متعددة حدود دويرانية

في الرياضيات، **المعادلة الدُوَيْرَانِيَّة** أو **متعددة الحدود الدُوَيْرَانِيَّة** أو **كثير الحدود الدُوَيْرَانِي من الدرجة ''n*** لأي [[عدد طبيعي|عدد صحيح موجب]] *n*، هي [[متعددة حدود غير قابلة للاختزال|متعددة الحدود غير قابل للاختزال]] الوحيد ذات معاملات صحيحة التي هي [[قاسم (رياضيات)|قاسمة]] لـ <math>x^n-1</math> وليست قاسمة لـ <math>x^k-1</math> لأي  [[جذر دالة|جذوره]] كلها [[جذور الوحدة (رياضيات)|جذور الوحدة البدائية]] <math>
e^{2i\pi\frac{k}{n}}
</math>، حيث *k* أعداد صحيحة الموجبة أقل من *n*، و *k* و*n* [[أولية نسبيا|أوليان فيما بينهما]] (و *i* هي [[وحدة تخيلية|الوحدة التخيلية]]). وبعبارة أخرى فإن *'متعددة** **الحدود الدويرانية من الدرجة *n**' تساوي

: <math>
\Phi_n(x) =
\prod_\stackrel{1\le k\le n}{\gcd(k,n)=1}
\left(x-e^{2i\pi\frac{k}{n}}\right).
</math>

يمكن تعريفها أيضًا على أنها [[متعددة حدود واحدية المدخل|متعددة الحدود واحدية المدخل]] ذات معاملات صحيحة وهي [[متعددة الحدود الدنيا (نظرية الحقول)|متعددة الحدود الدنيا]] على [[حقل (رياضيات)|حقل]] [[عدد كسري|الأعداد المُنْطقة]] لأي [[جذور الوحدة (رياضيات)|جذر الوحدة من الدرجة *n* البدائية]] (<math> e^{2i\pi/n} </math> مثال على هذا الجذر).

هناك علاقة مهمة تربط بين كثيرات الحدود الدويرانية وجذور الوحدة البدائية

: <math>\prod_{d\mid n}\Phi_d(x) = x^n - 1,</math>

يوضح أن  هو جذر <math>x^n - 1</math> إذا وفقط إذا كانت عبارة عن جذر الوحدة البدائي من الدرجة *d* لبعض *د* الذي يقسم *ن*.

== أمثلة ==
إذا كان *n* [[عدد أولي|عددًا أوليًا]]، فإن

: <math>\Phi_n(x) = 1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} x^k.</math>

إذا كان *n* = 2 *p* حيث *p* هو [[عدد أولي]] فردي، فإن

: <math>\Phi_{2p}(x) = 1-x+x^2-\cdots+x^{p-1}=\sum_{k=0}^{p-1} (-x)^k.</math>

بالنسبة من *n'' حتى 30، تكون كثيرات الحدود الدويرانية:

: \begin{align}
\Phi_1(x) &= x - 1 \\
\Phi_2(x) &= x + 1 \\
\Phi_3(x) &= x^2 + x + 1 \\
\Phi_4(x) &= x^2 + 1 \\
\Phi_5(x) &= x^4 + x^3 + x^2 + x +1 \\
\Phi_6(x) &= x^2 - x + 1 \\
\Phi_7(x) &= x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\
\Phi_8(x) &= x^4 + 1 \\
\Phi_9(x) &= x^6 + x^3 + 1 \\
\Phi_{10}(x) &= x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 \\
\Phi_{11}(x) &= x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\
\Phi_{12}(x) &= x^4 - x^2 + 1 \\
\Phi_{13}(x) &= x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\
\Phi_{14}(x) &= x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 \\
\Phi_{15}(x) &= x^8 - x^7 + x^5 - x^4 + x^3 - x + 1 \\
\Phi_{16}(x) &= x^8 + 1 \\
\Phi_{17}(x) &= x^{16} + x^{15} + x^{14} + x^{13} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\\
\Phi_{18}(x) &= x^6 - x^3 + 1 \\
\Phi_{19}(x) &= x^{18} + x^{17} + x^{16} + x^{15} + x^{14} + x^{13} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\\
\Phi_{20}(x) &= x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1 \\
\Phi_{21}(x) &= x^{12} - x^{11} + x^9 - x^8 + x^6 - x^4 + x^3 - x + 1 \\
\Phi_{22}(x) &= x^{10} - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 \\
\Phi_{23}(x) &= x^{22} + x^{21} + x^{20} + x^{19} + x^{18} + x^{17} + x^{16} + x^{15} + x^{14} + x^{13} + x^{12} \\
& \qquad\quad + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\
\Phi_{24}(x) &= x^8 - x^4 + 1 \\
\Phi_{25}(x) &= x^{20} + x^{15} + x^{10} + x^5 + 1 \\
\Phi_{26}(x) &= x^{12} - x^{11} + x^{10} - x^9 + x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 \\
\Phi_{27}(x) &= x^{18} + x^9 + 1 \\
\Phi_{28}(x) &= x^{12} - x^{10} + x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1 \\
\Phi_{29}(x) &= x^{28} + x^{27} + x^{26} + x^{25} + x^{24} + x^{23} + x^{22} + x^{21} + x^{20} + x^{19} + x^{18} + x^{17} + x^{16} + x^{15} \\
& \qquad\quad + x^{14} + x^{13} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \\
\Phi_{30}(x) &= x^8 + x^7 - x^5 - x^4 - x^3 + x + 1.
\end{align}

حالة متعددة الحدود الدويرانية من الدرجة 105 مثيرة للاهتمام لأن 105 هي أقل عدد صحيح موجب الذي هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد أولية فردية متمايزة (3 * 5 * 7) وهذه كثيرة الحدود هي الأولى التي لها معامل غير 1 ، 0 ، أو −1:

: \begin{align}
\Phi_{105}(x) &= x^{48} + x^{47} + x^{46} - x^{43} - x^{42} - 2 x^{41} - x^{40} - x^{39} + x^{36} + x^{35} + x^{34} + x^{33} + x^{32} + x^{31} - x^{28} - x^{26} \\
&\qquad\quad - x^{24} - x^{22} - x^{20} + x^{17} + x^{16} + x^{15} + x^{14} + x^{13} + x^{12} - x^9 - x^8 - 2 x^7 - x^6 - x^5 + x^2 + x + 1.
\end{align}

## مراجع

تصنيف:نظرية الأعداد
تصنيف:جبر
تصنيف:متعددات الحدود