حلزون لوغاريتمي

260px|تصغير|حلزون لوغاريتمي (ذو خطوة 10°)
**الحلزون اللوغاريتمي**  هو منحنى حلزوني ذو تشابه ذاتي والذي يظهر غالبًا في الطبيعة. تم وصف الحلزون اللوغاريتمي لأول مرة بواسطة رينيه ديكارت ثم قام ياكوب برنولي بالتحقيق فيه على نطاق واسع.

في النظام الإحداثي القطبي (r, \theta) يمكن رسم الحلزون اللوغاريتمي وفق الآتي:

:r = ae^{b\theta}\,

أو

:\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

مع كون e قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية وكونها ثوابت حقيقية في الشكل البارامتري، يكون المنحنى:
:x(t) = r(t) \cos(t) = ae^{bt} \cos(t)\,
:y(t) = r(t) \sin(t) = ae^{bt} \sin(t)\,

مع العددين الحقيقين a وb.
يحتوي الحلزون على خاصية أن الزاوية بين المماس والقطر عند النقطة ثابت. يمكن التعبير عن هذه الخاصية في علاقات هندسية تفاضلية
:\arccos \frac{\langle \mathbf{r}(\theta), \mathbf{r}'(\theta) \rangle}{\|\mathbf{r}(\theta)\|\|\mathbf{r}'(\theta)\|} = \arctan \frac{1}{b} = \phi.
مشتق ال\mathbf{r}(\theta) يتناسب مع المعلمة b بمعنى آخر b = 0 (\textstyle\phi = \frac{\pi}{2}) يصبح الحلزون دائرة من نصف القطر a
وفي الحد الذي يقترب من اللانهاية يميل الحلزون نحو نصف مستقيم، زاوية ال\phi تسمى pitch

## اللولب اللوغاريتمي في الهندسة التركيبية (Synthetic Geometry)
في الهندسة التركيبية يعرف هذا المنحنى وفقاً للمفاهيم التركيبية والإنشاءات الهندسية كما يلي:
* تتشكل هذه اللولبية من خلال تكرار عملية هندسية بسيطة: كلما دار الشكل حول مركزه (القطب)، فإنه يبتعد عنه (او يقترب منه) بنسبة ثابتة. في الهندسة الوصفية ، لا ينظر إليها كأرقام، بل كـ "نمو يحفظ الشكل". إذا أخذت أي قطاع من اللولب وقمنا بتكبيره، فسوف ينطبق تماماً على القطاع الذي يليه؛ وهذا ما يسمى "التشابه الذاتي".
تصغير|يمين|المنحنى اللوغاريتمي يحقق التشابه الذاتي.
* من أهم سمات هذا المنحنى هو أنه يقطع جميع الخطوط المستقيمة المنطلقة من المركز بزاوية ميل واحدة لا تتغير أبداً. هذا يعني أن المنحنى "يوجه" نفسه دائماً بنفس الطريقة بالنسبة للمركز، مما يجعله المسار المثالي للكيانات الهندسية التي تنمو محافظة حفاظ على توازنها الهيكلي.
* يمكن وصف اللولب اللوغاريتمي هندسياً من خلال المستطيلات الذهبية أو المثلثات المتشابهة:
إذا أنشأت سلسلة من المثلثات القائمة التي تشترك في رأس واحد (المركز) بحيث يكون كل مثلث مشابهاً للذي قبله، فإن الوتر في هذه المثلثات سيشكل أجزاءً من هذا اللولب.
هذا الإنشاء يوضح فكرة "التراكم المتناسب"، حيث لا تزيد المسافات بين الحلقات بشكل متساوٍ (كما في لولب أرخميدس)، بل تتضاعف بانتظام.
* يُفسر وجود هذا اللولب في القواقع البحرية (مثل النوتيلوس) أو في ترتيب أوراق النباتات بأنه الحل الوحيد لمشكلة هندسية: كيف يمكن لكيان أن يكبر في الحجم دون أن يغير نسبه.
الحلزون يضيف مادة جديدة إلى صدفته عند الطرف المفتوح، وبما أن الإضافة تتناسب مع الحجم الموجود مسبقاً، فإن النتيجة الهندسية الحتمية هي المسار اللولبي.
تصغير|مقطع عرضي لصدفة نوتيلوس يُظهر الحجرات مرتبة بشكل لولبي لوغاريتمي تقريبًا. يعتمد اللولب المرسوم (المنحنى الأزرق المتقطع) على معامل معدل  نمو ثابت
* اشتهر هذا المنحنى بلقب "اللولب العجيب"، لأن العمليات الهندسية التي تُجرى عليه (مثل الدوران أو التكبير) لا تغير من طبيعته. إنه يمثل المبدأ الهندسي الذي يقول: "أنا أتغير، لكنني أعود دائماً كما كنت".
للاطلاع على الرسوم البيانية التي توضح كيفية إنشاء هذا المنحنى يدوياً باستخدام المسطرة والفرجار، يمكن مراجعة المصادر الأكاديمية.

## معرض صور

ملف:Spirale-direttrice-catena.jpg|سلسلة لامتناهية من الدوائر المتماسة، مرتبة على منحنى حلزوني. تم ايجاد منحنيين لولبيين (خارجي وداخلي) يمسان جميع دوائر السلسلة
ملف:Catena-a-spirale-di-coniche-omotetiche.jpg|سلسلة حلزونية من قطوع مخروطية متشابهة. الهندسة الاسقاطية التركيبية كتجربة حسية مباشرة


## المراجع

تصنيف:حلزونات (رياضيات)
تصنيف:لغارتمات
تصنيف:منحنيات
تصنيف:منحنيات مستوية