圆外切梯形

在欧几里得几何中，（，也称为切线梯形）是指存在内切圆的梯形，或者说有一对边平行的圆外切四边形R.A.约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译，第158页，上海教育出版社，ISBN 7-5320-6392-5。存在圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形等子类型。菱形、正方形也可以看成是是特殊的。

周长
根据皮托定理：圆外切四边形对边和相等，可得到的两腰长和与两底长和相等，则周长  为

其中分别为梯形的上下底长，为两腰长。

另外，半周长为，中位线为。

面积
将上述由皮托定理得出的半周长代入梯形的半周长面积公式，得到的面积S为H. Lieber and F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben, Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154.：

其中a、b为两底长，c为任意一腰长。

由于的高与内切圆直径相等，则由中位线面积公式可得：

此外，设四条不同点出发的切线长为，则面积为.：

内切圆半径
由四边形内切圆半径公式，和上述两个面积公式得到：

更一般的，若中，、分别是同一腰上的切线长，则根据梯形高与腰构成的直角三角形的勾股定理得到.：

由此式能得到上述四切线长有关的半径公式和面积公式。

圆外切直角梯形
圆外切直角梯形（）是指底角为直角的，设其上下底长分别为，则由皮托定理得出斜腰长，由斜腰三角形勾股定理可得到内切圆半径为：

内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的调和平均数，暨

将上式代入梯形的面积公式，可得出面积为两底长之积：

同时，将上式代入斜腰三角形勾股定理，可得到。

圆外切钝角梯形
圆外切钝角梯形（）是指两底边各有一个锐角和一个钝角的，菱形可看作是特殊（两腰相等）的钝角。

圆外切等腰梯形
圆外切等腰梯形（）是指两腰相等的，由于等腰梯形是一种圆内接四边形，因此圆外切等腰梯形同时拥有内切圆和外接圓，暨圆外切等腰梯形属于一类双心四边形，因此也称为双心梯形（）。

设两底长为，由皮托定理得出腰长为上下底的算术平均数，暨，通过勾股定理可得到内切圆半径为：

内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的几何平均数，暨

因此，圆外切等腰梯形也可以作为均值不等式中，算术平均数大于几何平均数的几何解释。这一类问题也是日本算額中的常见问题。

将半径代入圆外切四边形面积公式，可以得到圆外切等腰梯形的面积为Abhijit Guha, CAT Mathematics, PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.：

另外，由均值不等式中，几何平均数大于调和平均数可知，在两底长相同的情况下，圆外切等腰梯形的半径、高、圆面积、梯形面积都大于圆外切直角梯形。

更一般的，在所有由相同所构成的中，圆外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨中，、分别是同一腰上的切线长，，，，当且仅当e=f，g=h时取等于号，此时两腰相等。

参考文献

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