乘子

在傅里叶分析中，乘子算子是一类线性算子，即对函数的一种变换。这类算子的作用方式是通过改变函数的傅里叶变换来实现的：它们将函数的傅里叶变换与一个特定的函数（称为乘子或符号）相乘。有时，人们也将“乘子算子”简略地称为“乘子”。简言之，乘子算子通过调整函数所涉及的频率结构来重新塑造函数的频谱特征。

这一类算子的范围极为广泛。一般理论表明：在一个群上，凡是满足一定（相当宽松）正则性条件的平移不变算子，都可以表示为一个乘子算子，反之亦然, Chapter II.。许多常见的算子，如平移算子和微分算子，都是乘子算子的特例；而更复杂的例子还包括希尔伯特变换等。

在信号处理领域，乘子算子通常被称为“滤波器”，其对应的乘子即为滤波器的频率响应或传递函数。

在更广泛的数学背景中，乘子算子属于谱乘子算子（spectral multiplier operator）的特殊情形，这类算子源自算子（或一组可交换算子）的函数演算。它们也是伪微分算子的特例，更一般地属于傅里叶积分算子（Fourier integral operator）的范畴。该领域仍存在一些重要的未解问题，例如如何刻画在Lp空间上有界的乘子算子。

需要注意的是，乘子算子与拉格朗日乘子并无关联，二者的共同点仅在于都涉及“乘法”这一运算。

参见
 奇異積分
 Lp空間
 算子范数
 脚注

参考文献



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