معادلات نيوتن-أويلر

في الميكانيكا الكلاسيكية، تهتم **معادلات نيوتن-أويلر** بوصف الحركة الدورانية لجسم جاسئ (جسم صلب متناهي الأبعاد، تهمل في التشوهات)

تجمع معادلات نيوتن أويلر قوانين أويلر لحركة جسم صلب في معادلة واحدة من 6 عناصر، بوضع العناصر في صفوف وأعمدة المصفوفة. هذه القوانين تربط انتقال مركز ثقل الجسم الصلب عند تعرضة لقوى وعزم (أو أكثر من عزم).
## مركز الثقل
في النظام الإحداثي، يمكن تحديد موضع مركز الثقل لجسم ما باستخدام المعادلة التالية:

: 
\left(\begin{matrix} {\mathbf F} \\ {\boldsymbol \tau} \end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} & 0 \\ 0 & {\mathbf I}_{\rm cm} \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} \mathbf a_{\rm cm} \\ {\boldsymbol \alpha} \end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix} 0 \\ {\boldsymbol \omega} \times {\mathbf I}_{\rm cm} \, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right),


حيث:

:**F** = هي القوى الكلية المؤثرة على مركز ثقل الجسم.
:*m* = كتلة الجسم.
:**I**3 = مصفوفة وحدة 3×3
:**a**cm = تسارع مركز الثقل.
:**v**cm = سرعة مركز الثقل.
:**τ** = العزم الكلي المؤثر على مركز الثقل.
:**I**cm = عزم القصور الذاتي لمركز الثقل.
:**ω** = السرعة الزاوية للجسم.
:**α** = التسارع الزاوي للجسم.

## الإسناد

في النظام الإحداثي، عند وجود نقطة **P** على الجسم غير متزامنة مع مركز الثقل، تكون المعادلات أكثر تعقيدا:

: 
\left(\begin{matrix} {\mathbf F} \\ {\boldsymbol \tau}_{\rm p} \end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} & - m [{\mathbf c}]^{\times}\\
m [{\mathbf c}]^{\times} & {\mathbf I}_{\rm cm} - m[{\mathbf c}]^{\times}[{\mathbf c}]^{\times}\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} \mathbf a_{\rm p} \\ {\boldsymbol \alpha} \end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix} m[{\boldsymbol \omega}]^{\times}[{\boldsymbol \omega}]^{\times} {\mathbf c} \\
{[\boldsymbol \omega]}^\times ({\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^\times[{\mathbf c}]^\times)\, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right),


حيث **c** هي مكان مركز تقل الجسم في الحالة العادية.

:
[\mathbf{c}]^{\times} \equiv
\left(\begin{matrix} 0 & -c_z & c_y \\ c_z & 0 & -c_x \\ -c_y & c_x & 0 \end{matrix}\right)
\qquad \qquad
[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}]^{\times} \equiv
\left(\begin{matrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{matrix}\right)


تعتبر هاتين المصفوفتين مصفوفة متماثلة منحرفة.

يمثل الطرف الأيسر للمصفوفة مجموع القوى والعزوم المؤثرة على الجسم.

يتم التعبير عن القوى الأساسية بالمصفوفة التالية:

: 
  \left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} & - m [{\mathbf c}]^{\times}\\
  m [{\mathbf c}]^{\times} & {\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^{\times}[{\mathbf c}]^{\times}\end{matrix}\right),


بينما يتم التعبير عن القوة الوهمية بالمصفوفة التالية:

:
  \left(\begin{matrix} m{[\boldsymbol \omega]}^\times {[\boldsymbol \omega]}^\times {\mathbf c} \\
  {[\boldsymbol \omega]}^\times ({\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^\times[{\mathbf c}]^\times)\, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right) .


## التطبيق

يتم استخدام معادلات نيوتن-أويلر في وصف التركيبات الأكثر تعثيدا (متعددة الأشكال)، وتستخدم في وصف ديناميكيا الأجسام المتصلة بواسطة مفاصل عن طريق استخدام أكثر من مصفوفة.

## انظر أيضا
* قوانين أويلر للحركة.
* طريقة جاوس سيدل.
* قوة الطرد المركزي.
* مبدأ التكافؤ.
* الرقم الصغير.
* عدد غير أولي.
* معادلة xʸ=yˣ.
* الأس العشري.
* معدل الحرارة (الكفاءة).

## المصادر

تصنيف:أجسام جاسئة
تصنيف:معادلات
تصنيف:ميكانيكا الأجسام الجاسئة