西克曼骰子

西克曼骰子（）是一对具有非标准数字的六面骰——其中一个骰子的六面分别为1、2、2、3、3、4，另一个为1、3、4、5、6、8。它们与普通骰子的不同之处在于：它们是唯一一对面值仅包含正整数，且投掷点数的概率分布之和与普通骰子相同的非标准骰子。这对骰子于1978年由美国纽约水牛城的乔治·西彻曼发明。

 数学 
计算使用一对均匀的六面骰子掷出特定点数（通过将两次掷骰子的点数相加）的方法数量是初等组合数学中的一个标准练习。下表显示了掷出给定点数方法的数量  ：
+掷出给定数字的方法数n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12方法数1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
疯狂骰子是一个初等组合数学中的练习，它涉及重新标记一对六面骰子的面，以使点数之和的出现频率与标准骰子相同。西克曼骰子就是只用正整数重新标记的疯狂骰子。（如果整数不必是正数，想要获得相同的概率分布，可以将其中一个骰子的每个面上的数字减去k ，另一个骰子的每个面上的数字加上k ，其中k为任意自然数；这样就有了无穷多个解。）

下表列出了使用标准骰子和西克曼骰子可能掷出的所有点数和。为了清晰起见，其中一个西克曼骰子使用彩色标注：1–2–2–3–3–4，另一个是全黑的：1–3–4–5–6–8。
+标准骰子和西克曼骰子可能掷出的所有点数和23456789101112标准骰子1+16+6西克曼骰子1+14+8
除了点数和之外的其他属性不必与普通骰子相同；例如，普通骰子掷出两个相同点数的概率为 1/6（在36 种可能的组合中，有1+1、2+2、3+3、4+4、5+5 和 6+6六种），而西克曼骰子掷出两个相同点数的概率为1/9（1+1、3+3、3+3和4+4）。

 历史 
西克曼骰子是由美国纽约水牛城的乔治·西彻曼发明的，最初由马丁·加德纳在 1978 年《科学美国人》杂志的一篇文章中报道。

可以排列数字，使得相对两侧的所有数字之和都相等，第一组数字之和为 5，第二组数字之和为 9。

后来，加德纳在给西克曼的一封信中提到，他认识的一位魔术师曾比西克曼更早发现这对数字。关于西克曼骰子推广到两个以上骰子和非立方体骰子，请参见Broline (1979)、Gallian和Rusin (1979)、Brunson和Swift (1997/1998)以及Fowler和Swift (1999)。

 数学论证 
设一个标准n面骰子是一个n面体，其各个面分别标有整数[1,n]，且掷出每个数字的概率均为1/n 。考虑标准的立方体（六面）骰子。这种骰子投掷结果的母函数为： 。该多项式与其自身的乘积即为一对骰子投掷结果的母函数：  。

我们可以使用分圆多项式或基本因式分解来分析这个多项式。

法 1 ：分圆多项式：

我们知道： 其中d 的取值范围是n的所有约数， 是第 d个分圆多项式，并且

 .

因此，我们推导出单个n面标准骰子的母函数为：



被约去。因此，一个六面标准骰子的母函数的因式分解为



法 2 ：基本因式分解：

.

.

因此， 

掷两个骰子的结果母函数是以下因式各两个副本的乘积： 

。我们如何将它们划分成两个合法的骰子，且其点数不是按照标准方式排列的？这里的“合法”指点数非负且总数为六，即每个骰子有六个面，每个面至少有一个点。也就是说，每个骰子的母函数必须是一个多项式，其所有指数均为正（相当于骰子的面值）且不含常数项，同时所有系数为正（相当于代表每个面的序号），且系数之和为6。因此， 、。

将代入多项式（来求出系数和）得到： 、 和。为了使两多项式中因数的乘积都等于 6，所有因式都必须与因式相乘。剩余的一对因式（均为 ) 要么分开（这样就得到了对称解，也就是标准骰子），要么组合在一起，也就是西克曼骰子：



和



由此可知，一对西克曼骰子各面上的点数分布分别为 {1,2,2,3,3,4} 和 {1,3,4,5,6,8}，如上所示。

这种方法可以推广到任意面数的骰子上。

 另请参见 



 参考文献 



 参考资料 

 外部链接 
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