معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، **المعادلة التفاضلية الخطية** من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام

f_{n}(x)y^{(n)}+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}(x)y^{\prime}+f_{0}(x)y=G(x)\qquad  

حيث  f_{i}(x) \! و  {G(x)}\!  هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث p_{n}(x)\ne 0 ، و y(x)\!  هو تابع مجهول وإيجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

وعندما تكون  G(x)=0 \! تسمى المعادلة حينئذٍ **بالمتجانسة** Homogeneous حيث إيجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل).

عندما تكون المعاملات p_{i}(x)\! مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي **ذات معاملات ثابتة**.

## مؤثر تفاضلي خطي

ممكن كتابة المعادلة بواسطة المؤثر: \ L=\frac{d^n}{dx^n}+p_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\dots+p_0 بحيث ان:

\ L[y]=( \frac{d^n}{dx^n}+p_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}+\dots+p_0  ) y 

وبالتالي يمكن كتابة المعادلة بالصورة الاتية: \ L\left[y\right]=q(x). المعادلة تسمى «خطية» لان المؤثر هو خطي: \ L\left[\lambda_1 y_1+\lambda_2 y_2\right]=\lambda_1 L\left[y_1\right]+\lambda_2 L\left[y_2\right].

لان هذا المؤثر التفاضلي يعبّر عن مشتقات، وصفاته الخطية تنبع من قواعد الاشتقاق. من هنا نتسنتج انه إذا كان   v(x)  و  u(x)  حلول للمعادلة التفاضلية المعطاة، فان  v(x)+u(x)  هو أيضا حل، وأيضا  c_1 v(x)+ c_2 u(x)  أيضا حل (بحيث ان  c_1, c_2 هي ثوابت اختيارية. كما ذكرنا إذا كان \ q(x)\equiv 0 المعادلة تسمى *متجانسة*'.

## حل المعادلة التفاضلية
فيما يخص المعادلة التفاضلية المتجانسة مجموعة الحلول تشكّل فضاء متجهي، نبحث عن قاعدة من هذه الحلول.أي مجموعة دوال \ y_1,\dots,y_n يمكن كتابة كل حل للمعادلة بصورة خطية بواسطة الحلول : \ y=c_1 y_1+\dots+c_n y_n. بحيث \ c_1,\dots,c_n ثوابت اختيارية، «حل عام للمعادلة المتجانسة».

إذا يكفي ان نبحث عن الحلول \ y_1,\dots,y_n لنجد الحل العام.

لمعادلة خطية غير متجانسة \ L\left[y\right]=q(x) الميّزة ان الفرق بين حلّين يعطينا حل للمعادلة المتجانسة \ L\left[y\right]=0. أي أن، إذا \ L\left[y_1\right]=L\left[y_2\right]=q(x) إذا ينتج \ L\left[y_1-y_2\right]=L\left[y_1\right]-L\left[y_2\right]=q(x)-q(x)=0. ومن هنا نتنج صفة مهمة لمعادلة خطية غير متجانسة:

إذا إذا كان \ y حل عام للمعادلة الغير متجانسة، و \ y_p هو حل خاص لها، إذا \ y-y_p, مثلما اوضحنا، هو حل للمعادلة المتجانسة.

وبنصّ آخر، باختصار الحل العام للمعادلة الغير متجانسة عبارة عن :\ y=y_p+y_H

\  y_p حل خاص للغير متجانسة

\  y_H حل عام للمتجانسة

## حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

هذه المعادلة هي من الشكل
p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}y^{\prime}+p_{0}y=0 

وتحل باستخدام الوسيط
 y=e^{\lambda}\! 

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل
{p_{n}\lambda^n +p_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+p_1\lambda+p_0 = 0}
لها عدد n من الحلول
\lambda=s_0, s_1, \dots, s_{n-1}

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية
: y_i(x)=e^{s_i x}

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل
y_H(x)=C_0(x)y_0(x)+C_1(x) y_1+\cdots+C_{n-1}(x) y_{n-1}

حيث C_i(x) \! قد تكون أعدادا أو دالات.

## حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة

p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}y^{\prime}+p_{0}y=q(x)\! 

## تمثيلات أخرى
أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الرتبة i بالرمز D^i أي

y^{(i)}=\frac{d^iy}{dx^i}=D^iy \!

وتصبح المعادلة كالتالي

 (p_{n}(x)D^{n}+p_{n-1}(x)D^{n-1}+ \cdots +p_{1}(x)D+p_{0}(x))y=q(x)

أو
\sum_{i=0}^{n}p_i(x)D^iy=q(x) \!
## مراجع

تصنيف:معادلات تفاضلية