عملية كظومة

تصغير|200بك|يسار
في الديناميكا الحرارية، **العَمَلِيَّة الكَظِيمَة** أو **العَمَلِيَّة الكَظُومَة** أو **الأديباتيكية** أو **اللاتبادلية**  هو الإجراء الديناميكي الحراري التي لا يوجد فيها تبادل حراري بين المنظومة والوسط المحيط. أي أنه معزول حراريا.

:  VT^\alpha = \operatorname{constant} 

حيث *T* درجة الحرارة المطلقة.

يمكن كتابة هذه المعادلة أيضا بالصورة:

:  TV^{\gamma - 1} = \operatorname{constant} 

## اشتقاق الصيغة المتصلة

يقتضي تعريف العملية الأديباتية بأن الانتقال الحراري للنظام هو صفر، Q=0 . وفقا لـالقانون الأول للديناميكا الحرارية :

: \text{(1)} \qquad d U + \delta W = \delta Q = 0, 

حيث أن *dU* هي التغير في الطاقة الداخلية للنظام و*δW* هو الشغل المبذول بواسطة النظام.
يتم الشغل المبذول (*δW*) على حساب الطاقة الداخلية *U*، نظرا لعدم دخول حرارة إلى النظام من الوسط المحيط . يعرف «شغل الضغط-الحجم» *δW* للنظام بأنه :

: \text{(2)} \qquad \delta W = P \, dV. 

لكن, *P* لاتبقى ثابتة أثناء العملية الكظومة وإنما تتغير مع تغير *V*.

لذلك يكون من الأفضل معرفة كيفية ارتباط *dP* و*dV* أثناء انجاز العملية الأديباتية.

تعطى الطاقة الداخلية لغاز مثالي بالعلاقة:

: \text{(3)} \qquad U = \alpha n R T, 

حيث *R* هو ثابت الغاز العام و*n* عدد المولات في النظام (ثابت).

بمفاضلة المعادلة (3) وباستعمال قانون الغاز المثالي, P V = n R T, ينتج

: \text{(4)} \qquad d U = \alpha n R \, dT
                  = \alpha \, d (P V)
                  = \alpha (P \, dV + V \, dP). 

المعادلة (4) يعبر عنها غالبا  d U = n C_{V} \, d T 
لأن  C_{V} = \alpha R .

والان بتعويض المعادلات (2) و(4) في المعادلة (1) نحصل على

:  -P \, dV = \alpha P \, dV + \alpha V \, dP,

بالتبسيط:

:  - (\alpha + 1) P \, dV = \alpha V \, dP,

وبقسمة كلا الطرفين على *PV*:

:  -(\alpha + 1) {d V \over V} = \alpha {d P \over P}. 

بعد مكاملة كلا الطرفين من V_0 إلى V ومن P_0 إلى P وبتغيير الأطراف على الترتيب,

:  \ln \left({P \over P_0} \right) 
= {-{\alpha + 1 \over \alpha}} \ln \left({V \over V_0} \right). 

برفع كلا الطرفين للأس,

:  \left({P \over P_0} \right) 
=
\left({V \over V_0} \right)^{-{\alpha + 1 \over \alpha}},  

وبعزل الإشارة السالبة لبيان أن

:  \left({P \over P_0} \right)
=
\left({V_0 \over V} \right)^{\alpha + 1 \over \alpha}.  

لذا,

:  \left({P \over P_0} \right) \left({V \over V_0} \right)^{\alpha+1 \over \alpha} = 1


و

:  P V^{\alpha+1 \over \alpha} = P_0 V_0^{\alpha+1 \over \alpha} = P V^\gamma = \operatorname{constant}. 

## اشتقاق الصيغة المتقطعة

يكون التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما، مقاسا من الحالة 1 إلى الحالة 2 مساويا لـ:

: \text{(1)} \qquad \Delta U = \alpha R n_2T_2 - \alpha R n_1T_1 = \alpha R (n_2T_2 - n_1T_1) 

في الوقت يكون الشغل المبذول بواسطة التغير في الضغط الحجمي نتيجة لهذه العملية مساويا لـ:

: \text{(2)} \qquad W = \int_{V_1}^{V_2}P\, dV 

بما أننا بصدد عملية كظومة، ينبغي أن تكون المعادلة التالية صحيحة

: \text{(3)} \qquad \Delta U + W = 0 

من الاشتقاق السابق,

: \text{(4)} \qquad P V^\gamma = \text{constant} = P_1 V_1^\gamma 

بإعادة الترتيب (4) نحصل على

: P = P_1 \left(\frac{V_1}{V} \right)^\gamma 

بالتعويض في (2)

: W = \int_{V_1}^{V_2}P_1 \left(\frac{V_1}{V} \right)^\gamma\, dV 

بالتكامل,

: W = P_1 V_1^\gamma \frac{V_2^{1-\gamma}-V_1^{1-\gamma}}{1-\gamma} 

بالتعويض \gamma = \frac{\alpha+1}{\alpha} ,

: W = - \alpha P_1 V_1^{\gamma} \left(V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma} \right) 

باعتبار,

: W = - \alpha P_1 V_1 \left(\left(\frac{V_2}{V_1} \right)^{1-\gamma} - 1 \right) 

باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما هو الحال عادة في الحالات العملية)،

: W = - \alpha n R T_1 \left(\left(\frac{V_2}{V_1} \right)^{1-\gamma} - 1 \right) 

من الصيغة المتصلة,

: \frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{-\gamma} 

أو,

: \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{-1 \over \gamma}=\frac{V_2}{V_1} 

وبالتعويض في التعبير السابق  W ,

: W = - \alpha n R T_1 \left(\left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1 \right) 

بتعويض هذا التعبير و(1) في (3) نحصل على

: \alpha n R (T_2 - T_1) = \alpha n R T_1 \left(\left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1 \right) 

بالتبسيط,

: T_2 - T_1 =  T_1 \left(\left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1 \right) 

بالتبسيط,

: \frac{T_2}{T_1}-1 =  \left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} - 1 

بالتبسيط,

: T_2 = T_1 \left(\frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} 

## انظر أيضًا
* ديناميكا حرارية
* دورة كارنوت
* دالة حالة
* دالة عملية
* علاقات ماكسويل

## مراجع

تصنيف:إنتروبيا
تصنيف:ديناميكا حرارية جوية
تصنيف:عمليات ديناميكية حرارية