قوس جيب التمام

| مشتق عكسي = x\, \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C
| زوجية أم فردية =
| مجال = [-1 , 1]
| مجال مقابل = [ 0,\pi]
| plusinf =
| minusinf =
| صفر = \frac {\pi}{2}
| حد أعلى = 
| حد أدنى = 1
| vr1 =
1
| f1 =
0| vr2 =

| f2 =

| vr3 =
| f3 =
| vr4 =
| f4 =
| vr5 =
| f5 =
| جذر = 1
| نقطة ثابتة = 
| ملاحظات =
}}
في الرياضيات، دالة **قوس جيب التمام**  لعدد حقيقي المحصور بين  و  هي الدالة العكسية لدالة جيب التمام، مستقرها هو [ 0,\pi]، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين  و  قيمة قوس جيب التمام الخاص به يرمز لها بـ **arccos** أو . ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة جيب التمام المثلثية المقتصرة إلى المجال \left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب تمام الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة جيب التمام المقتصرة إلى المجال [ 0,\pi] بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة .

## مشتق
دالة جيب التمام العكسية تقبل الإشتقاق على المجال  ودالتها المشتقة هي:

\arccos'x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

### إثبات
يمكن كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:(\arccos x)' ={d \over dx} \arccos x

نضع \theta = \arccos x:

:\frac {d\theta}{d \cos \theta}
= \frac {d\theta}{-d\theta \sin \theta}
= \frac {-1}{\sin \theta}
= \frac {-1}{\sqrt{1-\cos ^2 \theta}}
= \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}

**إثبات آخر**

يمكن إيجاد مشتقة دالة **arccos(x)** عن طريق تفاضل **مركب دالتين** (**دالة ومعكوسها**):

**-** إذا كانت **cos(arccos(x)) = x** بتفاضل الطرفين معاً ينتج:

:(\cos (\arccos(x))' ={-\sin(\arccos(x))}{d \over dx} \arccos x

أي أن:

:\ (x )'=-\sqrt{1-\cos ^2(\arccos(x))}{d \over dx} \arccos x

يُستنتج من ذلك:

:\ 1 =-\sqrt{1-x^2}{d \over dx} \arccos x

بترتيبها تنتج المشتقة:

:\ {d \over dx}{\arccos(x)} =\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

## الشكل التكاملي
يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل المحدد:

\arccos x = \int_1^x \frac {-1}{\sqrt {1-t^2}} dt

## المشتق العكسي
يمكن الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة:

\int \arccos (x) dx = x\, \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C

## العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام
يسار|تصغير|  (بالأزرق) و  (بالأحمر)

لكل عدد حقيقي  محصور بين  و  :

\arccos x+\arcsin x=\frac\pi2

### إثبات
يمكن أن نستنتج العلاقة بين **arccos(x)** و **arcsin(x)** كالتالي:

نأخذ:

\ y =\arccos(x)

\cos(y) =x    

يعني:

\sin{\left(\frac{\pi}{2}-y\right)} =x 

ومنه:

\frac{\pi}{2}-y = \arcsin( x)   

أي:

\frac{\pi}{2}-\arccos(x) = \arcsin(x)   

و بترتيبها نحصل على:

\arccos( x)+\arcsin( x)=\frac\pi2

**إثبات آخر**

نشتق الدالة \arccos( x)+\arcsin( x):

:\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} وهي مساوية **للصفر** ، إذن **arccos(x) + arcsin(x)** هي عبارة عن دالة ** ثابتة**.
نستنتج من ذلك أن:

مجموع **arccos(x)** و **arcsin(x)** عدد** حقيقي ثابت** (لأن مشتقة **الثابت** هي **الصفر**) يتم تعيينه أي أن:

\arccos( x) +\arcsin( x)= \alpha 

نأخذ **arcsin(x)** إلى الطرف الآخر:

\arccos( x) = \alpha - \arcsin( x) 

ندخل دالة **الجيب تمام** على الطرفين:

\ x =\cos(\alpha  - \arcsin( x))
 
نبسط التعبير باستعمال قاعدة **جيب تمام فرق عددين**:

\ x =\cos(\alpha)\cos(\arcsin( x)) + \sin(\alpha)\sin(\arcsin( x))

أي أن:

\ x ={\cos(\alpha)}\sqrt{1-x^2}+{x}{\;\sin(\alpha)}

و بتعويض **x** ب **0**
و التبسيط نحصل على:

 0=\cos(\alpha) 

بادخال دالة **معكوس جيب التمام** على الطرفين نحصل على:

\arccos(0)=\alpha

أي أن:

\frac{\pi}{2}=\alpha

و بالتالي نحصل على العلاقة بينهما:

\arccos( x) + \arcsin( x)=\frac{\pi}{2}

## التمثيل بواسطة متسلسلة
لدينا:

\arccos(x)=\frac{\pi}{2} - \arcsin(x)

و بتعويض **arcsin(x)** بمتسلسلتها نحصل على متسلسلة دالة **arccos(x)** :

\arccos(x)=\frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}}

## على المستوي العقدي
### الشكل اللوغاريتمي

[بديل=|تصغير|141x141بك|[تلوين المجال|التمثيل البياني اللوني للدالة \arccos z]]

يمكن التعبير عن دالة قوس جيب التمام باستخدام اللوغاريتم العقدي:

:\arccos(x)=-i\,\ln\left(x+i\,\sqrt{1-x^2}\right)=\frac{\pi}2\,+i\ln\left(ix+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}2-\arcsin(x).

## طالع أيضًا

* دوال مثلثية عكسية
* دالة الجيب العكسية
* دالة الظل العكسية

## مراجع

تصنيف:دوال مثلثية