劉維爾函數 (微積分)

在微积分学领域，刘维尔函数（）是一类函数，包括所有初等函数以及它们的任意次积分，也可以递归地定义为：

初等函数是刘维尔函数
如果一个函数是刘维尔函数，那么它的积分也是

所以，刘维尔函数对于算术运算，复合，微分，积分封闭，但是对求极限和无穷求和不封闭。

刘维尔函数是由约瑟夫·刘维尔在1833年至1841年的一系列論文中所提出的。

示例

所有的初等函数
误差函数
菲涅耳積分，对数积分，指数积分

所有刘维尔函数都是代数微分方程的解，但反之则不然。作为代数微分方程解但不是刘维尔函数的示例包括L. Chan, E.S. Cheb-Terrab, "Non-liouvillian solutions for second order Linear ODEs", Proceedings of the 2004 international symposium on Symbolic and algebraic computation (ISSAC '04), 2004, pp. 80–86 ：

大多数贝塞尔函数
大多数超几何函数

所以，像：

Γ函数

它们不是代数微分方程解，所以自然不是刘维尔函数。
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參考資料

延伸閱讀

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