李超代数

李超代数是李代数的推广，包含了Z2分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。

定义
形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z2-分次代数，或“超代数”，其积为[·, ·]，称作李超括号或超交换子，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）：

超反对称性（skew-symmetry）：

超雅可比恒等式：

其中x、y、z在Z2分次中为纯。|x|表示x的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有时，还会在时添加公理（若2可逆，则公理自动成立）；对时，有（若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。

正如对李代数一样，李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。
反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数（按Z或N分次）也有分次（称作将代数“卷”为奇偶部分），但不称作“超”。

 性质 
令为李超代数。通过观察雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类：

 无奇元素。即为平凡李代数。
 1个奇元素。则是作用的模。
 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号是对称映射。
 3个奇元素。对所有，都有。

因此，李超代数的偶超代数形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而是的线性表示，存在对称等变线性映射使得

条件(1)–(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（）和表示（）开始构造李超代数时最难验证的条件。

对合
∗李超代数是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数，映射反映Z2分次且对李超代数中所有x、y都有（有人更喜好约定；将*改为−*可在两种约定之间切换）。其泛包络代数将是普通对合代数。

例子
给定结合超代数，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子：

然后线性延伸到所有元素。代数与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当为超向量空间中所有线性函数的空间。时，该空间可表为或。用上述李括号，空间可表为。

同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。

超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。

分类

维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数）
特殊线性李超代数 .

李超代数是的超代数，包含超迹为0的矩阵。时是简单的；时，单位矩阵产生一个理想。对理想取商，可得 ，对是简单的。

正交辛李超代数 .

考虑上的偶、非退化、超对称双射形式，则正交辛李超代数是的超代数，包含的矩阵满足下式不变：其偶部由给出。

例外李超代数 .

有一族取决于参数的(9∣8)维李超代数，它们是的变形。若、，则D(2,1,α)是简单的；若、在映射、的作用下处于同一轨道，则。

例外李超代数 .

具有维度(24|16)。偶部由给出。

例外李超代数 .

具有维度(17|14)。偶部由给出。

还有2个所谓“奇异”序列，分别叫做、.

Cartan类型。可分为4族：、、、。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。
无穷维简单线性紧李超代数的分类
分类包含10个系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5个例外代数：

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群SU(3)×SU(2)×U(1)。无穷维（仿射）李超代数是超弦理论中重要的对称，具体来说，具有超对称的Virasoro代数是，其只有中心扩展到。

范畴论定义
范畴论中，李超代数可定义为非结合超代数，其积满足

其中σ是循环包络辫。以图表示：

center

另见
 格尔斯滕哈伯代数
 任意子李代数
 外代数
 李超代数的表示
 超空间
 超群
 泛包络代数

 注释 

 参考文献 

 历史 
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外部链接
 Irving Kaplansky + Lie Superalgebras

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