量子上同调

辛拓扑和代数几何中，量子上同调环是闭辛流形的普通上同调环的推广。有“小环”和“大环”两种定义，一般来说后者更复杂，包含的信息也更多。系数环（一般是诺维科夫环）的选择也会对其结构产生重大影响。

普通上同调的上积描述了子流形如何相交，而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说，若它们通过伪全纯曲线相连接，就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量在量子上积的展开式中作为系数出现。

量子上同调表达了格罗莫夫-威滕不变量的结构或模式，因此对枚举几何有重要意义，还与数学物理和镜像对称中的许多观点相关。特别是，它与辛弗洛尔同调是环同构的。

本文中X是闭辛流形，具有辛形式ω。

诺维科夫环

X的量子上同调的系数环有多种选择，通常我们会选择能编码X的第二同调信息的环，这样下面定义的量子上积就能记录X中仿全纯曲线的信息。例如，令

为第二同调模其挠（torsion）。令R为任意有单位元的交换环，Λ是形式为

的形式幂级数的环，其中

 系数来自R；
 为形式变量，服从关系；
 对每个实数C，只有有限多个ω(A)小于等于C的A具有非零系数。

变量的度数为，其中是切丛TX的第一陈类，通过选择任意与ω相配的殆复结构，可将其视为复向量丛。因此，Λ是分次环，称作ω的诺维科夫环（其他定义亦常见）。

小量子上同调
令

为X模挠（torsion）的上同调。系数为Λ的小量子上同调定义为

其元素是形式为

的有限和。小量子上同调是分次R模：

普通上同调通过嵌入，后者由作为Λ模生成。

对中任意两个纯度（pure degree）的上同调类a、b，以及中任意的A，定义为的唯一元素，使得

（右式是0亏格3点格罗莫夫-威滕不变量。）接着，定义

根据线性关系，可以推广为定义良好的Λ双射

即小量子上积（small quantum cup product）。

几何解释
类中唯一的仿全纯曲线是常值映射，其像是点。因此

即

于是量子上积包含普通上积；也就是说，这定义将普通上积推广到了非零类A。

一般来说，的庞加莱对偶对应着通过a、b的庞加莱对偶的类A的仿全纯曲线空间。所以，普通上同调认为只有当a、b在一定的点上相遇才算做相交，而量子上同调则记录了a和b的非零相交，只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统，可以记录所有类A的相交信息。

例子
令X为具有标准辛形式（对应富比尼–施图迪度量）和复结构的复射影平面。令为线L的庞加莱对偶，则

唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类或的不变量。可得

及

其中δ是克罗内克δ函数。于是，

这时，可以方便地将重命名为q，并使用更简单的系数环，其中的q之度为。则

小量子上积的性质
对纯度（pure degree）的a、b，

且

小量子上积满足分配律，是Λ双线性的。单位元也是小量子同调的幺元。

小量子上积还满足结合律，这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律（gluing law）的结果。这相当于，格罗莫夫-威滕势（0亏格格罗莫夫-威滕不变量的母函数）满足特定的三阶微分方程，即WDVV方程。

相交对

的定义为

（下标0表示系数。）其满足结合律

杜布罗温联络
基环R是C时，可将向量空间的均匀分次部分H看做复流形。小量子上积限制为H上良定义的交换积。在较温和的假设下，具有相交对的H是弗罗贝尼乌斯代数。

量子上积可视作是切丛TH上的联络，称作杜布罗温联络。则，量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零挠率和零曲率条件。

大量子上同调
存在的邻域U，使和杜布罗温联络赋予U以弗罗贝尼乌斯流形的结构。有量子上积

定义为

H上的积统称为大量子上同调（big quantum cohomology）。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复；但一般来说，更简单的小量子上同调并非如此。

小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息，大量子上同调则有所有n点（n ≧ 4）格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的枚举几何信息，需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数，大量子上同调则对应所有n点相关函数。
  参考文献
 McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. .

 Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. 

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