كسر مستمر

[تصغير|200بك|يسار|[جوزيف لوي لاغرانج]]



a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n}}}}


**كسر مستمر** منته، حيث *n* عدد صحيح موجب و*a<sub>0</sub>* عدد صحيح، و ai عدد صحيح موجب بالنسبة إلى *i=1,…,*n.




في الرياضيات، **الكسر المستمر**  هو كسر يأخذ الصيغة التالية :
:x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} 

حيث *a*0 عدد صحيح والاعداد *(a**i* (*i* ≠ 0 هي أعداد *موجبة*. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.

إذا سُمح لكل **بسط جزئي** و**مقام جزئي** أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.

## تحفيز
الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:

:r = \sum_{i=0}^\infty a_i 10^{-i},

حيث *a*0 عدد صحيح، وكل *a**i* آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,..., 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (*a**i*) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).

لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو *أكثر* بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط.
بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4&nbsp;+&nbsp;1/(2&nbsp;+&nbsp;1/(6&nbsp;+&nbsp;1/7)) يعطى الرمز المختصر .

لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:
* تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
* تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
* لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
* تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
* بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
* تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد *x* ينتج عنه تقريب نسبي لـ*x* والذي يمثل التقريب الأمثل.

## حساب تمثيل الكسور المستمرة
ليكن العدد الحقيقي *r*, وليكن *i* الجزء الصحيح و*f* الجزء الكسري ل *r*.
وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة *r* is *i*; …، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/*f*. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

لحساب الكسر المستمر للعدد *r*، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من *r*. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان *r* نسبيا.

## صور الكسور المستمرة

:x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;

أو

:x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3}. 

أو

:x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 + {}} {1 \over a_3 + {}}. 

وأحيانا

:x = \left \langle a_0; a_1, a_2, a_3 \right \rangle.\;

أو

:[a_0; a_1, a_2, a_3, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_0; a_1, a_2, \,\ldots, a_n]. 

## الكسور المستمرة المنتهية

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:

:[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots, a_{n} + 1]. \;

مثل,
: 2.25 = 9/4 = [2; 3, 1] = [2; 4], \;
: -4.2 = -21/5 = [-5; 1, 3, 1] = [-5; 1, 4]. \;

## الكسور المستمرة للمقاليب

مثل,
: 2.25 = \frac{9}{4} = [2; 4], \;

: \frac{1}{2.25} = \frac{4}{9} = [0; 2, 4]. \;

## الكسور المستمرة غير المنتهية

:
\frac{a_0}{1},\qquad
\frac{a_1a_0+1}{a_1},\qquad
\frac{    a_2(a_1a_0+1)+a_0}{a_2a_1+1},\qquad
\frac{a_3(a_2(a_1a_0+1)+a_0)+(a_1a_0+1)}{a_3(a_2a_1+1)+a_1}.


وبصيغة أخرى:


h_n=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad
k_n=a_nk_{n-1}+k_{n-2}.

وتكون الصيغ المتقاربة

:
\frac{h_n}{k_n}=
\frac{a_nh_{n-1}+h_{n-2}}{a_nk_{n-1}+k_{n-2}}.


## بعض المبرهنات المفيدة
إذا كان *a*0، *a*1، *a*2،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب h_n وk_n بالمعاودة:

### نظرية 1
لاي x\in\mathbb{R} موجب
:
\left[a_0; a_1, \,\dots, a_{n-1}, x \right]=
\frac{x h_{n-1}+h_{n-2}}
     {x k_{n-1}+k_{n-2}}.

### نظرية 2
التقاربات [*a*0; *a*1, *a*2,...]تعطى بالعلاقة

:
\left[a_0; a_1, \,\dots, a_n\right]=
\frac{h_n}
     {k_n}.

### نظرية 3
إذا كان التقارب النوني *n* لكسر مستمر هو h_n/k_n، حينئذ
:
k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1)^n.\,


## نشر π في كسر مستمر

:\frac{3}{1}, \frac{22}{7}, \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \,\ldots

:\frac{3}{1}+\frac{1}{1 \times 7}-\frac{1}{7 \times 106}+\frac{1}{106 \times 113} - \cdots 

الصورة المختصرة:
:
\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]

::أو
:
\pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cdots}}}}}}}}}}}}}}}}


كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

:
\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{6+\cdots}}}}}}}}
\ =\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{13+\cfrac{7^2}{15+\cdots}}}}}}}}


## أنماط منتظمة من الكسور المستمرة

:e = \exp(1) = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12,  \dots] \,\!.

ولدينا أيضا، عندما *n* عدد صحيح أكبر من الواحد,

:\exp(1/n) = [1; n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, \dots] \,\!.

إذا كانت *n* ّعدد فردي

: \exp(2/n) = [1; (n-1)/2, 6n, (5n-1)/2, 1, 1, \dots, 3k+(n-1)/2, (12k+6)n, 3k+(5n-1)/2, 1, 1, \dots ] \,\!

الحالة الخاصة عند *n* = 1:

:e^2 = \exp(2) = [7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, \dots, 3k, 12k+6, 3k+2, 1, 1, \dots] \,\!.

الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي

:\tanh(1/n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \dots] \,\!

حيث *n* عدد صحيح موجب; كذلك

:\tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15 \dots]\,\!

و

:\tan(1/n) = [0; n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, \dots]\,\!.

إذا كانت (*I**n*(*x* هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية *p*/*q*

:S(p/q) = \frac{I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)},




a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n}}}}


**كسر متصل منته**,حيث *a*0 هو عدد صحيح ما، و *n* هو عدد صحيح طبيعي و a*<sub>*i'' هي أعداد صحيحة طبيعية.




الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.

على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :
: (...,ai = (3,1,4,1,5,9,2

لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة :
* التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا وفقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
* لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.

[a0; a1, … an − 1, an] = [a0; a1, … an − 1, an − 1, 1]
* لكل عدد غير جذري، تمثيل وحيد بالكسور المستمرة.

## تاريخ الكسور المستمرة
* في عام 1737، درس ليونهارت أويلر خصائص الكسور المستمرة واستنتج أن e عدد غير جذري.
* في عام 1761، أثبت يوهان لامبرت لأول مرة أن <math>{\pi}</math> عدد غير جذري. استعمل من أجل هذا الهدف الكسور المستمرة الممثِلة ل tan(x).

## انظر أيضا
* شجرة ستيرن-بروكوت
* كسر مستمر معمم
* متسلسلة (رياضيات)
* جداء غير منته
## مراجع

## وصلات خارجية
* ما هو الكسر المستمر وما تطبيقاته - موقع إجابة.

تصنيف:تحليل رياضي
تصنيف:كسور مستمرة