رباعي أضلاع

تصغير|upright=1.0|ستة رباعيات أضلاع ملونة لكل منها 4 أضلاع و4 رؤوس.

في الهندسة الرياضية، رباعي الأضلاع مُضلَّع له أربعة أضلاع وأربعة رؤوس . لو كانت رؤوس الرباعي: A B وC وD، فيشار إلى الرباعي كتابة بالصيغة: \square ABCD.

تشمل عائلة رباعيات الأضلاع طيفًا واسعًا من الأشكال الهندسية التي يُمكن تصنيفها حسب خواصها: التحدُّب والتقاطع الذاتي وتساوي قياسات الأضلاع أو توازيها وتساوي قياسات الزوايا وتتامها وتناصف القطرين وتعامدهما، أشهرها: متوازي الأضلاع الرباعي وشبه المنحرف والمستطيل والمربع.

## التسمية
يُشتق اسم رباعي الأضلاع  من اللاتينية، وفيه تعني (quadri) أربعة، و(latus) جانب. ولكن يُمكن تسمية الشكل حسب الجذور اليونانية، فيكون اسمه  وفيها (-tetra) تعني أربعة و(gon-) تعني زاوية، فيصبح اسم الشكل حرفيًا: رباعي الزوايا. من أسماء الشكل الأخرى بالإنجليزية أيضًا: (quadrangle) و(4-angle) ومعناها حرفيًا رباعي الزوايا.

أما في نظام التسمية العربية، فالأصل في تسمية المُضلعَّات التي لا يتجاوز عدد أضلاعها العشرة أن تُسمَّى على وزن اسم المفعول من فعلها الثلاثي المزيد بحرف على وزن (فعَّل)، نُحو مُثلَّث لما فيه ثلاثة أضلاع ومُخمَّس لما فيه خمسة، ولكن لفظ مُربَّع محجوز لنوع خاص من الأشكال التي لها أربعة أضلاع، ولا يجوز تعميمه على العائلة كلها لأنه حالة خاصةٌ منها. لذلك يُلجَأ إلى أسلوب تسمية آخر صيغته: نوني الأضلاع، فما له ثلاثة أضلاع يُسمَّى ثلاثي الأضلاع، وما له أربعة يُسمَّى رباعي الأضلاع، وما له خمسة يُسمَّى خماسي الأضلاع.

## التصنيف
[تصغير|upright=1.0|تصنيف رباعيات الأضلاع [مخطط هاسه|بمخطط هاسه.]]

رباعي الأضلاع مُضلَّع عدد أضلاعه 4، وله أربعة رؤوس. تسمَّى أي قطعة مستقيمة تصل بين أي رأسين غير متجاورين فيه قطرًا، ولرباعي الأضلاع \square ABCD قطران: [BD] و[AC]. توصف رؤوس الرباعي التي ينطلق منها قطراه بأنها رؤوس متقابلة مثنى مثنى، فالرأس A يقابل الرأس C لأنها طرفا القطر [AC]، والرأس B يقابل الرأس D لأنها طرفا القطر [BD]. أما الرؤوس التي ترتبط بأضلاع فيما بينها فتسمى رؤوسًا متجاورة. توصف أضلاع الرباعي بالمثل بأنها متجاورة إذا اشتركت برأس ما، ومتقابلة بخلاف ذلك.

تُصنَّف رباعيات الأضلاع وفقًا لتقاطع أضلاعها بعضها مع بعضٍ من عدمه، إذا تقاطعت، وُصِف الرباعي بأنه مُعقَّد، وإذا لم تتقاطع وُصِف بأنه بسيط. تُصنَّف رباعيات الأضلاع البسيطة بعد ذلك حسب خاصية التحدُّب: يكون الرباعي مُحدَّبًا إذا رُسم خط بين أي نقطة داخلها، أو من أحد وجوهها إلى نقطة أخرى مشابهة فأنه لا يقطع أيًا من أضلاعه، وإلا فهو مُقعَّر.

### رباعي الأضلاع البسيط
[تصغير|upright=1.0|[مخطط أويلر لرباعيات الأضلاع البسيطة.]]
رباعي الأضلاع البسيط هو أي رباعي أضلاع لا تقطع أضلاعه بعضها البعض.

قد يكون رباعي الأضلاع البسيط مُحدَّبًا أو مُقعَّرًا.
#### رباعي الأضلاع المُحدَّب
[upright=1.0|تصغير|[مخطط هاسه لرباعيات الأضلاع المُحدَّبة يظهر العلاقة بينها وفقًا لتناظرها.]]

تمتاز رباعيات الأضلاع المُحدَّبة بأن قياس أي زواية داخلية فيها أقل من 180° وبأن القطرين يوجدان داخل الرباعي.

* أبسط أشكال رباعيات الأضلاع البسيطة المُحدَّبة هو رباعي الأضلاع غير المنتظم، وميزته: لا يوازي أيٌّ من أضلاعه أي ضلعٍ آخر فيه.
* إذا توازى ضلعان في رباعي الأضلاع سُمّي شبه منحرف، وإذا تساوى قياس زوايتان متجاورتين في شبه منحرف، سُمي شبه منحرف متساوي الساقين.
* إذا تساوى طولا ضلعين متجاورين مثنى مثنى في رباعي أضلاع، سُمِّي حَدَأة، أقطار الحدأة متعامدة، ويقسم كل منها الحدأة إلى مثلثين متطابقين، وتكون الزاويتان اللتان تتشكلان بين الضلعين المتجاورين مختلفي الطول متساويتين.
* إذا توازى كل ضلعين متقابلين في رباعي الأضلاع، سُمِّي بمتوازي الأضلاع الرباعي. تكون الأضلاع المتوازية متساوية الطول، والزوايا المتقابلة متساوية القياس، وينصف قطر المتوازي كلًا منها. تشمل متوازيات الأضلاع عائلتين فرعيتين: الرباعيات قائمة الزوايا والرباعيات متساوية الأضلاع.
* إذا تساوت أطوال أضلاع متوازي أضلاع، أو حَدَأة، سُمِّي الرباعي الناتج مُعيَّنًا، أقطار المعين متعامدة ومتناصفة وكل زويتين متقابلتين فيه متساويتان. أما لو كانت أطوال أضلاع الرباعي المتجاورة غير متساوية، وحوى زاوية منفرجة فإنه يُسمَّى عندها شبه مُعيَّن.
* إذا كانت زوايا متوازي أضلاع كلها قائمةً سُمِّي قائم الزاوية، وتكون أقطاره متساوية الطول ومتناصفة، وتضم عائلة قائمات الزوايا المستطيلات والمربعات.
* المستطيل هو متوازي أضلاع قائم الزواية، أطوال أضلاعه المتجاورة ليست متساوية، في حين أن أطوال أضلاعه المتقابلة متساوية. يُسمى الضلع الأطول طول المستطيل والأقصر عرضه.
* إذا تساوت أطوال أضلاع المُستطيل سُمِّي مربعًا. المربع مُعيَّن ومستطيل ومتوازي أضلاع في الوقت نفسه، أضلاعه متساوية الطول وزواياه متساوية القياس وكلها قائمة، أقطاره متساوية الطول ومتناصفة.

مركز

مركز|750بك
تُصنَّف رباعيات الأضلاع ضمن أصناف فرعية أخرى كما يلي:
* رباعي الأضلاع المماسي: أضلاعه الأربعة تمس دائرة مرسومة داخله. يكون رباعي الأضلاع المُحدَّب مماسيًا، إذا وفقط إذا، كات مجموع أطوال أضلاعه المتقابلة متساويًا. من الأمثلة عنه شبه المنحرف المماسي.
* الرباعي الدائري: رباعي أضلاع تقع رؤوسه الأربعة على دائرة محيطة. يكون رباعي الأضلاع المُحدَّب دائريًا، إذا وفقط إذا، كان المجموع الزوايا المتقابلة فيه 180°. من الأمثلة عليها الحَدَأة القائمة وفيها زاويتان متقابلتان قائمتان. إذا كان جُداء الأضلاع المتقابلة متساويًا في الرباعي الدائري، سُمِّي رباعي أضلاع توافقيًا.. إذا كان أحد أضلاع الرباعي الدائري قطرًا في الدائرة، سُمِّي الرباعي رباعي دائري قطري..
* إذا كان رباعي الأضلاع مماسيًا ودائريًا معًا فإنه يُسمَّى رباعي أضلاع ثنائي المركز..
* إذا كان قطرا الرباعي متعامِدان سُمِّي ، وإذا كانا متساويا الطول سُميَّ رباعي الأضلاع متساوي القطرين، وإذ كانا متناصفان، أي يُقسِّم كل منهم الآخر إلى قسمين متساويي الطول، سُمِّي رباعي الأضلاع متناصف القطرين، وكل رباعي أضلاع متناصف القطرين هو متوازي أضلاع رباعي.
* إذا مسَّت امتدادات أضلاع الرباعي دائرة خارجه سُمِّي رباعي أضلاع مماسي خارجي.
* إذا كان امتدادا ضلعين متساويين ومتقابلين في رباعي الأضلاع يلتقيان بزاوية 60° فيُسمَّى عندها رباعي الأضلاع المنسوب للمثلث المنتظَم.
* يُسمَّى الرباعي رباعي أضلاع واط إذا كان فيه زوجان من الأضلاع المتقابلة متساوية الطول.
* يُوصَف رباعي الأضلاع المُحدَّب بأنه مُربَّعي إذا كانت رؤوسه الأربعة تقع على محيط مُربَّع.
* إذا حوى رباعي الأضلاع على زاويتين قائمتين متقابلتين سُمِّي رباعي أضلاع يِلْمسليف.

PitotTheorem.PNG|رباعي أضلاع مماسي
Cyclic_quadrilateral.svg|رباعيات دائرية متنوعة: المُستطيل والمُربَّع وشبه المنحرف وشبه المنحرف متساوي الساقين
Bicentric kite 001.svg|حدأة قائمة: مثال عن رباعي أضلاع دائري ومماسي وهو بالتالي ثنائي المركز.
Orthodiagonal quadrilateral.svg|رباعي أضلاع متعامد القطرين
Ex-tangential_quadrilateral.png|رباعي أضلاع مماسي خارجي


#### رباعي الأضلاع المقعَّر
رباعي الأضلاع المُقعَّر مُضلَّعٌ مُقعَّر عدد أضلاع أربعة. يقطع امتداد أحد أضلاعه على الأقل ضلعًا آخر. إحدى زوايا رباعي الأضلاع المُقعَّر أكبر من 180° وأحد قطريه يمتد خارج الرباعي.

من الأمثلة على رباعي الأضلاع المُقعَّر: نصل السهم.

### رباعي الأضلاع المُعقَّد
رباعي الأضلاع المُعقَّد رباعي أضلاع ذاتي التقاطع: أي يقطع أحد أضلاعه ضلعًا آخر على الأقل. لرباعي الأضلاع المُعقَّد أربع زوايا داخلية: اثنان منها حادة واثنان منها منعكسة مجموعها 720°. يلزم الانتباه إلى أن موقع التقاطع بين الضلعين لا يُعدَّ رأسًا من رؤوس رباعي الأضلاع.
* شبه المنحرف التقاطعي: رباعي أضلاع مُعقَّد فيه زوجان متوازيان من الأضلاع وغير متجاورين.
* فراشة: رباعي أضلاع مُعقَّد فيه كل زوجين متقابلين من الأضلاع متساويا الطول وزوجين متقاطعين متساويا الطول، وله محور تناظر.
* المستطيل التقاطعي: رباعي أضلاع مُعقَّد فيه ضلعين متوازيين ومتساويي الطول، وضلعين متقاطعين ومتناصفين ومتساويي الطول.
* المربع التقاطعي: مستطيل تقاطعي، يتقاطع ضلعاه بزاوية قائمة.

Crossed isosceles trapezoid.png|شبه منحرف تقاطعي
Antiparallelogram1.svg|فراشة، ويظهر محور تناظرها بخط مُنقَّط
Crossed rectangles.png|مستطيلان تقاطعيان بجانب مستطيل قائم


### رباعي الأضلاع المتجانف

يُسمَّى رباعي الأضلاع غير المستوي، أي الذي لا تقع رؤوسه في مستوٍ واحد، برباعي الأضلاع المتجانف. يُشكِّل رباعي الأضلاع المتجانف مع قطريه رباعي وجوه، غير منتظَم بالضرورة، كما يُمكن إنشاء أي رباعي أضلاع متجانف انطلاقًا من رباعي وجوه بإزالة زوجين من حروفه المتقابلة.


Disphenoid tetrahedron.png|إسفيناني ثنائي، تُشكِّل حروفه الملوَّنة بالأحمر رباعي أضلاع متجانف.


## الخواص
تصغير|الأجزاء الرئيسة لرباعي أضلاع: إلى اليمين أسماء الرؤوس والأضلاع والأقطار، في الوسط: المتوسط الثنائي والأقطار لرباعي أضلاع مُحدَّب، إلى اليسار: لرباعي أضلاع مُقعَّر.

يُرمز لرباعي الأضلاع المُحدَّب عادةً بالرمز ABCD، وُتسمَّى أضلاعه بحروف صغيرة وفق ما يأتي:

a =  AB,\  b = BC,\  c = CD,\  d = DA

ويُرمَز لزواياه بالرموز:

\angle A, \angle B, \angle C, \angle D

قطرا الرباعي المُحدَّب هما القطعتان المستقيمتان اللتان تصلان بين كل زوجين من الرؤوس المتقابلة، ويُرمز لهما بحرفين صغيرين كما يأتي:

p =  [CA], q = [BD]

يُسمَّى الخط الواصل بين منتصفي ضلعين متقابلين بالمتوسط الثنائي. إذا كانت منتصفات الأضلاع الأربعة:
M_{AB}, M_{BC}, M_{CD}, M_{DA}
فيُرمز للمتوسط الثنائي الذي يصل بين M_{AB} وM_{CD} بالحرف الصغير m وبين M_{BC} وM_{DA} بالحرف الصغير n.

الارتفاع المُنصِّف هو قطعة مستقيمة تصل بين ضلعين متقابلين في رباعي الأضلاع، تُنصِّف أحدهما وتعامد الآخر.

### الأضلاع
ترتبط أضلاع الرباعي والزاويتين المتقابلتين فيه A وC، بالمتطابقتين التاليتين:

:ad\sin^2\tfrac12 A + bc\cos^2\tfrac12C = (s-a)(s-d)

و

:bc\sin^2\tfrac12 C + ad\cos^2\tfrac12 A = (s-b)(s-c).

وفيهما s نصف محيط رباعي الأضلاع.

تستوفي أضلاع أي رباعي المتباينتين التاليتين:
:a^2+b^2+c^2 > \tfrac13 d^2

و
:a^4+b^4+c^4 \geq \tfrac1{27} d^4

من أجل كل رباعي أضلاع بسيط عُلمت أطوال أضلاعه، يوجد رباعي أضلاع دائري له أطوال الأضلاع نفسها.

### الزوايا
مجموع الزاويا الداخلية لأي رباعي أضلاع بسيط ومستوٍ يساوي 360 درجة، أي:
:\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}

تحقق زوايا أري رباعي أضلاع بسيط المتطابقات التالية:

:\sin A + \sin B + \sin C + \sin D = 4\sin\tfrac12(A+B)\, \sin\tfrac12(A+C)\, \sin\tfrac12(A+D)

و

:
\frac{\tan A\,\tan{B} - \tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C - \tan B\,\tan D}
= \frac{\tan(A+C)}{\tan(A+B)}


و

:
\frac{\tan A + \tan B + \tan C + \tan D}{\cot A + \cot B + \cot C + \cot D}
= \tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}


يلزم الانتباه إلى أن المتطابقتين الأخيرتين لا تنطبقان على قائمات الزوايا، مثل المستطيل والمربع، لأن ظل الزاوية 90° غير مُعرَّف.

### المساحة

#### الصيغ المثلثية

#### الصيغ غير المثلثية

يَنشأ عن تقاطع القطرين والأضلاع الأربعة 4 مثلثات داخل رباعي الأضلاع، يتساوى جداء مساحة كل مثلثين متقابلين منهما مع المثلثين الآخرين.

#### الصيغ المتجهية

يُمكن حساب مساحة رباعي الأضلاع بالمُتَّجهات. ليكن قطرا الرباعي المتجهان  و، يُمكن التعبير عن مساحة الرباعي بأنها نصف طويلة جُداء المتجهين السابقين، أي:

:K = \tfrac12 |AC \times BD|

يمكن تمثيل المتجهين في فضاء ديكارتي ثنائي الأبعاد باعتبارهما متجهين حُرَّين كما يأتي  و وعندها تؤول العلاقة السابقة إلى الشكل:
:K = \tfrac12 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

#### متباينات
تستوفي مساحة الرباعي الدائري المتباينات التالية:

### القطران
#### الوصف
يُوصَف قطرا رباعي الأضلاع بأنهما:
* متناصفان: إذا تقاطعا بنقطة تُنصِّف كل منهما.
* متعامدان: إذا تقاطعا بزاوية قائمة.
* متساويان إذا تساوى طولهما.

يُبين الجدول التالي خواص أقطار أهم رباعيات الأضلاع:

#### حساب الطول
يُحسب طولا قطري رباعي أضلاع مُحدَّب ABCD، وليكونا مثلًا p وq، بتطبيق قانون جيب التمام على كل مُثلَّث يتشكل من قطر الرباعي وضلعين منه، حسب ما ياتي
p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{B}}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos{D}}
و
q=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos{A}}=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{C}}

يُمكن أيضًا حساب طول القطرين باستعمال العلاقتين التاليتين:
p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos{B}+\cos{D})}{ab+cd}}
و
q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos{A}+\cos{C})}{ad+bc}}

يرتبط طولا القطرين مع زواية تقاطعهما \theta ومع أطوال أضلاع الرباعي بالعلاقة:

\cos \theta = \frac{b^2+d^2-a^2-c^2}{2pq}

اشتق الرياضياتي الألماني  سنة 1984م العلاقة التالية التي تربط قطري رباعي الأضلاع المحدَّب مع قياس زاويتين فيه انطلاقًا من تعميم مبرهنة بطليموس:
 p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos{(A+C)}

يُمكِن تعميم قانون متوازي الأضلاع لينطبق على أي رباعي أضلاع مُحدَّب بالصيغة:

 a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + 4x^2 
وفيها  هي المسافة بين نقطتي وسط القطرين.

#### متباينات

### المتوسطان الثنائيان
upright=1.2|تصغير|متوازي أضلاع فيرنون <math>EFGH</math> باللون الأحمر.

المتوسطان الثنائيان لرباعي أضلاع هما القطعتان المستقيمتان الواصلتان بين منتصفي كل ضلعين متقابلين، وهما يتقاطعان في مركز رباعي الأضلاع.

تُشكِّل منتصفات أضلاع أي رباعي، سواء أكان مُحدَّباً أو مقعرًا أو تقاطعيًا، رؤوسًا لمتوازي أضلاع رباعي يُسمَّى  وله الخواص التالية:
* كل زوجين من الأضلاع المتقابلة في متوزاي أضلاع فارنون يوازيان قطرًا في رباعي الأصل.
* يساوي طول ضلع متوزاي أضلاع فارنون نصف طول أحد القطرين في الرباعي الأصل.
* تساوي مساحة متوزاي أضلاع فارنون نصف مساحة رباعي الأضلاع الأصل.
* يساوي محيط متوزاي أضلاع فارنون مجموعة طولي قطري رباعي الأضلاع الأصل.
* قطرا متوزاي أضلاع فارنون هما المتوسطان الثنائيان لرباعي الأضلاع الأصل.

يُمكِن حساب طولي المتوسطين الثنائيين بدلالة أطوال أضلاع الرباعي وطولي القطرين كما يأتي:

:m=\tfrac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}

:n=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}

ويرتبط طولا القطرين وطولا المتوسطين الثنائيين بالعلاقة التالية، وهي لازمة لقانون متوازي الأضلاع:
:\displaystyle p^2+q^2=2(m^2+n^2).

يُمكن التعبير عن طولي المتوسطين الثنائيين بدلالة الأضلاع المتقابلة والمسافة  التي تفصل بين المتوسطين والقطرين، وفق ما يأتي:

:m=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(b^2+d^2)-4x^2}

و
:n=\tfrac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-4x^2}

يرتبط قطرا رباعي الأضلاع المُحدَّب ومتوسطاه الثنائيان بالعلاقتين الثنويتين التاليتين:
* يتساوى طول المتوسطين الثنائيين، إذا وفقط إذا، كان القطران متعامدين.
* يتعامد المتوسطان الثنائيان، إذا وفقط إذا، كان القطران متساويي الطول.

يرتبط قطرا أي رباعي أضلاع مُحدَّب ومتوسطاه الثنائييان بالمتباينة التالية:

:pq \leq m^2+n^2,

وتكون المساواة مقصورة على الحالة التي يتساوى فيها طولا القطرين.

### مُنصِّفات الزوايا
يُمكن أن تُشكِّل منصفات زوايا رباعي الأضلاع المُحدَّب رباعي أضلاع دائري، بخلاف ذلك فإنها تتلاقى في نقطة إذا كان رباعي أضلاعٍ مماسيًا.

إذا تقاطع منصفا الزاويتين  و بنقطة تقع على القطر ، فإن منصفا الزاويتين  و سيتقاطعان بنقطة تقع على القطر .

## انظر أيضًا

## مصطلحات

## المراجع
### فهرس المراجع
;المنشورات
:العربية

:الإنجليزية

;الوب

### معلومات المراجع الكاملة
;العربية
:الكتب

* 
* 
* 
* 
* 

;الإنجليزية
:المقالات المُحكَّمة

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

:الكتب

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## وصلات خارجية
* محاكي لرباعيات الأضلاع.
* دور ووظيفة التصنيف التراتبي لرباعيات الأضلاع مقالة بحثية بقلم ميشيل دي فيليرز.

تصنيف:4 (عدد)
تصنيف:رباعيات أضلاع