Analitiese meganika

In wiskundige en teoretiese fisika is **analitiese meganika** of **teoretiese meganika** 'n versameling van nou nouliks verwante alternatiewe formulerings van klassieke meganika. Dit is in die 18de eeu en daarna deur baie wetenskaplikes en wiskundiges ontwikkel na aanleiding van Newton-meganika. Aangesien Newton-meganika vektorhoeveelhede van beweging, veral versnellings, momentum en kragte van die dele van 'n stelsel, oorweeg, is 'n alternatiewe naam vir die meganika wat deur Newton se wette en Euler se wette regeer word *vektormeganika*.

Daarteenoor maak analitiese meganika gebruik van die skalaareienskappe van beweging wat die stelsel as 'n geheel verteenwoordig — gewoonlik sy totale kinetiese energie en sy potensiële energie — nie Newton se vektorkragte van individuele partikels nie. 'n Skalaar het slegs 'n grootte, terwyl 'n vektor grootte én rigting besit. Die bewegingsvergelykings word afgelei van die skalaarhoeveelheid deur een of ander onderliggende beginsel oor die skalaar se variasie.

Analitiese meganika benut 'n stelsel se beperkings om probleme op te los. Die beperkings lê die grade van vryheid aan bande wat die stelsel kan hê en dit kan gebruik word om die getal koördinate te verminder wat nodig is om die beweging op te los. Die formalisme is geskik vir arbitrêre koördinaatkeuses, bekend in hierdie konteks as veralgemeende koördinate. Die kinetiese en potensiële energie van die stelsel word uitgedruk met behulp van hierdie veralgemeende koördinate of momenta, en die bewegingsvergelykings kan so maklik opgestel word; dus laat analitiese meganika toe dat talle meganiese probleme opgelos kan word met 'n groter doeltreffendheid as wat met die ten volle vektorgebaseerde metode gedoen kan word. Dit werk nie altyd vir niekonserwatiewe kragte of dissipatiewe kragte soos wrywing nie, in welke geval 'n mens kan terugkeer na Newton-meganika, of kan gebruik maak van die Udwadia–Kalaba-vergelyking.

Twee hooftakke van 'n analitiese meganika is Lagrange-meganika (met behulp van veralgemeende koördinate en die ooreenstemmende veralgemeende snelhede in die opsetruimte) en Hamiltoniese meganika (met die gebruik van koördinate en die ooreenstemmende momenta in faseruimte). Albei formulerings is ekwivalent deur 'n Legendre-transformasie op die veralgemeende koördinate, snelhede en momenta; dus bevat albei dieselfde inligting vir die beskryf van die dinamika van 'n stelsel. Daar is ander formulerings soos die Hamilton–Jacobi-teorie, Routhian-meganika en Appell se vergelyking van beweging. Al die bewegingsvergelykings vir deeltjies en velde, in enige formalisme, kan afgelei word uit die wyd toepasbare resultaat hiervan wat bekend staan as die beginsel van die minste aksie. Een hiervan is Noether se stelling, 'n verklaring wat behoudswette aan hulle geassosieerde simmetrieë verbind.

Analitiese meganika bring nie nuwe fisika in die prentjie in nie en is nie meer algemeen as Newton-meganika nie. Dit is eerder 'n versameling van ekwivalent formalismes wat wyd toegepas word. Die feit is dat dieselfde beginsels en formalismes gebruik kan word in relatiwistiese meganika en algemene relatiwiteit, en met 'n bietjie verandering, ook in kwantummeganika en kwantumveldteorie.

Analitiese meganika word wyd gebruik, in fundamentele fisika tot toegepaste wiskunde, veral chaosteorie.

Die metodes van analitiese meganika is van toepassing op diskrete deeltjies, elk met 'n beperkte getal grade van vryheid. Hulle kan aangepas word om kontinue velde of vloeistowwe te beskryf, wat 'n oneindige hoeveelheid grade van vryheid besit. Die definisies en vergelykings het 'n noue analogie met dié van daardie meganikas.