Tensión circunferencial

La **tensión circunferencial** ye un tipu d'esfuerciu mecánicu d'elementos de forma cilíndrica o esférica, como resultáu d'una presión interna o esterna.

Un exemplu clásicu de la tensión circunferencial ye la tensión aplicao a les bandes de fierro, o los aros de madera, d'un barril. Nuna recta, zarrada tubería , cualquier fuercia aplicao a la paré del tubu cilíndricu por una presión diferencial n'última instancia, dar llugar a tensiones d'aru. De manera similar, si la tubería tien tapones planos finales, cualquier fuercia aplicao a ellos pola presión estática va inducir una perpendicular tensión axial na paré del tubu mesmu. Les seiciones fines tienen de cutiu insignificantemente pequeña tensión radial, pero modelos precisos de parés más grueses, pulgos cilíndricos, tienen de tenese en cuenta tales tensiones.

## Definiciones

Unu de los tipos d'esfuercios mecánicos ye la tensión circunferencial, que se surde n'oxetos con simétriques rotacional. Esta fuercia ta contenida nel planu perpendicular a la exa de simetría y ye perpendicular al radiu del oxetu. Sufrir cada párticula de la paré del cilindru en dambes direiciones. Polo xeneral nun tien porque ser igual en tou la espesura sinón que puede variar. Representar por **σ<sub>θ</sub>** 

## Introducción

Si consideramos un tubu de radiu internu *r* d'espesura de paré *y* y un llargor *l* llenu d'un fluyíu a una presión *P*, como amuesa la **fig. 1**. Pa simplificar vamos considerar el llargor unitariu *l* = 1. Descomponemos la presión que pol principiu de Pascal ye igual nuna componente horizontal y otra vertical. Les componentes verticales son simétriques y anúlase. Y solo queda la horizontal de valor la presión. multiplicando *P* pola proyeición de la superficie 2*r·l*, y como consideramos *l*=1, tenemos una fuercia de por unidá de llargor de 2·*r·P*. Como'l tubu esta n'equilibriu la suma de fuercies tien de ser cero, y pola simetría del problema consideramos que cada paré del tubu realiza la metá de fuercia *r·P*. Si consideramos que l'esfuerciu distribúyese uniformemente dientro de la paré tenemos un esfuerciu **σ<sub>θ</sub>** =*r·P/y*. D'esta espresión vese qu'anque la presión caltenga l'esfuerciu a que ta sometíu la paré del tubu depende del radiu, a mayor radiu mayor esfuerciu. Pa considerar que l'esfuerciu distribuyir de forma uniforme la rellación ente'l radiu y l'espesura tien de ser mayor de 10, según otros autores de 20. Si la rellación radiu espesura ye menor anque la fuercia total a soportar ye la calculada nun puede suponese una distribución uniforme de la tensión dientro de la espesura de la paré esisten zones onde la tensión ye mayor de la media. Y los esfuercios cortantes non pueden inorase.

Cuando en cuenta de un tubu estudiamos un depósitu so presión amás de la fuercia tanxencial estudiada nel casu anterior surde una axial xenerada pola presión sobre les tapes llaterales del depósitu de magnitú la superficie llateral pola presión.

: \sigma_z = \dfrac{F}{A} = \dfrac{Pr^2}{(r+y)^2 - r^2} \ 

L'esfuerciu total ye la suma vectorial de dambos. 

## Rellación cola presión interna

### Hipótesis de la paré delgada
El supuestu de paré delgada pa ser válidu nun recipiente esta tien de tener una espesura de paré de non más d'aproximao una décima parte (de cutiu citada como un ventiavu) del so radiu. Esto dexa que pal tratamientu de la paré como una superficie, y darréu usando la ecuación de Laplace-Young envalorar de la tensión circunferencial creáu por una presión interna nun recipiente a presión cilíndricu de paré delgada:
:: \sigma_\theta = \dfrac{Pr}{y} \  (Pa un cilindru)

:: \sigma_\theta = \dfrac{Pr}{2y} \  (Pa una esfera)

onde *
P ye la presión interna *
y ye la espesura de la paré *
r ye'l radiu interior del cilindru.
*  \sigma_\theta \!  ye la tensión circunferencial.

La ecuación de tensión circunferencial de membranes delgaes ye tamién válidu pa contenedores aproximao esféricos, incluyendo célules de plantes y bacteries na que l'interior de la presión de turgencia puede llegar a delles atmósferes.

Nel SI para P son pascales (Pa), ente que t y d = 2 r son en metros (m) nel sistema pulgada-llibra-segundu (IPS) unidaes de P son llibres de presión per pulgada cuadrada (psi). Unidaes pa t y d son pulgaes (in). .

Cuando'l recipiente cerróse termina actúa la presión interna sobre ellos pa desenvolver una fuercia a lo llargo de la exa del cilindru. Esto conozse como la tensión axial y ye usualmente menor que la tensión circunferencial.
:: \sigma_z = \dfrac{F}{A} = \dfrac{Pd^2}{(d+2y)^2 - d^2} \ 
Anque esto pue ser averáu a ::
\sigma_z = \dfrac{Pr}{2y} \ 

que resulta ser aproximao la metá de la tanxencial.

### Recipientes de parés grueses

Cuando'l cilindru tien una rellación *r / t* de menos de 10 (de cutiu citada como 20) les ecuaciones de cilindru de paré delgada, yá nun tienen validez, yá les tensiones varien significativamente ente les superficies interior y esterior y l'esfuerciu cortante al traviés de la seición tresversal yá nun puede ser despreciáu.

Pal cálculu de les tensiones y presiones tienen d'utilizase un conxuntu d'ecuaciones conocíes como ecuaciones de Lamé.

:: \sigma_r = A - \dfrac{B}{r^2} \ 

:: \sigma_\theta = A + \dfrac{B}{r^2} \ 

onde *
A y B son constantes d'integración, que pueden ser afayaes a partir de les condiciones de contorna *
r ye'l radiu nel puntu d'interés (por casu, na parés interiores o esteriores)

A y B pueden atopase por aciu la inspeición de les condiciones de contorna.

## Rellación coles presiones esteriores

Les resultancies de les fórmules son válidos cuando la qu'actúa ye una presión esterior superior a la interior, como pue ser el casu de los submarinos. Pero nesti casu los esfuercios camuden de sentíu, en cuenta de intentar dixebrar les partícules intentar averar. Nestos casos hai que tener en cuanta non solo la resistencia sinón la estabilidá de la estructura yá que puede colapsar antes de llegar al esfuerciu de frayatu al igual que les columnes espodaes pueden flexar antes d'algamar la carga de frayatu. 

Cuando tubu ye sometíu a esfuercios de compresión pelos sos estremos tamién apaecen una tensión circunferencial qu'intenta aumentar el so diámetru.

## Resultaos práutiques

### Inxeniería Quebrar rexir pola tensión circunferencial n'ausencia d'otres cargues esternes, yá que ye'l más grande de tensión principal. Tenga en cuenta qu'un aru esperimenta la mayor tensión nel so interior (l'esterior y l'interior de la esperiencia de la mesma cepa total, que sicasí ta distribuyida en distintes circunferencies), resquiebros nes tuberíes onde teóricamente tien d'empezar dende l'interior de la tubería. Por ello, les inspeiciones de tubería dempués de los terremotos suelen suponer la unviada d'una cámara nel interior d'una tubería a inspeicionar pa detectar resquiebros. Dexando se rixe por un esfuerciu equivalente qu'incluya esfuerciu tanxencial y la tensión llonxitudinal o radial cuando ta presente.

### Medicina
Na patoloxía de parés vasculares o gastrointestinal, la tensión de la paré representa la tensión muscular na paré del vasu. Como resultáu de la llei de Laplace, si un aneurisma formar nuna paré del vasu sanguineu, el radiu del vasu vase amontáu. Esto significa que la fuercia escontra dientro sobre'l recipiente mengua, y polo tanto'l aneurisma va siguir espandiéndose hasta que se ruempe. Una lóxica similar aplicar a la formación de divertículos nel intestín.

## Desenvolvimientu históricu de la teoría

El primer analís teóricu de la presión nos cilindros foi desenvuelta a mediaos del sieglu XIX pol inxenieru William Fairbairn, asistíu pol so analista matemáticu Eaton Hodgkinson. El so interés inicial foi estudiar el diseñu y los fallos de les calderes de vapor. De primeres Fairbairn diose cuenta de que la tensión circunferencial yera'l doble de la tensión llonxitudinal, un factor importante pa montar calderes de chapes laminadas xuníes por remaches. El trabayu posterior aplicar a la construcción de pontes, y la invención de la viga tubular. Na ponte ferroviaria de Chepstow, les pilastres de fierro fundíu fortalecer poles bandes evidentes de fierro forxáu. La fuercia vertical, llonxitudinal ye una fuercia de compresión, que'l fierro fundíu ye bien capaz d'aguantar. La tensión circunferencial ye sicasí ye a tracción, y añader fierro forxáu con meyor resistencia a la tracción.

## Referencies