صيغة للأعداد الأولية

في نظرية الأعداد، **صيغة الأعداد الأولية** هي صيغة (أو معادلة) تنتج الأعداد الأولية، تمامًا وبدون استثناء. لا توجد معادلة معروفة قابلة للحساب بكفاءة. هناك عدد من القيود المعروفة، والتي تبين ما يمكن وما لا يمكن أن تكون عليه مثل هذه «الصيغة».

## صيغة مبنية على نظرية ويلسون
هي صيغة بسيطة:f(n) = \left\lfloor \frac{n! \bmod (n+1)}{n} \right\rfloor (n-1) + 2لعدد صحيح موجب n ، بحيث \lfloor\ \rfloor هي دالة الجزء الصحيح. من خلال مبرهنة ويلسون، n+1 هو عدد أولي إذا وفقط إذا كانn! \equiv n \pmod{n+1} . وهكذا عندما يكون n+1 عدد أولي، يصبح العامل الأول في الجداء واحدًا (طالع الصيغة أعلاه)، وتنتج الصيغة العدد الأولي n+1 . لكن إذا كان n+1 ليس عددًا أوليًا، يصبح العامل الأول صفراً وتنتج الصيغة العدد الأولي 2. هذه الصيغة ليست طريقة فعالة لتوليد الأعداد الأولية لأن حساب n! \bmod (n+1) يأخذ وقتاً.

## صيغة مبنية على نظام معادلات ديوفانتية
نظرًا لأن مجموعة الأعداد الأولية عبارة عن مجموعة يمكن عدها حسابيًا، من خلال مبرهنة ماتياسيفيتش، يمكن الحصول على هذه المجموعة من خلال نظام معادلات ديوفانتية.  وجد مجموعة من 14 معادلة ديوفانتين مع 26 متغيرًا، بحيث أن عدداً معين k+2 هو عدد أولي إذا وفقط إذا كان لهذه النظمة حل في الأعداد الطبيعية:\alpha_0= wz + h + j - q = 0

\alpha_1 = (gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z = 0

\alpha_2= 16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2 = 0

\alpha_3= 2n + p + q + z - e = 0

\alpha_4= e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2 = 0

\alpha_5=(a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2 = 0

\alpha_6= 16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2 = 0

\alpha_7= n + \ell + v - y = 0

\alpha_8= (a^2 - 1)\ell^2 + 1 - m^2 = 0

\alpha_9= ai + k + 1 - \ell - i = 0

\alpha_{10}= ((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2 = 0

\alpha_{11}= p + \ell(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m= 0 

\alpha_{12}= q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x = 0

\alpha_{13}= z + p\ell(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm = 0يمكن استخدام المعادلات 14 \alpha_0,...,\alpha_{13} لإنتاج متفاوتة متعددة الحدود تنتج عدداً أوليًا مع 26 متغيرًا: (k+2)(1-\alpha_0^2-\alpha_1^2-\cdots-\alpha_{13}^2) > 0 أي أن:
\begin{align}
& (k+2) (1 - {} \\[6pt]
& [wz + h + j - q]^2 - {} \\[6pt]
& [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - {} \\[6pt]
& [16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2]^2 - {} \\[6pt]
& [2n + p + q + z - e]^2 - {} \\[6pt]
& [e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2]^2 - {} \\[6pt]
& [(a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - {} \\[6pt]
& [16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2]^2 - {} \\[6pt]
& [n + \ell + v - y]^2 - {} \\[6pt]
& [(a^2 - 1)\ell^2 + 1 - m^2]^2 - {} \\[6pt]
& [ai + k + 1 - \ell - i]^2 - {} \\[6pt]
& [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - {} \\[6pt]
& [p + \ell(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m]^2 - {} \\[6pt]
& [q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x]^2 - {} \\[6pt]
& [z + p\ell(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm]^2) \\[6pt]
& > 0
\end{align}
هي متفاوتة متعددة الحدود مع 26 متغيرًا، ومجموعة الأعداد الأولية متطابقة مع مجموعة القيم الموجبة التي يتخذها الجانب الأيسر مثل المتغيرات a,b,...,z على الأعداد الصحيحة غير السالبة.

تقول النظرية العامة لماتياسيفيتش أنه إذا تم تحديد مجموعة من خلال نظام معادلات ديوفانتية، فيمكن أيضًا تعريفها من خلال نظام معادلات ديوفانتية مع 9 متغيرات فقط. ومن ثم، هناك كثيرة حدود تنتج عدداً أولياً على النحو الوارد أعلاه مع 10 متغيرات فقط. ومع ذلك، فإن درجتها كبيرة (في حدود 10^{45}). من ناحية أخرى، توجد أيضًا مجموعة من المعادلات من الدرجة 4 فقط، ولكن مع 58 متغيرًا.

## صيغة ميلز
تم إنشاء أول صيغة معروفة من قبل  ، الذي أثبت وجود عدد حقيقي A، بحيث أنه إذا كان:d_n = A^{3^{n}}فإن:\left \lfloor d_n \right \rfloor = \left \lfloor A^{3^{n}} \right \rfloorهو عدد أولي لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n . إذا كانت فرضية ريمان صحيحة، فإن أصغر *A* له قيمة حوالي 1.30637788386308 ويُعرف باسم ثابت ميلز. تؤدي هذه القيمة إلى ظهور الأعداد الأولية التالية \left \lfloor d_1 \right \rfloor = 2 و \left \lfloor d_2 \right \rfloor = 11 و \left \lfloor d_3 \right \rfloor = 1361 ... . لا يُعرف سوى القليل جدًا عن الثابت A (ولا حتى كونه كسرياً أو لا). هذه الصيغة ليس لها قيمة عملية، لأنه لا توجد طريقة معروفة لحساب الثابت دون إيجاد الأعداد الأولية في المقام الأول.

لاحظ أنه لا يوجد شيء مميز حول دالة الجزء الصحيح في الصيغة. أثبت توث  أن هناك أيضًا ثابتًا B مثل ذلك، بحيث أن: \lceil B^{r^{n}} \rceilهو عدد أولي لـ r>2.106\ldots  .

## صيغة رايت
صيغة أخرى لإنتاج الأعداد الأولية مماثلة لميلز تأتي من مبرهنة إي.إم. رايت. فقد أثبت وجود عدد حقيقي \alpha، بحيث أنه إذا كان: g_0 = \alpha و

g_{n+1} = 2^{g_n} من أجل n \ge 0.فإن \left \lfloor g_n \right \rfloor = \left \lfloor 2^{\dots^{2^{2^\alpha}}} \right \rfloorهو عدد أولي لكل n \ge 1. يعطي رايت أول سبعة منازل عشرية لهذا الثابت: \alpha = 1.9287800 هذه القيمة يمكن أن تولد الأعداد الأولية التالية \left \lfloor g_1 \right \rfloor = \left \lfloor 2^{\alpha} \right \rfloor = 3، \left \lfloor g_2 \right \rfloor = 13، \left \lfloor g_3 \right \rfloor = 16381، \left \lfloor g_4 \right \rfloor هو عدد زوجي وبالتالي فهو ليس أولياً. ولكن باستخدام \alpha = 1.9287800 + 8.2843 \cdot 10^{-4933}، \left \lfloor g_1 \right \rfloor، \left \lfloor g_2 \right \rfloor و \left \lfloor g_3 \right \rfloor لم يطرئ عليهم أي تغيير، بينما \left \lfloor g_4 \right \rfloor هو عدد أولي مكون من 4932 رقمًا. هذا التسلسل من الأعداد الأولية لا يمكن أن يمتد إلى ما بعد \left \lfloor g_4 \right \rfloor دون معرفة المزيد من المنازل العشرية ل\alpha. . مثل صيغة ميلز، وللأسباب نفسها، لا يمكن استخدام صيغة رايت (بكفائة) للعثور على الأعداد الأولية.

## دالة تمثل جميع الأعداد الأولية
الثابت ,f_1 = 2.920050977316\ldots من أجل n \ge 2 يمكننا أن نعرف المتتالية التالية:f_n = \left\lfloor f_{n-1} \right\rfloor
(f_{n-1} - \left\lfloor f_{n-1} \right\rfloor + 1 )إذا من أجل n \ge 1، \left\lfloor f_{n} \right\rfloor هو العدد الأولي النوني: \left\lfloor f_1 \right\rfloor = 2، \left\lfloor f_2 \right\rfloor = 3، \left\lfloor f_3 \right\rfloor = 5، \left\lfloor f_4 \right\rfloor = 7...

الثابت f_1 المعطى أعلاه يكفي لإنتاج الأعداد الأولية حتى 37 (العدد الأولي الثاني عشر).

القيمة الدقيقة لـf_1 الذي ينتج جميع الأعداد الأولية يتم إعطاؤه بواسطة المتسلسلة «سريعة» التقارب الآتية:f_1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{p_n - 1}{P_n}
= \frac{2 - 1}{1} + \frac{3 - 1}{2} + \frac{5 - 1}{2 \cdot 3} + \frac{7 - 1}{2 \cdot 3 \cdot 5} + \cdots,.بحيث p_n هو العدد الأولي النوني و P_n هو جداء جميع الأعداد الأولية الأقل من أو تساوي p_n.

كما هو الحال مع صيغة ميلز وصيغة رايت أعلاه، من أجل إنشاء قائمة أطول من الأعداد الأولية، نحتاج إلى البدء بمعرفة المزيد من المنازل العشرية للثابت f_1، والذي يتطلب في هذه الحالة قائمة أطول من الأعداد الأولية في حسابها.

## صيغة ممكنة باستخدام علاقة تكرار
يتم تعريف صيغة أخرى من خلال علاقة التكرار: a_n = a_{n-1} + \gcd(n,a_{n-1}), \quad a_1 = 7 ،حيث يشير \gcd(x,y) إلى القاسم المشترك الأكبر لـ x و y . تسلسل الفروق a_{n+1}-a_n يبدأ بـ 1، 1، 1، 5، 3، 1، 1، 1، 1، 11، 3، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 23، 3، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 1، 47، 3، 1، 5، 3... . أثبت أن هذا التسلسل يحتوي فقط على العدد واحد وأعداد أولية. ومع ذلك، فإنه لا يحتوي على جميع الأعداد الأولية.

## انظر أيضًا

* مبرهنة الأعداد الأولية.
*عدد أولي.

## مراجع
 

## قراءة متعمقة

*  .
* فينوجوبالان. *صيغة للأعداد الأولية، التوأم، عدد الأعداد الأولية وعدد الأعداد المزدوجة* . وقائع الأكاديمية الهندية للعلوم - العلوم الرياضية، المجلد. 92، رقم 1، سبتمبر 1983، ص 49-52 Errata

## روابط خارجية

* Eric W. Weisstein, Prime Formulas (Prime-Generating Polynomial) at MathWorld.

تصنيف:أعداد أولية