معادلات التلغراف

**معادلات التلغراف ** في التقنية الكهربائية (بالإنجليزية: telegraph equations) هما معادلتان تفاضليتان خطيتان تصف الجهد والتيار الكهربائي في خط نقل واعتمادهما على المسافة في الموصل والزمن . توصل إلى تلك المعادلتين «أوليفر هيفيسايد» في عام 1880 حيث ابتكر نموذجا لخط نقل *transmission line model* . ويبين هذا النموذج أن موجة كهرومغناطيسية يمكنها الانعكاس في مثل هذا السلك وإمكانية ظهور عدة أشكال للموجة عبر طول الخط . وتنطبق النظرية والحسابات على خطوط النقل الكهربائي بمختلف الترددات ، من التردد العالي مثل خطوط التلغراف وتنطبق أيضا على موصلات تردد الراديو وأسلاك التليفون وخطوط القوى الكهربائية المنخفضة التردد وكذلك على موصلات التيار المستمر.

## وحدة خط نقل

تصغير|توضيح تركيب خط نقل .

تصف معادلات التلغراف الجهد والتيار في موصل باستخدام معادلات ماكسويل . ومن وجهة التبسيط العملي يعتبر الموصل مكونا من مجموعة كبيرة من مكونات الكهربائية يوصل بينها سلكين ، يتكون الموصل من عدد كبير من وحدات نقل قصيرة ، مكونة من :

* R المقاومة الموزعة وتقاس بالأوم لوحدة الطول ،
* ملفات حث متتابعة L (تعمل بالحث المغناطيسي) وتقاس هنري/ وحدة الطول،
* C مكثف بين السلكين ، ويقاس فاراد/وحة الطول .
* موصل G من مادة عازلة كهربائية تعزل السلكين حيث يحمل أحدهما الإشارة والآخر عودة الإشارة ، ويقاس سيمنز لوحدة الطول. طبقا للنموذج هذا الموصل له مقاومة 1/G أوم .

يتكون خط النقل من عدد لا نهاية له من تلك الوحدات المبينة في الشكل وأن قيم الوحدات تعين بالنسبة إلى «وحدة الأطوال» . وتعتبر كل تلك العناصر لا تتغير مع الزمن وكذلك لا يتغير الجهد والتيار . أما بالنسبة إلى التردد فمن الممكن أن يتغير مع الزمن .

### وظيفة كل عنصر
[يسار|تصغير|300px|رسم توضيحي يبين سير موجة من دون فاقد في خط نقل وينتهي [توفيق المعاوقة|بمعاوقة توفيقية (مقاومة) . الأحمر يمثل الجهد ، والأسود إلكترونات.]]
يمكن وصف وظيفة كل عنصر كهربائي طبقا لما في الشكل :

* ملف الحث *L* يجعل الإلكترونات كما لو كان لها قصور ذاتي ، فمن الصعب زيادة أو خفض التيار عن أي نقطة . الحاث الكبير تجعل الموجة تتقدم ببطء ، مثلما تتقدم موجة على حبل غليظ فتكون بطيئة عن عبورها لحبل خفيف ، وهي تخفض التيار بمعاوقتها .
* المكثف *C* يضبط تنافر الإلكترونات وبالتالي يضبط مدى تجاذبهم . وعندما يكون المكثف كبيرا يكون الجاذب والتنافر صغيرين لأن السلك الثاني (الذي يحمل شحنة عكسية) يخفض من قوة التجاذب أو التنافر . (أو بمعنى آخر ] تعمل السعة الكبيرة على خفض الجهد). المكثف الكبير يجعل مرور الموجة بطيئا (يخفض الجهد عند نفس التيار) .
* *R* هي مقاومة كل خط ، و*G* تسمح بقفز إلكترونات من سلك إلى سلك . الشكل إلى اليمين يبين خط نقل من دون فاقد ، حيث كل من *R* و*G* يساوي 0.
 
## قيم الخصائص الأولية لكابل تليفون
القيم الخاصة لنوع 24 جوج تليفون ، معزول بالبولي إيثيلين PIC عند 70° فهرنهايت.

كما توجد قوائم لأنواع كابلات أخرى تعمل حتى 50 ميجا هرتز.

الوحدات في القائمة: أوم/1000 قدم ، مللي هنري/1000 قدم ومللي سيمنز /1000 قدم ، نانوفاراد/كيلو قدم.

ويعتمد تغير R وL على تأثير جلدي (فيزياء) skin effect وتأثير القرب.

## معادلات التلغراف
### الخصائص العامة
إذا افترضنا خط نقل مستقيم يمتد في الاتجاه
x ، فتكون معادلتي التلغراف له:

:
\begin{alignat}{2}
 \frac{\partial U(x,t)}{\partial x} &= - L'(x) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}& &\,-  R'(x) I(x,t) \\
  \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} &= -G'(x) U(x,t) & &\,- C'(x) \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}
\end{alignat}


وتعتمد الدالات R'و L'و G' وC'
على المسافة على الخط . وفي العادة تكون تلك خصائص ثابتة للخط ولا تتغير بالمسافة عليه ، وهي تسمى«ثوابت الخط البدئية»:

* R' **معامل المقاومة** ويقاس بالأوم/وحدة الأطوال،
* C' **معامل المكثف ** ويقاس بالسعة / وحدة الأطوال
* L' **معامل الحث** ويعطي الحث/وحدة الأطوال،
* G' **معامل توصيل **ويقاس بالاوم/وحدة الأطوال بين السلكين الموصلين للتيار .

### استنتاج معادلتي التلغراف
إطار|'''الشكل 1''': وحدة خط النقل .

يمكن استنتاج معادلتي التلغراف بتطبيق قانوني كيرشوف باعتبار خط النقل متكون من وحدات من تلك العناصر الكهربائية طول الوحدة \Delta x. وتتكون الوحدة من : سعة مكثف C = C'(x)\Delta x ، ومقاومة R = R'(x) \Delta x، وحثها الذاتي L = L'(x) \Delta x. ويعبر عن الفاقد بين السلكين بالمقاومة العرضية G = G'(x) \Delta x وهي عازلة بين السلكين .

وبتطبيق قانوني كيرشوف على تلك الوحدة المسلط عليها الجهد U(x,t) على الملف ، والمكثف ، والمقاومة R والجهد U(x + \Delta x,t) في نهايتها ، فنحصل مع مراعاة الإشارات على:

:U(x+\Delta x, t) -U(x,t) + R I(x+\Delta x, t) + L \frac{\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t} = 0.

وبالتعويض عن
L = L'(x) \Delta x وR = R'(x) \Delta x في المعادلة فنجد :

:U(x+\Delta x,t) - U(x,t) = - R' \Delta x I(x+\Delta x, t) - L' \Delta x \frac{\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t},

فإذا كانت \Delta x صغيرة ، نحصل على:

:U(x +\Delta x, t) = U(x,t) + \frac{\partial U(x,t)}{\partial x} \Delta x

وينتج عن ذلك:

:\frac{\partial U(x,t)}{\partial x} \Delta x = - R' \Delta x I(x+\Delta x, t) - L' \Delta x \frac{\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}.

وبالقسمة على \Delta x نحصل على:

: \frac{\partial U(x,t)}{\partial x} = - R' I(x+\Delta x, t) - L' \frac{\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t}.

كما تنطبق في نفس الوقت :

: I(x+\Delta x,t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \Delta x 

وكذلك:

:\frac{\partial I(x+\Delta x,t)}{\partial t} = \frac{\partial I}{\partial t}(x,t) + \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}  \Delta x 

فإذا كانت \Delta x صغيرة ، أي \Delta x \rightarrow 0، تتبسط المعادلة إلى I(x,t) وبالتالي \partial I(x,t)/\partial t.

وبالتعويض عنها في المعادلة نحصل على:

:\frac{\partial U(x,t)}{\partial x} = - R' I(x, t) - L' \frac{\partial I(x,t)}{\partial t},

وهذه هي المعادلة الأولى من معادلتي التلغراف. وبتطبيق القانون الأول لكيرشوف نحصل على:

: I(x+\Delta x, t) = I(x, t) - GU(x,t) - C \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}.

وبالتعويض :

:I(x+\Delta x, t) = I(x,t) + \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} \Delta x

وكذلك

:G = G'(x)\Delta x und C = C'(x) \Delta x تعطي بعد قسمتها على \Delta x المعادلة الثانية من معادلتي التلغراف :

:\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} =  - G'U(x,t) - C' \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}.

## الفاقد خلال النقل

عندما يكون العنصران *R* و*G* صغيرين فيمكن إهمال تأثيرهما ويعتبر خط النقل مثاليا إذ لا يحدث فيه فاقد . في تلك الحالة فيعتمد النقل على *L* و*C* ، ونحصل على معادلتين تفاضليتين من الدرجة الأولى ، تصف أحدهما الجهد *V* عبر خط النقل والأخرى *I*، وتغيرهما مع طول الخط *x* والزمن *t*:

:
\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) =
-L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t)


:
\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) =
-C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t)


ويمكن تعديل المعادلتين فنحصل على معادلتين للموجة :

:
\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V =
\frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V


:
rac{\partial^2}{{\partial t}^2} I =
rac{1}{LC} rac{\partial^2}.

## اقرأ أيضاً
* حساب التيار المتردد
* معاوقة
* معاوقة الدخول
* دائرة مقاومة ومكثف
* دائرة مقاومة وملف
* دائرة رنان توافقي
* دائرة رنين
* مرشح
* رنان ملف ومكثف
* محاثة متبادلة

تصنيف:كهرباء
تصنيف:معادلات تفاضلية جزئية
تصنيف:هندسة الكهرباء