Frank-Tamm düsturu

Frank-Tamm düsturu  — yüklü hissəcik işıq sürətindən daha sürətli bir mühitdə hərəkət etdikdə, müəyyən bir tezlikdə buraxılan Çerenkov radiasiyasının miqdarını təyin edir. 1937-ci ildə Çerenkov effekti nəzəriyyəsini inkişaf etdirən və 1958-ci ildə fizika üzrə Nobel mükafatına layiq görülən rus fizikləri İlya Frank və İqor Tammın adını daşıyır.
Yüklənmiş hissəcik bir mühitdə işığın faza sürətindən daha sürətli hərəkət etdikdə, hissəciklə qarşılıqlı əlaqədə olan elektronlar enerji və impulsunu saxlayaraq koherent fotonlar buraxa bilər. Bu prosesi çürümə kimi də düşünmək olar. Bu təsirin izahı üçün Çerenkov radiasiyası və qeyri-radiasiya vəziyyətinə baxmaq olar.
## Tənlik
Enerji dE bir hissəciyin vahid tezlikdə keçdiyi vahid uzunluğa görə  d\omega üçün
\frac{\partial^2E}{\partial x \, \partial\omega} = \frac{q^2}{4 \pi} \mu(\omega) \omega \left(1 - \frac{c^2} {v^2 n^2(\omega)}\right)  o şərtlə ki, \beta = \frac{v}{c} > \frac{1}{n(\omega)}. Burada, \mu(\omega) və n(\omega) mühitin müvafiq olaraq tezlikdən asılı keçiriciliyi və qırılma əmsalı,
q hissəciyin elektrik yüküdür,v hissəciyin sürətidir və c vakuumda işığın sürətidir.
Çerenkov radiasiyasının flüoresan və ya emissiya spektrləri üçün xarakterik olduğu kimi xarakterik spektralları yoxdur. Daha yüksək tezliklər (daha qısa dalğa uzunluqları) Çerenkov radiasiyasında daha sıxdır. Buna görə də görünən Çerenkov radiasiyası parlaq mavi görünür. Əslində, Çerenkov radiasiyasının çoxu ultrabənövşəyi spektrdədir; insan gözünün həssaslığı spektrin yaşıl hissəsində zirvəyə çatır və spektrin bənövşəyi hissəsində çox aşağıdır.Vahid uzunluğa düşən enerjinin ümumi miqdarı:
\frac{dE}{dx} = \frac{q^2}{4 \pi} \int_{v > \frac{c}{n(\omega)}} \mu(\omega) \omega \left(1 - \frac{c^2} {v^2 n^2(\omega)}\right) \, d\omega
Bu inteqral tezliklər üzərində hesablanır və  \omega hissəcik sürəti v mühitin işıq sürətindən böyükdür: \frac{c}{n(\omega)}.Yüksək tezliklərdə sınma indeksi vahiddən kiçik olur və çox yüksək tezliklərdə birləşir. 
## Frank-Tamm düsturunun törəməsi
Sınma indeksi x oxu boyunca nisbi şəkildə hərəkət edən yüklü hissəciyi nəzərdən keçirək n(\omega) = \sqrt{\varepsilon(\omega)} sabit sürətlə hərəkət edən \vec v = (v,0,0) . Dalğa tənliyi Maksvell tənliklərindən (Qauss vahidlərində) başlayır və Furye çevrilməsini götürək:
\left ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon(\omega) \right) \Phi(\vec k,\omega) = \frac{ 4 \pi}{\varepsilon(\omega)} \rho(\vec k, \omega)
\left ( k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon(\omega) \right) \vec A(\vec k,\omega) = \frac{ 4 \pi}{c} \vec J(\vec k, \omega)
v sürəti ilə hərəkət edən ze böyüklüyündə (burada e elementar yükdür) yük üçün yük sıxlığı \rho(\vec x, t) = q \delta(\vec x - \vec v t) and \vec J(\vec x,t) = \vec v \rho(\vec x,t) kimi ifadə edilə bilər. \vec J(\vec x,t) = \vec v \rho(\vec x,t), Furye çevrilməsindən istifadə edərək 
\rho(\vec k, \omega) = \frac{ q}{2 \pi} \delta(\omega - \vec k \cdot \vec v)
\vec J(\vec k, \omega) = \vec v \rho (\vec k ,\omega) 
Bu sıxlığı və yük cərəyanını dalğa tənliyində əvəz edərək, Furye şəklində potensialları tapa bilərik:
\Phi(\vec k, \omega) = \frac{2 q}{\varepsilon(\omega)} \frac{ \delta(\omega - \vec k \cdot \vec v)}{k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon(\omega)} və  \vec A(\vec k,\omega) = \varepsilon(\omega) \frac{\vec v}{c} \Phi(\vec k,\omega)
Potensiallar vasitəsilə elektromaqnit sahələrinin tərifindən istifadə edərək, elektrik və maqnit sahələrinin Furye formasını əldə edirik:
\vec E(\vec k,\omega) = i \left( \frac{\omega \varepsilon(\omega)}{c} \frac{\vec v}{c} - \vec k \right) \Phi(\vec k,\omega) və \vec B(\vec k,\omega) = i \varepsilon(\omega) \vec k \times \frac{\vec v}{c} \Phi(\vec k,\omega)
Şüalanan enerjini tapmaq üçün biz elektrik sahəsini hissəciyin trayektoriyasından bəzi perpendikulyar məsafədə tezlik funksiyası kimi nəzərdən keçiririk, məsələn, (0,b,0) nöqtəsində, burada b təsir parametridir. Tərs Furye çevrilməsi ilə verək:
\vec E(\omega) = \frac{1}{ ( 2 \pi)^{3/2}} \int d^3k \, \vec E(\vec k,\omega) e^{i bk_2}

Əvvəlcə elektrik sahəsinin x-komponentini E_1 hesablayırıq:
E_1(\omega) = \frac{2 i q}{\varepsilon(\omega) ( 2\pi)^{3/2}} \int d^3k \, e^{i bk_2} \left( \frac{ \omega \varepsilon(\omega) v}{c^2} - k_1 \right ) \frac{\delta(\omega - v k_1)}{k^2 - \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon(\omega)}
\lambda^2 = \frac{\omega^2}{v^2} - \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon(\omega) = \frac{\omega^2}{v^2} \left ( 1 - \beta^2 \varepsilon(\omega) \right )

İnteqralı k_1, k_2, k_3-a bölməklə, k_1 inteqralı Dirac delta funksiyasının tərifi ilə dərhal inteqrasiya oluna bilər:
E_1(\omega) = - \frac{2 i q \omega}{v^2 ( 2\pi)^{3/2}} \left( \frac{1}{\varepsilon(\omega)} - \beta^2 \right) \int_{-\infty}^\infty dk_2 \, e^{i bk_2}  \int_{-\infty}^\infty \frac{dk_3}{k_2^2 + k_3^2 + \lambda^2}

\frac{\pi}{ \left(\lambda^2 + k^2_2 \right)^{1/2}} olarsa, alarıq ki,
E_1(\omega) = - \frac{ i q \omega}{v^2 \sqrt{2\pi}} \left( \frac{1}{\varepsilon(\omega)} - \beta^2 \right) \int_{-\infty}^\infty dk_2 \frac{e^{i bk_2}}{(\lambda^2 + k_2^2)^{1/2}}
Sonuncu inteqrala diqqət yetirsək,
E_1(\omega) = - \frac{i q \omega}{v^2} \left( \frac{2}{\pi} \right)^{1/2} \left( \frac{1}{\varepsilon(\omega)} - \beta^2 \right) K_0(\lambda b)
Digər  komponentlər üçün oxşar hesablama nümunəsini izləmək olar:
 E_2(\omega) = \frac{q}{v} \left( \frac{2}{\pi} \right)^{1/2} \frac{\lambda}{\varepsilon(\omega)} K_1(\lambda b), \quad E_3 = 0 \quad  and \quad B_1 = B_2 = 0, \quad B_3(\omega) = \varepsilon(\omega) \beta E_2(\omega)
İndi biz hissəciyin qət etdiyi dx_{\text{zərrəcik}}  məsafəyə düşən dE enerjisini nəzərdən keçirə bilərik. Hərəkət edən hissəciyin trayektoriyası ətrafında a radiuslu sonsuz silindrin səthindən keçən P_a elektromaqnit enerji axını ilə ifadə oluna bilər ki, bu da Poyntinq vektoru  \mathbf S =  c / (4 \pi) [ \mathbf E \times \mathbf H]   inteqralı ilə verilir. Silindrin səthi üzərində:
\left( \frac{dE}{dx_{\text{zərrəcik}}} \right)_{\text{rad}} = \frac{1}{v} P_a = - \frac{c}{4 \pi v} \int_{-\infty}^{\infty} 2 \pi a B_3 E_1 \, dx
dx = v \, dt  istifadə etsək,
\left( \frac{dE}{dx_{\text{zərrəcik}}} \right)_{\text{rad}} = - \frac{c a }{2} \int_{-\infty}^\infty B_3(t) E_1(t) \, dt
Beləliklə alarıq ki,
\left( \frac{dE}{dx_{\text{zərrəcik}}} \right)_{\text{rad}} = -c a \operatorname{Re} \left(  \int_0^\infty B_3^*(\omega) E_1(\omega) \, d\omega \right)
Çerenkov radiasiyası sahəsinə keçmək üçün biz fərz edirik ki, perpendikulyar məsafə b mühitdəki atom məsafələrindən xeyli böyükdür, yəni | \lambda b | \gg 1. Bu fərziyyə ilə Bessel funksiyalarını onların asimptotik formasına genişləndirə bilərik:
E_1(\omega) \rightarrow \frac{i q \omega}{c^2} \left( 1 -  \frac{1}{\beta^2 \varepsilon(\omega)} \right) \frac{e^{-\lambda b}}{\sqrt{\lambda b}}

: E_2(\omega) \rightarrow \frac{q}{v \varepsilon(\omega)} \sqrt{\frac{\lambda}{b}} e^{-\lambda b} and B_3(\omega) = \varepsilon(\omega) \beta E_2(\omega)
Beləliklə,
 \left( \frac{dE}{dx_{\text{zərrəcik}}} \right)_{\text{rad}} = \operatorname{Re} \left( \int_0^\infty \frac{q^2}{c^2} \left(-i \sqrt{\frac{\lambda^*}{\lambda} }\right) \omega \left( 1 - \frac{1}{\beta^2 \varepsilon(\omega) } \right) e^{-(\lambda + \lambda^*) a} \, d\omega \right)
Əgər \lambda müsbət həqiqi hissəyə malikdirsə (adətən doğru), eksponensial ifadənin böyük məsafələrdə tez yox olmasına səbəb olacaq, yəni bütün enerji yolun yaxınlığında yerləşdiriləcək. Lakin, \lambda sırf xəyali olduqda bu doğru deyil - bu, əvəzində eksponensialın 1-ə bərabər olmasına və sonra a-dan müstəqil olmasına səbəb olur, yəni enerjinin bir hissəsi şüalanma kimi sonsuzluğa qaçır - bu, Çerenkov şüalanmasıdır.
\lambda xəyalidirsə, onda \varepsilon(\omega) həqiqidir və  \beta^2 \varepsilon(\omega) > 1

## Qeydlər


## İstinadlar