行列式的莱布尼茨公式

在代数中，为纪念戈特弗里德·莱布尼茨而得名的莱布尼茨公式，用矩阵元素的-{zh-cn:排列;zh-tw:置換}-表示了方块矩阵的行列式。若  为 ，以  表示  的第  -{zh-cn:行;zh-tw:列}-（row）与第  -{zh-cn:列;zh-tw:行}-（column），则莱布尼茨公式为：  其中  为置换群  中的置换的符号，当其中为偶置换时给出 ，而当其中是奇置换时给出 。

另一种常见的，物理学家可能更熟悉的记号是依据列维-奇维塔符号并利用爱因斯坦求和约定将公式表示为 

因为  是  阶置换的数量，直接根据定义计算莱布尼茨公式一般需要  步。换言之，运算次数与  的阶乘渐进成比例。即使对较小的  来说，此方法也是困难、不明智且不可行的。另一策略是通过高斯消元法或类似方法利用LU分解  在  步内计算行列式，此时 ，并且三角阵  和  的行列式仅为其对角项之积。（但是在数值线性代数的实际应用中很少需要显式计算行列式）。参见脚注。通过可以简化行列式的计算，使其用少于  步就可以计算，但是这些算法中的大多数是不实用的。

 正式陈述和证明 

证明如下：

唯一性

令  为定理中所言的映射， 是  矩阵。用  表示  的第  -{zh-cn:列;zh-tw:行}-，换言之 ，因此 。

同时，令  表示 ，其中  在第  位，也就是单位矩阵的第  个-{zh-cn:列;zh-tw:行}-向量。

现在用  表示  的项：

由于  是多线性的，可得 

由交替性，上式中求和指标相同（即存在  使 ）的项皆为零。因此该和的求和指标一定是无重复的元组，即置换：

因为  是交替的，因此可以通过对换-{zh-cn:列;zh-tw:行;}-  得到单位矩阵。符号  定义为必要的对换的数量和由此产生的符号变化。最终得到： 因为 。

因此除了莱布尼茨公式定义的映射，其余映射皆不是的交替多线性映射。

这一定义方式也称为行列式的公理化定义。

存在性

现在证明由莱布尼茨公式定义的  有以下三条性质分别对应中的 D2，D1，D3。

多线性

设 ，并设 ，其中撇号指出了辅助矩阵   根据条件   关于第  -{zh-cn:列;zh-tw:行}-的元素的线性可以给出下述论断。由定义  其中  不依赖于-{zh-cn:列;zh-tw:行}-  的元素。将求和指标满足  的  合并同类项，并设 ，我们就得到了所需的多线性  简言之：

因此  满足多线性。

交替性

设  是由  交换-{zh-cn:列;zh-tw:行;}-  得到的矩阵，也就是说 ，若  则 。将任意置换  写成  的形式，其中  是一个对换（参见），我们有

进一步地，若  两-{zh-cn:列;zh-tw:行;}-相同，则将其交换后有 。于是 ，因此 。因此  满足交替性。

单位矩阵的行列式为一

最后，：

小结

因此唯一满足  交替多线性映射刻画了莱布尼茨公式定义的映射，并且该映射实际上也具有这三条性质。因此行列式可以定义为具有这三条性质的唯一映射 。

 参见 

 矩阵
 拉普拉斯展开
 克莱姆法则

 参考文献 

 外部链接 


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