Spiraal

duimnael
'n **Spiraal** is 'n kurwe wat by 'n punt begin en as die kurwe om die beginpunt draai, beweeg dit verder weg. Spirale kan in twee of drie dimensies bestaan.

## Spirale in twee dimensies
In twee dimensies kan spirale in poolkoördinate gedefinieer word deur die vergelyking:
: r=f(\theta) (waar  f(\theta) 'n monototiese toenemende funksie is)
of in kartesiese koördinate deur
:x = f(\theta)\cos \theta, \qquad y = f(\theta)\sin \theta.

Die bekendste spirale sluit in:
* Die Archimedesspiraal: r=a \theta 
* DIe Hiperboliese spiraal: r = a/ \theta
* Fermat se spiraal: r= a\theta^{1/2}
* Die lituus: r = a\theta^{-1/2}
* Die logaritmiese spirale: r=ae^{k\theta} 
* Die Klotoïde 
* Die Fibonaccispiraal en die spiral
* Die Spiraal van Theodorus: 'n benaadering van die Archimedesspiraal - Dit is saamgestel uit aangrensende regte hoeke.
*Die evolvente van 'n sirkel, wat twee keer op elke tand van byna elke moderne rat gebruik word.

Image:Archimedean spiral.svg|Archimedesspiraal
Image:Hyperspiral.svg|Hiperboliese spiraal
Image:Fermat's spiral.svg|Fermat se spiraal
Image:Lituus.svg|lituus
Image:Logarithmic Spiral Pylab.svg|logaritmiese spiraal
Image:Cornu Spiral.svg|Klotoïde
Image:Spiral of Theodorus.svg|Spiraal van Theodorus
Image:Fibonacci_spiral.svg|Fibonaccispiraal (goue spiraal)
Image:Archimedean-involute-circle-spirals-comparison.svg|Die evolvente van 'n sirkel(swart) is nie precies deselfde as die Archimedesspiraal (rooi).

### Eienskappe
Die eiendomme wat hier beskryf word, is van toepassing op die meeste spirale van die vorm r = f(\theta) , veral vir die gevalle r = a \theta ^ n (Archimedesespiraal, hiperboliesespiraal, Fermatsespiraal, lituusspirale) en die logaritmiese spiraal  r = ae ^ {k \theta} 

#### Polêre hellinghoek
Die hoek \alpha tussen die spiraal raaklyn en die ooreenstemmende poolsirkel (sien diagram) word die *polêre hellinghoek* genoem en \tan \alpha die *poolhelling*. Die formule vir die poolhelling \alpha, wat afgelei kan word van vektoranalise in poolkoördinate is: 
:\tan\alpha=\frac{r'}{r}\  waar r' is dr / d\theta

In meeste gevalle is die poolhelling 'n funksie van \theta, maar in hierdie opsig is die logaritmiese spiraal spesiaal want sy poolhelling is 'n kontant:  \ \tan\alpha=k\   

#### Kromming
Die kromming \kappa van 'n kurwe met poolvergelyking r=r(\theta) is
:\kappa = \frac{r^2 + 2(r')^2 - r\; r''}{(r^2+(r')^2)^{3/2}}\ .

#### Sektor oppervlak
Die oppervlak van 'n sektor van 'n kurwe (sien diagram) met poolvergelyking r=r(\theta) is
:A=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} (r(\theta))^2\; d\theta\ .

#### Booglengte
Die booglengte van 'n spiraal met poolvergelyking r=r(\theta) is:
:L=\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{\left(r^\prime(\theta)\right)^2+r^2(\theta)}\,\mathrm{d}\theta \ .

## Spirale in drie dimensies
In drie dimensies, is dit nodig om twee vergelykings te gebruik om 'n spiraal te beskryf. Dit is die gewoonte om silindriese poolkoördinate te gebruik om driedimensionele spirale te beskryf. Hierdie vergelykings is:
:r = f(\theta)z = g(\theta)met die vereiste dat óf f(\theta) óf g(\theta) 'n monototiese toenemende funksie is.
duimnael|Silindriese spiraal, ook bekend as 'n spoel
### Silindriese spiraal
Die silindriese spiraal (of spoel) is die eenvoudigste driedimensionele spiraal. Dit word beskryf deur die vergelykings:
:r = \alpha,\  \alpha>0\;
:z = \beta \theta,\  \beta>0
:waar \alpha is die radius van die spoel en  2 \pi \beta is die spasiëring van opeenvolgende spoele.

### Koniese spiraal 
Indien 'n spiraal in die x-y-vlak bestaan met die parametriese vergelykings
:x=r(\theta)\cos\theta \ ,\qquad y=r(\theta)\sin\theta 
dan kan 'n derde koördinaat z sodanig ingebring word met die beperking:
: \;m(x^2+y^2)=(z-z_0)^2\ ,\  m>0\;:
met die gevolg dat die kromme op 'n keël sal lê met die parametriese vergelykings
:x=r(\theta)\cos\theta \ ,\qquad y=r(\theta)\sin\theta\ , \qquad z=z_0 + mr(\theta) \ .

Sulke spirale kry die naam **koniese spirale**

#### Voorbeeld
As iemand met 'n *archimedean spiral* \;r(\theta)=a\theta\; kry hy 'n koniese spiraal van  (sien beeld regs):
:x=a\theta\cos\theta \ ,\qquad y=a\theta\sin\theta\ , \qquad z=z_0 + ma\theta \ ,\quad \theta \ge 0 \ . 

### Sferiese spirale 
Die oppervlak van 'n sfeer, radius r, kan voorgestel word deur die volgende vergelykings:: 
:
\begin{array}{cll}
x &=& r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\
y &=& r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\
z &=& r \cdot \cos \theta
\end{array}

Wanneer \varphi voorgestel is deur die vergelyking \; \varphi=c\theta , \; c> 2\; ,, kry 'n mens 'n sferiese kurwe met die naam **sferiese spiraal**.  met die parametriese voorstelling (c is gelyk aan twee mal die aantal draaie):
:
\begin{array}{cll}
x &=& r \cdot \sin \theta \cdot \cos c\theta \\
y &=& r \cdot \sin \theta \cdot \sin c\theta \\
z &=& r \cdot \cos \theta\qquad \qquad 0\le\theta\le \pi \ .
\end{array}

## Verwysings