تسطار جبري

[تصغير|هاد [سطح توغلياتي هو سطح جبري من الدرجة الخامسة. التصويرة كتمثّل واحد الجزء من المحل الحقيقي ديالو.]]

**التسطار الجبري**، أولا **الهندسة الجبرية** هي واحد الفَرع من لماط اللي كيستعمل تقنيات ديال الجبر المجرد، وبالخصوص ديال الجبر التبادلي، باش يحلّ مسائل هندسية. فالطريقة الكلاسيكية، الهندسة الجبرية كتدرس جذور ديال حدوديات متعددة المتغيرات ؛ فالطريقة العصرية كتعمّم هاد الفكرة بطرق مختلفة.

الحوايج الأساسية فالهندسة الجبرية هما التشكيلات الجبرية، اللي كيمثلوا الشكل الهندسي ديال الحلول ديال نظمات ديال معادلات حدودية. من الأمثلة لي مشهورة: المستقيمات، الدواير، البارابولات، الإهليلجات، الهيبربولات، المنحنيات التكعيبية بحال المنحنيات الإهليلجية، والمنحنيات من الدرجة الرابعة بحال نظاضر برنولي والأهليجيات ديال كاسيني.
أي نقطة فالمستوى كتكون في منحنى جبري إلا كان الإحداثيات ديالها كيحققو واحد معادلة حدودية.
الأسئلة البسيطة كتهم نقاط خاصة بحال النقط الفريدة، نقط الانعطاف، والنقط فالمالانهاية. والأسئلة المتقدمة كتدخل حتى فـ الطوبولوجيا ديال المنحنى والعلاقة بين منحنيات معروفة بمعادلات مختلفة.

الهندسة الجبرية عندها بلاصة مركزية فـ لماط العصري، وكنلقاوها فكثير ديال المجالات بحال تحليل عقدي، طوبولوجيا، ونظرية الأعداد. كدراسة لنظمات من معادلات حدودية بعدة متغيرات، البداية ديالها كتكون بالبحث على حلول معينة، ومن بعد كتقلب تفهم الخصائص الهندسية و الطبولوجية ديال مجموعة الحلول. هاد الفهم كيتطلب النظرية المفهومية والتقنيات الحسابية بجوج.

فـ القرن العشرين، الهندسة الجبرية تفرعات لبزاف ديال المجالات:
* التيار الرئيسي كيدرس النقاط العقدية ديال التشكيلات الجبرية، وبصفة عامة النقاط اللي عندها إحداثيات فـ حقل جبري مسدود.
* هندسة جبرية حقيقية كتدرس التشكيلات الجبرية اللي عندها حلول حقيقية.
* هندسة ديوفانتية وهندسة حسابية كيدرسو االتشكيلات الجبرية فوق حقول اللي ماشي مسدودة جبرياً، خصوصاً الحقول اللي عندها أهمية فـ نظرية الأعداد الجبرية، بحال الأعداد الجذرية، الحقول العددية، الحقول المنتهية، الحقول الدالية، والحقول p-adic.
* واحد الجزء كبير من نظرية المفردات كيهتم بالمفردات ديال التشكيلات الجبرية.
* هندسة جبرية حسابية طلعات فالتقاطع ما بين الهندسة الجبرية والجبر المعلوماتي، وكتخدم بالأساس على تصميم الخوارزميات وبرامج الحاسوب لدراسة خصائص أصناف محددة بمعادلات.

واحد من أهم التطورات الحديثة هو نظرية المخططات ديال غروتنديك، اللي خلات ممكن نستعمل الحزم (sheaves) لدراسة الأصناف الجبرية، بحال الطريقة اللي كنستعملوهافي المانيفولضات التفاضلية و التحليلية.
هاد الشي توسع مفهوم النقطة: فالهندسة الجبرية الكلاسيكية النقطة كتطابق مع إيديال ماكسيمال ديال حلقة الإحداثيات، ولكن فالمخطط النقطة كيمكن تكون أي إيديال أولي، يعني النقطة ممكن تكون فعلاً نقطة عادية أولا حتى تشكيلة جزئية.
هاد الطريقة وحدات اللغة والأدوات ديال الهندسة الجبرية الكلاسيكية ونظرية الأعداد الجبرية. برهان وايلز على مبرهنة فيرما الأخيرة مثال كبير على القوة ديال هاد المنهج.
## المفاهيم الأساسية

### أصفار نظمات الحدوديات
تصغير|يمين|كرة ودائرة مائلة
فالهندسة الجبرية الكلاسيكية، الحوايج الرئيسية محل الاهتمام هما مجموعات الانعدام ديال الحدوديات، يعني مجموعة جميع النقاط اللي كتحقق فـ نفس الوقت واحد أولا أكثر من المعادلات الحدودية.
مثال: الكرة ثنائية الأبعاد عندها 1 فالشعاع فـ الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد **R**3 ممكن نعرفوها كمجموعة جميع النقاط (x, y, z) اللي كتحقق:

:x^2+y^2+z^2-1=0.\,

و"الدائرة المائلة" فـ **R**3 كتتعرف كمجموعة جميع النقاط (x, y, z) اللي كتحقق هاد الجوج ديال المعادلات:

:x^2+y^2+z^2-1=0,\,
:x+y+z=0.\,

### التشكيلات الأفينية

كنبداو مع حقل *k*. فالهندسة الجبرية الكلاسيكية، هاد الحقل كان ديما هو الأعداد العقدية **C**، ولكن بزاف من النتائج كيبقاو صحاح إلا افترضنا غير أن *k* مسدود جبرياً.
كنعتابرو فضاء أفيني عندو البعد *n* على *k*، كنرمزولو **A**n(*k*) (أو ببساطة **A***n* ملي *k* كيكون واضح من السياق). ملي كنثبتو نظام ديال الإحداثيات، نقدرو نطابقو **A**n(*k*) مع *k**n*. الهدف من هاد التمييز هو أننا "كننساو" البنية ديال الفضاء المتجهي اللي عند *k*n.

دالة *f* : **A***n* → **A**1 كتسمى *حدودية* (أو *منتظمة*) إلا كان ممكن نكتبوها كـ حدودية، يعني كاين *p* فـ *k*[*x*1,...,*x**n*] بحيث *f*(*M*) = *p*(*t*1,...,*t**n*) لكل نقطة *M* عندها الإحداثيات (*t*1,...,*t**n*) فـ **A***n*.
هاد الخاصية ديال "كونها حدودية" ما كتعتمدش على نظام الإحداثيات.

إلى خدّينا نظام إحداثيات، الدوال المنتظمة على الفضاء الأفيني *n* كيقدرو يتطابقو مع حلقةالدوال الحدودية فـ *n* متغيرات على *k*. كنرمزو لهاد الحلقة ب *k*[**A***n*].

كنقولو على واحد الحدودية أنها "كتنعدم" فواحد النقطة إلا كان الحساب ديالها فديك النقطة كيعطي صفر.
نخليو *S* مجموعة ديال الحدوديات فـ *k*[**A**n].
*مجموعة الانعدام ديال S* (أو *محل الانعدام* أولا *مجموعة الأصفار*) هو المجموعة *V*(*S*) ديال جميع النقاط فـ **A***n* اللي كل حدودية فـ *S* كتنعدم فيها. بالرموز:

:V(S) = \{(t_1,\dots,t_n) \mid p(t_1,\dots,t_n) = 0 \text{ for all } p \in S\}.\,

أي مجموعة جزئية من **A***n* اللي على شكل *V*(*S*), كنسماوها *مجموعة جبرية* (algebraic set). الحرف *V* كيرمز لـ *تشكيلة*.

## مصادر


تصنيف:مجالات د التسطار