هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي

في علم الرياضيات، وخاصة في علم الطوبولوجيا التفاضلية، فإن **هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي**
يشير إلى هيكل الحزمة الشعاعية الطبيعي (*TE*,*p**,*TM*) الموجود على إجمالي الفضاء *TE* المخصص لحزمة المماس الخاصة بالحزمة الشعاعية السلسة (*E*,*p*,*M*)، الناتجة عن الدفع الأمامي *p**:*TE*→*TM* لخريطة الإسقاط الأصلية *p*:*E*→*M*.

في الحالة الخاصة (*E*,*p*,*M*)=(*TM*,π*TM*,*M*)، حيث يكون *TE*=*TTM* هو حزمة المماس المزدوجة، والحزمة الشعاعية الثانوية (*TTM*,(π*TM*)*,*TM*) تكون متماثلة مع حزمة المماس
(*TTM*,π*TTM*,*TM*) لـ *TM* عبر الانعكاس المعياري.

## بناء هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية

بفرض أن (*E*,*p*,*M*) هي الحزمة الشعاعية السلسة من الرتبة *N*. وبما أن الصورة الأصلية (*p**)−1(X)⊂*TE* لأية شعاع مماس *X*∈*TM* في معامل الدفع الأمامي *p**:*TE*→*TM* الخاص بالإسقاط المعياري *p*:*E*→*M* هي تفرع ثانوي متعدد من فئة البُعد 2*N*، وتصبح مساحة شعاعية مع عوامل الدفع الأمامي
:
+_*:T(E\times E)\to TE \quad , \quad \lambda_*:TE\to TE

للإضافة الأصلية والمضاعفة العددية غير الموجهة
:
+:E\times E\to E \qquad , \qquad \lambda:E\to E
كما هو الحال في عمليات الفضاء الشعاعي. العامل الثلاثي (*TE*,*p**,*TM*) يصبح حزمة شعاعية سلسة مع وجود عمليات الفضاء الشعاعي على أليافه.

### البرهان

بفرض أن (*U*,φ) هو نظام إحداثيات محلية على أساس العامل المتشعب *M* مع φ(*x*)=(*x*1,...,*x*n) وبفرض أن
:
\psi:W \to \varphi(U)\times \mathbb R^N \quad ; \quad \psi(v^k e_k|_x) := (x^1,\ldots,x^n,v^1,\ldots,v^N)

يكون نظام إحداثيات على *E* ومتناسبًا معه. إذن
:
p_*\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v\Big) = X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_{p(v)},

وبالتالي، فإن ألياف هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية عند *X*∈*T**x**M* يكون في صورة
:
p^{-1}_*(X) = \Big\{ \ X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v
\ \Big| \ v\in E_x \ , \ Y^1,\ldots,Y^N\in\R \ \Big\}.

والآن يتضح أن
:
\chi\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v\Big) = \Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_{p(v)}, (v^1,\ldots,v^N,Y^1,\ldots,Y^N) \Big)

يعطي تسطيحًا محليًا χ:*TW*→*TU*×**R**2*N* للقيمة (*TE*,*p**,*TM*)، وتُقرأ عوامل الدفع الأمامي الخاصة بعمليات الفضاء الشعاعي الأصلية في الإحداثيات المناسبة المُعدلة مثل
:
\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v\Big)

+_*
\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_w + Z^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_w\Big)

=
X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_{v+w} + (Y^\ell+Z^\ell)\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_{v+w}

و
:
\lambda_*\Big(X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_v + Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_v\Big)

=
X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\Big|_{\lambda v} + \lambda Y^\ell\frac{\partial}{\partial v^\ell}\Big|_{\lambda v},

وبالتالي، فإن كل واحد من الألياف (*p**)−1(*X*)⊂*TE* هو مساحة شعاعية، والقيمة الثلاثية (*TE*,*p**,*TM*) هي الحزمة الشعاعية السلسة.

## الاستقامة الخطية لروابط الحزم الشعاعية

تكون رابطة إيهريزمان العامة
:
TE = HE \oplus VE

على حزمة شعاعية (*E*,*p*,*M*) يمكن وصفها من حيث **خريطة الرابط**
:
\kappa:T_vE\to E_{p(v)} \qquad ; \qquad \kappa(X):=\operatorname{vl}_v^{-1}(\operatorname{vpr}X),

حيث vl*v*:*E*→*V**v**E* هو عامل الرفع الرأسي، وvpr*v*:*T**v**E*→*V**v**E* يكون الإسقاط الرأسي. ويكون الاقتران
:
\nabla:TM\times\Gamma(E)\to\Gamma(E) \quad ; \quad \nabla_Xv := \kappa(v_*X)

الناتج عن رابطة إيهريزمان هو المشتق الطردي المتغاير على Γ(*E*) بمعنى أن
*  \nabla_{X+Y}v = \nabla_X v + \nabla_Y v
*  \nabla_{\lambda X}v=\lambda \nabla_Xv
*  \nabla_X(v+w) = \nabla_X v + \nabla_X w
*  \nabla_X(\lambda v)=\lambda \nabla_Xv
*  \nabla_X(fv) = X[f]v + f\nabla_Xv
وفقط إذا كانت خريطة الرابط خطية من ناحية هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية (*TE*,*p**,*TM*) على *TE*. فحينها يُطلق على الرابطة أنها *خطية*. لاحظ أن خريطة الرابط تكون خطية تلقائيًا مع هيكل حزمة المماس (*TE*,π*TE*,*E*).

## انظر أيضًا
* الرابطة (الحزمة الشعاعية)
* حزمة المماس المزدوجة
* رابطة إيهريزمان
* الحزمة الشعاعية

## المراجع

* P.Michor. *Topics in Differential Geometry,* American Mathematical Society (2008).

تصنيف:طوبولوجيا
تصنيف:طوبولوجيا تفاضلية
تصنيف:هندسة تفاضلية