Teorema de Bayes

O **teorema de Bayes** ye un d'os teoremas mas emplegaus en a teoría d'a probabilitat. Formulau por Thomas Bayes ye una traza particular de relacionar dos probabilidaz ta contrimostrar a relación entre a probabilidat d'un escaiximiento condicionada a o succeso d'un segundo escaiximiento y a probabilidat d'iste segundo escaiximiento condicionada a o succeso d'o primero, ye decir, entre P(A|B) y P(B|A).

Siga  A_1, A_2,..., A_n  una partición de l'espacio *E* y siga *B* un escaiximiento cualsiquiera. D'a expresión d'a probabilidat condicionada, si P(B) \neq 0, se defineixe a probabilidat d'ocurrencia d'o succeso *A* condicionada a *B* como

:P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B)} 

y nos da a probabilidat de A en que ya se sabe que s'ha verificau o succeso *B* y, por tanto,

: P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{\sum_{i=1}^n P(B | A_i) P(A_i)} .

Ista traza de relacionar as probabilidaz condicionadas  P(A_i|B) y P(B|A_j) d'o primer y zaguer termins d'a igualdat ye muit util y se clama **formula de Bayes**.

## Formas alternativas d'o teorema de Bayes

### Teorema de Bayes ta funcions de densidat de probabilidat

I ha una versión d'o teorema de Bayes que se puet aplicar a variables aleatorias continas. A expresión d'ixa versión d'o teorema ye:

: f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f(y)} = \frac{f(y|x)\,f(x)}{f(y)} \!

u, de traza equivalent

: f(x|y) = \frac{f(y|x)\,f(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(y|x)\,f(x)\,dx}.
\!

A nomenclatura ye a siguient: *f*(*x*, *y*) ye a función de densidat conchunta de *X* y *Y*, *f*(*x*|*y*) ye a densidat de *X* condicionada a *Y=y*
(de vegadas tamién clamada distribución a posteriori de *X*),
*f*(*y*|*x*)&nbsp;=&nbsp;
y *f*(*x*) i *f*(*y*) son as funcions de densidat marguinals de *X* y *Y* respectivament (de vegadas a *f*(*x*) se le diz distribución a priori de *X*).

En l'anterior nomenclatura anterior s'abusa liucherament d'a notación, ya que se fa servir *f* ta toz os termins, encara que cadaguno en realidat ye una función diferent. As funcions son de buen distinguir por o nombre d'os suyos argumentos.

### Teorema de Bayes emplegando derivadas de Radon-Nykodim

I ha una versión cheneral d'o teorema de Bayes que ye valida ta variables aleatorias continas y discretas, igual como ta cualsiquier dos variables ta las cuals diposemos d'a derivada de Radon-Nykodim d'a suya distribución de probabilidat respecto a una mesura sigma-finita.

Siga P_X a mesura de probabilitat de X,
 \mu_X  una mesura sigma-finita que domina a  P_X ,
y clamemos
 f_X= \frac{dP_X}{d\mu_X}  a la derivada de Radon-Nykodim
de P_X respecto a \mu_X.
Definamos de traza analoga P_Y, \mu_Y y
 f_Y= \frac{dP_Y}{d\mu_Y} .
Consideremos a mesura de probabilitat conchunta ta (X,Y),
que ye dominada por a mesura producto \lambda=\mu_X \times \mu_Y ,
y clamemos  f_{(X,Y)}= \frac{dP_{(X,Y)}}{d\lambda} .
Alavez a derivada de Radon-Nykodim d'a mesura de probabilitat
de X condicionada a la sigma-algebra orichinada por,
 f_{(X|Y)}= \frac{dP_{(X|Y)}}{d\mu_X} ,
satisfá:

: f_{(X|Y)}= \frac{f_{(X,Y)}}{f_Y} .

Si X y Y son variables aleatories discretas, ista formula ye equivalent a la versión orichinal d'o teorema de Bayes. Si tanto X como Y son variables aleatories continas, ista formula ye equivalent a la versión d'o teorema ta funcions de densitat de probabilitat presentada anteriorment.
Manimenos, ista versión ye mas cheneral y se puet aplicar, por eixemplo, mesmo cuan X ye contina y Y ye discreta.

Ista versión d'o teorema se puet cheneralizar ta o caso de tener mas de dos variables aleatorias.  De feito, a cheneralización ye directa: nomás cal considerar que X y Y son vectors aleatorios en cuenta de variables aleatorias.