توزيع هندسي

تصغير|200بك|يسار

**التوزيع الهندسي** (بالإنكليزية: Geometric distribution) وهو جزء من التوزيع الاحتمالي المتعلق بتجارب بيرنولي، ويستخدم التوزيع الهندسي النموذج التالي: "كم عدد المحاولات التي نحتاجها للحصول على النتيجة المطلوبة؟"

إن التوزيع الهندسي يستخدم من أجل التوزيع التكراري للبيانات الكمية المنفصلة الثنائية من أجل معرفة احتمال ظهور المشاهدة W بعد k محاولة في التجربة المنفذة في فضاء عينة S ذو المشاهدات المعلومة Ai ذات قيم الاحتمال الثابتة والمعلومة Pi

P(W) = p*(1 - p)^{k-1}.
## تعريف
**التوزيع الهندسي** هو عدد التكرارات للتجربة للحصول على نجاح واحد فقط من تلك التجربة. فإذا كان المتغير X يشير إلى عدد مرات تكرار التجربة و P يشير إلى احتمال نجاح التجربة و q هو احتمال فشل التجربة وبالتالي فإن الدالة الاحتمالية لهذا التوزيع ستكون:

::  f(x)=p{(1-p)^{x-1}}

حيث أن ...,1,2,3=x

حيث أن x\geq{1} , 0\leq{p}\leq{1} , f(x)\geq{0} لجميع قيم x

: \sum^{\infty}_{x=1} p{(1-p)^{x-1}}=p\sum^{\infty}_{x=1} {(1-p)^{x-1}}=p\frac{1}{1-(1-p)}=1

وهذا يؤكد أن (f(x دالة احتمالية وقد سميت بالتوزيع الهندسي لان احتمالات قيم X المختلفة تناظر حدود متوالية هندسية.

يستخدم هذا التوزيع إذا كان هناك محاولات أو تجارب وتمثل X عدد هذه المحاولات حتى الحصول على أول نجاح. علما بأن احتمال النجاح P واحتمال الفشل في أي محاولة q=1-p فمثلا في فحص الإنتاج ربما تكون X عدد السلع المفحوصة حتى الحصول على أول تالفة . وكذلك في تجربة القاء قطعة النقود فربما تكون X عدد مرات القاء قطعة النقود حتى الحصول على صورة وكذلك عدد الولادات التي تضعها سيدة قبل أن ترزق بذكر .

## مثال

ليكن لدينا نرد متجانس (1,2,3,4,5,6,) ما هو احتمال ظهور الرقم 6 بعد 7 محاولات لالقاء النرد؟

الحل:
 
الاحتمالات الصحيحة (ظهور رقم 6): P = 1/6

الاحتمالات الخاطئة (عدم ظهور رقم 6): q=1-P = 5/6

يكون ظهور الحدث المطلوب بعد 7 محاولات، أي في المحاولة الثامنة وبالتالي: n=8

P(W)= p(1-p)^{n-1}= pq^{n-1}

بتعويض المعطيات

p(w)=(1/6) *(5/6)^(8-1)

p(w)= 0.04651

أي أنه من كل 100 محاولة لرمي النرد توجد 8 مرات فقط، سيظهر الرقم 1 في المرة الثامنة (وليس قبل الثامنة) في 4.651 مرة من أصل المحاولات المائة.

## دالة التوزيع التراكمية

: F(x)=\sum^{x}_{s=1}f(s)=\sum^{x}_{s=1}pq^{s-1}

: = p\frac{(1-q)^x}{(1-q)}=1-q^x

حيث أن ...,x=1,2,3

## المنوال
نلاحظ أن

::  \frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{pq^x}{pq^(x-1)}=q

أي أن الحدود المتتالية متناقصة . وهذا يعني أن أعلى احتمال هو عند X=1 وعلى ذلك فإن المنوال هو X=1

## متوسط التوزيع

: \mu=E(x)=\sum^{}_{x=1}xpq^{x-1}

: =p[1+2q+3q^2+4q^3+...]

: =p(1-q)^{-2}=\frac{1}{p}

## تباين التوزيع
نعلم أن

: \sum^{\infty}_{x=1}xq^{x}=q+2q^2+3q^3+\ldots

:: =q(1+2q+3q+...)

:: = \frac{q}{(1-q)^2}

بتفاضل الطرفين بالنسبة إلى q نحصل على

: \sum^{\infty}_{x=1}x^2q^{x-1}=\frac{1+q}{(1-q)^3}

: \therefore\sum^{\infty}_{x=1}x^2pq^{x-1}=p\frac{(1+q)}{p^3}

:: E(x^2)=\frac{1+q}{(p)^2}

وبذلك يكون التباين

:: \sigma^2=\frac{1+q}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}

## دالة توليد العزوم

: M(t)=\sum^{\infty}_{x=1}e^{xt}pq^{x-1}

: =pe^t\sum^{\infty}_{x=1}(qe^{t})^{x-1}

:: =\frac{pe^{t}}{1-qe^{t}}

و حيث أن

:  M'(x)=\frac{pe^{t}}{(1-qe^{t})^2} \,

: M*(t)=\frac{pe^t(1+qe^t)}{(1-qe^t)^3}\,</math>

: <math>\therefore\mu=\mu'_1=M'(0)=\frac{p}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}\,</math>

: <math>\mu'_2=M*(0)=\frac{p(1+q)}{(1-q)^3}=\frac{1+q}{p^2}\,

: \sigma^2=\mu'_2-\mu^2=\frac{1+q}{p^2}-(\frac{1}{p})^2=\frac{q}{p^2}\,

مثال:

احتمال إصابة هدف هو(0.4) ما احتمال إصابة هذا الهدف في المحاولة الرابعة.

الحل:

: p=0.4    \Longrightarrow    q=0.6

احتمال إصابة الهدف في المحاولة الرابعة معنى ذلك الفشل في الحاولات الثلاثة السابقة وعليه يكون الاحتمال :

: p=(0.4)(0.6)^3=0.0864

مثال:

إذا كان احتمال ولادة ذكر في أي ولادة تمر بها سيده هو 1/3 أوجد

1-	التوزيع الاحتمالي لعدد مرات الوضع قبل أن ترزق هذه السيده بذكر .

2- أوجد متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر.

3-	ما احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين .

4-	ما احنمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر.

الحل :

احتمال ولادة ذكر p= 1/3

X عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر

1- X تتبع توزيعا هندسيا بمعلمه P=1/3 وبذلك تكون دالته الاحتمالية هي

...,1,2,3=x

,. f(x)=\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{x-1}

2-متوسط عدد مرات الوضع قبل أن ترزق بأول ذكر هو μ حيث

\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{(\frac{1}{3})}=3

3-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ولادتين هو (p(x=2 حيث

p(x=2)=f(2)=(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})=\frac{2}{9}

4-احتمال أن تضع ذكرا لأول مرة بعد ثلاث ولادات على الأكثر هو

p(x\leq3)=F(3)=1-q^3=1-(\frac{2}{3})^3=\frac{19}{27}=0.7

## المراجع

* الأستاذ الدكتور جلال مصطفى الصياد، نظرية الاحتمالات
* المحاضرة ياسمينه أبو زيد الفقيه، مقدمة في نظرية الاحتمال

تصنيف:احتمالات
تصنيف:بليز باسكال
تصنيف:توزيعات الاحتمال
تصنيف:دوال
تصنيف:هندسة رياضية