奇异值

数学中，特别是泛函分析中，作用于希尔伯特空间X、Y之间的紧算子的奇异值是自伴算子（表示T的伴随）的非负特征值的平方根。

奇异值是非负实数，一般按递减顺序排列（）。最大的奇异值等于T的算子范数（见极小-极大定理）。


作用于欧氏空间的T的奇异值有简单的几何解释：单位n球在T变换下的像是椭球，其半轴长度是T的奇异值（图中提供了的例子）。

奇异值是正规矩阵A的特征值的绝对值，由谱定理可得A的单位对角化：。因此有。

研究的希尔伯特空间算子的大多数范数都是用奇异值定义的。例如，樊𰋀-k-范数是前k个奇异值的和，迹范数是所有奇异值的和，沙滕范数是奇异值的p次幂之和的p次根。注意每种范数都只定义在一类特殊的算子上，因此奇异值有助于算子的分类。

有限维情形，矩阵总可以分解为，其中、是酉矩阵，是矩形对角矩阵，奇异值在对角线上。这就是奇异值分解。

 基本性质 
对、。

应用特征值的最小-最大定理。这里是的i维子空间。

矩阵转置和共轭不会改变奇异值。

对任意酉矩阵

与特征值的关系：

与迹的关系：

.

若满秩，则奇异值的积是。

若满秩，则奇异值的积是。

若A满秩，则奇异值的积是。

 关于奇异值的不等式 
另见R. A. Horn and C. R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3

子矩阵的奇异值
对，
 令B表示删除了某一行或某一列的A。则
 令B表示删除了某一行和某一列的A。则
 令B表示A的子矩阵，则

A + B的奇异值
对



AB的奇异值
对



对X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28

奇异值与特征值
对.
 见R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1 
 假设，则对：
 外尔定理
 对。

 历史 
奇异值这一概念由埃哈德·施密特（1907）提出，当时称奇异值为“特征值”。“奇异值”的名称由史密斯于1937年首次使用。1957年，Allahverdiev证明了第n个奇异值的如下特征：I. C. Gohberg and M. G. Krein. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18. 


这种表述使奇异值概念可以推广到巴拿赫空间的算子。
注意还有更一般的s-数（s-number）概念，也包括盖尔范德和柯尔莫哥洛夫宽。

 另见 
条件数
庞加莱分离定理
舒尔–霍恩定理
奇异值分解

参考文献

Category:算子理论