迪尔-格罗夫模型

迪尔-格罗夫模型（Deal–Grove model）用数学方法描述材料表面氧化物层的生长，特别用于预测和解释硅在半导体器件制造中的热氧化过程。该模型最早由快捷半导体的Bruce Deal 和安迪·葛洛夫于1965年发表，建立在在1950年代末期于贝尔实验室关于硅表面通过热氧化钝化的工作基础之上。该模型是CMOS器件和集成电路制造的重要步骤。

 物理假设 
alt=The three phenomena of oxidation, as described in the article text|right|文章正文中描述了氧化的三种现象。
模型假设氧化反应发生在氧化层与基底材料的界面处，而不是在氧化层与周围气体之间。因此它考虑氧化物质按下列顺序经历的三个现象：

 氧化剂从气相主体扩散到表面。
 氧化剂穿过已存在的氧化层扩散到氧化层-基底界面。
 氧化剂与基底发生反应。

该模型假设每个阶段的速率均与氧化剂的浓度成正比。第一步遵循亨利定律；第二步遵循菲克扩散定律；第三步则遵循对氧化剂的一级反应动力学。该模型还假设反应处于稳态，即不存在瞬态效应。

 结果 

在这些假设下，氧化剂在三个阶段中的通量可用浓度、材料性质和温度表示为：



其中是气相输运系数，是周围大气中氧化剂的浓度，是氧化层表面处的氧化剂浓度，是氧化层与基底界面处的氧化剂浓度，是氧化层内的扩散系数，是氧化层的厚度，是基底表面氧化反应的速率系数。

在稳态下，三种通量相等：，可导出以下关系：



假定扩散控制生长，即由决定生长速率，并将上述两式中以表示的与代入与的表达式，得到：



若是单位体积氧化物中氧化剂的浓度，则氧化物的生长速率可写成微分方程的形式。该方程的解给出任意时间时的氧化层厚度。



其中常数和分别概括反应和氧化层的性质，并且是表面存在的初始氧化层。这些常数如下所示：

常数和分别代表反应与氧化层的性质，是表面初始存在的氧化层厚度。常数定义为：



其中，为亨利定律中的气体溶解参数，是扩散气体的分压。

解二次方程得到：



对上式取短时间与长时间极限，可见两种主要的工作模式。第一种模式为线性生长，发生在很小时。第二种模式为二次方（平方根）生长，发生在氧化层随时间增厚时。



与常被称为“二次”与“线性”反应速率常数。它们随温度呈指数依赖，形式为：



其中是活化能，是以电子伏特为单位的波茲曼常數。不同方程的不同。下表列出在工业常用条件下（低掺杂、大气压）单晶硅的四个参数值。线性速率常数依赖晶体取向（通常以面向表面的晶面密勒指数表示）。表中给出的是与硅的数值。
范围物理量湿法（ ）干法（ ）线性速率常数 ：9.7     ：1.63     ：3.71    ：6.23     （电子伏特） 2.05 2.00抛物线速率常数 386 772  （电子伏特） 0.78 1.23

 对硅的适用性 
Deal–Grove 模型在大多数条件下对单晶硅的适用性很好。然而，实验数据表明非常薄的氧化层（小于约25纳米）在中的生长速率远高于模型预测。在硅纳米结构（例如硅纳米线）中，这种快速生长通常随后出现动力学减弱的自限性氧化过程，因此需要对迪尔-格罗夫模型进行修正。Liu, M.; Peng, J.; et al. (2016). "Two-dimensional modeling of the self-limiting oxidation in silicon and tungsten nanowires". Theoretical and Applied Mechanics Letters. 6 (5): 195–199. arXiv:1911.08908. doi:10.1016/j.taml.2016.08.002.

如果在某一氧化步骤中所生长的氧化层远大于25 nm，则通过一个简单的调整可以解释异常的生长速率。对于厚氧化层，若不是假定初始厚度为零（或任何小于25 nm的初始厚度），而是假定在氧化开始前已存在25 nm的氧化层，则模型能给出准确结果。但对于接近或薄于该阈值的氧化层，必须采用更复杂的模型。

1980年代，人们意识到需要更新迪尔-格罗夫模型以描述上述薄氧化层（自限性情形）。一种更准确模拟薄氧化层的方法是1985年的Massoud模型。Massoud模型为解析解，基于平行的氧化机制。它通过加入速率增强项来改变迪尔-格罗夫模型的参数，从而更好地描述初始氧化生长。

迪尔-格罗夫模型对多晶硅也不适用。首先，晶粒的随机取向使选择线性速率常数变得困难。其次，氧化剂分子沿晶界快速扩散，因此多晶硅的氧化速度快于单晶硅。

原子会使硅晶格产生应变，从而使硅原子更容易与进入的氧结合。该效应在许多情况下可忽略，但重掺杂硅的氧化速率明显更快。环境气体的压力也会影响氧化速率。

 参考 

 参考书目 




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