锥 (范畴论)

数学的分支范畴论中, 函子的锥为用于定义函子极限的抽象概念, 亦良好应用于范畴论的其他概念中.

 定义 
令  为  中的圖示. 形式上, 图示并没有比从  到  的函子拥有更多信息. 术语的更改体现于一个事实,  建立了  中对象与态射族的索引. 范畴  称 “索引范畴”. 应类比集合论中的理解之. 不同之处在于, 索引范畴中存在态射. 因而, 令  进一步为, 这一概念将更贴合集合的索引族. 另有更一般但也更有趣的例子, 取  为. 亦可取  为空范畴, 其正对应最简的锥.

令  为  的对象. 从  到  的锥为态射族

对任意  中的对象 , 使得每个  中的态射  有下图交换:
所有这样的三角总体 (通常无穷) 可 (一定程度上) 描述作拥有顶点  的几何锥体. 锥  有时亦称拥有顶点  与底 .

亦可为上述的锥定义从  到  的对偶概念 (亦称余锥), 即翻转所有态射方向. 明确而论, 从  到  的余锥为如下态射族

对任意  中的对象 , 使得对任意  中的态射  有下图交换:
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Functor_co-cone.svg|alt=Part of a cone from F to N|center|175x175px

 等价说法 
第一眼看去, 锥似乎在范畴论中并非那么正常的构造. 其映射物体到函子上 (或者反过来). 秉持范畴论的精神, 理应将其定义为某个合理范畴中的态射或对象, 而实际上二者均可定义.

令  为小范畴, 并令  为  中类型  的图范畴 (所携信息无外乎函子范畴). 定义 作如下:对所有  中的 ,  为到  的常函子.

若  为  中类型  的图, 下列陈述等价:

  为从  到  的锥.
  为从  到  的自然变换.
  为逗号范畴  的对象.

上述陈述亦有有关余锥的对偶表述.

这些陈述均可验证以直接验证定义. 将锥视作自然变换, 可注意到其无非以常量函子为起点或终点的  中的态射.

 锥范畴 
忧伤可定义到  的锥范畴, 作为逗号范畴  实现. 锥的态射即那个范畴的态射. 等价关系根植于常量函子  和  间的自然映射, 此常量函子对应  间的态射. 此时对角函子平凡作用于箭头. 顺藤摸瓜, 按同上的图写下从常量函子  到  的自然映射之定义. 位处所料, 从锥  到锥  的态射即态射  使得所有“明显的”图表换 (见下节第一图).

同样地, 亦可从  定义余锥范畴.

 万有锥 
极限与余极限定义为万有锥. 即, 通过所有其他锥函子的锥. 从  到  的锥  为万有锥, 若对任意其他从  到  的锥 , 总存在唯一一个从  到  的态射.
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Functor_cone_(extended).svg|center|250x250px
等价地, 到  的万有锥为从  到  的(视作  的对象), 或  里的终对象.

对偶地, 从  到  的锥  为万有锥, 若对任意其他从  到  的锥 , 总存在唯一一个从  到  的态射.
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Functor_co-cone_(extended).svg|center|250x250px
等价地, 从  引出的万有锥为从  到  的万有态射或  中的始对象.

 的极限为到  的万有锥, 而余极限为从  引出的万有锥. 同于所有万有结构, 不保证对全部图 , 万有锥均存在, 但只要其的确存在, 那么必唯一或至多同构意义上唯一 (在逗号范畴  中的同构).

 参考文献 

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