浸没 (数学)

数学中，浸没（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。

 定义 
令M、N是微分流形，是它们间的可微映射。映射f是点处的浸没，若其微分

是线性满射。. . . . . . .这种情况下，p被称作映射f的正则点（regular point）；否则，p就是临界点。若原像中所有的点p都是正则点，则点是f的正则值。在每点上都是浸没的可微映射f也称作浸没，等价地，若f的微分的秩等于N的维度，则f是浸没。

需要注意：有人用“临界点”描述f的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。.这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若M的维度小于N的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于M的维度）。上述定义更常用，如在萨德定理的表述中。
 浸没定理 
给定m维、n维光滑流形之间的浸没，，有围绕x的M的满射图（chart）、围绕的N的，使得f限制到浸没，用坐标表示为，就变为普通的正交投影。应用中，，f对应的纤维表示为，可配备M的光滑子流形结构，其维度等于N与M维度之差。

该定理是反函数定理的结果（见反函数定理#流形）。

例如，考虑由给出。雅各比矩阵是

除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维

在时是空集，时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没与子集是时的2维光滑流形。

 示例 
 任何投影
 局部微分同胚
 黎曼浸没
 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。
 球面之间的映射 
浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没，例如

其纤维维度为n，这是因为纤维（元素的反像）是n维光滑流形。那么，若取路径

并取拉回

就得到了一种特殊的协边的例子，称作有框架协边。实际上，有框协边群与稳定同伦群密切相关。

 代数簇族 
另一大类浸没由代数簇给出，其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形，则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族是被广泛研究的浸没，因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术，如交同调与错致层。这一族来自其中是仿射线，是仿射平面。由于考虑的是复簇，它们等价于复线与复平面。注意我们实际上应该去掉，因为那里有奇点（有双根）。

 局部正规形式 
若是p处的浸没，，则在M中存在p的开邻域U、在N中存在q的开邻域V，在p处有局部坐标，在q处有局部坐标，使得，且在这些局部坐标中的映射f是标准投影


可知，在可微映射的作用下，N中的正则值q在M中的全原像要么是空的，要么是维微分流形，但可能不连通。这是正则值定理的内容（也叫浸没定理）。尤其是，若f是浸没，则，结论都成立。

 拓扑流形的浸没 
一般拓扑流形的浸没也是良定义的。.拓扑流形浸没是连续满射，使得，对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ，映射等于射影映射（）。

 另见 
 埃雷斯曼纤维化定理

脚注

 参考文献 










 阅读更多 
https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1 

Category:光滑函数