無零因子環

在抽象代數中，無零因子環（domain）指的是一類不是的環，在其中若，則必有或，Lam (2001), p. 3有時又稱這樣的環具有「」；等價地說，無零因子環就是一個在其中0是唯一的左零因子（或等價地，右零因子）的環。

例子和非例子
 不是無零因子環，而這是因為在這個環中的2跟3的像不是0，但其乘積是0；更一般地，對於任意的正整數而言，這類的環是無零因子環，當且僅當是質數。
 根據韋德伯恩小定理，有限無零因子環必然是有限域。
 四元數構成一個非交換的無零因子環；更一般地，任何的除環都是無零因子環，而這是因為在除環中，任何不是零的元素都可逆之故。
 所有的構成的環是一個非交換的無零因子環；而Lipschitz四元數指的是形如，且、、、皆為整數的四元數。
 類似地，所有的構成的環是一個非交換的無零因子環；而赫維茲四元數指的是形如，且、、、皆為整數或半整數的四元數。
 矩陣環在時不會是無零因子環：在非零時，這樣的矩陣環會有非零的零因子，甚至是0以外的冪零元。像例如說，矩陣單元的平方為零。
 向量空間的張量代數，或等價地，一個域上的非交換變數的多項式的代數，是一個無零因子環。這點可藉由非交換單項式的來證明。
 若是一個無零因子環，且是的，那也是無零因子環。
 是非交換的無零因子環。
 任何域上的李代數的泛包絡代數都是無零因子環。這點可由泛包絡代數上的標準和證明。

群環和零因子問題
設為群而為域，那一個問題是群環是否是無零因子環？考慮下述等式：



這等式顯示，階為且有限的元素會在中導出一個零因子。零因子問題問的是，這是否是唯一的阻礙。換句話說，

 給定一個域和一個無扭化群，則群環是否是一個無零因子環？

目前尚無反例，但為止，這問題依舊未解決。

對於許多特定種類的群，這答案是肯定的。Farkas和Snider在1976年證明說如果是一個無扭化的有限擴張多循環群，且，那群環就是一個無零因子環。之後Cliff在1980年移除了域特徵的條件；此外在1988年，Kropholler、Linnell和Moody將這類結果給推廣到無扭化可解群及有限擴張可解群之上。而更早以前的在1965年做出、但其重要性被相關領域專家忽視將近二十年研究所處理的是是P進整數環而是的的情況。

整環的譜
零因子有拓樸學上的解釋，至少在交換環的情形下是如此：是一個整環，當且僅當是且其譜 是一個。這其中第一個性質被認為包含了無窮小的訊息，而第二個性質則是更為幾何的。

一個例子如次：在是一個域的狀況下，這個環不是無零因子環，而這是因為在這個環中，和的像是零因子之故。在幾何上，這對應到這個環作為和這兩條線的聯集的譜不可約的事實。事實上這兩條線是其不可約的成分。

參見
 零因子


 整環

出處

參考資料






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