تحويلات نجمية مثلثية

تصغير|دائرة واي نجمية (Y) ودائرة دلتا (Δ) مثلثة

**تحويلة نجمية مثلثية** (**تحويلة Y-Δ**)، يمكن تسميتها أيضا ب**تحويلة واي دلتا**، هي طريقة رياضية لتبسيط تحليل الدوائر الكهربائية. يرجع الفضل في اكتشاف تلك الطريقة إلى عالم الرياضيات إيرلندي المولد أمريكي الجنسية *آرثر إدوين كينلي* الذي اكتشفها في عام 1899. تستخدم الطريقة على نطاق واسع في تحليل الدوائر الكهربائية ثلاثية الطور.

يمكن اعتبار التحويلة النجمية المثلثية حالة خاصة من تحويلة الشبكة النجمية لثلاثة مقاومات. في الرياضيات، تلعب التحويلة دوراً هامّاً في نظرية الرسوم البيانية المستوية الدائرية.
## التسمية
تصغير|300x300px|تحويلة ستار دلتا.

يُشتق الاسم الإنكليزي الاسم من أشكال مخططات الرسم البياني فالنجمة تشبة الحرف *Y* والمثلث هو حرف يوناني قديم Δ.

للتحويلة مجموعة كبيرة من الأسماء المشهورة بها، يستند معظمها إلى الأشكال. فعلى سبيل المثال، يمكن أن يطلق على الشكل **Y** **ستار**، **وي** أو **تي**، بينما يمكن تسمية رمز **Δ** **دلتا**، **المثلث**، باي **[[ط (رياضيات)|Π]]** أو **ميش**. لذلك **تحويلة ستار دلتا** هي نفسها **وي دلتا**، **ستار ميش** أو **T-Π**.
## التحويلات
يسار|تصغير|300px|دائرة Y ودائرة Δ، التي تعتمد عليها هذه المقالة.
تستخدم الطريقة لإيجاد دائرة مكافئة بسيطة بثلاثة أطراف للدوائر المعقدة. في دوائر الدلتا يشترك كل عنصرين في عقدة بينما في حالة الستار يشترك الثلاث عناصر في عقدة واحدة.
### تحويل من مثلث إلى نجمة
الفكرة العامة هي إيجاد المقاومة R_\text{Y} لأي عنصرين R', R*</math> بشرط أن يكونوا متجاورين من المعادلة التالية:
:<math>R_\text{Y} = \frac{R'R*}{\sum R_\Delta}
حيث R_\Delta هي المقاومة الكلية لدائرة دلتا Δ. 
لتحويل كل عنصر من دلتا إلى ستار من المعادلة التالية:
:\begin{align}
  R_1 &= \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \\[3pt]
  R_2 &= \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \\[3pt]
  R_3 &= \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}}
\end{align}
### تحويل من نجمة إلى مثلث
الفكرة العامة هي الحصول على R_\Delta للدائرة Δ من المعادلة التالية:
:R_\Delta = \frac{R_P}{R_\text{opposite}}
حيث:
:R_P = R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1
هي مجموع كل عنصرين في الدائرة ستار، بينما R_\text{opposite} هي العنصر المراد تحويلة إلى دلتا. بذلك تصبح المعادلات كالتالي:
:\begin{align}
  R_\text{a} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1} \\[3pt]
  R_\text{b} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2} \\[3pt]
  R_\text{c} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3}
\end{align}
أو بالشكل التالي:
:\begin{align}
  Y_\text{a} &= \frac{Y_3 Y_2}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt]
  Y_\text{b} &= \frac{Y_3 Y_1}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt]
  Y_\text{c} &= \frac{Y_1 Y_2}{\sum Y_\text{Y}}
\end{align}
## تبسيط الدوائر
يمكن أن تستخدم التحويلة أكثر من مرة في نفس الدائرة المعقدة لتبسيطها، فعلى سبيل المثال يمكن استخدام تحويلة دلتا ستار لحل عقدة ثم تحويلة ستار دلتا لتبسيط عقدة أخرى، كما هو موضح في الأشكال التالية:
مركز|تصغير|480px|تحويلة دائرة ستار إلى دائرة دلتا ثم تبسيط الدائرة أكثر لحلها.
مركز|تصغير|480px|نفس الدائرة يمكن تبسيطها باستخدام تحويلة دلتا إلى ستار.

## نظرية البيان
في نظرية البيان، تعني التحويلات النجمية المثلثية استبدال مخطط Y إلى مخطط Δ مع الاحتفاظ بقيمة المقاومات المكافئة، لكن ليس عدد العناصر. فعلى سبيل المثال، يمكن تحويل 3 أشكال دلتا إلى شكل Y وحيد في ثلاث خطوات.

## البرهنة
### معادلات تحويل مثلث إلى نجمة
يسار|تصغير|325px|دائرتي Δ و Y.
لتحويل العناصر \left\{R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}\right\} من المثلث *Δ* إلى \left\{R_1, R_2, R_3\right\} في النجمة *Y*. تُربَط بداية كل عنصر ونهايته بالعقد. يمكن ملاحظة أن العقد *N*1 و *N*2 و *N*3 يكونوا مثلث *Δ*:
:\begin{align} 
  R_\Delta\left(N_1, N_2\right)
    &= R_\text{c} \parallel (R_\text{a} + R_\text{b}) \\[3pt]
    &= \frac{1}{\frac{1}{R_\text{c}} + \frac{1}{R_\text{a} + R_\text{b}}} \\[3pt]
    &= \frac{R_\text{c}\left(R_\text{a} + R_\text{b}\right)}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}}
\end{align}
للتبسيط، نجعل R_\text{T} هي حاصل جمع العناصر التالية \left\{R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}\right\}.
: R_\text{T} = R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c} 
المقاومة بين العقدة *N*1 والعقدة *N*2 في الدائرة *Δ*:
:R_\Delta\left(N_1, N_2\right) = \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}}
تكون المقاومة المكافئة في الدائرة *Y*:
:R_\text{Y}\left(N_1, N_2\right) = R_1 + R_2
بالتالي:

:R_1 + R_2 = \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}}   (1)

وبالمثل في حالة R(N_2,N_3):

:R_2 + R_3 = \frac{R_\text{a}(R_\text{b} + R_\text{c})}{R_\text{T}}   (2)

وبالمثل أيضا في حالة R\left(N_1, N_3\right):

:R_1 + R_3 = \frac{R_\text{b}\left(R_\text{a} + R_\text{c}\right)}{R_\text{T}}.   (3)

وبالتالي يمكن استنتاج قيم \left\{R_1, R_2, R_3\right\} عن طريق عمليات الجمع والطرح.
على سبيل المثال يمكن جمع كل من معادلة (1) و (3) ثم طرح الناتج من معادلة (2)، كالتالي:
:\begin{align}
  R_1 + R_2 + R_1 + R_3 - R_2 - R_3 &=
    \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}} +
    \frac{R_\text{b}(R_\text{a} + R_\text{c})}{R_\text{T}} -
    \frac{R_\text{a}(R_\text{b} + R_\text{c})}{R_\text{T}} \\[3pt]
                 {}\Rightarrow 2R_1 &=
    \frac{2R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} \\[3pt]
                  {}\Rightarrow R_1 &=
    \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}}.
\end{align}
لتكون المعادلة النهائية بالشكل التالي:
:R_1 = \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} (4)
:R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{T}} (5)
:R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{T}} (6)

### معادلات تحويل نجمة إلى مثلث
نجعل

:R_\text{T} = R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}.

يمكن استخلاص معادلات Δ من Y:
:R_1 = \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}}    (1)
:R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{T}}    (2)
:R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{T}}.    (3)

بضرب كل معادلتين، يكون شكل المعادلات كالتالي:
:R_1 R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}^2 }{R_\text{T}^2}   (4)
:R_1 R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}^2 R_\text{c}}{R_\text{T}^2}   (5)
:R_2 R_3 = \frac{R_\text{a}^2 R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}^2}   (6)

ثم جمع المعادلات، لتكون المعادلة كالتالي:
:R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 = \frac{
    R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}^2 +
    R_\text{a}R_\text{b}^2R_\text{c} +
    R_\text{a}^2R_\text{b}R_\text{c}}
  {R_\text{T}^2}
   (7)

بأخذ R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c} عامل مشترك في الطرف الأيمن، فتظهر R_\text{T} ثم اختصارها مع R_\text{T} الموجودة في المقام.

:\begin{align}
  R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3
    &={} \frac{
           \left(R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}\right)
           \left(R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}\right)
         }{R_\text{T}^2} \\
    &={} \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}}
\end{align} (8)

بعد قسمة (8) على (1):
:\begin{align}
  \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_1}
    &={} \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} \frac{R_\text{T}}{R_\text{b}R_\text{c}} \\
    &={} R_\text{a},
\end{align}

وبالتالي نحصل على R_\text{a} في دائرة دلتا. وبالمثل قسمة (8) على (2) مرة وعلى (3) مرة أخرى لنحصل على R_\text{b} , R_\text{c}

## انظر أيضا
* دائرة كهربائية
* تحويلة ستار ميش
* ثلاثي الأطوار

## المصادر

## وصلات خارجية

* إثبات تحويلة ستار دلتا
* أمثلة على تحويلات ستار دلتا

تصنيف:المقاومة والمواصلة الكهربائية
تصنيف:دارات كهربائية
تصنيف:طاقة كهربائية
تصنيف:قدرة التيار المتردد
تصنيف:قدرة كهربائية
تصنيف:مبرهنات الدارة
تصنيف:نظرية البيان