Mason-Stothers定理

Mason-Stothers定理，或簡稱Mason定理，是數學上關於多項式的定理，而這定理類似於整數上的abc猜想。這定理以1981年出版相關論述的Walter Wilson Stothers.以及稍後獨立發現這定理的R. C. Mason.為名。

此定理陳述如下：
設、、為一個域上彼此互質的多項式、的導數不全是0（Vanishing）導數的多項式，那麼有

其中是所有相異的不可約多項式的乘積。對於代數閉域而言，這是與有相同的根的最小多項式；在這狀況下，即代表彼此相異的根的數量。

例子

對特徵為0的域而言，、、不全为0（Vanishing）導數的多項式的等價條件是這些多項式不全是常數。對於特徵為的域而言，假定這些多項式不全是常數並不足夠，像例如說，對特徵為的域而言，這等式可給出三個多項式（其中與是等號左邊的加數，而放在等號右邊）的最大次數為，但其根基（也就是相異的根的數量）的次數僅僅為。
設及可給出使得Mason-Stothers定理等號成立的例子，而這顯示說在一些狀況下，不等式是最佳可能。
Mason-Stothers定理的一個推論是費馬最後定理在函數域上的類比：對於彼此互質的多項式、、，若且相關聯的域的特徵不能除盡且，那麼、、至少有一個為0或者這三個多項式全是常數。

證明
給出了以下關於Mason-Stothers定理的初等證明：.

第一步、這條件表示說、以及等朗斯基行列式全數相等，設其共通值為。

第二步、、、這三個導數至少有一個不全為0（Vanishing）及、、彼此互質這兩點表示說不等於零。

像例如說，若，那麼，故可除盡（而這是因為與彼此互質），因此，而這是因為在非常數的狀況下，有之故。

第三步、同時可被、以及這三組最大公因數除盡。由於這些多項式彼此互質之故，因此可被其乘積除盡；且因不等於零之故，因此有

第四步、將上式以下列不等式取代：
 − （相異的根的數量）
 − （相異的根的數量）
 − （相異的根的數量）
（其中根取自某個代數閉包）
且因為

之故，因此有

而這正是所要證明的。

推廣
這定理有一個將多項式環以取代的自然推廣，該推廣如下：

設是一個特徵為零的代數閉域，設是一個為的，並設

為一個並滿足的有理函數，並設為中包含及所有零點和極點的集合，那麼有

其中函數在的次數是相應映射從映至P^1的次數。而一個不同且較短的證明在同年由發表。

此外還有一個推廣，這推廣由、
及等人獨立發現，此推廣給出了在的子集沒有一個是─線性獨立的狀況下，有個變數的單位等式的上界，他們證明了下式：

參考資料

外部連結

Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture , Vishal Lama ─這是一篇Lang的書的證明的整理版。

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