أساليب رونج-كوتا

**أساليب [[طريقة رونج-كوتا|رونج - كوتا]]** للحل العددي للمعادلة التفاضلية.

:\frac{d y}{d t} = f(t, y)

والتي تأخذ شكل:y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i
:k_1 = f(t_n, y_n) 
:k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+h(a_{21}k_1)) 
:k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2)) 
:k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} k_j\right) 

## طرق معاملات طريقة رونج-كوتا للحل العددي [[معادلة تفاضلية|المعادلات التفاضلية]] كما يلي

:
\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
       & b_1    & b_2   & \dots & b_s\\
\end{array}


## أساليب صريحة

الطرق الصريحة هي التي تكون فيها المصفوفة أقل من المصفوفات المثلثية:

: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1/2 & 1/2 & 0  \\
\hline
    & 0   & 1  \\
\end{array}


### طريقة هيون

طريقة هيون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين (المعروفة باسم شبه منحرف صريح):

: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1 & 1 & 0  \\
\hline
    & 1/2 & 1/2  \\
\end{array}


### طريقة رالستون

طريقة رالستون هي طريقة من الدرجة الثانية مع مرحلتين والحد الأدنى وضع خطأ مقيد:

: 
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
2/3 & 2/3 & 0  \\
\hline
    & 1/4   & 3/4  \\
\end{array}


### طريقة عامة من الدرجة الثانية

:
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   \\
x & x & 0   \\
\hline
    & 1-\frac{1}{2x} & \frac{1}{2x} \\
\end{array}


### طريقة كوتا الثالثة

:
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 1/2 & 0   & 0    \\
1   & -1  & 2   & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}


### طريقة الترتيب الرابع التقليدية

وهي الطريقة «الأصلية» لطريقة رونج-كوتا.

:
\begin{array}{c|cccc}
0   & 0   & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 1/2 & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 0   & 1/2 & 0   & 0\\
1   & 0   & 0   & 1   & 0\\
\hline
    & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\
\end{array}


### 3/8 قاعدة طريقة الترتيب الرابع

هذا الأسلوب مشابه للطريقة التقليدية وتم اقتراحه في نفس الورقة العلمية (كوتا 1901).

:
\begin{array}{c|cccc}
0   & 0   & 0   & 0   & 0\\
1/3 & 1/3 & 0   & 0   & 0\\
2/3 & -1/3   & 1 & 0   & 0\\
1   & 1   & -1   & 1   & 0\\                   
\hline
    & 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8\\
\end{array}


## أساليب ضمنية
تم تصميم الأساليب الضمنية لإنتاج تقدير لخطأ واحد لاقتطاع طريقة رونج-كوتا، لذلك تسمح بالتحكم في الخطأ ويتم ذلك من خلال وجود طريقتين. طريقة مع النظام ( **ص** ) والثانية مع النظام (**ص-1**).

يتم إعطاء خطوة أقل من قبل:    y^*_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b^*_i k_i, 

:    e_{n+1} = y_{n+1} - y^*_{n+1} = h\sum_{i=1}^s (b_i - b^*_i) k_i, 

:
\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
       & b_1    & b_2   & \dots & b_s\\
       & b_1^*    & b_2^*   & \dots & b_s^*\\
\end{array}


### طريقة هيون-يولر

أبسط طريقة للتعامل مع طريقة رونج-كوتا تنطوي على الجمع بين طريقة هيون وهو أمر 2 مع طريقة يولر وهو أمر 1 وهي بالشكل التالي:

:
\begin{array}{c|cc}
0&\\
1& 	1 \\
\hline
&	1/2& 	1/2\\
&	1 &	0
\end{array}


يتم استخدام تقدير الخطأ للسيطرة على حجم الخطوة.

### طريقة فلبرج RK1

طريقة فلبرج  لديها طريقتين من الأوامر 1 و 2 :

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الأول من الدرجة الأولى، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

### [[طريقة بوجاكي - شامبين]]

طريقة بوجاكي - شامبين لديها طريقتين من الأوامر 2 و 3 :

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الثالث، والصف الثاني يعطي الحل الثاني.

### طريقة فلبرج

طريقة فلبرج لديها طريقتين من الأوامر 4 و 5 :

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

### [[طريقة كاش-كارب|طريقة كاش - كارب]]

طريقة كاش - كارب وهي عبارة تعديل في طريقة فلبرج:

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس، والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

### [[طريقة دورمند-برنس]]

الصف الأول من المعادلات يعطي الحل الخامس. والصف الثاني يعطي الحل الرابع.

## الطرق الضمنية

### [[طريقة باكورد يولر|باكورد يولر]]

هي عبارة عن الترتيب الأول. مستقرة وغير مشروطة وغير متذبذبة لمشاكل الانتشار الخطية.

:
\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}


### نقطة الوسط الضمنية

وهي طريقة منتصف الطريق الضمني وهي من الدرجة الثانية وتعتبر أبسط طريقة في فئة طرق التجميع المعروفة باسم طرق غاوس.
 
: 
\begin{array}{c|c}
1/2 & 1/2 \\
\hline
 & 1
\end{array}


### [[طرق غاوس-ليجندر]]

وتستند هذه طرق على نقاط غاوس-ليجيندر التربيعي. مثال على ذلك من النظام الرابع:

:
\begin{array}{c|cc}
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{\sqrt3}{6}  \\
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{6}  & \frac{1}{4}+\frac{\sqrt3}{6} &\frac{1}{4} \\
\hline 
    & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
    & \frac12+\frac12 \sqrt3 & \frac12-\frac12 \sqrt3 \\
\end{array}


مثال على طريقة غاوس-ليجيندر من النظام ستة:

:
\begin{array}{c|ccc}
\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{10}   & \frac{5}{36} &  \frac{2}{9}- \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{30} \\
\frac{1}{2} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{24} & \frac{2}{9} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{24}\\
\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{30} & \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36}  \\
\hline
    & \frac{5}{18} & \frac{4}{9} & \frac{5}{18}  \\
    & -\frac56 & \frac83 & -\frac56
\end{array}


### طرق لوباتو

هناك ثلاث طرق رئيسية من أساليب لوباتو وهي:

**1. طريقة لوباتو IIIA :**
هي عبارة عن طريقة التجميع وتعرف باسم المعادلات التفاضلية :

**معادلة من نوع أمر 2:**

:
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1   & 1/2 & 1/2\\
\hline
    & 1/2 & 1/2\\
& 1 & 0 \\
\end{array}


**معادلة من نوع أمر 4:**

:
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}


**2. طريقة لوباتو IIIB : **

وهي تختلف عن طرق التجميع ولكن يمكن اعتبارها طريقة التجميع المتقطع:

**معادلة من نوع أمر 2:**

:
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & 0  \\
1   & 1/2 & 0  \\

\hline
    & 1/2 & 1/2\\
& 1 & 0 \\

\end{array}


**معادلة من نوع أمر 4:**

:
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/6& 0    \\
1/2 & 1/6 & 1/3 & 0    \\
1   & 1/6 & 5/6 & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}


**3. طريقة لوباتو IIIC : **

وهي عبارة عن أساليب التجميع المتقطع:

**معادلة من نوع أمر 2:**

:
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & -1/2\\
1   & 1/2 & 1/2 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
& 1 & 0 \\
\end{array}


**معادلة من نوع أمر 4:**

:
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/3& 1/6  \\
1/2 & 1/6 & 5/12& -1/12\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\
\end{array}


### طرق رادو

طرق رادو وهي عبارة عن طريقتين من المعادلات وهي:

**1. طريقة رادو IA : **
وهي مشابهة لطريقة باكورد يولر

**معادلة من نوع أمر 3:**

:
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/4  & -1/4  \\
2/3 & 1/4  &  5/12 \\
\hline
    & 1/4 & 3/4 \\
\end{array}


**معادلة من نوع أمر 5:**

:
\begin{array}{c|ccc}
0   & \frac{1}{9} & \frac{-1 - \sqrt{6}}{18} & \frac{-1 + \sqrt{6}}{18} \\
\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}  & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{43\sqrt{6}}{360}\\
\frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{43\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360}  \\
\hline
    & \frac{1}{9} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36}  \\
\end{array}


**2. طريقة رادو IIA : **
وهي مشابهة لطريقة غاوس-ليجيندر

**معادلة من نوع أمر 3:**

:
\begin{array}{c|cc}
1/3 & 5/12 & -1/12\\
1   & 3/4  &  1/4 \\
\hline
    & 3/4 & 1/4 \\
\end{array}


## المراجع

تصنيف:حساب التفاضل والتكامل
تصنيف:طريقة رونج-كوتا
تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات
تصنيف:مسارد العلم
تصنيف:معادلات تفاضلية عددية