Grupu fundamental

En topoloxía, podemos acomuñar a cada puntu *p* d'un espaciu topolóxicu *X* un grupu que nos informa sobre la estructura 1-dimensional de la porción d'espaciu qu'arrodia a esti puntu. Los elementos d'esti grupu, llamáu **grupu fundamental** de X relativu al **puntu base p**, son clases d'equivalencia de llazos (curves zarraes) con orixe nel puntu *p*.

Esisten xeneralizaciones a dimensión cimera d'esti grupu, que reciben el nome de grupos de homotopía. El grupu fundamental recibe tamién el nome de **primer grupu de homotopía**. D'ende la forma común de notalo como \pi_1(X,p) \,.

## Definiciones

### Llazu
Sía X un espaciu topolóxicu, y p un puntu fixu de X. Un **llazu** con base en p ye una aplicación continua \gamma : [0,1] \to X que verifica \gamma(0) = \gamma(1) = p.

El productu \alpha * \beta de dos llazos \alpha y \beta defínese como (\alpha * \beta)(t)= \begin{cases}\alpha(2t)& 0\leq t \leq \frac{1}{2}\\\beta(2t-1)& \frac{1}{2} \leq t \leq 1\end{cases}
Esto ye, el llazu \alpha * \beta primero percuerre'l camín de \alpha , pero a "doble velocidá" y dempués el de \beta, tamién a doble velocidá.

### Clases de homotopía
Les **clases de homotopía** son les clases d'equivalencia debíes a la rellación de ser homotópico. Dos llazos \alpha,\beta:[0,1]\to X \, con base nun puntu común *p* son homotópicos si esiste una aplicación continua H:[0,1]\times [0,1]\to X\,  tal que

:H(s,0)=\alpha(s) \,
:H(s,1)=\beta(s) \,
:H(0,t)=p \,
:H(1,t)=p \,.
Intuitivamente una clase de homotopía representa un paquete de curves que son deformables ente sigo.

### Grupu fundamental
El productu de dos clases de homotopía de llazos [f] y [g] defínese como [f ∗ g]. Puede demostrase qu'esti productu ta bien definíu al ser independiente de la eleición de representantes. Esti productu déxanos llograr una estructura de grupu: l'elementu neutru va ser la clase [γ] del llazu trivial definíu como γ(t) = p pa tou t; l'inversu de la clase d'un llazu [f] va ser la clase del mesmu llazu percorríu en sentíu contrariu (esto ye, g ye l'elementu simétricu de f si y solu si f(t)=g(1-t) pa tou t ∈ [0,1]).

El **grupu fundamental** d'un espaciu topolóxicu X \, basáu nun puntu p\in X, notáu como \pi_1(X,p) \,, ye'l conxuntu de clases de homotopía de curves zarraes cola operación yuxtaponer clases.

## Propiedaes
* Si l'espaciu ye arcu-conexu, los distintos grupos \pi_1(X,p) \, y \pi_1(X,q) \, pa dos puntos p,q \in X son isomorfos. Siendo posible falar de *el* grupu fundamental del espaciu: \pi_1(X) \,. Esti isomorfismu nun ye natural polo xeneral.
* Una aplicación continua f:X \to Y ente dos espacios topolóxicos induz una aplicación del conxuntu de llazos de X sobre'l de llazos de Y. Esta aplicación induzse tamién sobre les clases respeutives y conviértese nun homomorfismo f_* ente los grupos fundamentales definíu d'esta miente: f_*[\alpha]=[f\circ\alpha].
* La asignación dada por X\to\pi_1(X) \, que va de la categoría d'espacios topolóxicos a la categoría de grupos ye un functor.
* Esti invariante puede ser calculáu por aciu la téunica de grafo de grupos conocida como'l Teorema de Seifert-van Kampen. Con esta resultancia basta descomponer l'espaciu en 2 espacios más simples onde'l grupu fundamental seya conocíu.

## Exemplos
* En munchos espacios namái esiste una clase de homotopía de llazos, y arriendes d'ello, el grupu fundamental ye trivial. Un espaciu topolóxicu con grupu fundamental trivial dizse a cencielles conexu. **R***n*, o cualesquier soconxuntu convexu de **R***n* ser. La esfera de dimensión n con n mayor o igual que 2 tamién lo ye.

* L'espaciu topolóxicu más simple non a cencielles conexu ye la circunferencia: el so grupu fundamental ye isomorfu al grupu aditivu de los númberos enteros **Z**. El númberu enteru asociáu a cada llazu de S^1 ye'l númberu de vueltes qu'esi llazu da en redol a ella.

* Si *X* y *Y* son dos espacios topolóxicos arcoconexos, el grupu fundamental del productu *X* x *Y* ye isomorfu al productu de los grupos de dambos espacios. Por casu, si pa la circunferencia, \pi_1(S^1)=\mathbb{Z}. Pal toru, homeomorfo a un productu de circunferencies,\pi_1(T^2)=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}.

* El grupu fundamental nun tien por qué ser conmutativu. Por casu, el grupu fundamental del planu priváu de dos puntos  \mathbb R^2-\{a;b\} ye isomorfu al grupu llibre con dos xeneradores  F_2 . Estos dos xeneradores son les clases de los llazos que pasando por un puntu p arrodien a cada unu de los puntos esaniciaos. En delles clases particulares d'espacios topolóxicos, como por casu na de los grupos topolóxicos, el grupu fundamental sí resulta ser siempres abeliano.

## Notes y referencies

## Bibliografía
* Masey, W.S. *A basic course in algebraic topology.* GTM 127. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97430-X
* Munkres, J., *Topology*, Prentice Hall (2000) ISBN 0131816292