Energieerhaltungssatz

Dr **Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii** säit, ass d Gsamtenergii vom ene isolierte Süsteem sich mit dr Zit nid änderet. Zwar cha Energii vo äinere Form in en anderi umgwandlet wärde, zum Bischbil Beweegigsenergii in Wermienergii. Es isch aber ummöglig, as innerhalb vom ene abgschlossnige Süsteem Energii erzügt oder vernichdet wurd: D Energii isch e Gröössi wo erhalte blibt. 

D Erhaltig vo dr Energii gältet as e wichdigs Brinzip vo alle Naturwüsseschafte, und dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii goot eso:
:*D Gsamtenergii im ene abgschlossnige Süsteem blibt konstant.* (Evor = Enach) 

Under eme *abgschlossnige Süsteem* verstoot mä e Süsteem ooni Usdusch vo Energii, Informazione oder Stoff mit dr Umgääbig und ooni Wäggselwirkig mit ere.

Dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii cha mä mit Hilf vom Noether-Theorem vo dr Daatsach abläite, ass d Gsetz vo dr Füsik, wo für das Süsteem gültig si, nid vo dr Zit abhänge.

Wemm mä in dr Umgangssprooch drotzdäm vo *Energiiverbruuch*, *Energieverschwändig*, *Energiispare* und *Energieverlust* cha schwätze, denn isch s dorum, wil uf dr äinte Site d Ärde kä abgschlossnigs Süsteem isch, und uf dr andere Site dr Mensch und anderi Forme vo Lääbe uf dr Ärde Energii nume in bestimmte Forme cha nütze. Mä reedet also vom Verlust vo Energiiforme, wo technisch oder biologisch *liicht* chönne usgnützt wärde. 

## Dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii in dr Mechanik vom Newton

Wenn sich Däili im ene konservative Chraftfäld beweege, denn isch d Summe vo dr kinetische Energii T und dr potenzielle Energii V, d Gsamtenergii  E = T + V, und die blibt konstant. Drbii isch d Chraft dr negativi Gradiänt vo dr potentielle Energii, wo men im Schargon vilmol äifach as Potenzial bezäichnet. 

:\mathbf{F} = - \nabla V .

Wemm mä e Däili mit dr Zit t im ene sonige Chraftfäld uf irgend wele Wääg \mathbf x(t) vom ene Aafangspunkt zum ene Ziilpunkt bewegt, so isch für d Arbet, wo mä drbii läistet, dr Wääg egaal. Die gläisteti Arbet isch unabhängig vom Wääg und isch d Differänz vo de potenzielle Energie am Aafang und am Ziil.

Für e Däili mit mere konstante Masse und dr potenzielle Energii V gälte d Beweegigsgliichige vom Newton:

:m\ddot{\mathbf{x}} = \mathbf{F} = -\nabla V

und

:\begin{align}
m\ddot{\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}} &= -(\nabla V)\dot{\mathbf{x}}\\
 &= - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial V}{\partial x_i} \; \frac {d x_i}{dt}\\
 &= - \frac {dV}{dt}
\end{align}


Wemm mä noch dr Zit integriert, bechunnt mä d Arbet über irgend e füsikalischi Baan üüber, wo stückwiis stetig differenzierbar isch und die potenzielle Energie V_1 am Aafang und V_2 am Ziil het:

:\begin{align}
\int_{t1}^{t2} m\ddot{\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}} dt &= - \int_{V1}^{V2} dV\\
T_2 - T_1 &= -V_2 + V_1
\end{align}

do wird \textstyle m\ddot{\mathbf{x}}\dot{\mathbf{x}} = \frac d{dt} \frac m2 (\dot{\mathbf{x}})^2 as kinetischi Energii, wo noch dr Zit abgläitet wird, identifiziert, wo dur d Arbet, wo mä bim Beweege vom Däili läistet, gröösser wird.

Wemm mä d Term e chli umstellt, bechunnt mä:
:T_1 + V_1 = T_2 + V_2.

D Summe vo dr kinetische und dr potenzielle Energii isch noch em Verschiebe vom Körper die gliichi. Das isch dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii.

Wemm mä zum Bischbil bim ene Pändel d Riibig cha vernoochläässige, so änderet sich d Summe vo dr potenzielle und dr kinetische Energii nid mit dr Zit. Wemm mä em Pändel e Schupf git, so schwingt s zwüsche zwäi Pünkt hin und häär und het si grössti Gschwindigkäit dört, wo s Potenzial am chliinste isch. An de Pünkt, wo sich d Beweegig umdräit, isch die kinetischi Energii Null und die potenzielli Energii am grösste. Wo s Pändel au immer grad isch, d Summe vo dr kinetische und dr potenzielle Energii isch immer so grooss, wie d Energii, wo s Pändel vom Schupf am Aafamg überchoo het.

## Dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii in dr Thermodünamik

Jedes thermodünamischi Süsteem het e bestimmte „Vorroot“ an Energii. Dä isch zämmegsetzt us eme üssere Däil E_a und eme innere Däil E_i (inneri Energii). D Summe vo de bäide Däil isch gliich dr Gsamtenergii vom ene thermodünamische Süsteem, wobii in dr chemische Thermodünamik d Änderig vom üssere Däil gliich Null isch (\mathrm dE_a=0). Under dere Vorussetzig bechunnt mä dr erst Hauptsatz vo dr Thermodünamik:

*„Die inneri Energii isch en Äigeschaft vo de stofflige Bestanddäil vom ene Süsteem und cha niid erzügt oder vernichdet wärde. Die inneri Energii isch e [[Zustandsgröße|Zuestandsgröössi]].“*

Für abgschlosseni Süsteem gilt doorum, ass die inneri Energii konstant isch, sich also nid veränderet. Für gschlossnigi Süsteem säit dr ersti Hauptsatz vo dr Thermodünamik:

:\qquad \mathrm dU= \delta Q + \delta W

* U – inneri Energii
* Q – Wermi
* W – Arbet

## Dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii in dr Elektrodünamik

Dr Satz vom Poynting beschribt d Erhaltig vo dr Energii in dr Elektrodünamik.
Er verallgemäineret dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii uf elektromagnetischi Fälder. Wemm men en seer veräifacht, denn säit er, ass en elektromagnetischs Fäld Arbet cha läiste, wenn s drbii „schwecher“ wird. 

## Dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii in dr Relatiwidäätstheorie

E relativistischs Däili mit dr (Rue-)Masse m, wo sich mit dr Gschwindigkäit v bewegt, het d Energii
:E(v) = \frac{m\, c^2}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} 
wobii c d Liechtgschwindigkäit isch. Wenn s ruet isch d Energii
:E_{\text{Ruhe}} = m\, c^2\,.
Für chliini Gschwindigkäite (Taylorentwigglig in (v/c)^2) bechunnt mä für d Rueenergii d Newtonschi kinetischi Energii üüber
:E \sim m\, c^2 +\frac{1}{2}m v^2\,.
Bi hoochenergetische Däili cha mä mässe ass die Nööcherig falsch isch. Nume d Summe vo de relativistische Energie blibt in Reakzioone vo Däili erhalte.

## Dr Satz vo dr Erhaltig vo dr Energii in dr Kwantemechanik

D Energii vo kwantemechanische Zueständ blibt erhalte, wenn dr Hamiltonoperator nit vo
dr Zit abhängt. Allerdings sin vili kwantemechanische Zueständ, nämlig alli, wo sich mit dr Zit mässbar änder, käini Energiiäigezueständ. In iine isch aber wenigstens dr Erwartigswärt vo dr Energii erhalte.

## Fuessnoote