Teoría de fexes

En matemática, un **fai** *F* sobre un espaciu topolóxicu dau, *X*, apurre, pa cada conxuntu abiertu *O* de *X*, un conxuntu *F*(*O*), d'estructura más rica. De la mesma diches estructures, *F*(*O*), son compatibles cola operación de *restricción* dende un conxuntu abiertu escontra subconxuntos más pequeños y cola operación de *pegáu* de conxuntos abiertos pa llograr un abiertu mayor. Un **prehaz** ye similar a un fexe, pero con él puede nun ser posible la operación de pegáu. Los fexes déxennos aldericar de manera refinada sobre lo que significa ser una *propiedá local*, tal que falamos d'ello cuando lo aplicamos a una *función*.

## Introducción

Los fexes son usaos en topoloxía, xeometría alxebraica y xeometría diferencial siempres que queremos guardar rastru de los datos alxebraicos que varien con cada conxuntu abiertu del oxetu xeométricu dadu. Son una *ferramienta global* pa estudiar oxetos que *varien llocalmente* (i.e., dependiendo del conxuntu abiertu). Funcionen como preseos naturales pal estudiu del comportamientu global d'entidaes que son de naturaleza local, como los conxuntos abiertos, o les funciones: continues, analítiques, diferenciables...

Por considerar un exemplu típicu, sía un espaciu topolóxicu *X* y sía, pa cada conxuntu abiertu *O* en *X,* el conxuntu *F*(*O*), que consta de toles funciones continues *O* \rightarrow **R**. Si *V* ye un subconxuntu abiertu de *O*, entós les funciones sobre *O* pueden acutase a *V*, y tenemos una aplicación *F*(*O*)
\rightarrow *F*(*V*). El "pegáu" tratar del siguiente procesu: supón que los *O**i* son conxuntos abiertos que la so unión ye *O*, y pa cada *i* coyemos un elementu *f**i* \in *F*(*O**i*), i.e. una función continua *f**i* : *O**i* \rightarrow **R**. Si estes funciones coinciden allá onde s'asolapen, entós podemos pegales xuntes de manera que nos dean una única forma de consiguir una función continua *f* : *O* \rightarrow **R** conincidente con toles fi*</sub>. La coleición de conxuntos *F*(*O*) xunto coles aplicaciones restricción *F*(*O*) <math>\rightarrow</math>
*F*(*V*) formen un fexe de conxuntos sobre *X*. Realmente, los *F*(*O*) son [[aniellu conmutativu|aniellos conmutativos]] y les aplicaciones de restricción son [[homomorfismo d'aniellos|homomorfismos d'aniellos]], y *F*
ye amás un fexe d'aniellos sobre *X*.

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Un exemplu bien paecíu llógrase considerando una [[variedá]] diferenciable *X*, y pa cada conxuntu abiertu *O* de *X*, tomando'l conxuntu *F*(*O*) como'l de les funciones diferenciables *O* <math>\rightarrow</math> *'R**. Nesti exemplu va funcionar tamién el pegáu y vamos tener un fexe d'aniellos sobre ''X''. Otru fai sobre ''X'' asigna a cada conxuntu abiertu ''O'' de ''X'' l'[[espaciu vectorial]] de toes los [[campu vectorial|campos vectoriales]] diferenciables definíos sobre ''O''. La restricción y el pegáu va funcionar como nel casu de les funciones, y vamos llograr un fexe d'espacios vectoriales sobre la variedá ''X''.

== Daqué sobre la hestoria de la teoría de fexes en feches ==

Los oríxenes más primixenios de la teoría de fexes son difíciles de discernir - de xuru son coextensivos cola idea de la [[continuación analítica]]. Tomó alredor de 15
años pa estrayer una teoría de fexes autosuficiente del trabayu fundacional en [[cohomología]].

* 1936 [[Eduard Čech]] introduz la construcción de ''[[Nerviu d'un recubrimientu abiertu]]'', qu'acomuña un [[complexu simplicial]] a un recubrimientu abiertu.
* 1938 [[Hassler Whitney]] suministra una definición 'moderna' de la cohomología, resumiendo tol trabayu realizáu desque [[Alexander]] y [[Kolmogórov]] definieren les ''cocadenas''.
* 1943 [[Steenrod]] publica sobre la homoloxía ''con coeficientes locales''.
* 1945 [[Jean Leray]] publica trabayu realizáu nun campu de prisioneros de guerra, motiváu poles demostración sobre teoremes del [[puntu fixu]] na so aplicación a la teoría d'[[EDP Editores|EDP]] (ecuaciones en derivaes parciales). Esto ye l'empiezu de la teoría de fexes y de les [[secuencies espectrales]].
* 1947 [[Henri Cartan]] demuestra de nuevu'l [[Teorema de de Rham]] por aciu métodos de teoría de fexes, na so correspondencia con [[André Weil]]. Leray da una definición de fexe al traviés de los conxuntos zarraos (los antiguos ''carapaces'').
* 1948 El seminariu de Cartan pon per primer vegada la teoría de fexes per escritu.
* 1950 La 'segunda edición' del seminariu de Cartan sobre teoría de fexes: onde s'usa la definición del [[espaciu de fexes]] (''éspace étalé''), con estructura de tarmos (stalkwise).
Son introducíos los [[Soporte]]s, y la cohomología con soportes. Les aplicaciones continues faen surdir les [[socesión espectral|socesiones espectrales]]. Coles mesmes [[Kiyoshi Oka]] introduz la idea (paecida a aquella) d'un fexe d'ideales, en [[delles variables complexes]].
* 1951 El seminariu de Cartan demuestra los teoremes A y B basaos na obra de Oka.
* 1953 El teorema de finitud pa fexes coherentes na teoría analítica ye demostráu por Cartan y [[Serre]], según [[La dualidá de Serre]].
* 1954 L'artículu de Serre ''Faisceaux algébriques cohérents'' (publicáu en 1955) introduz los fexes dientro de la [[xeometría alxebraica]]. Estes idees son esplotaes darréu por [[Hirzebruch]], quien escribe un llibru fundamental sobre métodos topolóxicos.
* 1955 [[Alexander Grothendieck]] en llectures daes en [[Kansas]] define la [[categoría abeliana]] y los ''prehaces'', y por aciu l'usu de la [[resolución inyectiva]] dexa usar direutamente la cohomología de fexes sobre tolos espacios topolóxicos, como [[funtor deriváu|funtores derivaos]].
* 1957 L'artículu de Grothendieck llamáu ''Tohoku'' reescribe'l [[álxebra homológica]]; prueba la [[dualidá de Grothendieck]] ([[Id est|i.e.]], [[dualidá de Serre]] pa variedaes singulares).
* 1958 El llibru de Godement sobre teoría de fexes ye publicáu. Aproximao coles mesmes [[Mikio Satō]] propón les [[hiperfunción|hiperfunciones]], que terminen per trate "fai-teoréticamente".
* 1957 progresivamente: Grothendieck estiende la teoría de fexes afaciéndola a les necesidaes de la xeometría alxebraica, introduciendo los: [[Esquema (matemática)|esquemass]] y fexes xenerales sobre ellos, ''cohomología local'', la [[categoría derivada]] (esto con Verdier), y la [[Topoloxía de Grothendieck]]. Ellí surden tamién el so influyente y sintética idea de les 'seis operaciones' n'álxebra homológica.

Nesti puntu los fexes convirtiéronse yá nuna parte fundamental nel desenvolvimientu de la matemática, y el so usu nun s'acuta de nenguna manera a la [[topoloxía alxebraica]]. Más tarde afayóse que la lóxica nes categoríes de fexes ye [[lóxica intuicionista|intuicionista]] (suelse de cutiu nomar esta observación como [[semántica Kripke-Joyal]], pero probablemente tuviera de ser atribuyida a un mayor númberu d'autores). Esto demuestra cómo dalgunes de les facetes de la teoría de fexes puede ser remontada tan lloñe como a [[Leibniz]].

== La definición formal ==

Vamos Definir los fexes en dos pasos. El primeru ye introducir el conceutu de ''prehaz'', que prinda la idea d'acomuñar información local a un espaciu topolóxicu. El segundu pasu ye introducir un axoma adicional, llamáu'l ''axoma de pegáu'' o'l ''axoma de fexe'', que prinda la idea de pegar información llocal pa llograr información global.

=== Definición de prehaz ===

Sía ''X'' un espaciu topolóxicu, y **C** una [[categoría]] (de cutiu la categoría de [[conxuntos]], de [[Grupu abelianu|grupos abelianos]], d'[[aniellu conmutativu|aniellos conmutativos]], o la de [[módulu (matemática)|módulos]] sobre un aniellu fixu). Un **prehaz** ''F'' d'oxetos en **C** sobre l'espaciu ''X'' (un **C**-prehaz sobre ''X'') vien dau polos datos siguientes:
* pa cada conxuntu abiertu ''O'' en ''X'', un oxetu ''F''(''O'') en **C**
* pa cada inclusión de conxuntos abiertos ''V'' <math>\subset</math> ''O'', un morfismo ''F''(''O'') <math>\rightarrow</math> ''F''(''V'') na categoría **C**, que se llama la "restricción
de ''O'' a ''V''". vamos escribir como res<sub>''O'',''V''</sub>.
Ríquense dos propiedad:
* pa cada conxuntu abiertu ''O'' en ''X'', tenemos res<sub>''O'',''O''</sub> =id<sub>''F''(''O'')</sub>, [[Id est|i.e.]], la restricción de ''O'' a ''O'' ye la identidá.
* daos cualesquier trés conxuntos abiertos ''W'' <math>\subset</math> ''V'' <math>\subset</math> ''O'', tenemos res<sub>''V'',''W''</sub> o res<sub>''O'',''V''</sub> =res<sub>''O'',''W''</sub>, i.e. la restricción de ''F''(''O'') a ''F''(''V'') y entós a ''F''(''W'') ye lo mesmo que la restricción de ''F''(''O'') direutamente a ''F''(''W'').

Esta definición puede dase fácilmente en términos de la [[teoría de les categoríes]].
Primero definimos la categoría de los conxuntos abiertos sobre X como la categoría Top<sub>X</sub> que los sos oxetos son los conxuntos abiertos de X y que los sos morfismos son les inclusiones. Top<sub>X</sub> ye entós la categoría correspondiente al orde parcial <math>\subset</math> sobre los conxuntos abiertos de X. Un **C**-prehaz sobre ''X'' ye entós un
[[funtor contravariante]] dende Top<sub>X</sub> a **C**.

Si ''F'' ye un prehaz **C**-valuáu sobre X, y ''O'' ye un conxuntu abiertu de ''X'', entós ''F(O)'' dizse les ''seiciones'' de ''F'' sobre ''O''. (Esto ye por analoxía coles seiciones de los "fiber bundles"; ver embaxo) Si **C** ye una [[categoría concreta]], entós cada elementu de ''F(O)'' ye llamáu una seición.
''F(O)'' de cutiu ye tamién denotado Γ(''O'',''F'').

=== L'axoma de pegáu ===

Los fexes son prehaces sobre los cualos les seiciones sobre conxuntos abiertos pueden ser pegaes pa dar seiciones sobre abiertos más grandes. Vamos Establecer primero l'axoma d'una manera que rique que **C** sía una categoría concreta.

Sía ''O'' la unión de la coleición de conxuntos abiertos {''O<sub>i</sub>''}. Pa cada ''O<sub>i</sub>'', escueye una seición ''f<sub>i</sub>'' sobre ''O<sub>i</sub>''.
Vamos Dicir que los ''f<sub>i</sub>'' son ''compatibles'' si pa tou ''i'' ''j'',

:res<sub>''O<sub>i</sub>'',''O<sub>i</sub>''<math>\cap</math>''O<sub>j</sub>''</sub>(''f<sub>i</sub>'') =res<sub>''O<sub>j</sub>'',''O<sub>i</sub>''<math>\cap</math>''O<sub>j</sub>''</sub>(''f<sub>j</sub>'').

Intuitivamente falando, si les ''f<sub>i</sub>'' representen funciones, tamos diciendo que cualesquier d'elles va coincidir con otra allá onde s'asolapen. L'axoma de fexe diz que podemos llograr colos ''f<sub>i</sub>'' una seición única ''f'' sobre ''O'' que la so restricción a cada ''O<sub>i</sub>'' ye ''f<sub>i</sub>'', [[Id est|i.e.]], res<sub>''O'',''O<sub>i</sub>''</sub>(''f'')=''f<sub>i</sub>''.
Delles vegaes esto dizse con dos axomes, unu garantizando la esistencia y l'otru la unicidá.

Parafrasiando esta definición de manera que funcione en cualquier categoría, notamos que podemos escribir los oxetos y los morfismos envueltos nella nuna diagrama paecíu a este:



:<math>{\mathcal F}(O)\rightarrow\prod_i{\mathcal F}(O_i)
{\rightarrow\atop\rightarrow}\prod_{i,j}{\mathcal F}(O_i\cap O_j)</math>

La primer aplicación equí ye'l productu de les aplicaciones restricción
res<sub>''O'',''O<sub>i</sub>'',</sub>:''F(O)''<math>\rightarrow</math>''F(O<sub>i</sub>)'' y cada par de fleches representa los dos restricciones res<sub>''O<sub>i</sub>'',''O<sub>i</sub>''<math>\cap</math>''O<sub>j</sub>''</sub>:''O<sub>i</sub>''<math>\rightarrow</math>''O<sub>i</sub>''<math>\cap</math>''O<sub>j</sub>''
y res<sub>''O<sub>j</sub>'',''O<sub>i</sub>''<math>\cap</math>''O<sub>j</sub>''</sub>:''O<sub>j</sub>''<math>\rightarrow</math>''O<sub>i</sub>''<math>\cap</math>''O<sub>j</sub>''.

Vale la pena faer notar qu'eses aplicaciones escosen toles posibilidaes tocantes a les aplicaciones restricción ente ''O'', los ''O<sub>i</sub>'', y los ''O<sub>i</sub>''<math>\cap</math>''O<sub>j</sub>''.

La condición de que ''F'' sía un fexe ye esautamente la de que ''F(O)'' ye la [[llende (teoría de categoríes)|llende]] del restu de la diagrama. Esto suxer que tenemos de parafrasiar la noción de recubrimientu nun contestu categorial. Cuando faemos esto, llogramos
una diagrama qu'asemeya al de riba:

:<math>\prod_{i,j}O_i\cap O_j{\rightarrow\atop\rightarrow}\prod_iU_i\rightarrow
O</math>

(Ye importante notar equí que pa formar los productos na diagrama, tenemos d'enfiñir la categoría Top<sub>X</sub> nuna [[categoría completa]]) La condición
de que ''O'' ye la unión de los ''O<sub>i</sub>'' ye la de que ''O'' ye un
[[colímite]] del restu de la diagrama.

L'axoma de pegáu ye agora'l que ''F'' torna tolos colímites en llendes.

== Exemplos ==

Amás de los que yá punximos, los fexes de seiciones son exemplos importantes. Supón que ''Y'' y ''X'' son espacios topolóxicos y π :
''Y'' <math>\rightarrow</math> ''X'' una aplicación continua. Pa cada conxuntu abiertu ''O'' en ''X'', sía ''F''(''O'')
el conxuntu de toles aplicaciones ''f'' : ''O'' <math>\rightarrow</math> ''Y'' tales que π(''f''(''x'')) = ''x'' pa tou ''x'' en ''O''. Tal función ''f''
ye llamada **seición de π**. Nun ye difícil comprobar que ''F'' ye un
fexe de conxuntos sobre ''X''. Ello ye que cada fexe de conxuntos sobre ''X'' ye esencialmente d'esti tipu, p'aplicaciones bien especiales π; ver embaxo.

Dau un fexe ''F'' sobre ''X'', los elementos de ''F''(''X'') son llamaos tamién les **seiciones globales*', terminoloxía motivada pol exemplu previu.

Otros exemplos:

* Cualesquier [[fibrado vectorial]] apurre un fexe de conxuntos, coyendo les [[Seición (matemática)|seiciones]].
* Mira cómo los fexes son usaos nel artículu sobre [[Superficie de Riemann]].
* [[Espacios anillados]] son fexes d'aniellos conmutativos; son especialmente importantes los [[espacios llocalmente anillados]], onde tolos tarmos (mirar más embaxo) son [[aniellos locales]].
* Los [[Esquema (matemática)|esquemes]] son espacios llocalmente anillados especiales, importantes en [[xeometría alxebraica]]; los fexes de módulos son importantes na teoría acomuñada.
* *Fexes de rectes'' nel artículu : Simulación.

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Traducción de la edición inglesa (sheaf), falta parte.

## Referencies

## Enllaces esternos