عدد مثلثي تربيعي

200بك|تصغير|عدد مثلثي تربيعي 36 تم تمثيله كعدد مثلثي وكعدد مربع.

**العدد المثلثي التربيعي** (أو **العدد التربيعي المثلثي**) Square triangular number هو عدد عدد مثلثي ومربع كامل.
هنالك أعداد لانهائية مثلثية تربيعية، الأولى منها هي 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 .

## الصيغ الصريحة

بكتابة *N**k* للعدد المثلثي التربيعي *k*وبكتابة *s**k* و*t**k* لأطراف التربيع والتكعيب المقابلة بالصورة
:N_k = s_k^2 = \frac{t_k(t_k+1)}{2}.

عرف *الجذر المثلثي* للعدد المثلثي N = \frac{n(n+1)}{2} على أنه n. من التعريف ومن الصيغة التربيعية n = \frac{\sqrt{8N + 1} - 1}{2}.لذلك، N يكون مثلثي إذا وإذا كان فقط 8N + 1 تربيعيا. بناء عليه، M^2 يكون تربيعيا ومثلثيا إذا وإذا كان فقط 8M^2 + 1 تربيعيا، بعبارة أخرى، توجد أعداد x وy بحيث x^2 - 8y^2 = 1. هذه صورة من معادلة بيل مع n=8. جميع معادلات بيل لها حلول بديهية لأي قيمة n، يدعى هذا الحل بالصفري ويفهرس (x_0,y_0). إذا كان (x_k,y_k) يرمز إلى الحل اللابديهي k لأي معادلة بيل لقيمة محدد n، فيمكن تبيان أن x_{k+1} = 2x_k x_1 - x_{k-1} وy_{k+1} = 2y_k x_1 - y_{k-1}. بالتالي هناك لانهاية من الحلول لأي معادلة بيل بحيث لها حل لابديهي محقق كلما كانت n غير مربعة. الحل اللابديهي الأول عندما n=8 سهل الإيجاد: إنه (3,1). الحل (x_k,y_k) لمعادلة بيل عندما n=8 ينتج عدد مثلثي تربيعي وجذورة التربيعية والمثلثية: s_k = y_k , t_k = \frac{x_k - 1}{2}, وN_k = y_k^2. بالتالي، العدد المثلثي التربيعية الأول، مشتق من (3,1), is 1، والثاني مشتق من (17,6) (=6×(3,1)-(1,0)), هو 36.

في 1778 استطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة الصريحة 
:N_k = \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2.

من الصيغ الأخرى المكافئة (نحصل عليها من نشر هذه الصيغة) التي قد تكون مناسبة
: \begin{align} 
N_k &= {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{2k} - ( 1 - \sqrt{2} )^{2k} \right)^2 = {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{4k}-2 + ( 1 - \sqrt{2} )^{4k} \right) \\
&= {1 \over 32} \left( ( 17 + 12\sqrt{2} )^k -2 + ( 17 - 12\sqrt{2} )^k \right).
\end{align}
الصيغ الصريحة المقابلة لـ *s**k* و*t**k* هي 
: s_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} 
و
: t_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k + (3 - 2\sqrt{2})^k - 2}{4}. 

## معادلة بيل
تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل بالطريقة التالية.
كل عدد مثلثي هو بالصورة *t*(*t* + 1)/2. لذلك نبحث عن أعداد صحيحة *t*، *s* بحيث

:\frac{t(t+1)}{2} = s^2.

بتحليل جبري بسيط تصبح

:(2t+1)^2=8s^2+1,

ثم بجعل *x* = 2*t* + 1 و*y* = 2*s*، نحصل على معادلة ديفونتية

:x^2 - 2y^2 =1

وهي صورة من معادلة بيل. هذه المعادلة بالذات تحل عن طريق عدد بيلs *P**k* بصورة 

:x = P_{2k} + P_{2k-1}, \quad y = P_{2k};

ولذلك فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقة

: s_k = \frac{P_{2k}}{2}, \quad t_k = \frac{P_{2k} + P_{2k-1} -1}{2}, \quad N_k = \left( \frac{P_{2k}}{2} \right)^2.

هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل، وهذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي.

## علاقات المعاودة أو التكرار

هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية، وكذلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة. لدينا

:N_k = 34N_{k-1} - N_{k-2} + 2,\text{ with }N_0 = 0\text{ and }N_1 = 1.
:N_k = \left(6\sqrt{N_{k-1}} - \sqrt{N_{k-2}}\right)^2,\text{ with }N_0 = 0\text{ and }N_1 = 1.

لدينا

:s_k = 6s_{k-1} - s_{k-2},\text{ with }s_0 = 0\text{ and }s_1 = 1;

:t_k = 6t_{k-1} - t_{k-2} + 2,\text{ with }t_0 = 0\text{ and }t_1 = 1.

## بيانات عددية

مع كبر قيمة k ، تصبح النسبة t_k/s_k قريبة من \sqrt{2} \approx 1.41421356 ونسبة الأعداد التربيعية المثلية تقترب من  (1+\sqrt{2})^4 = 17+12\sqrt{2} \approx 33.970562748. الجدول التالي يعطي قيما من k between 0 and 11، والتي توضح كل الأعداد التربيعية المثلثية حتى 100\,000\,000.

## طالع أيضا
* عدد مثلثي مربع

## وصلات خارجية
* مثلثية تربيعية على cut-the-knot
* 
* حل مايكل دميت

## المصادر

تصنيف:أعداد شكلية
تصنيف:سلاسل عددية