Kwadrupool

duimnael|'n Simmetriese elektriese kwadrupoolDie rooi punte is &nbsp;+Q gelaai en die blou punte&nbsp;−Q.
duimnael|Die potensiaal van 'n elektriese kwadrupool

'n **Kwadrupool** ontstaan wanneer twee dipole in teenoorgestelde rigting naasmekaar gelê word. Die afstand tussen die dipole word met die afstandvektor \vec a aangegee. In 'n simmetriese kwadrupool vorm die vier pole nogtans 'n vierkant.

## Multipole en velde 
Die potensiaal van lukrake ladingverdelings sonder simmetrie kan met 'n Taylorreeks benader word waarin  in hierdie ontwikkeling ná 'n dipool die kwadrupool die tweede term vorm. Die multipoolontwikkeling betref monopole (een pool), dipole (twee pole), kwadrupole (vier pole), oktupole (agt pole) ensomeer. 

Hoewel hierdie ontwikkeling veral vir elektriese potensiale gebruik word, kan ook magneet- of swaartekragvelde hiermee beskryf word.

## Elektriese kwadrupole 
Die eenvoudigste elektriese kwadrupool bestaan uit twee positiewe en twee negatiewe ladings van gelyke grootte wat afwisselend 'n paralellogram of selfs 'n vierkant vorm. Wiskundig word dit gewoonlik gedefinieer deur 'n 'kwadrupoollimiet' te eis. Indien die oppervlak  a^2 van die parallelogram ná nul konvergeer word gestel dat die ladings  Q op die vier hoeke só divergeer dat die produk   a^2Q >0 konstant bly.

:\{\lim_{a\to 0;\, a^2 Q = \text{konst.}}\dots\} \, ,

Die kwadrupoolpotensiaal \phi_Q(\vec{r}) word deur die superposisie van die twee dipoolpotensiale verkry, waaruit dit opgebou is:

:\begin{align}
\phi_Q(\vec{r}) & =  \phi_D \left(\vec r + \dfrac{\vec a}{2} \right)-  \phi_D \left(\vec r - \dfrac{\vec a}{2} \right)\\
\               & = \vec a \cdot \nabla \phi_D + \mathcal{O}(|\vec a|^3)
\end{align}

In die laaste stap is die Taylorreeksontwikkeling gebruik en terme van orde |\vec a|^3 is verwaarloos.

### Kwadrupooltensor 
Die kwadrupooltensor **Qkl** wat die SI-eenheid &nbsp;C·m² het, kan uit die multipoolontwikkeling verkry word:

:Q_{kl} = \sum_{i=1}^{n} q_i(3r_{ik} \, r_{il} - (r_i)^2 \, \delta_{kl})

Hier is dui \delta die Kronecker-delta aan.

Indien die landingsverdeling kontinu is, word die sommasie 'n integraal:

:Q_{kl} = \int \rho(\vec{r}\,') \cdot (3r'_k \, r'_l - (r')^2 \, \delta_{kl}) \cdot d^3r'

Die kwadrupoolpotensiaal kan ook voorgestel word as

:\begin{align}
\phi_Q(\vec r) & = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec r^T \cdot Q      \cdot \vec r}  {r^5}\\
               & = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0} \frac{     r_i \cdot Q_{ij} \cdot      r_j}{r^5}
\end{align}

Hierby is:
* die sommasiekonvensie van Einstein gebruik
* \varepsilon_0 stel die elektriese veldkonstante voor.

### Aanwendings 
Indien vier elektrodes ewewydig geplaas word en die een paar 'n teenoorgestelde potensiaal het as die ander paar, word dit gewoonlik ook 'n kwadrupool genoem. Hierdie kwadrupole word gebruik in die massaspektrometrie om deeltjies met anderse massa/lading-verhoudings vanmekaar te skei.

## Magnetiese velde 
Magnetiese dipole en kwadrupole word op amper dieselfde manier beskryf as die elektriese dipole en kwadrupole. Die groot verskil is dat elektriese *mono*pole bestaan ('n geïsoleerde lading), maar magnetiese monopole nog nooit aangetref is nie.

### NMR 
In kernspinresonansie is die magnetiese pole baie belangrik. Die beste isotope vir die aanwending van hierdie tegniek is dié wat wel 'n dipool het maar geen kwadrupool nie. Indien die kernspin **I**=0 is daar nog 'n dipool nog 'n kwadrupool en kan die kern nie vir resonansie gebruik word nie. Indien die spin **I**=½ is daar 'n dipool maar 'n kwadrupool ontbreek. Dit is ideaal omdat dit tot smalle resonansielyne en 'n spektrum met 'n hoë oplossende vermoë lei. Indien **I**>½ is daar 'n dipool, maar ook 'n kwadrupool en dit lei gewoonlik tot verbreding van die resonansielyne.
Resonansie van kerne wat 'n kwadrupool besit kan selfs moeilik wees om waar te neem.

## Swaartekraggolwe 
duimnael|150px|Kwadrupoolgolf

Elektriese ladings kan positief of negatief wees, maar by swaartekrag is die 'lading' (die massa) altyd positief. Die gevolg is dat dipole nie bestaan nie. 'n Reeksontwikkeling van 'n onreëlmatige massaverdeling bevat nogtans wel 'n kwadrupoolterm met eenheid &nbsp;kg·m². Swaartekraggolwe is daarom (veral) kwadrupoolstraling.

## Bronne 
* Horst Stöcker: *Taschenbuch der Physik.* 4. Auflage, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 2000, .

## Verwysings