艾伦伯格–麦克莱恩空间

数学中，特别是代数拓扑中，艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。

令G为群，n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群若同构于G、其他同伦群都平凡，则称X是型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在时是阿贝尔群，则型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个”或“的模型”，此外通常假定这空间是CW复形（通过CW近似总是可能的）。

艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格与桑德斯·麦克莱恩，他们在1940年代末引入了此类空间。

因此，艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间，在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要，如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。
广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间
的拓扑积的同伦类的空间。

例子
 单位圆是。
 无穷维复射影空间是的模型。
 无穷维实射影空间是。
 k个单位圆的楔和是，其中是k个生成子上的自由群。
 3维球中任何连通结或图的补是型，这种现象被称作“结的非球面性”，是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。
 紧连通曲率非正流形M是，其中是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。
 无限透镜空间由对自由作用（）的商给出，是。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。注意这包括作为的。
 平面上n个点的构型空间是，其中是n股上的纯辫群。
 相应地，的第n无序构型空间是，其中表示n股辫群。Lucas Williams "Configuration spaces for the working undergraduate" ,arXiv , November 5, 2019. Retrieved 2021-06-14
 n球的无穷对称积是。更一般地，对所有摩尔空间是。

利用积是的事实，可构造出更多基本例子，例如n维环面是。

关于构造艾伦伯格–麦克莱恩空间的备注
对、任意群G，的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。

构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群A构造摩尔空间：取n个球的楔，每个球代表一个A的生成子，并通过上述楔和的中相应映射附加(n+1)个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群由构造是平凡的。现在通过附加大于维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群，并定义为包含此迭代的直极限。

另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。

乔·彼得·梅的书从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。

由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价，因此有纤维化序列
.
注意这不是上纤维化序列：空间不是的同伦上纤维。

这个纤维化序列可用于从用勒雷谱序列研究的上同调，让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

性质
映射与上同调的同伦类间的双射
的一个重要性质是，对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X，X到的基映射的基同伦类集，同空间X的第n奇异上同调群是自然双射。因此可以说是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于

有一个区别元素，对应幺元。上述双射由元素的拉回给出，这与范畴论中的米田引理很相似。

此定理的构造性证明可见参考文献Xi Yin "On Eilenberg-MacLanes Spaces" , Retrieved 2021-06-14，另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献Allen Hatcher "Algebraic Topology" , Cambridge University Press, 2001. Retrieved 2021-06-14，主要思想也将在后面略述。

 闭路空间/Omega谱 
艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间：。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系：，使有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射是群同构。

这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论（，），有自然同构，其中表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。

在更广义的语境中，布朗可表性定理指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

与同调的关系
对给定阿贝尔群G，有稳定同伦群

上由映射导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论

由于（）为零，与CW复形上系数在G中的既约奇异同调一致。

 函子性 
从上同调的万有系数定理可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数n，若是阿贝尔群的任何同态，则有非空集


满足

其中表示连续映射f、的同伦类。

 与波斯尼科夫/怀特海塔的关系 
连通CW复形X都有波斯尼科夫塔，即空间的逆系：

使对每个n都有：
有交换映射，导出（）上的同态；
（）；
映射是具有纤维的纤维化。

对偶地，还有怀特海塔，是CW复形的序列：

使对每个n都有：
 映射导出（）上的同态；
 是n连通的；
 映射是具有纤维的纤维化。

在塞尔谱序列的帮助下，可计算出球面的高阶同伦群。例如，、用的怀特海塔，可见参考文献Xi Yin "On Eilenberg-MacLanes Spaces" , Retrieved 2021-06-14；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的可见参考文献。 Allen Hatcher Spectral Sequences , Retrieved 2021-04-25

 上同调运算 
对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ，存在所有上同调运算集与之间的双射，定义为（是基本类）。

因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态。这源于上同调的万有系数定理与的(n-1)连通性。

是有限循环群时，上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时，系数在中的的上同调变得非常重要，Cary Malkievich "The Steenrod algebra", Retrieved 2021-06-14有关这些组别的详细列表，请参此处。

 群（上）同调 
可以定义群G的系数在群A中的（上）同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间的奇异（上）同调，系数在A中。

 进一步应用 
上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等，如由短正合列

产生的怀特海塔，其中是弦群，是旋量群。的相关性在于存在分类空间（且）的同伦等价关系

注意，由于复旋量群是群扩张
,
弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群的广群的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间都可以用来启动一个短正合列，可在拓扑群中去除同伦群。

另见
分类空间，情形
布朗可表性定理，关于表示空间
摩尔空间，同调中的类似物

注释

参考文献
 基础文章 



 嘉当研讨会与应用 
嘉当研讨会（Cartan seminar）包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果，包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。

 http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ 

 计算整上同调环 
 Derived functors of the divided power functors
 Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers 
 (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n) 

 其他百科参考文献 
 Encyclopedia of Mathematics 

Category:同伦论