沿纤维积分

沿纤维积分指在微分几何中，对于一个 k-形式 沿着它的纤维作积分。这个运算产生一个 -形式，其中m是通过“积分”的纤维的维度。又称纤维积分。

 定义 
让是一个流形上具有紧凑取向纤维的的纤维丛。如果  是 E 上的 k-形式，那么对于 b 处的切向量 ωi ，令



这里  是纤维上诱导的顶部形式 ；即 -形式 由以下给出： 作为  到  的提升，



（为了明白  是平滑的，请用坐标把它计算出来；参见下面的例子。）

那么 是一个线性映射 。根据斯托克斯公式，如果纤维没有边界（即 ），映射下降到 德拉姆上同调：



这也被称为纤维积分。

现在假设为球丛，即典型的纤维为球体。那么有一个正合序列  ， K 是核，这会导致一个长正合序列，从而丢弃系数  并使用  ：

  ，

称为Gysin序列。

 例子 
让 是一个明显的投影。首先假设 有坐标  并考虑一个 k-形式：



那么在 M 中的每个点，



从这个局部计算中，很容易得出下一个公式（参见庞加莱引理#直接证明）：如果是  上的任何k -形式 ，



此处  是把  限制到 的约束。

作为此公式的应用，让  是一个光滑映射（被认为是同伦）。然后构图是同伦算子（也称为链同伦）：



这意味着在同调上诱导出同源映射，这一事实被称为德拉姆上同调的同伦不变性。作为推论，例如，设 U 是R n中的一个开球，中心在原点，设 。然后 ，这一事实被称为庞加莱引理。

 投影公式 
给定一个在流形上的向量束 π: E → B ，如果限制对于B 中的每个 b 都有紧支持，我们称E上的微分形式 α 具有垂直紧支撑。我们用  标记在 E 上具有垂直紧支撑的微分形式向量空间。如果 E 以向量束的形式定向，与前面完全一样，我们可以定义沿纤维的积分：



以下称为投影公式。 ; note they use a different definition than the one here, resulting in change in sign.令 ，我们让  成为一个正确的 -模块 

证明：1. 由于该断言是局部的，我们可以假设π是平凡的：即 是一个投影。让是纤维上的坐标。如果, 那么，因为是环同态，



类似地，若α不包含dt ，则两边都为零。 2. 的证明类似 1.。 

 参见 

 海侵地图

 笔记 

 参考 

 Michele Audin ，辛流形上的环面作用，Birkhauser，2004

Category:微分几何