收敛矩阵

线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。

背景
矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。

定义
n阶方阵T若满足

则称T是是收敛矩阵。

例子
令

T的幂是

综之，

由于

T是收敛矩阵。注意其谱半径，因为是T唯一的特征值。

特征
设T是n阶方阵，则下列表述等价于T的收敛矩阵：
对某自然范数，
对所有自然范数，

迭代法

一般的迭代法包含将线性方程组

转为等价方程组

的过程。选定初向量，近似解向量序列的生成由

对任意初向量，序列由()定义，，当且仅当收敛于()的唯一解，即T是收敛矩阵。
正则分裂

矩阵分裂是用多个矩阵的和或差表示矩阵。对()所示的线性方程组，若A可逆，则A就可分裂为

于是()可重写为()。当且仅当时，()式是A的正则分裂；即只有非负元素。若分裂()是A的正则分裂、且，则，T是收敛矩阵，迭代法()收敛。

半收敛矩阵
n阶方阵T，若极限

存在，则称之为半收敛矩阵。若A可能奇异，而()齐次，即b在A的范围内，则当且仅当T是半收敛矩阵时，对任何初向量，()定义的序列收敛到()的解。这时，分裂()称作A的半收敛分裂。

另见
高斯-赛德尔迭代
雅可比法
矩阵列表
幂零矩阵
逐次超松弛迭代法

注释

参考文献
 .
 .


 .

Category:极限
Category:矩阵
Category:数值线性代数