زاوية التوازي

تصغير| زاوية التوازي في الهندسة الزائدية
في الهندسة الزائدية ، **زاوية التوازيangle of parallelism)**  \Pi(a)  هي الزاوية عند الرأس غير القائم الزاوية في مثلث زائدي قائم الزاوية أيضا و له ضلعان متوازيان مقاربان . تعتمد الزاوية على طول القطعةa بين الزاوية القائمة و رأس زاوية التوازي.

إذا كانت هناك نقطة ليست على خط مستقيم، فقم بإسقاط خط عمودي على الخط من هذه النقطة . ليكن *a* هو طول هذا المقطع العمودي، و  \Pi(a)  تكون أصغر زاوية بحيث لا يتقاطع الخط المرسوم عبر النقطة مع الخط المعطى. نظرًا لأن الجانبين متوازيان بشكل مقارب،

:  \lim_{a\to 0} \Pi(a) = \tfrac{1}{2}\pi\quad\text{ and }\quad\lim_{a\to\infty} \Pi(a) = 0. 

هناك خمسة تعبيرات متكافئة تربط *<math> \Pi(a)</math>* *و* :

:  \sin\Pi(a) = \operatorname{sech} a = \frac{1}{\cosh a} =\frac{2}{e^a + e^{-a}} \, 

:  \cos\Pi(a) = \tanh a = \frac {e^a - e^{-a}} {e^a + e^{-a}} \, 

:  \tan\Pi(a) = \operatorname{csch} a = \frac{1}{\sinh a} = \frac {2}{e^a - e^{-a}} \ , 

:  \tan \left( \tfrac{1}{2}\Pi(a) \right) = e^{-a}, 

:  \Pi(a) = \tfrac{1}{2}\pi - \operatorname{gd}(a), 

حيث sinh و cosh وtanh و sech وcsch هي دوال زائدية وgd هي دالة غودرمان .

## البناء
اكتشف يانوس بولياي إنشاءً يعطي الموازي المقارب *s* لخط *r* يمر عبر نقطة *A* وليس على *r* .  قم بإسقاط خط عمودي من *A* إلى *B* على *r* . اختر أي نقطة *C* على *r* مختلفة عن *B.* أنشئ عموديًا *t* على *r* عند *C.* أسقط خط عموديا من *A* إلى *D* على *t* . عندئذٍ يكون الطول *DA* أطول من *CB* ، ولكنه أقصر من *CA.* أرسم دائرة حول *C* بنصف قطر يساوي *DA* . سيتقاطع مع القطعة المستقيمة *AB* عند النقطة *E.* عندها تكون الزاوية *BEC* مستقلة عن الطول *BC* ، و تعتمد فقط على *AB* ؛ و هي زاوية التوازي. قم بإنشاء *s* خلال *A* بزاوية *BEC* من *AB* .

:  \sin BEC = \frac{ \sinh {BC} }{ \sinh {CE} } = \frac{ \sinh {BC} }{ \sinh {DA} } = \frac{ \sinh {BC} }{ \sin {ACD} \sinh {CA} } = \frac{ \sinh {BC} }{ \cos {ACB} \sinh {CA} } = \frac{ \sinh {BC} \tanh {CA} }{ \tanh {CB} \sinh {CA} } = \frac{ \cosh {BC} }{ \cosh {CA} } = \frac{ \cosh {BC} }{ \cosh {CB} \cosh {AB} } = \frac{ 1 }{ \cosh {AB} } \,.

راجع علم مثلثاث المثلثات القائمة لمعرفة الصيغ المستخدمة هنا.

## التاريخ
تم تطوير **زاوية التوازي** في عام 1840 في المنشور الألماني "Geometrische Unter suchungen zur Theory der Parallellinien" بقلم نيكولاي لوباتشيفسكي .

أصبح هذا المنشور معروفًا على نطاق واسع باللغة الإنجليزية بعد أن قام الأستاذ من تكساس جي بي هالستيد بترجمة الكتاب في عام 1891. ( *أبحاث هندسية حول نظرية المتوازيات* )

تتناول المقاطع التالية هذا المفهوم المحوري في الهندسة الزائدية:

: *الزاوية HAD بين HA الموازي وAD العمودي تسمى زاوية التوازي (زاوية التوازي) والتي سنشير إليها هنا بـ Π(p) لـ AD = p* .  

## التوضيح
يسار|تصغير|400x400بك| زاوية التوازي، ''Φ'' ، يمكن صياغتها على النحو التالي: (أ) الزاوية بين المحور x والخط الممتد من ''x'' ، مركز ''Q'' ، إلى ''y'' ، نقطة تقاطع Q مع المحور y، و(ب) الزاوية من مماس ''Q'' عند ''y'' إلى المحور y.<br /><br /><br /><br /> هذا الرسم البياني، مع المثلث المثالي الأصفر، يشبه الرسم البياني الموجود في كتاب سموجورزيفسكي.
في نموذج بوانكاريه لنصف المستوى للمستوى الزائدي (انظر الحركات الزائدية )، يمكننا إقامة علاقة *Φ* مع *a* باستخدام الهندسة الإقليدية . ليكن *Q* هو نصف الدائرة التي يبلغ قطرها على المحور *السيني* والتي تمر عبر النقطتين (1,0) و(0, *y* )، حيث *y* > 1. نظرًا لأن *Q* مماس لنصف الدائرة الوحدوية التي يقع مركزها في الأصل، فإن نصفي الدائرتين يمثلان *خطوطًا زائدية متوازية* . يتقاطع المحور *y* مع نصفي الدائرة، مما يشكل زاوية قائمة مع نصف الدائرة الوحدوية و زاوية متغيرة *Φ* مع *Q.* الزاوية في مركز *Q* التي يحيط بها نصف القطر إلى (0،&nbsp;*y* ) هي أيضًا *Φ* لأن الزاويتين لهما جوانب متعامدة، من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيسر، و من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيمن كذلك. نصف الدائرة *Q* يقع مركزها عند ( *x* ،&nbsp;0)، *x*  x^2 + y^2 = (1 - x)^2, 

لذلك

:  x = \tfrac{1}{2}(1 - y^2). 

مقياس نموذج نصف المستوى لبوانكاريه للهندسة الزائدية يحدد المسافة على الشعاع {(0،&nbsp;*ي* ) : *y* > 0 } بمقياس لوغاريتمي. دع المسافة الزائدية من (0،&nbsp;*ي* ) إلى (0،&nbsp;1) *كن* ، لذا: log&nbsp;*y* − log 1 = *a*، لذا *y* = *e <sup>a</sup>* حيث ''e'' هو أساس اللوغاريتم الطبيعي . و من ثم يمكن استنتاج العلاقة بين *Φ* و *a* من المثلث {( *x* ,&nbsp;0)،&nbsp;(0,&nbsp;0)،&nbsp;(0,&nbsp;*y* )}، على سبيل المثال:

:  \tan\phi = \frac{y}{-x} = \frac{2y}{y^2 - 1} = \frac{2e^a}{e^{2a} - 1} = \frac{1}{\sinh a}. 

## مراجع

* مارفن جيه جرينبيرج (1974) *الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية* ، ص.&nbsp;211 – 3، شركة دبليو إتش فريمان .
* روبن هارتشورن (1997) *رفيق إقليدس* ص.&nbsp;319,&nbsp;325، الجمعية الرياضية الأمريكية ، .
* جيريمي جراي (1989) *أفكار الفضاء: الإقليدية وغير الإقليدية والنسبية* ، الطبعة الثانية، مطبعة كلارندون ، أكسفورد (انظر الصفحات من 113 إلى 118).
* بيلا كيريكارتو (1966) *Les Fondements de la Géométry* ، Tome Deux، §97.6 زاوية التوازي للهندسة الزائدية، ص 411،2، Akademiai Kiado، بودابست.

تصنيف:زوايا
تصنيف:دوال
تصنيف:هندسة زائدية