Cosenu

En trigonometría, el **cosenu** (abreviáu *cos*) defínese como la razón ente'l catetu axacente y la hipotenusa. O tamién como l'abcisa correspondiente a un puntu que pertenez a una circunferencia unitaria centrada nel orixe.

En matemátiques, el **cosenu** ye la función algamada al facer variar la razón mentada, siendo una de les funciones trescendentes.

## Cosenu d'una suma o resta
\theta,\phi \in\ \mathbb{R} Entós: 

\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)

Si facemos 

\cos \left(\phi +(- \theta \right))=cos (\phi)cos(-\theta)-sin(\phi)sin(-\theta)

algamamos la resta. Como'l cosenu ye par, el signu nun importa y como'l senu ye impar, el signu sal:

\cos \left(\phi -\theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)+sin(\phi)sin(\theta)

## Cosenu d'un ángulu duble
Tenemos que
:
\cos \left(\phi + \theta \right)=cos (\phi)cos(\theta)-sin(\phi)sin(\theta)
:
Faciendo \theta=\phi Entós
:
cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)
:

## Cosenu del ángulu mediu
:
Hai de decatase que namái con un cenciellu remanéu alxebraicu podemos algamar la fórmula del cosenu del ángulu mediu. Seya \alpha, \phi \in \mathbb{R}
:
Como cos \left(2\phi \right) =cos^2(\phi)-sin^2(\phi)
:
podemos escribila como
:
cos \left(2\phi \right) =1-2sin^2(\phi)
:
Seya \phi=\frac{\alpha}{2}
:
Entós algamamos
:
|cos(\frac{\alpha}{2})|=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}
:
y analizando los signos de la espresión pa cada cuadrante, finamos con que:
:
cos(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{cos(\alpha)+1}{2}}

## Tresformación d'una suma de cosenos en productu
Cos(\phi)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\phi + \theta}{2})cos(\frac{\phi - \theta}{2})
:
**Amosamientu**
:
Tomamos \alpha\,\beta\,\theta,\phi \in\ \mathbb{R}
:
Entós
:
Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=cos (\alpha)cos(\beta)-sin(\alpha)sin(\beta)+cos (\alpha)cos(\beta)+sin(\alpha)sin(\beta)
:
Cos \left(\alpha +\beta \right)+Cos(\alpha -\beta)=2cos (\alpha)cos(\beta)
:
Faciendo \theta =\alpha +\beta y \phi =\alpha -\beta
:
Entós, resolviendo el sistema, tiense que
:
\alpha\ =\frac{\theta + \phi}{2}
:
\beta\ =\frac{\theta - \phi}{2}
:
Reemplazando algámase
:
Cos \left(\phi \right)+Cos(\theta)=2cos(\frac{\theta + \phi}{2})cos(\frac{\theta - \phi}{2})
:
Análogamente amuésase que
:
Cos(\phi)-Cos(\theta)=-2Sin(\frac{\phi + \theta}{2})Sin(\frac{\theta - \phi}{2})

## Derivada del Cosenu

Según la definición de derivada:
:
f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
:
lo que ye
:
\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x + h) - \cos(x)}{h}
:
Entós, usando les fórmules anteriormente consiñaes, tiense que
:
\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot \cos(h)-\sin(x)\cdot \sin(h)- \cos(x)}{h}
:
Factorizando
:
\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot((\cos(h)-1))-\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}
:
Separtando tenemos
:
\cos'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{\cos(x)\cdot((\cos(h)-1))}{h}- \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin(x)\cdot\sin(h)}{h}
:
Sabiendo que \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sin(h)}{h}=1 y que'l primer límite queda determináu pola regla de L'Hopital, entós tenemos que
:
\cos' \left(x \right)= -\sin(x)

## Ver tamién
* Arcocosenu
* Sinusoide
* Trigonometría
* Función matemática
* Función par
* Función impar