دوال مثلثية

في الرياضيات، **الدَّوَالّ المُثَلَّثِيَّة** أو **التَوَابِع المُثَلَّثِيَّة** أو **الدَّوَالّ المُثَلَّثَاتِيَّة** أو **الدَّوَالّ الدَائِرِيَّة**  هي مجموعة من الدوال الحقيقية التي تربط زاوية مثلث قائم مع نسبة ضلعين من أضلاعه. من الدوال المثلثيةِ الشهيرة والرئيسة دالة الجيب ودالةُ جيبِ التمام، ودالة الظل. مقاليب هذه الدوال هي دوالٌ مثلثيّةٌ أيضاً وهي: قاطع التمام والقاطع وظل التمام على التوالي.

يعود حساب المثلثات إلى ما قبل الميلاد، تحديداً في مصر القديمة واليونان القديمة. وضع الرياضياتي طاليس مبرهنة طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، ووضع الرياضياتي فيثاغورس مبرهنة فيثاغورس، حيث يشار إلى هاتين المبرهنتين بأنهما حجر الأساس لحساب المثلثات.
بالإضافة إلى مصر واليونان، حقق علماء الحضارات الأخرى، بما في ذلك الصين والهند والدول الإسلامية والدول الأوروبية، تقدمًا ملحوظًا في علم المثلثات؛ فبرز الخوارزمي والبتاني وأبو الوفاء محمد البوزجاني وشين كوا وغوا شوجينغ وغيورغ يواخيم ريتيكوس وغيرهم.

يُمكن تعريفُ هذه الدوالِ على أنّها نسبةٌ بين أضلاعِ مُثلثٍ قائمٍ يَحتوي تلك الزاويةَ أَو بشكل أكثر عموميةٍ، إحداثياتٍ على دائرة الوحدة. عند الإشارة إلى المثلثات، غالباً يُقصدُ المثلثُ في السَطح المستوي. وذلك ليكون مجموعُ الزوايا °180 دائماً.

توجد تعاريف أخرى للدوال المثلثية، بما في ذلك التعريف بواسطة التكاملات ومتسلسلات القوى والمعادلات التفاضلية، لكل منها تطبيقه الخاص. على سبيل المثال، في التعريف بواسطة متسلسلة القوى، تُستخدم متسلسلة تايلور أو لوران على نطاق واسع في حساب القيم التقريبية للدوال. تسمح بعض التعريفات بتمديد مجال الدوال المثلثية الست إلى المستوي المركب.

يكون متغير الدوال المثلثية عموما زاويةً وقد يكون أيضا عددًا حقيقيًا. كل دالة لديها خصائصها، بما في ذلك الزوجية والفردية، والدورية والاستمرارية والتعامد.
التطبيق الرئيسي لهذه الدوال هو حساب أطوال الأضلاع وزوايا المثلث والعوامل الأخرى ذات الصلة. يستخدم هذا التطبيق على مدىً واسعٍ في علوم مختلفة مثل المساحة والملاحة ومجالات الفيزياء المختلفة. في علم المساحة، تتمثل في عملية التثليث الزاوي التي تستخدم لحساب إحداثيات نقطة معينة والتي تُستخدم حاليًا في ؛ وفي الملاحة، في حساب إحداثيات السفن ورسم المسارات وحساب المسافات أثناء الملاحة؛ وفي الجغرافيا، حساب مسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية، وتحديد إتجاه القبلة بحساب زاويتها بالنسبة للشمال؛ وفي البصريات، تستخدم أساسا في دراسة ظاهرة انكسار الضوء. الدوال المثلثية دوال دوريَّةٌ، أي أنها تُكرر قيمتها بعد مجال محدد؛ ولهذا فإنها تُستعمل لتمثيل الظواهرِ المتكررة كالموجات وهي الأساس الذي يرتكز عليه تحويل فورييه. عملية فورييه هي عمليةٌ رياضيةٌ تُستخدمُ لتحويل دالّةٍ رياضيةٍ بمتغير حقيقي وذات قيم مركّبة إلى دالّة أخرى من نفس الطراز. تشمل الاستخدامات الأخرى للدوال المثلثية في صناعة الطاقة الكهربائية والاتصالات، ويشمل هذا تطبيق دراسة التيارات المتناوبة والتضمين التي تعتمد على موجات جيبية.

## تعريف الدوال
يوضح الجدول التالي تسميات مختلفة للدوال الست، بالإضافة إلى التسميات الإنجليزية والفرنسية ومجال تعريفهن ومستقراتهن (المجال المقابل).

### أصل تسمية الدوال
تصغير|(1.أ) رسم توضيحي لسبب تسمية دالة الجيب بهذا الإسم|180x180بك
[تصغير|255x255px|رسمٌ توضيحيٌّ لسبب تسمية الدوال؛ عند تمثيل الرياضياتيين المسلمين لكل من الظل الأول، وظل الثاني، وقطريهما، اللواتي تسمى الآن على الترتيب بالظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام في دائرة وحدة يكون نصف قطرها OD [مقياس (مزولة)|مقياسًا.]]

استُمِدّت الكلمة الإنجليزية من الكلمة اللاتينية "Sinus" التي تعني «انحناء، خليج»، وأيضاً «طَوْق الثَوْب: الطية المعلقة للجزء العلوي للّباس الروماني تُوجة»، واختيرت على أنها ترجمة للكلمة العربية الأصيلة «جَيْب» -التي تعني "طوق القميص"- في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللغة اللاتينية للقرون الوسطى. كان الاختيار مبنيًا على القراءة الخاطئة للكلمة العربية «جَيْب» التي هي تحريف للكلمة جِيبَا التي نشأت في حد ذاتها من الكلمة السنسكريتية जीवा / jīvā التي تُترجَم جنبًا إلى جنب برفقة مرادفها ज्या / jyā إلى «وتر قوس السهم»؛ حيث استُعمل مصطلح «جَيْب» في الأصل لوصف خط مستقيم مرسوم عموديًّا من أحد طرفي قوس على خط مستقيم آخر يمر بالطَّرف الآخر، وهو يمثل نصف وتر ضعف القوس؛ أما علاقتها بجيب الزاوية، فجيب الزاوية هو عبارة عن مقدار هذا الخط المستقيم في دائرة الوحدة. في القرن الحادي عشر، شرح أبو الريحان البيروني ذلك في كتابه القانون المسعودي:

أما الاسم العربي لدالة الـ«ظل»، فقد جاء من مقدار ما يصنعه ظل المقياس على سطح أفقي في أثناء سقوط الضوء على المقياس بزاوية معيّنة، فيقال أن طول الظل يساوي عدة مرات طول المقياس، عند تمثيل الرياضيين المسلمين للدالة على دائرة وحدة اعتمد نصف قطرها مقياسًا، كانت النتيجة خطاً مستقيماً يمُس الدائرة، لهذا السبب، أطلق الغربيون (منهم توماس فينك) على الظل اسم "Tangent" التي أتت من اللاتينية "tangens" التي تعني «يمُس».

وفقتً لطريقة دالة الظل، كانت النتيجة هي أن قيمة قُطْر الظِّل (تسمية دالة القاطع في عصر الحضارة الإسلامية) هي عبارة عن خط مستقيم يقطع الدائرة، لذا أطلق الغربيون عليه اسم «secant»؛ استمدت هذه الكلمة من اللاتينية "secans" التي تعني «يَقْطَع».

أما عن بادئة -co الموجودة في (**Co**sine، **Co**tangent)، فقد عُثر عليها في كتاب العالم إدموند غونتر الذي يحمل عنوان "Triangulorum Canon" (صدر في عام 1620)، والذي يُعَرِّف Cosinus بأنها اختصار لعبارة sinus complementi التي استخدمت للإشارة إلى «جيب الزاوية المتممة لزاوية»، مثلاً يقال في الهندسة أن الزاوية المتممة للزاوية 30 درجة في المثلث قائم الزاوية هي 60 درجة وذلك لأن مجموعهما يعطي 90 درجة؛ أما عن التسمية العربية «جيب التمام»، فهي استخدمت للإشارة إلى نفس الشيء، حيث أن كلمة «التمام» عند العلماء تعني شيء متمم؛ التسمية العربية واللاتينية أتيا من السنسكريتية कोटिज्या «كُوتِي-جِيَا» بمعنى «جيب القوس المتمم لقوس»، حيث يعني المقطع الأول «سِيَة القَوْس» أو «نهاية» أو «طَرَف» عموماً، ولكنها تعني في حساب المثلثات «متمم القوس» أو بمعنى آخر «القوس المقابل للزاوية المتممة لزاوية»، لأن عند نشأة دوال الجيب وجيب التمام، كانت تعتبر آنذاك دوالاً لأقواس وليست دوالاً لزوايا هندسية.

## التاريخ

### العصر القديم
[تصغير|180x180px|اللوح المسماري المعروف باسم [بليمبتون 322، يقال عنها أنها تحتوي على جدول القواطع لخمسة عشر زاوية تتراوح بين 30 و45 درجة.|يمين]]

[تصغير|182x182px|[أبرخش، الملقب بـ «أبي حساب المثلثات»]]

عُثر على دليل على استخدام الدوال المثلثية في مختلف المجالات، وخاصة في علم الفلك، في العديد من النصوص التي تعود إلى ما قبل التاريخ، بما في ذلك تلك الموجودة في اليونان ومصر وربما في بلاد الرافدين.

استنادًا إلى أحد التفسيرات للوحة المسمارية بليمبتون 322 (قرابة 1900 قبل الميلاد)، أكد البعض أن البابليين القدماء لديهم جدول القواطع. ومع ذلك، هناك الكثير من الجدل حول ما إذا كان جدول ثلاثيات فيثاغورس، أو حل المعادلات التربيعية، أو جدول مثلثي.

تعد مبرهنة طاليس من أقدم الأعمال المتعلقة بحساب المثلثات، درس طاليس في مصر في القرن السادس قبل الميلاد، وتوصل إلى طريقة جديدة لحل مشكلة حساب ارتفاع الهرم خوفو، والتي عرفت فيما بعد باسم مبرهنة طاليس. يمكن اعتبار مبرهنة فيثاغورس أيضا أنها حجر الأساس لحساب المثلثات. أنشأ الفلكي والرياضياتي اليوناني أبرخش (180-125 قبل الميلاد) أول جدول مثلثي، وهو جدول خاص بدالة الوتر، لهذا السبب أطلق عليه اسم «أبي حساب المثلثات». وضع منيلاوس الإسكندري أساسا للمثلثات الكروية. في القرن الثاني ميلادي، أنشأ عالم الفلك اليوناني بطليموس الإسكندري جدولا مثلثيا مفصلا للأوتار في الكتاب 1، الفصل 11 من المجسطي.

### الهنود
[215x215px|تصغير|تمثال العالم الهندي [أريابهاتا (476-550 م) في  (IUCAA) في بونه، الهند. يقال عن هذا العالم أنه أول من أدخل دالة الجيب ووضع أول جدول لها.]]
كانت دراسة الدوال المثلثية شائعة أيضًا في الهند. على سبيل المثال، في القرن الرابع والخامس الميلادي، في كتاب «سوريا سِدْهانْتا»، استُخدِم جدول لأنصاف الأوتار بدلاً من جدول الأوتار في علم الفلك التي تعادل حاليا دالة الجيب. عرّفت مجموعة من الكتب العلمية «سِدْهانْتا» أولاً الجيب علاقةً حديثة بين نصف زاوية ونصف وتر، وعرفت أيضًا جيب التمام، وسهم الزاوية (1 - جيب تمامها)، ودالة الجيب العكسية. يمكن إسناد دالة الجيب مع جيب التمام وسهم الزاوية إلى الدوال "جيا" و"كوتي جيا" و"أوتكراما جيا" التي استخدمها الهنود في علم الفلك في الحقبة الجوبتية، عن طريق الترجمة من السنسكريتية إلى العربية.

كان باسكارا الثاني، الذي عاش في القرن الثاني عشر، من أوائل الذين حسبوا جيب مجموع زاويتين (sin (a+b)) أو طرحهما (sin (a-b))، كما يأتي:
:

خطا مادهافا السانغماغرامي، قرابة العام 1400، خطوات أولى ومهمة في تحليل الدوال المثلثية بدلالة المتسلسلات غير المنتهية، ويُعتقد أنه وضع متسلسلات مادهافا، التي سميت باسمه، قبل قرنين من وضعها في أوروبا.

### عصر الحضارة الإسلامية

[يمين|تصغير|210x210بك|يستخدم [ربع مجيب|الرُبْع المُجَيَّب لايجاد جيوب الزوايا؛ يعود هذا الربع الموضح في الصورة إلى زمن الخلافة العثمانية (أربعينيات القرن التاسع عشر)؛ اخترعت الأداة لأول مرة من قبل محمد بن موسى الخوارزمي لأغراض فلكية.]]
[تصغير|245x245px|تعريف الظل، وظل التمام، والقاطع وقاطع التمام عند رياضياتِيِي عصر الحضارة الإسلامية. حيث أن القطعة المستقيمة AD تمثل [مقياس (مزولة)|المقياس (عمودي في الأعلى وأفقي في الأسفل)، والقطعة المستقيمة OD تمثل ظله.]]
[تصغير|[أبو الريحان البيروني (973-1048 م)، استخدم حساب المثلثات لقياس نصف قطر الأرض ومحيطها.|206x206بك]]

خلال القرن التاسع الميلادي، كانت الدوال المثلثية الست المستعملة في العصر الحديث جزءاً من الرياضيات المستعملة في الحضارة الإسلامية، كما كان قانون الجيب معروفاً، وكان يستعمل في معضلة حل المثلثات. باستثناء دالتي الجيب وجيب التمام التي اعتمدت من الهنود، اكتُشِفَت الدوال المثلثية الأربع الأخرى من قبل علماء الرياضيات المسلمين، بما في ذلك الظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام؛ حيث تنسب أقدم الأعمال المتبقية إلى الخوارزمي وحبش الحاسب اللذين اعتبرا الدوال الأربعة الأخيرة.

في أوائل القرن التاسع الميلادي، أنتج محمد بن موسى الخوارزمي جداول دقيقة لدوال الجيب والجيب التمام وأول جدول للظلال، كما أنه أنتج نسخة معدلة من زيج السندهند (تتضمن جدولاً للجيوب) التي استعملت لحل المعضلات الفلكية.في القرن نفسه، قام حبش الحاسب بإنتاج أول جدول لظل التمام.

في البداية، عُرّفت الدوال الأربعة الأخيرة بطريقة تختلف عن الرياضيات الحديثة. حيث اعتبرت ظل التمام، التي كانت تسمى «الظل المستوي» أنذاك، طول خيال المقياس العمودي ارتفاعه 12 (أحيانًا 7) أصابع؛ بينما اعتبرت دالة الظل، التي كانت تسمى «الظل المعكوس»، طول خيال المقياس الأفقي؛ في الأصل، استُخدمت هذه المفاهيم للحساب بالمزولة. كان يسمى وترا المثلث القائم (القطعة AO في الصورة المرفقة) «قطر الظل الأول» (في الحالة الثانية) و«قطر الظل الثاني» (في الحالة الأولى) اللذان يطلق عليهما الآن القاطع وقاطع التمام، على التوالي. في القرن العاشر ميلادي، قدم الفيلسوف وعالم الرياضيات الفارابي، في كتابه «شرح كتاب المجسطي»، تعريفات هذه الدوال الأربع بشكل مستقل عن المزولات، وقام بتعريفها مع الجيب وجيب التمام في الدائرة المثلثية البطلمية التي طول نصف قطرها 60 (نصف القطر معبر عنه بالنظام الستيني). وضع محمد بن جابر البتاني العلاقات الأساسية بين الدوال الست في القرن نفسه. وحَّد أبو الوفاء البوزجاني في النصف الثاني من القرن العاشر التوحيد الأخير واستعمل للمرة الأولى دائرة الوحدة لتعريف الدوال المثلثية، كما هو الحال في الرياضيات الحديثة.

اكتشف محمد بن جابر البتاني قانون جيب التمام للمثلثات الكروية. واكتشف أبو الوفاء البوزجاني في القرن العاشر تلك المتطابقات المثلثية في شكلها الحالي، وقد عبَّر الرياضياتيون اليونانيون عنها بدلالة الأوتار:


:sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
:cos(2a) = 1 -2sin2(a)
:sin(2a) = 2sin(a)cos(a)


ويقال عنه أنه أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات الكروية، ولكن اختلف المؤرخون حول أول من وضع قانون الجيب للمثلثات الكروية، حيث نُسب هذا القانون إلى كل من: أبو الوفاء البوزجاني وأبو محمود الخجندي ونصير الدين الطوسي ومنصور بن عراق؛

طريقة التثليث الزاوي طوَّرَها أول مرة علماء الرياضيات المسلمين، الذين طبقوها على الاستخدامات العملية مثل المساحة والجغرافيا الإسلامية، كما وصفها أبو الريحان البيروني في كتابه القانون المسعودي في أوائل القرن الحادي عشر. أدخل البيروني نفسه تقنيات التثليث الزاوي لقياس حجم الأرض والمسافات بين الأماكن المختلفة. حل عمر الخيام معادلات من الدرجة الثالثة في نهاية القرن الحادي عشر عن طريق الحلول العددية التقريبية التي حصل عليها عن طريق الاستكمال الداخلي للجداول المثلثية. في القرن الثالث عشر، اعتبر نصير الدين الطوسي لأول مرة حساب المثلثات تخصّصًا منفصلاً عن علم الفلك، وذكر في كتابه «شكل القطاع» قانوني الجيب أحدهما للمثلثات المستوية والآخر للمثلثات الكروية، واكتشف قانون الظل للمثلثات الكروية، ولم يتفق المؤرخون حول أول من اكتشف قانون الجيب للمثلثات المستوية، حيث ينسب هذا القانون إلى كل من أبو الوفاء البوزجاني ومنصور بن عراق (تلميذه) ونصير الدين الطوسي.

في القرن الخامس عشر، قام غياث الدين الكاشي بالتعبير عن مبرهنة فيثاغورس المعممة، التي أصبحت تطلق عليها الآن «قانون جيب التمام»، بدلالة جيب التمام بعدما أنشئت جداول لها التي أتاحت له صياغة المبرهنة، والبرهنة عليها في كتابه مفتاح الحساب؛ لذلك، أطلق الفرنسيون على هذا القانون اسم «مبرهنة الكاشي»  تكريما له؛ وقدم بياناً صريحاً لهذا القانون في شكل مناسب للتثليث الزاوي؛ مع العلم أن هذه المبرهنة عَبَّرَ عنها سابقًا العالم اليوناني إقليدس في كتابه الأصول، ولكن عدم وجود الدوال المثلثية آنذاك وكذلك الجبر أدى إلى استعمال مجموع وفرق المساحات. صاغ الكاشي أيضًا المتطابقة التالية: sin(3Φ) = 3 sin(Φ) - 4sin3(Φ) واستخدمها لحساب جيب الزاوية 1° بوضع Φ = 1° وx = sin (1°) ثم حل المعادلة من الدرجة الثالثة المتحصل عليها، ووصل إلى 16 منزلة عشرية؛ هذه الصيغة معروفة عند الغربيين بـ«صيغة فييت» ونسبوها إلى فرانسوا فييت عن طريق الخطأ، ولكن الكاشي هو أول من اكتشف تلك الصيغة. وضع الرياضياتي وحاكم الدولة التيمورية ألغ بك، جداول دقيقة للجيب والظل ووصل إلى 9 أرقام عشرية بعد الفاصلة في نفس الوقت تقريبًا.

### الصينيون
لم يدرس العلماء الصينيون حساب المثلثات كثيرًا. درس العالمان الصينيان شين كوا وغوا شوجينغ الدوال المثلثية. على سبيل المثال، في القرن الحادي عشر، وجد شين كوا علاقة تقريبية لحساب طول القوس s بدلالة قطر الدائرة d وعمق القوس v وطول الوتر c: s = c + \frac{2v^2}{d}

### النهضة الأوروبية وما بعدها

تصغير|282x282px|صفحة من كتاب يعود تاريخه إلى عام 1619 تحتوي على جدول للدوال التالية: الجيب، والظل والقاطع.

كانت أطروحات العالم ريغيومونتانوس وتعليقاته، خاصةً كتابه المعنون كل شيء عن المثلثات  في 1464) على المجسطي لبطليموس، هي أصل نهضة حساب المثلثات في أوروبا. علّق في كتابه عن المثلثات:

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي ألبير جيرار (1595 – 1632 م) الاختصارات sin، وcos، وtan للمرة الأولى في كتابه حساب المثلثات .

ربما كان الكتاب *Opus palatinum de triangulis* لغيورغ يواخيم ريتيكوس، طالب كوبرنيكوس، الأول في أوروبا الذي عرف الدوال المثلثية مباشرة بدلالة المثلثات القائمة بدلاً من الدوائر، مع جداول لجميع الدوال المثلثية الست؛ أُنهي هذا العمل من قبل طالب ريتيكوس فالنتينوس أوتو في عام 1596.

استعمل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك مصطلحي "Tangent" و"Secant" للمرة الأولى في كتابه المعنون الهندسة الدائرية .

برهن غوتفريد لايبنتس على أن دالة الجيب (sin(x ليست دالة جبرية تتبع x، أي أنها دالة متسامية في مقال نُشر عام 1682م.

كانت معظم مقدمة ليونهارت أويلر في كتاب analysin infinitorum (صدرت في عام 1748) عن تأسيس المعالجة التحليلية للدوال المثلثية في أوروبا، كما عرفها متسلسلاتٍ لانهائية ووضع صيغة أويلر، وعرفها كذلك اختصاراتٍ شبه حديثة (sin, cos, tang, cot, sec, cosec).

في ستينيات القرن الثامن عشر، اخترع الإيطالي فينتشنتسو ريكاتي الدوال الزائدية، وهي تلك الدوال التي تشبه لحدٍ كبيرٍ الدوال المثلثية.

### الدوال المثلثية التاريخية
هناك بعض الدوال الشائعة من الناحية التاريخية، ولكن نادراً ما تستخدم الآن، مثل دالة الوتر والسهم (يطلق عليها أيضا اسم «الجيب المعكوس») وسهم التمام ونصف السهم، والقاطع الخارجي وقاطع التمام الخارجي.



\begin{array}{lcl}
\operatorname{crd} (\theta) = 2\sin (\tfrac {\theta}{2})\\
\operatorname{versin} (\theta) = 1 -\cos (\theta) = 2 \sin ^2 (\tfrac{\theta}{2})\\
\operatorname{coversin} (\theta) = 1 -\sin (\theta) = \operatorname{versin} \left(\frac \pi{2} - \theta \right)\\
\operatorname{haversin} (\theta) = {1 \over 2} \operatorname{versin} (\theta) = \sin ^2 (\tfrac{\theta}{2})\\
\operatorname{exsec} (\theta) = \sec (\theta) - 1\\
\operatorname{excsc} (\theta) = \operatorname{exsec} \left(\frac \pi{2} - \theta \right) = \csc (\theta) - 1
\end{array}



## وحدات قياس الزوايا
**[[درجة (زاوية)|الدرجة]]**: يعود استخدامها إلى عصور قديمة. تُحسبُ هذه القيمة عن طريق تقسيم دائرة إلى 360 جزءاً متساوياً، يشار إليها بقيمة متبوعة بدائرة صغيرة عليا.

**[[راديان|الراديان]]** أو **الزاوية نصف القطرية** أو **التقدير الدائري**: يساوي الزاوية المقابلة لقوس طوله مطابق لطول نصف قطر الدائرة، دورة كاملة هي زاوية مقدارها 2π راديان. هناك وحدة مشتقة من الراديان وهي الميليراديان، تُعرَّف على أنها جزء من الألف من 1 راديان؛ تُستَخدَم الميليراديان في ضبط الرؤية عند استخدام السلاح الناري.

**[[غراد|الغراد]]**: تعادل 1/400 من قياس الدائرة الكاملة، أو 100 جزء من الزاوية القائمة، يشار إليها بقيمة متبوعة بحرف "g" صغير أعلى.

**[[دورة (هندسة رياضية)|الدورة]]**: تعادل 360° أو 2π راديان.

**[[دقيقة القوس وثانيته]]**: هي وحدات فرعية للدرجة، تستخدم على مدًى واسع في نظام الإحداثيات الجغرافية.

* **دقيقة القوس**: تساوي 1/60 درجة أي ، يشار إليها بقيمة متبوعة بفاصلة عليا (').
* **ثانية القوس**: تساوي 1/3600 درجة أي ، يشار إليها بقيمة متبوعة بعلامتي التنصيص (").

{| class="wikitable"
!وحدة
! colspan="8" |مقدار
|- valign="top"
|**[[درجة (زاوية)|درجة]]**
|0°
|30°
|45°
|60°
|90°
|180°
|270°
|360°
|- valign="top"
|**[[راديان]]**
|0
| π/6
| π/4
| π/3
| π/2
|π
| 3π/2
|2π
|- valign="top"
|**[[غراد]]**
|0g
|
|50g
| = \theta

وتنتمي الزاوية θ إلى المجال [0، π/2].

### التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية

* الجيب وجيب التمام هما من الدوال الفريدة من نوعها التي تقبل التفاضل، بحيث:
:
\begin{align}
\frac{d}{dx}\sin x&= \cos x,\\
\frac{d}{dx}\cos x&= -\sin x,\\
\sin 0&=0,\\
\cos 0&=1.
\end{align}


: كل من دالتي الجيب والجيب التمام تحققان المعادلة التفاضلية التالية: y* = -y (معادلتها المميزة هي m<sup>2</sup>+1 = 0، [[جذر دالة|جذرها]] هي وحدة تخيلية موجبة أو سالبة i±) بتعبير آخر، كل منهما تساوي مقابل مشتقتها من الدرجة الثانية.

: الجيب هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:
:: <math>\begin{cases}
  y(0)=0 \\[2pt]
  y\,'(0)=1
\end{cases}</math>

جيب التمام هو الحل الوحيد لهذه المعادلة التي تحقق الشروط التالية:

:: <math>\begin{cases}
  y(0)=1 \\[2pt]
  y\,'(0)=0
\end{cases}</math>
بتطبيق [[قاعدة ناتج القسمة]] على تعريف ظل الزاوية باعتباره نسبة بين الجيب وجيب التمام، يحصل الفرد على أن دالة الظل تحقق:
:<math>\frac{d}{dx}\tan x = 1+\tan^2 x.</math>

إذن، دالة الظل هي حل للمعادلة التفاضلية التالية:

:<math>y' = 1+y^2</math>

* نعتبر المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية: <math>ay*+by'+cy=0
: إن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية من الشكل y=A_1e^{m_1x}+A_2e^{m_2x}، حيث *<math>m_1</math>* و *<math>m_2</math>* هما جذور المعادلة المميزة للمعادلة (am^2+bm+c=0). أيضا A_1 و A_2 هي ثوابت كيفية بناءً على الشروط الأولية.

: إذا كانت المعادلة المميزة لها جذور مركبة، فإن حل هذه المعادلة هي الدالة الأسية المركبة:
:y=A_1.e^{(\alpha+i \beta)x}+A_2.e^{(\alpha-i \beta)x}

: حيث α هو الجزء الحقيقي وβ هو الجزء التخيلي لجذر المعادلة المميزة. استنادًا إلى صيغة أويلر، يمكننا تحويل الدالة الأسية المركبة إلى دالتي الجيب وجيب التمام، لذلك في حالة الجذور المركبة، ستتضمن حل المعادلة التفاضلية دوال مثلثية:

:y=A_1.e^ {\alpha x} \cos \beta x+A_2.e^ {\alpha x} \sin \beta x

### باستعمال المتسلسلات
[تصغير|دالة الجيب (باللون الأزرق) تحسب بصفة تقريبية اقترابا كبيرا بواسطة [متسلسلة تايلور|متعددة الحدود لتايلور من الدرجة السابعة (باللون الوردي) بالنسبة لدورة كاملة متمركزة حول أصل المَعلم.]]
[تصغير|الرسوم المتحركة لتقريب جيب التمام بواسطة [متسلسلة تايلور|متعددة الحدود لتايلور.]]
تصغير|cos(x) إلى جانب متعددات الحدود الأولى لتايلور <math>p_n(x)=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}</math>
دوال مثلثية هي دوال تحليلية. يمكن تمثيل جميع الدوال المثلثية بواسطة متسلسلات لانهائية.

باستخدام متسلسلة تايلور، يمكن كتابة كل دالة مستمرة على شكل متسلسلة قوة بجوار النقطة a على النحو التالي:

:f(x)=f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f*(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f*'(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots 

حيث تشير !n إلى عاملي عدد.

عندما يكون a=0، تتحول هذه المتسلسلة إلى متسلسلة ماكلورين، رياضيا:

:f(x)=f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f*(0)}{2!} x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots </math>

: *ملاحظة:* الزاوية x مقاسة [[راديان|بالتقدير الدائري]] في جميع السلاسل التالية.

==== متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام ====

* جيب الزاوية:

يوضح الشكل المقابل الرسم البياني لدالة الجيب إلى جانب متعدد الحدود السابع لماكلورين. قيمة دالة الجيب عند الصفر تساوي صفر، لذا فإن الحدود الزوجية لمتسلسلة القوة للجيب هي صفر. ونتيجة لذلك، فإن متسلسلة القوة للجيب ستحتوي فقط على حدود فردية.

<div style="direction:ltr;">
:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}, \\[8pt]
\end{align}
</math>
</div>

* جيب تمام الزاوية

وبالمثل، فإن الحدود الفردية لمتسلسلة جيب التمام هي صفر ، وتحتوي المتسلسلة فقط على حدود زوجية.

<div style="direction:ltr;">
:<math>
\begin{align}
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
\end{align}
</math>
</div>

[[نصف قطر التقارب]] لتلك المتسلسلات غير منتهية. ولذلك، يمكن أن تمدد دالتا الجيب وجيب التمام إلى [[دالة صحيحة|دالتين صحيحتين]]، وهذه بالتعريف، دوال ذات قيم مركبة [[دالة تامة التشكل|وتامة التشكل]] على مجمل [[مستو مركب|المستوي المركب]].

==== متسلسلات القوى لباقي الدوال ====
الدوال المثلثية الأخرى لها مجالات خاصة، لذلك لا يمكن تحديد متسلسلة تايلور لأي قيمة. بالنسبة لدالتي الظل والقاطع غير المعرفة عند π/2 (أو °90)، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين π/2- وπ/2، لذا، يمكن تمثيل هاتين الدالتين بواسطة متسلسلة ماكلورين. أيضًا بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام غير المعرفة عند الصفر، تكون مجال تعريف متسلسلاتهم بين 0 وπ وبين π- و0، لذلك، يمكن تمثيلهن بواسطة [[متسلسلة لوران]]، هذه الأخيرة، هي تمثيل دالة على شكل متسلسلة القوى ذات درجات سالبة (متسلسلة ذات بعض الحدود [[رفع أسي|المرفوعة]] لِأُس سالب).

بتعبير أدق،U<sub>n</sub> هو [[تبديل متناوب]] من المرتبة n. وB<sub>n</sub> هو [[عدد برنولي|عدد بيرنولي]] من المرتبة n، وE<sub>n</sub>، هو [[أعداد أويلر|عدد أويلر]] من المرتبة n.

[[ملف:Taylor series for Trigonometric function-2-ar.svg|700بك|يسار]]

تُعرف الدوال المثلثية الأربعة الأخيرة على أنها كسور من الدوال الصحيحة. لذلك، يمكن أن تُمدّد إلى [[دالة جزئية التشكل|دوال جزئية التشكل]]، والتي هي دوال تامة التشكل في كامل المستوي المركب، باستثناء بعض [[نقطة معزولة|النقاط المعزولة]] التي تسمى [[قطب (تحليل مركب)|الأقطاب]]، وهي في هذ الحالة أعداد من الشكل (π/2)(2k+1) بالنسبة لدالتي الظل والقاطع، أو kπ بالنسبة لدالتي ظل التمام وقاطع التمام، مع k عدد صحيح كيفي.

يمكن أيضًا حساب [[علاقة عودية|العلاقات العودية]] لمعاملات متسلسلة تايلور لتلك الدوال. متسلسلاتهما لها نصف قطر التقارب منتهي. معاملاتهم لها تفسير [[تحليل توافيقي|توافيقي]]: فهي تُعدّد [[تبديل متناوب|التبديلات المتناوبة]] للمجموعات المنتهية.

عدد الحدود في متسلسلة القوة المستخدمة لتقريب الدوال غير منتهي، ولكن في الحسابات يُستخدم عدد محدود من تلك الحدود. يطلق على الحدود الأخرى غير المحسوبة اسم الباقي. يُعرَّف الباقي من المرتبة n لمتسلسلة بواسطة:
::<math>R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},a<c<x</math>

مع زيادة قيمة x، ستكون هناك حاجة إلى المزيد من الحدود لتحقيق دقة معينة، ونتيجة لذلك، ستنخفض [[سرعة التقارب]]. بالإضافة إلى ذلك، فإن الدوال الأربعة الأخيرة لها نقاط عدم الاستمرار (نقاط عدم الإتصال)، ومتسلسلات القوى لهذه الدوال معرفة على مجال معين.

لمنع التقارب من التباطؤ والتخلص من مشكلة نقاط عدم الاستمرار، يجب علينا تقليص الزاوية قدر الإمكان قبل استخدام المتسلسلة. باستخدام متطابقات الزوايا المتتامة، يمكن تقليص الزاوية إلى (0,n/4)، وباستخدام بعض المتطابقات المثلثية إلى (0, n/2). بهذه الطريقة، تزداد سرعة تقارب المتسلسلة والكفاءة الحسابية.

==== متسلسلات أخرى ====

يوجد تمثيل متسلسلات آخر يتضمَّن [[تحليل كسري جزئي|مفكوكًا كسريًّا جزئيًّا]]، وفيه تُجمَع [[دالة المقلوب|دوال المقلوب]] المزاحة فقط، فتتطابق أقطاب دالة ظل التمام ودوال المقلوب:
<div style="direction:ltr;">
:<math>\pi\cot(\pi x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N\frac1{x+n}=\frac1x+\sum_{n=1}^\infty\frac{2x}{x^2-n^2}.</math>
</div>
: يمكن إثبات هذه المتطابقة بواسطة حيلة .

ويمكن بالطريقة نفسها إيجاد المفكوكات الكسرية الجزئية لكل من القاطع وقاطع التمام والظل:
[[ملف:Trigonometric functions partial fraction decomposition.svg|يسار|225بك]]


=== الكسور المستمرة المعممة ===

الكسور المستمرة المعممة هي تعميم [[كسر مستمر|للكسور المستمرة]] الاعتيادية في المجالين الحقيقي والمركب.

يمكننا كتابة الدوال الرياضية على هذا النحو:


[[ملف:Generalized continued fraction.svg|600بك|يسار]]


في ما يلي الكسور المستمرة لبعض الدوال:

[[ملف:Trigonometric function - generalized continued fraction.svg|يسار|700بك]]


=== متسلسلة الجداء اللانهائي ===
الجداء اللانهائي التالي لدالة الجيب له أهمية كبيرة في التحليل المركب:

<math>\sin z=z\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>

من هذه المتسلسلة، نستنتج أن:

<math>\cos z=\displaystyle\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{\left(n-\frac12\right)^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.</math>

=== باستخدام المعادلات الدالية ===
يمكن أيضاً تعريف الدوال المثلثية باستخدام [[معادلة دالية|المعادلات الدالية]] المختلفة.

مثلاً،الجيب وجيب التمام هما دالتان فريدتان من [[دالة مستمرة|الدوال المستمرة]] التي تحقق صيغة الفرق:

cos(x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y

بشرط أن تكون 0 < x > sin(x) > x.cos(x) من أجل 0 < x > 1.

=== في المستوى المركب ===


يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام [[عدد مركب|لعدد مركب]] باستعمال دالتي الجيب وجيب التمام مع [[دوال زائدية|الدوال الزائدية]]:
[[ملف:Complex Trigonometric functions.svg|يسار|300بك]]

من الممكن أن تمثيل الدوال المثلثية ذات القيم المركبة بيانياً عن طريق [[تلوين المجال|التمثيل بتلوين المجال]]. يمكن مشاهدة العديد من الميزات الفريدة للدوال المركبة من الرسم البياني؛ مثلاً، يمكن اعتبار دالتي الجيب وجيب التمام أنهما غير منتهية عندما يصبح الجزء التخيلي لـ z أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية)، وحقيقة أن الدوال تحتوي على أصفار أو [[قطب (تحليل عقدي)|أقطاب]] بسيطة تتضح من حقيقة أن الألوان تدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية (بواسطة الألوان) مع تلك [[دوال زائدية#الدوال الزائدية للأعداد المركبة|التمثيلات الخاصة بالدوال الزائدية]] توضح العلاقات بينهما.

عند تمثيل الدوال في المستوى المركب، تُمثَّل [[عمدة عدد مركب|العمدة]] بالألوان، و[[معيار عدد مركب|المعيار]] بوسائل أخرى، مثل ال[[سطوع]] أو [[تلون|الإشباع اللوني]].

<gallery>
Complex_sin.jpg|sin z
Complex_cos.jpg|cos z
Complex_tan.jpg|tan z
Complex_Cot.jpg|cot z
Complex_Sec.jpg|sec z
Complex_Csc.jpg|csc z
Complex coloring.jpg|التمثيل البياني للعدد المركب z = x + iy الذي استخدم في التمثيلات البيانية.
</gallery>

== الخصائص ==

=== زوجية وفردية ===

الدوال الزوجية والدوال الفردية هي دوال تحقق شرطاً محدداً يتعلق [[تناظر|بالتناظر]].

جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، أما الدوال الأخرى فهي فردية، أي:
[[ملف:Even and odd trigonometric functions.svg|يسار|125بك]]


=== دورية ===
الدوال المثلثية كلها [[دالة دورية|دوالٌ دوريةٌ]] أصغر دور لها هو 2π. باستثناء الظل وظل التمام، التي أصغر دور لها هو π، أي، من أجل عدد صحيح k، يكون:
[[ملف:Trigonometric functions periodicity.svg|يسار|150بك]]


تستخدم خاصية دورية الدوال المثلثية لحل المعادلات التفاضلية في [[تحويل فورييه]] و[[معادلة موجية|المعادلات الموجية]].

=== استمرارية (اتصال) ===
الجيب وجيب التمام دالتان [[دالة مستمرة|مستمرتان]] دومٌا ويمكن اشتقاقهما ويتضح ذلك بوضوح من خلال التعريف باستعمال المثلث القائم وباستعمال دائرة الوحدة. إن الدوال الأخرى، التي مقامها =دالتا الجيب أو جيب التمام، ليست دائمًا مستمرة، لأن قيمة كل من دالة الجيب وجيب التمام في بعض من الحالات تساوي الصفر. نقاط عدم الاستمرار للدوال المثلثية هي كالتالي (حيث k هو عدد صحيح كيفي):

* الظل والقاطع: kπ + {π/2}
* ظل التمام وقاطع التمام: kπ

=== تعامد ===
دالتا الجيب وجيب التمام [[دوال متعامدة|متعامدتان]] مع بعضهما البعض وصالحتان في .
[[ملف:Orthogonal Trigonometric functions.svg|يسار|250بك]]

تستخدم هذه الخصائص لحساب معاملات متسلسلة فورييه.

=== تحويلا لابلاس وفورييه ===
[[تحويل لابلاس]] هو أحد طرق حل المعادلات التفاضلية. تحويلا لابلاس لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:

* تحويل الجيب:

:<math>\mathcal{L}\{\sin (at)\} = \frac{a}{s^2+a^2} </math>

* تحويل جيب التمام:

:<math>\mathcal{L}\{\cos (at)\} = \frac{s}{s^2+a^2} </math>

[[تحويل فورييه|تحويلا فورييه]] لدالتي الجيب وجيب التمام هي كما يلي:

* الجيب:

:<math>\mathcal{F}\{\sin (at)\} = \frac{\displaystyle\delta\left(\omega-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\omega+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i} </math>

* جيب التمام:

:<math>\mathcal{F}\{\cos (at)\} = \frac{\delta\left(\omega - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\omega+\frac{a}{2\pi}\right)}{2} </math>

=== دالة ذاتية ===

دالتا الجيب وجيب التمام [[دالة ذاتية|ذاتيتان]] [[مؤثر لابلاس|لمؤثر لابلاس]]. على سبيل المثال، إذا كان : Δ=∇<sup>2</sup> يُمثِّل مؤثر لابلاس وحيد البعد، فإن دالتا الجيب وجيب التمام تحققان : <math>\nabla ^2 f = \lambda f</math>، مع λ تمثل [[قيم ذاتية ومتجهات ذاتية|قيمة ذاتية]]؛ ويمكن التحقق من هذه المساواة انطلاقا من [[#التعريف بواسطة المعادلات التفاضلية|التعريف باستعمال المعادلة التفاضلية]] للدالتين.

== حساب القيم ==


حساب القيم الدقيقة للدوال المثلثية يدوياً أمر صعب ومعقد، لكن في العصرِ الحديثِ، زالَت تعقيداته بسبب توفر أجهزة ال<nowiki/>[[حاسوب]] و[[آلة حاسبة|الآلات الحاسبة]]، التي تمكن بسهولة الحصول على القيمة الدقيقة لأي زاوية. بالنسبةِ لبعضِ الزوايا، فيمكن الحصول على [[قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية|القيم الجبرية الدقيقة لدوالِّها المثلثية]] دون اللجوء إلى حساباتٍ بالأجهزة، وتُسمّى هذه الزوايا: الزوايا الخاصة. على سبيل المثال، قيمُ الدوال المثلثية لجميع الزوايا من مضاعفات العدد 3 دقيقة. تُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 3° بتطبيق الفرق بين زاويتين ذات القيم 18° و15° (3 = 15 - 18). وتُحسَبُ النسب المثلثية للزاوية 18° باستخدام خواص ونِسَب [[خماسي أضلاع|الخماسي المنتظم]].

يلزم لحساب قيمة دالة مثلثية لأي زاوية تقليص مجال الزاوية، مثلاً من الصفر إلى π/2، باستخدام خاصيتي الدورية والتناظر للدوال المثلثية.

حُسِبت قيمة الدوال المثلثية قبل الحواسيب من خلال الاستكمال الداخلي للجداول المثلثية. هذه الجداول لها تاريخ طويل في علم المثلثات.وتُحسب قيم هذه الجداول عادةً عن طريق استخدام [[قائمة المتطابقات المثلثية#صيغ الزوايا المتعددة|متطابقات نصف الزاوية وضعف الزاوية]]، على التوالي، بدءاً بقيمة معروفة، مثل sin(π/2) = 1.

تستخدم الحواسيب والحاسبات الحديثة مجموعةً متنوعةً من التقنياتِ لتوفير قيم الدوال المثلثية عند الطلب للزوايا الأخرى. تتمثل إحدى الطرق الشائعة، خاصةً في [[معالج (حوسبة)|المعالِجات]] الراقية ذات [[وحدة الفاصلة العائمة|وحدات الفاصلة العائمة]]، في جمع بين [[نظرية التقريب|تقريب]] بواسطة [[متعددة الحدود|كثير الحدود]] أو بواسطة [[دالة كسرية|الدوال الكسرية]] (مثل [[تقريب تشيبيشيف]]، [[تقريب بادي]]، وعادةً ما يتعلق بالدقة العليا أو المتغيرة، [[متسلسلة تايلور|متسلسلات تايلور]] و[[متسلسلة لوران]]) وتقليص المدى والبحث في الجدول—تبحث (الخوارزميات) أولاً في جدول صغير عن أقرب زاوية، ثم تستخدم كثير الحدود لحساب التصحيح. على الأجهزة الأكثر بساطة التي تفتقر إلى [[ضارب ثنائي|مضاعف العتاد]]، توجد خوارزمية تسمى [[كوردك|CORDIC]] عالية الكفاءة، لأنها تَستَخدِم الإزاحات والإضافة والطرح فقط.

يمكن تقريب الدوال المثلثية بواسطة [[متوسط حسابي هندسي|المتوسط الحسابي الهندسي]] عندما يصبح تقارب المتسلسلة بطيئًا للغاية في الحسابات عالية الدقة، الذي يقارب في حد ذاته الدالة المثلثية بواسطة [[تكامل ناقصي|تكامل إهليلجي]] ([[عدد مركب|مركب]]).

== متطابقات أساسية ومبرهنات ==


هناك عدد من المتطابقات تربط الدوال المثلثية بعضها ببعض. يحتوي هذا القسم على المتطابقات الأساسية والمبرهنات، لمزيد من المتطابقات، طالع [[قائمة المتطابقات المثلثية]]. يمكن إثبات هذه المتطابقات هندسيا من التعريف باستعمال دائرة الوحدة أو التعريف باستعمال المثلث القائم (على الرغم من أنه بالنسبة للتعاريف الأخيرة، يجب توخي الحذر للزوايا التي لا تنتمي إلى هذا المجال [0 , π/2]). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم فقط أدوات [[تفاضل وتكامل|حساب التفاضل والتكامل]]، يمكننا استخدام المعادلات التفاضلية مباشرة. يمكننا أيضا استخدام متطابقة أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية ذات القيم المركبة واستخدام خصائص [[دالة أسية|الدالة الأسية]].

=== متطابقة فيثاغورس ===


تنص هذه المتطابقة على أن مجموع مربع جيب زاوية ما ومربع الجيب التمام لنفس الزاوية يساوي الواحد، ويُعبر عنها رياضياً بالعلاقة التالية:

<div style="direction: ltr">:sin<sup>2</sup> x + cos<sup>2</sup> x = 1</div>

يجب الانتباه إلى أن التدوين sin<sup>2</sup>&nbsp;x&nbsp;+&nbsp;cos<sup>2</sup>&nbsp;x يكافئ sin&nbsp;x)<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;(cos&nbsp;x)<sup>2</sup>).

=== متطابقات مجموع وفرق زاويتين ===
تسمح صيغ الفرع والمجموع بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق زاويتين بدلالة جيب وجيب تمام وظل الزوايا نفسها.

==== المجموع ====
ويُحسب كما يأتي:
[[ملف:Trigonometric functions sum formulas.svg|يسار|300بك]]


==== الفرق ====
ويُحسب كما يأتي:
[[ملف:Trigonometric functions difference formulas.svg|يسار|300بك]]


==== متطابقات ضعف الزاوية ====
عندما تكون الزاويتان متساويتان، فإن صيغ المجموع تقلص إلى معادلات أبسط تعرف باسم متطابقات ضعف الزاوية.

[[ملف:Trigonometric functions double-angle formulae.svg|500بك|يسار]]

يمكن استخدام هذه المتطابقات لاشتقاق [[قائمة المتطابقات المثلثية#متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس|متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء]].

بوضع θ = 2x وt = tan(x) هذا يسمح بالتعبير عن جميع الدوال المثلثية لـ θ [[دالة كسرية|كدالة كسرية]] لـ <math display="inline">t=\tan \frac{\theta}{2}</math>

<div style="direction:ltr;">
<math>\begin{align}
\sin \theta &= \frac{2t}{1+t^2}, \\
\cos \theta &= \frac{1-t^2}{1+t^2},\\
\tan \theta &= \frac{2t}{1-t^2}.
\end{align}</math>
</div>

بالإضافة إلى <math>d\theta = \frac{2}{1+t^2} \, dt</math>

هذا هو تعويض ظل نصف الزاوية، ويسمى أيضاً تعويض [[كارل فايرشتراس|فايرشتراس]]، وهو يسمح بتقليص حساب [[تكامل|التكاملات]] و[[مشتق عكسي|المشتقات العكسية]] للدوال المثلثية إلى دوال كسرية.

=== متطابقات ثلاثية الزاوية ===
ويُحسب كما يأتي:

[[ملف:Triple angle identity.svg|يسار|400بك]]


=== متطابقات نصف الزاوية ===
وتُحسب كما يأتي:

[[ملف:Half angle identities.svg|يسار|450بك]]


=== قانون الجيب ===
ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه، ينص [[قانون الجيب]] على ما يلي:

:<math>\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{2\Delta}{abc}</math>
: حيث تشير Δ إلى مساحة المثلث، أو بشكل مكافئ:
:<math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R</math>
: حيث يشير  إلى نصف قطر [[دائرة محيطة|الدائرة المحيطة]] بالمثلث.

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام التعريف الوارد أعلاه للجيب. قانون الجيب مفيد في حساب أطوال الأضلاع المجهولة في مثلث إذا كانت هناك زاويتان وضلع واحد معلومتان. هذا هو الموقف الشائع الذي يحدث في [[تثليث زاوي|التثليث الزاوي]]، وهي تقنية لتحديد مسافات غير معروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.
[[ملف:Spherical trigonometry vectors.svg|تصغير|(3.أ) تمثيل المثلث الكروي ABC]]

في حالة [[حساب المثلثات الكروية|المثلثات الكروية]]، ينص القانون على ما يلي:

:<math>\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} 
= \frac{\sin C}{\sin c}</math>

حيث a و b و c هي أقواس المثلث الواقع في سطح الكرة (والتي يطلق عليها مجازًا أضلاع وتسمى أحيانًا جوانب المثلث الكروي)؛ و A و B و C هي الزوايا المقابلة.

=== قانون جيب التمام ===

[[ملف:law of cosines with acute angles by Al-Kashi.svg|تصغير|(3.ب) طريقة الكاشي لبرهنة قانون جيب التمام بالنسبة للمثلثات الحادة (باستخدام مثلث حاد محاط بثلاث مربعات). حيث أن المستطيلين الأخضرين متقايسان والمستطيلين الأحمرين أيضًا متقايسان، يمكن إثبات تقايس المستطيلين الأخضرين بإثبات تقايس المثلثين JAE و JAB، والمثلثين JAB و CAM، والمثلثين CAM و FAM بتحريك أحد الرؤوس بالتوازي مع القاعدة وأحدهما بالدوران على أحد زوايا المربعات، ويمكن إثبات المستطيلين الأحمرين بطريقة مشابهة. ويمكن إثبات أن المستطيلين الأزرقين متقايسان ومساحة أحدهما يساوي CA × CB × cos(C) بمعرفة أن CE = CB.cos(C) وCD = CA.cos(C). يمكن إثبات بالنسبة للمثلثات المنفرجة بطريقة مشابهة.|250x250بك]]

[[قانون جيب التمام]] هو تعميم [[مبرهنة فيثاغورس|لمبرهنة فيثاغورس]] على أنواع المثلثات المستوية كلها، ويسمى أيضا *'مبرهنة الكاشي**.

<div style="direction: ltr">c<sup>2</sup>= a<sup>2</sup> + <sup>2</sup>-2ab.cos(C)</div>

وقد تكتب هذه الصيغة كما يلي:

:<math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
: مع C هي الزاوية المقابلة للضلع c.

: يمكن إثبات هذه المبرهنة بتقسيم المثلث إلى مثلثين قائمين وباستخدام مبرهنة فيثاغورس، أو باستخدام طريقة الكاشي.
: يمكن استخدام قانون جيب التمام لحساب طول ضلع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معلومة. يمكن أيضًا استخدامه لإيجاد جيب تمام لأي زاوية إذا كانت أطوال كل الأضلاع معلومة.

في حالة [[حساب المثلثات الكروية|المثلثات الكروية]]، ينص القانون على ما يلي:

<div style="direction: ltr">cos(c) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b).cos(C)</div>

مع a وb وc هي الأقواس الثلاثة للمثلث الكروي وتقاس بالدرجات القوسية أي بقيمة الزاوية المركزية المقابلة لكل منها داخل الكرة، حيث تحول بعد ذلك إلى وحدات الطول العادية بالضرب في قيمة الدرجة القوسية والتي تساوي } ما يعادل  والرمز ط هنا أو π في اللاتينية؛ والزاوية C هي الزاوية المقابلة للقوس c

ويمكن اشتقاق المعادلة التالية مِن العلاقة السابقة لإيجاد قيمة الزاوية C المقابلة للقوس c في المثلث الكروي عندما تكون مجهولة وبقية الأطوال الثلاثة لأقواس المثلث a وb وc معلومة:

<math>\cos C\ =\frac{\cos c - \cos a \cos b}{\sin a\sin b} </math>

توجد صورة أخرى للمعادلة تكون قيم الزوايا الثلاثة فيها A وB وC معلومة وطول القوس مجهولٌ في المثلث الكُرويّ، وليكن القوس c، كما يلي:

<math>\cos c\ =\frac{\cos C + \cos A \cos B}{\sin A\sin B} </math>

ومنها يمكن حساب قيمة زاوية مجهولة بمعلومية طول القوس المقابل لها ومعلومية قيمتي الزاويتين الأخرتين بالمثلث الكروي هكذا:

<div style="direction: ltr">cos(C) = sin(A).sin(B).cos(c) - cos(A).cos(B)</div>

=== قانون الظل ===


ليكن ABC مثلث، يُكتب قانون الظل كما يلي:

[[ملف:Law of tangents.svg|يسار|450بك]]


مع A وB وC الزوايا المقابلة للأضلاع a وb وc على الترتيب.

يمكن إثبات هذه المبرهنة باستخدام قانون الجيب والمتطابقات المثلثية.

أما بالنسبة للمثلثات الكروية، ينص القانون على ما يلي:

[[ملف:Law of tangents - spherical trigonometry.svg|يسار|160بك]]


=== قانون ظل التمام ===


[[ملف:Herontriangle1greek.svg|250px|تصغير|يسار|(3.ج)]]
[[ملف:Herontriangle2greek.svg|تصغير|250px|يسار|(3.د)]]

ليكن ABC مثلث، وa وb وc أضلاعه (حيث a=BC وb=AC وc=AB)، إذا كان:

:<math>r = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)} ~</math> (نصف قطر [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|الدائرة الداخلية للمثلث]])

و

:<math> s = \frac{a+b+c}{2 } ~</math> ([[نصف محيط]] المثلث)،

ثم كل ما يلي يشكل قانون ظل التمام:

:<math>
\cot{ \frac{A}{2 }} = \frac{s-a}{r} ~; \qquad
\cot{ \frac{B}{2 }} = \frac{s-b}{r} ~; \qquad
\cot{ \frac{C}{2 }} = \frac{s-c}{r} ~.</math>

نستنتج أن:

:<math> \frac{\cot \dfrac{A}{2}}{s-a} = \frac{\cot \dfrac{B}{2}}{s-b} = \frac{\cot \dfrac{C}{2}}{s-c} = \frac{1}{r} ~.</math>

=== مبرهنة الساندويتش ===


تساعد هذه المبرهنة في حساب [[نهاية دالة|النهايات]] الصعبة ومشتقات الدوال المثلثية. هذه المتباينة الصالحة فقط عند المجال <math>-{\pi \over 2} < \theta < {\pi \over 2}</math>، هي كما يلي:

:<math> \cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta}< 1 </math>

تمكننا هذه المتباينة من حساب النهاية التالية:
<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}</math>. تفيد هذه النهاية في حساب مشتقات الدوال المثلثية، طالع [[تفاضل الدوال المثلثية]].

المتباينات المشابهة هي كما يلي:

[[ملف:Trigonometric functions Inequalities.svg|225بك|يسار]]


=== مبرهنة بطليموس ===


[[ملف:Ptolemy_theore_trig2_proof.svg|يسار|لاإطار]]
**مبرهنة بطليموس** هي علاقة بين الأضلاع الأربعة وقطرا [[رباعي دائري|الرباعي الدائري]] (رباعي محاط بدائرة تشمل جميع [[رأس (هندسة)|رؤوسه]]).

ليكن ABCD رباعي دائري، إذا كان θ<sub>1</sub>+θ<sub>2</sub>+θ<sub>3</sub>+θ<sub>4</sub>=180°، فإن:

<div style="direction:ltr;">
:<math>\begin{align}
 \sin(\theta_1 + \theta_2)\sin(\theta_2 + \theta_3)
&= \sin(\theta_2 + \theta_3)\sin(\theta_3 + \theta_4) & \text{(trivial)} \\
&= \sin(\theta_3 + \theta_4)\sin(\theta_4 + \theta_1) & \text{(trivial)} \\
&= \sin(\theta_4 + \theta_1)\sin(\theta_1 + \theta_2) & \text{(trivial)} \\
&= \sin \theta_1 \sin \theta_3 + \sin \theta_2 \sin \theta_4. & \text{(significant)}
\end{align}</math>
</div>

=== صيغة مولفيده ===


لتكن a و b و c أطوال أضلاع للمثلث، و α و β و γ الزوايا المقابلة لتلك الأضلاع الثلاثة على التوالي. تنص صيغة مولفيده على ما يلي:
[[ملف:Mollweide's formula.svg|125بك|يسار]]


=== قانون موري ===
ينص هذا القانون الرياضي على أن جداء جيوب التمام لكل من 20° و40° و80° يساوي 1/8، بتعبير رياضي:

:cos(20°).cos(40°).cos(80°) = 1/8

وهي [[حالة خاصة]] للمتطابقة العامة:

:<math> 2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha) = \frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}</math>

مع n=3 وα=20°.

هذه المتطابقة تثير الفضول، لأن، عند تعويض n و α للحد الثاني بتلك القيم، تكون النتيجة:

:<math> \frac{\sin(160^\circ)}{\sin(20^\circ)} = \frac{\sin(180^\circ-20^\circ)}{\sin(20^\circ)} = 1,</math>

بما أن:

:sin(180°-x) = sin(x)

توجد متطابقة مشابهة لهذه المتطابقة، وهي متعلقة بدالة الجيب:

:sin(20°).sin(40°).sin(80°) = √3/8

زيادة على ذلك، عند تقسيم المتطابقة الثانية على الأولى، تنتج متطابقة أخرى:

:tan(20°).tan(40°).tan(80°) = √3 = tan(60°)

== الدوال العكسية ==


الدوال المثلثية دورية، ومن ثمّ، هي ليست [[دالة متباينة|متباينة]]، وعلى هذه ليس لديها [[دالة عكسية]]. ومع ذلك، في كل مجال تكون فيه الدالة المثلثية [[دالة رتيبة|رتيبة]]، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية، بهذه الطريقة، تعرّف الدوال المثلثية العكسية [[دالة متعددة القيم|كدوال متعددة القيم]]. لتعريف دالة عكسية حقيقية، يصير من الضروري تقليص مجال تعريفها إلى مجال تكون فيه الدالة رتيبة، حتى تكون الدوال المثلثية [[تقابل (دالة)|دوالا تقابلية]]. يعطى الاختيار الشائع لهذا المجال الذي يطلق عليه اسم «مجموعة القيم الرئيسية» في الجدول التالي. عادة ما يشار إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "arc" قبل اسم الدالة أو اختصارها.

يوضح الجدول الآتي قائمة الدوال المثلثية العكسية مع إبراز المنطلقات والمستقرات والمشتقات.

[[ملف:Inverse trigonometric functions table-ar.svg|700بك]]

غالبًا ما تستخدم التدوينات sin<sup>−1</sup> وcos<sup>−1</sup>... إلخ للتعبير عن arcsin وarccos ،... وهكذا. عند استخدام هذا التدوين، قد يؤدي هذا إلى الالتباس بين [[دالة عكسية|الدوال العكسية]] [[مقلوب عدد|والمعاكيس الضربية]].

يمنع التدوين بالبادئة "arc" مثل هذا اللبس، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين "arcsec" لـ arcsecant و لـ "arcsecond" (التي تعني «[[دقيقة القوس وثانيته|ثانية القوس]]»).

يُمكن للدوال المثلثية العكسية أن تعرف بواسطة المتسلسلات تماما كما هو الحال بالنسبة للدوال المثلثية. على سبيل المثال،

: <math>
\arcsin z = z + \left(\frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left(\frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\,.</math>

يمكن أيضًا التعبير عنها بدلالة [[لوغاريتم مركب|اللوغاريتمات المركبة]].

== الدوال الزائدية ==


[[ملف:HyperbolicAnimation.gif|يسار|upright=1.2|تصغير| صورة متحركة للدوال المثلثية (الدائرية) والدوال الزائدية. باللون الأحمر، منحنى معادلته x² + y² = 1 (دائرة الوحدة)، وبالأزرق x² - y² = 1 (القطع الزائد)، مع النقاط (cos(θ),sin(θ)) و (1,tan(θ)) باللون الأحمر و (cosh(θ),sinh(θ)) و (1,tanh(θ)) باللون الأزرق.]]

الدوال الزائدية هي تلك الدوال التي تشبه الدوال المثلثية لكنها معرفة بواسطة [[قطع زائد|القطع الزائد]] بدلاً من ال[[دائرة]]: تمامًا كما تشكل النقاط (cos(t), sin(t)) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh(t), sinh(t)) النصف الأيمن للقطع الزائد.

الدوال الزائدية هي:

[[ملف:Hyperbolic functions table-ar.svg|700بك]]

يعتمد كلا النوعين على عُمدة، إما [[زاوية (هندسة)|زاوية دائرية]] أو [[زاوية زائدية]].

بما أن مساحة [[قطاع دائري|القطاع الدائري]] الذي نصف قطره r وزاويته u هي <math>
\frac{1}{2} r^2 u
</math> ، فسوف تكون مساوية لـ u عندما تكون r=√2. في الرسم البياني، تكون الدائرة مماسية على القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 عند النقطة (1,1). يمثل القطاع البرتقالي مساحة ومقدار الزاوية الدائرية. وبالمثل، تمثل القطاعان الأصفر والأحمر معًا مساحة ومقدار الزاوية الزائدية.

سيقان المثلثين القائمين اللذين وتراهما هما عبارة عن شعاع محدد للزوايا يبلغ طولهما 2√ مرة الدوال الدائرية والزائدية.

في حالة القطع الزائد الذي معادلته x<sup>2</sup> - y<sup>2</sup> =1، مقدار الزاوية الزائدية هو ضعف المساحة الزرقاء المحددة بنصف المستقيم ومحور السينات والقطع الزائد، تماما كما يكون مقدار الزاوية الدائرية هو ضعف المساحة الزرقاء للدائرة التي معادلتها: x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> =1.

في المتطابقات الزائدية، هناك تشابه كبير بينها وبين المتطابقات المثلثية، بعض الأمثلة على ذلك:

[[ملف:Hyperbolic identities equations.svg|275بك|يسار]]


هناك علاقة تربط الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون اللجوء إلى استخدام [[عدد مركب|الأعداد المركبة]] تُعْرَف [[دالة غودرمانية|بالدالة الغودرمانية]]، وهي معرّفة في ℝ نحو <math>\left ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[</math> بـ:

<div style="direction:ltr;">
:<math>\begin{align} \operatorname{gd} x
 \int _{0}^{x}\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t = \arcsin\left(\tanh x \right) = \arctan(\sinh x) = \operatorname{arccsc}(\coth x) \\[6pt]
 \sgn(x)\arccos\left(\operatorname{sech} x \right) = \sgn(x) \operatorname{arcsec}(\cosh x) \\[6pt]
 2\arctan\left( \tanh \frac{x}{2} \right)\\[6pt]
\end{align} </math>
</div>
وsgn (x) هي [[دالة الإشارة]].<gallery mode="packed" widths="180" heights="200">
ملف:Circular and hyperbolic angle.svg|(4.ب) الدائرة والقطع الزائد متلامسان عند النقطة (1,1) تعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مقدار الزاوية u، والدوال الزائدية اعتمادًا على مقدار الزاوية u.
ملف:Hyperbolic area 1.png|(4.ج)
ملف:Circle area 1.png|(4.د)
</gallery>

== علاقة الدوال المثلثية بالدوال الخاصة ==
يمكن كتابة بعض [[دوال خاصة|الدوال الخاصة]] بدلالة مجموعة من الدوال بما في ذلك الدوال المثلثية.

* [[دالة بيسل]] من المرتبة 1/2: دالة بيسل التي هي عبارة عن متسلسلة القوى، هي حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

:<math>x^2 y''+xy'+(x^2-a^2)y=0</math>

حيث يمثل a المرتبة. يمكن كتابة أحد الحالات الخاصة لدالة بيسل (a = 1/2) بدلالة الدوال المثلثية على النحو التالي:

:<math>J_{1/2} = \sqrt \frac{2}{\pi x} \sin x </math>
:<math>J_{-1/2} = \sqrt \frac{2}{\pi x} \cos x </math>

* [[متعددات الحدود لتشيبيشيف|متعدد الحدود لتشيبيشيف]]: هو الحل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التالية:

:<math> (1-x^2)y'' - xy' + n^2 y = 0 </math>

مع n ممثلةً للمرتبة.

يمكن كتابة متعدد الحدود لتشيبيشيف من المرتبة n بدلالة الدوال المثلثية:

T<sub>n</sub> = cos(n.arccos(x))

== تطبيقات ==
=== حساب المتجهات ===
تُستخدم [[متجه|المتجهات]] (التي لها مقدار واتجاه) لتمثيل [[متجه|كمية متجهة]] في الرياضيات والفيزياء مثل تمثيل [[قوة|القوة]] [[سرعة متجهة|والسرعة]]. تستخدم بعض حسابات المتجهات دوال مثلثية. على سبيل المثال، يمكن حساب [[جداء نقطي|الضرب النقطي]] لمتجهين x وy بواسطة قانون جيب التمام:

:<math>\vec x \cdot \vec y = \cos\left(\angle (\vec x, \vec y)\right) \ \cdot \parallel \!\! \vec x \!\! \parallel \cdot \parallel \!\! \vec y \parallel</math>

يمكن أيضًا استخدام المعادلة التالية لحساب [[مقدار (رياضيات)|مقدار]] [[ضرب اتجاهي|الضرب المتجهي]]:

:<math>\parallel \vec x \times  \vec y\!\!\parallel = \sin\left(\angle (\vec x, \vec y)\right) \ \cdot \parallel \!\! \vec x \!\! \parallel \cdot \parallel \!\! \vec y \parallel</math>

=== الإحداثيات القطبية، والأسطوانية والكروية ===
[[ملف:CircularCoordinates.svg|تصغير|(5.أ) تمثيل نقطتين في نظام [[نظام الإحداثيات القطبية|الإحداثيات القطبية]]]]
الدوال المثلثية هي الأساس لتحديد [[نظام الإحداثيات القطبية]] الذي يكون فعالا في تبسيط العديد من المشكلات الرياضية والفيزيائية، بما في ذلك بعض التكاملات. في نظام الإحداثيات هذا، بدلاً من إحداثيات x وy لنقطة (المستخدمة في [[نظام إحداثيات ديكارتية|نظام الإحداثيات الديكارتية]])، بُعدها عن المركز والزاوية المحصورة بين الخط الذي يربطها بالمركز والخط الأفقي (r , θ) فهي تعتبر إحداثيات النقطة. تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية والعكس بالعكس باستخدام الدوال المثلثية:

:x = r cos(θ), y = r sin(θ)

تتشكل أيضًا أنظمة الإحداثيات [[نظام إحداثي أسطواني|الأسطوانية]] [[نظام إحداثي كروي|والكروية]]، التي تعد إحداثيات قطبية معممة على ثلاثية الأبعاد، على أساس الدوال المثلثية. تُستخدم هذه الأنظمة في مشكلات مثل [[تكامل متعدد|تكاملات ثلاثية الأبعاد]] لها تناظر أسطواني أو كروي.

=== المساحات ===
* [[مثلث]]: هناك قانون يعبر عن مساحة المثلث بدلالة أضلاعه a وb والزاوية المحصورة بينهم θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه:

:(S = (1/2).ab.sin(θ

* [[متوازي أضلاع رباعي|متوازي أضلاع]]: يمكن ايجاد مساحته من خلال معرفة أطوال أضلاعه a وb وإحدى زواياه θ دون الحاجة إلى معرفة ارتفاعه بتطبيق هذا القانون:

:(S = ab.sin(θ

* [[مضلع منتظم]]: يمكن ايجاد مساحته من خلال تلك الصيغ:

:<math>\frac{1}{4}nl^2\cdot \cot(\pi/n) \ = \ \frac{1}{4n}p^2\cdot \cot(\pi/n)</math>

:مع n عدد الأضلاع وl هو طول أحد الأضلاع وp هو محيط المضلع.

:إذا كان المضلع محاط بدائرة نصف قطرها R ومحيط بدائرة نصف قطرها r (يُغدُّ أيضًا [[عامد]] المضلع):

:<math>
\frac{1}{2}nR^2\cdot \sin(2\pi/n)\ = \ nr^2 \tan(\pi/n)
</math>

=== المحيطات ===
* مضلع منتظم: يمكن إيجاد محيطه بدلالة عدد أضلاعه n والمسافة بين مركز المضلع وأحد رؤوسه b ودالة الجيب:

:2nb.sin(π/2)

* [[قطع ناقص]]: يمكن إيجاد محيطه إنطلاقًا من [[نصف المحور الأكبر والأصغر|نصف محوره الأكبر]] a والأصغر b باستخدام إحدى الدوال المثلثية:

:<math>C \,=\, 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta \,=\, 4 a \,E(e)</math>

:مع <math>e=\sqrt{1 - b^2/a^2}</math> هو [[اختلاف مركزي|معامل التباعد المركزي]]، وE هو [[تكامل ناقصي|التكامل الإهليلجي]] التام من النوع الثاني:
: <math>E(e) \,=\, \int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta</math>

:يتم الحصول على هذا القانون باستخدام صيغة حساب [[طول قوس|طول القوس]] والإحداثيات القطبية.

=== الحجوم ===
* [[متوازي وجوه سداسي|متوازي السطوح]]: يمكن تعبير عن حجمه بدلالة جيب التمام:

:<math>V =  abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)}
</math>

مع <math>\ \alpha=\angle(\vec b, \vec c) ,\; \beta=\angle(\vec a,\vec c) ,\; \gamma=\angle(\vec a,\vec b) </math> وa,b,c هي أطوال [[حافة (هندسة)|الأحرف]].

=== علاقتها بالدالة الأسية وبالأعداد المركبة ===
[[ملف:Sinus_und_Kosinus_am_Einheitskreis_3.svg|تصغير|(5.ب) تمثيل عدد مركب على المستوي المركب|بديل=]]

* يمكن كتابة أي [[عدد مركب]] على الشكل المثلثي:

:z = |z| (cosθ + isinθ) و|z| هو [[معيار عدد مركب|القيمة المطلقة للعدد المركب]]، وi هي [[وحدة تخيلية]] مربعها يساوي واحد.

يطلق على العلاقة بين [[دالة أسية|الدالة الأسية]] والدوال المثلثية اسم [[صيغة أويلر]]:

:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta</math>

إثبات: لتكن متسلسلة تايلور للدالة الأسية:

<div style="direction:ltr;">
:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} +\cdots </math>
</div>

بوضع: x=iθ، تصبح المتسلسلة:

<div style="direction:ltr;">
:<math>e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} -\cdots </math>

:<math>e^{i\theta} = \left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \right) + i\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots \right) </math>
</div>

من [[#متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام|متسلسلتا ماكلورين لدالتي الجيب وجيب التمام]]:

:<math> e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta</math>

فيُبصح:

<math>\begin{align}
e^{i\theta}  &= \cos \theta + i\sin \theta\\[5pt]
e^{-i\theta}  &= \cos \theta - i\sin \theta.
\end{align}</math>

قد تستعمل صيغة أويلر للحصول على بعض [[قائمة المطابقات المثلثية|المتطابقات المثلثية]]، وذلك بكتابة دالتي الجيب والجيب التمام كما يلي:

:<math> \sin\theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2i} \;</math>

:<math> \cos\theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2} \;</math>

* يمكن ملاحظة أن جيب التمام يمكن اعتباره الجزء الحقيقي والجيب هو الجزء التخيلي للدالة الأسية المركبة. رياضيا:

:<math>\cos \theta = \operatorname{Re}(e^{i \theta})</math>
:<math>\sin \theta = \operatorname{Im}(e^{i \theta})</math>

* يعرف الشكل المعمم لصيغة أويلر باستعمال [[صيغة دي موافر]]:

:<math>e^{in \theta} =(\cos \theta + i  \sin \theta)^n = \cos (n \theta) + i \sin (n \theta)</math>

* أيضًا، باستخدام تعريف بواسطة متسلسلة ماكلورين [[دوال زائدية|للدوال الزائدية]] والمثلثية، يمكن الحصول على العلاقات بين تلك الدوال:

:<math>\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} = \frac{\sinh \left( i z\right)}{i} </math>

:<math>\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2} = \cosh \left(i z\right) </math>

=== علم الفلك ===
استخدمت [[حساب المثلثات الكروية]] لعدة قرون لتحديد موقع الشمس والاقمار والنجوم، والتنبؤ [[كسوف|بالكسوف والخسوف]]، ووصف [[مدار]]ات الكواكب.

في العصر الحديث، تستخدم التثليث الزاوي في علم الفلك لقياس مسافة النجوم القريبة، وكذلك في أنظمة [[الملاحة عبر الأقمار الاصطناعية|الملاحة عبر الأقمار الصناعية]].

=== الخرائط والمساحة ===
[[ملف:Distance by triangulation.svg|تصغير|250x250px|(5.ج) تستخدم التثليث الزاوي في إيجاد إحداثيات والبعد لسفينة بالنسبة للشاطئ وذلك بقياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين|بديل=]]

حساب المثلثات هو أساس معظم ممارسات [[خرائطية|الخرائط]] [[مساحة (تخصص)|والمساحة]]. قياس زاوية باستخدام [[مساحة (تخصص)#أجهزة المساحة|الجهاز]] أو دون استخدامه، [[إسقاط الخرائط]] (تحويل [[سطح ناقصي مرجعي|سطح ناقصي]] إلى سطح مستوي)، وتحديد الارتفاعات، وحساب [[اتجاه زاوي|الاتجاه الزاوي]]، و[[مسح اجتيازي|المسح الاجتيازي]] المفتوح والمغلق، وتصميم الأقواس في إنشاء الطرقات، وتحويل ثنائي الأبعاد في [[مسح جوي|المسح الجوي]].

على سبيل المثال، في [[تثليث زاوي|التثليث الزاوي]]، وهي إحدى الطرق القديمة للمساحة، نحسب احداثيات نقطة معينة من خلال قياس الزوايا بين نقطتين مرجعيتين؛ يُستخدم هذا المبدأ حاليًا في . يُستخدَم في التثليث الزاوي قانون جيب التمام وقانون الجيب لحساب زوايا المثلثات وتحديد الموقع الدقيق لكل نقطة.

في الحالة المبينة في الشكل (5.ج)، تُحسَب المسافة بتطبيق هذا القانون:
[[ملف:mountain height by triangulation.svg|تصغير|250x250px|(5.د) رسم توضيحي لكيفية حساب ارتفاع جبل.|بديل=]]

قياس ارتفاع جبل أو مبنى مرتفع، ليكن h، هو مثال آخر عن التثليث الزاوي، وعندها تُحدد الزوايا α و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى (الشكل (5.د)). لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط، يحسب الارتفاع بتطبيق هذا القانون:

:<math> h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.</math>

=== متسلسلة فورييه وتحويل فورييه ===
دالتا الجيب وجيب التمام مثل كثيرات الحدود المتعامدة مستقلةٌ خطياً. ومنهم يمكن كتابة أي دالة (دورية عمومًا) على أنها العلاقة التالية بدلالة متسلسلة من تلك الدوال، والتي تسمى [[متسلسلة فورييه]]:

:<math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>

بالنسبة للدوال الفردية، فقط حدود دالة الجيب، أما الدوال الزوجية، فقط حدود دالة جيب التمام زائد معامل ثابت.

[[تحويل فورييه]] هو نوع من التحويل التكاملي وهو عبارة عن امتداد لمتسلسلة فورييه. يُعرف هذا التحويل بـ:
 
:<math>F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-\mathrm{i} \omega t} \,dt </math>

تُحوّل الدالة الأسية المركبة إلى دوال مثلثية بواسطة صيغة أويلر. تستخدم تحويل فورييه لحل [[معادلة تفاضلية جزئية|المعادلات التفاضلية الجزئية]] مثل [[معادلة موجية|معادلة الموجة]] [[محلل طيف|والتحليل الطيفي]] [[معالجة الإشارة|ومعالجة الإشارات]].

يستخدم [[تحويل جيب التمام المتقطع]] القريب من تحويل فورييه لتقليل [[حجم ملف]] [[جيه بيه إي جي|JPEG]] في أثناء التخزين مع الحفاظ على الجودة النسبية ([[ضغط صورة|ضغط الصور]])، هذا التحويل هو تقنية تمثل البيانات على شكل مجاميع دوال جيب التمام.

=== الدوال الدورية ===
[[ملف:Synthesis_square.gif|يسار|تصغير|350x350بك|(5.هـ) صورة متحركة ل[[موجة مربعة|موجة مربعية]] مع عدد متزايد من التوافقيات]]

الدوال المثلثية مهمة أيضا في [[فيزياء|الفيزياء]]. على سبيل المثال، يُستخدام الجيب وجيب التمام لوصف [[حركة توافقية بسيطة|الحركة التوافقية البسيطة]]، التي تنمذج العديد من الظواهر الطبيعية، مثل حركة كتلة متصلة [[نابض|بنابض]] ()، وبالنسبة للزوايا الصغيرة، حركة كتلة معلقة بواسطة خيط ([[نواس بسيط]])؛ وفي ال[[كهرباء]] وال[[إلكترونيات]]، تستخدم الدالتان الأخيرتان لدراسة [[دائرة كهربائية|الدارات الكهربائية]] مثل [[دائرة مقاومة وملف ومكثف|دارة مقاومة وملف ومكثف]] المهتزة. دوال الجيب وجيب التمام هي اسقاطات أحادية البعد [[حركة دائرية|لحركة دائرية]] منتظمة.

تثبت الدوال المثلثية أيضًا على أنها مفيدة في دراسة الدوال الدورية العامة. تُعد أنماط الموجات المميزة للدوال الدورية مفيدة لنمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو [[موجة|الموجات]] الضوئية.

يمكن عموماً التعبير عن دالة دورية f(x) بصفتها مجموع موجات الجيب أو موجات جيب التمام في [[متسلسلة فورييه|متسلسلات فورييه]] مثل [[موجة مربعة]] أو [[موجة سن المنشار]].

نشير إلى الدالة التي تتضمن الجيب أو جيب التمام بـ ، يأخذ مفكوك الدالة الدورية f(t) الشكل:

<math>f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t) </math>

حيث  هو معامل المتسلسلة.

على سبيل المثال، يمكن كتابة [[موجة مربعة|الموجة المربعية]] ك<nowiki/>[[متسلسلة فورييه]]:

<math> f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \big( (2k-1)t \big) \over 2k-1}.</math>

في الصورة المتحركة لموجة مربعية (5.هـ)، يمكن ملاحظة أن بعض الحدود فقط تنتج تقريبًا جيدًا إلى حد ما.

=== المنحنيات الوسيطية ===


[[ملف:Lissajous_curve_5by4.svg|يسار|تصغير|(5.و) [[منحنى ليساجو]]، كُوّن هذا الشكل باستعمال دوال تعتمد على الدوال المثلثية، حيث <math>\omega_x =5</math> و <math>\omega_y =4</math> ، وa, b = 1 ، و <math>\delta, \gamma = 0</math>.]]

يمكن تمثيل بعض المنحنيات الخاصة باستخدام المعادلات الوسيطية وبدلالة الدوال المثلثية، بعض من الأمثلة على المنحنيات الخاصة هي كما يلي:

:* ال[[دائرة]]: تعطى المعادلة الوسيطية للدائرة ذات المركز <math>(x_0 , y_0)</math> ونصف القطر r بواسطة:

:<math>\begin{cases}
  x =  r\,\cos(t) + x_0 \\
  y =  r\,\sin(t) + y_0
\end{cases}</math>
:* [[قطع ناقص|القطع الناقص]]: يُمثَّل القطع الناقص ذو المركز <math>(x_0 , y_0)</math> ونصف المحور الكبير a ونصف المحور الصغير b كما يلي:

:<math>\begin{cases}
  x =  a\,\cos(t) + x_0 \\
  y =  b\,\sin(t) + y_0
\end{cases}</math>

:* [[منحنى ليساجو]]: يُعبَّر عن منحنى ليساجو بواسطة:

:<math>\begin{cases}
  x =  a\,\sin(\omega_x t+\delta) \\
  y =  b\,\sin(\omega_y t+\gamma)
\end{cases}</math>

:مع <math>\omega_x</math> و <math>\omega_y</math> هي عبارة عن ثوابت تصف عدد فصوص الشكل.

:* [[قطع زائد|القطع الزائد]]، يمكن تمثيل وسيطيًا القطع الزائد الأفقي بواسطة:

:<math>\begin{cases}
  x = a\sec t + h \\
  y = b\tan t + k
\end{cases}</math> أو <math>\begin{cases}
  x = \pm a\cosh t + h \\
  y = b\sinh t + k
\end{cases}</math>

:ويمكن تمثيل القطع الزائد العمودي وسيطيًا كما يأتي:

:<math>\begin{cases}
  x = a\tan t + h \\
  y = b\sec t + k
\end{cases}</math> أو <math>\begin{cases}
  x = a\sinh t + h \\
  y = \pm b\cosh t + k 
\end{cases}</math>

:مع (h , k) هي مركز القطع الزائد.

بالإضافة إلى تلك المنحنيات، يمكن أيضًا تمثيل عدة رسومات التي تعتمد على الدوال المثلثية، بما في ذلك [[عجلي تحتي|المنحنى العجلي التحتي]]، [[لولب (هندسة)|اللولب]]، ،... وهكذا.

=== البصريات ===
[[ملف:Snells law2-ar.svg|تصغير|250x250بك|(5.ز) [[انكسار (فيزياء)|انكسار]] الضوء.]]
التطبيق الأساسي للدوال المثلثية في [[بصريات|علم البصريات]] هو [[قانون الانكسار|قانون سنيل]]. ينص هذا القانون، الذي ينطبق على ظاهرة انكسار الضوء، على العلاقة بين زوايا السقوط والانكسار:

: <math>\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1}</math>

حيث:

* θ<sub>1</sub>: زاوية سقوط الموجة، θ<sub>2</sub>: زاوية انكسار الموجة.
* v<sub>1</sub>: سرعة الضوء في الوسط الأول، v<sub>2</sub>: سرعة الضوء في الوسط الثاني.
* n<sub>1</sub>: [[معامل الانكسار]] للوسط الأول، n<sub>2</sub>: معامل الانكسار للوسط الثاني

بالإضافة إلى انكسار الضوء، تُستخدم الدوال المثلثية في مجالات أخرى من البصريات، مثل تحليل [[تداخل الموجات]] [[استقطاب (فيزياء)|والاستقطاب]] [[حيود|والحيود]].

=== الملاحة ===


[[ملف:Distance_on_earth.png|يسار|238x238بك|تصغير|(5.ح)]]
تاريخيا، استخدمت حساب المثلثات لتحديد إحداثيات خطوط الطول والعرض لسفن الإبحار، ورسم المسارات القائم على الكائنات المختلفة مثل المنارات، وحساب المسافات في أثناء [[ملاحة|الملاحة]].

لا يزال حساب المثلثات مستخدمًا في الملاحة من خلال وسائل مثل [[نظام التموضع العالمي]] (GPS) و[[ذكاء اصطناعي|الذكاء الاصطناعي]] للمركبات الذاتية القيادة.

تُستخدم هذه المعادلة لتحديد المسافة بين نقطتين على الأرض:

:<math>\mathrm{AB} = R \arccos\left[\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right]</math>

مع:

* λ<sub>A</sub> وλ<sub>B</sub> هما [[عرض (جغرافيا)|العرضان الجغرافيان]] للنقطتين المرغوبتين.
* L<sub>A</sub> وL<sub>B</sub> هما [[طول (جغرافيا)|الطولان الجغرافيان]] للنقطتين المرغوبتين.
* R هو نصف قطر الأرض.
يمكن إثبات ذلك من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية.

=== الفيزياء الميكانيكية ===


في [[ميكانيكا|الفيزياء الميكانيكية]]، تُطبق الدوال المثلثية على [[معادلة حركة|معادلات الحركة]] ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد، وحتى في دراسة حركة الأجسام. على سبيل المثال، عند تحليل الاختلافات الدورية في [[علم الحركة (فيزياء)|الحركيات]] و[[علم التحريك|الديناميكيات]] الدورانية، ومعادلات [[زخم الحركة|الزخم]] و[[زخم زاوي|الزخم الزاوي]]، وظواهر [[تصادم|التصادم]]، نستخدم فيها دوال مثلثية.

[[ملف:Ferde hajitas1.svg|تصغير|يسار|210px|(5.ط) قذف جسم من مبدأ المَعْلم]]

من أكثر التطبيقات المعروفة للدوال المثلثية في الميكانيكا هي دراسة ظاهرة حركة جسم مقذوف بزاوية α، وتكتب [[معادلة وسيطية|المعادلة الوسيطية]] لمسارها بدلالة الزمن t على النحو التالي:

:<math>x(t)= v_0.t \cos \alpha</math>
:<math>y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0.t \sin \alpha</math>

مع x وy إحداثيات موضع الجسم عند الثانية t والسرعة الإبتدائية هي v<sub>0</sub> وg هي [[قوة التسارع]].

أيضا، تُحسب سرعة الجسمين v<sub>1</sub> وv<sub>2</sub> ومقدار الزاويتين θ وφ اللتين صنعهما الجسمان بعد [[تصادم مرن|التصادم المرن]] باستخدام الدوال المثلثية، بتطبيق [[قانون حفظ الزخم]] (في كلا المعادلتين، قبل تصادم جسمين (على اليسار) = بعد تصادم جسمين (على اليمين)):

**على المحور x:**
<center>
<math> \to  m_1v_1 + 0 = m_1v'_1\cos\theta + m_2v'_2 \cos\varphi</math>
** ثابت **
<math> P_x = </math>
</center>

**على المحور y:**
<center>
<math> \to  0 + 0 = m_1v'_1\sin\theta - m_2v'_2 \sin\varphi</math>
** ثابت **
<math> P_y = </math>
</center>

=== القبلة ===
[[ملف:Qibla from Yogyakarta on globe, English labels paths.svg|تصغير|يسار|upright=1.2|(5.ي) حساب القبلة من مدينة [[يوغياكارتا]] الإندونيسية.]]
ال[[قبلة]] هي وجهة المصلي عند [[الصلاة في الإسلام|الصلاة]] وهي عند المسلمين [[الكعبة]] المشرفة في مدينة [[مكة]].

يتم تطبيق نموذج [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] لحساب ال[[قبلة]] باستخدام حساب المثلثات الكروية، وهو العلم الذي برع فيه العلماء المسلمين قديمًا واستقر العمل في تحديد القبلة عليه. في الشكل التالي، يشكل موقع المصلي O و[[الكعبة]] Q والقطب الشمالي N مثلثًا على الكرة الأرضية. يُشار إلى القبلة بـ OQ، وهي اتجاه [[دائرة عظمى|الدائرة العظمى]] التي تشمل النقطتين O و Q. يمكن أيضًا التعبير عن القبلة كالزاوية ∠NOQ (أو ∠q للقبلة بالنسبة للشمال، وتسمى أيضًا «إنحراف القبلة». يمكن حساب هذه الزاوية كدالة رياضية لخط عرض موقع المصلي Φ، وخط عرض الكعبة Φ<sub>Q</sub>، والفرق بين خطي طول الموقعين المذكورين سابقًا ΔL، هذه الدالة مستمدة من [[حساب المثلثات الكروية#صيغ ظل التمام للأجزاء الأربعة للمثلث|قاعدة ظل التمام]] التي تنطبق على أي مثلث كروي ذات الزوايا A وB وC والجوانب a وb وc:

<math>\cos a\,\cos C=\cot b\,\sin a - \cot B \,\sin C</math>

بتطبيق هذه الصيغة على المثلث الكروي NOQ (بتعويض B = ∠q = ∠NOQ) وبتطبيق [[حساب المثلثات الكروية#المتطابقات|المتطابقات المثلثية]]، يكون:

<math>\cot q = \frac{\sin \Phi \cos \Delta L - \cos \Phi \tan \Phi_Q}{\sin \Delta L}</math> ، ومنه يكون: <br />
<math>q = \cot^{-1} \frac{\sin \Phi \cos \Delta L - \cos \Phi \tan \Phi_Q}{\sin \Delta L}</math>

=== الهندسة الكهربائية والاتصالات ===
[[ملف:3_phase_AC_waveform.svg|بديل=|تصغير|250x250px|(5.ك) تمثيل دور واحد لنظام ثلاثي الطور من 0° إلى 360° (2π راديان) على طول المحور الزمني. يمثل المنحنى اختلاف الجهد اللحظي (أو التيار) بدلالة الزمن. يتكرر هذا الدور بتردد يعتمد على نظام القدرة الكهربائية.]]
تستخدم [[تيار متناوب|التيارات المتناوبة]] في تزويد المنازل والمصانع بالطاقة الكهربائية، ويُعبَّر عنها بشكل [[موجة جيبية]]. أحد الأسباب الرئيسية لتفضيل التيار المتناوب على [[تيار مستمر|التيار المستمر]] في الصناعة هو إمكانية تحويل مستوى الجهد للتيار المتناوب باستخدام [[محول|المحولات]]، وهذا يُقلل من الطاقة الضائعة عند النقل لمسافات طويلة ويجعلها ذات ربح عالٍ، بالإضافة لإمكانية عدم استعمال [[مبدال|المباديل]] في المولدات.

تولد محطات الكهرباء تيارات [[حسابات الطاقة الكهربائية للتيار ثلاثي الطور|ثلاثية الطور]] في الغالب. يمكن وصف تغير التيار المتناوب بتلك المعادلات: <math>v =V_m\sin(\omega t + \theta_v)</math> و <math>i = I_m \sin(\omega t + \theta_i)</math> ، ومن ثمّ تُحسب وتُحدد علاقات مختلفة مثل [[قدرة التيار المتردد|القدرة اللحظية]]، القدرة الفعالة، القدرة غير الفعالة، ... إلخ، أو مفاهيم مثل تقدم الطور، وتأخر الطور وزاوية القدرة و[[معامل القدرة]]، ...، من خلال تحليل الدوال المثلثية. الكهرباء التي تُغذى بها المنازل هي موجة جيبية ترددها غالباً ما يكون 50 أو 60 هرتز.

تُنمذج محددات خط نقل الطاقة الكهربائية باستعمال [[دوال زائدية]].

في أنظمة [[اتصال عن بعد|الاتصالات]]، عادة ما تدعم كل [[قناة اتصال|قناة الاتصال]] نقل إشاراتٍ فقط في نطاق ترددي معين، ويتعذر إرسال الإشارة عبر القناة إذا كان ترددها خارج هذا النطاق. ولذلك، من أجل إرسال إشارة لها تردد خارج النطاق، عادة ما يتم تثبيتها على موجة أخرى لها تردد متوافق مع نطاق القناة، تُسمَّى هذه التقنية [[تضمين (إلكترونيات)|التضمين]]. في [[إشارة تماثلية|الإشارات التماثلية]] تكون [[موجة حاملة|الموجة الحاملة]] موجة جيبية. على سبيل المثال، في [[تضمين السعة]]، تُضرب الإشارة التي تحتوي على المعلومات في الموجة الحاملة للموجة الجيبية.

== ملحق: مسرد المصطلحات الإنجليزية ==
<center>
</center>

== انظر أيضًا ==
<div class="references">
* [[جداول مثلثية]]
* [[دوال زائدية]]
* [[قائمة المتطابقات المثلثية]]
* [[إثبات المتطابقات المثلثية]]
* [[صيغة أويلر]]
* [[دالة ابتدائية|الدوال الإبتدائية]]
</div>

== هوامش وملاحظات ==

:. نسبت مصادر مختلفة الاستخدام الاول للمصطلح "sinus" إلى:
::* إما ترجمة [[أفلاطون تيبورتينوس]] في عام 1116 لأعمال [[محمد بن جابر بن سنان البتاني|البتاني]] الخاصة بعلم الفلك.
::* أو ترجمة [[جيراردو الكريموني]] لجبر [[محمد بن موسى الخوارزمي|الخوارزمي]]
::* أو ترجمة [[روبرت أوف تشستر]] سنة 1145 لجداول الخوارزمي
::* طالع: وMaor (1998), chapter 3, for an earlier etymology crediting Gerard.
:. جاء في كشاف اصطلاحات الفنون والعلوم للتهانوي: "[[جيب (رياضيات)|الجيب]]: بالفتح وسكون المثناة التحتانية في اللّغة گريبان كما في الصّراح. وعند المهندسين والمنجمين هو نصف وتر ضعف القوس. [...] وهذا الذي ذكر هو الجيب المستوي. وما وقع من القطر بين جيب القوس وطرف القوس هو **الجيب المعكوس** ويسمّى **بسهم''' القوس أيضا."
:. تنسب بعضٌ من المصادر الجدول الأول الموضوع للظل إلى حبش الحاسب

## مراجع
### فهرس المراجع
;المنشورات
:بالعربية

:بالإنكليزية

;وب

### معلومات المراجع كاملة
;الكتب
:بالعربية

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

:بالإنكليزية

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

;تقارير ومقالات ودوريات محكمة
:العربية

* 
* 
* 

:بالفرنسية

* 

:الإنكليزية

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

*
تصنيف:أعداد لابعدية
تصنيف:تحليل تناسقي
تصنيف:دوال خاصة ابتدائية
تصنيف:دوال تحليلية
تصنيف:زوايا
تصنيف:حساب المثلثات
تصنيف:نسبة
تصنيف:هندسة الدائرة