經典力學方程列表

經典力學或牛頓力學，是物理學描述宏觀物體運動的分支是最熟悉的物理學理論。涵蓋如常用和已知的加速度和力。本列表基於具固定軸的三維歐幾里得空間參考系。三軸的交點稱為此空間的原點。

經典力學概念包括微分方程、流形、李群和遍歷理論。各種物理量相互關聯。本列表總結了其中最重要的內容。

本文列出了經典力學的方程：「經典力學方程列表」（list of equations in classical mechanics）。其他有關經典力學（包括拉格朗日力學和哈密頓力學）的更基礎原理與公式，請參閱分析力學。

經典力學

質量與慣量

 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 線/表面/體積質量密度 λ或μ用於線密度（μ主要用在声学），σ用於表面，ρ用於體積。  kg m−n, n = 1, 2, 3 M L−n 質量矩 m （沒有通用符號） 點質量：

相對固定軸的離散質量：

相對固定軸的連續質量： kg m M L 質心  rcom
（符號不一定） 第i個質量 

離散質量：

連續質量： m L 二體約化質量 m12, μ= m1 and m2  kg M 轉動慣量（MOI） I 離散質量：

連續質量： kg m2 M L2

導出的運動學物理量


 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 速度  v   m s−1  L T−1 加速度  a   m s−2  L T−2 加加速度  j   m s−3  L T−3   s   m s−4  L T−4 角速度  ω   rad s−1  T−1 角加速度  α   rad s−2  T−2 角加加速度  ζ   rad s−3  T−3

導出的動力學物理量

350px|thumb|經典力學下物質的角動量。左： 固有的自旋角動量S是物體每一點的軌道角動量右： 對應一個軸的外在軌道角動量L上：轉動慣量 I以及角速度ω（L不一定會和ω平行）下：動量p以及其相對於軸的位置r。總角動量（spin + orbital）為J

 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 动量  p    kg m s−1  M L T−1 力  F   N = kg m s−2  M L T−2 冲量  J, Δp, I   kg m s−1  M L T−1 相對一點r0的角动量 L, J, S  

若各質點的旋轉軸均相交在同一點，可以設定r0 = 0。 kg m2 s−1  M L2 T−1 力相對一點r0的力矩 τ, M   N m = kg m2 s−2  M L2 T−2 角衝量  ΔL （沒有通用符號）  kg m2 s−1  M L2 T−1

一般能量定義

 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱 合力産生的功 W    J = N m = kg m2 s−2  M L2 T−2 力學系統所作的功 WON, WBY    J = N m = kg m2 s−2   M  L2 T−2 勢能 φ, Φ, U, V, Ep    J = N m = kg m2 s−2   M  L2 T−2 機械功率 P   W = J s−1   M  L2 T−3

每一個保守力都有對應的势能。根據以下二個原理，可以設定勢能U的值：

 保守力為零的時候，勢能也定義為零。
 保守力作功時，勢能減少。

廣義力學

 通用名 通用符號 定義 國際單位制 量綱廣義座標 q, Q 不一定 不一定廣義速度   不一定 不一定廣義動量 p, P 不一定 不一定 拉格朗日量 L 

其中以及 p = p(t) 分別是廣義座標以及動量的向量，是時間的函數。 J  M  L2 T−2 哈密顿量 H  J  M  L2 T−2 作用量，哈密頓主函數 S,   J s  M  L2 T−1

 運動學 

在以下轉動的定義中，角度是對應轉動軸的位意角度。一般常用θ，不過不一定要是極座標下的極角。單位軸向量

定義轉動軸為方向上的單位向量，是和角呈切線的單位向量。

 平移 轉動速度平均：

瞬時：角速度轉動刚体：加速度平均：

瞬時：角加速度

轉動刚体：加加速度平均：

瞬時：角加加速度

轉動刚体：

 動力學 
 平移 轉動动量針對轉動剛體：角动量

此外積為赝矢量，若r和p都反向（變號），L不會變號。

一般來說，I是二維張量，·表示。力和牛顿第二运动定律作用在系統質心上的合力，等於動量的變化率：

針對許多質點的系統，質點i的運動方程式為："Relativity, J.R. Forshaw 2009"

其中pi是第i個質點的動量，Fij，是粒子j作用在粒子i上的力，FE是合外力（來自系統以外的物體）。粒子i不會產生給自身的力。力矩

力矩（torque）τ也稱為moment of a force，是轉動系統中對應力的物理量："Mechanics, D. Kleppner 2010"

若是剛體，牛頓第二轉動定律的形式類似平移運動下的形式：

若針對許多質點，質點i的運動方程為：YankYank是力的變化率：

若是固定質量，會變成下式：Rotatum Ρ也稱為moment of a Yank，因為是是轉動系統中對應Yank的物理量：衝量衝量是動量的變化：

針對固定力F：Twirl或是角衝量是角動量的變化：

針對固定力矩τ：

 進動 

陀螺的進動角速度為：

其中w是自旋物體的重量。

 能量 

系統以外事物對系統所作的機械功等於系統的動能變化：

 通用功—能定理（平移及轉動）

系統以外事物，對曲線路徑C上的質點產生力F（在 r的位置）以及力矩τ，所做成的功W為：

其中θ是相對单位向量n所定義軸的轉動角度。

 動能 
物體一開始的速度為，後來的速度為，其动能變化為：

 彈性勢能 

遵守胡克定律的彈簧，若一端固定，拉長後，其為

其中r2和r1是彈簧未固定端，在拉長後以及拉長前的共線座標，方向是往拉長／壓縮的方向，k是彈簧常數。

剛體運動的欧拉方程

萊昂哈德·歐拉也像牛頓一様，發表了運動定律，可以參見歐拉運動定律。這些定律將牛頓運動定律擴展到剛體的運動上，不過本質是相同的。以下是歐拉提出新的運動方程式：

其中I是轉動慣量張量.

通用平面運動

前面平面運動的方程可以用在此處，應用上述的定義即可推出動量、角動量等。針對在平面上路徑移動的物體。

以下的結果可應用在質點上。

 運動學 動力學 位置 速度 動量

角動量 加速度 向心力為

其中的m是質量矩（mass moment），科里奥利力為

科里奥利加速度以及科里奥利也可以寫成：

 連心力運動 

針對質量較大的物體，而且因為其他物體所施加的連心力而運動，連心力只和二物體質心的距離有關，其運動方程為： 

 定加速度運動方程
僅當加速度恆定時才能使用這些方程式。如果加速度會變化，則必須使用上面的一般微積分學方程，透過積分位置、速度和加速度的定義來找到（見上文） 。

線性運動旋轉運動

伽利略座標系變換
在古典（伽利略-牛頓）力學裡，將物理定律從一個慣性或加速（包括旋轉）坐標系（參考坐標系是以定速移動，其中包括零速）變換到另一個坐標系的變換即為伽利略變換。 

以下標示r, v, a 的物理量是在坐標系F的位置、速度、加速度物理量，而標示r’, v’, a’ 的物理量是在以相對坐標系F移動速度V或是角速度Ω的坐標系F’的的位置、速度、加速度物理量。相對的，F是以相反的速度(—V or —Ω) 相對於F'移動。此情形類似相對加速度。

 運動方式 慣性坐標系 加速坐標系移動

V = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定速度
A = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對（變）加速度相對位置

相對速度

等效加速度相對加速度

假想力轉動

Ω = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定角速度
Λ = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對（變）角加速度相對角位置

相對速度

等效加速度 相對加速度

假想力矩 將向量T轉換到旋轉座標系

 機械諧振子
+ 運動方程 物理情況 術語 平移方程 角方程 簡諧運動（SHM） 
 x = 橫向位移
 θ = 角位移
 A =橫向振幅
 Θ = 角振幅 

解： 

解： 非受迫阻尼振动 
 b = 阻尼常數
 κ = 扭轉常數 

解（見下文ω）：

諧振頻率：

阻尼率：

激發的預期壽命（Expected lifetime of excitation）： 

解：

諧振頻率：

阻尼率：

激發的預期壽命（Expected lifetime of excitation）：
+ 角頻率 物理情況 術語 方程 線性無阻尼非受迫簡諧振子 
 k = 彈簧常數
 m = 鐘擺質量  線性非受迫阻尼諧振子 
 k = 彈簧常數
 b = 阻尼係數  低振幅角簡諧振子 
 I = 相對擺動軸轉動慣量
 κ = 扭轉常數 低振幅單擺 
 L = 擺錘長度
 g = 重力加速度
 Θ = 角振幅 近似值

精確值可以表示成：
+ 機械振盪的能量 物理情況 術語 方程 簡諧運動能量 
 T = 動能
 U = 勢能
 E = 總能量 勢能：

在x = A處的最大值：

動能：

總能量： 阻尼諧振子能源 

 相關條目 

本構關係
力学
光学
电磁学
热力学
声学
艾萨克·牛顿

參考資料

參考書目

Category:经典力学
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