冯·诺伊曼代数

数学中，冯·诺伊曼代数或W*-代数是希尔伯特空间上有界算子的*-代数，在弱算子拓扑中封闭，并包含恒等算子，是一类特殊的C*-代数。
冯·诺伊曼代数由约翰·冯·诺依曼提出，源于对单算子、群表示论、遍历理论和量子力学的研究。冯·诺伊曼双连续定理表明，解析定义等同于作为对称性代数的纯代数定义。

冯·诺伊曼代数的两个基本例子：
实线上本质有界的可测函数环是交换冯·诺伊曼代数，其元素在平方可积函数的希尔伯特空间上通过逐点乘充当乘法算子。
希尔伯特空间上所有有界算子的代数是冯·诺伊曼代数，若希尔伯特空间维度至少为2，则是非交换的。
在1929年首次研究了冯·诺伊曼代数，他和Francis Murray在20世纪30、40年代撰写的一系列论文中（、）称之为算子环，发展了冯·诺伊曼代数的基本理论，重印于。

关于冯·诺伊曼代数的介绍见、的注，及、、、等书。的系列著作对冯·诺伊曼代数进行了百科全书式阐述。讨论了更高级的主题。

定义
冯·诺伊曼代数有3种常见定义。

 （希尔伯特空间上的）有界算子的弱闭*-代数（包含恒等）。这定义中，弱（算子）拓扑可换成其他常见拓扑，如强、超强、超弱算子拓扑。在范数拓扑下封闭的有界算子的*-代数是C*-代数，因此冯·诺伊曼代数都是C*-代数。
 对对合（*-运算）封闭的有界算子的子代数，且等于其双交换子，或等价于在*下封闭的某子代数的交换子。冯·诺伊曼双交换定理指出，前两个定义等价。
 前两个定义将冯·诺伊曼代数描述为作用于某给定希尔伯特空间的算子集。指出，冯·诺伊曼代数也可抽象地定义为有预对偶的C*-代数；也就是说，冯·诺伊曼代数作为巴拿赫空间是另一些巴拿赫空间的对偶，称作预对偶。冯·诺伊曼代数的预对偶在同构意义上是唯一的。有人用“冯·诺伊曼代数”表示与希尔伯特空间作用匹配的代数，“W*-代数”表示抽象概念，于是，冯·诺伊曼代数是W*-代数、希尔伯特空间与其上合适的忠实酉作用构成的。冯·诺伊曼代数的具体定义和抽象定义同C*-代数类似，后者可定义为希尔伯特空间上算子的对范数封闭的*-代数，或满足的巴拿赫*-代数。

术语
冯·诺伊曼代数中一些术语可能令人困惑，且在本理论之外往往有不同含义。

因子（factor）是具有平凡中心的冯·诺伊曼代数，即中心只含标量算子。
有限冯·诺伊曼代数是有限因子的直积分（即冯·诺伊曼代数有忠实的正规迹态An Introduction To II1 Factors  ens-lyon.fr）。同样，紧合无限（properly infinite）冯·诺伊曼代数是紧合无限因子的直积分。
作用于可分希尔伯特空间的冯·诺伊曼代数也可分，注意这类代数在范数拓扑中常常不再可分。
希尔伯特空间上有界算子集生成的冯·诺伊曼代数是包含所有算子的最小冯·诺伊曼代数。

两希尔伯特空间上各自冯·诺伊曼代数的张量积是由代数张量积生成的冯·诺伊曼代数，被视作希尔伯特空间的张量积上的算子。

遗忘冯·诺伊曼代数上的拓扑，就可将其看做（含幺）*-代数，或就只是一个环。冯·诺伊曼代数是半遗传的：射影模的每个有限生成子模也是射影的。冯·诺伊曼代数的底环有多次公理化尝试，如贝尔*-环、AW*-代数等。有限冯·诺伊曼代数的隶属算子的*-代数是冯·诺伊曼正则环。（冯·诺伊曼代数本身一般不是冯·诺伊曼正则的）

 交换冯·诺伊曼代数 

交换冯·诺伊曼代数和测度空间的关系类似于交换C*-代数和局部紧豪斯多夫空间的关系。对度量空间，交换冯·诺伊曼代数都同构于；反之，对σ-有限度量空间，*-代数都是冯·诺伊曼代数。

于是，冯·诺伊曼代数理论也称作非交换测度论，C*-代数理论也称作非交换拓扑。

 投影 
冯·诺伊曼代数中，满足的算子E称作投影，是H在某闭子空间上的正交投影算子。若希尔伯特空间H的子空间是M中某投影的像，则称其属于冯·诺伊曼代数M，这建立了M的投影和属于M的子空间之间建立了一一对应关系。非正式地说，子空间是可用M的元素来描述的闭空间。

可以证明，M中任意算子的像的闭包和M中任意算子的核都属于M；另外，属于M的任何子空间在M的算子下的像的闭包也属于M（这些是极分解的结果）。

投影比较理论
投影的基本理论由提出。属于M的两子空间若存在属于冯·诺伊曼代数的部分等距映射，将一者同构地映射到另一者，则称它们（穆雷-冯·诺伊曼）等价。若相应子空间等价，或有H的部分等距，将E的像同构映射到F的像，且是冯·诺伊曼代数的元素，则称E等价于F。另一种说法是，若对M中某部分等距u，满足，则称E等价于F。

由此定义的等价关系~是可加的：设。若，则。若在~的定义中要求酉等价（对幺元u，若，则），那么可加性一般不成立。薛定谔-伯恩斯坦定理给出了穆雷-冯·诺伊曼等价的充分条件。

属于M的子空间通过包含而部分有序，产生了投影的偏序≤。在投影的等价类集上还有一个自然偏序，来自投影的偏序≤。若M是因子，则≤是投影等价类上的总阶，下详。

若不存在等价于E的投影F < E（即），则称投影（或属于M的子空间）E为有限投影。例如，有限维投影（或子空间）都有限（因为希尔伯特空间之间的等距性使维数固定不变），而无限维希尔伯特空间上的恒等算子在其上所有有界算子的冯·诺伊曼代中并不是有限的，因为其与自身的一个适当子集同构。不过，无限维子空间也有可能有限。

正交投影是中指示函数的非交换类似物。是由指示函数生成的子空间的闭包。同样，冯·诺伊曼代数有其投影生成，这是自伴算子谱定理的结果。

有限因子的投影形成连续几何。

 因子 
冯·诺伊曼代数N的中心只由恒等算子的倍数组成，称作因子。证明，可分希尔伯特空间上的冯·诺伊曼代数都同构于因子的直积分，这一分解是本质唯一的。因此，可分希尔伯特空间上冯·诺伊曼代数同构类的分类可转化为因子同构类的分类问题。
指出，因子可分3类。类型分类可推广到非因子的冯·诺伊曼代数。若冯·诺伊曼代数可分解为X型因子的直积分，则就是X型的，例如交换冯·诺伊曼代数都是I1类。冯·诺伊曼代数都可唯一地写成I、II、III类冯·诺伊曼代数之和。

还有其他几种分类因子的方法：
 若因子是I类，则称其离散；若是II类或III类，则称其连续。
 若因子是I或II类，则称其半无限；若因子是II类，则称其纯无限。
 若投影1是有限的，则称因子有限，否则称紧合无限。I、II类因子可能有限也可能紧合无限，III类因子总是紧合无限的。

I类因子
若存在最小的投影，使得不存在投影F满足，则称其为I类因子。I类因子都同构于某希尔伯特空间上所有有界算子的冯·诺伊曼代数，因为每个基数都有希尔伯特空间，I类因子的同构类是与基数完全对应的。很多学者只考虑可分希尔伯特空间上的冯·诺伊曼代数，因此习惯上把有限n维希尔伯特空间上的有界算子称作型因子，可分无限维希尔伯特空间上的有界算子则是型因子。
II类因子
若不存在最小投影，但存在非零有限投影，则称其为II类因子。这意味着每个投影E都可以“平分”，即有两个穆雷-冯·诺伊曼等价的投影F、G，且满足。若II类因子中的恒等算子有限，则是型因子；否则是型因子。最易理解的II型因子是发现的超无限型因子、超无限型因子，是、型中唯一的超无限因子。这类因子还有很多，都值得深入研究。证明了一个基本结果：型因子具有唯一的有限迹态，投影的迹集为[0,1]。

型因子具有半无限迹，在缩放意义上唯一，投影的迹集为[0,∞]。型因子的基本群是实数λ集合，使得存在自同态，缩放迹λ倍。

型因子与无限I型因子的张量积是型，反之，任何型因子都可这样构造。型因子的基本群是因子与I型无限（可分）因子的张量积的基本群。多年来，人们一直在寻找基本群不是正实数群的II型因子，阿兰·科纳随后证明，具有卡日丹性质 (T)的可数离散群（平凡表示在对偶空间中孤立）（如）的冯·诺伊曼群代数具有可数基本群。后来，索林·波帕证明，特定群的基本群可能是平凡的，如对的半直积。

型因子的一个例子是可数无限离散群的冯·诺伊曼群代数，使每个非平凡共轭类都无限。
发现了一个具有非同构冯·诺伊曼群代数的不可数族，从而显示了不可数多个可分型因子的存在。

III型因子
不含任何非零有限投影的因子是III型因子。在第一篇论文中无法确定是否存在，发现了第一个例子。由于恒等算子在这些因子中总是无限的，因此过去也称作，最近改做，其中λ是[0, 1]中的实数。更确切地说，若（其模群的）科纳谱是1，则是型因子；若科纳谱为λ（）的所有整数幂，则是型；若科纳谱是所有正实数，则是型（科纳谱是正实数的闭子群，因此只有这些可能）。III型因子的唯一迹在所有正元素上取值为∞，任何两个非零投影都等价。III型因子曾一度被认为是很棘手的对象，但富田–竹崎理论带来了很好的结构理论。特别是，任何III型因子都可用正规方式写成型因子与实数的叉积。

预对偶
冯·诺伊曼代数M都有预对偶，是M上所有超弱连续线性泛函的巴拿赫空间。顾名思义，M（作为巴拿赫空间）是其预对偶的对偶。预对偶是唯一的，因为对偶为M的任何其他巴拿赫空间都与同构。证明了预对偶的存在是C*-代数中冯·诺伊曼代数的特征。
上文给出的预对偶定义似乎取决于M作用于的希尔伯特空间的选择，因为它决定了超弱拓扑。 不过也可定义为M上所有正正规线性泛函生成的空间（此处“正规”指应用于自伴算子的递增网时保上界；或等价于投影的递增序列）。
预对偶是对偶的闭子空间（包含M上所有范数连续线性泛函），通常小些。不同于的证明是非构造性的，用很重要的方式使用了选择公理。要展示在而不在中的元素非常困难，例如，冯·诺伊曼代数上的奇特正线性形式由自由超滤子给出，对应于进入C的奇特*-同态，并描述了Z的斯通-切赫紧化。

例子：
上本质有界函数的冯·诺伊曼代数的预对偶是可积函数的巴拿赫空间。的对偶严格大于，例如，在上推广了有界连续函数的闭子空间上的狄拉克测度的泛函不能表为中的函数。
希尔伯特空间H上有界算子的冯·诺伊曼代数的预对偶是所有迹类算子（迹范数为）的巴拿赫空间。迹类算子的巴拿赫空间本身是紧算子的C*-代数的对偶（自身不是冯·诺伊曼代数）。

权、状态、迹
权、特殊状态与迹在中有详细讨论。

冯·诺伊曼代数上的权 ω是从正元素（形式）集到[0, ∞]的线性映射。
正线性泛函是ω(1)有限的权（或说是ω通过线性，到整个代数的扩张）。
状态是的权。
迹是的权。
迹状态是的迹。

因子都有迹，即非零投影的迹也非零，并且当且仅当投影无限时，投影的迹才是无限的。这样的迹在重缩放的意义上是唯一的。对可分或有限的因子，当且仅当两投影具有相同的迹时，它们等价。因子类型可从迹在因子投影上的可能值获得，如下：
型：对正数x，（一般归一化为或1）。
型：对正数x，（一般归一化为x = 1）。
型：对正数x，（一般归一化为x = 1）。
型：
III型：

若冯·诺伊曼代数作用于含范数为1的向量v的希尔伯特空间，则泛函是正规状态。这种构造可反过来从正规状态给出对希尔伯特空间的作用，就是正规状态的GNS构造。

因子上的模
给定抽象可分因子，可要求对其模（即其所作用的可分希尔伯特空间）进行分类。结果如下：每个模H都可给定一个M维的（而非作为复向量空间的维度），这样，当且仅当它们有同样的M维时，模相互同构。M维是可加的，当且仅当一个模m的M维不大于另一模n时，m与n的子空间同构。

若模有循环可分向量，则称其是标准的。因子都有标准表示，在同构意义上唯一。标准表示有反线性对合J使。对有限因子，标准模由应用于唯一正规迹态的GNS构造给出，M维被归一化，因此标准模的M维为1，而对无限因子，标准模是M维无穷大的模。

模的可能M维数如下：
（n有限）型：M维可以是。标准模的M维数为1（复维数为2）。
型：M维可以是。的标准表示是，其M维数无穷大。
型：M维可以是[0, ∞]中的任意数。归一化后，标准模的M维数为1。M维也称作模H的耦合常数。
型：M维可以是[0, ∞]中的任意数。一般来说没有规范方法归一化，因子可能有外自同构，将M维乘以常数。标准表示是M维数无穷大的表示。
III型：M维可以是0或∞。任意两个非零模都同构，所有非零模都是标准的。

可均冯·诺伊曼代数
等人证明，可分希尔伯特空间H上的冯·诺伊曼代数M的下列条件等价：

 M是超无限或近似有限维（AFD）或近似有限的：代数包含有限维子代数的递增序列的，具有稠密的交（注意有人用“超有限”表示“AFD且有限”）。M是可均的（amenable）：在正规巴拿赫双模中取值的M的导子都是内的。M具有施瓦茨性质P：对H上任意有界算子T，元素的弱算子闭凸包包含与M交换的元素。M 是半离散的：恒等映射是秩有限的完全正映射的弱点极限。M具有性质E或羽毛田–富山扩张性：从H上的有界算子到M '，有范数为1的投影。M是单射：从任意含幺C*-代数A的任意含1自伴闭子空间到M的任何完全正映射，都可推广为A到M的完全正映射。

上面这类代数没有公认的术语，科纳建议用可均。

可均因子已被分类：在的条件下，各有一个，的对应某些遍历流。（对型，称其为分类有点误导，因为众所周知，并没有简单的遍历流分类方法。）I型与型由分类，由Haagerup分类，其余的由分类。

所有可均因子都能用穆雷和冯·诺伊曼对单一遍历变换的群测度空间构造得到。事实上，它们正是Z或Z/nZ在阿贝尔冯·诺伊曼代数上的自由遍历作用的叉积产生的因子。测度空间X是原子的，且作用是传递的，则出现I型因子；X是扩散的或非原子的，则等价于[0,1]的测度空间。X具有等价有限（）或无限（）测度，且在Z的作用下不变时，出现II型因子；若无不变测度，只有不变测度类，则出现III型因子，称作克里格因子（Krieger factor）。

冯·诺伊曼代数的张量积
两希尔伯特空间的张量积是其代数张量积的完备化。可定义冯·诺伊曼代数的张量积（代数视作环的代数张量积的完备化），所得也是冯·诺伊曼代数，并作用于对应希尔伯特空间的张量积。两有限代数的张量积有限，无限代数和非零代数的张量积无限。冯·诺伊曼代数张量积的类型取较大值。张量积交换定理指出

其中M' 表示M的交换子。

无穷多冯·诺伊曼代数的张量积通常是个大得离谱的不可分代数。指出，应在每个冯·诺伊曼代数上选取一个状态，以定义代数张量积上的一个状态，从而产生希尔伯特空间与（较小的）冯·诺伊曼代数。研究了所有因子都是有闲矩阵代数的情形，这些因子称作Araki–Woods因子或ITPFI因子（ITPFI表示“有限I型因子的无限张量积”）。无限张量积的类型可随着状态改变发生巨大变化，如无限多型因子的无限张量积可具有任意类型，取决于状态的选择。特别是对型因子进行无限张量积，发现了时不可数的非同构超无限型因子不可数族，称作Powers因子，每个因子的状态如下：


所有不是的超无限冯·诺伊曼代数都同构于Araki–Woods因子，有不可数多的型超无限冯·诺伊曼代数不同构。

双模与子因子
双模（或对应）是有两个交换冯·诺伊曼代数的模作用的希尔伯特空间H。双模的结构比模丰富得多。两因子上的双模总给出子因子，因为其中一因子总包含于另一因子的交换子中。此外，科纳在双模上发现了一种微妙的相对张量积运算。沃恩·琼斯提出的子因子理论调和了这两种看似迥异的观点。

双模对离散群Γ的冯·诺伊曼群代数M也很重要。事实上，若V是Γ的任意酉表示，将Γ视作Γ × Γ的对角子群，上相应的诱导表示自然就是M的两个交换副本的双模。Γ的重要表示论性质完全可用双模表述，因此对冯·诺伊曼代数本身也有意义。例如，科纳和琼斯以这种方式给出了冯·诺伊曼代数的卡日丹性质 (T)的类似定义。

不可均因子
I型冯·诺伊曼代数可均，其他类型则有不可数多种不可均因子，似乎很难分类，甚至很难相互区分。Voiculescu证明，来自群测度空间构造的不可均因子类与来自自由群的冯·诺伊曼代数群不相交。后来小泽登高证明，双曲群的冯·诺伊曼代数群会产生素的型因子，即不能作为型因子的张量积进行分解，这结果最早由Leeming Ge利用Voiculescu的自由熵，对自由群因子进行了证明。波帕关于不可均因子基本群的研究是另一项重大进展。目前“超无限之外”的因子理论正在迅速扩展，并取得了许多令人惊讶的成果，与几何群论和遍历理论中的刚性现象有密切关系。

例子
σ有限测度空间上的本质有界函数构成了作用于函数的交换（型）冯·诺伊曼代数。对一些通常认为病态的非σ有限测度空间，不是冯·诺伊曼代数，如可测集的σ代数可能是不可数集上的可数-余可数代数。基本近似定理可用卡普兰斯基稠密性定理表示。
任意希尔伯特空间上的有界算子构成冯·诺伊曼代数，实际上是I型因子。
若在希尔伯特空间H上的群G我们有任意酉表示，则与G交换的有界算子形成冯·诺伊曼代数G' ，其投影精确对应H在G下不变的闭子空间。等价子表示对应G' 中的等价投影。G的双交换G' ' 也是冯·诺伊曼代数。
离散群G的冯·诺伊曼群代数是上所有与G在H上的作用通过右乘交换的有界算子的代数。可以证明，这就是由与的左乘相对的算子生成的冯·诺伊曼代数。若G的非平凡共轭类都无限（例如非阿贝尔自由群），则它就是（型）因子；若G''是有限子群的并（如固定了除有限多元素外所有整数的置换群），则就是型超无限因子。
如上一节所述，两冯·诺伊曼代数的张量积或有状态的可数张量积是冯·诺伊曼代数。
可定义冯·诺伊曼代数与离散（更一般地，局部紧）群的叉积，也是冯·诺伊曼代数。特殊情形是穆雷合冯·诺伊曼的群测度空间构造，以及克里格因子'''。
可定义可测等价关系的冯·诺伊曼代数和可测广群。这些例子概括了冯·诺伊曼群代数和群测度空间构造。

应用
冯·诺伊曼代数在纽结理论、统计力学、量子场论、局部量子力学、自由概率、非交换几何、表示论、微分几何与动力系统等领域都有应用。

例如，C*-代数为概率论提供了另一种公理化方法，称作GNS构造。这类似于测度和积分的两种方法，可以先构造集合的测度，再定义积分；或者先构造积分，再将集合度量定义为特征函数的积分。

 另见 
 AW*-代数
 富田–竹崎理论
参考文献

,  

.
 (A translation of , the first book about von Neumann algebras.)
; incomplete notes from a course.
.

 A historical account of the discovery of von Neumann algebras.
. This paper gives their basic properties and the division into types I, II, and III, and in particular finds factors not of type I.  
. This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor. 
. This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II1 are isomorphic. 

. The original paper on von Neumann algebras.
. This defines the ultrastrong topology.
. This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them.
. This shows the existence of factors of type III. 
. This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically. 
. This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
. Reprints von Neumann's papers on von Neumann algebras.

Category:算子理论