مثلث متساوي الساقين

**المثلث متساوي الساقين** مُثلَّثٌ فيه ضلعان متساويا الطول وزاويتان متساويتا المقاس. ليس ثمة إجماع تام حول تعريف هذا المثلث، فبعض المختصين يضيفون كلمة (فقط) بعد (متساويا الطول)، فيكون المثلث متساوي الأضلاع خارج التعريف، لأن فيه 3 أضلاع متساوية الطول.

يُسمَّى كل من الضلعين متساويي الطول: (الساق)، والضلع الآخر: (القاعدة).  تُسمَّى الزاوية التي تقابل القاعدة والتي يكون ضلعاها ساقا المثلث: (رأس المُثلَّث)، ويتحدد نوع المثلث متساوي الساقين حسب نوعها، فيكون: حاد أو قائم أو منفرِج، أما زاويتا القاعدة فتكونان حادتان دائمًا.

للمثلث متساوي الساقين تناظر انعكاسي محوره يمر من رأس المُثلَّث وُينصِّفها ويعامِد قاعدته ويتوسطها، ويقسم المثلث إلى مثلثين متطابقين قائمي الزاوية. يُمكِن حساب طول ارتفاع المثلث ومساحته ومحطيه بدلالة أطوال أضلاعه بصيغ رياضية بسيطة.

من المثلثات متساوي الساقين المعروفة: المثلث القائم متساوي الساقين، والمثلث الذهبي ووجوه ثنائي الهرم ومُجسَّمات كاتالان.

## التعريف والتصنيف
[تصغير|[مخطط أويلر لتصنيف أنواع المثلثات: المثلث متساوي الساقين بالأخضر في الطرف الأيسر من الشكل.]]

المُثلَّث لغةً اسم مفعول من الفعل الثلاثي المزيد (ثلَّث). ويُعرِّف معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مجمع اللغة العربية بدمشق المُثلَّث في الفضاء الإقليدي بأنه: شكل مستوٍ مغلق محدود بثلاث قطعٍ مستقيمة تتلاقى في ثلاثة رؤوس. أما (ساق) فمرادفة (ضلع)، وجمعها سُوق وسيقان، ومتساوي الساقين تعني متساوي الضلعين، وهذا الترداف شائع في الهندسة الرياضية، فيُسمَّى شبه المنحرف الذي يتساوي ضلعان متقابلان فيه بشبه المنحرف متساوي الساقين.

عرَّف إقليدس المثلث متساوي الساقين بأنه مُثلَّث فيه ضلعان متساويا الطول فقط، ولكن التعريف المعاصِر ينص على أنه مُثلَّثٌ فيه ضلعان متساويا على الأقل، فيشمل بذلك المثلث متساوي الأضلاع الذي يكون عندها حالة خاصة منه. أما المُثلث الذي لا يتساوى طول أي ضلعين فيه فيُسمَّى المثلث مُختلِف الأضلاع.

يُسمَّى كل من الضلعين متساويا الطول في هذا المُثلَّث ساقًا كما تقدم، أما الضلع الثالث فيُسمَّى القاعدة، تُسمَّى الزاوية التي يُشكلها الساقان زاوية الرأس أو القمة  وهي تقابل القاعدة، أما الزوايتان الأخريين، وكل منهما تقابل ساقًا فتسميان زاويتا القاعدة.

قد يكون المثلث متساوي الساقين حاد الزوايا أو قائم الزاوية أو منفرِج الزاوية ويعتمد ذلك على مقاس زاوية رأسه: حادة أو قائمة أو منفرِجة على الترتيب. يَلزم في الفضاء الإقليدي أن تكون زاويتا القاعدة حادتين في المثلث متساوي الساقين، لأن مجموع زوايا المثلث لابُد أن يكون 180 درجة.

600|مركز

## الخواص
### الارتفاع
250بك|تصغير|ارتفاع المثلث متساوي الساقين على قاعدته يُنصِّف زاوية الرأس ويتوسط القاعدة وهو محور تناظر للمُثلَّث.
في أي مثلث متساوي الساقين تتطابق القطع المستقيمة التالية:

* الارتفاع، وهو قطعة مستقيمة تبدأ من رأس المثلث وتعامد قاعدته.
* مُنصِّف زاوية رأس المثلث.
* متوسط القاعدة، وهو مستقيم يمر من رأس المثلث ومن منتصف قاعدته.
* المُنصِّف المعامد للقاعدة.
* القطعة المستقيمة من محور تناظر المثلث الواقعة داخله.
* القطعة المستقيمة من خط أويلر الواقعة داخل المثلث، ما خلا حالة المثلث متساوي الأضلاع الخاصة.

طول أي من هذه القطع المستقيمة مساوٍ لطول الارتفاع  h الذي يُحسَب بالعلاقة:

h=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}

وفيها b طول القاعدة وa طول أحد الساقين.

يُمكن الوصول إلى هذه العلاقة نفسها باعتماد مبرهنة فيثاغورس بالانتباه إلى أن الارتفاع يُعامد القاعدة ويَقسُم المثلث متساوي الساقين إلى مثلثين قائمين متطابقين.

يمر خط أويلر لأي مثلث من ملتقى ارتفاعاته ومركزه المتوسط و التي تمر من رؤوسه الثلاثة ومركز الدائرة المُحاطة. هذه النقاط الأربعة متمايزة في المثلث متساوي الساقين تمامًا. إذا تطابق أي من: منصف زاوية الرأس ومتوسط القاعدة والارتفاع الساقط على القاعدة، في أي مُثلَّث، فهو حتمًا مُثلَّث متساوي الساقين.

### المساحة
تُشتق علاقة حساب مساحة المثلث متساوي الساقين T من علاقة حساب طول الارتفاع ومن العلاقة العامة لحساب مساحة المثلث بوصفها نصف جُداء القاعدة بالارتفاع، وهي:

:T=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}

يُمكن اشتقاق العلاقة نفسها انطلاقًا من صيغة هيرون التي تستعمل لحساب المساحة بدلالة أطوال أضلاعه. لكن تطبيق صيغة هيرون قد يكون غير مستقر عدديًا في حالة الزوايا الحادة بالغة الصغر، لوجد احتمالية أن يكون فرق نصف المحيط وأحد الأضلاع مساويًا تقريبًا للصفر.

إذا عُلِمت زاوية رأس المثلث \theta وطول أحد ساقيه a تُحسب مساحة المثلث بالعلاقة التالية:

:T=\frac{1}{2}a^2\sin\theta

هذه العلاقة حالة خاصة من الصياغى العامة لحساب مساحة المثلث بنصف جُداء ضلعين فيه بجيب الزاوية المحصورة بينهما.

### المحيط
يُحسَب محيط المُثلث متساوي الساقين p طول ساقه a وطول قاعدته b:
:p = 2a + b.
يرتبط محيط المثلث متساوي الساقين بمساحته T بمتباينة المحيط الثابت:

p^2>12\sqrt{3}T

لا تؤول متباينة المحيط الثابت إلى مساواة إلا في جالة المثلث متساوي الأضلاع.

يرتبط المحيط مع المساحة وطول القاعدة بالعلاقة التالية:
2pb^3 -p^2b^2 + 16T^2 = 0.

تُحدِّد هذه المساواة مساحة المثلث من أجل محيط وطول قاعدة ثابتان، ومن بين أنواع المثلثات كلها التي لها المحيط وطول القاعدة نفسهما، فإن هذه المساحة تكون أكبر ما يمكن من أجل المثلث متساوي الساقين. أما إذا ثُبِّتت المساحة والمحيط، فإن العلاقة ستحسُب طول القاعدة، وسيكون لهذه المعادلة حلان، أي ثمة مثلثان متساويا الساقين يستوفيانها، يتطابقان في حالة واحدة هي المُثلَّث متساوي الأضلاع.

### طول منصف زاويتا القاعدة
[تصغير||220بك|وفقًا [مبرهنة شتاينر وليموس|لمبرهنة شتاينر وليموس، إذا كان |AE|=|BD|,\,\alpha=\beta,\,
\gamma=\delta فإن ABC مُثلَّث متساوي الساقين.]]
إذا كان طول أحد الساقين في مثلث متساوي الساقين a، وكان طول القاعدة b، فإن طول منصف زاويتا القاعدة t يستوفي المتباينتين التاليتين:

\frac{2ab}{a+b} > t > \frac{ab\sqrt{2}}{a+b}
t

والعكس بالعكس فيما يخص المتباينة الثانية، إذا استوفيت، فثمة مثلث متساوي الساقين مُحدَّد بطول الساق والمنصف السابقين.

تنصُّ مبرهنة شتاينر وليموس بأن كل مثلث فيه منصفا زوايتين متساويي الطول مثلث متساوي الساقين. سُميت هذه المبرهنة على اسم  أول من صاغها سنة 1840م، وياكوب شتاينر أول من أثبت صحتها.

### نصفا قطري الدائرتين المحيطة بالمثلث والمحاطة به
يمين|تصغير|150بك|الدائرتين المحيطة بالمثلث متساوي الساقين والمُحاطة به
يُمكن اشتقاق العلاقات الخاصة بحساب نصفي قطري الدائرتين  المحيطة بالمثلث والمحاطة به انطلاقًا من الصيغة المستعملة لحساب القطرين في أي مثلث كيفي.

يقع مركز الدائرة التي يُحيط بها المثلث متساوي الساقين وتمس أضلاعه داخلًا على محور تناظره، إذا كان طول ساق المُثلَّث a وطول قاعدته b وطول ارتفاعه h فإن نصف قطر الدائرة r_in يُحسَب بالعلاقة:
r_{in} =\frac{2ab-b^2}{4h}.

من بين كل المثلثات المحاطة التي لها طول القاعدة نفسه ومقاس زاوية الرأس نفسه، فإن لدائرة المثلث متساوي الساقين المحاطة أكبر مساحة وأطول محيط.

يقع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث متساوي الساقين على محور تناظره ويُحسَب نصف قطرها r_ex بالعلاقة التالية:

r_{ex} = \frac{a^2}{2h}

### المُربَّع المُحاط

ثمة مُربَّع فريد محاط لكل مثلث متساوي الساقين، يتسامت أحد أضلاع المربع مع قاعدة المثلث، وتقع زاويتي المربع المقابلتين على ساقي المُثلَّث.

 حالة خاصة من المثلث متساوي الساقين يمتاز بأن مساحة أي من المربعين المحاطين الذين ينشأان على الساقين مساوية لمساحة المُربَّع المُحاط.

ذكر هيرون الإسكندراني في أعماله مبرهنة تنص على أن طول ضلع المُربَّع l المحاط بمثلث متساوي الساقين طول قاعدته  b وطوله ارتفاعه h يُحسَب بالعلاقة:

:l = \frac{bh}{b+h}

Isosceles triangle inscribed square.svg|المربع DEFG مُحاط بالمثلث متساوي الساقين ABC.
Calabi triangle.svg|مُثلَّث كالابي: مساحات المربعات الثلاثة، التي يتسامت أحد أضلاع كل منها من ضلع من المثلث، متساوية.


## التطبيقات

تستعمل عدد من المثلثات متساوية الساقين بسبب خواصها أهمها: المُثلَّث القائم متساوي الساقين و، والمثلث الذهبي والمتمم إلى الشبيه.

### مثالثة المُضلَّعات
[200بك|تصغير|مثالثة [نقاط مشتركة بدائرة|مضلع دائري إلى مثلثات متساوية الساقين بأنصاف أقطار الدائرة المحطية به.]]

يُمكن مثالثة أي مُثلَّث إلى n \ge 4 مثلثًا متساوي الساقين. يَقسُم متوسط الوتر المثلث قائم الزاوية إلى مثلثين متساويي الساقين، لأن منتصف الوتر هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث القائم، وسيصبح قطران الدائرة ضلعين في كل من المثلثين الناتجين. يُمكن تقسيم المثلث حاد الزوايا تقسيمًا مشابهًا إلى 3 مثلثات متساوية الساقين بإنشاء قطع مستقطية من مركز الدائرة المحيطة به، ولكن هذه الطريقة لا تنفع مع المثلث منفرِج الزاوية لأن مركز الدائرة المحيطة يقع خارج المثلث.

تُعمَّم مُثالثة المُثلَّث حاد الزوايا بأنصاف أقطار دائرته المحيطة إلى أي مُضلَّع دائري بشرط أن يكون مركز الدائرة واقعًا داخل المُضلَّع، ويُمكن أن تُستعمل هذه المثالثة لاشتقاق صيغة لحساب مساحة المُضلَّع بدلالة أطوال أضلاعه حتى لو كان مركز الدائرة واقعًا خارج المُضلَّع. تُعمِّم هذه الصيغة صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث وصيغة براهماغوبتا لحساب مساحة الرباعي الدائري.

يُثالِث المُعيَّنَ كلٌّ من قطريه، وينتج عن كل مُثالَثة مثلثان متطابقان متساويا الساقين. ويُثالِث الحَدَأةَ أحدُ قطريها فيُنتج مُثلَّثان متساويا الساقين غير متطابقان ما خلا الحالة التي تكون الحدأة فيها مُعيَّنًا.

### في تبليط المستوي

التلبيط المُثلَّثي المثلوث  تبليطٌ مُثلَّثي للمستوي الإقليدي بمثلثات متساوية الأضلاع، يُقسَم كل منها إلى 3 مثلثات منفرجة متساوية الساقين زوايا كل منها (30-30-120) تلتقي رؤوسها في مركز المثلث متساوي الأضلاع.

هذا التبليط واحدٌ من 8  تُولَّد بالانعكاس المرآتي بالنسبة لأضلاع البلاطة البدئية.

### في متعددات الوجوه

يظهر المثلث متساوي الساقين وجهًا لمُتعدِّدات الوجوه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وجوه خمسة من مُجسَّمات كاتلان مثلثات متساوية الساقين هي:  و وسداسي وجوه مربوعة و و. بالإضافة لعدد لانهائي من الوجوه الجانبية للأهرام، خاصةً عندما تقع قمة الهرم على محور القاعدة، ولثنائيات الهرم.


Triakistetrahedron.svg|	
Triakisoctahedron.jpg| 
Tetrakishexahedron.jpg|سداسي وجوه مربوعة
Pentakisdodecahedron.jpg| 
Triakisicosahedron.jpg|


### في الهندسة المعمارية والتصاميم

استعمال المثلثات متساوية الساقين شائع بالعمارة كما في الجملونات والقوصرات. استعمل المثلث المنفرج متساوي الساقين في العمارة الإغريقية ومحاكاتها المتأخرة، ثُمَّ حل مَحلَّه المثلث الحاد متساوي الساقين في العمارة القوطية.

شاع المُثلَّث المصري متساوي الساقين آخر في عمارة العصور الوسطى وهو عنصر معماري له شكل مثلث حاد متساوي الساقين نسبة ارتفاعه على قاعدته إلى قاعدته 5/8. ويعود الفضل في إحياء هذا المثلث في العمارة الحديثة إلى المعمار الهولندي هندريك بيرلاخه.

من الشائع أن تُنظَّم  في هياكل مكوَّنة من مثلثات متساوية الساقين، وقد يضاف لها عوارض شاقولية لزيادة قوتها. يمكن تبليط السطوح بمثلثات منفرج متساوية الساقين  لها حالتان مستقرتان: حالة يُفض فيها الهيكل ويمتد على هيئة عمود أسطواني، وحالة يُطوى فيها ويكون بهيئة موشور مضعوط يمكن نقله بسهولة. ونمط التبليط هذا نفسه هو الأساس في  ونمط ينشئ عن ضغط السطوح الأسطوانية محوريًا. يعتمد ، وهو مثال يُستخدم في الرياضيات لإظهار أنه  لا يمكن دائمًا تقريب مساحة سطح أملس بدقة بمتعددات الوجوه التي تتقارب إلى سطح واحد.


VIEW OF BRIDGE FROM SOUTH WITH ONCOMING CSX LOCOMOTIVE ON TRACKS BELOW, LOOKING NORTHEAST - Wills Creek Bollman Bridge, Spanning CSX tracks at T381, Meyersdale, Somerset County, HAER PA,56-MEYER.V,2-2.tif|جسر  في بنسلفانيا بالولايات المتحدة يعتمد على جوائر وارن الشبكية التي لها شكل مثلث متساوي الساقين.
Schwarz lantern crease pattern.svg|تبليط السطح بمثلثات متساوية الساقين هي النمط الأساس 
Schwarz-lantern-6-10.png|: هيكل ثلاثي الأبعاد يعتمد انبعاج يوشيمورا


يُستعمل المثلث متساوي الساقين بكثرة عنصرًا للتصميم في تصميم الرسوميات والفنون الزخرفية في حضارات متعددة منذ العصر الحجري الحديث المُبكر على الأقل، وحتى العصور الحديثة. ويُستعمل للغرض نفسه في تصميم الأعلام والشعارات، وقد يظهر بقاعدة عمودية على الأفق، كما هو الحال في علم غيانا أو بقاعدة موازية للأفق كما هو الحال في علم سانت لوسيا.

استعمِل المثلث متساوي الساقين أيضًا في تصاميم ذات دلالات دينية أو صوفية، مثل سري يانترا في ممارسات التأمل الهندوسية.

## انظر أيضًا

* مُثلَّث
* مُثلَّث متساوي الأضلاع

## ملاحظات

## المراجع
### فهرس المراجع
;المنشورات
:بالعربية

:بالإنجليزية

;وب
:بالإنجليزية

### ثبت المراجع
;المقالات المُحكَّمة

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

;الكتب
:بالعربية

* 
* 
* 
* 

:بالإنجليزية

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

;تقارير فنية
:بالإنجليزية

* 

## وصلات خارحية
* صفحة مثلث متساوي الساقين في موسوعة عالم الرياضيات.

تصنيف:أنواع المثلثات
تصنيف:هندسة المثلث