Identidá d'Euler

Llámase **identidá d'Euler** a un casu especial de la fórmula desenvuelta por Leonhard Euler, notable por rellacionar cinco números bien utilizaos na historia de les matemátiques y que pertenecen a distintes cañes de la mesma:

:y^{i \pi} + 1 = 0

onde:

* π (númberu pi) ye un númberu irracional y trascendente que rellaciona'l llargor de la circunferencia col so diámetru y ta presente en delles de les ecuaciones más fundamentales de la física.  \frac{\pi}{4} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1}
* e (númberu d'Euler) ye la suma de la serie y=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}, qu'apaez en numberosos procesos naturales y en distintos problemes físicos y matemáticos y ye tamién un númberu irracional y trascendente.
* i (unidá imaxinaria) ye la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál constrúi'l conxuntu de los númberos complexos.
* 0 y 1 son los elementos neutros respeutivamente de l'adición y la multiplicación

## Esplicación

La identidá ye un casu especial de la Fórmula d'Euler, que especifica que

: y^{ix} = \cos x + i \sen x \,\!

pa cualesquier númberu real *x*. (Nótese que los argumentos pa les funciones trigonométriques *sen* y *cos* tomar en radianes.) En particular si

: x = \pi \,\!

entós

: y^{i \pi} = \cos \pi + i \sen \pi \,\!

y yá que 

:\cos \pi = -1 \,\!  

y que

:\sen \pi = 0 \,\!

síguese que

: y^{i \pi} = -1 \,\!

Lo cual implica la identidá

: y^{i \pi} +1 = 0 \,\!

----

Pa una forma alternativa de notar que la identidá d'Euler ye tanto verdadera como fonda, supongamos que:

: x = i\pi,\,\!
nel desenvolvimientu polinómico de y a la potencia x:
: y^x = 1 + x + \frac {x^2}{2!} + \frac {x^3}{3!} + \frac {x^4}{4!} + ... ,\,\!
pa llograr:
: y^{i\pi} = 1 + i\pi + \frac {(i\pi)^2}{2!} + \frac {(i\pi)^3}{3!} + \frac {(i\pi)^4}{4!}+ ... ,\,\!
simplificando (usando i² = -1):
: y^{i\pi} = 1 + i\pi - \frac {\pi^2}{2!} - \frac {i\pi^3}{3!} + \frac {\pi^4}{4!} + ... ,\,\!
Al dixebrar el segundu miembru de la ecuación en subseries real ya imaxinaries:
: i(\pi - \frac {\pi^3}{3!} + \frac {\pi^5}{5!} - \frac {\pi^7}{7!} + ...) = 0 \quad ; \quad (1 - \frac {\pi^2}{2!} + \frac {\pi^4}{4!} - \frac {\pi^6}{6!} + ...) = -1\!

Puede comprobase la converxencia d'estos dos subseries infinites, lo cual implica

: y^{i \pi} = -1\,\!

## Llogaritmos de númberos negativos

El llogaritmu natural d'un númberu complexu z = a+bi (onde a y b son númberos reales) defínese como: 

: \ln(z)=\ln|z|+i\arg(z) 

Onde  \arg(z) = \arg(a+bi)  ye:

:\arg(a+bi) = \begin{cases}
\arctan\left(\frac b a\right) & \qquad a > 0\\
\arctan\left(\frac b a\right) + \pi& \qquad a  0 \\
-\frac{\pi}{2} & \qquad a = 0 , b 

Notar que con esta definición, arg(z) ta nel intervalu  (-\pi,\pi]  (l'argumentu nesti intervalu ye conocíu como'l "valor principal del argumentu" o a cencielles "argumentu principal"). Esta definición nun ye la única posible, yá que pudo habese definíu en [0, 2π), etc.

Pa llogaritmos d'otres bases, tiense la siguiente rellación por aciu "cambéu de base" :

: \log_b(z) = \frac{\ln(z)}{\ln(b)}  

Por casu :

: \ln(-1) = \ln|-1|+ i\arg(-1) = \ln(1) + i\pi = i\pi . 

Y tamién se cumple:

: \ln(-x) = \ln(x) + \ln(-1) = \ln(x) + i\pi , x > 0 .

Lo anterior puede deducise de la definición. Tamién puede llograse  i\pi=\ln(-1)  a partir de la identidá d'Euler, pero nun ye la razón de la deducción de ln(-1). Esti detalle va esplicase de siguío.

Sábese que  y^{i\pi}=-1 , pero tamién ye ciertu que  y^{-i\pi}=-1  o  y^{3i\pi}=-1 . De fechu polo xeneral:

: y^{i\pi(2k+1)}=-1 ,k \in \mathbb Z 

L'error que puede cometese equí, ye que si  y^{a}=y^{b}, entós a = b. Lo anterior ye válidu si a y b son númberos reales, pero en complexos esto non se siempres se cumple. Per ende magar  y^{i\pi}=y^{-i\pi}=-1 , nun ye ciertu que  i\pi=-i\pi . D'esta forma, puede vese que:

: \ln(-1) = i\pi \ne -i\pi = -\ln(-1) .

Antes mentóse que si se puede llograr  i\pi=\ln(-1)  cola identidá d'Euler, pero nun ye recomendable faelo, porque puede cometese errores como lu describir más arriba, yá que non siempres se cumple'l fechu de que si  y^{a}=b  entós a = ln(b).

Otru error ye lo siguiente:

: \ln(-1) = \ln(-1/1) = \ln(1/-1) = \ln(1)-\ln(-1) = -i\pi .

L'error equí asocede en  \ln(1/-1) = \ln(1)-\ln(-1) . Esto postreru nun ye correutu y el motivu ye que 

: \ln(1/-1) = \ln(1 * (-1)^{-1}) = \ln(1) + \ln((-1)^{-1}) \ne \ln(1) + (-1)\ln(-1) = -i\pi .

Porque  \ln(a^{b}) = b\ln(a)  solo cumplir de manera xeneral si a ye positivu. Per un sitiu  \ln((-y)^{2}) = \ln((y)^2) = 2 , pero  2\ln(-y)  nun ye real, yá que ln(-y) nun ye un númberu real.

## Identidá Aumentada

El **[[númberu áureo]]** (tamién llamáu **númberu d'oru**​) ye un númberu irracional,​ representáu por la lletra griega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988.... 

Una de les sos propiedaes ye:

\varphi-1=1/\varphi

Por tanto: \varphi-1/\varphi = 1

Reemplazando '1' na identidá d'Euler, y^{i \pi} + 1 = 0, tiense:

y^{i \pi} + ({\displaystyle \varphi -1/\varphi } ) = 0

Por tanto:

y^{i \pi} + {\displaystyle \varphi -1/\varphi } = 0

\frac{\varphi \cdot y^{i \pi} + \varphi ^2 - 1}{\varphi}=0 

\varphi \cdot y^{i \pi} + \varphi ^2 - 1 =0 

Ordenando los términos de la ecuación queda:

\varphi ^2 + \varphi \cdot y^{i \pi} - 1 =0 

D'esta manera rellacionen siete númberos bien utilizaos, cinco operaciones de les matemátiques y la ecuación cuadrática.

## Ver tamién
* Leonhard Euler
* Fórmula d'Euler
* Fórmula de De Moivre
* Númberu áureo

## Referencies
*