تكامل مثلثي

في الرياضيات، **التكاملات المثلثية**  هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.
## تكامل الجيب
تصغير|يسار|رسم بياني لتكامل الجيب '''Si(x)''' عندما يكون .
هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:

:{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt

:{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt

حيث {\rm Si}(x) هو أصل \sin x/x و التي تكون صفراً عندما x=0; و {\rm si}(x) هو أصل \sin x/x و التي تكون صفراً عندما x=\infty. يكون لدينا:

:{\rm si}(x) = {\rm Si}(x) - \frac{\pi}{2}

لاحظ بأن \frac{\sin t}{t} هي دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون x=\infty, فأنه يُعرف باسم .

في معالجة الإشارة، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و  (Ringing artifacts) عند استعمال  (Sinc filter)، وتسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).

إن  (Gibbs phenomenon) هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.

## تكامل جيب التمام
تصغير|يسار|رسم بياني لتكامل جيب التمام '''Si(x)''' عندما يكون .
هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:

:{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt

:{\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt

:{\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt

حيث {\rm ci}(x) هو أصل \cos x/x و التي تكون صفراً عندما x=\infty. يكون لدينا:

:{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
:{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,

## تكامل الجيب الزائدي
يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:

:{\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).
## تكامل جيب التمام الزائدي
يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:

:{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)

حيث أن \gamma هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.
## لولب نيلسن
تصغير|يسار|رسم مجسم نيلسن اللولبي
في الرياضيات, **لولب نيلسن** , و يسمى أيضاً ب**اللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام** ، هو لولب معادلاته الوسيطية:
:x = a\,\mbox{ci}\,t \,
:y = a\,\mbox{si}\,t \,
حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.

هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

## تفكيك
هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

### سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)

:{\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)
:{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
-\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون ~{\rm Re} (x) \gg 1~.

### متسلسلات التقارب

:{\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots
:{\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم ~x~ المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان |x|\gg 1 يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

## العلاقة مع [[تكامل أسي|التكامل الأسي]] للمتغير العقدي
تُسمى الدالة 
{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty
\frac
{\exp(-zt)}
{t}
{\rm d} t
\qquad({\rm Re}(z) \ge 0)
 بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:
:
{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x)=
i\left(-\frac{\pi}{2}
+{\rm Si}(x)\right)-{\rm Ci}(x) = i~{\rm si}(x) - {\rm ci}(x) \qquad(x>0)


بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة,
ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى {\rm Re}(x)>0.
(من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد \pi في هذه العبارة الجبرية).

## انظر أيضًا

* تكامل أسي Exponential integral
* دالة التكامل اللوغاريتمي Logarithmic integral function

تصنيف:تكاملات
تصنيف:دوال خاصة
تصنيف:حساب المثلثات