Ecuación en derivaes parciales

En matemátiques una **ecuación en derivaes parciales** (dacuando embrivíu como **EDP**) ye aquella ecuación diferencial que les sos incógnites son funciones de diverses variables independientes, cola peculiaridá de qu'en dicha ecuación figuren non solo les mesmes funciones sinón tamién les sos derivaes. Tienen qu'esistir funciones d'a lo menos dos variables independientes. O bien una ecuación qu'arreye una función matemática *<math>o</math>* de delles variables independientes *<math>x,y,z,t,...</math>* y les derivaes parciales de *<math>o</math>* respectu d'eses variables. Les ecuaciones en derivaes parciales emplegar na formulación matemática de procesos de la física y otres ciencies que suelen tar distribuyíos nel espaciu y el tiempu. Problemes típicos son l'espardimientu del soníu o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluyíos, la elasticidá, la mecánica cuántica y munchos otros. Conocer tamién como *ecuaciones diferenciales parciales*. Participaron, al entamu, nel so estudiu los franceses d'Alembert, Fourier, matemáticos de la dómina napoleónica.

## Introducción
Una ecuación diferencial en derivaes parciales (EDP) pa la función o(x_1,...x_n)\, tien la siguiente forma:

onde \scriptstyle F ye una función llinial de o\, y los sos derivaes si:

Si F\, ye una función llinial de o\, y les sos derivaes, entós la EDP ye llinial. Exemplos comunes de EDPs son la ecuación del calor, la ecuación d'onda y la ecuación de Laplace. Una ecuación diferencial en derivaes parciales simple pue ser:
:\frac{\partial o}{\partial x} (x,y)=0\, 
onde *o* ye una función de *x* y *y*. Esta rellación implica que los valores de *o*(*x*, *y*) son dafechu independientes de *x*. Polo tanto la solución xeneral d'esta ecuación diferencial ye:

onde *f* ye una función arbitraria de *y*. La ecuación diferencial ordinaria (Similar a la EDP, pero con funciones d'una variable) análoga ye 
que tien la siguiente solución

Onde *c* ye cualquier valor constante (independiente de *x*). Estos dos exemplos ilustren que les soluciones xenerales de les ecuaciones diferenciales ordinaries caltener con constantes, pero les soluciones de les ecuaciones diferenciales en derivaes parciales xeneren funciones arbitraries. Una solución d'una ecuación en derivaes parciales xeneralmente nun ye única; de tala forma que tiénense qu'apurrir condiciones adicionales de contorna capaces de definir la solución de forma única. Por casu, nel casu senciellu anterior, la función \scriptstyle f(y)\, puede determinase si \scriptstyle o\, especifícase sobre la llinia \scriptstyle x=0\,.

### Notación y exemplos
Nes ecuaciones diferenciales en derivaes parciales ye bien común denotar les derivaes parciales emplegando sub-índices (Notación tensorial). Esto ye:

Especialmente na física matemática, suelse preferir el operador nabla (qu'en coordenaes cartesianes escríbese como \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z) pa les derivaes espaciales y un puntu (\dot o) pa les derivaes qu'arreyen el tiempu, por casu pa escribir la Ecuación d'onda (vease más embaxo) como :\ddot
o=c^2\Delta o \, (notación matemática)

:\ddot o=c^2\nabla^2o \, (notación física)

### Solución xeneral y solución completa
Toa ecuación diferencial en derivaes parciales de primer orde tien una solución dependiente d'una función arbitraria, que se denomina usualmente solución xeneral de la EDP. En munches aplicaciones físiques esta solución xeneral ye menos importante que les llamaes soluciones completes, que frecuentemente pueden llograse pol métodu de separación de variables.

Una solución completa ye una solución particular de la EDP que contién tantes constantes arbitraries independientes como variables independientes intervienen na ecuación. Por casu la integración de les ecuaciones del movimientu d'un sistema mecánicu por aciu el métodu basáu na ecuación de Hamilton-Jacobi rique una integral completa, ente que la solución xeneral resulta menos interesante dende'l puntu de vista físicu.

### Esistencia y unicidá
Anque l'asuntu de la esistencia y unicidá de les soluciones de les ecuaciones diferenciales ordinaries tien una respuesta bien satisfactoria resumida nel teorema de Picard-Lindelöf, el mesmu asuntu pa les ecuaciones en derivaes parciales ta lloñe de tar satisfactoriamente resueltu. Anque esiste un teorema xeneral, el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, qu'afirma que pa una EDP, que ye analítica na función incógnita y les sos derivaes, tien una única solución analítica. Anque esta resultancia que paez establecer la esistencia y unicidá de la soluciones, apaecen exemplos de EDP de Ecuación diferencial#Orde de la ecuación primer orde que los sos coeficientes tienen derivaes de cualesquier orde (anque ensin ser analítiques) pero que nun tienen solución. Inclusive si la solución d'una EDP esiste y ye única, ésta puede tener propiedaes indeseables.

Un exemplu de comportamientu patolóxicu ye la secuencia de problemes de Cauchy dependientes del parámetru *n* pa la ecuación de Laplace:

con condiciones iniciales

Onde *n* ye un enteru. La derivada de *o* con al respective de *y* averar a 0 uniformemente en *x* a midida que *n* amóntase, pero la solución ye:

Esta solución averar a infinitu si *nx* nun ye un enteru múltiplu de π para cualquier valor de *y*. El problema de Cauchy pa la ecuación de Laplace denominar *mal propuestu* o *[[Problema bien definíu|mal definíu]]*, yá que la solución nun depende de cutio de los datos del problema. Estos problemes mal definíos nun son usualmente satisfactorios pa les aplicaciones físiques.

## Clasificación de les EDP de segundu orde
Les EDP de segundu orde clasifíquense davezu dientro de cinco tipos de EDP que son d'interés fundamental, de siguío danse exemplos d'estos cinco tipos:

Con mayor xeneralidá, si tiense una ecuación de segundu orde del tipu:

Con estos coeficientes monta la siguiente matriz:

En función del determinante la ecuación :
* dizse que ye *elíptica* si la matriz *Z* tien un determinante mayor a 0.
* dizse que ye *parabólica* si la matriz *Z* tien un determinante igual a 0.
* dizse que ye *hiperbólica* si la matriz *Z* tien un determinante menor a 0.
Nomes d'oxetos de la xeometría analítica y llámense cóniques.

## EDP d'orde cimeru
Magar les EDP de segundu orde aplicar a una inmensa cantidá de fenómenos físicos; otra cantidá menor de procesos físicos topen solución en EDP d'ordes cimeros, como exemplos podemos citar:
:* Flexón mecánica d'una placa elástica:

:* Vibración flexonal d'una viga:

:* Ecuación de Korteweg-de Vries, que tien soluciones de tipu solitón, 

## Ver tamién
* Ecuación hiperbólica en derivaes parciales
* Ecuación parabólica en derivaes parciales
* Ecuación elíptica en derivaes parciales
* Ecuación en diferencies finitas
* Ecuación diferencial estocástica

## Referencies

### Bibliografía

*
* Ireneo Peral, *[http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ireneo/libro.pdf Primer cursu d'ecuaciones en derivaes parciales] *. Departamentu de Matemátiques, Universidá Autónoma de Madrid.
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## Enllaces esternos

 (n'inglés).
* Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* Example problems with solutions  at exampleproblems.com
* 
* Dispersive PDE Wiki
* NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia