جداء ثلاثي

في الرياضيات، **جداء ثلاثي**  هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما «جداء ثلاثيا غير متجه» أو «جداء ثلاثيا متجها» وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء.

## جداء ثلاثي غير متجه
يسار|تصغير|240px|ثلاثة متجهات تحدد متوازي السطوح .

يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.

### التفسير الهندسي

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه

: \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) 

هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات.

### خواصه

* لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (**a**, **b**, **c**):
::
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})


* استبدال المتجهين في الجداء الاتجاهي يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:
::
 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) =
-\mathbf{a}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{b})


### ترميزات مستخدمة أخرى
تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل:
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}.

وكذلك: [ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ] و \langle \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \rangle.

### شرح الخواص

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:

::
(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} .

* ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات، فمثلا ينطبق علي المعادلة:

::\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},\ \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix},\ \vec c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}


ينطبق عليها أن يكون:
 
:(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ 
a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} =
\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}

ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:

* حيث أن الضرب القياسي يكون عملية تبديلية، فنحصل على:

::(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}).

أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.

* وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة:

::\left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = - \left( \vec{b}, \vec{a}, \vec{c} \right)

* كما أنه نظرا إلى أن \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0} يكون:

::\left( \vec{a}, \vec{a}, \vec{b} \right) = 0

* والضرب في كمية غير متجهة \alpha \in \mathbb{R} تنتج:

::\left( \alpha \cdot \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right) = \alpha \cdot \left( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \right)

وهي عملية تسمى عملية تجميعية.

## جداء ثلاثي متجه

يعرف **الجداء الثلاثي المتجه ** بإنه ضرب اتجاهي لمتجه مضروبا في ضرب اتجاهي آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:

:\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}
:(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c} = -\mathbf{c}\times(\mathbf{a}\times \mathbf{b}) = -(\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} + (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b}&nbsp;.

تعرف المعادلة الأولى بأنها «معادلة لاجرانج» أو «الضرب الثلاثي الممتد»

ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية الضرب قياسية (علامة الضرب «النقطية»).

ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في الفيزياء. ومن ضمنها معادلات التدرج - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات:

: \begin{align}
 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) 
& {}= \nabla      (\nabla \cdot  \mathbf{f}) 
 - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f}  \\
& {}= \mbox{grad }(\mbox{div }   \mathbf{f} )
 - \nabla^2     \mathbf{f}.
\end{align} 

حيث \Delta   هي مؤثر لابلاس.

## انظر أيضا
* ضرب اتجاهي
* ضرب قياسي
* ضرب المصفوفات
* ضرب ديكارتي
* جداء مباشر

## مراجع

## وصلات خارجية

تصنيف:جبر خطي
تصنيف:جبر متعدد الخطية
تصنيف:حجم
تصنيف:حساب المتجهات
تصنيف:عمليات ثنائية
تصنيف:متجهات
تصنيف:محددات
تصنيف:متطابقات رياضية
تصنيف:هندسة تحليلية