متباينة فايتزينبوخ

[تصغير|حسب متراجحة فايتزينبوخ فإن [مساحة هذا المثلث هي على الأكثر ]]
في الهندسة الرياضية، **متراجحة فايتزينبوخ،** المسماة على شرف رولاند فايتزينبوخ ، تنص على أنه في مثلث أطوال أضلاعه a، b، c، ومساحته \Delta، المتراجحة التالية محققة:

: a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\, \Delta. 

تنتج حالة المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع. متراجحة بيدو هي تعميم لمتراجحة فايتزينبوخ.

## التأويل الهندسي والبرهان
## مزيد براهين
برهان هذه المفاوتة طلب كسؤال في أولمبياد الرياضيات الدولي لسنة 1961. مع ذلك، فهو ليس صعبًا إذا ما استخدمنا له صيغة هيرون لمساحة مثلث:

:
\begin{align}
\Delta & {} =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \\
& {} =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}.
\end{align}


### الطريقة الأولى

يمكن إثبات أن مساحة مثلث نابوليون الداخلي، الموجبة، هي:

\frac{\sqrt{3}}{24}(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\Delta)

و إذًا فالتعبير داخل الأقواس أكبر من أو يساوي 0.

### الطريقة الثانية

هذه الطريقة لاتفترض معرفة بالمتفاوتات باسثتناء علم أن المربعات موجبة.

: 
\begin{align}
{} & (a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 \geq 0 \\
{} \iff & 2(a^4+b^4+c^4) - 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2) \geq 0 \\
{} \iff & \frac{4(a^4+b^4+c^4)}{3} \geq \frac{4(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \\
{} \iff & \frac{(a^4+b^4+c^4) + 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \geq 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4) \\
{} \iff & \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3} \geq (4\Delta)^2,
\end{align}


و ستظهر النتيجة تلقائيا عند أخذ الجذور الموجبة لكلا الطرفين. يمكن ملاحظة أيضا من المتراجحة الأولى أن حالة المساواة تتحقق فقط عندما a = b = c والمثلث متساوي الأضلاع.

### الطريقة الثالثة

هذا البرهان يفترض معرفة متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي.

: 
\begin{align}
& & (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 & \geq & & 0 \\
\Rightarrow & & 2a^2+2b^2+2c^2 & \geq & & 2ab+2bc+2ac \\
\iff & & 3(a^2+b^2+c^2) & \geq & & (a + b + c)^2 \\
\iff & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & \sqrt{3(a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3} \\
\Rightarrow & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\
\iff & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & 4 \sqrt3 \Delta.
\end{align}


وبما أنه تم استعمال متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي، فإن حالة المساواة تتحقق عندما a = b = c و المثلث متساوي الأضلاع.

### الطريقة الرابعة

## مراجع

* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: *When Less is More: Visualizing Basic Inequalities*. MAA, 2009, , pp. 84-86
* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: *Geometric Proofs of the Weitzenböck and Hadwiger-Finsler Inequalities*. Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 3 (Jun., 2008), pp.&nbsp;216–219 (JSTOR)
* D. M. Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: ''Some geometric inequalities of Ionescu-Weitzebböck type''. International Journal of Geometry, Vol. 2 (2013), No. 1, April
* D. M. Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: *The inequality Ionescu - Weitzenböck*. MateInfo.ro, April 2013, (online copy)
* دانييل بيدو: *On Some Geometrical Inequalities*. The Mathematical Gazette, Vol. 26, No. 272 (Dec., 1942), pp.&nbsp;202–208 (JSTOR)
* رولاند فايتزينبوخ: *Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie*. Mathematische Zeitschrift, Volume 5, 1919, pp.&nbsp;137–146 (online copy at Göttinger Digitalisierungszentrum)
* Dragutin Svrtan, Darko Veljan: *Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities*. Forum Geometricorum, Volume 12, 2012, pp.&nbsp;197–209 (online copy)
* Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: *New inequalities for the triangle*. Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No.1, April 2009, pp.&nbsp;70–89 (online copy)
## وصلات خارجية
* 
* "Weitzenböck's Inequality," an interactive demonstration by Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.

تصنيف:متباينات هندسية
تصنيف:مقالات تحوي براهين
تصنيف:هندسة ابتدائية
تصنيف:هندسة المثلث