Llei de los grandes númberos

Na teoría de la probabilidá, sol términu xenéricu de **llei de los grandes númberos** se engloban dellos teoremes que describen el comportamientu del permediu d'una socesión de variables aleatories conforme aumenta'l so númberu d'ensayos. 

Estos teoremes prescriben condiciones abondes pa garantizar que dichu permediu converxi (nos sentíos esplicaos embaxo) al permediu de les esperances de les variables aleatories arreyaes. Les distintes formulaciones de la llei de los grandes númberos (y les sos condiciones acomuñaes) especifiquen la converxencia de formes distintes.

Les lleis de los grandes númberos espliquen por qué'l permediu d'una muestra al azar d'una población de gran tamañu va tender a tar cerca de la media de la población completa. 

Cuando les variables aleatories tienen una varianza finita, el teorema central de la llende estiende'l nuesu entendimientu de la converxencia del so permediu describiendo la distribución de diferencies estandarizadas ente la suma de variables aleatories y el valor esperáu d'esta suma: ensin importar la distribución subxacente de les variables aleatories, esta diferencia estandarizada converxe a una variable aleatoria normal estándar.

La frase "llei de los grandes númberos" ye tamién usada dacuando pa referise de primeres de que la probabilidá de que cualquier eventu posible (inclusive unu improbable) asoceda *siquier una vegada* nuna serie aumenta col númberu d'eventos na serie. Por casu, la probabilidá de qu'un individuu gane la llotería ye bastante baxa; sicasí, la probabilidá de que *daquién* gane la llotería ye bastante alta, suponiendo qu'abondes persones mercaren boletos de llotería.

## Historia

El matemáticu italianu Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó ensin pruebes que la precisión de les estadístiques empíriques tienden a ameyorar col númberu d'intentos. Dempués esto foi formalizáu como una llei de los grandes númberos. Una forma especial de la llei (pa una variable aleatoria binaria) foi demostrada per primer vegada por Jacob Bernoulli. Llevólu más de 20 años desenvolver una prueba matemática abondo rigorosa que foi publicada na so *[[Ars Conjectandi]]* [L'arte de la conxetura] en 1713. Bernouilli llamó-y el so «Teorema doráu», pero aportó a conocíu xeneralmente como «teorema de Bernoulli". Esti nun tien de confundir se col principiu físicu d'igual nome, el nome del sobrín de Jacob, Daniel Bernoulli. En 1837, S.D. Poisson describió con más detalle sol nome de «la loi des grands nomes» (*la llei de los grandes númberos*). A partir d'entós, conocer con dambos nomes, pero utilizar con mayor frecuencia la llei de los grandes númberos».

Dempués de que Bernoulli y Poisson publicaren los sos esfuercios, otros matemáticos tamién contribuyeron al refinamientu de la llei, como Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli y Kolmogorov y Khinchin, que finalmente apurrió una prueba completa de la llei de los grandes númberos pa variables arbitraries. Estos nuevos estudios dieron llugar a dos formes prominentes de la llei de los grandes númberos: una llámase la llei "débil" y la otra la llei "fuerte", en referencia a dos maneres distintes de converxencia de la muestra acumulada significa'l valor esperáu; en particular, como s'esplica de siguío, la forma fuerte implica la débil.

## Llei débil

La **llei débil de los grandes númberos** establez que si *X*1, *X*2, *X*3, ... ye una socesión infinita de variables aleatories independientes que tienen el mesmu valor esperáu \mu y varianza \sigma^2, entós el permediu

:\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n

converxe en probabilidá a μ. N'otres pallabres, pa cualquier númberu positivu ε tiense

:\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|

## Llei fuerte

La **llei fuerte de los grandes númberos** establez que si *X*1, *X*2, *X*3, ... ye una socesión infinita de variables aleatories independientes ya idénticamente distribuyíes que cumplen Y(|*X*i|) \operatorname{P}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1,

esto ye, el permediu de les variables aleatories converxe a μ casi de xuru (nun conxuntu de probabilidá 1).

Esta llei xustifica la interpretación intuitiva del valor esperáu d'una variable aleatoria como'l "permediu al llargu plazu al faer un muestreo repetitivu".


 **Demostración (resultancia preliminar)**

 Vamos Demostrar la siguiente resultancia: Sía {X_i}\, una socesión de variables aleatories independientes y integrables con \mathbb{P}X_n=0\, (esperanza 0) y \sum_i\frac{\mathbb{P}X_i^2}{i^2}; entós, el permediu \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\rightarrow 0 casi de xuru cuando n\rightarrow\infty\,. Esti teorema nun asume que les variables aleatories son hermano distribuyíes pero controla la crecedera de les varianzas. 

Pa demostrar el teorema vamos faer usu del siguiente lema:

***Desigualdá Maximal.*** Sean Z_1,...,Z_N\, variables aleatories independientes y sían \epsilon_1,\,\,\epsilon _2 y \beta\,\! constantes positives que cumplen \mathbb{P}\{|Z_i+Z_{i+1}+...+Z_N|\le\epsilon_2\}\ge1/\beta pa cada i. Depués
:\mathbb{P}\{ max_{i\le N}|Z_1+...+Z_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\} \le\beta\mathbb{P}\{|Z_1+...+Z_N|>\epsilon_1\}

*Demostración del lema: * Sean S_i:=Z_1+...+Z_i\, y T_i:=S_N-S_i\,. Definamos coles mesmes la variable aleatoria 

 
\tau = \left \{ 
\begin{matrix} 
\text{primer i pal cual } |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2 \\ 
N \,\, \text{si } |S_i|\le\epsilon_1+\epsilon_2 \,\,\text{pa tou }i 
\end{matrix} \right .


Tenemos entós: 
:
\begin{array}{rcl}
 \mathbb{P}\{ max_{i\le N}|Z_1+...+Z_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\} & = & \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2 \text{ pa algun i}\} \\
 & = & \sum_{i=1}^N \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\}\quad\text{pos son eventos dixuntos} \\
 & \le & \sum_{i=1}^N \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\}\beta\mathbb{P}\{|T_i|\le\epsilon_2\} \quad \text{hipotesis del lema} \\
 & = & \beta \sum_{i=1}^N \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2 , |T_i|\le\epsilon_2\}\quad\text{por independencia ente los } S_i\text{ y los } T_i
\end{array}


Agora bien, si  |S_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\, y |T_i|\le\epsilon_2 entós implica que |S_i|>\epsilon_1\, 
per ende:
:\mathbb{P}\{ max_{i\le N}|Z_1+...+Z_i|>\epsilon_1+\epsilon_2\} \le \beta \sum_{i=1}^N \mathbb{P}\{\tau=i, |S_i|>\epsilon_1\} = \beta \mathbb{P}\{|Z_1+...+Z_N|>\epsilon_1\}
colo que se conclúi'l lema. *(Fin demostración del lema)*

Sigamos cola demostración del teorema: Definamos 
:
\begin{array}{rcl}
S_i & := & X_1+...+X_i\\
\sigma_i^2 & := & \mathbb{P}X_i^2\,;\quad V_i := \sigma_1^2+...+\sigma_i^2=\mathbb{P}S_i^2\\
B_k&:=&{n: n_k
Tenemos entós que la serie \sum_k V(n_k)/n_k^2 ye converxente pos:
:\sum_{k=1}^\infty V(n_k)/n_k^2=\sum_{k=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty\sigma_j^2\chi_{\{j\le 2^k\}}4^{-k}=\sum_{j=1}^\infty\sigma_j^2\sum_{k=1}^\infty\chi_{\{j\le 2^k\}}4^{-k}=\sum_{j=1}^\infty\sigma_j^24^{-([\log_2j]+1)}\frac{4}{3}\le\frac{4}{3}\sum_{j=1}^\infty\sigma_j^2/j^2

La converxencia c.t.p. qu'asegura'l teorema ye equivalente a:
:\max_{n }\frac{n}\rightarrow 0 \quad \text{cuando } k\rightarrow \infty 

Pol lema de Borel-Cantelli, ye abondu demostrar que, pa tou \epsilon >0\,\! 

Cada probabilidá na suma anterior pue ser acutada por: 
:\mathbb{P}\left\{ \max_{n\le n_{k+1}}|S_n|>\epsilon n_k \right\}

Agora aplícase la desigualdá maximal: 
:\mathbb{P}\left\{ \max_{n\le n_{k+1}}|S_n|>\epsilon n_k \right\} \le \beta_k \mathbb{P} \{ |S_{n_{k+1}}|>\frac{\epsilon}{2}\, n_k\}\le \beta_k 4V(n_{k+1})/(\epsilon n_k)^2

La última desigualdá de la llinia anterior xustificar pola desigualdá de Chebyshev. Una nueva aplicación d'esta mesma desigualdá déxanos acutar los \beta_k\,:
:
\begin{array}{rcl}
\beta_k^{-1}&=&\min_{n\le n_{k+1}}\mathbb{P}\{|S_{n_{k+1}}-S_n|\le\frac{\epsilon}{2} n_k\}\\
& \ge & 1- \max_{n\le n_{k+1}}\frac{4\mathbb{P}(S_{n_{k+1}}-S_n)^2}{\epsilon^2 n_k^2}\\
&\ge& 1-\frac{16\,V(n_{n_k+1})}{\epsilon^2 n_k^2}\rightarrow 1 \qquad \text{cuando }k\rightarrow \infty
\end{array}


Esto ye, llogremos acutar cada sumandu de la  por una constante polos términos d'una sumatoria que sabemos converxente, demostrando la converxencia de felicidá sumatoria y concluyendo via Borel-Cantelli la converxencia fuerte del teorema. 

*(Fin de la demostración)<math>\blacksquare</math>*
 




 **Demostración de la llei fuerte de los grandes númberos (Kolmogorov)**Sía {X_i}\, una socesión de variables aleatories independientes, integrables ya idénticamente distribuyíes con \mathbb{P}X_n=0\, (esperanza 0), entós, el permediu \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\rightarrow 0 casi de xuru cuando n\rightarrow\infty\,.

Definamos Y_i=X_i \chi_{\{|X_i|\le i\}}\, y \mu_i=\mathbb{P}Y_i\,. Tenemos que 0=\mathbb{P}X_i=\mu_i+\mathbb{P}X_i\chi_{\{|X_i|>i\}}. Amás, usando la hipótesis de distribuciones idéntiques, podemos polo xeneral reemplazar (non siempres) una distribución X_i\, xenérica por un representante, digamos X_1\,. Tenemos entós:

\le \mathbb{P}\left \{|X_1|\min\left( 1,\frac{n} \right) \right \}\rightarrow 0 
|1}}

La última converxencia a cero vien dada pola converxencia puntual más converxencia apoderada por \,|X_1| .
Tamién tenemos que:

 \\
 &\le & \mathbb{P}|X_1||2}}

La tercer igualdá vien de que pa cualesquier variable aleatoria cumplir que:
:\sum_{i\ge 1}\chi_{\{X>i\}}=\sum_{i\ge 1}i\,\chi_{\{X>i,x\le i+1\}}

La  implica, por Borel-Canteli, que'l conxuntu \{X_i\ne Y_i\,, \text{pa infinitos i}\} tien probabilidad cero. Poro, nun conxuntu de probabilidá 1 cumplir:

De la desigualdá \mathbb{P}(Y_i-\mu_i)^2\le\mathbb{P}Y_i^2=\mathbb{P}(X_1^2\chi_{\{|X_1|\le i\}})\, podemos deducir que:
:\sum_{i=1}^\infty \frac{\mathbb{P}(Y_i-\mu_i)^2}{i^2}\le \sum_{i=1}^\infty \frac{\mathbb{P}(X_1^2\chi_{\{|X_1|\le i\}})}{i^2}= \mathbb{P}\left \{\sum_{i=1}^\infty \frac{X_1^2\chi_{\{|X_1|\le i\}}}{i^2}\right\}\le C \mathbb{P}|X_1|

Pol teorema enantes demostráu tenemos: 
 
casi de xuru. Como amás tenemos que:
:\left|\frac{1}{n}\sum_{i\le n} X_i\right|\le \left|\frac{1}{n}\sum_{i\le n} (X_i-Y_i)\right| + \left|\frac{1}{n}\sum_{i\le n} (Y_i-\mu_i)\right| +\left|\frac{1}{n}\sum_{i\le n} \mu_i\right| 

Entós, de les ecuaciones ,  y  deduzse que \left|\frac{1}{n}\sum_{i\le n} X_i\right|\rightarrow 0\, en casi en tolos puntos, concluyendo'l teorema.

*(Fin de la demostración)<math>\blacksquare</math>*
 



## Ver tamién
* Teorema central de la llende
* Teorema de Bernoulli
* Falacia del xugador
* Andréi Kolmogórov
* Llei de los númberos realmente grandes

## Referencies
* David Pollard, *A user´s guide to measure theoretic probability*, Cambridge University Press (2003).

## Referencies