صيغة دي موافر

[تصغير|يسار|منح [أبراهام دي موافر اسمه للصيغة.]]
في الرياضيات، **صيغة دي موافر** ، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:

(\cos(x)+i\sin(x))^n = \cos(nx)+i \sin(nx)\,

الصالحة من أجل كل القيم الحقيقية لx و n عدد صحيح؛ و هي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر

exp(ix) = \cos(x)+i \sin(x)\,

## البرهان باستخدام الاستقراء الرياضي
يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل *n* > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي. عند *n* = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، *k*. أي:\left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos\left(kx\right) + i \sin\left(kx\right). \,

وبدراسة الحالة *n* = *k* + 1:

:
\begin{alignat}{2}
    \left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
                                      & = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \mbox{(1)}\\
                                      & = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\
                                      & = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] &&\qquad \mbox{(2)}
\end{alignat}


العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية.
وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند *n* = *k* + 1 إذا كانت *n* = *k* صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، *n*≥1.

إذا كانت *n* = 0 تظل الصيغة \cos (0x) + i\sin (0x) = 1 + i0 = 1 صحيحة، ومن المعروف أن z^0 = 1.

إذا كانت *n* 
\begin{align}
     \left(\cos x + i\sin x\right)^{n} & = \left(\cos x + i\sin x\right)^{-m}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos x + i\sin x\right)^{m}}\\
                                       & = \frac{1}{\left(\cos mx + i\sin mx\right)}\\
                                       & = \cos\left(mx\right) - i\sin\left(mx\right)\\
                                       & = \cos\left(-mx\right) + i\sin\left(-mx\right)\\
                                       & = \cos\left(nx\right) + i\sin\left(nx\right).
\end{align}


أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم *n* الصحيحة.

## استخدامات صيغة دي موافر
تستخدم هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:

z^n= r^n(\cos(nx)+ \mathrm i \sin(nx)\,)

و كذلك للحصول على أشكال *(cos(nx* و *(sin(nx* بدلالة *(sin(x* و *(cos(x*.

على سبيل المثال، للحصول على *(cos(2x* و *(sin(2x*، ساوي:

(\cos(x)+\mathrm i\sin(x))^2 = \cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\ .

لدينا:

\cos^2(x)+2\cos(x)\sin(x)\mathrm i-\sin^2(x) = \cos(2x)+\mathrm i \sin(2x)\,.

ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:

\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)\,

\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,.
### حدوديات تشيبيشيف
[تصغير|[بافنوتي تشيبيشيف]]

صيغة دي موافر تعطي:

\cos(nx)+\mathrm i\sin(nx)={\left(\cos x+\mathrm i\sin x\right)}^n=\sum_{p=0}^n {n \choose p}\cos^{n-p} (x)\mathrm i^{p}\sin^{p}(x).

بأخذ الجزء الحقيقي و وضع p=2k ينتج أن:
 
\cos(nx)=T_n(\cos x)

حيث Tn حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.
 
T_n(X)=\sum_{0\leq 2k\leq n} {n \choose 2k}(-1)^kX^{n-2k}(1-X^2)^k.

## المراجع

* قاموس رياضيات عربي-انجليزي-فرنسي-الجزء الثاني- إهداء الأستاذ إبراهيم الاحمدي (بتصرف).

تصنيف:مبرهنات في التحليل المركب
تصنيف:مبرهنات في الجبر
تصنيف:مقالات تحوي براهين