部分等距映射

在数学的分支泛函分析中，部分等距映射是希尔伯特空间之间的一种线性映射，它在核的正交补上的限制是一个等距映射。

其核的正交补称为始子空间，其值域称为终子空间。本文中，算子  的始、终子空间分别记作  。

 一般定义 
部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设  是希尔伯特空间  的一个闭子集  ，而  是  上的等距映射，则我们可以定义  到  的一个扩张  ，  在  的正交补上的值为零。因此，部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。

基于，可以用更为抽象的方式来定义部分等距（以及投影），该定义与上文的定义是重合的。

 有限维情况的特性 
在有限维向量空间中，矩阵  是一个部分等距当且仅当  是到其支撑集的投影。相比之下，等距映射的定义是更强的：矩阵  是一个等距映射当且仅当   。换句话说，等距对称是一种单射的部分等距映射。

通过选择适当的基，任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如  的矩阵，也就是说，其前  列表示了一个等距映射，而所有其他列则都为零。

注意对于任何等距映射  ，其埃尔米特共轭  都是一个部分等距映射，尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。

 算子代数 
在算子代数中，可用下面的方式引入始子空间和终子空间：



 C*-代数 
对于C*-代数，由于C*-性质，存在等价链：



因此可由上式中的任意一条来定义部分等距，而到始、终子空间的投影分别为  。

一对按等价关系划分的投影：



它在C*-代数的K-理论和冯诺依曼代数中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。

 几类重要的部分等距映射 

 投影算子 
任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距：



 嵌入映射 
任何等距嵌入映射都是始子空间为全空间的部分等距：



 幺正算子 
任何幺正算子都是始、终子空间为全空间的部分等距：



 例子 

 幂零矩阵 
在二维复希尔伯特空间上的矩阵



是一个部分等距，其始子空间为



而终子空间为



 一般有限维示例 
有限维中的其他可能例子有这显然不是等距映射，因为列之间不正交。然而，它的支撑集是  和  的线性生成空间，若将  限制在这个空间上，就得到一个等距映射（特别地，也是一个幺正算子）。类似地，可以验证  ，也就是说  是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于方阵。例如，该矩阵的支撑集由 和 张成，并在该子空间上成为一等距映射（特别地，是其上的恒等映射）。

还有一个例子这次  在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。

容易验证  以及  ，这表明了  在其支撑集  与其值域  间的等距性质。

 左平移和右平移 
平方可和序列空间上的左平移和右平移算子





有下列关系



而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空间由以下向量构成



其终子空间则是：



 参考资料 







 外部链接 

 重要性质及证明
 替代证明

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