ملتقى ارتفاعات

[يسار|تصغير|تتقاطع ارتفاعات المثلث الثلاثة عند ملتقى الارتفاعات، والذي يقع داخل المثلث في حالة [مثلثات حادة ومنفرجة|المثلث الحاد الزوايا.]]
**ملتقى ارتفاعات**  المثلث، الذي يُرمز له عادةً بالحرف ، هو النقطة التي تتقاطع عندها الارتفاعات الثلاثة (التي قد تكون ممتدة). يقع ملتقى الارتفاعات داخل المثلث إذا وفقط إذا كان المثلث حاد الزوايا. بالنسبة للمثلث القائم الزاوية، يتطابق ملتقى الارتفاعات مع الرأس عند الزاوية القائمة. بالنسبة للمثلث متساوي الأضلاع، تتطابق جميع مراكز المثلث (بما فيها ملتقى الارتفاعات) عند مركزه المتوسط.

## صياغة
لنفترض أن  تمثل رؤوس المثلث وزواياه، وأن a = \left|\overline{BC}\right| وb = \left|\overline{CA}\right| وc = \left|\overline{AB}\right| تمثل أطوال أضلاعه. يكون لملتقى الارتفاعات إحداثيات ثلاثية الخطية:

\begin{align}
& \sec A:\sec B:\sec C \\
&= \cos A-\sin B \sin C:\cos B-\sin C \sin A:\cos C-\sin A\sin B,
\end{align}

وإحداثيات مَرْجَجِيَّة:

\begin{align}
& (a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2) : (a^2+b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2) : (a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2) \\
&= \tan A:\tan B:\tan C.
\end{align}

نظرًا لأن الإحداثيات المرجحية كلها موجبة لنقطة داخل المثلث ولكن واحدة على الأقل سالبة لنقطة خارج المثلث، واثنين من الإحداثيات المركزية يساويان صفرًا لنقطة رأس المثلث، فإن الإحداثيات المرجحية المعطاة لملتقى الارتفاعات توضح أن ملتقى الارتفاعات يقع داخل المثلث الحاد الزاوية، وعلى رأس المثلث القائم الزاوية، وخارج المثلث المنفرج الزاوية.

في المستوي العقدي، لنفترض أن النقاط  و و تمثل الأعداد  و **' و **'، وأن مركز الدائرة المحيطة بالمثلث  يقع عند أصل المستوي. عندئذٍ، يمثل العدد العقدي:

: z_H=z_A+z_B+z_C

النقطة  ، أي ملتقى ارتفاعات المثلث . ومن هذا، يمكن تحديد الخواص التالية لملتقى الارتفاعات  باستخدام المتجهات الحرة بشكل مباشر:

: \vec{OH}=\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA},\qquad2\cdot\vec{HO}=\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{HA}.

تُعرف أولى متطابقات المتجهات السابقة أيضًا باسم "مسألة سِلْفِسْتَر"، والتي اقترحها جِمْس جوزيف سِلْفِسْتَر.

## خواص
لنفترض أن  و و تمثل مواطئ الارتفاعات من  و و على الترتيب. عندئذٍ:

* إن جداء أطوال القطع المستقيمة الناتجة عن تقسيم ملتقى الارتفاعات للارتفاعات هو نفسه بالنسبة لجميع الارتفاعات الثلاثة:

: \overline{AH} \cdot \overline{HD} = \overline{BH} \cdot \overline{HE} = \overline{CH} \cdot \overline{HF}.
: الدائرة التي مركزها H ونصف قطرها الجذر التربيعي لهذا الثابت هي  للمثلث.

* مجموع النسب على الارتفاعات الثلاثة لمسافة ملتقى الارتفاعات من القاعدة إلى طول الارتفاع هو 1: (هذه الخاصية والخاصية التالية هما تطبيقان لخاصية أكثر عمومية لأي نقطة داخلية والشِّيفِيَّات الثلاثة المارة بها.)

: \frac{\overline{HD}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{HE}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{HF}}{\overline{CF}} = 1.

* مجموع النسب على الارتفاعات الثلاثة لمسافة ملتقى الارتفاعات من الرأس إلى طول الارتفاع هو 2:

: \frac{\overline{AH}}{\overline{AD}} + \frac{\overline{BH}}{\overline{BE}} + \frac{\overline{CH}}{\overline{CF}} = 2.

* مرافق ملتقى الارتفاعات بتساوي الزوايا هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث.
* مرافق ملتقى الارتفاعات  هي  المثلث التخالفي التتميم.
* تُسمى النقاط الأربع في المستوي، بحيث تكون إحداها ملتقى ارتفاعات المثلث المتكون من النقاط الثلاث الأخرى،  أو رباعي النقاط المتعلق بملتقى الارتفاعات.

## انظر أيضًا

* مركز مثلث

## المراجع

## معلومات الكتب الكاملة

* 
* 
* 


تصنيف:مقالات تحوي مقتطفات
تصنيف:مراكز مثلث