رياضيات بحته

[تصغير|251x251بك| تدرس الرياضيات البحتة خصائص وبنية الأشياء المجردة،  زى المجموعة E8 ، فى [نظريه الزمر|نظرية المجموعة . ويمكن القيام بكده دون التركيز على التطبيقات الملموسة للمفاهيم فى العالم المادى.]]
**الرياضيات البحتة** هيا دراسة المفاهيم الرياضية بشكل مستقل عن أى تطبيق بره الرياضيات . قد تنشأ المفاهيم دى من مخاوف العالم الحقيقي، و يتبين بعدين أن النتائج اللى تم الحصول عليها مفيدة للتطبيقات العملية، لكن علما الرياضيات البحتة لا يحركهم فى المقام الاولانى زى دى التطبيقات. وبدل ذلك، يُعزى ده الجاذبية لالتحدى الفكرى والجمال الجمالى المتمثل فى استنباط النتائج المنطقية للمبادئ الأساسية. الرياضيات البحتة كانت موجودة كنشاط من اليونان القديمة على الأقل، فقد تم تطوير المفهوم حوالى سنة 1900، بعد تقديم النظريات ذات الخصائص غير البديهية ( مثل الهندسة غير الإقليدية ونظرية كانتور للمجموعات اللانهائية)، واكتشاف المفارقات الظاهرة ( مثل الوظايف المستمرة اللى مش ممكن التفاضل فيها فى أى مكان، ومفارقة راسل ). و أدى ده لظهور الحاجة لتجديد مفهوم الصرامة الرياضية و إعادة كتابة كل الرياضيات مع الاستخدام المنهجى للطرق البديهية . وده دفع الكتير من علما الرياضيات لالتركيز على الرياضيات فى حد ذاتها، أى الرياضيات البحتة. بس، فضلت كل النظريات الرياضية تقريبا مدفوعة بمشاكل قادمة من العالم الحقيقى أو من نظريات رياضية أقل تجريدًا. و ذلك، الكتير من النظريات الرياضية، اللى كانت تبدو وكأنها رياضيات بحتة تمام، تم استخدامها فى النهاية فى المجالات التطبيقية، و بالخصوص الفيزياء و علوم الكمبيوتر . من الأمثلة المبكرة الشهيرة على ذلك إثبات إسحاق نيوتن أن قانونه للجاذبية الكونية يعنى أن الكواكب تتحرك فى مدارات ذات قطاعات مخروطية ، هيا منحنيات هندسية تمت دراستها فى العصور القديمة على ايد أبولونيوس . مثال آخر هو مشكلة تحليل الأعداد الصحيحة الكبيرة، اللى تشكل أساس نظام التشفير RSA ، المستخدم على نطاق واسع لتأمين اتصالات الإنترنت .

التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية فى الوقت الحاضر هو وجهة نظر فلسفية أو تفضيل رياضياتى اكتر منه تقسيم صارم للرياضيات.

## تاريخ

### اليونان القديمة
علما الرياضيات اليونانيون القدام كانو من أوائل من قاموا بالتمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. ساعد أفلاطون فى خلق الفجوة بين "الحساب"، اللى يسمى دلوقتى نظرية الأعداد ، و"اللوجستي"، اللى يسمى دلوقتى الحساب . اعتبر أفلاطون أن علم اللوجستيات (الحساب) مناسب لرجال الأعمال ورجال الحرب اللى " لازم أن يتعلموا فن الأرقام و إلا فلن يعرفوا كيف يرتبون قواتهم" والحساب (نظرية الأعداد) مناسب للفلاسفة "لأنهم لازم ينهضوا من بحر التغيير ويضعوا أيديهم على الوجود الحقيقي". لما سأل واحد من طلابه إقليدس الإسكندرى عن فائدة دراسة الهندسة، طلب من عبده أن يعطى الطالب 3 بنسات، "لأنه لازم يستفيدو ده يتعلمه". سُئل عالم الرياضيات اليونانى أبولونيوس من برجا عن فائدة بعض نظرياته فى الكتاب الرابع من *المخروطيات* ، فأكد بفخر، إنها جديرة بالقبول علشان البراهين نفسها، بنفس الطريقة اللى نقبل بيها حاجات تانيه كثيرة فى الرياضيات للسبب ده بس مش لأى سبب آخر.و بما أن كتير من نتائجه ما كانتش قابلة للتطبيق على العلوم أو الهندسة فى عصره، فقد قال أبولونيوس فى مقدمة الكتاب الخامس من *المخروطيات* أن ده الموضوع هو واحد من تلك الموضوعات اللى "... تبدو جديرة بالدراسة فى حد ذاتها."

### القرن التسعتاشر
المصطلح نفسه منصوص عليه فى العنوان الكامل لكرسى سادليرى ، "أستاذ سادليرى فى الرياضيات البحتة"، اللى اتأسس (ككرسى أستاذى) فى نص القرن التسعتاشر. ممكن ظهرت فكرة إنشاء تخصص منفصل للرياضيات *البحتة* ساعتها . لم يقم جيل جاوس بأى تمييز شامل بين *التطبيقي* *والصرف* . و فى السنين اللى بعد كده ، ابتدا التخصص والاحتراف (و بالخصوص فى نهج فايرستراس للتحليل الرياضى ) فى جعل الخلاف اكتر وضوحا.

### القرن العشرين
فى بداية القرن العشرين، تبنى علما الرياضيات المنهج البديهى ، متأثرين بشدة بمثال ديفيد هيلبرت . بدت الصياغة المنطقية للرياضيات البحتة اللى اقترحها برتراند راسل حسب بنية الكم للاقتراحات اكتر و اكتر معقولية، حيث بقت أجزاء كبيرة من الرياضيات بديهية و علشان كده خاضعة لمعايير بسيطة من *الإثبات الصارم* .

الرياضيات البحتة، حسب لوجهة نظر ممكن نسبتها لمجموعة بورباكى ، هيا ما تم إثباته. بقت "الرياضيات البحتة" مهنة معترف بها، ويمكن تحقيقها بالتدريب.

ثبت أن الرياضيات البحتة مفيدة فى تعليم الهندسة :

: فيه تدريب على عادات التفكير، ووجهات النظر، والفهم الفكرى للمشاكل الهندسية العادية، اللى مش ممكن توفرها إلا دراسة الرياضيات العليا.

## العمومية والتجريد
يسار|تصغير|350x350بك| رسم توضيحى لمفارقة باناخ-تارسكى ، هيا نتيجة مشهورة فى الرياضيات البحتة. رغم أنه ثبت أنه من الممكن تحويل كرة واحدة لاثنتين باستخدام القطع والدوران بس، لكن التحويل يتضمن حاجات مش ممكن توجد فى العالم المادى.
 واحد من المفاهيم المركزية فى الرياضيات البحتة هو فكرة العمومية؛ و فى الغالب   تظهر الرياضيات البحتة ميل نحو زيادة العمومية. تتضمن استخدامات ومزايا العمومية ما يلي:

* ممكن توصل النظريات أو الهياكل الرياضية المعممة لفهم أعمق للنظريات أو الهياكل الأصلية
* ممكن يؤدى التعميم لتبسيط عرض المادة،و ده يوصل لتقديم أدلة أو حجج أقصر يسهل متابعتها.
* من الممكن استخدام العمومية لتجنب تكرار الجهود، و إثبات نتيجة عامة بدل الاضطرار لإثبات حالات منفصلة بشكل مستقل، أو استخدام نتائج من مجالات تانيه فى الرياضيات.
* ممكن للعمومية تسهيل الارتباط بين فروع الرياضيات المختلفة. نظرية الفئات هيا واحد من مجالات الرياضيات المخصصة لاستكشاف دى القواسم المشتركة للبنية كما تظهر فى بعض مجالات الرياضيات.

تأثير العمومية على الحدس بيعتمد على الموضوع وعلى التفضيل الشخصى أو أسلوب التعلم. فى الغالب  يُنظر لالعمومية على أنها عائق قدام الحدس، رغم أنها ممكن تعمل بالتأكيد كمساعد له، خاصةً لما تقدم تشبيهات للمواد اللى يمتلك المرء بالفعل حدس كويس لها.

كمثال رئيسى على العمومية، تضمن برنامج إرلانجن توسيع الهندسة لاستيعاب الهندسة غير الإقليدية و مجال الطوبولوجيا ، و غيرها من أشكال الهندسة، بالنظر لالهندسة باعتبارها دراسة للفضاء مع مجموعة من التحولات. تمتد دراسة الأرقام ، اللى تسمى الجبر فى مستوى البكالوريوس المبتدئ، لالجبر المجرد على مستوى اكتر تقدم؛ ودراسة الوظايف ، اللى تسمى حساب التفاضل والتكامل فى مستوى السنة الأولى فى الكلية تبقا تحليل رياضى وتحليل وظيفى على مستوى اكتر تقدم. يحتوى دى الفروع من الرياضيات الاكتر *تجريدًا* على الكتير من التخصصات الفرعية، وهناك فى الواقع الكتير من الروابط بين الرياضيات البحتة وتخصصات الرياضيات التطبيقية. شاف نص القرن العشرين ارتفاع حادًا فى التجريد .

لكن فى الممارسة العملية، وصلت دى التطورات لانحراف حاد عن الفيزياء ، و بالخصوص من سنة 1950 لسنة 1983. و بعد كده ، تعرض الأمر ده لانتقادات، زى  على ايد فلاديمير أرنولد ، باعتباره يتضمن الكتير من هيلبرت ، مش ما يكفى من بوانكاريه . لا يظهر ان النقطة قد حُسمت بعد، حيث إن نظرية الأوتار تتجه فى اتجاه واحد، فى حين تتجه الرياضيات المنفصلة نحو الإثبات باعتبارها محورية.

## الرياضيات البحتة مقابل الرياضيات التطبيقية

كان عند علما الرياضيات دايما آراء مختلفة بخصوص بالتمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. ممكن العثور على واحد من أشهر الأمثلة الحديثة (لكن ممكن تكون غير مفهومة) لده النقاش فى مقالة جى إتش هاردى سنة 1940 *بعنوان "اعتذار عالم رياضيات"* . معتقد على نطاق واسع أن هاردى اعتبر الرياضيات التطبيقية قبيحة ومملة. رغم أنه من الصحيح أن هاردى فضل الرياضيات البحتة، اللى فى الغالب  قارنها بالرسم والشعر ، لكن هاردى رأى أن التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية هو ببساطة أن الرياضيات التطبيقية تسعى للتعبير عن الحقيقة *الفيزيائية* فى إطار رياضي، الرياضيات البحتة تعبر عن حقائق مستقلة عن العالم المادى. عمل هاردى تمييز منفصل فى الرياضيات بين ما أسماه "الرياضيات الحقيقية"، "التى ليها قيمة جمالية دائمة"، و"الأجزاء الباهتة والابتدائية من الرياضيات" اللى ليها استخدام عملى.

هاردى اعتبر بعض علما الفيزياء، زى أينشتاين وديراك ، من علما الرياضيات "الحقيقيين"، لكن فى الوقت اللى كان يكتب فيه *اعتذاره* ، اعتبر النسبية العامة وميكانيكا الكم "عديمى الفائدة"،و ده سمح له بالرأى القائل بأن الرياضيات "المملة" بس هيا المفيدة. وعلاوة على ذلك، اعترف هاردى لمده صغيره بأنه ــ كما جه تطبيق نظرية المصفوفات ونظرية المجموعات فى الفيزياء بشكل مش متوقع ــ قد ييجى الوقت اللى ممكن تكون فيه بعض أنواع الرياضيات "الحقيقية" الجميلة مفيدة أيضاً.

 
فريدريك إنجلز قال فى كتابه *"ضد دوهرينغ"* الصادر سنة 1878 أن "ليس صحيح أن العقل فى الرياضيات البحتة يتعامل بس مع إبداعاته وخياله. لم يتم اختراع مفهومى العدد والشكل من أى مصدر آخر غير عالم الواقع". : 36 "وقال كذلك أنه " قبل ما نتوصل لفكرة استنتاج شكل الأسطوانة من دوران مستطيل حوالين واحد من أضلاعه، كان لابد من فحص عدد من المستطيلات والأسطوانات الحقيقية، مهما كانت غير كاملة فى الشكل. ومثل كل العلوم التانيه، نشأت الرياضيات من احتياجات البشر... ولكن، زى ما هو الحال فى كل قسم من أقسام الفكر، فى مرحلة معينة من التطور، تبقا القوانين، اللى تم تجريدها من العالم الحقيقي، منفصلة عن العالم الحقيقي، وتوضع ضده كشيء مستقل، كقوانين تأتى من الخارج، اللى يتعين على العالم أن يتوافق معها.": 37 

## شوف كمان

* الكسندر فريدمان
* تيموفى پيريلوجوڤ
* ستيپان روموڤسكى
* نيكولاى زيرنوڤ
* فيدور سوڤوروڤ
* برام ستوكر
* آدم سبنسر
* البيرتو داهيك
* داجمار ر. هينى
* كونستانتين اندريف
* الرياضيات التطبيقية
* منطق
* ميتالوجيك
* الرياضيات الميتافيزيقية

## مصادر

## لينكات برانيه

* ''ما هيا الرياضيات البحتة؟'' - قسم الرياضيات البحتة، جامعة واترلو
* ''مبادئ الرياضيات'' لبرتراند راسل

تصنيف:تجريد
تصنيف:فروع رياضيات