قاسم مشترك أكبر

في الرياضيات، **القاسم المشترك الأكبر**  لعددين كما يدل على ذلك اسمه هو أكبر عدد يقسم في نفس الوقت العددين معاً بدون أي باقي قسمة، فمثلاً القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 60 هو 12.

يمدد هذا المفهوم إلى متعددات الحدود (من أجل ذلك انظر القاسم المشترك الأكبر لمتعددتي حدود) وإلى حلقات تبادلية أخرى.

## نظرة شاملة
*القاسم المشترك الأكبر* (GCD) لعددين صحيحين غير صفريين  و هو أكبر عدد صحيح موجب  بحيث يكون  قاسمًا لكل من  و; أي أن هناك أعدادًا صحيحة  و بحيث تكون  و، و هو أكبر عدد صحيح من هذا القبيل. يعرف GCD لـ  و عمومًا بـ \mathcal {}gcd(a, b).

### اختزال الكسور

يستعمل القاسم المشترك الأكبر في اختزال الكسور. على سبيل المثال، القاسم المشترك الأكبر ل 42 و 56 هو 14، إذن :
:{42 \over 56}={3 \cdot 14 \over 4 \cdot 14}={3 \over 4}.

عددان هما أوليان فيما بينهما إذا كان قاسمهما المشترك الأكبر مساويا ل1. على سبيل المثال، 9 و 28 هما عددان أوليان فيما بينهما.

### نظرة هندسية

## طريقة الحساب
### استعمال التعميل إلى جداء أعداد أولية
يمكن حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين كما في المثال التالي:
نأخذ كمثال العددين 6 و3 ونبحث عن قاسمهما المشترك الأكبر.
# نكتب العددان على شكل جداء عوامل أولية.
## 3=1x3
## 6=2x3
# نختار الآن العوامل المشتركة ( لأنه قاسم سوف نختار الأعداد المشتركة ) ذات الأس الأصغر ( لأنه أكبر * قاسم مشترك أكبر ) .
# العوامل المشتركة ذات الأس الأصغر هي 3 . إذا ق.م.أ ( 6,3 ) = 3

:300px

### استعمال خوارزمية اقليدس

يُقسم العدد الأكبر على العدد الأصغر. خلال هذه القسمة، وخلال جميع عمليات القسمة التي تلي، لا يُنظر إلى ناتج القسمة، وإنما يُنظر إلى باقي القسمة. تُعاد عملية القسمة مرة ثانية ولكن المقسوم فيها هو المقسوم عليه خلال القسمة الأولى، أما المقسوم عليه فهو الباقي الذي حُصل عليه في العملية الأولى. تكرر هذه العملية حتى يصير الباقي مساويا للصفر. وحينئذ القاسم المشترك الأكبر هو المقسوم عليه خلال العملية ما قبل الأخيرة. (لأن الباقي خلال العملية الأخيرة مساو للصفر).

### طرق أخرى
طريقة استعمال المضاعف المشترك الأصغر:

: \gcd(a,b)=\frac{\operatorname{lcm}(a,b)},

: \gcd(a,b)=\log_2\prod_{k=0}^{a-1} (1+e^{-2i\pi k b/a})

: \gcd(a,b)=\sum\limits_{k=1}^a \exp (2\pi ikb/a) \cdot \sum\limits_{d\left| a\right.} \frac{c_d (k)}{d} 

### التعقيد
درس التعقيد الحسابي لحساب القاسم المشترك الأكبر بشكل مكثف.

## خصائص
* لكل عدد صحيح طبيعي a يتوفر gcd(a, a) = a.
* كل قاسم مشترك لعددين *a* و*b* هو قاسم لقاسمهما المشترك الأكبر \mathcal {}gcd(a, b).
* إذا كان *a* يقسم جداء *b·c*، وكان \mathcal {}gcd(a, b) = d، عندها *a/d* يكون قاسما للعدد *c*.
* أصل رمز gcd هو اللغة الإنجليزية اختصارا للتعبير \mathcal {}greatest \ common \ divisor. يشار إليه باللغة الفرنسية ب pgcd اختصارا للتعبير Plus grand commun diviseur.
* إذا كان a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين، فإن قاسمهما المشترك الأكبر يمكن أن يُعبر عنه، وبشكل مكافئ للتعريف الأصلي، على أنه أصغر عدد طبيعي موجب يمكن التعبير عنه من خلال التعبيير d = a*p + b*q حيث p و q هما عددان صحيحان. هذه الصيغة تسمى متطابقة بيزو. يحسب العددان p و q باستعمال خوارزمية إقليدس الممددة.
* القاسم المشترك الأكبر لعددين مرتبط ارتباطا وثيقا بمضاعفهما المشترك الأصغر حيث .

## الاحتمال والقيمة المنتظرة
في عام 1972، بين جيمس نايمن أنه إذا اختير  عدد صحيح من المجموعة ، بشكل مستقل ومنتظم، فإن احتمال أن تكون هذه الأعداد أولية فيما بينها هو  حين يؤول n إلى ما لا نهاية له، وحيث  هي دالة زيتا لريمان. عُممت هذه النتيجة في عام 1987 حيث وُجد أن يملك k عدد صحيح صبيعي عشوائي القاسم المشترك الأكبر d هو .

## انظر أيضًا

* مضاعف مشترك أصغر
* خوارزمية إقليدس
* أعداد أولية فيما بينها

## مراجع

تصنيف:حسابيات ابتدائية
تصنيف:دوال جدائية
تصنيف:نظرية جبرية للأعداد