Kronecker-Capelli定理

克罗内克–卡佩利定理（英語：Kronecker–Capelli theorem，亦称Rouché–Capelli theorem）是線性代數中關於線性方程組可解性的經典定理，刻畫了係數矩陣與增廣矩陣的秩之間的關係。對於線性系統 ，設係數矩陣  的秩為 ，增廣矩陣  的秩為 ，則：
 當且僅當 ，系統有解；
 若 （未知數個數為 ），則解唯一；
 若 ，則有無窮多解；
 若 ，則系統無解。

該定理常用於判斷線性方程組是否相容與解的數量情形，並與秩、零空間、列空間等概念緊密相關。定理名稱源於德國數學家利奧波德·克羅內克（Leopold Kronecker）與意大利數學家阿爾弗雷德·卡佩利（Alfredo Capelli）；在法語文獻中亦稱為魯歇–卡佩利定理（Rouché–Capelli）。

 形式化表述 
設 ，。令
，。

則以下敘述成立：

1. 線性系統  有解（相容）當且僅當 。

2. 若 ，則解唯一；若 ，解集為仿射子空間，維度為 （即有無窮多解）。

3. 若 ，則系統不相容（無解）。

上述結論可由初等行列變換（高斯消去）與秩不變性證出：行列操作不改變秩；在化為行最簡形（RREF）後，若最後一列（增廣部分）在行空間中引入獨立行，則 ，對應於矛盾行（如 ），故無解。

 歷史 
該定理在十九世紀由克羅內克與卡佩利提出與系統化，後在法語傳統中因埃米爾·魯歇（Émile Rouché）與卡佩利而得名。其內涵實際上是線性代數基本工具（秩與相容性）的早期嚴格刻畫之一，與高斯消去法的理論基礎相匹配。

 推論與等價敘述 
 與秩–零度定理（Rank–Nullity）相容：若 ，解集為 ，其中  的維度為 。
 若  滿秩（），則對任意  有唯一解；等價於  可逆。
 若 ，則存在某些  使得系統有解且不唯一（ 維），亦存在  使得無解。
 幾何詮釋： 是否屬於  的列空間（像空間）決定相容性；相容時解集為某仿射平移的核。

 範例 
考慮二元三方程：

其係數矩陣 ，。增廣矩陣 ，，故有解且不唯一：。

再考慮：

此時 ，而 ，矛盾行出現（如 ），故無解。

 與其他定理的關係 
 與高斯–若爾當消去法：該定理給出消去後相容性的秩判準。
 與秩–零度定理：共同描述解集維度與存在性。
 與最小二乘：當無解（）時，可考慮以最小二乘解近似。
 與線性映射像與核：判斷  是否在像空間。

 參見 
 秩 (線性代數)
 高斯消去法
 行最簡形
 秩—零化度定理
 最小二乘法
 線性方程組

 參考資料 









 外部連結 
 Wolfram MathWorld: Rouché–Capelli Theorem
 English Wikipedia: Rouché–Capelli theorem 

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