喷丛 (数学)

在微分几何中，喷丛是切从TM上的向量场H ，它编码了底流形M上的拟线性二阶常微分方程组。喷丛（spray）通常要求满足齐次性条件，即其积分曲线t →Φ H t (ξ)∈ TM满足如下重参数化规则：

Φ H t (λξ)=Φ H λt (ξ) （其中 λ > 0）。

如果去掉这个要求， 则称 H 为半喷丛（semi-spray）。

在黎曼几何与芬斯勒几何中，喷丛自然表现为测地喷丛——其积分曲线恰为局部长度最小化曲线的切曲线。而在拉格朗日力学中，半喷丛则表现为作用量积分的极值曲线。一般地，流形M上的任意非线性联络可诱导一个半喷丛H；反之，任意半喷丛H亦可诱导M上的一个无挠非线性联络。若原联络无挠，则其与H诱导的联络一致；此外，齐次无挠联络与完全喷丛构成一一对应。I. Bucataru, R. Miron, Finsler-Lagrange Geometry, Editura Academiei Române, 2007.

 正式定义 
令M为可微流形，( TM ,π TM, M ) 为其切束。则TM上的矢量场H （即双切束TTM的一个截面）为M上的半喷丛，若下列三个等价条件中有任意一个成立：

 （ πTM ） * Hξ =ξ。
 JH = V ，其中J是TM上的切结构， V是TM \0上的正则矢量场。
 j ∘ H = H ，其中j : TTM → TTM是规范翻转，而H被视为映射TM → TTM 。

如果满足下列任一等效条件，则M上的半喷丛H为(全) 喷丛：

 H λξ = λ * (λ H ξ )，其中 λ * : TTM → TTM是将 λ: TM → TM与正标量 λ>0 相乘后推。
 H沿标准向量场V的李导数满足 [ V, H ]= H 。
 H的积分曲线t →Φ H t (ξ)∈ TM \0 满足 Φ H t (λξ)=λΦ H λt (ξ) (其中 λ>0)。

让是本地坐标与当地坐标相关 ） 在使用每个切线空间上的坐标基。然后是半喷式如果它有以下形式的局部表示



在TM上的每个相关坐标系上。半喷丛H为（全）喷丛，当且仅当喷丛系数G i满足



 拉格朗日力学中的半喷丛 
在拉格朗日力学中，物理系统由某个构型空间M的切丛上的拉格朗日函数L : TM → R建模。动力学定律由哈密顿原理得出，该原理指出，系统状态的时间演化 γ:[ a, b ]→ M对于作用积分是平稳的

  。

在TM上的相关坐标中，作用积分的第一个变体为



其中X :[ a, b ]→ R是与围绕 γ( t )= γ0 ( t )的变化γs :[ a, b ]→ M相关的变化矢量场。通过引入以下概念，可以将第一个变体公式重新表述为更具信息量的形式：

 余向量和是共轭动量 。
 对应的单形式和是与拉格朗日量相关的希尔伯特形式。
 双线性形式和是拉格朗日量的基本张量 。
 如果基本张量在每个 。然后逆矩阵表示为 。
 与拉格朗日量相关的能量是 。

若满足勒让德条件，则dα∈Ω2 ( TM )为辛形式，且存在唯一的TM上的哈密顿向量场H ，对应于哈密顿函数E ，使得

  。

令 ( X i, Y i ) 为TM上相关坐标的哈密顿矢量场H的分量。然后



和



因此我们看到哈密顿矢量场H是位形空间M上的半喷丛，喷丛系数为



现在第一个变分公式可以重写为



并且我们看到，当且仅当其切线曲线 γ':[ a, b ]→ TM是哈密顿矢量场H的积分曲线时，路径 γ: [a,b]→M 是作用量积分在固定端点下的驻定曲线。因此，力学系统的动力学可由作用量积分导出的半喷丛来描述。

 测地线喷丛 
黎曼流形和芬斯勒流形的局部长度最小化曲线称为测地线。利用拉格朗日力学框架，可以用喷丛结构描述这些曲线。在TM上定义拉格朗日函数



其中F : TM → R是芬斯勒函数。在黎曼情形下，使用F 2 ( x ,ξ)= g ij ( x )ξ i ξ j 。现在介绍上面部分中的概念。在黎曼情形下，基本张量g ij ( x ,ξ) 只不过是黎曼度量g ij ( x )。在一般情形下，同质性条件



芬斯勒函数蕴含以下公式：



就经典力学而言，最后一个方程表明系统 ( M, L ) 中的所有能量都为动能形式。此外，还获得了同质性



其中最后一个表示该机械系统的哈密顿矢量场H是满喷丛。由于以下原因，底层芬斯勒（或黎曼）流形的恒速测地线由此喷丛描述：

 由于g ξ对于芬斯勒空间来说是正定的，因此长度函数的每个足够短的平稳曲线都是长度最小化的。
 作用积分的每个平稳曲线都是恒定速度的 ，因为能量自动成为运动常数。
 对于任意曲线恒定速度的作用积分和长度函数的关系为



因此，一条曲线𝛾:[𝑎,𝑏]→𝑀是作用量积分的驻点曲线，当且仅当其具有恒定速率且是长度泛函的驻点曲线。该哈密顿向量场H被称为芬斯勒流形(M,F)的测地喷丛，其对应的流ΦHt(ξ)则称为测地流。

 非线性连接的对应性 
半喷丛在光滑流形上定义一个 Ehresmann 连接通过其水平和垂直投影在狭缝切线束上




TM \0 上的这个联络始终有一个消失的扭转张量，它被定义为 Frölicher-Nijenhuis 括号T =[ J, v ]。更简单的术语来说，扭转可以定义为



引入TM \0 上的正则矢量场V和诱导联络的伴随结构Θ，半喷丛的水平部分可以写成hH =Θ V 。半喷丛的垂直部分ε= vH称为第一喷丛不变量，半喷丛H本身分解为



第一个喷丛不变量与张力有关



通过常微分方程诱导的非线性联系



因此，第一个喷丛不变量 ε（以及整个半喷丛H ）可以通过非线性连接恢复



从这个关系中还可以看出，当且仅当H是全喷丛时，诱导连接才是同质的。

 参考 

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