切比雪夫函數

在數學上，切比雪夫函數（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。

切比雪夫第一函數（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做或，其形式如下：

其中是自然對數，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於的質數的自然對數的總和。

切比雪夫第二函數（Second Chebyshev Function）在文獻中一般記做，其定義類似，為所有小於等於的質數的冪的自然對數的總和，而其形式如下：

其中是馮·曼戈爾特函數。切比雪夫函數，尤其切比雪夫第二函數，經常出現於與質數相關的數學證明中，而這是因為這些函數比質數計數函數還容易處理之故。可見下等式一節說明。

切比雪夫第一及第二函數都與呈現非病態關係，而這點等價於質數定理。

除了上述的切比雪夫第一及第二函數外，還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函數（Chebyshev utility function），其形式如下：

藉由最小化這方程式不同的數值，可得到的每個點，甚至是非凸性的部分。很多時候，要最小化的不是，而是在給定標量的狀況下的數值，而在這種狀況下有。

這三個函數皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數，切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關，也不會出現在接下來的討論中。

切比雪夫第一及第二函數的關係
切比雪夫第一及第二函數彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式：

其中是使得的唯一整數，而的值可參見。一個更直接的關係如下：

注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故：

切比雪夫第二函數是從1到所有數的最小公倍數的自然對數：

對於而言，的值可參見。

以下定理將及這兩個分數給聯繫起來。

定理：若則有

注意：從此不等式可推出

換句話說，若或其中一個趨近某個極限，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。

證明：由於，因此有

而由的定義，可得以下明顯的不等式：

因此有

最後，將此不等式兩邊除以，即可得定理的不等式。

非病態關係及上下界
對於切比雪夫函數，有以下已知的界線。其中是第個質數，也就是、等等： 

此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的而言，有以下關係式：

對任意的而言，切比雪夫第一函數及第二函數有以下的上界：  

對於1.03883這常數的解釋，可見的說明。

等式
1895年，漢斯·馮·曼戈爾特證明了有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的：

其中的數值為、遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點，而是一個與類似的函數，但差別是其在跳躍不連續點（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間：

就自然對數的泰勒展開式而言，解析解的最後一項可理解為對黎曼ζ函數平凡零點的求和。也就是說，

類似地，此公式第一項對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實，說明了項的變號。

性質
一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱，對於某個特定的正常數，存在有無限多個正整數使得

同時有無限多個正整數使得

使用小符號，可將上式重述為

哈代與李特爾伍德證明了一個更強的結果，表述如下：

也就是說有無限多的正整數，使得與之間的差的絕對值超過。

與質數階乘的關係
切比雪夫第一函數也是的質數階乘的對數：

這說明了質數階乘非病態地等於，其中是小符號（見大O符號一文的說明），而這點與質數定理共同確立了的非病態行為。

與質數計數函數間的關係
切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義

那麼有

從到質數計數函數間的轉換可由下式表示：

由於很明顯地，有之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下：

黎曼猜想
黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為。在這種狀況下，有，且可證明說

由上式可推得

平滑化函數

平滑化切比雪夫函數定義如下：

顯然有

參考資料

  , "Estimates of some functions over primes without R.H.". 
  Pierre Dusart, "Sharper bounds for , , , ", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges.  An abbreviated version appeared as "The th prime is greater than  for ", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
 Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
 G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
  (2000). 可見於《Multiplicative Number Theory 》一書。 Springer.  p. 104. . Google Book Search.

額外補充


外部連結



 Riemann's Explicit Formula , with images and movies

Category:算術函數