非交换概率空间

在数学的分支概率论和算子代数中，非交换概率空间是对经典概率空间、尤其是经典概率论的随机变量代数表述的推广。一般的非交换概率空间也称代数非交换概率空间，其定义为一个有单位元的代数  ，其上配备有一个保单位元的线性泛函  。  中元素可视为是非交换版本的随机变量，而  则计算各随机变量的期望。出于各种实际目的，代数非交换概率空间定义中的要求往往需要加强，从而引出等概念。

非交换概率空间是非交换概率论的基本数学结构，非交换概率论可应用在谱理论、随机矩阵和量子力学中。

 动机 

 随机变量代数与期望 

测度论表述中的概率论是基于所谓概率空间  ，即一个总测度为一的（正）测度空间。所谓随机变量即是其上的实值可测函数，而随机变量的期望则是其勒貝格積分。

现在考虑全体本质有界的随机变量，它们构成了一个  上的代数，这里简单记作  。在这个代数上，期望映射  是唯一能满足  且给出单调收敛性质的线性映射，其中  表示  的指示函数。反过来，若具有单调收敛性质的非负线性映射  满足  （其中  是值为一的常函数，即  上的乘法单位元），则可用  一式唯一地定义一个概率测度。在这个意义上，随机变量代数的期望映射和概率空间的概率测度是一一对应的。借助，还可建立在单调收敛下封闭的  上的有界函数代数与  的一一对应。

对事件空间地位的降低，以及对代数性质的强调，使得概率论可以有较明显的推广方案，来兼容非交换的随机变量。

 量子概率与*-代数 

 分析性质 

 定义 

 非交换概率空间 
 是一代数非交换概率空间，若  是  上的一个有单位元  的代数，  是  上一个满足  的线性泛函。一些作者也考虑代数无单位元的情况。

 非交换*-概率空间 
 是一非交换*-概率空间，若  是一个代数非交换概率空间，且满足：

  是一个*-代数；
  是一个正映射，也就是说  中的正元总是被映为非负实数，或者等价地说这个条件结合  意味着  是一个。

 非交换C*-概率空间 
 是一非交换C*-概率空间，若  是一个非交换*-概率空间，且满足：

  是一个C*-代数；
 态  是非退化的，也就是说 

上面的  是一个  诱导的半范数，定义为 形式上它类似于左乘映射  的算子范数。一些作者不要求  为非退化的，因为总是可商去满足  的元素所构成的*-理想使其成为非退化的。

 非交换W*-概率空间 
 是一非交换W*-概率空间，若  是一个非交换C*-概率空间，且满足：

  是一个W*-代数；
 态  是正规的。或者等价地说，  是超弱连续的。

值得一提的是，即便在非交换概率空间的定义中解除对有单位元的要求，如此定义的非交换W*-概率空间也必然有单位元。

 参考文献 

 文内引注 

Category:概率论
Category:C*-代数
Category:算子代数
Category:量子力学