نظرية المجموعات

[تصغير|يسار| [مخطط فن مبينا تقاطع مجموعتين.]]

**نظرية المجموعات**  هو فرع من علم المنطق الرياضي. تهتم تلك النظرية بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة.

كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية، اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق.

## تعاريف اساسية
### علاقة التابعية (الانتماء)
أحد أهم المصطلحات الاساسية في نظرية المجموعة هي التابعية، نقول أن الشيء o تابع (ينتمي) للمجموعة A ونرمز لذلك بـ o\in A إذا كان أحد أعضاء المجموعة A. وهذا المصطلح هو علاقة ثنائية وقد تكون بين المجموعات كذلك.

### علاقة الجزئية
علاقة ثنائية أخرى بين المجموعات هي علاقة المجموعة الجزئية وهي مشتقة من علاقة التابعية: نقول أن  A هي مجموعة جزئية للمجموعة  B إذا كل عضو a\in A تابع أيضا للمجموعة B أي: a\in B . نرمز لهذه العلاقة بالشكل التالي: A\subseteq B  ونقول أيضا:A ضمن B. إذا تحقق أيضا أنَّ A\ne B  حينها نقول ان المجموعة A مجموعة جزئية فعلية للمجموعة B. ونرمز لذلك بالشكل التالي: A\varsubsetneq B .و نقول أيضا:A ضمن B قطعا.

### [[اتحاد (نظرية المجموعات)|علاقة الاتحاد]]
250بك|يسار|تصغير|دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى اتحاد المجموعتين <math>A \cup B</math>.
عملية اتحاد مجموعتين A وB يرمز لها بـ A \cup B ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي لأي واحدة من المجموعتين A أو B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى A \cup B إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A أو x ينتمي إلى B

بالرموز: x \in A \cup B \Leftrightarrow x \in A \lor x \in B
* مثال لاتحاد مجموعتين منتهيتين: A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} \Rightarrow A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}
* مثال لاتحاد مجموعة منتهية ومجموعة غير منتهية: A=\mathbb{N}, B=\{-3,-7,5\} \Rightarrow A \cup B=\{-3,-7,0,1,2,3,...\}
* مثال لاتحاد مجموعتين غير منتهيتين: A=\mathbb{N}, B=\{0,-1,-2,-3,...\} \Rightarrow A \cup B=\mathbb{Z}
* مثال مع المجموعة الخالية: A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow A \cup B= \{x,y\}

### [[تقاطع (نظرية المجموعات)|علاقة التقاطع]]
شمال|تصغير|دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى تقاطع المجموعتين <math>A \cap B</math>.
عملية تقاطع مجموعتين A وB يرمز لها بـ A \cap B ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A وB.
أي أن عنصر x ينتمي إلى A \cap B إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B.

بالرموز: x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A \land x \in B
* مثال لتقاطع مجموعتين منتهيتين: A=\{1,2,3,4\}, B=\{3,4,5,6\} \Rightarrow A \cap B=\{3,4\}
* مثال لتقاطع مجموع منتهية ومجموعة غير منتهية: A=\mathbb{N}, B=\{-3,1,17\} \Rightarrow A \cap B=\{1,17\}
* مثال لتقاطع مجموعتين غير منتهيتين: A=\mathbb{Z}, B=\mathbb{N} \Rightarrow A \cap B=\mathbb{N}
* مثال مع المجموعة الخالية: A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow A \cap B= \emptyset
مثال لمجموعة متممة: إذا كانت س

### علاقة الفرق

عملية الفرق بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ (A-B) ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A ولا تنتمي إلى B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى (A-B) إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B

بالرموز: x \in(A-B)\Leftrightarrow x \in A \land x \notin B

أمثلة:
* A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{3,5\} \Rightarrow (A-B)=\{1,2,4,6\}
* الأعداد الفردية == \Rightarrow (A-B) الأعداد الزوجية = B، الأعداد الطبيعية == A
* A=\mathbb{N}, B=\{-7,0,1\} \Rightarrow (A-B)=\{2,3,4,...\}
* A=\{-1,-2\}, B=\mathbb{N} \Rightarrow (A-B)=\{-1,-2\}
* A=\{x,y\}, B=\emptyset \Rightarrow (A-B)=\{x,y\}
تصغير|يسار|دائرة واحدة ترمز للمجموعة A ودائرة ثانية ترمز للمجموعة B والمساحة الحمراء ترمز إلى الفرق المتماثل بين المجموعتين <math>A \Delta B</math>.

### علاقة الفرق المتماثل

عملية الفرق المتماثل بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ A \Delta B ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط.
أي أن عنصر x ينتمي إلى A \Delta B إذا وفقط إذا (x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B) أو (x ينتمي إلى B وأيضاً x لا ينتمي إلى A)

بالرموز: x \in A \Delta B \Leftrightarrow (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in B \land x\notin A)

المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو قد تكون فارغة. وقد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية. أو هي مجموعة الأشياء المعرفة جيدا لها صفة مميزة مشتركة بينها.

### جداء ديكارتي
الجداء الديكارتي للمجموعتين A و- B , نرمز له كالتالي: A\times B هي المجموعة كل الازواج المرتبة (a,b)  بحيث أنَّ: a\in A وb\in B.

مثلا الجداء الديكارتي بين المجموعة \{1,2\} و-  \{\mbox{red},\mbox{white}\} هو: \{1,2\}\times \{\mbox{red},\mbox{white}\} \ = \ \{(1,\mbox{red}),(2,\mbox{red}),(1,\mbox{white}),(2,\mbox{white})\}

### مجموعة القوة
مجموعة القوة لمجموعة ما- A عبارة عن مجموعة كل المجموعات الجزئية ل-A, وعادة ما يُرمز لها ب- P(A).

أي ان:- P(A):= \{B|B \ is \ a \ set\ and \ B\subseteq A\}  .

على سبيل المثال: المجموعة الخالية تنتمي لمجموعة القوة الخاصة باي مجموعة كانت (لأن \emptyset\subseteq A لكل مجموعة A), كما ان كل مجموعة هي مجموعة جزئية لنفسها وعليه فهي تنتمي لمجموعة القوة الخاصة بها.

امثلة أخرى:

* P(\{a, b\}) = \{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}؛
* P(\emptyset) = \{\emptyset\}.

## قوانين اساسية من جبر المجموعات
تجتمع عمليتا الاتحاد والتقاطع على المجموعات مع بعض لتؤلف ما يعرف بجبر المجموعات.

بفرض ان A و B وC ثلاث مجموعات ما والمجموعة M هي المجموعة الشاملة نسبيا نجد ما يلي:

**قانونا اللانمو:**
* A \cap A = A
* A \cup A = A
**القانونان التجميعيان:**
* (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)
* (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)
**القانونان التبديليان:**
* A \cup B = B \cup A
* A \cap B = B \cap A
**القانونان التوزيعيان:**
* A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
* A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
**قوانين المحايد والماص:**
* A \cup \varnothing = A
* A \cap M = A
* A \cap \varnothing = \varnothing
* A \cup M = M
**قوانين الإتمام:**
* A \cup A^C = M
* A \cap A^C = \varnothing
* M^C = \varnothing
* \varnothing^C = M
**قانون الارتداد:**
* {(A^{C})}^{C} = A
**قانونا دومورغان:**
* (A \cup B)^C = A^C \cap B^C
* (A \cap B)^C = A^C \cup B^C

## علاقات ودوالّ

### علاقات
العلاقات هي موضوع مهم ورائج في الرياضيات، وتشكل اداة مهمة في دراسة المجموعات وعناصرها.

وبشكل دقيق: علاقة- R من مجموعة- A إلى مجموعة- B هي مجموعة جزئية للجداء الديكارتي R \subseteq A\times B, وإذا كان (a, b)\in Rفنرمز a R b . وفي حال ان B=Aفنقول باختصار ان العلاقة هي على المجموعة A.

مثال: العلاقة > («اصغر» المعهودة من الاعداد الحقيقية - من اليسار إلى اليمين: مثلا 3) على المجموعة \{1, 2, 3\} هي \{(1,2), (1,3), (2,3)\}, كما ان العلاقة \leqعلى نفس المجموعة هي \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)\}, بينما العلاقة \{(3,1), (3,2), (2,1)\}.

هنالك أنواع مميزة من العلاقات، سنذكر بعضا منها ادناه:

لتكن- R علاقة على مجموعة معينة- A. إذاً فنقول ان R هي:

* علاقة انعكاسية: إذا تحقق ان \forall a\in A, (a,a)\in R ؛
* علاقة تماثلية: إذا تحقق ان \forall a,b\in A, (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R  ؛
* علاقة متعدّية: إذا تحقق ان \forall a,b,c\in A, [(a,b)\in R \ \land\ (b,c)\in R ] \Rightarrow (a,c)\in R  ؛
* علاقة تكافؤ: إذا تحقق ان R هي علاقة انعكاسية، تماثلية ومتعدية معاً.
* علاقة مضادة للانعكاس: إذا تحقق ان \forall a\in A, (a,a)\not\in R ؛
* علاقةُ ترتيب جزئيّ: إذا تحقق ان R هي علاقة مضادة للانعكاس وانها متعدية معاً.
* علاقةُ ترتيب كامل: إذا تحقق ان R هي علاقة ترتيب جزئي وان كل عنصرين في A قابلان للمقارنة مع بعضهما البعض، أي \forall a,b\in A, aRb \lor bRa .

### دوالّ
دالة fمن مجموعة Aإلى مجموعة Bهي امر افتراضي يناسب لكل عضو في Aعضواً **واحداً ووحيدأ** من B.

ولكن علينا تعريف الدالة بشكل رياضي دقيق، وهذا يقتضي ان نعرّف كلمة «يناسب» اعلاه. سنفعل هذا بمساعدة مفهموم «العلاقة» بالشكل الاتي: دالة f من المجموعة Aإلى المجموعة Bهي **علاقة احاديةُ القيمة** من المجموعة Aإلى المجموعة B, حيث ان المقصود باحادية القيمة هو ان لكل عضو في A**يوجد عضو** **واحد ووحيد** من Bيحقق afb, أي

\forall a\in A,\ \exists b\in B \ s.t.\   afb  وايضاً \forall a\in A, [afb \land afb'] \Rightarrow b=b' .

إذا كانت fدالةً من المجموعة Aإلى المجموعة B, فنكتب f:A\longrightarrow B, ويُصطلَح عادة تسمية المجموعة Aبمجال fوتسمية المجموعة Bبمدى f, وعناصر Aبالمصادر وعناصر Bالذين لديهم مصادر بالصور.

إذا كان bصورةَ aتحت الدالة f, أي afb, فغالبا ما يُشار إلى ذلك بالشكل التالي: f(a)=b.

في حال كان مفهموما ضمنا من هي الدالة التي نتحدث عنها فقد نسقط اسمها، مثلا بدل القول "مجال الدالة f" نكتفي بالقول «المجال», وهكذا.

* دالة 1-1(واحد إلى واحد): نقول ان دالة f:A\longrightarrow Bهي 1-1 إذا تحقق ان **لكل عنصر من <math>B</math>يوجد** **على الأكثر مصدر واحد**.
* دالة غمر (على): نقول ان دالة f:A\longrightarrow Bهي غمر إذا تحقق ان **لكل عنصر من <math>B</math>يوجد** **على الأقل مصدر واحد**.

لدالة ال 1-1 والعلى اهمية كبيرة في علم المجموعات، وهي تُدعى احيانا تكافؤاً بين مجموعتي المجال والمدى.

## اقرأ أيضاً

* علم الأجزاء
## مراجع

*
تصنيف:جورج كانتور
تصنيف:طرق شكلية
تصنيف:منطق رياضي