对称函数

数学中，若n元函数无论变量顺序如何，值都相同，就称之为对称函数。例如，二元函数，当且仅当，f是对称函数。最常见的对称函数类型是多项式函数，由对称多项式给出。
一个相关概念是交错多项式，其在变量互换后只有符号改变。除多项式函数外，作为多个向量的函数的张量也可以是对称的，实际上向量空间V上的对称k-向量空间同构于V上的k次齐次多项式空间。对称函数同奇函数与偶函数是不同的概念。

 对称化 

给定任意一个n元函数f，其在阿贝尔群中取值。可对参数的所有排列求和，构造得对称函数。同样，对偶置换求和、再减去奇置换的求和，就可构造出反对称函数。这些运算不可逆，而且很可能使得非平凡的f变为等于0的常数函数。若已知f的对称化与反对称化，则只能恢复二元的f，且阿贝尔群允许除以2（加倍的逆），这时f等于其对称化与反对称化之和的一半。

 例子 

考虑实值函数

由定义，n元对称函数满足以下性质

一般来说，变量的排列不影响函数值。本例中

以此类推，适用于的所有排列。

考虑函数

若x、y互换，函数变为

结果与原相同。

再考虑函数

若x、y互换，函数变为

若，这样就和原函数不一样了，因此是非对称函数。

 应用 
 U-统计量 

统计学中，对k-样本统计量进行自助的对称化，可得n元对称函数的n样本统计量，称作U-统计量。例子如样本均值和样本方差。

另见
 交错多项式
 对称多项式
 奇函数与偶函数
 对称随机变量
 准对称函数
 对称函数环
 对称化


参考文献

 F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
 Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, .

Category:组合数学