九點模版

数值分析中，假設有在二維空間下的方形網格，一個點的九點模版（）是指包括其周圍八個點和其自身的模版。九點模版可以用差分來近似中央點的導數，是數值微分的範例之一。九點模版常用在近似二個變數的拉普拉斯算子。


 動機 
若用有限差分法，將二維的拉普拉斯算子離散化，可以得到常見的五點模版，表示為以下的卷积核：

雖然比較容易計算，計算量也比較少，但中央等化子會有不希望出現的本質性各向异性，因為此等化子沒有考慮對角的影響。若在一些要求準確的應用中，拉普拉斯運算子的效果在座標軸上較快，其他方向較慢，這本質性的各向异性會是問題，會扭曲模擬結果。

上述問題開始讓研究者尋找較好的離散拉普拉斯運算子的方法，希望可以消除各向异性。

 實現 
以下是二個最常見的各向同性九點模版，以其卷积核的形式表示。可以用以下的公式求得：

第一個是因Oono-Puri而得名   ，係數是γ=1/2。

第二個是因為Patra-Karttunen或Mehrstellen而得名 ，係數是γ=1/3。

兩個都是的各向同性形式，在小Δx的極限下，兩者等價 。Oono-Puri是各向同性離散化的最佳解，整體誤差都縮小，而Patra-Karttunen在加入旋轉不變量的條件下，已有系統性的研究，在原點附近誤差最小。
 參考資料 

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