圓內接四邊形的日本定理

在几何学中，圓內接四邊形的日本定理指出，圆内接四边形内某些三角形的内心形成一个矩形。

任意圆内四边形被对角线分成四个三角形（每条对角线分出两个三角形）。这些三角形的内心形成一个矩形。

具体而言，设为任意圆内接四边形， , , , 分别为三角形, , , 内心，则, , , 所构成的四边形为矩形。

 证明1 

（以下称为角），因为这两个角都是弦的周角。

因为

由此可得，

由于这些角相等，是一个圆内接四边形。

根据圆内接四边形的性质，现在有

同样地，对于也成立：

角度相加，得到以下结果

由于

所以

以上对于点之间的其他角度也同样成立，它们都是。

因此，是一个矩形。证毕。

 证明2 

根据Thébault定理(3)有如下结论Wilfred Reyes: An Application of Thebault's Theorem . Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185：

下面开始处理原题。

先标记题目中四个三角形的内心是、、、.

假设对角线 AC 和 BD 交于 E.

与线段 AE、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为，

类似地，与线段 BE、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为、与线段 CE、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为、与线段 DE、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为.

设 AE、BE 的夹角是，根据上面的Thébault定理(3)有如下结论：

、、三点共线，且

同理，、、三点共线，且

所以，

由于  (因为它们沿着角  的角平分线)，所以 ，所以  是矩形。证毕。

 推广 

过作四边形的对角线的平行线，形成一个平行四边形，由作图可知平行四边形为菱形，于是「与各对角线相切的内切圆半径之和相等」。

该定理可推广到圓內接多邊形的日本定理。

证明了四边形的情况后，可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。

 又见 

 卡诺定理
 算額
 日本数学

 参考 

 Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file)
 Incenters in Cyclic Quadrilateral  at Cut-the-Knot
 Wataru Uegaki: ""  (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01



 外部链接 
 gogeometry.com 

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