卜瓦松二項分布

在機率论和统计学中，卜瓦松二项分布是一個基於独立伯努利试验之和的离散機率分布。这一概念以西梅翁·德尼·泊松的名字命名。

换句话说，它是成功概率分別為的n次独立伯努利试验中，成功次数的機率分布。普通二项分布是卜瓦松二项分布在所有成功機率相同（即）时的特例。

 定義 

 機率质量函数 
n次试验中有k次成功的機率可以写为以下总和



其中是 {1,2,3,..., n } 的全體k元子集的集合。例如，如果n = 3，那么。是的补集，也就是。

将包含個元素，因此上述总和在實務中是很難計算的，除非试验次数n很小（例如，如果n = 30，包含超过1020个元素）。然而，还有其他更有效的方法可以计算。

只要成功機率都不等于 1，就可以使用递归公式计算出k次成功的機率：



其中



递归公式在数值上不稳定，在约大于20時应避免使用。另一种方法是使用分治算法：假设是2的幂，並以表示成功概率為的卜瓦松二项分布，表示卷积，則。

另一种可能性是使用离散傅立叶变换。 



其中，。

Chen和Liu在“卜瓦松二项式和条件伯努利分布的统计应用”中描述了其他方法。 

 特性 

 均值和方差 
由于卜瓦松二项式分布變數是n个独立伯努利分布變數的总和，因此其均值和方差将是n个伯努利分布的均值和方差之和：





當平均值（）和次數（n）為定值，且所有成功機率相等時，我们會得到二项式分布，變異數此時最大。当平均值固定时，變異數的上界為具有相同均值的卜瓦松分布的變異數，該上界在n趋于无穷大時可以渐近取得。

 熵 
卜瓦松二項式分佈的熵沒有簡單的公式，但熵的上限是具有相同數字參數和相同均值的二項式分佈的熵。因此，熵也不大於相同均值的卜瓦松分佈的熵。

謝普-奧爾金凹性猜想由和於1981年提出，指出卜瓦松二項式分佈的熵是成功機率的凹函數。這個猜想由 Erwan Hillion 和 Oliver Johnson 於2015年證明。1981年同一篇論文亦提出謝普-奧爾金單調性猜想：若，則熵對為單調遞增。這個猜想也被 Hillion 和 Johnson 於 2019 年證明。

 參考資料 

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