Galileitransformation

D **Galileidransformazioon**, noch em Galileo Galilei, isch die äifachsti Koordinatedransformazioon, wo füsikalischi Beobachdige mit ere chönne umgrächnet wärde vo äim Bezuugssüsteem in en anders, wo sich gegenüber em erste Süsteem uf ere graade Linie und mit ere konstante Gschwindigkäit bewegt und/oder in dr Zit verschoobe isch. Alli Beobachdige vo Strecke, Winkel und Zitunderschiid si in bäide Bezuugssüsteem gliich. Alli Gschwindigkäite, wo mä beobachtet, underschäide sich um die konstanti Relativgschwindigkäit vo de bäide Bezuugssüsteem.

D Galileidransformazioon isch grundlegend für die klassischi Mechanik, denn si beschribt dört d Dransformazioon zwüsche zwäi Inerzialsüsteem. D Galileidransformatioone bilde e Grubbe, wenn si äini noch dr andere usgfüert wärde. Noch em Relatiwidäätsbrinzip vo dr klassische Mechanik müesse d Naturgsetz in Bezuug uf die Grubbe kovariant si.

Die Kovarianz im Bezuug uf d Galileidransformazioon isch bi de Maxwell-Gliichige vom Elektromagnetismus nid erfüllt. Noch deene isch d Liechtgschwindigkäit in alle Inerzialsüsteem gliich grooss, und das häi alli Beobachdige, wo gmacht worde si, au zäigt. Doorum muess d Galileidransformazioon dur d Lorentzdransformazioon ersetzt wärde. Das bildet dr Usgangspunkt für die spezielli Relatiwidäätstheorii. D Lorentzdransformazioon isch bi chliine Gschwindigkäite braktisch gliich dr Galileidransformazioon, und doorum wärde im alldääglige Brobleem immer no die klassischi Mechanik mit dr Galileidransformazioon brucht.

## D Galileidransformazioon und d Erhaltigssetz
D Naturgsetz ändere sich nit bi dr Galileidransformazioon. Dr Usgang vom ene Experimänt blibt gliich, wemm mä si Ort ere Galileidransformazioon underwirft. E Verschiebig vom Ort, oder in dr Zit, oder au dr Usrichig nooch ändere nüt. Ere sonige Inwarianz säit mä au Sümmetrii. Noch em Noether-Theorem isch jedi sonigi Sümmetrii mit eme Erhaltigssatz verchnüpft. Wäge dr Inwarianz vo de Naturgsetz under dr Galileidransformazioon si doorum d Erhaltigssetz vo dr klassische Mechanik richdig. Das si
* d Folg vo dr Inwarianz bi dr Verschiebig vom Ort isch, ass dr Impuls erhalte blibt.
* d Folg vo dr Inwarianz bi dr Verschiebig in dr Zit isch, ass d Energii erhalte blibt.
* d Folg vo dr Inwarianz bi dr Dräijig isch, ass dr Dräiimpuls erhalte blibt.

## Mathematischi Beschriibig

### Verschiebig ere Aggse nooch
E bsundrigs äifachi Galileidransformazioon isch wenn dr Ursprung dr x-Aggse vom ene kartesische Koordinatesüsteem nooch verschoobe wird. Si git aa, wie mä d Koordinate x,y,z,t muess verändere, zum e füsikalischs Süsteem vom ene Ursprung, wo um d Strecki x_0 verschobe wird zu de Koordinate x',y',z',t', z beschriibe. D Koordinate uf dr y-Aggse, dr z-Aggse und in dr Zit bliibe gliich. Zur x-Koordinate wird dr Wärt x_0 addiert. In Formle also:
: 
x'=x + x_0, \quad
y'=y,\quad
z'=z,\quad \mathrm{und} \quad
t'=t


### Dräiti Bezuugssüsteem
D Koordinatenaggse vo de Bezuugssüsteem müesse nid in die gliichi Richdig zäige. Mathematisch müesse denn d Koordinate umgrächnet wärde, und d Formle, wemm mä s nid vektoriell schribt, si denn eender lang.

### Die allgemäinsti Form
D Galileidransformazioon in iirer allgemäinste Form wird bin ere Dräijig *noch* dr Dranslazion denn zu

: \vec{s'}=\mathbf{a} \cdot (\vec{s}-t \cdot \vec{v} + \vec{s_0}),\quad t'=t - t_0

bzw. wenn d Dräijig *vor* dr Dranslazioon usgfüert wird

: \vec{s'}=\mathbf{a} \cdot \vec{s}-t \cdot \vec{v} + \vec{s_0},\quad t'=t - t_0.

\mathbf{a} isch d Dräimatrix

: \mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_{xx} & a_{xy} & a_{xz} \\
                                 a_{yx} & a_{yy} & a_{yz} \\
                                 a_{zx} & a_{zy} & a_{zz} \end{pmatrix}


E gültigi Dräimatrix isch z.&nbsp;B. (45° Winkel um d *z*-Aggse)

: \mathbf{a}=\begin{pmatrix}\sqrt{\frac{1}{2}} & -\sqrt{\frac{1}{2}} & 0 \\
                                \sqrt{\frac{1}{2}} & \sqrt{\frac{1}{2}}  & 0 \\
                                 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}