Función hiperbólica

Les **funciones hiperbóliques** son unes funciones que les sos definiciones basar na función esponencial, coneutando por aciu operaciones racionales y son análogues a les funciones trigonométriques. Estes son:

El senu hiperbólicu
:\sinh(x) = \frac {y^{x} - y^{-x}} {2}
::
El cosenu hiperbólicu
:\cosh(x) = \frac {y^{x} + y^{-x}} {2}
::
La tanxente hiperbólica
:\tanh(x) = \frac {\sinh(x)} {\cosh(x)}
::
y otres llinies:
:\coth(x) = \frac {\cosh(x)} {\sinh(x)}
::(*cotanxente hiperbólica*)
:\operatorname{sech}(x) = \frac {1} {\cosh(x)}
::(*secante hiperbólica*)
:\operatorname{csch}(x) = \frac {1} {\sinh(x)}
::(*cosecante hiperbólica*)

## Rellación ente funciones hiperbóliques y funciones circulares

Les funciones trigonométriques sin(*t*) y cos(*t*) pueden ser les coordenaes cartesianes (*x*,*y*) d'un puntu *P* sobre la circunferencia unitaria centrada nel orixe, onde ye *t* el ángulu, midíu en radianes, entendíu ente'l semiexe positivu *X*, y el segmentu *OP*, según les siguientes igualdaes:

: 
\left \{ \begin{matrix}
 x(t) = \cos t \\
 y(t) = \operatorname{sin}
t \end{matrix}
\right .


Tamién puede interpretase'l parámetru *t* como la longitud del arcu de circunferencia unitaria entendíu ente'l puntu (1,0) y el puntu *P*, o como'l doble del área del sector circular determináu pol semiexe positivu *X*, el segmentu *OP* y la circunferencia unitaria.

De manera análoga, podemos definir les funciones hiperbóliques, como les coordenaes cartesianes (*x*,*y*) d'un puntu *P* de la hipérbola equillátera, centrada nel orixe, que la so ecuación ye

:\ x^2-y^2=1 

siendo *t* el doble del área de la rexón entendida ente'l semiexe positivu *X*, y el segmentu *OP* y la hipérbola, según les siguientes igualdaes:

: 
\left \{ \begin{matrix}
 x(t) = \cosh t \\
 y(t) = \sinh t
\end{matrix}
\right .


Sicasí, tamién puede demostrase que ye válida la siguiente descripción de la hipérbola:
:\ x(t) = \frac {y^{t} + y^{-t}} {2}

:\ y(t) = \frac {y^{t} - y^{-t}} {2}

yá que
:\ \left ( \frac {y^{t} + y^{-t}} {2} \right )^2 - \left ( \frac {y^{t} - y^{-t}} {2} \right )^2 = 1

De cuenta que el cosenu hiperbólicu y el senu hiperbólicu almiten una representación en términos de funciones esponenciales de variable real:

:\ \cosh(t) = \frac {y^{t} + y^{-t}} {2}
:\ \sinh(t) = \frac {y^{t} - y^{-t}} {2}

## Rellaciones

### Ecuación fundamental
:\cosh^2(x) - \,\mathrm{sinh}^2(x) = 1 \,

### Duplicación del argumentu tiénense les siguientes fórmules bien similares a les sos correspondientes trigonométriques

:\cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)
:\cosh(x-y) = \cosh(x)\cosh(y)-\sinh(x)\sinh(y)

que lleva a la siguiente rellación:

:\cosh(2x) = \cosh^2(x)+\,\mathrm{sinh}^2(x)

y per otra parte

:\mathrm{sinh}(x+y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)+\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)
:\mathrm{sinh}(x-y) = \mathrm{sinh}(x)\cosh(y)-\mathrm{sinh}(y)\cosh(x)

que lleva a:

:\mathrm{sinh}(2x) = 2\,\mathrm{sinh}(x)\cosh(x)

tiense esta otra rellación

:\tanh(x + y)= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}

que dexa llograr

:\tanh(2x) = \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}

### Derivación ya integración
:\frac{d\ }{dx}(\cosh(x)) = \,\mathrm{sinh}\,(x)

:\frac{d\ }{dx}(\,\mathrm{sinh}\,(x)) = \cosh(x)

:\frac{d\ }{dx}(\,\tanh(x)) = \mathrm{sech}^2(x)

:\frac{d\ }{dx}(\mathrm{coth}(x)) = -\mathrm{csch}^2(x)

:\frac{d\ }{dx}(\mathrm{sech}(x)) = -\mathrm{sech}(x)\tanh(x)

:\frac{d\ }{dx}(\mathrm{csch}(x)) = -\mathrm{csch}(x)\mathrm{coth}(x)

Amás la integración al ser la operación inversa de la derivación ye trivial nesti casu.

La derivada de sinh(*x*) ta dada por cosh(*x*) y la derivada de cosh(*x*) ye sinh(*x*). El gráficu de la función cosh(x) denominar catenaria.

## Inverses de les funciones hiperbólicu y derivar
Les funciones recíproques y derivaes de les funciones hiperbóliques son:
:\begin{alignat}{2}
\operatorname{arc sinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) &\frac{d}{dx} (\operatorname{arc sinh}(x) ) &= \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} \\
\operatorname{arc cosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 &\frac{d}{dx}(\operatorname{arc cosh(x)})&=\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}; x > 1\\
\operatorname{arc tanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right|  1 & \frac{d}{dx}(\operatorname{arc coth(x)}) &= \frac{1}{1-x^2}; \left| x \right| > 1 \\
\operatorname{arc sech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 

## Series de Taylor
Les series de Taylor de les funciones inverses de les funciones hiperbóliques vienen daes por:

:\operatorname{arg sinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots =

:\operatorname{arg sinh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| 

: \operatorname{arg cosh} (x) = \ln 2x - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) = 

: \operatorname{arg cosh} (x) = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , x > 1 

:\operatorname{arg tanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots =

:\operatorname{arg tanh} (x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \left| x \right| 

:\operatorname{arg csch} (x) = \operatorname{arg sinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =

:\operatorname{arg csch} (x) =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1 

:\operatorname{arg sech} (x) = \operatorname{arg cosh} (x^{-1}) = \ln 2 - \left(\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) = 

:\operatorname{arg sech} (x) =\ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)} , 0 

:\operatorname{arg coth} (x) = \operatorname{arg tanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =

:\operatorname{arg coth} (x) =\sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \left| x \right| > 1 

## Rellación cola función esponencial

De la rellación del cosenu y senu hiperbólicu pueden derivase les siguientes rellaciones:

:y^x = \cosh x + \sinh x\!

y

:y^{-x} = \cosh x - \sinh x.\!

Estes espresiones son análogues a les que tán en términos de senos y cosenos, basaes na fórmula d'Euler, como suma d'esponenciales complexos.

## Ver tamién
* Trigonometría
* Llogaritmu natural
* Númberu e
* Hipérbola

## Referencies