دالة أسية

**الدَّالَّةُ الأُسِّيَّةُ**  هي كل دالَّة تُكتب على الشكل f(x)=a^x حيث x\in \R ، a عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان 0 فإنَّ الدالَّة a^x تكون تناقصية وتُسمَّى دالَّة تضاؤل أسي، أمَّا إذا كان a>1 فإنَّ الدالَّة تكون تزايدية وتُسمَّى دالَّة نمو أسي.

## دوال أسية أخرى

: f(x)=a^x + b^2x أو: f(x)=a^x + 5. M^x-3 أو: f(x)=a^x + e^x

**مثال آخر للدالة الأسية:**

:y = ل مرفوعة للقوة x ، وتكتب رياضيا كالآتي:

:y = لx

: حيث ل> صفر.

أي أن **الدالة الأسية** بصفة عامة:

X = yn

تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا e^n  حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة e^n  لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.

## خواص الأسس
[تصغير|300x300px| مشتق الدالة الأسية <math>e^n </math> مساو لقيمة الدالة. لكل نقطة من المنحنى (الأزرق)، إذا رسم الخط المماس (الأحمر) والخط العمودي (الأخضر) كما هو مبين، فستكون للمثلث الذي يحددانه مع المحور الأفقي قاعدة طولها 1 (الأخضر). فيكون [ميل المستقيم|انحدار الخط المماس (المشتق) في النقطة مساويا لارتفاع المثلث (قيمة الدالة).]]

التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.

من خواص الدالة الأسية:

: a0 = 1

:a1 = a

الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول a^x إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:

:\log(a^x)=x\log(a)

حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.

يمكن تحويل الدالة الأسية  a^x  إلى أي أساس آخر  b  :

: a^x=b^{x\cdot\log_b(a)}

وتنطبق القوانين التالية عليها:

:a^0=1 \,...و... a^1=a \,

:a^{x+y}=a^x \cdot a^y

:a^{x\cdot y}=(a^{x})^{y}

:a^{-x} = \frac{1}{a^x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x

:a^x \cdot\ b^x=(a \cdot\ b)^x

وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة a \, وb \, وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة x.

**من أهم الدوال الأسية** المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي e^x واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز * ln* ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:

: f'=f
: f(0)=1

أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

## الدالة الأسية للثابت الطبيعي e

هناك الحالة الخاصة عندما يكون** الأساس **هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).

وتكتب باللغة الإنجليزية:

: (x = exp(n

حيث n هو الأُس للأساس **الثابت الطبيعي** الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أو بالتفصيل:

x = en

من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:

: \exp(x+y)=\exp(x) \cdot \exp(y)

:  a^x := \exp(x\cdot\ln a) 

:  a^x:=e^{x\cdot\ln a}

وذلك لجميع
a> 0 وجميع x الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)

[بدون|تصغير|330px|تزايد [جهد كهربائي|جهد المكثف مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.]]

للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)

وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = en حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e-t.c.
* ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n = t.c حيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.
* يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

## تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e
يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:

: \displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots

أقل شيوعا يمكن تعريف ex كحل للمعادلة التالية:

: \displaystyle x=\int_1^y\dfrac{\mathrm dt}{t}.

هي أيضا تساوي النهاية التالية:

: \displaystyle e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n.

## مشتقة الدالة الأسية للأساس e
تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:

:  \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} \exp(x) = \exp(x)

وعندما نختار لها الشرط:

:  \exp(0) = 1 \;

تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون
a>0 ينتج:

:  a^x = \exp(x\cdot\ln a) 

حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:

: \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} a^{b\cdot x}  =  b\ln a \cdot a^{b\cdot x}

وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد *e* في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.

### المعادلة التفاضلية من النوع <math>\frac{dy}{dx}=ay+b</math> حيث a و b عددان حقيقيان
تصغير|يسار| 300px|دالة أسية للأساس e: ثلاثة منحنيات للتحلل الإشعاعي لثلاثة مواد لها عمر النصف مختلف.

إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث y(x)=\lambda e^{ax}-\frac{b}{a} حيث \lambda ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية

**مثال:**

قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:

:N(t) = N_0\,e^{-{\lambda}t} \,\!

وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).

وتعتمد:{\lambda}\! على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.

## المجاميع أسية
ليكن a عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث a>1

**المجموع الأول **

:\sum^{n-1}_{i=0}{a^i}=a^0+a^1+a^2+\dots+a^{n-1} = \frac{a^n-1}{a-1}

نهاية هذا المجموع:\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{i=1}^{n}}{a^i}=+\infty

**المجموع الثاني **

:\sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{a^i}}=\frac{1-a^{n+1}}{a^n-a^{n+1}}=\frac{a^{-n}-a}{1-a}

نهاية هذا المجموع:\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{i=0}^{n}}{\frac{1}{a^i}}=\sum_{i=0}^{\infty}{a^{-i}}=\frac{a}{a-1}

## أمثلة
### مثال للدالة الأسية بصفة عامة
تزايد الميكروبات: ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:

N = 23

N = 8

فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:

N = 26

N = 64

أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

### امثلة للدالة الأسية للأساس الطبيعي e

**التزايد السكاني:**

يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟

نكتب المعادلة الآتي:

N = 4. e0,025.6

أو:

:(N = 4. Exp(0,025.6

والنتيجة:

: مليون نسمة N = 4,647 بعد 6 سنوات.

**مثال 3 :**

**تكوّن النجوم:** تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.

N = 1. e0,002.170

N = 1. e0,34

باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.

**مثال 4:**

تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:

:{\rho}=\rho_b \cdot \exp\left[\frac{-g_0 \cdot M \cdot (h-h_b)}{R^* \cdot T_b}\right]

حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض \ (h_b)   .
 (أنظر تغير الضغط بالارتفاع)

## اقرأ أيضاً
* الدوال الإبتدائية
* تغير الضغط بالارتفاع
* توزيع بولتزمان
* احصاء ماكسويل-بولتزمان
* تجانس
* اختبار الوحدات
## مراجع

تصنيف:دوال أسية
تصنيف:دوال خاصة ابتدائية
تصنيف:دوال تحليلية
تصنيف:ه (رياضيات)