Productos notables

Llámase **productos notables** a ciertos producto que cumplen regles fixes y que'l so resultáu pue ser escritu por simple inspeición, esto ye, ensin verificar la multiplicación.

Cada productu notable correspuende a una fórmula de factorización. Por casu, la factorización d'una diferencia de cuadraos perfectos ye un productu de dos binomios conxugaos, y recíprocamente.

## Factor común

La resultancia de multiplicar un binomiu  a+b  por un términu  c  llógrase aplicando la propiedá distributiva:
: c \cdot(a + b) = c\cdot a + c\cdot b \,
Na figura axunta reparar que l'área del rectángulu ye  c (a + b) \,, esto ye, el productu de la base a+b\, pol altor c\,, tamién puede llograse como la suma de les dos árees coloriaes: ca\, y cb\,

## Cuadráu d'un binomiu

P'alzar un binomiu al cuadráu (esto ye, multiplicalo por sigo mesmu), sumir los cuadraos de cada términu más el doble del productu d'ellos, dando:

: (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,

La espresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; conozse como trinomiu cuadráu perfectu.

Cuando'l segundu términu ye negativu, la igualdá que se llogra ye:
: (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,

**Exemplu:**
:(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2 \,
Simplificando:
:(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,

## Productu de binomios con términu común

### Dos binomios con un términu común

Pa efectuar un productu de dos binomios con términu común tiense qu'identificar el términu común, nesti casu **x**, depués aplícase la fórmula siguiente:

:(x+a)(x+b) = x^2+( a + b )x + a b \,

**Exemplu:**

:(x+4)(x-7) = x^2 -3x -28 \,

:(2y-1)(2y-3) = (2y)^2 +(-1-3)(2y)+ ((-1)(-3)) = 4y^2 -8 y +3

### Tres binomio con términu común
Fórmula xeneral:

:(x + a) (x +b) (x + c) = x^3 + (a + b + c) x^2 + (ab+ca+cb)x +abc 

### Binomios con un términu común
Fórmula xeneral:

:(x+a_1)\cdot ... \cdot (x+a_n)=  x^n + (a_1+... +a_n) x^{n-1}+ ( (a_1 a_2 + a_1 a_3+...+ a_1 a_n)+ (a_2 a_3 +... +a_2 a_n)+ ... + (a_{n-1} a_n))x^{n-2}+ ... + (a_1\cdot...\cdot a_n).

## Productu de dos binomios conxugaos

Dos **binomios conxugaos** estrémense solo nel signu de la operación. Pa la so multiplicación basta alzar los monomios al cuadráu y restalos (obviamente, un términu caltién el signu negativu), colo cual llógrase una **[[diferencia de cuadraos]]**.
: (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
**Exemplu:**
:(3x+5y)(3x-5y) = \,
:(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,
Arrexuntando términos:
:(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,
A esti productu notable tamién se-y conoz como **[[suma pola diferencia]]**.
* Nel casu (p-a+b+c)(p-a-b-c) = (p-a)^2 -(b+c)^2 , apaecen polinomios.

## Cuadráu d'un polinomiu

P'alzar un polinomiu de cualquier cantidá de términos suman los cuadraos de cada términu individual y depués añader el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
:(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,
:(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,

**Exemplu:**
: (3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,
Multiplicando los monomios:
: (3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,
: + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,
: + (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,
Arrexuntando términos:
:(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,
Depués:
:(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,
;Romper moldes
: x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = (x^2+3x+1)^2 .

## Cubu d'un binomiu

Pa calcular el cubu d'un binomiu sumir, socesivamente:
* El cubu del primer términu.
* El triple productu del cuadráu del primeru pel segundu.
* El triple productu del primeru pol cuadráu del segundu.
* El cubu del segundu términu.
:(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,
**Identidaes de Cauchy:**
:(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,
**Exemplu:**
:(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,
Arrexuntando términos:
:(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+6xy^2+8y^3 \,

Si la operación del binomiu implica resta, la resultancia ye:
* El cubu del primer términu.
* **Menos** el triple productu del cuadráu del primeru pel segundu.
* **Más** el triple productu del primeru pol cuadráu del segundu.
* **Menos** el cubu del segundu términu.
:(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,
**Identidaes de Cauchy:**
:(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,
**Exemplu:**
:(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,
Arrexuntando términos:
:(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+6xy^2-8y^3 \,

## Identidá de Argand
:(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 \,

## Identidaes de Gauss
:a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \,
:a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] \,

## Identidaes de Legendre
:(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \,
:(a+b)^2-(a-b)^2=4ab \,
:(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) \,

## Identidaes de Lagrange

:(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ai-bx)^2 \,
:(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ai-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 \,

## Otres identidaes
Yá que la *notabilidad* d'un productu ye un conceutu ambiguu, nun esiste una llista determinante qu'indique a cuál productos puédese-yos considerar notables, y a cuálos non. A otres fórmules, anque menos usaes que les anteriores, en ciertos contestos puede calificáse-yos de *productos notables*. Ente elles destáquense:

**Adición de cubos:**
:  a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \,
**Diferencia de cubos:**
:  a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \,

Ye más frecuente listar los dos espresiones anteriores como les fórmules de *factorización,* una y bones los productos nun tienen una forma particularmente simétrica, pero la resultancia sí (oldéese, por casu, cola fórmula de binomiu al cubu).

:  (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \,

:  (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \,

La suma y la diferencia de cubos pueden xeneralizase a sumes y diferencies de potencies *enésimes* (o *n&nbsp;-&nbsp;ésimas*: xn).

**Suma de dos cuadraos**
:  a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi)\,
Ónde i ye la unidá imaxinaria (√-1)

**Suma de potencies enésimes:**
: **Si –namái si–** *n* ye impar,  a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1}) \,
**Diferencia de potencies enésimes:**
:  a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1}) \,

Les fórmules de *binomiu al cuadráu* y *binomiu al cubu* pueden xeneralizase por aciu el teorema del binomiu.

Pa representar el cubu d'un monomiu, como estrema de dos cuadraos, esiste una fórmula atélite:

: a^3 = \left(\frac{(a+1)a}{2}\right)^2 - \left(\frac{(a-1)a}{2}\right)^2

## Ver tamién
* Binomiu
* Trinomiu
* Factorización
* Triángulu de Pascal
* Cocientes notables
* Completar el cuadráu

## Notes

## Referencies

## Bibliografía
** Barreto García, Julio César. «Los gnómones y la solución geométrica de ecuaciones de segundo grado y su aplicación a los productos notables ». *Revista Suma.*
**Barreto García, Julio César. (2014). «Productos Notables en el Espacio: Deducciones con diversas Actividades y Aplicaciones».Coleición de Secundaria. Volumen 3. ISBN-10: 1503072045 ISBN-13: 978-1503072046. Editorial Amazon.
**Barreto García, Julio César.(2014). «Polinomios Algebraicos y Geométricos (Productos Notables Planos y Factorización)».Coleición de Secundaria. Volumen 2. ISBN-10: 1502888963 ISBN-13: 978-1502888969. Editorial Amazon.
**Barreto García, Julio César. (2014). «Didáctica de la geometría espacial». ISBN-10: 3659055875 ISBN-13: 978-3659055874. Editorial EAE.
**Barreto García, Julio César. (2012). «Aplicación de la didáctica de la geometría en secundaria: Didáctica de la Geometría». ISBN-10: 3659055875 ISBN-13: 978-3659055874. Editorial EAE.
** Barreto García, Julio César. «Dinamización Matemática: Deducción geométrica de los productos notables en el espacio tridimensional como recurso didáctico en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática ». *Revista Unión*.
** Barreto García, Julio César. «Dos perspectivas geométricas de la diferencia de cuadrados como recurso didáctico en el proceso de enseñanza-deprendimientu de la matemática». *Revista Matematicalia*.
** Barreto García, Julio César. «Perceición geométrica de los productos notables y de la media geométrica». *Revista Números*.
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