Puntos de Lagrange

Los **puntos de Lagrange**, tamién denominaos **puntos L** o **puntos de [[llibración]]**, son los cinco asities nun sistema orbital onde un oxetu pequeñu, solo afeutáu pola gravedá, pue tar teóricamente estacionariu al respeutive de dos oxetos más grandes, como ye'l casu d'un satélite artificial con al respeutive de la Tierra y la Lluna. Los puntos de Lagrange marquen les posiciones onde l'atraición gravitatoria combinada de les dos mases grandes apurre la fuercia centrípeta necesaria pa rotar sincrónicamente cola menor d'elles. Son análogos a les órbites geosincrónicas que dexen a un oxetu tar nuna posición fixa» nel espaciu en llugar d'en una órbita en que la so posición relativa camuda de cutio. 

Una definición más precisa pero téunica ye que los puntos de Lagrange son les soluciones estacionaries del problema de los trés cuerpos acutáu a órbites circulares. Si, por casu, tiénense dos cuerpos grandes en órbita circular alredor de la so centru de masas común, hai cinco asities nel espaciu onde un tercer cuerpu, de masa despreciable frente a la de los otros dos, pue tar asitiáu y caltener la so posición relativa al respeutive de los dos cuerpos grandes. Vistu dende un sistema de referencia xiratoriu que rota col mesmu periodu que los dos cuerpos co-orbitales, el campu gravitatoriu de dos cuerpos grandes combináu cola fuercia centrífuga compensar nos puntos de Lagrange, dexando al tercer cuerpu caltenese estacionariu con al respeutive de los dos primeros.

## Historia y conceutos

En 1772, el matemáticu italofrancés Joseph-Louis Lagrange taba trabayando nel célebre problema de los trés cuerpos cuando afayó una interesante peculiaridá. Orixinalmente, trataba d'afayar una manera de calcular fácilmente la interaición gravitatoria d'un númberu arbitrariu de cuerpos nun sistema. La mecánica newtoniana determina qu'un sistema asina xira caóticamente hasta que, o bien se produz un choque, o dalgunu de los cuerpos ye espulsáu del sistema y llógrase l'equilibriu mecánicu. Ye bien bono de resolver el casu de dos cuerpos qu'orbiten alredor del centru común de gravedá. Sicasí, si introduz un tercer cuerpu, o más, los cálculos matemáticos son bien complicaos, al ser una situación na que se tendría que calcular la suma de toles interaiciones gravitatories sobre cada oxetu en cada puntu a lo llargo de la so trayeutoria. 

Sicasí, Lagrange quería faer esto más senciellu, y llograr por aciu una simple hipótesis: *La trayeutoria d'un oxetu determinar atopando un camín qu'embriva l'[[Aición (física)|aición]] col tiempu*. Esto calcúlase substrayendo la enerxía potencial de la enerxía cinética. Desenvolviendo esta hipótesis, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Newton pa dar llugar a la mecánica lagrangiana. Cola so nueva forma de calcular, el trabayu de Lagrange llevar a plantegar la hipótesis d'un tercer cuerpu de masa despreciable n'órbita alredor de dos cuerpos más grandes que yá tuvieren xirando de la mesma n'órbita cuasi circular. Nun sistema de referencia que xira colos cuerpos mayores, atopó cinco puntos fixos específicos nos que'l tercer cuerpu, al siguir la órbita de los de mayor masa, tópase sometíu a fuercia cero. Estos puntos fueron llamaos puntos de Lagrange nel so honor. 

Nel casu más xeneral d'órbites elíptiques nun hai yá puntos estacionarios sinón que más bien se trata d'un área» de Lagrange. Los puntos de Lagrange socesivos, considerando órbites circulares en cada intre, formen órbites elíptiques estacionaries, geométricamente asemeyaes a la órbita de los cuerpos mayores. Esto debe a la segunda llei de Newton (d\mathbf{p}/dt=\mathbf{F}), ónde *p = mv* (*p* ye la cantidá de movimientu, *m* la masa y *v* la velocidá). *p* ye un invariante si la fuercia y posición multiplicar por un mesmu factor. Un cuerpu nun puntu de Lagrange orbita col mesmu periodu que los dos cuerpos grandes nel casu circular, implicando, como asocede, que tienen la mesma proporción ente fuercia gravitatoriu y distancia radial. Esti fechu ye independiente de la circularidá de les órbites ya implica que les órbites elíptiques descrites polos puntos de Lagrange son soluciones de la ecuación de movimientu del tercer cuerpu.

## Entueyos a les lleis de Kepler

Tanto la Tierra como'l Sol inflúyense mutuamente al traviés de les sos fuercies gravitacionales. Esto fai que, magar el Sol causa marees sobre la Tierra, esta de la mesma causa perturbaciones nel movimientu del Sol. De fechu dambos cuerpos (el sistema Sol-Tierra) muévense alredor del puntu llamáu centru de mases o baricentru, que ta allugáu cerca del centru del Sol por cuenta de la distinta masa de dambos cuerpos y la bien de mayor influencia del Sol por cuenta de la so masa. Nel casu del sistema Sol-Xúpiter, el baricentru atópase cerca de la superficie solar. Per otra parte, por cuenta de que la masa d'un satélite artificial ye insignificante respectu de los cuerpos mentaos, la so masa nun tien influencia significativa sobre'l baricentru de los trés.

Les lleis de Kepler describen de forma simple'l comportamientu de dos cuerpos qu'orbiten unu alredor del otru. La tercer llei que diz que'l cuadráu del so periodu orbital (tiempu que tarda en dar una vuelta alredor del Sol) ye direutamente proporcional al cubu de la distancia media col Sol. Por esta razón, l'aumentu del radiu da llugar a una medría del periodu orbital, por tanto, dos cuerpos asitiaos a distintes distancies del Sol nunca van tener un movimientu sincronizáu.

Les simplicidaes de les lleis de Kepler nun son válides si tener en cuenta les interaiciones de dellos cuerpos en llugar de dos o trés, como asocede nel sistema solar. Inclusive si considerárase solo un grupu de trés, el Sol, la Tierra y un satélite artificial, les predicciones complíquense. Asina, un satélite asitiáu na llinia Sol-Tierra y ente ellos tendría de tener un periodu orbital menor d'un añu, pero si ta a la distancia de 1,5 millones de km de la Tierra, no que depués se llamará L1, l'atraición de la Tierra mengua l'atraición solar y el so periodu ye'l mesmu que'l de la Tierra. Menor alloña nun significa menor periodu.

## Los puntos de Lagrange

Los cinco puntos lagrangianos llámense y definen como sigue: 

### El puntu L<sub>1</sub>
El puntu L1 ta ente les dos mases grandes M1 y M2 na recta que les xune. Ye'l más intuitivu de los puntos de Lagrange, aquel en que les atraiciones opuestes de los dos cuerpos mayores compénsense.

* **Exemplu:** un oxetu qu'orbite alredor del Sol más cerca que la Tierra tendría un periodu orbital más curtiu que la Tierra, pero eso ignora l'efeutu d'atraición gravitatoria de la Tierra. Si l'oxetu ta direutamente ente la Tierra y el Sol, entós l'efeutu de la gravedá de la Tierra ye'l de debilitar la fuercia que tira del oxetu escontra'l Sol y, poro, aumenta'l periodu orbital del oxetu. Cuanto más cerca ta l'oxetu de la Tierra, mayor ye esti efeutu. Nel puntu L1, el periodu orbital del oxetu ye precisamente igual al periodu orbital de la Tierra. Esti puntu atopar a  de la tierra.

El puntu L1 del sistema Sol-Tierra ye ideal pa faer observaciones del Sol. Los oxetos equí asitiaos nunca son clisaos pola Tierra o la Lluna. La sonda espacial Observatoriu Solar y de la Helioesfera (SOHO) ta aparcada nel puntu L1, y el satélite Advanced Composition Explorer (ACE) ta nuna órbita Lissajous alredor tamién del puntu L1. El puntu L1 del sistema Tierra-Lluna dexa un accesu fácil a la órbita llunar y de la Tierra con un mínimu cambéu de velocidá, delta-v, y sería ideal pa una estación espacial tripulada asitiada a mediu camín pensada p'ayudar al tresporte de carga y personal escontra y dende la Lluna.

### El puntu L<sub>2</sub>

El puntu L2 ta na llinia definida poles dos mases grandes M1 y M2, y más allá de la más pequeña de los dos. Nél l'atraición gravitatoria de los dos cuerpos mayores compensa la fuercia centrífuga causada pol menor.

* **Exemplu:** un oxetu qu'orbite el Sol más lloñe que la Tierra tendría un periodu orbital más llargu que'l de la Tierra. La fuercia adicional de la gravedá de la Tierra fai menguar el periodu orbital del oxetu, y precisamente el puntu L2 ye aquel en que'l periodu orbital ye igual al de la Tierra. 

El puntu L2 del sistema Sol-Tierra ye un bon puntu pa los observatorios espaciales, porque un oxetu alredor de L2 va caltener la mesma orientación con respectu al Sol y la Tierra, y la calibración y blindaxe son más senciellos. El *Wilkinson Microwave Anisotropy Probe* (WMAP), según l'Observatoriu Espacial Herschel yá tán n'órbita alredor del puntu L2 del sistema Sol-Tierra. El futuru Telescopiu Espacial James Webb, tamién se va asitiar nel puntu L2 del sistema Sol-Tierra. El puntu L2 del sistema Tierra-Lluna sería una bona llocalización pa un satélite de comunicaciones que cubriera la cara oculta de la Lluna.

Si M2 ye muncho más pequeñu que M1, entós L1 y L2 tán a distancies aproximao iguales *r* de M2, igual al radiu de la esfera de Hill, dau por: 

}}

onde *R* ye la distancia ente los dos cuerpos. 

Esta distancia puede describise como aquella na que'l periodu orbital correspondiente a una órbita circular con esta distancia alredor de M2 y n'ausencia de M1, ye'l tiempu que tarda en xirar M2 alredor de M1, estremáu por \sqrt{3}\approx 1,73 . 

Exemplos: 
* Sistema Sol y Tierra: 1.500.000 km de la Tierra * 
Sistema Tierra y Lluna: 61.500 km de la Lluna

### El puntu L<sub>3</sub>

El puntu L3 ta na llinia definida poles dos mases grandes M1 y M2, y más allá de la mayor de los dos. 

* **Exemplu:** el puntu L3 nel sistema de Sol–Tierra ta nel llau opuestu del Sol, un pocu más cerca del Sol que la mesma Tierra. Esta aparente contradicción esplícase porque'l Sol ta tamién afeutáu pola gravedá terrestre, y asina xira en redol al centru de mases común o baricentru que, sicasí, atópase dientro del Sol. En L3 la fuercia gravitatoriu combinada de la Tierra y del Sol fai que l'oxetu orbite col mesmu periodu que la Tierra. El puntu L3 nel sistema de Sol–Tierra foi un llugar popular utilizáu p'allugar una "Contra-Tierra", en llibros de ciencia ficción o en *cómics*; anque la observación direuta por sondes y satélites demostró depués la so inesistencia. Na realidá, L3 nel sistema Sol-Tierra ye bien inestable, pos les fuercies gravitatories de los demás planetes pueden llegar a superar a la de la Tierra, (Venus, por casu, pasa a 0.3 AU de L3 cada 20 meses).

### Los puntos L<sub>4</sub> y L<sub>5</sub>

El puntu L4 y el puntu L5 tán nos vértices de triángulos equilláteros que la so base común ye la recta que xune les dos mases, de forma que'l puntu L4 preciede al cuerpu pequeñu un ángulu de 60º vistu dende la masa grande, ente que L5 xira detrás del cuerpu pequeñu, anque con radio mayor qu'ésti, con un retrasu de 60º vistu de la mesma dende'l cuerpu grande. Estos puntos, según el cuerpu menor de masa M2, nun xiren sobre'l cuerpu grande, sinón sobre'l baricentru de dambos cuerpos marcáu como **b** na figura. El cuerpu grande tamién xira sobre **b** con un radiu r1

El radiu r de la órbita común a los puntos L4 y L5 puede deducise de la figura por aciu razonamientos xeométricos:

Teniendo en cuenta que los radios de les órbites de los cuerpos grandes r_1 y r_2 tán en rellación inversa de les sos mases: \frac {r_1}{r_2}=\frac{M_2}{M_1}=\gamma, resuélvese'l triángulu formáu por L4, **b** y el centru de masa del cuerpu menor; resultando na rellación r^2 = r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2.

Espresando la resultancia en función de \gamma resulta:

Esti radiu, como s'aprecia na figura ye xeneralmente mayor que'l radiu r_2 del cuerpu pequeñu porque \gamma^2 + \gamma + 1 > 1\, y por tanto'l radical que multiplica tien tamién un valor mayor a unu.

L'ángulu de precesión verdaderu de L4, ye dicir l'ángulu que forma L4col cuerpu pequeñu vistu dende'l centru de xiru **b**, tamién puede calculase con procedimientos xeométricos, llográndose: \alpha = \arctan\left(\sqrt{3}\left(\frac{1+\gamma}{1-\gamma}\right)\right).

Les rellaciones trigonométriques del triángulu rectángulu *LBQ* impliquen
{2},}}

Agora nel triángulu rectángulu *LBT*:

Y sustituyendo les espresiones topaes resulta en
{2} }{r_2 - r_2(\gamma+1)\cdot\frac{1}{2}}}}
{2} }{r_2\left(1-\frac{\gamma+1}{2}\right)}}}

{2}}{r_2\left(\frac{1-\gamma}{2}\right)}
}}
y n'atayando términos nel numberador y denominador, llógrase 
}}
:**Exemplos:**

* Pal sistema Tierra-Lluna tenemos.
:Distancia Tierra-Lluna: d = r1 + r2 = 3,844·10⁸ m

:Masa Tierra: M1 = 5,974·1024 kg
:Masa Lluna: M2 = 7,35·1022 kg
: Valor de γ = M2M1 = 12,30·10-3

:Entós, como:

: tiense:

:Con estos datos y la fórmula anterior evalúase: 

:Para α, usando la otra fórmula, tiense: α = 60,6067º 

:Ye dicir; la órbita común de L4 y L5 entepasa a la de la Lluna en 2360 km y dichos puntos formen con ella ángulos de 60º 18' 22" con respectu al baricentru **b** del sistema

* Si M1 = M2, casu de les estrelles dobles simétriques, el parámetru gamma fai igual a unu.
:Nestes condiciones les dos mases ocupen una órbita común, l'ángulu α aumenta hasta 90º y el radiu de la órbita de L4 y L5 faise igual al radiu de la órbita común de les estrelles multiplicáu pol raigañu de 3. Esti radiu coincide col altor del triángulu equilláteru que la so base coincide cola distancia ente les estrelles.

La razón de qu'estos puntos tean n'equilibriu ye que'l puntu L4 y el puntu L5 tán a la mesma alloña de les dos mases. Por ello, les fuercies gravitatoria de los dos cuerpos tán na mesma rellación que les sos mases respeutives, y la fuercia resultante actúa al traviés del baricentru del sistema; amás, la xeometría de triángulu fai que l'aceleración resultante tea a la distancia del baricentru na mesma proporción que pa los dos cuerpos mayores. Y siendo el baricentru centru de mases y centru de rotación del sistema, esta fuercia resultante ye esautamente la que se riquir pa caltener un cuerpu nel puntu de Lagrange n'equilibriu col restu del sistema. 

L4 y L5 son llamaos dacuando «puntos triangulares de Lagrange» o «puntos troyanos». El nome de puntos troyanos» vien de los asteroides troyanos del sistema Sol–Jupiter, nomaos según personaxes de la Ilíada de Homero —la llexendaria guerra de Troya—. Los asteroides del puntu L4, que precieden a Xúpiter, son el «campamentu griegu», los griegos», ente que los del puntu L5 son el «campamentu troyanu». Los nomes tán estrayíos de personaxes de la *[[Ilíada]]*. 

:**Exemplos:**
* Los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Tierra solo contienen polvu interplanetario y l'asteroide troyanu terrestre 2010 TK7. 
* Los puntos L4 y L5 del sistema Tierra-Lluna que la so allugamientu calcular antes, contienen polvu interplanetario, les llamaes nubes de Kordylewski.
* Los puntos L4 y L5 del sistema Sol-Xúpiter tán ocupaos polos asteroides troyanos.
* Neptunu tien oxetos Troyanos del Cinturón de Kuiper nos sos puntos L4 y L5.
* La lluna de Saturnu Tetis tien dos satélite más pequeños nos sos puntos L4 y L5, de nome Telesto y Calipso, respeutivamente.
* La lluna de Saturnu Dione tien llunes menores, Helena y Pollux, nos sos puntos L4 y L5, respeutivamente.
* La hipótesis del gran impautu suxer qu'un oxetu (Theia) formar en L4 o L5 y estrellóse contra la Tierra al entrar n'órbita inestable, dando orixe asina a la Lluna.

## Estabilidá

Los primeros trés puntos de Lagrange son téunicamente estables namái nel planu perpendicular a la llinia ente los dos cuerpos. Esto puede trate más fácilmente considerando'l puntu L1. Una masa de prueba movida perpendicularmente de la llinia central sentiría una fuercia atrayéndola escontra'l puntu d'equilibriu. Esto ye asina porque les componentes llaterales de la gravedá de les dos mases sumir pa producir esta fuercia, ente que les componentes a lo llargo de la exa anúlense. Sicasí, si un oxetu asitiáu nel puntu L1 fora lleváu escontra una de les mases, l'atraición gravitatoria que siente por esa masa sería más grande, y sería atraíu escontra ella (el modelu ye bien similar al de la fuercia de marea).

Anque los puntos L1, L2 y L3 son nominalmente inestables, resulta que ye posible atopar órbites periódiques estables alredor d'estos puntos, a lo menos nel problema acutáu de los trés-cuerpos. Estes órbites perfectamente periódiques, denominaes órbites de "halo", nun esisten nun sistema dinámicu de n-cuerpos como'l sistema solar. Sicasí, sí esisten les órbites Lissajous cuasi-periódiques, y son les órbites que s'usaron en toles misiones espaciales a los puntos de llibración. Anque les órbites nun son perfectamente estables, un esfuerciu relativamente modestu caltener na **órbita Lissajous** mientres un llargu periodu. Tamién resulta preséu nel casu del puntu L1 del sistema Sol-Tierra poner la nave espacial nuna órbita Lissajous d'amplitú grande (100&nbsp;000–200&nbsp;000 km) en llugar d'aparcalo nel puntu de la llibración, porque esto caltién la nave espacial fora de la llinia del Sol-Tierra direuta y por eso amenorga les interferencies solares nes comunicaciones de la Tierra cola nave espacial.

Otra propiedá útil ya interesante de los puntos d'equilibriu colineales y les sos órbites de Lissajous acomuñaes ye qu'ellos sirven como puertes d'accesu pa controlar les trayectories caótiques d'una rede de tresporte interplanetariu.

En contraste cola inestabilidá de los puntos colineales, los puntos triangulares (L4 y L5) tienen un equilibriu estable (ver atractor), con tal la razón de les mases M1/M2 ye > 24,96. Ésti ye'l casu pa los sistemes Sol/Tierra y Tierra/Lluna, anque per un marxe menor nel últimu casu. Cuando un cuerpu nestos puntos ye alteriáu y muévese fora del puntu, actúa un efeutu Coriolis que lo devuelve al puntu.

## Valores del Sistema Solar
Esta tabla amuesa valores pa L1, L2 y L3 dientro del sistema solar. Los cálculos suponen que los dos cuerpos orbiten nun círculu perfectu con separación igual al semiexe mayor (SEM) y nun hai otros cuerpos cercanos. Les distancies midir dende'l centru de masa del cuerpu más grande con L3 amosando un allugamientu negativu. Les columnes de porcentaxe amuesen cómo les distancies comparar cola exa semimajor. Por casu: Pa la Lluna, L1 atopar a 326400 km del centru de la Tierra, que ye 84.9% de la distancia Tierra-Lluna o 15.1% delantre de la Lluna; L2 atopar a 448900 km del centru de la Tierra, que ye'l 116,8% de la distancia Tierra-Lluna o 16,8% más allá de la Lluna; y L3 atopar a -38.100 km del centru de la Tierra, que ye 99.3% de la distancia Tierra-Lluna o 0.7084% delantre de la posición "negativa" de la Lluna. El valor de L3 per cientu aumentóse en 100.

## Les misiones espaciales nos puntos de llibración

Les órbites nos puntos de llibración tienen carauterístiques úniques que les converten nuna opción bona p'allugar dellos tipos de misiones. La NASA unvió delles naves espaciales a los puntos L1 y L2 del sistema Sol-Tierra:





La Sociedá de L5 ye un precursor de la Sociedá Espacial Nacional, y promovió la posibilidá d'establecer una colonia nos puntos alredor del L4 o L5 del sistema de Tierra Lluna (ver colonización espacial y colonización de los puntos de Lagrange).

## Los exemplos naturales

Nel sistema Sol–Xúpiter hai dellos miles d'asteroides, llamaos asteroides troyanos, que tán nes órbites alredor del Sol, nos puntos L4 o L5 del sistema Sol–Xúpiter. Pueden atopase otros cuerpos nos mesmos puntos de los sistemes Sol–Saturnu, Sol–Marte, Sol-Neptunu, Xúpiter– satélites Jovianos, y Saturno-satélites de Saturnu. Nun hai nengún cuerpu grande conocíu nos puntos Troyanos del sistema de Sol–Tierra, pero nos años 1950 afayáronse nubes de polvu qu'arrodien los puntos L4 y L5. A estes nubes de polvu llamar nubes de Kordylewski, y entá más débil el gegenschein, tamién ta presente nel puntu L4 y L5 del sistema Tierra–Lluna. 

La lluna de Saturnu Tethys tien dos luna más pequeñes nos sos puntos L4 y L5 llamaes Telesto y Calypso. La lluna de Saturnu Dione tamién tien dos satélites lagrangianos co-orbitales, Helena nel so puntu L4 y Pollux en L5. Les llunes bazcuyen alredor de los puntos de Lagrange, y Polydeuces tien les esviaciones más grandes, alloñar hasta 32 graos del puntu L5 del sistema Saturno–Dione. Tethys y Dione son centenares de vegaes más grandes que les sos "escoltes" (ver los artículos de les llunes pa les dimensiones exactes; les mases nun son conocíes en dellos casos), y Saturno ye muncho más masivu lo cual fai bien estable'l sistema. 

### Otros exemplos co-orbitales

La Tierra tien un compañeru (3753) Cruithne que tien una órbita similar a la de la Tierra. Nun ye un verdaderu troyanu. Más bien, ocupa una de los dos órbites solares regulares, una llixeramente más pequeña y rápida que la de la Tierra y la otra llixeramente mayor y más lenta, alternando dacuando cuando s'avera a la Tierra. Colos acercamientos del asteroide a la Tierra, pel interior de la órbita de la Tierra, toma enerxía orbital de la Tierra y muévese nuna órbita d'enerxía más grande, más alta. Depués la Tierra algama al asteroide, que ta nuna órbita más grande y por tanto más lenta. Agora ye la Tierra la que toma enerxía y fai cayer al asteroide a una órbita más pequeña, y más rápida y nel futuru va ser l'asteroide'l que va coyer a la Tierra de mano el ciclu nuevamente. Esto nun tien un impautu notable nel llargor del añu, porque la Tierra ye más de 20&nbsp;000 millones de vegaes más masiva que 3753 Cruithne. 

Los satélites de Saturnu Epimeteo y Jano tienen una rellación similar, anque ellos son de mases similares y realmente intercambien la so órbita ente sigo dacuando (Janus ye aproximao 4 vegaes más masivu, pero ye abondu por que la so órbita sía alteriada). Otra configuración similar conocida como la resonancia orbital fai que los cuerpos tienden a tener periodos que tán en rellaciones sencielles con otros más grandes por cuenta de la so interaición.

## Ver tamién
* Llista d'oxetos nos puntos de Lagrange 
* Colonización de los puntos de Lagrange
* Problema de los dos cuerpos
* Problema de los trés cuerpos
* Esfera de Hill 
* Nubes de Kordylewski 
* Teoría del gran impautu

## Referencies

## Enllaces esternos
* Esplicación de los puntos de Lagrange por Prof. Neil J. Cornish 
* Esplicación de los puntos de Lagrange por Prof. John Baez 
* Derivación elemental del puntu de L1 (L2 ye análogu) 
* Puntu de Lagrange en NASA
* Derivación elemental del puntu de L4 (L5 ye análogu)