普朗歇尔定理

在数学中， 普朗歇尔定理（有时称为 Parseval-Plancherel 恒等式 ）是调和分析的一个结果，它由米歇爾·普朗歇爾于1910年证明。它指出一个函数的模的平方的积分等于其频谱的模平方的积分。也就是说，如果  是实轴上的函数，且有频谱  ，那么更精确的表述是，如果一个函数同时在 Lp 空间  和  中，那么它的傅里叶变换也在   中，且傅里叶变换是关于  范数的等距映射。这意味着，  上的傅里叶变换可以唯一地扩张为一个  的等距同构 ，后者有时称为普朗歇尔变换。这个等距同构实际上是一个幺正映射。实际上，这使得平方可积函数的傅里叶变换成为可能。

普朗歇尔定理在 n 维欧几里德空间  上仍然有效 。更一般地，该定理对局部紧阿贝尔群也成立。对于满足某些技术上的假定的非交换局部紧群，还有另一个版本的普朗歇尔定理。这是非交换调和分析的主题。

傅里叶变换的幺正性在科学和工程领域通常被称为帕塞瓦尔定理，该定理基于一个用于证明傅里叶级数幺正性的早期结果（但不那么具有一般性）。

借助极化恒等式，我们还可以将普朗歇尔定理用于计算  中两个函数的内积。也就是说，设  和  是两个  中的函数，而  表示普朗歇尔变换，则若  和  还是  函数，那么还有和于是有
 参考文献 

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 外部链接 


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