قائمة النهايات

هذه الصفحة تنطوي على عدد من نهايات بعض الدوال الرياضية الشائعة. مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.
## نهاية الدوال بوجه عام

إذا كان \lim_{x \to c} f(x) = L_1 و \lim_{x \to c} g(x) = L_2 ، فإن:

::\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2

::\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2

::\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \text{ if } L_2 \ne 0

::\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L_1^n  إذا كان n عدد صحيح موجب.

::\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L_1^{1 \over n} إذا كان n عدد صحيح موجب، وإذا كان a عدد زوجي، فإن L_1 > 0 .

:\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad \text{ if } \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \text{ or } \lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty (قاعدة لوبيتال)

:\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)

:\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)

:\lim_{h \to 0}{ \left({f(x(1+h))\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)

## نهاية بعض الدوال الخاصة

: \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e

: \lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}

: \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e

:  \lim\limits_{n \to \infty}2^n\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\cdots\sqrt{2}}}}}_{n-1}=\pi 

## نهايات بعض الدوال الأولية

:\lim_{x \to c} a = a

:\lim_{x \to c} x = c

:\lim_{x \to c} ax + b = ac + b

:\lim_{x \to c} x^r = c^r  ، إذا كان r عدد صحيح موجب.

:\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty

:\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = 

::-\infty إذا كان r عدد فردي
::+\infty إذا كان r عدد زوجي

## نهايات [[دالة أسية|الدوال الأسية]]

### دوال من الشكل ''a<sup>g(x)</sup>''
:\lim_{x \to c} e^{x} = e^c ، بسبب إستمراريةe^{x} .
:\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & 0 
:\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\begin{cases} 0, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ \infty, & 0 
:\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\lim_{x\to\infty}{a}^{1/x}=\begin{cases} 1, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ \text{does not exist}, & a 

### دوال من الشكل ''x<sup>g(x)</sup>''
:\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}=\lim_{x\to\infty}{x}^{1/x}=1

### دوال من الشكل ''f(x)<sup>g(x)</sup>''
* \lim_{x\to+\infty} \left( \frac{x}{x+k}\right)^x=e^{-k}
* \lim_{x\to 0} \left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e
* \lim_{x\to 0} \left(1+kx\right)^\frac{m}{x}=e^{mk}
* \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e
* \lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}
* \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk} 
*  \lim_{x \to 0} \left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)^{-\frac{1}{x}} = e^{a} . This limit can be derived from this limit.

## نهايات [[لوغاريتم|الدوال اللوغاريتمية]]

### اللوغاريتم الطبيعي
:\lim_{x \to c} \ln{x} = \ln c , بسبب استمرارية \ln {x} ، على وجه الخصوص.
::\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty
::\lim_{x\to\infty}\log x=\infty
:\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1
:\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1
: \lim_{x \to 0} \frac{-\ln\left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)}{x} = a. تتبع هذه النهاية قاعدة لوبيتال.
:\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0
:\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0

### لوغاريتمات ذات أساسات إختيارية
* من أجل  :
:\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty
:\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty
* من أجل  :
:\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty
:\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty

## نهايات [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]]

:\lim_{x \to a} \sin x = \sin a

:\lim_{x \to a} \cos x = \cos a

هذه النهايات تتبع كلا من استمرارية الجيب وجيب التمام.

:\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 ، أو بشكل عام:
::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1 ، من أجل *a* ≠ 0.
::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a
::\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} ، من أجل *b* ≠ 0.

:\lim_{x \to \infty} x\sin \left(\frac1x\right) = 1

:\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0

:\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

:\lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty  من أجل كل عدد صحيح n.
بسبب دورية الدوال المثلثية، ليس لديها نهاية عند .

## النهايات عندما تؤول (x) إلى [[لانهاية|مالانهاية]]

:\lim_{x\to\infty}N/x=0 \text{ for any real }N 
:\lim_{x\to\infty}x/N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ \text{does not exist}, & N = 0 \\ -\infty, & N 
:\lim_{x\to\infty}x^N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ 1, & N = 0 \\ 0, & N 
:\lim_{x\to\infty}N^x=\begin{cases} \infty, & N > 1 \\ 1, & N = 1 \\ 0, & -1 
:\lim_{x\to\infty}N^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/N^{x}=0 \text{ for any } N > 1
:\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{N}=\begin{cases} 1, & N > 0 \\ 0, & N = 0 \\ \text{does not exist}, & N 
:\lim_{x\to\infty}\sqrt[N]{x}= \infty \text{ for any } N > 0 
:\lim_{x\to\infty}\log x=\infty
:\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty

## انظر
قائمة التكاملات

## مراجع

تصنيف:دوال
تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات
تصنيف:نهايات (رياضيات)