Joseph-Louis Lagrange

**Joseph-Louis Lagrange** , bautizáu como **Giuseppe Lodovico Lagrangia**, tamién llamáu **Giuseppe Luigi Lagrangia** o **Lagrange**, foi un físicu, matemáticu y astrónomu italianu naturalizáu francés, que dempués de formase nel so Italia natal pasó la mayor parte de la so vida en Prusia y Francia.

Lagrange trabayó en Berlín mientres venti años pa Federico II de Prusia. Apurrió meyores trescendentales en múltiples cañes de les matemátiques, desenvolvió la mecánica Lagrangiana y foi l'autor de novedosos trabayos d'astronomía. Tanto pola importancia como pol volume de les sos contribuciones científiques puede consideráse-y unu de los físicos y matemáticos más destacaos de la historia.

## Biografía

### Primeros años

Joseph Louis de Lagrange venía de una familia parisina que gociaba de bona posición social. Foi'l más nuevu d'once hermanos y l'únicu qu'algamó la edá adulta.
Foi educáu na Universidá de Turín y nun foi hasta los diecisiete años cuando amosó interés pola matemática. El so entusiasmu empezó a caminar cola llectura d'un ensayu del astrónomu Edmund Halley sobre analís matemáticu. Tres un añu d'incesante trabayu, yera yá un matemáticu peracabáu. El rei Carlos Manuel III de Cerdeña encamentó-y en 1775 l'ensayamientu de los artilleros del so exércitu como profesor asistente na Academia Militar, onde s'aplicaron per primer vegada les teoríes balístiques de Benjamin Robins y de Leonhard Euler. Sicasí, acordies colos comentarios d'Alessandro Papacino D'Antoni, comandante de l'academia y famosu teóricu de l'artillería, Lagrange resultó ser un profesor problemáticu por el so estilu apoderáu pol razonamientu astractu; dispuestu a apostrar a un segundu planu la práutica de l'artillería y de la inxeniería de les fortificaciones. Nesta Academia unu de los sos alumnos foi François Daviet de Foncenex (1734-1799), militar y matemáticu darréu especializáu n'analís dimensional.

Cuando tenía tan solu diecinueve años d'edá unvió una carta a Leonhard Euler pal resolución de los problemes d'isoperimetría que fueren un asuntu de discutiniu mientres más de mediu sieglu, por aciu una nueva téunica: el cálculu de variaciones. Euler reconoció la xeneralidá del métodu y la so superioridá, y con una cortesía rara nél retuvo un artículu qu'escribiera primeramente por que'l mozu italianu tuviera tiempu pa completar el so trabayu, como esixe la invención d'un nuevu métodu de cálculu. El nome d'esta caña del analís suxerir el mesmu Euler. Esti trabayu punxo a Lagrange en primer llinia ente los matemáticos de la so dómina.
En 1758, cola ayuda de los sos alumnos, Lagrange publicó na Academia de Turin la mayoría de los sos primeros escritos, consistentes nos cinco volúmenes de normal conocíos como *Miscellanea Taurinensia*.

En 1761 Lagrange nun tenía rival nel campu de les matemátiques; pero'l so trabayu incesante mientres los últimos nueve años afectara seriamente al so salú, y los doctores negar a ser responsables de la so vida nun siendo qu'él tomar en serio. Anque la so salú foi temporalmente restablecida, el so sistema nerviosu nunca recuperó'l so tonu y de equí d'equí p'arriba careció constantemente ataques de murria severa.

Lagrange yera de mediana estatura, complexón débil, con güeyos azul claru y un color de piel pálido. Yera d'un calter nervioso y cobarde, repunó'l discutiniu, y al evitala de bona gana dexó a otros tener creitu por coses qu'él fixera.

### Na corte real de Prusia

Yá en 1756, Euler, col sofitu de Maupertuis, fixo un intentu por atraer a Lagrange a l'academia de Berlín. Más tarde, d'Alembert intercedió a favor de Lagrange ante Federico de Prusia y escribió al matemáticu solicitándo-y que dexara Turín por una posición considerablemente más prestixosa en Berlín.

En 1766 Euler abandonó Berlín, y Federico II el Grande escribió a Lagrange pa espresa-y el so deséu de que "el rei más grande d'Europa" tendría de tener "el matemáticu más grande d'Europa" viviendo na so corte. Lagrange aceptó la ufierta y mientres los siguientes venti años en Prusia, produció nada menos que la serie más grande de documentos científicos publicada hasta entós en Berlín, incluyendo'l so trabayu monumental, la *Mécanique analytique*. Gracies a l'encamientu de D'alembert y de Euler, Lagrange asocedió a esti postreru como direutor de l'Academia de les Ciencies de Berlín, coles mesmes que Euler rellumaba na Rusia de Catalina la Grande.

La so estancia en Berlín empezó con un desafortunáu error: tando la mayoría de los sos colegues casaos, y aconseyáu poles sos esposes de que yera la única manera de tar contentu, casóse; la so esposa morrió llueu, y la xunión nun foi feliz.

Lagrange yera'l favoritu del rei y frecuentemente disertó sobre les ventayes d'una regularidá perfecta na vida. La lleición aplicar a la so propia vida: estudió la so mente y el so cuerpu como si fueren máquines, y atopó esperimentando la cantidá exacta de trabayu que podía faer ensin perder la salú. Toles nueches ponía una xera definida p'a otru día, y al completar cualquier tema escribía un curtiu analís pa ver qué puntos nes demostraciones yeren susceptibles de meyora. Siempres pensó nos sos artículos antes de componelos, y de normal escribir con aséu y ensin una sola raspadura o correición.

### Etapa posterior en Francia

En 1786 Federico II morrió, y Lagrange, que yá s'afixo al clima de Berlín, aceptó con allegría la ufierta de Lluis XVI pa emigrar a París. Recibiera invitaciones similares d'España y Nápoles. En Francia foi recibíu con distinción, y preparáronse apartamentos especiales nel Louvre pa la so receición. De primeres de la so residencia sufrió un ataque de murria, y tuvo una copia impresa de la so *Mécanique* (na que trabayara un cuartu de sieglu) ensin abrir nel so escritoriu mientres más de dos años. L'interés alrodiu de los resultaos de la revolución francesa sacar de la so letargo, un interés que llueu se volvió n'alarma col desenvolvimientu de la revolución.

En 1792, la inesplicable murnia de la so vida y la so cobardura, motivaron la compasión d'una nueva rapaza qu'aportunó en casase con él, siendo feliz con dicha unión. Anque'l decretu d'ochobre de 1793 qu'esixía que tolos estranxeros dexaren Francia nun-y foi aplicáu, deseyaba colase cuando-y ufiertaron la presidencia de la comisión pa la reforma de pesos y midíes. La opción de les unidaes finalmente escoyíes yera principalmente debida a él, y pola so influencia aceptar pola comisión la **subdivisión decimal** en 1799.

Anque Lagrange quixera salir de Francia, nunca tuvo en peligru y los distintos gobiernos revolucionarios (y más tarde, Napoleón) cubriéron-y d'honores y distinciones. En 1794 Lagrange foi nomáu profesor de la École Polytechnique y les conferencies que dio ellí a los matemáticos que tuvieron la suerte de poder asistir a elles, teníen la so base na so *Théorie des fonctions analytiques*.

Pero Lagrange nun paez ser un maestru perfectu. Fourier, qu'asistió a les sos clases en 1795, escribió:

En 1795 Lagrange ocupó una cátedra matemática honorífica na École Normale qu'esfrutó solo mientres cuatro meses, una y bones la école foi cerrada. Les sos conferencies equí yeren abondo elementales, y nun contienen nada d'importancia especial. Esi mesmu añu foi nomáu unu de los diez miembros orixinales del comité fundador del Bureau des Llargores.

### Últimos años

En 1810 Lagrange empezó una revisión completa de la *Mécanique analytique*, pero solo pudo completar unos dos tercios antes del so fallecimientu en 1813, asocedíu na so casa parisina del 128 de la cai Saint Honoré (Faubourg). Napoleón Bonaparte rindió-y honores concediéndo-y la Gran Cruz de la Orde Imperial de la Xunta dos díes antes de morrer. Foi soterráu esi mesmu añu nel Panteón de París. Na inscripción en francés de la so urna funeraria puede lleese:

## La so obra

### Miscellanea Taurinensia
En 1758, con ayuda de los sos alumnos, Lagrange fundó una sociedá que, más tarde, denominóse l'Academia Turinesa de Ciencies. La mayor parte de los sos primeros trabayos atopar nos cinco volúmenes de los rexistros de l'Academia, conocíos usualmente como Miscellanea Taurinensia. Munchos d'estos trabayos son publicaciones ellaboraes.

El primer volume contién un documentu de la teoría del espardimientu de soníu; indica un error cometíu por Newton, llogra la ecuación diferencial xeneral pal movimientu, y topa la solución pal movimientu en llinia recta. Esti volume tamién contién la solución completa del problema d'una cuerda que cimbla transversalmente; nesti trabayu señala la falta de xeneralidá nes soluciones daes primeramente por Brook Taylor, D'Alembert y Euler llegando a la conclusión de que la forma de la curva pa un tiempu *t* cualesquier vien dada pola ecuación y = a \sin (mx)\cdot \sin (nt). L'artículu conclúi con un arteru discutiniu sobre ecos y soníos compuestos. Otros artículos nesti volume son serie recursivas, probabilidá y cálculu de variaciones.

El segundu volume contién un documentu llargu qu'inclúi los resultaos de dellos documentos del primer volume y notes sobre'l cálculu de variaciones; ya ilustra el so usu deduciendo'l principiu de mínima aición, y les soluciones de dellos problemes de dinámica.

El tercer volume inclúi la solución de dellos problemes de dinámica por aciu el cálculu de variaciones; dellos documentos de cálculu integral; una solución del problema de Fermat (atopar un númberu *x* que va faer que (*x* ² *n* + 1) sía un cuadráu ónde *n* ye un enteru yá que nun ye un cuadráu); y les ecuaciones diferenciales xenerales del problema del movimiento de n-cuerpos y la so aplicación al Problema de los trés cuerpos que se mueven so les sos atraiciones mutues.

### Los trataos
La so actividá mental mientres estos venti años en Prusia foi estelante, non solo pol fechu de producir la so arrogante *Mécanique analytique*, sinón por contribuyir, con doscientos trabayos, a les Academies de Berlín, Turín, y París. Dalgunos d'estos realmente son trataos, y toos, ensin esceición, son d'una estraordinaria calidá. Salvo un curtiu periodu de tiempu, cuando taba enfermu, por permediu produció aproximao un artículu al mes. Los más importantes son:

* Les sos contribuciones a los volúmenes cuartu y quintu, 1766 -1773, de la *Miscellanea Taurinensia*; el más importante foi unu en 1771 en qu'aldericó cómo numberoses observaciones astronómiques tienen de combinase pa dar la resultancia más probable.
* Dempués, les sos contribuciones a los primeros dos volúmenes, 1784 - 1785, de l'Academia de Turín. Un artículu sobre la presión exercida polos fluyíos en movimientu, y el segundu un artículu alrodiu de la integración d'una serie infinita, y el tipu de problemes pa los que ye conveniente.

### Astronomía

El siguiente trabayu foi en 1764 sobre la llibración de la Lluna, y una esplicación alrodiu de por qué siempres ufierta la mesma cara a la Tierra, un problema que trató cola ayuda del trabayu virtual. La so solución ye especialmente interesante por contener el xerme de la idea d'ecuaciones xeneralizaes de movimientu, ecuaciones que demostró formalmente en 1780.

La mayoría de los trabayos unviaos a París trataba sobre preguntes astronómiques, y ente estos papeles cabo mentar el sistema joviano en 1766, el so ensayu nel problema de los trés cuerpos en 1772, el so trabayu sobre la ecuación secular de la Lluna en 1773, y el so tratáu sobre les perturbaciones cometarias de 1778. Estos yeren toos asuntos propuestos pola Academia francesa, y en cada casu'l premiu dióse-y a él.

Hai numberosos artículos d'astronomía. D'estos los más importantes son los siguientes:

* Intentando resolver el Problema de los trés cuerpos, afayó los puntos de Lagrange en 1772, d'interés porque nellos hanse atopáu los asteroides troyanos y los satélites troyanos de Saturnu.
* Gravitación d'elipsoides, 1773: Puntu de partida del trabayu de Maclaurin.
* La ecuación secular de la Lluna, 1773; tamién notable pola introducción de la idea de potencial. El potencial d'un cuerpu nun puntu ye la suma de la masa de cada elementu del cuerpu estremáu pola so distancia del puntu. Lagrange amosó que si'l potencial d'un cuerpu a un puntu esternu fuera conocíu, l'atraición en cualquier direición podría atopase nel intre. La teoría del potencial ellaborar nun artículu unviáu a Berlín en 1777.
* El movimientu de los nodos de la órbita d'un planeta, en 1774.
* La estabilidá de les órbites planetaries, en 1776.
* Dos artículos sobre'l métodu pa determinar la órbita d'un cometa con tres observaciones, en 1778 y 1783: na práutica nun ye utilizáu, pero'l so sistema de calcular les perturbaciones per mediu de les cuadradures mecániques formó la base de la mayoría de les investigaciones subsecuentes nel asuntu.
* La so determinación de les variaciones secular y periódicu de los elementos orbitales de los planetes, 1781-1784: les llendes cimeres asignaos por que estos tean acordies con aquellos llograos dempués por Le Verries. Lagrange procedió hasta onde-y dexaba'l conocencia qu'entós se tenía de les mases de los planetes.
* A esta tema volvió mientres los últimos años de la so vida cuando taba yá en París. La teoría del movimientu planetariu formara parte de dalgunos de los más notable escritos de Berlín de Lagrange. En 1806 l'asuntu volvió abrir per parte de Poisson, quien, nun artículu lleíu ante l'Academia francesa, amosó les fórmules de Lagrange llevaes a ciertes llendes pa la estabilidá de les órbites. Lagrange, que taba presente, analizó entós de nuevu l'asuntu enteru, y nuna carta comunicada a l'Academia en 1808 esplicó cómo, pola variación de constantes arbitraries, les desigualdaes periódicu y secular de cualquier sistema de cuerpos mutuamente xuníos pola gravitación podríen ser determinaes.

### Álxebra
La mayor parte de los sos artículos sobre álxebra unviar a l'Academia de Berlín. Hai de solliñar:

* El so discutiniu de la solución entera de les formes cuadráticas, 1769, y xeneralmente d'ecuaciones indeterminaes, 1770.
* El so tratáu de la teoría d'eliminación de parámetros, 1770.
* Los sos escritos sobre'l procesu xeneral por resolver una ecuación alxebraica de cualquier grau, 1770 y 1771; esti métodu falla pa les ecuaciones d'un orde cimeru al cuartu, porque arreya la solución d'una ecuación d'orde cimeru, pero da toles soluciones de los sos predecesores.
* La solución completa d'una ecuación binomial de cualquier grau (ocupa l'últimu llugar ente los artículos mentaos).
* Amás, en 1773, el so tratamientu de determinantes de segundu y tercer orde, y de los sos invariantes.
* Un teorema que lleva'l so nome: «si G ye un grupu finito d'orde n y H un subgrupu d'orde m, ten de ser n múltiplu de m , o m divisor de n. El númberu i = \frac{n}{m} llámase *índiz del subgrupu*»

### Ecuaciones diferenciales
Inventó'l métodu de ** variación de los parámetros** (o *variación de les constantes arbitraries* ), un métodu potente non solo aplicable a una ecuación diferencial llinial con coeficientes constantes, sinón a cualquier ecuación diferencial llinial de la que se yá conoza la función complementaria. Por esti métodu y poles sos numberoses aportaciones considérase-y unu los mayores matemáticos de tolos tiempos.

### Teoría de númberos Dalgunos de los sos artículos iniciales tamién traten de cuestiones coneutaes col abandonáu pero sobromanera fascinante tema de la [[teoría de númberos]]. Ente estos atopen los que traten sobre los asuntos siguientes:

* La so prueba del teorema de que cada enteru positivu que nun ye un cuadráu puede espresase como la suma de dos, trés o cuatro cuadraos d'enteros, 1770.
* La so demostración del teorema de Wilson que diz que si * n * ye un númberu primu, entós (* n * - 1)! + 1 siempres ye un múltiplu de * n *, 1771.
* Los sos artículos de 1773, 1775, y 1777, onde da les demostraciones de delles resultancies enunciaes por Fermat, y non demostraos primeramente.
* Y, a lo último, el so métodu pa determinar los factores de númberos de la forma x^2 + ai^2.

### Mecánica analítica o lagrangiana

Ente 1772 y 1788, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Isaac Newton pa simplificar fórmules y facilitar los cálculos. Esta mecánica llámase mecánica Lagrangiana, y ye l'orixe de la mecánica analítica. El so monumental «Tratáu de Mecánica Analítica» recueye, completa y unifica les conocencies acumulaes dende Newton. Esti llibru, pa los sos contemporáneos una referencia, ye una apoloxía del usu de les ecuaciones diferenciales en mecánica. Nel llibru estiende la llei del trabayu virtual, y fai d'ella un principiu fundamental, y cola ayuda del cálculu diferencial, deduz tola mecánica de sólidos y fluyíos.

L'oxetu del llibru ye amosar que la mecánica ta implícitamente incluyida nun solu principiu, que dexa dar fórmules xenerales de les que puede llograse cualquier resultancia particular. El métodu de coordenaes xeneralizaes que llogró ye quiciabes la resultancia más intelixente del so analís. En llugar de siguir el movimientu de cada parte individual d'un sistema material, como D'Alembert y Euler fixeren, amosó que, si determinar el so configuración por un númberu abondu de variables que'l so númberu ye igual que los graos de llibertá que tien el sistema, entós pueden espresase les enerxíes cinétiques y potenciales del sistema polo que se refier a eses variables, y les ecuaciones diferenciales del movimientu deducir pola diferenciación. Por casu, na dinámica d'un sistema ríxidu reemplaza la considerancia del problema particular pola ecuación xeneral que s'escribe agora de normal cola fórmula:
-\frac{\partial T}{\partial\theta}+\frac{\partial V}{\partial \theta} = 0.

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*T* ye la enerxía cinética y *V* la enerxía potencial y \theta ye la coordenada xeneralizada. Construyendo la función lagrangiana \mathcal{L} la llei queda de la forma:
{\partial \dot{\theta}}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta} = 0. 
||left}}
Ente otros teoremes menores equí daos puede mentase la proposición de que la enerxía cinética d'un sistema material so les restricciones daes ye un máximu, y el principiu de mínima aición. Tol analís ye tan elegante que William Rowan Hamilton dixo qu'esti trabayu «solo podría describise como un poema científicu». Puede ser interesante reparar que Lagrange comentó que la mecánica realmente yera una caña de la matemática pura, análoga a una xeometría de cuatro dimensiones, esto ye, el tiempu y les trés coordenaes del puntu nel espaciu. De primeres nenguna editorial quería publicar el llibru; pero Legendre por fin persuadió a una empresa de París pa faelo, lo que se fixo so la so supervisión en 1788.

### Teoría sobre les funciones analítiques
Les sos conferencies na École polytechnique trataron del cálculu diferencial, la base de la so *Théorie des fonctions analytiques*, que se publicar en 1797.

Esti trabayu ye la estensión d'una idea contenida nun artículu qu'unviara a Berlín en 1772. Un métodu daqué similar usárase primeramente por John Landen nel *Analís residual*, publicáu en Londres en 1758. Lagrange creyó que podía llibrase asina de les dificultaes pol usu de cantidaes infinitamente grandes ya infinitamente pequeñes, que los filósofos oxetaron nel tratamientu avezáu del cálculu diferencial.

El llibru ta estremáu en trés partes. La primera da una prueba alxebraica del teorema de Taylor. La segunda trata les aplicaciones a la xeometría; y la tercera trata sobre les sos aplicaciones a la mecánica. Otru tratáu nes mesmes llinies foi la so *Leçons sur le calcul des fonctions*, publicáu en 1804. Estos trabayos pueden ser consideraos como'l puntu d'arranque pa les investigaciones de Cauchy, Jacobi y Weierstrass.

### Infinitesimales
Con posterioridá, Lagrange usó los infinitesimales y el cálculu diferencial nel estudiu de fórmules alxebraiques; y nel prólogu a la segunda edición de la so obra *Mécanique Analytique* publicada en 1811, xustifica l'empléu d'infinitesimales, con estes pallabres:

### Fraiciones continues
La so *Résolution des équations numériques*, publicada en 1798, tamién ye frutu de les sos conferencies na Escuela politéunica. Nél da'l métodu d'averar los raigaños reales d'una ecuación per mediu de fraiciones continues, y enuncia dellos otros teoremes. A la fin nuna nota demuestra'l pequeñu teorema de Fermat:

: a^{p-1} - 1 \equiv 0 \; ({\rm mod} \; p) \; , 

onde * p * ye un númberu primu y * a * ye un númberu enteru primu ente sigo con * p * (m.c.d. (a, p)=1). Puede aplicase pa dar la solución alxebraica completa de cualquier ecuación binomial. Esplica tamién cómo la ecuación que les sos raigaños son los cuadraos de les diferencies de los raigaños de la ecuación orixinal puede usase pa dar muncha información alrodiu de la posición y naturaleza d'esos raigaños.

## Matemática pura
Los intereses de Lagrange yeren esencialmente aquellos d'un estudiante de matemática pura: buscó y llogró resultancies astractes de llargu algame, y taba satisfechu de dexar les aplicaciones a otros. De fechu parte de los descubrimientos del so gran contemporaneu, Laplace, consiste na aplicación de les fórmules de Lagrange a los fenómenos de la naturaleza; por casu, les conclusiones de Laplace de la velocidá del soníu y de l'aceleración secular de la Lluna tán yá implícitamente nes resultancies de Lagrange.
La única dificultá pa entender a Lagrange ye l'asuntu d'interés y la xeneralidá estrema de los sos procesos; pero'l so analís ye tan lúcido y lluminosu como ye simétricu y atélite.

Un recién escritor sobre Lagrange diz que desempeñó un papel verdaderamente prominente na meyora de casi toles cañes de la matemática pura. Como Diofanto y Fermat, Lagrange tenía un xeniu especial pa la teoría de númberos, y nesti asuntu dio soluciones a munchos de los problemes que se propunxeren por Fermat, y amestó dellos teoremes propios. Creó'l cálculu de variaciones. La teoría d'ecuaciones diferenciales ta en delda con él por convertila nuna ciencia en llugar d'una coleición d'atélites artificios pa la solución de problemes particulares.

Contribuyó al cálculu de diferencies finitas cola fórmula de interpolación que lleva'l so nome. Los sos trés trabayos sobre'l métodu de interpolación de 1783, 1792 y 1793, tán anguaño na mesma fase en que Lagrange dexar.

### Miscelánea
Hai tamién numberosos artículos sobre dellos puntos de xeometría analítica. En dos d'ellos, escritos abondo dempués, en 1792 y 1793, amenorgó les cuádriques a la so forma canónica.

Mientres los años de 1772 a 1785 contribuyó con una llarga serie d'artículos qu'influyeron notablemente nel desenvolvimientu de la ciencia, sobre les ecuaciones diferenciales en derivaes parciales. Una gran parte d'estes resultancies axuntar na segunda edición del cálculu integral de Euler publicáu en 1794.

Mientres los últimos años en Francia'l so trabayu centrar nel Analís Matemáticu.

## Distinciones

*Miembru del Senáu conservador () (incluyíu con Monge y Laplace na rellación de científicos convidaos a formar parte de l'asamblea).
* Conde Lagrange del Imperiu (Concesión el , Bayonne)
* Lexón d'Honor:
:: Caballero :: Gran Oficial
* Gran Cruz de la Orde de la Xunta.
:: Caballero

## Reconocencies y honores
* Ta soterráu nel Panteón de París.
* El so nome figura en llista de los setenta y dos nomes de científicos destacaos inscritos na Torre Eiffel.
* El cráter llunar Lagrange lleva'l so nome.
* El asteroide (1006) Lagrangea ta denomináu nel so honor.
* Una cai del V Distritu de París y otra cai de Turín lleven el so nome.
* El puntu d'ingravidez del sistema Tierra/Sol, que la so esistencia predixo, llámase «el puntu de Lagrange L2» nel so honor.
* L'operador matemáticu lagrangiano débe-y el so nome.

## Escudu d'armes

## Ver tamién
* Polinomiu de Lagrange
* Mecánica Lagrangiana
* Puntos de Lagrange
* Multiplicadores de Lagrange
* Teorema de Lagrange
* Adrien-Marie Legendre

## Referencies

### Bibliografía
* *Lettres inédites de Joseph Louis Lagrange à [[Leonhard Euler]]*, publicó Baldassare Boncompagni, 1877
* Florence Martin-Robine. *Histoire du principe de moindre action*, Vuibert, Paris, 2006. 
* Isaac Asimov. * Enciclopedia de ciencia y teunoloxía 1*. Alianza Editorial, Madrid (1987)

## Enllaces esternos

* 
* Lagrange-Punkte
* Entrada en Xenealoxía