جهد مورس

**جهد مورس** ، أو دالة مورس، التي سميت على اسم الفيزيائي فيليب م. مورس، هي نموذج مناسب لوصف التفاعل البيني للطاقة الكامنة لجزيء ثنائي الذرة.

هو تقريب أفضل للبنية الاهتزازية للجزيء من المذبذب التوافقي الكمومي لأنه يتضمن آثار انكسار الروابط، مثل وجود حالات غير مقيدة.

كما أنه يفسر لا هرمونية/ توافقية الروابط الحقيقية واحتمال الانتقال غير الصفري للتوافقيات الأعلى وللحزم المركبة .

يمكن أيضا استخدام جهد مورس لنمذجة تفاعلات أخرى مثل التفاعل بين ذرة وسطح. ونظراً لبساطته (ثلاثة متغيرات ملائمة /توفيق فقط)، لا يستخدم في التحليل الطيفي الحديث.

يعتبر أيضا دالة الطاقة الكامنة الأكثر شيوعاً في الاستخدام لتحليل البيانات الطيفية.

## دالة الطاقة الكامنة
تصغير|400x400بك| '''جهد مورس''' (الأزرق) والمذبذب التوافقي (الأخضر). على عكس مستويات الطاقة لإمكانية المذبذب التوافقي ، والتي تكون متباعدة بالتساوي بواسطة ħω ، فإن تباعد مستوى جهد مورس يتناقص مع اقتراب الطاقة من طاقة التفكك. طاقة التفكك ''D'' <sub>e</sub> أكبر من الطاقة الحقيقية المطلوبة للتفكك ''D'' <sub>0</sub> بسبب طاقة نقطة الصفر لأدنى مستوى اهتزازي ( ''v'' = 0).
دالة مورس للطاقة الكامنة هي كالتالي

: V'(r) = D_e ( 1-e^{-a(r-r_e)} )^2

هنا r هي المسافة بين الذرات، r_e هي طول رابطة التوازن، D_e هو عمق بئرالجهد (معرّف بالنسبة للذرات المنفصلة) a يتحكم في «عرض» الجهد. يمكن حساب طاقة التفكك للروابط بطرح طاقة نقطة الصفر E_0 . يمكن ايجاد ثابت القوة (الصلابة) للرابطة عن طريق مفكوك تايلور V'(r) حول r=r_e إلى المشتق الثاني لدالة الطاقة الكامنة، والتي يمكن من خلالها إثبات أن المعلمة، a ، تكون

: a=\sqrt{k_e/2D_e},

أي ان k_e هو ثابت القوة عند الحد الأدنى.

نظرًا لأن صفرية الطاقة الكامنة هو أمر إختياري، يمكن إعادة كتابة معادلة جهد مورس بأي عدد من الطرق عن طريق إضافة أو طرح قيمة ثابتة. عندما تستخدم(دالة جهد مورس) لنمذجة التفاعل بين السطح والذرة، يمكن إعادة تعريف مستوى الطاقة الصفرية بحيث يصبح جهد مورس

: V(r)= V'(r)-D_e = D_e ( 1-e^{-a(r-r_e)} )^2 -D_e 

الذي يكتب عادة هكذا

: V(r) = D_e ( e^{-2a(r-r_e)}-2e^{-a(r-r_e)} )

حيث أن r هو الآن الإحداثي العمودي على السطح. يقترب هذا النموذج من الصفرعند قيم r اللانهائية ويساوي -D_e في الحد الأدنى، أي عندما r=r_e . يُظهر بوضوح أن جهد مورس هي مزيج من حد/مقدار نفور قصير المدى (الأول) وحد/مقدار جذب طويل المدى (الأخير)، يماثل جهد لينارد جونز.

## الحالات والطاقات الاهتزازية
مثل المذبذب التوافقي الكمومي، يمكن إِيْجَاد الطاقات والحالات المميزة لجهد مورس باستخدام طرق المؤثر. و يتضمن أحد الأساليب تطبيق طريقة التحليل إلى عوامل على المؤثر الهاميلتوني .

لكتابة الحالات الثابتة على جهد مورس، أي \Psi_n(r) و E_n ومعادلة شرودنغر التالية:

: \left(-\frac{\hbar ^2 }{2 m }\frac{\partial ^2}{\partial r^2}+V(r)\right)\Psi_n(r)=E_n\Psi_n(r),

من المناسب إدخال المتغيرات التالية:

: x=a r

\text{; }

x_e=a r_e

\text{; }

\lambda =\frac{\sqrt{2 m D_e}}{a \hbar }

\text{; }

\varepsilon _n=\frac{2 m }{a^2\hbar ^2}E_n.


بعد ذلك، تأخذ معادلة شرودنغر الشكل البسيط:

: 
\left(-\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\Psi _n(x)=\varepsilon _n\Psi _n(x),

: 
V(x)=\lambda ^2\left(e^{-2\left(x-x_e\right)}-2e^{-\left(x-x_e\right)}\right).


يمكن كتابة قيمها الذاتية وال الحالات الخاصة على النحو التالي:

: 
\varepsilon _n=-\left(\lambda -n-\frac{1}{2}\right)^2,


أي

: 
n=0,1,\ldots,\left[\lambda-\frac{1}{2}\right],


حيث تشير \lfloor x \rfloor إلى أكبر عدد صحيح أصغر من x.

: 
\Psi _n(z)=N_nz^{\lambda -n-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}z}L_n^{(2\lambda -2n-1)}(z),


أي
z=2\lambda e^{-\left(x-x_e\right)}
\text{; }
N_n=\left[\frac{n!\left(2\lambda-2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda - n)}\right]^{\frac{1}{2}}
 و L_n^{(\alpha) }(z) هو متعدد لغوير المعمم:

: L_n^{(\alpha) }(z) = \frac{z^{-\alpha }e^z}{n!} \frac{d^n}{d z^n}\left(z^{n + \alpha } e^{-z}\right)=\frac{\Gamma (\alpha + n + 1)/\Gamma (\alpha +1)}{n!} \, _1F_1(-n,\alpha +1,z),


يوجد أيضًا التعبير التحليلي الهام التالي لعناصر المصفوفة لعامل الإحداثيات (هنا يُفترض m>n و N=\lambda -\frac{1}{2}) 

: 
\left\langle \Psi _m|x|\Psi _n\right\rangle =\frac{2(-1)^{m-n+1}}{(m-n)(2N-n-m)} \sqrt{\frac{(N-n)(N-m)\Gamma (2N-m+1)m!}{\Gamma (2N-n+1)n!}}.


الطاقة الذاتية في المتغيرات الأولية بهذا الشكل:

: E_n = h\nu_0 (n+1/2) - \frac{\left[h\nu_0(n+1/2)\right]^2}{4D_e}

أي ان n هو عدد الذبذبات الكمية، و \nu_0 لديها وحدات من التردد، وهي مرتبطة رياضيا بكتلة الجسيمات، m ، وثوابت مورس عبر

: \nu_0 = \frac{a}{2\pi} \sqrt{2D_e/m}.

في حين أن تباعد الطاقة بين مستويات الاهتزاز في المذبذب التوافقي الكمومي ثابت عند h\nu_0 ، الطاقة بين المستويات المجاورة تنخفض مع زيادة v في مذبذب مورس. رياضيا، تباعد مستويات مورس

: E_{n+1} - E_n = h\nu_0 - (n+1) (h\nu_0)^2/2D_e.\,

يطابق هذا الاتجاه عدم التناسق الموجود في الجزيئات الحقيقية. ومع ذلك، فشلت هذه المعادلة فوق بعض القيم مثل n_m أي E(n_m+1) - E(n_m) تُحْسَب على أنها صفر أو سلبية. على وجه التحديد:

: n_m = \frac{2D_e-h\nu_0}{h\nu_0} جزء صحيح.

يرجع هذا الفشل إلى العدد *المحدود* من المستويات المقيدة في جهد مورس، وبعض الحدود القصوى من n_m التي لا تزال مقيدة. للطاقات التي اعلى من n_m ، يُسمح بجميع مستويات الطاقة الممكنة، لأن المعادلة E_n لم تعد صالحة.

أدناه n_m ، E_n هو تقريب جيد للبنية الاهتزازية الحقيقية في الجزيئات ثنائية الذرة غير الدورية. في الواقع، تتناسب الأطياف الجزيئية الحقيقية بشكل عام مع الشكل 1

:  E_n / hc = \omega_e (n+1/2) - \omega_e\chi_e (n+1/2)^2\,

الثوابت \omega_e و \omega_e\chi_e يمكن أن تكون مرتبطة مباشرة بالمعلمات لجهد مورس.

كما هو واضح من التحليل البعدي، تستخدم المعادلة الأخيرة تدوينًا طيفيًا لأسباب تاريخية حيث \omega_e يمثل انخفاض الموجة E=hc\omega وليس تردد زاوي بواسطة E=\hbar\omega .

## جهد مورس / بعيدة المدى
امتداد مهم لجهد مورس التي جعلت شكل مورس مفيدًا جدًا في التحليل الطيفي الحديث هو جهد مورس/بعيد المدى (جهد ملر). يُسْتَخْدَم جهد ملر كمعيار لتمثيل البيانات الطيفية و / أو للجزيئات ثنائية الذرة بواسطة منحنى طاقة الوضع. تم استخدامه على N 2 ،  Ca 2 ،  KLi،  MgH،  العديد من الحالات الإلكترونية لـ Li 2 ،  Cs 2 ،  Sr 2 ،  ArXe،  LiCa،  LiNa،  Br 2 ،  Mg 2 ،  HF،  HCl، HBr، HI، MgD،  Be 2 ،  BeH،  و NaH. تُستخدم نماذج أكثر تعقيداً للجزيئات متعددة الذرات.

## انظر أيضًا

* جهد مورس / بعيدة المدى
* احتمالات لينارد جونز
* الميكانيكا الجزيئية

## المراجع

* 1 كتيب CRC للكيمياء والفيزياء، Ed David R. Lide ، الطبعة 87، القسم 9، *الثوابت الطيفية للجزيئات DIATOMIC* pp. &nbsp; 9-82
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* IG Kaplan ، في كتيب الفيزياء الجزيئية وكيمياء الكم، وايلي، 2003، ص 207.

تصنيف:ترابط كيميائي
تصنيف:كيمياء كمومية
تصنيف:نماذج الكم