Serie matemática

En matemátiques, una **serie** ye la xeneralización de la noción de suma aplicada a los términos d'una socesión matemática. Informalmente, ye la resultancia de sumar los términos:
: 
 S =
 a_1 + a_2 +a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + \dots


lo que suel escribise en forma más compacta col símbolu de sumatorio:
: 
 S =
 \sum_{i=1}^{n} a_i


L'estudiu de les series consiste na evaluación de la suma d'un númberu finito *n* de términos socesivos, y por aciu un pasu a la llende identificar el comportamientu de la serie a midida que *n* crez indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tien un primera y últimu términu bien definíos; sicasí nuna **serie infinita**, cada unu de los términos suel llograse a partir d'una determinada regla o fórmula, o por dalgún algoritmu. Al tener infinitos términos, esta noción suel espresase como *serie infinita*, pero a diferencia de les sumes finitas, les series infinites riquen de ferramientes del analís matemáticu pa ser debidamente entendíes y manipoliaes. Esiste una gran cantidá de métodos pa determinar la naturaleza de converxencia o non-converxencia de les series matemátiques, ensin realizar explícitamente los cálculos.

## Tipos de series Sumes parciales

Pa cualesquier socesión matemática \{a_n\} de númberos racionales, reales, complexos, funciones, etc., la *serie acomuñada* defínese como la suma formal ordenada:
: 
 S =
 \sum_{i=1}^{\infty}a_i =
 a_1 + a_2 + a_3 + \cdots


La **socesión de sumes parciales** \{S_k\}\  acomuñada a una socesión \{a_n\}\  ta definida pa cada k\  como la suma de la socesión \{a_n\}\  dende a_1\  hasta a_k\ :
: 
 S_k =
 \sum_{i=1}^{k}a_i =
 a_1 + a_2 + \cdots + a_k


Munches de les propiedaes xenerales de les series suelen enunciase en términos de les sumes parciales acomuñaes.

### Converxencia
Per definición, la serie \sum_{i=1}^{\infty} a_i **converxe** a la llende L\  si y namái si la socesión de sumes parciales acomuñada S_k converxe a L\ . Esta definición suel escribise como :

 L =
 \sum_{i=1}^{\infty}a_i
 \quad \Leftrightarrow \quad
 L =
 \lim_{k \rightarrow \infty} S_k


## Exemplos
* Una serie xeométrica ye aquella na que cada términu llógrase multiplicando l'anterior por una constante, llamada *razón r*. Nesti exemplu, la razón *r* = 1/2:
::
 S =
 1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots =
 \sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}


Polo xeneral, una serie xeométrica ye converxente, namái si |*z*| 
 S =
 \sum_{n=0}^{\infty} az^n =
 {a \over 1 - z}


* La serie harmónica ye la serie ::

 S =
 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =
 \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}


La serie harmónica ye diverxente.

* Una serie alternada ye una serie onde los términos camuden de signu:
:: 
 S =
 1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =
 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}


* Una serie telescópica ye la suma \textstyle \sum a_n , onde *a**n* = *b**n* − *b**n*+1:
:: 
 S =
 \sum_{n=0}^N ( b_{n}-b_{n+1} )


La converxencia de dicha serie y la so suma pueden calculase fácilmente, yá que:
: 
 S_N =
 (b_0-b_1)+(b_1-b_2) + \cdots + (b_{N-1} - b_{N}) +(b_N - b_{N+1}) =
 b_0 - b_{N+1}


* Una serie hiperxeométrica ye una serie de la forma:
:: 
 S =
 \sum_{n=0}^{\infty} a_n
 \quad \text{con} \quad
 \cfrac{a_{n+1}}{a_n} =
 \cfrac{\alpha n + \beta}{\alpha n + \gamma}


## Converxencia de series

Una serie&thinsp;  \sum_{i=1}^{\infty} a_i  dizse que *ye converxente* (o que *converxe*) si la socesión *S**N* de sumes parciales tien una llende finito. Si la llende de *S**N* ye infinitu o nun esiste, dizse que la serie diverxe. Cuando esta llende esiste, llámase-y *suma de la serie*. 
: 
 S =
 \sum_{n=1}^\infty a_n =
 \lim_{N\to\infty} S_N =
 \lim_{N\to\infty} \sum_{i=1}^N a_i


Si tolos *a**n* son cero pa *n* abondo grande, la serie puede identificase con una suma finita. L'estudiu de la converxencia de series, centrar nes propiedaes de les series infinites qu'inclúin infinitos términos non nulos. Por casu, el númberu periódicu

:Sn = 0.111111...

tien como representación decimal, la serie :

 S =
 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}


Yá que estes series siempres converxen nos númberos reales (ver: espaciu completu), nun hai diferencia ente esti tipu de series y los númberos decimales que representen. Por casu, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

## Ver tamién

* Serie de Taylor
* Serie de Laurent
* 1 - 2 + 3 - 4 + . . .
* Series trigonométriques
* Fórmula de Faulhaber
* Serie converxente
* Llende d'una socesión
* Series matemátiques

## Referencies

* .
* 
* A history of the calculus (n'inglés).

## Enllaces esternos
*Apuntes_UPM