هرم مربع

**الهرم المُربَّع** هرمٌ قاعدته مربعة وله 4 وجوه مثلثة، ما يجعله خماسي وجوه. لو كانت قمة الهرم تقع مباشرةً فوق مركز القاعدة المربعة، وصف بأنه هرم مربع قائم، وستكون وجوهه المثلثة فيه هذه الحالة مثلثات متساوية الساقين. بخلاف ذلك، يُوصَف الهرم بأنه منحرف. لو كانت حروف الهرم كلها متساوية، وُصِف بأنه هرم متساوي الأضلاع، وهو مثال عن مجسم جنسون.

تواتر ظهور الأهرام المربعة في تاريخ العمارة، وأشهرها أهرام مصر. كما تظهر هذه الأهرام في الكيماء، مثل البُنى الجزيئية الهرمية المربعة. تُستعمل الأهرام المربعة في إنشاء متعددات وجوه أخرى.

صاغ العديد من الرياضياتيين في الحضارات القديمة صيغة حساب الحجم الذي يشغله الهرم المربع بمقاربات مختلفة.

## الخواص

الهرم المربَّع مُتعدِّد وجوه له 5 رؤوس و8 حروف و5 وجوه، أحد هذه الوجوه مربع، ويُسمَّى القاعدة، أما الوجوه الأخرى فهي مُثلَّثات. الهرم المُربَّع موشوري، أي أن رؤوسه كلها تقع في مستويين متوازيين، يضم الأول رأسًا واحدًا يُسمَّى القمة، ويُضمُّ المستوي الآخر سائر الرؤوس التي تُشكِّل مُضلَّعاً منتظمًا رباعي الوجوه (مُربَّع)، يُسمَّى القاعدة. تُشكِّل 4 حروف القاعدة المربعة بوصلها بين 4 رؤوس، أما الحروف الأربعة الأخرى فتسمى حروف الهرم الجانبية، وهي تلتقي في الرأس الخامس الذي يُسمَّى قمة الهرم.

### الهرم المربع القائم

لو وقع رأس الهرم على محور القاعدة المار في مركزها، فعندها يُوصف الهرم المربع بأنه قائم، وتكون الوجوه المثلثية عندها مثلثات متساوية الساقين. بخلاف ذلك، يوصف الهرف بأنه مُنحرِف.

يُعرَّف الارتفاع المائل للهرم المربع a بأنه ارتفاع أحد وجوه المثلثة متساوية الساقين، ويمكن حسابه بمبرهنة فيثاغورث بالعلاقة:
a = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{4}},
وفيها l طول قاعدة المثلث، وهو نفسه ضلع مربع قاعدة الهرم، وb طول ساق المثلث، وهي نفسها حرف الهرم الجانبي. أما h، فهو عامد الهرم المربع القائم. ويمكن عندها حسابه بالعلاقة:
h = \sqrt{a^2 - \frac{l^2}{4}} = \sqrt{b^2 - \frac{l^2}{2}}.
تصغير|المحددات الرئيسة للهرم المربع: (a) الارتفاع المائل للهرم المربع (b) نصف طول قاعدة المثلث = نصف ضلع القاعدة وh ارتفاع الهرم المربع.
مساحة سطح متعدد وجوه هي مجموع مساحات وجوهه. أي يُعبَّر عن مساحة سطح هرم مربع قائم A بالعلاقة:
A = 4T + S
وفيها T مساحة أحد وجوهه المثلثة وS مساحة قاعدته على الترتيب. ويمكن تمثيل هذه الصيغة بدلالة طول قاعدة المثلث والارتفاع المائل للهرم المربع كما يأتي:
 A = 4\left(\frac{1}{2}la\right) + l^2 = 2la + l^2.

حجم أي هرم V عمومًا هو ثلث جُداء مساحة قاعدته بارتفاعه، أي:
 V = \frac{1}{3}l^2h.

اكتشف العديد من الرياضياتيين صيغة حساب حجم الهرم المربع حضارات بائدة عديدة. دوَّن الرياضياتيون في مصر القديمة في بردية موسكو الرياضية صيغة تظهر معرفتهم حساب حجم مبتور الهرم المربع، وهذا يعني أنهم كانوا على دراية بكيفية حساب حجم الهرم المربع، ولكن لا يُعرَف كيف حسبوا الصيغة. بالإضافة لما سبق، تتناول بردية ريند الرياضية مسائل حساب ميل الهرم المربع وارتفاعه. حاول البابليون حساب مساحة مبتور الهرم المربع، ولكن الصيغة التي أورودها غير صحيحة. حسب الرياضياتي الصيني ليو هوي حجم الهرم بطريقة التقسيم، فعمد إلى تقسيم مجسم مستطيل الشكل، يحوي الهرم، إلى قطع صغيرة، ثم حسب عدد القطع التي تشكل الهرم وحجمها.

### الهرم المربع متساوي الحروف

لو كانت حروف المثلثات في الهرم المربع متساوية، وكانت وجوه الهرم مضلعات منتظمة، فإن الهرم يوُصف بأنه متساوي الحروف. الزوايا ثنائية الوجه بين كل وجهين مثلثين متجاورين هي \arccos \left(-1/3 \right) \approx 109.47^\circ ، وبين القاعدة وكل وجه مثلثي نصف تلك القيمة، أي: \arctan \left(\sqrt{2}\right) \approx 54.74^\circ . يُسمَّى متعدد الوجوه المحدَّب الذي تكون كل وجوهه مضلعات منتظمة مُجسَّم جُنسون، الهرم المربع متساوي الحروف هو أبسط هذه المسجمات، ويدون بالصيغة:J_1.

تتساوى أطوال حروف هذا الهرم، أي  b = l ، وهذا يعني أن حساب الارتفاع المائل للهرم المربع  s وعامده h ومساحة سطحه حجمه، يكون بالعلاقات المستعملة للهرم المربع القائم مع استبدال  l بـ b، أي:


\begin{align}
 a = \frac{\sqrt{3}}{2}l \approx 0.866l, &\qquad h = \frac{1}{\sqrt{2}}l \approx 0.707l,\\
 A = (1 + \sqrt{3})l^2 \approx 2.732l^2, &\qquad V = \frac{\sqrt{2}}{6}l^3 \approx 0.236l^3.
\end{align}


الهرم المربع متساوي الحروف متعدد وجوه ابتدائي، وهذا يعني أنه لا يمكن تقسيمه بمستوٍ إلى متعددي وجوه محدبين لهما وجوه منتظمة.

## التطبيقات

الأهرام التي بنيت في مصر القديمة مربعة. اقترح عدد من بعض العلوم الزائفة بأن هرم الجيزة بُني حسب مثلث كبلر والنسبة الذهبية. لكن الدراسات العلمية الحديثة تميل إلى أن التصميم اعتمد نسبًا بين أعداد صحيح، وفقًا لمعرفة المصرين بالرياضيات والتناسب. الأهرام في أمريكا الوسطى هي مبانٍ هرمية مشابهة للأهرام المصرية، ولكنها تختلف عنها بأن لها قمم مسطحة وأدراج على وجوهها. يوجد أبنية حديثة ذات عمارة تُقلِّد الأهرام المصرية، منها مثلًا هرم اللوفر وهرم الأقصر في لاس فيغاس.

قد يَكُون  في الكيمياء الفراغية بنية جزيئية هرمية مربعة. لعنصر المجموعة الرئيس في الجزيء ذي البنية الهرمية المربعة زوج غير رابط، يمكن وصفه بنظرية فسيبر، وهي نموذج يتوقع هندسة الجزيئات. من الأمثلة عن الجزئيات التي تتضمن هذا الهيكل: خماسي فلوريد الكلور وخماسي فلوريد البروم.

[تصغير|upright=0.6|[سداسي وجوه مربوعة|سداسي الوجوه المربوعة إنشاء هندسي ثلاثي الأبعاد يتضمن تعزيز مكعبٍ بستة أهرام مربعة متساوية الحروف.]]

لو أُلصقت قاعدة هرم مربعة على وجهٍ مربعٍ مطابقٍ في متعدد وجوه آخر، فسينشئ متعدد وجوه جديد بالتعزيز. يُمكن إنشاء سداسي وجوه مربوعة بلصق هرم مربع متساوي الحروف على وجوه مكعب. يسمى إلصاق موشور أو مضاد موشور بهرم:  أو  على الترتيب. يمكن إنشاء مُجسَّمات جُنسون أخرى بتعزيز الهرم المربع أو بتعزيز متعددات وجوه أخرى بأهرام مربعة: الهرم المُربَّع المُطال  J_8    J_{10}  و  J_{15}  و J_{17}  و  J_{49}  و  J_{50} و  J_{51} و  J_{52} و  J_{53} و  J_{54}  و  J_{55} و  J_{56} و J_{57}  و J_{87} .

## معرض الصور

J1 square pyramid.stl|نموذج ثلاثي الأبعاد لهرم مربع متساوي الحروف
Pramit.svg|هرم مربع غير متساوي الحروف
Square pyramid net.svg|شبكة ملونة لهرم مُربَّع متساوي الحروف
Pirâmide quadrada.jpg|هرم مربع متساوي الحروف مدوَّر بزوايا مختلفة
Pirámides recta y oblicua.svg|حالات متنوعة لموقع مسقط قمة الهرم المربع على مستوي القاعدة: (1) محور القاعدة (2) القاعدة (ما خلا محورها وأضلاعها) (3) ضلع القاعدة (4) خارج القاعدة


## انظر أيضًا

* الهرم
* عدد هرمي مربع

## مراجع
### فهرس الإحالات

### معلومات المراجع كاملة
;المقالات المُحكَّمة

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

;الكتب

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## وصلات خارجية
* صفحة الهرم المربع في موسوعة عالم الرياضيات.

تصنيف:أهرام (هندسة)
تصنيف:متعددات وجوه ابتدائية
تصنيف:متعددات وجوه ذاتية الثنوية
تصنيف:مجسمات جنسون
تصنيف:موشوريات