拉普拉斯逆变换

在数学中，函数的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数，满足如下性质：



其中，表示拉普拉斯变换。

可以证明：如果函数具有拉普拉斯逆变换，则唯一（考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。

因其具有的许多性质，正反拉普拉斯变换在线性动态系统的分析中颇有可为。

 梅林反演公式 
拉普拉斯逆变换的积分形式，称为梅林反演公式（）、布罗米奇积分或傅里叶-梅林积分，由线积分定义：



积分路径是复平面中的垂线，其中大于所有奇点的实部，且在积分路径上有界（例如积分路径位于收敛域内）。当所有奇点位于左半平面内，或是整函数时，可以将置零，此时上述积分退化为傅立叶逆变换。

在实践中，复积分的计算可以通过柯西留数定理完成。

 珀斯特反演公式 
拉普拉斯逆变换的微分形式，称为珀斯特反演公式（），以数学家埃米尔·珀斯特 (Emil Post)命名， 是一个看似简便但并不常用的拉普拉斯逆变换计算公式。

公式表述如下：设为区间[0, +∞) 的指数阶函数，存在实数b ，使满足：



则对于任意，的拉普拉斯变换均存在且对于s无限可微。设是的拉普拉斯变换，则可由下式定义：



其中，是对的k阶导数。

分析公式可以看出，该方法需要计算函数的任意高阶导数，这在大多数应用场景下并不现实。

随着个人计算机的出现，该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或渐近分析，及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微积分计算导数。

随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要的具体极点坐标，通过数次逆梅林变换，可能实现对黎曼猜想的渐近分析。

 软件工具 

 InverseLaplaceTransform ：在Mathematica中求拉普拉斯逆变换的解析解
 使用 Mathematica 中的复数域对拉普拉斯变换进行多精度数值反演 
 ilaplace ：在MATLAB中求拉普拉斯逆变换的解析解
 Matlab 中拉普拉斯变换的数值反演
 Matlab中基于集中矩阵指数函数的拉普拉斯变换数值反演 

 相关条目 

 傅里叶变换
 泊松求和公式

 参考链接 

 相关书目 



  (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform)

 Elementary inversion of the Laplace transform . Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006.

 外部链接 

 EqWorld 的积分变换表 

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