熵权法

熵权法（Entropy Weight Method，EWM），又称熵值法，是一种客观赋权方法，常用于多属性决策分析（Multi-Criteria Decision Making, MCDM）中。它基于信息论中的熵概念来确定各个指标（或属性）的权重。该方法通过度量各评价指标在样本中的离散程度来确定权重：同一指标的样本差异越大，则其熵值越小，该指标的权重就越大；同一指标的样本差异越小，则其熵值越大，该指标的权重就越小。熵权法常用于风险评估、综合评价、系统优化等领域。

 背景 
在多指标综合评价问题中，确定指标权重是关键步骤。传统方法如层次分析法和德尔菲法依赖专家判断，存在一定主观性。熵权法属于客观赋权法，它直接利用数据分布特征计算权重，避免了完全依赖专家经验。 熵权法的理论基础来自克劳德·香农（Claude E. Shannon, 1948）提出的信息熵公式。

 方法原理 
假设有一个评论体系有个样本（对象），个指标。原始数据矩阵为：

，；

其中是第个样本在第个指标下的值。

 1、数据标准化（Normalization） 
原始数据可能单位不同、量纲不同，需要标准化处理。标准化分为正向指标（越大越好）和负向指标（越小越好）。

正向指标标准化：

负向指标标准化：

其中，和是第行的最小值和最大值。标准化后，，得到标准化矩阵。

注意：如果所有值相同，会导致分母为0，此时可直接赋权重为0。

 2、计算每个指标的比例（Proportion） 
计算每个样本在该指标下的比例值：

这类似于概率分布，确保。

 3、计算每个指标的熵值（Entropy） 
使用信息熵公式计算第个指标的熵：

其中，是常数，确保。如果，则（极限值）。

熵值范围：当所有相等（），熵最大（不确定性最大）；当差异极大，熵最小接近0。

 4、计算每个指标的差异系数（Divergence） 
差异系数表示指标的信息效用：

越大，指标越重要。

 5、计算权重（Weight） 
第个指标的权重：

确保，权重向量。

 6、综合评价（Optional） 
加权求和得到样本得分：

然后根据排序或决策。

 示例 

 题目 
假设有3个城市，根据以下指标进行综合评价：
+城市与相关指标城市（编号）GDP（亿元）污染指数（指数）教育水平（%）150008090230005085340007095

 1、分析题目 
分析可得：样本，指标；GDP、教育水平为正向指标；污染指数为负向指标。

得到原始数据矩阵：

 2、标准化 
GDP：，，

；；

污染指数：，，

；；

教育水平：；，

；；

得到标准化矩阵：

 3、比例计算 
GDP：，

；；

污染指数：，

；；

教育水平：，

；；

 4、熵计算 

 5、差异计算 

 6、权重计算 

 7、得分计算 

 结论 
城市1得分较高，城市3得分最低，城市2得分居中。

 应用 
熵权法广泛应用于以下领域：

社会经济评价：区域发展水平测度、城市竞争力评价。

环境科学：环境质量评价、可持续发展指数计算。

工程与管理：风险评估、项目优选、供应链管理。

金融与保险：投资组合评价、信用风险分析。

教育与科研：高校绩效考核、科研产出综合评价。

 优缺点 

 优点 
基于客观数据，避免了主观赋权偏差。

计算过程规范，结果可重复。

能有效反映指标间差异性与信息量大小。

 缺点 
完全依赖样本数据，若样本不足或失真，结果可能不合理。

对归一化方法敏感，不同标准化方式可能影响结果。

忽略了专家经验与实际背景因素。