量子统计力学

量子统计力学是应用于量子力学系统的统计力学。量子力学中，统计系综（可能量子态的概率分布）由密度算子S描述，其是描述量子系统的希尔伯特空间H上的迹为1的非负自伴迹类算子。这可以用量子力学的数学表述来证明，其中一种形式来自量子逻辑。

 期望 
经典概率论中，随机变量X的期望值由其概率分布定义：

假定随机变量可积或非负。同样，令A是量子力学系统的可观察量，由稠密定义在H上的自伴算子给出，则其谱测度的定义为

这唯一确定了A，反之亦然：也由A唯一确定。是从R的博雷尔子集到H的自伴射影格Q的布尔同态。与概率论类似，给定态S，我们引入A在S下的分布，其是R的博雷尔子集上定义的概率测度：

同样，由概率分布，A的期望定义如下：

注意这期望是对混合态S而言，用于的定义。

备注.  出于技术原因，需要分别考虑无界算子的博雷尔泛函微积分所定义的A的正负部。

很容易证明：

注意，若S是对应于向量的纯态，则：

算符A的迹可写作：

 冯诺依曼熵 

在描述态的随机性时，S的冯诺依曼熵具有特别重要的意义，其正式定义是
.  
实际上，算子不一定是迹类算子；若S是非负自伴非迹类算子，则定义。另外注意，密度算子S都可对角化，即在某个正交基上可表为（可能是无限）矩阵，形式为

我们定义

按惯例，，因为概率为零的事件对熵不应有贡献。这个值在扩展实数（即在[0, ∞]中），显然是S的酉不变量。

备注. 对某个密度算子S，确实是可能的。事实上T是对角矩阵

T是非负迹类算子，可证明不是迹类算子。

定理.  熵是酉不变量。

与经典熵类似（注意定义的相似性），H(S)度量了态S的随机性。特征值越分散，系统熵就越大。对于空间H有限维的系统，态S具有下列对角形式的表示时，熵最大：

对这样的S，。态S称作最大混合态。

纯态的形式是

其中ψ是范数为1的向量。

定理.  H(S) = 0，当且仅当S是纯态。

S是纯态，当且仅当其对角形式恰有1个非零项且为1。

熵可用作量子纠缠的度量。

 吉布斯正则系综 

考虑平均能量E的哈密顿量H描述的系统系综。若H具有纯点谱，且H的特征值发散得够快，则对正数r，e−r H都是非负迹类算子。

吉布斯正则系综由以下态描述

其中β使能量的系综平均满足

且

这就是所谓偏函数，是经典统计力学的正则配分函数在量子力学中的推广。系综中随机选取的系统处于与能量特征值对应的态的概率为

特定条件下（且满足能量守恒），吉布斯正则系综最大化了冯诺依曼熵。

 巨正则系综 

粒子能量与数量可能波动的开放系统，由巨正则系综描述，其密度矩阵为

其中N1, N2, ...是与热库交换的不同种类粒子的粒子数算子。注意与正则系综相比，这个密度矩阵包含更多态（不同的N）。

巨配分函数为

另见
 量子热力学
 热量子场论

 参考文献 
 J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955.
 F. Reif, Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill,  1965.

Category:量子力学