黎曼-刘维尔积分

数学上，黎曼-刘维尔积分（Riemann–Liouville integral）将定义域和值域均为实数集的实函数 与另一个同类型的函数 相关联，其中参数 。该积分是的重复反导数（原函数）的一种推广形式，当为正整数值时， 就是的阶反导数。黎曼-刘维尔积分以伯恩哈德·黎曼和约瑟夫·刘维尔的名字命名，后者于1832年首次考虑分数微积分的可能性。 . . .当应用于解析函数时，该算符与莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler) 提出的欧拉变换一致。 它被Marcel Riesz推广到任意维度，并引入了。该算符也被称为黎曼-刘维尔微分积分（Riemann–Liouville differintegral），（differintegral）一词体现它是一种微分和积分的联合运算。

 动机 
黎曼-刘维尔积分源自柯西重复积分公式。对于在区间 [, ] 上连续的函数 ，柯西重重复积分公式如下

现在，通过用代替正整数 ，这个公式可以推广到任何正实数，因此我们得到黎曼-刘维尔分数阶积分的定义



 定义 
黎曼-刘维尔积分定义为



其中是伽马函数， 是任意但固定的基点。如果是局部可积函数，且是半平面中的复数，则积分定义明确。其中对基点的依赖往往被隐去，体现了积分常数的选取自由。显然， 是的（一阶）反导数，当取正整数值时，根据， 是其阶反导数。另一种强调基点的记法如下：



如果 ，且对有适当的限制，上述式子也是适用的。

有以下基本关系成立：



后式表明其具有半群性质。 这些性质不仅使得分数阶积分的定义成为可能，而且通过对取足够多的导数，还可以定义分数阶微分。

 特性 
对一个确定有界区间(a, b) 。算子将每个可积函数在(a, b)上与函数在(a, b)上相关联。根据富比尼定理，函数也是可积的。因此在上定义了一个线性算子：



富比尼定理还表明，该算子关于1上的Banach 空间结构是连续的，并且以下不等式成立：



这里表示上的范数。

更一般地，根据赫尔德不等式，如果 ，则同样成立。下列类似的不等式



成立。其中是区间(a, b)上的范数。

因此我们有一个有界线性算子 。此外，当参数α沿实轴趋于0，在意义上， 。即对于所有 



此外，通过估计的最大函数，可以证明极限几乎处处逐点成立。

算子在整个实数轴上的局部可积函数集上有明确定义 。它定义了任意Banach 空间中指数型函数的有界变换，由局部可积函数组成，其范数



是有限的。对于 ， 的拉普拉斯变换形式特别简单



其中 。这里表示的拉普拉斯变换，该性质表示是。

 分数阶导数 
的分数阶导数也可以定义为



其中表示上限函数。通过定义



可以得到微分和积分之间的微分积分插值。

1967 年，卡普托 (Caputo) 提出了一种分数阶导数， 由此产生的导数具有与前者不同的性质：这种导数对常数函数求导得到零，更重要的是，拉普拉斯变换的初值项是用该函数的值及其整数阶导数来表示的，而不是像黎曼-刘维尔导数那样用分数阶导数来表示。 以为基点的 Caputo 分数阶导数为：



另一种表示是：



 基本幂函数的分数阶导数 
假设是单项式，形式如下：



一阶导数与通常情形一致：



重复此过程可得到更一般的结果



用伽马函数代替阶乘后，得到



对于和



为了证明这就是真正的“半导数”（其中满足 ），我们重复该过程得到：



（因为且 )，这确实是预期的结果



对于负整数幂 ，1/ 为 0，因此使用以下关系很方便： 



上述微分算子的扩展不仅限于实数幂；它也适用于复数幂。例如， 次导数的次导数得出二阶导数。将设为负值会得到积分。

对于一般函数且 ，完全分数阶导数为



对于任意，由于伽马函数对于负（实）整数是无限的，因此有必要在进行整数导数之后应用分数阶导数。例如，



 拉普拉斯变换 
我们也可以通过拉普拉斯变换来解决这个问题。已知



和



等等，我们断言

  。

例如，



正如预期的那样。事实上，考虑到卷积规则



并且为了清楚起见，我们将简写为，由此可得



这就是上面柯西推导的式子。

拉普拉斯变换对相对较少的函数起作用，但它们通常对求解分数阶微分方程很有用。

 参见 

 Caputo分数阶导数

 注释 

 参考文献 
 .
 .
 .
 .

 .
 .

 外部链接 



Category:积分变换
Category:伯恩哈德·黎曼
Category:页面使用了sidebar的child参数