克雷洛夫子空间

线性代数中，由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下（始于）的列空间张成的线性子空间，即

背景
这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。

性质
 .
 令，则是线性无关的，除非，。因此是克雷洛夫子空间的最大维度。
 最大维度满足. 
 考虑，其中是A的极小多项式。我们有。此外，对它来说此约束是紧密的，即。
 是由b产生的扭化-模的循环子模，其中是k上的线性空间。
 可分解为克雷洛夫子空间的直和。

使用
克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。控制论的很多线性动态系统检测，特别是与可控制性和可观测性相关的测试，都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的格拉姆行列式的张成空间，因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。
阿诺德迭代法等现代迭代法可用于寻找大型稀疏矩阵的特征值，或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算，而将向量与矩阵相乘。从向量b开始，可以计算，然后将向量与A相乘，求得等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法，是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无A的显式表示的情形，从而产生了无矩阵法。

问题
由于幂迭代的特性，向量很快就会变得近乎线性相关，因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要正交化，例如厄米矩阵的兰佐斯算法或更一般矩阵的阿诺德迭代法。

现有方法
最著名的克雷洛夫法有共轭梯度法、诱导降维法、广义最小残量方法、稳定双共轭梯度法、准最小残差法、无转置准最小残差法、最小残差法等等。
 另见 
 迭代法

参考文献

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 Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens: ”Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations”, Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (Oct. 2020). , url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0.
 Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley,  (Sep., 2020).

Category:数值线性代数
Category:算子理论