Trigonometrie

D **Trigonometrii** (gr.  *trígonon* „Dreiegg“ und  *métron* „Mass“) isch e wichtigs Deilgebiet vo dr Geometrii und eso vo dr Mathematik. Die *ebeni Trigonometrii* behandlet trigonometrischi Frooge in dr Ebeni (Planimetrie); drnäbe git s die sphärischi Trigonometrii, wo sech mit Chugeldreiegg (sphärische Dreiegg) befasst, und die hyperbolischi Trigonometrii.

## Ebeni Trigonometrii
D Grundufgob vo dr Trigonometrii bestoht us dr Berächnig vo gwüsse Grössene vom e Dreiegg wenn drei anderi Grössene (Siitelengi, Winkelgrösse, Lengi vo Dreieggstransversale usw.) ge si. Als Hilfsmiddel wärde die trigonometrische Funktione (Winkelfunktione, Kreisfunktione, goniometrischi Funktione): sin (Sinus), cos (Kosinus), tan (Tangens), cot (Kotangens), sec (Sekans) und csc (Kosekans) verwändet. Trigonometrischi Berächnige chönne sech aber au uf komplizierteri geometrischi Objekt bezieh, bispilswiis uf Polygon (Vilegg), uf Problem vo dr Stereometrii (Ruumgeometrii) und uf Frooge us vile andere Gebiet.
### Trigonometrie im allgemeinen Dreieck
Für beliebigi Dreiegg (im Allgemeine ohni rächte Winkel) si Formle entwigglet worde, won es möglig mache, unbekannti Siitelenge oder Winkelgrösse zu bestimme. Die wichdigste si dr Sinussatz und dr Kosinussatz. D Verwändig vom Sinussatz

:\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

isch sinnvoll, wenn von eme Dreiegg äntwäder zwei Siite und ein vo de beide Winkel, wo gegenüber lige, oder ei Siite und zwei Winkel bekannt si. Dr Kosinussatz 

:a^2 \, = \, b^2 + c^2 - 2 b c \cos\alpha
:b^2 \, = \, a^2 + c^2 - 2 a c \cos\beta
:c^2 \, = \, a^2 + b^2 - 2 a b \cos\gamma

macht s möglich, äntwäder us drei Siite d Winkel uszrächne oder us zwei Siite und ihrem Zwüschewinkel die Siite, wo gegenüber lit. Wiiteri Formle si dr Tangenssatz, dr Halbwinkelsatz (Kotangenssatz) und die mollweidesche Formle.

### Eigeschafte und Formle

Die sächs trigonometrische Funktione (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Secans, Kosecans) hai gwüssi Eigeschafte und Beziehige underenander. Bsundrigs hüfig wärde d Komplementärformle für Sinus und Kosinus bruucht

:\sin(90^\circ-\alpha) \, = \, \cos\alpha
:\cos(90^\circ-\alpha) \, = \, \sin\alpha

und dr trigonometrischi Pythagorassatz

:\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \, = 1

Wichtig si au d Additionstheorem vo de trigonometrische Funktione und d Folgerige drus. Es goht drbii um trigonometrischi Wärt vo Summen oder Differänze vo Winkel. So gültet zum Bispil für d Sinusfunktion:

:\sin(\alpha\pm \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta \pm \cos\alpha \cdot \sin\beta
:  \cos (\alpha\pm\beta) = \cos\alpha \; \cos\beta \mp \sin\alpha \; \sin\beta 
:\cos u + \cos v =  2\cos\frac{u+v}{2} \cos\frac{u-v}{2}
:\cos u - \cos v = -2\sin\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}
:\sin u + \sin v =  2\sin\frac{u+v}{2} \cos\frac{u-v}{2}
:\sin u - \sin v =  2\cos\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}

### Trigonometrii im rächtwinklige Dreiegg

Bsundrigs eifach isch d Trigonometrii vom rächtwinklige Dreiegg. Wil d Winkelsumme vom ene Dreiegg 180° bedräit, isch dr rächti Winkel vo som ene Dreiegg immer dr grösst Innewinkel. Ihm lit die lengsti Siite (als Hypotenuse bezeichnet) gegenüber. De beide chürzere Siite vom Dreiegg sait me Kathete. Wenn me sech uf ein vo de beide chliinere Winkel bezieht, isch es sinnvoll, zwüsche dr Gegekathete, wo im Winkel wo ge isch gegenüber lit) und dr Akathete (wo näben em Winkel wo ge isch lit) z underscheide. 

Me definiert:

:\mbox{Sinus vom Winkel wo ge isch} = \frac{\mbox{Gegekathete}}{\mbox{Hypotenuse}}

:\mbox{Kosinus vom Winkel wo ge isch} = \frac{\mbox{Akathete}}{\mbox{Hypotenuse}}

:\mbox{Tangens vom Winkel wo ge isch} = \frac{\mbox{Gegekathete}}{\mbox{Akathete}}

:\mbox{Kotangens vom Winkel wo ge isch} = \frac{\mbox{Akathete}}{\mbox{Gegekathete}}

:\mbox{Sekans vom Winkel wo ge isch} = \frac{\mbox{Hypotenuse}}{\mbox{Akathete}}

:\mbox{Kosekans vom Winkel wo ge isch} = \frac{\mbox{Hypotenuse}}{\mbox{Gegekathete}}

Drbii isch s nit ganz sälbstverständlig, ass die Definitione sinnvoll si. Vom betrachtete Dreiegg si nämlig nume d Grösse vo de Winkel bekannt, nit aber d Siitelengene. Verschiideni rächtwinkligi Dreiegg mit em gliiche Winkel si aber immerhin underenander ähnlig, sodass si in ihre Siiteverhältniss überiistimme. zum Bispil chönnt eis vo dene Dreieg dopplet so langi Siite ha wie s andere. D Brüch vo de Definitionsgliichige hätte in däm Fall die gliiche Wärt. Die Wärt hänge aso nume vom Winkel ab. Us däm Grund isch s sinnvoll, vo Funktione vo de Winkel z rede.