弗雷德霍姆定理

弗雷德霍姆定理是數學家埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆在探討积分方程的裡的一些定理。這些定理彼此相關，會用積分方程、线性代数、巴拿赫空间上的表示。

也和弗雷德霍姆定理有關。

線性代數下
線性代數的弗雷德霍姆定理如下：若M是矩阵，則M之行空间的正交补即為M的核：

而M之列空间的正交补即為M伴隨矩陣的核：

積分方程
積分方程的弗雷德霍姆定理如下：令是积分变换，考慮以下齊次多項式

以及其複數伴隨（complex adjoint）

其中是复数 的共轭复数，也是類似概念。則，弗雷德霍姆定理是指，針對任何固定值的，這些方程可能有平凡解，不然就會有個數相同的線性無關解, .

此定理的充份條件是要在矩形區間（其中a和/或b可以是正負無限大）內是平方可積函數。

此處，積分表示為在實數線上的一維積分。在中會將此結果擴展到多維空間（例如黎曼流形）中的積分算子。

解的存在性
有一個弗雷德霍姆定理和緊密相關，是有關以下非齊次的解是否存在

此方程的解存在，若且唯若函數和以下對應齊次伴隨方程的完整解集正交：

其中是的共軛複數，前者屬於以下方程的完整解集

此定理的充份條件是：在矩形區域內是平方可積函數

參考資料
 E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math., 27  (1903)  pp. 365–390.



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