Varianza

En teoría de probabilidá, la **varianza** o **variancia** (que suel representase como \sigma^2) d'una variable aleatoria ye una midida de dispersión definida como la esperanza del cuadráu de la esviación de dicha variable al respective de la so media. O en poques pallabres, ye la media de los residuos al cuadráu.

La so unidá de midida correspuende al cuadráu de la unidá de midida de la variable: por casu, si la variable mide una distancia en metros, la varianza espresar en metros al cuadráu. La varianza tien como valor mínimu 0. La esviación estándar (raigañu cuadráu de la varianza) ye una midida de dispersión alternativa, espresada nes mesmes unidaes que los datos de la variable oxetu d'estudiu. 

Hai que tener en cuenta que la varianza puede trate bien influyida polos valores atípicos y nun s'aconseya'l so usu cuando les distribuciones de les variables aleatories tienen coles pesaes. En tales casos encamiéntase l'usu d'otres midíes de dispersión más robustes.

El términu *varianza* foi acuñáu por Ronald Fisher nun artículu publicáu en xineru de 1919 col títulu *The Correlation Between Relatives on the Supposition of [[Lleis de Mendel|Mendelian Inheritance]]*.

## Definición
Si tenemos un conxuntu de datos d'una mesma variable, la varianza calcular de la siguiente forma:
:\sigma_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(X_i - \overline{X} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i^2\right) - \overline{X}^2= \frac {1} {n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j>i}\left( X_i-X_j \right)^2
Siendo:
* X_i: cada datu *
\overline{X}:media de los datos
* n: númberu de datos

### Variable aleatoria

Aplicando esti conceutu a una variable aleatoria con media μ = Y[*X*], defínese'l so **varianza**, Var(*X*) (tamién representada como \sigma_X^2 o, a cencielles σ2), como

:\sigma_X^2 = \operatorname{Y}[ ( X - \mu ) ^ 2].\,

Desenvolviendo la definición anterior, llógrase la siguiente definición alternativa (y equivalente):

:
\begin{align}
\sigma_X^2 & = \operatorname{Y}[ ( X - \mu ) ^ 2 ] \\
& = \operatorname{Y}[ ( X ^ 2 - 2X\mu + \mu ^ 2) ] \\
& = \operatorname{Y}[ X ^ 2] - 2\mu\operatorname{Y}[X] + \mu ^ 2 \\
& =\operatorname{Y}[ X ^ 2] - 2\mu ^ 2 + \mu ^ 2 \\
& = \operatorname{Y} [ X ^ 2] - \mu ^ 2.
\end{align}


Si una distribución nun tien esperanza, como asocede cola de Cauchy, tampoco tien varianza. Esisten otres distribuciones que, entá teniendo esperanza, escarecen de varianza. Un exemplu d'elles ye la de Pareto cuando'l so índiz *k* satisfai .

### Casu continuu

Si la variable aleatoria *X* ye continua con función de densidá *f*(*x*), entós

:\sigma_X^2 =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,
onde :\mu
= \int x \, f(x) \, dx\,,
y les integrales tán definíes sobre'l rangu de *X*.

### Casu discretu

Si la variable aleatoria *X* ye discreta con pesos *x*1&nbsp;↦&nbsp;*p*1,&nbsp;...,&nbsp;*x**n*&nbsp;↦&nbsp;*p**n* y n ye la cantidá total de datos, entós tenemos:

:\sigma_X^2 = ( \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2)

onde

:\mu = ( \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i )  .

## Exemplos
### Distribución esponencial
La distribución esponencial de parámetru λ ye una distribución continua con soporte nel intervalu [0,∞) y función de densidá

:f(x) = \lambda y^{-\lambda x}1_{[0,\infty)}(x),\,

Tien media μ = λ−1. Poro, el so varianza ye:

:\int_0^\infty f(x) (x - \mu)^2\,dx = \int_0^\infty \lambda y^{-\lambda x} (x - \lambda^{-1})^2\,dx = \lambda^{-2}.\,

Esto ye, σ2 = μ2.

### Dadu perfectu
Un dadu de seis cares puede representase como una variable aleatoria discreta que toma, valores del 1 al 6 con probabilidá igual a 1/6. El valor esperáu ye (1+2+3+4+5+6)/6 = 3,5. Poro, el so varianza ye:

:\sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6} (i - 3,5)^2 = \tfrac{1}{6}\left((-2,5)^2{+}(-1,5)^2{+}(-0,5)^2{+}0,5^2{+}1,5^2{+}2,5^2\right) = \tfrac{1}{6} \cdot 17,50 = \tfrac{35}{12} \approx 2,92\,.

## Propiedaes de la varianza

Delles propiedaes de la varianza son:
* V(X) \geq 0 \,\!
* V(aX + b) = a^2 V(X) \,\! siendo *a* y *b* númberos reales cualesquier. D'esta propiedá deduzse que la varianza d'una constante ye cero, esto ye, V(b) = 0 \,\!
* V(X+Y) = V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y) \,\!, onde Cov(*X*,*Y*) ye la covarianza de *X* y *Y*.
* V(X-Y) = V(X)+V(Y)-2Cov(X,Y) \,\!, onde Cov(*X*,*Y*) ye la covarianza de *X* y *Y*.

## Varianza muestral

En munches situaciones ye precisu envalorar la varianza d'una población a partir d'una muestra. Si toma una muestra con reemplazu (y_1,\dots,y_n) de *n* valores d'ella, d'ente tolos estimadores posibles de la varianza de la población de partida, esisten dos d'usu corriente:

:s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2
:que la so demostración ye:
:\begin {align} s_n^2 &= \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2
\overline{y}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i + \overline{y}^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-2
\overline{y}^2 + \overline{y}^2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2
\end{align}
:
y :s^2
= \frac 1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{\sum_{i=1}^n y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}
:que la so demostración ye:
:\begin{align}
s^2 &= \frac {1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 \\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) \\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}}{n-1} \sum_{i=1}^{n} y_i + \frac{\overline{y}^2}{n-1} \sum_{i=1}^{n} 1\\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}n}{n-1}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_i + \frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{2\overline{y}^2n}{n-1}+\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
 &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}y_i^2-\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
 &=\frac{\sum_{i=1}^n y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}
\end{align}

:
Cuando los datos tán arrexuntaos:

s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i^2\right) - \overline{y}^2
:que la so demostración ye:
:\begin {align} s_n^2 &= \frac 1n \sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i \left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-2
\overline{y}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \overline{y}^2 \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i\\&= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i^2-2
\overline{y}^2 + \overline{y}^2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}f_iy_i^2\right) - \overline{y}^2 \end{align}
y :s^2
= \frac{\sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2}{n-1} = \frac{\sum_{i=1}^n f_i y_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}
:
:que la so demostración ye:
:\begin{align}
s^2 & = \frac{\sum_{i=1}^n f_i \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2}{n-1}\\
& =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i \left(y_i^2-2 y_i \overline{y} + \overline{y}^2 \right) \\
& = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i^2-\frac{2\overline{y}}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \frac{\overline{y}^2}{n-1} \sum_{i=1}^{n} f_i\\
& = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-\frac{2\overline{y}n}{n-1}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f_i y_i + \frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
& = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_iy_i^2-\frac{2\overline{y}^2n}{n-1}+\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
& = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}f_i y_i^2-\frac{\overline{y}^2n}{n-1}\\
& = \frac{\sum_{i=1}^n f_iy_i^2 - n\overline{y}^2}{n-1}
\end{align}


:
:
A los dos (cuando ta estremáu por n y cuando lo ta por n-1) denominar **varianza muestral**. Difieren llixeramente y, pa valores grandes de *n*, la diferencia ye irrelevante. El primeru tresllada direutamente la varianza de la muestra al de la población y el segundu ye un estimador insesgado de la varianza de la población. Ello ye que

:
\begin{align}
\operatorname{Y}[s^2] & = \operatorname{Y}\left[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n Y_i^2 ~ - ~ \frac{n}{n-1} \overline{Y}^2 \right] \\
& = \frac{1}{n-1}\left( \sum \operatorname{Y}[Y_i^2] ~ - ~ n \operatorname{Y}[\overline{Y}^2] \right) \\
& = \frac{1}{n-1}\left( n \operatorname{Y}[Y_1^2] ~ - ~ n \operatorname{Y}[\overline{Y}^2] \right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( \operatorname{Var}(Y_1) + \operatorname{Y}[Y_1]^2 ~ - ~ \operatorname{Var}(\overline{Y}) - \operatorname{Y}[\overline{Y}]^2 \right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( \operatorname{Var}(Y_1) + \mu^2 ~ - ~ \frac{1}{n}\operatorname{Var}(Y_1) - \mu^2 \right) \\
& = \frac{n}{n-1}\left( \frac{n-1}{n} ~ \operatorname{Var}(Y_1) \right) \\
& = \operatorname{Var}(Y_1) \\
& = \sigma^2
\end{align}


ente que

:Y[s_n^2] = \frac{n-1}{n} \sigma^2

### Propiedaes de la varianza muestral

De resultes de la igualdá  \operatorname{Y}(s^2)=\sigma^2, *s*2 ye un estadísticu insesgado de \sigma^2. Amás, si cumplen les condiciones necesaries pa la llei de los grandes númberos, *s*2 ye un estimador consistente de \sigma^2.

Entá más, cuando les muestres siguen una distribución normal, pol teorema de Cochran, s^2 tien la distribución chi-cuadráu:

:
(n-1)\frac{s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}.


### Interpretaciones de la varianza muestral
Dexamos tres fórmules equivalentes pal cálculu de la varianza muestral s_n 
:s_n^2 = \frac 1n \sum_{i=1}^n \left(y_i - \overline{y} \right)^ 2 = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}y_i^2\right) - \overline{y}^2=
\frac{1}{n^2} \sum_{i (Demostración xeométrica en )

Esta última igualdá tien interés pa interpretar los estimadores s^2  y s_n^2 , pos si quier evaluase la esviación d'unos datos o les sos diferencies, puede optase por calcular el permediu de los cuadraos de les diferencies de cada par de datos:
:2s_n^2= \frac { \sum_{\left(i\leqslant n, j \leqslant n \right)} \left(y_i - y_j \right)^ 2}{n^2}. Nótese que'l númberu de sumandos ye  n^2.

O puede considerase el permediu de los cuadraos de les diferencies de cada par de datos ensin tener en cuenta cada datu consigo mesmu, agora'l númberu de sumandos ye  n\left(n - 1\right).
:2s^2 = \frac {\sum_{i\neq j} \left(y_i - y_j \right)^ 2}{n\left(n - 1\right)}

## Ver tamién
* Esviación típica o esviación estándar
* Esperanza matemática o valor esperáu
* Covarianza
* Analís de varianza

## Referencies

## Enllaces esternos
* http://cajael.com/mestadisticos/T1EDescriptiva/node6.php Simulación de la varianza d'una variable discreta con R (llinguaxe de programación)
* [www.solin.16mb.com/estadistica_js/MediayDesviacion.htm] Un triángulu rectángulu.