Hipérbola

Una **hipérbola** (del griegu ὑπερβολή) ye una seición cónica, una curva abierta de dos rames llograda cortando un conu rectu por un planu oblicuu a la exa de simetría, y con ángulu menor que'l de la generatriz respectu de la exa de revolución.

## Etimoloxía. Hipérbole ya hipérbola

*Hipérbola* deriva de la pallabra griega ὑπερβολή (*escesu*), y ye cognáu de *hipérbole* (la figura lliteraria qu'equival a *desaxeración*).

## Historia

Según la tradición, les seiciones cóniques fueron afayaes por Menecmo, nel so estudiu del problema de la duplicación del cubu, onde demuestra la esistencia d'una solución por aciu la corte d'una parábola con una hipérbola, lo cual ye confirmáu darréu por Proclo y Eratóstenes.

Sicasí, el primeru n'usar el términu *hipérbola* foi Apolonio de Perge nel so tratáu *Cóniques*, considerada obra cume sobre la tema de les matemátiques griegues, y onde se desenvuelve l'estudiu de les tanxentes a seiciones cóniques.

## Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenaes cartesianes:
Ecuación d'una hipérbola con centru nel orixe de coordenaes (0, 0) \, y ecuación de la hipérbola na so forma canónica.
 
:\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 
 
Ecuación d'una hipérbola con centru nel puntu (h, k) \, 
 
:\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1  
 
Exemplos: 
 
a) 
:\frac{(x)^2}{25} - \frac{(y)^2}{9} = 1  
b) 
:\frac{(y)^2}{9} - \frac{(x)^2}{25} = 1 

Si la exa *x* ye positivu, entós la hipérbola ye horizontal; si ye al aviesu, ye vertical. La escentricidá d'una hipérbola siempres ye mayor qu'unu.

**Ecuación de la hipérbola na so forma complexa**

Una hipérbola nel planu complexu ye'l llugar xeométricu formáu por un conxuntu de puntos z\,, nel planu Re Im\,; tales que, cualesquier d'ellos satisfai la condición xeométrica de que'l valor absolutu de la diferencia de les sos distancies |z-w_1|-|z-w_2|\,, a dos puntos fixos llamaos focosw_1\, y w_2\,, ye una constante positiva igual al doble de la distancia (esto ye 2l\, ) qu'esiste ente'l so centru y cualesquier de los sos vértices de la exa focal.

La ecuación queda: |z-w_1|-|z-w_2|=2l\, 

Evidentemente esta operación llevar a cabu nel conxuntu de los númberos complexos.

## Ecuaciones en [[coordenaes polares]]
 

*Hipérbola abierta de derecha a esquierda:* 
:r^2 =a\sec 2\theta \,

*Hipérbola abierta de riba abaxo:*
:r^2 =-a\sec 2\theta \,

*Hipérbola abierta de nordés a suroeste:* 
:r^2 =a\csc 2\theta \,

*Hipérbola abierta de noroeste a sureste:*
:r^2 =-a\csc 2\theta \,

Hipérbola con orixe nel focu derechu:

r(\theta) = \frac{a(\varepsilon^2-1)}{1-\varepsilon\cos\theta}

Hipérbola con orixe nel focu esquierdu:

r(\theta) = \frac{a(\varepsilon^2-1)}{1+\varepsilon\cos\theta}

## Ecuaciones paramétricas

*Hipérbola abierta de derecha a esquierda:*
:\begin{matrix}
 x = a\sec t + h \\
 y = b\tan t + k \\
\end{matrix}
\qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix}
 x = \pm a\cosh t + h \\
 y = b\sinh t + k \\
\end{matrix}


*Hipérbola abierta de riba abaxo:*
:\begin{matrix}
 x = a\tan t + h \\
 y = b\sec t + k \\
\end{matrix}
\qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix}
 x = a\sinh t + h \\
 y = \pm b\cosh t + k \\
\end{matrix}


En toles fórmules (*h*,*k*) son les coordenaes del centru de la hipérbola, *a* ye'l llargor del semiexe mayor, *b* ye'l llargor del semiexe menor.

## Elementos de la hipérbola

### Exa mayor o real
La exa mayor ye la recta de la hipérbola onde pertenecen los focos y los vértices de la mesma. El so valor ye 2a y ye perpendicular a la exa imaxinaria

### Exa menor o imaxinariu
La exa menor o imaxinariu nun tien puntos de mancomún cola hipérbola. Sicasí, siempres se cumple que les perpendiculares llanzaes pelos sos estremos corten coles perpendiculares llanzaes pelos estremos de la exa mayor en 4 puntos que pueden sirvir pa trazar les asíntotas.

### Asíntotas
Son les rectes r y r' que pasen pel centru de la hipérbola y verifiquen que s'averen a les cañes al alloñar del centru de la hipérbola.

Les ecuaciones de les asíntotas son: r: y= b/a x r': y = -b/a r

### Vértices
Los vértices d'una hipérbola son los puntos onde esta curtia a les sos exes.

### Focos
Son dos puntos,  F_1 \,y\, F_2, respectu de los cualos permanez constante la diferencia de distancies (en valor absolutu) a cualquier puntu, x, de dicha hipérbola.

:\vert d(F_1,x)-d(F_2,x)\vert=cte

### Centro
Puntu mediu de los vértices y de los focos de la hipérbola.

### Tanxentes
La tanxente a una hipérbola en cualquier puntu de la curva ye bisectriz del ángulu formáu pelos radios vectores d'esi puntu.

### Radiu de combadura
Sía'l puntu M (x_0, y_0)  de la hipérbola, entós el radiu de combadura ye  = \frac{(r_1\cdot r_2)^{1.5}}{ab}}}, la ecuación de la hipérbola ye  

### Árees
01.Sía'l segmentu AMN  onde A, vértiz d'una caña; M y N estremos d'una cuerda perpendicular a la exa focal, entós l'área ye 

02. Sía'l cuadriláteru curvu OAMG , onde O (orixe de coordenaes); segmentu OG sobre una asíntota; OA estremos centru y un vértiz; y M(xy)  un puntu de la hipérbola; MA un arcu d'hipérbola; L'área ye 

## Ver tamién
* Xeometría analítica
* Seición cónica
* Recta
* Circunferencia
* Elipse
* Parábola
* Esferes de Dandelin

## Referencies

## Enllaces esternos

* Exercicios resueltos y videu tutoriales sobre hipérbola
* 
* Apollonius' Derivation of the Hyperbola at Convergence
* 
* 
* 
*