قائمة معادلات النسبية

فيما يلي **قائمة المعادلات النسبية**  الأكثر استخدامًا.

## فرضيات النسبية الخاصة
لاشتقاق قوانين النسبية الخاصة لابد من البدء بفرضيتين:

# تأخذ قوانين الفيزياء نفس التعبير الرياضي في جميع الأطر المرجعية القصورية، أي أن اختبار القوانين الفيزيائية في إطار مرجعي ثابت هو ذاته في إطار مرجعي متحرك بسرعة ثابتة بالنسبة للإطار الثابت.
# سرعة الضوء في الفراغ c ثابتة بالنسبة لجميع المراقبين في الأطر القصورية المختلفة، ولا تعتمد على سرعة مصدر الضوء واتجاه الانتشار. وتعتبر الحد الأفصى لسرعة نقل المعلومات محليًا في الفراغ.

مع أن الضوء والجسميات عديمة الكتلة الأخرى تنتقل نظريًا عبر الفراغ بسرعة c، وتم إثبات صحة هذا تجريبيًا بنسبة دقة عالية، إلا أن ما يهم في هذا السياق هو أن مصطلح «سرعة الضوء» يصف الحد الأعلى لسرعة نقل المعلومات وحركة الأجسام (ذات كتلة غير سالبة) في الفراغ الكلاسيكي. ما يهم في فرضيات النسبية هو هذا الوصف لc، بغض النظر عن حركة الضوء نفسه بسرعة c.

من هذان الفرضان تنتج جميع مفاهيم النسبية الخاصة.

في ما يلي v هي السرعة النسبية بين إطارين مرجعيين (أي سرعة أحدهما نسبةً للآخر) في الاتجاه السيني حسب النظام الإحداثي الديكارتي.

## قوانين حركية

### تحويلات لورنتز
تعتبر هذه أهم الدلالات المرتبطة بالنسبية الخاصة:

**[[معامل لورنتز]]**

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}

حيث \beta=\frac{v}{c} وv هي السرعة النسبية بين إطارين مرجعيين.

عندما يكون الإطاران في حالة سكون \gamma=1، وتزداد قيمته بزيادة السرعة النسبية حتى إذا ما اقتربت من سرعة الضوء أصبح \gamma\longrightarrow\infty.

**[[تمدد الزمن]]** **(حيث t و't زمنان مختلفان في الموقع x في نفس الإطار المرجعي)**

t' = \gamma t

في المثال السابق الزمن المقاس في الإطار المرجعي لداخل المركبة t يسمى الزمن المناسب، ويمثل الفترة الزمنية بين حدثين مقاسة في إطار حدثا فيه في نفس الموقع -مثل انطلاق شعاع الضوء ورجوعه بشكل عمودي-. لأن انطلاق الضوء وانعكاسه حدثا في نفس المكان في الإطار المرجعي داخل المركبة، الزمن المقاس من قِبل شخص داخل هذا الإطار يعتبر زمن مناسب.

**[[تقلص الأطوال]] (لموقعين مختلفين x و'x في نفس الزمن t ونفس الإطار المرجعي)**

\ell' = \frac{\ell}{\gamma}

كما يوجد زمن مناسب لتمدد الزمن يوجد لتقلص الأطوال طول السكون، وهو في المثال السابق . يمثل طول السكون طول جسم مقاس من إطار مرجعي يكون فيه الجسم ساكن. يظهر تأثير تقلص الطول على الأبعاد الموازية لاتجاه السرعة النسبية بين الجسم والمشاهد، بينما لا يظهر أي تأثير أو تغيير في الأبعاد العمودية على اتجاه السرعة.

**[[تحويل لورينتز|تحويلات لورنتز]]**

x' = \gamma \left ( x - v t \right )

y' = y \,

z' = z \,

t' = \gamma \left ( t - \frac{v x}{c^2} \right )

**[[معادلة جمع السرعات]]**

V'_x=\frac{ V_x - v }{ 1 - \frac{V_x v}{c^2} }

V'_y=\frac{ V_y }{ \gamma \left ( 1 - \frac{V_x v}{c^2} \right ) }

V'_z=\frac{ V_z }{ \gamma \left ( 1 - \frac{V_x v}{c^2} \right ) }

## موتر متري ومتجه رباعي
فضاء الجداء الداخلي (بدلالة الطول):

\boldsymbol{\mathsf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathsf{b}} =\eta (\boldsymbol{\mathsf{a}} , \boldsymbol{\mathsf{b}})

حيث \eta هي الموتر المتري. وفي النسبية الخاصة الموتر المتري هو فضاء مينكويسكي:

\eta = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0  & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

الفترة الزمنية للزمكان

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 - c^2 dt^2 = \begin{pmatrix} cdt & dx & dy & dz \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0  & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} cdt \\ dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}

يسمى*ds*2 الفترة الزمنية للزمكان، فضاء الجداء الداخلي ثابت حسب تحويلات لورنتز، بحيث:

\eta ( \boldsymbol{\mathsf{a}}' , \boldsymbol{\mathsf{b}}' ) = \eta \left ( \Lambda \boldsymbol{\mathsf{a}} , \Lambda \boldsymbol{\mathsf{b}} \right ) = \eta ( \boldsymbol{\mathsf{a}} , \boldsymbol{\mathsf{b}} )

يمكن للقيم المعتمدة على الزمن ct, ct', cdt و'cdt أن تتفاوت، مثلاً يمكن وضع القيم المستندة إلى الزمن قبل القيم المكانية في المتجه الرباعي. أيضًا يمكن استبدال *η ب−η،* مما يجعل القيم المكانية تنتج قيم سالبة في الضرب النقطي أو الفارق الزمني للزمكان، في حين تنتج القيم الزمانية قيمًا موجبة. شرط صحة هذا الاختلاف هو اتباعه الكامل للمعايير الصحيحة أثناء إجراء الحسابات.

### تحويلات لورنتز
يمكن التعبير عن تحويلات لورنتز باستخدام المصفوفات. ولتسهيل الحسابات تستبدل t', t و'dt بct, ct' و'dct، حيث أنهم أبعاد المسافة، بالتالي:

x' = \gamma x - \gamma \beta c t \,

y' = y \,

z' = z \,

c t' = \gamma c t - \gamma \beta x \,

والمصفوفة تصبح على شكل:

\begin{pmatrix} c t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & - \gamma \beta & 0 & 0 \\ - \gamma \beta & \gamma & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix}

المتجهات في معادلات التحويل أعلاه تعرف باسم المتجهات الرباعية، وهي في هذه الحالة متجهات رباعية للموقع. يمكن تحويل المتجهات الرباعية من إطار مرجعي إلى آخر في النسبية الخاصة عن طريق:

\boldsymbol{\mathsf{a}}' = \Lambda \boldsymbol{\mathsf{a}}

حيث \boldsymbol{\mathsf{a}}' و**a** متجه رباعي وتحويله، وΛ مصفوفة التحويل المستخدمة لتحويل أي متجه رباعي مراد. بالتالي يمكن أن يمثل المتجه الرباعي \boldsymbol{\mathsf{a}}' موقع أو سرعة أو زخم، ونفس Λ تستخدم للتحويل بين إطارين. تحويلات لورنتز الأكثر عموماً تضمن تعقيدات مثل الدوران، فيلزم استخدام سبينور للتحويلات.

### متجه رباعي ونتائج ثابتة الإطار
الثبات والتوحيد في الكميات الفيزيائية ينتج عن المتجه الرباعي. ناتج فضاء الجداء الداخلي لمتجه رباعي بنفسه قيمة قياسية (حسب تعريف فضاء الجداء الداخلي)، وبما أن المتجهات الرباعية هي كميات فيزيائية بالتالي قيمها تطابق قيم الكميات الفيزيائية أيضًا.

## ظاهرة دوبلر
الصيغة العامة لتأثير دوبلر:

\nu' = \gamma \nu \left ( 1 - \beta \cos \theta \right )

تأثير دوبلر عندما يتحرك مصدر الضوء والمشاهد باتجاه بعضهما:

\nu' = \nu \frac{\sqrt{1 - \beta}}{\sqrt{1 + \beta}}

تأثير دوبلر عندما تكوم حركة مصدر الضوء والمشاهد باتجاه عمودي للخط الواصل بينهما:

\nu' = \gamma \nu

## انظر أيضًا

* نظرية النسبية
* نسبية خاصة
* نسبية عامة
* قائمة المعادلات الفيزيائية
* معادلة تعريفية (فيزياء)
* معادلة تكوينية
* تاريخ النسبية الخاصة
* نتائج النسبية الخاصة
* مفارقة التوأم
* معادلة كلاين-غوردون

## مصادر
* *Encyclopaedia of Physics (2nd Edition)*, R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
* *Dynamics and Relativity*, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, 
* *Relativity DeMystified*, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, 
* *The Cambridge Handbook of Physics Formulas*, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, .
* *An Introduction to Mechanics*, D. Kleppner, R.J. Kolenkow, Cambridge University Press, 2010, 

## مراجع

تصنيف:النسبية الخاصة
تصنيف:قوائم فيزيائية
تصنيف:معادلات فيزيائية