Minkowski-Raum

Dr **Minkowski-Ruum**, noch em Hermann Minkowski, isch e vierdimensionale Ruum, wo mä din d Relatiwidäätstheorii eligant cha formuliere. Um 1907 het dr Minkowski gmerkt, ass mä d Aarbede vom Hendrik Antoon Lorentz (1904) und vom Albert Einstein (1905) zur Relatiwidäätstheorii im ene nit-euklidische Ruum cha verstoo. Er het vermuetet, ass Ruum und Zit im ene vierdimensionale Ruum-Zit-Kontinuum mitenander verbunde si. Das wird au as d **Minkowski-Wält** bezäichnet.

Drei vo sine Koordinate si die gliiche wie vom Euklidische Ruum; drzue chunnt e vierti Koordinate für d Zit. Dr Minkowski-Ruum \mathbb M^4 isch also analog wie en euklidische Ruum \mathbb R^4 ufbaut. Wäge dr underschiidlige Struktur vo de Ruum- und dr Zitkoordinate si aber die bäide Rüüm wääsentlig andersch.

## Definizione im Reelle

Dr Minkowski-Ruum isch e vierdimensionale reelle Wektorruum, wo s Skalarprodukt nit dur e üüblig Usdruck, sondern dur e Bilinearform vom Index 1, wo nid usgartet isch, gee isch. Die isch also nit positiv definit. Mä ordnet de Minkowski-Viererwektore (sog. „Eräigniss“) vier-komponäntigi Elimänt \mathbf x \rm{\,\,bzw.\,\,} \mathbf y zue und setzt in dr Reegle 
:\mathbf{x\cdot y} := - x_0 y_0 +  x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3,
wobii d Koordinate x_0 = ct au reell definiert isch: Si chunnt mit Hilf vo dr Liechtgschwindigkäit c vo dr Zitkoordinate t. 
Statt dr Signatur {(-,+,+,+)}, wo do brucht wird, wird – vor allem in dr nöijere Litratuur – vilmol die umkeerti Signatur {(+,-,-,-)}, wo füsikalisch ekwiwalänt isch, brucht. D Zit wird mänggisch au as die vierti und nid die nullti Koordinate bezäichnet. In dr allgemäine Relatiwidäätstheorii wird d Signatur {(-,+,+,+)} hüte am hüfigste verwändet.

Alternativ cha mä s innere Brodukt vo zwäi Elimänt vom Minkowski-Ruum au as Wirkig vom metrische Tensor \eta_{\mu\nu} uffasse:
:\mathbf{x\cdot y} :=  \eta_{\mu\nu}x^\mu y^\nu\,,

do underschäidet mä zwüsche *[[Kovarianz (Physik)|kontrawariante]]* und *kowariante* Wektorkomponänte (oberi bzw. underi Index, z.&nbsp;B. x^0=+ct\,, aber x_0=\eta_{0\nu}\,x^\nu =-ct\,, \eta_{\mu \nu}={\rm diag} (-1,+1,+1,+1)\, ).

## Parziell imaginäri Definizion vo dr [[Raumzeit|Ruumzit]]

En anderi Definizion, wo in mängge eltere Leerbüecher vorchunnt&nbsp; brucht en equkwiwalänti Notazion, wo aber nid seer usbaufäig isch: Mä cha die gmischti Signatur vom innere Brodukt vermiide, wemm mä en imaginäri Zitaggse brucht: x_4=ict. Dr Hauptvordäil vo däm isch, ass m nit zwüsche kontrawariante und kowariante Komponänte muess underschäide, sondern wie üüblig in dr elementare Wektorrächnig cha schaffe. Mä luegt also dr Minkowski-Raum formal as e komplexe (gnauer: parziell imaginäre) Innebroduktruum uf.

## D Lorentzdransformazione

D Lorentzdransformazione spiile en äänligi Rolle wie in euklidische Rüüm d Elimänt vo dr Dräigrubbe; es si die homogen-lineare Dransformazione, wo s Objekt \eta_{\mu\nu} und eso s innere Brodukt vom Minkowskiruum inwariant löön, und wäge däm isch dr Minkowskiruum in dr spezielle Relatiwidäätstheorii eso wichdig. Dä Formalismus isch au guet, zum in dr allgemäine Relatiwidätstheorii Verallgemäinerige mache. Im Gegesatz zu de Dräigrubbe isch äini vo de Folge d Kausalstruktur vo de Süsteem:

## D Kausalstruktur (ruumartigi, zitartigi und liechtartigi Wektore)

D Elimänt vom Minkowski-Ruum cha mä in drei Klasse iidäile: Je noch em (inwariante!) Vorzäiche vo y^2 underschäidet mä zitartigi Minkowski-Wektore (was kausal „Eräignisbäärli“  entspricht, wo dur „massivi Körper“ chönne beiiflusst wärde), ruumartigi Minkowski-Wektore (Bäärli vo Eräigniss, wo kausal *nit* chönne beiiflusst wärde) und -&nbsp;as Gränzfall&nbsp;- liechtartigi Minkowski-Wektore (Bäärli vo Eräigniss, wo kausal nume dur Liechtsignal chönne beiiflusst wärde). D Inwarianz vo dere Iidäilig bi alle Lorentz-Dransformazione chunnt vo dr Inwarianz vom Liechtchäigel, wo s Innere vom Liechtchäigel die kausali Struktur beschribt („Zuekumft“ - dr Beriich vorwärts - bzw. „Vergangehäit“ - dr Beriich ruggwärts - vom Innere vom Liechtchäigel). Mögligi Ursache vom ene Eräignis lige in dr „Vergangehäit“, mögligi Folge in dr „Zuekumft“; usserdäm git s no dr Beriich dusse vom Liechtchäigel, wo mit em Eräignis im Zentrum, wo mä undersuecht,  „kausal gar nid zämmehängt“, wil für das en Überdraagig vo Informazion schnäller as d Liechtgschwindigkäit nötig wär.

## Litratuur
* Francesco Catoni: *The mathematics of Minkowski space-time.* Birkhäuser, Basel 2008, ISBN 978-3-7643-8613-9
* John W. Schutz: *Independent axioms for Minkowski space-time.* Longman, Harlow 1997, ISBN 0-582-31760-6
## Lueg au
* S Minkowski-Diagramm

## Fuessnote