قائمة المتطابقات المثلثية

[300px|تصغير|الجيوب وجيوب التمام حول [دائرة وحدة|دائرة الوحدة]]

في الرياضيات، **المتطابقات المثلثية** أو **المطابقات المثلثية** أو **المعادلات المثلثية** هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.

## ملاحظات
* لتجنب الالتباس حول (*sin<sup>−1</sup>(*x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (*csc(*x ومثيلاتها للمقاليب و(*arcsin(*x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

## علاقات أساسية








## التطابق، والإزاحة والدورية
من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

### التطابق
تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

### الإزاحة والدورية

## متطابقات مجموع وفرق الزوايا

### شكل المصفوفة

:  \left[\begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\  \sin\alpha & \cos\alpha \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\cos\beta & -\sin\beta \\  \sin\beta & \cos\beta\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\  \sin(\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right]. 

### جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية

:  \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\mathrm{odd}\  k \ge 1} (-1)^{(k-1)/2}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) 

:  \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \theta_i\right)
=\sum_{\mathrm{even}\  k \ge 0} ~ (-1)^{k/2} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\theta_i \prod_{i \not \in A} \cos\theta_i\right) 

### ظلال مجاميع حدود محدودة

: \tan(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots}, 

مثال:

: \begin{align} \tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2} = \frac{(x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3)}, \\  \\
\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4)
&{}= \frac{e_1 - e_3}{e_0 - e_2 + e_4} \\  \\
&{}= \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4)}{
1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4)},\end{align} 

وهكذا

### قواطع مجاميع حدود محدودة

:  \sec(\theta_1 + \cdots + \theta_n) = \frac{\sec\theta_1 \cdots \sec\theta_n}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} 

مثلا,

:  \sec(\alpha+\beta+\gamma) = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \tan\alpha\tan\beta - \tan\alpha\tan\gamma - \tan\beta\tan\gamma }. 

## صيغ الزوايا المتعددة

: 1+2\cos(x) + 2\cos(2x) + 2\cos(3x) + \cdots + 2\cos(nx)
= \frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.

### صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا

**أنظر أيضا:** 

#### صيغ ضعف زاوية
:  \sin (2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta}

:  \cos (2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}


:  \tan (2\theta) = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}

:  \cot (2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}

:  \sec (2\theta) = \frac{\sec^2 \theta}{2 - \sec^2 \theta}

:  \csc (2\theta) = \frac{\sec \theta \csc \theta}{2}

#### صيغ ثلاثة أضعاف زاوية
: \sin (3\theta) =3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 4\sin\theta\sin(\frac{\pi}{3} -\theta)\sin(\frac{\pi}{3} + \theta)

: \cos (3\theta) = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta =4\cos\theta\cos(\frac{\pi}{3} -\theta)\cos(\frac{\pi}{3} + \theta)

: \tan (3\theta) = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta} = \tan \theta\tan(\frac{\pi}{3} - \theta)\tan(\frac{\pi}{3} + \theta)

: \cot (3\theta) = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}

: \sec (3\theta) = \frac{\sec^3\theta}{4-3\sec^2\theta}

: \csc (3\theta) = \frac{\csc^3\theta}{3\csc^2\theta-4}

#### صيغ نصف زاوية

:
\begin{align}
& \sin \frac{\theta}{2} = \sgn \left(2 \pi - \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \\
\end{align}


حيث \sgn x = \pm 1  و \lfloor f(x) \rfloor هي دالة الجزء الصحيح.

:  \sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}

:  \cos \frac{\theta}{2} = \sgn \left(\pi + \theta + 4 \pi \left\lfloor \frac{\pi - \theta}{4\pi} \right\rfloor \right) \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}

:  \cos^2\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}

: 
\begin{align}
\tan \frac{\theta}{2} & = \csc \theta - \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\
& = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+\tan^2\theta}}{\tan\theta} = \frac{\tan\theta}{1 + \sec{\theta}}
\end{align}


:  \cot \frac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} 

أيضا:  \tan\frac{\eta+\theta}{2} = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} 

:  \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \sec\theta + \tan\theta 

: \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} = \frac{\left|1 - \tan\frac{\theta}{2}\right|}{\left|1 + \tan\frac{\theta}{2}\right|}

### جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة

:\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)

:\cos n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\cos\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)

:\tan\,(n{+}1)\theta = \frac{\tan n\theta + \tan \theta}{1 - \tan n\theta\,\tan \theta}.

:\cot\,(n{+}1)\theta = \frac{\cot n\theta\,\cot \theta - 1}{\cot n\theta + \cot \theta}.

### ظل المتوسط

: \tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}

### جداء Viète اللانهائي

:  \cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right)
= {\sin(\theta)\over \theta} = \operatorname{sinc}\,\theta. 

حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري
وهي تكافئ
\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}{x}

## صيغ اختصار الأس

## متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس

### متطابقات أخرى ذات صلة

:إذا كانت x + y + z = \pi  تساوي نصف دائرة، فإن:
:\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x)\tan(y)\tan(z)
:و \sin(2x) + \sin(2y) + \sin(2z) = 4\sin(x)\sin(y)\sin(z)

### مبرهنة بطليموس

:إذا كانت  w + x + y + z = \pi   تساوي نصف دائرة، فإن:
::\begin{align} \sin(w + x)\sin(x + y)
&   = \sin(x + y)\sin(y + z) \\
&{} = \sin(y + z)\sin(z + w) \\
&{} = \sin(z + w)\sin(w + x) = \sin(w)\sin(y) + \sin(x)\sin(z).
\end{align}

## مركبات خطية

:a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sin(x+\varphi)\,

حيث:
\varphi = \begin{cases}\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)
& \text{if }a \ge 0, \\
\pi-\arcsin \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right) & \text{if }a 

أو:\varphi = \arctan \left(\frac{b}{a}\right) + \begin{cases}
0 & \text{if }a \ge 0, \\
\pi & \text{if }a 

:a\sin x+b\sin(x+\alpha)= c \sin(x+\beta)\,

حيث:
  c = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab\cos \alpha},\,

و:
  \beta = \arctan \left(\frac{b\sin \alpha}{a + b\cos \alpha}\right) + \begin{cases}
0 & \text{if } a + b\cos \alpha \ge 0, \\
\pi & \text{if } a + b\cos \alpha 

## مجاميع أخرى للدوال المثلثية

:\sin{\varphi} + \sin{(\varphi + \alpha)} + \sin{(\varphi + 2\alpha)} + 
\cdots + \sin{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \sin{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.
:\cos{\varphi} + \cos{(\varphi + \alpha)} + \cos{(\varphi + 2\alpha)} + 
\cdots + \cos{(\varphi + n\alpha)}=\frac{\sin{\left(\frac{(n+1) \alpha}{2}\right)} \cdot \cos{(\varphi + \frac{n \alpha}{2})}}{\sin{\frac{\alpha}{2}}}.

: a \cos(x) + b \sin(x) = \sqrt{ a^2 + b^2 } \cos(x - \operatorname{atan2}\,(b,a)) \;

:\tan(x) + \sec(x) = \tan\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).

:\cot(x)\cot(y) + \cot(y)\cot(z) + \cot(z)\cot(x) = 1.\,

## تحويلات كسرية خطية معينة

:  f(x) = \frac{(\cos\alpha)x - \sin\alpha}{(\sin\alpha)x + \cos\alpha}, 

وبالمثل:  g(x) = \frac{(\cos\beta)x - \sin\beta}{(\sin\beta)x + \cos\beta}, 

وعليه:  f(g(x)) = g(f(x))
= \frac{(\cos(\alpha+\beta))x - \sin(\alpha+\beta)}{(\sin(\alpha+\beta))x + \cos(\alpha+\beta)}. 

:  f_\alpha \circ f_\beta = f_{\alpha+\beta}. \, 

## الدوال المثلثية العكسية
: \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;

: \arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;

:\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x> 0 \\  -\pi/2, & \mbox{if }x 

### مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها

## علاقة بالأس المركب

:e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\, (صيغة أويلر),

:e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,

:e^{i\pi} = -1\,

: \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;

: \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;

: \tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}

حيث i^2 = -1.

## صيغ الجداء اللانهائي

: \sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)

: \sinh x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)

: \frac{\sin x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)

: \cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)

: \cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)

## المتطابقات الخالية من المتغيرات

:\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8}

:\prod_{j=0}^{k-1}\cos(2^j x)=\frac{\sin(2^k x)}{2^k\sin(x)}.

: \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{8}, 

:\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8}.

:\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac{1}{2}.

: \cos\left(   \frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)   
  \,+\, \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
:: 
  \,+\, \cos\left(5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  \,+\, \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2}.

### حساب π

:\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}

:\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}.

### بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة

:
\begin{matrix}
\sin 0 & = & \sin 0^\circ & = & \sqrt{0}/2 & = & \cos 90^\circ &  =  & \cos \left(\frac {\pi} {2} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {6} \right) & = & \sin 30^\circ & = & \sqrt{1}/2 & = & \cos 60^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {3} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {4} \right) & = & \sin 45^\circ & = & \sqrt{2}/2 & = & \cos 45^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {4} \right) \\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {3} \right) & = & \sin 60^\circ & = & \sqrt{3}/2 & = & \cos 30^\circ & = & \cos \left(\frac {\pi} {6} \right)\\  \\
\sin \left(\frac {\pi} {2} \right) & = & \sin 90^\circ & = & \sqrt{4}/2 & = & \cos 0^\circ & = & \cos 0 
\end{matrix}


### قيم أخرى شيقة

:\sin{\frac{\pi}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{6}-
\frac{\sqrt{7}}{189} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j+1)!}{189^j j!\,(2j+2)!}
\!

:\sin{\frac{\pi}{18}}=
\frac{1}{6} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(3j)!}{27^j j!\,(2j+1)!}
\!

بـالنسبة الذهبية φ:

:\cos \left(\frac {\pi} {5} \right) = \cos 36^\circ={\sqrt{5}+1 \over 4} = \varphi /2


:\sin \left(\frac {\pi} {10} \right) = \sin 18^\circ = {\sqrt{5}-1 \over 4}  = {\varphi - 1 \over 2} = {1 \over 2\varphi}

## التفاضل والتكامل
في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا
بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:

:\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1,

محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:

:\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x }{x}=0

محققة باستخدام هذه المتطابقة . بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن  و . إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.

:\frac{d}{dx}\sin x = \cos x

يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

:
\begin{align}
{d \over dx} \sin x & = \cos x          ,& {d \over dx} \arcsin x & =  {1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \cos x & = -\sin x         ,& {d \over dx} \arccos x & = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}      \\  \\
{d \over dx} \tan x & = \sec^2 x        ,& {d \over dx} \arctan x & = { 1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \cot x & = -\csc^2 x       ,& {d \over dx} \arccot x & = {-1 \over 1 + x^2}             \\  \\
{d \over dx} \sec x & = \tan x \sec x   ,& {d \over dx} \arcsec x & = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}   \\  \\
{d \over dx} \csc x & = -\csc x \cot x  ,& {d \over dx} \arccsc x & = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
\end{align}\ 


يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

:\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C

:\int{\frac{du}{a^{2}+u^{2}}}=\frac{1}{a}\tan ^{-1}\left(\frac{u}{a} \right)+C

:\int{\frac{du}{u\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\frac{1}{a}\sec ^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

## تعاريف أسية

## متفرقات
### نواة ديراك

:1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots+2\cos(nx) = \frac{ \sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right\rbrack }{ \sin\left(\frac{x}{2}\right) }. 

### تعويض ظل نصف الزاوية

إذا وضعنا t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) :

: \sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} و \cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} و e^{i x} = \frac{1 + i t}{1 - i t} .

## انظر أيضًا

* إثبات المتطابقات المثلثية

## مراجع

تصنيف:تحليل حقيقي
تصنيف:دوال مثلثية
تصنيف:حساب المثلثات
تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات
تصنيف:متطابقات رياضية