متباينة مينكوفسكي

في التحليل الرياضي، تنص **متباينة مينكوفسكي(** **Minkowski inequality)** على أن فضاءات L <sup>''p''</sup> هي متجهية معيارية . اترك S ليكون مساحة قياس، و 1 \leq p  ثم f و g L^p(S). ثم بعدها f + g هو في L^p(S), و لدينا متباينة المثلث \|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p مع التساوي ل 1  إذا و فقط إذا كان f و g تعتمد بشكل خطي إيجابي؛ أي، f = \lambda g لبعض \lambda \geq 0 أو g = 0.\|f\|_p = \left(\int |f|^p d\mu\right)^{\frac{1}{p}} و إذاp  أو في حالة p = \infty بواسطة الحد الأقصى الأساسي \|f\|_\infty = \operatorname{ess\ sup}_{x\in S}|f(x)|.

متباينة مينوفسكي هي متباينة المثلث في L^p(S). إنها حالة خاصة للحقيقة الأكثر عمومية \|f\|_p = \sup_{\|g\|_q = 1} \int |fg| d\mu, \qquad \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 حيث أنه من الواضح جليا أن الجانب الأيمن يلبي المتباينة المثلثية.

كما هو الحال مع متباينة هولدر، تخصص متباينة مينكوفسكي للمتتاليات و المتجهات باستخدام مقياس العد : \biggl(\sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p\biggr)^{1/p} \leq \biggl(\sum_{k=1}^n |x_k|^p\biggr)^{1/p} + \biggl(\sum_{k=1}^n |y_k|^p\biggr)^{1/p} و ذلك لجميع الأعداد الحقيقية أو المركبة x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n و عندما n هي عددية S أي عدد العناصر في S .

المتباينة سميت على إسم عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي.

## الأدلة
أولاً، نثبت أن f + g له حد p - القاعدة إذا f و g كلاهما يفعل ذلك، و الذي يتبعه |f + g|^p \leq 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p). في الواقع، نستخدم هنا عادة حقيقة أن h(x) = |x|^p محدبا على \Reals^+ (ل p > 1 ) و بالتالي، و وفقًا لتعريف التحدب، \left|\tfrac{1}{2} f + \tfrac{1}{2} g\right|^p \leq \left|\tfrac{1}{2} |f| + \tfrac{1}{2} |g|\right|^p \leq \tfrac{1}{2}|f|^p + \tfrac{1}{2} |g|^p. مما يعني أن |f+g|^p \leq \tfrac{1}{2}|2f|^p + \tfrac{1}{2}|2g|^p = 2^{p-1}|f|^p + 2^{p-1}|g|^p.

الآن، يمكننا أن نتحدث بشكل منطقي عن \|f + g\|_p. إذا كان صفرًا، فإن متباينة مينكوفسكي صحيحة. لنفترض الآن أن \|f + g\|_p ليس صفرًا. باستخدام متباينة المثلث ثم متباينة هولدر، نجد أن:\begin{align}
\|f + g\|_p^p &= \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu \\
&= \int |f + g| \cdot |f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu \\
&\leq \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu \\
&=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu \\
&\leq \left(\left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{p}} + \left(\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{\frac{1}{p}}\right)\left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu\right)^{1-\frac{1}{p}} && \text{ Hölder's inequality} \\
&= \left(\|f\|_p + \|g\|_p \right )\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}
\end{align}

للحصول على متباينة مينكوفسكي يجب ضرب كلا الطرفين في \frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p}.

## متباينة مينكوفسكي المتكاملة
لفترض أن (S_1, \mu_1) و (S_2, \mu_2) هما مساحتان قياس منتهيتان 𝜎 و F : S_1 \times S_2 \to \Reals قابلة للقياس. إذن ستكون متباينة مينكوفسكي التكاملية على الشكل:   \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\, \mu_1(\mathrm{d}x)\right|^p \mu_2(\mathrm{d}y)\right]^{\frac{1}{p}} ~\leq~ \int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,\mu_2(\mathrm{d}y)\right)^{\frac{1}{p}}\mu_1(\mathrm{d}x), مع تعديلات واضحة في الخالةp = \infty. لو p > 1, وكلا الجانبين محدودان، يتحقق التساوي فقط إذا |F(x, y)| = \varphi(x) \, \psi(y) ae لبعض الدوال القابلة للقياس غير السلبي \varphi و \psi.

إذا \mu_1 هو مقياس العد لمجموعة من نقطتين S_1 = \{1, 2\}, إذن فمتباينة مينكوفسكي التكاملية تعطي متباينة مينكوفسكي المعتادة كحالة خاصة: لوضع f_i(y) = F(i, y) ل i = 1, 2, التفاوت المتكامل سيعطي \|f_1 + f_2\|_p = \left(\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,\mu_1(\mathrm{d}x)\right|^p \mu_2(\mathrm{d}y)\right)^{\frac{1}{p}} \leq \int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,\mu_2(\mathrm{d}y)\right)^{\frac{1}{p}} \mu_1(\mathrm{d}x) = \|f_1\|_p + \|f_2\|_p.

إذا كانت الدالة قابلة للقياسF : S_1 \times S_2 \to \Reals ليست سالبة إذن للجميع 1 \leq p \leq q \leq \infty,  \left\|\left\|F(\,\cdot, s_2)\right\|_{L^p(S_1, \mu_1)}\right\|_{L^q(S_2, \mu_2)}
~\leq~ \left\|\left\|F(s_1, \cdot)\right\|_{L^q(S_2, \mu_2)}\right\|_{L^p(S_1, \mu_1)} \ .

و قد تم تعميم هذا الترميز على \|f\|_{p,q} = \left(\int_{\R^m} \left[\int_{\R^n}|f(x,y)|^q\mathrm{d}y\right]^{\frac{p}{q}} \mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{p}} ل f : \R^{m+n} \to E, مع \mathcal{L}_{p,q}(\R^{m+n},E) = \{f \in E^{\R^{m+n}} : \|f\|_{p,q}  باستخدام هذا الترميز، يكشف التلاعب بالأسس أنه إذا p  إذن \|f\|_{q,p} \leq \|f\|_{p,q}.

## عكس عدم المساواة
p  فالتباين العكسي ينطبق على: \|f+g\|_p \ge \|f\|_p + \|g\|_p.

نحن بحاجة أيضًا إلى التقييد الذي يفرضه كل من f و g ليست سالبة كما يمكننا أن نلاحظ من المثال f=-1, g=1 و p = 1:\|f+g\|_1 = 0 

تتبع المتباينة العكسية نفس الحجة التي تتبعها متباينة مينكوفسكي القياسية، لكنها تستخدم متباينة هولدر المعكوسة أيضًا في هذا النطاق

باستخدام متباينة مينكوفسكي العكسية، يمكننا إثبات أن متوسطات القوة مع p ≤ 1، مثل المتوسط التوافقي و الهندسي مقعرة.

## التعميم على الوظائف الأخرى
تُعمم متباينة مينكوفسكي على وظائف أخرى \phi(x) ما وراء دالة القدرة x^p. التفاوت المعمم له الشكل التالي\phi^{-1}\left(\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \phi(x_i + y_i)\right) \leq \phi^{-1}\left(\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \phi(x_i)\right) + \phi^{-1}\left(\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \phi(y_i)\right).

بشروط كافية مختلفة على \phi تم العثور عليها بواسطة مولهولاند  و آخرين. مثلا، بالنسبة لـ x \geq 0 مجموعة واحدة من الشروط الكافية من مولهولاند هي:

# \phi(x) مستمرة و متزايدة بشكل صارم مع \phi(0) = 0.
# \phi(x) هي دالة محدبة لـ x.
# \log\phi(x) هي دالة محدبة لـ \log(x).

## المراجع

تصنيف:نظرية القياس
تصنيف:متباينات
تصنيف:مقالات تحوي براهين
تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة