Warmtekapasiteit

**Warmtekapasiteit** (word gewoonlik aangedui met 'n hoofletter **C**, dikwels met onderskrifte) is 'n meetbare fisiese hoeveelheid wat die vermoë van 'n liggaam om warmte op te gaar met veranderende temperatuur kenmerk.  Dit word gedefinieer as die tempo waarteen die temperatuur verander met byvoeging van hitte teen die gegewe toestande waarin die liggaam verkeer (veral die temperatuur daarvan).  Volgens die SI-stelsel word warmtekapasiteit uitgedruk in eenhede van joule per kelvin.

Dit word 'n *ekstensiewe grootheid* genoem omdat dit sensitief is ten opsigte van die grootte/hoeveelheid van die voorwerp/stof ('n bad vol water het 'n groter warmtekapasiteit as 'n koppie water).  Deur die warmtekapasiteit met die liggaam se massa te deel word die soortlike warmtekapasitiet (soms ook spesifieke warmtekapasiteit genoem) verkry, wat 'n *intensiewe grootheid* is, wat beteken dat die hoeveelheid nie meer afhanklik is van die hoeveelheid materiaal nie en meer afhanklik is van die soort materiaal asook die fisiese toestande tydens die verhittingsproses.

## Definisie 
Warmtekapasiteit word wiskundig gedefinieer as die verhouding van 'n klein hoeveelheid hitte *δQ* wat by 'n liggaam gevoeg word en die ooreenstemmende klein verandering in die temperatuur *dT* daarvan:

: C = \left( \frac{\delta Q}{dT} \right)_{toest.} = T \left( \frac{d S}{d T} \right)_{toest.} 

*Die regterkantste uitdrukking is afgelei vanuit die definisie van entropie (S)*

Vir termodinamiese stelsels met meer as een fisiese dimensie, gee die bostaande definisie nie 'n eenduidige, unieke hoeveelheid nie tensy 'n besondere infinitesimale pad deur die stelsel se faseruimte gedefinieer is (dit beteken dat 'n mens ten alle tye moet weet waar al die dele van die stelsel hul bevind, hoeveel massa hulle bevat en hoe vinnig hulle beweeg).

Hierdie inligting word dan gebruik om die verskillende maniere waarop warmte as kinetiese energie (bewegingsenergie) en potensiële energie (energie wat in kragvelde gestoor word) gestoor kan word te verklaar soos die liggaam uitsit of krimp.  Vir alle werklike stelsels moet die pad deur hierdie veranderinge eksplisiet gedefinieer word, aangesien die waarde van warmtekapasiteit afhang van die pad wat gevolg is vanaf die een temperatuur na die ander te beweeg.  Van besondere belang in hierdie verband is die waardes van warmtekapasiteit waar die verandering by konstante volume plaasvind, *CV*, en waar die verandering by konstante druk,  *CP*, plaasvind soos later in die artikel verduidelik word.

## Warmtekapasiteit van saampersbare liggame 
Die toestand van 'n eenvoudige saampersbare liggaam met 'n vaste massa word beskryf deur twee termodinamiese parameters naamlik temperatuur *T* en druk *P*, wat 'n mens in staat stel om te onderskei tussen *warmtekapasiteit teen konstante volume*, C_V en *warmtekapasiteit teen konstante druk*, C_P soos in bogenoemde paragraaf bespreek:

:C_V=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_V=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V 
:C_P=\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_P=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_P

waar \delta Q is die infinitesimale hoeveelheid warmte wat bygevoeg word en waar dT die ooreenstemmende styging in temperatuur is.

Die inkrement interne energie is die warmte en die werk wat bygevoeg word:
:dU=T\,dS-P\,dV

Dus is die warmtekapasiteit by konstante volume (*aangesien tweede term in vergelyking hierbo nul is*)
:C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V

Die entalpie word gedefinieer deur H=U+PV.  Die inkrement entalpie is
:dH = dU + (PdV+VdP) \! wat deur vervanging van die vergelyking vir dU hierbo vereenvoudig na:
:dH=T\,dS+V\,dP

En aangesien die tweede term hierbo gelyk is aan nul by konstante druk is die warmtekapasiteit by konstante druk gelyk aan
:C_P=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P

Laasgenoemde *definisie* is ietwat oorbodig aangesien die begrip *entalpie* op sigself *uitgevind* is om 'n mate te wees van die warmte wat geabsorbeer of vrygestel word by konstante drukke (die toestande waarteen chemici gewoonlik werk).  As sulks verteenwoordig die entalpie die ekstra warmte wat geproduseer of geabsorbeer word deur druk-volume werk by 'n konstante druk.  Dit is dus geensins 'n verrassing dat konstante druk warmtekapasiteite in terme van entalpie uitgedruk word nie, aangesien *entalpie* in die eerste plek sodanig gedefinieer is.

## Spesifieke warmtekapasiteit 
Die spesifieke warmtekapasiteit (meer akkuraat die massa-spesifieke warmtekapasiteit is)

:c={\partial C \over \partial m}

wat in die afwesigheid van fase-oorgange gelyk is aan
:c=c_m={C \over m} = {C \over {\rho V}} -- aangesien ({\rho} = {m \over V})

* *C* is die warmtekapasiteit van 'n liggaam wat bestaan uit die betrokke materiaal (J·K−1)
* *m* is die massa van die liggaam (kg)
* *V* is die volume van die liggaam (m3)
* ρ = *mV*−1 is die digtheid van die materiaal (kg·m−3)

Vir gasse, asook vir ander materiale wat aan hoë drukke onderwerp word, bestaan daar 'n behoefte om te onderskei tussen die grenstoestande vir die prosesse onder oorweging (aangesien die waardes betekenisvol kan verskil tussen verskillende toestande).  Tipiese prosesse waarvoor warmtekapasiteit  gedefinieer kan word sluit in *isobariese-* (konstante druk, dP = 0) en *isokoriese* (konstante volume, dV = 0) prosesse wat per konvensie vir gasse geskryf word:

:c_P=\left(\frac{\partial C}{\partial m}\right)_P
:c_V=\left(\frac{\partial C}{\partial m}\right)_V

Eenhede hier vertoon is SI-eenhede.

'n Verwante parameter aan c is *CV*-1, die volumetriese warmtekapasiteit, (J·m-3·K-1 in SI-eenhede).  In ingenieurswese word c_V dikwels gebruik om die volumetriese warmtekapasiteit vir vaste- en vloeistowwe aan te dui,  eerder as 'n konstante volume warmtekapasiteit.  In sulke gevalle word die massa-spesifieke warmtekapasiteit duidelik aangedui met die onderskrif *m* as c_m.  Vanuit die bostaande verhouding kan 'n mens dan natuurlik vir vastestowwe skryf:

:c_m={C \over m} = {c_V \over {\rho }}

## Dimensielose warmtekapasiteit 
Die *dimensielosie warmtekapasiteit* van 'n materiaal is
:C^*={C \over nR} = {C \over {Nk}}

waar

* *C* die warmtekapasiteit van 'n liggaam bestaande uit die betrokke materiaal is (J·K−1)
* *n* die hoeveelheid materie in die liggaam is (mol)
* *R* die gaskonstante (J·K−1·mol−1) is
* *nR=Nk* die hoeveelheid materie in die liggaam is (J·K−1)
* *N* die aantal molekules in die liggaam is (dimensieloos)
* *k* die konstante van Boltzmann is (J·K−1·molekule−1)

## SI-eenhede 
Die SI-eenheid vir warmtekapasiteit is joules per kelvin (simbool: J·K-1) en vir spesifieke warmtekapasiteit is joule per kilogram-kelvin (simbool: J·kg-1·K-1).  Tipiese waarde van J·kg-1·K-1 teen kamer warmte in lugdruk is:

Volgens die teorie van die ideale gaswet is die waarde van die algemene gaskonstante *R* van droë lug 287,058&nbsp;J·kg-1·K-1.

## Voorbeelde 
### Verkoeling van gasmengsel 
'n Mengsel van 30% CO, 60% CO2 en 10% H2O word verkoel van 800 °K (~527 °C) na 400 °K (~127 °C) by 'n absolute druk van 85 kPa(a) en 'n vloei van 0.04 kmol/h. Hoeveel is die hitteverlies?

**Antwoord:**

Die warmtekapasiteite van die individuele strome uit Perry's Chemical Engineers' Handbook, Volume 6, bl 3-130, is:

C_{p,CO} = 6.6 + 0.0012T \qquad kal/mol \qquad (T \ in \ Kelvin)

C_{p,CO2} = 10.34 + 0.00274T - \frac{195500}{T^2} \qquad kal/mol \ (T \ in \ Kelvin)

C_{p,H2O(g)} = 8.22 + 0.00015T + 1.34 \times 10^{-6}T^2 \qquad kal/mol \ (T \ in \ Kelvin)

Die warmtekapasiteit van die mengsel is nou:

C_{p,mengsel} = 0.3C_{p,CO} + 0.6C_{p,CO2} + 0.1C_{p,H2O(g)} = 9.01 + 0.00202T + 1.34 \times 10^{-7}T^2 - \frac{117300}{T^2} \qquad (T \ in \ Kelvin)

Om die hitteverlies te bepaal, moet hierdie vergelyking nou geïntegreer word:

Q =  \int_{T_1}^{T_2} C_p \, dT

Q =  \int_{800}^{400} 9.01 + 0.00202T + 1.34 \times 10^{-7}T^2 - \frac{117300}{T^2} \, dT

= \left | 9.01T + \frac{0.00202}{2}T^2 +  \frac{1.34 \times 10^{-7}}{3} T^3 - \frac{117300}{-1} T^{-1} \right |_{800}^{400}

= 9.01(400-800) + \frac{0.00202}{2}(400^2-800^2) +  \frac{1.34 \times 10^{-7}}{3}(400^3-800^3) - \frac{117300}{-1}(\frac{1}{400}-\frac{1}{800})

= -3962 \ \frac{kal}{mol} \times 4.1868 \ \frac{J}{kal} \times 0.04 \ \frac{kmol}{h} = -664 \ \ kJ/h

### Bepaal mengsel se temperatuur 
Indien verskillende strome met bekende temperatuur bymekaargevoeg word, kan die temperatuur van die mengsel bereken word deur 'n energiebalans van die verskillende strome:

:\sum m_i C_{p,i} T_i = (\sum m_i) C_{p,tot} T_{tot} = m_{tot} C_{p,tot} T_{tot}

'n Mengsel bestaan uit 55 t/h stoom @ 400 °C (673 K) wat gemeng word met 10&nbsp;km3n/h suurstof @ 100 °C (373K). Wat is die mengsel se temperatuur?

**Antwoord:**

Stoomvloei: mstm = 55 t/h × (1000&nbsp;kg/t) / (18 kmg/kmol)= 3056 kmol/h

Suurstofvloei: mO2 = 10&nbsp;km3n/h × (1000&nbsp;m3n/km3n) / (22.413 m3n/kmol) = 446.2 kmol/h  (Volgens die ideale gaswet)

Totale vloei van mengsel: mmengsel = 3056 + 446 = 3502 kmol/h

Molfraksie van stoom: Xstm = 3056/3502 = 87.3%

Molfraksie van suurstof: XO2 = 446/3502 = 12.7%

Warmtekapasiteite volgens Perry's Chemical Engineering Handbook, Volume 6, 3-132:

:C_{p,stm} = 8.22 + 0.00015T - \frac{1.34 \times 10^{-6}}{T^2} \qquad [kal/mol \ (T \ in \ Kelvin)]

:C_{p,O2} = 8.27 + 0.000258T - \frac{187700}{T^2} \qquad [kal/mol \ (T \ in \ Kelvin)]

:C_{p,mengsel} = X_{stm}.C_{p,stm} + X_{O2}.C_{p,O2} = 8.226 + 0.0001637T + 1.170 \times 10^{-6}T^2  - \frac{23838}{T^2}\qquad [kal/mol \ (T \ in \ Kelvin)]

Volgens 'n energiebalans is die entalpie van die inkomende strome gelyk aan die entalpie van die mengsel:

:H_{stm} + H_{O2} = H_{mengsel}

Werk nou die entalpie van elke stroom uit deur gebruik te maak van die warmtekapasiteit (gebruik 0 °C as verwysing):

**Entalpie van stoom:**

H_{stm} =  \int_{273}^{673} C_{p,stm} \, dT

 =  m_{stm} \int_{273}^{673} 8.22 + 0.00015T + 1.34 \times 10^{-6}T^2 \, dT

= 3056 \times \left | 8.22T + \frac{0.00015}{2}T^2 + \frac{1.34 \times 10^{-6}}{3}T^3 \right |_{273}^{673}

= 3056 \times \left ( 8.22(673-273) + \frac{0.00015}{2}(673^2-273^2) + \frac{1.34 \times 10^{-6}}{3}(673^3-273^3) \right )

 … kkal

**Entalpie van suurstof:**

Q =  m \int_{T_1}^{T_2} C_p \, dT

H_{O2} =  m_{O2} \int_{273}^{373} C_{p,O2} \, dT

=  \int_{273}^{373} 8.27 + 0.000258T - \frac{187700}{T^2} \, dT

= 446.2 \times \left | 8.27T + \frac{0.000258}{2}T^2 - \frac{187700}{-1}T^{-1} \right |_{273}^{373}

= 446.2 \times \left ( 8.27(373-273) + \frac{0.000258}{2}(373^2-273^2) + 187700 ( \frac{1}{373}-\frac{1}{273}  ) \right )

 … kkal

**Entalpie van mengsel:**

H_{mengsel} = m_{mengsel} \int_{273}^T C_{p,mengsel} \, dT

H_{mengsel} = m_{mengsel} \int_{273}^T 8.226 + 0.0001637T + 1.170 \times 10^{-6}T^2 - \frac{23838}{T^2} \, dT

= 3502 \times \left | 8.226T + \frac{0.0001637}{2}T^2 + \frac{1.170 \times 10^{-6}}{3}T^3 - \frac{23838}{-1}T^{-1} \right |_{273}^T

= 3502 \times \left ( 8.226(T-273) + \frac{0.0001637}{2}(T^2-273^2) + \frac{1.170 \times 10^{-6}}{3}(T^3-273^3) - \frac{23838}{-1}(\frac{1}{T}-\frac{1}{273}) \right )

Stel nou H_{stm} + H_{O2} = H_{mengsel} en los vir T op.

## Sien ook 
* Termodinamika
* Spesifieke warmtekapasiteit

## Verwysings