لغارتم طبيعي

**اللغارتم الطبيعي**  أو **اللغارتم النيبيري** هي دالة لغارتم ية للأساس *[[ه (رياضيات)|e]]*. وهي الدالة الاصلية للدالة x\mapsto  على \R_+^* وتنعدم عند 1. تُدوَّن هذه الدالة بـ **Log** (عدم الخلط مع **log** والتي تُدوَّن بها دالة اللغارتم العشري) أو **ln**
بصفة عامة.

## التاريخ
ويسمى هذا اللغارتم أيضا باللغارتم النيبيري تكريماً لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير الذي أنشأ أول الجداول اللغارتم ية (والتي ليست في الواقع جداول اللغارتم ات الطبيعية).

تم وضع مفهوم اللغارتم الطبيعي بواسطة غريغوار دو سان فنسان و  قبل عام 1649. تضمن عملهم تربيع القطع الزائد الذي معادلته xy = 1 من خلال تحديد مساحة القطاعات الزائدية. تولد حلولهم دالة «اللغارتم الزائدي» المطلوبة التي لها خصائص مرتبطة الآن باللغارتم الطبيعي.

وضعت أول إشارة للغارتم الطبيعي من قبل نيكولاس مركاتور في عمله Logarithmotechnia المنشور في 1668،  على الرغم من أن مدرس الرياضيات 
قام بالفعل في عام 1619 بتجميع جدول لما كان في الواقع لغارتم ات طبيعية. لقد قيل إن لغارتم ات سبيديل كانت ذات الأساس e ، لكن هذا ليس صحيحًا تمامًا بسبب التعقيدات مع القيم المعبر عنها كأعداد صحيحة.

## اتفاق حول الرموز
يشير الرمزان  و  بشكل لا لبس فيه إلى اللغارتم الطبيعيّ لِـ*x*. وقد يُفهم من الرمز  دون أي ذكر صريح لأي أساس أنه لغارتم طبيعيّ لِـ*x*. يشيع هذا الفهم بين الأوساط العلميّة وفي الرياضيات بالإضافة إلى بعض لغات البرمجة. يُمكن استخدم الرمز  في بعض السياقات الأخرى للإشارة إلى اللغارتم ذو الأساس 10.

تاريخياً، أُدخلت الرموز "" و "" إلى الاستخدام منذ ثلاثينيات القرن الثامن عشر 1730s على الأقل، وبقيت حتى أربعينيات القرن التاسع عشر 1840s على الأقل، أما الرمز "log." أو "log"، فمنذ تسعينيات القرن الثامن عشر 1790s على الأقل. أخيراً، في القرن العشرين سُجِلَت الرموز "Log" و "logh".

## أصل مصطلح ''اللغارتم الطبيعي''
تصغير|وحدة من منطقة تصف عدد يولر.
تنتج الدالة n \mapsto (e^n , e^{-n} ) وذلك من أجل *n* ∈ ℤ تسلسل ثنائي لانهائيّ من النقاط يُمثّل قطعاً زائداً. عندما تُوصَل نقطتان متجاورتان إلى النقطة (0,0) بواسطة أشعة القطع الزائد، حينها يتشكَّل قطاع من هذا القطع الزائد، يكون لهذا القطاع منطقة وحدة "unit area". وبالتالي فإن المنطقة الكليّة الموجودة داخل القطع الزائد وخطوط مُقارباته منطقةٌ لانهائيّة، بما يتفق مع تباعد المتسلسلة المتناسقة. يتفق قياس المنطقة مع قياس القوس في كلا الدائرة والقطع الزائد الأيمن: ففي دائرة نصف قطرها √2 يكون لقوس القطاع الدائريّ زاوية تساوي منطقة القطاع. وبالمثل، تُقاس زاوية القطع الزائد للقوس القطع الزائديّ بالمنطقة الموافقة من قطاع القطع الزائد ذو المعادلة *xy* = 1.

يعود الفضل إلى ليونارد يولر الذي عرَّف بأهمية عدد يولر **e**=2.71828... كأساس للدالة الأسيّة واللغارتم الطبيعيّ. حيث أنه قدَّم لفكرة الدالة المتسامية لتصنيف الدوال المثلثيّة والأسيّة في كتاب *مقدمة في تحليل اللانهاية* (1748). يتطلَّب تقدير مساحة القطع الزائد اللغارتم الطبيعيّ، لذا كان يحول نقص التعبير عن تربيع القطع الزائد دون حساب التكامل، حتى وصفه جريجوري دي سانت-فينست (1647) بميزة لغارتم يّة: إن توافق تسلسل حسابيّ من المناطق مع التسلسل الهندسيّ للمُقاربات. قادت توضيحات نيكولاس مركاتور وكريستيان هوغنس إلى مقدمة يولر التي فصَّلت الدوال الدائريّة من حيث السلسلة اللانهائيّة.

إن صلة الوصل بين المنطقة وأقواس الدائرة ودوال القطع الزائد تُظهر «طبيعيّة» اللغارتم .

## التعريفات
تصغير|يعرف (ln(a بالمساحة الملونة الموجودة تحت منحنى الدالة f(x) = 1/''x'' ابتداء من 1 حتى a.
رسمياً، في حالة *a* يُمكن تعريف اللغارتم الطبيعيّ بأنه المنطقة تحت القطع الزائد 1/*x*. هذا هو التكامل
:\ln a = \int_1^a \frac{1}{x}\,dx.
هذه الدالة لغارتم لأن توافق المبدأ الأساسيّ للغارتم :
:\ln(ab) = \ln a + \ln b.
يُمكن توضيح ذلك من خلال تقسيم التكامل الذي يُعرِّف ln(*ab*) إلى جزأين ومن ثُمّ المكاملة بالتعويض  في الجزء الثاني، وفق الآتي:
:\begin{align}
\ln(ab)= \int_1^{ab}\frac{1}{x} \, dx
&=\int_1^a \frac 1 x \, dx + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \, dx\\[5pt]
&=\int_1^a \frac 1 x \, dx + \int_1^b \frac{1}{at} \, d(at)\\[5pt]
&=\int_1^a \frac 1 x \, dx + \int_1^b \frac{1}{t} \, dt\\[5pt]
&= \ln a + \ln b.
\end{align}
في المصطلحات الأوليّة، هذا مجرد تحجيم بواسطة 1/*a* في الاتجاه الأفقيّ وبواسطة *a* في الاتجاه العموديّ. لا تتغير المنطقة تحت هذا التحوّل، ولكن يتم إعادة تشكيل المنطقة بين *a* و *ab*. لأن الدالة *a*/(*ax*) تُساوي الدالة 1/*x*، تكون المنطقة الناتجة بالضبط ln(*b*).

يُعرَّف العدد *e* بأنه عدد حقيقيّ فريد *a* حيث ln(*a*)&nbsp;=&nbsp;1.

بدلاً من ذلك، إذا عُرِّفت الدالة الأسيّة أولاً، قل باستخدام سلسلة لانهائيّة، قد يُعرَّف اللغارتم الطبيعيّ بالدالة العكسيّة مثلاً ln هي كالدالة الآتية exp(ln(*x*))&nbsp;=&nbsp;*x*. وبما أن مجال الدالة الأسيّة متزايد بحدّة، فإن ذلك مُحدَّد بشكل جيّد لجميع قيم *x* الإيجابيّة.

## خاصيات
### اتصال ورتابة دالة اللغارتم الطبيعي
نستنتج مما سبق ان الدالة **ln** معرفة على ]0 ; + \infty[ وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:

\forall x \in \R^*_+,\ \ln'(x) = \frac 1x

و منه الدالة **ln** متصلة على ]0 ; + \infty[ وبما ان مشتقتها موجبة قطعا فإنها تزايدية قطعا على ]0 ; + \infty[

### عمليات على دالة اللغارتم الطبيعي

لتكن f دالة معرفة ب \ f(x) = \ln(ax) حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللغارتم الطبيعي أي أن:

\ f(x) = \ln(x)+k \ / \ k \in \ R

و بما ان: f(1) =k فان: ln(a)=k اذن وبصفة عامة:
* \forall (a;b)\in ]0 : + \infty[^2,\ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)
من هذه الخاصية نستنتج الخاصيات التالية:
* \forall (a;b)\in ]0 : + \infty[^2,\ \ln\left(\frac ab\right) = \ln(a) - \ln(b)
* \forall a \in ]0 ; + \infty[,\ \forall n \in \Z,\ \ln(a^n) = n \ln(a)
* \forall a \in ]0 ; + \infty[,\ \forall r \in \Q,\ \ln(a^r) = r \ln(a)
* \forall a \in \R^* ,\ \forall k \in \Z^*,\ \ln (a^{2k}) = 2k \ln |a|  (حالة خاصة)
* \forall (a_1,a_2,....,a_k) \in ]0 : + \infty[^k,\ \sum_{n = 1}^{k}\ln(a_n)= \ln(\prod_{n=1}^k a_n) 

حيث يشير الرمز \prod إلى جداء.

## الاشتقاق والمتسلسلات

### الإشتقاق
يتم الحصول على مشتق اللغارتم الطبيعي كدالة ذات قيمة حقيقية على الأعداد الحقيقية الموجبة بواسطة:
:\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}

**إثبات**
:\begin{align}
   \frac{d}{dx} \ln x &= \lim_{h\to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} \\
   &= \lim_{h\to 0}\left( \frac{1}{h} \ln\left(\frac{x+h}{x}\right)\right) \\
   &= \lim_{h\to 0} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} \quad &&\\
   &= \ln \lim_{h\to 0} \left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}\quad && \\
   &= \ln e^{1/x} \quad && \\
   &= \frac{1}{x} \quad &&
 \end{align}

### المتسلسلات
إذا كان \vert x - 1 \vert \leq 1  و x \neq 0 ، فإن:

:\begin{align}
   \ln x &= \int_1^x \frac{1}{t} \, dt = \int_0^{x - 1} \frac{1}{1 + u} \, du \\
   &= \int_0^{x - 1} (1 - u + u^2 - u^3 + \cdots) \, du \\
   &= (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \frac{(x - 1)^4}{4} + \cdots \\
   &= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} (x-1)^k}{k}.
 \end{align}

هذه هي متسلسلة تايلور لـ ln x زائد 1. يؤدي تغيير المتغيرات إلى توليد متسلسلة ميركاتور:

:\ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots,

صالحة من أجل  و .

## دالة اللغارتم الطبيعي في التكامل

بمكاملة دالة المقلوب، نتحصل على اللغارتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ x، بتعبير آخر:

\int \frac{1}{x} \,dx = \ln|x| + C و \int { \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx} = \ln|f(x)| + C.

فيما يلي مثال في حالة :


\begin{align}
& \int \tan x \,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \,dx \\[6pt]
& \int \tan x \,dx = \int \frac{-\frac{d}{dx} \cos x}{\cos x} \,dx.
\end{align}


نعتبر :

\int \tan x \,dx = -\ln \left| \cos x \right| + C

\int \tan x \,dx = \ln \left| \sec x \right| + C حيث  هي دالة القاطع.

حيث C هو ثابت التكامل.
يمكننا مكاملة اللغارتم الطبيعي باستخدام التكامل بالتجزئة:

\int \ln x \,dx = x \ln x - x + C

لتكن:

: u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x}
: dv = dx  \Rightarrow v = x
: إذن:
: 
\begin{align}
\int \ln x \,dx & = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx \\
& = x \ln x - \int 1 \,dx \\
& = x \ln x - x + C
\end{align}


تكامل الدالة المركبة \ln(ax+b) هو:

: \int\ln (ax + b)\,dx = \frac{(ax+b)\ln(ax+b) - (ax+b)}{a}

## الكسور المستمرة
في حين لا توجد كسور مستمرة بسيطة مُتاحة، فإن العديد من الكسور المستمرة المُعمَّمة هي، بما في ذلك:
:
\begin{align}
\ln(1+x) & =\frac{x^1}{1}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-\cdots \\[5pt]
& = \cfrac{x}{1-0x+\cfrac{1^2x}{2-1x+\cfrac{2^2x}{3-2x+\cfrac{3^2x}{4-3x+\cfrac{4^2x}{5-4x+\ddots}}}}}
\end{align}

: حيث تسمى المتسلسلة الأولى «متسلسلة مركاتور».

: 
\begin{align}
\ln\left(1+\frac{x}{y}\right) & = \cfrac{x} {y+\cfrac{1x} {2+\cfrac{1x} {3y+\cfrac{2x} {2+\cfrac{2x} {5y+\cfrac{3x} {2+\ddots}}}}}} \\[5pt]
& = \cfrac{2x} {2y+x-\cfrac{(1x)^2} {3(2y+x)-\cfrac{(2x)^2} {5(2y+x)-\cfrac{(3x)^2} {7(2y+x)-\ddots}}}}
\end{align}

فهذه الكسور المستمرة، وبشكل محدد الأخير، هذه الكسور تتقارب للقيم القريبة من الواحد. على أي حال، يمكن حساب اللغارتم ات الطبيعيّة لمعظم الأرقام الأكبر ببساطة عبر إضافة هذه الأرقام الأصغر بشكل متكرر، مع تقارب سريع مماثل.
على سبيل المثال بما أن 2 = 1.253 × 1.024 يمكن حساب اللغارتم الطبيعيّ لِـ2 بالشكل الآتي:
: 
\begin{align}
\ln 2 & = 3 \ln\left(1+\frac{1}{4}\right) + \ln\left(1+\frac{3}{125}\right) \\[8pt]
& = \cfrac{6} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{6} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}.
\end{align}

علاوةً على ذلك، بما أن 10 = 1.2510 × 1.0243 فإن اللغارتم الطبيعيّ لِـ10 يمكن حسابه وبطريقة مُشابهة لما سبق، وفق الآتي:
: 
\begin{align}
\ln 10 & = 10 \ln\left(1+\frac{1}{4}\right) + 3\ln\left(1+\frac{3}{125}\right) \\[10pt]
& = \cfrac{20} {9-\cfrac{1^2} {27-\cfrac{2^2} {45-\cfrac{3^2} {63-\ddots}}}}
+ \cfrac{18} {253-\cfrac{3^2} {759-\cfrac{6^2} {1265-\cfrac{9^2} {1771-\ddots}}}}.
\end{align}


## اللغارتم العقدي

يعرف كالآتي:
\ln (x i) = \ln |x| + i \pi
ملف:NaturalLogarithmImAbs.png| تمثيل 
ملف:NaturalLogarithmRe.png| تمثيل 
ملف:NaturalLogarithmAbs.png| تمثيل 
ملف:NaturalLogarithmAll.png| تراكب الرسوم البيانية الثلاثة السابقة


## انظر أيضًا
* لغارتم عشري
* لغارتم اثناني

## هوامش
: تتضمن هذه اللغات سي، وسي ++ و  وماتلاب وماثماتيكا وفورتران وبايزيك.

## مراجع

*
تصنيف:دوال خاصة ابتدائية
تصنيف:ه (رياضيات)