قانون القيم المتوقعة الكلية

الافتراض في نظرية الاحتمالات المعروف باسم **قانون التوقع الكلي** ،  **قانون التوقعات المتكررة**  ( **LIE** ) ، **وقانون آدم** ،  **قاعدة البرج** ،  **ونظرية التنعيم** ،  من بين أسماء أخرى ، تنص على أنه إذا X هو متغير عشوائي قيمته المتوقعة \operatorname{E}(X) يتم تعريفه و Y هو أي متغير عشوائي على نفس فضاء احتمالي ، إذن

: \operatorname{E} (X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y)),

على سبيل المثال ، القيمة المتوقعة للقيمة المتوقعة المشروطة لـ X معطى Y هي نفس القيمة المتوقعة لـ X .

حالة خاصة واحدة تنص على أنه إذا {\left\{A_i\right\}}_i هو قسم منتهي أو معدود من فضاء العينة ، إذن

: \operatorname{E} (X) = \sum_i{\operatorname{E}(X \mid A_i) \operatorname{P}(A_i)}.

ملاحظة: القيمة المتوقعة المشروطة E ( *X* | *Z* ) هي متغير عشوائي تعتمد قيمته على قيمة *Z.* لاحظ أن القيمة المتوقعة المشروطة لـ *X* بالنظر إلى *الحدث* *Z* = *z* هي دالة لـ *z* . إذا كتبنا E ( *X* | *Z* = *z* ) = *g* ( *z* ) فإن المتغير العشوائي E ( *X* | *Z* ) هو *g* ( *Z* ). تنطبق تعليقات مماثلة على التغاير الشرطي.

## مثال
لنفترض أن هناك مصنعين فقط يزودان السوق بمصابيح كهربائية . مصنع X تعمل المصابيح  5000 ساعة في المتوسط ، في حين أن المصنع Y تعمل المصابيح  4000 ساعة في المتوسط. من المعروف أن المصنع X تزود 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي المدة المتوقعة التي ستعمل فيها لمبة تم شراؤها؟

بتطبيق قانون التوقع الكلي ، لدينا:

: \begin{align}

\operatorname{E} (L) &= \operatorname{E}(L \mid X) \operatorname{P}(X)+\operatorname{E}(L \mid Y) \operatorname{P}(Y) \\[3pt]
&= 5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]
&=4600

\end{align}

بحيث أن:

* \operatorname{E} (L) هي العمر المتوقع للمصباح ؛
* \operatorname{P}(X)={6 \over 10} هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع X ؛
* \operatorname{P}(Y)={4 \over 10} هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع Y ؛
* \operatorname{E}(L \mid X)=5000 هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة X ؛
* \operatorname{E}(L \mid Y)=4000 هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة Y .

وبالتالي فإن عمر كل مصباح كهربائي يتم شراؤه يبلغ 4600 ساعة.

## الإثبات في الحالات المنتهية والمعدودة
دع المتغيرات العشوائية X و Y ، المعرفة على نفس فضاء الاحتمال ، تفترض مجموعة منتهية أو لا حصر لها من القيم المنتهية. افترض أن \operatorname{E}[X] يتم تعريفه ، أي \min (\operatorname{E}[X_+], \operatorname{E}[X_-])  . إذا \{A_i\} هو قسم من فضاء الاحتمال \Omega ، ومن بعد

: \operatorname{E} (X) = \sum_i{\operatorname{E}(X \mid A_i) \operatorname{P}(A_i)}.

**برهان - إثبات.**

: 
\begin{align}
\operatorname{E} \left( \operatorname{E} (X \mid Y) \right) &= \operatorname{E} \Bigg[ \sum_x x \cdot \operatorname{P}(X=x \mid Y) \Bigg] \\[6pt]
&=\sum_y \Bigg[ \sum_x x \cdot \operatorname{P}(X=x \mid Y=y) \Bigg] \cdot \operatorname{P}(Y=y) \\[6pt]
&=\sum_y \sum_x x \cdot \operatorname{P}(X=x, Y=y).
\end{align}


إذا كانت السلسلة منتهية ، فيمكننا تبديل التجميعات ، وسيصبح التعبير السابق

: 
\begin{align}
\sum_x \sum_y x \cdot \operatorname{P}(X=x, Y=y)&=\sum_x x\sum_y \operatorname{P}(X=x, Y=y)\\[6pt]
&=\sum_x x \cdot \operatorname{P}(X=x)\\[6pt]
&=\operatorname{E}(X).
\end{align}


من ناحية أخرى ، إذا كانت السلسلة لا نهائية ، فلا يمكن أن يكون تقاربها مشروطًا ، نظرًا لافتراض أن \min (\operatorname{E}[X_+], \operatorname{E}[X_-] )  السلسلة تتقارب تمامًا إذا كان كلاهما \operatorname{E}[X_+] و \operatorname{E}[X_-] منتهية ، وتتباعد إلى ما لا نهاية عند أي منهما \operatorname{E}[X_+] أو \operatorname{E}[X_-] لانهائية. في كلا السيناريوهين ، يمكن تبادل الملخصات أعلاه دون التأثير على المجموع.

يترك  (\Omega,\mathcal{F},\operatorname{P})  تكون فضاء احتمالية يكون فيها جبران فرعيان  \mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2 \subseteq \mathcal{F}  يتم تعريفها. لمتغير عشوائي  X  في مثل هذه الفضاء ، ينص قانون التنعيم على أنه إذا \operatorname{E}[X] يتم تعريفه ، أي \min(\operatorname{E}[X_+], \operatorname{E}[X_-]) ، ومن بعد

:  \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] = \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_1]\quad\text{(a.s.)}.

**إثبات** . نظرًا لأن التوقع المشروط هو أحد مشتقات Radon-Nikodym ، فإن التحقق من الخواص التالية يؤسس قانون التسوية:

*  \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] \mbox{ is } \mathcal{G}_1 - قابل للقياس
*  \int_{G_1} \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] d\operatorname{P} = \int_{G_1} X d\operatorname{P}, للجميع G_1 \in \mathcal{G}_1.

أول هذه الخصائص تحمل من خلال تعريف التوقع الشرطي. لإثبات الثانية ،

: 
\begin{align}
\min\left(\int_{G_1}X_+\, d\operatorname{P}, \int_{G_1}X_-\, d\operatorname{P}\right) &\leq \min\left(\int_\Omega X_+\, d\operatorname{P}, \int_\Omega X_-\, d\operatorname{P}\right)\\[4pt]
&=\min(\operatorname{E}[X_+], \operatorname{E}[X_-]) 

لذلك لا يتجزأ \textstyle \int_{G_1}X\, d\operatorname{P} تم تعريفه (لا يساوي \infty - \infty ).

وهكذا فإن الخاصية الثانية قائمة منذ ذلك الحين G_1 \in \mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2  يدل

: 
  \int_{G_1} \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] \mid \mathcal{G}_1] d\operatorname{P}
= \int_{G_1} \operatorname{E}[X \mid \mathcal{G}_2] d\operatorname{P}
= \int_{G_1} X d\operatorname{P}.


**اللازمة - النتيجة.** في حالة خاصة عندما \mathcal{G}_1 = \{\empty,\Omega \} و \mathcal{G}_2 = \sigma(Y) ، فإن قانون التجانس يخفض إلى

: 
 \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid Y]] = \operatorname{E}[X].


**برهان بديل ل <math> \operatorname{E}[ \operatorname{E}[X \mid Y]] = \operatorname{E}[X].</math>**

هذه نتيجة بسيطة لتعريف القياس النظري للتوقع المشروط . حسب التعريف،  \operatorname{E}[X \mid Y] := \operatorname{E}[X \mid \sigma(Y)]  هو \sigma(Y) - متغير عشوائي قابل للقياس يرضي

: 
  \int_{A}\operatorname{E}[X \mid Y] d\operatorname{P} = \int_{A} X d\operatorname{P},


لكل مجموعة قابلة للقياس  A \in \sigma(Y)  . مع الأخذ  A = \Omega  يثبت المطالبة.

## إثبات صيغة التقسيم

: 
\begin{align}
\sum\limits_i\operatorname{E}(X\mid A_i)\operatorname{P}(A_i)
&=\sum\limits_i\int\limits_\Omega X(\omega)\operatorname{P}(d\omega\mid A_i)\cdot\operatorname{P}(A_i)\\
&=\sum\limits_i\int\limits_\Omega X(\omega)\operatorname{P}(d\omega\cap A_i)\\
&=\sum\limits_i\int\limits_\Omega X(\omega)I_{A_i}(\omega)\operatorname{P}(d\omega)\\
&=\sum\limits_i\operatorname{E}(XI_{A_i}),
\end{align}


حيث I_{A_i} هي وظيفة المؤشر للمجموعة A_i .

إذا كان التقسيم {\{A_i\}}_{i=0}^n منتهي ، إذن ، بالخطية ، يصبح التعبير السابق

: 
\operatorname{E}\left(\sum\limits_{i=0}^n XI_{A_i}\right)=\operatorname{E}(X),


وانتهينا.

إذا ، ومع ذلك ، فإن القسم {\{A_i\}}_{i=0}^\infty لانهائية ، ثم نستخدم مبرهنة التقارب المحدود لإظهار ذلك

: 
\operatorname{E}\left(\sum\limits_{i=0}^n XI_{A_i}\right)\to\operatorname{E}(X).


في الواقع ، لكل n\geq 0 و

: 
\left|\sum_{i=0}^n XI_{A_i}\right|\leq |X|I_{\mathop{\bigcup}\limits_{i=0}^n A_i}\leq |X|.


منذ كل عنصر من عناصر المجموعة \Omega يقع في قسم معين A_i ، فمن السهل التحقق من أن التسلسل {\left\{\sum_{i=0}^n XI_{A_i}\right\}}_{n=0}^\infty يتقارب بشكل نقطي إلى X . بالافتراض الأولي ، \operatorname{E}|X| . يؤدي تطبيق نظرية التقارب المهيمن إلى النتيجة المرجوة.

## أنظر أيضا

* قانون الاحتمالات الكلية

## مراجع

*  (Theorem 34.4)
* Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة
تصنيف:معادلات
تصنيف:قواعد