Home prime

数论中，大於1的整數n之home prime（HP(n)），是指將其因式分解後的質因數（包括重覆出現的質因數）再串接，一直反覆而得到的質數。在計算HP(n)中間的第m步驟的數值會用HPn(m)表示。例如，HP(10) = 773，因為10的因數分解是2×5，因此HP10(1) = 25，25的因數分解是5×5，因此HP10(2) = HP25(1) = 55，55 = 5×11，因此HP10(3) = HP25(2) = HP55(1) = 511，511 = 7×73，因此HP10(4) = HP25(3) = HP55(2) = HP511(1) = 773，而773是因數。有些文獻用HPn表示home prime，省略一組括弧。home prime在數論中不是主要議題，home prime對於快速質因數分解的演算法，提供很好的測試場域，但此一主題仍是娛樂數學的主題。

，此主題主要的計算挑戰之一就是HP(49) = HP(77)在實務上是否可以計算。因為計算過程的數字會持續變大，直到計算到質數為止，因此其質因數分解也就越來越困難。，HP(49)要計算的是HP49(119)，251位數合数的因數分解，之前一次的大幅突破是在2014年12月3日將HP49(117)因數分解，再之前的突破是2012年12月8日將
of HP49(110)因數分解，每一次的計算都用到了相當多的運算資源。有關此一研究的細節，以及小於100其他數字的home prime，目前是因Patrick De Geest的worldofnumbers網頁在維護。有一個和互联网梅森素数大搜索有關的網站，維護了十進制下，小於1000其他數字的已知home prime，也有二進制到九進制下的home prime。

從HP(2)開始的HP(n)為
2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17, 233, 19, 3318308475676071413, 37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, ... 

除了那些需要花大量時間計算的數字之外，若要證明某特定數字的home prime存在，就一定要進行計算。以启发法的說法，有數字有home pirve的機率是1，但這種啟發式方法對從各種不同過程中抽取的數字做出了假設，儘管這些假設可能是正確的，但卻達不到數學命題通常所需的證明標準。

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 腳註 

 參考資料 




 J. Heleen, Family Numbers: Constructing Primes By Prime Factor Splicing, J. Rec. Math., 28, pp. 116–9, 1996-7
 J. Heleen, Family Numbers: Mathemagical Black Holes, Recreational and Educational Computing, 5:5, p. 6, 1990

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