توافقيات كروية متجهية

في الرياضيات، يشير مصلح **التوافقيات الكروية المتجهية** إلى تعميم مفهوم التوافقيات الكروية على المتجهات (الأشعة) عوضا عن المقادير السلمية التي تستخدم عادة لحل معادلة لابلاس.

## تعريف
يوجد اصطلاحات متعددة سنستعرض احداها وحسب، تعرف التوافقيات الكروية المتجهية على النحو التالي :
* \mathbf{Y}_{lm} = Y_{lm}\hat{\mathbf{r}}
* \mathbf{\Psi}_{lm} = r\nabla Y_{lm}
* \mathbf{\Phi}_{lm} = \vec{\mathbf{r}}\times\nabla Y_{lm}
: \mathbf{E}=\sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l\left(E^r_{lm}(r)\mathbf{Y}_{lm}+E^{(1)}_{lm}(r)\mathbf{\Psi}_{lm}+E^{(2)}_{lm}(r)\mathbf{\Phi}_{lm}\right)

## الخواص الأساسية

### ال[[تناظر]]
: \mathbf{Y}_{l,-m} = (-1)^m \mathbf{Y}^*_{lm}\qquad\mathbf{\Psi}_{l,-m} = (-1)^m \mathbf{\Psi}^*_{lm}\qquad\mathbf{\Phi}_{l,-m} = (-1)^m \mathbf{\Phi}^*_{lm}

### التعامد

### [[تدرج]] [[حقل سلمي]]
لنأخد منشور متعدد الأقطاب لحقل سلمي ما
: \phi = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \phi_{lm}(r) Y_{lm}(\theta,\phi)
يمكن التعبير عن التدرج باستخدام مفهوم التوافقيات الكروية المتجهية كما يلي
: \nabla\phi = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l\left(\frac{\mathrm{d}\phi_{lm}}{\mathrm{d}r} \mathbf{Y}_{lm}+
\frac{\phi_{lm}}{r}\mathbf{\Psi}_{lm}\right)

### التفرق
من أجل أي حقل متعدد الأقطاب لدينا :
: \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{Y}_{lm}\right) = \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{2}{r}f\right)Y_{lm}

: \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{lm}\right) = -\frac{l(l+1)}{r}fY_{lm}

: \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{lm}\right) = 0
من خلال التركيب سنحصل على التفرق لأي حقل المتجهات كما يلي
: \nabla\cdot\mathbf{E} = \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \left(\frac{\mathrm{d}E^r_{lm}}{\mathrm{d}r}+\frac{2}{r}E^r_{lm}-\frac{l(l+1)}{r}E^{(1)}_{lm}\right)Y_{lm}

### الدوران
: \nabla\times\left(f(r)\mathbf{Y}_{lm}\right) =-\frac{1}{r}f\mathbf{\Phi}_{lm}

: \nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{lm}\right) = \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Phi}_{lm}

: \nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{lm}\right) = -\frac{l(l+1)}{r}f\mathbf{Y}_{lm}-\left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}r}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Psi}_{lm}

## أمثلة

### التوافقيات الكروية المتجهية الأولى
* l=0\,
:* \mathbf{Y}_{00}= \sqrt{\frac{1}{4\pi}}\hat{\mathbf{r}}

:* \mathbf{\Psi}_{00}= \mathbf{0}

:* \mathbf{\Phi}_{00}= \mathbf{0}
* l=1\,
:* \mathbf{Y}_{10}= \sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}
:* \mathbf{Y}_{11}= -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\sin\theta\,\hat{\mathbf{r}}

:* \mathbf{\Psi}_{10}= -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}
:* \mathbf{\Psi}_{11}= -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\left(\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+\mathrm{i}\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right)

:* \mathbf{\Phi}_{10}= -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\sin\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}
:* \mathbf{\Phi}_{11}= \sqrt{\frac{3}{8\pi}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\left(\mathrm{i}\,\hat{\mathbf{\theta}}-\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right)
* l=2\,
:* \mathbf{Y}_{20}= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\,(3\cos^{2}\theta-1)\,\hat{\mathbf{r}}
:* \mathbf{Y}_{21}= -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,e^{i\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}
:* \mathbf{Y}_{22}= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\,\sin^{2}\theta\,e^{2i\varphi}\,\hat{\mathbf{r}}

:* \mathbf{\Psi}_{20}= -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\,\sin\theta\,\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}
:* \mathbf{\Psi}_{21}= -\sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,e^{i\varphi}\,\left(\cos 2\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+\mathrm{i}\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right)
:* \mathbf{\Psi}_{22}= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{2i\varphi}\,\left(\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}+\mathrm{i}\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right)

:* \mathbf{\Phi}_{20}= -\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{\pi}}\sin\theta\,\cos\theta\,\hat{\mathbf{\phi}}
:* \mathbf{\Phi}_{21}= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,e^{i\varphi}\,\left(\mathrm{i}\cos\theta\,\hat{\mathbf{\theta}}-\cos 2\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right)
:* \mathbf{\Phi}_{22}= \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{2i\varphi}\,\left(-\mathrm{i}\,\hat{\mathbf{\theta}}+\cos\theta\,\hat{\mathbf{\varphi}}\right)


## مراجع

## روابط خارجية
* ''Vector Spherical Harmonics'' at Eric Weisstein's Mathworld



تصنيف:حساب المتجهات
تصنيف:دوال خاصة
تصنيف:رياضيات تطبيقية
تصنيف:فيزياء نظرية
تصنيف:معادلات تفاضلية