Quaternion

D **Kwaternione** (vo lat. *quaternio* „Vierhäit“) oder au d **Hamilton-Zaale** si e Beriich vo Zaale, wo dr Beriich vo de reelle Zaale \R  erwiteret, äänlig wie s die komplexe Zaale \Complex  mache, goot aber über die uuse.

Kwaternione si braktisch für zum dr dreidimensionali euklidischi Ruum und anderi Rüüm z beschriibe.

## Konstrukzion
D Kwaternione entstöön us de reelle Zaale, wemm drei nöiji Zaale drzue duet (Adjunkzion), wo mä aagleent an die komplex-imaginäri Äihäit d Nääme \mathrm i, \mathrm j und \mathrm k gee het. So bechunnt mä e vierdimensionals Zaalesüsteem (mathematisch: e Wektorruum) mit eme *Realdäil*, wo us *äinere* reelle Komponänte bestoot, und eme *Imaginärdäil* us *drei* Komponänte, wo au Wektordäil häisst.

Jede Kwaternion cha mä äidütig in dr Form
: x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k
mit reelle Zaale x_0, x_1, x_2, x_3 schriibe. D Elimänt 1,\mathrm i,\mathrm j,\mathrm k si e Basis, d Standardbasis vo de Kwaternione über \R. D Addizion isch komponäntewiis und wird vom Wektorruum gerbt. Multiplikativ wärde die nöije Zaale \mathrm i, \mathrm j, \mathrm k noch de *Hamilton-Regle*

: \mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1
verchnüpft. D Skalarmultiplikazioon \R \times \mathbb H \to \mathbb H \, , wo au vom Wektorruum gerbt wird und wo d Skalar bin ere aagluegt wärde, ass si mit jedem Elimänt chönne usduscht wärde, zämme mit dr Addizioon und de Hamilton-Regle mache s mööglig, ass mä d Multiplikazioon vo dr Basis uf alli Kwaternione cha erwitere. Wil eso au jede Skalar \lambda \in \R as \lambda+0\mathrm i+0\mathrm j+0\mathrm k in \mathbb H iibettet wird, cha \R as Underkörper vo \mathbb H ufgfasst wärde.

D Multiplikazioon isch assoziativ und erfüllt au s Distributivgsetz, macht also us de Kwaternione e Ring. Si isch allerdings *nit* kommutativ, d.&nbsp;h. für zwäi Kwaternione x und y si die bäide Brodukt x y und  y x im Normalerfall verschiide. S Zentrum vo \mathbb H, also d Mängi vo de Elimänt, wo mit alle Elimänt kommutiere, isch exakt \R.

D Kwaternione bilde e Schiefkörper (Divisionsring), wil s zu jeder Kwaternion x\ne0 e inversi Kwaternion x^{-1} git mit
: x x^{-1}=x^{-1} x=1&nbsp;.
Wil d Kommutatividäät feelt, brucht mä Notazione mit Bruchstrich, wie z.&nbsp;B. \tfrac{y}x nit.

Zämmegfasst: D Kwaternione sin e vierdimensionali Divisionsalgebra über \R – und bis uf d Isomorfii die äinzigi. Historisch si d Kwaternione s erste Bischbil vom ene Divisionsring, wo die zwäiti Verchnüpfig von em nit kommutativ isch.

## Litratuur
* Max Koecher, Reinhold Remmert: *Hamiltonsche Quaternionen*. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: *Zahlen*. Springer-Verlag, Berlin 1983. ISBN 3-540-12666-X

* John Horton Conway, Derek A. Smith: *On Quaternios and Octonions*, A K Peters Ltd, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (änglisch)
* Jack B. Kuipers: *Quaternions and Rotation Sequences*, Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (änglisch)
* W. Bolton: *Complex Numbers (Mathematics for Engineers)*, Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (änglisch)
* Andrew J. Hanson: *Visualizing Quaternions*, Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (änglisch)

* Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Verallgemeinerungen der Zahlen, Verlag Harri Deutsch, 1995

* S. Eilenberg and I. Niven: The „fundamental theorem of algebra” for quaternions. Bull. Amer. Soc. **50**(1944), 246-248.

## Weblingg
* Kwaternione in dr Kompiuteranimazioon
* Wo d Kwaternione entdeggt worde si (mit Bilder)
* Eric W. Weisstein „Quaternionen.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource

## Fuessnoote