反向欧拉法

数值分析与科学计算中，反向欧拉法或隐式欧拉法是求解常微分方程最基本的数值方法之一。其类似于（标准）欧拉法，不过是一种隱式方法。反向欧拉法的时间误差为一阶。

 描述 
考虑常微分方程 


有初值此处函数与初值数据、均未知；函数取决于实变量，同样未知。数值方法产生一个序列，使近似于，其中称为步长。

反向欧拉法计算近似值的方法是

异于（正向）欧拉法，后者用的是而非。

反向欧拉法是一种隐式方法：新近似值在方程两侧都出现，因此该方法要求解未知的代数方程。对非刚性问题，这可采用定点迭代法：

若序列收敛（在给定精度内），则该方法会将其极限作为新的近似
。

或者，也可以使用牛顿–拉斐森法求解代数方程。

 推导 
将微分方程自积分到，有

现在用右手矩形法近似计算右式的积分：

最后，用应近似于的性质，就得到了反向欧拉法公式。

若用左手矩形法，同样的推导会得到（标准）欧拉法。

 分析 
用大O符号表示反向欧拉法的局部截断误差（LTE）（定义为迭代一步产生的误差）为。特定时刻的误差为，这是说该方法的阶数为1。一般来说，具有LTE的方法定义为k阶。

反向欧拉法的绝对稳域是以1为圆心，半径为1的圆盘在平面内的补集，如图所示。这包括整个复平面的左半部，使其适于求解刚性方程。事实上，反向欧拉法甚至是L-稳定的。

利用反向欧拉法求解离散稳定系统的区域是半径为0.5的圆，位于z平面的(0.5, 0)处。Wai-Kai Chen, Ed., Analog and VLSI Circuits The Circuits and Filters Handbook, 3rd ed. Chicago, USA: CRC Press, 2009.

 推广与改进 
反向欧拉法是（前向）欧拉法的一种变体。其他变体还有半隐式欧拉法和指数欧拉法。

反向欧拉法可视为1阶段的龙格-库塔法，可用Butcher表描述：

该方法也可看作是1步的线性多步法，是Adams–Moulton法族中的第一个方法，也是后向微分法的第一个方法。

另见
克兰克-尼科尔森方法

 注释 

 参考文献 
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