خاصية التمام للأعداد الحقيقية

** خاصية التمام للأعداد الحقيقية ح** (The completen property of R ) خاصية التمام أو ( The supremum) (أصغر حد علوي ) خاصية ضرورية لـ **ح** وسنقول أن **ح** عبارة عن نظام حقل كامل. هذه الخاصية المميزة تسمح لنا بتعريف وتوضيح مختلف العمليات على النهايات.

هناك عدة طرق مختلفة لوصف خاصية التمام، من خلال افتراض أن كل مجموعة غير خالية ومحدودة وجزئية من **ح** تمتلك حد علوي أصغر (Supremum) .

مفاهيم الحد العلوي والحد السفلي لمجموعة من الأعداد الحقيقية.

## تعريف أول
لتكن **س** مجموعة غير خالية جزئية من **ح** .               
#يُقال عن المجموعة **س** أنها محدودة من أعلى إذا وُجد عدد **ع**∈**ح** بحيث أن **ش**≤**ع** لكل **ش**∈**س** . وأي عدد **ع** على هذا النحو يسمى حد علوي لـ **س**.
# يُقال عن المجموعة **س** أنها محدودة من أسفل إذا وُجد عدد **ف**∈**ح** بحيث أن **ف**≤**ش** لكل **ش**∈س**.**وأي عدد **ف** على هذا النحو يسمى حد سفلي لـ **س**.
# يُقال عن المجموعة أنها محدودة إذا كانت محدودة من أعلى ومحدودة من أسفل. 
# يُقال عن المجموعة أنها غير محدودة إذا لم يكن لها حدود.

### مثال

المجموعة S:={ x∈R : x0  فإن u-ε أصغر من u وبالتالي يفشل في أن يكون حدا علويا لـ S .                                                                                                    العبارات التالية حول الحد العلوي u لمجموعة S متكافئة:                                                                                                                                                      # إذا كان v أي حد علوي فإن u 0 ε>0 فإنه يوجد s_εبحيث أن u-ε0  يوجدS  ∈ s_ε بحيث أن u-ε0  إذا يوجد عدد S ∈ s_ε بحيث أن 0 . بما أن u-ε < u   إذا u-ε  ليس حدا علويا لـ S  ، لذلك أحد العناصر s_ε  لـ S  يجب أن يكون أكبر من u-ε  ، هذا يعني أن u-ε< s_ε   .
من المهم أن ندرك أن أصغر حد علوي لمجموعة، قد يكون أو لا يكون عنصر لهذه المجموعة. ففي بعض الأحيان يكون عنصر للمجموعة وفي بعض الأحيان لا يكون، وهذا يعتمد على المجموعة المعينة. نستعرض الآن بعض الأمثلة:

**مثال:**

# إذا كانت المجموعة الغير الخالية S1  تمتلك عدد نهائي من العناصر، فإنه يمكننا إظهار أن S1 تمتلك عنصر أكبر u وعنصرأصغر w.إذا u=supS1  وinfS1  w= ، و كلاهما ينتميان إلى S1  (وهذا يتضح إذا كانت S1 تمتلك عنصر واحد فقط ونستطيع إثباتها بواسطة طريقة الإستقراء الرياضي على عدد العناصر في S1 ).
# المجموعة S2:=  {x:0≤x≤1 } ،من الواضح أنها تمتلك1  كحد علوي. سنثبت أن1  أصغر حد علوي كما يلي:إذا كان v<1 فإنه يوجد عنصرS2  s'∈ بحيث أن v< s' (s' رمز لأحد العناصر ) لذلك v ليس حدا علويا لـ S2 . وبما أن v عدد اختياري v<1 فإننا نستنتج أن، supS2= 1 وبالمثل نظهرأن infS2= 0 . لاحظ أن كلا من أصغر حد علوي وأكبر حد سفلي لـ S2 محتويان في S2 .
# المجموعة S3:= {x:0<x<1} . من الواضح أنها تمتلك 1 كحد علوي. باستخدام نفس المناقشة المعطاة في (b) نرى أنSupS3=1  . في هذه الحالة المجموعة S3  لا تحتوي أصغر حد علوي.بالمثل sup S3= 0غيرمحتوى في S3  .

## خاصية التمام لـ R

إنه ليس من الممكن أن نثبت اعتمادا على أساسيات الحقل وخصائص الترتيب لـ R  ، أن كل مجموعة غير خالية وجزئية منR  إذا كانت محدودة من أعلى فإنها تمتلك أصغر حد علوي في R.
مع ذلك فهذه الخاصية عميقة وجذرية لنظام الأعداد الحقيقية وهذا هو الحال في الواقع.سوف نجعل الاستخدام الأساسي والمتكرر لهذه الخاصية مخصصا في مناقشاتنا للعمليات على النهاية. العبارة التالية التي تتعلق بوجود أصغر حد علوي هي افتراضنا النهائي عن R وبالتالي نقول أن R  حقل مرتب كامل.

كل مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية تمتلك حد علوي هي أيضا تمتلك أصغر حد علوي في R .
هذه الخاصية تدعى أيضا خاصية أصغر حد علوي لـR  . و مثل هذه الخاصية  خاصية أكبر حد سفلي يمكن استخلاصها من خاصية التمام على النحو التالي:
لنفرض أنS  مجموعة غير خالية وجزئية منR وهي محدودة من أسفل، فإن المجموعة الغير خالية Ṥ:={-s:s∈S}  محدودة من أعلى وخاصية أصغر حد علوي تعمي أن u=supṤ موجودة في R.
القارئ ينبغي عليه أن يتحقق بالتفصيل أن –u  أكبر حد سفلي لـṤ .

 

## مراجع

تصنيف:أعداد حقيقية