Gerade

E **gradi Linie** oder churz e **Grade** isch es Elemänt vo der Geometrii. Für zum s aschaulig z mache, stellt mä sich drunder en unändlig langi, unändlig dünni Linie vor. Modärni axiomatischi Theorie vo der Geometrii beziehn sich aber nit uf das. Für si isch e Grade öbbis ohni inneri Eigeschafte, nume d Beziehige zu andere Grade, Pünggt und Ebene si vo Bedütig. In der analytische Geometrii wird e Gradi as e Mängi vo Pünggt realisiert. Genauer: Im ene Vektorruum mit Elemänt, wo *Pünggt* heisse, isch e Grade noch Definition en additivi Näbeklass vom ene eidimensionale Underruum. 

## Synthetischi Geometrii
In siine Elemänt het dr Euklid en expliziti Definition von ere Grade ge, wo em aschaulige Bild entspricht. Für Setz und ihri Bewiis spiilt die Definition aber kei Rolle. Modärne Axiomesystem verzichte dorum uf e sonigi Definition. 
E Gradi isch in däm Fall e Begriff, wo die einzelne Axiom sich druf beziehn. E Bispil isch s erste Axiom us em Hilbert siim Axiomesystem:
: *Zwei vonenander verschiideni Pünggt <math>P</math> und <math>Q</math> bestimme immer e Grade <math>g</math>*.

D Bedütig vom Begriff *Grade* ergit sich us der Gsamtheit vo de Axiom. D Interpretation as e unändligh langi, unändlig dünni Linie isch nit zwingend, sondern nume e Aregig, was mä sich drunder chönnt vorstelle.  

In der projektiven Ebeni si d Begriff *Punggt* und *Grade* sogar vollständig usduschbar *(Dualität)*. Eso isch s do möglig, sich e Grade as unändlig chlii und e Punggt as unändlig lang und unändlig dünn vorzstelle.

## Analytischi Geometrii
In drei Dimensione über em Körper vo de reelle Zahle erfüllt die Analytischi Geometrii alli Bedingige, wo dr Hilbert in siim Axiomesystem vorussetzt. In däm Fall isch e Grade au e Grade im Sinn vom Hilbert.

Mä brucht nume d Lag vo zwe Pünggt, für zum e Grade z beschriibe. Eine vo de Pünggt dient drbii as "Stützi" vo der Grade. Mä chönnt säge, si ligge uf em. Der zweit Punggt zeigt d Richtig vo der Graden a. D Richtig wird drbii vom Vektor vom "Stützpunggt" zum "Richtigspunggt" age. D Grade definiert sich denn eso:

g: \vec{x} = \overrightarrow{OP_1} + \lambda \overrightarrow{P_1 P_2}

* \vec{x} beschriibt drbii dr allgemein Ortsvektor vo alle Pünggt uf g

* \overrightarrow{OP_\mathrm{1}} isch der Ortsvektor vom Stützpunggt
* \overrightarrow{P_\mathrm{1}P_\mathrm{2}} isch der Richtigsvektor vo P_\mathrm{1} zu P_\mathrm{2}
* \lambda isch der Skalar vom Richtigsvektor

Die affini Hülle vo zwei verschiidene Vektore x und y
:\{\lambda x + \mu y|\lambda, \mu \isin K, \lambda + \mu = 1\}
isch au e Grade. 

Au der Lösigsruum vom ene (inhomogene) lineare Gliichigssystem mit n-1 linear unabhängige Gliichige isch en affine Underruum mit der Dimension Eins und eso e Grade. In zwei Dimensione chann e Grade aso mit ere Gradegliichig
:\alpha x + \beta y = \gamma
age wärde, wobii \alpha, \beta, \gamma \isin K und äntwäder \alpha oder \beta ungliich Null muess si.

## Dr chürzist Wäg

Im reelle euklidische Ruum lit der chürzist Wäg zwüsche zwei Pünggt uf ere Grade. Wenn mä die Eigeschaft vo der Grade uf krümmti Rüüm (Mannigfaltigkeite) duet verallgemeinere, so chunnt mä zum Begriff vo der geodetische Linie (Geodäte). 

## Bestimmig vo der Gliichig von ere Grade in der [[Ebene (Mathematik)|Ebeni]]

D Gliichig von ere Grade in der Ebeni cha mä uf drei verschiidene Wiise bestimme:

**Punggt-Richtig-Gliichig:**

Vorge siig e Punggt P_0(x_0|y_0) und der Neigigswinggel (Astiigswinggel) \alpha.

:y-y_0 = \tan(\alpha)\cdot(x-x_0)

Vorge siig e Punggt P_0(x_0|y_0) und der Astiig m.

:y-y_0 = m \cdot (x-x_0)

**Zwei-Pünggt-Gliichig:**

Vorgee siige zwei Pünggt P_1(x_1|y_1) und P_2(x_2|y_2).

:y-y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \cdot (x-x_1)

## Bestimmig vo der Gliichig von ere Graden im dreidimensionale Ruum

**Zwei-Pünggt-Gliichig:**

Vorgee siige zwei Pünggt P_1(x_1|y_1|z_1) und P_2(x_2|y_2|z_2).

:\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} x_2-x_1\\y_2-y_1\\z_2-z_1 \end{pmatrix}

Der Parameter \lambda cha alli reelle Zahle as Wärt aneh.

## D Lag vo zwei Grade zunenander
Zwei Grade chönne die folgende Lagbeziehige zunenander ha. Si chönne:
* Gliich si: Beidi Grade hai alli Pünggt gemeinsam
* E Schnittpunggt ha: Beidi Grade hai genau ei Punggt gemeinsam
* Zunenander parallel si: Beidi Grade hai kei Punggt gmeinsam und me cha se mit ere Verschiebig inenander überfüehre
* Zunenander windschief si: Beidi Grade hai kei Punggt gemeinsam, aber me cha se nit mit ere Verschiebig ellei inenander überfüehren (für das bruuchts mindestens drei Dimensione)

Im Sinn vo der Theorii vo de Relatione redet mä au vo Parallelitet, wenn beidi Grade idäntisch si, im Bsundere isch jedi Grade zu sich sälber parallel. Zur Präzisierig underscheidet mä denn zwüsche *ächt parallel* und *idäntisch*. 

## Weblingg
* Analytic Geometry