الدالة العادة للأعداد الأولية

تصغير|يسار|200px|قيم (π(''n'' بالنسبة للأعداد الصحيحة الطبيعية الستين الأولى

في الرياضيات، **الدالة العادّة للأعداد الأولية**  هي دالة تعد عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو المساوية لعدد حقيقي ما. عادة ما يرمز إليها ب \scriptstyle\pi(x) (في هذه الإشارة، \scriptstyle\pi لا يشير إلى العدد π).

## التاريخ
في نهاية القرن الثامن عشر، حدس كل من كارل فريدريش غاوس وأدريان ماري ليجاندر أن الدالة العادة للأعداد الأولية تساوي بالتقريب:
: x/\operatorname{ln}(x)\!

هذا يعني ما يلي:

:\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\!

يطلق على هاته المتساوية اسم مبرهنة الأعداد الأولية. هناك متساوية أخرى متكافئة وهي:

:\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1\!

حيث li هي دالة التكامل اللوغاريتمي. بُرهن لأول مرة على هذه المبرهنة في عام 1896. كان ذلك من طرف كل من العالمين جاك هادامار وشارل جون دو لا فالي بوسان، الواحد منهما بمعزل عن اللاخر.

## لائحة قيم (π(x و(x / ln(x و(li(x
تظهر هذه اللائحة قيم الدوال الثلاث (π(x و(x / ln(x و(li(x عند قوى العدد عشرة.

:

تصغير|300px|رسم بياني يبين النسبة بين الدالة العادة للأعداد الأولية (''x'') من جهة ومن جهة أخرى دالتين تقتربان منها هما ''x''/log ''x'' و Li(''x''). عندما ''x'' يكبر (لاحظ أن محمور الأفاصيل x هو لوغارتمي)، كلا النسبتين تؤولان إلى الواحد. النسبة باستعمال ''x''/log ''x'' تقترب من الفوق بشكل بطيء, بينما النسبة باستعمال Li(''x'') تقترب بشكل أسرع ومن التحت.

## خوارزميات من أجل تحديد (π(x
تكمن الطريقة الأكثر بساطة من أجل تحديد (π(x إذا لم يكن x كبيرا جدا، في استعمال غربال إراتوستينس من أجل تحديد لائحة الأعداد الأولية الأصغر من x، وبذلك عدها.

هناك طريقة أكثر تطورا وتعود إلى ليجاندر.
:\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i

:\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1

## دوال أخرى تمكن من عد الأعداد الأولية

انظر إلى تحويل ميلين وإلى دالة فون مانغولدت وإلى صيغة القلب لموبيوس وإلى دالة زيتا لريمان وإلى صيغة بيرون.

## صيغ تحققها الدوال العادة للأعداد الأولية

:\psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2} \log\left(1-x^{-2}\right),
حيث
: \psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\psi(x - \varepsilon) + \psi(x + \varepsilon)}{2}.

:\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho} \operatorname{li}(x^\rho) - \log 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}.

:\int_x^\infty \frac{\mathrm dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}=\int_x^\infty \frac{1}{t\log t}
\left(\sum_{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm dt=\sum_{m}\int_x^\infty \frac{t^{-2m}}{t\log t}
\,\mathrm dt \,\,\overset{(u=t^{-2m})}{=}-\sum_{m} \operatorname{li}(x^{-2m})


:\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \sum_{m} \operatorname{R}(x^{-2m})

:\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\log x)^k}{k! k \zeta(k+1)}

:\operatorname{R}(x) - \sum_{m=1}^\infty \operatorname{R}(x^{-2m})

:\bigl( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x)\bigr) \frac{\log x}{\sqrt x}.

## متراجحات
## فرضية ريمان
فرضية ريمان تكافئ حدا أكثر دقة للخطأ في تقدير قيمة \pi(x).

:\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x}).

وبالتحديد
:|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| 

## انظر أيضا
* مسلمة بيرتراند
* حدسية أوبيرمان

## مراجع

## وصلات خارجية

تصنيف:أعداد أولية
تصنيف:دوال حسابية
تصنيف:لغارتمات
تصنيف:نظرية الأعداد التحليلية