麦凯维-斯科菲尔德混沌定理

麦凯维-斯科菲尔德混沌定理（）是社会选择理论中的一个重要结论。该定理指出，在多维政策空间中，多数决原则通常会导致不稳定的结果。在大多数情况下，不仅不存在（即没有一个选项能在成对比较中击败所有其他选项），而且议程的设定者可以通过精心安排一系列投票，使得任何一个备选政策（无论其优劣）都能击败最初的政策，并最终当选。这意味着，通过增加备选方案或改变投票顺序（即“议程操控”），就可以任意地决定最终的赢家。

该定理有多个版本，分别针对不同类型的偏好及其例外情况进行了证明。其中一个版本由于1976年首次证明，该版本适用于基于  上欧几里得距离的偏好。另一版本则由于1978年证明，适用于更广泛的可微偏好。

可以将该定理理解为：当选民偏好被限定为  空间内的凹函数时，阿罗不可能性定理的结论依然适用。与此相对，中间选民定理表明，如果将偏好限制在一维实数线上且为单峰偏好，那么阿罗不可能性定理的结论将不再成立，此时中位选民的理想点便是孔多塞胜者。而混沌定理则揭示了，这一“好消息”（即稳定解的存在）并不能延伸到多维政策空间中。

 定义 
该定理的背景设定为：存在个的选民，他们对不同的政策进行投票。这些政策被抽象为维欧几里得空间中的点。每次投票都在两个政策点之间进行，并遵循多数决原则。每位选民都有一个效用函数，用以衡量其对不同政策的偏好程度。

 欧几里得偏好 
研究了当偏好满足“欧几里得度量”（Euclidean metrics）条件时的情形。 在这种设定下，每位选民的效用函数具有以下形式：

此处，代表任意政策点，是选民i的最优理想点，是欧几里得距离，而是一个单调递减函数。

在这些条件下，一个政策集合可能不存在多数决下的。这意味着，对于给定的政策、、，可能出现投票循环（voting cycle）：
  在多数决中战胜 
  在多数决中战胜 
  在多数决中战胜 

麦凯维的证明进一步指出，选举的“混乱”程度远不止于此：若系统中不存在均衡点，那么对于空间中任意两个政策点和，都必然存在一个政策序列 ，使得：
  在多数决中战胜 
  在多数决中战胜 
 ...
  在多数决中战胜 

这一结论的惊人之处在于，它与和在直接比较下的胜负关系无关。这意味着，通过一系列精心设计的中间投票，可以从任何起点到达任何终点。

 示例 

最简单的示例是三位选民在二维政策空间中的情况。此时，每位选民都有一个最偏好的“理想点”，其偏好程度则由一系列以该理想点为中心的圆形无差异曲线表示。对于任意一个给定的政策点，总能找到一个位于至少两位选民的更优集（即无差异曲线所包围的区域）交集内的新政策点，而这个新政策点能够通过多数决击败前者。这意味着，平面上的几乎任何一个点，都存在一个能被三分之二多数（即两位选民）所偏好的点集来击败它。

 推广 
将该定理推广至更一般的效用函数，仅要求其可微即可。他还分析了政策点之间存在一种有向连续路径的条件，沿这种路径前进所达的任意一点都能在多数决中击败先前的政策点。 后来，Jeffrey S. Banks发现斯科菲尔德的部分证明存在瑕疵，并给出了修正后的证明。

 参考文献 

Category:投票理论
Category:经济学定理