Hipótesis de Riemann

En matemática pura, la **[[Hipótesis (lóxica)|hipótesis]] de Riemann**, formulada per primer vegada por Bernhard Riemann en 1859, ye una conxetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(*s*). 

La hipótesis de Riemann, pola so rellación cola distribución de los númberos primos nel conxuntu de los naturales, ye unu de los problemes abiertos más importantes na matemática contemporánea.

L'Institutu Clay de Matemátiques ufiertó un premiu d'un millón de dólares a la primer persona que desenvuelva una demostración correuta de la conxetura.
La mayor parte de la comunidá matemática piensa que la conxetura ye correuta, anque otros grandes matemáticos como J. E. Littlewood y Atle Selberg amosáronse escépticos, magar l'escepticismu de Selberg foi menguando dende los sos díes de mocedá. Nun artículu en 1989 suxirió qu'un análogu ten de ser ciertu pa una clase muncho más amplia de funciones (la clase de Selberg).

## Definición

La función zeta de Riemann ζ(*s*) ta definida nos númberos complexos como la suma d'una serie infinita de la siguiente forma:

:\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots

y ye converxente cuando la parte real ye puramente mayor que 1. Leonhard Euler (que morrió 43 años primero que Riemann naciera) demostró qu'esta serie equival al productu de Euler:

:\zeta(s) = \prod_{p \text{ primu}} \frac{1}{1-p^{-s}}= \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots

onde'l productu infinitu estiéndese sobre'l conxuntu de tolos númberos primos *p*, y de nuevu converxe pa los complexos *s* que la so parte real seya mayor que 1. La converxencia del productu de Euler amuesa que ζ(*s*) nun tien ceros nesta rexón, yá que nengún de los factores tien ceros.
La hipótesis de Riemann trata de los ceros fora de la rexón de converxencia de la suma de la serie descrita enantes y del productu de Euler asociáu. Pa caltener el sentíu d'esta hipótesis ye necesariu enllargar analíticamente la función zeta de Riemann ζ(*s*) de forma que tenga sentíu pa cualquier valor de s. En particular puede espresase por aciu la siguiente ecuación funcional:

:\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sen\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!

válida pa tolos númberos complexos sacante para *s* = 1, onde la función tien un polu. Como se dicía enantes, la hipótesis de Riemann trata de los ceros d'esta versión de la función zeta estendida analíticamente. Esta tien ciertos valores, llamaos ceros "triviales", pa los cualos la función zeta anúlase. De la ecuación puede vese que *s* = −2, *s* = −4, *s* = −6, ... (tolos enteros pares negativos) son ceros triviales. Asina mesmu esisten otros valores complexos *s*, que cumplen la condición 0  0 tal que

:\left|\pi(x) - \int_2^x\frac{dt}{\ln(t)}\right|\le C\,\sqrt{x}\,\ln(x),

pa tou *x* abondo grande, onde π(*x*) ye la función contadora de primos y ln(*x*) ye'l llogaritmu natural de *x*. Lowell Schoenfeld amosó que puede tomase C = 1/(8 π) pa tou x ≥ 2657.

Los ceros de la función zeta y los númberos primus satisfaen ciertes propiedaes de dualidá, conocíes como fórmules esplícites, qu'amuesen, usando analís de Fourier, que los ceros de la función zeta de Riemann pueden interpretase como frecuencies harmóniques na distribución de los númberos primos.

Entá más, si la conxetura de Hilbert-Polya ye cierta, entós cualquier operador que nos dea les partes imaxinaries de los ceros como los sos valores propios tien de satisfaer:

: \sum_{n}y^{-\beta Y_{n}}=\operatorname{tr}[y^{-\beta \hat H}]=y^{o/2}-y^{-o/2} \frac{d\psi _{0}}{du}-\frac{y^{o/2}}{y^{3o}-y^{o}}, 

onde tr ye la traza del operador (suma de los sos valores propios),  \beta \, ye un númberu imaxinariu y  \psi (x) \, ye la función de Chebyshov que nos suma'l log(x) sobre los primos y les sos potencies enteres, dicha fórmula ye una conclusión de la 'fórmula esplícita' de V. Mangoldt. Dellos operadores propuestos por C. Perelman, J. Macheca y J. García, paecen acotar los resultaos de la conxetura de Hilbert sobre l'operador, reproduciendo la parte imaxinaria de los ceros.

## Cálculu numbéricu

* Nel añu 2004 Xavier Gourdon verificó la conxetura de Riemann numbéricamente a lo llargo de los primeros diez trillones de ceros non triviales de la función. Sicasí esto nun ye puramente una demostración, numbéricamente ye más interesante atopar un contraejemplo, ye dicir un valor de cero que nun cumpla con que la so parte real ye 1/2, pos esto echaría pelos suelos la validez de la conxetura. 

* Hasta'l 2005, l'intentu más seriu pa esplorar los ceros de la función-ζ, ye'l ZetaGrid, un proyeutu de computación distribuyida cola capacidá de verificar billones de ceros per día. El proyeutu acabó n'avientu de 2005, y nengunu de los ceros pudo ser identificáu como contraejemplo de la hipótesis de Riemann.

## Ver tamién

* Teorema de los númberos primos
* Función zeta de Riemann
* Función contador de númberos primos
* Fórmula esplícita
* Teoría analítica de númberos

## Referencies

## Enllaces esternos

* (en) The Riemann Hypothesis in a Nutshell 
* (en) Andrew Odlyzko: Tables of zeros of the Riemann zeta function
* (en) Riemann zeros Quantum chaos
* (en) Zetagrid
* (en) Algoritmos pa calcular los ceros de la función de Riemann, por Michael Rubinstein