Caputo分数阶导数

Caputo分数阶导数（Caputo fractional derivative），又名Caputo型分数阶导数（Caputo-type fractional derivative），是一种非整数阶导数的推广，以Michele Caputo的名字命名。 Caputo于1967年首次定义了该形式的分数阶导数。 

 动机 
Caputo分数阶导数源自黎曼-刘维尔分数阶积分。设在上连续 ，则黎曼-刘维尔分数次积分如下：

其中是Gamma函数。

定义，满足，。若那么 。故，若亦属于 ， 则有

上式称为Caputo型分数阶导数，通常写为 。

 定义 
Caputo型分数阶导数的首个定义由Caputo给出：

其中，。 

一个常见的等效定义是：

其中，是上限函数。通过换元法，令，则，，可以得到上述式子。 

另一个常见的等效定义如下：

其中 。

上述定义存在问题：它们只适用于 。可以通过将积分下限替换为来解决：  。新的定义域是 .

 性质和定理 

 基本性质和定理 
该算子的一些基本性质如下： 
+基本性质和定理表特性 条件定义 线性 指数律  半群性质  

 非交换律 
指数律并不总是满足交换律：

其中 。

 分数莱布尼茨法则 
Caputo分数阶导数的莱布尼茨法则如下：

其中是二项式系数。  

 与其他分数阶微分算子的关系 
Caputo型分数阶导数的定义与黎曼-刘维尔分数阶积分密切相关：

此外，还适用以下关系：

其中是黎曼-刘维尔分数阶导数。

 拉普拉斯变换 
Caputo型分数阶导数的拉普拉斯变换如下：

其中 . 

 一些函数的Caputo分数阶导数 
常数的Caputo分数阶导数由下式给出：

幂函数的Caputo分数阶导数由下式给出：

指数函数的Caputo分数阶导数由下式给出：

其中是-函数，是下不完全Gamma函数。 

 参考文献 

 拓展阅读 

 Ricardo Almeida, A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function