万有系数定理

代数拓扑中，万有系数定理建立了同调群（或上同调群）与不同系数的关系。例如，对每个拓扑空间X，其整同调群是：

对任何阿贝尔群A，都能完全确定其系数在A中的同调群：

其中可能是单纯同调或更一般的奇异同调。此结果的一般证明是关于自由阿贝尔群链复形的纯同调代数，结果的形式是，可以使用其他系数A，代价是使用Tor函子。

例如，通常取A为，于是系数是模2。在同调中没有2-扭化的情形下，这就变得简单明了了。一般来说，这结果表明了X的贝蒂数与F域中的系数的贝蒂数之间的关系。但只有当F的特征是素数p、且同调中存在某种p-扭化时，才会有所不同。

同调情形的说明 
考虑模的张量积。该定理指出，有一个涉及Tor函子的短正合列 

其中μ是双射诱导的映射。即，张量积的同态由直积的双射诱导。此外，这序列会分裂，虽然不是自然分裂。

若系数环A是，这就是伯克斯坦谱序列的一个特例。

上同调的万有系数定理
令G为主理想域R（如或某个域）上的模。

还有一个涉及Ext函子的上同调的万有系数定理，断言有自然的短正合列

与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。

事实上，假设

并定义：

则上面的h就是规范映射：

另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间表示上同调，当中h将X到的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是，艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右伴随于同调函子。

 例子：实射影空间的模2上同调
令，即实射影空间。计算X的系数在中的奇异上同调。

已知，整数同调由下式给出：

有，于是上述正合列给出

事实上，总上同调环结构是

推论
定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形X，是有限生成的，因此有如下分解：

其中是X的贝蒂数，是的扭部分。可以检验

且

这给出了整上同调的如下声明：

对于有向闭连通n维流形X，这一推论与庞加莱对偶性相结合，得出。

 万有系数谱序列 
对具有扭系数的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有

其中R是单位环，是R上自由模的链复形，G是某单位环S的任意-双模，是Ext群。微分的度为。

同调也类似

其中是Tor群，微分的度为。

 注释 

参考文献
Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. . A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage .

Jerome Levine. “Knot Modules. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

 外部链接 
Universal coefficient theorem with ring coefficients

Category:同调代数