Differentialgleichung

E **Differenzialgliichig** (vilmol mit **DGL** oder **DG** abkürzt) isch e mathematischi Gliichig für e gsuechti Funkzioon vo äinere oder meerere Wariable, wo din au Abläitige vo dere Funkzioon vorchömme. E Hufe Naturgsetz chönne as Differenzialgliichige formuliert wärde. Si sin dorum e wääsentligs Wärkzüüg vo dr mathematische Modellierig und beschriibe, wie sich die verschiidene Gröössene im Bezuug zunenander ändere. 

D Analysis undersuecht iiri Löösigstheorii. Für vili Differenzialgliichige git s käi expliziti Daarstellig von ere Löösig, und dorum spiile numerischi Verfaare wo dur Nööcherige Löösige finde, e wääsentligi Rolle. 

E Differenzialgliichig cha dur e Richdigsfäld aaschaulig gmacht wärde.

## Tüpe vo Differenzialgliichige

Mä underschäidet verschiideni Tüpe vo Differenzialgliichige. Ganz grob cha mä si in gwöönligi, parzielli, differentiell-algebraischi, stochastischi, retardierti und integro-differenzielli iidäile. 

### Gwöönligi Differenzialgliichige

Wenn die gsuechti Funkzioon nume vo äinere Wariable abhängt, so reedet mä von ere gwöönlige Differenzialgliichig. Es chömme nume gwöönligi Abläitige noch dr äinzige Veränderlige vor.

Bischbil:
:y'(x)=-2\cdot y(x)+5,\qquad\ddot z(t)+4 \cdot z(t)=\sin(3\cdot t)
Wemm mä e gwöönligi Differenzialgliichig für die gsuechti Funkzioon y(x) in dr Form

::F\left(x,y(x),y'(x), \ldots, y^{(n)}(x)\right) = 0,

schribt, so säit mä si sig *implizit*.

Wenn d Differenzialgliichig noch dr höggste Abläitig ufglööst isch, d.&nbsp;h. es gältet

:: y^{(n)}(x) = f\left (x,y(x),y'(x), \ldots, y^{(n-1)}(x)\right ),

so säit men ere *explizit*. In de Aawändige isch s äifacher expliziti gwöönligi Differenzialgliichigen mathematisch z verarbäite. Dr höggste Abläitigsordnig n, wo vorchunnt, säit mä *Ordnig vo dr Differenzialgliichig*. Zum Bischbil het en expliziti gwöönligi Differenzialgliichig vo dr 1. Ordnig d Form
:y'(x) = f(x, y(x))\,.
Es git en abgschlossnigi Löösigstheorie für expliziti gwöönligi Differenzialgliichige.

### Parzielli Differenzialgliichig

Wenn die gsuechti Funkzioon vo meerere Wariable abhängt und wenn s in dr Gliichig parzielli Abläitige noch mer as äinere Wariable git, so reedet mä von ere parzielle Differenzialgliichig. Parzielli Differenzialgliichige si e groosses Fäld und d Theorii isch mathematisch nit abgschlosse. D Forschig beschäfdigt sich zur Zit mit meerere Gebiet.

E Bischbil isch die sogenannti Wermiläitigsgliichig für e Funktion u(t,x)
:\tfrac{\partial}{\partial t}u(t,x)=a^2\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}u(t,x)

Mä underschäidet verschiideni Tüpe vo parzielle Differenzialgliichige. Zerst git s *lineari parzielli Differenzialgliichige*. Bi deene chömme die gsuechti Funkzioon und iiri Abläitige linear in dr Gliichig vor. D Abhängigkäit in Bezuug uf die unabhängige Wariable cha aber durchus nitlinear si. D Theorii vo de lineare parzielle Differenzialgliichige isch am witiste fortgschritte, aber es feelt no vil, bis si abgschlosse isch.

Mä reedet von ere *semilineare* Gliichig, wenn alli Abläitige vo dr höggste Ordnig linear ufdräte, aber nit d Funkzioon sälber und d Abläitige vo de niidrigere Ordnige. E semilineari Gliichig isch scho schwiiriger z behandle.

Von ere *kwasilineare* parzielle Differenzialgliichig schwätzt mä, wenn d Koeffiziäntefunkzioone vo de höggste Abläitige zuesätzlig vo niidrigere Abläitige und vo dr umbekannte Funkzioon abhänge. Grad im Gebiet vo de kwasilineare Gliichigen git s zur Zit die mäiste Resultaat.

Wemm mä käi lineari Abhängigkäit in Bezuug uf die höggste Abläitige cha feststelle, säit mä vo dr Gliichig, si sig e *nitlineari parzielli Differentialgliichig* oder e *vollständig-nitlineari parzielli Differenzialgliichig*.

Bsundrigs intressant im Gebiet vo de parzielle Differenzialgliichige sin d Gliichige vo dr zwäite Ordnig. In dene Spezialfäll git s no witeri Klassifikazionsmöglikäite.

## Aawändige

E Hufe Fenomeen in dr Natur und dr Technik chönne dur Differenzialgliichige und mathematischi Modäll, wo ufe ene ufbaut si, beschriibe wärde. E baar tüpischi Bischbil si:

* Vili füsikalischi Theorie basiere uf Differenzialgliichige: Beweegigsgliichige oder Schwingige in dr klassische Mechanik, s Belasdigsverhalte vo Baudäil, d Elektrodynamik wird vo de Maxwell-Gliichige, d Kwantemechanik vo dr Schrödingergliichig beherrscht.
* in dr Astronomii d Baane vo de Himmelskörper und d Turbulänze im Innere vo dr Sunne,
* in dr Biologii öbbe d Brozäss bim Waggse, bi Ströömige oder in Muskle, oder in dr Ewoluzionstheorii.
* in dr Chemii d Kinetik vo Reakzioone,
* in dr Elektrotechnik wie sich Netzwärk mit Elimänt, wo Energii spiichere, verhalte,
* in dr Differenzialgeometrii s Verhalte vo Flechene,
* in dr Ströömigsmechanik s Verhalte vo Ströömige,
* in dr Ökonomii d Analüse vo wirtschaftlige Waggsdumsbrozäss (Waggsdumstheorii).
* in dr Informatik s Image-Inpainting

S Fäld vo de Differenzialgliichige het d Mathematik aadriibe. In vile Däilgebiet forscht mä hüte an de Existänz-, Äidütigkäits- und Stabilidäätstheorie vo verschidnige Tüpe vo Differenzialgliichige.

## Litratuur
* G. H. Golub, J. M. Ortega: *Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik*. Heldermann Verlag, Lemgo 1995, ISBN 3-88538-106-0.
* G. Oberholz: *Differentialgleichungen für technische Berufe – vierte Auflage*. Verlag Anita Oberholz, Gelsenkirchen 1995, ISBN 3-9801902-4-2.
* P.J. Olver *Equivalence, Invariants and Symmetry* Cambridge Press 1995.
* L. Papula: *Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2*. Viewegs Fachbücher der Technik, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-94237-1.
* H. Stephani *Differential Equations: Their Solution Using Symmetries.* Edited by M. MacCallum, Cambridge University Press 1989.
* Benker, H.: "Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB", Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York 2005.
## Weblingg
* Matheplanet: Differentialgleichungen – Anleitungen zum Lösen diverser Differentialgleichungen mit Beispielen
* Mathematik-Online Kurs zum Thema ''Differentialgleichung'' der Uni Stuttgart
* Prof. Dr. Dörte Haftendorn (Uni Lüneburg) – Differentialgleichungen: Numerik, Beispiele, Isoklinen, …
* Academic Earth – MIT – Differential Equations von Professor Arthur Mattuck

## Fuessnoote