Hesabın tarixi

**Hesabın tarixi** — hesabın görünüşündən tutmuş aksiomlar sistemindən istifadə etməklə ədədlərin rəsmi müəyyənləşdirilməsi və hesab əməliyyatlarına qədər dövrü əhatə edir. Hesab - ədədlər, onların xüsusiyyətləri və əlaqələri haqqında elm - əsas riyazi elmlərdən biridir. Cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi ilə sıx əlaqəlidir.

Hesabın meydana gəlməsi səbəbi saymağa, sadə ölçmələrə və hesablamalara praktik ehtiyac idi. Hesablama bilikləri haqqında ilk etibarlı məlumatlar eramızdan əvvəl III - II minilliklərə aid Babil və Qədim Misirin tarixi abidələrində tapılmışdır. Hesabın inkişafına dünyanın bütün qanunlarını müəyyənləşdirmək üçün nömrələrdən istifadə etməyə çalışan yunan riyaziyyatçıları, xüsusən də Pifaqorçular məktəbi böyük töhfə vermişdilər. Orta əsrlərdə arifmetikanın əsas tətbiq sahələri ticarət və təxmini hesablamalar idi. Hesab ilk növbədə Hindistan və İslam ölkələrində inkişaf etdi və yalnız bundan sonra Qərbi Avropaya gəldi. XVII əsrdə dəniz astronomiyası, mexanika, daha mürəkkəb kommersiya hesablamaları, hesablama texnikasına yeni hesab sorğuları qoydu və sonrakı inkişafa təkan verdi.

Ədəd anlayışının nəzəri əsasları, ilk növbədə,1889-cu ildə hazırlanmış natural ədədin və Peano aksiomlarının tərifi ilə əlaqələndirilir. Bunlardan sonra,rasional, həqiqi, mənfi və kompleks ədədlərin qəti tərifləri izlənildi. Say anlayışının daha da genişlənməsi,yalnız hesab qanunlarından birini rədd etdikdə mümkündür.
## Hesabın yaranması

İki dəstdə (əşyalar dəsti) bir dəstin hər bir elementinin başqa dəstdə tək cütü olsa,onda bu dəstlər eyni dərəcədə güclüdür. Cisimlər iki sıra düzüldükdə, ibtidai icma quruluşu zamanı ibtidai tayfalar mübadilə olaraq istifadə edildikdə,belə bir faktiki müqayisə obyektlər qrupları arasında kəmiyyət əlaqələri yaratmağa imkan verir və say anlayışını tələb etmir.

Gələcəkdə saymağın təbii standartları, məsələn, barmaqlar, sonra əllər kimi standart dəstlər meydana çıxdı. Xüsusi nömrələri simvollaşdıran standartların meydana çıxması,say anlayışının ortaya çıxması ilə əlaqələndirilir. Cisimlərin sayı göydəki ayla,gözlərin sayı, əldəki barmaqların sayı müqayisə edildi. Daha sonra bir çox standart ən uyğun sayma üsulu ilə ümumiyyətlə barmaq və ya ayaq barmaqlarını saymaqla əvəz edildi.

Növbəti addım konkret cisimlərdən ayrılmış bir natural ədədin ümumi konsepsiyasının ortaya çıxması idi. Natural ədədlər,hüdudsuz bir dəstin sabit və bölünməz obyektlərin (insanlar, qoyunlar, günlər və s.) idealizasiyası kimi,yarandı; müvafiq olaraq, ədədlərlə hərəkətlər,əvvəlcə bu cür dəstlərlə həqiqi hərəkətləri əks etdirirdi(birləşmə, bölmə və s.). Hind-Avropa dilləri üçün, onluq say sistemindən istifadə edərək yüzə qədər daxil olan rəqəmlərin adları artıq yenidən qurulmuşdur. Henri Lebesqyu qeyd edirdi: *"İnsanların on bir barmağı olsaydı,on birlik say sisteminin qəbul edilməsi mümkündür".*

Hesabın nəticələrini yazmaq üçün bir ağacdan və ya sümüklərdən, iplərdəki düyünlərdən - süni hesab standartlarından istifadə edildi.1, 10, 100 üçün simvol və bu simvolların təkrarlanması (1n, 10n, 100n);
* subtraktiv (*subtractio* — çıxma) - ədədlərin birləşməsi mn,burada m,  n-m fərqinə bərabərdir;
* multiplikativ (*multiplicatio* — vurma) - mn ədədlərin birləşməsi məhsula bərabərdir,Hind -Avropa dillərində, xüsusən də rus dilində on və yüzün adları üçün istifadə olundu.

Yuxarıda göstərilənlərə əlavə olaraq, bir sıra mənbələrdə bölünməyə əsaslanan prinsip də qeyd olunur.

## Qədim riyazi mətnlər və say sistemləri
### Qədim Misir

Misir riyaziyyatı ilə bağlı əsas məlumatlar, Misir mirzəsi Axmesin (e.ə. XVIII-XVII əsrlər) toplusu olan Axmes papirusuna,eləcə də Moskva riyazi papirusuna əsaslanır. Hər iki papirus Orta padşahlıq (Misir) dövrünə aiddir. Yeni padşahlıq , habelə Erkən və Qədim padşahlığın riyazi mətnləri haqqında məlumat qorunub saxlanılmamışdır. Qədim Misirin riyazi papirusları təhsil məqsədləri üçün tərtib edilmişdir, bu papiruslarda tam və kəsr ədədlər üzərində olan köməkçi cədvəllərə,həllərə,arifmetik və həndəsi silsilələrə,həmçinin tənliklərə də rast gəlinir.

Misirlilər onluq say sistemindən istifadə edirdilər. Misir heroqlif yazısı
1, 10, 100, 1000 və sair on milyona qədər xüsusi simvollarla nömrələnmişdi, bu vaxt heroqlif yazılarda 1-dən 9- dək,onluq,yüzlük,minlik saylar üçün işarələr,həmçinin 1/n formalı kəsrlər üçün xüsusi simvollar meydana gəldi.

Misir riyazi mətnlərində problemlərin həlli üsullarının çox asılı olduğu hesablama və buradan ortaya çıxan çətinliklərə xüsusi diqqət yetirilirdi. Misirlilər əlavə olaraq toplama və kəsr kimi arifmetik əməliyyatlardan da istifadə etdilər. Hansısa tam ədədin vurma və hansısa qalıqsız bölmə ikiqat əməliyyatın dəfələrlə təkrarlanması ilə həyata keçirilirdi,bu da ardıcıllığın müəyyən üzvlərinin 1,2,4,8,16, ... iştirak etdiyi irihəcmli hesablamalara gətirib çıxarırdı.  Misirdə yalnız Misir kəsrlərindən istifadə edilirdi və bütün digər kəsrlər Misir kəsrlərinin cəminə parçalandı. Axmes papirusunda 2/n forma kəsrli cədvəllər verilib,digər kəsr ilə hesablamalar ikiqat artırılaraq yerinə yetirilmişdir. Bir kvadratın sahəsini, bir kubun həcmini və ya  sahəsinə görə kvadratın bir tərəfi misirlilər tərəfindən müəyyən edilərkən,bu əməliyyatların adı hələ alınmamış olsa da,eksponentləşmə və kök çıxarılması əməliyyatları ilə qarşılaşdılar.
### Babil

Babil mixi yazılı riyazi mətnlərində şumerlərə xas altmışlıq say sistemindən istifadə edilmişdir və bura əsası 60 olan kəsrlər,1-dən 59-a qədər ədədlərin daxil olduğu vurma cədvəlləri, həmçinin mənfi ədədlərin cədvəlləri,natural ədədlərin kvadratı və kubu olan cədvəllər, faiz hesablama cədvəlləri, bazası 60 olan fraksiyalar daxil edilmişdir.Riyazi problemlərin və ədədi cədvəllərin mətnləri ilə zəngin üç yüzdən çox cədvəl məlumdur. Babil üçün cədvəllərin geniş istifadəsi ilə xarakterikdir.

Ardıcıl nömrələmə öncə Babildə meydana gəlir. İlk əlli doqquz ədəd vahid işarələrin təkrarlanması ilə yazılır. Altmış çoxluğu ilk dəstin soluna eyni şəkildə yazıldı. Daha sonra bu tənzimləmə istənilən formada:60^n və 1/60^n yayılmağa başladı. Bundan əlavə babillilər ədəd yazarkən sıfır işarəsindən də istifadə etməyə başladılar.

Babildə çıxma və toplama işarələri, onluq mövqelər sistemindəki bu işarələrə bənzər idi ki, sonrakı kateqoriyaya keçid həm sistemin qurulması üçün, həm də vahidlər və onluqlar üçün lazım idi. Babillilər yalnız 59-a qədər çox sayda elementin daxil olduğu tək vurma cədvəlindən istifadə etmədilər, 1-dən 59-a qədər ədədlərin daxil oldduğu 1, 2, 3, ..., 19, 20, 30, 40, 50 nömrələrinin böyük hərflərinin istifadə olunduğu məhsul cədvəllərindəndə istifadə olunurdu. Babillilərdə bölmə əməli yox idi,buna görə qarşılıqlı dəyərlər cədvəlinin tərtib edilməsinə, yəni 60 -ı 2, 3, 4, ... -ə bölməklə əmələ gələn ədədlərin hazırlanmasına çox diqqət yetirildi. Bölmə zamanı, sonsuz kəsr verilərkən əvvəlcə mənfi ədədin olmadığı yazılmış və daha sonra təxmini bir dəyər verilmişdir.

Hesab problemlərini həll edərkən, babillilər nisbət və irəliləyişəetibar etdilər. Aritmetik irəliləmənin n üzvlərinin cəminin düsturunu, həndəsi irəliləmənin cəmlənməsi qaydalarını bilirdilər,faiz məsələlərini həll edirdilər. Babildə çoxları Pifaqor üçlüyünü bilirdi, onların axtarışı üçün bəlkə də naməlum bir ümumi texnikadan istifadə edilmişdir.Ümumiyyətlə, tənliyin bütöv və rasional həllərini tapmaq problemi x^2+y^2=z^2 ədəd nəzəriyyəsinə aiddir.. \sqrt {a^2+r} \approx a + \frac {r}{2a} qaydasından istifadə edərək,həndəsi tapşırıqlar, kvadrat köklərinin təxmini çıxarılmasına və nəticəni daha da yaxınlaşdırmaq üçün iterativ metodlara ehtiyac duyulurdu =A+B\sqrt{-1} göstərdi. "Xəyali köklər üzərində aparılan araşdırmalarında" Eyler xəyali bir rəqəmi "sıfırdan böyük və ya sıfırdan az, sıfıra bərabər olmayan", lakin "mümkün olmayan bir şey" olaraq təyin edir. Üstəlik, hər bir xəyali nömrənin M həqiqi sayının və həqiqi N-nin \sqrt{-1} əmsalı ilə əmələ gəldiyi teoremini sübut edir. Problem fərdi funksiyalar üçün həll edildi,
xəyali ədədlərə edilən əməliyyatların dairəsi açıqlanmadı. Bundan əlavə,xəyali ədədlərin həndəsi şərhlərində də problemlər var. İlk cəhd xəyali ədədlərin gerçəyə perpendikulyar olan parçalar olduğuna inanan Vallis tərəfindən edildi, sonra 1753-cü ildə Henrix Kyun əsərində,xəyali bir ədədi mənfi sahəsi olan bir kvadratın tərəfi hesab edirdi. Kaspar Vessel və Jan Roben Arqan, Vallis tərifini yalnız XVIII-XIX əsrin sonlarında inkişaf etdirməyə müvəffəq oldular.

### Say nəzəriyyəsinin yaranması və inkişafı
XVII əsrin 30-cu illərində  Pyer Ferma yalnız Evkliddən və bəlkə də Diofantdan təsirlənirək say nəzəriyyəsini hesab sahəsi olaraq ayırdı. Pyer Ferma Diofant tənliklərinin və tam ədədlərin bölünməsinin həllində iştirak edirdi. O, sübutu olmadan bir sıra teoremlər hazırladı, xüsusən də Kiçik və Böyük Ferma teoremlərini. Pyer Ferma say nəzəriyyəsinə dair xüsusi bir əsər yazmadı,onun təklifləri yalnız yazışmalarda, həm də Diofantın "Arifmetikası"nda şərh şəklində qorunurdu.

70 ildən sonra Fermanın işi bir neçə onilliklər boyu say nəzəriyyəsi ilə məşğul olan Leonard Eylerin diqqətini çəkdi. Eyler 30 cildlik riyazi seriyasının dörd yarım tomunu ona həsr etmişdir. Eyler kiçik Ferma teoremini ümumiləşdirdi,eyni zamanda n=3 böyük Ferma teoreminin sübutudur. Eyler ilk olaraq riyaziyyatın digər sahələrinin aparatlarından say nəzəriyyəsi problemləri, ilk növbədə riyazi analiz üçün istifadə etdi. O,funksiyaları yaradan metodu,rieman zeta funksiyasını,sadə ədədlərin toplanması ilə bağlı problemləri ümumiləşdirdi.

Eylerin işindən sonra say nəzəriyyəsinin ayrıca bir elmə çevrildiyi güman edilir.

### Hesablamanın əsaslandırılması problemləri

XIX əsrdə baş verən riyaziyyat əsaslarının tənqidi nəzərdən keçirilməsi prosesi,Nikolay Lobaçevskinin həndəsə işi ilə bağlıdır. Hələ XVIII əsrdə  ədədlər üçün nəzəri əsaslandırmalar verməyə başladı. Əvvəlcə bu yalnız Evklid prinsiplərindən götürülən müxtəlif aksiom və təriflərin tətbiq olunduğu, çox vaxt lazımsız və eyni zamanda yetərsiz olan natural ədədlərin hesablanmasına aiddir. Hesabın əsas qanunları da belə idi: komutativ və vurma,toplama qanunları çox tez-tez xatırlandığı assosiativ,paylama qanunu toplama və vurmaya nisbətən - daha azdır və bütün bu beş qanun son dərəcə nadirdir. Qotfrid Leybnits öncə arifmetikanın deduktiv qurulması vəzifəsini qoymuş və xüsusilə, 1705-ci ildə etdiyi "İnsanın ağılındakı yeni təcrübələr" əsərində "iki üstə gəl iki bərabərdir dörd" bərabərliyini sübut etməyin zəruriliyini göstərmişdi. Bu məsələni həll etmək üçün 1770-ci ildə Xristian Volf, 1790-cı ildə Şultz, 1822-ci ildə Martin Om, 1861-ci ildə Qerman Qrassman və nəhayət 1889-cu ildə Cüzeppe Peano öz aksiomlarını təqdim etdi.

Arifmetikanın əsas prinsiplərini vurğulamağın çətinliyi onun ilkin mövqelərinin sadəliyi ilə əlaqədardır. Yalnız XIX əsrin ortalarında Qrassman toplama və vurmanı müəyyən edən əsas aksiomlar sistemini seçdi. Sistem hesabın qalan mövqelərini aksiomların məntiqi nəticəsi kimi əldə etməyə imkan verdi. Əsas aksiomlar əsasında toplama və vurma dəyişikliyinin komutativ, assosiativ və paylayıcı qanunları sübut edildi,kəsr anlayışını müəyyən müqayisə və hərəkət qanunları ilə cüt tam ədəd kimi təqdim olunur. Qrassmanın işi Peano tərəfindən davam etdirildi. Kurt Hödel 1932-ci ildə natamamlıq teoremini sübut edənə qədərnatural ədədlərin hesablanmasının tam nəzəri əsaslandırılmasına, xüsusən David Hilbertin əsərinə yaxınlaşmaq üçün daha çox cəhdlər edildi.

Eynilə,iki konsepsiya: vahidin bərabər kəsrləri və ya iki vahid dəyərin nisbəti önə çıxan rasional kəsrlər üçün nəzəri əsaslandırma cəhdləri oldu. Rasional kəsrlər üçün əlavə olaraq kəsrlərin toplanması və çıxılmasında istifadə olunan bərabərliyi \frac{am}{bm}=\frac{a}{b} и \frac{a:m}{b:m}=\frac{a}{b} (m — natural ədəd) sübut etmək lazım idi. Bərabərlik münasibət nəzəriyyəsində mənasız idi, lakin müstəqil olmayan bir konsepsiyada heç də aydın deyildi. Lakin o, sadəcə sadiq sayılırdı. Kəsrlərin arifmetikliyi 1894-cü ildə J. Tanneri tərəfindən əsaslandırılmışdır,onun modelində kəsrlər cüt ədəd kimi göstərilmişdir.

1758-ci ildə "Hesabın, həndəsənin, planetin və sferik triqonometriyanın inkişafının ilk əsaslarında" Kestner bütün hesab anlayışların tam bir say ilə əsaslandırılmasını müdafiə etdi. Beləliklə, kitab qaydası ilə natural ədədləri, kəsrləri, mənfi ədədləri, onluq kəsrləri, irrasional ədədləri və yalnız bundan sonra əlaqələr nəzəriyyəsini təyin etdi. İrrasional ədədlər üzərində əməliyyatlar,rasional kəsrlərin yaxınlaşmalarına əsaslanaraq araşdırılmağa başladı. Üstəlik, irrasional ədədlərin mövcudluğu əvvəlcədən qəbul edildi və özləri də rasional ədədlərin ardıcıllığının hüdudları kimi şərh edildi. İrrasional ədədlər üçün Nyutonun tərifi,nisbi kəmiyyətlərin əlaqələri kimi istifadə edildi (Leonard Eyler buna bənzər bir tərif verdi). P.A.Rəhmanov "Həndəsi cəhətdən müqayisə olunan və qeyri-mütənasib miqdarın məzmunu və nisbətlərinin yeni bir nəzəriyyəsi və sonuncu vəziyyətdə həddlər nəzəriyyəsində" irrasional ədədlərə eyni şəkildə münasibət göstərdi. Yalnız XIX əsrin ikinci yarısında Şarl Mere, Georq Kantor, Riçard Dedekind və Karl Vilhelm Veyerştrass tərəfindən tərtib edilmiş həqiqi ədədlərin ciddi nəzəriyyələri meydana çıxdı.

Mənfi ədədlər nəzəriyyəsinin formalaşmasında əsas problem mənfi ədədin sıfırdan az olması,
yəni heç bir şeydən az olmasıdır. İşarələr üçün qaydalar tərtib etməyə cəhd edilərkən mənfi ədədlərin ciddi tərifi yox idi("minus üstəgəl plus mənfi verir" və "minus üstəgəl mənfi plus verir"). 1813-cü ildə bir fransız riyaziyyatçısı Lazar Carno yazırdı: "*İşarələrin qayda-qanunlarının metafizikası daha dərindən araşdırılsa, bəlkə də daha böyük ,sonsuz kəmiyyətlərin metafizikasından daha çox çətinlikləri ortaya qoyur; bu qayda heç vaxt tamamilə qənaətbəxş şəkildə sübut edilməmişdir və görünür,hətta kafi bir şəkildə sübut edilə bilməz".* Mənfi ədədlər nəzəriyyəsini formalaşdırmaq üçün ilk cəhdlər XIX əsrin ortalarında edilmiş, Uilyam Rouen Hamilton və Qrassmana aiddir.

Kompleks ədədlərin tam həndəsi təsviri Kaspar Vessel tərəfindən 1799-cu ildə "İstiqamət və analitik təmsilçilik təcrübəsi, əsasən də müstəvi və sferik çoxbucaqlıların həllində" əsərində təklif edilmişdir. Vessel,cəbr əməliyyatlarından istifadə edərək təyyarədə yön parçaları ilə işləmək istədi,ancaq həqiqi ədədlər üçün,yalnız istiqaməti əks istiqamətə dəyişməyə və özbaşına bir istiqamət qurmamağa icazə verdilər.Vessel əsas vahidlərdən +1, -1, +\epsilon, -\epsilon istifadə etdi və vurma əməlindən istifadə edərək \epsilon=\sqrt{-1} nəticəsinə gəldi. Vesselin əməyi təqribən 100 il ərzində diqqətdən kənarda qaldı. Bu müddət ərzində Jan Rober Arqan, 1813-1814-cü illərdə xəyali ədədlərin şərhini verdi, 1831-ci ildə Şayss "Bikvadrat qalıqlar nəzəriyyəsini, həmçinin 1832-ci ildə Hamilton,kompleks ədədləri həqiqi cüt kimi qəbul edən hesab nəzəriyyəsini qurdu.

Vessel ünəzəriyyəni,üçölçülü boşluqda ümumiləşdirməyə çalışdı,amma bacarmadı.Uilyam Rouen Hamilton,vurulduqda kvaternion qanunu ödəməyən qraflar nəzəriyyəsini qurana qədər sual açıq formada qaldı. Ancaq Karl Vilhelm Veyerştrass, Ferdinand Frobenius və Benjamin Pirsin araşdırmaları göstərdi ki,kompleks ədədlərdən kənarda ədədlər anlayışının genişlənməsi ilə hər hansı bir hesab qanunundan imtina edilməlidir.

## Azərbaycanda riyaziyyatın tərəqqisi
Orta əsrlərdə İslam dünyasında riyaziyyat yüksək inkişaf dərəcəsinə çatmışdı. Evklid həndəsəsi və qeyri-Evklid həndəsəsinə yol açan paralellik postulatı, triqonometriya, cəbri tənliklərin (xüsusilə kvadrat və kub tənliklərin) həlli, sferik həndəsə və riyaziyyatın astronomiyaya tətbiqi, onluq kəsrlərin kəşfi, funksiya və limit anlayışlarının inkişafı Yaxın Şərqdə vüsət tapmışdı. Marağa rəsədxanasının təşkilatçısı və rəhbəri Məhəmməd ibn Həsən Nəsirəddin Tusi(1201-1274) elm aləmində tək öz zəmanəsinin deyil, bütün dövrlərin ən böyük riyaziyyatçı və astronomlarından biri olaraq qəbul edilmişdir.

14-cü əsrdən başlayaraq İslam dünyasında, o cümlədən Azərbaycanda riyaziyyat sahəsində kəşf və tədqiqatlar zəiflədi. 16-cı əsrdə Avropa riyaziyyatçıları və astronomları ön sıraya çıxdılar.

Yüksək ixtisaslı riyaziyyatçıların yetişməsi Azərbaycanda yalnız sovet dövrünün 30-cu illərində özünü göstərməyə başladı. Mikayıl Xıdırzadə, İbrahim İbrahimov, Zahid Xəlilov, Əşrəf Hüseynov rus riyaziyyat məktəbinin yetişdirdiyi ilk riyaziyyatçılar oldular. 50-ci illərdə Azərbaycan riyaziyyatçıları kəmiyyət və keyfiyyətcə artmağa başladılar. 70-ci illərdən başlayaraq Azərbaycanda riyaziyyatın geniş vüsət tapdığı, riyazi mədəniyyətin inkişaf etdiyi bir dövr hesab olunur..

Məcid Rəsulov, Məqsud Cavadov, Qoşqar Əhmədov, Cəlal Allahverdiyev, Mirabbas Qasımov, Arif Babayev, Sasun Yaqubov, Hamlet İsayev, Abbas Əzimov, , Fərhad Hüseynov, Hüseyn Hüseynov, Arif Səlimov, Oqtay Vəliyev, Rəşid Məmmədov və başqa Azərbaycan riyaziyyatçıları Sovet İttifaqında və Qərbdə qiymətləndirilən elmi nəticələr aldılar.

## İstinadlar

## Ədəbiyyat
* 
* 
* 
*  Вопреки названию, книга прослеживает историю чисел и арифметики с самых древних времён.
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*