Keël

duimnael|regs|'n Keël met radius *r*, hoogte *h* en lengte van skuinssy *l*.

'n **Keël** is 'n driedimensionele geometriese vorm wat deur twee parameters beskryf word. Dit kan vergelyk word met die vorm van 'n (afgeslote) heksehoed.

## Oppervlak en Volume 
Indien r die straal van die sirkelvormige basis van die keël is, h die hoogte is en l die lengte van die skuinste van die punt van die keël tot die sirkelvormige rand, dan is:

:\text{Oppervlak kegel} = \pi l r = \pi r \sqrt{(r^2 + h^2)}

:\text{Oppervlak basis} = \pi r^2

:\text{Totale oppervlak} = \pi l r + \pi r^2 = \pi r \left(r + \sqrt{(r^2 + h^2)}\, \right)

:\text{Volume} = \frac{1}{3}\pi r^2h

## Gedeeltelike volume
thumb|regs|250px|Keël.
Hier volg die oppervlak en volume van 'n keël.

**Totale volume**

:\text{Totale volume} = \frac{1}{3} \pi R^2 H

**Gedeeltelike volume**

* R, H: Radius en hoogte van groot keël
* r: Klein radius
* h: Afstand tussen groot en klein radius (sien skets)

In terme van R, H en h: \text{Gedeeltelike volume} = \pi \frac{h}{H}R^2 \left(H - h + \frac{h^2}{3H} \right)

In terme van R, H en r: \text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3}\pi R^2 H \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)

In terme van R, r en h: \text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi R^3 \frac{h}{R-r} \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)

## Afleiding van formule vir volume
regs|250px
Gestel die keël se dimensies is:

* R = Radius
* H = hoogte

Kies 'n baie dun skyfie in die keël wat afstand h van die bopunt is met dikte dh en radius r.

Die radius van die dun skyfie (r), kan soos volg bepaal word:

:\frac{r}{R} = \frac{h}{H}

:r = \frac{R}{H}h

Die volume van die dun skyfie is die volgende:

:dV = \pi r^2 dh \quad = \quad \pi \left( \frac{R}{H}h \right)^2 dh \quad = \quad \pi \left( \frac{R}{H} \right)^2 h^2 dh

Integreer nou van 0 tot H:

:V = \pi \left( \frac{R}{H} \right)^2 \int_0^H h^2 dh

:V = \pi \left( \frac{R}{H} \right)^2 \frac{1}{3} \left[H^2 - 0^2 \right]

:V = \frac{1}{3}\pi R^2 H

## Afleiding van formule vir gedeeltelike volume
### In terme van R, H en h
\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi R^2 H - \frac{1}{3} \pi r^2 \left(H-h \right)

:::::= \frac{1}{3} \pi \left[R^2 H - r^2 \left(H-h \right) \right]

r kan soos volg geskryf word in terme van R, H en h:

:::\frac{r}{H-h} = \frac{R}{H}

:::r = \frac{R}{H}\left(H-h \right)

Hierdie kan weer terug vervang word in die oorspronklike formule:

\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi \left[R^2 H - \frac{R^2}{H^2} \left(H-h \right)^3 \right]

:::::\left(H-h \right)^3 = H^3 - 3H^2h + 3Hh^2 - h^3

Vervang weer terug in hoof formule:

\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi R^2 \left[H - \frac{1}{H^2} \left( H^3 - 3H^2h + 3Hh^2 - h^3 \right) \right]

::::: = \frac{1}{3} \pi R^2 \left[ H - H + 3h - 3\frac{h^2}{H} + \frac{h^3}{H^2} \right]

::::: = \frac{1}{3} \pi h R^2 \left[ 3 - 3\frac{h}{H} + \frac{h^2}{H^2} \right]

::::: = \pi h R^2 \left[ 1 - \frac{h}{H} + \frac{h^2}{3H^2} \right]

::::: = \pi \frac{h}{H} R^2 \left[ H - h + \frac{h^2}{3H} \right]

### In terme van R, H en r
\text{Gedeeltelike volume} = \text{groot kegel} - \text{klein kegel}

Stel:
* x = hoogte van klein keël
* r = radius van klein keël

\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 x

Die verhouding tussen x, r, H en R is:

::\frac{x}{r} = \frac{H}{R} \qquad \Rightarrow \qquad x = \frac{rH}{R}

Dus:

\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi \frac{r^3H}{R}

:::::= \frac{1}{3}\pi R^2 H \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)

### In terme van R, r en h
Kry eers H in terme van R, r en h:

:\frac{H}{R} = \frac{H-h}{r}

:\frac{H}{R} = \frac{H}{r} - \frac{h}{r}

:\frac{H}{r} - \frac{H}{R} =  \frac{h}{r}

:H \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) = \frac{h}{r}

:H \left( \frac{R-r}{Rr} \right) = \frac{h}{r}

:H = \frac{Rrh}{r \left( R-r \right)}

:H = \frac{Rh}{R-r}

Vervang hierdie nou in die formule wat in terme van R, H en r is:

\text{Gedeeltelike volume} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)

::::= \frac{1}{3} \pi R^3 \frac{h}{R-r} \left( 1 - \frac{r^3}{R^3} \right)

## Kyk ook
* Omtrek, oppervlakte en volume
* Sfeer
* Silinder
* Koepel

## Eksterne skakels 
*