非初等積分

数学上的非初等積分是指某反導數（或不定積分）是初等函數的反導數，但其自身不是初等函數Weisstein, Eric W. "Elementary Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html From MathWorld Accessed 24 Apr 2017.。1835年的刘维尔定理證明了非初等積分存在。此定理也提供了Risch算法的基礎，可以判定哪些初等函數的反導數也是初等函數（不過不太容易）。

範例
以下是一些其反導數是非初等積分的函數範例：
（椭圆积分）
Impossibility theorems for elementary integration; Brian Conrad. Clay Mathematics Institute: 2005 Academy Colloquium Series. Accessed 14 Jul 2014.（对数积分）
（误差函数、高斯积分）
 and （菲涅耳積分）
（三角积分、狄利克雷積分）
 （指数积分）
（可以用指數積分來表示） 
（可以用對數積分來表示）
（不完全Γ函數），若其反導數可以用指數積分表示，若，可以用誤差函數表示，若是其他正數，其反導數是基礎函數。

一些常見的非初等積分有其名稱，也就是所謂的特殊函数，上述公式後面的括弧即為這些函數的名稱。

性質
非初等積分可以用泰勒级数來計算。就算一函數的反導數是非初等積分，其泰勒級數也是解析函数，可以像多項式一様逐項積分，因此其半導數也是泰勒級數，有相同的收敛半径。不過，就算積分是收斂的泰勒級數，其係數也沒有簡單的公式，必須逐項計算，其限制和積分的泰勒級數相同。

若要計算非初等積分的定積分，可以用數值積分近似。也有些情形是其不定積分無法用初等函數表示，但特定的定積分（可能是無限區間內的反常積分）可以用初等函數表示：例如著名的高斯积分 。

初始函數積分的閉包即為劉維爾函數。

相關條目
 代數函數
 封閉形式
 导数
 微分代数
 积分表
 刘维尔定理 (微分代数)

 符号积分

 超越函數

參考資料

 Integration of Nonelementary Functions, S.O.S MATHematics.com; accessed 7 Dec 2012.

延伸閱讀

 Williams, Dana P., NONELEMENTARY ANTIDERIVATIVES, 1 Dec 1993. Accessed January 24, 2014.

Category:积分学
Category:積分