Born qaydası ilə ehtimal sıxlığı hesablandıqda ləğv edən bir faza amilidir.

Bu, istənilən sayda ölçülər (zamandan asılı olmayan potensialda) istənilən sayda hissəcik üçün ümumiləşdirilir: zamandan asılı tənliyin durğun dalğa həlləri müxtəlif enerjilərin ehtimal paylanması əvəzinə müəyyən enerjiyə malik vəziyyətlərdir. Fizikada bu durğun dalğalar "stasionar vəziyyətlər" və ya "enerji məxsusi halları" adlanır; kimyada onlara "atom orbitalları" və ya "molekul orbitalları" deyilir. Enerjinin məxsusi hallarının superpozisiyaları enerji səviyyələri arasındakı nisbi fazalara uyğun olaraq xassələrini dəyişir. Enerjinin məxsusi halları əsas təşkil edir: hər hansı bir dalğa funksiyası diskret enerji vəziyyətləri üzərində cəmi və ya kəsilməz enerji vəziyyətləri üzərində inteqral və ya daha ümumi olaraq ölçü üzərində inteqral kimi yazıla bilər. Bu, riyaziyyatda spektral teoremdir və sonlu ölçülü vəziyyət fəzasında bu, sadəcə olaraq Ermit matrisinin məxsusi vektorlarının tamlığının ifadəsidir.

Dəyişənlərin ayrılması zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyi üçün də səmərəli bir üsul ola bilər. Məsələn, problemin simmetriyasından asılı olaraq, Dekart oxları üzrə

\psi(\mathbf{r}) = \psi_x(x)\psi_y(y)\psi_z(z),

şəklində və ya sferik koordinatlar üzrə aşağıdakı kimi ayrıla bilər:

\psi(\mathbf{r}) = \psi_r(r)\psi_\theta(\theta)\psi_\phi(\phi).

## İstinadlar

## Xarici keçidlər
* Quantum Cook Book and PHYS 201: Fundamentals of Physics II by Ramamurti Shankar, Yale OpenCourseware 
* The Modern Revolution in Physics – an online textbook. 
* Quantum Physics I at MIT OpenCourseWare