مربع

**المربع** في الهندسة الرياضية هو رباعي أضلاع منتظم جميع أضلاعه متساوية في الطول ومتعامدة مشكلةً أربع زوايا متساوية قائمة (أي قياسها °90 أو π/2 راديان). يعد المربع حالة خاصَّة من المستطيل الذي يحوي أربع زوايا قائمة متساوية والمعين ذو الأربع أضلاع متساوية، أي يتشابه المربع مع المستطيل في الزوايا القائمة الأربع (تعامد الأضلاع المتجاورة). يمكن أيضًا تشكيل المربع عن طريق جمع مثلثين قائمي الزاوية ومتساويا الساقين عند الوتر.

تحسب مساحة المربع عبر ضرب طول الضلع بنفسه، وهو السبب في أنَّ مربع العدد في علم الجبر هو حاصل ضرب العدد بذاته.

تبليط المربّع هو استخدام المربّعات المتجاورة متساوية الأضلاع في تبليط المستوى تبليطًا منتظمًا دون ترك فراغات لتتلاقى أضلاعها المتقابلة من الحافة إلى الحافة، وهو من أبسط أنواع التبليط المنتظم في الهندسة الإقليدية. تنتشر المربّعات في العديد من التطبيقات اليومية والهندسية، إذ تظهر عنصرًا رئيسًا في رصف الأرضيات والجدران، وتُستخدم على نطاق واسع في ورق الرسم البياني، وبكسلات الصور الرقمية، ولوحات الألعاب مثل رقعة الشطرنج.

كما تظهر الأشكال المربّعة في مخططات طوابق المباني، والأوريغامي (فن طي الورق)، وأطباق الطعام التي تتخذ هذا الشكل لأسباب جمالية ووظيفية. ويشيع استخدام المربّع أيضًا في تصميم الرسوميات وعلم الشارات والصور الفورية وكذلك في الفنون الجميلة.

تُعدّ صيغة مساحة المربّع، والتي تُحسب بضرب طول الضلع في نفسه، من الأسس البسيطة والجوهرية في حساب المساحات. وقد شكّلت هذه القاعدة نقطة انطلاق للعديد من المسائل الرياضية، بما في ذلك مسألة تربيع الدائرة، أي إنشاء مربع مساوٍ في المساحة لدائرة معينة باستخدام مسطرة وفرجار فقط. وقد أثبتت الرياضيات الحديثة أن هذا الهدف مستحيل تحقيقه، نظرًا للطبيعة المتسامية لعدد π. يمكن أيضًا نقش مربع داخل أي منحنى أملس أو محدب، مثل الدائرة أو المثلث، غير أن مسألة ما إذا كان بالإمكان نقش مربع داخل كل منحنى بسيط مغلق — وهي معروفة باسم "مسألة المربع المنقوش" — لا تزال غير محلولة في الرياضيات.

تظهر المربّعات كذلك في مسائل أكثر تعقيدًا، مثل تقسيم المربّع إلى مربّعات أصغر غير متساوية في الحجم، وهو موضوع يشكّل جزءًا من فرع يُعرف بـتربيع المربّع. واهتم الرياضيون أيضًا بمشاكل تتعلّق بـتعبئة أكبر عدد ممكن من المربّعات داخل أشكال هندسية أخرى، ما يستلزم البحث في الكفاءة المثلى لاستغلال المساحة.
يمكن إنشاء المربّعات بوسائل مختلفة، منها المسطرة والفرجار في نظام الإحداثيات الديكارتية. كما يمكن تمثيلها في المستوي المركب (العقدي) عبر الضرب المتكرر بالعدد التخيّلي *𝑖* . في الهندسة غير الإقليدية، تظهر أشكال مربّعة أيضًا ولكن بصيغ مختلفة. ففي هندسة سيارة الأجرة ومسافة شبشفية تكون المربّعات هي الكرات المترية، أي الأشكال التي تمثل نقاطًا على مسافة ثابتة من نقطة مركزية بحسب تعريف كل من هاتين الهندستين.

أما في الهندسة الكروية والهندسة الزائدية، وهما فرعان آخران من الهندسة غير الإقليدية، التي تفتقر للمضلعات، لذلك من غير الممكن رسم مربعات لها أضلاع متساوية وزوايا قائمة كما في الهندسة الإقليدية، لكن يمكن بناء مضلعات منتظمة تمتلك خصائص مشابهة للمربع. فقد تكون رباعية الأضلاع بأطوال متساوية ولكن بزوايا غير قائمة، أو رباعيات الزوايا قائمة الزوايا ولكن بعدد مختلف من الأضلاع أو بتوزيع مختلف للزوايا.

## تعريفات وميزات
تصغير|upleft=1.25|يظهر المربع باللون الأزرق بين المستطيلات الملونة في المنتصف عندما يتساوى طول المستطيل وعرضه، وبين المعينات في السطر الأدنى فيظهر أيضًا في المنتصف بزاوية قائمة وبلون أزرق أيضًا.
يمكن تعريف المربع ووصفه بعدة طرق متشابهة، فإذا استوفى المضلع في المستوى الإقليدي أيًا من المعايير الآتية، فإنه حتمًا يستوفيها جميعًا:
* مضلع له أربعة أضلاع متساوية في الطول وأربع زوايا قائمة (كل منها 90 درجة أو π/2 راديان).
* مستطيل أضلاعه الأربعة متساوية الطول.
* معيّن يحتوي على زاوية قائمة بين ضلعين متجاورين.
* معيّن جميع زواياه متساوية (أي أن كل زاوية قائمة).
* متوازي أضلاع له زاوية قائمة واحدة وضلعان متجاوران متساويان.
* شكل رباعي الأضلاع تكون أقطاره متساوية في الطول، ومتعامدة، وتنصف بعضها البعض، أي أنه معيّن بأقطار متساوية.

## خواص المربع

يعد المربع حالة خاصَّة من المعين (أضلاع متساوية وزوايا متقابلة متساوية)، والحدأة (زوجان من الأضلاع المتجاورة المتساوية)، وشبه المنحرف (أحد الزوجين المتقابلين متوازيان)، ومتوازي الأضلاع (جميع الأضلاع المتقابلة متوازية)، والرباعي أو رباعي الأضلاع (مضلع رباعي الأضلاع)، والمستطيل (أضلاعه المتقابلة متساوية وزواياه قائمة)، وبالتالي فهو يمتلك جميع خصائص جميع هذه الأشكال، وهي:
* جميع الزوايا الأربع الداخلية للمربع متساوية (زاوية قائمة أي 90 درجة).
* الزاوية المركزية للمربع تساوي 90 درجة.
* الزاوية الخارجية للمربع تساوي 90 درجة.
* أقطار المربع متساوية وتنصف بعضها بعضاً، وتلتقي بزاوية 90 درجة.
* أقطار المربع تنصف زواياه الداخلية، وتشكل زوايا متجاورة بزاوية 45 درجة.
* جميع الأضلاع الأربعة للمربع متساوية.
* الأضلاع المتقابلة للمربع متوازية.
المربّعات هي المضلّعات المنتظمة الوحيدة التي تتساوى فيها الزاوية الداخلية والزّاوية الخارجيّة، والزّاوية المركزيّة، وجميعها تساوي 90 درجة (زاوية قائمة).

تتشابه جميع المربعات مع بعضها، أي أنها تملك ذات الشكل جميعًا، لذلك، فإن معرفة بارامتر واحد (عادة ما تكون طول الضلع او قطر المربع) يكفي لمعرفة حجم المربع. وتتطابق المربعات عندما يكون لها الحجم نفسه.

### القياس
[تصغير|حسابات [بابل|رياضية بابلية لقطر المربع مُقدرة بين العامين 1800 و 1600 قبل الميلاد]]
يُحسب محيط المربع الذي طول ضلعه \ell  وفق العلاقة: P=4\ell أما قطره فيُعطى بالعلاقة: d=\sqrt2\ell ويُعد الجذر التربيعي للعدد 2 عددًا غير نسبي، أي لا يمكن التعبير عنه على شكل كسر عشري منتهٍ، وتُقدَّر قيمته تقريبًا 1.414. وتعود معرفة هذا العدد إلى الحضارة البابلية، حيث توصّل علماء البابليين إلى تقدير دقيق له آنذاك.
150بك|تصغير|مساحة المربع هي حاصل ضرب طولي ضلعيه.

تُحسب مساحة المربع وفقًا للعلاقة: A=\ell^2=\tfrac12 d^2.

وقد أدى استخدام طول الضلع مرفوعًا للقوة 2 لحساب المساحة إلى اعتماد مصطلح "مربع" في علم الجبر للإشارة إلى رفع أي عدد إلى القوة الثانية.وبالعكس، إذا كانت المساحة معروفة، فإن طول الضلع يُستخرج عن طريق الجذر التربيعي لتلك المساحة.

عند تربيع عدد صحيح (أي حساب مساحة مربع طول ضلعه عدد صحيح)، نحصل على ما يُسمى "عدد مربع"، وهو عدد يُمثّل عدد النقاط التي يمكن ترتيبها على شكل شبكة مربعة منتظمة.

بما أن 16=4^2 فإن مساحة مربع ضلعه 4 تساوي محيطه، أي أن 16=4*4 و 16=4+4+4+4، مما يجعل هذا المربع شكلًا مثاليًا من حيث التساوي بين المساحة والمحيط. والمثال الوحيد الآخر المعروف من المستطيلات ذات الأبعاد الصحيحة التي تتساوى فيها المساحة مع المحيط هو المستطيل ذو الأبعاد 6 و3 .

نظرًا لكون المربع مضلعًا منتظمًا، فإنه يُعد الشكل الرباعي الأقل محيطًا من بين جميع الأشكال الرباعية التي تحيط بمساحة معينة.
وعلى العكس، يُعد المربع أيضًا الشكل الرباعي الأكبر مساحة من بين جميع الأشكال الرباعية التي لها نفس المحيط. وبالفعل، إذا كانت *A* هي المساحة و *P* هو المحيط لشكل رباعي ما، فإن متباينة المتساوي المحيط التالية تكون صحيحة: 16A\le P^2
وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل رباعيًا منتظمًا، أي مربعًا.

### التناظر

يُعد المربع الشكل الرباعي الأكثر تناظرًا بين جميع الأشكال الرباعية، إذ توجد ثماني تحويلات جاسئة تُعيد المربع إلى نفسه دون تغيير في الشكل أو القياس.

[تصغير|محاور التماثل الانعكاسي ومراكز التماثل الدوراني للمربع (أعلى)، [مستطيل|والمستطيل والمعين (وسط)، شبه منحرف متساوي الساقين، وحدأة، ومتوازي الأضلاع (أسفل)]]
عند تموضع المربع بحيث تكون أضلاعه موازية للمحورين (محاور الإحداثيات)، ومركزه في نقطة الأصل، فإن كل تناظر يمكن تمثيله بعملية تبديل أو تغيير إشارة إحداثيات النقاط (الإحداثي السيني أو الصادي أو كليهما).
تُبدِّل التناظرات المثلثات الثمانية المتساوية الساقين بين أنصاف الأضلاع ومركز المربع (الذي يبقى مكانه)، يمكن عندئذٍ اعتبار أي من هذه المثلثات المنطقة الأساسية للتحويلات.
كل زوج من الرؤوس، وكل زوج من الأضلاع، وكل زوج من أنصاف الأضلاع (المسافات من المركز إلى منتصف كل ضلع)، يمكن ربطه بعملية تناظر واحدة على الأقل، بينما يُربط كل زوج من أنصاف الأضلاع بواسطة تناظر واحد فقط.
وهذه الخصائص لا تقتصر على المربع وحده، بل تنطبق أيضًا على جميع المضلعات المنتظمة. ويُعبر عن ذلك بالقول إن تناظرات المربع — أو بوجه أعم، تناظرات أي مضلع منتظم — تعمل بشكل انتقالي على الرؤوس والأضلاع، وبشكل انتقالي بسيط على أنصاف الأضلاع.

إن تركيب أي اثنين من هذه التحويلات عن طريق تنفيذ أحدهما بعد الآخر يستمر في نقل المربع إلى نفسه، وبالتالي ينتج عنه تناظر آخر. يؤدي الدوران المتكرر إلى دوران آخر بزاوية دوران مجمعة. يؤدي تنفيذ انعكاسين على المحور ذاته إلى تحويل هوية، بينما يؤدي انعكاسان بمحورين مختلفين إلى دوران المربع. يؤدي الدوران المتبوع بانعكاس، أو العكس، إلى إنتاج انعكاس مختلف. تمنح عملية تركيب الدوال هذه التماثلات الثمانية للمربع البنية الرياضية للمجموعة، تسمى (مجموعة المربع) أو المجموعة الثنائية الزاوية من الرتبة الثامنة "D8". أما الأشكال الرباعية الأخرى، مثل المستطيل والمعين، فليس لها سوى مجموعة فرعية من هذه التماثلات.

تصغير|upright=0.6|منظور ثلاثي النقاط لمكعب، يظهر تحولات منظورية لوجوهه الستة المربعة إلى ستة أشكال رباعية مختلفة
يحافظ التماثل في المستوي على شكل المربع، ولكن ليس حجمه.، ويمكن أن تؤدي أنواع أخرى من التحويلات في المستوى إلى تحويل المربعات إلى أنواع أخرى من الأشكال الرباعية، مثل التحويل التآلفي الذي يؤدي إلى تحويل المربع إلى متوازي أضلاع أو العكس. و التحويل الإسقاطي الذي يحول المربع إلى شكل رباعي محدب أو العكس، وهذا يعني أنه عند النظر إليه بالرسم منظوري، يمكن أن يبدو المربع كأي شكل رباعي محدب، أو العكس. ويمكن لتحويل موبيوس أن يحول رؤوس المربع (ولكن ليس حوافه) إلى رؤوس شكل رباعي توافقي.

مجموعات الجداريات هي مجموعات متماثلة من الأنماط المتكررة ثنائية الأبعاد. بالنسبة للعديد من هذه المجموعات، يمكن أن تكون الوحدة الأساسية للتكرار (الخلية الوحدية لشبكتها الدورية) مربعة، وبالنسبة لثلاث من هذه المجموعات، p4 و p4m و p4g، يجب أن تكون مربعة.

### الدوائر الداخلية والخارجية
تصغير|الدائرة الداخلية (الأرجواني) و الدائرة المحيطية (أحمر) لمربع (أسود)
الدائرة المرسومة داخل مربع هي أكبر دائرة يمكن أن تتسع داخل ذلك المربع. مركزها هو نقطة مركز المربع، ونصف قطرها (نصف قطر المربع) هو r=\ell/2. لأن هذه الدائرة تلامس جميع حواف المربع الأربعة (عند نقاط منتصفها)، فإن المربع هو شبه منحرف تماسي. فيما تمر الدائرة المحيطة للمربع عبر جميع رؤوس المربع الأربعة، مما يجعل المربع رباعي دوري. ويكون نصف قطر الدائرة المحيطية هو R=\ell/\sqrt2. 
إذا كان الدائرة المرسومة داخل المربع ABCD لها نقاط تماس E على AB، وF على BC، وG على CD، وH على DA، فإنه لأي نقطة P على الدائرة المرسومة يكون:  2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.
إذا كان d_i هو المسافة من نقطة عشوائية في المستوى إلى الرأس  للمربع وR هو نصف قطر المحيط للمربع، فإن:
\frac{d_1^4+d_2^4+d_3^4+d_4^4}{4} + 3R^4 = \left(\frac{d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2}{4} + R^2\right)^2.
إذا كان L  و d_i هما المسافتان من نقطة عشوائية في المستوى إلى مركز المربع وأربعة أركانه  على التوالي، فإن d_1^2 + d_3^2 = d_2^2 + d_4^2 = 2(R^2+L^2) وَ  d_1^2d_3^2 + d_2^2d_4^2 = 2(R^4+L^4),  عندما R هو نصف قطر الدائرة المحيطية بالمربع.

## التطبيقات
تصغير|صورة الفتاة ذات القرط اللؤلؤي مبكسلة
تُستَخدم المربعات في وحدات البكسل ضمن الرسوميات النقطية، التي تُلتقط عبر ماسحات الصور وآلات التصوير الرقمية وتُعرض على شاشات العرض الإلكترونية. وغالبًا ما تتشكل هذه البكسلات عند تقاطعات شبكة مربعة، فتُعد بمنزلة مربعات صغيرة مصطفّة على هيئة وحدات متجاورة. وتعتمد تقنيات الضغط القياسية للصور والفيديو، مثل تنسيق JPEG، على تقسيم الصور إلى كتل مربعة أكبر من البكسلات. كما تقوم بنية بيانات الشجرة الرباعية المستخدمة في ضغط البيانات والهندسة الحسابية على مبدأ التقسيم التكراري للمربعات إلى مربعات أصغر.
[تصغير|موقع [معبد يونغ نينغ]]

تبرز العمارة في الحضارات القديمة والحديثة حضور المخطط الأرضي المربع والقاعدة المربعة والمساحة ذات الشكل المربع بوصفها عناصر جوهرية في التصميم. فقد اتخذت الأهرامات المصرية وأهرامات أمريكا الوسطى، ولا سيما في تيوتيهواكان، هيئة مربعة واضحة، كما يظهر ذلك أيضًا في زقورة جغا زنبيل وهو معبد عيلامي بإيران. ويُعد التصميم الرباعي للحدائق الفارسية المسوّرة مثالًا بارزًا على توظيف المربع في الرمزية الدينية، إذ يُقال إنه يحاكي الأنهار الأربعة في الجنة، وقد ألهم لاحقًا هياكل معمارية بارزة مثل تاج محل في الهند. كذلك شُيّدت الأبراج البوذية والمعابد شرق الآسيوية على قواعد مربعة، ووجّهت غالبًا لتواكب الجهات الأربع للبوصلة، مع إبراز البعد الرمزي في اتصالها بالسماء.

 
وفي أوروبا العصور الوسطى، شاعت القواعد المربعة في العمارة الدفاعية، كما في الحصون النورماندية، ومن أمثلتها برج لندن الذي بُني على شكل برج مربع منخفض. أما في العمارة الحديثة، فتغلب النزعة العملية على الاعتبارات الرمزية والجمالية، إذ يُعتمد الشكل المربع أساسًا في تصميم غالبية ناطحات السحاب لما يوفّره من استقرار إنشائي وكفاءة وظيفية.

تُمثّل المربعات المتداخلة في المندالة التبتية، ولا سيما في تصميم الستوبا، نموذجًا مصغّرًا للكون وفق التصوّر الرمزي في الفلسفات البوذية. وفي مجال التصوير الفوتوغرافي، اعتمدت بعض تقنيات الفيلم نسبة عرض إلى ارتفاع مربعة، كما هو الحال في كاميرات بولارويد، و، وآلات التصوير الفورية. أما في الفنون التشكيلية الحديثة، فقد ارتبط الاستخدام المتكرّر والبارز للأشكال والإطارات المربعة بأعمال رسامين بارزين مثل جوزيف ألبرز  وكازيمير ماليفيتش وبيت موندريان وتيو فان دوسبورخ، حيث شكّل المربع عنصرًا محوريًا في مقارباتهم الجمالية والتجريدية.

يظهر المربع كذلك في مجالات الرياضة والفنون الأدائية. ففي حين تُعرف بعض الميادين أو الساحات بأسماء توحي بأشكال أخرى، فإنها في الأصل مربعة الشكل؛ ومن أبرز الأمثلة على ذلك ملعب البيسبول وحلقة ملاكمة.  وفي الفنون الاستعراضية، تتجسّد هيئة المربع في رقصة الكادريل والرقص الرباعي، حيث تتوزّع أربعة أزواج لتشكيل جوانب مربع. كما استُخدم المربع عنصرًا بنيويًا في المسرحية التلفزيونية التجريبية  لــصمويل بيكيت، إذ يؤدي أربعة ممثلين حركاتهم على أضلاع المربع وقطره.

يُنسَب إلى لوحة اللعب المربّعة غو أيضًا تمثيل الأرض، حيث يُقال إن تقاطعات خطوطها البالغة 361 تماثل عدد أيام السنة. وقد ورثت هذه اللوحة شكلها المربّع من لعبة سباق هندية تُشبه الباتشيسي، والتي بدورها نقلت هذا الشكل إلى لعبة الداما. أما في الألعاب القديمة لبلاد الرافدين ومصر، مثل لعبة أور الملكية ولعبة سينيت، فقد كانت اللوحات مستطيلة الشكل مقسّمة إلى شبكة من المربعات، وليست مربعة تمامًا.

وتبرز صورة المربع أيضًا في مجال الألغاز والأحاجي، إذ يقوم أوستوماكيون اليوناني القديم – وفق بعض التفسيرات – على إعادة ترتيب مربعات مقطّعة إلى مضلعات أصغر، على نحوٍ يُشبه لعبة التنغرام الصينية. كما طُوِّرت مجموعة أخرى من الألغاز تُعرف بـالبوليمينو، وهي أشكال تتألف من مربعات متلاصقة من الحافة إلى الحافة.

وفي السياق التاريخي، اتخذت الأبراج الفلكية في العصور الوسطى وعصر النهضة تخطيطًا مربعًا في أوروبا والشرق الأوسط والصين على السواء. وتشمل الاستخدامات الترفيهية الأخرى للمربع فن الأوريغامي، الذي يعتمد على الورق المربّع الشكل، إضافةً إلى تقاليد في تضريب الألحفة حيث تُخاط قطع مربعة من القماش لتشكيل أنماط زخرفية متكررة.

تعَدّ المربعات عنصرًا شائعًا في تصميم الرسوميات، حيث تُستخدم لإضفاء إحساس بالاستقرار والتناسق والنظام. وفي الدرعيات، يكون  – وهو عنصر تصميمي يقع في الجزء العلوي الأيسر من الدرع – عادةً ذا شكل مربع، كما يُطلق على العلم ذي الشكل المربع اسم "راية". ويُعَدّ علم سويسرا مثالًا بارزًا على الأعلام المربعة، شأنه شأن أعلام الكانتونات السويسرية.

كما أن رموز الاستجابة السريعة (QR) تكون عادة مربعة الشكل، وتتميّز بعلامات محاذاة بارزة على هيئة مربعات في ثلاث زوايا. ويظهر المربع أيضًا في الاستخدامات العملية اليومية، مثل  التي تمتلك رأسًا مربع الشكل.

وفي مجال الأطعمة، غالبًا ما تتخذ البسكويت وقطع الجبن هيئة مربعة، وكذلك بعض أنواع الفطائر. وتشمل الأطعمة التي حملت اسمها من شكلها المربع أصنافًا متعدّدة مثل كعك الكراميل المربّع، وكعك التمر المربّع، وكعك الليمون المربّع، إضافةً إلى النقانق المربّعة والجبن المربّع الشرقي.

## الإنشاء
### الإحداثيات والمعادلات
[تصغير|يسار|<math>|x| + |y| = 2</math> رسم على ''[نظام إحداثيات ديكارتية|نظام إحداثي ديكارتي''.]]
مربع الوحدة هو مربع طول ضلعه يساوي الواحد، وغالبًا ما يمثل في الإحداثيات الديكارتية مربعًا يضم جميع النقاط (x، y) التي تحقق الشرطين 0\le x\le 1 و   0\le y\le 1.أما رؤوسه فهي النقاط الأربع التي تكون إحداثياتها إمَّا 0 أو 1.

أما المربع الموازي المحاور الذي مركزه النقطة (x_c,y_c) وطول ضلعه 2r (حيث  r هو نصف الضلع، أي نصف قطر الدائرة المحيطة به)، فإن رؤوسه تقع عند النقاط (x_c\pm r,y_c\pm r) ويضم الجزء الداخلي (x,y) من المربع جميع النقاط التي تحقق الشرط \max(|x-x_c|,|y-y_c|) ، بينما تكون حدوده من النقاط التي تحقق الشرط \max(|x-x_c|,|y-y_c|)=r.

المربع القطري الذي مركزه عند النقطة (x_c,y_c) وقطره بطول 2R (حيث R هو نصف قطر الدائرة المحيطة) له رؤوس عند النقاط الأربع (x_c\pm R,y_c) و (x_c,y_c\pm R). يتكون الجزء الداخلي منه من النقاط (x,y) مع |x-x_c|+|y-y_c|، ويتكون حده من النقاط مع |x-x_c|+|y-y_c|=R.

يوضح الرسم التوضيحي مثالًا لمربع قطري مركزه عند نقطة مبدأ الإحداثيات (0,0) ونصف قطر محيطه 2، معطى بالمعادلة |x|+|y|=2.

[تصغير|مربع يتكون من ضرب العدد المركب  في قوى ، وانتقاله الذي يمكن الحصول عليه بإضافة عدد مركب آخر . تظهر الشبكة الخلفية [عدد صحيح غاوسي|الأعداد الصحيحة الغاوسية]]

في مستوى الأعداد المركبة، يؤدي الضرب في الوحدة التخيلية i إلى تدوير الحد الآخر في الناتج بمقدار 90° حول نقطة الأصل (المبدأ صفر). لذلك، إذا ضُرب أي عدد مركب غير صفر p مرارًا بi، مما يعطي الأرقام الأربعة p وip و-p و-ip، فإن هذه الأرقام ستشكل رؤوس مربع مركزه نقطة الأصل (0,0). إذا فسرنا الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من هذه الأعداد المركبة الأربعة على أنها إحداثيات ديكارتية، مع p=x+iy، فإن هذه الأعداد الأربعة لها الإحداثيات (x,y) ،(-y,x) ،(-x,-y)، و(-y,-x).
يمكن ترجمة هذا المربع ليكون أي عدد مركب آخر مركزه النقطة c، باستخدام تقنية الانسحاب من الأصل إلى c يتم تمثيلها في حساب الأعداد المركبة كإضافة مع c. تشكل الأعداد الصحيحة الغاوسية، وهي أعداد مركبة ذات أجزاء حقيقية وتخيلية صحيحة، تشكل  في المستوى المركب.

تصغير|يسار|إنشاء مربع باستعمال المسطرة والفرجار

### المسطرة والفرجار
يوضح كتاب الأصول لإقليدس في جزئه الأول، الصفحة 46 كيفية رسم مربع ذي ضلع معين باستخدام المسطرة والفرجار.
وجود هذا التركيب يعني أن المربعات هي مضلعات قابلة للإنشاء. يمكن إنشاء  منتظم عندما تكون العوامل الأولية الفردية لـ n هي أعداد فيرما الأولية متمايزة. كما يُقدم كتاب الأصول في جزئه الرابع، الصفحات 6-7 تركيبات لمربع مرسوم داخل دائرة ومحاط بدائرة على التوالي.

Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|مربع ذو دائرة محيطية معينة
01-Quadrat-Seite-gegeben.gif|مربع بطول ضلع معين، باستخدام نظرية تالس
01-Quadrat-Diagonale-gegeben.gif|مربع بقطر معين


## مواضيع مرتبطة
رمز شليفلي للمربع هو  \{4\} . ويؤدي بتر زوايا المربع، القطع المنتظم لها، إلى إنتاج مثمن. وينتمي المربع إلى عائلة من متعددات الوجوه المنتظمة تضم المكعب في المستوي ثلاثي الأبعاد والمكعبات الفائقة في الأبعاد الأعلى (n>3)، كما ينتمي أيضًا إلى عائلة أخرى تضم ثماني الوجوه المنتظم في ثلاثة أبعاد ومتعدد الأكناف التصالبي في الأبعاد الأعلى. ويمكن تمثيل إحداثيات رؤوس المكعب والمكعبات الفائقة بقيم جميعها ±1، مما يعطي مربعًا محاذيًا للمحاور في بعدين، في حين أن ثماني الوجوه والمتعددات المتصالبة يكون لها إحداثي واحد يساوي 1 وبقية الإحداثيات تساوي صفرًا، مما ينتج مربعًا قطريًا في بعدين. وكما هو الحال في المربعات، يمكن الحصول على تماثلات هذه الأشكال من خلال تطبيق تبديل موقَّع (Signed permutation) على إحداثياتها.

سجادة سيربينسكي هي كسوريات مربعة تحتوي على فراغات مربعة. وتُعد المنحنيات المالئة للحيز، بما في ذلك منحنى هيلبرت، ومنحنى بيانو، ومنحنى سيربينسكي، أمثلة على منحنيات تغطي مربعًا بوصفه الصورة المستمرة لقطعة مستقيمة. أما منحنى بالترتيب Z (منحنى Z-order) فهو مشابه لذلك، لكنه غير مستمر. وتشمل الدوال الرياضية الأخرى المرتبطة بالمربعات خريطة قط أرنولد وخريطة الخباز، وهما يولدان أنظمة ديناميكية فوضوية على مربع، إضافة إلى الدوال الإهليلجية للمنحنى الليمينسكاتي، وهي دوال مركبة دورية على شبكة مربعة.
تصغير|نظرية فينسلر-هادويغر

تتضمن العديد من النظريات الهندسية المربعات؛ حيث تنص نظرية فينسلر-هادويغر على أنه في حال وجود مربعين   ABCD  و  AB'C'D' ، فإن مركزي كلا المربعين ونقطتي منتصف القطعتين   BD'  و  B'D  تشكل معاً مربعاً ثالثاً. ويمكن تطبيق هذه النظرية بشكل متكرر لإثبات نظرية فان أوبيل، التي تنص على أن مراكز المربعات الأربعة المنشأة على أضلاع شكل رباعي تشكل "رباعياً متوسط المربع" (Midsquare quadrilateral).من ناحية أخرى، لا يمكن تقسيم المربع إلى عدد فردي من المثلثات متساوية المساحة، وهي نتيجة مستمدة من نظرية مونسكي. كما تنص نظرية كروس (أو نظرية فيكتن) على أنه في حال وجود مثلث محاط بثلاثة مربعات منشأة على أضلاعه، فإن المثلثات الثلاثة الإضافية الناتجة عن توصيل رؤوس تلك المربعات تكون جميعها متساوية في المساحة.
[تصغير|تُستخدم المربعات لقياس [البعد الفركتالي لخريطة بريطانيا العظمى.]]
تتضمن أبعاد مينكوفسكي-بوليجاند (Minkowski–Bouligand dimension) أو "أبعاد عد الصناديق" استخدام المربعات لتحديد البعد الكسري لمجموعة ما في الفضاء الإقليدي أو الفضاء المتري، وتسمى هذه المربعات "صناديق" (Boxes). ويمكن الحصول على البعد الكسري لمجموعة ما عبر وضعها فوق شبكة ذات فواصل منتظمة، ثم عد المربعات اللازمة لتغطية هذه المجموعة؛ وتُستخدم طريقة عد الصناديق (Box counting) عندما تصبح الشبكة أكثر دقة وتفصيلاً.

تتعدد الألغاز الرياضية التي تشمل المربعات، ومنها المصفوفات المربعة المملوءة بالأرقام كما في لعبة سودوكو، أو بالرموز المعممة في مربع لاتيني، أو بالألوان والفراغات في ألغاز نونوغرام؛ بالإضافة إلى الأوهام البصرية المتناقضة مثل لغز المربع المفقود ومفارقة رقعة الشطرنج. أما نملة لانغتون، في سياق الأتمتة الخلوية، فهي عبارة عن شبكة مربعة ثنائية الأبعاد تتكون من مربعات ملونة بالأبيض والأسود، حيث تقوم "نملة" بتغيير ألوان هذه المربعات بناءً على اتجاه حركتها الحالي.

تعد تثليث المربع (Square trisection) مسألة تشريح هندسي تهدف إلى قطع المربع إلى عدة قطع وإعادة تجميعها لتكوين ثلاثة مربعات متطابقة. كما تتحدى مسألة تارسكي لتربيع الدائرة مفهوم التجزئة المتساوية (Equidecomposability) بين المربع والدائرة؛ أي تقطيع قرص الدائرة إلى عدد محدود من القطع وإعادة تجميعها لتشكل مربعاً.

### المربعات المنقوشة
تصغير|مثلث كالابي والمواضع الثلاثة لمربعه الأكبر. يتم وضع الجانب الطويل من المثلث في الداخل؛ أما الجانبان الآخران فلا.

تعد المربعات منقوشة في منحنى ما عندما تقع رؤوس المربع الأربعة جميعها على ذلك المنحنى. وتتساءل مسألة المربع المنقوش غير المحلولة عما إذا كان لكل منحنى مغلق بسيط مربع منقوش بداخله. وقد ثبتت صحة ذلك لكل منحنى أملس، ولأي منحنى محدب مغلق. ويعد المثلث متساوي الأضلاع المضلع المنتظم الوحيد الآخر الذي يمكن نقشه دائماً داخل كل منحنى محدب مغلق، حيث يوجد منحنى محدب لا يمكن نقش أي مضلع منتظم آخر بداخله.

أما بالنسبة لـ مربع منقوش في مثلث، فيجب أن يقع ضلع واحد على الأقل من أضلاع المربع على أحد أضلاع المثلث. ويحتوي كل مثلث حاد الزوايا على ثلاثة مربعات منقوشة، واحد لكل ضلع من أضلاعه الثلاثة. بينما يمتلك المثلث القائم مربعين منقوشين، أحدهما يلامس زاويته القائمة والآخر يقع على وتره. أما المثلث المنفرج فيحتوي على مربع منقوش واحد فقط، يقع على ضلعه الأطول. ولا يمكن للمربع المنقوش في مثلث أن يغطي أكثر من نصف مساحة ذلك المثلث.

### المساحة والتربيع <span class="anchor" id="تربيع الدائرة"></span>

[تصغير|يسار|0.8|[مبرهنة فيثاغورس (Pythagorean theorem): المربعان الصغيران المنشآن على ضلعي المثلث القائم لهما مساحة إجمالية تساوي مساحة المربع الأكبر المنشأ على الوتر.]]
تصغير|يسار|0.6|دائرة ومربع لهما المساحة نفسها.

منذ العصور القديمة، عُرّفت العديد من وحدات قياس المساحة (Area) بناءً على المربعات، وعادةً ما تُنسب لوحدة طول (Length) معيارية كضلع لها، مثل المتر المربع (square meter) أو البوصة المربعة (square inch).

في الهندسة الاستنتاجية اليونانية القديمة، كانت مساحة الشكل المستوي تُقاس وتُقارن عبر إنشاء مربع له المساحة نفسها باستخدام عدد محدود من الخطوات بواسطة الفرجار والمسطرة (compass and straightedge)، وهي عملية تُسمى "التربيع" (Quadrature أو Squaring). ويوضح كتاب "أصول إقليدس" (Euclid's Elements) كيفية القيام بذلك للمستطيلات، ومتوازيات الأضلاع، والمثلثات، ثم بشكل أعم لـ المضلعات البسيطة (simple polygons) عبر تقسيمها إلى قطع مثلثية. كما أمكن تربيع بعض الأشكال ذات الأضلاع المنحنية، مثل هلال هيبوكرات (lune of Hippocrates) وتربيع القطع المكافئ (quadrature of the parabola).

ظهر هذا الاستخدام للمربع كشكل محدد لقياس المساحة أيضاً في الصياغة اليونانية لـ مبرهنة فيثاغورس: المربعات المنشأة على ضلعي القائمة في المثلث القائم (right triangle) تساوي في مجموع مساحتها المربع المنشأ على الوتر (hypotenuse). وعند صياغتها بهذا الشكل، تظل المبرهنة صالحة للأشكال الأخرى المنشأة على أضلاع المثلث، مثل المثلثات متساوية الأضلاع أو أنصاف الدوائر، لكن اليونانيين استخدموا المربعات. وفي الرياضيات الحديثة، استُبدلت هذه الصيغة للمبرهنة المعتمدة على مساحات المربعات بصيغة جبرية تتضمن تربيع الأعداد (squaring numbers): حيث تخضع أطوال الأضلاع والوتر في المثلث القائم للمعادلة a^2+b^2=c^2.

بسبب هذا التركيز على "التربيع" كمعيار للمساحة، سعى اليونانيون وعلماء الرياضيات اللاحقون دون جدوى إلى تربيع الدائرة (squaring the circle)، أي إنشاء مربع له مساحة دائرة معطاة نفسها، باستخدام عدد محدود من الخطوات بالفرجار والمسطرة. وفي عام 1882، ثبُتت استحالة هذه المهمة نتيجة لـ مبرهنة ليندمان-وايرشتراس (Lindemann–Weierstrass theorem). وتبرهن هذه النظرية على أن الثابت باي ($\pi$) هو عدد متسامٍ (transcendental number) وليس عدداً جبرياً (algebraic number) غير نسبي؛ أي أنه ليس جذراً لأي متعددة حدود ذات معاملات كسرية (rational). إن أي عملية إنشاء لتربيع الدائرة يمكن ترجمتها إلى صيغة متعددة حدود للثابت $\pi$، وهو أمر غير موجود. أما في الفلسفة، فقد استُخدم مفهوم "مربع مستدير (Round square)" كمثال على تناقض لفظي (oxymoron) منذ عصر أرسطو (Aristotle)، مما أثار محاولات لإيجاد سياقات -مثل هندسة سيارة الأجرة- يكون فيها هذا التعبير ذا معنى.

### التبليط والتعبئة

يعد التبليط المربع (square tiling)، المألوف في الأرضيات ولوحات الألعاب، واحداً من ثلاثة أنواع من التبليط المنتظم (Tiling by regular polygons) للمستوى؛ أما النوعان الآخران فيستخدمان مثلث متساوي الأضلاع (equilateral triangle) وسداسي منتظم (regular hexagon). وتشكل رؤوس التبليط المربع ما يُعرف باسم شبكة مربعة (square lattice). كما يمكن للمربعات ذات الأحجام المختلفة أن تبلط المستوى أيضاً، كما هو الحال في تبليط فيثاغورس (Pythagorean tiling)، التي سُميت بهذا الاسم لارتباطها ببراهين مبرهنة فيثاغورس (Pythagorean theorem).

تصغير|يسار|0.8|أصغر مربع معروف يمكنه احتواء 11 مربع وحدة يبلغ طول ضلعه حوالي 3.877084.

تبحث مسائل تعبئة المربعات (Square packing) عن أصغر مربع أو دائرة يمكن أن تتسع لعدد معين من مربعات الوحدة (unit squares). وتعد رقعة الشطرنج مثالاً مثالياً لتعبئة عدد مربع من مربعات الوحدة داخل مربع أكبر، ولكن بخلاف حالات خاصة قليلة كهذه، لا تزال الحلول المثلى لهذه المسائل غير محلولة؛ وينطبق الأمر نفسه على مسألة تعبئة الدوائر في مربع (circle packing in a square). وقد تتسم تعبئة المربعات داخل أشكال أخرى بتعقيد حسابي (computational complexity) عالٍ؛ فمثلاً يُعد اختبار ما إذا كان عدد معين من مربعات الوحدة يمكن أن يتسع داخل مضلع مستقيم الخطوط (rectilinear polygon) ذو تحدب متعامد (Orthogonal convexity) وإحداثيات رؤوس نصف صحيحة مسألة من فئة NP-complete.

تتضمن عملية تربيع المربع (Squaring the square) تقسيم مربع معين إلى مربعات أصغر تكون أطوال أضلاعها جميعاً أعداداً صحيحة. ويُطلق على التقسيم الذي يتكون من مربعات أصغر متمايزة اسم "المربع المربع المثالي" (perfect squared square). وهناك نوع آخر من تربيع المربع يُعرف باسم "لحاف السيدة بيركنز" (Mrs. Perkins's quilt) يسمح بالتكرار، ولكنه يستخدم أقل عدد ممكن من المربعات الصغيرة لجعل القاسم المشترك الأكبر (greatest common divisor) لأطوال الأضلاع هو 1. ومن الممكن تبليط المستوى بالكامل باستخدام مربعات، بحيث يوجد مربع واحد بالضبط لكل طول ضلع صحيح.

في الأبعاد الأعلى، يمكن تبليط أسطح أخرى غير المستوى بمربعات متساوية تلتقي حافة بحافة. أحد هذه الأسطح هو نتوء كليفورد (Clifford torus)، وهو ضرب ديكارتي (Cartesian product) رباعي الأبعاد لدائرتين متطابقتين؛ وله نفس الهندسة الجوهرية لمربع واحد مع لصق كل زوج من الحواف المتقابلة معاً. وهناك سطح آخر مبلط بالمربعات يُعرف باسم Regular skew apeirohedron في ثلاثة أبعاد، حيث تلتقي ستة مربعات عند كل رأس. أما مسألة كيس الورق (paper bag problem) فتبحث عن أقصى حجم يمكن احتواؤه بواسطة سطح مبلط بمربعين ملتصقين حافة بحافة؛ ولا تزال إجابتها الدقيقة غير معروفة. ويؤدي لصق مربعين بنمط مختلف، بحيث يتم ربط رأس كل مربع بمنتصف حافة المربع الآخر، إلى شكل يشبه وسادة الدبابيس يُسمى Biscornu. وتُسمى الأسطح المبلطة بعدد محدود من مربعات الشبكة الصحيحة ثلاثية الأبعاد باسم s.

### العد

تصغير|يسار|1.2|لغزان لعد المربعات: يوجد 14 مربعاً في شبكة مربعات  (الأعلى)، بينما تحتوي شبكة نقاط  على ستة مربعات إضافية غير موازية للمحاور (الأسفل) ليصبح المجموع 20.
تتضمن إحدى الألغاز الرياضية الشائعة عد المربعات بجميع أحجامها في شبكة مربعة مكونة من n\times n من المربعات. على سبيل المثال، تحتوي شبكة مربعة مكونة من تسعة مربعات على 14 مربعاً: المربعات التسعة التي تشكل الشبكة، وأربعة مربعات أخرى بحجم 2\times 2، ومربع واحد بحجم 3\times 3. وتكون إجابة هذا اللغز هي n(n+1)(2n+1)/6، وهو ما يعرف باسم عدد هرمي مربعي (square pyramidal number). وبالنسبة لقيم n=1,2,3,\dots تكون هذه الأعداد هي:

يطلب بديل لهذا اللغز عدد المربعات التي تشكلها شبكة من n\times n من النقاط، مع السماح بالمربعات التي لا توازي محاورها الشبكة. على سبيل المثال، تحتوي شبكة من تسع نقاط على خمسة مربعات موازية للمحاور كما وُصف أعلاه، ولكنها تحتوي أيضاً على مربع قطري واحد إضافي ليصبح المجموع ستة. في هذه الحالة، تُعطى الإجابة بواسطة "الأعداد الهرمية رباعية الأبعاد" n^2(n^2-1)/12. وبالنسبة لقيم n=1,2,3,\dots تكون هذه الأعداد هي:

تصغير|يسار|تقسيمات مربع إلى ثلاثة مستطيلات متشابهة
تطلب مسألة عد أخرى تتعلق بالمربعات عدد الأشكال المختلفة للمستطيلات التي يمكن استخدامها عند تقسيم مربع إلى مستطيلات متشابهة (dividing a square into similar rectangles). يمكن تقسيم المربع إلى مستطيلين متشابهين بطريقة واحدة فقط وهي تنصيفه، ولكن عند تقسيم المربع إلى ثلاثة مستطيلات متشابهة، توجد ثلاث نسب باعية (aspect ratios) ممكنة للمستطيلات، وهي 3:1، و3:2، ومربع النسبة البلاستيكية (plastic ratio) التي تبلغ حوالي 1.755:1. إن عدد النسب الممكنة عند التقسيم إلى n من المستطيلات معروف للقيم الصغيرة لـ n، ولكن لا توجد له صيغة عامة. وبالنسبة لقيم n=1,2,3,\dots تكون هذه الأعداد هي:

يعد مربع سحري مصفوفة مربعة من الأعداد، حيث تكون مجموع الأعداد الموجبة في كل صف وكل عمود وفي كلا القطرين الرئيسيين متساوياً. وبالنسبة لمصفوفة  n \times n ، يمكن صياغة المجموع كـ  n(n^2 + 1)/2 ؛ والأعداد لقيم  n = 1, 2, 3, \dots  هي:

### هندسات أخرى

في الهندسة الإقليدية المألوفة، يكون الفضاء مسطحاً، ومجموع الزوايا الداخلية لأي شكل رباعي محدب هو 360°، لذا فإن المربع (وهو رباعي أضلاع منتظم) يمتلك أربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا قائمة (90° لكل منها). في المقابل، في الهندسة الكروية (spherical geometry) والهندسة الزائدية (hyperbolic geometry)، يكون الفضاء منحنياً ولا يبلغ مجموع الزوايا الداخلية لرباعي الأضلاع المحدب 360° أبداً، لذا فإن الأشكال الرباعية ذات الزوايا القائمة الأربع لا وجود لها. وتتميز كلتا الهندسيتين بوجود مضلعات رباعية منتظمة، تتصف بأربعة أضلاع متساوية وأربع زوايا متساوية، وغالباً ما يُشار إليها بالمربعات، رغم أن بعض المؤلفين يفضلون تجنب هذه التسمية لافتقارها إلى الزوايا القائمة. كما تتميز هذه الهندسات بمضلعات منتظمة ذات زوايا قائمة، ولكن بعدد أضلاع يختلف عن أربعة.

في الهندسة الكروية، يمتلك الفضاء انحناءً موجباً منتظماً، وأي شكل رباعي محدب (وهو مضلع كروي حدوده أقواس من دوائر عظمى) يمتلك زوايا يتجاوز مجموعها 360° بمقدار يُسمى الزيادة الزاوية (angular excess)، وهو يتناسب طردياً مع مساحته السطحية. تكون المربعات الكروية الصغيرة إقليدية تقريباً، وتزداد زوايا المربعات الأكبر بزيادة المساحة. ومن الحالات الخاصة وجه مكعب كروي بزوايا أربع قياس كل منها 120°، يغطي سدس سطح الكرة. وحالة أخرى هي نصف الكرة، وهو وجه لمربع كروي ثنائي الأوجه بزوايا أربع مستقيمة (180°)؛ حيث يقوم إسقاط بيرس الخماسي لخرائط العالم بمطابقة وجهين من هذا النوع مع مربعات إقليدية. ويُعد ثمن كرة مثلثاً كروياً منتظماً بأضلاع ثلاثة متساوية وثلاث زوايا قائمة؛ حيث تبلط ثمانية منها الكرة لتشكل ثماني أوجه كروي. أما هلال كروي فهو ثنائي أضلاع منتظم، بضلعين نصف دائريين وزاويتين متساويتين عند الرؤوس المتقابلة؛ ويغطي الهلال القائم ربع الكرة.

في الهندسة الزائدية، يمتلك الفضاء انحناءً سالباً منتظماً، وأي شكل رباعي محدب يمتلك زوايا يقل مجموعها عن 360° بمقدار يُسمى النقص الزاوي (angular defect)، وهو يتناسب مع مساحته السطحية. المربعات الزائدية الصغيرة تكون إقليدية تقريباً، وتتناقص زوايا المربعات الأكبر بزيادة المساحة. وتشمل الحالات الخاصة المربعات ذات الزوايا التي قياسها  لكل قيمة لـ  أكبر من 4، حيث يمكن لكل منها تبليط المستوي الزائد. وفي الحد اللانهائي، يمتلك مربع مثالي (ideal square) أربعة أضلاع بطول لانهائي وأربعة رؤوس عند نقاط مثالية خارج المستوي الزائد، بزوايا داخلية تبلغ 0°؛ ويمتلك المربع المثالي مساحة محدودة تتناسب مع نقصه الزاوي البالغ 360°. ومن الممكن أيضاً إنشاء مضلع زائدي منتظم بزوايا قائمة عند كل رأس ولأي عدد من الأضلاع أكبر من أربعة؛ ويمكن لهذه المضلعات تبليط المستوي الزائد بانتظام.

تصغير|يسار|0.9|الدوائر المترية باستخدام دوال المسافة لشيبشيف، وإقليدس، وسيارة الأجرة

يمكن تعريف المستوي الإقليدي بدلالة مستوي إحداثي حقيقي من خلال اعتماد دالة مسافة إقليدية، والتي بموجبها تكون المسافة بين أي نقطتين (x_1,y_1) و (x_2,y_2) هي \textstyle \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}. وتتشكل هندسات مترية أخرى عند اعتماد دالة مسافة مختلفة، وفي بعض هذه الهندسات، تصبح الأشكال التي قد تكون مربعات إقليدية هي "الدوائر" (مجموعة النقاط التي تبعد مسافة متساوية عن نقطة المركز). فالمربعات المائلة بزاوية 45° بالنسبة لمحاور الإحداثيات هي الدوائر في هندسة سيارة الأجرة (taxicab geometry)، المستندة إلى مسافة $L_1$ وهي |x_1-x_2|+|y_1-y_2|. وبنفس الطريقة، تكون المربعات الموازية للمحاور هي الدوائر بالنسبة لمسافة $L_{\infty}$ أو مسافة شيبشيف (Chebyshev distance)، وهي \max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|). وفي هذا المقياس، تشكل النقاط التي تبعد مسافة $d$ عن نقطة ما مربعاً موازياً للمحاور طول ضلعه $2d$. ويرتبط بذلك إمكانية تحول المربع والدائرة إلى شكل وسيط يُعرف باسم المربع المستدير (squircle).
## حقائق أخرى
* بما أن المربع هو مستطيل، فإنه يحقق مبرهنة العلم البريطاني.
* قطرا المربع متعامدان ومتساويان وينصف كلٌّ منهما الآخر وطولهما يساوي \scriptstyle \sqrt{2} مرةً طول ضلع من أضلاع المربع (حوالي 1.414). هذه القيمة المعروفة باسم الجذر التربيعي لاثنين أو بثابتة فيثاغورس، كانت أول عدد يبرهن عليه بأنه ليس بعدد جذري.
* إذا كان شكل هندسي ما مستطيلا ومعينا في آن واحد، فإنه مربع.

## الهندسة غير الإقليدية
انظر هندسة كروية.

### أمثلة

## انظر أيضًا

* مكعب
* نجمة رباعية
* مبرهنة فيثاغورس

## مراجع

## وصلات خارجية
* 

تصنيف:مضلعات قابلة للإنشاء
تصنيف:أشكال ابتدائية
تصنيف:4 (عدد)
تصنيف:أشكال ثنائية الأبعاد
تصنيف:أنواع رباعيات الأضلاع
تصنيف:رباعيات أضلاع