تفاضل كامل

**تفاضل كامل** أو **المشتقة الكاملة** في الرياضيات (بالإنجليزية: total derivative) وبصفة خاصة في حساب التفاضل وهو يختص بتفاضل دالة تعتمد علي عدة متغيرات. فإذا كان لدينا دالة *f* تعتمد على المتغيرات مثلا *t*,*x*,*y* وغيرها فإن المشتقة الكاملة للدالة *f* بالنسبة إلى أحد المتغيرات مثل *t* تكون مختلفة عن المشتقة الجزئية. بحساب التفاضل الكامل للدالة *f* بالنسبة إلى *t* لا نعتبر أن المتغيرات الأخرى ثابتة أثناء تغير *t* ، وإنما تسمح للمتغيرات الأخرى *x*,*y* أن تتغير بالنسبة إلى *t*. وتأخذ المشتقة الكاملة أعتماد المتغيرات فيما بينها في الحسبان للحصول على التغير الكامل للدالة *f* على *t*.

فعلى سبيل المثال، يكون التفاضل الكامل للدالة (*f*(*t*,*x*,*y* بالنسبة إلى *t* كالآتي:

:\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.

وعندما نقوم بضرب طرفي المعادلة بمعامل التفاضل
\operatorname dt نحصل على:

:{\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy.

والنتيجة هي التغير التفاضلي \operatorname df للدالة f. ونظرا لأن f تعتمد على t, فإن جزء من هذا التغير سيكون بسبب المشتقة الجزئية للدالة f بالنسبة إلى t. ولكن بعض هذا التغير يعود على المشتقات الجزئية للدالة f واعتمادها على المتغيرات x وy.

وبناء على ذلك نطبق التفاضل \operatorname dt على المشتقة الكاملة ل x وy للحصول على التفاضل بالنسبة إلى \operatorname dx و\operatorname dy, والتي يمكن بها تعيين تأثيرهما على \operatorname df..

ونعبر عن معامل التفاضل كالآتي:

:\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j},

وهو يصف المشتقة الكاملة لدالة (في تلك الحالة بالنسبة إلى المتغير *x*).

## الحصول على المشتقة الكاملة بالتفاضل

يعطينا التفاضل تفسيرا واضحا للمشتقة الكاملة. فعلى سبيل المثال، إذا افترضنا M(t,p_1,\dots,p_n) دالة للزمن *t* وعدد *n* من المتغيرات p_i فيكون تفاضل الدالة *M* كالآتي:

: \operatorname d M = \frac{\partial M}{\partial t} \operatorname d t + \sum_{i=1}^n \frac{\partial M}{\partial p_i}\operatorname{d}p_i.

وقد تكون المتغيرات *t* و*p**j*
هي بدورها دوال بحيث تكون الدالة *M* معتمدة على تلك الدوال الأخرى، عندئذ يمكننا اعتبار المعادلة السابقة بأنها تفاضل من الدرجة الأولى. وميزة تلك الطريقة أنها تأخذ في الاعتبار أيضا اعتماد المتغيرات على بعضها البعض. فمثلا، إذا كانت p_1^2=p_2 p_3 ،

فتكون:

: 2p_1\operatorname dp_1=p_3 \operatorname d p_2+p_2\operatorname d p_3.

وإذا كانت المتغيرات *p**j* دوالا ل *t*, نحصل على:

: \operatorname d M
= \frac{\partial M}{\partial t} \operatorname d t + \sum_{i=1}^n \frac{\partial M}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t}\,\operatorname d t.

## المشتقة الكاملة والمشتقة الجزئية

تصادفنا في الميكانيكا مسائل تكون فيها الدالة f
لا تعتمد فقط على إحداثيات الموقع
x وy
وإنما أيضا على الزمن. أي تكون:
x = g(t) وy=h(t) إحداثيات مواقع نقطة تتحرك وتغير موضعها بمرور الزمن. في تلك الحالة تصبح دالة الحركة:

:t \mapsto f(t,g(t),h(t))

وهي معتمدة بطريقتان مع الزمن t ، حيث أن f نفسها تعتمد على الزمن
t.
# يسمى اعتماد f على الزمن مباشرة «اعتمادا بسيطا» أو «اعتمادا مباشرا» Explicit،
# وإذا كانت إحداثيات الموقع x = g(t) وy=h(t) هي الأخرى معتمدة على الزمن t فيسمى اعتماد f على الزمن «اعتمادا ضمنيا» Implicit.

نسمي المشتقة «مشتقة جزئية» للدالة f بالنسبة للزمن عندما نعني المشتقة الجزئية للعلاقة الأولى، أي:

:\frac{\partial f}{\partial t}(t,x,y)

حيث تكون كل من x وy ثابتين.أي أن تلك الحالة تراعي الاعتماد المباشر للدالة على الزمن.

ومن ناحية أخرى نتحدث عن «المشتقة الكاملة» للدالة f بالنسبة للزمن عند تعاملنا مع الدالة المركبة، أي:

:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t,g(t),h(t)).

وترتبط العلاقتان ببعضهما البعض كالآتي:

:\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(t,g(t),h(t)) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \, g' + \frac{\partial f}{\partial y} \,h'  
= \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \, \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}


و هذه العلاقة تعتبر كلتا الحالتين لاعتماد الدالة «المباشرة» و«الضمنية» على الزمن.

## أقرأ أيضا
* التفاضل
* التفاضل والتكامل
* اشتقاق (رياضيات)
## مراجع

تصنيف:تحليل رياضي
تصنيف:تفاضل متعدد المتحولات
تصنيف:حساب تفاضلي
تصنيف:معادلات اشتقاقية
تصنيف:ميكانيك لاغرانج