物理空间代数

物理学中，物理空间代数 （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。

克利福德代数在旋量表示上有由泡利矩阵生成的忠实表示；此外，同构于克利福德代数的偶子代数。

APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。

注意APS与时空代数（STA）不同，后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数。

狭义相对论
时空位置副向量
APS中，时空位置可表为副向量

其中时间由标绿部分给出，是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为

洛伦兹变换与转子

保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现：

在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积：

此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的与幺正的，使得

酉元R称作转子，因为其编码了旋转，厄米元B则编码了递升。

四维速度副向量
四维速度也称原速，定义为时空位置副向量对原时τ的导数：

定义普通速度为

回想伽马因子的定义：

于是原速的更紧凑定义是：

原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件：

在洛伦兹转子L作用下，原速变换为

四维动量副向量
APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到：

质壳条件转化为

经典电动力学

电磁场、电势与电流
电磁场可表为双副向量F：

其中厄米部分代表电场E，反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为

场F的源是电磁四维电流

其中标量部分等于电荷密度ρ，向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量：

当中标量部分等于电势ϕ，向量部分等于磁势A。则电磁场为

此场也可分为电部分

与磁部分

当中

且F在下列规范变换下不变：

其中是标量场。

电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是

麦克斯韦方程组与洛伦兹力
麦克斯韦方程组可用单一方程表示：

其中上横线表示克利福德共轭。

洛伦兹力方程形式为

电磁拉格朗日量
电磁拉格朗日量是

是实标量不变量。

相对论量子力学

对质量为m、电荷为e的带电粒子，其狄拉克方程的形式为

其中是任意酉向量，A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。

经典旋量

与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为

这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来：

积分之，就可得到时空轨迹，同时还能使用

另见
 副向量
 多重向量
 wikibooks:Physics Using Geometric Algebra
 相对论量子力学
 代数

参考文献
教科书





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