位移場

力學中的位移場是指物體當中的所有點，其位移向量所組成的向量場。位移向量以一個點或是粒子原來的位置為準，標明其新的位置。例如，固體形變的效果就可以用位置場來表示。
公式
在考慮位移之前，需要定義形變之前的狀態。此狀態下，所有點的座標都知道，而且可以用以下函數描述：

其中
是位移向量
是物體的所有點
是物體的所有點在空間中的位置。

此一狀態也常常是沒有外力的狀態。

給定物體的其他狀態，其中所有點的座標可以用來描述，則二個物體狀態之間的位移場為：

其中是位移場，物體的每一個點都有一個對應的位移向量。

位移分量
upright=1.35|thumb|連續體的運動
物體的位移可以分為二個分量：剛體位移以及形變。
 剛體位移包括物體的平移或旋轉，物體的形狀、大小都維持不變。
 形變表示物體形狀或大小的變化，從未形變的組態變成形變後的組態。

連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場，可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變，若且唯若物體出現形變。若物體有位移，但沒有形變，即為剛體運動。

位移梯度張量

依照Lagrange描述法及Eulerian描述法，可以定義兩種位移梯度張量。

粒子的位移可以表示為下式。未變形組態的粒子，在變形組態，其位移向量為，以下表示為或。

物質坐標（Lagrangian描述法）
用代替，用代替，這二個都是從坐標系統原點到對應點的向量，可得位移向量的Lagrangian描述法：

其中是定義空間（）坐標系統基的正交單位向量。

若用物質坐標表示位移場，會是的函數，位移場是：

其中是表示剛體移動的位移向量。

位移向量相對物質坐標的偏导数可得物質位移梯度張量。可得

其中是物質位移梯度張量，而為旋轉。

空間坐標（Eulerian描述法）
在Eulerian描述法下，未變形組態的粒子，延伸到其變形組態的向量為位移向量：

其中是定義物質坐標系統的基的正交單位向量。

若用空間坐標表示位移場，會是的函數，位移場是：

空間導數，也就是位移向量相對空間坐標的偏导数，即為空間位移梯度張量，可得

其中空間位移梯度張量。
物質坐標和空間坐標的關係
是物質坐標和空間坐標的單位向量及的方向餘弦，因此

和的關係為

已知

因此

結合變形組態以及未變形組態的坐標系統
常常會疊合變形組態及未變形組態的坐標系統，是在下的結果，而方向餘弦變成克罗内克δ函数

在材料（未變形）的坐標裡，位移可以表示為：

在空間（已變形）的坐標裡，位移可以表示為：

相關條目
應力
应变 (物理学)

參考資料

Category:连续介质力学
Category:材料科學
Category:矢量物理量