对偶系统

数学中，域上的对偶系统或对偶对是指三元组，包含上的2个向量空间X、Y，以及非退化双线性映射。

对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。

定义、记号与惯例
配对
域上的配对（pairing或pair）是一个三元组，也可以用表示， 包含上的两个向量空间X、Y及双线性映射，称作与配对关联的双线性映射，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及是实数或复数的例子。

，定义

，定义

是Y上的线性泛函，是X上的线性泛函。令

其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记而非，这样配对不必写成，而可以写成。不过，本文将用表示求值映射（定义见下），以避免混淆。

对偶对
若双线性形式b是非退化的，则称配对是上的对偶系统或对偶对 ，满足下面两条分离公理：
 Y分离（区分）X的点：若使得，则；等价地，对所有非零的，映射不等同于（即使得）；
 X分离（区分）Y的点：若使得，则；等价地，对所有非零的，映射不等同于（即使得）。

这样b是非退化的，可以说b将X、Y置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），b是三元组的对偶配对（duality pairing）。
全子集
若, 能推出，则称为全集。
X的全子集定义相似（见脚注）。子集，若，推出，则称S为全子集。因此，当且仅当X是X的全子集，X分离Y中所有点，对Y亦然。

正交性
若，称向量x、y正交，记作。若，称两子集、正交，记作；即、，。子集正交于向量的定义与之类似。

子集的正交补或零化子是
.
于是，当且仅当，R是X的全子集。

极集

给定在上定义了对偶对的三元组，子集的绝对极集或极集是集合对称地，子集的绝对极集或极集记作，定义为

为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集的绝对极也可以称为B的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为。

极必然是凸集，包含，若B平衡，则也平衡；若B是X的向量子空间，则是Y的向量子空间。

若A是X的向量子空间，则，还等于A的实极。若，则A的双极（bipolar，记作）是A正交补的极，即集。相似地，若，则B的双极是。

对偶的定义与结果
给定对，定义新对，其中。
对偶理论有个一贯的主题：任何对都有相应的对偶对。
：给定配对的任何定义，将其应用于配对，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。

例如，若X分离Y的点（或者说S是Y的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：Y分离X的点（或者说S是X的全子集）。
下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为d指定符号。

：若配对的定义及其记号取决于X和Y的顺序（例如，X上的麦奇拓扑），那么交换X、Y顺序就意味着定义适用于（接上例，拓扑实际上是拓扑）。

再比如，一旦定义了X上的弱拓扑，则此对偶定义就会自动应用到配对，从而得到Y上弱拓扑的定义——而非。

 及的识别 
虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对与互换处理，并用表示。

例子
配对的限制
设是配对，M是X的向量子空间，N是Y的向量子空间。则，对的限制就是配对。若是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若、）。

本文将使用通常做法，用表示限制。

向量空间上的规范对偶
设X是向量空间，令表示X的代数对偶空间（即，X上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶，其中，称之为上的求值映射或自然/规范双线性泛函。

注意，只是表示的另一种方式，即

若N是的一个向量子空间，则对的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然X总是分离N的点，因此当且仅当N分离X中的点，规范配对是对偶系统。
下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作（而非c），将改为。

假设：按惯例，若X是向量空间，N是X上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对相关联。

若N是的向量子空间，则当且仅当N分离X的点（或等价地，N是全的，能推出），X分离N的点（或等价地，是对偶），

拓扑向量空间上的规范对偶
设X是拓扑向量空间，有连续对偶空间。
则，规范对偶对的限制确定了配对，其中X分离的点。
若分离X的点（例如，若X是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。

假设：正如通常所作，只要X是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对相关联，无需注释。

拓扑向量空间的极与对偶
下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

内积空间与复共轭空间
预希尔伯特空间，当且仅当H是上的向量空间，或H是0维，是对偶对。这里假定半双线性形式在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。
 若是实希尔伯特空间，则形成对偶系统。
 若是复希尔伯特空间，则当且仅当，形成对偶系统。若H非平凡，则甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。

设是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或表示。
定义映射

其中右式使用了H的标量乘法。令表示H的复共轭向量空间，其中表示加群（所以中的向量加法与H中的相同），但中的标量乘法是映射（而非H被赋予的标量乘法）。

映射定义为，在两个坐标中都是线性的b在第一坐标中线性显然。设c是标量，则，说明b在第二坐标中也线性。，因此形成对偶对。

其他例子
 设令则是配对，使X区分Y的点，但Y不区分X的点。此外，</li>
 令（其中q满足），则是对偶系统。
 令X、Y是同一域上的向量空间，则双线性形式使与对偶。
 序列空间X及其Beta-对偶空间，双线性映射定义为形成对偶系统。

弱拓扑

设是上一对向量空间。若，则X上由S（和b）诱导的弱拓扑是X上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作或，使y在S上取值时所有映射连续。若S在语境中不明确，则应假定是Y的全部，这时称之为X上（由Y诱导的）的弱拓扑。
或（若无混淆）用于表示赋有弱拓扑的X。
重要的是，弱拓扑完全取决于函数b、上的通常拓扑与X上的向量空间结构，而与Y的代数结构无关。
同样，若，则Y上由R（和b）诱导的弱拓扑的对偶定义记作或（细节见脚注）。Y上的弱拓扑是Y上使所有映射连续的最弱的拓扑向量空间拓扑（x在R上取值）。或的对偶定义也可用来表示赋有弱拓扑的Y。若R在语境中不明确，则应假定是X的全部，这时称之为Y上（由X诱导）的弱拓扑。

：若附在一个拓扑定义上（如-收敛、-有界、等等），则就意味着当定义的第一个空间（即X）携带拓扑。若无混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列“-收敛”或“弱收敛”，这意味着它收敛于，而若它是X中的序列，则意味着它收敛于）。

拓扑是局部凸的，因为它由定义的半范数族确定，其中y在Y上取值。
若是X中的网，则若在中收敛到x，-收敛于x。网，当且仅当收敛到，-收敛到x。

若是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。

若是配对，N是Y的一个适当的向量子空间，使得是对偶对，则比严格粗。

有界子集
子集，当且仅当，其中，称S-有界。

豪斯多夫性
若是配对，则下列条件等价：
 X分离Y的点；
 映射定义了Y到X的代数对偶空间的单射；
 是豪斯多夫空间。

弱表示定理
下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了的连续对偶空间。

因此，的连续对偶空间是

关于规范配对，若X是拓扑向量空间，其连续对偶空间分离X的点（即使豪斯多夫，这可推出X也必豪斯多夫），则的连续对偶空间等于x在X中取值时所有“点x处得值”的映射集合（即将送到的映射）。
通常写成

这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如上的强对偶拓扑）能应用到原拓扑向量空间X的。例如，将X视作意味着上的拓扑可被视作X上的拓扑。
此外，若被赋予比更细的拓扑，那么的连续对偶空间必然包含（作为子集）。
例如，被赋予强对偶拓扑（于是记作），则

这允许X被赋予由强对偶拓扑在X上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X，若则称其是半自反空间，若在此之外，其在X上的强双对偶拓扑还等于X的原/初拓扑，则称其是自反空间。
正交、商与子空间
若是配对，则对X的任意子集S：

 ，且此集合是-闭的；
 ；
 因此，若S是X的-闭向量子空间，则
 若是X的-闭向量子空间族，则

 若是X的子集族，则

若X是赋范空间，则根据规范对偶性，在中对范是封闭的，在X中对范是封闭的。

子空间
设M是X的向量子空间，并令表示对的限制。
M上的弱拓扑与M从继承的子空间拓扑相同。

另外，是配对空间（paired space）（其中是），其中定义为

拓扑等于M继承自的子空间拓扑。 
此外，若是对偶系统，则也是。

商
设M是X的向量子空间，则是配对空间，其中定义为

拓扑等同于在上诱导的一般的商拓扑。

极与弱拓扑
弱X是局部凸空间，且若H是连续对偶空间的子集，则当且仅当对X中某桶B，有时，H是-有界的。

下列结果对定义极拓扑非常重要。
若是配对，则

 A的极是的闭子集。

 下列集合的极相同：(a) A；(b) A的凸壳；(c) A的平衡壳；(d) A的-闭合；(e) A的凸平衡壳的-闭合。

 双极定理：A的双极等于A的凸平衡壳的-闭合。
 双极定理“是处理对偶性时不可或缺的工具”。
 当且仅当吸收于Y时，A是-有界的。
 若Y还分离X的点，则当且仅当A是-全有界时，A是-有界的。

若是配对，是X上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当B是Y的某-有界子集的极时，是中的桶。

转置
 线性映射关于配对的转置 

令和是上的配对，并令是线性映射。

令是由定义的映射。
若满足以下条件，就可以说F的转置或伴随是良定的（well-defined）：

 X分离Y中的点（或等价地，从Y抵达代数对偶的映射是单射），且
 其中

这样，存在（由条件2）唯一的（由条件1），使，其中Y的这个元素将表为。这定义了线性映射

称作F的转置或关于和的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是良定的必要条件。
，的定义条件是

即，

根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为若是线性映射，则当且仅当Z分离W的点、时，G的转置是良定的。这时，，的定义条件是： 
若是线性映射，则当且仅当X分离Y的点、时，H的转置是良定的。这时，，的定义条件是： 
若是线性映射，则当且仅当W分离Z的点、时，H的转置是良定的。这时，的定义条件是： 
若是线性映射，则当且仅当Y分离X的点、时，H的转置是良定的。这时，，的定义条件是：等的线性映射的转置（见脚注）。

转置的性质
和是上的配对，是线性映射，其转置是良定义的。

 当且仅当F的范围在中稠密时，是单射（即）。
 若除了良定义外，的转置也良定义，则。
 设是上的配对，是线性映射，其转置是良定义的，则的转置也是良定义的，且
 若是向量空间同构，则是双射，的转置是良定义的，且
 令，表示A的绝对极，则
 ；
 若，则；
 若使得，则；
 若，是弱闭圆盘，则当且仅当时，；

 将绝对极换成实极，这些结果不变。

若X、Y是规范对偶下的赋范空间、是连续线性映射，则。

弱连续性
线性映射，若连续，则称其（关于和）弱连续。

下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

弱拓扑与规范对偶
设X是向量空间，是其代数对偶。则X的所有-有界子集包含于有限维向量子空间，X的所有向量子空间是-闭的。

弱完备性
若是完备拓扑向量空间，例如X是-完备或（若无歧义）弱完备的情形。
存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。

若X是向量空间，则在规范对偶下，是完备的。 
相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间，则当且仅当时，是完备的；即，当且仅当将发送到z处求值映射（即）的映射是双射。

特别地，就规范对偶而言，若Y是的向量子空间，使Y分离X中的点，则当且仅当，是完备的。
换句话说，不存在紧合向量子空间使得是豪斯多夫空间，且Y在弱-*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。
因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间 被赋以弱*-拓扑，当且仅当（即X上所有线性泛函都连续）时，是完备的。

Y与代数对偶的子空间的等同
若X分离Y的点、Z表示单射的范围，则Z是X的代数对偶空间的向量子空间，且配对与规范配对（其中是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。
特别地，这时我们将不失一般性地假设Y是X代数对偶的向量子空间，而b是求值映射。

：通常，只要是单射（尤其当形成对偶对），通常不失一般性地假设Y是X的代数对偶空间的向量子空间，且b是自然求值映射，Y还可记作。

完全类似的是，若Y分离X中的点，则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。

代数伴随
在对偶是规范对偶和的特例下，线性映射的转置总是良定义的。
此转置称作F的代数伴随，记作；
即 
这样，其中的定义条件是

或等价地

若对整数n，，是X的基，其对偶基是线性算子，F关于的矩阵表示是，则M的转置是关于的矩阵表示。

弱连续性与开性
设，是对偶系统的规范配对（所以），并令是线性映射。则当且仅当满足下列等价条件之一，F是弱连续的： 
 连续；

 F的转置相对于和是良定义的。
若F是弱连续的，则是连续的，于是

拓扑空间之间的映射，若是开映射（是g的范围），则称之是相对开的。

设是对偶系统，是弱连续线性映射。则下列条件等价：
 是相对开的；
 的范围在Y中-闭；

此外
 当且仅当是满射（或双射），是单射（或双射）；
 当且仅当是相对开单射，是满射。

拓扑向量空间之间映射的转置
当且仅当F是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。

设是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则
 若F连续，则其是弱连续的，且是麦基连续的，也是强连续的；
 若F是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。
 若F是弱连续的，则当且仅当将的等度连续子集映射到的等度连续子集时，F才是连续的。
 若X和Y是赋范空间，则当且仅当F是弱连续的（这时），F连续。
 若F连续，则当且仅当是弱相对开的（即是相对开的）、且的等度连续子集都是的某等度连续子集的像时，F是相对开的。
 若F是连续单射，则当且仅当的等度连续子集都是的某等度连续子集的像，是拓扑向量空间嵌入（或等价的拓扑嵌入）。

可度量化性与可分性
令X是局部凸空间，有连续对偶空间，并令。  
 若K是等度连续或-紧的，且使得在X中稠密，则K从继承的子空间拓扑等同于K从继承的子空间拓扑。
 若X是可分的、K是等度连续的，则K被赋予由诱导的子空间拓扑后是可度量化的。
 若X是可分、可度量化的，则是可分的。
 若X是赋范空间，则当且仅当给定由诱导的子空间拓扑，X的连续对偶空间的封闭单元（X的连续对偶空间）可度量时，X是可分的。
 若X是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，X可分。

极拓扑与同配对相容的拓扑

从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。

将是上的配对，将是X的-有界子集的非空集合。

极拓扑

给定X子集的集合，Y上由（与b）定义的极拓扑（或Y上的-拓扑）是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中

形成了原点邻域的子基。 
Y被赋予这-拓扑时，就表示为。极拓扑都需要是局部凸的。 
是关于子集包含的有向集合时（即若，使得），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。

下面列出了一些较重要的极拓扑。

：若表示Y上的极拓扑，则呗赋予此拓扑的Y将记作或（如对我们有，这样和都表示赋予了的Y）。

  （“…上一致收敛的拓扑”） 记作 名称（“…的拓扑”） 又称 X的有限子集（或X有限子集的-闭圆盘化壳）  逐点/简单收敛 弱/弱-*拓扑 -紧圆盘   麦基拓扑 -紧凸子集  紧凸收敛  -紧子集（或平衡-紧子集）  紧收敛  -有界子集  有界收敛 强拓扑最强的极拓扑

与极拓扑有关的定义
连续性
若连续，则线性映射是（关于和）麦基连续的。

若是连续的，则线性映射是（关于和）强连续的。

有界子集
X的子集，若在（或、）中有界，则称X是弱有界（或麦基有界、强有界）。

同配对相容的拓扑
弱是上的配对，是X上的向量拓扑，则是配对的拓扑，且若其局部凸、的连续对偶空间，则称之与配对相容或一致。当然，Y上拓扑也有“与配对相容”的类似定义，但本文只讨论X上的拓扑。 
若X分离Y的点，则Y可视作X的代数对偶的向量子空间，定义条件变为有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，若Y分离X的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。

弱拓扑同配对相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。
若N是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶不相容。

麦基–阿伦定理

下面是对偶理论中最重要的定理之一。

由此可见，麦基拓扑是由Y中所有-紧圆盘生成的极拓扑，是X上与配对 相容的最强局部凸拓扑。
给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。
上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

麦基定理、桶与闭凸集
若X是（或上的）拓扑向量空间，则半空间（half-space）是形式为的集合。（r是实数，f是X上的连续实值线性泛函）

上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若、是X上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当X的凸子集在拓扑中封闭，，此子集也在拓扑中封闭。
这说明，X任意凸子集的-闭等同于其-闭，对X中任意-闭圆盘A，。 
特别地，若B是X的一个子集，则当且仅当B是中的桶时，B也是中的桶。

下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。

若X是拓扑向量空间，则 
 X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集（即存在正实数r使得包含此集）。
 若X是豪斯多夫局部凸的，则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。

所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。

有限序列空间
令X表示标量的所有序列的空间，且对所有足够大的i都有。
令，定义双线性映射为

则。 
此外，当且仅当存在正实数序列，使得、及所有指标i（或还有）时，子集是-有界（或-有界）的。 

由此可见，X的子集中有弱有界（即-有界）的，但没有强有界（即无-有界）的。

另见
 Beta对偶空间
 双正交系统
 对偶空间
 对偶拓扑
 对偶 (数学)
 内积
 L半内积
 配对 (数学)
 极集
 极拓扑
 约化对偶对
 强对偶空间
 线性映射空间泛函
 弱拓扑

注释

参考文献

书目

 Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. .





外部链接
 Duality Theory

Category:泛函分析
Category:对偶理论
Category:拓扑向量空间