反对称张量

数学和理论物理学中，若一张量的符号（+/−）随着指标子集的互换而变化，则称此向量在指标子集上是反对称的（或相对于指标子集反对称）。 section §7.指标子集一般必须是全协变或全反变的。

例如，

当张量对前三个指标反对称时成立。

若张量在交换每对指标时符号都变化，就称此向量是全反对称的。k阶全反对称协变张量场可称作微分k-形式，全反对称反变向量场可称作k-向量场。

反对称张量与对称张量
对指标i、j反对称的张量A与对指标i、j对称的张量B的缩并都是0。

对于包含的一般张量U和一对指标i、j，U可分为对称部分和反对称部分：

{|
|-
|  || || （对称部分）
|-
|  || || （反对称部分）
|}

其他指标对也可给出类似定义。正如“部分”暗示的，对给定的一对指标，张量是其对称部分和反对称部分之和，例如

符号
反对称可用方括号表示。例如，对任意维的2阶协变张量M，

对3阶协变张量T，

在任意2维和3维中，都可以写成

其中是广义克罗内克δ函数，我们使用爱因斯坦求和约定对同类指标求和。

更一般地说，无论维数多少，p个指标上的反对称都可表为

一般说来每个秩为2的张量都能分解为一对对称张量和一对反对称张量，如

对秩大于等于3的张量，这种分解一般并不正确，因为它们具有更复杂的对称性。

例子
全反对称张量包括：

 平凡地，所有标量与向量（阶为0、1的张量）是全反对称的（也是全对称的）。
 电磁学中的电磁张量。
 伪黎曼流形上的黎曼体积形式。

 另见 
 反对称矩阵
 外代数
 列维-奇维塔符号

 里奇微积分

 对称张量
 对称化

注释

参考文献



外部链接
 Antisymmetric Tensor – mathworld.wolfram.com 

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