Groep (wiskunde)

duimnael|regs|300px|Die prent illustreer hoe die ure op 'n horlosie 'n groep vorm.

In abstrakte algebra is 'n **groep** 'n versameling met 'n binêre operasie wat sekere aksiomas, soos onder uiteengesit, bevredig.  Die versameling heelgetalle met optelling is byvoorbeeld 'n groep. Die vertakking van wiskunde wat groepe bestudeer staan bekend as groepteorie.

Dit blyk dat baie strukture wat in wiskunde ondersoek word groepe is. Dit sluit die bekende getallestelsels in, soos die heelgetallle, die rasionale getalle, die reële getalle, en die komplekse getalle onder optelling, benewens die nie-nul rasionale-, reële- en komplekse getalle onder vermenigvuldiging. Ander belangrike voorbeelde is die groep nie-singuliere matrikse onder vermenigvuldiging, en die groep omkeerbare funksies onder komposisie.  Groepteorie fasiliteer die studie van die eienskappe van sulke struktuere oor die algemeen.

Groepteorie word op groot skaal in wiskunde, wetenskap en ingenieurswese toegepas. Baie algebraïese strukture soos velde en vektorruimtes kan bondig in terme van groepe gedefinieer word, en groepteorie verskaf belangrike gereedskap vir die studie van simmetrie, aangesien die simmetrieë van enige voorwerp 'n groep vorm.  Groepe is dus noodsaaklike abstraksies in vertakkings van fisika wat op simmetriebeginsels berus soos relatiwiteit, kwantummeganika en deeltjie-fisika.  Verder word hulle vermoë om meetkundige transformasies voor te stel in chemie, rekenaargrafika en ander velde toegepas.
## Definisies 
'n Groep *(G, *)* is 'n versameling *G* met 'n binêre operasie * : *G* × *G* → *G* (een wat aan elke geordende paar (a,b) in G 'n element in G aangedui deur a*b toeken) wat die volgende drie aksiomas bevredig:

* *Assosiatiwiteit*: Vir alle *a*, *b* en *c* in *G*, (*a* * *b*) * *c* = *a* * (*b* * *c*).  	 
* *Identiteitselement*: Daar is 'n element *e* in *G* sodat vir alle *a* in *G*, *e* * *a* = *a* * *e* = *a*. 	 
* *Inverse element*: Vir elke *a* in *G*, is daar 'n element *b* in *G* sodat *a* * *b* = *b* * *a* = *e*, waar *e* die Identiteitselement is.

Deur die definisie van 'n binêre operasie is die groep geslote onder die operasie daarvan (dit wil sê, vir enige *a* en *b* in *G*, is die produk *a* * *b* ook in *G*).

Dit kan maklik aangetoon word dat elke groep oor presies een identiteitselement beskik.

Daar kan ook aangetoon word dat die inverse van 'n element uniek is, en dat die linker- en regter-inverses van 'n element dieselfde is.  Sommige definisies is dus effens bondiger, deur die vervanging van die tweede en derde aksiomas met die konsep van 'n "linker- (of regter-) identiteitselement" en 'n "linker- (of regter-) inverse element."  

Let ook daarop dat 'n groep *(G,*)* dikwels ook eenvoudig deur  *G* aangedui word waar daar geen dubbelsinnigheid bestaan oor die soort operasie nie.

## Basiese konsepte in groepteorie 
### Orde van groepe en elemente 
Die '''orde van 'n groep *G*'*, aangedui met |*G* |, is die getal elemente in die versameling *G''. As die orde nie eindig is nie, dan is die groep 'n *oneindige groep*, aangedui deur |*G* | = ∞.

Die '''orde van 'n element *a*''' in 'n groep *G* is die mins-negatiewe heelgetal *n* sodat *an=e*, waar *an* n keer met homself vermenigvuldig word.

### Subgroepe 
'n Versameling *H* is 'n **deelgroep** van 'n groep *G* as dit 'n deelversameling is van *G*, en dit 'n groep is wat die operasie waarmee *G* gedefinieer is gebruik. Met ander woorde, *H* is 'n deelgroep van (*G*, *) as die beperking van * op *H* 'n groep operasie op *H* is.

As *G* is 'n eindige groep is, dan is *H* ook een. Verder deel die orde van *H* die orde van *G*.

### Abelse groepe 
'n Groep *G* is 'n  **abelse groep** (of **kommutatiewe groep**) as die operasie kommutatief is, dit wil sê, vir alle *a*, *b* in *G*, *a* * *b* = *b* * *a*. 'n **Nie-abelse** groep is 'n groep wat nie abels is nie. Die term "abels" is vernoem na die wiskundige Niels Abel.

### Sikliese groepe 
'n **Sikliese groep** is 'n groep waarvan al die elemente gegenereer kan word deur opeenvolgende komposisie van 'n operasie, wat die groep definieer deur toepassing van 'n enkele element van die groep. Byvoorbeeld, in die geval van 'n siklies-vermenigvuldigende groep, word al die elemente van die groep deur die versameling van alle heelgetalmagte van 'n primitiewe element van die groep gedefinieer, *G* =  = { *a**n* | *n* \scriptstyle \in **Z** mod m | m \scriptstyle \in **Z**}. Indien opeenvolgende komposisie van die operasie wat die groep definieer op 'n nie-primitiewe element van die groep toegepas word, word 'n sikliese deelgroep gegenereer waarvan die orde die orde van die groep verdeel. Indien die orde van 'n groep dan 'n priemgetal is, is al die elemente daarvan, behalwe die identiteit, primitiewe elemente van die groep. Dit is belangrik om daarop te let dat 'n groep al die sikliese deelgroepe wat deur elk van die elemente van *G* genereer word bevat. 'n Groep wat opgestel word uit sikliese deelgroepe is nie self noodwendig 'n sikliese deelgroep nie, b.v., 'n kleingroep is nie 'n sikliese groep nie selfs al word dit opgestel uit twee kopieë van die sikliese groep van orde 2.

## Notasie vir groepe 
Groepe kan verskillende notasies gebruik afhangende van die konteks en die groep-operasie.
* Additiewe groepe gebruik *+* om optelling aan te dui en die minus teken *-* om inverses aan te dui. Byvoorbeeld, *a + (-a) = 0* in *Z*.
* Vermenigvuldigende groepe gebruik *** om vermenigvuldiging aan te dui, en die boskrif  *-1* om inverses aan te dui. Byvoorbeeld, *a * a-1 = 1*. Dit is baie algemeen om die *** weg te laat en in plaas daarvan *aa-1* te skryf.
* Funksie groepe gebruik *•* om funksie komposisie aan te dui, en die boskrif *-1* om inverses aan te dui. Byvoorbeeld, *g • g-1 = e*. Dit is baie algemeen om die *•* weg te laat en in plaas daarvan net *gg-1* te skryf.

Die weglaat van 'n simbool vir 'n operasie is oor die algemeen aanvaarbaar en dit word dan aan die leser oorgelaat om te weet wat die konteks van die groep-operasie is.

Wanneer groepe gedefinieer word is dit standaardnotasie om hakkies te gebruik om die groep en die groep se operasie te definieer. Byvoorbeeld, (H,+) dui aan dat die versameling H 'n groep onder optelling is. Vir groepe soos (Zn,+) en (Fn*, *) is dit normaal om die hakies en die operasie weg te laat, b.v. Zn en Fn*. Dit is ook korrek om na 'n groep te verwys deur die versameling identifiseerder b.v. *H* of **Z** te gebruik.

Die identiteitselement *e* staan soms bekend as die "neutrale element," en word soms aangedui deur 'n ander simbool afhangende van die groep:
* In vermenigvuldigende groepe kan die identiteitselement met 1 aangedui word.
* In reguliere matriksgroepe word die identiteitselement gewoonlik deur I aangedui.
* In additiewe groepe, kan die identiteitselement deur 0 aangedui word.
* In funksie-groepe word die identiteitselement gewoonlik aangedui deur f0.

Indien *S* 'n deelgroep is van  *G* en *x* 'n element is van *G*, dan, in vermenigvuldigende notasie, is *xS* die versameling van alle produkte {*xs* : *s* in *S*}; op soortgelyke wyse word die notasie *Sx* = {*sx* : *s* in *S*} gebruik; en vir twee deelversamelings *S* en *T* van *G*, word *ST* vir {*st* : *s* in *S*, *t* in *T*} geskryf. In additiewe notasie word *x* + *S*, *S* + *x*, en *S* + *T* vir die onderskeie versamelings geskryf (kyk cosets).

## Voorbeelde van Groepe 
### 'n Abelse groep: die heelgetalle onder optelling 
'n Bekende groep is die heelgetalle onder optelling. Laat **Z** die versameling heelgetalle, {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, wees en laat die simbool "+" die optelbewerking wees. Dan is (**Z**,+) 'n groep.

Bewys:
* **Geslotenheid**: Indien *a* en *b* heelgetalle is dan is *a* + *b* 'n heelgetal.
* **Assosiatiwiteit**: Indien *a*, *b*, en *c* heelgetalle is, dan is (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*).
* **Identiteitselement**: 0 is 'n heelgetal en vir enige heelgetal *a* is 0 + *a* = *a* + 0 = *a*.
* **Inverse elemente**: Indien *a* 'n heelgetal is, dan bevredig die heelgetal −*a* := **b** die inverse reëls: *a* + *b* = *b* + *a* = 0.

Die groep is ook kommutatief omdat *a* + *b* = *b* + *a*. Kommutatiewe groepe word abelse groepe genoem, na die Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.

Let daarop dat die heelgetalle met vermenigvuldiging nie 'n groep is nie omdat inverse van vermenigvuldiging nie teenwoordig is nie.

Die voorbeeld van die heelgetalle kan uitgebrei word deur dit te beskou met beide optel én vermenigvuldiging, wat 'n meer ingewikkelde algebraïese struktuur genaamd 'n ring vorm. 'n Ring is kortliks 'n versameling **R** met twee bewerkings, gewoonlik optel (+) en vermenigvuldiging (.), waar (**R**,+) en (**R**\{0},.) abelse groepe vorm en 0 die optelidentiteit is, en vermigvuldiging oor optel distributeer.

### *Nie* 'n groep nie: die heelgetalle onder vermenigvuldiging 
In teenstelling met bogenoemde geval is die heelgetalle vet die vermenigvuldiging operasie, (**Z**,·), nie 'n groep nie. Dit bevredig meeste van die aksiomas, maar dit faal in terme van inverses:
* **Geslotenheid**: indien *a* en *b* heelgetalle is dan is *a* · *b* 'n heelgetal.
* **Assosiatiwiteit**: Indien *a*, *b*, en *c* heelgetalle is dan is (*a* · *b*) · *c* = *a* · (*b* · *c*).
* **Identiteitselement**: 1 is 'n heelgetal en vir enige heelgetal *a*, 1 · *a* = *a* · 1 = *a*. 
* Dit is egter **nie** waar dat as  *a* 'n heelgetal is, daar 'n heelgetal *b* is sodat *ab* = *ba* = 1 **nie**. Byvoorbeeld, *a* = 2 is 'n heelgetal, maar die enigste oplossing vir die vergelyking *ab* = 1 is *b = 1/2*. 1/2 is egter nie 'n heelgetal nie. (Inverse element *faal*)

Aangesien nie elke element van (**Z**,·) 'n inverse het nie, is (**Z**,·) *nie* 'n groep *nie*. Dit is egter 'n kommutatiewe monoïed, wat 'n struktuur soortgelyk aan 'n groep is maar wat nie inverse element benodig nie.

### 'n Abelse groep: die nie-nul rasionale getalle onder vermenigvuldiging 
Beskou die versameling rasionale getalle **Q**, die versameling breuke *a*/*b*, waar *a* en *b* heelgetalle is en *b* is nie-nul, en die vermenigvuldiging operasie, aangedui deur "·". Aangesien die rasionale getal 0 nie 'n vermenigvuldigende inverse het nie, is (**Q**,·), soos (**Z**,·), nie 'n groep nie.

Die versameling *nie-nul* rasionale getalle **Q** \ {0} vorm die abelse groep (**Q** \ {0},·)
* **Geslotenheid**, **Assosiatiwiteit**, en **Identiteitselement** aksiomas kan maklik nagegaan word en word bevredig danksy die eienskappe van heelgetalle.
* **Inverse elemente**: Die inverse van *a*/*b* is *b*/*a* wat die aksioma bevredig.

Geslotenheid word nie ingeboet deur nul weg te laat nie, omdat die produk van twee nie-nul rasionale getalle nooit nul is nie. Net soos die heelgetalle 'n ring vorm, vorm die rasionale getalle die algebraïese struktuur, die veld, wat die optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling toelaat.

### 'n Eindige nie-albse groep: permutasies van 'n versameling 
Vir 'n meer konkrete voorbeeld, beskou die drie gekleurde blokke (rooi, groen en blou), wat aanvanklik in die volgorde RGB geplaas word. Laat *a* die aksie  wees: "ruil die eerste blok en die tweede blok om", en laat *b* die aksie wees: "ruil die tweede blok en die derde blok om". 

[duimnael|[Siklusdiagram vir S3. 'n Lus spesifiseer 'n reeks magte van enige element verbind aan die identiteitselement (1). Byvoorbeeld, die e-ba-ab lus reflekteer die feit dat (ba)2=ab en (ba)3=e, benewens die feit dat  (ab)2=ba en (ab)3=e Die ander "lusse" is wortels van eenheid sodat, byvoorbeeld a2=e.]]

In vermenigvuldigende vorm, skryf ons tradisioneel *xy* vir die gekombineerde aksie "doen eers *y*, en doen dan *x*"; sodat *ab* die aksie RGB → RBG → BRG is, d.i., "neem die laaste blok en skuif dit na die voorkant".
As ons *e* skryf vir "laat die blokke soos hulle is" (die identiteitsaksie), dan kan ons die ses permutasies van die versameling van drie blokke as die volgende aksies skryf:

* *e* : RGB → RGB
* *a* : RGB → GRB
* *b* : RGB → RBG
* *ab* : RGB → BRG
* *ba* : RGB → GBR
* *aba* : RGB → BGR

Let daarop dat die aksie *aa* die effek het dat RGB → GRB → RGB, wat die blokke los soos hulle voor die tyd was; ons kan dus skryf *aa* = *e*.
Op soortgelyke wyse:,
* *bb* = *e*,
* (*aba*)(*aba*) = *e*, en
* (*ab*)(*ba*) = (*ba*)(*ab*) = *e*;
dus het elk van die bostaande aksies 'n omgekeerde.

Deur inspeksie kan assosiatiwiteit en geslotenheid ook bepaal word; merk byvoorbeeld op dat
* (*ab*)*a* = *a*(*ba*) = *aba*, en
* (*ba*)*b* = *b*(*ab*) = *bab*.

Hierdie groep word die *simmetriese groep op 3 letters*, of *S*3.
Dit het orde 6 (of 3 faktoriaal), en is nie-albs (aangesien, byvoorbeeld, *ab* ≠ *ba*).
Aangesien *S*3 opgebou word uit die basiese aksies *a* en *b*, sê ons dat die versameling {*a*,*b*} dit *genereer*.

Meer algemeen kan 'n simmetriese groep van al die permutasies van *N* voorwerpe gedefinieer word. Die groep word aangedui deur *S**N* en het orde *N* faktoriaal.

Een van die redes waarom permutasie groepe belangrik is, is omdat elke eindige groep as 'n deelgroep van 'n simmetriese groyp  *S**N* uitgedruk kan word; die resultaat is Cayley se teorema.

## Eenvoudige stellings 
* 'n Groep het presies een identiteitselement.

* Elke element het presies een inverse.

:*Bewys*: Veronderstel beide *b* en *c* is inverses van *x*. Dan is volgens die definisie van 'n inverse, *xb* = *bx* = *e* and *xc* = *cx* = *e*. Maar dan:

::

:Dus is die inverse uniek.

Die eerste twee eienskappe volg eintlik uit assosiatiewe binêre operasies op 'n versameling gedefinieer. Gegee 'n binêre operasie op 'n versameling, is daar op die meeste een identiteitselement en op die meeste een inverse vir enige element.

* Deling kan in groepe uitgevoer word; dit wil sê, gegee elemente *a* en *b* van die groep *G*, is daar presies een oplossing *x* in *G* vir die vergelyking *x* * *a* = *b* en presies een oplossing *y* in *G* vir die vergelyking *a* * *y* = *b*.

## Opbou van nuwe groepe uit bestaande groepe 
Van die maniere waarop nuwe groepe uit 'n versameling bestaande groepe saamgestel kan word:
* **Deelgroepe**: 'n Deelgroep *H* van 'n groep *G* is 'n groep.
* **Kwosiëntgroep**: Gegee 'n groep *G* en 'n normale deelgroep *N*, die kwosiënt groep is die versameling cosette van *G/N* saam met die operasie (*gN*)(*hN*)=*ghN*.
* **Direkte produk**: Indien (*G*,*) en (*H*,•) groepe is, dan is die versameling *G*×*H* saam met die operasie (*g*1,*h*1)(*g*2,*h*2) = (*g*1**g*2,*h*1•*h*2). Die direkte produk kan ook gedefinieer word met enige aantal terme, eindige of oneindig, deur gebruik te maak van die cartesiese produk en die operasie koördinaat-gewys te definieer.
* **Semidirekte produk**: Indien *N* en *H* groepe is en &phi; : *H* &rarr; Aut(*N*) 'n groep homomorphisme is, dan is die semidirekte produk van *N* en *H* ten opsigte van &phi; is die groep (*N* &times; *H*, *), met * gedefinieer as
*: (*n*1, *h*1) * (*n*2, *h*2) = (*n*1 &phi;(*h*1) (*n*2), *h*1 *h*2)
* **Direkte eksterne som**: Die direkte eksterne som van 'n familie groepe is die deelgroep van die produk saamgestel deur elemente wat 'n eindige aantal nie-identiteitskoördinate. Indien die familie eindig is, is die produk ekwivalent.

* Die uitdrukking "*a*1 * *a*2 * ··· * *a**n*" is ondubbelsinnig, omdat die resultaat dieselfde sal wees ongeag van waar die hakies geplaas word.

* (*Sokkies en skoene*) Die inverse van 'n produk is die produk van die inverses in die teenoorgestelde volgorde: (*a* * *b*)−1 = *b*−1 * *a*−1.

:*Bewys*: Ons sal aantoon dat (ab)(b-1a-1) = (b-1a-1)(ab) = e, soos vereis deur die definisie van 'n inverse.

:::

:En soortgelyk vir die ander rigting.

Hierdie en ander basiese feite wat vir alle individuele groepe geld vorm die elementêre-groepteorie.

## Om te bewys dat 'n versameling 'n groep is 
Daar is twee hoofmetodes wat aangewend kan word om te bewys dat 'n versameling 'n groep is:
* Bewys dat die versameling 'n deelgroep van 'n groep is;
* Bewys dat die versameling 'n groep is deur die definisie van 'n groep te gebruik.

Die eerste metode word gewoonlik die "Deelgroeptoets" genoem en vereis dat 'n mens die volgende bewys om te bewys dat H 'n deelgroep is:
* Die versameling H is 'n nie-leë-deelversameling van G (d.i. dit bevat die *identiteitselement*)
* H is geslote onder dieselfde operasie as G. (ab is in H en a-1 is in H vir alle a,b in H)

Die tweede metode vereis dat mens al die aksiomas en aannames in die definisie van 'n versameling G bewys:
* G is nie-leeg;
* G is geslote onder die binêre operasie;
* G is assosiatief;
* e is in G (volg gewoonlik van nie-leeg wees);
* G bestaan uit eenhede.

Vir eindige groepe hoef mens slegs te bewys dat 'n deelgroep nie-leeg en geslote is onder die omringende groep se operasie.

## Veralgemenings 
In abstrakte algebra is daar verwante strukture wat soortgelyk is aan groepe deur sommige van die aksiomas bo te verslap.

* As die vereiste dat elke element 'n inverse moet hê opgehef word, word 'n monoïed verkry.
* As die identiteitvereiste ook opgehef word, word 'n semigroep verkry.
* Alternatiewelik as die operasie assosiatief moet wees verslap word terwyl langdeling steeds vereis word, word 'n lus verkry.
* As die identiteitvereiste ook opgehef word, word 'n skyngroep verkry.
* As daar geen aksiomas vir die binêre operasie geplaas word nie, word 'n magma verkry.

Groepoïedes, wat soortgelyk is aan groepe behalwe dat die komposisie *a* * *b* nie vir alle *a* en *b* gedefinieer hoef te wees nie, kom voor in die studie van meer ingewikkelde soorte simmetrieë, dikwels in topologiese en analitiese strukture. Hulle is spesiale tipes kategorieë.

Supergroepe en Hopf-algebras is ander veralgemenings.

Lie-groepe, algebraïese groepe en topologiese groepe is voorbeelde van groepvoorwerpe: groepagtige strukture in 'n ander kategorie die gewone kategorie van versamelings.

Abelse groepe vorm die prototipe vir die konsep van 'n abelse kategorie, wat toepassings in onder andere vektorruimtes het.

Formele groep wette is sekere formele magsreekse wat eienskappe het baie soortgelyk aan groep operasies.