Llende d'una socesión

El **[[llende matemática|llende]] d'una [[socesión matemática|socesión]]** ye unu de los conceutos más antiguos del analís matemáticu. Ye'l valor al que tienden los términos de la socesión cuando n toma valores bien grandes. Representar por aciu \lim_{n\to\infty} a_n, y lléese *llende cuando <math>n</math> tiende a más infinitu de <math>a</math> sub <math>n</math>.

Esti conceutu ta estrechamente amestáu al de converxencia, una socesión d'elementos d'un conxuntu ye converxente si y solu si nel mesmu conxuntu esiste un elementu (al que se-y conoz como llende) al cual la socesión avérase tanto como se deseye a partir d'un momentu dau. Si una socesión tien llende, dizse que ye una *'socesión #Tipos de converxencia converxente**, y que la socesión **converxe** o **tiende** a la llende. En casu contrariu, la socesión ye **diverxente**.

La definición significa que eventualmente tolos elementos de la socesión avérense tanto como queramos al valor llende. La condición qu'impon que los elementos atópense arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes ''non'' implica, polo xeneral, que la socesión tenga una llende (vease [[socesión de Cauchy]]).

Qué s'entiende por ''próximu'' da llugar a distintes definiciones de llende dependiendo del conxuntu onde se definió la socesión (vease [[distancia]]).

== Llende d'una socesión de númberos reales ==

=== Definición formal ===
El términu xeneral d'una socesión <math> \{\,x_n \}_{n\geq 1}</math> tien llende <math>\,l</math>, cuando <math>\,n</math> tiende a <math>\infty</math>, si pa tou valor <math>\,\varepsilon > 0</math> por pequeñu que sía, esiste un valor <math>\,n_0</math> a partir del cual si <math>\,n>n_0</math> tenemos que la distancia de <math>\,l</math> a <math>\,x_n</math> ye menor que <math>\,\varepsilon</math>, esto ye:

<math>\forall \varepsilon > 0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l)<\varepsilon</math>.
x=a

=== Notación ===
<math>\lim_{n\to\infty} x_n=l</math>
o bien
<math> x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l</math>

o tamién

o a cencielles


=== Exemplos ===
* La socesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converxe a la llende 0.
* La socesión 1, -1, 1, -1, 1, ... ye trémbole.
* La socesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converxe a la llende 1.
* Si ''a'' ye un númberu real con [[valor absolutu]] |''a''| < 1, entós la socesión ''a<sup>n</sup>'' tien llende 0. Si 0 < ''a'' ≤ 1, entós la socesión ''a''<sup>1/''n''</sup> tien llende 1.
* <math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0 \hbox{ si } p > 0</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1</math>
* <math>\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ si } a>0</math>

=== Propiedaes ===
* Si una socesión <math>\,\{a_n\}</math> tien llende positiva, esiste un términu a partir del cual tolos términos de la socesión son positivos.
* Si una socesión <math>\,\{a_n\}</math> tien llende negativa, esiste un términu a partir del cual los términos de la socesión son negativos.
* Si una socesión <math>\,\{a_n\}</math> converxe a cero, nun puede asegurase nada avera del signu de cada unu de los términos de la socesión.
* Si una socesión <math>\,\{a_n\}</math> tiende a menos infinitu y <math>\,\{a_n\} < 0 </math> entós <math>\frac{1}{a_n}</math> tiende a 0.

== Llende d'una socesión complexa == 

Dizse que la socesión converxe escontra un complexu <math>\ell</math> si y solu si :<math>(\forall
\varepsilon \in \mathbb R_+^*)(\exists N \in \mathbb N) (\forall n \in \mathbb N) (n \geq N \Rightarrow |o_n - \ell| <\varepsilon)</math>
Nótese que ye la mesma definición que pa <math>\R</math>, con módulu en llugar del valor absolutu.

Puede escribise
:<math>\lim_{n \to + \infty}o_n = \ell</math> o más a cencielles, si nun hai ambigüedá <math>\lim o = \ell</math>
Les socesiones complexes converxentes tienen les mesmes propiedaes que les socesiones reales, sacante les de rellación d'orde: la llende ye únicu, una socesión converxente tien módulu acutáu, toa socesión de Cauchy converxe (n'efeutu, <math>\mathbb C</math> ye tamién completu).


== Exemplos ==
* Socesiones en <math>\mathbb R</math> ó <math>\mathbb C</math>
* Socesiones en <math>\mathbb R^n</math>
* Socesiones nel espaciu <math>\ell^p</math>
* Socesiones nel espaciu <math>L^2({\mathbb R}^n)</math>
* Socesiones nel espaciu de les funciones continues <math>C[a,b]\,</math>

== Tipos de converxencia ==

=== Converxencia puntual ===
El conceutu de **converxencia puntual** ye unu de los varios sentíos nos cualos una socesión de funciones puede converxer a una función particular.

Una socesión de funciones <math>f_n:S\to M</math> definíes nun conxuntu non vacíu <math>S\,</math> con valores nun espaciu métricu <math>(M,d\,)</math> ''converxe puntualmente'' a una función <math>f:S\to M</math> si



pa cada <math>x\in S</math> fixu. Esto significa que



La socesión de funciones <math>f_n(x):=x/n\,</math> con <math>x\in [0,1]</math> converxe puntualmente a la función <math>f(x):=0\,</math> yá que



pa cada <math>x\in [0,1]</math> fixu.

=== Converxencia uniforme ===
Una socesión de funciones <math>f_n:S\to M</math> definíes nun conxuntu non vacíu <math>S\,</math> con valores nun [[espaciu métricu]] <math>(M,d\,)</math> ''converxe uniformemente'' a una función <math>f:S\to M</math> si pa tou <math>\varepsilon>0</math> esiste un enteru <math>N\,</math> (que depende de <math>\varepsilon</math>) tal que



pa tou <math>x\in S</math> y tou <math>n \ge N</math>. Esto ye,



El conceutu de **converxencia uniforme** ye un conceutu más fuerte que'l de **converxencia puntual**. En , <math>N\,</math> puede depender de <math>\varepsilon</math> **y** de <math>x\,</math> ente qu'en , <math>N\,</math> **namái** puede depender de <math>\varepsilon</math>. Asina, toa socesión que converxe uniformemente, converxe puntualmente. L'enunciáu recíprocu ye falsu, y un contraejemplo clásicu constituyir les socesión de funciones <math>f_n:[0,1]\to \mathbb R</math> definíes por <math>f_n(x) = x^n\,</math>. Esta socesión converxe puntualmente a la función



yá que



ente que <math> \vert f_n(1)-f(1)\vert = 0.</math> Sicasí esta socesión nun converxe uniformemente, pos para <math>\varepsilon=1/4,</math> nun esiste un <math>N\,</math> que satisfaiga .

D'especial interés ye l'espaciu de les funciones continues <math>C(\Omega)\,</math> definíes sobre un compactu <math>\Omega\subset \mathbb R^n.</math> Nesti casu, una socesión de funciones <math>f_n\in C(\Omega),\,</math> converxe uniformemente a una función <math>f\in C(\Omega),\,</math> si, y namái si, converxe na norma del sup, i.e.,



== Socesiones n'otros espacios matemáticos ==
Una socesión d'elementos <math>\{x_n\}\,</math> d'un [[espaciu métricu]] <math>(M,d\,)</math> **converxe** a un elementu <math>x\in M</math> si pa tou númberu <math>\varepsilon> 0,</math> esiste un enteru positivu <math>N \,</math> (que depende de <math>\varepsilon</math>) tal que



Intuitivamente, esto significa que los elementos <math>x_n\,</math> de la socesión pueden faese ''arbitrariamente cercanos'' a <math>x\,</math> si <math>n\,</math> ye ''abondo grande'', yá que <math>d(x_n,x\,)</math> ''determina'' la distancia ente <math>x_n\,</math> y <math>x\,</math>. A partir de la definición ye posible demostrar que si una socesión converxe, facer escontra una única llende.

La definición aplicar en particular a los [[Espaciu vectorial normado|espacios vectoriales normados]] y a los [[Espaciu prehilbertiano|espacios con productu internu]]. Nel casu d'un espaciu normado <math>(Y,\Vert \cdot\Vert),</math> la norma <math>\Vert \cdot\Vert</math> induz la métrica <math>d(x,y):=\Vert y - x\Vert</math> pa cada <math>x,y\in Y</math>; nel casu d'un espaciu con productu internu <math>(Y,\langle \cdot, \cdot\rangle),</math> el productu internu <math>\langle \cdot, \cdot\rangle</math> induz la norma <math>\Vert x\Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}</math> pa cada <math>x\in Y.</math>

=== Converxencia uniforme sobre compactos ===

==== Converxencia débil ====
Una socesión dizse que converxe sele a <math>x</math> o en sentíu débil si pa toa funcional llinial <math>f</math>, <math>f(x_n)</math> converxe a <math>f(x)</math>.

Por casu la serie <math>1/n</math> dende <math>n=1</math> hasta infinitu converxe sele a cero. Pos:
<br />
<math>\lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n}\cdot f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{f\left(\frac{n}{n}\right)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(1)}{n} = 0</math> <br />
Tou esto, pos <math>f</math> ye llinial.

=== Llende nun espaciu topolóxicu ===


Una xeneralización d'esta rellación, pa una socesión de puntos <math>\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;</math> nun [[espaciu topolóxicu]] ''T'':

:Si <math>L\in T\;</math> dizse que ''L'' ye **una llende** d'esta socesión y escríbese

::<math> L = \lim_{n \to \infty} x_n </math>

:si y solu si pa tou [[Redolada (topoloxía)|redolada]] ''S'' de ''L'' esiste un númberu natural ''N'' tal que <math>x_n\in S\;</math> pa tou <math>n>N.\;</math>

De forma intuitiva, suponiendo que se tien una **socesión de puntos** (por casu un conxuntu infinitu de puntos numberaos utilizando los [[númberos naturales]]) en dalgún tipu d'oxetu matemáticu (por casu los [[númberos reales]] o un [[espaciu vectorial]]) qu'almite'l conceutu de **redolada** (nel sentíu de "tolos puntos dientro d'una cierta distancia d'un dau puntu fixu"). Un puntu ''L'' ye **la llende de la socesión** si pa toa redolada que se defina, tolos puntos de la socesión (cola posible esceición d'un númberu finito de puntos) tán próximos a ''L''. Esto pue ser interpretáu como si hubiera un conxuntu d'esferes de tamaños decrecientes hasta cero, toes centraes en ''L'', y pa cualesquier d'estes esferes, solo esistiera un númberu finito de númberos fora d'ella.

Ye posible tamién qu'una socesión nun [[espaciu topolóxicu]] xeneral, pueda tener delles llendes distintes, pero una socesión converxente tien un únicu llende si ''T'' ye un [[espaciu de Hausdorff]], por casu la [[recta real estendida|recta real (estendida)]], el [[planu complexu]], los sos subconxuntos (**R**, **Q**, **Z**...) y [[productu cartesianu|productos cartesianos]] (**R'''n...).

## Teoría de la probabilidá
En teoría de la probabilidá esisten distintes nociones de converxencia: converxencia de funciones medibles, converxencia en distribución y llendes de variables aleatories.

## Ver tamién
*Socesión matemática
*Serie matemática
*Serie converxente
*Orde de converxencia
*Llende d'una función
*Llende matemática
*Radio de converxencia

## Referencies

## Enllaces esternos
*
* Exemplos de socesiones