沙滕范数

泛函分析中，沙滕范数（Schatten norm，或沙滕–冯·诺依曼范数，Schatten–von-Neumann norm）来自p-可积的推广，与迹类范数、希尔伯特-施密特范数相似。

定义
令是希尔伯特空间，是（线性）有界算子。对，定义T的沙滕p-范数为


其中，平方根是算子平方根。

若T是紧的、可分离，则



T的奇异值（即厄米算子的特征值）满足。

性质
下面将p的范围推广到，表示算子范数。指标的对偶是。

 沙滕范数是酉不变的：对酉算子U、V、，



 它们满足赫尔德不等式：使得，以及定义在希尔伯特空间之间的算子，

若满足，则
 . 
赫尔德不等式的这后一个形式有更一般情形的证明（对非交换空间，而非沙滕-p类。对于矩阵，见）。

 子乘性：、定义在希尔伯特空间之间的算子，


 单调性：对于，



 对偶性：令为有限维希尔伯特空间，，q满足，则



 其中表示希尔伯特-施密特算子。

令为希尔伯特空间的两个正交基，则对



备注
注意是希尔伯特-施密特范数（见希尔伯特-施密特算子），是迹类范数（见迹类算子），是算子范数（见算子范数）。
对，函数是拟赋范空间的例子。

具有有限沙滕范数的算子称作沙滕类算子，其空间记作。此范数下是巴拿赫空间，对是希尔伯特空间。

注意，后者即紧算子代数。这是因为，若和有限，则谱也有限或至多是可数无穷多，且以原点为极限点，因此是紧算子。

情形常称作核范数（或迹范数、樊𰋀n-范数）。

另见
矩陣範數#Schatten 范数

参考文献

 Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
 John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
 Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.

Category:算子理论