随机测度

在概率论中，随机测度是测度值的随机元素。  随机测度可应用于随机过程理论中，随机测度形成了许多重要的点过程，例如泊松点过程和。

 定义 

随机测度可以定义为转移核或随机元素。对于一些标准情况（其中的具体要求如可测空间是博雷尔空间），这两种定义是等价的。

 作为转移核 

对于可测空间  ，称  是一个  到  的转移核，是指它是一个二元函数  （值域可能根据考虑的测度的类型而改变，如有符号测度），且满足以下性质：

 若在第二变元处填充任一固定的可测集  ，所得到的映射  是  上的可测函数。

 若在第一变元处填充任一固定的元素  ，所得到的映射  是  上的一个测度。

对于  为博雷尔空间的情况，局部有限转移核可视作随机元素。

随机测度则定义为一个概率空间  到一个可测空间  的（几乎必然）局部有限转移核。

在随机过程的背景下，马尔可夫核（也称随机核、概率核）的概念与此相关。

 作为随机元素 

在前文中，「在第一变元处填充一固定的元素」的结果是得到了一个测度。实际上填充这个变元过程本身所给出的映射也是一个  到  的可测函数，其中  是  上的局部有限测度所构成的空间。

全体局部有限测度构成的集合  若要构成可测空间，须配备一个σ-代数。

对于任一有界可测集合  ，可定义求值映射（也称投影映射）

可构造出令全体投影映射成为可测函数的最小σ-代数，称为  生成的（或诱导的）σ-代数。

随机测度即是一个概率空间  到测度所构成的上述可测空间的随机元素。 Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.   

 基本相关概念 

 强度测度 
对于给定随机测度  和任一正可测函数  ，满足



的测度  被称为  的强度测度。强度测度对于每个随机测度都存在，并且是s-有限测度。

 支撑测度 
对于给定的随机测度  和任一正可测函数  ，满足



的测度  被称为  的支撑测度。所有随机测度都有支撑测度，并且可以选择为有限的。

 拉普拉斯变换 
给定随机测度  ，可定义任一正可测函数  的拉普拉斯变换如下



 基本性质 

 积分的可测性 
给定随机测度  ，正的 -可测函数  的积分



和

是可测的，所以它们是随机变量。

 唯一性 
随机测度的分布由以下一族积分的分布唯一确定



其中  是  上的紧支撑连续函数。对于给定的一个生成  （即  ）的半环  ，随机测度的分布也由所有正简单 -可测函数  唯一确定。  

 分解 
一个测度通常可以分解为：



这里  是弥散测度，而  是一种纯原子测度。

 随机计数测度 
具有下列形式的随机测度称为点过程或随机计数测度：



其中  是狄拉克测度、  是随机变量。该随机测度描述了 个粒子的集合，其位置由（通常是向量值的）随机变量  给出。计数测度没有弥散分量  。

在上述的形式记号中，随机计数测度是从概率空间到可测空间  的映射。这里  是全体有界有限整数值测度（称为计数测度） 所构成的空间。

期望测度、拉普拉斯泛函、矩测度和随机测度的平稳性的定义是基于点过程的定义。随机测度在蒙特卡罗方法的描述和分析中很有用，例如蒙特卡罗数值求积法和粒子滤波器。"Crisan, D., Particle Filters: A Theoretical Perspective, in Sequential Monte Carlo in Practice, Doucet, A., de Freitas, N. and Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, 

 参见 

 泊松过程
 向量测度

 参考资料 



 文内引用 
"Crisan, D., Particle Filters: A Theoretical Perspective, in Sequential Monte Carlo in Practice, Doucet, A., de Freitas, N. and Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, 

 注释 


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