Númberu π

En matemátiques y xeometría, **π (pi)** ye la rellación ente la llonxitú de la circunferencia y el so diámetru. Ye un númberu trescendental, lo que significa que nun ye la raíz de nengún polinomiu non nulu de coeficientes enteros.

Alternativamente, π pue ser definíu como l'área d'un círculu de radiu 1, o como'l menor númberu x positivu tal que sen (x) = 0. 

La notación cola lletra griega π foi popularizada pol matemáticu Leonhard Euler.

El valor de pi truncáu a 100 posiciones decimales ye:

π = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 8939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170680

## Fórmules que contienen a π

En Xeometría: 

* Circunferencia de radiu *r*: C = 2 π *r* 
* Área del círculu de radiu *r*: A = π *r*² 
* Área de la elipse con semiexes *a* y *b*: A = π *ab*
* Área del cilindru: 2π*r*(*r*+*h*)
* Área de la esfera: 4 π *r*²
* Volume de la esfera de radiu *r*: V = (4/3) π *r*³
* Ánguloss: 180 graos son equivalentes a *π* radianes

En Probabilidá:

* La probabilidá de que dos enteros positivos escoyíos al azar seyan primos ente si ye: 6/π²
* Si s'escueyen al azar dos númberos positivos menores que 1, la probabilidá de que xunto col númberu 1 puedan ser los llaos d'un triángulu obtusángulu ye: (π-2)/4
* El númberu mediu de formes d'escribir un enteru positivu como suma de dos cuadraos perfeutos ye π/4 (l'orde ye relevante)
* Aguya de Buffon: Si llanzamos, al azar, una aguya de llonxitú L sobre una superficie na qu'hai dibuxaes llinies paraleles separtaes una distancia D, la probabilidá de que l'aguya corte a una llinia ye: Lπ/2D

N'Analís matemáticu:

:  \sum_{n=0}^{\infty }\over{2\,n+1}}}=\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}  (fórmula de Leibniz)

:  \prod_{n=1}^{\infty }}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}  (productu de Wallis)

:  \sum_{n=0}^{\infty }}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}  (Euler) 

:  e^{\pi i} + 1 = 0\;  (Identidá d'Euler, tamién conocida como "la fórmula más importante del mundu")

:  \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} 

:  n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n  (Fórmula de Stirling)

:  \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}  (Euler)

:\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}

Amás, π tien varies representaciones como fracciones continues:

:  \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} 
:  \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{2(-1)^k\; 3^{\frac{1}{2} - k}}{2k+1}

(Hai otres doce representaciones de π en http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ )

## Historia del cálculu de π
Por mor de la natura trescendental de π, los cálculos han facese con aproximaciones más o menos precises. Normalmente tómense los valores 3,14 y 22/7, que s'estremen del auténticu valor nun 0,05%. Los físicos ya inxenieros suelen tomar 3,1416 como aproximación (cinco cifres significatives) o inclusive 3,14159 (seis cifres significatives) pa obtener una mayor precisión de la circunferencia.

Esiste otra fracción qu'aproxima π: 355/113. Ye fácil de memorizar, porque tien dos unos, dos treses y dos cincos, y la precisión (7 cifres significatives) ye notable.

Nel sieglu XX e.C. los babilonios utilizaron l'aproximación 25/8 y los exipcianos (16/9)2(=3.16049...) que yera una aproximación abondo bona. Nun foi fasta'l sieglu III e.C. cuando s'utilizó una meyor aproximación: haza'l 250 e.C., gracies a un métodu consistente n'encuadrar un círculu por dos polígonos, Arquímedes obtuvo: 223/71  BC^2=AB^2+(3-DA)^2 

 OF= \frac{\sqrt{3}}{2} 

 \frac{DA}{EF} = \frac{OA}{OF} => \frac{DA}{1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}/2} => DA=\frac{\sqrt{3}}{3} 

Sustituyendo na primera fórmula:

 BC^2= 2^2+\left (3-\frac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 => BC = \sqrt{40-6 \sqrt{3} \over 3}=3.141533... 

### Métodu de Mascheroni
Desendolcáu por Lorenzo Mascheroni, dibúxase una circunferencia de radiu R y dientro d'ella inscríbese un hexágonu. El puntu D ye la interseición de los arcos de circunferencia A'B con centru en A' y l'arcu AC con centru n'A. El puntu E ye la interseición del arcu BD con centru en B cola circunferencia. El segmentu AE ye aproximao un cuartu de la lonxitú de la circunferencia

**Demostración (suponiendo R = 1)**

AD=AC=\sqrt{3}  OD=\sqrt{3-1}=\sqrt{2} 

 BE=BD=\sqrt{(OD-MB)^2+MO^2}=\sqrt{\left( \sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\frac{1}{4}}=\sqrt{3-\sqrt{6}} 

Pol teorema de Ptolomeo nel cuadriláteru ABEB'

 BB' \cdot AE=AB \cdot EB' + BE \cdot AB' 

 2 \cdot AE= \sqrt{1+\sqrt{6}}+\sqrt{9-3 \cdot \sqrt{6}}=3.142399... 

## Ver tamién
* Borwein (algoritmu)

## Referencies

## Enllaces esternos
* Historia del cálculu de Pi y algoritmos utilizaos.
* Páxina con un millón de decimales de π (n'inglés)
* Programa pal cálculu de π y d'otru gran númberu de constantes (n'inglés)...
* Pi-memory