متسلسلة متقاربة

في الرياضيات، **متسلسلة**  هي مجموع حدود متتالية من الأعداد.

لتكن \left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \} متتالية ما. الحد النوني للمجموع الجزئي S_n هو مجموع الحدود n الأولى للمتتالية، أي:
:S_n = \sum_{k=1}^n a_k.

تكون متسلسلة ما متقاربة إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية \left \{ S_1,\ S_2,\ S_3,\dots \right \} متقاربة. وبشكل رسمي، تكون متسلسلة متقاربة إذا وُجدت نهاية \ell حيث كيفما كان عدد موجب صغير ما \varepsilon> 0، فإنه يوجد عدد N حيث مهما كان n \ge \ N فإن :

:\left | S_n - \ell \right \vert \le \ \varepsilon.

يقال عن متسلسلة غير متقاربة متسلسلة متباعدة.

## أمثلة على متسلسلات متباعدة ومتسلسلات متقاربة

* مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية يعطي متسلسلة متباعدة تسمى المتسلسلة المتناسقة:
*: {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots \rightarrow \infty. 
* مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب، يعطي متسلسة متقاربة:
*: {1\over 1} -{1\over 2} + {1\over 3} - {1\over 4} + {1\over 5} \cdots = \ln(2)
* مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية الفردية مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب (صيغة لايبنتس ل π), يعطي متسلسة متقاربة:
*: {1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots = {\pi \over 4}.
* مجموع مقلوبات الأعداد الأولية يعطي متسلسة متباعدة (هذا برهان على أن عدد الأعداد الأولية غير منته):
*: {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots \rightarrow \infty.
* مجموع مقلوبات الأعداد المثلثية يعطي متسلسلة متقاربة:
*: {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots = 2.
* مجموع مقلوبات عاملي الأعداد الطبيعية يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى العدد e):
*: \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \cdots = e.
* مجموع مقلوبات المربعات الكاملة يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى معضلة بازل):
*: {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots = {\pi^2 \over 6}.
* مجموع مقلوبات قوى العدد اثنين يعطي متسلسلة متقاربة:
*: {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.
* مجموع مقلوبات قوى العدد اثنين مع جعل إشارتها تتناوب بين السالب والموجب، يعطي أيضا متسلسلة متقاربة:
*: {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 4}-{1 \over 8}+{1 \over 16}-{1 \over 32}+\cdots = {2\over3}.
* مجموع مقلوبات أعداد فيبوناتشي يعطي متسلسلة متقاربة (انظر إلى العدد ψ):
*: \frac{1}{1} +  \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \cdots = \psi.

## اختبارات التقارب

thumb|250px|left|إذا بُرهن على أن المتسلسلة الزرقاء <math>\Sigma b_n</math> متقاربة، فإن المتسلسلة الأصغر منها <math>\Sigma a_n</math> متقاربة أيضا. وبشكل مماثل، إذا بُرهن على أن المتسلسلة الحمراء <math>\Sigma a_n</math> متباعدة, فإن <math>\Sigma b_n</math> أيضا متباعدة.

هناك عدة طرق تمكن من معرفة هل متسلسلة ما تتقارب أو تتباعد.

**[[اختبار المقارنة (رياضيات)|اختبار المقارنة]]** : حدود المتتالية \left \{ a_n \right \} تُقارن مع حدود متتالية أخرى \left \{ b_n \right \}. إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة *n* :

0 \le \ a_n \le \ b_n, و \sum_{n=1}^\infty b_n متسلسلة متقاربة، فإن \sum_{n=1}^\infty a_n. متقاربة أيضا.

وبشكل مماثل، إذا توفر ما يلي مهما كانت قيمة n:

0 \le \ a_n \le \ b_n, و \sum_{n=1}^\infty a_n متباعدة، فإن \sum_{n=1}^\infty b_n أيضا متباعدة.

**[[اختبار النسبة (رياضيات)|اختبار النسبة]]** : يُفترض أنه مهما كانت قيمة n فإن a_n> 0 وأنه يوجد عدد r حيث

:\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = r.

إذا كان *r* <1, فإن المتسلسلة متقاربة. وإذا كان  فإن المتسلسلة متباعدة. أما إذا كان  فإن اختبار النسبة يصير غير مجد وغير نافع وأن المتسلسلة قد تكون متقاربة وقد تكون متباعدة.

**[[اختبار الجذر]] أو الجذر النوني**

**[[اختبار التكامل]]**

**[[اختبار مقارنة النهايات]]**

**[[اختبار المتسلسلات المتناونة الإشارة]]**

## مراجع

## انظر أيضا

* نهاية متتالية

تصنيف:تقارب (رياضيات)
تصنيف:متسلسلات