上同调环

代数拓扑中，拓扑空间X 的上同调环是由X的上同调群与上积组成的环。此处，“上同调”指奇异上同调，不过环结构也存在于德拉姆上同调等其他理论中。它也是函子式的：对于空间中的连续映射，可在上同调环上得到反变（contravariant）的环同态。

具体来说，给定X上的上同调群序列，其系数在交换环R（一般是Zn、Z、 Q、R、C）中，就可以定义上积：

上积给出了上同调群

的直和的乘法，将变成了环。实际上，它自然是一个N次环，非负整数k为次数。上积保持分次不变。

上同调环是分次交换的，即上积与由分次定义的符号交换。具体地，对度为k、ℓ的纯元素，有

上同调环衍生出的一个数值不变量是上积长（cup-length），即度数≥ 1、积不为零的分次元素的最大数目。例如，复射影空间的上积长等于其复维度。

 例子 
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据克奈定理，n份的笛卡尔积的模2上同调环是一个系数在中的n变量多项式环。
楔和的退化上同调环是它们的退化上同调环的直积。
除了度为0的部分，悬挂（suspension）的上同调环为0。

 另见 
量子上同调

参考文献


Category:同调论