里奇标量 (纽曼-彭罗斯形式)

在广义相对论的纽曼-彭罗斯形式体系中，四维时空的里奇张量的独立分量被编码为七个（或十个）里奇标量，这些标量由三个实标量组成 、三个（或六个）复数标量和 NP 曲率标量 。物理上，由于爱因斯坦场方程，Ricci-NP 标量与时空的能量动量分布相关。

 定义 
给定一个复杂的零四分体并遵守公约 ，Ricci-NP标量定义为Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Exact Space-Times in Einstein's General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Chapter 2.Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Black Hole Physics: Basic Concepts and New Developments. Berlin: Springer, 1998. Appendix E.Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. Isolated horizons: Hamiltonian evolution and the first law. Physical Review D, 2000, 62(10): 104025. Appendix B. gr-qc/0005083（上划线表示复共轭）



备注一：在这些定义中， 可以用其无痕部分代替

或爱因斯坦张量由于规范化（即内积）关系




备注 II：具体针对电真空，我们有 ， 因此

因此简化为

备注三：如果采用惯例 ，定义应取相反的值Ezra T Newman, Roger Penrose. An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(3): 566-768.Ezra T Newman, Roger Penrose. Errata: An Approach to Gravitational Radiation by a Method of Spin Coefficients.  Journal of Mathematical Physics, 1963, 4(7): 998.Subrahmanyan Chandrasekhar. The Mathematical Theory of Black Holes. Chicago: University of Chikago Press, 1983.Peter O'Donnell. Introduction to 2-Spinors in General Relativity. Singapore: World Scientific, 2003.； 也就是说， 签名转换后。

 替代推导 
根据上述定义，在通过与相应四元组向量的收缩计算 Ricci-NP 标量之前，应该先找出Ricci 张量。然而，这种方法未能充分体现纽曼-彭罗斯形式体系的精神，另一种方法是，计算自旋系数，然后导出 Ricci-NP 标量通过相关的NP 场方程 









而 NP 曲率标量可以通过以下方式直接轻松计算和是时空度量的普通标量曲率 。

 电磁 Ricci-NP 标量 
根据 Ricci-NP 标量的以上定义  且在定义替换  为  ，  与爱因斯坦场方程的能量动量分布有关 。在最简单的情况下，即真空时空没有物质场，  ，我们将有 。此外，对于电磁场，除了上述定义外， 可以更具体地通过来确定

这里  表示三个复数麦克斯韦-NP 标量 ，它们编码了法拉第-麦克斯韦 2 形式的六个独立分量 （即电磁场强度张量）

备注：方程但对于电磁场来说，这不一定对其他类型的物质场也有效。例如，对于杨-米尔斯场，将有在哪里是杨–米尔斯-NP标量。 E T Newman, K P Tod. Asymptotically Flat Spacetimes, Appendix A.2. In A Held (Editor): General Relativity and Gravitation: One Hundred Years After the Birth of Albert Einstein. Vol (2), page 27.  New York and London:  Plenum Press, 1980.

 参见 

 纽曼-彭罗斯形式体系
 韦尔标量

 参考 

Category:廣義相對論