open-index/open-wikipedia-markdown huggingface dataset:
Indies Orientales Neerlandeses

Les **Indies Orientales Neerlandeses** () (llamaes equivocadamente **Indies Orientales Holandeses**) foi'l nome de les colonies establecíes orixinalmente pola Compañía Neerlandesa de les Indies Orientales (VOC), que tuvieron so l'alministración de los Países Baxos mientres el sieglu XIX (vease en *[[Historia d'Indonesia]]*).

## Historia
A finales del sieglu XVI, dellos esploradores marítimos (Jan Huygen van Linschoten en 1582 y los viaxes de Cornelis Houtman en 1592) prepararen el camín pal viaxe de Houtman a Bantam, el principal puertu de la Isla de Java, en (1595-1597), onde consiguió unes pequeñes ganancies. La penetración neerlandesa nes Indies Orientales, que nesi entós yeren territoriu de Portugal, foi lenta y discreta.

La Compañía Neerlandesa de les Indies Orientales, creada en 1602, concentró los esfuercios comerciales neerlandeses so un solu mandu y una sola política. En 1605 barcos mercantes neerlandeses prindaron el fuerte portugués d'Amboyna nes Moluques, que constituyó la primer base de la VOC, nome que dieron el neerlandeses a la so compañía. La Tregua de los Dolce Años roblada en Amberes en 1609 dio entamu a un cese nes hostilidaes ente España (que controlaba Portugal y los sos territorios nesa dómina) y les Provincies Xuníes. Nes Indies, la fundación de Batavia formó'l centru dende'l cual les empreses neerlandeses, más mercantiles que coloniales, podríen ser coordinaes. 

Unu tres otru, el neerlandeses tomaron el control de los puertos de les Indies Orientales: Malaca en 1641; Achem (Aceh) nel antiguu reinu de Sumatra, 1667; Macassar, 1669 y d'últimes Bantam en 1682. Coles mesmes, les conexones nos puertos de la India apurrió a los neerlandeses el algodón que s'intercambiaba por pimienta negra. 

La gran fonte de riqueza nes Indies Orientales, foi'l comerciu dientro del archipiélagu onde les especies adquirir con plata orixinaria d'América, más codiciable n'Oriente que n'Europa. Concentrando los monopolios nes especies, la política neerlandesa fortaleció'l monocultivu. Amboina dedicar al clavu de golor, Timor al sándalu, les islles de la Banda a la nuez moscada y a la pimienta. Esta política de monocultivu conectó les economíes de les islles a un sistema nel que toes precisaben de les otres pa satisfaer les sos necesidaes.

En 1700 un modelu colonial establecióse; la VOC creció hasta convertise nun estáu dientro d'un estáu y tener un poder dominante dientro del archipiélagu. Tres la lliquidación de la compañía en 1799, y tres el interregno británicu mientres les Guerres napoleóniques, el gobiernu de los Países Baxos retomó l'alministración hasta la independencia d'Indonesia en 1949 tres la Revolución Nacional d'Indonesia. 

La ciudá capital de les Indies Orientales Neerlandeses foi Batavia, agora conocida como Xakarta.

## Fuercies armaes

## Ver tamién
* Historia d'Indonesia
* Historia de los Países Baxos

## Referencies

## Enllaces esternos

* La Compañía de la Indies Neerlandeses - los primeros 100 años (The Dutch East Indies Company - the first 100 years) por Thomas Crump, Gresham College, conferencies del 1 y 8 de marzu de 2006.
Fórmula integral de Cauchy

Esta fórmula, debida a Cauchy, ye parte fundamental del cálculu Integral de variable complexa.

## Definición

### Enunciáu 1

Sía *f(z)* una función analítica nun dominiu a cencielles conexu *D*. Entós pa cualquier puntu z_0 \, conteníu nel interior de *D* y pa cualquier camín *C* zarráu simple tamién conteníu nel interior de *D* que contenga al puntu tiense:

onde la integración ta tomada en sentíu antihorario.

### Enunciáu 2

Sía f \, una función analítica sobre \gamma, \gamma un camín (una curva diferenciable con continuidá a cachos) zarráu y z_0\notin \gamma

 
Siendo z_0 \, un puntu que nun tea sobre \gamma , I_\gamma(z_0) \, l'índiz del puntu al respective de la curva (el númberu de vegaes que la curva arrodia al puntu teniendo en cuenta'l sentíu con que lo fai).

## Ver tamién

*Teorema integral de Cauchy

## Referencies

## Enllaces esternos

* 
* Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews
Esfera de Riemann

En matemática, la **esfera de Riemann** (o **planu complexu estendíu**), llamada asina n'honor al matemáticu del sieglu XIX Bernhard Riemann, ye una esfera llograda del planu complexu por aciu la adición d'un puntu del infinitu. La esfera ye la representación xeométrica de los **númberos complexos estendíos**, denotado como \hat\mathbb{C} ó \mathbb{C} \cup \{\infty\}, (vease **fig.1** y **fig.2**), que consiste nos númberos complexos ordinarios en conxunción col símbolu \infty\! pa representar el infinitu.

Los númberos complexos estendíos son comunes en analís complexu porque dexen la división per cero en delles circunstancies, nel sentíu de faer espresiones bien definíes tales como:
:1 / 0 = \infty
Por casu, cualesquier función racional sobre'l planu complexu pue ser estendida como una función continua sobre la esfera de Riemann, colos polos de la función racional mapeados al infinitu. Más xeneralmente, cualesquier función meromorfa pue ser pensada como una función continua que'l so codominio ye la esfera de Riemann.

En xeometría, la esfera de Riemann ye l'exemplu prototípicu d'una superficie de Riemann, y una de les más simples variedaes complexes. En xeometría proyectiva, la esfera puede ser pensada como la **[[recta proyectiva]] complexa** \mathbb{CP}^1, l'espaciu proyectivo de toles rectes complexes en \mathbb{C}^2. Como con cualquier superficie de Riemann compacta, la esfera tamién puede ser vista como una curva alxebraica proyectiva, faciendo d'esto un exemplu fundamental de xeometría alxebraica. Tamién atopa utilidá n'otres disciplines que dependen del analís y de la xeometría, como pue ser la mecánica cuántica y otres cañes de la física.

## Ver tamién

* Álxebra de Witt
* Puntu del infinitu

## Notes y referencies

* 
* 
* 
* 
*
Cálculu vectorial

El **cálculu vectorial** o **analís vectorial** ye un campu de les matemátiques referíes al analís real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Ye un enfoque de la xeometría diferencial como conxuntu de fórmules y téuniques pa solucionar problemes bien útiles pa la inxeniería y la física. 

Consideramos los campos vectoriales, qu'acomuñen un vector a cada puntu nel espaciu, y campos escalares, qu'acomuñen un escalar a cada puntu nel espaciu. Por casu, la temperatura d'una piscina ye un campu escalar: a cada puntu acomuñamos un valor escalar de temperatura. El fluxu de l'agua na mesma piscina ye un campu vectorial: a cada puntu acomuñamos un vector de velocidá. 

Cuatro operaciones son importantes nel cálculu vectorial: 
* Gradiente: mide la tasa y la direición del cambéu nun campu escalar; el gradiente d'un campu escalar ye un campu vectorial.
* Rotor o rotacional: mide l'enclín d'un campu vectorial a rotar alredor d'un puntu; el rotor d'un campu vectorial ye otru campu vectorial. 
* Diverxencia: mide l'enclín d'un campu vectorial a aniciase o converxer escontra ciertos puntos; la diverxencia d'un campu vectorial ye un campu escalar.
* Laplaciano: rellaciona'l "permediu" d'una propiedá nun puntu del espaciu con otra magnitú, ye un operador diferencial de segundu orde.

La mayoría de los resultaos analítiques entiéndense más fácilmente usando la maquinaria de la xeometría diferencial, de la cual el *cálculu vectorial* forma un subconxuntu. 

## Historia

L'estudiu de los vectores aniciar cola invención de los cuaterniones d'Hamilton, quien xunto a otros los desenvolvieron como ferramienta matemáticu pa la esploración del espaciu físicu. Pero los resultaos fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones yeren demasiáu complicaos pa entendelos con rapidez y aplicalos fácilmente.

Los cuaterniones conteníen una parte escalar y una parte vectorial, y les dificultaes surdíen cuando estes partes remanábense coles mesmes. Los científicos dieron cuenta de que munchos problemes podíen remanase considerando la parte vectorial por separáu y asina empezó'l *Analís Vectorial*.

Esti trabayu débese principalmente al físicu d'Estaos Xuníos Josiah Willard Gibbs (1839-1903).

## Ver tamién
*1-forma
*coordenaes ortogonales
*diverxencia
*dual de Hodge
*electrostática
*gradiente
*llista d'asuntos del cálculu multivariable
*magnetostática
*operador nabla

*rotacional
*teorema de la diverxencia
*teorema de Green
*teorema de Helmoltz-Hodge
*teorema de Stokes

## Referencies
* Luis Santaló (1977) *Vectores y Tensores coles sos Aplicaciones*, Editorial Universitaria de Buenos Aires.

## Referencies

## Enllaces esternos
Teoría del aproximamientu

Averar significa en matemátiques sustituyir ciertos oxetos X so interés por otros más amigables que denotaremos por A. L'oxetivu ye llograr cierta información relativa a X. Ye bien frecuente que X sía la incógnita d'un problema. Resolver dichu problema significa llograr, con munches dificultaes, cierta información. Sobre la base de los datos qu'ufierta'l problema atopamos un elementu A- posiblemente n'otru espaciu más simple que l'orixinal onde habita X- que ye portador d'información relativa a X. Esto postreru sería un métodu de solución. La Teoría d'Aproximamientu intenta dicinos cómo construyir A, y cómo midir la calidá de la información qu'esti postreru bríndanos. Ye típicu encetar la construcción d'una socesión (A_n) tal que A_n\to X, nel sentíu de que A_n ye portador d'información sobre X, y que la correspondiente calidá aumenta cuando n\to \infty. Interesa entós estudiar la rellación ente la calidá y la complexidá (tamañu de n), cuando n\to \infty.
La Teoría del Aproximamientu ye unu de los dos grandes pilastres nos que se sofita l'Analís Numbéricu. L'otru ye la Álxebra Matricial Numbérica.

## Ver tamién
* Polinomiu de Chebyshev (:en:Chebyshev polynomials)

## Referencies

## Enllaces esternos
Conxuntu vacíu

En matemátiques, particularmente na Teoría axomática de Conxuntos de ZF el **conxuntu vacíu** ye'l conxuntu qu'escarez d'elementos. Yá que lo único que define a un conxuntu son los sos elementos, el conxuntu vacíu ye únicu.

Delles propiedaes de los conxuntos son trivialmente ciertes pal conxuntu vacíu. Nuna teoría axomática de conxuntos, la esistencia d'un conxuntu vacíu postúlase.

## Definición y notación

El conxuntu vacíu ye'l conxuntu que nun contién elementos.

El conxuntu vacíu ye denotado polos símbolos:

derivaos de la lletra Ø de les llingües danesa y noruega, ente otres. Esta notación foi introducida por André Weil en 1939. Otra notación común pal conxuntu vacíu ye la notación estensiva, especificando los sos elementos (nengunu) ente llaves:
:  \{ \} \, 

## Propiedaes
Xustifícase falar de «el conxuntu vacíu» y non de «un conxuntu vacíu». El conxuntu vacíu tien ciertes propiedaes:

Munches afirmaciones sobre'l conxuntu vacíu son trivialmente ciertes, por cuenta de la siguiente propiedá:

Esti teorema ye ciertu porque'l conxuntu vacíu nun tien elementos, y dicir «tou home en  ye inmortal» ye lo mesmo qu'afirmar que «nun hai nengún home mortal en », y esto postreru ye trivialmente ciertu. Amás, el conxuntu vacíu actúa como'l cero nes operaciones del álxebra de conxuntos:

Adicionalmente, el conxuntu potencia del conxuntu vacíu ye'l que contién namái al mesmu conxuntu vacíu, esto ye, . Poro, el númberu cardinal de \mathcal{P}(\varnothing)=\{\varnothing\} ye |\mathcal{P}(\varnothing)|=1.

## Otres propiedaes
* La interseición d'un conxuntu y el so complementariu ye'l conxuntu vacíu.
* La diferencia de cualquier conxuntu consigo mesmu ye'l conxuntu vacíu.
* Na diferencia simétrica definida nun conxuntu potencia, el conxuntu vacíu ye l'elementu neutru, esto ye AΔ∅ = A 
* Nuna partición d'un conxuntu inducida por una rellación d'equivalencia, la interseición de dos clases distintes ye'l conxuntu vacíu.
* El conxuntu vacíu ye elementu del conxuntu potencia de cualquier conxuntu, necesariamente.
* La unión d'una familia vacía de conxuntos ye'l conxuntu vacíu 
* la interseición d'una familia vacía de conxuntos ye'l conxuntu vacíu.
* ∅ figura como elementu propiu de toa topoloxía sobre X. Y ye zarráu, al empar qu'abiertu en cualquier topoloxía.
* La interseición del interior d'un conxuntu col interior del so complementariu ye ∅.
* El conxuntu d'elementos que'l so valor absolutu ye menor a un númberu negativu ye un conxuntu vacíu.

## Ver tamién
* Álxebra de conxuntos
* Conxuntu
* Teoría de conxuntos
* Suma vacía
* Productu vacíu

## Referencies

* Paul Halmos, *Naive set theory*. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
* Jech, Thomas, 2003. *Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded*. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Teoría informal de conxuntos

La **Teoría Informal de Conxuntos** ye una de les diverses teoríes que se fueron desenvueltes en redol al alderique de los fundamentos de matemátiques.

Los conxuntos tienen una importancia fundamental en matemátiques; ello ye que de manera formal, la mecánica interna de les matemátiques (númberos, rellaciones, funciones, etc.) pue definise en términos de conxuntos.

## Requisitos

La teoría informal de conxuntos ye una teoría ensin formalizar”; esto ye, qu'emplega'l llinguaxe cotidianu pa falar de conxuntos, polo que los conectores « y »; « o »; « non »; « si..., entós »; « si y namái si », nun tán suxetos a rigoroses definiciones.

Nos sos primeros tiempos, la teoría de conxuntos yera informal y foi desenvuelta a fines del sieglu XIX, principalmente por Georg Cantor y Gottlob Frege, col fin de dexar a los matemáticos trabayar con conxuntos infinitos coherentes.

Sicasí, esta primixenia teoría dexaba definir un conxuntu a partir de cualquier propiedá ensin nenguna restricción, lo que llevó a *[[antinomia|antinomies]]*, o paradoxes lóxiques, como la paradoxa de Russell, o semántiques, como la paradoxa de Berry. Como solución a esti conflictu ellaboró la teoría axomática de conxuntos, que'l so propósitu yera determinar con precisión qué definiciones de conxuntos podíen ser emplegaes. Anguaño, conocer a la *teoría axomática de conxuntos* a cencielles como *teoría de conxuntos*.

## Conxuntos, pertenencia ya igualdá

Na teoría informal de conxuntos, un conxuntu ye descritu como una coleición d'oxetos bien definida. Dichos oxetos son llamaos elementos o miembros del conxuntu y pueden ser de cualquier naturaleza: númberos, persones, otros conxuntos, etc. Por casu, el 4 ye un elementu del conxuntu de tolos númberos enteros. Obviamente, el conxuntu de tolos númberos ye infinitamente grande; sicasí, nun ye necesariu qu'un conxuntu sía precisamente finito por que pueda ser definíu con precisión.

Si *x* ye elementu de *A*, entós dizse que *x* pertenez a *A*, o que *x* ta en *A*. Nesti casu, esta proposición escríbese o representa formalmente asina: *x* ∈ *A*. Ente que usar el símbolu ∉ d'esta manera: *x* ∉ *A*, quier dicir que *x* nun pertenez a *A*.

Dos conxuntos A y B son iguales cuando tienen esautamente los mesmos elementos o, n'otres pallabres, ser solu si cada unu de los elementos d'A ye al empar elementu de B y si cada elementu de B tamién pertenez o ta incluyíu n'A. Por casu, el conxuntu que los sos elementos son 2, 3 y 5 ye igual al conxuntu de tolos númberos primos menores de 6. Y si los conxuntos A y B son iguales, esto represéntase comúnmente como A = B.

Los elementos d'un conxuntu determinen a ésti na so totalidá y esto tamién ye válidu pa un conxuntu vacíu, que ye aquel que nun tien nengún elementu, que represéntase de cutiu asina "Ø" y otres vegaes asina "{ }". Polo que partiendo del fechu de qu'inclusive un conxuntu vacíu ta dafechu determináu polos sos elementos, conclúyese que namái puede haber un conxuntu vacíu.

## Referencies
Teorema de Cantor

El **teorema de Cantor** ye un resultáu formalizable na teoría de conxuntos de Zermelo-Fränkel, qu'afirma lo siguiente:

## Discutiniu
El teorema de Cantor ye obviu pa conxuntos finitos: si un conxuntu finito tien *n* elementos entós el conxuntu de partes d'esi conxuntu tien 2*<sup>n</sup>* elementos. El fechu de que sía válidu pa tou conxuntu infinitu nun ye del tou intuitivu, pero dexa establecer delles resultancies interesantes:

* Esiste una infinidá de **cardinales transfinitos**, lo cual significa qu'en realidá esisten munchos tipos d'infinitu (de fechu una infinidá) cada unu mayor que l'anterior. Esta resultancia a priori ye bien pocu intuitivu, pero tremendamente importante na fundamentación de les matemátiques.
* Nun esiste **nenguna manera de numberar** tolos subconxuntos de \N.

Pa ilustrar la validez d'esti teorema pa conxuntos infinitos reproduzse de siguío una demostración.

## Demostración
Consideremos una función cualesquier f: A \to \mathcal{P}(A), entós demostrar el teorema de Cantor rique probar que *f* nun ye sobreyectiva (refecha). Y pa probar que f nun ye sobreyectiva basta atopar un subconxuntu de *A* que nun sía la imaxe de nengún elementu de *A* al traviés de *f*.
Cantor consideró un subconxuntu particular *B* definíu como:

:B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}.

Y probó qu'esi subconxuntu nun puede ser la imaxe de nengún elementu de *A*.
L'argumentu que construyó Cantor ye por amenorgamientu al absurdu presuponiendo qu'esiste a\in A: B = f(a), yá que *B* ye un subconxuntu de *A*. Agora podemos estremar dos casos:
# Si a\in B, entós pola definición de *B* tiense que a\notin B, lo cual ye contradictoriu.
#Si a\notin B, entós pola definición de *B* tiense que a\in B, lo cual ye contradictoriu.
En dambos casos llegamos a una contradicción, por tantu nun esiste felicidá *a* y entós *f* (que ye una función cualesquier) nun ye sobreyectiva, como queríamos demostrar.

## Referencies

* Paul Halmos, *Naive set theory*. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
* Jech, Thomas, 2003. *Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded*. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Xeometría diferencial

En matemátiques, la **xeometría diferencial** ye l'estudiu de la xeometría usando les ferramientes del analís matemáticu y del álxebra multilineal. Los oxetos d'estudiu d'esti campu son les variedaes diferenciables (al igual que na topoloxía diferencial) según nociones de xeometría de Riemann, por casu les de conexón y combadura (que nun s'estudien na topoloxía diferencial). 

Les aplicaciones modernes de la xeometría diferencial tán bien rellacionaes cola física, especialmente nel estudiu de la Teoría de la Relatividá.

## Ver tamién
* Sobre **curves, superficies y variedaes**: 
**Xeometría diferencial de curves 
**Xeometría diferencial de superficies 
**Xeometría diferencial de variedaes.

* **Construcciones téuniques** preseos en xeometría diferencial: 
**Grupu de Lie 
**Fibrado 
**Clase carauterística
**Derivada covariante.
* **Xeometría diferencial y física**: 
**Xeometría riemanniana 
**Teoría de gauge 
**tensor de combadura 
**Relatividá

* **Árees de Matemátiques rellacionaes**
*Álxebra, Álxebra multilineal
*Cálculu infinitesimal
*Variable complexa
*Ecuaciones diferenciales
*Analís funcional, *Xeometría analítica, 
Xeometría alxebraica, Xeometría simpléctica
*teoría de categoríes

## Referencies

## Enllaces esternos
* Cursu avanzáu de xeometría diferencial , por Álvaro Tejero Cantero y Marta Balbás Gambra (con llicencia llibre)
Espaciu bidimensional

**Espaciu bidimensional** ye un módulu xeométricu de la proyeición plana y física del universu onde vivimos. Tien dos dimensiones, por casu, anchu y llargu, pero non fondura (que solo s'utiliza na tridimensionalidad). Los planos son bidimensionales, y namái pueden contener cuerpos unidimensionales o bidimensionales.

## Exemplos
* Tolos polígonos:
** Triángulu
** Cuadráu, rectángulu, rombu, trapeciu, trapezoide
** Pentágonu
** Hexágonu
* Otros:
** Círculos 
** Elipses
** Cualquier figura contenida nun planu
** Cintes (como la Cinta de Möbius)
** Fueya 
** Etcétera

## Sistemes bidimensionales en ciencies naturales
Na química puede falase d'un sistema bidimensional si l'enllaz ye especialmente fuerte en dos dimensiones, y más débil na tercera, como nel casu del grafitu. Igualmente, en lletricidá, un conductor considérase bidimensional si ye práuticamente aislante nuna de les direiciones del espaciu, y el so conductividá ye enforma mayor nes otres dos.

## Metáfores bidimensionales pa sistemes tridimensionales
En papel (superficie bidimensional) ye posible representar oxetos o paisaxes tridimensionales. Nes pantalles d'ordenador tamién se fai. Pa esto, úsase la perspeutiva, ente otros mecanismos.

## Ver tamién
* Tridimensional
* Computación gráfica 2D
* Área
* Xeometría descriptiva

## Referencies

## Enllaces esternos
Xeometría de Riemann

En xeometría diferencial, la **xeometría de Riemann** ye l'estudiu de les variedaes diferenciales con métriques de Riemann; ye dicir d'una aplicación qu'a cada puntu de la variedá, asígna-y una forma cuadrática definida positiva na so espacio tangente, aplicación que varia selemente d'un puntu a otru. Esto da idees locales de (ente otres magnitúes) ángulu, llargor de curves, y volume. A partir d'éstes, pueden llograse otres magnitúes por integración de les magnitúes locales. 

Foi propuesta per primer vegada de forma xeneral por Bernhard Riemann nel sieglu XIX. Como casos especiales particulares apaecen los dos tipos convencionales (xeometría elíptica y xeometría hiperbólica) de xeometría Non-Euclidiana, según la xeometría euclidiana mesma. Toes estes xeometríes traten sobre la mesma base, al igual qu'una amplia gama de les xeometríes con propiedaes métriques que varien de puntu a puntu. 

Cualquier variedá diferenciable almite una métrica de Riemann y esta estructura adicional ayuda de cutiu a solucionar problemes de topoloxía diferencial. Tamién sirve como un nivel d'entrada pa la estructura más complicada de les variedaes pseudo-Riemann, que (nel casu particular de tener dimensión 4) son los oxetos principales de la teoría de la relatividá xeneral. 

Nun hai introducción fácil a la xeometría de Riemann. Los artículos siguientes pueden sirvir como introducción:
# Tensor métricu 
# Variedá de Riemann 
# Conexón de Levi-Civita 
# Combadura 
# Tensor de combadura.

## Teoremes clásicos na xeometría de Riemann
Lo que sigue ye una llista nun completa de los teoremes más clásicos de la xeometría de Riemann. La eleición faise dependiendo de la so guapura, de la importancia y simplicidá de la formulación.

### Teoremes xenerales
# **[[Teorema de Gauss-Bonnet]]** La integral de la combadura de Gauss nuna variedá de Riemann compacta de 2 dimensiones ye igual a 2\pi\chi(M), equí \chi(M) denota la carauterística de Euler de *M*. 
# **[[Teorema d'inmersión de Nash]]** tamién llamáu **Teorema Fundamental de la xeometría de Riemann**. Indiquen que cada variedá de Riemann pue ser isométricamente somorguiada nun espaciu euclidianu **R***n*.

## Ver tamién
* Glosariu de la xeometría de Riemann

## Referencies

## Enllaces esternos
*
Homotopía

En topoloxía, y más precisamente en topoloxía alxebraica, dos aplicaciones continues d'un espaciu topolóxicu n'otru dícense **homotópicas** (del griegu *homos* = mesmu y *topos* = llugar) si una d'elles puede "deformarse de cutio" na otra.

## Definición formal

Dos aplicaciones continues f,g:X\to Y dícense homotópicas si esiste otra aplicación (continua tamién) H:X\times [0,1]\to Y tal que:

:H(x,0)=f(x) \,
:H(x,1)=g(x) \,

Un exemplu importante son les distintes clases (homotópicas) de mapeos del círculu a un espaciu X
:S^1\to X \,
la estructura resultante ye'l perimportante grupu fundamental.

* Si dos aplicaciones f y g son homotópicas, escríbese f ≃ g; lo que significa esta rellación ye efeutivamente una rellación d'equivalencia sobre'l conxuntu d'aplicaciones continues de de X en Y, Les clases d'equivalencia denominar *clases de homotopía* d'aplicaciones.

## Tipu homotópico

Dizse que dos espacios *X*, *Y* tienen el mesmu **tipu homotópico**, si esiste un par d'aplicaciones X\stackrel{f}\to Y y Y\stackrel{g}\to X tales que g\circ f y f\circ g son homotópicos a Id_X y Id_Y respeutivamente.

Suel ser utilizáu'l símbolu: f\simeq g, pa indicar que los oxetos *f* y *g* son **homotópicos**.

Como exemplos, una 1-esfera y un toru sólidu tienen el mesmu tipu homotópico. Un espaciu topolóxicu que tien el mesmu tipu homotópico qu'un conxuntu unitariu dizse contractible.

## Referencies

## Lliteratura del casu
* 
* 

## Enllaces esternos
Matemátiques aplicaes

Les **matemátiques aplicaes** son aquellos métodos y ferramientes matemátiques que pueden ser utilizaos nel analís o resolución de problemes pertenecientes al área de les ciencies básiques o aplicaes como'l cálculu, el álxebra llinial, les ecuaciones diferenciales, ente otres.

Munchos métodos matemáticos resultaron efectivos nel estudiu de problemes en física, química, bioloxía, inxeniería, medicina, ciencies sociales, informática, economía, finances o ecoloxía.

Sicasí, una posible diferencia ye qu'en matemátiques aplicaes procúrase'l desenvolvimientu de les matemátiques "escontra fuera", ye dicir la so aplicación o tresferencia escontra'l restu de les árees. Y en menor grau "escontra dientro" esto ye, escontra'l desenvolvimientu de les matemátiques mesmes. Esti postreru sería'l casu de les matemátiques pures o matemátiques elementales.

Les matemátiques aplicaes usar con frecuencia en distintes árees teunolóxiques para modeláu, simulación y optimización de procesos o fenómenos, como'l túnel de vientu o'l diseñu d'esperimentos.

Nes últimes décades, una de les aplicaciones más direutes de la matemática tales como: álxebra llinial, xeometría plana y del espaciu, cálculu y física fueron un fundamentu pal desenvolvimientu de simuladores y videoxuegos en 3D.

## Árees de les matemátiques con frecuentes aplicaciones
* Cálculu diferencial, integral y numbéricu
* Álxebra llinial
* Analís complexu / variable complexa
* Analís funcional
* Analís de Fourier
* Ecuaciones diferenciales
* Estadística matemática
* Investigación d'operaciones
* Matemática discreta
* Optimización
* Sistemes dinámicos
* Teoría de control
* Teoría de probabilidá

Inclúyense como parte central de les matemátiques aplicaes el analís numbéricu y la computación científica.

## Referencies

## Enllaces esternos
* Sociedá Española de Matemática Aplicada
* International Council for Industrial and Applied Mathematics (n'inglés)
* Páxina de matemátiques de Chile
Teorema de Bayes

El **teorema de Bayes**, na teoría de la probabilidá, ye una proposición plantegada pol filósofu inglés Thomas Bayes (1702-1761) en 1760, qu'espresa la probabilidá condicional d'un eventu aleatoriu *A* dau *B* en términos de la distribución de probabilidá condicional del eventu *B* dau *A* y la distribución de probabilidá marxinal de namái *A*.

En términos más xenerales y menos matemáticos, el teorema de Bayes ye d'enorme relevancia yá que venceya la probabilidá d'A dau B cola probabilidá de B dau A. Esto ye, por casu, que sabiendo la probabilidá de tener un dolor de cabeza yá que se tien gripe, podría sabese (si tiense dalgún datu más), la probabilidá de tener gripe si tiense un dolor de cabeza. Amuesa esti senciellu exemplu l'alta relevancia del teorema en cuestión pa la ciencia en toles sos cañes, yá que tien vinculación íntima cola comprensión de la probabilidá d'aspeutos causales daos los efeutos reparaos.

## Fórmula de Bayes

Con base na definición de Probabilidá condicionada llógrase la Fórmula de Bayes, tamién conocida como la Regla de Bayes:

Esta fórmula déxanos calcular la probabilidá condicional P(A_i|B) de cualesquier de los eventos P(A_i), dau B. La fórmula [1] "anició munches especulaciones filosófiques y discutinios".

## Aplicaciones

El teorema de Bayes ye válidu en toles aplicaciones de la teoría de la probabilidá. Sicasí, hai un discutiniu sobre'l tipu de probabilidaes qu'emplega. N'esencia, los siguidores de la estadística tradicional namái almiten probabilidaes basaes n'esperimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica ente que los llamaos estadísticos bayesianos dexen probabilidaes suxetives. El teorema puede sirvir entós pa indicar cómo tenemos de modificar les nueses probabilidaes suxetives cuando recibimos información adicional d'un esperimentu. La estadística bayesiana ta demostrando la so utilidá en ciertes estimaciones basaes na conocencia suxetiva a priori y el fechu de dexar revisar eses estimaciones en función de la evidencia empírica ye lo que ta abriendo nueves formes de faer conocencia. Una aplicación d'esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usaos en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que s'afaen col usu. Otra aplicación atópase na fusión de datos, combinando información espresada en términos de densidá de probabilidá proveniente de distintos sensores.

Como observación, tiense \sum_{i=1}^{n}P(A_i |B)=1 y la so demostración resulta trivial.

Como aplicaciones puntuales:
# El diagnósticu de cáncer.
# Evaluación de probabilidaes mientres el desenvolvimientu d'un xuegu de bridge por Dan F. Waugh y Frederick V. Waugh.
# Probabilidaes a priori y a posteriori.
# Un usu revesosu na Llei de socesión de Laplace.
# Nel testeo d'hipótesis en Ciencia Política cuando s'usa metodoloxía *process tracing*. 

## Ver tamién
* Paradoxa del cuervu
* Inferencia bayesiana

## Enllaces esternos
* Calculadora n'internet
* Inferencia estadística según el modelu bayesiano, na web de la Sociedá Andaluza d'Enfermedaes Infeicioses
* Enciclopedia Stanford de filosofía
* Simulación del Teorema de Bayes con R-Project

## Referencies
Distribución esponencial

En estadística la **distribución esponencial** ye una distribución de probabilidá continua con un parámetru \lambda > 0 que la so función de densidá ye:

El so función de distribución acumulada ye:

Onde y representa'l númberu e.

El valor esperáu y la varianza d'una variable aleatoria X con distribución esponencial son:

La distribución esponencial ye un casu particular de distribución gamma con *k* = 1. Amás la suma de variables aleatories que siguen una mesma distribución esponencial ye una variable aleatoria expresable en términos de la distribución gamma.

## Ejemplo
Ejemplo pa la distribución esponencial ye la distribución del llargor de los intervalos d'una variable continua que trescurren ente dos sucesos, que se distribúin según la distribución de Poisson.

* El tiempu trescurríu nun centro de llamaes hasta recibir la primer llamada del día podría modelase como una esponencial.
* L'intervalu de tiempu ente terremotos (d'una determinada magnitú) sigue una distribución esponencial.
* Supongamos una máquina que produz filo d'alambre, la cantidá de metros d'alambre hasta atopar una falla nel alambre podría modelase como una esponencial.
* En fiabilidá de sistemes, un dispositivu con tasa de fallu constante sigue una distribución esponencial.

## Calcular variables aleatories
Pueden calculase una variable aleatoria de distribución esponencial x per mediu d'una variable aleatoria de distribución uniforme o=O(0,1):

o, yá que (1-o) ye tamién una variable aleatoria con distribución O(0,1), puede utilizase la versión más eficiente:

## Rellaciones

La suma de k variables aleatories independientes de distribución esponencial con parámetru \lambda ye una variable aleatoria de distribución de Erlang.

## Aplicación

Na hidroloxía, la distribución esponencial emplegar p'analizar variables aleatories estremos de variables como máximos mensuales y añales de la precipitación diaria.

*La imaxe azul ilustra un exemplu d'axuste de la distribución esponencial a agües máximes diaries añales ordenaes, amosando tambien la franxa de 90% d'enfotu, basada na distribución binomial. Les observaciones presenten los marcadores de posición, como parte del analís de frecuencia acumulada.

## Ver tamién
* Procesu de Poisson
* Distribución Poisson

## Software
Puede usase software y un programa d'ordenador pal axuste d'una distribución de probabilidá, incluyendo la esponencial, a una serie de datos:
* Easy fit , "data analysis & simulation"
* 
* ModelRisk, "risk modelling software"
* Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
* Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
* StatSoft distribution fitting
* CumFreq http://www.waterlog.info/cumfreq.htm , llibre ensin costu, inclúi intervalo d'enfotu a base de la distribución binomial

## Referencies

## Enllaces esternos
* Calculadora Distribución esponencial
* http://cajael.com/mestadisticos/T7DContinuas/node20.php Calcular la probabilidá d'una distribución esponencial con R (llinguaxe de programación)
Distribución uniforme discreta

En teoría de la probabilidá, la **distribución uniforme discreta** ye una distribución de probabilidá qu'asume un númberu finito de valores cola mesma probabilidá.

## Propiedaes

Si la distribución asume los valores reales x_1, x_2\ldots x_n \,\!, la so función de probabilidá ye

:p(x_i)=\frac{1}{n} \,\!

y el so función de distribución la función gradiada

:F(x)=\frac{1}{n} \sum_i 1_{(-\infty,x]}(x_i)\,\!.

El so media estadística ye

: \mu=\frac{1}{n} \sum_{i}^{n} x_{i} \,\!

y el so varianza

:\sigma^2= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\mu)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i}^{2}) - \mu^{2} \,\!

## Exemplos
* Pa un dadu perfectu, toles resultaos tienen la mesma probabilidá 1/6.
* Pa una moneda perfecta, toles resultaos tienen la mesma probabilidá 1/2.

## Ver tamién
* Distribución uniforme (continua)
* distribución normal
* Distribución de probabilidá

## Referencies

## Enllaces esternos
Espaciu probabilísticu

En teoría de probabilidaes, un **espaciu probabilístico** o **espaciu de probabilidá** ye un conceutu matemáticu que sirve pa modelizar un ciertu esperimentu aleatoriu.

Polo xeneral un **espaciu probabilístico** (\Omega , \mathcal B , P ) ta integráu por trés componentes. Primero, el conxuntu \Omega (llamáu espaciu muestral) de los posibles resultaos del esperimentu, llamaos sucesos elementales. Segundu, pola coleición \scriptstyle \mathcal{B} de tolos sucesos aleatorios (non solo los elementales), que ye una σ-álxebra sobre \Omega. El par (\Omega , \mathcal B) ye lo que se conoz como un espaciu de midida. A lo último, una midida de probabilidá o *función de probabilidá* P\, qu'asigna una probabilidá a tou sucesu y que verifica los llamaos *axomes de Kolmogórov*:

1. Certidume de la presentación de Ω nel esperimentu estocástico

P (\Omega) = 1\,

2. La probabilidá d'un sucesu A ye un númberu entendíu ente 0 y 1

0 \leq P (A) \leq 1\,

3. La probabilidá de la presentación d'unu de los sucesos indicaos, ye igual a la suma de les probabilidaes de cada unu d'esos sucesos, siempres que se trate de sucesos mutuamente escluyentes

P (\cup_{i=1}^{n} Y_i) = P (Y_1) + P(Y_2) + \cdots + P(Y_n) 

pa tou conxuntu Y_1, Y_2, \cdots Y_n de sucesos dixuntos, esto ye, tales que:
Y_i \cap Y_j = \emptyset pa tou i \not= j\,

A partir de tal sistema d'axomes deduzse:

P (\emptyset) = 1 - P (\Omega) = 0\,

Ye dicir que la probabilidá de que se presente'l conxuntu vacíu \emptyset ye 0.

El conceutu d'espaciu probabilístico foi introducíu na teoría de la probabilidá, por Andréi Kolmogórov en 1933.

## Referencies

*Dagum, Camilo y Cercu M. Bee de Dagum(1971) *Introducción a la Econometría*: 76-77. Méxicu: Sieglu XXI editores, séptima edición, 1980. 
*Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich (1950) ''Foundations of the Theory of Probability''. New York: Chelsea Publishin Company, second english edition, 1956. 
*Kolmogórov, Andréi Nikoláyevich (1933) "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung"; *Ergebnisse der Mathematik*, Berlin. (n'alemán)
Teoría del control

La **teoría del control** ye un campu interdisciplinario de la inxeniería y les matemátiques, que trata col comportamientu de sistemes dinámicos. A la entrada d'un sistema llámase-y *referencia*. Cuando una o más variables de salida d'un sistema precisen siguir cierta referencia sobre'l tiempu, un controlador manipolia la entrada al sistema pa llograr l'efeutu deseyáu na salida del sistema (realimentación).
La realimentación puede ser negativa (regulación autocompensatoria) o positiva (efeutu "bola de nieve" o "círculu viciosu"). Ye de gran importancia nel estudiu de la ecoloxía trófica y de poblaciones.

## Llectures imprescindibles
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

### Pa Inxeniería Química
* 

## Ver tamién
* automatismu
* cibernética
Teoría de númberos alxebraicos

La **teoría de númberos alxebraicos** o **teoría alxebraica de númberos** ye una caña de la teoría de los númberos na cual el conceutu de númberu espandir a los númberos alxebraicos, que son les raigaños de los polinomios con coeficientes racionales.

Un campu de númberos alxebraicu ye una estensión finita (alxebraica) del campu de los númberos racionales. El aniellu d'enteros d'un campu de númberos alxebraicu ye'l conxuntu de los enteros en dichu campu, esto ye, el subconxuntu del campu que consta de los elementos que son raigaños de polinomios con coeficientes enteros.

Puede vese, y tratar, a un campu de númberos alxebraicu como un análogu de los racionales, y al so aniellu d'enteros como un análogu de los enteros. Agora bien, l'analoxía nun ye perfecta: dalgunes de les propiedaes familiares de los racionales y los enteros nun se caltienen, por casu, la factorización única. (La teoría d'ideales suple en parte la falta de factorización única.)

Los campos de númberos alxebraicos, según los campos de funciones, son llamaos campos globales. Gran parte de la teoría puede desenvolvese de manera paralela pa dambos tipos d'oxetos. La llocalización consiste nel pasaxe d'un campu global a un campu llocal: nel casu de los campos de funciones, esti procedimientu consiste a cencielles en dirixir la mirada a un puntu en particular de la superficie o variedá estudiada, y concentrase en cómo les funciones portar na so vecindá inmediata.

## Referencies

### Testos introductorios

* Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
* Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002

### Testos entemedios

* Daniel A. Marcus, "Number Fields"

### Referencies avanzaes
*
*
*
Cuerpu de númberos alxebraicos

En matemática, un **cuerpu de númberos alxebraicos** (o a cencielles **cuerpu numbéricu**) *F* ye una estensión de cuerpos finita (y tamién alxebraica) de los númberos racionales **Q**. Con éses *F* ye un cuerpu que contién **Q** y tien dimensión finita cuando ye consideráu como un espaciu vectorial sobre **Q**.

L'estudiu de los cuerpos de númberos alxebraicos, y, más xeneralmente, de les estensiones alxebraiques de los númberos racionales, ye la tema central de la teoría de númberos alxebraicos.

## Definición
### Prerrequisitos

La noción de cuerpu de los númberos alxebraicos basar nel conceutu d'un cuerpu. Los cuerpos consisten nun conxuntu d'elementos, xunto colos cuatro operaciones principales, definíes como adición, substracción, multiplicación y división por elementos distintos de 0. Un exemplu bien común de cuerpu ye'l cuerpu de los númberos racionales, comúnmente denotados por **Q**, xunto coles sos operaciones avezaes de suma, etc.

Otra noción necesaria pa definir los cuerpos de los númberos alxebraicos ye'l d'espaciu vectorial. Na midida necesaria, los espacios vectoriales pueden ser consideraos como secuencies (o tuples) 
:(*x*1, *x*2, ...) 
que les sos partes constituyentes son elementos d'un cuerpu fitu, como pue ser el cuerpu **Q**. Cualquier par d'estes secuencies puede ser sumada por aciu la suma de les partes constituyentes una a una. Amás, cualesquier d'estes secuencies puede ser multiplicada por un elementu *c* d'un cuerpu fitu. Estos dos operaciones son conocíes como suma de vectores y multiplicación esguilar satisfaciendo un númberu de propiedaes que sirven pa definir los espacios vectoriales abstractamente. Los espacios vectoriales tamién pueden ser de dimensión infinita», o lo que ye lo mesmo, que les secuencies constituyentes d'estos espacios vectoriales tienen llargor infinitu. Sicasí, si l'espaciu vectorial consiste nun grupu de *secuencies finitas*
:(*x*1, *x*2, ..., *x**n*), l'espaciu vectorial
dizse que tien una dimensión finita, *n*.

### Definición

Un **cuerpu de númberos alxebraicos** (o a cencielles **cuerpu numbéricu**) ye por definición un grau finito d'estensión de cuerpos del cuerpu de los númberos racionales. esti grau d'estensión de **Q** ye a cencielles llamáu como **grau**.

## Referencies

* 
* Serge Lang, *Algebraic Number Theory*, second edition, Springer, 2000
* Richard A. Mollin, *Algebraic Number Theory*, CRC, 1999
* Ram Murty, *Problems in Algebraic Number Theory*, Second Edition, Springer, 2005
* 
* 
*
* Andre Weil, *Basic Number Theory*, third edition, Springer, 1995
Teoría de cuerpos de clases

En matemátiques, la **teoría de cuerpos de clases** ye una caña esencial de la teoría de númberos alxebraicos que tien por oxetu la clasificación de les estensiones abelianas, o yá sía, les galoisianas y grupos de Galois comutativos, d'un cuerpu dau. Más precisamente, trata la manera de describir y construyir estes estensiones en términos de propiedaes aritmétiques del propiu cuerpu básicu.

## Descripción xeneral

Tradicionalmente entendía l'estudiu de les estensiones abelianas, esto ye, de les estensiones de Galois que'l so grupu de Galois ye abelianu, pa esti casu la teoría desenvolver mientres 1850-1930. Nel casu de les estensiones non abelianas, les primeres resultancies importantes empezaron a llograse hai 25 años y formen parte del programa de Langlands. 

Gran parte de la investigación nel casu abelianu centrar nel famosu Jugendtraum de Kronecker, esto ye, el deséu d'atopar funciones capaces de xenerar la estensión abeliana maximal pa cada cuerpu numbéricu. (Si'l campu ye **Q**, les funciones xeneradores son les funciones ciclotómicas exp(iσ).)

Sía K un cuerpu numbéricu. El grupu de Galois de la estensión abeliana maximal ye un grupu topolóxicu compactu abelianu de grau infinitu sobre K. Kronecker demostró que, cuando K ye'l cuerpu de los númberos racionales, esti grupu ye un productu infinitu del grupu aditivu de los enteros p-ádicos tomáu sobremanera númberu primu *p*, y de un productu infinitu de grupos cíclicos finitos. La xeneralización d'esti teorema foi resultáu d'un gran proyeutu históricu qu'incluyó a les formes cuadráticas y la so teoría de xéneru, les lleis de reciprocidá, la teoría d'ideales, estensiones ciclotómicas y de Kummer.

Empecipiando cola tesis de Tate nos años cincuenta, tolos resultaos fueron reescritos en téminos de la cohomología de grupos. Dempués hubo un periodu de quiescencia que foi sópito atayáu nos sesentas poles conxetures de Langlands.

## Referencies
* Georges Gras, *Class Field Theory: From Theory to Practice*
* Jürgen Neukirch, *Algebraic number theory*

## Referencies

## Enllaces esternos
*. Carlos Ivorra Castillo - Universidá de Valencia.
*Teoría de cuerpos de clases. Tesis de Llicenciatura de Lucio Guerberoff.
Estudiu observacional

Los **estudios observacionales** son estudios de calter estadísticu y demográficos, yá sían de tipu sociolóxicu o biolóxicu -estudios epidemiolóxicos- nos que nun hai intervención por parte del investigador, y ésti llindar a midir les variables que define nel estudiu. 

Un estudiu observacional pue ser descriptivu o analíticu.

## Tipos d'estudios observacionales
Los estudios epidemiolóxicos o observacionales pueden ser de dos tipos, dependiendo del momentu en que se lleven a cabu y de la información disponible en cada casu:

# **[[Estudios llonxitudinales]]**: Desenvolver mientres un "periodu" definíu de tiempu y suponen trabayar con dos bloques d'información relativos a la mesma población, la esistente al empiezu del periodu n'estudiu y l'esistente a la fin d'esi periodu (p.e. estudios d'historia demográfica y biométrica, fecundidá, mortalidá...). Estos pueden ser de la mesma:
::* Estudiu caso control: Son "retrospectivos".
::* Estudiu de cohorte: Son de calter "prospectivu".
# **[[Estudios tresversales]]**: Desenvolver nun "momentu" concretu del tiempu. Son los estudios de prevalencia. (p.e. pirámides de población)

## Ventayes de los estudios observacionales
Los estudios observacionales, #
Son más práuticos y facederos de realizar una y bones la cooperación de los suxetos ye menos necesaria #
Les sos resultaos son más generalizables a poblaciones xeográfica o demográficamente definíes, lo que dexa qu'esti tipu d'estudios sían apropiaos pa establecer metes de salú pública empobinaes a una determinada aición.

## Inconveniente de los estudios observacionales
# Escasu control de les influencies de los factores de tracamundiu sobre los resultaos del estudiu.
# Por cuenta de la falta de control por parte del investigador, cada estudiu observacional tiende a ser únicu, siendo bien difícil reproducir los resultaos por otru investigador.

## Ver tamién
* Estudiu llonxitudinal
* Revolución reproductiva
* Estudiu tresversal
* Pirámide de población

## Referencies

## Enllaces esternos
Población estadística

La **población**, n'estadística, ye'l conxuntu d'individuos, oxetos o fenómenos de los cualos deseyar estudiar una o delles carauterístiques.

## Población estadística
N'estadística, una población ye un conxuntu de suxetos, individuos, elementos o eventos con determinaes carauterístiques. De cutiu llógrase una muestra de dicha población, ye dicir, un subconxuntu representativu. Depués de realizar un analís estadísticu a la muestra, los resultaos estrapólense al restu de la población (inferencia estadística).
La estadística ye comúnmente considerada como una coleición de fechos numbéricos espresaos en términos d'una rellación sumisa, y que fueron arrexuntaos a partir d'otros datos numbéricos.
Kendall y Buckland (citaos por Gini V. Glas / Julian C. Stanley, 1980) definen la estadística como un valor resumíu, calculáu, como base nuna muestra d'observaciones que xeneralmente, anque non por necesidá, considérase como una estimación de parámetru de determinada población; esto ye, una función de valores de muestra.

## Referencies

## Enllaces esternos