شكلية المفعول العدسي التثاقلي

**شكلية المفعول العدسي التثاقلي** (بالإنجليزية: Gravitational lensing formalism) في النسبية العامة، تُحيد الكتلة النقطية المحددة شعاعًا من الضوء بمعامل صدم b وزاوية تعادل تقريبًا: 
\hat{\alpha} = \frac{4GM}{c^2b}

حيث G هي ثابت الجاذبية، وm هي كتلة الجسم العاكس وc هي سرعة الضوء. يمكن أن يؤدي التطبيق الساذج لقانون الجذب العام لنيوتن إلى نصف القيمة بالضبط، حيث يفترض شعاع الضوء كجسيم له كتلة وتبعثر بالقدرة التثاقلية. تكون تلك القيمة التقريبية جيدة عندما يكون معامل الصدم صغيرًا.

في المواقف التي تكون فيها النسبية العامة مقربة بالجاذبية الخطية، يمكن كتابة الانحراف نتيجة الكتلة الممتدة في المكان ببساطة كإجمالي معامل على الكتل النقطية. في التواصلية المقيدة، يصبح ذلك جزءً مكملا للكثافة ρ وإذا كان الانحراف صغيرًا يمكن تقريب القدرة التثاقلية بطول المسار المنحرف على القدرة بطول المسار غير المنحرف، كما في تقريب بورن في ميكانيكا الكم. يكون الانحراف إذًا: 
\vec{\hat{\alpha}}(\vec{\xi})=\frac{4 G}{c^2} \int d^2\xi^{\prime} \int dz \rho(\vec{\xi}^{\prime},z)  \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|^2}, ~ \vec{b} \equiv \vec{\xi}  - \vec{\xi^{\prime}} 


حيث z هي إحداثي خط الرؤية، و b→ هو معامل الصدم لمسار الشعاع الفعلي من الكتلة متناهية الصغر (معادلة) الموضوعة على الإحداثي (\vec{\xi}^{\prime}, z).
 
## تقريب العدسة النحيفة
في حدود "العدسة النحيفة"، حيث تكون المسافات بين المصدر والعدسة والملاحظ أكبر كثيرًا حجم العدسة (وهذا صحيح بالنسبة لكل الأجسام الفلكية)، يمكننا تعريف كثافة الكتلة 
\Sigma(\vec{\xi}^\prime)=\int \rho(\vec{\xi}^\prime,z) dz 
 
حيث ξ→′هو متجه في مستوى السماء. فإن زاوية الانحراف هي: 
\vec{\hat{\alpha}}(\vec{\xi})= 
\frac{4 G}{c^2} \int \frac{(\vec{\xi}-\vec{\xi}^{\prime})\Sigma(\vec{\xi}^{\prime})}.  
 
والذي يأخذ معنى التقريب والقطع. التكبير هو عكس الجاكوبية 

A_{ij} = {\partial \beta_j \over \partial \theta_i} = {\partial \tau \over \partial \theta_i \partial \theta_j } = \delta_{ij} -  {\partial \psi \over \partial \theta_i \partial \theta_j } 
= \left[\begin{array}{ c c } 1-\kappa -\gamma_1 & \gamma_2 \\ \gamma_2 & 1-\kappa +\gamma_1 \end{array}\right]  
 
حيث A الموجبة تعني القيمة القصوى أو الدنيا والسالبة تعني نقطة سرجية في سطح الوصول. 
لنقطة عدسية مفردة يمكن أن يظهر التالي
 \kappa = {\partial \psi \over 2 \partial \theta_1 \partial \theta_1 } +  {\partial \psi \over 2\partial \theta_2 \partial \theta_2 } , 
~ \gamma_1 \equiv  {\partial \psi \over 2 \partial \theta_1 \partial \theta_1 } -  {\partial \psi \over 2\partial \theta_2 \partial \theta_2 } ,   
~ \gamma_2 \equiv  {\partial \psi \over \partial \theta_1 \partial \theta_2 }    
 
وبالتالي فإن تكبير النقطة يُعطى كالآتي 
   A = 1/det(A_{ij}) = {1 \over (1-\kappa)^2 -\gamma_1^2 -\gamma_2^2}  
 
تنحرف A للصور عند قطر أينشتاين θE.

في حالات أن هناك نقط عدسية متعددة علاوة على خلفية ناعمة للجسيمات (المظلمة) لكثافة السطح Σcrκsmooth، فإن وقت الوصول للسطح 
 \kappa =0, ~ \gamma = \sqrt{\gamma_1^2 + \gamma_2^2} = {\theta_E^2 \over |\theta|^2}, ~ \theta_E^2= {4GM D_{ds} \over c^2 D_dD_s}.

 
لحساب التكبير، مثل: عند النقط الصفرية (0,0)، بسبب تماثل الكتل النقطية الموزعة عند (θxi,θyi)علينا أن نضيف القطع الكلي ونضمن تقريب الخلفية الناعمة 

A = \left( 1 - {\theta_E^4 \over \theta^4} \right)^{-1}.


يخلق ذلك شبكة من المنحنيات الحرجة، الخطوط الموصلة لنقط الصور للتكبير اللامتناهي.

## العدسات الضعيفة العامة
في العدسية الضعيفة بالبناء واسع المدى، يمكن أن يتعطل تقريب العدسة النحيفة، والأبنية الممتدة ذات الكثافة المنخفضة لا تُقرب بالمستويات المتعددة نحيفة العدسة. في هذه الحالة، يمكن أن يشتق الانحراف بافتراض أن القدرة التثاقلية تختلف في كل مكان ببطء (لهذا السبب، لا يصح تطبيق هذا التقريب للعدسات القوية). تفترض تلك المقاربة أن الكون موصوف جيدًا بالقانون النيوتني لإحداثيات روبرتسون-ووكر، لكنها لا تضيف أي افتراضات أخرى عن توزيع الكتلة العدسية. 
كما في حالة العدسة النحيفة، يمكن كتابة التأثير كخريطة من الموقع الزاوي اللاعدسي β→ إلى الموقع العدسي θ→. جاكوبية الانتقال يمكن كتابتها كمكمل على القدرة التثاقلية Φ بطول خط الرؤية

\frac{\partial \beta_i}{\partial \theta_j} = \delta_{ij} + \int_0^{r_\infty} dr 
  g(r) \frac{\partial^2  \Phi(\vec{x}(r))}{\partial x^i
    \partial x^j}


حيث r هي مسافة المسايرة، و xiهو المسافة المستعرضة، و

g(r) = 2 r \int^{r_\infty}_r dr'
    \left(1-\frac{r^\prime}{r}\right)W(r^\prime)


هي عدسية كيرنل، والتي تُعرِّف كفاءة العدسة لتوزيع المصادر W(r)
الجاكوبية Aij يمكن تفكيكها إلى حدود التقريب والقطع كما حدث في حالة العدسة النحيفة، وفي حدود عدسة نحيفة وضعيفة في نفس الوقت، تكون التفسيرات الفيزيائية بالمثل.

## المراجع

تصنيف:تأثيرات الجاذبية
تصنيف:عدسة الجاذبية
تصنيف:فيزياء فلكية