唐纳森-托马斯理论

代数几何中，唐纳森–托马斯理论是关于唐纳森–托马斯不变量的理论。给定卡拉比–丘三维流形上的层的紧模空间，其唐纳森–托马斯不变量是其点的虚数，即上同调1类对虚基类的积分。唐纳森–托马斯不变量是卡森不变量的全纯类似物，由引入。唐纳森–托马斯不变量与代数三维流形的格罗莫夫-威滕不变量及Rahul Pandharipande、Thomas提出的稳对理论有密切联系。

唐纳森–托马斯理论的物理动机是弦论和规范场论中出现的某些BPS态。这是因为不变量取决于所研究的模空间派生范畴的布里奇兰稳定条件。从本质上讲，其对应于卡拉比-丘流形的凯勒模空间中的点，如同镜像对称猜想中的考虑，而由此产生的子范畴是相应的超共形场论的BPS态范畴。

定义与例子
格罗莫夫-威滕不变量的基本思想是研究黎曼曲面到光滑目标的伪全纯映射，以探测空间的几何。所有映射的模叠都有虚基类，其上的相交理论产生的数值不变量通常包含枚举信息。唐纳森-托马斯理论的方法也是通过方程，研究代数三维流形中的曲线，确切地说是用空间上的理想层进行研究。这一模空间也允许有虚基类，并产生某些可枚举的数值不变量。

在格罗莫夫–威滕理论中，映射可以是域曲线的多重覆盖与塌陷分量（collapsed component），而唐纳森-托马斯理论则允许层中包含零势信息，不过这些都是整值不变量。Davesh Maulik、安德烈·奥昆科夫、Nikita Nekrasov、Rahul Pandharipande等人提出了更深层的猜想，即代数三维流形的格罗莫夫–威滕理论和唐纳森-托马斯理论实际上等价。更具体地说，在适当改变变量后，它们的生成函数相等。对于卡拉比-丘三维流形，唐纳森-托马斯不变量可表为模空间上的加权欧拉特征。最近，这些不变量、母题霍尔代数（motivic Hall algebra）与量子体上的函数环之间也出现了联系。

五次三维流形上的线的模空间是含2875个点的离散集。点的虚拟数就是点的实际数，因此模空间的唐纳森-托马斯不变量就是2875。
相似地，五次上的圆锥的模空间的唐纳森-托马斯不变量是609250。

 定义 
对于卡拉比-丘三维流形与固定的上同调类，有相关的相容层（陈示性类）的模叠。一般来说，这是个无限类的非分离亚廷叠，很难在其上定义数值不变量。相反，有些开放子叠参数化了这种相容层，具有施加的稳定性条件，即稳定层。这些模叠具有更好的性质，比如被有限类型分离。唯一的困难在于，由于存在固定层的变形阻碍，它们可能具有不良的奇点。特别地由于是卡拉比-丘流形，所以塞尔对偶性意味着其给出了维数为0的完美阻碍理论。特别地，这意味着相关的虚基类的同调度为，然后可以定义DT不变量：其取决于稳定性条件和上同调类。托马斯证明，对光滑族，上述不变量也不变。最初研究者选择的是吉赛克稳定性条件，近年来又根据其他稳定条件对其他DT不变量进行了研究，从而得出了“穿墙公式”（wall-crossing formula）。

 事实 
模空间M的唐纳森-托马斯不变量等于M的加权欧拉示性数。权函数将M中的每点都有类似的超平面奇点的米尔诺数。

 推广 
 我们不考虑层的模空间，而考虑导出范畴对象的模空间。这给出了计算卡拉比-丘三维流形的稳对的Pandharipande–托马斯不变量。
 搜门不考虑整值不变量，而考虑母题不变量。

 另见 
 枚举几何
 格罗莫夫–威滕不变量
 希尔伯特概形
 量子上同调

参考文献

Category:代数几何
Category:弦论