Álxebra multilineal

Na matemática, el **álxebra multilineal** ye un área d'estudiu que xeneraliza los métodos del álxebra llinial. Los oxetos d'estudiu son los productos tensoriales d'espacios vectoriales y los tresformamientos multi-lliniales ente los espacios.

## Notación
La álxebra multilineal fai un usu intensivu de la notación multi-índiz. Una notación d'esi tipu fai representar les combinaciones lliniales por un conxuntu de dos o más índices repitíos. 

* Nel casu elemental (tensores de **rangu unu contravariantes**) tenemos, usando la convención de la suma d'Einstein: \scriptstyle X=X^se_s\,. Lo cual indica que *l'oxetu* X, ye la combinación llinial:

:sobre los *vectores básicos* \scriptstyle y_s\,, y los \scriptstyle X^s\, llamaos *los componentes* de X. Equí n ye la dimensión (alxebraica) d'espaciu onde "vive" X. Por convención llamar a estos 1-contra-tensores. 
* En **rangu unu** tamién tán los 1-co tensores, ye dicir mapeos lliniales dende l'espaciu escoyíu escontra'l campu d'esguilar. Ellos escríbense como combinación llinial de los funcionales lliniales y^s, tresformamientos lliniales \scriptstyle V\to\mathbb{K} que satisfaen: \scriptstyle y^s(y_{\sigma})={\delta^s}_{\sigma}, onde (como clásicamente) ta usándose la delta de Kronecker. Asina cualesquier covector \scriptstyle f\colon V\to\mathbb{K} escríbese como \scriptstyle f=f_se^s\,, notación qu'embrive \scriptstyle f=f_1y^1+\cdots+f_ne^n\,.
* Tensores de **rango dos**:
** Un tensor de **rango dos contravariante** ye \scriptstyle B=B^{st}y_s\otimes y_t.
** Un tensor de **rango dos covariante** ye \scriptstyle C=C_{st}y^s\otimes y^t.
** Y un tensor de rango dos mistu ye \scriptstyle D={D^s}_t y_s\otimes y^t. Esto indica una combinación llinial **bi-indexada**.
:Por casu, 
:si la dimensión del espaciu ye dos.
* Xeneralizando lo anterior escríbese \scriptstyle {A^{i_1i_2...i_p}}_{j_1j_2...j_q} pa representar *los componentes* d'un *tensor mistu* A, que ye p-contravariante y q-covariante. Pero _{j_1j_2...j_q}y_{i_1}\otimes\cdots\otimes y_{i_p}\otimes y^{j_1}\otimes\cdots\otimes y^{j_q}
||left}}
:representa una combinación llinial multi-indexada.

Tou lo anterior namái foi considerando que l'espaciu vectorial ye de dinensión finita igual a *n*.

## Productu tensorial
Teniendo dos espacios vectoriales *V*, *W*, con respeutives bases \{b_1,...,b_n\}, \{c_1,...,c_m\} defínese'l so productu tensorial

ye dicir l'espaciu vectorial xeneráu polos nuevu símbolos 

Y por lo tanto si un oxetu *X* que *vive en* (pertenez a) \scriptstyle V\otimes W entós él puédese representar como una combinación llinial

y la cual vase a **embrivir** como 
los índices repitíos *s* o *t*, **una vegada enriba y una vegada embaxo -ta conveníu- indica sumación, cada unu**.

Esta definición ye absolutamente astracta, pero dende'l puntu de vista alxebraicu nun hai nengún problema esplorar toles posibilidaes del productu tensorial. Una plétora d'espacios surde (y d'importancia capital) a cencielles al considerar un espaciu vectorial *V* y el so dual V^* unu llogra los espacios:

\scriptstyle V\otimes V^*={\rm Hom}(V)

\scriptstyle V^*=\Lambda^1(V)\,

\scriptstyle V\wedge V

\scriptstyle \Lambda^k(V)\,

Toos ellos d'usu cotidianu na xeometría diferencial, xeometría alxebraica, álxebra conmutativa, relatividá y cuántica, teoríes de campu, QFT, TQFT y otres.

## Tensores y formes
Sía V xeneráu polos b_i. Simbolicemos con 
\beta^{\mu} la base de dual \scriptstyle V^*.
Cualquier elementu de \scriptstyle V^*\otimes V^* escribir de la forma \scriptstyle
B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}. Esta mesma espresión puede ser vista como un mapa bilineal 

::\scriptstyle V\times V
\stackrel{B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}
}
\longrightarrow \mathbb{R}

:::\scriptstyle(b_i,b_j)\mapsto B_{\mu\nu}\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i,b_j)=B_{ij}
sabiendo que \scriptstyle 

\beta^{\mu}\otimes\beta^{\nu}(b_i,b_j)={\delta^{\mu}}_i{\delta^{\nu}}_j
 - kronecker.

Otru de rango dos ye \scriptstyle V\otimes V^*. Los elementos d'equí vense como combinaciones lliniales bi-indexadas \scriptstyle {B^{\mu}}_\nu b_{\mu}\otimes \beta^{\nu}.

## Dellos conceutos desenvueltos (llista incompleta)
* tensor
* espaciu dual
* covector
* xeometría diferencial
* cálculu tensorial
* analís vectorial
* covariancia y contravariancia
* tensor métricu
* derivada covariante
* conexón
* tensor de combadura de Riemann
* símbolos de Christoffel
* álxebra esterior
* forma diferencial
* combadura
* teorema de Stokes
* Símbolu de Levi-Civita
* Seición (matemática)
* Campu vectorial
* Campu tensorial
* Pullback

## Referencies

### Bibliografía
* Robert M. Wald, *Xeneral Relativity*, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.