Enerxía potencial

La **enerxía potencial** ye la enerxía mecánica acomuñada a la llocalización d'un cuerpu dientro d'un campu de fuercies (gravitatoria, electrostática, etc.) o a la esistencia d'un campu de fuercies nel interior d'un cuerpu (enerxía elástica). La enerxía potencial d'un cuerpu ye una consecuencia de la que'l sistema de fuercies qu'actúa sobre un cuerpu seya conservativo.

Independientemente de la fuercia que la anicie, la enerxía potencial que tien el sistema físicu representa la enerxía "almacenada" en virtú de la so posición y/o configuración, por contraposición cola enerxía cinética que tien y que representa la so enerxía debida al movimientu. Pa un sistema conservativo, la suma d'enerxía cinética y potencial ye constante, eso xustifica'l nome de fuercies conservativas, esto ye, aquelles que faen que la enerxía "calténgase". El conceutu d'enerxía potencial tamién puede usase pa sistemes físicos nos qu'intervienen fuercies disipativas, y que por tanto nun caltienen la enerxía, namái que nesi casu la enerxía mecánica total nun va ser constante, y p'aplicar el principiu de caltenimientu de la enerxía ye necesariu contabilizar la disipación d'enerxía.

El valor de la enerxía potencial depende siempres del puntu o configuración de referencia escoyíu pa midila, por esa razón dizse dacuando que físicamente namái importa la variación d'enerxía potencial ente dos configuraciones..

La enerxía potencial intervién como se mentó nel principiu de caltenimientu de la enerxía y el so campu d'aplicación ye bien xeneral. Ta presente non solo na física clásica, sinón tamién de la física relativista y física cuántica. El conceutu xeneralizóse tamién a la física de partícules, onde se llegaron a utilizar potenciales complexos al envís d'incluyir tamién la enerxía disipada pol sistema.

## Introducción
Magar la enerxía cinética (Y_c) d'un cuerpu ye una propiedá física que depende del so movimientu, la enerxía potencial (Y_p), sicasí, ye un conceutu d'enerxía que va depender del tipu d'interacción que s'exerz sobre'l cuerpu, de la so posición y de la configuración nel espaciu del citáu cuerpu o cuerpos sobre los que s'aplica. Asina nuna situación ideal na que los oxetos que constitúin el sistema físicu n'estudiu tean ausentes de resfregón, entós la suma de dambes enerxíes, cinética y potencial, va representar la enerxía total del sistema, Y, y vase a caltener, independientemente de la posición o posiciones que vaya ocupando'l sistema nel tiempu.

La noción d'enerxía potencial rellacionar col trabayu realizáu poles fuercies sobre'l sistema físicu pa treslladalo d'una posición a otra del espaciu. La función enerxía potencial va depender de forma importante del tipu de campu de fuercies o interacción qu'actúe sobre'l sistema. Por casu, la fuercia de gravitación, la electromagnética, responsable de les interacciones llétrica y magnética, o la elástica (derivada de la electromagnética). Si'l trabayu nun depende del camín siguíu, entós a encomalo \overrightarrow{F} llámase-y conservativa y el trabayu W espresa la diferencia d'enerxía potencial Y_{p_A}-Y_{p_B} del sistema ente la posición de partida (A) y la posición de llegada (B).


W_{AB} = \int_{B}^{A}\overrightarrow{F }\cdot \, \overrightarrow{dl} = Y_{p_A}-Y_{p_B}

\qquad \qquad 

Tamién s'utiliza la función potencial V en llugar de la enerxía potencial Y_p pa representar el trabayu realizáu pola unidá básica de la interacción. Si, por casu, la interacción ye la gravitatoria, sería la unidá de masa y nel casu de la interacción llétrica, la unidá de carga.

La función enerxía potencial y, cuantimás, la función potencial, tienen gran interés na física non solo cuando s'apliquen a les interacciones que son importantes a la nuesa escala, como son la gravitatoria, la electromagnética y la elástica (derivada de la electromagnética), sinón tamién cuando s'estudia cualquier tipu de fuercia o interacción, inclusive na física cuántica al tratar de resolver la dinámica d'un sistema físicu por aciu la ecuación de Schrödinger. Aplícase, por casu, a la física atómica nel llogru de los estaos electrónicos del átomu o na física molecular, pal llogru de los estaos electrónicos, de vibración, de vibración-rotación y de rotación de la molécula, según na física del estáu sólidu. Tamién s'aplica na física nuclear.

N'otres formulaciones más xenerales de la física, la función potencial xuega, asina mesmu, un papel importante. Ente elles, les formulaciones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica.

## Enerxía potencial gravitatoria

La enerxía potencial gravitatoria defínese como la enerxía que tienen los cuerpos pol fechu de tener masa y tar asitiaos a una determinada distancia mutua. Ente les mases de grandes magnitúes exécense fuercies d'atraición, de mayor intensidá cuanto mayores son estes. Aplicáu, por casu, al movimientu planetariu, la masa mayor ye la del sol que crea un campu de fuercies gravitatoriu qu'actúa sobre les mases menores de los planetes. De la mesma, cada planeta crea un campu de fuercies gravitatoriu qu'actúa sobre les mases menores que tean próximes al planeta, los satélites.

El trabayu realizáu pa llevar una masa de prueba m en presencia d'otra masa M, fonte del campu gravitatoriu, dende un puntu A a otru B, ye la diferencia de la enerxía potencial de la masa m nel puntu de partida A menos la enerxía potencial nel puntu de llegada B. El citáu trabayu nun depende del camín siguíu sinón tan solo de los puntos inicial y final. Al gociar d'esta propiedá la fuercia gravitatoriu y el campu gravitatoriu (la fuercia gravitatoriu sobre la unidá de masa), al campu llámase-y campu conservativo y tien plenu sentíu llograr el potencial gravitatoriu, deriváu del campu creáu pola masa M, según la enerxía potencial gravitatoria derivada de la fuercia gravitatoriu ente les mases m y M.
 
Si considérase una masa M nel orixe del sistema de coordenaes como fonte del campu gravitatoriu y escuéyese como referencia l'infinitu, puntu nel que cualquier masa m tien una enerxía potencial nula, la enerxía potencial ye'l trabayu necesariu pa llevar la masa m dende l'infinitu hasta un determináu puntu A definíu pola coordenada  r  (la distancia del puntu A al orixe de coordenaes).


W = Y_{p_A} - Y_{p_\infin} = 
 \Delta Y_p = - \int_{\infin}^{A}F_g \cdot \, dr = -\int_{\infin}^{A} \frac {G \cdot M \cdot m } { r^2 } \cdot \, dr = G \cdot M \cdot m \cdot \left \lbrack \frac{1}{r} \right \rbrack _\infin^A= \frac {G \cdot M \cdot m } { r_A } = Y_{p_A} \qquad \qquad [1] 

Onde:
Y_p ye la enerxía potencial gravitatoria de la masa m, que'l so valor depende de la distancia r ente la masa de prueba m y la masa M que xenera'l campu gravitatoriu, y mídese en xulios (J). Per otru llau, F_g 
= \frac {G \cdot M \cdot m } { r^2 }  ye la fuercia gravitatoriu sobre la masa de prueba m asitiada a una distancia r de la masa M que crea'l campu gravitatoriu y mídese en newtons (N).
Amás, G ye la constante de gravitación universal, que'l so valor ye  G = 6.673\times 10^{-11} \; \left (\cfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2} \right ) .
Finalmente, M y m midir en kilogramos (kg) 
R ye la distancia que dixebra les dos mases, midida en metros (m) 

La ecuación [1] que representa la enerxía potencial Y_{p_A} de les mases m y M cuando tán dixebraes una distancia r_A, ye aplicable tanto a mases puntuales como a mases con simetría esférica, siendo la distancia ente elles, la qu'hai ente los centros de diches esferes.

### La enerxía potencial cerca de la superficie de la Tierra
La enerxía potencial que tien una masa  m  asitiada a un altor  h  sobre la superficie terrestre vale:


 \Delta Y_p = m \cdot g \cdot h \qquad \qquad [2]
 

Esta espresión ye un casu particular de la ecuación anterior [1]. Dichu casu preséntase cuando la masa atopar a un altor pequeñu sobre la superficie de la tierra. Pa demostralo, basta con aplicar la espresión [1] y considerar la variación d'enerxía potencial ente los altores sobre la superficie de la tierra,  h_1  y  h_2, (h_1 \leqslant R_t, h_2 \leqslant R_t  y  h_2>h_1)  siendo  R_t  el radiu de la tierra.

 
\Delta Y_p = Y_{p2} - Y_{p1} = G \cdot M \cdot m \cdot \left (\frac{1}{R_t + h_1} - \frac{1}{R_t + h_2} \right )=



= Y_{p2} - Y_{p1} = G \cdot M \cdot m \cdot \frac{(h_2 - h_1)}{R_t^2 + R_t \cdot (h_2 + h_1) + h_1 \cdot h_2} \approx G \cdot M \cdot m \cdot \frac{h_2 - h_1}{R_t^2} \qquad \qquad [3]


Nesti casu, los productos R_t \cdot h_2 , R_t \cdot h_1 y h_1 \cdot h_2  son bien pequeños comparaos con  R_t^2 y, poro, pueden despreciase na ecuación [3].

Llamando  g=G \cdot M \cdot \frac{1}{R_t ^2}


Y_{p2}-Y_{p1} = m \cdot g \cdot (h_2 - h_1) 


Si tómase  h_1  como l'orixe d'enerxíes potenciales, por casu, al nivel del mar y llamando  h_2 = h:


\Delta Y_p = m \cdot g \cdot h




Del desenvolvimientu anterior deduzse que pa  h l'aproximamientu últimu ye afecha.

### Velocidá d'escape
La velocidá d'escape ye la velocidá mínima necesaria por que un cuerpu de masa  m  sala fora de l'atraición gravitatoria. 

La fuercia de gravitación ye conservativa. La enerxía potencial  Y_p(r)  d'una masa  m  ye:

 Y_p(r)= -G \cdot \frac{m\cdot M}{r} 

Por que el cuerpu escape a l'acción del campu gravitatoriu la enerxía total  Y_t  del mesmu ten de ser positiva o nula, esto ye, tien d'asoceder que la enerxía cinética supere o, siquier iguale, la enerxía potencial. Nel casu estragal vamos tar calculando la velocidá d'escape. Puede calculase nel casu de la Tierra.
 Y_T = 0 

 Y_t = Y_c + Y_p =0 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_y^{2}=G \cdot \frac{m\cdot M}{r} 
 v_y = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}} = \sqrt{2 g r}   (m/s)

onde r ye la distancia radial o posición del cuerpu de masa m con al respective de la masa M que xenera'l campu gravitatoriu

;Velocidá d'escape de la superficie de la Tierra

 G = 6.674\cdot 10^{-11} \; \cfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}

 M_T = 5,97 \cdot 10^{24}   kg 

 R = 6,37 \cdot 10^{6}  m 

Sustituyendo los datos llógrase:
v_y = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M_T}{R}}=\sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,97 \cdot 10^{24}}{6,37 \cdot 10^{6}}}\approx 11,17 \cdot 10^{3}  m \cdot s^{-1}

Si'l móvil supera la velocidá d'escape abandonaría inda con más facilidá l'acción del campu gravitatoriu terrestre.

### Superficies equipotenciales
El potencial gravitatoriu defínese como la enerxía potencial por unidá de masa:
 V = \frac{ Y_p}{ m } 

Y, por tanto, llógrase:
 V(r) = \frac{ G \cdot M}{ r }

Onde  V  ye la enerxía potencial de la unidá de masa, o potencial, a una distancia  r  de la masa  M . Les unidaes de  V  nel S.I. son  \frac{J}{kg}. 

G ye la constante de gravitación universal.

M ye la masa del oxetu que crea'l campu y, por tanto, va tar midida en kg.

Si M ye puntual o de xeometría esférica, les superficies equipotenciales (supericies de potencial constante) son la familia d'esferes definíes pola familia de superficies:

 V_i = \frac{ G \cdot M}{ r_i } = C_i \ , \qquad i=1,2, 3 ...

siendo  C_i  constantes arbitraries que'l so valor numbéricu representa'l potencial gravitatoriu acomuñáu a cada valor de la posición  r_i .

Les superficies equipotenciales gravitatories terrestres son toles esferes con centru nel de la Tierra.

### Exemplos de la enerxía potencial gravitatoria

#### Monte Rusu

El dibuxu d'un monte rusu nun planu puede interpretase como la representación de la función enerxía potencial Y_p d'un cuerpu nel campu gravitatoriu. Cuanto más xube un móvil el monte rusu, mayor ye la so enerxía potencial y menor la so enerxía cinética Y_c, y por tanto muévese más lentu. Nos máximos relativos de dicha función (los picos del monte rusu) la so enerxía potencial va ser más elevada que nos puntos de la so redolada. Estos puntos llamaránse puntos d'equilibriu mecánicu inestable, yá que si depositar nellos un oxetu con v=0 por pocu que se mueva d'esi puntu, l'oxetu siempres va tender a alloñar. Per otru llau, si asítiase nos mínimos de la función (los valles del monte rusu), el móvil que los abandonara n'unu o otru sentíu siempres va tender a volver escontra ellos, son los puntos llamaos puntos d'equilibriu estable. Como la enerxía mecánica Y del cuerpu caltiénse Y = Y_c + Y_p = Y_{c max}= Y_{p max} , na figura.. 

#### Pendilexu
 
Nel casu d'un pendilexu, que'l so movimientu puede algamar un altor  h  midida a partir de la so posición más baxa, tamién puede comprobase la llei de caltenimientu de la enerxía. Nos puntos más altos (altor h), onde la enerxía potencial ye máxima, la velocidá del pendilexu ye nula y el movimientu camuda de sentíu. Per otru llau, la posición más baxa, que pudi llamase  P , va ser aquella con una mayor enerxía cinética y velocidá máxima pero con una enerxía potencial mínima. La posición  P  podrá tomase como orixe de la enerxía potencial (puede acomuñáse-y una enerxía potencial nula).

### Aplicación al movimientu planetariu

La enerxía potencial gravitatoria inflúi na forma de les órbites de los planetes y otros cuerpos celestes del Sistema Solar. El tipu d'órbita ye una cónica y la so forma va depender de la enerxía mecánica total  Y  del cuerpu. La enerxía potencial ye negativa o positiva, ente que la enerxía cinética ye siempres positiva.

La enerxía total del cuerpu, al ser la suma de dambes, pue ser negativa, positiva o nula. Ye fácil reconocer la forma de les órbites con ayuda de la diagrama d'enerxía potencial  Y_p(r)  o'l de potencial  V(r) . La llinia verde sirve pa indicar en cada casu cuál ye'l valor de la enerxía total del planeta o'l cuerpu celeste na animación que sigue. El Sol atópase siempres na posición r = 0, y representa l'orixe de la fuercia gravitatoriu.

* Si la enerxía total ye negativa y de valor absolutu igual a la metá de la enerxía potencial (mínimu de la curva), la trayeutoria ye una circunferencia con centru nel orixe de les fuercies.


 { \color{Black} Y} = 
 { \color{Black} -\frac{1}{2} G \frac{Mm}{r} } 


* Si la enerxía total ye mayor que la que se precisa por que la órbita seya circular, pero aun así permanez negativa, la órbita pasa a ser una elipse esterior a la órbita circular. Nesti casu, el centru de fuercies va ser unu de los focos de felicidá elipse.


 { \color{Black} -\frac{1}{2} G \frac{Mm}{r} } 

* Si la enerxía total ye menor que la necesaria pa describir una órbita circular, nun va esistir el movimientu al resultar una enerxía cinética negativa.

 
 { \color{Black} Y} 

* Si la enerxía total apuerta a cero o positiva, la trayeutoria dexa de ser cerrada y el cuerpu va escapar de l'atraición gravitatoria exercida por M. Si  Y = 0, la enerxía cinética ye, en valor absolutu, igual a la enerxía potencial. Representa la mínima enerxía necesaria por que'l cuerpu escape de dicha atraición algamando, entós, la velocidá d'escape y el so trayeutoria va ser una parábola col so focu nel centro de fuercies. La trayeutoria va ser, pos, abierta.
 
 { \color{Black} Y} = 0 \Rightarrow Y_c = -Y_p
 

* Si la enerxía total ye positiva ye porque en valores absolutos el so enerxía cinética ye mayor que la so enerxía potencial. Poro, la so velocidá entepasa la velocidá d'escape y la so trayeutoria va ser una hipérbola, una cónica tamién abierta.


 
 { \color{Black} Y} > 0 \Rightarrow Y_c > -Y_p


## Enerxía potencial elástica

La elasticidá ye una propiedá de ciertos materiales pola que, una vegada deformados, espurríos o separaos de la so posición inicial, pueden recuperar el so estáu orixinal, o d'equilibriu. Les fuercies restauradores responsables de la recuperación son les fuercies elástiques como nel casu de los muelles, les tires de goma o les cuerdes de preseos musicales. Munches máquines de guerra de l'antigüedá utilizaben esti tipu d'enerxía pa llanzar oxetos a distancia como, por casu, l'arcu que dispara una flecha, la ballesta o la catapulta. Les vibraciones o oscilaciones de los oxetos materiales, causaes poles fuercies elástiques, son la fonte de les ondes sonores. Les fuercies recuperadores, cuando l'oxetu recupera la so forma orixinal ensin apenes amortiguamientu o deformación, son conservativas y puede derivase una enerxía potencial elástica, que sumada a la enerxía cinética, dexa llograr la enerxía mecánica del oxetu.

Dizse qu'un material ye más elásticu cuando vuelve a la so posición d'equilibriu de manera más precisa. Una tira de goma ye bono d'espurrir, y retornar de nuevu cerca del so llargor orixinal cuando se lliberar, pero nun ye tan elástica como una cuerda de guitarra. La cuerda de guitarra ye más malo d'espurrir, pero tien meyor recuperación que la tira de goma, porque retorna al so llargor orixinal de manera más precisa.

Un muelle ye un exemplu d'oxetu elásticu que recupera la so forma orixinal de forma precisa: cuando s'espurre exerz una fuercia elástico que tiende a devolve-y al so llargor orixinal. Compruébase esperimentalmente qu'esta fuercia restaurador ye proporcional al llargor espurríu del muelle. La forma d'espresar esta proporcionalidad ente la fuercia y la cantidá espurrida ye per mediu de la llei de Hooke. El coeficiente de proporcionalidad nesta deformación depende del tipu de material y de la forma xeométrica que se considere. Pa sólidos, la fuercia elástico descríbese xeneralmente, en términos de la cantidá de deformación, causada pola fuercia de tensión resultante d'un estiramientu determináu, llamáu módulu d'elasticidá o de Young. Pa líquidos y gases espresar pola variación de presión capaz de producir una variación del volume y denominar módulu de compresibilidad. Pa muelles y cables emplega una constante elástica k.

La llei de Hooke describe aproximao les propiedaes elástiques de los cuerpos y na que se basen les condiciones elástiques de respuesta, cerca de les condiciones d'equilibriu, del material deformable suxetu a un estiramientu o compresión. Tien numberoses aplicaciones y en toes elles la fuercia responsable llograr cola citada llei de manera averada, y el movimientu de respuesta resultante ye'l del oscilador harmónicu.

### Llei de Hooke

Una de les propiedaes de la elasticidá d'un sólidu o d'un fluyíu, al espurrise o deformarse, ye que dichu estiramientu o deformación ye proporcional a encomalo aplicada. Esto ye, precisaríase una fuercia doble pa producir un estiramientu doble. Esa dependencia llinial del desplazamientu cola fuercia aplicao ye conocida como la Llei de Hooke.

Robert Hooke foi un científicu inglés tanto teóricu como esperimental, polemista incansable, con un xeniu creativu de primer orde, que formó parte del nucleu creador de la Royal Society. En 1660, mientres trabayaba como ayudante de Robert Boyle, formuló lo que güei se denomina Llei d'Elasticidá de Hooke. Si aplícase esta llei a una masa que ta suxeta a un muelle, espurriéndolo un llargor x de la so posición d'equilibriu, la llei de Hooke establez que'l bloque va tar entós suxetu a una fuercia elástico de recuperación de la forma:


\vec{F_{el}}=-kx\vec{o_{x}}, .

siendo k la constante elástica del muelle y x el desplazamientu sufiertu respectu de la so posición d'equilibriu x=0. El signu menos de la ecuación reflexa que la fuercia elástico ye una fuercia restaurador que tiende siempres a llevar al sólidu a la so posición d'equilibriu, nesti casu x=0.

### Deducción de la enerxía potencial elástica

Si asítiase una masa m suxeta a un estremu del muelle y dixébrase una distancia x de la so posición d'equilibriu, x=0, este va empezar a bazcuyar con un movimientu harmónicu simple. Nesti movimientu'l bloque tien una enerxía cinética y una enerxía potencial. Al ser la fuercia elástico que satisfai la llei de Hooke una fuercia conservativa, puede derivase la función enerxía potencial, so l'acción de la fuercia elástico del muelle. Asina, el trabayu realizáu pa espurrir el muelle una distancia x dende la so posición d'equilibriu, oponiéndose a encomalo del muelle ye:


 W= Y_{p} (x)= \int_{0}^{x}-F_{x} dx = \int_{0}^{x}-(-kx) dx =\frac{1}{2}kx^2 \qquad \qquad 


Esti trabayu representa la enerxía potencial Ep que tien el bloque na posición x. Pa ello haise conveníu n'acomuñar la Yp = 0 a la posición x=0 (orixe de la función potencial). Si agora calcúlase'l trabayu pa mover el bloque d'una posición x_1 a otra x_2, compruébase qu'esti solu depende de les posiciones inicial y final:


W = Y_{p}(x_2)-Y_{p}(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} -kx dx = \frac{1}{2}k(x_1^2-x_2^2)


Na figura puede reparase la función enerxía potencial Ep (x) como una parábola centrada en x=0, función de la posición x. La recta de pendiente -k, ye la fuercia elástico correspondiente \vec{F_{el}}=-kx\vec{o_{x}}. Al empar represéntase la cantidá espurrida del muelle en función de la so posición x. Si con una fuercia F produzse un desplazamientu x, cola fuercia 2F el desplazamientu ye tamién el doble, 2x. La parte negativa de la exa x representa'l desplazamientu de la masa cuando'l muelle ta estruyíu.

#### Propiedaes de la curva d'enerxía potencial

*Rimada de la curva Y_{p} (x) :

 Fuercia:
\vec{F} = -\frac{de_{p}}{dx} \ \vec{o_{x}}=-kx\vec{o_{x}}


Si  x>0 
: \frac{de_{p}}{dx}=kx > 0 \quad 'pendiente \quad positiva'

Si  x
: \frac{de_{p}}{dx}=kx 

*Puntu d'equilibriu:

: \frac{de_{p}}{dx}=kx = 0 \Rightarrow x=0 

: \frac{d^2Y_{p}}{dx^2}=k > 0  ye un mínimu

## Enerxía potencial electrostática y potencial llétricu

La variación de la enerxía potencial representa un trabayu realizáu por una fuercia conservativa. De la mesma que la fuercia d'atraición ente dos mases ye conservativa, tamién la fuercia llétrico o fuercia de Coulomb  F_{el} ente dos cargues ye conservativa, siendo de repulsión si tienen el mesmu signu y d'atraición si son de signu opuestu. Los oxetos que se repelen tienen mayor enerxía potencial cuanto menor ye la distancia ente ellos, y si atráense ye mayor la so enerxía potencial cuanto mayor ye la distancia ente ellos, como vamos ver de siguío.

El trabayu d'una fuercia conservativa ye igual a la diferencia ente'l valor inicial y el valor final d'una función, la enerxía potencial, yá que solamente va depender de les posiciones inicial y final y non de la trayeutoria siguida. Les fuercies electrostáticas aniciaes por cargues llétriques son conservativas y el trabayu realizáu por estes fuercies nun va depender de la trayeutoria siguida:

 W= \int_{A}^{B} \vec F_{el} \cdot d \vec l = Y_{pA} - Y_{pB} \,\!

siendo Y_{p} la función enerxía potencial y Y_{pA} y Y_{pB} los valores de la enerxía potencial nes posiciones A y B.

Pa calcular el trabayu  W  por cuenta de la fuercia llétrico o electrostática,  F_{el}:

 \overrightarrow{F}_{el} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q q}{r^2} \overrightarrow{o} = q\overrightarrow{Y} 

Pa treslladar la carga q de la posición A a la B precísase primero espresar el trabayu infinitesimal  dW  como'l productu angular del vector fuercia  \vec {F}_{el} pol vector desplazamientu  \vec {dl} tanxente a la trayeutoria. Amás, la fuercia llétrico sobre la carga q ye  \vec F_{el}=q \vec Y, siendo  \vec Y  el campu llétricu por cuenta de la carga Q. D'esta miente, el trabayu elemental  dW  puede escribise:

dW= \vec F_{el} \cdot \vec {dl}= F_y d l cos\theta= F_y d r = q Y d r  

siendo dr ye'l desplazamientu infinitesimal de la carga q na direición radial dende Q y la constante  \varepsilon_0  representa la permitividad llétrica del vacíu.

Asina, el trabayu  W  por cuenta de la fuercia llétrico ente les cargues Q y q puede considerase como'l realizáu pel campu llétricu Y creáu pola carga Q pa treslladar la carga q, dende una posición A a otra B, una vegada que s'espresó la fuercia llétrico en función del campu llétricu creáu por una d'elles, nesti casu Q. Y va ser, entós:

 W = \int_{A}^{B} \vec F_{el} \cdot d \vec l = \int_{A}^{B} q \vec Y \cdot d \vec l =\int_{A}^{B} \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r^2}dr = -\left \lbrack \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r} \right \rbrack_A^B=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0 r_A} - \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r_B}

El trabayu W por cuenta de la fuercia electrostática nun depende del camín siguíu pola carga q pa dir dende la posición A a la posición B, yá que solo depende de les posiciones inicial ra y final rb. Esto ye por cuenta de que la fuercia de repulsión Fel, qu'exerz cargar fonte Q asitiada nel orixe de coordenaes sobre la carga q, ye conservativa. Ye más, esti trabayu realizáu pola fuercia electrostática ye la diferencia de los valores qu'adquier una función ente les posiciones de partida y llegada. Esta función ye, precisamente la enerxía potencial pa la fuercia y el campu llétricu y escríbese como:

 Y_p(r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r} 

La fuercia electrostática que da orixe a la enerxía potencial ente los dos cargues ye de calter repulsivo si les cargues Q y q son del mesmu signu (como nel casu indicáu). La enerxía potencial va ser, poro, una función decreciente con r siguiendo la función . + 1/r Si les cargues fueren de signu opuestu la enerxía potencial sería negativa, siguiendo la función  + 1/r y la fuercia electrostática de calter curiosu. Esta dualidá, nel calter repulsivo o curiosu de la fuercia electrostática y del distintu signu de la enerxía potencial y del potencial (por estensión), ye una propiedá intrínseca a la interacción llétrica, que nun tener otru tipu de campos o de fuercies como, por casu, la fuercia de gravitación.

Si utilicen les funciones enerxía potencial y potencial ye necesariu establecer un orixe de potenciales como referencia de nivel cero pa diches funciones. Considerando cargues puntuales, el valor cero d'enerxía potencial establecer nel infinitu (onde la enerxía potencial y el potencial anúlense), esto ye pa r=\infty , Y_p=0 quedando definida la función enerxía potencial pa tolos puntos del espaciu, ensin necesidá de nenguna constante adicional. Davezu utilícense diferencies d'enerxía potencial (o de potencial) y, poro, el trabayu realizáu pola fuercia conservativa, nun va depender del orixe de potenciales.

Pa definir de manera natural el potencial llétricu a partir de la enerxía potencial electrostática, considérase la enerxía potencial de la carga Q y la carga q= +1 Coul dixebraes una distancia r cuando'l campu llétricu Y créalo cargar fonte Q. D'esta forma, va llograse'l potencial V creáu pola carga Q y que representa, de la mesma, la enerxía potencial referida a la unidá de carga positiva. Por tanto, basta con estremar la enerxía potencial, Ep (r) pola carga q, que s'asitia a una distancia r de cargar fonte Q, pa llograr el potencial llétricu creáu por Q a una distancia r:

  V(r) = \frac{Y_p(r)}{q} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r} \qquad \qquad [1]   
 
tando cargar fonte Q nel orixe de coordenaes. El potencial llétricu tien el mesmu comportamientu cola distancia r que la enerxía potencial llétrica.

El fechu de que la fuercia electrostática seya conservativa significa que la enerxía cinética mas la enerxía potencial acomuñada a la partícula de carga q y de masa m ye una constante, esto ye, la so enerxía total Y permanez constante pa cualquier posición r adoptada pola partícula dientro de la rexón onde apaez el campu creáu por Q:

 Y= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qq}{r} + \frac{m v^2}{2} = constante

### Potencial por cuenta de un sistema de cargues puntuales

Puede calculase el potencial nun puntu P por cuenta de la presencia d'un sistema de n cargues puntuales per mediu de la superposición del creáu per cada carga, sobre una dada, de manera independiente del restu. El potencial ye una magnitú angular a la que puede aplicase el principiu de superposición por ser lliniales les ecuaciones de la electrostática.

* El potencial creáu por una carga q a una distancia r vien dau por

 V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} 

* El potencial creáu por delles cargues  q_1, q_2, q_3,...q_i  nun puntu P que falten  r_1, r_2, r_3,...r_i  de cada centru de carga respeutivamente, va ser la superposición de los potenciales que crean caúna de les cargues, por separáu, en dichu puntu

V = V_1 + V_2 +V_3 + ... + V_i = \sum_{i}^{} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i}^{} \frac{q_i}{r_i}

El potencial por cuenta de una distribución continua de carga puede calculase tresformando la última espresión. Les cargues puntuales pasen a ser elementos de carga infinitesimales dq y la suma pasa a ser una integral 

 V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r}

Esta espresión supón que V=0 a una distancia infinita de distribución. Nun puede, por tanto, utilizase pa llograr el potencial creáu poles distribuciones indefiníes de carga como pueden ser la distribución llinial de carga indefinida o'l planu indefiníu de carga.
En toa rexón del espaciu onde esiste un campu llétricu, esiste tamién una enerxía potencial electrostática expresable como

  Y_p = \frac{\varepsilon_0}{2} \int \vec Y^2 dV \qquad \qquad [2]
  

estendida al volume del espaciu onde mora'l campu llétricu. Y siendo  \vec Y^2 = \vec Y . \vec Y = Y^2  (definición de productu angular de dos vectores).

### Superficies equipotenciales
Una forma práutica de visualizar nel espaciu la enerxía potencial o'l potencial consiste n'utilizar la representación gráfica de les superficies equipotenciales o superficies d'igual potencial. La definición matemática de superficie equipotencial aplicáu a la enerxía potencial ye: 

 Y_p= cte 

Una superficie equipotencial representa'l llugar xeométricu de tolos puntos del espaciu que presenten el mesmu valor de potencial y, poro, la mesma enerxía potencial. Pa una carga puntual, les superficies equipotenciales son esferes concéntriques en que'l so centru ta la carga. Per otru llau, les llinies de campu son radiales y perpendiculares a les superficies esfériques. Pa un campu llétricu uniforme les superficies equipotenciales son planos paralelos ente sigo y perpendiculares a les llinies de campu.

Si una carga llétrica que se mueve a lo llargo d'una superficie equipotencial nun esperimenta cambeos d'enerxía potencial, nin por tanto, del potencial. Esto ye,

 dV = \vec Y. d \vec l = 0 

Delles propiedaes de les superficies equipotenciales son:

*Les llinies de campu llétricu son, en cada puntu, perpendiculares a les superficies equipotenciales con sentíu escontra los potenciales decrecientes.
*El trabayu pa mover una carga ente dos puntos d'una mesma superficie equipotencial ye nulu.
*Dos superficies equipotenciales non pueden cortase.

Cuando la representación xeométrica de los potenciales realizar nel planu, en llugar de superficies equipotenciales apaecen llinies equipotenciales. Agora les llinies de campu llétricu van ser perpendiculares a les llinies equipotenciales.

### Aplicaciones

Delles aplicaciones de la enerxía potencial nel campu de la electrostática son:

#### Los condensadores

Un condensador ye un dispositivu qu'almacena la enerxía en forma d'enerxía potencial electrostática nel so interior. P'almacenar la carga llétrica, creadora del campu llétricu, utiliza dos superficies conductores en forma xeneralmente de llámines o plaques separaes por un material dieléctricu (aislante). Estes plaques son les que se van cargar llétricamente cuando se conecte a una fonte d'alimentación. Les dos plaques van cargar cola mesma cantidá de carga (q) pero con distintos signos, siendo la magnitú de la carga proporcional a la diferencia de potencial aplicada. La constante de proporcionalidad ente la carga adquirida pol condensador y la diferencia de potencial alcanzáu ente les dos plaques conozse como capacidá del condensador:

C=\frac{q}{V}

Onde q ye la carga d'una de les plaques y V la diferencia de potencial ente elles. 

Un condensador cargáu con una carga q y aislláu, representa un sistema que caltién un campu llétricu Y nel so interior y, por tanto, almacena, nos llugares onde ta presente'l campu, una enerxía electrostática d'orixe 'potencial'. La espresión d'esta enerxía potencial electrostática puede representase en trés formes direutes equivalentes. En dos d'elles apaez direutamente la espresión de la diferencia de potencial V ente les sos armadures:

Y_{p}=\frac{1}{2} \varepsilon_0 \int Y^2 dV =\frac{1}{2}qV=\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}=\frac{1}{2}CV^2 

Les aplicaciones de los condensadores son numberoses nel campu de la electrónica y por tanto, tamién lo son pa los electrodomésticos de consumu. Nes aplicaciones teunolóxiques d'anguaño tán presentes nos dispositivos multimedia como ordenadores, teléfonos móviles, reproductores de videu y de soníu, etc. Nestes aplicaciones de la teunoloxía actual, los condensadores son capaces d'almacenar una enerxía potencial electrostática mientres curtios espacios de tiempu y con valores non descomanadamente elevaos.

#### El xenerador de Van de Graaff

En 1931 Van de Graaff contruyó el mayor xenerador electrostático del mundu col propósitu de producir una diferencia de potencial bien alta (del orde de 20 millones de voltios) y poder acelerar partícules cargaes que se faíen topetar contra blancos fixos. Los resultaos de los choques dexaben informar sobre les carauterístiques de los nucleos atómicos del material que constitúi'l blancu.

Un xenerador Van de Graaff consta de:
*Un xenerador inferior que suministra cargues positives al dispositivu de Van de Graff y que'l so polu negativu fai'l papel de tierra del dispositivu.
*Dos polees, una inferior dotada d'un motor de accionamiento, y una cimera con una correa de material aislante afecha a los dos polees pa tresmitir el movimientu de la polea inferior a la cimera.
*Un gran cilindru buecu de material aislante que contién el mentáu sistema mecánicu.
*Una gran esfera metálica cimera bueca acoplada al cilindru buecu.
*Dos peñes metálicos de goches bien fines destinaos a tresmitir les cargues dende'l xenerador inferior hasta la esfera metálica bueca del dispositivu de van de Graaff. El primeru ta enfrentáu a la correa a nivel de la polea inferior y ta conectáu llétricamente al polu positivu del xenerador inferior. El segundu ta enfrentáu a la correa a nivel de la polea cimera. El peñe metálicu superior ta conectáu llétricamente al interior de la esfera metálica bueca. 

;Funcionamientu del xenerador de Van de Graff

*Poner en marcha'l motor que mueve la polea inferior, abasna nel so movimientu a la correa y tresmite el movimientu a la polea cimera.
*El xenerador inferior suministra cargues positives al peñe inferior. Con elles créase un campu llétricu eleváu nes puntes del peñe. Pol poder de les puntes del peñe inferior, les cargues positives son depositaes na superficie esterior de la polea.
*Les cargues depositaes sobre la correa viaxen hasta la polea cimera.
*Les cargues positives que lleguen al altor del peñe cimeru crean un campu llétricu eleváu nes puntes del peñe cimeru. Pol poder de les puntes del peñe cimeru les cargues positives de la correa son prindaes pol peñe y llevaes a la gran esfera metálica.
*Les cargues pasen a la cara esterna de la esfera metálica cimera.
*El procesu ye continuu de forma que na esfera cimera llegar a atropar una enorme cantidá de carga llétrica positiva. Ente l'electrodu de tierra del xenerador inferior y l'esfera metálica cimera créase una diferencia de potencial de dellos millones de voltios, lo cual constitúi l'oxetivu del Van de Graff.
*Si conéctase una esfera de prueba a la tierra inferior por aciu un cable y avérase a la esfera metálica cimera, por cuenta de la gran diferencia de potencial esistente ente dambes esferes producirá una gran descarga llétrica. Como alternativa, nel xenerador inferior puede invertise la polaridá, poniendo l'electrodu positivu a tierra y el negativu conectáu al peñe inferior. Nestes condiciones les polaridaes y les cargues inviértense: la correa abasna les cargues negatives depositaes pol peñe inferior, el peñe cimeru retira les cargues negatives de la correa, la esfera cimera adquier una gran carga negativa y, poro, un potencial negativu bien alzáu al respective de la tierra.

;Aplicaciones del xenerador Van de Graaff

La gran diferencia de potencial creada pol xenerador ente la esfera cimera y la tierra inferior emplegar p'acelerar partícules cargaes. Les partícules cargaes producir nuna fonte, percuerren un tubu acelerador vertical, asitiáu non lloñe de la cinta, ya impacten sobre una muestra que fai de blancu. Según utilícese una o otra alternativa podrán acelerase iones negativos o iones positivos. En resume, la gran enerxía potencial electrostática acumulada nel Van de Graaff, de dellos millones d'electrón-voltio (1 electrón-voltiu = 1.610-19 J) destinar a suministrar una gran enerxía cinética a los iones del acelerador de partícules. El xenerador de Van de Graaff tamién s'utiliza n'Escueles y Centros d'Educación pa faer demostraciones sobre los efeutos del altu potencial electrostático alcanzáu na so esfera metálica.

## Enerxía potencial química
Ye una forma d'enerxía potencial rellacionada cola organización estructural de los átomos o molécules. Esta organización puede ser la resultancia d'enllaces químicos. La enerxía química d'una sustancia puede ser tresformada n'otres formes d'enerxía por aciu una reacción química. Por casu, cuando se quemar un combustible la enerxía química convertir en calor, de la mesma forma que nel metabolismu de los alimentos nun organismu biolóxicu. Los organismos fotoautótrofos pueden convertir enerxía solar en química por aciu un procesu llamáu fotosíntesis, y l'llétrica pue ser convertida n'enerxía química por aciu reacciones electro-químiques (por casu una batería recargable).

## Enerxía potencial nuclear
Pa podese desendolcar nel campu de la física nuclear convién tener en cuenta tres observaciones. La primera ye que'l nucleu del átomu ta constituyíu por protones y neutrones y que dambos conxuntamente son consideraos como nucleones, yá que como tales nucleones confiéren-y al nucleu dalgunos de los sos atributos, por casu la esistencia del númberu másico *A*. La segunda ye que la resolución de la interacción a nivel de partícules tien de llevase a cabu emplegando los procedimientos de la Física Cuántica, concretamente por aplicación de la ecuación de Schrödinger onde figura explícitamente la espresión de la enerxía potencial asociada al fenómenu de la interacción. La tercera ye que p'analizar la estructura del nucleu y de los nucleones hai que movese dientro del marxe de distancies y dimensiones de los fm ( femtometros ) onde 1 fm = 10^{-15} m.

Na estructura del nucleu intervienen dos tipos de fuercies, les fuercies electromagnétiques asociaes a la carga llétrica de los protones que son conservativas y les fuercies nucleares. Estes postreres presenten delles propiedaes que tienen de ser conocíes pa pode-yos acomuñar la espresión d'enerxía potencial que-yos correspuende. Les carauterístiques más sobresalientes a la de diseñar una enerxía potencial pal nucleu pueden ser les siguientes, magar esisten otres: 
*Son fuercies curioses bien intenses de forma que superen en dos órdenes de magnitú la repulsión electrostática ente los protones.
*Actúen por igual ente los nucleones, sían estos protones o neutrones.
*Son de curtiu algame de forma que un nucleón solu interacciona colos sos vecinos inmediatos. 

De too ello puédese deducir que les fuercies nucleares nun acaben d'encaxar dientro del conceutu de fuercies conservativas. Sicasí, dada la utilidá de la enerxía potencial y la necesidá d'incorporala a la ecuación de Schrödinger pa resolver los problemes dientro de la física a nivel de partícules, puede adoptase la esistencia de la magnitú  Y_p  escoyendo tamién los márxenes de distancies onde pueda resultar facedera esta hipótesis al introducir modelos práuticos.

Pa les fuercies nucleares, como pa otres fuercies, pueden construyise modelos analíticos, modelos empíricos, modelos gráficos o modelos mistos. Les propiedaes básiques d'estes y, sobremanera, el bon funcionamientu de los modelos nucleares cuando s'apliquen a casos reales, van determinar la so aceptación, el so refugu o bien van establecer los requerimientos necesarios pal so optimización. Cada unu de los modelos establecíos pal nucleu sirve pa xustificar dalguna de les sos propiedaes. Nun hai modelos que tomen una descripción completa de tola fenomenoloxía nuclear.

### La barrera de potencial nuclear

Si lláncense partícules cargaes positivamente (dotaes d'una carga |ze| onde z representa'l númberu de protones que tien la partícula cargada) contra una muestra formada por átomos de númberu atómicu Z (los nucleos de los átomos van tener la carga (|Ze |), estes van tener que vencer una barrera de potencial pa poder aportar al mesmu. La barrera de potencial a devasar va ser d'orixe electrostático y va oponese al aproximamientu de les partícules cargaes. 

Esta barrera de potencial va atopase superpuesta a la enerxía potencial debida a les fuercies nucleares que, nel casu d'un gran aproximamientu, va favorecer la incorporación de la partícula al nucleu pa crear una nueva configuración nuclear ((Z+z)y). El modelu d'enerxía potencial acomuñáu a les fuercies nucleares curioses va consistir asina nun pozu rectangular d'anchor 2R, onde R representa'l radiu del nucleu, y fondura {-O}_0. El modelu de barrera acomuñáu a encomalo electrostática repulsiva va ser:

Y_p(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{r}

La enerxía electrostática na periferia del nucleu de radiu  r = R  va cayer sópito hasta {-O}_0 al entrar en xuegu les fuercies nucleares curioses. Xusto nel cantu del nucleu la barrera electrostática va pasar pol so valor máximu:

Y_p(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{R}

La esistencia d'esta barrera implica la necesidá d'un apurra d'enerxía cinética que devase'l valor anterior per parte de la partícula cargada atanante pa podela devasar y ser incorporada al nucleu. P'apurrir una enerxía cinética a les partícules cargaes ze va allegar a los aceleradores de partícules. Sicasí, en virtú del efeutu túnel, delles partícules cargaes van poder travesar la barrera de potencial tantu en sentíu entrada al nucleu como en sentíu salida del mesmu, ensin necesidá d'esi apurra enerxéticu suplementariu. Ye'l casu, por casu, de la desintegración alfa.

### La enerxía potencial nuclear ente dos nucleones llibres
Una primer hipótesis sobre la espresión de la enerxía potencial ente dos nucleones llibres deber a Yukawa:

Y_p(r) = {-Y_0}r_0 \frac{y^ { ^{-r}/_{r_0} } }{r}

onde r  ye la distancia ente los dos nucleones n'interacción, r_0 representa una distancia carauterística representativa del "algame" de la fuercia fuercia d'interacción nuclear tal que

 Y_0 = y Y_p (r_0) 

Esta espresión, magar puede acomuñar a l'acción de les fuercies nucleares, cadez de dos defectos. El primeru ye que al ser una fuercia curioso bien intensa y qu'aumenta cola proximidá de los nucleones, pensaríase que podría llegar a colapsalos. El segundu, que magar los neutrones, una de les dos clases de nucleón, nun exhiben nenguna carga llétrica, los protones, la otra clase de nucleón, tienen una unidá de carga llétrica elemental. Estos dos efeutos nun se tomen en considerancia, sicasí, na espresión de Yukawa. 

El primer efeutu foi analizáu y resueltu primeramente por Jastrow (1951). Pa ello estudió les interacciones neutrón-protón y protón-protón qu'impactaben nel marxe de les altes enerxíes (del orde de centenares de MeV). Llegó a la conclusión de la esistencia d'una fuercia repulsiva que surde a partir d'un radiu daqué inferior al radiu acomuñáu al nucleón. La fuercia repulsiva crez bien fuertemente al menguar la distancia ente los dos nucleones n'interacción. Esti radiu inferior determina la esistencia d'un nucleu esféricu impenetrable que protexe la integridá del nucleón, el llamáu "nucleu duru". En términos d'enerxía potencial, la fuercia repulsiva anicia una enerxía potencial positiva pero de rimada negativa que mengua bien fuertemente con r y facer con una rimada cimera en valor absolutu a la correspondiente a la de la enerxía potencial de Yukawa, acomuñada a encomalo nuclear curiosa.
 
Esisten valoraciones sobre'l tamañu del "nucleu duru". El radiu d'un nucleón puede envalorase en rc ≈ 0.7 fm. Per otru llau, y acordies con Thakur, el radiu del "nucleu duru" d'un nucleón puede envalorase en rc ≈ 0.4 fm.

La superposición de los dos términos d'enerxía potencial va apurrir una curva d'enerxía potencial resultante análoga en términos cualitativos a la esistente na interacción ente dos átomos. Arriendes d'ello, va apaecer un pozu de potencial que va venir carauterizáu por un mínimu. La so posición va determinar la esistencia d'un radiu efeutivu del nucleón y una enerxía acomuñada a la fondura del mesmu. La composición d'estos dos términos d'enerxía potencial, la enerxía potencial nuclear y el "nucleu duru", va aniciar una curva d'enerxía potencial resultante aplicable a les interacciones ente dos neutrones o ente un protón y un neutrón.

El segundu efeutu, ye dicir la esistencia d'una fuercia d'interacción electromagnética, surde pola esistencia de les cargues positives del nucleu (protones) que va ser de naturaleza repulsiva ente ellos, tamién llamada potencial de Coulomb. Esta postrera, por tanto, va manifestase puramente ente los protones pero non ente los neutrones o ente les pareyes neutrón y protón. La enerxía potencial correspondiente a la interacción electromagnética ente dos protones asitiaos a la distancia *r* va valir

Y_p(r) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{y^2}{r}

y va incorporase a les contribuciones de la proporcionada poles fuercies nucleares curioses y al términu repulsivo de Jastrow, pa componer la espresión completa de la enerxía potencial que surde al estudiar la interacción ente los nucleones. Nel casu de la interacción protón-protón, la enerxía potencial del procesu va ser la superposición de trés componentes d'enerxía potencial, la debida a les fuercies nucleares, la correspondiente al "nucleu duru" y la debida a la repulsión electrostática.

## Ver tamién
*Equilibriu mecánicu

## Referencies

## Bibliografía
*
*
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*
* 
* 
* 
* 

## Enllaces esternos
*HyperPhysics. Georgia State University  
*Llinies equipotenciales. Georgia State University 
*Movimientu elípticu. University of Colorado  
* 
* 
*