Massa

**Massa** (simbool: **m**) is 'n eienskap van fisiese voorwerpe wat rofweg gesproke 'n maatstaf is van die hoeveelheid materie wat hulle bevat.  Dit is 'n sentrale begrip van klassieke meganika en verwante vakke.

Streng gesproke is daar twee verskillende hoeveelhede wat *massa* genoem word:

* *Traagheidsmassa*  van 'n voorwerp:  die weerstand van 'n voorwerp om sy bewegingstoestand te verander wanneer 'n krag daarop uitgeoefen word.  'n Voorwerp met 'n klein traagheidsmassa verander meer geredelik sy beweging en 'n voorwerp met 'n groot traagheidsmassa doen dit minder geredelik.

* *Passiewe swaartekragmassa* is 'n maatstaf van die sterkte van 'n voorwerp se interaksie met die swaartekragveld.  Binne dieselfde gravitasieveld word 'n kleiner krag op 'n voorwerp met 'n kleiner passiewe swaartekragmassa uitgeoefen as een met 'n groter passiewe swaartekragmassa.  (Die krag word die gewig van 'n voorwerp genoem.)

* *Aktiewe swaartekragmassa* is 'n maatstaf van die sterkte van die swaartekragveld van 'n spesifieke voorwerp.  Die swaartekragveld wat 'n mens byvoorbeeld op die Maan ervaar is swakker as dié op die Aarde omdat die maan 'n kleiner aktiewe swaartekragmassa het.

Alhoewel traagheidsmassa, passiewe swaartekragmassa en aktiewe swaartekragmassa onderskeibare begrippe is, is geen eksperiment ooit uitgevoer om onomwonde bewys te lewer dat hulle verskillende begrippe is nie.  Een van die gevolge van die gelykheid van traagheidsmassa en passiewe massa is die feit, soos deur Galileo Galilei bewys is, dat voorwerpe met verskillende massas teen dieselfde tempo val wanneer ander faktore soos lugweerstand weglaatbaar is.  Die algemene relatiwiteitsteorie, die mees akkurate teorie oor swaartekrag tans bekend aan fisici, berus op die aanname dat traagheidsmassa en passiewe swaartekragmassa geheel en al dieselfde is. Dit staan as die swak gelykwaardigheidsbeginsel bekend.  Standaard algemene relatiwiteit aanvaar ook die gelykheid van traagheidsmassa en aktiewe swaartekragmassa.  Hierdie gelykheid word ook somtyds die sterk gelykwaardigheidsbeginsel genoem.

Indien 'n mens traagheidsmassa *m*i, passiewe swaartekragmassa *m*p en aktiewe swaartekragmassa *m*a as afsonderlike begrippe sou hanteer dan neem Newton se universele swaartekragwet die volgende vorm aanneem:

: m_ia=\frac{Gm_pm_a}{r^2}.

## Verskil tussen massa en gewig 
duimnael|203px|links|'n Balans-weegskaal: Nie beïnvloed deur die swaartekrag dus weeg hy massa.
duimnael|250px|Load-sel gebaseerde badkamerskaal: beïnvloed deur die swaartekrag dus weeg hy gewig.
Informeel word gewig dikwels as sinoniem vir *massa* gebruik omdat die sterkte van die swaartekragveld rofweg eweredig is oor die oppervlak van die Aarde. In die praktyk wissel dit met ongeveer 0,5% tussen die pole, waar dit ongeveer 9,832&nbsp;ms-2 het en die ewenaar waar dit ongeveer 9,780&nbsp;ms-2 is. In die fisika is daar egter 'n duidelike onderskeid tussen die terme: 'n voorwerp sal 'n groter gewig hê as dit in 'n sterker swaartekragveld geplaas word, maar sy passiewe swaartekragmassa bly onveranderd.

Om dit meer eenvoudig te verduidelik: 'n voorwerp se **massa** bly altyd dieselfde ongeag waar dit is maar sy **gewig** sal kleiner wees wanneer dit op die maan is (), groter wanneer dit op die aarde is () en nog groter wanneer dit om Jupiter is ().

## Massa eenhede 
In die SI stelsel van eenhede, word massa in kilogram (kg) gemeet.  Baie ander massa eenhede word ook gebruik, soos:  gram (g), metrieke ton, pond, ons, kwintal, atoommassa-eenheid, Planck massa, sonmassa en eV/c2.

Laasgenoemde eenheid is gebaseer op die elektronvolt (eV), wat normaalweg gebruik word as 'n eenheid van energie.  Omdat daar egter 'n relatiwistiese verband tussen rusmassa en energie bestaan, *E = mc2* (sien hieronder), is dit moontlik om enige eenheid van energie te gebruik as 'n massa eenheid.  In partikelfisika waar massa en energie dikwels uitgeruil word, is dit algemeen om nie net eV/c2 te gebruik nie maar selfs eenvoudig eV as 'n massa eenheid te gebruik (rofweg gelykstaande aan  1.783 × 10-36 kg).

Omdat die swaartekragversnelling op die oppervlak van die Aarde ongeveer konstant bly, word 'n eenheid soos pond dikwels gebruik om massa asook krag (bv. gewig) te meet al word die pond amptelik as 'n eenheid van massa gedefinieer.

## Traagheidsmassa 
Om te verstaan wat die traagheidsmassa van 'n voorwerp is, begin 'n mens met klassieke meganika en Newton se bewegingswette.  Later sal ons sien hoe ons klassieke definisie van massa verander moet word om die spesiale relatiwiteitsteorie in ag te neem, wat meer akkuraat is as klassieke meganika.  Die implikasies van spesiale relatiwiteit sal egter nie die betekenis van *massa* op 'n betekenisvolle manier verander nie.

Volgens Newton se tweede wet, sê ons dat 'n liggaam 'n massa *m* het as dit op enige tydstip die bewegingsvergelyking gehoorsaam

:  F = \frac{d}{dt} (mv) 

waar *F* die krag is wat op 'n liggaam uitgeoefen word is en *v* sy snelheid is.  Ons sal voorlopig dan die vraag rondom wat 'n ''krag wat op 'n liggaam uitgeoefen word'' eintlik beteken.

Veronderstel nou dat die massa van die liggaam onder oorweging 'n konstante is.  Hierdie aanname wat bekend staan as die behoud van massa, berus op die idees dat (i) massa 'n maatstaf is van die hoeveelheid materie wat in 'n liggaam opgesluit is en (ii) dat materie nooit geskep of vernietig kan word nie maar slegs geskei of weer saamgevoeg kan word.  Hierdie is redelike aannames vir alledaagse voorwerpe al word die situasie meer ingewikkeld wanneer ons spesiale relatiwiteit in ag neem, soos ons later sal sien.  'n Ander punt om van kennis te neem is dat selfs in klassieke meganika dit somtyds nuttig is om die massa van 'n voorwerp as 'n veranderlike oor tyd te beskou.
Die massa van 'n vuurpyl verminder byvoorbeeld soos die vuurpyl afgevuur word.  Hierdie is egter 'n *benadering* deurdat die stukkies materie wat die stelsel verlaat geïgnoreer word.  Hierdie benadering word gebruik om berekeninge te vergemaklik.  In die geval van die vuurpyl stem hierdie stukkies ooreen met die hoeveelheid uitgewerpte aandryfmiddel; as ons die totale massa van die vuurpyl en aandryfmiddel sou meet, sou ons vind dat die massa behoue gebly het.

Wanneer die massa van 'n liggaam konstant bly, word Newton se tweede wet

:  F = m \frac{dv}{dt} = m a 

waar *a* die versnelling van die liggaam verteenwoordig.

Hierdie vergelyking illustreer hoe die massa van 'n voorwerp verband hou met die traagheid van 'n liggaam.  Beskou twee voorwerpe met verskillende massas.  As ons 'n gelyke krag op elkeen uitoefen, sal die voorwerp met die groter massa 'n kleiner versnelling ondergaan en die voorwerp met die kleiner massa sal 'n groter versnelling ondergaan.  Ons kan dus sê dat die groter massa 'n groter *weerstand* uitoefen om sy toestand van beweging te verander in reaksie tot die krag.

Hierdie gedagte van die aanwending van *identiese* kragte op verskillende voorwerpe bring ons terug by die feit dat ons nog nie 'n krag gedefinieer het nie.  Ons kan dit slegs met moeite omseil met behulp van Newton se derde wet, wat bepaal dat as een voorwerp 'n krag op 'n tweede voorwerp uitoefen, dit 'n gelyke en teenoorgestelde krag sal ervaar.  Om presies te wees, veronderstel dat ons twee voorwerpe A en B het met konstante traagheidsmassas *mA* en *mB*.  Ons isoleer die twee voorwerpe van alle ander fisiese invloede, sodat die enigste kragte teenwoordig die kragte is wat op A deur B uitgeoefen word, wat ons kan voorstel as *FAB* en die krag wat op B deur A uitgeoefen word stel ons voor as *FBA*.  Soos ons gesien het bepaal Newton se wet

: F_{AB} = m_A a_A \, and F_{BA} = m_B a_B \,

waar *aA* en *aB* die versnellings van A en B respektiewelik is.  Veronderstel dat hierdie versnellings nie nul is nie, sodat die kragte tussen die voorwerpe ook nie nul is nie.  Dit vind plaas byvoorbeeld wanneer twee voorwerpe in die proses van 'n botsing met mekaar verkeer.  Newton se derde wet bepaal dan dat

: F_{AB} = - F_{BA} \,

Deur bogenoemde in die vorige vergelykings te vervang kry ons

: m_A = - \frac{a_B}{a_A} \, m_B

Neem kennis dat ons vereiste dat *aA* nie nul is nie verseker dat die verhouding goed gedefinieer is.

Dit is in beginsel dus hoe ons die traagheidsmassa van 'n voorwerp sal meet.  Ons kies 'n *verwysingsvoorwerp* en definieer sy massa *mB* as (sê) 1 kilogram.  Dan kan ons die massa van enige ander voorwerp in die heelal meet deur dit met die verwysingsvoorwerp te laat bots en die versnellings te meet.

## Swaartekragmassa 
Die beginsel van swaartekragmassa berus op Newton se swaartekragwet.  Kom ons veronderstel dat ons twee voorwerpe A en B het wat 'n afstand |**r**AB| van mekaar af is.  Die wet van swaartekrag bepaal dat as A en B swaartekragmassas *MA* en *MB* respektiewelik het, dat elke voorwerp 'n swaartekrag op mekaar uitoefen met grootte

: |F| = {G M_A M_B \over |r_{AB}|^2}

waar *G* die universele swaartekragkonstante is.  Die bogenoemde stelling kan geherformuleer word op die volgende manier: as *g* die versnelling van 'n verwysingsmassa by 'n gegewe ligging in 'n swaartekragveld is, dan is die swaartekrag op 'n voorwerp met swaartekragmassa *M*

: F = Mg \,

Dit is die basis waarop massas bepaal word deur hulle te weeg.  Op 'n eenvoudige badkamerskaal is die krag *F* byvoorbeeld gelyk aan die verplasing van die veer onder die weegpan (sien Hooke se wet) en die skale word gekalibreer om *g* in ag te neem wat 'n mens toelaat om die massa *M* te lees.

## Gelykheid van traagheids- en swaartekragmassas 
Die gelykheid van traagheids- en swaartekragmassas word somtyds na verwys as die *Galilese gelykwaardigheidsbeginsel* of *swak gelykwaardigheidsbeginsel*.  Die belangrikste gevolg van hierdie gelykwaardigheidsbeginsel het betrekking op vry vallende voorwerpe.  Veronderstel dat ons 'n voorwerp het met traagheids- en swaartekragmassas van *m* en *M* respektiewelik.  As die enigste krag wat op die voorwerp uitgeoefen word vanaf die swaartekragveld *g* kom, dan vind ons dat deur Newton se tweede wet en die swaartekragwet te kombineer ons die volgende versnelling kry

: a = \frac{M}{m} g

Dit impliseer dat die verhouding van  die swaartekragmassa tot traagheidsmassa van enige voorwerp gelyk is aan 'n konstant, sê *K* is, slegs en slegs as ''alle voorwerpe teen dieselfde tempo val in 'n gegewe swaartekragveld*.  Hierdie verskynsel word na verwys as *universele vryval*.  (As ons die eenhede korrek kies, kan die konstante *K'' as gelyk aan 1 gedefinieer word.)

Die eerste eksperimente om universele vryval te demonstreer is deur Galileo uitgevoer.  Dit word algemeen beweer dat Galileo sy resultate verkry het deur voorwerpe vanuit die Leunende Toring van Pisa te laat val, maar dit is waarskynlik nie waar nie; hy het in werklikheid sy eksperimente uitgevoer deur balle teen 'n skuinsvlakke te laat afrol.  Toenemende presisie eksperimente is uitgevoer, soos die wat deur Roland Eötvös uitgevoer is deur van die wringskaalslinger gebruik te maak in 1889.  Tot op hede is geen afwyking van die universele aard gevind nie.  Meer presiese eksperimentele pogings word steeds uitgevoer.

Daar moet kennis geneem word dat die universele vryval beginsel slegs van toepassing is op stelsels waar swaartekrag die enigste krag is wat uitgeoefen word.  Alle ander kragte, veral wrywing en lugweerstand moet afwesig wees of ten minste nalaatbaar wees.  As 'n hamer en 'n veer byvoorbeeld vanaf dieselfde hoogte laat val word, weet ons almal dat die veer baie langer gaan neem om die grond te bereik.  Dit gebeur omdat die veer nie werklik *vryval* nie:  die krag van die lugweerstand is omtrent net so groot soos die swaartekrag.  Aan die ander kant as die eksperiment in 'n vakuum uitgevoer word waar daar geen lugweerstand is nie, sal die hamer en veer teen dieselfde tempo val en die grond op dieselfde tyd bereik.  Hierdie demonstrasie is in 1971 uitgevoer met die Apollo 15 maanwandeling deur kommandeur David Scott.

'n Sterker weergawe van die gelykwaardigheidsbeginsel, wat bekend staan as die *Einstein gelykwaardigheidsbeginsel* of die *sterk gelykwaardigheidsbeginsel*, lê aan die kern van die algemene relatiwiteitsteorie.  Einstein se gelykwaardigheidsbeginsel beweer dat dit onmoontlik is om tussen reëlmatige versnelling en 'n reëlmatige swaartekragveld te onderskei.  Die teorie postuleer dus dat traagheids- en swaartekragmassas fundamenteel dieselfde ding is.  Al die voorspellings van algemene relatiwiteit, soos die buiging van ruimtetyd, is uiteindelik vanuit hierdie beginsel afgelei.

## Relatiewe verhouding tussen massa, energie en momentum 
Die klassieke beginsel van massa wat in die voorafgaande afdelings ontwikkel is moet verander word as ons spesiale relatiwiteit in ag wil neem.  Dit is bekend dat spesiale relatiwiteit 'n meer akkurate beskrywing van die natuur as klassieke meganika lewer.  Dit slaag spesifiek waar klassieke meganika erg misluk om voorwerpe te beskryf wat na aan die spoed van lig beweeg.

In relatiewe meganika word die verhouding van die massa (*m*) van 'n vrye partikel en sy energie (*E*) en momentum (*p*) gedefinieer deur die vergelyking

: \frac{E^2}{c^2} = m^2 c^2 + p^2.

Waar *c* die spoed van lig is.  Daar word soms na hierdie vergelyking as die *massa-energie-momentum vergelyking* verwys.

Die eerste ding wat 'n mens opmerk oor die vergelyking is dat dit geldig is vir voorwerpe met geen massa (*m*=0) nie, in welke geval dit vereenvoudig na die vorm

: E = pc \,

In klassieke meganika is massalose voorwerpe 'n swak gedefinieerde beginsel aangesien die uitoefening van 'n krag op so 'n voorwerp volgens Newton se tweede wet, 'n oneindig groot versnelling sal meebring – wat 'n niksseggende resultaat is.  In relatiewe meganika is hulle voorwerpe wat *altyd* teen die spoed van lig beweeg; 'n voorbeeld waarvan lig self een is in die vorm van fotone.  Bostaande vergelyking stel dat energie wat deur 'n massalose voorwerp gedra word direk eweredig is aan sy momentum.

Kom ons beskou nou voorwerpe met massas groter as nul.  Vir hierdie het die hoeveelheid *m* 'n eenvoudige fisiese betekenis: dit is die traagheidsmassa van die voorwerp soos gemeet in sy rustoestand, die verwysingsraamwerk waarin sy snelheid nul is.  (Nota: massalose voorwerpe het nie 'n rustoestand nie; hulle beweeg teen die spoed van lig in *enige* verwysingsraamwerk.)  Die wyse waarop ons *m* sou meet is presies dieselfde as in klassieke meganika, wat hierbo beskryf is naamlik om dit te laat bots met 'n verwysingsvoorwerp en sy versnelling te meet.  Solank as wat die snelheid van elke voorwerp kleiner bly as die spoed van lig tydens die prosedure sal relatiewe regstellings tot klassieke meganika uiters klein wees.

In die rustoestand is die snelheid nul en dus is die momentum *p* ook nul.  Die massa-energie-momentum vergelyking vereenvoudig dus na

: E = mc^2 \,

wat bepaal dat die energie van 'n voorwerp *soos gemeet in sy rustoestand* of sy *rusenergie* – gelyk is aan sy massa maal die kwadraat van die spoed van lig.

Baie boeke maak dan die gevolgtrekking dat *massa en energie gelykwaardig is*, maar dit is uiters misleidend.  Die massa van 'n voorwerp, soos ons dit gedefinieer het, is 'n intrinsieke grootheid van die voorwerp en onafhanklik van ons huidige verwysingsraamwerk.  Die energie *E* aan die ander kant, varieer afhangende van die verwysingsraamwerk; as die raamwerk beweeg teen 'n hoë snelheid relatief tot die voorwerp sal *E* baie groot wees, eenvoudig omdat die voorwerp se kinetiese energie in daardie raamwerk hoog is.  Dus is *E=mc2* nie 'n *goeie* relatiewe stelling nie; dit is slegs waar in die rustoestand in die raamwerk van die voorwerp.

'n Ander komplikasie is dat vroeë skrywes oor relatiwiteit 'n verskillende definisie van massa gebruik het, naamlik *relatiewe massa*, wat basies die grootheid *E/c2* is.  Met hierdie definisie, is die *gelykwaardigheid* van massa en energie waar volgens die definisie en is nie een van die groothede onafhanklik van die verwysingsraamwerk nie!  Deesdae word die gebruik van die begrip *relatiewe massa* deur fisici ontmoedig.  Die redes daarvoor word in die artikel relatiewe massa verduidelik.  Volgens die moderne gebruik waar ons na die massa van 'n voorwerp verwys in hierdie artikel, bedoel ons altyd die *rusmassa*.

Noudat ons die massa van 'n voorwerp gedefinieer het, kom ons kyk na hoe dit hom gedra wanneer dit nie in rus verkeer nie.  Ons kan die massa-energie-momentum vergelyking op die volgende manier rangskik:

: E = mc^2 \sqrt{1 + \left( {p \over mc} \right)^2}

Wanneer die momentum *p* baie kleiner is as *mc*, kan ons 'n Taylor uitbreiding van die vierkantswortel doen, met die volgende resultaat

: E = mc^2 + {p^2 \over 2m} + \cdots \approx mc^2 + {(mv)^2 \over 2m} = mc^2 + {1 \over 2}mv^2 

Die leidende term wat die grootste is, is natuurlik die rusenergie.  Die voorwerp het altyd hierdie minimum hoeveelheid energie, ongeag van wat sy momentum is.  Die tweede term is die klassieke uitdrukking van die kinetiese energie van die partikel en die hoër ordeterme is basies die relatiewe regstellings vir die kinetiese energie.

Onder normale omstandighede is die rusenergie van 'n voorwerp nie toeganklik nie, in die sin dat ons dit nie kan gebruik om meganiese werk te verrig nie.  Wanneer die voorwerp iets tref, kan dit werk doen deur sy momentum en dus sy kinetiese energie oor te dra.  Die rusenergie is egter slegs afhanklik van die massa van die voorwerp, wat nie tydens botsings verander nie, dus kan dit nie saam met die kinetiese energie oorgedra word nie.

Aan die ander kant is dit moontlik om die rusenergie te tap deur prosesse te gebruik wat die partikels kloof of te herkombineer.  Die rede daarvoor is dat massa, soos ons dit gedefinieer het, nie behoue bly tydens sodanige prosesse nie.  Die eenvoudigste voorbeeld is die proses van elektron-positron vernietiging, waardeur 'n elektron en 'n positron beide 'n nie-nul massa besit, maar die fotone is massaloos.  Ander voorbeelde sluit in kernfusie en kernfissie.  Metabolisme, verbranding en ander eksotermiese chemiese prosesse skakel ook massa na energie om, die massa verandering is egter weglaatbaar min.

Energie, anders as massa, bly altyd behoue in spesiale relatiwiteit, dus is alles wat tydens hierdie reaksies gebeur, rofweg gesproke, die gevolg van die rusenergie van die reagense wat omgeskakel word na kinetiese energie van die produkte van die reaksie. Die feit dat die rusenergie op hierdie manier vrygestel kan word is een van die belangrikste voorspellings van spesiale relatiwiteit.

## Verwysings 
* R.V. Eötvös *et al*, Ann. Phys. (Leipzig) **68** 11 (1922)

## Sien ook 
* Digtheid
* Volume
* Gewig

## Eksterne skakels 
* Usenet Physics FAQ
** Does mass change with velocity?
** Does light have mass? 
* Mass & energy 
* Photons, Clocks, Gravity and the Concept of Mass by L.B.Okun
* The Apollo 15 Hammer-Feather Drop