Operación binaria

Defínese como **operación binaria** (o llei de composición)​ aquella operación matemática, que precisa de l'operador y dos operandos (argumentos) por el que calculese un valor.

Formalmente, daos trés conxuntos *A*, *B* y *C* una operación binaria productu, representando la operación pol signu ∘ , ye una aplicación qu'asigna a cada par de valores *a* de *A* y *b* de *B* un solu valor *c* de *C*, que podemos representar:


 \begin{array}{rccl}
 \circ : & A \times B & \longrightarrow & C \\
 & (a,b) & \longmapsto & c
 \end{array}


En particular, *A*, *B* y *C* podríen ser el mesmu conxuntu, que denotamos *A*. Polo tanto, una operación binaria nel conxuntu *A* ye una aplicación d'elementos del productu cartesianu *A×A* na *A*.

Esisten dos tipos d'operaciones binaries, les operaciones binaries internes y les operaciones binaries esternes.

## Notación
Una operación binaria ∘ ente dos elementos, *a* y *b*, de dos conxuntos, *A* y *B*, puede denotase por:


 a \circ b = c
 \; , \quad
 \circ (a, b) = c
 \; , \quad
 (a, b) \xrightarrow{\circ} c


siendo la primera la más común.

## Exemplu d'operación binaria
La suma (+) de númberos naturales ye un exemplu d'operación binaria interna nel conxunto 
 
 N
.


 \begin{array}{rccl}
 + : & N \times N & \longrightarrow & N \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a + b
 \end{array}


y tenemos que:


 2 + 3 = 5
 \; , \quad
 +(2,3) = 5
 \; , \quad
 (2, 3) \xrightarrow{+} 5


## Tipos
Según los conxuntos A, B y C podemos estremar dos tipos d'operaciones, les internes nes qu'A = B = C, y les esternes que son toles demás. Denomínase Llei de Composición a un subtipo d'operación binaria.

### Operación binaria interna
Si a cada par de valores (**a**, **b**) de  A  la operación correspuéndelu a un valor **c** de *A*:

: 
 \begin{array}{rccl}
 \circledast : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a , b) & \longmapsto & c = a \circledast b
 \end{array}


dizse qu'esta operación ye interna, tamién se llama **llei de composición interna**.

### Operación binaria esterna
Si la operación nun ye interna entós ye esterna, pudiéndose presentar los siguientes casos:

* Si a cada par de valores **a** de **A** y **b** de **B**, asígnase-y un valor **c** de **A**,


 \begin{array}{rccl}
 \star : & A \times B & \longrightarrow & A \\
 &(a,b) & \longmapsto & c = a \star b
 \end{array}


a esta operación tamién se denomina **llei de composición esterna**.

* Si la operación ye de la forma:


 \begin{array}{rccl}
 \star : & A \times A & \longrightarrow & B \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \star b
 \end{array}


na qu'a cada par de valores **a**, **b** de **A** asígnase-y un **c** de **B**, esta operación nun se denomina llei de composición.

* Si la operación asigna a cada par de valores **a** de **A** y **b** de **B** un **c** de **C**, siendo **A**, **B** y **C** conxuntos distintos:


 \begin{array}{rccl}
 \star : & A \times B & \longrightarrow & C \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \star b
 \end{array}


ye'l casu más xeneral, y tampoco se denomina llei de composición.

## Propiedaes d'una operación binaria
Dáu un conxuntu **A** non vacíu y definida una aplicación de  A \times A  sobre **A**, onde a cada par ordenáu **(a,b)** asígnase-y un valor **c** de **A**, que representamos:  (A, \odot) 

: 
 \begin{array}{rccl}
 \odot : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \odot b
 \end{array} 


Puede tener les siguientes propiedaes:

### Conmutatividá

Dizse que  \odot  tien la propiedá conmutativa na A si cumplese:

: 
 \forall a,b \in A
 \; : \quad
 a \odot b = b \odot a


Para tou a, b de A, cumplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al d'operar b con a.

De la mesma podemos dicir que la llei de composición interna  \odot , **nun ye conmutativa** na A si:

: 
 \exists a,b \in A
 \; : \quad
 a \odot b \neq b \odot a


Si esiste dalgún a, b na A, que cumple que la resultancia d'operar a con b ye distintu d'operar b con a.

#### Anticonmutatividá
La operación  \odot  en **A** ye anticonmutativa si:

: 
 \forall a, b \in A \; : \quad a \odot b = -(b \odot a)


Para tou a, b de A, cúmplese que la resultancia d'operar a con b ye igual al opuestu d'operar b con a.

### Asociatividá

Dizse que  (A,\odot)  ye asociativa si, solu si:

: 
 \forall a, b, c \in A
 \; : \quad
 ( a \odot b ) \odot c =
 a \odot( b \odot c)


Para tou *a, b, c* de A cumplese qu'operando *a* con *b* y la resultancia con *c* ye igual a operar *a* cola resultancia d'operar *b* con *c*.

Tamién puede dicise que la operación  \odot  nun ye asociativa si cumplese:

: 
 \exists a,b , c \in A
 \; : \quad
 (a \odot b) \odot c \neq a \odot (b \odot c)


Esisten *a, b, c* na A que cumplen qu'operando *a* con *b* y la resultancia con *c* ye distintu d'operar *a* cola resultancia d'operar *b* con *c.*

## Propiedaes de dos operaciones binaries
Dáu un conxuntu A non vacíu y definíes dos aplicación d'A por A sobre A, onde a cada par ordenáu (a,b) asígnase-y cola operación  \odot  un valor c de A y con la operación  \circledcirc  el valor d de A que representamos:  (A, \odot, \circledcirc) .

: 
 \begin{array}{rccl}
 \odot : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \odot b
 \end{array} 
 \quad \quad
 \begin{array}{rccl}
 \circledcirc : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a,b) & \longmapsto & d = a \circledcirc b
 \end{array} 


Pueden tener les siguientes propiedaes:

### Distributividá

Dizse qu'una operación binaria ye distributiva si y solu si ye distributiva pela esquierda y pela derecha.

#### Distributividá pela esquierda
Dizse que la operación  \odot  ye distributiva pela esquierda de  \circledcirc  si cumplese:

: 
 \forall a, b, c \in A
 \; : \quad
 a \odot (b \circledcirc c) = (a \odot b) \circledcirc (a \odot c)


#### Distributividá pela derecha
Dizse que la operación  \odot  ye distributiva pela derecha de  \circ  si cumplse:

: 
 \forall a, b, c \in A
 \; : \quad
 (a \circledcirc b) \odot c = (a \odot c) \circledcirc (b \odot c)


## Elementos distinguidos

### Elementu neutru

Un elemento **e** ye elementu neutru en  (A, \odot)  si ye elementu neutru pela derecha y pela esquierda.

: 
 \forall a \in A
 \; , \quad
 \exists e \in A
 \; : \quad
 e \odot a = a \odot e = a


#### Elementu neutru pela derecha
Vamos dicir que l'elementu **e**, ye l'elementu neutru pela derecha si:

: 
 \forall a \in A
 \; , \quad
 \exists e \in A
 \; : \quad
 e \odot a = a


#### Elementu neutru pela esquierda
Vamos dicir que l'elementu **e**, ye l'elementu neutru pela esquierda si:


 \forall a \in A
 \; , \quad
 \exists e \in A
 \; : \quad
 a \odot e = a


#### Unicidá del elementu neutru
El elementu neutru ye únicu. Demuestrase por reducción al absurdo. Vamos suponer que esisten dos elementos neutros, e y e'. 

* Por ser e l'elementu neutro, pa to tou a cumplese que e \odot a=a.
* Por ser e' l'elemtu neutru, pa tou a cumplese que e' \odot a=a.

Polo tanto, e \odot a=e' \odot a y ye claru que e=e'.

### Elementu simétricu

Dizse que  \overline{a}  ye simétricu de  a  si:

: 
 \overline{a} \odot a = a \odot \overline{a} = e


onde e ye l'elementu neutru.

### Elementu involutivu
Dizse que  d \in A  ye elementu involutivu si:

: 
 d \odot d = d 


### Elementu absorbente

Dizse que  s \in A  ye elementu absorbente si:

: 
 \forall a \in A
 \; : \quad
 s \odot a = a \odot s = s


## Operación inversa
Sía A un conxuntu con una operación binaria  (a,\odot) :

: 
 \begin{array}{rccl}
 \odot : & A \times A & \longrightarrow & A \\
 & (a,b) & \longmapsto & c = a \odot b
 \end{array} 


polo que quepe la ecuación:

: 
 \forall a, b \in A
 \, , \;
 \exists c \in A
 \; : \quad
 a \odot b = c


Si:

: 
 a \odot b = c


Si A almite elementos simétricos, defínese:

: 
 a \odot b \odot \overline{b} = c \odot \overline{b}


Arrexuntando:

: 
 a \odot ( b \odot \overline{b} ) = c \odot \overline{b}


onde e ye l'elementu neutru:

: 
 a \odot e = c \odot \overline{b}


simplificando:

: 
 a = c \odot \overline{b}


La operación inversa seria  \overline{\odot} 

: 
 a = c \, \overline{\odot}\, b


## Otres propiedaes

### Simplificación o cancelativa
Sía A cola operación  si ab =ac implica que b=c, dizse que se simplificó a pela esquierda. Y si de ba =ca deduzse b=c y dizse que se simplificó pela derecha. Si puede simplificase per dambos llaos falase de **simplificación o cancelación**.

### Divisores del cero
Sía'l conxuntu A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 deduzse qu'ab = 0 , dizse qu'a y b son **divisores del 0**.

## Ver tamién
* Otres operaciones:
** Operación nularia
** Operación unaria
** Operación ternaria

## Referencies

## Enllaces esternos
* Operaciones binarias por Jose Ignacio Farran Martin (Universidá de Valladolid)
* Estructuras Algebraicas por Aldo Jiménez Arteaga (Universidá Veracruzana)