半拉格朗日方法

半拉格朗日方法（，縮寫：SLS）是一種廣泛應用於數值天氣預報模型中的，用於整合描述大氣運動的方程式。拉格朗日描述法（如應用於大氣系統）著重追蹤單個氣團的運動軌跡，有別於歐拉描述法——後者關注特定空間點上系統變量的變化速率。半拉格朗日方法採用歐拉框架，但離散方程的推導源自拉格朗日視角。

 背景 
拉格朗日量  的變化率由

給出，其中  可為標量場或向量場，  為速度場。上述方程式右側的第一項是  的局部變化率（或稱歐拉變化率），第二項通常稱為移項。需注意拉格朗日變化率亦稱為物質導數。

可以證明，描述大氣運動的方程式可寫成拉格朗日形式

其中向量  的分量是描述空氣微粒的（依變數），例如速度、壓力、溫度等；而函數  則代表源項與/或匯項。

在拉格朗日方法中，雖可追蹤個別氣團，但存在明顯缺陷：氣團數量可能極為龐大，且常出現大量氣團聚集成團的狀況，導致相對廣闊的空間區域完全空缺。此類空洞會引發計算問題，例如在計算各類量值的空間導數時。對此存在解決之道，例如光滑粒子流體動力學技術，該技術將依變數以非局部形式表達，即作為其自身與核函數乘積的積分。

半拉格朗日方法則能避免空間區域基本不存在微粒的問題。

 半拉格朗日方法 
半拉格朗日方法採用規則（歐拉）網格，與有限差分法相同。其核心思想如下：在每個時間步長中，計算粒子包的起始點位置。隨後運用插值方案，估算粒子起始點周邊網格點上依變數的數值。所列參考文獻中包含半拉格朗日方法應用方式的更詳細說明。

 外部連結 
 ctraj: C++ trajectory library, including semi-Lagrangian tracer codes.

 參考資料 
 E. Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability (Chapter 3, Section 3.3.3), Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
 A. Persson, User Guide to ECMWF forecast products (Section 2.1.3), http://www.ecmwf.int/sites/default/files/User_Guide_V1.2_20151123.pdf
 D.A. Randall, Atmospheric Modeling (AT604, Chapter 5, Section 5.11), http://kiwi.atmos.colostate.edu/group/dave/at604.html

Category:数值气候与天气模型