交替多线性映射

在数学中，具体来说在多线性代数中，交替多线性映射是所有参数都属于同一个向量空间（例如双线性形式或多线性形式）的多线性映射。若任意一对参数相等，交替多线性映射就为零。这可以直接推广到交换环上的模。

交替化的概念是指：对于任意一个所有参数都属于同一空间的多线性映射，均可通过该操作构造出一个交替多线性映射。

 定义 

令  为一交换环， 和  是环上的模。若一多线性映射具有形式 ，则其在满足以下等价条件之一时被称为交替的：
 当存在  使得  时，则 。
 当存在  使得  时，则 。

 向量空间 

令  与  为同一个-{zh-cn:域;zh-tw:體;}-上的向量空间。则如果一个多线性映射  满足
 若  线性相关，则 。
则称其为交替的。

 例子 

在李代数中，李括号是交替双线性映射。

矩阵的行列式是其行或列的交替多线性映射。

 性质 

如果  在基环  里，则对任意 ，将交替多线性映射的分量  替换为  后，映射的值不变。

每个交替多线性映射都是，也就是说，对任意  有：  或其等价形式，将  阶置换群记作 ， 是  的符号，则对任意  有： 若  是基环  的可逆元，则每个反对称 -线性形式都是交替的。

 交替化 

给定一个具有形式  的多线性映射，对应的交替多线性映射  可由下式定义：  称为  的交替化。

性质

 交替 -线性映射的交替化是其本身乘上 。
 对称映射的交替化为零。
 双线性映射的交替化是双线性的。

 参见 

 交替代数
 双线性映射

 映射
 多线性代数
 多线性映射
 多线性形式
 对称化

 参考文献