Minimização Proximal Alternada e Métodos de Projeção para Problemas Não-Convexos: uma Abordagem Baseada na Desigualdade de Kurdyka-Lojasiewicz
Publisher: Studies Publicações
Published: 28/05/2025
Language: por
Number of pages: 53
ISBN-13: 9786583309310
Description: O trabalho aqui desenvolvido baseia-se no artigo [1]. Estudamos as propriedades de convergência do algoritmo de minimização proximal alternado para funções estruturadas não-convexas do tipo: L(x,y)=f(x)+Q(x,y)+g(y), onde f e g são funções próprias semicontínuas inferiormente, definidas sobre espaços Euclideanos, e Q é uma função suave que acopla as variáveis x e y. O algoritmo pode ser visto como uma regularização proximal do usual método de Gauss-Seidel para minimizar L. Trabalhamos em um cenário não-convexo, assumindo apenas que L satisfaz a desigualdade de Kurdyka-Łojasiewicz. Exibimos várias estruturas onde uma função possui esta desigualdade válida, além de fornecer uma prova para o caso analítico (veja Teorema 6). Nosso resultado principal pode ser assim enunciado: Se L satisfaz a propriedade Kurdyka-Łojasiewicz, então cada sequência gerada pelo algoritmo converge a um ponto crítico de L. Este resultado é completado pelo estudo da taxa de convergência do algoritmo, que depende das propriedades geométricas da função L perto de seu ponto crítico. Quando especializado para Q(x,y)=∥x-y∥^2, e para f,g funções indicadoras, o algoritmo é um método de projeção alternado (uma variação de von Neumann’s) que converge para uma ampla classe de conjuntos.