Calculus

**Calculus** (van die Latynse woord *calculus* wat letterlik “klein klippie wat gebruik word om op te tel” beteken) is die wiskundige studie van aanhoudende verandering, in dieselfde manier wat meetkunde die studie van vorm is en algebra die studie van die veralgemenings van rekeningkundige berekeninge is. Dit het twee hoof vertakkings, naamlik: differensiale calculus (wat die tempo van verandering en die helling van krommes meet) en integrale calculus (wat die akkumulasie van hoeveelhede en die areas onder en tussen krommes meet). Hierdie twee vertakkings is verwant aan mekaar deur die fundamentele teorie van calculus. Beide vertakkings maak gebruik van die fundamentele notasies van konvergensie van die oneindigende reekse tot ŉ goed- gedefinieerde limiet. Oor die algemeen word aanvaar dat moderne calculus in die 17de eeu ontwikkel is deur Isaac Newton en Gottfried Leibniz. Vandag word calculus in ’n wye verskeidenheid velde gebruik; soos die wetenskap, ingenieurswese en ekonomie.

Calculus is deel van moderne wiskundige opvoeding. ŉ Kursus in calculus word beskou as die begin tot ander, meer gevorderde kursusse in wiskunde. Calculus het histories bekend gestaan as “die calculus van infinitesimale”, of “infinitesimale calculus”. *Calculus* is ook gebruik vir die benaming van sommige metodes van berekeninge soos variasiecalculus, lambdacalculus en prosescalculus**.**

## Geskiedenis 
Moderne calculus is in die 17de eeu in Europa ontwikkel deur Isaac Newton en Gottfried Wilhelm Leibniz (onafhanklik van mekaar, maar het kort na mekaar hul werke oor calculus gepubliseer). Maar elemente daarvan het reeds in antieke Griekeland en later ook in China, die Middel Ooste, weer in Europa in die Middeleeue en in Indië verskyn.

### Antieke tydperk 
Die antieke periode het sommige idees bekendgestel wat tot integrale calculus gelei het, maar dit wil voorkom of hierdie idees in ŉ rigiede en sistematiese wyse ontwikkel is nie. Berekeninge van volume en area, een doelwit van integrale calculus, kan aangetref word in die Egiptiese Moskou papirusse (1820 v.c.) maar die formules is eenvoudig met belangrike komponente wat nie daar is nie en daar is ook geen definitiewe metode ten opsigte van die gebruik van die formules nie. Sedert die eeu van Griekse wiskundiges (408-355 v.c.) het Eudoxus die metode van uitputting gebruik (wat die voorloper van die konsep van die limiet was) om areas en oppervlakte te bereken. Archimedes (287-212 v.c.) het hierdie idee verder ontwikkel en het heuristiek, wat dieselfde metodes van integrale calculus bevat ontwikkel. Die metode van uitputting is later ook op ŉ onafhanklike wyse in China deur Liu Hui in die 3de eeu n.C. ontdek en is gebruik om die area van ŉ sirkel te bepaal. In die 5de eeu na Christus het Zu Gengzhi, die seun van Zu Chongzhi ŉ metode ontwikkel wat later bekend sou staan as die Cavalieri prinsiep- om die volume van ŉ sfeer te bepaal.

### Middeleeue 
In die Midde-Ooste het Alhazen (965-1040 n.c.) ŉ formule ontwikkel om die som van die vierde kragte te bepaal. Hy het die resultate gebruik om om wat nou bekend staan as integrasie van die funksie, waar die formule vir die som van die integrale vierkante en vierde magte hom toegelaat het om die volume van ŉ parabool te bereken. In die 14de eeu het Indiese wiskundiges nie-rigiede metodes van ŉ soort van differensiasie van sommige trigotomies funksies gegee. Madhava van Sangamagrama en die Kerala skool van astronomie en wiskunde het daarvolgens die komponente van calculus bepaal. ŉ Volledige teorie wat hierdie komponente bevat is nou wel bekend in die Westerse wêreld as die Taylor-reeks of die nimmereindigende reeks aannames. Tog kon hierdie wiskundiges nie die verskillende idees kombineer om die twee onderliggende temas van afleiding en integrasie te wys, te konnekteer en in die wonderlike probleemoplossing metodes wat ons vandag het verander het nie.

### Moderne tye 
 “Die calculus was die eerste bereiking van die moderne wiskunde en dit is moeilik om die belangrikheid daarvan te oorskat. Ek dink dit definieer meer onomwonde as enige iets anders die aanvangs van die moderne wiskunde en sistematiese wiskundige analiste wat die logiese ontwikkeling daarvan is. Dit bewys die grootste tegniese vooruitgang in presiese denke.” –John von Neumann.In Europa is die fundamentele werk geboekstaaf as gevolg van Bonaventura Cavalieri wat geargumenteer het dat volumes en areas as die som van die volumes en areas van infinitesimale dun kruis-lyne bereken moet word. Hierdie idees was eenders aan die van Archimedes in sy *The Method*. Hierdie werk het egter verlore geraak in die 13de eeu en is eers weer in die 20ste eeu herontdek en was gevolglik onbekend aan Cavalieri. Cavalieri se werk word nie op ag geslaan nie, omdat sy metodes tot verkeerde resultate kan lei en die infinitesimale hoeveelhede wat hy voorgestel het, debatteerbaar was.

Die formele studie van calculus het Cavalieri se infinitesimales met die calculus van finiete veranderinge wat in ongeveer die selfde tyd in Europa ontwikkel is, bymekaar gebring. Pierre de Fermat het voorgehou dat hy idees van Diophantus geleen het toe hy die konsep van *adequality* (wat die konsep van gelykheid tot ŉ infinitesimale fout-terme) ontwikkel het. John Wallis, Isaac Newton en James Gregory het daarin geslaag om die kombinasie wat die tweede fundamentele teorie van calculus gevorm het, bymekaar te voeg. Die produksiereël en kettingreël, die notasie van hoër afleiers, Taylor-reeks en analitiese funksies is deur Isaac Newton in ŉ idiosinkratiese notasie bekend gestel wat hy gebruik het om probleme van wiskundige fisika op te los. In sy werke het Newton sy idees omskryf om by die wiskundige idiome van die tyd aan te pas. Hy het sy metodes van calculus gebruik om oplossings tot verskeie probleme te kry, byvoorbeeld: Beweging van planete, die vorm van die oppervlak ŉ roterende vloeistof, die vorm van die Aarde en die beweging van ŉ gewig wat binne ŉ silinder beweeg. Dit word volledig in sy werk *Principia Mathematica* (1687) omskryf. 

Isaac Newton se idees is verder ontwikkel tot ŉ volledige calculus van infinitesimales deur Gottfried Wilhelm Leibniz (wat eers deur Newton van plagiaat beskuldig is). Leibniz word nou beskou as ŉ onafhanklike ontwikkelaar en medewerker tot calculus. Sy grootste bydrae tot calculus was om ŉ definitiewe stel reëls te ontwikkel. Anders as Newton het Leibniz ook baie aandag aan formalisasie geskenk en het baie tyd daaraan spandeer om die regte simbole vir die regte konsepte te ontwikkel.

Leibniz en Newton word gevolglik beide gekrediteer met die ontwikkeling van calculus. Newton was die eerste wat calculus op fisika toegepas het terwyl Leibniz baie meer van die notasie wat ons in moderne calculus gebruik ontwikkel het. 

Tydens die publikasie van Newton en Leibniz se werke was daar baie kontroversie oor watter wiskundige (en gevolglik watter land) die eer moet verdien. Hoewel Newton eerste sy resultate ontwikkel het, het Leibniz eerste gepubliseer en Newton het gevolglik gesê dat Leibniz idees uit sy ongepubliseerde notas gesteel het. Dit het tot jarelange onmin tussen Engelse- en Kontinentale Europese wiskundiges gelei. ŉ Ondersoek in die werke van hierdie twee wiskundiges wys egter dat al twee op ŉ onafhanklike wyse hul resultate verkry het. Leibniz het eerste met integrasie begin terwyl Newton eerste met differensiasie begin het. Vandag word beide erken as die ontwikkelaars van calculus, maar dit is Leibniz wat die nuwe dissipline sy naam gegee het aangesien Newton dit die “Studie van fluktuasies” genoem het. 

Na Leibniz en Newton het verskeie wiskundiges bydraes gelewer tot die studie van calculus. Een van die eerste en mees volledige werke oor beide infinitesimale en integrale wiskunde is geskryf deur Maria Gaetana Agnesi in 1748.

## Fondasies 
In calculus verwys fondasie na die rigiede ontwikkeling van die onderwerp van aksiome en definisies. In vroeë calculus is daar geglo dat die gebruik van infinitesimale hoeveelhede nie rigied was nie, en is hewig deur verskeie outeurs gekritiseer. Michelle Rolle en Bishop Berkeley is twee van die outeurs. Berkeley het infinitesimales beskryf as die “spoke van verdwynende kwantiteite” is sy *The Analyst* (1734). Om ŉ rigiede fondasie vir calculus te ontwikkel het baie wiskundiges vir die grootste gedeelte van die eeu na Leibniz en Newton besig gehou. Dit is tot vandag nog ŉ aktiewe deel van calculus-navorsing.

Verskeie wiskundiges, insluitend Maclaurin het probeer om die stabiliteit in die gebruik van infinitesimales te ontwikkel, maar dit sal nie tot 150 jaar later met die verskyning van die werk van Cauchy en Weierstrass wees wat daar ŉ manier gevind is om die notasies van klein hoeveelhede te vermy nie.

## Beginsels 
### Limiete en die oneindig klein 
Analise word gewoonlik ontwikkel deur baie klein hoeveelhede te manipuleer. Die eerste metode om hierdie mee te bewerkstellig was, histories, deur die gebruik van *infinitesimale*. Hierdie "voorwerpe", wat aangewend word asof hulle getalle is wat bloot "oneindig klein" is. 'n Infinitesimale getal *dx* sou groter as 0 wees, maar kleiner as enige getal in die ry 

:1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots

en minder as enige positiewe reële getal. Enige heelgetalveelvoud van 'n infinitesimaal is steeds oneindig klein, m.a.w. infinitesimale gehoorsaam nie die Archimediese eienskap nie. 

Vanuit hierdie oogpunt, is calculus 'n versameling tegnieke wat gemoeid is op die manipulering van oneindige klein getalle. Hierdie benadering het egter teen die einde van die 19de eeu in onbruik verval, omdat dit moeilik was om die idee van 'n infinitesimaal nougeset te definieer. Ten spyte hiervan is die konsep weer in die 20ste eeu in die lewe geroep met die inlywing van nie-standaard calculus en egalige infinitesimale calculus, wat die weg gebaan het vir wiskundig nougesette manipulering van infinitesimale.

Infinitesimale is tydens die 19de eeu vervang deur limiete. Limiete beskryf die waarde van 'n wiskundige funksie by 'n sekere punt "invoer" in terme van waardes by "invoere" wat in die omliggende area is. Hulle beskryf funksiegedrag op 'n baie klein skaal, maar gebruik die gewone reële getalsisteem. 

In hierdie opsig is analise 'n versameling van tegnieke om sekere limiete te manipuleer. Infinitesimale word vervang deur baie klein getalle, en die oneindige klein gedrag van 'n funksie word gevind deur die beperkende gedrag vir toenemend kleiner getalle te neem. Limiete is maklik om op 'n nougesette basis te sit en om hierdie rede word hulle gewoonlik beskou as die standaardbenadering tot analise.

### Differensiale calculus 
duimnael|300px|Raaklyn by (*x*; *f*(*x*)). Die afgeleide *f′*(*x*) van 'n kurwe by 'n punt is die gradiënt (verandering in funksiewaarde oor invoerwaarde) van die raaklyn aan die kurwe by daai punt.

Differensiale calculus is die studie van die definisie, eienskappe en toepassings van die afgeleide van 'n funksie. Die proses waardeur die afgeleide gevind word, is *differensiasie*. Gegee 'n funksie en 'n punt in sy definisieversameling, dan beskryf die afgeleide by daardie punt die klein-skaal gedrag van die funksie naby daardie punt. Deur die afgeleide van 'n funksie by elke punt in sy definiesieversameling te vind, word dit moontlik om 'n nuwe funksie, genaamd die *afgeleide funksie*, te kry. In wiskundige jargon is die afgeleide 'n lineêre operator wat 'n funksie ingevoer word en 'n tweede funksie uitvoer.

Die algemeenste simbool vir 'n afgeleide is die apostroofagtige merk genaamd priem. Die afgeleide van die funksie *f* is dus *f&prime;*. Byvoorbeeld, as *f*(*x*) = *x*2 die kwadraatfunksie waarvan die afgeleide die verdubbelingsfunksie is, kan die afgeleide met die volgende notasie aangedui word: *f&prime;*(*x*) = 2*x*.

As die invoerwaarde tyd is, verteenwoordig die afgeleide verandering met betrekking tot tyd. Byvoorbeeld, as *f* a funksie is wat tyd neem as invoer en die posisie van 'n bal by 'n sekere tydstip as uitvoer gee, verteenwoordig die afgeleide van *f* hoe die posisie met betrekking tot tyd verander, d.w.s. die snelheid van die bal.

As die funksie lineêr is (m.a.w. die grafiek van die funksie is 'n reguitlyn), kan die funksie geskryf word as *y* = *mx* + *b*, waar:

:m= {\mbox{verandering in } y \over \mbox{verandering in } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}.

Dit gee die presies waarde van die gradiënt van 'n reguitlyn. As die grafiek van die funksie egter nie 'n reguitlyn is nie, sal die verandering in *y* gedeel deur die verandering in *x* afwissel. Afgeleides verleen 'n presiese betekenis tot die idee van verandering in uitvoer met betrekking tot verandering in invoer. Om konkreet te wees, laat *f* 'n funksie wees, en stel 'n punt *a* in die definisieversameling van *f* vas. (*a*; *f*(*a*)) is 'n punt op die grafiek van die funksie. As *h* 'n getal baie naby aan nul is, dan is *a* + *h* 'n getal baie naby aan *a*. Dus is (*a* + *h*; *f*(*a* + *h*)) baie naby aan (*a*; *f*(*a*)). Die gradiënt tussen hierdie twee punte is:

:m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Hierdie uitdrukking word genoem 'n *differensiekwosiënt*. 'n Lyn deur twee punte op 'n kurwe word genoem 'n *snylyn*, so *m* is die gradiënt van die snylyn tussen (*a*; *f*(*a*)) en (*a* + *h*, *f*(*a* + *h*)). Die snylyn is net 'n benadering tot die gedrag van die funksie by die punt *a*, omdat dit nie rekening hou van wat tussen *a* en *a* + *h* met die funksie gebeur nie. Verder is dit ook onmoontlik om uit te vind wat die gedrag by *a* is deur *h* gelyk te stel aan nul, omdat dit deling deur nul noodsaak, wat ontoelaatbaar is. Die afgeleide is dus gedefinieer deur die limiet te neem soos *h* streef na nul, wat beteken dat dit die gedrag van *f* vir alle klein waardes van *h* oorweeg en 'n bestendige waarde ontgin vir die geval waar *h* gelyk is aan nul:

:\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.

Meetkundig gesproke is die afgeleide die gradiënt van die raaklyn tot die grafiek van *f* by *a*. Die raaklyn is 'n limiet van snylyne net soos die afgeleide 'n limiet van differensiekwosiënte is. Om hierdie rede word die afgeleide soms die gradiënt van die funksie *f* genoem.

Hier is 'n spesifieke voorbeeld -- die afgeleide van die kwadraatsfunksie by invoer 3. Laat *f*(*x*) = *x*2 die kwadraatsfunksie wees.

:\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\
&=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\
&= 6.
\end{align}

Die gradiënt van die raaklyn tot 'n kwadreringsfunksie by die punt (3;9) is 6. D.w.s. die funksiewaarde vermeerder ses keer vinniger as die invoerwaarde. Die limietproses wat sopas beskryf is kan toegepas word vir enige punt in die definisieversameling van die kwadreringsfunksie. Dit definieer die *afgeleide funksie* van die kwadreringsfunksie.

### Leibniznotasie 
'n Algemene notasie vir die afgeleide in die voorbeeld hier bo is:

:
\begin{align}
y=x^2 \\
\frac{dy}{dx}=2x.
\end{align}

Hierdie notasie is die eerste keer deur Leibniz gebruik en dra dus sy naam.

In 'n benardering gebaseer op limiete moet die simbool *dy/dx* nie geïnterpreteer word as die kwosiënt van die twee getalle nie, maar as beknopte voorstelling van die limiet wat hier bo uitgewerk is. Leibniz se oorspronklike bedoeling was egter dat dit die kwosiënt van twee oneindig klein getalle voorstel, waar *dy* die infinitesimale verandering in *y* is wat veroorsaak word deur 'n infinitesimale verandering *dx* in *x*.

Ons kan ook aan *d/dx* dink as die differensiasie-operator wat 'n funksie neem as invoer en nog 'n funksie, die afgeleide, as uitvoer lewer. Byvoorbeeld:

:
\frac{d}{dx}(x^2)=2x.

Soos dit hier gebruik word, beteken die *dx* in die noemer "met betrekking tot *x*". Selfs as analise ontwikkel word deur limiete te gebruik in plaas van infinitesimale, is dit steeds algemeen om simbole soos *dx* en *dy* te manipuleer asof hulle regte getalle is en, hoewel dit moontlik is om sulke manipulering te vermy, is dit soms gerieflik om die notasies van sekere operasies so uit te druk.

### Integrale calculus 
### Fundamentele stelling 
Die *fundamentele stelling van die calculus* stel dat differensiasie en integrasie inverse operasies is. Om meer presies te wees, beskryf dit die verband tussen die waardes van anti-afgeleides en bepaalde integrale. Omdat dit gewoonlik makliker is om 'n anti-afgeleide te bereken as wat dit is om die definisie van 'n bepaalde integraal toe te pas, verskaf die fundamentele stelling van calculus 'n praktiese metode om 'n bepaalde integraal te bereken.

Die fundamentele stelling van calculus stel: As 'n funksie *f* kontinu is oor die interval [*a*,*b*] en as *F* 'n funksie is waarvan die afgeleide *f* is oor die interval (*a*, *b*), dan is

:\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Verder, vir elke *x* in die interval (*a*, *b*),

:\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).

Hierdie besef, wat deur beide Newton en Leibniz gemaak is, was onmisbaar in die ontsaglike vermenigvuldiging van analitiese resultate wat gelewer is nadat hulle werk bekend geword het. Die fundamentele stelling verskaf 'n algebraïese metode om verskeie bepaalde integrale te bereken &mdash; sonder om limietprosesse (soos Riemann-somme) toe te pas &mdash; deur formules vir anti-afgeleides te vind.

## Sien ook 
* Numeriese analise