Chebychev–Grübler–Kutzbach公式

Chebychev–Grübler–Kutzbach公式（）也稱為活動度公式（），是有關运动链（一組有力學約束剛體的組合）之自由度的公式，這類机构也稱為连杆机构。

Chebychev–Grübler–Kutzbach公式是用連杆和接點的數量，以及每個接點的自由度來計算連桿可能的組態變化情形。

有些機構有特殊的幾何特徵及尺寸，使得自由度比Chebychev–Grübler–Kutzbach公式預測的更高。這類設備稱為。

 活動度公式 
活動度公式會計算定義這組剛體位置的參數數量，再減去各接點所產生的約束J. J. Uicker, G. R. Pennock, and J. E. Shigley, 2003, Theory of Machines and Mechanisms, Oxford University Press, New York. J. M. McCarthy and G. S. Soh, Geometric Design of Linkages, 2nd Edition, Springer 2010

想像一個球形的海鷗。一隻不受約束翱翔的海鷗可以在三度空間內有六個運動的自由度，其中三個是移動的自由度（例如x方向、y方向和z方向），另外三個是轉動的自由度（翻滾、俯仰、偏擺）。

一個由個無約束剛體組成的系統（隻翱翔的海鷗）,其對固定參考系下的自由度是。固定參考系可以自由選定，這個參考系甚至可以是局部的或主觀的：從某一隻海鷗的觀點來看，它沒有動，是世界在動。因此作為參考系的固定構件也要算在剛體的數量中（以一群海鷗的例子，考慮是從海鷗A的視角，可能海鷗A站在海灘上，也可能海鷗A正在飛，但以當時所在位置的視角來看），而其活動度和所選擇哪個構件作固定參考系無關。因此，系統的活動度為，其中是構件加上固定構件的總數。

連接系統中剛體的接點會減少自由度，因此也會減少系統的運動度。像鉸鏈限制了3個平移自由度和2個轉動自由度，總共減少5個自由度，滑塊也是減少5個自由度。一般來說，常會將接點的約束個數用接點的自由度來表示，其中。鉸鏈或滑塊都有一個自由度，，因此。

結果就是由個活動剛體和個接點，其自由度分別是，，的系統，其活動度為

其中的有將固定構件考慮在內。

有兩種特殊的連桿，分別是單一開鏈（simple open chain）和單一閉鏈（simple closed chain）。

單一開鏈有個移動件，由個接點連接，而其中有一個接點接到固定構件。單一開鏈的每一個接點都連接兩個構件，因此j個接點的構件數量是，開鏈的活動度是

單一閉鏈有個移動件，由個接點連接，有二個接點接到固定構件，形成封閉的環。此時，，因此活動度是

像串聯機械臂（serial robot manipulator）就是單一開鏈。這種機器手臂會由許多構件組成，中間有六個轉動接點或是滑動接點，因此有六個自由度。

RSSR空間四連桿屬於單一閉鏈。接點的自由度總和為8，因此該連桿機構的活動度（Mobility）為2；其中一個自由度是連桿繞著連接兩個S接點（球副）之連線的自轉。其接點自由度的總和是8，此連桿的活動度是2。

 平面運動和球面運動 
连杆机构常會設計使所有元件的運動都在平行的數個平面上，這稱為平面連桿，也可以設計讓所有元件的運動都在同心的數個球面上，稱為球面連桿。這兩種連桿裡，每一個元件的自由度都只有三，接點的約束個數會是c = 3 − f.

此情形下的活動度公式為

上述的特例變成
 平面或是球面的單一開鏈

 平面或是球面的單一閉鏈

像平面四杆机构就是平面單一閉鏈的例子，是四桿形成的環，有四個一個自由度的接點，因此活動度M = 1。

相關條目

 平面四杆机构
 連桿
 机器


參考資料

 延伸閱讀 


 外部連結 
 Basic kinematics of rigid bodies 

Category:机器人学基础理论
Category:機構學