矩阵差分方程

矩阵差分方程是一种差分方程，其中某时刻的变量向量（或矩阵）与之前时刻的值通过矩阵相关。方程的阶是变量向量任意两个指示值之间的最大时差。例如

是二阶矩阵差分方程，其中是变量向量，、是矩阵。该方程齐次，因为方程末尾没有常数项向量。同一个方程也可写成

或

最常见的矩阵差分方程都是一阶的。

非齐次一阶情形及稳态

非齐次一阶矩阵差分方程如：

与一个加性常向量 。该系统的稳态是向量的值，一旦达到就不会偏离。可通过置、解以得

其中是单位矩阵，假定可逆。非齐次方程可用偏离稳态的齐次方程重写：

一阶情形的稳定性

一阶矩阵差分方程是稳定的，即当且仅当转移矩阵的所有特征值（无论实复）绝对值都小于1时，才逐渐收敛到稳态。

解一阶情形

假定方程齐次形式为，然后可从初始条件开始迭代。是的初值，必须得知才能求解：

以此类推，由数学归纳法，用表示的解为

此外，若可对角化，就可用它的特征值和特征向量重写，得到解

其中是矩阵，列是的特征向量（假设特征值互异）；是对角矩阵，对角元是的特征值。这个解就是上述稳定性结果的依据：当且仅当的特征值绝对值都小于1，才会随时间收缩到零矩阵。

从一阶矩阵系统中提取单一标量变量的动力特性

从维系统开始，可以提取其中一个状态变量（如）的动态变化。上述的求解方程表明，的解是根据的个特征值求得的。因此，描述变化的方程本身必须有涉及特征值的解。这种描述直观地产生了的演化方程，即

其中参数来自的特征方程式：

因此，维一阶线性系统中的每个标量变量都根据一元阶差分方程演化，与矩阵差分防尘具有相同的稳定性。

高阶情形的解与稳定性

可用分块矩阵将高阶矩阵差分方程转换到一阶，可以求解时滞超过一个周期的高阶方程，并分析其稳定性。例如，假设有二阶方程

变量向量尺寸为，、尺寸为。则可以叠加为下列形式

其中是单位矩阵，是零矩阵。然后将当前变量和一度滞后变量的叠加向量表示为，将分块矩阵表示为，就得到了之前的解

与之前一样，当且仅当矩阵 的所有特征值的绝对值都小于1时，叠加方程与原二阶方程才稳定。

非线性矩阵差分方程：黎卡提方程

在LQG控制中，会出现一个当前和未来成本矩阵反向演化的非线性矩阵方程，下面用表示。这个方程也被称为离散动力黎卡提方程，当据线性矩阵差分方程演化的变量向量受外源向量的控制，以优化二次损失函数时，就会产生这个方程。黎卡提方程形式如下：



其中、、尺寸为；尺寸为；尺寸为，是受控向量元素数，是控制向量元素数。参数矩阵、来自线性方程，参数矩阵、来自二次损失函数。详见此处。

一般来说，该方程无法根据分析求解，而是通过迭代黎卡提方程，求出的值序列。不过，已经证明，若、，则可将黎卡提方程简化为标量有理差分方程分析求解；对任意、，若转移矩阵可逆，则黎卡提方程就可根据矩阵特征值进行分析求解，尽管特征值可能要用数值计算才能找到。 

在大多数情况下，随时间的演化是稳定的，也就是说会收敛到特定的常矩阵，其他矩阵都有理时也可能是无理的。参见隨機控制#離散時間系統。

相关的黎卡提方程是

其中全都是方阵。这个方程可以显式求解。假设，在时、显然成立。然后将其用于差分方程，得出

因此通过归纳法，形式对所有都成立。那么、的演化可写为

因此可归纳

另见
矩阵微分方程
差分方程
线性差分方程
动力系统
代数Riccati方程

参考文献

Category:线性代数
Category:递回关系
Category:动力系统