مبرهنة ذات الحدود المتعددة

**مبرهنة ذات الحدود المتعددة** أو **مبرهنة متعددة الحدود** أو **مبرهنة متعدد الحدود** تعميم لمبرهنة ذات الحدين، التي تتعامل مع أسس مجموع عدة حدود. بمعنى آخر، تسمح هذه النظرية بفك تعبير مثل (x_1+\cdots+x_m)^n إلى مجموع يعتمد على حدودها الفردية x_1, x_2,\cdots, x_m والعدد الصحيح n.

## المبرهنة
لأي عدد صحيح موجب *<math>n</math>* وأي عدد صحيح غير سالب *<math>m</math>*، تصف مبرهنة متعددة الحدود كيفية فك مجموع يتكون من *<math>m</math>* حدود عند رفعه إلى أس أي *<math>n</math>*:

: (x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n
 = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n; \ k_1, k_2, \cdots, k_m \geq 0} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 \prod_{t=1}^m x_t^{k_t}\,,

حيث

:  {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}.\bf{(i)} 

هو معامل ذات الحدود المتعددة. يتم أخذ المجموع على جميع التركيبات الصحيحة غير السالبة الممكنة من *<math>k_1</math>* إلى *<math>k_m</math>* بحيث يكون مجموع كل *<math>k_i</math>* هو *<math>n</math>*. أي أنه لكل حد في المفكوك، يجب أن يكون مجموع أسس *<math>x_i</math>* مساويًا لـ *<math>n</math>*. كذلك، كما هو الحال مع مبرهنة ذات الحدين، فإن الكميات التي تظهر على شكل *<math>x^0</math>* تؤخذ على أنها تساوي *<math>1</math>* (حتى عندما تكون *<math>x</math>* تساوي صفرًا).

في الحالة *<math>m=2</math>* ، تختصر هذه العبارة إلى تلك الخاصة بمبرهنة ذات الحدين.

### مثال
الأس الثالث للتعبير المكنون من ثلاثة حدود *<math>a + b + c</math>* يكون:

(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 b^2 a + 3 b^2 c + 3 c^2 a + 3 c^2 b + 6 a b c. \bf{(ii)}

يمكن حسابه يدويًا باستخدام خاصية توزيع الضرب على الجمع، ولكن يمكن أيضًا إجراؤه (ربما بسهولة أكبر) باستخدام مبرهنة متعددة الحدود. فمن الممكن "استخراج" المعاملات في المعادلة \bf{(ii)} باستخدام الصيغة لمعاملات ذات الحدود متعددة \bf{(i)}. على سبيل المثال:
: معامل a^2 b^0 c^1  هو {3 \choose 2, 0, 1} = \frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!} = \frac{6}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3
: معاملa^1 b^1 c^1 هو {3 \choose 1, 1, 1} = \frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!} = \frac{6}{1 \cdot 1 \cdot 1} = 6

### تعبير بديل
يمكن كتابة بيان المبرهنة بإيجاز باستخدام تدوين متعدد الأدلة:

: (x_1+\cdots+x_m)^n = \sum_{|\alpha|=n}{n \choose \alpha}x^\alpha

حيث

: 
\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)


و

: 
x^\alpha=x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_m^{\alpha_m}


### إثبات
يمكن إثبات مبرهنة متعددة الحدود عن طريق استخدام مبرهنة ذات الحدين والاستقراء على *<math>m</math>*.

أولاً ، بالنسبة لـ *<math>m=1</math>*، كلا الطرفين يساوي *<math>x_1^n</math>* نظرًا لوجود حد واحد فقط *<math>n=k_1</math>* في المجموع. في الخطوة الاستقرائية، افترض أن المبرهنة متعددة الحدود صحيحة لـ*<math>m</math>* . بالتالي

: 
\begin{align}
& (x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = (x_1+x_2+\cdots+(x_m+x_{m+1}))^n \\[6pt]
= {} & \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_m+x_{m+1})^K
\end{align}


من خلال الفرضية الاستقرائية، نطبق مبرهنة ذات الحدين على المعامل الأخير

:  = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum_{k_m+k_{m+1}=K}{K\choose k_m,k_{m+1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}
:  = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+k_m+k_{m+1}=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}


وبذلك يكتمل الاستقراء. استنتجنا الخطوة الأخيرة بسبب العلاقة

: {n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K}{K\choose k_m,k_{m+1}} = {n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}},

والذي بدوره يمكن استنتاجه باستخدام تعريف معامل ذات الحدود المتعددة \bf{(i)}

:  \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m-1}!K!} \frac{K!}{k_m! k_{m+1}!}=\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m+1}!}.

## معاملات متعددة الحدود
كما أشرنا سابقاً إن الارقام

:  {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}

التي تظهر في المبرهنة هي معاملات ذات الحدود المتعددة, ويمكن التعبير عنها بعدة طرق، أحدها هي جداء لمعاملات ذات الحدين أو المضروب.

: 
{n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!} = {k_1\choose k_1}{k_1+k_2\choose k_2}\cdots{k_1+k_2+\cdots+k_m\choose k_m}
 

### مجموع كل معاملات متعددة الحدود
التعويض عن *<math>x_i = 1</math>* لكل *<math>i</math>* في مبرهنة متعددة الحدود

: \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}
= (x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n

يعطي ذلك على الفور

: 
\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = m^n.


### عدد معاملات متعددة الحدود
عدد الحدود في مجموع متعدد الحدود، ويرمز إليه *<math>\#_{n,m}</math>*، يساوي عدد الحدود الأحادية من الدرجة *<math>n</math>* في المتغيرات *<math>x_1,\cdots, x_m</math>*:

: 
\#_{n,m} = {n+m-1 \choose m-1}.


يمكن إجراء العد بسهولة باستخدام طريقة النجوم والأشرطة .

### تقييم معاملات متعددة الحدود
يمكننا حساب أكبر أس للعدد الأولي p الذي يقسم معامل متعدد الحدود، وذلك من خلال تعميم مبرهنة كومر.

## التفسيرات

### طرق لوضع الأشياء في صناديق
معاملات متعددة الحدود لها تفسير توافقي مباشر، فتمثل عدد طرق توزيع *<math>n</math>* أشياء مختلفة في *<math>m</math>* صناديق مختلفة، بحيث يكون هناك *<math>k_1</math>* شىء في الصندوق الأول، *<math>k_2</math>* شيء في الصندوق الثاني، وهكذا.

### عدد طرق التحديد وفقًا للتوزيع
في الميكانيكا الإحصائية والتوافقيات ، إذا أردنا توزيع علامات (labels) بواسطة مجموعة من الأرقام ، فإن معاملات متعددة الحدود تنتج بشكل طبيعي من معاملات ذات الحدين. بالنظر إلى توزيع الأرقام *<math>\{n_i\}</math>* على مجموعة *<math>N</math>* من العناصر، يمثل *<math>n_i</math>* عدد العناصر التي سيتم منحها العلامة *<math>i</math>* . (في الميكانيكا الإحصائية ، *<math>i</math>* هي العلامة الحالة الطاقة.)

* اختيار *<math>n_1</math>* من إجمالي *<math>N</math>* ليتم إعطائها علامة *<math>1</math>*. يمكن القيام بذلك بواسطة N\choose n_1 طريقة.
* من العناصر *<math>N-n_1</math>* المتبقية ، اختر *<math>n_2</math>* لإعطائها علامة *<math>2</math>*. يمكن القيام بذلك بواسطة N-n_1 \choose n_2 طريقة.
* من العناصر المتبقية *<math>N-n_1-n_2</math>*، اختر *<math>n_3</math>* لإعطائها علامة *<math>3</math>*. مرة أخرى ، يمكن القيام بذلك بواسطة N-n_1-n_2 \choose n_3 طريقة.

يؤدي ضرب عدد الاختيارات من كل خطوة إلى:

: {N \choose n_1}{N-n_1\choose n_2}{N-n_1-n_2\choose n_3}\cdots=\frac{N!}{(N-n_1)!n_1!} \cdot \frac{(N-n_1)!}{(N-n_1-n_2)!n_2!} \cdot \frac{(N-n_1-n_2)!}{(N-n_1-n_2-n_3)!n_3!}\cdots.

ينتج عن الإختصار معادلة معاملات ذات الحدود المتعددة \bf{(i)}. تصغير|المعامل متعدد الحدود كجداء معاملات ذات الحدين، مع عد التبديلات لأحرف كلمة MISSISSIPPI.
### عدد التبديلات الوحيدة للكلمات
المعامل متعدد الحدود \binom{n}{k_1, \ldots, k_m} يمثل أيضًا عدد الطرق المختلفة لتبديل *<math>n</math>* عنصر في المجموعة المتعددة، حيث يمثل *<math>k_i</math>* تعدد كل عنصر من العناصر . على سبيل المثال، عدد التبديلات المختلفة لأحرف كلمة MISSISSIPPI ، التي تحتوي على 1 M و 4 S و 4 I و 2 P ، هو

: {11 \choose 1, 4, 4, 2} = \frac{11!}{1!\, 4!\, 4!\, 2!} = 34650.

### مثلث باسكال المعمم

يمكن للمرء استخدام نظرية متعددة الحدود لتعميم مثلث باسكال أو هرم باسكال إلى مبسط باسكال. يعطي هذا التعميم طريقة سريعة لإيجاد معاملات متعددة الحدود.

## ملاحظات

## المراجع

تصنيف:توافيقيات
تصنيف:مقالات تحوي براهين
تصنيف:موضوعات العاملي وذات الحدين