Monomorfizm

Mücərrəd cəbr və ya universal cəbr kontekstində baxıldıqda **monomorfizm inyektiv homomorfizmdir.**.
-dən -ə qədər monomorfizm bu şəkildə işarələnərək göstərilir: X\hookrightarrow Y .
Daha ümumi vəziyyətində **monomorfizm** ( **monik morfizm** və ya **mono** adlanır) sol tərəfdən ixtisar olunan morfizmdir . Yəni elə   funksiyası var ki, bütün  obyektləri və bütün morfizmlər üçün  ,f \circ g_1 = f \circ g_2 \implies g_1 = g_2. şərtləri ödənir.
 

Monomorfizmlər  isə inyeksiya funksiyalarının kateqoriyalı şəkildə ümumiləşdirilməsidir ki, ona “bir-bir funksiyalar” da deyilir.Qismən nizamlanmış çoxluqlar kontekstində kəsişmələr idempotentdir: bir şeyin özü ilə kəsişməsi özüdür. Bəzi kateqoriyalarda bu anlayışlar üst-üstə düşsə də, monomorfizmlər daha ümumi xarakter daşıyır. Morfizm geri çəkilmələrə münasibətdə idempotentdirsə, monomorfizmdir.Qəti şəkildə ikili monomorfizm epimorfizmdir, yəni *C* kateqoriyasındakı monomorfizm *C*op ikili kateqoriyasında epimorfizmdir. Hər bölmə bir monomorfizmdir və hər aparıcı bir epimorfizmdir.

## Dönməzliyə münasibət
Sol tərəfdən ixtisar olunan morfizmlər mütləq monomorfizmdir: əgər *l* *f* üçün sol tərsdirsə, yəni, l \circ f = \operatorname{id}_{X}  morfizmdirsə , onda *f* monomorfizmdir. Aşağıdakı kimi,
 f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow l\circ f\circ g_1 = l\circ f\circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.
Sol tərəfdən ixtisar olunan morfizmlər **bölünmüş mono** və ya **bölmə** adlanır.
Məsələn, qrup homomorfizmləri, əgər *H* *G-* nin altqrupudursa, onda  daxil edilir. həmişə monomorfizmdir; yalnız və yalnız *H* *G-* də normal tamamlayıcıya malik olarsa *f* kateqoriyasında sola tərs olur.

 yalnız və yalnız induksiya edilmiş xəritə  olduqda monomorfizmdir  , bütün h morfizmləri üçün .

## Nümunələr
Əsas funksiyası inyeksiya olan xüsusi kateqoriyada olan hər bir morfizm monomorfizmdir; başqa sözlə desək, əgər morfizmlər həqiqətən də çoxluqlar arasında funksiyalardırsa, o zaman birə-bir funksiya olan hər hansı morfizm mütləq şəkildə kateqoriyalı mənada monomorfizmdir. Çoxluqlar kateqoriyasında bunun əksi də doğrudur, ona görə də monomorfizmlər məhz inyeksiya morfizmləridir. Əksi, bir generatorda sərbəst obyektin mövcudluğuna görə, təbii olaraq meydana gələn cəbrlərin əksər kateqoriyalarında da doğrudur. Xüsusilə, bu, bütün qruplar, bütün üzüklər və hər bir abel kateqoriyası üçün doğrudur.

Lakin, ümumiyyətlə, bütün monomorfizmlərin digər kateqoriyalarda inyeksiya xarakterli olması düzgün deyil; yəni elə vəziyyətlər var ki, morfizmlər çoxluqlar arasında funksiyadır, lakin inyeksiya xarakterli olmayan,  kateqoriyalı mənada monomorfizm olan funksiya da ola bilər. Məsələn, bölünə bilən qrupların və onların arasında qrup homomorfizmlərinin Div kateqoriyasında inyektiv olmayan monomorfizmlər var: məsələn, q hissə xəritəsini nəzərdən keçirək: Q → Q/Z, burada Q toplamaya görə rasionaldır, Z tam ədədlərdir . Bu, inyektif xəritə deyil, çünki, məsələn, hər bir tam ədəd 0-a xəritə verir. Buna baxmayaraq, bu kateqoriyada monomorfizmdir. Bu, indi sübut edəcəyimiz q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 implikasiyasından irəli gəlir. Əgər h: G → Q olarsa, burada G hansısa bölünə bilən qrupdur və q ∘ h = 0 olarsa, h(x) ∈ Z, ∀ x ∈ G. İndi bəzi x ∈ G-ni düzəldin. Ümumiliyi itirmədən h(x) ≥ 0 (əks halda -x seçin) hesab edə bilərik. Onda, n = h(x) + 1 təyin edilərək, G bölünə bilən qrup olduğundan, x = ny olması üçün bəzi y ∈ G mövcuddur, buna görə də h(x) = n h(y). Bundan və 0 ≤ h(x) 0 \leq \frac{h(x)}{h(x) + 1} = h(y) 

 olduğundan, .  Beləliklə  olur. Buradan görünür ki,   

İxtiyari    morfizmləri üçün  olduğunu fərz edək. , burada *G* bölünə bilən qrupdur. Onda , harada ki,  . , və  olmasından  ) belə çıxır. Buradan alırıq ki,  . Beləliklə, *q* monomorfizmdir.

## Xüsusiyyətlər

* Həm monik, həm də epik olan hər hansı bir xəritə izomorfizmdir.
* Hər bir izomorfizm monikdir.

## Əlaqədar anlayışlar
*Müntəzəm monomorfizm*, *ekstremal monomorfizm*, *dərhal monomorfizm*, *güclü monomorfizm*, *parçalanmış monomorfizm* kimi faydalı anlayışlar da mövcuddur .

1.Monomorfizm bəzi cüt paralel morfizmləri bərabərləşdirirsə müntəzəm adlanır.

2.Monomorfizm\muƏlaqədar terminlər  olan monomorfizm və epimorfizm əvvəlcə Nikolas Bourbaki tərəfindən təqdim edilmişdir; Bourbaki inyeksiya funksiyası üçün monomorfizmdən istifadə edir. Erkən kateqoriya nəzəriyyəçiləri hesab edirdilər ki, inyeksiyanın kateqoriyalar kontekstinə düzgün ümumiləşdirilməsi yuxarıda verilmiş ləğvetmə xüsusiyyətidir. Bu, monik xəritələr üçün tam olaraq doğru olmasa da, çox yaxındır, buna görə də epimorfizmlərdən fərqli olaraq bir neçə problem yaratdı. Saunders Mac Lane, monomorfizmlər adlandırdığı, əsas dəsti xəritələri inyeksiya olan xüsusi bir kateqoriyaya aid xəritələr və sözün kateqorik mənasında monomorfizmlər olan monik xəritələr arasında fərq qoymağa çalışdı. Bu fərq heç vaxt ümumi istifadəyə gəlməyib.