Función compuesta

En álxebra astracta, una **función compuesta** ye una función formada pola composición o aplicación socesiva d'otros dos funciones. Pa ello, aplícase sobre l'argumentu la función más próxima al mesmu, y al resultáu del cálculu anterior aplícase-y finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta *g* ∘ *f*: *X* → *Z* espresa que (*g* ∘ *f*)(*x*) = *g[f*(*x*)] pa tou *x* perteneciente a *X*. 

A *g* ∘ *f* llámase-y *composición de f y g, o f compuesta con g*. Nótese que se noma nun siguiendo l'orde d'escritura, sinón l'orde en que s'apliquen les funciones al so argumentu.

## Definición
De manera formal, daes dos funciones:
: 
 \begin{array}{rccl}
 f : & X & \longrightarrow & Y \\
 & x & \longmapsto & y = f(x)
 \end{array} 


y :

 \begin{array}{rccl}
 g : & Y & \longrightarrow & Z \\
 & y & \longmapsto & z = g(y)
 \end{array} 


onde la imaxe de *f* ta contenida nel dominio de *g*, defínese la función composición de *f* y *g*. (nótese que les funciones nomar nel orde d'aplicación a la variable, non nel orde socesivu de representación):
: 
 \begin{array}{rccl}
 (g \circ f) : & X & \longrightarrow & Z \\
 & x & \longmapsto & z = g(f(x))
 \end{array} 


A tolos elementos de *X* acomúñase-y un elementu de *Z* según:  z = g(f(x)) .
:
 \begin{array}{rclcl}
 X & \longrightarrow & Y & \longrightarrow & Z \\
 x & \longmapsto & y = f(x) & \longmapsto & z = g(f(x))
 \end{array}


Tamién puede representase de manera gráfica usando la categoría de conxuntos, por aciu un diagrama conmutativu:

## Propiedaes
* La composición de funciones ye *asociativa*, esto ye:

* La composición de funciones polo xeneral *nun ye conmutativa*, esto ye:

:Por casu, daes les funciones numbériques *f*(*x*)=*x*+1 y *g*(*x*)=*x*², entós *f*(*g*(*x*))=*x*²+1, en cuantes que *g*(*f*(*x*))=(*x*+1)².

* L'elementu neutru asociáu a la composición de funciones ye *f(x)*=*x*.

* Colos trés propiedaes anteriores: asociativa, non conmutativa y elementu neutru, les funciones reales de variable real constitúin un monoide pa la operación interna de composición de funciones.

* Amás, la *inversa de la composición* de dos funciones ye:

## Exemplu
Sían les funciones:
:  f(x) = x^2 \,
:  g(x) = \sin(x) \,

La **función compuesta** de *g* y de *f* qu'espresamos:
:  (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g((x^2)) = \sin(x^2) \,

La interpretación de (*f* ∘ *g*) aplicada a la variable *x* significa que primero tenemos qu'aplicar *g* a *x*, colo que llograríamos un valor de camín 
:  z = g(x)=\sin(x) \, 

y dempués aplicamos *f* a *z* pa llograr
:  y = f(z) = z^2 = \sin^2(x) \, 

## Función bien definida
La función compuesta ta bien definida porque cumple colos dos condiciones d'esistencia y unicidá, mesmes de toa función:

# **Condición d'esistencia:** dau *x*, conocemos (*x*, *f*(*x*)), yá que conocemos la función *f*, y dau cualquier elementu *y* de *B* conocemos tamién (*y*, *g*(*y*)), yá que conocemos la función *g*. Por tanto, (*x*, *g*( *f*(*x*)) ) ta definíu pa tou *x*, y asina (*g* ∘ *f*) cumple la condición d'esistencia.
# **Condición d'unicidá:** como *f* y *g* son funciones bien definíes, pa cada *x* el valor de *f*(*x*) ye únicu, y pa cada *f*(*x*) tamién lo ye'l de *g*( *f*(*x*)).

## Referencies

## Enllaces esternos
*
*"Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.