连续函数演算

在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。

在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。

 动机 
对于巴拿赫代数  中的成员  ，若要将其谱  上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成  中成员  ，再证明这些  的多项式序列收敛为  中元素。

谱集  上的连续函数由  和  的形如  的多项式来逼近，其中  表示  的复共轭，而复共轭是复数上的一个對合。在将  替换为  时，为使  也有对应，须考虑  为巴拿赫*-代数，即配备了一个对合运算  的巴拿赫代数，这时  就被替换为  。由于多项式环  是交换环，为得到一个  的代數同態，须限制在  中的正规元（即满足  的成员）上。

须保证：若多项式序列  在  上一致收斂于一连续函数  ，则  上的序列  收敛于  。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。

 定义 

由于*-同态性质，有以下对任意函数  与标量  有效的计算规则： 
  （线性）  （乘法）  （对合）
因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。

对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以，得到一个扩大了的C*-代数  。对于  和满足  的  ，有  和  。

下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要：

在泛函分析中，常对正规算子  的连续函数演算感兴趣，即  是希尔伯特空间  上的有界算子所构成的C*-代数  的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。 

 性质 

 到子代数的等距同构 

连续函数演算  是到  和  所生成的C*-子代数  的等距同构，即：

 于是 显然是连续的。
  也就是说  是连续函数演算的值域。

由于  是  中的正规元，由  和  生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地，  也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。

 与其他函数演算的关系 
全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。因此，连续函数演算在多项式  上重合于多项式函数演算：

其中  。

对于  上一致收敛于函数  的函数序列  ，  收敛于  。对于  上绝对且一致地收敛的幂级数  ，就有  。

 反函数的连续函数演算 
若有  和  ，那么它们的函数演算的复合满足  。

设有两个正规元  满足  ，且无论限制在  还是  上时  都是  的反函数，那么必然有  ，因为  。

 谱映射定理 
谱映射定理  
也成立。

对于  ，若有  ，那么也有

也就是说若  与  对易，则它也与  的在连续函数下的像  对易。

 与*-同态相容 
设  是C*-代数  和  间的保单位元的*-同态，那么  与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说：

特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。

 函数性质与像的性质间的关系 
利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质：

  是可逆元当且仅当  在  上没有零点。于是有  。

  是自伴元当且仅当  是实值函数，也就是说 
  是正元（  ）当且仅当  ，也就是说 
  是幺正元，若  的值落在复单位圆中。也就是说， 
  是一个投影，若  仅取值  或  ，也就是说 

这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在一节中展示。

 有界算子代数的谱 

在  是希尔伯特空间  上的有界算子所构C*-代数  的特殊情况下，正规算子  的对应特征值  的特征向量  也将是算子  关于特征值  的特征向量。设  ， 则  。

 应用 
下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。

 谱 
设  是一个C*-代数而  为其中一个正规元，则对于谱  有以下结论：

  是自伴元当且仅当 
  是幺正元当且仅当 
  是一个投影当且仅当 

 开方 
设  是 C*-代数  中的正元，那么对于每一个  存在一个唯一确定的正元  满足  ，即唯一的  次方根。

若  是自伴元，则至少有：对于每个奇数  ，存在唯一确定的自伴元  满足  。

类似地，对于C*-代数  中正元  和任意  ，  唯一定义了一个  中的正元，并满足 
若  是可逆元，则还可以推广到取负值的  。

 绝对值 
若  且  是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为  ，因为它在正实数上连续。

设  是C*-代数  中的自伴元，则存在正元  ，使得  和  成立。  和  也被称为正部和负部。此外还有  。

 幺正元 
若  是有单位元  的C*-代数  中的自伴元，那么  是幺正元，其中  表示虚数单位。反过来，若  是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即  ），那么存在一个自伴元  满足  。

 谱分解定理 
设  是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元  。假设谱由  个两两不相交的闭子集  构成，也就是说  。那么就存在投影  ，使得下面的命题对任意  都成立：

 投影的谱满足 
 投影与  对易，即 
 投影是正交的，即 
 投影之和为单位元，即 

特别是，有分解  ，其中 

 注释 

 参考资料 




  English translation of 







 外部链接 

 Continuous functional calculus - PlanetMath 

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