Fourier-reeks

duimnael|Fourier-reekse vir 'n vierkantsgolf wanneer dit onderskeidelik benader word deur 1, 3, 5 en 7 sinusvormige terme.

Die **Fourier-reeks** is deur Joseph Fourier in die begin van die negentiende eeu ontwikkel. Hy publiseer sy ontdekking in 1807.
Hy ontwikkel die konsep oorspronklik om hom te help met die oplossing van die hittediffusievergelyking, maar dit is later ontdek dat reeks nuttig is om enige periodieke golfvorm te ontleed. In sy eenvoudigste vorm (uit 'n ingenieursoogpunt) word die golfvorm ontbind in 'n reeks sinus- en cosinuskrommes met frekwensie gelykstaande aan 'n tussengetalveelvoud van die frekwensie van die oorspronklike golfvorm. In die praktyk word slegs die laagste frekwensiekrommes gebruik.

In die boonste ry van die diagram aan die regterkant word die vierkantgolf benader deur 'n sinusvormige kromme wat 'n periode T het. Die volgende ry wys die vierkantgolf wanneer dit benader word deur twee sinusvormige krommes met periodes (T, \frac{T}{3}) bymekaar te tel, die derde ry toon die resultaat wanneer drie sinusvormige krommes met frekwensies (T, \frac{T}{3}, \frac{T}{5}) bymekaar getel is en so voort.

## Vorm
Die Fourier-reeks kan in verskeie vorme uitgedruk word. Die drie mees algemene word hier beskryf.

### Sinus-kosinus vorm
Die wiskundige uitdrukking vir die Fourier-reeks word gegee deur:
:
s_{\scriptscriptstyle N}(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \left(a_n \cos\left(\tfrac{2\pi}{T} nx \right) + b_n \sin\left(\tfrac{2\pi}{T} nx \right) \right)

waar
:s_{\scriptscriptstyle N}(x) is die funksie wat benader word.
:N N is die hoogste orde van sinusvormige kromme wat in die benadering gebruik word. 
:s_{\scriptscriptstyle N}(x) Is die benadering tot die kromme nadat N sinusvormige krommes gebruik is. 
:\{a_0 , a_n , b_n | n  1 \ldots N \} is 'n stel konstante wat spesifiek is vir s_{\scriptscriptstyle N}(x).
Die konstantes \{a_0 , a_n , b_n | n  1 \ldots N \} word geëvalueer deur die formules te gebruik:
:\begin{align}
a_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \cos(nx)\,dx \\[4pt]
b_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \sin(nx)\, dx\\[4pt]
\end{align}

### Amplitude-fase vorm of polêre vorm
Aangesien dat
:A\cos\left(\theta - \phi\right) = A\cos\theta\cos\phi + A\sin\theta\sin\phi
is dit maklik om te bewys dat die sinus-kosinusvorm in 'n amplitude-fase of polêre vorm herskryf kan word:
:s_{\scriptscriptstyle N}(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^N A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi }{P}nx - \varphi_n \right)
waar 
:A_n = \sqrt\left(a_n^2 + b_n^2\right)
:\tan\phi = \frac{b_n}{a_n}.
Wanneer die Fourier-reeks in hierdie vorm geskryf word, is die term A_n die amplitude van die n^{de} komponent van die golf en \phi sy faseverskuiwing.

### Eksponensiële vorm
Volgens Euler se formule is
:\cos\theta = \tfrac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}).
Deur hierdie verhouding te gebruik, is dit maklik om dit te wys dat die polêre vorm in 'n eksponensiële vorm herskryf kan word:
:
s_{_N}(x) = \sum_{n=-N}^N c_n\cdot e^{i 2\pi nx/P}

waar
:c_n \triangleq \left\{
\begin{array}{lll}
A_0/2 &= a_0/2, \quad & n = 0\\
\tfrac{A_n}{2} e^{-i \varphi_n} &= \tfrac{1}{2}(a_n -i b_n), \quad & n > 0\\
c_^*, \quad && n 
en
:c^* is die komplekse vervoeging van c.

## Konvergensie
Oor die algemeen kan aangetoon word dat 'n Fourier-reeks konvergent is as dit aan die  voldoen.

In ingenieurswese toepassings word daar oor die algemeen aanvaar dat die Fourier-reeks byna oral konvergeer (die uitsonderings is by diskrete diskontinuïteite) aangesien die funksies wat in ingenieurswese teëgekom word, beter gedra as die funksies wat wiskundiges as teenvoorbeelde vir hierdie vermoede kan verskaf. In die besonder, as s kontinu is en die afgeleide van s(x) (wat dalk nie oral bestaan ​​nie) vierkantintegreerbaar is, dan is die Fourier-reeks van s konvergeer absoluut en eenvormig na s(x). As 'n funksie is  op die interval [x_0,x_0+P], dan konvergeer die Fourier-reeks na die funksie by byna elke punt. Dit is moontlik om Fourier-koëffisiënte vir meer algemene funksies of verdelings te definieer, in sulke gevalle is konvergensie in norm of  gewoonlik van belang.

## Simmetriese en antisimmetriese funksies 
As die funksie f(x) simmetries om die nulpunt is (dws  f(-x) = f(x)), dan bestaan ​​die Fourier-reeks slegs uit kosinusterme met onewe harmonieke van die basiese hoofkromme. Net so, as f(x) antisimmetries om die nulpunt is (dws -f(-x) = f(x)), dan bestaan ​​die Fourier-reeks slegs uit sinusterme met onewe harmonieke van die basiese hoofkromme.

In die illustrasie hieronder is die eerste benadering van die eerste driehoekige golf 'n kosinuskurwe en die eerste benadering van die tweede driehoekige golf is 'n sinuskurwe. 

'n Gevolg hiervan is dat as 'n versterker die golf slegs in die amplitudedomein vervorm, sal die vervormings slegs uit onewe harmonieke bestaan.

## Tabel van algemene Fourier-reekse 
Sommige algemene pare periodieke funksies en hul Fourierreeks-koëffisiënte word in die tabel hieronder getoon.

*s(x) dui 'n periodieke funksie aan gedefinieer op 0 .
*a_0, a_n, b_n dui die Fourierreeks-koëffisiënte (sinus-kosinusvorm) van die periodieke funksie aan s(x).

## Verwysings 
## Notas