線性穩定

在微分方程和动力系统中，非線性系統的穩態線性不穩定（linearly unstable）的意思是其解線性化後，有的形式，而r為相對穩態的擾動，而A是線性算子，其谱的特徵值有正的實部。若所有的特徵值都為負，則此解即為線性穩定（linearly stable）。線性穩定的其他名稱有指數穩定（exponential stability）或一階近似穩定（stability in terms of first approximation）V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations. MIT Press, Cambridge, MA (1973)P. Glendinning, Stability, instability and chaos: an introduction to the theory of nonlinear differential equations. Cambridge university press, 1994.。若其中有特徵值的實部為零，無法求解一階接似的穩定性，會稱為centre and focus problemV.V. Nemytskii, V.V. Stepanov, "Qualitative theory of differential equations", Princeton Univ. Press (1960)。

例子
常微分方程
微分方程 

有兩個靜止（非時變）解：x = 0和x = 1.
x = 0的線性化為
。線性算子是A0 = 1。唯一的特徵值為。此方程的解會指數成長；the 靜止點x = 0是線性不穩定的。

若要推導的線性化，可以使用下式
，其中。線性方程為；線性算子為，唯一的特徵值為，因此此靜止點為線性穩定。

非線性水丁格方程

其中，且，有孤波解。
要推導孤波的線性化，考慮以下形式的解
。線性化方程可以用下式求得 is given by

其中
而
且
微分算子.
根據，當時，A的譜有正的點狀特徵值，因此線性化方程是線性（指數）不穩定，若，其譜A是純虛數，因此對應孤波為線性穩定。

需要說明線性穩定不一定表示系統穩定。
特別，在時，其孤波不穩定。另一方面，在時，孤波不但是線性穩定，也是軌道穩定性。

相關條目
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參考資料

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