إكمال المربع

[تصغير|يسار|300px|عرض يبين طريقة إكمال المربع. ([:ملف:Completing the square.ogv|Details، animated GIF version)]]

**إكمال المربع** هي عملية لتحويل الدالة التربيعية من الشكل

:ax^2 + bx + c\,\!

إلى الشكل

:  a(\cdots\cdots)^2 + \mbox{constant}.\, 

ومصطلح "constant" يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على *x*. والجزء داخل القوسين يكون على صورة (*x*&nbsp;+&nbsp;constant) ، بمعنى أن:

:ax^2 + bx + c\,\!

تحولت إلى

:  a(x + h)^2 + k\, 

بقيم معينة لكلا من *h* و *k*.

استخدامات طريقة إكمال المربع:
* حل المعادلات التربيعية
* رسم المعادلات التربيعية
* حساب التكامل في التفاضل والتكامل مثل تكامل جاوس.
* إيجاد تحويل لابلاس.

ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

## مقدمة

### تمهيد
يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين

:(x + p)^2 \,=\, x^2 + 2px + p^2.\,\!

مثال:

:\begin{alignat}{2}
(x+3)^2 \,&=\, x^2 + 6x + 9 && (p=3)\\[3pt]
(x-5)^2 \,&=\, x^2 - 10x + 25\qquad && (p=-5).
\end{alignat}


ففي أي مربع كامل العدد *p* يكون دائما هو نصف معامل *x* ، ويكون الحد الثابت هو مربع *p* أي يساوي *p*2.

### مثال بسيط
في كثيرة الحدود التربيعية التالية:

:x^2 + 10x + 28.\,\!

نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .

:(x+5)^2 \,=\, x^2 + 10x + 25.\,\!

بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:

:x^2 + 10x + 28 \,=\, (x+5)^2 + 3.

وهذا ما يسمى **إكمال المربع**.

### وصف عام
لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل *x* يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:

:x^2 + bx + c,\,\!

يمكن أن نكون 'مربعا كاملا' له نفس الحدين الأولين

:\left(x+\tfrac{1}{2} b\right)^2 \,=\, x^2 + bx + \tfrac{1}{4}b^2.

وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب

:x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k,

حيث *k* هو ثابت. وهذه العملية تسمى **إكمال المربع**. ومثالا لذلك:

:\begin{alignat}{1}
x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt]
x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt]
x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6.
\end{alignat}


### غير واحدية المدخل
لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل *x* لا يساوي 1) على الصورة:

:ax^2 + bx + c\,\!

يمكن أن نقوم باتخاذ *a* معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.

مثال:
:
\begin{align}
  3x^2 + 12x + 27 &= 3(x^2+4x+9)\\
          &{}= 3\left((x+2)^2 + 5\right)\\
          &{}= 3(x+2)^2 + 15
\end{align}
ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة

:a(x+h)^2 + k.\,\!

### صيغة عامة
يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:

:ax^2 + bx + c \;=\; a(x+h)^2 + k,
حيث:

 h = \frac{b}{2a} \quad\text{and}\quad k = c - ah^2 = c - \frac{b^2}{4a}

* حالة خاصة عندما *a*=1:

:x^2 + bx + c \;=\; (x+h)^2 + k, 
حيث:

 h = \frac{b}{2} \quad\text{and}\quad k = c - \frac{b^2}{4}

* وفي حالة المصفوفات (يراعى ترتيب ضرب المصفوفات):

:x^{\mathrm{T}}Ax + x^{\mathrm{T}}b + c = (x - h)^{\mathrm{T}}A(x - h) + k 
حيث:

:h = -\frac{1}{2}A^{-1}b \quad\text{and}\quad k = c - \frac{1}{4}b^{\mathrm{T}}A^{-1}b

ويجب أن تكون المصفوفة A متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).

أما لو كانت المصفوفة A غير متماثلة فإن صيغة حساب h و k يتم تغييرها إلى الصورة العامة:

:h = -(A+A^{\mathrm{T}})^{-1}b .

و

:k = c - h^{\mathrm{T}}A h = c - b^{\mathrm{T}} (A+A^{\mathrm{T}})^{-1} A (A+A^{\mathrm{T}})^{-1}b.

## علاقته بالرسم
تصغير|يسار|250px|رسم دالة تربيعية مزاحة إلى اليمين بـ ''h'' = 0, 5, 10, 15
تصغير|يسار|250px|رسم دالة تربيعية مزاحة لأعلى بـ ''k'' = 0, 5, 10, 15.

تصغير|يسار|250px|رسم لدالة تربيعية مزاحة لأعلى ولليمين بـ 0, 5, 10, 15

رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى *xy*.
فالدالة التربيعية على صورة:

:(x-h)^2 + k \quad\text{or}\quad a(x-h)^2 + k

الأرقام *h* و *k* تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل *h* الإحداثي *x* لمحور التماثل، بينما تمثل *k* القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت *a*&nbsp;&lt;&nbsp;0 ) للدالة التربيعية.

ويمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية *ƒ*(*x*)&nbsp;=&nbsp;*x*2 هو قطع مكافئ، رأسه عند نقطة الأصل &nbsp;(0,&nbsp;0).

بينما رسم منحنى الدالة *ƒ*(*x*&nbsp;−&nbsp;*h*)&nbsp;=&nbsp;(*x*&nbsp;−&nbsp;*h*)2 هو قطع مكافئ تمت إزاحته جهة اليمين بالقيمة *h* ورأسه هي (*h*,&nbsp;0) كما هو مبين بالشكل.

ورسم منحنى الدالة *ƒ*(*x*)&nbsp;+&nbsp;*k* =&nbsp;*x*2&nbsp;+&nbsp;*k* هو قطع مكافئ تمت إزاحته لأعلى بالقيمة *k*، ورأسه هي نقطة (0,k) كما هو مبين بالشكل الثاني.

ويمكن جمع الإزاحتين الأفقية (يمين أو يسار) والرأسية (أعلى أو أسفل) فالدالة *ƒ*(*x*&nbsp;−&nbsp;*h*)&nbsp;+&nbsp;*k* =&nbsp;(*x*&nbsp;−&nbsp;*h*)2&nbsp;+&nbsp;*k*

هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة *h*، ومزاح لأعلى بالقيمة *k*، ورأسه عند النقطة (*h*,&nbsp;*k*)، كما هو مبين بالشكل الثالث.

## حل المعادلات التربيعية
تستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، ومثال ذلك:

:x^2 + 6x + 5 = 0,\,\!

الخطوة الأولى هي إكمال المربع:

:(x+3)^2 - 4 = 0.\,\!

ثم نحل الحد المربع:

:(x+3)^2 = 4.\,\!

وبالتالي إما

:x+3 = -2 \quad\text{or}\quad x+3 = 2,

إذن

:x = -5 \quad\text{or}\quad x = -1.

ويمكن تطبيق ذلك لأي معادلة تربيعية. وعندما يكون معامل *x*2 لا يساوي 1 تكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل. انظر المثال التالي:

:\begin{array}{c}
2x^2 + 7x + 6 \,=\, 0 \\[6pt]
x^2 + \tfrac{7}{2}x + 3 \,=\, 0 \\[6pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16} \,=\, 0 \\[6pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 \,=\, \tfrac{1}{16} \\[6pt]
x+\tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4} \quad\text{or}\quad x+\tfrac{7}{4} = -\tfrac{1}{4} \\[6pt]
x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{or}\quad x = -2.
\end{array}

### الجذور [[عدد غير كسري|غير النسبية]] أو [[عدد مركب|المركبة]]
يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة.
مثال للجذور غير النسبية:

:x^2 - 10x + 18 = 0.\,\!

بإكمال المربع نحصل على

:(x-5)^2 - 7 = 0,\,\!

وبالتالي

:(x-5)^2 = 7.\,\!

إذن إما

:x-5 = -\sqrt{7} \quad\text{or}\quad x-5 = \sqrt{7},\,

إذن

:  x = 5 - \sqrt{7}\quad\text{or}\quad x = 5 + \sqrt{7}. \, 

وعادةً تكتب على الصورة:

:x = 5 \pm \sqrt{7}.\,

ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:

:\begin{array}{c}
x^2 + 4x + 5 \,=\, 0 \\[6pt]
(x+2)^2 + 1 \,=\, 0 \\[6pt]
(x+2)^2 \,=\, -1 \\[6pt]
x+2 \,=\, \pm i \\[6pt]
x \,=\, -2 \pm i.
\end{array}

حيث الرمز *i* يساوي \sqrt{-1}\,

## تطبيقات أخرى

### التكامل
يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:

:\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}

باستخدام قواعد التكامل

:\int\frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| +C \quad\text{and}\quad
\int\frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) +C.

مثال:

:\int\frac{dx}{x^2 + 6x + 13}.

بإكمال المربع للمقام نحصل على:

:\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 2^2}.

وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.

*u*&nbsp;=&nbsp;*x*&nbsp;+&nbsp;3,

الذي يُنتج

:\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3}{2}\right)+C.

### [[عدد مركب|الأعداد المركبة]]
العلاقة التالية

: |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,

حيث *z* و*b* هما عدادان مركبان، و  b^* , z^* , هما العددان المرافقان لهما على الترتيب، و *c* هو عدد حقيقي.

باستخدام القاعدة
: |u|^2 = uu^* ,

يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة

: |z-b|^2 - |b|^2 + c , \,\!

والتي يتضح أنها كمية حقيقة

:
\begin{align}
  |z-b|^2 &{}=  (z-b)(z-b)^*\\
          &{}=  (z-b)(z^*-b^*)\\
          &{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\
          &{}=  |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 .
\end{align}

مثال آخر المعادلة التالية:

: ax^2 + by^2 + c  , \,\!

حيث *a* و *b* و *c* و *x* و *y* هي أعداد حقيقية، و *a*&nbsp;&gt;&nbsp;0 و *b*&nbsp;&gt;&nbsp;0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي:
نفرض
: z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y . 

إذن

:
\begin{align}
  |z|^2 &{}= z z^*\\
        &{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
        &{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\
        &{}= ax^2 + by^2 ,
\end{align}

وبالتالي

: ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c . \,\!

## المنظور الهندسي
يسار

لإكمال المربع للمعادلة

:x^2 + bx = a\,

حيث أن *x*2 تمثل مساحة مربع طول ضلعه *x*،

و*bx* تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما *b* و *x*،

وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.

إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع *x*2 ) و(المستطيل *bx* ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحد(b/2)^2 الذي يتم إضافته إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاجه لإكمال المربع، ومن هنا جاءت التسمية **إكمال المربع** https://web.archive.org/web/20120303090103/http://maze5.net/?page_id=467

## إكمال المربع بطريقة مختلفة
كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث *v*&nbsp;2 إلى المعادلة

:u^2 + 2uv\,

لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2*uv*) أو (*2uv-*) إلى المعادلة

:u^2 + v^2\,

لنحصل على مربع على الصورة:

:u^2 +v^2= u^2 +2uv +v^2 -2uv = (u +v)^2 -2uv\,

أو

:u^2 +v^2= u^2 -2uv +v^2 +2uv = (u -v)^2 +2uv\,

### مثال: مجموع رقم موجب و[[مقلوب عدد|مقلوبه]]
إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب x\, مع مقلوبه {1\over x}\, يمكننا استخدام هذه الطريقة:

:
\begin{align}
x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\
                &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2
\end{align}

واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

### مثال: تحليل معادلة بسيطة
عند تحليل المعادلة التالية

:x^4 + 324 . \,\!

نجد أنها على صورة

:(x^2)^2 + (18)^2, \,\!

وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة

:2* x^2 * (18) = 36 x^2, \,\!

فسوف نحصل على

:\begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2  \\
&{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \end{align}

وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:

:\begin{align} &{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
&{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}

السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير *x*.

## مصادر
* Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544
* Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401
## مراجع

## وصلات خارجية
* 
* كيفية إكمال المربع, Education Portal Academy

تصنيف:جبر ابتدائي
تصنيف:مقالات تحوي براهين