Teorema fundamental de l'álxebra

El **teorema fundamental de la álxebra** establez que tou polinomiu de grau mayor que cero tien un raigañu. El dominiu de la variable ye'l conxuntu de los númberos complexos, que ye una estensión de los númberos reales.

Anque esti enunciáu, en principiu, paez ser una declaración débil, implica que tou polinomiu de grau *n* d'una variable con grau mayor que cero con coeficientes complexos tien, cuntando les multiplicidaes, esautamente *n* raigaños complexos. La equivalencia d'estos dos enunciaos realizar por aciu la división polinómica socesiva por factores lliniales.

Hai munches demostraciones d'esta importante proposición, que riquen bastantes conocencies matemátiques pa formalizales.

## Historia
Pedro Rothe (Petrus Roth), nel so llibru *Arithmetica Philosophica* (publicáu en 1608), escribió qu'una ecuación polinómica de grau n (con coeficientes reales) *puede* tener n soluciones. Alberto Girardo, nel so llibru *L'invention nouvelle en l'Algebre* (publicáu en 1629), aseveró qu'una ecuación de grau n tien n soluciones, pero nun menta que diches soluciones tengan de ser númberos reales. Entá más, él amiesta que'l so aseveración ye válida "sacantes la ecuación sía incompleta", colo que quier dicir que nengún de los coeficientes del polinomiu sía igual a cero. Sicasí, cuando esplica en detalle a qué se ta refiriendo, faise evidente que l'autor piensa que la aseveración siempres ye cierta; en particular, amuesa que la ecuación
:x^4 = 4\,x - 3
a pesar de ser incompleta, tien les siguientes cuatro soluciones (el raigañu 1 tien multiplicidá 2):
:1,\quad 1,\quad -1 + i\,\sqrt2\quad\mathrm{y}\quad -1 - i\,\sqrt2.
Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conxeturaron lo contrario.

Como se va mentar de nuevu más palantre, siguir del teorema fundamental de la álxebra que tou polinomiu con coeficientes reales y de grau mayor que cero se puede escribir como un productu de polinomios con coeficientes reales del cual los sos graos son 1 o 2. De toes formes, en 1702 Leibniz dixo que nengún polinomiu de tipu x^4+a^4 (con *a* real y distintu de 0) puede escribise en tal manera. Depués, Nikolaus Bernoulli fixo la mesma afirmación tocante al polinomiu x^4-4x^3+2x^2+4x+4, pero recibió una carta d'Euler en 1742 nel que-y dicía que'l so polinomiu pasaba a ser igual a:

:(x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha)(x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha)

con α igual a raigañu cuadráu de 4&nbsp;+&nbsp;2√7. Igualmente mentó que:

:x^4+a^4=(x^2+a\sqrt{2}x+a^2)(x^2-a\sqrt{2}x+a^2).\,

El primer intentu que se fixo pa demostrar el teorema facer d'Alembert en 1746. La so demostración tenía un fallu, en cuantes qu'asumía implícitamente como ciertu un teorema (anguaño conocíu como'l teorema de Puiseux) que nun sería demostráu hasta un sieglu más tarde. Ente otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar esti teorema.

A finales del sieglu XVIII, presentáronse dos nueves pruebes, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero dambes igualmente incorreutes. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correuta pal teorema, enunciando'l teorema fundamental de la álxebra pa polinomios con coeficientes complexos. Gauss produció otru par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta postrera otra versión de la so demostración orixinal.

El primer llibru de testu que contién la demostración d'esti teorema foi escritu por Cauchy. Trátase de *Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique* (1821). La prueba ye la debida a Argand, sicasí, nel testu nun se-y da creitu.

Nenguna de les pruebes mentaes más arriba son constructives. Ye Weierstrass quien per primer vegada, a mediaos del sieglu XIX, menta'l problema d'atopar una prueba constructiva del teorema fundamental de la álxebra. En 1891 publica una demostración d'esti tipu. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba d'esti estilu, que depués sería simplificada pol so fíu Marin Kneser en 1981.

## Enunciáu y equivalencies
El teorema enúnciase comúnmente de la siguiente manera:

Ye llargamente conocíu tamién l'enunciáu: Un polinomiu nuna variable, non constante y con coeficientes complexos, tien tantos raigaños como indica'l so grau, cuntando los raigaños colos sos multiplicidáes. N'otres pallabres, dau un polinomiu complexu *p*(*z*) de grau *n* ≥ 1, la ecuación *p*(*z*) = 0 tien esautamente *n* soluciones complexes, cuntando multiplicidaes.

Otres formes equivalentes del teorema son:
* El cuerpu de los complexos ye zarráu pa les operaciones alxebraiques.
* Tou polinomiu complexu de grau *n* ≥ 1 puede espresase como un productu de *n* polinomios lliniales, ye dicir

::p(z) = \sum_{k=0}^n a_k \, z^k = a_n \, \prod_{i=1}^n (z-b_i).

## Demostración
Sía p un polinomiu de grau n. p ye una función entera. Pa cada constante positiva m, esiste un númberu real positivu r tal que

:|p(z)| > m,\quad\mbox{si}\quad |z|>r.

Si p nun tien raigaños, la función f = 1/p, ye una función entera cola propiedá de que pa cualquier númberu real \epsilon mayor que cero, esiste un númberu positvo r tal que

:|f(z)| r.

Concluyimos que la función f ye acutada. Pero'l teorema de Liouville diz que si f ye una función entero y acutao, entós, f ye constante y esto ye una contradicción.

De manera que f nun ye entera y por tanto p tien siquier un raigañu. p puede escribise por tanto como'l productu

:p(z) = (z-\alpha_1)q(z),\,

onde \alpha_1 ye un raigañu de p y q ye un polinomiu de grau n-1. Pol argumentu anterior, el polinomiu q de la mesma tien siquier un raigañu y poder factorizar nuevamente.

Repitiendo esti procesu n-1 vegaes, concluyimos que'l polinomiu p puede escribise como'l productu

: p(z) = k\,(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_n)

onde \alpha_1... \alpha_n son los raigaños de  p (non necesariamente distintes) y k ye una constante.

### Corolarios
Como'l teorema fundamental de la álxebra puede ser vistu como la declaración de que'l cuerpu de los númberos complexos ye algebraicamente zarráu, síguese que cualesquier teorema tocante a cuerpos algebraicamente zarraos apliquen al cuerpu de los númberos complexos. Amuésense equí delles consecuencies del teorema, avera del cuerpu de los númberos reales o alrodiu de les rellaciones ente'l cuerpu de los reales y el cuerpu de los complexos:

* El cuerpu de los númberos complexos ye la clausura alxebraica del cuerpu de númberos reales.

* Tou polinomiu mónico nuna variable x con coeficientes racionales ye'l productu d'un binomiu de la forma x+m con m racional, y de un trinomiu de la forma x^2+bx+c con b y c racionales y b^2-4c (que ye lo mesmo que dicir que'l trinomiu x^2+bx+c nun ye resoluble nel conxuntu de los númberos reales).

* Toa función racional nuna variable x, con coeficientes reales, puede escribise como la suma d'una función polinómica con funciones racionales de la forma a/(x-b)^n(onde n ye un númberu natural, y a y b son númberos reales), y funciones racionales de la forma (ax+b)/(x^2+cx+d)^n (onde n ye un númberu natural, y a, b, c, y d son númberos reales tales que c^2-4d). Un corolariu d'esto ye que toa función racional nuna variable y coeficientes reales tien una primitiva elemental.

* Toa estensión alxebraica del cuerpu de los reales ye isomorfa al cuerpu de los reales o al cuerpu de los complexos.

## Referencies

### Bibliografía
*  (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
*  . English translation: 
*  (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolvéi into real factors of the first or second degree).

### Enllaces esternos
* Fundamental Theorem of Algebra&nbsp;— a collection of proofs (n'inglés)
* D. J. Velleman: *The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual Approach*, PDF (unpublished paper), visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (n'inglés)
*