হৰণ (গণিত)

**হৰণ** (÷) হ’ল এটি পাটীগণিতীয় তথা বীজগণিতীয় ক্ৰিয়া (operation)। যদিহে *c*ৰ *b*গুণ *a* ৰ সমান হয়, তেন্তে:
:a = b \times c, \,
ইয়াত *b* যদি অশূন্য হয়, তেন্তে *a* ক *b* ৰে হৰণ কৰা বুলিলে *c* পোৱা যায় আৰু ইয়াক তলত দিয়া ধৰণে লিখা হয়:
:a ÷ b = c। 
উদাহৰণস্বৰূপে, 
:6 ÷ 3 = 2 ,
কাৰণ
:6 = 3 × 2। 

a ÷ b = c ৰাশিটোত, *a* ক **ভাজ্য** বা **লৱ**, *b* ক **ভাজক** বা **হৰ** আৰু *c* ক **ভাগফল** বোলা হয়। 

হৰণৰ লগত দুটা পৃথক অথচ পৰস্পৰ সম্পৰ্কীত ধাৰণা যুক্ত হৈ আছে: *বিভাজন** (Partitioning) আৰু *ভাগফল* (Quotative)। *a* মাত্ৰাৰ এটা থুপক *b* সংখ্যক সমান সমান ভাগত ভাগ কৰিলে একোটা ভাগৰ মাত্ৰা যদি *c* হয়, তেন্তে *a* ৰ পৰা *b* ৰ হৰণফল হ’ব *c*। আৰু *a* মাত্ৰাৰ এটা থুপক *c* মাত্ৰাৰ থুপলৈ ভাগ কৰিলে থুপৰ সংখ্যা *b* হ’লে *a* ৰ পৰা *c* ৰ হৰণফল হ’ব *b*।

হৰণৰ পৰা [[ভগ্নাংশ]]ৰ ধাৰণা লাভ কৰা হয়। [[অখণ্ড সংখ্যা]]ৰ [[সংহতি]]টো [[যোগ]], [[বিয়োগ]] আৰু [[পূৰণ]]ৰ দৰে হৰণৰ সাপেক্ষে আৱদ্ধ (closed) নহয়। এটা অখণ্ড সংখ্যাৰ পৰা আন এটা অখণ্ড সংখ্যা হৰণ কৰিলে কেতিয়াবা একোটা [[ভাগশেষ]] (বা বাকী) পোৱা যায়। এই ভাগশেষক হৰণৰ কৰিবৰ বাবে [[সংখ্যা প্ৰণালী]]ৰ ধাৰণাৰ প্ৰসাৰণ ঘটাই [[ভগ্নাংশ]] বা [[পৰিমেয় সংখ্যা]]ৰ ধাৰণা যুক্ত কৰা হয়। 

== লিখাৰ নিয়ম ==

হৰণ-প্ৰক্ৰিয়াক সাধাৰণতে, এডাল অনুভূমিক ৰেখাখণ্ড লৈ তাৰ ওপৰত ভাজ্য আৰু তলত ভাজকটো লিখি প্ৰকাশ কৰা হয়। এই ৰেখাখণ্ডক vinculum বা fraction bar বোলা হয়। যেনে: *a* ক *b* ৰে হৰণ কৰিলে লিখা হয়:
:<math>\frac ab</math>
ইয়াক "a হৰণ b" (ইংৰাজীত: "a divided by b", "a by b" বা "a over b") বুলি পঢ়া হয়। এডাল সোঁ পিনে হাউলা দণ্ড (ইং: slash) ৰ বাওঁফালে ভাজ্য আৰু সোঁফালে ভাজকটো লিখিও ইয়াক বুজোৱা হয়। যেনে:
:<math>a/b\,</math>
This is the usual way to specify division in most computer [[programming language]]s since it can easily be typed as a simple sequence of [[ASCII]] characters.

সৰল [[ভগ্নাংশ]]সমূহ লিখাৰ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি দুটা সংখ্যাৰ হৰণক লিখা হয়। মাথোঁ [[ভগ্নাংশ]]সমূহত হৰ আৰু লৱসমূহ অখণ্ড সংখ্যা। হৰণক তলত দিয়া ধৰণেও হৰণ চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰি লিখা হয়:
:<math>a \div b</math>
সাধাৰণ গণিতৰ বাহিৰে বেলেগত ইয়াৰ ব্যৱহাৰ কম। [[:en:ISO 80000-2]]-9.6 অনুসৰি ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰা অনুচিত। 

সাধাৰণ গণিতত *a* ক *b* ৰে হৰণ কৰা বুজাবলৈ এনেদৰেও লিখা হয়:
:<math>b)~a</math> বা <math>b)\overline{~a~}</math> 
১৫৪৪ চনত প্ৰকাশিত *Arithmetica integra* ত Michael Stifel য়ে এই চিহ্নটো প্ৰথমবাৰৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰিছিল।

== Division algorithm ==
*a* আৰু *d* দুটা অখণ্ড সংখ্যা হ’লে, য’ত *d* ≠ 0, দুটা একক অখণ্ড সংখ্যা *q* আৰু *r* পোৱা যায়, যাতে *a* = *qd* + *r* আৰু 0 ≤ *r* < | *d* |, ইয়াত | *d* | হ’ল *d* ৰ পৰম মান। 


== অখণ্ড সংখ্যাৰ হৰণ ==

অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতিটো হৰণৰ সাপেক্ষে আবদ্ধ নহয়; এটা ভাগফল অখণ্ড সংখ্যা হ’ব যদিহে ভাজ্যটো ভাজকৰ গুণিতক হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, 26 ক 11 য়ে হৰণ কৰিলে অথণ্ড সংখ্যা পোৱা নাযায়। এই হৰণ-কাৰ্যক আমি তলত দিয়া পাঁছ ধৰণে বিবেচনা কৰিব পাৰি:
# 26 ক 11 য়ে হৰণ কৰিব নোৱাৰি। 
# এটা [[ভগ্নাংশ|দশমিক ভগ্নাংশ]] বা [[ভগ্নাংশ|মিশ্ৰ সংখ্যা]] ৰূপে হৰণফলটোৰ এটা স্থূলমানৰ সৈতে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। যেনে— <math>\tfrac{26}{11} \simeq 2.36</math> বা <math>\tfrac{26}{11} \simeq 2 \tfrac {36}{100}</math>। 
# এটা [[ভগ্নাংশ|সৰল ভগ্নাংশ]] ৰূপে ৰাখি ইয়াক এটা [[পৰিমেয় সংখ্যা]] <math>\tfrac{26}{11}.</math> বুলি প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। 
# অখণ্ড ভাগফল আৰু ভাগশেষৰ সহায়ত ইয়াক প্ৰকাশ কৰিব পাৰি— <math>\tfrac{26}{11} = 2</math> আৰু বাকী 4। 
# কেৱল অখণ্ড ভাগফলৰ সহায়ত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি— <math>\tfrac{26}{11} = 2.</math>। এই নিয়ম [[C]] আদি কোনো কোনো কম্পিউটাৰ প্ৰগ্ৰেমিঙত ব্যৱহৃত হয়। 

== পৰিমেয় সংখ্যাৰ হৰণ ==

দুটা [[পৰিমেয় সংখ্যা]]ৰ হৰণফল এটা পৰিমেয় সংখ্যা। ইয়াতো ভাজকটো অশূন্য হ’ব লাগে। দুটা পৰিমেয় সংখ্যা *p*/*q* আৰু *r*/*s* ৰ হৰণফল:

:<math>{p/q \over r/s} = {p \over q} \times {s \over r} = {ps \over qr} </math>। 

ইয়াত কেৱল *p* শূন্য হ’ব পাৰে, বাকীকেইটা অশূন্য অখণ্ড সংখ্যা। এই সংজ্ঞাটোৱে হৰণক পূৰণৰ বিপৰীত বুলি বুজাত সহায় কৰে। 

== বাস্তৱ সংখ্যাৰ হৰণ ==

দুয়া [[বাস্তৱ সংখ্যা]]ৰ হৰণফল এটা বাস্তৱ সংখ্যা। ইয়াতো ভাজকটো অশূন্য। *a*/*b* = *c* যদি আৰু মাত্ৰ যদিহে *a* = *cb* আৰু *b* ≠ 0 হয়। 

== শূন্যৰে হৰণ ==

কোনো সংখ্যাক শূন্যৰে হৰণ অসংজ্ঞাকৃত; কাৰণ কোনো সংখ্যাক শূন্যৰে হৰণ কৰিলে শূন্য পোৱা যায়। 

== জটিল সংখ্যাৰ হৰণ ==

দুটা [[জটিল সংখ্যা]]ৰ হৰণফল এটা জটিল সংখ্যা। ইয়াতো ভাজকটো অশূন্য হ’ব লাগে। দুটা জটিল সংখ্যাৰ হৰণ তলত দিয়া ধৰণে কৰা হয়:

:<math>{p + iq \over r + is} = {p r + q s \over r^2 + s^2} + i{q r - p s \over r^2 + s^2}.</math>

ইয়াত *p*, *q*, *r* আৰু *s* [[বাস্তৱ সংথ্যা]] আৰু *r* আৰু *s* একে সময়তে শূন্য নহয়। 

জটিল সংখ্যাক ধ্ৰুৱীয় (polar) ৰূপত প্ৰকাশ কৰিলে ওপৰৰ হৰণটো তলত দিয়া ধৰণে সহজ হৈ পৰে:

:<math>{p e^{iq} \over r e^{is}} = {p \over r}e^{i(q - s)}.</math>

ইয়াত *p*, *q*, *r* আৰু *s* [[বাস্তৱ সংথ্যা]] আৰু *r* অশূন্য। 

== বহুপদ ৰাশিৰ হৰণ ==
বহুপদ ৰাশিৰ হৰণৰ সংজ্ঞা বিভিন্ন ক্ষেত্ৰত নিজেও দিব পাৰি, কিন্তু প্ৰাথমিকভাৱে বহুপদ ৰাশিৰ হৰণ ভাগফল আৰু ভাগশেষ ৰাখি অখণ্ড সংখ্যা হৰণ কৰা দৰে কৰা হয়। 

== মৌলকক্ষৰ হৰণ ==
মৌলকক্ষৰ (matrices) হৰণৰ সংজ্ঞাও বিভিন্ন ক্ষেত্ৰত নিজে দিব পাৰি, কিন্তু প্ৰাথমিকভাৱে মৌলকক্ষৰ হৰণ এনেদৰে বুজোৱা হয়: , য’ত  *B'' ৰ বিপ্ৰতীপ মৌলকক্ষ। মৌলকক্ষৰ হৰণক লিখোঁতে এনেদৰে লিখা হয়: । 
মৌলকক্ষক পূৰণে বিনিময় বিধি মানি নচলে।

## আধুনিক বীজগণিত হৰণ

আধুনিক বীজগণিত a আৰু b ৰ হৰণ {a \over b} ৰ সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া হয়: a \cdot {1 \over b} বা a \cdot b^{-1} য’ত b হ’ল পূৰণৰ সাপেক্ষে এটা invertible মৌল (অৰ্থাৎ, এটা মৌল b^{-1} পোৱা যায় যাতে bb^{-1} = b^{-1}b = 1 য’ত 1 হ’ল multiplicative identity)। 

## হৰণ আৰু কলন গণিত

দুটা ৰাশিৰ হৰণফলৰ অৱকলজ নিৰ্ণয় কৰাৰ নিয়টো হ’ল:

:{\left(\frac fg\right)}' = \frac{f'g - fg'}{g^2}। 

আনহাতে ইয়াৰ অনুকল উলিওৱা সাধাৰণ নিয়ম নাই। 

## তথ্যসূত্ৰ

## বহিঃসংযোগ

* Division on a Japanese abacus  selected from Abacus: Mystery of the Bead
* Chinese Short Division Techniques on a Suan Pan 
* Rules of divisibility

শ্ৰেণী:গণিত