Logaritmies gemiddelde temperatuurverskil

Die **logaritmies gemiddelde temperatuurverskil** (LGTV of ΔTlg) word gebruik om die temperatuur dryfkrag vir warmteruiling in vloeistelsels, soos hitteruilers te kwantifiseer.  Die LGTV is 'n logaritmiese gemiddelde van die temperatuurverskil tussen die warm en koue strome aan elke punt van 'n hitteruiler.  Hoe groter die LGTV, hoe meer warmte word uitgeruil.

## Definisie 
[duimnael|regs|500px|'n Tipiese konfigurasie van 'n [hitteruiler.]]

Ons aanvaar dat 'n generiese hitteruiler twee kante het (wat ons hier "A" en "B" sal noem) waar die warm en koue strome invloei of uitvloei; die LGTV word dan gedefinieer deur die logaritmiese gemiddelde as volg:

:\Delta T_{lg} = \frac{\Delta T_A-\Delta T_B}{\ln \left( \frac{\Delta T_A}{\Delta T_B} \right) } = \frac{\Delta T_A-\Delta T_B}{\ln \Delta T_A - \ln \Delta T_B}

:\Delta T_{g} = F_t \Delta T_{lg}

\Delta T_A en \Delta T_B is die benaderingstemperatuur aan die twee kante van die hitteruiler.

:\Delta T_A=T_{w,uit} - T_{k,in}

:\Delta T_B=T_{w,in} - T_{k,uit}

Hierdie vergelyking is geldig vir beide parallelle vloei waar die strome van dieselfde kant invloei en vir teenstroom vloei waar die strome van verskillende kante af invloei.  'n Derde tipe vloei is kruisvloei waar een van die strome dieselfde nominale temperatuur het op alle punte van die oordragoppervlak.  Die wiskunde is soortgelyk behalwe dat 'n korreksiefaktor *F* dikwels toegepas moet word in die hitte-oordrag vergelyking.

Daar is tye wanneer die vier temperature wat gebruik word om die LGTV te bepaal nie beskikbaar is nie.  Die NTU-metode mag dan gebruik word.

duimnael|regs|500px|Verskil tussen GTV en LGTV.

Die volgende benadering kan ook gebruik word:

:\Delta T_g \approx \frac{T_{w,in} - T_{w,uit}}{2} - \frac{T_{k,uit} - T_{k,in}}{2} \ = \ \frac{\Delta T_A - \Delta T_B}{2}

:\Delta T_g \approx \frac{1}{2} \left(T_{w,in} + T_{w,uit} - T_{k,in} - T_{k,uit} \right)

waar

:\Delta T_g > \Delta T_{lg}

Kyk grafiek aan die regterkant.

## Afleiding van formule
Hierdie formule word soos volg afgeleiː

Die hittelas van die warm en koue kant kan soos volg geskryf word:

:Q_w = m_w C_{p,w} \left(T_{w1} - T_{w2} \right)

:Q_k = m_k C_{p,k} \left(T_{k2} - T_{k1} \right)

Herskryf die twee vergelykings hierbo:

:\frac{Q_w}{m_w C_{p,w}} = T_{w1} - T_{w2}

:\frac{Q_k}{m_k C_{p,k}} = T_{k1} - T_{k2}

Indien die twee vergelyking bymekaar gevoeg word, word die volgende gekry:

:\frac{Q_w}{m_w C_{p,w}} + \frac{Q_k}{m_k C_{p,k}} = T_{w1} - T_{w2} + T_{k1} - T_{k2}

Siende dat:

:Q_k = Q_w = Q

Dan is:

:Q \left( \frac{1}{m_w C_{p,w}} + \frac{1}{m_k C_{p,k}} \right) = \left( T_{w1} - T_{k2} \right) - \left( T_{w2} - T_{k1} \right) - *

Die terms \left( T_{w1} - T_{k2} \right) en \left( T_{w2} - T_{k1} \right) is die twee benaderingstemperature van die hitteruiler. Stel hierdie gelyk aan \theta_1 en \theta_2

Indien 'n baie klein gedeelte van die hitteruiler beskou word, sal \theta_1 \approx \theta_2. Vervang nou:

::Q met dQ

en

::\theta_1 - \theta_2 met d\theta

Verder, indien:

:Q = UA\left(T_w - T_k\right)

vervang word met:

::dQ = U \times dA \times \theta

dan is:

:UdA\theta \left( \frac{1}{m_w C_{p,w}} + \frac{1}{m_k C_{p,k}} \right) = d\theta

:UdA \left( \frac{1}{m_w C_{p,w}} + \frac{1}{m_k C_{p,k}} \right) = \frac{d\theta}{\theta}

Indien gedifferensieer word vir die hele lengte van die hitteruiler:

:\int_0^A UdA \left( \frac{1}{m_w C_{p,w}} + \frac{1}{m_k C_{p,k}} \right) = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{d\theta}{\theta}

:UA \left( \frac{1}{m_w C_{p,w}} + \frac{1}{m_k C_{p,k}} \right) = \ln \frac{\theta_2}{\theta_1}

Indien vergelyking * herskryf word:

:Q \left( \frac{1}{m_w C_{p,w}} + \frac{1}{m_k C_{p,k}} \right) = \theta_2 - \theta_1

:\left( \frac{1}{m_w C_{p,w}} + \frac{1}{m_k C_{p,k}} \right) = \frac{\theta_2 - \theta_1}{Q}

Vervang hierdie vergelyking in:

:UA \left( \frac{\theta_2 - \theta_1}{Q} \right) = \ln \frac{\theta_2}{\theta_1}

:Q = UA \frac{\theta_2 - \theta_1}{\ln \theta_2 / \theta_1}

Dus:

:\Delta T_{lg} = \frac{\theta_2 - \theta_1}{\ln \theta_2 / \theta_1}

## Gebruik 
Wanneer dit bereken is, word die LGTV gewoonlik gebruik om die warmteoordrag in 'n hitteruiler te bepaal volgens die volgende vergelyking:

:Q = U \times A \times \Delta T_g

Waar *Q* die uitgeruilde warmte-energie is (in watt), en *U* die warmteoordragskoëffisiënt (in watt per kelvin per vierkante meter) en *A* die oordragoppervlak in vierkante meter is. In warmteoordragskoëffisiënt word beskryf hoe U bepaal word.

## Temperatuur korreksiefaktor 
thumb|right|300px|Enkel mantelgang, enkel buisgang. Ft = 1
thumb|right|300px|Een mantelgang, twee buisgange. Om Ft te bepaal, gebruik formule.
thumb|right|300px|Verdeelde vloei mantel, twee buisgange.
thumb|right|300px|Vertakte vloei mantel, twee buisgange.
thumb|right|300px|Twee mantelgange, vier buisgange.

Wanneer 'n hitteruiler meer as een buisgang het, ondervind elke buisgang nie teenstroom nie - sommige buise ondervind parallele vloei. In so 'n geval moet \Delta T_{lg} gekorrigeer word met 'n korreksiefaktor F_t = 1.

Hierdie temperatuurkorreksiefaktor is 'n funksie van die hoeveelheid gange van die hitteruiler, die posisie van die in- en uitlate van die hitteruiler en die in- en uitlaat temperature.

Vir 'n enkel buisganghitteruiler is F_t = 1

Vir 'n hitteruiler met een mantelgang en buisgange in veelvoude van twee, kan F_t = 1 soos volg bepaal word:

As T_1 = mantelkant inlaat,
T_2 = mantelkant uitlaat,
t_1 = buiskant inlaat,
t_2 = buiskant uitlaatː

:R = \frac{T_1-T_2}{t_2-t_1}

:S = \frac{t_2-t_1}{T_1-t_1}

:F_t = \frac{\sqrt{R^2+1} \ln{\left[ \frac{1-S}{1-RS} \right]}}{\left( R-1 \right) \ln{\left[ \frac{2-S\left[ R+1-\sqrt{R^2+1}\right]}{2-S\left[ R+1+\sqrt{R^2+1}\right]} \right]}}

Die afleiding van hierdie formule word gegee deur Kern (1950).

Vir ander hitteruilerkonfigurasies moet dit afgelees word van grafieke. Hierdie grafieke is ook 'n funksie van R en S.

## Verwysings 
* Coulson and Richardson's Chemical Engineering, volume 6, 4de uitgawe, 2005, hoofstuk 12.6, bladsy 655
* Kay J M & Nedderman R M (1985) *Fluid Mechanics and Transfer Processes*, Cambridge University Press

## Kyk ook 
* Hitteruiler
* Warmteoordrag