نظام معادلات خطية

[تصغير|يسار|نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه [مستو (رياضيات)|مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.]]

في الرياضيات، **نظام المعادلات الخطية**  هي مجموعة من المعادلات الخطية، تضم نفس المجموعة من المتغيرات. على سبيل المثال:
:\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&& 2y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 1 & \\
2x &&\; - \;&& 2y             &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 0 &
\end{alignat}

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. **حل** نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

:\begin{alignat}{2}
x & = & 1 \\
y & = & -2 \\
z & = & -2
\end{alignat}

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

## الشكل العام

:\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&                && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

**1. معادلات متجهة:**

:
 x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
 x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} +
 \cdots +
 x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}


**2. معادلات مصفوفة:**

:A\mathbf{x}=\mathbf{b}

: 
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي
* حسب المصفوفات غاوس,

* قاعدة كرامر، [//ar.wikipedia.org/w/index.php?title=غابرييل_كرامر&action=edit]
* طريقة التعويض.

تصغير|يسار|مجموعة حلول المعادلتين  و  هي النقطة (2,&nbsp;3).
تصغير|يسار|مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

## خصائص

### الاستقلالية
انظر إلى استقلال خطي.

تصغير|يسار|المعادلات , , و  are linearly dependent.

### التناسق
تصغير|يسار|المعادلتان  و  غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان
:3x+2y=6 و \;\;\;\;3x+2y=12 غير متناسقتين.

### التكافؤ
نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان
:3x+y=6 و \;\;\;\;3x+3y=12 متكافئتان لأن x=1 , y=3.

## حلحلة النظام الخطي
هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.
### اقصاء المتغيرات
:\begin{alignat}{7}
 x &&\; + \;&& 3y &&\; - \;&& 2z &&\; = \;&& 5 & \\
3x &&\; + \;&& 5y &&\; + \;&& 6z &&\; = \;&& 7 & \\
2x &&\; + \;&& 4y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 8 &
\end{alignat}

:\begin{alignat}{5}
-4y &&\; + \;&& 12z &&\; = \;&& -8 & \\
-2y &&\; + \;&& 7z &&\; = \;&& -2 &
\end{alignat}

:\begin{alignat}{7}
 x &&\; = \;&& 5 &&\; + \;&& 2z &&\; - \;&& 3y & \\
 y &&\; = \;&& 2 &&\; + \;&& 3z && && & \\
 z &&\; = \;&& 2 && && && && &
\end{alignat}
### تبسيط الصفوف

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

### قاعدة كرامر

**قاعدة كرامر** هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

:\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; 3y &\; - &\; 2z &\; = &\; 5 \\
3x &\; + &\; 5y &\; + &\; 6z &\; = &\; 7 \\
2x &\; + &\; 4y &\; + &\; 3z &\; = &\; 8 
\end{alignat}
تعطى بما يلي:
:
x=\frac
{\,\left| \begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;y=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}
,\;\;\;\;z=\frac
{\,\left| \begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix} \right|\,}
{\,\left| \begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix} \right|\,}.


### طرق أخرى
#### طريقة الجمع

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

:\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; y &\;= &\; 3 \\
 x &\; - &\; y &\;= &\; 3 \\
\end{alignat}

نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

:-2y=-2 \,

أي أن:

:y=1 \,

الآن نعوض y بـ1 فنجد:
:x=2 \,

#### طريقة التعويض
على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

:\begin{alignat}{7}
 x &\; + &\; y &\;= &\; 3 \\
 x &\; - &\; y &\;= &\; 1 \\
\end{alignat}

نأخذ x=3-y \, فنجد :

:\begin{alignat}{7}
 3 &\; - &\; 2y &\;= &\; 1 \\
\end{alignat}
أي :
:\begin{alignat}{7}
y  &\; = &\;\frac  &\;= &\; 1 \\
\end{alignat}
نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

:\begin{alignat}{7}
 x + 1 &\;= &\; 3 \\
\end{alignat}
أي أن :

:\begin{alignat}{7}
x  &\; = &\;3-1 &\;= &\; 2 \\
\end{alignat}

هكذا :

x=2 \, و y=1 \,

## الأنظمة المتجانسة

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه **متجانس** إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:
:\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&              && \vdots\;\;\; &&     &&& \,\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& 0. \\
\end{alignat}

### مجموعة الحلول

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

## مراجع

## انظر أيضا

* تبسيط الصفوف،
* المعادلات المترابطة،
* تفكيك المصفوفات،
* مربعات دنيا خطية.

تصنيف:جبر خطي
تصنيف:جبر خطي عددي
تصنيف:معادلات