متطابقات هامة

تصغير|200px|الحل الهندسي للمتطابقة الهامة <math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,</math>
في الرياضيات، يطلق اسم **المتطابقات الهامة** أو **المتطابقات الشهيرة** أو **المتساويات الهامة** على بعض المتساويات التي تطبق على أعداد أو حدوديات. و هي تساعد على تسريع عمليات الحساب، تبسيط بعض الكتابات الجبرية، وكذا تحديد العوامل. تساعد **المتطابقات الهامة** كذلك في حل معادلة من الدرجة الثانية و إيجاد حلول المعادلات. 
بينت معظم هذه **المتطابقات الهامة** بالحلول الهندسية ثم عوضت بقيم قوة أكبر عن طريق حسابات جبرية.

## متطابقات هامة من الدرجة الثانية

في هذا القسم بأكمله، *a* و *b* عددان حقيقيان، أو عددان عقديان.
هذه المتطابقات الهامة صحيحة في حلقة تبادلية، حيث *a* و *b* متبادلان.

### خاصيات
**المتطابقات الهامة** من الدرجة الثانية هي:



المتطابقة الهامة الثانية يمكن أخذها حالة خاصة من المتطابقة الهامة الأولى، مع اعتبار، أنه تم تعويض (***b***)
بـ (***b–***) في المتساوية الأولى.
حسب القاعدة نستنج الخاصية التالية:

و نستنتج أيضا :

### أمثلة
#### النشر والتعميل
تساعد المتطابقات الهامة على تحويل كتابات بعض التعابير الجبرية، كما في المثال التالي:
A=(2x - 3)^2 + (x+5)(3-x).

التعبير *A* هو مجموع عمليتين جبريتين. العملية الأولى تعتبر جداء هاما، يمكن تحويلها إلى جمع:
(2x -3)^2=(2x)^2-2\times2x\times3+3^2=4x^2 - 12x + 9\quad\text{;}\quad A = 4x^2 - 12x + 9 + (x+5)(3-x).
يعتمد حل المقطع الثاني على عملية النشر:

(x+5)(3-x) = x(3-x)+5(3-x)=3x -x^2 + 15 - 5x = -x^2 -2x + 15.
بجمع العمليتين نحصل على النتيجة



#### المعادلات من الدرجة الثانية

تمكن **المتطابقات الهامة** من حل معادلات من الدرجة الثانية. نعتبر المثال التالي: x^2 +2x - 5 = 0.

لحل المعادلة نقوم بحل الجانب الذي لا يحتوي على مجاهيل وذلك باستخراج عدد آخر.
x^2 + 2x - 5 = x^2 + 2x + 1 -6.
الأعداد الثلاثة الأولى الآن تشكل **مجموعا هاما**، يمكن تطبيق **المتطابقة الهامة** بحيث تصبح المعادلة على شكل:
x^2 + 2x - 5 = (x +1)^2 - 6 = (x +1)^2 - (\sqrt 6)^2 = 0.
نستنتج الآن **مجموعا هاما** جديدا بحيث تكتب المعادلة على شكل:
x^2 + 2x - 5  =(x+1 + \sqrt 6)(x+1- \sqrt 6)=0.
الجداء *a*.*b* لعددين *a* و *b* يكون منعدما إذا وفقط إذا كان *a* أو *b* منعدما. . حل المعادلة يؤول إلى حل معادلتين من الدرجة الأولى:

(1)\; x +1 + \sqrt 6 = 0 \quad\text{;}\quad (2)\; x +1 - \sqrt 6 = 0.

نجد حلي المعادلة، التي تسمى أيضا جذر الحدودية:




### متعددات حدود مرفوعة إلى الدرجة الثانية

## متطابقات هامة متنوعة
### متطابقة أويلر للمربعات الأربعة
متطابقة المربعات الأربعة لأويلر تصل بينها ثمانية أعداد وتأخذ الشكل التالي:
(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)
=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2
+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.

### متطابقة صوفي جيرمين
متطابقة **صوفي جرمين** تنص على أن لكل عدد  و ، لدينا:
x^4+4y^4 = (x^2 +2y^2)^2 - 4x^2y^2 = (x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy) = ((x+y)^2+y^2)((x-y)^2+y^2).

### متطابقة جون روبرت أرغاند
(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1.

### متطابقة كارل فريدريك غوس
a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=\frac12(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2].

### متطابقات أدريان لوجاندر
(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2),
(a+b)^2-(a-b)^2=4ab,
(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2).

### متطابقات جوزيف لاغرانج
(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2,
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2.

## متطابقة هامة من الدرجة n
### نظرية ذات الحدين لنيوتن

نفس التقنية المتبعة في **المتطابقة الهامة** ذات الدرجة 2. ليكن **a** و **b** عددين حقيقيين:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.
بطريقة أخرى:
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 +4ab^3 + b^4;
(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 -4ab^3 + b^4.
بنفس الطريقة:
(a + b)^5 = a^5 +5a^4b +10a^3b^2 +10a^2b^3 +5ab^4 + b^5;
(a - b)^5 = a^5 -5a^4b +10a^3b^2 -10a^2b^3 +5ab^4 - b^5.
كذلك يمكن جعلها على أي درجة **n** باستعمال**نظرية ذات الحدين** أو **نظرية حد الكرخي — نيوتن**
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k.
معاملات التعبير المعتبر كحدودية في **x** و في **y** تدعى معاملات ثنائية. حتى وإن كان **y** عددا سالبا، فإنه نحصل على نفس التعابير أعلاه.

### أمثلة أخرى

; متطابقات هامة من الدرجة الثانية
:   (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\,

: (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\,

: a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\,
; متطابقات هامة من الدرجة الثالثة
: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,

: (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\,

: a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)\,

: a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)\,
; متطابقات هامة من الدرجة الرابعة
: (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 +4ab^3 + b^4\,

: (a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 -4ab^3 + b^4\,
; متطابقات هامة من الدرجة الخامسة
: (a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\,

: (a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5\,

: a^5 + b^5 = (a + b) (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)\,

: a^5 - b^5 = (a - b) (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)\,
; متطابقات هامة من الدرجة السادسة
: a^6 + b^6 = (a^2 + b^2) (a^4 - a^2b^2 + b^4)\, 

: a^6 - b^6 = (a + b) (a - b) (a^2 + ab + b^2) (a^2 - ab + b^2)\,
; متطابقات هامة من الدرجة السابعة
: a^7 + b^7 = (a + b) (a^6 - ab^5 + a^2b^4 - a^3b^3  + a^4b^2 - a^5b  + b^6) \,

: a^7 - b^7 = (a - b) (a^6 + ab^5 + a^2b^4 + a^3b^3 + a^4b^2 + a^5b + b^6) \,



## ملاحظات

## مراجع

تصنيف:حسابيات ابتدائية
تصنيف:رياضيات ابتدائية
تصنيف:متعددات الحدود
تصنيف:متطابقات رياضية