逗号范畴

在数学中，逗号范畴（特例：切片范畴）为范畴论的一类构造，提供了看待态射的一个不同的角度：不仅是简单地从范畴的一个对象联系到另一个对象，态射本身亦是另一个对象。这一记号由 F. W. Lawvere 在 1963 年引入，最开始并不广为人知。多个数学概念可处理为逗号范畴，逗号范畴本身亦确保部分极限和余极限存在。逗号范畴这一名称来自 Lawvere 的原始记号，使用了逗号表示该结构，不过现已由于视觉上易混淆而不采用该记号，而 Lawvere 本人亦不喜欢不提供额外信息的命名 “逗号范畴”。

 定义 
最一般的逗号范畴结构涉及同一上域的两个函子。通常，其中一个函子的域是 , 即单对象单态射的范畴。范畴论中的一些情形仅考虑一些特殊情形，但逗号范畴实际上宽泛得多。

 一般形式 
给定范畴 , , , 和函子 , :center|frameless|150x150px可按如下形式构建逗号范畴 :

 所有三元组  汇得对象类，其中 , 而有所有  汇得分别的态射类 .
 从  到  的态射为所有特定的有序对 , 其中  和  分别为  和  中的态射，使得下图交换：

态射复合取  作 , 只要后者有定义. 特定对象  的单位态射即 .

 切片范畴 
首先注意到  时的特例, 函子  即恒等函子, 而 , 具唯一对象  与唯一态射. 则对  中的某对象 有 .link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:CommaCatFig2.svg|center|frameless|150x150px此时, 逗号范畴写作 , 常称作  上的切片范畴, 或对象在  上的范畴. 对象  可简化为有序对 , 其中 . 有时  亦记作 . 切片范畴中从  到  的态射  此时可简化作使得下图交换的箭头 :
link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Slice_Diagram.svg|alt=Slice Diagram|center|frameless|107x107px

 余切片范畴 
切片范畴的对偶即余切片范畴. 此时, ,  的域为 , 而  为恒等函子.frameless|150x150px此时, 逗号范畴写作 , 其中  为据  选定的  的对象, 称作  下的切片范畴, 或对象在  下的范畴. 其对象为有序对 , 其中 . 给定  和 , 余切片范畴中的态射为使得下图交换的对象 :

 箭头范畴 
 和  为  上的单位函子 (此时 ).frameless|150x150px此时, 逗号范畴为箭头范畴 , 其对象为  中的态射, 而其态射为  中的形状如下的交换图.

 其他变体 
在切片与余切片范畴的情形中, 单位函子有时由其他某个函子替代, 这产生了一定程度上在伴随函子研究中有用的范畴族. 例如, 若  为将Abel群范畴投射到其基集合範疇的遗忘函子, 而  为某给定集 (视作从  出发的范畴), 则逗号范畴  以从  到某群的基集合的映射为对象. 这亦关联到  的左伴随, 即投射集合到以该集为基集合的自由 Abel 群的函子. 某种程度上,  的始对象为典范内射 , 其中  为  生成的自由群.

 的对象称作从  到  的态射或有域  的 -结构化箭头. 的对象称从  到  的态射或有上域  的 -结构化箭头.

另一特例聚焦于  和  均为域为  的函子. 若有  和 , 逗号范畴 , 记作 , 为离散范畴, 其对象为从  到  的态射.

插入子范畴为逗号范畴的 (非满) 子范畴, 要求  且 . 逗号范畴亦可视作  和  的插入子, 其中  和 为积范畴  的投射函子.

 性质 
对每个逗号范畴, 总存在如下的遗忘函子:

 域函子, , 其映射:
 对象: ;
 态射: ;
 上域函子, , 其映射:
 对象: ;
 态射: .
 箭头函子, , 其映射:
 对象: ;
 态射: ;

 用例 

 一些值得注意的范畴 
一些有趣的范畴存在按照逗号范畴完成的自然定义.

 基点集范畴为逗号范畴, , 其中  为 (由函子选定的) 任意单元集, 而  即集合范畴 (的单位函子). 该范畴的所有对象都是集合, 以一个函数选择集合中的部分元素, “基点”. 态射为将基点投射到基点的集合函数. 按近似的风格亦可构建基点空间 .
 环  上的结合代数范畴为余切片范畴 , 因为任意环同态  均诱导一个  上的结合 -代数结构, 反之亦然. 态射则为使图交换的映射 .
 图范畴为 , 其中  为从  到  的函子. 对象  含两个集合与一个函数, 其中  为索引集,  为节点集, 而  用以选定  中由索引输入的有序对. 也就是说  标出了集合  所有可能边中的特定边. 该范畴的态射由两个函数组成, 其中一个于索引集上, 另一个于节点集上. 对上面的一般定义, 它们必须 “同意”, 这意味着  必须满足 . 换言之, 边对应于索引集中的具体元, 映射结果中, 同样的边亦须对应.
 许多 “增强” 或 “标签” 运算均可以逗号范畴表示. 令  为投射所有图到其边集合的函子, 并令  为 (由函子选定的) 特定集, 此时  即图范畴, 其边由  中的元标记. 这种形式的逗号范畴通常称为 -覆盖  的对象——与前述 “ 上对象” 的概念密切相关. 这里, 对象均采取结构 , 其中  为图,  为从  到  的边. 该图的节点可以相同方式标记.
 范畴称局部 Cartesian 闭,若其所有切片均 Cartesian 闭 (见前文切片之陈述). 局部 Cartesian 闭范畴为依赖类型理论的分类范畴.

 极限与万有态射 
逗号范畴中的极限与余极限可能具 “遗传性”. 若  和  完全,  为连续函子, 而  为其他函子 (不必连续), 此时引出逗号范畴  亦完全, 且投射函子  和  均连续. 类似地, 若  和  余完全, 而  余连续, 则  亦余完全, 投射函子亦余连续.

例如, 沿用前述图范畴之记号, 视其作逗号范畴, 则集合范畴完全且余完全, 而其单位函子连续且余连续. 因此图范畴完全且余完全.

抵达于选定余极限或出发于选定极限的万有态射, 可以逗号范畴的形式表示. 本质上是创建对象为锥, 且极限锥为终对象的范畴, 然后, 极限的每个万有态射即到终对象的态射. 这一工作在对偶情形中, 即对象为拥有始对象的余锥的范畴. 例如, 令  为范畴, 且函子  递送每个对象  到 , 每个箭头  到 . 从  到  的万有态射据定义含对象  与携万有性质的态射 , 使得对任意态射  总存在唯一态射  满足 . 换言之, 这是在逗号范畴  中的对象, 到该范畴中的任何其他对象均存在态射, 即始对象. 这也用于定义  中的余积, 只要其存在.

 伴随 
William Lawvere 证明, 函子  与  为伴随对, 当且仅当分别以  和  为单位函子的逗号范畴  和  同构, 而改逗号范畴中的等价元可投射于  中的相同元. 这使得伴随得以不必涉及集合来序数, 而实际上这也是引入逗号范畴的最初动机.

 自然变换 
若  的域相同, 则在  中以  定义的图将与定义自然变换  的图同一. 两个极好的不同在于, 自然变换是结构  型态射的特定总体, 而逗号范畴的对象涵盖所有如此结构形态射. 到达逗号范畴的函子选定这一特定态射总体. 这也由 S.A. Huq 的观点描述为, 给定 , 自然变换  相当于映射每个元  到 , 每个态射  到  的函子 , 这是自然变换  和函子  间的双射对应, 这是从  出发的两个遗忘函子的截面.

 参考文献 


 Lawvere, W (1963). "Functorial semantics of algebraic theories" and "Some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories".  http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

 外部链接 

 J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
 Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.

Category:範疇論中的範疇