札克变换

在数学中，札克变换  （英文：Zak Transform，也称盖尔范德映射）是一种函数算子，其输入是一个一元函数，输出一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该算子以无穷级数定义，其中每一项都是该函数的特定取值和复指数函数的乘积。在信号处理中，札克变换的输入为时域信号，输出是该信号的混合时频表示。输入信号取值可为实值或复值，可定义在连续集（如全体实数）或离散集（如整数或整数的子集）上。札克变换是离散时间傅立叶变换的推广。  

札克变换在不同领域被多人独立发现，各自命名。伊斯拉埃尔·盖尔范德在其关于特征函数的工作中首次引入了这一变换，因而其也被称为盖尔范德映射。1967年，约书亚·札克独立地重新发现了这一变换，称之为“k-q表示”。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换，因为札克首先意识到了它的应用前景，并在更一般的情况下，对其进行了更系统的研究。

 连续时间札克变换：定义 
在连续时间札克变换中，假定输入函数为实变函数，设 为实变量t的函数, 的连续时间札克变换结果为一个二元函数，其中一个变量是t ，另一个变量用w表示，可由如下多种方式定义：

 定义1 
设a为大于0的常数，的连续时间札克变换可定义如下：



 定义2 
在定义1中，有时取a = 1。 在这种情况下，的连续时间札克变换可以简化为：



 定义3 
有时，连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下， 的连续时间札克变换为：



 定义4 
设T为为大于0的常数。 的连续时间札克变换也可由下式定义：



此时，t与w满足：, 

 示例 
试求如下函数的札克变换：



解：



其中表示不小于的最小整数（ceil函数）。

 札克变换的性质 
以下讨论中的札克变换均采用定义二：

1.线性

设a和b为任意复数，则：



2.周期性



3.准周期性



4.共轭性



5.对偶性

 若是偶函数，则：

 若是奇函数，则：

6.卷积性

令表示对变量t的卷积：



 逆变换公式 
给定函数的札克变换，原函数可用下式计算：



 离散札克变换：定义 
设是一个定义在整数域上的函数，即自变量n是一个整数，满足 。与连续时间札克变换相同，的离散札克变换同样是一个二元函数，其中一个自变量是 ，另一个变量是一个实数，表示为 ；离散札克变换同样有不同的定义，下面给出其中一种定义方式：

 定义 
函数的离散札克变换，记为，由下式定义，其中是一个整数：



 逆变换公式 
给定函数的离散札克变换 ，原函数可用下式计算：



 应用 
札克变换在物理学中的量子场论、 电气工程中信号的时频表示与数字通信中均有应用。 

 参考文献 

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