مصفوفة دوران

في الجبر الخطي، **مصفوفة الدوران** هي مصفوفة حسابية تستخدم لتدوير متجه ما أو (بعملية مكافئة) تدوير نظام الإحداثيات ذاته. مثلا لتدوير متجه موضع لنقطة *(x, y)* بزاوية θ *عكس عقارب الساعة* أو تدوير نظام الإحداثيات بنفس الزاوية لكن *مع عقارب الساعة* فإن مصفوفة الدوران تكون
:R = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}


ملف:تدوير نقطة عكس عقارب الساعة.jpg|تدوير نقطة عكس عقارب الساعة
ملف:تدوير الإحداثيات مع عقارب الساعة.jpg|تدوير الإحداثيات مع عقارب الساعة

تستخدم مصفوفات الدوران في بعض التطبيقات في مجالات الهندسة والفيزياء والرسوميات الحاسوبية وغيرها.

يمكن التعبير عن التحويل من الإحداثيات *(x, y, z)* إلى الإحداثيات *('x', y', z)* بالشكل المختصر
:\mathbf{x'}=R\mathbf{x}
حيث
:\mathbf{x}=\begin{bmatrix}
x\\ 
y\\ 
z
\end{bmatrix}, \mathbf{x'}=\begin{bmatrix}
x'\\ 
y'\\ 
z'
\end{bmatrix}
و *R* هي مصفوفة الدوران.

مصفوفة الدوران يجب أن تكون مصفوفة مربعة وذات عناصر حقيقية. بشكل أكثر تحديدا، تتميز مصفوفات الدوران بأنها مصفوفة متعامدة ومحددتها تساوي 1.
:R^{T} = R^{-1}, |R| = 1\,

## الدوران في بعدين
كما ذُكِر بالأعلى، فإن تدوير نقطة ما بزاوية معينة يكافئ تماما لتدوير نظام الإحداثيات نفسه بالاتجاه المعاكس.

تصغير|تدوير الإحداثيات عكس عقارب الساعة
يمكننا دراسة الحالة حيث يتم تدوير نظام الإحداثيات بزاوية θ عكس عقارب الساعة (وهو الإتجاه الموجب للدوران) حول نقطة الأصل. يمكننا أن نرى أن
:P_x = P  \cos \phi
:P_y = P  \sin \phi
حيث *P* هي طول متجه الموضع للنقطة العامة *(x, y)*، و θ هي الزاوية بين المحورين *x* و **x''، و Φ هي الزاوية بين متجه موضع النقطة ومحور ''x''.

كذلك
:<math>P'_x = P  \cos (\phi - \theta)</math>
:<math>P'_x = P \cos\phi \cos\theta + P \sin\phi \sin\theta</math>
:<math>P'_y = P  \sin (\phi - \theta)</math>
:<math>P'_y = P \sin\phi \cos\theta - P \cos\phi \sin\theta</math>

أي أن
:<math>P'_x = P_x \cos \theta + P_y \sin \theta</math>
:<math>P'_y = -P_x \sin \theta + P_y \cos \theta</math>

ويمكن التعبير عن هاتين المعادلتين عن طريق المصفوفات
:<math>
\begin{bmatrix}
P'_x \\
P'_y \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
P_x \\
P_y \\
\end{bmatrix}</math>

تذكر أن المصفوفة المذكورة في المعادلة السابقة هي لتدوير الإحداثيات ''عكس اتجاه الساعة''، مما يكافي تدوير النقطة ذاتها ''مع عقارب الساعة''.

=== عناصر المصفوفة ===
بما أن
:<math>\sin \theta = \cos (\frac{\pi}{2} - \theta )</math>
و
:<math>-\sin \theta = \cos (\frac{\pi}{2} + \theta )</math>

يمكننا كتابة مصفوفة الدوران على النحو التالي
:<math>R = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \cos (\frac{\pi}{2} - \theta ) \\
\cos (\frac{\pi}{2} + \theta ) & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
</math>
ونلاحظ أن مدخلات المصفوفة هي نفسها [[جيب تمام اتجاه|جيوب تمام اتجاه]] المحاور الجديدة نسبة إلى القديمة.

للتسهيل يمكننا أن نكتب
:<math>R = 
\begin{bmatrix}
\ r_{x'x} & r_{x'y} \\
\\r_{y'x} & r_{y'y} \\
\end{bmatrix}
</math>
حيث ''r<sub>x'x</sub>'' هو جيب تمام إتجاه المحور **x* بالنسبة لمحور *x* والباقي بالمثل.

== الدوران في ثلاثة أبعاد ==
كما رأينا في حالة تدوير [[نظام إحداثي ديكارتي|نظام الإحداثيات]] في بعدين فإن الدوران يكون حول نقطة الأصل. أما في حالة الثلاثة أبعاد فإن الدوران يكون حول محور ما *I* يمر بنقطة الأصل. يمكننا أن نرمز لمصفوفة الدوران بالرمز <math>R_{I, \theta }</math> أي الدوران حول محور *I* بزاوية θ.

=== الدوران حول المحاور الأساسية ===
من السهل دائما القيام بالدوران حول أحد المحاور الأساسية، فالعملية مشابهة تماما للدوران في بعدين حول نقطة الأصل مع تعديل بسيط.

تُعطى مصفوفات الدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحاور الأساسية *x* و *y* و *z* على الترتيب كالآتي
:<math>R_{x,\theta}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & \cos \theta & \sin \theta\\ 
0 & -\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}, R_{y,\theta}=\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & -\sin \theta\\ 
0 & 1 & 0\\ 
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{bmatrix},R_{z,\theta}=\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0\\ 
-\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}</math>

==== الدوران حول محور *z* ====
بالفعل يمكننا أن نمثل تدوير [[نظام إحداثي ديكارتي|نظام الإحداثيات]] حول محور *z* بزاوية θ
:<math>\begin{bmatrix}
x'\\ 
y'\\ 
z'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0\\ 
-\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ 
y\\ 
z
\end{bmatrix}</math>
كما نرى فإن المحور *z* لم يتغير.

==== الدوران حول محور *y* ====
يمكننا بالمثل القيام بالدوران حول المحور *y*، وتكون المعادلة
:<math>\begin{bmatrix}
x'\\ 
y'\\ 
z'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & -\sin \theta\\ 
0 & 1 & 0\\ 
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ 
y\\ 
z
\end{bmatrix}</math>
عندما نقوم بفك المعادلة السابقة وإعادة ترتيبها، سنجد أن

:<math>x' = x \cos\theta - z \sin\theta</math>
:<math>y' = y</math>
:<math>z' = x \sin\theta + z \cos\theta</math>
والتي يمكن إعادة التعبير عنها كالتالي
:<math>\begin{bmatrix}
z'\\ 
x'\\ 
y'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta & 0\\ 
-\sin \theta & \cos \theta & 0\\ 
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
z\\ 
x\\ 
y
\end{bmatrix}</math>
يرجى ملاحظة الفرق في ترتيب الإحداثيات في المصفوفتين العموديتين.
==== الدوران حول محور *x* ====
بأسلوب مماثل نجد أن الدوران حول المحور *x* يتم التعبير عنه كالتالي
:<math>\begin{bmatrix}
x'\\ 
y'\\ 
z'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\ 
0 & \cos \theta & \sin \theta\\ 
0 & -\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ 
y\\ 
z
\end{bmatrix}</math>

=== الدوران حول محور عام ===
رأينا فيما سبق ثلاث حالات خاصة لتدوير [[نظام إحداثي ديكارتي|نظام الإحداثيات]] حول المحاور الأساسية. سنعطي الآن مصفوفة الدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة حول أي محور يمر بنقطة الأصل و *'I** هي وحدة المتجه لهذا المحور.
:<math>R_{I,\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta +I_x^2 \left(1-\cos \theta\right) & I_x I_y \left(1-\cos \theta\right) + I_z \sin \theta & I_x I_z \left(1-\cos \theta\right) - I_y \sin \theta \\ I_y I_x \left(1-\cos \theta\right) - I_z \sin \theta & \cos \theta + I_y^2\left(1-\cos \theta\right) & I_y I_z \left(1-\cos \theta\right) + I_x \sin \theta \\ I_z I_x \left(1-\cos \theta\right) + I_y \sin \theta & I_z I_y \left(1-\cos \theta\right) - I_x \sin \theta & \cos \theta + I_z^2\left(1-\cos \theta\right) 
\end{bmatrix}
</math>
حيث ''I''<sub>x</sub> و ''I''<sub>y</sub> و ''I''<sub>z</sub> هي مركبات وحدة المتجه **I**.

== عكس الدوران ==
رأينا فيما سبق مصفوفة الدوران التي تحول من نظام **x** إلى نظام **'x**. وأن التعبير المختصر لتلك العملية هو
:<math>\mathbf{x'}=R\mathbf{x}</math>

أما إذا أردنا أن نعبر عن التحويل من نظام **'x** إلى نظام **x** فإن معادلة التحويل العكسي تصير
:<math>\mathbf{x}=R^T\mathbf{x'}</math>

يمكن إثبات ذلك ببساطة عن طريق فك المعادلة الأولى وإعادة ترتيبها بدلالة ''(x, y, z)'' عوضا عن ''('x', y', z)'' فينتج المطلوب. وهكذا تكون المصفوفة التي تعبر عن تحويل **'x** إلى **x*' هي *RT*. ونلاحظ أن عملية التحويل تلك تكافئ تماما الدوران في الإتجاه العكسي. أي أنه إذا كانت *R* هي مصفوفة الدوران بزاوية θ في الإتجاه الموجب (عكس عقارب الساعة) فإن *RT* هي مصفوفة الدوران بنفس الزاوية لكن في الإتجاه العكسي.

نلاحظ كذلك أن *RT = R-1''، أي أنها تساوي المصفوفة العكسية.

## مراجع

تصنيف:تحويل رياضي
تصنيف:فيزياء رياضية
تصنيف:مصفوفات