盖尔范德–奈马克–西格尔构造

在数学分支泛函分析中，对于给定的C*-代数  ， Gelfand–Naimark–Segal 构造（简称GNS构造）在一个C*-代数的循环*-表示与该C*-代数上的某类线性泛函（称为态）之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是伊斯拉埃爾·蓋爾范德 、 和。

 C*-代数的态与表示 
C*-代数  在希尔伯特空间  上的*-表示是  到  的 *-同态  ，其中  是  上有界算子构成的代数。换句话说， 是将  上的对合映为  上的对合的代數同態。

下文提及 *-表示时，将默认讨论的是非退化的*-表示。也就是说线性生成空间  是  的稠密子集。注意，若  有单位元，则非退化性蕴含了  的保单位元性质，即  将  的单位元映射到  上的恒等算子  。

C*-代数  上的态是范数为 1 的正线性泛函  。若  具有乘法单位元，则此条件等价于  。

对于希尔伯特空间  上的C*-代数  的表示  以及  ，如果向量集



在  中范数稠密，则  分别被称为是循环向量和循环表示。一个不可约表示的任何非零向量都是循环的。然而，一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。

 GNS 构造 
令  为C*-代数  在希尔伯特空间  上的*-表示，单位向量  对于  而言是循环向量。那么是  上的一个态。

反过来，通过选择一种典范的表示，  的每个态都可以被视为如上所述的向量态。


在上述定理的证明中，根据  上的态产生*-表示的方法称为GNS构造。

对于C*-代数  上的一个态，相应的GNS表示本质上由  唯一确定了。下面的定理说明了这一点：

 GNS构造的重要性 
GNS构造是盖尔范德-奈马克定理证明的核心，该定理将C*-代数刻画为算子代数。一个C*-代数具有足够多的纯态（见下文）来使得相应不可约GNS表示的直和成为忠实的。

全体态对应的GNS表示的直和称为  的万有表示，其包含有每个循环表示。由于每个*-表示都是循环表示的直和，因此  的每个 *-表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。

若  是 C*-代数  的万有表示，则  在弱算子拓扑中的闭包称为  的包络冯诺依曼代数。它可以视为是双对偶  。

 不可约性 
不可约*-表示和态所构成的凸集的极点（純態）之间的关系也很重要。  上的表示  是不可约的，当且仅当  没有非平凡的在任一  下不变的闭子空间，这里所谓平凡的子空间是指  。

这些结果可由巴拿赫-阿勞格魯定理直接得出。

作为有单位元的交换代数，对于某个紧致的  上的连续函数所构成的C*-代数  ， 里斯-马尔可夫-角谷表示定理指出，范数不超过一的正泛函可视作  上一个总质量不超过一的博雷尔正测度。根据，极点态则对应于狄拉克测度。

另一方面，  的表示的不可约性等价于其是一维的。因此，为使  对应于测度  的GNS 表示是不可约的，须且仅须  是一极点态。事实上，这对于一般的C*-代数也成立。

为证明此结果，首先须注意，一个表示是不可约的当且仅当  的中心化子（记作  ）由单位元的标量倍数构成。

 上任一被  控制的正线性泛函  具有形式其中  是某个正算子，其在算子序下满足 。这是拉东-尼科迪姆定理的一个版本。

对于这样的  ，可以将  写为如下正线性泛函的和：  。因此  幺正等价于  的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的  都幺正等价于  ，即  是  的标量倍数，  才是不可约的。于是便证明了该定理。

上文提到的极点态往往被称为纯态，但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。

上述C*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的B*-代数。

 推广 
刻画完全正映射的斯坦斯普林扩张定理是GNS构造的一个重要推广。

 历史 
盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。 (also Google Books, see pp. 3–20)西格尔意识到了其工作中隐含的构造，并以更明显的形式呈现出来。 

西格尔在其1947年的论文中表明，对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统，考虑 C*-代数的不可约表示就足够了。在量子理论中，这意味着C*-代数是由可观测量生成的。正如西格尔所指出的，约翰·冯·诺依曼早先已经证明过这一点，但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。

 参见 

 斯坦斯普林扩张定理

 参考资料 

 William Arveson, An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1981
Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. .
 Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars, 1969.English translation: 
 Thomas Timmermann, An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond, European Mathematical Society, 2008,  – Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)
 Stefan Waldmann: On the representation theory of deformation quantization, In: Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) , Gruyter, 2002, , p. 107–134 – section 4. The GNS construction (p. 113)

 内联引用 

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