扰动函数

最优化领域中，扰动函数（perturbation function）是与主问题和对偶问题相关的任何函数。由于任何此类函数都定义了对初始问题的扰动，所以叫做扰动函数。很多时候这种扰动的形式是约束的调整（shift）。

有时值函数（value function）也被称作扰动函数，而扰动函数则称作双函数（bifunction）。

 定义 
给定豪斯多夫局部凸空间的两个对偶对、，以及函数，可以定义主问题为

可令以将约束嵌入f，其中I是示性函数。则是扰动函数，当且仅当。

 在对偶性中的应用 
对偶间隙是不等式右式与左式之差

其中是两个变量的凸共轭。

对扰动函数F的任意选择，弱对偶都成立。有一些条件一旦满足，就意味着强对偶。例如，若F是下半连续的真联合凸函数，且（其中是代数内部，是由定义的到Y的投影），并且X、Y是弗雷歇空间，则强对偶性成立。

 例子 
 拉格朗日量 
令、对偶（为对偶对）。给定主问题（最小化）与相关的扰动函数（），则拉格朗日量是F关于y的负共轭（即凸共轭），也就是说拉格朗日量的定义是

特别地，弱对偶minmax方程可以证明为

若主问题是

其中。则若扰动是

则扰动函数是

于是，可见与拉格朗日对偶的联系，因为L可以简单地看成是

 芬切尔对偶性 

令、对偶。假定存在线性映射与伴随算子。假定主目标函数（通过示性函数，包含了约束）可以写作使得，则扰动函数为


特别地，若主目标函数是，则扰动函数来自，这是芬切尔对偶性的传统定义。

 参考文献 

Category:线性规划
Category:凸优化