Dreiecksungleichung

Ìn dr Geometrii ìsch d’ **Dräiäcksungliichung** a Sàtz, wo sajt, àss a Dräiäcksitta kìrzer odd’r so làng wia d’ Summa vu da baida àndra Sitta-n-ìsch.

D’ Dräiäcksungliichung schpììlt àui ìn àndra Tailgebiata vu dr Màthemàtik a wìchtiga Rolla, wia zem Biischpììl ìn dr Lineààra Àlgebra odd’r dr Funkzioonsànàlüüsa.

## Bschriiwung vu dr Ungliichung
### fìr àllgmaina Dräiäcka

Noh dr Dräiäcksungliichung ìsch ìm Dräiäck d’ Summa vu da Länga vu zwai Sitta a un b schtets mìndeschtens so grooss wia d’ Länga vu dr drìtta Sitta c:

:c \leq a + b.

Maa kààt àui sààga, dr Àbschtànd vun *A* uff *B* ìsch klainer odd’r soo grooss wia dr Àbschtànd vun *A* uff *C* un vu *C* uff *B* zamma. Aifàcher gsajt: „Dr diräkta Waag ìsch ìmmer dr kìrzescht.“

S’ Gliichhaitszaicha gìlt numma, wänn a un b Tailschträcka vun c sìnn – àlso wänn dr Dräiäck äntàrtet ìsch.

Waaga dr Sümmetrii hàt maa-n-àui  a \leq c + b, un domìt a-b\leq c; maa hàt àui nàdììrlig b-a\leq c. Àlso ìnsgsàmt: 
:\left| a-b \right|\le c\le a+b.

D’ lìnka Ungliichung \left| a-b \right|\le c nännt maa-n-àui mànckmol *umgekehrta Dräiäcksungliichung*.

D’ Dräiäcksungliichung düat Àbschtànds- un Betrààgsfunkzioona kàràkterisiara. Sa wìrd àlso àls Axiom fìr àbschtràkta-n-Àbschtàndsfunkzioona ìn meetrischa Ràuima gsätzt.

### fìr rachtwìnkliga Dräiäcka
Ìsch c d’ Länga vu dr Hüpothenüüsa un sìnn a un b d’ Kàtheetalänga vu’ma rachtwìnkliga Dräiäck, soo gìlt d’ schpeziälla Dräiäcksungliichung a+b \le c\sqrt{2}.

Rechtwinklige Dreiecksungleichung 1.svg|wia dr Fàll vu dr Ungliichhait üsssììht
Rechtwinklige Dreiecksungleichung 2.svg|wia dr Fàll vu dr Gliichhait üsssììht


### fìr reälla Zààhla
Fìr reälla Zààhla a un b gìlt: |a+b| \leq |a| + |b|.

Bewiis: Säjga a un b reälla Zààhla. Äntwaader ’s ìsch a+b\geq 0 odd’r ’s ìsch a+b. Fìr dr Fàll a+b\geq 0 gìlt |a+b|=a+b, un d’ Summa a+b làsst sìch waaga a\leq |a| un b\leq |b| nach oben àbschätza dur a+b\leq |a|+|b|. Ìnsgsàmt hàt maa somìt |a+b| \leq |a| + |b|. Fìr dr Fàll a+b gìlt |a+b|=-(a+b)=-a-b, un -a-b làsst sìch waaga -a\leq |a| un -b\leq |b| eewafàlls dur |a|+|b| nach oben àbschätza, so dàss àui ìn dam Fàll |a+b| \leq |a| + |b|.

#### d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung
Wia biim Dräiäck kààt maa-n-àui a *umgekehrta Dräiäcksungliichung* harlaita

Uffgrund dr Dräiäcksungliichung gìlt |a+b|-|b| \le |a|. Wänn maa a := x +y,\ b:= -y iisätzt, nooh hàt maa
:|x|-|y| \le |x+y|.
Wänn maa schtàttdässa b:= -x sätzt, nooh hàt maa
:|y|-|x| \le |x+y|,
zamma àlso (dänn fìr beliabiga reälla Zààhla u und c mìt u \leq c un -u \leq c gìt àui |u| \le c)
:\Big||x|-|y|\Big| \le |x+y| \le |x|+|y|.

Wänn maa y dur -y ärsätzt, noh ärhàlt maa-n-àui
: \Big||x|-|y|\Big| \le |x-y| \le |x|+|y|.

Ìnsgsàmt àlso
: \Big| |x|-|y|\Big| \le |x \pm y| \le |x|+|y| fìr àlla x,\,y\in\R.

### fìr kùmpläxa Zààhla
Fìr kùmpläxa Zààhla gìlt:

: |z_1{}+z_2| \le |z_1|{+}|z_2|.

Bewiis:
: Wial àlla Sitta nìtnegàtiiv sìnn, ìsch s’ Kwàdriara-n-a Äkwiwàlanzformung un maa ärhàlt
::
z_1\overline{z_1}{+}z_1\overline{z_2}{+}{\underbrace{\overline{z_1}z_2}_{=\overline{z_1\overline{z_2}}}}{+}z_2\overline{z_2}\ \le\ z_1\overline{z_1}{+}2{\underbrace_{=|z_1\overline{z_2}|}}{+}z_2\overline{z_2},

: dr Ìwwerschtrìch bediitet doo a kùmpläxa Konjugàzioon. Wänn maa gliicha-Üssdrìck schtriicht un z\mathrel{:=\,} z_1\overline{z_2} sätzt, soo blibbt 
::z{+}\bar z \le 2
: z’ zaiga. Mìt z = u{+}iv ärhàlt maa
::(u{+}iv){+}(u{-}iv) = 2u \le 2\sqrt{u^2{+}v^2}
: bzw.
::|u| \le \sqrt{u^2{+}v^2},
: wàs waaga 0 \le v^2\  un dr Monotonii vu dr (reälla) Wurzelfunkzioon ìmmer ärfìllt ìsch.

Wia biim reälla Fààl folgt üss dara Ungliichung àui 
:\Big| |z_1|{-}|z_2|\Big| \le |z_1{\pm}z_2| \le |z_1|{+}|z_2| fìr àlla z_1,\,z_2\in\mathbb{C}.

### vu Betrààgsfunkzioona fìr Käärwer
Zamma mìt àndra Forderunga wìrd a Betrààgsfunkzioon fìr a Käärwer K àui dur d’

gsätzt. Sa müass fìr àlla x,y\in K galta. Wänn àlla Forderunga ärfìllt sìnn, noh ìsch \varphi a Betrààgsfunkzioon fìr dr Käärwer K.

Ìsch \varphi(n) \leq 1 fìr àlla gànza n:=\underbrace {1+\dots+1}_{n \text{-mol}}, nooh nännt maa dr Betrààg *nìtàrkimeedisch*, sunscht *àrkimeedisch*.

Bii nìtàrkimeedischa Betraag gìlt d’

Sa màcht dr Betrààg züa ainem ''ultràmeetrischa''. Umgekehrt ìsch jeeder ultràmeetrischa Betrààg nìtàrkimeedisch.

### fìr Summa un Ìntegrààla
Wämm’r mehrmols d’ Dräiäcksungliichung bzw. vollschtandiga Ìndukzioon ààwanda düat, nooh ärhàlt maa
:\left|\sum_{i=1}^n x_i\right|  \leq \sum_{i=1}^n \left| x_i\right|
fìr reälla odd’r kùumpläxa Zààhla x_i\;. Dia Ungliichung gìlt àui, wänn maa Ìntegrààla ààschtälla vu Summa betràchtet:

Ìsch f \colon [a,b]\to\mathbb{R} a Riemann-ìntegriarbààra Funkzioon, nooh gìlt

: \left|\int_a^b f(x)\, dx\right|\le \int_a^b |f(x)|\, dx.

Dàs gìlt àui fìr kùmpläxwaartiga Fukzioona f \colon [a,b]\to\mathbb{C}. Nooh gìtt’s naamlig a kùmpläxa Zààhl \alpha, so dàss
: \alpha\int_a^b f(x)\, dx=\left|\int_a^b f(x)\, dx\right| und |\alpha|=1\;.

Wial
:\left|\int_a^b f(x)\, dx\right|=\alpha\int_a^b f(x)\, dx=\int_a^b \alpha\, f(x)\, dx=\int_a^b \operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx+i\,\int_a^b \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx

reäll ìsch, müass \int_a^b \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx gliich Null sìì. Üsserdam gìlt
: \operatorname{Re}(\alpha f(x)) \leq |\alpha f(x)| = |f(x)|,
ìnsgsàmt àlso
:\left|\int_a^b f(x)\, dx\right| =\int_a^b\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_a^b|f(x)|\, dx.

### fìr Wektoora
Fìr Wektoora gìlt:

: \left| \vec{a} + \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|.

D’ Gìltikait vu dara Beziihung sììht maa dur Quadrieren
: \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left\langle \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}\right\rangle = \left| \vec{a} \right|^2+ 2 \left\langle\vec{a},\vec{b}\right\rangle+\left|\vec{b} \right|^2 \le  \left| \vec{a} \right|^2+ 2 \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right|+\left|\vec{b} \right|^2 = \left(\left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|\right)^2,

unt’r Ààwandung vu dr Cauchy-Schwarzscha Ungliichung:

: \langle \vec{a}, \vec{b}\rangle \le \left| \vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|.

Àui doo folgt wia-n-ìm reälla Fàll

: \Big|\left| \vec{a} \right| - \left| \vec{b} \right| \,\,\Big|\le\left| \vec{a} \pm \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|
so wia
:\left|\sum_{i=1}^{n} \vec a_i\right| \leq \sum_{i=1}^{n}\left|\vec a_i\right|. 

### fìr Kugeldräiäcka

Ìn Kugeldräiäcka gìlt d’ Dräiäcksungliichung ìm Àllgmaina nìt. Sa gìlt jedoch, wänn ma sìch uff eulerscha Dräiäcka beschrànkt, àlso salla, ìn dana jeeda Sitta kìrzer àls a hàlwer Groosskrais ìsch.

Ìn dr Àbbìldung doo dràà gìlt zwààr
: \left|a - b\right| \le c_1 \le a + b,
jedoch ìsch c_2 > a+b.

### fìr nomiarta Ràuima
Ìn’ma normiarta Ràuim \left(X,\|{\cdot}\|\right) wìrd d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form
:\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|
àls aina vu da Aigaschàfta gfordert, wo d’ Norm fìr àlla x,y\in X\; müass ärfìlla. Bsunderscht folgt àui doo
:\Big|\|x\|-\|y\|\Big| \le \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|
so wia
:\left\|\sum_{i=1}^n x_i\right\| \leq \sum_{i=1}^{n}\|x_i\| fìr àlla x_i\in X\;.

Ìm Schpeziààlfàll vu da L<sup>''p''</sup>-Ràuima wìrd d’ Dräiäcksungliichung Minkowski-Ungliichung gnännt un mìttels dr Hölderscha Ungliichung bewììsa.

### fìr meetrischa Ràuima
Ìn’ma meetrischa Ràuim \left(X,d\right) wìrd àls Axiom fìr d’ àbschtàkta-n-Àbschtàndsfunkzioon verlàngt, àss d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form
:d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y)
fìr àlla x,y,z \in X ärfìllt ìsch. Ìn jeedem meetrischa Ràuim gìlt àlso per Definizioon d’ Dräiungsungliichung. Drüss làss sìch àblaita, àss ìn’ma meetrischa Ràuim àui d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung
:\left| d(x,z) - d (z,y)\right|\leq d(x,y)
fìr àlla x,y,z \in X gìlt. Üsserdam gìlt fìr beliabiga x_i \in X\; d’ Ungliichung
:d(x_0,x_n)\leq \sum_{i=1}^n d(x_{i-1},x_i).

## Lüag àui
* d’ Ungliichunga ìn Viaräcka

## Lìteràtüür
* 
* 
* 

## Weblìnks

*
*

## Ainzelnoohwiisa