上同调运算

数学中，上同调运算自1950年代起称为代数拓扑，特别是同伦论的核心，其简单定义是：若F是定义上同调论的函子，则上同调运算应是F到自身的自然变换。自始至终有两个基本点：

 运算可用组合方法研究；
 运算效果是产生有趣的双交换子理论。

这些研究来自庞特里亚金、波斯尼科夫、诺曼·斯廷罗德等人的研究，他们首次定义了模2系数情形下奇异上同调的庞特里亚金平方、波斯尼科夫平方、斯廷罗德根运算。其中的组合方面是在上链层面上对自然对角映射失效的表述。运算的斯廷罗德代数的一般理论与对称群的一般理论密切相关。
亚当斯谱序列中，双交换子方面隐含在Ext函子、Hom函子的导出函子的使用中；若在斯廷罗德代数作用上存在双交换子性，也只是在导出的层面上。其趋同于稳定同伦论中的群，而关于稳定同伦论的信息却很难获得。这种联系使同伦论对上同调运算产生了浓厚兴趣，自此成为一个研究课题。非凡上同调论有自己的上同调运算，可能表现出更丰富的约束。

正式定义

型上同调运算是定义在CW复形上的函子

的自然变换。

与艾伦伯格–麦克莱恩空间的关系
CW复形的上同调用艾伦伯格–麦克莱恩空间可表，因此由米田引理，型上同调运算由的同伦类映射给出。再次利用可表性，上同调运算由的一个元素给出。

令表示A到B的映射的同伦类集，

另见
二阶上同调运算

参考文献

Category:代数拓扑