切比雪夫偏差

在數論上，切比雪夫偏差（Chebyshev's bias）指的是說在多數時候，在給定的界限下，除4餘3的質數個數，會多於除4餘1的質數的現象。這現象最早由帕夫努季·切比雪夫於1853年觀察到。

敘述
設為不大於且形如的質數的數量，那麼根據質數定理在算術數列上的推廣，有以下關係：

也就是說，大約一半的質數除4餘1，另外一半則是除4餘3的。因此一個合理的猜測是跟的發生率大約相等；然而這點並不受數據支持，實際上，遠遠更常發生。像例如說對於所有小於26833且不等於5、17、41及461的而言，，而在等於5、17、41及461的狀況下，則有；而第一個使得的是26861，也就是說，對於任意的而言，。

更一般地，若是整數，其彼此的最大公因數有這樣的關係，且為模的二次剩餘為模的二次非剩餘，那麼是更常發生的。這點只有在假定強形式的黎曼猜想成立的狀況下得證。

和圖蘭兩氏曾提出更強的猜想，認為使得成立的的密度為一，也就是說對幾乎所有的成立；然而這兩氏提出的猜想已被否證；而實際上使之成立的數的對數密度大約為。(Rubinstein—Sarnak, 1994)

推廣
相關的問題可轉化成對於而言，使得成立的最小質數，其中是克羅內克符號；然而對於任意給定的不為零的（不僅是），也能找使上式成立的最小質數。從質數定理可知，對於任意非零的整數，有無限多個質數滿足此條件。

對於正整數而言，最小質數如下所示：

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... 

對於負整數而言，最小質數如下所示：

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... 

對於实 ，最小質數如下所示：

2, 2082927221, 11100143, 61463, 2083, 2, 1217, 5, 3, 719, 2, 11, 3, 2, 7, 17, 11, 2, 7, 5, 2, 13, 2, 3, 23, 7, 3, 2, 13, 19, 2, 23, 17, 2, 5, 2, 7, 3, 2, 13, 3, 2, 19, 7, 2, 31, 31, 5, 17, 2, 13, 13, 3, 47, 2, 5, 3, 2, 37, 2, 47, 2, 5, 7, 2, 43, 2, 3, 11, 5, 3, 2, 29, ... 

對於虚二次域的判别式，最小質數如下所示：

608981813029, 26861, 2, 3, 5, 2, 11, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 11, 53, 2, 13, 17, 2, 3, 5, 163, 3, 2, 2, 11, 5, 2, 31, 31, 2, 2, 3, 23, 2, 41, 3, 2, 13, 47, 2, 5, 19, 7, 11, 2, 191, 2, 3, 19, 2, 15073, 3, 2, 29, 5, 2, 41, 109, 2, 11, 2, 31, 59, 3, 2, 19, 2, 11, 53, 2, 1019, 137, ... 

對於任意非平方整數而言，多數時候，在給定的界限下，使得的質數會多於使得質數。

延伸至高次剩餘
設和是兩個彼此互質的正整數，那麼可定義以下函數：

其中是歐拉函數。

這函數的一些數值如次：。

目前有猜想認為，若若是整數，其彼此的最大公因數有這樣的關係，且同時成立，那麼是更常發生的。

參考資料

 P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1  et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.

 J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159–171.
 S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory, I, Acta Math. Acad. Sci. Hung.,  13 (1962), 299–314.

外部連結

 ─給出除4餘3的質數個數和除4餘1的質數相對個數彼此交換的點的列表
 ─給出除3餘1的質數個數和除3餘2的質數相對個數彼此交換的點的列表

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