تخميد

يسار
تصغير|270px|يسار|تضامّ من زُنبورك ومخمـّد
**المضاءلة** أو **التخميد** هو أي تأثير، ناتج عن تغيير خارجي أو موجود متأصل في نظام معين، يعمل على **تقليل سعة [[تردد|الذبذبات]]**، وفي الإلكترونيات يقال تخميد مطال التردد حيث يُقاس مطال التردد بالفولت أو بالأمبير.

في الرياضيات التطبيقية، التخميد نموذج رياضي كقوة بسعة تتناسب مع سرعة الجسم ولكن في عكس اتجاهها.

وفي آلات العزف الوترية مثل الجيتار والقيثارة والجيتار المعدني، **التخميد** يعنى إسكات صوت الوتر بعد صدور الصوت منه، بالضغط عليه بقاعدة الريشة أو بأي من أصابع اليد الموجودة على واحد أو أكثر من الأوتار الأخرى.

ويكون النظام المثالي لنظام كتلة-زُنبورك-مخمـّد له كتلة \mathcal {}[m]=1kg، ثابت الياي [k]=1\frac{N}{m}، وثابت المخمـّد [b]=1\frac{Ns}{m}،

و هنا تأتي المساواة \Bigg[ \frac{k}{m} \Bigg] = 1 \frac{1}{s^2} = 1 s^{-2} من أجل ما سبق التي تؤدّي إلى \frac{k}{m} = \omega_0^2 ، وهذا سيلعب دور في الحسابات التالية تحت.

يمكن وصف حركة النظام بالمعادلة الآتية :


\begin{matrix}
F_{spring} & = & - k x \\
F_{damper} \ & = & - b \dot{x} = - b \frac{dx}{dt} \\
\Sigma\ F \ & = & m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^t}
\end{matrix}


حيث \mathcal {}x هي إزاحة مركز الكتلة في أي زمن \mathcal {}t. ويمكن دمج هذه المعادلة إلى:


m \ddot{x} + b \dot{x} + k x = 0


وهذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية في \mathcal {}t. ويمكن حلها بفرض \mathcal {}x = e^{\gamma t}، وعندئذ نحصل على المعادلة المميــّـزة:


  \mathcal {}m \gamma^2 + b \gamma + k = 0


والتي يمكن حلها إلى:


\gamma_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 m k}}{2m} = - \frac{b}{2m} \pm \sqrt{\Bigg(\frac{b}{2m}\Bigg)^2 - \omega_0^2}


و على هذا الأساس يـُـكتسـَـب الحل العام للمعادلة التفاضلية نحو

x(t) = C_1 e^{\gamma_1 t} + C_2 e^{\gamma_2 t}

تصغير|300px| توقـــّـف النظام على قيمة نسبة التخميد ''ζ'' والقضايا المتعلـّـقة بها.

Dependence of the system behavior on the value of the
damping ratio ''ζ'', for under-damped, critically-damped, over-damped, and undamped cases, for zero-velocity initial condition.

عندما \mathcal {}C_1 و\mathcal {}C_2 يـُـحسبان من شروط القيم البدائية.

تصرّف النظام الميكانيكي بالإحالة إلى الاِهتزاز هو تابع لوضع التعبير تحت رمز الجذر، أي إن كان موجب أو سالب أو يساوي صفر. فعندما يكون \mathcal {}\Bigg(\frac{b}{2m}\Bigg)^2 - \omega_0^2 = 0 تكون \mathcal {}\gamma حقيقية وتوفــّـر حل واحد للمعادلة التفاضلية فقط، ويتصف النظام بتخميد حرج الذي ينبغي أن يـُـسمـّـى \mathcal {}b_{crit}. من أجل ذلك تأتي المساواة

\frac{b_{crit}}{2m} - \omega_0 = 0

و تلك تؤدّي إلى b_{crit} = 2m \omega_0 = 2 \sqrt{km}.

و \frac{b}{2m} = \frac{b}{b_{crit}} \cdot \frac{b_{crit}}{2m} = \frac{b}{b_{crit}} \omega_0 = \zeta \omega_0 يؤدّي إلى انعزال ما هو في داخل السابق :

\zeta = b/b_{crit} = b/(2 \sqrt{km}) وفيها تعتبر \mathcal {}\zeta كمية لا بعدية وهي نسبة التخميد.

و إدخال السابق في حلول المعادلة المميــّـزة يؤدّي إلى :

\gamma_{1,2} = \omega_0 (- \zeta \pm \sqrt{\zeta^2 - 1})

وهنا يجب التفريق إلى قضايا عدّة :

* قضية \mathcal {}\zeta  :

\sqrt{-1} = j يعطي \gamma_{1,2} = \omega_0 (- \zeta \pm j \sqrt{1 - \zeta^2})

إدخال ذلك في الحل العام من المعادلة التفاضلية يعطي

x(t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (C_1 e^{j \sqrt{1 - \zeta^2} \omega_0 t} + C_2 e^{- j \sqrt{1 - \zeta^2} \omega_0 t})

مع الصيغات e^{\pm j \alpha} = cos \alpha \pm j sin \alpha

و \omega_0 \sqrt{1 - \zeta^2} = \omega_d يــُـكتـســَـب

x(t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (A sin \omega_d t + B cos \omega_d t)

و شروط القيم البدائية \mathcal {}x(0) = x_0 وأيضاً \dot{x}(0) = {\dot{x}}_0 تؤدّي إلى :

x(t) = e^{- \zeta \omega_0 t} \Bigg(x_0 cos \omega_d t + \frac_0 + \zeta \omega_0 x_0}{\omega_d} sin \omega_d t \Bigg)

* قضية \mathcal {}\zeta = 1 :

هذا الوضع يعطي جذر واحد فقط، وهو \mathcal {}\gamma = - \zeta \omega_0 = - \omega_0 ، ولذلك دالـّـة المحاولة (trial function)

\mathcal {}x_1 (t) = e^{\gamma t} = e^{- \omega_0 t} لا تكفي لتحل ّ المعادلة التفاضلية ؛ وإضافة دالـّـة محاولية ثانية من نوع x_2 (t) = t e^{- \omega_0 t} تساعد في وضع مثل هذا ؛ ومع \mathcal {}b = b_{crit} = 2m \omega_0 تنجز المعادلة التفاضلية التي تتــّـخذ الشكل

\ddot{x} + 2 \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0

إذاً الدالـّـة المحاولية الكاملة تأتي بالشكل x(t) = C_1 e^{- \omega_0 t} + C_2 t e^{- \omega_0 t}

و إدخال شروط القيم البدائية \mathcal {}x(0) = x_0 وأيضاً \dot{x}(0) = {\dot{x}}_0 تؤدّي إلى :

\mathcal {}C_1 = x_0 وأيضاً C_2 = {\dot x}_0 + x_0 \omega_0

x(t) = [x_0 + ({\dot x}_0 + \omega_0 x_0) t] e^{- \omega_0 t}

يوصل التخميد إلى شدّة هنا حتي يبدأ بقهر التذبذب بشكل كامل.

* قضية \mathcal {}\zeta > 1 :

\mathcal {}\gamma_1 و\mathcal {}\gamma_2 يمثــّـلان قيم سالبة وحقيقية مع \mathcal {}| \gamma_1 |  وأيضاً \mathcal {}| \gamma_2 | > \omega_0 ؛ وهذا يعبـّـر عن تخميد شديد، وهو أقوى من تخميد القضية السابقة ؛ ولا يسمح بظهور التذبذب.

## التخميد في الإلكترونيات
عندما نسمع الراديو ويكون عالي الصوت نلجأ إلى مفتاح تخفيض الصوت ونديره حتي نصل إلى مستوي الصوت المرغوب فيه. والمفتاح متصل بمقاومة متغيرة في دائرة الراديو الكهربية. وبتغيير تلك المقاومة يتغير الجهد الواقع عليها وبذلك يصدر الصوت بالشدة التي نرغبها. وتتميز الدائرة الكهربية بما يسمى معامل التخميد.

## انظر أيضًا
* دائرة رنان توافقي
* هزاز توافقي
* تجاوز الحد (إشارة)

## مراجع

تصنيف:اهتزازات
تصنيف:تحليل رياضي
تصنيف:فيزياء
تصنيف:مصطلحات الإلكترونيات
تصنيف:معادلات تفاضلية عادية
تصنيف:ميكانيكا كلاسيكية
تصنيف:ميكانيكا موجية
تصنيف:نظرية التحكم