معادلة هندرسون-هاسلبالخ

في الكيمياء والكيمياء الحيوية ، **معادلة هندرسون-هاسلبالخ.**

\ce{pH} = \ce{p}K_\ce{a} + \log_{10}  \left( \frac{[\ce{Base}]}{[\ce{Acid}]} \right)

يرتبط الرقم الهيدروجيني لمحلول كيميائي لحمض ضعيف بالقيمة العددية لثابت تفكك الحمض ، *K* a، للحمض ونسبة التركيزات ،  \frac{[\ce{Base}]}{[\ce{Acid}]} من الحمض وقاعدته المقترنة في حالة توازن. كما تبين المعادلة الاتية:

:  \mathrm{\underset {(acid)} {HA} \leftrightharpoons \underset {(base)} {A^-} + H^+}

على سبيل المثال ، قد يكون الحمض عبارة عن حمض أسيتيك.

: \mathrm{CH_3CO_2H \leftrightharpoons CH_3CO_2^- + H^+}

يمكن استخدام معادلة هندرسون-هاسلبالخ لتقدير الرقم الهيدروجيني لمحلول منظم عن طريق تقريب نسبة التركيز الفعلية كنسبة من التركيزات التحليلية للحمض والملح ، MA.

يمكن أيضًا تطبيق المعادلة على القواعد عن طريق تحديد الشكل البروتوني للقاعدة كالحمض. على سبيل المثال ، مع أمين ، \mathrm{RNH_2} كما في المعادلة التالية.

: \mathrm{RNH_3^+ \leftrightharpoons RNH_2 + H^+}

## الاشتقاق والافتراضات والقيود
يتكون محلول منظم بسيط من محلول حمض وملح من القاعدة المترافقة للحمض. على سبيل المثال ، قد يكون الحمض عبارة عن حمض أسيتيك وقد يكون الملح عبارة عن أسيتات الصوديوم . تربط معادلة هندرسون-هاسلبالخ الرقم الهيدروجيني لمحلول يحتوي على خليط من المكونين بثابت تفكك الحمض ، *K* a للحمض ، وتركيزات الأنواع في المحلول.
[يسار|تصغير|200x200بك| معايرة [معايرة (كيمياء)|محاكاة لمحلول محمض لحمض ضعيف (  ) مع القلويات]]
لاشتقاق المعادلة ، يجب عمل عدد من الافتراضات المبسطة. ( pdf )

**الافتراض 1** : الحمض ، HA ، أحادي القاعدة ويتفكك وفقًا للمعادلات

:  \ce{HA  H^+ + A^-} 
:  \mathrm{C_A = [A^-] + [H^+][A^-]/K_a} 
:  \mathrm{C_H = [H^+] + [H^+][A^-]/K_a} 

C A هو التركيز التحليلي للحمض و C H هو تركيز أيون الهيدروجين الذي تمت إضافته إلى المحلول. يتم تجاهل التفكك الذاتي للماء. تمثل الكمية الموجودة بين قوسين مربعين ، [X] ، تركيز المادة الكيميائية X. ومن المفهوم أن الرمز H + يرمز إلى أيون الهيدرونيوم المميَّه. K a هو ثابت تفكك الحمض .

يمكن تطبيق معادلة هندرسون-هاسلبالخ على حمض متعدد الأساس فقط إذا كانت قيم p *K* المتتالية تختلف بمقدار 3 على الأقل. حمض الفوسفوريك هو حمض.

**الافتراض 2** . يمكن تجاهل التأين الذاتي للماء . هذا الافتراض ليس صحيحًا ، بالمعنى الدقيق للكلمة ، مع قيم pH قريبة من 7 ، نصف قيمة pK w ، ثابت التأين الذاتي للماء . في هذه الحالة ، يجب تمديد معادلة توازن الكتلة للهيدروجين لتأخذ في الاعتبار التأين الذاتي للماء.

:  \mathrm{C_H = [H^+] + [H^+][A^-]/K_a + K_w/[H^+]}

ومع ذلك ، فإن المصطلح  \mathrm{K_w/[H^+]} يمكن حذفها لتقريب جيد.

**الافتراض 3** : الملح MA مفكك تماما في المحلول. على سبيل المثال ، مع أسيتات الصوديوم

: \mathrm{Na(CH_3CO_2) \rightarrow Na^ + + CH_3CO_2^-} 

يمكن تجاهل تركيز أيون الصوديوم [ + Na]. يعد هذا تقديرًا جيدًا للإلكتروليتات 1: 1 ، ولكن ليس لأملاح الأيونات التي تحتوي على شحنة أعلى مثل كبريتات المغنيسيوم ، MgSO 4 ، التي تشكل أزواج أيونات .

**الافتراض 4** : حاصل معاملات النشاط ، \Gamma ، هو ثابت في ظل الظروف التجريبية التي تغطيها الحسابات.

ثابت التوازن الديناميكي الحراري ، K^* و

: K^* = \frac{ [\ce{H+}][\ce{A^-}]} { [\ce{HA}] } \times \frac{ \gamma_{\ce{H+}} \gamma _{\ce{A^-}}} {\gamma _{HA} }

هو نتاج حاصل قسمة التركيزات \frac{ [\ce{H+}][\ce{A^-}]} { [\ce{HA}] }  وحاصل القسمة ،  \Gamma  ، من معاملات النشاط  \frac{ \gamma_{\ce{H+}} \gamma _{\ce{A^-}}} {\gamma _{HA} } . في هذه التعبيرات ، تشير الكميات الموجودة بين الأقواس المربعة إلى تركيز الحمض غير المرتبط ، HA ، وأيون الهيدروجين H + ، والأنيون A - ؛ الكميات \gamma هي معاملات النشاط المقابلة. إذا كان من الممكن افتراض أن حاصل معاملات النشاط ثابت ومستقل عن التركيزات ودرجة الحموضة ، فيمكن التعبير عن ثابت التفكك *K* a كحاصل قسمة للتركيزات.

: K_a = K^* / \Gamma = \frac{[\ce{H+}][\ce{A^-}]} { [\ce{HA}] }

توفر إعادة ترتيب هذه الصيغة و اخذ اللوغاريتمات معادلة هندرسون-هاسلبالش\ce{pH} = \ce{p}K_\ce{a} + \log_{10} \left( \frac{[\ce{A^-}]}{[\ce{HA}]} \right)

## التطبيق على القواعد
ثابت التوازن لبروتون القاعدة ، ب ،

: B(base) + H+  BH+(acid)

هو ثابت ارتباط ، *K* b، والذي يرتبط ببساطة بثابت تفكك الحمض المترافق ، BH + .

: \mathrm{pK_a = \mathrm{pK_w} - \mathrm{pK_b}}

يمكن تقريب قيمة ال \mathrm{pK_w} للكالسيوم الى 14 عند 25 درجة مئوية. يمكن استخدام هذا التقريب عندما تكون القيمة الصحيحة غير معروفة. وبالتالي، يمكن استخدام معادلة هندرسون-هاسلبالخ، بدون أي تعديل، للقواعد.

## التطبيقات البيولوجية
مع التوازن، يتم الحفاظ على الرقم الهيدروجيني للمحلول البيولوجي عند قيمة ثابتة عن طريق ضبط موضع التوازن.

:  \ce{HCO3-} + \mathrm{H^+} \rightleftharpoons \ce{H2CO3} \rightleftharpoons \ce{CO2} + \ce{H2O}

 \mathrm{HCO_3^-} هو أيون بيكربونات, و \mathrm{H_2CO_3}  حمض الكربونيك. ومع ذلك ، يمكن تجاوز قابلية ذوبان حمض الكربونيك في الماء. عندما يحدث هذا، يتم تحرير غاز ثاني أكسيد الكربون ويمكن استخدام المعادلة التالية بدلاً من ذلك.

: \mathrm{[H^+] [HCO_3^-]} = \mathrm{K^m [CO_2(g)]} 

\mathrm{CO_2(g)}  يمثل ثاني أكسيد الكربون المحرّر كغاز. في هذه المعادلة التي تستخدم على نطاق واسع في الكيمياء الحيوية ، K^m هو ثابت توازن مختلط يتعلق بالتوازن الكيميائي وقابلية الذوبان. يمكن التعبير عنها كالتالي :

:  \mathrm{pH} = 6.1 + \log_{10} \left ( \frac{[\mathrm{HCO}_3^-]}{0.0307 \times P_{\mathrm{CO}_2}} \right )

حيث أن  هو التركيز المولي للبيكربونات في بلازما الدم. و  هو الضغط الجزئي لثاني أكسيد الكربون في الغاز الطاف.

## تاريخ
في عام 1908 ، استنتج لورانس جوزيف هندرسون  معادلة لحساب تركيز أيون الهيدروجين لمحلول عازل بيكربونات ، والذي أعيد ترتيبه ليبدو كالتالي:

في عام 1909 قدم سورين بيتر لوريتز سورينسن مصطلحات الأسس الهيدروجينية ، والتي سمحت لكارل ألبرت هاسيلبالش بإعادة التعبير عن معادلة هندرسون بعبارات لوغاريتمية ،  مما أدى إلى معادلة هندرسون-هاسلبالش.

## انظر أيضًا
* مخطط دافنبورت
* مخطط بييروم

## مراجع

تصنيف:استخدام الرياضيات في الطب
تصنيف:كيمياء الاتزان
تصنيف:كيمياء حمض-قاعدة