微分叠

微分叠是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。

微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。

定义
 定义1（由广群纤维化） 
回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴、到微分流形范畴的函子，并满足

 是纤维范畴，即对任意对象和任意箭头，都有箭头，在上；
 对中的任意交换三角及上的任意箭头、上的，在上存在唯一的箭，使三角交换。

这些性质确保，都可以定义其纤维或，作为的子范畴，由在U上的所有对象和在上的所有态射组成。根据这构造，是广群。叠是满足胶合性质的广群纤维，用下降表述。

任何流形X都定义了其 ，对象是流形U与光滑映射组成的对子；则是广群纤维，实际上也是叠。广群纤维的态射若满足以下条件，则称作可表浸没：

 对流形U和任意态射，纤维积可表，即（对某个流形Y，）与作为广群纤维的同构；
 诱导光滑映射是浸没。

对流形X，微分叠是叠与特殊的可表浸没（上述每个浸没都需要是满射）。映射称作叠X的图集、呈现或覆叠。Grégory Ginot, Introduction to Differentiable Stacks (and gerbes, moduli spaces …) , 2013

 定义2（由2-函子） 
回想范畴上（广群的）预叠（也称作2-预层），是2-函子 ，其中是（集合论）广群的2-范畴、及其间的态射和自然变换。叠是满足胶合性质的预叠（类似层满足的胶合性质）。要精确说明这性质，需要定义景上的（预）叠，即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。

所有对象定义了叠，与另一对象关联，形成态射的广群。现有叠，若有对象与叠的态射（常称作叠X的图集、呈现或覆叠）满足以下性质，则称其几何的：
 态射可表，即和任何态射，纤维积同构于作为叠的（对某对象Z）；
 诱导态射满足取决于范畴的范畴（如对流形，是要满足浸没。微分叠是（微分流形范畴，视作具有通常开覆叠拓扑的景）上的叠，即2-函子，其也满足几何性，即承认上面定义的图集。Jochen Heinloth: Some notes on differentiable stacks , Mathematisches Institut Seminars, Universität Göttingen, 2004-05, p. 1-32.Eugene Lerman, Anton Malkin, Differential characters as stacks and prequantization, 2008

注意，将换成仿射概形范畴，就恢复到标准代数叠概念。相似地，把换成拓扑空间范畴，就得到拓扑叠定义。

 定义3（由森田等价） 
回想李群胚，包含两微分流形G、M、两满射浸没、偏乘法映射、单位映射、逆映射，满足类似群的相容性。

两个李群胚、间若有主双丛P，即有主右H丛、主左G丛，使得对P的两作用交换，则称G、H森田等价。森田等价是李群胚间的等价，比同构弱，但足以保留许多几何性质。微分叠记作，是某李群胚的森田等价类。Ping Xu, Differentiable Stacks, Gerbes, and Twisted K-Theory , 2017

 定义1、2的等价性 
任何纤维范畴都定义了2-层。反过来，任何预叠给出了范畴，其对象是流形U与对象的对子，态射是映射，使。这样的配备函子后，成为纤维范畴。

定义1、2中叠的胶合性质等价，同样，定义1中的图集诱导了定义2中的图集，反之亦然。

 定义2、3的等价性 

李群胚给出了微分叠，将任何流形N发送到N上的G-旋子的范畴（即G-主丛）。的森田类中，任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。

反过来，任何微分叠都是形式，即可由李群胚表示。更精确地说，若是叠X的图集，则可定义李群胚，并检查是否同构于X。

Dorette Pronk提出的一个定理指出，定义1的微分叠与李群胚之间的双范畴具有森田等价性。

示例
 任何流形M定义了微分叠，由恒等映射平凡地表示。叠对应单位广群的森田等价类。
 李群G定义了微分叠，将任意流形N发送到N上的G-主丛的范畴，由平凡叠态射表示，将一点发送到G的分类空间上的通用G-丛。叠对应的森田等价类，视作点上的李群胚（即任意具有迷向群G的传递李群胚的森田等价类）。
 流形M上的叶状结构由其叶空间定义了微分叠，对应完整广群的森田等价类。
 轨形都是微分叠，因为其是具有离散迷向的紧合李群胚（紧合李群胚的迷向是紧的，所以有限）的森田等价类。

 商微分叠 
给定M上的李群作用，其商（微分）叠是代数几何中商（代数）叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴和G-等价映射相联系的叠，是由叠态射表示的微分叠，在任意流形X上的定义如下：

其中是G-等价映射。

叠对应作用广群的森田等价类。于是，可得到下列特殊情形：

 若M是点，则微分叠与重合
 若作用是半正则紧合作用（于是商是流形），则微分叠与重合
 若作用是紧合作用（于是商是轨形），则微分叠与轨形定义的叠重合

微分空间微分空间'''（differentiable space）是具有平凡稳定子的微分叠。例如，若李群半正则作用（不必紧合）于流形，则对其的商一般不是流形，而是微分空间。

配备格罗滕迪克拓扑
微分叠X可以某种方式配备格罗滕迪克拓扑，这给出了X上的层概念。例如，X上微分p形式的层可由流形U上给出，使为U上p形式的空间。层称作X上的结构层，表示为。带有外微分，因此是X上向量空间的复层：于是有了X的德拉姆上同调的概念。

束
现有微分叠间的满态射，若也是满态射，则前者称作X上的束。例如，若X是叠，则是束。Giraud提出的一条定理称，一一对应于局部同构于的X''上的束集，束有其带（band）的平凡化。

 参考文献 

 外部链接 
http://ncatlab.org/nlab/show/differentiable+stack 

Category:微分几何