متتالية فيبوناتشي

تصغير|180px|يسار|تبليط المربعات حيث يكون الجانبان هما أعداد فيبوناشي المتتالية في الطول

في الرياضيات، **متتالية فيبوناتشي** أو **أعداد فيبوناتشي**
 نسبة إلى عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي، هي متتالية يساوي فيها الحد مجموع الحدين السابقين.

حدود هذه المتتالية الأولى هن الأعداد التالية:
:الصيغة الأولى:
:0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\; \ldots.
:الصيغة الثانية:
:1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\; \ldots.
لأن الصفر لا يمكنه إنشاء العدد 1 "0=0+0", لكن العدد 1 يمكنه إنشاء العدد 2 "2=1+1" و "3=1+2" وهكذا هي **متتالية فيبوناتشي**.

أول حدي متتالية فيبوناتشي هما الصفر والواحد، ولكن بعض المدارس حذفن الحد 0 الأساسي واستبدلنه بالحد، وبعضهن بدأ المتتالية بالواحد والاثنين. ويبقى كل حد هو مجموع الحدين السابقين له في جميع هذه الحالات.

تصغير|يتجلى العدد في الطبيعة بأشكال مختلفة.

[تصغير|180px|يسار| (وتعني [كتشوا|بالكيشوا أداة عد) وهي آلة حسابية استخدمها الإنكا. يعتقد الباحثون بأن تلك الحسابات اعتمدت على أعداد فيبوناشي لتقليل عدد الحبوب اللازمة لكل حقل.]]

تعرف المتتالية F_n لعدد فيبوناتشي بالوصف الرياضياتي مستعملا علاقة استدعاء ذاتي:
:F_n = F_{n-1} + F_{n-2},\!\,
مع القيم الناتجة عنها
:F_0 = 0  و F_1 = 1 

سميت متتالية فيبوناتشي نسبة إلى ليوناردو البيسي والمعروف باسم فيبوناتشي . عرف هذا العالم هذه المتتالية في كتاب له اسمه ليبري أباتشي نشره عام 1202، رغم أنها كانت معروفة وموصوفة بالسابق في الرياضيات الهندية.، مائتين سنة قبل الميلاد، في عمل قام به بينغالا.

تظهر متتالية فيبوناتشي في العديد من المواقع في الرياضيات إلى درجة أن هناك جريدة مختصة في دراستها تسمى دورية فيبوناتشي. تتضمن تطبيقات المتتالية تطبيقات في مجال علم الحاسوب، تقنية فيبوناتشي للبحث مثالا.

متتالية فيبوناتشي مرتبطة ارتباطا شديدا بالنسبة الذهبية. تعبر صيغة بِينيت عن حد متتالية فيبوناتشي من الدرجة n مستعملة n ذاته إضافة إلى النسبة الذهبية، ومبينة أن النسبة بين حدين متتابعين من المتتالية تؤول إلى النسبة الذهنية عندما يؤول n إلى ما لا نهاية له.

ترتبط أعداد فيبوناتشي أيضا بأعداد لوكاس L_n، كونهما تكونان زوجا متكاملا من متتالية لوكاس: U_n(1,-1)=F_n و V_n(1,-1)=L_n.

## تعريف
[تصغير|300x300px|لولب فيبوناتشي: an approximation of the [golden spiral created by drawing circular arcs connecting the opposite corners of squares in the Fibonacci tiling; (see preceding image)]]

يسار|تصغير|180px|لولب فيبوناتشي بطريقة رسم أقواس متصلة بالزوايا المتقابلة من المربعات في تبليط فيبوناتشي، ويستخدم لأحجام المربعات التالية 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، انظر

أول 21 من أرقام فيبوناتشي ، ومرقمة بالعلامة *F<sub>ن</sub>* حيث *ن*&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,... ,20 هي:

:

## التاريخ
انظر أيضا تاريخ النسبة الذهبية.

[تصغير|صفحة من الكتاب ''[ليبر أباتشي* لفيبوناتشي الموجود في [[المكتبة الوطنية المركزية في فلورنسا]] مبينا (في العلبة يمينا) متتالية فيبوناتشي مع موقع الحد في المتتالية مشارا إليه بالأعداد اللاتينية والرومانية وبالأرقام العربية الهندية.]]

عرف [[تاريخ الهند|الهنود القدماء]] متتالية فيبوناتشي قبل ظهورها في أوروبا، حيث طبقوها في علم [[وزن (شعر)|أوزان الشعر]].

وجاء الدافع لذلك من العروض السنسكريتية، حيث المقاطع الطويلة لها فترة = 2 والمقاطع القصيرة لها فترة = 1. يمكن تشكيل أي نمط له فترة *ن* وذلك بإضافة مقطع قصير إلى نمط من فترة *ن* &nbsp;−&nbsp;1، أو مقطع طويل لنمط من فترة *ن* &nbsp;−&nbsp;2، وبالتالي فإن عروض الشعر تظهر أن عدد أنماط فترة *ن* هو مجموع الرقمين السابقين من التسلسل. وبعد ذلك بدأ المؤلفون باستخدام الخوارزميات لتصنيف أو عدم تصنيف تلك الأنماط (بمعنى إيجاد النمط المرقم بالكاف من الفترة *ن*)، مما أدى لاكتشاف أرقام فيبوناتشي عليا. وقد استعرض [[دونالد كينوث|دونالد كانوث]] تلك النتيجة في كتابه *'فن برمجة الحاسوب**.

وقد بدأ ليوناردو البيسي المعروف باسم [[ليوناردو فيبوناتشي|فيبوناتشي]] بدراسة تلك المتتالية في أوروبا في كتابه [[ليبر أباتشي]] (1202). واعتبر النمو على افتراض (وهو غير صحيح في علم الأحياء) مجموعة ارانب كالتالي: حقل به زوج من الأرانب حديثي الولادة إحداهما ذكر والآخر انثى، فالأرانب بإمكانها التزاوج عند بلوغ الشهر، لذا ففي نهاية الشهر التالي تكون الأنثى قد ولدت زوج من الأرانب؛ بافتراض أنه لم يمت أي أرنب خلال مدة معينة وبافتراض أن في كل شهر ينتج زوج من الأرانب (ذكر وأنثى) بدأ من الشهر التالي. فكان اللغز الذي طرحه فيبوناتشي هو: كم سيكون عدد الأزواج في السنة الواحدة؟
* في نهاية الشهر الأول سيحصل تزاوج، ولكن يبقى أن هناك زوجا واحدا فقط.
* في نهاية الشهر التالي، الأنثى تلد زوجا جديدا، لذا سيكون هناك زوجين من الأرانب في الحقل.
* في نهاية الشهر الثالث، الأنثى الأصل تلد زوجا جديدا، مما يصبح العدد هو 3 أزواج من الأرانب في الحقل.
* في نهاية الشهر الرابع تلد الأُنثى الأصل زوجا من الأرانب، والأنثى التي ولدت قبل شهرين تلد أول زوج لها من الأرانب. مما يصبح العدد هو 5 أزواج.

وفي نهاية المطاف عند الشهر ''ن''، عدد الأزواج من الأرانب يساوي عدد الأزواج المواليد (حيث هو عدد الأزواج في الشهر ''ن-2'') زائد عدد الأزواج الأحياء عند آخر شهر. هذا هو أو العدد ''ن'' لمتتالية فيبوناتشي.

[[ملف:Fibonacci Rabbits.svg|يسار|إطار|In a growing idealized population, the number of rabbit pairs form the Fibonacci sequence. At ''the end of the n''th month, the number of pairs is equal to ''F<sub>n.</sub>'']]

أول من استعمل مصطلح ''متتالية فيبوناتشي'' هو عالم الرياضيات الفرنسي [[إدوارد لوكا]] والذي عاش خلال القرن التاسع عشر..

== علاقتها بالنسبة الذهبية ==

حاول العلماء أن يفهموا هذه السلسلة، فقاموا بقسمة كل حد على الحد السابق له، فاكتشفوا أن هذه المتتالية تنفرد بخصائص كثيرة منها العلاقة مع [[نسبة ذهبية|النسبة الذهبية]]، ذلك أنه إذا اعتُبرت قسمة كل عدد من المتتالية على العدد الذي يسبقه (1÷1=1، 1÷2=2، 2÷3=1.5، 3÷5=1.6666666، 5÷8=1.6، 8÷13= 1.625، 13÷21 = 1.61538، ...) يُلاحظ الاقتراب شيئا فشيئا من الرقم 1.618034 الذي يسمى [[نسبة ذهبية|الرقم الذهبي]] نظرا لخصائصه العجيبة في الرياضيات كما في الطبيعة.

أي متتالية على الصيغة An+2 = An+1 + An حيث A1 و A2 موجبان فإنه يقترب ناتج قسمة كل حد على الحد الذي يسبقه من 1.618 شيئا فشيئا للرقم الذهبي.

أطلق العلماء على الرقم الذهبي اسم «فاي» أو «في» (phi) وبعد محاولة التوصل إلى النسبة بين أربعين حدا متتاليا في متتالية فيبوناتشي وجدوا انه يمكن تقريب «فاي» إلى 15 رقم عشري

Φ = 1.618033988749895, ...

تتكون النسبة الذهبية من عددين هما 1.618034 و 0.618034 وكلا العددين هو المقلوب الحسابي للعدد الأخر.
=== الصيغة العامة ===
تملك متتالية فيبوناتشي [[تعبير منغلق الشكل|تعبيرا منغلق الشكل]]. الصيغة العامة لمتتالية فيبوناتشي هي:<math>F(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}(\varphi^n-\varphi'^n)</math> مع:<math> \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\,</math> و<math> \varphi' = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\,</math>

و هذه بعض القيم: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,...

ويقترب ناتج قسمة كل حد على الحد الذي يسبقه من 1.618 شيئا فشيئا [[نسبة ذهبية|للرقم الذهبي]] ويسمى هذا الرقم أيضا برقم التناسب المقدس والنسبة الذهبية.

تسمى هذه الصيغة صيغة بينيت نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي [[جاك فيليب ماري بينيه]].

يمكن إثبات صحة الجملة العامة عن طريق الاستقراء الرياضي.

* **الأساس**: لنوضح أن التعبير صحيح من أجل <math>n=0</math> و <math>n=1</math> :

<math>F(0)=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{0}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{0}}{\sqrt{5}}
=\frac{1-1}{\sqrt{5}}
= 0
</math>

<math>F(1)=\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{1}}{\sqrt{5}}
=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}
=\frac{\frac{1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}
=\frac{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}
=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}
=\frac}{\sqrt{5}}
=1
</math>

* **خطوة الاستقراء*' : تبين أنه إذا كانت <math>F(n)</math> و <math>F(n-1)</math> صحيحة، فإن <math>F(n+1)</math> صحيحة أيضا. يتم ذلك على النحو الاتي.

<math>
\begin{align}
F\left(k+1\right) &= F\left(k\right)+F\left(k-1\right)\\
 &= \frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k}}{\sqrt{5}}+\frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}}{\sqrt{5}}\\
 &= \frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k}+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}}{\sqrt{5}}\\
 &= \frac{\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)+1\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}-\left(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)+1\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}}{\sqrt{5}}\\
 &= \frac{\left(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}-\left(\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}}{\sqrt{5}}\\
 &= \frac{\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\right)\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}-\left(\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\right)\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k-1}}{\sqrt{5}}\\
 &= \frac{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{k+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{k+1}}{\sqrt{5}}
\end{align}
</math>

=== قد تصير متتالية هندسية ===
إذا ما أخذنا A1=1، A2=φ ، حيث φ هي الرقم الذهبي وطبقناها على المتتالية An+2 = An+1 + An فالناتج متتالية هندسيه أساسها φ.

== خصائص المتتالية وقيمها ==
قد يبدو ملاحظا أن المرة 21 (13+34) تساوي 987. أو تلكم المرة 34 (21+55) تساوي 2584. باستخدام العلاقة المكررة يمكن للتسلسل أن يمتد إلى مؤشر سلبي *ن*. نتيجة ترضي المعادلة

فتكون المعادلة لتلك النتائج
:<math>F_{-n} = (-1)^{n+1} F_n. \!\,</math>
وهذا التسلسل كاملا
:<math>\ldots,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots</math>

=== متسلسلات القوى ===
[[دالة مولدة|الدالة المولدة]] لمتتالية فيبوناتشي هي [[متسلسلة قوى|متسلسلة القوى]] التالية:
:<math>s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k.</math>

هذه المتسلسلة تتقارب حين يتوفر <math>|x| <\frac{1}{\varphi},</math> ولمجموعها شكل مغلق بسيط هو:

:<math>s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}</math>

ليكن
<math>s(z)=\sum_{n\in\N}F_nz^n</math>.

بضرب حدي العلاقة التي تعرف متتالية فيبوناتشي ب  وبعد ذلك بالجمع على جميع الأعداد الطبيعية *n'', يُحصل على:
s(z)-F_0-F_1z=z\left(s(z)-F_0\right)+z^2s(z),
علما أن F_0=0 و F_1=1 أي أن:
s(z)-z=zs(z)+z^2s(z),
أو أيضا
(1-z-z^2)s(z)=z.
يمكن أن نقسم الحدين على 1-z-z^2 بما أن  يختلف عن الجذرين  و .

## علاقتها بمسألة [[حدسية كولاتز|سيراكيز]]
مجموعة فيبوناتشي هي متتالية فيبوناتشي ولكنها بخلاف مجموعة من الأرقام لها صلات بالاعداد للكواكب والمجرات والتصنيفات النباتيه والحيوانيه ويقال عند الهنود القدماء قبل ظهور تلك المتتاليه ان هناك مجموعة من الاعداد ذات ترتيب معين له صلة باحداث يوميه في الحاضر والمستقبل متوقع حدوثها.

## تطبيقات
### في الرياضيات
[تصغير|يسار|360px|أعداد فيبوناتشي هي المجاميع للأقطار المائلة السطحية المبينة باللون الأحمر في [مثلث باسكال.]]

تظهر أعداد فيبوناتشي على شكل مجاميع في مثلث باسكال للأعداد الواقعة على أقطار مائلة (انظر إلى معامل ثنائي).

:F_n = \sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \binom{n-k-1}{k}.

تظهر أعداد فيبوناتشي أيضا جوابا على معضلة معروفة في التحليل التوافقي والمتمثلة فيما يلي: كم عدد طرق كتابة عدد ما، مجموعا مرتبا من الرقمين الواحد والاثنين. الجواب هو . على سبيل المثال، إذا كان n يساوي خمسة، فإن 

:.

* تمكن عالم الرياضيات الروسي يوري ماتياسفيتش من البرهان على أن أعداد فيبوناتشي يمكن أن تعرف بمعادلة ديفونتية. فتح له ذلك باب برهان معضلة هيلبرت العاشرة.
* متتالية فيبوناتشي هي مثال عن المتتاليات الكاملة. هذا يعني أن كل عدد صحيح طبيعي يمكن أن يكتب مجموعا لأعداد فيبوناتشي بدون استعمال أحد منهن أكثر من مرة.

### في علم الحاسوب
استخدمت متتالية فيبوناتشي في تحليل الأسواق المالية وفي استراتيجيات مثل ارتداد فيبوناتشي وفي خوارزميات االكمبيوتر مثل تقنية فيبوناتشي للبحث وهيكلة بيانات . وهي تظهر أيضا في الترتيبات البيولوجية، مثل تفريعات الأشجار وترتيب الأوراق على الساق وطرف الثمرة من الأناناس وتفتح الخرشوف والسرخس غير المتجعد وترتيب مخروط الصنوبر.

* تستعمل أعدادَ فيبوناتشي بعض مولدات الأعداد شبه العشوائية.

### في الطبيعة
انظر أيضا أنماط في الطبيعة.

[تصغير|[Yellow chamomile head showing the arrangement in 21 (blue) and 13 (aqua) spirals. Such arrangements involving consecutive Fibonacci numbers appear in a wide variety of plants.]]

تصغير|Illustration of Vogel's model for

### في غيرها

* متتالية فيبوناتشي العشوائية

## انظر أيضا
* فيبوناتشي
* تصحيح فيبوناتشي

## مصادر

تصنيف:أعداد فيبوناتشي
تصنيف:سلاسل عددية
تصنيف:مقالات تحوي براهين