مثالثة

تصغير|150بك|مثالثة مُضلَّع بسيط: تقسيمه إلى مُثلَّثات.
في الهندسة الرياضية، **المُثالَثة** أو **التثليث** أو **الثلثنة**  هي تقسيم شكل مستوٍ إلى مثلثات، وبشكل أوسع، تقسيم شكل هندسي ذي أبعاد أعلى إلى مُبسَّطات. تتضمن مثالثة حجم ثلاثي الأبعاد تقسيمه إلى رباعيات أوجه مرزومة معًا.

في معظم الحالات، يُشترط أن تلتقي المثلثات الناتجة عن مثالثة من الضلع إلى الضلع ومن الرأس إلى الرأس.

## أنواعها
يمكن تعريف أنواع مختلفة من المُثالَثات، اعتمادًا على كل من الكائن الهندسي المراد تقسيمه وكيفية تحديد التقسيم.

* التثليث T لـ \mathbb{R}^d هو تقسيم \mathbb{R}^d إلى مبسطات ذات d أبعاد-بحيث يتقاطع أي مُبسَّطَيْن في T في وجه مشترك (مبسط ذو أبعاد أقل) أو لا يتقاطعان على الإطلاق، وأي مجموعة محدودة في \mathbb{R}^d تتقاطع فقط مع عدد منتهٍ من المبسطات في T. أي أنه  منتهٍ محليًا يغطي الفضاء بأكمله.
* ، أي تقسيم مجموعة متقطعة من النقاط \mathcal{P}\subset\mathbb{R}^d إلى مثلثات، هو تقسيم للغلاف المحدب للنقاط إلى مبسطات بحيث يتقاطع أي مُبسَّطَيْن في وجه مشترك من أي بُعد أو لا يتقاطعان على الإطلاق، وبحيث تكون مجموعة رؤوس المبسطات موجودة في \mathcal{P}. تشمل مُثاَلثات مجموعات النقاط المستخدمة والمدروسة بشكل متكرر مثالثة ديلوني (للنقاط في الموضع العام، مجموعة المبسطات التي تحيط بها كرة مفتوحة لا تحتوي على نقاط إدخال)  (مثالثة مجموعة النقاط الذي يقلل من مجموع أطوال الحافات).
* في الخرائطية، الشبكة اللامنتظمة المُثالَثة هي مثالثة مجموعة النقاط لنقاط ثنائية الأبعاد سويًا مع ارتفاعات لكل نقطة. إن رفع كل نقطة من المستوي إلى ارتفاعها يرفع المثلثات الناتجة عن المثالثة إلى سطوح ثلاثية الأبعاد، والتي تشكل تقريبًا لتضاريس ثلاثية الأبعاد.
* مثالثة مضلع هي تقسيم مضلع مُعطى إلى مثلثات تتلاقى أضلاعها، مع احتفاظ مجموعة رؤوس المثلثات بمتطابقتها مع مجموعة رؤوس المضلع. يمكن إيجاد مثالثات المضلعات إلى مثلثات في زمن خطي، وهي تشكل أساس العديد من الخوارزميات الهندسية المهمة، بما في ذلك حل تقريبي بسيط .  هو تعديل مثالثة ديلوني من مجموعات النقاط إلى المضلعات أو، بشكل أعم، إلى .
* المثالثة الإقليدية لسطح \Sigma هو مجموعة من المجموعات الجزئية للفضاءات المتراصة T_\alpha من \Sigma المتصاكلة (المتشاكلة باستمرار) مع مثلث غير مُتَرَدٍّ في\R^2 عبر f_\alpha بحيث تغطي السطح بأكمله، والتقاطع على أي زوجين من المجموعات الجزئية إما خالٍ أو حافة أو رأس، وإذا كان التقاطع T_\alpha \cap T_\beta غير خالٍ، فإن f_{\alpha}f_{\beta}^{-1}  هو تقايس للمستوي على ذلك التقاطع.

* في طريقة العناصر المنتهية، غالبًا ما تستخدم المثلثات شبكةً (في هذه الحالة، ) أساسية للحساب. في هذه الحالة، يجب أن تشكل المثلثات تقسيمًا للمجال المراد محاكاته، ولكن بدلًا من اقتصار الرؤوس على نقاط الإدخال، يُسمح بإضافة  إضافية كرؤوس. لكي تكون مناسبة بصفتها شبكات عناصر منتهية، يجب أن تحتوي المثالثات على مثلثات جيدة الشكل، وفقًا لمعايير تعتمد على تفاصيل محاكاة العناصر المنتهية؛ على سبيل المثال، تتطلب بعض الطرق أن تكون جميع المثلثات قائمة الزاوية أو حادة الزوايا، لتشكل . هناك العديد من تقنيات الشبكات المعروفة، بما في ذلك خوارزميات  مثل خوارزمية تشو الثانية وخوارزمية روبرت.
* في الفضاءات الطبولوجية الأكثر عمومية، تشير  الفضاء عمومًا إلى المُجمَّعات المبسطية التي تكون متصاكلة مع الفضاء.

## تعميم
يمكن أيضًا تعميم مفهوم المثالثة إلى حد ما ليشمل التقسيمات إلى أشكال مرتبطة بالمثلثات. على وجه الخصوص، تُعد المثالثة الزائفة لمجموعة نقاط تقسيمًا للغلاف المحدب للنقاط إلى مثلثات زائفة - وهي مضلعات لها، مثل المثلثات، ثلاثة رؤوس محدبة بالضبط. وكما هو الحال في مثالثة مجموعات النقاط، يجب أن تكون رؤوس المثالثات الزائفة عند نقاط الإدخال المعطاة.

## المراجع

## روابط خارجية

* 

*