刘维尔–阿诺德定理

动力系统理论中，刘维尔–阿诺德定理指出，若在具有n自由度的哈密顿力学系统中，存在n个泊松交换的独立第一运动积分，且能级集是紧的，则就存在到作用量-角度坐标的正则变换，变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标，角度坐标随时间线性变化。因此，若能分离级同时集（level simultaneous set）条件，系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔和弗拉基米尔·阿诺德。J. Liouville, « Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853 », JMPA, 1855, , pdf 

 历史 
定理的原始形式是刘维尔于1853年针对上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。

 陈述 
 初步定义 
令是维辛流形，具有辛结构。

上的可积系统是上的n个函数组成的集合，记作，满足
 （一般）线性独立：稠密集上
 相互泊松交换：泊松括号对任意一对都为0
泊松括号是每个对应的哈密顿向量场的李氏括号。简单说，若是对应于光滑函数的哈密顿向量场，则对两光滑函数，泊松括号是。

若，则称点p是正则点（regular point）。

可积系统定义了函数。表示函数的水平集

或记作。

若给附加一个区分函数H的结构，则当H可以补全（completed）为可积系统时（即存在可积系统），哈密顿系统是可积的。

 定理 
若是可积哈密顿系统、p是正则点，则定理描述了正则点的像的水平集：
 是光滑流形，在由引发的哈密顿流作用下不变（因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变）。
 若更紧且连通，则就微分同胚于N-环面。
 上存在（局部）坐标，使得在水平集上为常，而。这些坐标称作作用量-角度坐标。

 刘维尔可积系统例子 
可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。

一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是时，其坐标通常写作，规范辛形式是。除非另有说明，否则本节将假设这些参数。

 哈密顿谐振子：，其中。定义，可积系统是。

 连心力系统，其中，U是某势函数。定义角动量，可积系统是。

 可积陀螺：是刘维尔可积的。

 另见 
 弗罗贝尼乌斯定理
 可积系统

 参考文献 

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