نهاية دالة

تقترب &lrm;(sin&nbsp;x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول «نهاية &lrm;(sin&nbsp;x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر.» وإن كانت الدالة &lrm;(sin&nbsp;x)/x غير محددة في الصفر.



تعتبر **نهاية** أو **غاية دالة** إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن:
: للدالة *f* نهاية *L* عند النقطة *p*. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة *f* تقترب بشكل كبير من القيمة *L* عند النقاط القريبة من *p* أو عندما يقترب المتغير المستقل *x* بشكل كبير من *p*.
نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L| |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة
|**ε**> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن A\sub\mathbb{R}, النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:
لكل \delta>0 يوجد على الأقل نقطة واحدة x\in\mathbb{A} حيث.
|x-y|.

لتكن A\sub\mathbb{R}, و c نقطة تراكم لـ A , للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد \delta>0 بحيث إذا كانت x\in\mathbb{A} و 0 إذاً |f(z)-L|.

## العلاقة بالإستمرارية (الإتصال)
كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة مستمرة، ولكن ليست كل دالة مستمرة هي دالة قابلة للاشتقاق، وهذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة فايرشتراس.

## خصائص
### قاعدة التسلسل
:\lim_{y \to d} f(y) = e, و\lim_{x \to c} g(x) = d \Rightarrow \lim_{x \to c} f(g(x)) = e
** غير صحيحة**. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد \delta>0 حيث إذا توفر 0 فإن |g(x)-d|>0).

### قاعدة لوبيتال

### الجمع والتكامل

نظرية

العدد A\sub\mathbb{R} هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة \left(a_n\right) في A بحيث \lim_{n\to\infty}a_n=c و \forall n \in \N \; :\; a_n \ne c .

 مثال:

الفترة المفتوحةA_1=\left(0,1\right) كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـA_1.
النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ \left(A_1\right) لكنها لا تنتمي إلى
 \left(A_1\right). كل النقاط في \left(A_1\right) هي نقاط تراكم ل \left(A_1\right)

# المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
# المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:

\lim_{x\to\mathbf{c}}f(x)=L
إذا أعطي \epsilon جوار لـL
 \mathbf{V}_\epsilon\left(L\right) يوجد\delta جوار لـ c 
 \mathbf{V}_\delta\left(C\right) بحيث x≠c هي أي نقطة في \mathbf{V}_\epsilon\left(C\right)\cap\mathbf{A} إذاًf(x)\in\mathbf{V}_\epsilon\left(L\right)

### أمثلة

1) \lim_{x\to\mathbf{c}}b=b

الحل

أفترض f(x)=b, لكلx\in\mathbb{R}, نريد إثبات أن \lim_{x\to\mathbf{c}}f(x)=b
، وإذا كان \epsilon>o, نفترض \delta=1.

(في الحقيقة في أي \delta موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),

إذا 0 , ((الواحد تعويض عن \delta))
لدينا |f(x)-b|=|b-b|=0 وبما أن \epsilon>0أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية
أن \lim_{x\to\mathbf{c}}f(x)=b

2) \lim_{x\to\mathbf{c}}x=b 

الحل:

لتكن g(x)=x , لكل x\in\mathbb{R} , إذا كان\epsilon>0 نختار \delta_\left(\epsilon\right)=\epsilon إذاًو إذا كانت
 0, يكون لدينا |g(x)-c|=|x-c|, بما أن \epsilon>0, نستنتج أن \lim_{x\to\mathbf{c}}g=c
مما يعني أن \lim_{x\to\mathbf{c}}x=c

### نظرية [معيار المتتابعة

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L
 \left(\lim_{x\to\mathbf{c}}f=L\right)

2/ لكل متتابعة \left(x_n\right) في A تتقارب إلى c بحيث x_n\ne c لكل n\in\mathbb{N} , المتتابعه
 \left(x_n\right) تتقارب إلى L

### معيار التباعد

لنفرض أن A\sub\mathbb{R} ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت l\in\mathbb{R} ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  x_n في A وx_n\ne c
 لكل n\in\mathbb{N} بحيث المتتابعة  x_n تتقارب إلى c لكن المتتابعة
 \left(f\left(x_n\right)\right) لا تتقارب إلى L

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة  x_n في A و
 x_n\ne c لكل n\in\mathbb{N} بحيث المتتابعة  x_n تتقارب إلى c لكن المتتابعة.
 
\left(f\left(x_n\right)\right) ليست تقاربية في R

### أمثلة

1/ \lim_{x\rightarrow 0 }\left(\frac{1}{x}\right) غير موجودة

الحل

نفرض أن \varphi\left(x\right)=\frac{1}{x} إذا كانت x>0 سنعتبر c=0
إذا أخذنا المتتابعة لـ\left(x_n\right) حيث n\in\mathbb{N} ,
x_n=\frac{1}{x} هذا سيؤدي إلى أن \lim_{x\rightarrow 0 }x_n=0 لكن
\left(x_n\right)=\frac{1}{\frac{1}{n}}=n وكما نعلم أن المتتابعة
\left(\varphi\left(x_n\right)\right)=n ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{1}{x} غير موجودة.

## انظر أيضًا
* نهاية متتالية،
* قاعدة لوبيتال.

## مراجع

تصنيف:دوال
تصنيف:نهايات (رياضيات)