流形正则化

机器学习中，流形正则化（Manifold regularization）是一种利用数据集形状以约束应在数据集上被学习的函数的技术。在很多机器学习问题中，待学习数据不能涵盖整个输入空间。例如，人脸识别系统不需要分类所有图像，只需分类包含人脸的图像。流形学习技术假定相关数据子集来自流形，是一种具有有用属性的数学结构；且待学习函数是光滑的，即不同标签的数据不应靠在一起，即在有大量数据的区域，标签函数不应快速变化。这样，流形正则化算法便可利用无标数据，通过推广的吉洪诺夫正则化推断哪些区域允许待学习函数快速变化，哪些区域不允许。流形正则化算法可将监督学习算法推广到半监督学习和转导，因为当中有无标数据。流形正则化技术已被应用于医学成像、大地成像与物体识别等领域。

 流形正则器 
 动机 
流形正则化是正则化的一种。正则化是通过惩罚复杂解，以减少过拟合、确保问题良置的一系列技术。具体说，流形正则化扩展了应用于再生核希尔伯特空间（RKHSs）的吉洪诺夫正则化。在RKHS的标准吉洪诺夫正则化下，学习算法试图从函数的假设空间中学习函数f。假设空间是RKHS，就是说与核K相关联，于是候选函数f都有范数，代表候选函数在假设空间中的复杂度。算法会考虑候选函数的范数，以惩罚复杂函数。

形式化：给定一组有标训练数据，其中，以及损失函数V。基于吉洪诺夫正则化的学习算法将试图求解



其中是超参数，用于控制算法对简单函数与更能拟合数据的函数的偏好。
流形正则化在标准吉洪诺夫正则化的环境正则项（ambient regularizer）上增加了第二个正则化项——内蕴正则项（intrinsic regularizer）。在流形假设下，数据不是来自整个输入空间X，而是来自非线性流形。流形（即内蕴空间）的几何用于确定正则化范数。

 拉普拉斯范数 
内蕴正则项有很多选择。如流形上的梯度，可以衡量目标函数的光滑程度。光滑函数应在输入数据密集处变化较慢，即梯度与边际概率密度（marginal probability density）（随机选定的数据点落在x处的概率密度）呈负相关。这就为内蕴正则项提供了合适的选择：



实践中，由于边际概率密度未知，无法直接计算范数，但可根据数据进行估计。
 基于图的拉普拉斯范数 
将输入点间距解释为图，图的拉普拉斯矩阵就可帮助估计边际分布。假设输入数据包括个有标例子（输入x与标签y的点对）、u个无标例子（无对应标签的输入）。定义W为图的边权重矩阵，是数据点间的距离。定义D为对角矩阵，其中。L是拉普拉斯矩阵。则，随着数据点数增加，L将收敛于拉普拉斯-贝尔特拉米算子，其是梯度的散度。则若是f在数据处的值向量，，则就可估计内蕴范数：



随着数据点数增加，的经验定义会收敛到已知时的定义。

 基于图的方法解正则化问题 
用权重作为环境正则项和内蕴正则项，最终的待解表达式变为



与其他核方法类似，可能是无限维空间。因此，若正则化表达式无法明确求解，就不可能在整个空间中搜索解；相反，表示定理表明，在选择范数的特定条件下，最优解必须是以每个输入点为中心的核的线性组合：对某些权重



利用这结果，可在的可能选择定义的有限维空间中搜索最优解。

 拉普拉斯范数的泛函方法 
图拉普拉斯之外的想法是利用邻域估计拉普拉斯量。这种方法类似于局部平均法，但众所周知处理高维问题时扩展性很差。事实上，图拉普拉斯函数会受到维数灾难影响。
幸运的是，通过更先进的泛函分析，可利用函数的预期光滑性进行估算：由核导数估计拉普拉斯算子的值，其中表示对第一个变量第j个坐标的偏导数。
这第二种方法与无网格法有关，同PDE中的有限差分法形成对比。

 应用 
选择适当的损失函数V、假设空间，流形正则化可推广到各种可用吉洪诺夫正则化表达的算法。两个常用例子是支持向量机和正则化最小二乘法。（正则化最小二乘包括岭回归；相关的LASSO、弹性网正则化等算法可被表为支持向量机。）这些算法的推广分别称作拉普拉斯正则化最小二乘（LapRLS）和拉普拉斯支持向量机（LapSVM）。

 拉普拉斯正则化最小二乘（LapRLS） 
正则化最小二乘（RLS）是一类回归分析算法：预测输入x的值，目标是使预测值接近数据的真实标签。RLS的设计目标是在正则化的前提下，最大限度减小预测值与真实标签之间的均方误差。岭回归是RLS的一种形式，一般来说RLS与结合了核方法的岭回归是一样的。在吉洪诺夫正则化中，损失函数V的均方误差是RLS问题陈述的结果：



根据表示定理，解可写作在数据点求值的核的加权和：



解可得



其中K定义为核矩阵，，Y是标签向量。

为流形正则化添加拉普拉斯项，得到拉普拉斯RLS的表达：



再根据流形正则化的表示定理，可知



这就得到了向量的表达式。令K是上述核矩阵，Y是数据标签向量，J是分块矩阵：



解是



LapRLS已被用于传感器网络、
医学成像、
物体检测、
光谱学、
文档分类、
药物-蛋白质相互作用、
压缩图像与视频等问题。
 拉普拉斯支持向量机（LapSVM） 
支持向量机（SVMs）是一系列算法，常用于数据分类。直观说，SVM在类间画出边界，使最接近边界的数据尽量远离边界。这可直接表为线性规划问题，但也等同于带铰链损失的吉洪诺夫正则化，即：



将内蕴正则化项加进去，就得到了LapSVM问题的陈述：



同样，表示定理允许用在数据点得值的核表示解：



将问题重写为线性规划问题、求解对偶问题就可得到。令K是核矩阵、J是分块矩阵，则解可写作



其中是对偶问题的解

Q的定义是



LapSVM已被应用于大地成像、
医学成像、
人脸识别、
机器维护、
脑机接口等问题。

 局限 
 流形正则化假定不同标签的数据不在一起，这样就能从无标数据中提取信息。但这只适用于一部分问题。根据数据结构不同，可能要用不同的半监督或转导学习算法。
 某些数据集中，函数的内蕴范数可能非常接近环境范数：例如，若数据由位于垂直线上的两类组成，则内蕴范数将等于环境范数。这时，即便数据符合光滑分离器假设，无标数据也无法对流形正则化学习到的解产生影响。与联合训练相关的方法已用于解决这一限制。
 若有大量无标数据，则核矩阵K将变得极大，计算时间可能非常久。这时在线算法与流形的稀疏近似可能有所帮助。

 另见 
 流形学习
 流形假设
 半监督学习
 转导 (机器学习)
 谱图论
 再生核希尔伯特空间
 吉洪诺夫正则化
 微分几何

 参考文献 

 外部链接 
 软件 
 ManifoldLearn库 与Primal LapSVM库 在MATLAB中实现了LapRLS和LapSVM。
 C++的Dlib库 包含线性流形正则化函数。

Category:机器学习