综合几何学

综合几何学（有时亦称为公理几何或纯几何）是指不借助坐标体系进行研究的几何学。它以公理化方法为基础，从少数基本性质出发（早期称为假设，现称为公理），通过逻辑推演来证明一切几何结论。

17世纪，勒内·笛卡尔引入了坐标方法，即所谓的解析几何。自此，“综合几何”（synthetic geometry）一词被创造出来，用以指代笛卡尔之前沿用的几何研究方法——当时，人们所知的几何学皆属此类。

正如数学家费利克斯·克莱因所言：
“综合几何研究形狀本身的性质，而不诉诸任何公式；而解析几何则依赖于公式的表达，这些公式可在采用适当坐标系后写出。”
综合几何最早的系统化论著是欧几里得的《几何原本》。然而，到了19世纪末，人们发现欧几里得的公理体系并不足以完整刻画几何学。直到19世纪末，大卫·希尔伯特才提出了第一个完备的几何公理体系。与此同时，人们也认识到，综合方法与解析方法皆可用于建立几何理论。两者在本质上的等价性后来由埃米尔·阿廷在其著作《几何代数》中予以严格证明。

正因为这种等价关系，综合几何与解析几何之间的区分在现代数学中已不再使用，除非是在初等教学阶段，或是在研究某些与数系无关的几何体系时，例如有限几何与非德萨格几何（Non-Desarguesian plane）。

参见
 重合幾何
注脚

参考文献




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