Grupu abelianu

Dada una estructura alxebraica sobre un conxuntu **A**, y con una operación o llei de composición interna binaria: " \circ ". Dizse que la estructura ( A, \circ )  ye un **grupu abelianu** con al respective de la operación  \circ  si:
# ( A, \circ )  tien estructura alxebraica Grupu.
# ( A, \circ )  tien la Propiedá conmutativa.

Los grupos abelianos son asina llamaos n'honor al matemáticu noruegu Niels Henrik Abel, quien utilizó estos grupos nel estudiu de les ecuaciones alxebraiques solubles por radicales. Los grupos que nun son conmutativos denominar ***non abelianos*** (tamién *non conmutativos*, con menos frecuencia).

## Notación

Hai dos notaciones principales pa los grupos abelianos: aditiva y multiplicativa, descrites de siguío.

La notación multiplicativa nun ye otra que la notación avezada pa los grupos, ente que la aditiva ye la notación avezada para módulos. Cuando se trabaya namái con grupos abelianos, usualmente úsase la notación aditiva.

## Exemplos

Tou grupu cíclicu *G* ye abelianu, pos si *x*, *y* ∈ *G* = , *x* = *a**m* y *y* = *a**n* pa dellos *m*, *n* enteros, colo cual, *xy* = *a**m**a**n* = *a**m* + *n* = *a**n* + *m* = *a**n**a**m* = *yx*. En particular, el grupu **Z** d'enteros so la suma ye abelianu, al igual que'l grupu d'enteros módulu ''n'', **Z***n*.

Los númberos reales formen un grupu abelianu cola adición, al igual que los reales non nulos cola multiplicación.

Tou aniellu ye un grupu abelianu con al respective de la so adición. Nun aniellu conmutativu, los elementos invertibles formen un grupu abelianu so la multiplicación.

Tou subgrupu d'un grupu abelianu ye normal, y poro, pa tou subgrupu hai un grupu cociente. Subgrupos, grupos cocientes, y sumes direutes de grupos abelianos son tamién abelianos.

## Propiedaes
* Si *n* ye un númberu natural y *x* un elementu d'un grupu abelianu *G* (con notación aditiva), puede definise *nx* = *x* + *x* +... + *x* (*n* sumandos), y (−*n*)*x* = −(*nx*), colo que *G* vuélvese un módulu sobre l'aniellu **Z** de los enteros. Ello ye que los módulos sobre **Z** nun son otros que los grupos abelianos.
* Si *f*, *g*: *G* → *H* son dos homomorfismos ente grupos abelianos, la so suma (definida por (*f* + *g*)(*x*) = *f*(*x*) + *g*(*x*)) ye tamién un homomorfismo; esto nun se cumple polo xeneral pa grupos non abelianos. Con esta operación, el conxuntu de homomorfismos ente *G* y *H* vuélvese, entós, un grupu abelianu en sí mesmu.

## Grupos abelianos finitos
El grupu \mathbb Z_n de los enteros módulu *n* ye un grupu cola operación de la suma módulu *n*. Esti grupu ye abelianu y finito. 
La siguiente resultancia indícanos que los anteriores formen la estructura básica de tolos conxuntos abelianos finitos.

**Teorema:** Tou grupu abelianu finito *G* ye isomorfu a \mathbb Z_{p_1^{k_1}}\oplus\ldots \oplus Z_{p_r^{k_r}}, onde p_1,\ldots,p_r son númberos primos y k_1,\ldots,k_r\in\mathbb N. 
Los enteros p_1^{k_1}, \ldots,p_r^{k_r} son únicos a menos del orde.

Veamos un par d'exemplos.

Salvu isomorfismos esisten cinco grupos abelianos con 16 elementos. P'amosar ello, repare primero que 16=2⁴, polo que les formes de descomponer 16 como productu de naturales mayores a 1 son (a menos d'orde): 16=16, \ 16=2\times8,\ 16=2\times 2\times 4,\ 16=2\times2 \times 2 \times 2 \mbox{ y } 16=4\times4.
Per ende un grupu abelianu con 16 elementos ye isomorfu a unu y namái unu de los siguientes: \mathbb Z_{16}, \ 
\mathbb Z_8\oplus \mathbb Z_{2}, \ \mathbb Z_4\oplus \mathbb Z_{2}\oplus\mathbb Z_2, \ \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_{2}\oplus \mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_{2}, \ \mathbb Z_4\oplus \mathbb Z_{4} .

Tou grupu abelianu d'orde 30 ye isomorfu a \mathbb Z_{5}\oplus \mathbb Z_{3}\oplus \mathbb Z_{2}. Esto debe a que nun hai otra forma d'escribir 30 como productu de potencies de primos que 30=2\times 3\times 5.

Una forma equivalente de dar el teorema anterior ye la siguiente:

**Teorema:** Tou grupu abelianu finito *G* ye isomorfu a \mathbb Z_{d_1}\oplus\ldots \oplus Z_{d_t}, onde d_1,\ldots,d_t son enteros mayores a 1 que verifiquen d_i|d_{i+1} \ \forall i=1,\ldots, t-1.
Los enteros d_1, \ldots,d_t son únicos.

Esti teorema deducir del anterior utilizando que \mathbb Z_m\oplus \mathbb Z_{n} ye isomorfu a \mathbb Z_{nm} cuando *n* y *m* son coprimos.

## Referencies

## Ver tamién