Divisibilidat

Se diz que un numero entero **b** ye **divisible** entre atro entero **a** (distinto de zero) si existe un tercer entero **c** tal que:
**b = a · c**
Gosa expresar-se d'a forma **a**|**b**, que se leye **a** divide a **b**, u **a** ye **[[divisor]]** de **b**, u tamién **b** ye **[[multiplo]]** de **a**. Por eixemplo, 6 ye divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no ye divisible por 4, pues no existe un entero *c* tal que 6 = 4·c. Ye decir, o repui d'a división euclidia (entera) de 6 entre 4 no ye zero. Se veiga l'algorismo d'a división.

Tot numero entero ye divisible por 1 y por sí mesmo. Os numeros mayors que 1 que no admiten mas que istos dos divisors se dicen numeros primers. Os que admiten mas de dos divisors se dicen numeros compuestos.

## Propiedaz
Sían a, b, c \in \mathbb{Z}, ye decir \ a, \ b y \ c son numeros enters. Tenemos as siguients propiedaz basicas:

# a\mid a (Propiedat reflexiva).
# Si a\mid b y b\mid c, alavez a\mid c (Propiedat transitiva).
# Si a\mid b , alavez |a|\leq |b|.
# Si a\mid b y a\mid c, alavez a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in \mathbb{Z}.
# Si a\mid b y a\mid b \pm\ c, alavez a\mid c
# Si a\mid b y b\mid a, alavez \ |a|=|b|.
# Si a\mid b y a\neq 0, alavez \frac{b}{a}\mid b.
# Ta c\neq 0, a\mid b si y nomás si ac\mid bc
# Si a\mid bc y <math>\ mcd(a,b)=1</math>, alavez a\mid c.
# Si \ mcd(a,b)=1 y \ c cumple que a\mid c y b\mid c, alavez ab\mid c.

Como 0=0\cdot n y n=n\cdot 1 se tien que n\mid 0 y 1\mid n ta tot \ n entero. Si \ m no ye divisible por \ n escribimos n\nmid m. Notemos que 0\nmid m ta tot \ m distinto de zero, pues m\neq 0=k\cdot 0 ta tot \ k entero.

## Tipos de criterios de divisibilidat
Os diferents criterios de divisibilidat se pueden clasificar en base a o tipo de manipulación que cada un fa con as cifras que representan o numero escrito en una base dada.

### Criterios basatos en as zagueras cifras
Si un numero *p* ye divisor de 10n alavez ta saber si un numero cualsiquiera *z* ye divisible entre *p* nomas cal verificar que o numero *z*' formato por as *n*-1 zagueras cifras de *z* sían multiplo de p.

Como 
:z=z_{a}\times 10^{n}+{z}'
y a la vegata o feito de que *p* sía divisor de 10n quiere decir que existe un numero natural *c* tal que
:\frac{10^{n}}{p}=c
por tanto
:
:\frac{z}{p}=z_{a}\times \frac{10^{n}}{p}+\frac{p}=z_{a}\times c+\frac{p}

Lo que evidencia que bi'n ha prou con que *z*' sía divisible entre 'p' ta que *z* tamién lo sía. O mesmo razonamiento se puet fer ta cualsiquier base substituyindo 10 por a correspondient base.

En o caso de base 10 isto nomas pasa con bels numeros d'a forma 2^n*5^m, por eixemplo o 2, 5, 10, 4, 8, 25, 125,...

Por eixemplo 1000 ye multiplo de 125 por tanto ta saber si un numero ye multiplo de 125 bi'n ha prou con comprevar que o numero formato por as suyas tres zagueras cifras ye multiplo de 125.

Por eixemplo 19.387.912.713.750 ye multiplo de 125 porque 750 en ye.

En isto es basan os criterios de divisibilidat de 2 y 5 d'a tabla.

### Criterios basatos en a suma de cifras

Un numero *z* escrito en un sistema de numeración posicional de base *b* tien a forma siguient:
:z=a_{0}+a_{1}\times b+a_{2}\times b^{2}+\ldots +a_{n}\times b^{n}
Si iste numero ye divisible entre unatro numero *p* quiere decir que o repui de dividir-lo entre *p* ye zero y por tanto que ye congruent con zero modulo p, asinas aplicando l'aritmetica modular se puet escribir:
:0=z\bmod p 
Pero parando cuenta en a representación posicional d'o numero y operando se puet escribir:
:\begin{align}
 & 0=(a_{0}+a_{1}\times b+a_{2}\times b^{2}+\ldots +a_{n}\times b^{n})\bmod p \\ 
 & 0=(a_{0}+a_{1}\times \left( b\bmod p \right)+a_{2}\times \left( b^{2}\bmod p \right)+\ldots +a_{n}\times \left( b^{n}\bmod p \right))\bmod p \\ 
\end{align}
Como *b*n mod *p* ye mas chicot que *p* a partir d'un determinato valor de *n* os numeros que resultan d'ista expresión son muito mas chicoz que *z*. Isto permitiría construyir un criterio de divisibilidat:

Ta aplicar iste criterio aparentment caldría trobar o repui de dividir *b*n entre *p* ta tot *n*. A **cinta de Pascal** permite asegurar que isto nomás cal fer-lo ta una cantidat de valors que siempre ye mas chicota que *p*.

A cinta de Pascal se construye calculando *b*1 mod *p*, *b*2 mod *p* ... dica que se repitan *b*1 mod *p*. Alavez s'atura y se descarta o zaguer resultato ya que a partir d'aquí se repetirían toz.

#### Eixemplos
Trobar un criterio de divisibilidat entre 11 por os numeros escritos en base 10.

Primero se construye a cinta de pascal:
:\begin{align}
 & 10^{1}\bmod 11=10 \\ 
 & 10^{2}\bmod 11=1 \\ 
 & 10^{3}\bmod 11=10 \\ 
\end{align}

A cinta de Pascal ye 10, 1 y a partit d'aquí se repite indefinidament.

Con isto se puet definir o criterio de divisibilidat siguient:

Por eixemplo: *z*=3.536.026.857, 
suma de cifras pars: 5+6+0+3+3=17,
suma de cifras impars: 7+8+2+6+5=28,
pars x 10 + impars: 17x10+28=198

Si se quiere se puet repetir ta veyer si 198 ye multiplo d'11:
10x9+(1+8)=99 que ye multiplo de 11 (99=9x11) por tanto 3.536.026.857 ye multiplo d'11.

Una observación que se fa servir a sobén en istos metodos ye que 10 mod 11 = -1 mod 11, por tanto ye o mesmo multiplicar por 10 as cifras pars que restar-las. En o caso anterior:

pars - impars = 28-17=11 que ye multiplo d'11 y por tanto 3.536.026.857 tamién en ye.

Isto da o siguient criterio de divisibilidat equivalent a l'anterior pero mas simple:

#### Caso en que se suman grupos de cifras
Os criterios que resultan d'as cintas de Pascal aplicatos cifra por cifra tienen o inconvenient de que cada cifra cal multiplicar-la por un numero. O caso en que ye mas practico ye cuan o numero ye 1 (u -1 ≡ p-1).

Pero cualsiquier numero escrito en base *b* tamién se puet considerar escrito en base *b*m si as suyas cifras se chuntan en grupos de *m* en *m*. Por eixemplo 1253 que en base diez quiere decir:
:1\times 10^{3}+2\times 10^{2}+5\times 10^{1}+3\times 10^{0}
En base 100 quiere decir:
:12\times 100^{1}+53\times 100^{0}

Ta evitar fer multiplicacions a cinta de Pascal ye puet fer servir porque una vegata trobata pillar as posicions a on bi ha 1 (u 1 i -1) y creyar un criterio de divisibilidat basato en un bloque de cifras.

Por eixemplo en calcular a cinta de Pascal de 7 ta numeros escritos en base diez obtenemos:

:\begin{align}
 & 10^{1}\bmod 7=3 \\ 
 & 10^{2}\bmod 7=2 \\ 
 & 10^{3}\bmod 7=6 \\ 
\end{align}

Por o que no cal continar, 6 mod 7 = -1 mod 7. y 1.000.000 mod 7 = (1.000)2 mod 7 =(-1)2=1.

Por tanto se puet definir o siguient criterio de divisibilidat entre 7 d'un numero expresau en base 10 (que se treballa como si fuese base 1000):

Por eixemplo, ta saber si 2.250.198.909.861 ye multiplo de 7, se suman os grupos de cifras pars: 909+250=1159 y os grupos impars: 861+198+2=1061 y d'os pars se restan os impars: 1159-1061=98. Como 98 ye multiplo de 7 (98=7x14) alavez 2.250.198.909.861 tamién en ye.

### Criterios basatos en sumar a las primeras cifras un multiplo d'a zaguera
Istos criterios buscan transformar o problema de saber si un numero *z* ye multiplo de *p* en o problema de saber-lo ta un numero *z*' que tien una cifra menos que *z*. Asinas, aplicando repetidament o criterio, si *z* ye multiplo de *p* en zagueras se plega a un numero facil d'identificar si ye u no multiplo de*p*

O numero *z* se puet expresar como:
:z=a_{0}+z_{d}\times 10
A on *a*0 ye a cifra d'as unidaz de *z* i *z*p ye o numero que forman a resta de cifras (o numero de decenas que tien *z*).
Si *z* ye multiplo de *p* alavez ha d'estar:
:\begin{align}
 0& =z\bmod p \\ 
 & =\left( a_{0}+z_{d}\times 10 \right)\bmod p \\ 
 & =\left( a_{0}+z_{d}\times \left( 10\bmod p \right) \right)\bmod p \\ 
 & =\left( 10\bmod p \right)^{-1}\times \left( a_{0}+z_{d}\times \left( 10\bmod p \right) \right)\bmod p \\ 
 & =\left( \left( 10\bmod p \right)^{-1}\times a_{0}+z_{d}\times \left( 10\bmod p \right)\times \left( 10\bmod p \right)^{-1} \right)\bmod p \\ 
 & =\left( \left( 10\bmod p \right)^{-1}\times a_{0}+z_{d} \right)\bmod p 
\end{align}
A on \left( 10\bmod p \right)^{-1} ye un numero que multiplicato por \left( 10\bmod p \right) da 1 mod p.

Por tanto se puet definir o siguient criterio de divisibilidat:

Ye evident que se puet fer un razonamient analogo en cualsiquier atra base.

Por eixemplo, trobar un criterio ta saber si un numero ye divisible entre 7.

Cal trobar un numero *x* que multiplicato por 10 mod 7 dé 1. Como 10 mod 7 =3 i 3x5=15 y como 15 mod 7 =1 o numero en cuestión ye o 5.

Por tanto un criterio de divisibilidat entre 7 por un numero expresato en base diez sería:

Por eixemplo ta veyer si 17.948 ye multiplo de 7 s'aplica repetidament o criterio y s'obtiene:

 1.794+5x8=1.834
  183+5x4= 203
  20+5x3=  35

Como 35 ye multiplo de 7 (35=7x5) alavez 17.948 tamién en ye.

O zaguer refinamiento d'iste metodo ye parar cuenta que 5 mod 7 = -2 mod 7 y por tanto en cuentas de multiplicar por 5 se puet restar o resultato de muliplicar por 2. (Isto tamién se cheneraliza ta cualsiquier base y ta cualsiquier numero *p*).

D'ista traza se puet definir o criterio:

En l'eixemplo anterior da:
 1.794-2x8=1.778
  177-2x8= 161
  16-2x1=  14

## Tabla de criterios de divisibilidat

De contino s'amostra una tabla d'os criterios de divisibilidat entre os numeros primers mas chicoz que 20. Tamién bi ha criterios de divisibilitat entre os numeros compuestos y se pueden trobar fendo servir as tecnicas que s'han explicato antis. Pero ta saber si un numero ye divisible entre un numero compuesto a vegatas ye mas facil verificar si ye divisible entre toz os suyos factors primers, atras vegatas, si l'obchectivo d'aplicar o criterio de divisibilidat ye descomponer o numero en factors primers no tien sentito prebar os factors compuestos.

Ista tabla s'aplica si os numeros son escrits en base 10.

En a siguient tabla, ta bels numeros primers mas grans de 20, se dan o factor que multiplica as unidaz ta o caso d'o metodo basato en sumar a las decenas un multiplo d'as unidaz y ta o caso de deseparar o numero en bloques de cifras a largaria d'o bloque y o coeficient d'os bloques pars (o d'os bloques impars se considera siempre 1).

## Vinclos externos
*  Interactive Divisibility Lesson on these rules
*  Divisibility Criteria en *cut-the-knot*
*  Divisibility by 9 and 11 en *cut-the-knot*
*  Divisibility by 7 en *cut-the-knot*
*  Divisibility by 81 en *cut-the-knot*
*  Divisibility by Three Explained