متسلسلة قوى

في الرياضيات، **متسلسلة القوى**  (ذات المتغير الواحد) هي متسلسلة لامنتهية على الشكل

:f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \left(x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c) + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

حيث تمثل *a<sub>n</sub>* معاملات المتسلسلة و *c* المركز و*x* تكون عادة عددا حقيقيا أو عقديا.

تتشكل هذه المتسلسلات عادة من توابع معروفة بطريقة مشابهة لمتسلسلات تايلور.

في العديد من الحالات، يكون المركز *c* مساويا للصفر، مثلا كما في حالة متسلسلة ماكلاورين.
في هذه الحالات تأخذ متسلسلات القوى شكلا أبسط :

::
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.


يُمكن أن ينظَر إلى التمثيل العشري الاعتيادي للأعداد الحقيقية مثالا عن متسلسلات القوى بمعاملات صحيحة وبقيمة ثابتة ل x هي 1/10. على سبيل المثال،
:
3.14 = 3*{(1/10)}^0 + 1*{(1/10)}^1 + 4*{(1/10)}^2


## أمثلة
### متعددات الحدود
[يسار|تصغير|[دالة أسية|الدالة الأسية (باللون الأزرق), ومجموع الحدود *n*+1 الأولى لمتسلسلة القوى لماكلورين (باللون الأحمر).]]

يمكن كتابة كل متعددة حدود على شكل متسلسلة لانهائية. مثلا : f(x) = x^2 + 2x + 3 يمكن كتابته بالشكل التالي : ...+f(x)=3 + 2x + x2+0x3+0x4

### المتسلسلات الهندسية والدالة الأسية ودالة الجيب
المتسلسلة الهندسية :  \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, حيث 1 >|x| .
* معادلة الدالة الاسية :  e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,
* معادلة الجيب :  \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

الاثنان الأخيران هما أيضا أمثلة على تسلسلات تايلور.

## قطر ومجال التقارب

إذا تقاربت متسلسلة ما للقوى في النقطة x=\alpha، فإن المتسلسلة تتقارب بالتأكيد لكل x يحقق |x|. مجال التقارب هو القطعة المفتوحة (-\alpha,\alpha).

لكل متسلسلة قوى يوجد عدد ليس سالبا R ،(0 \le R  ) حيث لكل x يحقق |R > |x المتسلسلة تتقارب وإذا |R f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n  هو :
R=\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]}

## العمليات على متسلسلات القوى
### الجمع والطرح

عندما يُعبر عن دالتين اثنتين f و g بمتسلسلتي قوى حول نفس المركز c، فإنه يُحصل على متسلسلة القوى لمجموعها أو فرقهما بجمع أو طرح، على التوالي، حدود هاتين المتسلسلتين، حدا بِحد. أي أنه :

:f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
:g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n
إذن
:f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

### التفاضل والتكامل

::
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}


::
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.


## الدوال التحليلية

يُقال عن دالة f معرفة على مجموعة مفتوحة U من R أو من C أنها ***[[دالة تحليلية|تحليلية]]*** إذا ساوت محليا متسلسلة قوى متقاربة.

انظر إلى جوار (رياضيات) وإلى دالة تامة الشكل وإلى امتداد تحليلي.

يمكن تحديد متسلسلة القوى لدالة عكسية لدالة تحليلية باستعمال مبرهنة العكس للاغرانج.

a_n = \frac{f^{\left( n \right)} \left( c \right)}{n!}

حيث f^{(n)}(c) هي اشتقاق الدالة f من الدرجة n، مطبقآ عند النقطة c ، وحيث f^{(0)}(c)=f(c).

إذا أعطيتَ متسلسلة للقوى بشعاع تقارب معلوم r، فإنه بالإمكان اعتبار الامتداد التحليلي لهذه المتسلسلة.

## مراجع

## انظر أيضًا

* تقريب خطي
* متغير عشوائي

تصنيف:تحليل حقيقي
تصنيف:تحليل مركب
تصنيف:تفاضل متعدد المتحولات
تصنيف:متسلسلات