海涅定理

海涅定理，得名于德国数学家爱德华·海涅，在数学分析中连接了函数极限和序列极限。该定理表明函数极限的存在性和值可被刻画为所有收敛到那个点的序列的极限。反过来，序列极限的条件也可以用来求取函数极限。因此，函数极限的很多性质可从对应的序列极限性质导出。

特别地，这个定理包括两部分：

正面陈述：设  为一函数，令  为  定义域的极限点（聚点）。若  则对每一个收敛至  且对任意  都有  的序列 ，有序列  收敛至 ；也就是 
反面陈述：反过来，若每一个满足  且对任意  皆有  的序列 ，对应的序列  皆收敛至相同的 ，则  在  处的极限存在且等于 ；用符号表示为 

背景

在某些语境下，空间的拓扑结构可以方便地由极限点来定义。这通常通过明确“点在何时是序列的极限”来实现。然而，对于某些在某种意义上“过大”的空间，则还需进一步明确“点在何时是更一般的、以有向集为的点集（称为网()）的极限”。函数仅当其将序列的极限映射为序列的极限时，才是（海涅）连续的。在前一种情况下，保持极限也是充分条件；而在后一种情况下，函数可能保持所有序列的极限却仍不连续，此时保持网的极限才是充要条件。

具体来说，若函数对任意中收敛于的序列都有收敛于，则称该函数为的。因此，序列连续的函数“保序列极限”。连续函数皆序列连续。 若是第一可数空间且可数选择公理成立，则反过来也成立：任意保序列极限的函数皆连续。特别是，若是度量空间，序列连续性和连续性是等价的。对于非第一可数空间，序列连续性可能严格弱于连续性。（这两个性质等价的空间称为。） 这就促使了在一般拓扑空间中考虑网而不是序列。连续函数保网的极限，并且该性质刻画了连续函数。

正式陈述

考虑单变量实函数的情况：

 参考文献 

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