Ecuación de Laplace

En cálculu vectorial, la **ecuación de Laplace** ye una ecuación en derivaes parciales de segundu orde de tipu elípticu, que recibe esi nome n'honor al físicu y matemáticu Pierre-Simon Laplace.

Introducida poles necesidaes de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace apaez en munches otres cañes de la física teórica como l'astronomía, la electrostática, la mecánica de fluyíos o la mecánica cuántica. 

## Definición

En tres dimensiones, el problema consiste en topar funciones reales o, doblemente diferenciables, de variables reales (x,y,z), tal que

En **[[coordenaes cartesianes]]**,

: 
{\partial^2 o\over \partial x^2 } +
{\partial^2 o\over \partial y^2 } +
{\partial^2 o\over \partial z^2 } = 0.


En **[[coordenaes cilíndriques]]** (\rho,\varphi,z)\,,

: {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
 \left( \rho {\partial o \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 o \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 o \over \partial z^2 } =0 


En **[[coordenaes esfériques]]** (r,\theta,\phi)\,,

: {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
 \left( r^2 {\partial o \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
 \left( \sin \theta {\partial o \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 o \over \partial \varphi^2} =0 


Munches vegaes escribir de la siguiente manera:

: \nabla^2 o = 0 \,

onde \nabla^2  ye l'operador de Laplace o "Laplaciano".

Esta ecuación en derivaes parciales, tamién puede escribise como

: \nabla \cdot \nabla o = 0, 

onde \nabla\cdot ye la diverxencia, y \nabla ye'l gradiente.

O sinón, delles vegaes la notación puede ser:

: \Delta o = 0,\,

onde \Delta tamién ye l'operador de Laplace.

Les soluciones de la ecuación de Laplace denominar funciones harmóniques.

Si del llau derechu de la igualdá especifica una función, f(x,y,z), esto ye, si la ecuación escríbese como:

: \Delta o = f\,

entós tiense la "ecuación de Poisson", polo que la ecuación de Laplace ye un casu particular d'esta. La ecuación de Laplace tamién ye un casu particular de la ecuación de Helmholtz.

La ecuación de Laplace, según la ecuación de Poisson, son los exemplos más simples d'ecuaciones en derivaes parciales elíptiques.

## Condiciones de contorna o frontera

### Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet pa la ecuación de Laplace consiste en topar una solución o en dalgún dominiu D tal que o sobre la so contorna o frontera \partial D ye igual a una función determinada:

: \begin{cases}
\triangle o = 0,\quad & x\in D\\
o=g, & x\in \partial D
\end{cases}

Como l'operador de Laplace apaez na ecuación del calor, una interpretación física d'esti problema ye lo siguiente: afitar la temperatura sobre la contorna del dominiu d'alcuerdu a una especificación determinada de la condición de contorna. La temperatura flúi hasta qu'algama un estáu estacionariu nel que dicha temperatura en cada puntu del dominiu nun camuda más. La distribución de la temperatura nel interior va ser entós la solución correspondiente al problema de Dirichlet.

### Problema de Neumann

Les condiciones de contorna de Neumann pa la ecuación de Laplace nun especifica la función o en sí mesmu sobre la contorna \partial D, pero sí la so derivada normal. Físicamente, esto correspuende a la construcción d'un potencial pa un campu vectorial que'l so efeutu ye conocíu na contorna de D:

: \begin{cases}
\triangle o = 0,\quad & x\in D\\
\frac{\partial o}{\partial\eta} = g,& x\in \partial D
\end{cases}

Les soluciones de la ecuación de Laplace son funciones harmóniques; son toes analítiques dientro del dominiu onde la ecuación satisfaise. Si cualesquier de dos funciones son soluciones a la ecuación de Laplace (o de cualquier ecuación diferencial homoxénea), la so suma (o cualquier combinación llinial) ye tamién una solución. Esta propiedá, llamada principiu de superposición, ye bien útil, por casu, les soluciones de problemes complexos pueden construyise a cencielles sumando les soluciones determinaes y variables.

## Ecuación de Laplace en dos dimensiones

La ecuación de Laplace en dos variables independientes:

:\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.\,

### Funciones analítiques

Les partes reales ya imaxinaries d'una función analítica nos complexos satisfaen la ecuación de Laplace. Esto ye, si z=x + iy, y si 

:f(z) = o(x,y) + iv(x,y),\,

entós la condición necesaria por que f(z) seya analítica ye que se satisfaigan les ecuaciones de Cauchy-Riemann:

:o_x = v_y, \quad v_x = -o_y.\,

onde o_x ye la primer derivada parcial de o con al respective de x.

Entós 

:o_{yy} = (-v_x)_y = -(v_y)_x = -(o_x)_x.\,

Polo tanto o satisfai la ecuación de Laplace. Un cálculu similar demuestra que v tamién satisfai la ecuación de Laplace. 

A la inversa, dada una función harmónica, ye la parte real d'una función analítica, f(z) (siquier llocalmente). Una forma de probalo ye:

:f(z) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y),\,

entós les ecuaciones de Cauchy-Riemann satisfáense:

:\psi_x = -\varphi_y, \quad \psi_y = \varphi_x.\,

Esta rellación nun determina \psi, namái les sos medríes:

:d \psi = -\varphi_y\, dx + \varphi_x\, dy.\,

La ecuación de Laplace pa \varphi implica que la condición de integrabilidad pa \psi satisfaise:

:\psi_{xy} = \psi_{yx},\,

y asina \psi puede definise con una integral de llinia. La condición de integrabilidad y el teorema de Stokes implica que'l valor de la integral de llinia que coneuta dos puntos ye independiente del camín. El par de soluciones resultante de la ecuación de Laplace denominar **funciones harmóniques conxugaes**. Esta construcción namái ye válida llocalmente, o siempres que'l camín nun tea arrodiando a una singularidá. Por casu, si r y \theta son coordenaes polares y

:\varphi = \log r, \,

entós una función analítica correspondiente ye 

:f(z) = \log z = \log r + i\theta. \,

Sicasí, l'ángulu \varphi ye univaluada solamente nuna rexón que nun inclúi al orixe.

La estrecha rellación ente la ecuación de Laplace y les funciones analítiques establez que cualquier solución de la ecuación de Laplace tien derivaes en tolos órdenes, y puede espandise en series de potencies, siquier dientro d'un círculu que nun incluya una singularidá. Esto ta en contraste coles soluciones de la ecuación d'onda, que polo xeneral tien menor regularidá. 

Hai una íntima conexón ente les series de potencies y les series de Fourier. Si espandimos una función f en series de potencies dientro d'un círculu de radiu R, esto significa que

:f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n,\,

con coeficientes definíos afechiscamente que les sos partes reales ya imaxinaries tán daes por: 

:c_n = a_n + i b_n.\,

Entós

:f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left[ a_n r^n \cos n \theta - b_n r^n \sin n \theta\right] + i \sum_{n=1}^\infty \left[ a_n r^n \sin n\theta + b_n r^n \cos n \theta\right],\,

la cual ye una serie de Fourier de f.

### Fluxu de fluyíu

Sean les cantidaes o y v les componentes horizontal y vertical del campu de velocidá del fluxu incompresible estacionariu y irrotacional en dos dimensiones, respeutivamente. La condición de que'l fluxu seya incompresible ye que :o_x 
+ v_y=0,\,

y la condición de que'l fluxu seya irrotacional ye que

:\nabla \times \mathbf{V}=v_x - o_y =0. \,

Si definimos el diferencial de \psi como

:d \psi = v\, dx - o\, dy,\,

entós la condición de incompresibilidad ye la de integrabilidad pa esti diferencial: la función resultante llámase función de corriente porque ye constante a lo llargo de les llinies de fluxu. Les primeres derivaes de \psi son

:\psi_x = v, \quad \psi_y=-o, \,

y la condición de irrotacionalidad establez que \psi satisfai la ecuación de Laplace. La función harmónica \varphi, que ye'l conxugáu de \psi, denominar potencial de velocidá. Les ecuaciones de Cauchy-Riemann establecen que :\varphi_x=-o,
\quad \varphi_y=-v. \,

Asina que, a cada función analítica correspuéndelu un fluxu de fluyíu incompresible estacionariu y irrotacional nel planu. La parte real ye'l potencial de velocidá, y la parte imaxinaria ye la función de corriente.

### Electrostática

D'alcuerdu a les ecuaciones de Maxwell, un campu llétricu (*o*,*v*) nun espaciu de dos dimensiones que ye independiente del tiempu satisfai :\begin{cases}\nabla
\times (o,v) = v_x -o_y =0,\,\\
\nabla \cdot (o,v) = \rho,\,\end{cases}

onde \rho ye la densidá de carga. La primer ecuación de Maxwell ye la condición de integrabilidad pal diferencial
:d \varphi = -o\, dx -v\, dy,\,

 asina que'l potencial llétricu \varphi puede construyise pa satisfaer

:\varphi_x = -o, \quad \varphi_y = -v.\,

La segunda ecuación de Maxwell establez que 

:\varphi_{xx} + \varphi_{yy} = -\rho,\,

conocida como la ecuación de Poisson.

Ye importante reparar que la ecuación de Laplace puede usase en problemes de tres dimensiones en electroestática y fluxu de fluyíu según en dos dimensiones.

## Ecuación de Laplace en tres dimensiones

### Solución fundamental

Una solución fundamental de la ecuación de Laplace satisfai:

: \Delta o = o_{xx} + o_{yy} + o_{zz} = -\delta(x-x',y-y',z-z'), \, 

onde la función delta de Dirac \delta ye una fonte unitaria concentrada nun puntu  (x',\, y', \, z').
Nun ye una función en sí, sicasí puede pensase como la llende de funciones que la so integral sobremanera l'espaciu ye unitaria, y que la so rexón onde la función ye distinta de cero ye namái nun puntu (ver solución débil). Ye común escoyer una convención de signos distintu pa esta ecuación, esto fai cuando se define la solución fundamental. Frecuentemente la eleición d'esti signu ye conveniente pa trabayar con un -\Delta que ye un operador positivu. Asina la definición de la solución fundamental implica que, si'l laplaciano de o ye integráu sobre cualquier volume que zarra'l puntu de la fonte, entós :
\iiint_V \nabla \cdot \nabla o \, dV =-1. \,

La ecuación de Laplace nun camuda so un cambéu de coordenaes, y entós podemos esperar que la solución fundamental puede llograse ente soluciones que dependen solamente de la distancia r del puntu de la fonte. Si escoyemos el volume d'una bola de radiu a alredor del puntu de la fonte, entós pol teorema de la diverxencia de Gauss: 

: -1= \iiint_V \nabla \cdot \nabla o \, dV = \iint_S o_r \, dS = 4\pi a^2 o_r(a).\, 

Entós
: o_r = -\frac{1}{4\pi r^2},\, 

sobre una esfera de radiu r que tien como centro al puntu de la fonte y polo tanto 

: o = \frac{1}{4\pi r}.\, 

Un argumentu similar amuesa qu'en dos dimensiones:

: o = -\frac{1}{2\pi}\log r.\,

### Función de Green

Una función de Green ye una solución fundamental que tamién satisfai una condición fayadiza na contorna S d'un volume V. Por casu, G(x,y,z;x',y',z')\, satisfai

:\begin{cases} \nabla \cdot \nabla G = -\delta(x-x',y-y',z-z') \quad \hbox{en} \quad V, \,\\
G = 0 \quad \hbox{si} \quad (x,y,z) \quad \hbox{en} \quad S. \,\end{cases} 

Agora si o ye cualquier solución de la ecuación de Poisson en V: 

: \nabla \cdot \nabla o = -f, \,

y o toma valores de contorna g sobre S, entós podemos aplicar la identidá de Green, una consecuencia del teorema de la diverxencia, que satisfai : 
\iiint_V \left[ G \, \nabla \cdot \nabla o - o \, \nabla \cdot \nabla G \right]\, dV = \iiint_V \nabla \cdot \left[ G \nabla o - o \nabla G \right]\, dV = \iint_S \left[ G o_n -o G_n \right] \, dS. \, 

les notaciones o_n y G_n referir a derivaes normales a S. En vista de que les condiciones satisfaen o y G, esta resultancia simplifica a : 
o(x',y',z') = \iiint_V G f \, dV + \iint_S G_n g \, dS. \, 

Asina la función de Green describe la influencia de f y g en (x',y',z'). Pal casu del interior d'una esfera de radiu a, la función de Green puede llograse per mediu de la reflexón: el puntu de la fonte P a distancia \rho del centru de la esfera reflexar a lo llargo de la llinia radial al puntu P' que ye nuna distancia : 
\rho' = \frac{a^2}{\rho}. \,

Reparar que si P ta dientro de la esfera, entós P' va tar fora de la esfera. La función de Green ta dada entós por 

: \frac{1}{4 \pi R} - \frac{a}{4 \pi \rho R'}, \, 

onde R ye la distancia al puntu de la fonte P y R' ye la distancia al puntu reflexáu P'. Una consecuencia d'esta espresión pa la función de Green ye la **[[fórmula integral de Poisson]]**. Sía \rho, \theta, y \varphi les componentes de coordenaes esfériques del puntu de la fonte P. Equí \theta ye l'ángulu cola exa vertical, que ye contraria a la notación matemática estauxunidense, pero cumple col estándar européu y la práutica de la Física. Entós la solución de la ecuación de Laplace dientro de la esfera ta dada por 

: o(P) = \frac{1}{4\pi} a^3\left( 1 - \frac{\rho^2}{a^2} \right) \iint \frac{g(\theta',\varphi') \sin \varphi' \, d\theta' \, d\varphi'}{(a^2 + \rho^2 - 2 a \rho \cos \Theta)^{3/2} }, \,. 

onde

: \cos \Theta = \cos \varphi \cos \varphi' + \sin\varphi \sin\varphi'\cos(\theta -\theta'). \, 

Una consecuencia simple d'esta fórmula ye que si o ye una función harmónica, el valor de o dientro de la esfera ye'l valor mediu de los valores sobre la esfera. Esta propiedá de valor mediu implica darréu que funciones harmóniques non constantes nun pueden tomar el so valor máximu nun puntu interior.

### Electrostática

Nel espaciu llibre la ecuación de laplace de cualquier potencial electroestático ten de ser igual a cero yá que \rho (densidá de carga volumétrica) ye cero nel espaciu llibre.

A partir del gradiente del potencial llógrase'l campu llétricu

:\mathbf{Y}=-\nabla V

Tomando la diverxencia del campu llétricu llógrase la ecuación de Poisson, que rellaciona'l potencial llétricu cola densidá de carga

:\nabla^2V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

Nel casu particular del espaciu llibre (\rho=0) la ecuación de Poisson amenorgar a la de Laplace.

Usando'l teorema de la unicidá y amosando qu'un potencial satisfai la ecuación de Laplace (la segunda derivada de V tendría de ser cero nel espaciu llibre) y el potencial tien los valores correutos na contorna, el potencial entós ta unívocamente definíu.

Un potencial que nun satisfai la ecuación de Laplace xunto cola condición de contorna ye un potencial electroestático inválidu.

## Ver tamién
* Ecuación de Poisson
* Función harmónica

## Referencies

## Referencies
* Ireneo Peral, *Primer cursu d'ecuaciones en derivaes parciales*, Capítulu 5: La ecuación de Laplace. El problema de Dirichlet. Departamentu de Matemátiques, Universidá Autónoma de Madrid, España.
*  Universidá Nacional d'Inxeniería, Perú.
*  Universidá de Navarra, España.
* L.C. Evans, *Partial Differential Equations*, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
* I. G. Petrovsky, *Partial Differential Equations*, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
* A. D. Polyanin, *Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists*, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
* A. Sommerfeld, *Partial Differential Equations in Physics*, Academic Press, New York, 1949