Zahlentheorie

D **Zaaletheorii** isch e Däilgebiet vo dr Mathematik, wo sich mit de Äigeschafte vo de ganze Zaale beschäftigt. Däilgebiet sin zum Bischbil die elementari oder die arithmetischi Zaaletheorii&nbsp;– e Verallgemäinerig vo dr Arithmetik, d Leer vo de Diofantische Gliichige, die analütischi Zaaletheorii und die algebraischi Zaaletheorii.

## Däilgebiet

Die verschiidene Däilgebiet vo dr Zaaletheorii wärde im Allgemäine noch de Methode underschiide, wo mit ene zaaletheoretischi Frooge bearbäitet wärde.

### Die elementari oder arithmetischi Zaaletheorii

Vo dr Antike bis in s sibzääte Joorhundert het sich d Zaaletheorii as e grundständigi Disziplin behauptet und isch ooni anderi mathematischi Däilgebiet uschoo. Iiri äinzige Hilfsmiddel si d Äigeschafte vo de ganze Zaale gsi, bsundrigs d Primfaktorzerleegig (dr Fundamentalsatz vo dr Arithmetik), d Däilbarkäit und s Rächne mit Kongruänze. Wäge däm wird si au as *elementari Zaaletheorii* bezäichnet. Wichdigi Resultat, wo mä mit Hilf vo elementare Methode cha überchoo, si dr Chläini Satz vom Fermat und däm si Verallgemäinerig, dr Satz vom Euler, dr Chinesischi Rästsatz, dr Satz vom Wilson und dr Euklidischi Algorithmus.

Au hüte no wird in äinzelne Frooge zur Däilbarkäit, zu Kongruänze und Äänligem mit elementare zaaletheoretische Methode gforscht. Mä brobiert au, Bewiis zur Zaaletheorii, wo witergehendi Methode bruuche, in elementari Begriff z „übersetze“, und doodrus chönne mänggisch nöiji Erkenntniss gmacht wärde. E Bischbil isch die elementari Bedrachdig vo zaaletheoretische Funkzioone wie dr Mäbiusfunkzioon und dr Eulersche Phi-Funkzioon.

### Die analütischi Zaaletheorii

As erste het dr Euler gmerkt, ass mä Methode vo dr Analysis und dr Funkzioonetheorii cha bruuche, zum zaaletheoretischi Frooge z lööse. Wichdigi Brobleem, wo mit analütische Methode glööst worde si, beträffe mäistens statistischi Frooge noch dr Verdäilig vo Primzaale und deren iiri Asümptotik. Doodrzue ghööre zum Bischbil dr Primzaalsatz, wo scho dr Gauss vermuetet het, wo aber erst am Ändi vom 19.&nbsp;Joorhundert bewiise worde isch, und dr dirichletsche Satz über Primzaale in arithmetische Progressioone. Usserdäm brucht mä analütischi Methode für zum d Dranszendänz vo Zaale wie dr Kräiszaal \pi oder dr Eulersche Zaal e z bewiise. Im Zämmehang mit em Primzaalsatz isch zum erste Mol die Riemannschi Zeta-Funkzioon undersuecht worde, wo hüte zämme mit iire Verallgemäinerige Geegestand vo dr analütische wie au vo dr algebraische Forschig und dr Usgangspunkt vo dr Riemannsche Vermuetig isch.

### Die algebraischi Zaaletheorii und die arithmetischi Geometrii

Äine vo de groosse Mäilestäi in dr Zaaletheorii isch d Entdeckig vom kwadratische Reziprozidäätsgsetz. Das Gsetz zäigt, ass mä d Froog, öb diofantischi Gliichige in de ganze Zaale löösbar si, äifacher cha lööse, wemm mä zu andere Zaalberiich (kwadratischi Zaalekörper, gaussschi Zaale) übergoot. Mä luegt denn ändligi Erwitrige vo de razionale Zaale aa, sogenannti algebraischi Zaalekörper, und vo doo stammt au dr Naame *algebraischi Zaaletheorii*. Elimänt vo Zaalekörper sin Nullstelle vo Polynom mit razionale Koeffiziänte. Die Zaalekörper enthalte Däilmängene, wo analog zu de ganze Zaale si, d Ganzhäitsring. Si verhalte sich in e Hufe Hiisichte wie dr Ring vo de ganze Zaale. Die äidütigi Zerleegig in Primzaale gältet allerdings nume no in wenige Zaalekörper vo dr Klassezaal 1. Allerdings sin Ganzhäitsring Dedekindring, und jedes brochnige Ideal het dorum en äidütigi Zerleegig in Primideal. D Analüüse vo deene algebraische Zaalekörper isch seer kompliziert und mä brucht Methode us fast alle Däilgebiet vo dr räine Mathematik, bsundrigs vo dr Algebra, dr Topologii, dr Analysis, dr Funkzioonetheorii (bsundrigs vo dr Theorii vo de Modulforme), dr Geometrii und dr Daarstelligstheorii. Die algebraischi Zaaletheorii studiert au no algebraischi Funkzionekörper über ändligi Körper, wo Theorie von ere witgehend analog zur Theorii vo de Zaalekörper verlauft. Algebraischi Zaale- und Funkzioonekörper wärde under em Naame „globali Körper“ zämmegfasst. Vilmol isch s fruchtbar, wemm mä Frooge „lokal“ aaluegt, d.&nbsp;h. für jedi Primzaal *p* äinzeln. Dä Vorgang benützt im Fall vo de ganze Zaale die p-adische Zaale, allgemäin lokali Körper.

Für zum die modärni algebraischi Zaaletheorii z formuliere, brucht mä d Sprooche vo dr homologische Algebra und bsundrigs die ursprünglig topologische Konzept vo dr Kohomologii, dr Homotopii und de abgläitete Funktore. Hööhepünkt vo dr algebraische Zaaletheorii sin d Klassekörpertheorii und d Iwasawa-Theorii.

Wo dr Grothendieck die algebraischi Geometrii nöi formuliert gha het und bsundrigs wo d Schemata iigfüert worde si, het mä in dr zwäite Helfti vom zwanzigste Joorhundert afo gsee, ass d Zaaletheorii as e Spezialfall vo dr algebraische Geometrii cha aagluegt wärde. Die modärni algebraischi Zaaletheorii wird doorum au as geometrischi Zaaletheori oder arithmetischi Geometrii bezäichnet, wo dr Begriff vom Schema din e zentrali Rolle spiilt.

Zu jedem Zaalekörper ghöört e Zeta-Funkzioon, wo s analütische Verhalte von ere d Arithmetik vom Zaalekörper widerspieglet. Au für die Dedekindsche Zeta-Funkzioone isch die Riemannschi Vermuetig im Allgemäine umbewiise. Für ändligi Körper isch iiri Ussaag in de berüemte Weil-Vermuetige enthalte und isch vom Pierre Deligne mit Middel vo dr algebraische Geometrii glööst worde, und für das het dä 1978 d Fiekds-Medallie überchoo.

### Die algorithmischi Zaaletheorii

Die algorithmischi Zaaletheorii isch e Zwiig vo dr Zaaletheorii, wo bräits Inträssi het afo wecke, wo d Kompiuter ufchii si. Si beschäftigt sich drmit, wie zaaletheoretischi Brobleem algorithmisch effiziänt chönne umgsetzt wärde. Wichdigi Frooge sin, öb e groossi Zaal prim isch, d Faktorisierig vo groosse Zaale und d Froog, wo äng doodrmit verbunde isch, wie mä e diskrete Logarithmus effiziänt berächnet. Usserdäm git s hützudags Algorithme zum Klassezaale z berächne, Kohomologiigrubbe und zur K-Theorii vo algebraische Zaalekörper.

## Aawändige vo dr Zaaletheorii

Aawändige vo dr Zaaletheorii het s in dr Krüptografii, bsundrigs bi dr Froog noch dr Sicherhäit vo dr Daatenüberdräägig im Internet. Do wärde elementari Methode vo dr Zaaletheorii (Primfaktorzerleegig, öbbe bim RSA oder Elgamal) und au fortgschritteni Methode vo dr algebraische Zaaletheorii wie öbbe d Verschlüsselig über elliptischi Kurve (ECC) aagwändet.

En anders Aawändigsgebiet isch d Kodierigstheorii, wo sich in iirer modärne Form uf d Theorii vo de algebraische Funkzionekörper stützt.

## Litratuur

* Jörg Brüdern: *Einführung in die analytische Zahlentheorie.* Springer, Berlin 1995. ISBN 3-540-58821-3.
* David M. Burton, Heinz Dalkowski: *Handbuch der elementaren Zahlentheorie mit über 1000 Übungsaufgaben und ihren Lösungen.* Heldermann, Lemgo 2005. ISBN 3-88538-112-5.
* John H. Conway, Richard Kenneth Guy: *The Book of Numbers.* Springer, Berlin 1998. ISBN 0-387-97993-X.
* G. H. Hardy, E. M. Wright: *An introduction to the theory of numbers.* Oxford University Press, Oxford 1979, 2004 (5.&nbsp;Uflaag). ISBN 0-19-853171-0.
* Jürgen Neukirch: *Algebraische Zahlentheorie.* Springer, Berlin-Heidelberg-Nöi York 1992. ISBN 3-540-54273-6.
* J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: *Cohomology of number fields.* Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66671-0.
* Friedhelm Padberg: *Elementare Zahlentheorie.* Spektrum Akademischer Verlag, Berlin Heidelbärg 1996, 2001. ISBN 3-86025-453-7.
* Arnold Scholz, Bruno Schoeneberg: *Einführung in die Zahlentheorie.* Walter de Gruyter & Co., Berlin 1973 (5.&nbsp;Uflaag). ISBN 3-11-004423-4.

## Weblingg

* Website vo PARI/GP, eme Kompiuteralgebrasüsteem für Zaaletheorii.
* Erkläärig vo dr Zaaletheorii vo dr Dütsche Mathematiker-Veräinigung e. V.].
* Lexikon und Forum zur Zaaletheorii.
* Biografie vo bedütende Zaaletheoretiker (änglisch).
* Vorlääsig ''Algebraische Zahlentheorie'' an dr LMU Münche im Quicktime-Format mit Simultanaazäig vo dr Powerpoint-Presentazion.