مفاضلة الدوال المثلثية

{| class="wikitable" style="text-align:center" align="left"
! الدالة
! مشتقها
|-
|\sin(x)||\cos(x)
|-
|\cos(x)||-\sin(x)
|-
|\tan(x)||\sec^2 x\, 
|-
|\cot(x)|| 
-\csc^2 x\,  
|-
|\sec(x)||\sec(x)\tan(x)
|-
|\csc(x)||-\csc(x)\cot(x)
|-
|\arcsin(x)
|\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
|-
|\arccos(x)
|-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
|-
|\arctan(x)
|\frac{1}{x^2+1}
|-
|-
|\arccot(x)
|-\frac{1}{x^2+1}
|-
|\arcsec(x)
|\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
|-
|\arccsc(x)
|-\frac{1}

**مفاضلة الدوال المثلثية** هي العملية الحسابية لإيجاد مشتق دالة مثلثية، أو معدل تغيرها بالنسبة لمتغير. على سبيل المثال، يكتب مشتق دالة الجيب على هذا الشكل ، وهذا يعني أن معدل تغير  عند زاوية معينة x = a يُعطى بجيب تمام تلك الزاوية.

يمكن إيجاد جميع مشتقات الدوال المثلثية من تلك الخاصة بـ sin (x) و cos (x) عن طريق قاعدة ناتج القسمة المطبقة على الدوال مثل . بمعرفة هذه المشتقات، نُوجِد مشتقات الدوال المثلثية العكسية باستخدام المفاضلة الضمنية.

## مشتقات الدوال المثلثية ودوالها العكسية

:\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)
:\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)
:\frac{d}{dx}\tan(x) = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)
:\frac{d}{dx}\cot(x) = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \frac{-1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x)
:\frac{d}{dx}\sec(x) = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)
:\frac{d}{dx}\csc(x) = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)} \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)
:\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
:\frac{d}{dx}\arccos(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
:\frac{d}{dx}\arctan(x) = \frac{1}{1+x^2}
:\frac{d}{dx}\mbox{arccot}(x) = \frac{-1}{1+x^2}
:\frac{d}{dx}\mbox{arcsec}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
:\frac{d}{dx}\mbox{arccsc}(x) = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}


## إثبات مشتقات الدوال المثلثية

### نهاية  لما ''θ'' يؤول إلى 0

تصغير|يسار|دائرة ذات المركز O ونصف القطر 1
تصغير|يسار|العصر: منحنيا y = 1 و y = cos θ موضحة باللون الأحمر، ومنحنى y = sin(θ)/θ موضح باللون الأزرق.
يوضح الرسم البياني الموجود على اليسار دائرة ذات المركز O ونصف القطر r = 1. لتكن OA و OB اثنين من نصف القطر يصنعان قوس قياسه θ راديان. بما أننا اعتبرنا النهاية لما θ يؤول إلى الصفر، فقد نفترض أن θ هو عدد موجب صغير، نقول  في الربع الأول.

في الرسم البياني، ليكن R1 المثلث OAB و R2 القطاع الدائري OAB و R3 المثلث OAC. مساحة المثلث OAB هي:

: \mathrm{Area}(R_1
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB|  \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . 

مساحة القطاع الدائري *OAB* هي: \mathrm{Area}(R_2) 
=\tfrac{1}{2}\theta، بينما مساحة المثلث OAC معطاة بواسطة:

: \mathrm{Area}(R_3
)
=\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . 

بما أن كل منطقة تقع في المنطقة التالية، فإن:

:\text{Area}(R_1) 

زيادة على ذلك، بما أن  في الربع الأول، فيمكننا القسمة على ، معطيًا:
:1  \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . 

في الخطوة الأخيرة، أخذنا مقاليب الحدود الموجبة الثلاثة، وعكسنا المتباينة.

نستنتج أنه من أجل ، يكون مقدار  دائما أقل من 1 ودائمًا أكبر من cos(θ). وهكذا، عندما تقترب *θ* من 0، فإن  «عُصِرت» بين سقف ارتفاعه 1 وأرضية ارتفاعها ، والتي ترتفع نحو 1؛ لذلك يجب أن تؤول  إلى 1؛ حيث أن *θ* تؤول إلى 0 من الجهة الموجبة:
\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . 

بالنسبة للحالة التي تكون فيها *θ* عددًا سالبًا صغيرًا ، نستخدم حقيقة أن الجيب دالة فردية:

:\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 
 1 \, . 

### نهاية  لما θ يؤول إلى 0

يتيح لنا القسم الأخير حساب هذه النهاية الجديدة بسهولة نسبية. يتم ذلك عن طريق استخدام حيلة بسيطة. في هذا الحساب، إشارة θ غير مهمة.

: \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)} . 

باستخدام هذه المتطابقة ،
حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، ونتيجة النهاية من القسم السابق، نجد أن:

: \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} 
\ =\ 
\left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
(-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \, . 

### نهاية  لما θ يؤول إلى 0

باستخدام نهاية دالة الجيب، وحقيقة أن دالة الظل فردية، وحقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، نجد:

:
  \lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta}
  \ =\ 
 \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\!
 \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right)
 \ =\ 
 (1)(1)
 \ =\ 
  1 \, . 

### مشتق دالة الجيب
نحسب مشتق دالة الجيب باستخدام تعريف بواسطة النهاية:

: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0}  \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . 

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين ، لدينا:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta 
+ \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right) . 
باستخدام نهايتي كل من دالة الجيب وجيب التمام:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
(1)\cos\theta + (0)\sin\theta 
 =
\cos\theta \, . 

### مشتق دالة جيب التمام
#### من تعريف المشتق
مرة أخرى نحسب مشتق دالة جيب التمام من تعريف بواسطة النهاية:

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين ، لدينا:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right) . 
باستخدام النهايات الأولى:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 = (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \, . 

#### من قاعدة السلسلة

لحساب مشتق دالة جيب التمام من قاعدة السلسلة، لاحظ أولاً الحقائق الثلاث التالية:

:\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)
:\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)
:\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta

الأولى والثانية هما متطبقتان مثلثيتان، والثالث تم إثباته أعلاه. باستخدام هذه الحقائق الثلاث، يمكننا كتابة ما يلي:

:\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)
يمكن اشتقاقها باستخدام قاعدة السلسلة. لتكن f(x) = \sin x و  g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta، لدينا:

:\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta

إذن:

:\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta.

### مشتق دالة الظل
#### من تعريف المشتقة
لحساب مشتق دالة الظل ، نستخدم تعريف بواسطة النهاية:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right) .

باستخدام المتطابقة المعروفة:
، لدينا:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right]
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right] .

باستخدام حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء نهايتين:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right) .

باستخدام النهاية الخاصة بدالة الظل، وحقيقة أن  يؤول إلى 0 حيث δ يؤول إلى 0:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta .

نرى على الفور أن:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{1}{\cos^2\theta}
 = \sec^2\theta \, .


#### من قاعدة ناتج القسمة
يمكن للمرء حساب مشتق دالة الظل باستخدام قاعدة ناتج القسمة.
:\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta 
 = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
 = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta }
 = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}

يمكن تبسيط البسط إلى 1 بواسطة متطابقة فيثاغورس، يعطينا:
:\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta

إذن:
:\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta

## إثبات مشتقات الدوال المثلثية العكسية

يتم إيجاد المشتقات التالية عن طريق وضع متغير y يساوي الدالة المثلثية العكسية التي نرغب في إيجاد مشتقها. باستخدام المفاضلة الضمنية ثم الحل لـ ، نُوجِد مشتق الدالة العكسية بدلالة y. لتحويل  مرة أخرى إلى كونها بدلالة x، يمكننا رسم مثلث مرجعي على دائرة الوحدة، نعتبر θ هي y. باستخدام مبرهنة فيثاغورس وتعريف الدوال المثلثية العادية، يمكننا في النهاية التعبير عن  بدلالة x.

### اشتقاق دالة الجيب العكسية
نعتبر الدالة

:y=\arcsin x\,\!

حيث

:-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}

بالتعريف

:\sin y=x\,\!

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ x وحل لـ :

:{d \over dx}\sin y={d \over dx}x

:\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!

نعوض بـ  \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}:

:\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1

نعوض بـ x=\sin y:

:\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1

:{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

### اشتقاق دالة جيب التمام العكسية
نعتبر الدالة

:y=\arccos x\,\!

حيث

:0 \le y \le \pi

بالتعريف

:\cos y=x\,\!

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ x وحل لـ :

:{d \over dx}\cos y={d \over dx}x

:-\sin y \cdot {dy \over dx} =1

نعوض بـ \sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!:

:-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1

نعوض بـ x=\cos y\,\!:

:-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1

:{dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

### اشتقاق دالة الظل العكسية

نعتبر الدالة

:y=\arctan x\,\!

حيث

:-\frac{\pi}{2} 

بالتعريف

:\tan y=x\,\!

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ x وحل لـ :

:{d \over dx}\tan y={d \over dx}x

الطرف الأيسر:

:
 {d \over dx}\tan y
 = \sec^2 y \cdot {dy \over dx}
 = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx}
 باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

:{d \over dx}x = 1

ومنه:

:(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1

نعوض بـ x=\tan y\,\! ، نحصل على:

:(1+x^2){dy \over dx}=1

:{dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}

### اشتقاق دالة ظل التمام العكسية

نعتبر الدالة

:y=\arccot x

حيث 0.

بالتعريف

:\cot y=x

نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ x وحل لـ :

:\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x

الطرف الأيسر:

:
 {d \over dx}\cot y
 = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx}
 = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx}
 باستخدام متطابقة فيثاغورس

الطرف الأيمن:

:{d \over dx}x = 1

ومنه،

:-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1

نعوض بـ x=\cot y:

:-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1

:\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}

### اشتقاق دالة القاطع العكسية
#### باستخدام المفاضلة الضمنية
نعتبر الدالة:

: y = \arcsec x\ \ |x| \geq 1

بالتعريف

: x = \sec y \ \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]


: \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}
(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء القاطع والظل في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة \sqrt{x^2-1} دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

: \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

#### باستخدام قاعدة السلسلة
بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة القاطع العكسية من مشتق دالة جيب التمام العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

: y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) 

حيث

: |x| \geq 1  و  y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] 

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على  \arccos \left(\frac{1}{x}\right) :

: \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
 = \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
 = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
 = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
 = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} 

### اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية
#### باستخدام المفاضلة الضمنية
لتكن

:y = \arccsc x\ \ |x| \geq 1

بالتعريف:

: x = \csc y\ \ \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]

: \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}
(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء قاطع التمام وظل التمام في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة \sqrt{x^2-1} دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)
: \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

#### باستخدام قاعدة السلسلة
بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية من مشتق دالة الجيب العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

: y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) 

حيث

: |x| \geq 1  و  y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] 

وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على  \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) :

: \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)
 = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}
 = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}}
 = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}}
 = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} 

## انظر أيضًا
* جدول المشتقات
* قائمة تكاملات الدوال المثلثية
* قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

## هوامش وملاحظات

تصنيف:حساب تفاضلي
تصنيف:دوال مثلثية
تصنيف:متطابقات رياضية
تصنيف:معادلات تفاضلية