Analís complexu

L**'analís complexu** (o **teoría de les funciones de variable complexa**) ye la caña de les matemátiques qu'en parte investiga les funciones holomorfas, tamién llamaes funciones analítiques. Una función ye holomorfa nuna rexón abierta del planu complexu si ta definida nesta rexón, toma valores complexos y d'últimes ye diferenciable en cada puntu d'esta rexón abierta con derivaes continues.

El qu'una función complexa seya diferenciable nel sentíu complexu tien consecuencies muncho más fuertes que la diferenciabilidad avezada nos reales. Por casu, toa función holomorfa puede representase como una serie de potencies en dalgún discu abiertu onde la serie converxe a la función. Si la serie de potencies converxe en tol planu complexu dizse que la función ye entera. Una definición rellacionada con función holomorfa ye función analítica: una función complexa sobre los complexos que puede ser representada como una serie de potencies. De cuenta que toa función holomorfa tamién cumple la definición de función analítica pero non toa función analítica ye holomorfa. En particular, les funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, un fechu que ye marcadamente distintu de lo qu'asocede nes funciones reales diferenciables. La mayoría de les funciones elemental como la son, por casu, dalgunos polinomios, la función esponencial y les funciones trigonométriques, son holomorfas.

## Historia

L'analís complexu ye una de les cañes clásiques de les matemátiques que tien los sos raigaños más allá del sieglu XIX. Los nomes destacaos nel so desarrollu son Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass y munchos más nel sieglu XX. Tradicionalmente, l'analís complexusobremanera la teoría de les aplicaciones conformes, tien munches aplicaciones n'inxeniería, pero ye llargamente usada tamién en teoría de númberos analítica. En tiempos modernos convertir en popular gracies al emburrie de la dinámica complexa y los dibuxos de fractales, producíos pola iteración de funciones holomorfas, de los cualos el más popular ye'l conxuntu de Mandelbrot. Otres aplicaciones importantes del analís complexu son les de la teoría de cuerdes, una teoría de campos cuánticos conforme-invariante.

## Resultaos principales

### Integrales de contorna
Una ferramienta de central importancia nel analís complexu ye la integral de contorna. La integral d'una función que seya holomorfa sobre y nel interior d'un camín zarráu ye siempres cero. Esto ye'l Teorema integral de Cauchy. Los valores d'una función holomorfa dientro d'un discu pueden ser topaos por aciu una integral de contorna sobre la frontera del discu (fórmula integral de Cauchy). Les integrales de contorna nel planu complexu úsense de cutiu p'atopar integrales reales complicaes, y pa esto ye útil la teoría de los residuos. Si una función tien un una *singularidá* en dalgún puntu (o númberu finitos d'ellos), que quier dicir que los sos valores "españen", que nun tien un valor finito en tales puntos, entós puede definise la residuu de la función en dicha singularidá, y estes residuos pueden ser usaos pa calcular integrales aparentemente difíciles d'una manera senciella, este ye'l conteníu del poderosu teorema de los residuos. L'interesáu comportamientu de les funciones holomorfas cerca de les singularidaes esenciales ye descritu pol teorema de Weierstrass-Casorati. Les funciones que tienen solu polos (un tipu de singularidá de funciones racionales onde'l polinomiu denominador tien un númberu finito de ceros) y non singularidaes esenciales dícense meromorfas.

### Series de Laurent

Les series de Laurent son similares a les series de Taylor pero pueden ser usaes pa estudiar el comportamientu de les funciones cerca de les singularidaes.

### Teorema de Liouville
Una función acutada que seya holomorfa nel planu complexu ten de ser constante; esto ye'l Teorema de Liouville, que puede usase pa dar una prueba natural y curtio del Teorema fundamental de la álxebra, que diz que'l cuerpu de los númberos complexos ye un cuerpu algebraicamente zarráu. 

### Continuación analítica

Una propiedá importante de les funciones holomorfas ye que si una función ser nun dominiu a cencielles conexu entós los sos valores tán dafechu determinaos polos sos valor sobre cualesquier subdominiu más pequeñu. La función sobre'l dominiu más grande diríase que ta analíticamente siguida, que ye la continuación dende los sos valores nel dominiu más pequeñu. Esto dexa estender, a cuasi tol planu, la definición de funciones como la función ζ de Riemann que tán primeramente definíes en términos de sumes infinites que converxen solo sobre dominios llindaos. Delles vegaes, como nel casu del llogaritmu natural, ye imposible siguir analíticamente una función holomorfa a un dominiu conexu non simple nel planu complexu, pero ye posible estendela a una función holomorfa sobre una superficie íntimamente rellacionada conocida como superficie de Riemann.

### Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Les funciones analítiques o holomorfas tán íntimamente amestaes a les ecuaciones en derivaes parciales de dos maneres. 
Una función diferenciable del planu al planu ye analítica si y solu si satisfai un sistema d'ecuaciones de primer orde llamáu les ecuaciones de Cauchy Riemann. Per otru llau, la parte real ya imaxinaria d'una función holomorfa tienen que ser
funciones harmóniques. Les ecuaciones de Cauchy Riemann son el prototipu d'un sistema elípticu de primer orde  

## Otros

### Delles variables complexes
Esiste tamién una rica teoría nel casu de más d'una dimensión complexa, onde les propiedaes analítiques como les d'espansión en series de potencies permanez entá ciertu pero que sicasí la mayoría de les propiedaes xeométriques de les funciones nuna dimensión complexa (como la de tresformamientu conforme) yá nun lo son. El teorema de representación conforme de Riemann sobre les rellaciones conformes de ciertos dominios nel planu complexu, que puede ser el resultáu más importante na teoría unidimensional, falla totalmente en dimensiones mayores.

### Dimensiones mayores reales: Teorema de Liouville (tresformamientu conforme)

Otra manera d'entender les funciones holomorfas son como funciones del espaciu euclideo dos dimensional en sí mesmu que la so
derivada ye una matriz conforme, ye dicir ye una dilatacíon compuesta con una isometria. Tales funciones esisten tamién 
en dimensiones mayores pero otru teorema de Liouville demuestra que tienen de ser necesariamante tresformamientos de Moebious, ye dicir composiciones de movimientos ríxidos ya inversiones al respective de esferes . 
En particular, si en dimensión dos el teorema de representación conforme de Riemann asegura que cualesquier dominiu a cencielles conexu ye la imaxe por aciu un tresformamientu conforme del discu unidá, la rixidez proporcionada por esti teorema
de Liouville implica qu'en dimensiones mayores les imáxenes de la bola unidá por aciu tresformamientos conformes son necesariamente boles con otru centru y otru radiu.

## Ver tamién

* Analís real
* Múltiples variables complexes
* Dinámica holomorfa
* Fibrado vectorial

## Referencies

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