معادلات أويلر (ميكانيكا الموائع)

تصغير|التدفق حول الجناح. هذا التدفق غير القابل للضغط يلبي شروط معادلات أويلر.

في ديناميكيات الموائع ، **معادلات أويلر** عبارة عن مجموعة من المعادلات شبه القطعية التي تحكم التدفق ثابت الحرارة وغير المتقطع. تم تسميتهم على اسم ليونارد أويلر . تمثل المعادلات معادلات كوشي لحفظ الكتلة (الاستمرارية) ، وتوازن القوة الدافعة والطاقة ، ويمكن اعتبارها حالة خاصة من معادلات نافييه-ستوكس مع لزوجة صفرية وموصلية حرارية صفرية.  في الواقع ، يمكن الحصول على معادلات أويلر عن طريق التحويل الخطي لبعض معادلات الاستمرارية الأكثر دقة مثل معادلات نافيير-ستوكس في حالة توازن محلية قدمها ماكسويل . يمكن تطبيق معادلات أويلر على التدفق غير القابل للضغط والتدفق القابل للانضغاط - بافتراض أن سرعة التدفق هي مجال ملف لولبي ، أو باستخدام معادلة طاقة مناسبة أخرى على التوالي (أبسط شكل لمعادلات أويلر هو حفظ الانتروبيا المحددة ). تاريخيًا ، اشتق أويلر فقط المعادلات غير القابلة للضغط. ومع ذلك ، يشير مؤلفات ديناميكيات الموائع غالبًا إلى المجموعة الكاملة - بما في ذلك معادلة الطاقة - للمعادلات القابلة للضغط الأكثر عمومية معًا باسم «معادلات أويلر». 

## معادلات أويلر غير القابلة للضغط بكثافة ثابتة ومنتظمة
في شكل الحمل الحراري (على سبيل المثال ، النموذج مع المشغل الحراري الموضّح في معادلة الزخم ) ، تكون معادلات أويلر غير القابلة للضغط في حالة كثافة ثابتة في الوقت ومنتظمة في المكان: 

حيث:

* \mathbf u هو متجه سرعة التدفق ، مع مكونات في فضاء *بعدد N من الأبعاد* u_1, u_2, \dots, u_N و
* {D\mathbf v \over Dt}={\partial\mathbf v\over\partial t}+\mathbf u\cdot\nabla\mathbf v ، لدالة عامة (أو مجال) \mathbf v يشير إلى مشتقها المادي في الوقت المناسب فيما يتعلق بمجال العرض \mathbf u و
* \nabla يشير إلى التدرج للفضاء ،
* \cdot يدل على الناتج القياسي ،
* \nabla هي عامل دل ، وتستخدم هنا لتمثيل تدرج الشغل الديناميكي الحراري المحدد (المعادلة الأولى) ، و
* \nabla \cdot \mathbf u هو تباعد سرعة التدفق (المعادلة الثانية) ،
* w هو الشغل الديناميكي الحراري المحدد (بمعنى *كل وحدة كتلة* ) ، مصطلح المصدر الداخلي.
* \mathbf{g} يمثل تسارع الجسم (لكل وحدة كتلة) التي تعمل على السلسلة المتصلة ، على سبيل المثال الجاذبية ، والتسارع بالقصور الذاتي ، وتسارع المجال الكهربائي ، وما إلى ذلك.

المعادلة الأولى هي معادلة زخم أويلر بكثافة منتظمة (بالنسبة لهذه المعادلة ، لا يمكن أن تكون ثابتة أيضًا في الزمن). من خلال توسيع المشتق المادي ، تصبح المعادلات:

: \left\{\begin{align} 
 {\partial\mathbf{u} \over \partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} &= -\nabla w + \mathbf{g} \\
                           \nabla \cdot \mathbf{u} &= 0
\end{align}\right.

في الواقع, لتدفق بكثافة موحدة \rho_0 تحمل الهوية التالية:

: \nabla w \equiv \nabla \left(\frac p {\rho_0} \right) = \frac 1 {\rho_0} \nabla p 

حيث p هو الضغط الميكانيكي. المعادلة الثانية هي القيد غير القابل للضغط ، حيث تشير إلى أن سرعة التدفق هي حقل ملف لولبي (ترتيب المعادلات ليس سببيًا ، ولكنه يؤكد حقيقة أن القيد غير القابل للضغط ليس شكلاً متدهورًا من معادلة الاستمرارية ، بل من معادلة الطاقة حيث سيتضح في ما يلي). والجدير بالذكر أن معادلة الاستمرارية ستكون مطلوبة أيضًا في هذه الحالة غير القابلة للضغط كمعادلة ثالثة إضافية في حالة *تغير الكثافة في الزمن أو* المتغير في المكان. على سبيل المثال ، مع كثافة موحدة ولكن متغيرة في الوقت المناسب ، فإن معادلة الاستمرارية التي سيتم إضافتها إلى المجموعة أعلاه تتوافق مع:

: \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 

وبالتالي فإن حالة الكثافة الثابتة **والمنظمة** هي الوحيدة التي لا تتطلب معادلة الاستمرارية كمعادلة إضافية بغض النظر عن وجود أو عدم وجود شرط كون المائع غير قابل للإنضغاط. في الواقع ، حالة معادلات أويلر غير القابلة للضغط ذات الكثافة الثابتة والمنتظمة التي يتم تحليلها هي نموذج لعبة يضم معادلتين مبسّطتين فقط ، لذا فهي مثالية للأغراض التعليمية حتى لو كانت ذات صلة مادية محدودة.

وبالتالي تمثل المعادلات أعلاه حفظ الكتلة (معادلة عددية واحدة) والزخم (معادلة متجهة واحدة تحتوي على N مكونات العددية ، حيث N هو البعد المادي للفضاء المرغوب دراسته). سرعة التدفق والضغط هما ما يسمى *بالمتغيرات الفيزيائية* . 

في نظام إحداثيات معطى بواسطة \left(x_1, \dots, x_N\right) متجهات السرعة والقوة الخارجية \mathbf u و \mathbf g لها مكونات (u_1,\dots, u_N) و \left(g_1, \dots, g_N\right) ، على التوالى. ثم يمكن التعبير عن المعادلات بترميز منخفض على النحو التالي:

: التفردات \left\{\begin{align} 
 {\partial u_i \over \partial t} + \sum_{j=1}^N {\partial \left(u_i u_j + w\delta_{ij}\right) \over \partial x_j} &= g_i \\
 \sum_{i=1}^N {\partial u_i \over \partial x_i} &= 0
\end{align}\right.

حيث ال i و j رموز فرعية تسمي مكونات الفضاء ذات البعد *N ، و* \delta_{ij} هي دلتا كرونكر . استخدام تدوين أينشتاين (حيث يتم تضمين المجموع من خلال المؤشرات المتكررة بدلاً من تدوين سيجما ) شائع أيضًا.

## مراجع

تصنيف:ليونهارت أويلر
تصنيف:معادلات فيزيائية