قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة

تصغير|يسار|بديل=تصور العدد 6 بوصفه عدداً تاماً، عن طريق المقسومات الصحيحة للعدد 6 وهم (1، 2، 3) ومجموعها يصل إلى 6.|العدد 6 هو عدد تام.
**[[عدد مرسين الأولي|أعداد مِرْسين الأولية]]**  و**[[عدد تام|الأعداد التامة]]**  هما نوعان من الأعداد الطبيعية مرتبطان أحدهما بالآخر، وهما موضوع دراسة في مجال نظريَّة الأعداد. أعداد مرسين الأولية، التي سُمِّيت باسم الراهب مارين مرسين، هي أعداد أولية يمكن كتابتها بالصيغة: ، وفيها  هو عدد صحيح موجب. العدد  على سبيل المثال، هو من أعداد مرسين الأولية، لأنَّهُ عدد أولي يمكن كتابته بصيغة: . أما الأعداد التامة، فهي أعداد صحيحة موجبة يساوي كل منها مجموع قواسمه الموجبة ما خلا العدد نفسه. العدد  على سبيل المثال، عددٌ تام لأنَّ قواسمه الموجبة هي  و و، ومجموعها: .

لكي يكون عدد مرسين أوليًا، يلزم أن يكون  في الصيغة:  أوليًا. لكن هذا لا يعني أن كل عدد أولي  سينتج عدد مرسين أولي. على سبيل المثال، من أجل  تساوي ، وهو عدد أولي، يكون ناتج ، وهو ليس عددًا أوليًا، ولا من أعداد مرسين لأنَّهُ حاصل ضرب . بعبارةٍ أخرى، كُل عدد مرسين أولي هو عدد أولي، ولكن ليس كُل عدد أولي هو عدد مرسين أولي.

تربط دالة تقابل أعداد مرسين الأولية بالأعداد التامة. تُكتَب الأعداد التامة بالصيغة:

وفيها  هو عدد أولي، و هو عدد مرسين أولي. لذا، يولِّد كلُّ عددٍ مكتشف من أعداد مرسين الأولية عددًا تامًا زوجيًا جديدًا مقابل له. مع ذلك، لا يزال من غير المعروف ما إذا كان يوجد أعداد تامة فرديَّة. ويعود ذلك التقابل إلى مبرهنة إقليدس وأويلر، التي وضع أساسها إقليدس وأكمل برهانها ليونهارت أويلر، وتنصُّ المبرهنة على أن العدد التام يكون زوجيًا، إذا وفقط إذا، أمكن التعبير عنه بالصيغة المذكورة سابقًا. بتعبيرٍ آخر، كلُّ عددٍ يمكن صياغته بهذه الطريقة هو عدد تام، وتتبع الأعداد التامة الزوجية كلها هذه الصيغة. على سبيل المثال، عندما تكون ، فإنَّ الناتج من الصيغة:  وهو عدد مرسين أولي، وعند ضربه في ، يكون الناتج  هو عدد تام.

مسألة وجود أعداد لا نهائيَّة من أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة الزوجيَّة من التحدِّيات التي لم تُحل بعد في علم الرياضيَّات. ويمكن تقريبًا تقدير عدد مرَّات تكرار أعداد مرسين الأولية باستعمال بعض حدسيات مرسين، وهي فرضيات رياضيَّة تتعلَّق بتوزيع وخصائص أعداد ميرسين، وتنصُّ إحدى هذه الحدسيات على أن العدد المتوقع من أعداد مرسين تحت قيمة معينة  يمكن تقديره بالصيغة:
 

وفيها  هو عدد أويلر، و هو ثابت أويلر، و هو اللوغارتم الطبيعي. بالرغم من عدم إثبات وجود أعداد تامة فرديَّة، فقد أثبتت عدَّة شروطٍ لوجودها، منها أنَّهُ إذا وُجد عدد تام فردي، فيجب أن يكون أكبر من . هذه النتيجة تعني أن أي عدد تام فردي يجب أن يكون هائل الحجم، لكن حتَّى العام 2012، لم يُعثَر على أيِّ عددٍ تام فردي.

## قائمة الأعداد
يذكر الجدول قائمة أعداد مرسين الأولية والأعداد التامة المعروفة حاليًا، مع توضيح الأسس  المقابلة لكل عدد. حتَّى عام 2026م، اكتشاف 52 عددًا أوليًا من أعداد مرسين (وبالتالي 52 عددًا تامًا)، واكتشاف أكبر 18 عددًا منها من خلال مشروع الحوسبة الموزعة المعروف باسم البحث الكبير عن أعداد مرسين على الإنترنت  اختصارًا (GIMPS). تُكتشف أعداد مرسين الأولية الجديدة باختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما  اختصارًا (LLT)، وهو اختبار يستخدم لتحديد ما إذا كان عدد مرسين معيَّن أوليًا أم لا، ويتميَّز بالكفاءة عند استخدامه في الحواسيب التي تعتمد على نظام العد الثنائي.

احتمال اكتشاف أعداد أصغر من تلك المكتشفة حاليًا ضئيل، إلاَّ أنَّ حدوث ذلك قد يؤدِّي إلى تغيير ترتيب الأعداد المعروف. وفقًا لمشروع «البحث الكبير»، فحصت جميع أعداد ميرسين التي يقل الأس فيها عن  (وهو الأس المرتبط بالعدد 50 في الترتيب) حتى سبتمبر 2025، ممَّا يجعل من غير المحتمل اكتشاف عدد جديد بأس أصغر من ذلك.

يُذكَر بالجدول اسم مكتشف العدد وتاريخ الاكتشاف لكل عدد مرسين، نظرًا لأنَّ الأعداد التامة الزوجيَّة تُولَّد مباشرة من أعداد مرسين بعد اكتشافها وفقًا لمبرهنة إقليدس وأويلر، فلا تُذكر معلومات منفصلة لمكتشف العدد التام. عندما يشار إلى المكتشف بالاسم الرمزي: «GIMPS / الاسم»، فهذا يعني أنَّ الاكتشاف حدث عبر مشروع «البحث الكبير»، باستخدام عتاد حاسوب مملوكة له. بالنسبة للأرقام الكبيرة جدًّا، يعرض أوَّل أرقامٍ منها فقط وآخر ستَّة.

## أنظر أيضًا
* جدول القواسم

## الملاحظات

## المراجع
### فهرس المراجع
;منشورات
:بالعربية

:بالإنجليزية

:بالفرنسية

;الوب
:بالعربية

:بالإنجليزية

:بالفرنسية

### معلومات المراجع
;المقالات المحكمة
:بالإنجليزية

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

:بالفرنسية

* 
* 

;الكتب
:بالعربية

* 
* 
* 
* 
* 

:بالإنجليزية

* 
* 
* 

## وصلات خارجية
* القائمة على موقع البحث الكبير عن أعداد مرسين الأولية في الإنترنت، بالقيم الكاملة للأعداد الكبيرة  
* تقرير فنِّي عن تاريخ أعداد مرسين، بقلم جاي هاوورث  
* البحث عن الأعداد الأولية.. من يبحث؟ ولماذا؟
* ما هو أكبر عدد أولي؟
* العدد الوحش: أكبر عدد أولي مكتشف حتى الآن!

تصنيف:جداول رياضيات
تصنيف:قوائم رياضية
تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات
تصنيف:أعداد مرسين الأولية