爱尔特希-卡茨定理

在数论中，埃尔德什-卡茨定理（），以埃尔德什·帕尔和马克·卡茨命名，也被称为概率数论的“基本定理”。该定理指出，如果  是整数  的不同素因子个数，那么，粗略地说，



的概率分布收敛于标准正态分布。（ 是整数数列线上大全中的数列 A001221。）这是哈代—拉马努金定理的推广，后者指出  的正规序（normal order）是 ，典型误差大小为 。

 精确表述 
对于任意固定的 ，有：

其中  是标准正态（或“高斯”）分布，定义为：



更一般地，如果  是一个强加性函数（即对于所有素数 ，有 ），且对于所有素数  都有 ，则：

其中

 卡茨的原始启发式 
直观地说，卡茨对该结果的启发式论证表明，如果  是一个随机选取的大整数，那么  的不同素因子的数量近似服从均值和方差均为  的正态分布。这源于一个事实：对于随机选取的自然数 ，事件“数字  能被素数  整除”对于不同的  是相互独立的。

现在，用  表示事件“数字  能被  整除”，考虑以下指示随机变量的和：

这个和计算了随机自然数  有多少个不同的素因子。可以证明这个和满足林德伯格条件（Lindeberg condition），因此林德伯格中心极限定理保证了在适当的缩放后，上述表达式将服从高斯分布。

该定理的实际证明由爱尔特希完成，使用了筛法使上述直觉得以严格化。

 数值例子 
爱尔特希-卡茨定理意味着构建一个大约十亿的数字平均需要三个素数。

例如，1,000,000,003 = 23 × 307 × 141623。下表提供了随着  的增加，自然数  的平均不同素因子数量增长的数值摘要。

    的位数 不同素因子的平均数量 标准差1,000421.41,000,000,0001031.71,000,000,000,000,000,000,000,000254210656652.2109,5669,567103.210210,704,568210,704,569204.51010221022 + 1507.11010441044 + 110010101043410434 + 1100031.6


大约 12.6% 的 10,000 位数字由 10 个不同的素数构成，大约 68% 由 7 到 13 个素数构成。

如果一个像地球一样大的空心球体填满细沙，大约会有 1033 粒沙子。可观测宇宙体积内大约能容纳 1093 粒沙子。在这个宇宙中可能有空间容纳 10185 个量子弦。

即使是这种量级的数字——有 186 位数——平均也只需要 6 个素数来构建。

通过经验发现爱尔特希-卡茨定理是非常困难的，如果不是不可能的话，因为只有当  达到  左右时，高斯分布才会显现出来。更确切地说，雷尼（Rényi）和图兰（Turán）表明，逼近高斯分布的误差的最佳一致渐近界限是

 参考文献 





 外部链接 

 Timothy Gowers: The Importance of Mathematics (part 6, 4 mins in) and (part 7)

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