矩阵分裂

数值线性代数中，矩阵分裂（matrix splitting）是一种将给定矩阵表为多个矩阵和或差的表示。很多迭代法（如解微分方程组的）都依赖于直接求解比三对角矩阵更一般的矩阵的方程，若将其分裂，通常可以更高效地求解。这项技术由Richard S. Varga（1960）发明。

正则分裂
解矩阵方程

其中A是给定n阶非奇异方阵，k是给定n元列向量。A可分裂为

B、C都是n阶方阵。对元素非负的任意n阶方阵M，可以记作。若M元素均为正数，可以记作。相似地，若的元素非负，可以记作。

定义： 若，则是A的一个正则分裂（regular splitting）。

假设矩阵方程形式为

其中g是给定列向量，可直接求解x。若()表示A的正则分裂，则迭代法

其中是任意向量。()可等价地改写为

若()表示A的正则分裂，则矩阵的元素非负。

可以证明，若，则，其中表示D的谱半径，因此D是收敛矩阵。于是，迭代法()必然收敛。

此外，若选择分裂()，使B是对角矩阵（由于B可逆，所以对角项全部不为零），则B可在线性时间内求得逆（见时间复杂度）。

矩阵迭代法
很多迭代法都可描述为矩阵分裂。若A的对角项都是非零的，且A表为矩阵和

其中D是A的主对角线元素构成的对角矩阵，U、L分别是n阶严格上、下三角矩阵，则有：

雅可比法可表为

高斯-赛德尔迭代可表为

逐次超松弛迭代法可表为

例子
正则分裂
方程()中，令

应用雅可比中的分裂()：将A分裂，使B包含A的所有对角元素，C包含A的所有对角线外元素并取负（当然这不是将矩阵分裂为两矩阵的唯一有效方法），则有

由于，分裂()是正则分裂。由于，谱半径（D的近似特征值是）。因此D收敛，迭代法()对()收敛。注意A的对角元均大于零，非对角元均小于零，且A是强对角占优矩阵。

迭代法()应用于()，形式为

()的精确解为

以为初向量，列出()的前几次迭代。可见此方法明显收敛到解()，不过速度相当缓慢。

    0.0 0.0 0.0 0.83333 -3.0000 2.0000 0.83333 -1.7917 1.9000 1.1861 -1.8417 2.1417 1.2903 -1.6326 2.3433 1.4608 -1.5058 2.4477 1.5553 -1.4110 2.5753 1.6507 -1.3235 2.6510 1.7177 -1.2618 2.7257 1.7756 -1.2077 2.7783 1.8199 -1.1670 2.8238

雅可比法
雅可比法()与上面演示的正则分裂()相同。

高斯-赛德尔法
由于()中矩阵A的对角项均非零，可以用分裂()表示A，其中

则有

将高斯-赛德尔法()应用于()有如下格式

以为初向量，列出()的前几次迭代。可见方法明显收敛到解()，且比雅可比法快。

    0.0 0.0 0.0 0.8333 -2.7917 1.9417 0.8736 -1.8107 2.1620 1.3108 -1.5913 2.4682 1.5370 -1.3817 2.6459 1.6957 -1.2531 2.7668 1.7990 -1.1668 2.8461 1.8675 -1.1101 2.8985 1.9126 -1.0726 2.9330 1.9423 -1.0479 2.9558 1.9619 -1.0316 2.9708

逐次超松弛迭代法
置。由分裂()，有

将SOR法()应用于()，则有

以为初向量，列出()的前几次迭代。可见SOR法收敛到解()，比GS法略快。
    0.0 0.0 0.0 0.9167 -3.0479 2.1345 0.8814 -1.5788 2.2209 1.4711 -1.5161 2.6153 1.6521 -1.2557 2.7526 1.8050 -1.1641 2.8599 1.8823 -1.0930 2.9158 1.9314 -1.0559 2.9508 1.9593 -1.0327 2.9709 1.9761 -1.0185 2.9829 1.9862 -1.0113 2.9901

另见
矩阵分解

注释

参考文献
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Category:矩阵
Category:数值线性代数