Productoriu

El **productoriu**, tamién conocíu como **multiplicatorio**, **multiplicatoria** o a cencielles **productu** (por denotase como una lletra pi mayúscula), ye una notación matemática que representa una multiplicación d'una cantidá arbitraria (finita o infinita).

## Notación
La notación espresar cola lletra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:

Pa tolos valores *m* 
 \prod_{k=m}^n a_k =
 a_m \cdot a_{m+1} \cdot
 \quad \dots \quad
 \cdot a_{n}


Si *m* = *n* tenemos que:
: 
 m = n
 \; , \quad
 \prod_{k=m}^n a_k =
 \prod_{k=m}^m a_k =
 a_{m}


Nel casu de que *m* sía mayor que *n*, *m* > *n*, asígnase-y el valor del elementu neutru de la multiplicación, l'unu:
: 
 m > n
 \; , \quad
 \prod_{k=m}^n a_k =
 1


Puede definise por inducción como sigue.

1. Defínese :: 

 \prod_{k=1}^1 a_k =
 a_1


2. Supuesta definida pa un n&nbsp;≥&nbsp;1 fixu, defínese :: 

 \prod_{k=1}^{n+1} a_k =
 \left (
 \prod_{k=1}^n a_k
 \right )
 a_{n+1}


## Exemplu

Puede usase'l productoriu pa definir otres igualdaes importantes. Asina, tomando *n*=1 y aplicando la segunda igualdá llógrase:
:
 \prod_{k=1}^2 a_k =
 \left(
 \prod_{k=1}^1 a_k
 \right)
 (a_2) =
 a_1 a_2
.

Definida pa *n*=2, puede aplicase otra vegada la segunda igualdá con *n*=2 pa depués llograr
:
 \prod_{k=1}^3 a_k =
 \left(
 \prod_{k=1}^2 a_k
 \right)
 (a_3) =
 (a_1 a_2) a_3
.

Asina, usando la propiedá asociativa de la multiplicación, el productu \mathit{(a_1a_2)a_3} \,\! ye'l mesmu que \mathit{a_1(a_2a_3)} \,\! y, poro, podemos prescindir del usu de paréntesis ensin peligru de tracamundiu y usar a cencielles 
: 
 a_1 \, a_2 \, a_3 = \prod_{k=1}^3 a_k
.

Puédese entós, usar esti razonamientu pa cualesquier  n \in \mathbb{N}  ensin qu'haya peligru de tracamundiu.

Otru exemplu de productoriu bien conocíu ye'l que s'utiliza pa definir *n*! (*n* factorial) como sigue:
: 
 \prod_{k=1}^n k =
 n!


Defínese  0! = 1! = 1 

## Propiedaes

Puede usase el métodu d'inducción matemática para demostrar delles propiedaes. Pa ello, basaremos na definición formal por inducción descrita enantes.

### Propiedá Multiplicativa
: 
 \prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})} =
 \left(
 \prod_{k=1}^n a_k
 \right)
 \left(
 \prod_{k=1}^n b_k
 \right)


**Demostración per Inducción**
i) Tomemos **n=1** y veamos si cumple la igualdá :

 \prod_{k=1}^1 {({a_k}{b_k})} =
 a_1b_1 =
 \left(
 \prod_{k=1}^1 a_k
 \right)
 \left(
 \prod_{k=1}^1 b_k
 \right)


y la igualdá ye cierta pa *n*=1

ii) Supongámosla cierta pa *n* y analicémosla pa *n*+1
: 
 \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} =
 \left[
 \prod_{k=1}^n {({a_k}{b_k})}
 \right]
 (a_{n+1}b_{n+1})
 

: 
 \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} =
 \left(
 \prod_{k=1}^n a_k
 \right)
 \left(
 \prod_{k=1}^n b_k
 \right)
 a_{n+1}b_{n+1}


*(Definición per inducción)*
:
 \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} =
 \left[
 \left(
 \prod_{k=1}^n a_k
 \right)
 (a_{n+1})
 \right]
 \left[
 \left(
 \prod_{k=1}^n b_k
 \right)
 (b_{n+1})
 \right]


*(Asociatividad en DIR)*
Depués, : 

 \prod_{k=1}^{n+1} {({a_k}{b_k})} =
 \left(
 \prod_{k=1}^{n+1} a_k
 \right)
 \left(
 \prod_{k=1}^{n+1} b_k
 \right)


### Propiedá Telescópica
: 
 \prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
 \frac{a_n}{a_0}
 , \quad
 \text{si cada}
 \;
 a_k \neq 0


**Demostración per Inducción**

i) Analicemos pa *n*=1
: 
 \prod_{k=1}^1 {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
 \frac{a_1}{a_0}
 , \quad
 \text{con:}
 \;
 a_0 \neq 0
 \;
 \text{y la igualdá ye cierta para:}
 \;
 n=1


ii) Supongámosla cierta pa *n* y analicémosla pa *n*+1
: 
 \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
 \left(
 \prod_{k=1}^n {\frac{a_k}{a_{k-1}}}
 \right)
 \left(
 \frac{a_{n+1}}{a_n}
 \right)
 *(Definición per inducción)*

Depués, :

 \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
 \frac{a_n}{a_0} \; \frac{a_{n+1}}{a_n}

que ye lo que queríamos demostrar.

Nótese que la nuesa esixencia yera que pa cada \mathit{k} \,\!,  a_k \neq 0 . En particular, pa \mathit{k=n} \,\!,  a_k = a_n \neq 0 . Depués la simplificación ye posible y :

 \prod_{k=1}^{n+1} {\frac{a_k}{a_{k-1}}} =
 \frac{a_{n+1}}{a_0}
.

## Ver tamién

*Sumatorio
*Factorial
*Suma
*Multiplicación
*Coproducto (teoría de categoríes)

## Referencies

## Enllaces esternos

*