Waarskynlikheidsleer

**Waarskynlikheidsleer** is 'n tak van wiskunde wat handel oor die analise van lukrake verskynsels. Die sentrale konsepte in waarskynlikheidsleer is stogastiese veranderlikes, stogastiese prosesse, en gebeurtenisse: wiskundige abstraksies van nie-deterministiese gebeurtenisse of gemete hoeveelhede wat óf eenmalig plaasvind óf oor 'n tydperk klaarblyklik lukraak ontwikkel. Alhoewel 'n enkele gooi van 'n munt of 'n dobbelsteen 'n stogastiese gebeurtenis is, toon herhaalde gooi pogings sekere statistiese patrone, wat bestudeer en voorspel kan word. Twee verteenwoordigende wiskundige resultate wat sulke patrone beskryf, is die wet van groot getalle en die sentrale limiet stelling.

Waarskynlikheidsleer is 'n grondslag van statistiek en is belangrik vir baie menslike aktiwiteite wat die kwantitatiewe analise van groot datastelle raak. Waarskynlikheidsleer metodes is ook van toepassing op komplekse sisteme waar slegs gedeeltelike kennis van die sisteem se toestand bekend is; dit is b.v. die geval in statistiese meganika. 'n Groot ontdekking van twintigste eeuse fisika is die probabilistiese gedrag van natuurverskynsels op die atomiese vlak, wat beskryf word in kwantummeganika.

## Geskiedenis 
Die wiskundige teorie van waarskynlikheid het sy oorsprong in pogings om kansspelle te analiseer. Dit pogings het begin met Gerolamo Cardano in die sestiende eeu, wie gevolg is deur Pierre de Fermat en Blaise Pascal in die sewentiende eeu (sien b.v. die punteprobleem).

Aanvanklik het waarskynlikheidsleer slegs oor **diskrete** gebeurtenisse gehandel, en die metodes was hoofsaaklik kombinatories van aard. Uiteindelik het analitiese oorwegings die insluiting van **kontinue** veranderlikes in die teorie genoodsaak. Hierdie het gelei tot moderne waarskynlikheidsleer, waarvan die grondslae deur Andrey Nikolaevich Kolmogorov neergelê is. Kolmogorov het die konsep van die steekproefruimte, wat voorgestel is deur Richard von Mises, en **maatteorie** verenig en sy aksiomatiese sisteem in 1933 bekend gemaak. Hierdie aksiomas het vinnig die onbestrede aksiomatiese basis vir moderne waarskynlikheidsleer geword.

## Voorlegging 
Die meeste inleidings tot waarskynlikheidsleer hanteer diskrete waarskynlikheidsverpreidings en kontinue waarskynlikheidsverdelings afsonderlik. Die meer wiskundig gevorderde maatteorie hanteer beide diskrete en kontinue waarskynlikheidsverdelings, enige mengsel van hierdie twee en ook ander konsepte.

### Diskrete waarskynlikheidsverdelings 
**Diskrete waarskynlikheidsleer** handel oor gebeurtenisse wat plaasvind in aftelbare steekproefruimtes.

Voorbeelde: Die gooi van 'n dobbelsteen, eksperimente met speelkaarte en toevalsbeweging.

**Klassieke definisie:**
Aanvanklik was die waarskynlikheid dat 'n gebeurtenis sou plaasvind gedefinieer as die aantal uitkomste ten gunste van die gebeurtenis gedeel deur die totale aantal moontlike gebeurtenisse in 'n ewekansige proefsteekruimte.

B.v., as 'n gebeurtenis die "voorkoms van 'n ewe getal wanneer 'n dobbelsteen gerol word" is, kan die waarskynlikheid bereken word as \tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}, omdat 3 dobbelsteen sye uit die 6, ewe waardes (2, 4, 6) bevat, en omdat elke sy dieselfde waarskynlikheid het om vertoon te verskyn.

**Moderne definisie:**
Die moderne definisie begin met 'n versameling wat die **steekproefruimte** genoem word. Dit is verwant aan die versameling van alle *moontlike uitkomste* in die klassieke sin en word aangedui deur \Omega=\left \{ x_1,x_2,\dots\right \}. 'n Nodige aanname is dat vir elke element x \in \Omega\,, daar 'n gepaardgaande "waarkynlikheidwaarde" f(x)\, is, wat die volgende eienskappe bevredig:
# f(x)\in[0,1]\mbox{ for all }x\in \Omega
# \sum_{x\in \Omega} f(x) = 1

D.w.s. dat die waarskynlikheidsfunksie f(x) tussen nul en een lê vir elke waarde van x in die steekproefruimte \Omega en dat die sommasie van f(x) oor alle waardes van x in die steekproefruimte \Omega, gelyk is aan 1. 'n **gebeurtenis** word gedefinieer as enige subversameling E\, van die steekproefruimte \Omega,. Die **waarskynlikheid** van die gebeurtenis E\, word gedefinieer as
: P(E)=\sum_{x\in E} f(x)\,

Dus is die waarskynlikheid van die hele steekproefruimte 1 en die waarskynlikheid van die lêe gebeurtenis is 0.

Die funksie f(x)\, wat 'n punt in die steekproefruimte op 'n "waarskynlikheidswaarde" afbeeld staan bekend as 'n *waarskynlikheidsmassafunksie*. Die moderne definisie poog nie om te beantwoord hoe waarskynlikheidsmassafunksies verkry word nie, maar maak die aanname dat hulle bestaan.

### Kontinue waarskynlikheidsverdelings 
**Kontinue waarskynlikheidsleer** handel oor gebeurtenisse wat plaasvind in 'n kontinue proefsteekruimte.

**Klassieke definisie:**
Die klassieke definisie kan nie gebruik word om die kontinue geval te beskryf nie. Sien Bertrand se paradoks.

**Moderne definisie:**
As die proefsteekruimte die reële getalle (\mathbb{R}) is, word dit aangeneem dat 'n sogenaamde **kumulatiewe verdelingsfunksie** F\, bestaan, wat van so aard is dat P(X\le x) =  F(x)\, geld vir 'n stogastiese veranderlike X. D.w.s. dat F(x) die waarskynlikheid dat X minder of gelyk aan x sal wees, bereken.

Die kumulatiewe verdelingsfunksie moet die volgende eienskappe bevredig:
# F\, is 'n monotone nie-afnemende, regs-kontinue funksie,
# \lim_{x\rightarrow -\infty} F(x)=0,
# \lim_{x\rightarrow \infty} F(x)=1.

As F\, differensieerbaar is, sê mens dat die stogastiese veranderlike X 'n **waarskynlikheidsdigtheidsfunksie** of net **digtheid** f(x)=\frac{dF(x)}{dx}\, het.

Vir 'n versameling E \subseteq \mathbb{R}, is die waarskynlikheid dat die stogastiese veranderlike X in E\, is gedefinieer as:
: P(X\in E) = \int_{x\in E} dF(x).

As die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie bestaan, kan dit geskryf word as:
: P(X\in E) = \int_{x\in E} f(x)\,dx.

Waar die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie slegs vir kontinue stogastiese veranderlikes bestaan, bestaan die kumulatiewe verdelingsfunksie vir alle stogastiese veranderlikes (inkluis diskrete stogastiese veranderlikes) wat waardes oor \mathbb{R} aanneem.

Hierdie konsepte kan veralgemeen word vir veeldimensionele gevalle oor \mathbb{R}^n en ander kontinue steekproefruimtes.

### Maatteoretiese waarskynlikheidsleer 
Die bestaansrede van die maatteoretiese behandeling van waarskynlikheidsleer is dat dit die diskrete en die kontinue verenig, en die verskil laat afhang van die gekose maat. Verder dek dit verdelings wat nóg diskreet nóg kontinu is. 'n Voorbeeld van so 'n verdeling kan 'n mengsel van diskrete en kontinue verdelings wees, b.v. die sommasie van 'n diskrete en 'n kontinue stogastiese veranderlike sal nóg 'n waarskynlikheidsmassafunksie nóg 'n waarskynlikheidsverdelingsfunksie hê. Ander verdelings sal moontlik nie eers mengsels wees nie; b.v. die Cantor-verdeling het geen punt massa en geen digtheid nie. Die moderne waarskynlikheidsleer benadering oorkom hierdie probleme deur die gebruik van maatteorie om die steekproefruimte te definieer:

Gegee 'n versameling \Omega, (ook genoem die **steekproefruimte**) en 'n σ-algebra \mathcal{F}\, oor hierdie versameling, word 'n maat P 'n **waarskynlikheidsmaat** genoem as
# P\, nie-negatief is,
# P(\Omega)=1.

As \mathcal{F}\, 'n Borel σ-algebra is, dan bestaan daar 'n unieke waarskynlikheidsmaat op \mathcal{F}\, vir enige kontinue verdelingsfunksie, en omgekeerd. Mens sê dat die maat wat ooreenstem met 'n kontinue verdelingsfunksie **geïnduseer** word deur dié verdelingsfunksie. Hierdie maat val saam met die waarskynlikheidsmassafunksie vir diskrete veranderlikers en die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie vir kontinue veranderlikes, wat die maatteoretiese benadering bevry van teenstrydighede.

Die *waarskynlikheid* van 'n versameling E\, in die σ-algebra \mathcal{F}\, word gedefinieer as
: P(X\in E) = \int_{x\in E} dF(x)\,
waar die integrasie met respek tot die maat is wat geïnduseer word deur F\,.

Tesame met 'n beter beskrywing van en die vereniging van diskrete en kontinue waarskynlikhede, maak die maatteoretiese behandeling dit moontlik om te week met waarskynlikhede buite \mathbb{R}^n, soos in die teorie van stogastiese prosesse. B.v. in die studie van Brownse beweging, word waarskynlikheid gedefinieer oor 'n ruimte van funksies.

## Waarskynlikheidsverdelings 
Sommige stogastiese veranderlikes kom gereeld in waarskynlikheidsleer voor omdat hulle talle natuurlike of fisiese prosesse goed beskryf. Hul verdelings het daarom *spesiale belangrikheid* in waarskynlikheidsleer verwerf. Enkele grondliggende *diskrete verdelings* is die diskrete uniforme, Bernoulli-, binomiaal, negatiewe binomiaal-, Poisson- en meetkundige verdelings. Belangrike *kontinue verdelings* sluit die kontinue uniforme, normaal-, eksponensiaal-, gamma- en beta- verdelings in.

## Konvergensie van stogastiese veranderlikes 
In waarskynlikheidsleer is daar talle begrippe m.b.t. die konvergensie van stogastiese veranderlikes. Hulle word hier onder in die orde van hul krag verskaf – dit is, elke opvolgende begrip van konvergensie in die lys impliseer konvergensie in ooreenstemming met al die voorafgaande begrippe.

: **Konvergensie in verdeling:** Soos die insinueer, konvergeer 'n reeks stogastiese veranderlikes X_1,X_2,\dots,\, na 'n stogastiese veranderlike X\, **i.t.v. verdeling** as hul onderskeidelike kumulatiewe **verdelingsfunksies** F_1,F_2,\dots\, konvergeer na 'n kumulatiewe verdelingsfunksie F\, van X\,, orals waar F\, kontinu is.

:: *Mees algemene afkortingsnotasie:* X_n \, \xrightarrow{\mathcal D} \, X

: **Swak konvergensie:** Mens sê dat die reeks stogastiese veranderlikes X_1,X_2,\dots\, *swak* konvergeer na 'n stogastiese veranderlike X\, as \lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|X_n-X\right|\geq\varepsilon\right)=0 vir elke &epsilon; > 0. Swak konvergensie staan ook bekend as **konvergensie in waarskynlikheid**.

:: *Mees algemene afkortingsnotasie:* X_n \, \xrightarrow{P} \, X

: **Sterk konvergensie:** Mens sê dat die reeks stogastiese veranderlikes *sterk* X_1,X_2,\dots\, na 'n stogastiese veranderlike X\, konvergeer as P(\lim_{n\rightarrow\infty} X_n=X)=1. Sterk konvergensie staan ook bekend as **byna sekere konvergensie**.

:: *Mees algemene afkortingsnotasie:* X_n \, \xrightarrow{\mathrm{a.s.}} \, X

Intuïtiewelik is *strek* konvergensie 'n sterker weergawe van die *swak* konvergensie, en in beide gevalle toon die stogastiese veranderlikes X_1,X_2,\dots\, toenemende korrelasies met X\,. Nogtans, in die geval van *konvergensie in waarskynlikheid*, hoef die verwesenlikte waardes nie te konvergeer nie, en is enige moontlike korrelasie tussen hulle onbelangrik.

## Die wet van groot getalle 
'n Mens se intuïsie voorspel dat as 'n ewewigtige munt 'n groot aantal kere opgegooi word, dit *na skatting* die helfte van die tyd *koppe*sal oplewer en die ander helfte van die tyd *sterte* sal oplewer. Boonop sal die verhouding van die aantal *koppe* tot *sterte* 'n waarde van een benader soos wat die munt meer opgegooi word. Moderne waarskynlikheidsleer verskaf 'n formele weergawe van hierdie intuïtiewe idee wat bekend staan as die **wet van groot getalle**. Hierdie wet is merkwaardig omdat dit nêrens in die grondslae van waarskynlikheidsleer veronderstel word nie, maar eerder tot verskyning kom uit die grondslae in die vorm van 'n stelling. Omdat dit die teoreties-afgeleide waarskynlikhede aan hul werklike verspreidingsfrekwensies in die regte wêreld skakel, word die wet van groot getalle geag as 'n steunpilaar van moderne statistiese teorie.http://www.leithner.com.au/circulars/circular17.htm 

Die **wet van groot getalle** (WGG; LLN in Engels) voer aan dat die steekproefgemiddelde \overline{X}_n=\tfrac1n{\sum X_n} van X_1,X_2,...\, (onafhanklik en identies verdeelde stogastiese veranderlikes met eindige verwagtinge \mu) na die teoretiese verwagting \mu konvergeer.

Dit is die verskillende vorms van die konvergensie van stogastiese veranderlikes wat die *swak* en *sterk* wette van groot getalle onderskei.

: **Swak wet: **\overline{X}_n \, \xrightarrow{P} \, \mu \qquad\textrm{vir}\qquad n \to \infty.

: **Sterk wet:** \overline{X}_n \, \xrightarrow{\mathrm{a.s.}} \, \mu \qquad\textrm{vir}\qquad n \to \infty .

'n Gevolg van die WGG is dat wanneer 'n gebeurtenis met waarskynlikheid *p* herhaaldelik gedurende onafhanklike eksperimente waargeneem word, die verhouding tussen die waargenome frekwensie van daardie gebeurtenis en die totale aantal herhalings na *p* toe sal konvergeer.

Om hierdie uit te druk i.t.v. stogastiese veranderlikes en die WGG, is Y_1,Y_2,...\, onafhanklike Bernoulli stogastiese veranderlikes wat gelyk aan 1 is met 'n waarskynlikheid *p* en gelyk aan 0 is met 'n waarskynlikheid 1-*p*. \textrm{E}(Y_i)=p vir alle *i* en dit volg van die LLN dat \frac{\sum Y_n}{n}\, byna sekerlik na *p* toe konvergeer.

## Sentrale limietstelling 
Die **sentrale limietstelling** verduidelik die gereelde voorkoms van die normaalverdeling in die natuur; dit is een van die mees beroemde stellings in die waarskynlikheidsleer en statistiek.

Die stelling voer aan dat die gemiddelde van talle onafhanklike en identies verdeelde stogastiese veranderlikes na 'n normaalverdeling streef, *ongeag* die verdeling wat deur die oorspronklike stogastiese veranderlikes gevolg is. Meer formeel, laat X_1,X_2,\dots\, onafhanklike stogastiese veranderlikes met gemiddeldes \mu_1,\mu_2,\dots\,, en variansies \sigma_1^2,\sigma_2^2,\dots\, wees. Dan konvergeer die reeks stogastiese veranderlikes
: Z_n=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu_i)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}}
volgens verdeling na 'n standaard normaal stogastiese veranderlike.

## Kyk ook 
* Permutasie
* Kombinasie

## Bibliografie 
* 
:: Die eerste groot verhandeling wat die kalkulus met waarskynlikheidsleer saamsmelt, oorspronklik in Frans: *Théorie Analytique des Probabilités*.

* 
:: Die moderne maatteoretiese grondslag van waarskynlikheidsleer; die oorspronklike Duitse weergawe (*Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung*) het in 1933 verskyn.

* 

* 
:: 'n Lewendige inleiding tot waarskynlikheidsleer vir die beginner.

* 

## Verwysings