Lineares Gleichungssystem

As **linears Gliichigssüsteem** wird in dr lineare Algebra e Süsteem vo lineare Gliichige bezäichnet, wo meereri umbekannte Gröössene (Wariable) enthalte. 

En entsprächends Süsteem für drei Umbekannti x_1, x_2, x_3 gseet öbbe eso us:
:\begin{matrix}
3x_1 & + &           2x_2 & - & x_3 & = & 1\\
2x_1 & - &           2x_2 & + & 4x_3 & = & -2\\
-x_1 & + & {1 \over 2}x_2 & - & x_3 & = & 0
\end{matrix}
Für x_1 = 1, x_2 = -2, x_3 = -2 sin alli drei Gliichige erfüllt, es handlet sich um e Löösig vom Süsteem.
 
Allgemäin cha mä e linears Gliichigssüsteem mit m Gliichige und n Umbekannte immer in d Form undedraa bringe:
:\begin{matrix}
a_{11} x_1 +  a_{12} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{1n} x_n & = & b_1\\
a_{21} x_1 +  a_{22} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{2n} x_n & = & b_2\\
&&&\vdots&\\
a_{m1} x_1 +  a_{m2} x_2 \, + & \cdots & +\, a_{mn} x_n & = & b_m\\
\end{matrix}

Mit Gliichigssüsteem wärde Zämmehäng modelliert zum Gröössene chönne bestimme, wo mä dra intressiert isch.

Wenn im e lineare Gliichigssüsteem alli b_i gliich 0 si, säit mä, si sige *homogen*, im andre Fall  *inhomogen*. Homogeni Gliichigssüsteem häi immer wenigstens die sogenannti driviali Löösig, wo alli Wariable gliich 0 sin. Bi inhomogene Gliichigssüsteem chas aber bassiere, ass überhaupt käi Löösig existiert.

## D Matrixform
Für zum lineari Gliichigssüsteem z behandle, isch s vilmol nützlig, alli Koeffiziänte a_{ij} zun ere Matrix A, dr sogenannte *Koeffiziäntematrix* zämmezfasse:
:A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
Denn cha mä au no alli Umbekannte und die rächti Site vom Gliichigssüsteem zu äispaltige Matrize (das sin Spaltewektore) zämmefasse:
:x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix};\qquad
b = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{pmatrix}
E linears Gliichigssüsteem wird, wemm mä d Matrix-Wektor-Multiplikazioon aawändet, churz eso gschriibe
:A \cdot x = b. 
D Koeffiziänte a_{ij}, die Umbekannte x_j und au d b_i stamme us em gliiche Körper K. Bsundrigs gilt
:A \in K^, b \in K^{m} und x \in K^{n}.
Zum e linears Gliichigssüsteem festzleege, isch s nit nöötig, ass mä die Umbekannte aagit. Es längt, wemm mä die *erwitereti Koeffiziäntematrix* aagit, wo entstoot, wenn mä an d Koeffiziäntematrix A e Spalte mit dr rächte Site b vom Gliichigssüsteem draahängt:
:\left(\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cccc|c} 
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &    \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{array}\right)

## Litratuur
* G. Frobenius: *Zur Theorie der linearen Gleichungen.* In: *Journal für die reine und angewandte Mathematik = Crelle's Journal.* Bd. 129, 1905 , S. 175–180, Digitalisat.
* Andreas Meister: *Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren.* 2. Uflaag. Vieweg, Wiesbade 2005, ISBN 3-528-13135-7.
* Falko Lorenz: *Lineare Algebra.* Band 1. 4. Uflaag. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelbärg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1406-7.
* 

## Weblingg
* PDF-Sammlung uf gecco.info Usfüerligi Beschriibig vo verschiidene Löösigsmögligkäite vo lineare Gliichigssüsteem (äifach, ooni Matrize)
* Arndt Brünner Scripts Onläin-Rächner zum Lööse vo lineare Gliichigssüsteem.
* Onläin-Lööser für lineari Gliichigssüsteem (änglisch, aber understützt Parameter)
* Iifüerig zu de 3 Löösigsverfaare (Video) für Schüeler und Studänte