规范形

数学和计算机科学中，数学对象的标准形、规范形是将该对象作为表达式呈现的标准方式。通常来说，它提供了对象的最简单的表示，并允许以独特的方式识别。“规范（canonical）”与“标准（normal）”的区别因领域而异，大多数时候规范形都规定了对象的唯一表示形式，而标准形则不要求唯一性。有时“规范”与“标准”可以互换，如若尔当规范形与若尔当标准形（见MathWorks上的若尔当标准形 ）。

用小数表示，自然数的规范形是不以0开头的有限数字序列。更一般地说，对于定义了等价关系的一类对象，规范形包括每类中的特定对象。例如

若尔当标准形是描述矩阵相似的规范形。
若将矩阵及其与可逆方阵的左乘视作等价，则阶梯型矩阵是规范形。

在计算机科学与计算机代数中，在计算机中有很多方法表示同一个数学对象。这时，规范形是对每个对象都有唯一表示的表示法（典型化是将某种表示转换为规范形的过程。因此，测试两个对象的规范形是否相等，便可轻松地验证它们是否等价。
规范形经常依赖于任意选择（如变量排序），给测试两个对象是否等价的独立计算带来困难。因此，在计算机代数中，标准形是很弱的概念：标准形中，0的表示是唯一的，因此可以通过对两个对象作差、置于标准形中，来检验它们是否相等。

规范形也可以指以自然（规范）方式定义的微分形式。

定义
给定对象集合S以及其上的等价关系R ，则指定S中的一些对象为“规范形”，这样所考虑的每个对象都等价于规范形的某个对象。换句话说S中的规范形代表一类等价类。要检验两个对象是否等价，只需检验其规范形是否等价。
因此，规范形提供了分类定理，还为类中的对象提供了代表形式。

形式上，集合S上等价关系R的规范化是一个映射c:S→S，对所有s、s1、s2 ∈ S：
c(s) = c(c(s))   （幂等性）；
s1 R s2，当且仅当c(s1) = c(s2)   （决定性）；
s R c(s)  （代表性）。

性质3是冗余的：将性质2应用于性质1即可得出。

在实际应用中，能识别规范形往往是有利的。还有一个实际的算法问题需要考虑：如何将S中的给定对象s转换为规范形式s*？规范形一般用于更有效地运算等价类。例如，模算术中，同余类的规范形通常是其中的最小非负整数。类运算可以组合这些代表形，并将结果还原为最小非负余数。
唯一性要求有时会被放宽，允许形式在更精细的等价关系下是唯一的。

规范形可能只是惯例，也可能来自定理。例如，多项式在书写时通常按幂次递减：如x2 + x + 30，而非x + 30 + x2。相对地，矩阵的若尔当标准形来自定理。

示例
大数记号
标准形用于书写极大的数字，其中最知名的是科学计数法。

数论
正整数的规范表示
连分数的标准形

线性代数
 对象 A等价于B的条件 规范形 注释 复数正规矩阵 ，酉矩阵U 对角矩阵（重排序） 谱定理 复数矩阵 ，酉矩阵U、V 元素为正实数的对角阵（降序） 奇异值分解 代数闭域矩阵 ，非奇异方阵P 若尔当标准形（块重排序） 代数闭域矩阵 ，非奇异方阵P 韦尔规范形（块重排序） 域矩阵 ，非奇异方阵P 弗罗贝尼乌斯标准形 主理想域矩阵 ，非奇异方阵P、Q 史密斯标准形 可逆的基本行列变换不影响等价性 整数矩阵 ，幺模矩阵U 埃尔米特标准形 整数模n矩阵豪厄尔标准形 域K上的有限维向量空间 A、B作为向量空间同构 ，n为非负整数

代数
 对象 A等价于B的条件 标准形 有限生成R-模，R为主理想域 A、B作为R-模同构 初等分解（重排序）或不变因子分解

几何
解析几何中：
直线方程：Ax + By = C，而 A2 + B2 = 1（C ≥ 0）
圆方程：

方程还有其他书写形式。例如，直线方程可以写作点斜式和斜截式的一次方程。

凸多胞形可以表示为标准形：
所有面都是平的；
所有边都与单位球面相切；
多面体的中心店位于原点。

可积系统
所有可微流形都有余切丛，总可以被赋予某种微分形式，称为重言1形式。这种形式使余切丛具有辛流形的结构，并允许流形上的向量场通过欧拉-拉格朗日方程或哈密顿力学进行积分，这种可积的微分方程系统称为可积系统。
动力系统

动力系统研究与可积系统有所重合；在动力系统研究中，我们也有标准形的概念。

三维几何
三维流形研究中，有第一基本形式、第二基本形式与第三基本形式。

函数分析
 对象 A、B等价的条件 标准形 希尔伯特空间 A、B均为有限维希尔伯特空间，则A、B保距同构。 数列空间（将索引集I换为另一个等势索引集的意义上） 有单位（unit）的可交换C*-代数 A、B作为C*-代数同构 紧豪斯多夫空间上的连续函数代数，与基空间同胚的意义上。

经典逻辑

否定范式
合取范式
析取范式
代数范式
前束范式
斯科伦范式
Blake范式，也称为素蕴涵的完全和、完全和或析取素形式
集合论
序数的康托尔范式

改写系统
改变公式的形式的符号操作称为公式的“改写”（rewriting）。可以研究可对公式进行有效操作的规则集合，以研究公式改写的抽象性质，也就是“改写规则”——抽象改写系统的一个部分。常见问题是，有没有可能将某些通用表达式变为一种单一的、通用的形式，即标准形。若不同的改写序列仍能得到相同的形式，则这种形式就可称为标准形，改写则称为汇合（confluent）。标准形不总可得。

λ演算
若不能进行beta还原，则lambda项就是Beta范式；λ演算是抽象改写系统的一种特殊情况。例如，在无类型的lambda演算中，项没有标准形。在有类型的lambda演算中，每个形式良好的项都可改写为标准形。

图论

图论中，图规范化是找到给定图G的规范形的过程。图的规范形是与G图同构的有标号图Canon(G)，这样，与G同构的图都具有与G相同的规范图，也就实现了图同构的判断。

计算 (计算机科学)
在计算中，将数据还原为任一种规范形通常称为“数据规范化”（data normalization）。

例如，数据库规范化是对关系数据库的字段和数据库表进行调整，以尽量减少数据冗余与依赖的过程。
在软件安全领域，常见的漏洞是未经检查的恶意输入（参见代码注入），解决方法是进行适当的数据确认。在进行输入验证之前，通常会通过消除编码（如HTML字符编码）和将其化为单一通用字符编码的方式进行正规化处理。
其他形式的数据（通常与信号处理，包括音频、图像，以及机器学习）也可以进行规范化处理，以将数值范围框定得有限。

在内容管理中适用单一信源（SSOT）的概念，与数据库规范化和软件开发相仿。功能强大的内容管理系统可以提供获取单一信源的合理方法，例如嵌入。

另见
典型化
规范基
标准丛
正则化
标准化

注释

参考文献
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