瑞利商

在数学中，瑞利商（）定义为：

式中，为复埃尔米特矩阵，为非零向量。对实矩阵和向量，对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为对称矩阵，对向量的共轭转置退化为转置。

对所有非零标量成立。

埃尔米特矩阵（或实对称矩阵）只具有实特征值且可对角化，由此，对于给定矩阵，其瑞利商达到最小值λ（的最小特征值）当为（最小特征值对应的特征向量）；类似的：，。

瑞利商使用（min-max theorem）获得所有特征值的精确值。它还用于特征值算法（如），从特征向量近似值中获得特征值近似值。

在量子力学中，瑞利商给出了状态为的系统中算子观测值的期望值。

 埃尔米特矩阵M的界 
对于任意向量，其瑞利商满足，其中分别代表矩阵的最小特征值和最大特征值。观察定义可知，矩阵的瑞利商等价于其特征值的加权和：其中是第个归一化后的特征值-特征向量对，是在特征基中的第个坐标。可以验证，当为矩阵最小（最大）特征值对应的特征向量（）时，取值达到其下（上）界。

 参考文献 

Category:線性代數