線性多步法

線性多步法是一種初值問題的常微分方程数值方法。在概念上，初值問題的數位方法是由初值開始，在時間上前進一小段，求解下一個點的數值。重覆此步驟，直到要求解的區間都完成為止。

單步法（像欧拉方法）只用前一個點以及其微分來計算目前的值，單步法的龙格-库塔法會用前一個點以及和中間點中間的值來計算目前的值，不過在計算下一個值時，就不考慮之前的資訊。

多步法和單步法的差異是，多步法會考慮以前的資料，以提昇效率。因此。多步法會參考之前的數個點以及數點微分值。線性多步法會使用之前的點和微分值的线性组合。
 定義 
常微分方程的數值方法設法找到以下初值問題的近似解

結果是在各離散時間下，的近似值：

其中是時間步長（有時會表示為），而是整數。

多步法會用以前步以內的資訊來計算下一個值。而線性多步法會用和的線性組合，來計算。因此，線性多步法可以表示如下

而。係數和決定所使用的方法。設計者一方面要找到精確解的理想近似解，另一方面也要設計方便計算的方法。為了簡化計算，中許多係數會是0。

可以用係數來區分顯式和隱式方法。若，此方法則為顯式法，因為可以直接計算。若，則的值和有關，需設法求解方程才能得到, 此方法為隱式法。求解方程時，常會使用迭代法（例如牛顿法）求解。

有時，顯式的多步法會用來「預估」的值，之後再用隱式公式中來得到「校正」後的值，這稱為预估-校正方法。
 例子 

考慮以下問題

其精確解是。

 單步歐拉法 
歐拉法是一種簡易的單步法：

可以將歐拉法視為是退化的顯式多步法，其步數只有一步。

用此方法，配合步長求解問題，得到以下的解：

二步Adams–Bashforth法
二步的Adams–Bashforth法是簡單的多步法

此方法會用到二個值，和來計算下一個值。不過，初始問題只會有一個值。一種可能作法是用歐拉法計算，當作第二個值。在此選擇下，Adams–Bashforth法得到結果如下（四捨五入到小數第四位）：

在的解是，二步的Adams–Bashforth法比歐拉法準確。一般而言，只要步長夠小，二步的Adams–Bashforth法都會比歐拉法準確。

 多步法分類 
常見的多步法可以分為三類：Adams–Bashforth法、Adams–Moulton法及（BDF）。

 Adams–Bashforth法 
Adams–Bashforth法是顯式法，係數是，，而選擇使此方法可以到s階（因此在同一階下，此方法的係數唯一）。

s = 1, 2, 3, 4, 5的Adams–Bashforth法如下，其中的第一式就是前向歐拉法：(; )：

係數可以用以下方法計算。用多项式插值找到階的多項式p使得

多項式內插的拉格朗日插值法可以得到

多項式p是要求解的微分方程等號右邊的局部好近似值，因此改為考慮方程，此方法有精確解，就是p的積分。因此得到下式

當上述公式的p取代之後，就是Adams–Bashforth法。其係數可以由下式求得

將用內插的p取代，引進了數量級為hs的誤差，而s步的Adams–Bashforth法確實是s階。

Adams–Bashforth法是由约翰·柯西·亚当斯求解毛细现象建模的微分方程而來，此微分方程出自。發表了他的理論以及亞當斯的數值方法。
 Adams–Moulton法 
Adams–Moulton法和Adams–Bashforth法類似，也是，，也是選擇係數b到最高可能階數。但Adams–Moulton法是隱式法。去除了的限制，s步的Adams–Moulton法可以到階，而s步的Adams–Bashforth法只有s階。

s = 0, 1, 2, 3, 4的Adams–Moulton法如下(; )，其中前兩個分別是反向欧拉法和梯形法则： respectively:

Adams–Moulton法的推導類似Adams–Bashforth法，不過，用的內插法不只用的點，也會用點，其係數為

Adams–Moulton法是由约翰·柯西·亚当斯獨立完成，類似Adams–Bashforth法。福里斯特·雷·莫爾頓的名字出現在方法，是因為他發現此方法可以和Adams–Bashforth法一起使用，成為一對预估-校正方法。也有類似的想法，亞當斯是用牛顿法求解隱式方程。

 反向微分公式（BDF） 

反向微分公式是的隱式法，選擇其他係數使階數可以到s階（最大可能階數）。此方法特別用來求得刚性方程。

 分析 
微分方程數值方法分析的中心概念，包括有收斂、階數和穩定性。

 收斂、階數 
第一個問題是此方法是否具有一致性：以下差分方程

是否是微分方程的良好近似？更準確的說法，多步法具有一致性，當其步階h趨近於零時，局部截尾誤差趨近於零的速度比h還快，其中局部截尾誤差定義為此方法的結果，和時間時方程精確解的誤差（假設所有之前的值都是正確的）。利用泰勒级数的計算可得線性多步法具有一致性，若且唯若

上述所有的方式都具有一致性。

若方法具有一致性，下一個問題是：近似微分方程的差分方程，可以近似到多好？多步法其階數為p若在其步階h趨近於零時，其局部誤差約為。這和以下方法係數的條件等效：

s步Adams–Bashforth方法的階數為s，而s步Adams–Moulton方法的階數為。

這些條件可以用特徵多項式表示：

以多項式表示的話，上述方式階數為p的條件會變成

此方法具有一致性，若其階數大於等於1，也就是 and 。

 穩定性和收斂 

單步法數值解會和其初始條件有關，而s步方法的解會和其s個初始值有關。因此需考慮此數值解在其初始值有擾動的情形下，是否會穩定。針對某微分方程的線性多步法，在特定時間區間內具有零穩定性（zero-stable），若初始值大小為ε的擾動，造成該時間區間數值解的變化維持在Kε以內，其中K為常數，不會隨h步階而變化。這稱為零穩定性，因為可以用微分方程來確認此特性。

若特徵方程ρ的根，其大小都小於等於1，且大小為1的根沒有重根，則稱其為滿足root condition。線性多步法具有零穩定性，若且唯若其滿足root condition。

現在假如一個有一致性的線性多步法，用在夠光滑的微分方程，隨著，其起始值全部收斂於起始值。在時，此數值解收斂於精確解，若且唯若其方法是零穩定的。此結果稱為達爾奎斯特等價定理（Dahlquist equivalence theorem），得名自，此定理在其理念上和有限差分法的拉克斯等價定理類似。若此方法為p階方法，則（特定時間內，數值解和精確解的差距）會是 。

再者，考慮一個收斂的方法，此方法為強穩定（strongly stable）若是其中唯一大小為1的根。若此方法收斂，所有大小為1的根都不是重根，但存在不止一個大小為1的根，此方法稱為相對穩定（relatively stable）。若此方法要收斂，1一定要是其中的一個根。收斂的線性多步法若不是強穩定，就會是相對穩定。

要評估刚性方程線性多步法的性能，考慮線性測試方程y''' = λy。用在此方程，步階為h的多步法，會得到線性遞迴關係式，其特徵方程為
此方程為多步法的穩定性方程（stability polynomial）。若此方程所有根的大小都小於1，此多步法的數值解會收斂到0，此多步法會稱為絕對穩定，對於hλ的值。此方法稱為A穩定，若針對所有實部為負的hλ，都是絕對穩定。其絕對穩定區域是所有使多步法絕對穩定的hλ的集合。

第一和第二達爾奎斯特壁壘
這二個結果是由傑蒙德·達爾奎斯特所證明的結果，說明了線性多步法收斂階數和A穩定性上的重要限制。第一達爾奎斯特壁壘是在所證明，第二壁壘則是在證明。

第一達爾奎斯特壁壘

第一達爾奎斯特壁壘指出：零穩定且線性的q步多步法，若q是奇數，其收斂階數無法超過q + 1，若q是偶數，其收斂階數無法超過q + ２。若此方法是顯式方法，其收斂階數無法超過q''。

第二達爾奎斯特壁壘

第二達爾奎斯特壁壘指出：顯式線性多段法不會是A穩定。而且，A穩定隱式線性多段法的最大階數是2。在收斂階數為2的A穩定線性多段法中，梯形法的誤差常數最小。
 相關條目 

 參考資料 
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 外部連結 


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