Socesión matemática

N'analís matemáticu y álxebra, una **socesión ** ye una aplicación que'l so dominiu ye'l conxuntu de los númberos naturales y el so codominio ye cualesquier otru conxuntu , xeneralmente de númberos de distinta naturaleza, tamién pueden ser figures xeométriques o funciones. Cada unu d'ellos ye denomináu *términu* (tamién *elementu* o *miembru*) de la socesión y al númberu d'elementos ordenaos (posiblemente infinitos) denominar la *llargor* de la socesión. Nun tien de confundir se con una serie matemática, que ye la suma de los términos d'una socesión. 

A diferencia d'un conxuntu, l'orde en qu'apaecen los términos sí ye relevante y un mesmu términu puede apaecer en más d'una posición. De manera formal, una socesión puede definise como una función sobre'l conxuntu de los númberos naturales (o un subconxuntu del mesmu) y ye por tanto una función discreta.

Por casu, la socesión (*A, B, C*) ye una socesión de lletres que difier de la socesión (*C*, *A*, *B*). Nesti casu falar de socesiones finitas (de llargor igual a 3). Un exemplu de socesión infinita sería la socesión de númberos positivos pares: 2, 4, 6, 8...

N'ocasiones identificar a les socesiones finitas con pallabres sobre un conxuntu. Puede considerase tamién el casu d'una socesión vacía (ensin elementos), pero esti casu puede escluyise dependiendo del contestu.

## Historia

Les socesiones que siguen una regla determinada llamaron siempres l'atención de los matemáticos de toles xeneraciones. Pero, a pesar d'esto y de que se conocíen dende tiempos alloñaos, nun fueron estudiaes de forma detallada hasta la dómina de mayor desenvolvimientu de les matemátiques nel sieglu XVIII. Foi nesi tiempu cuando se perfeccionó'l conceutu de llende d'una socesión como'l valor al cual avérense de forma socesiva los sos términos.

Ensin cuestión dalguna, Leonhard Euler foi'l matemáticu más destacáu d'esa dómina, gracies a les sos contribuciones decisives en diversos campos de les matemátiques, sobremanera, nel campu de les socesiones y de les series numbériques. 
Tamién cabo destacar al matemáticu italianu Leonardo de Pisa, quien, nel sieglu sieglu XII, introdució n'Europa una de les socesiones matemátiques que mayor esistencia tien nos fenómenos naturales, *los [[númberos de Fibonacci]]*.

Polo xeneral, les socesiones utilizar pa representar llistes ordenaes d'elemento pero, sobremanera, dientro de les matemátiques discretes son emplegaes d'otres diverses maneres como, por casu, dientro de les ciencies de la computación y na teoría de xuegos.

## Xeneralidaes

### Notación

Esisten distintos notaciones y nociones de socesión en matemátiques, dependiendo del área d'estudiu, dalgunes de les cuales (como por casu socesión exacta) nun queden entendíes na notación que s'introduz de siguío.

Suelse usar la notación \{ a_n \} pa indicar una socesión, onde a_n fai referencia al elementu de la socesión na posición *n*, llamáu *términu xeneral*. El subíndice {n\in \mathbb{N}} indica'l llugar qu'ocupa en dicha socesión. Un exemplu puede ser el de los númberos positivos pares, denotando dicha socesión por \{ a_n \}:

entós

Nel casu de que los elementos de la socesión queden determinaos por una regla, puede especificase la socesión faciendo referencia a la fórmula d'un términu arbitrariu. Na socesión anterior \{ a_n \} puede especificase por aciu la fórmula a_n=2n.

Ye frecuente atopar socesiones onde los subíndices que denoten posición empecipien dende cero, en vegada dende unu, particularmente en matemática discreta o en ciencies de la computación. Tamién puede usase una variable distinta a *n* pa denotar el términu xeneral, cuando asina convenga pa evitar tracamundiu con otres variables.

Na lliteratura ye posible atopar una gran variedá de notaciones alternatives. Por casu, usu de paréntesis en cuenta de llaves, o indicaciones de les *llendes* por aciu variantes con super y subíndices, de siguío amuésense dellos pocos exemplos:
* (a_n)=a_1,a_2,a_3,\ldots  
* ( a_k )_{k=1}^m =a_1,a_2,a_3,\ldots, a_m  
* \{ a_n \}_{n\in \N} =a_1,a_2,a_3,\ldots, 

### Socesiones definíes por recurrencia

Una rellación de recurrencia pa una socesión \left\.

Ye incorreutu representar a la estensión nos reales col mesmu nome ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ), pos, tratar d'una asociación totalmente arbitraria y non unívoca que trai tracamundiu y nun tien sentíu pa delles funciones definíes a cachos. Suelse llamar a la estendida por casu  P_{}^{}, \; Q_{}^{}, \; \phi_{}^{} o  \psi_{}^{} si ye un polinomiu, o g_{}^{} o h_{}^{} si son funciones trigonométriques, amestando subíndices si fai falta.

La función *f* puede adquirir propiedaes de la estendida *P*, si esiste *P* con diches propiedaes, como llendes al infinitu, monotonía, acotaciones, ente otres.

## Xeneralización en distintes árees
Estos exemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidá, puramente dicha, d'usos que tienen diches socesiones en matemátiques.

El trabayu internu nel desenvolvimientu de cada tema en cada área obliga a diversificar la manera de nomar y notar les socesiones, faciéndose frecuente l'usu d'índices, subíndices y superíndices pa salvar la sobrecarga de notación y faeles más legibles y estétiques tocantes a la presentación.

### L'espaciu de socesiones finitas complexes <math>\mathbb{C}</math>
Puede tenese una socesión \left\{ {a^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}} tal que  {a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)} ,0,...)\text{, onde } a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}-\left\{0\right\}

### L'espaciu de socesiones complexes o ℓ<sup>2</sup> <math>\mathbb{C}^n</math>
Puede tenese una socesión \left\\right\}_{i\in \mathbb{N}} tal que  {V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)})\text{, onde } a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}

### L'espaciu de polinómico K[x]
Un polinomiu P(x) \in K[x] nun ye más qu'una socesión finita \left\, onde  V_n^{}:= \alpha_n B, onde  \alpha_n \in \mathbb{R} ye una socesión real arbitraria y B un abiertu.

### Socesiones funcionales
Puede tenese una socesión de funciones continues \left\=\sin(x)^n.

### Nel llinguaxe proposicional
Sía \Alpha_{} un alfabetu, vamos llamar \Alpha^n al conxuntu de socesiones finitas de *n* elementos de \Alpha_{}, defínese inductivamente pola socesión de productos cartesianos siguiente: \Alpha^1=\Alpha, \Alpha^2=\Alpha\times \Alpha,\, \cdots ,\, \Alpha^n:=\Alpha^{n-1}\times \Alpha
* asina \langle a_1,\cdots ,a_n \rangle :=\langle\langle a_1,\cdots ,a_{n-1} \rangle ,a_n \rangle \in \Alpha^n \text{, y } a_i:= \langle a_i \rangle \in \Alpha.

### N'homoloxía simplicial
El complexu de cadenes simplicial del complexu simplicial K, nun ye más qu'una determinada socesión de grupos abelianos y morfismos.

### Nel llinguaxe de les categoríes
Sía  \mathcal{A}  una categoría, podemos tener una socesión \left\, onde A_{n}^{} \in \mathrm{Ob}({ \mathcal{A} }).

## Ver tamién

* Llende d'una socesión
* Serie matemática
* Socesión exacta
* Socesión de Cauchy
* Socesión de Farey
* Socesión de Fibonacci
* Socesión de Goodstein
* Socesión de Padovan
* Socesión de Thue-Morse

* Ecuaciones en diferencies
* Tresformada Z
* Númberu de Perrin
* Enciclopedia electrónica de secuencies d'enteros
* Progresión aritmética
* Progresión xeométrica
* OEIS
* Socesión de númberos primos

## Referencies

## Bibliografía
* 
* Watson Fulks. "Cálculu avanzáu".
*J. Dieudonné. " Fundamentos d'analís modernu".
* Lages Lima. " Cursu d'analís matemáticu''
* Banach. " Cálculu".
* Spivak . "Calculus"
* V.F. Butúzov. " Analís matemáticu"

## Enllaces esternos

* Cálculu de la fórmula d'una socesión