تقطيع (رياضيات)

تصغير|حل معادلة تفاضلية جزئية من خلال طريقة عنصر نهائي.

في الرياضيات **التقطيع** هي معنية بطريقة تحويل الدوال المتصلة والنماذج والمعادلات إلى أجزاء منفصلة متساوية. وهذه العملية هي غالبا ما تحدث كأول خطوة لتحويلهم لشكل مناسب للتقييم العددى والتطبيق الرقمي علي أجهزة الحاسوب. معالجة البيانات علي الحاسوب يتطلب عمليات وطرق اخري تسمي التكميم . أن **التفرع الثنائي** هو حالة خاصة من التقطيع حيث ان عدد الفصول التي يتم التقطيع علي اساسها هو 2 , التي يمكنها تقريب متغير متصل ل** متغير ثنائي** وجعلها مناسبة لأغراض النمذجة.

ان **التقطيع** أيضا لها علاقة بالرياضيات التقطيع، وهي أيضا عنصر مهم في الحوسبة الحبيبية . وفي هذا السياق أن التقيطع قد يشير أيضا الي تعديل متغير في فئة التفاصيل، فمثلا عند تجميع المتغيرات المنفصلة المتعددة أو عند دمج الفئات المنفصلة المقطعة.

أينما يتم تقطيع وتفصيل البيانات المتصلة، فهناك دائما بعض الأخطاء الناتجة عن التقطيع .والهدف هنا يكون في تقليل كمية تلك الأخطاء الي مستوي يمكن أهماله لأغراض النمذجة التي بين يدينا.

## تقطيع النماذج الخطية حالية المحاور
ان عملية التقطيع أيضا متعلقة بتحويل المعادلات التفاضلية المتصلة الي معادلات فريقة مقسمة ومقطعة مناسبة للعمليات العددية.

 المعادلات الاتية هي لنموذج المحاور الحالية متصل الزمن  
:\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf A \mathbf{x}(t) + \mathbf B \mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t)
:\mathbf{y}(t) = \mathbf C \mathbf{x}(t) + \mathbf D \mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)
حيث أن الv و الw هما مصدران ضوضاء بيضاء ذات المتوسط صفر متصلة
:\mathbf{w}(t) \sim N(0,\mathbf Q)
:\mathbf{v}(t) \sim N(0,\mathbf R)

و هنا يمكن تقطيعها بفرض ان الدرجة الصفرية للداخل u و التكامل المتصل للضوضاء إلى v
:\mathbf{x}[k+1] = \mathbf A_d \mathbf{x}[k] + \mathbf B_d \mathbf{u}[k] + \mathbf{w}[k]
:\mathbf{y}[k] = \mathbf C_d \mathbf{x}[k] + \mathbf D_d \mathbf{u}[k] +  \mathbf{v}[k]

مع التغايرات
:\mathbf{w}[k] \sim N(0,\mathbf Q_d)
:\mathbf{v}[k] \sim N(0,\mathbf R_d)

حيث أن
:\mathbf A_d = e^{\mathbf A T} = \mathcal{L}^{-1}\{(s\mathbf I - \mathbf A)^{-1}\}_{t=T} 
:\mathbf B_d = \left( \int_{\tau=0}^{T}e^{\mathbf A \tau}d\tau \right) \mathbf B = \mathbf A^{-1}(\mathbf A_d - I)\mathbf B , إذا \mathbf A هي غير مفردة
:\mathbf C_d = \mathbf C 
:\mathbf D_d = \mathbf D 
:\mathbf Q_d = \int_{\tau=0}^{T} e^{\mathbf A \tau} \mathbf Q e^{\mathbf A^T \tau}  d\tau 
:\mathbf R_d = \frac{1}{T} \mathbf R 

و الT هنا هي عينة تقطيع زمن الزمن حيث أن \mathbf A^T هي مقلوب المصفوفة \mathbf A

وبخدعة ذكية لحساب ال *A**d* و ال*B**d* في خطوة واحدة باستخدام الخاصية الاتية

:e^{\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\
                 \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{bmatrix} T} = \begin{bmatrix} \mathbf{M_{11}} & \mathbf{M_{12}} \\
                                                            \mathbf{0} & \mathbf{I} \end{bmatrix}

وبالتالي نحصل علي
:\mathbf A_d = \mathbf M_{11}
:\mathbf B_d = \mathbf M_{12}

### تقطيع عملية الضوضاء
ان التقييم العددي لل 
\mathbf{Q}_d  هو قليلا أكثر خداعا بسبب التكامل الأسي للمصفوفة. ولكن على الرغم من ذلك يمكن حسابها أولا بإنشاء المصفوفة ثم الحساب الأسي لها بعد ذلك . (فان لون، 1978).  
  \mathbf{F} = 
\begin{bmatrix} -\mathbf{A} & \mathbf{Q} \\
                 \mathbf{0} & \mathbf{A}^T \end{bmatrix} T
: \mathbf{G} = e^\mathbf{F} =
\begin{bmatrix} \dots & \mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d \\
           \mathbf{0} & \mathbf{A}_d^T             \end{bmatrix}.

بعد ذلك عملية تقطيع الضوضاء يمكن تقييمها بضرب مقلوب الجزء السفلي الأيمن من المصفوفة G في الجزء العلوي الأيمن من المصفوفة G
:\mathbf{Q}_d = (\mathbf{A}_d^T)^T (\mathbf{A}_d^{-1}\mathbf{Q}_d). 

### الاستنتاج
بداية بالنموذج المتصل 
:\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf A\mathbf x(t) + \mathbf B \mathbf u(t)
نعرف بأن المصفوفة الأسية هي :
:\frac{d}{dt}e^{\mathbf At} = \mathbf A e^{\mathbf At} = e^{\mathbf At} \mathbf A
ومع ضرب النموذج مسبقا نجد :
:e^{-\mathbf At} \mathbf{\dot{x}}(t) = e^{-\mathbf At} \mathbf A\mathbf x(t) + e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)
التي نعرفها بأنها
:\frac{d}{dt}(e^{-\mathbf At}\mathbf x(t)) = e^{-\mathbf At} \mathbf B\mathbf u(t)
ومع التكامل نجد..
:e^{-\mathbf At}\mathbf x(t) - e^0\mathbf x(0) = \int_0^t e^{-\mathbf A\tau}\mathbf B\mathbf u(\tau) d\tau
:\mathbf x(t) = e^{\mathbf At}\mathbf x(0) + \int_0^t e^{\mathbf A(t-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau
التي هي حل تحليلي للنموذج المتصل

والان يمكننا تقطيع المصطلح الذي بالأعلي. فنفترض ان u هي ثابتة أثناء كل خطوة زمنية.
 :\mathbf x[k] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf x(kT)
:\mathbf x[k] = e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau
:\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf A(k+1)T}\mathbf x(0) + \int_0^{(k+1)T} e^{\mathbf A((k+1)T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau
:\mathbf x[k+1] = e^{\mathbf AT} \left[  e^{\mathbf AkT}\mathbf x(0) + \int_0^{kT} e^{\mathbf A(kT-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau \right]+ \int_{kT}^{(k+1)T} e^{\mathbf A(kT+T-\tau)} \mathbf B\mathbf u(\tau) d \tau
يمكننا ان نلاحظ المصطلحات ذات الأقواس مثل \mathbf x[k] ،  والمصطلح الآخر يمكننا تبسيطه بالتعويض v = kT + T - \tau. و نفترض أيضا أن u هو ثابت طوال التكامل وبالتالي ينتج الاتي :
 \begin{matrix} \mathbf x[k+1]&=& e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \left( \int_0^T e^{\mathbf Av} dv \right) \mathbf B\mathbf u[k] \\
&=&e^{\mathbf AT}\mathbf x[k] + \mathbf A^{-1}\left(e^{\mathbf AT}-\mathbf I \right) \mathbf B\mathbf u[k] \end{matrix}.

التي هي حل دقيق لمسألة التقطيع

### التقريبات
ان عملية التقطيع الدقيقة أحيانا قد تصبح معقدة بسبب احتوائها علي المصفوفات الأسية وعمليات التكامل الثقيلة. وأن نقوم بحساب التقريبات للنموذج المقطع هو أكثر سهولة بناءا علي الخطوات الزمنية الصغيرة e^{\mathbf AT} \approx \mathbf I + \mathbf A T . وبذلك يصبح الحل التقريبي :
:\mathbf x[k+1] \approx (\mathbf I + \mathbf AT) \mathbf x[k] + T\mathbf B \mathbf u[k] 
هناك بعض صور التقريبات الأخرى المحتملة e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I - \mathbf A T \right)^{-1} and e^{\mathbf AT} \approx \left( \mathbf I +\frac{1}{2}  \mathbf A T \right) \left( \mathbf I - \frac{1}{2} \mathbf A T \right)^{-1} . كل منهما يحتوي على صفات استقرار مختلفة . والمصطلح الأخير معروف باسم التحويل الثنائي الخطي أو تحويل تستن وهو يحتفظ بصفات الثبات لنظام.

## تقطيع الصفات المتصلة
في الاحصائيات وتعليم الآلة ان التقطيع يشير الي عملية تحويل الصفات المتصلة أو المتغيرات الي صفات مقطعة.وهذا يمكنه انه يكون مفيد عندما نعمل في دوال الاحتمالات الكبيرة.

## التقطيع في العمارة
ان عملية التقطيع هي إجراء تصميمي يهدف بشكل خاص الى تبسيط الاسطح ذات الانحناء المزدوج إلى اشكال اصغر قابلة للبسط  وبالتالي أسهل للبناء.

### امثلة

ملف:Approssimazione-poliedrica-quad-gend.jpg|تقريب متعدد السطوح لسطح اهليجي عام، مع الاوفست والفتحات الملائمة لوجوه المتعدد


## روابط خارجية
* 
## مراجع

تصنيف:تحليل دالي
تصنيف:تحليل عددي
تصنيف:رياضيات تطبيقية
تصنيف:نظرية التحكم