中心化矩阵

数学和多元变量统计中，中心化矩阵John I. Marden, Analyzing and Modeling Rank Data, Chapman & Hall, 1995, , page 59.指对称幂等矩阵，且当其与向量相乘时，效果等用于从向量的每个分量中减去分量的平均值。

 定义 
大小为n的中心化矩阵是n×n的

其中是单位矩阵，是n×n一矩阵。例如

,

 , 

 性质 
给定长为n的列向量，的中心性可表为

其中是值全为1的列向量，是的分量的平均值。
 是正半定对称阵。

 是幂等矩阵，所以。均值被移除的话它就是零，再次移除也没有任何影响。
 是奇异矩阵/不可逆矩阵。应用变换的效果无法逆转。
 具有重数为n-1的特征值1与重数为1的特征值0

 沿向量有维度为1的零空间。

 是正交投影矩阵。也就是说是在n-1维线性子空间上的投影，其与零空间正交（这是所有分量和为0的n向量构成的子空间）。
 的迹是。

 应用 
虽然与中心化矩阵相乘并不是去除向量均值的有效计算方法，但却是一种方便的分析工具。它不仅可用来去除单个向量的均值，还可去除存储在m×n矩阵的行或列中多个向量的均值。

左乘将从n列的每一列减去相应的均值，这样积的每列的均值都是0。相似地，右乘会从每行减去相应的均值，这样积的每行均值都为0。两侧均乘：将产生行列均值均为0的矩阵。

中心化矩阵提供了一种表示散布矩阵的方法：对数据样本，有，其中是样本均值。有了中心化矩阵，可以将散布矩阵更简洁地表示为

是多项分布的协方差矩阵，在特殊情况下分布参数为，。

 参考文献 

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