Desigualdá matemática

En matemátiques, una **desigualdá** ye una rellación d'orde que se da ente dos valores cuando éstos son distintos (en casu de ser iguales, lo que se tien ye una igualdá).

Si los valores en cuestión son elementos d'un conxuntu ordenáu, como los enteros o los reales, entós pueden ser comparaos.
* La notación *a*  *b* significa *a* ye **mayor que** *b*
estes rellaciones conócense como **desigualdaes estrictes'', yá que ''a'' nun puede ser igual a ''b''; tamién puede lleese como "puramente menor que" o "puramente mayor que".

* La notación ''a'' ≤ ''b'' significa ''a'' ye **menor o igual que** ''b'';
* La notación ''a'' ≥ ''b'' significa ''a'' ye **mayor o igual que** ''b'';
estos tipos de desigualdaes reciben el nome de **desigualdaes amplies** (o ''non estrictes'').

* La notación ''a''  ''b'' significa ''a'' ye **enforma menor que** ''b'';
* La notación ''a''  ''b'' significa ''a'' ye **enforma mayor que** ''b'';
esta rellación indica polo xeneral una diferencia de dellos órdenes de magnitú.

* La notación ''a'' ≠ ''b'' significa que ''a'' **nun ye igual** a ''b''. Tal espresión nun indica si unu ye mayor que l'otru, o siquier si son comparables.

**Pa tener en cuenta:**

Xeneralmente tiéndense a confundir los operadores según la posición de los elementos que se tán comparando; didácticamente enséñase que l'abertura ta del llau del elementu **mayor**. Otra forma de recordar el significáu, ye recordando que'l signu señala/apunta al elementu **menor**.

== Propiedaes ==

Les desigualdaes tán gobernaes poles siguiente propiedaes. Notar que, pa les propiedaes transitividá, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedá tamién se caltién si los símbolos de desigualdá estricta (< y >) son reemplazaos polos sos correspondientes símbolos de desigualdá non estricta (≤ y ≥).

;Transitividá *
Pa [[númberos reales]] arbitrarios ''a'',''b'' y ''c'':
:* Si ''a > b'' y ''b > c'' entós ''a > c''.
:* Si ''a < b'' y ''b < c'' entós ''a < c''.
:* Si ''a > b'' y ''b = c'' entós ''a > c''.
:* Si ''a < b'' y ''b = c'' entós ''a < c''.

;Adición y sustracción
* Para [[númberos reales]] arbitrarios ''a'',''b'' y ''c'':

:* Si ''a < b'' entós ''a + c < b + c'' y ''a − c < b − c''.
:* Si ''a > b'' entós ''a + c > b + c'' y ''a − c > b − c''.

;Multiplicación y división
* Pa númberos reales arbitrarios ''a'' y ''b'', y ''c'' distintu de cero:

:* Si ''c'' ye positivu y ''a < b'' entós ''ac < bc'' y ''a/c < b/c''.
:* Si ''c'' ye negativu y ''a < b'' entós ''ac > bc'' y ''a/c > b/c''.

;Opuestu *
Pa númberos reales arbitrarios ''a'' y ''b'':

:* Si ''a < b'' entós ''−a'' > ''−b''.
:* Si ''a > b'' entós ''−a'' < ''−b''.

;Recíprocu *
Pa númberos reales ''a'' y ''b'' distintos de cero, dambos positivos o negativos al empar:

:* Si ''a < b'' entós ''1/a'' > ''1/b''.
:* Si ''a > b'' entós ''1/a'' < ''1/b''.

* Si a y b son de distintu signu:

:* Si ''a < b'' entós ''1/a'' < ''1/b''.
:* Si ''a > b'' entós ''1/a'' > ''1/b''.

=== Función monótona ===

Al aplicar una [[función monótona]] creciente, a entrambos llaos, la desigualdá caltiénse. Si aplícase una función monótona decreciente, la desigualdá inviértese.
;Exemplu:
:<math>a < b \Leftrightarrow y^a < y^b</math>
al aplicar la [[función esponencial]] a dambos miembros de la desigualdá, esta caltiénse.

=== Valor absolutu ===

Puede definise el [[valor absolutu]] per mediu de desigualdaes:
:* <math>|a| \le b \iff -b \le a \le b</math>
:* <math>|a| \ge b \iff -b \ge a \vee a \ge b </math>

== Cuerpu ordenáu ==

Si (''F'', +, &times;) ye un [[Cuerpu (matemátiques)|cuerpu]] y ≤ ye un [[orde total]] sobre ''F'', entós (''F'', +, &times;, ≤) ye un ''cuerpu ordenáu'' si y solu si:

* ''a'' ≤ ''b'' implica ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c'';
* 0 ≤ ''a'' y 0 ≤ ''b'' implica 0 ≤ ''a'' &times; ''b''.

Los cuerpos (**Q**, +, &times;, ≤) y (**R**, +, &times;, ≤) son exemplos comunes de cuerpu ordenáu, pero ≤ nun puede definise nos [[Númberu complexu|complexos]] pa faer de (**C**, +, &times;, ≤) un cuerpu ordenáu. 

Les desigualdaes en sentíu ampliu ≤ y ≥ sobre los númberos reales son [[Rellación d'orde|rellaciones d'orde total]], ente que les desigualdaes estrictes < y > sobre los númberos reales son rellaciones d'orde estrictu.

== Notación encadenada ==

La notación **a 1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an*' establez qu'a<sub>i</sub> ≤ a<sub>i+1</sub> pa i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedá transitiva, esta condición ye equivalente a *ai ≤ aj* pa cualesquier *1 ≤ i ≤ j ≤ n*.

Dacuando, la notación encadenada usar con inecuaciones en distintes direiciones. Nesi casu'l significáu ye la [[conxunción lóxica]] de les desigualdaes ente los términos axacentes. Por casu:
: a < b = c ≤ d 
significa qu'a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividá: a < d). Esta notación ye utilizada en dalgunos [[llinguaxes de programación]] tales como [[Python]].

== Desigualdaes ente medies ==


Les distintes [[Media (matemátiques)|medies]] pueden rellacionase utilizando desigualdaes. Por casu, pa númberos positivos *a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, …, *a*<sub>*n*</sub>, si
:
entós: <math>H \le G \le A \le Q </math>.

== Ver tamién ==
* [[Desigualdá llinial]]
* [[Inecuación]]
* [[Programación llinial]]
* [[Teoría del orde]]

== Bibliografía ==
* Hardy, G., Littlewood J.Y., Polya, G. (1999). *Inequalities*, Cambridge Mathematical Library, [[Cambridge University Press]]. ISBN 0-521-05206-8.
* Beckenbach, Y.F., Bellman, R. (1975). *Introduction to Inequalities*, Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.
* Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). *Inequalities: With Applications to Engineering*, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.
* [[Aurelio Baldor]], (1975) *Álxebra de Baldor'', Edime organización gráfica S.S. Madrid. ISBN 84-399-0259-X

## Referencies

## Enllaces esternos
*