极值点

数学中，极值点（arguments of the maxima/minima，分别缩写为arg max/arg min或argmax/argmin）是使函数输出值取得极值的输入点。我们将输入（x）称作点（point），将输出（y）称作值（value），如临界点与临界值。函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。

 定义 
给定任意集合X、全序集Y与函数，则某子集上的定义为

若或S在语境中明确，则通常省略S，如也就是说，是点x的集合，使到达函数最大值（若存在）。可以是空集、单元集，或包含多个元素。

在凸分析与变分分析中，（是广义实数）的情形时的定义略有不同。这时，若f等同于S上的，则（即），否则定义如上，这时也可以写成


这里要强调的是，这个涉及的等式只有当f在S上不等同于时才成立。 

 Arg min 
（或）表示极小值点，定义与之类似。例如

是使函数值取得极小值的点x。它是的补算子。

在（是广义实数）的情形时，若f在S上等同于，则（即），否则定义如上，这时它也满足

 例子与性质 
例如，若，则f只有在这一点上取最大值1。因此

算子与不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说
 is the element in 

max可以是空集（这时极大值未定义），这与相同；不同的是可能不含多个元素。由于的反对称性，函数至多有一个极大值。例如，取则但因为函数在的每个元素上都取相同的值。

等价地，若M是f的极大值，则是极大值的水平集：

可以将其重排，得到简单的等式这是集合间的等式，更确切地说是Y的子集间的等式。

若极大值点只有一个，那么应被视为一个点，而非点集。例如

（而非单元集），因为的极大值25仅在时取到。注意，当且仅当时取等。而若在多个点上都取得极大值，就应被视为点集。例如

因为maximum value of 的极大值1在时取到。在整条实数线上

因此是无限集。

函数不必达到极大值，因此有时是空集。例如，因为在实数线上无界。再举个例子，，虽然有界（），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的。

另见
 函数的自变量
 极值
 众数 (数学)
 最优化
 核 (线性算子)

注释

参考文献



外部链接

Category:初等数学
Category:反函数