分段回归

分段回归是一种回归分析方法，将自变量划为若干区间，并分别拟合出单独的线段。通过对各种自变量分区，也可以对多元数据进行分区回归分析。自变量聚类为不同组别时，这些区域的变量之间会表现出不同的关系，这时分段回归就非常有用。分段之间的界限就是间断点。

分段线性回归就是分段回归，通过线性回归得到区间内的关系。

2段线性回归

分2段线性回归的段间有1个间断点，可用来量化影响因素（x）变化的响应函数（Yr）的突然变化。间断点可解释为临界值、安全值或阈值，过该值会产生（非）预期效果。间断点对决策非常重要。Frequency and Regression Analysis. Chapter 6 in: H.P.Ritzema (ed., 1994), Drainage Principles and Applications, Publ. 16, pp. 175-224, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands.  . Free download from the webpage   , under nr. 20, or directly as PDF :  

这些图表说明了可获得的一些结果和回归类型。

分段回归分析基于一组( y, x )数据，其中y是因变量，x是自变量。

最小二乘法分别适用于每个分段，通过这种方法，两条回归线可以分别拟合数据集，同时使因变量观测值（y）与计算值（Yr）之间的差值平方和（SSD）最小化：

 Yr = A1.x + K1     其中x < BP（间断点）
 Yr = A2.x + K2     其中x > BP（间断点）
其中
Yr是一定值x下y的期望（预测）值；
A1、A2是回归系数（表示线段斜率）；
K1、K2是回归常数（表示y轴截距）。

数据可能显示多种类型或趋势， Drainage research in farmers' fields: analysis of data. Part of project "Liquid Gold" of the International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. Download as PDF :  见图。

该方法还能得到2个相关系数（R）：
     其中x < BP（间断点）
及
      其中x > BP（间断点）
其中
 是每段的最小化SSD
，而
Ya1、Ya2是各自区间y的均值。

在确定最合适的趋势时，必须进行统计检验，以确保趋势可靠（显著）。

如果无法检测到明显的断点，则必须采用无断点回归。

例子
右边的蓝色图给出了芥菜产量（Yr = Ym, t/ha）和土壤盐化（x = Ss，用土壤溶液导电率EC表示，单位为dS/m）之间的关系：R.J.Oosterbaan, D.P.Sharma, K.N.Singh and K.V.G.K.Rao, 1990, Crop production and soil salinity: evaluation of field data from India by segmented linear regression. In: Proceedings of the Symposium on Land Drainage for Salinity Control in Arid and Semi-Arid Regions, February 25th to March 2nd, 1990, Cairo, Egypt, Vol. 3, Session V, p. 373 - 383.

BP = 4.93, A1 = 0, K1 = 1.74, A2 = −0.129, K2 = 2.38, R12 = 0.0035（不显著）, R22 = 0.395（显著），以及：
 Ym = 1.74 t/ha                        对于Ss < 4.93（断点）
 Ym = −0.129 Ss + 2.38 t/ha     对于Ss > 4.93（断点）
表明土壤盐度< 4.93 dS/m是安全的，而土壤盐度> 4.93 dS/m则会使土壤盐度每增加一个单位减产0.129 t/ha。

下图还显示了置信区间和不确定性。

测试程序
以下统计检验用于确定趋势类型：
 将BP表示为回归系数A1、A2与y数据均值Y1、Y2，以及x数据均值X1、X2（BP的左右），利用加法和乘法的误差传播规律计算BP的标准差（SE），并应用T检验，从而确定断点（BP）的显著性
 应用T分布和A1、A2的标准差SE，检验A1、A2的显著性
 利用A1、A2差的SE，采用T分布检验差的显著性
 利用Y1、Y2差的SE，运用T分布检验差的显著性
检验是否有断点的一种更正式的统计方法是伪分数检验，无需估计分段线。
此外，还使用了所有数据的相关系数(Ra)、决定系数或解释系数、回归函数的信赖区间及ANOVA分析。Statistical significance of segmented linear regression with break-point using variance analysis and F-tests. Download from   under nr. 13, or directly as PDF :  
在显著性检验设定的条件下，所有数据的决定系数(Cd)应达到最大值，其计算公式为

其中Yr是根据前回归方程得出的y的预期（预测）值，Ya是所有y值的均值。

Cd系数介于0（完全没有解释）和1（完全解释，完全匹配）之间。
在纯粹的非分段线性回归中，Cd=Ra2。在分段回归中，Cd要明显大于Ra2才能证明分段的合理性。

可找到断点的最优值，使Cd系数得极大值。

无效应范围

分段回归常用于检测解释变量(X)对因变量(Y)无效应的范围。
无效应范围可能在X域的前部，也可能在后部。对于“无效应”分析，应用最小二乘法进行分段回归分析Segmented regression analysis, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. Free download from the webpage  可能不是最合适的技术，因为其目的是找到Y-X关系可被视为零斜率的最长延伸段，在之外，斜率与零有显著差异，但有关该斜率最佳值的知识并不重要。找到无效应范围的方法是对该范围进行渐进式部分回归Partial Regression Analysis, International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI), Wageningen, The Netherlands. Free download from the webpage  ，小步扩展范围，直到回归系数与零有显著差异。

在下图中，X=7.9时找到了断点，而对于相同的数据（芥菜产量见上图蓝色部分），最小二乘法仅在X=4.9时得到断点。后者的值较低，但对间断点以外数据的拟合效果更好。因此，采用哪种方法取决于分析的目的。
另见
 邹检验
 简单线性回归
 线性回归
 普通最小二乘法
 多元自适应回归样条
 局部回归
 断点回归
 分步回归

参考文献

Category:回归模型