中点法

数值分析裡的中点法（midpoint method）是求解常微分方程的一種数值方法，屬於單步法。

上式的顯式中點法為

隱式中點法為

。此處是步階長度，是一個小的正數，，而是計算的近似值。顯式中點法也稱為是改良的歐拉方法（modified Euler method），隱式中點式是最簡單的（Collocation method），可用在哈密頓力學，也就是。

此方法的名稱是因為上述公式會用到函數在位置的值，也就是在以及中點時的值，前者的值已知，後者的值未知，在計算中點的值時，也需要有一些假設，才能進行計算。

配合圖示（見右圖）會比較容易理解此一方法。在原始的欧拉方法裡，會用，計算曲線在處的切線。此切線和垂直線的交點即為下一個點的值。不過，若此函數的二階導數在時間和的區間均為正, 或是均為負（如圖中的例子），隨著加大，曲線和切線的距離會越來越遠，導致大誤差。圖中所畫的中點的切線（上方，綠線）比較可以近似這段曲線。不過因為要求解的就是此一曲線，時間的資訊已知，其他資訊不足，可能無法精準的畫出中點處的切線。

因此，會先用原始的歐拉方法估計在中點的值，再用以及估計的中點資訊，計算切線斜率。用改善後的切線從計算的值。最後一步即為圖的紅色弦線。因為紅色弦線是估計值，用的是在中點處的估計值，不一定真的會和綠線（真正的中點切線）平行，仍會有誤差。

中點法每一步的局部誤差是，全域誤差是。其運算比歐拉方法要大，但在的過程中，中點法的誤差會比歐拉方法降低的更快。

此法也是高階方法（如龙格-库塔法）的範例之一。

中點法的推導

步长。

中點法可以視為是改良版的欧拉方法

因此用類似的方式推導。 
推導欧拉法的關鍵是以下的近似等式

是源自以下的斜率公式

，其中

在中點法中，將(3)改為更準確的式子

因此可以得到以下類似(3)式，計算的式子

在上式中，因為還不知道在的值，無法用上式直接計算。解法是用欧拉方法來求解: 

代入(4)式中，可得

以上則是顯式的中點法(1e)。

隱式中點法(1i)可以將此時間內的波形假設為直線，中間步數的值用和的平均值來表示

因此


因為隱式方法的時間對稱性，局部誤差中的偶次項都消去了，局部誤差的階數是＼。
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腳註

參考資料

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Category:数值微分方程