Espaciu compautu

En topoloxía, un **espaciu compactu** ye un espaciu que tien propiedaes similares a un conxuntu finito, tocantes a que les socesiones conteníes nun conxuntu finito siempres contienen una subsocesión converxente. La noción de **compacidad** ye una versión más xeneral d'esta propiedá.

Un **conxuntu compactu** ye un subconxuntu d'un espaciu topolóxicu, que como subespacio topolóxicu (cola topoloxía inducida) ye en sí mesmu un espaciu topolóxicu compactu.

## Definición
La definición moderna de compacidad rique primero especificar la noción de recubrimientu abiertu:

Dau un recubrimientu *C* d'un conxuntu *A*, un **subrecubrimiento** *D* ye una subfamilia de *C*, *D* ⊆ *C* que sigue siendo un recubrimientu de *A* —esto ye, una subcolección de conxuntos de *C* qu'entá cubre a *A*—.

La definición de compacidad ye entós:

### Exemplos
* El conxuntu *K* = {1, 1/2, 1/3, 1/4,..., 0} ⊆ **R** cola topoloxía heredada del estándar de **R** ye compactu. Dau un redolada de 0, este inclúi a tolos 1/*n* salvo un númberu finito —yá que la socesión {1/*n*}*n* ∈ **N** converxi a 0—. Por tanto, dau un recubrimientu abiertu de *K*, tomando un abiertu *O* que contenga a 0, y un abiertu que contenga cada puntu 1/*n* non conteníu en *O*, esta subcolección finita cubre a *K*.
* El intervalu abiertu (0, 1) ⊆ **R** nun ye compactu (cola topoloxía avezada heredada de **R**). La familia { (0, 1 − 1/*n*) }*n* > 1 ye un recubrimientu abiertu del intervalu, pero dada cualquier subfamilia finita, esiste un intervalu (0, 1 − 1/*k*) nella que contién a los demás —buscando aquel con *k* máximu—. Como 1 − 1/*p* nun ta en (0, 1 − 1/*k*) si *p* ≥ *k*, nenguna subfamilia finita cubre (0, 1).

### Carauterizaciones equivalentes
La compacidad d'un espaciu almite delles formulaciones alternatives:

### Compacidad n'espacios métricos

Un subconxuntu *A* d'un espaciu métricu ysobremanera, del espaciu euclideu \mathbb{R}^n ye compactu si cumple dalguna de los cuatro condiciones de la definición xeneral. Sicasí, la tercera d'elles almite la siguiente reescritura nesti contestu: *toa socesión en *A* almite una subsocesión converxente*.

## Exemplos

* L'exemplu de bandera y senciellu de subconxuntu compactu de la recta euclídea ye un intervalu zarráu [a,b] de la mesma (Teorema de *Heine-Borel*).
* Más xeneralmente, tamién lo ye cualquier conxuntu zarrao y acutao del espaciu euclideu. Cualquier círculu nel planu euclídeo, por casu particular.
* Tou espaciu X cofinito ye compactu.
* Un exemplu d'espaciu non compactu ye la recta real, pos nun ye acutada y contién socesiones que tienden a infinitu. Amás nenguna subfamilia finita del recubrimientu d'abiertos {(-n, n): *n* ye n. natural} anubre la recta real.
* Tampoco ye compactu'l conxuntu de los númberos racionales. N'efeutu, una socesión de racionales que converxe a un irracional (al ser vista como socesión nos reales) nun tien nenguna subsocesión converxente a un racional.

## Teoremes acomuñaos a la compacidad

### Teorema de Heine-Borel

Pol teorema de Heine-Borel, un espaciu métricu ye compactu si y namái si ye completu y totalmente acutáu. Pa subconxuntos del espaciu euclideu, basta con qu'ésti seya zarráu y acutáu, que ye una carauterización útil.

Sicasí, en dimensión infinita, esto nun ye verdá, y, ello ye que nesti contestu la bola unitaria cerrada enxamás va ser precompacta; por lo mesmo, ye muncho más difícil verificar compacidad.

*Tamién llamáu teorema de Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstraß o inclusive teorema de Borel-Lebesgue.

### Teorema de Arzelá-Ascoli

## Ver tamién
* Llocalmente compactu
* Soporte compactu

* Númberu ordinal (teoría de conxuntos)
* Númberu cardinal

: Conxuntu finito
: Conxuntu infinitu
:: Conxuntu numerable
::: **Espaciu compactu**
:: Conxuntu non numerable
::: Hipótesis del continuu

## Referencies

* .
* 

 incluyendo espacios compactos.