算數數列中的質數

在數論中，算數數列中的質數的研究範圍包括任何包含至少三個在等差數列中彼此相鄰的質數的數列。一個這樣的序列的例子是，而這序列可由在時給出。

根據格林-陶定理，在質數構成的數列中，存在的等差數列。

有時這概念也可用以指涉同時包含合數的等差數列中出現的質數，像例如說，這概念也可用以指稱有著這樣形式且與互質的等差數列；而根據狄利克雷定理，這樣的數列包含無限多的質數，也包含無限多的合數。

對於大於3的正整數而言，AP-k（又作PAP-k）指的是任意等差數列中任意個彼此相鄰的質數。一個AP-k可寫成這樣變數為個連續數值的形式，其中（公差）與是固定數。一般以至來表達一個AP-k，這總可藉由將給定義成算術數列中的第一個質數達成。

在本文中，以代表對於質數的質數階乘，以代表對於所有不大於的質數（其中是不大於的最大質數）的質數階乘。

性質
任何由質數構成的等差數列，其長度皆有限。在2004年，和陶哲軒藉由證明格林-陶定理解決了一個懸宕多年的舊猜想，也就是質數集合中包含任意長度等差數列的猜想。由此可立即推得說，對於任意而言，都存在有無限多個AP-k。

假若一個AP-k不以質數起始，那其公差就是形如這樣的質數階乘，其中不大於的質數中最大的質數。

證明：設要證明的AP-k的形式為，其中是變數，其數值為個連續正整數。若不能為質數除盡，那根據模算數，在這等差序列中，每隔項就會有一項被除盡。取自的推論10亦可參照的定理2.3因此若AP對於連續個值都是質數，那麼就必然為所有不大於的質數所除盡。

這也顯示了一個包含公差的AP，其連續的質數項的數量，不能超過最小且不能除盡的質數的值。

若是一個質數，那麼AP-k就可以起始並包含大小僅為而非的公差。取自的第三節。像例如包含這三項的AP-3，其公差為；而包含這五項的AP-5，其公差為。目前有猜想認為，對所有為質數的，都有如此的例子。截至為止，已確認有此性質的最大質數是，而相關的AP-19如下，由Wojciech Iżykowski於2013年發現：

，其中的值為0到18。

這猜想可由迪克森猜想或質數k元組猜想等廣泛認為正確的猜想得出，在其中，若是最小不能為所除盡的數，那就存在有無限多公差為的AP-。像例如5是不能除盡6的最小質數，因此可期望說有無限多的AP-4，其公差為6，而這樣的數組又稱為六質數四胞胎；而當且時，這即是孿生質數猜想，在此情況下，此AP-2會包含跟這兩個質數。

AP中最小的質數

此處的最後項最小化

+ 最小AP-k k  從到間的質數形式 3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23 

AP中最大已知的質數
為止，已知最長的AP-k是AP-27，同時也已知數個AP-26的例子。這些數列的第一個是由Benoît Perichon在2010年4月12日以一台PlayStation 3發現的，他用的軟體由Jarosław Wróblewski及Geoff Reynolds所開發、由Bryan Little轉平台到PlayStation 3上，並作為計畫的一部分發布。以下是他發現的質數序列：
，其中的值為0到25。

在發現第一個AP-26時，將整個搜尋分成131,436,182個段落，John,  AP26 Forum. Retrieved 2013-10-20.並交由全球各地的32跟64位元CPA、Nvidia CUDA GPU以及Cell微處理器等進行搜尋。

在此之前，已知最長的數列是由Raanan Chermoni和Jarosław Wróblewski在2008年5月17日發現的一個AP-25：
，其中的值為0到24。（另外）

對這AP-25的搜尋是在一台CPU為Athlon 64的電腦上進行的，搜尋的部分首先分成段落，並花了大約3分鐘。對此Wróblewski說道：「我認為Raanan搜尋的段落少於10,000,000個。」（而用Athlon 64的CPU大概要花57個CPU年才能完成完整的搜尋）

更早以前的紀錄，是一個由在2007年1月18日由Jarosław Wróblewski獨自發現的AP-24：
，其中的值為0到23。
對此Wróblewski回報說他用了75台電腦，其中15台裝載64位元的Athlon中央處理器，15台裝載64位元的Pentium D 805中央處理器；30台裝載32位元的Athlon 2500中央處理器，以及15台裝載Duron 900中央處理器。

下表顯示了歷來最大已知的AP-k及其發現年分和末項質數的數字位數。

應當注意的是，最大已知的AP-k可能會以已知的AP-(k+1)結尾。

一些記錄創造者首先先計算大量形如且固定的質數然後再開始對不同的尋找能生出質數的AP。這反映在一些紀錄的表現形式中，而這些紀錄可輕易地重寫成的形式。
+ 為止，最大已知的AP-kJens Kruse Andersen and Norman Luhn, Primes in Arithmetic Progression Records. Retrieved 2023-12-11. k  從的值為0到的質數形式  位數  年分  發現者 3 (503·21092022−1) + (1103·23558176 − 503·21092022)·n  1071122  2022  Ryan Propper, Serge Batalov 4 (263093407 + 928724769·n)·299901−1  30083  2022  Serge Batalov 5 (440012137 + 18195056·n)·30941#+1  13338  2022  Serge Batalov 6 (1445494494 + 141836149·n)·16301# + 1  7036  2018  Ken Davis 7 (2554152639 + 577051223·n)·7927# + 1  3407  2022  Serge Batalov 8 (48098104751 + 3026809034·n)·5303# + 1  2271  2019  Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis 9 (65502205462 + 6317280828·n)·2371# + 1  1014  2012  Ken Davis, Paul Underwood 10 (20794561384 + 1638155407·n)·1050# + 1  450  2019  Norman Luhn 11 (16533786790 + 1114209832·n)·666# + 1  289  2019  Norman Luhn 12 (15079159689 + 502608831·n)·420# + 1  180  2019  Norman Luhn 13 (50448064213 + 4237116495·n)·229# + 1  103  2019  Norman Luhn 14 (55507616633 + 670355577·n)·229# + 1  103  2019  Norman Luhn 15 (14512034548 + 87496195·n)·149# + 1  68  2019  Norman Luhn 16 (9700128038 + 75782144·(n+1))·83# + 1  43  2019  Norman Luhn 17 (9700128038 + 75782144·n)·83# + 1  43  2019  Norman Luhn 18 (33277396902 + 139569962·(n+1))·53# + 1  31  2019  Norman Luhn 19 (33277396902 + 139569962·n)·53# + 1  31  2019  Norman Luhn 20 23 + 134181089232118748020·19#·n  29  2017  Wojciech Izykowski 21 5547796991585989797641 + 29#·n  22  2014  Jarosław Wróblewski 22 22231637631603420833 + 8·41#·(n + 1)  20  2014  Jarosław Wróblewski 23 22231637631603420833 + 8·41#·n  20  2014  Jarosław Wróblewski 24 230885165611851841 + 297206938·23#·n  19  2023  Rob Gahan, PrimeGrid 25 290969863970949269 + 322359616·23#·n  19  2024  Rob Gahan, PrimeGrid 26 233313669346314209 + 331326280·23#·n  19  2024  Rob Gahan, PrimeGrid 27 605185576317848261 + 155368778·23#·n  19  2023  Michael Kwok, PrimeGrid

等差數列中的相鄰質數
等差數列中的相鄰質數（Consecutive primes in arithmetic progression）一般涉及的是三個彼此相鄰，在等差數列中也彼此為相鄰項的質數。和AP-k不同的是，在此所有其他相鄰質數中間的所有其他的、那些不在等差數列中的數，都必須是合成數。像是這個AP-3數列就不合定義，因為5也是質數。

對於大於3的正整數而言，CPAP-k指的是等差數列中個彼此在等差數列外也相鄰的質數。目前有猜想認為存在有任意長度的CPAP，也就是說，對於任意的都有無限多個CPAP-k。CPAP-3的中間項又稱為平衡質數，為止，已知最大的平衡質數有15004位數。

第一個已知的CPAP-10在1998年由Manfred Toplic在參與分布式計算計畫CP10時發現，而CP10這項分布式計算計畫是由Harvey Dubner、Tony Forbes、Nik Lygeros、Michel Mizony和Paul Zimmermann等人組織發起的。H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, Ten consecutive primes in arithmetic progression, Mathematics of Computation 71 (2002), 1323–1328.這個CP10有著最小可能的公差；而為止，只有另一個CPAP-10是已知的，且是由同一人在2008年發現的。

若CPAP-11存在，則其公差必然為的倍數，也因此其中第一項和最後一項質數的差會是23100的倍數，這代表在這11個質數之間，至少會有23090個合成數，因此要找到CPAP-11會是極為困難的。Dubner和Zimmermann估計說，找到CPAP-11的難度，至少會是找到CPAP-10的倍。Manfred Toplic, The nine and ten primes project. Retrieved on 2007-06-17.

AP中最小的相鄰質數
目前只知道當時，相應的CPAP-k的首次出現處。

+ 最小CPAP-kJens Kruse Andersen and Norman Luhn, The minimal & the smallest known CPAP-k. Retrieved 2022-12-20. k  從的值為0到的質數形式 3 3 + 2n 4 251 + 6n 5 9843019 + 30n 6 121174811 + 30n

AP中已知最大的相鄰質數
此表顯示等差數列中已知最大的個相鄰質數，分別從到。

+ 為止最大已知的CPAP-kJens Kruse Andersen and Norman Luhn, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2022-12-20.Chris K. Caldwell, The Largest Known CPAP's. Retrieved on 2021-01-28. k  從的值為0到的質數形式  位數  年分  發現者 3 17484430616589 · 254201 - 7 + 6n  16330  2024  Serge Batalov 4 35734184537 · 11677#/3 - 9 + 6n  5002  2024  Serge Batalov 5 2738129459017 · 4211# + 3399421517 + 30n  1805  2022  Serge Batalov 6 533098369554 · 2357# + 3399421517 + 30n  1012  2021  Serge Batalov 7 145706980166212 · 1069# + x253 + 420 + 210n  466  2021  Serge Batalov 8 8081110034864 · 619# + x253 + 210 + 210n  272  2021  Serge Batalov 9 7661619169627 · 379# + x153 + 210n  167  2021  Serge Batalov 10 189382061960492204 · 257# + x106 + 210n  121  2021  Serge Batalov
指的是一個在上述紀錄用以保證在不尋常多地、依條件要求的合成數中都會有小因數的d位數字。




參見

塞邁雷迪定理

出處

參考資料
Chris Caldwell, The Prime Glossary: arithmetic sequence, The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes and The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression, all from the Prime Pages.

Jarosław Wróblewski, How to search for 26 primes in arithmetic progression?
P. Erdős and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.

Category:素數