নাশ্ব সাম্যাৱস্থা

খেল সূত্ৰত নাশ্ব সাম্যাৱস্থা জন ফ'ৰ্বছ্‌ নাশ্বৰ নামৰ এটি সমাধানৰ ধাৰণা যি অসহযোগিতামূলক খেলৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰযোজ্য। এনে খেলত এই সাম্যাৱস্থাত ধৰি লোৱা হয় যে প্ৰত্যেকজন খেলুৱৈয়ে আন খেলুৱৈসকলৰ সাম্যাৱস্থাৰ কৌশল বা কাৰ্যনীতি জানে, আৰু যদি আন কোনো খেলুৱৈয়ে নিজৰ কাৰ্যনীতি সলনি নকৰে, কোনো খেলুৱৈৰে নিজৰ কাৰ্যনীতি সলনি কৰৰ কাৰণ নাই। খেল সূত্ৰৰ বিকাশৰ বাবে নাশ্বক অৰ্থনীতিৰ নোবেল বঁটাৰে সন্মানিত কৰা হৈছিল।

খেল সূত্ৰৰ শব্দত, প্ৰত্যেকজন খেলুৱৈয়ে নিজৰ নিজৰ এটি কাৰ্যনীতি চয়ন কৰি লয় আৰু কোনো খেলুৱৈয়ে আন খেলুৱৈয়ে নিজৰ কাৰ্যনীতি সলনি নকৰিলে কেৱল নিজৰ কাৰ্যনীতি সলনি কৰি লাভান্বিত হ'ব নোৱাৰে- এই অৱস্থাই নাশ্ব সাম্যাৱস্থা।

## অস্তিত্বৰ প্ৰমাণ

### কাকুটানি ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি
নাশ্বে পোণপ্ৰথমে নিজৰ থেচিচত ব্ৰাৱাৰৰ ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰিছিল। ১৯৫০ চনত তেওঁ আন এক গৱেষণাপত্ৰ প্ৰকাশ কৰি এক অন্য প্ৰমাণ প্ৰকাশ কৰিলে য'ত কাকুটানি ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰা হ'ল। তেওঁ ডেভিড গে'লে এনে সৰলীকৰণ সম্ভৱ বুলি মন কৰা বুলি উল্লেখ কৰিছিল।

নাশ্ব সম্যাৱস্থাৰ অস্তিত্ব প্ৰমাণ কৰিবলৈ ধৰি লওক r_i(\sigma_{-i}) খেলুৱৈ i ৰ শ্ৰেষ্ঠতম্‌ প্ৰতিক্ৰিয়া আন সকলো খেলুৱৈৰ কাৰ্যনীতিৰ বাবে।

:  r_i(\sigma_{-i}) = \mathop{\underset{\sigma_i}{\operatorname{arg\,max}}} u_i (\sigma_i,\sigma_{-i}) 

ইয়াত, \sigma \in \Sigma, য'ত \Sigma = \Sigma_i \times \Sigma_{-i}, এটি মিশ্ৰিত-কাৰ্যনীতি প্ৰ'ফাইল সকলো মিশ্ৰিত-কাৰ্যনীতিৰ চে'টত আৰু  u_i  খেলুৱৈ i ৰ প্ৰতিদান ফলন। এটি চে'ট-মানৰ ফলন r\colon \Sigma \rightarrow 2^\Sigma  সংজ্ঞায়িত কৰক যাতে r = (r_i(\sigma_{-i}),r_{-i}(\sigma_{i})) । নাশ্ব সাম্যাৱস্থাৰ অস্তিত্ব আৰু r ৰ এটি ফিক্স্‌ড পইণ্টৰ অস্তিত্ব সমাৰ্থক।

কাকুটানিৰ ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্যই এনে এক ফিক্স্‌ড পইণ্টৰ অস্তিত্ব নিশ্চিত কৰে যদি এই চাৰি চৰ্ত পূৰ্ণ হয়:

#  \Sigma সদস্যহীন নহয়, সঘন, উত্তল।
# r(\sigma) সদস্যহীন নহয়।
# r(\sigma) উচ্চ অৰ্ধ-নিৰন্তৰ।
# r(\sigma) উত্তল

চৰ্ত একঃ এই চৰ্ত পূৰ্ণ হয় এই কাৰণে যে \Sigma এটি চিম্প্লেক্স হয় আৰু সেয়েহে সঘন। উত্তলতা খেলুৱৈসকলে কাৰ্যনীতি মিশ্ৰণ কৰাৰ ক্ষমতাৰপৰা আহে।   \Sigma ৰ সদস্য আছে যদি খেলুৱৈসকলৰ কাৰ্যনীতি আছে।

চৰ্ত ২ আৰু ৩ পূৰ্ণ হয় বাৰ্জেৰ বৃহদায়িত উপপাদ্যৰ বাবে। যিহেতু  u_i  নিৰন্তৰ আৰু সঘন,  r(\sigma_i)  সদস্যহীন নহয় আৰু উচ্চ অৰ্ধ-নিৰন্তৰ।

চৰ্ত ৪ মিশ্ৰিত কৰ্যনীতিৰ বাবে পূৰ্ণ হয়। ধৰি লওক   \sigma_i, \sigma'_i \in r(\sigma_{-i}) , তেন্তে   \lambda \sigma_i + (1-\lambda) \sigma'_i \in r(\sigma_{-i}) । অৰ্থাত্‌ যদি দুই কাৰ্যনীতিয়ে প্ৰতিদান বৃহদায়িত কৰে, দুয়োৰে মিশ্ৰণেও একেই প্ৰতিদান প্ৰদান কৰিব।

সেয়েহে   r  ৰ এটি ফিক্স্‌ড পইণ্ট আছে, অৰ্থাত্‌ এটি নাশ্ব সাম্যাৱস্থা আছে।

যেতিয়া নাশ্বে এই কথা জন ভন নয়মেনক ১৯৪৯ত কৈছিলে, ভন নয়মেনে বিখ্যাতভাৱে এনেদৰে কৈ এই কথা খাৰিজ কৰিছিল, "এয়া নগণ্য, তুমি জানা। ই মাথো এটি ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য।" (See Nasar, 1998, p.&nbsp;94.)

### ব্ৰাৱাৰ ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি
আমাৰ ওচৰত আছে এটি খেল G=(N,A,u) য'ত N খেলুৱৈৰ সংখ্যা আৰু A = A_1 \times \cdots \times A_N খেলুৱৈসকলৰ কাৰ্য-চে'ট। প্ৰত্যেক কাৰ্য-চে'ত A_i সসীম। ধৰি লওক\Delta = \Delta_1 \times \cdots \times \Delta_N খেলুৱৈসকলৰ মিশ্ৰিত কাৰ্যনীতিৰ চে'ট। যিহেতু A_i সসীম, সেয়ে \Delta সঘন।

এতিয়া আমি বৃদ্ধি ফলন সংজ্ঞায়িত কৰিব পাৰোঁ। কোনো মিশ্ৰিত কাৰ্যনীতি \sigma \in \Delta ৰ বাবে, আমি খেলুৱৈ i ৰ বৃদ্ধি কাৰ্য a \in A_i ত হ'বলৈ দিওঁ

: \text{Gain}_i(\sigma,a) = \max \{0, u_i(a, \sigma_{-i}) - u_i(\sigma_{i}, \sigma_{-i})\}.

বৃদ্ধি ফলনে সেই উপকাৰিতাৰ প্ৰতিনিধিত্ব কৰে যি কোনো খেলুৱৈয়ে কেৱল নিজেই কাৰ্যনীতি সলাই পাব। এতিয়া আমি সংজ্ঞায়িত কৰোঁ g = (g_1,\dotsc,g_N) য'ত

: g_i(\sigma)(a) = \sigma_i(a) + \text{Gain}_i(\sigma,a)

\sigma \in \Delta, a \in A_i ৰ বাবে। আমি দেখোঁ যে

: \sum_{a \in A_i} g_i(\sigma)(a) = \sum_{a \in A_i} \sigma_i(a) + \text{Gain}_i(\sigma,a) = 1 + \sum_{a \in A_i} \text{Gain}_i(\sigma,a) > 0.

তাৰ পাছত আমি সংজ্ঞায়িত কৰোঁ

: \begin{cases} f = (f_1, \cdots, f_N)  : \Delta \to \Delta \\ f_i(\sigma)(a) = \frac{g_i(\sigma)(a)}{\sum_{b \in A_i} g_i(\sigma)(b)} & a \in A_i \end{cases}

এই কথা সহজতেই চাব পাৰি যে f_i হ'ল \Delta_i ত এটি বৈধ মিশ্ৰিত কাৰ্যনীতি। এই কথাও সহজে চাব পাৰি যে f_i হ'ল \sigma ৰ এটি নিৰন্তৰ ফলন, আৰু সেয়ে f এটি নিৰন্তৰ ফলন। এটি সসীম সংখ্যক সঘন উত্তল চে'টৰ পূৰণফল হিচাপে, \Delta ও সঘন আৰু উত্তল। ব্ৰাৱাৰৰ ফিক্স্‌ড পইণ্ট উপপাদ্য f আৰু \Delta ৰ ক্ষেত্ৰত ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ যে f ৰ \Delta ত এটি ফিক্স্‌ড পইণ্ট আছে। এই ফিক্স্‌ড পইণ্টক \sigma^* বোলোঁ। আমি দাবী কৰোঁ যে \sigma^* হ'ল G ৰ এটি নাশ্ব সাম্যাৱস্থা। এই দাবী সত্য বুলি দেখুৱাবলৈ আমি এই কথা দেখুৱালেই হ'ল যে

:  \forall i \in \{1, \cdots, N\}, \forall a \in A_i: \quad \text{Gain}_i(\sigma^*,a) = 0.

ইয়াৰ অৰ্থ এয়াই যে কোনো খেলুৱৈয়ে একপক্ষীয়ভাৱে নিজৰ কাৰ্যনীতি সলনি কৰি উপকাৰিতা বৃদ্ধি কৰিব নোৱাৰে। এই চৰ্তই নাশ্ব সাম্যাৱস্থা।

ধৰি লওক প্ৰত্যেক বৃদ্ধি শূণ্য নহয়। অৰ্থাত্‌, \exists i \in \{1, \cdots, N\}, আৰু a \in A_i যাতে \text{Gain}_i(\sigma^*, a) > 0। তেন্তে মন কৰক যে

:  \sum_{a \in A_i} g_i(\sigma^*, a) = 1 + \sum_{a \in A_i} \text{Gain}_i(\sigma^*,a) > 1.

সেয়ে ধৰি লওক

: C = \sum_{a \in A_i} g_i(\sigma^*, a).

আমি \text{Gain}(i,\cdot) এৰে বুজাওঁ এটি বৃদ্ধি সদিশ A_i ৰ কাৰ্যসমূহেৰে অনুক্ৰমিত কৰা। যিহেতু \sigma^* ফিক্স্‌ড পইণ্ট, আমি পাওঁ:

: \begin{align}
\sigma^* = f(\sigma^*)  &\Rightarrow  \sigma^*_i =  f_i(\sigma^*) \\
&\Rightarrow \sigma^*_i = \frac{g_i(\sigma^*)}{\sum_{a \in A_i} g_i(\sigma^*)(a)} \\ [6pt]
&\Rightarrow \sigma^*_i = \frac{1}{C} \left (\sigma^*_i + \text{Gain}_i(\sigma^*,\cdot) \right ) \\ [6pt]
&\Rightarrow C\sigma^*_i = \sigma^*_i + \text{Gain}_i(\sigma^*,\cdot) \\
&\Rightarrow \left(C-1\right)\sigma^*_i = \text{Gain}_i(\sigma^*,\cdot) \\
&\Rightarrow \sigma^*_i = \left(\frac{1}{C-1}\right)\text{Gain}_i(\sigma^*,\cdot).
\end{align}

যিহেতু C > 1 আমি জানো যে \sigma^*_i হ'ল সদিশ \text{Gain}_i(\sigma^*,\cdot) ৰ কোনো ধনাত্মক স্কেলিং। এতিয়া আমি দাবী কৰোঁ যে

: \forall a \in A_i: \quad  \sigma^*_i(a)(u_i(a_i, \sigma^*_{-i}) - u_i(\sigma^*_i, \sigma^*_{-i})) = \sigma^*_i(a)\text{Gain}_i(\sigma^*, a) 

কাৰণ জানিবলৈ, প্ৰথমে মন কৰক যে যদি \text{Gain}_i(\sigma^*, a) > 0 tতেন্তে এই কথা বৃদ্ধি ফলনৰ সংজ্ঞাৰ ববেই সত্য হয়।  এতিয়া ধৰি লওক \text{Gain}_i(\sigma^*, a) = 0। আগৰ তৰ্কৰপৰা আমি জানোঁ যে

: \sigma^*_i(a) = \left(\frac{1}{C-1}\right)\text{Gain}_i(\sigma^*, a) = 0 

যাৰ বাবে এল এইচ এছ শূণ্য, সেয়ে সমগ্ৰ পদেই 0, যি আমি দেখুৱাব বিচাৰিছিলোঁ।

সেয়েহে আমি পাওঁ

: \begin{align}
0 &= u_i(\sigma^*_i, \sigma^*_{-i}) - u_i(\sigma^*_i, \sigma^*_{-i}) \\
  &=  \left(\sum_{a \in A_i} \sigma^*_i(a)u_i(a_i, \sigma^*_{-i})\right) - u_i(\sigma^*_i, \sigma^*_{-i}) \\
 & =  \sum_{a \in A_i} \sigma^*_i(a) (u_i(a_i, \sigma^*_{-i}) - u_i(\sigma^*_i, \sigma^*_{-i})) \\ 
 & = \sum_{a \in A_i} \sigma^*_i(a) \text{Gain}_i(\sigma^*, a) && \text{ by the previous statements } \\
  &= \sum_{a \in A_i} \left( C -1 \right) \sigma^*_i(a)^2 > 0
\end{align}

য'ত শেষৰ অসমতা সত্য কাৰণ \sigma^*_i এটি শূণ্য নোহোৱা সদিশ। কিন্তু ই এক স্পষ্ট অন্তৰ্বিৰোধ, সেয়ে বৃদ্ধি শূণ্যই হ'ব লাগিব। সেয়েহে, \sigma^* হ'ল G ৰ এটি নাশ্ব সাম্যাৱস্থা, আমি দেখুৱাব বিচৰাৰ দৰেই।

## উদাহৰণ
নাশ্ব সাম্যাৱস্থাৰ ধাৰণাৰ প্ৰয়োগ অৰ্থনীতি, জীৱবিজ্ঞান, কম্পিউটাৰ বিজ্ঞান আদি অনেক ক্ষেত্ৰত কৰা হয়। তলত Prisoner's Dilemma নামৰ এটি খেলৰ উদাহৰণ দিয়া হ'ল।

খেল আব্যুহ হ'ল:

ইয়াত ২ খেলুৱৈ আছে আৰু দুয়োৰে ২ শুদ্ধ কাৰ্যনীতি ক আৰু খ আছে। এজন খেলুৱৈয়ে শাৰী চয়ন কৰে আৰু আনজন খেলুৱৈয়ে স্তম্ভ চয়ন কৰে। বাওঁফালৰ সংখ্যাই শাৰী চয়নকাৰীৰ প্ৰতিদান আৰু সোঁফালৰ সংখ্যাই স্তম্ভ চয়নকাৰীৰ প্ৰতিদান সূচাই। উদাহৰণ স্বৰূপে যদি খেলুৱৈ শাৰী-চয়নকাৰীয়ে খ আৰু খেলুৱৈ স্তম্ভ-চয়নকাৰীয়ে ক চয়ন কৰে, তেন্তে শাৰী চয়নকাৰীয়ে ০ আৰু স্তম্ভ চয়নকাৰীয়ে ৫ প্ৰতিদান পায়। যদি দুয়োৱে খ চয়ন কৰে, তেন্তে স্তম্ভ চয়নকাৰীয়ে  নিজৰ কাৰ্যনীতি ক লৈ সলনি কৰি উপকৃত হ'ব পাৰে, কাৰণ তেওঁৰ প্ৰতিদান ৩ৰপৰা ৫লৈ বৃদ্ধি পাব। একেই যুক্তি শাৰী চয়নকাৰীৰ ক্ষেত্ৰতো প্ৰযোজ্য। ঠিক তেনেদৰে, এজন খেলুৱৈয়ে ক আৰু আনজনে খ চয়ন কৰিলে, ক চয়ন কৰ খেলুৱৈজন উপকৃত হ'ব পাৰে। কেৱল দুয়োজন খেলুৱৈয়ে ক চয়ন কৰা অৱস্থাতহে এনেদৰে কাৰ্যনীতি সলাই উপকৃত হোৱাৰ থল নাথাকে। সেয়ে (ক,ক) হ'ল শুদ্ধ কাৰ্যনীতি নাশ্ব সাম্যাৱস্থা।

এই খেল অনেক বাস্তৱ পৰিঘটনাৰ সৰলীকৃত  প্ৰতিনিধিত্বৰ বাবে আৰু বুজিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা যাব পাৰি। যেনে, যদি খ হ'ল "সঁচা কথা কোৱা" আৰু ক হ'ল "মিছা কথা কোৱা" তেন্তে সকলোৱে মিছা কথা কোৱাই হ'ল নাশ্ব সাম্যাৱস্থা। ঠিক তেনেদৰে, যদি খ হ'ল "দাম উচ্চ ৰাখিবা" আৰু ক হ'ল "দাম কম ৰাখিবা" তেন্তে প্ৰেত্যেক ব্যৱসায়িক প্ৰতিষ্ঠানে দাম কমোৱাই হ'ল নাশ্ব সাম্যসাৱস্থা।

## টোকা

## তথ্য সংগ্ৰহ

* Dixit, Avinash, Susan Skeath and David Reiley. Games of Strategy. W.W. Norton & Company. (Third edition in 2009)
* . Suitable for undergraduate and business students.
* Fudenberg, Drew and Jean Tirole (1991) *Game Theory* MIT Press.
* . An 88-page mathematical introduction; see Chapter 2. Free online  at many universities.
* Morgenstern, Oskar and John von Neumann (1947) *The Theory of Games and Economic Behavior* Princeton University Press
* 
* 
* . A modern introduction at the graduate level.
* . A comprehensive reference from a computational perspective; see Chapter 3. Downloadable free online.
* . Lucid and detailed introduction to game theory in an explicitly economic context.
* . Introduction to Nash equilibrium.
* .

* Nash, John (1950)  "Equilibrium points in n-person games" *[[Proceedings of the National Academy of Sciences]]* 36(1):48-49.
* Nash, John (1951) "Non-Cooperative Games" *[[The Annals of Mathematics]]* 54(2):286-295.

* Mehlmann, A. (2000) *The Game's Afoot! Game Theory in Myth and Paradox*, American Mathematical Society.
* Nasar, Sylvia (1998), *[[A Beautiful Mind (book)|A Beautiful Mind]]*, Simon & Schuster.

## লগতে চাওক

* ৱালৰাছৰ বিধান
* কল্যাণ অৰ্থনীতিৰ মৌলিক উপপাদ্য
* মাৰ্চেলিয়ান চাহিদা ফলন
* উপভোক্তা আচৰণ তত্ত্ব
* সেন সূচক

শ্ৰেণী:অৰ্থনীতি শ্ৰেণী:গণিত