Cálculu multivariable

El **cálculu multivariable** (o cálculu en delles variables) nun ye más que la estensión del cálculu infinitesimal a funciones angulares y vectoriales de delles variables.

## Cálculu diferencial en campos angulares y vectoriales

### Funciones de R<sup>n</sup> en R<sup>m</sup>. Campos angulares y vectoriales

Vamos Formular les definiciones pa campos vectoriales. Tamién van ser válides para campos angulares. Sía :\mathbf{f}:V
\longrightarrow W
un campu vectorial que fai corresponder a tou puntu *P* definíu biunívocamente pol so vector posición un vector \mathbf{f}\big (\mathbf{OP}\big ) onde'l puntu **O** ye'l nuesu **orixe de coordenaes**.
:V \subseteq \mathbb{R}^n, W \subseteq \mathbb{R}^m, con n > 1 y m \geqslant 1. Cuando m=1 tenemos un **campu angular**. Pa m>1 tenemos un **campu vectorial**. Vamos Utilizar la norma euclídea pa topar la magnitú de los vectores.

### Llendes y continuidá

Sean \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n y \mathbf{b} \in \mathbb{R}^m. Escribimos:
:
:\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )=\mathbf{b}, :

:o bien, :

:\mathbf{f}(\mathbf{x}) \rightarrow \mathbf{b} cuando \mathbf{x} \rightarrow \mathbf{a}
:
:pa espresar lo siguiente:

:\lim_{\big \|\mathbf{x-a}\big \| \to 0}\big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\big \| = 0
onde \big \|\mathbf{x}\big \| ye la norma euclídea de \mathbf{x}.
Espresándolo en función de les componentes de \mathbf{x} = \big (x_1,\ldots,x_n\big ), \mathbf{a} = \big (a_1,\ldots,a_n\big ),
:\lim_{\big (x_1,\ldots,x_n\big ) \to \big (a_1,\ldots,a_n\big )}\mathbf{f}\big (x_1,\ldots,x_n\big ) = \mathbf{b} 
o, de forma equivalente, :\lim_{\mathbf{x}
\to \mathbf{a}}\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}
\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{a}\big )}}
\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}, \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{c} \Rightarrow
:a) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big [\mathbf{f} + \mathbf{g}\big ]\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b} + \mathbf{c}
:b) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = \lambda\mathbf{b} \quad\forall\lambda \in \mathbb{R}
:c) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{b}\cdot\mathbf{c}
:(productu angular de \mathbf{b} con \mathbf{c}).
:d) \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|=\big \|\mathbf{b}\big \|}}
\big (\mathbf{f} + \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) =
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big [\big (f_1+g_1\big )\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\big (f_m+g_m\big )\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (f_1+g_1\big )\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\big (f_m+g_m\big )\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big )+ \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}g_1(\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big ) + \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}g_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \big (b_1+c_1,\ldots,b_m+c_m\big ) = \big (b_1,\ldots,b_m\big )+\big (c_1,\ldots,c_m\big ) = \mathbf{b}+\mathbf{c}
\end{array}
: \begin{array}{rl}
b) & \lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) = 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda\Big [f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big [\lambda f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lambda f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\
 & \Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\lambda f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \Big [\lambda\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lambda\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \\ 
 & \lambda\Big [\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_1\big (\mathbf{x}\big ),\ldots,\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}f_m\big (\mathbf{x}\big )\Big ] = \lambda\big (b_1,\ldots,b_m\big ) = \lambda\mathbf{b}
\end{array}
:
c) \quad \big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\cdot\mathbf{c} = 
\Big [\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big ]\cdot\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big ]+ 
\mathbf{b}\cdot\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big ]+\mathbf{c}\cdot\Big [\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) -\mathbf{b}\Big ]

:Aplicando la desigualdá triangular y la desigualdá de Cauchy-Schwarz tenemos
:\begin{array}{l}
\Big |\big (\mathbf{f} \cdot \mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\Big | \leqslant 
\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big \| \cdot \Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{b}\big \| \cdot \Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{c}\big \| \cdot \Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ) - \mathbf{b}\Big \| \Rightarrow \\
0 \leqslant \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big |\big (\mathbf{f}\cdot\mathbf{g}\big )\big (\mathbf{x}\big )- 
\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\Big | \leqslant \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )- \mathbf{b}\Big \| \cdot \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ \\
\big \|\mathbf{b}\big \| \cdot \lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{c}\Big \|+ 
\big \|\mathbf{c}\big \|\lim_{\big \|\mathbf{x}-\mathbf{a}\big \| \to 0}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )-\mathbf{b}\Big \| = 
0 \cdot 0 + \big \|\mathbf{b}\big \| \cdot 0+ \big\|\mathbf{c}\big \| \cdot 0 = \\
0
\end{array}
:, como queríamos demostrar.
:d) \quad \mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big ) = \mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big ), \mathbf{c} = \mathbf{b} \Rightarrow 
\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}}\Big \|\mathbf{f}\big (\mathbf{x}\big )\Big \|^2=\big \|\mathbf{b}\big \|^2, como queríamos demostrar.}}

\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{x}\big )\Big ]=\mathbf{f}\Big [\mathbf{g}\big (\mathbf{a}\big )\Big ]
\end{array}
:como queríamos demostrar.}}

### Derivaes direccionales

#### Derivada d'un campu angular al respective de un vector

#### Derivaes parciales

:Si derivamos la espresión anterior al respective de una segunda variable, x_j, vamos tener \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_k}. Na práutica, vamos calcular \cfrac{\partial f}{\partial x_k} derivando al respective de x_k y suponiendo x_j, \quad \forall j \ne k constante.

### La diferencial

#### Definición de campu angular diferenciable

f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ) = f\big (\mathbf{a}\big )+f_L\big (\mathbf{v}\big ).
:f_L hai de ser una aplicación llinial, que definimos como la *diferencial* de *f* en **a**.}}
:L'anterior ecuación ye la *fórmula de Taylor de primer orde* pa f\big (\mathbf{a}+\mathbf{v}\big ).

#### Teorema d'unicidá de la diferencial

f\big (\mathbf{x}+\mathbf{v}\big ) = \lim_{\big \|\mathbf{v}\big \| \to \mathbf{0}}f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big ) = f\big (\mathbf{x}\big )+f_L\big (h\mathbf{y}\big ) = \\
 & f\big (\mathbf{x}\big )+ hf_L\big (\mathbf{y}\big ) \Rightarrow \\
 & \lim_{h \to 0}\cfrac{f\big (\mathbf{x}+h\mathbf{y}\big )-f\big (\mathbf{x}\big )}{h} = f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = f_L\big (\mathbf{y}\big )
\end{array}
:como queríamos demostrar.
:b) &nbsp;Espresando y en función de los sos componentes na base :\begin{array}{l} 

\big \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_n\big \}, f_L\big (\mathbf{y}\big ) = f_L\big (\sum_{k=1}^n y_k\mathbf{y}_k\big ) = 
\sum_{k=1}^n y_k f_L\big (\mathbf{y}_k\big ) = \sum_{k=1}^n y_k f'\big (\mathbf{x};\mathbf{y}_k\big ) = \\
\sum_{k=1}^n y_k \cfrac{\partial f}{\partial x_k}
\end{array}
:como queríamos demostrar.}}

#### Regla de la cadena

#### Diferencial d'un campu vectorial

Espresando \mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) en función de los sos componentes, tenemos \mathbf{f'}\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ) = \Big [f'_1\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big ),\ldots,f'_m\big (\mathbf{x};\mathbf{y}\big )\Big ]

:Esta ye la *fórmula de Taylor de primer orde* pa \mathbf{f}.\quad \mathbf{f}_L\big (\mathbf{v}\big )=\mathbf{f}'\big( \mathbf{x};\mathbf{v}\big ).
La matriz de \mathbf{f}' ye'l so matriz jacobiana.

#### Diferenciabilidad implica continuidá

:Deduzse fácilmente de la fórmula de Taylor de primer orde yá vista.

#### Regla de la cadena pa diferenciales de campos vectoriales

### Condición abonda pa la igualdá de les derivaes parciales mistes

## Aplicaciones del cálculu diferencial

### Cálculu de máximos, mínimos y puntos de ensilladura pa campos angulares

Pa saber si ye unu de los casos anteriores:
# Llogramos \mathbf{x}\Big |\cfrac{\partial f}{\partial x_k}=0 \qquad \forall k\Big |1\leqslant k\leqslant n
# Llogramos la matriz hessiana de f. Sía esta \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ).
## \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) ye definida positiva \Rightarrow f tien un *mínimu local* (*mínimu relativu*) en \mathbf{x}.
## \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) ye **definida negativa** \Rightarrow f tien un *máximu local* (*máximu relativu*) en \mathbf{x}.
## \mathbf{F}\big (\mathbf{x}\big ) ye **indefinida** \Rightarrow f tien un *puntu de ensilladura* en \mathbf{x}.

No enantes espuesto, supunximos que \cfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} ye continua \forall i,j\big |1\leqslant i\leqslant n, 1\leqslant j\leqslant n

## Ver tamién

* Función diferenciable
* Campu angular
* Campu vectorial
* Gradiente
* Diverxencia
* Rotacional
* Integral de llinia
* Integral de superficie
* Integral múltiple
* Multiplicadores de Lagrange

## Referencies

* Apostol, Tom M., *Calculus*, volume 2, editorial reverté, S. A., ISBN 84-291-5003-X