逆半群

群论中，逆半群  为一类半群，其任意元  均具唯一逆  使得  且 , 即任意元均具唯一逆的正规半群。逆半群出现在不少领域，如用于研究部分对称群。

（本文遵循半群理论研究中的惯例，书函数名于参数右侧，函数复合亦从左至右，如  而非 .）

 起源 
逆半群分别由 在苏联于 1952 年Since his father was German, Wagner preferred the German transliteration of his name (with a "W", rather than a "V") from Cyrillic – see Lawson, M. V. (1998). Inverse Semigroups: The Theory of Partial Symmetries. World Scientific. ISBN 9810233167.、在英国于 1954 年独立引入。两位作者均通过研究集合上的偏双射“partial” 一词，时而译作部分，时而译作偏，本文统一采用后者。得到逆半群：集合  的偏变换  为从  到  的函数，其中 . 令 ,  为集合  的偏变换，其能够（从左到右）在“有意义”组成它们的最大定义域上组成：

 ,

其中  表示  的原像。偏变换在的背景下已有研究。首先是 Вагнер 注意到偏变换的复合是二元关系复合的特例，还认识到两个偏变换的复合，其定义域可能为空，因而引入空变换以考虑之。伴随空变换引入，集合偏变换的复合是处处定义的二元结合关系。依此复合，集合  上全部偏一一变换的总体  即构成一逆半群，称  上的对称逆半群或幺半群，其中逆定义作从像到定义域的函数逆。这就是“原型”逆半群了，同样地可以说对称群是“原型”群。举例，所有群均可嵌入对称群，所有逆半群均可嵌入对称逆半群（见下文的逆半群的同态与表示章节）。

 基本叙述 
逆半群  中的元 , 其逆常写作 . 逆半群中的逆，不少性质同乎群中的逆，例如 . 在逆幺半群即具幺的逆半群，注意到逆幺半群不一定是群，因为尚未保证 .中， 和  均幂等。满足  的逆幺半群  （一个“幂幺逆幺半群”）当然是群。

逆半群  有如下等价特征：

 任意元均具唯一逆当  具幺。
 任意元均具至少一个逆（ 为正规半群）且幂等元交换（即  的幂等元构成半格）。
 任意 -类与 -类均具恰好一个幂等元，其中  和  是 其二。

 的 -类中的幂等元为 , 而  的 -类中的幂等元为 .

因而在逆半群中的 Green 关系又一个简单特征：

 .

除非另行说明，将以  指代逆半群  幂等元构成的半格。

 逆半群的例子 

 集合  上的偏双射构成映射复合运算下的逆半群。
 群均为逆半群。
 逆，有 .
 半格均为逆半群。
 逆。
 逆。

以乘法表示例，逆半群可结合，且任意元均由 ,  具其逆，但无幺且非交换。
+逆半群

 自然偏序 
逆半群  总具自然偏序 （有时写作 ），满足：



对  中的幂等元 . 此外有等价表述



对一些（一般不同的）幂等元 . 实际上  可视作 ,  可视作 .

自然偏序同时兼容乘法与逆运算，即：



且



群中的逆序则简单地退化为等价关系，因为幺元正是其唯一幂等元。在交换逆半群中，逆序退化为限制映射，即  当且仅当  的定义域含于  的定义域，且 .

对  来说 即逆半群幂等元构成的半格，见前文。，自然偏序变成了：



故而由于幂等元构成乘积运算下的半格， 的乘积给出了关系  的最小上界。

若  有限且构成链（即  按  构成全序），则  为群的并。若  为无穷链，亦可能据  和  的假设获得类似结果。

 逆半群的同态与表示 
逆半群的同态（或态射）以与对其他半群那样完全相同的方式定义：对逆半群 , 函数  是同态，当且仅当 . 可用控制条件  加强上述定义以阐明逆半群的态射，但并不必要，因为这一性质可由上面的定义导出，有定理：
关于逆半群，最早的结果之一由 Wagner-Prestion 定理证明，这是群论中 Cayley 定理的类推：
因此，任意逆半群可嵌入交换逆半群，而偏双射的像对取逆封闭。反过来说，任意交换逆半群的子半群是逆半群，若对逆运算封闭。故而半群  同构于交换逆半群对逆运算封闭的子半群当且仅当  是逆半群。

 逆半群的同余 
逆半群的同余实际与其他半群的如出一辙：同余  为兼容半群乘法的等价关系：

 .

特别值得关注的是定义在逆半群  上的关系 :

 .

可以证明  为同余，而且实际上是群同余，这意味着因子半群  是群。半群  上的所有群同余构成的集合中的极小元（就由集合包含给出的偏序而言）不一定是最小元。特别当  为逆半群时， 是使得  是群的  上的最小同余，换言之，给定群同余 ,  必包含于 . 称同余  为  上的极小群同余。极小群同余可用于给出 -纯逆半群的一个表征（见下文）。

逆半群  的同余  称幂等纯若



 -纯逆半群Unitary 早有译名酉，但词不达意，本文不采用。 
一类常年广受关注的逆半群是 -纯逆半群：称逆半群 （有幂等元半格 ） -纯当且仅当 



条件等价于



以下是 -纯逆半群  更深刻的一个表征：.

-纯逆半群研究的核心为下述构造。

令  为序关系  的偏序集，令子集  具性质：

  为下半格，即  存在（对于  来说的）下确界 ；
  为  的序理想，即 .

现令  为左作用于  上的群，有






三元组  亦假设拥有如下性质：




如此的  称 McAlister 三元组。McAlister 三元组用于定义如下:



通过乘法规则



此时  构成该乘法规则下的逆半群，有 . -纯逆半群研究的主要结果之一是 McAlister -定理：

 -逆半群 
逆半群称 -逆半群若任意元在自然偏序意义下均拥有唯一极大元，即所有 -类均拥有极大元。-逆半群均为 -纯幺半群。McAlister 覆盖定理由 M. V. Lawson 精简叙述如下：

McAlister -定理能够良好表征 -逆半群。McAlister 三元组  为 -逆半群，当且仅当  为  的主理想且  为半格。

 与范畴论的联系 
上文中集合上偏变换的复合得到了交换逆半群，下面阐述另一种复合偏变换的形式，约束力更强：两偏变换  可复合当且仅当  的像完全等于  的定义域，否则称复合  未定义。

采用替换后的复合定义，所有集合上的偏一一变换总体不构成逆半群，而在范畴意义上构成诱导群胚。

逆半群和到处群培之间的密切联系体现于 Ehresmann-Schein-Nambooripad 定理，该定理指明，导出群胚总能经由逆半群构造，反之亦然。更准确地说，逆半群严格地是偏序集范畴中的一个群胚，这是关于其（对偶）Alexandrov 拓扑的 étale 群胚，且其对象的偏序集为交半格。

 逆半群的推广 
按前述记号，逆半群  限制于：

  为正则半群；
  中的幂等元交换。

对逆半群来说，这就引出两条不同的推广方式，即保留其中一个限制而取消另一个。

逆半群的正则推广有下例：

 正则半群：半群  正则，当其任意元均有逆。或者符号化叙述为  .
 局部逆半群：正则半群  局部逆，，若对某个幂等元  有  为逆半群。
 保守半群：正则半群  保守，若其幂等元子集构成子半群。
 广义逆半群：正则半群称广义逆半群，若其幂等元构成正规带，即对任意幂等元  有 .

广义逆半群类为局部逆半群类与保守半群类的交。

逆半群的非正则推广有：

 左/右/双边 适半群。
 左/右/双边 充半群。
 左/右/双边 半适半群。
 弱 左/右/双边 充半群。

 逆范畴 
逆运算这一记号亦可拓展到范畴上。逆范畴即其任意态射 , 均对应唯一逆 , 使得 . 易知逆范畴自对偶。典例即集合范畴及其上的偏双射。

逆范畴在理论计算机科学里已有部分应用。

 注释 

 参考文献 

Category:群的性質