غبار فان ستوكم

في النسبية العامة، يُعرف **غبار فان ستوكم** أو **غبار لانكوز–فان ستوكم** على أنه حل دقيق لـ معادلات حقل أينشتاين حيث يولد الحقل الجاذبي غبار يدور حول محور له تناظر أسطواني. وبما أن كثافة الغبار **تزداد** مع المسافة عن هذا المحور، فإن هذا الحل يبدو اصطناعيًا، لكنه يعتبر مثالًا تربويًا مهمًا كونه أحد أبسط الحلول المعروفة في النسبية العامة.

سُمّي هذا الحل باسم Willem Jacob van Stockum، الذي أعاد اكتشافه عام 1938 بشكل مستقل عن اكتشاف سابق بكثير قام به Cornelius Lanczos في عام 1924.

## الاشتقاق

إحدى طرق الحصول على هذا الحل هي البحث عن سائل كامل ( Perfect fluid أو Ideal fluid) متناظر أسطوانياً يُظهر **دوراناً صلباً**. أي نطلب أن **تشكل خطوط العالم لجزيئات السائل تماسكاً زمنياً** مع وجود دوامية غير صفرية ولكن مع انعدام التوسع والانحناء. (في الواقع، بما أن جزيئات الغبار لا تشعر بأي قوة، فإن هذا سيتضح لاحقًا أنه **تماسك جيوديسي زمني**, لكن لا حاجة لافتراض ذلك مسبقًا).

أحد أبسط الافتراضات المبدئية المطابقة لهذا الطلب يُعبر عنه بالإطار التالي الذي يحتوي على دالتين غير محددتين لـ r:

:\vec{e}_0 = \partial_t, \; \vec{e}_1 = f(r) \, \partial_z, \; \vec{e}_2 = f(r) \, \partial_r, \; \vec{e}_3 = \frac{1}{r} \, \partial_\varphi - h(r) \, \partial_t

لتجنب أي سوء فهم، يجب التأكيد على أن أخذ **الإطار الثنائي**:

:\sigma^0 = dt + h(r) r \, d\varphi, \; \sigma^1 = \frac{1}{f(r)} \, dz, \; \sigma^2 = \frac{1}{f(r)} \, dr, \; \sigma^3 = r d\varphi

يعطي **موتر القياس** بدلالة نفس الدالتين غير المحددتين:

:g = -\sigma^0 \otimes \sigma^0 + \sigma^1 \otimes \sigma^1 + \sigma^2 \otimes \sigma^2 + \sigma^3 \otimes \sigma^3

وعند التوسيع:

:ds^2 = -dt^2 - 2 h(r) r \, dt \, d\varphi + (1-h(r)^2) r^2 \, d\varphi^2 + \frac{dz^2 + dr^2}{f(r)^2}
:-\infty 

نحسب **موتر أينشتاين** بالنسبة لهذا الإطار، ونطلب أن يكون الناتج مناسبًا لحل سائل كامل مع المتجه الزمني \vec{e}_0 ملتزمًا دائمًا بخطوط العالم لجزيء السائل:

:G^{\hat{m}\hat{n}} = 8 \pi \mu \operatorname{diag}(1,0,0,0) + 8 \pi p \operatorname{diag}(0,1,1,1)

مما يعطي الشروط:

:f^{\prime\prime} = \frac{(f^\prime)^2}{f} + \frac{f^\prime}{r}, \; (h^\prime)^2 + \frac{2 h^\prime h}{r} + \frac{h^2}{r^2} = \frac{4 f^\prime}{rf}

وحل الدالتين f ثم h يعطي **الإطار النهائي** الذي يحدد حل فان ستوكم:

:\vec{e}_0 = \partial_t, \; \vec{e}_1 = \exp(a^2 r^2/2) \, \partial_z, \; \vec{e}_2 = \exp(a^2 r^2/2) \, \partial_r, \; \vec{e}_3 = \frac{1}{r} \, \partial_\phi - a r \, \partial_t

يُلاحظ أن هذا الإطار معرف فقط عند r>0.

## الخصائص
حساب **موتر أينشتاين** يظهر أن **الضغط يساوي صفرًا**, وبالتالي نحصل على حل **غبار**. وتكون كثافة الكتلة:

:\mu = \frac{a^2}{2 \pi} \exp(a^2 r^2)

هذه الكثافة محدودة عند محور التناظر r=0 لكنها **تزداد مع نصف القطر**، مما يحد من التطبيقات الفلكية المحتملة.

حل معادلات كيلينغ يظهر أن هذا الفضاء الزمني يحتوي على **جبر ليي أبلي ثلاثي الأبعاد** من متجهات كيلينغ، مولدة بواسطة:

:\vec{\xi}_1 = \partial_t, \; \vec{\xi}_2 = \partial_z, \; \vec{\xi}_3 = \partial_\phi

هنا، \vec{\xi}_1 له **دوامية غير صفرية**, لذا لدينا **فضاء زمني ساكن**, ثابت بالنسبة للانتقال على طول خطوط العالم لجزيئات الغبار، وكذلك ثابت بالنسبة للانتقال على طول محور التناظر الأسطواني والدوران حوله.

على عكس حل غبار غودل، في غبار فان ستوكم تدور جزيئات الغبار حول **محور مميز هندسيًا**.

كما هو متوقع، **التوسع والانحناء للإطار الزمني <math>\vec{e}_0</math> يساوي صفرًا**, لكن متجه الدوامية هو:

:\vec{\Omega} = -a \exp(a^2 r^2/2) \vec{e}_1 

هذا يعني أن خطوط العالم لجزيئات الغبار **تلتف حول بعضها البعض** أثناء الدوران حول محور التناظر. عند المحور نفسه، تصبح قيمة متجه الدوامية **a**.

موتّر المد والجزر:

:E_{\hat{m}\hat{n}} = a^2 \exp(a^2 r^2) \operatorname{diag}(0,1,1)

موتّر المغناطو–جاذبية:

:B_{\hat{m}\hat{n}} = -a^3 \exp(a^2 r^2) \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] 

## مفارقة ظاهرة
تخيل تجربة فكرية حيث **يركب مراقب على جزيء غبار عند محور التناظر** وينظر إلى جزيئات الغبار عند إحداثيات نصف قطرية موجبة. هل يراها **تدور** أم لا؟

:\nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_1, \; \nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_2, \; \nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_3

يبين أن المتجه الأول فقط يساوي صفرًا. المتجهات المكانية المتبقية **تدور حول <math>\vec{e}_1</math>**.

للحصول على **إطار قصوري غير دوّار**, يجب تدوير الإطار الأصلي:

:\vec{f}_0 = \vec{e}_0, \; \vec{f}_1 = \vec{e}_1, \; \vec{f}_2 = \cos(\theta) \vec{e}_2 + \sin(\theta) \vec{e}_3, \; \vec{f}_3 = -\sin(\theta) \vec{e}_2 + \cos(\theta) \vec{e}_3

حيث \theta = t q(r). حل شرط انعدام المشتقات يعطي:

:\theta = at\exp(a^2 r^2/2)

الإطار الجديد يبدو **كأنه يدور**, لكنه مستقر بالجييروسكوب. المراقب يرى جزيئات الغبار القريبة **تدور حوله** بعزم زاوي a.

## مفارقة حقيقية
رسم **مخاريط الضوء** لبعض الأحداث في غبار فان ستوكم يظهر كيف أن **مظهرها** يعتمد على نصف القطر. عند r=a^{-1} تصبح المخاريط **مماسية** لمستوى الإحداثيات t=t_0، وتظهر **حلقة ضوئية مغلقة** (ليست جيوديسية ضوئية).

الدوائر الزمنية المغلقة **ليست** جيوديسيات زمنية، ويجب على المراقب **التسارع** لتجربة هذه الظواهر، والتسارع المطلوب يزداد بلا حدود عند الاقتراب من أسطوانة حرجة r=a^{-1}.

## مراجع إضافية
* 
ورقة لانكوز التي أعلنت عن الاكتشاف الأول لهذا الحل.
* 
ورقة فان ستوكم التي أعلنت عن إعادة اكتشافه لهذا الحل.

## المراجع

تصنيف:النسبية العامة
تصنيف:تجارب فكرية في الفيزياء
تصنيف:جاذبية
تصنيف:حلول دقيقة في النسبية العامة
تصنيف:مفاهيم فيزيائية