حساب مقاسي

[تصغير|الصفحة الأولى من الطبعة الأصلية من كتاب [كارل فريدريش غاوس، ***[[استفسارات حسابية (كتاب)|استفسارات حسابية]]***، الكتاب المؤسس للحسابيات المقاسية.]]

تصغير|يسار|الساعة الحائطية تستعمل الحسابيات المقاسية بقياس يساوي 12.

في الرياضيات وبالتحديد في مجال النظرية الجبرية للأعداد، **الحساب المقاسي** أو **الحساب المحدود** أو **حساب البواقي** أو **الحسابيات المقاسية**  هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة و من ضمنها الطبيعية. وهي ترتكز على دراسة الباقي الحاصل من القسمة الإقليدية.

ترتكز الحسابيات المقاسية أساسا على النظر إلى باقي قسمة الأعداد الطبيعية على عدد طبيعي معين ثابت ما، بدلا من النظر إلى هذه الأعداد ذاتها. يظهر هذا جليا في مثال *حسابيات المنبه*، الذي يوافق حالة *n=12* : العقرب الصغير يوجد في نفس الموضع في لحظتين تفصل بينهما اثنتا عشرة ساعة، وبهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13.

## استعمالات
في الرياضيات الأساسية، هذا المفهوم قليل الاستعمال. التوظيف الأكثر استعمالا هو المبرهنة الجبرية للأعداد، التي تتضمن مجالا أكثر توسعا، تتضمن مثلا مفاهيم الأعداد الجبرية ومبرهنة غالوا.

في الرياضيات التطبيقية, لهذه العبارة استعمالات مكثفة في أساسيات الرياضيات في مختلف مجالات نظرية المعلوميات كالتشفير ونظرية الترميز والمعلوميات. لعدد من الأدوات وخوارزميات داخل هذا المجال نجد اختبار أولية عدد ما والتفكيك إلى جداء عوامل أولية، استعمال مميزات مجموعة مثلا بالنسبة لتحويل فوريي المتقطع أو دراسة الخارج أو الخاصة بالأعداد الطبيعية, كما في الدوال الحدودية.

## التاريخ
### الأصول الأولى
[يمين|تصغير|الصفحة الأولى لطبعة [1621 ل أريثميتيكا (كتاب) لمؤلفه ديوفانتوس الإسكندري، المترجمة إلى اللاتينية من طرف كلود غاسبارد باشي دي ميزيرياك.]]

### الظهور في أوروبا
[تصغير|يسار|[بيير دي فيرما développe largement l'حسابيات. Les propriétés de la خوارزمية تقسيم, fondement de l'arithmétique modulaire, sont largement utilisées par ce mathématicien.]]

### الطرق المستعملة
[تصغير|يسار|[ليونهارت أويلر, théoricien des nombres du الثامن عشر، حلحل العديد من المعادلات الديوفانتية.]]

### مساهمات كارل فريدريش غاوس
[تصغير|يسار|[كارل فريدريش غاوس هو مؤسس الفرع من الرياضيات الذي يدعى حاليا *الحسابيات المقاسية*.]]

### القرن العشرون
#### التعمية
[يمين|تصغير|[أوجوست كيركهوفس أعلن مبدأ مؤسسا لعلم التعمية المعاصر.]]

[تصغير|''[آلة إنجما*, آلة للتعمية استعملت خلال [[الحرب العالمية الثانية]]، كُسر تشفيرها من طرف عالم الرياضيات [[ماريان رييفيسكي|ماريان رييفسكي]].]]

==== نظرية المعلومات ====

== وسائل الحسابيات المقاسية ==
=== تساوي عددين بتردد عدد ثالث ===
للحصول على حساب من نوع هذه المجموعة, علينا التأكد من كون عمليـّـتي الجمع والضرب متكافئة مع تعريفهما.

بالنسبة ل[[كارل فريدريش غاوس|كارل فريدرش غاوس]] فقد أضاف تحليل بنية هذه المجموعة, والمسماة [[حلقة (رياضيات)|حلقة]] ل [[تقارب الأعداد الطبيعية|تقارب]] ورمزها [[حلقة Z/nZ|*Z*/*nZ*]]. تهتم أولا بدراسة عملية الجمع, الذي يعرف ب[[زمرة دائرية]] ذات المولد *1* ; ثم عملية الضرب, المستقل عن خصائص التطابق (congruency) . إذا كان هذا [[عدد أولي|عددا أوليا]], نحصل على [[حقل (رياضيات)|حقل]] . هذه المقاربة تسهل عملية المبرهنة في مجال الحسابيات. المثالان التاريخيان من كتاب *Disquisitiones arithmeticae* تبع الرياضياتي الألماني غاوس هما [[مبرهنة ويلسون]] و[[مبرهنة فيرما الصغرى|البرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى]].

الحسابيات المقاسية، في حالة لم يكن الترديد عددا أوليا ، أكثر تعقيدا. [[مبرهنة الباقي الصينية|مبرهنة الباقي الصيني]] تسمح بتنوير البنية. الحلقة غير [[حلقة داخلية|داخلية]], حيث يوجد [[قاسم للصفر|قواسم الصفر]], وهي أعداد إذا ضربت في أعداد غير منعدمة أعطت كنتيجة العدد صفر. عدد العناصر المقلوبة معطاة بواسطة [[مؤشر أويلر]]. وهي تتيح مثلا, [[مبرهنة فيرما الصغرى|تعميم مبرهنة فيرما الصغرى]].

=== الأعداد الصحيحة الجبرية ===


[[ملف:Entier de Gauss division.jpg|تصغير|يسار|بيان قسمة إقليدية على [[عدد صحيح غاوسي|أعداد صحيحة غاوسية]]]]

[[ملف:Fermat deux carrés.jpg|تصغير|يمين|بيان للبرهان على [[مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين]] باستعمال [[عدد صحيح غاوسي|الأعداد الصحيحة الغاوسية]]]]

=== حروف دركليه ===


[[ملف:Dirichlet.jpg|تصغير|يسار|طور [[يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه]] الجزء الأساسي من النظرية في إطار الحلقة ℤ/nℤ.]]

درس دركليه [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] اللائي يأخذن الشكل *n* + λ*m'' حيث m و n عددان أوليان فيما بينهما وحيث λ عدد طبيعي ما. فحاول البرهان على أن هناك عددا غير منتهي من هذه الأعداد الأولية.

## أساسيات
تعتبر الحسابيات المقاسية نظاما حسابيا للأعداد الصحيحة يعتمد على تكرار الأعداد بشكل نمطي لدى بلوغها قيمة نمطية معينة تسمى مقاس، وهي تـُـخـْـتـَـزَل بالتعبير \pmod{}. مرتبط بذلك الرياضياتيون يتكلمون عن «تطابق» (congruency) .

على فرض لدينا عدد صحيح موجب n\! وعدد صحيح a\! فإننا بقسمة a\! على n\! نحصل على عدد صحيح q\! هو ناتج القسمة وعدد صحيح r\! هو باقي القسمة بحيث يحققان العلاقة التالية:

a=qn+r\quad 0\le r 

حيث الصيغة \lfloor x\rfloor تعني أكبر عدد صحيح أصغر أو يساوي x\!

يرمز إلى عملية حساب باقي القسمة ب mod حيث نكتب r=a \mod n\! وبالتالي:

a=\left \lfloor \frac{a}{n}\right \rfloor \times n + (a\mod n)

أمثلة:

\mathcal {}5 \mod 7 = 5

\mathcal {}0 \mod 7 = 0

\mathcal {}7 \mod 7 = 0

\mathcal {}11 \mod 7 = 4

\mathcal {}-11 \mod 7 = 3

نقول عن عددين صحيحين a\! و b\! بانهما متوافقان بقياس n\! إذا تحقق (a \mod n) = (b \mod n) ونرمز لذلك بـ a \equiv b \mod n

### خصائص عملية حساب باقي القسمة
* a\equiv b \mod n إذا و إذا كان فقط n \mid (a-b)
* a \equiv b \mod n \iff b \equiv a \mod n
* a \equiv b \mod n \wedge b \equiv c \mod n \implies a \equiv c \mod n

### خصائص الحسابيات المقاسية
 (xy)\bmod \ m=((x \ \bmod \ m)(y \ \bmod \ m))\bmod \ m 

(x+y) \bmod \ m=((x \ \bmod \ m)+ (y \ \bmod \ m) ) \bmod \ m

 x^n \  \bmod \ m=( (x^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \ \bmod \ m)(x^{\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil} \ \bmod \ m)) \bmod \ m

## انظر أيضا

* حقل منته
** مبرهنة الباقي الصيني
* نظرية الأعداد
** زمرة دائرية
** مبرهنة أويلر
** مبرهنة فيرما الصغرى، حالة خاصة من مبرهنة أويلر
** مبرهنة لاغرانج (نظرية الزمر)

## مراجع

تصنيف:توافيقيات
تصنيف:حسابيات
تصنيف:حسابيات نمطية
تصنيف:نظرية الزمر