复向量束

在数学中，复向量束是指其纤维为复向量空间的向量束。

任何复向量束都可以通过标量的限制来看作实向量束。相反，任何实向量束可以复化提升为复向量束



其纤维 。

复向量束的基本不变量是陈类。复向量束具有规范定向；具体而言，可以取其欧拉类。

如果复向量束满足以下条件，则该复向量束为全纯向量束： 是一个复流形，并且如果局部平凡化是双全纯的。

 复结构 
复向量束可以被认为是具有附加结构（即复结构）的实向量束。根据定义，复结构是实向量束之间的束映射及其本身：



J 在纤维上作为 −1 的平方根 i 使得：如果 Jx​:Ex​→Ex 是纤维层面的映射，那么  是线性映射。如果 E 是复向量丛，那么复结构 J 可以通过设置  为标量乘以 i 来定义。反过来，如果 E 是具有复结构 J 的实向量丛，那么 E 可以通过设置以下方式转化为复向量丛：对于任何实数 a, b 和纤维 Ex 中的实向量 v，



例子：实流形切束上的复结构通常被称为殆复流形。 Newlander 和 Nirenberg 的定理指出，一个殆复流形是“可积的”，因为它是由复流形的结构当且仅当涉及某个特定的张量消失诱导得来的。

 共轭束 
如果E是复向量束，则共轭束 E是通过复数作用于复数共轭得到的。因此，底层实向量束的恒等映射： 是共轭线性的，并且E与其共轭同构为实向量束。

第k个陈类给出的是

  。

特别地，E和一般不同构。

如果E具有厄米(Hermitian)度量，则共轭丛通过该度量同构于对偶丛，其中我们用 表示平凡复线丛。

如果E是实向量束，那么E的复数化的底层实向量束是E的两个副本的直接和（因为对于任何实数向量空间V ，都有V ⊗ R C = V ⊕ i  。）：



如果复向量束E是实向量束E 的复化，则E 称为E的实数形式（可能不止一个实数形式）并且称E在实数上是有定义的。如果E具有实数形式，则E同构于它的共轭（因为它们都是实数形式的两个副本之和），因此E的奇数陈类是 2 阶的。

 参见 

 全纯向量丛
 K理论

 参考 



Category:向量丛