Llende matemática

En analís real y complexu, el conceutu de **llende** ye la piedra de toque que formaliza la noción intuitiva d'aproximamientu escontra un puntu concretu d'una socesión o una función, a midida que los parámetros d'esa socesión o función averar a un determináu valor. Nel analís los conceutos de series converxentes, derivada ya integral definida encontar por aciu el conceutu de llende.

En cálculu (especialmente en analís real y matemáticu) esti conceutu utilízase para definir los conceutos fundamentales de converxencia, continuidá, derivación, integración, ente otros. Magar, el conceutu de llende paez intuitivamente rellacionáu col conceutu de distancia, nun espaciu euclideu, ye la clase de conxuntos abiertos inducíos por dicha métrica, lo que dexa definir rigorosamente la noción de llende.

El conceutu puede xeneralizase a otros espacios topolóxicos, como pueden ser les redes topolóxiques; de la mesma manera, ye definíu y utilizáu n'otres cañes de la matemática, como pue ser la teoría de categoríes.

Pa fórmules, el *llende* utilízase usualmente de forma embrivida por aciu **lim** como en lim(*a**n*) = *a* o se representa por aciu la flecha (→) como en *a**n* → *a*.

## Llende d'una socesión

La definición de llende matemática pal casu d'una socesión indícanos intuitivamente que los términos de la socesión avérense arbitrariamente a un únicu númberu o puntu L, si esiste, pa valores grandes de n. Esta definición ye bien paecida a la definición del cuando tiende a \infty.. 

Formalmente, dizse que la socesión a_n **tiende hasta la so llende <math>L</math>**, o que **converxe** o **ye converxente** (a L), y se denota como:

si y solu si pa tou valor real *ε*>0 puede atopase un númberu natural N tal que tolos términos de la socesión, a partir d'un ciertu valor natural n mayor que N, averar a L cuando n creza ilimitadamente. Escritu nun llinguaxe formal, y de manera compacta:

Esta llende, si esiste, puede demostrase que ye únicu. Si los términos de la socesión nun converxen a nengún puntu específicu, entós dizse que la socesión ye *diverxente*.

## Llende d'una función

En analís real para funciones d'una variable, puede faese una definición de llende similar a la de llende d'una socesión, na cual, los valores que toma la función dientro d'un intervalu o radio de converxencia van averándose a un puntu fitu *c* — puntu d'acumuladura —, independientemente de qu'ésti perteneza al dominiu de la función. Esto puédese xeneralizar entá más a funciones de delles variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, dizse que **la llende de la función f(''x'') ye ''L'' cuando ''x'' tiende a ''c***, y escríbese:

si puede atopase pa cada ocasión un *x* abondo cerca de *c* tal que'l valor de f(*x*) sía tan próximu a L como se deseye.

Pa un mayor rigor matemático utilízase la *'definición épsilon-delta*' de llende, que ye más estricta y convierte a la llende nuna gran ferramienta del [[analís real]]. La so definición ye la siguiente:

Esta definición, puede escribise utilizando términos [[llinguaxe formal|lóxicu-matemáticos]] y de manera compacta:
:<math>
 \begin{array}{l}
 \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 : 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
 \end{array}
</math>
Esta definición ye equivalente a la llende d'una socesión, una función ye continua si:


== Llende d'una socesión de conxuntos ==

En [[teoría de conxuntos]] tamién s'utiliza'l conceutu de llende, que puede calculase sobre una socesión de conxuntos. Pa ello, los conxuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como pue ser la [[monotonía]] (creciente o decreciente). De manera más xeneral, y utilizando la definición de [[llende cimera y llende inferior]] pa una socesión de conxuntos cualesquier <math>A_n</math>, dizse que la llende d'esta socesión esiste si la llende cimera y llende inferior esisten y son iguales. Polo xeneral tiense:

Si la llende primer términu y el penúltimu son iguales entós verifíquense toles igualdaes. Estos conceutos son bien útiles en disciplines de les matemátiques como la [[teoría de la midida]], especialmente n'[[espaciu de probabilidad|espacio de probabilidá]]. Nun ye difícil construyir socesiones non converxentes onde se verifica que:


== Llende n'espacios topolóxicos ==

=== Redes ===


Toles nociones anteriores de llende pueden ser unificaes y xeneralizaes a [[espaciu topolóxicu|espacios topolóxicos]] arbitrarios por aciu la introducción de [[rede (matemátiques)|redes]] topolóxiques y la definición de les sos llendes.

Sía <math>(X,T)</math> un [[espaciu topolóxicu]] y <math>(x_d)_{d \in D}</math> una rede en <math>X</math>. Dizse que <math>x \in X</math> ye un [[Puntu d'acumulación|punto llende]] de la rede <math>(x \in \lim_{d \in D} x_d)</math> si la rede ta eventualmente en cada [[Redolada (matemática)|redolada]] de <math>x</math>, esto ye, si sía'l que quier la redolada <math>V</math> de <math>x</math> (esto ye, sía'l que quier el conxuntu <math>V</math> de forma qu'esista un [[Conxuntu abiertu|abiertu]] <math>G</math> tal que <math>x \in G \subset V</math>) esiste un <math>d_0 \in D</math> de tala forma que pa cada <math>d \in D</math> con <math>d_0 \sim d</math> cumplir que <math>x_d \in V</math>.

=== Filtros ===



Nel casu de [[Filtru (matemátiques)|filtros]], por ser oxetos matemáticos similares a redes topolóxiques, tamién ye posible la definición de llende. N'efeutu, sía *X* un espaciu topolóxicu y *x* un puntu de *X*. Dizse qu'un filtru base *B* converxe a *x*, denotado como *B* → *x* o <math>\lim \mathcal{B} = x</math>, si pa tou [[redolada (matemática)|redolada]] *O* de *x*, esiste un *B*<sub>0</sub> ∈ *B* tal que *B*<sub>0</sub> ⊆ *O*. Nesti casu, *x* llámase llende de *B* y *B* denominar filtru base converxente.

Otramiente, puede aplicase a funciones, estendiendo la definición de [[función continua|continuidá]] a estes. Si *X*, *Y* son dos espacios topolóxicos y *f*: *X* → *Y* ye una función, siendo *B* un filtru entorno en *X* d'un puntu *a* perteneciente a *X*, entós la llende con respectu al filtru *B* de *f* ye *y*, denotado como

:<math>\lim_\mathcal{B} f = y</math>

si *B* converxe a *a*, depués *f* converxe a *y*; dichu d'otra forma, *y* ye la llende de *f* nel puntu *a''.

## Llende de Banach

En analís funcional, una llende de Banach ye un funcional llinial continuu \phi: \ell_\infty \to \mathbb{R} definíu sobre'l espaciu de Banach \ell_\infty pa toa socesión acutada de númberos complexos, onde se cumplen una serie de condiciones ente les que s'atopa que si x_n ye una socesión converxente, entós \phi(x)=\lim_n x_n, xeneralizando'l conceutu de llende. Poro, \phi ye una estensión del funcional continuu \lim: c\mapsto \mathbb C.

En particular, la esistencia de la llende de Banach nun ye única.

## Llendes en teoría de categoríes

En teoría de categoríes, una caña de la matemática, defínese'l conceutu astractu de llende, que usa propiedaes esenciales de construcciones universales tales como productos y llendes inverses.

## Llendes infinites

La evaluación de \lim_{x\to c} f(x)=L rique mentalmente de la evaluación de la función nun dominiu que se fai cada vez mas pequeñu alredor de c, quien de la mesma crea un dominiu que se fai más pequeñu alredor de L. El calculo d'una llende onde x\to \infty, significa predicir un resultáu mientres una alloñar del orixe de coordenaes nun gráficu. Lo primero qu'unu tien de saber ye la llende de la función f(x)=\frac 1x cuando x\to\pm\infty, al graficarse esta función puede notase como mientres más grande ye x, más pequeñu ye f y deduzse

Al evaluase una llende que tiende a infinitu nel cuál hai una fracción, usualmente estrémense dambos el numberador como'l denominador pol termino col esponente más altu, los terminos baxos quedaren como llende paecíu al anterior y vamos poder desfacer d'ellos (ver exemplu)
{\frac{1}{x^2}} \\ &= \frac{3+2\lim_{x\to\infty}\frac 1x-4\lim_{x\to\infty}\frac 1x \frac 1x}{6-\lim_{x\to\infty}\frac 1x} \\ &=\frac{3+2\cdot 0-4\cdot 0\cdot 0}{6-0}=\frac 12 \end{align}
||left}}

## Ver tamién
* Continuidá (matemátiques)
* Llende d'una socesión
* Llende d'una función
* Rede (matemática)#Llende d'una rede Llende d'una rede topolóxica
* Llende cimera y llende inferior
* Llende (teoría de categoríes)
* Asíntota

## Referencies

### Bibliografía
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### Enllaces esternos
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* Llendes de funciones. Introducción
* Introducción al Cálculu de Llendes (videu)