Entestáu de Bose-Einstein

En física, el **entestáu de Bose-Einstein** ye l'estáu d'agregamientu de la materia que se da en ciertos materiales a temperatures cercanes al cero absolutu. La propiedá que la caracteriza ye qu'una cantidá macroscópica de les partícules del material pasen al nivel de mínima enerxía, denomináu estáu fundamental. L'entestáu ye una propiedá cuántica que nun tien análogu clásicu. Debíu al principiu d'esclusión de Pauli, namái les partícules bosónicas pueden tener esti estáu d'agregamientu: si les partícules que s'esfrecieron son fermiones, lo que s'atopa ye un líquidu de Fermi.

## Primeros desarrollos
Na década de 1920, Satyendra Nath Bose y Albert Einstein publiquen conxuntamente un artículu científicu alrodiu de los fotones de lluz y les sos propiedaes. Bose describe ciertes regles pa determinar si dos fotones tendríen de considerase idénticos o distintos. Esta llámase la *entestáu*' de Bose - Einstein.

Einstein aplica estes regles a los átomos preguntar cómo se portaríen los átomos d'un gas si aplicárense-yos estes regles. Asina afaya los efeutos que vienen del fechu de qu'a bien baxes temperatures la mayoría de los átomos tán al mesmu estáu cuánticu, que sería'l menos enerxéticu posible.

Imaxínese una taza de té caliente, les partícules que contién circulen por tola taza. Sicasí cuando s'esfrez y queda en reposu, les partícules tienden a dir en reposu escontra'l fondu.
Análogamente, les partícules a temperatura ambiente atopar a munchos niveles distintos d'enerxía. Sicasí, a bien baxes temperatures, una gran proporción d'éstes algama al empar el nivel más baxu d'enerxía, l'estáu fundamental.

L'agrupación de partícules nesi nivel inferior llámase-y Entestáu de Bose-Einstein (BEC), porque la demostración ta fecha acordies coles ecuaciones d'Einstein. Lo que de xuru nun pudo imaxinar ye lo estraño que se vería una masa de materia con tolos sos átomos nun solu nivel. Esto significa que tolos átomos son absolutamente iguales. Nun hai midida que pueda estremar unu d'otru. Trátase d'un estáu de coherencia cuántica microscópicu.

## Desarrollu teóricu de la condensación de Bose-Einstein
Sía un gas de metanu dexeneráu (esto ye, alloñáu del aproximamientu clásicu de la estadística de Maxwell-Boltzmann y, por tanto, onde tien relevancia la distinción ente fermiones y bosones). Considérese que los únicos graos de llibertá son traslacionales.

El númberu mediu de partícules nun estáu cuánticu r (o númberu d'ocupación) vien dau por:

onde \beta = \frac{1}{k_B T} siendo k_B la constante de Boltzmann.

Esta función val infinitu cuando l'argumentu de la esponencial val cero y cai rápido. Esto ye por cuenta de que los bosones nun cumplen el principiu d'esclusión de Pauli y por tanto pue haber infinidá d'ellos nel mesmu estáu cuánticu individual.

Si'l sistema tien N partícules, entós tien de cumplise que la suma de toles partícules que s'atopen en cada estáu cuánticu r tien de dar el total.

Si'l sistema ye zarráu, la rellación **[2]** sírvenos pa definir el potencial químicu \mu.

Supóngase amás que'l mínimu nivel d'enerxía accesible a una partícula ye \varepsilon_r = 0. Esto ye almitible yá que coincide col menor valor de la enerxía que puede tener un gas de partícules con graos traslacionales de llibertá.

Esta imposición obliga a que \mu (T) \le 0. De nun ser asina, entós habría estaos que la so enerxía sería menor que'l potencial químicu y resultaría que los númberos medios d'ocupación seríen una cantidá negativa lo cual nun ye posible.

Supóngase que la diferencia ente dos niveles consecutivos d'enerxía ye tan pequeña que puede camudase el sumatorio por una integral.

Convién dixebrar el cálculu del númberu total de partícules en dos partes, una que de cuenta d'aquelles que'l so valor de la enerxía ye'l mesmu del estáu fundamental, y otru distinta de cero, estaos escitaos. De nun faelo llegar a una contradicción, como se vera.

El númberu de partícules que la so enerxía ye distinta de cero vien dada pola siguiente espresión, onde \rho(Y) ye la distribución de probabilidá que nos diz cuantes partícules tienen la so enerxía entendida ente Y y Y + de.

Puede demostrase que la distribución de probabilidaes vien dada por:

\sqrt{Y}}}

siendo g_s el grau de dexeneración, V el volume del sistema, h la constante de Planck, m la masa de los bosones y Y la enerxía.

De tal manera que,

\sqrt{Y}\frac{1}{y^{\beta(Y - \mu)} - 1} de = g_s \frac{2 \pi V}{h^3} (2m)^{\frac{3}{2}} \int_0^\infty \frac{Y^{1/2}}{y^{\beta(Y - \mu)} - 1} de}}

Faciendo'l cambéu de variable z = \beta Y  , y considerando l'estáu de temperatura critica T_c , onde  \mu=0 tiense:

} (2m)^{\frac{3}{2}} \int_0^\infty \frac{z^{1/2}}{y^{z} - 1} dz}}

Utilizando que:
{z^{-1}y^o - 1} du = \Gamma(x') g_{x}(z) pa x > 1.||left}}

onde:
* \Gamma(x') ye la función Gamma de Euler, 
* g_x(z) ye la función zeta de Riemann y 
* \frac{1}{\lambda_{DB}^3}=\frac{2 \pi}{h^3 \beta^{\frac{3}{2}}} (2m)^{\frac{3}{2}} ye la llonxitú d'onda de De'Broglie:

Llegar a que:

De cuenta que:

Ye'l númberu máximu de partícules que'l sistema puede tener a una temperatura dao nos estaos escitaos, llamáu N'_{max}. 

Esto dexa definir la llamada temperatura de Bose, o temperatura crítico, na cual: \mu(T_0) = 0. La función de Riemman ta acutada: 0, asina:

}{\lambda_{DB}^3(T)}||left}}

siendo una rellación d'igualdá'l casu llende o críticu. Esi casu llende dar a la temperatura crítico T_0:
T_0 = \frac{h^2}{2 m \pi k} \left( \frac{N}{g V \zeta(3/2)} \right)^{2/3}

Si tomárase namái la espresión **[3]**, tendríase que:

Lo cual fadría qu'en T = 0 nun pudiera esistir un gas de bosones, lo cual contradiz la esperiencia. Por eso haise estremáu'l cálculu en dos partes.

Si estrema la ecuación **[3]** pola densidá total del sistema llógrase que:

{N} = \left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2} ||left}}

A temperatures enforma mayores que T_0, esti cociente ye mayor que la unidá. Eso significa que'l nuesu sistema almite más bosones nos estaos escitaos de los que se tienen anguaño. 

A temperatures menores que T_0 el cociente ye menor que la unidá. Eso significa que munches de les partícules constituyentes del nuesu sistema fuéronse al estáu fundamental al nun poder haber tantes nos estaos escitaos.

Ye l'otru sumando, el númberu de partícules nel estáu fundamental. En T  verifícase que N' \approx N'_{max} de cuenta que:

{N} \right) = N \left[ 1 - \left(\frac{T}{T_0} \right)^{3/2} \right]}}

Equí vese como cuando T \rightarrow 0, N_0 \rightarrow N. Esto ye, los bosones arrexuntar nel estáu fundamental.

Esti fenómenu conozse como condensación de Bose-Einstein. La denominación puede inducir a error pos nun se trata d'una condensación como un gas normal. Cuando un gas ideal clásicu camuda d'estáu gaseosu a líquidu dizse que s'entiesta, nesi casu mengua'l so volume (o aumenta la so densidá). Nel entestáu de Bose nun hai amenorgamientu de volume, les partícules quédense quietes.

Si dibuxar nel espaciu fásico (q, p) de posiciones y momentos conxugaos, l'entestáu d'un gas corriente taría arrexuntáu cerca de q = 0 (exa horizontal) ente que nel entestáu de Bose esta agrupación produzse en redol a p = 0 (exa vertical).

## Llogru en llaboratoriu
Eric Cornell y Carl Wieman llograron en 1995 per primer vegada, esfrecer átomos al más baxu nivel d'enerxía, menos d'una millonésima de Kelvin percima del cero absolutu, una temperatura bien inferior a media seña temperatura atopao nel espaciu esterior. Utilizaron el métodu d'enfriamientu por láser, faciendo que la lluz rebote nos átomos con más enerxía que'l so impautu sobre los mesmos. Cuando los fotones rebotan nel átomu, l'electrón nel átomu qu'absuerbe'l fotón salta a un nivel cimeru d'enerxía y rápido salta de regresu al so nivel orixinal, espulsando'l fotón de nuevu, llogrando'l descensu de la so temperatura.

Por que ello asoceda precísase'l color (o frecuencia) exacta de láser pa la clase d'átomu a esfrecer. Finalmente, la sustancia esfrezse entá más col evaporamientu magnéticu de los átomos con más enerxía. Consiste en dexar escapar del confinamientu magnéticu a los átomos más enerxéticos, que al faelo llévense consigo más enerxía de la que-y correspuende, llogrando asina dexar dientro los de más baxa temperatura.

## Superfluidez y superconductividá
La superconductividá ye un exemplu d'entestáu. Nésta son los pares de Cooper (asociaciones d'una pareya d'electrones) los que se porten como un bosón y aparren al nivel fundamental. La superconductividá ta carauterizada pola ausencia de resistencia llétrica.

La superfluidez ye otru exemplu d'entestáu. L'heliu cuando s'esfrez se licúa, si sigue esfreciéndose los átomos d'heliu (que son bosones) baxen al nivel de mínima enerxía, el 0 Kelvin. Esto fai que los átomos nun adquieran enerxía per resfregón, lo que fai que nun s'estene enerxía por movimientu. La resultancia ye un planu horizontal infinitamente estrechu; como lo que pasa nel interior de les supernoves cuando'l so periodu vital escósase y tresfórmense en furacos negros.

Atribúyese-y un efeutu cuánticu macroscópicu ópticu al entestáu Bose-Einstein d'átomos de sodiu que, al induci-y electromagnéticamente l'estáu de translucidez, tien la propiedá d'amenorgar la velocidá de la lluz en forma estelante. Hasta 20 millones de vegaes la so velocidá nel vacíu, equivalente a 17 metros per segundu (m/s), y nel 2013 llogróse detener la lluz nuna nube d'átomos de Rubidiu-87 ultraenfriado a unos 100 nK controlando les ondes de espines en dicha nube. 

## Ver tamién
* Estáu d'agregamientu de la materia
* Superfluidez
* Superconductividá
* Estadística de Bose-Einstein
* Enerxía escura

## Referencies

## Enllaces esternos
* BEC 2009  Bose-Einstein Condensation 2009
* Páxina del grupu MIT (w. Ketterle)

:)