Ebene (Mathematik)

D **Ebeni** isch e Grundbegriff in der Geometrii.
Allgemein handlet s sich um en unbegränzt usdehnts flachs zweidimensionals Objekt.

* Dodrbii bedütet unbegränzt usdehnt und flach, ass für alli Punggtpärli, wo uf dr Ebeni ligge, au e Gradi Linie, wo dur die beide Pünggt goht, vollständig in der Ebeni lit.
* Zweidimensional bedütet, dass – abgseh vo Grade, wo in dr Ebeni ligge, – kei ächte Deilruum au die Eigeschaft het.

Konkreter bezeichnet mä mit Ebeni je noch em Deilgebiet vo der Mathematik allerdings durchus verschideni Objekt.
## D Ebeni as eigeständigs Objekt

### Der klassisch Ebenebegriff noch em Euklid
In der klassische Geometrii öbbe im Sinn vom Euklid siine Elemänt bildet *die* (euklidischi) Ebeni – in däm Zsämmehang bezeichnet me se im Allgemeine mit em bestimmte Ardikel – dr Rahme vo geometrische Undersuechige, öbbe für Konstruktione mit Zirkel und Lineal. 
Mä cha si sich vorstelle als en Abstraktion vo der Zeichenebeni, em Papiir, as unändlig usdehnt und unändlig flach, so wie me sich d Grade as en Abstraktion vom zeichnete Strich, dr Bleistiftlinie, vorstellt,  unändlig dünn und unändlig lang.
Die euklidischi Geometrii wird hützudags vom Hilbert siim Axiomesystem vo der euklidische Geometrii beschriibe.

Sit dr Descartes  die euklidischi Ebeni mit Koordinate markiert hat, cha mä die euklidisch Ebeni mit der Mängi \mathbb R^2 vo alle Pärli vo reelle Zahle identifiziere. 
Oder anders ume: \mathbb R^2 bildet e Modäll für die Hilbertsche Axiom vo der Ebeni. Dä reell Vektorrum wird dorum au as Ebeni bezeichnet.

### Die projektivi Ebeni

Ergänzt mä im Euklid si affini Ebeni mit ere Grade, wo unändlig wiit ewäg isch, und de Pünggt, wo uf ihre ligge, so bechunnt mä e projektivi Ebeni.

Au die projektivi Ebeni loot sich algebraisch beschriibe, nämlig as d Mängi vo alle eidimensionale Underrüüm im \mathbb R^3. Mä fasst aso d Grade, wo dur e Ursprung laufe, as Pünggt vo der projektiven Ebeni uf. Die Gradene vo der projektiven Ebeni si denn genau die zweidimensionale Undervektorrüüm vo \mathbb R^3, aso die „härkömmliche“ Ebene, wo dur e Ursprung laufe.

### Verallgemeinerige

Schwecht mä im Hilbert si Axiomesystem ab, so si sogar ändligi Strukture möglig, wo au as affini oder projektivi Ebene bezeichnet wärde. D Abbildig rächts zeigt e ändligi projektivi Ebeni mit siiben Pünggt und siibe Gradene. Wemm mä irgend e Grade und d Pünggt, wo uf ere ligge, wägnimmt, bechunnt mä e ändligi affini Ebeni mit vier Pünggt und sächs Gradene.

Me cha s kartesische Modäll vo der euklidische Ebeni verallgemeinere, denn wird au für irgend weli Körper K der zweidimensional Vektorruum K^2 as affini Ebeni bezeichnet; und entsprächend für die projektivi Ebeni. 
Mä sött Acht ge: Wenn K der Körper \mathbb C vo de komplexe Zahle isch, wo vom Gauss siiner Zahlenebeni aschaulig gmacht wärde, so isch scho \mathbb C (reell) zweidimensional, wird aber as komplexi Grade bezeichnet. 
D Ebeni \mathbb C^2 isch reell vierdimensional, aber nume e zweidimensionale komplexe Vektorruum.
Der Körper K cha au en ändlige Körper si. Im Fall K=\mathbb F_2 bechunnt mä die chliinst ändligi affini Ebeni mit vier Pünggt bzw. die projektivi Ebeni mit siibe Pünggt, wie s obe beschriiben isch.

E Flechi im Sinn vo der Topologii isch d Ebeni (au die projektivi) nume im Fall K=\R; im Fall K=\mathbb C handlet es sich immerhin no um e differenzierbari Mannigfaltigkeit.

## D Ebeni as Deilruum

Betrachtet mä höcherdimensionali geometrischi Rüüm, so bezeichnet mä jede Deilruum, wo isomorph zun ere Ebeni im Sinn obedra isch, as en Ebeni.
Im ene dreidimensionale Euklidische Ruum isch en Ebeni drbii festgleit dur 
* drei nit kollineari Pünggt
* e Grade und e Punggt, wo nit uf dere Grade lit
* zwei Gradene, wo sich schniide, oder
* zwei paralleli Gradene
Ligge zwei gradi Linie windschief zunenander, so ligge si nit in ere gmeinsamen Ebeni. Denn git s zwei paralleli Ebene, wo in jeder drvo eini vo de Gradene isch.

Zwei verschiideni Ebene si äntwäder parallel oder schniide sich in ere Grade, si chönne im (dreidimensionale) Ruum aso nit windschief zunenander ligge.
Im erste Fall isch jedi Grade, wo zur ersten Ebeni sänkrächt isch, au sänkrächt zur zweite. D Lengi vo der Strecki, wo die Ebene uf son ere Grade begränze, bezeichnet mä as dr Abstand vo de Ebene.
Im zweite Fall betrachtet mä en Ebeni, wo zur Schnittgrade sänkrächt isch. Mit dere schniide sich die beiden erste Ebene in zwei grade Linie. Dr Winggel zwüsche dene Grade bezeichnet mä as Winggel zwüsche de beiden Ebene.

Noch dr Iifüehrig vo kartesische Koordinate bildet nit nume jede zweidimensionale Undervektorruum vo \mathbb R^n (bzw. K^n) en Ebeni, sondern au Translat dodrvo, wo dr Ursprung nit in ene lit, das si die affine zweidimensionale Underrüüm.

Nit jedes mathematische Objekt, wo under e Begriff vo der Ebeni fallt, cha mä as Deilruum vom ene entsprächende höcherdimensionale Ruum uffasse.
So isch d Moulton-Ebeni en affini Ebeni, wo der Satz vom Desargues drin nit gültig isch, währed er in jedem dreidimensionale affine Ruum&nbsp;– und dodrmit in jeder enthaltene Ebeni&nbsp;– immer gültig isch.

## D Ebenegliichig

Im Fall von ere Deilebeni vo höcherdimensionale Rüüm, bsundrigs vom \mathbb R^n, cha mä die Ebeni uf verschideni Wiise beschriibe mit geignete Gliichige für en Ortsvektor \vec r bzw. für d Koordinate x,y,z (und mänggisch no meh).

### Gliichige im dreidimensionale Ruum
Bekannt isch vor allem d *[[Normalgleichung|Normaleform]]* (oder die impliziti Form), won ä Normalvektor \vec n vo der Ebeni benutzt. Denn wird non e Zahl \lambda age, für zum d Position vo der Ebeni z bestimme, wil der Normalvektor nume d Schreglag vo der Ebeni festleit; er definiert e Schar vo parallele Ebene. \lambda isch s Resultat vo \vec n \cdot \vec p, wobii \vec p irgend e Punggt in der Ebeni repräsentiert. D Vektore \vec q vom Ursprung zum ene Punggt uf der Ebeni erfülle denn d Gliichig
:\vec n \cdot \vec q = \lambda .

Bispil:
: \vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} , \; \vec q = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} , \; \lambda = \vec n \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 5 \; : \quad x-2y+3z=5

En anderi gängigi Variante isch d *Parameterdarstellig*, bi welere e Punggt P uf der Ebeni ge isch und zwei linear unabhängigi Vektore \vec v_1, \vec v_2, wo sich uf der Ebeni befinde. S Chrüzprodukt vo dene beide Vektore git e Normalvektor:
:\vec v_1 \times \vec v_2 = \vec n .

D Ebeni wird definiert dur d Gliichig
:\vec q = P + s \cdot \vec v_1 + t \cdot \vec v_2

Jedes Wärtpärli s,t \in \mathbb{R} liiferet e Vektor \vec q zum ene Punggt uf der Ebeni. Dä Vektor erfüllt d Normalgliichig, wo oben agfüehrt isch.

D Bispileben, vo onenoch gseht in dr Parameterdarstellig eso us:
: P = (5,0,0), \; \vec v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} , \; \vec v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 
:  \vec q = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} 

### D Verallgemeinerige uf höchere Dimensione
In höcherdimensionale Rüüm \mathbb R^n funktioniert d Parameterdarstellig au witer.
Es git aber kei Chrüzprodukt meh, wo mä mit eme Normalvektor überchunnt, wo bis uf d Lengi eidütig bestimmt isch.
Anstatt vo däm muess mä e Verfahre, wo analog zur der Normalform isch, anders beschriibe.
Mä bruucht im Ganze n-2 linear unabhängigi Normalvektore zu der Ebeni und het denn für jede von ene e Gliichig vo der Form \vec n_i \cdot \vec r = b_i, i=1,\ldots,n-2, wo alli gliichziitig erfüllt müesse wärde.
Das cha mä zsämmefasse zu 
:A\cdot \vec r = \vec b,
wobii A e (n-2)\times n-Matrix und \vec b e Vektor mit n-2 Komponänte isch.
D Ziile vo A entspräche de \vec n_i, d Komponänte vo \vec b de b_i.
D Bedingig, ass d \vec n_i linear unabhängig müesse si, entspricht der Bedingig, ass A dr Rang n-2 muess ha.