单参数酉群的斯通定理

在数学中，单参数酉群的斯通定理是泛函分析的一个基本定理，建立了希尔伯特空间  上强连续单参数酉群与该空间上的某个自伴算子的一一对应关系。具体来说，单参数酉群是指幺正算子构成的单参数族  ，且 是一个连续群同態，所谓强连续是指



该定理由证明，而  表明，至少当希尔伯特空间是可分的，  的强连续性可以放宽为弱可测。

这是一个令人印象深刻的结果，因为它允许人们定义映射  的导数，而该映射仅仅需要是连续的。它也与李群和李代数的理论有关。

 正式表述 

在定理的两个部分中，表达式  是通过博雷尔函数演算来定义的，它用到了无界自伴算子的谱定理。

 无穷小生成元 

上述定理中的算子  被称为  的无穷小生成元。此外，  有界当且仅当映射  是范数连续的。

强连续酉群  的无穷小生成元  可以用下面的式子来计算：



其中，  的定义域为由这些在范数拓扑中存在极限的向量  组成。也就是说，  等于  乘以  关于  在  处的导数。该定理的一部分内容就是该导数的存在性——即  是一个稠密定义的自伴算子。这个结果即使在有限维情况下也不是显然的，因为  仅被假设具有（关于时间的）连续性，而不必可微。

 例子 
平移算子族



是一个由酉算子构成的单参数酉群；其无穷小生成元是一个空间上的微分算子



的一个，该空间由  上连续可微的紧支撑复值函数构成。因此



换句话说，直线上的运动是由动量算子生成的。

 应用 
斯通定理在量子力学中有着广泛的应用。例如，给定一个孤立的量子力学系统，其状态的希尔伯特空间为  ，其时间演化则是  上的强连续单参数酉群。这个群的无穷小生成元即是系统的哈密顿算子。

 基于傅里叶变换的表述 
斯通定理可以用傅里叶变换的语言来重述。实轴  是一个局部紧阿贝尔群。  的非退化*-表示与  的强连续幺正表示（即强连续的单参数酉群）一一对应。另一方面，傅里叶变换是  到  的*-同态，其中  是实轴上的在无穷远处消失的连续复值函数所构成的C*-代数。因此，强连续单参数酉群与   的*-表示之间存在一一对应关系。由于  的每个*-表示唯一地对应于一个自伴算子，就得到了斯通定理。

因此，获得强连续单参数酉群的无穷小生成元的过程如下：

 设  是  在希尔伯特空间  上的强连续幺正表示。
 积分此酉表示以产生  在  上的非退化*-表示  。即，先定义再将  连续扩张到整个  。
 使用傅里叶变换获得  在  上的非退化的 *-表示  。
 根据里斯-马尔可夫-角谷表示定理，  给出  上的一个投影值测度，而其是唯一的（可能无界的）自伴算子  的单位分解。
 于是，  就是  的无穷小生成元。

 的精确定义如下。考虑  上的紧支撑连续复值函数，通过由卷积给出其乘法，其构成一个*-代数  。这个 *-代数关于L1范数可完备化为一个巴拿赫*-代数，记作  。于是  就被定义为  的包络 -代数 ，即  相对于最大的可能的C*-范数的完备化。一个非平凡的事实是，傅里叶变换是  与   间的一个同构。这个方向的一个结果是黎曼-勒贝格引理，它指出傅里叶变换将  映射到  。

 推广 
斯通-冯诺伊曼定理将斯通定理推广到满足正则对易关系的一对自伴算子  上，并证明它们都与  上的位置算符和动量算符幺正等价。

将斯通定理推广到巴拿赫空间上的强连续单参数压缩半群。

 引注 

 参考书目 





 K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968)

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