اثنا عشري وجوه مستنجم صغير

في الهندسة الرياضية، **اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير**   غير مُحدَّب له 12 وجهًا كلها مُخمَّسات نجمية، تلتقي كل 5 منها في واحدٍ من رؤوسه الاثني عشر. رمز شليفلي الخاص به هو ,5}.

اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير، مُتعدِّد وجوه منتظَم، وهذا يعني أن وجوهه كلها مضلعاتٌ منتظَمة، وهو واحد من أربع متعددات وجوه غير محدبة منتظمة تُشكِّل معًا متعددات وجوه كبلر وبوانسو، وهو المستنجَم الأول لاثني عشري الوجوه المنتظم، أي ينتج عنه بعملية استنجام واحدة.

## الإنشاء والخواص

يُنشَأ اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير بلصق 12 هرمًا مُخمَّسًا منتظَمًا على وجوه اثنا عشري وجوه منتظَم. تُسمَّى هذه العملية استنجامًا ومنها صفة متعدد الوجوه: مستنجَم، أما صفة الصغير فتستعمل لتمييزه عن مُتعدد وجوه آخر هو .

لاثني عشري الوجوه المستنجَم الصغير  نفسه لعشريني الوجوه، و نفسه  الذي يؤلف معه مجسمًا مركبًا منحلاً محتتنًا هو: .

يُمكِن حساب  اثنا عشري الوجوه المستنجَم صغير باستعمال مميزة أويلر (12 وجهًا، 30 حرفًا، 12 رأسًا)

 V - E + F = 2 - 2g

ويكون جنس اثنا العشري 4. أربكت هذه الخاصية لوي بوانسو الذي لحظها أولًا، لكن فيليكس كلاين أثبت سنة 1877م بأن بالإمكان النظر لاثني عشري الوجوه المستنجَم الصغير على أنه  لكرة ريمان بسطح ريمان جنسه 4 وتكون  مركز كل مخمس نجمي. يُسمى سطح ريمان هذا  وله أكبر عدد من زمر التناظر من بين جميع سطوح ريمان من الجنس 4. ووينتح عن زمرة تناظره S_5 تذاكل: تماثل الشكل الذاتي.

ثنوي اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير هو اثنا عشري وجوه عظيم، وله عدد الرؤوس والحروف والوجوه نفسها.

لو كان طول حرف اثني عشري الوجوه المستنجَم الصغير E، فيُمكن حساب:

## في الثقافة والفن

وجدت رسوم لاثني عشري الوجوه المستنجَم الصغير ترجع إلى نهايات العصور الوسطى وعصر النهضة، منها مثلًا أرضية الفسيفساء في كنيسة القديس مرقس، بالبندقية، التي تُنسَب إلى باولو أُتشيلو قرابة سنة 1430م. اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير شكل مركزي لعملين مطبوعين بالحجر لماوريتس إيشر هما (النظام والفوضى) (1950م) و (1952م).

يُوصَف اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير في بعض الأحيان بمتعدد وجوه كِبْلر، نسبةً إلى كِبْلر، وهو أول من لَحظ انتظام اثني عشري الوجوه المستنجَم الصغير بالإضافة إلى ثنويه اثنا عشري الوجوه العظيم قرابة سنة 1619م. كما يُسمَّى مُجسَّم بوانسو نسبة للوي بوانسو الذي أعاد اكتشاف مُتعدِّدات وجوه كِبْلر سنة 1809م.

## متعددات وجوه ذات صلة
تصغير|450بك|إنشاء اثني عشري الوجوه المستنجَم العظيم من اثني عشري وجوه منتظم بعمليتي الاستنجام والتعظيم، يظهر اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير ناتجًا عن الخطوة الأولى.

يرتبط اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير مع اثني عشري الوجوه المنتظَم، وهو مُجسَّم أرخميدي، بعلاقة خاصة هي الاستنجام: ينتج متعدد الوجوه النجمي عن المجسم الأرخميدي بإلصاق 12 هرم مُخمَّس منتظَم، واحد على كل وجه من وجوهه.

يرتبط اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير، وهو متعدد وجوه كبلر وبوانسو، مع متعدِدي وجوه اثنين من المجموعة نفسها هما: اثنا عشري الوجوه العظيم و:
* ينتج متعدد الوجوه العظيم عن المستنجَم الصغير بإضافة 30 إسفينًا بين الأهرام، وهذه العملية تُسمَّى التعظيم. ووفيها يُحافظ على نوع الوجوه، ولكنها تُزاح إلى مستويات موازية لمستواها الابتدائي مع تغيير مقاساتها.
* ينتج متعدد الوجوه المستنجَم العظيم عن العظيم بلصق 20 ثنائي هرم مثلث غير متناظر في التجاويف بين الأسافين. وهذه العملية تُسمَّى استنجامًا.

تصغير|200px|تتابع مُحرَّك لعملية بتر من ,5} إلى {5,}.

يرتبط اثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير، ورمز شلفلي له ,5}، بأربع متعددات وجوه مُحتتِنة تُنشَا بوصفها درجات من البتر وصولًا إلى ثنويه اثنا عشري الوجوه العظيم، ورمز شلفلي له {5,}.

أول مرحلة من مراحل البتر ستكون اثنا عشري وجوه مستنجَم صغير مبتور، ومع أنه يبدو مشابهًا لاثني عشري الوجوه المنتظم، إلا أن عدد وجوهه الفعلي هو 24 وليس 12، وتتراكب الوجوه فيه أزواجًا. مع استمرار البتر يُنشأ  ويمكن بمقارنته مع اثني عشري الوجوه المستنجَم الصغير ملاحظة استبدال مُخمَّس نجمي بكل هرم من الأهرام الـ 12. وتستمر عملية البتر التي يصغُر فيها المُخمَّس النجمي مشكلةً  حتى تؤول النجمة إلى نقطة فينتج اثنا عشري الوجوه العظيم وهو ثنوي اثنا عشري وجوه مستنجَم صغير.

## مصطلحات

## معرض الصور


Small stellated dodecahedron.stl|نموذج ثلاثي الأبعاد لاثني عشري وجوه مستنجَم صغير.
Pequeño Dodecaedro Estrellado.gif| صورة متحركة لاثني عشري وجوه مستنجَم صغير.
Universiteit Twente Mesa Plus Escher Object.jpg| عمل فني على هيئة اثنا عشري وجوه مستنجم صغير في جامعة تفنتي بهولندا


## انظر أيضًا

* مخمس نجمي
* متعدد وجوه كبلر وبوانسو

## المراجع
### فهرس المراجع

### معلومات المراجع كاملة

;مقالات مُحكَّمة
:بالإنجليزية

* 
* 
* 
* 
* 

:بالفرنسية

* 

;كتب

* 
* 
* 
* 
* 

## وصلات خارجية
* صفحة اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير في موسوعة عالم الرياضيات.
* صفحة استنجامات اثني عشري الوجوه المنتظَم في موسوعة عالم الرياضيات.

تصنيف:استنجام متعددي الوجوه
تصنيف:متعددات الوجوه المنتظمة
تصنيف:متعددات وجوه كبلر وبوانسو