Llei de los gases ideales

La **llei de los gases ideales** ye la ecuación d'estáu del gas ideal, un gas hipotético formáu por partícules puntuales ensin atraición nin repulsión ente elles y que los sos choques son perfectamente elásticos (caltenimientu pel momento y enerxía cinética). La enerxía cinética ye direutamente proporcional a la temperatura nun gas ideal. Los gases reales que más s'averen al comportamientu del gas ideal son los gases monoatómicos en condiciones de baxa presión y alta temperatura.

En 1648, el químicu Jan Baptista van Helmont creó'l vocablu gas, a partir del términu griegu kaos (desorde) pa definir les xénesis carauterístiques del anhídridu carbónico. Esta denominación estendióse depués a tolos cuerpos gaseosos y utilízase pa designar unu de los estaos de la materia.

La presión exercida por una fuercia física ye inversamente proporcional al volume d'una masa gaseoso, siempres y cuando la so temperatura caltenga constante. 
o en términos más senciellos:

A temperatura constante, el volume d'una masa fixo de gas ye inversamente proporcional a la presión qu'este exerz.
Matemáticamente puede espresase asina:
: PV = k

onde k ye constante si la temperatura y la masa del gas permanecen constantes.

Cuando aumenta la presión, el volume baxo, ente que si la presión mengua'l volume aumenta. Nun ye necesariu conocer el valor exactu de la constante k pa poder faer usu de la llei: si consideramos los dos situaciones de la figura, calteniendo constante la cantidá de gas y la temperatura, tendrá de cumplise la rellación:
: 
 P_1V_1 = P_2V_2 \, .

Les primeres lleis de los gases fueron desenvueltos dende finales del sieglu XVII, aparentemente de manera independiente por August Krönig en 1856 y Rudolf Clausius en 1857. La constante universal de los gases afayóse ya introducióse per primer vegada na llei de los gases ideales en llugar d'un gran númberu de constantes de gases específiques descrites por Dmitri Mendeleev en 1874.

Nesti sieglu, los científicos empezaron a dase cuenta de que nes rellaciones ente la presión, el volume y la temperatura d'una muestra de gas, nun sistema zarráu, podría llograse una fórmula que sería válida pa tolos gases. Estos pórtense de forma similar nuna amplia variedá de condiciones por cuenta del bonu aproximamientu que tienen les molécules que s'atopen más separaes, y anguaño la ecuación d'estáu pa un gas ideal derivar de la teoría cinética. Agora les lleis anteriores de los gases considérense como casos especiales de la ecuación del gas ideal, con una o más de les variables calteníes constantes.

Empíricamente, reparar una serie de rellaciones proporcionales ente la temperatura, la presión y el volume que dan llugar a la llei de los gases ideales, deducida per primer vegada por Émile Clapeyron en 1834 como una combinación de la llei de Boyle y la llei de Charles.

## La ecuación d'estáu
El Función d'estáu tao d'una cantidá de gas determinar pola so presión, volume y temperatura. La forma moderna de la ecuación rellaciona estos a cencielles en dos formes principales. La temperatura utilizada na ecuación d'estáu ye una temperatura absoluta: nel sistema SI d'unidaes, kelvin, nel sistema imperial, graos Rankine.

### Forma común
La ecuación que describe de normal la rellación ente la presión, el volume, la temperatura y la cantidá (en moles) d'un gas ideal ye:

:PV = nRT 

Onde:
*P\! = Presión absoluta
*V\! = Volume
*n\! = Moles de gas
*R\! = Constante universal de los gases ideales
*T\! = Temperatura absoluta

### Teoría cinética molecular

Esta teoría foi desenvuelta por Ludwig Boltzmann y Maxwell. Indícanos les propiedaes d'un gas **ideal** a nivel molecular.

* Tou gas ideal ta formáu por *N* pequeñes partícules puntuales (átomos o molécules).
* Les molécules gaseoses mover a altes velocidaes, en forma recta y desordenada.
* Un gas ideal exerz una presión continua sobre les parés del recipiente que lu contién, por cuenta de los choques de les partícules coles parés d'este.
* Los choques moleculares son perfectamente elásticos. Nun hai perda d'enerxía cinética.
* Nun se tienen en cuenta les interacciones d'atraición y repulsión molecular.
* La enerxía cinética media de la tresllación d'una molécula ye direutamente proporcional a la temperatura absoluta del gas.

Nestes circunstancies, la ecuación de los gases atópase teóricamente:
: 
 P V =
 N \kappa_{B} T \;


onde \kappa_B ye la constante de Boltzmann, onde N ye'l númberu de partícules.

## La ecuación d'estáu pa gases reales

Faciendo una correición a la ecuación d'estáu d'un gas ideal, esto ye, tomando en cuenta les fuercies intermoleculares y volúmenes intermoleculares finitos, llógrase la ecuación pa gases reales, tamién llamada ecuación de Van der Waals:
: 
 \left (
 P + \frac{an^2}{V^2}
 \right )
 (V - nb) =
 nRT


Onde:
* P\! = Presión del gas
* V\! = Volume del gas
* n\! = Númberu de moles de gas
* R\! = constante de gases
* T\! = Temperatura del gas
* a\! y b\! son constantes determinaes pola naturaleza del gas con cuenta d'haya la mayor congruencia posible ente la ecuación de los gases reales y el comportamientu reparáu esperimentalmente.

## Ecuación xeneral de los gases ideales

Partiendo de la ecuación d'estáu:
: PV = nRT

Tenemos que:
: \frac{PV }{nT} = R

Onde R ye la constante universal de los gases ideales, depués pa dos estaos del mesmu gas, 1 y 2:
: \frac{P_1 V_1 }{n_1 T_1} =
 \frac{P_2 V_2 }{n_2 T_2} =
 R


Pa una mesma masa gaseoso (poro, el númberu de moles «*n*» ye constante), podemos afirmar qu'esiste una constante direutamente proporcional a la presión y volume del gas, ya inversamente proporcional al so temperatura. 

El productu PV ye direutamente proporcional a la temperatura del gas y si T ye constante, P y V son inversamente proporcionales. 

: 

 \left .
 \begin{array}{l}
 \cfrac{P_1 V_1}{T_1 n_1}=
 \cfrac{P_2 V_2}{T_2 n_2} \\
 \; \\
 n = \rm{Constante}
 \end{array}
 \right \}
 \longrightarrow
 \cfrac{P_1 V_1}{T_1} =
 \cfrac{P_2 V_2}{T_2}


## Procesos gaseosos particulares
Procesos realizaos calteniendo constante un par de los sos cuatro variables (n, P, V, T), de forma que queden dos; una llibre y otra dependiente.
D'esta miente, la fórmula enriba espuesta pa los estaos 1 y 2, pue ser operada simplificando 2 o más parámetros constantes. Según cada casu, reciben los nomes:

### Llei de Boyle-Mariotte

Tamién llamáu procesu isotérmico. Afirma que, a temperatura y cantidá de gas constante, la presión d'un gas ye inversamente proporcional al so volume:
: 
 \left .
 \begin{array}{l}
 \cfrac{P_1 \cdot V_1}{T_1 \cdot n_1}=\cfrac{P_2 \cdot V_2}{T_2 \cdot n_2} \\
 \; \\
 n = \rm{Constante} \\
 T = \rm{Constante}
 \end{array}
 \right \}
 \longrightarrow
 P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2


### Lleis de Charles y Gay-Lussac
En 1802, Louis Gay Lussac publica los resultaos de los sos esperimentos, basaos nos que Jacques Charles fixo en 1787. Considérase asina al procesu isobárico pa la Llei de Charles, y al isocoro (o isostérico) pa la llei de Gay Lussac.

#### Procesu isobárico (Charles)

: 
 \left .
 \begin{array}{l}
 \cfrac{P_1 \cdot V_1}{T_1 \cdot n_1}=\cfrac{P_2 \cdot V_2}{T_2 \cdot n_2} \\
 \; \\
 n = \rm{Constante} \\
 P = \rm{Constante}
 \end{array}
 \right \}
 \longrightarrow
 \cfrac{V_1}{T_1}= \cfrac{V_2}{T_2}


#### Procesu isocoro ( Gay Lussac)

: 
 \left .
 \begin{array}{l}
 \cfrac{P_1 \cdot V_1}{T_1 \cdot n_1}=\cfrac{P_2 \cdot V_2}{T_2 \cdot n_2} \\
 \; \\
 n = \rm{Constante} \\
 V = \rm{Constante}
 \end{array}
 \right \}
 \longrightarrow
 \cfrac{P_1}{T_1}= \cfrac{P_2}{T_2}


### Principiu de Avogadro

El principiu de Avogadro foi espuesta por Amedeo Avogadro en 1811 y complementaba a les de Boyle, Charles y Gay-Lussac. Asegura que nun procesu a presión y temperatura constante (isobaro y isotermo), el volume de cualquier gas ye proporcional al númberu de moles presente, talmente que:
: 
 \left .
 \begin{array}{l}
 \cfrac{P_1 \cdot V_1}{T_1 \cdot n_1}=\cfrac{P_2 \cdot V_2}{T_2 \cdot n_2} \\
 \; \\
 T = \rm{Constante} \\
 P = \rm{Constante}
 \end{array}
 \right \}
 \longrightarrow
 \cfrac{V_1}{n_1}=\cfrac{V_2}{n_2}


Esta ecuación ye válida inclusive pa gases ideales distintos. Una forma alternativa d'enunciar esta llei ye:

## Formes alternatives
Como la cantidá de sustancia podría ser dada en masa en llugar de moles, dacuando ye útil una forma alternativa de la llei del gas ideal. El númberu de moles (*n*) ye igual a la masa (*m*) estremáu pola masa molar (*M*): 
: 
 n = {\frac{m}{M}}


y sustituyendo  n \, , llogramos:
: 
 PV = \frac{m}{M}RT


onde:
: 
 P = \rho \frac{R}{M}T


D'esta forma, la llei del gas ideal ye bien útil porque se venceya la presión, la densidá *ρ* = *m*/ *V*, y la temperatura nuna fórmula única, independiente de la cantidá del gas considerao. 
 
En mecánica estadística les ecuaciones moleculares siguientes derivar de los principios básicos: 
: \ PV = NkT.  

Equí *k* ye'l constante de Boltzmann y *N* ye'l *númberu real* de molécules, a diferencia de la otra fórmula, qu'utiliza *n*, el númberu de moles. Esta rellación implica que *Nk* = *nR*, y la coherencia d'esta resultancia col esperimentu ye una bona comprobación nos principios de la mecánica estadística. 

Dende equí podemos reparar que por que una masa de la partícula permediu de *μ* vegaes la constante de masa atómico 
*m*  O  (esto ye, la masa ye *μ* O) 
: 
 N = \frac{m}{\mu m_\mathrm{o}}


y dende *ρ* = *m*/* V*, atopamos con que la llei del gas ideal puede escribise como: 
: 
 P =
 \frac {1}{V} \frac {m}{\mu \; m_o} k T =
 \rho\frac {k}{\mu \; m_o} T


## Derivaciones
### Empíriques
La llei de gases ideales puede derivase de la combinación de dos lleis de gases empíriques: la llei xeneral de los gases y la llei de Avogadro. 

:\frac{PV}{T}= K 

onde *K* ye una constante que ye direutamente proporcional a la cantidá de gas, *n* (llei de Avogadro). El factor de proporcionalidad ye la constante universal de gases, *R*, i.e. *K* = *nR*.

D'ende que la llei de los gases ideales
: PV = nRT \,

### Teóriques
La llei del gas ideal tamién puede derivase de los primeros principios utilizando la teoría cinética de los gases, nel que se realicen dellos supuestos simplificadores, ente los que les molécules o átomos del gas son mases puntuales, tienen masa pero non volume significativo, y sométense a choques elásticos namái ente sigo y colos llaos del recipiente nel que se caltién tantu la cantidá de movimientu como la enerxía cinética.

-
Puede faese una derivación entá más simple prescindiendo de dalgunos d'estos supuestos, como s'aldericó en 
la derivación de la llei del gas ideal. Namái se precisa la definición de temperatura, que'l númberu de partícules sía fixu, que'l volume de la dependencia de les enerxíes de la so interacción sía insignificante, y que'l númberu d'estaos disponibles pa cada partícula a una temperatura fixo sía proporcional al volume.) Como en toles derivaciones termodinámiques, asumir la segunda llei (maximización de la entropía dientro de les llimitaciones). Nun hai hipótesis sobre los choques elásticos ríquense, lo cual ye bonu una y bones estos supuestos son irreales ya irrelevantes pal estáu de los gases ideales.

### Dende la mecánica estadística
Sía \boldsymbol q= (q_x, q_y, q_z) y \boldsymbol p = (p_x, p_y, p_z) el vector de posición y el vector del movimientu d'una partícula d'un gas ideal, respeutivamente. Sía F la fuercia neto sobre la partícula. Entós, el tiempu mediu d'impulsu de la partícula ye:
: 
 \begin{align}
 \langle \mathbf{q} \cdot \mathbf{F} \rangle
 & =
 \left \langle
 q_{x} \frac{dp_{x}}{dt}
 \right \rangle
 +
 \left \langle
 q_{y} \frac{dp_{y}}{dt}
 \right \rangle
 +
 \left \langle
 q_{z} \frac{dp_{z}}{dt}
 \right \rangle
 \\
 & =
 -\left \langle
 q_{x} \frac{\partial H}{\partial q_x}
 \right \rangle
 -
 \left \langle
 q_{y} \frac{\partial H}{\partial q_y}
 \right \rangle
 -
 \left \langle
 q_{z} \frac{\partial H}{\partial q_z}
 \right \rangle
 = -3k_{B} T
 \end{align}


onde la primer igualdá ye la segunda llei de Newton, y la de segunda llinia usa la ecuación de Hamilton y el teorema de equipartición. Sumando sobre un sistema de N, los rendimientos de les partícules
: 
 3Nk_{B} T =
 -
 \left \langle
 \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k}
 \right \rangle


Por tercer llei de Newton y la hipótesis del gas ideal, la fuercia neto sobre'l sistema ye la fuercia aplicao polos murios del so contenedor y esta fuercia ta dada pola presión P del gas. Polo tanto:
: 
 -
 \left \langle
 \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k}
 \right \rangle
 = P \oint_{\mathrm{superficie}} \mathbf{q} \cdot d \mathbf{S}


Onde dS ye l'elementu d'área infinitesimal a lo llargo de les parés del recipiente. Dende'l diverxencia de la posicición \boldsymbol q del vector ye :

 \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{q} =
 \frac{\partial q_{x}}{\partial q_{x}} +
 \frac{\partial q_{y}}{\partial q_{y}} +
 \frac{\partial q_{z}}{\partial q_{z}} = 3


el teorema de la diverxencia implica que :

 P \oint_{\mathrm{superficie}} \mathbf{q} \cdot d\mathbf{S} =
 P \int_{\mathrm{volume}} \left( \boldsymbol\nabla \cdot \mathbf{q} \right) dV =
 3PV


onde dV ye un volume infinitesimal dientro del contenedor y V ye'l volume total del contenedor.

Poniendo estes igualdaes xuntes produz
: 
 3Nk_{B} T =
 -
 \left \langle
 \sum_{k=1}^{N} \mathbf{q}_{k} \cdot \mathbf{F}_{k}
 \right \rangle
 = 3PV


que darréu implica la llei del gas ideal pa N partícules:
: 
 PV =
 Nk_{B} T =
 nRT \, .

onde *n* = *N*/*N*A ye'l númberu de moles de gas y *R* = *N*A*k*B ye la constante de los gases.

Los llectores pueden consultar l'artículu comprensivu en:
Configuración integral (mecánica estadística), onde s'apurre una derivación mecánica estadística alternativa de la llei de los gases ideales, utilizando la rellación ente la enerxía llibre de Helmholtz y la función de partición, pero ensin usar el teorema de equipartición.

## Ver tamién
* Llei de los gases reales
* Llei xeneral de los gases
* Númberu de Avogadro
* Teoría cinética

## Referencies

## Bibliografía
* 
* 

## Enllaces esternos
* Valores de la constante de los gases  del NIST