柄分解

数学中，m-流形M的柄分解（handle decomposition）是并

其中都由附加一个i-柄（handle）而来。柄分解之于流形就像CW分解之于拓扑空间—在很多方面，柄分解的目的是得到一种适用于光滑流形情形的类CW复形的语言。因此，i-柄就是i-胞腔的光滑类似物。流形的柄分解是从莫尔斯理论自然产生的。并结构的修改与瑟夫理论密切相关。


动机
考虑n-球的标准CW分解，其中有一个零胞腔与一个n-胞腔。从光滑流形的角度来看，这是球面的退化分解，因为没有自然方法从分解的角度来看的光滑结构—尤其是0-胞腔附近的光滑结构取决于特征映射在的邻域中的行为。

CW分解的问题在于，胞腔的附着映射不属于流形间的光滑映射。管状邻域定理是纠正这一缺陷的萌芽。给定流形M中的点p，其闭管状邻域微分同胚于，因此我们将M分解为沿、的共同边界胶合的不交并。这里的关键问题是，胶合映射是微分同胚映射。同样，取中的光滑嵌入弧，其管状邻域微分同胚于。这样就可以把M写成三个流形的并，沿它们一部分边界胶合：1)   2)  3) 中弧的开管状邻域的补。注意所有胶合映射都是光滑的，特别是将胶合至时，等价关系由在中的嵌入生成，根据管状邻域定理它是光滑的。

柄分解是斯蒂芬·斯梅尔的发明。S. Smale, "On the structure of manifolds" Amer. J. Math. , 84 (1962) pp. 387–399他的最初表述中，将j-柄附着到m-流形M的过程假定有的光滑嵌入。令，流形（即M沿f并上一个j-柄）是指M与的不交并，与其在中的像相等，即

其中等价关系由生成，。

若M的并具有有限多个j-柄，且微分同胚于流形N，则称N来自在M上附着j-柄。则柄分解的定义与概述中相同。于是，若流形微分同胚于球的不交并，则流形的柄分解将只有0-柄。连通流形只含有两种柄（即0-柄与j-柄，其中j为定值），也称作柄体。

术语
M并上j-柄时，

称作被附着球面（attaching sphere）。

f有时也称作被附着球面的框架（framing），因为它将其法丛平凡化。

是柄在中的带球（belt sphere）。

将g个k-柄附着到圆盘所得的流形是亏格为g的(m,k)-柄体。

配边演示
配边W的柄演示中有，且有渐进并

其中M是m维的，W是m+1维的，微分同胚于，来自附着以i-柄。若说柄分解之于流形好比胞腔分解之于拓扑空间，择配边的柄演示之于有界流形就好比相关胞腔分解之于空间对。

莫尔斯理论观点
给定紧无界流形M上的莫尔斯函数，使f的临界点满足，并有

则微分同胚于，其中是临界点的指标，是黑塞矩阵为负定的切空间的最大子空间的维度。

令指标满足，则这是M的柄分解；由于流形上必有这样的莫尔斯函数，所以它们都有柄分解。相似地，给定配边W满足、函数，其在内部是莫尔斯的，在边界为常数，且满足指标递增，则配边W有诱导柄演示。

若f是M上的莫尔斯函数，则-f也是莫尔斯函数。相应的柄分解/演示称作对偶分解。

主要定理与观察
 闭有向3-流形的希加德分裂将3-流形分解为两(3,1)-柄体沿共同边界之并，公共边界称作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好几种自然的产生方式：给定3-流形的柄分解，0、1-柄之交是(3,1)-柄体，3、2-柄的并也是(3,1)-柄体（从对偶分解的角度来看），于是是希加德分裂。若3-流形有三角化T，则有诱导希加德分裂，其中第一个(3,1)-柄体是1-骨架（skeleton）的正则邻域，其他(3,1)-柄体是对偶1-骨架的正则邻域。
 相继附着两个柄时，有可能切换附着的阶，使得，即此流形微分同胚于形式为的流形。
 的边界与沿有框架球f的边界是微分同胚。这是割补、柄与莫尔斯函数之间的主要联系。
 因此，当且仅当可通过对中的有框架链接（framed link）集进行割补，得到m维流形M时，M是m+1维流形W的边界。举例，由从René Thom关于配边的研究，我们知道每个3-流形都是某4-流形的边界（相似地，有向、有旋的3-流形分别是有向、有旋的4-流形的边界）。于是，3-流形都可从3-球中有框架链接的割补得到。在有向情形，常规做法是将这种有框架链接简化为圆的不交并的有框架嵌入。
 h-配边定理通过简化光滑流形的柄分解证明。

另见
卡森柄
配边
CW复形
柄体
卡比演算
流形分解

参考文献
注释

通用文献
 A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Pure and Applied Mathematics, Academic Press (1992).
 Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI 

Category:几何拓扑