因果濾波器

信号处理裡的因果濾波器是线性时不变的因果系统。「因果」（causal）一詞是指濾波器輸出只和過去和現在的輸入有關。若濾波器的輸出也和未來的輸入有關，則為非因果（non-causal），若濾波器的輸出只和未來輸入有關，則為反因果（anti-causal）。可實現（可以實時運算）的系統和濾波器必須是因果因統，因為實時運算的系統無法靠未來的輸入來產生目前的輸出。以效果上，最可以代表時間輸入的輪出，會在出現稍晚於時間的輸出。数字滤波器裡的常見設計實務就是利用將非因果的脈衝響應變慢或是時間移位，以創建可實現的濾波器。若需要縮短脈衝響應的話，一般會將脈衝響應乘以窗函数來達成。

像最大相位濾波器就是反因果濾波器的一個例子，本身可以是有界輸入有界輸出穩定性，而反因果濾波器的倒數也是穩定的非因果濾波器。


例子
以下定義是輸入信號的移動平均，此處省略係數：

其中可以表示空間坐標，就像在影像處理中的應用。但若表示時間，則這樣定義的移動平均是非因果的，因為和未來的輸入有關，就像。可實現的版本如下：

是上述濾波器延時後的版本。

任何一個線性濾波器（就像此處的移動平均）其特徵可以用其冲激响应h(t)表示，而其輸出為以下的卷积

若用這種表示方式，因果代表

若上述的等式要成立，一般來說會需要h(t) = 0，針對所有t < 0。

頻域中因果濾波器的特徵
令h(t)是因果濾波器，其傅立葉變換為H(ω)，定義以下函數

是非因果的。換句話說，g(t)是埃爾米特函數，因此傅立葉變換G(ω)是實值函數。可以得到以下的關係

其中Θ(t)是单位阶跃函数。

因此h(t)和g(t)的傅立葉變換有以下的關係：

其中是頻域下的希爾伯特轉換（不是時域的）。的正負號會依傅立葉變換的定義而不同。

將上式進行希爾伯特轉換，可得到以下H和其希爾伯特轉換的關係：

參考資料

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