巴拿赫代数

泛函分析中，得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数（或非阿基米德完备赋范域）上的结合代数A，同时也是巴拿赫空间，即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足

这确保了乘法运算连续。

若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元，则称其是含幺的（unital）。若其乘法是可交换的，则称其可交换。任意巴拿赫代数A（无论有无单位元）都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数，从而形成的闭理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的：因为可以先考虑，再在原始代数中应用结果，来发展许多理论。不过并非总如此，例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数。

实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数，例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的，而实巴拿赫代数中，某些元素的谱可能是空的。

巴拿赫代数也可以定义在P进数域上。这是P进数分析的一部分。

例子
巴拿赫代数的典型例子是，即定义在局部紧豪斯多夫空间X上在无穷远处消失的（复值）连续函数空间。当且仅当X是紧空间，含幺。共轭复数是对合，因此实际上是C*-代数。更一般地说，C*-代数都是巴拿赫代数。

 实数（或复数）集是巴拿赫代数，范数为绝对值。
 若给所有实数或复数n阶方阵集合配备服从乘法范数，就成为含幺巴拿赫代数。
 取巴拿赫空间（或），范数为，并定义乘法分量形式：
 四元数形成了4维实巴拿赫代数，范数为四元数的绝对值。
 定义在某集合（具有逐点乘和上确范数）上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。
 某局部紧空间（具有逐点乘和上确范数）上的有界连续实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。
 巴拿赫空间E（以函数复合为乘法，以算子范数为范数）上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E上所有紧算子的集合是巴拿赫代数，也是闭理想。若，则没有单位元。
 若G是局部紧豪斯多夫拓扑群，是其哈尔测度，则G上所有可积函数的巴拿赫空间在卷积下成为巴拿赫代数。
 一致代数：巴拿赫代数，是复代数的子代数，具有上确范数，包含常数并分离了X的点（必须是紧豪斯多夫空间）。
 自然巴拿赫函数代数：一致代数，其所有特征都在X的点上取值。
 C*-代数：某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭*-子代数，是巴拿赫代数。
 测度代数：包含某局部紧群上所有拉东测度的巴拿赫代数，测度之积由卷积给出。
 四元数代数是实巴拿赫代数，不是复代数，因为四元数的中心是实数。
 仿射体代数（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一种巴拿赫代数，是刚性解析几何的基本构件。

性质
一些由幂级数定义的初等函数可在任意含幺巴拿赫代数中定义，如指数函数和三角函数，及更一般的任意整函数（特别地，指数映射可用于定义抽象索引群）。几何级数公式在一般含幺巴拿赫代数中仍有效。二项式定理对巴拿赫代数中两个交换元也成立。
任何含幺巴拿赫代数中的可逆元集合都是开集，其上的逆运算是连续的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓扑群。

若巴拿赫代数有幺元，则不可能是交换子；即。这是因为若不是，则具有相同的谱。

上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数（如实数）迥异的性质，例如：

 是除代数的实巴拿赫代数同构于实数、复数或四元数。因此，只有是除代数的复巴拿赫代数是复形。（这就是盖尔范德-马祖尔定理）
 没有零除子的含幺实巴拿赫代数的主理想都是闭的，代数同构于实数、复数与四元数。
 没有零除子的交换实含幺诺特巴拿赫代数同构于实数或复数。
 交换实含幺诺特巴拿赫代数（可有零除子）是有限维的。
 巴拿赫代数中的永久奇异元是零的拓扑除子，也就是说，考虑巴拿赫代数A的扩张B，使一些在给定代数A中奇异的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓扑除子在A的任意巴拿赫扩张B中都是永久奇异的。

谱理论

复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素的谱记作，包含所有使在A中不可逆的复标量。任意元素x的谱是中半径为、圆心在的闭圆盘的闭子集，于是也是紧的。另外，元素x的谱也非空，满足谱半径公式：

给定，全纯函数微积分允许为在的邻域全纯的任意函数f定义；此外，谱映射定理成立：

若巴拿赫代数A是复巴拿赫空间X上的有界线性算子的代数（例如方阵的代数），则A中的谱与算子理论中的谱重合。对（紧豪斯多夫空间X），可见：

C*-代数的正规元素x的范数与谱半径重合，这推广了正规算子的类似事实。

令A为复含幺巴拿赫代数，当中非零元x都可逆（是除代数）。，都有使
不可逆（因为a的谱非空），于是代数A自然同构于（盖尔范德-马祖尔定理的复数情形）。

理想与特征
令A为上的含幺交换巴拿赫代数。由于A是含幺交换环，A的不可逆元属于A的某极大理想。由于极大理想是闭的，是巴拿赫代数且是域，且由盖尔范德-马祖尔定理，A的最大理想集与非零同胚集之间有双射。集合称作A的“结构空间”或“特征空间”，元素为“特征”。

特征是A上的线性泛函，是乘法函数（且满足。）每个特征都是且自动连续，因为特征的核是最大理想，是闭的；而且范数（即算子范数）为1。装备了A上逐点收敛拓扑（即由的弱*-拓扑诱导的拓扑）后，特征空间是豪斯多夫紧空间。

q在是x的盖尔范德表示，定义如下：是连续函数，由给出。的谱也是作为紧空间上复连续函数的代数的元素的谱。显式地写，

作为代数，当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核，其是半单的（即其雅各布森根为零）。这种代数的重要例子是交换C*-代数。事实上，若A是交换含幺C*-代数，则其盖尔范德表示是间的等距*-同构。
巴拿赫*-代数
巴拿赫*-代数A是复数域上的巴拿赫代数，以及映射，满足如下性质：
 （于是映射是对合）

 ，其中表示的共轭复数


也就是说，巴拿赫*-代数是上的巴拿赫代数，也是*-代数。

在大多数自然例子中，还需要对合是等距的，即

有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。

巴拿赫*-代数满足是C*-代数。

另见
 近似单位
 卡普兰斯基猜想
 算子代数
 希洛夫界

注释

参考文献








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