上积

代数拓扑中，上积或杯积（cup product）是将两个度为p和q的上循环联接起来，形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间X的上同调转变为分次环，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。
定义
奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环上的积。

构造始于上链之积：若是p上链，且是q上链，则

其中σ是奇异-单纯形，, 
是S张成的单纯形规范嵌入-单纯形，后者的顶点索引为。

非正式地，是σ的第p个正面（front face），是σ的第q个背面（back face）。

上链与的上积的上边缘（coboundary）为

两个上循环的上积仍是上循环，上边缘与上循环（任意顺序）的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算


性质
上同调中的上积满足以下特性

因此相应的乘法是分次交换的。

上积的函子性体现在以下方面：若

是连续函数，

是上同调中的诱导同态，则

对中所有类α、β。也就是说，f *是（分次）环同态。

解释
可将上积视作由下面的组合诱导而来：以与的链复形表示，其中第一个映射是克奈映射，第二个映射由对角诱导。

这个构成传给商，便给出了良定义的上同调映射，这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在，但没有解释同调上积：诱导了映射，但还会诱导映射，后者与我们定义积的方法相反。不过，这在定义下积时是有用的。

上积的这种表达体现了双线性，即；

例子
上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间与环面T具有相同的上同调群，但具有不同的上积。在X的情况下，与 相关的上链的乘法是退化的；而在T中，第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图，从而使积等于Z（更一般地说是M，此处是基模）。

其他定义
上积与微分形式
在德拉姆上同调中，微分形式的上积由楔积导出。即，两个闭微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。

上积与几何相交
对于定向流形，有几何启发式，即“上积与相交是对偶的”。

令为维定向光滑流形。若两个余维分别是i、j的子流形横截着交，那么它们的交又是余维是i + j的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是庞加莱对偶的，即取庞加莱对则有以下等式：

.

同样，环绕数也可用交来定义，将维数移动1，或者用链之补上的非零上积来定义。

梅西积

上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算，称作梅西积，是上积的推广。它是一种高阶上同调运算，目前只定义了一部分（只定义了部分三元运算）。

另见
奇异同调
同调
下积
梅西积

参考文献

 James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984)  (hardcover)  (paperback)
 Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) 
 Allen Hatcher, "Algebraic Topology ", Cambridge Publishing Company (2002) 

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