Schrödinger-vergelyking

[duimnael|Die Schrödinger-vergelyking is op die grafsteen van Annemarie en [Erwin Schrödinger aangebring.]]
Die **Schrödinger-vergelyking** is 'n lineêre parsiële differensiaalvergelyking wat die golffunksie van 'n kwantummeganiese stelsel beheer. Die vergelyking is vernoem na Erwin Schrödinger; hy het die vergelyking in 1925 gepostuleer en in 1926 gepubliseer. Die vergelyking het die basis gevorm vir die werk waarvoor Schrödinger die Nobelprys vir Fisika in 1933 toegeken is.

Konseptueel is die Schrödinger-vergelyking die kwantum-eweknie van Newton se tweede wet in klassieke meganika. Gegewe 'n stel bekende aanvanklike toestande, maak Newton se tweede wet 'n wiskundige voorspelling van watter pad 'n gegewe fisiese stelsel oor tyd sal neem. Die Schrödinger-vergelyking gee die evolusie oor tyd van 'n golffunksie, die kwantummeganiese karakterisering van 'n geïsoleerde fisiese stelsel. Die vergelyking kan afgelei word van die feit dat die tyd-evolusie-operateur eenvormig moet wees, en daarom moet dit gegenereer word deur die eksponensiaal van 'n self-aangrensende operateur, wat die kwantum Hamiltoniaan is.

Die Schrödinger-vergelyking is nie die enigste manier om kwantummeganiese stelsels te bestudeer en voorspellings te maak nie. Die ander formulasies van kwantummeganika sluit in matriksmeganika, wat deur Werner Heisenberg bekendgestel is, en die padintegrale formulering, hoofsaaklik ontwikkel deur Richard Feynman. Paul Dirac het matriksmeganika en die Schrödinger-vergelyking in 'n enkele formulering gekombineer. Wanneer hierdie benaderings vergelyk word, word die gebruik van die Schrödinger-vergelyking soms "golfmeganika" genoem.

## Definisie 
### Inleiding 
Inleidende kursusse oor fisika of chemie stel die Schrödinger-vergelyking gewoonlik voor op 'n manier wat waardeer kan word deur slegs die begrippe en notasies van basiese analise te verstaan en veral afgeleides met betrekking tot ruimte en tyd. 'n Spesiale geval van die Schrödinger-vergelyking wat in daardie terme werk, is die posisie-ruimte Schrödinger-vergelyking vir 'n enkele nie-relativistiese deeltjie in een dimensie:
:i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \left [ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\right ] \Psi(x,t) \, .

Hier is \Psi(x,t) 'n golffunksie, 'n funksie wat 'n komplekse getal aan elke punt x toewys en teen elk tydstip t. Die parameter m is die massa van die deeltjie, en V(x,t) is die skalaarpotensiaal wat die omgewing waarin die deeltjie bestaan voorstel. Die konstante i is die denkbeeldige eenheid, en \hbar is die gereduseerde konstante van Planck.

### Meer ingewikkeld 
Die wiskundig-streng formulering van kwantummeganika ontwikkel deur Paul Dirac, David Hilbert, John von Neumann, en Hermann Weyl  definieer die toestand van 'n kwantummeganiese stelsel as 'n vektor |\psi\rangle wat deel uitmaak van 'n (skeibare) Hilbert-ruimte \mathcal H. Dit word gepostuleer dat hierdie vektor onder die Hilbert se innerproduk genormaliseer word, dit wil sê in Dirac-notasie gehoorsaam dit  \langle \psi | \psi \rangle = 1. Die presiese aard van hierdie Hilbert-ruimte hang af van die stelsel&nbsp;- byvoorbeeld, vir die beskrywing van posisie en momentum is die Hilbert-ruimte die ruimte van komplekse vierkant-integreerbare funksies L^2(\mathbb C), terwyl die Hilbert-ruimte vir die spin van 'n enkele proton eenvoudig die ruimte is van tweedimensionele komplekse vektore \mathbb C^2 met die gewone innerproduk.

Die fisiese waardes van belangstelling - posisie, momentum, energie, spin - word voorgestel deur "waarneembare", wat self-aangrensende lineêre operateurs is wat op die Hilbert-ruimte werk. 'n Golffunksie kan 'n eigenvektor van 'n waarneembare wees, in hierdie geval word dit 'n eigentoestand genoem, en die gepaardgaande eigenwaarde stem ooreen met die waarde van die waarneembare in daardie eigentoestand. Meer algemeen sal 'n kwantumtoestand 'n lineêre kombinasie van die eigenstate wees, bekend as 'n "kwantumsuperposisie". Wanneer 'n waarneembare gemeet word, sal die resultaat een van sy eigenwaardes wees met die waarskynlikheid wat deur die Born-reël gegee word: in die eenvoudigste geval is die eigenwaarde \lambda nie-ontaardig en word die waarskynlikheid gegee deur |\langle \lambda | \psi\rangle|^2, waar  |\lambda\rangle die gepaardgaande eigenvektor is. Meer algemeen is die eigenwaarde ontaard en word die waarskynlikheid gegee deur \langle \psi | P_\lambda |\psi\rangle, waar P_\lambda die projektor op die gepaardgaande eiegenruimte is.

'n Momentum eigentoestand sou 'n perfek monochromatiese golf van oneindige omvang wees, wat nie vierkantig integreerbaar is nie. Net so sou 'n posisie-eigentoestand 'n Dirac-delta-verdeling wees, nie vierkantig-integreerbaar nie en tegnies glad nie 'n funksie nie. Gevolglik kan nie een van die twee toestande deel van die Hilbert-ruimte van die deeltjie wees nie. Natuurkundiges stel soms fiktiewe 'basisse' in vir 'n Hilbert-ruimte wat elemente buite die ruimte bevat. Hierdie is gemaak vir berekeningsgerief en verteenwoordig nie fisiese toestande nie.

#### Tydafhanklike vergelyking 
Die vorm van die Schrödinger-vergelyking hang af van die fisiese situasie. Die algemeenste vorm is die tydafhanklike Schrödinger-vergelyking, wat 'n beskrywing gee van 'n stelsel wat met tyd ontwikkel:
:i \hbar \frac{d}{d t}\vert\Psi(t)\rangle = \hat H\vert\Psi(t)\rangle, waar \Psi (die Griekse letter psi) die toestandsvektor van die kwantumsisteem is, t tyd is, en \hat{H} 'n waarneembare is, die Hamiltoniaan-operateur.

Om die Schrödinger-vergelyking toe te pas, skryf die Hamiltoniaan vir die stelsel neer, neem die kinetiese en potensiële energieë van die deeltjies waaruit die stelsel bestaan in ag en sit dit dan in die Schrödinger-vergelyking. Die gevolglike gedeeltelike differensiaalvergelyking word opgelos vir die golffunksie wat inligting oor die stelsel bevat. In die praktyk word die kwadraat van die absolute waarde van die golffunksie by elke punt geneem om 'n waarskynlikheidsdigtheidsfunksie te definieer. Byvoorbeeld, gegewe 'n golffunksie in posisie ruimte \Psi(x,t) soos hierbo, het ons 'n  waarskynlikheidsdigtheidsfunksie:
:\mathrm{Pr}(x,t) = |\Psi(x,t)|^2.

#### Tydonafhanklike vergelyking 
Die tydafhanklike Schrödinger-vergelyking wat hierbo beskryf word voorspel dat golffunksies staande golwe kan vorm, wat "stilstaande toestande" genoem word. Hierdie toestande is veral belangrik, aangesien hul individuele studie die taak om die tydafhanklike Schrödinger-vergelyking vir enige staat later op te los, vereenvoudig. Stilstaande toestande kan ook beskryf word deur 'n eenvoudiger vorm van die Schrödinger-vergelyking, die tydonafhanklike Schrödinger-vergelyking:
:\operatorname{\hat H}|\Psi\rangle = E |\Psi\rangle , waar E die energie van die stelsel is. Dit word slegs gebruik as die Hamiltoniaan self nie eksplisiet van tyd afhanklik is nie. Selfs in hierdie geval het die totale golffunksie egter steeds 'n tydafhanklikheid. In die taal van lineêre algebra is hierdie vergelyking 'n eigenwaardevergelyking en daarom is die golffunksie 'n eigenfunksie van die Hamiltoniaan-operateur met ooreenstemmende eigenwaarde E.

## Voorbeelde 
Die Schrödinger-vergelyking vir sekere goed gedefinieerde situasies is as volg:
### 'n Deeltjie in 'n boks 
duimnael|1-dimensionele potensiële energieboks
Die deeltjie in 'n eendimensionele potensiële energieboks is die mees wiskundig eenvoudige voorbeeld waar beperkings lei tot die kwantisering van energievlakke. Die boks word gedefinieer as nul potensiële energie oral binne 'n sekere gebied, en dus oneindige potensiële energie oral buite daardie gebied. Vir die eendimensionele geval in die x-rigting kan die tydonafhanklike Schrödinger-vergelyking so geskryf word
:  E \psi = - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2 \psi}{dx^2}

### 'n Harmoniese ossillator 
Die harmoniese ossillator is baie soortgelyk aan die deeltjie in 'n boks, maar voeg 'n hoekfrekwensie-komponent (\omega) by.
: E\psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}\psi + \frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi 

### 'n Waterstofagtige atoom 
Die waterstofatoom (of waterstofagtige atoom) is weer soortgelyk aan 'n deeltjie in 'n boks, maar met posisie in verhouding tot die kern (r) en met elektronlading (q). Die negatiewe teken kom van die feit dat die proton en elektron teenoorgestelde ladings het. 

In die vorige twee vergelykings is die massa van die deeltjie ( m ) gebruik, maar in hierdie situasie is daar twee deeltjies (proton en elektron), dus lyk dit asof 'n tweedeeltjie-oplossing nodig is. Maar die beweging van die elektron is egter hier van mees belang, dus die ekwivalente eenliggaamprobleem is die beweging van die elektron met die verminderde massa (\mu), en
: \mu = \frac{m_q m_p}{m_q+m_p} , waar  m_p  die protonmassa is, en  m_q  die elektronmassa is.

En dus is die Schrödinger-vergelyking:
: E \psi = -\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2\psi - \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r}\psi 

## Woordelys van begrippe 
* Aangrensende: Die aangrensende van 'n operateur speel die rol van die komplekse vervoeging van 'n komplekse getal, dws. dit het dieselfde grootte, maar teenoorgestelde teken.
* Begrensde operateur: 'n Begrensde operateur is 'n lineêre transformasie (L:X→Y) tussen vektorspasies wat 'n begrensde subgroep van X transformeer na 'n begrensde subgroep van Y.
* Eenvormige operateur: 'n Eenvormige operateur is 'n surjektiewe begrensde operateur in 'n Hilbert-ruimte wat die innerlike produk bewaar. Dit word ook soms 'n *Eenheidsoperateur* genoem.
* Eigenvektor: 'n Eigenvektor is 'n kenmerkende vektor van 'n lineêre transformasie wat verander deur 'n skalaarfaktor wanneer daardie lineêre transformasie daarop toegepas word.
* Hamiltoniaan: Die Hamiltoniaan van 'n stelsel is 'n operateur wat ooreenstem met die totale energie van die stelsel, wat beide kinetiese energie en potensiële energie insluit.
* Self-aangrensende operateur: 'n Operateur in 'n Hilbert-ruimte wie se domein saamval met dié van sy aangrensende en wat gelyk is aan sy aangrensende.
* Surjektief: 'n Funksie (f) is surjektief as daar vir elke element *y* in die mede-domein 'n element *x* in die domein is sodat f(x)=y.

## Verwysings