五點模版

数值分析中，假定是一維或二維的正方形格點，五點模版的點是由其四個鄰點所組成的模版。會用五點模版來將格點上的导数用有限差分來近似。這是數值微分的應用。
一維
一維下，假設各點之間的距離是h，則五點模板的五個點會是

一維一階導數
實變數函数 f在點x的一階導數可以用五點模版近似如下：

上式中，沒有用到中心點位置的值f(x)，只有用到其他四點。

推導
此公式可以用和在的四個泰勒级数求得，泰勒級數寫到h3項，計算在和的級數，找到共同項的資訊，再用四個方程f ′(x)，可以得到在x + h點和x − h點時：

計算可以得到

剩餘項O1(h4)階數必定是h5，不會是h4，因為若h4項已經寫成(E1+)和(E1−)，會透過以下計算而消去，而更高次的剩餘項沒有處理，會留下來（如下）。

類似的，也可以得到下式

計算可得

為了消去ƒ(3)(x)，計算8 × (E1) − (E2)

可以得到上式。注意：公式中f的係數(8, -8,-1,1)是更通用的例子。

誤差估計
此近似的誤差的階數是 h 4，可以用下式展開求得Abramowitz & Stegun, Table 25.2

可以用泰勒级数的的左邊展開求得。另外，對格點上的中心差分近似，間距是2h和h，應用理查森外推法也可得到類似結果。

一維更高階導數
可以用五點模版的中心差分公式，求得更高階的導數如下

上述近似的誤差分別是O(h)、O(h)和O(h)。

和拉格朗日插值多項式的關係
另一個推導的方式，是用拉格朗日多項式的微分求得

其插值點是

而在這五點插值的四次多項式是

導數是

因此，在中點的有限差分近似為

計算五個拉格朗日多項式在的導數可以得到一樣的加權係數。若要延伸到非均勻格點，此方式會更加直接。

二維
二維下，若方格的長寬都是h，一個點(x, y)的五點模版為

形成一個稱為梅花形（quincunx）的形狀，此模版可以近似雙變數函數的拉普拉斯算子

此近似的誤差為O(h 2)Abramowitz & Stegun, 25.3.30，說明如下：
用函數對x和y的三點模版二階導數可得：

若假設:

相關條目
 有限差分係數

 九點模版
 模版 (數值分析)


參考資料

 . Ninth printing. Table 25.2.

Category:数值微分方程