Teoría de grupos

A **teoría de grupos** ye a branca de l'alchebra que estudeya os grupos. Un *grupo* ye una estructura alchebraica que consta d'un conchunto que ye definito chunto con una operación que combina cualsiquier parella d'os suyos elementos ta formar un tercer elemento. Debito a que se pueden calificar como un grupo, o conchunto y operación han de satisfer unas cuantas condicions ditas axiomas de grupo, istas condicions son: tener a propiedat asociativa, tener elemento identidat y elemento inverso. Mientres que istas caracteristicas son familiars a muitas estructuras matematicas, como os diferents sistemas de numeros (por eixemplo os enters dotatos d'a operación d'adición forman una estructura de grupo) a formulación d'os axiomas se desepara d'a naturaleza concreta d'o grupo y o suyo funcionamiento. Ixo permite, en alchebra abstracta y altros campos, maniar entidaz d'orichens matematicos muit diferents d'una manera flexible, mientres se conservan aspectos estructurals esencials de muitos obchectos. A utilidat d'os grupos en numerosas arias (tanto adintro como difuera d'as matematicas) fa d'éls un prencipio central arredol d'o cual s'organizan as matematicas contemporanias.

Os grupos tienen una relación muit estreita con a noción de simetría. Un grupo de simetría codifica as caracteristicas de simetría d'un obchecto cheometrico: consiste en o conchunto de transformacions que deixan inalterato l'obchecto, y a operación de combinar dos d'istas transformacions realizando-ne una dimpués de l'atra. Istos grupos de simetría, mas que mas os grupos de Lie continos, chugan un papel important en muitas disciplinas academicas. Os grupos de matrices, por eixemplo, se pueden fer servir ta entender as leis fisicas fundamentals en que se basan a relatividat y os fenomenos de simetria en a quimica molecular.

O concepto d'un grupo apareixió con o estudio d'as ecuacions polinomicas, prencipiato por Évariste Galois mientres os anyos 1830. Dimpués de contribucions dende atros campos como a teoría de numeros y a cheometría, la noción de grupo se cheneralizó y s'establió ta cutio arredol de 1870. A moderna teoría de grupos (una disciplina matematica muit activa) estudeya os grupos *per se*. Ta esplorar os grupos, os matematicos han ideyato diversas nocions como dividir os grupos en trozos mas chicoz y mas comprensibles, como los subgrupos, grupos cocients y grupos simples. Amás d'as suyas propiedaz abstractas, os teoricos d'os grupos tamién estudeyan as formas diferents en que un grupo se puet expresar en forma concreta (as suyas representacions de grupo), tanto dende un punto d'envista teorico como d'un punto d'envista computacional. Una teoría muit rica s'ha desarrollato ta os grupos finitos, que remató con a clasificación d'os grupos simples finitos rematata en 1983.

## Definición y ilustración
### Un primer eixemplo: os enters
Un d'os grupos mas familiars ye o conchunto d'os numeros enters **Z** que consiste en os numeros

:..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,&nbsp;...

As propiedaz siguients de l'adición d'enters sirven como modelo ta os axiomas de grupo abstractos que se dan en  definición mas entabant.

# Ta cualsiquier parella d'enters *a* y *b*, a suma *a* + *b* ye tamién un entero. En atras parolas, o proceso d'adición d'enters nunca no puet producir un resultato que no sía un entero. Ista propiedat se conoixe como clausura respecto de l'adición.
# Ta toz os enters *a*, *b* y *c*, (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*).   Exprisato en parolas, sumando primero *a* y *b*, y dimpués sumando lo resultato con *c* da o mesmo resultato final que sumando *a* a lo resultato de sumar *b* y *c*, ista propiedat se conoixe como *[[propiedat asociativa]]*.
# Si *a* ye un entero cualsiquiera, allora 0 + *a* = *a* + 0 = *a*. D'o cero se'n diz que ye o *[[elemento neutro]]* u *identidat* de l'adición porque en sumar-lo a cualsiquier entero da o mesmo entero.
# Ta cada entero *a*, bi ha un entero *b* tal que *a* + *b* = *b* + *a* = 0. O entero *b* se diz *[[elemento inverso]]* u *simetrico* d'o entero *a* y se denota −*a*.

### Introducción
Os enters, chunto con a operación "+", forman un ochecto matematico que perteneixe a una clase ampla en la que bi ha atros obchectos que comparten aspectos estructurals similars. Ta entender bien istas estructuras sin tratar con cada caso concreto deseparato, se desarrolla la definición abstracta siguient que incluye l'eixemplo citato chunto con muitos atros, un d'os cuals ye o grupo de simetría que se detalla mas entabant

Un grupo ye un conchunto, *G*, chunto con una operación binaria "•" que combina dos elementos cualsiquiera *a* y *b* de *G* ta formar unatro elemento denotato *a* • *b*. O simbolo "•" ye un elemento cheneral ta representar una operación cualsiquiera, como l'adición en l'eixemplo anterior. Ta poder-se calificar como un grupo, lo conchunto y a operación (*G*, •), han de satisfer cuatre requisitos conoixitos como los *axiomas de grupo*:
:

﻿L'orden en que se fa la operación de grupo puet estar significativo. En atras parolas, o resultato d'operar o elemento *a* con o elemento *b* no tien por qué dar o mesmo resultato que operando *b* con *a*; a ecuación
:*a* • *b* = *b* • *a*
puet no estar siempre cierta. Ista ecuación siempre se cumple en o grupo d'enters con l'adición, porque *a* + *b* = *b* + *a* ta dos enters cualsiquiera (propiedat commutativa de l'adición). Manimenos, no se cumple siempre en o grupo de simetria que apareixe en l'eixemplo de mas entabant. Os grupos ta os que a ecuación *a* • *b* = *b* • *a* se cumple siempre se dicen abelians (en honor a Niels Abel). Asinas, o grupo d'os enters con l'adición ye abelián, pero lo grupo de simetría siguient no'n ye.

### Definición de grupo
Un grupo (G, \circ) ye un conchunto G en o que s'ha definito una lei de composición interna \circ que satisfa os siguients axiomas:
# Asociatividat: a \circ (b \circ c)=(a \circ b) \circ c, \forall a,b,c \in G
# Elemento neutro: \exists! e \in G : e \circ a=a \circ e=a
# Elemento simetrico: \forall a \in G\quad \exists! a^{-1} \in G : a\circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e

Por tanto, un grupo ye formato por un conchunto d'obchectos abstractos u simbolos, y por una lei de composición interna que los relaciona. Dita lei de composición interna indica como han d'estar manipulatos os obchectos d'o grupo.

Se diz que un grupo ye abelián u conmutativo cuan berifica amás a propiedat conmutativa:
:a \circ b = b \circ a \quad \forall a \in G

#### Notación
Se charra de *notación aditiva* cuan se representa la lei de composición interna como "a + b", y l'elemento neutro como "0". D'atra man, a *notación multiplicativa* ye aquella en a que a lei de composición interna se representa como "a \cdot b", u "ab", y l'elemento neutro como "1".

### Un segundo eixemplo: grupo de simetría
As simetrias (ye decir, as rotacions y as reflexions) d'un cuadrato forman un grupo dito grupo diedrico, y se denota D4. Tien as siguients simetrías:

:* A operación identidat que lo deixa tot tal como yera, denotata id;
:* rotacions d'o cuadrato de 90° a la dreita, 180° a la dreita, y 270° a la dreita, denotatas r1, r2 y r3, respectivament;
:* reflexions respecto d'os exes vertical y horizontal (fv y fh), u respecto d'as dos diagonals (fd y fc).

Dos simetrías cualsiquiera *a* y *b* se pueden composar, ye decir aplicar una dimpués de l'atra. O resultato de fer primero *a* y dimpués *b* s'escribe simbolicament *d'ezquierda ta dreita* como
:*b* • *a* ("aplicar a simetría *b* dimpués d'haber aplicato a simetría *a*". A notación de dreita ta ezquierda proviene d'a notación ta la composición de funcions).
A tabla de grupo a la dreita presenta os resultatos de totas as composicions posibles. Por eixemplo, chirar 270° a la dreita (r3) y dimpués fer una reflexión horizontal (fh) ye o mesmo que fer una reflexión a lo largo d'a diagonal (fd). Emplegando los simbolos citatos, apareixe en azul en a tabla de grupo:
:fh • r3 = fd.

Datos istos conchuntos de simetrías y a operación descrita, os axiomas de grupo se pueden entender d'a manera siguient:

:1. L'axioma de clausura necesita que a composición *b* • *a* de dos simetrías cualsiquiera *a* y *b* sía tamién una simetría. Unatro eixemplo ta la operación de grupo ye
:r3 • fh = fc,
ye decir chirar 270° a la dreita dimpués d'una reflexión horizontal ye igual a una reflexión a lo largo d'a contradiagonal (fc). En efecto cada dos combinacions de dos simetrías dan una simetría, como se puet comprebar fendo servir a tabla de grupo.

:2. A condición d'asociatividat trata de composar mas de dos simetrías: datos tres elementos *a*, *b* y *c* de D4, bi ha dos maneras posibles de calcular "*a* allora *b* allora *c*". O requisito
:(*a* • *b*) • *c* = *a* • (*b* • *c*)
quiere decir que a composición d'os tres elementos ye independient d'a prioridat d'as operacions, ye decir, composando *a* con *b*, y dimpués *c* con *a* • *b* equivale a fer *a* dimpués d'a composición de *b* y *c*. Por eixemplo (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) como se puet comprebar fendo servir a tabla de grupo d'a dreita
:

:3. L'elemento identidat ye a simetría id que lo deixa tot inalterato: ta cualsiquier simetría *a*, realizando id dimpués de *a* (o *a* dimpués de id) ye igual a *a*, de forma simbolica,
: id • *a* = *a*,
: *a* • id = *a*.

:4. ﻿n elemento inverso desfa la transformación de belatro elemento. Totas as simetrías se pueden esfer: cada una d'as transformacions: id, fh, fv, fd, fc y r2 son a suya propia inversa, porque actuando cadaguna dos vegatas levan o cuadrato a la suya orientación orichinal. As rotacions r3 y r1 son a inversa una de l'atra, porque chirando enta un canto y dimpués o mesmo anglo enta l'atro canto deixa a lo cuadrato inalterato. En simbolos,
:fh • fh = id,
:r3 • r1 = r1 • r3 = id.

A diferencia con o grupo d'enters anterior, a on que l'orden d'a operación ye irrelevant, en D4 sí que importa: fh • r1 = fc pero r1 • fh = fd. En atras parolas, D4 no ye abelián, ixo fa la estructura d'o grupo mas dificil que la d'os enters presentata antis.

### Mas eixemplos
* (\mathbb{Z},+), o conchunto de numeros enters con a suma usual, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye o *0*, y o simetrico de *x*, ye *-x*.
* (\mathbb{R},+), o conchunto d'os numeros reals con a suma usual, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye o *0*, y o simetrico de *x*, ye *-x*.
* (\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot), o conchunto d'os numeros reals (escluyendo a lo **0**) con a multiplicación, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye l**1'', y o simetrico de ''x'' ye ''1/x''. Cal parar cuena que en no tener o [[cero]] elemento simetrico multiplicativo, se debe excluyir.
* O conchunto de ''totas as bicheccions'' d'un conchunto ''X'' - simbolizato por ''S(X)'' - chunto con a [[función composata|composición de funcions]], ye un grupo ''no abelián'' (si a cardinalidat de ''X'' ye mayor que dos) y se diz [[Permutación y grupo simetrico|grupo simetrico]] de ''X''.
* O conchunto de matrices rectangulars de dimensions <math>n\times m</math> con a suma, ye un grupo abelián.
* O conchunto de matrices cuadratas con determinant diferent de cero con a multiplicación ([[Grupo cheneral linial]]), no ye abelián.
* As ''clases de homotopía'' de trachectorias continas <math>S^1\to X</math> en un espacio topolochico ''X'' forman un grupo no necesariament abelián. Ista construcción ye o [[grupo fundamental]] de ''X''.
** O grupo fundamental d'un [[cerclo]] (''circle, cercle, Kreis'') ye o ''grupo ciclico infinito''; <math>\mathbb{Z}</math>.
** O d'a ''esfera'' <math>S^2</math> en ye trivial ''= 0''.
** D'un ''toro'' en ye <math>\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}</math>
** D'un ''toro sin un disco'' en ye o grupo libre d'orden dos, <math>F_2</math>. D'un ''toro sin dos discos dischuntos''; <math>F_3</math>.
** D'o ''plan prochectivo'' en ye <math>\mathbb{Z}_2</math>
** O d'a ''[[botella de Klein]]'' en tien a [[presentación de grupo|presentación]]; <math>\langle a,b: aba=b\rangle</math> y que corresponde a lo [[producto semidreito]] de <math>\mathbb{Z}</math> con <math>\mathbb{Z}</math>.

=== Operacions ===
Entre dos grupos ''G'', ''H'' puet haber [[morfismo]]s, por eixemplo funcions que son compatibles con as operacions en cada un d'ellos. Si <math>\phi\colon G\to H</math> ye un ''homomorfismo'' allora cumple que
::<math>\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\,</math>
a on que emos preso a convención d'escribir <math>ab</math> ta indicar a operación d**a* con *b* en *G*, e <math>\phi(a)\phi(b)</math> a operación d'<math>\phi(a)</math> con <math>\phi(b)</math> en *H*.

O conchunto <math>\phi S</math> ye un subgrupo en *H* cuan *S* ye un subgrupo en *G*.

Si transformamos un *conmutador*: <math>aba^{-1}b^{-1}</math> s'otiene:
<math>\phi(aba^{-1}b^{-1})=\phi(a)\phi(b)(\phi(a))^{-1}(\phi(b))^{-1}</math>.

=== Categoría de grupos ===
Dende o punto d'envista d'a [[teoría de categorías]], a teoría de grupos poderba catalogar-se como una categoría dita *categoría de grupos*, debito a que en ella s'estudeya a los grupos y os suyos [[morfismo]]s. A categoría de grupos ye muit gran, pero puet armar-se una [[relación de equivalencia]] en ista categoría ta que se [[descomposición (matematicas)|factorice]]: a relación entre grupos d'estar [[isomorfismo|isomorfos]] reduce cuestions estructurals d'a categoría de grupos a la categoría de grupos-[[modulo]]-los-isomorfos. En ista reducción a operación d'unión dischunta la torna en una [[categoría monoidal]].

== Historia ==
As radices historicas d'a teoría de grupos son a [[teoría d'as ecuacions alchebraicas]], a [[teoría de numeros]] y a [[cheometría]]. [[Euler]], [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Lagrange]], [[Niels Henrik Abel|Abel]] y [[Galois]] estioron os investigadors que prencipioron ista ciencia. Galois ye reconoixito como lo primer matematico que relacionó ista teoría con a [[teoría de cuerpos]] resultando en a [[teoría de Galois]]. Atros importants matematicos en iste campo incluyen a [[Arthur Cayley|Cayley]], [[Emil Artin]], [[Emmy Noether]], [[Peter Ludwig Mejdell Sylow|Sylow]] entre muitos atros. Estió [[Walter von Dick]] qui en [[1882]], dió a moderna definición de grupo.

== Conceptos basicos ==
<div class="dablink">As seccions siguients emplegan simbolos matematicos como por eixemplo X = *{*x*, *y*, *z*}* ta denotar un [[conchunto]] X que contiene os [[elemento (matematicas)|elementos]] x, y, y z, u alternativament x *∈* X ta afirmar que x ye un elemento de X. A notación f : X *→* Y quiere decir que f ye una [[función (matematicas)|función]] que asigna a cada element de X un elemento de Y.</div>

Ta entender os grupos mas allá d'o nivel de meras manipulacions simbolicas como as d'alto, s'han d'emplegar mas [[concepto]]s estructurals. Bi ha un prencipio conceptual subchacent a totas as nocions que siguen: aprofeitar a estructura ofierta por os grupos (que por eixemplo os conchuntos en estar "sin estructura" no tienen) as construccions relacionatas con os grupos han d'estar *compatibles* con a operación de grupo. Ista compatibilidat se manifiesta en as nocions siguients de diversas maneras. Por eixemplo, os grupos se pueden relacionar la un con l'atro por meyo de [[función (matematicas|funcions]] ditas homomorfismos de grupo. Por o prencipio debantdito, se desiche que respeten as estructuras de grupo en un sentito preciso. A estructura d'os grupos tamién se puet entender dividindo-los en partis ditas subgrupos y grupos cocient. O prencipio de "conservar estructura" —un tema que se repite muito en matematicas— ye un eixemplo de treballar en una [[categoría (matematicas)|categoría]], en iste caso a [[categoría de grupos]].

=== Homomorfismos de grupo ===

Os *homomorfismos de grupo* son as funcions que conservan a estructura d'o grupo. Una función *a*: *G* → *H* entre dos grupos ye un homomorfismo si a ecuación: *a*(*g* • *k*) = *a*(*g*) • *a*(*k*) se cumple ta toz os elementos *g*, *k* de *G*, ye decir o resultato ye o mesmo tanto si se fa la operación de grupo debant como si se fa dimpués d'aplicar a función *a*. Iste requisito asegura que *a*(1<sub>*G*</sub>) = 1<sub>*H*</sub>, y tamién que *a*(*g*)<sup>−1</sup> = *a*(*g*<sup>−1</sup>) ta tot *g* de *G*. Asinas un homomorfismo de grupo respecta tota la estructura de *G* proporcionata por os axiomas de grupo.

Os grupos *G* y *H* se dicen [[isomorfismo|isomorfos]] si existen homomorfismos de grupo *a*: *G* → *H* y *b*: *H* → *G*, tals que aplicando as dos funcions [[composición de funcions|una dimpués de l'atra]] (en cada un d'os dos órdens posibles) dan a función identidat de *G* y *H*, respectivament. Ye decir, *a*(*b*(*h*)) = *h* y *b*(*a*(*g*)) = *g*} ta cualsiquier *g* de *G* y *h* de *H*. Dimpués d'un punto d'envista abstracto, os grupos isomorfos levan a mesma información. Por eixemplo, contrimostrando que *g* • *g* = 1 ta bel elemento *g* de *G* ye equivalent a contrimostrar que *a*(*g*) • *a*(*g*) = 1, porque aplicando *a* a la primera igualdat da la segunda, y aplicando *b* a la segunda da atra vegata la primera.

=== Subgrupos ===

Informalment, un *subgrupo* ye un grupo *H* contenito adintro d'un grupo mas gran, Concretament, l'elemento identidat de *G* ye contenito en *H*, y siempre que *h*<sub>1</sub> y *h*<sub>2</sub> sían de *H*, allora tamién lo serán *h*<sub>1</sub> • *h*<sub>2</sub> y *h*<sub>1</sub><sup>−1</sup>, asinas os elementos d*'H*, con a operación de grupo en *G* restrinchita a *H*, forman un grupo.

En l'eixemplo d'entalto, a identidat y as rotacions constituyen un subgrupo *R* = {id, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, r<sub>3</sub>}, marcato en amariello en a tabla de grupo d'entalto: dos rotacions cualsiquieras composatas son tamién una rotación, y una rotación se puet esfer por (ye decir, ye inversa de) a rotación complementaria 270&nbsp;° por 90&nbsp;°, 180&nbsp;° por 180&nbsp;°, y 90&nbsp;° por 270&nbsp;° (se veiga que no se define rotación en a dirección oposata). O [[test de subgrupo]] ye una [[condición necesaria y suficient]] ta que un subconchunto *H* d'un grupo *G* sía un subgrupo: ye prou con comprebar que *g*<sup>−1</sup>*h* ∈ *H* ta toz os elementos *g*, *h* ∈ *H*. Conoixer os subgrupos ye important ta entender o grupo globalment.

Dato cualsiquier subconchunto *S* d'un grupo *G*, o subgrupo chenerato por *S* consta de productos d'elementos de *S* y os suyos inversos. Iste ye o subgrupo mas chicot de *G* que contiene *S*. En l'eixemplo d'entalto, o subgrupo chenerato por r<sub>2</sub> y f<sub>v</sub> consta d'istos dos elementos, l'elemento identidat id y f<sub>h</sub> = f<sub>v</sub> • r<sub>2</sub>. Una atra vegata, ixo ye un subgrupo, porque combinando dos elementos cualsiquiera d'istos cuatre u os suyos inversos (que son, en iste caso particular, istos mesmos elementos) dan un elemento d'iste subgrupo.

=== Clases laterals ===

En muitas situacions ye deseyable considerar dos elementos de grupo como si fuesen o mesmo si a suya diferencia perteneixe a un subgrupo dato. Por eixemplo, en D<sub>4</sub> definito entalto, una vegata que se realiza una reflexión, o cuadrato nunca no torna a la confeguración de r<sub>2</sub> aplicando nomás as operacions de rotación (y no atras reflexions), ye decir as operacions de rotación son irrelevants ta la cuestión de si s'ha realizato una reflexión. As clases laterals se fan servir ta formalizar ista observación: un subgrupo *H* define clases laterals por a ezquierda u a dreita, que se pueden entender como [[traslación (matematicas)|traslacions]] de *H* por un grupo *g* d'elementos arbitrario. En termins simbolicos, a clase lateral por a *ezquierda* y por a *dreita* de *H* que contienen *g* son

:*gH* = {*gh*, *h* ∈ *H*} y *Hg* = {*hg*, *h* ∈ *H*}, respectivament.

As clases laterals de cualsiquier subgrupo *H* forman una [[partición d'un conchunto|partición]] de *G*; ye decir, por eixemplo, dos clases laterals por a ezquierda u bien son iguals u bien tienen una [[intersección]] vueda y a [[unión]] de totas as clases laterals por a ezquierda da *G*. O primer caso (que *g*<sub>1</sub>*H* = *g*<sub>2</sub>*H*) se da [[si y nomás si|precisament]] cuan *g*<sub>1</sub><sup>−1</sup>*g*<sub>2</sub> ∈ *H*, ye decir si a diferencia entre os dos elementos ye un elemento de *H*. Consideracions similars s'aplican a las clases laterals d*'H* por a dreita. As clases laterals de *H* por a ezquierda y por a dreita de *H* pueden estar iguals u no. Si en son, ye decir ta tot *g* de *G*, *gH*&nbsp;=&nbsp;*Hg*, se diz que *H* ye un *subgrupo normal*. Allora se puet parlar simplament de *N* como lo conchunto d'as clases laterals.

En D<sub>4</sub>, o grupo de simetria emplegato en a introducción, as clases laterals por a ezquierda *gR* d'o subgrupo *R* que consiste en que as rotacions son u bien iguals a *R*, si *g* mesmo ye un elemento de *R*,  u d'atra mán iguals a *U* = f<sub>v</sub>*R* = {f<sub>v</sub>, f<sub>d</sub>, f<sub>h</sub>, f<sub>c</sub>} (en verde). O subgrupo *R* tamién ye normal, porque f<sub>v</sub>*R* = *U* = *R*f<sub>v</sub> y de forma parellana ta cualsiquier elemento diferent de f<sub>v</sub>.

==Teoría cheometrica d'os grupos==
Os mas actuals temas d'investigación en la teoría de grupos tienen que ver con las modernas tecnicas de la topología. Una manera estándard de construir nuevos grupos a partir d'os conoixitos son los 
**'productos libres**, 
***productos libres amalgamatos** y as 
***HNN-extensions'''. 
A gran variedat de tecnicas topolochicas pueden ser aplicatas dende que se sape que ye posible construir siempre un espacio topolochico (de feito un CW-complexo dos-dimensional) de tal manera que o grupo fundamental d'iste espacio ye o grupo dato.

## Referencias

## Bibliografía
*  Referencia global en Encyclopaedia of Mathematics
* Alexandroff, P. S.: Introducción a la Teoría de los Grupos, 1967, Buenos Aires, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Cuadernos Nº 132.
* Adler, Irving: La Nueva Matemática, 1970, Buenos Aires, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Colección Ciencia Joven.