Mahler-Maß

Ìn dr Màthemàtik ìsch s’ **Mahler-Mààs** a Mààs vu dr Kompläxitäät vu da Polünooma. D’ Formel hàt dr Màthemàtiker Kurt Mahler (1903–1988) ànna 1961 gschrìewa. Urschprìnglig hàt maa-n-’s bnutzt, fìr groossa Primzààhla süacha. ’S hàt a Zammahàng mìt schpeziälla Warter vun L-Funkzioona; wagadam hàt maa mìt’m Mahler-Mààs zààhlriicha Vermüatunga ìn dr ànàlytischa Zààhlatheorii gmàcht.

## Àbschtìmmung
S’ Mahler-Mààs M(p) vu’ma Polünoom p(x) \in \mathbb{C}[x] mìt reälla odd’r kompläxa Koeffizianta-n-ìsch

:M(p)=\lim_{\tau \rightarrow 0} \|p\|_{\tau} = \exp\left( \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \ln(|p(e^{i\theta})|)\, d\theta \right).

Doo ìsch

:  \|p\|_\tau =\left( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |p(e^{i\theta})|^\tau \, d\theta \right)^{1/\tau}  \,

d’ <math>L_\tau</math>-Norm vu p.
Mìt Hìlf vu dr Jensen-Formel kààt maa zaiga, àss üss

:p(z) = a(z-\alpha_1)(z-\alpha_2)\cdots(z-\alpha_n)

folgt:
:M(p) = |a| \prod_{i=1}^n \max\{1,|\alpha_i|\}=|a|\prod_{|\alpha_i| \ge 1} |\alpha_i|.

S’ **logàrithmischa Mahler-Mààs** vu’ma Polynoom bschtìmmt maa-n-àls
:m(P)=\log M(P).

S’ Mahler-Mààs vun’ra algebraischa Zààhl \alpha ìsch aifàch s’ Mahler-Mààs vum Minimààlpolünoom vun \alpha ìwwer \mathbb{Q}.

## Aigaschàfta
* S’ Mahler-Mààs ìsch mültiplikàtiiv, dàs haisst \forall p, q, \,\, M(p \cdot q) = M(p) \cdot M(q).
* Fìr zyklotoomischa Polünooma un ìhra Produkta hàt maa M(p)=1.
* Dr Sàtz vum Kronecker: Wänn p a irredüzibel moonisch Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta un M(p) = 1 ìsch, dänn ìsch äntwadder p(z) = z, odd’r p ìsch a zyklotoomisch Polünoom.
* D’ Vermüatung vum Lehmer sajt, àss’s a Konschtànta \mu>1 gìtt, so dàss jeeds irredüzibla Polünoom p mìt gànzzààhliga Koeffizianta äntwadd’r zyklotoomisch ìsch odd’r M(p)>\mu ärfìllt.
* S’ Mahler-Mààs vu’ma moonischa Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta-n-ìsch a Perron-Zààhl.

## S’ Mahler-Mààs fìr Polünooma mìt mehrera Vàriààbla
S’ Mahler-Mààs M(p) vu’ma Polünoom p(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n] bschtìmmt maa dur d’ Formel

:M(p) = \exp\left( \frac{1}{(2\pi)^n} \int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \cdots \int_0^{2\pi} \ln \Bigl( \bigl |p(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i\theta_n}) \bigr| \Bigr) \, d\theta_1\, d\theta_2\cdots d\theta_n \right).

Maa kààt zaiga, àss M(p) konwärschiart.

Fìr \boldsymbol r=(r_1,\ldots,r_n)\in\mathbb{N}^n hatt maa
:q(\boldsymbol r):=\text{min}\{\text{max}\{|s_j|:1\le j\le N\}:s=(s_1,\dots,s_N)\in\mathbb{Z}^N,s\ne(0,\dots,0)\ \text{and}\ \sum^N_{j=1}s_jr_j=0\}
Dänn ìsch
:
  M\bigl(p(x_1,\ldots,x_n)\bigr) = \lim_{\boldsymbol r\in\mathbb{N}^n\atop q(\boldsymbol r)\to\infty} M\bigl(p(x^{r_1},x^{r_2},\ldots,x^{r_n})\bigr).


## Schpeziälla Warter vun L-Funkzioona
’S sìnn zààhlriicha Beziihunga zwìscha Mahler-Mààsa (manckmol logàrithmischa Mahler-Mààsa) vu Polünooma un schpeziälla Werta vun L-Funkzioona; ainiga drvuu sìnn numma Vermüatunga, àndra sìnn bewìesa worra.

### ìm Smyth siina Formel
Ànna 1981 hàt dr Smyth d’ Formel doo druff bewìesa:
:m(1+x_1+x_2)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}L(\chi_{-3},2)
wu L(\chi_{-3},s) d’ L-Funkzioon vum Dirichlet (àlso L(\chi_{-3},s)=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}-\frac{1}{5^s}+-\ldots)
un
: m(1+x+y+z)=\frac{7}{2\pi^2}\zeta(3) ìsch;
doo ìsch \zeta d’ Zeta-Funkzioon vum Riemann. Doo wìrd  m(P)=\log M(P) s’ *logàrithmischa Mahler-Mààs* gnännt.

### d’ Vermüatung vum Chinburg
A Vermüatung vum Chinburg sajt, àss maa züa jeeder negàtiiva Zààhl -f a Laurent-Polünoom P_f\in \Z(x,y) un a ràzionààla Zààhl r_f\in\Q hàt, mìt
:m(P_f)=r_fd_F
fìr d’ Dischkriminànta
:d_f=\frac{f\sqrt{f}}{4\pi}L(\chi_{-f},2)
vum Kàràkter \chi_{-f}(n)=\left(\frac{-f}{n}\right).

## Lìteràtüür
*
* Derrick Henry Lehmer: *Factorization of certain cyclotomic functions.* Ann. of Math. (2) 34 (1933), no. 3, 461–479.
* David W. Boyd: *Speculations concerning the range of Mahler's measure.* Canad. Math. Bull. 24 (1981), 453–469.
* Klaus Schmidt: *Dynamical systems of algebraic origin.* Progress in Mathematics, 128. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995. ISBN 3-7643-5174-8

## Weblìnks
* 

## Ainzelnoohwiisa