Espaciu vectorial

:*Esti artículu ta empobináu a apurrir un tratamientu rigoroso y astracto del conceutu d'espaciu vectorial. Pa una introducción más accesible al conceutu, vease [[Vector]]*

Un **espaciu vectorial** ye, n'álxebra astracta, una estructura alxebraica creada a partir d'un dominiu de definición conxuntu non vacíu, una operación interna (llamada *suma*, definida pa los elementos del conxuntu) y una operación esterna (llamada *productu por un angular*, definida ente dichu conxuntu y otru conxuntu, con estructura de cuerpu), con 8 propiedaes fundamentales.

A los elementos d'un espaciu vectorial llámase-yos vectores y a los elementos del cuerpu, angulares.

## Historia
Históricamente, les primeres idees que conducieron a los espacios vectoriales modernos remontar al sieglu XVII: xeometría analítica, matrices y sistemes d'ecuaciones lliniales. 

Los espacios vectoriales derivar de la xeometría allegada al traviés de la introducción de coordenaes nel planu o l'espaciu tridimensional. Alredor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron les bases de la xeometría analítica por aciu la vinculación de les soluciones d'una ecuación con dos variables a la determinación d'una curva plana. Pa llograr una solución xeométrica ensin usar coordenaes, Bernhard Bolzano introdució en 1804 ciertes operaciones sobre puntos, llinies y planos, que son predecesores de los vectores. Esti trabayu fixo usu del conceutu de coordenaes baricéntricas d'August Ferdinand Möbius de 1827. 

La primer formulación moderna y axomática deber a Giuseppe Peano, a finales del sieglu XIX. Les siguientes meyores na teoría d'espacios vectoriales provienen del analís funcional, principalmente d'espacios de funciones. Los problemes d'analís funcional riquíen resolver problemes sobre la converxencia. Esto fixo dotando a los espacios vectoriales d'una fayadiza topoloxía, dexando tener en cuenta cuestiones de proximidá y continuidá. Estos espacios vectoriales topolóxicossobremanera los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y ellaborada.

L'orixe de la definición de los vectores ye la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que ye un segmentu empobináu, unu de que los sos estremos ye l'orixe y l'otru un oxetivu. Los vectores reconsiderar cola presentación de los númberos complexos d'Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por esti postreru (Hamilton foi amás el qu'inventó'l nome de vector). Son elementos de **R**² y **R**⁴; el tratamientu por aciu combinaciones lliniales remontar a Laguerre en 1867, quien tamién definió los sistemes d'ecuaciones lliniales.

En 1857, Cayley introdució la notación matricial que dexa una harmonización y simplificación de les aplicaciones lliniales. Cuasi coles mesmes, Grassmann estudió'l cálculu baricéntrico empecipiáu por Möbius. Previo conxuntos d'oxetos astractos dotaos d'operaciones. Nel so trabayu, los conceutos d'independencia llinial y dimensión, lo mesmo que de productu angular tán presentes. En realidá'l trabayu de Grassmann de 1844 supera'l marcu de los espacios vectoriales, una y bones teniendo en cuenta la multiplicación, tamién, llevar a lo qu'anguaño se llamen álxebres. El matemáticu italianu Peano dio la primer definición moderna d'espacios vectoriales y aplicaciones lliniales en 1888.

Un desenvolvimientu importante de los espacios vectoriales deber a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde foi formalizáu por Banach na so tesis doctoral de 1920 y por Hilbert. Nesti momentu, el álxebra y el nuevu campu del analís funcional empezaron a interactuarsobremanera con conceutos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. Tamién nesti tiempu, los primeros estudios sobre espacios vectoriales d'infinites dimensiones realizáronse.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones n'otres cañes de la matemática, la ciencia y la inxeniería. Utilizar en métodos como les series de Fourier, que s'utiliza nes rutines modernes de compresión d'imáxenes y soníu, o apurren el marcu pa resolver ecuaciones en derivaes parciales. Amás, los espacios vectoriales apurren una forma astracta llibre de coordenaes de tratar con oxetos xeométricos y físicos, tales como tensores, que de la mesma dexen estudiar les propiedaes locales de variedaes por aciu téuniques de linealización.

## Notación
Dau un espaciu vectorial  V \; sobre un cuerpu  K \;, estrémense.

Los elementos de  V \; como:
: 
 \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}, \dots \; \in
V  llámense **vectores**.

:Caligrafíes d'otres obres
:: 
 \bar{u}, \bar{v}, \bar{w}, \dots \; \in
V 

:Si'l testu ye de física suelen representase so una flecha:
:: 
 \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \dots \; \in
V 

Los elementos de  K \; como:
: 
 \mathit{a}, \mathit{b}, \mathit{c}, \dots \; \in
K  llámense **angulares**.

## Definición d'espaciu vectorial
Un **espaciu vectorial** sobre un cuerpu  K \; (como'l cuerpu de los númberos reales o los númberos complexos) ye un conxuntu  V \;  non vacíu, dotáu de dos operaciones pa les cualos va ser zarráu:
:  \begin{array}{llccl}
 \mbox{Suma} & +: & {V \times V} & \longrightarrow{} & {V} \\
 & & {(\mathbf{u},\mathbf{v})} & \mapsto & {\mathbf{w} = \mathbf{u}+\mathbf{v}}
 \end{array}


operación interna tal que:
: 1) tenga la propiedá conmutativa, ye dicir

: 2) tenga la propiedá asociativa, ye dicir

: 3) tenga elementu neutru  \mathbf{y} , (exemplu 0 nos reales) ye dicir
:: 
 \exists{}\mathbf{y} \in{} V :  
 \mathbf{u} + \mathbf{y} = \mathbf{u} ,  
 \forall{} \mathbf{u} \in{} V


: 4) tenga elementu opuestu, ye dicir
:: 
 \forall{} \mathbf{u} \in{} V , \quad
 \exists{} \mathbf{-u} \in{} V :  
 \mathbf{u} + (\mathbf{-u}) = \mathbf{y}


y la operación productu por un angular:
: 
 \begin{array}{llccl}
 \mbox{Productu} & \cdot{}: & {K \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\
 & & {(\mathit{a},\mathbf{u})} & \mapsto & {\mathbf{v} = \mathit{a} \cdot \mathbf{u}}
 \end{array}


operación esterna tal que:
: 5) tenga la propiedá asociativa:
:: 
 \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=(\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} , 
 \forall{} \mathit{a} ,\mathit{b} \in{}K ,  
 \forall{} \mathbf{u} \in{} V


: 6) Esistencia del elementu neutru multiplicativu  \mathbf{y}  (exemplu 1 nos reales) del cuerpu K, ye sí mesmu.
:
 \exists{\mathbf{y}} \in{K}:  
 \mathbf{y} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} ,  
 \forall{} \mathbf{u} \in{} V

:: 

: 7) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma de vectores:
:: 
 \mathit{a} \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) =
 \mathit{a} \cdot \mathbf{u}+ \mathit{a} \cdot \mathbf{v} ,  
 \forall{} \mathit{a}\in{}K ,  
 \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V


: 8) tenga la propiedá distributiva del productu respeuto la suma d'angulares:
:: 
 (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} =
 \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u} ,  
 \forall{} \mathit{a}, \mathit{b} \in{} K ,  
 \forall{} \mathbf{u} \in{} V

:

 

### Observaciones
La denominación de los dos operaciones nun condiciona la definición d'espaciu vectorial polo que ye habitual atopar traducciones d'obres nes que s'utiliza *multiplicación* pal *productu* y *adición* pa la *suma*, usando les distinciones propies de l'aritmética.

Pa demostrar qu'un conxuntu V_{}^{} ye un espaciu vectorial:

*Ser si los sos dos operaciones, por casu \odot(V,V) y  \ast(V,K) , almiten una redefinición del tipu +(V,V)=\odot(V,V) y  \cdot(K,V)=\ast(V,K) cumpliendo les 8 condiciones esixíes.

*Si supiéramos que V_{}^{} ye un grupu conmutativu o abeliano respeuto la suma yá tendríamos probaos los apartaos **1, 2, 3** y **4**.

*Si supiéramos que'l productu ye una aición pela izquierda de V_{}^{} tendríamos probaos los apartaos **5** y **6**.

*Si nun se diz lo contrario:
: 
 \mathit{a} \mathbf{v} \neq
 \mathbf{v} \mathit{a}
.

### Propiedaes

 = \mathit{1} \\
 \mathit{a} \cdot \mathit{a_2^{-1}} = \mathit{1}
 \end{array}
 \right \}
 \Rightarrow  
 \mathit{a} \cdot \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{a} \cdot \mathit{a_2^{-1}}
 \Rightarrow  
 \mathit{a_1^{-1}} = \mathit{a_2^{-1}}
 \Rightarrow  
 \exists ! \mathit{a^{-1}} \in
K 
}}

Si 
 \mathit{a} \cdot \mathbf{u} =
 \mathbf{0}
 \Rightarrow  
 \mathit{a} = \mathit{0}
 \quad \lor \quad
 \mathbf{u} = \mathbf{0}
.

* Si a_{}^{}=0, ye ciertu.
* Si 
 a \neq 0 , 
entós:
: 
 \exists ! \; a^{-1} \in K :  a^{-1}a=1 
 \Rightarrow  
 u= 1u= (a^{-1}a)u= a^{-1}(au)= a^{-1}0=0
 \Rightarrow  
 u_{}^{}=0.


**Notación**

: -au=-(au) \,.

**Observación**

:  -au=(-a)u=a(-u) \,

:*Si  au+a(-u)=a(u-u)=a0=0 \Rightarrow  a(-u)=-au \,
:*Si  au+(-a)u=(a-a)u=0u=0 \Rightarrow  (-a)u=-au \,

### Primer exemplu con demostración
Quier probase que \mathbb{R}^2 ye un espaciu vectorial sobre \mathbb{R}

Si \mathbb{R}^2 xuega'l papel de V \;  y \mathbb{R} el de  K \;:

Los elementos:
: 
 \mathbf{u} \in V =
 \mathbb{R}^2 =
 \mathbb{R} \times{}\mathbb{R}


son, de forma xenérica:
: 
 \mathbf{u} =(u_x,u_y)


esto ye, pares de númberos reales. Por claridá caltiénse la denominación del vector, nesti casu **o**, nes sos coordenaes, añadiendo'l subíndice **x** o **y** pa denominar el so componente na exa **x** o **y** respeutivamente

En  V \;  defínese la operación suma:
: 
 \begin{array}{ccll}
 +: & {V \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\
 & (\mathbf{u},\mathbf{v}) & \mapsto & \mathbf{w}= \mathbf{u} + \mathbf{v}
 \end{array}


onde:
: 
 \mathbf{u} = (u_x, u_y)

: 
 \mathbf{v} = (v_x, v_y)

: 
 \mathbf{w} = (w_x, w_y)


y la suma de **o** y **v** sería:
: 
 \mathbf{u} + \mathbf{v} =
 (u_x, u_y) + (v_x, v_y) =
 (u_x + v_x, u_y + v_y) =
 (w_x, w_y) =
 \mathbf{w}


onde:
: 
 \begin{array}{l}
 w_x = u_x + v_x \\
 w_y = u_y + v_y \end{array}
 


esto implica que la suma de vectores ye interna y bien definida.

La operación interna suma tien les propiedaes:

1) La propiedá conmutativa, esto ye:
: 
 \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} , \quad
 \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V


: 
 \mathbf{u} + \mathbf{v} =
 \mathbf{v} + \mathbf{u}

: 
 (u_x, u_y) + (v_x, v_y) =
 \mathbf{v} + \mathbf{u}

: 
 (u_x + v_x, u_y + v_y) =
 \mathbf{v} + \mathbf{u}

: 
 (v_x + u_x, v_y + u_y) =
 \mathbf{v} + \mathbf{u}

: 
 (v_x, v_y) + (u_x, u_y) =
 \mathbf{v} + \mathbf{u}

: 
 \mathbf{v} + \mathbf{u} =
 \mathbf{v} + \mathbf{u}


2) La propiedá asociativa:
: 
 (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w}=
 \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})

: 
 \Big( (u_x, u_y) + (v_x, v_y) \Big) + (w_x, w_y) =
 (u_x, u_y) + \Big( (v_x, v_y) + (w_x, w_y) \Big)

: 
 (u_x + v_x, u_y + v_y) + (w_x, w_y)=
 (u_x, u_y) + (v_x + w_x, v_y + w_y) \;

: 
 (u_x + v_x + w_x, u_y + v_y + w_y) =
 (u_x + v_x + w_x, u_y + v_y + w_y) \;


3) tien elementu neutru  \mathbf{0} :
: 
 \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}

: 
 (u_x, u_y) + (0, 0) =
 (u_x + 0, u_y + 0) =
 (u_x, u_y) \;


4) tenga elementu opuestu:
: 
 \mathbf{u} = (u_x, u_y)

: 
 \mathbf{-u} = (-u_x, -u_y)


: 
 \mathbf{u} + ( \mathbf{-u}) =
 (u_x, u_y) + (-u_x, -u_y) =
 (u_x - u_x, u_y - u_y) =
 (0, 0) = \mathbf{0}


La operación productu por un angular:
: 
 \begin{array}{ccll}
 \cdot : & K \times V & \longrightarrow & V \\
 & (\mathit{a}, \mathbf{u}) & \mapsto & \mathbf{v}= \mathit{a} \cdot \mathbf{u}
 \end{array}


El productu de **a** y **o** va ser:
: 
 \mathit{a} \cdot \mathbf{u} =
 a \cdot (u_x, u_y) =
 (a \cdot u_x, a \cdot u_y) =
 (v_x, v_y) =
 \mathbf{v}


onde:
: 
 \begin{array}{l}
 v_x = a \cdot u_x \\
 v_y = a \cdot u_y \end{array}
 


esto implica que la multiplicación de vector por angular ye esterna y aun así ta bien definida.

5) tenga la propiedá asociativa:
: 
 \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=(\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} , \quad
 \forall{} \mathit{a} ,\mathit{b} \in{}K , \quad
 \forall{} \mathbf{u} \in{} V


Esto ye:
: 
 \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot \mathbf{u})=
 (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot \mathbf{u}

: 
 \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot (u_x, u_y))=
 (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y)

: 
 \mathit{a} \cdot (\mathit{b} \cdot u_x, \mathit{b} \cdot u_y)=
 (\mathit{a} \cdot \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y)

: 
 (\mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_y)=
 (\mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot \mathit{b} \cdot u_y)


6) \mathit{1} \in{} R seya elementu neutru nel productu:
: 
 \mathit{1} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} , \quad
 \forall{} \mathbf{u} \in{} V


Que resulta:
: 
 \mathit{1} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u}

: 
 \mathit{1} \cdot (u_x, u_y) = \mathbf{u}

: 
 (\mathit{1} \cdot u_x, \mathit{1} \cdot u_y) = \mathbf{u}

: 
 (u_x, u_y) = \mathbf{u}


Que tien la propiedá distributiva:

7) distributiva pela esquierda:
: 
 \mathit{a} \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) =
 \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{a} \cdot \mathbf{v} , \quad
 \forall{} \mathit{a}\in{}R , \quad
 \forall{} \mathbf{u}, \mathbf{v} \in{} V


Nesti casu tenemos:
: 
 \mathit{a} \cdot (\mathbf{u}+ \mathbf{v}) =
 \mathit{a} \cdot \mathbf{u}+ \mathit{a} \cdot \mathbf{v}

: 
 \mathit{a} \cdot ((u_x, u_y) + (v_x, v_y)) =
 \mathit{a} \cdot (u_x, u_y) + \mathit{a} \cdot (v_x, v_y)

: 
 \mathit{a} \cdot (u_x + v_x, u_y + v_y) =
 (\mathit{a} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y) + (\mathit{a} \cdot v_x, \mathit{a} \cdot v_y)

: 
 \mathit{a} \cdot (u_x + v_x, u_y + v_y) =
 (\mathit{a} \cdot u_x + \mathit{a} \cdot v_x, \mathit{a} \cdot u_y + \mathit{a} \cdot v_y)

: 
 (\mathit{a} \cdot (u_x + v_x), \mathit{a} \cdot (u_y + v_y)) =
 (\mathit{a} \cdot (u_x + v_x), \mathit{a} \cdot (u_y + v_y))


8) distributiva pela derecha:
: 
 (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} =
 \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u} , \quad
 \forall{} \mathit{a}, \mathit{b} \in{} R , \quad
 \forall{} \mathbf{u} \in{} V


Qu'en esti casu tenemos:
: 
 (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot \mathbf{u} =
 \mathit{a} \cdot \mathbf{u} + \mathit{b} \cdot \mathbf{u}

: 
 (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) =
 \mathit{a} \cdot (u_x, u_y) + \mathit{b} \cdot (u_x, u_y)

: 
 (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) =
 (\mathit{a} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y) + (\mathit{b} \cdot u_x, \mathit{b} \cdot u_y)

: 
 (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot (u_x, u_y) =
 (\mathit{a} \cdot u_x + \mathit{b} \cdot u_x, \mathit{a} \cdot u_y + \mathit{b} \cdot u_y)

: 
 ((\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_x, (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_y) =
 ((\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_x, (\mathit{a} + \mathit{b}) \cdot u_y)


Queda demostráu que ye espaciu vectorial.

## Exemplos d'espacios vectoriales

### Los cuerpos
Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre él mesmu, usando como productu por angular el productu del cuerpu.

* \mathbb{C} ye un espaciu vectorial de dimensión unu sobre  \mathbb{C}.

Tou cuerpu ye un espaciu vectorial sobre'l so subcuerpo, usando como productu por angular el productu del cuerpu.

* \mathbb{C} ye un espaciu vectorial sobre  \mathbb{R}.
* \mathbb{C} ye un espaciu vectorial sobre  \mathbb{Q}.

### Socesiones sobre un cuerpu <math>K_{}^{}</math>
L'espaciu vectorial más conocíu notáu como  K_{}^n, onde *n*>0 ye un enteru, tien como elementos ''n''-tuplas, esto ye, socesiones finitas de K_{}^{} de llargor *n* coles operaciones:

:(*o*1, *o*2, ..., *o**n*)+(*v*1, *v*2, ..., *v**n*)=(*o*1+*v*1, *o*2+*v*2, ..., *o**n*+*v*n).

:a(*o*1, *o*2, ..., *o**n*)=(*au*1, *au*2, ..., *au**n*).

Les socesiones infinites de K^{} son espacios vectoriales coles operaciones:

:(*o*1, *o*2, ..., *o**n*, ...)+(*v*1, *v*2, ..., *v**n*, ...)=(*o*1+*v*1, *o*2+*v*2, ..., *o**n*+*v*n, ...).

:a(*o*1, *o*2, ..., *o**n*, ...)=(*au*1, *au*2, ..., *au**n*, ...).

L'espaciu de les matrices n \times m, M_{n \times m}(K), sobre K^{}, coles operaciones:

: \begin{pmatrix} x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1} & \cdots & x_{n,m} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_{1,1} & \cdots & y_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{n,1} & \cdots & y_{n,m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1,1}+y_{1,1} & \cdots & x_{1,m}+y_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1}+y_{n,1} & \cdots & x_{n,m}+y_{n,m} \end{pmatrix} 

: a \begin{pmatrix} x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1} & \cdots & x_{n,m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax_{1,1} & \cdots & ax_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ ax_{n,1} & \cdots & ax_{n,m} \end{pmatrix} 

Tamién son espacios vectoriales cualquier agrupación d'elementos de K_{}^{} nes cualos defínase les operaciones suma y productu ente estes agrupaciones, elementu a elementu, similar al de matrices n \times m, asina por casu tenemos les caxes n \times m \times r sobre K_{}^{} qu'apaecen nel desenvolvimientu de Taylor d'orde 3 d'una función xenérica.

### Espacios d'aplicaciones sobre un cuerpu
El conxuntu F_{}^{} de les aplicaciones  f : M \rightarrow K, K^{} un cuerpu y M_{}^{} un conxuntu, tamién formen espacios vectoriales por aciu la suma y la multiplicación habitual:

:\forall f,g \in F,\; \forall a \in K

\begin{matrix}
(f + g)(w) &:= f(w) + g(w)_{}^{},\\
\;\;\;\;(af)(w) &:= a(f)(w)_{}^{}.\;\;\;\;\;\;\;
\end{matrix}

#### Los polinomios

L'[espacio vectorial ''K''x] formáu por funciones polinómiques, veámoslo:

:Espresión xeneral:  p(x) = r_n x^n+ r_{n-1} x_{}^{n-1}+ ... + r_1 x + r_0 ,onde los coeficientes r_n, \; ..., r_0 \in K, considérese \forall i>n \; r_i=0.

:: p(x)+q(x)=(r_n x^n+r_{n-1}x^{n-1}+ ... +r_1 x+r_0^{}) +(s_m x^m+ s_{m-1} x^{m-1}+ ... +s_1 x+s_0^{}) =..._{}^{} =(t_M x^M+t_{M-1} x^{M-1}+...+t_1 x+t_0^{})=(p+q)(x), onde M= \max \{ m, \; n \}_{}^{} y  t_i=r_i+s_i^{},

::a(p(x))=a(r_n x^n+ r_{n-1}x^{n-1}+ ... +r_1 x+r_0^{}) =( a r_n x^n+ a r_{n-1}x^{n-1}+ ... +a r_1 x + a r_0^{}) = t_n x^n+ t_{n-1}x^{n-1}+ ... + t_1 x + t_0^{}=(ap)(x).

Les series de potencies son similares, sacantes se dexen infinitos términos distintos de cero.

#### Funciones trigonométriques
Les funciones trigonométriques formen espacios vectoriales coles siguientes operaciones:

:Espresión xeneral: f(x)= a_f^{} \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sen} (i x) + c_{f,i} \cos (i x) ) \in L^2

::(f+g)(x):=f(x)+g(x)_{}^{} = a_f \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sen} (i x) + c_{f,i} \cos (i x) ) + a_g \sum_{i=1}^n ( b_{g,i} \mbox{sen} (i x) + c_{g,i} \cos(i x) ) = ( a_f + a_g ) \sum_{i=1}^n ( (b_{f,i} + b_{g,i}) \mbox{sen} (i x) + ( c_{f,i} + c_{g,i} ) \cos(i x) ) \in L^2,

::(af)(x):=a f(x)_{}^{} = a ( a_f \sum_{i=1}^n ( b_{f,i} \mbox{sen} (i x) + c_{f,i} \cos (i x) ) ) = aa_f \sum_{i=1}^n ( ab_{f,i} \mbox{sen} (i x) + ac_{f,i} \cos(i x) ) \in L^2.

### Los sistemes d'ecuaciones lliniales homoxénees


\begin{cases}
\begin{matrix} 
a_{1,1}x_1 & + \dots & + a_{1,n}x_n & =0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m,1}x_1 & + \dots & + a_{m,n}x_n & =0 
\end{matrix}
\end{cases}
\;\; o equivalentemente 
\begin{pmatrix} 
a_{1,1} & + \dots & + a_{1,n} \\
\vdots & & \vdots & \\
a_{m,1} & + \dots & + a_{m,n} 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}
 simplificáu como A_{}^{}x=0

Un sistema d'ecuaciones lliniales homoxénees( ecuaciones lliniales nes que x=0_{}^{} ye siempres una solución, esto ye, (x_1,\; \dots ,\; x_n)=(0,\; \dots ,\; 0)) tien soluciones que formen un espaciu vectorial, puede vese nos sos dos operaciones:

:Si Ax=0,Ai=0 \Rightarrow Ax+Ai=0 \Rightarrow   A(x+y)=0_{}^{}

:Si Ax=0,a \in K \Rightarrow a(Ax)=0 \Rightarrow   A(ax)=0_{}^{}.

Tamién que les ecuaciones en sí, files de la matriz A_{}^{} notaes como una matriz 1\times n , esto ye,  Y_i=(a_{i,1}, \; \dots , \; a_{i,n}), son un espaciu vectorial, como puede vese nos sos dos operaciones:

:Si  E_ix=0,\; E_jx=0 \Rightarrow   Y_i^{}x+E_jx=0 \Rightarrow (Y_i+Y_j)x=0

:Si  E_ix=0,\; a \in K \Rightarrow   a(Y_i^{}x)=0 \Rightarrow (aE_i)x=0.

## Definición de subespacio vectorial
Sía V un espaciu vectorial sobre K, y  U \subseteq V un subconxuntu non vacíu de  V, dizse que U ye un **[[subespacio vectorial]]** de V si:

# u+v\in U
# \beta u\in U

\forall\;u,v\in U y \beta\in K.

### Consecuencies
U herieda les operaciones de V_{}^{} como aplicaciones bien definíes, ye dicir que nun escapen de U, y de resultes tenemos que U ye un espaciu vectorial sobre K_{}^{}.

Con cualquier subconxuntu d'elementos escoyíos nos espacios vectoriales anteriores, non vacíu, pueden xenerase subespacios vectoriales, pa ello seria útil introducir nuevos conceutos que van facilitar el trabayu sobre estos nuevos espacios vectoriales.

## Resultaos internes
Pa detallar el comportamientu internu de tolos espacios vectoriales de manera xeneral ye necesariu esponer una serie de ferramientes cronológicamente venceyaes ente elles, coles cualos ye posible construyir resultaos válides en cualquier estructura que seya espaciu vectorial. 

### Combinación llinial

Dau un espaciu vectorial E_{}^{}, vamos dicir qu'un vector u\in E ye **[[combinación llinial]]** de los vectores de S=\{v_1,\dots,v_n\}\subseteq E si esisten angulares a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R} \langle S_{}^{} \rangle_Y  el conxuntu resultante de toles combinaciones lliniales de los vectores de  S_{}^{} \subset Y.

#### Proposición 1

Dau Y_{}^{} un espaciu vectorial y S \subset Y_{}^{} un conxuntu de vectores, el conxuntu F=\langle S_{}^{} \rangle_Y ye'l subespacio vectorial más pequeñu conteníu en Y_{}^{} y que contién a S_{}^{}.

:**Nota**. Nesti casu dizse que  S_{}^{}  ye un **[[Sistema xenerador|sistema de xeneradores]]** que xenera a F_{}^{}.

### Independencia llinial
Vamos Dicir qu'un conxuntu S_{}^{}=\{ v_1, \; \dots , \; v_n \} de vectores ye **[[independencia llinial|linealmente independiente]]** si'l vector 0 nun puede espresase como combinación llinial non nula de los vectores de S_{}^{}, esto ye:

:Si 0=a_1v_1+ \cdots + a_nv_n \Rightarrow a_1= \cdots = a_n = 0.

Vamos Dicir qu'un conxuntu S_{}^{} de vectores ye **linealmente dependiente** si nun ye linealmente independiente.

#### Proposición 2
v_1,\; \dots, \; v_n son linealmente dependientes  \Leftrightarrow \exists v_i \neq 0 : v_i= \sum_{ i \neq j \geq 1}^n a_jv_j 

### Base d'un espaciu vectorial

Les *bases* revelen la estructura de los espacios vectoriales d'una manera concisa. Una base ye'l menor conxuntu (finito o infinitu) *B* = {**v***i*}*i* ∈ *I* de vectores que xeneren tol espaciu. Esto significa que cualquier vector **v** puede ser espresáu como una suma (llamada *[[combinación llinial]]*) d'elementos de la base :*a*1**v***i*1
+ *a*2**v***i*2 + ... + *a**n***v***i**n*, onde los
*a**k* son angulares y **v***i**k* (*k* = 1, ..., *n*) elementos de la base *B*. La minimalidad, per otru llau, faise formal pol conceutu d'independencia llinial. Un conxuntu de vectores dizse que ye linealmente independiente si nengunu de los sos elementos puede ser espresáu como una combinación llinial de los restantes. Equivalentemente, una ecuación 
:*a*1**v***i*1 + *a**i*2**v**2 + ... + *a**n***v***i*n = 0
solo consíguese si toos angular *a*1, ..., *a**n* son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede ser espresáu como una suma finita de los elementos de la base. Por cuenta de la independencia llinial esti tipu de representación ye única. Los espacios vectoriales dacuando introdúcense dende esti puntu de vista.

### Base formalmente

Dau un sistema de xeneradores, vamos dicir que ye una **[[base (álxebra)|base]]** si son linealmente independientes.

:**Proposición 3.** Dau un espaciu vectorial  Y, \; \{ v_1, \; \dots , v_n \} = F \subset Y ye una base  \Leftrightarrow  \forall o \in Y, \; \exists ! a_i \in K ,\;i \in {1,\; \dots , n} :  u=\sum_{i=1}^n a_iv_i.

:**Proposición 4.** Dau un espaciu vectorial  Y, \; S= \{v_1,\; \dots , \; v_n \} linealmente independiente y o \notin \langle S \rangle \Rightarrow   \{ o \} \cup S = \{ o, \; v_1, \; \dots , \; v_n \}  son linealmente independiente.

#### Teorema de la base de xeneradores
Tou sistema de xeneradores tien una base.

#### Teorema Steinitz
Toa base d'un espaciu vectorial pue ser camudada parcialmente por vectores linealmente independientes.

:**Corolariu**. Si un espaciu vectorial Y_{}^{} tien una base de n_{}^{} vectores \Rightarrow  cualesquier otra base tien n_{}^{} vectores.

### Observación
**Tou espaciu vectorial** tien una base. Esti fechu basar nel lema de Zorn, una formulación equivalente del axoma d'elección. Habida cuenta de los otros axomes de la teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel, la esistencia de bases ye equivalente al axoma d'eleición. El ultrafilter lemma, que ye más débil que l'axoma d'eleición, implica que toles bases d'un espaciu vectorial tienen el mesmu "tamañu", esto ye, cardinalidad. Si l'espaciu ye xeneráu por un númberu finito de vectores, tou lo anterior puede demostrase ensin necesidá d'allegar a la teoría de conxuntos.

### Dimensión
Dau un espaciu vectorial sobre  K_{}^{} :
*Si tien base finita, vamos dicir **[[Dimensión d'un espaciu vectorial|dimensión]]** al númberu d'elementos de dicha base.
*Si tien base non finita, vamos dicir que ye de **[[Dimensión d'un espaciu vectorial|dimensión infinita]]**.

#### Notación
Dau un espaciu vectorial Y_{}^{} y un subespacio F_{}^{} \subset Y, tenemos que:

*Si Y_{}^{} tien dimensión  n_{}^{} vamos indicar como  \dim(Y)=n_{}^{}.

*Si F_{}^{} tien dimensión  m_{}^{} como subespacio de Y_{}^{} vamos indicar como  \dim_Y(F)=m_{}^{}.

### Interseición de subespacios vectoriales
Dau dos subespacios vectoriales  F, G \subset Y, la interseición ye subespacio vectorial conteníu nestos y vamos notar como:

: F \cap G:= \{ o : \; o \in F , \; o \in G \}.

:**Observaciones**. Pa la interseición socesiva d'espacios vectoriales procédese, inductivamente, de dos en dos.

La unión de subespacios vectoriales nun ye polo xeneral un subespacio vectorial.

### Suma de subespacios vectoriales
Dau dos subespacios vectoriales F, G \subset Y, la suma ye un subespacio vectorial que contién a estos y vamos notar como:

: F+G:= \{ u=v_1+v_2 : \; v_1 \in F, \; v_2 \in G \} .

Si F y G son subespacios vectoriales de Y, la so suma F+G ye'l subespacio vectorial de Y más pequeñu que contién a F y a G.

:**Observación**. Pa la suma socesiva d'espacios vectoriales procédese, inductivamente, de dos en dos.

### Teorema Fórmula de Grassmann
Dau dos subespacios vectoriales F, G \subset Y de dimensión finita, tenemos la resultancia siguiente:

: \dim_Y(F+G) = \dim_Y(F) + \dim_Y(G) - \dim_Y(F \cap G) .

### Suma direuta de subespacios vectoriales
Daos dos subespacios vectoriales F, G \subset Y, vamos dicir que F+G_{}^{} ye una *suma direuta* si  F \cap G = {0}  y vamos notar como:

:: F \oplus G .

Cuando F y G tán d'últimes direuta, cada vector de F+G espresar de forma única como suma d'un vector de F y otru vector de G.

### Cociente d'espacios vectoriales
Dau un espaciu vectorial Y\, y un subespacio vectorial F \subset Y .

Daos o,v \in Y vamos dicir que tán rellacionaos módulu F\, si  o-v \in F.

*La rellación anterior ye una rellación d'equivalencia.

:Notar por  [u] =u+F: = \{u+v : v \in F \}  = \{ w : w=u+v , \; v \in F \} a la clase de o\, módulu F\,.

Vamos Llamar **[[Espaciu cociente (álxebra llinial)|conxuntu cociente]]** o **espaciu cociente** al conxuntu de les clases d'equivalencia anterior:

:Notar por  Y/F_{}^{} a dichu espaciu cociente.

L'espaciu  Y/F_{}^{} ye un espaciu vectorial coles operaciones siguientes:

::\begin{matrix} [o]+ [v] & := & [u+v] \\ \;\;\;\;\;\;\;\lambda [o] & := & [ \lambda o]\;\;\;\; \end{matrix}

## Construcciones básiques
Amás de lo espuesto nos exemplos anteriores, hai una serie de construcciones que nos apurren espacios vectoriales a partir d'otros. Amás de les definiciones concretes que figuren de siguío, tamién se caractericen por propiedaes universales, que determina un oxetu *X* especificando les aplicaciones lliniales de *X* a cualesquier otru espaciu vectorial.

### Suma direuta d'espacios vectoriales
Dau dos espacios vectoriales Y,\; F_{}^{} sobre un mesmu cuerpu K_{}^{}, vamos llamar suma direuta al espaciu vectorial Y \times F = \{ u:=(u_1,\; u_2) : u_1 \in Y,\; u_2 \in F \} , veamos que tán bien definíes los dos operaciones:

:u+v=(u_1,\;u_2)+(v_1,\;v_2)=(u_1+v_1,\; u_2+v_2),

:a o =a(u_1,\;u_2)=(au_1,\;au_2).

## Espacios vectoriales con estructura adicional
Dende'l puntu de vista de la álxebra llinial, los espacios vectoriales entiéndense dafechu na midida na que cualquier espaciu vectorial caracterízase, salvu isomorfismos, pola so dimensión. Sicasí, los espacios vectoriales *ad hoc* nun ufierten un marcu pa faer frente a la cuestión fundamental pal analís de si una socesión de funciones converxe a otra función. Coles mesmes, la álxebra llinial nun ta afecha *per se* pa faer frente a series infinites, una y bones la suma solo dexa un númberu finito de términos pa sumar. Les necesidaes del analís funcional riquen considerar nueves estructures.

### Espacios normados

Un espaciu vectorial ye **[[Espaciu vectorial normado|normado]]** si ta dotáu d'una norma.

### Espaciu métricu
Un espaciu métricu ye un espaciu vectorial dotáu d'una aplicación alloña.

:**Proposición 5**. Un espaciu normado ye un espaciu métricu, onde la distancia vien dada por:
: d(x,y)=\|x-y\|

Toa distancia inducida pola norma ye una distancia.

### Espacios vectoriales topolóxicos

Dada una topoloxía  \tau_{}^{} sobre un espaciu vectorial X_{}^{} onde los puntos sían zarraos y los dos operaciones del espaciu vectorial sían continues respectu diches topoloxía, vamos dicir que:
* \tau_{}^{} ye una **topoloxía vectorial** sobre  X_{}^{}, *
X_{}^{} ye un **espaciu vectorial topolóxicu**.

:**Proposición 6.**. Tou espaciu vectorial topolóxicu dotáu d'una métrica ye espaciu normado.
:**Proposición 7.**. Tou espaciu normado ye un espaciu vectorial topolóxicu.

### Espacios de Banach

Un espaciu de **Banach** ye un espaciu normado y completu.

### Espacios prehilbertianos

Un **[[espaciu prehilbertiano]]** ye un par (Y_{}^{},\langle \cdot | \cdot \rangle), onde Y_{}^{} ye un espaciu vectorial y  \langle \cdot | \cdot \rangle  ye un productu a angular.

### Espacios de Hilbert

Un **espaciu de Hilbert** ye un espaciu prehilbertiano completu pola norma definida pol productu angular.

## Morfismos ente espacios vectoriales
Son aplicaciones ente espacios vectoriales que caltienen la estructura de los espacios vectoriales, esto ye, caltienen los dos operaciones y les propiedaes d'estes d'unu a otru de dichos espacios.

### Aplicaciones lliniales

Dau dos espacios vectoriales Y_{}^{} y F_{}^{}, sobre un mesmu cuerpu, vamos dicir qu'una aplicación f:Y \rightarrow F ye **llinial** si:

:f(o+_Y v)=f(o)+_F f(v)_{}^{},

:f(a \cdot_Y o)=a \cdot_F f(o).

## Ver tamién
* Combinación llinial
* Sistema xenerador
* Independencia llinial
* Base (álxebra)
* Teorema rango-nulidad
* Base Ortogonal
* Base Ortonormal
* Coordenaes cartesianes
* Productu angular
* Productu vectorial
* Productu mistu
* Productu tensorial

## Referencies

### Notes

### Referencies históriques
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### Bibliografía
*
*
*Queysanne, M., *Álxebra Básica*, Vicens-Vives. 1973.
*Rudin, w., *Analís Funcional* (Definición axomática d'espacios vectoriales topolóxicos introductivamente), Reverté.

## Enllaces esternos
* Xuega con vectores
* 
* A lecture about fundamental concepts related to vector spaces (given at MIT)
* A graphical simulator for the concepts of span, linear dependency, base and dimension