جاذبية خطية

**الجاذبية الخطية** أو **تقريب الحقول الثقالية الضعيفة** هي صياغة تقريبة في إطار نظرية النسبية العامة، تُستخدم لدراسة الظواهر الثقالية عندما يكون انحناء الزمكان صغيرًا، وتكون الانحرافات عن متريّة مينكوفسكي محدودة. في هذا النطاق يمكن تبسيط معادلات أينشتاين الحقلية غير الخطية عبر تطبيق نظرية الاضطرابات، وذلك بتمثيل المتريّة العامة على صورة متريّة خلفية مسطّحة مضافًا إليها اضطراب صغير.

يُعد هذا التقريب أداة أساسية لفهم عدد من النتائج الفيزيائية المهمة، مثل الحد النيوتني للجاذبية، وحركة الجسيمات على الجيوديسيات في الحقول الضعيفة، وكذلك انتشار الموجات الثقالية في الفراغ. كما يسمح هذا الإطار بالربط بين الصياغة الهندسية للنسبية العامة والتوصيف الكلاسيكي للجاذبية من خلال تفسير بعض مركبات المتريّة بدلالة الجهد الثقالي.

يعتمد هذا النهج على افتراض أن المتريّة يمكن كتابتها على الشكل:

g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \qquad |h_{\mu\nu}| \ll 1

حيث تمثل \eta_{\mu\nu} متريّة الزمكان المسطّح، ويمثل h_{\mu\nu} اضطرابًا صغيرًا ناتجًا عن وجود المادة والطاقة. وضمن هذا التقريب تصبح معادلات أينشتاين خطية من الدرجة الثانية في مركبات الاضطراب، مع احتفاظها بتناظرها تحت التحويلات الإحداثية الصغيرة (**تناظر العيار**).

**الجاذبية الخطية** أو **تقريب الحقول الثقالية الضعيفة** هي صياغة تقريبة في إطار نظرية النسبية العامة، تُستخدم لدراسة الظواهر الثقالية عندما يكون انحناء الزمكان صغيرًا، وتكون الانحرافات عن متريّة مينكوفسكي محدودة. في هذا النطاق يمكن تبسيط معادلات أينشتاين الحقلية غير الخطية عبر تطبيق نظرية الاضطرابات، وذلك بتمثيل المتريّة العامة على صورة متريّة خلفية مسطّحة مضافًا إليها اضطراب صغير.

يعتمد هذا النهج على افتراض أن المتريّة يمكن كتابتها على الشكل:

g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \qquad |h_{\mu\nu}| \ll 1

حيث تمثل \eta_{\mu\nu} متريّة الزمكان المسطّح، ويمثل h_{\mu\nu} اضطرابًا صغيرًا ناتجًا عن وجود المادة والطاقة. وضمن هذا التقريب تصبح معادلات أينشتاين خطية من الدرجة الثانية في مركبات الاضطراب، مع احتفاظها بتناظرها تحت التحويلات الإحداثية الصغيرة (**تناظر العيار**). R_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \left( \partial_\sigma \partial_\mu h^\sigma_\nu + \partial_\sigma \partial_\nu h^\sigma_\mu - \partial_\mu \partial_\nu h - \square h_{\mu\nu} \right) R = \partial_\mu \partial_\nu h^{\mu\nu} - \square h G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \left( \partial_\sigma \partial_\mu h^\sigma_\nu + \partial_\sigma \partial_\nu h^\sigma_\mu - \partial_\mu \partial_\nu h - \square h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \partial_\rho \partial_\lambda h^{\rho\lambda} + \eta_{\mu\nu} \square h \right)

يمكن حل هذه المعادلات ضمن **تناظر العيار (Gauge invariance)**، إذ أن اختيار الإحداثيات لا يغيّر النظام الفيزيائي الذي تصفه مركبات h_{\mu\nu} طالما بقيت صغيرة.

## تناظر العيار
تناظر العيار هو خاصية أساسية في الجاذبية الخطية، حيث أن تقسيم المتريّة العامة إلى متريّة خلفية مسطّحة
\eta_{\mu\nu}
واضطراب صغير
h_{\mu\nu}
ليس فريدًا. أي أن اختيار الإحداثيات يمكن أن يعطي أشكالًا مختلفة للاضطراب، بينما يبقى النظام الفيزيائي الذي تصفه المركبات
h_{\mu\nu}
ثابتًا.

لتوضيح ذلك، يمكن تعريف تحويلات تفاضلية صغيرة
\phi
من الزمكان المسطّح إلى الزمكان العام، بحيث يصبح الاضطراب الجديد:

h_{\mu\nu} = (\phi^* g)_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}

حيث \phi^* g تمثل سحب المتريّة العامة عبر التحويل التفاضلي \(\phi\). إذا تم تعريف حقل متجه
\xi^\mu
على الزمكان المسطّح، يمكن إنشاء عائلة جديدة من التحويلات التفاضلية
\psi_\epsilon، مما يؤدي إلى عائلة من الاضطرابات:


\begin{align}
h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} &= [(\phi \circ \psi_\epsilon)^* g]_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \\
&= (\psi^*_\epsilon h)_{\mu\nu} + \epsilon \mathcal{L}_\xi \eta_{\mu\nu},
\end{align}


وفي النهاية، وعند أخذ الحد
\epsilon \to 0، نحصل على تحويل العيار للاضطراب:

h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + \epsilon (\partial_\mu \xi_\nu + \partial_\nu \xi_\mu)

هذا التحويل يصف مجموعة من الاضطرابات التي تمثل نفس النظام الفيزيائي، وهو ما يُعرف بـ **تناظر العيار في الجاذبية الخطية**.

## اختيار العيار (Choice of gauge)

بعد تعريف تناظر العيار، يصبح من الممكن تبسيط خصائص الاضطراب h_{\mu\nu} عن طريق اختيار عيار مناسب. يتيح اختيار العيار ضمان خصائص محددة للمتريّة المضطربة، وتسهيل حل المعادلات الخطية الناتجة عن تقريب الحقول الضعيفة.

### العيار المستعرض (Transverse gauge)

يُستخدم هذا العيار لدراسة كيفية تأثير الاضطراب على القياسات المكانية، من خلال تعريف الموتر المكاني:

s_{ij} = h_{ij} - \frac{1}{3} \delta^{kl} h_{kl} \delta_{ij}

حيث
i,j \in \{1,2,3\}
يمكن بعد ذلك تفكيك المركبات المكانية للاضطراب:

h_{ij} = s_{ij} - \Psi \delta_{ij}, \qquad \Psi = \frac{1}{3} \delta^{kl} h_{kl}

يصبح هذا الموتر خاليًا من الأثر (traceless) ويُعرف بالـ **strain**. عند إجراء تحويل العيار باستخدام حقل متجه مناسب
\xi^\mu، يتحقق الشرط:

\partial_i s^{ij}_{(\epsilon)} = 0, \qquad \partial_i h^{0i}_{(\epsilon)} = 0

### العيار المتزامن (Synchronous gauge)

هذا العيار يهدف إلى تبسيط قياسات الزمن، بحيث تكون مكونات الاضطراب غير المكانية صفرًا:

h^{(\epsilon)}_{0\nu} = 0

ويتحقق ذلك باختيار مكونات حقل المتجه \xi^\mu بحيث:

\partial_0 \xi^0 = - h_{00}, \qquad \partial_0 \xi^i = \partial_i \xi^0 - h_{0i}

### العيار التوافقي (Harmonic gauge / Lorenz gauge)

هذا العيار يقلل المعادلات الخطية إلى أبسط صورة ممكنة، وهو مهم جدًا لدراسة الموجات الثقالية. يتحقق عند شرط:

\partial_\mu h^\mu_\nu = \frac{1}{2} \partial_\nu h

ويتم اختيار حقل المتجه \xi_\mu بحيث:

\square \xi_\mu = - \partial_\nu h^\nu_\mu + \frac{1}{2} \partial_\mu h

في هذا العيار، يتحول موتر أينشتاين إلى:

G_{\mu\nu} = -\frac{1}{2} \square \left( h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} - \frac{1}{2} h^{(\epsilon)} \eta_{\mu\nu} \right)

وباستخدام "trace-reversed metric":

\bar{h}^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = h^{(\epsilon)}_{\mu\nu} - \frac{1}{2} h^{(\epsilon)} \eta_{\mu\nu}

تصبح المعادلة الخطية النهائية:

\square \bar{h}^{(\epsilon)}_{\mu\nu} = -2 \kappa T_{\mu\nu}

ويمكن حلها للحصول على حلول موجات الجاذبية.

## انظر أيضاً

* مبدأ المطابقة
* مغناطيسية الجاذبية
* النسبية العامة
* النسبية الخاصة
* قانون الجذب العام لنيوتن
* موجة ثقالية
* زمكان
## مراجع إضافية
* Schutz, Bernard F., A First Course in General Relativity, Cambridge University Press, 1985
* Wald, Robert M., General Relativity, University of Chicago Press, 1984
* Stephani, Hans, General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field, Cambridge University Press, 1990
* Straumann, Norbert, General Relativity with Applications to Astrophysics, Springer, 2004
* Poisson, Eric and Will, Clifford M., Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic, Cambridge University Press, 2014
* Misner, Charles W., Thorne, Kip S., Wheeler, John A., Gravitation, Freeman, 1973
* Carroll, Sean M., Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Addison-Wesley, 2003

## المراجع

تصنيف:النسبية العامة
تصنيف:ألبرت أينشتاين
تصنيف:جاذبية
تصنيف:طرق رياضية في النسبية العامة
تصنيف:مفاهيم فيزيائية