对称化

数学中，对称化是将n元任意函数转换为n元对称函数的过程。同样，反对称化将n元任意函数转换为反对称函数。

二元
令S为集合，A是加法阿贝尔群。映射，若满足以下条件，则称其为对称映射：

若满足以下条件，则称其为反对称映射：

映射的对称化是映射
相似地，映射的反对称化或斜对称化是映射

映射的对称化与反对称化之和为因此，若2是可逆元，例如对实数，可以除以2并将每个函数表为对称函数与反对称函数之和。

对称映射的对称化是它的两倍，交错映射的对称化是0；相似地，对称映射的反对称化是0，反对称映射的反对称化是它的两倍。

双线性形式
双线性映射的（反）对称化是双线性的，因此若2是可逆元，双线性形式是对称形式与斜对称形式之和，对称形式与二次型之间没有区别。
2时，并非所有形式都可分解为对称形式与斜对称形式。例如，整数上，相关的对称形式（有理数上）可能取半整数值，而在上，当且仅当函数是对称的（），才是斜对称的。

这就引出了ε-二次型与ε-对称形式的概念。

表示论
用表示论的术语来说：
 交换变量可得对称群在二元函数空间上的表示。
 对称与反对称函数是对应于平凡表示与符号表示的子表示。
 对称化与饭对称化将函数映射到子表示中。若除以2，就会产生射影映射。

由于2阶对称群等于2阶循环群（），这相当于2阶离散傅立叶变换。

n元
给定n元函数，可通过求所有变量的种排列所得值之和实现对称化Hazewinkel (1990), [ p. 344]，通过求所有变量的种偶排列所得值之和减去种奇排列所得值之和实现反对称化（时唯一的排列是偶的）。

当中，对称函数的对称化是原函数乘以。因此若可逆，如特征为0的域上时，或，则这些函数除以会产生射影。

就表示论而言，这些只产生与平凡表示和符号表示相对应的子表示，但对于还有其他表示。

自助法
给定k元函数，对变量的k元素子集求和，可得n元对称函数。统计学中，这被称作自助法，相关统计量称作U-统计量。

另见
 交错多线性映射
 反对称张量

 注释 

 参考文献 


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