زاوية محيطية

**الزاوية المحيطية** في علم هندسة الرياضيات، تتشكل من التقاء خطين قاطعين أو التقاء خط قاطع مع خط مماس، على دائرة. بمعنى أن الزاوية المحيطية تتشكل من أي وتري دائرة يتشاركان بنفس نقطة النهاية.

## خاصية
أن قيمة زاوية القوس الذي تشكل بالتقاء خطي زاوية محيطية هي ضعف قيمة الزاوية نفسها.

وهذه الخاصية عدة نتائج منطقية منها:
* يمكن برهنة أنه عند التقاء زاويتين محيطيتين على نفس القوس، فحصيلة ضرب طول ضلعيهما يكون متساوياً.
* يمكن برهنة أن الزاويتين المتقابلتين لرباعي دائري هما زاويتان متكاملتان (أي مجموع قيمتهما يساوي 180 درجة).

## البرهان
### الحالة الأولى: زاوية محيطية بحيث أحد أضلاعها هو قطر الدائرة
يمين
أرسم الشكل التالي: أرسم دائرة مركزها نقطة *O*. أختر نقطتين على محيط الدائرة وسميهم *V* و*A*. أرسم الخط *VO* ومده ليتخطى *O* ويقطع الدائرة في نقطة *B* والتي هي مواجهة لنقطة *V* بالنسبة للمركز. أرسم زاوية ذات رأس *V* وأضلاعها تمر بـ *A* و*B*.

أعطي الزاوية المركزية *BOA* اسم *θ*. أرسم خط *OA*. لاحظ أن خطي *OV* و*OA* هما شعاعي الدائرة، لذا هما متساويين. لذلك، فإن المثلث *VOA* هو متساوي الضلعين وبالتلي، فإن الزاويتين *BVA* و*VAO* متساويتان. سمي كل منهما بـ *ψ*.

بما أن *VB* هو خطا مستقيما، فإن الزاويتين *BOA* و*AOV* هما زاويتين متكاملتين ومجموعهما هو °180. أذا، الزاوية *AOV* تساوي θ-°180 ومن المعروف أن مجموع زاوية المثلث يساوي °180 فإذا:  \psi + \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ 

وبالنتيجة: 2 \psi + 180^\circ - \theta = 180^\circ 

اطرح °180 من الجانبين فتحصل على:

: 2 \psi = \theta, \,

التي تثبت النظرية.

----

### الحالة الثانية: زاوية محيطية بحيث مركز الدائرة بداخلها
يمين

ارسم الشكل التالي: ارسم دائرة مركزها *O*. أختر ثلاث نقط على محيطها وسمهم *V* و*C* و*D*. أرسم الخطين *VC* و*VD*.الزاوية *DVC* هي زاوية محيطية. أرسم الحط *VO* ومده ليقطع محيط الدائرة في نقطة *E* لاحظ أن الزاوية *DVC* تشكل القوس *DC* على الدائرة..

افترض أن النقطة *E* هي على هذا القوس. *E* هي مقابلة للنقطة *V*. الزاويتين *DVE* و*EVC* هما زاويتين محوطتين أيضا وكلاهما لهما ضلع يمر بمركز الدائرة. لذلك الحلو الأولى التي برهنت في الأعلى تنطبق عليهما. فإذن نستنتج:
: \angle DVC = \angle DVE + \angle EVC. \, 
ودع: \psi_0 = \angle DVC, 
: \psi_1 = \angle DVE, 
: \psi_2 = \angle EVC, 
بحيث: \psi_0 = \psi_1 + \psi_2. \qquad \qquad (1) 
أرسم الخطين *OC* و*OD*. فتصبح الزاوية *DOC* زاوية مركزية وكذلك الزاويتين *DOE* و*EOC*.
: \angle DOC = \angle DOE + \angle EOC. 
ودع: \theta_0 = \angle DOC, 
: \theta_1 = \angle DOE, 
: \theta_2 = \angle EOC, 
بحيث:  \theta_0 = \theta_1 + \theta_2. \qquad \qquad (2) 
ومن القسم الأول حصلنا على  \theta_1 = 2 \psi_1 
وعلى  \theta_2 = 2 \psi_2 .
وبدمح النتيجتين مع (2) نحصل على:
: \theta_0 = 2 \psi_1 + 2 \psi_2 \,
وبالتالي:  \theta_0 = 2 \psi_0. \, التي تبرهن النظرية.

----

### الحالة الثالثة: زاوية محيطية بحيث مركز الدائرة خارجها
يمين

أرسم الشكل التالي: أرسم دائرة مركزه *O*. أتر ثلاث نقاط *V* و*C* و*D* على محيطها. أرسم الخطين *VC* و*VD*. لاحظ أن الزاوية *DVC* هي زاوية محيطية. ارسم الخط *VO* ومده بشكل مستقيم ليقطع الدائرة بنقطة *E*. الزاوية *DVC* تشكل القوس *DC* على الدائرة.

أفترض أن نقطة *E* هي خارج القوس. نقطة *E* هي متقابلة مع النقطة *V*. الزاويتين *DVE* و*EVC* هما زاويتين محيطتيين أيضا ولكلتيهما ضلع يمر بالمركز. فاذا هي مطابقة للحالة الأولى التي برهناها سلفا.
لذلك:
: \angle DVC = \angle EVC - \angle DVE .
دع: \psi_0 = \angle DVC, 
: \psi_1 = \angle EVD, 
: \psi_2 = \angle EVC, 
بحيث: \psi_0 = \psi_2 - \psi_1 \qquad \qquad (3) 
أرسم الخطين *OC* و*OD*. الزاوية *DOC* هي زاوية مركزية وكذلك الزواية: *DOE* و*EOC*.
: \angle DOC = \angle EOC - \angle DOE. 
دع: \theta_0 = \angle DOC, 
: \theta_1 = \angle DOE, 
: \theta_2 = \angle EOC, 
بحيث: \theta_0 = \theta_2 - \theta_1 \qquad \qquad (4) 
من القسم الأول حصلنا على:

:  \theta_1 = 2 \psi_1  و \theta_2 = 2 \psi_2 . وبدمج النتيجة مع (4) نحصل على:
: \theta_0 = 2 \psi_2 - 2 \psi_1 
إذاً باستعمال (3)
: \theta_0 = 2 \psi_0. 

التي تبرهن النظرية.

## وصلات خارجية
* التعرف على الزاوية الحوطة عل موقع cut-the-knot
* قوس زاوية المركز - صور متحركة.
* قوس زاوية سطحية - صور متحركة
* نظرية قوس زاوية المركز - صور متحركة

## مراجع

تصنيف:دوائر
تصنيف:زوايا
تصنيف:زوايا دائرية
تصنيف:مبرهنات في الهندسة الرياضية
تصنيف:مقالات تحوي براهين
تصنيف:هندسة إقليدية مستوية