振荡 (数学)

数学中，函数或序列的振荡是用于量化序列或函数在接近无穷大或某一点时，其极值之间的变化程度的数字。与极限类似，有好几种定义将这一只管概念转化为适合数学处理的形式：实数序列的振荡、实值函数在一点的振荡，以及函数在区间（或开集）上的振荡。

定义
序列的振荡
令为实数序列。则序列的振荡可定义为的上下极限之间的差（可能是无穷大）：

.

当且仅当序列收敛时，振荡为零。若、都等于+∞或−∞，即序列趋近于+∞或−∞，则称振荡未定义。

开集函数的振荡
令为实变量的实值函数，则在区间上的振荡是的上下确界之差：

更一般地说，若是拓扑空间（如度量空间）上的函数，则在开集上的振荡为

函数在一点的振荡
实变函数在处的振荡定义为在的邻域上的振荡在时的极限：

这等同于函数在处的上下极限之差，前提是不被排除在极限之外。

更一般地说，若是度量空间上的实值函数，则振荡为

示例
在处有无穷大的振荡，其他地方均为0。
（拓扑学家正弦曲线）在处的振荡为2，其他地方均为0。
在所有有限的处的振荡均为0，在−∞、+∞处为2。
（1, -1, 1, -1, 1, -1...）的振荡为2。

最后一例的序列是周期的，而任何周期（非常值）序列的振荡必不是0。不过，非零振荡无法推出周期性。

从几何角度看，实数振荡函数的图形会沿着xy平面上的某条路径运行，而不会收敛到越来越小的区域。在良态情况下，路径可能看起来像一个循环，即周期性行为；在最糟糕的情况下，则是覆盖整个区域的非常不规则的运动。

 连续性 
振荡可以用来定义函数的连续性，并且很容易等价于通常的ε-δ定义（对于定义在实线各处的函数）：当且仅当振荡为0时，函数ƒ在x0处连续；Introduction to Real Analysis , updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172用符号表示为这个定义的好处在于量化了不连续性：振荡给出了函数在某点的不连续程度。

例如，在间断点的分类中有：
 可去间断点的函数偏移值等于震荡；
 跳跃间断点的函数跳跃值等于震荡（假设该点的值位于两侧极限之间）；
 第二类间断点中，振荡衡量了极限不存在的程度。

描述集合论中，这个定义有助于研究间断点和连续点的集合：连续点是振荡小于ε的集合的交集（于是是Gδ集），并给出了勒贝格可积条件一个方向的快速证明。Introduction to Real Analysis , updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177

通过简单的重排和极限（上极限和下极限）来定义振荡，可以等价于ε-δ定义：若（在某点）对给定的ε0，没有能满足ε-δ条件的δ，则振荡大于等于ε0；反之，若对每个ε都有能满足的δ，则振荡为0。振荡定义可以自然地推广到从拓扑空间到度量空间的映射。

推广
更一般地，设f : X → Y是拓扑空间X到度量空间Y的函数，则f的振荡可定义在每个x ∈ X：

 另见 
 波动函数
 包络
 格兰迪级数
 有界平均振动

参考文献

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