احتمالية ويتل

**في الإحصاء، دالة احتمالية ويتل** هي تقريب لدالة الإمكان لسلسلة زمنية غوسية مستقرة (ثابتة). سُميت تيمنًا بعالم الرياضيات والإحصائي بيتر ويتل، الذي قدمها في أطروحة الدكتوراه الخاصة به عام 1951. تُستخدم بشكل شائع في تحليل السلاسل الزمنية ومعالجة الإشارة لتقدير المعلمات وكشف الإشارات.

في نموذج السلسلة الزمنية الغوسية المستقرة، تكون دالة الإمكان (كما هو معتاد في النماذج الغوسية) دالة في معلمات المتوسط والتغاير المرتبطة بها. مع عدد كبير N من المشاهدات، قد تصبح مصفوفة التغاير N \times N كبيرة جدًا، مما يجعل العمليات الحسابية مكلفة للغاية في الممارسة العملية. ومع ذلك، ونظرًا للثبات، فإن لمصفوفة التغاير بنية بسيطة إلى حد ما، وباستخدام التقريب، قد يتم تبسيط العمليات الحسابية بشكل كبير (من O(N^2) إلى O(N\log(N)). الفكرة تتلخص بشكل فعال في افتراض نموذج غوسي صفري المتوسط وغير متجانس التباين في مجال التردد (نطاق فورييه). يتم صياغة النموذج بناءً على تحويل فورييه المنفصل للسلسلة الزمنية وكثافة طيفها القدرة.

## التعريف
لنفترض أن X_1,\ldots,X_N هي سلسلة زمنية غوسية مستقرة ذات كثافة طيف قدرة أحادية الجانبS_1(f)، حيث N عدد زوجي ويتم أخذ العينات على فترات أخذ عينات ثابتة \Delta_t. لنفترض أن \tilde{X}_1,\ldots,\tilde{X}_{N/2+1} هي تحويل فورييه المنفصل ذو القيم العقدية للسلسلة الزمنية. عندئذٍ، بالنسبة لدالة الاحتمال لويتل، يتم افتراض توزيعات غوسية مستقلة بصفر متوسط لجميع \tilde{X}_j، مع كون تباينات الأجزاء الحقيقية والتخيلية مُعطاة بالعلاقة:

 \operatorname{Var}\left(\operatorname{Re}(\tilde{X}_j)\right) = \operatorname{Var} \left( \operatorname{Im} (\tilde{X}_j)\right) = S_1(f_j)

حيثf_j=\frac j {N \, \Delta_t} هو التردد الفورييه j . يؤدي هذا النموذج التقريبي مباشرة إلى دالة الاحتمال (اللوغاريتمية):

\log\left(P(x_1,\ldots,x_N)\right) \propto -\sum_j \left( \log\left( S_1(f_j) \right) + \frac{|\tilde{x}_j|^2}{\frac N {2\,\Delta_t} S_1(f_j)} \right)

حيث تشير |\cdot| إلى القيمة المطلقة مع |\tilde{x}_j|^2=\left(\operatorname{Re}(\tilde{x}_j)\right)^2 + \left( \operatorname{Im} (\tilde{x}_j)\right)^2

## '''حالة خاصة: طيف الضوضاء'''
في الحالة التي يُفترض فيها أن طيف الضوضاء معروف مسبقًا (بشكل قبلي)، ولا يُراد استنتاج خصائص الضوضاء من البيانات، يمكن تبسيط دالة الاحتمال بشكل أكبر بتجاهل الحدود الثابتة. هذا التبسيط يؤدي إلى دالة تعتمد على مجموع المربعات بالشكل:

\log\left(P(x_1,\ldots,x_N)\right) \;\propto\; -\sum_j\frac{|\tilde{x}_j|^2}{\frac N {2 \, \Delta_t} S_1(f_j)}

هذا التعبير هو أيضًا الأساس للمرشح المتطابق الشائع.

## '''دقة التقريب'''
بشكل عام، تعد دالة الاحتمال لويتل مجرد تقريب، وهي تكون دقيقة فقط إذا كان الطيف ثابتًا، أي في الحالة البسيطة للضوضاء البيضاء. تعتمد كفاءة تقريب ويتل دائمًا على الظروف الخاصة.

لاحظ أنه نظرًا لخطية تحويل فورييه، فإن الطبيعة الغوسية في نطاق التردد (فورييه) تعني طبيعة غوسية في النطاق الزمني والعكس صحيح. ما يجعل دالة الاحتمال لويتل دقيقة تقريبياً فقط يرتبط بنظرية أخذ العينات - تأثير تحويل فورييه لعدد محدود فقط من نقاط البيانات، والذي يظهر أيضًا كتسرب طيفي في مشاكل ذات صلة (والذي يمكن تخفيفه باستخدام نفس الأساليب، وهي التنقيح أو "تطبيق النوافذ"). في الحالة الحالية، يفترض التقريب الضمني دورية البيانات، مما يعني وجود ارتباط بين العينات الأولى والأخيرةx_1 وx_N، والتي يتم التعامل معها بشكل فعال على أنها عينات "متجاورة" (مثل x_1 و x_2).

## '''التطبيقات'''

### تقدير المعلمات
تُستخدم دالة الاحتمال لويتل بشكل شائع لتقدير معلمات الإشارات المدفونة في ضوضاء غير بيضاء. عندها قد يُفترض أن طيف الضوضاء معروف، أو قد يتم استنتاجه بالتزامن مع معلمات الإشارة.

### كشف الإشارة
يتم عادةً تنفيذ كشف الإشارة باستخدام المرشح المتطابق، والذي يعتمد على دالة الاحتمال لويتل لحالة معرفة كثافة القدرة الطيفية للضوضاء. يقوم المرشح المتطابق بشكل فعّال بإجراء ملائمة الاحتمالية القصوى للإشارة للبيانات المضطربة (ذات الضوضاء) ويستخدم نسبة الاحتمال الناتجة كإحصائية للكشف.

يمكن تعميم المرشح المتطابق إلى إجراء مماثل يعتمد على توزيع t للطالب من خلال النظر أيضًا في عدم اليقين (على سبيل المثال، عدم اليقين في التقدير) في طيف الضوضاء. من الناحية الفنية، يمكن استخدام خوارزمية تحقيق أقصى قدر للتوقع هنا، مما يؤدي بشكل فعّال إلى عملية ترشيح متطابق متكررة أو تكرارية. 

### تقدير الطيف
دالة الاحتمال لويتل قابلة للتطبيق أيضًا لتقدير طيف الضوضاء، سواء بمفردها أو بالتزامن مع معلمات الإشارة.

## انظر أيضاً

* ضوضاء ملونة.
* تحويل فورييه المتقطع – دالة في الرياضيات المتقطعة  
* دالة الاحتمال – دالة ذات صلة بالإحصاء ونظرية الاحتمالات  
* مرشح متطابق – مرشحات مستخدمة في معالجة الإشارة تكون مثالية بمعنى ما  
* كثافة القدرة الطيفية – الأهمية النسبية لترددات معينة في إشارة مركبة  
* معالجة الإشارات الإحصائية – مجال في الهندسة الكهربائية  
* المربعات الصغرى الموزونة – طريقة ملائمة النماذج في الإحصاء

## مراجع

تصنيف:توزيع احتمالي طبيعي
تصنيف:تقدير الإشارة
تصنيف:إحصائيات معالجة الإشارة
تصنيف:نماذج إحصائية
تصنيف:استدلال إحصائي
تصنيف:نماذج متسلسلات زمنية
تصنيف:متسلسلة زمنية
تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة