جبر خارجي

في مجال الرياضيات، *'الضرب الخارجي  ل<nowiki/>[[متجه]]ات هو تركيب جبري يستخدم في [[هندسة رياضية|الهندسة]] لدراسة المساحات والأحجام وكذلك الأبعاد الأعلى المناظرة. الضرب الخارجي للمتجهين <math>u </math> و <math>v </math> والذي يرمز له بالرمز <math>u \land v</math> يسمى [[:en:Bivector|bivector]] ويكمن في فضاء يسمى *مربع خارجي* والذي هو [[فضاء متجهي|فضاء المتجه]] المميز من فضاء المتجهات الأصلي. يمكن تفسير [[:en:Magnitude|حجم]] <math>a \land b</math> كمساحة متوازي الأضلاع ذو الضلعين. أيضا بواسطة الشكل الثلاثي الأبعاد لهذا متوازي الأضلاع يمكن حساب [[ضرب اتجاهي|الضرب الإتجاهي]] لمتجهين.

== أمثلة محفزة ==

=== المساحات في المستوى ===
[[ملف:Area_parallellogram_as_determinant.svg|يسار|تصغير|مساحة متوازي الأضلاع باستخدام محدد مصفوفة إحداثيات عنصرين مت متجهاته.]]في مستوى الجداء الديكارتي <math>\R^2</math> هو فضاء المتجه المعرف ب<nowiki/>[[قاعدة (جبر خطي)|أساس]] مكون من زوج من [[متجه وحدة|متجهات الوحدة]] المعرفة بالمتجهين

<math>{\boldsymbol e_1 } = \left[\begin{matrix}  1 \\0 \end{matrix}\right]</math> و <math>{\boldsymbol e_2} =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]</math>.

لنفرض أن <math>{\boldsymbol v}=\left[ \begin{matrix} a \\ b \end{matrix}\right]=a \,{ \boldsymbol e_1} +b \, {\boldsymbol e_2}</math> و <math>{\boldsymbol w} = \left[\begin{matrix} c \\d \end{matrix} \right] = c \, {\boldsymbol e_1} + d \, {\boldsymbol e_2}</math> هما متجهين معرفين بدلالة مركباتهما وينتميان لفضاء المتجه <math>\R^2</math> . يوجد متوازي أضلاع وحيد معرف بدلالة الضلعين <math>\boldsymbol v</math> و <math>\boldsymbol w</math> والذي مساحته معرفه بالمحدد التالي:

<math>|\mathbb{det}\left[ \mathbf v \quad \mathbf w \right]|=\left|\mathbb{det} \left[\begin{matrix}a & c \\ b &d \end{matrix} \right]\right|=|ad -bc|</math>.

أعتبر الآن الضرب الخارجي للمتجهين <math>\boldsymbol v</math> و <math>\boldsymbol w</math> المعرف كالتالي:

<math>\begin{align}
{\mathbf v}\wedge {\mathbf w} & = (a\,{\mathbf e}_1 + b\,{\mathbf e}_2) \wedge (c\,{\mathbf e}_1 + d\,{\mathbf e}_2) \\
& = ac\,{\mathbf e}_1 \wedge {\mathbf e}_1+ ad\,{\mathbf e}_1 \wedge {\mathbf e}_2+bc\,{\mathbf e}_2 \wedge {\mathbf e}_1+bd\,{\mathbf e}_2 \wedge {\mathbf e}_2 \\
& = \left ( ad - bc \right ){\mathbf e}_1 \wedge {\mathbf e}_2
\end{align}</math>

حيث أنه تم استخدام خاصية التوزيع للضرب الخارجي بالخطوة الأولى وبالعملية الاخيره تم استخدام خاصية الإبدال وعلى وجه الخصوص الخاصية <math>{\mathbf e_2} \land {\mathbf e_1} = - ({\mathbf e_1} \land {\mathbf e_2})</math> . لاحظ أن المعامل بالمعادلة الأخيره هو عبارة عن محدد المصفوفة <math>\left[\mathbf v \quad \mathbf w \right]</math> . نلاحظ أيضا أنه من خاصية الإبدال بالضرب الخارجي لدينا

<math>{\mathbf e_1} \land {\mathbf e_1} = \mathbf e_2 \land \mathbf e_2 = 0</math>.

تفسر الإشارة الموجبه أو السالبة بأن المتجهين <math>\mathbf v</math> و<math>\mathbf w</math> يتجهان عكس أو مع إتجاه عقارب الساعة كرؤوس لمتوازي الأضلاع المعرف أعلاه. مثل هذه المساحة تعرف بمساحة محددة لمتوازي الأضلاع والقيمة المطلقة لمساحة محددة هي المساحة المعتادة وإشارة المحدد هي إتجاهه.

إذا كان <math>A(\mathbf v, \mathbf w)</math> يرمز لمساحة متوازي الأضلاع الذي يمثل المتجهين <math>\mathbf v, \mathbf w</math> ضلعين فيه فإن <math>A</math> يجب أن تحقق الخصائص التالية:

# لتكن <math>k</math> و <math>j</math> أعداد حقيقة فإن <math>A(j\, \mathbf v, k\, \mathbf w)=jk \, A(\mathbf v, \mathbf w)</math> .
# <math>A (\mathbf v, \mathbf v)=0</math> والتي تمثل مساحة لخط مستقيم تساوي صفر.
# <math>A(\mathbf v, \mathbf w)=-A(\mathbf w, \mathbf v)</math> حيث أن تبديل بين<math>\mathbf v</math> و<math>\mathbf w</math> يعكس إتجاه متوازي الأضلاع.
# لأي عدد حقيقي <math>j</math> فإن <math>A(\mathbf v+j\, \mathbf w, \mathbf w)= A(\mathbf v, \mathbf w)</math>حيث أن إضافة أي مضاعف ل <math>\mathbf w</math> للمتجه <math>v</math> لايؤثر على الأساس ولايؤثر أيضا على ارتفاع متوازي الأضلاع فبالتالي فإنه يحافظ على مساحته.
# <math>A(\mathbf e_1,\mathbf e_2)=1</math> أي ان مساحة مربع الوحدة يساوي واحد.

بإستثناء الخاصية الأخيره فإن الضرب الخارجي لمتجهين يحقق نفس خواص المساحة. أي أن الضرب الخارجي يعمم الخاصية الأخيره بالسماح لمساحة متوازي الأضلاع لتقارن بأي متوازي أضلاع بالمستوى الموازي. بمعنى آخر فإن الضرب الخارجي يحقق صيغة الأساس المستقل لأي مساحة (*basis-independent'' formulation of area).

### ضرب تقاطعي وضرب المتجهات الثلاثية
تصغير|الضرب التقاطعي الموضح بالمتجه الأزرق وعلاقته بالضرب الخارجي الموضح بمتوازي الأضلاع المضلل بالأزرق الفاتح. طول الضرب التقاطعي هو طول متجه الوحدة المقابل (الموضح بالأحمر) .
لأي متجهات في R^3 فإن الجبر الخارجي يعرف بضرب تجاهي أو تقاطعي (cross product ) وضرب المتجهات الثلاثية (triple product ). باستخدام متجهة وحدة الأساس \{\mathbf e_1, \mathbf e_2,\mathbf e_3 \} فإن الضرب الخارجي للمتجهين

\mathbf u= u_1 \, \mathbf e_1 + u_2 \, \mathbf e_2 + u_3 \, \mathbf e_3 و \mathbf v = v_1 \, \mathbf e_1 + v_2 \, \mathbf e_2 + v_3 \, \mathbf e_3 يعرف كالتالي:

\mathbf u \land \mathbf v =(u_1 v_2 -u_2 v_1) (\mathbf e_1 \land \mathbf e_2) 
+ (u_3 v_1 -u_1 v_3) (\mathbf e_3 \land \mathbf e_1) 
+ (u_2 v_3 -u_3 v_2) (\mathbf e_2 \land \mathbf e_3)

حيث أن \{\mathbf e_1 \land \mathbf e_2, \mathbf e_3 \land \mathbf e_1 , \mathbf e_2 \land \mathbf e_3 \} تمثل قاعدة الفضاء ثلاثي الأبعاد \land^2(R^3) . معاملات المعادلة أعلاه هي نفسها المعرفة للضرب التقاطعي في ثلاث أبعاد لكن الفرق الوحيد بينما هو أن الضرب الخارجي ليس متجه معتاد وإنما يمثل متجه ثنائي.

بتعريف متجه ثالث معرف بالمتجه \mathbf w = w_1 \, \mathbf e_1 + w_2 \, \mathbf e_2 + w_3 \, \mathbf e_3 فإن الضرب الخارجي لثلاث متجهات معرف كما يلي:

\mathbf u \land \mathbf v \land \mathbf w 
= (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1)
(\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3)

حيث أن \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3 تمثل أساس للفضاء ببعد واحد \land^3(R^3) .

## تعاريف وخصائص جبريه

## ملاحظات

## المراجع

### مراجع تاريخية

* 

تصنيف:أشكال تفاضلية
تصنيف:جبر متعدد الخطية