Factorial

El **factorial** d'un enteru positivu *n*, el **factorial de ''n*** o ***n'' factorial** ye, en principiu, el productu de tolos númberos enteros positivos dende 1 (esto ye, los númberos naturales) hasta *n*. Por casu:
:5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5= 120. \ 

La operación de factorial apaez en munches árees de les matemátiques, particularmente en combinatoria y analís matemáticu.
De manera fundamental, el factorial de *n* representa'l númberu de formes distintes d'ordenar *n* oxetos distintos (elementos ensin repetición). Esti fechu foi conocíu dende va dellos sieglos, nel sieglu XII polos estudiosos hindús.

La definición de la función factorial tamién puede estendese a númberos non naturales calteniendo les sos propiedaes fundamentales, pero ríquense matemátiques avanzaes, particularmente del analís matemáticu.

La notación matemática actual *n*! foi usada per primer vegada en 1808 por Christian Kramp (1760–1826), un matemáticu francés que trabayó n'especial sobre los factoriales tola so vida.

## Definición
La función factorial ye formalmente definida por aciu el productu
:
 n! =
 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times ... \times (n-1) \times n
.

La multiplicación anterior puede simbolizase tamién utilizando l'operador productu:
: 
 n! =
 \prod_{k=1}^n k
.

Tamién ye posible definilo por aciu la rellación de recurrencia
: 
 n! =
 \begin{cases}
 1 & \text{si, } n = 0 \\
 (n-1)!\times n & \text{si, } n > 0
 \end{cases}

Nesta segunda definición, el dominiu de la función ye'l conxuntu de los enteros non negativos ℤ≥0 y el codominiu ye'l conxuntu de los enteros positivos ℤ+. Nesti casu hai una *socesión recurrente*, el cálculu socesivu de los sos elementos llámase *procesu recurrente* y la igualdá *n*! = (*n* - 1)!*n* nómase *ecuación recurrente*.

La segunda definición incorpora la premisa de que :

 0! = 1


### Cero factorial

La definición indicada de factorial ye válida pa númberos positivos. Ye posible estender la definición a otros contestos introduciendo conceutos más sofisticaos, cuantimás ye posible definila pa cualquier númberu real sacante para los númberos enteros negativos y pa cualquier númberu complexu quitando de nuevu los númberos enteros negativos.

Una estensión común, sicasí, ye la definición de factorial de cero. Acordies cola convención matemática de productu vacíu, el valor de 0! tien de definise como:
: 
 0! = 1


Ye posible, sicasí, dar un argumentu intuitivu pa xustificar la eleición, como sigue:
* Pa cada númberu enteru positivu *n* mayor o igual que 1, ye posible determinar el valor del factorial anterior por aciu l'usu de la siguiente identidá:
: 
 (n-1)! =
 \frac{n!}{n}


válida pa tou númberu mayor o igual que 1.

Asina, si conozse que 5! ye 120, entós 4! ye 24 porque :

 \frac{5!}{5} =
 \frac{120}{5} =
 24


y por tanto 3! tien de ser necesariamente 6 yá que
: 
 \frac{4!}{4} =
 \frac{24}{4} =
 6


El mesmu procesu xustifica'l valor de 2! = 2 y 1!=1 yá que:
: 
 2! =
 \frac{3!}{3} =
 \frac{6}{3} = 2
 ,\qquad
 1! =
 \frac{2!}{2} =
 \frac{2}{2} =
 1


Si aplicamos la mesma regla pal casu estremu en que *n!=1 tendríamos que 0! correspuende a:
: <math>
 0! =
 \frac{1!}{1} =
 \frac{1}{1} =
 1
</math>

Anque l'argumentu puede resultar daqué convincente, ye importante tener en cuenta que nun ye más qu'un argumentu informal y que la razón real pola cual tómase la convención de 0! = 1 ye por ser un casu especial de la convención de [[productu vacíu]] usada en munches otres cañes de les matemátiques.

== Aplicaciones ==
Los factoriales úsense enforma na caña de la [[matemática]] llamada [[combinatoria]], al traviés del [[binomiu de Newton]], que da los [[coeficiente (matemátiques)|coeficientes]] de la forma desenvuelta de (*a* + *b*)<sup>*n*</sup>:
: <math>
 (a+b)^n =
 {n\choose 0}a^n +
 {n\choose 1} a^{n-1} b +
 {n \choose 2} a^{n-2}b^2 +
 \cdots +
 {n\choose n-1} ab^{n-1} +
 {n\choose n}b^n =
 \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}
</math>

onde <math>{n \choose k}</math> representa un [[coeficiente binomial]]:
: <math>
 {n\choose k} =
 \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}
</math>

D'igual forma puede atopase na derivación pola regla del productu pa derivaes d'orde cimeru de manera similar que'l binomiu de newton:
: <math>
 \frac{d^n x}{dx^n}(f(x) g(x)) =
 (f g)^{(n)} =
 {n\choose 0}f g^{(n)} +
 {n\choose 1} f^{'} g^{(n-1)} +
 {n \choose 2} f^{*} g^{(n-2)} +
 \cdots +
 {n\choose n-1} f^{(n-1)} g^{'} +
 {n\choose n} f^{(n)} g =
 \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}

Onde *f*(*n*) ye la derivada enésima de la función f.

Per mediu de la combinatoria, los factoriales intervienen nel cálculu de les probabilidáes. Intervienen tamién nel ámbitu del analíssobremanera al traviés del desenvolvimientu polinomial de les funciones (fórmula de Taylor).
Xeneralizar a los reales cola *[[función gamma]]*, de gran importancia na teoría de númberos.

Pa valores grandes de *n*, esiste una espresión averada pal factorial de *n*, dau pola fórmula de Stirling:
: 
 n!\approx
 \sqrt{2 \pi n}
 \left (
 \frac{n}{y} \right )^{n}
 \left (
 1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}+\cdots
 \right ) 
 


La ventaya d'esta fórmula ye que non precisa inducción y, poro, dexa evaluar *n!* más rápido cuando mayor seya *n*. 

El factorial de *n* ye xeneralizáu pa cualquier númberu real *n* pola función gamma de manera
que : 
\Gamma(n) =
 (n-1)! =
 \int^\infty_0 \; t^{n-1} y^{-t} \; dt \, .

solo pa *n* > 0. Puede xeneralizase entá ye más, pa tou númberu complexu *z* que nun seya igual a un enteru non positivu, por aciu la siguiente definición: 

:
\Gamma(z)=(z-1)!=\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} \, .

## Productos similares
### Primorial
El primorial  definir de forma similar al factorial, pero namái se toma'l productu de los númberos primos menores o iguales que *n*. 

### Doble factorial

Defínese'l doble factorial de *n* por aciu la rellación de recurrencia:
: 
 n!! =
 \left \{
 \begin{array}{lcl}
 1 & \mbox{si} & n \leq 0 \\
 (n-2)!! \cdot n & \mbox{si} & n > 0 \\
 \end{array}
 \right .


Por casu:
: 
 8!! =
 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 =
 384


: 
 9!! =
 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 =
 945


La socesión de dobles factoriales  para:
: 
 n =
 0, 1, 2, \dots


Empieza asina:
: 
 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, \dots


La definición anterior puede estendese pa definir el doble factorial de númberos negativos:
: 
 (n-2)!! =
 \frac{n!!}{n}


Y esta ye la socesión de dobles factoriales para:
: 
 n =
 -1, -3, -5, -7, \dots


: 
 1, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{15}, \dots


El doble factorial d'un númberu negativu par nun ta definíu.

Delles identidaes de los dobles factoriales:
# n!=n!!(n-1)!! \,
# (2n)!!=2^nn! \,
# (2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}
# (2n-1)!!={(2n-1)!\over(2n-2)!!}={(2n)!\over2^nn!}
# \Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt{\pi}\,\,{(2n-1)!!\over2^n}
# \Gamma\left({n\over2}+1\right)=\sqrt{\pi}\,\,{n!!\over2^{(n+1)/2}}

## Ver tamién
* Productorio
* Subfactorial
* Función gamma

## Referencies y cites

## Enllaces esternos

* Algoritmos interesantes(n'inglés)
* http://factorielle.free.fr
* Calculadora de factoriales  - Hasta 200.000