الحدود ذات الرتبة الرئيسية

تُشير **الحدود ذات الرتبة الرئيسية** في أيّ تعبير أو نموذج أو معادلة رياضية إلى الحدود ذات أكبر رتبة من حيث القيمة الأسية. قد تتغير القيم الأسية للحدود المختلفة في المعادلة مع تغير المتغيرات، وبالتالي، فقد تتغير الحدود ذات الرتبة الرئيسية أيضًا.

تُعدّ دراسةُ الحدود الأكبر رتبة (وبالتالي الأكثر أهمية) لأحجام محددة من المتغيرات والمعاملات، وتحليلُ السلوك الناتج عن هذه الحدود فقط (مع إهمال الحدود الأخرى الأقل رتبة) واحدة من الطرق الشائعة والفعّالة لتبسيط وفهم مجموعة واسعة من النماذج الرياضية المعقدة. يُمكن لذلك أن يُبيّن السلوكَ الرئيسي للحدود داخل النموذج، والذي لا يختلف عنه السلوك الحقيقي إلا بمقدار ضئيل. قد يُجسّد السلوك الرئيسي داخل النموذج الرياضي بشكلٍ كافٍ باستخدام الحدود ذات الرتبة الرئيسية فقط، أو قد يُقرر تضمين حدود أخرى ذات رتب أصغر قليلاً. وفي هذه الحالة، فإنّ مصطلح الحدود الرئيسية قد يُستخدم للإشارة إلى هذه المجموعة الكاملة من الحدود، بينما يُطلق على السلوك الناتج عن مجموعة الحدود ذات الرتب الرئيسية فقط اسم السلوك الرئيسي للنموذج.

## مثال توضيحي
لنفترض أن لدينا مُعادلة رياضية على النحو التالي:

*y*&nbsp;=&nbsp;*x*3&nbsp;+&nbsp;5*x*&nbsp;+&nbsp;0.1

فإنّ الجدول التالي يوضح رتب الحدود الأربعة لخمس قيم مختلفة للمتغير x في هذه المعادلة، كما يوضح الحدود ذات الرتبة الرئيسية.

ومن الجدول، يمكننا أن نُلاحظ أنّه بزيادة قيمة المتغير x، تبقى الحدود ذات الرتبة الرئيسية (x³ و y) كما هي، ولكن مع انخفاض قيمة المتغير x ثم ازدياد قيمها السالبة، فإنّ قيمة الحدود ذات الرتبة الرئيسية تتغير.

لا يوجد حد فاصل دقيق لتحديد متى يُعتبر حدّان متقاربين في الرتبة أو المقدار الأسي، ولكن تنص إحدى القواعد العامة المُتبعة على أن الحدّين اللذين يتقاربان في القيمة الأسية ضمن عامل 10 يُعتبران متقاربين في الرتبة، بينما الحدّين اللذين لا يتقاربان في القيمة الأسية ضمن عامل 100 لا يُعتبران كذلك. مع ذلك، توجد منطقة رمادية بينهما، لذا لا توجد حدود ثابتة لتحديد ما إذا كانت الحدود متقاربة في الرتبة أم لا. بل تتلاشى الحدود وتظهر مع تغير المتغيرات.

## سلوك الحدود ذات الرتبة الرئيسية
تُعدّ المعادلات التي تحتوي على حد رئيسي واحد فقط ممكنة، ولكنها نادرة الاستخدام. فعلى سبيل المثال، المعادلة 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (حيث يتكون الطرف الأيمن من مئة 1). لأي توليفة معينة من قيم المتغيرات والمعاملات، تحتوي المعادلة عادةً على حدين رئيسيين على الأقل، بالإضافة إلى حدود أخرى من رتب أدنى. في هذه الحالة، وبافتراض أن الحدود من الرتب الأدنى، وأجزاء الحدود الرئيسية التي تساويها في الحجم (ربما الرقم المعنوي الثاني أو الثالث وما بعده)، مهملة، يمكن تكوين معادلة جديدة بحذف جميع هذه الحدود من الرتب الأدنى وأجزاء الحدود الرئيسية. عندئذٍ تُشكل الحدود المتبقية معادلة الرتبة الرئيسية، أو توازن الرتبة الرئيسية، أو التوازن المهيمن، ويُعرف إنشاء معادلة جديدة تتضمن هذه الحدود فقط بتحويل المعادلة إلى مُعادلة ذات رتبة رئيسية. وتُسمى حلول هذه المعادلة الجديدة بالحلول الرئيسية للمعادلة الأصلية. ويُعطي تحليل السلوك الناتج عن هذه المعادلة الجديدة السلوك الرئيسي للنموذج لهذه القيم من المتغيرات والمعاملات. وعادةً ما يكون حجم الخطأ في هذا التقريب مساويًا تقريبًا لحجم أكبر حد مُهمل.
وصلة=https://en.wikipedia.org/wiki/File:LeadingOrderGraph.JPG|تصغير|350x350بك|رسم بياني للدالة y = x³ + 5x + 0.1 حيث يكون سلوك الحدود ذات الرتبة الرئيسية عند x = 0.001 هو أن y ثابتة، وعند x = 10 هو أن y تزداد تكعيبياً مع زيادة x.
لنفترض الآن أننا نريد فهم سلوك الحدود ذات الرتبة الرئيسية للمعادلة السابقة.

عندما تكون قيمة x تساوي 0.001، يمكن إهمال الحدين x³ و 5x، وحذفهما، بالإضافة إلى أي قيم تبدأ من ثلاثة أرقام عشرية فصاعدًا في الحدين المتبقيين. وهذا يُعطينا توازن الرتبة الرئيسية y = 0.1. وبالتالي، فإن سلوك الحدود ذات الرتبة الرئيسية لهذه المعادلة عند x = 0.001 هو أن y تظل ثابتة.

وبالمثل، عندما تكون قيمة x تساوي 10، يمكن إهمال الحدين 5x و 0.1، وحذفهما، بالإضافة إلى أي قيم تبدأ من ثلاثة أرقام معنوية فصاعدًا في الحدين المتبقيين. وهذا يُعطينا توازن الرتبة الرئيسية y = x³. وبالتالي، فإن سلوك الحدود ذات الرتبة الرئيسية لهذه المعادلة عند x = 10 هو أن y تزداد تكعيبيًا بزيادة x.

ويمكن بالتالي دراسة السلوك الرئيسي للمتغير y عند أي قيمة للمتغير x. ويكون سلوك الحدود ذات الرتبة الرئيسية أكثر تعقيدًا عندما يكون عدد الحدود من الرتبة الرئيسية أكبر. عند x=2، يوجد توازن من الدرجة الأولى بين التبعية التكعيبية والخطية للمتغير y على x.

تجدر الإشارة إلى أن هذا الوصف لإيجاد توازنات وسلوكيات الدرجة الأولى لا يقدم سوى وصف عام للعملية، وليس وصفًا رياضيًا دقيقًا.

## الحدود ذات الرتبة التالية للرتبة الرئيسية
لا يُمكن بطبيعة الحال أن تظل قيمة y ثابتة تمامًا عند x = 0.001، فهذا يصف مجرد سلوكها الرئيسي بالقرب من هذه النقطة. قد يكون الاحتفاظ فقط بالحدود ذات الرتبة الرئيسية (أو ما يقاربها) وإهمال جميع الحدود الأصغر الأخرى غير كافٍ (عند استخدام النموذج الرياضي للتنبؤ المستقبلي، على سبيل المثال)، لذا قد يكون من الضروري أيضًا الاحتفاظ بمجموعة الحدود الأكبر التالية. ويمكن تسمية هذه الحدود بالحدود ذات الرتبة التالية للرتبة الرئيسية (NLO) أو بالرتبة التالية للرتبة الرئيسية. ويمكن تسمية مجموعة الحدود التالية لها بالرتبة التالية للرتبة التالية للرتبة الرئيسية.

## الاستخدام

### التوسعات التقاربية المتطابقة
تُستخدم تقنيات تبسيط سلوك الرتبة الرئيسية بالتزامن مع طريقة التوسعات التقاربية المتطابقة، عندما يكون الحل التقريبي الدقيق في كل مجال فرعي هو حل الرتبة الرئيسية.

### تبسيط معادلات نافيير-ستوكس
في سيناريوهات تدفق الموائع المحددة، يمكن تبسيط معادلات نافيير-ستوكس (العامة جدًا) بشكل كبير من خلال النظر فقط إلى المكونات الرئيسية. على سبيل المثال، معادلات تدفق ستوكس. وكذلك معادلات الأغشية الرقيقة في نظرية التزليق.

### تبسيط المعادلات التفاضلية باستخدام التعلم الآلي
يمكن تبسيط العديد من المعادلات التفاضلية محليًا من خلال النظر فقط إلى المكونات الرئيسية. تستطيع خوارزميات التعلم الآلي تقسيم بيانات المحاكاة أو الرصد إلى أجزاء محلية تحتوي على حدود المعادلات الرئيسية، وذلك لتطبيقات الديناميكا الهوائية، وديناميكا المحيطات، وتكوّن الأوعية الدموية الناجم عن الأورام، والبيانات الاصطناعية.

## مراجع

تصنيف:تحليل مقارب
تصنيف:رياضيات ابتدائية
تصنيف:قيم أسية