普朗歇爾定理

普朗歇爾定理（又稱帕塞瓦爾-普朗歇爾恒等式 ）是调和分析的重要定理，由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出函数平方的积分等于其频谱的平方的积分。也就是说，如果是實數線上的函数，并且是它的频谱，那么

或者寫成範數:

數學上更嚴格的描述是，令函数同时屬於两个L p空间和 ，那么它的傅里叶变换屬於， 且為中的等距變換。

這代表限制在上的傅里叶变换有一個唯一的等距擴張，有時候這個擴張也被稱為普朗歇爾变换。此變換同時也是幺正的，透過此變換，我們便可以好好的在平方可積函數上討論傅里叶变換。

普朗歇爾定理可以被推廣到n维欧氏空间以及局部紧阿贝尔群上，若是滿足一些其他的假設，普朗歇爾定理有另一個版本在非交换局部紧緻群上成立，更多細節可以參考非交换调和分析。

由於在上內積與範數是相容的，我們也可以把普朗歇爾定理应用到的内积上。也就是說，如果、是两个在內的函數，表示普朗歇爾变换，则

而如果和屬於，有以及所以

 參見 
 帕塞瓦尔恒等式


 参考 

 .
 .
 .

 外部链接 

 Plancherel's Theorem on Mathworld
Category:泛函分析定理