统计流形

数学中，统计流形是每点都代表一概率分布的黎曼流形，为信息几何提供了研究对象。费希尔信息度量提供了流形上的度量张量。根据这定义，对数似然函数是可微映射，分数是包含映射。

示例
所有正态分布可视为2维参数空间，参数为期望与方差。由费希尔信息矩阵给出的黎曼度量可得统计流形，其几何模型是双曲几何。通过费希尔信息推断参数方程而非从似然函数出发，是绘制流形的一种方法。

统计流形的简单例子是物理学中的正则系综：是1维流形，温度T是坐标。对任何常温T，都有概率空间：因此对原子气体而言，它就是原子速度的概率分布，会随T的变化而变化。

另一个简单例子来自医学，即病人治愈概率分布与给药量的关系。在固定剂量下，有些病人的病情有所改善，有些则没有，这就是基本概率空间。若改变剂量，结果概率也会变化，因此剂量就是流形上的坐标。要成为微分流形，就要根据剂量的任意微小变化测量结果，这并不实际可行，除非已有了剂量-反映数学模型，其中剂量可以任意变化。

 定义 
令X为可定向流形，使为X上的测度。等价地，令为关于的概率空间，其中σ-代数与概率。

X的统计流形S(X)定义为X上所有测度（σ-代数不变）。注意这空间是无穷维的，通常认为是弗雷歇空间。S(X)的点都是测度。

与其处理无穷维空间S(X)，不如处理有限维子流形，由一组由光滑、连续变化的参数参数化的概率分布给出定义即可。也就是说，只考虑由参数选择的测度。若参数是n维的，那么子流形一般也是n维。所有有限维统计流形都可这样理解。

 另见 
 琴佐夫定理

 参考文献 

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