شرطاني منطقي

[تصغير|220x220بك| [مخطط فن لـ P \leftrightarrow Q (الجزء الصائب باللون الأحمر)]]
في المنطق والرياضيات، **الشرطاني** **المنطقي** أو **ثنائي الشرطية** **المنطقي**، المعروف أيضًا باسم **الشرطاني**/**ثنائي الشرطية** **المادي** أو **التكافؤ** أو **الاقتضاء**/**الاستلزام الثنائي**، هو الرابط المنطقي المستخدم لربط العبارتين P و Q لتشكيل العبارة "P إذا وفقط إذا كان Q"، وفيها P يُعرف باسم ، و Q التالي.

تتضمن الرموز المستخدمة لتمثيل التكافؤ في الوقت الحاضر ما يلي: ⇔، و↔ و≡.

P\leftrightarrow Q مكافئ منطقيًا لكل من (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow P) و (P \land Q) \lor (\neg P \land \neg Q) ، والمؤثر المنطقي الفصل الإقصائي المنفي (XNOR)، الذي يعني "كلاهما أو لا شيء".

من الناحية الدلالية، الحالة الوحيدة التي يختلف فيها الشرطاني المنطقي عن الشرطي المادي هي الحالة التي تكون فيها الفرضية (المقدم) باطلة ولكن الاستنتاج (النتيجة) صائب. في هذه الحالة، يكون الناتج صائب بالنسبة للشرطي، ولكنه باطل بالنسبة للشرطاني.

في التفسير المفاهيمي،  تعني "جميع  هي  وجميع  هي  ". بعبارة أخرى، المجموعتان  و  متطابقتان. ومع ذلك، هذا لا يعني أن  و  يجب أن يكون لهما نفس المعنى (على سبيل المثال، يمكن أن تكون  "ثلاثي الأضلاع (مثلث) متساوي الزوايا" ويمكن أن تكون  "ثلاثي الزوايا (مثلث) متساوي الأضلاع"). عند صياغتها في جملة، فإن المقدم هو موضوع قضية  والتالي محمولها (على سبيل المثال، في العبارة "كل الرجال فانون"، "الرجال" هو الموضوع و"الفانون" هو المحمول).

في التفسير القضيوي، P \leftrightarrow Q يعني أن  يقتضي  وأن  يقتضي ؛ بعبارة أخرى، تكون القضايا متكافئة منطقيًا، بمعنى أن كلاهما إما صائبان معاً أو باطلان معاً. مرة أخرى، هذا لا يعني أنهما يجب أن يكون لهما نفس المعنى، حيث يمكن أن يكون  "المثلث ABC له ضلعان متساويان" ويمكن أن يكون  "المثلث ABC له زاويتان متساويتان". المقدم عمومًا هو "الفرضية" أو "السبب"، والتالي هو "النتيجة". عندما يُترجَم الاقتضاء إلى حُكْم "فرضي" (أو "شرطي")، يسمى المقدم الفرضية (أو الشرط) ويسمى التالي الأطروحة.

طريقة شائعة لإثبات الشرطاني من الشكل P \leftrightarrow Q هي إثبات أن P \rightarrow Q و Q \rightarrow P بشكل منفصل (نظرًا لتكافؤه مع عطف الشرطيّين العكسيين). وتوجد طريقة أخرى لإثبات نفس الشرطاني وهي إثبات أن P \rightarrow Q و \neg P \rightarrow \neg Q.

عندما يكون كلا عنصري الشرطاني قضيتين، يمكن فصلهما إلى شرطيّين، أحدهما يسمى "مبرهنة" والآخر يسمى "معكوسها". وعلى هذا، عندما تكون المبرهنة ومعكوسها صائبين، يكون لدينا شرطاني. تنتج المبرهنة البسيطة اقتضاءًا، يكون مقدمته هي "الفرضية" ونتيجته "أطروحة" المبرهنة.

غالبًا ما يقال إن الفرضية هي "الشرط الكافي*"* للأطروحة، وأن الأطروحة هي الشرط اللازم للفرضية. أي أنه يكفي أن تكون الفرضية صائبة لكي تكون الأطروحة صائبة، في حين أنه من الضروري أن تكون الأطروحة صائبة إذا كانت الفرضية صائبة. عندما يكون المبرهنة ومعكوسها صائبين، يُقال إن الفرضية هي الشرط الضروري والكافي للأطروحة. أي أن الفرضية هي في الوقت نفسه سبب الأطروحة ونتيجتها.

## التعريف
 (المعروفة أيضًا باسم الشرطاني أو ثنائي الشرطية) هي عملية على قيمتين منطقيتين، عادةً ما تكون قيمتيّ قضيتين، تنتج قيمة "صائبة" إذا وفقط إذا كان كلا المؤثَّر فيهما باطلين أو كان كلا المؤثَّر فيهما صائبين. 

### جدول الصواب
فيما يلي جدول الصواب لـ A \leftrightarrow B:
عندما يكون هناك أكثر من عبارتين متضمنتين، فإن جمعهما باستخدام \leftrightarrow قد يكون غامضًا. على سبيل المثال، العبارة

: x_1 \leftrightarrow x_2 \leftrightarrow x_3 \leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_n

قد تُفسَّر على أنها

: (((x_1 \leftrightarrow x_2) \leftrightarrow x_3) \leftrightarrow \cdots) \leftrightarrow x_n ،

أو يمكن تفسيرها على أنها تعني أن جميع  "صائبة معًا" أو "باطلة معًا":

: (x_1 \land \cdots \land x_n) \lor (\neg x_1 \land \cdots \land \neg x_n)

يعني هذا أن العبارتين متطابقتان عندما لا تتضمنان أي عُمْدَة أو عندما تتضمنان عُمْدَتَيْن. لذلك، لا تُظهر جداول الصواب التالية نمط البِتَات نفسه إلا في السطر الذي لا يحتوي على عُمْدَة وفي الأسطر التي تحتوي على عُمْدَتين:
يمين|تصغير|220x220بك| <math>~x_1 \leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_n</math> تعني ما يعادل <math>\neg~(\neg x_1 \oplus \cdots \oplus \neg x_n)</math><br />يمثل مخطط فن المركزي أدناه، والسطر (ABC) في هذه المصفوفة العملية نفسها.
يسار|تصغير|220x220بك| <math>~x_1 \leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_n</math> تعني اختصارًا لـ <math> (x_1 \land \cdots \land x_n)\lor~(\neg x_1 \land \cdots \land \neg x_n)</math><br />يمثل مخطط فن أدناه مباشرة، والسطر (ABC) في هذه المصفوفة العملية نفسها.

### مخططات فن
تعني المنطقة الحمراء في مخطط فن قيمة الصواب، انظر مثلًا هذه الصورة  التي تمثل العطف المنطقي.

## الخواص
**[[عملية تبديلية|التبادلية]]: نعم**

**[[عملية تجميعية|التجميعية]]: نعم**

**[[توزيعية|التوزيعية]]:** لا يوزَّع الشرطاني المنطقي على أي عملية منطقية أخرى، بما فيها نفسه، ولكن يمكن توزيع العطف المنطقي عليه.

**[[تساوي القوى]]: لا**

**[[دالة رتيبة|الرتابة]]: لا**

**الحفاظ على قيمة الصواب: نعم**
عندما تكون قيم المداخل كلها صوابًا، فإن قيمة الخرج صواب.

**الحفاظ على قيمة الباطل: لا**
عندما تكون قيم المداخل كلها باطلًا، فإن قيمة الخرج هي باطل.

**: (2,0,0,2)**

**اللاخطية: 0** هذه الدالة خطية.

## انظر أيضًا

* إذا وفقط إذا
* التكافؤ المنطقي
* بوابة فصل إقصائي منفي

## المراجع

تصنيف:روابط منطقية
تصنيف:تكافؤ (رياضيات)