Adi diferensial tənliklər

Sərbəst  dəyişən x, axtarılan funksiya y\left(x\right)  və onun törəməsi y^{\prime}\left(x\right) arasıda verilmişF\left(x,y,y^{\prime} \right)=0 \,\,\, (1)münasibətinə **birtərtibli adi diferensial tənlik** deyilir.Aydındır ki, F\left(x,y,z\right)   funksiyası x,y dəyişənlərinin  birindən və ya hər  ikisindən asılı  olmaya da  bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya z- dən  hökmən asılı  olmalıdır.y^{\prime} =f\left(x,y\right)\,\,\,\,\,\,\,(2)şəklində  olan  tənliyə **törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik** deyilir.Tutaq ki, f\left(x,y\right)  funksiyası XOY  müstəvisinin müəyyən bir D oblastında  təyin olunmuşdur.Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan D nöqtələr çoxluğu başa düşülür: 

1) D açıq  çoxluqdur, yəni  onun hər  bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə  bu  çoxluğa daxildir; 

2) D çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki  nöqtəsini tamamilə D – nin daxilində yerləşən və   təşkilediçilərinin  sayı  sonlu olan  sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar.**[[Tərif]].** Əgər \left(a,b\right)   inteqralında  diferensiallanan  y=\varphi \left(x\right) funksiyası \begin{array}{l} {1.\, \left(x,\varphi \left(x\right)\right)\in D,\, \, x\in \left(a,b\right)} \\ {2.\, \varphi \left(x\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right),\, \, x\in \left(a,b\right)} \end{array}şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin **<math>\left(a,b\right)</math>  intervalında həlli** deyilir.	Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya  parametrik şəkildə tapmaq  əlverişli olur.**Tərif**. Əgər\phi \left(x,y\right)=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi  təyin  olunan y=\varphi \left(x\right)  funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2)  tənliyinin **qeyri – aşkar şəkildə həlli** deyilir.**Tərif.** Parametrik şəkildə  verilmişx=\varphi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in \left(\alpha ,\beta \right) \,\,\,\,\,\,\, (4)funksiyası hər bir t üçün:

1) \left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)\in D

2) x^{\prime} =\varphi ^{\prime} \left(t\right),y^{\prime} =\psi ^{\prime} \left(t\right),\left(\varphi ^{\prime} \left(t\right)\ne 0\right) sonlu   törəmələri və

3)  \frac{\psi ^{\prime} \left(t\right)}{\varphi ^{\prime} \left(t\right)} =f\left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)   bərabərliyi ödənirsə, onda (4)  funksiyasına (2) tənliyinin \left(\alpha ,\beta \right)   inteqralında **parametrik şəklində həlli**  deyilir.**Misallar:**  1.  y^{\prime} =2x tənliyi  birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından  bilirik ki, onun həlli  y=x^{2} +c\, \, \left(-\infty  düsturu ilə təyin  olunur. Bu düsturdan görürük ki, y^{\prime} =2x   tənliyi  bir yox,  sonsuz sayda həllə malikdir. Burada C ixtiyari sabitdir.Ümumiyyətlə, y^{\left(n\right)} =0   n - tərtibli tənliyin həlli isə n dənə  sabitdən asılı  olan y=c_{1} x^{n-1} +c_{2} x^{n-2} +...+c_{n-1} x+c_{n} həllər ailəsinə malikdir.2. y=e^{2x} +e^{x}  funksiyası y^{\prime} =y+e^{2x}  tənliyinin həllidir. Doğrudan da, y=e^{2x} +e^{x}  funksiyası \left(-\infty ,+\infty \right)    inteqralında təyin olunmuş və diferensiallanandır, onu tənlikdə nəzərə alsaq2e^{2x} +e^{x} =e^{2x} +e^{x} +e^{2x} x - in bütün qiymətlərində  doğru olduğunugörərik.

3. x=a\cos t,\, \, y=b\sin t  funksiyası y^{\prime} =-\frac{b^{2} }{a^{2} } \cdot \frac{x}{y}   tənliyinin   aralığında həllidir.

Doğrudan da \frac{b\cos t}{-a\sin t} =-\frac{b^{2} }{a^{2} } \cdot \frac{a\cos t}{b\sin t}  fiziki, mexanika və s. kimi  müxtəlif elm sahələrinin və texnikanın bir çox mühüm məsələlərinin həlli diferensial tənliklərə gətirilir. Bunu aşağıdakı misalda izah edək.

Kütləsi m  olan maddi nöqtə müəyyən yüksəklikdən  ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə sərbəst düşür. Havanın miqavimətini nəzərə  almadan nöqtəyə  təsir edən F   qüvvəsi onun  hərəkətinin a  təcili vasitəsiləF=ma kimi  tapılır (Nyuton II qanunu).  Nöqtəyə ancaq ağırlıq qüvvəsi təsir etdiyindən F=p=mg    olar.

\begin{array}{l} {a=\frac{d^{2s} \left(t\right)}{dt^{2} } =S^{\prime\prime} \left(t\right)} \\ {S^{\prime\prime} \left(t\right)=g} \\ {S\left(t\right)=\frac{gt^{2} }{2} +c_{1} t+c_{2} } \end{array} S^{\prime} \left(0\right)=V_{0}  və  S\left(0\right)=S_{0}  məlum olarsa   və  C_{1} =V_{0}   və C_{2} =S_{0} S\left(t\right)=\frac{gt^{2} }{2} +V_{0} t+S_{0}. 

## Həmçinin bax
* Riyaziyyat

* Tənlik

## Ədəbiyyat
* 1.Q.Т.əhmədov, К.Q.Həsənov, М.H.Yaqubov, Adi diferensial tənliklər kursu, Bakı, Maarif, 1978. 

* 2.И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1984. 

* 3.Л.С.Понтрягин, Обыкновеные дифференциальные уравнения, М., Наука, 1982. 

* 4.В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М.,1959. 

* 5.А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 2004.  

* 6.Х.М.Quliyev, К.Q.Həsənov, Diferensial tənliklər. Məsələ və misallar həlləri ilə, Bakı, Çaşıoğlu, 2001. 

* 7.М.H.Yaqubov, Y.Т.Mehrəliyev, Birtərtibli adi diferensial tənliklər, BDU, Bakı, 1999. 

* 8.Л.Э.Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление, Москва, 1969. 

* 9.Н.М.Матвеев, Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений, Минск, Выщэйщая школа, 1974. 

* 10.А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников, Дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1985.