Şvars prinsipi

Fərz edək ki, \sigma oblastı konturu üzərində düzgün \gamma analitik xətti saxlayır.

## Teorem
\sigma oblastında analitik və \gamma üzrə sərhəd qiymətləri analitik funksiya olan f(z) funksiyasını \gamma xəttindən analitik davam etdirmək olar. f(z)-in \gamma üzrə qiymətləri z\rightarrow t olduqda f(z)-in f(t) limit qiyməti başa düşülür.

### İsbatı
Əvvəlcə teormi xüsusi hal üçün isbat edək. Fərz edək ki, \gamma həqiqi oxun [a,b] parçasıdır. Onda \gamma-nın tənliyi
\begin{cases}
x=t&\\
y=0&
\end{cases}\alpha\leq t\leq \beta
olar. Şərtə görə f(t) funksiyası [a,b] üzərində analitik olduğundan bu parçanın x_o nöqtəsi ətrafında
f(t)=\sum\limits^{\infty}_{k=0}C_{k}(t-x_0)^{k}
olar. Burada t evazine kompleks z dəyişənini yazsaq
\varphi(z)=\sum\limits^{\infty}_{k=0}C_{k}(z-x_0)^{k}
funksiyasrı x =x_o nöqtasinin müəyyən ətratında analitik funksiya olar.
\omega(z)=\varphi(z)- f(z)
ile işarə edək. Aydındır ki, \omega_{x_{0}}, \sigma_{x_{0}} oblastında analitik funksiya olmaqla \gamma_{x_{0}} üzrə
\lim\limits_{z\rightarrow t}\omega(z)=\lim\limits_{z\rightarrow t}\varphi(z)-\lim\limits_{z\rightarrow t}f(z)
\omega(t)=f(t)- f(t)=0

olur. \gamma_{x_{0}} üzrə \omega(t)= o olduğundan Şvarsın simmetriya prinsipinə görə
\omega(z) -i \gamma xəttindən analtik davam etdirmək olar, Beləliklə, göstərmiş oluruq ki, \omega(z) funksiyası mərkəzi x_{0}olan və \gamma_{x_{0}} parçası öz daxilinə alan müəyyən bir \sigma_{x_{0}} ətrafında analitik olmaqla \gamma_{x_{0}} üzrə sıfra çevrilir. Onda analitik funksiyaların yeganəlik teoreminə görə həmin ətrafda \omega(z)\equiv o və yaxud da
\varphi(z)=f(z)

olar. Başqa sözlə, f(z) funksiyasını \gamma_{x_{0}} xəttindən analitik davam etdirmsk olar. x_0 nöqtəsi [\alpha,\beta] parçasının ixtiyari nöqtəsi olduğundan f(z)-i \gamma xəttindən analitik davam etdirmək olar.
Bu üsuldan göründüyü kimi \varphi(z) funksiyası f(z)-in analitik davamıdır.

İndi ümumi halı tədqiq edək. Fərz edək ki, z=z(t) (\alpha\leq t\leq \beta) düzgün \gamma analitik xəttinin tənliyidir. Şərtə görə f(z), \gamma üzrə analitik funksiya olduğundan
\Phi(t)=f[z(t)]
funksiyasını hər hansı t=t_0 nöqtəsi ətrafında sıraya ayırmaq olar:
\Phi(t)=\sum\limits^{\infty}_{k=0}\beta_{k}(t-t_0)^{k}.
Şərtə görə z^{\prime}(t_0)\neq 0 olduğundan t=t_0-ın elə \delta^{\prime}_{t_{0}} ətrafını tapmaq olar ki, həmin ətraf
z = z(t)
funksiyası vasitəsilə ilə mərkəzi \gamma üzərində olan \delta^{\prime}_{t_{0}} ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olunsun. \Phi(t) mərkəzi t_0 nöqtəsində olan müəyyən K_{t_0} parçasında analitik funksiya olduğundan bundan əvvəlki hala görə həmin funksiyanı K_{t_0} parçasından analitik davam etdirmək olar. Bu funksiyanın aralitik davamını \Phi_{0}(t) ilə işarə edək. z = z(t) funksiyası vasitəsilə \delta_{t_{0}}-ın \delta^{\prime}_{t_{0}} ətrafı \delta_{t_{0}} ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olduğundan t-in istənilən ətrafında
z^{\prime}(t)\neq 0
olar. Ona görə də t = p(z)-i z = z(t)-nin tərs funksiyasə kimi təyin etmək olar. Onda
\varphi_{1}(z)=\Phi_{0}[p(z)]
funksiyası z nöqtəsini daxilinə alan və \gamma-nın hissəsi olan müəyyən bir \gamma_{z_{0}} qövsündən f(z) -in analitik davamı olar. z_{0},\gamma qövsünün ixtiyari nöqtəsi olduğundan aydındır ki, f(z) -i \gamma xəttindan analtik davam etdirmək olar. Bununla da analitik davam üçün Şvars teoremi tamamilə isbat olunur.

## Ədəbiyyat
1. Ə. H. Əhmədov. Xətti analizin üç prinsipi. Dərs vəsaiti. Bakı: "Bakı Universiteti" nəşriyyatı, 2008, 112 s.

2. Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional analizin elementləri: Bakı "BDU nəşriyyatı", 2008, 234 səh. 

3. А. Н. Колмогоров, С. М. Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. М., 1988 г

4. Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. М., 1965г.

5. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959 г.

6. М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики, т.1. Функциональный анализ, 1977 г.

7. В. А. Треногин. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., 1984 г.

8. Ə. Həbibzadə. Kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Bakı, 1962

## Xarici keçidlər
Функции комплексной переменной