Distribución de Pareto

\text{ for }x>x_m\!|
 cdf =1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha \!|
 mean =\frac{\alpha\,x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\text{ for }\alpha>1\,|
 medien =x_\mathrm{m} \sqrt[\alpha]{2}|
 mode =x_\mathrm{m}\,|
 variance =\frac{x_\mathrm{m}^2\alpha}{(\alpha-1)^2(\alpha-2)}\text{ for }\alpha>2\,|
 skewness =\frac{2(1+\alpha)}{\alpha-3}\,\sqrt{\frac{\alpha-2}{\alpha}}\text{ for }\alpha>3\,|
 kurtosis =\frac{6(\alpha^3+\alpha^2-6\alpha-2)}{\alpha(\alpha-3)(\alpha-4)}\text{ for }\alpha>4\,|
 entropy =\ln\left(\frac{\alpha}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{\alpha} - 1\!|
 mgf =\alpha(-x_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m}t)\text{ for }t
 | char = \alpha(-ix_\mathrm{m}t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-ix_\mathrm{m}t)\,
 | fisher = \begin{pmatrix}\frac{\alpha}{x_m^2} & -\frac{1}{x_m} \\ -\frac{1}{x_m} & \frac{1}{\alpha^2}\end{pmatrix}
 }}

En estadística la **distribución Pareto**, formulada pol inxenieru civil, economista y sociólogu Vilfredo Pareto, ye una distribución de probabilidá continua con dos parámetros, que tien aplicación en disciplines como la socioloxía, xeofísica y economía. En delles disciplines dacuando refiérense a la llei de Bradford. Per otru llau, l'equivalente discretu de la distribución Pareto ye la distribución zeta (la llei de Zipf).

## Probabilidá acumulada

Si *X* pertenez al dominio de la variable de la distribución de pareto, entós la probabilidá de que *X* seya mayor qu'un númberu *x* vien dada por:

:Pr(X>x) = \begin{cases}
\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha & \text{si }x\ge x_\mathrm{m}, \\
1 & \text{si } x 

onde *x*m ye'l valor mínimu posible (positivu) de *X*, y *α* ye un parámetru. La familia de les distribuciones de Pareto se parametrizan por dos cantidaes, *x*m y *α*. Cuando esta distribución ye usada nun modelu sobre la distribución de riqueza, el parámetru *α* ye conocíu como índiz de Pareto.

## Función de densidá

A partir de la probabilidá acumulada, puede deducise por aciu una derivada que la función de densidá de probabilidá ye:

:
f_X(x)= \begin{cases} 
 \alpha\, \dfrac{x_\mathrm{m}^\alpha}{x^{\alpha+1}} & \text{si } x > x_\mathrm{m}, \\[12pt]
 0 & \text{si } x 

## Propiedaes

* La media o valor esperáu d'una variable aleatoria *X*, que sigue una distribución de Pareto con parámetru *α*&nbsp;>&nbsp;1 ye :

:: Y(X)=\frac{\alpha x_\mathrm{m}}{\alpha-1} \,
:
: (si *α*&nbsp;≤&nbsp;1, el valor esperáu nun esiste).

* La varianza ye :

:: \mathrm{var}(X)=\left(\frac{x_\mathrm{m}}{\alpha-1}\right)^2 \frac{\alpha}{\alpha-2}.
:
: (Si *α*&nbsp;≤&nbsp;2, la varianza nun esiste).

* Los momentos son
:
:: \mu_n'=\frac{\alpha x_\mathrm{m}^n}{\alpha-n}, \,
:
: pero'l *n*-ésimo momentu esiste namái pa *n*&nbsp;M\left(t,\alpha,x_\mathrm{m}\right) = Y(y^{tX}) = \alpha(-x_\mathrm{m} t)^\alpha\Gamma(-\alpha,-x_\mathrm{m} t)\text{ and }M\left(0,\alpha,x_\mathrm{m}\right)=1.\,

### Caso dexeneráu

La función de la delta de Dirac ye un casu llende de la densidá de Pareto:

: \lim_{\alpha\rightarrow \infty} f(x;\alpha,x_\mathrm{m})=\delta(x-x_\mathrm{m}). \, 

## Distribución simétrica

Puede definise una Distribución de Pareto Simétrica según:

: f(x;\alpha,x_\mathrm{m}) = \begin{cases}
(\alpha x_\mathrm{m}^{\alpha}/2) |x|^{-\alpha-1} & \text{si }|x|>x_\mathrm{m} \\
0 & \text{restu}.
\end{cases}


## Distribución Xeneralizada de Pareto

La familia de **distribuciones xeneralizaes de Pareto (GPD)** tienen tres parámetros  \mu,\sigma \, y  \xi \,.

La función de probabilidá acumulada ye

: F_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \begin{cases}
1 - \left(1+ \frac{\xi(x-\mu)}{\sigma}\right)^{-1/\xi} & \text{si }\xi \neq 0, \\
1 - \exp \left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right) & \text{si }\xi = 0.
\end{cases}


Pa  x \geqslant \mu , con  \xi \geqslant 0 \,, y  x \leqslant \mu - \sigma /\xi  con  \xi , onde \mu\in\mathbb R ye'l parámetru *llocalización*, \sigma>0 \, ye'l parámetru *escala* y \xi\in\mathbb R ye'l parámetru *forma*. Nótese que delles referencies tomen el parámetru *forma* como  \kappa = - \xi \,.

La función de densidá de probabilidá ye:

: f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{1}{\sigma}\left(1 + \frac{\xi (x-\mu)}{\sigma}\right)^{\left(-\frac{1}{\xi} - 1\right)}.

o

: f_{(\xi,\mu,\sigma)}(x) = \frac{\sigma^{\frac{1}{\xi}}}{\left(\sigma + \xi (x-\mu)\right)^{\frac{1}{\xi}+1}}.

de nuevu, pa  x \geqslant \mu , y  x \leqslant \mu - \sigma /\xi  si  \xi 

## Aplicación

*Na hidroloxía, utilízase la distribución de Pareto p'analizar variables aleatories como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos, y amás pa describir dómines de seca.

 
::La imaxe azul ilustra un exemplu d'axuste de la distribución de Weibull a agües máximes diaries ordenaes, amosando tambien la franxa de 90% de [Intervalu d'enfotu|enfotu]], basada na distribución binomial. 

Les observaciones presenten los marcadores de posición, como parte del analisis de frecuencia acumulada.

## Software
Puede usase software y un programa d'ordenador pal axuste d'una distribución de probabilidá, incluyendo la de Pareto, a una serie de datos:
* Easy fit , "data analysis & simulation"
* 
* ModelRisk, "risk modelling software"
* Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
* Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
* StatSoft distribution fitting
* CumFreq http://www.waterlog.info/cumfreq.htm, llibre ensin costu, inclúi intervalo d'enfotu a base de la distribución binomial

## Cites

* Barry C. Arnold (1983). *Pareto Distributions*, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
* Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). *Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences*, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
* Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

## Enllaces esternos
* Calculadora - Distribución de Pareto