البراهين والتفنيدات

كتاب “البراهين والتفنيدات" منطق الاكتشاف الرياضي هو كتاب صدر عام 1976 للفيلسوف إيمري لاكاتوس، يشرح فيه رؤيته حول تطوّر علم الرياضيات . كتب الكتاب على شكل سلسلة من الحوارات السقراطية بين مجموعة من الطلاب الذين يناقشوا برهان خاصية أويلر الخاصة بالمجسم متعدد الأوجه ، الفكرة الأساسية هي أن التعريفات ليست ثابته ، بل غالبا ما تحتاج إلى تعديل مع ظهور أفكار جديدة، لا سيما عند فشل بعض البراهين . وهذا يجعل الرياضيات تبدو وكأن لها طابعا تجريبيا إلى حد ما . وفي نهاية المقدمة يوضح لاكاتوس أن هدفه هو تحدّي النزعة الشكلية في الرياضيات ، وإثبات أن الرياضيات غير الرسمية تتطور وفق منطق يسمى" البراهين والتفنيدات " .

## الخلفية
كتاب " البراهين والتفنيدات" الصادر عام 1976 مبني على الفصول الثلاثة الأولى من أطروحة الدكتوراه التي كتبها عام 1961، وكانت تتكون من أربعة فصول بعنوان مقالات في منطق الاكتشاف الرياضي.لكن الفصل الأول من الكتاب هو مراجعة قام بها لاكاتوس بنفسه للفصل الأول من تلك الأطروحة، وقد نُشر هذا الفصل لأول مرة بعنوان " البراهين والتفنيدات " في أربعة أجزاء خلال عامي 1963–1964 في المجلة البريطانية لفلسفة العلم .

## الملخص
تم شرح العديد من الأفكار المنطقية المهمة في الكتاب. على سبيل المثال، يشرح الكتاب الفرق بين مثال مضاد لمسلمة، ويسمى مثال مضاد محليا ، ومثال مضاد للفرضية التي يتم اختبارها، ويسمى مثال مضاد عام لخاصية أويلر في هذه الحالة. يرى لاكاتوس أنه يجب أن يكون هناك نوع مختلف من الكتب الدراسية يستخدم الأسلوب الاستكشافي . 

ويرد على من يقول إن هذا النوع من الكتب سيكون طويلا جدًا بقوله:" الرد على هذا الاعتراض البسيط هو: لنجرب " . يحتوي الكتاب على ملحقين، في الملحق الأول، يذكر لاكاتوس أمثلة على طريقة الاكتشاف في الرياضيات . وفي الملحق الثاني، يقارن بين المنهج الاستنباطي والمنهج الاستكشافي، ويقدّم تحليل لبعض المفاهيم الناتجة عن البراهين، مثل التقارب المنتظم، والتغير المحدود، وتعريف كاراتيودوري للمجموعة القابلة للقياس . وتم تسمية الطلاب في الكتاب باستخدام حروف من الأبجدية اليونانية .

## المنهج
رغم أن الكتاب مكتوب على شكل سرد، هو يهدف إلى تطوير طريقة حقيقية للبحث تعتمد على "البراهين والتفنيدات".

في الملحق الأول، يلخّص لاكاتوس هذه الطريقة من خلال المراحل التالية:

١- فرضية أولية.

٢-البرهان (وهو تجربة فكرية أو حجة مبدئية يتم فيها تقسيم الفرضية الأولية إلى فرضيات فرعية).

٣-تبدأ أمثلة مضادة عامة في الظهور (وهي أمثلة مضادة للفرضية الأولية).

٤- يتم إعادة فحص البرهان، ويتم اكتشاف الجزء الذي يحتوي على الخطأ، حيث يكون المثال المضاد العام مثالا مضادا محليا لهذا الجزء. وقد يكون هذا الخطأ كان مخفيا أو تم فهمه بطريقة غير صحيحة من قبل . بعد ذلك يتم توضيحه بشكل صريح، ويتم إضافته إلى الفرضية الأولية كشرط. وبذلك تأتي الفرضية المحسنة محل الفرضية الأولية، مع إضافة مفهوم جديد ناتج عن البرهان كأهم عنصر فيها.

ثم يواصل شرح مراحل أخرى قد تحدث أحيانا :

٥- يتم دراسة براهين نظريات أخرى لمعرفة إذا كانت الفكرة الجديدة الناتجة عن البرهان تظهر فيها، وقد يتضح أن هذه الفكرة تظهر في أكثر من برهان، لذلك تصبح فكرة مهمة .

٦- يتم التحقق من النتائج التي كانت مقبولة سابقًا والمترتبة على الفرضية الأصلية التي تم دحضها الآن .

٧- تتحول الأمثلة المضادة إلى أمثلة جديدة، مما يفتح مجالات جديدة للبحث.

## تاريخ النشر
تمت ترجمة كتاب عام 1976 إلى أكثر من 15 لغة حول العالم، بما في ذلك الصينية والكورية والصربية، الكرواتية والتركية، كما صدرت طبعته الصينية الثانية عام 2007.

## التأثير على التدريس
استخدم بعض معلمي الرياضيات طريقة لاكاتوس في البراهين والتفنيدات داخل الصف عند تدريس موضوعات رياضية مختلفة. وقد تم استخدام هذه الطريقة في تحليل وعرض حل المسائل في الميكانيكا لدى الطلاب من المرحلة الثانوية حتى المرحلة الجامعية . وقد أدرجت جمعية الرياضيات الأمريكية هذا الكتاب ضمن قائمة الكتب التي تعتبرها " أساسية لمكتبات طلاب الرياضيات في المرحلة الجامعية" . 

## المراجع

تصنيف:كتب رياضيات
تصنيف:كتب غير خيالية 1976
تصنيف:حوارات
تصنيف:الفلسفة في أدب علمي
تصنيف:دراسات العلوم