قاعدة الرفع إلى أس

في الرياضيات، تستعمل **قاعدة الرفع إلى أس** أو **قاعدة القوة** للتفاضل وتستعمل لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأسفل.

تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:

:\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)' = \sum^n_{k=0} ka_kx^{k-1}
و
:\int\!\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1} + C \,\!.

لذلك, تكون مشتقة x^{100} هي 100x^{99} والتكامل غير المحدود للقيمة x^{100} هو \frac{x^{101}}{101}+C حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.

## قاعدة القوة

تذكر قاعدة القوة *للتفاضل* بأنه إذا كان *n* هو عدد طبيعي, تكون مشتقة f(x)=x^n \! هي f'(x)=nx^{n-1}\!, وبالتالي تكون القاعدة هي
:\left(x^n\right)'=nx^{n-1}.

و قاعدة القوة *للتكامل* هي
:\int\! x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
عندما يكون *n* عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

### البرهان

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:
:f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. 
و عند تعويض  f(x) = x^n  ستكون المعادلة على النحو التالي
:f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h}.
ثم يمكن للمرء التعبير عن (x+h)^n باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على
:f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n} -x^n}{h}. 
يمكن كتابة الحد i = n من المجموع في جهة مستقلة للحصول على
:f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n - 1}  + x^n -x^n}{h}. 
و بسبب إلغاء قيم الحدود x^n ستكون المعادلة
:f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{\sum_{i=0}^{n - 1} }{h}.
و يمكن إخراج قيمة h من جميع الحدود من المجموع للحصول على
:f'(x) = \lim_{h\rarr0} \frac{h\sum_{i=0}^{n - 1} }{h}.
و بذلك يمكننا إلغاء قيم h من المقام والحصول على
:f'(x) = \lim_{h\rarr0} \sum_{i=0}^{n - 1} .
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن  n-i-1 > 0 لكل i  وتساوي صفر لكلi=n-1. لذلك نجد قيمة h^0 فقط عندما يكون i = n - 1, وبالتالي تكون المعادلة
:f'(x) = {n \choose {n-1}} x^{n-1}. 
و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة
:{n \choose {n-1}} = \frac{n!}{(n-1)!\ 1!} = \frac{n\ (n-1)!}{(n-1)!} = n.
و بالتالي هذه المعادلة
:f'(x) = n x^{n-1}. \! 

## تفاضل متعددات الحدود الكيفية

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي (differential operator) للحصول على:

:\left(\sum_{r=0}^n a_r x^r \right)' =
\sum_{r=0}^n \left(a_r x^r\right)' =
\sum_{r=0}^n a_r \left(x^r\right)' =
\sum_{r=0}^n ra_rx^{r-1}.

و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي
:\int\!\left(\sum^n_{k=0} a_k x^k\right)\,dx= \sum^n_{k=0} \frac{a_k x^{k+1}}{k+1}  + c.

## تعميم

يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي

:\left(x^a\right)' = ax^{a-1}

عندما تكون قيمة *a* أي عدد حقيقي ما دام أن قيم *x* من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع
:\int \! x^{-1}\, dx= \ln x+c,
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة *x*, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.

## المراجع

* Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). *Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions* (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.

تصنيف:حساب التفاضل والتكامل
تصنيف:قواعد التفاضل
تصنيف:مبرهنات في التحليل الرياضي
تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل
تصنيف:متطابقات رياضية
تصنيف:مقالات تحوي براهين