Álxebra elemental

L**'álxebra elemental** inclúi los conceutos básicos d'álxebra, que ye una de la cañes principales de les matemátiques. Ente que na aritmética solo asoceden los númberos y les sos operaciones aritmétiques elementales (como +, –, ×, ÷), n'álxebra tamién s'utilicen símbolos pa denotar númberos (como «x», «y», «a», «b»). Estos denominar variables, incógnita, coeficientes, índizs o raigañu, según el casu. El términu *álxebra elemental* usar pa estremar esti campu del álxebra astracta, la parte de la matemática qu'estudia les estructures alxebraiques.

Lo anterior ye útil porque:

* dexa la xeneralización d'ecuaciones aritmétiques (y d'inecuaciones) pa ser indicaes como lleis (por casu  \, a + b = b + a  pa toa  \, a  y  \ b  ), y ye asina'l primera paso aldu al estudiu sistemáticu de les propiedaes del sistema de los númberos reales;
* dexa la referencia a númberos que nun se conocen; nel contestu d'un problema, una variable puede representar ciertu valor qu'inda non se conoz, pero que puede ser atopáu cola formulación y la manipulación de les ecuaciones;
* dexa la esploración de rellaciones matemátiques ente les cantidaes (por casu, “si usté viende x boletos, entós, el so beneficiu va ser 3x – 10 dólares”).

Estos trés son los filos principales de la álxebra elemental, que tienen d'estremase del álxebra astracta, una tema más avanzada que xeneralmente s'enseña a los estudiantes universitarios.

N'álxebra elemental, una espresión puede contener númberos, variables y operaciones aritmétiques. Por convención, éstos xeneralmente escríbense colos términos con esponente más altos a la izquierda (ver polinomiu); dellos exemplos son:

:x + 3\,

:y^{2} + 2x - 3\,

:z^{7} + a \cdot(b + x^{3}) + \frac{42}{y} - \pi.\,

Nun álxebra más avanzada, una espresión tamién puede incluyir funciones elementales.

Una ecuación ye la aseveración de que dos expresión son iguales. Delles ecuaciones son verdaes pa tolos valores de les variables implicaes (por casu  \, a + b = b + a ); tales ecuaciones son llamaes identidaes. Les ecuaciones condicionales son verdaes pa solamente dellos valores de les variables implicaes:  \, x^{2} - 1 = 4  . Los valores de les variables que faen la ecuación verdadera llámense les soluciones de la ecuación.

## Signos alxebraicos
### Signos d'operación
Al igual que na aritmética, nel álxebra usen les operaciones de suma, resta, multiplicación, y división. Adicionalmente tán les operaciones de potenciación, radicación y logaritmo.

Los signos d'operación son:

* suma: **+**:
: 
 a + b \;
.

* resta: **-**:
: 
 a - b \;


* multiplicación: **×** o **·**, o ye implícitu ente les variables:
: 
 a \times b \; ; \quad
 a \cdot b \; ; \quad
 a \; b


* división: **/**, **:** o \div:
: 

 a / b \; ; \quad
 a : b \; ; \quad
 a \div b \; ; \quad
 \cfrac{a}{b}


* potenciación: ye un pequeñu númberu o lletra qu'apaez enriba y a la derecha d'una cantidá:
: 
 a^b \; ; \quad
 y^a = \exp a .

* radicación:
: 
 \sqrt{a} \; ; \quad
 \sqrt[b]{a}


* llogaritmos:
: 
 \ln a \; ; \quad
 \lg a \; ; \quad
 \log a \; ; \quad
 \log_b a .

### Signos de rellación
Indiquen la rellación qu'hai ente dos expresión. Los signos de rellación son:

* menor que: **<**
* mayor que: **>**
* igual a: **=**
* distintu a: **≠**

### Signos d'agrupación
Los signos d'agrupación usar pa camudar el orde de les operaciones. Les operaciones indicaes dientro d'ellos que tienen de realizase primeru.

Los signos d'agrupación son:

* los paréntesis: ()
* los corchetes: []
* les llaves: {}
* les barres: II

Si nun apaez signu ente'l númberu y el signu d'agrupación, tiense que realizar una multiplicación; por casu:

* 15 (3-2) = 15
Otru exemplu seria:
* 8 + (5+4) = (5+4) + 8

## Espresiones alxebraiques
### Términu
Un términu ye una espresión alxebraica elemental onde s'atopen solo operaciones de multiplicación y división de númberos y lletres. El númberu llámase coeficiente y les lletres conformen la parte lliteral. Tanto'l númberu como cada lletra pueden tar alzaos a una potencia. Nuna espresión alxebraica con dellos términos, éstos tán dixebraos con signos de suma y resta.

#### Términu independiente
El términu independiente, ye'l que consta de solo un valor numbéricu y nun tien parte lliteral.

#### Términos asemeyaos
Los términos asemeyaos son los que tienen esautamente la mesma parte lliteral (coles mesmes lletres elevaes a los mesmos esponentes), y varien solo nel coeficiente. Solo pueden sumase y restar términos asemeyaos. Non pueden sumase y restar términos que nun sían asemeyaos; sicasí, puede multiplicase y estremar tou tipu de términos. Si nuna espresión alxebraica hai dellos términos asemeyaos, éstos puédense simplificar sumándolos o restándolos.

#### Grau d'un términu
El grau d'un términu puede ser de dos tipos: grau absolutu y grau relativu.

### Polinomiu

Un polinomiu ye una espresión alxebraica na cual solo intervienen les operaciones de suma, resta y multiplicación, según esponentes enteros positivos. Cuando'l polinomiu consta d'unu, de dos o de tres término llámase monomiu, binomiu o trinomiu, respeutivamente. Xeneralmente, un polinomiu *P* na variable *x* esprésase como:

:P(x)_{}^{} = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.

#### Valor numbéricu d'un polinomiu
Ye'l valor que se llogra al sustituyir les lletres por valores numbéricos y depués realizar les operaciones del polinomiu.

## Lleis de la álxebra elemental
### Propiedaes de les operaciones
* La operación d'adición (+)
** escríbese \, a + b 
** ye conmutativa: \, a + b = b + a 
** ye asociativa: \, (a + b) + c = a +(b + c)  
** tien una operación inversa llamada sustracción: \, (a + b)- b = a , que ye igual a sumar un númberu negativu, \, a-b = a +(-b)
** tien un elementu neutru 0 que nun alteria la suma: \, a + 0 = a 

* La operación de multiplicación (×)
** escríbese \, (a \times b)  ó \,( a \cdot b )
** ye conmutativa: \, (a \cdot b ) =  \, (b \cdot a) 
** ye asociativa:  \, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
** ye embrivida por yuxtaposición:  a \cdot b \equiv ab 
** tien una operación inversa, pa númberos distintos a cero, llamada división:  \frac{(ab)}{b} = a , que ye igual a multiplicar pol recíprocu,  \frac{a}{b} = a \left(\frac{1}{b} \right) 
** tien un elementu neutru 1 que nun alteria la multiplicación:  a \times 1 = a 
** ye distributiva respeuto la adición:  \, (a + b) \cdot c = ac + bc  

* La operación de potenciación
** escríbese  \, a^{b} 
** ye una multiplicación repitida:  a^{n} = a \times a \times \ldots \times a  (*n* vegaes)
** nun ye nin comutativa nin asociativa: polo xeneral  \, a^{b} \ne b^{a}  y  \, (a^{b})^{c} \ne a^{(b^{c})} 
** tien una operación inversa, llamada llogaritmu:  \, a^{log_{a} b}= b = log_{a} a^{b} 
** puede ser escrita en términos de raigañu n-ésima:  \ a^{m/n} \equiv (\sqrt[n]{a^{m}})  y polo tanto los raigaños pares de númberos negativos nun esisten nel sistema de los númberos reales. (Ver: sistema de númberos complexos)
** ye distributiva con al respeutive de la multiplicación:  \, (a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c} 
** tien la propiedá:  \ {a^{b}} \cdot {a^{c}} = a^{b + c} 
** tien la propiedá:  \, (a^{b})^{c} = a^{bc} 

### Orde de les operaciones
Pa completar el valor d'una espresión, ye necesariu calcular partes d'ella nun orde particular, conocíu como'l *orde de prioridá* o'l *orde de precedencia* de les operaciones. Primero calcúlense los valores de les espresiones zarraes en signos d'agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), depués les multiplicaciones y divisiones y, a lo último, les sumes y restar.

### Lleis de la igualdá
La rellación d'igualdá (=) tien les propiedaes siguientes:

* si  \, a = b  y  \, c = d  entós  \, a + c = b + d  y  \, ac = bd 
* si  \,a = b  entós  \, a + c = b + c  
* si dos símbolos son iguales, entós unu pue ser sustituyíu pol otru.
* regularidá de la suma: trabayando con númberos reales o complexos asocede que si  \, a + c = b + c  entós  \, a = b .
* regularidá condicional de la multiplicación: si  \, a \cdot c = b \cdot c  y  \, c  nun ye cero, entós \, a = b  .

### Lleis de la desigualdá
La rellación de desigualdá (&lt;) tien les siguientes propiedaes:

* de transitividá: si  \, a  y  \, b  entós  \, a  
* si  \, a  y  \, c  entós  \, a + c  
* si  \, a  y  \, c > 0  entós  \, ac 
* si  \, a  y  \, c  entós  \, bc 

### Regla de los signos
Nel productu y nel cociente de númberos positivos (+) y negativos (-) cumplir les siguientes regles:

## Ver tamién
* álxebra
* teorema fundamental de la álxebra
* polinomiu
* Ecuación
* Ecuación de primer grau
* Ecuación de segundu grau
** Completar el cuadráu
* eliminación de Gauss-Jordan
* recta numbérica

## Referencies

### Bibliografía
* Leonhard Euler, * [[Elements of Algebra]]*, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ 2006, https://books.googleco.uk/books?id=X8yv0sj4_1YC&dq=euler+elements&psp=1 1822.
* Mirsky, Lawrence (1990): *An Introduction to Linear Algebra*, Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.
* Charles Smith, *[https://web.archive.org/web/20061124044817/http://mathbooks.library.cornell.edu:8085/Dienst/UIMATH/1.0/Display/cul.math/Smit025 A Treatise on Algebra]*, in Cornell University Library Historical Math Monographs.